Dimensionamiento Dimensionamiento de motores Por Escuela del Técnico Electricista
Cálculo de la potencia de un motor. (a) Momento de inercia y módulo de inercia Al poner un motor en marcha, el par motor M m desarrollado por el mismo tendrá que vencer en los primeros primero s momentos no solamente solament e las resistencias resiste ncias de rozamiento y de trabajo; o sea, el momento de carga M 1 sino que tendrá también que acelerar las masas, es decir, llevarlas desde el estado de reposo (velocidad nula) hasta la velocidad final v. Conociendo exactamente las condiciones de arranque, puede calcularse de antemano el tiempo tiempo de arranque de un electromotor. Cuando a una masa m de peso G se le quiere comunicar una aceleración a (m/seg2 ), se necesita una fuerza F= m a = a G/ g , siendo g = 9,81 m/seg 2 . Si la fuerza F se mantiene constante durante el tiempo t , entonces la aceleración a es también constante; la velocidad aumenta proporcionalmente al tiempo t y la velocidad final conseguida resulta ser v= a t , de donde a = v/t. El camino recorrido es igual a s = v t/ 2 metros; el trabajo desarrollado por la fuerza F durante dicho recorrido es igual a A = F s kilográmetros kilográmet ros (kgm), Este trabajo se hal la contenido en los cuerpo cu erposs en movimiento, bajo forma de energía energía cinética W. Poniendo los valores F, a y s en la última igualdad, se consigue la cantidad de energía almacenada en la masa m, desplazándose con la velocidad v: 2
W = m v /2 kgm o, como 1 kgm = 9,81 Wseg :
W =
W =
Gv 2
9,81 × 2 Gv 2
2000
× 9,81 =
Gv 2
2
Wseg , o sea:
kWseg
Esta ecuación se aplica únicamente a las masas con movimiento rectilíneo en las cuales todas las partes tienen la misma velocidad v. En las masas giratorias esta velocidad es variable; tiene su valor mínimo en la proximidad del eje de giro y es máxima en la periferia. Esta velocidad variable v puede ser sustituida por una velocidad angular ω común a todos los puntos de la masa: la velocidad de los puntos que se hallan a la distancia l del del eje de giro. Por lo tanto, la velocidad de las partículas que giran con el radio r es v = r ω ; siendo dm la masa de dichas partículas, su energía cinética será de dW = dm r 2 ω2 /2 y la energí energíaa total t otal de de todas las partículas:
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W =
ω2
2
∫
r 2 dm =
ω2
2
J
La expresión
∫
J = r 2dm
constituye el momento de inercia del cuerpo, dependiendo únicamente de sus dimensiones y de la repartición de la masa. En la práctica de los accionamientos mecánicos sólo suelen intervenir momentos de inercia de sólidos de revolución que tienen la forma de discos (por ej., acoplamientos), acoplamientos), de cilindros (por ej., ejes) o de anillos (por ej., tambores para cables, engranes, poleas de freno). Siendo G el pe so de este cuerpo cuerp o giratorio y D su diámetro de inercia o de giro, el momento de inercia viene dado por la fórmula J =
GD2
4 g
kg m2
La relación entre el diámetro de inercia D y el diámetro exterior De depende de la forma del cuerpo. Por eje eje mplo, para sólidos en forma de disco D = De / 2 para la mayor parte de los demás sólidos de revolución, dicha relación D/De oscila entre 0,65 y 0,75. Tiene especial importancia para el cálculo de los accionamientos mediante motor el numerador GD2 de la fórmula anterior que suele llamarse también módulo de inercia (o momento volante). Este módulo de inercia para inducidos de motores suele indicarse, por ejemplo, ejempl o, en las características característica s de estos últimos. últimos . Puede calcularse cuando se trata de sólidos de revolución de forma sencilla.
Fig 1 Cilindro c ircular
Para un cilindro circular, según la figura 1, el momento de inercia es igual a: J =
1000 γπr 4 L 2 g
1
Dimensionamiento de motores Siendo γ el peso específico del material que constituye el sólido, por ejemplo, para hierro γ = = 7,9. Los valores de r y y L, deben expresarse en metros. De esta forma resulta para el cilindro circular:
4 × 9 ,81× 1000 × γπ × De 4 × L = 393 GD = 4 gJ = 393 γ De 4 L 2 × g × 16 2
J =
GD
2
4 g
resultará para la energía almacenada: π 2 n2
2
GD2
n W = ⋅ = 140 GD2 kgm 90 9000 4 × 9,81 1000
o bien 2
n GD2 kWseg 1000
W = 1,37
Fig.2 Cilindro hueco
Para un cilindro hueco, según la figura 2, se obtiene el módulo de inercia, restando del cilindro de diámetro De el correspondiente al cilindro de diámetro Di , resultando así: GD
= 39 ( e 4 − Di4 ) 3933 γ L D
2
Poniendo De = 2 Di , resulta: GD 2
1 3933γ LDe 4 3933γ LDe 4 0,9375 = 39 1 − = 39 24
Es decir, que en este caso el mó dulo del cilindro hueco es solamente inferior en un 6 % al del cilindro macizo. Esto significa, por lo tanto, que la parte central del cilindro influye poco en el módulo de inercia. De esto se deduce es ta importante regla: para la determinación determinación del módulo de inercia de sólid s ólidos os de revolución puede prescindirse en general del cálculo correspondiente al buje, a los radios, etc., de tambores, poleas de freno y ruedas, sin cometer un gran error. La cantidad de energía almacenada en un cuerpo giratorio giratorio,, es según s egún se ha indicado, W =
ω2
2
J
Como ω representa la velocidad velocidad de los puntos con radio l y y siendo n el número de revoluciones, revoluciones , resulta: ω=
2πn πn = 60 30
poniendo
DM.eti.0403/001
b) Equivalencia entre las masas de movimiento rectilíneo y las de movimiento giratorio En muchos mecanismos de accionamiento por motor, como, por ejemplo, en las grúas, existen masas que se desplazan en línea recta y otras giran. Por lo tant o, es preciso componer compone r todas las energías energía s de movimiento movimien to en una única. Para esto se calcula la energía de movimiento de las masas con movimiento rectilíneo como si fuesen giratorias, sustituyendo las primeras por un nuevo módulo de inercia GD2 referido a un número de revoluciones n . Siendo G el peso de la masa que se desplaza con la velocidad v (m/seg), según la fórmula de la página 1 la energía de movimiento será W = =
Gv 2
2000
kWseg
Igualando esta energía con la de otra masa giratoria de módulo de inercia GD2 y con un número de revoluciones n , resulta, según las fórmulas de las páginas pág inas 1 y 2: 2
Gv 2
n = 1,37 GD2 2000 1000
de donde GD 2
2
v 3644G = 36 n
En esta fórmula no figura el rendimiento de la transformación del movimiento rectilí rectilíneo neo en giratorio. giratori o. Sin embargo, la transformación de los distintos movimientos se realiza siempre con pérdidas en los elementos intermedios (por ej., rozamiento en los cojinetes y en los dientes de los engranajes), y al determinar los efectos de los diversos módulos de inercia deben tenerse en cuenta los rendimientos de
2
Dimensionamiento de motores las transformaciones. Aquí debe distinguirse si el motor de accionamiento funciona como talo como generador (por ej., durante el frenado). En el primer caso el módulo de inercia de sustitución debe ser GD
2
2
2
n = GD1 2 1 n
y si se tiene en cuenta el rendimiento para el caso del motor funcionando como tal:
2
v 1 = 364 G n η M
GD x
siendo η M el rendimiento de motor funcionando como tal. Funcionando el motor como generador y siendo en este caso su rendimiento ηG resulta: GD2
GD x
2
1. Conversión del módulo de inercia de una masa girando con la velocidad n 1 en otro correspondiente al número de revoluciones del motor n . Sea una masa con módulo de inercia GD1 2 que gira con un número de revoluciones n1 sobre el eje a (fig. 3).
