1) dy/dt +2y=sint
diferansiyel denklemini çözünüz.
2) (4+t)dy/dt +y= 6+2t diferansiyel denklemini çözünüz.
2 xy + 3 y 2 dy = dx 2 xy + x 2
5) xy-dy/dx= y 3 e − x
diferansiyel denklemini çözünüz. 2
6) xdy-ydx= x2exdx çözünüz
Bernoulli diferansiyel denklemini çözünüz.
tla
4)
ri. co
3) dy/dt-3y=7 diferansiyel denklemini y(0)=15 başlangıç koşulu için çözünüz.
m
2006-2007 Eğitim-Öğretim Yılı Güz Dönemi Diferansiyel Denklemler Dersi Çalışma Soruları 1
x’ e bağlı integrasyon çarpanı kullanarak diferansiyel denklemi
sn o
7) sinxcosydx+cosxsinydy=0 tam diferansiyel denklemini çözünüz 8) (yex+y)dx + (ex+x)dy=0 diferansiyel denklemini çözünüz 9) y = xy ' + y '
3
diferansiyel denklemi çözünüz.
w
w
w .e
em de r
10) y’=2tanxsecx-y2sinx Riccati diferansiyel denkleminin bir özel çözümü y1=secx dir genel çözümü bulunuz.
1) y’+2y=sint
diferansiyel denklemini çözünüz.
∫P(t)dt
= e ∫2dt=e2t
[µ(t)y ]’=µ(t)Q(t) ile
[
ri. co
µ(t)= e
m
Çözüm: y’+P(t)y=Q(t) tipi
e2t y ]’= e2t sint
tla
e2t y=∫ e2t sint dt=1/5 e2t(2sint-cost)+c y=1/5 (2sint-cost)+ce-2t
sn o
2) (4+t)dy/dt +y= 6+2t diferansiyel denklemini çözünüz. dy/dt +1/(4+t )y= 6+2t /(4+t) ∫P(t)dt
y’+P(t)y=Q(t) tipi
= e ∫(1/4+t)dt=eln(1/(4+t))=1/(4+t)
em de r
µ(t)= e
:
1/(4+t) y ]’= 6+2t
[µ(t)y ]’=µ(t)Q(t) ile
[
1/(4+t)y=6t+t2+c
y=6t+t2+c*(4+t)
3) dy/dt-3y=7 diferansiyel denklemini y(0)=15 başlangıç koşulu için çözünüz.
w .e
Çözüm: y’+P(t)y=Q(t) tipi ∫P(t)dt
= e ∫-3dt=e-3t
w
w
µ(t)= e
e-3t y ]’= 7 e-3t
[µ(t)y ]’=µ(t)Q(t) ile
[
e-3t y=-7/3e-3t+c
y= -7/3+ce3t
y(0)=15 için
15=-7/3+c
c=52/3 bulunur.
2 xy + 3 y 2 dy = dx 2 xy + x 2
diferansiyel denklemini çözünüz
Homojen diferansiyel denklem y= vx
dy=vdx+xdv
(2xy+3y2)dx-(2xy+x2)dy=0 yerlerine konup düzenlenirse;
tla
(v+v2)dx= x(2v+1)dv
ri. co
4)
m
y= -7/3+52/3e3t
sn o
dx 2v + 1 = dv integral alınarak x v + v2 lnx=ln(v+v2)+c
v=y/x idi.
Lnx=ln(y/x+(y/x)2)+c
c = ln
x3 xy + y 2
x3 xy + y 2
em de r
ec =
5) xy-dy/dx= y 3 e − x
2
diferansiyel denklemini çözünüz. y’+P(x)y=Q(x)yn bernoulli (n ≠ 0, n ≠ 1)
Çözüm: u=y1-n
değişken dönüşümü ile
w
w
w .e
du dy = −2 y 3 dx dx yerlerine konursa
xu +
u= y-2 olur.
dy 1 du = − y3 dx 2 dx
xy+
çekilerek verilen dif. denklemde
x2 1 1 3 du y = y 3e − ile çarpalım. dx 2 y3
2 x 1 du 1 + = e −x → 2 = u 2 2 dx y y
1 du =0 2 dx
ile homojen çözüm bulunur.
(1)
1 du 2 dx
-2xdx=du/u
-2∫xdx=∫du/u
lnu-lnc= -x2
ln(u/c)= -x2 x2
(2)
ri. co
u=c e −
-x2+lnc=lnu
m
xu = −
bulunur.
x2
du/dx=u’=
2 dc − x 2 e − 2 xc( x)e − x dx
sn o
u=c(x) e −
tla
İkinci taraflı denklemin çözümü için c nin nasıl bir c(x) fonksiyonu olması gerektiğini araştıralım.(yani homjen çözümde c=c(x) koyalım türevleri alarak (1) yerlerine yazalım.
2 2 2 1 dc − x 2 ( e − 2 xc( x)e − x ) + xc( x)e − x = e − x 2 dx
em de r
2 1 dc − x 2 e = e−x 2 dx
dc=2dx
(3)
c=2x+c1
(3) nolu ifade (2) yerine konur ve u=y-2 olduğu dikkate alınarak
y-2=(2x+c1)
e−x
2
w .e
elde edilir.
xu +
µ(x)= e
∫P(x)dx
w
w
2 1 du = e −x 2 dx
veya
= e ∫2xdx= e x
[µ(x)y ]’=µ(x)Q(x) ile
6)
2
u ' + 2 xu = 2e − x ile 2
2
[ e x y ]’=
2
y=(2x+c)
xdy-ydx=x2exdx diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm:
e−x
2
-(y+x2ex)dx+xdy=0
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
M(x,y)= -(y+x2ex)
∂M = −1 ∂y ∂M ∂N ≠ ∂y ∂x
m
∂N =1 ∂x
ri. co
N(x,y)= x
Tam diferansiyel değil.
x’ e bağlı integrasyon çarpanı:
tla
∂ ln µ M y − N x − 1 − 1 − 2 = = = ∂x N ( x, y ) x x
sn o
yardımıyla integrasyon çarpanı
µ = 1/ x 2
elde edilir. Verilen diferansiyel denklemle çarpılarak yani, 1 / x 2 (-(y+x2ex)dx+xdy=0)
em de r
-(y/x2+ex)dx+1/x dy=0
elde edilir. Bu durumda M(x,y)= -(y/x2+ex) N(x,y)= 1/x
w .e
∂M ∂N 1 =− 2 = ∂x ∂y x
tam diferansiyal denklem elde edilir.
w
w
∂F = M ( x, y ) ∂x
F=
y − e x + g ( y) x dF=0 F=c
∂F = N ( x, y ) ∂y
F=
y + m(x) x
7) sinxcosydx+cosxsinydy=0
c=
y − e x veya y=cx+xex x
M(x,y)= sinxcosy
∂M ∂N = − sin x sin y = ∂x ∂y
Tam diferansiyel
m
N(x,y)= cosxsiny
dF= M(x,y)dx → F= -cosxcosy+g(y)
ri. co
c=-cosxcosy dF= N(x,y)dy → F= -cosxcosy +m(x) 8) (yex+y)dx+(ex+x)dy=0
diferansiyel denklemini çözünüz.
tla
x
M(x,y)= ye +y
∂M ∂N = = ex +1 ∂y ∂x
x
sn o
N(x,y)= e +x
Tam diferansiyel
dF= M(x,y)dx → F= yex+yx +g(y)
em de r
c= yex+yx
dF= N(x,y)dy → F= yex+yx +m(x)
9) y = xy ' + y '
3
diferansiyel denklemi çözünüz.
