CAPÍTULO 7
Elementos que Almacenan Energía
7.1. Introducción Este capítulo introduce dos elementos de circuito adicionales, el capacitor y el inductor. Las ecuaciones constitutivas para los dispositivos involucran integración o bien diferenciación. En consecuencia:
Los circuitos eléctricos que contienen capacitores y/o inductores se representan mediante ecuaciones diferenciales. Los circuitos que no contienen capacitores o inductores son representados por ecuaciones algebraicas. Decimos que los circuitos que contienen capacitores y/o inductores son circuitos dinámicos , en tanto que los circuitos que no contienen estos elementos son circuitos estáticos. Los circuitos que contienen capacitores y/o inductores pueden almacenar energía. Los circuitos que contienen capacitores y/o inductores tienen memoria. Los voltajes y corrientes en un instante particular dependen so solamente de otros voltajes y corrientes en ese mismo instante sino también de valores previos de esas corrientes y voltajes.
Adicionalmente, veremos que
En la ausencia de corrientes y voltajes no acotados, los voltajes en los capacitores y las corrientes en los inductores son funciones continuas del tiempo. En un circuito de cd, los capacitores actúan como circuitos abiertos y los inductores como cortocircuitos. Los capacitores en serie o en paralelo pueden reducirse a un capacitor equivalente. Los inductores en serie o en paralelo pueden reducirse a un inductor equivalente. El efectuar lo anterior no cambia las corrientes o voltajes en los elementos de cualquier otro elemento de circuito. Se puede usar un op amp y un capacitor para obtener circuitos que realizan las operaciones matemáticas de integración o diferenciación. Por esta razón, estos circuitos importantes se denominan el integrador y el diferenciador. Los voltajes y corrientes en los elementos en un circuito que contiene capacitores e inductores pueden ser complicadas funciones del tiempo. MATLAB es útil para graficar estas funciones.
7.2. Capacitores Un capacitor es un elemento de circuito que almacena energía en un campo eléctrico. Se puede construir un capacitor usando dos placas conductoras paralelas separadas por una distancia d , como se muestra en la Fig. 7.2-1 . En las placas se almacena carga eléctrica y existe un campo eléctrico uniforme entre las placas conductoras cuando existe un voltaje entre ellas. El espacio entre las placas está lleno de un material dieléctrico.
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Algunos capacitores usan papel impregnado como dieléctrico, en tanto que otros usan láminas de mica, cerámica, capas metálicas o simplemente aire. Una propiedad del material dieléctrico, denominada constante dieléctrica, describe la relación entre la intensidad del campo eléctrico y el voltaje en el capacitor. Los capacitores se representan mediante un elemento llamado capacitancia. La capacitancia de un capacitor es proporcional a la constante dieléctrica y al área superficial de las placas y es inversamente proporcional a la distancia entre las placas. En otras palabras, la capacitancia C de un capacitor es dada por C
A d
donde es la constante dieléctrica, A el área de las placas y d la distancia entre las placas. La unidad de capacitancia es el culombio por voltio y se denomina faradio (F) en honor de Michael Faraday.
Figura 5.2-1 Un capacitor conectado a una fuente de voltaje.
Un voltaje v(t) en un capacitor deposita una carga + q(t) en una placa y una carga q(t) en la otra placa. Decimos que la carga q(t) es almacenada por el capacitor. Esta carga almacenada es proporcional al voltaje en el capacitor v(t). Por tanto, escribimos q(t) Cv(t)
(7.2-1)
donde la constante de proporcionalidad C es la capacitancia del capacitor. La Capacitancia Capacitancia es una medida de la habilidad de un dispositivo para almacenar energía en la forma de una carga separada o un campo eléctrico. En general, el voltaje del capacitor v(t) varía en función del tiempo. En consecuencia, q(t), la carga almacenada por el capacitor, también varía como una función del tiempo. La variación de la carga en el capacitor con respecto al tiempo implica una corriente i(t) en el capacitor, dada por i(t )
d q(t ) dt
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Diferenciando la Ec. 7.2-1, obtenemos i(t ) C
d v(t ) dt
(7.2-2)
La Ec. 7.2-2 es la relación de voltaje-corriente para un capacitor. La corriente y el voltaje en la Ec. 7.7-2 cumplen con la convención pasiva de los signos. La Fig. 7.2-2 muestra dos símbolos alternos para representar capacitores en diagramas de circuitos. En ambas figuras, 7.2-2 a y b , la corriente y el voltaje siguen la convención pasiva y están relacionados por la Ec. 7.2-2.
Figura 7.2-2 Símbolos de circuito para un capacitor.
Consideremos ahora la forma de onda mostrada en la Fig. 7.2-3, en la cual el voltaje cambia de un voltaje constante de cero a otro voltaje constante de 1 en un incremento de tiempo t. Usando la Ec. 7.2-2, obtenemos 0 D i(t ) Dt 0
t0 0 t Dt t Dt
Figura 7.2-3 Forma de onda de voltaje en la cual el cambio en voltaje ocurre durante un incremento de tiempo, t.
Por tanto, obtenemos un pulso de altura igual a C/t ,, Conforme t disminuye, la corriente aumentará. Claramente, t no puede disminuir a cero o experimentaríamos una corriente infinita. Una corriente infinita es una imposibilidad porque se requeriría de una potencia infinita. Así que un cambio instantáneo (Dt = 0) del voltaje en el capacitor no es posible. En otras palabras, no podemos tener una discontinuidad en v(t). capacitor no puede cambiar instantáneamente. El voltaje en un capacitor no Ahora, hallemos el voltaje v(t) en términos de la corriente i(t) integrando ambos lados de la Ec. 7.3-2. Obtenemos
4 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.) v(t )
1 t i() d C
(7.2-3)
Esta ecuación dice que el voltaje del capacitor v(t) puede determinarse por integración de la corriente en el capacitor desde el instante hasta el tiempo t. Para hacerlo se requiere conocer el valor de la corriente del capacitor desde el tiempo = hasta el tiempo = t. Con frecuencia, no conocemos el valor de la corriente para todo el tiempo hasta = . En este caso, dividimos la integral en dos partes: v(t)
1 C
t0
i() d
1 C
t
t0
i( ) d
1 C
t
i() d v t t0
0
(7.2-4)
Esta ecuación dice que el voltaje del capacitor v(t) puede hallarse integrando la corriente del capacitor desde algún momento conveniente t0 hasta el tiempo = t , siempre y cuando también conozcamos el voltaje del capacitor en el instante t0 . Ahora se requiere conocer solamente la corriente del capacitor desde el tiempo t0 hasta el tiempo = t. El tiempo t0 se denomina el tiempo inicial y el voltaje de capacitor, v t0 se denomina la condición inicial. Con frecuencia, conviene seleccionar t0 0 como el tiempo inicial. Comercialmente, los capacitores están disponibles en una buena variedad de tipos y de diferentes valores de la capacitancia. Los tipos de capacitores se describen en términos del material dieléctrico y de la técnica de construcción. En la Fig. 7.2-4 se muestran capacitores miniatura de película metálica. Capacitores miniatura de policarbonato herméticamente sellados se muestran en la Fig. 7.2-5. Los valores de la capacitancia varían típicamente desde picofaradios (pF) hasta microfaradios (F). Dos trozos de alambre aislado de aproximadamente una pulgada de largo cuando se trenzan, tendrán una capacitancia de cerca de 1 pF. Por otra parte, un capacitor de una fuente de alimentación de aproximadamente una pulgada de diámetro y unas pocas pulgadas de longitud puede tener una capacitancia de 0.01 F. Los capacitores reales tienen asociada alguna resistencia. Afortunadamente, es fácil incluir efectos resistivos aproximados en los modelos de circuitos. En los capacitores, el material dieléctrico entre las placas no es un aislador perfecto y una pequeña conductividad. Esto puede representarse mediante una resistencia muy alta en paralelo con el capacitor. Los capacitores ordinarios pueden mantener una carga por horas, y la resistencia en paralelo es entonces de cientos de mega ohmios. Por esta razón, usualmente se ignora la resistencia asociada con un capacitor.
Cortesía de Electronic Concepts Inc.
Figura 7.2-1 Capacitores miniatura de película metálica varían de 1 mF a 50 mF
5 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.)
Cortesía de Electronic Concepts Inc.
Figura 7.2-5 Capacitores miniatura de policarbonatos herméticamente sellados varía de 1 F hasta 50 F.
Ejemplo 7.2-1 Corriente y Voltaje en un Capacitor Halle la corriente para un capacitor C = 1 mF cuando su voltaje es representado por la señal mostrada en la Fig. 7.2-6.
Figura 7.2-6 Forma de onda del voltaje en un capacitor para el Ejemplo 7.2-1. Las unidades son voltios y segundos.
Solución El voltaje (con unidades de voltios) es 0 10t v(t ) 20 10t 0
t0 0t1 1t 2 t2
Entonces, puesto que i C dv dt , donde C 103 F, obtenemos 0 2 10 i(t ) 2 10 0
t0 0t1 1 t 2 t2
Por tanto, la corriente resultante es una serie de dos pulsos de magnitudes 102 A y 102 A, respectivamente, como se muestra en la Fig. 7.2-7.
6 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.)
Figura 7.2-7 Corriente para el Ejemplo 7.2-1. Ejemplo 7.2-2 Corriente y Voltaje en el Capacitor
Determine el voltaje v(t) para un capacitor C = 1/2 F cuando la corriente es la mostrada en la Fig. 7.2-8 y v(t) 0 para t ≤ 0.
Figura 7.2-8 Forma de onda en el circuito para el Ejemplo 7.2-2. Las unidades están en amperios y segundos.
Solución Primero escribimos la ecuación para i(t) como 0 t i(t ) 1 0
t0 0t1 1t 2 2t
Entonces, puesto que v(0) = 0, v(t)
1 C
t
i() d v(0)
0
1 C
t
i() d 0
y C = 1/2, tenemos 0 t 2 d v(t ) 0 t 2 (1) d v(1) 1 v(2)
con unidades de voltios. Por tanto, par 0 < t ≤ 1, tenemos
t0 0t 1 1 t 2 2t
7 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.) v(t ) t 2 Para el periodo 1 ≤ t ≤ 2, notamos que v(1) = 1 y, por tanto, tenemos que
v(t) 2(t 1) 1 2t 1 V
La forma de onda de voltaje resultante se muestra en la Fig. 7.2-9. El voltaje cambia con t 2 durante el primer segundo, cambia linealmente con t durante el periodo de 1 a 2 s, y permanece constante e igual a 3 V después de t = 2 s.
Figura 7.2-9 Forma de onda de voltaje para el Ejemplo 7.2-2. Ejemplo 7.2-3 Corriente y Voltaje en el Capacitor
La Fig. 7.2-10 muestra un circuito junto con dos gráficas. Éstas representan la corriente y el voltaje del capacitor en el circuito. Determine el valor de la capacitancia del capacitor.
Figura 7.2-10 El circuito y las gráficas consideradas en el Ejemplo 7.2-3.
Solución La corriente y el voltaje del capacitor están relacionados por v(t )
o
1 C
t
i ( ) d v t t0
0
(7.2-5)
8 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.) v(t ) v t0
1 C
t
i () d
(7.2-6)
t0
Como i(t) y v(t) están representadas gráficamente por gráficas en vez de ecuaciones, es útil interpretar la Ec. 7.2-6 usando v(t) v t0 la diferencia entre los valores del voltaje en los instantes t y t0
y t
i() d área bajo la curva de i(t) versus t para tiempos entre t t0
0
yt
Selecciones valores convenientes de t y t0 , por ejemplo t0 1 s y t = 3 s. Entonces, v(t) v t0 1 3 2 V
y
t
i( ) d
t0
3
0.05 d 0.05 3 1 0.1 A s 1
Usando la Ec. 7.2-6, se obtiene 2
1 0.1 C
C 0.05
A s 0.05 F 50 mF V
Ejemplo 7.2-4 Corriente y Voltaje en el Capacitor La Fig. 7.2-11 muestra un circuito y dos gráficas. Éstas representan la corriente y el voltaje del capacitor en el circuito. Determine los valores de las constantes a y b usados para marcar la gráfica de la corriente en el capacitor.
Figura 7.2-11 El circuito y las gráficas consideradas en el Ejemplo 7.2-4.
Solución La corriente y el voltaje del capacitor están relacionados por i(t ) C
d v(t ) dt
(7.2-7)
Puesto que i(t) y v(t) están representados mediante gráficas y no por ecuaciones, es útil interpretar la Ec. 7.2-7 como el valor de i(t) C la pendiente de v(t)
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Para determinar el valor de a , selecciones un tiempo cuando i(t) = a y la pendiente de v(t) se determina fácilmente. Por ejemplo, en el instante t = 3 ms, d 0 24 V v 0.003 8000 dt 0.002 0.005 s
Usando ahora la Ec. 7.2-7, se obtiene a 5 10 6 8000 40 mA
Para determinar el valor de b , escoja t = 6 ms: d 24 0 V v 0.006 12 10 3 dt 0.005 0.007 s
y la Ec. 7.2-7 da b 5 106 12 10 3
60 mA
Ejemplo 7.2-5 Corriente y Voltaje en el Capacitor La entrada al circuito mostrado en la Fig. 7.2-12 es la corriente i(t) 3.75 e1.2t A para t 0
La salida es el voltaje en el capacitor v(t) 4 1.25 e1.2t V para t 0
Halle el valor de la capacitancia C.
Figura 7.2-12 El circuito considerado en el Ejemplo 7.2-5
Solución El voltaje en el capacitor está relacionado con la corriente por 1 v(t) C
t
i() d v(0) 0
Esto es, 4 1.25e
1.2t
1 C
t
3.75 e
1.25
0
t
3.125 1.2t 3.75 1.2 d e e v(0) 1 v(0) C C 1.2 0
Igualando los coeficientes de e 1.25t da 1.25
3.125 C
C
3.125 2.5 F 1.25
10 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.) EJERCICIO 7.2-1 Determine la corriente i(t) para t > 0 para el circuito en la Fig. E.7.2-1b cuando vs (t ) es el
voltaje mostrado en la Fig. E 7.2-1a.
Figura E 7.2-1 (a) El voltaje de la fuente de voltaje. ( b) La corriente. Sugerencia: Determine iC (t ) e iR (t ) por separado y use después la LCK.
2t 2 Respuesta: v(t ) 7 t 0
2t 4 4t8 otros valores de t
7.3. Energía Almacenada en un Capacitor Considérese un capacitor que ha estado conectado a una batería de voltaje v. Una corriente fluye y se almacena una carga en las placas del capacitor, como se muestra en la Fig. 7.3-1. Con el tiempo, el voltaje en el capacitor es una constante y la corriente que atraviesa el capacitor es cero. El capacitor ha almacenado energía en virtud de la separación de cargas entre sus placas. Estas cargas tienen una fuerza eléctrica que actúa sobre ellas. Se dice que las fuerzas que actúan sobre las cargas almacenadas en un capacitor forman un campo eléctrico. Una campo eléctrico se define como la fuerza que actúa sobre una carga positiva en una región especificada. Debido a que las cargas tienen una fuerza que actúa sobre ellas a lo largo de una dirección x , reconocemos que la energía requerida originalmente para separar las cargas, ahora es almacenada por el capacitor en el campo eléctrico.
Figura 7.3-1 Un circuito ( a) donde el capacitor es cargado y vC 10 V y (b) el interruptor se abre en t = 0.
11 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.)
