INTRODUCCIÓN El fenómeno más obvio y fundamenta fundamentall que observamos observamos a nuestro nuestro alrededor es el de movimiento movimiento.. El vien viento to,, las las olas olas,, los los pája pájaro ross que que vuel vuelan an,, los los animales animales que que corre corren, n, las las hojas hojas que que caen. caen. Práct Práctic icam ament ente e todo todoss los los procesos inimaginables puede pueden n descr describ ibir irse se como como el movi movimi mient ento o de cier cierto toss obje objeto tos. s. Para Para anali analiza zarr y predecir la naturaleza naturaleza de de los movimientos que resultan de las diferentes clases de interacciones, se han inventado algunos conceptos importantes tales como los de momentum, fuerza fuerza y y energía. i el momentum, momentum, la fuerza, y la energía se conocen y se e!presan en un modo cuantitativo es posible establecer reglas mediante las cuales pueden predecirse los movimientos resultantes. "a mecánica mecánica,, es la ciencia del ciencia del movimiento, es tambi#n la ciencia ciencia del del momentum, momentum, la fuerza y la energía$ de ella se derivan% la cinemática cinemática,, que estudia el movimiento sin tomar en consideración las fuerzas que lo producen, y la dinámica dinámica,, que a diferencia de la cinemática cinemática,, fundamenta el estudio del movimiento en las leyes leyes del del movimiento propuestas por &e'ton &e'ton.. En este material instruccional se introducirá en forma sucinta los movimientos clásicos que se asocian a la cinemática% movimiento rectilíneo acelerado y no acel aceler erado ado,, movi movimi mien ento to curvi curvilílíne neo, o, movi movimi mien ento to para paraból bólic ico o y caíd caída a libre libre.. e presentará los conceptos de aceleración tangencial, aceleración radial y radio radio de de curvatura$ todos ellos de manifiesto en los movimientos circulares. (n apartado será dedicado a la cinemática vectorial$ aquí, el álgebra álgebra con con vectores vectores se se empleará en la caracterización de los movimientos. e e!pondrá las leyes del movimiento de &e'ton, &e'ton, y la manera como #stas se aplican al análisis de una amplia amplia variedad de movimientos. En determinadas situaciones se incluirá en el análisis, fuerzas de rozamiento, en sus dos variantes% fuerzas de rozamiento estático y fuerza de rozamiento dinámico. )l final, se ofrecerá una recopilación de algunos problemas que que han han form formad ado o part parte e de las las eval evalua uaci cion ones es de coho cohort rtes es precedentes. OBJETIVO GENERAL )l t#rmino de #ste módulo, el estudiante tendrá la habilidad y pericia necesaria para aplicar los conceptos básicos de cinemática y dinámica en la resolución de problemas prácticos que involucren movimientos tanto en el plano como en el espacio. CONTENIDOS *. +ovi ovimie miento nto uni unifforme orme ace acelera lerado do y no no ace acele lera rado do.. .
-arac aracte terí ríst stic icas as cine cinemá mátticas icas de cuer cuerpo poss en caída libre. libre.
.
-arac -aracte terí ríst stic icas as cine cinemá mátitica cass de de cuerp cuerpos os en movi movimie mient nto o parab paraból ólic ico. o.
/.
-arac -aracte terí ríst stic icas as cine cinemá mátitica cass de de cuerp cuerpos os en movi movimie mient nto o circu circula lar. r.
0.
"eye eyes del movimiento de &e'ton.
1.
2uerz uerzas as de roza rozam mient iento% o% está estáttico ico y diná dinámi mico co..
3.
-inem inemát átic ica a vect vector oria iall% vec vecto torr posi posici ción ón,, vec vecto torr velocidad velocidad y y vector aceleración.
4.
-ine -inemá mátitica ca vect vector oria ial%l% radi radio o de de cur curvat vatura ura en movi movimi mien ento toss cir circu cula lare res. s.
CONOCIMIENTOS PREVIOS *. +ult +ultip iplilica caci ción ón de vect vector ores es%% esca escala larr y vect vector oria ial.l. .
5lgebra matricial% matriz matriz adjunta adjunta y teorema del cofactor.
.
-álcu álculo lo infi infin nites itesiimal% mal% lími límitte y der deriv ivac ació ión n de de funciones matemáticas matemáticas..
/.
-álculo integral% integrales integrales definidas definidas con límites límites de de integración integración..
0.
6rigonometría pl plana.
1.
7esco escomp mpos osic ició ión n rect rectan angu gula larr de vect vector ores es%% 7iagrama 7iagrama de de -uerpo "ibre 87-"9.
DESARROLLO TEÓRICO 1.1 Diferencia entre cinemtica ! "inmica. "a cinemática, es un área de estudio de la mecánica que describe el movimiento movimiento en función función del del espacio y el tiempo tiempo,, sin tomar en cuenta los agentes presentes que lo producen. Por su parte, la dinámica es un área de estudio de la mecánica que describe el movimiento en cuanto al espacio y el tiempo, considerando los agentes presentes que lo producen. En cinemática es de gran importancia definir un referencial, el cual es un marco de referencia, cuya característica principal es la de no estar acelerado. -ualquier marco de referencia que se mueve con velocidad constante respecto de un marco inercial es por sí mismo un marco inercial. 1.# Ve$%ci"a" ! ace$eraci&n' ec(aci%ne) ec(aci%ne) *)ica). *)ica). "a velo veloci cida dad d medi media a de una una part partíc ícula ula duran durante te un inte interva rvalo lo de tiem tiempo po ∆t, está definida como la razón entre el desplazamiento y el intervalo de tiempo 82igura *9. 8*9 7onde% % :elocidad media del móvil, m;s % +agnitud del desplazamiento del móvil, m
3.
-inem inemát átic ica a vect vector oria iall% vec vecto torr posi posici ción ón,, vec vecto torr velocidad velocidad y y vector aceleración.
4.
-ine -inemá mátitica ca vect vector oria ial%l% radi radio o de de cur curvat vatura ura en movi movimi mien ento toss cir circu cula lare res. s.
CONOCIMIENTOS PREVIOS *. +ult +ultip iplilica caci ción ón de vect vector ores es%% esca escala larr y vect vector oria ial.l. .
5lgebra matricial% matriz matriz adjunta adjunta y teorema del cofactor.
.
-álcu álculo lo infi infin nites itesiimal% mal% lími límitte y der deriv ivac ació ión n de de funciones matemáticas matemáticas..
/.
-álculo integral% integrales integrales definidas definidas con límites límites de de integración integración..
0.
6rigonometría pl plana.
1.
7esco escomp mpos osic ició ión n rect rectan angu gula larr de vect vector ores es%% 7iagrama 7iagrama de de -uerpo "ibre 87-"9.
