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Dise˜ no de filtros en tiempo continuo no

Quiz´ a una de las operaciones m´ as as comunes para el ingeniero ingeniero en com comuniunicaciones y electr´ onica es el filtrado de se˜ onica nales. Ya sea una aplicaci´ nales. on on en sistemas de comunicaci´ on, control, o instrumentaci´ on, on, on, el filtrado aparecer´ a en alguna fase f ase del sistema. sis tema. As´ı como el proces p rocesamiento amiento de la se˜ nal es la operaci´ on on que nos permite extraer o transformar la informaci´ on on util u ´til al observador, el filtrado nos permite alterar o seleccionar alg´ un segmento de frecuencias de la un se˜ nal a ser filtrada. Esta operaci´ nal on de filtrado permite atenuar algunas freon cuencias mientras otras pueden permanecer sin alterar o con una alteraci´ on on m´ınima (si no se desea introducir alguna ganancia en amplitud). Dado que el dise˜ no de una cierta clase de filtros digitales est´ no a basado en la transformaci´ on on de un filtro analógico, ogico, en este cap´ cap´ıtulo se estudia el dise˜ no de filtros en tiempo continuo, o anal´ ogi cos, que despu´ ogicos, desp ués es ser´ s erán an empleados en el dise˜ no de filtros digitales con respuesta infinita al impulso (RII). no Por dise˜ no entendemos la obtenci´ no on on de la funci´ on on de transferencia H transferencia H ((s), a partir de las especificaciones dadas sobre la respuesta en frecuencia. Son varios métodos etod os de aproximación on de filtros anal´ ogicos, funciones de aproxiogicos, maci´ on entre ellos: filtros de Butterworth, filtros de Chebyshev, y filtros on El´ El´ıpticos. ıpticos . Se dice “aproximaci´ “aproximacion” oń” porque un filtro ideal dado a partir de sus propiedades de su respuesta en frecuencia, es decir H ( jΩ) j Ω) =



1, si Ω Ωc 0, si Ω > Ω > Ω c ,

≤

(4.1)

donde Ωc es la frecuencia de corte, es f´ısicamente no realizable, o no causal. Esto se puede demostrar al obtener la respuesta al impulso h impulso h((t) de la funci´ on on de transferencia dada por H por H (( jΩ). j Ω). 79

80

4.1. 4.1.

4.1. ESPECIFICACIONES DE UN FILTRO

Especi Especifica ficaci cion ones es de de un filtr filtro o

Generalme Generalmente nte la especificaci especificaci´ on oń de un filtro filtro incluy incluyee tres tres region regiones: es: una banda pasante, una banda de transici´ o n, y una banda de rechazo. En la on, figura 4.1 se muestran estas regiones para el caso de un filtro pasa-bajas, donde k1 y k2 son las ganancias a las frecuencias de corte Ωc y de rechazo Ωr , respectivamente.

k

1

banda de transición

banda pasante

banda de rechazo

k

2

Ω

Ω

c

r

Figura 4.1: Especificaciones de un filtro.

4.2. 4.2.

La apro aproxi xima maci ci´ on ´ on de Butterworth

En la aproximaci´ on on de d e Butterworth, Bu tterworth, también en llamada llamad a aproximaci´ ap roximaci´ on on con amplitud m´ aximamente plana, la amplitud al cuadrado del filtro est´ aximamente a dada por 1 H ( jΩ) j Ω) 2 = (4.2) 2n , Ω 1+ Ω

|

|

  c

donde n es el orden de la función on de transferencia correspondiente y Ω c est´ a definida como la frecuencia de corte de -3 dB. Puede verse que, cuando Ω = Ω c , la respuesta en magnitud ser´ a 1/ 2 veces la ganancia de corriente directa, es decir, esto corresponde a una atenuaci´ on de 3.01 dB, si se tiene on la ganancia en dB. M´ as as a´ un, podemos hacer el siguiente an´ un, alisis. alisis. Sea la ganancia Gn (Ω), entonces

√

Gn (Ω) = 20 l og og H ( jΩ) j Ω) = 10log H ( jΩ) j Ω) 2n = 10lo 0logg

|

|

      1

[1 +

Ω Ωc

2n

]

|

=

|

−10log

Ω Ωc

   1+

2n

, (4.3)

donde log es el logaritmo base 10. G. Miramo Miramontes, ntes, ISBN 968-592 968-5923-15 3-15-9 -9

PDS: Intro Introducci´ ducci´ on con teor´ ıa ıa y pr´ actica

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4.1. 4.1.

4.1. ESPECIFICACIONES DE UN FILTRO

Especi Especifica ficaci cion ones es de de un filtr filtro o

Generalme Generalmente nte la especificaci especificaci´ on oń de un filtro filtro incluy incluyee tres tres region regiones: es: una banda pasante, una banda de transici´ o n, y una banda de rechazo. En la on, figura 4.1 se muestran estas regiones para el caso de un filtro pasa-bajas, donde k1 y k2 son las ganancias a las frecuencias de corte Ωc y de rechazo Ωr , respectivamente.

k

1

banda de transición

banda pasante

banda de rechazo

k

2

Ω

Ω

c

r

Figura 4.1: Especificaciones de un filtro.

4.2. 4.2.

La apro aproxi xima maci ci´ on ´ on de Butterworth

En la aproximaci´ on on de d e Butterworth, Bu tterworth, también en llamada llamad a aproximaci´ ap roximaci´ on on con amplitud m´ aximamente plana, la amplitud al cuadrado del filtro est´ aximamente a dada por 1 H ( jΩ) j Ω) 2 = (4.2) 2n , Ω 1+ Ω

|

|

  c

donde n es el orden de la función on de transferencia correspondiente y Ω c est´ a definida como la frecuencia de corte de -3 dB. Puede verse que, cuando Ω = Ω c , la respuesta en magnitud ser´ a 1/ 2 veces la ganancia de corriente directa, es decir, esto corresponde a una atenuaci´ on de 3.01 dB, si se tiene on la ganancia en dB. M´ as as a´ un, podemos hacer el siguiente an´ un, alisis. alisis. Sea la ganancia Gn (Ω), entonces

√

Gn (Ω) = 20 l og og H ( jΩ) j Ω) = 10log H ( jΩ) j Ω) 2n = 10lo 0logg

|

|

      1

[1 +

Ω Ωc

2n

]

|

=

|

−10log

Ω Ωc

   1+

2n

, (4.3)

donde log es el logaritmo base 10. G. Miramo Miramontes, ntes, ISBN 968-592 968-5923-15 3-15-9 -9


´ N DE BUTTERWORTH 4.2. LA APRO APROXIMA XIMACI CIO

81

Para Ω << Ω << Ω Ω c , tenemos que Ω Ωc Gn (Ω) =

 

2n

≈ 0, y entonces −10log |1 + 0| = 0.

Para Ω >> Ω >> Ω Ω c , Ω Ωc

1 << Gn (Ω)

≈−

Ω 10log[ Ωc

 

2n

  ]=

2n

y entonces

−20 n log

Ω , Ωc

 

es decir, presenta una atenuaci´ on on de 20 n dB/ d B/d´ décad ec ada. a. En la figura 4.2 se muestra la respuesta en frecuencia para el filtro de Butterworth de orden 1 a 3, donde claramente se ve la atenuación on de 20 20n n db/d´ db /décad ec ada. a.

−

−

0 −10

n=1

−20

B d n e−30 d u t i n−40 g a M

n=2

n=3

−50 −60 −70

−1

10

0

10

1

10

Frecuencia en (rad/s)

Figura 4.2: Respuesta en frecuencia para filtros Butterworth, orden 1 a 3. Para encontrar la funci´ on de transferencia decimos que Ω = s/j on = s/j,, ya que s = j = jΩ, Ω, y con Ωc = 1 (frecuencia de corte normalizada) tenemos 1 j Ω)|2 = H n ( jΩ) j Ω)H H (− jΩ) j Ω) = . |H n( jΩ) 1 + (s/j (s/j))2n Para encontrar los polos de la función on de transferencia necesitamos encontrar las ra´ ra´ıces del denominador. denomin ador. Estas ra´ ra´ıces est´ an an dadas por la ecuaci´ on on (6.8):

H ( jΩ) j Ω) =



si n si n es par, S k = 1  2πn + kπ k=0,1,. ,. . . (2n(2n-1) 1) n , k=0,1 kπ si n si n es impar, S k = 1 n , k=0,1 k=0,1,. ,. . . (2n(2n-1) 1),,

(4.4)

donde S donde S k es la k la k-´ -´ esima esima raiz o polo del denominador, con magnitud unitaria y angulo ángulo  . Con el uso de (6.8) se pueden obtener los polinomios de Butterworth del orden n deseado. En la tabla 4.1 se muestran algunos de estos polinomios.

