1
Estr Estruc uctu tura rass Alge Algebr brai aica cass
1. 1.1 1
Ley Leyes de compo composi sici ci´ o on, ´n, internas y externas.
Al comenzar esta unidad se recomienda volver a revisar los conceptos vistos en el curso de Algebra I en la unidad de funciones, aqui recordaremos el concepto de funci´on. on. • Sean A y B conjuntos, recordemos que f es una funci´on on de A en B s´i y s´olo olo s´i f es una relaci´on on que asigna o hace corresponder a cada elemento x A un unico u ´nico elemento elemento y B.
∈
∈
• La expresi´on on ” f es una funci´on on de A en B ” se deno denota ta por por : ” f : A
→B”
• El unico u ´nico elemento elemento y B que la funci´on on f ,asigna al elemento x A, se llama la im´agen agen f de x con respecto a la funci´on on f y se denota por y = f ( f (x), o por x y = f ( f (x) es decir :
∈
Si f : A Byx funci´on on f
→
∈
− →
agen de x con respecto a la ∈ A, entonces f (f (x) representa a la im´agen
Recordemos adem´as as que si f : A B y x A entonces f (x) puede ser obtenida por una asignaci´ on arbitraria de la funci´on, on on, o al reemplazar x en la f´ormula ormula o en el(los) procedimiento(s) de asignaci´on on que define a f .
→
∈
Ejemplo • Sean UT UTA A = {x / x es un alumno de la UTA} UTA} y N, entonces la relaci´on on ε, que asigna a cada x UT UTA A la edad de x expresada en a˜nos nos es claramente una funci´on o n de UT UTA A en N., es decir ε : UT UTA A N , en este caso ε(Juan Perez Molla) Molla ) =Edad de Juan Perez Molla expresada en a˜nos. nos. El procedimiento que define a ε podr´ia expresarse por la f´ormula ormula :
∈
ε(x) = 2010
• La expresi´on on
g:
→
no de nacimiento de x) x) − (A˜no RxR → R (x, y) − → 3x +5xy g
2
se lee ” g es una funci´on o n de RxR en R, tal que g asigna a cada par (x (x, y) el real 2 3x +5xy ” luego la im´agen agen del par (2 (2, 4) ser´a el real 3 · (2)2 + 5 · 2 · 4 = 52. 52. En lugar de escribir g((2 ((2, 4)) = 52 simplemente simplemente denotaremos g(2, 4) = 52, 52, en general 2 escribiremos g(x, y) = 3x +5xy El concepto de operaci´ on on bin binaria aria o ley ley de composi composici´ ci´ on on es una abstracci´on on y generalizaci´ on de las operaciones usuales de adici´ on on on y multiplicaci´on o n ( + y · ) definidas en nuestro nue stross sistema sis temass num´ericos eric os ( N, Z, Q, R y C ), ejemplos ejemplos de ellas son las que hemos hemos n n n 3 definido entre vectores de R , R y R (como + en R , producto punto en R , producto producto 3 cruz en R y el producto real por vector ) ios, llamaremos una operaci´ Definition 1 Sean A, B, C conjuntos no vac ´ on on o una ley de composici´ on on entre los conjuntos A, B, C a cuaquier funci´ on f de la forma: f :
AxB (a, b)
→ C − → f (a, b) f
Es decir una operaci´on on o una ley de composici´ on on es una funci´on on cuyo Dominio es un producto cartesiano de conjuntos.
1
La funci´on on g definida en el ejemplo anterior es una operaci´on on binaria en efecto dominio de g es un producto cartesiano g : RxR R con g(x, y) = 3x2 +5xy g 2 (x, y) 3x +5xy donde las operaciones indicadas en la expresi´on on 3x2 +5xy son las leyes usuales + y · definidas en R Notaci´ on: on: En lugar de emplear emplear las letras usuales de funciones, funciones, las operaciones operaciones binarias binarias se representan usualmente con simbolos especiales tales como: +, , ÷, ·, ×, , , , , •, , , ,..., , Si es una ley de composici´on on entre los conjuntos A, B, C,entonces la im´agen agen de (a (a, b) con respecto a la funci´on on , usualmente se denota por a b en lugar de la notaci´on on funcional : AxB C (a, b) y esta ley se representa por (a, b) a b n Porr ejempl Po ejemploo el producto producto punto punto definido en R es una operaci´on o n binaria o una ley de composici´on on en efecto: + : RnxRn R
→ − →
∗ ∗
◦ ∗
⊕⊗
∪∩
∗ → − → ∗
∗
∗
→ − → − → − → − → (a,b)− →a·b = ab −→ →a = (a donde − ( a , a , a ,..,a ) y b = (b , b , b ,..,b ) n
i i
i=1
1
2
3
n
1
2
3
n
Definition 2 Sea A Sea A un conjunto no vac ´ io Diremos que la ley es una Operaci´ on on binaria en A o una Ley de Composici´ on on Interna en A s ´ i y s´ olo s ´ i : AxA A (a, b) a b
∗
∗
→ − → ∗
Es decir asigna a cada par ordenado de elementos de A, un unico u ´ nico y determinado tercer elemento del mismo conjunto A. Al elemento a b lo denominare denominaremos mos la composici´ composici´ on on de a con b, o a compuesto con b
∗
∗
• Ejemplos • Si Ω es un conjunto no vac´io y P (Ω) denota al conjunto potencia del conjunto fi jo entonces y son operaciones binarias en P (A)., en efecto
∪:
∪ ∩
P (Ω)xP (Ω) (A, B) A
→ P (Ω) − → ∪ B
∩:
y
Ω,
P (Ω)xP (Ω) (A, B) A
→ P (Ω) − → ∩ B
• Las leyes usuales + y · definidas en nuestros sistemas num´ num´ericos ericos ( N, Z, Q, R y C ) son Leyes de composici´ ellos.. on on Interna en ellos.. • Sin embargo la divisi´on on usual no es una Ley de composici´ on on interna en N y Z, Si a, b
∈ N entonces no siempre a ÷ b ∈ N, Si a, b ∈ Z entonces no siempre a ÷ b ∈ Z
Estrechamente ligada a la noci´ on on de operaci´on on binaria est´a la llamada condici´on on de estabilidad, estabilidad , la que formalmente se expresa, como: Definition 3 Sea una operaci´ on binaria en A y sea S Diremos que es “ Cerrada Cerrada o estable” estable” en S ´ ´ S i y s´ olo s i es una l.c.i. en S, es decir S ´ i y s´ olo s ´ i a, b S a b S
∗ ∗
∗
⊆ A.
∈ ⇒ ∗ ∈
• Por ejemplo la adici´on o n + usual definida en Z no es cerrada en el conjunto de los enteros impares , porque la suma de impares no es impar. • La multiplicaci´on on ” · ” usual de enteros es una l.c.i. en Z , es cerrada en el conjunto de los enteros pares , porque la multiplicaci´on on de pares es par.
2
• La subtracci´on ” ” usual de enteros es una l.c.i. en Z , sin embargo ” ” no es + cerrada en el conjunto de los enteros positivos Z , no es cerrado bajo la subtracci´on.