DESARROLLO TEÓRICO 1.1 Diferencia entre cinemtica ! "inmica. "a cinemática, es un área de estudio de la mecánica que describe el movimiento movimiento en función función del del espacio y el tiempo tiempo,, sin tomar en cuenta los agentes presentes que lo producen. Por su parte, la dinámica es un área de estudio de la mecánica que describe el movimiento en cuanto al espacio y el tiempo, considerando los agentes presentes que lo producen. En cinemática es de gran importancia definir un referencial, el cual es un marco de referencia, cuya característica principal es la de no estar acelerado. -ualquier marco de referencia que se mueve con velocidad constante respecto de un marco inercial es por sí mismo un marco inercial. 1.# Ve$%ci"a" ! ace$eraci&n' ec(aci%ne) ec(aci%ne) *)ica). *)ica). "a velo veloci cida dad d medi media a de una una part partíc ícula ula duran durante te un inte interva rvalo lo de tiem tiempo po ∆t, está definida como la razón entre el desplazamiento y el intervalo de tiempo 82igura *9. 8*9 7onde% % :elocidad media del móvil, m;s % +agnitud del desplazamiento del móvil, m
+i,(ra 1. (na partícula que se mueve en el plano !=y se localiza a trav#s del vect vector or posi posici ción ón dibu dibuja jado do desd desde e el orig origen en del del sistema refere referenci ncial al inerci inercial. al. El desplazamien desplazamiento to de de la partícula partícula cuando se mueve mueve de P a > en el el interval intervalo o ? tf = ti, es igual al vector ? . (n concepto concepto derivado derivado de la velocidad media, es la velocidad instantánea, la cual se define como el límite límite de la velocidad velocidad promedio, promedio, , conforme conforme tiende tiende a cero. 89 "a velocidad instantánea es igual a la derivada del vector de posición respecto del tiempo. "a dirección dirección del del vector velocidad instantánea en cualquier punto en una trayectoria de la partícula está a lo largo de la línea que es tangente a la trayectoria en ese punto y en la dirección del movimiento. ) la magnitud del vector de velocidad instantánea recibe el nombre de @rapidez@. "a velocidad media al igual que la velocidad instantánea se e!presa m;s en el sistema internacional$ 2t;s en el sistema británico 8se lee pies por segundo9, y cm;s en el sistema c.g.s. 7ado que la velocidad de un móvil puede variar en el tiempo, nació un concepto denominado aceleración, la cual se define como la razón de cambio cambio del del vector velocidad, , en un tiempo transcurrido . 89 7onde% :f% velocidad final del movimiento, m;s :i% velocidad inicial del movimiento, m;s tf A ti% intervalo de tiempo trascurrido para que el móvil pase de :i a :f.
Puesto que la aceleración promedio es la razón entre una cantidad vectorial, ,y una cantidad escalar, , se concluye que, , es una cantidad vectorial dirigida a lo largo de . (n concepto derivado de la aceleración promedio, es la aceleración instantánea, la cual se define como el valor límite de la razón , cuando, , tiende a cero. 8/9 En otras palabras, la aceleración instantánea es igual a la razón de cambio del vector velocidad respecto al tiempo. Es importante tener en cuenta tres situaciones donde un móvil tiene una aceleración asociada% cuando la magnitud del vector 8la rapidez9 cambia con el tiempo$ como en un movimiento acelerado en línea recta$ cuando sólo la dirección del vector velocidad cambia con el tiempo sin que su magnitud varíe, como en un movimiento curvilíneo$ y por Bltimo, cuando tanto la magnitud como la dirección del vector velocidad se modifican continuamente. "a aceleración media, así como la aceleración instantánea se e!presan en m;s en el sistema internacional, en 2t;s en el sistema británico 8se lee pies por segundo cuadrado9, y cm;s en el sistema c.g.s. El hecho de que un cuerpo se desplace con una aceleración de *0 m;s, implica que cada segundo su velocidad aumenta *0 m;s. 6ambi#n pudiese darse el caso de que un móvil ostente una aceleración negativa, por ejemplo de A 4 m;s, lo cual indica que cada segundo su velocidad decae 4 m;s. Por Bltimo, si un móvil tiene una aceleración igual a cero, puede inferirse que% posee una velocidad constante, o se encuentra en reposo. 1.- M%imient% recti$/ne% (nif%rme. Caciendo uso del cálculo integral, se deducirán las ecuaciones cinemáticas que gobiernan el movimiento unidimensional 8significa que se da a lo largo de una línea recta9. -omo la aceleración de un móvil está dada por% dv ? a.dt la cual por integración, resulta...
despejando dv, quedaD
809 )sumiendo que la aceleración es constante a lo largo del tiempo 8movimiento con aceleración constante9, nos queda% v ? a.t -* 819 7onde% a% aceleración del móvil, m;s t% tiempo, s -*% constante de integración,m;s El valor -* depende de las condiciones iniciales del movimiento. i se toma v ? vF cuando t ? tF y sustituimos estos valores en la ecuación 1, se tendráD v ? a GFH -* despejando -*D -* ? vF 839
Por tanto, se obtiene la primera ecuación cinemática 8Ecuación 49, la cual relaciona la velocidad del móvil con su aceleración. v ? vo a.t 849 )hora considerando la ecuación que define la velocidad instantánea% despejando d!, nos queda% d! ? v.dt 8I9
y
8*F9 &o obstante, dado que segBn la Ecuación 4% v ? vF a.t, nos quedaD integrandoD 8**9 7onde% !% distancia recorrida, m vo% velocidad inicial del móvil, m;s t% tiempo, s a% aceleración del móvil, m;s -% constante de integración, m Para encontrar -, se toma en cuenta la siguiente condición inicial ! ? !F, cuando t ? F. Esto produce - ? !F. En consecuencia, se obtiene% 8*9 "a Ecuación * relaciona% la velocidad inicial, el tiempo y la aceleración del móvil con la distancia por #l recorrida.
+i,(ra #. Jráfica velocidad A tiempo. (na partícula que se mueve a lo largo del eje ! con aceleración constante, a. "a aceleración matemáticamente equivale a la
pendiente de la gráfica superior, el punto de corte con el eje de velocidades, es la velocidad inicial del móvil. "a 2igura , revela que la aceleración puede calcularse aplicando la definición de pendiente, o sea% 8*9 -uando el movimiento es unidimensional, la velocidad promedio en cualquier intervalo de tiempo es calculada como la media aritm#tica de la velocidad inicial, vF, y la velocidad final, v. 8*/9 7onde% % velocidad media del móvil, m;s vo% velocidad inicial del móvil, m;s v% velocidad inicial del móvil en cualquier tiempo t, m;s egBn la Ecuación 4, v ? vF a.t$ despejamos tD 8*09 7ado que la Ecuación * establece que% Ecuación *0 en la Ecuación *D
$ se introduce la
desarrollando, quedaD 8*19 7onde% v% velocidad final del móvil, m;s vo% velocidad inicial del móvil, m;s a% aceleración del móvil, m;s ! A !o% distancia que recorre el móvil al pasar de vo a vf, m Esta Bltima fórmula establece la velocidad como una función del desplazamiento. 1.0 Lanamient% 2%ri%nta$' ec(aci%ne) a)%cia"a). En #ste tipo de lanzamiento el cuerpo está sometido simultáneamente a la acción de dos movimientos% • (no horizontal, con velocidad constante. •
Ktro vertical, el cual es uniformemente acelerado. Estos dos movimientos hacen que el desplazamiento resultante sea de una trayectoria parabólica, además, ambos son completamente independiente uno del otro, tal como lo demostró Jalileo, mediante e!perimentos que lo llevaron a enunciar su @Principio de la independencia de los movimientos@.
+i,(ra -. En este caso el disparo se hace desde una altura @L@ como lo indica la figura con una velocidad inicial , al iniciar su caída estará sometido el proyectil a la acción de dos movimientos% uno horizontal con velocidad constante y otro vertical uniformemente acelerado hacia abajo debido a la fuerza de gravedad. En este movimiento, la componente horizontal de la velocidad es de magnitud constante a trav#s de todo el recorrido e igual a, ?
.
