DESPLAZAMIENT OS EN LA RECTA NUMÉRICA NUMÉRICA Y OPERACIONES CON ENTEROS •
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*Desplazamientos *Desplazamientos en la Recta Nm!"ica# *N$me"os Ente"os# Escrito por %to"&' 29-11-2009 en General. General.Comen Com enta tari rios os (0) ((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( (
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!EC"#. $an %os& del Guaiare
'os nmeros racionales sus operaciones.
*isitas a esta p+gina.
"ise,: &ctor /lonso Betancourt *el+sue. 3!EC"#. Guaiare. Colom4ia.
33333333333333333333333333333333333333333333333333333333 TEMA) Desplazamientos en la "ecta nm!"ica# 'OG#O: / partir de desplaamientos a la derec5a e iuierda introduco por conencin los signos positios negatios.
"esplaamientos en la recta num&rica: 6n cuerpo se desplaa cuando al moerse cam4ia de posicin. E7emplo: 8artiendo de la posicin ; desplaarse cuatro posiciones hacia la izquierda siete posiciones hacia la derecha.
"espu&s de estos dos desplaamientos ueda en la posicin
'+.
E7ercicio: #epresento en rectas num&ricas los siguientes desplaamientos. Pero tenga en cuenta que: !nicio en cero <0< luego para 5acer uno nueo; me desplao desde el punto a donde 5e llegado (O4sero las gr+icas con detenimiento). a. $iete pasos a la iuierda cinco pasos a la derec5a. 4. =res pasos a la derec5a seis pasos a la derec5a. c. Nuee pasos a la derec5a siete pasos a la iuierda. d. Once pasos a la iuierda cinco pasos a la derec5a.
e. "os pasos 5acia la iuierda; cuatro 5acia la derec5a seis 5acia la derec5a. Para pensar: "espu&s de tres desplaamientos con la misma magnitud
sentido; el cuerpo se encuentra 12 m. 5acia la derec5a. >Cu+l es la magnitud el sentido de cada desplaamiento "esplaamientos positios negatios: 'as posiciones en la recta num&rica 5acia la derec5a del origen son con signo positio las de la iuierda son con signo negatio; como tam4i&n se llamar+ a los desplaamientos 5acia la derec5a positios 5acia la iuierda negatios.
E7emplo: 8edro camina tres pasos 5acia la derec5a luego cinco en la misma direccin >a cu+ntos pasos se encuentra de la posicin inicial?.
@ , A - .
/ngie se desplaa m. 5acia la derec5a luego m. 5acia la iuierda. >/ u& distancia se encuentra del punto de partida?
, / D 0 - 1 ' Edard se desplaa @ m. 5acia la iuierda A m. m+s 5acia la iuierda. >/ ue distancia se encuentra del punto de partida?.
D @ , / D A 0 - 1 . =eniendo en cuenta ue siempre el punto de Origen es CERO ; ue los desplaamientos a la izquierda son cantidades NE2ATI3AS ue los desplaamientos a la derecha son cantidades POSITI3AS; o4sero con detenimiento la gr+ica saco mis propias conclusiones: 'a siguiente operacin; la puedo escri4ir de dos maneras:
D @ F D 9
4
1 ' , & , /1 50 -
E7ercicio: Eecto con auda de la recta num&rica las operaciones indicadas. a. D F (D 2 ) 4. D F 1@ c. D @ F (D 1 ) F H d. D F (D 1) F (D @) F 9 d. 12 F (D 1)
*er respuesta *er respuesta *er respuesta *er respuesta
e. 9 F 12
M6S E7ERCICIOS# 8ara aianar lo aprendido 5asta el momento; desarrollo la 8resente /ctiidad# /5ora desarrolla esta Otra /C=!*!"/"8 muc5a suerte. $i desea 7ugar con los nmeros enteros; de ClicI auJ. =EK/: Con9nto +e los n$me"os ente"os / Z 0# 'OG#O: #econoco el con7unto de los nmeros enteros como el con7unto ormado por los enteros positios; los enteros negatios el cero.
E7ercicio: Este e7ercicio nos permite distinguir las cantidades positias negatias. /nalia coloue antes de la cantidad D o F de acuerdo con cada enunciado. ELpliue en cada caso la seleccin. 6na deuda de M .H00;oo -
A Iilmetros al norte. @ Iilmetros al este. 'a temperatura en $an %os& del Guaiare es de 2HC. 6n retiro del Banco 8opular de M 120.000;oo 1 Iilmetros al sur. 12 Iilmetros al oeste /lasIa est+ a 10C 4a7o cero.