−
−
• La multiplicaci´on ” · ” usual de reales es una l.c.i. en R , es cerrada en el conjunto + + de los reales positivos R , porque Si a, b R entonces a · b R+
∈
1.2
∈
Estructuras Algebra´icas
Definition 4 Llamaremos “ Sistema o Estructura Algebraica ” a cualquier conjunto no vac ´ io A provisto de una relaci´on de equivalencia = y provista de una o m´ as o m´ as leyes de composici´ on de fi nidas en A. Observaci´on Usualmente en la bibliografia al referirse a un sistema matem´atico, s´olo se hace menci´on explicita al conjunto y a la o las operaciones, pero no a la relaci´on de equivalencia =. En adelante el s´imbolo = ( igualdad ) representar´a una relaci´ on de equivalencia definida en el conjunto donde se definen las leyes involucradas. La relaci´on = podr´ia ser la igualdad definida para elementos del conjunto involucrado, no se olvide que la igualdad es una relaci´on de equivalencia. Asi por ejemplo el conjunto S = {1, 1, i, i} C con la multiplicaci´ on · usual de n´ umeros complejos ( pruebe que la · es cerrada en S ) con la relaci´on =, igualdad de complejos, es una estructura algebraica.
−
1.2.1
− ⊆
Propiedades de una l.c.i.
Definition 5 Sea A un conjunto no vac ´ io una l.c.i. de fi nida en el conjunto A. Diremos que es asociativa S ´ i y s´ olo s ´ i a (b c) = (a b) c para todo triple, distinto o no, de elementos a, b, c A.
∗
∗
∗ ∗ ∈
∗ ∗
• Ejemplos • La subtracci´on ”
− ” es una l.c.i. en el conjunto Z, como: a − (b − c) = a − b + c y (a − b) − c = a − b − c, luego no necesariamente a − (b − c) , (a − b) − c son iguales, luego ” − ” no es asociativa. por ejemplo si consideramos a = b = c = 1, entonces a (b c) = a
∗ ∗ − (b − c) = 1 − (1 − 1) = 1 (a ∗ b) ∗ c = (a − b) − c = (1 − 1) − 1 = −1
.
• Las leyes usuales + y · definidas en nuestros sistemas num´ericos ( N, Z, Q, R y C ) son asociativas. • El producto cruz definido en R3 no es asociativo,
− → − → − → − → − → →c en general a × b × c = a×b ×− por ejemplo (1, 2, 3)× ((2, 4, 5) × (−1, 3, 2)) = (47, −31, 5) ((1, 2, 3) × (2, 4, 5)) ×(−1, 3, 2) = (2, 4, −5) • En Z definimos : a b = a + b + a · b luego tenemos que : a (b c) = a (b + c + bc) = a + (b + c + bc) + a(b + c + bc) = a + b + c + +ab + ac + bc + abc
3
(a b) c = (a + b + ab) c = (a + b + ab) + c + (a + b + ab)c = a + b + c + +ab + ac + bc + abc O sea a (b c) = (a b) c, luego es una operaci´on asociativa. La igualdad de las expresiones anteriores se deduce en parte del hecho que, tanto la adici´ on como la multiplicaci´on, son asociativas en Z • Sea Ω es un conjunto no vac´io y sean y la uni´on e intersecci´on de conjuntos ´ respectivamente definidas en P (Ω) .Por la teoria de conjuntos tenemos que :
∪ ∩
A (B C) = (A B) C y A (B de conjuntos son asociativas.
∪ ∪
∩ ∩ C) = (A ∩ B) ∩C luego la uni´on e intersecci´on
∪ ∪
• Sea F (R) = {f / f :R R},el conjunto de la funciones reales de R en R, sea la composici´on usual de funciones, por algebra I sabemos que : f (g h) = (f g) h cualesquiera sean las funciones f , g y h
→
◦
◦ ◦
◦ ◦
Luego la composici´on de funciones reales es Asociativa Definition 6 Sea una l.c.i. de fi nida en el conjunto A. Diremos que es conmutativa S ´ i y s´ olo s ´ i a b = b a,
∗
∗
∗
∗ ∀a, b ∈ A
• Ejemplos • La subtracci´on ”
− ” es una l.c.i. en Z, que no es conmutativa ya que a − b = b − a.
• Las leyes usuales + y · definidas en nuestros sistemas num´ericos ( N, Z, Q, R y C ) son conmutativas.
−→ −→ −→ −→
• El producto cruz definido en R3 no es conmutativo, en general a × b = b × a sabemos que a × b = b × a
−→ −→ −−→ −→
por ejemplo (1, 2, 3) × (2, 4, 5) = ( 2, 1, 0)
−
(2, 4, 5) × (1, 2, 3) = (2, 1, 0)
−
• En Z definimos a b = a + b + a · b luego tenemos que : ab =a+b+a·b ba =b+a+b·a luego a b = b a, luego es una operaci´on conmutativa. • Sea Ω es un conjunto no vac´io y sean y la uni´on e intersecci´on de conjuntos respectivamente definidas en P (Ω) .Por la teor´ia de conjuntos tenemos que :
∪ ∩
A B=B A y A conmutativas.
∪
∪
∩ B = B ∩ A, luego la uni´on e intersecci´on de conjuntos son
• La composici´on de funciones es una l.c.i. en F (R) = {f / f :R R}, por algebra I sabemos que en general : f g = g h luego la composici´ on de funciones reales no es conmutativa
◦ ◦ ◦
→
Definition 7 Sea una l.c.i. de fi nida en el conjunto A. Diremos que posee elemento neutro en A 1) a e = a S ´ i y s´ olo s ´ i e A, a A 2) e a = a El elemento e A se llama un elemento neutro de la ley
∗
∗ ∃ ∈ ∈
• Nota: Si
∗ ∗
∀ ∈
∗
∗ es conmutativa no es necesaria la condici´on 2) de la definici´on 4
• Si
∗ posee elemento neutro en A entonces el neutro de ∗ es u´nico. En efecto sean e y e elementos neutros de ∗ entonces
1) a e = a 1) a e= a a A y a A 2) e a = a 2) e a= a luego como e es elemento neutro entonces e e = e en 1) hacemos a = e adem´as como e es elemento neutro entonces e e = e en 2 ) hacemos a = e conclusi´ on e = e , luego e es u ´ nico Ejemplos
∗ ∗
∀ ∈
∗ ∗
∀ ∈
∗
∗
• Sea ”
− ” la subtracci´on usual definida en Z, ¿ ” − ” posee elemento neutro? 1) a − e = a es decir ¿Existe e ∈Z tal que ∀a ∈ Z.? 2) e − a = a Si existiera tal e por 1) tendr´iamos que a e = a e=0 por 2) tendr´iamos que e a = a e = 2a a, luego ”
−
−
⇒
⇒
∀ ⇒ e = 0
− ” no tiene elemento neutro p orque de existir , ´el debe ser u´ nico.
• La adici´on usual + definida en nuestros sistemas num´ericos ( Z, Q, R y C ) posee elemento neutro en ellos, y el neutro es el 0. Notemos que la adici´on usual + definida en N no posee elemento neutro pues 0 / N.
∈
• La multiplicaci´on usual · definida en nuestros sistemas num´ericos ( N, Z, Q, R y C ) posee elemento neutro en ellos, y el neutro es el 1. • Sea ” × ” el producto cruz definido en R3 ¿ × posee elemento neutro?
