Dinámica Aplicada, Asistente: Stephen Krol Laboratorio#3 “Simulación en Xcos/Simulin Xcos/Simulin de un sistema de ! "rados de libertad Objetivos: Desarrollar Desarrollar las ecuaciones y diagramas del sistema mecánico de dos (2) grado de libertad. Analizar la respuesta de estos sistemas y compararla con los resultados teóricos. •
•
Procedimiento: 1) Encontrar ecuaciones rectoras del Sistema Dinámico, con un sistema de reerencia !"o 2) De!nir los parámetros del Sistema. #) Desarrollar un diagrama de blo$ues del Sistema Dinámico. %) Simulación del sistema en &'os o Simulin ('on condiciones iniciales de posición dadas y elocidad * +) ealice
ealice ealice la simulación con diagramas integrando las ecuaciones dierenciales. lene la tabla con parámetros para $ue se den los siguientes casos
Desarrollo 1) Encontrar ecuaciones rectoras del Sistema Dinámico, con un sistema de reerencia !"o. as coordenadas / 1 y /2 describen totalmente el mo0imiento del sistema, las cuales de!nen las posiciones de las masas m 1 y m2 en cual$uier momento t con respecto a las posiciones de e$uilibrio respecti0as. a aplicación de la segunda ley del mo0imiento de eton a cada un a de las masad proporciona las ecuaciones de mo0imiento3
Masa 1
∑ T =m
1
a1
−c ´ x −k x −c ( x´ −´ x )− k ( x − x ) =m a 1
1
1
1
2
1
2
2
1
2
1
1
c −(¿ ¿ 1 + c 2) x´ 1−( k 1+ k 2 ) x 1 + c 2 x ´ 2 + k 2 x 2=m1 x´ 1
¿
Masa 2
∑ T =m
2
a2
x − x´ ) −k ( x − x ) =m a −c ´ x −k x −c ( ´ 3
2
3
2
2
2
1
2
2
1
2
2
c −(¿ ¿ 2 + c 3 )´ x 2−( k 2+ k 3 ) x2 + c2 ´ x 1+ k 2 x 1=m2 x ´ 2
¿
1- ¿Qué tipos de ecuaciones rigen el sistema, y cuantas son esp.3 Son ecuaciones dierenciales lineales de 2do orden. 'omo el sistema tiene dos grados de libertad, son dos ecuaciones. Se 0e $ue la ecuación de la masa 1 contiene t4rminos $ue implican / 2 (es decir, c 2 x´ 2 y k 2 x 2 ), en tanto $ue la ecuación de la masa 2 contiene t4rminos $ue implican / 1 (es decir
c 2 x´ 1 y k 2 x 1 ). 5or consiguiente representa un sistema de
dos ecuaciones dierenciales acopladas de segundo orden. De este modo, se puede esperar $ue el mo0imiento de la masa 1 in6uya en el mo0imiento de la masa 2 y 0ice0ersa. 2) De!nir los parámetros del Sistema.
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7asa3 epresenta la cantidad de inercia o deseo de un cuerpo de permanecer en su estado de mo0imiento estable, es decir mientras más masa posea un cuerpo más uerza necesitaremos para imponer una aceleración considerable. Su unidad es ilogramos (8g), 9ramos (g), Slug, lbm, etc. 'onstante de amortiguamiento3 es la oposición de un cuerpo a los cambios de 0elocidad $ue se le impongan. E/isten los amortiguamientos 0iscosos debido a 6uidos como en los amortiguadores en las llantas de los autos, amortiguadores de ricción debido al contacto solido:solido, amortiguadores ;istereticos debido a la reacción $ue presenta un sólido al ser sometido a de6e/ión. 'onstante de rigidez del resorte3 es la oposición de un resorte o cuerpo elástico a surir una deormación en algunas de sus coordenadas geom4tricas. En el caso de un resorte es proporcional al diámetro del alambre, 7odulo de elasticidad, diámetro medio, etc.
#) Desarrollar un diagrama de blo$ues del Sistema Dinámico. o ;icimos de la siguiente orma3 5rimero colocamos los integradores y los sumadores conectados para de!nir la aceleración, en unción de la 0elocidad y la posición. 'omo son dos ecuaciones se realizaran dos diagramas de blo$ues $ue serán acopladas, posteriormente.
uego ponemos los ampli!cadores con sus respecti0as ganancias, conectadas al sumador (establecidos anteriormente en las ecuaciones del sistema dinámico).