= GD1
2
1 n η M
2 n1
y para el caso del motor funcionando como generador (frenando) : GD x
v η = 364G n G
2
2
= GD1
2
η n G
2 n1
Cuando en un accionamiento por motor, éste, en un mismo ciclo, actúa alternativamente como motor y como generador, para un cálculo aproximado puede prescindirse del rendimiento, pues los errores así cometidos se c ompensan parcialmente. 2. Determinación del módulo comú n GD 2 de varias masas giratorias. Sea un motor común con velocidad n que acciona varias masas de módulos GD1 2 , GD2 2 , GD3 2 , etc. (fig. 4) mediante transmisiones con rendimientos η1 , η 2 y η 3 ; y con velocidades n , l n2 y n 3 , etc.
Fig.3 Conversión de un módulo de inercia para otra velocidad distinta
Dicha masa recibe un movimiento giratorio de un motor de velocidad n mediante una transmisión por engranes de rendimiento η. Se supone que el módulo de inercia de los engranes va incluido en el módulo 2 GD1 . Se trata de calcular el módulo referido al número de revoluciones del eje del motor. Como en ambos casos la energía almacenada debe ser la misma, se obtiene igualando: 2
2
n n GD 2 W = 1,37 1 GD1 2 = 1,37 1000 1000 x de donde se deduce:
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Fig 4. Accionamiento de varias masas rotativas
Se trata de hallar el módulo común referido al número de revoluciones del motor. Para ello se convierte cada uno de los distintos módulos a la velocidad del motor, y la suma de los nuevos módulos obtenidos dará el resultado deseado. El rendimiento en este caso será siempre el producto de los rendimientos de las transmisiones comprendidas entre la masa considerada y el eje del motor. De esta forma resulta, cuando el motor acciona:
3
Dimensionamiento de motores GD 2
2
n = GD12 1 n
+ GD3
1 η M 1η M 2η M 3
2
n + GD2 2 2 n
1 η M 2η M 3
Si, por el contrario, el motor funciona como generador: 2
GD
=
2 GD1
2
2
n1 η η η + GD 2 n2 η η + G1 G 2 G 3 G 2 G 3 2 n n 2
=
GD1
2
⋅ n1 2 + GD2 2 ⋅ n22 + GD32 ⋅ n 32 n
2
300 .000 × 0. 2 2 = 7 ,77 kgm2 2 750
2
2
250 = 10 = 1,11 kgm2 750
El módulo de las masas montadas sobre el eje del motor es dado e igual a: 2
= 5 kgm2
La suma de los módulos anteriores es:
Cuando por los motivos anteriormente indicados se hace caso omiso del rendimiento, se obtiene entonces la fórmula simplificada: 2
GD x 2
GD x3
n + GD32 3 η + ..... n G3
GD
= 364
El módulo de inercia de las masas girando con el número de revoluciones n 1 = 250 por minuto, referido al árbol del motor, es igual a :
2
1 + ..... n η M 3
2 n3
2
GD x1
+ ....
EJEMPLOS 1. Un puente-grúa, cuyo mecanismo está representado esquemáticamente en la figura 5, con un peso total de 300 T se desplaza con una velocidad de 0,2 m/seg sobre una vía horizontal. El valor de GD2 de las masas giratorias montadas sobre un árbol girando a 250 rev/min es de 10 kgm2 , El eje del motor gira a 750 rev/min y el valor de GD2 para las masas montadas sobre el mismo es igual a 5 kgm2, a) ¿Cuál es el módulo de inercia total prescindiendo del rendimiento? b) ¿Cuál es el valor de la energía almacenada en dichas masas?
GD
2
TOTAL
= 7 ,77 + 1,11 + 5 = 13 ,88 kgm2
b) La energía total es: 2
750 W = 137 × 13,88 = 10,65 kWseg 1000 2: Sea un aparato de levante según la figura 6 con las siguientes características: Peso de la jaula G1 =900kg, contrapeso G2 =1400kg, peso de la carga Q=1000kg.
Fig.5 Disposición de mecanismos en un puente grúa
Fig.6. Disposición del mecanismo de un aparato elevador
Solución: a) El módulo de inercia de las masas en movimiento rectilíneo referido al eje del motor, es igual a:
El tambor del cable gira con una velocidad n 1 =60rev/min y tiene un módulo de inercia igual a 2 2 GD1 = 5 kgm . La velocidad del eje del motor es n2 = 1000 rev/mín y el valor de GD 2 2 correspondiente a las masas montadas en el mismo es de 3 kgm2 . La
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4
Dimensionamiento de motores velocidad de desplazamiento es de 1 m/seg, Calcular el valor total de GD 2, a) Sin tener en cuenta los rendimientos, b) Teniendo en cuenta los rendimientos al levantar y al bajar la carga. Solución: a) Sin tener en cuenta los rendimientos:
GD x1
= 364 (900 + 1000 2+ 1400 ) = 1,2 kgm2 1000
Módulos de las masas montadas sobre el eje del tambor del cable : GD x 22
GD x 2
2
2
2
60 = 5 0,4 = 0,0072 1000
Módulo de las masas montadas sobre el eje del motor: GD32
= 3 kg m2
Módulo total: 0,48+0,0072+3=3,4872kgm2 Con este ejemplo, se ve que con un mecanismo de rendimiento malo pueden resultar grandes diferencias en el valor del módulo total.
2
60 = 5 = 0, 018 kgm2 1000
Módulo de las masas montadas sobre el eje del motor: GD3
1000
Módulo de las masas montadas sobre el eje del sinfín:
Módulos de las masas levantadas : 2
= 364 ( 900 + 1000 2+ 1400 ) 0,4 = 0, 48 kgm2
2
GD x1
= 3 kgm2
Módulo total: 1,2+0,018+3= 4,218kg m2
3: Sea la parte giratoria de una grúa, según la figura 7, con los siguientes valores: Peso de la parte giratoria G=10T; velocidad, n =2 vueltas por minuto; radio de giro de inercia, r =10 metros, número de revoluciones del motor, n M =950rev/min. El rendimiento mecánico del mecanismo entre motor y parte giratoria es de η=0,5.
b) Teniendo en cuenta el rendimiento de los mecanismos ( η M = 0,6 mecanismo de tornillo sinfín) y al levantar la carga.