8*39
"a componente vertical de la velocidad, viene dada por%
, en un instante de tiempo cualquiera
? .t 8*49 7onde% vy% velocidad vertical del móvil, m;s % constante de gravedad ? I,4* m;s. t% tiempo recorrido, s )plicando el 6eorema de Pitágoras, es posible determinar el módulo del vector velocidad en cualquier instante, pues las componentes de la velocidad son ortogonales entre si, en todo momento. 8*I9 7onde% v!% componente horizontal de la velocidad del móvil, m;s vy% componente vertical de la velocidad del móvil, m;s "a dirección del vector velocidad queda definida por la función tangente del ángulo θ. 8F9
"a ecuación de posición horizontal es la misma del movimiento rectilíneo no acelerado, puesto que la rapidez en este sentido es constante, escribi#ndose como% ! ? vF.t 8*9 "a posición vertical se calcula como si el cuerpo se moviese en caída libre$ 89 7onde% y% distancia vertical que el móvil se ha desplazado, m % constante de gravedad ? I,4* m;s. t% tiempo recorrido, s El signo negativo en la Ecuación , se debe al vector gravedad, el cual esta dirigido verticalmente hacia el centro de la 6ierra. El desplazamiento total se obtiene aplicando el 6eorema de Pitágoras, pues el desplazamiento vertical y horizontal son ortogonales entre si. 89 7onde% !% componente horizontal del desplazamiento, m y% componente vertical del desplazamiento, m "a dirección del desplazamiento se obtiene aplicando la definición de tangente. 8/9 (n t#rmino ampliamente usado en movimientos que se dan bajo un campo gravitatorio, es el tiempo de vuelo, el cual es el tiempo transcurrido desde el momento del lanzamiento hasta tocar el suelo. )l tocar el suelo el móvil ha recorrido todo la distancia vertical @L@ 82igura 9, pudi#ndose escribir de acuerdo a la Ecuación % despejando tvD 809 El alcance horizontal, es el desplazamiento total horizontal que el móvil posee al cumplirse el tiempo de vuelo. "a ecuación para calcular el alcance horizontal es la misma del desplazamiento horizontal, pero con t ? tv M ? vF. tv819 ) continuación se demuestra que la trayectoria del proyectil es parabólica. En efecto, el desplazamiento horizontal para cierto tiempo @t@ viene dado por% ! ? vF . t despejando @ t @ nos quedaD 839
Por otra parte el desplazamiento vertical al mismo tiempo @t@ esta dada por la Ecuación D $ como el tiempo para ambos desplazamientos es el mismo, podemos sustituir @t@ de la Ecuación 3 en @t@ de la Ecuación , quedandoD 849 -omo vF 8velocidad inicial9 y g 8aceleración de gravedad9 son constantes se tendrá que% y ? N.! 8I9 En donde 8t#rmino constante9 -omo puede notarse, la Ecuación I corresponde a la ecuación de una parábola, con lo que se concluye que la trayectoria del movimiento es esencialmente parabólica. 1.3 Lanamient% inc$ina"%' ec(aci%ne) a)%cia"a). )l igual que el lanzamiento horizontal, el proyectil estará sometido a la acción de dos movimientos 82igura /9% (no horizontal con velocidad constante, es decir, la componente horizontal • de la aceleración es cero. •
Ktro vertical con aceleración constante, dirigida hacia abajo.
+i,(ra 0. )l lanzarse un proyectil inclinados un ángulo θ, con una velocidad inicial @vo@, se produce un movimiento en el cual se superponen dos movimientos independientes% uno horizontal no acelerado, y otro influido por la fuerza de gravedad, precisamente #ste Bltimo ocasiona que la trayectoria seguida por el móvil sea parabólica.
-uando el proyectil ocupa la posición P de la 2igura /, un instante @t@ despu#s de haber sido lanzado, la velocidad, , tendrá una componente horizontal,
, y otra
vertical, . "a magnitud de la componente horizontal de la velocidad se mantiene constante a trav#s de todo el recorrido y está dada por% 8F9 7onde% v!% componente horizontal de la velocidad, m;s vo!% componente horizontal de la velocidad inicial, m;s θ% ángulo de disparo, grados "a magnitud de la componente vertical de la velocidad en cualquier instante está dada por% 8*9 7onde% vy% componente vertical de la velocidad, m;s vo!% componente vertical de la velocidad inicial, m;s g% aceleración de gravedad ? I,4* m;s t% tiempo, s 7ado que las componentes de la velocidad son ortogonales entre si, la magnitud de la velocidad en cualquier instante viene dada por% 89 El ángulo que el vector velocidad total forma con el eje horizontal permite definir la dirección del referido vector% 89 El movimiento horizontal lo realiza el proyectil con velocidad constante, por lo que el desplazamiento horizontal 8!9 viene dado por% 8/9 El movimiento vertical lo realiza con aceleración constante, , dirigida hacia abajo, por lo que la ecuación de desplazamiento vertical, queda definida por% 809 El tiempo empleado por el proyectil en alcanzar la altura má!ima Gymá!H, es denominado tiempo má!imo. Kbservando la 2igura /, puede notarse que, a medida que el proyectil asciende va disminuyendo su velocidad a lo largo del eje y G H hasta hacerse cero en el v#rtice de la parábola descrita. egBn la Ecuación * y sabiendo que la velocidad vertical en el punto de má!ima altura es cero. despejando tmá!D 819
Por otra parte, la altura má!ima la obtenemos haciendo t ? tmá! en la Ecuación 0, quedandonosD ahora, sustituimos de acuerdo a la Ecuación 1D &os queda
desarrollando...
839 7onde% ymá!% má!ima altura que alcanza el proyectil, m vo!% componente vertical de la velocidad inicial, m;s g% aceleración de gravedad ? I,4* m;s El tiempo de vuelo es el tiempo que trascurre para que el proyectil vaya desde ) hasta O 8refi#rase a la 2igura /9. 849 "as fórmulas desarrolladas tanto para el lanzamiento horizontal como vertical, no consideran el efecto resistivo del aire, la curvatura de la superficie terrestre, ni la variación gravitacional. 1.4 M%imient% circ($ar' ec(aci%ne) a)%cia"a). )nte de iniciar este apartado, se debe hablar del desplazamiento angular$ el cual se refiere a los grados, vueltas, revoluciones ó radianes que el cuerpo se desplaza a lo largo de la trayectoria circunferencial. (na revolución es equivalente a 1F ó π radianes. -uando se habla de la velocidad angular de un cuerpo, se refiere a la variación del desplazamiento angular que e!perimenta por unidad de tiempo. e e!presa en radianes;s o bien, grados;s, revolución;s, o revolución;min Gconocida como MP+H. i un cuerpo se desplaza un ángulo @ θ@ radianes en un tiempo de @t@ segundos, su velocidad angular media Grad;sH se define por la relación% 8I9 7onde$ ω% velocidad angular promedia, rad;s θ % desplazamiento angular, radianes t% tiempo, s "a frecuencia angular, e!presa el nBmero de radianes que el cuerpo se desplaza en un segundo. "a unidad de la frecuencia en el istema