La energía almacenada en un capacitor es wC (t)
t
v i d
Recuerde que v e i son ambos funciones del tiempo y pueden escribirse como v(t) e i(t). Puesto que dv dt
i C
tenemos que t
dv wC vC d C d
v(t )
1 v dv Cv 2 2 v( )
v(t ) v( )
Puesto que el capacitor estaba descargado en t = , haga v() = 0. Por tanto, 1 wc (t) Cv2 (t) J 2
(7.3-1)
Por tanto, cuando un capacitor se está cargando y v(t) está cambiando, la energía almacenada, wC , está cambiando. Observe que wC (t) 0 para todo v(t), y se dice que el elemento es pasivo. Puesto que q = CV , podemos reescribir l Ec. 7.3-1 como wC
1 2 q (t) J 2C
(7.3-2)
El capacitor es un elemento que almacena energía pero no disipa energía. Por ejemplo, considere un capacitor de 100 mF al que se le aplica un voltaje de 100 V. La energía almacenada es 2 1 1 wC Cv2 0.1100 500 J 2 2
Siempre y cuando el capacitor no esté conectado a ningún otro elemento, la energía de 500 J permanece almacenada. Si ahora conectamos el capacitor a los terminales de un resistor, esperamos que fluya una corriente hasta que toda la energía sea disipada como calor por el resistor. Después que toda la energía se disipa, la corriente es cero y el voltaje en el capacitor es cero. Como se señaló en la sección anterior, el requisito de conservación de la carga implica que el voltaje en un capacitor es continuo. Así, el voltaje y la carga en un capacitor no pueden cambiar instantáneamente . Esta afirmación se resume en la ecuación v 0 v 0 donde el tiempo justo antes de t = 0 se llama t 0 y el tiempo inmediatamente después de t = 0 se llama t 0 . El tiempo entre t 0 y t 0 es infinitesimalmente pequeño. No obstante, el voltaje no cambiará abruptamente. Para ilustrar la continuidad del voltaje para un capacitor, considérese el circuito mostrado en la Fig. 7.3-1. Para el circuito mostrado en la Fig. 7.3-1a , el interruptor ha estado cerrado por un largo tiempo y el voltaje del capacitor ha llegado al valor de vC 10 V. En el instante t = 0, abrimos el interruptor, como se muestra en la Fig. 7.3-1b. Puesto que el voltaje en el capacitor es continuo, vC 0 vC 0 10 V
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Ejemplo 7.3-1 Energía Almacenada por un Capacitor Un capacitor de 10 mF se carga a 100 V, como se muestra en el circuito de la Fig. 7.3-1. Halle la energía almacenada por el capacitor y el voltaje del capacitor en t 0 después de que el interruptor se abre.
Figura 7.3-2 Circuito del Ejemplo 7.3-1 con C = 10 mF.
Solución El voltaje del capacitor es v = 100 V en t 0 . Como en voltaje en t 0 no puede cambiar de su valor en t 0 , tenemos que v 0 v 0 100 V La energía almacenada por el capacitor en t 0 es 2 1 1 wC Cv2 102 100 50 J 2 2
Ejemplo 7.3-2 Potencia y Energía para un Capacitor El voltaje en un capacitor de 5 mF varía en la forma mostrada en la Fig. 7.3-3. Determine y grafique la corriente, la potencia y la energía en el capacitor.
Figura 7.3-3 El voltaje en un capacitor.
Solución La corriente se determina a partir de iC C dv dt y se muestra en la Fig. 7.3-4a. La potencia es v(t)i(t) – el producto de la gráfica de la corriente (Fig. 7.3-4a) y la gráfica del voltaje (Fig. 7.3-3) – y se muestra en la Fig. 7.3-4b . El capacitor recibe energía durante los primeros dos segundos y después entrega energía para el periodo 2 < t < 3.
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Figura 7.3-4 La corriente, potencia y energía del capacitor del Ejemplo 7.3-2.
La energía es w p dt y puede determinarse como el área bajo la gráfica de p(t). La gráfica para la energía se muestra en la Fig. 7.3-4c. Observe que el almacena energía en forma creciente desde t hasta t = 2 s, alcanzando una energía máxima de 25 J. Entonces, el capacitor entrega una energía total de 18.75 J al circuito externo desde t 2 s hasta t = 3 s. Finalmente, el capacitor mantiene una energía constante de 6.25 J después de t = 3 s. EJERCICIO 7.3-1 Se carga un capacitor de 200 F hasta 100 V. Halle la energía almacenada por el capacitor.
Halle el voltaje del capacitor en t 0 si v 0 100 V. Respuesta: w(1) = 1 J y v 0 100 V EJERCICIO 7.3-2 Una corriente constante i = 2 A fluye en un capacitor de 100 F después de que se cierra un
interruptor en t = 0. El voltaje del capacitor era igual a cero en t 0 . Halle la energía almacenada en (a) t 0 1 s y (b) t = 100 s.
14 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.) Respuesta: w(1) = 20 kJ y w(100) = 200 MJ
7.4. Capacitores en Serie y en Paralelo Primero, consideremos la conexión en paralelo de N capacitores, como se muestra en la Fig. 7.4-1. Queremos determinar el circuito equivalente para los N capacitores en paralelo, como se muestra en la Fig. 7.4-2.
Figura 7.4-1 Conexión en paralelo de N capacitores.
Usando la LCK, tenemos que i i1 i2 i3
iN
Puesto que in C n
dv dt
y v aparece en cada capacitancia, obtenemos i C1
dv dv dv C2 C 3 dt dt dt
C1 C2 C3
C N
C N
dv dt
dv dt
(7.4-1)
N dv Cn n1 dt
Para el circuito equivalente mostrado en la Fig. 7.4-2, i C p
dv dt
(7.4-2)
Figura 7.4.2 Circuito equivalente para N capacitores en paralelo.
Comparando las Ecs. 7.4-1 y 7.4-2, es claro que N
C p C1 C2 C3
CN
C
n
n1
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Por tanto, la capacitancia equivalente de un conjunto de N capacitores en paralelo es simplemente la suma de las capacitancias individuales. Se debe señalar que todos los capacitores en paralelo tendrán la misma condición inicial v(0). Ahora determinemos la capacitancia equivalente C s de un conjunto de N capacitancias conectadas en serie, como se muestra en la Fig. 7.4-3. El circuito equivalente para la serie de capacitores se muestra en la Fig. 7.4-4.
Figura 7.4-3 Conexión en serie de N capacitores.
Usando la LVK para el lazo de la Fig. 7.4-3, tenemos que v v1 v2 v3
vN
(7.4-3)
Puesto que, en general, vn (t )
t
1 Cn
i d v t n
0
1 CN
t
t0
donde i es común para todos los capacitores, obtenemos v
1 C1
t
t0
i d v t 1 i d v t C
i d v1 t0
0
N
t 1 1 t0 n C1 C2 N N 1 t i d vn t 0 Cn t0 n1 n1
N
t0
0
n
(7.4-4)
n1
De la Ec. 7.4-3, observamos que en t t0 , N
v t0 v1 t0 v2 t 0
vN t 0
v t n
0
(7.4-5)
n1
Sustituyendo la Ec. 7.4-5 en la Ec. 7.4-4, obtenemos N 1 Cn n 1
v
i d v t t
0
t0
(7.4-6)
Usando la LVK para el lazo del circuito equivalente de la Fig. 7.4-4, da v
1 Cn
t
i d v t t0
Comparando ahora las Ecs. 7.4-6 y 7.4-7, encontramos que
0
(7.4-7)
16 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.)
Figura 7.4-4 Circuito equivalente para N capacitores en serie. 1 Cs
N
C1 n1
(7.4-8)
n
Para el caso de dos capacitores en serie, la Ec. 7.4-8 se convierte en 1 1 1 Cs C1 C2
o Cs
C1C2 C1 C2
(7.4-9)
Ejemplo 7.4-1 Capacitores en Paralelo y en Serie Halle la capacitancia equivalente para el circuito en la Fig. 7.4-5 cuando C1 C2 C3 2 mF, v1(0) 10 V y v2 (0) v3 (0) 20 V.
Figura 7.4-5 Circuito para el Ejemplo 7.4-1.
Solución Puesto que C2 y C3 están en paralelo, las reemplazamos con C p , donde C p C2 C3 4 mF
El voltaje en t = 0 en la capacitancia equivalente C p es igual al voltaje en C2 o C3 , el cual es v2 (0) v3 (0) 20 V . Como un resultado de reemplazar C2 y C3 con C p , obtenemos el circuito mostrado en la Fig. 7.4-6.
Figura 7.4-6 Circuito resultante de la Fig. 7.4-5 al reemplazar C2 y C3 con C p.
17 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.)
Ahora queremos reemplazar la serie de los dos capacitores C1 y C p con un capacitor equivalente. Usando la relación de la Ec. 7.4-9, obtenemos 2 103 4 103 8 mF Cs C1 C p 2 103 4 103 6
C1C p
El voltaje en t = 0 en Cs es v(0) v1(0) v p (0)
donde v p (0) 20 V , el voltaje en la capacitancia C p en t = 0. Por tanto, obtenemos v(0) 10 20 30 V
El circuito equivalente resultante se muestra en la Fig. 7.5-7.
Figura 7.4-7 Circuito equivalente para el circuito del Ejemplo 7.4-1. EJERCICIO 7.4-1 Halle el circuito equivalente para el circuito en la Fig. E 7.4-1. Respuesta: Ceq 4 mF
Figura E 7.4-1 EJERCICIO 7.4-2 Determine la capacitancia equivalente para el circuito en la Fig. E 7.4-2. Respuesta: Ceq 10 19 mF
Figura E 7.4-2
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7.5. Inductores Un inductor es un elemento de circuito que almacena energía en un campo magnético. Un inductor puede construirse enrollando una bobina de alambre alrededor de un núcleo magnético, como se muestra en la Fig. 7.5-1 . Los inductores se representan mediante un parámetro llamado la inductancia. La inductancia de un inductor depende de su tamaño, materiales y método de construcción. Por ejemplo, la inductancia del inductor mostrado en la Fig. 7.5-1 se obtiene a partir de la relación L
N 2 A l
donde N es el número de vueltas – esto es, el número de veces que el alambre es enrollado alrededor del núcleo – A es el área de la sección transversal del número en metros cuadrados; l es la longitud del devanado en metros; y es una propiedad del número magnético conocida como la permeabilidad. La unidad de inductancia se llama Henry (H) en honor al físico estadounidense Joseph Henry.
Figura 7.5-1 Un inductor conectado a una fuente de corriente.
Los inductores prácticos tienen inductancias que varía de 1 H a 10 H. Los inductores son enrollado de varias formas, como muestra la Fig. 7.5-2 . La inductancia es una medida de la habilidad de un dispositivo para almacenar energía en la forma de un campo magnético. En la Fig. 7.5-1, se usa una fuente de corriente para producir una corriente i(t) en la bobina. Se encuentra que el voltaje v(t) a través de la bobina es proporcional a la tasa de cambio de la corriente en la bobina. Esto es, v(t ) L
d i(t ) dt
(7.5-1)
19 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.)
Cortesía de Vishay Intertechnology, Inc.
Figura 7.5-2 Elementos con inductancias arreglas en bobinas de varias formas.
donde la constante de proporcionalidad es L , la inductancia del inductor. Integrando ambos lados de la Ec. 7.5-1, obtenemos i(t )
1 t v() d L
(7.5-2)
Esta ecuación dice que la corriente en el inductor i(t) puede hallarse integrando el voltaje en el inductor desde el instante hasta el instante t. Para hacer esto se requiere que conozcamos el valor del voltaje en el inductor desde el tiempo = hasta el momento = t. Con frecuencia, no conocemos el valor del voltaje para todo el tiempo pasado hasta = . Por eso, dividimos la integral en dos partes: 1 i(t) L
t0
1 v()d L
t
1 v( ) d i t0 L t0
t
v()d
(7.5-3)
t0
Esta ecuación que la corriente i(t) en el inductor puede determinarse integrando el voltaje en el inductor de algún tiempo conveniente t0 hasta el tiempo = t , siempre y cuando conozcamos la corriente en el inductor en el instante t0 . Ahora solamente se nos exige conocer el voltaje en el inductor desde el momento t0 hasta el = t. Este tiempo t0 se denomina el tiempo inicial , y la corriente en el inductor i t0 se llama la condición inicial. Con frecuencia, conviene selección t0 0 como el tiempo inicial. instante
Las Ecs. 7.5-1 y 7.5-3 describen la relación de corrientevoltaje de un inductor. La corriente y el voltaje en estas ecuaciones cumplen con la convención pasiva. El símbolo de circuito para un inductor se muestra en l Fig. 7.5-3. La corriente y el voltaje en el inductor en la Fig. 7.5-3 cumplen con la convención pasiva de los signos y están relacionados por las Ecs. 7.5-1 y 7.5-3.
Figura 7.5-3 Símbolo de circuito para un inductor.
20 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.)
Considere el voltaje de un inductor cuando la corriente cambia en t = 0 desde cero hasta una corriente que crece constantemente y finalmente se nivela, como muestra la Fig. 7.5-4. Determinemos el voltaje del inductor. La corriente (en amperios) la podemos describir por 0 10t i(t ) t1 10
t0 0 t t1
t t1
Figura 7.5-4 Una forma de onda de corriente. La corriente está en amperios.
Consideremos un inductor de 0.1 H y hallemos la forma de onda del voltaje. Puesto que v L di dt , tenemos (en voltios) 0 1 v(t ) t1 0
t0 0 t t1
t t1
La forma de onda del pulso de voltaje resultante se muestra en la Fig. 7.5-5. Observe que conforme t1 decrece, la magnitud del voltaje se incrementa. Claramente, no se puede permitir que t1 0 porque el voltaje requerido entonces se volvería infinito, y se requeriría una potencia infinita en los terminales del inductor. Por tanto, en el inductor no son posibles cambios instantáneos en la corriente. La corriente en una inductancia no puede cambiar instantáneamente. Un inductor ideal es una bobina de alambre sin resistencia. Los inductores prácticos incluyen la resistencia real del alambre de cobre usado en la bobina. Por esta razón, los inductores prácticos están muy alejados de los ideales y típicamente se modelan mediante una inductancia ideal en serie con una pequeña resistencia.
Figura 7.5-5 Respuesta de voltaje para la forma de onda de corriente de la Fig. 7.5-4 cuando L = 0.1 H.
21 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.)
Ejemplo 7.5-1 Corriente y Voltaje en un Inductor Halle el voltaje en un inductor, L = 0.1 H, cuando la corriente en el inductor es i(t) 20t e2t A
para t > 0 e i(0) = 0. Solución El voltaje para t < 0 es v(t) L
di d 0.1 20 t e 2t 2 2t e 2t e 2t 2 e2t 1 2t V dt dt
El voltaje es igual a 2 V cuando t = 0, como muestra la Fig. 7.5-6b. La forma de onda de la corriente se muestra en la Fig. 7.5-6a.
Figura 7.5-6 Formas de ondas de voltaje y corriente para el Ejemplo 7.5-1.
Ejemplo 7.5-2 Corriente y Voltaje en el Inductor La Fig. 7.5-7 muestra un circuito junto con dos gráficas. Éstas representan la corriente y el voltaje del inductor en el circuito. Determine el valor de la inductancia del inductor.
Figura 7.6-7 El circuito y las gráficas consideradas en el Ejemplo 7.5-2.
Solución La corriente y el voltaje del inductor están relacionados por
22 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.) i(t)
1 L
t
v() d i t
(7.5-4)
0
t0
o i(t) i t0
1 L
t
v() d
(7.5-5)
t0
Puesto que i(t) y v(t) están representadas gráficamente y no por ecuaciones, ayuda interpretar la Ec. 7.5-5 usando la relación i(t) i t0 la diferencia entre los valores de la corriente en los instantes t y t0 y t
v() d área bajo la gráfica de v(t) versus t para tiempos entre t y t 0
t0
Seleccione valore convenientes de t y t0 , por ejemplo t0 2 ms y t = 6 ms. Entonces, i(t) i t0 1 2 3 A
y
t
v( ) d
t0
0.006
30 d 30 0.006 0.002 0.12 V s
0.002
Usando la Ec. 7.5-5, se obtiene 3
1 0.12 L
L 0.040
V s 0.040 H 40 mH A
Ejemplo 7.5-3 Corriente y Voltaje en el Inductor La entrada al circuito mostrado en la Fig. 7.5-8 es el voltaje v(t ) 4 e20t V para t 0
La salida es la corriente i(t) 1.2e20t 1.5 A para t 0
La corriente inicial en el inductor es iL (0) 3.5 A . Determine los valores de la inductancia L y la resistencia R.
Figura 7.5-8 El circuito considerado en el Ejemplo 7.5-3.
23 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.)
