Diseño de Zapatas Cod ACI 2014

DISEÑO DE ZAPATA NORMA ACI 318-14

ZAPATAS Norma ACI 318-14 Introducción.Las zapatas son miembros estructurales que se usan para soportar columnas, muros y transmitir sus cargas al suelo subyacente. El concreto reforzado es un material muy adecuado para las zapatas y se usa así en edificios de concreto reforzado, de acero estructural, en puentes, torres y otras estructuras. La presión permisible en un suelo debajo de una zapata es normalmente de unos cuantos kilogramos por centímetro cuadrado. Los esfuerzos de compresión en los muros y las columnas de una estructura ordinaria pueden llegar a ser de toneladas por metro cuadrado. Por consiguiente, es necesario repartir estas cargas sobre la suficiente área de suelo como para que éste soporte las cargas en forma segura. No sólo es deseable transferir las cargas de la superestructura al suelo subyacente en forma tal que no se generen asentamientos excesivos o disparejos y rotaciones, sino que también es necesario proporcionar la suficiente resistencia al deslizamiento y volteo. Para lograr estos objetivos, es necesario transmitir las cargas soportadas a un suelo de suficiente resistencia y luego repartirlas sobre un área tal que la presión unitaria quede dentro de un intervalo razonable. Si no es posible excavar a una pequeña profundidad y encontrar un suelo satisfactorio, será necesario usar pilotes o cajones de cimentación para hacer el trabajo. Cuanto más cerca esté una cimentación a la superficie del terreno, más económico será construirla.

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Tipos de zapatas.Entre las diversas zapatas de concreto reforzado de uso común se cuentan: las zapatas corridas para muros, las zapatas aisladas, las zapatas combinadas, las losas de cimentación y las cabezas de pilotes. Se presentan estos tipos de zapatas: 

Una zapata corrida es simplemente una ampliación de la parte inferior de un muro, cuya finalidad es distribuir adecuadamente la carga sobre el suelo de la cimentación. Las zapatas corridas normalmente se usan en el perímetro de un edificio y a veces bajo los muros interiores.



Una zapata aislada o zapata para una sola columna se usa para soportar la carga de una sola columna. Éstas son las zapatas más comúnmente usadas, en particular cuando las cargas son relativamente ligeras y las columnas no están muy cercanas entre sí.



Las zapatas combinadas se usan para soportar las cargas de dos o más columnas Una zapata combinada puede ser económica cuando dos o más columnas fuertemente cargadas están separadas entre sí a una distancia tal que sus zapatas individuales quedarían traslapadas. Generalmente, las zapatas individuales son cuadradas o rectangulares y si se emplearan para columnas localizadas en los linderos del terreno, se extenderían más allá de éstos.



Una plancha de cimentación o losa de cimentación o cimentación flotante es una losa continua de concreto reforzado sobre un área grande que se usa para soportar muchas columnas y muros. Este tipo de cimentación sirve cuando la resistencia del suelo es baja o las cargas de las columnas son grandes, pero no se usan pilotes o cajones de cimentación. Para tales casos, las zapatas aisladas resultarían tan grandes que sería más económico usar una losa continua sobre toda el área. El costo de la cimbra para una losa de cimentación es mucho menor que el costo de la cimbra para un gran número de zapatas aisladas. Si se diseñan zapatas individuales para cada columna y su área combinada es mayor que la mitad del área contenida dentro del perímetro del edificio, usualmente es más económico usar una sola losa continua. Este tipo de cimentación es particularmente útil para reducir los asentamientos diferenciales entre columnas; esta reducción puede ser de 50% o mayor. Para este tipo de cimentación las excavaciones suelen ser bastante profundas. La meta es retirar una cantidad de tierra aproximadamente igual al peso del edificio.



Las cabezas de pilotes son losas de concreto reforzado que se usan para distribuir las cargas de las columnas a grupos de pilotes.

