REPÚBLICA BOLIVARIANA BOLIVARIANA DE VENEZUELA INSTITUTO UNIVERSITARIO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO “SANTIAGO MARIÑO” AMPLIACIÓN MARACAIBO
CONCRETO DE VIGAS MEDIANTE LA L A TEORÍA CLÁSICA. CLÁSICA. PLÁSTICA O RUPTURA Trabajo de recuperación de Índice presentado como requisito parcial para optar al título de Ingeniero Civil
Auto! Javier Romero Tuto! Orlando Hidalgo
M""#"$%o& '(%(o )( *+,-
APROBACIÓN DELTUTOR
En mi carcter carcter de Tutor Tutor del Trabajo Trabajo de recuperación recuperación de índice índice titulado! titulado!
CONCRETO DE VIGAS MEDIANTE LA TEORÍA CLÁSICA. PLÁSTICA O presen enta tado do por por el ciud ciudad adan ano o AVIER RUPTURA" pres AVIER ROMERO" Cedula de Identidad #$ %&'()**+)*,-" considero que .ste re/ne los requisitos 0 m.ritos su1icientes para ser sometido a presentación p/blica 0 evaluación por parte del Jurado E2aminador que se designe) En la Ciudad Ciudad de 3aracai 3aracaibo bo a los 44444 44444 días días del mes de 5ebrero 5ebrero de 6*'-)
En mi carcter carcter de Tutor Tutor del Trabajo Trabajo de recuperación recuperación de índice índice titulado! titulado!
CONCRETO DE VIGAS MEDIANTE LA TEORÍA CLÁSICA. PLÁSTICA O presen enta tado do por por el ciud ciudad adan ano o AVIER RUPTURA" pres AVIER ROMERO" Cedula de Identidad #$ %&'()**+)*,-" considero que .ste re/ne los requisitos 0 m.ritos su1icientes para ser sometido a presentación p/blica 0 evaluación por parte del Jurado E2aminador que se designe) En la Ciudad Ciudad de 3aracai 3aracaibo bo a los 44444 44444 días días del mes de 5ebrero 5ebrero de 6*'-)
El clculo estructural Aa evolucionado paralelamente al desarrollo de la matemtica 0 de las le0es de la mecnica) :a aparición del concreto armado impulsa violentamente el arte de construir porque le permite al constructor ma0or libertad para dise9ar) :os pórticos que se construían con pesadas piedras monolíticas o con ladrillos trabados para 1ormar las columnas" dinteles 0 arquitrabes" aAora son sustituidos por el concreto armado" obteni.ndose de este modo" elementos verticales esbeltos 0 dinteles de secciones reducidas) El desarrollo que se logró en las t.cnicas constructivas 1ue vigori=ado cuando se comen=ó a utili=ar el clculo estructural" que se apo0ó en los m.todos derivados de la mecnica complementada con el anlisis matemtico" 0 que sustitu0eron los m.todos empíricos) Esto 1ue posible cuando se descubrió que todos los 1enómenos naturales se pueden estudiar mediante las relaciones e2actas de la matemtica" siempre que se estable=can modelos adecuados) ?sí se abrió el camino para la ciencia moderna 0 para el desarrollo del clculo de estructuras" siendo el clculo integral 0 el di1erencial" un instrumento mu0 potente para reali=ar tales operaciones) :a teoría elstica es ideal para calcular los es1uer=os 0 de1ormaciones que se presentan en una estructura de concreto bajo las cargas de servicio) Bin embargo esta teoría es incapa= de predecir la resistencia /ltima de la estructura con el 1in de determinar la intensidad de las cargas que provocan la ruptura 0 así poder asignar coe1icientes de seguridad" 0a que la Aipótesis de proporcionalidad entre es1uer=os 0 de1ormaciones es completamente errónea en la vecindad de la 1alla de la estructura) :a teoría plstica es un m.todo para calcular 0 dise9ar secciones de concreto re1or=ado 1undado en las e2periencias 0 teorías correspondientes al estado de ruptura de las teorías consideradas)
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DISEÑO DE VIGAS MEDIANTE LA TEORIA CLASICA O ELASTICA E2isten dos teorías para el dise9o de estructuras de concreto re1or=ado! :a teoría elsticaD llamada tambi.n 8ise9o por es1uer=os de trabajoD 0 :a teoría plsticaD ó 8ise9o a la rupturaD) :a teoría plstica es un m.todo 1undado en las e2periencias 0 teorías correspondientes al estado de ruptura de las teorías consideradas) Esta teoría utili=a un 1actor de carga" el cual es un n/mero por el cual Aa0 que 1actori=ar la carga real o de servicio para determinar la carga /ltima que puede resistir un miembro en la ruptura)
L" t(o6" (3"7t$#"