w
w
w .e
y = xy ' + ϕ ( y ' ) şeklinde
(Claıraut dif. denklemi)
Genel çözüm için y ' =c yazılırsa ygenel=xc+c3
tekil çözüm için c’ye türev alınıp sıfıra eşitlenerek c ifadeden çekilerek parametrik denklemler elde edilir. Yani; x+3c2=0
x=-3c2
y=(-3c2)c+c3=-2c3
c2=-x/3 c nin karşılığı y=-2c3 de yerine konarak
x −x − x3 y= − 2(− ) = −2 3 3 27
veya
y 2 = −4
x3 27
m
10) y’=2tanxsecx-y2sinx Riccati diferansiyel denkleminin bir özel çözümü y1=secx dir genel çözümü bulunuz.
ri. co
Q(x)= 2tanxsecx, R(x)= -sinx P(x)=0 olmak üzere riccati tipi diferansiyel denklemdir. (y’=P(x)y+R(x)y2+Q(x) tipi)
y=secx+1/u y’=sinx/cos2x- u’/u2= tanxsecx- u’/u2
sn o
tanxsecx- u’/u2=2tanxsecx- (secx+1/u) 2sinx
tla
y=y1+1/u dönüşümü kullanılarak türevler alınıp verilen diferansiyel denkleminde (y’=2tanxsecx-y2sinx)yerlerine konursa , yani;
em de r
tanxsecx- u’/u2=2tanxsecx-sec2xsinx-2secx(1/u)sinx-1/u2sinx tanxsecx- u’/u2=2tanxsecx-tanxsecx-2secx(1/u)sinx-(1/u2)sinx -u’/u2=(-2/u ) tanx-(1/u2)sinx u’=2utanx+sinx u’-2utanx=sinx
1.mertrebeden lineer dif denklem haline gelir.
u= (-cos3x+c1 ) / 3cos2x
w
w
w .e
u=c/cos2x c’=cos2xsinx c=- cos3x /3 +c1 u=(- cos3x /3 +c1)1/cos2x=(-1/3)cosx+c1/cos2x
bulunur y=secx+1/u de yerine konarak genel çözüm ygenel =secx+1/(-cos3x+c1 ) / 3cos2x veya ygenel = secx+3cos2x /(-cos3x+c1 )
2006-2007 Eğitim- Öğretim Yılı Güz Dönemi Diferansiyel Denklemler Çalışma Soruları 2 d2y dy 1) (1+x ) 2 + ( ) 2 + 1 = 0 diferansiyel denklemini çözünüz dx dx 2 d y dy diferansiyel denklemini çözünüz. 2) x 2 = 1 + ( ) 2 dx dx
ri. co
m
2
3) y '' + 6 y = 0 diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz ve diferansiyel denklemin çözümlerinin temel cümlesi olup olmadığını araştırınız.
y (0) = 2 y ' (0) = 1 başlangıç değer problemini çözünüz.
5) y '' − 7 y ' + 10 y = 6t + 8e 2t
diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz.
tla
4) y '' + 3 y '+2 y = 0
6) y '' + 7 y ' + 12 y = sin 2 x + e −3 x + 4 diferansiyel denklemini çözünüz.
sn o
7) y '' − 5 y ' + 4 y = −4( x 2 + 1)e 3 x diferansiyel denklemini çözünüz.
8) y '' + y = sin x diferansiyel denklemini parametrelerin değişimi metodunu kullnarak çözünüz
9) (2 − t ) y ''' + (2t − 3) y '' − ty + y = 0
em de r
diferansiyel denkleminin bir çözümü y1 (t ) = e t olduğuna göre, mertebe düşürme metodunu kullanarak y 2 (t ) yi hesaplayınız.
1 0
10) y ''' + y ' =
w .e
11) y ''' − 4 y '' + y ' + 6 y = sin 4 x diferansiyel denkleminin genel çözümünü belirsiz katsayılar metodunu kullanarak bulunuz.
w
w
12) y ''' − 2 y '' + 17 = 8 + e 2 x cos 5 x + x 2 e x sin 4 x + ( x + 1) diferansiyel denkleminin homojen kısmın çözümünü elde ediniz. Sağ taraf için belirsiz katsayılar yöntemiyle özel çözümünü katsayıları hesaplamadan çözünüz
d2y dy + ( ) 2 + 1 = 0 diferansiyel denklemini çözünüz. 2 dx dx
m
SORU) (1+x2)
d2y dy 1 =− (( ) 2 ) + 1) 2 2 dx (1 + x ) dx
dy = y' = p dx
dp ifadeleri dif. denklemde yerlerine konulursa dx
tla
y '' =
y '' = f ( x, y ' ) tipi
1 dp =− dx 2 ( p + 1) (1 + x 2 )
Arctanp=-Arctanx/arctanc
p=-x/c
dy x =− dx c
y= −
em de r
idi.
sn o
dp 1 =− ( p 2 + 1) 2 (1 + x ) dx
dy = y' = p dx
Soru2 )
x
ri. co
Çözüm:
d2y dy = 1 + ( )2 2 dx dx
x2 + c1 2c
diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm:
dy 2 ) dx x
w .e
w
w
2
d y = dx 2
1+ (
y '' = f ( x, y ' ) tipi
dy = y' = p dx
y '' =
1 + p2 dp = dx x
dx dp = x 1 + p2
dp ifadeleri dif. denklemde yerlerine konulursa dx
dx a +x 2
2
[(
= ln x + a 2 + x 2
Lnx+lnc=ln(p+ 1 + p 2 ) →
cx= p+ 1 + p 2
c 2 x 2 − 2cxp + p 2 = 1 + p 2
p=
)]
→
dy dy cx 1 idi. → = − dx dx 2 2cx
→ cx-p= 1 + p 2 2 tarafın karesi alınırsa
c 2 x 2 − 1 = 2cxp
→ dy =
cx 1 − dx 2 2cx
→ p=
m
∫
c 2 x 2 − 1 cx 1 = − 2cx 2 2cx
ri. co
Hatırlatma:
cx 2 ln x − + c1 4 2c SORU3) y '' + 6 y = 0 diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz ve diferansiyel denklemin çözümlerinin temel cümlesi olup olmadığını araştırınız.
r2 + 6 = 0
b α =− =0 2a
karakteristik denklemden kompleks kök
β=
4ac − b 2 = 6 2a
em de r
y =1
yazılarak
sn o
y '' = r 2 y' = r
tla
→ y=
r1 = 0 + i 6
r2 = 0 − i 6
yh=eαx (c2Cosβx+c3Sinβx)
yh= (c1Cos 6 x+c2Sin 6 x)
w .e
cos 6 x W = − 6 sin 6 x
w
w
4) y '' + 3 y '+2 y = 0
y '' + 3 y ' + 2 y = 0
y '' = r 2 y' = r y =1
sin 6 x = 6 ≠ 0 çözümlerin temel cümlesidir. 6 cos 6 x
y (0) = 2 y ' (0) = 1 başlangıç değer problemini çözünüz.
ile homojen çözüm yapılarak
yazılarak
r 2 + 3r + 2 = 0 karakteristik denklemden
r 2 + 3r + 2 = 0
r1 = −1
r2 = −2 2 farklı reel kök yhom ojen = c1e − x + c2 e −2 x
y (0) = 2 için
c1 + c2 = 2
y (0) = 1 için
−c1 − 2c2 = 1
'
y = c1e− x + c2 e−2 x
y = 5e− x − 3e−2 x
ri. co
c1=5 c2=-3
m
y′ = −c1e− x − 2c2 e−2 x
Soru5) y"-7y'+10y=6t+8e2t diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz. Çözüm:
tla
önce denklem 0 a eşitlenerek homojen kısmın çözümü bulunur.
sn o
r2-7r+10=0 karakteristik denklem (r-2)(r-5)=0 r1=2 , r2=5 yhomogen= c1e2t+c2e5t
Eşitliğin sağ tarafı doğru denklemi ve üstel fonksiyonun toplamı olduğundan özel çözüm olarak doğru denklemi ve üstel fonksiyon için ayrı ayrı özel çözümler seçilir.
em de r
0 karakteristik denklemin kökü olmadığından yözel1=At+B
seçilerek türevler( y’ ve y’’) alınır, verilen denklemde yerlerine konularak katsayılar hesaplanır.