Módulo de las masas levantadas:
= 364 ( 900 + 1000 2+ 1400 ) 1 = 2 kgm2
2
GD x1
1000
0,6
Módulo de las masas mo ntadas sobre el eje del tambor de cable: GD x 22
2 60 1 = 5 = 0, 03 kg m2 1000 0,6
Módulo de las masas montadas sobre el eje del motor : GD3
2
= 3 kgm2
Módulo total: 2+0,03+3=5,03kgm2 Al bajar la carga, con un rendimiento de η G=0,4 en el sinfín: Módulo de las masas bajadas:
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Fig. 7 Disposición d e un a grúa giratoria Solución: Dada la poca velocidad de la parte giratoria, puede considerarse ésta como desplazándose en línea recta, siendo la velocidad: v=
2 r πn 2 × 10 × 3,14 × 2 = = 2, 095 m/seg 60 60
El módulo será, por lo tanto:
5
Dimensionamiento de motores GD
2
2
2,095 1 = 364 × 10000 = 35,4 kgm2 950 0 ,5
c) Tiempo y recorrido de aceleración Entre el momento en que cesa el estado de reposo y aquel en que se consigue el máximo número de revoluciones transcurre cierto tiempo, el tiempo de aceleración, cuyo conocimiento es necesario para determinar las resistencias de arranque y también para la realización del servicio. Depende del módulo total de inercia GD2 referido al eje del motor y del par motor M que determina la aceleración de las masas. 1. Tiempo de aceleración con par motor constante. Es el caso más sencillo y se presenta frecuentemente en la práctica, por ejemplo, en los aparatos de levante, pues en éstos para levantar la carga y para vencer los rozamientos actúa un par resistente M R constante; también puede considerarse como constante el par del motor. Por lo tanto, para la aceleración de la masa m=G/g actúa el par M=M M -M R. La aceleración a provocada por dicho par es constante durante todo el período de aceleración. Siendo D el diámetro de giro de inercia en cuyo extremo se supone concentrada toda la masa m, la fuerza necesaria para la aceleración de dicha masa es igual a F = aG/ g , de lo cual se deduce el par acelerador M = FD/2 . De estas dos expresiones se deduce: a
=
2 M g D G
t =
nGD2 seg 375 M
n representa el número de revoluciones por minuto al cabo del tiempo t . La figura 8 representa el diagrama
de velocidades en caso de aceleración constante. Aquí también se adoptará como módulo de inercia el módulo total GD2 calculado con relación al eje del motor.
Fig 8. Diagrama de velocidad EJEMPLOS 1: Una grúa corredera de 100 T de peso total, incluida la carga, es accionada por un motor de una po tencia nominal de 40 kW. El número de revoluciones del motor a plena carga es n =600rev/min. El módulo de inercia del inducido del motor es GDm 2 =15 kgm2 . La velocidad final de la grúa debe ser v=80 m/min, o sea 80/ 60 = 1,33 metros por segundo. Solución: El módulo de inercia con relación al eje del motor, calculado con la fórmula de la página 2, es igual a :
y multiplicando los dos términos por D: a =
2 MgD D
2
=
a D / 2
= 4 Mg 2 GD
al cabo del tiempo t la velocidad angular será : ω = εt =
× 2 = 364 100000 1,33 = 180 kg m2 360000
El módulo total resulta ser :
La aceleración a es el aumento de velocidad con un radio D/2; esta aceleración referida al radio 1 se llama aceleración angular: ε
2
GDk
2πn πn = 60 30
de lo cual se deduce el tiempo de aceleración
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GD2
= 15 + 180 = 195 kg m2
Durante el arranque el motor desarrollará un par doble del nominal. Según la fórmula ya citada, el par con carga normal será: M = 0,973
N n
= 0,973 40000 = 66 mkg 600
Durante el arranque el par motor total será igual a: M m = 132 mkg. De este valor la mitad corresponde a las resistencias de rozamiento, es decir, que queda dis ponible un par de 66 kgm para la aceleración. Resulta así un periodo de aceleración de
6
Dimensionamiento de motores t =
600 ×195 = 4,7 seg 575 × 66
El trayecto recorrido es igual a s = t
v
2
número de revoluciones y, por lo tanto, también del estado de aceleración en cada momento. La figura 9, curva a, representa el par motor de un motor con rotor en corto circuito. La figura 10 representa la misma curva para un motor con rotor provisto de dobles barras.
= 4,7 × 1,33 = 3,1 m 2
2. Una masa con módulo de inercia total GD2 = 200 kgm2 debe adquirir en 20 seg un número de revoluciones n de 700 por minuto. Solución: El par necesario es, según la fórmula de la página 5, M =
nGD 2 375t
=
700 × 200 = 18,7 mkg 375 × 20
según la fórmula ya citada, la potencia del motor debe ser: N =
Mn
0,793
= 13,5 kW
Fig.10 Curva de par motor de un rotor con dobles barras
Según se ha indicado anteriormente, el par debido a la carga es constante en muchos casos, pero puede ser también variable, como, por ejemplo, durante el arranque de los ventiladores. En este caso el par es nulo estando el ventilador parado y aumenta como el cuadrado de la velocidad. La determinación del tiempo de aceleración y del recorrido correspondiente se suele realizar por métodos gráficos que se indicarán a continuación mediante algunos ejemplos.
Fig. 9. Curva de par motor con rotor en corto circuito, de corrientes parásitas (curva a)
2. Aceleración con par variable. Durante el período de aceleración pueden variar tanto el par de carga o resistente M R como el par motor M M Esta variación se suele representar por lo general gráficamente en función del número de revoluciones. En los motores cuyo arranque se efectúa mediante un reóstato adecuado o cualquier otro aparato de regulación análogo, puede conseguirse que el par motor medio M M permanezca aproximadamente constante durante todo el periodo de aceleración. En cambio, para motores que sólo tienen un escalón de arranque, como, por ejemplo, los de rotor en corto circuito, el par motor depende notablemente del
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Fig 11. Proceso de aceleración en motor DC serie
El proceso de aceleración de un motor de corriente continua en serie está representado por las curvas de
7
Dimensionamiento de motores la figura 11; indican la relación entre el par motor y el número de revoluciones en tantos por ciento del valor normal para las distintas posiciones, 1-7, de la palanca del reóstato de arranque. Las curvas dependen del número de contactos del reóstato y de la rapidez con que se maneja éste. Si el par resis tente de la carga es igual al cien por cien del valor nominal, el motor no se acelerará para las posiciones 1 y 2 de la citada palanca y sólo lo hará en la posición 3 que corresponde ya a 180 % del valor nominal. Al aumentar el número de revoluciones, baja el par del motor de acuerdo con la curva 3, por lo que al llegar al momento b debe llevarse la palanca al contacto siguiente. El par aumenta así hasta el punto c y la velocidad aumenta también según la curva 4. A cada cambio de contacto, el número de revoluciones aumenta así en esta forma siguiente la curva en zigzag desde a hasta i.
Por lo tanto, para un motor de corriente continua al serie puede tomarse como línea media del par la curva de la figura 12. Siendo constante el par resistente M R se obtienen los pares de aceleración como diferencias de las curvas M M -M R , según la curva M a . Para determinar el recorrido y el tiempo de aceleración se transforma dicha curva en una línea escalonada de 1 a 7. El número de escalones puede escogerse como convenga; cuanto mayor sea, tanto más exacto será el cálculo. Los escalones se determinan de forma que los pequeños triángulos situados a uno y otro lado de la línea sean aproximadamente equivalentes en superficie. Para cada uno de estos escalones puede considerarse el par motor como constante, mientras que el número de revoluciones aumenta con el valor de ∆n. El tiempo necesario para este aumento de velocidad puede ser calculado mediante la fórmula de la página 5, resultando: 2
∆n 375 M M − M R
∆t = GD
Puede así calcularse el tiempo ∆t para cada escalón; la suma de todos los valores ∆t representa el tiempo total de arranque t a . Cuando el movimiento es uniformemente acelerado, también puede calcularse el recorrido. Como durante el tiempo ∆t se ha considerado el par de giro como constante, aumenta también la velocidad v proporcionalmente al tiempo. El camino recorrido durante dicho tiempo es igual a
∆ s = ∆t
v
2
siendo v la velocidad al cabo del tiempo t . Fig. 12 Curva media de aceleración
EJEMPLOS Según se ha indicado ya la forma de es ta curva depende de la pericia del que maneja el reóstato. Sin embargo, puede tomarse para los cálculos, y para todo el periodo de aceleración un par con valor medio M M m . x que viene a ser aproximadamente igual a 1,65 También al acelerar con cargas inferiores al cien por cien pueden tomarse las mismas curvas; los contactos correspondientes a las curvas 1 y 2 s e considerarán como contactos previos. Únicamente cuando el motor ha conseguido su número de revoluciones normal (cien por cien) y cuando queda desconectada la resistencia de arranque sube el número de revoluciones según la curva 7 hasta el valor correspondiente a la carga.
