DISEÑO SÍSMICO BASADO EN DESPLAZAMIENTOS (DDBD

DISEÑO SÍSMICO BASADO EN DESPLAZAMIENTOS (DDBD)

AUTOR

ING. FRANCISCO J. PÉREZ VARGAS [email protected]

MEDELLÍN, JUNIO DE 2014

Prohibida la reproducción parcial o total de este documento por cualquier medio, sin autorización escrita del autor.


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RESUMEN Desde hace algunos años se ha cuestionado el diseño basado en fuerzas (FBD), que parte de los espectros de aceleraciones y se utiliza actualmente en muchos países y en la Norma Colombiana NSR-10; se ha señalado que su aplicación es cada vez más compleja, pero que los resultados no predicen de manera clara y confiable el comportamiento sísmico de las estructuras. Priestley-Calvi-Kowalski desarrollaron desde 1993 el Método de Diseño Directo Basado en Desplazamientos (DDBD); este método se basa en espectros de desplazamientos y es una invitación a volver a los principios básicos del análisis estructural; es una propuesta completa, clara y sencilla, que ha alcanzado la madurez suficiente para su uso confiable en la práctica. Este documento explica dicha metodología y hace aportes en algunos aspectos de su aplicación en el diseño práctico de edificios; se compara con la Norma NSR-10 y se presentan ejemplos numéricos de su uso en sistemas de muros y de pórticos. En un Apéndice se incluye una propuesta de Norma alterna para el diseño DDBD. Palabras Clave: Diseño sísmico directo basado en desplazamientos (DDBD), estructura sustituta, espectros de desplazamiento sísmico, torsión estructural, edificios de concreto, Norma NSR

ABSTRACT In recent years, it has been questioned the Force-Based-Design (FBD) and the use of acceleration spectra for the design of buildings; this method is currently used in many countries, included the NSR-10 Standard in Colombia. It has been noted that its application is becoming increasingly complex, but the results do not predict clearly and reliably the seismic performance of structures. Priestley-Calvi-Kowalski developed since 1993 the Direct Displacement-Based Seismic Design of Structures (DDBD), based on displacement spectra; it is an invitation to return to the basic principles of structural analysis. This proposal is complete, simple and clear and has become mature enough for reliable use in practice. This paper explains the DDBD methodology, compairing it with the standard NSR-10, complements some aspects of its application in practical design of buildings and presents numerical examples of its use in systems of walls and frames. An Appendix includes a proposed alternative Norm for DDBD design. Keywords: Direct Displacement-Based Seismic Design of Structures (DDBD), sustitute structure, seismic displacement spectra, structural torsion, concrete buildings, NSR Standard

CONTENIDO

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CONTENIDO NOMENCLATURA ................................................................................................................................... XXI INTRODUCCIÓN .................................................................................................................................... XXV 1.

DISEÑO POR DESEMPEÑO ................................................................................................................. 1-1 1.1.

ESTADOS LÍMITE DE DISEÑO Y NIVELES DE DESEMPEÑO .......................................................... 1-3

1.2.

ESTADOS LÍMITE DE DISEÑO PARA LA ESTRUCTURA ................................................................. 1-3

1.2.1. 1.2.2. 1.3.

ESTADOS LÍMITE DE DISEÑO PARA LOS ELEMENTOS NO ESTRUCTURALES .............................. 1-6

1.3.1.

2.

Clasificación de las derivas o distorsiones angulares ........................................................ 1-7

1.4.

SEPARACIÓN ENTRE EDIFICIOS PARA PROTECCIÓN CONTRA GOLPETEO(“SEISMIC POUNDING”) ................................................................................................................................................... 1-9

1.5.

ESPECTROS SÍSMICOS DE DISEÑO ............................................................................................. 1-9

MÉTODOS BASADOS EN FUERZAS (FBD), CON ÉNFASIS EN NSR-10 ................................................... 2-1 2.1.

PROCEDIMIENTO PASO A PASO DEL DISEÑO SISMO RESISTENTE EN NSR-10 (MÉTODO FBD) . 2-1

2.2.

COMENTARIOS AL PROCEDIMIENTO FBD DE LA NORMA NSR-10 ............................................. 2-3

2.3.

DISEÑO POR CAPACIDAD DE EDIFICIOS DE CONCRETO REFORZADO EN NSR-10 Y EN ACI-318-08 ................................................................................................................................................... 2-6

2.3.1. 2.3.2. 2.3.3. 2.3.4. 2.4.

2.5.

Diseño de las vigas por capacidad .................................................................................... 2-7 Diseño de las columnas por capacidad ............................................................................. 2-8 Diseño de los muros por capacidad ................................................................................ 2-10 Diseño de la cimentación por capacidad ........................................................................ 2-11

DISEÑO DE LOS MUROS POR DESPLAZAMIENTOS EN NSR-10 Y EN ACI-318-08 ..................... 2-12

2.4.1. 2.4.2. 16 2.4.3.

Necesidad de confinar los elementos de borde ............................................................. 2-14 Comentario a la metodología de la NSR-10 y del ACI-318 para confinamiento de muros . 2Longitud de la zona confinada de los elementos de borde ............................................ 2-17

CUESTIONAMIENTO A LOS MÉTODOS DE DISEÑO BASADOS EN FUERZAS (FBD) ................... 2-18

2.5.1. 2.5.2. 2.5.3. 3.

Estados límite de diseño para los elementos de la estructura ......................................... 1-5 Estados límite de diseño para la curvatura de los muros de concreto ............................. 1-5

“Mitos y Falacias en Ingeniería Sismo Resistente” ......................................................... 2-18 Algunas hipótesis no válidas de los métodos FBD .......................................................... 2-19 Métodos de diseño basados en desplazamientos (DBD) ................................................ 2-20

MÉTODOS BASADOS EN DESPLAZAMIENTOS (DDB) .......................................................................... 3-1 3.1.

CURVATURA DE FLUENCIA DE UNA SECCIÓN ............................................................................ 3-4

3.2.

EL CONCEPTO DE DUCTILIDAD ................................................................................................ 3-12

CONTENIDO

vi

3.2.1. 3.2.2. 3.2.3. 3.2.4. 3.3.

Capacidad de ductilidad de curvatura para diferentes estados límite de diseño ........... 3-13 Demandas de ductilidad para los muros ........................................................................ 3-14 Demanda de ductilidad de desplazamiento para un pórtico .......................................... 3-16 Demanda de ductilidad en el caso general (sistemas de pórticos, muros o combinados) .... ........................................................................................................................................ 3-18

ESTRUCTURA SUSTITUTA DE GULKAN-SOZEN, SHIBATA-SOZEN ............................................. 3-19

3.3.1. Rigidez secante elástica equivalente .............................................................................. 3-20 3.3.2. Amortiguamiento viscoso equivalente a la ductilidad .................................................... 3-21 3.3.3. Espectro sísmico de desplazamientos con amortiguamiento modificado ...................... 3-23 3.3.4. Altura efectiva y Masa efectiva del SDOF equivalente ................................................... 3-27 3.3.5. Desplazamiento de fluencia del SDOF equivalente al sistema completo ....................... 3-27 3.3.6. Determinación del desplazamiento de diseño ............................................................... 3-30 3.3.6.1. Edificios de muros - Perfil de desplazamientos del sistema .............................................. 3-31 3.3.6.1.1 Cuando rigen los requisitos de la Norma de diseño .............................................. 3-31 3.3.6.1.2 Cuando rigen los requisitos de deformaciones unitarias de los materiales .......... 3-35 3.3.6.1.3 Perfil de desplazamientos para los muros ........................................................... 3-37 3.3.6.2. Edificios de pórticos .......................................................................................................... 3-37 3.3.6.3. Edificios combinados con muros y pórticos ...................................................................... 3-39 3.3.6.4. Edificios de muros estructurales con vigas de acople ....................................................... 3-42 3.3.7. Fuerza cortante basal de diseño y distribución entre los componentes de la estructur 3-44 3.3.8. Distribución del cortante sísmico en altura .................................................................... 3-45 3.3.9. Determinación de las fuerzas de diseño de los elementos............................................. 3-45 3.3.9.1. Análisis de pórticos basado en modelos elásticos con rigideces ajustadas ...................... 3-45 3.3.9.2 Análisis de pórticos basado en condiciones de equilibrio .................................................... 3-47 3.4.

MANEJO DE LA RESPUESTA TORSIONAL EN EL MÉTODO DDBD .............................................. 3-50

3.5.

DISEÑO POR CAPACIDAD EN EL MÉTODO DDBD ..................................................................... 3-56

3.5.1. Efectos de los modos superiores según Priestley (2003) ................................................ 3-57 3.5.2. Análisis simplificados de los efectos de los modos superiores (Priestley et al. 2007) .... 3-58 3.5.2.1. Pórticos de concreto reforzado ......................................................................................... 3-58 3.5.2.2. Muros de concreto reforzado ........................................................................................... 3-59 3.5.3. Efectos de los modos superiores según Restrepo J.I. (2007) .......................................... 3-61 3.6.

PROCEDIMIENTO PASO A PASO DEL MÉTODO DDBD ............................................................. 3-62

3.7.

COMENTARIOS AL PROCEDIMIENTO DDBD ............................................................................. 3-65

3.8.

RESUMEN DEL MÉTODO DDBD ............................................................................................... 3-71

3.8.1. 3.8.2. 3.8.3. 3.8.4. 4.

Valores característicos de un SDOF equivalente a un MDOF (Estructura sustituta) ...... 3-71 Perfil de desplazamientos de los muros ......................................................................... 3-71 Perfil de desplazamientos de los pórticos ...................................................................... 3-72 Perfil de desplazamientos para los sistemas combinados .............................................. 3-72

TEMAS QUE REQUIEREN MAYOR INVESTIGACIÓN ............................................................................ 4-1 4.1. AJUSTES DEL CORTANTE DE DISEÑO EN EL DDBD Y EN EL MÉTODO DE LA ESTRUCTURA SUSTITUTA EN EL DISEÑO DE EDIFICIOS .................................................................................................... 4-1 4.1.1. 4.1.2.

Caso a- Todos los elementos llegan a fluencia para el desplazamiento de diseño........... 4-2 Caso b – Algunos elementos no llegan a fluencia para el desplazamiento de diseño ...... 4-2

CONTENIDO

vii

4.1.3. 4.1.4.

Caso c – Ningún elemento llega a fluencia para el desplazamiento de diseño ................ 4-4 Caso d – El desplazamiento de diseño es mayor que el desplazamiento espectral máximo .......................................................................................................................................... 4-7 4.1.4.1. Edificios de muros ............................................................................................................... 4-8 4.1.4.2. Edificios de pórticos ............................................................................................................ 4-8 4.1.5. Caso e – El desplazamiento de fluencia es mayor que el desplazamiento espectral máximo .......................................................................................................................................... 4-9 4.2.

ESTRUCTURAS DE MUROS EN SITIOS CON DESPLAZAMIENTO Sd MÁXIMO PEQUEÑO ............ 4-9

4.2.1. 4.3.1. 4.3.2.

Muros que permanecen elásticos para el sismo de diseño ............................................ 4-10 Muros que llegan a fluencia, pero no requieren elementos de borde confinados ........ 4-11 Comportamiento sísmico de los muros esbeltos ............................................................ 4-13

4.3. COMENTARIOS SOBRE LOS ESPECTROS DE DESPLAZAMIENTO DE NSR-10 PARA BOGOTÁ Y MEDELLÍN................................................................................................................................................. 4-14 4.4.

LOS LÍMITES DE CONTROL DE DERIVAS DE LA NORMA NSR-10 Y EL DDBD ............................. 4-16

4.5.

EDIFICIOS BAJOS, REGULARES, CON SISTEMA DE MUROS ESTRUCTURALES .......................... 4-17

4.6.

LA NECESIDAD DE CONFINAR LOS MUROS EN ACI-318 (NSR-10) Y EL DBD ............................ 4-20

4.6.1. 4.6.2. 4.7.

INTERACCIÓN SUELO-CIMENTACIÓN-ESTRUCTURA ................................................................ 4-25

4.7.1. 4.7.2. 4.7.3. 4.8.

Cimentaciones superficiales ........................................................................................... 4-27 Cimentaciones profundas con pilotes verticales ............................................................ 4-28 Cimentaciones profundas con pilotes inclinados ........................................................... 4-32

EFECTOS P-DELTA .................................................................................................................... 4-34

4.8.1. 4.8.2.

Los efectos P-Delta, paso a paso ..................................................................................... 4-34 Elección de la rigidez requerida y del cortante basal de diseño de la estructura ........... 4-36

4.9.

ELEMENTOS NO ESTRUCTURALES EN EDIFICIOS DE MUROS – “DERIVA VERTICAL” ............... 4-37

4.10.

MUROS CON SECCIONES ASIMÉTRICAS ................................................................................... 4-39

4.11.

EDIFICIOS DE CONFORMACIÓN IRREGULAR ............................................................................ 4-40

4.11.1. 4.11.2. 5.

Necesidad de elementos de borde confinados, según DBD ........................................... 4-21 Necesidad de elementos de borde confinados, según ACI-318, NSR-10 y el DBD ......... 4-24

Análisis de plastificación progresiva (“Pushover “) ........................................................ 4-41 Análisis cronológicos (“Time History Analyses”, THA) .................................................... 4-42

EJEMPLOS DE DISEÑOS DE EDIFICIOS POR DDBD .............................................................................. 5-1 5.1.

EJEMPLO 1X – SUELO TIPO D (NSR-10) - SISMO X – θc = 0.025 ................................................. 5-4

5.1.1. Paso 1 - Pre-dimensionar la estructura............................................................................. 5-4 5.1.2. Paso 2 - Perfil de desplazamientos del sistema, masa efectiva Me y altura del SDOF equivalente, He .................................................................................................................................. 5-4 5.1.3. Paso 3 - Desplazamiento de diseño, ∆de .......................................................................... 5-6 5.1.4. Paso 4 - Ductilidad de desplazamiento del sistema .......................................................... 5-6 5.1.5. Paso 5 - Amortiguamiento viscoso equivalente a la ductilidad de desplazamiento ......... 5-6 5.1.6. Paso 6 - Espectro de desplazamientos para el amortiguamiento equivalente ................. 5-7 5.1.7. Paso 7- Período efectivo requerido ................................................................................. 5-7

CONTENIDO

viii

5.1.8. 5.1.9. 5.1.10. 5.1.11. 5.2.

Paso 8 - Rigidez efectiva mínima requerida para alcanzar el estado límite de diseño ..... 5-7 Paso 9 - Calcular la fuerza lateral total de diseño – Estado Límite de Control de daños .. 5-7 Paso 10 - Distribuir la fuerza lateral entre los elementos de la estructura y en altura .... 5-9 Paso 11 - Diseño por capacidad – Muros M1 ................................................................... 5-9

EJEMPLO 1Y – SUELO TIPO D (NSR-10) - SISMO Y – θc = 0.025 ............................................... 5-11

5.2.1. Paso 1 - Pre-dimensionar la estructura........................................................................... 5-11 5.2.2. Paso 2 – Perfil de desplazamientos del sistema, masa efectiva Me y altura del SDOF equivalente, He ................................................................................................................................ 5-12 5.2.3. Paso 3 - Desplazamiento de diseño, ∆de ........................................................................ 5-13 5.2.4. Paso 4 - Ductilidad de desplazamiento del sistema ........................................................ 5-13 5.2.5. Paso 5 - Amortiguamiento viscoso equivalente a la ductilidad de desplazamiento ....... 5-13 5.2.6. Paso 6 - Espectro de desplazamientos para el amortiguamiento equivalente ............... 5-14 5.2.7. Paso 7- Período efectivo requerido ............................................................................... 5-14 5.2.8. Paso 8 - Rigidez efectiva mínima requerida para alcanzar el estado límite de diseño ... 5-14 5.2.9. Paso 9 - Calcular la fuerza lateral total de diseño ........................................................... 5-14 5.2.9.1. Evaluación de los efectos de torsión: ................................................................................ 5-14 5.2.9.2. Verificación de las condiciones de desplazamiento de los muros .................................... 5-18 5.2.10. Paso 10 - Distribuir la fuerza lateral entre los elementos de la estructura y en altura .. 5-18 5.2.11. Paso 11 - Diseño por capacidad ...................................................................................... 5-18 5.2.12. Ejemplo de formulación del proceso de análisis DDBD, con base en una hoja de cálculo tipo EXCEL ........................................................................................................................................ 5-21 5.3.

EJEMPLO 2Y – SUELO TIPO D (NSR-10) - SISMO Y – θc = 0.014 ............................................... 5-30

5.3.1. Paso 1 - Pre-dimensionar la estructura........................................................................... 5-30 5.3.2. Paso 2 - Perfil de desplazamientos del sistema, masa efectiva Me y altura del SDOF equivalente, He ................................................................................................................................ 5-30 5.3.3. Paso 3 - Desplazamiento de diseño, ∆de ........................................................................ 5-31 5.3.4. Paso 4 - Ductilidad de desplazamiento del sistema ........................................................ 5-31 5.3.5. Paso 5 - Amortiguamiento viscoso equivalente a la ductilidad de desplazamiento ....... 5-31 5.3.6. Paso 6 - Espectro de desplazamientos para un amortiguamiento del 5% ...................... 5-31 5.3.7. Paso 7- Período efectivo requerido ............................................................................... 5-32 5.3.8. Paso 8 - Rigidez efectiva mínima requerida para alcanzar el estado límite de diseño ... 5-32 5.3.9. Paso 9 - Calcular la fuerza lateral total de diseño: .......................................................... 5-32 5.3.9.1. Evaluación de los efectos de torsión: ................................................................................ 5-32 5.3.9.2. Ajuste del cortante basal de diseño – “Caso c” de la estructura sustituta........................ 5-34 5.4.

EJEMPLO 3Y – FBD – ANÁLISIS DINÁMICO SEGÚN NSR-10 - SUELO TIPO D - SISMO Y............ 5-35

5.4.1. 5.4.2. 5.4.3. 5.5.

Análisis y diseño según análisis dinámico elástico modal, Norma NSR-10 ..................... 5-35 Discusión de los resultados y re-evaluación según DDBD .............................................. 5-37 Comparación del análisis FBD (según NSR-10) con el análisis DDBD .............................. 5-39

EJEMPLO 4Y –CHILE –ZONA 2, SUELO II - SISMO Y –θc=0.025 ................................................ 5-40

5.5.1. Paso 1 - Pre-dimensionar la estructura........................................................................... 5-40 5.5.2. Paso 2 - Perfil de desplazamientos del sistema, masa efectiva Me y altura del SDOF equivalente, He ................................................................................................................................ 5-41 5.5.3. Paso 3 - Desplazamiento de diseño, ∆de ........................................................................ 5-42 5.5.4. Paso 4 - Ductilidad de desplazamiento del sistema ........................................................ 5-42 5.5.5. Paso 5 - Amortiguamiento viscoso equivalente a la ductilidad de desplazamiento ....... 5-42 5.5.6. Paso 6 - Espectro de desplazamientos para el amortiguamiento equivalente ............... 5-43

CONTENIDO

ix

5.5.7. Paso 7- Período efectivo requerido ............................................................................... 5-43 5.5.8. Paso 8 - Rigidez efectiva mínima requerida para alcanzar el estado límite de diseño ... 5-43 5.5.9. Paso 9 - Calcular la fuerza lateral total de diseño ........................................................... 5-43 5.5.9.1. Evaluación de los efectos de torsión ................................................................................. 5-43 5.5.9.2. Verificación del estado de deformación de los muros y ajuste del cortante basal ........... 5-44 5.6. EJEMPLO 5P – MÉTODO DDBD - SUELO D (NSR-10) – θc =0.025 - EDIFICIO DE PÓRTICOS DE CONCRETO ............................................................................................................................................... 5-45 5.6.1. Perfil de desplazamientos y valores básicos de la estructura equivalente ..................... 5-46 5.6.2. Desplazamiento de fluencia, ductilidad y amortiguamiento equivalente ...................... 5-47 5.6.3. Análisis basado en condiciones de equilibrio - Todas las vigas resisten un mismo momento flector .............................................................................................................................. 5-47 5.6.4. Análisis basado en condiciones de equilibrio- Las vigas resisten momentos flectores consistentes con las fuerzas sísmicas laterales ................................................................................ 5-49 5.6.5. Análisis DDBD para cumplir los requisitos de deriva de la Norma NSR-10 ..................... 5-53 5.6.6. Comparación con un análisis FBD según el Capítulo A.4 de NSR-10............................... 5-54 5.6.7. Análisis de pórticos basado en modelos elásticos con rigideces ajustadas .................... 5-57 5.7.

EJEMPLO 6C – SISTEMA COMBINADO - Similar al de Priestley et al. (2007) – Sección 7.4 ..... 5-59

6.

CONCLUSIONES................................................................................................................................. 6-1

7.

BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................................... 7-1

8. APÉNDICE A1: PROPUESTA DE CÓDIGO PARA DISEÑO SÍSMICO DE EDIFICIOS BASADO EN DESPLAZAMIENTOS Y COMENTARIOS ....................................................................................................... 8-1 1.

SISMICIDAD DE DISEÑO ................................................................................................................ 8-1

2.

CRITERIOS DE DESEMPEÑO ........................................................................................................... 8-3

3.

RESISTENCIAS DE DISEÑO DE LOS MATERIALES ............................................................................. 8-4 3.1.

Resistencias de diseño para flexión en zonas de rótulas plásticas ............................................ 8-4

3.2. Resistencias para el diseño por capacidad de elementos situados por fuera de las rótulas plásticas ................................................................................................................................................... 8-4 4.

FACTORES DE REDUCCIÓN DE RESISTENCIA PARA LOS MATERIALES.............................................. 8-4 4.1.

Resistencias a flexión de las rótulas plásticas ............................................................................ 8-4

4.2.

Determinación de la resistencia en los diseños por capacidad ................................................. 8-5

5.

CONSIDERACIONES ESTRUCTURALES GENERALES ......................................................................... 8-5

6.

PERFIL DE LOS DESPLAZAMIENTOS DE DISEÑO.............................................................................. 8-5 6.1. 6.1.1 6.1.2

Edificios de pórticos ................................................................................................................... 8-5 Perfil de desplazamientos para el primer modo ............................................................... 8-6 Amplificación de las derivas por efecto de los modos superiores .................................... 8-6

CONTENIDO

x

6.2.

Edificios de muros en voladizo .................................................................................................. 8-6

6.3.

Edificios combinados con muros y pórticos .............................................................................. 8-7

6.3.1 Perfil de desplazamientos de fluencia ....................................................................................... 8-7 7.

ESTRUCTURA EQUIVALENTE DE UN SOLO GRADO DE LIBERTAD, SDOF .......................................... 8-8 7.1.

Desplazamiento característico .................................................................................................. 8-8

7.2.

Altura efectiva ........................................................................................................................... 8-8

7.3.

Masa efectiva............................................................................................................................. 8-8

7.4.

Demanda de ductilidad de desplazamiento .............................................................................. 8-9

7.5.

Desplazamiento de fluencia ...................................................................................................... 8-9

7.5.1 7.5.2 7.5.3 7.5.4

8.

Desplazamiento de fluencia para los edificios de pórticos .............................................. 8-9 Desplazamiento de fluencia para los edificios de muros en voladizo ............................ 8-10 Desplazamiento de fluencia de los edificios combinados con muros y pórticos ........... 8-10 Alternativa general para calcular el desplazamiento de fluencia de un sistema ............ 8-10

7.6.

Amortiguamiento viscoso equivalente .................................................................................... 8-10

7.7.

Periodo de respuesta efectivo ................................................................................................. 8-11

7.8.

Rigidez efectiva ........................................................................................................................ 8-11

FUERZA CORTANTE BASAL DE DISEÑO ........................................................................................ 8-12 8.1.

Vector de fuerzas laterales derivado de la fuerza cortante basal .......................................... 8-13

8.2. Análisis estructural para determinar la capacidad requerida a momento flector en rótulas plásticas ................................................................................................................................................. 8-13 9.

REQUISITOS DEL DISEÑO POR CAPACIDAD .................................................................................. 8-14

9.1. Método de la superposición modal efectiva para determinar las fuerzas de diseño por capacidad ................................................................................................................................................. 8-14 9.2. 9.2.1 9.2.2 9.2.3 9.2.4 9.

Métodos aproximados para determinar las fuerzas de diseño por capacidad: ...................... 8-15 Disposiciones generales .................................................................................................. 8-15 Edificios de pórticos ........................................................................................................ 8-15 Edificios de muros estructurales ..................................................................................... 8-16 Edificios combinados de muros y pórticos ..................................................................... 8-18

APÉNDICE A2: ALGUNOS COMPLEMENTOS AL DDBD ........................................................................ 9-1 9.1.

ANÁLISIS MOMENTO CURVATURA DE SECCIONES DE CONCRETO REFORZADO ....................... 9-1

9.2.

PERFIL DE DESPLAZAMIENTOS DE FLUENCIA DE UN MURO ................................................... 9-10

9.3.

DESPLAZAMIENTO DE DISEÑO DEL SDOF EQUIVALENTE AL SISTEMA COMPLETO (Ec. 3.34) . 9-12

9.4.

DEDUCCIÓN DE LA ALTURA DEL PUNTO DE INFLEXIÓN EN SISTEMAS COMBINADOS ............ 9-13

CONTENIDO

9.5.

xi

EVALUACIÓN APROXIMADA DE ALGUNOS PARÁMETROS DE LA ESTRUCTURA SUSTITUTA ... 9-14

9.6. ANOTACIONES PARA PRE-DIMENSIONAMIENTO DE EDIFICIOS - ESTADO LÍMITE DE CONTROL DE DAÑOS ................................................................................................................................................ 9-15 9.7.

ALGUNOS CONCEPTOS BÁSICOS DEL DISEÑO DE PUENTES POR DDBD .................................. 9-19

10. APÉNDICE A3–ALGUNOS AFORISMOS APLICABLES A LA INGENIERÍA ESTRUCTURAL....................... 10-1

LISTA DE FIGURAS

xii

LISTA DE FIGURAS Figura 1.1 - Definición de los estados límite de una estructura .................................................................... 1-3 Figura 1.2- Estados límite para un elemento de concreto reforzado (Paulay, 1996) ...................................... 1-5 Figura 1.3 - Estados límite para curvatura de los muros de concreto ............................................................ 1-6 Figura 1.4 - Niveles de desempeño y daños en elementos de mampostería no aislados de la estructura ..... 1-7 Figura 1.5 (a) – Deriva horizontal .................................................................................................................... 1-8 Figura 1.5 (b) – Deriva tangencial .................................................................................................................... 1-8 Figura 1.5 (c) – Deriva vertical ......................................................................................................................... 1-9 Figura 1.6 - Espectros elásticos para diferentes estados límite (Calvi (2009) .............................................. 1-10 Figura 2.1 - Diagrama de Flujo – NSR-10 - Método FBD ....................................... ¡Error! Marcador no definido. Figura 2.2 - Mecanismos de plastificación en edificios ................................................................................... 2-7 Figura 2.3 - Cortantes de diseño para las vigas ............................................................................................... 2-8 Figura 2.4 - Cortantes de diseño para las columnas (NSR-10 y ACI-318) ..................................................... 2-10 Figura 2.5 – Efectos de los modos superiores sobre la respuesta de un muro ............................................. 2-10 Figura 2.6 – Resistencia a flexión en la base de un muro .............................................................................. 2-12 Figura 2.7 - Deformaciones inelásticas de un muro ..................................................................................... 2-13 Figura 2.8 – Deformaciones unitarias de la sección de un muro .................................................................. 2-14 Figura 2.9 – Necesidad de confinamiento en esquinas de muros para sismo diagonal ................................ 2-15 Figura 2.10 – Diagramas de interacción: Sección T vs. Sección I ................................................................... 2-16 Figura 2.11 – ¿Es necesaria o conveniente una resistencia sísmica grande? - (Priestley, 2009) ................... 2-22 Figura 3.1 - Espectros de capacidad ................................................................................................................ 3-2 Figura 3.2 – Espectro de desplazamientos ...................................................................................................... 3-2 Figura 3.3 – Esquema del método DDBD ........................................................................................................ 3-4 Figura 3.4 – Curvatura de fluencia de un muro con refuerzo distribuido uniformemente ............................. 3-5 Figura 3.5 – Curvatura de fluencia y rigidez efectiva de columnas circulares ................................................. 3-6 Figura 3.6 - Diagramas Momento-Curvatura – Sección 0.3x3.0 m, según ETABS V. 9.7 ................................. 3-7 Figura 3.7 - Diagrama Momento-Curvatura – Sección 0.3x3.0 m, según ejemplo U. Los Andes, 2006 .......... 3-7 Figura 3.9 - Demandas de ductilidad y distribución de fuerzas bajo diferentes hipótesis .............................. 3-9 Figura 3.10 – Distorsiones angulares de fluencia de un pórtico y verificación experimental ....................... 3-10 Figura 3.10 a – Distorsión angular de fluencia de un muro acoplado ........................................................... 3-11 Figura 3.11 – Diferentes definiciones de los desplazamientos de fluencia y de rotura ................................ 3-13 Figura 3.12 - Concepto de rótula plástica ...................................................................................................... 3-16 Figura 3.13 – Ductilidad de curvatura vs. Ductilidad de desplazamiento - Muros en voladizo ..................... 3-17 Figura 3.14 – Tres alternativas de distribución de la resistencia en un sistema dual ................................... 3-18 Figura 3.15–Estructura sustituta y rigidez equivalente: Ke = Vd/∆d ............................................................. 3-19 Figura 3.16 – Formas de histéresis consideradas, amortiguamiento equivalente y rigidez efectiva ............ 3-22 Figura 3.17 - Espectros elásticos de aceleraciones y de desplazamientos en NSR-10 .................................. 3-23 Figura 3.18 - Espectros de desplazamientos Terremotos Chile ..................................................................... 3-24 Figura 3.19 – Espectros Terremoto de El Centro, 1940 ................................................................................. 3-25 Figura 3.20 – Desplazamiento de fluencia para un grupo de elementos (muros, pórticos) ......................... 3-28 Figura 3.21 – Relación (Lb/hb)eq, característica para un pórtico ................................................................. 3-29 Figura 3.22 - Derivas elásticas y derivas inelásticas de un muro .................................................................. 3-31 Figura 3.23- Desplazamientos de un sistema y de sus componentes ........................................................... 3-33 Figura 3.24 - Perfil normalizado de desplazamientos de los pórticos ........................................................... 3-39 Figura 3.25a - Distribución de los cortantes sísmicos en un sistema combinado - (Paulay, 2002) ............... 3-41 Figura 3.25b - Desplazamientos y momentos flectores de los sistemas combinados .................................. 3-41 Figura 3.26 - Muros con vigas de acople ....................................................................................................... 3-43 Figura 3.27 – Envolventes de momento flector para diseño de las vigas ..................................................... 3-46

LISTA DE FIGURAS

xiii

Figura 3.28a - Modelo esquemático y rigideces para el análisis de fuerzas internas .................................... 3-46 Figura 3.28b - Modelo esquemático alterno y rigideces para el análisis de fuerzas internas ....................... 3-47 Figura 3.29 – Análisis de pórticos basado en condiciones de equilibrio ....................................................... 3-48 Figura 3.30 – Centros de masa, de rigidez y de resistencia de un piso (Paulay, 1997; Priestley 2003) ......... 3-51 Figura 3.31 - Mecanismos de plastificación en edificios ............................................................................... 3-58 Figura 3.32 - Factor de amplificación dinámica para Momentos de Columnas ........................................... 3-59 Figura 3.33 - Efectos de los modos superiores sobre la respuesta de un muro (Paulay-Priestley, 1992) ..... 3-60 Figura 3.34 – Envolvente de Momentos para diseño de muros por capacidad ............................................ 3-60 Figura 3.35 – Envolvente de Fuerzas Cortantes para diseño de muros por capacidad ................................. 3-61 Figura 3.36 – Evaluación de los efectos de los modos superiores................................................................. 3-62 Figura 3.37 – Esquema gráfico del método DDBD......................................................................................... 3-62 Figura 3.38 – Diagrama de Flujo – Método DDBD ......................................................................................... 3-64 Figura 4.1 – Casos de la estructura sustituta ................................................................................................... 4-2 Figura 4.2 - Casos especiales del DDBD, relacionados con la estructura sustituta ......................................... 4-2 Figura 4.3b – “Caso b” de la estructura sustituta: ∆y1 <∆d < ∆y2 ................................................................... 4-3 Figura 4.3 c – Corrección del cortante basal de diseño – “Caso c”, ∆d < ∆y1 ................................................. 4-5 Figura 4.4 - Casos especiales del DDDBD, relacionados con el espectro de desplazamientos ........................ 4-7 Figura 4.5 - Terremotos de Chile 2010 - Espectros de desplazamientos para Z2, SII ...................................... 4-9 Figura 4.6 – Desplazamiento de fluencia de los muros estructurales – Ecuación (4.5)................................. 4-10 Figura 4.7 – Desplazamiento en Estado Límite de Servicio vs. Altura de un muro - Ecuación (4.9) .............. 4-12 Figura 4.8 – Comparación de algunos espectros con amortiguamiento ξ=5% .............................................. 4-14 Figura 4.9 – Espectros de desplazamientos NSR-10 ...................................................................................... 4-14 Figura 4.10 - Planta de un edificio bajo, de muros delgados, en Medellín ................................................... 4-18 Figura 4.11 - Deriva elástica y deriva inelástica de un muro ........................................................................ 4-21 Figura 4.12 – Deformaciones unitarias y curvaturas de una sección ............................................................ 4-22 Figura 4.13 – Altura de la zona comprimida, a partir de la cual se debe confinar el borde de un muro ...... 4-24 Figura 4.14 – Representación gráfica de la ecuación (4.21) .......................................................................... 4-25 Figura 4.15 – Influencia de la ISE sobre la ductilidad .................................................................................... 4-26 Figura 4.16 – Componentes de los desplazamientos de muros - Cimentación superficial flexible ............... 4-27 Figura 4.17 – Interacción ISE en muros con fundación superficial ................................................................ 4-28 Figura 4.18 – Diferentes enfoques para el análisis de la ISE de Cimentaciones Profundas .......................... 4-29 Figura 4.19 – Interacción Suelo-Estructura – Edificio Colpatria, Bogotá – 1973 ........................................... 4-30 Figura 4.20 – Modelo sugerido para análisis sísmico de la ISE en cimentaciones profundas ....................... 4-31 Figura 4.21 - Longitud equivalente de un pilote (Chai, 2002, Suárez, 2005) ................................................. 4-32 Figura 4.22 – Cimentaciones sobre pilotes verticales o sobre pilotes inclinados - (Pérez F.J., 2001) .......... 4-33 Figura 4.23 - El efecto P-Delta paso a paso, en un SDOF ............................................................................... 4-34 Figura 4.24 – El efecto P-Delta, paso por paso, en un edificio ...................................................................... 4-35 Figura 4.25 – Rangos del Índice de Estabilidad ............................................................................................. 4-36 Figura 4.26 – Efectos P-Delta (Calvi-Priestley 2009) ...................................................................................... 4-37 Figura 4.27 - Distorsión angular de los elementos no estructurales en los edificios de muros .................... 4-38 Figura 4.28 – Diagrama de interacción Mn vs Pn, Sección T ........................................................................ 4-39 Figura 4.29 –Ejemplos de sistemas irregulares ............................................................................................. 4-41 Figura 5.1 – Planta típica – Edificio de 15 pisos ............................................................................................... 5-1 Figura 5.2 - Espectros de desplazamientos usados en los ejemplos ............................................................... 5-3 Figura 5.3 - Diagramas para diseño por capacidad del muro de Lw=7.1 m ................................................... 5-10 Figura 5.4 – Comparación de dos soluciones para Sismo Y – Desplazamientos a la altura He ..................... 5-17 Figura 5.5 - Diagramas para diseño por capacidad del Muro M5 ................................................................. 5-21 Figura 5.6 – Cortantes de diseño y desplazamientos para Sismo Y ............................................................... 5-34 Figura 5.7 – Espectro de desplazamientos – Chile – Zona 2, Suelo II ........................................................... 5-41 Figura 5.8 – Resultados de un análisis basado en condiciones de equilibrio ................................................ 5-53

LISTA DE FIGURAS

xiv

Figura 5.9 - Análisis de pórticos basado en modelos ETABS con rigideces ajustadas ................................... 5-57 Figura 5.10 – Esquemas del sistema combinado analizado .......................................................................... 5-59 Figura 5.11 – Condiciones de equilibrio de los pórticos ................................................................................ 5-63 Figura 9.1 - Deformación lateral de un SDOF .................................................................................................. 9-1 Figura 9.2 - Algunas definiciones de valores fundamentales para el DDBD (Priestley) ................................... 9-1 Figura 9.3 - Diagramas teóricos Momento-Curvatura - (Priestley-Kowalski) .................................................. 9-2 Figura 9.4 - Hipótesis de ACI-318-08 y de NSR-10 para análisis de flexo-compresión .................................... 9-2 Figura 9.5 - Kuebitz-2002 – Programa COLUMNA ........................................................................................... 9-3 Figura 9.6 - Relaciones esfuerzo-deformación para el concreto confinado y no-confinado (Mander) ........... 9-4 Figura 9.7 - Propiedades del acero, solicitación monotónica – Modelo de Park ............................................ 9-5 Figura 9.8 - Propiedades más reales del acero, solicitud cíclica (efecto Bauschinger) .................................... 9-5 Figura 9.9 - Sección arbitraria diseñada, deformaciones unitarias y esfuerzos .............................................. 9-6 Figura 9.10 - Diagrama esquemático Momento-Curvatura para muros de concreto reforzado .................... 9-7 Figura 9.11 - Sensibilidad de “c” contra εcm – (Thomsen-Wallace, 2004) ...................................................... 9-8 Figura 9.12 - Concepto de la longitud de una rótula plástica - (Restrepo J.I. , 2006) ...................................... 9-8 Figura 9.13 - Concepto de la longitud de una rótula plástica .......................................................................... 9-9 Figura 9.14 – Perfil de desplazamientos de fluencia de un muro ................................................................. 9-10 Figura 9.15 – Muros inclinados respecto a los ejes de referencia ................................................................. 9-11 Figura 9.16 – Desplazamiento de diseño de un SDOF equivalente a un MDOF ............................................ 9-12 Figura 9.17 – Altura del punto de inflexión de un sistema dual .................................................................... 9-13 Figura 9.18 - Diseño tradicional de puentes basado en fuerzas (FBD) .......................................................... 9-19 Figura 9.19 – Diseño tradicional de puentes basado en fuerzas (FBD) ......................................................... 9-20 Figura 9.20 – Diseño de puentes basado en fuerzas (FBD) ........................................................................... 9-21 Figura 9.21 – Comparación FBD vs. DDBD de puentes .................................................................................. 9-22 Figura 9.22 - Bases del DDBD de puentes...................................................................................................... 9-23 Figura 9.23 - Diagrama de flujo DDBD de puentes de un grado de libertad (Kowalski, 2002) ...................... 9-23 Figura 9.24 – Ejemplo de estados límites de deformación unitaria de los materiales .................................. 9-24 Figura 9.25 - Curvaturas máximas alcanzables, según εcm y εsm - Kowalski, 2002 ...................................... 9-25 Figura 9.26 - Mejor valor ajustado estadísticamente de la longitud Lp para puentes .................................. 9-26 Figura 9.27 - Formas modales características de puentes con diferentes tipos de superestructura ............ 9-27 Figura 9.28 - Diagrama de flujo para diseño DBD de puentes con varios grados de libertad ....................... 9-28 Figura 9.29 – Casos especiales de puentes (Calvi, 2009) ............................................................................... 9-29 Figura 9.30 - Modelo de longitud equivalente de los pilotes, para interacción Suelo-Estructura ................ 9-31

LISTA DE FIGURAS

xv

LISTA DE TABLAS Tabla 1.1 - Probabilidad de excedencia para un periodo medio de retorno(Freeman, 2004) ........................ 1-3 Tabla 1.2 - Niveles de desempeño y probabilidades de excedencia ............................................................... 1-3 Tabla 1.3 - Daños de la mampostería, según su deformación......................................................................... 1-6 Tabla 1.4 - Límites de la deriva de piso para diferentes Niveles de Desempeño ............................................ 1-7 Tabla 2.1 – Longitud confinada requerida ..................................................................................................... 2-17 Tabla 2.2 – Diferencias conceptuales entre los métodos FBD y el DDBD ...................................................... 2-21 Tabla 3.1 -Comparación del diseño de muros según Métodos FBD y DBD ..................................................... 3-8 Tabla 3.2 – Variación del desplazamiento espectral con el amortiguamiento .............................................. 3-25 Tabla 4.1 – Distorsiones angulares de los muros y los pórticos del ejemplo .................................................. 4-6 Tabla 4.2 - Alturas requeridas para llegar a fluencia de muros, correspondientes a Sd = 0.30 m ................ 4-10 Tabla 4.3. Alturas para llegar a estado límite de servicio, con Sd=0.30 m - (Ecuación 4.9)........................... 4-12 Tabla 4.4 – Valores del espectro de desplazamientos Bogotá y Medellín .................................................... 4-15 Tabla 4.5 – Valores probables de los periodos y desplazamientos espectrales para edificios de muros de concreto ........................................................................................................................................................ 4-18 Tabla 5.4.1 – Comparación de resultados método FBD para diferentes rigideces de secciones .................. 5-36 Tabla 5.4.2 – Propiedades de los muros diseñados....................................................................................... 5-37 Tabla 5.4.3 - Comparación de resultados FBD (NSR-10) contra DDBD .......................................................... 5-40 Tabla 5.6.1 – Cálculo de los valores básicos de la estructura sustituta ......................................................... 5-46 Tabla 5.6.2 – Cortantes Vij de las vigas ......................................................................................................... 5-50 Tabla 5.6.3 – Cortantes Vij y momentos flectores Mv de las vigas ............................................................... 5-52 Tabla 5.6.4 – Comparación de resultados método FBD para diferentes rigideces de secciones .................. 5-55 Tabla 5.7.1 – Cálculo del Perfil de Desplazamientos ..................................................................................... 5-61 Tabla 9.1 - Efectos de la variación de la deriva de diseño θd ........................................................................ 9-16 Tabla 9.2 - Efectos de modificar la longitud Lw para los cuatro muros de dirección X ................................. 9-17

LISTA DE ECUACIONES

xvi

LISTA DE ECUACIONES CAPITULO 2 ∆U = φY Hn²/3 + (φU – φY) Lp (Hn – Lp/2) ∆U ≈ φU Hn Lw/2 φU = εCUC/c

(2.4)

∆U ≈ ε

c ≈

c  c ≥

(2.5)

Lw 667 u/Hn 

Lw 600 1.5u/Hn 

εCUC = εcu + 1.4 ρv fy εsu/f’cc Cc 

NÚMERO (2.1) (2.2) (2.3)

εcuc - εcc εcc   * c  1  *c εcuc  εcuc 

(2.6) (2.6a) (2.7) (2.8)

εCUC ≈ 2 α (∆U/Hn)

(2.9)

cC ≈ c - (

(2.10)

)*Lw

CAPITULO 3 Columna circular: Columna rectangular: Columnas de acero: Muros rectangulares: Muros con aletas comprimidas: Vigas de concreto: Muros con aletas en tracción: Expresión general:

y  2.25 Y/D ± 10% y  2.10 Y/h ± 10% y  2.2 Y/h y  2.0 Y/Lw ± 15% y  1.5 Y/Lw ± 15% y  1.7 Y/Lw ± 10% y 1.6 a 2.5Y/Lw; φY promedio ≈ 2.1 Y/Lw y 2.0 Y/h Pórticos: θY = 0.5 Y (Lb/hb) Muros + vigas esbeltas: θy ≈ 0.5 εY (L’b/hb) Muros + vigas cortas: θy = 0.5 φy (0.5 L’b + Lsp)(1 + Fv) – Refuerzo convencional Muros + vigas cortas: θy = 0.75 φy (0.5 L’b + Lsp) - Refuerzo diagonal ye≈ 2 εY He²/3.Lw yn ≈ 2 εY Ar Hn/3 μ∆ = ∆d /∆Y μ∆ ≈ 1.5 ∆d/(Are He εY) ∆d≈ μ∆ Are He εY/1.5 μφ = 1 + (μ∆ - 1)/[3(Lp/He)(1 - 0.5 Lp/He)] μ∆ = 1 + 3 (μφ - 1) Lp (1 – 0.5 Lp/He)/He Lp = k.He + 0.1 Lw + Lsp Lp ≈ 0.035 Hn + 0.15 Lw μφ ≈ 1 + (μ∆ - 1) Ar/2

NÚMERO (3.1a) (3.1b) (3.1c) (3.1d) (3.1e) (3.1f) (3.1g) (3.1)

(3.3a) (3.3b) (3.4) (3.5) (3.6) (3.7a) (3.7b) (3.8a) (3.8b) (3.9a)

LISTA DE ECUACIONES

CAPITULO 3 μ∆ ≈ 1 + 2 (μφ - 1)/Ar ∆ye = θY He = 0.5 Y (Lb/hb) He ∆ye ≈ 0.35 Y (Lb/hb) Hn μ∆ ≈ 3 ∆d (hb/Lb)/(Hn εY) hb ≈ 0.35 Lb Hn εY π∆/∆d Ke = Vd/∆d Ke = 4 π² Me/Te² Vd = VBASE = Ke.∆d Vd = 4 π² Me ∆d/Te² ξeq % = 5 + ξhist ξhist =

%

xvii

NÚMERO (3.9b) (3.10) (3.11) (3.12) (3.13) (3.14) (3.15) (3.16) (3.17) (3.18) (3.19)

ξhist =

(3.19a)

Muros de concreto: ξeq = 0.05 + 0.444 (µ - 1)/µ π Pórticos de concreto: ξeq = 0.05 + 0.565 (µ - 1)/µ π Pórticos de acero: ξeq = 0.05 + 0.577 (µ - 1)/µ π ξe=Σ(Vj.∆j.ξj) / Σ (Vj.∆j) 0.5 Rξ = (0.07/[0.02+ξ]) 0.25 Rξ = (0.07/[0.02+ ξ]) VBASE = Ke Sd + C P Sd/He ≤ 2.5 Rξ Aa Me + C P Sd/He Te = TL ∆d/Sdξ

(3.20a) (3.20b) (3.20c) (3.21) (3.22a) (3.22b) (3.23) (3.24)

Kemáx = 4 (Sdel/∆d) π² Me /Te² VBASE máximo = Ke Sdel He = Σ (mi ∆i Hi)/Σ(mi ∆i) Me = [Σ (mi.∆i)]²/∑(mi.∆i²) Me = Σ (mi.∆i)/∆d ∆ye = ΣFi/Σ(Fi/∆yi) ∆ys = Σ(Fi.∆yi)/ΣFi ∆ye = ΣVi/ΣKyi = 2 εY He² VBASE/3.Σ( Vi.Lwi) Lwe = Σ(Vi.Lwi)/Σ Vi

(3.25) (3.26) (3.27) (3.28) (3.28a) (3.29) (3.29a) (3.30) (3.31) (3.32)

(Lb/hb)eq = Σ(Vij.Lbj)/Σ (Vij.hbij) (Lb/hb)eq = Σ(Mvij)/Σ (Mvij.hbij/Lbj) θd = θy + θp ≤ θc ∆d = Σ (mi.∆i²)/(Σmi.∆i) θyn ≈ εY Hn/Lwe θpc ≈ θc - εY Hn/Lwe 2 ∆yi = εY Hi (1 – Hi/3 Hn)/Lwe ∆pi = θpe.Hi ∆i = εy Hi² (1 – Hi/3 Hn)/Lwe + θpe Hi ∆ns = 2 εy Hn²/(3 Lwe) + θpe.Hn ∆nj = ∆ynj + θpj Hn = ∆ns θpj = (∆ns - ∆ynj)/Hn

(3.32a) (3.33) (3.34) (3.35) (3.36) (3.37) (3.38) (3.39) (3.40) (3.41) (3.42)

LISTA DE ECUACIONES

CAPITULO 3 θpj = θpc + 2 εy.Hn(1/Lwe – 1/Lwj)/3 θpm = (φm – φy) Lp ≈ (φm – 2 εy/Lw).Lp φmc = εcm/c φms = εsm/(d-c) θp = (φm - φy) Lp (Lc/Lb) θDC = (φDC – φy).Lp + φy.h1/3 n≤4: δi = Hi/Hn n>4: δi = 4 (Hi/Hn)(1 – Hi/4Hn)/3 n≤4: θi = θd n>4: θi = θd (1 – 0.5 Hi/Hn) n≤4: ∆i = θd Hi n>4: ∆i = θd Hi(1 – Hi/4Hn) n>4: ∆i = θd Hi(1 – Hi/4Hn)/(1 – h1/4Hn) ωθ = 1.15 – Hn/300 ≤ 1.0 ∆Di = ∆Yi + (φLS – φYW) Lp Hi ∆Di = ∆Yi + (θc – φYW HCF /2) Hi HCF /Hn ≈ [√(9 – 12 βF) – 1]/2 3 Hi ≤ HCF: ∆Yi = φYW (Hi²/2 – Hi /6 HCF ) Hi > HCF: ∆Yi = φYW (HCF Hi/2 – HCF²/6 ) ξSIS ≈ βF ξF + (1- βF) ξW ∆d = ∆ye + (θc - φYW HCF/2) He θB,LIM ≈ 1.6 εSU LSP/hb θW,B = θB,LIM /(1 + Lw/L’b) Fi = VBASE (mi ∆i)/Σ(mi ∆i) MBASE = VBASE*He Ib = Icr/µb MTV = VBASE*He MTV = Σ(Vbij*Lbj) + ΣMc Σ(Vij.Lbj) = VBASE*He - ΣMc ∑(Vij.Lbj) = (Vi+1*hi+1 + Vi*hi)/2 eRX = Σ(Kyj.Xj)/ΣKyj eRY = Σ(Kxj.Yj)/ΣKxj eRX = Σ(Vj.Lwjx.Xj)/Σ(Vj.Lwjx) eRY = Σ(Vj.Lwjy.Yj)/Σ(Vj.Lwjy) eVX = Σ(Vyj.Xj)/ΣVyj eVY = Σ(Vxj.Yj)/ΣVxj θN = MT/J J = ΣKyj (Xj – eRX)² + Σ Kxj (Yj – eRY)² Sismo Y: JR,μ = ΣKyj (Xj – eRX)²/μSIS + Σ Kxj (Yj – eRY)² Sismo X: JR,μ = ΣKxj (Yj – eRY)²/μSIS + Σ Kyj (Xj – eRX)² θN = - VBASE.eRX/JR,μ para Sismo Y; θN = VBASE.eRY/JR,μ para Sismo X ∆jy = ∆CMY + θN(Xj - eVX) ∆jx = ∆CMX + θN(Yj - eVY)

xviii

NÚMERO (3.43) (3.44) (3.45a) (3.45b) (3.46) (3.47) (3.48a) (3.48b) (3.49a) (3.49b) (3.50a) (3.50b) (3.50c) (3.51) (3.52a) (3.52b) (3.53) (3.54) (3.55) (3.56) (3.57) (3.58) (3.59) (3.60) (3.61) (3.62) (3.63) (3.64) (3.65) (3.66) (3.67a) (3.67b) (3.68a) (3.68b) (3.69a) (3.69b) (3.70) (3.71) (3.71a) (3.71b) (3.72) (3.73a) (3.73b)

LISTA DE ECUACIONES

CAPITULO 3 ∆dx = ∆CMX - θN (YCRIT - eVY) ∆dy = ∆CMY - θN(XCRIT - eVX) o SCD.i = √[(Ω S 1D,i)² + S2,i² + S3,i² + … Sn,i² ] o ωf = 1.15 + 0.13 (μ/Ω - 1) ≥ 1.15 o MU = φf Mn ≥ Ω ωf ME VCOL,1 = (M1,B + M1,T)/Hc 0 o M 0.5H = C1,T Ω MB o C1,T = 0.4 + 0.075 Ti (μ/Ω - 1) ≥ 0.4 o ωV = 1 + μ C2,T/Ω C2,T = 0.067 + 0.4 (Ti – 0.5) ≤ 1.15 0 0 0 V N = (0.9 – 0.3 Ti) V B ≥ 0.3 V B ∆ye ≈ (θd - εY Hn/Lwe) He/(µ-1) Lwe ≈ (0.56 µ + 0.44) εY Hn/θd µSIS ≈ 1.8 Lwe θd/(εY Hn) - 0.8 LwLIM ≈ εY Hn/θd θdLIM ≈ εY Hn/Lwe CAPITULO 4 VB1 = F1 + F2∆d/∆Y2 Ke1 = VB1/∆d < VBASE/∆d ∆F = Σ(1- ∆d/∆yi).Fi Vd corregida = 4π² Me ∆ys/Te² Vd corregida = 4π² Me Sdel/Te² Hey ≈ √(750 Lw.∆Y) Lw ≈ Hey²/(750 ∆Y) S ≈ (1 + 4.2/Are) Y He² + 4.2 Lw He - 750 Lw S = 0 He ≈ √(4.4 Lw² + 750 LwS) – 2.1 Lw ∆ = ∆y + (φm - φy) Hn Lp ∆ ≈ 2 εY Hn²/(3Lw) + (εCM /α - 2 εY )Hn/2 εCM/α ≈ 2 (εY + ∆/Hn – 2 εY Ar/3) α ≈ 0.5 εCM/(∆/Hn + εY – 2 εY Ar/3) εCUC = εcu + 1.4 ρv fy εsu/f’cc εCUC ≈ 0.004 + ρv fy/300 εCUC ≈ 0.004 + fć/1700 εCUC ≈ 0.004 + fć/2500 α ≈ 0.0015/(∆/Hn + 0.002 – Ar/750) εCUC ≈ 2 α (∆/Hn + εY – 2 εY Ar/3) εCU + 1.4 ρv fy εsu/f’cc = 2 α (∆/Hn + εY – 2 εY Ar/3) ρv = [2 α (∆/Hn + εY – 2 εY Ar/3) - εCU] fćc/(1.4 fy εsu) ρv = [2 α(∆/Hn + 0.002 – Ar/750) – 0.003] fćc/35 α ≈ 0.5 εCUC /(∆U/Hn) αACI/αDBD≈ 1- εY (2 Ar/3 - 1)/(∆U/Hn)

xix

NÚMERO (3.74a) (3.74b) (3.75) (3.76) (3.77) (3.78) (3.79) (3.80) (3.81) (3.82) (3.83) (3.84) (3.85) (3.86) (3.87) (3.88) NÚMERO (4.1) (4.2) (4.3) (4.4a) (4.4b) (4.5) (4.6) (4.7) (4.8) (4.9) (4.10) (4.11) (4.12) (4.13) (4.14) (4.14a) (4.14b) (4.14c) (4.15) (4.16) (4.17) (4.18) (4.19) (4.20) (4.21)

LISTA DE ECUACIONES

CAPITULO 4 3 4 n ∆ final = ∆O (1 + Q + Q² + Q +Q + … + Q ) ∆ final = ∆O/(1-Q) VBASE = Keo.∆d + C.P.∆d/He θi = δi/hi βi ≈ θi (B1+B2)/(2 Lo)

xx

NÚMERO (4.22) (4.23) (4.24) (4.25) (4.26)

NOMENCLATURA

xxi

NOMENCLATURA VARIABLE Aa Ad AG Ah Ar Are Av c cC D C1,T C2,T C3,T d’ db DBD FBD eR eV f’c f’cc f’ce f’co F fy fye fso hb HCF He Hey Hi Hn J k Ke Lb L’b Lp

DESCRIPCIÓN Aceleración horizontal pico efectiva, para diseño, como % de la aceleración de la gravedad Aceleración horizontal de diseño Área de la sección de un muro Área total encerrada por la curva de un ciclo de histéresis completo Relación de esbeltez de un muro, Ar=Hn/Lw Relación de esbeltez de un muro, referida a la altura equivalente, Are=He/Lw Velocidad horizontal pico efectiva, para diseño, como % de la aceleración de la gravedad Longitud de la zona comprimida de una sección sometida a flexo-compresión Longitud confinada de un elemento de borde de un muro Profundidad efectiva de una sección Factor de amplificación dinámica de los momentos flectores de los muros, a la altura 0.5 Hn Factor usado al evaluar la amplificación dinámica de los cortantes de los muros Factor usado al evaluar la amplificación dinámica de los cortantes de los muros en Sistemas combinados de muros y pórticos – Ver Sección 9.2.4 Recubrimiento del refuerzo Diámetro de una varilla de refuerzo Métodos de diseño basados en desplazamientos Métodos de diseño basados en fuerzas Excentricidad de las fuerzas cortantes del piso, respecto al centro de masa Excentricidad de las rigideces del piso, respecto al centro de masa Resistencia especificada o nominal del concreto Resistencia del concreto confinado Resistencia estimada o real del concreto Resistencia máxima esperada del concreto Fuerza Esfuerzo de fluencia especificado o nominal del acero de refuerzo Esfuerzo de fluencia estimado o real del acero Esfuerzo máximo esperado del acero Espesor de la sección de una viga Altura del punto de inflexión de un sistema combinado de muros y pórticos Altura efectiva de un SDOF equivalente a la estructura Altura efectiva de un muro de longitud Lw, para la cual se produce su fluencia Altura del nivel i de un edificio Altura total de un edificio Rigidez rotacional de un piso Rigidez de un elemento Rigidez de un SDOF equivalente a la estructura Longitud de una viga entre ejes de columnas Longitud libre entre apoyos de una viga Longitud de una rótula plástica

NOMENCLATURA

VARIABLE Lsp Lw Lwe, Lweq Lwm Me mi ME MN MTV Mpr MT MTVF MTVF MTV Mv Mvij n nL P Q Rξ Sa Sd Sdel Sdξ SDOF SE T TC Te Ti TL tw VE VBASE Vi Vij Vd Xj, Yj α βF βCB βi

xxii

DESCRIPCIÓN Longitud de penetración de las deformaciones dentro de un nudo Longitud de la sección de un muro Longitud característica o equivalente de un sistema de muros Longitud del muro crítico de un edificio Masa efectiva de un oscilador SDOF equivalente a la estructura Masa del piso i Momento flector correspondiente a las fuerzas laterales de diseño Resistencia nominal a flexión Momento total de vuelco de las fuerza sísmicas respeto a la base de un edificio Resistencia probable a flexión, basada en un esfuerzo de tracción del acero de 1.25 fy Momento torsor de un piso Momento total de vuelco Momento de vuelco resistido por los pórticos en un sistema combinado Momento de vuelco resistido por los pórticos muros en un sistema combinado Aporte de una viga para resistir el momento de vuelco del sistema Aporte de la viga del nivel “i”, tramo “j” a la resistencia al vuelco del sistema Número de pisos de un edificio Número de tramos de viga de un pórtico Fuerza axial Índice de estabilidad, para evaluar efectos P-delta Factor de ajuste del espectro de desplazamientos por amortiguamiento Aceleración espectral de diseño para un periodo de vibración dado Desplazamiento espectral de diseño para un periodo de vibración dado Desplazamiento espectral máximo de diseño, correspondiente al periodo T L Desplazamiento espectral Sd, corregido para un amortiguamiento ξ Oscilador de un solo grado de libertad Resistencia a fuerzas laterales Periodo de vibración Periodo de inicio de la zona de velocidad espectral constante Periodo efectivo de vibración de un oscilador SDOF equivalente a la estructura Periodo inicial, incluyendo efectos de fisuración. Ti ≈ Te/√μ. Periodo de inicio de la zona de desplazamiento espectral constante Espesor de la sección de un muro Fuerza cortante correspondiente a las cargas laterales Fuerza cortante horizontal total de diseño Fuerza cortante horizontal asignada al muro i; cortante sísmico de piso debajo del nivel i Fuerza cortante de la viga del nivel i, luz o tramo # j Fuerza cortante sísmica horizontal de diseño Coordenadas de un muro “j”, con relación al centro de masa de un piso Relación c/Lw Fracción de la fuerza cortante basal de diseño asignada a los pórticos de un sistema combinado Fracción del momento de vuelco MTV resistida por las vigas de un sistemas de muros acoplados Distorsión angular vertical de un elemento no estructural situado entre muros de concreto

NOMENCLATURA

VARIABLE ∆ ∆C,ξ ∆d ∆e ∆i ∆n ∆p ∆y δi δεc εcc εcm εcu εcuc εs εsm εsu εy φ φm φmc φms φy µ µS , µSIS µ∆ µφ µSIS ρax ρay ρv θ θc θd θN θp θpm θpc θpe θy ξ ξe, ξeq ξhist

xxiii

DESCRIPCIÓN Desplazamiento horizontal Desplazamiento espectral máximo para un amortiguamiento ξ Desplazamiento horizontal de diseño Desplazamiento horizontal de un SDOF equivalente a la estructura Desplazamiento horizontal del nivel i Desplazamiento horizontal del nivel n Desplazamiento plástico horizontal Desplazamiento de fluencia Desplazamiento horizontal normalizado de un edificio en el nivel i Deformación unitaria del concreto Deformación unitaria del concreto, a partir de la cual se quiere confinar el borde de un muro Deformación unitaria máxima del concreto Deformación unitaria máxima del concreto no confinado Deformación unitaria máxima del concreto confinado Deformación unitaria del acero de refuerzo Deformación unitaria máxima del acero de refuerzo Deformación unitaria de rotura del acero de refuerzo Deformación unitaria de fluencia del acero de refuerzo Curvatura de una sección; φLS = curvatura en el estado límite de diseño “LS” Curvatura máxima de una sección Curvatura máxima de una sección por compresión del concreto Curvatura máxima de una sección por tracción del acero de refuerzo Curvatura de fluencia de una sección φYW Relación de ductilidad Relación de ductilidad Ductilidad de desplazamiento Ductilidad de curvatura Ductilidad de desplazamiento del sistema Cuantía de refuerzo de confinamiento en dirección x Cuantía de refuerzo de confinamiento en dirección y Cuantía volumétrica de confinamiento en dos direcciones ortogonales = ρax + ρay Distorsión angular Distorsión angular permitida por la norma o (deriva de piso)/(altura de piso) Distorsión angular de diseño Giro de un piso por efectos de torsión; positivo en dirección contraria a las agujas del reloj Distorsión angular plástica Distorsión angular plástica basada en capacidad de deformación de los materiales Distorsión angular plástica correspondiente a la distorsión angular θc Distorsión angular plástica del sistema Distorsión angular de fluencia de un piso Coeficiente de amortiguamiento viscoso Coeficiente de amortiguamiento viscoso equivalente a la ductilidad Coeficiente de amortiguamiento histerético

NOMENCLATURA

VARIABLE ωf ωS ωV o Ω

DESCRIPCIÓN Factor de amplificación dinámica para la flexión de las columnas Factor de amplificación dinámica para la fuerza cortante de las columnas Factor de amplificación dinámica para fuerza cortante en los muros Factor de sobre-resistencia

xxiv

INTRODUCCIÓN

xxv

INTRODUCCIÓN En los últimos años se han planteado varias inquietudes y nuevas propuestas relacionadas con el diseño sismo resistente. De una parte se ha tratado de establecer metas más claras y consistentes para el comportamiento sísmico deseable o desempeño de las edificaciones; de otra parte se han cuestionado las metodologías actuales de diseño sismo resistente, por cuanto no permiten llegar a resultados confiables ni lograr claramente los objetivos de diseño. Lo anterior ha llevado a nuevas filosofías de diseño sísmico. En 1993 M.J.N. Priestley publicó “Myths and Fallacies in Earthquake Engineering - Conflicts between Design and Reality”, Bull. NZNSEE, 26, 3, en donde cuestionó las metodologías de diseño sismo-resistente usadas tradicionalmente. Objetó en particular los métodos basados en fuerzas (FBD) que se basan en espectros de aceleraciones, factores de ductilidad muy variables de unas normas a otras, rigideces irreales de los elementos de las estructuras, que llevan a desplazamientos y a propiedades dinámicas poco confiables; así es muy difícil llegar a predicciones confiables del comportamiento de las estructuras. Priestley esbozó desde entonces una nueva metodología de diseño sismo resistente basado en desplazamientos (DBD). También otros autores han presentado después propuestas de diseño DBD, cuyos conceptos replantean las metodologías anteriores FBD. El presente documento busca darle mayor divulgación en nuestro medio a las metodologías DBD y despertar inquietudes en los medios académicos, los diseñadores, los investigadores y los programadores de software, para que en un futuro próximo se puedan aplicar los métodos DBD sin dificultades. El Capítulo 1 repasa los objetivos del diseño sismo resistente, con base en el llamado “Diseño Sísmico por Desempeño” (Performance Based Seismic Design” o PBSD). Allí se explican los conceptos de niveles de desempeño de las estructuras, de sus componentes y de los elementos no estructurales, y se definen los estados límite de diseño que se aspira a garantizar en un diseño sismo-resistente, según propuestas recientes de la comunidad internacional. El Capítulo 2 repasa los métodos de diseño basados en fuerzas (FBD), con base en la Norma NSR-10. Se indican de paso algunas dificultades en la aplicación de la Norma y al final se anotan las deficiencias e inconsistencias de estas metodologías, indicadas por Priestley (1993), y algunas otras deficiencias señaladas posteriormente por el mismo Priestley y por otros autores. El Capítulo 3 explica el método directo de diseño basado en desplazamientos (DDBD) y se apoya en la metodología planteada por Priestley, Calvi, Kowalski (2007), que probablemente es la más completa y clara hasta el momento; al final se incluye una explicación paso a paso de cómo se aplica. El método es muy simple y se puede manejar sin necesidad de software complejo, con simples hojas de cálculo interactivas tipo MS EXCEL. El diseño sismo resistente es un tema muy complejo, que lleva muchos años de desarrollo basados en métodos FBD. El futuro debe estar en los métodos DBD, pero éstos son jóvenes aun; aunque sus planteamientos son claros, requerirán desarrollos futuros, capacitación de los ingenieros y asimilación de los nuevos conceptos, estudio de temas especiales, etc. En el Capítulo 4 se comentan algunos temas que ofrecen oportunidades para las universidades, los investigadores y los que desarrollan software. El Capítulo 5 incluye varios ejemplos completos del diseño de un edificio de muros estructurales, con problemas de torsión, analizado según la Norma NSR-10 y según el método DDBD, usando espectros de desplazamientos de NSR-10. El ejemplo de la Sección 5.4 compara los resultados de un análisis por un

INTRODUCCIÓN

xxvi

Método FBD, según la Norma NSR-10, con los resultados según el Método DDBD. También se incluye para efectos de comparación el diseño del mismo edificio de muros para un espectro de desplazamientos como el de Chile 2010, para Suelo Tipo 2, Zona 2. En el mismo Capítulo se presenta un ejemplo de un edificio de pórticos, analizado con varias alternativas. En el Apéndice A1 se presenta una propuesta de Código para Diseño Sísmico de Edificios Basado en Desplazamientos, basada en Priestley et al. (2007), para su posible uso en Colombia. Incluye Comentarios a dicha Propuesta.

“Si no tienes claro para dónde vas, probablemente nunca llegues… o si acaso llegaras, tal vez no te darías cuenta”

1.

DISEÑO POR DESEMPEÑO

El diseño sísmico por desempeño (“Performance-Based-Seismic-Design”, o PBSD), es un método sistemático de diseñar las edificaciones para que alcancen un comportamiento predecible y deseable de sus elementos estructurales y no estructurales, aun en condiciones inelásticas de deformación. Se ha tratado de establecer unas metas u objetivos básicos y claros del PBSD, pero la comunidad internacional apenas está llegando a unos acuerdos sobre la definición y cuantificación de unos “estados límites de diseño” que permitan alcanzar esos objetivos. En el documento SEAOC – Vision 2000 Report se definen así los principios básicos:

En términos muy generales, el PBSD de un edificio comprende los siguientes pasos (Hamburger, 2004): 1. Escoger los objetivos de desempeño deseados. 2. Análisis y diseño preliminar. 3. Evaluar la idoneidad del diseño para cumplir los objetivos deseados.

4.

Revisar y ajustar el diseño hasta cumplir los objetivos.

Las investigaciones teóricas se basan en consideraciones probabilísticas complejas sobre la amenaza sísmica, los movimientos del terreno, las consecuencias sociales y económicas de los daños sísmicos a las construcciones, etc., para establecer objetivos de desempeño. En la práctica diaria la mayoría de los ingenieros diseñadores necesitan soluciones simples, confiables, que les permitan llegar eficientemente a propuestas de construcción seguras, económicas y fáciles de construir. Para poder cuantificar el desempeño de una estructura y de sus elementos no estructurales (mampostería, ventanas, instalaciones, equipos), es importante determinar las deformaciones que puedan presentarse durante sismos de diferentes intensidades, ya que los daños dependen directamente de esas deformaciones. Algunas Normas establecen metas o estados límites de diseño, para tratar de alcanzar los objetivos de un diseño por desempeño. En el caso de la NSR-10 se habla de “resistir temblores de poca intensidad sin daño, temblores moderados sin daño estructural… y un temblor fuerte con daños a elementos estructurales y no estructurales pero sin colapso” (Ley 400 de 1997 de Colombia, Título I – Objeto y alcance y numeral A.1.2.2 del Reglamento NSR-10). En la Norma no se define directamente qué es temblor de poca intensidad, temblor moderado o temblor fuerte, sin lo cual no habría claridad legal ni técnica en caso de reclamos por daños que pudieran ocurrir durante un sismo. En el Reglamento NSR-10, Capítulo A.13 (Definiciones y Nomenclatura) se definen el “Sismo de diseño” y el “Sismo de umbral de daño”, que pudieran interpretarse como equivalentes al “temblor fuerte” y al “temblor de poca intensidad”, respectivamente. El sismo de diseño se cuantifica en el numeral A.2.2, como base para obtener las fuerzas que debe resistir la edificación. El sismo del umbral de daño se cuantifica en el numeral A.12.2 del Reglamento NSR-10, pero solamente aplica para construcciones indispensables y de atención a la comunidad. El sismo de diseño de la NSR-10 está definido mediante espectros elásticos basados en una probabilidad de excedencia del 10% en 50 años, que corresponde a un periodo promedio de retorno de 475 años (numeral A.2.2.1), con base en un coeficiente de 5% del amortiguamiento crítico. La Norma relaciona este espectro con un sismo fuerte, que puede causar daños estructurales y no estructurales reparables, aunque en algunos casos pueda que no sea económicamente factible su reparación (A.1.2.2.4). Si se compara con la clasificación de Calvi, Sullivan (2009), esta condición sería asimilable a un “Nivel 2 de desempeño” o a un estado límite de control de daños, donde se pueden presentar daños reparables, aunque las operaciones normales podrían tener que ser suspendidas mientras se hacen las reparaciones. La Norma NSR-10 supone un diseño basado en fuerzas (FBD), y especifica ”coeficientes de importancia” aplicables al sismo de diseño, con valores variables entre 1.0 y 1.5, según el “grupo de uso” de la edificación. Las fuerzas de diseño se multiplican por esos coeficientes de importancia. La tendencia internacional actual es a usar más bien sismos con periodos de retorno diferentes según la importancia de la edificación; este concepto parece más apropiado. Para edificaciones indispensables y de atención a la comunidad, NSR-10 establece (A.12.2) “espectros sísmicos elásticos para el umbral de daño”, basados en una probabilidad de excedencia del 80% en 50 años, equivalente a un periodo promedio de retorno de 31 años, con un coeficiente de amortiguamiento del 2% del crítico, orientados a garantizar que el edificio pueda seguir operando durante y después de un sismo, o que se mantenga dentro del rango elástico de respuesta bajo el sismo del umbral de daño. Éste sería un “sismo de intensidad relativamente baja”, ante cuya ocurrencia, si se presentan daños a los elementos estructurales o no estructurales, éstos deben ser reparables y no deben interferir con el funcionamiento de la edificación. Según la clasificación de Calvi, Sullivan (2009), esta condición sería similar a un “Nivel 1 de desempeño” o a un estado límite de servicio. En la Tabla 1.1 se presenta la relación entre diferentes periodos de retorno y el número de años correspondiente para que se produzca determinada probabilidad de excedencia del sismo (Freeman, 2004).

Tabla 1.1 - Probabilidad de excedencia para un periodo medio de retorno (Freeman, 2004)

1.1. ESTADOS LÍMITE DE DISEÑO Y NIVELES DE DESEMPEÑO Hay que distinguir entre estados límite para el diseño de la estructura y estados límite para el diseño de los elementos no estructurales. El desplazamiento de diseño de un edificio puede definirse entonces para: a- Límites de las deformaciones unitarias de los materiales, que afectan principalmente la estructura. b- Límites de la distorsión angular o de la deriva de piso, que afectan principalmente los elementos no estructurales (muros divisorios, fachadas, ventanas, instalaciones, equipos, etc.) Calvi, Sullivan, (2009), proponen tres niveles de desempeño y de riesgo sísmico y de probabilidades de excedencia correspondientes del sismo, según el uso: Tabla 1.2 - Niveles de desempeño y probabilidades de excedencia Importancia Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3 I No se requiere 50% en 50 años 10% en 50 años II 50% en 50 años 10% en 50 años 2% en 50 años III 20% en 50 años 4% en 50 años 1% en 50 años IV 10% en 50 años 2% en 50 años 1% en 50 años En Nivel 1 de desempeño (límite de servicio) se esperan daños pequeños y su reparación no debiera afectar las operaciones normales. En el Nivel 2 (límite de control de daños) los daños deben ser económicamente reparables. En el nivel 3 (límite para prevención del colapso) el edificio no debe colapsar, pero puede no ser factible económicamente su reparación. 1.2. ESTADOS LÍMITE DE DISEÑO PARA LA ESTRUCTURA Se han propuesto por lo menos tres estados límite para la estructura (ver figura 1.1):

Figura 1.1 - Definición de los estados límite de una estructura

I-

Estado límite de servicio: a. Respuesta casi elástica, sin pérdida del recubrimiento del refuerzo. Usualmente c <0.004 para concreto o c < 0.003 para mampostería; s <0.010 a 0.015. b. Posibles fisuras residuales capilares, que no requieran tratamiento. c. Los elementos no estructurales, como ventanas y mampostería de particiones y fachadas, con detalles apropiados de separación de la estructura, no deben sufrir daños. Los pórticos pueden soportar muchas veces derivas hasta del 1% de la altura de piso, sin daños que requieran reparación. La mampostería no separada de la estructura puede deteriorarse cuando las derivas exceden aproximadamente el 0.5% de la altura de piso. Puede ocurrir especialmente en edificios de pórticos. La Norma NSR-10 presenta vacíos en la evaluación del estado límite de servicio: - Pretende cubrirlo con el sismo de diseño, pero ello no es correcto en un PBSD: no controla racionalmente el problema. - Aunque contempla sismo para el “umbral de daño”, esto sólo aplica a Grupo de uso IV (y algunos del III), pero al usar coeficientes de importancia según el uso, no quedan claros los coeficientes Sad y θc aplicables a otros Grupos de uso. - Probablemente tampoco Priestley et al. (2007) hacen énfasis suficiente en el estado límite de servicio. ¡Pero los elementos no estructurales deben protegerse, porque pueden representar del orden del 70% del costo de un edificio!

II- Estado límite de control de daños: a. Se aceptan daños cuyo costo de reparación sea bastante menor que su reconstrucción b. Pueden presentarse grietas residuales de flexión, que haya que inyectar para evitar la corrosión del refuerzo. s < 0.6 su c. No debe ocurrir pandeo ni fractura del refuerzo longitudinal. d. Se limitan las derivas (máximo 0.02 o 0.025), para que los daños a elementos no estructurales no sean excesivos. El estado límite de control de daños es la base usada para el diseño en muchas Normas, entre ellas NSR-10. En algunos países se establecen límites de la deriva para este estado entre 2.0 y 2.5% de la altura de piso. NSR-10 establece límites del 1% para las estructuras de concreto reforzado, metálicas, madera y algunas de mampostería; se permite 1.4% cuando se utilizan secciones fisuradas al evaluar la rigidez de la estructura. Si quedan deformaciones residuales significativas después de un sismo puede ser difícil o prácticamente imposible la reparación de la estructura. El tema está poco estudiado todavía. Pettinga et al. (2006) llegaron a las siguientes conclusiones: -

-

Si se llama “Ky” la rigidez a fluencia de la estructura y “r.Ky” la rigidez posterior a la fluencia (ver más adelante la figura 3.15), el valor de la relación “r” es fundamental para el comportamiento de las estructuras ante deformaciones residuales. Un valor r>5% reduce bastante esas deformaciones Los efectos P-∆ tienen mucha influencia sobre las deformaciones residuales La resistencia del concreto y su grado de confinamiento tienen poca influencia sobre el comportamiento de la estructura posterior a su fluencia Para una misma cuantía total, el refuerzo distribuido uniformemente en la sección de vigas, muros, columnas, en lugar de refuerzo concentrado en los extremos, logra resistencias similares a flexión; pero la plastificación es más gradual, la relación de rigidez post-fluencia, “r”, es mayor, controla mejor los efectos P-Δ y hay menor tendencia al pandeo de las barras.

-

Las estructuras de acero son más susceptibles a deformaciones residuales que las estructuras de concreto reforzado bien diseñadas Si se diseñan algunos elementos de la estructura para que permanezcan elásticos durante el sismo de diseño, es posible reducir las deformaciones residuales

También debe esperarse que las estructuras con mayores demandas de ductilidad presenten mayores deformaciones residuales. III- Estado límite de supervivencia (Prevención de Colapso): a. Se espera que, para el mayor sismo esperado, la estructura no colapse. b. La reparación de la estructura puede no ser factible técnica o económicamente.

1.2.1. Estados límite de diseño para los elementos de la estructura También existen unos estados límites para los elementos de la estructura (ver figura 1.2): 1- Estado límite de agrietamiento. 2- Límite de la primera fluencia: el refuerzo llega a su límite elástico e inicia la fluencia. 3- Límite de pérdida del recubrimiento del refuerzo. Si no existe confinamiento el elemento puede perder mucha rigidez y hasta puede agotar súbitamente su resistencia. Conservativamente, este estado se asocia con una deformación unitaria de compresión del concreto εc de 0.004 en casi todas las normas (0.003 en ACI-318 y NSR-10) 4- Para deformaciones unitarias del acero mayores del 1%, el ancho de las grietas residuales puede ser de más de 0.8 mm y requerir inyección con resinas epóxicas. 5- Estado límite de pandeo del refuerzo longitudinal: Más allá de este punto, muy probablemente haya que reconstruir el elemento afectado. Lo mismo ocurre si el acero se fractura por deformación unitaria elevada; esto puede presentarse sobre todo con cuantías bajas. 6- Estado límite de resistencia última: su definición no es muy clara, pero se asocia con la fractura del refuerzo de confinamiento en una rótula plástica, o con la pérdida súbita de la resistencia de la sección. 7- También se han propuesto límites de las deformaciones unitarias del suelo de la cimentación, para los diferentes niveles de desempeño; ver Calvi, 2009.

Figura 1.2- Estados límite para un elemento de concreto reforzado (Paulay, 1996)

1.2.2. Estados límite de diseño para la curvatura de los muros de concreto

Priestley, Kowalski (1998) proponen estados límites de curvatura para un muro de longitud Lw (ver figura 1.3):

Figura 1.3 - Estados límite para curvatura de los muros de concreto (Adaptada de Priestley-Kowalski, 1998) 1.3. ESTADOS LÍMITE DE DISEÑO PARA LOS ELEMENTOS NO ESTRUCTURALES El daño de los elementos no estructurales recibe generalmente bastante atención en las Normas de diseño y se busca su control limitando las distorsiones angulares (o las derivas de piso) que se presentan durante los sismos. Es porque estos elementos cuestan muchas veces hasta el 70% del total de un edificio y entonces no tendría mucho sentido que la estructura escapara sin daños de un sismo, mientras que el resto del edificio quedara prácticamente destruido, como ocurrió durante el Terremoto de El Salvador 1986, donde "algunas estructuras se comportaron muy bien, pero los edificios muy mal". Por otra parte, tampoco tendría mucho sentido que los elementos no estructurales sufrieran pocos daños, cuando ya la estructura se hubiera deteriorado significativamente; esto último pudiera ocurrir cuando se especifican distorsiones angulares muy estrictas para el sismo de diseño (“Sismo de control de daños”). Las Normas de diseño establecen límites para las derivas de piso. Generalmente estos límites son los que determinan la rigidez requerida de la estructura y con ellos rara vez se superan los límites de deformación de sus materiales, excepto en muros de relación altura/longitud pequeña o en vigas poco esbeltas. Los daños en muros de mampostería son muy diferentes, según que éstos se aíslen de la estructura o que se construyan en contacto con ella. Aunque las prácticas constructivas pueden diferir mucho de un país a otro, es interesante repasar los resultados experimentales cíclicos citados por Bonelli (1993), sobre mampostería de perforación horizontal, no separada de la estructura (Tabla 1.3 y figura 1.4): Tabla 1.3 - Daños de la mampostería, según su deformación Deriva 0.04% 0.2% 0.6% 1.0% 1.6% 2.5%

Nivel de daños Primeras fisuras visibles Fisuras diagonales delgadas, fácilmente reparables Grietas más abiertas, deslizamiento de juntas. Reparable Daños considerables y roturas locales reparables con dificultad Reparación muy difícil Pérdida total; reparación imposible

Figura 1.4 - Niveles de desempeño y daños en elementos de mampostería no aislados de la estructura (Los valores anotados son aproximados, según Bonelli, 1993) Calvi, Sullivan, (2009), proponen los siguientes criterios de diseño por desempeño, que limitan las distorsiones angulares o derivas, según el tipo de elementos no estructurales que se utilicen: Tabla 1.4 - Límites de la deriva de piso para diferentes Niveles de Desempeño ELEMENTOS NO ESTRUCTURALES Frágiles Dúctiles Capaces de soportar los desplazamientos del edificio

NIVEL 1 0.005 0.0075 0.010

NIVEL 2 0.025 0.025 0.025

NIVEL 3 Sin límite Sin límite Sin límite

Los límites actuales de derivas de la Norma NSR-10 son más estrictos que los propuestos en la Tabla 1.4. El tema es algo complejo; criterios como los de esa tabla tratan de plantear la solución más conveniente, pero no es fácil conciliar los diferentes objetivos de desempeño. Cuando se parte de límites estrictos para las derivas de piso se puede lograr mayor protección de algunos elementos no estructurales, tales como fachadas y muros divisorios, ante deformaciones en su propio plano. Pero por otra parte se llega a estructuras más rígidas, que sufrirán mayores aceleraciones sísmicas, con efectos más desfavorables para las instalaciones, los contenidos del edificio y la aceleración transversal de los mismos elementos de fachada y muros interiores. Esto puede ser inconveniente sobre todo para edificaciones que alberguen equipos delicados, como los hospitales, los centros de procesamiento de datos y las sub-estaciones de energía. Tampoco tendría mucho sentido la protección de algunos elementos no estructurales mediante la especificación de derivas tan estrictas que dichos elementos no sufrieran daños cuando ya la estructura empezara a deteriorarse. Tal vez la mejor solución sería permitir derivas como las de la Tabla 1.4, pero aislar los elementos no estructurales.

1.3.1. Clasificación de las derivas o distorsiones angulares Debieran distinguirse tres tipos de deriva. Es importante tener claridad sobre ellas en el momento de establecer las derivas de diseño. a- Deriva horizontal convencional: es la distorsión angular o deriva de piso, ∆i/hi, causa principal de los daños en los edificios de pórticos; θ en la figura 1.5 (a).

Figura 1.5 (a) – Deriva horizontal b- Deriva tangencial: cuando se presentan rotaciones en la base de un edificio, por ejemplo con interacción suelo estructura, dichas rotaciones, “α” en la figura 1.5 (b), contribuyen a la diferencia de desplazamientos horizontales entre pisos vecinos, pero ese aporte no produce daños significativos a los elementos no estructurales. En estos casos tiene más importancia la distorsión restante, correspondiente a las deformaciones propias de la estructura; es la deriva o distorsión angular tangencial. Ver figura 1.5 (b) y Sección 4.7.

Figura 1.5 (b) – Deriva tangencial c- Deriva vertical: en edificios de muros pueden presentarse derivas importantes en dirección vertical, sobre todo cuando existen muros vecinos largos, con distancias libres moderadas o pequeñas entre ellos. Ver figura1.5(c) y Sección 4.9 –“Elementos no estructurales en edificios de muros – Deriva vertical”. ¿Serán adecuados en estos casos los límites de la deriva de la Tabla 1.4?

Figura 1.5 (c) – Deriva vertical

1.4. SEPARACIÓN ENTRE EDIFICIOS PARA PROTECCIÓN CONTRA GOLPETEO(“SEISMIC POUNDING”) Es necesario separar las estructuras adyacentes, para disminuir los daños por colisión entre ellas durante los sismos (“seismic pounding”). La Norma NSR-10 reglamenta este tema en su numeral A.6.5. En NSR-10 se establece la separación mínima como la suma de los valores absolutos de los desplazamientos de las estructuras consideradas, para los valores del sismo de diseño o de control de daños. Aquí debe anotarse: -

Es poco probable que las dos estructuras lleguen simultáneamente a sus máximos desplazamientos sísmicos, ∆1, ∆2, y en dirección opuesta. Tal vez sería más apropiado establecer la separación mínima en función de la suma SRSS de los desplazamientos máximos individuales: Separación mínima = √(∆1² + ∆2²)

-

Los desplazamientos de referencia, ∆1, ∆2, no tienen que ser necesariamente los del estado límite de control de daños. No parece tener mucho sentido exigir que los edificios aun no puedan tocarse cuando ya ambas estructuras alcanzaron sus desplazamientos inelásticos máximos.

-

La colisión entre estructuras adyacentes puede tener efectos diferentes según que los niveles de las placas de los dos edificios coincidan o no.

-

El tema puede estudiarse con mayor detalle en Jeng et al. (1992), Athanassiadou et al. (1994), Jeng et al. (2001), López García D. (2004), ULIEGE (2007, Cole et al. (2010). Requiere mayor investigación.

1.5. ESPECTROS SÍSMICOS DE DISEÑO Para poder realizar el Diseño Sísmico por Desempeño se deben establecer los espectros correspondientes a cada uno de los estados límite de diseño que se definan. Este aspecto es reglamentado por las Normas; ver por ejemplo la Tabla 1.2. Los métodos tradicionales de diseño se basan en fuerzas (FBD) y utilizan espectros de aceleraciones diferentes según el estado límite considerado; a veces se usa un mismo modelo de computador para

obtener el período fundamental que determina la aceleración de diseño, como en la figura 1.6 (b). Estrictamente debieran usarse propiedades de las secciones estructurales (rigideces) diferentes para cada estado límite de diseño, que llevan a períodos fundamentales diferentes. Los métodos basados en desplazamientos (DBD), explicados en el Capítulo 3, usan espectros de desplazamientos que no necesariamente tienen un mismo período de inicio del desplazamiento espectral constante. Los períodos fundamentales de vibración requeridos para garantizar los desplazamientos de diseño resultan diferentes en cada caso. Ver figura 1.6 (a).

Figura 1.6 - Espectros elásticos para diferentes estados límite (Calvi (2009)

CAPÍTULO 2: MÉTODOS BASADOS EN FUERZAS (FBD), CON ÉNFASIS EN NSR-10

2-1

“¡A menudo la exactitud es una ilusión, sí, mejor dicho, un engaño a sí mismo o a los demás, cuando las suposiciones del cálculo no se analizan críticamente! Uno puede calcular muchas cosas... ¿Pero serán 1 ciertas? Como ingeniero, uno tiene que hacerse siempre esa pregunta”. (G. Franz.)

2.

MÉTODOS BASADOS EN FUERZAS (FBD), CON ÉNFASIS EN NSR-10

El Título A de la Norma NSR-10 se apoya en buena parte en el documento “ASCE/SEI 7-05 – Minimum Design Loads for Buildings and Other Structures” – ASCE 2006. Esta Norma admite básicamente dos métodos de análisis sísmico: Fuerza Horizontal Equivalente (FHE) y Análisis Dinámico Elástico Espectral. En ambos métodos se determinan unas fuerzas laterales de diseño, basadas en las propiedades dinámicas estimadas o calculadas, según el caso, de un modelo elástico de la estructura y en un espectro elástico de aceleraciones de diseño. A partir de esas fuerzas laterales se obtienen los desplazamientos sísmicos y se calculan las fuerzas internas de los elementos de la estructura, que se reducen por unos factores R, similares a una relación de ductilidad, dependientes del sistema estructural y de los detalles de refuerzo que se utilicen. Se deben cumplir unos requisitos de derivas y si el modelo inicial no las satisface hay que modificar la geometría de la estructura. Se realiza además el diseño por capacidad, que prevé jerarquías de resistencia para controlar la secuencia deseable de fallas de los elementos durante un sismo. En resumen, es un método de Diseño Basado en Fuerzas“Force Based Design”, o FBD, donde se parte de unas fuerzas equivalentes al sismo, para obtener los desplazamientos de la estructura y las fuerzas de diseño de sus elementos. El uso de los métodos FBD ha sido cuestionado desde hace algunos años, sobre todo porque los modelos de la estructura se basan en rigideces y en relaciones de ductilidad poco confiables. Así es prácticamente imposible obtener los desplazamientos inelásticos verdaderos de la estructura y garantizar claramente los objetivos de un diseño por desempeño. Según se verá más adelante, Sección 2.5, avances teóricos y experimentales recientes muestran que es más apropiado partir de los desplazamientos sísmicos deseados y luego obtener la rigidez requerida de la estructura, las fuerzas de diseño y su distribución dentro de la estructura (Diseño Basado en Desplazamientos, o DBD).

2.1. PROCEDIMIENTO PASO A PASO DEL DISEÑO SISMO RESISTENTE EN NSR-10 (MÉTODO FBD) En el diseño sismo resistente de un edificio según NSR-10, se siguen los siguientes pasos: 12-

345-

1

De común acuerdo con el dueño y los arquitectos, se escoge un sistema estructural. Con base en la geometría del proyecto, los materiales elegidos, las masas y cargas del edificio, en la zona donde se encuentre la edificación y en los espectros sísmicos de diseño, se pre-dimensionan los elementos de la estructura. Se elabora un modelo elástico de la estructura y se calcula el período fundamental de vibración en cada dirección principal. Se obtienen las fuerzas sísmicas de diseño que deben aplicarse, con base en un espectro de aceleraciones. Se calculan los desplazamientos sísmicos y se revisan las derivas. Si no cumplen los requisitos de la Norma, se vuelve al Paso 2.