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Presiones reales de suelo.La presión de suelo en la superficie de contacto entre una zapata y el suelo, se supone uniformemente distribuida siempre que la carga que está arriba esté aplicada en el centro de gravedad de la zapata. Esta hipótesis se hace aun cuando muchas pruebas han mostrado que las presiones del suelo no están distribuidas uniformemente, debido a variaciones en las propiedades del suelo, a la rigidez de la zapata y a otros factores. Como ejemplo de la variación de las presiones del suelo, consideremos las zapatas sobre suelos de arena y suelos de arcilla. Cuando las zapatas están soportadas por suelos arenosos, las presiones son mayores bajo el centro de la zapata y menores cerca de los bordes. La arena en los bordes de la zapata no tiene un gran soporte lateral y tiende a moverse por debajo de los bordes en cuestión, con el resultado de que más carga es tomada cerca del centro de la zapata. Si el fondo de una zapata está localizado a cierta distancia de la superficie del terreno, un suelo arenoso proveerá un soporte bastante uniforme para la zapata, pues su movimiento lateral está restringido. La situación justamente contraria ocurre para zapatas soportadas por suelos arcillosos. La arcilla bajo los bordes de la zapata se “pega” o tiene cohesión con el suelo arcilloso del entorno. Como consecuencia, más carga es tomada en los bordes que en el centro de la zapata. El proyectista debe entender claramente que la hipótesis de una presión uniforme del suelo bajo la zapata se hace con el fin de simplificar los cálculos y muy bien puede ser que la hipótesis tenga que revisarse para ciertas condiciones de los suelos.

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* Si la carga está aplicada excéntricamente a la zapata con respecto al centro de gravedad de ésta, se supone que la presión del suelo varía uniformemente en proporción al momento.

Presiones permisibles del suelo.Las presiones permisibles del suelo que se usan para diseñar la cimentación para una estructura particular, se obtienen usando los servicios de un ingeniero especializado en geotecnia. Éste determinará los valores de seguridad con base en los principios de la mecánica de suelos, en los resultados de las pruebas de los sondeos, en pruebas de carga y en otras investigaciones experimentales. Otros asuntos pueden entrar en la determinación de las presiones permisibles del suelo, como la sensibilidad del marco del edificio para acomodar la deflexión de las zapatas. Como tales investigaciones no siempre son factibles, la mayoría de los códigos de construcción proveen ciertas presiones aproximadas permisibles de apoyo que pueden usarse para los tipos y condiciones de suelos que se presentan en esa localidad El código ACI establece que el área requerida para una zapata debe determinarse dividiendo la carga total prevista, incluyendo el peso de la zapata, entre la presión permisible del suelo la capacidad permisible del pilote que se determinan usando los principios de la mecánica de suelos. Se notará que esta carga total es una carga sin factorizar y que, sin embargo, el diseño de zapatas descrito en este capítulo se basa en el diseño por resistencia, donde las cargas se multiplican por factores de carga apropiados. Es obvio que una carga última no puede dividirse entre una presión de suelo permisible para determinar el área de apoyo requerida.

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El proyectista puede manejar este problema de dos maneras. Puede determinar el área de apoyo requerida sumando las cargas vivas y muertas reales o sin factorizar y dividirlas entre la presión permisible del suelo. Una vez determinada esta área y seleccionadas las dimensiones, puede calcularse una presión última del suelo dividiendo la carga factorizada o última entre el área provista. El resto del diseño de la zapata puede hacerse por el método de resistencia, usando esta presión última del suelo. En situaciones con solicitaciones de momentos en las zapatas, se realiza un diagrama de presiones transmitido de la zapata al suelo debido a que no es uniforme por la excentricidad producida por los momentos.