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1. Sea una grúa con las siguientes características: Fuerza, 5000 kg; velocidad de levante, v = 1 m/seg ; rendimiento, η = 0,85. El accionamiento se realiza mediante un motor en serie de 60 kW de potencia con tiempo relativo de conexión de 25 %, n = 625 rev/min, 2 2 GD = 20,7 kgm . El módulo de inercia de la parte mecánica referido al eje del motor es igual a GD 12 = 10 kgm2 . Asimismo el valor total del módulo es GD2 = 30,7 kgm2 .Se trata de calcular el tiempo de aceleración t a y el trayecto recorrido s durante la aceleración con el gancho vacío, suponiendo que para el movimiento en estas condiciones el par motor necesario es igual al
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Dimensionamiento de motores 10 % del par nominal. Para la aceleración se tomará la curva de la figura 12. Solución: El par nominal del motor, según la fórmula ya citada, es igual a M = 0,973 = 0,973 60000 = 93,5 mkg n 625 N
Para el accionamiento del gancho vacío se necesita, por lo tanto, un par M = 0,1 x 93,5 = 9,35 mkg.
Si, además, se supone que el valor medio del par motor durante el arranque es igual a M A =1,65 M = 1,65 x 95,5 = 154 mkg
queda entonces para la aceleración un momento M a = M A - M = 154 -9,35 = 144,65 mkg.
Según puede verse en la figura 12, el número de revoluciones aumenta durante la aceleración en un 84% del valor nominal, o sea, que para este período resulta:
el par motor queda reducido entonces al 125 % del valor nominal o sea, a M A = 93,5 x 1,25 = 117 mkg. También en este caso el momento de aceleración será M a = M = 117- 9,35 = 107,65 mkg, y el tiempo A -M
∆t 2 = 30, 7 87,5 = 0, 066 seg 375 107 ,65
La velocidad aumenta proporcionalmente al número de revoluciones de 0,84 a 0,98 del valor nominal, o sea, que llega a 0,98 m/seg; su valor medio es v=
0,84 + 0,98 = 0,91 m/seg 2
el camino recorrido es
∆ s = 0,91 × 0,066 = 0,06 m Continuando este cálculo de escalón en escalón y llevando los valores de v y de s en un sistema de coordenadas, se obtendrán las curvas de la figura 13. De esta forma se obtiene t a = 6,9 seg y el recorrido total s = 12 m.
∆n1 = 0,84 × 625 = 525 rev/min con un tiempo de aceleración: t =
30, 7 × 525 = 0 ,297 seg 375 × 144 ,65
Como el número de revoluciones del motor durante este tiempo ha llegado al 84 % del valor nominal, la velocidad final del gancho de la grúa será también el 84% de 1m/seg, es decir, 0,84 m/seg; con un aumento uniforme de la velocidad su valor medio será 0,84 v1 = = 0,42 m/seg 2 y el trayecto recorrido
∆ s1 = v1∆t = 0, 42 × 0, 297 = 0,125 m Después de esta aceleración el motor sigue aumentando de velocidad, llegando a 98% en el primer escalón, es decir, con un aumento de 98- 84 = 14 %, lo que representa
∆n 2 = 0,14 × 625 = 80,5 rev/min
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Fig.13 Curvas de velocidad y espacio en función del tiempo
2. En la figura 9 se ha representado la curva de par de un motor as íncrono con rotor de corrientes parásitas (curva a ), mientras que la curva b representa el par resistente de un ventilador accionado por dicho motor, cuyo par aumenta aproximadamente como el cuadrado del número de revoluciones. El par total de aceleración M a = M M -M R está representado por la curva c. Siendo 10 kW la potencia del motor, n = 1450 rev/min su velocidad nominal y GD2 = 10 kgm2 su módulo de inercia total, se trata de calcular el
9
Dimensionamiento de motores tiempo necesario para que el motor alcance su plena velocidad. Solución: Según la fórmula ya citada, el momento nominal es igual a M = 0,973
10000 = 6,7 mkg 1450
La curva de aceleración c correspondiente a la diferencia entre los pares M M y M R ha sido descompuesta según la curva escalonada 1 a 11. Para el escalón 1-2 resulta un par medio M a =1,65 M, mientras que el número de revoluciones se eleva hasta el 10% del valor nominal, resultando así
∆n1 = 0,1 × 1450 = 145 rev/min y ∆t 1 =
10 145 = 0,35 seg 375 6,7 × 1,65
En la misma forma se obtiene para los restantes escalones: ∆n2 = 1450 55 − 10 = 653 rev/min 100 ∆t 2 = 10 653 = 1,86 seg 375 6, 7 × 1, 4 74 − 55 ∆n3 = 1450 = 276 rev/min 100 ∆t 3 = 10 275 = 0, 69 seg 375 6,7 × 1,6 ∆n4 = 1450 90 − 74 = 232 rev/min 100 10 232 ∆t 4 = = 0,52 seg 375 6,7 × 1, 78 ∆n5 = 1450 98 − 90 = 116 rev/min 100 10 116 ∆t 5 = = 0,36 seg 375 6,7 ×1,3 El tiempo total de aceleración es igual a t = 3,78 seg. d) Cálculo del módulo de inercia necesario Muchas veces se plantea la condición de que debe mantenerse cierto tiempo de aceleración, o bien, que no debe rebasarse una determinada aceleración. Sea, por ejemplo, una grúa o un carro móvil de puentegrúa provistos de un motor con rotor en corto circuito; entonces es necesario que el motor no alcance demasiado rápidamente su velocidad nominal, de forma que el conductor pueda efectuar la maniobra con precisión interrumpiendo el movimiento a tie mpo. Para los ascensores existe, además, la condición de no rebasar cierta aceleración con objeto de evitar a DM.eti.0403/001
las personas que lo utilizan una sensación desagradable. Estas condiciones p ueden ser cumplidas disponiendo, por ejemplo, que el par motor pueda ser regulado para mantener el valor correspondiente a la aceleración necesaria; esto puede conseguirse fácilmente, por ejemplo, con un motor provisto de un reóstato de arranque. Empleando motores con rotor en corto circuito la regulación de la aceleración ya no resulta tan fácil y sólo podría conseguirse con resistencias en el estator, las cuales no están siempre indicadas. Para poder conseguir, aun con dichos motores, un tiempo de aceleración determinado o una aceleración limitada, es preciso que las masas en movimiento tengan un módulo de inercia de cierto valor. Partiendo de un tiempo de aceleración determin ado y no siendo constantes los pares de arranque y de carga, puede resolverse el problema escogiendo el módulo GD2 y calculando el tiemp o total de aceleración t a con dicho módulo en la forma anteriormente indicada. Generalmente, el tiempo que resulte no concordará con el previsto. Sin embargo, como los tiempos de aceleración t son proporcionales a los módulos GD2 , puede po nerse 2
GD1 GD2
=
2
t 1 t 2
de donde se deduce GD2 2
= GD1 2 t 2 t 1
Para los ascensores la aceleración no debe rebasar del valor a= 0,8 a 1,00 m/seg2. Para vehículos industriales, normalmente no se debe alcanzar o rebasar dichos valores mientras el conductor no se halle sentado dando frente al sentido de la marcha y pueda apoyarse. Cuando el conductor se halla de pie, deben reducirse notablemente dichos valores. Cuando se prescribe cierta aceleración a x, partiendo de la velocidad final puede deducirse el tiempo de aceleración t x
=
v a x
El par de aceleración necesario para conseguir dicho tiempo se deduce de la fórmula M a
=
nGD 2 375t x
10
Dimensionamiento de motores o, cuando se fija dicho par, el módulo total es igual a GD 2
= 375t x M a n