·

G. Miramon Miramontes, tes, ISBN 968-592 968-5923-15 3-15-9 -9

PDS: Introd Introduc ucci´ ci´ on con teor´ ıa ıa y pr´ actica

´ DE BUTTERWORTH 4.2. LA APROXIMACION

82

orden

1 2 3 4 .. .

n

Tabla 4.1: Algunos polinomios de Butterworth. Bn (s) (s + 1) (s2 + 2s + 1) (s2 + s + 1)(s 1)(s + 1) 2 (s + 0. 0.765 765ss + 1)(s 1)(s2 + 1. 1.84 84ss + 1) .. .

√

on on de transferencia H 1 (s) para un filtro Ejemplo 4.2.1 Encontrar la funci´ de Butterworth normalizado de orden 1. Soluci´ on on: Como n = 1 tenemos dos ra´ ra´ıces ya que qu e k = 0 y 1, as´ı 0π 1 1π S 1 = 1 . 1 Estas dos ra´ ra´ıces se muestran muestran en la figura 4.3. Tomando los polos del lado izquierdo, izquierdo, es decir, los polos que dar´ an an una función on de transferencia estable, nos queda S 0 = 1

H 1 (s) =

s

1 1 = . ( 1) s+1

−−

Plano−s 1.5 1 o 0.5 i r a n i g a 0 m I e j E

−0.5

−1 −1.5 −1.5

−1

−0.5

0 Eje Real

0.5

1

1.5

Figura 4.3: Ra´ıces ıces de la funci´ func ión on de Butterworth para n=1. on on de transferencia H 2 (s) para el filtro Ejemplo 4.2.2 Encontrar la funci´ de Butterworth normalizado de orden 2. Soluci´ on on: Como n = 2 tenemos cuatro ra´ ra´ıces, con k = 0, 1, 2, y 3. S k = 1

π kπ k π + , k = 0, 1, 2, 3. 4 2

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83

Desarrollando para n=2 y cada valor de k se obtiene π S 0 = 1 , 4 π π S 1 = 1 + , 4 2 π S 1 = 1 +π , 4 π 3π S 1 = 1 + , 4 2

     

Estas cuatro ra´ıces se muestran en la figura 4.4. Tomando los polos del lado izquierdo, es decir, los polos que dar´ an una función de transferencia estable, nos queda H 2 (s) = H 2 (s) =

1 [s ( 0.7071 + j0.7071)][s 1 . s2 + 2s + 1

−− √

− (−0.7071 − j0.7071)]

Plano−s 1.5 1 o 0.5 i r a n i g 0 a m I e j E

−0.5

−1 −1.5 −1.5

−1

−0.5

0 Eje Real

0.5

1

1.5

Figura 4.4: Ra´ıces de la función de Butterworth para n=2.

En las figuras 4.5 y 4.6 se muestran los p olos (o ra´ıces) en el plano-s para los polinomios de Butterworth de orden n=6 y n=7. Puede observarse que los polos de Butterworth est´ an distribuidos en un c´ırculo de radio 1.

G. Miramontes, ISBN 968-5923-15-9

PDS: Introducci´ on con teor´ ıa y pr´ actica

84


Plano−s

Eje Imaginario jΩ

Eje Real

σ


Plano−s Eje Imaginario jΩ

Eje Real −1

σ

1





Tabla 4.2: Polinomios de Butterworth de orden n,

Bn (s)

85

=

b n sn

+ b n−1 sn−1 +

. . . + b1 s + b0 .

orden

n=1

Bn (s) b0 =1.0000 b1 =1.0000

orden n=2

n=3

b0 b1 b2 b3

= = = =

1.0000 2.0000 2.0000 1.0000

n=4

n=5

b0 b1 b2 b3 b4 b5

= = = = = =

1.0000 3.2361 5.2361 5.2361 3.2361 1.0000

n=6

n=7

b0 b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7

= = = = = = = =

1.0000 4.4940 10.0978 14.5918 14.5918 10.0978 4.4940 1.0000

n=8

Bn (s) b0 = 1.0000 b1 = 1.4142 b2 = 1.0000 b0 = 1.0000 b1 = 2.6131 b2 = 3.4142 b3 = 2.6131 b4 = 1.0000 b0 = 1.0000 b1 = 3.8637 b2 = 7.4641 b3 = 9.1416 b4 = 7.4641 b5 = 3.8637 b6 = 1.0000 b0 = 1.0000 b1 = 5.1258 b2 = 13.1371 b3 = 21.8462 b4 = 25.6884 b5 = 21.8462 b6 = 13.1371 b7 = 5.1258 b8 = 1.0000

Para el dise˜ no de filtros de Butterworth haremos uso de tablas que contienen los polinomios de Butterworth, una vez que se haya determinado el orden del filtro deseado. En la tabla 4.2 se muestran los valores para construir las funciones de transferencia de filtros Butterworth normalizados de orden 1 a 8. Conociendo el orden n del filtro, decimos que H (s) = 1/B n (s) donde B n (S ) son los polinomios de Butterworth. 4.2.1.

Transformaciones anal´ ogico-anal´ ogico

En la secci´ on anterior se vio cómo encontrar la funci´ on de transferencia de un filtro de Butterworth normalizado de orden n. Si los polinomios de Butterworth se anotan en forma de tabla es muy fácil obtener la funci´ on de transferencia del filtro de Butterworth normalizado correspondiente. Como su nombre lo indica, éstos son filtros normalizados, es decir, tienen una frecuencia de corte de 1 rad/s; sin embargo, en una aplicaci´ on pr´ actica, rara G. Miramontes, ISBN 968-5923-15-9



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vez necesitaremos un filtro precisamente con esa frecuencia de corte. En esta secci´ on, se emplear´ a una transformaci´ on que permita al filtro de orden n, que inicialmente tiene una frecuencia de corte de 1 rad/s, tener una frecuencia de corte seg´ un se desee. Las transformaciones llamadas transformaciones de frecuencia, o transformaciones anal´ ogico-anal´ ogico permiten no s´ olo cambiar la frecuencia de corte sino, también cambiar el tip o de respuesta en frecuencia del filtro, es decir, es posible transformar un filtro normalizado pasa-bajas en un filtro pasa-altas con frecuencia de corte Ω d , o bien a un filtro pasa-banda, o a un filtro rechazo de banda. Si en nuestra función de transferencia H (s), reemplazamos s por s/Ω d , obtenemos una nueva funci´ on de transferencia H  (s):

 →

H  (s) = H (s)

s

s/Ωd

= H (s/Ωd ),

donde H  (s) es la nueva función de transferencia, obtenida a partir de H (s) con una frecuencia de corte deseada Ω d . Para obtener la respuesta en frecuencia evaluamos H  (s) en s = jΩ, as´ı:

|H ( jΩ)| = |H ( jΩ/Ωd )|, y cuando Ω = Ωd ,

|H  ( jΩ)| = |H ( j1)|, es decir, H  ( jΩ) es igual al valor de la funci´ on de transferencia del filtro normalizado en Ω = 1. De esta manera hemos desplazado la frecuencia ´ de corte de 1 rad/s a Ω d rad/s. Esto tambi´ en se llama escalamiento en frecuencia, y puede emplearse para transformar un filtro Pb (pasa-bajas) en Pa (pasa-altas), o de un filtro Pb a PB (pasa-banda), entre otros. Por medio de la transformaci´ on s = Ωd /s, se obtiene una respuesta en frecuencia pasa-altas con frecuencia de corte Ω d .

|

|

Transformaci´ on pasa-banda

Como se vio en la secci´ on anterior, la transformaci´ on s/Ω u transforma una respuesta en frecuencia normalizada pasa-bajas en una respuesta en frecuencia no normalizada pasa-bajas. Para obtener una transformaci´ on pasa-bajas pasa-banda (Pb-PB) se requiere una transformaci´ on doble. Si tenemos un FPb caracterizado por alguna distribuci´ on de ceros y polos sobre el plano s, éstos tendrán su eje de simetr´ıa alrededor del eje real (σ). Si desplazamos el eje de simetr´ıa a alguna frecuencia Ω0 , entonces Ω0 reemplazar´ a a Ω. Esto requiere de una transformación Ω Ω 0 ; sin embargo, esta transformaci´ on no es u ´ til, ya que para tener un filtro realizable se requieren polos complejos conjugados, as´ı que la transformaci´ on que se utiliza es

−

→

s

→ Ωs0 + Ωs0 .