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Las excentricidades: 𝑀𝑦 𝑃 𝑀𝑥 𝑒𝑥 = 𝑃

𝑒𝑦 =

Si ex L/6 y ey B/6 toda la superficie bajo la zapata estará sometida a compresión con una distribución de presiones en forma de prisma rectangular truncado o rebanado por un plano inclinado, tal como se muestra en la figura anterior; lo cual dificulta el diseño de la zapata. La distribución de presiones debajo de la zapata se pude expresar como: 𝑞=

𝑃 6𝑒𝑥 6𝑒𝑦 (1 ± ± ) ≤ 𝑞𝑎 𝐵𝐿 𝐿 𝐵

DISEÑO DE ZAPATA CUADRADA AISLADA Las zapatas de una sola columna generalmente proveen la solución más económica para la cimentación de columnas. Tales zapatas son comúnmente cuadradas en planta, pero también pueden ser rectangulares, circulares u octagonales. Las zapatas rectangulares se usan cuando el espacio disponible o las secciones transversales de las columnas son marcadamente rectangulares. La mayoría de las zapatas constan de losas de espesor constante, pero si los espesores calculados son considerablemente altos puede ser más económico usar zapatas escalonadas. Las fuerzas cortantes y los momentos en una zapata son obviamente mayores cerca de la columna, con el resultado de que se requiere un mayor espesor en esa zona en comparación con las partes exteriores de la zapata. Para zapatas muy grandes, como las de estribos de puentes, las zapatas escalonadas pueden proporcionar ahorros considerables en la cantidad de concreto. Ocasionalmente, se usan zapatas con declives en lugar de las escalonadas, pero el costo de la mano de obra puede ser mayor. Ya sea que use una zapata escalonada o una con declives, se considera necesario verter el concreto en una sola colada para garantizar una estructura monolítica, evitando así zonas horizontales débiles a cortante. Si no se sigue este procedimiento, es preferible usar cuñas o refuerzos por fricción cortante (espigas) entre las partes para asegurar una acción monolítica. Además, cuando se usan zapatas escalonadas o con declives, es necesario revisar los esfuerzos en más de una sección de la zapata. Por ejemplo, los requisitos del área de acero y de la longitud de desarrollo deben revisarse en los escalones así como en las caras de los muros o columnas.

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Fuerzas cortantes.Deben considerarse dos condiciones debidas al esfuerzo cortante en las zapatas para columnas, independientemente de su forma. La primera es debida al cortante en un sentido o cortante de viga, el cual es el mismo que se considera para las zapatas de muros. En el siguiente análisis, nos referiremos a la zapata de la figura. La fuerza cortante total (Vu1) que se toma a lo largo de la sección 1-1, es igual a la presión neta del suelo qu multiplicada por el área sombreada hacia afuera de la misma sección. En la expresión que sigue, bw es el ancho total de la zapata. El valor máximo de Vu1, si no se usan estribos, es igual a ϕVc, y el espesor máximo requerido es como sigue: 𝑑=

𝑉𝑢1 0.53𝜙𝜆√𝑓𝑐′ 𝑏𝑤

La segunda condición de esfuerzo al corte es la del cortante en dos sentidos o por penetración, véase la figura. La carga de compresión de la columna tiende a extenderse en la zapata, oponiéndose a la tensión diagonal en esa zona, con el resultado de que una columna cuadrada tiende a perforar una porción de losa, que tiene la forma de una pirámide truncada. El código ACI establece que la sección crítica para el cortante en dos sentidos se localiza a una distancia d/2 de la cara de la columna.

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Punzonamiento.La fuerza cortante Vu2 consiste en toda la presión neta hacia arriba qu sobre el área sombreada mostrada, es decir, sobre el área fuera de la porción que tiende a ser penetrada. En las expresiones que siguen, bo es el perímetro alrededor del área penetrada, igual a 4(a + d) en la figura. La resistencia nominal al cortante en dos sentidos Vc del concreto, se especifica como el menor de los valores obtenidos al sustituir en las ecuaciones aplicables que siguen. La primera expresión es la resistencia al cortante usual por penetración 𝑉𝑐1 = 1.1𝜆√𝑓𝑐′ 𝑏0 𝑑 Las pruebas han mostrado que cuando las losas rectangulares de zapatas están sometidas a flexión en dos direcciones y el lado largo del área cargada es más de dos veces la longitud del lado corto, la resistencia por cortante 𝑉𝑐1 = 4𝜆√𝑓𝑐′ 𝑏0 𝑑 puede ser demasiado alta. En la expresión que sigue, 𝛽𝑐 es la relación del lado largo de la columna al lado corto de la columna, carga concentrada, o el área de reacción. 2 𝑉𝑐 = 0.53 (1 + ) 𝜆√𝑓𝑐′ 𝑏0 𝑑 𝛽 El esfuerzo cortante en una zapata aumenta conforme decrece la proporción 𝑏0 /d. Para tomar esto en cuenta el ACI desarrolló la ecuación que incluye un término 𝛼𝑠 que se usa para tomar en cuenta las variaciones en la proporción. Al aplicar la ecuación, 𝛼𝑠 se toma igual a 40 para columnas interiores (donde el perímetro es de cuatro lados), igual a 30 para columnas de borde (donde el perímetro es de tres lados), e igual a 20 para columnas de esquina (donde el perímetro es de dos lados). 𝑉𝑐 = 0.27 (