“Oftmals ist die Genauigkeit eine Illusion, ja, pointiert gesagt: ein Selbstbetrug oder Betrug, wenn die Voraussetzungen der Rechnung

CAPÍTULO 2: MÉTODOS BASADOS EN FUERZAS (FBD), CON ÉNFASIS EN NSR-10 6-

78-

2-2

Se combinan los efectos de las cargas verticales con los efectos de las fuerzas sísmicas del Paso 4, divididas éstas por un factor de modificación de respuesta R. Así se determinan las fuerzas de diseño de los elementos estructurales Se diseña el refuerzo de flexión y el de cortante de todos los elementos. Esto incluye una jerarquía de resistencias o diseño por capacidad. Pueden requerirse ajustes que lleven de nuevo al Paso 3 Elaborar los planos de construcción Elegir Sistema Estructural y Pre-dimensionarlo

Calcular rigideces Modelo de computador

Calcular periodos de vibración

Cortante de diseño según espectro elástico de aceleraciones

Calcular fuerzas sísmicas

Verificar Derivas

No cumple

Modificar geometría de la estructura

Sí cumple Elegir factor μ o “R”, de disipación de energía

Analizar la estructura para varias combinaciones de carga; las fuerzas sísmicas se reducen por “R”

Diseñar los refuerzos por capacidad

Planos de Construcción

Figura 2.1 - Diagrama de Flujo – NSR-10 - Método FBD 2.2. COMENTARIOS AL PROCEDIMIENTO FBD DE LA NORMA NSR-10


2-3

Paso 1 – Elección del sistema estructural La elección del sistema estructural se basa en consideraciones técnicas, de funcionalidad, económicas, constructivas, estéticas, etc. y pueden presentarse limitaciones arquitectónicas o preferencias del dueño, quienes en algunos casos no le dan a la estructura la misma importancia que le da el ingeniero. Debe anotarse: -

-

La NSR-10 establece limitaciones al uso de algunos sistemas estructurales sismo-resistentes, de acuerdo con la zona de amenaza sísmica donde esté localizado el edificio. En edificios de oficinas o con garajes, es difícil lograr estructuras de muros solos. En algunos edificios con sistema de pórticos, las dimensiones necesarias de las vigas y columnas para controlar derivas pueden llevar a espacios poco funcionales; la incorporación de algunos muros estructurales (sistema combinado) puede ayudar a reducir las secciones de los pórticos. En proyectos de vivienda y oficinas el dueño puede estar más interesado en soluciones económicas, sin sacrificar funcionalidad. En edificios institucionales, cuando se busca una imagen, es posible que al dueño y a los arquitectos no les importe mucho si la solución estructural no es muy eficiente y entonces los diseños pueden requerir revisiones adicionales a las de la metodología general.

Paso 2 – Pre-dimensionar la estructura -

-

Las dimensiones de los diferentes elementos (columnas, muros, vigas) son establecidas de modo aproximado por el ingeniero estructural, con base en modelos simplificados o en su experiencia. En nuestro medio resultan generalmente masas del orden de 0.6 t/m² (0.6 kN.s²/m) en pisos de parqueaderos con placas aligeradas y fachadas abiertas, 0.7 a 0.9 t/m² en edificios de muros (los valores menores son para edificios bajos) y más de 0.9 t/m² en edificios de pórticos de concreto con particiones y fachadas de mampostería de ladrillo. Con relación al espectro de diseño: o La Norma NSR-10 incluye mapas de zonificación sísmica, que determinan los parámetros de aceleración pico efectiva (Aa) y velocidad horizontal pico efectiva (Av) a nivel de roca en diferentes regiones del país. Esos mismos mapas clasifican las zonas como de amenaza sísmica baja, intermedia o alta y esto tiene que ver a su vez con los grados de capacidad de disipación de energía (mínima, moderada o especial) que se permiten más adelante en los diseños. o El ingeniero geotécnico establece un perfil de suelo, Tipo A a F, según las características dinámicas del suelo; esto se hace básicamente a partir de la velocidad media de la onda de cortante, Vs, en los 30 m superiores del suelo. La NSR-10 especifica para cada perfil de suelo unos coeficientes de sitio Fa, Fv, que afectan el espectro elástico de aceleraciones de diseño. o La Norma contempla además coeficientes de importancia, I, según el uso previsto para la edificación, que afectan los espectros de diseño. o Con base en los parámetros Aa, Av, Fa, Fv, I, NSR-10 define el espectro de aceleraciones correspondiente a un amortiguamiento del 5%, para una probabilidad de excedencia del 10% en 50 años. También define espectros de velocidades y de desplazamientos, deducidos del de aceleraciones. Cuando la ciudad dispone de un Estudio de Microzonificación aprobado, éste es el que establece los espectros de diseño. También pueden hacerse estudios sísmicos particulares del sitio.

Paso 3 – Modelo para análisis de la estructura y cálculo del periodo de vibración

CAPÍTULO 2: MÉTODOS BASADOS EN FUERZAS (FBD), CON ÉNFASIS EN NSR-10 -

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2-4

El Título A de la Norma Colombiana se apoya en buena parte en ASCE 7-05 y admite básicamente dos métodos de análisis sísmico: Fuerza Horizontal Equivalente (FHE) y Análisis Dinámico Elástico Espectral. También admite en principio otros métodos menos convencionales, más apropiados para revisión que para diseño directo, y más laboriosos; dentro de éstos se encuentran los análisis dinámicos inelásticos y los análisis tipo “pushover”; admite además análisis de interacción suelo estructura. Pero la NSR-10 impone restricciones a estos métodos y amarra los resultados al método de la FHE. También se admiten “Métodos alternos de análisis y diseño” en el Capítulo II, Artículo 10 de la Ley 400 de 1997 y dentro de éstos cabrían eventualmente los métodos de Diseño por Desplazamientos (DBD). En principio se debieran modelar las estructuras de concreto con rigideces a flexión de secciones fisuradas. Esto no es siempre fácil con algunos programas comerciales de computador. Sobre todo con muros estructurales, donde esto implica a veces disminuir también la rigidez axial; puede que ello no sea muy significativo, dados sus esfuerzos axiales generalmente bajos, pero es de todos modos una inconsistencia. En los edificios de concreto algunos ingenieros usan secciones homogéneas para los análisis. Si el análisis se realiza con rigideces de secciones fisuradas la NSR-10 permite reducir las derivas obtenidas por un factor de 0.7 y ofrece varias alternativas: o Numeral C.8.8.2 (b): Usar 50% de las propiedades de la sección bruta, o momento de inercia = 0.5 Ig o Numeral C.10.10.4; usar para las inercias de:  Vigas: 0.35 Ig  Columnas: 0.7 Ig  Muros: 0.35 a 0.7 Ig, para sección agrietada o no agrietada, respectivamente.  También permite evaluar la rigidez con base en las ecuaciones (C.10-8) y (C.10-9) de la Norma y en ese caso las vigas poco reforzadas tendrían momentos de inercia tan bajos como 0.25 Ig. En el caso de los muros es difícil establecer en la etapa inicial del diseño si su sección estará agrietada o no, en diferentes niveles del edificio. En el Capítulo 3 se verá que la rigidez fisurada real depende mucho de la cuantía de refuerzo, que no se conoce al iniciar los diseños. En la Sección 3.1, figura 3.5 caso (b), puede observarse que la rigidez efectiva “real” de una columna puede variar entre 0.12 Ig y 0.90 Ig, según la cuantía de refuerzo y el esfuerzo axial. Se puede llegar a valores muy diferentes de los desplazamientos laterales y de las derivas del edificio, según las hipótesis que se adopten, especialmente en edificios de pórticos de concreto reforzado, donde la rigidez total depende con frecuencia más de las vigas que de las columnas. NSR-10 impone límites al valor máximo del periodo fundamental de vibración que puede usarse para determinar la aceleración espectral máxima de diseño, Sa.

Paso 4 – Fuerzas sísmicas de diseño -

-

El cortante basal de diseño se deduce del espectro elástico de aceleraciones. Pero NSR-10 establece unos valores mínimos, basados en los correspondientes al método de la Fuerza Horizontal Equivalente, FHE. Estos cortantes de FHE se basan a su vez en un periodo fundamental aproximado de vibración, “T a = α Ct.h ", establecido en NSR-10, Tabla A.4.2-1, adaptada de ASCE 7-05, Tabla 12.8-2. La última alternativa de evaluación indicada en dicha Tabla, permitía en la primera versión de NSR-10 usar Ct =0.0062/√CW “para estructuras que tengan muros estructurales”, lo cual podía llevar en algunos casos de sistemas combinados a valores muy altos, irreales, del periodo T a y en consecuencia a cortantes sísmicos de diseño inseguros. Un anexo de la Norma, Decreto 092 de 2011, corrigió este punto de acuerdo con la Norma de origen, ASCE 7-05, que limita el uso de este valor de Ct a edificios de muros de concreto o de mampostería. Existen varios programas comerciales eficientes de computador, como SAP, ETABS, RCB, que permiten análisis dinámico elástico espectral.


-

-

2-5

Es usual considerar empotrados en la base todos los muros y columnas del edificio. Los análisis de interacción suelo estructura muestran que, debido a la sola rotación de la base, se puede presentar una redistribución importante del cortante basal entre los muros estructurales del primer piso de un edificio, sobre todo si existen muros con longitudes muy diferentes; los muros cortos pueden quedar así subdiseñados. Ver Pérez F (2001). Aunque se efectúe un análisis dinámico, NSR-10 (A.5.4.5) exige usar como mínimo un porcentaje del cortante sísmico basal del método FHE. Hay que ajustar proporcionalmente todos los resultados del análisis dinámico: cortantes de piso, desplazamientos, fuerzas internas de los elementos. Deben verificarse los efectos de las cargas de viento, que en algunos casos de edificios altos pueden ser más exigentes que los de sismo.

Paso 5 – Cálculo de los desplazamientos y de las derivas de piso -

-

Los desplazamientos sísmicos del edificio se obtienen a partir de las fuerzas obtenidas en el Paso 4, sin ninguna reducción. NSR-10 supone así que los desplazamientos inelásticos del sistema son iguales a los desplazamientos del modelo elástico. Se aparta del criterio más favorable de ASCE 7-05, Tabla 12.2-1, que usa un factor Cd, generalmente menor que el coeficiente de disipación de energía R, para evaluar los desplazamientos inelásticos como “Cd/R” veces los desplazamientos elásticos. ASCE 7-05, numeral 12.8.6.2, permite verificar las derivas usando fuerzas sísmicas de diseño basadas en el periodo fundamental calculado, sin el límite superior de “Cu Ta”; pero NSR-10 pide su ajuste, según se explicó en el Paso 4, con base en el método FHE

Las derivas permitidas por NSR-10 son más restrictivas que las de ASCE 7-05, Tabla 12.12-1, especialmente para estructuras del grupo de uso I (estructuras de ocupación normal), donde NSR-10 permite 1.0% de la altura de piso para las estructuras de concreto y metálicas, mientras que ASCE permite hasta 2.0%. Esto, sumado a las condiciones de los dos párrafos anteriores, obliga en algunos casos a plantear dimensiones bastante robustas de los elementos estructurales, que pueden llevar con frecuencia a estructuras que se comportan elásticamente para el sismo de diseño, con resultados anti-económicos. Ver Sección 4.4 – “Los límites de control de derivas de la Norma NSR-10 y el DBD”. Conceptualmente, no es clara la intención de NSR-10 al establecer el límite de derivas del 1%. Este valor es muy alto, si se pretende proteger con ello los elementos no estructurales; pero es muy bajo como límite de la deriva que puede alcanzar una estructura con detalles de diseño por capacidad, como los que exige la misma Norma. Sería más correcto definir más claramente los objetivos de desempeño; ver Secciones 1.1 a 1.3. El cumplimiento del control de derivas en NSR-10 ha llevado también a discrepancias importantes entre los ingenieros involucrados en la práctica diaria del diseño de edificios, a la hora de plantear las rigideces de los elementos de concreto reforzado: algunos usan rigidez de sección fisurada y se atienen al beneficio del numeral A.6.4.1.1, que permite reducir las derivas así calculadas por un factor de 0.7, mientras que otros usan sección homogénea, con lo cual se cumplen a veces más fácilmente los requisitos de la Norma. Los resultados pueden ser muy diferentes, según se verá en la Sección 5.4 – “Ejemplo 3Y – FBD – Análisis Dinámico según NSR-10 - Suelo Tipo D - Sismo Y”. Paso 6 – Fuerzas de diseño de los elementos de la estructura -

Las fuerzas de diseño se obtienen combinando según el Título B de la Norma los efectos de las cargas verticales con los efectos de sismo reducidos por un “coeficiente de capacidad de disipación de energía”, R. El coeficiente R se define en el Capítulo A.3 de NSR-10, según los materiales usados, el sistema de resistencia sísmica, las irregularidades de la edificación (si existen), los detalles de refuerzo utilizados (DMO, DES), etc.


2-6

Cuando se hace análisis dinámico de la estructura, NSR-10, A.5.4.4, especifica que se combinen los valores modales de las fuerzas en los elementos según métodos apropiados (SRSS, CQC, etc.). Aquí puede presentarse un problema práctico al diseñar las columnas, los muros estructurales y la cimentación, ya que las fuerzas axiales y los momentos flectores de diseño así obtenidos no son concomitantes o de ocurrencia simultánea. En otras palabras, la combinación modal es un “truco” para obtener envolventes de las fuerzas de diseño (fuerzas axiales, momentos, cortantes), pero que no corresponden a un momento específico de la respuesta sísmica. El caso requiere especial atención en el diseño de muros estructurales de varios segmentos o de su cimentación; muchas veces, cuando se toman las reacciones de segmentos individuales (“legs”), las sumas de sus reacciones son diferentes a las del muro completo (“wall”). Una manera práctica de obviar las dificultades anteriores y obtener fuerzas de diseño consistentes, es convertir los cortantes sísmicos máximos combinados de piso, deducidos del análisis dinámico, en un juego de fuerzas laterales estáticas aplicadas en cada piso, equivalentes a las fuerzas horizontales del análisis dinámico, que permitan hacer un análisis estático equivalente. Debe anotarse que los momentos de vuelco y los desplazamientos calculados con estas fuerzas resultan mayores que los del análisis dinámico riguroso. La “Comisión Asesora Permanente del Régimen de Construcciones Sismo Resistentes” explica con mayor detalle ese procedimiento en su concepto de Octubre 31 de 2005, Hojas No. 11 y 12.

Paso 7 – Diseño del refuerzo -

-

Para determinar las cuantías de refuerzo longitudinal y transversal se usa un “Diseño por Capacidad”, propuesto por Park y Paulay (1975) y adoptado posteriormente por muchas normas de diseño. Básicamente, se trata de controlar la secuencia de las posibles fallas de los elementos estructurales, para evitar el colapso del edificio. Este tema se tratará con mayor detalle en la Sección 2.3. Merece especial consideración el diseño de los muros estructurales en NSR-10 y en ACI-318-08, basado en desplazamientos. Este tema se tratará con mayor detalle en la Sección 2.4.

Paso 8 – Elaborar los planos de construcción Es de la mayor importancia que el ingeniero diseñador tenga control total sobre los planos de construcción, pues si éstos no son claros o no contienen los detalles apropiados que correspondan a las hipótesis de cálculo, no se habrá logrado nada, por refinado que haya sido el proceso de diseño. El diseño no termina con el proceso numérico; es un error darse por satisfecho con esos cálculos y dejar el proceso de los planos completamente en manos de personal auxiliar no calificado o de software para despiezo, sin participación crítica del ingeniero que procesó los diseños. Durante un sismo puede comportarse mejor una estructura diseñada solamente para efectos de cargas verticales, pero con buenos detalles de refuerzo (confinamiento de muros, columnas y vigas, traslapos del refuerzo, etc.), que otra estructura calculada con los métodos más avanzados de diseño sismo resistente, pero con planos de construcción descuidados. Es clara también la importancia de la supervisión técnica de la construcción, que garantice el cumplimiento de lo especificado en los planos.

2.3. DISEÑO POR CAPACIDAD DE EDIFICIOS DE CONCRETO REFORZADO EN NSR-10 Y EN ACI-318-08 El diseño confiable de un edificio exige que se tenga control sobre sus mecanismos de falla y ello se logra mediante el diseño por capacidad, concepto que busca controlar la respuesta inelástica de la estructura de un edificio, mediante la elección de un mecanismo de rótulas plásticas, detalladas para una capacidad alta de deformación antes de la falla (ductilidad y deformaciones inelásticas grandes); las demás zonas y elementos estructurales se diseñan con suficiente resistencia para que tengan respuesta elástica. Para lograr lo anterior hay que identificar todas las fuentes de sobre-resistencia y los efectos dinámicos de los modos


2-7

superiores de vibración, que pudieran afectar los mecanismos previstos. También hay que especificar detalles adecuados para prevenir fallas por anclaje y por traslapo del refuerzo. A manera de ejemplo, en el tema dela sobre-resistencia, Restrepo J.I. (2006) identifica los siguientes factores aproximados, que afectan las fuerzas de diseño iniciales: -

Factores “ φ” de reducción de resistencia para el diseño: Exceso de refuerzo sobre el teórico: Resistencia del acero mayor que la teórica: Endurecimiento del acero por deformación: Efectos de combinaciones de carga :

1.15 1.05 1.10 1.10 1.10

o

Factor de sobre-resistencia total: Ω ≈ 1.15*1.05*1.10*1.10*1.10 = 1.6. Si se usa 1.25 en lugar de 1.10 para o el endurecimiento del acero por deformación, se llega a un factor Ω ≈ 1.8. La Norma NSR-10 maneja indirectamente el diseño por capacidad mediante factores de reducción de capacidad, “φ”, diferentes para flexión, fuerza axial y fuerza cortante, además de algunas consideraciones de plastificación de los extremos de las vigas y columnas. En general existen múltiples mecanismos posibles de falla para una estructura; estrictamente debieran explorarse varias alternativas. El mecanismo de falla más sencillo supuesto normalmente para pórticos contempla la formación de rótulas plásticas en los extremos de todas las vigas, además de una rótula plástica en la base de cada columna o muro estructural (figuras 2.2a y 2.2e). Es preferible que fallen primero las vigas, porque con detalles apropiados de confinamiento es poco probable que colapsen durante un sismo, y el daño puede ser reparable. En cambio la falla de una columna puede provocar el colapso del edificio o puede ser de difícil reparación. En la figura 2.2 (Paulay T., 1996) se muestran algunos mecanismos de falla en términos conceptuales. Para el diseño de los elementos estructurales se prefieren las fallas por flexión, antes que por fuerza axial o por cortante.

Figura 2.2 - Mecanismos de plastificación en edificios (Paulay T., 1996)

2.3.1. Diseño de las vigas por capacidad


2-8

Las vigas se diseñan en NSR-10 de modo que predomine la falla por flexión, antes que la falla por cortante. El diseño de cortante por capacidad se maneja mediante los siguientes requisitos: Se exigen zonas confinadas en los extremos de las vigas, con estribos cerrados y a espaciamientos cortos, que limiten las probabilidades de falla por pandeo del refuerzo longitudinal en estas zonas de posible plastificación y mantengan la integridad del concreto sometido a deformaciones unitarias grandes. -

-

-

-

Las fuerzas de diseño para cortante se calculan a partir de las fuerzas estáticas para cargas verticales, y suponiendo que en los extremos de cada luz actúan momentos de signo opuesto, correspondientes a la resistencia existente (según el refuerzo de flexión real especificado); además, en casos DES se supone que el acero de refuerzo tiene una resistencia de 1.25 fy; ver figuras 2.3 y 2.4. Es decir, se diseña con base en la resistencia nominal de las vigas y además se tiene en cuenta el endurecimiento del acero (“strain-hardening”). Ver NSR-10, C.21.5.4.1 y C.21.6.5.1. Para diseño DMO la resistencia a cortante de la viga, φ.Vn, no debe ser menor que la suma del cortante asociado con el desarrollo de los momentos nominales en cada extremo del elemento y el cortante calculado para cargas gravitacionales mayoradas. Para diseño DES, φ.Vn debe basarse en los momentos resistentes probables de las vigas, con resistencia del acero 1.25 fy. Ver NSR-10, C.21.3.3 y C.21.5.4.1 y figura 2.3. En estructuras diseñadas para capacidad de disipación de energía moderada (DMO) o especial (DES), el factor de reducción de resistencia a cortante, φ, se especifica como 0.6, mientras que para flexión de vigas se usa 0.9 (NSR-10, C.9.3.4). Así se logra una resistencia a cortante 1.5 veces mayor que a flexión. En las zonas confinadas de los extremos de la luz, cuando la fuerza cortante debida al solo sismo sea mayor del 50% de la resistencia a cortante requerida en esas zonas, no se debe contar con la resistencia del concreto (Vc=0). Ver NSR-10, C.21.5.4.2 y C.21.6.5.2.

a.

DMO (Intermedia)

b. DES (Especial)

Figura 2.3 - Cortantes de diseño para las vigas (NSR-10 y ACI-318-08)

2.3.2. Diseño de las columnas por capacidad


2-9

La idea básica del diseño por capacidad de las columnas es darles una resistencia a flexión mayor que la resistencia de las vigas que se conectan a la columna y además se busca que la resistencia a cortante sea mayor que la resistencia a flexión. Es decir, se adopta como principio general la “filosofía viga débilcolumna fuerte”. -

En todos los nudos de la estructura, la resistencias nominales a flexión deben cumplir la condición: ΣMnc ≥ 1.2 ΣMnb (NSR-10, ecuación C.21-4)

En donde:

ΣMnc = suma de los momentos flectores nominales de las columnas que llegan al nudo, para la carga axial mayorada que conduzca a la menor resistencia a flexión ΣMnb = suma de los momentos flectores nominales de las vigas que llegan al nudo Esta condición busca evitar la plastificación de las columnas durante un sismo. Si todas las columnas de un mismo piso llegaran a fluencia, se presentaría un mecanismo de falla como el de la figura 2.2 c, que llevaría al colapso del edificio. En vista de que se está hablando de resistencias nominales, no queda muy claro, en el caso de que la resistencia del acero de refuerzo de las vigas llegue al endurecimiento por deformación y a esfuerzos mayores que 1.2 fy, si la condición anterior garantiza una reserva suficiente de capacidad de las columnas. Ver NSR-10, numerales C.21.3.6.2 y C.21.6.2.2. -

Se exigen zonas confinadas en los extremos de las columnas, con estribos cerrados y a espaciamientos cortos, que permitan deformaciones inelásticas altas y limiten las probabilidades de falla por pandeo del refuerzo longitudinal en estas zonas de posible plastificación de la columna.

-

Las fuerzas de diseño para cortante se calculan a partir de las resistencias nominales a flexión en los extremos de cada tramo de columna, actuando en la misma dirección de giro, para la carga axial mayorada que lleve a la mayor resistencia a flexión. Ver figura 2.4.

-

En diseño DMO la resistencia a cortante de la columna, φ.Vn, no debe ser menor que el cortante asociado con el desarrollo de los momentos nominales en cada extremo del elemento; en diseño DES la resistencia φ.Vn debe calcularse a partir de los momentos resistentes probables, basados en 1.25 fy, en lugar de los momentos nominales. Ver NSR-10, C.21.3.3 y C.21.5.4.1 y figura 2.4.

-

En estructuras diseñadas para capacidad de disipación de energía moderada (DMO) o especial (DES), el factor de reducción de resistencia a cortante se especifica como φ=0.6, mientras que para flexocompresión de columnas se usa φ=0.65 (NSR-10, C.9.3.4). En este caso la sobre-resistencia a cortante sería apenas de 0.65/0.60 = 1.08, bastante menor que la prevista en el diseño de vigas (sobre-resistencia de 1.5, según se vio). Si el refuerzo de la columna llegase al endurecimiento por deformación podría presentarse una falla por cortante. Pero la condición del párrafo anterior sí ofrece mejores garantías.

-

Las fuerzas axiales de las columnas resultan de la acumulación de las fuerzas cortantes de las vigas adyacentes. Estrictamente, las fuerzas axiales debieran deducirse de los cortantes correspondientes a la plastificación de las vigas, comentadas en relación con la figura 2.3. Esto puede ser más significativo para las columnas extremas de los pórticos o en columnas con vigas adyacentes de luces muy diferentes.


2-10

a. DMO (Intermedia) b. DES (Especial) Figura 2.4 - Cortantes de diseño para las columnas (NSR-10 y ACI-318)

2.3.3. Diseño de los muros por capacidad El cortante sísmico inelástico máximo de los muros, por efectos de participación de los modos superiores de vibración, tiene su resultante más abajo que la resultante de las fuerzas laterales que producen el máximo momento flector de diseño; comparar en la figura 2.5 las alturas H2 y H1, y ver Sección 3.5.2.2. Por ello algunas Normas usan un factor de amplificación dinámica del cortante sísmico,v, importante para un diseño por capacidad, que busca evitar que los muros fallen por cortante antes que por flexión. También debe anotarse que el aumento del refuerzo vertical de un muro no tiene siempre un efecto favorable sobre su respuesta, porque la formación de una rótula plástica llevaría a un incremento de su resistencia a flexión, lo que implicaría a su vez mayores demandas de cortante. Según Wallace, Orakcal (2002) el ACI-318-99 no trataba el diseño de los muros por capacidad, más que todo porque no se había observado que los daños de los muros por cortante causaran problemas de seguridad de los usuarios ni colapso (“Capacity design of structural walls in shear is not addressed in ACI 318-99, primarily because shear distress of structural walls has not been observed to produce life safety or collapse problems. If the design focus is on performance, however, capacity design of the wall for shear may be appropriate”). En la Sección 9.3.4 del ACI-318-08 y de NSR-10 se mejoró un poco este punto, mediante la especificación de un factor de reducción de resistencia para cortante de los muros, φ V=0.60, cuando la resistencia nominal a cortante del muro sea menor que el cortante correspondiente al desarrollo de su resistencia nominal a flexión, para la combinación más crítica de diseño.

Figura 2.5 – Efectos de los modos superiores sobre la respuesta de un muro (Paulay-Priestley, 1992)


2-11

En el numeral 21.9.3 de ACI-318-08 y en el C.21.9.3 de la Norma NSR-10, “las fuerzas de diseño para cortante, Vu, deben obtenerse del análisis para carga lateral de acuerdo con las combinaciones de mayoración de carga”. El diseño de los muros por capacidad se maneja indirectamente calculando su refuerzo para cortante con base en factores de reducción de resistencia, φ V, menores que los usados para el diseño a flexo-compresión. En muros sometidos a esfuerzos axiales pequeños (Pu/Ag < 0.1 f’c), el factor de reducción de resistencia para flexo-compresión es de φF = 0.9 (NSR-10, numeral C.9.3.2.1), mientras que para cortante es hasta de φV = 0.6 (según el numeral C.9.3.4, cuando la resistencia nominal a cortante del elemento es menor que el cortante correspondiente al desarrollo de su resistencia nominal a flexión), con lo cual se logra un factor de sobre-resistencia de 0.9/0.6=1.5. Sin embargo, para esfuerzos axiales mayores, el factor de reducción de resistencia del muro para flexo-compresión pudiera ser menor, en principio hasta de φF = 0.65 para secciones controladas por compresión, (ver numeral C.9.3.2.2 de NSR-10) y el factor de sobreresistencia a cortante pudiera llegar a ser pequeño o insuficiente (0.65/0.6=1.08), sobre todo cuando el refuerzo del muro alcanza a desarrollar su sobre-resistencia correspondiente al endurecimiento del acero por deformación (≈1.25 fy). En los ejemplos de las secciones 5.1 y 5.2, se comprueba cómo el factor de amplificación dinámica del cortante puede requerir valores bastante mayores que los usados implícitamente por NSR-10 y ACI-318-08. Una opción para resolver la deficiencia anterior sería diseñar para las fuerzas cortantes obtenidas del o análisis de carga lateral, pero amplificadas por el coeficiente de sobre-resistencia, Ω , de la Tabla A.3-1 de la Norma NSR-10; este coeficiente vale 2.5 para todos los sistemas de muros de carga. Pero esto dejaría al azar los efectos de los modos superiores (ver figura 2.5). También pudieran presentarse problemas adicionales con algunos muros que requieran refuerzo vertical nominal, pero que aun así son capaces de desarrollar una resistencia alta a flexión. En estos casos la Norma no garantiza claramente que el cortante alto, requerido para llegar a la resistencia de flexión, sea atendido adecuadamente. El diseño de los muros por capacidad en ACI-318 y en NSR-10 debiera ser revisado en versiones futuras.

2.3.4. Diseño de la cimentación por capacidad Es claro que la cimentación de un edificio es de importancia primordial para su estabilidad, además de que una falla de este tipo puede no detectarse fácilmente después de un sismo o no ser reparable por motivos económicos o prácticos. Hasta podría llegarse al colapso total y a la pérdida de vidas. Algunas normas, especialmente las de puentes, exigen desde hace algunos años el diseño de la cimentación para las fuerzas de respuesta sísmica elástica, sin reducciones por coeficientes R; en su defecto permiten diseñar los elementos de la cimentación para las reacciones que puedan transmitirle los muros y las columnas en estado de plastificación, y teniendo en cuenta la sobre-resistencia del acero real especificado en los planos. Tal vez NSR-10 no hace suficiente énfasis en la importancia del diseño por capacidad de la cimentación. En el numeral A.3.7.1 se indica que las fuerzas de diseño se obtienen del análisis estructural, dividiendo las fuerzas de sismo por el coeficiente de capacidad de disipación de energía, R. Pero en el numeral A.3.7.2 (a) establece: “En caso que se requiera una evaluación particular, las acciones de la estructura sobre la cimentación deberán determinarse con uno de los siguientes métodos:


2-12

(1) Mediante procedimientos de análisis inelástico de la estructura, (2) Evaluando el desempeño de la estructura (curvas de demanda y capacidad) (3) Calculando las acciones que la estructura aplicará a los elementos que componen la cimentación, cuando a la estructura se aplique la carga cortante necesaria para producir el mecanismo de plastificación.” Para el diseño diario de edificios, el método (3) sería el más práctico para poder atender el requisito de diseño por capacidad de la cimentación, aunque su redacción “En caso que se requiera una evaluación particular” puede crear confusión y posiblemente algunos diseñadores pasen por alto este requisito. Debe anotarse que, estrictamente, la resistencia a flexión de un muro en su base debiera tener en cuenta el refuerzo vertical y también el refuerzo horizontal existente cerca de la base del muro (Restrepo, 2006). Ver figura 2.6.

Figura 2.6 – Resistencia a flexión en la base de un muro

2.4. DISEÑO DE LOS MUROS POR DESPLAZAMIENTOS EN NSR-10 Y EN ACI-318-08 Aunque la metodología de diseño prevista en NSR-10 y en ACI-318 se base en un método FBD, para el diseño de los muros se permite definir la necesidad o no de elementos de borde confinados con base en una metodología simplificada de control de desplazamientos, aplicable a muros continuos desde la base de la estructura hasta la parte superior del muro y diseñados para tener una única sección crítica para flexión y carga axial. Ver NSR-10, numerales C.21.4.4.1 y C.21.9.6.2. Esta metodología nació de las consideraciones de Moehle (1992) y Wallace-Moehle (1992), que sirvieron de base a UBC-94, UBC-97 y luego ACI-318-99 hasta la fecha. En la figura 2.7 se representa un muro de longitud Lw y altura desde la base Hn, con un desplazamiento sísmico ∆U en su extremo superior. Si se supone, de una manera muy simplificada, que se presentará una rótula plástica de longitud Lp = Lw/2 en la base del muro, el desplazamiento total ∆U será la suma del desplazamiento de fluencia inicial ∆y, más el desplazamiento inelástico ∆p, es decir: ∆U = ∆y + ∆p Aunque existen muchas propuestas para estimar el valor de Lp, que tienen en cuenta hasta el diámetro de las varillas de refuerzo del muro y la penetración de la plastificación dentro de la cimentación (Paulay, Priestley 1992; Priestley et al., 2007), tal vez no valga la pena perfeccionar mucho este dato, debido a las incertidumbres existentes en cuanto a las características de las rótulas plásticas y a la precisión manejada en


2-13

temas de ingeniería sísmica. Por otra parte, ésta no es una longitud claramente definida y visible durante la plastificación de un muro; más bien debe mirarse como una longitud conceptual, que permite idealizar un problema complejo.

Figura 2.7 - Deformaciones inelásticas de un muro (Moehle, 1992)

Priestley-Park (1987) propusieron la expresión: ∆U = φY Hn²/3 + (φU – φY) Lp (Hn – Lp/2)

(2.1)

En donde φY y φU son las curvaturas de fluencia y última en la base del muro. Moehle (1992) propuso la simplificación de usar Lp = 0.5 Lw, y además: ∆U ≈ p.Hn ∆U ≈ φU.Hn.Lw/2

(2.2)

La evaluación de la necesidad de elementos confinados en los bordes de los muros en el ACI-318-08 y en la NSR-10 se basa en la ecuación (2.2), como se explicará en la Sección 2.4.1. La ecuación (2.2) lleva en general a valores ajustados a los de la ecuación (2.1) para muros con relaciones de esbeltez Ar=Hn/Lw entre 2.5 y 5.0 y ductilidades de curvatura μ φ= φU/φY> 10. Para valores μ<10 y para relaciones de esbeltez Hn/Lw>5.0 la capacidad de desplazamiento último de la ecuación (2.2) es conservadora respecto a la ecuación (2.1). Ver figura 7 de Moehle (1992). La curvatura inelástica está relacionada con la profundidad del eje neutro de la sección del muro, c, calculada para la fuerza axial mayorada y la resistencia nominal a momento congruentes con el desplazamiento de diseño ∆u y con la deformación unitaria última o máxima del concreto, ε CUC (ver figura 2.8). φU = εCUC/c

(2.3)

De las ecuaciones (2.2) y (2.3) se deduce la expresión: ∆U ≈

(2.4)


Esto también puede formularse como c ≈ c≈

2-14

, o bien:

ε

(2.5)

Figura 2.8 – Deformaciones unitarias de la sección de un muro

2.4.1. Necesidad de confinar los elementos de borde La mayoría de las Normas internacionales establecen el valor máximo de la deformación unitaria última del concreto no confinado como εCU = 0.004. NSR-10 y ACI-318 usan un valor de 0.003. Si la deformación unitaria del concreto εCUC supera ese valor, habrá necesidad de confinar los bordes del muro. Si se reemplaza el valor límite de 0.003 en la ecuación (2.5), resulta que sólo habría necesidad de confinar cuando: Lw Lw (2.6) c   667 u/Hn  600 u/Hn  Esta es la misma ecuación (C.21-11) de NSR-10 y (21-8) de ACI-318-08. Para εCU= 0.004, el valor permitido de c para no confinar sería 33% mayor que en la expresión anterior, o sea, c ≥ El Código UBC-97, base del ACI-318-99 y siguientes en este tema, ya presentaba una formulación muy similar a la que se acaba de describir: φt = φY + En donde φt es la curvatura total y ∆max es la misma ∆U del ACI-318. Se requería confinamiento de los elementos de borde cuando φt > 0.003/c. NSR-10, en diseño DES, limita el valor mínimo utilizable para (∆ U/Hn) en la ecuación (C.21-11) a 0.007 y para disipación moderada, DMO, el mínimo permitido es 0.0035. Este valor se basa en recomendaciones de Wallace, Orakcal (2002), como protección contra errores en los modelos de análisis, que pudieran subestimar el desplazamiento de diseño. Recientemente, algunos estudios de los daños ocurridos en edificios de muros durante el sismo de Chile 2010 han llevado a valores más restrictivos del ACI-318-14 para la ecuación (2.6): deben usarse elementos de borde confinados en elementos cuya zona comprimida, c, tenga una longitud:

CAPÍTULO 2: MÉTODOS BASADOS EN FUERZAS (FBD), CON ÉNFASIS EN NSR-10 c ≥

Lw 600 1.5u/Hn 

2-15 (2.6a)

En la Sección 2.4.3 se presentará un método racional para determinar la longitud necesaria de la zona confinada de los elementos de borde. Otra manera de expresar la ecuación (2.6a) es:

c/Lw 

1 600 1.5u/Hn 

Para edificios que no presentan irregularidades importantes de torsión, el término de la derecha es una propiedad de la estructura, prácticamente constante para todos los muros del edificio. En cambio c/Lw es la mayor relación de altura comprimida de la sección en sus condiciones críticas de diseño; esta propiedad es variable en el diseño de cada muro. Para muros con aletas (secciones en forma de L, Π, T), el valor de c/Lw es generalmente pequeño para la dirección de sismo que comprime la aleta, a veces menor que 0.1, pero puede ser alto para la dirección opuesta del sismo, sobre todo cuando los esfuerzos axiales son importantes y esto lleva frecuentemente a la necesidad de confinar las puntas de la sección. Hay que verificar la necesidad de confinamiento en cada dirección. En secciones tipo L, Π, un sismo diagonal (no paralelo a los lados de la sección) puede llevar a la necesidad de confinar las esquinas de la sección (ver figura 2.9).

Figura 2.9 – Necesidad de confinamiento en esquinas de muros para sismo diagonal (Restrepo J.I., 2006) En los casos de muros compuestos de varios segmentos (secciones en forma de L, Π, T, H, Ш, etc.), es equivocada la práctica de diseñar cada segmento por aparte, como una sección rectangular. Esto puede llevar a estimar mal el valor de la altura del eje neutro, con lo cual sería inválida la verificación de la necesidad de confinar los bordes de los muros mediante la ecuación (21-11) del ACI-318-08 y de la NSR-10. También puede llevar esa misma práctica a cantidades equivocadas del refuerzo longitudinal; si ese refuerzo es inferior al realmente requerido, el diseño será inseguro a flexión; si es mayor, habrá sobre-resistencia a flexión, que puede llevar a una a falla prematura por cortante. En la figura 2.10 se comparan los diagramas de interacción de una sección en forma de T, con aleta de 0.2x2.0 m y alma de 0.2x3.0 m, con los de una sección rectangular de sección 0.20 x 3.0 m. En ambos casos se usó concreto de f’c=28 MPa y el refuerzo se supuso distribuido uniformemente en la sección. Los diagramas para la sección T son asimétricos, según la dirección del momento flector. La diferencia entre los comportamientos de los dos tipos de sección es evidente. Obsérvese también en la figura la condición c/Lw =0.30 en cada caso.


2-16

En cuanto al valor máximo alcanzable de la deformación unitaria del concreto confinado, ε CUC, éste depende del grado de confinamiento de la sección crítica. Paulay, Priestley (1992) proponen: εCUC= εcu + 1.4 ρv.fy.εsu/f’cc

(2.7)

En donde εsu es la deformación unitaria de rotura del refuerzo de confinamiento, f’cc es la resistencia del concreto confinado (mayor que f’c) y ρv es la cuantía volumétrica del refuerzo de confinamiento. Restrepo J.I. (2006) propone la expresión más simple, εCUC = 0.004 + ρv.fy/300, donde fy es la resistencia del acero de los estribos de confinamiento, en MPa.

Sección T

Sección Recta

Figura 2.10 – Diagramas de interacción: Sección T vs. Sección I (Nota: los gráficos no están a la misma escala) En la Sección 4.6.1 se cuantifica la ecuación (2.7) para las diferentes condiciones de confinamiento de la Norma NSR-10.

2.4.2. Comentario a la metodología de la NSR-10 y del ACI-318 para confinamiento de muros Debido a las hipótesis pobres utilizadas para estimación de las rigideces en los métodos FBD, a veces se producen errores significativos en el cálculo del desplazamiento máximo, ∆u. En esas condiciones, los resultados de la ecuación (C.21-11) de NSR-10 ó de la ecuación (21-8) de ACI-318 serían poco confiables. En el Capítulo 5, Sección 5.4, se presenta un ejemplo de un edificio de muros diseñado según NSR-10, en donde el desplazamiento máximo ∆u varía entre 0.55 y 1.31 m, según las hipótesis que se adopten para la rigidez de los muros… ¿Cuál valor se usaría para determinar las necesidades de confinamiento?


2-17

En la Sección 4.6 del presente documento, “4.6 - Metodología para determinar la necesidad de confinar los muros en ACI-318 (NSR-10) y el DBD” se propone una manera más racional de evaluar la necesidad de confinamiento de los muros.

2.4.3. Longitud de la zona confinada de los elementos de borde La Norma NSR-10 y el ACI-318-08 (numeral 2.1.9.6.4) establecen la longitud de zona confinada que requiere un muro. Con base en la figura 2.8 puede deducirse de una manera más racional dicha longitud, c C. Para este efecto habría que definir a partir de qué deformación unitaria del concreto, ε CC, se quiere confinar. La longitud necesaria sería: Cc 

εcuc - εcc εcc   * c  1  *c εcuc  εcuc 

(2.8)

De la ecuación (2.5) se deduce εCUC ≈ Llamando c= αLw, el valor de la ecuación anterior puede expresarse también como: εCUC ≈ 2 α (∆U/Hn)

(2.9)

Con base en las ecuaciones anteriores: cC ≈ (1 cC ≈ c - (

*c )*Lw

(2.10)

Expresada de esta manera, la longitud requerida de confinamiento cC sería función del desplazamiento máximo ∆u y de la deformación unitaria del concreto a partir de la cual se quiere confinar, ε CC, que no tiene que ser idéntica a εCU. En la Tabla 2.1 se presentan algunas combinaciones de valores de ∆U y εCC, y las longitudes de confinamiento correspondientes cC requeridas. Tabla 2.1 – Longitud confinada requerida (Ejemplos) Caso εCC ∆U/Hn cC a 0.002 0.010 c – 0.1*Lw b 0.002 0.005 c – 0.2*Lw c 0.003 0.005 c – 0.3*Lw d 0.003 0.010 c – 0.15*Lw e 0.003 0.015 c – 0.1*Lw

Se ve cómo la ecuación (2.10) permitiría evaluar de una manera racional las longitudes requeridas de zonas confinadas, una vez se defina un valor admisible de εCC (que no tiene que ser necesariamente el mismo valor de εCU) a partir del cual se confinaría. Si se quiere una reserva de seguridad, debido a posibles imprecisiones


2-18

en el cálculo de los desplazamientos sísmicos ∆U, podría castigarse este valor de Cc con algún factor que determine la Norma o bien reducir el valor de εCC hasta alguna fracción de εCU.

2.5. CUESTIONAMIENTO A LOS MÉTODOS DE DISEÑO BASADOS EN FUERZAS (FBD) Los métodos tradicionales de diseño estructural, tipo FBD, se basan en modelos de comportamiento lineal elástico de los materiales, para lo cual existen varios programas eficientes de computador; son apropiados para muchos casos prácticos de cargas verticales, de viento, asentamientos del terreno, efectos térmicos, etc. y probablemente seguirán usándose por mucho tiempo para tales efectos. Lo que hace la diferencia con el diseño sismo resistente es que en éste se acepta, por motivos prácticos y económicos, que durante un sismo fuerte los materiales podrían llegar a un comportamiento inelástico y que además las deformaciones son más relevantes que en otros casos de carga. El comportamiento inelástico hace inválidas muchas hipótesis de los análisis tradicionales, como se explicará en el Capítulo 3 de este documento. El uso del FBD para el diseño sismo resistente ha mejorado mucho en los últimos años, sobre todo al incorporar el concepto de diseño por capacidad o jerarquía de resistencia de los elementos de la estructura, que permite llegar generalmente a resultados seguros y satisfactorios. Pero con los métodos FBD no hay verdadero control sobre el nivel de desempeño que se alcanza; además, estos métodos presentan algunos problemas conceptuales que pueden convertirlos en cajas negras o ejercicios a ciegas y que no permiten entender completamente el comportamiento sísmico real de las estructuras; también pueden llevar a resultados anti-económicos. 2.5.1. “Mitos y Falacias en Ingeniería Sismo Resistente” Gulkan, Sozen (1974) y luego Shibata, Sozen (1976) empezaron a cuestionar los métodos de diseño sismo resistente que se apoyaban en buena parte en la teoría clásica de la elasticidad y propusieron el uso de una estructura elástica equivalente a la estructura real (la “estructura substituto”), que simulara el comportamiento sísmico inelástico. En lugar del uso del concepto de ductilidad propusieron un amortiguamiento equivalente. M.J.N. Priestley publicó en 1993 el documento“Myths and Fallacies in Earthquake Engineering – Conflicts between Design and Reality”, donde cuestionaba algunos principios fundamentales de los métodos de diseño sismo resistente usados hasta entonces (métodos FBD). Propuso una metodología de Diseño Directo Basado en Desplazamientos (DDBD), que ha ido perfeccionando. En el libro Priestley, Calvi, Kowalski, “Displacement-Based Seismic Design of Structures”, IUSS Press, 2007, se explica ese método de manera muy completa. Los cuestionamientos de Priestley (1993) a los métodos tradicionales FBD se pueden resumir así: 1- Uso de espectros de aceleraciones a. El diseño ignora los efectos de la duración del sismo y condensa la respuesta en valores modales máximos instantáneos del comportamiento, que al final se combinan mediante reglas como SRSS, CQC, de validez discutible para comportamiento inelástico. b. La correlación entre la aceleración espectral y los daños estructurales es pobre. Los daños de los edificios están más relacionados con las deformaciones unitarias de los materiales y con los desplazamientos de la estructura, que con su resistencia o con la aceleración momentánea. Para la evaluación de daños son más apropiados los espectros de desplazamientos. c. Los métodos FBD usan propiedades elásticas constantes de la estructura, cuya definición varía de una Norma a otra; pero el comportamiento sísmico esperado es inelástico y las rigideces cambian permanentemente después de la fluencia.


2-19

2- Relación entre el desplazamiento elástico y el desplazamiento inelástico. En NSR-10 y en Europa se supone que los desplazamientos elásticos y los inelásticos son iguales. En E.E. U.U. se aplica un factor Cd, menor que el factor de reducción de las fuerzas elásticas, R, con lo cual el desplazamiento inelástico es menor que el elástico, mientras que en Japón se usa el método de igual energía, que lleva a un desplazamiento inelástico mayor que el elástico. Esa relación entre desplazamiento elástico e inelástico depende en realidad de las propiedades histeréticas de la estructura; por ejemplo, los pórticos de acero suelen disipar más energía que los de concreto. 3- Refinamiento de los métodos de análisis a. Con el desarrollo de los computadores y programas cada vez más eficientes se perfeccionaron los métodos de cálculo basados en la teoría elástica y se creyó que los resultados obtenidos serían cada vez más precisos y confiables. Pero existen demasiadas incertidumbres en las características del sismo de diseño y en las hipótesis sobre las rigideces de la estructura, especialmente en el rango inelástico, que hacen dudosa la precisión de esos métodos refinados. b. No es válido reducir la respuesta de los modos superiores de vibración en la misma proporción que el modo fundamental. Así se subestiman los efectos de los modos superiores sobre las derivas y los cortantes de los niveles inferiores. 4- Suponen que el aumento de resistencia, sin cambiar las dimensiones de la estructura, mejora automáticamente la seguridad y disminuye la demanda de ductilidad de la estructura. En realidad la demanda de ductilidad es poco sensible a la resistencia; en algunos casos un incremento de resistencia disminuye la capacidad de ductilidad de la estructura, debido a la disminución de la capacidad de curvatura última. 5- Se usan factores de ductilidad muy diferentes de una Norma a otra. Por ejemplo, para pórticos de concreto con detalles para disipación especial de energía, en Japón, California, Europa, Nueva Zelanda, Colombia ese factor vale 1.8-3.3, 8.0, 5.8, 9.0 y 7.0, respectivamente. La conclusión es que probablemente la resistencia no sea tan importante como el control de la rigidez de la estructura. 6- Suponen que es fundamental poder absorber la mayor energía inelástica posible. Pero se sabe que en casos como los de algunas estructuras pretensadas se pueden lograr mejores comportamientos y menores deformaciones residuales, sin necesidad de ciclos de histéresis amplios. 7- Algunos detalles de refuerzo de las Normas de diseño no son adecuados: a.

b. c.

En rótulas plásticas de vigas es más importante impedir el pandeo del refuerzo longitudinal, mejorando su acción de dovela, que ayudar a mejorar la transferencia del cortante por acción de bielas o cercha. El cálculo de las longitudes de desarrollo del refuerzo es muy elaborado. En muchos casos es más apropiado usar múltiplos del diámetro de la barras, como hacían algunos reglamentos antiguos. Se puede colocar parte del refuerzo a flexión de las vigas en las caras laterales; la resistencia final a flexión no se afecta así significativamente, pero en cambio sí puede ayudar a aliviar la congestión de refuerzo y se logra un mejor comportamiento a cortante en las zonas de rótulas plásticas. Sin embargo, no debe descuidarse el comportamiento para cargas verticales (posibles fisuras prematuras).

2.5.2. Algunas hipótesis no válidas de los métodos FBD Además de lo anotado en la Sección 2.5.1, los métodos de diseño FBD utilizan otras hipótesis que han sido cuestionadas en los últimos años y que se enumeran a continuación. Esto se explicará con mayor detalle en el Capítulo 3:


2-20

1- Usan rigideces basadas en valores geométricos, independientes de las resistencias de los elementos. Según se verá, la rigidez en estado inelástico es proporcional a la resistencia; entonces el valor del periodo calculado en los métodos FBD para obtener las fuerzas sísmicas de diseño no es apropiado y no permite llegar a resultados coherentes y confiables de los desplazamientos sísmicos. Este punto afecta más las estructuras de concreto que las metálicas. 2- Las resistencias de todos los elementos se basan en las fuerzas internas calculadas para el sismo de diseño; esto equivale a suponer que todos los elementos llegarán simultáneamente a su estado de fluencia. En realidad cada elemento de la estructura puede llegar a un desplazamiento de fluencia (∆Y) diferente. 3- Todas las fuerzas sísmicas internas de los elementos de una estructura son reducidas por un mismo factor R o μ, para efectos de diseño. Lo cierto es que para un mismo desplazamiento último del sistema (∆U), y con desplazamientos de fluencia diferentes según se anotó en el punto anterior, las demandas de ductilidad de desplazamiento (μ = ∆U/∆Y) también pueden ser diferentes para cada elemento. 4- Cuando se diseña a flexión se asume que la fuerza de diseño, M Y, corresponde al estado de fluencia de la sección; según esto se supone que la curvatura de fluencia, φ Y=MY/EI, es proporcional al momento flector de diseño. En realidad la curvatura de fluencia es prácticamente constante, independiente de la resistencia. Entonces la demanda de ductilidad de curvatura obtenida en los métodos FBD no es correcta. 5- La ductilidad usada para sistemas estructurales combinados no es consistente. Por ejemplo, según NSR10, en un sistema estructural dual con detalles para disipación especial de energía (DES), podría usarse un coeficiente de reducción de las fuerzas sísmicas, Ro=8.0. Pero si se miran los coeficientes Ro requeridos por separado para los muros y los pórticos, sus valores serían Ro=5.0 y 7.0, respectivamente. Sin embargo, la capacidad de ductilidad de un sistema combinado es menor que la del componente más dúctil. 6- Las fuerzas sísmicas se distribuyen entre los elementos del sistema (pórticos, muros) con base en sus rigideces elásticas. En realidad las fuerzas pueden redistribuirse entre los elementos del sistema con bastante libertad.

2.5.3. Métodos de diseño basados en desplazamientos (DBD) En las Secciones 2.5.1 y 2.5.2 se resumieron algunas de las principales deficiencias de los métodos FBD. Esto ha dado lugar a una serie de propuestas de diseño basado en desplazamientos. Probablemente la más completa conocida hasta el momento es la de Priestley, Calvi, Kowalski (2007), DDBD, que incluye una propuesta de Código Modelo. A continuación se presenta un resumen de los conceptos manejados en el DDBD; en el Capítulo 3 se explicarán con detalle las bases de esta metodología. El método DDBD es sencillo, puede manejarse sin necesidad de software complicado y permite además un diseño más confiable y un cumplimiento controlado de los objetivos de un diseño sísmico basado en desempeño (PBSD). Los métodos DBD también son menos sensibles que los métodos FBD ante algunas incertidumbres en los parámetros del diseño sismo resistente. Algunas características del método DDBD de Priestley et al., en que se aparta de los métodos FBD, son:


2-21

1- El desempeño de los edificios sometidos a sismos (PBSD) se controla mediante el uso de desplazamientos en lugar de espectros de aceleraciones. 2- Adopta un modelo inelástico simplificado o “estructura sustituta” de un solo grado de libertad (SDOF), donde la rigidez no depende directamente de la geometría de las secciones sino de su resistencia. 3- En lugar del concepto de ductilidad se usa un amortiguamiento equivalente, adecuado a cada material. 4- La curvatura de fluencia de una sección no depende de su resistencia M Y, sino que es un valor geométrico, casi constante, poco sensible a la cuantía de acero de refuerzo o al esfuerzo de compresión promedio de la sección. 5- Es prácticamente imposible lograr que todos los elementos de una estructura lleguen simultáneamente a la fluencia. Cada elemento llegará a un desplazamiento de fluencia ∆ Y, que depende básicamente de su geometría y no de su resistencia. 6- En vista de lo anterior, cada elemento tendrá generalmente una demanda de ductilidad (μ=∆U/∆Y) diferente a la de la estructura completa, ya que el desplazamiento último, ∆U, es básicamente uno sólo para toda la edificación. 7- También se deduce delos dos puntos anteriores que las fuerzas laterales de diseño pueden repartirse de una manera liberal entre los diferentes elementos del sistema sismo resistente (pórticos, muros), sin que se afecten sus demandas de ductilidad. En la Tabla 2.2 se anotan las principales diferencias entre los métodos FBD y el DDBD. Tabla 2.2 – Diferencias conceptuales entre los métodos FBD y el DDBD MÉTODOS FBD

MÉTODO DDBD (PRIESTLEY)

- Apropiados para analizar condiciones de comportamiento aproximadamente elástico (cargas verticales, viento, etc.), pero no para efectos de respuesta inelástica (sismos).

- Apropiado para el de diseño de estructuras que entren en el rango inelástico de respuesta, como en el caso del estado límite de control de daños durante los sismos.

- Se basan en análisis elásticos complejos de una estructura que en realidad se comportará inelásticamente durante los sismos.

- Usa hipótesis y procedimientos muy sencillos, apoyados a veces en simples condiciones de equilibrio, con menos posibilidades de error.

- Usan espectros de aceleraciones.

- Usan espectros de desplazamientos.

- Se basan en rigideces inciertas: desde el 35% hasta el 100% de las propiedades de las secciones homogéneas.

- Se basa en las curvaturas de los elementos en estado de fluencia, cuyos valores son más confiables.

- Los periodos de vibración y los desplazamientos resultan inciertos. No hay control confiable de los objetivos de un PBSD.

- Parte del desplazamiento como una meta del diseño, para poder cumplir confiablemente los objetivos de un PBSD.

- Usan factores de ductilidad muy variables de una Norma a otra. Pero al final del diseño no se sabe si se alcanzó el valor supuesto

- Usa amortiguamientos equivalentes a la ductilidad, poco sensibles al valor de ésta. La ductilidad final es cuantificable.

- Separan el análisis del diseño estructural.

- Análisis y diseños integrados

- Suponen demandas de ductilidad idénticas para todos los elementos de la estructura.

- Cada elemento puede tener una demanda de ductilidad diferente.

- Las fuerzas y desplazamientos de diseño se basan en combinaciones tipo SRSS, CQC, donde todos los valores modales se reducen por una misma ductilidad.

- Las combinaciones modales tienen en cuenta que la respuesta del primer modo es inelástica, pero en los modos superiores puede ser elástica.

Desde un punto de vista legal, la Ley 400 de 1997, Normas Colombianas de Diseño y Construcción Sismo o Resistente, establece en su Capítulo II, Artículo 10 :


2-22

“Métodos alternos de análisis y diseño- Se permite el uso de métodos de análisis y diseño estructural diferentes a los prescritos por esta Ley y sus reglamentos, siempre y cuando el diseñador estructural presente evidencia que demuestre que la alternativa propuesta cumple con sus propósitos en cuanto a seguridad, durabilidad y resistencia, especialmente sísmica, y además se sujete a uno de los procedimientos siguientes: 1.- Presentar con los documentos necesarios para la obtención de la licencia de construcción de la edificación, la evidencia demostrativa y un memorial en el cual inequívocamente acepta la responsabilidad sobre las metodologías de análisis y diseño alternas”… Los métodos DBD pudieran incorporarse a la Norma NSR al menos en un Apéndice, como una alternativa de diseño, pero habría que evitar la limitación actual de las fuerzas cortantes basales a unos valores mínimos relacionados con el método de la Fuerza Horizontal Equivalente. Esto desvirtuaría la metodología del DBD, que sostiene como una de sus premisas que la resistencia no es importante en los diseños sismo resistentes, excepto que se requiere un valor mínimo para poder garantizar una rigidez que permita cumplir los objetivos de desempeño. Ver Calvi (2009) y figura 2.11.

También habría que admitir derivas de piso menos estrictas que las actuales, para que los métodos DBD pudieran aplicarse racionalmente. Cuando se parte de límites estrictos para las derivas de piso se puede lograr mayor protección de algunos elementos no estructurales, tales como fachadas y muros divisorios; pero por otra parte se llega a estructuras más rígidas, que sufrirán mayores aceleraciones sísmicas, con efectos más desfavorables para las instalaciones y los contenidos del edificio. Esto puede ser inconveniente sobre todo para edificaciones que alberguen equipos delicados, como los hospitales, los centros de procesamiento de datos y las sub-estaciones de energía. En el Apéndice A1 del presente documento se presenta una “Propuesta de Código para Diseño Sísmico de Edificios Basado en Desplazamientos”. Probablemente su aplicación presente dificultades por ahora, ya que no existe todavía la formación de los ingenieros en este nuevo enfoque y tampoco existe aún software comercial para su uso, pero esto es más bien una oportunidad para los profesores, los investigadores y los programadores inquietos. El autor considera que es importante la adaptación a los avances del conocimiento. ¿ES NECESARIA O CONVENIENTE UNA RESISTENCIA SÍSMICA GRANDE? LA RESISTENCIA GRANDE: -

Reduce los daños en terremotos pequeños o moderados.

-

No necesariamente reduce los daños en terremotos fuertes.

-

No necesariamente reduce los desplazamientos.

-

Las instalaciones, equipos y contenidos sufren mayores aceleraciones y daños.

-

Incrementa los costos.

Figura 2.11 – ¿Es necesaria o conveniente una resistencia sísmica grande? - (Priestley, 2009)

CAPÍTULO 3: MÉTODOS BASADOS EN DESPLAZAMIENTOS (DDB)

3-1

"...a simple (calculation) device yields perhaps 80% of the truth, whereas the next 10% would be difficult to attain and the last 10% impossible." (H. M. Westergaard, 1952)

3.

MÉTODOS BASADOS EN DESPLAZAMIENTOS (DDB)

La complejidad de los métodos actuales de diseño, tipo FBD, no guarda relación con la incertidumbre de los datos y de las metodologías que sirven como base para establecer los sismos de diseño; también son pobres las hipótesis sobre la rigidez y el comportamiento inelástico de los elementos; ver Sección 2.5. Las deformaciones, sean desplazamientos, distorsiones angulares, giros, deformaciones unitarias de los materiales, son la causa básica de los daños que puede sufrir un edificio. Las aceleraciones son más importantes para evaluar efectos locales de los sismos sobre los equipos, los diafragmas de piso, etc. Pero, con excepción de estructuras muy rígidas, las aceleraciones altas de corta duración no alcanzan a reflejarse en el comportamiento de la estructura. Por eso, los diseños basados en desplazamientos son los más apropiados en la mayoría de los casos. Los métodos de diseño sismo resistente basado en desplazamientos (Displacement Based Seismic Design, o DBD) son muy simples, más aun que métodos FBD tradicionales como el de la Fuerza Horizontal Equivalente; pero todavía no se han divulgado suficientemente y apenas empiezan a reglamentarse en las Normas de diseño. Actualmente existen varias propuestas de métodos DBD: Priestley-Calvi-Kowalski, Browning, Chopra-Goel, Aschheim-Black, Freeman, SEAOC, Restrepo J.I, Fajfar, etc. La formulación más completa hasta ahora parece ser la de Priestley-Calvi-Kowalski (2007), sobre todo para edificios regulares; ellos presentan además una propuesta de Código en el Capítulo 14 de su libro, “Draft Displacement-Based Code for Seismic Design of Buildings”, que sirve de guía para la aplicación de su metodología. -

Priestley-Kowalski (2000) y Priestley-Calvi-Kowalski (2007): Proponen un Diseño Directo Basado en Desplazamientos (DDBD). Se parte del desplazamiento deseado o de diseño y se halla en un espectro de desplazamientos el máximo periodo admisible para cumplir esa condición. Con el periodo y con la masa del edificio se deduce la rigidez necesaria y de allí la resistencia de diseño. Se usa una estructura elástica de rigidez equivalente a la estructura inelástica.

-

Chopra-Goel (2001): Estiman la deformación de fluencia de la estructura y con base en el desplazamiento de diseño, deducen la demanda de ductilidad. Usan espectros inelásticos de desplazamiento para diferentes ductilidades, que permiten leer para esa ductilidad y el desplazamiento de diseño el periodo correspondiente y una rigidez inicial o de fluencia. Conocido el desplazamiento de fluencia y la rigidez inicial, deducen la fuerza de diseño o de fluencia. Se ajustan las dimensiones de los elementos de la estructura y se repite el procedimiento hasta su convergencia.

-

Aschheim-Black: Usan espectros YPS (Yield Point Spectra), similares a los espectros de capacidad, ADRS, de Freeman (1975). A partir de acelerogramas específicos, deduce los desplazamientos de fluencia de osciladores bi-lineales con diferentes periodos elásticos y diferentes demandas de ductilidad, así como la aceleración máxima correspondiente; así obtiene espectros de aceleración contra desplazamiento de fluencia, para diferentes ductilidades. Supone que, para una geometría dada de la estructura, su desplazamiento de fluencia, Δy, es prácticamente constante, y calculable desde el inicio del diseño. Si se busca un desplazamiento de diseño, Δu, la demanda de ductilidad será μ=Δu/Δy; la resistencia de fluencia requerida para cumplir la meta (Δu) se obtiene de la curva espectral correspondiente a ese μ, en la abscisa Δy.


-

Freeman (1998) – Método del espectro de Capacidad: Es más apropiado para verificar el comportamiento de una estructura ya diseñada. El espectro de capacidad representa los desplazamientos en función de las aceleraciones; los periodos de vibración son diagonales (radios) que pasan por el origen; ver figura 3.1a. Se elaboran curvas de interacción Sa-Sd para diferentes grados de amortiguamiento equivalentes a cada nivel de ductilidad y sobre la gráfica pueden visualizarse los resultados de un análisis tipo “pushover” de la estructura y analizar su comportamiento para diferentes estados de deformación. En la figura 3.1a se llega por tanteos a una ductilidad de desplazamientos de =2.5.

a)

-

3-2

Basados en amortiguamiento b) Basados en ductilidad (Freeman, 1998) (Fajfar, 2000) Figura 3.1 - Espectros de capacidad Fajfar (2000): Es similar al método de Freeman, apropiado para verificar el comportamiento de una estructura ya diseñada, pero usa espectros de aceleraciones vs. desplazamientos para diferentes ductilidades, en lugar de amortiguamientos; ver figura 3.1b. El comportamiento de la estructura se simplifica como elasto-plástico, bi-lineal. Para la zona de velocidad constante del espectro de capacidad, si se estima el desplazamiento de fluencia de la estructura Sdy, con él se obtiene el periodo elástico Ty= 2π √(Sdy/Say); la diagonal correspondiente a Ty permite obtener la aceleración elástica correspondiente Sae y el factor de ductilidad actual =Sae/Say. El cruce de la línea Sa=Say con el espectro inelástico para  actual corresponde al “punto de desempeño” y al desplazamiento correspondiente Sde. En esta zona del espectro supone la regla de desplazamientos iguales para la estructura elástica y la inelástica.

Figura 3.2 – Espectro de desplazamientos - (Restrepo J.I.-2006)

CAPÍTULO 3: MÉTODOS BASADOS EN DESPLAZAMIENTOS (DDB) -

3-3

Restrepo J.I. (2006): Propone el uso de espectros de desplazamientos ajustados para tener en cuenta las incertidumbres que se presentan con las demandas y con la sobre-resistencia de los materiales. La pendiente del espectro de desplazamientos, en la zona de velocidad constante, es función de la probabilidad de excedencia del sismo de diseño; ver figura 3.2. El diseño de la estructura parte de las ductilidades de curvatura estimadas, según los requisitos de confinamiento previstos; determina el desplazamiento de fluencia y el desplazamiento último de la estructura; a partir de la ductilidad obtenida y de un periodo estimado de la estructura, deduce una corrección del espectro de desplazamientos; ajusta el periodo en un proceso iterativo, para obtener el cortante basal de diseño.

En el presente documento se hará referencia principalmente al método DDBD de Priestley-Calvi-Kowalski, 2007, sin entrar en todos sus detalles, que pueden estudiarse más detenidamente en el documento original. Sería bueno que en un futuro pudiera implementarse algo similar en el Reglamento Colombiano NSR (ver Apéndice A1). Este método utiliza algunos conceptos conocidos de tiempo atrás, pero que solo fueron incorporados o reconsiderados recientemente en el diseño sismo resistente. Sus conceptos fundamentales son: -

El comportamiento inelástico de la estructura se puede simular con un SDOF de rigidez elástica secante equivalente en el estado límite de diseño. Se usa un espectro de desplazamientos de diseño, modificado por un coeficiente de amortiguamiento equivalente a la ductilidad. El desplazamiento de fluencia de la estructura es un valor geométrico constante, independiente de la resistencia. La rigidez de la estructura es proporcional a su resistencia de diseño.

-

COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FBD Y DBD Métodos FBD

Métodos DBD

-

La rigidez no depende de la resistencia.

-

La rigidez depende de la resistencia.

-

A partir de un modelo elástico de la estructura se determina su periodo de vibración.

-

Se parte de un objetivo: el desplazamiento de diseño

-

A partir del periodo y de un espectro elástico de aceleraciones, se determina el cortante sísmico basal.

-

A partir de un espectro de desplazamientos, ajustado por ductilidad, se obtiene el periodo requerido para cumplir el objetivo.

-

Se verifica que los desplazamientos no superen los límites establecidos por la Norma.

-

Con el periodo se deducen la rigidez de la estructura y el cortante basal requeridos para cumplir los límites de la Norma

-

Se calculan las fuerzas de diseño de los elementos, reduciendo las fuerzas del análisis sísmico por un coeficiente empírico R.

-

Se distribuye con libertad el cortante basal entre los elementos de la estructura

-

En resumen, la resistencia lleva a los desplazamientos:

En resumen, los desplazamientos llevan a la resistencia:

K → T → Sa → VBASE → ∆ → Vs/R → “As” -

El desempeño es difícil de cuantificar y de controlar

Sd → ∆ → Te → K → Vs = K.∆ → “As” -

Se tiene control sobre el desempeño de la estructura


3-4

El método DDBD explicado en este capítulo se basará en el estado límite de diseño para control de daños. Sin embargo, su aplicación al estado límite de servicio no presentaría mayores diferencias, excepto el uso del espectro de desplazamientos adecuado, los límites diferentes de distorsión angular permitida y los valores límite de la curvatura aceptable para las secciones. Ver Capítulo 1 y en este mismo Capítulo 3, las Secciones 3.2.1 y 3.3.6.1.2. El DDBD consta básicamente de los siguientes pasos (ver figura 3.3):

a.

Sistema SDOF

b. Rigidez efectiva, Ke

c. Amortiguamiento viscoso equivalente, e

d. Espectro de desplazamientos

Figura 3.3 – Esquema del método DDBD (Priestley 2000) -

Se idealiza la estructura como un oscilador equivalente de un solo grado de libertad (SDOF).Se supone que el comportamiento fuerza-desplazamiento del SDOF es inelástico, bi-lineal. Se escoge un desplazamiento de diseño, ∆d, generalmente determinado por la Norma de diseño y se supone que la estructura en comportamiento inelástico se caracteriza por su rigidez secante, Ke = Fd/∆d. En lugar de un factor de ductilidad μ (similar al R de las Normas), se usa un amortiguamiento viscoso equivalente, ξe, que tiene en cuenta el comportamiento histerético del material. A partir del valor de ξe se modifica el espectro elástico de desplazamientos. Sobre el espectro de desplazamientos modificado se lee el periodo máximo permitido, Te, correspondiente al desplazamiento de diseño ∆d. Con la masa efectiva correspondiente al primer modo de vibración, Me, se calcula la rigidez necesaria de la estructura, Ke = 4 π².Me/Te² La fuerza cortante basal de diseño será VBASE = Fd = Ke.∆d. Esta fuerza puede distribuirse con bastante libertad entre los elementos de la estructura. Se realiza el diseño por capacidad, teniendo en cuenta los efectos de los modos superiores de vibración. En las secciones siguientes se repasarán los conceptos básicos del método DDBD.

3.1. CURVATURA DE FLUENCIA DE UNA SECCIÓN Para poder cuantificar los estados límites de diseño de una estructura hay que establecer las curvaturas de fluencia de sus elementos y, que permiten calcular el desplazamiento de fluencia ∆ Y. Si se elige un desplazamiento de diseño máximo, ∆d, podrá deducirse la ductilidad de desplazamiento, μ ∆=∆d/∆Y, que permitirá a su vez calcular el amortiguamiento viscoso equivalente, que es uno de los datos básicos para aplicar el método DDBD. El concepto de ductilidad se repasará con mayor detalle en la Sección 3.2.


3-5

Según Paulay-Priestley (1992), Wallace-Moehle (1992), Priestley-Kowalsky (1998) y Paulay-Restrepo (1998), la curvatura de fluencia φY es poco sensible a la cuantía de refuerzo, al esfuerzo axial o a la distribución del refuerzo dentro de la sección: un muro de longitud Lw, presentará una curvatura de fluencia del orden de y.Lw = K1.Y. Ver figura 3.4, donde se aprecia el valor aproximadamente constante de “K1”.

Figura 3.4 – Curvatura de fluencia de un muro con refuerzo distribuido uniformemente (Priestley – Kowalski, 1998) Wallace-Moehle (1992) propusieron un valor de y Lw = K1 y = 0.0025; Paulay-Priestley (1992), sugieren y.Lw = 0.0033; UBC-97 propuso y.Lw = 0.003. Estudios posteriores de Priestley-Kowalsky (1998) recomendaron usar y.Lw  2.0 Y, para secciones rectangulares sometidas a esfuerzos de compresión por fuerza axial 0  P/AG  0.12 f’c. Las diferencias entre los diferentes valores propuestos para la constante K1, aunque no son grandes, se deben probablemente a que no existe consenso acerca de la definición precisa de cuál es el punto de fluencia. Ver figura 3.11. Priestley et al. (2007) presentan expresiones más ajustadas para muros y columnas de concreto reforzado, así como para vigas sometidas a flexión pura, basadas además en ensayos reales. Los valores propuestos de las curvaturas Y corresponden a la resistencia nominal, Mn (punto 3 de la figura 3.11). En vigas y columnas se llama D o h el espesor de la sección y en muros se usa Lw para la longitud de un muro: Columnas de sección circular: Columnas de sección rectangular: Columnas de acero, sección simétrica: Muros de sección rectangular: Muros de sección con aletas comprimidas: Vigas de concreto – Sección T:

y  2.25 Y/D ± 10% (esfuerzo axial menor que 0.4 f’c) y  2.10 Y/h ± 10% (esfuerzo axial menor que 0.4 f’c) y  2.2 Y/h (h=espesor total) y  2.0 Y/Lw ± 15% (esfuerzo axial menor de 0.12 f’c) y  1.5 Y/Lw ± 15% y  1.7 Y/Lw ± 10%

(3.1a) (3.1b) (3.1c) (3.1d) (3.1e) (3.1f)

En muros de sección rectangular, con refuerzo distribuido uniformemente en la sección, y puede aumentar hasta y  2.2 Y/Lw ±15%; ver figura 3.4 (Priestley - Kowalski, 1998). Puede observarse la baja dispersión del valor de la curvatura de fluencia para los casos prácticos más comunes de cuantías entre 0.005 y 0.020 y esfuerzos axiales menores que 0.12 fć.


3-6

También en la figura 3.5(a) (Priestley 2003), para secciones circulares, puede observarse la baja dispersión de la ecuación 3.1a en un rango amplio de cuantías de refuerzo (0.005 a 0.04) y de esfuerzos axiales (Pu/(Ag.f’c) = 0.0 a 0.40). En la figura 3.5 (b) se puede apreciar la dificultad para establecer un valor de la rigidez efectiva, requerida en los métodos FBD, que podría variar en este caso entre 0.12E.Ig y 0.90 E.Ig, es decir, en una proporción de 1 a 7.5; se ve cómo esta rigidez depende del esfuerzo axial y también de la resistencia de cada elemento, que sólo se conocerá después de terminar el diseño. Según análisis teóricos de Castillo (2004), Apéndice A, en muros de sección en forma de L o T, con cuantías de refuerzo menores del 1%, esfuerzo axial menor que 0.1 f’c y aletas en tracción, y puede variar aproximadamente entre 1.6 y 2.5 Y/Lw, cuando las longitudes de la aleta varían entre 0.25 y 1.0 Lw. En la Sección 9.1 se explica cómo pueden obtenerse las relaciones momento curvatura en el caso general.

(a) Valor casi constante de la curvatura

(b) Valor muy variable de la rigidez de una sección

Figura 3.5 – Curvatura de fluencia y rigidez efectiva de columnas circulares (Priestley, 2003) Expresión general aproximada: yv  2.0 Y/h

(3.1)

En donde h es la altura de la sección (Lw en los muros). De las ecuaciones 3.1 se deduce que, en términos prácticos, “la curvatura de fluencia de una sección es constante, inversamente proporcional a su longitud e independiente de su resistencia”. Se anota de paso que esta propiedad de la curvatura de fluencia puede no estar incorporada en algunos programas de computador usuales entre nosotros (SAP, ETABS, etc.). También debe anotarse que todavía en la versión 9.7 de ETABS, cuando se usa el “Section Designer” para obtener diagramas Momento-Curvatura de una sección de concreto reforzado, éstos parecieran tener algún problema, porque la curvatura debe tener unidades de 1/longitud; sin embargo, si se cambian unidades al modelo, ello no se refleja en los diagramas mencionados. Ver figura 3.6, para un muro de sección 0.3x3.0 m y refuerzo con fy=420 MPa, con unidades de t-m y Kip-ft, pero los valores de la curvatura no cambian cuando se modifican las unidades. En la figura 3.7 se muestra el mismo ejemplo anterior, según un documento de la Universidad los Andes (2006). De acuerdo con la ecuación (3.1d), la curvatura de fluencia sería para este ejemplo


3-7

y  2.0 Y/Lw = 0.0013/m = 0.0000013/mm, valor que se ha registrado en la figura y que se ajusta bien al diagrama momento-curvatura, según puede apreciarse. Conceptos sobre la curvatura de fluencia tan simples como los anteriores, “y 2.0 Y/Lw”, presentados por algunos autores desde 1992, tienen consecuencias muy significativas en el diseño sismo resistente, tanto para los sistemas de muros como para los de pórticos y los combinados, que apenas fueron destacadas desde alrededor de 1998 por Priestley, Kowalski y que marcan un cambio de rumbo significativo en los conceptos del diseño sismo resistente, que requiere actualizaciones en la educación de los ingenieros estructurales, en las ayudas de diseño y en los programas de computador para análisis y diseño sismo resistente. También deberían ser incorporados en las normas de diseño.

(a) Unidades ton-m

(b) Unidades kip-ft

Figura 3.6 - Diagramas Momento-Curvatura – Sección 0.3x3.0 m, según ETABS V. 9.7

Figura 3.7 - Diagrama Momento-Curvatura – Sección 0.3x3.0 m, según ejemplo U. Los Andes, 2006 Las expresiones para el valor de y, ecuaciones (3.1), llevan a las siguientes conclusiones en el caso de los edificios de muros: 1- La curvatura de fluencia, φy, es un valor geométrico, constante, independiente de la resistencia de la sección, inversamente proporcional a su longitud. En la Sección 3.2.2 se verá que también el desplazamiento de fluencia de un muro es prácticamente constante.


3-8

2- Si en un mismo edificio existen muros con diferentes longitudes L W, cada uno de ellos tendrá una curvatura de fluencia y un desplazamiento de fluencia ∆y diferente. Los muros más largos serán los primeros en plastificarse durante un sismo y tendrán las mayores demandas de ductilidad. 3- En las condiciones anteriores, cada elemento tiene el mismo desplazamiento máximo del edificio, ∆d, pero una demanda de ductilidad, ∆d/∆y, diferente y distinta a la de la estructura completa. Cuando existen irregularidades torsionales el desplazamiento del muro puede ser diferente al del centro de masa del sistema, pero esto no cambia esencialmente el concepto anterior. 4- Según los métodos FBD, a mayor resistencia menor demanda de ductilidad. Pero la demanda de ductilidad de un muro, ∆d/∆y, no depende de su resistencia. Entonces el cortante sísmico total puede distribuirse con bastante libertad entre los elementos de la estructura. Ver figuras 3.8 y 3.9. 5- También se deduce que es imposible lograr que todos los elementos lleguen simultáneamente a su estado de fluencia, aunque se modifique su refuerzo. 6- En vista de que la curvatura Y es constante, la rigidez en el límite elástico, Ky, será variable, proporcional a la resistencia (ver figura 3.8b), mientras que tradicionalmente se había considerado de valor constante (“rigidez proporcional a EI”, figura 3.8a). Lo mismo vale para la rigidez secante, en condiciones de desplazamiento de diseño (figura 3.15). 7- En un análisis tradicional FBD, el periodo es una propiedad geométrica que no cambia con la resistencia y el aumento de ésta no cambiaría las propiedades dinámicas de la estructura ni sus desplazamientos; una estructura que no cumpliera requisitos de derivas según un diseño FBD tendría que replantearse con dimensiones mayores. Pero con lo anotado en el punto 6, en un diseño DBD probablemente se lograría cumplir esos requisitos mediante la sola modificación de la resistencia de la estructura. En la figura 3.8 se pueden apreciar las hipótesis básicas sobre la rigidez según los métodos FBD y DBD; se muestra un mismo muro diseñado para tres resistencias diferentes a flexión (Mn1, Mn2, Mn3). En la Tabla 3.1 se comparan, con base en esa figura y en la figura 3.9, las hipótesis de los métodos FBD y DBD. Tabla 3.1 -Comparación del diseño de muros según Métodos FBD y DBD Métodos FBD Método DDBD -

La curvatura de fluencia, φy, es variable, proporcional a la resistencia (“φY = M/EI”, EI=constante)

-

La curvatura de fluencia, φy, es constante, independiente de la resistencia ; y  2.0 Y/Lw

-

La rigidez es constante, independiente de la resistencia. Un cambio de la resistencia no afecta la rigidez ni las propiedades dinámicas de la estructura

-

La rigidez no es constante, sino proporcional a la resistencia. Un cambio de resistencia afecta la rigidez y las propiedades dinámicas de la estructura

-

Parten del valor de la rigidez efectiva, que es incierto y puede variar entre el 35% y el 100% de la rigidez de sección homogénea (ver figura 3.5b)

-

Parten del valor de la curvatura de fluencia, que puede evaluarse generalmente con errores menores del 20% (ver figuras 3.4 y 3.5a)

-

Usan factores de ductilidad muy diferentes de una Norma a otra.

-

Usa un amortiguamiento equivalente a la ductilidad, menos sensible a la variación de dicha ductilidad.

-

El valor de la ductilidad se asume, pero no se verifica

-

El valor de la demanda de ductilidad se calcula.

-

La demanda de ductilidad es función de la resistencia; a mayor resistencia, menor demanda de ductilidad.

-

La demanda de ductilidad, μφ = φu/φY, es prácticamente independiente de la resistencia.

-

En estado límite de control de daños, todos los elementos tienen un mismo desplazamiento de fluencia.

-

Los desplazamientos de fluencia pueden ser diferentes para diferentes elementos de la estructura

-

Todos los elementos de la estructura tendrán igual demanda de ductilidad.

-

Cada elemento de la estructura puede tener una demanda diferente de ductilidad


3-9

Figura 3.8 - Diferentes hipótesis de rigidez para un mismo muro (Adaptada de Priestley-Kowalski, 1998) En la figura 3.9 se muestra un conjunto de dos muros de sección rectangular, M1 y M2, y su comportamiento, según el método de diseño que se adopte: -

-

En la figura 3.9a la fuerza sísmica Fne se distribuye según los métodos FBD en proporción a la rigidez “EI” 3 o “E (b.Lw /12)”. Ambos muros llegan a fluencia para un mismo desplazamiento, ∆y, el mismo del sistema; esta hipótesis no es correcta, según se vio. 3 En la figura 3.9b la fuerza sísmica total se distribuye en proporción a Lw , pero se usan desplazamientos de fluencia de los dos muros proporcionales a 1/Lw, como es lo correcto, según el método DDBD. En la figura 3.9c la fuerza sísmica total se distribuye en proporción a b.Lw² y los desplazamientos de fluencia son proporcionales a 1/Lw. Las demandas de ductilidad de los muros son las mismas del caso de la figura 3.9b, pero las cuantías de refuerzo resultantes serán más uniformes y fáciles de construir que en los otros dos casos.

Figura 3.9 - Demandas de ductilidad y distribución de fuerzas bajo diferentes hipótesis (Pérez F.J., 2001) Priestley (1998) llegó en los casos de los pórticos a conclusiones similares a las vistas para los muros: la distorsión angular de fluencia de una viga de un pórtico de concreto reforzado, θY, valor adimensional, es una propiedad geométrica, prácticamente independiente de la resistencia de la sección. Para pórticos de concreto Priestley propone un valor deducido analíticamente a partir de la curvatura de fluencia de los extremos de la viga; ver figuras 3.10 y 3.21:

CAPÍTULO 3: MÉTODOS BASADOS EN DESPLAZAMIENTOS (DDB) θY = 0.5 Y (Lb/hb)

3-10 (3.2a)

En donde Lb es la luz de la viga, entre ejes de columna; hb es la altura (espesor) de la sección de la viga. Esta expresión fue calibrada con resultados de ensayos (ver figura 3.10). Para pórticos de acero propone valores de θy 30% mayores: θY = 0.65 Y (Lb/hb). En la figura 3.10 se observa la concordancia razonable de la ecuación (3.2) con ensayos reales.

Figura 3.10 – Distorsiones angulares de fluencia de un pórtico y verificación experimental (Priestley, 1998) La propiedad expresada en la ecuación (3.2a) permite llegar en el caso de los pórticos a conclusiones similares a las que ya se indicaron para el caso de los muros, básicamente que la distorsión angular de fluencia de una viga de un pórtico es un valor geométrico, prácticamente independiente de la resistencia. Si las relaciones (Lb/hb) en diferentes luces de un pórtico no son iguales, a cada luz corresponderá una distorsión angular de fluencia, θy, diferente; es algo similar a lo que ocurre en estructuras con muros de varias longitudes. A medida que aumenta el desplazamiento lateral de un pórtico durante un sismo, las vigas con menor relación de esbeltez, Lb/hb, serán las primeras en plastificarse. En los métodos FBD se supone erróneamente que, si se diseñan para las fuerzas obtenidas del modelo de computador, todas llegan a plastificarse simultáneamente. Existen sistemas de muros estructurales conectados mediante vigas de acople; las vigas deben ser más débiles que los muros conectados, para que puedan fallar antes que dichos muros. No existe una definición clara de la diferencia entre “pórticos” y “muros acoplados” ni de cuándo una columna es tan ancha como para llamarla muro. En adelante se considerará que cuando en algún vano se presente una relación (Luz entre ejes/ancho del apoyo) mayor que ocho, el sistema se manejará como de pórticos; en caso contrario se hablará de muros acoplados por vigas y entonces pueden considerarse dos casos básicos: a) Vigas de acople esbeltas Se supondrá (Lb/hb)>4, aproximadamente; sea L’b = luz libre de la viga; Lw = ancho del muro. Se supone además punto de inflexión en el centro de la luz libre. De la figura 3.10 (a), similar a la figura 3.10, puede deducirse por simple geometría, que


3-11

BC = θy (Lw/2 + L’b/2) De otra parte, por deformaciones de la viga, actuando como voladizo, se tiene otra expresión para el valor de BC BC = BD/cos θy ≈ BD = θy.Lw/2 + φy (L’b/2)²/3 Reemplazando aquí el valor de φy de la ecuación (3.1) resulta así BC ≈ θy.Lw/2 + (2 εY/3 hb) (L’b)² Igualando las dos expresiones para BC se obtiene: θy Lw/2 + θy L’b/2 = θy.Lw/2 + (2 εY/3 hb) (L’b/2)² θy L’b/2 = (2 εY/12 hb) (L’b)² θy = 0. 33 εY (L’b/hb)

Figura 3.10 a – Distorsión angular de fluencia de un muro acoplado La deducción anterior supone que el muro es muy rígido, así que sus deformaciones por flexión y por cortante pueden ignorarse; también ignora la deformación de la viga por cortante y su deformación adicional por penetración de las deformaciones dentro del muro. Entonces pudiera ser más apropiado usar θy ≈ 0.5 εY (L’b/hb)

(3.2b)

Es la misma ecuación (3.2a), pero usando la luz libre en lugar de la luz entre ejes de apoyos. Sería conveniente la verificación experimental. b) Vigas de acople cortas Cuando las vigas de acople son poco esbeltas, (Lb/hb)<4 aproximadamente, las demandas de ductilidad pueden ser muy altas y la solución más eficiente es usar refuerzo diagonal (Paulay-Priestley, 1992). La rotación de fluencia, θy, presenta una componente relativamente alta de deformación por cortante. Cuando se usa refuerzo convencional horizontal en las dos caras de la viga, Priestley et al (2007) proponen un valor θy = 0.5 φy (0.5 L’b + Lsp)(1 + Fv) En donde: φy ≈ 1.7 εy/hb, según la ecuación (3.1f)

(3.2c)


3-12

Lsp ≈ 0.022 fy db, es la longitud de penetración de las deformaciones dentro del muro, para varillas con refuerzo de diámetro db (fy en MPa). Para fy=420 MPa y db=25 mm, Lsp ≈ 0.23 m. Fv = 3 (hb/L’b)², para tener en cuenta la deformación de la viga por cortante Cuando se usa refuerzo diagonal, puede ignorarse la deformación por cortante y Priestley et al (2007) recomiendan usar valores 50% mayores que los de la ecuación (3.2c), con Fv=0 θy = 0.75 φy (0.5 L’b + Lsp)

(3.2d)

3.2. EL CONCEPTO DE DUCTILIDAD Para poder aplicar el método DDBD de Priestley et al., es necesario conocer la ductilidad de desplazamiento de la estructura, requerida para calcular el amortiguamiento viscoso equivalente, uno de los datos básicos utilizados en este método, según se verá en la Sección 3.3.2. Se entiende por ductilidad la relación entre la máxima deformación inelástica y la deformación de fluencia; la deformación máxima puede ser un desplazamiento (ductilidad de desplazamiento) o la curvatura de una sección (ductilidad de curvatura). Cuando se trata de la máxima deformación permitida de diseño, ello es una meta y se habla de demanda de ductilidad. Cuando se trata de la máxima deformación alcanzable, ésta es una propiedad del sistema estructural o de sus componentes, que depende principalmente de sus detalles de refuerzo, y se habla de capacidad de ductilidad. En el proceso del diseño se busca que las demandas de ductilidad de la edificación y de cada uno de sus elementos, sean menores que sus capacidades de ductilidad. Los principales valores usados en la definición de la ductilidad teórica de desplazamiento de un elemento (muro, pórtico) son: - Desplazamiento de fluencia, ∆y - Desplazamiento de diseño elegido o establecido por la Norma, ∆d - Desplazamiento máximo que la estructura es capaz de soportar, ∆max o ∆u - Demanda de ductilidad de desplazamiento: μ∆= ∆d/∆y - Capacidad de ductilidad de desplazamiento: μ ∆= ∆u/∆y La ductilidad de desplazamiento es una propiedad global de la estructura y de sus componentes (muros, pórticos), que incide más sobre los daños a elementos no estructurales que sobre los daños a la estructura. No existe consenso sobre la definición del desplazamiento de fluencia de una estructura, ∆y (ver figura 3.11, adaptada de Priestley, 2000). Se han propuesto, entre otras, las siguientes definiciones: 1- Intersección de la rigidez tangente inicial con la resistencia nominal 2- El desplazamiento al inicio de la fluencia 3- Intersección de la rigidez secante en el punto de fluencia inicial con la resistencia nominal Tampoco existe consenso sobre la definición del desplazamiento máximo o de rotura, ∆U; por ejemplo: 4- El desplazamiento en el punto de la resistencia máxima 5- El desplazamiento correspondiente a una degradación del 20 ó del 50% de la resistencia máxima (o de la nominal) 6- El desplazamiento correspondiente a la fractura del refuerzo transversal Debido a las faltas de consenso mencionadas, tampoco es posible evaluar inequívocamente la ductilidad de desplazamiento, μ = ∆U/∆y. Con base en la figura 3.11, y dependiendo de las definiciones que se adopten, el


3-13

valor de la capacidad de ductilidad podría variar desde µ=∆6/∆1 hasta µ=∆4/∆3! Esto explicaría tal vez en parte las diferencias grandes en los valores de los factores de ductilidad µ usados en diferentes Normas de diseño. Una de las ventajas del método DDBD es que en lugar del concepto de ductilidad usa un amortiguamiento viscoso equivalente, como se verá en las Secciones 3.3.2 y 3.3.3, con lo cual el valor de las fuerzas sísmicas de diseño es menos sensible al valor de la ductilidad µ, diferente a lo que ocurre con los métodos FBD.

Figura 3.11 – Diferentes definiciones de los desplazamientos de fluencia y de rotura (Priestley) La ductilidad de curvatura es una propiedad local diferente para cada viga, muro o columna de la estructura y su valor es generalmente mayor que la ductilidad de desplazamiento del sistema; esa ductilidad está relacionada con las deformaciones unitarias de los materiales y con los detalles de confinamiento de las secciones; tiene mayor incidencia sobre los daños de la estructura. Para su definición existen las mismas dificultades mencionadas respecto a la ductilidad de desplazamiento.

