N° NOUVELLES CONSIDÉRATIONS Sur les
DÉEOUBCHÉS DES PETITS OUVRAGES SOUS ROUTES Par A. DELORME, Ingénieur des ponts et chaussées chaussées
Les petits petits ouvrages ouvrages d'art d'art construits construits sur les ririère ririèress comportant, comportant, souvent souvent un débouc débouché hé linéaire linéaire inférieur à la largeur du lit majeur ils créant donc sur obsraele à l'écoulement des crues, de celle sorte que le régime, au voisinage de ces ouvrages, n'est pas uniforme, pour calculer le débit maximum qu' est capable d'absorber un ouvrage donné, il faut donc, au moins, faire appel aux hypothèses du mouvement graduellement varié. près avoir rappelé rappelé succinctement la théorie théorie de l'écoulement critique l'auteur propose propose des formules permettant d'obtenir la capacité de débit d'un petit ouvrage !dalot à une ou plusieurs travée, buse",compte tenu de la charge amont admissible, de la pente des conditions régnant à l'oral. u passage. L'importance de la notion de ponte critique est soulignée l'auteur montre ensuite. #ue les formules proposées sont com. en able able ment corroborées par l'expérience sur modèle réduit. réduit. $l déduit enfin de de ces études un certain nombre de dispositions constructives. %es exemples numériques illustrent l'exposé.
&..(( &.. (( )*+) -ovembr -ovembree .décembre .décembre )(( )((
MEMOIRES ET DOCUMENTS
SUMMARY Culverins Culverins built built over rivers rivers often hare hare a waterway waterway narrower narrower than than the width of of floods, floods, so that the regime. Besides these culverts, is not uniform. In order or reckon what maximum discharge can be absorbed by a given culvert, we consequently must, at least, apply or the hypothesis of the gradually variable motion. After haring haring shortly reminded reminded the theory theory of critical flow, flow, the author propounds propounds formulas which which give the discharge capacity of a culvert, considering the admit table upstream head, the slope and the downstream dales. By the way wa y, the importance of the notion of critical lope is underlined. he cur tar then shows that the offered offered formulas formulas are are suitably suitably confirmed confirmed by experim experimenting enting on model. !e lustily deduces from these studies a few advices for building. "umerical examples mole the account clearer.
1.GÉNÉRALITES 1-1. #ans un pr$c$dent article %voir annales des ponts et chauss$es, n&' de mars avril ()*)+ nous avons montr$ comment on peut enleverte d$bit qu-un petit ouvrage doit tre capable d-$vacuer sur une rivi/r rivi/ree donn$e donn$e.. "ous "ous nous nous propos proposons ons dans la pr$sen pr$sente te $tude $tude de d$fini d$finirr les caract$r caract$risti istique quess g$om$triques d-un pareil ouvrage, d-un pareil ouvrage, une fois ce d$bit connu. "ous nous d-imiterons, tout d-abord. 0 l-$tude d-un ouvrage d-une seule trav$e et de section droite rectangulaire1 pontdalle, surmont$ ou nom d-un remblai.
1-. 2i l-on construit un radier b$tonn$%voir 3 III(+, on sait qu-il doit, sauf exception que nous n-examinerons pas, pour $viter $rosion ou d$p4ts de lat$raux. Avoir la mme pente que la rivi/re travers$e.
1-!. le d$bouch$ lin$aire de l-ouvrage pourra souvent tre nettement inf$rieur 0 l a largeur du lit ma5eur. s-il est voisin de cette derni/re largeur et si le pont ne provoque pas l-obstruction sensible. 6e d$bile $vas$ pour pour ra tre ale ol$ par une formule formule de mouvement mouvement ma forme du type lio7in on slriekler slriekler man ring, avec loures les lithenlt$s diaules qu-unique le choix du coefficient lignant, dans ces for.
DEBOUCHES DES PETITS OUVRAGES SOUS ROUTES 8ules. 8ais s-il y a obstruction non n$gligeable, on n-est plus dans les conditions d-application des formules de mouvement uniforme bien qu-on continue. rop souvent. A les appliquer c-est pr$s ce dernier cas que nous proposons d-$tudier. "ous admenum ce qui est d-ailleurs d$favorable. 9u-il se forme 0 l-amont de l-ouvrage une 7one 0 faible vitesse. :t qu-en tous cas le carr$ dans de la vitesse 0 painrent est n$gligeable devant le carr$ de la virasse dans l-ouvrage.
1-". Il est en g$n$ral impossible de d$duire directement du d$bit 0 $vacuer les carate $ristiques de l-ouvrage pro5et$. ;n sera oblig$ de se donner a priori un ouvrage et de v$rifier en suite s-il conseil plusieurs essais pourront tre n$cessaires.
1-#. "ous allons d-abord $tudier de probl/me par le calcul. "ous donnerons ensuite des 5ustifications exp$rimentales des r$sultats trouv$s puis nous indiquerons les dispositions constructives que nous pr$ coque les ponts dalle, et en particulier les buses.
1-$. "ous appellerons dans ce qui suit
capable d-$vacuer
compte le nu de la charge amont admise.