𝛼𝑠 𝑑 + 2) 𝜆√𝑓𝑐′ 𝑏0 𝑑 𝑏0

El valor de d requerido para el cortante en dos sentidos es el mayor que se obtiene de las siguientes expresiones: 𝑑1 =

𝑑1 =

𝑉𝑢2

𝛽≤2

𝜙1.1𝜆√𝑓𝑐′ 𝑏0

𝑉𝑢2 2 𝜙0.53 (1 + 𝛽 ) 𝜆√𝑓𝑐′ 𝑏0

𝑑2 =

𝜙 = 0.75

𝑁𝑜 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝛽 > 2

𝑉𝑢2 𝛼 𝑑 𝜙0.27 ( 𝑏𝑠 + 2) 𝜆√𝑓𝑐′ 𝑏0 0 USUARIO

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Cortante en dos direcciones La altura total de la cimentación debe seleccionarse de manera tal que la altura efectiva del refuerzo inferior sea al menos 150mm

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Momentos Flectores.El momento flexionante en una zapata cuadrada de concreto reforzado con una columna cuadrada es el mismo respecto a ambos ejes debido a la simetría. Si la columna no es cuadrada, el mayor momento será en la dirección de la dimensión más corta de la columna. Sin embargo, debe notarse que el peralte efectivo de la zapata no puede ser el mismo en las dos direcciones, porque las varillas en una dirección se apoyan en las varillas de la otra dirección. El peralte efectivo usado en los cálculos podría ser el promedio para las dos direcciones o, más conservadoramente, el valor asociado a las varillas superiores. Este valor menor se usa en los ejemplos de este texto. Aunque el resultado implica mayor refuerzo de acero en una dirección, se considera que el acero en cualquier dirección debe ser suficiente para resistir el momento en esa dirección. Debe entenderse claramente que el exceso de acero en una dirección no compensa la escasez en la otra dirección en un ángulo de 90°. La sección crítica de flexión se toma en la cara de una columna de concreto reforzado o a la mitad entre el eje y el borde de un muro de mampostería o a la mitad de la distancia del borde de la placa de base a la cara de la columna si se usan columnas de acero estructural.

La determinación de los peraltes de las zapatas por el procedimiento descrito aquí a menudo requerirá varios ciclos de un procedimiento de ensayo y error. Sin embargo, existen muchas tablas y manuales con los que pueden estimarse con precisión los peraltes de las zapatas. Uno de estos textos es el CRSI Design Handbook. Además, hay muchas reglas empíricas que usan los proyectistas para hacer estimaciones iniciales del espesor, como las que dicen que éste debe ser igual a 20% del ancho de la zapata.

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El área de acero de refuerzo calculada para zapatas a menudo será considerablemente menor que los valores mínimos especificados para miembros a flexión en la ACI. Sin embargo, el código establece que en las losas de espesor uniforme, el área mínima y la separación máxima de las varillas de refuerzo en la dirección de la flexión, tienen que ser iguales sólo a aquellas requeridas para el refuerzo de contracción y temperatura. La separación máxima de este refuerzo no debe exceder la distancia menor de tres veces el espesor de la zapata. Muchos proyectistas consideran que no es apropiada la combinación de altos cortantes y bajos valores de ρ que a menudo ocurre en zapatas. Por esto, especifican áreas de acero al menos tan grandes como los mínimos por flexión del código ACI.