Al interpretar esta fórmula deberá comprobarse si, durante la aceleración, el par de carga M R es positivo o negativo. Si el citado par de carga M R es de sentido opuesto al par motor M M es decir, cuando el motor actúa como tal, entonces M R es positivo. Si la carga actúa en el mis mo sentido que el motor, por ejemplo, al bajar dicha carga, M R es negativo y actúa en el sentido de acelerar. Para escoger el motor deberá tomarse el caso que dé el mayor módulo. Si durante el período de aceleración el par motor no es constante, puede ocurrir que se establezca una aceleración de valor inadmisible aun cuando el tiempo de aceleración no rebase el límite fijado. Por ejemplo, en un accionamiento con motor de rotor en corto circuito, al alcanzarse el punto de par máximo (llamado también de inversión) será también máxima la aceleración. Debe comprobarse entonces si dicha aceleración no rebasa el límite fijado. Es decir, que resulta preciso conocer la variación del par motor, o por lo menos, el par máximo. Si para mantener la acele ración por debajo del límite prescrito no fuese posible prever el motor en consecuencia, o disminuir suficientemente su par, no quedaría más solución que aumentar el módulo de inercia. EJEMPLO . En un ascensor la velocidad es de 1,5 m/seg y el motor correspondiente tie ne un módulo de inercia 2 2 GD = 6 kgm . Cuando la carga tira (cabina vacía subiendo o cabina llena bajando), la aceleración no debe ser superior a a = 0,7 m/seg 2 . El valor medio del par motor durante la aceleración es igual a M M = 18 kgm, y el del par de carga, tirando ésta, M R =-12 kgm. La velocidad del motor es de n = 1000 revoluciones por minuto. ¿Cuál debe ser el módulo de inercia referido al eje del motor? Solución: El tiempo de aceleración es igual a t a
=
v a
=
1,5 = 2,1 seg 0,7
El par de aceleración es M a = M M -M R = 18-(-12) = 30 mkg.
El módulo total necesario será igual a:
DM.eti.0403/001
GD2
=
375 × 2,1 × 30 = 23,6 kg m2 1000
o sea, que los mecanismos deben tener un módulo de inercia referido al eje del motor de GD2 = 23,6- 6 = 17,6 kgm2 .
e) Potencia del motor Para conseguir buenas condiciones de funcionamiento y un servicio seguro, resulta muy importante que la potencia del motor sea convenientemente determinada. En muchos casos se calculan los mo tores con fórmulas sencillas para la máxima potencia a desarrollar. Esto da motivo a que en servicio normal resulte la potencia exagerada, ya que el valor máximo se requiere raramente. Claro está que pre viendo la potencia con gran amplitud se consigue sencillamente la eliminación de averías por calentamiento exagerado, pero también debe tenerse en cuenta que el precio del motor resulta mayor y que por la tanto la instalación entera pueda hallarse en difíciles condiciones para la competición. También puede ocurrir que un motor demasiado po tente presente dificultades para su regulación. Depende, pues, de la pericia del proyectista el determinar la potencia del motor la más exactamente posible, de forma que la instalación quede en buenas condiciones por la que se refiere a la competencia, pero, sin embargo, suficientemente holgada para poder cumplir todas las condiciones requeridas por la práctica. Por lo tanto, resulta conveniente escoger el motor, no por la potencia máxima a desarrollar, sino de acuerdo con el término medio del valor de la carga. El dato de carga máxima sólo debe ser utilizado para comprobar si el motor escogido tiene un par motor suficiente para los raros casos en que la carga alcance su valor máximo. Se exceptúa el caso en que las condiciones de recepción prescriben que el servicio debe realizarse con carga máxima y determinado ciclo de trabajo sin rebasar los límites de calentamiento fijados por los reglamentos. Antes de determinar la potencia debe escogerse el tipo d e motor, que depende ante todo del tipo de servicio a realizar. Se distinguen los motores abie rtos, protegidos y cerrados. La construcción abierta es la más barata y presenta la ventaja de una fácil con servación, ya que el inducido, la s escobillas y los cojinetes son fácilmente accesibles. El módulo de inercia es mínimo en los motores de este tipo. Sin embargo, su empleo a la intemperie, sin protección especial, no es posible. La construcción protegida tiene las mismas ventajas que la construcción abierta. Los motores de este tipo, provistos de protecciones contra el goteo, pueden ser empleados en el exterior siempre que ni aun una
11
Dimensionamiento de motores lluvia con dirección casi horizontal pueda penet rar en ellos. La construcción cerrada se recomienda en todos los demás casos, o sea, para instalaciones al exterior o en instalaciones en atmósfera polvorienta, húmeda o cargada de ácidos, o cuando hay que contar con proyecciones de agua y también cuando se requiere una construcción especialmente fuerte. Respecto a su comportamiento por lo que se refiere al calentamiento, los motores cerrados son menos sensibles que los abiertos o protegidos a las variaciones de velocidad. Cuando resulta frecuente tener que funcionar con número de revoluciones reducidas, es decir, con resistencias puestas en circuito, el tipo cerrado resulta ventaj oso con relación al abierto. Para escoger el motor también debe tenerse en cuenta la cuestión del número de revoluciones. Ante todo deben escogerse velocidades normales de serie, pues las velocidades anormales encarecen la instalación y dificultan luego las sustituciones. En general, la potencia de un determinado modelo de motor es tanto mayor cuanto más grande sea su número de revoluciones. De tener importancia la reducción del tiempo de aceleración, entonces se dará preferencia a la más pequeña de las velocidades entre las cuales haya que escoger, pues en este caso el trabajo de aceleración de las partes rotativas del motor, aunque éste sea de grandes dimensiones, será el más reducido. En atención al aumento de velocidad al bajar la carga, como en el caso de ciertos ascensores, etc., en que puede duplicarse y triplicarse el número de revoluciones deberá escogerse la velocidad más reducida. Para la elección del tamaño de los motores deberá tenerse en cuenta también el tipo de servicio a realizar. Según las normas oficiales para máquinas eléctricas, se distinguen las tres formas de trabajo siguientes: 1. Servicio permanente o continuo (fíg. 14, a). El motor está funcionando constantemente o, por lo menos, durante algunas horas, con plena carga, alcanzando así su temperatura final Θ máx. Ésta no debe rebasar el límite fijado en las normas oficiales. 2. Servicio de corta duración (fig. 14, b). La carga actúa con toda intensidad sólo durante corto tiempo, siguiendo una marcha en vacío o una desconexión de mayor duración durante la cual tiene tiempo el motor de enfriarse completamente (por ej., en el caso de accionamiento de una compuerta). El motor durante su funcionamiento no alcanza su temperatura final, según se indica en la figura 14, b. La potencia nominal o temporal es, por lo tanto, aquella potencia que puede suministrar el motor
DM.eti.0403/001
durante el tiempo convenido sin calentarse exageradamente (por ejemplo, 30 kW en 20 min).