y’= A
y’’=0
-7 A+10(At+B)=6t 10At+10 B--7 A=6t
w .e
10At=6t= 10 B--7 A=0
A= 6/10=3/5 B=21/50
Verilen Üstel fonksiyonda (8e2t) t nin katsayısı 2 karakteristik denklemin basit bir kökü olduğundan
w
w
yözel1=3/5t+21/50
y’=2tDe2t+De2t y’’=2De2t+4tDe2t+2De2t
yözel2=tDe2t
2De2t+4tDe2t+2De2t-7(2tDe2t+De2t)+10tDe2t=8 e2t 4De2t==8 e2t D=2
m
yözel2=tDe2t=2te2t
ygenel= yhomogen+yözel
ri. co
genel çözüm;
tla
ygenel= c1e2t+c2e5t+2te2t+3/5t+21/50
Soru 6) y '' + 7 y ' + 12 y = sin 2 x + e−3 x + 4 diferansiyel denklemini çözünüz.
sn o
Çözüm:
y '' + 7 y ' + 12 y = 0 ile homojen çözüm yapılarak
em de r
y '' = r 2 y' = r y =1
yazılarak
r 2 + 7r + 12 = 0
r 2 + 7r + 12 = 0 karakteristik denklemden
r1 = −3
r2 = −4 2 farklı reel kök yhom ojen = c1e −3 x + c2e −4 x
w
w
w .e
bulunur.
Özel çözümler Sin2x için
i2 karakteristik denklemin kökü olmadığından
yözel1 = A cos 2 x + B sin 2 x
seçilerek
yözel1 = A cos 2 x + B sin 2 x y 'özel1 = −2 A sin 2 x + 2 B cos 2 x y ''özel1 = −4 A cos 2 x − 4 B sin 2 x
ile
sin 2 x(−14 A + 8B) + cos 2 x(8 A + 14 B) = sin 2 x
− 14 A + 8 B = 1 8 A + 14 B =0
A=-7/30 , B=4/30 7 4 cos 2 x + sin 2 x 30 30
e-3x için özel çözüm
Ae-3x
ri. co
üstel fonksiyonda x’in katsayısı (-3), karakteristik denklemin kökü olduğundan
seçilerek
yözel 2 = Axe−3 x
tla
y 'özel 2 = Ae −3 x − 3 Axe−3 x y ''özel 2 = −6 Ae−3 x + 9 Axe−3 x diferansiyel denklemde yerlerine konularak Ae-3x= e-3x den A=1 ve
sn o
yözel 2 = xe−3 x
bulunur.
Sabit sayı (4) için,
em de r
y ’ ifade olduğundan sabit sayı y nin katsayısına oranlanır. yözel 3 = 4 / 12 = 1 / 3 y genel = yh + yözel1 + yözel 2 + yözel 3
y genel = c1e −3 x + c2e −4 x −
7 4 cos 2 x + sin 2 x + xe−3 x +1/3 30 30
w .e
elde edilir.
w
w
7) y '' − 5 y ' + 4 y = −4( x 2 + 1)e 3 x diferansiyel denklemini çözünüz.
y '' = r 2 y' = r y =1
yazılarak
r 2 − 5r + 4 = 0
m
yözel1 = −
r 2 − 5r + 4 = 0
r1 = 1
karakteristik denklemden
r2 = 4 2 farklı reel kök
y hom ojen = c1e x + c 2 e 4 x
üstel fonksiyonnda x in katsayısı olan 3 değeri karakteristik denklemin kökü olmadığından
y özel = ( Ax 2 + Bx + C )e 3 x seçilerek türevler alınır ve verilen diferansiyel
-2 ( Ax 2 + Bx + C ) + 2 Ax + B + 2 A = −4( x 2 + 1) den y özel = (2 x 2 + 2 x + 5)e 3 x
ri. co
A=2 , B=2 ve C=5 elde edilir.
m
denklemde yerlerine konarak A,B ve C katsayıları belirlenir.
tla
y genel = y h + y özel = c1e x + c 2 e 4 x + (2 x 2 + 2 x + 5)e 3 x
sn o
8) y '' + y = sin x diferansiyel denklemini parametrelerin değişimi metodunu kullanarak çözünüz 2
y′′ + y = 0 denkleminin karakteristik denklemi r +1=0 ve kökleri r=±i olup genel
çözümü y= eαt (c1Cosβx+c2Sinβx) den
W.u =εn
y= c1Cosx+c2Sinx
sistemini yazarsak
em de r
’
cos x sin x u1' 0 ' = − sin x cos x u 2 sin x
u1’ Cosx+u2’ Sinx=0 -u1’ Sinx+u2’ Cosx=sinx
w .e
u2’= Sinx cosx u1’= -Sin2x
u2=-(cos2x)/2+K2 u1= -(x/2-(sin2x)/4 )+K1
Hatırlatma:∫sin2xdx= x/2-(sin2x)/4
u1, u2 (y= u1Cosx+u2Sinx) yerlerine konarak yani(Y=W.u) ile
w
w
/*Sinx /*Cosx ile çarparsak
ygenel=K1cosx+K2sinx- (x/2)cosx-((cos2x)/2)sinx-(sin2x*cosx)/4
9) (2 − t ) y ''' + (2t − 3) y '' − ty + y = 0
diferansiyel denkleminin bir çözümü y1 (t ) = e t olduğuna göre, mertebe düşürme metodunu kullanarak y 2 (t ) yi hesaplayınız.
1 sin x
m
y ''' = r 3 y '' = r 2 y' = r
0
yazılarak r 3 + r = 0 karakteristik denklemden r (r 2 + 1) = 0 r1 = 0 r2,3 = 0 ± i1 reel ve kompleks
ri. co
10) y ''' + y ' =
yh=c1er1x +eαx (c2Cosβx+c3Sinβx)
tla
yh=c1 +c2Cosx+c3Sinx Parametrelerin değişimi yöntemine göre; yazılarak
sn o
yözel=u1 +u2Cosx+u3Sinx
u1’+u2 ’Cosx+u3’Sinx=0 - u2 ’ Sinx+u3’ Cosx=0 - u2 ’ Cosx-u3’ Sinx=1/sinx
(1) (2) (3)
(1) ve (3) den
u1' =
u1 = − ln(csc x + cot x)
(2) ve (3) den
u 3' = −1
(2) den
u 2' = u 3' cot x = − cot x = −
em de r
1 sin x
w .e
yözel=u1 +u2Cosx+u3Sinx
cos x sin x
u 2 = − ln(sin x)
de yerlerine yazılarak
yözel=-Ln(cscx+cotx)-CosxLnsinx-xSinx
w
w
u3 = − x
y genel =yh+ yözel =c1 +c2Cosx+c3Sinx-Ln(cscx+cotx)-CosxLnsinx-xSinx
Hatırlatma:∫(1/sinax)dx= 1/a ln(csc(ax)+cot(ax))
11) y ''' − 4 y '' + y ' + 6 y = sin 4 x diferansiyel denkleminin genel çözümünü belirsiz katsayılar metodunu kullanarak bulunuz.
yazılarak r 3 − 4r 2 + r + 6 = 0 karakteristik denklemden (r + 1)(r 2 − 5r + 6) = 0 r1 = −1 , r2 = 2 , r3 = 3 reel vefarklı 3 kök
m
y ''' = r 3 y '' = r 2 y' = r
yhom ojen = c1e − t + c2 e 2t + c3e3t
ri. co
sin4x için ( sin β x de i4 karakteristik denklemin kökü olmadığından) yözel=Acos4x+Bsin4x olarak seçilir.
