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1. Les
résultats obtenus pour le chlorure de potassi um sont : a. Réseau de Bravais C.F.C. -10 b. Le paramètre de la maille a = 6,30 10 m. c. Chaque plan contient un seul type d’atome. est : d. La distance séparant deux plans consécutifs co nsécutifs contenant le même type d’atome est :
a
r
3
= 3,64 10 -10 m
2. Si
une vibration se propage dans ce cristal suivant la direction [111] tous les plans perpendiculaires à cette direction se déplacent en phase et on peut décrire le déplacement par une seule coordonnée u p d’un type de plan p par rapport à la position l’équilibre l’équilibre et v p le déplacement de l’autre type de plan p par rapport à la position l’équilibre. u p
[111] v p
plans p
r
On suppose que chaque cha que plan n’interagit qu’avec ses deux plans adjacents, en appliquant la deuxième loi de newton à chacun des plans p on obtient : d 2u p C v p v p 1 2u p m K dt 2 2 m d v p C u u 2v p p1 p Cl dt 2 3. On considère des solutions sous forme d’ondes planes monochromatique : monochromatique : u p u0 exp i t pkr
v p v0 exp i t pkr On calcule les dérivées secondes et on peut simplifier par le terme exp i t .exp ipkr , on obtient alors :
m K 2 2C u0 C 1 exp ikr v0 0 m K 2u0 Cv0 1 exp ikr 2Cu 0 d’où 2 2 m v C u 1 i k r 2 C v exp Cl 0 0 0 C 1 exp ikr u0 mCl 2C v0 0 C’est un système de deux équations à deux inconnues u0 et v0, pour qu’il admette des solutions non nulles il faut que le déterminant du système soit nul :
m
2 K
2C
C 1 exp ikr
C 1 exp ikr
mCl 2 2C
0
m K mCl 4 2C mK mCl 2 2C 2 1 cos kr 0 4. On
effectue les changements de variable en fonction de et et M définies définies au début de la question remplace le cosinus par le sinus. s inus. L’équation précédente devient : devient : 1 4 2 2 2 kr M 2CM 4C sin 0 2 C’est une équation bicarrée équation bicarrée dont les solutions sont :
2. et
on
1
2
1
5. Les
2 2 kr
C C 2 4M 1.sin et 2
représentations graphiques pour
sont
2
2
C C 2 4M 1.sin 2
1
2 2 kr
données sur la figure suivante :
(2C )1/2
(2C/mCl)1/2
Branche des phonons optiques Branche des phonons acoustiques
(2C/m )1/2
K
k
0
2r
D’après la figure précédente on voit qu’il existe un intervalle de fréquences à la limite de la première zone de Brillouin pour lequel la vibration ne peut pas se propager. La largeur de cette bande de fréquences est : 2C 2C 6.
u d
mCl
mK
7. Dans
le montage une impulsion ultrasonore est engendrée par le transducteur piézoélectrique, elle se réfléchit successivement sur les faces elle est ensuite détectée.
Connaissant l’épaisseur e du cristal et le décalage entre deux échos successifs on obtient : 2e 2 1, 00 10-2 3 -1 = 8,33 10 m.s v s 2, 40 10-6 Remarque : Pour la distance parcourue par l’impulsion ultrasonore il faut compter l’aller et le retour ! Pour déterminer , il faut déterminer la constante de rappel C . La vitesse du son le long de la rangée [111] est égale au coefficient directeur de la tangente à l’origine (courbe en vert). On obtient : v s r
v s2 M
2C
, C M 2r 2 On effectue une analyse dimensionnelle de C, on a alors : [C] = M.T-2 Donc C s’exprime en kg.s -2 homogène au N.m -1. 3 2
C
8, 33 10
74, 6 10-3
2 6,02 1023 3,64 10
-10 2
= 32,5 N.m -1
On peut ainsi calculer : u
d
2C mCl 2C m K
2 32, 5 6, 02 1023 -3
35, 5 10
2 32, 5 6, 02 1023 -3
39,1 10 =
= 3,32 10 13 rad.s-1 = 3,16 10 13 rad.s-1
1,6 10 12 rad.s-1
Soit E la largeur de cette bande interdite : h = 1,69 10 -22 J = 1,06 10 -3 eV = 1,06 meV E = 2