e e!presa en radianes por segundo cuadrado. i la velocidad angular de un cuerpo varía de @'o@ a @'t@ en rad;s en @t@ segundos, resulta% 8/*9 7onde% α: aceleración angular, rad;s ωt% velocidad angular final, rad;s ωo% velocidad angular inicial, rad;s t% tiempo, s "as relaciones entre las magnitudes lineales y angulares en el movimiento circular son% ? θ.M 8/9 7onde% θ: desplazamiento angular, rad M% radio de la circunferencia trazada, m % arco de circunferencia, m v ? ' . M 8/9 7onde% v : velocidad tangencial, m;s M% radio de la circunferencia trazada, m ϖ% velocidad angular, rad;s a ? α. M 8//9 7onde% a : aceleración tangencial, m;s M% radio de la circunferencia trazada, m α% aceleración angular, rad;s "as ecuaciones del movimiento de rotación uniformemente acelerado son análogas a las del movimiento lineal. ean vo y 'o las velocidades iniciales lineal y angular, respectivamente y, vt y 't las correspondientes finales. En estas condiciones% 't ? 'o α.t 8/09 s ? 'ot *; α.t 8/19 't ? 'o . α. θ 8/39
+i,(ra 3. Partícula que se traslada a lo largo de una trayectoria circular. -uando un cuerpo está dotado de un movimiento de rotación uniforme, aunque el módulo de la velocidad es constante, la dirección varía constantemente. -omo la velocidad es una magnitud vectorial y, por tanto, además de módulo posee dirección y sentido, resulta evidente que en cualquier movimiento de rotación uniforme e!iste una aceleración provocada por el cambio continuo de dirección, dicha aceleración es conocida como aceleración normal, central o radial 82igura 09. "a dirección del vector aceleración es perpendicular a la dirección de la velocidad y su sentido es hacia el centro de la circunferencia 8si no fuera así, habría una componente de aceleración en la dirección de la velocidad y el módulo de la velocidad no se mantendría constante9. El módulo de esta aceleración central a& que se denomina aceleración centrípeta 8tambi#n denominada% normal, radial o central9 es% 8/49 7onde% an : aceleración centrípeta, m;s v% velocidad tangencial, m;s M% Madio de curvatura, m Ktras e!presiones equivalentes, a la Ecuación /4, son% 8/I9 80F9
7onde% f : frecuencia angular, Certz ϖ% velocidad angular, rad;s M% Madio de curvatura, m "a 2igura 0 muestra que conforme la partícula se mueve a lo largo de la trayectoria circular curva la dirección del vector aceleración total, , cambia de un punto a otro. Este vector puede descomponerse en dos componentes ortogonales$ un vector componente radial,
, Gel cual se e!plicó con detalle anteriormenteH, y
un vector componente tangencial, . Es decir, el vector aceleración total puede escribirse como la suma vectorial de estos vectores componentes% 80*9 "a aceleración tangencial proviene del cambio en la velocidad de la partícula. u dirección es la misma del vector velocidad lineal, y se define como% 809 K sea, la aceleración tangencial es equivalente a la razón de cambio del vector velocidad tangencial. 7e la Ecuación /4 y Ecuación 0, se infiere que un móvil que describa un trayectoria circular siempre poseerá una aceleración asociada, inclusive si la velocidad tangencial fuese constante. 1.5 Canti"a" "e m%imient% ! $a) $e!e) "e Ne6t%n "e$ m%imient%. En el campo de la ingeniería, cantidad de movimiento se vincula con momento lineal. "a cantidad de movimiento, se define como el producto de la masa de una partícula y su velocidad. El momento lineal es una cantidad vectorial, pues es igual al producto de una unidad escalar% masa, y un vector, 8velocidad9. u dirección está a lo largo de, , y tiene por dimensión Ng.m;s en el istema
PROBLEMAS PROPUESTOS CON RESPUESTAS
A.7 Cinemtica ect%ria$ *.
"a ecuación de la trayectoria descrita por un punto vectorial es , para . En el instante t ? F el móvil pasa por el origen de las coordenadas 8! ? F$ y ? F9. "a proyección del movimiento sobre el eje de las x es un movimiento uniformemente acelerado,
. 7eterminar$ • "a velocidad del móvil al pasar del origen. S%$. Fi /j •
El instante en el cual el vector velocidad forma un ángulo de F con el eje !. S%$. t ? F,43 s
•
"as componentes intrínsecas del vector aceleración, y el radio de curvatura de la trayectoria en el instante t ? segundos. S%$. atg ? ,3 m;s $ an ? ,I m;s $ ρ ? *0F m *.
e lanza un proyectil desde un punto de coordenadas ) ? 8,,*9 con velocidad
en un lugar donde el vector aceleración de gravedad
es$ . 7etermine para un tiempo gen#rico t los vectores% :ector aceleración. S%$. a8t9 ? Fi A *Fj FN • •
:ector velocidad. S%$. v8t9 ? i A 8*Ft A /9j
•
:ector posición. S%$. r8t9 ? 8 t9i A 80t A /t A 9j N
•
"a ecuación de la trayectoria. S%$. y8!9 ? = 80;I9! 8I1;39! A 80*;39
•
"as componentes intrínsecas de la aceleración. S%$.
•
El v#rtice de la parábola descrita. S%$. 8 9 14:3 ; ! 9 1<:3 *.
"a figura adjunta una escalera, que se desliza sobre una pared vertical permaneciendo siempre su e!tremo ) en contacto con la pared, además, el e!tremo O de dicha escalera desliza sobre un plano horizontal permaneciendo siempre en contacto con este. i el movimiento de la escalinata viene definido por$
, en donde S es una constante. 7etermine% • "a trayectoria del punto +. S%$. ! y ? ";/ 8ecuación de una circunferencia9 •
"a velocidad del punto +. S%$. v8t9 ? = 8";9 N sin8Nt9i 8";9 N cos8Nt9j
•
"a aceleración de dicho punto. S%$. a8t9 ? = 8";9 N cos8Nt9i 8";9 N sin8Nt9j
/.
7etermine% :ector velocidad de la partícula. S%$. :ector aceleración de la partícula. S%$. )celeración normal de la partícula para un tiempo gen#rico t. S%$. an ? Ia m;s )celeración tangencial de la partícula para un tiempo gen#rico t. S%$. at ? F m;s Madio de curvatura de la partícula para un tiempo gen#rico t. S%$. T>u# trayectoria describe la partículaU S%$. (na circunferencia de radio a. 0. (na partícula describe una trayectoria dada por la siguiente ecuación vectorial% 1.
(na partícula se desplaza en el espacio describiendo una trayectoria dada por las siguientes ecuaciones param#tricas%
7onde es una función del tiempo 7etermínese%
•
:ector velocidad. S%$.
•
:ector
H
aceleración. S%$. •
-omponentes intrínsecas de la aceleración. S%$.
•
El radio de curvatura. S%$. a
•
T>u# trayectoria describe la partículaU S%$. una circunferencia de radio a.
B.7 M%imient% re$ati% *.
Ceather en su -orvette acelera a razón de
m;s, en tanto que Rill en
su Raguar acelera a m;s. )mbas parten del reposo en el origen de un sistema de coordenadas xy. 7espu#s de 0 segundos, cual% T-uál es la velocidad de Ceather respecto de RillU S%$. :h;j ? *Fi A 0j • •
T-uál es la distancia que la separaU S%$. Mh;j ? 13,* m
•
T-uál es la aceleración de Ceather respecto de RillU S%$. ah;j ? i A 0j .
-uando el sol está directamente arriba, un halcón se mueve hacia el suelo a una velocidad de 0,FF m;s. i la dirección de su movimiento está a un ángulo de 1F debajo de la horizontal, calcule la velocidad de su sombra que se mueve a lo largo del suelo. S%$. :s ? ,0 m;s
.
El piloto de un avión observa que la brBjula indica que va rumbo al oeste. "a velocidad del avión relativa al aire es de *0F Sm;h. i hay un viento de F Sm;h hacia el norte, encuentre la velocidad del avión relativa al suelo. S%$. :a ? */1,I1 Sm;h
/.
(n hombre que guía a trav#s de una tormenta a 4F Sm;h observa que las gotas de lluvia dejan trazas en las ventanas laterales haciendo un ángulo de 4F con la vertical. -uando #l detiene su auto, observa que la lluvia esta cayendo realmente en forma vertical. -alcBlese la velocidad relativa de la lluvia con respecto al auto%
•
-uando esta detenido. S%$% /1F,3 Sm;h
•
-uando se desplaza a 4F Sm;h. S%$% 4*, Sm;h
0.