tla
y′ = −4 A sin 4 x + 4 B cos 4 x y′′ = −16 A cos 4 x − 16 B sin 4 x y′′′ = 64 A sin 4 x − 64 B cos 4 x
A=12/1565 ; B=13/1565
sn o
ifadeleri verilen diferansiyel denklemde yerlerine konursa
y genel = yhom ojen + yözel
em de r
yözel=12/1565 cos4x+13/1565 sin4x
ygenel= c1e −t + c2e 2t + c3e3t +12/1565 cos4x+13/1565 sin4x
12) y ''' − 2 y '' + 17 y′ = 8 + e2 x cos 5 x + x 2e x sin 4 x + ( x + 1) diferansiyel denkleminin homojen kısmınn çözümünü elde ediniz. Sağ taraf için belirsiz katsayılar yöntemiyle özel çözümünü katsayıları hesaplamadan çözünüz
w
w
w .e
y ''' = r 3 y '' = r 2 y' = r
yazılarak r 3 − 2r 2 + 17r = 0 r (r 2 − 2r + 17) = 0 r1 = 0
karakteristik denklemden r2,3 = 1 ± i 4 reel ve kompleks
yh=c1er1x +eαx (c2Cosβx+c3Sinβx) yh=c1 + ex (c2Cos4x+c3Sin4x)
8
için özel çözüm: (0 karakteristik denklemin BASİT kökü olduğu için)
y özel1 = Ax
e 2 x cos 5 x için özel çözüm: ( e αx cos βx de, ( ( α ± iβ ) ; ( 2 ± i5) ) karakteristik denklemin KÖKÜ OLMADIĞI için)
m
y özel 2 = e αx ( B cos βx + C sin βx) = e 2 x ( B cos 5 x + C sin 5 x) olarak seçilir.
ri. co
x2exsin4x için özel çözüm: ( x n e αx sin βx de, ( ( α ± iβ ) ; ( 1 ± i 4) ) karakteristik denklemin basit KÖKÜ olduğu için için) y özel 3 = xeαx cos β x( Dx 2 + Fx + G ) + e αx sin βx( Hx 2 + Ix + J ) olarak seçilir.
tla
y özel 3 = xe x cos 4 x( Dx 2 + Fx + G ) + e x sin 4 x( Hx 2 + Ix + J )
sn o
x+1 için özel çözüm: ((0 karakteristik denklemin BASİT kökü olduğu için)
w
w
w .e
em de r
y özel 4 = x( Kx + L) y genel = yh + yözel1 + yözel 2 + yözel 3 + y özel 4
1) y′′-xy′-y=0
x=x0=0 adi nokta civarında iki bağımsız çözümünü bulunuz
P(x)=1 sabit değer olduğundan her nokta adi noktadır. ∞
= ∑ an x n
y=a0+a1x+a2x2+ a3x3+a4x4........
n =0 ∞
m
y’=a1+2a2x+......+(n-1)an-1xn-2 +nanxn-1= ∑ na n x n −1
n=2
∞
∞
∞
n=0
n =1
n =0
∑ (n + 2)(n + 1)an+ 2 x n - ∑ nan x n - ∑ an x n = 0 an+2 =
a0 2 a n=1 için a3 = 1 3 a n=2 için a 4 = 2 = 4 a n=3 için a5 = 3 = 5
sn o
rekürans bağıntısı buluınur
an (n + 2)
tla
∞
y’’=2a2+.....+(n-1)(n-2)an-1xn-3+.... = ∑ n(n − 1)a n x n −2
ri. co
n =1
em de r
n=0 için a 2 =
y=a0+a1x+a2x2+ a3x3+a4x4+a5x5
a0 2 .4 a1 3.5
w
w .e
y= a0+a1x+
w
2) 2y’’+xy’+3y=0 0 2
1 2
y= a0(1+ x2+
a 0 2 a1 3 a 0 4 a1 5 x+ x+ x+ x 2 3 2 .4 3 .5
1 4 x3 x5 x +…)+a1(x+ + + ....) 2.4 3 3.5
x=x0=0 adi nokta civarında iki bağımsız çözümünü bulunuz. 3
4
y=a0+a1x+a2x + a3x +a4x ........
∞
= ∑ an x n n=0
∞
y’=a1+2a2x+......+(n-1)an-1xn-2 +nanxn-1= ∑ na n x n −1 n =1
Diferansiyel Denklemler, Seri Çözümleri
Ufuk Özerman 12/12/2006
1
∞
y’’= 2a2+.....+(n-1)(n-2)an-1xn-3+.... = ∑ n(n − 1)a n x n −2 n=2
∞
∞
∞
n =0
n =1
n =0
x n [2(n + 2)(n + 1)a n + 2 + na n + 3a n ] = 0
an+2 =
− a n (n + 3) 2(n + 1)(n + 2)
ri. co
a nın enbüyük indisli terimi olan an+2 yalnız bırakılarak rekürans bağıntısı;
m
∑ 2(n + 2)(n + 1)an+ 2 x n + ∑ na n x n + ∑ 3an x n = 0
n=1 için a3 =
− .a1 4 − 4a1 − a1 = = 2 .2 .3 4 .3 3
n=2 için a 4 =
− a 2 5 − 5a 2 15a 0 = = 2 .3 .4 24 96
sn o
− 3a 0 − 3a 0 = 2 .1 .2 4
em de r
n=0 için a 2 =
tla
elde edilir. Bu bağıntıda n=0,1,2,3,... değerleri verilerek katsayılar bulunur.
n=3 için a5 =
− a3 6 6a1 a = 1 = 2.4.5 2.3.4.5 20
y=a0+a1x+a2x2+ a3x3+a4x4+a5x5 y= a0+a1x+
x3 x5 15 4 x +…)+a1(x- + + ....) 96 3 20
w .e
3 4
− 3a 0 2 − a1 3 15a 0 4 a1 5 x+ x+ x+ x 4 3 96 20
w
y= a0(1- x2+
w
3) (1-x)y’’+xy’-y=0
y(x)=a0y1(x)+a1y2(x)
x=x0=0 adi nokta civarında iki bağımsız çözümünü bulunuz.
y=a0+a1x+a2x2+ a3x3+a4x4........
∞
= ∑ a n ( x) n n=0
Diferansiyel Denklemler, Seri Çözümleri
Ufuk Özerman 12/12/2006
2
∞
y’=a1+2a2x+......+(n-1)an-1xn-2 +nanxn-1= ∑ na n x n −1 n =1
∞
y’’= 2a2+.....+(n-1)(n-2)an-1xn-3+.... = ∑ n(n − 1)a n x n −2
n=0
n+2
∞
∞
∞
n=0
n =0
n=0
x n - ∑ (n + 2)(n + 1)a n + 2 x n +1 + ∑ na n x n - ∑ a n x n = 0
xn parantezine almak için 2 terimi n=1 den başlatarak n=n-1 yazarsak
n=0
n+2
∞
∞
∞
n =1
n =0
n=0
x n - ∑ (n + 1)(n)a n +1 x n + ∑ na n x n - ∑ a n x n = 0
x n [(n + 2)(n + 1)a n + 2 − n(n + 1)a n +1 + (n − 1)a n ] = 0
tla
∞
∑ (n + 2)(n + 1)a
ri. co
∞
∑ (n + 2)(n + 1)a
m
n=2
sn o
a nın enbüyük indisli terimi olan an+2 yalnız bırakılarak rekürans bağıntısı; an+2 =
n(n + 1)a n +1 − (n − 1)a n (n + 1)(n + 2)
em de r
elde edilir. Bu bağıntıda n=0,1,2,3,... değerleri verilerek katsayılar bulunur. n=0 için a 2 =
a0 1 .2
n=1 için a 3 =
a 1.2.a 2 a 2 = = 0 2 .3 3 1 .2 . 3
n=2 için a 4 =
2.3.a3 − a 2 a0 a = 2 = 3 .4 2 .3 .4 1 .2 .3 .4
w .e
y=a0+a1x+a2x2+ a3x3+a4x4
a0 2 a a x2 x3 x4 x + 0 x3+ 0 x4= a0(1+ + + + ..) + a1 x 1 .2 1 .2 .3 1 .2 .3 .4 1.2 1.2.3 1.2.3.4
w
w
y=a0+a1x+
y=a0y1(x)+a1y2(x)
4)(1+x2)y’’-4xy’+6y=0 x=x0 =0 civarında iki bağımsız çözümünü bulunuz 2
P(x)=(1+x )=0 tekil nokta, diğer tüm noktalar adi nokta
Diferansiyel Denklemler, Seri Çözümleri
Ufuk Özerman 12/12/2006
3
∞
= ∑ an x n
y=a0+a1x+a2x2+ a3x3+a4x4........