𝐴𝑚𝑖𝑛 =

0.0018 ∗ 4200 ∗ 𝐴𝑔 𝑓𝑦

Separación.𝑆=

𝐴 − 2𝑟 − 𝑑𝑏 𝑛𝑏 − 1

Revisión a aplastamiento La Resistencia de diseño al aplastamiento debe cumplir con: 𝜙𝐵𝑛 ≥ 𝐵𝑢 para cada combinación de mayoración de carga aplicable. La Resistencia nominal al aplastamiento, Bn, debe calcularse de acuerdo con la Tabla 22.8.3.2, donde A1 corresponde a la zona cargada y A2 es el área de la base inferior de mayor tronco de pirámide, cono, o cuñas contenidas totalmente dentro del apoyo y que tiene su base superior igual al área cargada. Los lados de la pirámide, cono o cuña deben tener una inclinación de 1 vertical a 2 horizontal.

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En esta expresión se debe cumplir:

√

𝐴2 ≤2 𝐴1

Zapatas que soportan columnas circulares o con sección en forma de polígono regular.Algunas veces las zapatas son diseñadas para soportar columnas circulares o columnas con formas poligonales regulares. En tales casos el código establece que la columna puede remplazarse por un miembro cuadrado que tenga la misma área que la circular o poligonal. La columna cuadrada equivalente se usa entonces para localizar las secciones críticas para momento, cortante y longitud de desarrollo.

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DISEÑO DE ZAPATA RECTANGULAR AISLADA Como se mencionó, las zapatas aisladas pueden ser de planta rectangular si la columna tiene una forma rectangular muy pronunciada, o si el espacio disponible para la zapata obliga al proyectista a usar una forma rectangular. Si es factible una zapata cuadrada, ésta es preferible a una rectangular ya que requerirá menos material y será más fácil construirla. El procedimiento de diseño es casi idéntico al usado para diseñar zapatas cuadradas. Después de que se ha calculado el área requerida y se han seleccionado las dimensiones laterales, los peraltes requeridos por cortante en un sentido y en dos sentidos se determinan con los métodos usuales. El cortante en un sentido suele controlar el peralte de las zapatas rectangulares, mientras que el cortante en dos sentidos suele controlar el de las zapatas cuadradas. El siguiente paso es seleccionar el refuerzo en la dirección larga. Estas varillas longitudinales se colocan con una separación uniforme entre ellas a través de la zapata, pero no es así el caso para el refuerzo en la dirección corta. Como puede verse en la figura, el apoyo proporcionado por la zapata a la columna se concentra cerca de la mitad de la zapata, por lo que el momento en la dirección corta se concentra poco más o menos en la misma área cercana la columna. Como resultado de este efecto de concentración, parece lógico concentrar en esta área una gran proporción del refuerzo en la dirección corta. El código establece que cierto porcentaje mínimo del refuerzo total de la dirección corta debe colocarse en un ancho de banda igual a la longitud de la dirección corta de la zapata. La cantidad de refuerzo en esta banda se determina con la siguiente expresión, en la que β es la relación de la longitud del lado largo al ancho del lado corto de la zapata: 𝑅𝑒𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑛𝑑𝑎 2 = = 𝜆𝑠 𝑅𝑒𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎 𝛽 + 1 El refuerzo restante en la dirección corta debe distribuirse uniformemente sobre los extremos de la zapata, pero los autores piensan que debe cumplir por lo menos con los requisitos de contracción y temperatura del código ACI.