E7ercicio: Crea en su cuaderno un eLtracto 4ancario tenga en cuenta la siguiente inormacin. "espu&s de contar con un saldo de MA.000;oo completa el siguiente eLtracto 4ancario con la siguiente inormacin: "eposita a la cuenta
[email protected];oo el dJa 2A de e4rero -
#etira MAH.000;oo el 12 de maro. #etira M2.000;oo el 29 del mismo mes.
-
"eposita M2A.000;oo el 09 de a4ril. #etira M@.000;oo el 1 de a4ril.
-
Consigna
[email protected];oo el 21 de a4ril
-
Respon+a# >Cu+ntas eces se present un so4regiro? cu+l es la ltima cantidad ue aparece en el eLtracto?.
El con7unto de los nmeros enteros ( Z ) est+ conormado por tres su4con7untos ue son: QF R 1; 2; @; ; A; P; ; . . .S son los enteros positios. R 0 S; Con7unto unitario cero. Entero ue no se considera positio ni negatio. Q- R -1; -2; -@; -; -A; -P; -; . . .S son los enteros negatios. E7ercicio: a. Escri4e los enteros ue cumplan las condiciones indicadas en cada caso: Kaores ue DA menores ue -
Kaores ue DH menores ue -1 Kenores ue @ maores ue DP
-
Kaores ue - menores ue 10
-
4. Ordeno de menor a maor las siguientes cantidades. a. D H; 9; @; D A; D 1; 9; D 9; 0; P. 4. P; D ; D 1; H; 2; 1; D 10; D ; D 2; . c. D12; 1; D @; D A; 10; D 1A; D H; ; 0; 9; D 1; D 2; P. Opuesto de un nmero entero: 6n nmero entero su opesto tienen el mismo alor num&rico pero dierente signo a ue se encuentran a la misma distancia del cero. E7emplo El opuesto de A es DA; El opuesto de D11 es 11. E7ercicio: allar el opuesto de los siguientes nmeros: a. D @ 4. D H c. d. D 19H
e. 0
.
D @A
*alor a4soluto de un nmero entero: $i un nmero es positio; el alor a4soluto es el mismo nmero. En cam4io si el nmero es negatio; su alor a4soluto es el opuesto. Esto nos indica ue el alor a4soluto de cualuier nmero entero; sea positio o negatio siemp"e
se": positi;o# El alor a4soluto se denota escri4iendo el nmero entre dos 4arras erticales; asJ: T -P T P
TPT P
se lee: alor a4soluto de menos seis es seis.
se lee: alor a4soluto de seis es seis.
E7ercicio: Escri4o el alor a4soluto de los siguientes nmeros: a. 0 d. 2
4. @ e. D 10
c. D 2 . D 10
=EK/: $uma o adicin de nmeros enteros.
'OG#O: "educo un procedimiento para sumar nmeros enteros con 4ase en los desplaamientos 5ec5os en los talleres anteriores. /C=!*!"/": =engo en cuenta el tema: Desplazamientos en la recta numérica. E7ercicio: /plico el m&todo para eectuar las siguientes sumas: a. D@ F A F (-A) F F 2 4. F (-9) F F (-) c. D1A F (-P) #espondo a las siguientes preguntas: a. >Cmo sumarJa dos o m+s enteros positios? "emuestro con un e7emplo. 4. >Cmo sumarJa dos o m+s enteros negatios? "emuestro con un e7emplo. c. >Cmo sumarJa dos o m+s enteros con dierente signo? "emuestre con un e7emplo.
En la a+ici4n +e +os n$me"os ente"os se p"esentan +os casos) 1. Si los +os n$me"os son +e i<al si
esc"i=i!n+ole al "eslta+o el si
$i los dos nmeros son de signo dierente; la suma se o4tiene restando
sus alores a4solutos (El maor del menor); coloc+ndole al resultado el signo del nmero con el maor alor a4soluto. E7ercicio: Eecto las siguientes adiciones:
a. D2 F (- d. @1 F (-P) g. DH F 2@ 7. DH F (-2@) 1) 5. D1@ F (- 4. H F (-2@) e. 1@ F 2A 2A) I. D1@ F 2A . 1P F (-12) i. D1P F (- c. c. 1@ F (- 12) l. D1P F 12 2A)
E9e"cicio) =ranscri4a la siguiente ta4la en su cuaderno complete las siguientes ta4las aditias; teniendo en cuenta de sumar los alores de la primera columna la primera ila; tal como lo demuestra el e7emplo.
E7ercicio: "esarrollo los siguientes pro4lemas: a. 6n ciclista recorri @1 Iilmetros 5acia el este luego A0 Iilmetros 5acia el este. >Cu+l es a5ora su posicin con respecto al punto de partida? 4. /erigUen de cu+ntos a,os muri $crates; ilsoo griego; ue naci en /tenas en el D0 muri en el @99. c. Oscar compra 120 naran7as a MP.000;oo la docena las ende a M0;oo cada una. $i se le da,aron @A naran7as; >a cu+nto asciende la ganancia o la p&rdida? d. Creo un pro4lema de suma donde interengan enteros positios negatios lo do a conocer a otros grupos para ue lo desarrollen.