−→∈
es decir ¿Existe e
−→ −→ −→a −→ −→ −→a
1) a × e = R3 tal que 2) e × a =
∀−→a ∈ R .? 3
−→ −→a × −→e = −→a , ∀−→a ∈ R ⇒ −→e × −→e = −→e ⇒ −→e = −→0 ¿Por qu´e? →a × −→0 = −→0 = −→a , ∀−→a ∈ R − {−→0 } pero sabemos que −
Si existiera tal e por 1) tendr´iamos que: 3
3
luego × no posee elemento neutro.
• Sea Ω es un conjunto no vac´io y sean respectivamente definidas en P (Ω) . Por la teor´ia de conjuntos tenemos que :
∪y∩
A
∪ φ = A, ∀A
y A
la uni´on e intersecci´on de conjuntos
∩ Ω = A,
como sabemos que ambas leyes son conmutativas entonces tenemos que: la uni´on de conjuntos posee elemento neutro , al conjunto vac´io φ y la intersecci´on de conjuntos posee elemento neutro , al conjunto conjunto universo de los elementos de P (Ω) )
Ω
( ya que
Ω
es el
• Sea a b = a + b + a · b definida Z ¿ posee elemento neutro?
∀
es decir ¿Existe e Z tal que 1) a e = a a condici´ on 2) ya que sabemos que es conmutativa. Si existiera tal e por 1) tendr´iamos que:
∈
ae =a
⇒
∈ Z.? no es necesario analizar la
a + e + a · e = a,
luego e(1 + a) = 0, a
∀ ∈Z ⇒
e=0
∈Z
Conclusi´ on posee elemento neutro y ´este es e = 0 • Ejercicio 5
Se˜nale, si existe neutro,para las siguientes leyes en el conjunto que se indica. + a) (Z+; ·); (Z ; +), donde · y + son la adici´on y multiplicaci´on com´ un, y donde + Z = {z Z / z > 0}.
∈
b) (N; ) donde x*y = x.
∗ c) (N; ∗) donde x*y =(x,y): m.c.d. de x e y. d) (N; ∗) donde x*y =[x,y]: M.C.M. de x e y. e) (F (R); ◦), donde ◦ es la composici´on de funciones. Definition 8 Sea ∗ una l.c.i. de fi nida en A con elemento neutro e Diremos que a ∈ A es invertible con respecto a la ley ∗ 1) a ∗ a = e S ´ i y s´ olo s ´ i ∃a ∈ A, ∀a ∈ A 2) a ∗a = e El elemento a ∈ A se llama un elemento inverso de a con respecto a la ley ∗
• Nota: Si
∗ es conmutativa no es necesaria la condici´on 2) de la definici´on
• Observemos que el concepto de elemento invertible o la existencia de elemento inverso est´a relacionado con el concepto de elemento neutro, en el sentido de que la existencia de elemento neutro para la ley , es una condici´on necesaria, para la existencia de inversos.
∗
• Sea una l.c.i. en A,asociativa y con elemento neutro e. Si a con respecto a la ley , entonces ese inverso es u ´ nico
∗
∗
∈ A es invertible
Para mostrar que a A tiene exactamente un inverso, suponemos que a1 y a2 son dos inversos de a entonces
∈
∈A
1) a a1 = e 1 ) a a2 = e y 2) a1 a = e 2 ) a2 a = e de donde a a1 = a a2 / · a1 izq a1 (a a1 ) = a1 (a a2) aplicando propiedad asociativa, (a1 a) a1 = (a1 a) a2 se tiene: e a1 = e a2 , es decir, a1 = a2 lo que muestra que a tiene un u ´ nico inverso, este ´unico inverso de a se denota usualmente 1 por a . En particular, como e e = e, podemos inferir que e 1 = e.
∗ ∗
∗
∗
∗
∗
∗ ∗
⇒
∗ ∗
∗ ∗
∗ ∗
∗ ∗
−
−
∗
Ejemplos
• Sabemos que para la l.c.i. ” ”, (la subtracci´on usual ) definida en Z, la ley ” ” no posee elemento neutro, entonces ning´un elemento de Z es invertible con respecto a la ley ” ”.
−
−
−
• Para la adici´ o n usual + definida en nuestros sistemas num´ericos ( Z, Q, R y C ) tenemos que cualquier elemento a es invertible con respecto a la ley +, el inverso de a se denota por a y se le llama el opuesto de a en lugar de ”el inverso de a”. Notemos que para la adici´on usual + definida en N, ning´ un elemento deN es invertible ¿Por qu´e ?
−
• Para la multiplicaci´on usual · definida en nuestros sistemas num´ericos ( N, Z, Q, R y C ), tenemos que el 0 no es invertible con respecto a esta ley, ya que: 0 · a = 0 a , luego no va a existir un elemento a talque 0 · a = 1
∀
• Para la multiplicaci´on usual · definida en Z, los u ´nicos invertibles son 1 y 1,en efecto si a Z, con a = 0 es invertible entonces existir´ aa (a = a = 1) o (a = a = 1). Z tal que a · a = 1
∈
−
∈
⇒
6
• Para ” × ” el producto cruz definido en R3 , ning´ un elemento de R3 es invertible ¿Por qu´e ? • Si Ω es un conjunto no vac´io y es la uni´ on de conjuntos definida en P (Ω), entonces el u ´ nico invertible con respecto a la uni´on es el conjunto vac´io φ
∪
En efecto si A
∈ P (Ω) es invertible entonces existe X ∈ P (Ω) tal que: A ∪ X = φ,(recuerde que φ es el elemento neutro de la ∪) pero A ∪ X = φ ⇔ A = X = φ .
conclusi´ on : el u ´ nico invertible con respecto a la uni´on es el conjunto vac´io φ. • Si Ω es un conjunto no vac´io y es la intersecci´ on de conjuntos definida en P (Ω), entonces el u ´ nico invertible con respecto a la es el conjunto Ω. (ejercicio )
∩
∩
• Sea a b = a + b + a · b definida Z ¿ Qu´e elementos a respecto a la ley ?
∈
Z son invertibles con
Luego a a invertible con respecto a la ley si y s´o lo s´i Existe a Z tal Z ser´ que a a = 0 recuerde que 0 es el elemento neutro de la ley luego tendr´iamos que: a a = 0 a + a +a · a = 0,
∈
pero
−a ∈ Z 1+a
⇒
−a, ⇒ a = 1−+aa , ⇔ 1 + a = ±1 ⇔ a = 0
luego a (1 + a) =
´ o a=
−2
Conclusi´ o n : Los u ´ nicos invertibles en Z con respecto a la ley 0 y el inverso de 0 es el entero a = =0y 1+0
el inverso de
−
−2 es el entero a = −1(−−2)2 = −2
7
son 0 y −2
∈
1.2.2
Estructura de Grupo
Definition 9 Diremos que el par ordenado (G, ) es un Grupo S ´ i y s´ olo s ´ i: G es un conjunto provisto de un relaci´on de equivalencia = y es una l.c.i. de fi nida en G, tal que : i) es asociativa : a (b c) = (a b) c a, b, c G ii) posee elemento neutro : e G, a e = a; e a = a a G iii) a G, a es invertible con respecto a Si a G entonces a G, a a = e; a a = e
∗
∗
∗ ∗ ∀ ∈ ∈
∗ ∗
∗ ∗ ∀ ∈ ∃ ∈ ∗ ∗ ∀ ∈ ∗ ∃ ∈ ∗ ∗ y si adem´as: iv) ∗ es conmutativa : a ∗ b = b ∗ a ∀a, b ∈ G entonces diremos que (G, ∗) es un Grupo Abeliano o un Grupo Conmutativo.
