CÁLCULO DIFERENCIAL GUÍA No. 4 LA DERIVADA 1. Concepto de derivada 1.1 Definición:
Sea f:[ a, a,b ] → R y
z ∈ [a,b ] .
un δ ( f , ε ) > 0 talque si derivable en x=z si
Lím x →z
Un número L es la la derivada de f en x=z, x=z, si dado un x − z < δ
f(x) − f(z) x−z
entonces
= L.
f(x) − f(z) x−z
−L <ε
ε> 0
existe
. Es decir, la función f
es
El límite L se simboliza también f´(z).
Si se hace la sustitución x-z=h, entonces la definición queda
f ´(z) = Lím
f(z+h) − f(z)
h →0
h
.
1.2 Interpretaciones Interpretaciones de la derivada: derivada:
a) Geométrica: La derivada de f cuando x=z se puede interpretar como la pendiente de la recta tangente a la curva de ecuación y=f(x) en el punto (z,f(z)). En las figuras 1 y 2 se ilustra el proceso del paso de la recta secante PQ a la recta tangente en P a medida que h → 0 . Así, la ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva 1 y=f(x) en el punto (a,f(a)) son y-f(a)=f´(a)(x-a) y y-f(a)= − (x-a). f(a) b) Física: Si y=f(x) representa la posición de una partícula, la velocidad media en el intervalo de tiempo [ z,x ] es la expresión cuando x=z es
Vi (z ( z) = Lím x →z
f(x) − f(z) x −z
Vm =
f(x) − f(z) x−z
, y la velocidad instantánea
. (Ver figuras 1 y 2).
Figura 1
Figura 2
-1-
1.3 Derivadas laterales:
Una función es derivable en un punto (z,f(z)) si y sólo si, es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto, es decir, si los límites laterales f ´(z + ) = Lím
f(z+h) − f(z) h
h →0 +
−
f ´(z ) = Lím
f(z+h) − f(z)
h →0−
h
y
son iguales.
1.4 Derivada simétrica:
Sea f : R → R . La derivada simétrica de f cuando f cuando x=z se designa por fs ´(z) y se define como f s ´(z) = Lím
f(z+h) − f(z − h)
h →0
2h
, si el límite existe.
1.5 Notación:
Si y = f(x), entonces la derivada de f con respecto a la variable independiente x se denota como: dy a) y´=f(x) b) c) dy=f´(x)dx d) dy=D ( f(x)) =f´(x) dx 1.6 Teoremas sobre derivadas:
a) Si k ∈ R y f(x)=k f(x)=k ⋅ u(x) u(x),, entonces f´(x f´(x)=k )=k ⋅ u´(x u´(x)) . b) Si f(x) = u(x) u(x) + v(x), entonces f´(x) = u´(x) + v´(x). c) Si f(x) = u(x)v(x), entonces f´(x) = u´(x)v(x) u´(x)v(x) + u(x)v´(x). u(x)v´(x). d) Si f(x) =
u´(x u´(x)) ⋅ v(X)-v´( v(X)-v´(x) x)⋅ u(x) u(x) u(x) . , entonces f´(x) = v(x) v(x)2
e) Sean g : [ a, a,b] → R y f :[ c, c, d] → R funciones tales que f([cc,, d] ⊂ [a,b] y sea k ∈ [c, d] . Si f es derivable en k y g es derivable en f(k), entonces la función compuesta g f es
derivable en k, y ( g f )´( k) = g´( f( f (k)) f´(k) .
f) Dadas dos funciones F :R 2 → R y f :R → R , la ecuación F(x,y)=0 define implícitamente la función y=f(x) si F(x,y)=0 para todo x en el dominio de f. Si y=f(x) es derivable entonces existe una expresión G(x,y) talque g) Si
f : [ a, a,b ] → R
dy =G(x,y) . dx
tiene una derivada en c ∈ [a,b ] , entonces f es continua en x=c.
1.7 Reglas de derivación:
(x +h +h)n - xn n-1 . = nxn-1 h→0 h Sen(x+h)-Sen(x) b) Si f(x)=Sen(x), entonces f´(x) = Lím = Cos(x) . h→0 h a) Si f(x)=xn, entonces f´(x) = Lím
-2-
Cos(x+h)-Cos(x) =-Sen(x) . h→0 h
c) Si f(x)=Cos(x), entonces f´(x) = Lím
Tan(x+h)-Tan(x) =Sec2 (x) . h→0 h
d) Si f(x)=Tan(x), entonces f´(x) = Lím
Cot(x+h)-Cot(x) =-Csc2 (x) . → h 0 h
e) Si f(x)=Cot(x), entonces f´(x) = Lím
Sec(x+h)-Sec(x) =Sec(x)Tan(x) . h→0 h
f) Si f(x)=Sec(x), entonces f´(x) = Lím
Csc(x+h)-Csc(x) =-Csc(x)Cot(x) . h→0 h
g) Si f(x)=Csc(x), entonces f´(x) = Lím
loga (x+h)-loga (x) 1 = loga (e) . h→0 h x
h) Si f(x)=loga(x), entonces f´(x) = Lím
ax+h -ax =axln(a) . h→0 h
i) Si f(x)=ax, entonces f´(x) = Lím j) Si y =Sen-1(x) → x= Sen(y) →
dy 1 . = dx 1- x2
k) Si y =Cos-1(x) → x =Cos(y) →
dy 1 . =dx 1- x2
l) Si y = Tan-1(x) → x= Tan(y) →
dy 1 . = dx 1+x2
m) Si y =Cot-1 (x) → x =Cot(y) →
dy 1 . =dx 1+x2
n) y= Sec-1(x) → x= Sec(y) →
dy 1 . = dx x x2 -1
o) y= Sec-1(x) → x =Sec(y) →
dy 1 =. dx x x2 -1
Ejercicios: Ejercicio 1:
Determine si la función dada es derivable en el punto dado: a) f ( x) = e2 x , en x=1.