3.2.1. Capacidad de ductilidad de curvatura para diferentes estados límite de diseño Priestley-Kowalski (1998) estudiaron la capacidad de ductilidad de las secciones de los muros de concreto reforzado, con esfuerzos axiales variables 0 ≤ P/(Ag.f’c) ≤ 0.15 y cuantías de refuerzo, ρ, variables entre 0.005 y 0.02, para diferentes estados límite de diseño. Llegaron a las siguientes conclusiones:  Si se definen unos límites de las deformaciones unitarias del concreto y del acero, εcm y εsm, la curvatura límite φm es poco sensible a los esfuerzos axiales y a las cuantías de refuerzo.  Para el estado límite de servicio, suponiendo unas deformaciones unitarias εc=0.004 y εs = 0.015, la curvatura sería φS ≈ 0.0174/Lw ± 10%. En esas condiciones, y para refuerzo de fy = 420 MPa, εy = 0.0021, φY ≈ 0.004/Lw según la ecuación (3.1d), la capacidad correspondiente de ductilidad de curvatura sería μ φS ≈ 0.0174/0.004 ≈ 4. Hasta este límite de las deformaciones no se requerirían detalles especiales de confinamiento para los bordes de los muros. En ese estado puede esperarse que el refuerzo empiece a perder su recubrimiento y que se presenten grietas hasta de 1.0 mm, reparables.  Para el estado límite de control de daños, suponiendo unas deformaciones unitarias εcm=0.018 y εsm=0.06, la curvatura sería φD ≈ 0.072/Lw ± 10%. En esas condiciones, y para refuerzo de fy = 420 MPa, εy = 0.0021, φY ≈ 0.004/LW, según la ecuación (3.1d), la capacidad correspondiente de ductilidad de curvatura sería μφU ≈ 0.072/0.004 ≈ 18. Para poder alcanzar esas deformaciones unitarias tan altas del


3-14

concreto y del acero de refuerzo se requiere que las rótulas plásticas tengan detalles cuidadosos de confinamiento (DES en NSR-10).  En los dos casos anteriores rigió la curvatura máxima correspondiente al límite de las deformaciones unitarias del acero de refuerzo. Priestley et al. (2007) proponen entonces como expresión general, para una deformación unitaria límite del acero 0.01 ≤ εS,LS ≤0.08: Curvatura máxima alcanzable: φLS ≈ 1.2 εS,LS/Lw  Los valores indicados de curvaturas y ductilidades son válidos para secciones rectangulares. También son aplicables a secciones T, U, con aletas comprimidas, pero con aletas sometidas a tracción deben esperarse valores menores. Según Restrepo J.I. (2006), la capacidad de ductilidad de curvatura de una sección con detalles de confinamiento para alta disipación de energía (DES) puede ser del orden de 14.0, mientras que con detalles para disipación moderada (DMO) ese valor puede ser del orden de 8.0. Más adelante se presentan algunas expresiones simples (ecuaciones 3.7 y 3.9), que relacionan las ductilidades de desplazamiento y de curvatura para los muros de concreto; para otros casos las relaciones son algo más complejas. En la Sección 9.1 se explica cómo pueden obtenerse las relaciones momento curvatura en el caso general.

3.2.2. Demandas de ductilidad para los muros Se sabe que el desplazamiento elástico,∆, del extremo superior de un muro de rigidez uniforme EI y altura H, sometido a fuerzas laterales que produzcan un momento M en la base, puede expresarse como:  = M.H²/C.EI En donde C es un valor adimensional, que depende de la distribución de las fuerzas laterales en altura, pero no muy sensible a esa distribución. Para cargas de variación triangular en altura (valor máximo en el extremo superior) C=3.6; para una carga lateral concentrada en el extremo superior, como en el caso de un SDOF, C=3.0. Si se reemplaza en la expresión anterior el valor de la curvatura en la base φ, que según los principios de la resistencia de materiales vale φ=M/EI, se deduce que  = φ.H²/C. Reemplazando el valor φY≈ 2.0 εY/Lw (ecuación 3.1), se obtiene el desplazamiento de fluencia, Y ≈ 2εY.H²/C.Lw. En el caso de un oscilador de un grado de libertad (SDOF) de altura He, C=3, y llamando Are a la relación de esbeltez, Are = He/Lw, resulta: ye ≈ 2 εY He²/(3 Lw) = 2 εY Are He/3 (3.3a) Para fy=420 MPa, εY≈ 0.002, ∆ye ≈ He²/750.Lw ∆ye ≈ He Are/750


3-15

Más adelante se verá que en los sistemas de edificios con varios grados de libertad la altura del SDOF equivalente vale He ≈ 0.7 Hn (Hn=altura total del edificio). Si se llama Ar=Hn/Lw a la esbeltez total de un muro, el desplazamiento en su extremo superior, yn, puede expresarse también como: yn ≈ 2 εY Hn²/(3 Lw) yn ≈ 2 εY Ar Hn/3

(3.3b)

Puede observarse, similarmente a lo visto en la Sección 3.1 con las curvaturas, que el desplazamiento de fluencia de un muro es un valor geométrico constante e independiente de su resistencia. De las ecuaciones (3.3) se deduce que en algunos casos, cuando el desplazamiento de diseño ∆d es menor que ∆y, los muros no llegarán a fluencia para el desplazamiento sísmico de diseño. Esto se discutirá más extensamente en la Sección 4.1. La demanda de ductilidad de desplazamiento vale, por definición: μ∆ = ∆d /∆Y

(3.4)

A partir de las ecuaciones (3.3) y (3.4) se tendrá: μ∆ ≈ 3 Lw.∆d/(2 εY He²) = 1.5 ∆d/(Are He εY)

(3.5)

∆d≈ μ∆ Are He εY/1.5

(3.6)

Se observa en la ecuación (3.5) que la ductilidad de desplazamiento de un muro es una relación puramente 2 geométrica, independiente de su resistencia. Esto es diferente a lo supuesto en los diseños FBD, donde la ductilidad de desplazamiento se supone inversamente proporcional a la resistencia de diseño. La ecuación (3.5) permite saber cuál será la demanda de ductilidad de un muro, a partir de su desplazamiento de diseño ∆d y de su geometría, aun antes de diseñarlo. También permite deducir que a menor relación de esbeltez mayor será la demanda de ductilidad, µ ∆. Para un muro de concreto, la ductilidad de desplazamiento se puede relacionar con la ductilidad de curvatura mediante la expresión (Paulay, Priestley, 1992): μφ = 1 + (μ∆ - 1)/[3(Lp/He)(1 - 0.5 Lp/He)]

(3.7a)

μ∆ = 1 + 3 (μφ - 1) Lp (1 – 0.5 Lp/He)/He

(3.7b)

En estas ecuaciones Lp es la longitud de una rótula plástica en la base del muro. Esta no es una longitud claramente definida y visible durante la plastificación de un muro; más bien debe mirarse como una longitud conceptual, que permite idealizar un problema complejo. Ver figura 3.12, adaptada de un ensayo de Restrepo J.I., 2006. Priestley et al. (2007), Sección 6.2.1, recomiendan usar:

2

Estrictamente la ecuación (3.6) sólo vale para edificios sin irregularidades de torsión. Cuando éstas existen, dos muros de igual longitud pueden tener desplazamientos ∆i, diferentes a los del Centro de Masa del sistema y diferentes demandas de ductilidad, μ=∆i/∆yi. Ver Sección 3.4

CAPÍTULO 3: MÉTODOS BASADOS EN DESPLAZAMIENTOS (DDB) Lp = k.He + 0.1 Lw + Lsp

3-16 (3.8a)

En donde: k = 0.2 (fu/fy – 1) ≤ 0.08 -

fu/fy = relación de resistencia última de rotura a resistencia de fluencia del refuerzo longitudinal Paulay, Priestley (1992), Sección 5.4.3, sugieren 0.2 Lw (en lugar de 0.1 Lw) en la ecuación (3.8a) Lsp = 0.022 fy db (fy en MPa y db=diámetro de la varilla; unidades consistentes con las de He y Lw)

En muchos casos fu/fy ≈ 1.25, He ≈ 0.7 Hn y Lsp es poco significativo comparado con los otros componentes de Lp; en vista de las incertidumbres inherentes al cálculo de Lp se propone la expresión simplificada: Lp ≈ 0.035 Hn + 0.15 Lw (3.8b)

Figura 3.12 - Concepto de rótula plástica Otra propuesta muy simple para esta misma longitud es Lp ≈ Lw/2 (Moehle 1992). Para muros poco esbeltos (Ar<7 aproximadamente) debe ser conservadora y más adecuada la ecuación (3.8a). El cálculo de los desplazamientos inelásticos para los casos en que rigen las deformaciones unitarias de los materiales puede llevar a valores muy diferentes, según la expresión que se adopte para Lp (ver ejemplo de la Sección 5.1.2); también los resultados experimentales presentan dispersiones altas (Calvi et al. Bull. FIB 25, 2003, Sección 6.4.3.2). Sin embargo, como se verá en la Sección 3.3.6.1.2, en muchos casos rigen los requisitos de la Norma, aun para los valores conservadores de las ecuaciones (3.8); así pierde algo de relevancia el valor de Lp. Es preferible en cualquier caso usar valores conservadores. En algunos casos la relación Lp/He es pequeña; suponiendo Lp ≈ Lw/2 y He ≈ 0.7 Hn, las ecuaciones (3.7) se simplifican como: μφ ≈ 1 + (μ∆ - 1) Ar/2 (3.9a) μ∆ ≈ 1 + 2 (μφ - 1)/Ar (3.9b) Paulay (1996) propone relaciones más elaboradas, que pueden apreciarse gráficamente en la figura 3.13.

3.2.3. Demanda de ductilidad de desplazamiento para un pórtico En un sistema de pórticos de altura total Hn la altura de la fuerza sísmica lateral resultante es He. Según (Priestley, 2000) el desplazamiento de fluencia a esa altura, para pórticos de concreto reforzado, puede expresarse con suficiente precisión, con ayuda de la ecuación (3.2), como: ∆ye = θY He = 0.5Y (Lb/hb) He

(3.10)


3-17

Si se supone He≈ 0.7 Hn, resulta: ∆ye ≈ 0.35 Y (Lb/hb) Hn

(3.11)

Para pórticos de acero pueden usarse valores 30% mayores. Una vez más, como en el caso de los muros, el desplazamiento de fluencia de un pórtico es un valor geométrico, independiente de la resistencia de sus elementos.

Figura 3.13 – Ductilidad de curvatura vs. Ductilidad de desplazamiento - Muros en voladizo (Paulay, 1996) De la ecuación (3.11) se deduce también que en algunos casos las luces de pórticos con altas relaciones de esbeltez (Lb/hb) no llegarán a fluencia para el desplazamiento de diseño. Por ejemplo, un pórtico con vigas de 10.0 m de luz y 0.8 m de espesor, relación (Lb/hb)=12.5, fy=420 MPa, Y = 0.0021, sólo llegaría a fluencia para distorsiones angulares θY > 0.013; teóricamente, si la deriva de diseño del SDOF equivalente fuera del 1% de su altura, este tipo de pórtico podría diseñarse con detalles mínimos de confinamiento. Aun para derivas de diseño del orden del 2.5% de la altura, su demanda de ductilidad de desplazamiento sería baja, del orden de 2.0. En cambio las luces con relaciones (Lb/hb) pequeñas pueden llegar a fluencia para deformaciones pequeñas; con (Lb/hb) =4 se presentaría fluencia para distorsiones angulares θy>0.4% y sufrirían demandas de ductilidad más altas. Para las derivas permitidas por la Norma NSR-10 probablemente algunos pórticos no lleguen al estado fluencia o tengan demandas bajas de ductilidad. Las anotaciones anteriores se refieren a un oscilador equivalente de un solo grado de libertad (SDOF). En un pórtico completo la deriva máxima es mayor que la deriva promedio del SDOF equivalente; además, los efectos torsionales pueden incrementar las derivas de algunos pórticos, con relación al promedio del edificio.


3-18

Con base en la ecuación (3.11) la ductilidad de desplazamiento μ ∆ valdrá: μ∆ = ∆d/∆Y = ∆d.hb/(0.35 Lb.Hn.εY) μ∆ ≈ 3 ∆d(hb/Lb)/(Hn.εY)

(3.12)

De la ecuación (3.12) se deduce que la ductilidad de desplazamiento de una viga o de un pórtico es una relación puramente geométrica, independiente de su resistencia. Esto es diferente a lo supuesto en los diseños FBD, donde la ductilidad de desplazamiento es inversamente proporcional a la resistencia de diseño. De forma similar al caso de los muros (ecuación 3.5), la ecuación (3.12) permite deducir cuál será la demanda de ductilidad de un pórtico, a partir de su desplazamiento de diseño ∆d y de su geometría, aun antes de diseñarlo. Si se quiere llegar a cierta ductilidad de desplazamiento, µ∆, se podrá ajustar el espesor hb: hb ≈ 0.35 Lb.Hn.εY µ∆/∆d

(3.13)

3.2.4. Demanda de ductilidad en el caso general (sistemas de pórticos, muros o combinados) El sistema estructural de un edificio puede componerse de muros, pórticos o una combinación de ellos. Cada elemento del sistema puede tener un desplazamiento de fluencia y una ductilidad diferente a los demás. Según se vio en las Secciones 3.2.2 y 3.2.3, esos valores individuales no cambian al variar las resistencias de cada componente. El cortante sísmico basal puede distribuirse entonces entre los diferentes elementos con bastante libertad y esto puede hacerse inclusive desde las etapas preliminares del diseño. En la figura 3.14 pueden apreciarse varias alternativas para un sistema dual.

Figura 3.14 – Tres alternativas de distribución de la resistencia en un sistema dual

Se observa que el desplazamiento de fluencia del sistema, ∆ YS, varía según la distribución relativa de resistencias que se adopte; este desplazamiento es mayor que el del componente más rígido (los muros en este caso). En consecuencia, también la demanda de ductilidad de desplazamiento del sistema varía en cada caso. Si el desplazamiento de diseño del edificio es ∆d, la demanda de ductilidad de desplazamiento del sistema será por definición µ∆S = ∆d/∆ys, menor que la del elemento con mayor demanda.


3-19

Las ecuaciones (3.3) y (3.10) permiten calcular el desplazamiento de fluencia ∆yi de cada elemento. Una vez establecida la porción o porcentaje del cortante sísmico que se le asignará a cada elemento, Vi, el desplazamiento de fluencia del sistema, ∆ys, puede obtenerse de acuerdo con la expresión siguiente, deducida más adelante en la figura 3.20 y en la Sección 3.3.5. ∆ys = ΣVi /Σ(Vi/∆yi) Por ejemplo, cuando se asigna 60% del cortante a los muros (ver figura 3.14a, si los desplazamientos de fluencia calculados son de 6 y 16 cm para los muros y los pórticos respectivamente), -

Muros: Pórticos: Sistema :

Fm = 0.6*F total; ∆ym = 6.0 cm Fp = 0.4*F total; ∆yp = 16.0 cm ∆ys = 1/(0.6/6.0 + 0.4/16.0) = 8.0 cm

3.3. ESTRUCTURA SUSTITUTA DE GULKAN-SOZEN, SHIBATA-SOZEN Jacobsen (1930) propuso la idea de reemplazar un oscilador no-lineal por otro oscilador lineal equivalente, de igual periodo inicial, que disipe la misma energía; algunos consideran que este fue el origen de los conceptos de la estructura sustituta y del amortiguamiento equivalente. Gulkan, Sozen, 1974, propusieron el uso de un amortiguamiento viscoso equivalente ξ eq, en lugar de la ductilidad, para cuantificar el comportamiento inelástico de una estructura de concreto sometida a un sismo. También propusieron representar la estructura real mediante un oscilador de un solo grado de libertad (SDOF) con una rigidez secante elástica equivalente, Kef, para simular el comportamiento de la estructura en su estado límite; ver figura 3.15. Estos dos conceptos son la base de la “estructura sustituta” elástica equivalente (Shibata, Sozen 1976), cuya respuesta puede evaluarse con ayuda de espectros de respuesta elaborados para el amortiguamiento apropiado. En el documento de 1974 se encontró, a partir de ensayos dinámicos con pórticos de concreto en el rango inelástico, que la respuesta correspondía a la de un sistema con menor frecuencia aparente que la elástica original y con mayor capacidad de disipación de energía.

Figura 3.15–Estructura sustituta y rigidez equivalente: Ke = Vd/∆d Existen muchas incertidumbres en las hipótesis del diseño sismo resistente: geotectónica, funciones de atenuación, rigideces de las secciones, propiedades histeréticas de las estructuras, etc. Debido a ello, para efectos prácticos parece justificado trabajar con relaciones bi-lineales carga-deformación, como en la figura 3.15 y aun simplificarlas como relaciones elasto-plásticas perfectas (figura 3.14).


3-20

3.3.1. Rigidez secante elástica equivalente Gulkan, Sozen (1974) y Shibata, Sozen (1976) propusieron modelar las estructuras en el rango inelástico mediante una estructura elástica equivalente, o estructura sustituta (figura 3.15), de un solo grado de libertad (SDOF), de rigidez Ke = Vd/∆d

(3.14)

En donde Vd es la fuerza cortante total de diseño y ∆d = Sd es el desplazamiento de diseño. Según la ecuación (3.14) podría alcanzarse cualquier rigidez modificando la fuerza cortante de diseño, sin necesidad de cambiar la geometría de una estructura; algo imposible con los métodos FBD. Sin embargo, en una estructura de dimensiones escasas las resistencias requeridas podrían llevar a cuantías de refuerzo elevadas y hasta imposibles de construir. Debe anotarse que, para garantizar la rigidez necesaria Ke de la ecuación (3.14), es necesario que para el desplazamiento de diseño ∆d la estructura sí alcance a desarrollar el cortante requerido Vd; pueden presentarse casos en que algunos elementos de la estructura no lleguen a fluencia y entonces deberá ajustarse el cortante de diseño; ver Sección 4.1 - “Ajustes del cortante de diseño en el método de la estructura sustituta”. La rigidez Ke está relacionada con el periodo de vibración Te del SDOF equivalente a la estructura, cuya masa es Me, según las expresiones siguientes de la teoría clásica de la dinámica estructural: Te = 2π √(Me/Ke) Ke = 4 π² Me/Te²

(3.15)

Con base en la distorsión angular o deriva de diseño, θd, es posible obtener el máximo desplazamiento de diseño correspondiente, ∆d o Sd (ver Sección 3.3.6). El espectro de desplazamientos permite deducir el periodo correspondiente Te y con la ecuación (3.15) se calcula la rigidez mínima requerida para lograr la meta de desplazamientos. La fuerza cortante basal de diseño, Vd, se deduce de la ecuación (3.14): Vd = VBASE = Ke.∆d

(3.16)

Que también puede expresarse, con ayuda de la ecuación (3.15), como: Vd = 4 π² Me.∆d/Te²

(3.17)

El espectro de desplazamientos utilizado para determinar el periodo requerido Te es un espectro modificado para un amortiguamiento que depende de la ductilidad, según se explicará en las Secciones 3.3.2 y 3.3.3. La masa equivalente se obtiene según la ecuación (3.28) de la Sección 3.3.4. Las ecuaciones (3.3) para muros y (3.10) para pórticos, vistas en la Sección 3.2, indicaban que el desplazamiento de fluencia depende únicamente de la geometría de la estructura: Muros: Pórticos:

ye ≈ 2 εY Are He/3 ∆ye ≈ 0.5 Y (Lb/hb) He

Esos valores pueden ser relativamente altos. Por ejemplo, para Hn = 40.0 m de altura, con refuerzo de fy=420 MPa, εY ≈ 0.002; He ≈ 28.0 m: -

En muros de 4.0 m de longitud, Are=7.0, ye ≈ 27 cm


3-21

En pórticos con vigas de luces de 8.0 m y espesor 0.60 m, ye ≈ 39 cm (Los valores anteriores no incluyen efectos de modos superiores de vibración ni efectos de torsión).

Puede ocurrir así que en algunos muros y pórticos el desplazamiento de diseño, ∆d, sea menor que su desplazamiento de fluencia ∆ye y el comportamiento sísmico sería elástico, especialmente a partir de cierta altura de los edificios. Esto se presenta cuando: 1- El desplazamiento máximo del espectro de diseño es bajo, como en los sismos de Chile 2010, suelos Tipo I ó II; en Colombia para suelos tipo A, B, C, en zonas de amenaza sísmica intermedia o baja. 2- Los valores del desplazamiento de diseño ∆d son bajos, como en el caso de la Norma NSR-10, más estrictos que los usuales en la práctica internacional. Ver Sección 1.2. 3- La estructura es muy flexible, con valor alto de ∆y. En esos casos se requiere ajustar el cortante de diseño Vd de la ecuación (3.16), porque los elementos que permanecen elásticos no alcanzarían a aportar la resistencia requerida para garantizar la rigidez de la ecuación (3.14). Este tema se tratará con mayor detalle en la Sección 4.1- “Ajustes del cortante de diseño en el método de la estructura sustituta”.

3.3.2. Amortiguamiento viscoso equivalente a la ductilidad En las Secciones 3.2.2, 3.2.3 y 3.2.4 se explicó cómo calcular la ductilidad de desplazamiento µ para diferentes sistemas estructurales. El método DDBD usa un amortiguamiento viscoso equivalente a la ductilidad, ξeq. Gulkan, Sozen (1974) propusieron usar un valor de: ξeq = 0.02 + 0.20(1 – 1/√μ) Supusieron que existía un umbral mínimo de ξeq= 0.02, para un valor de μ=1 (comportamiento elástico) y anotaron que el valor propuesto para ξeq se debía interpretar como un rango, más que como un valor preciso, pues podía variar según las características histeréticas de diferentes estructuras. Gulkan-Sozen proponían también, conceptualmente, un método de diseño, cuyo objeto fuera proveer la resistencia suficiente para que no se excediera un límite de desplazamiento. También se indicaba que la ductilidad por sí misma no era suficiente para interpretar el comportamiento inelástico de las estructuras, sino que también se debían tener en cuenta sus propiedades histeréticas. También Priestley et al. (2007), proponen representar los espectros inelásticos en función del amortiguamiento viscoso y no de relaciones de ductilidad, por la facilidad de generación de datos y porque permite caracterizar los efectos de la ductilidad sobre la demanda sísmica de una manera independiente de las características histeréticas; las relaciones entre el amortiguamiento y la ductilidad son tratadas por aparte para diferentes materiales y reglas de histéresis. El amortiguamiento total, ξeq, requerido en el método DDBD para la elaboración de espectros sísmicos inelásticos de diseño, se compone del amortiguamiento elástico (supuesto generalmente como 5% para las estructuras de concreto) y del amortiguamiento inelástico apropiado para la estructura diseñada, debido a la disipación de energía (histéresis) en el rango inelástico, ξhist. Así, el valor de ξeq, expresado como porcentaje, es: ξeq % = 5 + ξhist

(3.18)

La componente ξhist puede obtenerse a partir de los diagramas carga-desplazamiento de una estructura en el rango inelástico, mediante la propuesta de Jacobsen:

CAPÍTULO 3: MÉTODOS BASADOS EN DESPLAZAMIENTOS (DDB) ξhist =

%

3-22 (3.19)

En donde Ah es el área total encerrada por la curva de un ciclo de histéresis completo, Fm es la fuerza máxima desarrollada y ∆m el desplazamiento correspondiente a Fm. La figura 3.16 ilustra varias formas de respuesta histerética, para diferentes materiales; también ilustra el concepto de rigidez elástica secante equivalente, Kef y una alternativa de evaluación del amortiguamiento equivalente: ξhist =

(3.19a)

Existen varias propuestas para estimar la relación entre la ductilidad de desplazamiento µ ∆ de una estructura y su amortiguamiento viscoso equivalente ξeq. Algunas de esas propuestas tienen en cuenta el material de la estructura; Priestley et al. (2007) proponen, entre otros valores: Edificios de muros de concreto: ξeq = 0.05 + 0.444 (µ - 1)/µ.π Edificios de pórticos de concreto: ξeq = 0.05 + 0.565 (µ - 1)/µ.π Edificios de pórticos de acero: ξeq = 0.05 + 0.577 (µ - 1)/µ.π

(3.20a) (3.20b) (3.20c)

Figura 3.16 – Formas de histéresis consideradas, amortiguamiento equivalente y rigidez efectiva (Priestley et al., 2007, Kowalski, 2002) Las ecuaciones (3.20) se basan en numerosos análisis de respuesta inelástica cronológica (“Inelastic TimeHistory Analyses”) realizados por Grant-Blandón-Priestley (2005) y Dwairi-Kowalski-Nau(2007) para muchos acelerogramas. También son fuente de amortiguamiento adicional los elementos no estructurales y las deformaciones de la fundación; ver Priestley et al. (2007).


3-23

Estrictamente, el amortiguamiento ξ puede ser diferente para cada elemento de la estructura (muro, pórtico), según su ductilidad; también debiera ser diferente para cada modo de vibración de la estructura. En el caso general de diferentes elementos “j” con resistencias Vj y amortiguamientos ξj, Priestley et al. (2007) proponen usar un amortiguamiento global ξe, basado en el promedio de la energía disipada por todos los elementos componentes: ξe=Σ(Vj.∆j.ξj)/Σ(Vj.∆j)

(3.21)

En sistemas sin irregularidad torsional, con diafragmas de piso rígidos, el desplazamiento ∆j es el mismo para todos los elementos y la ecuación anterior se simplifica como: ξe=Σ(Vj.ξj)/ΣVj

3.3.3. Espectro sísmico de desplazamientos con amortiguamiento modificado A partir de los registros sísmicos para un sitio específico es posible generar espectros de aceleraciones representativos, que luego son suavizados o idealizados en las Normas como espectros elásticos de aceleraciones para el diseño. Igualmente es factible generar espectros de velocidades y de desplazamientos. Corresponden a osciladores con un solo grado de libertad (SDOF). En la Norma NSR-10 se especifican espectros elásticos de diseño para aceleraciones, velocidades y desplazamientos, basados en un amortiguamiento del 5% del crítico y en una probabilidad de excedencia del 10% en 50 años. Lo ideal sería generar los espectros de desplazamientos de una manera independiente a los de aceleraciones. Sin embargo, se pueden obtener resultados adecuados mediante la relación: 2

2

Sd = Sa.g (T /4 π ) Aunque con esta aproximación, usada en los espectros de NSR-10, se pierde alguna precisión para periodos altos y para sitios con suelos blandos.

Figura 3.17 - Espectros elásticos de aceleraciones y de desplazamientos en NSR-10 Las deformaciones, sean desplazamientos, giros, distorsiones angulares, deformaciones unitarias de los materiales, son la causa básica de los daños que puede sufrir un edificio. Las aceleraciones son más importantes para evaluar efectos locales de los sismos sobre los equipos, los diafragmas de piso, etc.; pero, con excepción de estructuras muy rígidas, las aceleraciones altas de corta duración no alcanzan a reflejarse en el comportamiento de la estructura. Por eso, los diseños basados en desplazamientos son los más apropiados en la mayoría de los casos.


3-24

Es usual idealizar los espectros de desplazamientos mediante un segmento lineal (correspondiente a velocidad espectral constante), en donde el desplazamiento es proporcional al periodo de vibración; a partir de cierto periodo, TL, se usa generalmente una zona de desplazamiento constante. Ver figuras 3.17 y 3.18. En la figura 3.18, (Boroschek, 2010) se representan los espectros de desplazamientos correspondientes a varios registros de Chile, para “Zona 3, Suelo II”, incluido el sismo de febrero 2010, para un amortiguamiento del 5% del crítico. También se aprecia allí, punteada, una envolvente según la simplificación bilineal mencionada, que muestra Sd máximo de 0.38 m y TL de 2.0 s (NCh2745 Of2003).

Figura 3.18 - Espectros de desplazamientos Terremotos Chile (Boroschek et al. 2010) Para aplicar el método DDBD se requieren espectros de desplazamientos modificados para tener en cuenta el amortiguamiento equivalente, visto en la Sección 3.3.2. A partir del espectro básico de desplazamientos para un amortiguamiento de 0.05, pueden obtenerse los espectros de desplazamientos para otros amortiguamientos. Newmark-Hall (1982) propusieron: Rξ = Sd ξ/Sd5 = 1.31 – 0.19 ln(100 ξ) En donde Sd ξ es el desplazamiento espectral para un amortiguamiento ξ, Sd5 es el desplazamiento espectral elástico (amortiguamiento del 5%) y Rξ es la relación Sd ξ/Sd5. Priestley et al. (2007),proponen una expresión mejor ajustada, tomada del Eurocode EC8 de 1998: Rξ = (0.07/[0.02+ξ])

0.5

(3.22a)

Para sitios cercanos al epicentro de un sismo, Priestley et al. (2007) proponen: Rξ = (0.07/[0.02+ ξ])

0.25

(3.22b)

En la Tabla 3.2 puede apreciarse el valor Rξ de la ecuación (3.22a) deducido de las ecuaciones (3.20) y (3.22a), para pórticos y muros de concreto reforzado, con diferentes ductilidades. Para un fenómeno tan complejo, los resultados no parecen muy sensibles al valor de μ, excepto con ductilidades menores de 1.5.


3-25

Compárese por ejemplo la forma bi-lineal simplificada de espectros de desplazamientos como los de las figuras 3.17 y 3.3(d), con espectros reales como los de la figura 3.19. Tabla 3.2 – Variación del desplazamiento espectral con el amortiguamiento μ

ξ Pórticos

1 1.5 2 3 4 5 6 8

0.05 0.110 0.140 0.170 0.185 0.194 0.200 0.207

Rξ Pórticos 1.00 0.73 0.66 0.61 0.58 0.57 0.56 0.56

ξ Muros

Rξ Muros

0.05 0.097 0.121 0.144 0.156 0.163 0.168 0.174

1.00 0.77 0.71 0.653 0.631 0.618 0.611 0.601

En algunas Normas, como ASCE 7-05, Tabla 12.2-1, los desplazamientos sísmicos obtenidos a partir del espectro elástico de aceleraciones se reducen por un factor de ductilidad R y luego se multiplican por un factor Cd, menor que R, para la verificación de las derivas permitidas; la relación Cd/R sería equivalente a R ξ de la ecuación (3.22a). La Norma NSR-10, A.6.4.1.1, permite, cuando se utilizan propiedades de secciones fisuradas, multiplicar los desplazamientos por 0.7; esto equivaldría a suponer Rξ ≈ 0.70. Pueden presentarse casos en que el desplazamiento de fluencia de la estructura sea mayor que el desplazamiento de diseño; ver Sección 4.1. En esos casos no habría lugar a ninguna corrección del espectro elástico de desplazamientos (Rξ = 1.0). La figura 3.19 (Ayhan – Response of Structures to Earthquake Ground Motions) muestra espectros para el sismo de El Centro 1940, con diferentes amortiguamientos.

Espectros de aceleraciones

Espectros de desplazamientos

Figura 3.19 – Espectros Terremoto de El Centro, 1940 La forma simple de los espectros de desplazamiento sísmico como el de la figura 3.17 requiere únicamente la definición de un periodo de quiebre, TL, y del valor del desplazamiento máximo, Sd 5, para un amortiguamiento del 5% del crítico. A partir de ese espectro básico pueden deducirse los espectros correspondientes a otros amortiguamientos, según las ecuaciones (3.20) y (3.22). En el rango de periodos cortos no es válida la forma lineal del espectro de desplazamientos y las 2 2 aceleraciones de diseño resultantes (Sa=Sd*4 π /g.T ) serían bastante mayores que las del espectro normal


3-26

de aceleraciones. En Calvi-Sullivan (2009) se propone un límite al cortante sísmico de diseño, equivalente al de la zona de valor constante en un espectro sísmico de aceleraciones (To < T < Tc, en la figura 3.17): VBASE = Ke.Sd + C.P.Sd/He ≤ 2.5 Rξ.Aa.Me + C.P.Sd/He

(3.23)

En donde: VBASE = Cortante basal de diseño He = Altura efectiva del sistema equivalente de un grado de libertad (SDOF) Me = Masa efectiva del SDOF Ke = Rigidez efectiva Sd = Desplazamiento de diseño C= Constante para controlar los efectos P-delta; C  0.50 para estructuras de concreto; 1.0 para las estructuras de acero P= Carga vertical total esperada durante el sismo Rξ = Factor de reducción del espectro, asociado con la disipación de energía Aa = Aceleración horizontal pico efectiva en el sitio La propuesta anterior supone que la aceleración máxima de la meseta del espectro de aceleraciones, Sa máxima, vale 2.5 Aa. Requiere ser ajustada por efectos locales del suelo (factor Fa de la Norma NSR-10). Cuando el desplazamiento de diseño, ∆d, es mayor que el Sd máximo del espectro de desplazamientos, se requiere ajustar algunos valores de la estructura sustituta. Calvi-Sullivan (2009) proponen calcular el periodo efectivo requerido, Te, con la fórmula: Te = TL ∆d/Sdξ

(3.24)

En donde TL es el periodo de inicio del valor constante en el espectro de desplazamientos, ∆d es el desplazamiento de diseño y Sdξ es el desplazamiento espectral máximo, para el amortiguamiento viscoso equivalente ξ. La ecuación (3.24) busca evitar que se diseñe para resistencias muy bajas ante fuerzas laterales, que pueden llevar a estructuras con periodos muy largos, con efectos importantes de los modos superiores y posible exceso de los límites de desempeño deseados. Sin embargo, debido a que las demandas de desplazamiento del primer modo son limitadas para periodos largos, se establece adicionalmente un límite a la rigidez efectiva requerida, Kemáx, según la ecuación (3.25): Kemáx = 4 (Sdel/∆d) π² Me /Te²

(3.25)

En donde Sdel es el desplazamiento espectral máximo para el nivel elástico de amortiguamiento. Esto equivale a corregir el cortante basal de diseño en la proporción (desplazamiento espectral elástico máximo/desplazamiento de diseño), o (Sdel/∆d). Es una manera simplificada de considerar en los diseños la meseta del espectro de desplazamientos, mientras se investiga más el tema. Equivale también a limitar el valor del cortante de diseño máximo al indicado por la ecuación (3.26), similar a la ecuación básica (3.16), pero usando Sdel en lugar de ∆d (ver Sección 3.3.1): VBASE máximo = Ke Sdel

(3.26)

No existirían restricciones para alcanzar la rigidez necesaria de la estructura, Ke, porque teóricamente y según la ecuación (3.14), Ke=Vd/Sd, puede alcanzarse cualquier rigidez modificando las fuerzas de diseño, Vd, sin cambiar la geometría de la estructura. Pero en algunos casos las resistencias requeridas podrían llevar a cuantías de refuerzo demasiado elevadas y hasta imposibles de construir y entonces habría que replantear la estructura con elementos de mayores dimensiones.


3-27

3.3.4. Altura efectiva y Masa efectiva del SDOF equivalente Si se define el perfil de desplazamientos de un sistema estructural de varios grados de libertad (MDOF), pueden encontrarse las propiedades de un oscilador de un solo grado de libertad o SDOF equivalente, con ayuda de la dinámica estructural clásica. La altura efectiva del SDOF equivalente está dada por la ecuación (3.27): He = Σ (mi.∆i.Hi)/Σ(mi.∆i)

(3.27)

En donde: ∆i = desplazamiento lateral de diseño del Nivel i del edificio Hi = altura del Nivel i sobre la base mi = masa del Nivel i He es también la altura de la resultante de las fuerzas de inercia correspondientes al primer modo de vibración. En la Sección 3.3.6 se indica cómo obtener los valores de ∆i para diferentes sistemas estructurales. Generalmente resulta He ≈ 0.7 Hn. La masa efectiva del SDOF equivalente corresponde al primer modo de vibración y puede calcularse con las ecuaciones (3.28) o (3.28a): Me = [Σ (mi.∆i)]²/∑(mi.∆i²)

(3.28)

Me = Σ (mi.∆i)/∆d

(3.28a)

En donde ∆d = Σ (mi.∆i²)/(Σmi.∆i) es el desplazamiento de diseño. Generalmente resulta Me ≈ 0.7 Σ mi = 0.7*(Masa total). Obsérvese que si cambian todas las masas mi en la misma proporción, no varían He, Δy, Δd, μ, ξe, Rξ ni Te (en métodos FBD cambiaría el periodo T).

3.3.5. Desplazamiento de fluencia del SDOF equivalente al sistema completo Los desplazamientos de fluencia de los diferentes elementos de la estructura (muros, pórticos), necesarios para aplicar el método DDBD, pueden deducirse con ayuda de las ecuaciones (3.3) y (3.10). En este documento se supone por simplicidad un comportamiento elasto-plástico perfecto de la estructura; la rigidez de cada elemento “i” se supone constante después de pasar su deformación de fluencia, “∆yi”. El tema es complejo, porque generalmente se presenta alguna rigidez posterior a la fluencia, “r Ky” en la figura 3.15, pero también existen efectos P-∆ que disminuyen la rigidez efectiva. En la figura 3.20 se muestran los aportes de diferentes elementos a la rigidez de un edificio. Cada elemento “i”, diseñado para una resistencia Fi, tiene una deformación de fluencia ∆yi y una rigidez en estado elástico Kyi, que puede expresarse como la pendiente de su zona inclinada de la gráfica, o como Kyi = Fi/∆yi. La rigidez del sistema completo, Kye, es la suma de las rigideces de sus componentes y corresponde a la pendiente de la zona inclinada inicial del sistema en la figura 3.20: Kye = Kys = ΣKyi = Σ(Fi/∆yi)


3-28

Figura 3.20 – Desplazamiento de fluencia para un grupo de elementos (muros, pórticos) El desplazamiento de fluencia del SDOF equivalente, ∆ye =∆ys, puede obtenerse con la ecuación (3.29): ∆ys = ΣFi / Σ(Fi/∆yi)

(3.29)

En Priestley et al. (2007) se usa generalmente una expresión (3.29a), diferente a la ecuación (3.29): ∆ys = Σ(Fi.∆yi)/ΣFi

(3.29a)

En donde Fi puede ser el cortante de diseño de cada muro, asociado a su desplazamiento de fluencia ∆yi; o bien la resistencia a momento flector en un nudo de una viga, asociada a su rotación de fluencia, θyi. Esto sería equivalente a igualar la energía de deformación elástica del sistema a la suma de las energías elásticas de deformación de sus componentes; pero estos componentes no tienen un mismo desplazamiento elástico máximo. Por ello parecería más correcta la ecuación (3.29). Desde la etapa preliminar del diseño puede escogerse la resistencia porcentual, Fi, que se asignará a cada elemento. ∆yi es el desplazamiento de fluencia según las ecuaciones (3.3) y (3.10). De esa manera, puede determinarse el valor de ∆ys desde el comienzo. Por simplicidad puede suponerse ΣFi=100 y la sumatoria de (Fi/∆yi) debe incluir todos los muros y pórticos del edificio. En el caso de los muros: Para el caso de los muros puede tomarse en la ecuación (3.29)Fi = Vi = Resistencia a cortante de cada muro. -

Con base en la ecuación (3.3a), puede deducirse: ∆yi ≈ 2 εY He²/(3 Lwi) Kyi = Vi/∆yi = 3 Vi.Lwi/(2 εY.He²) ∆ye = ΣVi/ΣKyi = 2 εY He² VBASE/3.Σ( Vi.Lwi)

3

Priestley et al. (2007), Sección 6.4.5, proponen una ecuación similar: ∆Y,SYS = 2 εy Σ[Vi/(VBASE.Lwi)] (6.34b). Parece existir algún error de imprenta, porque las unidades no son consistentes.

(3.30a) 3 (3.30)


3-29

Comparando con la ecuación (3.3a) puede encontrarse una Longitud característica o equivalente de un grupo de muros, Lwe, cuando sus longitudes son constantes en altura: Lwe = Σ(Vi.Lwi)/Σ Vi (3.31) Puede observarse que este valor es independiente de He y se puede calcular desde el comienzo, aunque no se conozca el valor de la altura del SDOF equivalente. Como detalle curioso puede anotarse que, según la ecuación (3.30a), si se distribuyen los cortantes de diseño “Vi” de los muros en proporción a Lw² (propuesta de Paulay), la rigidez inicial o de fluencia de un muro, Vi/Δyi, resulta 3 proporcional a Lw . Pero la rigidez inelástica, Vi/Δd, sería proporcional a Lwi².

En el caso de los pórticos (ver figura 3.21): -

Fi de la ecuación (3.29) puede ser en este caso el aporte de una viga al resistir parte del momento de vuelco del edificio; ver Sección 3.3.9.2 y figura 3.29. Según se observa en el detalle 1 de la figura 3.29, el aporte a la resistencia al vuelco de la viga del nivel i, luz # j, que soporta un cortante Vij, vale Mvij= (Mvi + Mvd) = Vij Lbj. La luz de esta viga es Lbj y el espesor hbij.

-

Los valores de Vij no se conocen inicialmente, pero pueden basarse en alguna estrategia de diseño escogida desde el comienzo o en algún análisis FBD preliminar, basado en un cortante total VBASE=100 y en rigideces apropiadas (ver Sección 3.3.9.1); lo único que importa es mantener un valor consistente de VBASE en las evaluaciones explicadas a continuación. En la Sección 5.6.2 se presenta un ejemplo con varias alternativas, que aclara este punto. La distribución Vij entre las diferentes vigas debe garantizar las condiciones de equilibrio del pórtico ante las fuerzas sísmicas; ver Sección 3.3.9.2. Pero esa distribución puede elegirse con bastante libertad, sin que se afecten sus demandas de ductilidad, tal como se vio en la Sección 3.2.3.

Figura 3.21 – Relación (Lb/hb)eq, característica para un pórtico -

Con base en las ecuaciones (3.2) y (3.10), y en la figura 3.29 se obtiene: θY = 0.5 Y (Lb/hb) Fi = Mvij = Vij Lbj


3-30

∆yij = θy He = 0.5 Y He (Lbj/hbij) Kyij = Mvij/∆yij = (VijLbj)hbij/(0.5 Y He Lbj) ∆ye = ΣMvij/ΣKyij = 0.5Y He Σ(Vij.Lbj)/Σ (Vij.hbij) -

Comparando con la ecuación (3.10), puede encontrarse una relación (Lb/hb) característica o 4 equivalente de un grupo de vigas, (Lb/hb)eq: (Lb/hb)eq = Σ(Vij.Lbj)/Σ(Vij.hbij)

(3.32)

La ecuación anterior también puede expresarse como: (Lb/hb)eq = Σ(Mvij)/Σ(Mvij.hbij/Lbj) -

(3.32a)

Si se calcula el desplazamiento ∆ye de un pórtico completo, con ayuda de las ecuaciones (3.10) y (3.32), el valor obtenido puede combinarse a su vez con los ∆y de otros pórticos completos o muros y así se podría obtener, con la misma ecuación (3.29) el desplazamiento de fluencia ∆ye = ∆ys de un sistema completo. El valor de (Lb/hb)eq se requiere únicamente para calcular Δye, que permite calcular la demanda de ductilidad μ = Δd/Δy, pero afecta para nada el perfil de desplazamientos de los pórticos, como se verá en la Sección 3.3.6.2

3.3.6. Determinación del desplazamiento de diseño En el Capítulo 1 se explicaron los conceptos del Diseño por Desempeño (PBSD) y las diferencias entre los estados límite para la estructura o para los elementos no estructurales. También se anotó que la Norma NSR-10 hace énfasis en el Estado Límite de Control de Daños, para el cual pueden llegar a presentarse daños estructurales reparables. Este documento se concentra principalmente en la aplicación del método DDBD a ese estado límite. Las normas de diseño limitan las derivas de piso o las distorsiones angulares, θc, que son las que más inciden sobre el comportamiento de los elementos no estructurales. La meta directa de los métodos DDBD es plantear estructuras con rigidez suficiente para poder cumplir los requisitos de desempeño. La deriva total de diseño o distorsión angular, θd, será la suma de la deriva elástica θy, y la plástica, θp: θd = θy + θp ≤ θc

(3.33)

En donde θc es la distorsión angular permitida por la Norma de diseño. El valor máximo de θd suele presentarse en el último nivel de los sistemas de muros y en los niveles inferiores de los sistemas de pórticos. Este concepto se explica en las figuras 3.22 y 3.23, para el caso de un muro en voladizo.

4

Priestley et al.2007, Sección 5.3.3, usan una expresión similar a la ecuación (3.32), equivalente a suponer: (θy)eq = Σ(Mvij θyij)/Σ(Mvij), o bien, (Lb/hb)eq = Σ(Mvij Lbij/hbij)/Σ(Mvij) Ver también ecuación (3.29a). Parecería más correcto, con base en la ecuación (3.29) usar: (θy)eq = ∑(Mvij)/∑(Mvij/θyij)


3-31

Figura 3.22 - Derivas elásticas y derivas inelásticas de un muro Además de la limitación de las normas a la deriva θc, existen limitaciones de las deformaciones unitarias que pueden soportar los materiales y en la Sección 3.2.1 se habló de las curvaturas máximas alcanzables de las secciones de concreto reforzado para diferentes estados límite. En los edificios de muros, aun para límites de deriva altos (2 a 2.5% de la altura de piso), generalmente rigen los requisitos de las normas, por encima de los requisitos de deformación unitaria de los materiales. Lo mismo ocurre en edificios de pórticos, excepto para vigas poco esbeltas (relaciones [Lb/hb] bajas). El método DDBD no usa como dato de entrada la distorsión angular θd, sino el desplazamiento de un SDOF equivalente a la estructura, ∆d, cuyo valor habrá que determinar a partir de θd, según se explicará en las secciones siguientes. El desplazamiento de diseño del sistema se obtiene de acuerdo con la ecuación (3.34): ∆d = Σ (mi.∆i²)/(Σmi.∆i)

(3.34)

Para evaluarlo se requiere conocer el perfil de desplazamientos ∆i del edificio, definido en las Secciones 3.3.6.1 para muros, 3.3.6.2 para pórticos y 3.3.6.3 para sistemas combinados. Las consideraciones siguientes se basan en los desplazamientos de los centros de masa de edificios regulares; cuando existen irregularidades torsionales aumentan los desplazamientos de algunos componentes de la estructura, especialmente los perimetrales, y pueden requerirse ajustes para cumplir los requisitos de derivas de piso (ver Sección 3.4, ecuaciones 3.74).

3.3.6.1. Edificios de muros - Perfil de desplazamientos del sistema 3.3.6.1.1 Cuando rigen los requisitos de la Norma de diseño En sistemas de muros sin irregularidades torsionales, suponiendo acción de diafragma rígido de los pisos, todos los muros presentan los mismos desplazamientos y las mismas distorsiones angulares del conjunto. El sistema se puede representar mediante un muro único de longitud equivalente Lwe, dada por la ecuación (3.31). La distorsión angular máxima, θd de la ecuación (3.33), se presenta en el último nivel. Suponiendo conservadoramente una variación lineal de la curvatura con la altura (equivalente al efecto de una carga concentrada en el extremo superior de un voladizo) y sección constante, puede encontrarse que la distorsión angular elástica máxima vale:

CAPÍTULO 3: MÉTODOS BASADOS EN DESPLAZAMIENTOS (DDB) θyn = φy Hn/2 ≈ εY Hn/Lwe

3-32 (3.35)

La distorsión angular plástica θp de la ecuación (3.33) está regida generalmente por el requisito de la Norma, θc. Con base en las ecuaciones (3.33) y (3.35) se obtiene en ese caso: θp = θpc = θc - εY Hn/Lwe (3.36) También el perfil de desplazamientos elásticos (o de fluencia), ∆yi, en el nivel i, puede expresarse conservadoramente con base en una variación lineal de la curvatura con la altura: 2

∆yi = εY Hi (1 – Hi/3 Hn)/Lwe

(3.37)

El perfil de desplazamientos inelásticos del sistema, ∆pi, en el nivel i, será: ∆pi = θpe.Hi

(3.38)

En donde θpe es la distorsión angular plástica del sistema; ver figura 3.22. Cuando rigen los desplazamientos de la Norma puede usarse la ecuación (3.36) con θpe = θpc. En la Sección 3.3.6.1.2 se verá que también pueden regir las deformaciones unitarias admisibles de los materiales y que en esos casos se deberá usar θpe = θpm de la ecuación (3.44). El desplazamiento total incluye la componente elástica y la componente plástica, ∆i = ∆yi + ∆pi; ver figura 5 3.22. Puede obtenerse a partir de las ecuaciones (3.37) y (3.38): ∆i = εy.Hi² (1 – Hi/3 Hn)/Lwe + θpe.Hi

(3.39)

Con base en la ecuación (3.39), el desplazamiento máximo del sistema, ∆ns, a la altura Hn, será: ∆ns = 2 εy.Hn²/(3 Lwe) + θpe.Hn

(3.40)

Si se supone acción de diafragma rígido de los pisos, cada muro individual “j”, de longitud Lwj, tendrá un desplazamiento elástico máximo ∆ynj y una distorsión plástica θpj, tales que su desplazamiento total, ∆nj, sea igual al del sistema, es decir: ∆nj = ∆ynj + θpj.Hn = ∆ns

(3.41)

Así se deduce la distorsión angular plástica de cada muro, cuando se cumplen los requisitos de la Norma: θpj = (∆ns - ∆ynj)/Hn

(3.42)

En donde ∆ns está dado por la ecuación (3.40), basada en θpc de ecuación (3.36); ∆ynj = 2 εy Hn²/3.Lwj. En muros muy esbeltos la ecuación (3.42) puede llevar a valores negativos de θpj; esos muros no alcanzarían a plastificarse para los desplazamientos de diseño. De la ecuación (3.42) se deduce también que el valor más

5

Parece que Priestley et al. (2007) determinan las características del sistema con base en las propiedades del muro más crítico, generalmente el más largo. Aquí se propone usar más bien una longitud característica del SDOF equivalente al sistema, Lwe, según la Sección 3.3.5, y analizar las deformaciones de cada muro con ayuda de las ecuaciones (3.42) o (3.43). Así se pueden evaluar más fácilmente la ductilidad y las necesidades de confinamiento de cada elemento de la estructura. Ver ejemplos al final de la Sección 3.3.6.1.1 y en el Capítulo 5.


3-33

exigente de la distorsión angular plástica se presentará en el muro más largo, al cual corresponde el menor valor de ∆ynj. La ecuación (3.42) puede expresarse igualmente como: θpj = θpc + 2 εy.Hn(1/Lwe – 1/Lwj)/3

(3.43)

Para aclarar un poco el significado físico de las ecuaciones (3.35) a (3.42), en la figura 3.23 se muestra un sistema simple, de una altura total Hn=36.0 m, compuesto por dos muros de longitudes 8.0 y 4.0 m respectivamente. Se supondrá εy = 0.002. -

Distorsión angular de diseño, θc = 0.025 El cortante total se asigna a los muros en proporción a Lw²: 80% al muro M1 y 20% al muro M2. Longitud característica del sistema, según la ecuación (3.31): Lwe = 7.20 m

-

Desplazamiento de fluencia de cada muro en el nivel superior, ∆ynj = 2 εY Hn²/3.Lwj: ∆yn1 = 0.216 m; ∆yn2 = 0.432 m

-

Desplazamiento de fluencia del sistema, según la ecuación (3.37), a una altura Hn=36 m: ∆yns = 0.240 m

-

Distorsión angular plástica máxima del sistema, según la ecuación (3.36): θps = θc - εY Hn/Lwe = 0.025 – 0.002*36.0/7.2 = 0.015 -

Desplazamiento plástico del sistema en el nivel superior: ∆pns = 0.015*36.0 = 0.540 m Desplazamiento total del sistema en el nivel superior: ∆ns = 0.24 + 0.54 = 0.780 m

Figura 3.23- Desplazamientos de un sistema y de sus componentes Si se supone acción de diafragma rígido de los pisos, como es usual, ambos muros tendrán el mismo desplazamiento máximo del sistema, pero éste se descompone de un modo diferente en cada caso; para el muro j: ∆nj = ∆ns = ∆ynj + ∆pj


3-34

∆pj = ∆ns - ∆ynj θpj = (∆ns - ∆ynj)/Hn, que es la misma ecuación (3.42) -

Muro M1: o ∆n1 = ∆ns = 0.78 = 0.216 + 0.564 o θp1 = 0.564/36.0 = 0.0157. O también θp1 = θc - εY Hn/Lw1 = 0.025 – 0.002*36.0/8.0 = 0.016

-

Muro M2: o ∆n2 = ∆ns = 0.78 = 0.432 + 0.348 o θp2 = 0.348/36.0 = 0.0097. Comparar con ecuación (3.43)

La diferencia entre θps y θp1, pequeña en este ejemplo, puede ser más significativa en otros casos; por ejemplo, cuando existe un muro largo y varios muros cortos, situación frecuente en los edificios populares de vivienda con estructura de muros: Sea un edificio de 36.0 m de altura, con un muro M1 de longitud 8.0 m y 6 muros M2 de longitud 4.0 m; εy=0.002 Distribución del cortante: 40% al muro M1 y 10.0% a cada muro M2 Distorsión angular de diseño θc = 0.025 Longitud característica del sistema: Lwe = 0.40*8.0 + 6*0.10*4.0 = 5.60 m ∆yn1 = 0.216 m; ∆yn2 = 0.432 m; ∆yns = 0.309 m; θps = 0.025 – 0.002*36.0/5.60 = 0.0121 ∆ns = 0.309 + 0.0121*36.0 = 0.746 m Muro M1: θp1 = (0.746 – 0.216)/36.0 = 0.0147 En este ejemplo el valor de θp1 es 1.21 veces mayor que θps del sistema. En la Tabla siguiente se pueden comparar, para una masa de 200 kN.seg²/m en cada nivel, los valores obtenidos según que se diseñe el sistema con base en la longitud del SDOF equivalente al sistema (Lwe=5.6 m) o con base en las propiedades del “muro crítico” (Lw = 8.0 m).Se supone además un espectro elástico básico Sd = 0.12 T, para ξ=5%. COMPARACIÓN DE DOS ALTERNATIVAS DE DISEÑO Lw del SDOF Lw del muro crítico Lw 5.60 m 8.00 m θpe 0.0121 0.0160 ∆ye 0.182 m 0.125 m ∆de 0.504 m 0.539 m He 25.86 m 25.54 m Me 1740 kN.s²/m 1790 kN.s²/m μ 2.78 4.33 ξeq 0.140 0.159 Rξ 0.661 0.626 Te 6.34 s 7.18 s Ke 1709 kN/m 1371 kN/m Ke.∆de 861 kN 739 kN En este ejemplo los valores del cortante basal, Vd =Ke ∆de, difieren en un 16.5%, según la hipótesis que se adopte. Cuando rigen las derivas de la Norma, el diseño con base en las solas propiedades del muro más rígido puede estar del lado inseguro.


3-35

Debe anotarse sin embargo, que en la última columna de la tabla anterior se usó el valor de ∆y del muro crítico como desplazamiento de fluencia del sistema. En algunos ejemplos de Priestley et al. (2007) se usa más bien la ecuación (3.29a) para evaluar ese desplazamiento, es decir: ∆ys = 0.4*∆y1 + 6*0.1*∆y2 = 0.4*0.125 + 0.6*0.249 = 0.199. Aunque este valor difiere en cerca del 9% con el valor de la ecuación (3.29), este enfoque sí lleva a valores muy similares del cortante basal de diseño en ambas evaluaciones. En el Capítulo 5 se presentan varios ejemplos numéricos adicionales.

3.3.6.1.2 Cuando rigen los requisitos de deformaciones unitarias de los materiales En la Sección 3.2.1 se anotó que existe una limitación de las deformaciones unitarias máximas permitidas de los materiales, según los detalles de refuerzo que se especifiquen; ver también figura 1.3. Esta limitación puede ser más crítica que el requisito de la Norma, especialmente en edificios bajos con muros largos, poco esbeltos; pudiera ocurrir que esos muros no estuvieran en condiciones de soportar la distorsión calculada según la ecuación (3.42) y en ese caso se requerirían algunos ajustes, según se verá a continuación. La distorsión angular plástica máxima, θpm, que puede soportar un muro, vale: θpm = (φm – φy) Lp ≈ (φm – 2 εy/Lw)Lp

(3.44)

En la Sección 3.2.1 se vio que el valor máximo alcanzable de la curvatura de una sección de concreto reforzado, φm, depende de las deformaciones unitarias admisibles de los materiales (εcm para el concreto y εsm para el acero). También depende de la longitud de la zona comprimida, “c”, para las condiciones críticas de diseño; ver figura 2.8, en donde se usa εCUC en lugar de εCM y φu en lugar de φm. Llamando d = (Lw – d’) = la altura útil de la sección, el valor de φm será el menor entre las ecuaciones (3.45a) y (3.45b): φmc = εcm/c (compresión del concreto) φms = εsm/(d-c) (tracción del acero)

(3.45a) (3.45b)

Según Priestley-Kowalski (1998), ver figura 1.3, el valor de φm admisible para un muro de longitud Lw, con esfuerzo axial 0 ≤ P/(Ag.f’c) ≤ 0.15 y cuantía 0.005 ≤ ρ ≤0.02, vale aproximadamente: -

En estado límite de servicio:

φS ≈ 0.0174/Lw

Esto corresponde a unas deformaciones unitarias εc=0.004 y εs=0.015. Para curvaturas menores no se requerirían detalles especiales de confinamiento en los bordes de los muros. -

En estado límite de control de daños:

φD ≈ 0.072/Lw

Este valor supone detalles de confinamiento cuidadosos (“DES”) de las rótulas plásticas, establecidos por las normas, y se basa en deformaciones unitarias hasta de εcm=0.018 y εsm=0.06. Para detalles de refuerzo correspondientes a disipación intermedia o moderada de energía, tipo DMO, puede usarse φ D ≈ 0.040/Lw. Para muros con aletas comprimidas se recomienda usar solamente el 90% de los valores φ S, φD anteriores (Priestley et al., 2007, Sección 7.4.2). La distorsión plástica admisible de cada muro para el estado límite de control de daños, θpm, puede obtenerse con la ecuación (3.44), usando φm = φD ≈ 0.072/Lw para detalles especiales de refuerzo (DES) o


3-36

φm = φD ≈ 0.040/Lw para detalles intermedios (DMO). En la Sección 9.1 se explica cómo pueden obtenerse las relaciones momento curvatura en el caso general. Si el valor de θpm del muro crítico (el más largo, de longitud Lwm), es menor que el obtenido con las ecuaciones (3.42) o (3.43), se deberá modificar el valor de θpe en las ecuaciones (3.38) y (3.39), como sigue: El desplazamiento del nivel superior para el muro crítico será: ∆ns = 2 εy.Hn²/(3 Lwm) + θpm.Hn Ese mismo deberá ser el desplazamiento del sistema según la ecuación (3.40), es decir: ∆ns = 2 εy.Hn²/(3 Lwe) + θpe.Hn = 2 εy Hn²/(3 Lwm) + θpm.Hn De aquí se deduce el valor de θpe que habría que usar en este caso para el perfil de desplazamientos del sistema, en la ecuación (3.39): θpe = θpm + 2 εy.Hn(1/Lwm – 1/Lwe)/3 En algunos casos Lwm ≈ Lwey.θpe ≈ θpm. Para fy=420 MPa, εy ≈ 0.002, si se igualan las ecuaciones (3.36) y (3.44) y si se supone φm≈ 0.072/Lw (para el límite de control de daños y detalles de refuerzo DES), se obtiene: (0.072 – 0.004)Lp/Lw ≈ θc – 0.002 Hn/Lw De aquí se deduce que (aproximadamente) para Lp < 15 (θc.Lw – 0.002 Hn) rige el desplazamiento plástico basado en deformaciones unitarias de los materiales, de la ecuación (3.44). Según se comentó en la Sección 3.2.2, no existe consenso sobre el valor de Lp; si se acepta la expresión simplificada de la ecuación (3.8b), Lp ≈ 0.035 Hn + 0.15 Lw, entonces puede deducirse, reemplazando este valor en la expresión del párrafo anterior, que el requisito de deformaciones unitarias máximas admisibles de los materiales rige sobre el criterio de la Norma cuando: 0.035 Hn + 0.15 Lw < 15 (θc.Lw – 0.002 Hn) Ar <230 (θc – 0.01) Con acero de fy=420 MPa, los requisitos de deformaciones unitarias admisibles de los materiales rigen entonces aproximadamente para las siguientes condiciones de Norma θc y relaciones de esbeltez de los muros, Ar: -

θc=0.025 θc=0.02 θc=0.014 θc=0.01

→ Ar<3.45 → Ar<2.30 →Ar<0.92 → Ar<0.00 (Nunca regiría la condición de deformaciones unitarias de los materiales)

De manera similar, con detalles de refuerzo para disipación intermedia o moderada de energía (DMO), suponiendo φm ≈ 0.040/Lw, el límite de Ar donde rigen las deformaciones unitarias de los materiales sería: Ar < 308 (θc -0.0054)


3-37

Lo anterior indica que, con detalles para disipación moderada de energía (DMO), podrían regir los límites de deformación unitaria de los materiales para muros más esbeltos que con detalles DES. Por ejemplo: θc = 0.025 θc = 0.02 θc = 0.014 θc = 0.01

→ Ar<6.03 →Ar<4.50 →Ar<2.65 → Ar<1.42

3.3.6.1.3 Perfil de desplazamientos para los muros El perfil de desplazamientos del SDOF equivalente al edificio está definido por la ecuación (3.39), repetida aquí: ∆i = εy.Hi² (1 – Hi/3 Hn)/Lwe + θpe.Hi En donde θpe es el menor valor según las ecuaciones (3.36) o (3.44). Con base en la ecuación (3.39) y con ayuda de las ecuaciones (3.27) y (3.28) se pueden calcular la altura efectiva He del SDOF equivalente y su masa efectiva, Me. El desplazamiento de diseño ∆d, para uso en el espectro de desplazamientos se obtiene con la ecuación (3.34). En sistemas con irregularidades torsionales pueden requerirse ajustes a los desplazamientos de diseño, según se verá en la Sección 3.4.

3.3.6.2. Edificios de pórticos La distorsión angular máxima se obtiene con la ecuación (3.33), reproducida aquí: θd = θy + θp ≤ θc En donde la distorsión angular de diseño θd, tiene una componente elástica θy y otra plástica θp; no debe exceder el valor θc establecido por la Norma que se use. En edificios de pórticos de concreto, según la ecuación (3.2), θy ≈ 0.5 εY Lb/hb. En pórticos de acero θy ≈ 0.65 εY Lb/hb. Desde el punto de vista de las deformaciones unitarias de los materiales, y llamando Lc, Lb las luces libre y entre centros de columnas, la deriva plástica máxima admisible de una viga está dada por la expresión (3.46); generalmente la viga crítica es aquella con la menor relación (Lc/hb): θp =(φm - φy) Lp (Lc/Lb)

(3.46)

En donde φm y φy son las curvaturas crítica y de fluencia, respectivamente; esta deriva podría en algún caso regir el diseño. También debe verificarse la capacidad de deformación de las rótulas plásticas de las columnas. Para este efecto, llamando h1 la altura del primer tramo, Pu su fuerza axial y t el espesor de la columna en su plano, pueden usarse los siguientes criterios: -

φy ≈ 2.1 εy/t (similar a la ecuación 3.1b) φDC ≈ 0.068 (1 – Pu/Ag.f’c)/t para detalles DES, (similar al usado en la Sección 3.3.6.1.2). Ver Kowalslki, 2002. Obsérvese la importancia de la relación Pu/Ag.f’c al determinar la capacidad de deformación de una columna. Debieran evitarse los valores altos de esa relación.


3-38

φDC ≈ 0.038 (1 – Pu/Ag.f’c)/t para detalles DMO. φS ≈ (0.015 – 0.020 Pu/Ag.f’c)/t1, sin detalles especiales de confinamiento θY = Δy/h1 ≈ (φy.h1²/3)/h1 = φy.h1/3 θP = (φDC – φy).Lp, similar al caso de los muros, ecuación (3.44) θDC = θY + θP = (φDC – φy).Lp + φy.h1/3 (3.47) Lp = (0.08 Lc + 0.022 fy db) ≥ 0.044 fy db; Lc = distancia entre el punto de inflexión y la sección crítica.

Si θDC < θc, la distorsión angular de diseño no estaría controlada por Norma, sino por la capacidad de deformación unitaria de los materiales de la columna. En ese caso el perfil de desplazamientos se determinará con base en θd = θDC; otras opciones, si se quiere conservar θd = θc serían: Aumentar la sección de las columnas que no cumplan θDC>θc Aumentar la resistencia del concreto, f’c Mejorar las condiciones de confinamiento, para lograr un mayor valor de θDC Debido a la interacción suelo-columna (ver seccción 4.7 y figura 4.15), posiblemente las condiciones en las bases de las columnas sean menos críticas que según la ecuación (3.47), pero la rótula plástica podría trasladarse a la parte superior del primer tramo. En la Sección 5.6 se presenta un ejemplo numérico.

Perfil de desplazamiento para los pórticos Pettinga-Priestley (2005) proponen el siguiente perfil normalizado de desplazamientos inelásticos δi, para un edificio de pórticos de n pisos (ver figura 3.24): Para n≤4: Para n>4:

δi = Hi/Hn δi = 4 (Hi/Hn).(1 – Hi/4 Hn)/3

(3.48a) (3.48b)

A partir de las ecuaciones (3.48) pueden deducirse las derivas de piso, θi: Para n≤4: Para n>4:

θi = θd θi = θd (1 – 0.5 Hi/Hn)

(3.49a) (3.49b)

Las ecuaciones (3.49) indican que la distorsión angular máxima se presenta en el primer piso del edificio y éste es el valor de diseño θd. Los desplazamientos de los diferentes niveles se pueden expresar también en función de la deriva de diseño θd, según las ecuaciones (3.50): Para n≤4: Para n>4:

∆i = θd.Hi ∆i = θd.Hi(1 – Hi/4 Hn)

(3.50a) (3.50b)

Una vez conocida la deriva de diseño, el desplazamiento del SDOF equivalente (estructura sustituta) se puede obtener mediante la ecuación (3.34). La ecuación (3.50b) es simple, de carácter general. Estrictamente debiera usarse, para n>4 pisos y con base en la ecuación (3.48b): ∆i = δi.(∆c/δc)


3-39

En donde ∆c es el desplazamiento del piso crítico para control de derivas y δc es el desplazamiento normalizado correspondiente. Por ejemplo, si el primer piso es el crítico y su altura es h1, se tendrá ∆c=θd.h1 y el perfil de desplazamientos estaría definido por la ecuación (3.50c): ∆i = θd.Hi.(1 – Hi/4 Hn)/(1 – h1/4 Hn)

(3.50c)

La ecuación (3.50b) es la misma ecuación (3.50c), cuando se supone que el término h1/(4 Hn) es poco significativo, como suele ocurrir en edificios de más de 10 pisos.

Figura 3.24 - Perfil normalizado de desplazamientos de los pórticos (Adaptado de Pettinga - Priestley, 2005) La estructura sustituta corresponde al primer modo de vibración. Priestley et al. (2007) proponen en su Capítulo 14, ecuación (6.3), un factor de corrección de los desplazamientos, ωθ, para tener en cuenta los efectos dinámicos de los modos superiores: ωθ = 1.15 – Hn/300 ≤ 1.0 (3.51) Para alturas menores de 45 m ese factor vale 1.0 y no afecta el perfil de desplazamientos. Cuando existen vigas con diferentes relaciones (Lb/hb), puede usarse la ecuación (3.32) para obtener una relación (Lb/hb) característica o equivalente, que permita determinar: - θye equivalente del conjunto de pórticos - El desplazamiento de fluencia del SDOF equivalente, ∆ye = θye.He - La demanda de ductilidad del sistema, μSIS = ∆d/∆ye Ver ejemplo numérico en la Sección 5.6.

3.3.6.3. Edificios combinados con muros y pórticos Perfil de desplazamientos: La distorsión angular o deriva de piso máxima se presenta en el punto de inflexión para las fuerzas sísmicas laterales, situado a una altura HCF. Priestley et al. (2007), Sección 7.2.4, proponen en este caso un perfil de desplazamientos basado en las ecuaciones (3.52a) ó (3.52b), según que rijan las deformaciones unitarias delos materiales, o la deriva de la Norma.


3-40

∆Di = ∆Yi + (φLS – φYW) Lp.Hi ∆Di = ∆Yi + (θc – φYW HCF /2) Hi

(3.52a) (3.52b)

En donde φLS es la curvatura en el estado límite de diseño y φ YW de la ecuación (3.52a) es la curvatura de fluencia en la base del muro crítico, que usualmente es el más largo, de longitud Lwm; Lp es la longitud de su rótula plástica. El valor de φYW puede obtenerse con la ecuación (3.1), usando Lwm en lugar de Lw. En la ecuación (3.52b) parece más apropiado usar la ecuación (3.1) para el cálculo de φ YW, pero con Lwe de la ecuación (3.32), en lugar de Lw. Ver resumen en la Sección 3.8.4. Las derivas de diseño deben corregirse, para tener en cuenta los efectos de los modos superiores, con un factor (Priestley): ωθ = {1 – (n-5).(MTVF/MTV + 0.25)}/100 En donde MTVF es la fracción del momento de vuelco resistida por los pórticos Una manera simple de diseñar estos sistemas (Paulay, 2002) es asignando al sistema de pórticos un cortante de diseño constante en toda la altura, de valor, β F *VBASE (ver figuras 3.25a y 3.25b); el resto del cortante sísmico lo absorben los muros, con lo cual es posible calcular el diagrama de momento flector Mi del conjunto de muros y encontrar la altura HCF del punto de inflexión (donde el momento Mi=0). Priestley et al. (2007), Sección 7.4.2, proponen en este caso un método simplificado para estimar el valor de la altura HCF del punto de inflexión: 1- Se supone inicialmente un cortante total, VBASE = 1.0 2- Se supone un vector de desplazamientos con variación lineal en altura. 3- Con base en lo anterior, las fuerza laterales del sistema varían en proporción a (mi.Hi), algo similar a lo usado en el método de la fuerza horizontal equivalente, métodos FBD. 4- Se obtienen las fuerzas laterales totales de cada piso, Fi = mi.Hi/Σ(mi.Hi) 5- Se obtienen los cortantes laterales totales de cada piso (Vi = ΣFi desde el nivel n hasta el nivel i) 6- Se asigna al sistema de pórticos un cortante de piso constante, de valor V F,i = βF *VBASE. 7- Se asigna al sistema de muros el cortante de piso restante, VW,i = Vi - βF VBASE 8- Se calculan los momentos flectores del sistema de muros, de arriba hacia abajo, empezando con M n=0 en el último nivel y calculando luego Mi = Mi+1 + Vi+1 (Hi+1 – Hi), en donde Hi es la altura del Nivel i. 9- El diagrama de momento flector que se obtiene en el paso anterior presentará un cambio de signo entre algún par de niveles del edificio y la altura del punto de inflexión se puede obtener por interpolación de los valores en los dos extremos del piso donde se presenta el cambio. Se puede obtener un valor aproximado de HCF para edificios regulares, suponiendo un vector de fuerzas laterales variable linealmente en altura y con base en simples consideraciones de equilibrio: HCF /Hn ≈ [√(9 – 12 βF) – 1]/2

(3.53)

De la expresión anterior se deduce que el cortante constante asignado a los pórticos, βF.VBASE, no debe ser mayor que 0.67 VBASE. Para un ejemplo de la Sección 7.4.2 de Priestley et al. (2007), β F=0.4, el resultado obtenido con los pasos enumerados atrás fue HCF = 0.561 Hn; con la expresión simplificada se obtiene HCF = 0.525 Hn, ó 94% del valor del libro. En el mismo ejemplo, en la Sección 7.4.3 del libro se obtiene para β F=0.5 un valor de HCF= 0.379 Hn; con la expresión simplificada resulta HCF = 0.366 Hn, ó 97% del valor del libro. Las diferencias son poco significativas, teniendo en cuenta que en ambos casos se trata de evaluaciones aproximadas.


3-41

Figura 3.25a - Distribución de los cortantes sísmicos en un sistema combinado - (Paulay, 2002) El valor de HCF es muy importante, porque corresponde al punto de máxima distorsión angular y sirve para determinar el perfil de desplazamientos, cuando rige la ecuación (3.52b). También permite evaluar el perfil de desplazamientos de fluencia, según se verá, ecuaciones (3.54) y (3.55), propuestas por Priestley et al 2007.

Figura 3.25b - Desplazamientos y momentos flectores de los sistemas combinados

Perfil de desplazamientos de fluencia: Para Hi ≤ HCF: Para Hi > HCF:

3

∆Yi = φYW (Hi²/2 – Hi /6.HCF ) ∆Yi = φYW (HCF Hi/2 – HCF²/6)

(3.54) (3.55)

La curvatura de fluencia φYW se puede calcular con la ecuación (3.1), Sección 3.1, repetida a continuación: φYW = 2 εy/Lw Para Lw puede usarse la longitud equivalente de la ecuación (3.31).


3-42

El desplazamiento de fluencia del SDOF equivalente de los edificios combinados puede hallarse sustituyendo Hi=He en la ecuación (3.54), cuando He HCF. El desplazamiento de diseño para la estructura sustituta se obtiene con la ecuación (3.34). Con base en la ecuación (3.21), el amortiguamiento viscoso equivalente del sistema, ξSIS, puede expresarse a partir de los amortiguamientos de los pórticos (ξF) y de los muros (ξW), como: ξSIS ≈ βF.ξF + (1-βF).ξW (3.56)

3.3.6.4.

Edificios de muros estructurales con vigas de acople

Los muros acoplados son muchas veces una solución eficiente para atender las acciones sísmicas. Es un caso similar al de los edificios combinados con muros y pórticos. En la figura 3.26 se muestra un par de muros acoplados, de luz Lb entre centros, al cual se le asignó alguna porción del cortante total, VBM; el equilibrio al vuelco es similar al de los pórticos (ver figura 3.29), es decir, parte se logra con los momentos flectores en la base de los muros, ΣMW y el resto lo aporta el par de reacciones axiales de los muros, (ΣVb)*Lb. El momento total de vuelco será así: MTV = VBM*He = ΣMW + (ΣVb) Lb Según Paulay, el diseñador puede escoger con alguna libertad la fracción del MTV aportado por las vigas, βCB=(ΣVb)*Lb/MTV, pero buscando cuantías razonables de refuerzo para los muros; además (ΣVb) debería ser menor que la fuerza axial de cada muro debido a carga vertical, para que no se presenten fuerzas de levantamiento sobre la cimentación. Normalmente se usa 0.25<βCB<0.75. El concepto de βCB es similar al de βF de los sistemas combinados, cuando se diseñan los pórticos para resistir una fuerza cortante única en su extremo superior; ver Sección 3.3.6.3. En esos casos se tiene (ΣVb)Lb=(βF*VBM)*Hn y puede deducirse que (βF*VBM)Hn =(VBM*He)βCB, o bien βF = βCB*(He/Hn)≈2 βCB/3. Para la respuesta de diseño el perfil de desplazamientos resulta aproximadamente lineal y en edificios regulares la altura equivalente será entonces, según la ecuación (3.27), He ≈ (Σi²)/(Σi)/n En la expresión anterior, i es el número del piso y las sumatorias se extienden a todos los n pisos. Para edificios de más de 10 pisos de altura se obtendrá He ≈ 0.67 Hn. Según Paulay (2002), la distribución de los cortantes de las vigas en altura puede escogerla el diseñador y una opción racional sería diseñar todas las vigas para una misma resistencia, Vb. En ese caso, Vb = (βCB*VBM*He)/(n*Lb) Vb = 0.67 βCB*VBM*Hn/(n*Lb) Si la luz libre de las vigas es L’b, para momentos flectores iguales en ambos extremos, la resistencia a flexión de cada una de ellas sería Mb = 0.5*Vb*L’b. En los edificios de muros acoplados, igual que en los sistemas de muros solos, pueden regir las rotaciones angulares de la Norma de diseño o las deformaciones unitarias de los materiales del muro. Ver Sección 3.3.6.1.2. Pero, debido a las rotaciones grandes que pueden imponerle los muros a las vigas, también deben


3-43

verificarse las deformaciones unitarias de éstas. Para verificar las condiciones correspondientes al límite de deformación de la viga, Priestley et al (2007) proponen: -

Desplazamiento del muro correspondiente a la deriva crítica (a la altura H CF del punto de inflexión), similar a la ecuación (3.52b), a la altura He: ∆d = ∆ye + (θc - φYW HCF/2) He (3.57)

Figura 3.26 - Muros con vigas de acople En donde φYW = 2 εY/Lw, según la ecuación (3.1), y θc es el límite de derivas de la Norma. En sistemas regulares, el valor de HCF, puede obtenerse con la ecuación (3.53), pero reemplazando βF por 0.67 βCB. Los resultados son similares a los de la figura 6.32c de Priestley et al (2007). -

Capacidad de rotación de una viga con refuerzo convencional y buen confinamiento, según Priestley: Lp ≈ 2 Lsp, porque en vigas poco esbeltas rige el límite de penetración de esfuerzos en el nudo Distancia del centroide del refuerzo a tracción hasta el eje neutro ≈ 0.75 hb θB,LIM ≈ 0.6 εSU*(2 Lsp)/0.75 hb θB,LIM ≈ 1.6 εSU Lsp/hb (3.58) En donde Lsp ≈ 0.022 fy db; normalmente εSU ≈ 0.10

-

Rotación del muro a la altura HCF, correspondiente a la capacidad de la viga, θB,LIM: θW,B = θB,LIM /(1 + Lw/L’b)

(3.59)

-

Si θW,B < θc, rige la capacidad de deformación de la viga y el valor del desplazamiento de diseño deberá calcularse mediante la ecuación (3.57), usando θW,B en lugar de θc. El caso es frecuente en sistemas de muros acoplados.

-

Si las vigas se diseñan con refuerzo diagonal se pueden alcanzar deformaciones de fluencia bastante más altas, que probablemente no sean críticas para el diseño. Priestley et al (2007) proponen en ese caso: θB,LIM ≈ 0.8 εSU (0.5 L’b + LSP)/hb


3-44

Las demandas de ductilidad de los muros y las de las vigas pueden ser muy diferentes en los sistemas de muros acoplados. En estos casos es más apropiada la ecuación (3.21) para evaluar el amortiguamiento equivalente y se obtendría ξSIS = (1 – βCB) ξW + βCB.ξCB

Los muros acoplados pueden manejarse con los mismos criterios de los sistemas combinados, es decir, los perfiles de desplazamientos y ecuaciones (3.52) a (3.56), excepto que en la ecuación (3.53) deberá usarse 0.67 βCB, en lugar de βF.

3.3.7. Fuerza cortante basal de diseño y distribución entre los componentes de la estructura La fuerza cortante total de diseño se obtiene mediante la ecuación (3.16), reproducida a continuación: VBASE = Ke.∆d Si el desplazamiento de diseño es menor que el desplazamiento de fluencia de algunos elementos o del sistema en conjunto (ecuación 3.29), esos elementos no alcanzarían a desarrollar su resistencia y tampoco se alcanzaría el valor total de VBASE de la ecuación (3.16) ni el valor necesario de la rigidez, Ke = VBASE/∆d, de la ecuación (3.14). Para poder cumplir los requisitos de deformación angular en el estado límite de control de diseño habrá que aumentar en esos casos la resistencia de diseño de la ecuación (3.16). Este tema se trata con mayor detalle en la Sección 4.1 de este documento. Si el desplazamiento de fluencia del sistema es mayor que el desplazamiento de diseño ∆d, deberá usarse ∆y en lugar de ∆d en la ecuación (3.16). Ver Sección 4.1, “Caso c”. Como consecuencia de las propiedades anotadas en la Sección 3.2, donde se vio que las ductilidades de desplazamiento de un muro o de un pórtico son relaciones puramente geométricas, independientes de sus resistencias, y en vista de que los desplazamientos de fluencia, ∆Y, dependen directamente de las curvaturas de las secciones y no de sus resistencias, entonces, si se define un desplazamiento máximo deseado para una estructura, ∆d, las demandas de ductilidad de un elemento, ∆d/∆Y, no cambian al modificar su resistencia, como supondrían los métodos FBD. Por ello, las fuerzas sísmicas pueden distribuirse con bastante libertad entre los diferentes componentes de la estructura (pórticos, muros) sin que se afecten esencialmente las condiciones de ductilidad de tales componentes. Hasta se podrían usar fuerzas para cada componente de la estructura (pórticos, muros) proporcionales a las obtenidas con un análisis elástico tradicional, solo que ahora ésa sería solamente una posibilidad entre muchas otras, que pueden ser más favorables o prácticas. 2

Para los muros, Paulay ha propuesto distribuir el cortante basal total de diseño en proporción a Lw , para lograr cuantías de refuerzo más homogéneas que las resultantes con métodos FBD; tal vez debiera distribuirse más bien en proporción a tw.Lw², donde tw es el espesor del muro, porque no sería lógico, por ejemplo, que a un muro de sección 0.2*4.0 m se le asignara la misma resistencia que a otro de sección 0.4*4.0 m, o que a otro muro de sección en cajón de 4.0*4.0 m, con segmentos de 0.30 m de espesor. También en los sistemas de pórticos puede distribuirse el cortante basal con alguna libertad. Por ejemplo, en el caso de varios pórticos paralelos iguales, podría asignarse a los pórticos extremos el 50% de la resistencia sísmica de los pórticos intermedios. Igualmente debe anotarse que, cuando se presentan irregularidades torsionales, pueden requerirse ajustes especiales de los cortantes asignados a los muros para reducir al mínimo la excentricidad del sistema; ver Sección 3.4 y ejemplo de la Sección 5.2.


3-45

3.3.8. Distribución del cortante sísmico en altura La fuerza sísmica basal total, VBASE, debe distribuirse en la altura en proporción a la masa “mi” y al desplazamiento de cada nivel “i”: Fi = VBASE (mi.∆i)/Σ(mi.∆i) (3.60) En donde Fi es la fuerza horizontal aplicada en el nivel i. Es algo similar a los métodos FBD, excepto que el perfil ∆i no corresponde a los desplazamientos de un modelo elástico del sistema sino a valores ajustados para comportamiento inelástico, según el sistema estructural que se utilice, de acuerdo con las ecuaciones (3.39), (3.50) o (3.52). El momento total de vuelco en la base del edificio es M BASE = Σ Fi.Hi. Con base en las ecuaciones (3.27) y (3.60) se deduce que: MBASE = VBASE*He (3.61)

3.3.9. Determinación de las fuerzas de diseño de los elementos El diseño de los muros como voladizos sometidos a las fuerzas que se les asigne según las Secciones 3.3.7 y 3.3.8 es de solución inmediata. Sólo se requieren ajustes al hacer el diseño por capacidad, para cubrir efectos de los modos superiores y evitar fallas por cortante. Ver Sección 3.5. Priestley et al. (2007), Secciones 5.6.1 y 5.8.2, recomiendan no combinar las cargas verticales con los efectos de sismo para el diseño a flexión de las vigas de los pórticos. Recomiendan diseñar para el mayor momento flector que resulte de las cargas verticales mayoradas o de los efectos de sismo solo; se basan en la alta capacidad de redistribución de momentos que puede alcanzarse con rótulas plásticas bien confinadas. Sin embargo, para el diseño de fuerza cortante en las vigas, sí deben superponerse las fuerzas producidas por carga vertical sola con las fuerzas cortantes hiperestáticas resultantes de la plastificación simultánea de ambos extremos de la viga, tal como se vio en la Sección 2.3.1 y en la figura 2.3. Ver ejemplos en la figura 3.27: a la izquierda un caso en donde rige el sismo solo; a la derecha rige carga vertical.

3.3.9.1. Análisis de pórticos basado en modelos elásticos con rigideces ajustadas Para el diseño de los pórticos y de los sistemas combinados, Priestley recomienda elaborar modelos planos simples, como el de la figura 3.26, analizados con programas convencionales de computador, en que las vigas se modelen con su rigidez de sección fisurada, I cr, dividida por la demanda de ductilidad de desplazamiento esperada para cada viga, µb: Ib = Icr/µb (3.62) Las fuerzas internas indicadas por estos análisis no parecen ser muy sensibles a los valores de rigidez supuestos, sobre todo en pórticos con relaciones (Lb/hb) aproximadamente iguales, y entonces pudiera usarse la ductilidad de desplazamiento del sistema µ SIS, en lugar de la ductilidad de cada viga. Pero según la ecuación (3.49b) las demandas de ductilidad de las vigas (θi/θy) disminuyen en altura; una solución mejor sería suponer ductilidades de las vigas proporcionales a las demandas de ductilidad de desplazamiento de cada piso; simplificadamente podrían usarse, en pórticos con vigas de igual espesor en todos los pisos, µb variables entre 1.33 µ∆S en el primer piso y 0.67 µ∆S en el último piso (donde µ∆S es la demanda de ductilidad del sistema). Ver Priestley et al. (2007), Sección 5.5.1.


3-46

Figura 3.27 – Envolventes de momento flector para diseño de las vigas Para las columnas Priestley et al. (2007) proponen usar rigideces fisuradas, pero sin reducción por ductilidad, ya que ellas no deben comportarse inelásticamente, si se diseñan por capacidad. En las bases de las columnas sí pueden presentarse rótulas plásticas; Priestley propone suponer en el primer tramo de las columnas momentos flectores basados en un punto de inflexión situado a un nivel del 60% de la altura del primer piso. Así se busca que las secciones críticas se presenten en las bases de las columnas y no en la parte superior del primer tramo. En las bases de los muros se aplican los momentos flectores de diseño resultantes de las fuerzas que se les hayan asignado (ver figura 3.28a).

Figura 3.28a - Modelo esquemático y rigideces para el análisis de fuerzas internas - Priestley, 2003


3-47

Este modelo se puede volver algo complejo, porque las propiedades de una sección fisurada dependen de su refuerzo, que no se conoce en esta etapa del diseño. Por otra parte, los desplazamientos que se obtengan no tienen ya mucho significado; lo más importante es saber que las resistencias pueden distribuirse con bastante libertad entre los elementos de la estructura y que lo fundamental es llegar a cumplir las condiciones de equilibrio para la fuerza basal requerida. Otra opción sería modelar los sistemas de pórticos planos combinados con muros mediante el siguiente esquema (ver figura 3.28b): 1- Usar para las vigas 35% de las rigideces de sección homogénea, divididas por la ductilidad de cada viga: IB = 0.35 IG/ µb. Debieran usarse valores de µb variables en altura, según se comentó. En la práctica, para efectos de diseño, las vigas suelen agruparse por pisos y podría usarse µb = 1.33 µ∆S desde la base hasta el 50% de la altura del edificio, µb = 1.0 µ∆S para el 25% siguiente de la altura y µb = 0.67 µ∆S para los pisos superiores restantes. 2- Usar para las columnas y muros 50% de las rigideces de sección homogénea, sin reducción por ductilidad: IC, IM = 0.5 IG 3- Suponer apoyos articulados en las columnas, a una altura del 60% de la altura del primer piso. Una opción sería suponer bases empotradas y articulaciones al 60% de la altura del primer piso. 4- Aplicar en las base de los muros los momentos flectores de diseño correspondientes a las fuerzas laterales que se les hayan asignado. 5- Para el diseño de las bases de las columnas se usarían los momentos flectores resultantes de su fuerza cortante multiplicados por el 60% de la altura del primer piso.

Figura 3.28b - Modelo esquemático alterno y rigideces para el análisis de fuerzas internas

3.3.9.2 Análisis de pórticos basado en condiciones de equilibrio Priestley propone una alternativa para el análisis de los pórticos, basada en condiciones de equilibrio entre las fuerzas internas y externas; se asignan a las vigas fuerzas cortantes escogidas con bastante libertad, pero garantizando condiciones de equilibrio ante las fuerzas sísmicas laterales. Lo más importante es poder establecer unas fuerzas de diseño de las vigas. Las fuerzas internas de las columnas pueden obtenerse a partir de las fuerzas de las vigas, por condiciones de equilibrio de los nudos; sin embargo, los valores obtenidos pierden cierta relevancia cuando se realiza el diseño por capacidad. El método se explicará con base en un edificio de cuatro niveles y dos tramos o luces de vigas; ver figura 3.29. En la Sección 5.6 se presenta un ejemplo numérico para aclarar más estos conceptos.


3-48

Según la ecuación (3.61), el momento total de vuelco, MTV, producido por el cortante basal, VBASE, tiene un valor MTV = VBASE*He. Este momento tiene que ser equilibrado por las reacciones verticales de las columnas y por los momentos flectores en la base de esas mismas columnas. Ver figura 3.29, donde se observa que la reacción vertical de cada columna se produce por la acumulación de las fuerzas cortantes de las vigas adyacentes. En lugar de sumar las fuerzas acumuladas “ΣVbj” de vigas adyacentes para obtener las reacciones de las columnas, dichas reacciones pueden conservarse fraccionadas, de modo que cada viga de longitud L bj, produce un momento que equilibra el vuelco; la luz # j aportará así un valor de (ΣVbj)*Lbj, en donde ΣVbj es el cortante de la luz # j, acumulado de todos los pisos. Con base en la anotación anterior, el momento total de vuelco tendrá un valor que puede expresarse de varias formas: MTV = VBASE*He

(3.63)

MTV = Σ(Vbij*Lbj) + ΣMc

(3.64)

Figura 3.29 – Análisis de pórticos basado en condiciones de equilibrio En donde ΣMc es la suma de momentos flectores en las bases de las columnas y Σ(Vbij*Lbj) se extiende a todas las luces y niveles del pórtico. Con base en las dos ecuaciones anteriores, la condición de equilibrio global puede plantearse también como: Σ(Vij.Lbj) = VBASE*He - ΣMc (3.65) Si se supone que todas las columnas presentan un punto de inflexión situado al 60% de la altura del primer piso, la ecuación (3.65) se convierte en: Σ (Vbij*Lbj) = VBASE*(He – 0.6 h1) Existen muchas alternativas para el diseño de las vigas. Por ejemplo, podría suponerse que los cortantes de todas las vigas de un mismo nivel son inversamente proporcionales a sus luces. Si se suponen puntos de inflexión en los centros de dichas luces, se tendrán momentos flectores uniformes en todos los empates viga-columna del mismo nivel y diseños racionales y económicos.


3-49

Parecería atractivo extender la simplificación anterior a todos los niveles de un mismo pórtico. En el caso de la figura 3.29, donde existen en total ocho segmentos de viga, el momento flector de diseño en el extremo de cada una de ellas valdría VBASE*(He– 0.6 h1)/16. Pero el resultado no es correcto; aunque de ese modo se podrían garantizar las condiciones de equilibrio en la base del edificio, las demandas de ductilidad serían muy variables en altura y los cortantes horizontales totales de cada piso no atenderían las condiciones de equilibrio, como se verá enseguida: -

En el Detalle D2 de la figura 3.29 se han supuesto puntos de inflexión de las columnas a mitad de la altura de piso. Si se llama Vi+1 al cortante sísmico horizontal encima del nivel i, de altura h i+1 y Vial cortante sísmico horizontal debajo del nivel i, de altura hi, la suma de momentos flectores de las columnas en los nudos del nivel i, ∑Mci, debe ser: ∑Mci = (Vi+1*hi+1 + Vi*hi)/2

-

El equilibrio de los nudos del nivel “i” exige que la suma de los momentos flectores de las vigas tenga ese mismo valor: ∑Mvi = ∑Mci = (Vi+1*hi+1 + Vi*hi)/2 ∑(Vij*Lbj) = (Vi+1*hi+1 + Vi*hi)/2

-

(3.66)

La elección de momentos flectores iguales en todas las vigas de un pórtico equivaldría entonces a diseñarlo para una fuerza sísmica horizontal única aplicada en el último nivel, a la altura Hn; ver ejemplo de la Sección 5.6. Pero la distribución de fuerzas sísmicas no cumpliría así las condiciones de la ecuación (3.66) y el cortante basal resistido, VBASE1, sería: VBASE1 ≈ VBASE*He/Hn ≈ 0.7 VBASE Con lo cual algunas columnas quedarían sub-diseñadas a cortante.