Solución Aplique la LCK en cualquier nodo para obtener v(t) v(t) 1 i(t) i L (t) R R L
t
0
v() d i(0)
Esto es, 1.2e
20t
4e20t 1 1.5 R L
t
4e 0
20
4e 20t 4 20t 1 3.5 d 3.5 e R L 20 4 1 1 e 20t 3.5 5L R 5L
Igualando coeficientes, se obtiene 1.5
1 3.5 L 0.1 H 5L
y 1.2
4 1 4 1 4 2 R 5 R 5 L R 5 0.1 R
EJERCICIO 7.5-1 Determine el voltaje v(t) para t > 0 para el circuito de la Fig. E 7.5-1b cuando is (t ) es la
corriente mostrada en la Fig. E 7.5-1a.
Figura E 7.5-1 (a) La corriente de la fuente de corriente. (b) El circuito. Sugerencia: Determine vL (t ) y vR (t) por separado y después use la LVK.
2t 2 2 t 4 Respuesta: v(t ) 7 t 4t8 0 otros valores de t
7.6. Almacenamiento de Energía en un Inductor La potencia en un inductor es di i dt
p vi L
(7.6-1)
El inductor almacena energía en su campo magnético. Esta energía almacenada durante el intervalo t0 a t es
24 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.) w
t
p d L
t0
i (t )
i t0
i di
Integrando la corriente entre i t0 e i(t), obtenemos w
1 2 i (t ) 1 2 1 L i (t)it i (t) Li 2 t0 0 2 2L 2
(7.6-2)
Usualmente, seleccionamos t0 para el inductor y entonces la corriente i( ) 0 . Por tanto, obtenemos que w
1 2 Li 2
(7.6-3)
Observe que w(t) ≥ 0 para i(t), de modo que el inductor es un elemento pasivo. El inductor no genera ni disipa energía sino que sólo la almacena. Es importante señalar que los inductores y los capacitores son fundamentalmente diferentes de otros dispositivos considerados en los capítulos anteriores en que tienen memoria. Ejemplo 7.6-1 Voltaje y Corriente en un Inductor Halle la corriente en un inductor, L = 0.1 H, cuando el voltaje en el inductor es v 10t e 5t V
Suponga que la corriente es cero para t 0. Solución El voltaje en función del tiempo se muestra en la Fig. 7.6-1a. Observe que el voltaje alcanza un máximo en t = 0.2 s. La corriente es i
1 L
t
v d i t 0
0
Puesto que el voltaje es cero para t < 0, la corriente en el inductor en t = 0 es i(0) = 0. Entonces tenemos
Figura 7.6-1 Voltaje y corriente para el Ejemplo 7.6-1.
25 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.) t
e 5 1 5 4 1 e 5t 1 5t A i 10 10e d 100 25 0 0
t
5
La corriente en función del tiempo se muestra en la Fig. 7.6-1 b. Ejemplo 7.6-2 Potencia y Energía para un Inductor Halle la potencia y la energía para un inductor de 0.1 H cuando la corriente y el voltaje son como se muestra en las Figs. 7.6-2a , b.
Figura 7.6-2 Corriente, voltaje, potencia y energía para el Ejemplo 7.6-2.
Solución Primero, escribimos la expresión para la corriente y el voltaje. La corriente es i0 20t 20
t0 0t1 1 t
i0 2 0
t0 0t1 1 t
El voltaje se expresa como
El voltaje se puede verificar usando la relación v L di dt . Entonces la potencia es p vi 40t W
para 0 t < 1 t cero para el resto del tiempo. La energía, en julios, es entonces
26 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.) w
1 2 Li 2
0.05 20t
2
0.05 20
0t 1
2
1 t
y cero para todo t < 0. La potencia y la energía se muestran en las Figs. 7.6-2c , d. Ejemplo 7.6-3 Potencia y Energía para un Inductor Determine la potencia y la energía almacenada en un inductor de 0.1 H cuando i 20te2t A y v 2e2t 1 2t V para t ≥ 0. (Véase el Ejemplo 7.5 -1.) Solución La potencia es p vi 20te2t 2 e2t 1 2t 40te 4t 1 2t W t 0
La energía es entonces w
2 1 2 Li 0.05 20te 2t 20t 2 e4t J t 0 2
Observe que w es positiva para todos los valores t > 0. La energía almacenada en el inductor se muestra en la Fig. 7.6-3.
Figura 7.6-3 Energía almacenada en el inductor del Ejemplo 7.6-3.
7.7. Inductores en Serie y en Paralelo Una conexión de inductores en serie y en paralelo puede reducirse a un solo inductor equivalente. Considérese una conexión en serie de N inductores, como se muestra en la Fig. 7.7-1. El voltaje la conexión en serie es v v1 v2
L1
vn
di di L2 dt dt
N di LN n1 dt
LN
di dt
27 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.)
Figura 7.7-1 Serie de N inductores.
Puesto que el inductor en serie equivalente Ls , como se muestra en la Fig. 7.7.2, es representado por v Ls
di dt
entonces se requiere que N
Ls
L
(7.7-1)
n
n 1
Por tanto, un inductor equivalente para una serie de inductores, es la suma de los N inductores.
Figura 7.7-2 Inductor equivalente Ls para N inductores en serie.
Consideremos ahora el conjunto de N inductores en paralelo, como se muestra en la Fig. 7.7-3. La corriente i es igual a la suma de las corrientes en los N inductores: N
i
i
n
n1
Sin embargo, puesto que i
1 Ln
t
v d i t t0
n
0
Figura 7.7-3 Conexión de N inductores en paralelo.
28 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.)
podemos obtener la expresión N 1 i Ln n1
N
v d i t t
n
t0
0
(7.7-2)
n1
El inductor equivalente L p , como se muestra en la Fig. 7.7-4, es representado por la ecuación i
1 L p
t
v dpt t 0
t0
(7.7-3)
Cuando se igualan las Ecs. 7.7-2 y 7.7-3, obtenemos 1 L p
N
L1 n 1
(7.7-4)
n
Figura 7.7-4 Inductor equivalente L p para la conexión de N inductores en paralelo.
Ejemplo 7.7-1 Inductores en Serie y en Paralelo Halle la inductancia equivalente para el circuito en la Fig. 7.7-5. Todas las corrientes en los inductores son cero en t0.
Figura 7.7-5 El circuito del Ejemplo 7.7-1
Solución Primero, determinamos la inductancia equivalente para los inductores de 5 mH y 20 mH en paralelo. De la Ec. 7.7-4, obtenemos 1 1 1 L p L1 L2
o L p
L1L2 5 20 4 mH 5 20 L1 L2
Este inductor equivalente está en serie con los inductores de 2 mH y 3 mH. Por tanto, usando la Ec. 7.7-1, obtenemos
29 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.) N
Leq
L 2 3 4 9 mH n
n1
EJERCICIO 7.7-1 Hallar la inductancia equivalente del circuito de la Fig. E 7.7-1. Respuesta. Leq = 14 mH
Figura E 7.7-1 EJERCICIO 7.7-2 Hallar la inductancia equivalente del circuito de la Fig. E 7.7-12 Respuesta: Leq = 4 mH
Figura E 7.7-2
7.8. Condiciones Iniciales de Circuitos Conmutados En esta sección consideramos circuitos conmutados. Estos circuitos tienen las características siguientes: 1. 2.
Todas las entradas a los circuitos, esto es, los voltajes y corrientes de las fuentes de voltaje y corriente son funciones del tiempo constantes. El circuito incluye uno o más conmutadores que se abren o cierran en el instante t0 . El instante inmediatamente antes de que se abra o cierre un interruptor se denota como t0 y el instante inmediatamente después de que se abra o cierre el interruptor como t0 . Con frecuencia se supondrá que t0 0 .
3. 4.
El circuito incluye por lo menos un capacitor o un inductor. Supondremos que los conmutadores han estado en posición por un largo tiempo en t t0 , el instante de conmutación. Diremos que tal circuito está en estado estacionario o en régimen permanente antes del momento de la conmutación. Un circuito que contenga fuentes constantes y está en estado estacionario se denomina un circuito de cd. Todas las corrientes y voltaje en los elementos en un circuito cd son funciones constantes del tiempo.
Estamos particularmente interesados en la corriente y el voltaje de elementos que almacenan energía después de que el interruptor se abre o se cierra. (Recuerde de la Sección 2.9 que los interruptores abiertos actúan como circuitos abiertos y los interruptores cerrados actúa como cortocircuitos. En la Tabla 7.8-1 se resumen las
30 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.)
características importantes de la conducta de un inductor y un capacitor. En particular, observe que ni un voltaje de un capacitor ni una corriente de un inductor puede cambiar instantáneamente. (Recuerde de las Secciones 7.2 y 7.5 que tales cambios requerirían una potencia infinita, algo que no es físicamente posible.) Sin embargo, los cambios instantáneos en el voltaje de un inductor o de la corriente en un capacitor son muy posibles. Supóngase que un circuito de cd contiene un inductor. La corriente en el inductor, como cualquier otro voltaje y corriente en el circuito de cd, será una función constante del tiempo. El voltaje en el inductor es proporcional a la derivada de la corriente en el inductor, v L di dt , de modo que el voltaje en el inductor es cero. En consecuencia, el inductor actúa como un cortocircuito. Un inductor en un circuito de cd se comporta como un cortocircuito. En forma análoga, el voltaje de un capacitor en un circuito de cd será una función constante del tiempo. La corriente en el capacitor es proporcional a la derivada del voltaje en el capacitor i C dv dt , de modo que la corriente en el capacitor es cero. En consecuencia, el capacitor actúa como un circuito abierto. Un capacitor en un circuito de cd se comporta como un circuito abierto. Tabla 7.8-1 Características de los Elementos que Almacenan Energía VARIABLE
INDUCTORES
CAPACITORES
Convención pasiva de los signos
Voltaje Corriente Potencia Energía Un cambio instantáneo para
di dt
vL
i
1 L
I Li
w
t
1 v C
v d i(0)
0
di dt
1 2 Li 2
la Corriente
Se permitirá un cambio instantáneo para el Voltaje Este elemento actúa como un
i C
t
i d v(0) 0
dv dt
p Cv
dv dt
1 w Cv2 2
el Voltaje la Corriente
Cortocircuito para una corriente Circuito abierto para un constante en sus terminales voltaje constante entre sus terminales
31 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.)
Nuestro plan para analizar circuitos conmutados tiene dos etapas: 1.
Analizar el circuito de cd que existe antes del instante t0 para determinar los voltajes en capacitores las
2.
corrientes en inductores. Al hacer este análisis, nos aprovecharemos del hecho de que los capacitores se comportan como circuitos abiertos y los inductores como cortocircuitos cuando están en circuitos de cd. Reconocer que los voltajes en los capacitores y las corrientes en los inductores no pueden cambiar instantáneamente, de modo que los voltajes en los capacitores y las corrientes en los inductores en el instante t0 tienen los mismos valores que tenían en el instante t0 . Los ejemplos siguientes ilustran este plan.
Ejemplo 7.8-1 Condiciones Iniciales en un Circuito Conmutado Considérese el circuito en la Fig. 7.8-1. Antes de t = 0, el interruptor ha estado cerrado por un largo tiempo. Determínense los valores del voltaje en el capacitor y la corriente en el inductor inmediatamente después de que el interruptor se abre en el instante t = 0.
Figura 7.8-1 Circuito con un inductor y un capacitor. El interruptor ha estado cerrado por un largo tiempo antes de abrirse en t = 0.
Solución 7.2.1.
Para hallar vC 0 e iL 0 , consideramos el circuito antes de que el interruptor se abra, esto es, para t 0 . La entrada al circuito, el voltaje de la fuente de voltaje es constante. También, antes de que el
interruptor se abra, el circuito está en estado estacionario. Puesto que el circuito es un circuito de cd, el capacitor actuará como un circuito abierto y el inductor como un cortocircuito. En la Fig. 7.8-2, reemplazamos el capacitor por un circuito abierto con un voltaje vC 0 y el inductor por un cortocircuito con corriente iL 0 . Primero observamos que iL 0
10 2A 5
Ahora, usando el principio del divisor de voltaje, vemos que 3 vC 0 10 6 V 5
7.2.2.
El voltaje en el capacitor y la corriente en el inductor no pueden cambiar instantáneamente, por tanto, vC 0 vC 0 6 V i L 0 i L 0 2 A
32 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.)
Figura 7.8-2 Circuito de la Fig. 7.8-1 para t < 0. Ejemplo 7.8-2 Condiciones Iniciales en un Circuito Conmutado Halle iL 0 , vC 0 , dvc 0 dt y diL 0 dt para el circuito en la Fig. 7.8-3. Usaremos dvC 0 dt para denotar dvC (t) dt
t 0
. Supóngase que el interruptor 1 ha estado abierto y el interruptor 2 ha estado cerrado por
un largo tiempo y que en t = 0 prevalecen condiciones de estado estacionario.
Figura 7.8-3 Circuito para el Ejemplo 7.8-2. El interruptor 1 se cierra en t = 0 y el 2 se abre en t = 0.
Solución Primero, redibujamos el circuito para t 0 reemplazando el inductor por un cortocircuito y el capacitor por un circuito abierto, como se muestra en la Fig. 7.8-4. Entonces observamos que i L 0 0 y vC 0 2 V
Figura 7.8-4 Circuito de la Fig. 7.8-3 en t 0 .
33 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.)
Por tanto, tenemos i L 0 iL 0 0
y vC 0 vC 0 2 V
Para hallar dvC 0 dt y diL 0 dt , operamos el interruptor en t = 0 y redibujamos el circuito de la Fig. 7.8-3, como se muestra en la Fig. 7.8-5. (No dibujamos la fuente de corriente porque su interruptor está abierto.)
Figura 7.8-5 Circuito de la Fig. 7.8-3 en t 0 con el interruptor cerrado y la fuente de corriente desconectada. Puesto que queremos determinar dvC 0 dt , recordamos que iC C
dvC dt
de modo que dvC 0 1 ic 0 dt C
En forma análoga, puesto que para el inductor vL L
diL dt
podemos obtener diL 0 dt como diL 0 1 vL 0 dt L
Usando la lVK en la malla del lado derecho de la Fig. 7.8-5, obtenemos vL vC 1 iL 0
Por tanto, en t 0 , vL 0 vC 0 iL 0 2 0 2 V
Por tanto, obtenemos diL 0 2 A/s dt
En forma similar, para determinar iC , escribimos la LCK en el nodo a para obtener iC iL
Entonces, en t 0 ,
vC 10 0 2
34 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.)
10 vC 0 i L 0 0 6 0 6 A iC 0 2
y dvC 0 1 6 iC 0 12 V/s 12 dt C
Por tanto, encontramos que en el instante de conmutación t = 0, la corriente en el inductor y el voltaje en el capacitor permanecen constantes. Sin embargo, el voltaje en el inductor sí cambia instantáneamente de vL 0 0 a vL 0 2 V, y se determinó que diL 0 dt 2 A/s. También, la corriente en el capacitor
cambió instantáneamente de iC 0 0 a iC 0 6 A, y encontramos que dvC 0 dt 12 V/s.
PROBLEMAS Sección 7.2 Capacitores 7.2.1 Un capacitor de 15 F tiene un voltaje de 5 V en t = 0. Si por el capacitor fluye una corriente constante de 25 mA, ¿cuánto tiempo le tomará al capacitor para cargase hasta 150 C? Respuesta: t = 3 ms
7.2-2 El voltaje v(t) en un capacitor y la corriente i(t) en ese capacitor cumplen con la convención pasiva. Determine la corriente i(t) cuando la capacitancia es C = 0.125 F y el voltaje es v(t) 12cos 2t 30 V. Sugerencia:
d d A cos t A sen t t dt dt A sen t
Acos t 2 Respuesta: i(t) 3cos 2t 120 A.
7.2-3 El voltaje v(t) en un capacitor y la corriente i(t) en ese capacitor cumplen con la convención pasiva. Determine la capacitancia cual el voltaje es v(t) 12cos 500t 45 V y la corriente es i(t) 12cos 500t 45 mA. Respuesta: C = 0.5 F
P.2-4 Determine v(t) para el circuito mostrado en l Fig. 7.24a cuando la corriente is (t) es como se muestra en la Fig. 7.2-4b y vo 0 1 mV.