b) f ( x ) = log( x ) , en x=1.
c) f ( x) = Sen(2 x) , en x= π /4.
d) f ( x) = Tan ( x ) , en x= π /2.
2
e) f ( x) = e− x , en x=0.
f) f ( x) = 2 − x 2 , en x=2.
g) f ( x) = x x , en x=0.
h) f ( x) = x − 4 , en x=4.
i) f ( x) = 2 x − 3 , en x=3/2.
j) f ( x) = 1 − x 2 / 3 , en x=1.
-3-
k)
f ( x) =
x
en x=0
2
x + x
l)
f ( x) =
x
en x= 2.
4 − x 2
Ejercicio 2:
Use la definición de derivada f ´( x) = lim
f ( x + h) − f ( x) h
h →0
, para obtener la derivada de las
siguientes funciones: a) f ( x) = b) f ( x) = c) f ( x) =
3
x+a
e) f ( x) = e 2 x
x +1
f) f ( x ) = log a ( x)
1 x
g) f ( x) =
2
d) f ( x) = Sen 2 ( x)
1 x + 1
h) f ( x) = Sec3 (2 x)
Ejercicio 3:
Use la definición de derivada simétrica f s ´( x) = lim
f ( x + h) − f ( x − h)
2h
h →0
derivada de las siguientes funciones: e) f ( x ) = e −3 x
a) f ( x) = 3 3 − x b) f ( x ) = c) f ( x ) =
4
2
f) f ( x ) = log a ( x)
x +1
1 1 + x
g) f ( x) =
2
d) f ( x) = Sen3 (2 x)
1 x + 1
h) f ( x) = Tan3 (2 x)
Ejercicio 4: f (2 + u ) − f (2) = 2 . Calcule: u
Sea f una función tal que
Lím
a) Lím x → 0
u →0
f (2 + 3 x) − f (2 + 2 x)
4 x
f (2 + 3 x) − f (2 + 9 x) 12 x
c) Lím x → 0
f (2 + 3 x) − f (2 − 3 x) x
e) Lím x → 0
b) Lím x → 0
f (2 + 4 x) − f (2 + 7 x)
3 x x x f 2 + 4 − f 2 + 3 d) Lím x → 0 12 x f (2 + 5 x) − f (2 − 5 x) f) Lím x → 0 3 x
4
, para obtener la
Ejercicio 5:
¿Qué valores deben tomar a y b, para que las funciones dadas sean derivables? ax+b , x ≤ 1 a) f(x)= 2 , x >1 x
a+bx2 , x < 1 b) f(x)= 1 , x ≥1 x
ax3 +bx ,x≤2 c) f(x)= 1 1 π Sen-1 x , x >2
a+bx2 , x < 1 d) f(x)= 1 , x ≥1 x
ax+b ,x<0 e) f(x)= aCos(x)+bSen(x) , x ≥ 0
Tan-1(a) , x ≤ 1 f) f(x)= bx x -1 , en x=1, x=-1. + , x >1 x 2
Ejercicio 6:
En la figura, la recta AB es perpendicular al eje X, la recta DE es mediatriz del segmento x2 CB, las rectas FI y FJ pasan por el punto F=(0,-2) y son tangentes a la curva f(x)= en 4 los puntos I y J respectivamente. a) Si x y h son las longitudes de los segmentos CA y CD respectivamente, exprese h en función de x.
h(3+x)-h(3) . x
b) Calcule Lím x→0
c) Encuentre las coordenadas de los puntos de tangencia I y J. d) Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva f(x)= tangencia I y J.
5
x2 en los puntos de 4
Ejercicio 7:
Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva dada : a)
f ( x) =
cuando
b)
f ( x) = x + 4 x − 1
c)
f ( x) =
d)
f ( x) =
4 x 2 + 5 x 2
4 x + x
2
4 x
cuando
cuando
x + 10
x =
1.
x =
x =
1.
2.
cuando f ( x ) = 1.
4 + x 2
e) f(x) = ( 4x – x2 )2 cuando f(x) = 9. f)
f ( x) =
en el punto P 5,
4 x
x 2 − 16
20
.