(4.5)



87

Si se desea, esto podr´ıa considerarse como una doble transformaci´ on, una Ω0 s pasa-altas ( s ) m´ as una pasa-bajas ( Ω0 ). Adem´ as, s Ω0 s2 + Ω2 + = , Ω0 s Ω0 s

(4.6)

donde el término (s2 + Ω2 ) nos da los polos complejos conjugados, mientras que el término 1/s dar´ a los ceros en el origen y en el infinito lo que asegura una respuesta pasa-banda. El término 1/Ω 0 afecta al ancho de banda. En las figuras 4.7 a 4.9 se muestra la descripci´ on gr´ afica de la transformaci´ on Pb-PB vista como un desplazamiento del eje real a Ω 0 . En la figura 4.7 se muestra la posici´ on de un polo simple para un FPb Butterworth de primer orden. En la figura 4.8 se muestra la nueva posici´ on del polo cuando el eje real se ha desplazado a Ω0 dando un par de polos complejos conjugados. Es importante notar la inclusi´ on del cero en el origen para garantizar la respuesta pasa-banda. Finalmente, en la figura 4.9 se muestra la respuesta en frecuencia correspondiente a la distribución de polos y ceros de la figura 4.8.

±

±

Plano−s 1.5 j Ω 1 polo de un

o 0.5 i r a n i g a 0 m I e j E

filtro pasa−bajas

−0.5

−1 −1.5 −1.5

−1

−0.5

0 Eje Real

0.5

1

1.5

Figura 4.7: Posición del polo pasa-bajas Butterworth de primer orden. Plano−s 1.5 j Ω 1 o 0.5 i r a n i g a 0 m I e j E

desplazamiento del eje real a +Ω

polos complejos

0

σ

conjugados

−0.5

−1 −1.5 −1.5

−1

−0.5

0 Eje Real

0.5

1

1.5

Figura 4.8: Transformación del eje real a


±Ω 0 .


88


−1

−2

d u t i n−3 g a M −4

−5

−6 0

10

Frecuencia [rad/s]

Figura 4.9: Respuesta pasa-banda por desplazamiento del eje real. De lo anterior se puede deducir que el FPB resultante tendrá un orden que es el doble del equivalente pasa-bajas. Cabe hacer notar que la transformaci´ on por lo general no es aritméticamente simétrica. Si ΩL y ΩU son los extremos de la banda de paso, entonces el centro de la banda está dado por Ω0 =



ΩL ΩU ,

(4.7)

y no como Ω0 = (ΩL + Ω U )/2. Para filtros con un ancho de banda estrecho la diferencia entre la media geom´ etrica y la media aritm´ etica es peque˜ na. En términos del ancho de banda W = ΩU ΩL y de la frecuencia Ω0 = ΩU ΩL, la transformaci´ on requerida queda como

−

√

Ω0 s Ω0 s2 + ΩU ΩL s = ( + )= . W Ω0 s s(ΩU ΩL )

−

(4.8)

Para obtener una transformaci´ on Pb–PB la transformaci´ on requerida es la inversa de (4.8) es decir: s = 4.2.2.

s(ΩU ΩL ) . s2 + ΩU ΩL

−

(4.9)

Dise˜ no de filtros Butterworth pasa-bajas

Se ha visto que es posible desplazar la frecuencia de corte de un filtro normalizado de 1 rad/s a cualquier frecuencia deseada, pero falta determinar cu´ al es el orden requerido del filtro Butterworth para cumplir con los requerimientos de ganancia en la banda pasante, as´ı como la atenuaci´ on m´ınima en la banda de rechazo. Normalmente, los requerimientos del filtro se especificar´ an con cuatro par´ ametros: k1 , k2 , Ω1 , Ω2 , donde Ω1 = Ωc , y Ω2 = Ωr , corte y rechazo respectivamente. Empleamos Ω1 y Ω2 en lugar de Ω c y Ωr , y reservamos Ω c para el filtro normalizado. Adem´ as, como se verá m´ as adelante, la n depende de (Ω1 /Ω2 ) en filtros Butterworth y Ω2 /Ω1 en filtros Chebyshev y parece m´ as f´ acil de recordar de este modo. G. Miramontes, ISBN 968-5923-15-9



89

De la figura 4.1, se tienen las siguientes condiciones sobre la respuesta en frecuencia deseada, 0

≥ 20log |H ( jΩ)| ≥ k1, para toda Ω ≤ Ω1 y 20log |H ( jΩ)| ≤ k2 , para toda Ω ≥ Ω2 .

(4.10)

Si evaluamos (4.10) con H ( jΩ) = 1/Bn ( jΩ), se tiene que cuando Ω = Ω1 se debe satisfacer

              − −   − − 1

10log

Ω1 Ωc

1+

1

10log

1+

de donde

= k1 y

2n

Ω2 Ωc

2n

(4.11)

= k 2 ,

Ω1 2n = 10 k1/10 1 y Ωc Ω2 2n = 10 k2/10 1. Ωc Dividiendo (4.13) entre (4.14) Ω1 Ω2

 

2n

=

10−k1 /10 10−k2 /10

para que, finalmente, resolviendo para n,

(4.13)

− 1, −1

log[(10−k1 /10 1)/(10−k2/10 n = 2log(Ω1 /Ω2 )



−

(4.12)

− 1)] ,

(4.14)

(4.15)

(4.16)

·

donde indica redondeo hacia arriba, as´ı que, si n es fraccionario, emplearemos el n´ umero entero siguiente superior. Una vez determinado el valor numérico de n, tomamos la funci´ on prototipo de la tabla 4.2 de polinomios de Butterwoth. Ahora, para que esta funci´ on de transferencia, construida con los polinomios de la tabla 4.2, tenga una frecuencia de corte Ω1 , si y sólo si k1 = 3dB, debemos desplazar la frecuencia de corte normalizada a Ω1 con la transformaci´ on s s/Ω1 . Si k 1 es de valor arbitrario debemos hacer un ajuste al escalar la frecuencia de la funci´ on prototipo. Para realizar este a juste tenemos dos opciones. Si nos interesa m´ as cumplir con el requerimiento de ganancia en Ω1 , entonces calculamos la frecuencia de escalamiento con Ω1 Ωesc = , (4.17) (10−k1/10 1)1/2n

−

→

−




90

y entonces aplicaremos la transformaci´ on s = s/Ω esc . Si, por el contrario, interesa m´ as exceder el requerimiento en Ω 2 entonces calculamos la frecuencia de escalamiento con Ωesc =

Ω2 (10−k2/10

− 1)1/2n

(4.18)

para aplicar la transformaci´ on. nar un filtro con respuesta monot´ onica con las siguienEjemplo 4.2.3 Dise˜ tes especificaciones, frecuencia de corte, f c , de 1000 Hz con -2 dB y una atenuaci´ on m´ınima de -20 dB a una frecuencia de rechazo, f r , de 3000 Hz. La frecuencia en Hz se denotará por f . Soluci´ on: Tenemos pues, k1 = 2, Ω1 = 2πf c = 2π1000 k2 = 20, Ω2 = 2πf r = 2π3000, sustituyendo

−

−

log[(100.2 1)/(102 1)] = 3 n = 2log(1000/3000)

−



−



entonces, tomamos la funci´ on prototipo H B3 (s) =

(s2

1 , + s + 1)(s + 1)

ahora aplicamos una transformaci´ on Pb–Pb, con Ωesc =

6.2831853 103 = 6.8706913 (100.2 1)1/6

H (s) =

1 (s2 + s + 1)(s + 1)

−

×

× 103

y

|s=s/6.8706913×10

3

para obtener 3.243406044 1011 H (s) = 3 s + 13741.383s2 + 94412799.811s + 3.243406044

×

× 1011

En la figura 4.10 se muestra la respuesta en frecuencia de la funci´ on de transferencia encontrada. Adem´ as, en las figuras 4.11 y 4.12 se puede observar, despu´ es de hacer una ampliaci´ on, que se cumple con el requerimiento de -2 dB en 1000 Hz y se excede, con poco más de 5 dB, el requerimiento en 3000 Hz.