n =0 ∞
y’=a1+2a2x+......+(n-1)an-1xn-2 +nanxn-1= ∑ na n x n −1
y’’+x2y’’-4xy’+6y=0
n =1
∞
m
y’’=2a2+.....+(n-1)(n-2)an-1xn-3+.... = ∑ n(n − 1)a n x n −2 ∞
∞
n=2 ∞
n=2
∞
∞
∑ n(n − 1)an x n−2 + ∑ n(n − 1)an x n -4 ∑ nan x n +6 ∑ an x n =0 ∑ (n + 2)(n + 1)a n=0
n+2
n =1
n =0
∞
∞
∞
n=2
n =1
n =0
x n + ∑ n(n − 1)a n x n -4 ∑ na n x n +6 ∑ a n x n =0
n+2
]
+ a n (n 2 − 5n + 6) = 0
sn o
[(n + 2)(n + 1)a
tla
x n [(n + 2)(n + 1)a n + 2 + n(n − 1)a n − 4na n + 6a n ] = 0
ri. co
n=2
an+2 = −
em de r
rekürans bağıntısı buluınur
a n ( n 2 − 5n + 6) (n + 1)(n + 2)
a0 6 = −3a 0 1 .2 a2 a n=1 için a3 = − 1 = − 1 2 .3 3 a2 0 n=2 için a 4 = − =0 3 .5 a .0 n=3 için a5 = 3 = 0 4 .5
w .e
n=0 için a 2 = −
y=a0+a1x+a2x2+ a3x3+a4x4+a5x5
a1 3 x 3 x3 2 y= a0(1-3x )+a1(x- ) 3 5) x2(1-x2)y′′-2xy′+4y=0 denkleminin tekil noktalarını bulunuz. Bu noktaları düzgün ve düzgün olmayan tekil noktalar olarak sınıflandırınız.
w
w
y= a0+a1x − 3a0 x2-
P(x)=) x2(1-x2 )=0 x=0 ve x=±1 tekil noktalar
Diferansiyel Denklemler, Seri Çözümleri
Ufuk Özerman 12/12/2006
4
lim x → x0 ( x − x0 )
Q ( x) P( x)
lim x→0 x
−2 x = −2 x (1 − x 2 ) 2
limitler sonlu değer lim x → x0 ( x − x0 ) 2
R( x) P( x)
lim x→0 x 2
4 =4 x (1 − x 2 ) 2
x=0 düzgün tekil nokta
Q ( x) P( x)
lim x→1 ( x − 1)
−2 x =1 x (1 − x 2 )
ri. co
lim x → x0 ( x − x0 )
m
x= 1 tekil noktası için
2
limitler sonlu değer lim x → x0 ( x − x0 ) 2
R( x) P( x)
lim x→1 ( x − 1) 2
4 = 0 x=1 düzgün tekil nokta x (1 − x 2 )
lim x→−1 ( x + 1)
−2 x =1 x (1 − x 2 )
2
lim x → x0 ( x − x0 )
Q ( x) P( x)
tla
x=-1 tekil noktası için
2
lim x → x0 ( x − x0 ) 2
R( x) P( x)
sn o
limitler sonlu değer
lim x→−1 ( x + 1)2
4 = 0 x=-1 düzgün tekil nokta x (1 − x 2 ) 2
em de r
6) 2x2y’’+3xy’-y=0 euler diferansiyel denklemini çözünüz y=xr seçilir y’=rxr-1 y’’=r(r-1) xr-2
2r(r-1)xr+3r xr- xr=0
xr[2r(r-1)+3r-1]=0
2r2+r-1=0
r1=1/2 , r2=-1 iki farklı reel kök
w .e
y=c1x1/2+c2x-1
7) x2y’’-2xy’+2y=2xlnx diferansiyel denklemi çözünüz
w
w
y=xr seçilir y’=rxr-1 y’’=r(r-1) xr-2
r(r-1) xr-2rxr+2xr=0
(r2-3r+2) xr=0 r1=2, r2=1 2 farklı reel kök y=c1xr1+c2xr2
Diferansiyel Denklemler, Seri Çözümleri
Ufuk Özerman 12/12/2006
5
y=c1x2+c2x Parametrelerin değişimi yöntemi ile; y=u1x2+u2x
u1’x2+u2’x=0 -2x2u1’-u2’x=-2lnx
ri. co
m
u1’x2+u2’x=0 2x u1’+ u2’=2lnx/x -x2u1’=-2lnx
u1=
u2’=-2lnx/x
u2=-2(lnx)2+K2
tla
− 2 ln x ln x 2 + K1 = − + K1 x x
u1’=2lnx/x2
sn o
ygenel=K1x2+K2x-x(lnx)2-2xlnx
8)- x2y’’+xy’+(x-2)y=0 x=0 civarında iki bağımsız çözümünü bulunuz.
p(x)= 0 ile x2= 0
em de r
P(x)= x2 Q(x)=x R(x)= x-2
lim x → x0 ( x − x0 )
Q ( x) P( x)
R( x) P( x)
w .e
lim x → x0 ( x − x0 ) 2
lim x →0 x
x = 1 = p0 x2
lim x →0 x 2
x−2 = −2 = q 0 x2
sonlu bir değer olduklarından Düzgün tekil nokta
p0=1 ve q0=0 değerleri
w
F(r) =r(r-1)+p0r+q0 r(r-1)+r-2=0
indis denkleminde yerlerine konursa
r2-2=0
r1= 2 , r2=- 2 kökler reel ve farklı
w
x=x0= 0 düzgün tekil nokta civarında seri çözümü (a0 ≠ 0)
y=
∞
∑a n=0
n
x r +n
Diferansiyel Denklemler, Seri Çözümleri
Ufuk Özerman 12/12/2006
6
∞
y’= ∑ (r+n)anxr+n-1 n =0 ∞
y’’= ∑ (r+n)(r+n-1)anxr+n-2 n =0
∑ n =0 ∞
∑ n =0
∞
∞
(r+n)(r+n-1)anx + ∑ (r+n)anx + ∑ anx r+n
r+n
n =0
r+n+1
∞
-2 ∑ a n x r + n =0 n=0
n =0
∞
∞
∞
ri. co
∞
m
verilen diferansiyel denklemde yerlerine konularak
(r+n)(r+n-1)anx + ∑ (r+n)anx + ∑ an-1x -2 ∑ a n x r + n =0 r+n
r+n
n =0
r+n
n=0
n =1
İndis denklemi için (a0 ≠ 0) ile
r(r-1)a0xr+r a0xr-2 a0xr+ a0xr+1+.......
tla
x in en küçük üssü (xr) parantezine alınırsa
x r [r (r − 1) + r − 2] = 0 ile
sn o
indis denklemi
r2-2=0
elde edilir.
em de r
r1= 2 , r2=- 2 kökler reel ve farklı
x r + n [(r + n)(r + n − 1)a n + (r + n)a n − 2a n + a n −1 ] = 0
(r2+2nr+n2-r-n)an+(r+n)an-2an+an-1=0
an = −
a n −1 ( r + n) 2 − 2
w .e
rekürans bağıntısı elde edilir. Herbir kök değeri rekürans bağıntısında yerlerine konarak bunlara karşılık gelen bağıntılar elde edilir, bu bağıntılarda n=0,1,2,…… değerleri ile ai
(i=1,2,3,….) katsayılar belirlenerek y=
∞
∑a n=0
n
x r + n denkleminde yerlerine konarak genel
w
çözüm elde edilir.