3
g) f ( x ) = Sen3(2 x ) cuando x =π /3. h) f ( x) = ln ( Sec(x) ) en los puntos donde f ´(x) = 1. i) f(x) = Arctan(x), cuando f(x) = π /4. Ejercicio 8:
Use las reglas de derivación que correspondan para obtener la derivada de las siguientes funciones algebraicas: m a−x ( a + x) a) f ( x) = f) f ( x) = 4 n a+ x (a − x)
(1 + x ) f ( x) = (1 − x ) m
b)
n
n
3
ax − b g) f ( x) = 5 ax + b
m
1 + x + x 2 c) f ( x) = 2 1 − x − x
20
bx + a h) f ( x) = bx + a
5 5 5 d) f ( x) = a + a + ( a + x )
)
(
(1 + x ) m
e) f ( x) =
m
1 − x
5
3 3
ax − b ax b +
2
i) f ( x ) =
ax + bx + c 4
ax 2 − bx − c
n
n
j) f ( x) =
n
a x
+n
a x
+n
a+x x
Ejercicio 9:
Use las reglas de derivación que correspondan para obtener la derivada de las siguientes funciones trigonométricas: a) f ( x) =
Sen( ax) + Sen(bx)
f) f ( x) =
Cos( ax) − Cos(bx)
6
4
a − Sen( ax) a + Sen( ax)
b) f ( x) =
Cos(ax − b) g) f ( x) = m Sen(ax + b)
n n Sec (ax) + Csc (bx)
Sec (bx ) + Csc(ax )
Tan( ax) + Cot (bx) c) f ( x) = Tan(bx) + Cot ( ax)
n
Tan(bx) + ax h) f ( x) = Cot (bx) − ax
n n d) f ( x) = Sen( x) + Cos( x) + ( Tan( x) )
(
e) f ( x) =
(1 + Tan( x) ) m
)
Sen
n
i) f ( x) =
(
ax
)
(
ax
ax + Cos
n
j) f ( x) =
n
1 − Tan ( x)
n
Sec( x ) x
+n
n
m
)
Sec( x) x
Ejercicio 10:
Use las reglas de derivación que correspondan para obtener la derivada de las siguientes funciones trigonométricas: a) f(x) = x 2 ArcSen(x2 ) c) f(x) =
b) f(x) =
Sen(x) ArcCos(x )
x 2 e) f(x) = 2 ArcC tg x
i) f(x) =
ArcSec(x2 )
d) f(x) = Csc(x2 )ArcCsc(x2 )
2
a x b f) f(x) = b ArcCsc x a
ArcTan
g) f(x) =
n
ArcSec
n
Sec(x) + Csc(x)
h) f(x) =
ArcSec(x2 )
ArcCsc( x ) m
ArcSen( x )
1 j) f(x) = x 2 ArcSec x
x ArcSec( x )
Ejercicio 11:
Use las reglas de derivación que correspondan para obtener la derivada de las siguientes funciones logarítmicas: 1 + x 2 b) f(x) = ln 1 - x2 1 + x d) f(x) = log 2 log 3 log 4 1- x log 2 (x) + log 4 (x) f) f(x) = log 2 (x) − log 4 (x)
x + x a) f(x) = log3 x − x c) f(x) = x n n lon(xn ) e) f(x) = log(x) + log (x) + log (x)
g) f(x) = log8 (x 2 ) + log 4 (x 4 ) + log 2 (x 8 )
h) f(x) = 16
7
log 2 (x) ⋅ log 4 (x) log8 (x) ⋅ log16 (x)
Ejercicio 12:
Use las reglas de derivación que correspondan para obtener la derivada de las siguientes funciones: 6
5
Sen(x)
a) f(x) =
2
1 Arc tan x
x
b) f(x) = 2
Cos(x)
3
d) f(x) = e
4
c) f(x) = x 3
x
x
x
x
e x ee
e) f(x) =
x
2
Sen ( x )
f) f(x) = (x + x 2 )(x + x
x
( Cos ( x) )
2 (x + x )
)
Ejercicio 13:
Use las reglas de derivación que correspondan para obtener
dy en las expresiones de la dx
forma F(x,y)=0, en donde y=f(x) está implícita: a)
(
2
x +y
2
)
2
= Sen(x 2 − y 2 )
c) x y = y x e) e
(x + y)
=
x = x 2 + xy + y2 x + y
b) log
x + Sen(x) = y − Cos(y)
d) ex + e e
x
−y
− e
−y
f)
x y
− xy =
n
x+y
Ejercicio 14:
Resolver los siguientes problemas: a) ¿Cuál debe ser el valor de a para que la recta tangente a la curva f(x) = ax 2 + x tenga un valor de 2 en el punto P(1,a+1)? b) Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva y = 2x2 + 3 que sea paralela a la recta 8x – y + 3 = 0. c) Determine una ecuación de cada recta tangente a la curva y = x 3 – 3x que sea perpendicular a la recta 2x + 18y – 9 = 0. d) Determine la ecuación de cada una de las rectas que pasan por el punto P(4,13) y son tangentes a la curva y = 2x2 – 1. e) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la curva xy = (14x + y) 3 en el punto P(2,-32). f) ¿En que punto de la curva x + xy + y = 1 es la recta tangente paralela a la recta y+x=0? g) Hay dos rectas que pasan por el punto (-1,3) que son tangentes a la curva x 2 + 4y2 – 4x – 8y + 3 = 0. ¿Cuáles son sus ecuaciones?