7os autos que se desplazan en caminos perpendiculares viajan hacia el norte y el este respectivamente. i sus velocidades con respecto a tierra son de 1F Sm;h y 4F Sm;h, calcular su velocidad relativa. T7epende la velocidad relativa de la posición de los autos en sus respectivos caminosU. Mepetir el problema, suponiendo que el segundo auto se desplaza hacia el oeste. S%$. *FF Sm;h
1.
(n río fluye hacia el norte a una velocidad de Sm;h. (n bote se dirige al este con una velocidad relativa al agua de / Sm;h. -alcular% :elocidad del bote con respecto a la tierra S%$% 0 Sm;h
• •
i el río tiene * Sm de ancho, calcular el tiempo necesario para realizar el cruce. S%$. F, hr
•
T-uál es la desviación hacia el norte del bote cuando llegue a la otra orilla del río. S%$% 0,* grados
C.7 Cinemtica "e m%imient%) en e$ =$an% *. S%$. :ector posición% !8t9 ? 8*;9t A *1t A *I; $ :ector velocidad% v8t9 ? t A *1$ :ector aceleración% a8t9 ? t. . "a aceleración de una partícula es directamente proporcional al tiempo. En t ? F, la velocidad de la partícula es de A*1 m;s. abiendo que tanto la velocidad como la coordenada de posición son cero cuando t ? / s, escribir las ecuaciones del movimiento de la partícula. .
(n automóvil recorre /F m en F s sometido a una aceleración constante de F, m;s. -alcular%
•
:elocidad inicial. S%$. :o ? 0 m;s
•
:elocidad final. S%$. :f ? ** m;s
•
Espacio recorrido durante los primeros *F s. ol . " 9 4> m .
"a rapidez con que fue lanzada la piedra. S%$. :o ? *F,FI0 m;s
• •
e lanza una piedra verticalmente hacia arriba desde un punto situado a *0 pies por encima del agua. i la piedra toca la superficie del agua en / s despu#s de ser lanzada, determine%
"a rapidez con la cual la piedra llega a la superficie del agua. S%$. :j ? I,* m;s 0.
El movimiento de una partícula se define por la relación%
•
El tiempo en el cual la velocidad se hace cero. S%$. t ? 0 s
•
"a posición cuando t ? 4. S%$. ! ? */ m 1.
El
movimiento
de
una
partícula
se
describa
por
la
función
vectorial% •
El instante en que la velocidad se hace cero. S%$. en ningBn instante.
•
"a posición cuando la aceleración se hace cero. S%$. ! ? m 3.
(na pelota se lanza horizontalmente desde la azotea de un edificio de 0 m de altura. "a pelota golpea el suelo en un punto a 4F m desde la base del edificio. Encuentre%
•
El tiempo que la pelota permanece en vuelo. S%$. tv ? ,13 s
•
"a velocidad inicial de la pelota. S%$. vo ? F m;s
•
"as componentes @!@ y @y@ de la velocidad justo antes de que la pelota pegue en el suelo. S%$. :! ? F m;s$ :y ? 1, m;s
•
"a velocidad total justo en el momento que pegue en el suelo. S%$. :t ? I,4 m;s 4.
(n bombero ubicado a 0F m de un edificio en llamas dirige un chorro de agua de una manguera a un ángulo de F con la horizontal. i la velocidad inicial de la corriente de agua es /F m;s. T) qu# altura el agua incide en la superficie del edificioU S%$. y ? *0,4 m
I.
e dispara un proyectil hacia arriba de una pendiente 8con un ángulo φ9 con una velocidad inicial :o, a un ángulo θο respecto a la horizontal 8θο Vφ9, como se muestra en la figura. +uestre que el proyectil recorre una distancia @d@ hacia arriba de la pendiente, dado por%
*F.
7esde la cima de una torre de 4F m de altura se lanza una piedra en dirección vertical y hacia arriba con una velocidad de F m;s. -alcular la má!ima altura alcanzada por la piedra y la velocidad con la que llegará al suelo. S%$% L má!. ? /0,43 m$ : f ? /I,1I m;s
**.
e tira una piedra hacia arriba desde el fondo de un pozo el cual tiene 44 pies de profundidad, con una velocidad inicial de /F pies;s. -alcular el tiempo que demorará la piedra en alcanzar el borde del pozo, y su velocidad. 7iscutir las respuestas posibles. S%$% F,31 s, */,03 s
*.
e tiran dos cuerpos verticalmente hacia arriba, con la misma velocidad de salida de *FF m;s, pero separados / s. T>u# tiempo transcurrirá desde que se lanzó el primero para que se vuelvan a encontrarU. S%$% 4,*I s
D.7 Dinmica
*. .
.
(n pequeWo insecto es colocado entre dos bloques de masa m* y m 8en donde m*V m9 sobre una mesa sin fricción. (na fuerza horizontal, +, puede aplicarse ya sea a m* o a m 8como muestra la figura9 . TEn cuál de los dos casos el insecto tiene mayor oportunidad de sobrevivirU. E!plique. S%$. cuando se aplica 2 sobre m* (n ascensor arranca hacia arriba con una aceleración constante de forma que a los F,4 s ha ascendido * m. 7entro de #l va un hombre que lleva un paquete de & colgado de un hilo. -alcular la tensión en el hilo. S%$. ,I01 &
/.
(n plano inclinado forma un ángulo de F con la horizontal. -alcular la fuerza constante paralela al plano que se necesita aplicar a un bloque de /F & de peso para desplazarlo%
•
Cacia arriba con una aceleración de * m;s. e supone que no hay rozamiento. S%$. /,F3 &
•
Cacia abajo con una aceleración de * m;s. e supone que no hay rozamiento. S%$. *0,I & *.
-alcular la fuerza horizontal que es necesario aplicar a un cuerpo de 0F & de peso para desplazarlo con velocidad uniforme, sobre una superficie horizontal, siendo el coeficiente de rozamiento F,. abiendo que la fuerza horizontal que es necesaria aplicar a un cuerpo de *0F & de peso para desplazarlo sobre una superficie horizontal con velocidad uniforme es de F &, calcular el coeficiente cin#tico de rozamiento. S%$. *F &$ F,
.
(n bloque de metal se coloca sobre una tabla horizontal que se va inclinando gradualmente. -uando la tabla forma un ángulo de 3 con la horizontal, el bloque esta a punto de comenzar su desplazamiento. -alcular el coeficiente de roce cin#tico. S%$. F,0FI
.
7e los e!tremos de una cuerda, que pasa por una polea sin rozamiento, pende dos cargas de y 1 & de peso. -alcular la aceleración y la tensión de la cuerda. S%$. 6 ? &, a ? /,IF0 m;s
/.
-alcular la fuerza constante de rozamiento necesaria para detener en 0 segundos un automóvil de *.0FF & de peso que marcha a una velocidad de IF Sm;h. T>u# espacio recorrerá hasta detenerseU S%$. 2 ? 31/,0 &, d ? 1,0 m
0.
T>u# fuerza hacia arriba se debe aplicar a un cuerpo de 0F & de peso para que su aceleración de caída sea de m;sU S%$. /,3FI &
1.
"os tres bloques de la figura están conectados por medio de una cuerda sin masa que pasan por las poleas sin fricción. "a aceleración del sistema es ,0 m;s a la izquierda y las superficies son rugosas. 7etermine% las tensiones en las cuerdas. S%$. 6* ? 3/.1 &, 6 ? /,31 &$ El coeficiente entre los bloques y las superficies. 8 uponga la misma X para ambos bloques9 S%$. F,03
*F.
(na camioneta acelera cuando desciende por una colina, partiendo desde el reposo hasta F m;s en 1 s. 7urante la aceleración, un juguete 8m ? *FF g9 cuelga de una cuerda del techo. "a aceleración es tal que la cuerda permanece perpendicular al techo. 7etermine. . S%$. F,1/ grados
•
El ángulo θ
•
"a tensión en la cuerda S%$. F,4/ & **.