91

10 0 −10 ) B d−20 ( n e a−30 i c n a n a−40 G

−50 −60 −70

1

10

2

3

10

10

4

5

10

10

Frecuencia (Hz)

Figura 4.10: Respuesta en frecuencia del filtro del ejemplo 4.2.3.

2 1 0

) B d (−1 n e a−2 i c n a n−3 a G

−4 −5 −6 −7

3

10

Frecuencia (Hz)

Figura 4.11: Ampliación en k1 =

−2

dB.

−10 −15 )−20 B d ( n e−25 a i c n a−30 n a G

−35 −40 −45 10

3

4

10

Frecuencia (Hz)

Figura 4.12: Ampliación en


k2 < −20

dB.



92 4.2.3.

Dise˜ no de filtros Butteworth pasa-banda

El dise˜ no de filtros Butterworth pasa-banda est´ a basado en la aplicaci´ on de una transformaci´ on sobre un filtro prototipo pasa-bajas. Los requerimientos t´ıpicos son los que se muestran en la figura 4.13. Donde se cumple con 20log H ( jΩ)

| | ≤ k2, para 0 ≤ 20log |H ( jΩ)| ≤ k1 , para 20log |H ( jΩ)| ≤ k2 , para

Ω

≤ Ω1 ΩL ≤ Ω ≤ ΩU Ω ≥ Ω2

0 k

1

k

2

Ω

1

Ω

Ω

U

L

Ω

2

Figura 4.13: Especificaciones para un filtro pasa-banda. La transformaci´ on necesaria es



H P B (s) = H P b (s)

s 2 +ΩL ΩU

s= s(Ω

,

(4.19)

U −ΩL )

donde PB significa pasa-banda, y Pb significa pasa-bajas. Es decir, se aplicar´ a una transformaci´ on anal´ ogico-anal´ ogico sobre un filtro pasa-bajas para obtener la funci´ on de transferencia del filtro pasa-banda. Para satisfacer el requerimiento de ganancia k 2 en Ω1 debemos mantener la igualdad dentro de la transformaci´ on, esto es, ( jΩ21 + Ω L ΩU ) jΩr = jΩ1 (ΩU ΩL )

−

Resolviendo para Ωr tenemos Ωr =

−Ω21 + Ω LΩU Ω1 (ΩU − ΩL )

y similarmente para satisfacer k2 en Ω2 , tenemos

− Ω22 + Ω LΩU Ωr = . Ω2 (ΩU − ΩL ) G. Miramontes, ISBN 968-5923-15-9



93

Ahora bien, dependiendo del valor num´ erico de Ω1 y Ω2 (donde Ω1 < Ω2 ) con respecto al producto ΩL ΩU , la Ωr podr´ıa ser positiva o negativa. También en la mayor´ıa de los casos las dos Ωr anteriores no ser´ an iguales y deberemos seleccionar el caso más restrictivo. As´ı pues, el valor de Ωr ser´ a aquel que cumpla con Ωr = m´ın A , B ,

{| | | |}

(4.20)

donde

− Ω21 + Ω L ΩU A = Ω1 (ΩU − ΩL) Ω22 − ΩL ΩU B = . Ω2 (ΩU − ΩL )

(4.21)

N´ otese el cambio de signo en el c´ alculo de B. Esta Ωr será empleada en el cálculo del orden del filtro pasa-bajos prototipo, empleando (4.16) con Ω1 = 1, y Ω2 = Ωr . El procedimiento es el siguiente: 1. Dadas las especificaciones del FPB deseado encontrar A y B. 2. Determinar Ωr . 3. Calcular el orden n del FPb prototipo. 4. Encontrar (o leer de las tablas) la funci´ on de transferencia del FPb normalizado. 5. Aplicar la transformaci´ on dada en (4.19). nar un FPB con las siguientes especificaciones: respuesEjemplo 4.2.4 Dise˜ ta en frecuencia m´ aximamente plana, con -3 dB a 50 Hz y 2kHz, y con al menos 20 dB de atenuaci´ on en 20Hz y 4.5kHz Soluci´ on: tenemos los siguientes datos Ω1 = 2π(20) = 125.6637 rad/s, Ω2 = 2π(4500) = 2.8274 104 rad/s, ΩL = 2π(50) = 314.1593 rad/s,

×

ΩU = 2π(2000) = 1.2566

× 104 rad/s.

Calculando A y B tenemos que A = 2.5640 y B = 2.2963; as´ı que Ωr = 2.2963. Entonces, log[(100.3 1)/(102 1)] n = = 2.7667 = 3, 2log(1/2.2963)



−


−

  


´ DE CHEBYSHEV 4.3. LA APROXIMACION

94

de modo que nuestra funci´ on prototipo ser´ a H P b (s) =

1 , s3 + 2s2 + 2s + 1

aplicando la transformaci´ on (4.19) tenemos H P B (s) =

1 2 +3.9478 106 [ ss(1.25349 ]3 104 )

{

2 +3.9478 106 + 2[ ss(1.25349 ]2 104 )

× ×

× ×

2

6

+3.9478×10 + 2[ ss(1.25349 ×104 ) ] + 1

}.

Reduciendo términos, la soluci´ on es H (s) =

1.83926132639871 1012 s3 , s6 + b5 s5 + b4 s4 + b3 s3 + b2 s2 + b1 s + b0

×

donde b5 = 2.450442269800038 b4 = 3.120768911624457 b3 = 2.032740492883779 b2 = 1.232030183398072 b1 = 3.819125666120342 b0 = 6.152890838882032

× 104 × 108 × 1012 × 1015 × 1017 × 1019

En la figura 4.14 se muestra la respuesta en frecuencia para la funci´ on de transferencia encontrada, puede observarse que se cumple ampliamente con las especificaciones del filtro. 0

−20 ) B d −40 ( n e a i c −60 n a n a G

−80

−100

−120

1

10

2

10

3

10

4

10

Frecuencia (Hz)

Figura 4.14: Respuesta en frecuencia del FPB del ejemplo 4.2.4.

4.3.

La aproximaci´ on de Chebyshev

Otra funci´ on de aproximaci´ on est´ a basada en los polinomios de Chebyshev también conocidos como Tschebysheff. Al igual que en los filtros de Butterworth se emplearon los polos estables de un polinomio de Butterworth, para los filtros Chebyshev se emplearán los polos estables de un polinomio G. Miramontes, ISBN 968-5923-15-9



95

de Chebyshev. Estos filtros exhiben una ca´ıda m´ as acentuada que los de Butterworth, a cambio de un rizo que aparece en la banda pasante o en la banda de rechazo seg´ un se trate de Chebyshev tipo I o Chebyshev tipo II, respectivamente. 4.3.1.

Los polinomios de Chebyshev

Antes de definir la función de transferencia de un filtro de Chebyshev, conviene revisar algunas caracter´ısticas importantes de estos polinomios. Los polinomios de Chebyshev est´ an definidos por T n (x) =



cos(n cos−1 x) si x 1 − 1 cosh(n cosh x) si x > 1

| | ≤ | |

(4.22)

donde T 0 (x) = 1, es decir, n = 0 T 1 (x) = x, es decir, n = 1 T −n = T n (x).