8
2. Aplicaciones de la derivada 2.1 Teorema de funciones derivables:
a) teorema del extremo inferior: Sea z un punto interior del intervalo [a,b ] en el cual f : [ a,b ] → R tiene un extremo relativo. Si la derivada de f en x=z existe, entonces f´(z)=0. b) Teorema de Rolle: Supóngase que f : [ a,b ] → R es continua, f´(x) existe para todo x ∈ ( a,b ) , y f(a)=f(b)=0. Entonces, existe por lo menos un punto z en (a,b) tal que f´(z)=0. c) Teorema del valor medio: Supóngase que f : [ a,b ] → R es continua y que f tiene una derivada en (a,b). Entonces, existe por lo menos un punto z en (a,b) tal que f ´(z)=
f(b) − f(a) b−a
.
d) Teorema de L´hopital: Supóngase que f y g son funciones definidas en [ a,b ] , f(a)=g(a)=0 y g(x) ≠ 0 para a
entonces
x → a+
f(x) g(x)
=
f ´(a) g ´(a)
.
e) Teorema de Taylor:
Supongamos que la función f(x) definida sobre el intervalo (a,b) tiene en el punto xo∈(a,b) derivadas hasta de orden n. Entonces, cuando x→xo se tiene : f ( x) = f ( x0 ) +
donde Rn(x)
f ´( x ) 0
1!
( x − x0 ) +
f ´´( x ) 0
2!
(n)
2
( x − x0 ) + ... +
f
( x0 )
n!
( x − x0 ) n + Rn ( x)
es el residuo de orden n para la aproximación de f por medio del
polinomio de Taylor Pn ( x) = f ( x0 ) +
f ´( x ) 0
1!
(x − x ) + 0
f ´´( x ) 0
2!
( x − x )2 + ...+ 0
f
( n)
(x ) 0
n!
( x − x )n . 0
2.2 Análisis de una función: Definición : Decimos que x=a es un punto crítico de una función f(x), si f´(a) = 0 ó
f´(a) no está definido. Definición:
Decimos que una función f(x) es creciente en un intervalo f´(x)>0 para todo x∈(a,b).
(a,b), si
Definición: Decimos que una función f(x) es decreciente en un intervalo (a,b), si
f´(x)<0 para todo x∈(a,b).
Definición: Decimos que en x=a habrá un punto de inflexión de la función f(x), si
f´´(a) = 0. El punto de inflexión será ( a, f(a) ).
Definición: Decimos que una función f(x) es cóncava hacia abajo en un intervalo
(a,b), si f´´(x)<0 para todo x ∈(a,b).
9
Definición: Decimos que una función f(x) es cóncava hacia arriba en un intervalo
(a,b), si f´´(x)>0 para todo x ∈(a,b).
Nota: La concavidad de una función cambia en los puntos de inflexión. Definición: En una función f(x) el punto crítico x=a representa un máximo, un mínimo,
un cambio de concavidad o un punto de discontinuidad.
Definición: En el punto crítico x=a habrá un máximo de la función f(x), si f´´(a)<0. El
máximo será el punto ( a, f(a) ).
Definición: En el punto crítico x=a habrá un mínimo de la función f(x), si f´´(a)>0. El
mínimo será el punto ( a, f(a) ).
Curvatura: Es la medida de la agudeza de la concavidad de una función en un punto. Si 3
1+ ( f ´(x))2 2 . y=f(x), el radio de curvatura es igual a R c =
f ´´(x)
x=x(t)
Si
y=y(t)
representa ecuación paramétrica de una curva plana, entonces el radio de curvatura en 3
un punto (x,y) es
Rc =
dx 2 dy 2 2 + dt dt
dx d2 y dy d2 x ⋅ − ⋅ dt dt2 dt dt2
.
Se llama círculo de curvatura al máximo círculo interior tangente a la curva en un punto P(x,y). El centro (a,b) del círculo de curvatura se llama centro de curvatura y sus 2 2 f´(x) (1+( f´(x)) ) 1+( f´(x)) ) ( coordenadas son: a= x − , b=y+ f´´(x) f´´(x) 2.3 Problemas de optimización y razones relacionadas: Sugerencias: • •
• • • •
Lea el problema cuidadosamente varias veces y fíjese en los datos y en las incógnitas que deben encontrarse. Si es posible, haga un dibujo o un diagrama que incluya los datos pertinentes. Introduzca variables para denotar las incógnitas. Palabras como “encuentre”, “qué”, “cuánto”, “dónde”, “cuándo”, deben guiarle para reconocer las incógnitas del problema. Escriba una lista de hechos conocidos y relaciones entre las variables. Una relación entre las variables generalmente se escribe como una ecuación. Después de analizar la lista de relaciones, determine la variable cuyo máximo ó mínimo se busca y exprésela como una función de una de las otras variables. Encuentre los puntos críticos de la función y determine cuáles maximizan o minimizan la función trabajada. Para el caso de los problemas de razones de cambio o tasas relacionadas, se sugiere obtener el modelo algebraico y derivar todas las variables implicitas y explicitas con respecto a la variable tiempo.