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Ejemplo de diseño de zapata cuadrada con flexión biaxial. Se requiere diseñar la zapata mostrada en la figura con la siguiente información básica 𝑃 = 100 𝑇𝑜𝑛 𝑀𝑦 = 25 𝑇𝑜𝑛 ∗ 𝑚 𝑀𝑥 = 30 𝑇𝑜𝑛 ∗ 𝑚 𝑞𝑎 = 1.5 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝑓𝑐′ = 210 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝑓𝑦 = 4200 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝑏𝑐 = 50 ∗ 50 [𝑐𝑚2 ]

Carga Vertical : Momento en la dirección del eje “y” : Momento en la dirección del eje “x” : Esfuerzo admisible del suelo : Resistencia a la compresión del Concreto: Resistencia a la tracción del acero : Columna cuadrada :

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Dimensionamiento.Los elementos de la zapata se dimensionan para que resistan las cargas mayoradas y las reacciones inducidas. El área de apoyo de la base de la fundación se determina a partir de las fuerzas sin mayorar y el esfuerzo permisible sobre el suelo. Las cargas de servicio son: 𝑃 = 100 𝑇𝑜𝑛 𝑀𝑦 = 25 𝑇𝑜𝑛 ∗ 𝑚 𝑀𝑥 = 30 𝑇𝑜𝑛 ∗ 𝑚 Por lo tanto las excentricidades son: 𝑒𝑦 = USUARIO

𝑀𝑦 𝑃 16


𝑒𝑦 =

25 𝑇𝑜𝑛 ∗ 𝑚 = 0.25𝑚 100 𝑇𝑜𝑛

𝑒𝑥 = 𝑒𝑥 =

𝑀𝑥 𝑃

30 𝑇𝑜𝑛 ∗ 𝑚 = 0.30𝑚 100 𝑇𝑜𝑛

La zapata se dimensiona según la siguiente expresión: 𝑞=

𝑃 6𝑒𝑥 6𝑒𝑦 (1 ± ± ) ≤ 𝑞𝑎 𝐵𝐿 𝐿 𝐵

Reemplazando valores y resolviendo la ecuación asumiendo L=B: 𝑞=

100 ∗ 1000 6 ∗ 30 6 ∗ 25 (1 + + ) ≤ 1.5𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝐵2 𝐵 𝐵 𝐵 = 357𝑐𝑚 ≅ 360𝑐𝑚 = 𝐿

Se verifica que las excentricidades estén dentro del rango: 𝐿 3.6 = = 0.60𝑚 > 𝑒𝑥 = 0.30𝑚 → 𝐶𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 6 6 𝐵 3.6 = = 0.60𝑚 > 𝑒𝑦 = 0.25𝑚 → 𝐶𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 6 6 Por lo tanto: 𝐵 = 3.60𝑚 𝐿 = 3.60𝑚 Determinando el diagrama de presiones para el estado ultimo de carga: 𝑃 = 140 𝑇𝑜𝑛 𝑀𝑦 = 35 𝑇𝑜𝑛 ∗ 𝑚 𝑀𝑥 = 42 𝑇𝑜𝑛 ∗ 𝑚

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140 6 ∗ 0.30 6 ∗ 0.25 (1 − − ) = 0.896 𝑡𝑜𝑛 ∗ 𝑚 3.6 ∗ 3.6 3.6 3.6 140 6 ∗ 0.30 6 ∗ 0.25 𝑞2 = (1 + − ) = 11.7 𝑡𝑜𝑛 ∗ 𝑚 3.6 ∗ 3.6 3.6 3.6

𝑞1 =

𝑞3 =

140 6 ∗ 0.30 6 ∗ 0.25 (1 − + ) = 9.90 𝑡𝑜𝑛 ∗ 𝑚 3.6 ∗ 3.6 3.6 3.6

𝑞4 =

140 6 ∗ 0.30 6 ∗ 0.25 (1 + + ) = 20.7 𝑡𝑜𝑛 ∗ 𝑚 3.6 ∗ 3.6 3.6 3.6

Punzonamiento Asumiendo H=0.40 m; r=0.07 m; d=0.33 m: Sección critica, a d/2 de la cara de la columna:

𝑉𝑢𝑝 = 𝑃𝑢 − 𝑉𝑢𝑝 = 140 −

𝑞4 + 𝑞2 [(𝑏𝑐 + 𝑑 )(𝑙𝑐 + 𝑑 )] 2

20.7 + 11.7 [(0.50 + 0.33)(0.50 + 0.33)] 2 𝑉𝑢𝑝 = 128.84 𝑡𝑜𝑛

Debe cumplirse: 𝑉𝑐1 = 1.1𝜆√𝑓𝑐′ 𝑏0 𝑑 2 𝑉𝑐2 = 0.53 (1 + ) 𝜆√𝑓𝑐′ 𝑏0 𝑑 𝛽

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𝑉𝑐3 = 0.27 (

𝛼𝑠 𝑑 + 2) 𝜆√𝑓𝑐′ 𝑏0 𝑑 𝑏0

Donde: 𝑏0 = 83 ∗ 4 = 332 𝑐𝑚 𝛽=

360 =1 360

𝟒𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒄𝒐𝒍𝒖𝒎𝒏𝒂 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 𝛼𝑠 = { 30 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑟𝑑𝑒 20 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 33 = 130.98 𝑡𝑜𝑛 1000 2 33 = 128.84 𝑡𝑜𝑛 < 𝑉𝑐2 = 0.75 ∗ 0.53 (1 + ) ∗ 1 ∗ √210 ∗ 332 ∗ = 189.33𝑡𝑜𝑛 1 1000 40 ∗ 33 33 {𝑉𝑐3 = 0.75 ∗ 0.27 ( 332 + 2) ∗ 1 ∗ √210 ∗ 332 ∗ 1000 = 192.13𝑡𝑜𝑛 𝑉𝑐1 = 0.75 ∗ 1.1 ∗ 1 ∗ √210 ∗ 332 ∗

𝑉𝑢𝑝

Como:

𝑉𝑢𝑝 < 𝑉𝑐1 .

OK.

Cortante en la sección critica unidireccional, a un peralte de la cara de la columna.

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𝑞𝑢𝑑 = 𝑞𝑢 𝑚𝑎𝑥 −

𝑞𝑢𝑑 = 20.70 −

𝑞𝑢 𝑚𝑎𝑥 −𝑞2 (𝐵 − 𝑏𝑐 ) [ − 𝑑] 𝐵 2

20.70 − 11.70 (3.60 − 0.50) [ − 0.33] 3.60 2 𝑞𝑢𝑑 = 17.65 𝑡𝑜𝑛/𝑚2

𝑉𝑢𝑑 =

17.65 + 20.70 ∗ 3.60 ∗ 1.22 2 𝑉𝑢𝑑 = 84.22 𝑡𝑜𝑛 𝑉𝑢1 = 0.53𝜆√𝑓𝑐′ 𝑏0 𝑑

𝑉𝑢1 = 0.75 ∗ 0.53 ∗ 1 ∗ √210 ∗ 360 ∗ Como:

𝑉𝑢1 < 𝑉𝑢𝑑

33 = 68.43 𝑡𝑜𝑛 1000

se debe aumentar el peralte:

Asumiendo H=0.50 m; r=0.07 m; d=0.43 m: 𝑞𝑢𝑑 = 20.70 −

20.70 − 11.70 (3.60 − 0.50) [ − 0.43] 3.60 2 𝑞𝑢𝑑 = 17.90 𝑡𝑜𝑛/𝑚2

𝑉𝑢𝑑 =

17.90 + 20.70 ∗ 3.60 ∗ 1.12 = 77.82 𝑡𝑜𝑛 2

𝑉𝑢1 = 0.75 ∗ 0.53 ∗ 1 ∗ √210 ∗ 360 ∗

Como:

𝑉𝑢1 > 𝑉𝑢𝑑

43 = 89.17 𝑡𝑜𝑛 1000

OK.

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Diseño a flexión. Sección critica en la cara de la columna:

El momento en la sección crítica, por el esfuerzo producido en la base es: 𝑞𝑢𝑚𝑎𝑥 −𝑞𝑢𝑓 2𝐿2𝑣 𝐿2𝑣 𝑀𝑢 = [ ∗ + 𝑞𝑢𝑓 ∗ ] 𝐿 2 3 2 Donde: 𝑞𝑢𝑓 = 𝑞𝑢 𝑚𝑎𝑥 − ( 𝑞𝑢𝑓 = 20.70 −