II. THEORIE DE L%ECOULEMENT CRITI&UE II(. Il nous faut au pr$alable retracer rapidement la th$orie de l-$coulement critique, trait$e dans les manuels d-hydraulique>et en parti enlier dans celui de 8. chapouthier%?+@ et dans le manuel publi$ par la soci$t$ A8;C %'+. "ous posons, pour l-instant, les hypoth/ses suivantes en plus de celle d$50 indiqu$e 0 la fin du paragraphe (+1 a 6-$coulement 0 l-entr$e peut tre consid$r$ comme graduelle ment var i$ et permet l-application du th$or/me de Bernoulli ce qui implique. :n particulier, que la courbure des filets liquides est suffi somment faible pour qu-on puisse la n$gliger et que la perte de charge peut tre. :lle aussi, n$glig$e b la contraction de la vaine quid dans le plan hori7ontal 0 peintre de l-ouvrage peut tre sid$r$e comme n$gligeable c "ous
MEMOIRES ET DOCUMENTS Cela l-entr$e est convenablement. Drofil$e %ce dernier point est important, voir chap. EI+ d 6-$coulement se fait, dans l-ouvrage, <0 surface libre <, mme si le niveau 0 l-amont de l-entr$e est nettement audessus de l-intrados, nous verrons ci dessous qu-il faut remplir pour qu-il en soit bien ainsi %3 II ' et EI F+ e 6-$coulement 0 l-aval est libre, ce qui se produit lorsque la pente est suffisante pour que l-$coulement apr/s la sortie s-op/re en r$gime torrentiel. C-est tr/s souvent le cas f :nfin nous admettrons que la rugosit$ dans l-ouvrage est n$gligeable et que son radier est hori7ontal. 6-hypoth/se e est arbitraire. "ous ne la posons que pour faciliter la pr$sentation. "ous nous en affranchirons au paragraphe IIG. "ous verrons aussi comment on peut 5ustifier exp$rimentalement les autres hypoth/ses ou s-en affranchir %voir chap. IE et EI+. II'. #ans ces conditions, appliquons le th$or/me de Bornou III entre la section %(+ %fig.(+, situ$e 0 l-amont imm$diat de l-ouvrage et la section %'+, situ$e 0 l-aval imm$diat de l-entr$e%ou plut4t de la 7one de mise en vitesse+. 2i ! est la hauteur d-eau audessus du radier dans la section%(+, y cette hauteur dans la section %'+ 6 la largeur de l-ouvrage, h la hauteur sous dalle, u la vitesse de l-eau dans l-ouvrage 0 l-aval de la section %'+, et 9 le d$bit, on a, puisque nous avons admis que la perte de charge est n$gligeable 1 '
%(+
' # u / = y + = y + ' ' g ' g L' y
'
# ' = % / −0 + y ' ' g L #-oH 1 ! et 6 sont donn$es. 6-$coulement $tant libre a l-aval. "ous pour ans appliquer le principe de B$langer %voir chapouthier+, et admettre que s-$tablit dans l-ouvrage est tel que le d$bit $vacu$ soit maximum. Dour cou nitre ce niveau il nous saune doue d-$crira que.
'
d %# + =I dy
#-oH1
d % # + ' gL'
dy
= y%' / −B0 +=I
et
y = ' / . B
%'+
8:;I:2 : #;CJ8:"2
6a profondeur dans section %'+ est donc les 'K de celle on visant dans la secti on %(+ c-est la profondeur qu-on appelle
uc
=
' g/ B
=
g yc
# 1 = L y c g y c =(.MI L/ B' :n prenant comme unit$s le m/tre et la seconde. ;n voit donc que si l-on fait croNtre il de ; 5usqu-0 (,* h,y reste inf$rieur 0 h et l-$coulement se fait bien <0 surface libre
II-!. 2uivant un raisonnement d$velopp$ dans le manuel A8C; %'+, il faut bien voir que si, maintenant, nous affranchissons de l-hypoth/se %e+ du paragraphe II(%rugosit$ n$gligeable et radier hori7ontal+, quelle que soit la pente du fond, notre
n-en peut avaler <. si la pente est suffisante, le d$bit critique donn$ par l-$quation %(+ est atteint. 2inon le d$bit $vacu$ reste inf$rieur 0 ce d$bit. 6a pente. 8inimum permettant d-$vacuer ce d$bit est la pente critique, que nous calculerons cidessous. 2i la pente est sup$rieure 0 cette pente critique, la lame d-eau continuera 0 se d$primer 0 l-aval de la section oH la profondeur y c est atteinte, la vitesse augmentera, mais le d$bit restera constant le d$bit restera constant. 6-$coulement se faisant alors sous une profondeur d-eau inf$rieure 0 la profondeur critique, on se trouvera en r$gime torrent il. Dour obtenir l-expression de la pente critique, il suffit d$crit d-$crire que la vitesse critique, donn$e par l-$quation %+ est $gale 0 la vitesse qui serait obtenue dans un mouvement uniforme compte tenu de la pente et de la rugosit$. 2i nous utilisons la formule de strickler G8anning nous avons donc, d$finir la pente critique, l-$quation1
gg = '2 'B $ (' k $tant le coefficient de strickler et , le rayon hydraulique 0 l-in t$ rieur de l-ouvrage pour une profondeur correspondant 0 la profondeur critique d-oH1 %*+
g vc Lc = ' 2 3
avec
y = ' / B
i=
' g / B3 B 2 c (B
II-". ;n voit donc qu-apr/s s-tre donn$ un ouvrage
connaissant !. h, et la pente naturelle i on pourra en d$chirer par la forma le%'+, puis on calculera le rayon hydraulique dans la section %'+ 1
Ly ' 2(= L + '0 :t enfin i par la forma le %O+. 2i i Pic, la capacit$, ind$pendante de i, sera donn$e par %F+. 2i i Qc elle restera inf$rieure 0 9 c. II*. Cependant, lorsque la pente est inf$rieure 0 la l-$coulement restant libre 0 l-aval, il faut, pour que le mis ci dessus soit valable, que la rugosit$ ait le temps de se faire cela faut que l-ouvrage soit suffisamment
esearch Board %*+.6a valeur limite de h serait sup ron. il semble qu-en g$n$ral la longueur des petits poutsa 0 la longueur limite et que la th$orie de l-$coulement Applicable 0 la plut, et des ouvrages pro5et$s lrons qu-il en est pour les ouvrages. ;b5et de la sente $tude. 6e profil travers type adopt$ est conforme 0 ce lui retenu lors de l-$tude de d$finition 0 savoir un profil en toit d-un d$vers de FS et avec une plateforme de O m de large.