Fig. 14 Diferentes tipos de servicio
3. Servicio intermitente (figura 14, c). En este caso alternan el tiempo de funcionamiento Tf y el de parada o reposo Tr no debiendo rebasar el ciclo T f + Tr una duración de 10 min. De esta forma el motor no llega a enfriarse completamente durante el tiempo de parada; su temperatura va aumentando escalonadamente hasta su valor final que, desde luego, es alcanzado al cabo de un tiempo mayor que en el caso de servicio continuo. En esta clase de servicio resulta muy importante el tiempo relativo de conexión, o sea, la relación entre el tiempo de funcionamiento y el del ciclo TC =
T f T f + T r
100%
12
Dimensionamiento de motores En el cuadro siguiente se dan algunos datos sobre el tiempo de funcionamiento de motores para grúas. Altura de elevación [m]
Velocidad [m/seg]
Tiempo [seg]
Altura de elevación [m]
Velocidad [m/seg]
Tiempo [seg]
1 1 2 2 5 10 20
0,01 0,02 0,05 0,10 0,20 0,50 1,00
105 52 45 23 28 22 22
50 100 150 200 300 400 500
1,50 2,00 2,00 2,50 2,50 3,00 3,00
37 55 80 86 126 140 173
El valor exacto de TC sólo puede determinarse mediante un diagrama de trabajo. Para aparatos de levante puede emplearse con suficiente aproximación para el cálculo del valor de TC la siguiente fórmula: TC =
fs 36v
en la cual significan : s, altura de levante o recorrido en metros en cada ciclo. f , número de operaciones por hora. v, velocidad media en m/seg. Deben contarse todas las operaciones realizadas durante cada ciclo, pues en un servicio de grúa, por ejemplo, se efectúan varias operaciones para cada ciclo. Cuando la altura de levante o la longitud del trayecto varían, se tomará el trayecto medio sm como valor de s; en las grúas, por ejemplo, el valor medio de los distintos levantes durante un ciclo. En el caso de ascensores puede determinarse aproximadamente sm para un cierto número n de puntos de parada mediante la fórmula sm
=
ns
2 (n − 1)
Con lo cual resulta: TC =
fns
72v(n − 1)
De todas formas, es necesario que el motor cumpla las siguientes condiciones para todas las clases de servicio : a) Su temperatura no debe rebasar la fijada por los reglamentos. b) Debe suministrar el par motor requerido por el aparato o máquina que acciona. Según el Reglamento, los motores para servicio continuo deben tener un par
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máximo igual por lo menos a 1,6 veces el par nominal, y cuando se trate de servicio intermitente, igual al doble de dicho par nominal. Cálculo de la potencia en motores regulables La determinación del tamaño definitivo del motor puede realizarse por tres procedimientos distintos : a) Cálculo de la potencia para plena carga. b) Determinación de la potencia mediante un diagrama de trabajo teórico o norma lizado. c) Determinación de la potencia mediante un diagrama de trabajo exacto. Estos procedimientos van ordenados según el grado de exactitud de los resultados. a) CÁLCULO DE LA POTENCIA DEL MOTOR PARA LA PLENA CARGA Este procedimiento es utilizable cuando no se requiere mucha precisión. Para motores con inducido en corto circuito resulta aceptable cuando el número de conexiones no es superior a seis por hora. Se calcula el motor para la plena carga. La sobrecarga del motor al arrancar y al frenar, así como el trabajo con cargas inferiores, no se tiene en cuenta. Los resultados de este método, comparados con los de otros más exactos, resultan generalmente algo elevados en aparatos de levante y algo escasos en vehículos. Para aparatos de levante con carga no equilibrada (mecanismos de elevación, de traslación y de rotación) se calcula la potencia del motor como sigue: Apar atos de elevación. Sea
una carga Q que se trata de elevar con una velocidad v (m/seg) ; la potencia a desarrollar es igual a P = Q v (kgm/seg). Siendo η el rendimiento del mecanismo, la potencia del motor deberá ser P m =
Qv η
kgm/seg
y como un kgm/seg equivale a 9,81 W, resulta: P m =
Qv
102 η
kW
Según la fórmu la ya citada, el par motor será igual a: M = 975
P m n
= 9,55 Qv mkg nη
M ecani smo de tr asl ación. Siendo
G el peso total de las masas en movimiento y R (kg/kg) la llamada
13
Dimensionamiento de motores resistencia de rodamiento, el esfuerzo de tracción necesario será igual a F t = GR kg
Suponiendo una velocidad de des plazamiento v (m/seg), se obtienen las fórmulas; F t v
Potencia del motor P m = Par motor M = 975
P m n
kW
102η
= 9,55
F t v nη
mkg
Para aparatos elevadores con carga equilibrada (ascensores, po r ejemplo), se utilizan las siguientes fórmulas: Potencia del motor P m = Par motor M = 9 ,55
Siendo a =
G1
Qv nη
Qv
102η
(1 − a)
b) CÁLCULO DE LA POTENCIA DEL MOTOR TOMANDO COMO BASE UN DIAGRAMA DE TRABAJO TEÓRICO O NORMALIZADO Este método es especialmente utilizable para mecanismos de levante y de tras lación, de grúas, teniendo en cuenta en forma aproximada, para la elección del motor, la aceleración con arreglo a los supuestos siguientes: 10 El frenado se efectúa siempre desconectando el aparato de mando, o sea, siempre con frenado mecánico, de forma que el motor queda sin corriente. 20 Para la aceleración de las masas se supone el doble del par nominal. 30 Las curvas de velocidades son las de la figura 15 y corresponden a la mayor parte de los tipos para corriente continua y trifásica. 40 Se han considerado recorridos iguales para la elevación y el descenso de la carga. Para el cálculo se necesita, además, la relación a entre cargas, o sea: a = (Par motor para la elevación o desplazamiento de
(1 − a )
la carga)/( Par motor para la elevación o desplazamiento de la carga + carga en vacío)
−G
Q
El factor de equilibrio de la carga, G1 representa el contrapeso y G el peso muerto de la carga (por ejemplo, en un ascensor el peso de la cabina vacía. con su marco de suspensión, etc.). Después de calcular la capacidad del motor con las fórmulas anteriores, todavía queda por comprobar si la potencia del motor es suficiente para las máximas condiciones de carga, por ejemplo, si tiene un par de arranque suficiente para la carga de prueba. EJEMPLO. Sea una carga de 1000 kg que tiene que ser elevada con una velocidad v de 1 m/seg. El rendimiento del mecanismo es igual a η = 0,85 y el número de revoluciones n = 850 por minuto. La potencia del motor será: P m
=
= 1000 × 1 = 11,5 kW 102η 102 × 0,85 Qv
El par motor será: M =
9,55Qv nη
× × = 9,55 1000 1 = 13,2 mkg 850 × 0,85 Fig. 15 Curvas de velocidad
DM.eti.0403/001
14
Dimensionamiento de motores
Fig. 16 Coeficientes para mecanismos de levante
La carga en vacío está constituida en este caso por el gancho, la cuchara, el recipiente de carga, etc. La aceleración está representada por un factor ε que tiene en cuenta el efecto de las masas. El valor de ε puede ser determinado mediante la fórmula siguiente: DM.eti.0403/001
Fig 17 Coeficientes para mecanismos de traslación
0, 28 × ε= 1000
∑ GD n η 2 2
Qs
15
Dimensionamiento de motores En caso de traslación se sustituirá la carga Q por la resistencia de rodamiento GR . El valor Σ GD2 es el módulo de inercia total de todas las masas en movimiento rectilíneo o circular referido al eje del motor, incluyendo el inducido de éste. Este último se deducirá primeramente del catálogo después de haber determinado aproximadamente la potencia necesaria. Una vez determinado el valor ε se deducirá de las curvas de la figura 16 para mecanismos de levante, y de la figura 17 para los de traslación, un coeficiente γ que con arreglo a las fórmulas M =
9,55Qv mkg γ nη
P m =
Qv
102η
Desde luego, puede faltar cada caso parcialmente o en su to talidad. Para el mecanismo de traslación sólo se presentan dos casos: 1º. Desplazamiento con carga 2º. Desplazamiento en vacío. La figura 18 indica el aspecto de este diagrama.