Ideal para calcular los es1uer=os 0 de1ormaciones que se presentan en una estructura de concreto bajo las cargas de servicio) Bin embargo esta teoría es incapa= de predecir la resistencia /ltima de la estructura con el 1in de determinar la intensidad de las cargas que provocan la ruptura 0 así poder asignar coe1icientes de seguridad" 0a que la Aipótesis de proporcionalidad entre es1uer=os 0 de1ormaciones es completamente errónea en la vecindad de la 1alla de la estructura) :a teoría plstica es un m.todo para calcular 0 dise9ar secciones de concreto re1or=ado 1undado en las e2periencias 0 teorías correspondientes al estado de ruptura de las teorías consideradas) :a teoría convencional del concreto armado se deriva del AecAo de que en condiciones normales de trabajo" los es1uer=os de los materiales no pasan de sus límites elsticos" es decir" que e2iste proporcionalidad entre los es1uer=os 0 las de1ormaciones le0 de HooFeG)
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@ara anali=ar el 1enómeno de la 1le2ión en las vigas de concreto armado" se aceptan las siguientes Aipótesis! ') Toda sección plana antes de la de1ormación permanece plana despu.s de ella Aipótesis de #ovierG) 6) El modulo de elasticidad del acero 0 el concreto se suponen constantes) >) :a tensión del par elstico interno es resistido totalmente por el acero de re1uer=o) () Entre el acero 0 el concreto se supone una adAerencia per1ecta dentro de los limites elsticos de los materiales) ?ntes de de1ormarse la viga bajo la acción del momento 1le2ionante si la cargamos se de1orma" acortndose las 1ibras sujetas a compresión 0 alargndose las sujetas a tensión) Entre las compresiones 0 las tensiones se encuentra un plano de 1ibras que permanece sin su1rir ninguna de1ormación 0 se le da el nombre de eje neutro)
8el diagrama de de1ormaciones" se deducen las 1atigas para cualquier punto de la sección una ve= conocidos los módulos de elasticidad del acero EsG 0 el del concreto EcG) El valor de la compresión total ser igual al volumen del prisma triangular 0 esta representado por!
C 2 1c 2 b 2 Kd
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:a tensión total ser igual al volumen del cilindro de es1uer=os 0 esta representado por!
T ?s 2 1s
El bra=o del par que se 1orma entre la tensión 0 la compresión ser!
Jd d & Kd L >
?l querer calcular la pro1undidad del eje neutro" nos encontramos con el inconveniente de que en la sección transversal de una viga de concreto armado no es Aomog.nea" pues est 1ormada de concreto 0 de acero de re1uer=o 0 por lo tanto los tringulos de compresión 0 de tensión no son semejantes debido a los distintos módulos de elasticidad de los dos materiales" por eso no es posible compararlos entre si) @ara poder Aacerlo substituimos el acero de re1uer=o por un concreto ideal capa= de absorber la 1uer=a de tensión encomendada al acero 0 con un modulo de elasticidad igual al del concreto en compresión)
8e la le0 de HooFe!
# Es M EcG
5
Nna ve= obteniendo el valor de # la sección resultante es Aomog.nea 0 puede 0a tratarse como tal)
@or otra parte tendremos!
T 1s 2 ?s 1cA 2 n 2 ?s 5cA 1s L n
5cA 1atiga del concreto Aipot.tico)
?sí mismo tendremos! ?cA n 2 ?s
Nna ve= Aomogeni=ada la sección esta tiene un rea de concreto ideal trabajando en tensión igual a nD veces el rea de acero ?sD) Evidentemente" el es1uer=o en el Aierro 5s es igual a n1c siendo esto correcto solo cuando las de1ormaciones unitarias sean las mismas) ?l calcular las secciones" los problemas que se presentan son de dos tipos de revisión 0 de dise9o) En los primeros se conocen totalmente las dimensiones de la pie=a requiri.ndose /nicamente determinar la resistencia
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de la misma) En los problemas de dise9o" se conocen las 1atigas de trabajo" el claro 0 las cargas" siendo necesario calcular el armado 0 las dimensiones de la pie=a) El momento resistente de la pie=a en 1unción del concreto es igual al volumen del prisma triangular! 3c 1c b Fd jd
El momento en 1unción del acero ser!
3c ?s 1s jd
8e la 1órmula del momento resistente en 1unción del concreto" obtenemos!
5c 63 L b K j d G
8e la 1órmula del momento en 1unción del acero" obtenemos!