35 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.)
Figura P 7.2-4 (a) Circuito y (b) forma de onda de la fuente de corriente.
7.2-5 El voltaje v(t) y la corriente i(t) de un capacitor de 1 F cumplen con la convención pasiva. También, v(0) 0 V e i(0) 0 A. (a) Determine v(t) cuando i(t) = x(t), donde x(t) se muestra en la Fig. P 7.2-5 e i(t) tiene unidades de A. (b) Determine i(t) cuando v(t) = x(t), donde x(t) se muestra en la Fig. P 7.2-5 y v(t) tiene unidades de V. Sugerencia: x(t) 4t 4 cuando 1 < t < 4 y x(t) 4t 12 cuando 2 < t < 3.
Figura P 7.2-5
7.2-6 El voltaje v(t) y la corriente i(t) de un capacitor de 0.5 F cumplen con la convención pasiva. También, v(0) 0 V e i(0) = 0 A. (a) Determine v(t) cuando i(t) = x(t), donde x(t) se muestra en la Fig. P 7.2-6 e i(t) tiene las unidades de A. (b) Determine i(t) cuando v(t) = x(t), donde x(t) se muestra en la Fig. P 7.2-6 y v(t) tiene las unidades de V. Sugerencia: x(t) 0.2t 0.4 cuando 2 < t < 6.
36 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.)
Figura P 7.2-6
7.2-7 El voltaje en un capacitor de 40 F es 25 en t0 0 . Si la corriente que fluye a través del capacitor en función del tiempo es dada por i(t) 6e 6t mA para t < 0, halle v(t) para t > 0. Respuesta: v(t) 50 25 e6t V.
7.2-8 Hallar i para el circuito de la Fig. P 7.2-8 si v 5 1 e2t V.
Figura P 7.2-8
7.2-9 Determine v(t) para t ≥ 0 para el circuito de la Fig. P 7.2 -9a cuando is (t) es la corriente mostrada en la Fig. P 7.2-9b y v(0) = 1 V.
Figura P 7.2-9
7.2-10 Determine v(t) para t ≥ 0 para el circuito de la Fig. P 7.2 -10 cuando v(0) = 4 V e is (t) es la corriente mostrada en la Fig. P 7.2-10b.
37 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.)
Fig. P 7.2-10
7.2-11 Determine i(t) para t ≥ 0 para el circuito de la Fig. P 7.2 -11a cuando vs (t ) es el voltaje mostrado en la Fig. P.72-11b.
Figura P 7.2-11
7.2-12 El voltaje en el capacitor en el circuito mostrado en la Fig. P 7.2-12 es dada por v(t) 12 10 e2t V para t 0
Determine i(t) para t > 0.
Figura P 7.2-12
38 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.)
7.2-13 El voltaje en el capacitor del circuito mostrado en la Fig. P 7.2-13 es dada por v(t) 2.4 5.6 e5t V para t 0
Determine i(t) para t > 0.
Figura P 7.2-13
7.2-14 El voltaje en el capacitor del circuito mostrado en la Fig. P 7.2-14 es dado por v(t) 10 8 e5t V para t 0
Determine i(t) para t > 0.
Figura P 7.2-14
7.2-15
Determine el voltaje v(t) para t > 0 para el circuito de la Fig. P 7.2-15b cuando is (t) es la corriente mostrada en la Fig. P 7.2-15a. El voltaje del capacitor en t = 0 es v(0) = 12 V.
Figura 7.2-15 (a) El voltaje de la fuente de voltaje. ( b) El circuito.
7.2.16
La entrada al circuito mostrado en la Fig. P 7.2-16 es la corriente i(t) 3.75e 1.2t A para t 0
La salida es el voltaje del capacitor v(t ) 4 1.25 e1.25t V para t 0
Halle el valor de la capacitancia C.
39 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.)
Figura P 7.2-16
7.2-17
La entrada al circuito mostrado en la Fig. P 7.2-17 es la corriente i(t ) 3e 25t A para t 0
El voltaje inicial en el capacitor es vC (0) 2 V . Determine el voltaje en la fuente de corriente para t 0 .
Figura P 7.2-17
7.2-18 La entrada al circuito mostrado en la Fig. P 7.2-18 es la corriente i(t ) 3e 25t A para t 0
La salida es el voltaje v(t) 9.6 e25t 0.4 V para t 0
El voltaje inicial en el capacitor es vC (0) 2 V. Determine los valores de la capacitancia C y la resistencia R.
Figura P 7.2-18
7.2-19 La entrada al circuito mostrado en la Fig. P 7.2-19 es el voltaje v(t) 8 5e10t V para t 0
Determine la corriente i(t) para t > 0.
40 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.)
Figura P 7.2-19
7.2-20 La entrada al circuito mostrado en la Fig. P 7.2-20 es el voltaje v(t ) 3 4 e2t A para t 0
La salida es la corriente i(t) 0.3 1.6 e2t V para t > 0. Determine los valores de la resistencia y la capacitancia. Respuestas: R = 10 y C = 0.25 F.
Figura P 7.2-20
7.2-21 Considere el capacitor mostrado en la Fig. P 7.2-21. La corriente y el voltaje están dados por 0.5 0 t 0.5 i(t ) 1 0.5 t 1.5 0 t 1.5
y 2t 8.6 0 t 0.5 v(t) at b 0.5 t 1.5 c t 1.5
donde a , b y c son constantes reales. (La corriente se da en amperios, el voltaje en voltios y el tiempo en segundos.) Determine los valores de a , b y c.
41 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.)
Figura P 7.2-21 Respuestas: a = 8 V/s, b = 5.6 V y c = 17. V.
7.2.22 En el instante t = 0, el voltaje en el capacitor mostrado en la Fig. P 7.2.22 es v(0) = 20 V. Determine los valores del voltaje en capacitor en los instantes 1 ms y 7 ms.
Figura P 7.2-22
Sección 7.3 Almacenamiento de energía 7.3-1
La corriente a través de un capacitor se muestra en la Fig. 7.3-1Cuando v(0) = 0 y C = 0.5 F, determine y grafique v(t), p(t) para 0 s < t < 6 s.
Figura 7.3-1
7.3-2
En un circuito de pulsos de potencia, el voltaje de un capacitor de 10 F es cero para t < 0 y v 5 1 e4000t V t 0
Determine la corriente en el capacitor y la energía almacenada en el capacitor en t = 0 ms y t = 10 ms. P7.3-3 Si vC (t ) es dado por la forma de onda mostrada en la Fig. P 7.3-5, dibuje la corriente en el capacitor para 1 s t 2 s . Dibuje la potencia y la energía para el capacitor durante el mismo intervalo de tiempo cuando C = 1 mF.
42 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.)
Figura 7.3-3
7.3-4
La corriente que pasa por un capacitor de 2 F es 50cos 10t 6 A para todo el tiempo. El voltaje promedio en el capacitor es cero. ¿Cuál es el valor máximo de la energía almacenada en el capacitor? ¿Cuál es el primer valor no negativo de t en el cual se almacena la energía máxima?
7.3-5
Se usa un capacitor en la unidad de flash electrónico de una cámara. Una pequeña batería con un voltaje constante de 6 V se usa para cargar un capacitor con una corriente constante de 10 A. ¿Cuánto tiempo le lleva al capacitor cargarse cuando C = 10 F? ¿Cuál es la energía almacenada?
7.3-6
El voltaje inicial del capacitor en el circuito mostrado en la Fig. P 7.3-6 es vC 0 3 V . Determine (a) el voltaje v(t) y b la energía almacenada en el capacitor en t = 0.2 s y t = 0.8 s cuando 3e 5t A 0 t 1 t1s 0
i(t) Respuestas:
(a) 18e5t V, 0 t 1 (b) w(0.2) = 6.65 J y w(0.8) = 2.68 kJ
Figura P 7.3-6
7.3-7
(a) Determine la energía almacenada en el capacitor en el circuito mostrado en la Fig. 7.3-7 cuando se cierra el interruptor y el circuito está en estado estacionario. (b) Determine la energía almacenada en el capacitor cuando el interruptor está abierto y el circuito está en régimen estacionario.
Figura P 7.3-7
Sección 7.4 Capacitores en Serie y en Paralelo 7.4-1
Halle la corriente i(t) para el circuito de la Fig. P 7.4-1. Respuesta: i(t) 1.2sen100t mA
43 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.)
Figura P 7.4-1
7.4-2
Halle la corriente i(t) para el circuito de la Fig. P 7.4-2.
Respuesta: i(t) 1.5e250t mA
Figura P 7.4-2
7.4-3
El circuito en la Fig. P 7.4-3 contiene cinco capacitores idénticos. Halle el valor de la capacitancia C.
Respuesta: C = 10 C
Figura 7.4-3
7.4-4
El circuito mostrado en la Fig. P 7.4-4 contiene siete capacitores, cada uno con una capacitancia C. El voltaje de la fuente es v(t ) 4cos 3t V
Halle la corriente i(t) cuando C = 1 F.
Figura P 7.4-4
7.4-5
Determinar el valor de la capacitancia C en el circuito mostrado en la Fig. P 7.4-5, dado que Ceq 8 F . Respuesta: C = 20 F
44 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.)
Figura P 7.4-5
7.4-6
Determine el valor de la capacitancia equivalente C eq en el circuito mostrado en la Fig. P 7.4-6. Respuesta: Ceq 10 F
Figura 7.4-6
7.4-7
El circuito mostrado en la Fig. P 7.4-7 consiste de nueve capacitores que tienen igual capacitancia C. Determine el valor de la capacitancia C , dado que Ceq 50 mF . Respuesta: C = 90 mF
Figura P 7.4-7
7.4-8
El circuito mostrado en la Fig- P 7.4-8 está en estado estacionario antes de que el interruptor se abra en el instante t = 0. El voltaje v(t) es dado por
45 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.)
3.6 V para t 0 2.5t V para t 0 3.6e
v(t )
(a) Determine la energía almacenada por cada capacitor antes de que el interruptor se abra. (b) Determine la energía almacenada por cada capacitor 1 s después de que el interruptor se abre. Los capacitores en paralelo pueden reemplazarse por un capacitor equivalente. (c) Determine la energía almacenada por el capacitor equivalente antes de que el interruptor se abra. (d) Determine la energía almacenada por el capacitor equivalente 1 s después de que el interruptor se abre.
Figura P 7.4-8
7.4-9
El circuito mostrado en la Fig. P 7.4-9 está en estado estacionario antes de que el interruptor se cierre. Los voltajes de los capacitores son ambos cero antes de que el interruptor se cierre v1 (0) v2 (0) 0 . La corriente i(t) se da como 0 A para t 0 i(t ) 30t A para t 0 2.4e (a) Determine los voltajes v1(t) y v2 (t) para t ≥ 0. (b) Determine la energía almacenada por cada capacitor 20 ms después de que se cierra el interruptor. Los capacitores en serie pueden ser reemplazados por un capacitor equivalente. (c) Determine el voltaje en el capacitor equivalente, marca positiva en la parte superior, para t ≥ 0. (d) Determine la energía almacenada por el capacitor equivalente 20 ms después de que el interruptor se cierra.
Figura P 7.4-9
7.4-10 Halle la relación para la división de corriente entre dos capacitores en paralelo, como se muestra en la Fig. P 7.4-10. Respuesta: in i Cn C1 C2 , n 1, 2
46 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.)
Figura P 7.4-10
Sección 7.5 Inductores 7.5-1
Nikola Tesla (18571943) fue un ingeniero electricista quien experimentó con la inducción eléctrica. Tesla construyó una bobina de gran tamaño con una inductancia muy grande, mostrada en la Fig. P 7.5-1 . La bobina estaba conectada a una fuente de corriente 0sen 400t A is 100sen
de modo que la corriente en el inductor iL is . Halle el voltaje en el inductor y explique la descarga en el aire mostrada en la figura. Suponga que L = 200 H y que la distancia de descarga promedio es 2 m. Observe que la resistencia dieléctrica del aire es 3 106 V/m.
Figura 7.5-1 Nikola Tesla sentado impasible conforme bobinas de inducción de corriente alterna descargan millones de voltios con un ruido audible a casi 20 kilómetros de distancia (alrededor de 1910).
7.5-2
El modelo de un motor eléctrico consiste de una combinación en serie de un resistor y un inductor. Una corriente i(t) 4te t A fluye a través de la combinación en serie de un resistor de 10 y un inductor de 0.1 H. Halle el voltaje en la combinación. Respuesta: v(t) 0.4 et 39.6tet V
7.5-3
El voltaje v(t) y la corriente i (t) de un inductor de 1 H cumplen con la convención pasiva. También, v(0) 0 V e i(0) = 0 A.
47 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.)
(a)
Determine v(t) cuando i(t) = x(t), donde x(t) se muestra en la Fig. P 7.5-3 e i(t) tiene unidades de A.
(b)
Determine i(t) cuando v(t) = x(t), donde x(t) se muestra en la Fig. P 7.5-3 y v(t) tiene unidades de V.
Figura P 7.5-3 Sugerencia: x(t) 4t 4 cuando 1 < t < 2 y x(t) 4t 12 cuando 2 < t < 3.
7.5-4
El voltaje v(t) en un inductor y la corriente i(t) en ese inductor cumplen con la convención pasiva. Determine el voltaje v(t) cuando la inductancia es L = 250 mH y la corriente es i(t) 120 sen 500t 30 mA. Sugerencia:
d d A sen t A cos t t dt dt A cos t
As sen t 2
7.5-5
Determine iL (t) para t > 0 cuando iL (0) 2 A para el circuito de la Fig. P 7.5-5a cuando vs (t ) es como se muestra en la Fig. P 7.5-5b.
Figura P 7.5-5
7.5-6
Determine v(t) para el circuito de la Fig. P 7.6-6a cuando iL (0) 0 e is es como se muestra en la Fig. P 7.5-6b 7.5-6b .
48 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.)
Figura P 7.5-6
7.5-7
El voltaje v(t) y la corriente i(t) de un inductor de 0.5 H cumplen con la convención pasiva. También, v(0) 0 V e i(0) = 0 A. (a) Determine v(t) cuando i(t) = x(t), donde x(t) se muestra en la Fig. P 7.5-7 e i(t) tiene unidades de A. (b) Determine i(t) cuando v(t) = x(t), donde x(t) se muestra en la Fig. P 7.5-7 y v(t) tiene unidades de V. Sugerencia: x(t ) 0.2t 0.4 cuando 2 < t < 6.
Figura P 7.5-7 7.5-8
Determine i(t) para t ≥ 0 para la corriente de la Fig. P 7.5 -8a cuando i(0) = 25 mA y vs (t ) es el voltaje mostrado en la Fig. P 7.5-8b.
Figura P 7.5-8
7.5-9 Determine i(t) para t ≥ 0 para la corriente de la Fig. P 7.5 -9a cuando i(0) = 2 A y vs (t ) es el voltaje 7.5-9 mostrado en la Fig. P 7.5-9b.
49 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.)
Figura 7.5-9
7.5-10 Determine i(t) para t ≥ 0 para la corriente de la Fig. P 7.5 -10a cuando i(0) = 1 A y vs (t ) es el voltaje mostrado en la Fig. P 7.5-10b.
Figura 7.5-10
7.5-11 Determine i(t) para t ≥ 0 para el circuito de la Fig. P 7.5 -11a cuando i(0) = 25 mA y vs (t ) es el voltaje mostrado en la Fig. P 7.5-11b.
Figura 7.5-11
7.5-12 La corriente en el inductor en el circuito mostrado en la Fig. P 7.5-12 es dada por i(t ) 6 4 e8t A para t 0
Determine v(t) para t > 0.
Figura 7.5-12
7.5-13 La corriente en el inductor en el circuito mostrado en la Fig. P 7.5-13 es dada por i(t ) 5 3e4t A para t 0
Determine v(t) para t > 0.
50 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.)
Figura 7.5-13
7.5-14 La corriente en el inductor en el circuito mostrado en la Fig. P 7.5-14 es dada por i(t ) 3 2e3t A para t 0
Determine v(t) para t > 0.