(n objeto de F,/F Sg se balancea en una trayectoria circular a trav#s de una cuerda de F,0F m de largo. i se mantienen una velocidad constante de / m;s. T-uál es la tensión de la cuerda cuando el objeto en el punto más alto del circuloU S%$. 4,431 &
*.
(n bloque de metal se coloca sobre una tabla horizontal que se va inclinando gradualmente. -uando la tabla forma un ángulo de 3 con la horizontal, el bloque está a punto de comenzar su desplazamiento. -alcBlese el coeficiente de rozamiento estático entre el bloque y la mesa. S%$. µ ? F,0FI0
*.
El peso de una ascensor es de *.FF &. -alcular la tensión en los cables cuando% )sciende con una aceleración de * m;s. S%$. 6 ? *., &
•
7esciende con una aceleración de * m;s. S%$. 6 ? *.F33,130 &
•
**. *.
7os mulas halan un carguero en un canal mediante sogas atadas a la proa del carguero. El ángulo entre las sogas es de /F y la tensión en las cuerdas es de .0FF & y .FFF & respectivamente. -onsiderando que la masa del carguero es de *.3FF Ng. T-uál sería la aceleración si el agua no ofreciera resistenciaU S%$. ,/43
•
m;s
•
i el carguero se desplaza con movimiento uniforme, Tcuál es la resistencia del aguaU S%$. /.4,1 & **. *.
(n ascensor cuya masa es de 0F Ng lleva tres personas cuyas masas son 1F Ng, 4F Ng y *FF Ng, y la fuerza ejercida por el motor es de 0.FFF &.
•
T-on qu# aceleración subirá el ascensorU S%$. F,I/ m;s
•
Partiendo del reposo, Tqu# altura alcanzará en 0 sU S%$. /,I0 m
**. *.
"as masas de ) y O en la 2igura adjunta son, respectivamente de *F Ng y 0 Ng. El coeficiente de fricción entre ) y la mesa es de F,F. Encontrar la masa mínima de - que evitará el movimiento de ). -alcular la aceleración del sistema si - se separa del sistema. S%$. *0 Sg$ *,I1 m;s
*.
(n ascensor vacío de una masa de 0.FFF Ng se desplaza verticalmente hacia abajo con una aceleración constante. Partiendo del reposo, recorre *FF pies en los primeros diez segundos. -alcular la tensión en el cable que sostiene el ascensor. S%$. /1.FF &
*/.
(n cuerpo cuya masa es de 1F Ng está parado en una balanza. i de repente se impulsa hacia arriba con una aceleración de /0 cm;s. T-uál será la lectura de la escalaU 7iscutir el efecto asociado con este problema cuando se aplica a una máquina que mide la aceleración del cuerpo midiendo la fuerza ejercida. 86al máquina, denominada acelerómetro, es una herramienta de mucha utilidad en la industria y en laboratorios de investigación.9 S%$. 30,1 &
*0.
(n bloque de masa F, Ng inicia su movimiento hacia arriba, sobre un plano inclinado a F con la horizontal, con una velocidad de * m;s. i el coeficiente de fricción de deslizamiento es de F,*1, determinar qu# distancia recorrerá el bloque sobre el plano antes de detenerse. T>u# velocidad tendrá el bloque al retornar 8si retorna9 a la base del planoU S%$. **,/I/ m, I,F4 m;s
F. *.
(n hombre cuya masa es de IF Ng se encuentra en un ascensor. 7eterminar la fuerza que ejerce el piso sobre el hombre cuando%
•
El ascensor asciende con velocidad uniforme. S%$. 44,I &
•
El ascensor baja con velocidad uniforme. S%$. 44,I &
•
El ascensor acelera hacia arriba a m;s. S%$. *.*0,I &
•
El ascensor acelera hacia abajo a m;s. S%$. 1*,I &
•
El cable se rompe y el ascensor cae libremente. S%$. F & *.
(n tren cuya masa es de *FF toneladas sube un terreno que se eleva * pie cada / pies de longitud. "a tracción del tren es de I.FFF
.
(n bloque cuya masa es Ng está colocado encima de otro bloque de masa de 0 Ng. uponer que no hay fricción entre el bloque de 0 Ng y la superficie sobre la cual reposa. "os coeficientes de fricción estático y de deslizamiento entre los bloques son F, y F,* respectivamente,
•
T-uál es la má!ima fuerza que puede aplicarse a cualquier bloque de modo de deslizar todo el sistema y mantener los bloques juntosU S%$. 0.441 &
•
T-uál es la aceleración cuando se aplica la fuerza má!imaU S%$. F,303 m;s *.
7eterminar la fuerza de fricción ejercida por el aire sobre un cuerpo cuya masa es de F,/ Ng si cae con una aceleración de I,F m;s. S%$. F,/ &
PREGUNTAS DE RA?ONAMIENTO a. (n pasajero sentado en la parte trasera de un autobBs afirma que se lastimo cuando el conductor aplicó precipitadamente los frenos, provocando que una maleta saliera volando hacia #l desde el frente del vehículo. i usted fuera juez de este caso, Tqu# decisión tomaríaU, TPor qu#U b.
T-uánto pesaría un astronauta en le espacio, lejos de cualquier planetaU
c.
i un auto viaja hacia el este con una velocidad constante de F m;s, Tcuál es la fuerza resultante que actBa sobre #lU
d.
(n estudiante argumenta que cuando un sat#lite gira la 6ierra en una trayectoria circular, el sat#lite se mueve con velocidad constante y, consecuentemente, no tiene aceleración. El profesor afirma que el estudiante está equivocado debido a que el sat#lite debe tener aceleración centrípeta cuando se mueve en su órbita circular. T >u# es incorrecto en el argumento del estudianteU
e.
e lanza un proyectil sobre la 6ierra con cierta velocidad inicial. Ktro proyectil se dispara sobre la "una con la misma velocidad inicial.
f.
)l final de su arco, la velocidad de un p#ndulo es cero. Tu aceleración es tambi#n cero en este puntoU
g.
En un juego de jalar la cuerda entre dos atletas, cada uno jala la cuerda con una fuerza de FF &. T-uál es la tensión en la cuerdaU
h.
(na pelota de plástico se deja caer al suelo. T>u# fuerza causa el rebote de la pelotaU
i.
>u# esta mal en el enunciado, @Puesto que el auto esta en reposo, no hay fuerzas que actBen sobre #l@ T-ómo corregiría esta oraciónU
j.
(na partícula que se mueve en línea recta a velocidad constante.
• •
E!plique si las siguientes partículas tienen aceleración o no%
(na partícula que se mueve alrededor de una curva con velocidad constante. a.
b.
upóngase que maneja un auto a alta velocidad por una autopista. TPor qu# evitaría frenar intempestivamente si desea detenerse en la distancia más cortaU i vendiera oro por peso, Tlo compraría en +#rida o en an -arlosU
c.
i un pequeWo auto deportivo choca de frente con un pesado camión, Tcuál de los dos vehículos sufre la mayor fuerza de impactoU, T-uál de los vehículos e!perimenta la mayor aceleraciónU. E!plique
d.
e lanza un proyectil sobre la 6ierra con cierta velocidad inicial. Ktro proyectil se dispara sobre la "una con la misma velocidad inicial.
e. f.
T>u# causa que un rociador giratorio de c#sped roteU El conductor de un camión vacío que circula a gran velocidad pisa los frenos y patina una distancia d hasta que se detiene.