5s 3 L ?s j d G
En la ma0oría de los casos cuando se Aace el dise9o de la sección de una viga" es com/n imponer la condición de que los materiales acero 0 concreto G alcancen a la ve= sus 1atigas m2imas de trabajo cumpli.ndose en
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estas condiciones lo que conocemos con el nombre de sección balanceada en una viga) #aturalmente dise9ar la pie=a dentro de la sección balanceada es Aacerlo" sin duda en las mejores condiciones de trabajo" sin embargo" son mucAas las ocasiones en que por ra=ones arquitectónicas o bien por imposiciones de economía" quedan 1ijas de antem ano las dimensiones de la viga) En las vigas adems" es preciso recordar que el reglamento limita los peraltes mínimos cuando no se calculan de1le2iones) Bi se trata de vigas libremente apo0adas debe tomarse como peralte mínimo 'L6* del claro libre) ?sí" se establece que el ancAo de la cara de compresión" no deber ser menor de 'L-* de la distancia entre apo0os)
V(0t"8"7 )(3 D$7(9o P3:7t$#o
') En la pro2imidad del 1enómeno de ruptura" los es1uer=os no son proporcionales a las de1ormaciones unitarias" si se aplica la teoría elstica" esto llevaría errores Aasta de un -*P al calcular los momentos resistentes /ltimos de una sección) En cambio" si se aplica la teoría plstica" obtenemos valores mu0 apro2imados a los reales obtenidos en el laboratorio) 6) :a carga muerta en una estructura" generalmente es una cantidad invariable 0 bien de1inida" en cambio la carga viva puede variar mas all del control previsible) En la teoría plstica" se asignan di1erentes 1actores de seguridad a ambas cargas tomando en cuenta sus características principales)
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>) En el clculo del concreto pres1or=ado se Aace necesario la aplicación del dise9o plstico" porque bajo cargas de gran intensidad" los es1uer=os no son proporcionales a las de1ormaciones)
;$4
@ara el dise9o de los miembros sujetos a carga a2ial 0 momento 1le2ionante" rompiendo cumpliendo con las condiciones aplicables de equilibrio 0 compatibilidad de de1ormaciones" las Aipótesis son! ?G :as de1ormaciones unitarias en el concreto se supondrn directamente proporcionales a su distancia del eje neutro) E2cepto en los anclajes" la de1ormación unitaria de la varilla de re1uer=o se supondr igual a la de1ormación unitaria del concreto en el mismo punto) QG :a de1ormación unitaria m2ima en la 1ibra de compresión e2trema se supondr igual a *)**> en la ruptura) CG El es1uer=o en las varillas" in1erior al límite elstico aparente 50" debe tomarse igual al producto de 6)*<> 2 '*; FgLcm6 por la de1ormación unitaria de acero) @ara de1ormaciones ma0ores que corresponden al límite elstico aparente" el es1uer=o en las barras debe considerarse independientemente de la de1ormación igual el límite elstico aparente 50) 8G Be desprecia la tensión en el concreto en secciones sujetas a 1le2ión) EG En la ruptura" los es1uer=os en el concreto no son proporcionales a las de1ormaciones unitarias) El diagrama de los es1uer=os de compresión puede
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suponerse rectangular" trape=oidal" parabólico" o de cualquier otra 1orma cu0os resultados concuerden con las pruebas de los laboratorios) 5G :a Aipótesis anterior puede considerarse satis1ecAa para una distribución rectangular de es1uer=os de1inida como sigue! En la ruptura se puede suponer un es1uer=o de *)<- 1c" uni1ormemente distribuido sobre una =ona equivalente de compresión" limitada por los bordes de la sección transversal 0 una línea recta" paralela al eje neutro 0 locali=ada a una distancia a S' c a partir de la 1ibra de m2ima de1ormación unitaria en compresión 0 el eje neutro" se medir perpendicularmente a dicAo eje) El coe1iciente S'D se tomar como *)<- para es1uer=os 1c Aasta de 6<* FgLcm6 0 se reducir contínuamente en una proporción de *)*- por cada +* FgLcm6 de es1uer=o en e2ceso de los 6<* FgLcm6)
N *),*8 ')>*E
'"#to(7 )( ()u##$<0 Es un n/mero menor que '" por el cual Aa0 que multiplicar la resistencia nominal calculada para obtener la resistencia de dise9o) ?l 1actor de reducción de resistencia se denomina con la letra U! los 1actores de reducción son los siguientes! @ara! 5le2ión )))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))*),* Cortante 0 Torsión )))))))))))))))))))))))))))))))))))*)+ ?dAerencia ))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))*)
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Columnas con Estribos )))))))))))))))))))))))))))*)+* El 1actor de reducción de resistencia toma en cuenta las incertidumbres en los clculos de dise9o 0 la importancia relativa de diversos tipos de elementos proporciona disposiciones para la posibilidad de que las peque9as variaciones adversas en la resistencia de los materiales" la mano de obra 0 las dimensiones las cuales" aunque pueden estar individualmente dentro de las tolerancias 0 los límites pueden al continuarse" tener como resultado una reducción de la resistencia)
V$1"7 R(#t"01u3"(7 S$=43(=(0t( A=")"7 Nna viga de concreto es rectangular" cuando su sección transversal en compresión tiene esa 1orma) Es simplemente armada" cuando sólo tiene re1uer=o para tomar la componente de tensión del par interno) En general" en una viga la 1alla puede ocurrir en dos 1ormas! Nna de ellas se presenta cuando el acero de re1uer=o alcan=a su límite elstico aparente o límite de 1luencia 50 sin que el concreto llegue a/n a su 1atiga de ruptura *)<- 5Vc) :a viga se agrietar 1uertemente del lado de tensión recAa=ando al eje neutro Aacia las 1ibras ms comprimidas" lo que disminu0e el rea de compresión" aumentando las 1atigas del concreto Aasta presentarse 1inalmente la 1alla de la pie=a) Estas vigas se llaman “Su%(2o>")"7” 0 su 1alla ocurre ms ó menos lentamente 0 va precedida de 1uertes de1le2iones 0 grietas que la anuncian con anticipación) El segundo tipo de 1alla se presenta cuando el concreto alcan=a su límite *)<- 5Vc mientras que el acero permanece por debajo de su 1atiga 50) Este tipo de 1alla es s/bita 0 prcticamente sin anuncio previo" la cual la Aace
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mu0 peligrosa) :as vigas que 1allan por compresión se llaman
“So%((2o>")"7”. @uede presentarse un tipo de vida cu0a 1alla ocurra simultneamente para ambos materiales" es decir" que el concreto alcance su 1atiga límite de compresión *)<- 5Wc" a la ve= que el acero llega tambi.n a su límite 50) ? estas vigas se les da el nombre de “V$1"7 B"3"0#(")"7” 0 tambi.n son peligrosas por la probabilidad de la 1alla de compresión) @ara evitar las vigas sobre re1or=adas 0 las balanceadas" el reglamento del ?CI >'<&*6 limita el porcentaje de re1uer=o al +-P del valor correspondiente a las secciones balanceadas) @or otra parte" tambi.n las vigas con porcentajes mu0 peque9os" suelen 1allar s/bitamente para evitar ese riesgo el reglamento ?CI >'<&*6 e2ige que el porcentaje mínimo en miembros sujetos a 1le2ión sea de! ρ =
14.5 Fy
) El porcentaje de la sección balanceada se obtiene como sigue! @or equilibrio de 1uer=as! C = T
C = 0.85 F `cβ 1bc T = As. Fy
@or lo tanto!