(4.23)

Los polinomios de Chebyshev, al igual que las funciones sinusoidales, son ortogonales, pero con una funci´ on de ponderaci´ on sobre el intervalo 1 x 1. Para el caso de las funciones coseno, tenemos

− ≤ ≤

π

 0

cos(mφ)cos(nφ)dφ =

haciendo φ = cos −1 x, se tiene que

 

dφ = d(cos−1 x) =

0, si m = n π/2, si m = n = 0 π, si, n = m = 0,





(4.24)

√ 1−−1 x2 ,

cambiando l´ımites si φ

→ 0, entonces x → 1 si φ → π, entonces x → −1, as´ı pues 1

T m (x)T n (x) dx = (1 x2 )

  − − 1

 

0, si m = n π/2, si m = n = 0 π, si n = m = 0





(4.25)

por lo que la funci´ on de ponderaci´ on es 1

 − (1


x2 )

,



96

que, como puede verse, crece a medida que x se acerca a 1. Los polinomios de Chebyshev oscilan entre 1 dentro del intervalo 1 < x < 1, mientras que fuera de este intervalo crecen r´ apidamente hacia + o . Esto puede observarse en la figura 4.15 con T 5 (x), donde se observa, adem´ as, que el n´ umero de oscilaciones es igual a n 1.

±

±

−∞

− ∞

−

5 4 3 2 1 ) x (

0

n

T

−1 −2 −3 −4 −5 −1.5

−1

−0.5

0 x

0.5

1

1.5

Figura 4.15: Polinomio de Chebyshev de orden 5,

T 5 (x).

Usando la identidad trigonométrica cos[(n + 1)φ] + cos[(n

− 1)φ] = 2 cos φ cos nφ,

(4.26)

y cambiando φ por cos −1 x tenemos cos[(n + 1) cos−1 x] + cos[(n

− 1)cos−1 x]

= 2x cos(n cos−1 x)

T n+1 (x) + T n−1 (x) = 2xT n (x),

(4.27)

esto es, tenemos una fórmula de recursión de tres t´ erminos que permite encontrar T n+1 , conociendo los dos anteriores T n (x) y T n−1 (x). Se obtiene T 0 (x) = 1 T 1 (x) = x T 2 (x) = 2x2 T 3 (x) = 4x3 T 4 (x) =

−1 − 3x 4 8x − 8x2 + 1

(4.28)

N´ otese que para n > 1 el primer coeficiente es 2 n−1 , y que los polinomios son alternativamente funciones pares e impares de x. También nótese que T 0 (1) = T 1 (1) = 1, y T n (1) = 1, para toda n. G. Miramontes, ISBN 968-5923-15-9


´ DE CHEBYSHEV 4.3. LA APROXIMACION 4.3.2.

97

Los filtros de Chebyshev

La funci´ on de transferencia de Chebyshev está dada por

|H ( jΩ)|2 = 1 + 2[T n1(Ω/Ωc)]2 .

(4.29)

Para Ω

| | ≤ Ωc 1 1 + 2

≤ |H ( jΩ)|2 = |H (Ω)H (−Ω)| ≤ 1.

En exactamente Ω = Ωc ,

|H (Ω)|2 = 1 +1 2 ; ya que T n(1) = 1. Cuando x > 1, esperamos un incremento rápido en T n (x), por lo tanto el efecto en la función de transferencia es hacer que la banda de transición sea muy estrecha. Para Ω = Ωr = Ω2 , la frecuencia de rechazo, deseamos una ganancia 1/A2 , es decir, 1 1 = 2, (4.30) 2 2 1 +  T n (Ω2 /Ω1 ) A

||

| |

donde Ω2 = Ωr , y Ω1 = Ωc . Entonces

|T n(Ω2/Ωc)| = y resolviendo para n, n =

√ A2 − 1 

√ A2−1 − 1 cosh





  −

cosh

1

Ω2 Ω1



,

.

(4.31)

(4.32)

N´ otese que en el denominador aparece el t´ ermino (Ω2 /Ω1 ), mientras que en el c´ alculo de n para los filtros de Butterworth fue (Ω 1 /Ω2 ). Para encontrar la funci´ on de transferencia H (s) necesitamos encontrar las ra´ıces del polinomio L2 ( s) = 1 + 2 T n2 (Ω) = 0.

−

Recuérdese que T n (Ω) = cosh(n cosh−1 Ω), y haciendo Ω = s/j, entonces 1 + 2 [cosh(n cosh−1 s/j)]2 = 0, y despejando tenemos cosh(n cosh−1 s/j) =

 −

1/2 = j/

±

(4.33)

si s = σ + jΩ es un cero de L 2 ( s), podemos escribir

−

cosh[n cosh−1 ( jσ + Ω)] = j/,

−


±

(4.34)



98 haciendo

u + jv = cosh−1 ( jσ + Ω)

(4.35)

−

− jσ + Ω = cosh(u + jv),

(4.36)

cosh[n(u + jv)] = j/,

(4.37)

de (4.33)

±

y de la bien conocida identidad trigonométrica cos(α + β ) = cos α cos β

− senαsenβ ;

podemos escribir (4.37) como

± j/ = cos(nv)cosh(nu) + jsenh(nu)sen(nv) = − jσ + Ω.

(4.38)

Comparando ambos lados de esta ecuaci´ on, σ =

−sen(nv)senh(nu)

(4.39)

Ω = cos(nv)cosh(nu),

(4.40)

como j/ tiene parte real cero y parte imaginaria 1/, entonces

±

cos(nv)cosh(nu) = 0 sen(nv)senh(nu) =

±1/.

Como para una nu real, cosh(nu) es diferente de cero, entonces cos(nv) debe ser cero, y entonces π + kπ /n, k = 1, 2, . . . v = 2 (ya que cos(π/2) = 0, cos como sen(nv) = sen



π 2

 

π/2+kπ n



+ kπ /n = u =

±



 

(4.41)

= 0) para sen(nv)senh(nu) =

±1, entonces

1 senh−1 (1/) . n



±1/, y (4.42)

De (4.39) (4.40) (4.41) y (4.42), se obtiene 1 1 2k + 1 σk = senh senh−1 sen π, n  2n 1 1 2k + 1 Ωk = cosh senh−1 cos π, k = 1, 2, . . . , (n 1), n  2n

±



 





 



−

y podemos ver que Ω2k σk2 + = 1, senh2 (u) cosh2 (u) G. Miramontes, ISBN 968-5923-15-9



99

es decir, los ceros de L2 (s) est´ an localizados sobre una elipse. Los polos de 2 L ( s) est´ an dados por

−



pk = Ωc senh

1 1 2k + 1 1 1 2k + 1 senh−1 sen π + jΩc cosh senh−1 cos π. n  2n n  2n

 





 



Finalmente, la funci´ on de transferencia normalizada se puede formar como K K H n (s) = n = , (4.43) V n (s) i=1 (s pi )



donde

−

V n (s) = s n + bn−1 sn−1 + . . . + b1 s + b0 ,

(4.44)

y adem´ as se puede comprobar que K =



b0 ,

b0 , 1+2

√

si n es impar si n es par.

(4.45)

En las tablas 4.3, 4.4, y 4.5 se muestran los polinomios para filtros Chebyshev tipo I para diferentes o´rdenes y niveles de rizo aceptable en la banda pasante.




100

Tabla 4.3: Polinomios de Chebyshev de orden 0.34931140018895). K n y V n (s) orden

orden n=2

n=1

Kn = 2.86277516124319 b0 = 2.86277516124319

n=3

Kn =0.71569379031080 b0 = 0.71569379031080 b1 = 1.53489545855561 b2 = 1.25291297268055

n=4

n=5

Kn = 0.17892344757770 b0 =0.17892344757770 b1 = 0.75251811034289 b2 =1.30957474478165 b3 = 1.93736749474810 b4 =1.17249093365202

n=6

n=7

Kn = 0.04473086189442 b0 = 0.04473086189442 b1 = 0.28207222652099 b2 = 0.75565110403040 b3 = 1.64790292616448 b4 = 1.86940790812050 b5 = 2.41265095657871 b6 = 1.15121757854778

n=8


n,

para un rizo de 0.5 dB (  =

K n y V n (s) Kn = 1.43138758062160 b0 = 1.51620262694593 b1 = 1.42562451364020 Kn = 0.35784689515540 b0 = 0.37905065673648 b1 = 1.02545527713700 b2 = 1.71686620544884 b3 = 1.19738565671119 Kn = 0.08946172378885 b0 = 0.09476266418412 b1 = 0.43236692045929 b2 = 1.17186133283420 b3 = 1.58976350135366 b4 = 2.17184462271973 b5 = 1.15917610630976 Kn = 0.02236543094721 b0 = 0.02369066604603 b1 = 0.15254443887580 b2 = 0.57356040094292 b3 = 1.14858936912993 b4 = 2.18401538172037 b5 = 2.14921726034592 b6 = 2.65674980658908 b7 = 1.14608010766183