•
i el camión transporta una carga pesada de manera que su masa se duplicara, Tqu# distancia patinaríaU
•
i la velocidad inicial del camión se redujera a la mitad, Tcuál sería la distancia que patinaríaU
PROBLEMAS PROPUESTOS SIN RESPUESTAS *.
ea el vector posición de una partícula vectorial%
. -alcBlese% :ector velocidad. • •
:ector aceleración.
•
-omponentes intrínsecas de la aceleración, así como el radio de curvatura.
•
TEn que instante no e!iste aceleración tangencialU. .
(n camión de ton. Proporciona una aceleración de pies ;seg a un remolque de 0 ton. i el camión ejerce la misma fuerza sobre el camino mientras jala un remolque de *0 ton, Tqu# aceleración se produceU
o
7etermine la aceleración de cada bloque y sus direcciones
o
7etermine las tensiones en las dos cuerdas
o
1. (n carro que viaja inicialmente hacia el este vira hacia el norte en una trayectoria circular a velocidad uniforme. "a longitud del arco )O- es de 0 m y la completa en 1 s. -alcBlese% -ual es la aceleración del carro cuando se encuentra en el punto O, localizado a un ángulo de 0 respecto a -. E!prese la respuesta en función de los vectores unitarios i, j.
o
7etermine la velocidad promedio del carro
o
7etermine la aceleración promedio durante el intervalo de 1 s 3.
:ector velocidad.
:ector aceleración.
Madio de curvatura 4.
(n tornillo cae del techo de un tren que está acelerando en dirección norte a una tasa de *F m;s. T-uál es la aceleración del tornillo relativa al vagón del trenU
I.
ea
el
vector
posición
de
una
partícula
vectorial%
. 7etermine%
:ector velocidad.
:ector aceleración.
-omponentes intrínsecas de la aceleración. *F.
ea
el
vector
posición
de
una
partícula
. 7etermine%
:ector velocidad.
:ector aceleración.
+agnitud de la velocidad cuando t ?* segundo. &ota% consid#rese
vectorial%
**.
ea
el
vector
posición
de
una
partícula
vectorial% ,en donde, t representa en tiempo. 7etermine%
:ector velocidad.
:ector aceleración.
-omponentes intrínsecas de la aceleración y radio de curvatura. *. *.
(n automóvil y un tren viajan con velocidades constantes, tal como lo indica la figura. El automóvil cruza el elevado segundos despu#s que el tren ha pasado el cruce. 7etermine% "a velocidad del tren relativa al automóvil.
*.
e lanza verticalmente una pelota de forma que al cabo de / segundos regresa de nuevo al punto de partida. -alcular la velocidad inicial con la que se lanzo.
*.
7esde un puente se lanza una piedra con una velocidad inicial de *F m;s y tarda segundos en llegar al agua. -alcular la velocidad que lleva la piedra en el momento de incidir en el agua y la altura del puente.
*/.
(na caja de peso ' es empujada por una fuerza 2 sobre un piso horizontal. i el coeficiente de fricción estático es , y 2 está dirigida a un ángulo debajo de la horizontal, demuestre que el valor mínimo de 2 que moverá la carga es%
*0.
(na esquiadora olímpica que baja a 0 m;s por una pendiente a F encuentra una región hBmeda de coeficiente de fricción igual a F,00. T-uánto desciende antes de detenerseU
*1.
(na masa de Sg se somete a una aceleración dada por a ? 8i 0j9 m;s. 7etermine la fuerza resultante y su magnitud.
*3.
7os bloques de ,0F Sg y 4,FF Sg de masa se conectan por medio de una cuerda sin masa que pasa por una polea sin fricción. "as pendientes son sin fricción. Encuentre%
"a magnitud de la aceleración
"a tensión en la cuerda
*.
(n camión que se mueve horizontalmente a *0 m;s transporta una caja. i el coeficiente de fricción estático entre la caja y el camión es F,/F, determine la distancia mínima de frenado del camión de manera que la caja no deslice.
*/.
(n camión que se mueve horizontalmente a *FF m;s transporta una caja. i el coeficiente de fricción estático entre la caja y el camión es F.IF, determine la distancia mínima de frenado del camión de manera que la caja no deslice.
*0.
(na partícula se desplaza en el espacio describiendo una trayectoria dada por el siguiente vector posición
7etermínese%
:ector velocidad cuando el tiempo es un segundo.
:ector aceleración cuando el tiempo es tres segundo.
-omponentes intrínsecas de la aceleración para un tiempo gen#rico t. T>u# tipo de trayectoria cree usted que describe la partículaU
*.
-alcular la fuerza constante de rozamiento necesaria para detener en *0 segundos un automóvil de *0.FFF & de peso que marcha a una velocidad de FF Sm;h. T>u# distancia recorrerá hasta detenerseU
*/.
(n bloque se desliza hacia abajo por un plano sin fricción que tiene una inclinación de *0. i el bloque parte de reposo en la parte superior y la longitud de la pendiente es .F m, encuentre%
"a magnitud de la aceleración del bloque.
"a velocidad cuando alcanza el pie de la pendiente. *.
"a masa m* sobre una mesa horizontal sin fricción se conecta a la masa m por medio de una polea sin masa P* y una polea fija sin masa P como se muestra en la figura adjunta. i a* y a son las magnitudes de las aceleraciones de m* y m, respectivamente, Tcuál es la relación entre estas aceleracionesU
7etermine e!presiones gen#ricas para las tensiones en función de m*, m y g "as aceleraciones en función de m*, m y g
*. */.
Cace apro!imadamente FF aWos, -harles -oulomb inventó el tribómetro, un dispositivo para investigar la fricción estática. El instrumento se representa de manera esquemática en la figura adjunta. Para determinar el coeficiente de fricción estático, la masa colgante + aumenta o disminuye segBn sea necesario hasta que m est# a punto de deslizarse. 7emuestre que%
*0.
(n hombre de 3 Sg está parado sobre una balanza de resorte en u elevador. Partiendo de reposo, el elevador asciende y alcanza su velocidad má!ima de *, m;s en F,4F s. e desplaza con esta velocidad constante durante los siguientes 0 segundos. El acelerador e!perimenta una desaceleración uniforme en la dirección @y@ negativa durante *,0 segundo y se detiene. T>u# pasa con el registro de la balanza% )ntes que el elevador comience a moverse.
7urante los primeros F,4 segundos.
+ientras el elevador se mueve a velocidad constante.
7urante el tiempo que desacelera. *.
ea
el
vector
vectorial%
posición
de
,en donde
, 7etermine%
:ector velocidad.
:ector aceleración.
una
partícula
-omponentes intrínsecas de la aceleración.
Madio de curvatura. *.
(na piedra es lanzada verticalmente hacia arriba desde el techo de un edificio con una velocidad de I,/ m;s. Ktra piedra se deja caer / segundos despu#s que se lanza la primera. 7emostrar que la primera piedra pasará a la segunda e!actamente / s despu#s que se soltó la segunda.
*/.
(n bloque de 0F & de peso está sobre una superficie horizontal y se mueve a lo largo de ella por la acción de una cuerda paralela a la superficie cuyo otro e!tremo está unido, a trav#s de una polea sin rozamiento, a un cuerpo de * & de peso. abiendo que el coeficiente de rozamiento es igual a F,. -alcBlese el espacio que recorrerá el primer cuerpo a los *F segundos de iniciarse el movimiento.
*0.
(n hombre de 4F & de peso está dentro de un ascensor que desciende con una aceleración uniforme de * m;s. -alcular la fuerza que el hombre ejerce sobre dicho ascensor.
*1.
(n paracaidista de 3F Sg de masa se lanza libremente al espacio desde el reposo y a los 0 segundos del instante de lanzamiento abre su paracaídas. Este tarda en abrirse por completo F,4 segundos y la velocidad pasa a * m;s cuando esta totalmente abierto. -alcular la fuerza media ejercida sobre las cuerdas del paracaídas, suponiendo que #ste carece de peso.