#imensionnement des ouvrages. 6a piste existante se caract$rise par la travers$e de plusieurs chaabas n$cessitant des ouvrages
III. CONSE&UENCES DE LA THEORIE DE L%ECOULEMENT CRITI&UE III(. 2i l-ouvrages est 0 fond rugueux %terrain naturel+ on peut admettre que k est de l-ordre de *. on a alors, par l-$quation %O+1
%M+
i c%rugneux+=
*.BM / F (III 2 c B
2i l-ouvrage est lisse %cul$es et radier en b$ton on enduits+, on a k M environ et 1
i c%béton+=
(.BF / F (III 2 c B
doH1
ic %béton+ ( ic %rugueux+ F =
Dour ! et c identiques. ;r, la pente est donn$e %c-est celle de la rivi/re+, il et C sont. :ux aussi, donn$e par les caract$ristiques de l-ouvrage. #e l-ouvrage. 2i donc l-on a pro5et$ un ouvrage sans radier et si la pente est inf$rieure 0 i c. ;n voit qu-il suffit de b$tonner le radier pour diviser par F la pente critique, donc. 2ouvent, pour obtenir que la pente naturelle devienne sup$rieure 0 la pente criti que, et. Dar cons$quent. Dour $couler le d$bit maximum compatible avec le profil en travers de l-ouvrage pro5et$. III'. A titre d-exemple, l-ouvrage d$50 $tude dans le pr$c$dent article et dont nous rappelons les caract$ristiques 1 ! T h T' m. 6CT ' m. I T S Das de radier b$tonn$. ;n a1
y c = ' / =(.BBm B 2= ' .(.BB =I.*M '+' (.BB
i = *.BM ' ='.'*S (III %I.*M+
#I B;6C!:2 #:2 D6J2 ;J ED#2 2;J2 B;:2 ;n v$rifie donc que i Pi #ans ces conditions. ;n a1 9 T 9 T.O "otons que nous avions annonc$ dans le pr$c$dent article une capacit$ par m/tre d-ouverture inf$rieure 0 F.U mets. Car nous compte du fait que les diverses hypoth/ses pos$es an paragraphe II( ne sont pas enti/rement 5ustifi$es %voir chap. EI+. 2i la pente i avait $t$ inf$rieur 0 '.'*S on aurait pu. :n t$ton. "ant le radier. amener la peu te critique 0 .*OS e aviron et de '.'*S et, par cons$quent. :vacuer le mme d$bit, pour va que soit sup$rieur 0 .*OS. III. 8ontrons rapidement combien on a tort d-appliquer aune formule de mouvement uni ferme pour calculer le d$bit d-un par il ouvrage. :n effet. 2i, sur notre exemple %en supposant le radier b$tonnant+on applique cette m$thode, en admettant que l-ouvrage, soit trouve 1
2 = '.' =I.OO m ' + '.'
u =3 2 ' K Bi(K '=MI%I.OO+
% B + (II
'KB
(K B
).'ms
=
;n trouverait donc ainsi une capacit$ quatre fois plus forte que cette dont nous pouvons en r$alit$ disposer.
IV. LIMITES D%APPLICATION DE LA THEORIE DE L%ECOULEMENT CRITI&UE IV-1 6a th$orie expos$e cidessus n-est applicable que mme un certain nombre d-hypoth/ses pos$es au paragraphe II ( examinonsles maintenant plus en d$tail.
IV- les hypoth/ses %a b+ d-ordre purement hydraulique
un pr/s 5ustifi$e par l-$pi p$rie ne%voir chapitre EI+. 6-hypoth/ses pos$es libre la $t$ 5ustifi$e peut ! ≼ (.* S
IV-! 6-hypoth/se %d+ > $coulement libre 0 l-aval @ n-est, elle, $videmment pas tou5ours 5ustifi$e 1 si la pente de la rivi/re est faible, il y r$action de l-aval. "ous avons vu%III(+ qu-il $tait souvent possible, moyennant au besoin la construction d-un radier b$tonn$, de s-arranger pour que la pente 0 l-int$rieur de l-ouvrage, command$e par les seules conditions d-amont 1 soit que la rivi/re comporte une pente infra critique, compte tenu de la rugosit$ de ses parois, soit pour toute autre raison. #ans ce cas, l-$coulement dans la rivi/re s-op/re en r$gime fluvial, et le niveau 0 l-aval imm$diat de l-ouvrage est connu, puisqu-il n-est command$ que par les conditions r$gnant plus loin 0 l-aval. 2oit 4 la hauteur de la lame d-eau audessus du radier, suppos$ b$tonn$, 0 l-aval de l-ouvrage. Dour comprendre ce qui va se passer dans ces conditions, imaginons qu-on parte de l-$cole ment enti/rement libre 0 l-aval et que, 0 l-aval et que, 0 l-aide d-un d$versoir de hauteur variable on fasse croNtre progressivement 4 en maintenant le niveau constant 0 l-amont. 6-$coulement dans la rivi/re 0 l-aval imm$diat de l-ouvrage, tout d-abord torrentiel, va, 0 mesure que la profondeur 4 augmente, devenir critique, puis fluvial tandis que l-$coulement demeurera torrentiel dans l-ouvrage1 d-oH
formation d-un ressaut dans la section de passage du torrentiel au fluvial. Au fur et 0 mesure qu-on augmentera 7, le ressaut remontera vers l-amont, pour, 0 un certain moment, atteindre la section
IV-" "ous allons calculer la valeur limite de 4 , telle que le ressaut atteigne 5uste la section critique. 6orsque l-$coulement $tait libre 0 l-aval, le d$bit $tait donn$ par la formule %F+. Connaissance d$bit, on peut. Dar la formule de strickier calculer l a profondeur d-eau qui s-$tablissait en r$gime uniforme l-aval de la section critique %profondeur
# =(.M L / BK '
:t
#= L y a. 5 r ' K Bi(K '
#-oH
(.M / BK ' 0 2 2 = 5 i(K ' 'KB
#ans cette $quation le second membre est connu et ne d$pens 9ue de 6 et V a. l-$tant connu, on pourra donc en tirer la profondeur normale y n. 6orsqu-on fait croNtre 4 progressivement le ressaut, avant d-atteindre la section critique, se forme 0 l-aval de cette section, mais 0 l-int$rieur de l-ouvrage. #e part et d-autre du ressaut, les profondeurs y ( et y' satisfont alors 0 l-$quation classique du ressent en canal reclngulaire 1
'
%)+
'# y( y '% y(+ y '+= g L'
Cette $quation permet de calculer. Jne fois qu-on connaNt le d$bit. la profondeur y ' en fonction de y. 2i, dans cette $quation nous posons y ( T y a calcul$ cidessus, nous obtenons pour y ', une valeur y. si 7 %qui est connu+ est sup$rieur 0 y. le ressaut ne peut se former 1 ;n est dans le cas de l-$coulement fluvial sur tout la longueur de l-ouvrage. 2i 7 est inf$rieur 0 y le ressaut peut se former, 0 l-aval de la section critique. Il se formera dans cette section pour 7 T V. :n r$sum$, tant que l-on aura 7 TV la capacit$ de notre ouvrage pourra encore tre calcul$e par formule %F+. Dour 7 PV, elle sera inf$rieure 0 9 c. IV-#. Dour illustrer l-expos$ cidessus, prenons un exemple 1 #ans une rivi/re tr/s rugueuse %comportant un coefficient de strickler k T '*+, de section droite rectangulaire de .*m de larges et d-une pente de .M S. Construisons un pont comportant un radies en b$ton bien lisse %coefficient k T U+, de 'm de largeur%6T 'm+. #e (m de hauteur %h T (m+, dont la dalle est surmont$e d-un l$ger remblai. #e sort que l-eau affleure 0 l-amont 0 .'* m audessus de l-intrados%h T (.'*m. quel d$bit peut $vacuer cet ouvrageW a ;n a 1
y c= ' / =I.UBBm B
l yc '.I,UBB = = =I,F**m. 2c L+' yc '+'.I,UBB d-oH, par la formule %O+, avec k TU 1
ic=
' g / =I.BMS B 3 ' 2 cF KB
Comme i T .MS on a bien i P i c et l-$coulement dans l-ouvrage sera torrentiel s-il n-y a pas de
r$action d-aval. b. #ans les mmes conditions, on aura alors, pas la formule %F+ 1 #=#c =(.M L / BK '=F.MOmBK s :t le niveau. #ans l-ouvrage, 0 l-aval de l a section critique %et 0 l-amont du ressaut $ventuel+ sera donn$ par la relation de strikler%avec k T U+ 1 # = L y c.3 2 ' K Bi(K '
F.MO=' y n.UI 2
%(+
(K ' ' K B I.MI
(I
d-oH
y n 2' K B=I.B*O comme
' y n 2 = '+ ' y n ;n tire par tXtonnements de la relation%(+ 1
y n=I.OO m.