w
r1= 2 için
n=1 için a1 = −
an = −
a n −1
( 2 + n) 2 − 2
n ≥1
a0
1+ 2 2
Diferansiyel Denklemler, Seri Çözümleri
Ufuk Özerman 12/12/2006
7
n=2 için a 2 =
a1
=
( 2 + 2) − 2 2
a0
(1 + 2 2 )(2 + 2 2 )2
m
katsayıları
ifadesinde yerlerine konarak lineer bağımsız birinci çözüm 2
−
a0 1+ 2 2 x
+
1+ 2 2
+
a0 (1 + 2 2 )(2 + 2 2)2 x2
(1 + 2 2 )(2 + 2 2)2
r2=- 2 için
2 +2
)
a n −1
( − 2 + n) 2 − 2
n ≥1
em de r
an = −
n=1 için a1 = −
n=2 için a3 =
katsayıları
x
sn o
y1(x)= a 0 x 2 (1 −
2 +1
x
tla
y1(x)= a0 x
ri. co
y1(x)=a0xr1+a1xr1+1+a2xr1+2+…………….
a0
1− 2 2 a1
(− 2 + 2) − 2 2
=
a0
(1 − 2 2 )(2 − 2 2 )2
w .e
y2(x)=a0xr2+a1xr2+1+a2xr2+2+…………….
ifadesinde yerlerine konarak lineer bağımsız ikinci çözüm
w
w
y2(x)= a0 x − 2 −
a0
1− 2 2
y2(x)= a 0 x − 2 (1 −
x−
x 1− 2 2
+
2 +1
+
a0 (1 − 2 2 )(2 − 2 2)2 x2
(1 − 2 2 )(2 − 2 2)2
x−
2 +2
)
elde edilir. Genel çözüm ygenel=c1y1(x)+c2y2(x) Diferansiyel Denklemler, Seri Çözümleri
Ufuk Özerman 12/12/2006
8
9) x2y’’+xy’+x2y=0
p(x)= 0 ile x2= 0
lim x → x0 ( x − x0 )
Q ( x) P( x)
lim x →0 x
m
P(x)= x2 Q(x)=x R(x)= x2
x=0 civarında iki bağımsız çözümünü bulunuz.
x = 1 = p0 x2
R( x) lim x → x0 ( x − x0 ) P( x) 2
lim x →0
ri. co
sonlu bir değer olduklarından Düzgün tekil nokta
x2 x 2 = 0 = q0 x 2
p0=1 ve q0=0 değerleri
indis denkleminde yerlerine konursa
r(r-1)+r=0 r2=0
r1,2=0 kökler eşit(katlı) bulunur.
sn o
tla
F(r) =r(r-1)+p0r+q0
x=x0= 0 düzgün tekil nokta civarında seri çözümü (a0 ≠ 0)
y=
∞
∑a n=0 ∞
n
x r +n
n =0 ∞
em de r
y’= ∑ (r+n)anxr+n-1
y’’= ∑ (r+n)(r+n-1)anxr+n-2 n =0
verilen diferansiyel denklemde yerlerine konularak ∞
∑ n =0
∞
∞
n =0
n=0
(r+n)(r+n-1)anxr+n+ ∑ (r+n)anxr+n+ ∑ a n x r + n + 2 = 0
w .e
xr+n parantezine alabilmek için indeks ötelemesi yapılarak son terimde n=n-2 yazılırsa ∞
∑ n =0
∞
∞
n =0
n=2
(r+n)(r+n-1)anxr+n+ ∑ (r+n)anxr+n+ ∑ a n− 2 x r + n = 0
(a)
w
w
sayısal değerler konularak x in en küçük derecesesini içeren denklem(İndis denklemi) elde edilir. r(r-1)a0xr+ra0 xr +a0xr+2+(r+1)ra1xr+1+(r+1)a1xr+1+a1xr+3+……….=0 x in en küçük derecesi xr olduğundan
Diferansiyel Denklemler, Seri Çözümleri
Ufuk Özerman 12/12/2006
9
a0xr(r(r-1)+r)=0 r2=0 İndis denklemi r1,2=0 kökler eşit(katlı) bulunur. Dikkat edilirse yukarıdaki indis denkleminden de aynı sonuç elde edilmişti. 2
a1xr+1=0 dan a1=0 olur.
(a) ifadesinden rekürans bağıntısı
− a n−2 − an−2 = (r + n)(r + n − 1) + (r + n) (r + n) 2
elde edilir. n e sayısal değerler verilerek
− a0 ( r + 2) 2
a4 =
a0 − a2 = 2 ( r + 4) ( r + 2) 2 ( r + 4) 2
a6 =
− a0 − a4 = 2 2 ( r + 6) ( r + 2) ( r + 4) 2 ( r + 6) 2
sn o
tla
a2 =
n≥2
ri. co
an =
m
n=1 için (r+1)
em de r
a1=0 olduğundan a1=a3=a5=...................=0 dır. Katsayılar yerlerine konarak x2 x4 x6 y = a 0 x r 1 − + − − ....... ( 1**) 2 2 2 2 2 2 ( r + 2) ( r + 4) ( r + 2) ( r + 4) ( r + 6) ( r + 2)
Bu ifadede r=0 konursa ve a001 seçilirse lineer bağımsız çözümlerden biri
x2 x4 x6 y1 ( x) = 1 − 2 + 2 2 − 2 2 2 2 2 4 2 4 6
w .e
şeklinde bulunur. İkğinci lineer bağımsız çözümü bulmak için (1** ) serisinin r ye göre kısmi türevi alınıp a0=1 seçilirse y2 =
∂y ∂r
r =0
w
w
x2 x2 x4 2 x4 r y 2 = x r ln x 1 − x . + − + − 2 2 2 2 ( r + 2) 2 ( r + 4) 2 (r + 2) ( r + 2) ( r + 2) ( r + 2) ( r + 4)
2 2 + .. + (r + 2) (r + 4) r =0
1 x 1 1 x 1 1 x y 2 = y1 ln x + ( ) 2 − 2 ( ) 4 (1 + ) + ( ) 6 (1 + + ) − ... 2 3 2 6 4 2 4 2
Diferansiyel Denklemler, Seri Çözümleri
Ufuk Özerman 12/12/2006
10
2006-2007 Güz Yarıyılı Diferansiyel Denklemler Dersi
2 ) =? Laplace dönüşümünü hesaplayınız. s + 3s − 4 2
Soru2 ) F ( s ) =
e −2 s s2 + s − 2
ters laplace dönüşümünü bulunuz.
Soru3) f (t ) = (t − 3)u 2 (t ) − (t − 2)u 3 (t )
L−1 [F ( s )] = ?
ri. co
Soru1) L (
m
Çalışma Soruları 4
laplace dönüşümü hesaplayın F(s)=?
1 y (0) = , y′(0) = 0 başlangıç değer problemini çözünüz 2
sn o
Soru 5) y′′ + 4 y = δ (t − 4π )
tla
y (0) = 2 , y ' (0) = −6 başlangıç değer problemini Laplace Soru4) y ' '+4 y '+3 y = e −2t dönüşümünden yaralanarak çözünüz.
1 2 1 6 −1 0 diferansiyel denklem sisteminin özdeğerlerini bulunuz −1 −2 −1
em de r
Soru 6)
1 1 1 Soru 7) y = 2 1 −1 y diferansiyel denklem sisteminin özdeğerleri ve bu özdeğerlere −8 −5 −3 karşı gelen özvektörleri bulunuz. '
w .e
dx1 = x1 − 2 x2 dt dx2 = −2 x 1 + x2 dt
Soru 8)
sistemini çözünüz.
w
w
4 − 2 t −3 Soru9) x ' = x + − 2 diferansiyel denklem sisteminin genel çözümünü 8 − 4 − t parametrelerin değişimi metodunu kullanarak bulunuz.