-

Sin embargo, según Paulay (2002), esta alternativa, cortante sísmico de los pórticos uniforme en altura, sí es aplicable a los sistemas combinados, donde los pórticos solamente soportan una fracción βF.VBASE del cortante basal total, pero la rigidez de los muros controla eficientemente la respuesta del sistema a desplazamientos. Ver Sección 3.3.6.3.

Una opción válida, sencilla, basada en el Detalle D2 de la figura 3.29 y en la ecuación (3.66) sería suponer: o Todas las columnas interiores resisten una misma fracción del cortante de piso. o Cada columna extrema resiste la mitad del cortante de una columna interior. Si existen nL luces o tramos de viga, las hipótesis anteriores llevan a los siguientes valores de diseño para el Nivel i: o

Columnas extremas, encima del Nivel i: Vc = 0.5 Vi+1/nL Mc = 0.25 (Vi+1*hi+1)/nL

o

Columnas extremas, debajo del Nivel i: Vc = 0.5 Vi/nL Mc = 0.25 (Vi*hi)/nL

o

Columnas interiores, encima del Nivel i: Vc = Vi+1/nL


3-50

Mc = 0.5 (Vi+1*hi+1)/nL o

Columnas interiores, debajo del Nivel i: Vc = Vi/nL Mc = 0.5 (Vi*hi)/nL

o

Todas las vigas del Nivel i: Mv = 0.25 (Vi+1*hi+1 + Vi*hi)/nL Vij = 0.5 (Vi+1*hi+1 + Vi*hi)/(Lbj.nL)

o

Para el nivel 1 debe tenerse en cuenta la altura supuesta del punto de inflexión de las columnas.

También pueden agruparse varios pisos, para efectos de diseño, tal como se hace en la práctica para simplificar un poco la construcción; en ese caso puede usarse un valor promedio de los cortantes sísmicos horizontales de los pisos agrupados. Ver ejemplo de la Sección 5.6 y figura 5.8.

3.4. MANEJO DE LA RESPUESTA TORSIONAL EN EL MÉTODO DDBD Bajo los efectos de un sismo las estructuras irregulares en planta se desplazan lateralmente y también pueden sufrir rotaciones en el plano de cada piso (torsión sísmica). Estas rotaciones aumentan los desplazamientos de algunos elementos de la estructura y con ello se pueden incrementar sus demandas de ductilidad; también el cumplimiento de los requisitos de derivas (Sección 3.3.6) debe ajustarse según los desplazamientos máximos locales que se presenten. Los efectos torsionales han sido una causa frecuente de daños estructurales durante los sismos. Generalmente son más significativos en los sistemas de muros estructurales. Las consideraciones siguientes sólo aplican a edificaciones cuyos centros de masa y de rigidez tengan una localización aproximadamente constante en altura. En cada piso de un edificio existen tres centros importantes desde el punto de vista de la torsión sísmica (ver figura 3.30): -

Un centro de masa, CM, que es el centro de gravedad de las cargas muertas del piso y se usará aquí como el origen de coordenadas en planta.

-

Un centro de rigidez elástica, CR, correspondiente al centroide de las rigideces de los diferentes elementos de la estructura (pórticos, columnas) en estado elástico; su excentricidad respecto al centro de masa puede expresarse como : eRX = Σ(Kyj.Xj)/ΣKyj (3.67a) eRY = Σ(Kxj.Yj)/ΣKxj (3.67b) Las rigideces Kyj, Kxj, de las ecuaciones (3.67a) y (3.67b) pueden calcularse para cada elemento “j” como Kj=Vj/∆yj, en donde Vj es la fuerza cortante asignada a ese elemento (muro, pórtico) en la dirección considerada y ∆yj es su desplazamiento de fluencia. Xj, Yj, son las distancias en dirección X, Y, de cada elemento, hasta el centro de masa CM. El centro de rigidez CR está más relacionado con el comportamiento de la estructura en régimen elástico. En los sistemas de muros, según la ecuación (3.3a), Sección 3.2.2, el desplazamiento de fluencia de cada muro de longitud Lwj es inversamente proporcional a su longitud, de modo que la rigidez Kj será: Kj = Vj/∆yj = C.Vj.Lwj Las ecuaciones (3.67a) y (3.67b) se pueden expresar entonces en los sistemas de muros como:

CAPÍTULO 3: MÉTODOS BASADOS EN DESPLAZAMIENTOS (DDB) eRX = Σ(Vj.Lwjx.Xj)/Σ(Vj.Lwjx) eRY = Σ(Vj.Lwjy.Yj)/Σ(Vj.Lwjy)

3-51 (3.68a) (3.68b)

La posición del centro de rigidez puede modificarse cambiando los valores de las fuerzas Vj asignadas a cada elemento. -

Un centro de resistencia sísmica a fuerza cortante, CV, correspondiente al centroide de las resistencias a fuerza cortante de los diferentes elementos (muros, pórticos); su excentricidad respecto al centro de masa puede expresarse como: eVX = Σ(Vyj.Xj)/ΣVyj eVY = Σ(Vxj.Yj)/ΣVxj

(3.69a) (3.69b)

Figura 3.30 – Centros de masa, de rigidez y de resistencia de un piso (Paulay, 1997; Priestley 2003) En donde Vxj, Vyj, son las resistencias a cortante sísmico en dirección X, Y, respectivamente, del elemento estructural j. La posición del centro de resistencia sísmica puede modificarse cambiando los valores de las fuerzas Vj asignadas a cada elemento. Cuando no coinciden los centros de masa y de resistencia, se produce sobre el piso un momento torsor, que origina rotación de los diferentes elementos de la estructura y desplazamientos adicionales a los del centro de masa. El cortante sísmico basal de diseño puede distribuirse tentativamente desde las etapas preliminares, en forma porcentual, entre los diferentes elementos del edificio. Así, desde esa etapa, y con base en las ecuaciones (3.67) a (3.69), se pueden estimar o modificar las excentricidades de rigidez y de resistencia. Generalmente los centros de rigidez y de resistencia no coinciden. Según se vio en la Sección 3.1, durante la respuesta sísmica inelástica de una estructura, la rigidez real de cada elemento es proporcional a su resistencia a cortante, “K = V/∆”. Los métodos FBD usan para la rigidez


3-52

valores geométricos, irreales, independientes de las resistencias; así, esos métodos no pueden predecir el comportamiento torsional real de un edificio. En el método DDBD pueden modificarse las rigideces de los diferentes elementos, cambiando sus resistencias; de esa manera puede ejercerse cierto control sobre la posición de los centros de rigidez, C R y de resistencia, CV, para reducir los problemas de torsión. En principio no existe ningún problema en distribuir las fuerzas cortantes sísmicas de manera liberal entre los diferentes componentes de la estructura, ya que su ductilidad de desplazamiento es independiente de su resistencia (ver Sección 3.2). En la Sección 5.2.1 se presenta un ejemplo numérico, donde se explica cómo distribuir las resistencias de los elementos para minimizar las excentricidades de rigidez y de resistencia. El mejor comportamiento sísmico de un edificio se logra cuando coinciden los centros de masa y de resistencia. A pesar de todo, aun en estos casos pueden presentarse algunos efectos torsionales porque la excentricidad de rigidez resultante puede ser diferente de cero (e R ≠ 0) y debido también a la inercia rotacional de las masas del piso. Muchas normas de diseño piden considerar una excentricidad accidental, además de las excentricidades calculadas eRX y eRY, para tener en cuenta incertidumbres en la distribución de la rigidez y de las masas. En realidad, la localización del centro de masa de un piso es uno de parámetros más confiables que pueden calcularse en un diseño sismo resistente; existen incertidumbres mucho mayores con otros parámetros sísmicos. Paulay (1997) señaló que el diseño para torsión accidental no era una solución efectiva para atender problemas de torsión en condiciones inelásticas de la respuesta sísmica, porque con ello lo único que se logra es aumentar la resistencia de todos los elementos, sin que se modifique esencialmente el centro de resistencia a cortante. Priestley et al. (2007) recomiendan no considerar torsión accidental en el método DDBD. Paulay introdujo el concepto de edificios restringidos o no a torsión. En el edificio de la figura 3.30a no coinciden los centros de masa y de resistencia y sólo existe un muro en la dirección X, alineado con el centro de masa. Si se presenta un sismo en dirección Y, aparece un momento torsor (VY.eVX) y el muro de la dirección X no ayuda a controlar el giro del piso; se dice que este tipo de edificio no está restringido a torsión. En estos casos se complica el comportamiento torsional y pueden presentarse demandas de ductilidad y desplazamientos mayores que los previstos, debido a la baja inercia rotacional del edificio. Esos problemas son mucho menores cuando se dispone de muros suficientes en dos direcciones ortogonales, alejados del centro de masa (edificios restringidos a torsión, figura 3.30b). El método DDBD permite estimar de manera confiable los desplazamientos de los centros de masa de un edificio. Pero también deben evaluarse los desplazamientos adicionales que produce la torsión. Los análisis de respuesta dinámica cronológica (THA o “Time-History Analyses”) indican que tanto las excentricidades de resistencia como las de rigidez afectan la respuesta. La rotación producida por un momento torsor sobre un piso de un edificio puede determinarse por extensión de la Ley de Hooke, origen de la Resistencia Clásica de Materiales. Robert Hooke estableció en 1676, cuando ni siquiera se habían publicado los Principia de Isaac Newton, que las fuerzas eran proporcionales a las deformaciones (“Ut tensio sic vis”). Es decir: “F=k.∆”, o “∆=F/k”, expresión conocida por todo ingeniero y que ahora nos parece evidente. Si se llama θN a la rotación producida por un momento torsor MT, la Ley de Hooke extendida indica que: θN = MT/J (3.70) En donde J es la constante de proporcionalidad, llamada en este caso rigidez rotacional, que es también equivalente al momento torsor necesario para producir una rotación unitaria. En la Resistencia Clásica de Materiales se establece el valor de J como:

CAPÍTULO 3: MÉTODOS BASADOS EN DESPLAZAMIENTOS (DDB) J = ΣKyj (Xj – eRX)² + Σ Kxj (Yj – eRY)²

3-53 (3.71)

Obsérvese que (Xj – eRX), (Yj – eRY), son las distancias de cada muro al centro de rigidez, en direcciones X, Y. En el método DDBD los términos Kxj, Kyj, eRX, eRY, corresponden a los valores de las rigideces elásticas y son los mismos usados en las ecuaciones (3.67a) y (3.67b), es decir, Kj = (Resistencia/Desplazamiento de fluencia) a la altura considerada, en la dirección analizada. La ecuación (3.71) corresponde a una rigidez rotacional elástica, para un comportamiento elástico de la estructura. Para respuesta en el rango inelástico, y suponiendo que todos los elementos de la dirección Y llegan al estado de fluencia, sus rigideces tienen que ser divididas por la ductilidad de desplazamiento del sistema, μSIS; las rigideces de la dirección transversal no se modifican, porque en esa dirección no deben presentarse demandas importantes de ductilidad. La rigidez rotacional dúctil o efectiva para sismo en la dirección Y será en este caso: Sismo Y: (JR,μ)Y= ΣKyj (Xj – eRX)²/μSIS + Σ Kxj (Yj – eRY)² (3.71a) Similarmente, la rigidez rotacional dúctil para sismo en la dirección X será: Sismo X: (JR,μ)X= ΣKxj (Yj – eRY)²/μSIS + Σ Kyj (Xj – eRX)²

(3.71b)

Los desplazamientos en diferentes localizaciones dentro de un piso tienen entonces una componente traslacional del centro de masa, que puede evaluarse con las ecuaciones (3.39), (3.50)y (3.52); además, una rotación nominal, θN, calculable con base en la ecuación (3.70) como: Sismo X: θNX = VBASE.eRY/(JR,μ)X (3.72a) Sismo Y: θNY = - VBASE.eRX/(JR,μ)Y (3.72b) En donde VBASE es la fuerza cortante basal de diseño y eR es la excentricidad elástica de rigidez en la dirección analizada (ecuaciones 3.67a y 3.67b), usada en las ecuaciones (3.71); JR,μ es la rigidez rotacional dúctil correspondiente a la dirección analizada. Obsérvense cuidadosamente los signos en las ecuaciones (3.72); ver figura 3.30b: para Sismo Y, si se supone θN positivo contra la dirección de las agujas del reloj, una excentricidad eRX positiva según las ecuaciones (3.68) produciría una rotación negativa. En cambio, para Sismo X, una excentricidad positiva produciría una rotación θN positiva. Lo anterior es importante para la formulación matemática de los análisis de torsión. Obsérvese también la importancia de disponer de un valor alto de la rigidez rotacional, para reducir la rotación del piso; para ese efecto son más eficientes los muros perimetrales. Debe anotarse una vez más que, aunque se ajusten las resistencias de los elementos del sistema para buscar eV=0, puede resultar eR≠0 y una rotación torsional según las ecuaciones (3.72). En las ecuaciones (3.71) tiene bastante importancia el segundo término de la ecuación, ya que no presenta reducción por ductilidad y ayuda de manera significativa a reducir el valor de los desplazamientos torsionales, originados por el giro θN, de la ecuación (3.72). De ahí la importancia de que los edificios sean restringidos a torsión (como en la figura 3.30b), preferiblemente con muros periféricos, que son los más eficientes. Paulay (1999) llegó hasta a proponer que se ignorara conservadoramente el primer término de las ecuaciones 3.71 (el que se divide por μSIS) y que se conservara únicamente el aporte de los elementos que permanecen elásticos. El desplazamiento total de un muro extremo de dirección Y (ver figura 3.30), se calcula con la ecuación (3.73a): ∆jy = ∆CMY + θN.(Xj - eVX) (3.73a) En donde ∆CMY es el desplazamiento del centro de masa del piso analizado en dirección Y. Obsérvese que aquí se usa la excentricidad de resistencia, eV, ecuaciones (3.69), en lugar de la excentricidad de rigidez eR; el término (Xj - eVX) es la distancia del muro “j” al centro de resistencia. Es un procedimiento similar al usado en los métodos FBD para evaluar la respuesta torsional elástica, excepto que en el método DDBD la rigidez


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rotacional no se basa en la rigidez geométrica, sino en la rigidez efectiva o real de los elementos y que los incrementos torsionales de los desplazamientos se basan en las distancias al centro de resistencia, C V. Similarmente, para un muro de dirección X se aplica la ecuación (3.73b): ∆jx = ∆CMX + θN.(Yj - eVY)

(3.73b)

Teóricamente, si no existe excentricidad de resistencia (eV=0), no se deberían presentar efectos torsionales; pero aún en estos casos, Beyer et al. (2008) encontraron que en los muros extremos se pueden producir desplazamientos hasta 10% mayores o menores que los del centro de masa, debido a excentricidad de rigidez. El desplazamiento de diseño de la estructura sustituta o SDOF equivalente en el centro de masa, ∆dx o ∆dy, usado para los diseños (ver Sección 3.3.6), deberá ser ajustado para tener en cuenta los efectos de torsión; con base en las ecuaciones (3.73), su valor corregido deberá ser: Dirección X: ∆dx = ∆CMX - θN. (YCRIT - eVY) (3.74a) Dirección Y: ∆dy =∆CMY - θN. (XCRIT - eVX) (3.74b) Algunas veces es suficientemente preciso corregir la distorsión angular inicial por un factor F.C. = Δ CM/Δmax, en donde Δmax es el mayor desplazamiento entre todos los muros. En donde XCRIT , YCRIT, son las coordenadas del muro más crítico para efectos de desplazamientos adicionales de torsión, medidas desde el centro de masa del piso. (XCRIT - eVX) y (YCRIT - eVY) son las distancias del muro crítico hasta el centro de resistencia. Si los efectos torsionales son significativos, el procedimiento para obtener los desplazamientos de diseño, ∆d de las ecuaciones (3.74), deberá ser iterativo, porque los desplazamientos torsionales dependen de J R, eR, eV, que a su vez dependen de la demanda de ductilidad del sistema, μ SIS, y de las resistencias asignadas a los diferentes elementos de la estructura. Puede ocurrir, sobre todo en edificios bajos o con muros poco esbeltos (“Ar” pequeño), que el desplazamiento de diseño esté controlado por las deformaciones unitarias alcanzables por el muro más rígido; ver Sección 3.3.6.1.2. Esta pudiera ser la condición, por ejemplo, en el caso de la figura 3.30b, para el Muro 1, situado a una distancia X1 del centro de masa; el desplazamiento del C.M., para sismo Y, sería en este caso mayor que el desplazamiento ∆1 de dicho muro: ∆CMY= ∆1 + θN(X1 - eVX) Pero por otra parte el Muro 2, el más flexible, situado a una distancia X 2 del C.M., tendría un desplazamiento ∆2>∆1, ya que el momento torsor es en dirección contra el sentido del reloj; el desplazamiento del centro de masa sería menor que ∆2: ∆CMY = ∆2 - θN.(X2 + eVX) Habría que analizar en estos casos, cuál será la condición más crítica para el desplazamiento de diseño del C.M. del SDOF equivalente. Cuando rige el muro más rígido, la evaluación de los efectos torsionales es algo elaborada; en la Sección 6.4.5 de Priestley et al. (2007) se propone un tratamiento más extenso de este tema. Sin embargo, los mismos autores proponen allí una evaluación simplificada, diseñando para un desplazamiento del centro de masa igual a 1.1 veces el desplazamiento del muro rígido, calculado con base en el perfil de desplazamientos de dicho muro a la altura efectiva. El caso no debe ser muy común; por ejemplo, en la Sección 3.3.6.1.2 se encontró que, para detalles de confinamiento especial (DES), los requisitos de deformaciones admisibles de los materiales solo rigen cuando θc=0.025 y Ar<3.4; o cuando θc=0.02 y Ar<2.3.


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Cuando el periodo efectivo calculado de la estructura, Te, excede el valor del periodo de inicio de la zona de desplazamiento espectral máximo constante, TL(ver Sección 3.3.3 y figura 3.17), el análisis de la respuesta ante los efectos inelásticos de torsión es más complejo; es un tema que aún se investiga y Priestley et al. (2007) recomiendan utilizar por ahora en este caso un espectro de desplazamientos en donde se ignore la zona de desplazamiento constante y más bien se extienda la zona lineal ascendente hasta el periodo efectivo; esto equivale a diseñar para un cortante basal mayor que el requerido teóricamente. Priestley et al. (2007) recomiendan, con base en análisis cronológicos inelásticos de Castillo (2004) y Beyer (2007), que ningún elemento de la estructura se diseñe para una resistencia menor que la correspondiente a alguna distribución del cortante total de diseño que lleve a la coincidencia de los centros de masa y de resistencia. Bajo estas condiciones, si se incrementa la resistencia de algún elemento por encima de esos valores recomendados, puede presentarse excentricidad de resistencia, pero los desplazamientos de los demás elementos no sufren ningún incremento; la resistencia traslacional y la rigidez del sistema serán en tal caso mayores que las buscadas inicialmente. Esto puede presentarse, por ejemplo, cuando existen muros con refuerzos nominales, mayores que los estrictamente requeridos. El tema de la respuesta torsional inelástica es muy complejo y aún se presentan incertidumbres teóricas en su evaluación: -

-

-

Los estudios sobre el tema todavía son escasos. El método DDBD permite estimar confiablemente los desplazamientos del centro de masa; pero generalmente la respuesta traslacional máxima y la respuesta torsional máxima no se presentan simultáneamente. Estrictamente no podrían superponerse sus efectos, pero ello estaría del lado seguro. Si los elementos de un costado del edificio llegan al estado inelástico, mientras que algunos permanecen elásticos en el costado opuesto, pueden aumentar la excentricidad de rigidez y la rotación de piso. Paulay (1999) proponía usar únicamente la rigidez rotacional elástica, el segundo término de las ecuaciones (3.71), para evaluar la rotación θN de la planta, ecuación (3.72). Pero según Priestley et al. (2007), basados en Castillo (2004) y Beyer (2007), la variación de la rigidez y la resistencia de los muros transversales (como los 3 y 4 de la figura 3.29) por factores hasta de 0.5 y 2.0, sólo tenía un efecto menor sobre los desplazamientos rotacionales; sin embargo, allí se trataba de un ejemplo particular con una planta angosta, en donde la rigidez rotacional aportada por dichos muros tal vez no era tan importante. Los resultados de Castillo (2004) indicaron que la inercia rotacional de la masa reduce las rotaciones del sistema. Este efecto no se tiene en cuenta hasta ahora al evaluar la torsión, pero es favorable. Las ecuaciones (3.71) usadas para calcular la rigidez total JR,µ, aplicada en la ecuación (3.72) al evaluar la rotación nominal de piso, θN, no son totalmente consistentes con algunos de los puntos anteriores. Sin embargo, ese manejo de la respuesta torsional en Priestley et al. (2007) es actualmente la opción simplificada más racional disponible. Ante la experiencia repetida de daños sísmicos en algunos edificios irregulares en planta, atribuidos a los efectos de torsión, la mejor solución estructural es evitar en lo posible dichas irregularidades (“la mejor manera de resolver un problema es evitar que se presente”); cuando sean inevitables por consideraciones del proyecto, se deberá tratar al menos de minimizar la excentricidad de los centros de resistencia y de rigidez respecto al centro de masa, controlar que la excentricidad de rigidez no exceda el 15% del ancho del piso y verificar los resultados de los diseños con análisis cronológicos inelásticos.

En la Sección 5.2.1 se explica numéricamente cómo puede reducirse a un valor pequeño la excentricidad torsional, ajustando la distribución del cortante sísmico entre los diferentes elementos de un edificio.


3-56

3.5. DISEÑO POR CAPACIDAD EN EL MÉTODO DDBD El diseño confiable de un edificio exige que se tenga control sobre sus mecanismos de falla y ello se logra mediante el “diseño por capacidad”, concepto que busca controlar la respuesta inelástica de una estructura, mediante la elección de un mecanismo de rótulas plásticas, detalladas para una capacidad alta de deformación antes de la falla (ductilidad y deformaciones inelásticas grandes); las demás zonas y elementos estructurales se diseñan con suficiente resistencia para que tengan respuesta elástica. Para lograr lo anterior, hay que identificar todas las fuentes de sobre-resistencia y los efectos dinámicos de los modos superiores de vibración, que pudieran alterar los mecanismos de falla previstos. También hay que especificar detalles adecuados para prevenir fallas de los anclajes y de los traslapos del refuerzo. En las estructuras de concreto se refuerzan las rótulas plásticas con detalles especiales y estribos de confinamiento, que aumentan la capacidad de deformación y también la resistencia básica del concreto; además, la mayoría de las Normas de diseño usan “factores de reducción de resistencia”, φ. A esto se pueden sumar otros factores, como la resistencia real de los materiales mayor que la teórica, la sobreresistencia del acero de refuerzo para deformaciones grandes, etc. Así resultan en las rótulas plásticas resistencias reales mayores que las de diseño. Habrá que aumentar entonces las fuerzas de diseño de los elementos estructurales que deban comportarse elásticamente, para evitar su falla prematura. En la Sección 2.2 se explicó el manejo de este tema en la Norma NSR-10. Los requisitos básicos del diseño por capacidad se pueden expresar como: o

φ.SD ≥ SR = Ω .ω.SE En donde SD es la resistencia nominal de diseño requerida para un elemento que se quiere proteger contra su plastificación; SR es la resistencia confiable para la acción considerada; SE es la fuerza resultante del o análisis DDBD básico; Ω es un factor de sobre-resistencia y ω es un factor de amplificación dinámica que tiene en cuenta los efectos de los modos superiores. φ es el factor de reducción de resistencia y debe usarse φ=1.0 al diseñar a flexión las rótulas plásticas, pero φ<1.0 para los demás diseños. El diseño tradicional se basa en resistencias características conservadoras de los materiales y además usa factores de reducción de resistencia, φ. Así tiene que ser con las cargas de gravedad, para lograr reservas razonables de resistencia y reducir la probabilidad de fallas catastróficas. Pero durante un sismo fuerte se cuenta con la posible aparición de rótulas plásticas; el uso de resistencias conservadoras para los materiales y de factores de reducción de resistencia no van a impedir los efectos sísmicos inelásticos. El DDBD se basa en la resistencia requerida para un desplazamiento sísmico máximo, con hipótesis de comportamiento de las estructuras más reales que las de los métodos FBD. Priestley et al. (2007) proponen diseñar las rótulas plásticas para los momentos flectores obtenidos a partir del método de la estructura sustituta, pero con base en valores más reales de las resistencias de los materiales, así:  No usar factores de reducción de resistencia: φ =1.0  Usar para la resistencia del concreto f’ce = 1.3 f’c  Usar para la resistencia del acero fye = 1.1 fy (El valor de εy que se use en los diseños debe ser consecuente con el valor adoptado para fye) Para evaluar la resistencia real máxima a flexión que podrían alcanzar las rótulas plásticas proponen:  No aplicar factores de reducción de resistencia  Usar para la resistencia del concreto  Usar para la resistencia del acero

φ = 1.0 f’co = 1.7 f’c fyo = 1.3 fy


3-57 o

La determinación “rigurosa” de los factores de sobre-resistencia, Ω , es una labor compleja, que puede llegar hasta la elaboración de curvas de respuesta Momento-Curvatura para las secciones analizadas, que tengan en cuenta el grado de confinamiento de las mismas. En muchos casos, cuando el diseño a flexión o tiene en cuenta el endurecimiento del acero por deformación, es más práctico suponer Ω = 1.25; si se o ignora el endurecimiento del acero puede usarse Ω = 1.6 (Priestley et al. Sección 4.5.2). En la Sección 9.1 se explica cómo pueden obtenerse las relaciones momento curvatura en el caso general. Tal vez no se justifica refinar demasiado este cálculo para las estructuras corrientes; para diseños según Normas como ACI-318 o NSR-10, que se basan en la resistencia nominal del acero, fy, y usan factores de reducción de resistencia, φ, pudiera usarse un factor de sobre-resistencia a flexión: o

Ω = 1.1*1.3/0.9 ≈ 1.6 En donde los factores usados son: o Resistencia real mayor que la teórica: o Endurecimiento del acero por deformación: o Factor de reducción de capacidad a flexión:

1.1 1.3 0.9

El valor propuesto supone que las cuantías de acero de refuerzo especificadas para construcción se ajustan a las necesidades teóricas. Si por algún motivo se usan cuantías mayores que las estrictamente requeridas, o ello deberá tenerse en cuenta como un factor adicional de sobre-resistencia. Ω no incluye el factor de amplificación dinámica por efectos de los modos superiores de vibración, que se verá en la Sección 3.5.2. Los elementos situados por fuera de las rótulas plásticas se deben diseñar para las fuerzas correspondientes a sobre-resistencia de dichas rótulas, con los factores de reducción de resistencia φ y las resistencias nominales de los materiales, según la Norma aplicable. También la cimentación debe diseñarse para soportar las fuerzas máximas transmitidas por la estructura, para garantizar la resistencia del sistema. Esto es particularmente crítico para los muros estructurales.

3.5.1. Efectos de los modos superiores según Priestley (2003) Los momentos y fuerzas cortantes que se obtienen con el método de la estructura sustituta, explicados en las secciones 3.1 a 3.3, incluyen únicamente los efectos del primer modo inelástico de vibración, que es el que más incide sobre las resistencias requeridas en los sitios de las rótulas plásticas previstas. La respuesta completa de la estructura incluye efectos de los modos superiores, que prácticamente no afectan los momentos flectores de las rótulas plásticas, pero sí los momentos y los cortantes en otros sitios de la estructura. También las derivas se incrementan por efecto de los modos superiores, especialmente en edificios de pórticos de más de 10 pisos; debido a esto se deben reducir las derivas de diseño (ver ecuación 3.51). Priestley (2003) propone tener en cuenta los efectos de los modos superiores de vibración sobre el comportamiento de la estructura mediante un análisis dinámico basado en las rigideces efectivas de los miembros de la estructura en el estado de desplazamiento máximo (“Ki = Fi/∆d”; ver Sección 3.3.1). Los resultados de fuerzas cortantes y momentos flectores se obtendrían mediante la combinación modal SRSS de los valores modales, suponiendo comportamiento inelástico para el primer modo de vibración y comportamiento elástico para los demás modos. Esto puede expresarse como: o

SCD.i = √[(Ω .S1D,i)² + S2,i² + S3,i² + … Sn,i² ] En donde:

(3.75)


3-58

SCD.i o Ω S 1D,i

= Una fuerza cortante o un momento flector de diseño = Factor de sobre-resistencia, que puede suponerse = 1.25 = Valor de la fuerza evaluada para el primer modo de vibración, dividida por el factor de ductilidad de desplazamiento S2i,, S3i , Sni, = Valores de la fuerza evaluada para los modos superiores, sin reducción por ductilidad.

3.5.2.

Análisis simplificados de los efectos de los modos superiores (Priestley et al. 2007)

Priestley et al. (2007) proponen métodos alternos simplificados de evaluación de los efectos de los modos superiores para diferentes sistemas estructurales, que se explicarán en las Secciones 3.5.2.1 y 3.5.2.2.

3.5.2.1. Pórticos de concreto reforzado En el caso de los pórticos valen las mismas consideraciones de las Secciones 2.3.1 y 2.3.2: -

-

-

El mecanismo de falla supone generalmente la formación de rótulas plásticas en los extremos de todas las vigas, además de una rótula plástica en la base de cada columna. Es preferible que fallen primero las vigas antes que las columnas, porque este daño puede ser reparable, mientras que la falla de una columna puede provocar el colapso del edificio o puede ser de difícil reparación. En la figura 3.31 (Paulay T., 1996) se muestran algunos mecanismos de falla en términos conceptuales y se señalan ejemplos de mecanismos desfavorables que debieran evitarse. Las vigas se diseñan de modo que predomine la falla por flexión, antes que la falla por cortante. La idea básica del diseño por capacidad de las columnas es darles una resistencia a flexión mayor que la resistencia de las vigas que se conectan a la columna y además buscar que la resistencia a cortante sea mayor que la resistencia a flexión. Se adopta como principio general la “filosofía viga débil columna fuerte”. Se prefieren las fallas por flexión antes que por cortante o por fuerza axial.

Figura 3.31 - Mecanismos de plastificación en edificios (Paulay T., 1996) Priestley et al. (2007) proponen, basados en envolventes de análisis sísmicos cronológicos (THA), diseñar los elementos de los pórticos sometidos a flexión y que deban comportarse elásticamente durante los sismos, con base en las resistencias reales de las rótulas plásticas. Para ello sugieren un factor de sobre-resistencia


3-59

o

Ω , de valor 1.25 si el diseño del refuerzo a flexión tiene en cuenta la sobre-resistencia del acero, o de 1.6 en caso contrario. Proponen además un factor de amplificación dinámica, sólo para el diseño de las columnas, variable en altura, según la figura 3.32, con un valor máximo de: o

ωf = 1.15 + 0.13 (μ/Ω - 1) ≥ 1.15

(3.76)

En donde μ es el factor de ductilidad para la resistencia esperada. Los momentos flectores de diseño de las columnas serán entonces: o

MU = φf Mn ≥ Ω .ωf.ME

(3.77)

En la ecuación (3.77) puede suponerse un factor de reducción de resistencia para flexión, φf = 0.9. M E son los momentos flectores correspondientes a las fuerzas laterales de diseño, sección 3.3.9.

Figura 3.32 - Factor de amplificación dinámica para Momentos de Columnas Para el diseño a cortante de los pisos superiores Paulay-Priestley (1992) proponen factores de amplificación dinámica del cortante, ωS = 1.3 para pórticos en una sola dirección y ωS = 1.6 para columnas que hagan parte de pórticos en dos direcciones. Para el primer piso se espera la formación de rótulas en la base y se recomienda diseñar con base en el cortante de la ecuación (3.78): VCOL,1 = (M1,B + M1,T)/Hc (3.78) En donde M1,B y M1,T son las resistencias de las columnas en sus extremos inferior y superior, con efectos de sobre-resistencia. Para el diseño de las vigas a cortante pudiera seguirse el mismo procedimiento de la Sección 2.3.1 de este documento.

3.5.2.2. Muros de concreto reforzado Durante una respuesta predominante del primer modo de vibración la distribución de las fuerzas de inercia será aproximadamente lineal en altura, similar a lo especificado en los métodos de Fuerza Horizontal Equivalente (FHE); su resultante se localiza a una altura H1≈0.7 Hn (ver figura 3.33). Pero durante la respuesta sísmica pueden presentarse también efectos importantes de los modos superiores de vibración, cuyas distribuciones de fuerzas de inercia tienen su resultante a una altura menor (H2 en la figura 3.33), así


3-60

que para alcanzar el momento de plastificación de diseño en la base, el cortante sísmico correspondiente sería mayor que el cortante de diseño V BASE, del método DDBD, debido a esa menor altura de aplicación de la resultante: VDISEÑO = ωV*VBASE ≈ VBASE*(H1/H2) En donde ωV ≈ (H1/H2) es un “factor de amplificación dinámica del cortante”, que debe tenerse en cuenta en un diseño de cortante por capacidad. Este efecto es mayor para períodos fundamentales de vibración grandes. Más adelante (ecuación 3.81) se indicará una manera simplificada de evaluar este factor.

Figura 3.33 - Efectos de los modos superiores sobre la respuesta de un muro (Paulay-Priestley, 1992) Para los momentos flectores de diseño Priestley et al. (2007) proponen una envolvente bi-lineal de diseño según la Figura 3.34, en donde el momento en la base se amplifica por efectos de sobre-resistencia y la capacidad a la mitad de la altura vale: M

0 0.5H

o

= C1,T* Ω *MB

En donde: o C1,T = 0.4 + 0.075 Ti (μ/Ω - 1) ≥ 0.4 Ti = periodo elástico inicial, con efectos de fisuración; Ti ≈ Te/√μ μ = demanda de ductilidad del sistema

Figura 3.34 – Envolvente de Momentos para diseño de muros por capacidad

(3.79)

(3.80)


3-61

En el diseño debe tenerse en cuenta la variación de la fuerza axial con la altura y además los efectos de desplazamiento de los diagramas de momento flector en altura o “tension shift”, resultantes del agrietamiento (tensión diagonal) por interacción flexión-cortante (ver Sección C.12.10.3 de NSR-10). PaulayPriestley (1992) recomiendan un desplazamiento Lw/2, hacia arriba, del diagrama de momento flector. La envolvente de las fuerzas cortantes de diseño puede basarse en la figura 3.35, en donde el factor de amplificación dinámica vale: o ωV = 1 + μ C2,T/Ω (3.81) En donde: C2,T= 0.067 + 0.4 (Ti – 0.5) ≤ 1.15 Ti = Te/√μ En la parte superior del muro debe usarse un cortante de diseño: 0 0 0 V N = (0.9 – 0.3 Ti).V B ≥ 0.3 V B

(3.82)

(3.83)

El diseño del refuerzo para fuerza cortante deberá basarse en los valores requeridos por sobre-resistencia y amplificación dinámica, de acuerdo con la figura 3.34. Al usar la Norma NSR-10 o el Código ACI-318-08 no debiera aplicarse para este diseño el factor de reducción de capacidad especificado en esas normas, φ=0.60, pues éste trata de incluir indirectamente los efectos de sobre-resistencia. Cuando estos efectos están incluidos, como se hace en la propuesta aquí presentada, sería más apropiado usar el valor sugerido en Priestley et al. (2007), Sección 6.6.2 (c), de φ=0.85.

Figura 3.35 – Envolvente de Fuerzas Cortantes para diseño de muros por capacidad Para el diseño por capacidad de los muros de sistemas combinados, Priestley et al. (2007) proponen expresiones algo diferentes a las de las ecuaciones (3.82) y (3.83). Ver ejemplo de la Sección 5.7 y Sección 9.2.4. 3.5.3. Efectos de los modos superiores según Restrepo J.I. (2007) Restrepo J.I. (2007) ha indicado que los efectos más significativos de los modos superiores corresponden al segundo modo de vibración y que esto puede servir como base para una evaluación racional de este aspecto del diseño DBD de edificios. Su propuesta sobre los aportes del segundo modo de vibración a la respuesta se resume en la figura 3.36, tomada del documento mencionado. El método pudiera refinarse un poco teniendo en cuenta que: - Sólo aplicaría a edificios regulares en altura


-

3-62

El comportamiento del sistema debiera suponerse inelástico para el primer modo de vibración y elástico para los demás modos (ver Sección 3.5.1). La relación entre el primero y el segundo periodo de vibración, T1/T2, depende del sistema estructural. Para modelos elásticos su valor aproximado es 1/3 para los sistemas de pórticos y 1/6 para sistemas de muros. T1 sería el periodo elástico del primer modo, T1 ≈ Te/√μ. El punto de inflexión del segundo modo se presenta aproximadamente al 77% de la altura en sistemas de muros y 67% en sistemas de pórticos. En modelos elásticos la masa efectiva del segundo modo, Mef2, es del orden de 0.2 Σmi en los sistemas de muros y de 0.1 Σmi en los sistemas de pórticos.

Figura 3.36 – Evaluación de los efectos de los modos superiores (Restrepo J.I., 2007)

3.6. PROCEDIMIENTO PASO A PASO DEL MÉTODO DDBD En términos simplificados el método DDBD consiste en: - Establecer un desplazamiento de fluencia ∆y, y un desplazamiento de diseño ∆d del sistema - Determinar la ductilidad de desplazamiento del sistema - Obtener el espectro de desplazamientos para un amortiguamiento equivalente a la ductilidad - Leer sobre el espectro de desplazamientos el período Te, requerido para cumplir el desplazamiento ∆d - Calcular la rigidez necesaria Ke, para alcanzar ese período, Ke = 4 π² Me/Te² - Obtener el cortante basal de diseño VBASE = Ke.∆d - Distribuir VBASE entre los elementos de la estructura y diseñarlos por capacidad.

a.

Sistema SDOF

b. Rigidez efectiva, Ke

c. Amortiguamiento viscoso equivalente, e

d. Espectro de desplazamientos

Figura 3.37 – Esquema gráfico del método DDBD - Priestley, 2000


El proceso se resume gráficamente en la figura 3.37.

El procedimiento paso a paso se muestra en la figura 3.38 con mayor detalle y consiste en: 1- Pre-dimensionar la estructura 2- Perfil de desplazamientos del sistema, masa efectiva Me y altura equivalente He 3- Determinar el desplazamiento de diseño, ∆de 4- Determinar el desplazamiento de fluencia del sistema, ∆ye, y la ductilidad de desplazamiento∆ 5- Calcular el amortiguamiento viscoso equivalente a la ductilidad de desplazamiento 6- Determinar el espectro de desplazamientos para el amortiguamiento equivalente 7- Obtener en el espectro de desplazamientos el período efectivo requerido 8- Calcular la rigidez efectiva mínima requerida para alcanzar el estado límite de diseño 9- Calcular el cortante basal VBASE y distribuirlo entre los elementos de la estructura 10- Distribuir el cortante basal VBASE en altura y verificar los efectos de torsión 11- Diseño por capacidad de los elementos de la estructura 12- Elaborar los planos de construcción.

3-63


3-64

Pre-dimensionar la estructura

Perfil de desplazamientos, masa Me y altura He

Desplazamiento de diseño, ∆de

Desplazamiento de fluencia ∆ye y ductilidad ∆

Amortiguamiento eequivalente a ∆

Espectro de desplazamientos ajustado

Período efectivo,Te

Rigidez efectiva, Ke

Cortante basalVBASE

Distribuir VBASE

¿No cumple?

y evaluar torsión. ¿Derivas, OK?

¿Sí cumple?

Diseño por capacidad

Planos de Construcción

Figura 3.38 – Diagrama de Flujo – Método DDBD


3-65

3.7. COMENTARIOS AL PROCEDIMIENTO DDBD Como su nombre lo dice, el método DDBD es bastante directo: a partir de la distorsión angular de diseño, θd, se obtienen de manera secuencial las propiedades de un SDOF equivalente a la estructura, un espectro de desplazamientos ajustado, la rigidez mínima del sistema y el cortante basal que garantiza el cumplimiento de los objetivos del diseño. A continuación se comentan con mayor detalle los diferentes pasos del método.

Paso 1 – Pre-dimensionar la estructura Aquí valen las mismas observaciones generales del Paso 1 de los métodos FBD, Sección 2.1. Desde esta etapa puede distribuirse tentativamente el cortante sísmico, de manera porcentual, entre los componentes de la estructura, con bastante libertad, según se explicó en las Secciones 3.1 a 3.3. Así el diseñador puede adelantarse al control de los efectos de torsión. Ver ejemplo en la Sección 5.2. En el Paso 9, ya evaluado el cortante basal total VBASE, puede refinarse el chequeo de la torsión. Se puede estimar inicialmente el desplazamiento de diseño para el estado límite de control de daños (Sección 3.3.6). Además, con ayuda de las ecuaciones (3.3), (3.11) y (3.29) pueden ensayarse diferentes valores de las longitudes de muros y de las relaciones (Lb/hb) de las vigas, que permitan estimar el desplazamiento de fluencia del sistema y su demanda de ductilidad. Por ejemplo, en el caso de los edificios de muros: a)

El desplazamiento efectivo del sistema a una altura He, vale: ∆de = ∆ye + θp.He = µ.∆ye En donde µ es la ductilidad de desplazamiento. De acá se deduce que el desplazamiento de fluencia del sistema será: ∆ye ≈ (θd - εY.Hn/Lwe).He/(µ-1)

(3.84)

A partir de la ecuación (3.84) y con base en el valor de ∆ye según la ecuación (3.37), resulta: 2

εY He (1 – He/3 Hn)/Lwe = (θd - εY.Hn/Lwe).He/(µ-1) Para He ≈ 0.75 Hn se obtiene: 2

εY He (1 – 0.25)/Lwe = 0.75 (θd – εY .Hn/Lwe) Hn/(µ-1) De la ecuación anterior puede obtenerse la siguiente expresión para el valor de Lwe: Lwe ≈ (0.56 µ + 0.44) εY.Hn/θd

(3.85)

En donde Lwe es la longitud equivalente o característica requerida para alcanzar una ductilidad µ. Cuando existen muros de varias longitudes la longitud Lwe es algo menor que la del muro más largo del edificio.

CAPÍTULO 3: MÉTODOS BASADOS EN DESPLAZAMIENTOS (DDB) b) De la ecuación (3.85) puede deducirse también:

3-66

6

µSIS ≈ 1.8 Lwe θd/(εY.Hn) - 0.8

(3.86)

En la ecuación (3.86) µ es la demanda de ductilidad resultante para una longitud conocida Lwe del sistema, en función de θd. Si en lugar de Lwe se usa la longitud del muro más largo planteado en el edificio, el resultado es conservador. Cuando existen efectos significativos de torsión, el valor de μ puede cambiar en el diseño final ajustado para dichos efectos. Ver ejemplos del capítulo 5. La ecuación (3.86) indica que los sistemas con muros esbeltos (Lwe pequeño) pueden tener demandas de ductilidad pequeñas; pero probablemente se requieran en esos casos cuantías de refuerzo altas para garantizar la rigidez requerida y cumplir las condiciones de distorsión angular máxima permitida por las Normas de diseño. De la ecuación (3.85) se deduce la longitud LwLIM correspondiente a un valor µ=1: LwLIM ≈ εY.Hn/θd

(3.87)

Los sistemas de muros con longitud Lwe menor que la indicada por la ecuación (3.87) muy probablemente no lleguen a fluencia para la distorsión angular de diseño θc y no alcanzarían a aportar la resistencia necesaria para garantizar la rigidez total que requiere el sistema. Este tema se trata con mayor detalle en la Sección 4.1. La ecuación (3.86) también indica que existe un límite θd para el cual la demanda de ductilidad del sistema tendrá un valor µ = 1: θdLIM ≈ εY.Hn/Lwe → µ≈1

(3.88)

Para valores de θc menores que los indicados por la ecuación (3.88) el sistema se comportará elásticamente y los requisitos de detalles del refuerzo de confinamiento podrían ser menos estrictos que en los diseños normales; pero el cortante sísmico de diseño del edificio obtenido con la ecuación (3.16) puede requerir ajustes, si se quiere garantizar la rigidez necesaria. Esta situación puede presentarse cuando las derivas de piso permitidas son pequeñas, como en el caso de NSR-10. Ver Sección 4.1. c)

Sea un edificio de 20 pisos, refuerzo de fy=420 MPa, εy = 0.0021, Hn=56.0 m. Si se quisiera llegar a una distorsión angular máxima θc = 0.025 y a una ductilidad µ ≈ 2.0, la longitud característica o efectiva de los muros del sistema debiera ser, de acuerdo con la ecuación (3.85): Lwe ≈ (0.56*2.0 + 0.44)*0.0021*56.0/0.025 = 7.30 m

Las deducciones anteriores no tienen en cuenta posibles ajustes en el diseño final, por efectos de torsión. Paso 2 - Perfil de desplazamientos del sistema, Masa efectiva Me, altura equivalente He Las normas establecen la distorsión angular máxima permitida, θc, que rige generalmente el diseño y con esa base se plantean los desplazamientos del sistema.

6

Priestley et al. (2007), proponen: μsis ≈ 1 + 1.71 (θd – Ar.εy)/εy.Ar (Ec. 6.17). Pero Ar puede no ser igual para todos los muros de un edificio; para el sistema completo debería usarse un valor Are = Hn/Lwe.


3-67

En los sistemas de muros se determina inicialmente el perfil de desplazamientos con base en las ecuaciones (3.36) y (3.39); pero también pueden regir las deformaciones unitarias alcanzables de los materiales y por ello debe verificarse que cada muro esté en condiciones de soportar las distorsiones angulares dadas por la ecuación (3.42); en caso contrario se usaría para θpe el valor obtenido con la ecuación (3.44). El perfil de desplazamientos ∆i puede obtenerse a partir de la ecuación (3.39) para los sistemas de muros, (3.50 y 3.51) para los sistemas de pórticos y (3.52) para los sistemas combinados de muros y pórticos. En el caso de los muros se determina una longitud característica o equivalente del sistema, Lwe, de acuerdo con la ecuación (3.31);en el caso de los pórticos se puede obtener una relación (Lb/hb) equivalente, según la ecuación (3.32). Los desplazamientos ∆i permiten calcular la altura efectiva He, según la ecuación (3.27) y la masa efectiva Me, según la ecuación (3.28). Paso 3 - Determinar el desplazamiento de diseño, ∆de El desplazamiento de diseño del sistema en el centro de masa, ∆de, se calcula de acuerdo con la ecuación (3.34), a partir del perfil establecido en el Paso 2. Cuando existen irregularidades importantes de torsión puede ser necesario rectificar el desplazamiento de diseño para que aun el elemento más crítico cumpla los requisitos de distorsiones angulares permitidas. Para estos efectos se aplicarían las ecuaciones (3.74) en un proceso iterativo, que debe convergir rápidamente.

Paso 4 - Desplazamiento de fluencia del sistema, ∆ye; ductilidad de desplazamiento, μ∆ Las ecuaciones (3.10) y (3.37), junto con las ecuaciones (3.29), (3.31) o (3.32), permiten obtener los desplazamientos de fluencia de los diferentes elementos de la estructura y el desplazamiento de fluencia del sistema, ∆ye, en el nivel He. El desplazamiento total de diseño del sistema, ∆de, se obtuvo en el Paso 3. La demanda de ductilidad de desplazamiento se obtiene como µ ∆ = ∆de/∆ye Esta es la propuesta de Priestley et al. (2007) en su Capítulo 14 (“Draft DBD Code”). Presentaría una pequeña inconsistencia, por cuanto el desplazamiento de fluencia ∆ye se evalúa a una altura He, mientras que ∆de no se calcula a esa misma altura, con base en el perfil de desplazamientos del Paso 2, sino con la ecuación (3.34), que lleva generalmente a resultados algo diferentes.

Paso 5 - Amortiguamiento viscoso equivalente a la ductilidad de desplazamiento El coeficiente de amortiguamiento viscoso ξeq se obtiene con las ecuaciones (3.20), según el material de la estructura, para el valor de µ determinado en el Paso 4. Priestley et al. (2007) proponen una alternativa más elaborada, que combina los amortiguamientos de los diferentes componentes estructurales del sistema: ξeq = Σ (Vi.ξi)/ΣVi. Ver Sección 3.3.2. Con las ecuaciones (3.22a) o (3.22b) se obtiene el factor del ajuste del espectro de desplazamientos por amortiguamiento, Rξ.


3-68

Paso 6 –Espectro de desplazamientos para el amortiguamiento equivalente El espectro elástico básico de desplazamientos establecido por la Norma, correspondiente a un amortiguamiento del 5%, se corrige por el factor Rξ obtenido en el Paso 5.

Paso 7 – Período efectivo requerido El periodo efectivo del SDOF equivalente, Te, se deduce del espectro de desplazamientos corregido, obtenido en el paso 6, para el desplazamiento de diseño del Paso 3. Deben tenerse en cuenta los ajustes anotados en la Sección 3.3.3, ecuaciones (3.23), (3.24) y (3.25). Paso 8 - Rigidez efectiva mínima requerida, Ke, para alcanzar el estado límite de diseño Basta aplicar la ecuación (3.15): Ke = 4 π² Me/Te². Los valores de Me y Te se obtuvieron en los pasos 2 y 7. Deben tenerse en cuenta los ajustes anotados en la Sección 3.3.3, ecuaciones (3.24) y (3.25).

Paso 9 - Calcular la fuerza lateral total de diseño El valor de la fuerza cortante total de diseño, VBASE, se obtiene a partir de la ecuación (3.16): VBASE = Ke.∆d. Debe tenerse en cuenta el ajuste requerido para zonas de periodos cortos, según la ecuación (3.23). Se deben verificar los efectos de torsión, que pudieron ser previstos tentativamente desde el Paso 1, según se explicó. Si los desplazamientos periféricos exceden de manera significativa los desplazamientos del centro de masa, entonces habrá que corregir el desplazamiento de diseño, según se explica en la Sección 3.4 y en los ejemplos del Capítulo 5; en estos casos se debe repetir el proceso desde el comienzo. Según se anotó en la Sección 3.3.7, si los desplazamientos de fluencia de algunos elementos son mayores que el desplazamiento de diseño habrá que incrementar el cortante basal V BASE para poder alcanzar la rigidez requerida. Ver también Sección 4.1.

Paso 10 - Distribuir la fuerza lateral entre los elementos de la estructura y en altura El cortante total puede distribuirse desde el paso 1, con bastante libertad, entre los diferentes elementos del sistema. Su distribución en altura debe hacerse proporcional al perfil de desplazamientos y a la masa de cada piso, según se anotó en la Sección 3.3.8, ecuación (3.60), que se repite a continuación: Fi = VBASE (mi.∆i)/Σ(mi.∆i) En donde Fi es la fuerza horizontal aplicada en el nivel i. Estas fuerzas tienen más importancia cuando se diseñan los sistemas de pórticos según la metodología vista en la Sección 3.3.9, figuras 3.27 a 3.29. Las mismas fuerzas pierden relevancia cuando se hace el diseño de los muros por capacidad y se adoptan envolventes como las de la Sección 3.5.2.2. Paso 11 - Diseño por capacidad de los elementos de la estructura Deben evaluarse los efectos de torsión (ver Sección 3.4) para obtener los desplazamientos finales de cada elemento de la estructura. También deben tenerse en cuenta los efectos de los modos superiores de vibración, según se explicó en la Sección 3.5.


3-69

Debe verificarse, con ayuda de las ecuaciones (3.45), que no se excedan los límites de curvatura y deformación unitaria de los materiales. En la Sección 4.6.1 se explica cómo calcular el confinamiento necesario de las rótulas plásticas. Se sugiere el siguiente procedimiento simplificado para el diseño por capacidad: Pórticos de concreto reforzado En los sistemas de pórticos las fuerzas axiales de las columnas constituyen el aporte más significativo al equilibrio al vuelco de la estructura; el aporte de los momentos en las bases es menos significativo. El diseño por capacidad se puede lograr estableciendo una jerarquía de resistencias que evite las fallas por cortante y busque mecanismos “viga débil -columna fuerte”, tal como hacen las Normas ACI-318 y NSR (ver secciones 2.3.1 y 2.3.2). Pero se debe verificar el efecto de los modos superiores sobre los momentos de las columnas, según la Sección 3.5.2.1. Los pasos serían: 1. 2. 3.

4. 5.

6.

Obtener con el DDBD la fuerza cortante basal requerida, VBASE. Elaborar un modelo convencional basado en rigideces modificadas de las secciones; ver Sección 3.3.9.1. Aplicar al modelo las fuerzas de piso, según Sección 3.3.8 y obtener las fuerzas internas. También pueden obtenerse estas fuerzas por condiciones de equilibrio, según la Sección 3.3.9.2; o repartir con libertad VBASE entre los diferentes pórticos. Diseñar las vigas para las fuerzas del paso 3. La resistencia a cortante se manejaría según ACI-318 o NSR Diseñar las columnas a flexión, teniendo en cuenta la sobre-resistencia de las vigas. Los momentos resultantes no deben ser menores que los obtenidos en el paso 3 y corregidos por el factor de amplificación dinámica del sistema, según sección 3.5.2.1. Diseñar las columnas a cortante por capacidad, teniendo en cuenta su resistencia a flexión.

Muros de concreto reforzado 1. 2. 3.

4.

5.

Obtener con el DDBD la fuerza cortante basal requerida, VBASE. Este cortante puede distribuirse con libertad entre los muros del sistema. Diseñar las rótulas plásticas de los muros a flexo-compresión, con base en f’ce=1.3 f’c y fye=1.1 fy; no hay que usar factores de reducción de resistencia: φf=1.0 (Priestley et al., 4.2.6). o Evaluar el factor de sobre-resistencia Ω del sistema. Si las rótulas plásticas se diseñan según el Paso 2 y las zonas situadas por fuera de dichas rótulas se diseñan a flexo-compresión según ACI-318 o NSR-10, o aplicando factores de reducción de resistencia, puede usarse Ω = 1.4. Calcular los factores de amplificación dinámica del sistema para flexión y fuerza cortante y las envolventes correspondientes, según la Sección 3.5.2.2. En muros cuyo refuerzo especificado sea mayor o que el teórico requerido, ello se tendrá en cuenta al evaluar su Ω . Diseñar los refuerzos de flexión y de cortante según la Norma ACI-318 o NSR-10, con factores de reducción de resistencia. - Si se requiere conocer la resistencia máxima probable Mpr de un muro, por ejemplo, para el diseño de su cimentación, dicha resistencia puede calcularse a partir del refuerzo obtenido en el paso 2, con φf=1.0 y resistencias de los materiales f’co=1.7 f’c, fyo=1.3 fy. - Para el diseño se deben usar los momentos y cortantes del Paso 4. Pero las bases de los muros se diseñan a flexo-compresión según el Paso 2, sin ninguna amplificación. - Para el diseño a cortante puede usarse φV=0.85.

Sistemas combinados de muros y pórticos 1.

Obtener con el DDBD la fuerza cortante basal requerida, VBASE.

CAPÍTULO 3: MÉTODOS BASADOS EN DESPLAZAMIENTOS (DDB) 2. 3. 4. 5.

3-70

VBASE puede distribuirse con libertad entre los pórticos y los muros del sistema (βP=fracción asignada a los pórticos). Para las vigas y las columnas, seguir los mismos pasos 2 a 6 del diseño de pórticos, pero el factor de amplificación dinámica para flexión de las columnas no debe ser menor que 1.3. El diseño de los muros a flexo-compresión puede realizarse como en los sistemas de muros de concreto reforzado. Los muros pueden diseñarse a cortante con base en el factor de amplificación dinámica de la Sección 3.5.2.2. Pero si 0.2 ≤ βP≤ 0.6, debe usarse un factor de amplificación dinámica algo diferente; ver Sección 9.2.4 y ecuaciones (9.13), (9.14) y (9.15).

Paso 12 - Elaborar los planos de construcción Es de la mayor importancia que el ingeniero diseñador tenga control total sobre los planos de construcción, pues si éstos no son claros o no contienen los detalles apropiados, que correspondan a las hipótesis de cálculo, no se habrá logrado nada, por refinado que haya sido el proceso de diseño. El diseño no termina con el proceso numérico; es un error darse por satisfecho con esos cálculos y dejar el proceso de los planos completamente en manos de personal auxiliar no calificado o de software para despiezo, sin participación crítica del ingeniero que procesó los diseños. Durante un sismo puede comportarse mejor una estructura diseñada solamente para efectos de cargas verticales, pero con buenos detalles de refuerzo (confinamiento de muros, columnas y vigas, traslapos del refuerzo, etc.), que otra estructura calculada con los métodos más avanzados de diseño sismo resistente, pero con planos de construcción descuidados. Es clara también la importancia de la supervisión técnica de la construcción, que garantice el cumplimiento de lo especificado en los planos. Además de los pasos de diseño mencionados debieran evaluarse los efectos de interacción suelo estructura y los efectos P-Delta. Ver secciones 4.7 y 4.8 de este documento.

CAPÍTULO 3: MÉTODOS BASADOS EN DESPLAZAMIENTOS (DDB) 3.8. RESUMEN DEL MÉTODO DDBD 3.8.1. Valores característicos de un SDOF equivalente a un MDOF (Estructura sustituta)

Rigidez equivalente:

Ke = Vd/∆d

Altura efectiva: Desplazamiento de diseño: Masa efectiva:

He = Σ(mi.∆i.Hi) / Σ(mi.∆i) ∆d = Σ(mi.∆i²) / Σ(mi.∆i) Me = Σ(mi.∆i) /∆d, o bien: Me = [Σ (mi.∆i)]²/∑(mi.∆i²)

Rigidez efectiva: Fuerza basal de diseño: Fuerzas de diseño:

Ke = 4 π² Me / Te² VBASE = Ke.∆d Fi = VBASE (mi.∆i)/ Σ(mi.∆i)

El período “Te” correspondiente a “∆d” se lee en un espectro de desplazamientos modificado por amortiguamiento equivalente a la ductilidad. Ver sección 3.3.2.

3.8.2. Perfil de desplazamientos de los muros

DESPLAZAMIENTO TOTAL: o Desplazamiento elástico del nivel i:

∆i = ∆yi + θp.Hi ∆yi = εYHi² (1 – Hi/3Hn)/Lwe Lwe = Σ(Vi.Lwi)/ΣVi

o Desplazamiento inelástico del nivel i: θp = Distorsión angular inelástica

∆pi = θp.Hi

o Según requisitos de la norma: θpc = θc - εYHn/Lwe θc = Distorsión angular permitida por la Norma o Según deformaciones de los materiales: θpm = (φm – 2εY/Lwm)Lp φm = Curvatura en base del muro crítico, en condiciones críticas de diseño φm ≈ 0.072/Lw para estado límite de control de daños, detalles DES φm ≈ 0.040/Lw para estado límite de control de daños, detalles DMO φm ≈ 0.017/Lw para estado límite de servicio Lwm, Lp = Longitud total y longitud de rótula plástica del muro crítico (el más largo) Debe usarse el menor valor entre θpc y θpm

3-71


3-72

3.8.3. Perfil de desplazamientos de los pórticos

En los sistemas de pórticos, igual que en los otros sistemas, pueden regir las condiciones de la Norma o las deformaciones unitarias de vigas y columnas

3.8.4. Perfil de desplazamientos para los sistemas combinados

Si rigen las derivas de la Norma: ∆Di = ∆yi + (θc – εY HCF/Lwe) Hi HCF /Hn ≈ [√(9 – 12 βF) – 1]/2 Lwe = Σ(Vi.Lwi)/Σ Vi Si rigen las deformaciones unitarias de los materiales: ∆Di = ∆yi + (φm – 2εy/Lwm) LpHi (Lwm = longitud del muro crítico) Perfil de desplazamientos de fluencia del sistema: 3 Hi ≤ HCF: ∆iy = φYW (Hi²/2 – Hi /6 HCF) Hi > HCF: ∆iy = φYW (HCF Hi/2 – HCF²/6) φYW= 2 εY/Lwe (Lwe = Longitud característica de los muros = Σ(Vi.Lwi)/ΣVi)

CAPITULO 4: TEMAS QUE REQUIEREN MAYOR INVESTIGACIÓN

“Mit dem Wissen wächst der Zweifel” (J.W. von Goethe)

4.

4-1

7

TEMAS QUE REQUIEREN MAYOR INVESTIGACIÓN

El método DDBD de Priestley et al. (2007) es tal vez hasta ahora el método de diseño basado en desplazamientos más sencillo, claro y completo que se conoce. Sin embargo, es relativamente nuevo y se presta para nuevos desarrollos y complementos teóricos, verificación teórica y experimental, etc. En este capítulo se comentan algunos temas que merecen mayor estudio. Debe anotarse que también los métodos FBD, a pesar de su ya larga existencia, presentan aun vacíos importantes.

4.1. AJUSTES DEL CORTANTE DE DISEÑO EN EL DDBD Y EN EL MÉTODO DE LA ESTRUCTURA SUSTITUTA EN EL DISEÑO DE EDIFICIOS En la Sección 3.3.3 se mencionaron algunos casos atípicos del método de la estructura sustituta, relacionados sobre todo con el espectro de desplazamientos. En esta sección se comentarán otros casos atípicos, donde algunos elementos del sistema no cumplen las hipótesis del método de la estructura sustituta. Según se mencionó en la Sección 3.3.1 y de acuerdo con la ecuación (3.10), en edificios de alturas medianas o grandes los pórticos con relaciones (Lb/hb) altas pueden alcanzar desplazamientos de fluencia bastante grandes; lo mismo puede ocurrir, según la ecuación (3.3b), con los muros esbeltos. Pueden presentarse así casos donde el desplazamiento de diseño sea menor que el valor correspondiente de fluencia de la estructura y entonces, para tal desplazamiento, no se alcanzaría a desarrollar completamente el cortante basal requerido para garantizarla rigidez necesaria, Ke, de la ecuación (3.14). También ocurre que algunos espectros de desplazamientos presentan valores Sd máximo relativamente pequeños; entre ellos pueden mencionarse algunos registros del sismo de Chile 2010 para Suelos Tipo II, a pesar de aceleraciones espectrales mayores que 1.0 g, con desplazamientos espectrales máximos del orden de 30 cm. Algo similar ocurre con los espectros de desplazamientos de la Norma NSR-10 en zonas de amenaza sísmica intermedia, para suelos Tipo A, B, C; por ejemplo, para Medellín el desplazamiento espectral máximo en suelo Tipo C sería de 37 cm. Ocurriría entonces que algunos pórticos o muros esbeltos no llegarían a su estado de fluencia para el sismo de diseño o estado límite de control de daños, y especialmente para el estado límite de servicio. Al tratar de idealizar un edificio con el método de la estructura sustituta, pueden presentarse básicamente tres situaciones, ilustradas en la figura 4.1, donde se muestran varios elementos de una estructura, que pueden corresponder a muros de diferentes longitudes o a sistemas de pórticos combinados con muros, etc. Los tres casos básicos son: a- El desplazamiento de diseño, ∆d, es mayor que el desplazamiento de fluencia, ∆yi, de todos y cada uno de los elementos de la estructura (figura 4.1a). Es completamente válido el método de la estructura sustituta, sin ajustes. ∆d>∆yi para todos los elementos del sistema. b- En algunos elementos ∆d>∆y del elemento, pero en otros no: ∆d>∆y1, pero ∆d<∆y2 (figuras 4.1b y 4.2). En este caso la resistencia total de la estructura, VB1, sería menor que la suma de las resistencias de todos los elementos, VBASE; para garantizar la rigidez requerida se necesitaría aumentar la resistencia de 7

“Mientras más sabes, más dudas” (J.W. v. Goethe)


4-2

diseño de algunos elementos del sistema; así se evitan desplazamientos y demandas de ductilidad mayores que los previstos en una evaluación inicial. c- Podría ocurrir que ningún elemento de la estructura llegue a su condición de fluencia para el sismo de diseño, es decir, ∆d<∆y para todos los elementos: ∆d<∆y1, ∆d<∆y2 (figuras 4.1c y 4.2). Igual que en el “Caso b” habrá que ajustar las resistencias de diseño para garantizar la rigidez requerida.

Figura 4.1 – Casos de la estructura sustituta La metodología DDBD, explicada en el capítulo 3, estudia con detenimiento el “caso a”. Los otros dos casos requieren consideraciones especiales.

Figura 4.2 - Casos especiales del DDBD, relacionados con la estructura sustituta 4.1.1. Caso a- Todos los elementos llegan a fluencia para el desplazamiento de diseño Es el caso típico del método de la estructura sustituta. Pueden aplicarse todas las indicaciones de la Sección 3.3, sin necesidad de correcciones.

4.1.2. Caso b – Algunos elementos no llegan a fluencia para el desplazamiento de diseño En la figura 4.3b se representan las relaciones carga-desplazamiento de un sistema compuesto por dos elementos, que pueden corresponder a dos muros de diferentes longitudes o a un sistema de pórticos y otro


4-3

de muros, etc. El elemento 2 no llega a fluencia para el desplazamiento de diseño, porque ∆y2>∆d. Se observa que este elemento no alcanza a desarrollar la fuerza de diseño que se le asignó inicialmente, F2, correspondiente a su fluencia, sino una fuerza F2.∆d/∆Y2. Entonces el cortante basal total desarrollado para el desplazamiento de diseño ∆d será VB1: VB1 = F1 + F2.∆d/∆Y2< VBASE = F1 + F2

(4.1)

En donde: VB1 = Resistencia total máxima alcanzable para el desplazamiento de diseño ∆d F1 = Resistencia de fluencia del sistema 1 F2 = Resistencia de fluencia del sistema 2 ∆Y2 = Desplazamiento de fluencia del sistema 2 VBASE = Cortante basal de diseño calculado inicialmente, ecuación (3.16)

Figura 4.3b – “Caso b” de la estructura sustituta: ∆y1 <∆d < ∆y2 La rigidez alcanzable estará representada en la figura 4.3b por la pendiente de la recta O-B y será: Ke1 = VB1/∆d < VBASE/∆d

(4.2)

Esta rigidez Ke1 sería menor que la requerida y habrá que hacer correcciones al diseño, como se verá más adelante. Si ∆ymax, ∆ymin son los elementos con el mayor y el menor desplazamiento de fluencia respectivamente, el “Caso b” se presentará cuando ∆ymin< ∆d <∆ymax. En la figura 4.3b también puede observarse que el desplazamiento elástico correspondiente a la resistencia VB1, estimado inicialmente como ∆ya, disminuye hasta un valor ∆yb: ∆yb = ∆ya VB1/VBASE<∆ya Debido a ello aumentará la demanda de ductilidad del sistema completo, μ SIS = ∆d/∆yb > ∆d/∆ya. Estrictamente, debido a este cambio, el diseño debería ser ajustado mediante algún proceso iterativo, donde se re-evaluaran el espectro de diseño y el cortante basal. En un caso más general, si se presentaran varios elementos que no llegan a fluencia para el desplazamiento de diseño, habría un déficit en el valor de la resistencia calculada para garantizar la rigidez requerida de la ecuación (3.14); la fuerza faltante sería ∆F:


∆F = Σ(1- ∆d/∆yi).Fi

4-4

(4.3)

En donde ∆d es el desplazamiento de diseño, ∆yi es el desplazamiento de fluencia de un elemento que no llega a fluencia para el desplazamiento de diseño y Fi es su resistencia; la sumatoria debe incluir todos los elementos que estén en esas condiciones. Existen varias opciones para recuperar la rigidez necesaria y cumplir así los requisitos de desplazamientos de diseño; lo esencial es poder garantizar que, para el desplazamiento de diseño, ∆d, se pueda desarrollar el cortante VBASE de la ecuación (3.16). Por ejemplo: 1- Aumentar los cortantes de diseño de todos los elementos “i” que no llegan a fluencia, como el elemento 2 de la figura 4.2, en la proporción ∆yi/∆d 2- Aumentar todos los cortantes de diseño de los elementos en la proporción VBASE/VB1 3- Aumentar la resistencia de los elementos que sí llegan a fluencia, para que absorban entre ellos el déficit de cortante, ∆F, de la ecuación (4.3). En las secciones 5.2, 5.5 y 5.6 se presentan ejemplos de este caso de la estructura sustituta.

4.1.3. Caso c – Ningún elemento llega a fluencia para el desplazamiento de diseño Cuando ningún elemento de la estructura llega a la fluencia para el desplazamiento de diseño, su comportamiento sísmico será elástico y los detalles de confinamiento podrían ser mínimos. Así no deben presentarse daños estructurales durante el sismo de diseño, pero para lograr unas derivas y un desempeño adecuados habrá que garantizar una rigidez suficiente. La resistencia Vd, ecuación (3.16), Sección 3.3.1, no alcanzará a desarrollarse (ver figura 4.3c, donde ∆y1 es el desplazamiento de fluencia del elemento crítico, S1) y por ello habrá que aumentar el cortante basal de diseño, como se verá a continuación. El método de la estructura sustituta, explicado en la Sección 3.3, requerirá entonces algunos ajustes: -

La estructura responde en el rango elástico y por ello deberá usarse el espectro elástico de desplazamientos, sin corrección.

-

Cada elemento “i” desarrollará únicamente una fuerza cortante Fi ∆d/∆yi, en lugar de su fuerza de fluencia Fi.

-

La estructura no alcanzará la resistencia de diseño requerida inicialmente, Vdo en la figura 4.3c, calculada con base en la ecuación (3.17): “Vdo = 4π² Me ∆d/Te²”, de la Sección 3.3.1.

-

En la figura 4.3c puede observarse que la fuerza cortante total alcanzada para el desplazamiento de diseño será Fd = Vdo ∆d/∆ys < Vdo. Se llamó ∆ys al desplazamiento de fluencia del sistema completo.

-

La rigidez efectiva de la estructura sería Keo = Fd/∆d, menor que el valor requerido según la ecuación (3.14), Ke = Vdo/∆d. Para lograr la rigidez necesaria y cumplir los requisitos de desempeño, será necesario aumentar la resistencia de la estructura ante fuerzas sísmicas de acuerdo con el menor valor indicado por las ecuaciones (4.4a) o (4.4b): Vd corregida = Vdo.∆ys/∆d = 4π².Me.∆ys/Te² Vd corregida = Vdo.Sdel/∆d = 4π².Me.∆ys/Te²

(4.4a) (4.4b)

En donde Sdel es el máximo desplazamiento espectral elástico (para ξ=5%). Ver Sección 4.2. En la deducción de las ecuaciones (4.4), al evaluar la fuerza cortante Fd alcanzada para el desplazamiento de diseño, se supuso que la rigidez efectiva era Ke = Vdo/∆ys. El sistema se comporta elásticamente y


4-5

estrictamente debiera usarse la rigidez de sección fisurada; pero, como puede apreciarse en el ejemplo de la figura 3.7, la diferencia no parece ser significativa. El ajuste de las ecuaciones (4.4) equivale a calcular el cortante de diseño con base en la ecuación (3.16), usando la rigidez Ke de la ecuación (3.15) y un desplazamiento ∆ys o Sdel, el menor de ellos, en lugar de ∆d. Cuando existen efectos de torsión significativos, puede ser un poco más “preciso” evaluar el déficit de resistencia de cada muro, en lugar de la ecuación (4.4), para obtener el cortante corregido. Ver ejemplo, Sección 5.3.

Figura 4.3 c – Corrección del cortante basal de diseño – “Caso c”, ∆d < ∆y1 La situación de respuesta sísmica elástica, “Caso c”, puede presentarse cuando se evalúa el estado límite de servicio. En la Sección 5.1.9 se presenta un ejemplo de evaluación del cortante sísmico requerido en estos casos. El “Caso c” también puede presentarse en edificios medianos y altos, especialmente cuando: 1. 2. 3.

El desplazamiento máximo del espectro de diseño es bajo, como en los sismos de Chile 2010, suelos Tipo I ó II; en Colombia para suelos tipo A, B, C, en zonas de amenaza sísmica intermedia. La estructura es muy flexible, con valor alto de ∆ys. Las derivas de piso o las distorsiones angulares permitidas llevan a valores bajos del desplazamiento de diseño ∆d, como en el caso de la Norma Colombiana, NSR-10.

En todos estos casos se requiere incrementar la resistencia prevista, según se vio. Además se pierde el beneficio de la reducción del espectro por amortiguamiento equivalente a la ductilidad. Si la estructura es muy flexible (Δys mucho mayor que Δd), puede ser necesario aumentar las profundidades de las secciones de los muros y vigas, Lw y hb, para disminuir el desplazamiento de fluencia, Δys de la ecuación (4.4), y poder llegar a cortantes de diseño y cuantías de refuerzo manejables en la práctica. La corrección al cortante total de diseño según la ecuación (4.4) se incorpora en el “Apéndice A1 - Propuesta de Código para Diseño Sísmico de Edificios Basado en Desplazamientos” del presente documento. Ejemplos: Se considera un edificio de concreto que consta en toda su altura de muros de 3.0 m de longitud y pórticos con vigas de relación luz/espesor, (Lb/hb) = 10. Se supone refuerzo de fy=420 MPa, o εY=0.0021 y se analizará qué ocurre para varias alturas del edificio.


4-6

Supóngase un desplazamiento de diseño del SDOF equivalente a la estructura, ∆de = 0.015 He (He ≈ 70% de la altura total del edificio). Esto equivale a una distorsión angular promedia θd = ∆de/He = 0.015; la distorsión angular en el extremo superior sería mayor. Según se vio en la Sección 3.2, ecuaciones (3.3) y (3.10), los desplazamientos de fluencia a la altura He valdrán, para las dimensiones escogidas: -

Para los muros: Para los pórticos

Y ≈ 2 εY.He²/3 Lw = ∆Y ≈ 0.5 Y.(Lb/hb) He =

0.0014 Are He 0.0105 He

La deriva o distorsión angular promedio de fluencia, θ Y = ∆Y/He valdría así: -

Para los muros: Para los pórticos

θY ≈ 0.0014 Are θY ≈ 0.0105

En la Tabla 4.1 se presentan los desplazamientos de fluencia y las distorsiones angulares promedio de los muros y los pórticos, para diferentes alturas del edificio, según las expresiones anteriores. En dicha tabla se observa: -

Para alturas He menores de 32.1 m, o alturas totales menores de unos 46 m todos los elementos de la estructura llegarían al desplazamiento de fluencia antes que al desplazamiento de diseño; ∆Y< ∆e, tanto para los muros como para los pórticos. Se tendría el “Caso a” de la estructura sustituta.

-

Para alturas He mayores de 32.1 m o alturas totales mayores de aproximadamente 46 m, los muros no llegarían a la fluencia del refuerzo para el desplazamiento de diseño, pero los pórticos sí. Es el “Caso b” de la estructura sustituta.

-

Si la relación de esbeltez de las luces de los pórticos (Lb/hb) fuera de 15, en lugar de 10, su desplazamiento de fluencia sería aproximadamente ∆ Y ≈ 0.016 He, y los pórticos no llegarían en ningún caso a fluencia para el desplazamiento de diseño supuesto. En este caso, para alturas totales mayores de unos 46 m ningún elemento de la estructura llegaría a fluencia para el desplazamiento de diseño. Se tendría el “Caso c” de la estructura sustituta. Tabla 4.1 – Distorsiones angulares de los muros y los pórticos del ejemplo He 12 m 18 24 30 32.1 36 45 54 60

Hn 17.1 m 25.7 34.3 42.9 45.9 51.4 64.3 77.1 85.7

Are 4 6 8 10 10.7 12 15 18 20

∆e diseño 0.18 m 0.27 0.36 0.45 0.48 0.54 0.67 0.81 0.90

∆Y muro 0.07 m 0.15 0.27 0.42 0.48 0.60 0.95 1.36 1.68

∆Y pórtico 0.13 m 0.19 0.25 0.32 0.34 0.38 0.47 0.57 0.63

θY muro 0.0056 0.0084 0.0112 0.0140 0.0150 0.0168 0.0021 0.0252 0.0280

θY pórtico 0.0105 0.0105 0.0105 0.0105 0.0105 0.0105 0.0105 0.0105 0.0105

Para derivas de diseño más restrictivas que las supuestas en el ejemplo se presentaría respuesta elástica de los edificios analizados para alturas menores que las anotadas. En la Sección 5.3 se presenta un ejemplo numérico del “Caso c” de la estructura sustituta.


4-7

Además de los Casos “b” y “c” anteriores, relacionados con la estructura sustituta, pueden presentarse otras situaciones atípicas, más relacionadas con el espectro de desplazamientos de diseño que se utilice. Aquí se llamarán Casos “d” y “e”.

4.1.4. Caso d – El desplazamiento de diseño es mayor que el desplazamiento espectral máximo Este caso se mencionó en la Sección 3.3.3: el desplazamiento de diseño es mayor que el valor espectral máximo basado en el amortiguamiento viscoso equivalente (ver figura 4.4). Calvi-Sullivan (2009) proponen calcular el periodo efectivo requerido Te, con la ecuación (3.24), ya vista: Te = TL .∆d/Sdξ En donde TL es el periodo de inicio del valor constante en el espectro de desplazamientos, ∆d es el desplazamiento de diseño y Sdξ es el desplazamiento espectral máximo, para el amortiguamiento viscoso equivalente ξ. Esto equivale a prolongar la zona ascendente lineal del espectro de desplazamientos hasta encontrar el valor del desplazamiento de diseño ∆d. Calvi-Sullivan (2009) proponen adicionalmente limitar el valor máximo de la rigidez efectiva requerida, Ke máx, según la ecuación (3.25), reproducida a continuación: Ke máx = 4 (Sdel/∆d) π².Me/Te² En donde Sdel es el desplazamiento espectral máximo para el nivel elástico de amortiguamiento. Esto equivale a corregir el cortante basal de diseño en la proporción desplazamiento espectral elástico máximo/desplazamiento de diseño, o (Sdel/∆d). Es una manera simplificada de considerar en los diseños la meseta del espectro de desplazamientos, mientras se investiga más el tema. Equivale también a usar la rigidez básica Ke de la ecuación (3.15) y limitar el desplazamiento de diseño a un valor Sdel (ver Secciones 3.3.1 y 3.3.3); así: VBASE máximo = Ke.Sdel

Figura 4.4 - Casos especiales del DDDBD, relacionados con el espectro de desplazamientos El “Caso d” puede presentarse con alguna frecuencia, sobre todo cuando el desplazamiento espectral máximo es pequeño. En las secciones 5.1, 5.2, 5.4 y 5.5 se presentan ejemplos de este caso de la estructura sustituta. Para algunos sitios con desplazamientos espectrales pequeños pero aceleraciones muy altas (como Chile 2010), los cortantes VBASE obtenidos con la propuesta de Calvi-Sullivan (2009) resultan sorprendentemente pequeños; ver Sección 5.5. Es un tema que requiere mayor investigación.


4-8

A continuación se examina simplificadamente, bajo qué condiciones pudiera presentarse este caso en edificios de muros y de pórticos. 4.1.4.1. Edificios de muros Con base en las ecuaciones (3.36) y (3.39), el desplazamiento a la altura del SDOF equivalente, He, será: ∆e = εy He² (1 – He/3 Hn)/Lwe + (θc - εY.Hn/Lwe) He Según la Sección 3.3.3, Tabla 3.2, el factor de corrección del espectro de desplazamientos, Rξ, para ductilidades µ>2, es del orden de 0.7; si se usa ∆e ≈ 0.7 Sdel y He ≈0.7 Hn en la ecuación anterior se obtiene, para el límite correspondiente al “Caso d”: 0.7 Sdel ≈ 0.49 εy.Hn² *0.77/Lwe + 0.7 (θc - εY.Hn/Lwe).Hn Sdel ≈ 0.54 εy Hn²/Lwe + θc Hn - εY.Hn²/Lwe Sdel ≈ θc Hn – 0.46 εY.Hn²/Lwe Lwe ≈ 0.46 εy.Hn/(θc - Sdel/Hn) Es decir, dados una altura total Hn, un desplazamiento espectral elástico máximo Sdel y la distorsión angular permitida θc, el “Caso d” se presentaría en los sistemas de muros con una longitud equivalente aproximada Lwe >0.5 εY Hn/(θc - Sdel/Hn) Por ejemplo, en un edificio de muros de 36.0 m de altura total, donde se diseñara con base en θc = 0.025, εy = 0.002 y Sdel máximo = 0.50 m, el “Caso d” se presentaría en edificios con longitud equivalente Lwe > 3.4 m, aproximadamente. 4.1.4.2. Edificios de pórticos En edificios de pórticos de más de 4 pisos de altura, el perfil de desplazamientos está dado por la ecuación (3.50b), reproducida a continuación: ∆i = θd.Hi (1 – Hi/4 Hn) Para la distorsión angular de diseño, θc, el desplazamiento a la altura He será: ∆e = θc.He (1 – He/4 Hn) Si se supone He ≈ 0.7 Hn, ∆e ≈0.58 θc Hn Si se supone µ>1.5, el factor de corrección para el espectro de desplazamientos, Rξ, es del orden de 0.7; para He ≈ 0.7 Hn, se obtiene en el límite del “Caso d”, con base en la ecuación anterior: 0.7 Sdel ≈ 0.7 Hn.θc *(1 – 0.7/4) Hn ≈ 1.2 Sdel/θc Es decir, dados un desplazamiento espectral elástico máximo Sdel y una distorsión angular permitida θc, el “Caso d” se presentaría en los edificios de pórticos con alturas: Hn > 1.2 Sdel/θc, aproximadamente Por ejemplo, en un edificio de pórticos donde se diseñara para θc = 0.025 y Sd elástico máximo = 0.50 m, el “Caso d” se presentaría para una altura total Hn > 24.0 m, aproximadamente.


4-9

4.1.5. Caso e – El desplazamiento de fluencia es mayor que el desplazamiento espectral máximo En estructuras muy flexibles o para sismos con desplazamientos espectrales máximos pequeños, puede ocurrir que el desplazamiento de fluencia de la estructura supere el valor espectral máximo correspondiente al 5% de amortiguamiento (valor Sdel, para el periodo de quiebre del espectro elástico, TL; ver figura 4.4). Básicamente pueden presentarse dos situaciones: a- En el caso de los puentes o de tanques elevados, donde no existen restricciones a las derivas de diseño, regiría la capacidad de deformación unitaria de los materiales, la cual no se excede y entonces podría diseñarse para cortantes sísmicos nominales o para cargas de viento, pero sin olvidar los efectos de interacción suelo-estructura ni los efectos P-Δ, que se pueden volver significativos. b- En el caso de los edificios existen una restricción de Norma, θc, y un desplazamiento de diseño correspondiente del SDOF equivalente, Δd, que puede deducirse a partir de θc; así se busca proteger los elementos no estructurales; ver Capítulo 3. Se pueden dar dos casos: Si ΔdSdel se tendrá un “Caso c” de la estructura sustituta. Ver Sección 4.1.3. Si Sdel<Δd, entonces no existe una solución única para la resistencia sísmica requerida: en vista de que no se excederían los límites de deriva de la Norma ni la capacidad de deformación unitaria de los materiales, podrían usarse cortantes sísmicos de diseño nominales o bien diseñar para cargas de viento. El tema se examina más extensamente en la Sección 4.2. Los efectos P-Δ pueden ser importantes; ver Sección 4.8. 4.2. ESTRUCTURAS DE MUROS EN SITIOS CON DESPLAZAMIENTO Sd MÁXIMO PEQUEÑO Algunos registros de sismos, como los de Chile – Febrero – 2010, indican aceleraciones muy altas, pero espectros de desplazamientos con valores relativamente pequeños; ver figura 4.5, para Zona 2, Suelo II, (Boroschek, 2010). Algo similar ocurriría con los espectros de desplazamiento de la Norma NSR-10 para suelos Tipo A, B, C, en zonas de amenaza sísmica intermedia y baja. A continuación se presentan algunas consideraciones acerca de estas condiciones.

Figura 4.5 - Terremotos de Chile 2010 - Espectros de desplazamientos para Z2, SII (Boroschek et al. 2010)


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4.2.1. Muros que permanecen elásticos para el sismo de diseño Se sabe que el desplazamiento de fluencia de un muro estructural, de longitud Lw y sección constante, a la altura del SDOF equivalente He, vale aproximadamente (ecuación 3.3a, Sección 3.2.1): Y ≈ 2 εY.He²/(3 Lw) De aquí puede deducirse la expresión: He ≈ √(1.5 Lw.∆Y/εY) Para fy=420 MPa y εY ≈ 0.002 se tendría: Hey ≈ √(750 Lw.∆Y) Lw ≈ Hey²/(750 ∆Y)

(4.5) (4.6)

En la Tabla 4.2 se muestra, para diferentes longitudes de muro, Lw, la altura He con la cual se produce un desplazamiento de fluencia ∆Y = 0.30 m, el máximo valor aparente de Sd elástico en el caso de la figura 4.5. Según la ecuación (4.5), para alturas mayores que Hey de la Tabla, el desplazamiento de fluencia del muro sería mayor de 30 cm, con lo cual su comportamiento sería elástico para el sismo considerado. En la Tabla también se indica la altura total, Hny ≈ 1.4 Hey. Tabla 4.2 - Alturas requeridas para llegar a fluencia de muros, correspondientes a Sd = 0.30 m (Ecuación 4.5) Lw Hey Hny (m) (m) (m) 2.0 20.5 29 3.0 25.1 35 4.0 29.0 41 5.0 32.4 45 6.0 35.5 50 7.0 38.3 54 8.0 41.0 57

Figura 4.6 – Desplazamiento de fluencia de los muros estructurales – Ecuación (4.5)


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En la figura 4.6 puede observarse la representación gráfica de la ecuación (4.5), para fy=420 MPa. Una vez establecido el desplazamiento máximo esperado, ∆d, la gráfica indica cuáles muros se comportarían elásticamente y no llegarían a fluencia, según su longitud, para diferentes alturas equivalentes He. Por ejemplo, para una altura total Hn = 40.0 m, He ≈ 28.0 m y un desplazamiento ∆d = 0.25 m, los muros con longitudes menores que 4.0 m no llegarían a fluencia.

4.3.1. Muros que llegan a fluencia, pero no requieren elementos de borde confinados Cuando los desplazamientos de diseño son pequeños, puede presentarse el caso de muros que llegan a su estado de fluencia, pero cuyos materiales no alcanzan los límites de deformación unitaria de los materiales para el estado límite de servicio. Dichos muros no requerirían elementos de borde confinados. Con base en el estado límite de servicio, correspondiente a deformaciones unitarias del concreto y del acero, εc=0.004 y εs=0.015, se llega a ductilidades de curvatura μ φs del orden de 4 (Priestley-Kowalski, 1998). Según se vio en la Sección 3.2.2, ecuación (3.9b), la ductilidad de desplazamiento vale aproximadamente: μ∆ ≈ 1 + 2 (μφ - 1)/Ar Para una ductilidad μφ = 4, y llamando Ar = Hn/Lw, Are=He/Lw, Ar ≈1.4 Are, se deduce: μ∆ ≈ 1 + 4.2/Are Para el estado límite de servicio el desplazamiento máximo, sin exceder límites de deformación de los materiales, sería entonces: S ≈ (1 + 4.2/Are) Y

(4.7)

Reemplazando el valor de ∆y según la ecuación (3.3a), Sección 3.2.2, se tendrá: S ≈ 2 (1 + 4.2/Are) εY.He²/3 Lw Si se supone fy=420 MPa y εY ≈ 0.002, se deduce: He² + 4.2 Lw.He - 750 LwS = 0

(4.8)

La solución aplicable (He>0) de esta ecuación cuadrática es: He ≈ √(4.4 Lw² + 750 Lw.S) – 2.1 Lw

(4.9)

Aunque esta ecuación sea sólo aproximada y se pudieran obtener valores más ajustados usando expresiones más elaboradas para la relación entre ductilidad de curvatura y ductilidad de desplazamiento, como las de las ecuaciones (3.7a) y (3.7b), los valores indicados a continuación dan alguna idea de lo que ocurre con las necesidades de confinamiento de los muros, para diferentes alturas, longitudes y desplazamientos sísmicos esperados; se supone además que se trata de edificios regulares. En la Tabla 4.3 se registran las alturas, según la ecuación (4.9), a partir de las cuales se excede el estado límite de servicio de un muro de longitud Lw, para un valor del desplazamiento del SDOF, Sd ≤ 0.30 m y con Hn ≈ 1.4 He. Puede observarse que para sismos con desplazamientos como los registrados en la figura 4.5 y para alturas totales mayores de unos 40 m, es poco probable que los muros de menos de 8 m de longitud,


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usuales en edificios de vivienda o de oficinas, lleguen al estado límite de servicio de los materiales o que requieran confinamiento especial en sus bordes. Ello no garantiza sin embargo que dichos muros cumplan requisitos de desempeño para protección de los elementos no estructurales. Tabla 4.3. Alturas para llegar a estado límite de servicio, con Sd=0.30 m - (Ecuación 4.9) He Hn Lw (m) (m) (m) 2.0 17.4 24.4 3.0 20.4 28.6 4.0 22.8 31.9 5.0 24.6 34.5 6.0 26.2 36.7 7.0 27.6 38.7 8.0 28.8 40.4 10.0 30.9 43.2 En la figura 4.7 puede observarse la representación gráfica general de la ecuación (4.9). Una vez establecido el desplazamiento máximo esperado de un edificio, ∆d, la gráfica indica cuáles muros no alcanzarían a llegar al estado límite de servicio, según su longitud, para diferentes alturas equivalentes He. Teóricamente, estos muros no requerirían confinamiento especial en los extremos de su sección. Debe tenerse en cuenta sin embargo, que el problema puede ser más complejo en edificios con irregularidades en altura (sobre todo en “edificios con losas de transición”) o con irregularidades torsionales y que se supone que los detalles de refuerzo y la construcción son correctos.

Figura 4.7 – Desplazamiento en Estado Límite de Servicio vs. Altura de un muro - Ecuación (4.9) Las consideraciones de las Secciones 4.2.1 y 4.2.2 pueden no ser siempre válidas para edificios irregulares, pero sí podrían explicar en parte los pocos daños estructurales que se presentaron durante los sismos de Chile 2010 en algunos edificios altos de muros.