101

Tabla 4.4: Polinomios de Chebyshev de orden n, para un rizo de 1 dB (  = 0.50884713990959). K n y V n (s) orden

orden n=2

n=1

Kn =1.96522672836027 b0 = 1.96522672836027

n=3

Kn = 0.49130668209007 b0 = 0.49130668209007 b1 = 1.23840917357824 b2 = 0.98834120988476

n=4

n=5

Kn =0.12282667052252 b0 = 0.12282667052252 b1 = 0.58053415132206 b2 = 0.97439607307168 b3 = 1.68881597917823 b4 = 0.93682013127199

n=6

n=7

Kn = 0.03070666763063 b0 = 0.03070666763063 b1 = 0.21367139021183 b2 = 0.54861981077436 b3 = 1.35754480295084 b4 =1.42879430819559 b5 = 2.17607847362704 b6 = 0.92312347346067

n=8





102

Tabla 4.5: Polinomios de Chebyshev de orden n, para un rizo de 2 dB (  = 0.76478310157921). K n y V n (s) orden

orden n=2

n=1

Kn = 1.30756027157908 b0 = 1.30756027157908

n=3

Kn =0.32689006789477 b0 = 0.32689006789477 b1 = 1.02219033985978 b2 = 0.73782157715775

n=4

n=5

Kn =0.08172251697369 b0 = 0.08172251697369 b1 = 0.45934912106488 b2 = 0.69347695849584 b3 = 1.49954326711260 b4 = 0.70646056806109

n=6

n=7

Kn =0.02043062924342 b0 = 0.02043062924342 b1 = 0.16612634957256 b2 = 0.38263807763868 b3 = 1.14459656515260 b4 =1.03954580250709 b5 = 1.99366531716017 b6 = 0.69809070637012

n=8





103

nar un filtro pasa-bajas Chebyshev normalizado con Ejemplo 4.3.1 Dise˜ rizo de 2dB y una atenuació n de 20 dB o mayor a una frecuencia de 1.5 rad/s en adelante. Soluci´ on: De las figuras 4.16 y 4.17 observamos que en Ω = Ωc = 1 se cumple la 1 2

1/(1+ε )

1/(A2)

Ω

1

r

Figura 4.16: Respuesta en frecuencia pasa-bajas Chebyshev n impar. 1 2

1/(1+ ε )

2

1/(A )

Ω

1

r

Figura 4.17: Respuesta en frecuencia pasa-bajas Chebyshev n par. siguiente relaci´ on: 1/2 1 20log H ( j1) = 20log 1 + 2 1 = 10log = 2, 1 + 2

|

 

|

 

−

mientras que en Ω = Ω r 1 1/2 A2 10log(1/A2 ) = 20.

20log H ( j1.5) = 20log

|

|

   −




104

Resolviendo para  en (4.46) obtenemos un valor para  de 0.76478, y para A en (4.46) obtenemos A = 10. Estos dos valores son necesarios en el cálculo del orden n del filtro, ya que, aplicando (4.32) tenemos n =

= =

 −  √  −   −  −  √    −   cosh

A2 1 

1

1

cosh

cosh

1

Ω2 Ω1

99 0.76478

1

cosh

1.3 1

4.3 = 5

Entonces requerimos de un filtro prototipo de Chebyshev de quinto orden cuya función de transferencia está dada por: H 5 (s) =

0.081722 . s5 + 0.70646s4 + 1.49954s3 + 0.69347s2 + 0.45934s + 0.08172

La respuesta en frecuencia de H 5 (s) se muestra en la figura 4.18. Puede observarse que se cumple el requerimiento de -2 dB a la frecuencia de corte de 1 rad/s. 10 0 −10 ) B d (−20 n e a i c−30 n a n a G −40

−50 −60 0

10

Frecuencia (Hz)

Figura 4.18: Respuesta en frecuencia Chebyshev del ejemplo 4.3.1.



´ DE TABLAS DE DISENO ˜ DE FILTROS 4.4. CONSTRUCCION NORMALIZADOS

4.4.

105

Construcci´ on de tablas de dise˜ n o de filtros normalizados

Antes de continuar con algunos ejemplos de dise˜ no de filtros Chebyshev, conviene introducir una forma de construir tablas de dise˜ no que pueden ser muy u ´tiles cuando no se tiene una tabla completa. Para esto haremos uso de el ambiente de programaci´ on Matlab. Con esto se podrán obtener los valores de filtros normalizados o no, tip o Butterworth, Chebyshev, El´ıpticos, entre otros. 4.4.1.

Tabla de filtros de Butterworth usando Matlab

Los polinomios de Butterworth de la tabla 4.1 se pueden obtener usando la siguiente instrucci´ on: [num,den]=butter(n,1,’s’)

donde n es el orden del filtro, 1 = Ωc y ’s’ indica anal´ ogico. As´ı pues, para diferentes valores de n tenemos los resultados que se muestran en la tabla 4.6. 4.4.2.

Tabla de filtros de Chebyshev usando Matlab

Los polinomios de Chebyshev son obtenidos usando la siguiente instrucci´ on: [num,den]=cheby1(n,e,1,’s’),

donde n es el orden del filtro, e es el rizo permisible en la banda de paso, 1 = Ωc y ’s’ indica anal´ ogico. As´ı pues, para diferentes valores de n tenemos las funciones de transferencia que se muestran en las tablas 4.7 a 4.9.



´ DE TABLAS DE DISE NO ˜ DE FILTROS 4.4. CONSTRUCCION NORMALIZADOS

106

Tabla 4.6: Construcción de H B (s) n

orden

n

Resultado de Matlab n = 1 num = 0 1 den = 1 1

 

num = 0 0 1 den = 1 1.4142 1



n = 2

1 s+1

1 √ s2 + 2s + 1

n = 3 num = 0 0 0 1 den = 1 2.0 2.0 1



s3

1 + 2s + 1

+ 2s2

n = 4



num = 0 0 0 0 1 H B4 (s) den = 1 2.6131 3.4142 2.6131 1 1 = 4 s + 2.6131s3 + 3.4142s2 + 2.6131s + 1 n = 5

...




Tabla 4.7: Construcción de orden

H Ch

n

107

(s) con rizo = 0.5 dB.

n

Resultados de Matlab n = 1 num = 0 2.8628 den = 1 2.8628



2.8628 s + 2.8628

n = 2 num = 0 0 1.4314 den = 1 1.4256 1.5162



1.4314 s2 + 1.4256s + 1.5162

n = 3 num = 0 0 0 0.71569379 den = 1 1.2529129 1.5348954 0.71569379 =

s3



0.7156 + 1.5348s + 0.7156

+ 1.25291s2

n = 4



num = 0 0 0 0 0.35784689 den = 1 1.197385 1.7168662 1.0254552 0.379050 0.3578 = 4 3 s + 1.1973s + 1.7168s2 + 1.0254s + 0.379 n = 5

...




108


H Ch

n

(s) con rizo = 1 dB.

n




1.96522 s + 1.96522

n = 2 num = 0 0 0.98261 den = 1 1.09773 1.102510



0.98261 s2 + 1.09773s + 1.10251

n = 3 num = 0 0 0 0.4913066 den = 1 0.9883412 1.238409 0.4913066 =

s3



0.4913066 + 0.9883412s2 + 1.238409s + 0.4913

n = 4



num = 0 0 0 0 0.2456533 den = 1 0.9528113 1.453924 0.7426193 0.275627 0.2456533 = 4 3 s + 0.9528113s + 1.453924s2 + 0.742619s + 0.27562 n = 5

...





H Ch

n

109

(s) con rizo = 2 dB.

n




1.30756 s + 1.30756

n = 2 num = 0 0 0.65378 den = 1 0.803816 0.823060



0.65378 s2 + 0.803816s + 0.82306

n = 3 num = 0 0 0 0.326890 den = 1 0.737821 1.0221903 0.32689 =

s3

+ 0.737821s2



0.326890 + 1.0221903s + 0.32689

n = 4



num = 0 0 0 0 0.1634450 den = 1 0.7162149 1.2564819 0.516798 0.2057651 0.1634450 = 4 3 s + 0.7162149s + 1.256481s2 + 0.5167s + 0.2057651 n = 5

...