10
Ejercicios: Ejercicio 15:
Use la Regla de L´Hospital para calcular los siguientes límites: x − arctan( x ) a) lim 3 x → 0 x
b) lim
ln m ( x )
c) lim+ x ln( x )
x n
x →+∞
x →0
1
d) lim ( Sen(x) )
Tan(x)
e) lim x + x + 1 x →+∞
x → π / 2
g) lim+ x →0
(
2
ln(x)
h) lim+
ln(Sen(x))
x →0
)
ln( x )
f) lim x → a
ln(Sen(x))
x a − a x
x a − a a
i) lim+ ( ArcSen(x))
Ctg(x)
Tan(x)
x → 0
Ejercicio 16:
Obtener el polinomio de Taylor de grado n en el entorno del punto x 0, para cada una de las siguientes funciones: a)
f(x) = Sen(2x), n = 11, x0 = π /2.
b)
f(x) = Cos(x/2), n = 12, x0 = π /4.
c)
f(x) = xex, n = 8, x0 = 0.
d)
f(x) = ln(x), n = 11, x0 = 2.
e)
f(x) = x/(1+x2), n = 11, x0 = 0.
f)
f(x) = e − x , n = 12, x0 = 0.
g)
f(x) =
2
1 1 + x + x
2
, n = 9, x0 = 0.
Ejercicio 17:
Halle los puntos críticos, máximos, mínimos, puntos de inflexión, intervalos de monotonía, intervalos de concavidad y gráfica de las siguientes funciones: −4 x2
(a) f(x) = x3 - 9x
(k) f(x) =
(b) f(x) = x3 - 9x2
(l ) f(x) =
(c) f(x) = ( 3x2 - x3 )2
(m) f(x) = Sen(x) + Cos(2x)
(d) f(x) = Sen2x + 3Cos2x
(n) f(x) = 2 x + 33 x
(e) f(x) = x + x1/3
(o) f(x) = x - ln(1+x)
11
e
x
1 + x 2
2
(f) f(x) = ( 1 - x2 )2
(p) f(x) = x2e-x
(g) f(x) = ( x2 - 9x )2
(q) f(x) = x3 – 12x.
(h) f(x) = x5 – 5x4 + 100.
(r) f(x) = (x2 – 10x)2.
(i ) f(x) = x3 + x2 – 5x – 5
(s) f(x) = x3 + 2x2 – x + 1.
(j ) f(x) = x3 – 3x – 4.
(t ) f(x) = x – 2Sen 2(x)
Ejercicio 18:
Resolver los siguientes problemas: a) Demuestre que el gráfico de la función
f ( x) =
que yacen en una misma recta.
x + 1 x 2 + 1
tiene tres puntos de inflexión
b) Demuestre que cada polinomio de orden impar, distinto del lineal, tiene al menos un punto de inflexión. c) Demuestre que una función cuadrática tiene exactamente un punto crítico en su dominio y que su gráfica no tiene puntos de inflexión. d) Demuestre que la gráfica de una función polinómica de tercer grado tiene exactamente un punto de inflexión. e) Determinar los coeficientes p y q de la función y = x2 + px + q, de forma que y = 3 sea un mínimo de esta cuando x = 1. f) Encuentre los valores de a y b de manera que la función f(x) = x3 + ax2 + b tenga un extremo relativo en (2,3). g) Encuentre los valores a, b y c tales que la función f(x) = ax2 + bx + c tenga un valor máximo relativo de 7 en 1 y su gráfica pase por el punto (2,-2). h) Halle a, b, c y d tales que la función f(x) = ax3 + bx2 + cx + d tenga un extremo relativo en (1,2) y (2,3). i) Dada la función f(x) = x p(1-x)q, donde p y q son enteros positivos mayores que 1, demuestre las siguientes afirmaciones:
Si p es par, f tiene un valor mínimo relativo en 0. Si q es par, f tiene un valor mínimo relativo en 1.
f tiene un valor máximo relativo en p/(p+q) siendo p y q pares o impares.
j) Si f(x) = ax3 + bx2, determine a y b de manera que la gráfica de f tenga un punto de inflexión en (1,2). k) Si f(x) = ax3 + bx 2 + cx, encuentre los valores de a, b y c, de manera que la gráfica de f tenga un punto de inflexión en (1,2) y que la pendiente de la tangente de inflexión ahí se igual a –2. l) Si f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, determine a, b, c y d, de manera que f tenga un extremo relativo en (0,3) y que su gráfica tenga un punto de inflexión en (1,-1).
12
Ejercicio 19:
Determine la curvatura K y radio de curvatura ρ en el punto dado. Dibuje la curva, un segmento de la recta tangente y la circunferencia de curvatura en el punto dado: a)
y = 2 x ; P(1,2).
b)
y = x ; P(1,1).
c)
y = e ; P(0,1)
d)
y = ln(x) ; P(1,0).
e)
y = Sen(x) ; P( π /2,1).
f)
4x + 9y = 36 ; P(0,2).
2
3
x
2
2
Ejercicio 20:
Obtenga en radio de curvatura, el centro de curvatura y la circunferencia de curvatura de la curva en el punto dado: -1
a)
y = Sen (x) ; P(1,π /2).
b)
4x – 9y = 16 ; P(2,0).
c)
y = ln(x) ; P(1,0).
d)
y = Cos(x) ; P(π /3,1/2).
e)
y = x – x ; P(0,0).
f)
x = y − 1 ; P(2,5).