0.85 F `cβ 1bc = As. Fy As bd
Fy = 0.85β 1 F `c
c d
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ρ =
:lamando!
As
ρ =
bd
0.85β 1 F `c c . Fy d
6)'G
8el diagrama de de1ormaciones" aceptando las condiciones de viga ε y =
ε c = 0.003
balanceada! c d
=
Fy Es
0.003 6115 ε c = = Fy 6115 + Fy ε c + ε y 0 . 003 + 6 2.039 x10
ρ b =
0.85β 1 F `c Fy
.
6115 6115 + Fy
@or lo tanto!
6)6G
:a e2presión 6)6G representa el valor del porcentaje de re1uer=o en la sección balanceada de una viga) El reglamento ?CI >'<&*6 limita el porcentaje m2imo aplicable a miembros sujetos a 1le2ión" a +-P de ese valor por las ra=ones 0a e2plicadas) ρ max =
0.75 x0.85β 1 F `c Fy
.
6115 6115 + Fy
6)>G
El momento /ltimo resistente de una viga rectangular puede deducirse de la siguiente manera! C = T
en consecuencia!
0.85β 1 F `c.b.c = AsFy
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D(2o="#$o0(7 ? (72u(>o7 (0 u0" @$1" (#t"01u3". El asignar a 1s el valor 50) Be est considerando que el acero 1lu0e 0 la c=
AsFy 0.85β 1 F `c.b
viga es sobrere1or=ada! ρ =
Bi llamamos!
As
c=
bd
ρ Fy d 0.85β 1 F `c
6)(G
Xue es la pro1undidad el eje neutro en la ruptura) El momento /ltimo del par es! Mu = C .(d − β 2 c . )
En donde!
5ig) 6)'G
C = 0.85β 1 F `c.b.c
Y sustitu0endo valores de C 0 c! Mu = ρ Fybd 2 .(1 −
ω = ρ
Y se designa por!
β 2 0.85β 1
ρ
Fy
F `c
)
Fy
F `c
Mu = bd 2 F `c.ω .(1 −
β 2 0.85β 1
a)
6)-G
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β 1 = 2β 2
?nteriormente Aabíamos establecido que Mu = bd 2 F `c.ω .(1 − 0.59ω )
@or lo tanto! Estableciendo el momento /ltimo en 1unción del acero de re1uer=o se produce de la siguiente manera" re1iri.ndose a la 1igura 6)' 0 empleando la cu9a rectangular de ZAitne0! a Mu = As. Fy.(d − ) 2
?mbas e2presiones del momento /ltimo" el reglamento las propone a1ectadas de un coe1iciente de seguridad que como 0a se vio" para las vigas vale *)," por lo que quedarían 1inalmente! Mu = φ .(bd 2 F `c.ω .(1 − 0.59ω )
6);G
a Mu = φ . AsFy.(d − ) 2
6)+G
En donde! a=
AsFy 0.85 F `c.b
6)
En 1unción de porcentaje" el momento /ltimo toma la 1orma! Fy Mu = φ .bd 2 ρ Fy (1 − 0.59 ρ ) F ` c
6),G
8espejando el índice de re1uer=o ZD de la 1órmula 6);G! Mu = φ .[ F `c.bd 2ω (1 − 0.59ω ) ]
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φ = 0.90
8ado que Mu = 0.90[ F `c.bd 2ω (1 − 0.59ω )] Mu = 0.90 F `c.bd 2ω − 0.53 F `c.bd 2ω 2 0.53 F `c.bd 2ω 2 − 0.90 F `c.bd 2ω + Mu = 0
@or lo tanto!