Ejemplos:
EG1. Considerando nuestros sistemas num´ericos con las leyes usuales + y · tenemos que : a. (N, +) no es grupo porque + no tiene neutro en N., adem´as no existe opuesto para todo a N
∈
b. (N, ·) no es grupo porque no existe inverso para todo a
∈N
c. (Z, +) es grupo abeliano porque + es asociativa y conmutativa, con elemento neutro 0 y tenemos que cualquier a Z tiene como inverso al entero ( a). d. (Z, ) no es grupo porque
−
∈
−
− no es asociativa
e. (Z, ·) no es grupo porque existen enteros que no son invertibles f. (Q, +); (R, +), (C, +) son grupos abelianos ¿ Por qu´e ? h. (Q, ·); (R, ·), (C, ·) no son grupos abelianos ¿ Por qu´e ? i. (Q
− {0}, ·); (R − {0}, ·), (C − {0}, ·)
no son grupos abelianos ¿ Por qu´e ?
j. (R+, ·) es un grupo Abeliano ¿ Por qu´e ? EG2. (R3 , ×) no es grupo porque × no es asociativa. EG3. Si Ω es un conjunto no vac´io entonces (P (Ω), ) no es grupo abeliano porque A P (Ω), A no invertible;
∪
∈ P (Ω) y Ω no es invertible. ¿ Por qu´e ? EG4. Si Ω es un conjunto no vac´io entonces (P (Ω), ∩ ) no es grupo abeliano porque ∃A∈ P (Ω), A no invertible; φ ∈ P (Ω) y φ no es invertible. ¿ Por qu´e ? ∃ ∈
Ω
EG5. Sea (Z, ) donde es la l.c.i. definida en Z anteriormente por: ab= a+b+a·b es asociativa y conmutativa hemos visto que: posee elemento neutro 0 pero tambi´en sabemos que los u ´nicos elementos invertibles con respecto a esta ley en e ? luego ( Z, ) no es grupo Z son : 0 y 2 ¿Por qu´ Ejercicio
−
• En Z definimos las operaciones a a) Analice si (Z, ) es grupo
⊕ b) Analice si (Z, ⊗) es grupo
⊕b =a+b−1
8
y a
⊗ b = a + b − ab
EG6. (Z, ) es un Grupo
⊕ ⇔ 1) ⊕ es asociativa 2) ⊕ posee elemento Neutro en Z 3) Para cada a ∈ Z−{−1}, a posee inverso con respecto a la ley ⊕ 1) (a ⊕ b) ⊕ c = [a + b − 1] ⊕ c = (a + b − 1) +c − 1 = a + b + c − 2 ∗ Por otro lado a
⊕ (b ⊕ c) = a ⊕ (b + c − 1) = a + (b + c − 1) − 1 = a + b + c − 2 ∗ ∗ de ∗ y ∗∗ tenemos que a ⊕ (b ⊕ c) = (a ⊕ b) ⊕ c ⊕ es asociativa adem´ as de la definici´on de ⊕ tenemos que: a ⊕ b = a + b − 1 = b + a − 1 = b ⊕ a (∗ ∗ ∗) ⊕ es conmutativa 2) Buscamos e ∈ Z elemento neutro de ⊕ entonces a ⊕ e = a ∀a ∈ Z a ⊕ e = a + e − 1 = a luego e − 1 = 0 ⇒ e = 1 e = 1 y el elemento neutro de ⊕ es e = 1 3) Si para cada a ∈ Z existe a ∈ Z tal que a ⊕ a = 1 entonces a + a − 1 = 1 ⇒ a = 2 − a ∈ Z, ∀a ∈ Z luego cada elemento a de Z posee elemento inverso a = 2 − a De 1), 2) 3) se tiene que (Z, ⊕) es un Grupo por (∗ ∗ ∗) tenemos que ( Z, ⊕) es un Grupo Abeliano EG7. (Z, ⊗) es un Grupo ⇔ 1) ⊗ es asociativa 2) ⊗ posee elemento Neutro en Z 3) Para cada a ∈ Z−{−1}, a posee inverso con respecto a la ley ⊗ 1) (a ⊗ b) ⊗ c = (a + b − ab) ⊕ c = (a + b − ab) +c − (a + b − ab)c = a + b + c − ab − ac − bc + abc (∗) ∴
∴
∴
∗
∗
∗
∗
∗
Por otro lado
⊗ (b ⊗ c) = a ⊗ (b + c − bc) = a + (b + c − bc) − a(b + c − bc) = a + b + c − bc − ab − ac + abc (∗∗) de (∗) y (∗∗) tenemos que a ⊗ (b ⊗ c) = (a ⊗ b) ⊗ c ⊗ es asociativa adem´ as de la definici´on de ⊕ tenemos que: a ⊗ b = a + b − ab = b + a − ba = b ⊗ a (∗ ∗ ∗) ⊗ es conmutativa 2) Buscamos e ∈ Z elemento neutro de ⊗ entonces a ⊗ e = a ∀a ∈ Z a ⊗ e = a + e − ae = a luego e(1 − a) = 0, ∀a ∈ Z ⇒ e = 0 e = 0 y el elemento neutro de ⊗ es e = 0 3) Si para cada a ∈ Z existe a ∈ Z tal que a ⊗ a = 0 −a entonces a + a − aa = 0 ⇒ a = 1−a −a ∈ Z ⇔ 1 − a = ±1 pero a = 1−a a
∴
∴
∴
∗
∗
∗
∗
∗
∗
9
luego los u ´ nicos enteros invertibles son a = 0 o a = 2 luego no todo entero posee elemento inverso luego (Z, ) no es un Grupo
⊕
EG8. Sea S = {(a, b)
∈ RxR / a = 0, b = 0 } en S definimos la l.c.i. ∗ : (a, b) ∗ (c, d) = (ac, bd) Pruebe que (S; ∗) es un grupo abeliano
Como los elementos de S son pares ordenados de reales, entonces la relaci´ on de equivalencia de esta estructura ser´a la igualdad de pares ordenados. recordemos que: (a, b) = (c; d) a=c b = d.
⇐⇒
∧
1. ¿ es
2.
3.
4.
∗ asociativa ? (a, b)∗ ((c, d) ∗ (e, f )) = (a, b) ∗ (ce, df ) = (a(ce), b(df )) = ((ac)e, (bd)f ) = (ac, bd) ∗ (e, f ) = ((a, b) ∗ (c, d)) ∗(e, f ) por lo tanto ∗ es asociativa. ¿ es ∗ conmutativa ? Como (a, b) ∗ (c, d) = (ac, bd) = (ca, db) = (c, d)∗(a, b) por lo tanto ∗ es conmutativa. ¿ ∗ posee elemento Neutro en Z ? Buscamos (x, y) ∈ S elemento neutro de ∗ entonces (a, b) ∗ (x, y) = (a, b) ∀(a, b) ∈ S es decir (ax, by) = (a, b), ⇔ ax = a by = b ∀(a, b) ∈ S luego x = 1, y = 1 y el elemento neutro de ∗ es e = (1, 1) Sea (a, b) ∈ S ¿ (a, b) es invertible en S ? ¿existir´ a (a , b ) ∈ S tal que : (a, b) ∗ (a , b ) = (1, 1) ? es decir tal que : (aa , bb ) = (1, 1) ⇔ aa = 1 bb = 1 1 1 luego a = y b = , como a =0; b =0,entonces podemos afirmar que (a , b ) existe a b
1 1 luego el inverso de (a, b) es (a , b ) = ( , ). a b De 1) , 2), 3) y 4) poemos concluir que : ( S; ) es un grupo Abeliano.