110


nar un filtro pasa-bajas Chebyshev que tenga un rizo Ejemplo 4.4.1 Dise˜ de -2 dB en la banda pasante y una frecuencia de corte de 60 rad/s, con una atenuaci´ on de 20 dB al menos en 80 rad/s. Soluci´ on: El procedimiento general es cambiar las especificaciones a un filtro (prototipo) pasa-bajas normalizado. Para esto calculamos la frecuencia cr´ıtica 2 Ωcr = Ω namos un filtro Chebyshev normaΩ1 = 80/60 = 1.333. Luego dise˜ lizado con 2 dB de rizo en 1 rad/s, y 20 dB de atenuaci´ on en 1.33 rad/s. Entonces obtenemos n = 5, as´ı que de H C 5 (s) del ejemplo 4.3.1 s´ olo necesitamos aplicar una transformaci´ on pasa-bajas pasa-bajas con s = s/60. En la figura 4.19 se muestra la respuesta en frecuencia para este caso.

−→

10 5 0 ) B d (

−5

−10

n e a−15 i c n a n−20 a G

−25 −30 −35 −40

1

0

10

10

10

2

Frecuencia (rad/s)

Figura 4.19: Respuesta en frecuencia Chebyshev del ejemplo 4.4.1. nar un filtro pasa banda (FPB) Chebyshev con las siEjemplo 4.4.2 Dise˜ guientes especificaciones: -2dB de rizo en la banda de frecuencias de 200 Hz a 3.5 kHz, y -30 dB o mayor a frecuencias menores de 50 Hz y mayores de 10kHz. Soluci´ on: Comenzamos encontrando la frecuencia cr´ıtica para determinar el orden del filtro prototipo. Ω1 = 2π(50), ΩL = 2π(200), ΩU = 2π(3500), Ω2 = 2π(10000),

A = G. Miramontes, ISBN 968-5923-15-9

−Ω21 + Ω LΩU Ω1 (ΩU − ΩL) PDS: Introducci´ on con teor´ ıa y pr´ actica

4.5. FILTROS ELÍPTICOS

111 = 4.2424

y Ω22 ΩL ΩU Ω2 (ΩU ΩL ) = 3.009.

−

B =

−

As´ı pues, Ωcr = m´ın A , B 10−k2/20 = 31.6277, y

{| | | |} = 3.009 y  = 0.76478 mientras que Ar =

√

n = =

 − √ −   cosh

1

( 31.622 1/0.76478) cosh 1 (3.009)

−

2.4998 = 3.



La función prototipo ser´ a H n (s) =

s3

0.3268 . + 1.022s + 0.3268

+ 0.7378s2

Finalmente, aplicamos la transformaci´ on Pb PB con

→

H (s) = H n (s) =

 → s

2

s +ΩL ΩU s(ΩU −ΩL )

2.913957075 1012 s3 , s6 + b5 s5 + b4 s4 + b3 s3 + b2 s2 + b1 s + b0

×

donde

× 1022 , 1.1683170 × 1019 , 1.44354926 × 1016 , 3.75949469 × 1012 , 5.223647 × 108 , 1.5298369 × 104 .

b0 = 2.11044155 b1 = b2 = b3 = b4 = b5 =

En la figura 4.20 se muestra la respuesta en frecuencia para el filtro pasa-banda del ejemplo 4.4.2.

4.5.

Filtros el´ıpticos

Una clase de filtros que presentan una ca´ıda m´ as pronunciada en la ´ banda de transici´ on son los filtros el´ıpticos. Estos presentan rizo tanto en la banda pasante como en la banda de rechazo, y un peque˜ no aumento en la complejidad del c´ alculo de la funci´ on de transferencia. G. Miramontes, ISBN 968-5923-15-9



112 10 0 −10 ) B d (−20 n e a i c−30 n a n a −40 G

−50 −60 2

3

10

10

Frecuencia (Hz)

Figura 4.20: Respuesta en frecuencia Chebyshev pasa-banda del ejemplo 4.4.2. Los filtros el´ıpticos se basan en las propiedades de la funci´ on el´ıptica, la cual fue analizada primero por Jacobi en 1829 y que ha sido estudiada extensivamente en algunos tratados de matem´ aticas. Para nuestros prop´ ositos es importante reconocer que la función el´ıptica jacobiana, denotada por sn(u), es una funci´ on doblemente peri´ odica de la variable compleja u, es decir, peri´ odica en e u , y en m u , y anal´ıtica en el plano-u, excepto en los polos simples de la funci´ on. El patr´ on b´ asico de dos ceros y dos polos se repite infinitamente a lo largo de los dos ejes. El desarrollo matem´ atico de los filtros el´ıpticos es algo m´ as complicado que los polinomios de Chebyshev. Un filtro el´ıptico se basa en una transformaci´ on de una funci´ on

R{}

I { }

T 2 (w) =

1 , 1 + 2 sn2 (w, k)

(4.46)

desde el plano complejo-w al plano complejo-s, donde w = sn−1 (z, k) =

z=sn(w,k)



dt

 − (1

0

t2 )(1

− k2t2 )

(4.47)

es una integral el´ıptica de primera clase, z = sn(w, k) es una funci´ on el´ıptica, k es el módulo y 0 < k < 1. Puede verse, a partir del patr´ on de ceros y polos 2 que para valores reales de w, T (w) tiene un máximo en w = 2mK (m es un entero) y un m´ınimo en w = (2m + 2)K (éste en el comportamiento que se desea en la banda de paso) donde K es una constante dada por: 1

K = K (k) =

 

dt t2 )(1

− − k2t2) . Es importante notar que a lo largo de I m(w) = K  , T 2 (w) = 0 en w = 0

(1

2mK = j K  y T 2 (w) tiene un máximo en w = (2m + 1)K = j K  ; y ese es el comportamiento en amplitud deseado en la banda de rechazo. Para m´ as G. Miramontes, ISBN 968-5923-15-9



113

detalles sobre las propiedades de las funciones el´ıpticas se puede consultar la bibliograf´ıa indicada al final del cap´ıtulo. El filtro el´ıptico normalizado tiene una respuesta en frecuencia dada por

|H n( jΩ)|2 = 1 + 21R2 (Ω) ,

(4.48)

n

donde Rn (Ω) es la funci´ on el´ıptica. Como en los filtros Chebyshev, tenemos dos casos, uno para n par y el otro para n impar. De igual manera es conveniente emplear filtros normalizados como una base para obtener filtros pasa-bajas, pasa-altas, pasa-banda, y rechazo de banda. Para el filtro el´ıptico, Ω = 1 es la media geométrica de Ω1 y Ω2 , es decir, (Ω1 Ω2 )1/2 = 1. El par´ ametro que representa lo pronunciado de la banda de transici´ on est´ a definido por la raz´ on Ωr = Ω2 /Ω1 . La funci´ on de transferencia para el filtro el´ıptico pasa-bajas normalizado est´ a dada como sigue: H 0 H n (s) = (s + s0 )

(n 1)/2

−



i=1

s2 + A0i , n impar, s2 + B1i + B0i

(4.49)

n/2

H n (s) = H 0

s2 + A0i , n par. 2 + B + B s 1i 0i i=1



(4.50)

El filtro queda especificado determinando el orden n, H 0 , el polo simple s0 , y los coeficientes A0i , B1i B0i . Estos par´ ametros son determinados a partir de las especificaciones de dise˜ no, , A, y Ωr , o por su equivalente R p , Rr y Ωr , donde 1 R p = 20log = 20log H n ( jΩ1 ) , (1 + 2 )1/2 Rs = 20 log(1/A2 ) = 20log H n ( jΩ2 ) ,





|

|

|

|

R p = rizo en la banda de paso en dB, Rr = rizo en la banda de rechazo en dB. 4.5.1.