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4.3.2. Comportamiento sísmico de los muros esbeltos A continuación se presentan algunas consideraciones adicionales sobre el comportamiento de los edificios altos o con muros esbeltos. En la Sección 3.7 se dedujo una relación entre la longitud de un muro, Lw, y la distorsión angular θc, para diferentes relaciones de ductilidad μ. Esta relación se puede expresar mediante la ecuación (3.85), repetida a continuación: Lwe ≈ (0.56 µ + 0.44) εY.Hn/θd De aquí se deducía que para el caso en que μ=1 (comportamiento elástico) los muros de longitud menor que la indicada por la ecuación (3.87), repetida a continuación, muy probablemente no lleguen a fluencia para la distorsión angular de diseño θd: LwLIM ≈ εY.Hn/θd En el mismo ejemplo de la Sección 4.2.1, para Hn=30.0 m, εy ≈ 0.002, independientemente del espectro de desplazamientos: -

Para θc = 0.02, los muros de longitud menor que 3.2 m no llegarían a fluencia. Para θc = 0.014, los muros de longitud menor que 4.5 m no llegarían a fluencia.

Para alturas mayores las condiciones serían aún más favorables: para Hn=60.0 m, θc=0.02, los muros de longitud menor que 6.0 m no llegarían a fluencia y aun los muros más largos probablemente tendrían demandas pequeñas de ductilidad. Por ejemplo, según la ecuación (3.86): µ ≈ 1.8 Lwe θd/(εY.Hn) - 0.8 Para el mismo caso de 60 m de altura y θc=0.02, un muro de 8.0 m de longitud, Are ≈ 5.6, tendría una demanda de ductilidad de desplazamiento del orden de 1.6, que podría alcanzarse sin llegar al límite de servicio. Pero no debe olvidarse que, aunque los muros estructurales de un edificio no llegaran a fluencia ni sufrieran daños importantes durante el sismo de diseño, sí podrían excederse los límites de un diseño adecuado por desempeño y podrían presentarse daños significativos de los elementos no estructurales. Esto podría ocurrir en los Casos “b” y “c” de la estructura sustituta. Para garantizar un desempeño adecuado habrá que diseñar esos edificios para unos cortantes mínimos, según se explicó en las Secciones 4.1.2 y 4.1.3 De otra parte, pueden presentarse también casos en los que el edificio no llegue a fluencia y además el desplazamiento espectral elástico máximo esperado no exceda el desplazamiento permitido por la Norma (ver Sección 4.1.5 y figuras 4.5, 4.6 y 4.7); en esos casos no existe una solución única para la resistencia sísmica requerida y esos edificios pudieran diseñarse para las fuerzas laterales de viento. Se concluye una vez más que, a partir de cierta altura de los edificios, sus desplazamientos sísmicos son más importantes que las aceleraciones. Para estructuras de periodos cortos, como los edificios bajos y los puentes, seguramente serán más importantes las aceleraciones. En cambio, un sismo como el de México 1985, con sus altos desplazamientos espectrales, tendrá un potencial de daños mucho mayor que el de Chile 2010 en edificios medianos o altos. En la figura 4.8 (Ayhan – Response of Structures to Earthquake Ground Motions), se muestran los espectros de desplazamientos para algunos sismos notables. En la figura se representa Viña del Mar-1985; en Chile-2010 (no incluido en la figura) se presentaron aceleraciones más altas, pero en general los desplazamientos espectrales no fueron muy grandes.


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Figura 4.8 – Comparación de algunos espectros con amortiguamiento ξ=5%

4.3. COMENTARIOS SOBRE LOS ESPECTROS DE DESPLAZAMIENTO DE NSR-10 PARA BOGOTÁ Y MEDELLÍN En la figura 4.9 se muestran los espectros generales de desplazamientos según la Norma NSR-10. Para Bogotá y Medellín Aa=0.15 y Av=0.20; en la Tabla 4.4 se indican, para cada tipo de suelo, los valores más representativos de los espectros para estas condiciones: Fa = Coeficiente de amplificación para periodos cortos Fv = Coeficiente de amplificación para periodos intermedios Tc = Periodo de inicio de la zona de velocidad espectral constante TL = Periodo de inicio de la zona de desplazamiento constante Sdmax Sdc = Desplazamiento correspondiente a Tc Sdmax = Desplazamiento espectral máximo

Figura 4.9 – Espectros de desplazamientos NSR-10


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Tabla 4.4 – Valores del espectro de desplazamientos Bogotá y Medellín Suelo

Fa

Fv

A B C D E

0.8 1.0 1.2 1.5 2.1

0.8 1.0 1.6 2.0 3.2

Tc (s) 0.64 0.64 0.85 0.85 0.98

Sdc (m) 0.030 0.038 0.081 0.102 0.186

TL (s) 1.92 2.40 3.84 4.80 7.68

Sd max (m) 0.092 0.144 0.369 0.576 1.475

Estos valores afectan mucho los diseños basados en desplazamientos de los edificios medianos y altos; surgen algunas inquietudes para el caso de Medellín, que deben resolver los estudios locales de microzonificación: -

¿Están bien calibrados en la Norma los valores de Tc para Medellín? Según un estudio de Jaramillo J.D. (2001), esos valores debieran estar entre 0.4 y 0.75 s, según la Zona de la Microzonificación de la ciudad; pero en la Tabla anterior varían entre 0.64 y 0.98 s.

-

¿Están bien calibrados los desplazamientos máximos que se pueden esperar en Medellín, hasta de 0.6 m en suelos Tipo D, ó 1.5 m en suelos Tipo E? Según Jaramillo J.D. (2001), los desplazamientos máximos esperados para Medellín serían bastante menores, aun en las zonas más críticas (zonas 3 y 12 de la Microzonificación). Para efectos de ingeniería sísmica, la propagación de la onda sísmica desde el interior de la tierra, en donde lo que se ve finalmente es el resultado de la propagación a través de todo el perfil desde el basamento rocoso, probablemente la mayoría de las zonas de Medellín puedan ajustarse a los 8 parámetros de diseño que la Norma especifica como zonas A, B y C. En algunos sitios próximos a Medellín, como Sabaneta y Ríonegro, sí existen terrenos con suelos blandos profundos, posiblemente Tipo D y E. Debe anotarse que la NSR-10 clasifica los suelos según las propiedades promedio de los 30 m superiores del sitio; pero algunas veces el ingeniero geotécnico prefiere clasificarlos de acuerdo con las características de los suelos superficiales; los resultados de clasificación del suelo pueden ser muy diferentes en uno u otro caso.

La ciudad de Bogotá tiene los mismos parámetros básicos de diseño sísmico que Medellín. Allí, sin embargo, sí es bien conocida la existencia de suelos muy blandos y los desplazamientos máximos resultantes de la Tabla 4.4 pudieran ser más reales. Seguramente los estudios de microzonificación de cada ciudad actualizarán estos datos. Según la Tabla 4.4, para suelos Tipo A, B y C los desplazamientos espectrales máximos serían menores que 0.37 m. Las condiciones serían similares a las de Chile 2010, comentadas en la Sección 4.2, pero con menores aceleraciones espectrales en el caso de NSR-10. Igual que en Chile, los edificios de altura mediana o grande podrían ser poco propensos a daños estructurales o no estructurales y sus requisitos de confinamiento podrían ser sencillos.

8

Según Juan Diego Jaramillo, correspondencia personal, Enero 2011


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4.4. LOS LÍMITES DE CONTROL DE DERIVAS DE LA NORMA NSR-10 Y EL DDBD En la Norma NSR-10 se especifican límites bastante exigentes de las derivas: 1% de la altura de piso en los edificios de concreto, acero o mampostería con predominancia de la flexión; para otros edificios de mampostería el límite es de 0.5%. Otras Normas internacionales permiten valores del orden del 2 a 2.5% para edificaciones de uso normal (vivienda, oficinas). Las derivas se evalúan en NSR-10 mediante un análisis elástico y en principio deben usarse propiedades de secciones fisuradas; en ese caso los valores calculados pueden multiplicarse por un factor de 0.7 y esto equivale a permitir derivas de diseño para las estructuras de concreto reforzado, mampostería y mixtas: θd ≤ θc = 0.014 Edificios con muros de concreto: Según la ecuación (3.35), reproducida a continuación, la deriva elástica máxima de un muro vale aproximadamente: θyn ≈ εY.Hn/Lw = εY .Ar De aquí se deduce, para acero de refuerzo con fy = 420 MPa y εY≈ 0.002, θy ≈ 0.002 Ar Resulta así que los muros con esbeltez Ar = Hn/Lw >7 tendrían desplazamientos de fluencia θc ≥ 0.014 y no llegarían a fluencia en edificios que cumplan las derivas de NSR-10. Por ejemplo, en edificios regulares y sin problemas de torsión, con altura total mayor que 35.0 m, todos los muros con menos de 5.0 m de longitud se comportarían elásticamente bajo el sismo de diseño. Teóricamente no requerirían elementos de borde confinados; pero sí habría que verificar que su rigidez y por lo tanto su resistencia fueran adecuadas para cumplir requisitos de derivas. Ver Secciones 4.1.2 y 4.1.3, casos “b” y “c” de la estructura sustituta. Edificios con pórticos de concreto: En la Sección 3.1, ecuación (3.2), reproducida a continuación, se vio que la deriva de fluencia de un piso de un pórtico vale: θY = 0.5 Y (Lb/hb) En donde Lb es la luz entre ejes y hb es el espesor de la viga. De aquí se deduce, para acero de refuerzo con εY = 0.002, en un pórtico analizado con secciones fisuradas, θy ≈ 0.001(Lb/hb) Resulta así que en los edificios de pórticos que se diseñen para que cumplan derivas de NSR-10, todas las vigas con relación (Lb/hb) >14 tendrían una distorsión angular de fluencia θy ≥ 0.014 y se comportarían elásticamente durante el sismo de diseño; sus requisitos de confinamiento no tendrían que ser muy estrictos. Pero sí habría que verificar que su rigidez y por lo tanto su resistencia fueran adecuadas para cumplir requisitos de derivas. Ver Secciones 4.1.2 y 4.1.3, casos “b” y “c” de la estructura sustituta. Muchas de las vigas que se usan en Colombia en zonas de amenaza sísmica intermedia y baja, para edificios de alturas medianas o pequeñas, son de las características mencionadas en el párrafo anterior. En los edificios de vivienda y oficinas se presentan frecuentemente luces del orden de 8.0 m, con vigas de 0.6 m o


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menos de espesor, relación Lb/hb>13, muy cercana al límite mencionado para comportamiento elástico de las vigas de los pórticos. La filosofía del diseño sismo resistente acepta el comportamiento inelástico de las estructuras en el estado límite de control de daños, para poder alcanzar resultados racionales y económicos; los métodos DDBD comparten este mismo concepto. Lo anotado en los párrafos anteriores indica que con los actuales requisitos de derivas de nuestra Norma probablemente se llegará en muchos casos a estructuras de comportamiento elástico para el sismo de diseño, lo cual no está de acuerdo con la filosofía mencionada; estos requisitos debieran ser revisados de acuerdo con la práctica internacional. Con derivas más permisivas para el estado límite de control de daños se llegaría a diseños más racionales, consistentes y económicos; con los límites actuales sería difícil aplicar eficientemente los métodos DBD. Además, se debieran establecer varios estados límites de diseño, similares a los indicados en el Capítulo 1, “Diseño por desempeño”.

4.5. EDIFICIOS BAJOS, REGULARES, CON SISTEMA DE MUROS ESTRUCTURALES En Medellín se han usado en los últimos años, sobre todo para edificios económicos de vivienda de alturas moderadas o pequeñas (hasta de unos 12 pisos), sistemas de muros estructurales muy delgados, a veces hasta de 8 y 10 cm de espesor, diseñados con una sola capa de refuerzo. La solución resulta atractiva económicamente para los constructores, pero muchos ingenieros han manifestado su inquietud sobre el posible comportamiento sísmico de esos muros, sobre todo porque con esos espesores sería imposible confinar los extremos de sus secciones. A veces se ha justificado su posible buen comportamiento sísmico con base en la “fórmula chilena” de Sozen (1989), quien llegó a la conclusión de que para un sismo como el de Viña del Mar, 1985, los edificios de muros de concreto con áreas totales de sus secciones mayores que el 3% del área del piso, en cada dirección principal, disponían de una rigidez adecuada para controlar los daños estructurales, sin necesidad de detalles especiales de confinamiento en sus bordes. El documento mencionado de Sozen (1989) incluía algunas hipótesis poco divulgadas, que no permiten aplicar a ciegas esta “receta”: -

Los análisis teóricos consideraron muros con relación altura/longitud entre 2 y 5. Los edificios debían ser regulares, sin respuesta torsional significativa. Sozen sugería, como índice más racional para la evaluación del comportamiento de los muros, que los elementos de borde confinados no serían necesarios cuando la longitud de la zona comprimida (profundidad del eje neutro) fuera menor que 0.3 Lw. Este criterio tuvo eco en las versiones de UBC desde 1994 y ACI-318 desde 1999.

Es claro que, desde el punto de vista de la rigidez, no es lo mismo tener un 3% del área del piso con base en muchos muros esbeltos que con base en muros más largos. Además, la fórmula no puede ser independiente de la altura del edificio porque, a medida que crece dicha altura también deben aumentar los esfuerzos axiales y con ello la profundidad del eje neutro y pueden cambiar las necesidades de confinamiento. Si se hace una evaluación tentativa, aproximada, de los rangos probables de periodos y desplazamientos que resultarían en edificios como los comentados, puede tenerse una idea de su posible comportamiento bajo los sismos de diseño de la NSR-10, para diferentes tipos de suelo.


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Figura 4.10 - Planta de un edificio bajo, de muros delgados, en Medellín

Evaluación tentativa del posible comportamiento de un edificio de 30 m de altura: Considérese un edificio de vivienda, Hn=30 m de altura, regular en planta y en altura, situado en Medellín, a la luz de la Norma NSR-10: I=1.0, Aa=0.15; Av=0.20; fy=420 MPa. Las siguientes expresiones se toman del Capítulo A.4 de NSR-10: 3/4

Periodo aproximado Periodo fundamental de referencia

Ta = 0.049 Hn = 0.628 T = cu.Ta cu = 1.75 – 1.2 Av.Fv Tc = 0.48 Av Fv/ Aa.Fa Tc= 0.64 Fv/Fa

Periodo Tc

(Tabla A.4.2-1) (A.4.2.1) (Ecuación A.4.2-2) (Ecuación A.2.6-2) (Para Medellín o Bogotá)

En la Tabla 4.5 se presentan algunos resultados obtenidos al aplicar los valores de las Tablas A.2.4-3 y A.2.44 de NSR-10, que definen los valores de Fa y Fv para diferentes tipos de suelo. Tabla 4.5 – Valores probables de los periodos y desplazamientos espectrales para edificios de muros de concreto

Suelo

Fa

Fv

cu

A B C D E

0.8 1.0 1.2 1.5 2.1

0.8 1.0 1.6 2.0 3.2

1.558 1.51 1.366 1.27 1.20

T (s) 0.974 0.948 0.857 0.798 0.754

Tc (s) 0.64 0.64 0.853 0.853 0.975

Sd (m) 0.047 0.057 0.0714 0.0893 0.125

Cada diseño particular presentará sus propios periodos de vibración, derivas (que deben ajustarse a los requisitos de la Norma), etc. Pero los desplazamientos “Sd” registrados en la Tabla deben corresponder aproximadamente a lo esperado para un edificio regular de las características mencionadas, en diferentes tipos de suelo. Estos desplazamientos serían a la altura de un SDOF equivalente al edificio; a nivel del techo serán aproximadamente dos veces mayores. En la Sección 4.2 se dedujo la ecuación (4.5), reproducida enseguida, que permite calcular a partir de qué altura Hey del SDOF equivalente, el desplazamiento de fluencia es mayor que un desplazamiento de diseño dado y el muro no llegará a su estado de fluencia:


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Hey ≈ √(750 Lw.Sd) De aquí resultaría que para Hn=30.0 m, He ≈ 21.0 m, en el peor de los casos Sd=0.125 (según la Tabla, Suelo Tipo E) y ningún muro de longitud Lw<4.7 m llegaría a fluencia y por lo tanto no requeriría elementos de borde confinados. Para Suelo Tipo D, Sd=0.089 en la Tabla, ningún muro de menos de 6.6 m de longitud llegaría a fluencia. Se supone que el edificio es regular. Estos resultados tentativos parecen sorprendentes, pero un ensayo a tamaño real de un edificio en Bogotá, aunque de menor altura, con muros prefabricados delgados y detalles muy sencillos de refuerzo, mostró comportamientos mucho mejores que los esperados. García (1991). Tampoco las derivas, que afectan los elementos no estructurales, serían muy altas; para un desplazamiento espectral máximo de 0.125 m a una altura efectiva He≈ 21 m, la distorsión angular promedio sería θe=0.125/30.0 = 0.0042 y la distorsión angular máxima (en el último nivel) sería θmax ≈ 1.6 θe = 0.067, valor menor que el máximo permitido en la Norma NSR-10. Algunas consideraciones respecto a este tipo de edificios: -

La densidad de muros en este tipo de edificios suele ser relativamente alta. La cuenta de los promotores de vivienda es que los muros de sus proyectos tienen en cada piso un área en elevación de aproximadamente 1.4 veces el área de la planta.

-

Si se toma como referencia un área de 100 m² en planta, el área total correspondiente de muros sería de 140 m², en elevación.

-

Para una altura de piso de 2.50 m, esto lleva a 56 metros lineales de muro, que con un espesor de 10 cm promedio, daría 5.6 m² de área de muro en planta o 5.6% del área del piso, repartidos en dos direcciones. Si el área de los muros estuviera dispuesta aproximadamente igual para cada dirección, esto no estaría muy lejos de la “fórmula chilena” (3% de área de muros en cada dirección); aunque ya se anotó que esa fórmula tiene limitaciones.

-

Lo ideal sería realizar una evaluación con base en DDBD, o al menos según las ecuaciones (4.5) y (4.9) o la figuras 4.6, 4.7, para conocer el posible estado de deformaciones en los diferentes muros y de acuerdo con ello la necesidad o no de confinamiento. Pero habría que mirar de todos modos los resultados numéricos con mucha prudencia, ante las siguientes inquietudes: o ¿Cuál es el espesor mínimo admisible de un muro? Constructivamente se habla de 8 cm. Por capítulo C.14.5.3 de NSR-98 (igual en NSR-10) no debe ser menos de 1/25 de la altura de piso ni menor que 10 cm, cuando se usa el “Método empírico”. Pero algunos ingenieros aducen que cuando se aplica el Capítulo C.10 de la Norma desaparece esa restricción. o En un muro muy delgado, cualquier error en la colocación del refuerzo puede dejarlo muy excéntrico, casi contra una cara de la formaleta… ¿Funcionará igual que el refuerzo teórico, centrado? o En los muros con dos capas de refuerzo los estribos y los ganchos suplementarios amarran las varillas verticales y limitan su pandeo. ¿Pero, cómo se logra esa estabilización de las barras verticales en los muros reforzados con una sola capa, especialmente cuando no se usa malla electro-soldada sino varillas individuales, amarradas con alambre?


4-20

o Aun con refuerzo de malla electro-soldada pudieran presentarse en las barras verticales relaciones altas “s/db” del (espaciamiento)/(diámetro de barra); por ejemplo, para Malla D221 se tendría (s/db=15/0.65=23!! …Muy probablemente esto funcionará mal para pandeo de las barras verticales y si durante un sismo se presentara apertura y cierre alternado de grietas pudiera llegarse a la rotura de las barras verticales (ver Priestley et al. 2007, Sección 4.2.2). Esta inquietud es particularmente importante cuando se usan cuantías muy bajas de refuerzo vertical ¡Y a veces se ven diseños con cuantías de 0.0012! o ¿Funcionan igual los traslapos del refuerzo vertical encerrados con estribos que los traslapos de una sola capa de refuerzo? El comportamiento de un traslapo depende también de su posición dentro del concreto que lo rodea. ¿Podría resolverse este problema encerrando los traslapos con espirales de varillas de diámetro pequeño? o Se supone generalmente acción de diafragma horizontal de las placas. ¿Cómo se puede anclar el refuerzo de dichas placas en muros de fachada de 8 ó 10 cm de espesor, para garantizar un buen comportamiento? o Si los análisis indican que se necesitan elementos de borde, algunos diseñadores usan un espesor mínimo de 12 cm “para poder confinar”. Suena muy difícil lograr allí 2 capas de refuerzo, aun en el papel. o Algunos diseñadores usan cuantías mínimas del 0.12%, cuando se los permiten los capítulos C.21 y C.14 de la Norma, pero esto es menor que el refuerzo mínimo exigido por retracción de fraguado y temperatura. ¿Será esto adecuado? Se sabe de fallas por agotamiento de la capacidad de deformación del refuerzo a tracción en muros estructurales con cuantías muy bajas, durante el Sismo de Viña del Mar, 1985 o por apertura y cierre repetido de grietas de tracción muy anchas, debidas a las cuantías bajas de refuerzo (“pandeo por tracción”). o Las solas cargas verticales imponen limitaciones a los espesores, por pandeo. o Los muros esbeltos pueden tener problemas de pandeo, sobre todo si son largos y no tienen aletas en sus extremos. En Paulay-Priestley, (1992), se encuentran conceptos útiles para esa verificación teórica. A veces se ha recomendado que la relación altura de piso a espesor de los muros no exceda un valor de 16 (15 cm para alturas de piso de 2.40 m libres). o Según NSR-10, C.21.9.2.3, si el esfuerzo cortante de diseño de un muro supera un valor de 0.17 √f’c, se deben usar dos capas de refuerzo. Si ello ocurriera, en 10 cm de espesor sería imposible acomodarlas. o Según NSR-10, C.14.3.6, también se requerirían estribos de confinamiento si la cuantía de refuerzo vertical excede el 1.0%. Con 10 cm de espesor esto no sería construible. o Probablemente algunos ensayos a escala real puedan despejar dudas en este tema.

4.6. LA NECESIDAD DE CONFINAR LOS MUROS EN ACI-318 (NSR-10) Y EL DBD A continuación se compara la evaluación de la necesidad de elementos de borde confinados en los muros según NSR-10 ó ACI-318, con lo que se requeriría según una metodología DBD.


4-21

4.6.1. Necesidad de elementos de borde confinados, según DBD Priestley-Kowalski (1998) hallaron, para esfuerzos axiales pequeños y cuantías de refuerzo entre 0.25% y 2.0%, que la curvatura que puede alcanzar una sección de concreto reforzado en estado límite de servicio, φs, sin detalles especiales de confinamiento, con base en el valor más desfavorable entre los correspondientes a las deformaciones unitarias del concreto y del acero, εc=0.004 ó εs=0.015, es φs≈0.0174/Lw. En estas condiciones podría esperarse que el refuerzo empiece a perder su recubrimiento y que se presenten grietas hasta de 1.0 mm, reparables. Para concreto de fy=420 MPa, φY≈0.004/Lw según la ecuación (3.1), la capacidad de ductilidad de curvatura sería μ φs ≈ 0.0174/0.004 ≈ 4. En el caso de los muros y teniendo en cuenta la ecuación (3.9b), μ∆ ≈ 1 + 2 (μφ - 1)/Ar, se ve que también puede alcanzarse una capacidad de ductilidad de desplazamiento mínima, sin necesidad de detalles especiales de confinamiento de los extremos de las secciones de los muros. Por ejemplo, para Ar=8, se alcanzarían ductilidades de desplazamiento μ∆ ≈ 1.8 (ver también figura 3.13). El desplazamiento del extremo superior de una estructura tiene una componente elástica y otra plástica (figura 4.11): ∆ = ∆y + ∆p = ∆y + (φm - φy).Hn.Lp

(4.10)

En donde φm es la curvatura máxima en la base del muro, correspondiente al estado límite considerado.

Figura 4.11 - Deriva elástica y deriva inelástica de un muro En la Sección 3.1, ecuación (3.1) se vio que en los muros de concreto φy ≈2.0 εY/Lw. -

-

También se vio en la Sección 3.3.6.1 que, según la ecuación (3.37), en el extremo superior ∆Y ≈ Hn². Además, la curvatura máxima φm = εCM /c, en donde εCM es la deformación unitaria correspondiente del concreto y c es la longitud de la zona comprimida de la sección para las cargas de diseño, que puede expresarse como c= αLw. Ver figura 4.12. Se supondrá Lp ≈ 0.5 Lw y se denomina Ar=Hn/Lw.

Con base en lo anterior la ecuación (4.10) puede expresarse como: ∆ ≈2 εY Hn²/(3 Lw) + (εCM/(α.Lw) - 2 εY /Lw)Hn.Lw/2 ∆ ≈2 εY Hn²/(3 Lw) + (εCM/α - 2 εY)Hn/2 εCM/α - 2 εY ≈ 2 (∆ - 2 εY Hn²/[3 Lw])/Hn

(4.11)


4-22

εCM/α ≈ 2 (εY + ∆/Hn – 2 εY Ar/3)

(4.12)

α ≈ 0.5 εCM/(∆/Hn + εY – 2 εY.Ar/3)

(4.13)

Figura 4.12 – Deformaciones unitarias y curvaturas de una sección La deformación unitaria máxima que puede alcanzar el concreto confinado, ε CUC, es (Paulay-Priestley, 1992, Sección 3.2.2 b): εCUC = εcu + 1.4 ρv.fy.εsu/f’cc

(4.14)

En donde εCU es la deformación unitaria máxima del concreto no confinado, εsu es la deformación unitaria de rotura del refuerzo de confinamiento, fćc es la resistencia del concreto confinado (mayor que f’c) y ρv es la cuantía volumétrica del refuerzo de confinamiento. Para concreto no confinado εcu= 0.004 en algunos países, pero NSR-10 y ACI-318, usan un valor de 0.003. Restrepo J.I. (2006) propone la expresión más simple: εCUC≈ 0.004 + ρv.fy/300

(4.14a)

En donde fy es la resistencia del acero de los estribos de confinamiento, en MPa. Lo anterior equivale a suponer en la ecuación (4.14) εsu = 0.10 y f’cc ≈ 42 MPa. En las ecuaciones (4.14) ρv es la relación volumétrica de acero de confinamiento, ρv = ρx + ρy = suma de las cuantías de acero de confinamiento en dos direcciones ortogonales; si se usaran iguales cuantías en ambas direcciones, como es usual, podría usarse una cuantía de confinamiento horizontal ρax= ρay = ρv/2. Ver Priestley et al. (2007), ecuación (4.7), Sección 4.2.2. La Norma NSR-10 (ecuación C.21-8) y el ACI-318-08 especifican para estructuras con capacidad especial de disipación de energía (DES), el equivalente a ρax = 0.09 f’c/fy. En estas condiciones, si se supone ρv = 2 ρax (ecuación 4.7 de Priestley et al., 2007), la ecuación (4.14a) indicaría una deformación unitaria máxima del concreto confinado de: εCUC ≈ 0.004 + fć/1700

(4.14b)


4-23

Con DES, para fć = 28 MPa, la capacidad de deformación unitaria máxima del concreto sería εcuc ≈ 0.020; para fć=21 Mpa, εcuc ≈ 0.017; estos valores concuerdan relativamente bien con el anotado en la Sección 3.2.1 para el estado límite de control de daños. Para diseño con capacidad intermedia o moderada de disipación de energía (DMO), NSR-10, ecuación C.21-3, especifica ρax = 0.06 f’c/fy. En estas condiciones la ecuación (4.14a) indicaría una deformación unitaria máxima del concreto confinado de: εCUC ≈ 0.004 + fć/2500 (4.14c) Con DMO, para fć = 28 MPa, la capacidad de deformación unitaria máxima del concreto sería εcm = εcuc ≈ 0.015; para f’c=21 Mpa, εcuc ≈ 0.012. En el estado límite de servicio, con εCM = εCU = 0.003, se obtiene de la ecuación (4.13), el límite de α=c/Lw, a partir del cual sería necesario confinar los bordes de la sección de un muro. Si se supone además fy=420 MPa, o εY≈ 0.002: α ≈ 0.0015/(∆/Hn + 0.002 – Ar/750)

(4.15)

Por ejemplo, para no sobrepasar una deriva promedio máxima ∆/Hn = 0.01, el valor límite de α sería: α = c/Lw ≤ 0.0015/(0.012 – Ar/750) La figura 4.13 representa gráficamente la ecuación (4.15) y se compara con los requisitos de NSR-10, ecuación (C.21-11) o ACI-318-08, ecuación (21-8). Puede apreciarse que según los procedimientos del DBD se podría llegar en general a longitudes bastante mayores que las del ACI-318 para la zona comprimida, sin necesidad de confinamiento; sin embargo, para relaciones de esbeltez Ar pequeñas y relaciones (∆/Hn) grandes, el método de ACI-318-08 y NSR-10 estaría del lado inseguro. La ecuación general (4.13), o bien la (4.15) para fy=420 MPa y ε CU= 0.003, serían herramientas racionales para evaluar la máxima longitud permitida de la zona comprimida de una sección de concreto reforzado, c=αLw, sin necesidad de confinamiento, en función del desplazamiento máximo y de la relación de esbeltez de un muro. No debe olvidarse que en secciones con aletas el valor de “α” puede ser diferente según la dirección diseñada; ver figuras 2.9 y 2.10 y Sección 4.10. Para el uso en una Norma y en vista de las imprecisiones asociadas con el cálculo del desplazamiento máximo, se debería usar un valor de α menor que el obtenido con las ecuaciones (4.13) y (4.15). A partir de las ecuaciones (4.12) y (4.14) podría calcularse el confinamiento requerido para un muro, en el estado límite de control de daños (εCM = εCUC): De la ecuación (4.12) se deduce: εCUC ≈ 2 α (∆/Hn + εY – 2 εY.Ar/3)

(4.16)

Con base en las ecuaciones (4.14) y (4.16) puede obtenerse así para el estado límite de control de daños: εCU + 1.4 ρv fy εsu/f’cc = 2 α (∆/Hn + εY – 2 εYn.Ar/3) ρv = [2 α (∆/Hn + εY – 2 εY.Ar/3) - εCU] fćc/(1.4 fy.εsu)

(4.17) (4.18)

Con esta ecuación puede calcularse la cuantía volumétrica ρv, a partir del desplazamiento máximo de un muro, ∆, y de la longitud de su zona comprimida para la condición de carga sísmica más crítica, c = α Lw.


4-24

Esta cuantía es la necesaria para garantizar la deformación unitaria requerida del concreto en las condiciones más críticas de diseño.

Figura 4.13 – Altura de la zona comprimida, a partir de la cual se debe confinar el borde de un muro

Para el caso de la Norma NSR-10 (o ACI-318), εCU = 0.003 y suponiendo εSU=0.06, fy=420 MPa, la ecuación (4.18) llevaría a: ρv = [2 α(∆/Hn + 0.002 – Ar/750) – 0.003] fćc/35

(4.19)

En las ecuaciones anteriores, ρv es la relación volumétrica de acero de confinamiento en dos direcciones ortogonales; si se usan iguales cuantías en ambas direcciones, como es usual, ρx = ρy, se tendrá un cuantía de confinamiento horizontal ρx= ρy; ρv = 2 ρx. Ver Priestley et al. (2007), ecuación (4.7), Sección 4.2.2. En la Sección 2.4.3, ecuación (2.10), se indica cómo determinar la longitud de la zona que requiere confinamiento en los extremos de un muro, cuando se exceden las deformaciones unitarias admisibles para concreto no confinado.

4.6.2. Necesidad de elementos de borde confinados, según ACI-318, NSR-10 y el DBD Según se vio en la Sección 2.4 al deducir la ecuación (2.6), que es la misma (C.21-11) de NSR-10 y (21-8) de ACI-318-08, y al comentar la ecuación (2.2), estas normas hacen simplificaciones que ignoran los efectos geométricos de la relación de esbeltez Ar y también el desplazamiento de fluencia del edificio. Según se explicó en la Sección 2.4.3, la propuesta de Moehle (1992), ecuación (2.9), base de la formulación de UBC-94, ACI-318 y NSR-10, equivale a suponer: εCUC ≈2 α (∆U/Hn) Esto puede expresarse también como: α ≈ 0.5 εCUC /(∆U/Hn)

(4.20)


4-25

Es interesante comparar esta expresión con la más elaborada de la ecuación (4.13), analizando la relación (αACI/αDBD), en donde se llamó αACI al valor de la ecuación (4.20) y αDBD al de la ecuación (4.13), para un mismo valor de la deformación unitaria del concreto, εCUC: αACI/αDBD≈ (∆u/Hn + εY – 2 εY.Ar/3)/(∆U/Hn) αACI/αDBD≈ 1- εY (2 Ar/3 - 1)/(∆U/Hn)

(4.21)

Esta ecuación expresa la relación entre la altura de la zona comprimida, c=αLw, a partir de la cual se necesitan elementos de borde confinados según NSR-10 ó ACI-318, y el mismo valor de c según DBD. En la figura 4.14 se representa, para refuerzo de fy = 420 MPa, εY≈ 0.002, la relación de la ecuación (4.21), para diferentes valores de la esbeltez Ar y de la deriva promedio (∆U/Hn). Esta figura no corresponde totalmente con la figura 4.13, debido a que, según se explicó en el Capítulo 2, al deducir la ecuación (2.6), el ACI-318-08 usa de manera simplificada α = , mientras que según la ecuación (4.20) original, usada al deducir la ecuación (4.21), para εCU = 0.003 el valor “exacto “debiera ser α =

. Pero se observa de nuevo

que en general los valores del ACI-318 son conservadores. No se debe olvidar que el valor del desplazamiento máximo ∆U, calculado con una metodología de diseño FBD como la de la Norma NSR-10, presenta muchas incertidumbres, según se comentó en el Capítulo 2 y se comprueba en la Sección 5.4 de este documento. Sería más confiable y controlado un diseño DDBD completo.

Figura 4.14 – Representación gráfica de la ecuación (4.21)

4.7. INTERACCIÓN SUELO-CIMENTACIÓN-ESTRUCTURA Muchas veces los edificios se analizan con empotramiento total en su base o cimentación. El tema de la Interacción Suelo-Cimentación-Estructura (ISE) durante los sismos es muy complejo; puede afectar sustancialmente el comportamiento de los edificios, sobre todo los de muros de concreto, y requiere todavía mucha investigación.


4-26

Debido a la flexibilidad de la cimentación se producen mayores desplazamientos sísmicos que los de una estructura empotrada en la base y entonces aumenta el desplazamiento correspondiente a fluencia, ∆y; pero también aumenta el desplazamiento último, ∆u, que puede soportar la estructura. Ver figura 4.15. Así mismo se vuelven más importantes los efectos P-∆ (ver sección 4.8) Las distorsiones angulares o derivas de piso aumentarán respecto a un análisis con base empotrada y podrían exceder los límites establecidos por la Norma de diseño; pero aquí debe tenerse en cuenta que las derivas que más producen daños son las correspondientes a la deformación de la estructura misma (deriva tangencial) y no tanto los efectos de rotación de conjunto (∆ R en la figura 4.16 ); es decir, en análisis con ISE debieran verificarse las derivas con base en la deformación tangencial de la estructura; ver figura 4.16, distorsión angular (∆G+∆V).

Figura 4.15 – Influencia de la ISE sobre la ductilidad Llamando ∆Y0 al desplazamiento de fluencia sin ISE y ∆F al desplazamiento adicional del conjunto por efectos ISE, el nuevo desplazamiento de fluencia será ∆y1 = ∆yo + ∆F. Si el desplazamiento de diseño, Δd, está limitado por la Norma, que es el caso más común, este valor no cambia y la demanda de ductilidad de desplazamiento de la estructura flexible será: μ = ∆d/(∆yo + ∆F ) < ∆d/∆yo Si el desplazamiento de diseño depende de la capacidad de deformación de los elementos de la estructura, la demanda de ductilidad modificada será: μ = (∆d + ∆F)/(∆yo + ∆F) < ∆d/∆yo En ambos casos disminuye la demanda de ductilidad de diseño de la estructura, comparada con el caso de base empotrada. La menor demanda de ductilidad llevaría a una disminución del amortiguamiento viscoso equivalente (ver Sección 3.3.2 y ecuaciones 3.20). Pero la deformación del suelo de cimentación aporta amortiguamiento adicional que puede beneficiar la respuesta estructural, sobre todo en edificios con periodos largos; así aumentan la respuesta histerética y el amortiguamiento del conjunto. El amortiguamiento total podría definirse de acuerdo con el ingeniero geotécnico.


4-27

Para un mismo desplazamiento máximo de la estructura es probable que algunos muros que alcanzarían a plastificarse con base empotrada muestren comportamiento elástico al analizarlos con métodos de ISE. Las anotaciones siguientes se refieren principalmente a los efectos de la ISE sobre las estructuras de muros estructurales, que son las más sensibles a este fenómeno. Los comentarios son de tipo conceptual y buscan sobre todo despertar inquietudes, que lleven a investigaciones más extensas. Existen básicamente dos tipos de cimentación, con efectos ISE muy diferentes: - Cimentaciones superficiales: Apoyo sobre zapatas o sobre placas de cimentación - Cimentaciones profundas: Apoyo sobre pilotes o pilas (“caissons”)

4.7.1. Cimentaciones superficiales Ya se vio en la Sección 4.2.1 que algunos muros pueden permanecer en el rango elástico de respuesta para sismos con desplazamientos moderados, como suele ocurrir en suelos rígidos. En esos casos, al considerar la interacción suelo estructura, puede presentarse una redistribución importante de los cortantes sísmicos entre los muros de un edificio y los muros más cortos tendrían que resistir en el primer piso un cortante bastante mayor que el previsto en un análisis con bases empotradas, como se verá enseguida mediante un ejemplo.

Figura 4.16 – Componentes de los desplazamientos de muros - Cimentación superficial flexible (Pérez F.J., 2001) En la figura 4.17, Pérez F.J. (2001), se muestra un caso muy simple de dos muros conectados por losas de piso rígidas en el plano horizontal, sometidos a efectos de cargas laterales; se supone que los muros se comportan elásticamente, pero ello no afecta las conclusiones: -

Sistema de 8 pisos Altura total 20.0 m Muros de sección 0.20x1.50 y 0.15x2.50 m Cimentación sobre una zapata compartida, continua Rigidez de la zapata: EI = 200000 kN.m² 3 Módulo de reacción de la sub-rasante, Ks = 5000 kN/m Concreto de f’c = 21 MPa, Ec = 22000 MPa Fuerza horizontal total de 106 kN (10.6 tf), con variación triangular en altura


4-28

Un análisis elástico muestra un cortante máximo de 127 kN en el muro corto, mayor que el cortante total. ¡El muro más largo muestra un cortante negativo, es decir, “se cuelga” del muro corto! Si se aplicara un análisis tipo “pushover” al mismo ejemplo, inicialmente se produciría la redistribución mencionada del cortante sísmico entre los dos muros, hasta que fluya alguno. Aunque en un análisis con bases empotradas o con viga de fundación muy rígida fluiría primero el muro más largo (“Y ≈ 2 εY e²/3.Lw“, ecuación 3.3a), con la redistribución de fuerzas de la ISE podría fluir primero el muro corto, debido al aumento de su fuerza cortante; todo dependería también de la rigidez de la zapata de fundación. De nuevo, el comportamiento con ISE podría ser bastante diferente al caso de base empotrada. En este ejemplo las fuerzas horizontales aplicadas no alcanzan a producir presiones negativas o levantamiento parcial de un extremo de la cimentación. Pero este efecto puede presentarse para fuerzas o desplazamientos mayores, posiblemente con efectos benéficos para la superestructura.

Figura 4.17 – Interacción ISE en muros con fundación superficial (Pérez F.J., 2001)

4.7.2. Cimentaciones profundas con pilotes verticales El comportamiento sísmico de los edificios apoyados sobre cimentaciones profundas, con efectos de ISE, es bastante diferente al de los edificios apoyados sobre cimentaciones superficiales. En el documento Pérez F.J. (2001) se presenta el mismo ejemplo anterior de dos muros, pero con apoyo sobre pilotes (“caissons”) vinculados por una viga fuerte de enlace, sometido a cargas laterales. En el documento citado se anotan algunas conclusiones interesantes acerca de la ISE en los edificios con cimentaciones sobre pilotes: -

-

Se puede presentar una redistribución significativa de las fuerzas laterales entre los muros, similar a lo comentado en el caso de las cimentaciones superficiales. Pueden aparecer fuerzas axiales importantes de tracción y de compresión sobre los pilotes, debido al efecto de pórtico conformado por las vigas de enlace; estos efectos no debieran ser ignorados en los diseños. Los efectos P-Delta son más significativos que para el caso de bases empotradas. Pueden ser importantes los efectos de los modos superiores de vibración.


4-29

El análisis de los efectos sísmicos sobre la cimentación de los edificios apoyados en pilotes se realiza tradicionalmente con base en unas fuerzas laterales de inercia que se aplican a un modelo elástico de la superestructura. Se obtienen así en las bases de los muros y columnas unas reacciones sobre la cimentación. Luego se procede generalmente al análisis de dicha cimentación por métodos estáticos. Es una metodología similar a la usada para analizar los efectos del viento y, según puede apreciarse en la figura 4.18a, lleva a presiones de contacto entre los pilotes y el suelo, que equilibran las fuerzas laterales aplicadas a la superestructura. Los análisis convencionales indicarían así que en la parte superior de un pilote las presiones sobre el mismo son de dirección opuesta a la de las fuerzas laterales; en la parte inferior delos pilotes se presenta un cambio de dirección de las presiones de contacto. La metodología tradicional supone así que el sismo origina fuerzas laterales en el edificio, las cuales son transmitidas al suelo y resistidas por éste. La situación real durante un sismo puede ser muy diferente. Las fuerzas o el movimiento del edificio llegan desde el suelo, no desde la superestructura. En la figura 4.18b se representan de manera muy esquemática dos edificios con cimentación profunda. Se muestra un solo pilote bajo cada muro, ligados por vigas de cimentación; en la práctica pueden existir varios pilotes bajo cada muro, pero ello afecta poco las consideraciones siguientes. Los desplazamientos indicados en ambos esquemas de la figura 4.18b corresponden cualitativamente a la respuesta en el modo fundamental de vibración del conjunto sueloedificio. Puede observarse que, cuando el suelo firme o roca se mueve hacia la izquierda, los estratos superiores del suelo y la estructura se quedan retrasados, por inercia. El suelo deformado trata de arrastrar consigo los pilotes y se producen presiones de contacto sobre dichos pilotes, de dirección opuesta al movimiento del suelo firme, es decir, hacia la derecha. La forma de variación y la dirección de estas presiones son diferentes a las mostradas en la figura 4.18a.

Figura 4.18 – Diferentes enfoques para el análisis de la ISE de Cimentaciones Profundas (Pérez F.J., 2001)


4-30

Un análisis inelástico tipo “pushover”, que modelara la cimentación a partir de esquemas como el de la figura 4.18a, con “resortes” que restringieran el movimiento lateral de los pilotes, tampoco reflejaría la verdadera interacción suelo-pilotes de la figura 4.18b y los resultados de tal análisis “pushover” no serían correctos, a no ser que se encontrara alguna manera de simular apropiadamente el comportamiento del suelo. También algunos métodos de diseño DBD, sobre todo los basados en espectros de capacidad, posiblemente tendrían dificultades para incorporar adecuadamente la ISE. Con todo lo anterior parece claro que enfoques como el de la figura 4.18a, que manejan el problema sísmico con base en fuerzas externas de diseño, no son las más apropiados para representar el comportamiento real de las cimentaciones profundas durante los sismos. Una vez más, el análisis con base en desplazamientos sísmicos podría ofrecer mayor claridad conceptual para los estudios de la Interacción Suelo-CimentaciónEstructura, pero es un tema poco estudiado hasta ahora. El problema es más complejo aun: generalmente la masa del edificio es poco significativa en comparación con la masa de los suelos circundantes y entonces los desplazamientos de los pilotes deben ser muy parecidos a los del suelo que los rodea. En esas circunstancias, dos edificios con diferentes alturas, masas, períodos de vibración, desplazamientos de la superestructura, etc. (figura 4.18b), localizados en un mismo sitio, probablemente presenten deformaciones sísmicas muy similares de sus pilotes. Entonces, pilotes de igual diámetro y longitud sufrirían deformaciones muy similares en ambos edificios, a pesar de las diferencias existentes entre sus superestructuras, con excepción de algunos efectos locales en la parte superior de los pilotes, debido a que las reacciones transmitidas por la superestructura deben ser diferentes en cada caso. Más paradójico aun será que un pilote construido cerca de uno de estos edificios, pero sin ninguna carga externa, probablemente sufrirá deformaciones y esfuerzos similares a los de los pilotes de los dos edificios considerados.

Figura 4.19 – Interacción Suelo-Estructura – Edificio Colpatria, Bogotá – 1973 (Los valores de la figura no incluyen el factor de carga usual en su época) Zeevaert L., (1972) y (1980), propuso una metodología para el análisis de los efectos del arrastre de los pilotes por el suelo circundante durante un movimiento sísmico. Ver figura 4.19, correspondiente al análisis de los pilotes (“caissons”) del Edificio Colpatria, Bogotá, 1973, bajo parámetros definidos por el mismo Zeevaert; era prácticamente un diseño DBD de los pilotes (“caissons”), con base en los desplazamientos del suelo que esperaba Zeevaert para el sitio del edificio; para efectos de diseño, las fuerzas internas así


4-31

obtenidas se multiplicaban en esa época por un factor de carga, lo que equivaldría también a suponer un desplazamiento sísmico mayor. Obsérvese que los desplazamientos del pilote (línea punteada) resultaban bastante similares a los del subsuelo (línea continua). El análisis se hizo manualmente, por falta de software adecuado en esa época; por ese mismo motivo el pilote se dividió en solo 4 tramos; con las herramientas de cómputo actuales el análisis puede ser mucho más detallado. Los pilotes de una cimentación, con sus vigas de amarre, conforman pórticos. Debido a la presiones y a los desplazamientos impuestos por el efecto de arrastre del suelo circundante, se originan así fuerzas axiales en los pilotes, no siempre consideradas en los análisis tradicionales. Ello puede llevar a incrementos significativos de las fuerzas de compresión de los pilotes y a fuerzas de extracción mayores que las previstas. Si un edificio tiene sótanos con muros de contención (como el de la derecha en la figura 4.18b), los empujes sobre estos muros, para la dirección indicada del sismo, se producirán contra el costado izquierdo del edificio y probablemente se presenten presiones pasivas significativas, sobre todo si las deformaciones del suelo son importantes. En cambio un modelo como el de la figura 4.18a indicaría empujes de tierra sobre el costado derecho del edificio y tal vez se deduciría erróneamente de allí que, debido a las deformaciones pequeñas de la estructura en los primeros niveles, no se desarrollarían presiones pasivas importantes sobre los muros de contención. En Pérez F.J. (2001) se anota la necesidad de realizar para las cimentaciones profundas análisis de interacción suelo-estructura que involucren las propiedades mecánicas del suelo circundante y se propone una modelación que integre el conjunto suelo-cimentación-estructura (figura 4.20). En vista de que las cimentaciones profundas están asociadas generalmente con suelos blandos, en ese documento se propone caracterizarlos mediante vigas de cortante (“shear beams”), que sólo aportan rigidez a fuerza cortante. En ese mismo documento se presentan varios ejemplos numéricos y se llega a algunas conclusiones:

Figura 4.20 – Modelo sugerido para análisis sísmico de la ISE en cimentaciones profundas (Pérez F.J., 2001)


-

-

4-32

Los períodos de vibración crecen respecto a los de un modelo con bases empotradas. El segundo modo de vibración cobra importancia y su factor de participación puede llegar a ser mayor que el del modo fundamental. Igual que con las cimentaciones superficiales, la ISCE puede redistribuir las fuerzas sísmicas entre los muros. Aparecen fuerzas axiales en los pilotes, que no se captan en un modelo con bases de muros empotradas. Los momentos flectores y las fuerzas cortantes y axiales de los pilotes parecen ser muy sensibles ante las variaciones de rigidez de las vigas de amarre (VF en la figura 4.20). En general, si se incrementa la rigidez de la viga de amarre, disminuyen los desplazamientos horizontales del sistema, pero aumentan los momentos flectores y fuerzas cortantes de dicha viga mientras que disminuyen los momentos flectores en las cabezas de los pilotes y se incrementan sus fuerzas axiales, con el riesgo de que las fuerzas de extracción durante un sismo excedan las previstas. Los resultados son bastante sensibles a los valores de las rigideces supuestas para el suelo.

En Suárez V. (2005) se propone otro enfoque interesante, donde se simulan los pilotes como columnas empotradas a una longitud equivalente bajo el nivel del terreno; éstas serían como una prolongación de la estructura principal; en ese trabajo se ofrecen guías para calcular esa longitud equivalente en varios tipos de suelo.

Figura 4.21 - Longitud equivalente de un pilote (Chai, 2002, Suárez, 2005)

4.7.3. Cimentaciones profundas con pilotes inclinados Los pilotes y micro-pilotes inclinados son eficientes y económicos para atender las fuerzas cortantes horizontales transmitidas por los muros, pero por otra parte son muy rígidos en dirección horizontal, al funcionar como puntales sometidos a fuerzas axiales. En la figura 4.22c puede observarse que, debido a la rigidez alta de los pilotes inclinados, el desplazamiento relativo entre sus extremos superior e inferior es pequeño y se presenta así mucha resistencia al movimiento del suelo en la parte superior; en cambio hacia la mitad de la altura de los mismos pilotes sí puede predominar el arrastre del suelo. En el caso de suelos blandos y sin cambios bruscos de rigidez en altura, para bases de los pilotes empotradas en suelo firme, los momentos flectores máximos serán del orden de:


Pilotes verticales, figura 4.22 (b): Pilotes inclinados, figura 4.22 (c):

4-33

Mmáx  6 E.I.S /H² Mmáx  30. E.I.S /H²

En donde S es el desplazamiento máximo del suelo respecto a la roca o suelo firme y EI es la rigidez de cada pilote, de longitud H. En la deducción de las ecuaciones anteriores se supuso que el dado de los pilotes está restringido por el muro soportado y que así el giro del dado debe ser pequeño. En algunos casos el giro de la base del muro puede ser más significativo y ello debe aliviar los momentos flectores de los pilotes respecto a las expresiones anteriores. Las fuerzas axiales, los cortantes y los momentos flectores sísmicos que se presentan en los pilotes hincados inclinados, producidos por el arrastre del suelo circundante, pueden ser importantes. El mismo efecto debe ser menos significativo en los micropilotes, dado su menor diámetro que los hace más flexibles, además de que sólo llevan refuerzo centrado en la sección, el cual únicamente puede ofrecer una resistencia muy limitada a flexión, por lo cual tal vez funcionen durante los movimientos sísmicos más bien como elementos similares a los cables: deformaciones transversales importantes, rigidez y resistencia a flexión poco significativas, rigidez y resistencia apreciables a fuerza axial, mediante la ayuda del suelo circundante que disminuye las posibilidades de pandeo en el caso de fuerzas de compresión.

Figura 4.22 – Cimentaciones sobre pilotes verticales o sobre pilotes inclinados - (Pérez F.J., 2001) Cerca del extremo superior de los grupos de pilotes inclinados de la figura 4.22 (c) pueden producirse presiones de contacto altas contra el suelo y hasta plastificación del mismo durante los sismos. Esto puede llevar a fuerzas cortantes importantes sobre los pilotes; el problema puede atenderse en parte mediante el uso de camisas metálicas protectoras en la parte superior de los pilotes, empotradas en el dado, o mediante revestimientos blandos que limiten el contacto del pilote o del micro-pilote con el suelo. De otro lado, la plastificación del suelo puede imponer un límite a las presiones de contacto, las fuerzas cortantes y los momentos flectores producidos en los pilotes. Pueden presentarse fuerzas axiales importantes y hasta efectos de extracción. Es un tema poco investigado hasta ahora.


4-34

4.8. EFECTOS P-DELTA Los efectos P-Delta aumentan los desplazamientos de la estructura y disminuyen su rigidez efectiva; en casos extremos pueden llevar al colapso por exceso de flexibilidad. Una manera teórica simple de evaluar los efectos P-Delta es como propone Pérez F.J. (1975) y (1977), en un procedimiento intuitivo paso a paso que se explica resumidamente a continuación (ver figuras 4.23 y 4.24).

4.8.1. Los efectos P-Delta, paso a paso El SDOF de la figura 4.23 presenta inicialmente, por efectos de primer orden, un desplazamiento ∆o producido por un cortante basal Fe = Vso. Simultáneamente actúa una carga vertical total P, que puede descomponerse en la estructura deformada como una fuerza de dirección axial de valor ~P y otra horizontal, de valor P ∆o/He, equivalente a un primer incremento del cortante basal, por efectos de segundo orden. El cortante total será así (figura 4.23): Vs1 = Fe + P.∆o/He = Fe [1 + P.∆o/(Fe.He)] = Fe (1+Q) En donde Q es el “índice de estabilidad”, Q = P.∆o/(Fe.He). El cortante basal actualizado, Vs1, llevará así a un nuevo desplazamiento total ∆1 = ∆o.(1+Q).

Figura 4.23 - El efecto P-Delta paso a paso, en un SDOF En un segundo paso, figura (4.22b), la nueva condición geométrica lleva a una componente horizontal actualizada debida a la carga vertical: P.∆1/He; las nuevas condiciones serán entonces: Vs2 = Fe + P.∆1/He = Fe + P.∆o.(1+Q)/He = Fe (1 + Q + Q²) Y así sucesivamente, hasta que se llegue a la convergencia (estabilidad) del proceso, o eventualmente al colapso. El valor final del desplazamiento acumulado de los efectos de primero y segundo orden vale así: 3

4

n

∆final = ∆O (1 + Q + Q² + Q +Q + … + Q ) Y se sabe que el valor de la sumatoria del paréntesis es 1/(1-Q):

(4.22)


∆final = ∆O/(1-Q)

4-35

(4.23)

Además de los desplazamientos y del cortante efectivo, también los momentos de diseño respecto a la base del SDOF se incrementan en la misma proporción de 1/(1 – Q). De una manera similar, en los edificios completos los desplazamientos son aproximadamente proporcionales al momento de vuelco de las fuerzas laterales respecto a la base, independientemente de la distribución de dichas fuerzas en altura (Pérez, 1975); por ello, todos los efectos iniciales o de primer orden deben multiplicarse con un factor de amplificación δg ≈ 1/(1-Q).

Figura 4.24 – El efecto P-Delta, paso por paso, en un edificio (Pérez, Muñoz, 1977) La rigidez equivalente Ke, requerida en un análisis DDBD, debiera calcularse con base en un desplazamiento de diseño modificado ∆o.(1-Q) < ∆o, en donde ∆o es el desplazamiento inicial especificado para el estado límite estudiado. Los efectos P-∆ pueden ser más significativos en los edificios diseñados para fuerzas sísmicas moderadas (zonas de amenaza sísmica baja o intermedia en Colombia), porque en esos casos la rigidez lateral requerida para cumplir requisitos de desempeño puede ser relativamente baja y el efecto de vuelco adicional producido sobre la estructura deformada por efecto de las cargas verticales puede ser más importante comparado con el efecto de vuelco de las fuerzas laterales.


4-36

En la figura 4.24 (Pérez-Muñoz, 1982) puede apreciarse cómo varía la amplificación de los efectos de las fuerzas laterales, 1/(1–Q), para diferentes valores del índice Q. La Norma Colombiana ICONTEC 2000 de 1981 acogió la metodología del Índice Q, que fue básicamente conservada en las Normas Colombianas posteriores de 1984 hasta la fecha. También la adoptó el ACI-318 desde 1989. Por efectos de interacción suelo-estructura pueden incrementarse los desplazamientos, especialmente en suelos blandos y esto puede hacer más significativos los efectos P-Delta.

4.8.2. Elección de la rigidez requerida y del cortante basal de diseño de la estructura El proceso para obtener la rigidez necesaria de la estructura SDOF equivalente, teniendo en cuenta los efectos de segundo orden, puede ser como sigue: - Evaluar inicialmente, con base en el espectro de desplazamientos de diseño y en el desplazamiento que se quiere lograr, ∆d = Sd, el periodo correspondiente, Te. - Calcular la rigidez inicial requerida sin efectos de segundo orden, Keo= 4 π² Me/Te² - Obtener el cortante basal de diseño sin efectos de segundo orden, Vso = Keo.∆d - Calcular el índice de estabilidad, Q= ΣP.∆d/(Vso.He), en donde ΣP es la suma de las cargas muertas del edificio, sin mayorar (factor de carga = 1.0). - Obtener la rigidez requerida con efectos P-delta: Ke = Keo/(1-Q) - Calcular el cortante final de diseño: VBASE = Ke.∆d

Figura 4.25 – Rangos del Índice de Estabilidad (Pérez, Muñoz, 1982) En una estructura real en respuesta inelástica el problema es más complejo, porque existe sobre-resistencia de la estructura con el aumento de las deformaciones más allá del punto de fluencia (ver figura 3.15) y ello equivale a un incremento de la rigidez, que compensa parcialmente los efectos P-∆. Priestley et al (2007) proponen usar un cortante basal de diseño incrementado, según la ecuación (4.24): VBASE = Keo.∆d + C.P.∆d/He

(4.24)

Para las estructuras de concreto proponen C=0.50 y para estructuras de acero C=1.0. Recomiendan que el índice Q no exceda un valor de 0.33. También pueden existir efectos P-∆ torsionales significativos, en estructuras irregulares.


4-37

Figura 4.26 – Efectos P-Delta (Calvi-Priestley 2009)

4.9. ELEMENTOS NO ESTRUCTURALES EN EDIFICIOS DE MUROS – “DERIVA VERTICAL” Generalmente se analiza la deriva de piso o distorsión angular en dirección horizontal, θc, más significativa en los edificios de pórticos. Pero también en los edificios de muros se presentan elementos no estructurales susceptibles de daños ocasionados por deformaciones durante los sismos: ventanas, antepechos, muros secundarios de mampostería; éstos sufren distorsión en dirección vertical, o “derivas verticales”, que pueden ser más significativas que las derivas convencionales. En la figura 4.27 se deducen, a partir de simple geometría, las distorsiones angulares en dirección vertical que pueden sufrir los elementos no estructurales enmarcados por muros de concreto. Se analiza el caso simple de dos muros vecinos, de anchos respectivos B1 y B2, separados una distancia libre Lo. La deriva del nivel i, cuya altura de piso se llama hi, será δi = ∆ i+1 - ∆i. La distorsión angular θ, limitada por las Normas, vale en el nivel i: θi = δi/hi

(4.25)

Por simplicidad se ignoran los efectos de rotación global del edificio causados por interacción suelo estructura y las deformaciones axiales de los muros; así los centros de lo muros permanecen horizontales en cada piso. Al deformarse cada tramo de muro, considerado como un cuerpo rígido, sus extremos suben o bajan en cada piso respecto al centro del muro, que permanece en el nivel original: -

El extremo derecho del Muro 1 (punto a’ en la figura) desciende una distancia y1 = θi B1/2 El extremo izquierdo del Muro 2 (punto b’) asciende una distancia y2= θi B2/2.

En la figura 4.27 se puede observar la distorsión angular de un elemento no estructural (mampostería, ventana, etc.) situado entre los dos muros estructurales, que puede expresarse a partir de los valores indicados de y1, y2, como: βi ≈ (y1 + y2)/Lo βi ≈ θi.(B1 + B2)/(2 Lo)

(4.26)


4-38

Figura 4.27 - Distorsión angular de los elementos no estructurales en los edificios de muros La deriva vertical regiría cuando (B1 + B2) > 2 Lo; ver figura 4.27 Por ejemplo, si B1=4.0 m, B2= 6.0 m y la distancia libre fuera de 2.0 m, la distorsión angular valdría βi=2.5θi. Si la deriva o distorsión angular de diseño especificada por la Norma, θd, fuera de 2.5%, la distorsión angular que afecta a los elementos no estructurales llegaría hasta un valor βi = 6.25% !Para esos dos mismos muros, con una distancia libre Lo = 4.0 m, resultaría βi = 1.25 θd = 3.1%! Estrictamente, en la figura 4.27 los puntos de referencia “a y “b” no debieran corresponder al centro de cada muro, sino a los ejes neutros de sus secciones en el estado límite analizado y esas posiciones de los ejes neutros deben ser variables en altura; ello complicaría un poco el análisis de las distorsiones de los muros, pero no cambia esencialmente el concepto de la “deriva vertical”. En la figura se aprecia claramente cómo la diagonal a’-b” se acorta respecto a su longitud inicial, mientras que la diagonal a”-b’ se alarga. Ello se traducirá en esfuerzos locales en las esquinas, que causan daños en los elementos no estructurales. La pregunta sería: ¿Qué valores de los límites de derivas debieran aplicarse en estos casos?¿Se deben limitarlos valores de la Tabla 1.3 para que βi no exceda el valor que produce daños? Tal vez lo más práctico sería aislar generosamente estos elementos de la estructura, pero la separación más importante tendría que preverse en el empate del elemento no estructural (muro, ventana) contra la placa superior. Se ha dicho a veces en nuestro medio que no es conveniente plantear muros individuales, sean de mampostería o de concreto, de más de unos 9.0 m de longitud, porque se agrietan aun sin que ocurra un sismo, probablemente por retracción de fraguado. Cuando se presentan muros más largos, algunos diseñadores prefieren fraccionarlos mediante una junta vertical. De las consideraciones acerca de la figura 4.27 y de la ecuación (4.26) puede deducirse que la bondad de esa práctica es discutible, pues produciría una distorsión βi de valor “infinito” durante un sismo y daños en las placas de piso. Ocurrirían desplazamientos verticales diferenciales grandes de los muros adyacentes; sería similar a un efecto extremo de viga corta.


4-39

4.10. MUROS CON SECCIONES ASIMÉTRICAS Los muros con secciones asimétricas, tales como las formas de T, L, Π, Ш, etc., presentan resistencias y curvaturas de fluencia diferentes, según la dirección del sismo. Esto dificulta la evaluación de su rigidez y su diseño.

Figura 4.28 – Diagrama de interacción Mn vs Pn, Sección T Por ejemplo, en el caso particular de la figura 4.29, correspondiente a un muro de sección en forma de T, aleta de 2.0 m de longitud y alma de 3.0 m, espesores de aletas 0.20 m; resistencias f’c=28 MPa, fy=420 MPa; refuerzo distribuido uniformemente en la sección. Puede observarse que: -

Para una fuerza axial Pn ≈ 0.1 Ag.f’c = 2700 kN y una cuantía de refuerzo del 1.0%, la resistencia nominal a flexión con aleta comprimida es de aproximadamente 6000 kN.m; pero con aleta a tracción la resistencia nominal es aproximadamente de 10000 kN.m, ó 1.7 veces mayor que con aleta comprimida.

-

La curvatura de fluencia con aleta comprimida debe ser φy ≈ 1.4 εy/Lw según Paulay o φy ≈1.5 εy/Lw, según Priestley et al. (2007), Sección 4.4.3; con aleta a tracción el valor de la curvatura debe ser del orden de φy ≈ 2.2 εy/Lw, es decir, aproximadamente 1.5 veces mayor que para aleta comprimida. Castillo (2004) presenta gráficas más detalladas para la curvatura de fluencia de secciones con aletas, con diferentes geometrías, cuantías de refuerzo, etc. Generalmente es crítico el diseño cuando la aleta está a tracción, porque así el muro presentará un mayor desplazamiento de fluencia. La rigidez inicial, expresada como la relación Mn/φy no presentaría diferencias tan grandes según la dirección del sismo; en el caso presente la diferencia de rigidez inicial sería aproximadamente del 10%.

-

CAPITULO 4: TEMAS QUE REQUIEREN MAYOR INVESTIGACIÓN -

4-40

La longitud de la zona comprimida, “c”, las demandas de ductilidad de curvatura y los requisitos de confinamiento serán muy diferentes, según la dirección que se analice. Obsérvese sobre la figura, cómo varían las posiciones de “c/Lw”, según la dirección considerada.

- La dirección crítica del sismo debe ser la que produce tracción en la aleta, porque así se presenta el mayor valor de la curvatura de fluencia, φy ≈ 2.2 εy/Lw. Además, la altura de la zona comprimida, c, resulta mayor y así disminuye la curvatura máxima alcanzable, φm (ecuación (3.45a). Esto lleva a menores valores de la capacidad de rotación plástica del muro, θp, ecuación (3.44). -

Al asignarle a un muro asimétrico, como el de la figura 4.28, una porción del cortante basal total de un edificio y con ello un momento flector de diseño en la base: ¿Con qué criterio debe escogerse el refuerzo de flexión necesario? ¿Para cuál dirección del sismo? Lo que definitivamente no debe hacerse es ignorar la forma de la sección y diseñar solamente con base en una sección rectangular representada por el alma del muro (sección de 3.0x0.20 m en el caso de la figura); ello sería irreal y además subestimaría la sobreresistencia a flexión de la sección completa y el cortante de diseño requerido en una evaluación por capacidad.

-

Lo más indicado sería diseñar para ambas direcciones del sismo, con las propiedades correspondientes de los muros con aletas, y asignarles rigideces consecuentes con las resistencias disponibles en cada dirección.

-

Otro aspecto de cuidado en este tipo de sección es que la variación en altura de la fuerza axial en la porción de la aleta, por efectos de flexión del muro, se traduce en un cortante vertical en el empate de la aleta con la “pata” de la “T”; por ello debe verificarse el refuerzo de cortante en dicha “pata”.

Son temas que requieren mayor investigación

4.11. EDIFICIOS DE CONFORMACIÓN IRREGULAR Los edificios irregulares, sea en planta o en altura, han presentado muchas veces problemas de comportamiento sísmico. En la figura 4.29 se muestran algunos casos de irregularidad que pueden requerir consideraciones especiales y mayor investigación al aplicar la metodología DDBD. -

En la figura 4.29 (a) se muestra un edificio escalonado en altura; pueden ser pórticos, muros o combinado: o

El perfil de desplazamientos para Sismo X puede ser diferente a los propuestos en la Sección 3.3.6 para sistemas regulares. o El análisis simplificado de los efectos de los modos superiores de vibración, mediante factores de amplificación dinámica según la Sección 3.5.2, no debe ser válido. Posiblemente sea apropiado un análisis modal como el comentado en la Sección 3.5.1, donde se usen rigideces efectivas de los miembros de la estructura y las combinaciones modales se basen en comportamiento inelástico para el primer modo de cada dirección principal y comportamiento elástico para los modos superiores. o Para “Sismo Y” los efectos torsionales pueden ser importantes, sobre todo en los primeros niveles, debido a la distribución de las masas en altura, que lleva a posiciones variables del centro de masa de los pisos. En casos extremos no pueden descartarse efectos P-Delta torsionales significativos. -

En la figura 4.29b se muestra un muro con cambios bruscos de sección en altura. Pueden presentarse varios muros de estos en un mismo edificio y el cambio de sección puede existir en varios niveles:


4-41

o Las rótulas plásticas podrían presentarse en los puntos de cambio de sección de los muros y no en la base, como se supone generalmente para sistemas regulares. Esto tendría que tenerse en cuenta en un diseño por capacidad. o El perfil de desplazamientos de un edificio con este tipo de muros puede ser diferente al propuesto en la Sección 3.3.6.1 para sistemas regulares. Un análisis modal con algunas modificaciones como las comentadas en la Sección 3.5.3, basado en los dos o tres primeros modos de vibración, probablemente dé algunas luces sobre esta inquietud.

Figura 4.29 –Ejemplos de sistemas irregulares

-

En las figuras 4.29c y 4.29d se muestran sistemas irregulares en altura, como es el caso de muros interrumpidos en altura o en edificios con “losas de transición”: o Los perfiles de desplazamientos insinuados en la figura serían muy diferentes los de un sistema regular. o El desplazamiento sísmico de diseño se concentra en pocos tramos y debe llevar a demandas altas de ductilidad. o Las rótulas plásticas se presentarían en los extremos de las columnas del piso débil.

En Salawdeh S. (2009) se estudian algunos casos sencillos de edificios irregulares en altura. Debe anotarse que tampoco la metodología FBD ofrece una respuesta satisfactoria a la solución de los problemas de los edificios irregulares. Aunque pudieran evaluarse con modelos inelásticos, después de diseñados, con análisis tipo “pushover”, cronológicos (ITHA), etc., los sismos han mostrado siempre las deficiencias de estos sistemas y la mejor solución sería evitarlos o usar sistemas constructivos especiales, como aislamiento sísmico en la base. Con relación a los análisis sísmicos inelásticos es bueno repasar las anotaciones de Priestley et al. (2007), Secciones 4.9.2 y 4.9.3:

4.11.1. Análisis estáticos no lineales, o de plastificación progresiva (“Pushover “) -

Convierte un sistema de varios grados de libertad en otro equivalente de un solo grado de libertad. Se aplica a la estructura ya diseñada un vector de fuerzas o de desplazamientos estimado para la respuesta de dicha estructura y se incrementan esos valores para tener un seguimiento de la formación de rótulas plásticas y verificar los diseños. Algunos programas de computador permiten modificar el vector de fuerzas o de desplazamientos a medida que se forman rótulas nuevas (“adaptive pushover”).

CAPITULO 4: TEMAS QUE REQUIEREN MAYOR INVESTIGACIÓN -

-

-

4-42

El seguimiento de la formación de rótulas plásticas en la estructura es muy útil para efectos de verificación de los diseños y para detectar debilidades ocultas de la estructura. Existen varias propuestas para ajustar el vector de desplazamientos y detectar los efectos de los modos superiores de vibración (amplificación dinámica de las derivas y de las fuerzas internas, especialmente en los sistemas de muros). También se está tratando de ajustar el uso para estructuras irregulares. Algunos métodos simplificados, como el N2 de Fajfar, 2000, usan espectros de capacidad para diferentes ductilidades y en la zona de periodos medianos y largos aplica la “regla de iguales desplazamientos” elásticos e inelásticos, pero esta regla no es adecuada para algunos casos, como sitios de suelos blandos. Es difícil incorporar las características histeréticas de la estructura. La elección del periodo elástico o inicial del sistema requiere buen juicio y experiencia del usuario. Es un valor determinante en los análisis “pushover”. Es difícil incorporar la Interacción Suelo-Estructura; ver Sección 4.7.2 Sin embargo, esta metodología es simple, atractiva y cada vez se usa más.

4.11.2. Análisis cronológicos (“Time History Analyses”, THA) -

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Son los métodos más “precisos” para verificar que las deformaciones y las rotaciones inelásticas satisfacen los límites de diseño; y también para determinar los efectos de los modos superiores de vibración, necesarios para un diseño correcto por capacidad. Deben usarse análisis cronológicos inelásticos (ITHA). Muchos de los parámetros usados en los modelos de computador son subjetivos y requieren buena experiencia y criterio del usuario, además del buen conocimiento del comportamiento de los materiales. De otro modo sólo se habrá hecho un ejercicio teórico de validez dudosa. El modelo debe ser lo más simple posible; deben preferirse los elementos lineales que conectan nudos o pisos. Se deben modelar apropiadamente las características elasto-plásticas de los materiales; en los elementos de concreto y de mampostería, la rigidez elástica debe representarse mediante la rigidez secante correspondiente al primer punto de fluencia dela respuesta (ver figura 1.3). La rigidez post-elástica debe determinarse a partir de la respuesta momento-curvatura de cada elemento de la estructura; debe elegirse un criterio apropiado de comportamiento histerético; para concreto reforzado parece apropiada la propuesta de Takeda (figura 3.16c para muros y columnas; figura 3.16d para vigas). La rigidez elástica de los muros y columnas de concreto debe incluir en lo posible los efectos de fuerza axial. No es fácil porque esa fuerza y con ello la rigidez varían durante la respuesta sísmica. Modelar los empates viga-columna requiere buen criterio del usuario, porque existe deformación por cortante y penetración de los esfuerzos en los nudos, que así no son totalmente rígidos; esto puede influir bastante en los resultados. El amortiguamiento estructural elástico de las etapas iniciales de respuesta, antes del comportamiento histerético, debe relacionarse con la rigidez tangente (“r.Ki” en las figuras 3.15 y 3.16). Los efectos de los rellenos de mampostería no aislados de la estructura no deben incluirse como amortiguamiento viscoso adicional, sino que deben modelarse como elementos adicionales con alta degradación de rigidez y de resistencia. Requiere cuidado especial la modelación de la cimentación; los resultados del “ITHA“ son muy sensibles a estas hipótesis. En muchos casos será razonable usar modelos bi-dimensionales, en lugar de los modelos espaciales, excepto en edificios con respuesta torsional significativa. La interpretación de los resultados será mucho más fácil. También requiere buen criterio la elección de los acelerogramas que se utilicen para verificar un diseño. Éstos pueden ser acelerogramas reales ajustados o acelerogramas artificiales.

En Priestley et al (2007), Sección 4.9.1 se discute este tema con mayor extensión.

CAPITULO 5.

EJEMPLOS DE DISEÑOS DE EDIFICIOS POR DDBD

5.

5-1


Se diseñarán un edificio de muros y otro de pórticos de concreto reforzado, para ilustrar la aplicación del DDBD. Se encontrará que los cortantes basales de diseño son muy sensibles al valor de la distorsión angular de diseño, “θc”, que se especifique. Para el edificio de muros se analizarán varias alternativas de distorsión angular permitida y se incluyen casos con efectos significativos de torsión. En el edificio de pórticos se compararán dos alternativas de deriva de diseño y se diseñará para varias opciones de distribución de la resistencia sísmica entre sus elementos. Para ilustrar el diseño de muros se considerará un edificio con la planta de la figura 5.1, aplicando la metodología DDBD explicada en los capítulos anteriores, para el Estado Límite de Control de Daños y para diferentes condiciones de distorsión angular permitida, tratando de cubrir diferentes casos de la estructura sustituta anotados en la Sección “4.1 - Ajustes del cortante de diseño en el método de la estructura sustituta”. Este mismo edificio se analizará y diseñará en la Sección 5.4 de acuerdo con la metodología FBD de la Norma NSR-10; los resultados se revisarán a la luz de la metodología DDBD, para poder señalar las principales deficiencias e inconsistencias de los métodos FBD.

Figura 5.1 – Planta típica – Edificio de 15 pisos

CAPITULO 5.


5-2

ECUACIONES BÁSICAS MÁS USADAS EN ESTE CAPÍTULO Muros:

y2.0 Y/h ye ≈ 2 εY He²/3.Lw Lp = k.He + 0.1 Lw + Lsp

(3.1) (3.3a) (3.8a)

Pórticos:

θY = 0.5 Y (Lb/hb) ∆ye = θY He = 0.5Y (Lb/hb) He

(3.2a) (3.10)

SDOF equivalente Ke = 4 π² Me/Te² Vd = VBASE = Ke.∆d He = Σ (mi.∆i.Hi)/Σ(mi.∆i) Me = [Σ (mi.∆i)]²/∑(mi.∆i²)= Σ (mi.∆i)/∆d ∆d = Σ (mi.∆i²)/(Σmi.∆i) ∆ye = ΣFi/Σ(Fi/∆yi) Lwe = Σ(Vi.Lwi)/ΣVi (Lb/hb)eq = Σ(Vij.Lbj)/Σ (Vij.hbij)

(3.15) (3.16) (3.27) (3.28) (3.34) (3.29) (3.31) (3.32)

Perfiles de desplazamiento de los muros: θd = θy + θp ≤ θc θyn ≈ εY Hn/Lwe 2 ∆yi = εY Hi (1 – Hi/3 Hn)/Lwe ∆pi = θpe.Hi ∆i = εy Hi² (1 – Hi/3 Hn)/Lwe + θpe.Hi θpm = (φm – φy) Lp ≈ (φm – 2 εy/Lw).Lp φmc = εcm/c φms = εsm/(d-c) εCUC = εcu + 1.4 ρv.fy.εsu/f’cc εCUC ≈ 0.004 + ρv fy/300 Fi = VBASE (mi.∆i)/Σ(mi.∆i) MBASE = VBASE*He

(3.33) (3.35) (3.37) (3.38) (3.39) (3.44) (3.45) (3.45a) (4.14) (4.14a) (3.60) (3.61)

Diseño para efectos de Torsión: eRX = Σ(Kyj.Xj)/ΣKyj eRY = Σ(Kxj.Yj)/ΣKxj eRX = Σ(Vj.Lwjx.Xj)/Σ(Vj.Lwjx) eRY = Σ(Vj.Lwjy.Yj)/Σ(Vj.Lwjy) eVX = Σ(Vyj.Xj)/ΣVyj eVY = Σ(Vxj.Yj)/ΣVxj θN = MT/J J = ΣKyj (Xj – eRX)² + Σ Kxj (Yj – eRY)² En Y: JR,μ = ΣKyj (Xj – eRX)²/μSIS + Σ Kxj (Yj – eRY)² En X: JR,μ = ΣKxj (Yj – eRY)²/μSIS + Σ Kyj (Xj – eRX)² θN = VBASE.eR/JR,μ ∆jy = ∆CMY + θN(Xj - eVX) ∆jx = ∆CMX + θN(Yj - eVY)

(3.67a) (3.67b) (3.68a) (3.68b) (3.69a) (3.69b) (3.70) (3.71) (3.71a) (3.71b) (3.72) (3.73a) (3.73b)

“Caso c”- Estructura sustituta: Vd corregida = 4π² Me ∆ys/Te²

(4.4)

CAPITULO 5. o o o o o o o o o o o o o o


5-3

Grupo de uso I. Todas las masas y alturas de pisos son iguales. Las longitudes y posiciones de los muros se indican en la planta de la figura 5.1 Todos los muros son de espesor 0.25 m Número de pisos: 15 Altura de piso: 2.80 m Altura total: 42.0 m Carga muerta: 4330 kN/piso Masa por piso: 442 kN.s²/m≈ 442 t Se usarán unidades kN.s²/m, para mayor claridad a la hora de calcular la rigidez efectiva Ke Masa total: 6630 kN.s²/m Concreto: f’c = 28 MPa Acero de refuerzo fy = 420 MPa; (fu/fy)=1.25; εY=0.0021; εsu=0.10 Detalles de refuerzo para disipación especial de energía (“DES”) Se supone que las placas no contribuyen a la resistencia lateral

Se considerarán dos casos de distorsión angular máxima permitida: 1- θc = 0.025, según la práctica internacional más usual para estado límite de control de daños 2- θc = 0.014, según la Norma NSR-10, para secciones fisuradas El edificio se analizará para dos tipos de espectro: a- Espectro de la Norma NSR-10, Medellín o Bogotá, Suelo Tipo D, Aa=0.15; Av=0.20; Fa=1.5; Fv=2.0; Grupo de uso I. Sd = 0.3 Av Fv T = 0.12 T en el rango T=0.85 a 4.8 s; Sd max = 0.576 m para TL≥ 4.8 s b- Sismos Chile - Zona 2, Suelo II (Boroschek, 2010) Sd = 0.15 T en el rango T = 0.53 a 2.0 s; Sd max = 0.30 m para TL≥ 2.0 s ESPECTRO DE DEZPLAZAMIENTOS SEGÚN NRS-10 0,70 0,60

ξ=0,05

Sd (m)

0,50

ξ=0,10

0,40

ξ=0,15

ξ=0,20 0,30

ξ=0,25

ξ=0,30 0,20 0,10

0,00

0,0

2,0

4,0

T (s)

6,0

8,0

(a) NSR-10 - Suelo Tipo D – Bogotá y Medellín

10,0

(b) Zona 2, Suelo II – Chile, Boroschek (2010)

Figura 5.2 - Espectros de desplazamientos usados en los ejemplos

CAPITULO 5.


5-4

Los ejemplos analizados son: 5.1 - Ejemplo 1X – Método DDBD - Suelo D (NSR-10) - Sismo X - θc=0.025 – Muros sin efectos de torsión 5.2 - Ejemplo 1Y – Método DDBD - Suelo D (NSR-10) - Sismo Y - θc=0.025 – Muros con efectos de torsión 5.3 - Ejemplo 2Y – Método DDBD - Suelo D (NSR-10) - Sismo Y - θc=0.014 – Muros con efectos de torsión 5.4 - Ejemplo 3Y – Método FBD – Suelo D (NSR-10) – Sismo Y - Análisis Dinámico – Muros con torsión a- Rigideces E.I = 1.0 E.Ig b- Rigideces E.I = 0.5 E.Ig c- Rigideces E.I = 0.35 E.Ig d- Comparación con DDBD 5.5 - Ejemplo 4Y – Suelo Chile Tipo 2 –Suelo 2 - Sismo Y - θc=0.025 – Muros con efectos de torsión 5.6- Ejemplo 5P – Método DDBD - Suelo D (NSR-10) - θc=0.025 - Edificio de pórticos de concreto La mayoría de los cálculos siguientes incluyen las operaciones numéricas paso a paso y se citan las ecuaciones usadas, según el documento principal, para mayor claridad sobre su aplicación. En la práctica diaria de una oficina de diseño no se requeriría software sofisticado, porque es fácil implementar hojas interactivas de cálculo electrónico tipo MS EXCEL, sencillas, que permiten tener un control total sobre los diseños, ensayar alternativas de dimensiones de los miembros de la estructura, distribución del cortante sísmico entre los diferentes elementos para minimizar los efectos de torsión, etc.

5.1. EJEMPLO 1X – SUELO TIPO D (NSR-10) - SISMO X – θc = 0.025 - Distorsión angular θc = 0.025 - Espectro NSR-10, Suelo Tipo D: Aa/Av/Fa/Fv = 0.15/0.20/1.5/2.0; Grupo de uso I: Sd = 0.12 T en el rango T=0.85 a 4.8 s.

5.1.1. Paso 1 - Pre-dimensionar la estructura o Los cuatro muros tienen longitudes aproximadamente iguales. El cortante sísmico se distribuirá 25% a cada muro. o Longitud característica del sistema según ecuación (3.31): Lwex = Σ(Vi.Lwi)/ ΣVi = (2*25.0*7.1 + 2*25.0*7.25)/100 = 7.175 m o Demanda estimada de ductilidad, según ecuación (3.86): µX ≈ 1.8 Lwe θd/(εY.Hn) - 0.8 = 1.8*7.175*0.025/(0.0021*42.0) – 0.8 = 2.9 Si el diseñador quisiera llegar a valores diferentes de µ tendría que ajustar desde ahora con el dueño y con el arquitecto algunas longitudes de muros.

5.1.2. Paso 2 - Perfil de desplazamientos del sistema, masa efectiva Me y altura del SDOF equivalente, He o Distorsión angular plástica del sistema, con base en requisitos de Norma, ecuación (3.36): θpc = (θc – εY.Hn/Lwe) = (0.025 – 0.0021*42.0/7.175) = 0.01271

CAPITULO 5.


5-5

o Distorsión angular plástica del muro crítico (el más largo): o

Si se parte de los requisitos de la Norma, la distorsión angular plástica del muro más largo sería, según la ecuación (3.43): θpj = θpc + 2 εy.Hn(1/Lwe – 1/Lwj)/3 θpj = 0.01271 + 2*0.0021*42.0*(1/Lwe – 1/Lwj)/3 θpj = 0.0128

o

Con base en requisitos de deformaciones unitarias de los materiales y para detalles de disipación especial de energía (DES), φm=0.072/Lw. Ver Sección 3.3.6.1.2 Ecuación (3.44): θpm = (φm – 2 εy/Lw) Lp φm = 0.072/Lw (ver Secciones 3.2.1 y 3.3.6.1.2) θpm = (0.072/7.25 – 2*0.0021/7.25) Lp = 0.00935 Lp

Se ensayará con varias propuestas para el valor de la longitud de la articulación plástica, Lp. El cálculo de los desplazamientos inelásticos basado en las deformaciones unitarias de los materiales puede llevar a valores muy diferentes, según la expresión que se adopte. Sin embargo, en muchos casos rigen los requisitos de la Norma, excepto cuando se presentan muros poco esbeltos; así pierde algo de relevancia el valor de Lp.  Priestley et al. (2007), ecuación (3.8a): Lp = 0.05 He + 0.1 Lw + 0.022 fy db Para fu/fy = 1.25; db=0.02 m; He≈0.7 Hn = 29.4 m, Lp = 0.05*29.4 + 0.1*7.25 + 9.2*0.02 = 2.38 m → θpm = 0.0222  Moehle (1992): Lp = Lw/2 = 3.625 m → θpm = 0.0339  Paulay-Priestley (1992): Lp = 0.2 Lw + 0.044 Hn = 3.30 m → θpm = 0.0309  Expresión simplificada, Sección 3.2.2, ecuación (3.8b): Lp = 0.035 Hn + 0.15 Lw = 0.035*42.0+0.15*7.25=2.56 m → θpm = 0.0239  El valor de θpm varía entre 0.0222 y 0.0339, según la propuesta que se use  El muro no tiene en ningún caso problemas para alcanzar la distorsión angular plástica basada en la Norma (0.0128<0.0222). o Se usará un perfil de desplazamientos basado en la ecuación (3.39), con θpe = θpc = 0.01271 Si el valor de θpm fuera menor que θpc habría que adoptar un valor θpe según la ecuación (3.44). Por ejemplo, si no se usaran detalles de refuerzo especiales ni estribos de confinamiento, la curvatura alcanzable sería φm ≈ 0.0174/Lw (ver Sección 3.2.1):  Según la ecuación (3.44), θpm = (0.0174/7.25 – 2*0.0021/7.25) Lp = 0.00182 Lp  Para Lp=2.38 m, θpm=0.00433  En este caso habría que usar un perfil de desplazamientos basado en la ecuación (3.39), con θpe=θpm=0.00433< 0.01271 Regirían las deformaciones unitarias admisibles de los materiales y habría qué usar un perfil de desplazamientos basado en la ecuación (3.39), con θpe=θpm=0.00433: ∆i = εy.Hi² (1 – Hi/3Hn)/Lwe + θpe.Hi ∆i = 0.0021 Hi² (1 – Hi/126.0)/7.175 + 0.00433 Hi Si se diseñara para disipación moderada de energía (DMO), la curvatura alcanzable sería φm≈ 0.0040/Lw: θpm = (0.040/7.25 – 2*0.0021/7.25) Lp θpm = 0.00494 Lp

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5-6

θpm = 0.00494*2.38 = 0.01175 < θpc = 0.01271 También en este caso regirían las deformaciones unitarias admisibles de los materiales y habría qué usar un perfil de desplazamientos basado en θpe = θpm = 0.01175 Continuando con el caso actual, basado en detalles de disipación especial de energía (DES), se tiene: o Perfil de desplazamientos del sistema, según la ecuación (3.39): ∆i= εy.Hi² (1 – Hi/3Hn)/Lwe + θpe.Hi ∆i = 0.0021 Hi² (1 – Hi/126.0)/7.175 + 0.01271 Hi ∆i = (12.71 + 0.293.Hi - 0.00232 Hi²)*Hi/1000 o Con este perfil de desplazamientos se obtiene mediante las ecuaciones (3.27) y (3.28): He = Σ (mi.∆i.Hi)/Σ(mi.∆i) = 29.87 m = 0.711 Hn Me = Σ (mi.∆i)/∆d = 4792 kN.seg²/m = 0.723 Σ mi

5.1.3. Paso 3 - Desplazamiento de diseño, ∆de o El desplazamiento de diseño del sistema, según la ecuación (3.34) es: ∆d = Σ (mi.∆i²)/Σ(mi.∆i) = 0.588 m o Desplazamiento ∆i a la altura He, según la ecuación 3.39: ∆d = 0.579 m Los valores son muy similares. Se usará ∆d = 0.579 m

El sistema es simétrico en dirección X; no existen efectos de torsión que pudieran afectar el valor de ∆d. Tampoco se considerará excentricidad accidental. Ver Sección 3.4

5.1.4. Paso 4 - Ductilidad de desplazamiento del sistema o Desplazamiento de fluencia del sistema a la altura He, según la ecuación (3.37): 2

∆ye = εY.He (1 – He/3 Hn)/Lwe = 0.199 m o Ductilidad μsis = ∆d/∆ye = 0.579/0.199 = 2.91; similar al estimado desde el Paso 1.

5.1.5. Paso 5 - Amortiguamiento viscoso equivalente a la ductilidad de desplazamiento Con base en las ecuaciones 3.20a y 3.22: o ξeq% = 0.05 + 0.444 o Rξ = (0.07/(0.02 + ξ))

)= 0.5

=

0.143 0.656

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5-7

5.1.6. Paso 6 - Espectro de desplazamientos para el amortiguamiento equivalente Se obtiene del espectro de diseño de NSR-10, corregido por Rξ = 0.656, es decir: Sd = 0.12*0.656 T = 0.0787 T

5.1.7. Paso 7- Período efectivo requerido o El desplazamiento de diseño ∆d=0.579 m, es mayor que el desplazamiento espectral máximo corregido por amortiguamiento, Sd máximo corregido = 0.656*0.576 = 0.378 m. Es el “Caso d” de la estructura sustituta, visto en la Sección 4.1.4. o Según la propuesta de Calvi, Sullivan (2009), el periodo requerido será: Te = 0.579/0.0787 = 7.36 s Obsérvese que, aunque Te>TL, Calvi-Sullivan (2009) proponen usar la porción recta del espectro de desplazamientos, inclusive cuando el valor de Sd supera el valor espectral máximo en el espectro reducido por amortiguación.