Figura 7.5-14
7.5-15 Determine la corriente i(t) para t > 0 para el circuito de la Fig. P 7.5-15b cuando vs (t ) es el voltaje mostrado en la Fig. 7.5-15a. La corriente del inductor en el instante t = 0 es i(0) = 12 A.
Figura P 7.5-15 (a) El voltaje de la fuente de voltaje. ( b) El circuito.
7.5-16 La entrada al circuito mostrado en la Fig. P 7.5-16 es el voltaje v(t) 15e4t V para t 0
La corriente inicial en el inductor es i(0) = 2 A. Determine la corriente en el inductor i(t) para t > 0.
Figura P 7.5-16
7.5-17 La entrada al circuito mostrado en la Fig. P 7.5-17 es el voltaje v(t ) 4 e20t V para t 0
La salida es la corriente
51 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.) i(t ) 1.2e 20t A para t 0
La corriente inicial en el inductor es iL (0) 3.5 A . Determine los valores de la inductancia L y la resistencia R.
Figura P 7.5-17
7.5-18 El voltaje de la fuente en el circuito mostrado en la Fig. P 7.5-18 es v(t) 8e 400t V después de t = 0. La corriente inicial en el inductor es iL (0) 210 mA. Determine la corriente de la fuente i(t) para t > 0. Respuesta: i(t) 360 e400t 190 mA para t 0
Figura P 7.5-17
7.5-19 La entrada al circuito mostrado en la Fig. P 7.5-19 es la corriente i(t ) 5 2e 7t A para
t 0
La salida es el voltaje v(t) 75 82 e7t V para t 0 . Determine los valores de la resistencia e inductancia.
Figura P 7.5-19
7.5-20 Considérese el inductor mostrado en la Fig. P 7.5-20. La corriente y el voltaje son dados por 5t 4.6 0 t 0.2 i(t ) at b 0.2 t 0.5 c t 0.5
52 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.)
12.5 0 t 0.2 b(t ) 25 0.2 t 0.5 0 t 0.5
donde a , b y c son constantes reales. (La corriente se da en amperios, el voltaje en voltios y el tiempo en segundos.) Determine los valores de a , b y c. Respuestas: a = 10 A/s, bi = 5.6 A y c = 0.6 A
Figura 7.5.20
7.5.21 En el instante t = 0, la corriente en el inductor mostrado en la Fig. P 7.5-21 es i(0)= 45 mA. Determine los valores de la corriente en el inductor en los instantes 1 ms, 4 ms y 6 ms.
Figura 7.5.21
7.5-22 Uno de los tres elementos mostrados en la Fig. P 7.5-22 es un resistor, uno es un capacitor y otro es un inductor. Dada la corriente i(t) 0.25cos 2t A
y va (t ) 10sen 2t V , vb (t) 10sen 2t V y vc (t) 10cos 2t V , determine la resistencia del resistor, la capacitancia del capacitor y la inductancia del inductor. (Se requieren valores positivos para los tres elementos.) Respuestas: resistencia = 40 , capacitancia = 0.0125 F e inductancia = 20 H
Figura 7.5.22
7.5-23 Uno de los tres elementos mostrados en la Fig. P 7.5-23 es un resistor, uno es un capacitor y otro es un inductor. Dado que v(t) 24cos 5t V
53 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.)
e ia (t ) 3cos 5t A , ib (t) 12sen 5t A e ic (t ) 1.8sen 5t A , determine la resistencia del resistor, la capacitancia del capacitor y la inductancia del inductor. (Se requieren valores positivos para los elementos.)
Figura 7.5.23
Sección 7.6 Almacenamiento de Energía en un Inductor 7.6-1
La corriente i(t) en un inductor de 100 mH conectado en un circuito telefónico cambia de acuerdo con 0 i(t ) 4t 4
t0 0t 1 t 1
donde las unidades son segundos y las unidades de corriente son amperios. Determine la potencia p(t) absorbida por el inductor y la energía w(t) almacenada en el inductor. 0 t0 0 Respuestas: p(t ) 1.6t 0 t 1 , w(t) 0.8t 2 0.8 0 t 1
t0 0 t 1
t1
Las unidades de p(t) son W y de w(t) son J. 7.6-2
La corriente i(t) en un inductor de 5 H es
0 4 sen 2t
i(t )
t0 t0
donde las unidades de tiempo son s y las de corriente son A. Determine la potencia p(t) absorbida por el inductor y la energía w(t) almacenada en el inductor. Sugerencia: 2 cos A sen B sen A B sen A B
7.6-3
El voltaje v(t) en un inductor de 25 mH usado en un experimento de fusión de potencia es
0 6cos100t
i(t )
t0 t0
donde las unidades de tiempo son s y las de voltaje son V. La corriente en este inductor es cero antes de que el voltaje cambie en t = 0. Determine la potencia p(t) absorbida por el inductor y la energía w(t) almacenada en el inductor. Respuesta: p(t) 7.2sen 200t W y w(t) 3.6 1 cos 200t mJ
54 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.)
7.6-4
La corriente en un inductor, L = ¼ H, es i 4tet A para t ≥ 0 e i = 0 para t < 0. Halle el voltaje, la potencia y la energía en este inductor. Respuesta Parcial: w 2t 2 e2t J
7.6-5
La corriente que pasa por el inductor del circuito de un tubo de deflexión de un televisor se muestra en la Fig. P 7.6-5 cuando L = 1/2 H. Halle el voltaje, la potencia y la energía en el inductor. Respuesta Parcial: p 2t para 0 t 1
2 t 2 para 1 t 2 0 para otros t
Figura 7.6-5
Sección 7.7 Inductores en Serie y en Paralelo 7.7-1
Halle la corriente i(t) para el circuito de la Fig. P 7.7-1. Respuesta: i(t) 15 sen 100t mA
Figura P 7.7-1
7.7-2
Halle el voltaje v(t) para el circuito de la Fig. P 7.7-2. Respuesta: v(t) 6 e 250t mV
Figura P 7.7-2
7.7-3
El circuito de la Fig. P 7.7-3 contiene cuatro inductores idénticos. Halle el valor de la inductancia L. Respuesta: L = 2.86 H
Figura P 7.7-3
7.7-4
El circuito mostrado en la Fig. P 7.7-4 contiene siete inductores, cada uno con inductancia L. El voltaje de la fuente es
55 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.) v(t ) 4cos 3t V
Halle la corriente i(t) cuando L = 4 H.
Figura P 7.7-4
7.7-5
Determine el valor de la inductancia L en el circuito mostrado en la Fig. P 7.7.-5, dado que Leq 10 H . Respuesta: L = 10 H
Figura P 7.7-5
7.7.6
Determine el valor de la inductancia equivalente Leq para el circuito mostrado en la Fig. P 7.7-6. Respuesta: Leq 120 H
Figura P 7.7-6
7.7-7
El circuito mostrado en la Fig. P 7.7-7 consiste de 10 inductores que tienen una inductancia igual a L. Determine el valor de la inductancia L dado que Leq 12 mH . Respuesta: L = 35 mH
Figura P 7.7-7
56 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.)
7.7-8
El circuito mostrado en la Fig. P 7.7-8 está en estado estacionario antes de que el interruptor se cierre. Las corrientes en el inductor son ambas cero antes de que el interruptor se cierre i1(0) i2 (0) 0 . El voltaje v(t) es 0 V para t 0 5 t 4e V para t 0
v(t)
(a) Determine las corrientes en los inductores i1(t) e i2 (t) para t ≥0. (b) Determine la energía almacenada por cada inductor 200 ms después de que el interruptor se cierra. Los inductores en paralelo pueden ser reemplazados por un inductor equivalente. (c) Determine la corriente en el inductor equivalente, dirigida hacia abajo, para t ≥ 0. (d) Determine la energía almacenada por el inductor equivalente 200 ms después de que el interruptor se cierra.
Figura P 7.7-8
7.7-9
El circuito mostrado en la Fig. P 7.7-9 está en estado estacionario antes de que se cierre el interruptor en el instante t = 0. La corriente i(t) es 0.8 A para t 0 t 0.8e 2 A para t 0
i(t )
(a) Determine la energía almacenada por cada inductor antes de que se abra el interruptor (b) Determine la energía almacenada por cada inductor 200 ms después de que abre el interruptor. Los inductores en serie pueden reemplazarse por un inductor equivalente.
Figura P 7.7-9
(c) Determine la energía almacenada por el inductor equivalente antes de que se abra el interruptor. (d) Determine la energía almacenada por el inductor equivalente 200 ms después de que el interruptor se abre.
57 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.)
7.7.10 Determine la relación de corrientes i1 i para el circuito mostrado en la Fig. P 7.7-10. Suponga que las corrientes iniciales son cero en t0 . Respuesta
i1 L1 i L1 L2
Figura P 7.7-10
7.7-11 Considérese la combinación de elementos de circuito mostrados en la Fig. P 7.7-11. (a) Supóngase que el elemento A es un capacitor de 20 F, el elemento B es un capacitor de 5 y el elemento C es un capacitor de 20 F. Determine la capacitancia equivalente. (b) Supóngase que el elemento A es un inductor de 50 mH, el elemento B es un inductor de 30 mH y el elemento C es un inductor de 20 mH. Determine la inductancia equivalente. (c) Supóngase que el elemento A es un resistor de 9 k , el elemento B es un resistor de 6 k y el elemento C es un resistor de 10 k. Determine la resistencia equivalente. Respuestas: (a) Ceq 20 F . (b) Leq 16 mH y (c) Req 6 k
Figura P 7.7-11
7.7-12 Considérese la combinación de elementos de circuito mostrados en la Fig. P 7.7-12. (a) Supóngase que el elemento A un capacitor de 8 20 F, el elemento B es un capacitor de 16 y el elemento C es un capacitor de 12 F. Determine la capacitancia equivalente. (b) Supóngase que el elemento A es un inductor de 20 mH, el elemento B es un inductor de 5 mH y el elemento C es un inductor de 8 mH. Determine la inductancia equivalente. (c) Supóngase que el elemento A es un resistor de 20 k , el elemento B es un resistor de 30 k y el elemento C es un resistor de 16 k. Determine la resistencia equivalente. Respuestas: (a) Ceq 8 F, (b) Leq 12 mH y (c) Req 28 k.
58 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.)
Figura P 7.7-11
Sección 7.8 Condiciones Iniciales de Circuitos Conmutados 7.8-1
El interruptor en la Fig. P 7.8-1 ha estado abierto por un largo tiempo antes de cerrarse en el instante t 0 . Halle vC 0 e iL 0 , los valores del voltaje en el capacitor y la corriente en el inductor
inmediatamente después de que el interruptor se cierra. Denote por vc () e iL () los valores del voltaje en el capacitor y la corriente en el inductor después de que el interruptor ha estado cerrado por un largo tiempo. Halle vc () e iL () . Respuestas: vC 0 12 V . iL 0 0 , vc () 4 V e iL () 1 mA
Figura P 7.7-11
7.8-2
El interruptor en la Fig. P 7.8-2 ha estado abierto por un largo tiempo antes de cerrarse en t = 0. Halle vC 0 e iL 0 , los valores del voltaje en el capacitor y la corriente en el inductor inmediatamente
después de que el interruptor se cierra. Denote por vc () e iL () los valores del voltaje en el capacitor y la corriente en el inductor después de que el interruptor ha estado cerrado por un largo tiempo. Halle vc () e iL ( ) . Respuestas: vC 0 6 V . iL 0 1 mA , vc () 34 V e iL () 1.5 mA
Figura P 7.8-2
7.8-3
El interruptor en la Fig. P 7.8-3 ha estado abierto por un largo tiempo antes de cerrarse en t = 0. Halle vC 0 e iL 0 , los valores del voltaje en el capacitor y la corriente en el inductor inmediatamente
después de que el interruptor se cierra. Denote por vc () e iL () los valores del voltaje en el capacitor y
59 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.)
la corriente en el inductor después de que el interruptor ha estado cerrado por un largo tiempo. Halle vc () e iL ( ) . Respuestas: vC 0 0 V . iL 0 0 , vc () 8 V e iL () 0.5 mA
Figura P 7.8-3
7.8-4
El interruptor en el circuito mostrado en la Fig. P 7.8-4 ha estado cerrado por un largo tiempo antes de abrirse en t = 0. Determine los valores de vR 0 y vL 0 . los voltajes en el resistor de 4 y en el inductor justo antes de que el interruptor se abra, y los valores de vR 0 y vL 0 , los voltajes en el resistor de 4 y en el inductor justo después de que el interruptor se abre.
Figura P 7.8-4 7.8-5
El interruptor en el circuito mostrado en la Fig. P 7.8-5 ha estado abierto por un largo tiempo antes de cerrarse en t 0 . Determine los valores de iR 0 e iC 0 , las corrientes en uno de los resistores de 20
y
en el capacitor
inmediatamente antes de que el interruptor se cierre, y los valores de iR 0 e iC 0 , las corrientes en ese resistor de 20 y en el capacitor inmediatamente después de que el interruptor se cierra.
Figura P 7.8-5 7.8-6
El interruptor en el circuito mostrado en la Fig. P 7.8-6 ha estado abierto por un largo tiempo antes de cerrarse en t 0 . Determine los valores de vL 0 , el voltaje en el inductor justo antes de que se cierre el interruptor y vL 0 , el voltaje en el inductor inmediatamente después de que el interruptor se cierra.
60 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.)
Figura P 7.8-6 7.8-7
El interruptor en el circuito mostrado en la Fig. P 7.8-7 ha estado cerrado por un largo tiempo antes de abrirse en t 0 . Determine los valores de iC 0 , la corriente en el capacitor justo antes de que se abra el interruptor e iC 0 , la corriente en el capacitor inmediatamente después de que el interruptor se abre.
Figura P 7.8-7 7.8-8
El circuito mostrado en la Fig. P 7.8-8 está en estado estacionario cuando el interruptor se abre en t = 0. Determine v1 0 , v1 0 , i2 0 , i2 0 , i3 0 , i3 0 , v4 0 y v4 0 .
Figura P 7.8-8 7.8-9
El circuito mostrado en la Fig. P 7.8-9 está en estado estacionario cuando el interruptor se abre en t = 0. Determine v1 0 , v1 0 , i2 0 e i2 0 . Sugerencia: El modelado del interruptor abierto como un circuito abierto nos lleva a concluir que la corriente en el
inductor cambia instantáneamente, lo que requeriría un voltaje infinito. Podemos usar un modelo más preciso del interruptor abierto, una resistencia muy grande, para evitar el voltaje infinito.
Figura P 7.8-9
61 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.)
7.8-10 El circuito mostrado en la Fig. P 7.8-10 está en estado estacionario cuando el interruptor se cierra en el instante t = 0. Determine v1 0 , v1 0 , i2 0 e i2 0 .
Figura P 7.8-10
7.8.11 El circuito en la Fig. P 7.8-11 ha alcanzado estado estacionario antes de que se abra el interruptor en el instante t = 0. Determine los valores de iL (t), vC (t) y vR (t) justo antes de que el interruptor se abra y el valor de vR (t) inmediatamente después de que el interruptor se abra. Respuesta: iL 0 1.25 A, vC 0 20 V, vR 0 5 V y vR 0 4 V
Figura P 7.8-11 7.8-12
El circuito mostrado en la Fig. P 7.8-12 ha alcanzado el estado estacionario antes de que el interruptor se cierre en el instante t = 0. (a) Determine los valores de iL (t), vC (t) y vR (t) justo antes de que el interruptor se cierre. (b) Determine el valor de vR (t ) inmediatamente después de que el interruptor se cierra.