;n v$rifie d-ailleurs que comme pr$vu, c.
y n> y c .
#ans la rivi/re 0 l-aval, et si l-on admet, pour l-instant, qu-elle $coule le d$bit de F.MO m Ks. la profondeur 7 est donn$e par la formule de strickler %avec k T'*+1
# =B.* 4.'* 2 ' K Bi(K ' 4 2 'K B=
F.MO.(I =I.O* B.*.'*.I.UB*
d-oH l-on tire par tXtonnements 1 7 T .). l-$coulement dans la rivi/re sera fluvial, puisque la pente critique. Dour un pareil d$bit est, dans la rivi/re 1
ic=
g4 ),U(.I,)I = = ',UIS ' FKB FKB O'* .I,*) 3 2
alors que la pente r$elle est de ,MS d. pour v$rifier si un pareil $coulement est possible, remplaLons dans la formule %)+ y ( par yn calcul$ au § b cidessus. on a1
'
'%F,MO+ I,OO y '%I,OO+ y '+= =(,(* ' ),U(.' d-oH l-on tire 1 y' T y (. Comme on a 7 Q y, l-$coulement pourra bien se produire comme nous l-avons calcul$ cidessus. Jn ressaut se formera 0 l-aval de la section critique. e.
#e l-amont vers l-aval les profondeurs seront successivement les suivantes 1 A l-amont de l-ouvrage 1 !T (,'* m1 A l-entr$e, dans la section critique1 y c T ,U m A l-aval de cette section 1 y n T ,OO m.
Apr/s le ressaut, dans l-ouvrage, VT (m %l-ouvrage sera 5uste en charge+. #ans la rivi/re, 0 l-aval, on aura 7 T,) m. 6e d$bit $vacu$ restera le d$bit critique 9 C T F.MO mKs, calcul$ comme si l-$coulement $tait enti/rement libre 0 l-aval. IV-$ 6e raisonnement pr$c$dent reste $videmment valable si la r$action aval est due 0 une cause quelconque, par exemple une retenue de barrage fixant 0 peu pr/s ne varietur le niveau 7. on simplement, une diminution de pente de la rivi/re 0 l-aval faisant ramons ter le ai veau au voisinage. ;n voit en particulier, dans l-exemple cidessus que mme si l-on avaity T ( m%ouvrage compl/tement aveugl$ 0 l-aval+, l-$coulement torrentiel continuerait. A se produire dans l-ouvrage et que 9 resterait $gal 0 9 Il ne faudrait pas d$duire de ce raisonnement qu-ou peut, mme si le calcul indiqu$ donnait pour V une valeur nettement sup$rieure 0 h, faire fonctionner un ouvrage avec une charge amont et une charge aval importantes. out en ayant encore un $coulement 0 surface libre 0 l-int$rieur 1 en effet, il pourrait se produire un effet de trompe 0 eau 0 l-aval de la section critique, diminuant consid$rablement la pression de l-air. Duis des rentr$es d-air brutales, d-oH formation de ph$nom/nes plusatoires dangereux, pouvant 0 la limite provoquer un soul/vement de la dalle et une ruine de l-ouvrage.
V. ETUDE DU CAS O' LA PRO(ONDEUR ) L%INT*RIEUR DE L%OUVRAGE EST SUP*RIEURE ) LA PRO(ONDEUR CRI&UE.
V-1 :xaminons d-abord le cas. #e loin le plus fr$quent oH l-$coulement est l ibre 0 l-aval. V- 6es hypoth/ses a,b ,c ,d , pos$es au paragraphe II( restent admises. ;n s-arrangera pour que / soit suffisamment faible pour qu-il n-y ait pas mis en charge 0 l-int$rieur de l-ouvrage %voir ci dessous+. 6-$quation %(+ reste valable. ;n en tire1 '
%((+
'
FK B
i y= / u = / 3 2 ' g ' g
k. $tant le coefficient de strickler 0 l-int$rieur de l-ouvrage, dont nous supposons que le radier est b$tonn$. :t le rayon hydraulique dans l-ouvrage. Dar ailleurs, on a vu que.