γ kW
permitirán calcular el par motor suficiente, desde el punto de vista del calentamiento, así como la potencia media. Estas fórmulas sólo se distinguen de las correspondientes citadas anteriormente por llevar el factor γ . También con este método debe comprobarse si el motor calculado puede funcionar convenientemente en las puntas. Si no fuese así, debería escogerse un motor de mayor potencia. c) CÁLCULO DE LA POTENCIA DE UN MOTOR PARTIENDO DE UN DIAGRAMA DE TRABAJO EXACTO Este procedimiento es el más exacto, pues en él se tienen en cuenta todos los factores que influyen en el diagrama de trabajo. Este diagrama debe reproducir exactamente, dentro de lo posible, las condiciones que se han de presentar en la práctica; también aquí caben simplificaciones para que el cálculo no resulte muy complicado. El motor calculado de esta forma produce una cantidad de calor tal, que su temperatura no pasa del límite fijado, durante todo el tiempo de funcionamiento. El diagrama de trabajo puede ser dividido en cuatro partes: 1ª. Diagrama de velocidad 2ª. Diagrama de recorrido 3ª. Diagrama de par 4ª. Diagrama de potencia. La realización práctica sé demostrará mediante un ejemplo referente a un motor para grúa. El diagrama del mecanismo de levante comprende cuatro partes: 1ª. Levante con carga 2ª. Bajada con carga 3ª. Levante en vacío 4ª. Bajada en vacío.
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Fig. 18 Diagrama de trabajo
Del diagrama de velocidades, según curva a ; pueden deducirse los valores para los restantes diagramas. Por la curva b del diagrama “recorrido-tiempo” puede comprobarse si las distintas operaciones se realizan en el tiempo previsto. Para determinar el tamaño del motor se requieren los diagramas de par y de potencia según las curvas c y d respectivamente; del último puede deducirse, además, la energía total tomada de la red. Para el cálculo de los valores de la puesta en marcha se dan generalmente el tiempo de aceleración y el valor Σ GD2 , de modo que con la fórmula indicada a continuación puede calcularse el par de aceleración M a . Se comprende que los tiempos de aceleración deben escogerse de tal forma que no resulten valores excesivos de M a . En algunos casos habrá que modificarlos en consecuencia. Para el cálculo se supondrá que el par de aceleración M a se mantiene constante durante todo el tiempo de la aceleración, Siendo M b el par durante el movimiento o periodo de régimen, el tiempo de aceleración será:
∑
2
GD 2, 67n t a = ⋅ 1000 M a − M b
16
Dimensionamiento de motores y el par correspondiente: M a
= 2,67
n
1000
GD ⋅∑
2
t a
+ M b
La potencia máxima al final de la aceleración será: 2
n ⋅ P a = 2,74 1000
∑ GD
2
+ P b
t a
Durante la bajada de la carga, los valores de M b y P b pueden ser negativos. Durante el movimiento en período de régimen de duración t b , el recorrido será S b = vb t b , siendo vb la velocidad correspondiente; el tiempo será : t b
=
sb vb
=
s − ( sa + sc ) vb
En esta expresión, s es el recorrido total, sa el de aceleración y sc el de desaceleración. En el caso de aceleración uniforme, el recorrido durante el período correspondiente es igual a sa
=
vb
t
2 a Poco antes de terminarse el movimiento empieza el periodo de deceleració n, cuyo tiempo de duración es t c. Este tiempo, generalmente, no se da con e xactitud, pues depende de la forma de conducir el mo tor. Por lo general, se desconecta sencillamente este último y se frena mecánicamente durante el resto del tiempo. En este caso el tiempo de frenado cuenta como tiempo de parada del motor. Si el frenado se realiza eléctricamente, el motor recibe corriente durante el tiempo de frenado y éste cuenta entonces como tiempo de funcionamiento del motor. Designando con t c el tiempo de deceleración o de frenado durante el frenado eléctrico y con M c el par de frenado necesario, resulta: t c
= 2,67
n
⋅
GD
También en este caso pueden ser negativos tanto M b como P b y entonces el signo - se convierte en +. Cuando la deceleración sea uniforme, se puede calcular el recorrido según la fórmula sc
1000 M b + M c
vb
M c
= 2,67η
1000
GD2 t c
⋅
1. L evante de car ga.
Marcha a velocidad de régimen o a mecanismo lanzado: 9 ,55 Qv 9,55 × 1000 × 1 ⋅ = = 11,94 mkg M 1b = η n 0,8 × 1000
=
2
− M b
DM.eti.0403/001
∑ GD t c
× = 1000 1 = 12, 26 kW 102η 102 × 0,8 Qv
o también
El valor máximo de la potencia eléctrica suministrada por el motor durante el frenado, es igual a
n P c = 2,74η 1000
t c
EJEMPLO. Se trata de trazar el diagrama de funcionamiento de un motor de comente continua en serie para mecanismo de elevación; se determinará también el tiempo relativo de conexión (TC ), así como el par motor medio y la potencia media del motor. Para el servicio se considerará levante y bajada con plena carga de Q = 1000 kg. Para la velocidad a mecanismo lanzado o de régimen, vb = 1 m/seg. Altura de elevación, s = 5 m. Rendimiento del mecanismo, η = 0,8. Numero de revoluciones del motor a plena carga, n = 1000 rev/min. Módulo total de inercia, GD2 =5 kgm2 . Solución:
de donde se deduce n
2
La curva del diagrama de potencia indica la potencia suministrada al motor. Cuando el motor es regulado sin pérdidas, como, por ejemplo, en el caso de una regulación tipo Leonard, o de motores trifásicos en serie, dicha curva representa también la potencia suministrada por la red. Si, por el contrario, la regulación se efectúa introduciendo resistencias en el circuito como, por ejemplo, cuando se trata de motores de corriente continua en serie o de motores asíncronos, entonces la potencia total durante la aceleración es apro ximadamente constante según indican las líneas de trazos.
P 1b
2
=
P 1b
=
Mn
975
= 11,94 × 1000 = 12,25 kW 975
Supongamos que el par de aceleración sea: M a = 1,5 M 1b = 1,5 x 11,94 = 17,91 mkg.