Dise˜ no de filtros el´ıpticos anal´ ogicos en Matlab

Para el dise˜ no de filtros el´ıpticos se har´ a uso del ambiente de c´ omputo Matlab donde la orden de entrada tiene la siguiente forma: [num,den] = ellip(N,Rp,Rs,Wn,’s’), G. Miramontes, ISBN 968-5923-15-9



114

donde, num = es el numerador, un polinomio en potencias decrecientes de s, den = es el denominador, un polinomio en potencias decrecientes de s, N = orden del filtro, Rp = rizo en la banda de paso, Rs = riso en la banda de rechazo, Wn = frecuencia natural del filtro. Si Wn es un vector de dos elementos Wn=[W1 W2], entonces se obtiene un filtro pasa-banda de orden 2N, con una banda de paso W1 < W < W2. Para obtener un dise˜ no pasa-altas se emplea: [num,den] = ellip(N,Rp,Rs,Wn,’high’,’s’).

Si, nuevamente, Wn es un vector de dos elementos, entonces se obtiene un filtro rechazo-de banda con [num,den] = ellip(N,Rp,Rs,Wn,’stop’).

El orden N del filtro y la frecuencia natural Wn, se obtienen con: [N, Wn] = ellipord(Wp, Ws, Rp, Rs, ’s’),

donde Wp = la frecuencia (final) de la banda de paso y Ws = la frecuencia (inicial) de la banda de rechazo. Tambi´ en se puede obtener el resultado en forma de ceros, polos y ganancia, empleando [Z,P,K] = ellip(...),

donde los ceros estar´ a n en un vector Z de N columnas, y los polos en un vector P de N columnas. La ganancia K es un escalar. Para otras formas en el resultado ver la gu´ıa del usuario de Matlab. nar un filtro pasa-bajas el´ıptico con las siguientes esEjemplo 4.5.1 Dise˜ pecificaciones: frecuencia de corte de 1000 Hz con rizo de 3 dB, frecuencia de rechazo a 2000 Hz con -60 dB de atenuación. Soluci´ on: Bajo el ambiente de Matlab definimos los siguientes valores y obtenemos el orden del filtro introduciendo las siguientes l´ıneas: Wp = 2*pi*1000; Ws = 2*pi*2000; Rp = 3; Rs = 60; [N,Wn] = ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs,’s’);

obteniendo el resultado siguiente: G. Miramontes, ISBN 968-5923-15-9


4.5. FILTROS EL’IPTICOS

115

N = 5 Wn = 6.2832e+003.

Con este resultado introducimos: [num,den] = ellip(N,Rp,Rs,Wn,’s’)

Ahora obtenemos la respuesta en frecuencia con: [H,w] = freqs(num,den);\\ Mag = abs(H);

En lugar de emplear la función plot emplearemos la funci´ on semilogx para obtener una mejor presentación en la gr´ afica de la respuesta en frecuencia. Adem´ as, calculamos la ganancia en dB haciendo 20*log10( ). As´ı pues introducimos la siguiente orden semilogx(w/(2*pi), 20*log10(Mag))

Si deseamos que aparezcan las unidades en los ejes, entonces introducimos: xlabel(’Frecuencia (Hz)’) ylabel(’Ganancia en (dB)’)

Finalmente, colocamos una rejilla para una mejor lectura de las ganancias y frecuencias en los puntos importantes, con: grid

La figura 4.21 muestra la gr´ afica de la respuesta en frecuencia, y puede observarse que se cumple con las especificaciones de dise˜ no. 10 0 −10 −20 ) B −30 d ( n e −40 a i c n −50 a n a −60 G

−70 −80 −90 −100 10

1

2

10

3

10

10

4

5

10

Frecuencia (Hz)

Figura 4.21: Respuesta en frecuencia del ejemplo 4.5.1.



BIBLIOGRAFÍA

116

Bibliograf´ ıa nales y Sistemas Lineales , LIMU[1] Gabel, R. A., Roberts, R. A., Se˜ SA,1975.

[2] Haykin, S., Van Veen, B., Se˜ nales y Sistema , LIMUSA Wiley, 2001. [3] Mitra, S. K., Digital Signal Processing: a computer based approach , McGraw-Hill, 1998. [4] Neff H. P. Jr., Continuous and Discrete Linear Systems, Harper & Row Publishers, 1984. nales y Sistemas , Prentice Hall [5] Oppenheim, A. V., Young, I. T., Se˜ Hispanoamericana, 1994.

[6] Papoulis A., Signal Analysis , McGraw-Hill ISE, 1977. [7] El-Sharkawy M., Digital Signal Processing Applications with the Motorola’s DSP56002 Processor , Prentice Hall PTR, 1996.

Problemas on del sistema H n (s) representa un filtro de ButProblema 4.1 La funci´ terworth normalizado a 1 rad/s de orden-n. Para n = 5, a) Escriba H 5 (s) en forma polinomial y en forma factorizada. b) ¿Cu´ al es la ganancia H 5 (s) en Ω = 1?, ¿cuál es la ganancia en dB?

|

|

c) Repita los incisos anteriores 4.1a) y 4.1b) para un filtro Chebyshev tipo I, con  = 0.7647831. Problema 4.2 Dado que G(s) = 1/(s2 +

√ 2s + 1) representa un filtro

Butterworth normalizado de segundo orden, a) Dibuje 20log G( jω) para Ω desde 0 a 100. ¿A qué frecuencia, en rad/s, tiene una magnitud de -3 dB?, ¿a cuál tiene -20 dB?

|

|

b) Aplique una transformaci´ o n Pb PA, s 10/s, a la G(s) para obtener un nuevo filtro H 1 (s), y trace la gr´ a fica de 20log H 1 ( jΩ) para Ω de 0 a 100. ¿Tiene el nuevo filtro el comportamiento que se esperaba? ¿a qu´ e frecuencia en rad/s tiene la magnitud 3dB abajo? ¿cu´ al est´ a 20 dB abajo?

−→

−→

|

|

c) Aplique la transformaci´ on s 5s/(s 2 +50) a G(s), para obtener un nuevo filtro H 2 (s). ¿Qu´ e tipo de filtro resulta y cu´ ales son las frecuencias de interés? Dibuje 20 log H 2 ( jΩ) para verificar sus conclusiones.

−→ |


|


BIBLIOGRAFÍA

117

Problema 4.3 Compruebe que T n ( 1) = ( 1)n .

−

−

Problema 4.4 Calcule T 5 (x) y T 6 (x). Problema 4.5 Demuestre que de

|T n(Ω2 /Ωc)| =

√ A2 − 1 

,

resolviendo para n, se obtiene n =

√ A2−1 − 1 cosh





  −

cosh

1

Ω2 Ω1



.

ne a) un filtro Butterworth, y b) un filtro Chebyshev Problema 4.6 Dise˜ pasa-bajas anal´ ogicos que tengan una atenuaci´ on de 3 dB a una frecuencia de corte de 100 rad/s y una atenuaci´ on de 25 dB o mayor para frecuencias arriba de 250 rad/s. Dibuje 20 log H ( jΩ) para los dos filtros y muestre que se satisfacen los requerimientos a las frecuencias cr´ıticas.

∗ |

|

al es el orden n de un filtro Chebyshev pasa-bajas que Problema 4.7 ¿Cu´ tiene una banda de paso desde 0 a 200 Hz con un rizo aceptable de 1dB y una banda de rechazo monot´ onica con -40 dB en y m´ as all´ a de 250 Hz? Repita el dise˜ no para un filtro Butterworth y compare las n’s. ¿A qué conclusiones puede llegar? nar un filtro pasa-bajas anal´ ogico que tenga Problema 4.8 Se desea dise˜ -0.5 dB a una frecuencia de corte de 75 Hz y que tenga má s de 20 dB de atenuaci´ on a frecuencias mayores a 150 Hz. Encuentre H(s) que satisfaga esos requerimientos y dibuje 20 log H ( jΩ) y arg H ( jΩ) para

|

|

a) Filtro Butterworth (respuesta m´ aximamente plana). b) Filtro Chebyshev tipo I (equirizo en la banda de paso). c) Filtro el´ıptico. Compare el orden de cada filtro y comente sus resultados. ne un filtro anal´ ogico pasa-banda que satisfaga las siProblema 4.9 Dise˜ guientes especificaciones: 1. Frecuencias de paso inferior y superior de 100 Hz y 3.8 kHz, respectivamente, con -3 dB de atenuación. 2. Atenuaci´ on en la banda de rechazo de 20 dB a 20Hz y 8 kHz. 3. Sin rizo en la banda de paso ni en la banda de rechazo. G. Miramontes, ISBN 968-5923-15-9


Diseño de filtros analogos_del Libro PDS.pdf

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