i=
g y c '
FKB
3 2 c
#one1
g vc 2 FK B 3 2 = % + ic 2c FK B
d-oH, en reportant cette valeur dans %((+1 g FKB y / v l 2% + ' 2 l g c
=
c
et, comme y c
%('+
=
c
' / 1 B
y = / (( i % 2 +F K B B i c 2 c
2c $tant connu et r ne d$pendant que de y, cette $quation d$finit implicitement y, qu-on pourra d$terminer par tXtonnements. Dar ailleurs1
FKB FKB ' ' FKB u = 3 2 i = g y c i % 2 + = ' g/ i % 2 + . B i c 2 c i c 2 c #-oH1 %(+
(K ' ' K B F K B #=lyu =',*Ol / BK '% i + % 2 + (( i % 2 + . ic 2c B i c 2c #ans les cas usuels, est asse7 peu diff$rent de 2c pour des d$bits importants. 6es formules )6 et )* se simplifient alors et on obtient1
%(F+
i ( y / %( + B ic =
et %(*+
(K ' # =',*O L / BK '% i + %(( i + B ic ic
6a formule %(*+ donne des r$sultats suffisamment exacts dans la pratique, r$sultats dont la pr$cision d$passe celle qu-on peut esp$rer avoir sur k et mme sur #7 . appelons que #7 a $t$ d$fini dans le pr$c$dent article 1 C-est la crue le fr$quence . pour laquelle est calcul$ l-ouvrage. ;n v$rifie facilement sur la formule %(*+ que
d# est infini pour i 8 9 et nul pour i 8 ic d-oH la di
forme de la courbe # 8f !&" pour un ouvrage de profil en travers donn$, avec une charge amont donn$e !fig.6". 6a formule %(*+ peut encore s-$crive, en faisant apparaNtre #c . tir$ de la formule %F+ 1 %(O+
(K ' # =(,*I# c % i + %(( i + B ic ic
#c $tant le d$bit critique correspondant 0 la section droit de notre ouvrage.
;n voit sous cette forme simple, que pour
i = ( , on a encore # 8 +,:( # 1 Il faut que la tr/s ic ' c
inf$rieure 0 la pente.
Yig. ' Z Courbe q T f %I+
Critique pour que le d$pit $vacu$ tombe notablement en dessous du d$bit critique. Cette remarque est importante, car ic n-est pas connu avec pr$cision ; i c est proportionnel a
( et 3 '
3 est asse7 difficile 0 $valuer. ;n voit que celle commise sur ic , on sur 3. E. Dour qu-il y ait obstruction 0 l-aval de l-ouvrage, il faut que 4 , calcul$ dans la rivi/re, par la formule de strickler s-il y a $coulement uniforme, ou d$fini par la cote de retenue d-un barrage $ventuel soit sup$rieur 0 y donn$ par la formule %(F+. ;n devra presque tou5ours faire en sorte que 4 soit inf$rieur 0 y. y si on ne le pouvait pas, les faudrait se hvrer 0 un calcul de remous dans l-ouvrage. 8en$ avec les formules du mouvement graduellement vari$ en canal rectangulaire.
VI. VERI(ICATIONS E+PERIMENTALES VI-1 #es essais sur mod/les r$duits !au )<)+" ont $t$ effectues par "$yrpieAfrique. Dour le compte de la tunisie. 2ur deux dalot de ) m de hauteur !h 8 ) m" surmont$s de remblais de ) m de haut %!T'm+. comportant un radier en b$ton, et dont la pente de (S est supercritique quel que soit !. les port$es sont respect :veurcul de ( m et ' m et l-$coulement est libre 0 l-aval
VI- ;n peut remarquer imm$diatement que ces essais peuvent tre extra vol$s pour n-importe quel ouvrage construit avec mmes conn$triquement. 2emblable et de pente supercritique, puis une la ' u similitude de fronde % cons tante+ est respect$e en effet si, pour calculer la vitesse. ;n applique
=
gl
la formule de che7 y, on a 1 J T C i #-oH
'
u =1ri 2 #onc m C 'i est le mme pour un ouvrage semblable 0 l-ouvrage consid$r$, mais n fois plus grand, l-$coulement y sera semblable, pour une charge amont semblable. ;n sait qu-alors le d$bit sera multipli$ par n 'K.ce que confirme d-ailleurs l-$quation %F+.
VI-!. 6es essais ont montr$ la grande importance du profilage convenable de l-entr$e de l-ouvrage pour $viter une contraction de la veine liquide, profilage d-autant plus important que le rapport est plus grand. Dour les hauteurs ! couramment utilisables ne d$passant gu/re (.' 0 (. h, il suffit de construire des murs en aile plans, inclin$s 0 (' ou (*& sur l-axe longitudinal de l-ouvrage et d-ahattre. Dar un pan coup$ d-inclinaison analogue. 6-arte vive 0 la 5onction du dessous de dalle et du bandeau amont. Dour $vacuer un d$bit nettement plus $lev$ que coran obtenu lors pion supreim$ ces dans coup$s. :n remplaLant ces entonnoirs plans par des murs en ales et un luit le connues courbes, plus hydrauliques les d$bits $vacu$s sont encore sup$rieurs, mais surtout pour les grandes valeurs de !, asse7 rarement paraNt donc inutile de compliquer la construction en imposant des formes difficiles 0 coffrer. VI-" pour les profils d-entr$e «habituels[ %sans pans coup$s+. ;n profit$s %avec des murs en ailes et toit 0 pan coup$+. 6-$coule ment 0 l-int$rieur des dalots d-exp$rience se fait «0 surface libre[ quel que soit !Q 'h. "ous savions d$50 qu-il devait en tre ainsi pour ! atteignant (.*h 1 on d$passe largement cette valeur en conservant la surface libre, du fait que la pente de (S est nettement sup$rieure 0 la pente critique. VI-#. les courbes de d$bit en fonction de !, obtenues aux essais sont donn$es par les figures et F, sur lesquelles ont $t$ aussi port$es les courbes traduisant la formule %F+ 1 #1 T (.M6!K'.
;$bits # en mKs Yig. courlieu de d$pit pour un aqueduc de ( m de largeur de ( m de nu leur 6es tulles de hauteur sont les mmes sur les deux figures. 6-$chelle des d$met a $t$ choisie double sur la figure F de celle choisie la figure de telle sorte que les deux courbes EI sont superposables. ;n constate que les courbes I et II ont la mme allure sur les deux figure. 8ais que pour l-ouvrage large %6T'm+6es d$bits. Dour une m$niane hauteur, sont un peu plus du double de l-ouvrage $crit%6T (m+. si l-on d$finit un \ rendement [comme le rapport du d$bit constat$ au d$bit th$orique donn$ par la formule F. l-ouvrage large%h largeur $tant d$finie par la valeur du param/tre
l a un meilleur h
rendement. Darce que l-influence de la contraction de la veinure 0 l-entr$e dans le plan hori7ontal y est relativement moindre que dans l-ouvrage $troit. oiles les courbes exp$rimentales pr$sentent un point d-inflexion 1 tant que ie toit n-est pas \l$ch$[ par la veine liquide, il n-y a de contraction que dans le plan hori7ontal %si l-on fait abstraction, pour
Yig. F Z combe de d$bit pour un aqueduc de ' m de largeur sur ( m de hunier. Jn ms tant, de la perte de profondeur due 0 la perte de charge 0 l-entr$e+. mais des la veine est en contact avec le toit, s-y a5oute la contraction dans le plan vertical et l-augmentation du d$bit lorsque ! croNt est alors bien moins rapide. #ans ce cas, bien que l-ouvrage ne soit pas en charge 0 l-aval de la section critique, il est en charge 0 l-entr$e, qui se trouve plac$e 0 l-atnont, de cette section.