2
− P b
17
Dimensionamiento de motores Según la curva de la figura 15, en este caso el número de revoluciones desciende hasta el 90 %, o sea 900 rev/min. El tiempo de aceleración será: t 1a
= 2,67
n
⋅
∑ GD
2
1000 M 1a − M 1b t 1a = 2,01seg
= 2, 67
900 5 × = 1000 17,91 − 11,94
=
v1b
t 1a
= 1 2,01 = 1 m
2 2 La potencia de punta durante la aceleración es igual a 2
∑
Suponiendo t 1c= 2 seg para el período de deceleración, el recorrido correspondiente será de s1c
2
∑ GD
n
= 2,67
2
− M b =
2 1000 t 2a 1000 5 = 2,67 × − 7,64 = 5,71 mkg 1000 1
P 2a
= M 2 a n = 5,71 × 1000 = 5,86 kW 975
975
Recorrido: s2a
= v2b t 2a = 1 1 = 0,5 m 2
2
t 2c
t 1 = t 1a+t 1b+t 1c = 2,01+3+2 = 7,01seg
Si el frenado se efectúa mecánicamente durante el período de deceleración, serán nulos durante dicho periodo tanto el par motor M 1c como la potencia del mismo P 1c 2. Baj ada de la car ga .
Marcha de régimen:
= −9, 55 Qvnη = −9,55 1000 × 1× 0,8 = −7, 64 mkg 1000
o también
= −1,5η M 1b = 1,5 × 0,8 ×11,94 = −14,33 mkg
se obtiene un periodo de deceleración de:
= 5 − 1 −1 = 3 m
y el tiempo correspondiente: s 3 t 1b = 1b = = 3 seg v1b 1 El tiempo total para el levante de la carg a será:
M 2b
Fijando en l seg el tiempo de aceleración t 2a , el par de giro correspondiente será:
M 2 c
El recorrido a mecanismo lanzado será entonces :
M 2b
975
Con un par máximo de deceleración igual a
= 1 2 = 1m
s1b = s − s1a − s1c
975
Potencia de aceleración:
2
GD n = 2,74 + P 1b = 1000 t 1a 2 900 5 = 2,74 + 12, 25 = 17,77 kW 1000 2, 01
P 1a
= − Mn = − 7, 64 × 1000 = − 7,84 kW
M 2a
y el recorrido de aceleración: s1a
P 2b
= 2, 67
n
⋅
∑ GD
2
1000 M 2b − M 2c t 2 c = 2 seg
= 2,67 1000 ⋅
5
1000 − 7,64 + 14,33
Recorrido de fre nado: v 1 s2c = 2b t 2 c = 2 = 1 m 2 2 Recorrido de marcha en régimen: s2b = s − s2a − s2 c
= 5 − 0,5 − 1 = 3,5 m
Duración del período correspondiente: s 3,5 t 2 b = 2 b = = 3,5 seg v2b 1 El tiempo total necesario para la bajada de la carga será: t 2 = t2a+t2b+t2c = 1+3,5+2 = 6,5seg El diagrama de trabajo correspondiente a todos estos valores se halla representado en la figura 19.
= − M 1bη 2 = −11,94 × 0,64 = −7,64 mkg
y
DM.eti.0403/001
18
Dimensionamiento de motores correspondientes al frenado eléctrico con el motor deben considerarse como de conexión. En el ejemp lo anterior el tiempo total de conexión es de 7,01+6,5=13,51seg; el tiempo total del ciclo con la pausa señalada (12.99 seg) en la figura 250 es de 26,5seg, resultando así: TC = 100 ×
13,51 = 50. 98% 26,50
Determinación del valor medio del par La última etapa del cálculo consiste en determinar un tipo de motor que con la carga dada no rebase la temperatura máxima permitida. Como el calentamiento del motor depende sólo del cuadrado de la corriente y como el par motor es, aproximadamente, proporcional a la misma, para determinar el par medio es preciso sacar la media cuadrática del diagrama de par. Sin embargo, como el par es variable durante la marcha, debe deducirse la media cuadrática de los distintos valores del par y de los tiempos correspondientes:
=
M m
2
2
2
M 1a t 1a + M 1b t 1b + M 1c t 1c t 1 + t 2
+ ......
+ ...
Para el ejemplo anterior, como M 1c = 0, tendremos: 2
= (17,91)2 2,01 = 644,74 2 2 M 1b t 1b = (11,94 ) 3 = 427 ,69 2 2 M 2 a t 2 a = (− 5,71) 1 = 32, 6 M 2 b2 t 2 b = (− 7,64)2 3,5 = 204 ,29 M 1a t 1a
Fig. 19 Diagrama de trabajo
2
= (− 14,33)2 2 = 410,70 t 1 + t 2 + t p = 7, 01 + 6,5 + 12,99 = 26,5 seg
M 2 a t 2 c
Interpr etación del diagrama de trabajo Determinación del coeficiente T C del tiempo
relativo de conexión Por el diagrama de trabajo exacto puede determinarse también exactamente el valor de TC partiendo de los tiempos de conexión y de desconexión. Resulta así: TC = 100 (suma de todos los tiempos de conexión)/
(Tiempo total del ciclo )
Donde el tiempo total del ciclo es la suma de los tiempos de conexión y de las pausas. Según se ha indicado ya, deben contarse como pausas los tiempos durante los cuales el motor es frenado mecánicamente, mientras que los tiempos
DM.eti.0403/001
con lo que resulta: M m
= 1720 ,02 = 8,06 mkg 26,5
La potencia media que produciría la misma cantidad de calor que las distintas potencias durante un ciclo, es: P m
=
M m n
975
=
8,06 × 1000 = 8,27 kW 975
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Dimensionamiento de motores Por lo tanto, para el caso del ejemplo anterior se deberá buscar en los catálogos un motor con una potencia de 8,27 kW y con un par motor de 8,06 mkg a una velocidad de 1000 rev/min, contando con un coeficiente de tiempo de conexión de TC = 51 %. Después del cálculo del par y de la potencia medios deberá todavía comprobarse si el motor escogido puede suministrar el par de punta y la potencia máxima requeridos en las debidas condiciones de seguridad. El par de punta debe ser inferior al par de inversión (límite de estabilidad) del motor, debiéndose tener en cuenta que con el par má ximo, a causa de la caída de tensión en los conductores de alimentación, la tensión en el motor experimenta la máxima caída. Determinación de la potencia de motores con rotor en corto circuito El método de cálculo que se acaba de indicar para determinar la potencia media de un motor es solamente utilizable para motores cuya velocidad puede ser regulada, es decir, para motores de corriente continua, motores trifásicos con rotor bobinado y motores trifásicos en serie, ya que sólo en estos tipos de motores puede suponerse que las pérdidas aumentan en relación cuadrática con el par motor. En los motores con rotor en corto circuito esta relación depende del tipo de motor y de construcción. Por lo tanto, no es posible fijar una regla utilizable en general para determinar la relación entre el par motor y las pérdidas. Resulta así que para los motores con rotor en corto circuito se determina el diagrama únicamente para el estado de régimen. La potencia media correspondiente es entonces algo mayor que la calculada con la fórmula ya indicada. Pueden tomarse los siguientes valores de K , donde M x = KM Aplicación Carretillas eléctricas Mecanismos de traslación y de giro de grúas Mecanismos de levante (por piezas) Mecanismos de levante (con cuchara) Ascensores
DM.eti.0403/001
K 0,85 0,90 0,70 0,75 0,75
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