∗
• Consecuencias en un Grupo. Proposici´ on G 1 Si (A; ) es grupo y a, b
∗
∈ A, entonces (a ∗ b)
−1
=b
−1
−1
∗a
.
Demostraci´ on De acuerdo a la definici´on de inverso, s´olo se necesita mostrar que (a b) (b 1 a 1 ) = e (b 1 a 1 ) (a b) = e −
−
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
−
−
donde e es el neutro de la ley , y como el inverso de a b es u ´ nico, se puede concluir que: (a b) 1 = b 1 a 1 .
∗
∗
∗
−
10
−
∗
−
En efecto,
−1
(a b) (b
∗ ∗
∗a
−1
) = a (b b 1 ) a 1 = a e a 1) = (a e) a 1 = a a 1 = e −
−
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗a ) ∗ (a ∗ b) = e. −
−
−1
Analogamente podemos mostrar que (b Observaci´ on
−1
Si (A; ) es Grupo Abeliano, entonces (a b) 1 = a
∗
−
−
∗
−1
−1
∗b
.
• Proposici´ on G 2 Si (A; ) es un grupo y a, b
∗
(llamada Ley cancelativa)
∈ A, son tales que: ca∗∗ac == cb∗∗b,c
entonces a = b.
Demostraci´ on Como c A, c 1 A. Multiplicando la primera ecuaci´on, a la derecha por c 1 , se (a c) c 1 = (b c) c 1 a (c c 1) = b (c c 1 ) tiene , a e=b e a=b −
−
∈ ∃ ∈ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −
−
−
−
Como corolario, de esta proposici´on, se puede mostrar que la ecuaci´on x x = x, tiene soluci´ on u ´nica x=e,
∗
En efecto como x x = x = x e, usando la ley cancelativa se tiene que x = e.
∗
∗
En general si ocurre que x x = x, diremos que x
∗
∈ A es ”Idempotente”.
• Proposici´ on G 3 En un grupo (A; ) las ecuaciones a x = b y y a = b, tienen soluciones u ´ nicas. Demostraci´ on −1
x=a
∗
∗
∗
∗b satisface la ecuaci´on a ∗ x = b, ya que a ∗ (a ∗b) = (a ∗ a ) ∗ b = e ∗ b = b, −1
−1
luego es soluci´on. Para mostrar su unicidad supongamos que existe x a x = b, entonces a x = a (a 1 b)
∗
∗
∗
y aplicando la ley de cancelaci´on, vemos que −1
x=a
∗b, es decir x = x.
11
−
∗
∈ A, tal que,
1.2.3
L.c.i. en Conjuntos
finitos
Sea A un conjunto finito tal que su cardinalidad sea relativamente peque˜no ¿C´omo podr´iamos definir una l.c.i. para el conjunto A ? Un procedimiento es usar tablas de doble entradas, en ella pueden ser convenientemente presentados los resultados de aplicar la operaci´on a los pares de elementos de A. Si A = {a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ,..., an } entonces contruimos un tabla de n + 1 filas y n + 1 columnas de las siguiente manera :
∗
∗
• En la Primera fila ( de arriba hacia abajo), a partir de la segunda celda escribimos los elementos de A dispuestos en el orden en que aparecen escritos de izquierda a derecha en el conjunto A. Esta Fila se llama la Fila principal de la tabla. • En la Primera Columna ( de izquierda a derecha ),a partir de la segunda celda escribimos los elementos de A dispuestos en el orden en que aparecen escritos de izquierda a derecha en el conjunto A.Esta Columna se llama la Columna principal de la tabla. • En la primera celda de la Fila y Columna Principal se indica el s´imbolo que representa a la l.c.i. en este caso .
∗
• El resto de las n2 se llenar´an s´olo con elementos del conjunto elegidos en forma arbitraria o siguiendo alg´ un procedicmiento indicado por la ley que se desea definir. Los elementos que figuran en estas celdas ser´an los resultados al aplicar la ley a los pares de elementos de A.
∗
∗
• Para hallar o colocar el resultado de ai a j , en la tabla, primero debemos ubicar a ai en la Columna Principal y asi determinamos en que fila de la tabla se encuentra el resultado, luego para determinar en que columna se encuentra el resultado debemos ubicar a a j en la Fila Principal el resultado ai a j se encuentra en la celda intersecci´on de la fila y con la columna encontrada. Por ejemplo si ai a j = ak
∗
∗
∗
a1
a2
a3
...
a1 a2 a3 .. . .. . ai .. .
a j
∗
... an
ak
an • Ejemplo Si A = {1, 2, 3} entonces definimos la ley
1 2 3
por medio de la siguiente tabla:
1 2 3 3 1 2 1 2 3 2 3 1
• En esta tabla tenemos que: 2 (3 1) = 2 2 = 2 y (2 3) 1 = 3 1 = 2 ¿Es asociativa ?. Para determinar si es asociativa debemos veri ficar que la igualdad :
(a b) c = a a, b, c A
∈
(b c) se cumple para todo triple, distinto o no, de elementos 12
• Ejercicio Determine si En este caso la ley
es asociativa
posee elemento neutro e = 2
Cada elemento de A posee inverso: el inverso de 1es 3; el inverso de 2es 2 y el inverso de 3es 1 ¿ Es (A, ) Grupo Abeliano ? Si Ud. desarrolla el ejercicio lo sabr´a.
• Sea S = {1, 1, i, i}
− ⊆ C con la multiplicaci´on · usual de n´umeros complejos, podemos · 1 −1 i −i 1 1 −1 i −i representar la l.c.i. por la tabla −1 −1 1 −i i i 2 3 −1 1 −i −i i 1 −1 −
1.2.4
Enteros y residuos.