VI-$ "ous avons dress$ cidessous le tableau des valeurs de # donn$es pas les courbes I, II et IE correspondant aux deux aqueducs exp$rimentaux pour .M h Q ! Q (.' h, charge amont le plus couramment utilis$es, A c4t$ des valeurs I et II, nous avons port$ des valeurs de # proportionnelles, le coefficient multiplicateur $tant indiqu$ sur le tableau 1
TABLEAU DES VALEURS DE Q &
1
.2 .3 .4 1 1.1 1.
.$2 .31 1. 1.1 1."3 1.$2
& L 1/ !0s 1.1# II 1. 1/ II/ .22 .4$ 1.12 1." 1.2 1.4
.23 .4$ 1.13 1." 1.$2 1.4
.41 1.1# 1."1 1.2 .2
IV
1
.43 1. 1."" 1.2 1.42 .#
1.! 1.23 . .$$ !.1 !.21
& L / !0s 1.1# II/ 1.1 I/ II/ 1."2 ."3 ! !.$" ".
1.$ ."$ ! !.#2 ".
1.2$ . .2 !.! !.4" ".$
IV 1.4$ ."" .33 !." !.4" ".#
;n peut faire. 2ur ce tableau. 6es constatations suivantes 1 a. l-aqueduc 0 formes profil$es %plans coup$s, courbes II+ a. sur l-aqueduc 0 formes initiales %courbes I+ l-avantage de pr$senter une capacit$ environ (S plus forte pour 6 T ( m, et ('.*Splus forte pour 6 T ' m. b. la capacit$ de l-aqueduc 0 formes profil$es est $gale 0 la capacit$ th$orique >celle de la formule%F+@ multipli$e par un coefficient quasi constant. $gal 0
( =I.UB pourL =(m,età ( =I.)( pourL ='m ( .' ( .( VI-2 "ous admettrons, compte tenu de la remarque du paragraphe. VI- que, dans le cas g$n$ral, on obtient le d$bit dans un aqueduc 0 formes profil$es et 0 pentes et 0 pentes supercritique en qui donne la formule tr/s simple 1 %(M+
9c T(.6!K'
Ealable pour .U hQ ! Q (.' h. 6a pr$cision obtenue est bien suffisante, tr/s sup$rieure d-ailleurs 0 celle qu-on peut esp$rer avoir sur l-estimation de 9 r . u cas oH l-on ne voudrait pas consentir la d$pense %extrmement faible d-ailleurs+ du profilage, il fendrait diviser le d$bit donn$ par la formule %(M+ par un coefficient, variant entre (.('* et (.(* environ. 2i l-on peut admettre pour II une valeur nettement sup$rieure 6!, les courbes des figures et l montrent que le d$bit 9. bien que continuant 0 croNtre !. sera nettement inf$rieur 0 la valeur donn$e pas la formule %(M+. ;n pourra d$duire de ces courbes une valeur vraisemblable de 9.
VI-3 Jn essai avec \r$action d-aval[ a $t$ ex$cut$ en utilisant un d$versoir de hauteur variable. :xactement dans les conditions indiqu$es au paragraphe IE cet essai a montr$. Confirmant le r$sultat indiqu$es au paragraphe IEO. que la capacit$ restait constante et $gale 0 9 c mme lorsque l-ouvrage est compl/tement aveugl$ 0 l-avale, pour une charge amont voisine de (.'*m.
VI-4 Aueun essai n-a $t$ effectu$ avec une pente infra critique, cependant, dans ce cas la vitesse est moins forte. #onc la perte de charge 0 l-entr$e est moins forte. Dar cons$quent le coefficient r$ducteur 0 appliquer au r$sultat le la formule %(*+ doit tre. 6ui aussi, moins fort. #ans ces conditions, il reste prudent d-appliquer la formule %(O+ dans la quelle on prendra pour 9c la valeur donn$e par la formule %(M+ et non celle donn$e par la formule %F+. ;n trouvera ainsi une limite inf$rieure de la capacit$, qui remplace la formule %(*+1
%(U+
(K ' # ='.'* L / BK '% i + %(( i + B ic ic
VI-1 Yinalement. ;n voit que les hypoth/ses a et b du paragraphe II I. 2ont 5ustification exp$rimentale. 2ons r$serve du remplacement des formules %F+ et %(*+ par les formules. Eoisines %(M+ %(U+.
VII. DISPOSITIONS CONSTRUCTIVES VII-1 "ous n-allons pas traiter de toutes les caract$ristiques des petits ouvrages. "ous ne voulons indiquer que les quelques r/gles qui nous paraissent r$sulter des consid$rations hydrauliques ci dessus.
VII- 6a cote de la chauss$e est plus ou moins impos$e par les caract$ristiques de la route port$e, qui peut souvent, sans dommage descendre. #ans une certaine mesure, pour traverser la vall$e. Cette cote doit d-ailleurs, entendu. tre nettement sup$rieure 0 la cote 0 la quelle arrivait la surface de l-eau dans la section oH la rivi/re est travers$e avant construction du pont. Dour la crue consid$r$e. 6a profondeur de l-eau dans. cette section $tait la profondeur normale y c les hauteurs h et ! ne peuvent qu-tre sup$rieures 0. Dar ailleurs. 6a hauteur ! doit tre fixe de telle sorte que soit conserv$e pour la chauss$e une revanche sup$rieure 0 une quantit$ d$pendant des circonstances locales. ! peut varier ainsi entre des lunites donn$es, impos$es par les profils en log extrmes raisonna de ment possibles de la route A chaque valeur !, de ! correspond une seule valeur 6 ( de 6 d$finie de la mani/re suivante 1 2upposons qu-on ait pr$vu des formes amont profil$es. ;n commencera par admettre que la peut est supercritique et on calculer une longueur 6 a 0 l-aide de la formule %(M+ dans laquelle 9 et ! sont connus. 2i l-$coulement est libre 0 l-aval, on examinera alors si la pente naturelle %sans radier+ est effectivement sup$rieure 0 la pente critique donn$e par la formule %O+.2inon, on pr$voiera la construction d-un radier. #ans ces conditions 1
a.