0.53 F `c.bd 2 .(ω 2
−
1.698ω +
ω = 0.849 ± (0.721 −
Mu 0.53 F `c.bd 2
Mu 0.53 F `c.bd 2
)=0
)
En la 1órmula anterior" /nicamente se toma el signo negativo 0a que si tomamos el valor positivo del radical resultaría ZD mu0 alto 0 al calcular el
ρ
porcentaje de acero D con ρ max
=
F `c ρ = ω Fy
" resultaría ma0or que el m2imo
0.75 ρ b
permisible" ω = 0.849 − (0.721 −
?sí que!
Mu 0.53 F `c.bd 2
)
6)'*G
R(u$7$to7 )( 7(4""#$o0(7 ? (#u%$=$(0to7 3$%(7 )(3 "#(o )( (2u(>o (0 @$1"7 Recubrimiento El re1uer=o debe de tener recubrimiento adecuado cu0o 1in es el de proteger al acero de dos agentes! :a corrosión 0 el 1uego)
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:a magnitud del recubrimiento debe 1ijarse por lo tanto" seg/n la importancia de estos agentes agresivos) 8ebe" por lo tanto" preveerse de un recubrimiento su1iciente para tales 1ines" aunque un recubrimiento demasiado grande" provocar demasiadas grietas) El agrietamiento se debe a las de1ormaciones causadas por los cambios volum.tricos 0 los es1uer=os ocasionados por 1uer=as de tensión" por momentos 1le2ionantes" o por las 1uer=as cortantes) El recubrimiento se mide desde la super1icie del concreto Aasta la super1icie e2terior del acero" a la cual" se aplica el recubrimiento) Cuando se prescriba un recubrimiento mínimo para una clase de elemento estructural .ste debe medirse! Hasta el borde e2terior de los estribos" anillos ó espirales" si el re1uer=o transversal con1ina las varillas principales Aasta la capa ms cercana de varillas" si se emplea ms de una capa sin estribos o anillos" Aasta los dispositivos metlicos de los e2tremos o los ductos en el acero de prees1uer=o postensado) El reglamento del ?)C)I) >'<&*6 recomienda un recubrimiento mínimo de ( cm) para vigas)
L6=$t(7 4"" (3 E74"#$"=$(0to )(3 R(2u(>o (0 V$1"7 En cuanto a la separación de las varillas en vigas" el reglamento del ?)C)I) >'<&*6 recomienda lo siguiente! -
:a distancia libre entre barras paralelas no debe ser menor que! El dimetro nominal de las barras! ')> veces el tama9o m2imo del agregado grueso ó 6)- cm)
-
Cuando el re1uer=o paralelo se coloque en dos o ms capas" las varillas de las capas superiores deben colocarse e2actamente arriba de las que estn en las
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capas in1eriores" con una distancia libre entre ambas" no menor de 6)- cm)
D(23($o0(7 (0 V$1"7 El clculo de de1le2iones tiene dos aspectos) @or un lado" es necesario calcular las de1le2iones de miembros estructurales bajo cargas 0 condiciones ambientales conocidas) @or otro lado" deben establecerse criterios sobre límites aceptables de de1le2iones) El problema de calcular las de1le2iones de miembros de estructuras reales es a/n ms di1ícil que el de estimar las de1le2iones de vigas ensa0adas en laboratorios) :os siguientes son algunos de los 1actores que lo complican) El comportamiento del concreto es 1unción del tiempo 0" por consiguiente en cualquier en1oque riguroso debe de tenerse en cuenta la Aistoria de carga del miembro investigado) En la prctica esto no es posible generalmente" 0a que las condiciones de carga son mu0 variables" tanto en magnitud como en el tiempo de aplicación) Tambi.n son di1íciles de predecir las variaciones de Aumedad 0 temperatura con el tiempo" las cuales tienen in1luencia sobre las de1le2iones a largo pla=o) El segundo aspecto" o sea" la limitación de de1le2iones" es importante desde dos puntos de vista) En primer lugar" las de1le2iones e2cesivas de un miembro pueden producir da9os en otros miembros estructurales" o ms 1recuentemente en elementos no estructurales como muros divisorios" o acarrear problemas como acumulación de agua en a=oteas) :os valores de las de1le2iones permisibles dependen desde este punto de vista de varios 1actores" tales como el tipo de elementos no estructurales"
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tipo de cone2ión entre el miembro estructural 0 otros elementos estructurales o no" 0 del m.todo de construcción utili=ado) En segundo lugar" a veces es signi1icativa la respuesta Aumana ante las de1le2iones de los miembros) :as de1le2iones e2cesivas no son toleradas por los usuarios de la estructura" 0a que producen una sensación de inseguridad" 0a por ra=ones de orden est.tico) E2isten m.todos para el clculo de de1le2iones de vigas bajo cargas de servicio de corta 0 larga duración) ?lgunos de estos m.todos son! 3.todos de YN 0 ZI#TER" 3.todo del Reglamento del ?)C)I) >'<&*6" 3.todo de las #TC85" adems de otros m.todos como los propuestos por el Comit. Euro&Internacional del Concreto CEQG)