2
2
4
2
Ejercicio 21:
Resolver los siguientes problemas relacionados con las gráficas de f y sus derivadas: a) Para la función f que aparece en la gráfica 1, trace las gráficas de f´(x) y f´´(x). .
Gráfica 1.
13
b) Para la función f que aparece en la gráfica 2, trace las gráficas de f´(x) y f´´(x).
Gráfica 2. c) Para las gráficas de f´que se dan a continuación, determine: ¿En qué intervalos f es creciente? ¿En cuáles es decreciente? ¿f tiene máximos o mínimos? ¿En dónde?
Gráfica 3.
Gráfica 4.
14
Ejercicio 22:
Resolver los siguientes problemas de optimización: 1) La flexión F de una viga de longitud L viene dad por F = 2x 4 – 5Lx3 + 3L2x2 donde x mide la distancia a un extremo de la viga. Hallar el valor de x que produce la máxima flexión. 2) Dividir un número positivo dado sea el mayor posible.
a
en dos sumandos, de tal forma, que su producto
3) ¿Cuál de los triángulos rectángulos de perímetro dado, igual a 2p, tiene mayor área? 4) En una fábrica de recipientes y envases, tiene el encargo de fabricar 10.000 cajas de cartón, con tapa, que tengan una capacidad de 72 dm 3. Los lados de la base han de estar en relación 1:2. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de una caja, para que el material gastado sea el menor posible? 5) Un tanque abierto de forma cilíndrica tiene un volumen igual a 1000 dm 3. ¿Cuál debe ser el radio de la base y la altura, para que su superficie total sea la menor posible? 6) El volumen de un prisma de base triangular regular es igual a 1000 cm 3. ¿Cuáles deben ser las medidas de la base y la altura del prisma, para que su superficie total sea la menor posible? 7) Obtenga una ecuación de la recta tangente a la curva y = x 3 – 3x2 + 5x cuya pendiente sea mínima. 8) Determine la distancia más corta desde el punto P(2,0) hasta un punto de la curva y2 – x2 = 1, y obtenga el punto de la curva más cercano a P. 9) Una empresa de mezclas desea fabricar un embudo cónico que tenga una generatriz de 1.20 metros. ¿Cuál debe ser la altura del embudo para que su capacidad sea la mayor posible? 10)Se tiene un alambre de longitud 72 cm, con el cual se quiere bordear un cuadrado y un triángulo equilátero. ¿Cómo se debe dividir el alambre para que la suma de las áreas de las figuras sea la mayor posible? 11)Encuentre las dimensiones del cilindro circular recto de mayor volumen que puede inscribirse en un cono recto de radio 10 cm y altura 24 cm. 12)En un página de libro, el texto impreso debe ocupar 300 cm 2. Los márgenes superior e inferior deben ser iguales a 3 cm y los márgenes derecho e izquierdo deben ser iguales a 2.5 cm. Si tomamos en consideración la economía del papel, ¿Qué dimensiones serían las más ventajosas? 13)Un constructor de cabañas debe gastar en las cuatro ventanas de una cabaña un total de 20 metros de madera para marcos. Las ventanas deben tener forma de rectángulo coronado por un triángulo equilátero. ¿Qué dimensiones debe tener cada ventana para que la luz que pase sea la mayor posible? 14)Se desea construir un recipiente con tapa con base hexagonal regular. ¿Cuál es la menor cantidad de material que se requiere en la manufactura de este recipiente, si queremos que su capacidad sea de 120 dm 3?
15
15)Se va a transportar un tubo de acero por un corredor de 9 pies de ancho. Al final corredor hay una vuelta en ángulo recto hacia un corredor más estrecho de 6 pies de ancho. ¿Cuál es la mayor longitud que puede tener un tubo que pueda transportarse horizontalmente alrededor de la esquina? 16)En la fábrica XYZ se dispone de láminas cuadradas de triplex de 6400 cm 2. A las láminas se les recortan cuadrados en las esquinas, de modo que resulte la caja con la mayor capacidad posible. ¿Cuánto debe medir cada lado de la caja? 17)Un buque pesquero se encuentra a una distancia de 2 km mar adentro del pueblo más cercano de una playa recta y desea llegar a otro punto de la playa a 6 km del primero. Suponiendo que el buque puede andar a una velocidad de 3 km/h y, estando en la playa, la mercancía se puede transportar en otro tipo de vehículo a una velocidad de 5 km/h, ¿qué trayectoria se debe seguir para que la mercancía llegue a su destino en el menor tiempo posible? 18)Encuentre las dimensiones del cilindro de mayor volumen que puede inscribirse en una esfera de radio 10 cm. 19)Se va a fabricar un canal, de forma que su sección transversal sea un trapecio isósceles cuya base menor y cuyos lados no paralelos miden 10 pulgadas, respectivamente. Determinar el valor del ángulo de inclinación de las caras no paralelas, de modo que la capacidad del canal sea la mayor posible. 20)Una empresa de mezclas desea fabricar un embudo cónico que tenga una generatriz de 1.20 metros. ¿Cuál debe ser la altura del embudo para que su capacidad sea la mayor posible? 21)Una ventana normanda tiene la forma de un rectángulo coronado con un semicírculo. Encuentre las dimensiones de la ventana que deja pasar más luz, si su perímetro mide 5 metros. 22)Un constructor de cabañas para centros de recreación, dispone de troncos cónicos de madera de 2.4 metros de altura. Los diámetros de las bases de cada tronco miden 70 cm y 40 cm, respectivamente. Se deben obtener vigas de sección transversal cuadrada cuyo eje coincida con el eje del tronco y cuyo volumen sea el mayor posible. ¿Qué dimensiones deben tener las vigas? 23)Se desea construir un recipiente con la forma de un cilindro circular sin tapa con un volumen de 240 π cm3. El precio del material que se usa para el fondo es el triple que el del material que se usa para la parte lateral. Encuentre las dimensiones del recipiente para las cuales el costo sea mínimo. 24)Se quiere inscribir un rectángulo en una elipse con semiejes a y b. ¿Cuáles son las medidas del rectángulo cuya área es la mayor posible? 25)Un abrevadero de 6 metros de largo tiene sus extremos en forma de triángulos isósceles cuyos lados iguales son de 1.20 metros de longitud. Determinar la anchura en la parte superior de un extremo triangular, de manera que el volumen del abrevadero sea máximo. 26)Encuentre las dimensiones del cilindro circular recto de mayor volumen que puede inscribirse en un cono recto de radio 10 cm y altura 24 cm. 27)Encuentre las dimensiones del cilindro de mayor volumen que puede inscribirse en una esfera de radio 10 cm.