2i avec ou sans radier. 6a pente est supercritique. ;n penser l-air correspondre 0 II, la longueur 6( T 6( b. 2i mme avec un radier. 6a pente reste infra critique, on essaiera 6 ia de 6%6 ia T 6a+et on cherchera, calediunt ces pondant aux divers 6 ia par la formule %(U+ 0 obtenir c-est cette valeur 6i qu-on fera correspondre 0 ! e. c. 2i l-$coulement n-est pas libre 0 l-aval, il faut reprendre les calculs comme, indiqu$ aux chapitres. EI et E pour d$terminer 6 F d. Dar tyrines, 0 chaque valeur !, de !. correspond aussi un valeur h i de hi d$finie de la mani/re suivante1 a. si le transport de corps flottants est 0 craindre %arbres. blocs de glace, $t$.+Il faut, sauf pour les d$bits exceptionnels %voir dans l-article pr$c$dent ce qu-il faut entendre par\exceptionnels[+, conserder un car tain tirant d-air pour laisser passer les corps flottants, tirant qui d$pend des circonstances locales. ;n se souviendra, d-ail lune, par favorisa. qu-0 l-entr$e de l-ouvrage. 6a profondeur est d$50 ha$ricure 0 ! puisqu-on se trouve dans la 7one de mis en vil esse. ;n Aure ainsi h ( T !i ] t.. b. 2i l-on n-a pas 0 craindre les corps flottants, cas asse7 rare. Il semble qu-on puisse tol$rer pour h,une valeur notablement inf$rieur 0 ! ( d-autant plus que le prix d-un ouvrage croNt en g$n$ral plus vite avec h qu-avec 6. et ceci reste vrai mme si compte tenu de la peut du talus de remblai $ventuel, on est conduit 0 construire un ouvrage dont la longueur dans le sens de l-$coulement est sup$rieure 0 la largeur de la plate forme de la route port$e. Bien entendu le remblai devra tre prot$g$. Yinalement 0 chaque valeur ! i de ! correspond ainsi un couple h e 6e sauf l-exception indiqu$e Cidessous. ou choisira le couple h. 6 e qui correspond 0 l-ouvrage le plus $conomique.
VII-! 6e d$bouch$ lin$aire ainsi calcul$ est inf$rieur 0 la largeur du lit ma5eur il faudra prendre des disposition pour que les rampes d-acc/s. ne soient pas $rod$es. :n les prot$geant par des enrochements. Jn perr$. ;u autre. et mme. #ans certains cas, on pourra prendre pour 6 une valeur plus grande que la valeur 6 d$terrai n$e cidessus. Ce qui entraNnera pour h et ! des valeurs inf$rieures 0 h, et ! e. #-ailleurs, il faut prendre toutes pr$cautions pour que le r$tr$cisse. 8ent ne provoque pas une divagation de la rivi/re. 9ui peut avoir tendance 0 changer de lit. :n particulier, si l-on est oblig$ de construire sur un c4ne de d$5ection. #es pr$cautions sp$ciales devient tre prises %prolongation. 2ur une asse7 grande longueur 0 l-amont. de murs en aile formant entonnoirs, $t$.+Douvant aller 5usqu-0 construction d-ouvrages $ventuellement r$cup$rables%genre buses m$tal liques par exemple+.
VII-" 6a vitesse de l-eau 0 la sortie de l-ouvrage peut tre consid$rable et susceptible de provoquer des affouillements graves si l-on ne prend pas de pr$cautions. a. 6orsque l-$coulement est libre 0 l-aval et la pente supercritique. Il n-y a que des avantages 0 augmenter la rugosit$ dans l-ouvrage, de telle sorte que la d$pression de la nappe 0 l-aval de la section critique soit aussi faible que possible et que la vitesse 0 la sortie ne d$passe gu/re la vitesse critique, donn$e par la formule %+. Dour cela, si l-on a $t$, par exemple, conduit, pour des raisons autres qu-hydrauliques %et, en particulier, pour prot$ger la fondation+, 0 construire un radier en b$ton, on pourra le rendre rugueux en y construisant avant la sortie de l-ouvrage un syst/me de chicanes on, autre %genre seuil ehbock+. "ous savons que la capacit$ n-en sera pas diminu$e. #e mme, si les cul$es sont en maLonneries, il n-y aura pas int$rt, dans ce cas, 0 les enduire. 5. 6orsque l-$coulement est fluvial, au contraire, les vitesses seront un g$n$ral peu dangereuses Cependant, si on voulait les r$duire en segmentant la rugosit$. ;n provoquerait une diminution de capacit$. ce n-est pas tou5ours une raison suthsante pour ne pas le faire. :n fin. 2i l-on a pr$vu. Au voisinage le la sortie de l-ouvrage. 6a pr$sence $ventuelle d-un ressaut, il faut $videmment prendre des pr$emptions toutes sp$ciales contre les affouillements.
VIII. OUVRAGES AUTRES &UE LES PONTS DALLE D%UNE SEULE TRAVEE VII-1. on peut admettre. "ous sembletil, que la capacit$ d-un ouvrage 0 plusieurs trav$es est $gale 0 la somme des capacit$s des diverses trav$es. Dourvu que les piles soient convenablement profil$es 0 l-amont 1 cela d$coule du fait que toutes les formules donnant q sont lin$aires par rapport 0 6. VIII- 6e cas des buses circulaires est un peu plus compliqu$ 0 traiter par le calcul voir annexe+, et. 2urtout. 6es r$sultats des calcules sont moins bien confirm$s par l-exp$rience. 6-amont nous avons d$50 $t$ au chapitre EI ont aussi buse en b$ton de .U m de diam/tre et de pente super aleuls d$taill$s dans l-abr$ge conduisent 0 penser qu-une bus devrait pouvoir, lorsque l-eau affleure la g$n$ratrice l-amont, d$biter .U pris or. 6ors des essais, le d$lute avec des formes amont bien profil$es. n-a gu/re d$passe dans ces conditions on obtit dira une approximation acceptation car ruant la pente critique avec les formules donn$es en avent rive en frappant les r$sultants obtenus par le calcul en ce qui les d$bits d-un coefficient r$ducteur encore plus faible+. Jne fois ce coefficient r$ducteur des r$sultats de calcul cadrent avec les r$sultas expriment aux. Dente critique $tant donn$e par en formule1
( %(.M*= / '+. ic = FK B # (IIIr la rapacit$ pour une pente supercritique et un $coulement sans fraction d-aval, sera donn$e par la formule 1 9T(.M* !