𝑞𝑢 𝑚𝑎𝑥 − 𝑞𝑢2 𝐵 − 𝑏𝑐 )( ) 𝐵 2

20.70 − 11.70 (3.60 − 0.50) [ ] 3.60 2

𝑞𝑢𝑓 = 16.83 𝑡𝑜𝑛/𝑚2 𝐿𝑣 = 𝐿𝑣 =

𝐵 − 𝑏𝑐 2

3.6 − 0.50 2

𝐿𝑣 = 1.55𝑚 USUARIO

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Luego: 20.70 − 16.83 2 ∗ 1.552 1.552 ] 3.60 𝑀𝑢 = [ ∗ + 16.83 ∗ 2 3 2 𝑀𝑢 = 83.952 𝑡𝑜𝑛 ∗ 𝑚 𝑀𝑢 0.9 ∗ 𝑏 ∗ 𝑑 2 ∗ 𝑓𝑐

𝐾𝑢 =

𝐾𝑢 =

83952 ∗ 100 = 0.0667 0.9 ∗ 360 ∗ 432 ∗ 210 0.59𝜔2 − 𝜔 + 0.0667 = 0 𝜔1 = 1.6254 𝜔2 = 0.0696

𝜌=

𝜔 ∗ 𝑓𝑐′ = 0.00348 𝑓𝑦

𝐴𝑠 = 𝜌 ∗ 𝐵 ∗ 𝑑 = 53.87𝑐𝑚2 Considerando área mínima.𝐴𝑚𝑖𝑛 =

𝐴𝑚𝑖𝑛 =

0.8 ∗ √𝑓𝑐 ∗𝑏∗𝑑 𝑓𝑦

0.8 ∗ √210 ∗ 360 ∗ 43 = 42.73𝑐𝑚2 4200 𝐴𝑚𝑖𝑛 =

𝐴𝑚𝑖𝑛 =

14 ∗ 𝑏 ∗ 𝑑 𝑓𝑦

14 ∗ 360 ∗ 43 = 51.6𝑐𝑚2 4200 𝐴𝑠 > 𝐴𝑚𝑖𝑛

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Considerando área máxima.𝐴𝑚𝑎𝑥 = 0.75 ∗ 𝜌𝑏 ∗ 𝑏 ∗ 𝑑 𝜌𝑏 =

𝜌𝑏 =

0.85 ∗ 𝑓𝑐 6000 ∗ 𝛽1 ( ) 𝑓𝑦 𝑓𝑦 + 6000

0.85 ∗ 210 6000 ∗ 0.85 ∗ ( ) = 0.0213 4200 4200 + 6000

𝐴𝑚𝑎𝑥 = 0.75 ∗ 0.0213 ∗ 360 ∗ 43 = 247.29𝑐𝑚2 … 𝑜𝑘 Usar: 19 ϕ 20mm c/20cm → 𝐴𝑠 = 59.69𝑐𝑚2 Separación.𝑆=

𝑆=

𝐴 − 2𝑟 − 𝑑𝑏 𝑛𝑏 − 1

360 − 2 ∗ 7 − 2 = 19.11𝑐𝑚 19 − 1 𝑆 = 20𝑐𝑚

Comprobación al aplastamiento: 𝐴2 𝜙 ∗ √ ∗ 0.85 ∗ 𝑓𝑐′ ∗ 𝐴𝑔 𝜙𝐵𝑛 = 𝐸𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝐴1 {

𝜙2(0.85 ∗ 𝑓𝑐′ ∗ 𝐴𝑔 )

62500 √ 0.60 ∗ ∗ 0.85 ∗ 210 ∗ 250 = 1338750𝑘𝑔 𝜙𝐵𝑛 = 𝐸𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑒 { 250 0.60 ∗ 2(0.85 ∗ 210 ∗ 250) = 535500𝑘𝑔 Como: 𝜙𝐵𝑛 > 𝐵𝑢 entonces: 𝐴𝑠−𝑚𝑖𝑛 = 0.005 ∗ (502 ) 𝐴𝑠−𝑚𝑖𝑛 = 12.5𝑐𝑚2 Usar: 8ϕde 16mm USUARIO

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