Figura P 7.8-12 7.8-13
El circuito mostrado en la Fig. P 7.8-13 ha alcanzo el estado estacionario antes de que el interruptor se abra en el instante t = 0. Determine los valores de iL (t), vC (t) y vR (t) justo antes de que el interruptor se abra y el valor
de vR (t ) inmediatamente después de que el interruptor se abre. Respuesta: iL 0 0.4 A, vC 0 1620 V, vR 0 0 V y vR 0 12 V
62 Svoboda-Dorf: Introduction to Electric Circuits (9na. Ed.)
Figura P 7.8-12
CAPÍTULO 8
La Respuesta Completa de Circuitos RL y RC 8.1 Introducción En este capítulo consideramos la respuesta de circuitos RL y RC a cambios abruptos. El cambio abrupto podría ser un cambio en el circuito, como cuando un interruptor se abre o se cierra. Alternativamente, los cambios abruptos podrían ser un cambio en la entrada al circuito, como cuando el voltaje de una fuente de voltaje es una función discontinua del tiempo. Los circuitos RL y RC se llaman circuitos de primer orden. En este capítulo haremos lo siguiente:
Desarrollar un vocabulario que nos ayudará a hablar sobre la respuesta de un circuito de primer orden.
Analizar circuitos d primer orden con entradas que son constantes después de algún instante en particular, t0.
Introducir la noción de un circuito estable y usarla para identificar circuitos estables de primer orden.
Analizar circuitos de primer orden que experimentan más de un cambio abrupto.
Introducir la función escalón y usarla para determinar la respuesta al escalón de un circuito de primer orden.
Analizar circuitos de primer orden con entradas que no son constantes.
8.2 Circuitos de Primer Orden Los circuitos que contienen capacitores e inductores pueden representarse mediante ecuaciones diferenciales. El orden de la ecuación es usualmente igual al número de capacitores más el número de inductores en el circuito. Los circuitos que contienen solamente un inductor y ningún capacitor o sólo un capacitor y ningún inductor pueden representarse por una ecuación diferencial de primer orden. Estos circuitos se denominan circuitos de primer orden. Los circuitos equivalentes de Thévenin y Norton simplifican el análisis de circuitos de primer orden al mostrar que los circuitos de primer orden son equivalentes a uno de dos circuitos sencillos de primer orden. La Fig. 8.2-1 muestra como se logra esto. En la Fig. 8.2-1a , un circuito de primer orden es dividido en dos partes. Una parte es el capacitor o inductor único que esperamos encontrar en el circuito de primer orden. La otra parte es el resto del circuito – todo excepto ese capacitor o inductor. El paso siguiente, mostrado en la Fig. 8.2-1b , depende de si el elemento que almacena energía es un capacitor o un inductor. Si es un capacitor, entonces el resto del circuito es reempleado por su circuito equivalente de Thévenin. El resultado es un circuito sencillo de primer orden – un circuito serie consistente de una fuente de voltaje, un resistor y un capacitor. Por otra parte, si el elemento que almacena energía es un inductor, entonces el resto del circuito es reemplazado por su circuito equivalente de Norton. El resultado es otro circuito sencillo de primero orden – un circuito en paralelo consistente de una
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fuente de corriente, un resistor y un inductor. En efecto, todos los circuitos de primer orden son equivalentes a uno de estos dos circuitos simples de primer orden.
Resistores, opamps y fuentes
Un elemento que almacena energía: un inductor o capacitor
Circuito equivalente de Thévenin
Un capacitor
Circuito equivalente de Norton
Un inductor
FIGURA 8.2-1 Un plan para analizar circuitos de primer orden. ( a) Primero, separe el elemento que almacena energía del resto del circuito. ( b) Después, reemplace el circuito conectado a un capacitor por su circuito equivalente de Thévenin o reemplace el circuito conectado a un inductor por su circuito equivalente de Norton
Consideremos el circuito de primer orden mostrado en la Fig. 8.2-2a. La entrada a este circuito es el voltaje ve(t). La salida, o respuesta, de este circuito es el voltaje en el capacitor. Este circuito está en estado estacionario (régimen permanente) antes de que el interruptor se cierre en el instante t = 0. El cierre del interruptor perturba al circuito. Con el tiempo, la perturbación desaparece y el circuito de nuevo alcanza un régimen permanente. La condición de régimen permanente con el interruptor cerrado probablemente no será diferente de la condición en régimen permanente con el interruptor abierto. La Fig. 8.2-2b muestra una gráfica del voltaje en el capacitor versus tiempo. Cuando la entrada a un circuito es sinusoidal, la respuesta en régimen permanente también es sinusoidal (el circuito es lineal). Adicionalmente, la frecuencia de la sinusoide de la respuesta debe ser la misma que la frecuencia de la sinusoide de entrada. El circuito mostrado en la Fig. 8.2-2a está en régimen permanente antes de que el interruptor se cierre. El voltaje en el capacitor en régimen permanente será v(t ) B cos 1000t , t 0
(8.2-1)
El interruptor se cierra en el instante t = 0. El valor del voltaje en el capacitor en el instante en que el interruptor se cierra es v(0) B cos , t 0
(8.2-2)
Después de que el interruptor se cierra, la respuesta consistirá de dos partes: una parte transitoria que desaparece con el tiempo y una parte de estado estacionario. Esta parte de la respuesta será sinusoidal y tendrá la frecuencia de la entrada. Para un circuito de primer orden, la parte transitoria de la respuesta es exponencial. En efecto, consideramos los circuitos de primer orden por separado para aprovecharnos de la forma sencilla de la respuesta transitoria de estos circuitos. Después que se cierra el interruptor, el voltaje del capacitor es v(t ) Ke t M cos 1000t
(8.2-3)
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Respuesta completa
FIGURA 8.2-2 (a) Un circuito y ( b) su respuesta completa.
Observe que Ket tiende a cero conforme t crece. Ésta es la parte transitoria de la respuesta, la cual desaparece, dejando solamente la respuesta de régimen permanente, M cos 1000t . Por cuestiones de vocabulario, la “parte transitoria de la respuesta” con frecuencia se abrevia como la respuesta transitoria , y la “parte de régimen permanente de la respuesta” se abrevia a la “respuesta de régimen permanente”. La respuesta, v(t), dada por la Ec. 8.2-3, se denomina la respuesta completa , en contraste con las
respuestas transitoria y de régimen permanente: respuesta completa = respuesta transitoria + respuesta de régimen permanente (Los ingenieros electricistas usan el término respuesta transitoria es usa de dos formas. Algunas veces si refiere a la “parte transitoria de la respuesta completa”, y otras veces, se refiere a una respuesta completa, la cual incluye una parte transitoria. En particular, PSpice usa el término respuesta transitoria para referirse a la respuesta completa. Esto puede crear confusión, de modo que el término respuesta transitoria se debe usar con mucho
cuidado.) En general, la respuesta completa de un circuito de primer orden puede representarse como la suma de dos partes, la respuesta natural y la respuesta forzada : respuesta completa = respuesta natural + respuesta forzada
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La respuesta natural es la solución general de la ecuación diferencial que representa el circuito de primer orden, cuando la entrada se fija en cero. La respuesta forzada es una solución particular de la ecuación diferencial que representa el circuito. La respuesta completa de un circuito de primer orden dependerá de una condición inicial, usualmente un voltaje en un capacitor o un corriente en un inductor en un instante en particular. Denote por t0 el instante en el cual se da la condición inicial. La respuesta natural de un circuito de primero orden será de la forma t t respuesta natural Ke 0
Cuando t0 = 0, entonces respuesta natural Ket
La constante K en la respuesta natural dependen de la condición inicial, por ejemplo, el voltaje en el capacitor en el instante t0. En este capítulo consideraremos tres casos. En estos casos, la entrada al circuito después de una perturbación será (1) una constante, por ejemplo, f s (t ) V 0
o (2) una exponencial, por ejemplo vs (t ) V0e t
o (3) una sinusoide, por ejemplo vs (t ) V0 cos t
Estos tres casos son especiales porque la respuesta forzada tendrá la misma forma que la entrada. Por ejemplo, en la Fig. 8.2-2, tanto la respuesta forzada como la entrada son sinusoidales , y la frecuencia de la respuesta es la misma que la frecuencia de la entrada. Para otras entradas, la respuesta forzada puede no tener la misma forma que la entrada. Por ejemplo, cuando la entrada es una onda cuadrada, la respuesta forzada no es una onda cuadrada. Cuando la entrada es una constante o una sinusoide, la respuesta forzada también se conoce como la respuesta de estado estacionario o de régimen permanente, y la respuesta natural se conoce como la respuesta transitoria. Nuestro plan para hallar la respuesta completa de circuitos de primer orden es el siguiente: Paso 1: Hallar
la respuesta forzada antes de la perturbación. Evaluar esta respuesta en el instante t = t0 para obtener la condición inicial del elemento que almacena energía. Paso 2: Hallar la respuesta forzada después de la perturbación.
la respuesta natural Ket a la respuesta forzada para obtener la respuesta completa. Usar la condición inicial para evaluar la constante K . Paso 3: Sumar
8.3 La Respuesta de un Circuito de Primer Orden a una Entrada Constante En esta sección hallamos la respuesta completa de un circuito de primer orden cuando la entrada al circuito es constante después del instante t0. La Fig. 8.3-1 ilustra esta situación. En la Fig. 8.3-1a , tenemos un circuito de primer orden que contiene un solo capacitor y ningún inductor. Este circuito está en estado estacionario antes de que el interruptor se cierre, perturbando el estado estacionario. El momento en que se perturba el estado estacionario se denota como t0. En la Fig. 8.3-1a , t0 = 0. El cierre del interruptor remueve el resistor R1 del circuito. (El modelo de un interruptor cerrado es un cortocircuito. Un cortocircuito en paralelo con un resistor es equivalente a un cortocircuito.) Después de que el interruptor se cierra, el circuito puede representar en la forma
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mostrada en la Fig. 8.3-1b. En la Fig. 8.3-1b , la parte del circuito que está conectada al capacitor ha sido reemplazada por su circuito equivalente de Thévenin. Por tanto, Voc
R3 V R2 R3 s
y Rt
R2R3 R2 R3
Representemos el circuito en la Fig. 8.3-1b por una ecuación diferencial. La corriente del capacitor es dada por i(t ) C
d v(t ) dt
La misma corriente, i(t), pasa por el resistor. Aplique ahora la LVK a la Fig. 8.3-1b para obtener d v(t ) v(t ) dt
Voc Rt i(t ) v(t ) Rt C
Por tanto, d dt
v(t )
1 RtC
V oc Rt C
(8.3-1)
La derivada de mayor orden en esta ecuación es de primer orden; por tanto, ésta es una ecuación diferencial de primer orden.
FIGURA 8.3-1 (a) Un circuito de primer orden que contiene un capacitor. ( b) Después del cierre del interruptor, el circuito conectado al capacitor es reemplazado por su circuito equivalente de Thévenin.
A continuación, prestemos atención al circuito mostrado en la Fig. 8.3-2a. Este circuito contiene un solo inductor y ningún capacitor. Este circuito está en estado estacionario antes del cierre del interruptor en el instante t0 = 0, perturbando el estado estacionario. Después que el interruptor se cierra, el circuito puede representarse como se muestra en la Fig. 8.3-2b. En la figura, la parte del circuito que está conectada al inductor ha sido reemplazada por su circuito equivalente de Norton. Calculamos I sc
Vs R2
y Rt
R2 R3 R2 R3
Representemos el circuito en la Fig. 8.3-2b por una ecuación diferencial. El voltaje en el inductor es dado por v(t ) L
d i(t ) dt
El voltaje v(t) aparece en el resistor. Aplique la LCK al nodo superior en la Fig. 8.3-2b para obtener v(t ) I sc i(t ) Rt
L
d i(t ) dt i(t ) Rt
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FIGURA 8.3-2 (a) Un circuito de primer orden que contiene un inductor. ( b) Después del cierre del interruptor, el circuito conectado al inductor es reemplazado por su circuito equivalente de Norton.
Por tanto, R d R i(t ) t i(t ) I sc dt L L
(8.3-2)
Igual que antes, ésta es una ecuación diferencial de primer orden. Las Ecs. 8.3-1 y 8.3-2 tiene la misma forma. Esto es. x(t ) d x(t ) K dt
(8.3-3)
El parámetro se denomina la constante de tiempo . Resolveremos esta ecuación separando las variables e integrando. Entonces usaremos la solución de la Ec. 8.3-4 para obtener soluciones de las Ecs. 8.3-1 y 8.3-2. Podemos reescribir la Ec. 8.3-3 como dx K x dt
o, separando las variables, como dx dt x K
Formando la integral indefinida, tenemos dx
1
x Kt dt D donde D es una constante de integración. Realizando la integración, se obtiene t ln x K D
y resolviendo por x da x(t ) K Ae t
donde A eD y se determina a partir de la condición inicial, x(0). Para hallar A , hacemos t = 0. Entonces x(0) K Ae0 K A
o A x(0) K
Por tanto, obtenemos x(t ) K x(0) K e t
(8.3-4)
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Puesto que x() lím x(t) K t
La Ec. 8.3-4 puede escribirse como x(t) x() x(0) x( ) e t
Tomando la derivada de x(t) con respecto a t conduce a un procedimiento para medir o calcular la constante de tiempo: 1 d x(t ) x(0) x( ) e t dt
Ahora, hacemos t = 0 para obtener 1 d x(t ) x(0) x( ) dt t 0
o
x( ) x(0) d x(t ) dt x 0
(8.3-5)
La Fig. 8.3-3 muestra una gráfica de x(t) versus t. Podemos determinar los valores de (1) la pendiente de la gráfica en el instante t = 0, (2) el valor inicial de x(t), y (3) el valor inicial de x(t) a partir de esta gráfica. La Ec. 8.35 puede usarse para calcular la constante de tiempo a partir de estos valores. En forma equivalente, la Fig. 8.3-3 muestra cómo medir la constante de tiempo a partir de una gráfica de x(t) versus t. Ahora aplicamos estos resultados al circuito RC en la Fig. 8.3-1. Comparando las Ecs. 8.3-1 y 8.3-3, vemos que x(t ) v(t ), RC
y K
V oc RtC
Tangente a x(t) en t = 0
FIGURA 8.3-3 Una técnica gráfica para medir la constante de tiempo de un circuito de primer orden.
Al hacer estas sustituciones en la Ec. 8.3-4, da t R C v(t ) Voc v(0) Voc e t
(8.3-6)
El segundo término en el lado derecho de la Ec. 8.3-6 se desvanece conforme t aumenta. Ésta es la respuesta transitoria o respuesta natural. En t = 0, e0 1 . Si se hace t = 0 en la Ec. 8.3-6, se obtiene v(0) v(0) , como se requiere. Cuando t = 5 , e5 0.0067 0 , así que para un tiempo t = 5 , el voltaje del capacitor será
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v 5 0.9933Voc 0.0067v(0) Voc
Ésta es la respuesta de estado estacionario o respuesta forzada. La respuesta forzada es de la misma forma que la entrada al circuito, una constante en este caso. La suma de las respuestas natural y forzada es la respuesta completa: respuesta completa v(t),
respuesta forzada V oc
y respuesta natural v(0) Voc et RC
Ahora, compare las Ecs. 8.3-2 y 8.3-3 para hallar la solución del circuito RL en la Fig. 8.3-2. Vemos que x(t) i(t),
L Ri
y K
L I sc Rt
Al sustituir estas relaciones en la Ec. 8.3-4, se obtiene R Lt i(t ) I sc i(0) I sc e t
(8.3-7)
Una vez más, la respuesta completa es la suma de la respuesta forzada (estado estacionario) y la respuesta transitoria (natural): respuesta completa y(t ),
respuesta forzada I sc
y R L t respuesta natural i(0) I sc e t
EJEMPLO 8.3-1 Circuito de Primer Orden con un Capacitor
Halle el voltaje en el capacitor después que el interruptor se abre en el circuito mostrado en la Fig. 8.3-4a . ¿Cuál es el valor del voltaje en el capacitor 50 ms después de que se abre el interruptor? Solución
La fuente de voltaje de 2 V hace que el voltaje del capacitor sea igual a 2 V hasta que el interruptor se abra. Como el voltaje en el capacitor no puede cambiar instantáneamente, este voltaje será igual a 2 voltios inmediatamente después de que se abra el interruptor. Por tanto, la condición inicial es v(0) 2 V
La Fig. 8.3-4b muestra el circuito después que el interruptor se abre. Comparando el circuito con el circuito RC en la Fig. 8.3-1b , vemos que Rt 10 k y V oc 8 V
La constante de tiempo para el circuito de primer orden con un capacitor es RtC 10 103 2 106 20 103 20 ns
y, al sustituir estos valores en la Ec. 8.3-6, se obtiene v(t ) 8 6e t 20 V
(8.3-8)
donde t tiene unidades de ms. Para hallar el voltaje 50 ms después de abierto el interruptor, sea t 50 . Entonces v(5) 8 e50 20 7.51 V
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Respuesta completa
FIGURA 8.3-4 (a) Un circuito de primer orden y ( b) un circuito equivalente que es válido después que se cierra el interruptor. ( c) Una gráfica de la respuesta completa, v(t), dada en la Ec. 8.3-8.