*3.
-alcular la fuerza horizontal que es necesario aplicar a un cuerpo de 0F & 8peso9 para desplazarlo con velocidad uniforme sobre una superficie horizontal, siendo el coeficiente de rozamiento F,. abiendo que la fuerza horizontal que es necesario aplicar a un cuerpo de *0F & 8peso9 para desplazarlo sobre una superficie horizontal con velocidad uniforme es de F &, calcular el coeficiente cin#tico de rozamiento.
*4.
(n bloque de *FF & 8peso9 se mueve a lo largo de una superficie horizontal rugosa por la acción de una fuerza de 0F & que forma un ángulo de F con la horizontal. abiendo que el coeficiente de rozamiento es igual a F,. -alcBlese el espacio recorrido por el bloque a los *F segundos de iniciarse el movimiento partiendo de reposo.
*I.
7e los e!tremos de una cuerda, que pasa por una polea sin rozamiento, penden dos cargas% m* y m de masa. -alcular el valor de las masas, sabiendo que la aceleración del sistema es 0 m;s y la tensión de la cuerda &.
F.
(n jugador de fBtbol ejecuta un tiro libre, lanzando la pelota con un ángulo de FY con respecto a la horizontal y con una velocidad de F m;s. (n segundo jugador corre para alcanzar la pelota con una velocidad constante, partiendo al mismo tiempo que ella desde F m más delante de la posición de disparo. 7espreciando el tiempo que necesita para arrancar, calcular con qu# velocidad debe correr para alcanzar la pelota cuando #sta llegue al suelo.
*.
(na avioneta cuya velocidad respecto del aire es F0 Nm;h, pasa sobre la ciudad ), dirigi#ndose hacia la ciudad O situada /FF Nm al norte de ). "a oficina meteorológica en tierra le informa que sopla viento en dirección Este=Keste, a /0 Nm;h.
7eterminar la dirección en que se desplaza la avioneta en esas condiciones. Callar el ángulo que debe desviar su rumbo, para desplazarse efectivamente hacia O, suponiendo que se mantienen constantes las velocidades. Callar cuánto tardará en llegar.
*.
En una obra en construcción se tira verticalmente hacia arriba desde los *0 m de altura un martillo con velocidad inicial de /F m;s, en el mismo momento, a 4 m de altura, sube un montacargas con velocidad constante de m;s, si el martillo no pudo ser atajado, Tcuánto tiempo despu#s y a que altura chocará con el montacargasU
*/.
El maquinista de un tren que avanza con una velocidad v* advierte delante de #l, a una distancia d, la cola de un tren de carga que se mueve en su mismo sentido, con un velocidad v constante, menor que la suya. 2rena entonces, con aceleración constante, determinar el mínimo valor del módulo de dicha aceleración, para evitar el choque.
*0.
En el instante en que un semáforo da luz verde, un automóvil, que había estado detenido en el cruce, arranca recto con una aceleración constante de m;s. )l mismo tiempo una camioneta, con velocidad constante de *F m;s, le da alcance y lo pasa. 7eterminar%
T) qu# distancia de su punto de partida el automóvil alcanzará a la camionetaU. T) qu# velocidad lo haráU
*.
(n remero observa en la otra orilla del río, justo frente a su muelle, una torre$ cruza el río perpendicularmente a la orilla con una
velocidad de Nm;h y alcanza la otra orilla a 1FF m de la torre. -alcular la velocidad de la corriente si el ancho del río es de FF m. */.
(n motociclista detenido en una esquina arranca con una aceleración de F,FF m;s. En el mismo momento un automóvil lo pasa y sigue con una velocidad constante de 3F Nm;h, calcular%
T-uánto tarda el motociclista en alcanzar al automóvilU.
T) qu# distancia de la esquina ocurre estoU. *.
En un día de verano en que no hay viento se descarga un chaparrón, de modo tal que las gotas de agua siguen trayectorias verticales. El conductor de un auto que marcha a *F Nm;h ve que las gotas llegan en dirección vertical al parabrisas. abiendo que el parabrisas forma un ángulo de 1FY con la horizontal, determinar% "a velocidad con que descienden las gotas de lluvia vistas
desde tierra. "a velocidad con que golpean al parabrisas.
*.
7os masas, m* ? *,10 Sg y m ? ,F Sg, unidas por medio de una varilla sin masa, paralela al plano inclinado sobre el cual ambas resbalan, van bajando por el plano de manera que m* va jalada por m. El ángulo de inclinación es F. El coeficiente de rozamiento cin#tico entre m* y el plano inclinado es µ ? F,1, el coeficiente de rozamiento cin#tico entre m y el plano inclinado es µ ? F,**. -alcular%
"a tensión en la varilla que un m* con m.
"a aceleración comBn de las dos masas.
*. */.
Cállese la aceleración de los bloques en función de m*, m y g. 7espr#ciense todas las fuerzas de rozamiento, así como las masas de las poleas.
*0.
e lanza un paquete hacia arriba por una rampa inclinada F, con una velocidad inicial de *F m;s, llegando al punto O, a partir del cual se desliza hacia abajo hasta ) 8punto de salida9. abiendo que la distancia de O a ) vale 4,0 m. -alcBlese el coeficiente de rozamiento entre la rampa y el bloquecito.
*1.
(n punto se mueve a lo largo de una recta con una velocidad cm;seg. 7etermínese la aceleración y el desplazamiento cuando t ? segundos.
*3.
(na partícula se mueve sobre la trayectoria y ? ) A O.!. En ! ? a, la rapidez de la partícula es v. Callar !, y$ además la componente normal de la aceleración en ese punto.
*4.
El movimiento de un punto está dado por las ecuaciones Z ? at y L ? bt A gt;. Cállese las aceleraciones normal y tangencial del punto como una función de su posición.
*I.
(na esfera de ,0 Sg está suspendida por una cuerda de *, m de longitud. e le da un golpe y adquiere una velocidad horizontal de 1,4 m;s. Callar la tensión de la cuerda inmediatamente despu#s del golpe.
F.
7urante el movimiento acelerado la bola de 0 Sg forma un ángulo constante ϕ. "as masas de las poleas y del bloque ) que desliza, así como todas las fuerzas de rozamiento se desprecian. 7eterminar%
El ángulo ϕ.
"a tensión en la cuerda que une ) con el peso de *0 Sg.
*. */.
(n foco cuelga del techo de un trailer que esta acelerado a razón de *,F m;s. Callar el ángulo que forma el cable con la vertical. El foco tiene una masa de 0F g. 7atos% m*? *F Ng m ? * Ng
*0.
"a cuerda se rompe para una tensión de *.FFF &. -alcular la fuerza con la que hay que tirar de m*, para que se rompa la cuerda si µ ? F,* entre los dos cuerpos, y µ ? F, entre m* y la superficie.
*1.
(n coche el#ctrico pesa *F N& y se mueve horizontalmente alcanzando una velocidad má!ima de 0 m;s cuando el motor desarrolla su má!ima potencia de /4 N[. -alcular la velocidad má!ima cuando suba por una pendiente de 0, si la resistencia del aire no varía.
*3.
(n muelle de constante recuperadora N ? FF &;m está comprimido *F cm. (na masa de 0FF g está situada en el e!tremo del muelle. El muelle al e!pandirse empuja la masa, y #sta sale despedida, calcular%
"a cantidad de movimiento con que la masa sale despedida.
6rabajo realizado por el muelle a lo largo de los *F cm.
BIBLIOGRA+@A RECOMENDADA )lonso, +. y 2inn, E. 8*I419 Física. Volumen I: Mecánica . )ddison A [esley