D(23($o0(7 P(=$7$%3(7 Be Aa mencionado anteriormente que las de1le2iones de elementos estructurales deben limitarse por dos ra=ones! @or la posibilidad de que provoquen da9os en otros elementos de la estructura 0 por los motivos de orden est.tico) El valor de las de1le2iones permisibles para evitar da9os en otros elementos" depende principalmente del tipo de elementos 0 de construcción empleados" tambi.n debe de considerarse el procedimiento de construcción) 8esde el punto de vista est.tico" el valor de las de1le2iones permisibles depende principalmente del tipo de estructura 0 de la e2istencia de líneas de re1erencia que permitan apreciar las de1le2iones) Es obvio que las de1le2iones permisibles en una residencia deben ser menores que en una bodega) Cuando e2iste una línea Aori=ontal de re1erencia" las de1le2iones permisibles deben 1ijarse como un valor absoluto" mientras que si no e2iste
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dicAa re1erencia" es ms conveniente 1ijar las de1le2iones permisibles como una 1racción del claro de la viga) :a posibilidad de dar contra1lecAas es otro 1actor que debe tomarse en cuenta al establecer las de1le2iones permisibles) El valor de la contra1lecAa puede restarse de la de1le2ión calculada 0 la di1erencia" compararse con la de1le2ión permisible) Bin embargo" no deben darse contra1lecAas e2cesivamente grandes)
Co0to3 )( D(23($o0(7 El reglamento ?)C)I) >'<&*6 permite prescindir del clculo de de1le2iones de vigas 0 de losas que trabajan en una dirección siempre que se satis1agan los peraltes no perjudique a elementos no estructurales) @eraltes totales mínimos de vigas 0 losas que trabajan en una dirección cuando no se calculan las de1le2iones 0 cuando las de1ormaciones de dicAos elementos no perjudican a elementos no estructurales) elemento
:ibremente
apo0ada :osas maci=as : L 6* %igas 0 losas : L ';
Nn
e2tremo ?mbos
continuo : L 6( : L'<)-
e2tremos voladi=o
continuos : L 6< : L 6'
: L '* :L<
nervuradas
:a longitud :D es en cms) #ota! Estos valores se aplican para concreto de peso normal 0 acero con límite de 1luencia 50 (66* FgLcm ²)
@ara valores distintos de 50" los valores de esta tabla debern multiplicarse (0.4 +
El caso mas general en el dimensionamiento de vigas es aqu.l en el que son conocidos el momento 1le2ionante 0 las resistencias de los materiales 0 se trata de determinar las dimensiones de la sección 0 el rea de acero necesaria) Mu = φ .[ F `c.bd 2ω (1 − 0.59ω )]
En la ecuación de 1le2ión! E2isten tres variables independientes que intervienen en el problema!
b"
d 0 Z) Beg/n la 1orma en que se plantea el problema 0 de acuerdo con alg/n criterio conveniente" se suelen 1ijar los valores de dos de estas variables 0 se calcula la tercera de ellas) Nna 1orma com/n de proceder consiste en suponer un valor de @" a partir del cual se determina un valor de Z" 0 el valor de la relación bLd) En casos prcticos puede resultar pre1erible partir de la relación bLA) El valor de @ que se suponga debe estar comprendido entre los límites in1erior 0 superior permisibles" 0 debe 1ijarse atendiendo a consideraciones económicas) @ara condiciones de costos prevalecientes en 3.2ico" los porcentajes peque9os suelen conducir a soluciones mas económicas) Bi el valor ρ balanceado
escogido es del orden de *)>- a *)-*
o menor" Aabr poco riesgo de
que las de1le2iones sean e2cesivas) Bin embargo" puede suceder que sea necesario lograr secciones esbeltas por motivos arquitectónicos o para disminuir el peso propio" 0 entonces conviene usar porcentajes elevados) El b
valor de
d
que se suponga" in1lu0e considerablemente en el costo de la
estructura! 3ientras ms peraltada sea la sección" menor es el consumo de materiales)
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Bin embargo" el uso de peraltes e2cesivamente grandes puede llevar a problemas de inestabilidad lateral 0 a un aumento en el costo de los acabados del edi1icio" debido al incremento en el espesor de los sistemas de piso) Tambi.n el costo de la cimbra aumenta con el peralte de la viga) Cuando no e2isten limitaciones en el peralte" los valores bLd suelen estar comprendidos entre [ 0 apro2imadamente)
P3"7t$#$)") Cuando se somete un material a es1uer=os que los llevan a sobrepasar su límite elstico" ocurre que sus de1ormaciones se vuelven $(@(7$%3(7 o