Al tener los dos diagramas de blo$ues de los dos sistemas dinámicos de las masa 1 y 2, procedemos a acoplarlos. - se conecta el osciloscopio, para gra!car la posición 0s tiempo de cada una de las masas y en cada caso.
2- ¿investigue sobre los modos de vibraci!n, cuantos modos tiene este sistema, y en "ue #recuencias
Masa 1
m 1 x´ 1+ ( k 1 +k 2) x 1−k 2 x 2=0
Masa 2
m 2 x´ 2−k 2 x 1+ ( k 2 + k 3) x 2=0
Masa 1
{−m
Masa 2
−k X + {−m ω + ( k + k ) } X =0
)}
(
2
1
ω + k 1 + k 2 X 1− k 2 X 2=0
2
2
1
2
2
3
2
5ara los datos dados, el problema de 0alor eigen, se 0uel0e3
[
2
1
1
2
2
1
2
2
2
2
eemplazando los 0alores, tenemos $ue para3 'aso 1
]{ }
−m ω + ( k + k ) −k X −k −m ω + ( k + k ) X 3
2
{} 0
*
0
[
]{ } { }
2
X −ω + 2 −1 −1 −2 ω + 2 X
0
1
2
*
0
2
ec.1
Si ;acemos $ue el determinante de la matriz de coe!cientes de la ecuación sea igual a cero, obtenemos la ecuación de recuencia3 4 2 2 ω −6 ω + 3 =0 A partir del cual se pueden encontrar las recuencias naturales como ω1 =0.796225 ω2=1.53819 2
ω
a sustitución de X 2
(1 )
=1.366 X (
1
)
2
ω
, mientras $ue
1
(2 ) (2 ) X 2 =−0.366 X 1
a
2
=ω1 =0.63397
en la ecuación (ec.1) conduce a 2
=ω =2.366 en la ecuación (ec.1) conduce 2
. 5or lo tanto, los modos normales (o 0ectores eigen) se
e/presan como ( 1)
X ⃗
=
{ }{ X 1 X 2
{
(1 ) (1 )
(2 ) X 1 ( 2) X = (2 ) X 2 ⃗
=
1.366
}{ =
1
}
( )
X 1 1
1
−0.366
}
X 1
( 2)
'aso 2
[
2
−10 ω + 2
−1 2
−1
−0.1 ω + 2
]{ } { } X 1 X 2
0
*
0
ec.1
Si ;acemos $ue el determinante de la matriz de coe!cientes de la ecuación sea igual a cero, obtenemos la ecuación de recuencia3 ω
4
2
−20.2 ω + 3 =0
A partir del cual se pueden encontrar las recuencias naturales como ω1 =0.386811 ω2= 4.47776 2
a sustitución de (1 ) (1 ) X 2 =0.5 X 1
ω
2
=ω =0.149623 1
2
, mientras $ue
ω
2
en la ecuación (ec.1) conduce a
=ω =20.05 en la ecuación (ec.1) conduce a 2
(2 ) ( 2) X 2 =−200 X 1
. 5or lo tanto, los modos normales (o 0ectores eigen) se
e/presan como ( 1)
X ⃗
=
{ }{ X 1
(1 )
X 2
(1 )
{
(2 ) X 1 ( 2) X = (2 ) X 2 ⃗
=
1
0.5
}
( )
X 1 1
}{ } =
1
−200
( 2) X 1
$- ¿Muestre los %iagramas de blo"ues "ue utili&!, y sus gra'cas de Posici!n vs tiempo de cada una de las masa y en cada (aso) esp.3 os diagramas de blo$ues se mostraron anteriormente. En las grá!cas la onda rosa es la posición de la masa 1 y la onda amarilla es de la posición de la masa 2. *- +imule cada modo de vibraci!n del sistema, con condiciones iniciales cual"uieras) esp.3 5ara la Simulación del sistema utilizamos Simulin (7A>A?).Se utilizó condiciones iniciales + para la 0elocidad de la masa 1 y 2. 5ara las posiciones se utilizó condiciones iniciales de /1* :1 y /2* 1, para las masa 1 y 2, respecti0amente.
(aso 1: Posici!n masa 1 y 2 vs iempo
(aso 2: Posici!n masa 1 y 2 vs iempo 