EJEMPLO 8.3-2 Circuito de Primer Orden con un Inductor
Halle la corriente en el inductor después del cierre del interruptor en el circuito mostrado en la Fig. 8.3-5a. ¿Cuánto tiempo le toma a la corriente del inductor llegar a 2 mA? Solución
La corriente en el inductor será 0 A hasta que el interruptor se cierra. Como la corriente en el inductor no puede cambiar instantáneamente, será 0 A inmediatamente después de que el interruptor se cierre. Por tanto, la condición inicial es i(0) 0
La Fig. 8.3-5b muestra el circuito después que el interruptor se cierra. Comparando este circuito con el circuito RL en la Fig. 8.3-2b , vemos que Rt 1000 e I m 4 mA
La constante de tiempo para este circuito de primer orden que contiene un inductor es
L 5 103 5 106 5 s Rt 1000
Al sustituir estos valores usando la Ec. 8.3-7, se obtiene i(t ) 4 4e t 2 mA
(8.3-9)
donde t tiene unidades de microsegundos. Para hallar el momento cuando la corriente tiene un valor de 2 mA, se sustituye i(t) = 2 mA. Entonces 2 4 4et 5 mA
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Respuesta completa
FIGURA 8.3-5 (a) Un circuito de primer orden y ( b) un circuito equivalente que es válido después que se cierra el interruptor. ( c) Una gráfica de la respuesta completa, i(t), dada en la Ec. 8.3-9.
y despejando t da 2 4 3.47 s 4
t 5 ln
La Fig. 8.3-5c muestra una gráfica de la corriente en el inductor como una función del tiempo. EJEMPLO 8.3-3 Circuito de Primer Orden
El interruptor en la Fig. 8.3-6a ha estado abierto por un largo tiempo y el circuito ha alcanzado su estado estacionario antes de que el interruptor se cierre en el instante t = 0. Halle el voltaje en el capacitor para t 0. Solución
El interruptor ha estado abierto por un largo tiempo antes de cerrarse en el instante t = 0. El circuito habrá alcanzado el estado estacionario antes de que el interruptor se cierre. Como la entrada a este circuito es una constante, todas las corrientes y voltajes en los elementos serán constantes cuando el circuito esté en estado estacionario. En particular, el voltaje en el capacitor será constante. La corriente en el capacitor será i(t ) C
d d v(t ) C una constante 0 dt dt
El voltaje en el capacitor no se conoce, pero su corriente es cero. En otras palabras, el capacitor actúa como un circuito abierto cuando la excitación es constante y el circuito está en régimen permanente. (Por un argumento similar, los inductores actúan como cortocircuitos cuando la entrada es constante y el circuito está régimen permanente.) La Fig. 8.3-6b muestra el circuito equivalente apropiado mientras el interruptor está abierto. Un interruptor abierto actúa como un circuito abierto; por tanto, los resistores de 10 k y 30 k están en serie. Han sido reemplazados por un resistor equivalente de 40 k. La excitación del circuito es una constante (12 voltios) y el circuito está en estado estacionario; en consecuencia, el capacitor actúa como un circuito abierto. El voltaje en
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este circuito abierto es el voltaje del capacitor. Puesto que estamos interesados en la condición inicial, el voltaje en el capacitor ha sido marcado como v(0). El análisis del circuito en la Fig. 8.3-6b usando división de voltaje da v(0)
60 103 40 103 60 10 3
12 7.2 V
FIGURA 8.3-6 (a) Un circuito de primer orden. El circuito equivalente para ( b) t < 0 y( c) t > 0.
La Fig. 8.3-6c muestra el circuito equivalente apropiado después que el interruptor se cierra. El cierre del interruptor cortocircuita al resistor de 10 k y lo remueve del circuito. (Un cortocircuito en paralelo con cualquier resistor es equivalente a un cortocircuito.) La parte del circuito que está conectada al capacitor ha sido reemplazada por su circuito equivalente de Thévenin. Luego de que el interruptor se cierra, V oc
60 103 30 103 60 10 3
12 8 V
y Rt
30 103 60 103 3
30 10 60 10
3
20 103 20 k
y la constante de tiempo es Rt C 20 103 2 106 40 10 3 ms
Al sustituir estos valores en la Ec. 8.3-6, se obtiene v(t ) 8 0.8e t 40 V
donde t tiene unidades de ms. EJEMPLO 8.3-4 Circuito de Primer Orden
El interruptor en la Fig. 8.3-7a ha estado abierto por un largo tiempo y el circuito ha alcanzado su estado estacionario antes de que el interruptor se cierre en el instante t = 0. Halle la corriente en el inductor para t 0. Solución
La Fig. 8.3-7b muestra el circuito equivalente apropiado cuando el interruptor está abierto. Los resistores de 100 y 200 están en serie y han sido reemplazados por un resistor equivalente de 300 . La entrada al circuito es una constante (12 voltios), y el circuito está en estado estacionario; por tanto, el inductor actúa como un cortocircuito. La corriente en este cortocircuito es la corriente en el inductor. Como estamos interesados en la condición inicial, la corriente inicial en el inductor ha sido marcada como i(0). Esta corriente puede calcularse usando la ley de Ohm:
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i(0)
12 40 mA 300
La Fig. 8.3-7c muestra el circuito equivalente apropiado luego del cierre del interruptor. El cierre de éste cortocircuita el resistor de 100 y lo elimina del circuito. La parte del circuito que está conectada al inductor ha sido reemplazada por su circuito equivalente de Norton. Después del cierre del interruptor Isc
12 60 mA y Rt 200 200
y la constante de tiempo es L 5 103 25 106 25 s Rt 200
La sustitución de estos valores en la Ec.8.3-7, da i(t ) 60 20e t 25 mA
donde t tiene unidades de microsegundos.
100
200
300
200
FIGURA 8.3-7 (a) Un circuito de primer orden. El circuito equivalente para ( b) t < 0 y ( c) t > 0.
EJEMPLO 8.3-5 Circuito de Primer Orden
El circuito en la Fig. 8.3-8a está en estado estacionario antes de que el interruptor se cierre. Halle la corriente i(t) para t > 0. Solución
La respuesta o salida de un circuito puede ser cualquier corriente o voltaje en un elemento. Con frecuencia, la respuesta no es el voltaje en el capacitor o la corriente en el inductor. En la Fig. 8.3-8a , la respuesta es la corriente i(t) en un resistor en vez del voltaje en el capacitor. En este caso, se requieren dos pasos para resolver el problema. Primero, halle el voltaje en el capacitor usando los métodos ya descritos en este capítulo. Una vez conocido el voltaje en el capacitor, escriba ecuaciones de nodo o de mallas para expresar la respuesta en términos de la entrada y el voltaje en el capacitor. Primero hallamos el voltaje en el capacitor. Antes de que se abra el interruptor, el voltaje en el capacitor es igual al voltaje de la fuente de 2 voltios. La condición inicial es v(0) 2 V
La Fig. 8.3-8b muestra como queda el circuito después de que el interruptor se abre. La parte del circuito conectada al capacitor ha sido reemplazada por su circuito equivalente de Thévenin en la Fig. 8.3-8c. Los parámetros del circuito equivalente de Thévenin son V oc
60 103 60 103 60 10 3
84V
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y Rt 30 103
60 103 60 103 3
60 10 60 10
3
60 103 60 k
FIGURA 8.3-8 (a) Un circuito de primer orden, ( b) el circuito después que el interruptor se abre y ( c) el circuito equivalente después que se abre el interruptor.
La constante de tiempo es Rt C 60 103 2 106 120 103 120 ms
Estos valores se sustituyen en la Ec. 8.3-6 y se obtiene v(t ) 4 2e t 120 V
donde t tiene unidades de ms. Ahora que se conoce el voltaje en el capacitor, regresamos al circuito en la Fig. 8.3-8b. Observe que el voltaje nodal en el nodo del medio en la parte superior del circuito ha sido marcado como va(t). La ecuación nodal correspondiente a este nodo es va (t ) 8
60 10
3
va (t )
60 10
3
va (t ) v(t )
30 10 3
0
y al sustituir la expresión para el voltaje en el capacitor, da va (t ) 8
va(t )
60 10
60 10
3
3
va(t ) 4 2e t 120
30 10 3
0
o va (t ) 8 va (t ) 2 va (t ) 2 2e t 120 0
Despejando va (t ) se obtiene 8 2 4 2et 120 va (t ) 4 e t 120 V 4
Finalmente, calculamos i(t) usando la ley de Ohm: i(t )
va (t )
60 103
4 e t 120 66.7 16.7 e t 120 A 3 60 10
donde t tiene unidades de ms. EJEMPLO 8.3-6 Circuito de Primer Orden con t0 0
Hallar el voltaje en el capacitor después que se abre el interruptor en el circuito mostrado en la Fig. 8.3-9a . ¿Cuál es el valor del voltaje en el capacitor 50 ms después de abierto el interruptor?
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Solución
Este ejemplo es similar al Ejemplo 8.3-1. La diferencia entre los dos ejemplos es el instante en el cual el interruptor se abre. El interruptor se abre en el instante t = 0 y en el instante t = 50 ms = 0.05 s en este ejemplo. La fuente de voltaje de 2 V fuerza a que el voltaje del capacitor se mantenga en 2 voltios hasta que se abra el interruptor. En consecuencia, v(t) 2 V para t 0.05 s
En particular, la condición inicial es
v 0.05 2 V
La Fig. 8.3-9b muestra el circuito después de que el interruptor se abre. Comparando este circuito con el circuito RC en l Fig. 8.3-1b , vemos que Rt 10 k y V oc 8 V Respuesta completa
FIGURA 8.3-9 (a) Un circuito de primer orden y ( b) un circuito equivalente que es válido después que el interruptor se abre. ( c) Una gráfica de la respuesta completa, v(t), dada por la Ec. 8.3-10.
La constante de tiempo para este circuito de primer orden con un capacitor es RtC 0.020 s
Una gráfica del voltaje en el capacitor en este ejemplo tendrá la misma forma que la de la gráfica del voltaje en el capacitor en el Ejemplo 8.3-1, pero el voltaje en este ejemplo estará retardado por 50 ms debido a que el interruptor se abrió 50 ms después. Para incluir este retardo, reemplazamos t por t 50 ms en la ecuación que representa el voltaje en el capacitor. Como consecuencia, el voltaje en el capacitor en este ejemplo es dado por (8.3-10) v(t ) 8 6e t 50 20 V donde t tiene unidades de ms. (Compare la Ec. 8.3-8 con la Ec. 8.3-10.) Para hallar el voltaje 50 ms después que el interruptor se abre, tome t = 100 ms. Entonces
v(100) 8 6e 10050
20
7.51 V
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El valor del voltaje en el capacitor 50 ms después que el interruptor se abre es igual al que se obtuvo en el Ejemplo 8.3-1. La Fig. 8.3-9c muestra una gráfica del voltaje en el capacitor en función del tiempo. Como se esperaba, la gráfica es una copia retrasada de la mostrada en la Fig. 8.3-4c. EJEMPLO 8.3-7 Circuito de Primer Orden con t0 0
Hallar la corriente en el inductor después que el interruptor se cierra en el circuito mostrado en la Fig. 8.3-10a. ¿Cuánto tiempo le tomará a la corriente del inductor alcanzar un valor de 2 mA? Solución
Este ejemplo es semejante al Ejemplo 8.3-2. La diferencia entre los dos ejemplos es el momento en cual se cierra el interruptor. Éste se cierra en el instante t = 0 en el Ejemplo 8.3-2 y en t = 10 s en este ejemplo. Respuesta completa
FIGURA 8.3-10 (a) Un circuito de primer orden y ( b) un circuito equivalente que es válido después de que el interruptor se cierra. ( c) Una gráfica de la respuesta completa, i(t), dada por la Ec. 8.3-11-
La corriente en el inductor será 0 A hasta que el interruptor se cierre. Como el inductor no puede cambiar instantáneamente, será 0 A inmediatamente después que el interruptor se cierra. Por tanto, la condición inicial es i 10 s 0 A
La Fig. 8.3-10b muestra el circuito después del cierre del interruptor. Si se compara este circuito con el circuito RL en la Fig. 8.3-2b , vemos que Rt 1000 e I sc 4 mA
La constante de tiempo para este circuito de primer orden con un inductor es
L 5 103 5 106 5 s 1000 Rt
Una gráfica de la corriente en el inductor en este ejemplo tendrá la misma forma que la de la gráfica para la corriente en el inductor en el Ejemplo 8.3-2, pero en este ejemplo la corriente estará retardada por 10 s, debido a que el inductor se cierra 10 s después. Para incluir este retardo, se reemplaza t por t 10 s en la ecuación que representa la corriente del inductor. En consecuencia, la corriente del inductor en este ejemplo es dada por
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5
i(t ) 4 4e t 10
mA
(8.3-11)
donde t tiene unidades de microsegundos. (Compare la Ec. 8.3-9 con la Ec. 8.3-11.) Para hallar el momento cuando la corriente alcanza el valor de 2 mA, se sustituye i(t) = 2 mA. Entonces
5
2 4 4e t 10
mA
y despejando t , se obtiene 2 4 10 13.47 s 4
t 5 ln
Como el interruptor se cierra en t = 10 s, se requiere un tiempo adicional de 3.47 s después que el interruptor se cierra para que el valor de la corriente llegue a 2 mA. La Fig. 8.3-10c muestra una gráfica de la corriente en el inductor como una función del tiempo. Como se esperaba, esta gráfica es una copia retrasada de la gráfica mostrada en la Fig. 8.3-5c. EJEMPLO 8.3-8 Respuesta Exponencial de un Circuito de Primer Orden
La Fig. 8.3-11a muestra una gráfica del voltaje en el inductor en la Fig. 8.3-11 b. (a) Determine la ecuación que representa el voltaje en el inductor como una función del tiempo. (b) Determine el valor de la resistencia R. (c) Determine la ecuación que representa la corriente en el inductor como una función del tiempo.
FIGURA 8.3-11 (a) Un circuito de primer orden y ( b) una gráfica del voltaje en el inductor.
Solución
(a) El voltaje en el inductor es representado por una ecuación de la forma para t 0 D at para t 0 E F e
v(t )
donde D , E , F y a son constantes desconocidas. Las constantes D , E y F son descritas por D v(t ) cuando t 0, E lím v(t ) y E F lím v(t ) t
En la gráfica vemos que Por tanto
D 0, E 0 y E F 4 V
t0
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0 para t 0 at 4e para t 0
v(t )
Para determinar el valor de a , escogemos un tiempo en el cual circuito no está en estado estacionario. En la gráfica de la Fig. 8.3-11 está marcado uno de estos puntos. Vemos que v(0.14) 2 V , esto es, el valor del voltaje es 2 voltios en el instante t = 0.14 segundos. Sustituyendo estos valores en la ecuación para v(t) da 2 4e a 0.14
a
ln 0.5 5 0.4
y en consecuencia 0 para t 0 5t 4e para t 0
v(t )
(b) La Fig. 8.3-12a muestra el circuito inmediatamente después del cierre del interruptor. En la Fig. 8.3-12b , la parte del circuito conectada al inductor se reemplazó por su circuito equivalente de Thévenin.
FIGURA 8.3-12 (a) El circuito de primer orden después de que se abre el interruptor. (b) Un circuito equivalente.