Recordemos que : Si n N y z Z, entonces por el algoritmo de la divisi´on tenemos que existen enteros q y r tales que: z = nq + r con 0 r < n El entero r se llama el residuo no-negativo que se obtiene al dividir el entero z por n la condici´ on 0 r < n, r Z r = 0, 1, 2, 3,..., (n 1)
∈
≤
∈
≤
∈ ⇒
−
Definition 10 Sea n N, n > 1,de fi nimos Zn = {r / r es un residuo no-negativo que se obtiene al dividir un entero por n}
∈
Es decir Zn = {0, 1, 2, 3,..., (n 1)} As´i, por ejemplo si n = 4 , Z4 = {0, 1, 2, 3}
−
Si n = 7,
Z7 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
En Zn definimos dos l.c.i., una adici´ on +n y una multiplicaci´on ·n de la siguiente manera • Si a, b
∈Z
n
a + b entonces a+ b = r
si en Z a + b < n
n
si en Z a + b n donde r es el residuo no-negativo que se obtiene al dividir a + b por n
≥
Analogamente definimos • Si a, b
∈Z
n
a · b entonces a· b = r
si en Z a · b < n
n
si en Z a · b n donde r es el residuo no-negativo que se obtiene al dividir a · b por n
≥
Por ejemplo en Z4 = {0, 1, 2, 3} tenemos que las tabla asociadas a esta leyes son: +4 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
Tenemos que: 3 +4 (2 +4 3) = 3 +4 1 = 0
·4 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 0 1
3 0 3 2 2
(3 +4 2) +4 3 = 1 +4 3 = 0
Luego 3 +4 (2 +4 3) = (3 +4 2) +4 3 ¿ +4 es Asociativa? La asociatividad es larga de comprobar porque habr´ia que comprobar a +4 (b +4 c) = (a +4 b) +4 c, para las 64 ternas posibles. Si para alguna terna no se cumple la igualdad podr´iamos concluir que +4 no es asociativa, sin embargo si la igualdad se cumple hay que continuar comprobando con todas las dem´as ternas. Pero veamos si podemos probarlo en general 13
• Sabemos que para (a +n b) +n c, a, b, c
∈Z
n
tenemos en Z que : a + (b + c) < n o bi´en a + (b + c)
≥n
• Si a + (b + c) < n , y como en Z, a + (b + c) = (a + b) + c < n entonces a +n (b +n c) = (a +n b) +n c • Si a + (b + c)
≥n
y como en Z, a + (b + c) = (a + b) + c
entonces al dividir los enteros a + (b + c), (a + b) + c por n
≥n
obtendremos los mismos residuos no-negativos luego a +n (b +n c) = (a +n b) +n c • Conclusi´ on: +n es Asociativa En forma an´aloga puede demostrar que ·n es Asociativa • La ley +4 es conmutativa ya que la tabla es sim´etrica respecto a su diagonal. • La ley +4 posee elemento neutro y es el 0 puesto que en la fila asociada al 0 de la Columna principal, los elementos de A figuran en el mismo orden que se han escrito en la Fila Principal y en la columna asociada al 0 de la Fila principal, los elementos de A figuran en el mismo orden que se han escrito en la Columna Principal +4 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
el inverso de el inverso de analizando la tabla tenemos que : el inverso de el inverso de
3 3 0 1 2 0 1 2 3
es es es es
0 3 2 1
porque porque porque porque
0+4 0 = 0 1+4 3 = 0 2+4 2 = 0 3+4 1 = 0
• Conclusi´ on (Z4 , +4 ) es grupo Abeliano 1.2.5
Estructura de Anillo.
Estudiaremos, ahora, una estructura o sistema matem´atico, con dos operaciones binarias, para lo cual necesitamos precisar como est´an relacionadas estas operaciones. Definition 11 Sea S un conjunto no vac ´ io sean y dos l.c.i. de fi nidas en S, diremos que se distribuye sobre la ley o que la operaci´on es “ Distributiva sobre la operaci´on ”, S ´ i y s´ olo s ´ i
∗
∗ ∗
i) a (b c) = (a b) (a c) . a, b, c S ii) (e f ) g = (e g) (f g), e, f , g S
∗ ∗
∗ ∗ ∀ ∗ ∗ ∀
∈ ∈
Si la operaci´on , es conmutativa no es necesario ii) pues se obtiene de i)
∗
(e
f ) ∗ g = g ∗ (e f ) = (g ∗ e) (g ∗ f ) = (e ∗ g) (f ∗ g).
• Ejemplos Ed1. Para la multiplicaci´ on y la subtracci´on ”
− ” definidas en Z, como: a · (b − c) = (a · b) − (a · c) ∀a, b, c ∈ Z y la · es conmutativa entonces la ley · se distribuye sobre − 14
Ed2. Para las leyes usuales + y · definidas en nuestros sistemas num´ericos ( N, Z, Q, R y C ) tenemos que: a · (b + c) = (a · b) + (a · c) a, b, c. y como la · es conmutativa entonces la multiplicaci´on · se distribuye sobre la adici´on +.
∀
Sin embargo la adici´on no se distribuye .sobre la multiplicaci´on porque en general se tiene que a + (b · c) = (a + b) · (a + c)
por ejemplo : 5 + (3 · 8) = 5 + 24 = 29 y (5 + 3) · (5 + 8) = 8 · 13 = 21 Ed3. El producto cruz definido en R3 se distribuye sobre la adici´o n + definida en R3 en efecto a , b , c , e , f , g R3 tenemos que :
−→ −→ −→ −→ −→ −→ ∈ ∀ − → − → − → − → −→a × −→ − → − → − → − → − → − → − → − → b + c = a × b + a × b y e + f × g = ( e × g ) + f × g
Ed4. Si Ω es un conjunto no vac´io y y son la uni´on e intersecci´on de conjuntos respectivamente definidas en P (Ω) .Por la teor´ia de conjuntos tenemos que :
∪ ∩
A (B C) = (A distribuye sobre la
∪ B) ∩(A ∪ C) y como la ∪ es conmutativa entonces la ∪ se ∩ Ademas como A∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪(A ∩ C) y como la ∩ es conmutativa entonces la ∩ se distribuye sobre la ∪ Ed5. En Z hemos definido las leyes a ⊕ b = a + b − 1 y a ⊗ b = a + b − ab ¿ La ⊗ se distribuye sobre ⊕ ? Sabemos que ⊗ es conmutativa ( probada anteriormente), ∪ ∩
luego s´olo hay que analizar la igualdad : a
⊗ (b ⊕ c) = (a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c) ∀a, b, c ∈ Z a ⊗ (b ⊕ c) = a ⊗ (b + c − 1) = a + (b + c − 1) − a(b + c − 1) = a + b + c − 1 − ab − ac + a (∗) Como (a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c) = (a + b − ab) ⊕ (a + c − ac) = a + b − ab + a + c − ac − 1 (∗∗) de (∗) y (∗∗) concluimos que La ⊗ se distribuye sobre ⊕ Ed6. En Z definimos las leyes a ∗ b = a + 2b y a b = 2ab ¿ La se distribuye sobre ∗ ? vemos que es conmutativa y a (b ∗ c) = a ◦ (b + 2c) = 2a(b + 2c) = 2ab + 4ac (&) (a b) ∗ (a c) = (2ab) ∗ (2ac) = 2ab + 2(2ac) = 2ab + 4ac. (&&)
de (&) y (&&) concluimos que Ejercicios
se distribuye sobre ∗
Ed7. En Zn , con las leyes +n y ·n demuestre que ·n se distribuye sobre +n ( recuerde o vea como se demostr´o la asociatividad de +n ) • Sea F (R) = {f / f :R R},el conjunto de la funciones reales de R en R y sean composici´on usual de funciones y +, la adici´on de funciones reales.