1 1 → e −2t Soru10) x = diferansiyel denklem sisteminin genel çözümünü x+ t 4 −2 −2e köşegenleştirme metodu kullanarak bulunuz. → '
w
w
w .e
em de r
sn o
tla
ri. co
m
Laplace dönüşümü tablosu
2 2 a b = = + s + 3s − 4 ( s + 4)( s − 1) ( s + 4) ( s − 1)
a+b = 0
s ( a + b) = 0
2 2 a = − ,b = 5 5
− a + 4b = 2
− a + 4b = 2
L(
ri. co
a ( s − 1) + b( s + 4) = 2
2 2/5 − 2/5 )= + = −2 / 5e − 4t + 2 / 5e t ( s + 4) ( s − 1) s + 3s − 4 2
e −2 s 2) F ( s ) = 2 s +s−2
L−1 [F ( s )] = ?
sn o
em de r
1 e −2 s ⇒ L−1 e − 2 s ( s − 1)( s + 2) ( s − 1)( s + 2)
1 a b = + ( s − 1)( s + 2) ( s − 1) ( s + 1)
a(s+2)+b(s-1)=1 s(a+b)=0 ,
2a-b=1 a=1/3 ,b= -1/3
1/ 3 1 / 3 − 2 s 1 t 1 − 2t 1 1 L−1 e − 2 s − = e ( e − e ) = u 2 (t ) e ( t − 2 ) − e − 2 ( t − 2) ( s − 1) ( s + 1) 3 3 3 3 2( s − 1)e −2 s s 2 − 2s + 2
L−1 ( F ( s )) = ?
e at cos bt =
w .e
F (s) =
L−1 (e − 2 s
2( s − 1) ) = L−1 (e − 2 s 2e t cos t ) = 2u 2 (t )e ( t − 2 ) cos(t − 2) ( s − 1) 2 + 1
w
w
L−1 (e − cs F ( s )) = u c (t ) f (t − c)
3) f (t ) = (t − 3)u 2 (t ) − (t − 2)u 3 (t )
(t − 3 + 1 − 1)u 2 (t ) − (t − 2 − 1 + 1)u 3 (t )
[(t − 2) − 1]u 2 (t ) − [(t − 3) + 1]u3 (t )
m
2
tla
1)
F(s)=?
(s − a) ( s − a) 2 + b 2
e −2 s se −2 s e −3s se −3 s − 2 − 2 − 2 s2 s s s
⇒
[
]
⇒
s −2 e −2 s − se −2 s − e −3 s − se −3 s
⇒
s −2 e −2 s (1 − s )e −3s (1 + s ) =F(s)
[
ri. co
e −2 s e −2 s e −3s e −3 s − − 2 − s s s2 s
m
e −2 s e −3s − e −3s L(t ) − s s
]
tla
e − 2 s L(t ) −
4) y ' '+4 y '+3 y = e −2t y (0) = 2 , y ' (0) = −6 başlangıç değer problemini Laplace dönüşümümünden yaralanarak çözünüz.
[ ]
L[ y ' '] + 4 L[ y '] + 3L[ y ] = L e −2t
em de r
L[ y ' '] = s 2Y ( s ) − sy (0) − y ' (0) L[ y '] = sY ( s ) − y (0) L[ y ] = Y ( s )
sn o
Laplace dönüşümünün lineerliğinden
s 2Y ( s ) − 2s + 6 + 4 sY ( s ) − 8 + 3Y ( s ) =
[
]
Y ( s) s 2 + 4s + 3 − 2s − 2 =
s 2Y ( s ) − sy (0) − y ' (0) + 4 sY ( s ) − 4 y (0) + 3Y ( s ) =1/(s+2)
1 s+2
1 , s+2
[
]
Y (s) s 2 + 4s + 3 =
1 + 2( s + 1) , s+2
1 2 + ( s + 1)( s + 2)( s + 3) s + 3
w .e Y (s) =
w
w
Basit kesirlere ayrılırsa; 1 a b c = + + ( s + 1)( s + 2)( s + 3) s + 1 s + 2 s + 3
Y(s)=
a= 1/2 , b=-1 , c= ½
1/ 2 1 5/ 2 − + bu ifadenin her iki tarafının laplace dönüşümü alınırsa s +1 s + 2 s + 3
1 5 1 1 −1 1 ) − L−1 ( ) + L−1 ( ) L ( 2 s +1 s+2 2 s+3 1 −t 5 e − e − 2 t + e − 3t 2 2
5) y’’+4y=δ(t-4π) -st Laplace dönüşümünün lineerliğinden L(δ(t-t 0))=e 0 L [ y ''] + 4 L [ y ] = L [δ (t − t0 ) ] = e −4π s
s s 2Y ( s ) − + 4Y ( s ) = e −4π s 2 s −4π s s + 2e −4π s ( s + 4)Y ( s ) = + e = 2 2 2
tla
L [ y ] = Y ( s)
s 2Y ( s ) − sy (0) − y '(0) + 4Y ( s ) = e −4π s
sn o
L [ y ''] = s 2Y ( s ) − sy (0) − y '(0)
e − cs F ( s ) = uc (t ) f (t − c)
2 s + 2e −4π s s e −4 π s = + 2 2 2 2( s + 4) 2( s + 4) 2( s + 4)
em de r
Y (s) =
m
y (t ) =
ri. co
L−1 (Y ( s) ) =
Y(S)=1/2 COS2t+1/2sin2te-4sπ=1/2 COS2t+ u4π 1/2sin2(t-4π) 6)
w .e
1 2 1 6 −1 0 −1 −2 −1 det( A − λ I ) = 0
w
w
1 − λ 6 −1
2 −1 − λ −2
1 0 −1 − λ
1 − λ [ (−1 − λ )(−1 − λ )] − 2 [ 6(−1 − λ ) ] + 1[ −12 − (−1*(−1 − λ )) ] = 0
λ 3 + λ 2 − 12λ = 0 λ (λ 2 + λ − 12) = 0 λ1 = 0 → λ2 = 3 → λ3 = −4
m
3 farklı reel kök(özdeğerler) elde edilir.
ri. co
λ1 = 0 için özvektörler
1 x11 0 1 2 1 1 2 6 −1 0 = 0 −13 −6 x21 = 0 −1 −2 − 1 0 0 0 x31 0
−13 x21 + −6 x31 = 0 −13 x21 = 6 x31 → x21 = −
x21 = −
6 13
x11 = −
25 3
em de r
x31 = 1 seçilirse
6 x31 13
sn o
x11 + 2 x21 + x31 = 0
tla
-6*R1+R2 ve R1+R3 satır işlemleri ile
−25 3 x11 JG x1 = x21 = − 6 3 x 31 1
λ2 = 3
w .e
−2 2 1 x12 0 6 −4 0 x22 = 0 −1 −2 −4 x32 0
−2 2 1 0 2 3 ve 2/3*R3+R2 ile 0 −3 −9 2
w
w
3*R1+R2 ve -1/2*R1+R3 satır işlemleri ile
x32 = 1 x22 = −3
−3 x22 − 9 x32 = 0 2
x22 = −3 x32 2
x −1 JJG 12 x2 = x22 = −3 2 x 32 1
sn o
2 1 5 -6/5R1+R2 ve1/5R1+R3 0 3/ 5 −6 / 5 1/3*R2 ,1/8*R3 0 −8 / 5 16 / 5
1 x13 0 5 2 0 1/ 5 −2 / 5 x23 = 0 0 0 0 x33 0
em de r
2 1 5 0 1/ 5 −2 / 5 0 −1/ 5 2 / 5
tla
λ3 = −4 için özvektörler 5 2 1 x13 0 6 3 0 x23 = 0 −1 −2 3 x 0 33
R2+R3
x12 = −1
2
ri. co
−2 x12 + 2 x22 + x32 = 0
5 x13 + 2 x23 + x33 = 0
1/ 5 x23 − 2 / 5 x33 = 0
x23 = 2 x33
x33 = 1 → x23 = 2 → x13 = −1
w .e
x −1 JJG 13 x3 = x23 = 2 x 1 33
3 farklı reel kök durumunda genel çözüm
w
w
JG JJG JJG xgenel = c1 x1eλ1t + c2 x2eλ2t + c3 x3eλ3t
xgenel
m
−2 2 1 x12 0 0 0 0 x22 = 0 elde edilir. 0 −3 −9 x32 0 2
−25 / 3 −1 −1 3t = c1 −6 / 3 + c2 −3/ 2 e + c3 2 e −4t 1 1 1
7)
1 −1 = 0 −3 − λ
ri. co
1 1 − λ 2 1− λ −8 −5
m
1 1 −1 JG y′ = 2 1 _1 y −8 −5 −3 det( A − λ I ) = 0
1 − λ [ (1 − λ )(−3 − λ ) − (−5*(−1))] − 1[ (2*(−3 − λ ) − 8) ] + 1[ (2* −5) − (1 − λ ) * −8)] = 0
tla
λ 3 + λ 2 − 20λ = 0
sn o
λ (λ 2 + λ − 20) = 0 3 farklı reel kök(özdeğerler) λ1 = 0 → λ2 = 4 → λ3 = −5
6. Sorudakine benzer olarak özdeğerlere karşı gelen özvektörler bulunarak genel çözüm elde edilir. 3 farklı reel kök durumunda genel çözüm
8)
em de r
JJG JJG JJG y genel = c1 y1eλ1t + c2 y2eλ2t + c3 y3eλ3t
dx1 = x1 − 2 x2 dt
dx2 = −2 x1 + x2 dt
sistemini çözünüz.