La constante de tiempo del circuito es dada por L 4 Rt R 5
También, la constante de tiempo está relacionada con el exponente en v(t) por 5t t . Por tanto, 5
1
R5 4
R 15
(c) La corriente y el voltaje en el inductor están relacionados por i(t )
1 L
t
v() d i(0) 0
La Fig. 8.3-13 muestra el circuito antes de que el interruptor se abra. El interruptor cerrado se representa mediante un cortocircuito. El circuito está en régimen permanente y las fuentes de voltaje tienen voltajes constantes, de modo que el inductor actúa como un cortocircuito. La corriente en el inductor es dada por En particular, i 0 0.4 A . La corriente en un inductor es continua y, por tanto, i 0 i 0 . En consecuencia, i(0) 0.4 A
Regresando a la ecuación para la corriente en el inductor, después que el interruptor se abre, tenemos i(t )
1 4
t
4e 0
5
d 0.4
1 5t e 1 0.4 0.6 0.2e5t 5
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FIGURA 8.3-13 El circuito de primer orden antes de que el interruptor se abra.
En resumen, 0.4 para t 0 5t 0.6 0.2e para t 0
i(t )
EJERCICIO 8.3-1 El circuito mostrado en la Fig. E8.3-1 está en estado estacionario antes del cierre del interruptor en t = 0. Determine el voltaje en el capacitor v(t) para t 0. 3
6
6
FIGURA E 8.3-2 Respuesta: i(t )
1 1 1.33t A para t 0 . e 4 12
8.4 Conmutación Secuencial Con frecuencia, los circuitos contienen varios conmutadores que no actúan al mismo tiempo. Por ejemplo, un circuito puede tener dos conmutadores, donde el primer cambia de estado en el instante t 0 y el segundo se cierra en t = 1 ms. La conmutación secuencial ocurre cuando un circuito contiene dos o más conmutadores que cambian de estado en instantes diferentes. Los circuitos con conmutación secuencial pueden resolverse usando los métodos descritos en las secciones previas, con base en el hecho de que las corrientes en los inductores y los voltajes en los capacitores no cambian instantáneamente. Como un ejemplo de la conmutación secuencial, consideremos el circuito mostrado en la Fig. 8.4-1a. Este circuito contiene dos conmutadores – uno que cambia de estado en el instante t = 0 y un segundo que se cierra en t = 1 ms. Supóngase que este circuito ha alcanzado el estado estacionario antes de que el conmutador cambie de estado en t = 0. La Fig. 8.4-1b muestra el circuito equivalente que es apropiado para t < 0. Como el circuito está en estado estacionario y la entrada es una constante, el inductor actúa como un cortocircuito y la corriente en este cortocircuito es la corriente en el inductor. El cortocircuito hace que el voltaje en el resistor sea cero, de modo
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que la corriente en el resistor también es cero. Como un resultado, toda la corriente de la fuente fluye en el cortocircuito e i(t ) 10 A, t 0
2
2
2
1
FIGURA 8.4-1 (a) Un circuito con conmutación secuencial. ( b) El circuito equivalente antes de t 0 . (c) El circuito equivalente para 0 < t < 1 ms. ( d) El circuito equivalente después de t = 1 ms.
La corriente en el inductor será 10 A inmediatamente antes de que el interruptor cambie de estado en el instante t = 0. Esto lo expresamos como i 0 10 A
Puesto que la corriente en el inductor no cambia instantáneamente, ella también tendrá un valor de 10 A inmediatamente después que el conmutador cambia de estado. Esto es, i 0 10 A
Ésta es la condición inicial que se usa para calcular la corriente en el inductor después de t = 0. La Fig. 8.4.1c muestra el circuito equivalente que es apropiado después que un interruptor cambia de estado en t = 0 y antes de que el otro interruptor se cierre en t = 1 ms. Vemos que el equivalente de Norton de la parte del circuito conectada al inductor tiene los parámetros Isc 0 A y Rt 2
La constante de tiempo del circuito de primer orden es
L 2 103 1 103 1 ms Rt 2
La corriente en el inductor es i(t ) i(0) e t 10e t A
para 0 < t < 1 ms. Observe que t tiene unidades de ms. Inmediatamente antes de que el otro interruptor se cierre en t = 1 ms, la corriente en el inductor será i 1 10e1 3.68 A
Puesto que la corriente en el inductor no cambia instantáneamente, la corriente en el inductor también será 3.68 A inmediatamente después que el interruptor cambie de estado. Esto es, i 1 3.68 A
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Ésta es la condición inicial que se usa para calcular la corriente en el inductor después del cierre del conmutador en el instante t = 1 ms. La Fig. 8.4-1d muestra el circuito equivalente apropiado. Vemos que el equivalente de Norton de la parte del circuito conectada al inductor tiene los parámetros Isc 0 A y Rt 1
La constante de tiempo del circuito de primer orden es L 2 103 2 103 2 ms Rt 1
y la corriente en el inductor es t t i(t ) i t0 e 0 3.68 e t1 2 A
para 1 ms < t. Una vez más, t tiene unidades de ms. También, t0 denota el momento cuando el interruptor cambia de estado – 1ms en este ejemplo. La Fig. 8.4-2 muestra una gráfica de la corriente en el inductor. La constante de tiempo cambia cuando el segundo interruptor se cierra. Como un resultado, la pendiente de la gráfica cambia en t = 1 ms. Inmediatamente antes de que el interruptor se cierre, la pendiente es 3.68 A/ms. Inmediatamente después del cierre, la pendiente se convierte en 3.68/2 A/ms.
FIGURA 8.4-2 Corriente para t 0. La exponencial tiene una constante de tiempo diferente para 0 t < t1 y para t t1 , donde t1 = 1 ms.
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PROBLEMAS Sección 8.3 La Respuesta de un Circuito de Primer Orden a una Entrada Constante
El circuito mostrado en la Fig. P 8.3-1 está en estado estacionario antes de que se cierre el interruptor en t = 0. La entrada al circuito es el voltaje de la fuente de voltaje, 12 V. La salida de este circuito es el voltaje en el capacitor, v(t). Determine v(t) para t > 0. P8.3-1
Respuesta: v(t ) 6 2e 1.33t V para t 0 .
Figura P8.3-1
El circuito mostrado en la Fig. P8.3-2 está en estado estacionario antes del cierre del interruptor en t = 0. La entrada al circuito es el voltaje de la fuente, 12 V. La salida de este circuito es la corriente en el inductor, i(t). Determine i(t) para t > 0. P8.3-2
Respuesta: i(t ) 1 e 0.5t A para t 0 .
Figura P8.3-2
El circuito mostrado en la Fig. P8.3-3 está en estado estacionario antes de que se cierre el interruptor en t = 0. Determine el voltaje del capacitor v(t) para t > 0. P8.3-3
Respuesta: v(t ) 6 18e 6.67t V para t 0 .
Figura P8.3-3
El circuito mostrado en la Fig. P8.3-4 está en estado estacionario antes del cierre del interruptor en t = 0. Determine la corriente en el inductor i(t) para t > 0. P8.3-4
Respuesta: i(t ) 2
10 0.5t A para t 0 . e 3
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Figura P8.3-4
El circuito mostrado en la Fig. P8.3-5 está en estado estacionario antes del cierre del interruptor en t = 0. Determine el voltaje vo(t) para t > 0. P8.3-5
Respuesta: vo (t ) 10 5e12.5t V para t 0 .
Figura P8.3-5
El circuito mostrado en la Fig. P8.3-6 está en estado estacionario antes del cierre del interruptor en t = 0. Determine el voltaje vo(t) para t > 0. P8.3-6
Respuesta: vo (t ) 5e 4000t V para t 0 .
Figura P8.3-6
La Fig. P8.3-7a muestra al astronauta Dale Gardner usando la unidad de maniobra tripulada para acoplarse con el satélite WestarVI el 14 de Noviembre, 1964. Gardner usó una larga herramienta denominada el dispositivo de captura de apogeo (ACD, por sus siglas en inglés) para estabilizar el satélite y capturarlo para su recuperación, como se muestra en la Fig. P8.3-7a. El ACD puede ser modelado por el circuito de la Fig. P8.3-7b. Halle la corriente en el inductor, iL , para t > 0. P8.3-7
Respuesta: iL (t ) 6e 20t A .
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Figura P8.3-7 (a) El astronauta Dale Gardner usando la unidad tripulada de maniobra para acoplarse con el satélite Westar VI . ( b) Modelo del dispositivo de captura de apogeo. Suponga que el interruptor ha estado en posición por un largo tiempo en t = 0.
El circuito mostrado en la Fig. P8.3-8 está en estado estacionario antes de que el interruptor se abra en t = 0. La entrada al circuito es el voltaje de la fuente de voltaje, V s. Esta fuente de voltaje es una fuente de cd; esto es, V s es una constante. La salida de este circuito es el voltaje en el capacitor, vo(t). El voltaje de salida es dado por P8.3-8
vo (t) 2 8 e0.5t V para t 0
Determine los valores del voltaje de entrada V s, la capacitancia C y la resistencia R.
Figura P8.3-8
El circuito mostrado en la Fig. P8.3-9 está en estado estacionario antes de que el interruptor se cierre en t = 0. La entrada al circuito es el voltaje de la fuente de voltaje, 24 V. La salida de este circuito, el voltaje en el resistor de 3 , es dado por P8.3-9
vo (t ) 6 3 e0.35t V cuando t 0
Determine el valor de la inductancia L y de las resistencias R1 y R2.
Figura P8.3-9
Una alarma de seguridad para la puerta de un edificio de oficinas es modelada por el circuito de la Fig. P8.3-10. El interruptor representa la cerradura de la puerta y v es el voltaje indicador de alarma. Hallar v(t) para t > 0 para el circuito de la Fig. P8.3-10. El interruptor ha estado cerrado por un largo tiempo en t 0 . P8.3-10
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Figura P8.3-10 Un circuito de alarma de seguridad. P8.3-11
El voltaje v(t) en el circuito mostrado en la Fig. P8.3-11 es dado por v(t ) 8 6e 2t V para t 0
Determine los valores de R1 , R2 y C.
Figura P8.3-11
El circuito mostrado en la Fig. P8.3-12 está en estado estacionario cuando el interruptor se abre en t = 0. Determine i(t) para t 0. P8.3-12
Figura P8.3-12
El circuito mostrado en la Fig. P8.3-13 está en estado estacionario cuando el interruptor se abre en t = 0. Determine v(t) para t 0. P8.3-13
Figura P8.3-13
El circuito mostrado en la Fig. P8.3-14 está en estado estacionario cuando el interruptor se abre en t = 0. Determine i(t) para t 0. P8.3-14
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Figura P8.3-14
El circuito mostrado en la Fig. P8.3-15 está en estado estacionario cuando el interruptor se cierra en t = 0. Halle la corriente en el inductor después que el interruptor se cierra. P8.3-15
Figura P8.3-15 Sugerencia: i(0) = 0.1 A, I sc = 0.3 A, Rt = 40 Respuesta: i(t ) 0.3 0.2 e 2t A, t 0
Considere el circuito mostrado en la Fig. P8.3-16. (a) Determine la constante de tiempo y el voltaje del capacitor en régimen permanente cuando se abre el interruptor. (b) Determine la constante de tiempo y el voltaje en el capacitor en estado estacionario cuando el interruptor está cerrado. P8.3-16
Figura P8.3-16
El circuito mostrado en la Fig. P8.3-17 está en estado estacionario antes de que se cierre el interruptor. La respuesta del circuito es el voltaje v(t). Halle v(t) para t > 0. P8.3-17
Sugerencia: Después que el interruptor se cierra, la corriente en el inductor es i(t ) 0.2 1 e 1.8t A . Respuesta: v(t ) 8 e1.8t V
Figura P8.3-17
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El circuito mostrado en la Fig. P8.3-18 está en estado estacionario antes de que se cierre el interruptor. La respuesta del circuito es el voltaje v(t). Halle v(t) para t > 0. P8.3-18
Respuesta: v(t ) 37.5 97.5e 6400t V
Figura P8.3-18
El circuito mostrado en la Fig. P8.3-19 está en estado estacionario antes de que se cierre el interruptor. La respuesta del circuito es el voltaje v(t). Halle v(t) para t > 0. P8.3-19
Figura P8.3-19
El circuito mostrado en la Fig. P8.3-20 está en estado estacionario antes de que se cierre el interruptor. Determine i(t) para t > 0. P8.3-20
5
20
20
20
Figura P8.3-20
El circuito en la Fig. P8.3-21 está en estado estacionario antes de que se cierre el interruptor. Determina una ecuación que represente el voltaje en el capacitor después que el interruptor se cierra. P8.3-21
10 40
Figura P8.3-21
El circuito mostrado en la Fig. P8.3-22 está en estado estacionario cuando el interruptor se cierra en t 0 . Determine i(t) para t 0.
P8.3-22
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89
Figura P8.3-22
El circuito en la Fig. P8.3-23 está en estado estacionario antes de que se cierre el interruptor. Determine una ecuación que represente la corriente en el inductor después de que se cierra el interruptor. P8.3-23
40 20
60
Figura P8.3-23
Considere el circuito mostrado en la Fig. P8.3-24a y la gráfica correspondiente de la corriente en el inductor mostrada en la Fig. P8.3-24b. Determine los valores de L , R1 y R2. P8.3-24
Sugerencia: Use la gráfica para determinar valores de D , E , F y a tales que la corriente en el inductor pueda
representarse como para t 0 D at para t 0 E Fe
i(t )
Respuestas: L = 4.8 H, Rt = 200 y R2 = 300 .
Figura P8.3-24
Considere el circuito mostrado en la Fig. P8.3-25a y la gráfica correspondiente del voltaje en el resistor de 40 mostrado en la Fig. P8.3-25b. Determine los valores de L y R2. P8.3-25
Sugerencia: Use la gráfica para determinar valores D , E , F y a tales que el voltaje pueda representarse como
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90
para t 0 D at para t 0 E Fe
v(t )
Respuestas: L = 8 H y R2 = 10 .
Figura P8.3-25 P8.3-26
Determine vo(t) para t > 0 para el circuito mostrado en la Fig. P8.3-26. t= 0 18
18 18
Figura P8.3-26
El circuito mostrado en la Fig. P8.3-27 está en estado estacionario antes de que el interruptor se cierre en t = 0. Después de que el interruptor se cierra, la corriente en el inductor es dada por P8.3-27
i(t ) 0.6 0.2e 5t A para t 0
Determine los valores de R1 , R2 y L. Respuestas: R1 = 20 , R2 = 10 y L = 4 H.
Figura P8.3-27
Después del instante t = 0, un circuito dado es representado por el diagrama de circuito mostrado en la Fig. P8.3-28. P8.3-28
(a) Supóngase que la corriente en el inductor es i(t ) 21.6 28.4e4t mA para t 0
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91
Determine los valores de R1 y R3. (b) Supóngase más bien que R1 = 16 , R3 = 20 y que la condición inicial es i(0) = 10 mA. Determine la corriente en el inductor para t 0.
Figura P8.3-28 P8.3-29
Considere el circuito mostrado en la Fig. P8.3-29.
(a) Determine la constante de tiempo y el voltaje del capacitor en estado estacionario v() cuando se abre el interruptor. (b) Determine la constante de tiempo y el voltaje del capacitor en estado estacionario v() cuando se cierra el interruptor. Respuestas: (a) = 3s y v() = 24 V; (b) = 2.25 s y v() = 12 V.
Figura P8.3-29
Sección 8.4 Conmutación Secuencial
El circuito mostrado en la Fig. P8.4-1 está en estado estacionario antes del cierre del interruptor en el instante t = 0. El interruptor permanece cerrado por 1.5 s y después se abre. Determine el voltaje del capacitor v(t) para t > 0. P8.4-1
Sugerencia: Determine v(t) cuando el interruptor está cerrado. Evalúe v(t) en t = 1.5 s para obtener v(1.5). Use v(1.5) como la condición inicial para determinar v(t) después de que el interruptor se abre de nuevo.
5 5et V para 0 t 1.5 s Respuesta: v(t ) t 10 2.64 e 2.5 1.5 V para 1.5 s t 8
8
Figura P8.4-1
El circuito mostrado en la Fig. P8.4-2 está en estado estacionario antes del cierre del interruptor en el instante t = 0. El interruptor permanece cerrado por 1.5 s y después se abre. Determine la corriente en el inductor i(t) para t > 0. P8.4-2