8ara pensar:
Encuentre la menor suma ue se puede o4tener al sumar
tres de los siguientes nmeros: ; 2A; -1; 12; -@ .
=EK/: Resta o sst"acci4n +e n$me"os ente"os#
'OG#O: #econoco la sustraccin de enteros como una adicin en la ue uno de los sumandos es el inerso aditio del sustraendo. "einicin de la resta o sustraccin: 'a resta o sustraccin es la operacin inersa de la suma; por lo tanto; "esta"
+os n$me"os ente"os e?i;ale a sma" el minen+o con el opesto +el sst"aen+o. A 1 A F (-1)
- (-) F 11 -@2 - 1H -@2 F (-1H) -A0 Consulta con tu compa,ero o compa,era: -
-
EListe otra manera de eectuar estas clases de operaciones?. "e un e7emplo. Conoces la le o regla de los signos?. Cu+ndo se aplicarJa la le de los signos en la sustraccin?. "e un e7emplo.
E7ercicio: "e acuerdo a lo o4serado anteriormente desarrollo las siguientes sustracciones:
a. D 2 4. 2 D 2@ c. 101 D (D 101) d. D@ D 1H
e. D D i. 12 D (DA) . 19 D 2@ g. P D AH 7. 0 D (DA1) 5. 10P D 9 I. D 29 D @P l. 9 D 10P
m. D2@ D (D 1H) n. D 1P D (D 21) o. 10P D (D 9) p. 29 D (D@2)
E7ercicio: reproduce la siguiente ta4la de resta en tu cuaderno; compl&tala con 4ase en ella responde las preguntas ue aparecen luego:
-A - 0 @ A
-
-2
0
a. >Es siempre la dierencia de dos nmeros enteros otro nmeros entero?. 4. >$on iguales los resultados ue o4tienes al restar @ de A ue A de @? c. El resultado ue o4tienes de la operacin (A D @) D (D 2) es el mismo ue o4tienes al resoler A D (@ D (D 2) )? >Vu& puedes deducir de esta o4seracin. d. >EListe un elemento neutro para la resta en Z?. E7ercicio: "esarrollo los siguientes pro4lemas: a. Na4ucodonosor !!; re de Ba4ilonia; rein de DP0A a DAP2. El destru %erusal&n en DAHP. >Cu+l ue la duracin de su reinado?. 4. 'uis tiene [email protected];oo. %uanita le pide prestado M1AH.000;oo $ergio; M121.000;oo; Elia4et5; M1H0.000;oo. >Cu+nto le alta para poder 5acer todos los pr&stamos?. c. Crea un pro4lema de resta donde interengan enteros positios negatios delo a conocer a otros grupos para ue lo desarrollen.
8ara pensar:
Complete con nmeros enteros el siguiente cuadrado
m+gico; si la suma de sus ilas; sus columnas sus diagonales es D 10.
A -2 -
-9 0 -
@
=EK/: Los si
signo ue tengan a cada una de las cantidades ue se 5allan dentro de &l.
8ara suprimir signos de agrupacin precedidos del signo 1 se cam4ia el signo a cada una de las cantidades ue se 5allan dentro de &l.
Cuando unos signos de agrupacin est+n incluidos dentro de otros; se suprime uno en cada paso empeando por el m+s interior. *eamos el siguiente e7emplo: @ F RD H F D W F 2 D (@ D P D A) F 1XS 8rimero se suprimen los par&ntesis teniendo en cuenta de aplicar la le de los signos. @ F RD H F D W F 2 D @ F P F A) F 1XS 'uego se suprimen los corc5etes. @ F RD H F D D 2 F @ D P D A F 1S /5ora se suprimen las llaes.
@DHFDD2F@DPDAF1 Y por ltimo; se suman los positios los negatios. 1 D 2A D 11 E7ercicio: "esarrollo las siguientes operaciones: a. F RD P F @ D WD A F P D ( D 2 D H) F 9XS 4. D R9 F 2 F WD H F @ F (A F 9 D 2) F@ D (DA F @ D 1)XS c. RA D9 D WH F 10 D ( F @ D 9 F A) F 9 D D11XS d. -A F @ D WD H F 1 D ( F@ D ) F 9 D @ D P D (2 F D D H) X e. 2 F R@ D A D 9 D WD F @ D H D (@ D 9 F 10 D ) F A D P D 9 F PXS .