→
¿ La
◦ se distribuye sobre + ? Ed8. Considerando la diferencia” − ” de conjuntos en P (Ω), demuestre que la ∩ se distribuye sobre la − • En P (Ω) con Ω = φ se define la diferencia sim´etrica definida en conjuntos ( Algebra I ) por: A
B = (A − B) ∪ (B − A) Ed9. Demuestre que la ∩ se distribuye sobre , (use el ejercicio anterior ) 15
◦ la
Definition 12 Diremos que la terna ordenada (A, , ) es un Anillo S ´ i y s´ olo s ´ i: A es un conjunto provisto de un relaci´on de equivalencia = y , son l.c.i. de fi nidas en A, tal que : i) (A, ) es un Grupo abeliano ii) es asociativa se distribuye sobre (la 1era ley se distribuye sobre la 2da. ley ) i) a (b c) = (a b) (a c) . a, b, c S iii) es decir ii) (e f ) g = (e g) (f g), e, f , g S
∗
∗
∗ ∗
∗ ∗
∗ ∗ ∀ ∈ ∗ ∗ ∀ ∈ y si adem´as: iv) ∗ es conmutativa : a ∗ b = b ∗ a ∀a, b ∈ G entonces diremos que (A, , ∗) es un Anillo Conmutativo. • Si (A, , ∗) es un anillo y adem´a s la ley ∗ posee elemento neutro, entonces diremos que (A, , ∗) es un Anillo con Identidad. • Observaci´ on • Generalmente en la notaci´on de la terna de un anillo, se usa el s´imbolo + (notaci´on aditiva ), para representar a la primera ley del anillo y el s´imbolo · (notaci´ on multiplicativa ), para representar a la segunda ley del anillo. Con esta notaci´on, como en un anillo, el conjunto A con la primera ley ( +) es un grupo, entonces al elemento neutro de esta ley se le llama el elemento nulo del Anillo, y usualmente es denotado por cero: 0. y al inverso de cualquier a A se denota usualmente por a y se le llama el opuesto de a.
∈
−
Con esta notaci´on un anillo puede ser rede finida como : • “Un Anillo es una tripleta ordenada (A; +; ·) constituida por un conjunto no vacio A y dos operaciones binarias llamadas adici´ on (+) y multiplicaci´on (·) , tales que satisfacen los siguientes requerimientos : A-1) + es asociativa: a, b, c
∈ A; A-2) + es conmutativa: ∀ a, b ∈ A, ∀
a + (b + c) = (a + b) + c. a + b = b + a.
A-3) + posee elemento neutro es decir,
∃0 ∈ A, tal que a + 0 = a, ∀a ∈ A. A-4) Para cada a ∈ A, ∃! − a ∈ A, tal que a + (−a) = 0 A-5) · es asociativa: ∀a,b,c ∈ A, a · (b · c) = (a · b) · c. A-6) · se distribuye sobre +:
i) a · (b + c) = (a · b) + (a · c) . a, b, c A ii) (e + f ) · g = (e · g) + (f · g), e, f , g A
∀ ∀
es decir
∈ ∈
• Ejemplos EA1. Considerando nuestros sistemas num´ericos con las leyes usuales + y · tenemos que : a. (N, +.·) no es Anillo ¿Por qu´e ? b. (Z, +, ·) es un anillo conmutativo con identidad ¿Por qu´e ? c. (Z, , ·) no es Anillo ¿Por qu´e ?
−
d. (Q, +, ·); (R, +, ·), (C, +, ·) son anillos conmutativos con identidad ¿Por qu´e ? EA2. (Zn , +n, ·n ) es un anillo conmutativo con identidad ¿Por qu´e ? EA3. (P (Ω), EA4. (P (Ω),
∪, ∩) ) con Ω = φ no es un anillo ¿Por qu´e ? ∩, ∪ ) ) con Ω = φ no es un anillo ¿Por qu´e ? 16
EA5. (Z, , ) donde a
⊕⊗
⊕ b = a + b − 1 y a ⊗ b = a + b − ab
es un anillo conmutativo con identidad ¿Por qu´e ? • Ejercicios • Sea (Z, , ) donde a b = a + 2b y a b = 2ab
∗
∗
Analice si (Z, , ) es anillo
∗
EA6. Pruebe que (P(Ω), de conjuntos
, ∩) con Ω = φ es un anillo donde es a diferencia sim´etrica
• Consecuencia en un Anillo. Proposici´ on A 1 Sea (A, +, ·) un anillo y a, b 1) a · 0 = 0 · a = 0.
∈ A entonces
2) Si A es anillo con identidad 1, entonces 1 = 0.
3)
−(a · b) = a · (−b) = ( −a) · b. 4) (−a)(−b) = a · b. • Observaci´ on : Analicemos el Anillo (Z6, +6 , ·6 ) +6 0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 0 1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 0 4 5 0 1 5 0 1 2
4 5 4 5 5 0 0 1 1 2 2 3 3 4
·6 0 1 2 3 4 5
;
Notemos que en este anillo existen a, b
∈Z
6
por ejemplo: 3 ·6 4 = 0 ; 2 ·6 3 = 0
0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5
2 0 2 4 0 2 4
3 0 3 0 3 0 3
4 0 4 2 0 4 2
5 0 5 4 3 2 1
talque a ·6 b = 0 con a = 0 y b = 0
• Por lo tanto en un anillo (A, +, ·) puede ocurrir que: Si a, b A , ab = 0 entonces no necesariamente ocurre que a = 0 o b = 0 (ambos podr´ian ser no nulos)
∈
• Es claro que para los anillos de nuestros sistemas num´ericos (Q, +, ·); (R, +, ·), (C, +, ·) lo anterior no ocurre. Definition 13 Sea (A, +, ·) un anillo y a A, a = 0 Diremos que a es un divisor del cero en el anillo S ´ i y s´ olo s ´ i Existe b A, b = 0 talque a · b = 0 y b˙ · a = 0
∈
∈
• Ejemplo. • En (Z6 , +6 , ·6 ) los elementos 2, 3, 4 son divisores del cero. • En (Z10 , +10, ·10) los elementos 2, 4, 5, 6, 8 son divisores del cero. • En nuestros sistemas num´ericos (Q, +, ·); (R, +, ·), (C, +, ·) no hay divisores del cero • En (Z7 , +7 , ·7 ) no hay divisores del cero Definition 14 Sea (A, +, ·) un anillo Comnutativo con Identidad, Diremos que (A, +, ·) es un Dominio de Integridad S ´ i y s´ olo s ´ i es un anillo que no posee divisores del cero. 17
• Ejemplos • Nuestros sistemas num´ericos (Q, +, ·); (R, +, ·), (C, +, ·) son Dominios de Integridad • (Z umero primo es un Dominios de Integridad n , +n , ·n ) con n n´ 1.2.6
Estructura de Cuerpo.
Definition 15 Sea (K, +, ·) un Anillo Conmutativo con identidad Diremos que (K, +, ·) es un Cuerpo S ´ i s´ olo s ´ i a K {0}, a es invertible con respecto a la ley · es decir si y s´ olo s ´ i todo elemento no nulo de K posee elemento inverso conrespecto a la ley · ( 2da. ley del anillo )
∀ ∈ −
• En otras palabras un anillo (K, +, ·) es un Cuerpo, S´i y s´olo si el par (K {0}, ·) es un grupo abeliano.
−
Como un cuerpo es un anillo con identidad entonces existe el neutro para la segunda ley · este elemento se llama elemento Identidad del Anillo, y usualmente es denotado por uno: 1. y si alg´ un elemento a A es invertible con respecto a la ley · , entonces su inverso se denota usualmente por a 1 y se le llama el inverso de a.