16
28)Encuentre las dimensiones del mayor rectángulo que se puede inscribir en la elipse x
2
16
+
y
2
36
= 1.
29)Un ganadero desea vallar un prado rectangular adyacente a un río. El prado ha de tener 180.000 m2 con el fín de proporcionar suficiente pasto al ganado. ¿Qué dimensiones debe tener para que se requiera la menor cantidad de valla posible, teniendo en cuenta que no hay que poner valla en el lado que da al río? 30)Dos postes de 15 y 20 pies de altura, distan 25 pies. Hay que conectarlos mediante un cable que esté atado en algún punto del suelo entre ellos. ¿En qué ha de amarrarse al suelo con el fín de utilizar la menor cantidad de cable posible? 31)Inscribir un rectángulo de la mayor área posible en el segmento de la parábola y 2 = 2px cortado por la recta x = 2a. 32)Un rectángulo tiene dos vértices en el eje de las x y los otros dos sobre la parábola y = 12 – x 2, con y≥0. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo que bajo estas condiciones tiene la máxima área? 33)Por el punto P(4,1) se trazan rectas que cortan los semiejes positivos en los puntos A y B. Hallar la ecuación de la recta para la cual el segmento AB tiene la longitud mínima. 34)Un rectángulo tiene dos vértices en el eje de las x y los otros dos sobre la parábola f ( x) = 4 −
x 2
4
, como se muestra en la figura 1. ¿Cuáles son las dimensiones del
rectángulo que bajo estas condiciones tiene la máxima área? 35)Un rectángulo tiene dos vértices sobre la parábola parábola
f ( x) = 5 −
x 2
10
f ( x) =
x 2
4
y los otros dos sobre la
, y los lados son paralelos a los ejes coordinados, como se
muestra en la figura 2. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo que bajo estas condiciones tiene la máxima área?
Figura 1
Figura 2
17
Ejercicio 23:
Resolver los siguientes problemas de optimización: 1) Supóngase que C(x) dólares es el costo total de producción de x marcos, y C(x) = 50 + 8x - 0.01x 2. Determinar Costo marginal cuando x=60. 2) Supongamos que R(x) dólares es el ingreso total que se obtiene por la venta de x mesas, y R(x) = 300x - 0.5x 2. Hallar : (a) Función de ingreso marginal. (b) Ingreso marginal cuando x=40. 3) La ecuación de demanda de una cierta mercancía es 5x + 3p = 15. Hallar : (a) Función de ingreso marginal. (b) Trazar curvas de demanda, de ingreso total y de ingreso marginal. 4) El costo total de producción de x relojes en una cierta planta está dada por C(x) = 1500 + 30x + x 2. Hallar : (a) Función de costo marginal. (b) Costo marginal cuando x=40. 5) Si la ecuación de demanda de una cierta mercancía es 3x + 4p = 12. ¿Para qué valor de x el ingreso total es máximo? 6) La ecuación de demanda de determinada mercancía es p2 + 4x2 - 80x - 1500 = 0 donde se demandan x unidades cuando el precio unitario es p dólares. Calcule el ingreso marginal cuando se demandan 30 unidades y el ingreso máximo. 7) La función de ingreso total R de una cierta mercancía está dada por R(x) = Hallar la ecuación de demanda y la función de ingreso marginal.
x(9 − 2 x) / 3 .
8) Una empresa determina que el costo C(x) por producir x unidades de cierto artículo de consumo es aproximadamente C(x) = 100 + 10/x + x 2 /200. ¿Cuántas unidades deben producirse para que el costo sea mínimo? 9) Una empresa calcula que para vender x unidades de cierta mercancía el precio por unidad deber ser 1800 - 2x. Suponiendo que el costo de fabricación de x unidades es 1000 + x + 0.01x 2, encuentre el número de unidades para el cual la ganancia es máxima. 10)El costo total de producción de x unidades de un cierto artículo es C(x) dólares, donde C(x) = 3 x 2 + 25 + 2x + 50 . Obtener : (a) Función de costo marginal. (b) Costo marginal cuando se producen 20 unidades.