4(="0(0t(7) Cuando esto ocurre las de1ormaciones dejan de ser proporcionales a los es1uer=os 0 por tanto la le0 de HooFe no cumple como modelo e2plicativo para estos casos" por tanto se Aan desarrollado mucAos otros modelos para e2plicar el comportamiento plstico de los materiales" los cuales son algo ms complejo 0 no pretendo cubrirlos en este artículo) Con esto 0a se queda e2plicado a modo general la elasticidad 0 plasticidad)
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En esta publicación planteo 0 comparo la teoría elstica 0 plstica roturaG para el dise9o de estructuras de Aormigón) 3encionando en primer lugar que a la Aora de anali=ar o dise9ar un elemento estructural de Aormigón 0a sea viga" columna" etc) Tenemos dos grandes teorías de las cuales nos podemos valer! Teoría Elstica o Teoría @lstica)
T(o6" E3:7t$#"
? la Aora de someter un material a es1uer=o" en este caso el Aormigón 0 el acero" estos primero pasarn por una etapa de elasticidad antes de alcan=ar su rango plstico) :a teoría elstica se 1undamenta en que nuestro elemento estructural deber permanecer en el rango elstico) Qsicamente se plantea una linealidad entre las de1ormaciones m2imas a compresión 0 las m2imas a tensión" 0 de aquí en adelante los libros utili=an le0es de tringulos bsicas 0 varios artilugios matemticos para obtener las 1órmulas de anlisis 0 dise9o seg/n la teoría elstica)
3ediante un dise9o a la elstica se generan dise9os sin grietas en los cuales el Aormigón puede o no aportar a tracción" como tambi.n llevar un control de los agrietamientos" los cuales serían mu0 leves)
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T(o6" P3:7t$#"
El dise9o seg/n la teoría plstica se conoce como dise9o a la rotura" debido a que la característica ms obvia de este dise9o es que se plantea que el Aormigón se encuentra en estado plstico en el punto de rotura) 8ebido a esto el concreto no trabaja a tensión 0 es el acero el que recibe en todos los casos toda la tensión) Esta teoría pauta la de1ormación unitaria m2ima a la rotura del Aormigón como *)**>" con una curva de es1uer=o irregular la cual se traduce a un bloque de es1uer=o rectangular con un rea equivalente)
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VS
? la Aora dise9ar un mismo elemento con ambas teorías" con el dise9o a la rotura obtendremos dimensiones 0 cuantía de acero menores que al Aacerlo con un dise9o elstico" esto debido a que se necesitar ma0or dimensión 0 cuantía de acero para mantener el material en el rango elstico ante un mismo es1uer=o) ? la Aora de Aacer dise9os de alta seguridad" para instalaciones del tipo nuclear" militar o de investigaciones de alto riesgo no se puede permitir agrietamientos" debido a que escaparían partículas de alto peligro para los Aumanos 0 animales) Es por esto que para este tipo de instalaciones se utili=a el dise9o seg/n teoría elstica)
EEMPLOS Ejemplo número 1
8eterminar el /ltimo momento resistente de una viga rectangular simplemente armada" investigando si la viga 1alla en tensión o compresión) ?G
@or medio de la cu9a rectangular de es1uer=os)
QG
@or 1órmulas)
8?TOB!
25
So3u#$<0! aG)& @or medio de la cu9a rectangular) ')& Clculo de la pro1undidad del eje neutro) Cu0o valor no debe e2ceder de! C = T
0.85 F `c.a.b = As. Fy
Buponiendo que el acero 1lu0e) a=
AsFy 0.85bF `c
Bustitu0endo los valores en la ecuación anterior tenemos! a=
(10.14)(4250) (0.85)(20)(200)
= 12.58cm
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6)& Tipo de 1alla de la viga) @ara calcular el tipo de 1alla de la viga" podemos calcular la 8e1ormación 32ima del concreto cuando el acero empie=a a 1luir)
8el diagrama de 8e1ormaciones de la 1igura anterior tenemos)
ε c c = ε y d − c
Recordando que!
ε c
a = β 1c
ε c
=
@or lo tanto!
ε y
−
c
d − c
0 como 5Vc 6** FgLcm ² \ 6<* FgLcm²
β 1 = 0.85
ε y =
=
Fy Es
=
c=
a
β 1
=
12.58 0.85
= 14.80cm
@or lo tanto! 4250 2.1 x106
= 0.0021
(0.0021)(14.80) 40 − 14.80
=
0.0012
Resultó menor que *)**> 0 por lo tanto" la viga 1alla en tensión) >)& 3omento resistente) a Mu = φ AsFy (d − ) 2
φ = 0.90
8onde
para 1le2ión
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Bustitu0endo!
Mu = 0.90 10.14 x 4250 (40 −
12.58 ) = 1298230 kg − m 2
bG)& @or 5ormulas) ')& Calculo del porcentaje de acero) ρ =
As bd
=
10.14cm2 (20cm)(40cm)
= 0.0127
Cu0o valor no debe e2ceder de! ρ = 0.75 x0.85β 1
ρ = 0.75(0.852 )
F `c
.