@ F A D P RD A F 9 D W1A D D H F (P F 2 D 11) D F 9 D H D D (@ F A F H F P)XS
=EK/: Ecaciones a+iti;as en los n$me"os ente"os# 'OG#O: "ierencio
entre
ecuaciones;
inecuaciones
otros tipos
condiciones. E7ercicio: /diina los nmeros: a. Vu& nmero se le de4e sumar a D@ para ue d& ?. 4. Vu& nmero se de4e sumar a D para ue d& 2?. c. Vu& nmero se de4e restar de D@ para o4tener A?. d. "e u& nmero se de4e restar para o4tener D2?. Escri4o en el cuadro la cantidad ue corresponda para ue la igualdad se cumpla: a. @P F 4. - D c. D F @ D 12 D H d. 11 F D D (D12) e. D@1 D (D 1) D D P F D 9 Vu& es una ecuacin?
de
"e acuerdo a lo desarrollado en el e7ercicio anterior; de su propio concepto so4re ecuacin. Y compare con el siguiente concepto: Una ecuación es una igualdad condicionada al valor que debe tomar la incógnita que hace la igualdad verdadera.
=ranuilo (a): 8odemos airmar ue esta deinicin la ue tu escri4iste son las mismas. . . Cmo solucionar una ecuacin aditia: #esoler una ecuacin consiste en encontrar el alor de la cantidad desconocida. E7emplo:
O4sero con Z F 1P 1 Z - @1 11 detenimiento la Z F ( - @1) 11 Z 1 F ( -1P) solucin de cada Z -2 Z 11 F ecuacin ela4oro @1 pasos ue me permitan encontrar Z 2
Z F ( - 12) - Z - F 12 Z A
el alor de la incgnita.
1A F (- Z) - 12 - Z - 12 F (-1A) - Z - 2 -Z . (-1) - 2 . (-1)
Z D ( --11) - H Z F 11 - H Z -H F (-11) Z - 19
Z 2 E7ercicio: #esuelo las siguientes ecuaciones:
a. 4. c. d.
Z F 1 @P Z F (-2@) H1 Z D 2P - P@ Z F (-19) -P@
e. Z F (-1A) -21 i. D Z 12 . Z D (-@2) - @ 7. F (- Z) g. Z D (-A) @9 1A 5. D21 @ - Z I. L D (- 1) -19 l. D1@ F (-Z)
8ensamiento geom&trico: "iide
en dos partes un rect+ngulo de 1P
cm. por 2A cm. con ellas arma un cuadrado. E7ercicio: 8ara cada e7ercicio planteo una ecuacin le resuelo. -
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KarJa gir un c5eue por M20.000;oo de7ando un saldo en ro7o de M2A.000;oo. >Cu+nto tenJa?. 'a 4i4lioteca m+s amosa de la antigUedad ue la de /le7andrJa ue us desde el a,o 2A0 a.C. 5asta el a,o a.C.; cuando el uego la destru. >Cu+ntos a,os dur?.
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'as pulsaciones del coran de una persona son 0 por minuto. Cuando Carlos practica atletismo; su ritmo cardiaco aumenta a 120 pulsaciones por minuto. >En cuantas pulsaciones aumenta el ritmo cardiaco de Carlos?. Eratstenes ue el primero en medir la longitud de la circunerencia de la =ierra. Naci en el a,o 2A a.C. muri en el a,o 19 a.C. >Cu+ntos a,os
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ii?. "e los 2A escalones ue 5a ue su4ir para llegar a la cpula de una
-
catedral; a 'ucJa le altan 12H. >Cu+ntos escalones 5a su4ido?. En 1HAP se encontraron en /lemania restos 5umanos siles. $e trata4a de un miem4ro de un grupo conocido como Neandertal; ue ii desde 5ace unos @0.000 a,os. >Cu+nto tiempo dur este grupo 5umano?
6tilio una ecuacin ue me permita encontrar el nmero desconocido en cada literal.
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"os eces un nmero menos 1H es D. >Cu+l es el nmero. 'a suma de un nmero con el do4le del mismo es (-A1). >Cu+l es el
nmero?.
=EK/: Mltiplicaci4n +e n$me"os ente"os# 'OG#O: /duiero 5a4ilidad capacidad para calcular el producto de los nmeros enteros; deduciendo el signo de los mismos. En la multiplicacin de nmeros enteros se pueden presentar los siguientes casos: 1. Cuando los actores son enteros positios. 2. Cuando los actores son enteros negatios @. Cuando los actores son de dierente signo. 8ara 5allar el producto r+pidamente en la multiplicacin de nmeros enteros; aplicamos la le de los signos; asJ:
F F -
. . . .
F F
F F -
E7ercicio: "e acuerdo a los casos a la le de los signos; o4sere con detenimiento los siguientes tres recuadros de su propio concepto al respecto.