Ejercicio 24:
Resolver los siguientes problemas de razones de cambio: 1) El volumen de un globo aumenta a razón de 10 cm 3 /seg cuando la longitud de su radio es de 2 cm. ¿Cuál será la superficie del globo en el instante en que su radio mide 15 cm?
18
2) En un instante dado los catetos de un triángulo rectángulo miden 8 cm y 6 cm, respectivamente. El primer cateto decrece a razón de 1 cm/seg y el segundo cateto crece a razón de 2 cm/seg. ¿Con qué rapidez está creciendo el área? 3) La arista de un cubo crece a razón de 4 cm/seg. ¿Con qué rapidez está creciendo el volumen cuando la arista mide 10 cm? 4) Un niño está elevando una cometa; cuando la cometa está a 16 metros de altura, un viento horizontal sopla a razón de 12 m/seg. ¿Con qué velocidad está el niño soltando la cuerda de la cometa, cuando ha utilizado 25 metros de cuerda? 5) El diámetro y la altura de un cilindro circular recto son, en un instante dado, 10 cm y 20 cm respectivamente. Si el diámetro aumenta a razón de 1 cm/seg, ¿Qué alteración de la altura mantendrá constante el volumen? 6) El radio de la base de cierto cono aumenta a razón de 3 cm/h y la altura disminuye a razón de 4 cm/h. Calcule como varía el área total del cono cuando el radio mide 7 cm y la altura 24 cm. 7) Dos ciclistas salen del mismo punto hacia lugares diferentes, uno de ellos sale hacia el norte con una velocidad de 40 km/h mientras que el otro sale hacia el oeste con una velocidad de 30 km/h. ¿A que velocidad se distancian uno del otro al cabo de 2 horas? 8) Dos barcos navegan a partir de un mismo puerto isleño, uno hacia el norte a 24 millas por hora y el otro hacia el este a 30 millas por hora. El barco de la ruta norte partió a las 9:00 A.M., y el de la ruta este a las 11:00 A.M. ¿Con qué rapidez aumenta la distancia entre ellos a las 2:00 P.M.? 9) Un piscina de natación tiene 40 pies de largo, 20 de ancho y 8 de profundidad en un extremo y 3 en el otro, el fondo es un plano inclinado rectangular. Si la piscina se llena bombeando agua a razón de 40 pies cúbicos por minuto, ¿Con qué rapidez sube el nivel cuando tiene tres pies de profundidad en el extremo más profundo? 10)El lado de una placa metálica cuadrada expuesta a altas temperaturas se dilata a razón de 2 cm/min, mientras que su grosor de 2.5 cm permanece constante. ¿Como varia el volumen de la placa en el instante en su lado mide 40 cm? 11)De un tubo sale arena a razón de 16 pies cúbicos por segundo. Si la arena forma en el suelo una pirámide cónica cuya altura es siempre ¼ del diámetro de la base, ¿Con qué rapidez aumenta la pirámide cuando tiene 4 pies de altura? 12)Un objeto metálico formado por un cilindro rematado en uno de sus extremos por una semiesfera disminuye su radio a razón de 2 cm/min mientras que la altura de la parte cilíndrica aumenta a razón de 3 cm/min. ¿Cómo varía el volumen y la superficie lateral de dicho objeto en el instante que su radio mide 6 cm y la altura mide 18 cm? 13)Una lámpara de arco cuelga a la altura de 4 metros directamente sobre un paseo rectilíneo y horizontal. Si en este paseo un niño de 1.5 metros de estatura camina alejándose de la lámpara a razón de 55 m/min. ¿A razón de cuántos metros por minuto se alarga su sombra? 2 14)Una partícula P se mueve a lo largo de la curva y = x − 4 , x≥2, de modo que la abscisa de P aumenta a razón de 5 unidades por segundo. ¿Con qué rapidez aumenta la ordenada de P cuando x=3?
19
15)Un rectángulo tiene dos de sus lados sobre los ejes coordenados positivos y el vértice opuesto al origen de coordenadas está sobre la curva cuya ecuación es f ( x) = 2 x /3 , como se muestra en la figura 3. En este vértice la ordenada aumenta a razón de 2 unidades por minuto. ¿A qué razón varía el área y el perímetro del rectángulo cuando x=6?
Figura 3.
Ejercicio 25:
El método de Newton-Raphson es un proceso iterativo que permite encontrar la solución aproximada de una ecuación de la forma f(x)=0. Se parte de una estimación inicial de x 0, y de construye una sucesión aproximaciones de forma recurrente mediante la fórmula f(xn ) . Hallar la raíz de las siguientes ecuaciones en el intervalo dado: xn+1 = xn − f´(xn ) 1) f(x) = x3 – 10x – 5 = 0, en [3,5 ] . 2) f(x) = xlog(x) – 10 = 0, en [5,6] . 3) f(x) = ex – 2x = 0, en [ 0,1] .
x 4) f(x)=Sen +x- 4 = 0, en [ 2, 4] . 2 5) f(x)= x - x - 3 = 0, en [ 4,6]
20