6115
Fy 6115 + Fy
200 6115 = 0.0152 4250 6115 + 4250
El porcentaje de la viga es mucAo menor que el límite que se9ala el reglamento 0 que corresponde el +-P del valor del porcentaje para sección balanceada) @or lo tanto" la viga es subre1or=ada 0 1alla en tensiónD)
6)& Calculo del /ltimo momento resistente) ω = ρ
Fy
F `c
28
ω =
(0.0127)( 4250) 200
= 0.268
Mu = φ (bd 2 F `cω (1 − 059ω )
Bustitu0endo en la ecuación anterior tenemos! Mu = 0.90(20)(402 )(200)(0.268)[1 − (0.59)(0.268)]
3u '6,,-,> Fg&cm En los siguientes ejemplos se procede a calcular el rea de acero de una viga rectangular simplemente armada para que resista un momento /ltimo dado" conociendo la resistencia de los materiales 0 proponiendo una sección) Be busca que las vigas sean subre1or=adas 0a que como se mencionó anteriormente su 1alla ocurre ms o menos lenta 0 va precedida de grietas 0 de1le2iones que la anuncian) Be resuelve por medio de 1órmulas 0a que es un procedimiento ms rpido) Ejemplo número 2
8ise9ar por 1le2ión el rea de acero m2ima que requiere una viga rectangular simplemente re1or=ada con 5Vc 6** FgLcm ²" 50 (66* FgLcm ²)
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:a carga muerta inclu0e el peso propio de la viga) -
Clculo de la carga /ltima! Dlive = 1800
kg m
L LIVE = 1000
-
D LU = 1.4 D Live = ( 1.4)(1800) = 2520
m
kg m
kg
L LU = 1.7 L Live = ( 1.7)(1000) = 1700
kg m
Wu = 4220
kg m
Recu.rdese que los 1actores de carga son ')( para carga muerta 0 de ')+ para carga viva) -
Clculo del momento /ltimo m2imo
-
Como la viga est simplemente apo0ada" el momento 2
WL
m2imo ocurre en el centro del claro 0 vale (4250)(6.00m) 2 Mu = = 18990kg − m 8
-
Clculo del peralte e1ectivo)
8
)
30
Con el 1in de evitar de1le2iones e2cesivas en la viga" se
(18990)(100) (0.90)( 200)(0.213)(1 − (0.59 x 0.123))
d = 47.60cm ≈ 50cm
nota! @ara que las unidades sean compatibles en la 1ormula 3uD debe sustituirse en Fg&m Como el peralte e1ectivo dD adoptado 1u] de -* cm en lugar de (+ cm" cambia el índice de re1uer=o de la sección supuesta) ω = 0.849 − (0.721 −
F `c
ρ = ω
Fy
= (0.190)(
(18990)(100) (0.53)(200)( 25)(502 )
200 4220
=
0.190
) = 0.0090
Comparando los porcentajes de acero permisibles" tenemos! ρ max = 0.75 ρ b = (0.75)(0.2026) = 0.0033
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*)**> \ *)**,* \ *)*'-6 @or lo tanto el porcentaje obtenido esta dentro de lo permitido) Obtención del rea de acero) As = ρ bd = (0.0090)(25cm)(50cm) = 11.25cm2
Comparando el peralte total AD con el mínimo que recomienda el reglamento ?)C)I) >'<&*6" para evitar el calculo de de1le2iones) @eralte mínimo recomendado) h=
L 16
=
600cm 16
=
37.5cm
" para vigas simplemente apo0adas)
>+)- cm \ -* cm" por lo tanto el peralte obtenido es correcto)
√ o)F)
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CONCLUSIONES
:a elasticidad en primer lugar es la capacidad de ciertos materiales de de1ormarse ante la aplicación de un es1uer=o e2terior 0 volver a sus dimensiones originales pasado dicAo es1uer=o) ?l Aablar de elasticidad tambi.n tocar comentar sobre la plasticidad la cual ocurre cuando se pierde el concepto de linealidad entre las de1ormaciones 0 es1uer=os) En esta e2iste una relación lineal entre las de1ormaciones de los sólidos 0 los es1uer=os e2ternos aplicados a ellos) Esto que acabo de decir con1orma prcticamente la le0 de HooFe cu0a ecuación dice! ^_E`" es decir que los es1uer=os `G son directamente proporcionales a las de1ormaciones ^G" o decir tambi.n que los es1uer=os son iguales a las de1ormaciones por el módulo de elasticidad del material) @ara esto Aa0 que tener en cuenta que la de1ormación producida por un es1uer=o se mani1iesta en el mismo sentido de este) @ara la elasticidad e2iste un límite al cual se le llama límite elstico) Bi un material sobrepasa este límite" su comportamiento dejar de ser elstico) 8ebido a esto se establece un rango elstico del material)
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BIBLIOGRA'IA 8ise9o Bimpli1icado de Concreto Re1or=ado Harr0 @arFer" Editorial :imusa" 3e2ico ',+<" Capitulo ; 8ise9o de vigas rectangularesD ?spectos 5undamentales del Concreto Re1or=ado Oscar 3) on=ale= Cuevas" 5rancisco Robles 5)%" Juan Casillas de :)" Roger 8ia= de Cossio Editorial :imusa" 3e2ico ',++ Capitulo '; 8imensionamientoD #ormas 0 Costos de Construccion @la=ola" Editorial :imusa" 3e2ico ',+<" Capitulo - ?lba9ileriaD" Trabes de Concreto ?rmado 8ise9o de estructuras de concreto ?rtAur H) #ilson" 8uodeima edición" Editorial 3cgraAill ',,, 8ise9o de concreto re1or=ado JacF C) 3cCormac" Cuarta edición" Editorial ?l1aOmega