x’=Ax homojen sistem
w .e
det(A-λI)=0 oluşturularak özdeğerler:
1 − λ − 2 2 − 2 1 − λ =λ -2λ-3=0
λ1=3
λ2=-1 (farklı 2 reel kök)
w
w
λ1=3
− 2 − 2 x11 0 − 2 − 2 x = 0 21
x11=-x21
→ x 1 x1 = 11 = x 21 −1
x12=x22
ri. co
2 − 2 x12 0 − 2 2 x = 0 22
m
λ2=-1 için
tla
→ x 1 x 2 = 12 = x 22 1
1 3t 1 -t e + c 2 1 e −1
sn o
xhomojen=c1
9)
4 − 2 t −3 x = x + − 2 diferansiyel denklem sisteminin genel çözümünü bulunuz. 8 − 4 − t '
x’=Ax
em de r
Çözüm: x’=Ax+f(t) tipi, önce homojen çözüm yapılır. det(A-λI)=0 oluşturularak özdeğerler:
w .e
−2 ( 4 − λ ) =(4-λ)(-4-λ)+16=λ2=0 8 ( −4 − λ )
λ1= λ2=λ=0
λ1=0 için
w
w
4 − 2 x11 0 8 − 4 x = 0 21
λ2=2 için
4x11-2x21=0
x11=1/2 x21
→ x 1 x1 = 11 = x 21 2
x21=2 seçilirse
2 katlı kök
4 − 2 x12 1 8 − 4 x = 2 22
4x12-2x22=1
→ x 0 x 2 = 12 = x 22 − 1 / 2
x12=0 ise
→
→
xgenel= c1 x1 eλt+c2( x1 t+ x 2 )eλt idi.
ri. co
→
m
Genel Çözüm 2 katlı kök olması durumunda (λ1= λ2=λ)
x
1
1
0
2
xhomojen= 1 = c1 +c2( t+ ) x 2 2 − 1 / 2
tla
x1 = c1 + c 2 t
Parametrelerin değişimi metodu ile
t 1 olmak üzere Ψ = 2 (2t − 1 / 2)
em de r
(1)
sn o
x 2 = 2c1 + 2c 2 t − 1 / 2c 2
x1 = u1 + u 2 t
x 2 = 2u1 + 2u 2 t − 1 / 2u 2
yazılarak
ψ(t) u’(t)=f(t) oluşturulursa '
'
u1 + u 2 t = t −3 '
'
− 1 / 2u 2' = −2t −3 − t −2
u 2' = 4t −3 + 2t − 2
'
w .e
2u1 + 2u 2 t − 1 / 2u 2 = −t − 2
(2)
u1' + (4t −3 + 2t −2 )t = t −3 u1' = t −3 − 4t −2 − 2t −1
w
w
u 2 = −2t −2 − 2t −1 + K 2
u1 = −1 / 2t −2 + 4t −1 − 2 ln t + K 1
(2) ve (3) ,(1) de yerlerine konulursa
x1=K1+K2t-1/2t-2+2t-1-2lnt-2 x2=2K1+2K2t- K2/2-t-2+8t-1-4lnt-4-4t-1+t-2+t-1=2K1+2K2t-K2/2+5t-1-4lnt-4 veya
(3)
1
1
0
− 1 / 2
− 2
2
− 2
x=K1 +K2( t+ )+ t − 2 + t −1 + ln t + 2 2 − 1 / 2 0 5 − 4 − 4 1 1 → e −2t 10) x = diferansiyel denklem sisteminin genel çözümünü x+ t 4 −2 − 2e köşegenleştirme metodu kullanarak bulunuz.
x’=Ax
ri. co
Çözüm: det(A-λI)=0 oluşturularak özdeğerler:
4x11=-x21
em de r
4 1 x11 0 4 1 x = 0 21
sn o
tla
1 (1 − λ ) =(1-λ)(-2-λ)-4=λ2+λ-6=0 4 (−2 − λ ) λ1=-3 , λ2=2 2 farklı reel kök
λ1=-3
→ x 1 x1 = 11 = x 21 − 4
λ2=2 için
w .e
− 1 1 x12 0 4 − 4 x = 0 22
1 1 Özvektörleri içeren matrisi T ile gösterirsek T= − 4 1
x=Ty → x′=Ax+f(t) de yerine konursa
w
w
→ x 1 x 2 = 12 = x 22 1
x12=x22
Ty′=Aty+f(t)
olur. Bu denklemin her iki tarafı T-1 çarpılarak
y′=(T-1AT)y+ T-1f(t)=Dy+ T-1f(t) T-1 in hesabı
m
→ '
− 3 0 0 2
D=
−1 5 1 5 5 1
y’=Dy+ T-1f(t) oluşturulursa
ri. co
T-1 = 4 5
−1 1 0 1 0 5 5 → 1 4 1 0 1 5 5 5
y1' − 3 0 y1 1 5 − 1 5 e −2t = + ' t y 2 0 2 y 2 4 5 1 5 − 2e
3t '
t
1
[y e ] = 54 e
− 4t
→
1 1 y1e 3t = e t + e 4t + c1 5 10
1 2 2 − e −t → y 2 e −2t = − e − 4t + e −t + c 2 5 5 5
em de r
− 2t '
2
2 + e 4t 5
integrasyon çarpanı yardımıyla
sn o
[y e ] = 15 e
tla
y′=
1 2 y1' + 3 y1 = e − 2t + e t 5 5 4 2 y 2' − 2 y 2 = e − 2t − e t 5 5
1 1 y1 = e − 2t + e t + c1 e −3t 5 10 1 2 y 2 = − e − 2t + e t + c 2 e 2t 5 5
bulunur. Buradan
y1 15 − 2t 110 t c1e −3t e + e + 2t = 25 y 2 − 15 c2 e
y=
Bu sistemin her iki tarafı T dönüşüm matrisi ile çarpılırsa genel çözüm(x=Ty)
w .e
− 2t t − 3t 1 1 15 e + 110 e + c1e 1 e t + c1e −3t + c 2 e 2t = 2 x=Ty= − 2t t 2t − 2t − 3t 2t − 4 1 − 15 e + 2 5 e + c 2 e − e − 4c1e + c 2 e
w
w
veya
1 1 1 0 x= 2 e t + e − 2t + c1 e −3t + e 2t 0 1 − 4 − 1
m
1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 → → 4 0 1 5 − 4 1 0 1 0 5 4 1