∈
−
Considerando esta notaci´ on y todas las propiedades de las leyes internas, un Cuerpo se podr´ia redefir como: “Un Cuerpo es una tripleta ordenada (K; +; ·) constituida por un conjunto no vacio A y dos operaciones binarias llamadas adici´ on (+) y multiplicaci´on (·) , tales que satisfacen los siguientes requerimientos : K-1) + es asociativa: a, b, c
∈ K; a + (b + c) = (a + b) + c. K-2) + es conmutativa: ∀ a, b ∈ K, a + b = b + a. ∀
K-3) + posee elemento neutro es decir,
∃0 ∈ K, tal que a + 0 = a, ∀a ∈ K. K-4) Para cada a ∈ A, ∃! −a ∈ K, tal que a + (−a) = 0 K-5) · es asociativa: ∀a, b, c ∈ K, a · (b · c) = (a · b) · c. K-6) · se distribuye sobre +: es decir
i) a · (b + c) = (a · b) + (a · c) . a, b, c K ii) (e + f ) · g = (e · g) + (f · g), e, f , g K
K-7) · es conmutativa: a, b
∀
∈ K,
∀ ∀
a·b=b·a
∈ ∈
K-8) · posee elemento neutro es decir,
∃1 ∈ K, tal que a · 1 = a, ∀a ∈ K K-9) Para cada a ∈ K, a = 0, ∃! a ∈ K, tal que a + (−a) = 0. −1
Ejemplos
EK1. Considerando nuestros sistemas num´ericos con las leyes usuales + y · tenemos que : (Q, +, ·); (R, +, ·), (C, +, ·) son Cuerpos ¿Por qu´e ? EK2. Si (Z, , ) donde a
⊕⊗
⊕ b = a + b − 1 y a ⊗ b = a + b − ab, por EA5 sabemos que
es un anillo conmutativo con identidad, pero no es cuerpo ¿Por qu´e ?
√
• Sea C = {a + b 3 / a, b
∈Q} ⊆ R
18
√
√
— Notemos en primer lugar que si: a + b 3 = c + d 3 entonces necesariamente b = d en efecto: Si b = d entonces de a + b 3 = c + d 3 tendr´iamos que
√
√ √ a−c 3= ∈Q d b − √ lo que es una contradicci´on puesto que 3 es irracional. Por lo tanto b = d, luego tendriamos que necesariamente a = c es decir a + b 3 = c + d 3 a=c y b=d
√
√ ⇔
— Compruebe que la adici´on + y la multiplicaci´on usual · de reales son cerradas en C. — Demuestre que (C.+, ·) es un anillo conmutativo con identidad, donde los elementos neutros aditivo y multiplicativo, son: 0 = 0 + 0 3 y 1 = 1 + 0 3 respectivamente.
√
√
— Vamos a probar que todo elemento no nulo de C posee inverso en C Sea a + b 3 = 0, luego a2 3b2 = 0 y adem´as en R tenemos que: 1 a b 3 1 (a + b 3) 1 = = · a+b 3 a+b 3 a b 3 a b 3 a b = 2 = + · 3 a 3b2 a2 3b2 a2 3b2
√ √ −
√
−1
luego (a + b 3)
− √ − √ √ − √ − √ − √ − − − a −b · √ 3 ∈ C, ya que, = + a − 3b a − 3b 2
2
2
2
a a2 −3b2
,
−b a2 −3b2
∈ Q.
EK3. Conclusi´ on (C.+, ·) es un cuerpo • Sea C = {(a, b) / a, b
2
∈R} = R
En C definimos (a, b) + (c, d) = (a + c, b + b) y (a, b) · (c, d) = (ac — Recordemos que (a, b) = (c, d)
⇔
− bd, ad + bc)
a=c y b=d
— Demuestre que (C.+, ·) es un anillo conmutativo con identidad, donde los elementos neutros aditivo y multiplicativo, son: (0, 0) y (1, 0) respectivamente. — Vamos a probar que todo elemento no nulo de C posee inverso en C Sea (a, b) = (0, 0), luego a2 +b2 = 0 Si (a, b) R es invertible para la ley ·, luego existe (x, y) R2 tal que (a, b) · (x, y) = (ax by, ay + bx) = (1, 0) a b ax by = 1 / · a ax by = 1 / · ( b) x = 2 2; x= 2 2 bx + ay = 0 / · b bx + ay = 0 / · a a +b a +b
∈
−
Luego (x, y) =(
−
−
⇒
a b , ) a2 +b2 a2 +b2
−
2
∈
⇔
−
−1
∈ C = R , es decir (a, b)
=(
⇒
−
a b , ) a2 +b2 a2 +b2
−
EK4. Conclusi´on (C.+, ·) es un cuerpo llamado el cuerpo de los n´umeros complejos ¿ lo reconoci´o ?
19
• Analicemos el Anillo (Z6, +6 , ·6 ) +6 0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 0 1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 0 4 5 0 1 5 0 1 2
4 5 4 5 5 0 0 1 1 2 2 3 3 4
;
·6 0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5
2 0 2 4 0 2 4
3 0 3 0 3 0 3
4 0 4 2 0 4 2
5 0 5 4 3 2 1
Observemos que en la tabla de la ley ·6 , la fila, que contiene al 3 de la columna principal, no contiene al elemento neutro 1 de la ley ·6 , esto significa que a Z6, 3 ·6 a = 1 es decir 3 no puede ser invertible con respecto a ·6
∀ ∈
Lo mismo ocurre con las filas asociados a 2 y 5 • Conclusi´ on (Z6 , +6 , ·6 ) no es un cuerpo. Se puede probar que: Si el m´ aximo com´ u n divisor de a Zn y n es distinto de 1,entonces a no es invertible con respecto a la ley ·n en (Zn , +n , ·n ), por ejemplo el 8 no es invertible en ( Z14, +14 , ·14 ) porque el m.c.d(8 y 14) = 2
∈
• Si n N, n > 1 tal que n no sea primo entonces
∈
existen a, b
∈ N, a = 1, b = 1 tal que n = a · b luego a, b ∈Z y el m.c.d(a y n) = a = 1, y el m.c.d(b y n) = b = 1. n
De acuerdo a lo anterior podemos concluir que en ( Zn , +n , ·n ) hay elementos que no son invertibles y por lo tanto (Zn , +n , ·n) no ser´ia Cuerpo EK5. Conclusi´ on :Hemos probado que Si n N no es primo
∈
entonces (Zn, +n, ·n) no es un cuerpo.
• Por otro lado se puede probar que: Si el m´aximo com´ un divisor de a Zn y n es igual a 1,entonces a es invertible con respecto a la ley ·n en (Zn , +n, ·n ), por ejemplo el 5 es invertible en (Z14 , +14, ·14 ) porque el m.c.d(5 y 14) = 1 otro l´io es saber como encontrar el inverso de 5. En todo caso el inverso de 5 es 3.
∈
los otros invertibles en (Z14 , +14 , ·14 ) son :1, 3, 9, 11 y 13 • si n N, tal que n sea primo, entonces tenemos que para cualquier 1 a < n el m.c.d.(a y n) ser´a igual a 1 pues n es primo, es decir a Zn , a = 0, a es invertible en (Zn , +n , ·n ). y por lo tanto (Zn, +n , ·n) ser´ia Cuerpo
∈
∀ ∈
EK6. Conclusi´ on :Hemos probado que Si n N es primo entonces (Zn, +n, ·n) es un cuerpo.
∈
20
≤