5.1.8. Paso 8 - Rigidez efectiva mínima requerida para alcanzar el estado límite de diseño Según la ecuación (3.15): Ke = 4 π² Me/Te² = 4 π²*4792/(7.36)² = 3497 kN/m Calvi-Sullivan (2009) proponen verificar el valor de Ke según la ecuación (3.25), Sección 3.3.3 y figura 4.4: Ke máx = 4 (Sdel/Sd) π².Me /Te² = 3497*(0.576/0.579) = 3479 kN/m (Sdel es el desplazamiento espectral elástico máximo y Sd es el desplazamiento de diseño)

5.1.9. Paso 9 - Calcular la fuerza lateral total de diseño – Estado Límite de Control de daños VBASE = Ke.∆d = 3479*0.579 = 2013 kN

Evaluación del cortante basal requerido para el Estado Límite de Servicio La Norma NSR-10 no define un espectro para el Estado Límite de Servicio. Para los edificios del Grupo de uso IV y algunos del grupo de uso III, establece espectros para el “Umbral de Daño” y en la mayoría de los edificios permite derivas hasta del 0.4% de la altura de piso. En principio, para el Grupo de uso I, pudieran usarse los valores de la aceleración pico efectiva de NSR-10, Ad, divididos por 1.5, similar al coeficiente de importancia, y derivas máximas θcd = 0.5%. Para este ejemplo, del Grupo de uso I, se supondrá: Ad = coeficiente de aceleración pico efectiva = 0.04; Fv=2.0

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Sad = (1.5*1.25) Ad Fv/T (Similar al espectro de aceleraciones de NSR-10) Sad = 1.875*0.04*2.0/T (Para Suelo Tipo D y Av=0.20, Fv=2.0) Sad = 0.15/T θcd = 0.5% Sdd ≈Sad g (T²/4 π²) Sdd = 0.038 T TLD = (1.25*2.4) Fv = 6.0 s Sdd máximo = 0.228 m Deriva de fluencia del sistema: θy = εy Hn/Lwe θys = 0.0021*42.0/7.175 = 0.0123 >θcd Todos los muros responden elásticamente. “Caso c” de la estructura sustituta. El perfil de desplazamientos será el perfil de fluencia, corregido por (θcd/θys): ∆yi = (0.005/0.0123) εy Hi² (1 – Hi/3 Hn)/Lwe ∆yi = 0.407 εy.Hi² (1 – Hi/126.0)/7.175 Con este perfil pueden hallarse He=31.77 m; Me=4102 kN seg²/m; Δye = 0.221 m < Sdel =0.576 Desplazamiento de diseño: Δd = 0.407 Δye Δd = 0.407*0.221 = 0.090 m Se usa el espectro elástico, sin corrección, porque el sistema no llega a fluencia. Periodo efectivo y rigidez necesaria: Te = Δd/0.038 Te = 0.090/0.038 = 2.37 s Ke = 4 π² Me/Te² Ke = 4 π² *4102/2.43² Ke = 28830 kN/m Cortante basal de diseño: VBASE = Ke Δd VBASE = 28830*0.090 = 2590 kN Es un “Caso c” de la estructura sustituta. Este cortante no alcanzará a desarrollarse para el desplazamiento de diseño requerido y se requiere aumentarlo, según se vio en la Sección 4.1.3, ecuación (4.4). VBASE corregida = 4 π².Me.Δys/Te² VBASE corregida = 28830*0.221 = 6370 kN >> 2013 kN ¡El valor es bastante mayor que 2013 Kn requerido para estado límite de control de daños! El límite usado, θcd ≤ 0.005, es muy exigente, apropiado para mampostería no reforzada y no aislada de la estructura. Una opción, aunque puede ser algo difícil de modelar, cuando se usan muros no aislados de la estructura, es considerar su aporte a la resistencia en el estado límite de servicio; pero no en el estado límite de control de daños, cuando la mampostería puede estar ya muy deteriorada. Esta resistencia se podría descontar de VBASE al diseñar los muros estructurales.

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5-9

Debe ser más favorable usar mampostería aislada de la estructura o elementos no estructurales más tolerantes ante las deformaciones. Si se usara θcd ≤ 0.01, se llegaría a una rigidez requerida Ke = 7240 kN/m y a un cortante basal corregido para “Caso c” del SDOF, VBASE = 1600 kN. Una opción interesante con muros divisorios o de fachada en mampostería pudiera ser diseñar en el estado límite de servicio para una deriva de piso del 1.0%; pero separarlos de la estructura una distancia del 0.5% de la altura y suponer que el 0.5% restante lo puedan tolerar dichos muros sin daños excesivos. Cuando se plantean estructuras muy flexibles, los requisitos para el Estado Límite de Servicio podrían llevar a cortantes de diseño muy altos y a cuantías de refuerzo imposibles de construir; una buena opción en esos casos es aumentar las longitudes de los muros para llegar a menores desplazamientos de fluencia, Δys, y a menores cortantes sísmicos, según la ecuación (4.4); porque mientras se permanezca en el “Caso c”, Δd y Te no cambian. Suena paradójico, porque con FBD se tendría así mayor rigidez y mayores cortantes sísmicos. En este ejemplo sólo se diseñará para el estado límite de control de daños.

5.1.10. Paso 10 - Distribuir la fuerza lateral entre los elementos de la estructura y en altura Las fuerzas laterales se distribuyen en altura según la ecuación (3.60): Fi = VBASE (mi.∆i)/Σ(mi.∆i) Con base en esa distribución y en la fracción de la resistencia asignada a cada muro podrían calcularse sus fuerzas internas correspondientes. Éstas pierden relevancia cuando se hace el diseño por capacidad y se plantean envolventes de momento flector y cortante de diseño derivadas de los valores en la base de los muros. Fi = 0.25*2013 = 503 kN.m cada muro, en la base

5.1.11. Paso 11 - Diseño por capacidad – Muros M1 Momentos de diseño de los muros: MBASE = VBASE*He = 2013*29.87 = 60130 kN.m MB ≈ 0.25*60130 = 15030 kN.m cada muro Aunque pudiera diseñarse con base en fye=1.1 fy, f’ce=1.3 f’c, y sin factor de reducción de resistencia (φ=1.0), como se mencionó en la Sección 3.6, en este caso se aplicará un diseño convencional, con factores de reducción de resistencia φ de la Norma NSR y resistencia nominal fy=420 MPa. En la base de los muros más cortos, M1, (Lw = 7.1 m), para una fuerza axial de 7000 kN, correspondiente aproximadamente al 90% de la carga muerta (Pu/(fć.tw.Lw) = 0.14) y para refuerzo distribuido uniformemente a lo largo del muro, el refuerzo requerido sería nominal. Por Norma NSR-10 no puede usarse una cuantía menor de 0.0025, o As=44 cm². En estas condiciones el momento resistente sería ~ 21000 kN.m, aproximadamente 40% mayor que el momento de diseño (MB = 15030 kN.m). Envolvente de momentos flectores de diseño de los muros para diseño por capacidad (ver Sección 3.5.2.2): El refuerzo de flexión resultó nominal (cuantía 0.25%) y deberá extenderse a toda la altura del edificio. Sin embargo, a manera de ilustración se evaluará la envolvente de momento flector para los muros M1, según la Sección 3.5.2.2. o Periodo inicial Ti ≈ Te/√μ = 7.36/√2.91 = 4.31 s o o Factor de sobre-resistencia a flexión: se usará Ω =1.7

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o o

Momento flector resistente en la base del muro M1: 21000 kN.m Momento total de diseño en la base: o o Ω MB = 1.7*21000 = 35700 kN.m; Ω = 35700/15030 = 2.37

o

Con base en la ecuación (3.80): o C1,T = 0.4 + 0.075 Ti (μ/Ω - 1) ≥ 0.4 C1,T = 0.4 + 0.075*4.31*(2.91/2.37 - 1) = 0.47

o

5-10

Momento total de diseño a la altura 0.5 Hn, con base en la ecuación (3.79): 0 o M 0.5H = C1,T. (Ω .MB) 0 M 0.5H = 0.47*35700 = 16800 kN.m

Fuerzas cortantes de diseño – Muro M1 (ver Sección 3.5.2.2): o Periodo inicial Ti ≈ Te/√μ = 7.36/√2.91 = 4.31 s; con base en la ecuación (3.82): C2,T = 0.067 + 0.4 (Ti – 0.5) ≤ 1.15 C2,T = 0.067 + 0.4 (4.31 – 0.5) = 1.59 ↘ Úsese C2,T = 1.15 o

o Factor de sobre-resistencia a flexión: se usará Ω =1.7. Pero, según se vio, el refuerzo requerido por Norma es mayor que el teórico e implica una sobre-resistencia adicional del 40%. o Factor de amplificación dinámica, según ecuación (3.81): o ωV = 1 + μ C2,T/ Ω ωV = 1 + 2.91*1.15/(1.7*1.4) = 2.41 o Cortante total de diseño en la base del muro M1: O o V B = Ω .ωV.VBASE= 2.37*2.41*2013*0.25 = 2874 kN o Refuerzo requerido con base en Pu/Ag = 3.9 MPa, altura útil de 0.8 Lw y un factor de reducción de capacidad φ=0.75, ya que se están usando cortantes ajustados por efectos de sobre-resistencia a flexión y de modos superiores: teóricamente sería suficiente usar estribos # 3, 2 ramas, cada 0.27 m. o En este ejemplo no se evalúa la necesidad de elementos de borde confinados. En la Sección 5.9.2.3 se presenta ese tipo de evaluación para un ejemplo diferente.

(a)

Momento flector

(b) Fuerza cortante

Figura 5.3 - Diagramas para diseño por capacidad del muro de Lw=7.1 m

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5-11

El diseño para los niveles superiores deberá ajustarse según la figura 5.3 y la ecuación (3.83), donde el cortante total de diseño del nivel superior deberá ser: 0 0 0 V N = (0.9 – 0.3 Ti) V B ≥ 0.3 V B 0 0 0 V N = (0.9 – 0.3*4.31) V B ≥ 0.3 V B 0 0 ↘ Úsese V N = 0.3 V B = 862 kN Teóricamente el refuerzo de los elementos de la estructura se podría basar en las envolventes indicadas en la Sección 3.5.2.2 o en la figura 5.3 para el Muro M1. Sin embargo, como se ya anotó, el refuerzo de flexión es nominal y por Norma deberá usarse uniforme en toda la altura.

5.2. EJEMPLO 1Y – SUELO TIPO D (NSR-10) - SISMO Y – θc = 0.025 o Valen los mismos parámetros de θc/Aa/Av/Fa/Fv de la dirección X, Sección 5.1. 5.2.1. Paso 1 - Pre-dimensionar la estructura o Existen cuatro muros de 6.3 m de longitud y cuatro muros de 4.2 m. Ver figura 5.1. o En la planta se observa que el centro de masa no corresponde con el centro geométrico de la estructura. Para reducir los problemas de torsión sería conveniente buscar desde ahora que al menos la excentricidad de resistencia fuera pequeña, asignando resistencias mayores a los muros del lado derecho de la planta (muros M5 y M6 en la figura 5.1) y menores a los muros M3 y M4. o El centro de masa se encuentra a 26.5/2 = 13.25 m desde el borde izquierdo de la planta y se escoge como origen de coordenadas para evaluación de las excentricidades. En lo siguiente se llamará Vj al % del cortante asignado al muro j (j=3, 4, 5 ó 6). o Excentricidades para efectos de torsión, sismo en dirección Y, según ecuación (3.69a): o eVX = Σ(Vyj.Xj)/ΣVyj En donde el origen de coordenadas se toma en el centro de masa. eVX = (-2*V3*13.25 – 2*V4*6.25 + 2*V5*3.75 + 2* V6*10.75)/100 Para que eVX ≈ 0, se requeriría: V3*13.25 + V4*6.25 = V5*3.75 + V6*10.75

(5-a)

o Distribución del cortante sísmico entre los muros: Hay muchas maneras de ensayar distribuciones de fuerzas, tratando de buscar la meta de excentricidad mínima de resistencia. Para el caso presente podrían escogerse los cortantes de los muros proporcionales al cuadrado de sus longitudes; es decir: V3 ≈ (4.2/6.3)² V4 = 0.44 V4 V6 ≈ (4.2/6.3)² V5 = 0.44 V5  Excentricidad de resistencia sísmica: Para que eVX ≈ 0 se requeriría, según la expresión (5-a): 13.25*0.44 V4 + 6.25 V4 ≈ 3.75 V5 + 10.75*0.44 V5 12.08 V4 = 8.48 V5 V4 = 0.70 V5 V3 = 0.44 V4 = 0.31 V5 V6 = 0.44 V5 Σ Vj ≈ (0.31 + 0.70 + 1.0 + 0.44)V5 = 2.45 V5 Así resultan: V3=6.3% ΣV; V4=14.3% ΣV: V5=20.4% ΣV; V6=9.0% ΣV

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5-12

eVX = (-2*6.3*13.25 – 2*14.3*6.25 + 2*20.4*3.75 + 2* 9.0*10.75)/100 = 0.008 m ≈ 0  Con base en la distribución de cortantes de muros del paso anterior y en la ecuación (3.68a)se obtiene la excentricidad de rigidez: eRX = Σ(Vj.Lwjx.Xj)/Σ(Vj.Lwjx) Σ(Vj.Lwjx.Xi) = -2*6.3*4.2*13.25–2*14.3*6.3*6.25+2*20.4*6.3*3.75+2* 9.0*4.2*10.75 = -50.7 Σ(Vj.Lwjx) = 2*6.3*4.2 + 2*14.3*6.3 + 2*20.4*6.3 + 2*9.0*4.2 = 565.7 eRX = -50.7/565.7 = - 0.09 m. También la excentricidad de rigidez sería poco significativa.  La distribución anterior del cortante sísmico prácticamente eliminaría la irregularidad torsional de este edificio, algo impensable con metodologías FBD tradicionales, basadas en rigideces EI, que indicarían una excentricidad eX=2.50m, independientemente de las resistencias de los muros. El diseñador puede ensayar otras distribuciones que considere más convenientes e inclusive aceptar alguna excentricidad eVX>0. En la Sección 5.4 se verá otro ejemplo donde también resultan excentricidades torsionales pequeñas cuando el cortante sísmico se distribuye en porcentajes de 6.4%/ 15.2%/ 18.4%/10.0%, para los muros M3/M4/M5/M6, respectivamente. o En el presente ejemplo, para poder ilustrar mejor el diseño cuando existen excentricidades torsionales, se asignarán a todos los muros cortantes de diseño proporcionales a Lwi², es decir, aproximadamente ~17% del cortante total a cada muro de 6.3 m y ~8% a cada muro de 4.2 m. Se obtiene entonces: c- Longitud característica del sistema según ecuación (3.31): Lwe = Σ(Vi.Lwi)/Σ Vi = (4*0.17*6.3 + 4*0.08*4.2)/1.00 = 5.628 m d- Demanda estimada de ductilidad, según la ecuación (3.86): µY ≈ 1.8 Lwe.θd/(εY.Hn) - 0.8 = 1.8*5.628*0.025/(0.0021*42.0) – 0.8 = 2.1 Más adelante se verá que en este ejemplo ese valor cambia al tener en cuenta los efectos de torsión.

5.2.2. Paso 2 – Perfil de desplazamientos del sistema, masa efectiva Me y altura del SDOF equivalente, He o Distorsión angular plástica del sistema con base en requisitos de Norma, ecuación (3.36): θpc = (θc – εY.Hn/Lwe) = (0.025 – 0.0021*42.0/5.628) = 0.00933 o Si se parte de los requisitos de la Norma, la distorsión angular plástica del muro más largo sería, según la ecuación (3.43): θpj = θpc + 2 εy.Hn(1/Lwe – 1/Lwj)/3 θpj = 0.00933 + 2*0.0021*42.0.(1/5.628 – 1/6.3)/3 θpj = 0.01044

o Para el mismo muro de Lw = 6.3 m, con base en la ecuación (3.44), se obtiene: θpm = (φm – 2 εy/Lw) Lp φm = 0.072/Lw (ver Secciones 3.2.1 y 3.3.6.1.2)

CAPITULO 5.


5-13

θpm = (0.072/6.3 – 2*0.0021/6.3) Lp = 0.01076 Lp Lp = 0.05 He + 0.1 Lw + 0.022 fy.db ≈ 0.05*29.4 + 0.1*6.3 + 9.2*0.02 = 2.28 m θpm = 0.0246 o El muro no tiene problemas para alcanzar la distorsión angular plástica basada en la Norma (0.01044<0.0246). Se usará θe = θpc = 0.0933 o Similarmente, en el muro más corto (Lw=4.2 m): Lp=2.07; θpj = 0.0058; θpm = 0.0161 Lp = 0.0333; θpm>θpc o Se usará un perfil de desplazamientos basado en la ecuación (3.39), con θpe= θpc = 0.00933: ∆i = εy.Hi² (1 – Hi/3 Hn)/Lwe + θpe.Hi ∆i = 0.0021 Hi² (1 – Hi/126)/5.628 + 0.00933 Hi ∆i = (9.33 + 0.3731 Hi - 0.00296 Hi²).Hi/1000 o Con este perfil de desplazamientos se obtiene: He = Σ (mi.∆i.Hi)/Σ(mi.∆i) = 30.24 m = 0.720 Hn Me = Σ (mi.∆i)/∆d = 4655 kN.seg²/m = 0.702 Σ mi

5.2.3. Paso 3 - Desplazamiento de diseño, ∆de o Desplazamiento de diseño del sistema, correspondiente al centro de masa, según la ecuación (3.34): ∆d = Σ(mi.∆i²)/Σ(mi.∆i) = 0.553 m o Desplazamiento ∆i a la altura He: ∆d = 0.541 m (según ecuación 3.39) Los valores son muy similares. Se usará inicialmente ∆d =0.541 m, pero habrá que rectificar este valor más adelante, cuando se evalúen los efectos torsionales, porque debido a ellos aumentarán los desplazamientos de algunos muros, que ya no cumplirán los objetivos de diseño (Ver Paso 9.1).

5.2.4. Paso 4 - Ductilidad de desplazamiento del sistema o o

Desplazamiento de fluencia del sistema a la altura He, según la ecuación (3.37): ∆ye = 0.259 m Ductilidad estimada inicial, μsis = ∆d/∆ye = 0.541/0.259 = 2.09 5.2.5. Paso 5 - Amortiguamiento viscoso equivalente a la ductilidad de desplazamiento De manera simplificada, con base en las ecuaciones (3.20a) y (3.22a):

o o

ξeq = 0.05 + 0.444 Rξ = (0.07/(0.02 + ξ))

) = 0.124 0.5

=

0.698

Cálculo más elaborado, según la propuesta de Priestley et al. (2007):

CAPITULO 5. o


5-14

ξe =∑(Vj.ξj)/ ∑Vj Muros M3 y M6: V3,6=0.08;∆d = 0.541 ;∆y=0.348 m; = 1.55; ξ3,6 =0.100 Muros M4 y M5: V4,5=0.17;∆d = 0.541; ∆y=0.232 m; = 2.33;ξ4,5 =0.131 ξe= (4*0.08*0.100 + 4*0.17*0.131)/1.00= 0.121 Rξ = 0.705 La diferencia en este caso resultó de menos del 1% respecto al cálculo simplificado

5.2.6. Paso 6 - Espectro de desplazamientos para el amortiguamiento equivalente Se obtiene del espectro de diseño de NSR-10, corregido por Rξ = 0.698, es decir: Sd = 0.12*0.698 T = 0.0838 T 5.2.7. Paso 7- Período efectivo requerido o

El desplazamiento de diseño ∆d=0.541 m, es mayor que el desplazamiento espectral máximo corregido por amortiguamiento, Sd máximo corregido = 0.698*0.576 = 0.402 m. Es el “Caso d”, visto en la Sección 4.1.4 (∆d>Sd máximo)

o

Según la propuesta de Calvi Sullivan (2009) el periodo requerido será: Te = 0.541/0.0838 = 6.46 s

5.2.8. Paso 8 - Rigidez efectiva mínima requerida para alcanzar el estado límite de diseño Según la ecuación (3.15): Ke = 4 π² Me/Te² = 4 π²*4655/6.46² = 4404 kN/m Según la ecuación (3.25), Ke máx= 4 (Sdel/∆d). π².Me/Te²; Ke máx = 4*(0.576/0.541)*π²*4655/6.46² = 4689>4404 kN/m. Se usará Ke=4404 kN/m. 5.2.9. Paso 9 - Calcular la fuerza lateral total de diseño VBASE = Ke ∆d = 4404*0.541 = 2383 kN

5.2.9.1. Evaluación de los efectos de torsión: o Excentricidad de resistencia para Sismo Y, según ecuación (3.69a): eVX = Σ(Vyj.Xj)/ΣVyj eVX = (-2*8.0*13.25 – 2*17.0*6.25 + 2*17.0*3.75 + 2* 8.0*10.75)/100 eVX = -1.25 m o Excentricidad de rigidez para Sismo Y, ecuación (3.68a): eRX = Σ(Vj.Lwjx.Xj)/Σ(Vj.Lwjx)

CAPITULO 5.


5-15

Σ(Vj.Lwjx.Xj) = -2*8.0*4.2*13.25 – 2*17.0*6.3*6.25 + 2*17.0*6.3*3.75 + 2* 8.0*4.2*10.75 = -703.5 Σ(Vj.Lwjx) = 2*8.0*4.2 + 2*17.0*6.3 + 2*17.0*6.3 + 2* 8.0*4.2 = 562.8 eRX = -703.5/562.8 = -1.25 m o Rigidez rotacional dúctil para Sismo Y, según ecuación (3.71a): JR,μ = JR,μY + JRXv =ΣKyj (Xj – eRX)²/μSIS + Σ Kxj (Yj – eRY)² Desplazamiento de fluencia de cada muro dirección Y, a la altura equivalente He: ∆yj = εy.He²(1 – He/3 Hn)/Lwj A la altura Hey = 30.24 m, con εy=0.0021, resulta ∆yj = 1.459/Lwj Si el cortante asignado al muro j es αj*VBASE, entonces Kj= αj*VBASE/∆yj = 0.685 αj*VBASE*Lwj Kj= 1632 αj*Lwj Para μ=2.09: JR,μY = ΣKyj (Xj – eRX)²/μSIS 2 2 2 2 JR,μY = (2*0.08*4.2*12.0 + 2*0.17*6.3*5.0 + 2*0.17*6.3*5.0 + 2*0.08*4.2*12.0 )*1632/2.09 JR,μY = 300.64*1632/2.09 = 234755 kN.m o Rigidez rotacional elástica para Sismo X: Desplazamiento de fluencia de cada muro de dirección X, a la altura equivalente He: ∆yj = εy.He²(1 – He/3 Hn)/Lwj A la altura Hex = 29.87 m (ver Sección 5.1.2), con εy=0.0021, resulta ∆yj = 1.430/Lwj Si el cortante asignado al muro j es αj*VBASE, entonces: Kj= αj*VBASE/∆yj = 0.700 αj.VBASE.Lwj VBASE = 2013 kN (ver Sección 5.1.9) Kj= 1409 αj*Lwj α escogido = 0.25 para cada muro de dirección X (ver Sección 5.1.1) 2

JRX = (2*0.25*7.10*3.7 )*1400 = 68040 kN.m JR,μ= 234755 + 68480 =303235 kN.m Obsérvese que en este ejemplo, debido a la disposición de los muros en planta y al valor bajo de μ, el aporte de los muros en estado inelástico resulta bastante más significativo que el de los muros elásticos. o Rotación nominal en planta, según ecuación (3.72) : θN = - VBASE.eRX/JR,μ θN = - 2383*(-1.25)/303235 = 0.00984 Lo anterior significa que los muros M6, del extremo derecho de la planta (figura 5.1) sufrirán desplazamientos mayores que los del centro de masa y allí se excederían los desplazamientos permitidos. Para corregir esta situación será necesario modificar el desplazamiento de diseño y verificar de nuevo las condiciones de ese muro. Según la ecuación (3.74b): ∆dy = ∆CMY - θN.(XCRIT - eVX) o Desplazamiento de diseño rectificado del centro de masa del sistema, en dirección Y, con base en la ecuación (3.74b): ∆d = 0.541 – 0.00984*12.0 = 0.423 m o

Resultados para las nuevas condiciones:

CAPITULO 5.


5-16

 El perfil de desplazamientos va a cambiar, y con ello los valores de He y de ∆ye; pero pueden usarse los valores de los pasos anteriores, para estimar la nueva distorsión angular plástica de diseño: θpe = (∆d - ∆ye)/He ≈ (0.423 – 0.259)/30.24 = 0.00542  Lo anterior equivale a usar una nueva distorsión angular en el centro de masa: θc = θpe + εY Hn/Lw = 0.00542 + 0.0021*42.0/5.628 = 0.0211  Perfil de desplazamientos rectificado: ∆i = 0.0021 Hi² (1 – Hi/126.0)/5.628 + 0.00542 Hi  Con base en el nuevo perfil de desplazamientos: He = 30.62 m; Me=4532 kN.seg²/m; ∆ye= 0.265 m; ∆de=0.265+0.00542*30.62 = 0.431 m a la altura He; ∆de = 0.442 con ecuación (3.34); se usará ∆de = 0.431 m (Otra opción sería usar simplemente el valor deducido atrás de ∆d = 0.423 m)     

μ =1.63; ξe=0.100; Rξ=0.75; Sd = 0.12*0.75 T = 0.090 T Te = 0.431/0.090 = 4.79 s < TL = 4.8 s Ke = 4 π² Me/Te² = 4 π²*4532/(4.79)² = 7798 kN/m Valor corregido de VBASE= Ke ∆d = 7798*0.431 = 3361 kN

 Para Sismo Y, similarmente a las condiciones iniciales:  ∆yj = 1.490/Lwj ; Kj= 2255 αj*Lwj JR,μY = 415916 kN.m  En dirección X, no cambian las condiciones: JRX = 68040 kN.m (calculado atrás) JR,μ= JR,μY+ JRX = 415916 + 68480 =484396 kN.m θN= 3361*1.25/484396 = 0.00868  En el muro M5: ∆d = 0.431 + 0.00868*5.00 = 0.474 m  En el muro crítico para desplazamientos (M6), ∆d = 0.431 + 0.00868*12.00 = 0.535 m. Este valor es menor que el ∆d permitido de 0.541 m, determinado en el Paso 3, Sección 5.2.3 y puede considerarse que el cortante de diseño de 3361 kN es adecuado para cumplir los requisitos de rigidez aun con efectos torsionales. Sin embargo, a continuación se verifica con un cálculo simplificado la distorsión angular máxima de este muro M6: -

Distorsión angular plástica máxima del sistema (en la posición del muro M6): θp = (∆d - ∆ye)/He = (0.535 – 0.265)/30.62 = 0.00882

-

Distorsión angular total, M6: θ = θp + εY Hn/Lwe = 0.00882 + 0.0021*42.0/5.628 = 0.0245 ≈ θc

 No se realizarán más ensayos.

9

9

Estrictamente el cálculo de θp sería más elaborado y debiera tener en cuenta el valor del desplazamiento de fluencia del sistema, correspondiente a la posición del muro M6, basado en ∆ye del C.M. y en una rotación θNY = VBASE.eRX/JR, con JR elástico, de la ecuación (3.71). También el valor de “εy Hn/Lwe” en la posición del muro M6 requeriría algún ajuste por torsión.

CAPITULO 5.


5-17

 El cortante de diseño resultó de 3361 kN, aproximadamente 40 % mayor que el de un sistema sin irregularidades de torsión (2383 kN) y todos los muros se diseñarían para la porción escogida del cortante total, es decir, 8% para cada muro corto y 17% cada muro largo.  La irregularidad torsional permanece a pesar de todo. Es claro que la alternativa planteada inicialmente en el Paso 1 (cortantes de V3=6.3% ΣV; V4=14.3% ΣV: V5=20.4% ΣV; V6=9.0% ΣV) sería mucho más económica y además de mejor comportamiento sísmico, pues prácticamente eliminaría la irregularidad torsional. Ver figura 5.4. La solución que se acaba de presentar exigiría cortantes de diseño, sin corrección por sobre-resistencia ni efectos de modos superiores, de 269 kN para los muros de 4.2 m de longitud y 571 kN para los muros de 6.3 m, mientras que la alternativa que buscaba minimizar los efectos de torsión solamente exigiría cortantes de 150 kN para los muros Tipo 3 (ver figura 5.1), 341 kN para los Tipo 4, 486 kN para los Tipo 5 y 214 kN para los muros cortos Tipo 6.

a.

Solución con diseño simétrico de muros VBASE = 3361 kN- Persiste la torsión

b. Solución asimétrica que minimiza la torsión VBASE = 2383 kN – Torsión insignificante

Figura 5.4 – Comparación de dos soluciones para Sismo Y – Desplazamientos a la altura He En la figura 5.4 se comparan ambas soluciones; evidentemente la solución con resistencia asimétrica, figura 5.4b, que minimiza la excentricidad de resistencia, es más conveniente y económica que la solución presentada con detalle (figura 5.4a). En la práctica pueden necesitarse algunos ajustes al diseño final; por ejemplo, si el diseño de los muros M3 y M4 llevara a refuerzos nominales por requisitos de Norma, su resistencia sería mayor que la prevista, y para mantener una excentricidad mínima habría que aumentar proporcionalmente las resistencias de los demás muros. También pudiera existir en tales casos la opción de disminuir el espesor de los muros con refuerzo nominal, hasta que su refuerzo fuera requerido por resistencia.

CAPITULO 5.


5-18

5.2.9.2. Verificación de las condiciones de desplazamiento de los muros Según la ecuación (3.37), los desplazamientos de fluencia para los muros de 4.2 m de longitud son de 0.35 m y para los muros de 6.3 m de longitud son de 0.24 m. A continuación se verificará cuál de los casos de la estructura equivalente mencionados en la Sección 4.1 – “Ajustes del cortante de diseño en el método de la estructura sustituta” se presenta en este ejemplo. o

Según la ecuación (3.73a), el desplazamiento máximo de cada muro “j”, a la altura He, vale: ∆jy = ∆CMY + θN.(Xj - eVX)

o

Así resultan los siguientes desplazamientos en dirección Y, a una altura He : Muro ∆jy M3 0.423 - 0.00868*12.00 = 0.32 m < ∆y = 0.35 m M4 0.423 - 0.00868*5.00 = 0.39 > ∆y = 0.24 m M5 0.423 + 0.00868*5.00 = 0.47 > ∆y = 0.24 m M6 0.423 + 0.00868*12.00 = 0.53 > ∆y = 0.35 m

o

Se observa que los muros M3 no llegan a fluencia para el desplazamiento de diseño. Es el “Caso b” de la Sección 4.1.2. Según se vio, estos muros sólo alcanzarían a desarrollar una fuerza cortante de (∆d/∆y) Fj, ó (0.32/0.35) Fj ó 91% de la fuerza de diseño que se les asignó inicialmente; el cortante total presentará un déficit y debiera ajustarse según la ecuación (4.3): Fadic = Σ(1- ∆d/∆yi)Fi Fadic = 2*(1-0.91)*0.08*VBASE = 48 kN. En este caso el ajuste necesario del cortante basal es poco significativo (1.4% de incremento de VBASE) y pudiera ignorarse, pero pueden presentarse casos en que esta corrección sea importante.

5.2.10. Paso 10 - Distribuir la fuerza lateral entre los elementos de la estructura y en altura Las fuerzas laterales se distribuyen en altura según la ecuación (3.60): Fi = VBASE (mi.∆i)/Σ(mi.∆i) Con base en esa distribución y en la fracción de la resistencia asignada a cada muro pueden calcularse sus fuerzas internas correspondientes. Éstas pierden relevancia cuando se hace el diseño por capacidad y se plantean envolventes de momento flector y cortante de diseño derivadas de los valores en la base de los muros. 5.2.11. Paso 11 - Diseño por capacidad A diferencia del Ejemplo 1X, aquí el refuerzo de flexión requerido en la base del Muro M5 se realizará con un diseño que tenga en cuenta valores “reales” de las resistencias de los materiales, que permita ilustrar la propuesta de la Sección 3.5: o o

Momento de vuelco en la base del sistema MBASE = VBASE*He = 3361*30.62 = 102900 kN.m Momento flector de diseño del Muro M5: MB = 102900*0.17 = 17500 kN.m

CAPITULO 5. o o o o o o


5-19

Fuerza axial: 5300 kN, evaluada por aparte con software convencional Desplazamiento máximo del muro ∆n = ∆y + ∆p = 0.474 + 0.00882*42.0 = 0.844 m (Ver Sección 5.2.9.1) Factor de reducción de resistencia: φ =1.0 (Ver Sección 3.5) Resistencia del concreto: f’ce = 1.3 f’c = 36.4 MPa (Ver Sección 3.5) Resistencia del acero: fye = 1.1 fy = 462 MPa (Ver Sección 3.5) Deformación unitaria máxima del concreto no confinado: εc=0.003, según ACI-318 y NSR-10.

El refuerzo requerido, distribuido uniformemente en la sección del muro y la altura comprimida c se obtuvieron por aparte: As = 39.4 cm²; cuantía ρ = 0.25%, nominal, mínima c = altura de la zona comprimida = 0.17 Lw = 1.07 m Requisitos de confinamiento del Muro M5, según resultados del DDBD: Se verifican de paso los requisitos de confinamiento del Muro M5 (ver figura 5.4): θp = (Δis – Δyij)/He θp = (0.474 – 0.237)/30.62 = 0.00774, según se vio en la Sección 5.2.9.1. De la ecuación (3.44) se deduce: θpm ≈ (φm – 2 εy/Lw) Lp; Lp = 2.35 m (para He=30.62 m) φm = θpm/Lp + 2 εy/Lw = 0.00774/2.35 + 2*0.0021/6.3 = 0.00396/m De la ecuación (3.45a) se deduce la deformación unitaria del concreto, para un valor calculado ya visto de “c” = 1.07 m. φmc = εcm/c (compresión del concreto) εcm = φmc*c = 00396*1.07 = 0.00424 = εcuc>εcu permitido en NSR-10 sin confinar Se requiere confinamiento en los extremos. Con base en la ecuación (4.14a), Sección 4.6.1, adaptada para εcu=0.003 de NSR-10, se obtiene: εCUC = 0.003 + ρv fy/300 ρv = (εCUC -0.003)*300/420 = 0.0009 = suma de cuantías de confinamiento en dos direcciones ortogonales, según Priestley et al. (2007), ecuación (4.7). Si se escogiera, ρax = ρay = ρv/2 = 0.0005 y estribos #3, fyh = 420 MPa, se requeriría: Estribo perimetral: hcy ≈ 20 cm (2.5 cm recubrimiento de estribos); ρax = Ashx/hcy.s s = Ash/ρ.hc = 2*0.71/(0.0005*20) = 142 cm, ó 71 cm si se castiga este valor con un coeficiente de eficiencia de 0.5, tratándose de un muro. Pero no debe usarse s>tw/3=25/3 = 8 cm ni s>8 db. Ganchos transversales #3: se escoge una separación horizontal hcx = 20 cm: s=Ashy/ρv.hcx= 0.71/(0.0005*20) = 71 cm, ó 36 cm si se castiga este valor con un coeficiente de eficiencia de 0.50, por tratarse de un muro. Pero no debe usarse s>tw/3 ni s>8 db. La cuantía mínima requerida en NSR-10 para muros es bastante mayor que la aquí calculada (ρmin=0.06 f’c/fyh = 0.004 para DMO ó 0.09 f’c/fyh=0.006 para DES, en cada dirección ortogonal) Longitud de la sección que requiere confinamiento: Si se confina la zona donde la deformación unitaria del concreto excede εcu=0.003, su longitud debería ser: Cc = (1 – εcu/εcm)*c Cc = (1 - 0.003/0.0049)*1.07 = 0.41 m Requisitos de confinamiento del Muro M5, según metodología de NSR-10 o de ACI-318-08

CAPITULO 5.


5-20

A continuación se hace el mismo análisis del confinamiento requerido para el Muro M5, según ACI-318 o NSR-10 (ver Sección 2.4), sólo para efectos de comparación, aunque su validez sea discutible. Con base en la ecuación (2.2), que supone Lp = 0.5 Lw. la curvatura máxima sería: φU ≈ 2 ∆U/(Hn.Lw) = 2*0.844/(42.0*6.3) = 0.0064 /m Con base en este valor de φU, la ecuación (2.3), Capítulo 2, indicaría una deformación unitaria máxima del concreto: εCUC = c*φU = 1.07*0.0064 = 0.0068 Este valor es diferente al calculado anteriormente con mayor rigor (0.0049), a partir de los principios del DDBD. De todos modos se requieren elementos de borde confinados. Otra manera de determinar esta necesidad es con base en la ecuación (2.6), que indica el valor de “c” a partir del cual se requiere: c≥ En el caso presente esa ecuación indica un límite “c” = 6.3*42.0/(600*0.844) = 0.52 m. El valor actual es “c” = 1.07 m. Una vez más se requieren elementos de borde confinados. En la Sección 5.2.9.3 se vio una manera alterna de evaluación de la necesidad de confinamiento, con base en una longitud más ajustada de la rótula plástica, Lp, propuesta por Priestley et al. (2007), vista en la Sección 3.2.2.

Envolvente de momentos flectores para diseño por capacidad del Muro M5, según la Sección 3.5.2.2: El refuerzo de flexión del Muro M5 resultó nominal (cuantía 0.25%) y deberá extenderse a toda la altura del edificio. El momento flector nominal que puede resistirse con este refuerzo es Mn ≈ 19000 kN.m, algo mayor que el momento requerido por diseño, que era de 17500 kN.m Esto debe tenerse en cuenta en el diseño por capacidad. o o o o

Periodo inicial Ti ≈ Te/√μ = 4.79/√1.63 = 3.75 s (Ver Sección 5.2.9.1) o Factor de sobre-resistencia a flexión: el diseño se basó en φ=1.0 y fye=1.1 fy; se usará Ω =1.4 Momento flector resistente en la base del muro M5: 19000 kN.m Momento total en la base, con sobre-resistencia: O O Ω MB = 1.4*19000 = 26600 kN.m; Ω = 26600/17500 = 1.52 o Con base en la ecuación (3.80): o C1,T = 0.4 + 0.075 Ti (μ/Ω - 1) ≥ 0.4 C1,T = 0.4 + 0.075*3.75*(1.63/1.52 - 1) = 0.42 o Momento total de diseño a la altura 0.5 Hn, con base en la ecuación (3.79): 0 o M 0.5H = C1,T. Ω .MB 0 M 0.5H = 0.42*26600 = 11200 kN.m Fuerzas cortantes de diseño – Muro M5, según la sección 3.5.2.2: o Periodo inicial Ti ≈ Te/√μ = 4.79/√1.63 = 3.75 s o Con base en la ecuación (3.82): C2,T= 0.067 + 0.4 (Ti – 0.5) ≤ 1.15 C2,T= 0.067 + 0.4 (3.75 – 0.5) = 1.37 ↘ Úsese C2,T = 1.15

CAPITULO 5.


5-21

o El factor de sobre-resistencia a flexión es la relación entre el momento resistente probable en la base y el o momento de diseño deducido con el método de la estructura sustituta: Ω = 1.4*19000/17500 = 1.52. Este será el valor a aplicar en la ecuación (3.81). o Factor de amplificación dinámica, ecuación (3.81): o ωV = 1 + μ C2,T/ Ω ωV= 1 + 1.63*1.15/1.52 = 2.23 o Cortante de diseño en la base, para el Muro M5 (17% del cortante total): O o V B= Ω .ωV.VBASE = 1.52*2.23*3361*0.17 =1940 kN El diseño para los niveles superiores del Muro M5 debe ajustarse según la figura 5.5, donde el cortante total de diseño del nivel superior deberá ser, según la ecuación (3.83): 0 0 0 V N = (0.9 – 0.3 Ti) V B ≥ 0.3 V B 0 0 0 V N5 = (0.9 – 0.3*3.75) V B5 ≥ 0.3 V B5 0 0 ↘ Úsese V N5 = 0.3 V B5 = 583 kN El refuerzo de flexión es nominal y deberá usarse uniforme en toda la altura. En la figura 5.5 se muestran las envolventes teóricas requeridas para flexión y para cortante del Muro M5.

Momento flector

Fuerza cortante

Figura 5.5 - Diagramas para diseño por capacidad del Muro M5

5.2.12. Ejemplo de formulación del proceso de análisis DDBD, con base en una hoja de cálculo tipo EXCEL Los cálculos anteriores pueden formularse fácilmente para su proceso interactivo con hojas de cálculo tipo MS EXCEL, como se puede apreciar en los cuadros siguientes, que corresponden a los pasos iniciales de los Ejemplos 1X y 1Y. La nomenclatura usada para los muros se muestra en la figura adjunta a la hoja inicial de entrada de datos y es diferente a la figura 5.1. Así se pueden analizar por ejemplo las condiciones iniciales, evaluar los efectos de torsión del edificio y rectificar las derivas de diseño del centro de masa si fuere necesario, en un proceso iterativo que suele converger rápidamente.

CAPITULO 5.


5-22

EJEMPLO 1 Y - ANÁLISIS INICIAL (DERIVA DE c=0.025)

Planta de localización y nomenclatura de muros DISEÑO POR DESPLAZAMIENTOS PROYECTO: RESPONSABLE: REVISOR: FECHA: 42.00 m

Altura Total (Hn) Número

de muros (nm)

12

Número

de

15

Muros en ambos sentidos

Deriva permitida en dirección X (θd X)

0.0250

Lwex Lwey

Deriva permitida en dirección Y (θd Y)

0.0250

θpe x

niveles (n)

0.1

Deformación unitaria última del acero (εsu)

Resistencia a la compresión del concreto (f'c) Resistencia a la tracción del acero (fy) Estado límite de control de daños (DES)

Tipo de Lw(m)x muro

tw(m)y

LP j (m)

Sección del muro tw(m)x

Lw(m)y

(0.072/Lw)

θP

j

0.01271 0.00933 Lwx = 7.25 m

28 MPa

µx

2.84

% X

420 MPa

µy

2.06

% Y

Lwy = 6.30 m

0.0174

θpm

j

CALCULAR TODO

θpe y

lw²

Alternativa de distribución del cortante basal (% VB)

5.628 m

Muros Críticos

0.0021

Deformación unitaria de fluencia del acero (εy)

7.175 m

Δyj

% Vj Sugerido

% Vj Elegido

M1 M2 M3

4.20 6.30 6.30

0.25 0.25 0.25

2.18 2.39 2.39

0.0058 0.0104 0.0104

0.0352 0.0257 0.0257

0.588 0.392 0.392

8.0 17.0 17.0

8.0 17.0 17.0

Y Y

M4

4.20

0.25

2.18

0.0058

0.0352

0.588

8.0

8.0

Y

Y

M5

7.25

0.25

2.48

0.0128

0.0232

0.341

26.0

25.0

X

M6

7.10

0.25

2.47

0.0126

0.0236

0.348

24.0

25.0

X

M7

7.10

0.25

2.47

0.0126

0.0236

0.348

24.0

25.0

X

M8

7.25

0.25

2.48

0.0128

0.0232

0.341

26.0

25.0

X

M9

4.20

0.25

2.18

0.0058

0.0352

0.588

8.0

8.0

Y

M10

6.30

0.25

2.39

0.0104

0.0257

0.392

17.0

17.0

Y

M11 M12

6.30 4.20

0.25 0.25

2.39 2.18

0.0104 0.0058

0.0257 0.0352

0.392 0.588

17.0 8.0

17.0 8.0

Y Y

Datos de entrada + Cálculo de Lwe, yj y derivas plásticas pj, pm

Distribución Total

100% 100%

CAPITULO 5.


5-23

Sismo X – Perfiles de fluencia e inelástico; propiedades básicas del SDOF: He, Me, d, y, , e, R   

Sismo Y – Perfiles de fluencia e inelástico; propiedades básicas del SDOF: He, Me, d, y, , e, R  

CAPITULO 5.


5-24

Diseño por Desplazamientos

Espectro De Desplazamientos PROYECTO: RESPONSABLE: REVISOR: FECHA:

contar.si(T;

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 2.20 2.40 2.60 2.80 3.00 3.20

0.000 0.006 0.022 0.050 0.089 0.120 0.144 0.168 0.192 0.216 0.240 0.264 0.288 0.312 0.336 0.360 0.384

0.000 0.004 0.015 0.033 0.059 0.079 0.094 0.110 0.126 0.142 0.157 0.173 0.189 0.205 0.220 0.236 0.252

0.000 0.004 0.016 0.035 0.062 0.084 0.101 0.117 0.134 0.151 0.168 0.184 0.201 0.218 0.235 0.251 0.268

3.40

0.408

0.268

0.285

3.60 3.80 4.00 4.20 4.40

0.432 0.456 0.480 0.504 0.528

0.283 0.299 0.315 0.331 0.346

0.302 0.318 0.335 0.352 0.369

4.60

0.552

0.362

0.385

0.700

0.1

5.50

1

ESPECTRO DE DESPLAZAMIENTOS SEGÚN NSR-10

.700

Elástico .600

Desplazamiento, Sd (m)

Datos del Espectro Perfil tipo D I 1.00 Fv 2.00 Aa 0.15 To 0.18 s Av 0.20 Tc 0.85 s Fa 1.50 TL 4.80 s 29.000 0.576 0.378 0.402 T Sd Sdx Sdy (s) (m) (m) (m)

Reducido para X Reducido para Y

.500 .400 .300 .200 .100 .000

0

1

2

3

4

5

Periodo, T (s)

Desplazamiento equivalente de un sistema SDOF (Δd x)

X

Periodo fundamental de la estructura Masa (Me x) Rigidez (Ke x) Cortante Basal (VBASE x)

Casos de la estructura substituto

4.80

0.576

0.378

0.402

Cortante Basal Corregido (VBASE x)

5.00

0.576

0.378

0.402

5.20

0.576

0.378

0.402

Desplazamiento equivalente de un sistema SDOF (Δd y)

5.40 5.60

0.576 0.576

0.378 0.378

0.402 0.402

Periodo fundamental de la estructura

Y

Masa (Me y) Rigidez (Ke y) Cortante Basal (VBASE y)

Casos de la estructura substituto Cortante Basal

Corregido (VBASE y)

0.579 m 7.35 s 4792 kN-s²/m 3485 kN/m 2017 kN

Caso A -

D

2017 kN

0.541 m 6.46 s 4655 kN-s²/m 4404 kN/m 2384 kN

Caso A -

D

2384 kN

Espectros ajustados de desplazamientos y propiedades de la estructura sustituto (Te, Ke, V BASE)



CAPITULO 5.


5-25


Cheq PROYECTO:

6

RESPONSABLE:

0.579 m

0.579

0.541 m

0.541

REVISOR: FECHA: Número de muros (nm) Ductilidad x µ∆ Ductilidad y µ∆ Desplazamiento de diseño Δd x Desplazamiento de diseño Δd y Análisis de torsión Casos de la estructura substituto x Casos de la estructura substituto y

12 2.91 2.09 0.579 m 0.541 m En dirección Y

Centro de masa

CM

Centro de 0.57881344 rigidez 0.6591928 Centro de resistencia

Caso A - D Caso A - D

CR CV

x = 0.00 y = 0.00 x = -1.25 y = 0.00 x = -1.25 y = 0.00

% VBASAL Real en x

100%

% VBASAL Real en y

100%

Centroide del Muro coord x coord y

Lwj (m)

Vj (kN)

Δj (m)

Δyj (m)

Δj/Δyj

% Vj Real

M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7

-13.250 -6.250 3.750 10.750 -9.625 -1.250 -1.250

-7.900 -6.850 -6.850 -7.900 0.000 -3.700 3.700

4.20 6.30 6.30 4.20 7.25 7.10 7.10

190.8 405.4 405.4 190.8 504.2 504.2 504.2

0.424 0.492 0.591 0.659 0.579 0.579 0.579

0.3475 0.2317 0.2317 0.3475 0.1972 0.2013 0.2013

1.22 2.13 2.55 1.90 2.94 2.87 2.87

8.0 17.0 17.0 8.0 25.0 25.0 25.0

M8 M9 M10 M11 M12

7.375 -13.250 -6.250 3.750 10.750

0.000 7.900 6.850 6.850 7.900

7.25 4.20 6.30 6.30 4.20

504.2 190.8 405.4 405.4 190.8

0.579 0.424 0.492 0.591 0.659

0.1972 0.3475 0.2317 0.2317 0.3475

2.94 1.22 2.13 2.55 1.90

25.0 8.0 17.0 17.0 8.0

Tipo de muro

m m m m m m

Rigidez rotacional Rigidez rotacional dúctil Rigidez rotacional total 1 Rotación nominal θNi x 1 Rotación nominal θNi y

JR_x = 68569 JR_y = 491114 JRμ_x = 23603 JRμ_y = 235237 JRT_x = 514716 JRT_y = 303806 -NA0.00981

kN-m kN-m kN-m kN-m kN-m kN-m

0.57881344

Estos valores de distribución de fuerza cortante en cada muro eliminaría prácticamente la irregularidad torsional de este edificio (Si el usuario quiere eliminar la irregularidad torsional desde un principio, deberá ingresar estos valores y analizar de nuevo la estructura)

0.431082399 Y Tipo de muro

Y Y Y Y X X X X Y Y Y Y

Desplazamiento de diseño corregido,  dc Deriva plástica de diseño,  pe Deriva de diseño corregida,

c

En X

En Y

-NA-

0.424

-NA-

0.00544

-NA-

0.0211

Desplazamiento de M4 mayor que el desplazamiento del centro de masa.

Eliminar Torsión % Vi x

% Vi y

M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 M12

Evaluación de la rigidez y determinación de la nueva deriva requerida del centro de masa Nota: - El desplazamiento del muro M4, mayor que el desplazamiento del centro de masa, lleva a derivas mayores que la permitida. Es necesario revisar el análisis con base en una deriva del centro de masa de 0.0211, en lugar de 0.025 inicial.

Nueva deriva requerida.

6.3% 14.3% 20.3% 9.0%

6.3% 14.3% 20.3% 9.0%

CAPITULO 5.


5-26

ANÁLISIS REVISADO (CON BASE EN DERIVA DE c=0.02111) DISEÑO POR DESPLAZAMIENTOS PROYECTO: RESPONSABLE: REVISOR: FECHA: 42.00 m

Altura Total (Hn) Número

de muros (nm)

12

Número

de

15

Muros en ambos sentidos

Deriva permitida en dirección X (θd X)

0.0250

Lwex Lwey

Deriva permitida en dirección Y (θd Y)

0.0211

θpe x

niveles (n)

0.1

Deformación unitaria última del acero (εsu)

Resistencia a la compresión del concreto (f'c) Resistencia a la tracción del acero (fy) Estado límite de control de daños (DES)

Tipo de Lw(m)x muro

tw(m)y

LP j (m)

4.20 6.30 6.30

0.25 0.25 0.25

2.18 2.39 2.39

0.0019 0.0065 0.0065

4.20

0.25

Sección del muro tw(m)x

M1 M2 M3 M4

(0.072/Lw)

Lw(m)y

θP

j

0.01271 0.00543 Lwx = 7.25 m

28 MPa

µx

2.84

% X

420 MPa

µy

1.62

% Y

Lwy = 6.30 m

0.0174

Δyj

% Vj Sugerido

0.0352 0.0257 0.0257

0.588 0.392 0.392

8.0 17.0 17.0

θpm

j

CALCULAR TODO

θpe y

lw²

Alternativa de distribución del cortante basal (% VB)

5.628 m

Muros Críticos

0.0021

Deformación unitaria de fluencia del acero (εy)

7.175 m

% Vj Elegido 8.0 17.0 17.0

Y Y Y

2.18

0.0019

0.0352

0.588

8.0

8.0

Y

M5

7.25

0.25

2.48

0.0128

0.0232

0.341

26.0

25.0

X

M6

7.10

0.25

2.47

0.0126

0.0236

0.348

24.0

25.0

X

M7

7.10

0.25

2.47

0.0126

0.0236

0.348

24.0

25.0

X

M8

7.25

0.25

2.48

0.0128

0.0232

0.341

26.0

25.0

X

M9

4.20

0.25

2.18

0.0019

0.0352

0.588

8.0

8.0

Y

M10

6.30

0.25

2.39

0.0065

0.0257

0.392

17.0

17.0

Y

M11 M12

6.30 4.20

0.25 0.25

2.39 2.18

0.0065 0.0019

0.0257 0.0352

0.392 0.588

17.0 8.0

17.0 8.0

Y Y

Datos de entrada + Cálculo de Lwe, yj y derivas plásticas pj, pm

Distribución Total

100% 100%

CAPITULO 5.



Sismo en X

Desplazamiento Elástico

PROYECTO: RESPONSABLE: REVISOR: FECHA: Número de Niveles (n) Rotación de diseño (θd)

5-27

Inicial

14

14

13

13

4792 kN-s²/m

12

12

12

11

11

11

10

10

10

9

9

9

8

8

8

7

7

7

6

6

6

5

5

5

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

Longitud de muro equivalente (Lwe)

7.175 m

% ∑mi

0.0021

Δd (He)

0.579 m

42.00 m

Δd

0.588 m

6628 kN-s²/m

µ∆

2.91

ξequiv

0.143

Altura Total (Hn) Masa total (∑mi) Δye

0.199 m

θob

72.3%

Rξ

0.025 Cumple

15

13

0.025 0.01271

Deformación de fluencia del acero (εy)

15

14

Rotación plástica (θe)

Me

15

29.87 m 71.1%

He % Hn

15

Desplazamiento Total

Desplazamiento Plástico

0.656 0.534

# piso

Altura hi(m)

Carga muerta (kN)

Altura Acumulada Hi(m)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

2.8 2.8 2.8 2.8 2.8 2.8 2.8 2.8 2.8 2.8 2.8 2.8 2.8 2.8 2.8

4330 4330 4330 4330 4330 4330 4330 4330 4330 4330 4330 4330 4330 4330 4330

2.8 5.6 8.4 11.2 14.0 16.8 19.6 22.4 25.2 28.0 30.8 33.6 36.4 39.2 42.0

Masa Acumulada (kN.S2/m) 6628 6186 5744 5302 4860 4418 3977 3535 3093 2651 2209 1767 1326 884 442

Δiy (m)

Δip (m)

Δi (m)

0.002 0.009 0.019 0.033 0.051 0.072 0.095 0.121 0.149 0.178 0.210 0.242 0.276 0.310 0.344

0.036 0.071 0.107 0.142 0.178 0.213 0.249 0.285 0.320 0.356 0.391 0.427 0.463 0.498 0.534

0.038 0.080 0.126 0.176 0.229 0.285 0.344 0.405 0.469 0.534 0.601 0.669 0.738 0.808 0.878

0

0 0

0.5

1

0

0

0.5

Δiy (m)

1

0

0.5

Δip (m)

1

Δi (m)

Sismo X – Perfiles de fluencia e inelástico; propiedades básicas del SDOF: He, Me, d, y, , e, R   Diseño por Desplazamientos

Sismo en Y

RESPONSABLE: REVISOR: Francisco Javier Pérez

23/05/2012

FECHA: Número de Niveles (n) Rotación de diseño (θd) Rotación plástica (θe)

He % Hn Me

15 Inicial

Longitud de muro equivalente (Lwe) Deformación de fluencia del acero (εy) Altura Total (Hn) Masa total (∑mi)

30.62 m 72.9% 4515 kN-s²/m

0.0211 0.00543 5.628 m

% ∑mi

0.0021

Δd (He)

0.431 m

42.00 m

Δd

0.442 m

6628 kN-s²/m

µ∆

1.63

ξequiv

0.104

Δye

0.265 m

θob

0.0211 Cumple

0.750 0.228

# piso

Altura hi(m)

Carga muerta (kN)

Altura Acumulada Hi(m)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

2.8 2.8 2.8 2.8 2.8 2.8 2.8 2.8 2.8 2.8 2.8 2.8 2.8 2.8 2.8

4330 4330 4330 4330 4330 4330 4330 4330 4330 4330 4330 4330 4330 4330 4330

2.8 5.6 8.4 11.2 14.0 16.8 19.6 22.4 25.2 28.0 30.8 33.6 36.4 39.2 42.0

Masa Acumulada (kN.S2/m) 6628 6186 5744 5302 4860 4418 3977 3535 3093 2651 2209 1767 1326 884 442

15

15

15

14

14

14

13

13

13

12

12

12

11

11

11

10

10

10

9

9

9

8

8

8

7

7

7

6

6

6

5

5

5

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

0

0

68.1%

Rξ

Δiy (m)

Δip (m)

Δi (m)

0.003 0.011 0.025 0.043 0.065 0.091 0.121 0.154 0.190 0.228 0.267 0.309 0.352 0.395 0.439

0.015 0.030 0.046 0.061 0.076 0.091 0.106 0.122 0.137 0.152 0.167 0.182 0.198 0.213 0.228

0.018 0.042 0.070 0.103 0.141 0.182 0.227 0.276 0.326 0.380 0.435 0.491 0.549 0.608 0.667

Desplazamiento Total

Desplazamiento Plástico

Desplazamiento Elástico

PROYECTO:

0

0.5

Δiy (m)

1

0 0

0.5

Δip (m)

1

0

0.5

Δi (m)

Sismo Y – Perfiles de fluencia e inelástico; propiedades básicas del SDOF: He, Me, d, y, , e, R  



1

CAPITULO 5.


5-28


Espectro De Desplazamientos PROYECTO: RESPONSABLE: REVISOR: FECHA:

contar.si(T;

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 2.20 2.40 2.60 2.80 3.00 3.20

0.000 0.006 0.022 0.050 0.089 0.120 0.144 0.168 0.192 0.216 0.240 0.264 0.288 0.312 0.336 0.360 0.384

0.000 0.004 0.015 0.033 0.059 0.079 0.094 0.110 0.126 0.142 0.157 0.173 0.189 0.205 0.220 0.236 0.252

0.000 0.004 0.017 0.038 0.067 0.090 0.108 0.126 0.144 0.162 0.180 0.198 0.216 0.234 0.252 0.270 0.288

3.40

0.408

0.268

0.306

3.60 3.80 4.00 4.20 4.40

0.432 0.456 0.480 0.504 0.528

0.283 0.299 0.315 0.331 0.346

0.324 0.342 0.360 0.378 0.396

4.60

0.552

0.362

0.414

0.700

0.1

5.50

1

ESPECTRO DE DESPLAZAMIENTOS SEGÚN NSR-10

.700

Elástico .600 Desplazamiento, Sd (m)

Datos del Espectro Perfil tipo D I 1.00 Fv 2.00 Aa 0.15 To 0.18 s Av 0.20 Tc 0.85 s Fa 1.50 TL 4.80 s 29.000 0.576 0.378 0.432 T Sd Sdx Sdy (s) (m) (m) (m)

Reducido para X Reducido para Y

.500 .400 .300 .200 .100 .000

0

1

2

3

4

5

Periodo, T (s)

Desplazamiento equivalente de un sistema SDOF (Δd x)

X

Periodo fundamental de la estructura Masa (Me x) Rigidez (Ke x) Cortante Basal (VBASE x)


4.80

0.576

0.378

0.432

Cortante Basal Corregido (VBASE x)

5.00

0.576

0.378

0.432

5.20

0.576

0.378

0.432

Desplazamiento equivalente de un sistema SDOF (Δd y)

5.40 5.60

0.576 0.576

0.378 0.378

0.432 0.432

Periodo fundamental de la estructura

Y

Masa (Me y) Rigidez (Ke y) Cortante Basal (VBASE y)

0.579 m 7.35 s 4792 kN-s²/m 3485 kN/m 2017 kN

Caso A -

D

2017 kN

0.431 m 4.80 s 4515 kN-s²/m 7737 kN/m 3335 kN


Caso B

Cortante Basal

3377 kN

Corregido (VBASE y)

Espectros ajustados de desplazamientos y propiedades de la estructura sustituto (Te, Ke, V BASE)

CAPITULO 5.


5-29


Chequeo por Torsión PROYECTO:

7

RESPONSABLE:

0.579 m

0.579

0.431 m

0.541

REVISOR: FECHA: Número de muros (nm) Ductilidad x µ∆ Ductilidad y µ∆ Desplazamiento de diseño Δd x Desplazamiento de diseño Δd y Análisis de torsión Casos de la estructura substituto x Casos de la estructura substituto y

12 2.91 1.63 0.579 m 0.431 m En dirección Y

Caso A Caso B

Centro de masa

CM

Centro de 0.57881344 rigidez 0.53490713 Centro de resistencia

CR CV

x = 0.00 y = 0.00 x = -1.25 y = 0.00 x = -1.25 y = 0.00

Rigidez rotacional Rigidez rotacional dúctil Rigidez rotacional total

JR_x = 68569 JR_y = 672690 JRμ_x = 23603 JRμ_y = 413298 JRT_x = 696293 JRT_y = 481867

kN-m kN-m kN-m kN-m kN-m kN-m

Estos valores de distribución de fuerza cortante en cada muro eliminaría prácticamente la irregularidad torsional de este edificio (Si el usuario quiere eliminar la irregularidad torsional desde un principio, deberá ingresar estos valores y analizar de nuevo la estructura)

D % VBASAL Real en x

100%

% VBASAL Real en y

99%

Centroide del Muro coord x coord y

Lwj (m)

Vj (kN)

Δj (m)

Δyj (m)

Δj/Δyj

% Vj Real

M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7

-13.250 -6.250 3.750 10.750 -9.625 -1.250 -1.250

-7.900 -6.850 -6.850 -7.900 0.000 -3.700 3.700

4.20 6.30 6.30 4.20 7.25 7.10 7.10

266.8 567.0 567.0 266.8 504.2 504.2 504.2

0.327 0.388 0.474 0.535 0.579 0.579 0.579

0.3549 0.2366 0.2366 0.3549 0.1972 0.2013 0.2013

0.92 1.64 2.00 1.51 2.94 2.87 2.87

7.4 17.0 17.0 8.0 25.0 25.0 25.0

M8 M9 M10 M11 M12

7.375 -13.250 -6.250 3.750 10.750

0.000 7.900 6.850 6.850 7.900

7.25 4.20 6.30 6.30 4.20

504.2 266.8 567.0 567.0 266.8

0.579 0.327 0.388 0.474 0.535

0.1972 0.3549 0.2366 0.2366 0.3549

2.94 0.92 1.64 2.00 1.51

25.0 7.4 17.0 17.0 8.0

Tipo de muro

m m m m m m

OK!

1 Rotación nominal θNi x 1 Rotación nominal θNi y

-NA-

0.57881344

0.00865

0.431082399

En X

En Y

-NA-

0.327

-NA-

0.00204

-NA-

0.0190

Y Tipo de muro

Y Y Y Y X X X X Y Y Y Y

Desplazamiento de diseño corregido,  dc Deriva plástica de diseño,  pe Deriva de diseño corregida,

c

M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 M12

Eliminar Torsión % Vi x

% Vi y 6.3% 14.3% 20.3% 9.0%

6.3% 14.3% 20.3% 9.0%

La estructura aún presenta torsión en dirección Y; sin embargo, el desplazamiento máximo del muro en esta dirección (0.535 m), es menor que el desplazamiento en el centro de masa en dirección Y (0.541 m)

Rigideces y desplazamientos finales Nota: - El desplazamiento del muro M4 es mayor que el desplazamiento del centro de masa, pero se cumple la deriva requerida, θd = 0.025.

CAPITULO 5.


5-30

5.3. EJEMPLO 2Y – SUELO TIPO D (NSR-10) - SISMO Y – θc = 0.014 o El valor de θc corresponde al permitido por la Norma NSR-10 cuando se usan propiedades de secciones fisuradas. Por lo demás, valen los mismos parámetros de Aa/Av/Fa/Fv de la Sección 5.1.

5.3.1. Paso 1 - Pre-dimensionar la estructura o Existen cuatro muros de 6.3 m de longitud y cuatro muros de 4.2 m. Ver figura 5.1. o En la planta se observa que el centro de masa no corresponde con el centro geométrico de la estructura. o El centro de masa se encuentra a 26.5/2 = 13.25 m desde el borde izquierdo de la planta y se escoge como origen de coordenadas para evaluación de las excentricidades. En lo siguiente se llamará Vj al % del cortante asignado al muro j (j=3, 4, 5 ó 6). Se ensaya con resistencias para los muros M3 y M6 del 7.5 % del cortante total, 14 % para los muros M4 y 21% para los muros M6. o Longitud característica del sistema según la ecuación (3.31): Lwex = Σ(Vi.Lwi)/ΣVi = (4*0.075*4.2 + 2*0.14*6.3 + 2*0.21*6.3 )/1.00 = 5.67 m o Excentricidad de resistencia sísmica, según ecuación (3.69a): eVX = (-2*0.075*13.25 – 2*0.14*6.25 + 2*0.21*3.75 + 2*0.075*10.75)/1.0 = - 0.55 m o Excentricidad de rigidez, según ecuación (3.68a): eRX = Σ(Vj.Lwjx.Xj)/Σ(Vj.Lwjx) Σ(Vj.Lwjx.Xj) = -2*7.5*4.2*13.25–2*14.0*6.3*6.25+2*21.0*6.3*3.75+2*7.5*4.2*10.75= -267.8 Σ(Vj.Lwjx) = 2*7.5*4.2 + 2*14.0*6.3 + 2*21.0*6.3 + 2*7.5*4.2 = 567.0 eRX = -267.8/567.0 = - 0.47 m o Demanda estimada de ductilidad, según la ecuación (3.86): µY ≈ 1.8 Lwe.θd/(εY.Hn) - 0.8 = 1.8*5.628*0.014/(0.0021*42.0) – 0.8 = 0.81 → μ=1.0 No parece que el sistema pueda llegar al estado de respuesta inelástica para este requisito de derivas (θc=0.014)

5.3.2. Paso 2 - Perfil de desplazamientos del sistema, masa efectiva Me y altura del SDOF equivalente, He o Distorsión angular plástica del sistema con base en requisitos de Norma , ecuación (3.36): θpc = (θc – εY Hn/Lwe ) = (0.014 – 0.0021*42.0/5.67) = - 0.00156 El valor de θpc resulta negativo. El sistema no llega a fluencia para la distorsión angular especificada! Es el “Caso c” de la Sección 4.1.3 de este documento. o Distorsión angular plástica del muro más crítico, Lw=6.3 m, con base en la ecuación (3.43), cuando se cumplen requisitos de la Norma: θpj = θpc + 2 εy.Hn (1/Lwe – 1/Lwj)/3 θpj = - 0.00156 + 2*0.0021*42.0*(1/5.67 – 1/6.3)/3 = - 0.00052

CAPITULO 5.


5-31

Este muro no llega a plastificarse para la distorsión angular basada en la Norma. Tampoco los muros cortos, cuyo desplazamiento de fluencia es aún mayor. o El perfil de desplazamientos será proporcional al indicado por la ecuación (3.39), con θpe=0, que es la misma ecuación (3.37): ∆yi = εy.Hi² (1 – Hi/3 Hn)/Lwe ∆yi = 0.0021 Hi² (1 – Hi/126.0)/5.67 Pero la distorsión angular de fluencia vale, según la ecuación (3.35): θyn ≈ εY.Hn/Lwe θyn ≈ 0.0021*42.0/5.67 = 0.0156 En vista de que el sistema no llega a plastificación y de que la distorsión angular de diseño es θc=0.014, el perfil deberá corregirse en la proporción (θc/θyn) = (0.014/0.0156) = 0.90, es decir, el perfil de desplazamientos ajustado será: ∆yi = 0.9*0.0021 Hi² (1 – Hi/126.0)/5.67 5.3.3. Paso 3 - Desplazamiento de diseño, ∆de o Con base en el perfil de desplazamientos se obtiene, según las ecuaciones (3.27), (3.28) y (3.34): He = 31.77 m Me = 4102 kN.seg²/m ∆d = 0.259 m

= 0.756 Hn = 0.619 Σmi

Con base en el perfil de desplazamientos, a una altura He, ∆d = 0.252 m. Se adopta este último valor, más conservador que el de la ecuación (3.34); tendrá que ser rectificado más adelante, por efectos de torsión y también por tratarse de un “Caso c“ de la estructura sustituta (ver Sección 4.1.3).

5.3.4. Paso 4 - Ductilidad de desplazamiento del sistema o Desplazamiento de fluencia del sistema a la altura He, según la ecuación (3.37): ∆ye = 0.280 m o Ductilidad μsis = ∆d/∆ye = 0.252/0.280 = 0.89 → Se usará μ=1.0

5.3.5. Paso 5 - Amortiguamiento viscoso equivalente a la ductilidad de desplazamiento o El sistema no llega al rango inelástico. Se usará el espectro elástico de desplazamientos (ξi = 0.05)

5.3.6. Paso 6 - Espectro de desplazamientos para un amortiguamiento del 5% Sd = 0.12*T

CAPITULO 5.


5-32

5.3.7. Paso 7- Período efectivo requerido Te = ∆d/0.12 = 0.252/0.12 = 2.10 s

5.3.8. Paso 8 - Rigidez efectiva mínima requerida para alcanzar el estado límite de diseño Según la ecuación (3.15): Ke = 4 π².Me/Te² = 4 π²*4102/2.1² = 36720 kN/m

5.3.9. Paso 9 - Calcular la fuerza lateral total de diseño: VBASE = Ke.∆d = 36720*0.252 = 9250 kN

5.3.9.1. Evaluación de los efectos de torsión: o En el Paso 1 se encontró eVX = -0.55 m, eRX = - 0.47 m o Rigidez rotacional para Sismo Y, según ecuación (3.71a): JR,μ = JR,μY + JRX= ΣKyj (Xj – eRX)²/μSIS + Σ Kxj (Yj – eRY)² Desplazamiento de fluencia de cada muro dirección Y, a la altura equivalente He: ∆yj = εy.He² (1 – He/3 Hn)/Lwj A la altura Hey = 31.77 m, con εy=0.0021, resulta ∆yj = 1.585/Lwj Si el cortante asignado al muro j es αj*VBASE, entonces Kj= αj*VBASE/∆yj = 0.631 αj*VBASE*Lwj Kj= 5840 αj*Lwj Para μ=1.0: JR,μY = ΣKyj (Xj – eRX)²/μSIS 2 2 2 2 JR,μy= (2*0.075*4.2*12.78 + 2*0.14*6.3*5.78 + 2*0.21*6.3*4.22 +2*0.075*4.2*11.22 )*5716/1.0 = 288.26*5716/1.0 JR,μy= 1683440 kN.m o Rigidez rotacional elástica para Sismo X: Para las condiciones de distorsión angular planteadas (θc=0.014), se obtiene de manera similar al ejemplo 5.1: He = 31.16 m; Me = 4319 kN.seg²/m; ∆d=0.267 m; ξe = 0.08; Rξ = 0.845; θyn≈ εY Hn/Lwe = 0.0021*42.0/7.175 = 0.0123<0.014; el sistema llega a fluencia. Espectro de desplazamientos reducido: Sdξ= 0.1014 T Te = 2.63 s; Ke = 24650 kN/m; VBASE = 6582 kN Desplazamiento de fluencia de cada muro de dirección X, a la altura equivalente He, según ecuación (3.37): ∆yj = εy.He² (1 – He/3 Hn)/Lwj Así resulta ∆yj = 1.535/Lwj

CAPITULO 5.


5-33

Si el cortante asignado al muro j es αj*VBASE, entonces: Kj= αj*VBASE/∆yj = 0.652 αj*VBASE*Lwj Kj= 4291 αj*Lwj α escogido = 0.25 para cada muro de dirección X 2

JRX= (2*0.25*7.10*3.7 )*4291 = 208540 kN.m JR,μ= JR,μY + JRX= 1683440 + 208540 =1892000 kN.m o Rotación nominal de piso, según la ecuación (3.72): θN = - VBASE.eRX/JR,μ θN = - 9060*(-0.47)/1892000 = 0.00225

Esto significa que los muros M6 del extremo derecho de la planta (figura 5.1) sufrirán desplazamientos mayores que los del centro de masa y allí se excederían los desplazamientos permitidos. Para corregir esta situación será necesario modificar el desplazamiento de diseño y verificar de nuevo las condiciones de ese muro. Según la ecuación (3.74b): ∆dy = ∆CMY - θN.(XCRIT - eVX) o Desplazamiento de diseño rectificado del centro de masa del sistema, en dirección Y, con base en la ecuación anterior: ∆d = 0.252 – 0.00225*[10.75 – (- 0.55)] = 0.227 m = 0.90*(∆d de la evaluación inicial) La nueva distorsión angular de diseño en el centro de masa no será θc=0.014, sino θc=0.014*0.90 = 0.0126. En el Paso 2 se vio que la distorsión angular en el límite de fluencia valía θyn≈ 0.0156; igual que en ese paso, el perfil de desplazamientos deberá corregirse en la proporción (θc/θyn) = 0.0126/0.0156) =0.81, es decir, el nuevo perfil de desplazamientos ajustado será: ∆yi = 0.81*0.0021 Hi² (1 – Hi/126.0)/5.67 o Con base en el nuevo perfil de desplazamientos se obtiene: o Me=4102 kN.seg²/m; ∆de= 0.230 m, con base en ecuación (3.34); ∆de= 0.224 m, con base en el perfil de desplazamientos ajustado, a la altura He=31.77 m; se usará este valor, algo más conservador. o μ=1.0; o Sd = 0.12 T o Te = 0.224/0.12 = 1.867 s o Ke = 4 π².Me/Te² = 4 π²*4102/(1.867)² = 46460 kN/m o VBASE = Ke ∆d = 46460*0.224 = 10407 kN o

Similarmente a las condiciones iniciales: ∆yj = 1.585/Lwj; Kj= 6428 αj*Lwj JR,μY= 1852935 kN.m

o

En dirección X, no cambian las condiciones: JRX= 208540 kN.m (ver atrás) JR,μ= JR,μY+ JRX = 1852935 + 208540 = 2061480 kN.m

CAPITULO 5.


5-34

θN= 10407*0.47/2061480 = 0.00237 o

Con base en la ecuación (3.73a), el desplazamiento del muro crítico (M6), vale ∆d = 0.224 + 0.00237*(10.75 + 0.55) = 0.251 m Lo anterior equivale a 0.896*∆ye. La distorsión angular máxima correspondiente será proporcional a los desplazamientos: θ máxima = 0.896*θyn = 0.896*0.0156 = 0.014. El sistema cumple derivas de diseño aun para el muro más crítico y no se requieren más iteraciones. En la figura 5.6 se muestran los desplazamientos a la altura He, para las condiciones finales de diseño.

Figura 5.6 – Cortantes de diseño y desplazamientos para Sismo Y

5.3.9.2. Ajuste del cortante basal de diseño – “Caso c” de la estructura sustituta Se vio que para las distorsiones angulares exigidas (θc=0.014) el sistema no alcanza su estado de fluencia en la dirección Y. Es el “Caso c” de la Sección “4.1.3 - Ningún elemento llega a fluencia para el desplazamiento de diseño”. Los muros no alcanzan a desarrollar su resistencia de fluencia y así no se garantizaría, para el desplazamiento de diseño, la fuerza basal requerida (VBASE = 10407 kN). Según se explica en la Sección 4.1.3, el cortante ajustado se puede evaluar con base en la ecuación (4.4): Vd corregida = Vd ∆y/∆d = 4π².Me.∆ys/Te² Para garantizar la rigidez requerida se deberá diseñar entonces con: VBASE = 10407*0.280/0.224 = 13009 kN Este valor resulta bastante alto si se le compara con el requerido en el Ejemplo 1Y, Sección 5.2, basado en una distorsión de diseño θc=0.025, que exigía cortantes de diseño V BASE de sólo 2383 kN cuando el sistema

CAPITULO 5.


5-35

se optimizaba para minimizar los efectos de torsión, o de 3361 kN cuando se presentaban torsiones significativas. Para poder reducir θc por un factor de 0.0025/0.0014 = 1.79, se requiere aumentar la resistencia del sistema entre 3.9 y 5.5 veces. ¡La resistencia requerida es muy sensible al valor de θc! Momentos flectores de diseño para los muros: Momento total en la base del sistema, en dirección Y: MBASE ≈ 13000*31.77 = 413300 kN.m Muros M3 Muros M4 Muros M5 Muros M6 % de la Resistencia total 7.5 % 14.0 % 21.0 % 7.5 % Momento de diseño 30980 kN.m 57820 kN.m 86730 kN.m 30980 kN.m Aunque teóricamente un diseño DDBD permite cumplir los requisitos de deriva de NSR-10 en este edificio, las cuantías de refuerzo serían muy altas y prácticamente imposibles de construir. Con las derivas de piso especificadas actualmente por la Norma NSR-10, bastante más exigentes que las de la práctica internacional, puede ser muy difícil incorporar eficientemente los métodos DDBD en dicha Norma.

5.4. EJEMPLO 3Y – FBD – ANÁLISIS DINÁMICO SEGÚN NSR-10 - SUELO TIPO D - SISMO Y o o o o

o o o o

Se analiza el mismo edificio de la figura 5.1, para Sismo Y. Método FBD. Se usarán en general los requisitos de la Norma NSR-10, muy similares a los de ASCE 7-05. El análisis será dinámico elástico espectral. Se considerarán varias opciones de rigidez, según la Norma NSR-10. Llamando Ig la inercia de sección bruta u homogénea, los casos analizados son: a. Secciones homogéneas; E.I = 1.0 E.Ig. b. Secciones fisuradas; E.I = 0.5 E.Ig, según NSR-10 y ACI-318-8, numeral C.8.8.2(b) c. Secciones agrietadas; E.I = 0.35 E.Ig, según NSR-10 y ACI-318, numeral C.10.10.4 (c) d. Se supone rigidez constante en toda la altura, aunque en casos como el “c - Secciones agrietadas”, y con un diseño cuidadoso por capacidad, muy probablemente ello no ocurriría sino en los niveles inferiores del edificio. Módulo elástico del concreto: Ec = 25000 MPa Periodo fundamental aproximado según NSR-10, ecuaciones (A.4.2-2) y (A.4.2-3) Análisis dinámico elástico espectral, según Capítulo A.5 de la Norma NSR-10 Cortante basal de diseño ajustado según Sección A.5.4.5 de NSR-10

5.4.1. Análisis y diseño según análisis dinámico elástico modal, Norma NSR-10 o H = 42.0 m o ΣM = 6367 kN.m/seg² o Diseño para capacidad especial de disipación de energía (DES); coeficiente de reducción del cortante sísmico elástico, R0 = 5.0 o Sistema con irregularidad torsional Tipo 1aP, φP=0.9 (Tabla A.3.7 de NSR-10) o Se usará φr = 1.0 o Coeficiente de reducción de la respuesta, corregido por irregularidad: R = R 0*φP = 5.0*0.9 = 4.5 o cu = 1.75 – 1.2 Av.Fv = 1.75 – 1.2*0.2*2.0 = 1.27 o Ct = 0.049; α = 0.75;

(Ecuación A.4.2-2 de NSR-10) (Tabla A.4.2-1)

CAPITULO 5.

EJEMPLOS DE DISEÑOS DE EDIFICIOS POR DDBD α

o Ta ≤ cu.Ct.H = 1.27*0.049*42.0 o Sa = 1.2 Av.Fv/Ta = 0.467 g

0.75

= 1.027 s > TC = 0.853 s

5-36 (Ecuación A.4.2-3)

o Cortante basal sin reducir por R, Vs = 0.467 W = 29702 kN o Vs, ajustado por usar análisis dinámico: Vs = 29702*0.9 = 26732 kN (Sección A.5.4.5 de NSR-10) o Cortante basal de diseño: Vs/R = 26732/4.5 = 5950 kN. Este valor es 1.8 veces mayor que el requerido con un diseño DDBD, según se vio en la Sección 5.2 (VBASE = 3360 kN), pero con θc=0.025 (NSR-10 sólo permite θc = 0.014, para análisis con secciones fisuradas). En la Tabla 5.4.1 se muestran los resultados obtenidos según las diferentes hipótesis de rigidez que se adopten. El modelo incluye en todos los casos los efectos de torsión estructural propia del sistema, pero no se incluyó torsión accidental, excepto en el caso a1- , con E.I = 1.0 E.Ig. Tabla 5.4.1 – Comparación de resultados método FBD para diferentes rigideces de secciones A.6.4.1.1 a1- E.I = 1.0 E.Ig Exc. accidental 5%

A.6.4.1.1 a2- E.I = 1.0 E.Ig No exc. accidental

C.8.8.2 (b) b- E.I = 0.50 E.Ig No exc. accidental

C.10.10.4 (c) c- E.I = 0.35 E.Ig No exc. accidental

d- Revisión DDBD

Periodo “Ta” según NSR-10

1.03 s

1.03 s

1.03 s

1.03 s

N.A.

Periodo dinámico, T1y

1.62 s

1.62 s

2.33 s

2.83 s

3.00 s

Cortante basal Vs, Método CQC

2867 kN

2867 kN

2306 kN

2107 kN

Cortante basal Vs, según NSR

5950 kN

5950 kN

5950 kN

5950 kN

Deriva máxima en C.M.

1.81% *h piso

1.81 %

2.29 %

3.05 %

1.20 %

Deriva máxima, Muro M6 – NSR

3.12 % * h piso

2.64 %

3.33 %

4.47 %

1.25 %

Deriva máx. M6, Análisis Dinám.

1.50%

1.28%

1.84%

2.26%

∆ máximo en C.M. Nivel ”n”

0.55 m

0.55 m

0.99 m

1.31 m

0.498 m

∆ máximo, muro M5

0.693 m

0.63 m

1.16 m

1.56 m

0.506 m

∆ máximo, muro M6

0.86 m

0.72 m

1.33 m

1.81 m

0.520 m

Momento total de vuelco, CQC

159870 kN.m

159870 kN.m

141175 kN.m

128490 kN.m

Momento flector diseño, M5

38030 kN.m

34850 kN.m

31900 kN.m

30100 kN.m

Fuerza axial de diseño, M5

5300 kN

5300

5300

5300

Refuerzo en la base, M5

577 cm²

489 cm² (ρ=3.10 %)

407 cm² (ρ=2.58 %)

Longitud zona comprimida, c, M5

2.58 m

2.52 m

2.46 m

2.39 m

c límite = Lw/600.(Δu/Hn), M5

0.64 m

0.70 m

0.38 m

0.28 m

Deformación unitaria, εcuc, M5

0.0135

0.0120

0.0213

0.0279

357 cm² (ρ=2.27 %)

0.0039

NOTAS: o Los cortantes sísmicos basados en los análisis dinámicos se obtuvieron para combinación modal CQC. o Para el mismo cortante basal de la Norma, 5950 kN, los momentos totales de vuelco en la base varían entre 159900 y 128500 kN.m (una relación de 1.0 a 0.8). Es porque, debido a la forma del espectro de aceleraciones, el aporte relativo de los modos superiores al cortante sísmico es mayor en las estructuras más flexibles y ello se traduce en menores momentos de vuelco. o Los momentos flectores de diseño de los muros y también los refuerzos correspondientes varían, por la misma razón anterior. o Los desplazamientos máximos de los muros M5 y M6 son mayores que los del centro de masa, debido a los efectos torsionales. o Los cortantes sísmicos en la base de cada muro varían poco en cada caso y sus valores respectivos para los muros M3/M4/M5/M6, según este diseño FBD, resultan de 6.4% / 15.2% / 18.4% / 10.0% respectivamente del cortante total.

CAPITULO 5.


5-37

o Los desplazamientos y las derivas de piso de los casos b, c, d, se corrigieron por un factor de 0.7, según la Norma NSR-10, numeral 6.4.1.1, por usar secciones fisuradas. En todos los casos se excede la deriva permitida por dicha Norma. o Las cuantías de refuerzo requeridas serían bastante altas en todos los casos. o Los valores de la “Revisión DDBD”, corresponden a una re-evaluación presentada en la Sección 5.4.2, según metodología DDBD. Allí se evalúan los desplazamientos, periodo fundamental de vibración, derivas máximas y requisitos de confinamiento del muro M5, con base en las resistencias que exigiría el diseño según NSR-10.

5.4.2. Discusión de los resultados y re-evaluación según DDBD Se sabe, y es una premisa fundamental de los métodos DBD, que la rigidez lateral de una estructura depende de su resistencia; en cambio los métodos FBD suponen desde el comienzo unas rigideces y las resistencias se obtienen al final, a partir de los resultados del análisis; así es poco probable en los cálculos anteriores, que alguna de las hipótesis haya acertado la rigidez correcta del sistema. Por otra parte, según se puede observar en la Tabla 5.4.1, ninguna de las hipótesis de rigidez usadas para las secciones lleva a resultados de derivas aceptables por la Norma NSR-10, aun corrigiendo con un factor de 0.7 los valores calculados, en los casos en que se utilizaron secciones fisuradas. Pero, en vista de la variedad de los resultados, y en gracia de discusión: o o o o o o

¿Cuáles son las rigideces “reales” que debieran suponerse para el análisis FBD? ¿Cuál es la “verdadera” deriva máxima? ¿Cuál es el desplazamiento máximo del Muro M5, para diseñar su confinamiento según NSR-10? ¿Cuál es la deformación unitaria del concreto, en la base del Muro M5? ¿Es adecuado el confinamiento de la Norma para la εcuc esperada? ¿Qué demanda de ductilidad de desplazamiento pudiera esperarse? Será µ≈R=4.5?

Para tratar de resolver las dudas anteriores y encontrar un valor más confiable de los desplazamientos, demandas de ductilidad y demás valores de diseño de este edificio, podría aplicarse la metodología DDBD, para averiguar a qué deriva de diseño correspondería el cortante basal de NSR-10 (5950 kN); con ayuda de una hoja electrónica se obtiene: o Altura equivalente del sistema en dirección Y: He ≈ 31.35 m = 0.746 Hn o Masa efectiva Me = 4249 kN.s²/m = 0.641 Σmi. o El desplazamiento de fluencia de cada muro “j”, a la altura He, se puede evaluar con la ecuación (3.37): 2 ∆yj = εY.He (1 – He/3 Hn)/Lwj 2 ∆yj = 0.0021*31.35 (1 – 31.35/126.0)/Lwj ∆yj = 1.55/Lwj o

Desplazamiento de fluencia del sistema en dirección Y, a la altura He, con base en Lwe =5.61 m (valor obtenido con base en los cortantes anotados en la Tabla 5.4.2): ∆ye = 1.55/Lwe = 0.276 m

Dirección Longitud ∆yj Vj/VBASE Vj Kyj = Vj/∆yj

Tabla 5.4.2 – Propiedades de los muros diseñados M1 M2 M3 M4 M5 X X Y Y Y 7.10 m 7.25 m 4.20 m 6.30 m 6.30 m 0.209 m 0.205 m 0.371 m 0.248 m 0.248 m 0.242 0.258 0.064 0.152 0.184 1440 kN 1535 kN 381 kN 904 kN 1095 kN 6890 kN/m 7488 kN/m 1027 kN/m 3645 kN/m 4415 kN/m

M6 Y 4.20 m 0.371 m 0.100 595 kN 1604 kN/m

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o En la Tabla anterior se usaron los cortantes resultantes para la dirección Y según el análisis FBD (Ver notas de la Tabla 5.4.1). Se supondrá que los muros de dirección X se diseñan para el mismo cortante total de la dirección Y: 5950 kN; además se supondrá que este cortante en esa dirección se distribuye en 3 proporción a Lw (24.2% a cada muro de 7.1 m de longitud y 25.8% a cada muro de 7.25 m), como es usual en los métodos FBD.

Otros valores obtenidos con la hoja electrónica para la dirección Y: -

-

Periodo de vibración del SDOF equivalente: Te=3.00 s Demanda de ductilidad de desplazamiento: 1.16 Desplazamiento Δd, en el centro de masa (C.M.), a la altura equivalente: Δd = 0.320 m Desplazamiento máximo del centro de masa (a la altura Hn): Δd max C.M. = 0.498 m Desplazamiento máximo, Muro M5: Δd = 0.506 m Desplazamiento máximo, Muro M6: Δd = 0.520 m Deriva máxima en C.M., corregida según NSR-10 por sección fisurada: 1.2 % Deriva máxima (Muro 6), corregida según NSR-10 por sección fisurada: 1.25 % Los muros M3 y M6, de longitud 4.30 m, no llegarían a fluencia, “Caso b” de la estructuta sustituta y originan un recargo del cortante de diseño de aproximadamente el 5% Aunque los efectos de torsión según el análisis FBD eran importantes y mostraban desplazamientos de algunos muros mayores que 1.2 veces el desplazamiento del centro de masa, según el DDBD las resistencias requeridas modificaron la respuesta torsional, que se redujo sustancialmente (los desplazamientos del muro crítico serían apenas 1.04 veces mayores que los desplazamientos del C.M.) Aunque todos los modelos FBD, con diferentes hipótesis de rigidez, indicaban derivas muy altas (ver Tabla 5.4.1), el análisis DDBD indica derivas que no estarían muy lejos de las permitidas por NSR-10.

Necesidad de confinamiento del muro M5: Para las condiciones de diseño de la Tabla 5.4.2 se puede calcular la altura de la zona comprimida y se obtiene c ≈ 0.38*6.3 = 2.39 m. De la ecuación (3.45a), Sección 3.3.6.1.2, resulta: φmc = εcm/c ↘ εcm = c*φmc = 2.39*0.00163 = 0.0039 Según algunas normas internacionales esta deformación unitaria máxima del concreto (εc<0.004) no requeriría estrictamente confinamiento. Según la Norma NSR-10 o el ACI-318-08 sí se excede la deformación unitaria máxima del concreto no confinado (εc>0.003). La cuantía volumétrica requerida total en dos direcciones ortogonales se puede obtener con la ecuación (4.14a): εCUC = εCU + ρv.fy/300 ρv = ρax + ρay = (εCUC – εcu)*300/fy Para fy = 420 MPa y εcu = 0.003 (según NSR-10), se obtiene: ρv = ρax + ρay = (0.0039 – 0.003)*300/420 = 0.00064 Si se supone ρax = ρay, resulta la cuantía requerida de estribos: ρax = 0.00032 Este valor es menor que la cuantía mínima requerida en NSR-10 para muros (ρmin = 0.06 f’c/fy para DMO ó 0.09 f’c/fy para DES, en cada dirección ortogonal)

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o Longitud de la zona confinada del Muro M5: Si se quisiera confinar el concreto desde deformaciones unitarias εcc>0.002, la longitud de zona confinada sería, según la ecuación (2.8), del numeral 2.4.3: CC = (εcuc – εcc)*c/εcuc CC= (0.0039 – 0.002)*2.39/0.0039 = 1.16 m

5.4.3. Comparación del análisis FBD (según NSR-10) con el análisis DDBD No se pueden generalizar todas las conclusiones deducidas con base en un solo ejemplo, pero sí puede anotarse para el caso analizado: La Norma NSR-10, igual que el ACI-318-08, permite varias opciones para las rigideces de los elementos de la estructura. Todas las hipótesis usadas en la Tabla 5.4.1 serían válidas según NSR-10 o ACI-318-08, pero los resultados son muy diferentes en cada caso: o El periodo fundamental del análisis dinámico varió entre 1.62 y 2.83 s. Pero NSR-10 pide usar en este ejemplo “Ta” =1.03 s. Este valor determina el cortante sísmico mínimo que debe aplicarse a la estructura. o El cortante basal del análisis dinámico varía entre 2867 y 2107 kN. Pero NSR-10 exige diseñar como mínimo para el 90% del cortante obtenido por el método FHE, 5950 kN en este caso (entre 2.1 y 2.8 veces mayor que con análisis dinámico). o Para el cortante de la Norma, el desplazamiento máximo del Muro M6 varía entre 0.72 y 1.81 m. Este valor determina las necesidades de confinamiento (ecuación C.21-11 de NSR-10, 21-8 de ACI-318-08). o La deriva máxima resultante del FBD varía entre 2.64 y 4.47 % de la altura de piso. o La deformación unitaria máxima del concreto para el Muro M5 varía entre εcm = 0.012 y εcm = 0.028, según la rigidez escogida. o Se eligió un diseño para disipación especial de energía (DES), con un coeficiente de reducción de la respuesta sísmica R=4.5; pero con el método FBD no es posible verificar la demanda real de ductilidad de desplazamiento del edificio ni de sus elementos. o La longitud máxima de referencia de la zona comprimida, “c”, ecuación C.21-11 de NSR-10, que define la necesidad de confinamiento, es muy diferente, según la hipótesis de rigidez que se adopte. Todo lo anterior ratifica que existe mucha incertidumbre en cuanto a la validez de los resultados y al cumplimiento de los objetivos de desempeño (PBSD), cuando se usa un método FBD. El análisis DDBD, basado en las resistencias requeridas de los muros según el FBD y la Norma NSR-10, permitió obtener resultados más confiables. En la Tabla 5.4.3 se comparan con los resultados del FBD.

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Tabla 5.4.3 - Comparación de resultados FBD (NSR-10) contra DDBD

Periodo T1 Cortante Vs ∆ máximo, muro M6 Deriva θ máxima (1) Deriva θ máxima (2) εcuc, Muro M5 Demanda de ductilidad μs Efectos de torsión Confinamiento de muros Cumple objetivos PBSD?

MÉTODO FBD (NSR-10) 1.62 a 2.83 s → Pero se usa “Ta” = 1.03 s 2867 a 2107 → Mínimo 5950 kN 0.72 a 1.81 m 2.64 a 6.39 % 2.64 a 4.47 % 0.012 a 0.028 ¿4.5? ¿Cómo se verifica? (∆máx/∆prom) ≈ 1.23; irregularidad 1a P Incierto: ¿Qué valor se usa para ∆u? No se sabe qué ocurre

MÉTODO DDBD SIMPLIFICADO 3.00 s Se tomó del FBD 0.52 m 1.71 % 1.20 % 0.0039 1.2 Torsión poco significativa Evaluable para cada muro Sí, para θ permitido = 1.2 %

(1) Resultados directos de los análisis, sin corrección por secciones fisuradas (2) Corregidas por 0.7 en los casos b, c, d, de la Tabla 5.4.1, donde se usó sección fisurada (NSR-10, numeral A.6.4.1.1)

5.5. EJEMPLO 4Y –CHILE –ZONA 2, SUELO II - SISMO Y –θc=0.025 o Espectro de desplazamientos según Sismos Chile - Zona 2, Suelo II (Boroschek, 2010). Ver figura 5.7. Sd = 0.15 T en el rango T=0.53 a 2.0 s; Sd max = 0.30 m para TL≥ 2.0 s o El espectro utilizado tiene un desplazamiento elástico máximo Sdel = 0.30 m. Se verá que este valor resulta menor que el desplazamiento de diseño (“Caso d” de la Estructura Sustituta); ver Sección 4.1.4.

5.5.1. Paso 1 - Pre-dimensionar la estructura o Aquí valen básicamente las mismas consideraciones de la Sección 5.2 - Ejemplo 1Y – Método DDBD. Sólo cambia el espectro de diseño. o El cortante de diseño se distribuirá de manera que los efectos torsionales no sean importantes. Supónganse unos cortantes de diseño para los muros M3 a M6 de: V3=0.06 VBASE; V4=0.15 VBASE; V5=0.20 VBASE; V6=0.09 VBASE o Excentricidad de resistencia sísmica ecuación (3.69a): eVX = Σ(Vyj.Xj)/ΣVyj eVX = (-2*0.06*13.25 – 2*0.15*6.25 + 2*0.20*3.75 + 2* 0.09*10.75) = -0.030 m

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Figura 5.7 – Espectro de desplazamientos – Chile – Zona 2, Suelo II Boroschek (2010)

o Excentricidad de rigidez , ecuación (3.68a): eRX = Σ(Vj.Lwjx.Xj)/Σ(Vj.Lwjx) Σ(Vj.Lwjx.Xj) = -2*0.06*4.2*13.25–2*0.15*6.3*6.25+2*0.20*6.3*3.75+2* 0.09*4.2*10.75 = -0.914 Σ(Vj.Lwjx) = 2*0.06*4.2 + 2*0.15*6.3 + 2*0.20*6.3 + 2*0.09*4.2 = 5.67 eRX = - 0.914/5.67 = - 0.161 m. Es interesante observar que la distribución del cortante de diseño entre los diferentes muros (Tabla 5.4.2), resultante de los análisis FBD sin efectos de torsión accidental, lleva en este ejemplo particular a unas excentricidades de resistencia y de rigidez relativamente pequeñas. Esta conclusión no debiera generalizarse mientras no se verifique con estudios más extensos. o Longitud característica del sistema según ecuación (3.31): Lwey = Σ(Vi.Lwi)/ΣVi = 2*0.06*4.2 + 2*0.15*6.3 + 2*0.20*6.3 + 2*0.09*4.2 = 5.67 m o Demanda estimada de ductilidad, según ecuación (3.86): µY ≈ 1.8 Lwe.θd/(εY.Hn) - 0.8 = 1.8*5.67*0.025/(0.0021*42.0) – 0.8 = 2.1

5.5.2. Paso 2 - Perfil de desplazamientos del sistema, masa efectiva Me y altura del SDOF equivalente, He o Distorsión angular plástica del sistema con base en requisitos de θc, ecuación (3.36): θpc = (θc – εY.Hn/Lwe) = (0.025 – 0.0021*42.0/5.67) = 0.00944 o Distorsión angular plástica del muro más crítico, Lw=6.3 m, con base en la ecuación (3.43), cuando se cumplen requisitos de θc: θpj = 0.00944 + 2*0.0021*42.0.(1/5.67 – 1/6.3)/3 θpj = 0.01048

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o Para el mismo muro de Lw = 6.3 m, con base en la ecuación (3.44), se obtiene (ver Secciones 3.2.1 y 3.3.6.1.2): θpm = (φm – 2 εy/Lw) Lp θpm = (0.072/6.3 – 2*0.0021/6.3).Lp = 0.01076 Lp Lp = 0.05 He + 0.1 Lw + 0.022 fy.db = 0.05*31.5 + 0.1*6.3 + 9.2*0.02 = 2.39 m θpm = 0.0257 o El muro no tiene problemas para alcanzar la distorsión angular plástica basada en la Norma (0.01048<0.0257). o Similarmente, en el muro más corto (Lw=4.2 m): Lp=2.18; θpm = 0.0161 Lp = 0.0352 θpm>θpc. Rige θp=θpc=0.00944 o Se usará un perfil de desplazamientos basado en la ecuación (3.39), con θpe= θpc = 0.00944 y Lwe=5.67. Así se obtiene, con las ecuaciones (3.27) y (3.28): He = Σ (mi.∆i.Hi)/Σ(mi.∆i) = 30.23 m = 0.72 Hn Me = Σ (mi.∆i)/∆d = 4660 kN.seg²/m = 0.70 Σ mi

5.5.3. Paso 3 - Desplazamiento de diseño, ∆de o El desplazamiento de diseño del sistema, según la ecuación (3.34) es: ∆d = Σ (mi.∆i²)/(Σmi.∆i) = 0.554 m

o Desplazamiento ∆i a la altura He, según ecuación (3.39): ∆d = 0.543 m Los valores son muy similares. Se usará inicialmente ∆d =0.543 m, pero habrá que verificar este valor cuando se evalúen más adelante los efectos torsionales, una vez establecido el cortante de diseño (Ver Sección 5.5.9.1). El desplazamiento de diseño es mayor que el desplazamiento espectral elástico máximo para amortiguamiento ξ=0.05 (Sdel=0.30 m).

5.5.4. Paso 4 - Ductilidad de desplazamiento del sistema o Desplazamiento de fluencia del sistema a la altura He, según la ecuación (3.37): ∆ye = 0.257 m o Ductilidad estimada inicialmente μs = ∆d/∆ye = 0.543/0.257 = 2.11

5.5.5. Paso 5 - Amortiguamiento viscoso equivalente a la ductilidad de desplazamiento Según las ecuaciones (3.20a) y (3.22a): o ξeq = 0.05 + 0.444 o Rξ = (0.07/(0.02 + ξ))

) = 0.124 0.5

= 0.696

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5.5.6. Paso 6 - Espectro de desplazamientos para el amortiguamiento equivalente Se obtiene del espectro de diseño a partir del espectro elástico, corregido por R ξ = 0.696, es decir: Sd = 0.15*0.696 T = 0.1044 T

5.5.7. Paso 7- Período efectivo requerido o El desplazamiento de diseño ∆d=0.543 m, es mayor que el desplazamiento espectral máximo corregido por amortiguamiento, Sd máximo corregido = 0.696*0.300 = 0.207 m. Es el “Caso d” de la Estructura Sustituta, visto en la Sección 4.1.4 (∆d>Sd máximo). o Según la propuesta de Calvi Sullivan (2009) el periodo requerido será: Te = 0.543/0.1044 = 5.20 s 5.5.8. Paso 8 - Rigidez efectiva mínima requerida para alcanzar el estado límite de diseño Según la ecuación (3.15): Ke = 4 π².Me/Te² = 4 π²*4660/5.2² = 6804 kN/m Valor máximo de Ke, según ecuación (3.25), Sección 3.3.3 y figura 4.4: Ke máx = 4 (Sdel/∆d) π² Me /Te² Sdel = espectral máximo elástico, correspondiente a un periodo TL: Sdel = 0.30 m Ke máx = 4 π².Me/Te²*(0.30/0.543) = 3760 kN/m

5.5.9. Paso 9 - Calcular la fuerza lateral total de diseño VBASE = Ke.∆d = 3760*0.543 = 2042 kN El mismo resultado se obtiene cuando se usa la rigidez de la ecuación básica (3.15), pero el desplazamiento se limita al desplazamiento espectral máximo para el nivel elástico de amortiguamiento, es decir, ∆d = Sdel = 0.30 m: VBASE = Ke.Sdel = 6804*0.30 = 2042 kN En la Sección 5.5.9.2 se verificará si el cortante final de diseño debe ajustarse, debido a que algunos muros no llegan a fluencia y no alcanzan a desarrollar el cortante completo que se les asigne.

5.5.9.1. Evaluación de los efectos de torsión Excentricidad de resistencia para Sismo Y: eVX = - 0.03 m (ver Sección 5.5.1) Excentricidad de rigidez para Sismo Y: eRX = - 0.161 m o Rigidez rotacional dúctil para Sismo Y, según ecuación (3.71a): JR,μ = JR,μY + JRX= ΣKyj (Xj – eRX)²/μSIS + Σ Kxj (Yj – eRY)²

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Desplazamiento de fluencia de cada muro dirección Y, a la altura equivalente He: ∆yj = εy.He²(1 – He/3 Hn)/Lwj A la altura Hey = 30.23 m, con εy=0.0021, resulta ∆yj = 1.459/Lwj Si el cortante asignado al muro j es αj*VBASE, entonces Kj= αj*VBASE/∆yj = 0.685 αj*VBASE*Lwj Kj= 1399 αj*Lwj Para μ=2.11: JR,μY = ΣKyj (Xj – eRX)²/μSIS 2 2 2 2 JR,μY = (2*0.06*4.2*13.09 +2*0.15*6.3*6.09 +2*0.20*6.3*3.91 +2*0.09*4.2*10.91 )*1399/2.11 JR,μY= 284.97*1399/2.11 = 188940 kN.m o Rigidez rotacional elástica para Sismo X: Para la dirección X se obtiene: He=29.87 m; Me=4792 kN.seg²/m; ∆d=0.579 m; ξe=0.143; Rξ = 0.656 Espectro de desplazamientos reducido: Sdξ = 0.0984 T Te=5.88 s; Ke = 5464 kN/m; Kemax = 5464*(Sdel/Sd), segúnCalvi-Sullivan (2009), ecuación (3.25), Sección 4.1.4 y figura 4.4; Ke max = 5464*0.30/0.579 = 2830 kN/m VBASE = 2830*0.579 = 5464*0.30 = 1640 KN Con base en la ecuación 3.37, a la altura Hex = 29.87 m, con εy=0.0021, resulta ∆yj = 1.430/Lwj Si el cortante asignado al muro j es αj*VBASE, entonces: Kj= αj*VBASE/∆yj = 0.700 αj*VBASE*Lwj Kj= 1143 αj*Lwj α escogido = 0.25 para cada muro de dirección X 2

JRX = (2*0.25*7.10*3.7 )*1143 = 55550 kN.m JR,μ = JRμy + JRX = 185027 + 55550 =240577 kN.m o Rotación nominal en planta, según ecuación (3.72): θN = - VBASE.eRX/JR,μ θN = - 2042*(-0.161)/240577 = 0.0014 Esto significa que los muros M6, del extremo derecho de la planta (figura 5.1) sufrirán desplazamientos mayores que los del centro de masa y allí se excederían los desplazamientos permitidos. Según la ecuación (3.73a) se tendrá: ∆max = ∆CMY + θN.(Xj - eVX) = 0.543 + 0.0014*10.78 = 0.558 m Este valor sólo exceden un 2.5% el desplazamiento de diseño anterior. Los efectos de torsión resultan insignificantes y no vale la pena seguir refinando los resultados.

5.5.9.2. Verificación del estado de deformación de los muros y ajuste del cortante basal o Desplazamientos de fluencia de los muros de dirección Y, según la ecuación (3.37), a una altura He de 30.23 m:

CAPITULO 5.


5-45

∆yj = 1.459/Lwj Muros M3 y M6, Lw=4.2 m: ∆y = 0.347 m Muros M4 y M5, Lw=6.3 m: ∆y = 0.231 m o Si se supone que el desplazamiento efectivo de diseño es el que se usó para determinar el cortante basal, Sdel=0.30 m, respetando la rigidez requerida para cumplir derivas, Ke=6804 kN/m, resulta que los muros M3 y M6 no llegan a fluencia para el desplazamiento de diseño. Es el “Caso b” de la Sección 4.1.2. Según se vio, estos muros sólo alcanzarían a desarrollar una fuerza cortante de (∆d/∆y).Fj, ó (0.3/0.347)*Fj = 86% de la fuerza de diseño que se les asignó inicialmente; el cortante total presentará un déficit y deberá ajustarse según la ecuación (4.3): Fadic = Σ(1- ∆d/∆yi).Fi Fadic = 2*(1 - 0.86)*(0.06 + 0.09)*VBASE Fadic = 0.042* VBASE = 86 kN VBASE = 2042 + 86 = 2128 kN En la Sección 4.1.2 se vio que existen varias opciones para recuperar la rigidez necesaria y cumplir así los requisitos de desplazamientos de diseño; lo esencial es poder garantizar que, para el desplazamiento de diseño, se desarrolle el cortante VBASE final (2128 kN). Si se escoge la tercera opción de la Sección 4.1.2, el déficit de cortante puede distribuirse entre los muros M4 y M5; por ejemplo, 21 kN a cada muro M4 y M5. En este último caso los momentos flectores de diseño de cada muro serían, para una altura equivalente de 30.23 m: Muro M3 M4 M5 M6 Sistema

Cortante 123 kN 327 429 184 2126

M diseño 3720 kN.m 9890 12970 5560 64280

Comentario: Los valores de los cortantes sísmicos de diseño, VBASE, se determinaron según la propuesta de Calvi-Sullivan (2009), ecuación (3.25), Sección 4.1.4 (“Caso d” de la estructura sustituta); ver también la figura 4.4. Estos cortantes resultaron sorprendentemente pequeños. Podrían ser más críticas las cargas de viento. Tal vez sea un tema que amerite mayor investigación.

5.6. EJEMPLO 5P – MÉTODO DDBD - SUELO D (NSR-10) – θc =0.025 - EDIFICIO DE PÓRTICOS DE CONCRETO o o o o o o o o o o o o

Edificio de pórticos idénticos espaciados cada 8.0 m. Ver figura 5.8, pórtico típico. Grupo de uso I Edificio regular en planta y en altura Número de pisos: n= 8 Número de luces: 2; Lb1 = 6.0 y Lb2 = 9.0 m Secciones de vigas: 0.6 * 0.6 m, todas Secciones columnas: 0.6*0.6 m en extremos; 0.6*0.8 columna central (0.8 m en el plano del pórtico) Alturas de piso: 1er tramo h1 = 4.0 m; tramos restantes hi = 3.0 m Altura total: Hn = 25.0 m Carga muerta: 1080 kN/piso Masa por piso: 110 kN.s²/m Masa total: 880 kN.s²/m

CAPITULO 5. o o o o


5-46

Concreto: f’c = 28 MPa; Ec = 25000 MPa Acero de refuerzo fy = 420 MPa, (fu/fy)=1.25; εY=0.0021; εsu=0.10 Detalles de refuerzo para disipación especial de energía (“DES”) Espectro de desplazamientos: Suelo Tipo D – NSR-10: Aa/Av/Fa/Fv = 0.15/0.20/1.5/2.0 Sd = 0.12 T en el rango T=0.85 a 4.8 s.

5.6.1. Perfil de desplazamientos y valores básicos de la estructura equivalente Se usará la ecuación (3.50b), Sección 3.3.6.2: ∆i = θd Hi(1 – Hi/4 Hn) ∆i = 0.025 Hi (1 – Hi/100.0) Con base en la expresión anterior pueden calcularse los valores básicos del SDOF equivalente, para aplicar el método de la estructura sustituta. Ver Tabla 5.6.1. Tabla 5.6.1 – Cálculo de los valores básicos de la estructura sustituta Nivel 8 7 6 5 4 3 2 1 Σ

Hi (m) 25.0 22.0 19.0 16.0 13.0 10.0 7.0 4.0

mi (kN.s²/m) 110.0 110.0 110.0 110.0 110.0 110.0 110.0 110.0 880.0

∆i (m) 0.46875 0.429 0.38475 0.336 0.28275 0.225 0.16275 0.096 2.385

mi.∆i 51.56 47.19 42.32 36.96 31.10 24.75 17.90 10.56 262.34

mi.∆i.Hi 1289.06 1038.18 804.13 591.36 404.33 247.50 125.32 42.24 4542.12

2

mi.∆i 24.170 20.245 16.284 12.419 8.794 5.569 2.914 1.014 91.409

10

Σ mi.∆i 51.56 98.75 141.07 178.03 209.13 233.88 251.78 262.34

Σ mi.∆i % 19.7 37.6 53.8 67.9 79.7 89.2 96.0 100.00

11

Según las ecuaciones (3.27), (3.28) y (3.34): He = Σ (mi.∆i.Hi)/Σ(mi.∆i) = 17.31 m He = 0.693 Hn ∆d = Σ (mi.∆i²)/(Σmi.∆i) = 0.348 m Con base en la ecuación (3.50b) y para He=17.31 m se tendría Δd = 0.358 m. Se usará 0.348 m. Estrictamente debieran modificarse los desplazamientos de diseño por efectos dinámicos de los modos superiores; Priestley et al. (2007) proponen en su Capítulo 14, ecuación (6.3), el factor de corrección ω θ: ωθ = 1.15 – 0.0034 Hn ≤ 1.0

10

Suma del valor acumulado desde el nivel n hasta el nivel i

11

Suma del valor acumulado Σ mi.∆i, desde el nivel n hasta el nivel i, expresada como % de Σ mi.∆i en el nivel 1

CAPITULO 5.


5-47

En este edificio ese factor sería ωθ = 1.15 – 0.0034*25.0 = 1.06. No se requiere ninguna corrección del valor de ∆d. Según la ecuación (3.28): Me = Σ (mi.∆i)/∆d = 752.9 kN.s²/m Me = 0.856 * Masa total

5.6.2. Desplazamiento de fluencia, ductilidad y amortiguamiento equivalente El desplazamiento de fluencia del sistema se evaluará como en la Sección 3.3.5, ecuaciones 3.10, 3.2, 3.32 y 3.65, reproducidas a continuación: ∆ye = θye.He θye = 0.5 Y (Lb/hb)eq (Lb/hb)eq = Σ(Vij.Lbj)/Σ(Vij.hbij) Σ(Vij.Lbj) = VBASE*He - ΣMc Para determinar inicialmente el desplazamiento de fluencia del sistema, ∆ye, se deben establecer las fuerzas cortantes resistidas por las vigas, Vij, del pórtico completo. Para ello puede adoptarse alguna estrategia desde el inicio de los diseños; por ejemplo: a- Suponer que todas las vigas de un mismo piso resisten un mismo momento flector en sus extremos; las vigas se pueden agrupar en paquetes de pisos con un mismo diseño, como es usual en la práctica. Ver Sección 5.6.4. b- Realizar un análisis previo tipo FBD, para un cortante basal VBASE = 100 kN y adoptar los valores así calculados para los cortantes de vigas. Ver Sección 5.6.5.

5.6.3. Análisis basado en condiciones de equilibrio - Todas las vigas resisten un mismo momento flector En la Sección 3.3.9.2 se anotó que esta solución, atractiva por su simplicidad, puede aplicarse en pórticos que hagan parte de sistemas combinados, pero no es correcta para pórticos solos. De todos modos se desarrollará el ejemplo, para explicar por qué esta solución presentaría inconsistencias. Se supondrá que todas las columnas presentan un punto de inflexión situado al 60% de la altura del primer piso. De este modo la suma de los momentos flectores en la base de las columnas será: ΣMc= 0.6*VBASE*h1 = 2.4 VBASE Existen 16 vigas, que aportan 32 nudos, cada uno de los cuales deberá resistir, según se supuso, un mismo momento flector en el extremo de cada viga, Mv, es decir, ΣMv = Σ Vij.Lbj = 32 Mv. El momento total de vuelco del sistema, MTV, es: MTV = VBASE*He = Σ Mv + ΣMc Σ Mv = VBASE*He – 2. 4 VBASE Σ Mv = Σ Vij.Lbj = VBASE*(17.31 – 2.4) = 14.91*VBASE

CAPITULO 5.


5-48

El momento flector de diseño de cada viga, por los solos efectos de sismo, sería Mv = ΣMv/32 = 0.466*V BASE En las luces de 6.0 m se tendrá Vi1 = 2 Mv/Lb = 0.155 VBASE y en las luces de 9.0 m, Vi2 = 0.103 VBASE. De la ecuación (3.32) se deduce entonces: (Lb/hb)eq = Σ(Vij.Lbj)/Σ(Vij.hbij) (Lb/hb)eq = 14.91*VBASE/Σ(Vij.hbij) (Lb/hb)eq =14.91*VBASE/[(8*0.155*0.60 + 8*0.103*0.60)*VBASE] (Lb/hb)eq =12.0 θye = 0.5 Y (Lb/hb)eq θye = 0.5*0.0021*12.0 = 0.0126 ∆ye = θye.He = 0.218 m Ductilidad de desplazamiento, del pórtico completo: µ∆ = ∆d/∆y =0.348/0.218 = 1.60 Amortiguamiento equivalente a la ductilidad, según la ecuación (3.20b), para µ∆=1.60: ξeq = 0.05 + 0.565 ( ) = 0.117 Factor de corrección del espectro de desplazamientos, según la ecuación (3.22a): 0.5 Rξ = (0.07/(0.02 + ξ)) = 0.714 Espectro de desplazamientos corregido: Sd = 0.12*0.714 T = 0.0856 T Te = ∆d/0.0858 = 0.348/0.0856 = 4.06 s < TL = 4.8 s Ke = 4 π².Me/Te² Ke = 1803 kN/m VBASE = Ke.∆d = 628 kN Cortante de diseño para las vigas de luz Lb=6.0 m: V1 = 0.155 VBASE = 97.3 kN Cortante de diseño para las vigas de luz Lb=9.0 m: V1 = 0.103 VBASE = 64.9 kN Momento flector en los extremos de todas las vigas: Mv = 97.3*3.0 = 64.9*4.5 = 292 kN.m Momento flector en las columnas extremas: 146 kN.m = Mv/2 Momento flector en las columnas interiores: 292 kN.m = Mv Cortante sísmico en las columnas exteriores: 146/1.5 = 97 kN Cortante sísmico en las columnas interiores: 292/1.5 = 195 kN Cortante sísmico total de un piso: 97*2 + 195 = 389 kN, igual en todos los pisos < VBASE = 628 kN Esto equivale a diseñar para una fuerza horizontal única, aplicada en el último nivel del edificio. Aunque se equilibra el momento de vuelco del pórtico completo, para poder lograrlo se terminó usando un cortante basal menor que el requerido, aplicado como fuerza única a la altura de la última placa, Hn=25.0 m, mayor que la altura del SDOF equivalente. Además, las columnas quedarían sub-diseñadas a cortante en los primeros tramos. La solución no es válida.

CAPITULO 5.


5-49

5.6.4. Análisis basado en condiciones de equilibrio- Las vigas resisten momentos flectores consistentes con las fuerzas sísmicas laterales Para buscar una solución que simplifique la construcción, se decide tener únicamente tres tipos de viga, agrupándolas según el cortante promedio de los pisos y con base en el valor de “Σ mi.∆i % “ de la Tabla 5.6.1. Ver también figura 5.8 (b). Se supone por ahora un cortante basal total V BASE = 100 kN. Con base en la última columna de la Tabla 5.6.1 se deduce: Grupo 1 - Dos pisos superiores: Vsismo promedio = (19.7 + 37.6)/2 = 28.7 kN = 28.7% VBASE Grupo 2 - Dos pisos siguientes: Vsismo promedio = (53.8 + 67.9)/2 = 60.9 KN = 60.9 % VBASE Grupo 3 - Cuatro pisos inferiores: Vsismo promedio =(79.7 + 89.2 + 96.0 +100.0)/4 = 91.2 kN = 91.2% VBASE Lo anterior equivale a reemplazar las fuerzas sísmicas laterales por fuerzas concentradas de 28.7 kN en el Nivel 8, 32.2 kN en el Nivel 6 y 30.3 kN en el Nivel 4; estas fuerzas producen un momento total de vuelco en la base, MTV = (28.7*25.0 + 32.2*19.0 + 30.3*13.0) = 1723 kN.m, con su resultante a una altura de MTV/VBASE = 1723/100.0 = 17.23 m, bastante ajustada al valor calculado en la Sección 5.6.1, He = 17.31 m. Se supondrá que en un mismo piso el cortante de cada viga es inversamente proporcional a su luz, para obtener momentos flectores sísmicos iguales en los extremos de todas las vigas. Tomando como referencia la luz # 1 del grupo superior de pisos, si el momento resistente al vuelco aportado por esa luz es M1, el aporte total del piso, que tiene dos luces, será 2 M1. Además, de una manera aproximada pero que no tiene mayor trascendencia, se supondrá que los momentos de vuelco totales aportados por las vigas de cada piso son proporcionales a los cortantes sísmicos del piso. Ver figuras 3.29 y 5.8. Por ejemplo, en el Grupo 2, el aporte total de cada piso al momento resistente al vuelco será (2 M1)*60.9/28.7 = 4.24 M1. Grupo 1: ΣMv = 2.00 M1 Grupo 2: ΣMv = 4.24 M1 Grupo 3: ΣMv = 6.36 M1 El momento de vuelco total resistido por las vigas será: ΣVij.Lbj = ΣMv = (2.0*2 + 4.24*2 + 6.36*4) M1 = 37.92 M1 Se supondrá que todas las columnas presentan un punto de inflexión situado al 60% de la altura del primer piso. De este modo la suma de los momentos flectores en la base de las columnas será: ΣMc = 0.6*VBASE*h1 = 2.4 VBASE El momento total de vuelco del sistema, MTV, es: MTV = VBASE*He = ΣVij.Lbj + ΣMc Σ Vij.Lbj = 37.92 M1 Σ Vij.Lbj = VBASE*(He – 2. 4) = VBASE*14.91 De aquí se deduce M1 = 14.91*VBASE/37.92 = 0.393 VBASE En la Tabla 5.6.2 se resumen los cortantes de las vigas para cada grupo de pisos. Por ejemplo, en el Grupo 1, Luz # 1, Vi1 = (2.0 M1/2 luces)/6.0 = 0.0655 VBASE; en el Grupo 2, Luz #2, Vi2 = (4.24 M1/2 luces)/9.0 = 0.0926.VBASE.

CAPITULO 5.


5-50

Tabla 5.6.2 – Cortantes Vij de las vigas Luz # 1 Luz # 2 Grupo 1 0.0655 VBASE 0.0437 VBASE Grupo 2 0.1389 VBASE 0.0926 VBASE Grupo 3 0.2084 VBASE 0.1389 VBASE De la ecuación (3.32) se deduce: (Lb/hb)eq = Σ(Vij.Lbj)/Σ(Vij.hbij) Σ(Vij.hbij) =[2*(0.0655+0.0437)*0.6 + 2*(0.1389+0.0926)*0.6 + 4*(0.2084+0.1389)]*VBASE Σ(Vij.hbij) = 1.242 VBASE Σ Vij.Lbj = VBASE*14.91 (calculado atrás) (Lb/hb)eq = 14.91.VBASE/1.242 VBASE (Lb/hb)eq = 12.0 Se anota que, en un edificio de nL luces, sin retrocesos en altura y donde las vigas de cada luz tienen el mismo espesor en todos los pisos, cuando se adopta la estrategia de usar cortantes de vigas inversamente proporcionales a las luces, la evaluación de (Lb/hb) equivalente se simplifica como: (Lb/hb) eq = nL/(Σ(hbj/Lbj) En este ejemplo se tendría: (Lb/hb) eq = 2/(0.6/6.0 + 0.6/9.0) = 12.0 Desplazamiento de fluencia: θye = 0.5 Y (Lb/hb)eq θye = 0.5*0.0021*12.00 = 0.0126 ∆ye = θye.He = 0.218 m

Verificación de la capacidad de deformación de las vigas: Con base en la deriva escogida de Norma, θc = 0.025, la deriva plástica de la viga crítica (la menos esbelta) será: θp1 = θc – θy1 θy1 = 0.5*0.0021*6.0/0.6 = 0.0105 θp1 = 0.025 – 0.0105 = 0.0145 Capacidad de rotación de la viga crítica (Lb=6.0; Lc=5.30): Con base en la ecuación 3.8a y suponiendo db = 0.02 m Lp ≈ 0.035*Lc/2 + 0.1*0.60 + 0.022*420*0.02 = 0.34 m > hb/2; úsese Lp = hb/2 = 0.30 m θpm = (φm – φy) Lp.(Lc/Lb) (Ver ecuación 3.46) Para εy=0.0021 y Lw = hb =0.60 m, con detalles DES y usando los mismos valores de φm indicados en la Sección 3.2.1: θpm = (0.072 – 2.0*0.0021)*0.30*(5.3/6.0)/0.60 = 0.0299 > 0.0145 – Rige la deriva θc = 0.0250 Para detalles DMO, φm ≈ 0.040, θpm = 0.0158 > 0.0145 – También rige la deriva θc = 0.0250 Sin confinamiento, φm ≈ 0.0174, θpm = 0.0058 < 0.0145 – Regirían los materiales y habría qué calcular el perfil de desplazamientos con base en la viga crítica: θd = θy1 + θpm1 = 0.0105 + 0.0058 = 0.0163

CAPITULO 5.


5-51

Desde el punto de vista de la capacidad de deformación de las vigas, en este ejemplo se eligió DES y rige la deriva escogida de Norma, θd = 0.0025; pero también sería válida la solución con detalles DMO. Son válidos el perfil de desplazamientos y los valores de la Tabla 5.6.1.

Verificación de la capacidad de deformación de las columnas: Según la ecuación (3.47) de la Sección 3.3.6.2, la capacidad de rotación de la base de una columna vale: θDC = θY + θP = (φDC – φy).Lp + φy.h1/3

(3.47)

Para el caso de la columna central, sección 0.40x0.80, con una fuerza axial calculada en la base Pu=6000 kN y varillas de refuerzo con db=0.02 m, se obtiene (ver sección 3.3.6.2): Lp ≈ 0.08*(0.6*2.4) + 0.022*420*0.02 = 0.38 m. Úsese Lp = 0.40 m φDC = 0.068*(1 – Pu/Ag.f’c)/t, para detalles de disipación de energía DES de NSR-10 φDC = 0.068*[1 – 6.0/(0.6*0.8*28)]/0.8 = 0.0471/m φy ≈ 2.1 εy/t = 2.1*0.0021/0.80 = 0.0055 θDC = (φDC – φy)*Lp + φy*h1/3 θDC = (0.0471 – 0.0055)*0.40 + 0.0055*4.0/3 θDC = 0.016 + 0.0073 = 0.024 Esta columna no estaría en capacidad de alcanzar la distorsión angular de diseño, θc = 0.025 > θDC = 0.024. En estas condiciones habría varias opciones: - Cambiar la deriva de diseño inicial, θd = 0.025 por θd = 0.024 y repetir los pasos anteriores del diseño - Aumentar la resistencia del concreto hasta f’c=35 MPa, con lo cual se obtendría φDC = 0.0546/m y θDC = 0.0270 > θc - Aumentar la sección de la columna, para mejorar el valor de θDC - Mejorar las condiciones de confinamiento de la columna En este ejemplo se continuará el diseño con base en θd = 0.025 Con un cálculo para la columna extrema de la derecha, similar al anterior, con Pu=3500 kN y sección de 0.60*0.60, se obtendría, para fć=28 MPa: Lp = 0.44 según ecuación (3.8a); úsese Lp=t/2=0.30 m φDC = 0.0740/m φy ≈ 0.0074/m θDC = 0.030 > θc = 0.025 Esta columna sería capaz de soportar la distorsión angular de la Norma, sin necesidad de modificar la resistencia del concreto ni los detalles de refuerzo DES.

Ductilidad del sistema, µsis = ∆d/∆y =0.348/0.2181 = 1.60 La mayor demanda de ductilidad se presentará en el primer nivel de la viga con menor relación de esbeltez (la viga del tramo # 1 en este ejemplo): θy1 = 0.5 Y.(Lb/hb) θy1 = 0.5*0.0021*(6.0/0.60) = 0.0105 μb1= θd/θy1 = 0.025/0.0105 = 2.38

CAPITULO 5.


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Amortiguamiento equivalente a la ductilidad, según la ecuación (3.20b): ξeq = 0.05 + 0.565 ( ) = 0.117 Factor de corrección del espectro de desplazamientos, según la ecuación (3.22a): 0.5 Rξ = (0.07/(0.02 + ξ)) = 0.714 Espectro de desplazamientos corregido: Sd = 0.0856 T Te = ∆d/0.0856 = 0.348/0.0856 = 4.06 s< TL= 4.8 s Ke= 4 π².Me/Te² Ke = 1803 kN/m VBASE = Ke.∆d = 628 kN A partir de la Tabla 5.6.2 se pueden calcular los cortantes finales y los momentos flectores de las vigas correspondientes a VBASE = 628 kN. Ver Tabla 5.6.3. Tabla 5.6.3 – Cortantes Vij y momentos flectores Mv de las vigas V1 - Luz # 1 V2- Luz # 2 Mv en extremos de vigas Grupo 1 41.1 kN 27.4 kN 123.3 kN.m Grupo 2 87.2 58.2 261.6 Grupo 3 130.9 87.2 392.7 Los momentos flectores Mv de la Tabla 5.6.3 están evaluados en ejes de columnas; ver figura 5.8. Para diseño pueden reducirse a caras de apoyos, como en la figura 5.9. A manera de verificación, la suma de los momentos de vuelco resistidos por las vigas, con base en la Tabla 5.6.3, vale: ΣMv = 2*4*123.3 + 2*4*261.6 + 4*4*392.7 = 9362 kN.m Este valor es prácticamente igual al obtenido con la ecuación (3.63): MTV = ΣMv = VBASE*(He – 2.4) = 628*14.91 = 9363 kN.m También las fuerzas en las columnas pueden deducirse de los momentos flectores de las vigas presentados en la Tabla 5.6.3. Pierden alguna relevancia cuando se realiza su diseño por capacidad.

Otra opción sencilla sería la presentada en la Sección 3.3.9.2, basada en el Detalle D2 de la figura 3.29. Así resultaría por ejemplo, en el Nivel 3: o o o

Vi+1 = 500 kN Vi = 559 kN nL = 2 tramos de viga

o

Columnas extremas, encima del Nivel 3: Vc = 0.5*500/2 = 125.0 kN Mc = 0.25*500*3.0/2 = 188 kN.m

o

Columnas extremas, debajo del Nivel 3: Vc = 0.5*559/2 = 139.5 kN Mc = 0.25*559*3.0/2 = 210 kN.m

CAPITULO 5.


o

Columnas interiores, encima del Nivel 3: Vc = 500/2 = 250.0 kN Mc = 0.5*500*3.0/2 = 375 kN.m

o

Columnas interiores, debajo del Nivel 3: Vc = 559/2 = 279.5 kN Mc = 0.5*559*3.0/2 = 419 kN.m

o

Todas las vigas del Nivel 3: Mv = 0.25*(500*3.0 + 559*3.0)/2 = 397 kN.m V1 = 0.5 (500*3.0 + 559*3.0)/(2*6.0) = 132.3 kN V2 = 0.5 (500*3.0 + 559*3.0)/(2*9.0) = 88.2 kN

5-53

Estos valores resultan similares a los de la figura 5.8, Grupo 3 de vigas.

Figura 5.8 – Resultados de un análisis basado en condiciones de equilibrio

Condiciones de deformación de los elementos: Sistema completo: ∆de = 0.218 m, ya calculado Luces con Lb = 6.0 m: ∆y = 0.5 Y (Lb/hb) He = 0.5*0.0021*(6.0/0.6)*17.31 = 0.182 m < ∆d = 0.348 m Luces con Lb = 9.0 m: ∆y = 0.5 Y (Lb/hb) He = 0.5*0.0021*(9.0/0.6)*17.31 = 0.273 m < ∆d = 0.348 m Todas las vigas llegan a fluencia antes de que se alcance el desplazamiento de diseño, basado en θc=0.025.

5.6.5. Análisis DDBD para cumplir los requisitos de deriva de la Norma NSR-10 A manera de comparación, si la distorsión angular de diseño fuera θc = 0.014, como se especifica en NSR10 para análisis con secciones fisuradas, la ecuación (3.50b) llevaría a desplazamientos de (0.014/0.025) ó 0.56 veces los “∆i” de la Tabla 5.6.1. El nuevo desplazamiento de diseño sería ∆d = 0.56*0.348 = 0.195 m. En esas condiciones las luces de 6.0 m, con ∆y = 0.182 m, llegarían a fluencia; pero no así las luces de 9.0 m

CAPITULO 5.


5-54

(∆y=0.273 m). Sería un “Caso b” de la estructura sustituta, Sección 4.1.2. Habría que ajustar el cortante de diseño para poder cumplir las derivas θc=0.014. Los parámetros para el nuevo diseño serían: -

Me = 753 kN.s²/m (no cambia) ∆d = 0.195 m ∆ye = 0.218 m (no cambia) μ∆ = 0.195/0.218 < 1.0 ↘ Se usará μ∆ = 1.0 Espectro de desplazamientos: Sd = 0.12 T Te = ∆d/0.12 = 0.195/0.12 = 1.625 s Ke = 4 π².Me/Te² = 11258 kN.s²/m VBASE = Ke.∆d = 11258*0.195 = 2195 kN

-

Se supuso que ambas luces aportaban la misma resistencia, 50% del momento total de vuelco del pórtico Las luces de 6.0 m fluyen y aportan 50% de la resistencia Las luces de 9.0 m no fluyen y así sólo aportan (∆d/∆y)*50% = (0.195/0.273)*50% = 36% de la resistencia supuesta. Resistencia total aportada: 50 % + 36% = 86% de la resistencia requerida. Hay que aumentar la resistencia del sistema para lograr una rigidez que garantice las derivas especificadas. Si se quieren conservar iguales los momentos flectores de diseño en todos los extremos de las vigas de un mismo piso, habrá que corregir el cortante basal (ver Sección 4.1.2): VBASE corregido = VBASE*(VBASE/VB1) = 2195*(100%/86%) = 2553 kN

-

-

Para poder reducir la deriva de diseño en la proporción 0.025/0.014= 1.8, se requiere incrementar el cortante de diseño por un factor de 2553/628 = 4.1. Se ve una vez más que los requisitos de derivas muy estrictos pueden llevar a sistemas estructurales que se comportan casi elásticamente durante los sismos y que requieren resistencias muy altas para cumplir los límites de derivas.

5.6.6. Comparación con un análisis FBD según el Capítulo A.4 de NSR-10 Otra manera de comparar este mismo ejemplo con los requisitos de la NSR-10 sería evaluarlo para diferentes opciones de rigidez de los elementos, similar a lo hecho en la Sección 5.4 para un edificio de muros. Se suponen empates rígidos viga-columna. Coeficiente R=7.0 (detalles de refuerzo DES). Hn = 25.0 m Cu = 1.75 – 1.2 Av.Fv = 1.27 α 0.9 Ta = Ct Hn = 0.047*25.0 = 0.852 Cu.Ta = 1.082 s Sa = 1.2 Av Fv I/T = 0.444 g Sa/R = 0.0634 g VBASE mínimo = Sa*M*g/R = 0.0634*880*9.8 = 547 kN Se plantea análisis dinámico elástico espectral, según el Capítulo A.5 de NSR-10. En ese caso puede aplicarse un beneficio del 80% a los cortantes de diseño y podría usarse VBASE = 0.8*547 = 438 kN.

CAPITULO 5.


5-55

Tabla 5.6.4 – Comparación de resultados método FBD para diferentes rigideces de secciones

o o o o

E.I = 1.0 E.Ig No exc. accidental

E.I = 0.50 E.Ig No exc. accidental

Vigas 0.35 E.Ig Columnas 0.7 E.Ig No exc. accidental

Periodo “Ta” según NSR-10

1.08 s

1.08 s

1.08 s

Periodo dinámico, T1y

1.09 s

1.53 s

1.69 s

Cortante basal Vs, Método CQC

464 kN

335 kN

300 kN

Cortante basal Vs, según NSR

438 kN

438 kN

438 kN

Deriva máxima en C.M.

0.92 %

1.22 %

1.48 %

Deriva máxima, basada en ASCE7-05

0.92 %

0.86 %

0.95 %

Cortantes del análisis dinámico obtenidos para combinación modal CQC Reducción del cortante de FHE al 80%, por usar análisis dinámico; Sección A.5.4.5 de NSR-10 Derivas corregidas por 0.7 en los casos de sección fisurada (según Sección A.6.4.1.1 de NSR-10 La Norma ASCE7-05, base de los Capítulos A.4 y A.5 de NSR-10, permite en su Sección 12.8.6.2 usar el periodo fundamental calculado en el análisis dinámico para determinar las derivas elásticas. Bajo esas condiciones, todos los modelos analizados cumplirían los límites de derivas de NSR-10.

A continuación se verifican unas condiciones más reales, según el DDBD, del comportamiento de la estructura diseñada para ese cortante de 438 kN, porque ya se vio que para garantizar una deriva inelástica del 1.4% se requería un cortante bastante mayor y también que, aun para garantizar una distorsión angular de diseño θd = 0.025, se requería VBASE = 628 kN. Mediante iteraciones puede llegarse a que, para un cortante basal de 438 t, puede garantizarse una distorsión angular θd=0.031 (deriva del 3.1%). Los resultados serían: Δye=0.218 m θd = 0.031 Δd=0.432 m μ=1.98; ξe=0.139; Rξ=0.663; Sd=0.0796 T; Te=5.42 s; Ke=1010 kN/m; Vb=436 kN ≈ VBASE mínimo según NSR-10 El valor más confiable de la deriva admisible, basado en el DDBD, estaría bastante alejado de lo que pretende la Norma NSR-10 y el análisis elástico convencional no fue capaz de predecir las deformaciones de la estructura en estado inelástico. Mediante un procedimiento similar al anterior puede obtenerse que, con el cortante de NSR-10, método FHE, sin corrección de derivas por análisis dinámico, VBASE = 547 kN, solamente se pueden garantizar derivas menores del 2.7%. Con el mismo método de la F.H.E. y para detalles de refuerzo para disipación intermedia o moderada de energía (DMO) se usaría R=5.0 y se obtendría V BASE = 766 kN y con esta resistencia sísmica podría garantizarse una deriva de 2.3%. A continuación se verifican las condiciones de deformación unitaria de las secciones de las vigas y de las columnas para una deriva del 2.7%, correspondiente al cortante basal de la FHE, NSR-10:

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Verificación de la capacidad de deformación de las vigas, para una deriva del 2.7%: Con base en la deriva deducida θd = 0.027, la deriva plástica de la viga crítica (la menos esbelta) será: θp1 = θd – θy1 θy1 = 0.5*0.0021*6.0/0.6 = 0.0105 θp1 = 0.027 – 0.0105 = 0.0165 Capacidad de rotación de la viga crítica (Lb=6.0; Lc=5.30): Con base en la ecuación 3.8a y suponiendo db = 0.02 m Lp ≈ 0.035*Lc/2 + 0.1*0.60 + 0.022*420*0.02 = 0.34 m > hb/2; úsese Lp = hb/2 = 0.30 m θpm = (φm – φy) Lp.(Lc/Lb) (Ver ecuación 3.46) Para εy=0.0021 y Lw = hb =0.60 m, con detalles DES y usando los mismos valores de φm indicados en la Sección 3.2.1: θpm = (0.072 – 2.0*0.0021)*0.30*(5.3/6.0)/0.60 = 0.0299 > 0.0165 Esta viga no tendría problemas para alcanzar las derivas calculadas.

Verificación de la capacidad de deformación de la columna central, para una deriva del 2.7%: Para el caso de la columna central, sección 0.40x0.80, con una fuerza axial calculada en la base Pu=6000 kN y varillas de refuerzo con db=0.02 m, se obtiene: Lp ≈ 0.05*4.0 + 0.1*0.8 * 0.022*420*0.02 = 0.46 m, según la ecuación (3.8a). Úsese Lp=t/2=0.40 m φDC = 0.068*(1 – Pu/Ag.f’c)/t, para detalles de disipación de energía DES de NSR-10 φDC = 0.068*[1 – 6.0/(0.6*0.8*28)]/0.8 = 0.0471/m φy ≈ 2.1 εy/t = 2.1*0.0021/0.80 = 0.0055 θDC = (φDC – φy)*Lp + φy*h1/3 θDC = (0.0471 – 0.0055)*0.40 + 0.0055*4.0/3 θDC = 0.016 + 0.0073 = 0.024 Esta columna no estaría en capacidad de alcanzar la distorsión angular de diseño, θc = 0.027, aunque se diseñe con detalles de confinamiento para disipación especial de energía (DES) de NSR-10 o ACI-318.

Conclusiones: -

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Mediante un análisis DDBD se encontró que, para garantizar derivas del 1.4 % (especificadas por NSR-10 para secciones fisuradas), se requería VBASE = 2553 kN. El edificio analizado para los cortantes sísmicos del Capítulo A.4 de NSR-10, cumpliría con las derivas de diseño permitidas del 1.4% de la altura de piso, cuando se plantea un modelo lineal ajustado a condiciones de rigideces “EI” permitidas por dicha Norma y se usa análisis dinámico elástico lineal. El cortante de diseño, para detalles de refuerzo DES, pudiera ser hasta de VBASE = 427 kN por pórtico. Una verificación con metodología DDBD indica que con ese cortante no se podrían garantizar derivas menores del 3.1%, claramente inadmisibles. Aun para el cortante del método FHE de la misma Norma, V BASE = 547 kN, sin reducción por análisis dinámico, las derivas alcanzarían valores hasta del 2.7% de la altura de piso. Para una deriva del 2.7%, con detalles de refuerzo DES, podrían alcanzarse sin problemas las deformaciones unitarias de los materiales de las vigas; pero los materiales de la columna central no estarían en capacidad de alcanzar las deformaciones correspondientes a esa deriva.

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5.6.7. Análisis de pórticos basado en modelos elásticos con rigideces ajustadas Se analizó el mismo pórtico según la propuesta de Priestley et al. (2007), con base en un modelo elástico y rigideces ajustadas por fisuración y ductilidad; ver Sección 3.3.9.1. -

Se supusieron secciones fisuradas de columnas, con Ig = 0.5 Ig. Las rigideces de columnas no se corrigieron por ductilidad. Se analizó un ejemplo con rigideces de vigas Ib = 0.35 Ig/μsis en todos los pisos y otro con Ib = 0.35 Ig/μ, en donde μ se consideró variable entre 1.33 μsis en el Nivel 1 y 0.67 μsis en el Nivel 8. Se consideraron nudos rígidos en los empates viga-columna. Se aplicó un cortante basal de 628 kN, como en el ejemplo anterior, distribuido en altura según la Tabla 5.6.1, con Fi = VBASE (mi ∆i)/Σ(mi ∆i) Los análisis se realizaron con un programa convencional para pórticos elásticos.

(a) µb = µsis

(b) µb = variable 1.33 a 0.67 µsis

Figura 5.9 - Análisis de pórticos basado en modelos ETABS con rigideces ajustadas

Anotaciones: -

En la figura 5.9 se presentan algunos valores representativos de los momentos flectores de vigas y bases de columnas para cada caso. Estos valores están dados en las caras de los nudos. Se observa que la suma de los momentos flectores en las bases de las columnas, ΣMc, vale aproximadamente VBASE*0.79 h1 en el caso de reducción uniforme de las rigideces de vigas; en el caso de reducción variable, ΣMc ≈ VBASE*0.87 h1. Los puntos de inflexión se presentaron más arriba de lo sugerido en Priestley et al. (2007), pero de todos modos las soluciones de la Sección 5.6.4 también cumplen condiciones de equilibrio.

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Los momentos flectores en los extremos de las vigas de un mismo piso no son todos aproximadamente iguales, como se eligió en el método de la Sección 5.6.4. Esto era de esperarse con un análisis elástico de pórticos. Las diferencias entre las soluciones presentadas no deben tener mayores consecuencias; con buenos detalles del refuerzo pueden permitirse redistribuciones importantes de las fuerzas internas de las vigas y las diferentes soluciones pueden ser válidas y seguras, siempre y cuando los diseños de las columnas se hagan por capacidad. Sin embargo, la solución de la figura 5.9 (b), con reducción variable de la rigidez de las vigas, puede llevar a demandas de ductilidad más uniformes en las vigas.

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5.7. EJEMPLO 6C – SISTEMA COMBINADO - Similar al de Priestley et al. (2007) – Sección 7.4

Figura 5.10 – Esquemas del sistema combinado analizado -

-

Edificio de 12 pisos Sistema compuesto por dos muros y pórticos de concreto reforzado, según la planta de la figura 5.10 Modulación en planta de 8.0x8.0 m Alturas de piso: 4.0 m el primer piso; 3.2 m los pisos restantes Altura total: 39.2 m Sección de los muros: Forma de C, dos aletas de 4.00x0.40 m y alma de 8.00x0.30 m Columnas de sección 0.80x0.80 m Vigas de espesor 0.60 m 2 Masas: 770 t en Nivel 1; 500 t en la cubierta y 700 t en cada nivel intermedio (1 t = 1 kN.s /m) Distorsión angular permitida: θc = 0.02 Espectro de diseño para el Estado Límite de Control de Daños: Aa = 0.35 g Sa max = 2.5 Aa = 0.875 g, entre To = 0.2 s y Tc = 1.0 s Periodo de inicio del desplazamiento espectral constante: 5.0 s Espectro de desplazamientos: Sd = 0.218 T, entre TC=1.0 y TL = 5.0 s Concreto fć = 35 MPa; Acero de refuerzo fy=400 MPa; fye=1.1 fy = 440 MPa; fu=1.35 fy; εSU=0.10

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DISEÑO PARA SISMO Y (Dirección transversal) Se asigna a los pórticos una fracción βF = 0.4 del cortante total, aplicada como carga sísmica única, concentrada en el nivel superior. Así el cortante sísmico de los pórticos será constante en altura. Altura del punto de inflexión, según la ecuación (3.53): HCF /Hn ≈ [√(9 – 12 βF) – 1]/2 HCF ≈ [√(9 – 12*0.4) – 1]/2 = 0.525 Hn HCF ≈ 20.6 m Sullivan (2007) usa una expresión más elaborada, que lleva a una gráfica donde puede deducirse H CF≈0.59 Hn = 23.1 m. Priestley et al. (2007) deducen la altura HCF mediante una evaluación numérica, como se explicó en la Sección 3.3.6.3, y llegan a un valor HCF = 22.0 m. Se usará este último valor. Desplazamiento de fluencia: - Se calculará con base en fye= 1.1 y = 440 MPa; εy=0.0022 - Curvatura de fluencia: se usará la ecuación (3.1e), más apropiada para sección con aleta comprimida: φYW = 1.5 εy/Lw φYW = 1.5*0.0022/8.0 = 0.000413 /m Según las ecuaciones (3.54) y (3.55): 3 Para Hi ≤ 22.0 m: ∆iy = φYW (Hi²/2 – Hi /6 HCF ) 3 ∆iy = 0.000413 (Hi²/2 – Hi /132.0 ) Para Hi > 22.0 m: ∆iy = φYW (HCF.Hi/2 – HCF²/6) ∆iy = 0.000413(11.0 Hi – 80.67) -

Distorsión angular de diseño Priestley et al. (2007) proponen manejar los sistemas combinados mediante un perfil de desplazamientos donde predomina el comportamiento de los muros. Ver Sección 3.3.6.3. A continuación se verifica su valor a la altura crítica, HCF: La sección planteada de los muros tiene aletas y la curvatura máxima alcanzable será menor que la indicada para secciones rectangulares; se usará un 90% del valor de φmc de la Sección 3.2.1. Con base en la capacidad de deformación unitaria de los materiales, resulta así: φmc = 0.9*0.072/Lw φmc = 0.0081/m Longitud de la articulación plástica, según la ecuación (3.8a): Lp = 2.58 m Distorsión angular a la altura HCF: θCF = φYW HCF/2 + (φmc–φYW) Lp θCF = 0.000413*11.0 + (0.0081 – 0.000413)*2.58 θCF = 0.0244 Rigen los requisitos de Norma, θc ≤ 0.02

- Efectos de los modos superiores: Priestley et al. (2007) recomiendan amplificar las derivas de un sistema combinado de n pisos, para tener en cuenta los efectos de los modos superiores de vibración, mediante un factor de amplificación: ωθ = {1 – (n-5).(MTVF/MTV + 0.25)}/100

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En donde MTV es el momento total de vuelco y MTVF es la fracción resistida por los pórticos. Se supone una altura efectiva He≈0.7*Hn, MTV≈0.7 VBASE y MTV≈βF VBASE*Hn. Así se obtiene: ωθ = {1 – (n-5).(1.4 βF + 0.25)}/100 ωθ = {1 – 7*(0.57 + 0.25)}/100 = 0.94 La deriva de diseño corregida será θCF = 0.02*0.94 = 0.0188 Deriva plástica: θP = (θc – φYW.HCF /2) θP = (0.0188 – 0.000413*11.0 ) = 0.0143 Perfil de desplazamientos: Por regir los requisitos de la Norma, se usa un perfil de desplazamientos según la ecuación (3.52b): ∆Di = ∆Yi + θP.Hi ∆Di = ∆Yi + 0.0143 Hi El perfil de ∆Yi está dado por las ecuaciones (3.54) y (3.55): 3 Para Hi ≤ HCF: ∆Yi = φYW (Hi²/2 – Hi /6 HCF) Para Hi > HCF: ∆YI = φYW (HCF .Hi/2 – HCF²/6) Ecuación final del perfil de desplazamientos: 3 Para Hi ≤ HCF: ∆Di = φYW (Hi²/2 – Hi /6 HCF) + 0.0143 Hi 3 ∆Di = 0.000413 (Hi²/2 – Hi /132) + 0.0143 Hi Para Hi > HCF:

∆DI = φYW (HCF .Hi/2 – HCF²/6)+ 0.0143 Hi ∆DI = 0.000413 (11.0 Hi – 80.67)+ 0.0143 Hi

- Datos básicos del SDOF equivalente a la estructura: Con los datos del perfil de desplazamientos se calcula la Tabla 5.7.1 y con las ecuaciones (3.27), (3.28) y (3.34) se determinan los parámetros básicos del SDOF equivalente al sistema completo.

Nivel 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Suma

Altura Hi (m) 39.2 36.0 32.8 29.6 26.4 23.2 20.0 16.8 13.6 10.4 7.2 4.0 0.0

Tabla 5.7.1 – Cálculo del Perfil de Desplazamientos Masa (t) ΔYi (m) θP Hi ΔDi (m) mi ΔDi² 500 0.145 0.561 0.705 248.2 700 0.130 0.514 0.644 290.6 700 0.116 0.468 0.584 238.8 700 0.101 0.423 0.524 192.1 700 0.087 0.377 0.464 150.5 700 0.072 0.331 0.403 113.9 700 0.058 0.285 0.343 82.4 700 0.043 0.240 0.283 56.2 700 0.030 0.195 0.225 35.3 700 0.019 0.148 0.167 19.6 700 0.010 0.102 0.112 8.8 770 0.003 0.057 0.060 2.8 0 0.000 0.000 0.000 0.0 8270 1439

mi ΔDi 352.3 451.0 408.9 366.7 324.5 282.4 240.2 198.3 157.2 117.1 78.6 46.4 0.0 3024

mi ΔDi Hi 13810 16240 13410 10850 8570 6550 4800 3330 2140 1220 570 190 000 81670

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He = Σ (mi.∆i. Hi)/Σ(mi.∆i) He = 81670/3024 = 27.0 m> HCF Me = [Σ (mi.∆i)]²/∑(mi.∆i²) Me = (3024)²/1439 = 6355 t ∆d = Σ (mi.∆i²)/(Σmi.∆i) ∆d = 1439/3024 = 0.476 m Desplazamiento de fluencia del SDOF, ∆Yi a la altura Hi= He: ∆YI = φYW (HCF Hi/2 – HCF²/6) ∆Yi = 0.000413 (22.0*13.5 – 22.0²/6) ∆Yi = 0.0893 m Ductilidad de desplazamiento de los muros: μW = Δd/Δyw μW = 0.476/0.0893 = 5.33 Amortiguamiento equivalente de los muros, según la ecuación (3.20a): ξW = 0.05 + 0.444    1      

ξW = 0.165 Desplazamiento de fluencia de los pórticos: ∆yf = 0.5 Y (Lb/hb) He ∆yf = 0.5*0.0022*(8.0/0.6)*27.0 ∆yf = 0.396 m Ductilidad de desplazamiento de los pórticos: μF = Δd/Δyf μF = 0.476/0.396 = 1.20 Amortiguamiento equivalente de los pórticos, según la ecuación (3.20b): ξF= 0.05 + 0.565    1      

ξF= 0.080 Amortiguamiento equivalente del sistema completo: Priestley et al. (2007) proponen: ξSIS = (ξW.MTVW + ξF.MTVF)/MTV Para un cortante basal total de 100, se obtendría: MTV = 100*He = 2700 MTVF = 100 βF *Hn = 40*39.2 = 1568 MTVW= MTV – MTVF = 2700 – 1568 = 1132 ξSIS = (0.165*1132 + 0.080*1568)/2700 = 0.116 Corrección del espectro de desplazamientos por amortiguamiento, según la ecuación (3.22a): 0.5 Rξ = (0.07/[0.02 + ξ]) 0.5 Rξ = (0.07/[0.02 + ξ]) = 0.717

(3.28)

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Espectro de desplazamientos: Sd = 0.218 T*0.717, en el rango T=1.0 a 5.0 s Sd = 0.156 T Sd max = 0.156*5.0 = 0.780 m >Δd = 0.476 Periodo efectivo: Te = 0.476/0.156 = 3.05 s < TL = 5.0 s Rigidez efectiva, según la ecuación (3.15): Ke = 4 π² Me/Te² Ke = 4 π² *6355/3.05² Ke = 26970 kN/m Cortante basal: VBASE = Ke.Δd VBASE = 26970*0.476 = 12838 kN Los pórticos resistirán un cortante de valor βF*VBASE = 5135 kN. El resto, 7703 kN, será resistido por los dos muros (3851 kN cada muro).

Diseño de los pórticos: Se supuso que los pórticos resisten una fuerza cortante única en su extremo superior, de valor βF VBASE, algo similar a la figura 5.10, que es la misma 3.28, excepto que el cortante es una sola fuerza, en el nivel superior. Se supondrá que las vigas tienen la misma resistencia en todos los pisos, excepto la cubierta, que se diseñará para la mitad de la resistencia de un piso típico; además, que el punto de inflexión de las columnas se presenta a la altura 0.6 h1.

Figura 5.11 – Condiciones de equilibrio de los pórticos

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Según se explicó en la sección 3.3.9.3 y en la figura 3.29, los momentos flectores en los extremos de las vigas y en las bases de las columnas equilibran el momento de vuelco de los pórticos. Se asignará a cada viga de los pisos intermedios un cortante sísmico Vt. - En cada piso intermedio son 13 tramos de viga: ∑( Vbij*Lbj) = 13*Vt*8.0 = 104 Vt - En la cubierta: ∑(Vbij*Lbj) = 104 Vt/2 = 52 Vt - En el edificio completo: ∑( Vbij*Lbj) = (11*104 + 52) Vt = 1196 Vt - Momento de vuelco resistido por los pórticos: MTVF = βF VBASE Hn MTVF = 0.4*12838*39.2 = 201300 kN.m Por otra parte, según la ecuación (3.64): MTVF = Σ(Vbij*Lbj) + ΣMc ΣMc = βF VBASE *0.6 h1 ΣMc = 0.4*12838*0.6*4.0 = 12324 kN m De la ecuación (3.64) se deduce: Σ(Vbij*Lbj) = MTVF - ΣMc Σ(Vbij*Lbj) = 201300 – 12324 = 188976 kN m 1196 Vt = 188976 Vt = 158.0 kN Las vigas deberán diseñarse para un cortante sísmico de 158.0 kN cada una (79.0 kN cada viga de cubierta). Sus momentos flectores en centros de apoyos serán de 158.0*8.0/2 = 632 kN m en los pisos intermedios y de 316 kN m en las vigas de cubierta. Si se suponen puntos de inflexión a la mitad de la altura de piso, las columnas extremas deberán atender un momento flector por sismo de Mv/2 = 632/2 = 316 kN y cada columna interior 632 kN m. En las bases de las columnas, con punto de inflexión a 0.6 h1, los momentos flectores de diseño serán (0.6*h1)/(hi/2), o sea (0.6*4.0)/(3.2/2.0) = 1.5 veces mayores que los de los pisos típicos. Para el diseño de las columnas (con excepción de sus bases) se amplificarán los cortantes y momentos por o un factor de 1.3*Ω = 1.3*1.25 = 1.63.

Momento flector de diseño de los muros: MTVW = MTV - MTVF MTVW = VBASE He - MTVF MTVW = 12838*27.0 – 201300 = 145326 kN m Son dos muros, que deberán diseñarse cada uno para un momento flector en la base de 72663 kN m.

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Diseño de los muros por capacidad: Priestley et al. (2007) proponen calcular la ductilidad del sistema con la ecuación: μSIS = (μW.VW,BASE + μF.VF,BASE)/VBASE μSIS = (5.33*0.6 + 1.20*0.4)/1.0 = 3.68 Otra manera de evaluarla sería según la ecuación (3.29), de la Sección 3.3.5: ∆ys = ΣFi /Σ(Fi/∆yi) ∆ys = 1/(0.4/0.396 + 0.6/0.0893) = 0.129 m μSIS = Δd/Δys = 0.476/0.129 = 3.69 Momento flector a la mitad de la altura: Ti ≈ Te/√μ = 3.05/√(3.68) = 1.59 s Con base en la ecuación (3.79), para tener en cuenta los efectos de los modos superiores: 0 o M 0.5H = C1,T Ω MB o C1,T = 0.4 + 0.075 Ti (μ/Ω - 1) ≥ 0.4 Si el diseño del refuerzo de flexión se plantea con base en la resistencia del acero endurecido (“strain o hardening”), puede usarse simplificadamente, según Priestley et al. (2007), Sección 4.5.2, Ω = 1.25 y se obtiene: C1,T = 0.4 + 0.075*1.59*(3.69/1.25 - 1) = 0.63 > 0.4 0 M 0.5H = 0.63 MWB 0 M 0.5H = 0.63*72663 = 45800 kN m Fuerza cortante de diseño en la base: El factor de amplificación dinámica del cortante recomendado por Priestley et al. (2007) para los muros de los sistemas combinados es (ver Sección 9.2.4, ecuaciones 9.13 y 9.14): o ωV = 1 + C3,T μSiS/Ω C3,T = 0.4 + 0.2 (Ti – 0.5) ≤ 1.15 C3,T = 0.4 + 0.2*(1.59 - 0.5) = 0.618 < 1.15 Cuando el diseño tiene en cuenta el “endurecimiento del acero” en el diseño a flexión, pero no se hace o ningún análisis específico para evaluar la sobre-resistencia de la sección, puede usarse Ω =1.25 y se obtiene: ωV = 1 + 0.618*3.69/1.25 = 2.82 El valor final de diseño para cortante de cada muro será: 0 o V BASE = Ω ωV VWB 0 V BASE = 1.25*2.82*(0.6*12838)/2 0 V BASE = 13600 kN En la parte superior del muro, Priestley et al. (2007) recomiendan usar un cortante de diseño (ver Sección 9.2.4): 0 0 V N = 0.4 V B= 5430 kN

CAPITULO 5.


5-66

DISEÑO PARA SISMO X (Dirección longitudinal) El procedimiento sería similar al presentado para el Sismo Y. La única diferencia importante es que las vigas tienen longitudes predominantes Lb=8.0 m y sus desplazamientos de fluencia se evaluarían con la ecuación (3.2); pero en las vigas de acople debiera usarse más bien su luz libre, según la ecuación (3.2b) y la figura 3.10a. Desplazamiento de fluencia de los pórticos: En las vigas Tipo 2 (con Lb = 8.0 m), a la altura He, según la ecuación (3.10): ∆yf2 = 0.5 Y (Lb/hb) He ∆yf2 = 0.5*0.0022*(8.0/0.6)*27.0 ∆yef2 = 0.396 m Desplazamiento de fluencia de las vigas de acople, Tipo 1: ∆yf1 = 0.5 Y (Lb’/hb) He ∆yf1 = 0.5*0.0022*(3.6/0.6)*27.0 ∆yf1 = 0.178 m A las vigas de acople con Lb=3.6 m se les asignará un cortante sísmico Vij dos veces mayor que a las luces de 8.0 m, buscando que los momentos flectores sísmicos sean aproximadamente iguales en todas las vigas (ver Sección 3.3.5 y figuras 3.21 y 3.29). Para el nivel típico i, llamando j el # del tramo considerado de viga y Vij el cortante sísmico de la viga del nivel i, tramo j, se tendrán 12 tramos de 8.0 m de luz y cuatro tramos de 4.0 m de luz (ver figura 5.10): Vi1 = 2 Vi2 ∑Vij = 12*Vi2 + 4*Vi1 = 20 Vi2 Vi2= 5.0 Vi1=10.0 Rigidez de fluencia cada viga de Lb = 8.0 m: Ky2 = Vi2/Δye2 Ky2 = 5.0/0.396 = 12.6 Rigidez de fluencia cada viga de acople: Ky1 = Vi1/Δye1 Ky2 = 10.0/0.178= 56.2 Rigidez de fluencia del sistema de vigas, según la figura (3.20) y la ecuación (3.29): ∆ys = ΣFi / Σ(Kyi) ∆ys = 100/(12*12.6 + 4*56.2) = 0.266 m

CAPITULO 6: CONCLUSIONES

6-1

6.

CONCLUSIONES

En el Capítulo 2 se discutieron los métodos tradicionales de diseño sismo resistente, basados en fuerzas deducidas de espectros elásticos de aceleraciones (FBD). Se ha llegado a grados altos de complejidad y se usan generalmente análisis dinámicos y software sofisticados, que muchas veces no se justifican ante las incertidumbres inherentes a los fenómenos sísmicos. Se mostró además que estos métodos presentan muchos vacíos e inconsistencias y que no permiten evaluar de manera confiable los desplazamientos sísmicos, que deben ser la base para poder calificar el comportamiento sísmico de una estructura, su demanda de ductilidad y los posibles daños a elementos estructurales y no estructurales. Con métodos FBD es muy difícil cumplir confiablemente los objetivos de un diseño basado en el desempeño (PBSD). En el Capítulo 3 se explicó el método de Diseño Directo Basado en Desplazamientos (DDBD). Esta metodología de Priestley, Calvi, Kowalski, “Displacement-Based Seismic Design of Structures”, IUSS Press, 2007, invita a volver a los principios básicos del análisis estructural. Su premisa principal es que son los desplazamientos sísmicos de una estructura, no sus aceleraciones, los que determinan su desempeño y que el diseño debe basarse en espectros de desplazamientos y en el comportamiento inelástico de la estructura. El método usa conceptos simples, como el de un SDOF inelástico equivalente a la estructura (Estructura Sustituta, Gulkan, Sozen, 1974), un amortiguamiento equivalente a la ductilidad y un espectro inelástico de desplazamientos ajustado para el amortiguamiento equivalente. Así se obtienen la rigidez y el cortante basal requeridos para garantizar los desplazamientos deseados de una estructura; las fuerzas internas se pueden determinar luego por simples condiciones de equilibrio, sin necesidad de software sofisticado. Además se pueden verificar las demandas reales de ductilidad y se realiza un diseño cuidadoso por capacidad, que permite tener un control completo sobre el comportamiento de la estructura y la secuencia de falla de sus elementos. El DDBD es simple, permite llegar a resultados más acertados que el FBD y ha alcanzado un estado de desarrollo que permite su aplicación práctica. En el Capítulo 4 se plantearon varios temas que ameritan mayor investigación; algunos de ellos tampoco están resueltos en los métodos FBD: -

Casos atípicos de la estructura sustituta, que es la base del DDBD. Ver Sección 4.1 Estructuras en sitios con desplazamiento espectral máximo pequeño Interacción Suelo-Cimentación-Estructura Efectos P-Delta Efectos de los modos superiores sobre la respuesta sísmica Elementos no estructurales en edificios de muros (“Deriva vertical”) Muros con secciones asimétricas Edificios de conformación irregular Metodología para determinar la necesidad de confinar los muros

Así mismo falta mayor investigación sobre la respuesta torsional, los efectos ortogonales y las aceleraciones verticales de los sismos. Tampoco se conoce mucho sobre el cálculo de las deformaciones sísmicas residuales, que pueden determinar si una estructura será reparable después de un sismo (Ver Pettinga et al., 2006). En el Capítulo 5 se desarrollaron varios ejemplos que aclaran la aplicación del método DDBD en edificios de muros y de pórticos. En la Sección 5.4 se pudo comprobar cómo el diseño de un edificio de muros mediante un método FBD (Norma NSR-10) es incapaz de predecir confiablemente la respuesta sísmica (periodo fundamental de vibración, desplazamientos sísmicos, demandas de ductilidad, necesidad de elementos de borde, etc.)

CAPITULO 6: CONCLUSIONES

6-2

Parece claro que el diseño sismo resistente de las estructuras convencionales debe orientarse en el futuro hacia metodologías basadas en desplazamientos. Ello crea varias necesidades, que deben convertirse en oportunidades para la academia, los diseñadores y los desarrolladores de software; pueden mencionarse, entre otras: -

-

Investigación de los temas mencionados atrás. Capacitación de los profesores, los ingenieros practicantes y los estudiantes en estas nuevas metodologías. Actualización de la Norma NSR-10, para especificar límites de derivas más acordes con la práctica internacional y poder aplicar eficientemente métodos como los DBD. Ver Sección 4.4 - Los límites de control de derivas de la Norma NSR-10 y el DBD. Desarrollo de programas de computador apropiados En el Apéndice A1 se presenta una propuesta de Código de diseño basado en desplazamientos, según la metodología de Priestley et al. (2007), que podría servir como punto de partida para que la AIS la perfeccione y la incorpore en un futuro a la Norma NSR.

CAPITULO 7: BIBLIOGRAFÍA

7-1

7. -

BIBLIOGRAFÍA

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CAPITULO 8: APÉNDICE A1: PROPUESTA DE CÓDIGO PARA DISEÑO SÍSMICO DE EDIFICIOS BASADO EN DESPLAZAMIENTOS Y COMENTARIOS

8.

8-1

APÉNDICE A1: PROPUESTA DE CÓDIGO PARA DISEÑO SÍSMICO DE EDIFICIOS BASADO EN DESPLAZAMIENTOS Y COMENTARIOS

PROPUESTA DE CÓDIGO PARA DISEÑO SÍSMICO DE EDIFICIOS BASADO EN DESPLAZAMIENTOS

COMENTARIOS A LA PROPUESTA DE CÓDIGO DDBD PARA LA NORMA NSR-10

Esta propuesta busca ser una guía para el diseño sísmico de edificios basado en desplazamientos. Se adapta el Capítulo 14 de Priestley-Calvi-Kowalski, “Displacement-Based Seismic Design of Structures” IUSS Press, Pavia, 2007, ajustándose en lo posible a la Norma NSR -10.

Nota: Las “Secciones” mencionadas en este comentario se refieren generalmente a la numeración del documento principal, Pérez F.J. (2011), “Diseño Sísmico Basado en Desplazamientos, comparado con la Norma NSR-10”. Cuando la referencia es a otros documentos se indica su fuente, según la Sección “Bibliografía” del documento de F.J. Pérez.

Los diseños realizados con esta metodología deberán ser revisados por un profesional idóneo, independiente del diseñador estructural y deberán estar acompañados por un memorial en el que diseñador y revisor certifiquen que la edificación así diseñada cumple la resistencia y expectativas de comportamiento previstas por el Artículo 1º de la Ley 400 de 1997.

1.

SISMICIDAD DE DISEÑO

1.1

Los edificios deberán diseñarse de acuerdo con los criterios de desempeño definidos en la Sección 2, para los niveles de amenaza sísmica establecidos en el Capítulo A.2 de la Norma NSR-xx.

1.2

Los edificios situados en zonas de amenaza sísmica intermedia y alta deberán cumplir los criterios de desempeño para Niveles de intensidad 1 y 2, definidos en el numeral 1.4.

1.3

Los edificios situados en zonas de amenaza sísmica baja deberán cumplir los criterios de desempeño para el Nivel de intensidad 3.

1.4

La probabilidad de excedencia para un Nivel dado de intensidad depende del grupo de uso y de las posibles consecuencias de los daños; se define en la Tabla 1. Se contemplan tres niveles de intensidad sísmica: -

El Nivel 1 corresponde al estado límite de servicio, en que se esperan daños

C1.4- La Tabla 1, reproducida de Priestley et al. (2007), muestra su propuesta para el riesgo sísmico de estructuras con diferentes grupos de uso, según los tres niveles de intensidad sísmica indicados. Aquí no se usan coeficientes de importancia que modifican las fuerzas sísmicas de diseño, como en la Norma básica NSR-10, Capítulo A2, que está orientada hacia diseños basados en fuerzas (FBD); en su lugar se usan sismos de diseño con periodos de

CAPITULO 8: APÉNDICE A1: PROPUESTA DE CÓDIGO PARA DISEÑO SÍSMICO DE EDIFICIOS BASADO EN DESPLAZAMIENTOS Y COMENTARIOS PROPUESTA DE CÓDIGO PARA DISEÑO SÍSMICO DE EDIFICIOS BASADO EN DESPLAZAMIENTOS -

-

pequeños, cuya reparación no debe afectar las operaciones normales del edificio. El Nivel 2 corresponde al estado límite de control de daños, donde éstos deben ser económicamente reparables.

8-2

COMENTARIOS A LA PROPUESTA DE CÓDIGO DDBD PARA LA NORMA NSR-10 retorno diferentes, según el grupo de uso, más apropiados para un diseño por desplazamientos (DBD), como el de este Apéndice.

El Nivel 3 es el límite de prevención del colapso; el edificio no debe colapsar, pero su reparación puede no ser factible económicamente. Los grupos de uso están definidos en el numeral A.2.5.1 de la Norma NSR-xx. Tabla 1 – Probabilidad de excedencia según el uso Intensidad

Grupos de Uso I, II

Grupos de Uso III y IV

Estructuras que contengan materiales peligrosos

Nivel 1

50% en 50 años

20% en 50 años

20% en 50 años

Nivel 2

10% en 50 años

4% en 50 años

2% en 50 años

Nivel 3

2% en 50 años

1% en 50 años

1% en 50 años

1.5

Para una probabilidad de excedencia del 10% en 50 años se usará el espectro de desplazamientos definido en el numeral A.2.6.3 de la Norma, basado en un coeficiente de amortiguamiento del 5% del crítico. Para otras probabilidades de excedencia se usarán los espectros definidos en el numeral xxx de la Norma.

C.1.5- La porción más representativa de los espectros de desplazamientos varía en NSR-10 linealmente con el periodo de vibración T, hasta un periodo TL, donde se inicia la zona de desplazamiento constante. En la zona de periodos cortos se presenta un ajuste entre periodos T=0 y T=TC, correspondiente a la zona de aceleración constante del espectro de aceleraciones. Ver Sección 3.3.3.

1.6

El espectro básico de desplazamientos (correspondiente a ξ=0.05) deberá ser modificado para el amortiguamiento viscoso equivalente del edificio, definido en el numeral 7.6, de acuerdo con la ecuación (1.1):

C.1.6- El método de Diseño Directo Basado en Desplazamientos (DDBD) usa un

Sdξ= Rξ.Sd0.05

(1.1)

en donde Rξ= (0.07/(0.02 + ξ))0.5

(1.2)

Para sitios situados a menos de 10 km del epicentro del sismo, se usará Rξ = (0.07/(0.02 + ξ))0.25

amortiguamiento equivalente, ξe, en lugar de la demanda de ductilidad de desplazamiento del edificio. Para ello modifica el espectro elástico básico, correspondiente a un amortiguamiento del 5% del crítico, multiplicándolo por un factor Rξ, según la ecuación (1.2) o (1.3). En la sección 2.2.3 de Priestley et al. (2007) se discute este tema.

(1.3)

Puede ocurrir en el Método DDBD que el desplazamiento de diseño, ∆d, sea mayor que el desplazamiento espectral máximo. En esos casos Calvi-Sullivan (2009) proponen prolongar la zona de variación lineal del espectro Sd hasta el valor del desplazamiento de diseño. Ver Sección 3.3.3 y Sección 4.1, “Caso d”.

CAPITULO 8: APÉNDICE A1: PROPUESTA DE CÓDIGO PARA DISEÑO SÍSMICO DE EDIFICIOS BASADO EN DESPLAZAMIENTOS Y COMENTARIOS PROPUESTA DE CÓDIGO PARA DISEÑO SÍSMICO DE EDIFICIOS BASADO EN DESPLAZAMIENTOS

2.

CRITERIOS DE DESEMPEÑO

2.1

El desempeño estructural para las diferentes intensidades de diseño deberá definirse mediante los siguientes límites de esfuerzos unitarios y derivas:

8-3


C.2- El desplazamiento de diseño de un edificio, ∆d, puede definirse a partir de las deformaciones unitarias límite que pueden alcanzar los materiales o bien con los límites de deriva, que afectan principalmente los elementos no estructurales. Deberá usarse el menor valor de la deriva que corresponda en cada caso, según la Tabla 2 o la Tabla 3. Generalmente rigen los límites de deriva, excepto en algunos muros de baja esbeltez; ver Sección 3.3.6.1.2. Ver en Priestley et al. (2007) un tratamiento más extenso de este tema.

2.1.1 Los esfuerzos de los materiales por efectos de flexión no deberán exceder los valores de la Tabla 2. La deformación unitaria límite del concreto a compresión para el Nivel 2 se define como:

C.2.1.1- La ecuación (2.1) es propuesta por Restrepo J.I. (2006). Paulay-Priestley (1992) y Priestley et al. (2007) proponen: εCUC = εcu + 1.4 ρv fy εsu/f’cc

εc,dc = 0.004 + ρv.fy/300

(2.1a)

(2.1) Aunque esta expresión pudiera ser más ajustada, su aplicación es más elaborada, cuando se obtiene el confinamiento requerido, ρv, a partir de la deformación unitaria calculada ε CUC y de la resistencia f’cc; pero ésta depende a su vez de ρv y se requeriría un proceso iterativo. La ecuación (2.1) equivale a suponer en la ecuación (2.1a), εsu = 0.10 y f’cc ≈ 420 MPa.

2.1.2 Las derivas de piso no deberán exceder los límites de la Tabla 3 Tabla 2 – Límites de las deformaciones unitarias MATERIAL

NIVEL 1

NIVEL 2

NIVEL 3

Concreto a compresión

0.004

εc,dc< 0.02

1.5 εc,dc

Barras de refuerzo a tracción

0.015

εs <0.06 εsu <0.05

εs <0.09 εsu <0.08

Acero estructural

0.010

0.025

0.04

Mampostería a compresión

0.003

εc,dc< 0.01

1.5 εc,dc

0.75 εy

0.75 εy

Madera a tracción

0.75 εy

C.2.1.2- Las derivas de la Tabla 3 corresponden a las de varias Normas internacionales actuales; son mayores que las de la Norma NSR-10. Con los límites de deriva actuales del numeral A.6.4 de NSR-10 sería muy difícil un diseño DBD adecuado, porque en muchos casos no se llegaría al comportamiento inelástico de la estructura para el estado límite de control de daños. Ver Secciones 1.3, 5.3 y 5.4 del documento básico de Pérez F.J. (2011). Se especifican derivas unitarias diferentes según que la mampostería esté separada o no de la estructura. No se especifican límites de deriva para el Nivel 3, porque aquí sólo se espera que la estructura no colapse; pero no deben olvidarse en este caso los efectos P-Delta. Ver Sección 4.8.


8-4


Tabla 3 – Límites de derivas de piso para diferentes niveles de desempeño

LÍMITE DE DERIVA

NIVEL 1

NIVEL 2

NIVEL 3

ENE frágiles

0.005

0.020

Sin límite

ENE dúctiles

0.0075

0.020

Sin límite

ENE capaces de soportar los desplazamientos del edificio

0.010

0.020

Sin límite

La Tabla 3 corresponde a una propuesta de Calvi-Sullivan (2009). Para El Nivel 2 o Estado límite de control de daños aquí se propone un límite de la deriva de 0.02 , más acorde con la Norma ASCE7-05, base de la Norma NSR-10

ENE = Elementos no estructurales

3.

RESISTENCIAS DE DISEÑO DE LOS MATERIALES 3.1.

Resistencias de diseño para flexión en zonas de rótulas plásticas

El diseño a flexo-compresión de las rótulas plásticas podrá realizarse con base en las fuerzas obtenidas en el análisis DDBD y con las siguientes resistencias de los materiales: - Compresión del concreto: f’ce = 1.3 fć - Compresión de la mampostería: f’me = 1.2 f’m - Acero de refuerzo: fye = 1.1 fy - Acero estructural: fye = 1.1 fy - Factor de redución de resistencia φf = 1.0 3.2.

Resistencias para el diseño por capacidad de elementos situados por fuera de las rótulas plásticas

Deberán usarse las resistencias características de los materiales, sin amplificación, y los factores de reducción de resistencia de la Norma

4.

FACTORES DE REDUCCIÓN DE RESISTENCIA PARA LOS MATERIALES 4.1. Resistencias probable a flexión de las rótulas plásticas No se aplican factores de reducción de resistencia de los materiales. Podrán usarse los siguientes valores al evaluar la resistencia máxima posible de las rótulas plásticas: - Compresión del concreto: - Compresión de la mampostería: - Acero de refuerzo:

f’co = 1.7 fć f’mo = 1.8 f’m fyo = 1.3 fy

C.3 y C.4- Las resistencias indicadas de los materiales corresponden a la propuesta de Priestley et al. (2007), Sección 4.2.6. Allí se sugiere no usar factores de reducción de resistencia, φf, en el diseño a flexión de los lugares de rótulas plásticas.

CAPITULO 8: APÉNDICE A1: PROPUESTA DE CÓDIGO PARA DISEÑO SÍSMICO DE EDIFICIOS BASADO EN DESPLAZAMIENTOS Y COMENTARIOS PROPUESTA DE CÓDIGO PARA DISEÑO SÍSMICO DE EDIFICIOS BASADO EN DESPLAZAMIENTOS - Acero estructural: 4.2.

8-5


fyo = 1.3 fy

Determinación de la resistencia en los diseños por capacidad

Se aplicarán los factores normales de reducción de resistencia de los materiales.

5.

CONSIDERACIONES ESTRUCTURALES GENERALES

El diseño sismo resistente debe considerar los siguientes aspectos: Elección de las posiciones de las rótulas plásticas que aseguren un mecanismo satisfactorio de deformación inelástica Incremento de los desplazamientos resultantes de la excentricidad torsional Disminución de la resistencia lateral e incremento de los desplazamientos por efectos P-∆ Efectos de interacción suelo-estructura Combinaciones de carga vertical y sismo, según el Título B de la Norma Protección, mediante diseño por capacidad, de los elementos que deban permanecer en el rango elástico de respuesta.

6.

PERFIL DE LOS DESPLAZAMIENTOS DE DISEÑO

El perfil de los desplazamientos de diseño para las estructuras de los edificios deberá determinarse a partir del criterio más crítico de las Tablas 2 y 3 (derivas de piso o límites de los esfuerzos unitarios del material) y de acuerdo con los siguientes requisitos:

6.1.

C.6- El DDBD se basa en la determinación de un perfil de desplazamientos sísmicos de la estructura, a partir del cual se calculan las características de un oscilador elástico equivalente de un solo grado de libertad (SDOF), que se usa como modelo correspondiente a la respuesta inelástica según el primer modo de vibración (“estructura sustituta” de Gulkan-Shibata-Sozen). El perfil de desplazamientos tiene dos componentes: unos desplazamientos elásticos, correspondientes a la fluencia inicial del sistema estructural y una componente inelástica, de variación lineal en altura.

Edificios de pórticos

El perfil de desplazamientos se determinará a partir del desplazamiento del piso crítico ∆c, y de la forma cualitativa del primer modo inelástico, δi, según la ecuación (6.1): ∆i = ωθ δi (∆c/δc)

C.5- Deben tenerse en cuenta, entre otras, las siguientes consideraciones adicionales: - Mecanismos de rótulas plásticas. Sección 3.5 - Respuesta torsional. Sección 3.4 - Efectos P-Delta. Sección 4.8 - Combinación de efectos de gravedad con los sísmicos. Priestley et al. (2007), Sección 3.7 - Diseño por capacidad. Sección 3.5

(6.1)

C.6.1- Para los edificios de pórticos se usa la ecuación (6.2b), correspondiente a un perfil basado en análisis cronológicos de la respuesta inelástica (ITHA), según Pettinga-Priestley (2005).


8-6


6.1.1 Perfil de desplazamientos para el primer modo Los desplazamientos de los diferentes niveles pueden calcularse mediante un análisis estructural, o directamente, a partir de la ecuación (6.2), en función de la distorsión angular de piso o deriva de diseño, θd; el factor ωθ está dado por la ecuación (6.3): Para n≤4: Para n>4:

∆i = ωθ.θd.Hi ∆i = ωθ.θd.Hi(1 – Hi/4 Hn)

(6.2a) (6.2b)

6.1.2 Amplificación de las derivas por efecto de los modos superiores El perfil de los desplazamientos de diseño de la ecuación (6.2) deberá incluir los efectos de amplificación de los desplazamientos por acción de los modos superiores, multiplicando los desplazamientos por un factor de reducción de derivas, ωθ, dado por la ecuación (6.3): ωθ = 1.15 – Hn/300 ≤ 1.0

6.2.

C.6.1.2- El modelo SDOF sólo capta la respuesta del primer modo inelástico de vibración. En edificios altos debe tenerse en cuenta la amplificación de los desplazamientos por efectos de los modos superiores; Priestley et al. (2007) - Sección 5.4, proponen para ello la ecuación (6.3), basada en estudios ITHA extensos. Según esa ecuación, en edificios de altura menor de unos 45 m no se requiere corrección.

(6.3)

Edificios de muros en voladizo

El perfil de desplazamientos se determinará mediante un análisis estructural racional, o bien mediante las ecuaciones (6.4) a (6.8). El desplazamiento ∆i del nivel i tiene una componente elástica y otra inelástica: ∆i = ∆yi + θp.Hi

(6.4) La componente inelástica es diferente según que rijan las condiciones de deformación unitaria de los materiales, ecuación (6.8), o las restricciones de deriva de la Norma, ecuación (6.7). Este último caso es el más común, con excepción de edificios donde existan muros poco esbeltos. Ver Sección 3.3.6.1.2.

El desplazamiento elástico podrá obtenerse con la ecuación (6.5): ∆yi = εy.Hi² (1 – Hi/3Hn)/Lwe

C.6.2- La componente elástica del perfil de desplazamientos de los muros se supone proporcional a los desplazamientos de un muro sometido a una fuerza concentrada en su extremo superior, equivalente también a una variación lineal de la curvatura con la altura, de valor máximo en la base. Ver Sección 3.5.1.

(6.5)

Lwe es la longitud característica del sistema, que puede calcularse con la ecuación (6.6): Lwe = Σ(Fi.Lwi)/ΣFi

(6.6)

Generalmente, para efectos de los desplazamientos inelásticos, el muro crítico es el más largo, de longitud Lwm. La longitud de su rótula plástica puede suponerse como: Lp ≈ 0.035 Hn + 0.15 Lwm


8-7


En donde Lwi es la longitud de cada muro y Fi es su fuerza cortante de diseño. Para la rotación plástica en la base, θp, deberá usarse el menor valor de las ecuaciones (6.7) o (6.8): θpc = (θc - εY.Hn/Lwe)

(6.7)

En donde θc es la deriva establecida en la Tabla 3. θpm = (φm – 2 εy/Lwm) Lp

(6.8)

En donde φm es la curvatura máxima alcanzable en la base del muro crítico del sistema, cuya longitud es Lwm y cuya longitud de rótula de plástica es Lp.

6.3.

En Priestley et al. (2007) se plantean las mismas ecuaciones (6.5) a (6.8), con “Lw” en lugar de “Lwe” o de “Lwm”. Pero en los edificios pueden existir muros de varias longitudes y se hace necesario establecer una longitud característica o equivalente, Lwe, ecuación (6.6), para poder determinar los perfiles de desplazamientos del sistema. Ver Sección 3.3.6.1. Para el estado límite de control de daños puede usarse φm = 0.072/Lw cuando se usan detalles de refuerzo tipo DES; con detalles DMO puede usarse φm = 0.040/Lw. Para el estado límite de servicio puede usarse φm = 0.017/Lw. Ver Priestley-Kowalski (1998) y Secciones 3.2.1, 3.2.2 y 3.3.6.1.2.

Edificios combinados con muros y pórticos

El perfil de los desplazamientos se determinará mediante un análisis estructural racional, o bien mediante el menor valor obtenido con las ecuaciones (6.9 y (6.10): ∆Di = ∆yi + (φm – 2 εy/Lwm) Lp.Hi

(6.9)

∆Di = ∆yi + (θc – εY.HCF/Lwe) Hi

(6.10)

C.6.3- Los sistemas combinados de muros y pórticos se estudian con detalle en Priestley et al. (2007).

φm es la curvatura del muro crítico en el estado límite de diseño, cuya longitud es Lwm y su longitud de rótula plástica es Lp. En las ecuaciones (6.9) y (6.10) HCF es la altura del punto de inflexión del sistema para las fuerzas sísmicas laterales y Lwe es la longitud característica del sistema de muros, que puede obtenerse con la ecuación (6.6)

6.3.1 Perfil de desplazamientos de fluencia El perfil de los desplazamientos de fluencia de las ecuaciones (6.9) y (6.10) está definido por:

C.6.3.1- La ecuación para la curvatura de fluencia de un muro, (6.13), es de valor aproximado pero confiable, de poca dispersión; ver Sección 3.1. También acá pueden presentarse muros de

CAPITULO 8: APÉNDICE A1: PROPUESTA DE CÓDIGO PARA DISEÑO SÍSMICO DE EDIFICIOS BASADO EN DESPLAZAMIENTOS Y COMENTARIOS PROPUESTA DE CÓDIGO PARA DISEÑO SÍSMICO DE EDIFICIOS BASADO EN DESPLAZAMIENTOS Para Hi ≤ HCF:

∆yi = φYW (Hi²/2 – Hi3/6 HCF )

(6.11)

Para Hi > HCF:

∆yi = φYW (HCF.Hi/2 – HCF²/6 )

(6.12)

En las ecuaciones anteriores puede calcularse la curvatura de fluencia φYW con la ecuación (6.13): φYW = 2 εy/Lwe

7.

(6.13)

8-8

COMENTARIOS A LA PROPUESTA DE CÓDIGO DDBD PARA LA NORMA NSR-10 diferentes longitudes y es conveniente usar una longitud característica Lwe, según la ecuación (6.6). Para edificios regulares en altura (Paulay, 2002) propone asignar a los pórticos una fracción βF del cortante de diseño total, constante en altura. En la sección 3.3.6.3, se propone usar la ecuación 3.53, reproducida a continuación: HCF /Hn ≈ [√(9 – 12 βF) – 1]/2

ESTRUCTURA EQUIVALENTE DE UN SOLO GRADO DE LIBERTAD, SDOF Los parámetros estructurales de la estructura SDOF equivalente, usados para determinar el cortante sísmico basal, se determinarán con las ecuaciones (7.1) a (7.4), en donde la sumatoria debe extenderse a todos los niveles del edificio:

7.1.

Desplazamiento característico

El desplazamiento característico usado para el diseño se calculará con la ecuación (7.1): ∆d = Σ(mi.∆i²)/Σ(mi.∆i)

7.2.

(7.1)

Altura efectiva

La altura efectiva se define como: He = Σ(mi.∆i.Hi)/Σ(mi.∆i)

7.3.

(7.2)

Masa efectiva

La masa efectiva de la estructura SDOF equivalente se calculará con la ecuación (7.3): Me = Σ(mi.∆i)/∆d

(7.3)

C.7 - El DDBD se basa esencialmente en el método de la “Estructura Sustituta” de GulkanSozen (1974) y Shibata-Sozen (1976), que simula el comportamiento sísmico inelástico de una estructura mediante un SDOF elástico equivalente, de rigidez secante equivalente a la del sistema y con un amortiguamiento equivalente a la ductilidad del sistema. A partir de la geometría del edificio, de sus masas y de un perfil de desplazamientos inelásticos del primer modo de vibración, se deducen una altura equivalente o efectiva del SDOF, una masa efectiva y un desplazamiento característico. Con esta información y conocidos el desplazamiento de diseño y un espectro de desplazamientos, es posible obtener la fuerza cortante basal que debe usarse para el diseño del edificio. Ver Capítulo 3 – Métodos basados en desplazamientos (DBD)” y en particular la Sección 3.3- “Estructura Sustituta de Gulkan-Sozen, Shibata-Sozen”.


7.4.


Demanda de ductilidad de desplazamiento

La demanda de ductilidad de desplazamiento para diseño de la estructura equivalente se calculará con la ecuación (7.4): μ = ∆d/∆y 7.5.

8-9

SDOF

(7.4)

Desplazamiento de fluencia

El desplazamiento de fluencia usado en la ecuación (7.4) se calculará con base en un análisis estructural racional, o bien mediante las ecuaciones (7.5) a (7.8) de los numerales siguientes:

7.5.1

Desplazamiento de fluencia para los edificios de pórticos ∆y = θy.He

(7.5)

C.7.5.1 – En los edificios de pórticos pueden existir vigas con diferentes relaciones (Lb/hb). Para aplicar las ecuaciones (7.5), (7.6a) y (7.6b) se hace necesario establecer una relación (Lb/hb) equivalente del pórtico completo. Para estos efectos puede usarse la ecuación (7.6c), deducida en la Sección 3.3.5.

En la ecuación (7.5), la deriva de fluencia de piso de los pórticos puede tomarse como: Si se supone que el punto de inflexión se presenta para todas las columnas a una misma altura 0.6 h1 sobre la base, también puede usarse, en lugar de la ecuación (7.6c), la expresión:

(a) Pórticos de concreto reforzado θy = 0.5 εY.Lb/hb

(7.6a)

(b) Pórticos de acero estructural θy = 0.65 εY.Lb/hb

(7.6b)

Cuando existan tramos con relaciones (Lb/hb) variables, se puede usar en las ecuaciones (7.5) y (7.6) un valor equivalente de la relación (Lb/hb), según la ecuación (7.6c): (Lb/hb)e = (VBASE*He – ΣMc)/Σ(Vij. hbij)

(7.6c)

(Lb/hb)e = VBASE*(He – 0.6 h1)/Σ(Vij.hbij) En donde: h1 = altura del primer piso del edificio Vij = resistencia a cortante de la viga del Nivel i, tramo j hbij = espesor de la viga del Nivel i, , tramo j

La sumatoria debe extenderse a todos los niveles “i”, y a todas las luces “j”, del pórtico o del grupo de pórticos.


8-10


En donde la suma debe extenderse a todos los niveles, i, y a todas las luces (tramos), j, del edificio. En la ecuación (7.6c): ΣMc = Suma de momentos flectores en las bases de las columnas Vij =Cortante sísmico resistido por la viga del Nivel i, tramo j hbij = Espesor de la viga del Nivel i, tramo j

7.5.2

Desplazamiento de fluencia para los edificios de muros en voladizo ∆y = εY He² (1- He/3 Hn)/Lwe

7.5.3

(7.7)

Desplazamiento de fluencia de los edificios combinados con muros y pórticos

El desplazamiento de fluencia de los edificios combinados puede hallarse sustituyendo Hi=He en la ecuación (6.9), cuando He≤HCF o con la ecuación (6.10), cuando He>HCF 7.5.4

Alternativa general para calcular el desplazamiento de fluencia de un sistema

C.7.5.4- Un edificio puede tener componentes (muros, pórticos), con diferentes

El desplazamiento de fluencia de un sistema compuesto por muros, pórticos o combinado, puede obtenerse mediante la ecuación (7.8):

desplazamientos de fluencia. Para determinar la demanda de ductilidad del sistema es necesario conocer su desplazamiento de fluencia, ∆ye. En la “Sección 3.3.5- Desplazamiento de fluencia efectivo ∆ye, del SDOF equivalente” se deduce la ecuación (7.8).

∆ye =. ΣFi / Σ(Fi/∆yi)

(7.8)

En donde Fi es la fuerza horizontal asignada al componente i y ∆yi es su desplazamiento de fluencia.

7.6.

Amortiguamiento viscoso equivalente

El amortiguamiento viscoso equivalente usado para caracterizar el espectro de desplazamientos de diseño de la estructura SDOF, según las ecuaciones (1.2) y (1.3) deberá determinarse a partir de los resultados de análisis dinámicos inelásticos

C.7.6- El método de la estructura sustituta usa un amortiguamiento equivalente, ξe, en lugar de la demanda de ductilidad de desplazamiento del sistema, μ. Las ecuaciones (7.9) se basan en numerosos análisis de respuesta inelástica cronológica (“ITHA, Inelastic Time-History Analyses”), para muchos acelerogramas. Ver Priestley et al. (2007), Sección 3.4.3.

CAPITULO 8: APÉNDICE A1: PROPUESTA DE CÓDIGO PARA DISEÑO SÍSMICO DE EDIFICIOS BASADO EN DESPLAZAMIENTOS Y COMENTARIOS PROPUESTA DE CÓDIGO PARA DISEÑO SÍSMICO DE EDIFICIOS BASADO EN DESPLAZAMIENTOS cuidadosos de estructuras con materiales y formas estructurales similares a los del edificio considerado. En lugar de esos análisis puede usarse la ecuación apropiada de la lista siguiente:

Edificios de muros en voladizo: ξe = 0.05 + 0.44 (μ-1)/μ.π

(7.9a)

Edificios de pórticos de concreto: ξe = 0.05 + 0.56 (μ-1)/μ.π

(7.9b)

Edificios de pórticos de acero: ξe = 0.05 + 0.58(μ-1/)μ.π

(7.9c)

7.7.

Periodo de respuesta efectivo

El periodo efectivo de respuesta de la estructura SDOF es: Te = TL. (∆d/∆C,ξ)

(7.10)

COMENTARIOS A LA PROPUESTA DE CÓDIGO DDBD PARA LA NORMA NSR-10 En Priestley et al. (2007) se cubren otros sistemas de construcción menos convencionales, como los Pórticos Híbridos Pre-esforzados y los Sistemas con Aislamiento Sísmico en la base.

C.7.7- Se supone un espectro lineal de desplazamientos. Ver Norma NSR-10. Numeral A.2.6.3. Calvi-Sullivan (2009) proponen aplicar la ecuación (7.10), aun para desplazamientos de diseño mayores que el desplazamiento espectral máximo, pero limitando la rigidez efectiva requerida al valor de la ecuación (7.11a). Esto es equivalente a usar el cortante basal de diseño de la ecuación (8.1a).

En donde ∆C,ξ es el desplazamiento espectral máximo para el amortiguamiento ξe.

7.8.

C.7.8- Ver “Sección 3.3.1- Rigidez secante equivalente”.

Rigidez efectiva

La rigidez efectiva de la estructura SDOF es: Ke = 4 π².Me/Te²

(7.11)

Ke máx = 4 (Sdel/∆d) π².Me /Te²

(7.11a)

En donde Sdel es el desplazamiento espectral máximo para el nivel elástico de amortiguamiento.

8-11


8.

FUERZA CORTANTE BASAL DE DISEÑO

La fuerza cortante total basal de diseño se calcula a partir del desplazamiento de diseño y de la rigidez efectiva de la estructura SDOF, de acuerdo con la ecuación (8.1): VBASE = Ke.∆d ≤ 2.5 Rξ.Aa.Fa.Me

(8.1)

8-12

COMENTARIOS A LA PROPUESTA DE CÓDIGO DDBD PARA LA NORMA NSR-10 C.8- En sistemas regulares pueden tenerse en cuenta los efectos P-∆ mediante la propuesta de Priestley et al. (2007): VBASE = Ke.∆d + C.P.∆d/He

(C.8.1)

En donde P es la carga muerta total del edificio, sin mayorar; C=0.5 para estructuras de concreto y C=1.0 para estructuras de acero. Ver también Sección 4.8.2.

Pero el cortante VBASE no necesita exceder el valor dado por la ecuación (8.1a): VBASE = Ke.Sdel

(8.1a)

En la ecuación (8.1) se establece un límite VBASE ≤ 2.5 Rξ.Aa.Fa.Me, para tener en cuenta la zona de aceleración constante del espectro sísmico de diseño.

En donde Sdel es el valor espectral máximo correspondiente a un amortiguamiento ξ=0.05 y al periodo TL.

El límite al cortante basal de diseño según la ecuación (8.1a) es equivalente al límite de la rigidez según la ecuación (7.11a). Ver Secciones 3.3.1, 3.3.3 y 4.1.

Si el desplazamiento de fluencia de algunos elementos es mayor que el desplazamiento de diseño del sistema, ∆d, se deberá ajustar el cortante basal de la ecuación (8.1), para garantizar que sí se alcance a desarrollar la resistencia requerida.

Si el desplazamiento de fluencia de algunos elementos es mayor que el desplazamiento de diseño del sistema, tales elementos no alcanzarán a aportar su resistencia teórica completa durante el sismo de diseño; así no se desarrollará el cortante basal total requerido según la ecuación (8.1) ni se podrá alcanzar la rigidez necesaria para garantizar el desempeño deseado de la estructura.

Si el desplazamiento de fluencia del sistema, ∆y, es mayor que el desplazamiento de diseño, ∆d, la fuerza cortante total basal de diseño deberá calcularse de acuerdo con la ecuación (8.1b): VBASE = Ke.∆y

(8.1b)

Si Δy es mayor que el desplazamiento espectral elástico máximo, Sdel, podrá usarse Sdel en lugar de Δy en la ecuación (8.1b).

El déficit de resistencia y de rigidez puede corregirse diseñando cada elemento en esas condiciones para un cortante corregido Fi ‘ : Fi’ = Fi *(∆yi/∆d) En donde Fi es la resistencia asignada inicialmente al elemento que no llega a fluencia, Fi‘ es su resistencia corregida, ∆yi es su desplazamiento de fluencia y ∆d es el desplazamiento de diseño. También existe la opción de distribuir el déficit de resistencia entre los elementos que sí llegan a fluencia y rediseñarlos para que asuman entre todos ellos una resistencia adicional de Fadic: Fadic = Σ(1- ∆d/∆yi) Fi


8-13

COMENTARIOS A LA PROPUESTA DE CÓDIGO DDBD PARA LA NORMA NSR-10 En donde Fi es la fuerza asignada inicialmente al elemento “i”, cuyo desplazamiento de fluencia es ∆yi<∆d y la sumatoria debe extenderse a todos los elementos que se encuentren en esas condiciones. Ver Sección “4.1 - Ajustes del cortante de diseño en el método de la estructura sustituta”, Caso b. En casos extremos, como cuando se especifican límites de derivas muy estrictos o cuando los desplazamientos espectrales de diseño son muy pequeños, puede ocurrir que ningún elemento del sistema llegue a fluencia para el desplazamiento de diseño. Entonces habrá que diseñar para el cortante basal total de la ecuación (8.1b). No habrá lugar a reducción del espectro de desplazamientos por ductilidad y en lugar de las ecuaciones (1.2) y (1.3) se usará Rξ= 1.0. Ver Sección 4.1.3, Caso c de la estructura sustituta.

8.1.

Vector de fuerzas laterales derivado de la fuerza cortante basal La fuerza cortante basal se distribuirá según las posiciones de las masas de piso del edificio, de acuerdo con las siguientes expresiones: Pisos 1 a n-1:

Fi = k.VBASE (mi.∆i)/Σ(mi.∆i)

(8.2a)

Piso n (cubierta):

Fn = (1-k) VBASE + k VBASE (mn ∆n)/Σ(mi.∆i)

(8.2b)

C.8.1- La fuerza cortante se distribuye en altura proporcionalmente a la masa de cada nivel y al desplazamiento de piso correspondiente, según el perfil adoptado. En las ecuaciones (8.2) Priestley et al. (2007) proponen una corrección para edificios de pórticos de más de 10 pisos de altura, para tener en cuenta los efectos de los modos superiores.

El valor de k para el uso de las ecuaciones (8.2) será k=0.9 para edificios de pórticos y k=1.0 para otros edificios.

8.2.

8.2.1

Análisis estructural para determinar la capacidad requerida a momento flector en rótulas plásticas

La estructura deberá analizarse para el vector de fuerzas laterales de diseño para determinar la capacidad requerida a momento flector de las rótulas plásticas potenciales.

C.8.2- Una de las premisas del método DDBD es que la curvatura de fluencia de una sección tiene un valor casi constante, independientemente de su nivel de fuerza axial o de su cuantía de refuerzo. Así resulta que la demanda de ductilidad de curvatura de cualquier elemento es prácticamente independiente del momento flector que debe soportar; este concepto se aparta completamente del usado en los métodos de diseño tradicionales, tipo FBD, donde la ductilidad requerida depende de la resistencia del elemento. Ver Sección 3.1. La propiedad anterior hace que también las demandas de ductilidad de desplazamiento de un muro o de un pórtico sean independientes del cortante basal de diseño que se les asigne. Esto permite distribuir dicho cortante con bastante libertad entre los diferentes componentes de la


8-14

COMENTARIOS A LA PROPUESTA DE CÓDIGO DDBD PARA LA NORMA NSR-10 estructura de un edificio. Ver Secciones 3.3.7 y 3.3.9. Otra propiedad resultante del valor constante de la curvatura de fluencia de cada elemento, es que su rigidez depende del valor de su resistencia. De ese modo la rigidez de un sistema dependerá de la magnitud de la fuerza cortante basal de diseño, no tanto de la rigidez tradicional “EI”; así, el control de las derivas de un edificio puede manejarse en buena parte mediante las fuerzas de diseño, sin necesidad de apelar siempre a los valores geométricos de las secciones de vigas y columnas. Ver Sección 3.1 y figura 3.8.

8.2.2

El análisis estructural deberá basarse en la rigidez efectiva de los elementos estructurales al nivel esperado de respuesta a desplazamientos; alternativamente podrá determinarse mediante un análisis racional basado en condiciones de equilibrio. Las fuerzas laterales no deberán ser distribuidas a los elementos con base en propiedades elásticas de las secciones. Deberán analizarse los efectos de torsión sobre los desplazamientos del sistema y ajustar de acuerdo con ello el desplazamiento de diseño del centro de masa del SDOF equivalente.

9.

C.8.2.2- Priestley et al. (2007) proponen dos alternativas para el análisis de las fuerzas internas de la estructura. La primera es un análisis estructural convencional, pero donde se usan las rigideces fisuradas de los miembros divididas por la ductilidad de desplazamiento de cada miembro o por la ductilidad rotacional. Ver Sección 3.3.9.1- “Análisis de pórticos basado en modelos elásticos con rigideces ajustadas”. El segundo método es simplificado y se basa en condiciones de equilibrio, haciendo caso omiso de las rigideces. Ver Sección 3.3.9.2, “Análisis de pórticos basado en condiciones de equilibrio” Para el análisis de los efectos torsionales, ver Sección 3.4, “Manejo de la respuesta torsional en el método DDBD”

REQUISITOS DEL DISEÑO POR CAPACIDAD Debe garantizarse la distribución y la localización de las rótulas plásticas previstas en el diseño, estableciendo una jerarquía apropiada de resistencias de diseño por capacidad, con momentos y cortantes de diseño amplificados para tener en cuenta la posible sobreresistencia de los materiales en las rótulas plásticas y los efectos de amplificación dinámica de los modos superiores. Los cortantes y momentos amplificados pueden determinarse por el Método de superposición modal efectiva, numeral 9.1, o por el Método aproximado, numeral 9.2, presentados a continuación.

9.1.

Método de la superposición modal efectiva para determinar las fuerzas de diseño por capacidad

C.9- El método de la Estructura Sustituta, explicado en la Sección 3.3, sólo capta los efectos del primer modo de vibración. Priestley et al. (2007) proponen dos alternativas para determinar las fuerzas de diseño por capacidad; ambas buscan combinar los efectos inelásticos del primer modo de vibración con los efectos elásticos de los modos superiores.

C.9.1- La primera alternativa consiste en realizar un análisis modal de un modelo de la estructura que use rigideces de los elementos reducidas por ductilidad, similar al planteado en el Numeral 8.2.2.


8-15


Los momentos y cortantes de diseño por capacidad pueden determinarse combinando los momentos y cortantes modales mediante reglas de combinación CQC o SRSS, a partir de análisis dinámicos basados en las rigideces efectivas de los elementos estructurales, en el estado de respuesta máxima a desplazamiento. Para la respuesta del primer modo, S1,Di pueden usarse los momentos y cortantes que resultan del análisis estructural definido en el numeral 8.2, amplificados por posible sobre-resistencia de los materiales. Para la combinación SRSS, los valores combinados aumentados, SCD.i se obtienen con la ecuación (9.1): SCD.i = √[( Ωo S 1D,i)² + S2,i² + S3,i² + … Sn,i² ]

(9.1)

El valor del factor de sobre-resistencia, Ωo, podrá obtenerse de análisis momento-curvatura de las rótulas plásticas. Conservadoramente puede suponerse Ωo= 1.25

9.2.

Métodos aproximados para determinar las fuerzas de diseño por capacidad:

Como alternativa al método del numeral 9.1, pueden usarse las ecuaciones siguientes, conservadoras: 9.2.1 Disposiciones generales La resistencia confiable de los elementos protegidos por capacidad se determinará con la ecuación (9.2): SCP = Ωo.ω.SE (9.2) En donde SE son los valores obtenidos a partir de las fuerzas laterales del Numeral 8.1 y de los análisis del Numeral 8.2. 9.2.2

Edificios de pórticos (a)

C.9.2.1- La ecuación (9.2) relaciona la resistencia requerida de los elementos que deben permanecer elásticos (resistencia a flexión y a cortante) con los valores obtenidos a partir de las fuerzas laterales del Numeral 8.1, incluyendo un factor de sobre-resistencia, Ωo, y factores de amplificación dinámica, ωf para la flexión de las columnas y ωV para la fuerza cortante de los muros. Estos factores ω se basan en numerosos análisis de respuesta inelástica cronológica (ITHA). El factor de sobre-resistencia, Ωo, puede determinarse a partir de análisis de momentocurvatura, según la Sección 4.5 de Priestley et al. (2007). En muchos casos es más práctico suponer conservadoramente Ωo=1.4 cuando el diseño a flexión usa los valores del numeral 3 de esta propuesta de Código DBD, o Ωo = 1.6 cuando se diseña con factores de reducción de resistencia, φ, como es usual en la NSR-10.

Momentos en las columnas:

iPórticos planos (“one-way frames”): El factor de amplificación dinámica ωf para la flexión depende de la altura y de la ductilidad, como se muestra en la figura 8.1, donde entre el nivel 1 y un punto a 3/4 de la altura total: ωf,c = 1.15 + 0. 13 (μ/Ωo - 1) ≥ 1.15 y en la base y en el último nivel, ωf,c = 1.0

(9.3) (9.4)

En Priestley et al. (2007) se explica extensamente el uso de los factores de amplificación dinámica, ω, y el origen de los valores propuestos en las ecuaciones (9.3) y (9.8).



Figura 8.1 - Factor de amplificación dinámica de Momentos de Columnas iiPórticos espaciales (“two-way frames”): Para pórticos espaciales el momento de diseño correspondiente a las fuerzas laterales deberá basarse en la respuesta biaxial, reemplazando el factor de ductilidad de desplazamiento μ de las ecuaciones (9.3) y (9.4) por μ/√2 (b) Cortantes en las columnas: Los factores de sobre-resistencia y de amplificación dinámica para el cortante de las columnas deberán combinarse según la ecuación (9.5), que relaciona la resistencia requerida confiable a cortante con el cortante deducido de la distribución de las fuerzas laterales: φS VN ≥ Ωo.VE + 0.1 μ.VBASE ≤ (Mbo + Mto)/Hc

(9.5)

En donde Mbo y Mto son las resistencias en los extremos de un tramo de columna de altura Hc. 9.2.3

Edificios de muros estructurales (a) Momentos en los muros: Los momentos de diseño para muros en voladizo se deberán ajustar según la envolvente bilineal de la figura 8.2, donde el momento en la base del muro se amplifica por efectos de sobre-resistencia, y la capacidad de momento a la mitad de la altura se define como:

Figura C.8.1. Período Elástico inicial del sistema

8-16

CAPITULO 8: APÉNDICE A1: PROPUESTA DE CÓDIGO PARA DISEÑO SÍSMICO DE EDIFICIOS BASADO EN DESPLAZAMIENTOS Y COMENTARIOS PROPUESTA DE CÓDIGO PARA DISEÑO SÍSMICO DE EDIFICIOS BASADO EN DESPLAZAMIENTOS M00.5H = C1,T.Ωo.MB Donde C1,T = 0.4 + 0.075 Ti (μ/Ωo - 1) ≥ 0.4

(9.6) (9.7)

El valor de Ti en la ecuación (9.7) es el periodo elástico inicial del sistema, incluyendo efectos de fisuración. μ es la demanda de ductilidad del sistema y puede usarse Ti = Te/√μ.

Figura 8.2 – Envolvente de Momentos de diseño por capacidad para muros En el cálculo del refuerzo requerido por flexión, deberán tenerse en cuenta la variación de la fuerza axial en altura y el desplazamiento de los diagramas de momento flector en altura; puede suponerse que el desplazamiento de los diagramas en altura vale Lwi/2. (b) Fuerzas de cortante para los muros: La resistencia a cortante de un muro en voladizo deberá ajustarse según la envolvente lineal de la figura 8.3. El factor de amplificación dinámica para el cortante en la base deberá tomarse como: ωV = 1 + μ.C2,T/Ωo en donde C2,T = 0.067 + 0.4(Ti – 0.5) ≤ 1.15

(9.8) (9.9)


8-17


8-18


Figura 8.3 – Envolvente de Fuerzas Cortantes de diseño por capacidad La capacidad de diseño a cortante en el extremo superior del muro no deberá ser menor que VN0 = (0.9 - 0.3 Ti) VBO ≥ 0.3 VBO

(9.10)

Para el diseño del refuerzo de cortante podrá usarse  = 0.85

9.2.4

Edificios combinados de muros y pórticos

Las siguientes disposiciones aplican a sistemas combinados, donde la porción de la fuerza cortante total asignada a los pórticos, βP, esté dentro del rango 0.2 ≤βP≤ 0.6. Si βP≤0.2, los muros deberán diseñarse como muros en voladizo, según el numeral 9.2.3 y cuando βP≥0.6 los pórticos deberán diseñarse según el numeral 9.2.2

(a)

Momentos en las columnas: Las columnas deberán tener una resistencia

C.9.2.4 (a)- En los sistemas combinados, la influencia de los modos superiores de vibración

CAPITULO 8: APÉNDICE A1: PROPUESTA DE CÓDIGO PARA DISEÑO SÍSMICO DE EDIFICIOS BASADO EN DESPLAZAMIENTOS Y COMENTARIOS PROPUESTA DE CÓDIGO PARA DISEÑO SÍSMICO DE EDIFICIOS BASADO EN DESPLAZAMIENTOS confiable a flexión no menor que MC,D = 1.3 Ωo.MCE (b)

(9.11)

Fuerzas cortantes en las columnas: Las columnas deberán tener una resistencia confiable a cortante no menor que VC,D = 1.3 Ωo.VCE

(9.12)

(c)

Momentos en los muros: Los muros deberán diseñarse según la envolvente bilineal definida en 9.2.3 (a), figura 8.2.

(d)

Fuerzas cortantes en los muros: La resistencia a cortante de un muro de un sistema combinado deberá ajustarse a la envolvente de la figura 8.3, donde ωV = 1 + C3,T.μSiS/Ωo

(9.13)

C3,T = 0.4 + 0.2 (Ti – 0.5) ≤ 1.15

(9.14)

en donde

µSIS es la demanda de ductilidad del sistema. La fuerza cortante en el extremo superior puede tomarse como: Vn0 = 0.4 VB0

(9.15)

8-19

COMENTARIOS A LA PROPUESTA DE CÓDIGO DDBD PARA LA NORMA NSR-10 sobre los momentos flectores de las columnas es menor que en los sistemas de pórticos. También las consecuencias de la plastificación en las bases de las columnas debe ser mucho menor, porque la resistencia y la rigidez de los muros controlan las deformaciones y evitan la formación potencial de un mecanismo de “piso blando”. En la ecuación (9.11), MCE es el momento flector de la columna, resultante de la fuerza cortante de diseño de los pórticos, suponiendo momentos iguales arriba y abajo del nudo. Ωo es el factor de sobre-resistencia asociado con la plastificación de las vigas; generalmente puede suponerse Ωo=1.1. No se garantiza seguridad absoluta contra la plastificación de las columnas en los pisos superiores, pero esto no es crítico, porque los muros deben permanecer elásticos en esos pisos, protegiéndolos contra mecanismos de “piso blando”. Ver Priestley et al. (2007), 7.3.2. Igual que los momentos flectores, los cortantes de las columnas son poco afectados por la demanda de ductilidad, que tampoco aparece en la ecuación (9.12). VCE es el cortante correspondiente a la fuerza cortante de diseño de los pórticos. C.9.2.4(d) - Obsérvese que en la ecuación (9.13) se usa la ductilidad del sistema, µSIS, para calcular el factor de amplificación dinámica, en lugar de la ductilidad de los muros; el factor C3,T lleva a menores amplificaciones que en los sistemas de muros solos.

CAPITULO 8: APÉNDICE A1: PROPUESTA DE CÓDIGO PARA DISEÑO SÍSMICO DE EDIFICIOS BASADO EN DESPLAZAMIENTOS Y COMENTARIOS

8-20

CAPÍTULO 9: APÉNDICE A2: ALGUNOS COMPLEMENTOS AL DDBD

9.

9-1

APÉNDICE A2: ALGUNOS COMPLEMENTOS AL DDBD

9.1. ANÁLISIS MOMENTO CURVATURA DE SECCIONES DE CONCRETO REFORZADO El tratamiento de las propiedades de los materiales y de los análisis de resistencia de las secciones de concreto reforzado debe ser tema de otros cursos. Sin embargo, para entender bien el diseño por capacidad y otros aspectos del DDBD, es conveniente repasar el tema de las relaciones resistencia-deformación de las secciones de concreto reforzado sometidas a flexo-compresión. Una de las herramientas más útiles para el método DDBD es el análisis momento curvatura, que permite deducir, según se vio, curvaturas de fluencia, curvaturas máximas alcanzables, desplazamientos de fluencia, plástico y máximo alcanzable, demandas de ductilidad, etc.

Figura 9.1 - Deformación lateral de un SDOF Ya se comentó en la Sección 3.2, que no existe consenso en algunas definiciones fundamentales en los métodos DBD y esto puede llevar a discrepancias en los resultados (ver figura 3.11). Una metodología DBD necesita acordar y definir desde el inicio esas relaciones, para poder llegar a un desarrollo consistente.

Figura 9.2 - Algunas definiciones de valores fundamentales para el DDBD (Priestley)


9-2

El método DDBD de Priestley utiliza las siguientes definiciones: -

Curvatura de primera fluencia: La correspondiente a la primera fluencia del refuerzo o a εc=0.002, lo que ocurra primero. El momento flector correspondiente se denomina My

-

Momento resistente nominal, Mn: el correspondiente a εc=0.004 ó a εs=0.015, la primera que ocurra.

-

Curvatura de fluencia: se prolonga una línea desde el origen, pasando por el punto de primera fluencia, hasta intersectar una línea horizontal a la altura Mn. La pendiente My/φ’y, o Mn/φy define la “rigidez elástica” de la sección analizada.

-

Según el confinamiento que se use del concreto, podrá alcanzarse una resistencia máxima, y una curvatura correspondiente φu (Mander, 1984).Se considera este punto como el de resistencia última. Su unión con el punto de (φy, Mn) define la rama plástica, cuya pendiente corresponde a la rigidez postelástica. También se le define en función de la deformación unitaria de rotura del acero (εsu=0.10 a 0.12 para aceros ASTM) en función del máximo alcanzable, como εs ≈ 0.6 εsu ≈ 0.06.

Figura 9.3 - Diagramas teóricos Momento-Curvatura - (Priestley-Kowalski)

Propiedades del concreto confinado y del acero de refuerzo El modelo esfuerzo-deformación del ACI-318-08 y de la Norma NSR-10 para el análisis de las secciones de concreto reforzado es muy simplificado y se basa en el método del bloque rectangular de esfuerzos de Whitney, que supone:

Figura 9.4 - Hipótesis de ACI-318-08 y de NSR-10 para análisis de flexo-compresión


-

-

9-3

Deformación lineal de las secciones sometidas a flexo-compresión (“las secciones planas permanecen planas”) Deformación unitaria máxima del concreto εcu = 0.003 (otras normas admiten εcu=0.004) Esfuerzo del concreto 0.85 f’c sobre una fracción β1.c de la zona comprimida de longitud c. Comportamiento elasto-plástico perfecto del acero, con un esfuerzo constante fy a partir de la deformación de fluencia del acero, εy = fy/Es La resistencia a flexión así obtenida es el “momento nominal” Mn. Mn = Mu/φ, en donde Mu es la resistencia de diseño y φ es un factor de reducción de resistencia (φ<1) No tiene en cuenta el efecto del confinamiento transversal

Existen muchos programas para el cálculo de las propiedades de las secciones de concreto reforzado, pero no todos llevan a resultados aceptables. En la figura se compara un ejemplo analizado con programas diferentes.

Figura 9.5 - Kuebitz-2002 – Programa COLUMNA

Modelo esfuerzo-deformación de Mander-Priestley-Park (1984) El concreto bien confinado tiene mayor resistencia y mayor capacidad de deformación que el concreto no confinado, porque los estribos o espirales restringen la expansión lateral del concreto al iniciarse su aplastamiento y mantienen así la integridad del núcleo de concreto. Este modelo es hoy de amplia aceptación; supone deformación lineal de las secciones, pero usa expresiones más realistas para las relaciones esfuerzo-deformación unitaria del concreto y del refuerzo; además, permite tener en cuenta los efectos del confinamiento sobre las propiedades del concreto.


9-4

Hipótesis para el modelo de Mander: Concreto: f’c = resistencia nominal del concreto a los 28 días fl = esfuerzo lateral de confinamiento fl = 0.5 Ce.ρv.fyh (Ce=1.0 para secciones circulares; Ce≈0.8 para secciones rectangulares; Ce≈0.5 para muros; ρv = cuantía volumétrica total de confinamiento = ρvx + ρvy; ρvx = Ashx/[hcy.s] f’cc = resistencia máxima del concreto confinado fćc = fć [2.254 √(1 + 7.94 fl/fć) – 2 fl/f’c – 1.254] εcc = deformación unitaria correspondiente a f’cc εcc = 0.002 [1 + 5 (f’cc/f’c - 1)] εcu = deformación unitaria máxima del concreto εcu = 0.004 + 1.4 ρv.fyh.εsu/f’cc Ec = 5000 √f’c (MPa) Esec = f’cc/εcc r fc = f’cc.x.r/(r – 1 + x ) x = εc/εcc r = Ec/(Ec – Esec) fcu = resistencia correspondiente a εc = εcu

Figura 9.6 - Relaciones esfuerzo-deformación para el concreto confinado y no-confinado (Mander) (Comparación con modelo ACI-318 o NSR-10 sombreada en rojo)

Ejemplo: Columna de sección rectangular confinada con estribos #3, espaciados 20 cm en cada dirección horizontal y cada 10 cm verticalmente. fć = 28 MPa; fy = 420 MPa; εsu=0.10 ρvx = ρvy = Ash/hc.s = 0.71/(20*10) = 0.0036 ρv = ρvx + ρvy = 0.0072 fl = 0.5 Ce.ρv.fyh; Ce≈0.8 fl = 0.5*0.8*0.0072*420 = 1.21 MPa fl/f’c = 0.0432 fćc = f’c [2.254 √(1 + 7.94 fl/fć) – 2 fl/f’c – 1.254] fćc = 28*[2.254 √(1 + 7.94*0.043) – 2*0.043 – 1.254] = 1.27 f’c fćc = 35.6 MPa εcc = 0.002 [1 + 5 (f’cc/f’c - 1)] εcc = 0.002 [1 + 5 (1.27 - 1)] = 0.0047 εcu = 0.004 + 1.4 ρv.fyh.εsu/f’cc


9-5

εcu = 0.004 + 1.4*0.0072*420*0.10/35.6 = 0.0159 Ec = 5000 √f’c (MPa) = 26458 MPa Esec = f’cc/εcc = 35.6/0.0047 = 7574 MPa r = Ec/(Ec – Esec) = 26500/(26458 – 7574) = 1.40 r fc = f’cc.x.r/(r – 1 + x ) 1.40 fc = 49.8 x/(0.40 + x ) (en donde x = εc/εcc) εcu = 0.0159: x = 0.0159/0.0047 = 3.38 1.40 fcu = 49.8*3.38/(0.4 + 3.38 ) = 28.5 MPa

Acero de refuerzo: Elástico:

0 ≤ εs ≤ εy: fs = Es.εs ≤ fy

Meseta de fluencia: εy ≤ εs ≤ εsh: Endurecimiento: εsh ≤ εs ≤ εsu:

fs = fy fs = fu.{1 – (fu – fy)[(εsu – εs)/εsu – εsh)]2}

Si el acero a tracción falla antes que el concreto llegue a εcu, entonces εs<0.6 εsu Aceros ASTM 706: εsh≈0.008; εsu≈0.10 a 0.12; fu/fy≈1.35 a 1.50

Figura 9.7 - Propiedades del acero, solicitación monotónica – Modelo de Park

Figura 9.8 - Propiedades más reales del acero, solicitud cíclica (efecto Bauschinger)

PROCEDIMIENTO PARA ANÁLISIS DE SECCIONES SEGÚN PRIESTLEY-MANDER Se parte de una sección cualquiera, concreto de f’c y fy conocidos; refuerzo longitudinal y transversal determinados, para poder establecer las relaciones básicas de fc y fs en función de la deformación unitaria εc, según las ecuaciones vistas de Mander-Priestley-Park. También se parte de la fuerza axial N. Se divide la sección en capas de ancho b(y) y espesor dy. Ver figura 9.9. Asi = área del refuerzo de la capa i, situada a una distancia y del eje neutro. A esa altura el esfuerzo en el concreto es fc(y) y el esfuerzo en el acero fsi. Se ensayan diferentes posiciones del eje neutro, hasta cumplir las condiciones de equilibrio: N = Σ fc(y).[b(y).dy - Asi] + Σ fsi.Asi


9-6

O bien: N = Σ fc(y).b(y).dy + Σ [fsi - fc(y)].Asi La capa i está situada a una distancia y del centroide de la sección y el momento flector alrededor de dicho centroide será: M = Σ fc(y).[b(y).dy - Asi].y + Σ fsi.Asi.y O bien: M = Σ fc(y).b(y).dy.y + Σ [fsi – fc(y)].Asi.y

Capa # i, ancho b(y); espesor dy; Refuerzo Asi, posición y; Esfuerzos fc = f(εc); fy = f(εs)

Figura 9.9 - Sección arbitraria diseñada, deformaciones unitarias y esfuerzos La curvatura correspondiente será: φ = εc/c = εsn/(d - c) En donde εc y εsn son las deformaciones unitarias de compresión del concreto en la fibra extrema y del refuerzo a tracción más alejado del eje neutro (ver figura 9.9) Los pasos del análisis momento curvatura (M vs. φ) serán: 1- Dividir la sección en capas paralelas perpendiculares al eje axial. Determinar las áreas del recubrimiento no confinado, del núcleo y del refuerzo de cada capa. 2- Escoger una deformación unitaria εc de la fibra extrema comprimida, empezando con un valor pequeño. 3- Suponer una posición del eje neutro (valor de c). 4- Calcular con base en las ecuaciones vistas de Park y Mander los esfuerzos y las fuerzas del acero y del concreto en cada capa. Tener en cuenta que el valor de fc es diferente para el recubrimiento y para el núcleo de la sección 5- Calcular la fuerza axial N correspondiente, según la ecuación ya vista 6- Si no coincide con el valor de diseño, modificar la posición del eje neutro hasta lograr un ajuste razonable; por ejemplo, hasta 2% de error. 7- Calcular el momento M y la curvatura φ, con las ecuaciones vistas. 8- Incrementar el valor de εc y repetir los pasos 3 a 7. Cada valor de εc dará lugar a un punto diferente en el diagrama M vs. φ de la figura 9.3. 9- Continuar los incrementos de εc hasta llegar a la deformación unitaria última del concreto, εCU Para cada valor de εc se obtiene así una profundidad “c” de la zona comprimida, que define la curvatura correspondiente, φ= εc/c; y un valor del momento flector. Esto define puntos del diagrama M-φ. En la figura 9.10 se puede apreciar un diagrama esquemático M-φ, junto con algunas definiciones de Priestley-Kowalski, 1998, para muros de concreto reforzado.


9-7

La evaluación de las relaciones momento-curvatura es útil cuando se quiere calcular de una manera rigurosa la sobre resistencia de las secciones a flexión, en los diseños por capacidad. También sirve para obtener de forma más precisa el valor de la curvatura de fluencia de una sección (ver Sección 3.1).

Figura 9.10 - Diagrama esquemático Momento-Curvatura para muros de concreto reforzado (Adaptado de Priestley-Kowalski, 1998) Para el análisis DDBD tiene particular importancia el valor de la curvatura máxima alcanzable φm y en el caso de los muros de concreto reforzado, según Priestley-Kowalski (1998), el valor de φm admisible para esfuerzos axiales 0 ≤ P/(Ag.f’c) ≤ 0.15 y cuantías 0.005 ≤ ρ ≤0.02, vale φm≈ 0.0174/Lw para concreto no confinado (εcm=0.004); φm ≈ 0.072/Lw para εcm ≤ 0.018 y εsm ≤ 0.06 (con detalles especiales de confinamiento o DES); para detalles intermedios de confinamiento (DMO), φm≈ 0.040/Lw. Mediante el análisis momento-curvatura es posible calcular φm en el caso general. En el caso de los puentes los niveles de fuerza axial y las cuantías de refuerzo de las columnas pueden ser mayores que en los edificios de muros y la evaluación de la curvatura máxima alcanzable para el diseño (estado límite de control de daños) debe realizarse con cuidado, como en el procedimiento paso a paso que se explicó. Kowalski (2002) elaboró gráficas de φm para diferentes esfuerzos axiales y cuantías de refuerzo, que facilitan su evaluación, según los valores de εcm y εsm que se adopten (rige el menor valor). Ver figura 9.25, más adelante.

SENSIBILIDAD DE LA LONGITUD “c” DE LA ZONA COMPRIMIDA ANTE EL VALOR DE εcm Según verificación analítica y experimental de Thomsen-Wallace (2004), la longitud de la zona comprimida, “c”, no parece muy sensible al valor de εcm, para valores mayores de εc=0.003. Ver extracto del documento citado, figura 9.11. Lo anterior permitiría algunas simplificaciones en los diseños prácticos de los muros de concreto reforzado.


9-8

Probablemente esto se explique porque, después de que se alcanza la deformación unitaria del concreto no confinado, εcu=0.003, el seguir aumentando εc en un análisis riguroso momento-curvatura equivale a rotar la línea de esfuerzos, conservando aproximadamente la misma posición del eje neutro; esto debe afectar poco el equilibrio, porque mucha parte del acero debe estar ya en fluencia y sus aportes a la resistencia cambiarán poco; por otra parte el concreto desarrollará menos esfuerzo en la fibra extrema (fcu), pero con mayor fć en las zonas intermedias (hasta f’cc) y así el efecto final sería pequeño para lograr el mismo aporte inicial a la resistencia.

Figura 9.11 - Sensibilidad de “c” contra εcm – (Thomsen-Wallace, 2004)

EL CONCEPTO DE LA LONGITUD DE LA RÓTULA PLÁSTICA, Lp

Figura 9.12 - Concepto de la longitud de una rótula plástica - (Restrepo J.I. , 2006)


9-9

Obsérvese que Lp ≠ [1 – My/Mu].H (valor simple, atractivo teóricamente, pero que no se ajusta a los valores experimentales conocidos)

Figura 9.13 - Concepto de la longitud de una rótula plástica (Fenwick-Dhakal, 2007)


9-10

9.2. PERFIL DE DESPLAZAMIENTOS DE FLUENCIA DE UN MURO

Figura 9.14 – Perfil de desplazamientos de fluencia de un muro Se supone, conservadoramente, un perfil equivalente al de una carga concentrada en el extremo superior, o curvatura variable linealmente en altura. Ver figura 9.14. M(z) = F (Hn – z) M0 = F Hn φ = d²y/dz² = M(z)/EI (Resistencia de materiales) φ(z) = F (Hn – z)/EI z=0: φ0 = M0/EI = F.Hn/EI θ(z) = dy/dz = ∫φ(z) dz θ(z) = F (Hn z – z²/2)/EI + c1; en z=0, dz/dx = 0 ↘ c1 = 0 θ(z) = (F Hn/EI) z – (F.Hn/EI) z²/2 Hn θ(z) = φ0 z – φ0 z²/2 Hn φ0 = φy ≈ 2 εy/Lw ↘ En z=Hn, θyn = φ0.Hn/2 ≈ εY.Hn/Lw

(Ecuación 3.1) (Ecuación 3.35)

y(z) = ∫θ(z) dz y(z) = φ0 z²/2 - φ0.z³/6 Hn + c2; en z=0, y = 0, ↘ c2=0 ∆z = y(z) = φ0.z²(1.5 – z/2 Hn)/3 Si se usa la ecuación (3.1), φ0 = φy ≈ 2 εy/Lw, resulta 2 ∆z = εY z (1 – z/3 Hn)/Lw Expresado en función de Hi = z, se tendrá: 2 ∆yi = εY.Hi (1 – Hi/3 Hn)/Lw (Ecuación 3.37) 2 θ(Hi) = εy.(2 Hi – Hi /Hn)/Lwe


9-11

RIGIDEZ DE UN MURO INCLINADO RESPECTO A LOS EJES DE REFERENCIA

Figura 9.15 – Muros inclinados respecto a los ejes de referencia Para la modelación de un muro inclinado respecto a los ejes principales, puede usarse como longitud del muro su proyección sobre la dirección analizada, hipótesis cuya validez se verifica a continuación para la dirección X: - Desplazamiento de fluencia en dirección X: ΔYX ≈ 2 εy.H²/3 Lx = 2 εy.H²/(3 L.cos α) - Desplazamiento de fluencia en el plano del muro: ΔYL = Δyx.cos α ΔYL ≈ 2εy.H²/3 L - Es consecuente y simultáneo: cuando se llegue a ΔYL, también se habrá llegado a ΔYX - Cada dirección (X o Y) puede modelarse con la proyección correspondiente del muro - Rigideces elásticas, o de fluencia: “Ky = V/Δy” - Son proporcionales al cortante resistido V e inversamente proporcionales al desplazamiento de fluencia Δy - Si Kyl es la rigidez en el plano del muro, la rigidez en dirección X será: Kyx = Kyl.cos α - De manera similar, para la dirección Y, Kyy = Kyl.cos (90° - α) = Kyl.sin α


9-12

9.3. DESPLAZAMIENTO DE DISEÑO DEL SDOF EQUIVALENTE AL SISTEMA COMPLETO (Ec. 3.34)

Figura 9.16 – Desplazamiento de diseño de un SDOF equivalente a un MDOF Definiciones: δi = ∆d = Δe = ae = ai =

∆i/∆d = perfil normalizado de desplazamientos; δi = 1.0 a la altura He Desplazamiento efectivo, a la altura efectiva He aceleración del SDOF equivalente = Vb/Me aceleración en nivel i = δi ae

Fi = mi.ai = mi.δi.ae Vd = ΣFi = Σ(mi.δi) ae Vd = Me.ae ↘ Me = Σ (mi.δi) = Σ (mi.Δi)/Δd -

Igualando el trabajo de deformación del sistema con la del SDOF equivalente se obtiene: Vb.∆d = Σ (Fi.∆i) (a) ↘ ∆d = Σ (Fi.∆i)/Vb (b)

- Por otra parte, según la ecuación (3.60), la fuerza Fi es proporcional a la masa mi y al desplazamiento Δi, es decir: Fi = Vb.(mi.∆i)/Σ(mi.∆i) (c) -

Reemplazando el valor de Fi de la ecuación (c) en la ecuación (b), resulta: ∆d= Σ (Fi.∆i)/Vb = Σ(mi.∆i²)/Σ(mi.∆i)

CAPÍTULO 9: APÉNDICE A2: ALGUNOS COMPLEMENTOS AL DDBD 9.4. DEDUCCIÓN DE LA ALTURA DEL PUNTO DE INFLEXIÓN EN SISTEMAS COMBINADOS Ecuación (3.53)

Figura 9.17 – Altura del punto de inflexión de un sistema dual

Hipótesis: Fuerza cortante constante en los pórticos, B = βF.VBASE - Distribución simplificada lineal de las fuerzas de inercia: 0 en la base, q1 a la altura máxima H - VBASE = q1.H/2 - B = βF.VBASE = (q1.H/2).βF - Distancia del punto de inflexión al extremo superior: a = α.H - Altura del punto de inflexión sobre la base: HCF = (1 – α).H - Intensidad de carga a la altura HCF = q2 = q1.(H – a)/H Condición para punto de inflexión: M=0 a la altura HCF, que puede expresarse como: B.a = (2 q1 + q2).a²/6 Reemplazando los valores de q2 y B indicados antes, resulta: a.βF.q1.H/2 = (2 q1 + q1.[H-a]/H).a²/6 βF.H = (3 - a/H).a/3 βF.H = a - a²/3 H a²/3 H – a + βF.H = 0 a²/H² – 3 a/H + 3 βF = 0 α² - 3 α + 3 βF = 0 ↘ α = 1.5 ± 0.5 √(9 – 12 βF) y sólo vale signo – del radical (signo + daría α>1) 1 – α = 0.5 √(9 – 12 βF) – 0.5 = HCF/H (HCF/H) ≈ [√(9 – 12 βF) – 1]/2

9-13


9-14

9.5. EVALUACIÓN APROXIMADA DE ALGUNOS PARÁMETROS DE LA ESTRUCTURA SUSTITUTA La evaluación de los parámetros principales de la estructura sustituta en los sistemas regulares puede hacerse de manera aproximada desde el comienzo de los análisis, con base en ecuaciones ya vistas. Se supone que los efectos torsionales se minimizan mediante una distribución apropiada del cortante símico entre los diferentes elementos del sistema. Sistemas de muros: -

La distorsión angular plástica de diseño, θp, será el menor valor entre las ecuaciones (3.36) y (3.44): θpc ≈ θc – εY.Hn/Lwe (3.36) θpm ≈ (φm – 2 εY/Lwm) Lp (3.44)

-

La ductilidad vale, según la ecuación (3.86): µSIS ≈ 1.8 Lwe.θd/(εY.Hn) - 0.8

(3.86)

-

La altura equivalente puede obtenerse como: He ≈ (0.67 + 0.09/µ) Hn

-

El desplazamiento de fluencia ∆ye valdrá, según la ecuación (3.37): 2 ∆ye = εY.He (1 – He/3 Hn)/Lwe

-

Desplazamiento de diseño: ∆d = µSIS.∆ye

-

Para el Ejemplo 1X, de la Sección 5.1, donde rige la distorsión angular θc = 0.025, se tendría: o Hn = 42.0 m o εy = 0.0021 o θd = θc = 0.025 o Lwe = 7.175 m o θp ≈ (0.025 – 0.0021*42.0/7.175) = 0.0127 o µSIS ≈ 1.8*7.175*0.025/(0.0021*42.0) - 0.8 = 2.9 o He ≈ (0.67 + 0.09/2.9)*42.0 = 29.44 m (valor “exacto” He = 29.87 m) o ∆ye = 0.0021*29.44²*(1 – 29.44/3*42.0)/7.175 = 0.194 m (valor “exacto” ∆ye = 0.199 m) o ∆d ≈ 2.9*0.194 = 0.563 m (valor “exacto”, según ecuación (3.34), ∆d = 0.59 m) o Amortiguamiento equivalente, ξe = 0.05 + 0.444 ) = 0.143 (ecuación 3.20a) o o o o o

0.5

Reducción del espectro elástico de desplazamientos: Rξ = (0.07/(0.02 + ξ)) = 0.655 Para Suelo Tipo D de NSR-10, Sd = 0.12 T * 0.655 = 0.0786 T Te = ∆d/0.0786 ≈ 0.563/0.0786 = 7.16 s Ke ≈ 4 π².Me/Te² = 0.770 Me, ó 3690 kN/m para Me=4792 (ver numeral 5.1.2) VBASE ≈ 3690*0.563 = 2077 kN, contra 2013 kN en el cálculo “preciso” del numeral 5.1.9 (“error” del 3% respecto a la evaluación más elaborada)

Sistemas de pórticos: - Altura equivalente: He ≈ 0.7 Hn - Masa equivalente: Me ≈ 0.85 ∑mi


9-15

- Desplazamiento de diseño: Δd ≈ 0.8 θd.He - Desplazamiento de fluencia: Δye =0.5 εy.He (Lb/hb)eq - Ductilidad de desplazamiento: μSIS = Δd/Δy ≈ 1.6 θd/(εy [Lb/hb]) - Ejemplo de la Sección 5.6: Hn = 25.0 m He ≈ 0.7*25.0 = 17.5 m (17.31 m con la evaluación rigurosa) Δd ≈ 0.8*0.025*17.5 = 0.350 m (0.348 m con la evaluación rigurosa) (Lb/hb)eq = 12.0 Δye = 0.5*0.0021*17.5*12.0 = 0.221 m (0.218 m con la evaluación rigurosa) μSIS = 0.350/0.218) = 1.61 (1.60 con la evaluación rigurosa)

9.6. ANOTACIONES PARA PRE-DIMENSIONAMIENTO DE EDIFICIOS - ESTADO LÍMITE DE CONTROL DE DAÑOS Las siguientes anotaciones pueden ser útiles para el pre-dimensionamiento de los edificios regulares de concreto reforzado. Sistemas de muros: -

Es conveniente que en los sistemas de muros la ductilidad de desplazamiento del sistema, µSIS, sea mayor que 1.0; para lograrlo debe buscarse un valor apropiado de la longitud equivalente Lwe. De otro modo se llegará al “Caso c” de la estructura sustituta (Sección 4.1.3) y el cortante sísmico corregido puede llevar a diseños anti-económicos o hasta imposibles de construir. Se sugiere buscar un valor µ SIS>2.0.

-

En los sistemas de muros la longitud Lwe requerida para alcanzar una ductilidad µ puede determinarse con la ecuación ya vista: Lwe ≈ (0.56 µ + 0.44) εY.Hn/θd (3.85) Por ejemplo, en el caso de la Sección 5.1, si se quisiera alcanzar una ductilidad µ=2.0, se requeriría Lwe ≈ (0.56*2.0 + 0.44)*0.0021*0.0021*42.0/0.025) = 5.5 m O, en general, con una deriva de diseño θd, para alcanzar μ=2.0, se requeriría Lwe ≈ 1.6 εy.Hn/θd Para lograr la misma meta, cuando existen muros de varias longitudes, por lo menos algunos muros deben tener una longitud mayor que Lwe. Para aplicar diseño DDBD y cumplir derivas de la Norma NSR-10 y además evitar el “Caso c” de la estructura sustituta, en un edificio de Hn = 42.0 m, con fy = 420 MPa, εy = 0.0021, θc = 0.014 y buscando μ ≈ 1.5, se requeriría: Lwe ≈ (0.56*1.50 + 0.44)*0.0021*0.0021*42.0/0.014 ≈ 8.1 m

-

En sistemas de muros muy altos puede resultar muy difícil evitar el “Caso c” de la estructura sustituta, porque con base en la ecuación (3.85) se requerirían longitudes Lw muy grandes, difíciles de lograr en la práctica. Probablemente sea conveniente pasarse en tales casos a un sistema estructural combinado. Pero también pueden presentarse para Suelos A, B, C y zonas de amenaza sísmica intermedia o baja de


9-16

NSR-10, casos en que el desplazamiento de fluencia del SDOF equivalente sea mayor que el desplazamiento espectral elástico máximo (ver Sección 4.2); en esos casos cualquier resistencia sísmica sería apropiada y podría diseñarse más bien para cargas de viento. -

Modificando las longitudes Lw de los muros se puede modificar también la ductilidad del sistema, pero el cortante sísmico basal no cambia siempre sustancialmente. Las cuantías de refuerzo sí pueden tener mayor beneficio. En el mismo Ejemplo 1X, verificado en la Sección anterior: o Si se modificara el sistema de la figura 5.1, colocando cuatro muros iguales de Lw=9.0 m en la dirección X, en lugar de los de 7.1 y 7.25 m de longitud, resultaría Lwe=9.0 m y se obtendría con la ayuda de una hoja electrónica  He = 29.64 m; ∆ye ≈ 0.157 m; Me = 4878 kN.s²/m  ∆de = 0.607 m (sólo un poco mayor que 0.579 m estimado para Lwe=7.175)  µ ≈ 3.87  Amortiguamiento equivalente, ξe = 0.05 + 0.444 (μ-1)/μ.π = 0.155 (ecuación 3.20a) 0.5  Reducción del espectro elástico de desplazamientos: R ξ = (0.07/(0.02 + ξ)) = 0.633  Sd = 0.12 T * 0.634 = 0.0762 T (para Lwe=7.175 se había obtenido Sd=0.0786 T)  Te = ∆d/0.0762 ≈ 0.607/0.0762 = 8.00 s (contra 7.35 s para Lwe=7.175)  Rigidez requerida, Ke = 2854 kN/m.  Cortante basal de diseño: VBASE = 2854*0.607 = 1732 kN, contra 2013 calculados para Lwe=7.175  Es decir, con el aumento de la longitud equivalente de 7.175 a 9.0 m (longitud 25.4% mayor, Lw³ sería 97% mayor), el cortante basal de diseño disminuyó de 2013 a 1732 kN, o sea 14%.  Es interesante anotar que el aumento de las longitud de los muros llevó con el método DBD a una reducción del cortante sísmico de diseño, mientras que con FBD probablemente el periodo de vibración disminuiría aproximadamente en la proporción √(1/Lw)³ o a ≈70% del valor inicial, con un aumento del cortante de diseño de aproximadamente 40% Los beneficios de aumentar la longitud Lwe se aprovechan más que todo cuando la ductilidad resultante del sistema es pequeña, porque en esos casos los valores del amortiguamiento equivalente ξe y el factor de modificación del espectro elástico de desplazamientos R ξ sí son más sensibles a la variación de la ductilidad (ver Tabla 3.2, Sección 3.3.3). Así se puede evitar el “Caso c” de la estructura sustituta, que implica castigos importantes del cortante basal de diseño (ver Sección 4.1.3); sin embargo, si los límites de la deriva permitida son muy estrictos, pueden requerirse longitudes de muros muy grandes, difíciles de aplicar en los diseños prácticos. En la Tabla 9.1 se comparan para la dirección X del sistema de la figura 5.1, los efectos de modificar las derivas de diseño θd, manteniendo constantes los demás datos de entrada. Puede observarse que en general, a partir de un proyecto ya definido geométricamente: Tabla 9.1 - Efectos de la variación de la deriva de diseño θd Ejemplo de la figura 5.1 θd

Δye

Δd

µ

ξ

Rξ

Te

Me

Ke

VBASE

3.0 % 2.5 % 2.2 % 2.0 % 1.7 % 1.5 % 1.4 %

0.197 0.199 0.201 0.203 0.207 0.211 0.214

0.723 0.579 0.493 0.436 0.351 0.295 0.267

3.67 2.91 2.45 2.15 1.69 1.40 1.25

0.153 0.143 0.134 0.125 0.108 0.090 0.078

0.636 0.656 0.675 0.694 0.740 0.797 0.845

9.46 7.35 6.09 5.24 3.95 3.08 2.64

4863 4792 4727 4668 4541 4409 4319

1710 3485 5032 6712 11489 18348 24463

1236 2017 2480 2925 4030 5408 6534

VBASE Corregido 1236 2017 2480 2925 4030 5408 6534


9-17

θd

Δye

Δd

µ

ξ

Rξ

Te

Me

Ke

VBASE

1.2 % 1.0 % 0.8 %

0.221 0.221 0.221

0.216 0.180 0.144

1.00 1.00 1.00

0.050 0.050 0.050

1.000 1.000 1.000

1.80 1.50 1.20

4102 4102 4102

49976 71965 112445

10776 12931 16164

VBASE Corregido 11039 15896 24838

- A menores derivas de diseño corresponden mayores cortantes sísmicos de diseño. - Cuando las derivas de diseño llevan a demandas de ductilidad pequeñas, aproximadamente μ<1.5, los cortantes sísmicos de diseño requeridos para cumplir tales derivas pueden crecer mucho. Es el caso de la Norma NSR-10. - Si la demanda de ductilidad resulta pequeña, las fuerzas sísmicas de diseño pueden llevar a cuantías de refuerzo inmanejables y puede ser necesario aumentar las longitudes de los muros, según la ecuación (3.85); pero para edificios altos las longitudes requeridas pueden no ser prácticas. - Parece razonable plantear sistemas con demandas de ductilidad del orden de μ=2.0. Con ductilidades menores pueden aumentar desproporcionadamente los cortantes sísmicos de diseño. En la Tabla 9.2 se analiza de nuevo el sistema de la figura 5.1, para una deriva de diseño θd = 2.0%, cuando se cambian los cuatro muros de la dirección X por otros, todos de igual longitud Lw; en la Tabla se analiza para Lw=3.5 a 9.0 y se conservan los demás datos de entrada. Puede observarse que: Tabla 9.2 - Efectos de modificar la longitud Lw para los cuatro muros de dirección X Ejemplo de la figura 5.1; deriva de diseño θd=2.0% para todos los casos

-

-

Lw

Δye

Δd

µ

ξ

Rξ

Te

Me

Ke

VBASE

3.00 4.00 4.50 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00

0.528 0.396 0.350 0.307 0.248 0.209 0.180 0.159

0.359 0.359 0.363 0.381 0.410 0.432 0.450 0.463

1.00 1.00 1.04 1.24 1.65 2.07 2.49 2.92

0.050 0.050 0.055 0.077 0.106 0.123 0.135 0.143

1.000 1.000 0.967 0.848 0.746 0.699 0.673 0.656

2.99 2.99 3.13 3.74 4.58 5.15 5.57 5.89

4102 4102 4140 4312 4526 4652 4735 4793

18112 18112 16684 12171 8517 6924 6025 5454

6509 6509 6054 4635 3494 2994 2710 2528

Cuando se aumentan las longitudes de los muros disminuyen los cortantes sísmicos de diseño; esto va en contravía de los métodos FBD, en donde para muros más largos resultan estructuras de mayor rigidez geométrica (proporcional a Lw³), con menores periodos de vibración y mayores cortantes sísmicos de diseño. Aunque teóricamente puede controlarse la deriva del 2% del caso analizado, aun con muros cortos, las fuerzas de diseño podrían llevar a cuantías de refuerzo inmanejables. No conviene usar muros menores de cierta longitud, que lleven al “Caso c” de la estructura sustituta (μ<1), porque los cortantes sísmicos crecen descontroladamente. En un proyecto en particular, como el que se analiza, a partir de alguna longitud de los muros las fuerzas de diseño llevarían a cuantías de refuerzo nominales y sería evidentemente anti-económico usar muros más largos, que solamente consumirían más concreto y más acero longitudinal de refuerzo.

Sistemas de pórticos: -

VBASE Corregido 9568 7176 6054 4635 3494 2994 2710 2528

Según se vio en la sección 9.5, μSIS = Δd/Δy ≈ 1.6 θd/(εy [Lb/hb])


9-18

De aquí se deduce que, para llegar a una ductilidad de desplazamiento μ SIS, se requiere (Lb/hb)eq ≈ 1.6 θd/(μSIS εy) Por ejemplo, si se quiere alcanzar μSIS = 2.0, para θd = 0.025, εy = 0.0021, deberá plantearse (Lb/hb)eq ≈ 1.6*0.025/(2.0*0.0021) = 9.5 Para aplicar diseño DDBD y cumplir derivas de la Norma NSR-10 y además evitar el “Caso c” de la estructura sustituta, en un edificio de pórticos de concreto reforzado, independientemente de su altura, con fy = 420 MPa, εy = 0.0021, θc = 0.014 y buscando μ ≈ 1.5, se requeriría: (Lb/hb)eq ≈ 1.6*0.014/(1.5*0.0021) = 7.1 La condición anterior sería algo desfavorable. Para vigas de Lb = 8.0 m se requerirían espesores hb ≈ 1.1 m, si se quiere una ductilidad μ ≈ 1.5. Si se usara hb < 0.75 m se llegaría a pórticos que, según el DDBD, llevarían a μ <1.0, “Caso c” de la estructura sustituta, y comportamiento sísmico elástico; los detalles de refuerzo para disipación de energía no tendrían que ser muy estrictos. -

Si se quiere plantear el pre-diseño en términos de la demanda de ductilidad µθ de las vigas, puede partirse de relaciones ya conocidas: θY = 0.5 Y (Lb/hb) (3.2) θc = µ θY Así puede obtenerse la relación (Lb/hb) requerida para llegar a una demanda de ductilidad µθ de las vigas: (Lb/hb) = 2 θy/εy = 2 θc/(µθ.εy) Para θc = 0.025 y εy = 0.0021, (Lb/hb) = 23.8/µ; para µ = 2, (Lb/hb) ≈ 12. Para θc = 0.014 y εy = 0.0021, (Lb/hb) = 13.3/µ; para µ = 2, (Lb/hb) ≈ 6.7.

En edificios altos el desplazamiento espectral máximo puede ser mayor que el desplazamiento de diseño de la Norma (“Caso d” de la estructura sustituta; ver Sección 4.1.4). También puede llegarse al caso de que el desplazamiento de fluencia sea mayor que el desplazamiento espectral elástico máximo (amortiguamiento ξ=5%) y el sistema responderá elásticamente, “Caso e” de la estructura sustituta; ver Priestley et al. (2007), Sección 5.3.2. Esto se presenta cuando: Δye = θy.He ≈ 0.7 θy.Hn > Sdel Igual que en los sistemas de muros, parece razonable plantear sistemas de pórticos con relaciones (Lb/hb) que lleven a demandas de ductilidad del orden de μ=2.0.


9.7. ALGUNOS CONCEPTOS BÁSICOS DEL DISEÑO DE PUENTES POR DDBD

Figura 9.18 - Diseño tradicional de puentes basado en fuerzas (FBD)    

Las rigideces se suponen proporcionales a “EI” de cada columna Qué valor se debe usar para EI? Qué valor de μ o de R? Es lógica la distribución de Fi?

9-19


9-20

Figura 9.19 – Diseño tradicional de puentes basado en fuerzas (FBD) 

Para columnas con apoyos articulados contra el tablero, su desplazamiento vale: Δi = Fi.Hi³/3.EI; Ki = Fi/Δi = 3.EI/Hi³



Para columnas continuas con una superestructura muy rígida (similar a doble voladizo de altura Hi/2): Δi = 2.Fi.(Hi/2)³/3.EI; Δi = Fi.Hi³/12.EI; Ki = Fi/Δi = 12.EI/H³

    

Fi se distribuye proporcional a 1/H³ Mi = Fi.Hi Momentos flectores de diseño Mi proporcionales a 1/H² Las columnas más cortas tendrían que resistir los mayores cortantes y momentos flectores ... Pero las columnas cortas son las de menor capacidad de deformación, debido a sus cuantías altas! En la práctica, probablemente todas las columnas se diseñen con un mismo refuerzo




9-21

Figura 9.20 – Diseño de puentes basado en fuerzas (FBD)

Métodos FBD: Cortantes proporcionales a 1/H³ Se esperaría que la estructura conjunta y todas sus columnas lleguen simultáneamente a fluencia, para los cortantes sísmicos así asignados Comportamiento más real, para columnas de igual diámetro D: Δyi = φy.Hi²/3, proporcionales a Hi² Con referencia a la figura y para Δyc=1.0, resulta: Δyb=7.56; Δya=4.0 Las columnas no llegan simultáneamente a fluencia


9-22

Figura 9.21 – Comparación FBD vs. DDBD de puentes

Columnas de iguales dimensiones (usual en puentes por estética y por costos de formaleta) Filosofía de diseño del DBD de puentes:     

Secuencia de análisis y diseño inversa respecto a FBD: se asignan las fuerzas y de allí se deducen las rigideces, mientras que en FBD se suponen unas rigideces para llegar a las fuerzas de diseño Como en los sistemas de muros estructurales, hay buena capacidad de deformación de las columnas, mediante detalles apropiados de confinamiento Buena capacidad de distribución de los cortantes sísmicos entre las columnas Propuesta: Buscar igual cuantía de refuerzo para todas las columnas, por simplicidad constructiva y solicitación más homogénea de las mismas Para lograrlo, en el caso de una misma sección para todas las columnas: → Iguales momentos flectores de diseño para todas ellas

→ Cortantes proporcionales a 1/Hi → Rigideces de fluencia Fi/Δyi , proporcionales a 1/Hi3 → Demanda de ductilidad: μ = Δd/Δyi, proporcional a 1/Δy, o sea proporcional a 1/Hi²


Figura 9.22 - Bases del DDBD de puentes (SDOF equivalente, similar a sistemas de muros)

Figura 9.23 - Diagrama de flujo DDBD de puentes de un grado de libertad (Kowalski, 2002) Ecuaciones usadas: μΔ = Δd/Δy (1) ξef ≈ 0.05 + [1 – 0.95/√μΔ - 0.05√μΔ]/π (2b) (ó 0.05 + 0.444*[μ-1]/μ.π) Te se lee del espectro de desplazamientos, para los valores de ξe y Δd Kef = 4 π² M/Te² (3) F = Kef*Δd (4)

9-23


9-24

DETERMINACIÓN DEL DESPLAZAMIENTO DE DISEÑO DE UN PUENTE DE UN GRADO DE LIBERTAD (SDOF - Estado límite de control de daños)

Figura 9.24 – Ejemplo de estados límites de deformación unitaria de los materiales

-

Similar al diseño de sistemas de muros, cuando rige la capacidad de deformación de los materiales.

-

Usualmente no se establecen límites de deriva por Norma, como en los edificios, pero sí pueden ser más significativos los efectos de segundo orden y la interacción suelo-estructura. Se podría usar un límite de desplazamiento correspondiente a 0.005H para el estado límite de servicio y que para el estado límite de control de daños el momento P-∆ no exceda el 10% de la capacidad nominal de la columna.

-

Kowalski(2000) propone, para columnas circulares de diámetro D, con (P/Ag.f’c)<0.4 y cuantía longitudinal ρ<4%: Ky = φy.D ≈ 2.45 εy. Φm = φDC o φS, según el estado límite considerado. Estado límite de servicio (εc≤0.004; εs≤0.015): φS*D = KS = 0.015 – 0.020 (P/Ag.f’c) ± 15% Estado límite de control de daños, con detalles especiales de confinamiento DES, (εc≤0.018; εs≤0.060): φDC*D = KDC = 0.068 – 0.068 (P/Ag.f’c) ± 15% Son expresiones similares a las usadas para las curvaturas alcanzables de los muros. Las distorsiones angulares correspondientes serían: θDC = (KDC – Ky).Lp/D + Ky.L/3 D θs = (KS – Ky).Lp/D + Ky.L/3 D

CAPÍTULO 9: APÉNDICE A2: ALGUNOS COMPLEMENTOS AL DDBD -

9-25

En la figura 9.25, Kowalski 2002, puede apreciarse que la curvatura máxima alcanzable depende de los esfuerzos axiales y de la cuantía de refuerzo longitudinal.

Figura 9.25 - Curvaturas máximas alcanzables, según εcm y εsm - Kowalski, 2002 (Rige el menor valor de φm = φLS)

-

Puede apreciarse que la curvatura máxima alcanzable depende de los esfuerzos axiales y de la cuantía de refuerzo longitudinal.

-

Obsérvese que con mayores cuantías de refuerzo se dispone de menor capacidad de deformación de una misma columna


Figura 9.26 - Mejor valor ajustado estadísticamente de la longitud Lp para puentes (Guidelines Fardis, etc- Puentes – pp. 113-114)

9-26


9-27

Figura 9.27 - Formas modales características de puentes con diferentes tipos de superestructura (Priestley 2009)

Cuando la superestructura (SS) es flexible, se calculan la masa equivalente Me y el desplazamiento equivalente del SDOF, con base en perfiles de desplazamientos transversales de la superestructura, i y se usan básicamente las mismas ecuaciones 3.28 y 3.34 del capítulo 3.


Figura 9.28 - Diagrama de flujo para diseño DBD de puentes con varios grados de libertad (Kowalski, 2002)

9-28


Figura 9.29 – Casos especiales de puentes (Calvi, 2009)

9-29


9-30

EJEMPLO 1: DISEÑO DE UN PUENTE PEATONAL Columnas circulares de altura H=4.2 m libres; Diámetro D=0.50 m; Concreto f’c=28 MPa; acero fy=420 MPa; εy=0.0021; fu/fy=1.25 Masa: 2.6 t/ml; Luces de 20.0 m; Me = 52 t por columna Fuerza axial de diseño asociada con sismo: Pu = 1200 kN; Pu/Ag.f’c = 0.22 Refuerzo longitudinal tentativo: 8 φ 3/4” (db=1.9 cm); cuantía ρ=1.2 % Refuerzo de confinamiento para disipación especial de energía (DES) No se considerará ISE Sección transversal φy = 2.25 εy/D ± 10% (Ecuación 3.1a, Priestley et al., 2007, Sección 4.4.7) φy = 2.25*0.0021/0.50 = 0.0095/m Δy = φy.H²/3 = 0.0095*4.2²/3 = 0.056 m εcm ≈ 0.018 para confinamiento especial (DES) εsm = 0.6 εsu = 0.06 Con base en la figura 9.26, interpolando de las gráficas (a) y (b) para ρ=1.2%, se ve que rige εcm y se lee φm ≈ 0.053/D = 0.106/m. Opción: φm ≈ 0.068*(1 – Pu/Ag.f’c)/D = 0.068*0.78 = 0.053/D. Concuerda bien. Longitud de la articulación plástica según Kowalski (2002): Lp = 0.08 H + 0.022 fy.db Lp = 0.08*4.2 + 9.2*0.019 = 0.51m Según Fardis et al. (2007), el mejor ajuste estadístico (conservador) de Lp para puentes estaría dado por la ecuación: Lp = 0.1 H + 0.015 fy.db Lp = 0.1*4.2 + 0.015*420*0.019 = 0.54 m; muy similar al valor propuesto por Kowalski. Rotación angular plástica: θp = (φm – φy).Lp = (0.106 – 0.0095)*0.51 = 0.0492 Δp ≈ θp.H = 0.0492*4.2 = 0.207 m Desplazamiento máximo alcanzable por los materiales: Δu = Δy + Δp = 0.263 m El desplazamiento de diseño por DDBD no podría ser mayor que el valor anterior, para no sobrepasar la capacidad de deformación inelástica de la columna. Si se escoge Δd = 0.13 m (aproximadamente 3% de la altura): μ = Δd/Δy = 0.13/0.056 = 2.32 ξef ≈ 0.05 + [1 – 0.95/√μΔ - 0.05√μΔ]/π Kowalski, 2000 0.05 + 0.444*(μ-1)/μ.π) Priestley, 2007 ξe ≈ 0.146, ó ξe = 0.130, según la opción elegida. Usar ξe = 0.130 Rξ ≈ 0.683 Para suelo tipo D de NSR-10, Aa=0.15; Av=0.20, se tendría: Sd ≈ 0.12*0.683 T = 0.0820 T Te ≈ 0.13/0.0820 = 1.59 s


9-31

Keo = 15.7 Me = 15.7*52 = 817 kN/m VBASE = Keo.Δd = 817*0.13 = 106.2 kN MBASE = 106*4.2 = 445 kN.m Con efectos P-Delta: VBASE = Keo.∆d + C.P.∆d/He (C=0.5, Priestley 2007) VBASE = 106.2 + 0.5*1200*0.13/4.2 = 124.8 kN MBASE = 124.8*4.2 = 524 kNm, incremento de 17.5% Alternativamente:  MBASE = 1200*0.13 = 156 kN.m = 0.351 MBASE (índice Q = 0.351) VBASE corregido = 106.2/(1 – 0.5*0.351) = 128.8 kN MBASE corregido = 128.8*4.2 = 541 kNm, incremento de 21.6% En este punto habría que diseñar el refuerzo requerido para esTe momento flector y verificar de nuevo la capacidad de deformación de la columna para la nueva cuantía; por ejemplo, según las gráficas de Kowalski (2000). En el diseño de los puentes pueden tener mayor relevancia los efectos P-delta y la interacción SueloEstructura (ISE). Ver Secciones 4.7 y 4.8. En el caso de cimentaciones sobre pilotes, Suárez V. (2005) propone simular tales pilotes como prolongaciones de la estructura principal dentro del suelo, a manera de columnas existentes bajo el nivel del terreno, empotradas a una profundidad Le bajo la superestructura. Ver figura 9.30. En Suárez-Kowalski (2005) se presentan algunas gráficas y ecuaciones para estimar esa longitud, con diferentes tipos de suelo.

Cabezal articulado

Cabezal restringido

Figura 9.30 - Modelo de longitud equivalente de los pilotes, para interacción Suelo-Estructura


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EJEMPLO 2 – DISEÑO DE UN PUENTE CONTINUO

Elevación -

Sección transversal

Suelo tipo D de la Norma NSR-10 Apoyado en columnas de diámetro φ = 1.5 m; pueden suponerse empotradas en la cimentación. Alturas de columnas HA/HB/HC = 6.0/9.0/4.5 m Masa total de la superestructura: 1500 kN s²/m fć = 35 Mpa; fy = 420 Mpa; εSU = 0.10 Diámetro del refuerzo vertical: φ 1” Detalles de diseño DES Fuerza axial asociada con el sismo: Pu = 15 MN cada columna Todas las columnas se diseñan con igual resistencia a momento flector Longitud de las articulaciones plásticas Lp según se vio en el curso, propuesta de Kowalski Diseño para sismo transversal al puente; los apoyos extremos son deslizantes y no aportan rigidez. Puede suponerse diafragma rígido para la superestructura. La curvatura máxima alcanzable de las columnas debe tener en cuenta la fuerza axial

 Calcular el cortante sísmico total y el momento flector de diseño de cada columna.  Evaluar y comentar los efectos P-Delta Δyi = 2.25 εY.Hi²/3 Di Kyi = Vi/Δyi Vi proporcional a 1/Hi, para que Mi sean iguales en todas las columnas Columna A B C

Hi (m) 6.0 9.0 4.5

Δyi (m) 0.0378 0.0851 0.0213

Vi 0.333 VBASE 0.222 0.444

Kyi (kN/m) 8.81 2.61 20.85

Lp (m) 0.711 0.951 0.591

θp 0.0221 0.0295 0.0184

Δp (m) 0.1326 0.2655 0.0828

Δu (m) 0.1704 0.3506 0.1041

Similar a los sistemas de muros, hay que obtener las propiedades del sistema: Δys = ΣVi/ΣKyi 1/32.27 = 0.0310 m φm ≈ 0.068*(1 – Pu/Ag.f’c)/D = 0.0343/m φy = 2.25 εy/1.5 = 0.00315 θp = (φm – φy).Lp = (0.0343 – 0.00315)*Lp = 0.0311 Lp Lp = 0.08 Hi + 0.022 fy db = 0.08 Hi + 0.231 Δp ≈ θp.H Δd = Δu = Δy + Δp Desplazamiento máximo alcanzable, por capacidad de deformación de los materiales: Δd = 0.104 m


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Δ = Δd/Δys = 0.104/0.031 = 3.35 (No sería apropiado basar todo en las propiedades del muro más desfavorable y usar Δy = 0.0213: μΔ = 4.89 ↘ ξ = 0.162 ↘ Rξ = 0.620 ↘ Sd = 0.0744 T ↘ Te = 1.40 ↘ Ke = 30213 kN/m ↘ VBASE = 3145 kN) ξef = 0.05 + 0.444*(μ-1)/μ.π) = 0.149

Rξ = (0.07/[0.02+ξ])0.5 = 0.644 Suelo D: Sd = 0.12 T, para ξ = 0.05, 0.85
CAPÍTULO 10:APÉNDICE A3 –ALGUNOS AFORISMOS APLICABLES A LA INGENIERÍA ESTRUCTURAL

10.

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APÉNDICE A3–ALGUNOS AFORISMOS APLICABLES A LA INGENIERÍA ESTRUCTURAL

A continuación se presenta una recopilación de pensamientos relacionados con la ingeniería estructural. En algunos se cita su autor. Otros pueden ser fruto de meditaciones propias o, mucho más probablemente, fueron leídos en alguna parte que no recuerdo o escuchados de algún colega. Francisco J. Pérez V.

BUEN CRITERIO DEL INGENIERO Existe un problema real con la complejidad. Los requisitos de diseño muy complejos pueden confundir o distraer al diseñador o llevarle a descuidar conceptos más fundamentales del diseño. Piensa antes de calcular. Pero uno tampoco debe demorarse demasiado. Hay que decidirse por alguna solución en un tiempo razonable. No siempre podrá aclararse totalmente alguna duda y aquí entrará en juego el juicio del ingeniero para tomar oportunamente alguna decisión o formular alguna hipótesis razonablemente segura. “Arriesgarse es perder un poco. No arriesgarse es perderlo todo” (Mayarkowski) “Quien insiste en ver con perfecta claridad antes de hacer una elección, nunca decide” (Amiel) Si vas a equivocarte, equivócate de la manera más simple posible. ("If you are going to be wrong, be wrong in the simplest way" - Ch. Siess) “Cometer un error y no corregirlo, es cometer otro error” (Confucio) “Always think of the next bigger thing” - E. Saarinen. A veces nos enredamos en los detalles de la solución de algún problema y no logramos avanzar. En esos casos puede ser útil mirarlo todo desde una perspectiva más amplia, que puede incluir el reinicio de la solución, con un rumbo diferente. “No sirve de nada ir siempre en una misma dirección, si uno no sabe para dónde va” (A. de S. Exupery) “Analysis should be as simple as possible, but not simpler” – A. Einstein, citado por Priestley et al. (2007) “En la sencillez está el secreto de lo verdaderamente grande” (M. Heidegger) Sobre condiciones de compatibilidad se puede discutir, pero el equilibrio es sagrado. G. Franz. Mientras más nos metamos con los análisis por computador, mayor será nuestra tendencia a pensar menos y menos en las condiciones de equilibrio. "Today, ready access to versatile and powerful software enables the engineer to do more and think less." (Sozen M., 2002)


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La revisión de los resultados de un diseño por computador debe servir antes que todo para confirmar lo que el ingeniero ya suponía (así fuera aproximadamente) que iba a obtener. No debemos quedar tranquilos hasta que ambos resultados coincidan o hasta explicarnos claramente por qué no ocurre así (pudieron existir errores en el modelo utilizado o tal vez no habíamos entendido bien el comportamiento de la estructura). Los romanos disponían de un sistema de números que no se prestaba mucho para efectuar operaciones numéricas; imaginémonos nada más la multiplicación de 47 por 84 (ILVII por LXXXIV). Se ayudaban con piedrecitas ("calculus” en latín, de ahí el origen de la palabra calcular). Ello no les impidió sin embargo realizar obras notables de ingeniería. Los conceptos claros son más importantes que los computadores o que las operaciones numéricas complicadas. El computador es una herramienta formidable y fascinante, que hace unas décadas no era accesible a la mayor parte de los ingenieros; ello ha hecho posible el renacimiento y desarrollo de nuevos métodos de análisis, que en épocas anteriores hubieran sido descartados por su laboriosidad. Sin embargo, el computador ayuda a responder preguntas en forma rápida y precisa, pero no ayuda a formular las preguntas correctas. El computador no puede descubrir los problemas. El computador no responde preguntas que no le hagamos, ni es capaz de descubrir si el cálculo que realiza es correcto o no. El computador no calcula lo que quisiéramos, sino lo que le indique el programa utilizado. Los computadores ayudan al ingeniero a formarse un juicio sobre el posible comportamiento de la estructura, pero no pueden reemplazar el buen criterio del diseñador. Siempre que alguien elabora un programa de computador "a prueba de bobos”, aparece algún tonto más listo que el programador, y lo hace fallar. (En el campo del diseño, Jaime Muñoz decía que había que hacer planos “a prueba de bobos”, para evitar errores en la construcción… Pero a veces aparecía el “bobo” que lograba malinterpretarlos) Un buen programa de computador puede hacer que un buen ingeniero mejore o que un mal ingeniero se vuelva más peligroso. El software en manos de un ingeniero inexperto es una amenaza pública. El mal uso repetido de un programa de computador puede hacer que el usuario perciba como experiencia y entendimiento del comportamiento de las estructuras lo que en realidad puede ser nada más que familiaridad con resultados previos equivocados. Respecto a los posibles errores ocultos en un programa de computador puede decirse: “Tests can detect errors but cannot prove their absence...” "Siempre queda algún error o falla por detectar". Los errores en los programas son como los alfileres en las camisas nuevas: siempre hay uno más de lo que se piensa. El computador es una herramienta formidable y fascinante, pero a veces nos suelta tanta cuerda que nos podemos ahorcar con ella si no tenemos cuidado. Sin embargo, según Herbart J.F., “Jeder gute Anfänger ist ein Skeptiker, aber jeder Skeptiker ist nur ein Anfänger” (“Todo buen principiante es escéptico, pero todo escéptico es sólo un principiante”). Es preferible poder lograr una idea del comportamiento de una estructura, así sea sólo aproximada, que estar totalmente a ciegas sobre el mismo; aquí es útil el computador, pero con programas y modelos apropiados, establecidos y evaluados por un ingeniero con buen criterio. “Structural Engineering is the art of molding materials we do not really understand, into shapes we cannot really analize, so as to whithstand forces we cannot really assess, in such a way that the public does not really suspect”. R. Corotis - Concrete International - Abril de 1985.


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“Engineering is the art of modelling materials we do not wholly understand, into shapes we cannot precisely analyze so as to withstand forces we cannot properly assess, in such a way that the public has no reason to suspect the extent of our ignorance”, A.R. Dykes, British Institution of Structural Engineers, 1976 1- El ingeniero estructural es un artesano. Las teorías o los códigos únicamente le dan una base a partir de la cual los diseñadores empiecen a divergir. 2- Hay incertidumbre acerca de la calidad de la construcción y del comportamiento de los materiales. 3- Hay incertidumbre en los modelos con que idealizamos las estructuras. 4- Hay incertidumbre en cuanto a las cargas que sufrirá la estructura. 5- El usuario tiene fe en que las estructuras son seguras; en la realidad cualquier estructura, aún bien diseñada, tiene una probabilidad de falla, así sea relativamente pequeña. De ahí la existencia de factores de seguridad, llamados a veces "factor de miedo", tal vez sería más justo hablar de "factor de ignorancia”. Ante tantas incertidumbres... se justificará un análisis "exacto” (en el supuesto de que fuera posible)? Y análisis "exacto” de qué? No podemos analizar la estructura construida real; en el mejor de los casos tal vez obtengamos mediante un computador las fuerzas internas o deformaciones de un modelo matemático de la estructura, pero no de la estructura real. No podemos obligar a la estructura a que se comporte exactamente como dijo el computador, sin que importe cuánto costó el programa, qué tan elegantes sean los algoritmos utilizados para la solución ni cuántas cifras de precisión se utilicen en el cálculo. La vida es difícil para el ingeniero: él tiene que garantizar el buen comportamiento de sus diseños. El ingeniero estructural está obligado a acertar siempre y es casi como un mago dedicado a hacer predicciones... sin derecho a equivocarse (G. Franz). En tiempos antiguos los errores de cálculo se consideraban aportes importantes en el proceso de la mejora del conocimiento (“perder es ganar un poco”, diría siglos más tarde F. Maturana). Hoy en día se pueden equivocar en sus predicciones los economistas, los meteorólogos, los médicos y no pasa nada. Pero el ingeniero… Se ha dicho, tal vez con un poco de cinismo, que los médicos entierran sus errores, los arquitectos los enchapan y los ingenieros entran en largos debates y escriben extensos informes (“si no puedes convencerlos, confúndelos”). Los médicos se van librando de responsabilidades a medida que mueren sus pacientes. Pero los ingenieros cada vez tenemos que responder por más obras.

LAS TEORÍAS Y LA PRÁCTICA Qué es teoría? Es algo que debiera ser así, pero nunca resulta. Y qué es práctica? Pregunta tonta: se sabe que es así, pero no por qué (G. Franz). Sin embargo, "no hay nada más práctico que una buena teoría” (L. Boltzman). No se deben aceptar a ciegas los “hallazgos de la ciencia”, ni reemplazar con ellos el buen juicio, ni dormir tranquilos sobre los resultados de cálculos teóricos refinados y elegantes. No es lo mismo la ingeniería como ciencia que como práctica; la ciencia puede intimidar temporalmente al novato, pero no al ingeniero experimentado (R. Peck). Muchas veces las teorías complicadas no son más que una forma de evadir la realidad y de ocultar nuestra ignorancia sobre un tema. “Sólo la teoría decide lo que uno puede observar” (A. Einstein). Los experimentos deben servir para verificar o controvertir teorías, no para deducirlas.


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Las teorías científicas no son sino propuestas de cómo podríamos interpretar las cosas (C.G. Jung). No existen teorías verdaderas ni falsas; sólo teorías más o menos completas. “Cada verdad pasa por tres etapas, antes de ser aceptada: - En la primera es ridiculizada - En la segunda sufre fuerte oposición - En la tercera se considera evidente” Arthur Schopenhauer, citado por Priestley et al., 2007 “The designers should tell the structure what it must do in the event of a major earthquake, rather than ask what it could do”. T. Paulay

EL PROBLEMA DE LA PRECISION. Oftmals ist die Genauigkeit eine Illusion, ja, pointiert gesagt: ein Selbstbetrug oder Betrug, wenn die Voraussetzungen der Rechnung nicht genügend kritisch durchdacht werden! Rechnen kann man viel... aber ob es stimmt? Diese Frage muß man sich als Ingenieur stets anstellen. (G. Franz.) “A menudo la exactitud es una ilusión, sí, mejor dicho, un engaño a sí mismo o a los demás, cuando las suposiciones del cálculo no se analizan críticamente! Uno puede calcular muchas cosas... Pero serán ciertas? Como ingeniero, uno tiene que hacerse siempre esa pregunta”. (G. Franz.) Cuando hay que calcular esfuerzos a partir de cargas o de rigideces no muy claras, "...a simple calculation device yields perhaps 80% of the truth, whereas the next 10% would be difficult to attain and the last 10% impossible". Westergaard. “An incapable engineer cannot do with a ton of computer output what a good engineer can do on the back of an envelope”. M. Sozen. La tierra es proporcionalmente más lisa que un huevo de gallina, pues sus montañas más altas apenas son del orden de 1/1400 del radio (equivalentes a unos 0.04 mm para el huevo). Imaginémonos la tarea de medir físicamente el perímetro de la tierra siguiendo la línea del Ecuador, contra su cálculo teórico conociendo el radio (12730 km)... si calculáramos el número  con 10 cifras de precisión podríamos obtener el perímetro con precisión de milímetros! Tiene esto sentido? Qué sentido tendría medir la longitud de una varilla determinando una parte con micrómetro, la siguiente con metro y el resto a cuartas? O que al pedirnos una varilla de madera de cierta longitud midiéramos con micrómetro, marcáramos con tiza y cortáramos con un hacha?... Las cargas que suponemos son muy inciertas, especialmente las de sismo... los modelos son imperfectos (columnas de 1x1 metros se representan como líneas, etc.)... las tolerancias de dimensiones en obras de concreto reforzado son de más del 1%... Y luego pretendemos resolver el sistema de ecuaciones de la estructura con variables de punto flotante de doble precisión (8 bytes), que permiten 16 cifras significativas y exponentes de 10 E300 a 10 E-300! Con variables de 4 bytes se pueden tener ya 8 cifras significativas y magnitudes de 10 E38 a 10 E-38! Si un cálculo se vuelve inestable con este planteamiento el problema no es ya de precisión sino de la estructura misma.

DISEÑO SÍSMICO BASADO EN DESPLAZAMIENTOS (DDBD

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