I^ I+-. "ous avons indiqu$ dans le pr$vient article que l-on sar estimait souvent le d$bit des crues 0 $cumer. A l-inverse. "ous pensums qu-on sousestime souvent les dimensions d-un ouvrage pour une capacit$ donn$e. 6orsqu-on appeau sans discernement les forts mets habituelles. #ans une certes mesure. d-ailleurs les deux errons en inverse s e compense. I+-!. des essais compl$mentaires, qui permettraient de v$rifier les formules que nous avons propos$s ici. #evraient tre ex$cut$s. ien n-empche de pr$voir sur certains ouvrage, un dispositif permanent simple permettant. de mesurer avec pr$cision d$bit et bau leur amont1 Ces ouvrages constituent d-excellents mod/les 0 l-$chelle \grandeur[ doit il est tout indiqu$ de se servir %(+. I+-". $sumons pour terminer. 6e processus 0 suivre pour d$terminer les dimensions d-un ouvrage dans le cas, fr$quent, oH l-on d$sire construire un dalot rectangulaire 0 une trav$e et oH1 a. la cote de la chauss$e est pratiquement impos$e par les caract$ristiques de route port$e. 2oit C%fig.*+.
%(+ Jne fois le pr$sent m$moire r$dig$. "ous avons eu connaissance de deux articles am$ricains extrmement int$ressants dont la r$f$rence est donn$e sous les num$ros %(+ et %*+ dans la bibliographie, et qui relatent des essais sur mod/le qui confirment dans une large mesure le s consid$ration cidessus, les capacit$s exp$rimentales obtenues $tant toutefois proches des capacit$s
exp$rimentales obtenues $tant toutefois proches des capacit$s th$oriques lorsque la charge amont est voisine des tirant pour les dalots que les buses. 5. le tirant d-air entre dessous de la dalle %d-$paisseur+ et les \plus hautes eaux consid$r$es[est donn$. :t $gal 0 t 6. l-$coulement est libre 0 l-aval. 7. ;n ne pr$voit aucun remblai audessus de la dalle. ;n voit sur la figure que ! T C G % b ] c+ et h T ! ] t sont connus. Dar ailleurs la capacit$ 9 est suppos$e donn$e. Il ne rest plus qu-0 d$terminer 6. Admettant, pour un instant que la pente est suer critique, en aura. Dar la formule %(M+ une largeur provisoire que nous appellerons largeur critique 6( telle que 1
# L (.* / BK ' (=
eportant cette valeur dans la formule %O+ on en d$duira la pente critique correspondante 1
i
%O+
c=
' g / B 3 ' 2 F K B
:xpression dans laquelle1
' L/ = ' L c / = 2 c B F / B L c + F / L c
B
:t k est le coefficient de 2trickler 0 l-int$rieur de l-ouvrage. _ $tant de l-ordre de * pour un ouvrage dont le fond est constitu$ par le terrain naturel. 2i ic %rugueux+ ainsi calcul$ est inf$rieur 0 la pente naturelle. 6a largeur 6 pourra tre prise $gale 0 6 calcul$e cidessus. Il n-y aura pas besoin de pr$voir un radier b$tonn$ %sauf s-il est impos$ par des consid$rations de fondation+. 2i ic %rugueux+ est sup$rieur 0 i c on pr$voira un radier b$tonn$ le coefficient k atteignant alors M environ. ;n calculera la nouvelle valeur correspondant de la pent critique. :gale 0 i c la largeur 6 sera prise $gale 6 c. 2i ic %b$ton+ est sup$rieur 0 i c on cherchera par tXtonnements en essayant diverse valeurs de l %sup$rieures 0 6 %sup$rieures 0 6+ 0 obtenir pour 9 c donn$ par la formule %(+ 1
#='.'* L / (K'% / + Fi +. Lc Bic
%(U+ dans la quelle on aura 1
ic=
' * / ' B 3 % ' L/ +FK B Bl + F /
Jne vaieur 5uste sup$rieure 0 la capacit$ donn$e 0 priori.
RE(ERENCES BIBLIOGRAPHI&UES 1. C!8;J!I:. G Cours d-hydraulique $cole nationale des ponts et . !. ".
chauss$es,()*O()*M. !audbock of cul vert and draulique paclice soci$t$ A8C;, paris, ()FM. :2CA"#: G !ydraulique g$n$rale, :douard Drivat. oulouse, ()F(. !I`!AV :2:AC! B;A# G B:2AC! (* B. CJ6E: !ydraulics, ()*.
#. !I`!AV :2:AC! B;A# G Bulletin ('O, culvertflow characteristics, ()*O.
NOTE ANNE+E Calcul des $l$ments critiques et de la capacit$ d-une buse circulaire %$coulement libre 0 l-aval+ (. Avec les notation de la coupe en long de la figure (, on a, en appliquant le th$or/me de Bernoulli1 '
%(+
/ = y + u ' g
V $tant la profondeur maximum $gale 0 C# sur la figure O. Drenons comme valable dans la section droite de la buse, de rayon r. 6-angle marqu$ sur la figure O, dans la quille 6-hori7ontale AB est la surface libre 0 l-int$rieur. 2i nous calculons, en fonction de la sur face mouill$e 2 on a1 ' n ' r %'+ = r I sin Icos I
+
'
+
'
= = r %n+ 'I+sin 'I+. ' #e mme. 2i nous appelons 6 la longueur AB, on a 1 6 T ' r cos :t le p$rim/tre mouill$ p1 D T r%n ] ' + :t, enfin. 6a profondeur maximum y 1 %+ y T r %( ]sin + #e la formule %(+, nous tirons 1
'
# ' = ' g % / − y + = u ' = d-oH 1
'
'
r
# =' g = '% / − y+=' g F%n+'I+sin 'I+ [ / −r %(+sin I+] et enfin
'
'# ' / % 'I sin 'I % +(+sinI+. n + + + ( r g r
%F+
2i la pente est supercritique, nous appliquons le principe de B$langer pour trouver u. ;n a
d# o ce qui denne1 d I
'%n+ 'I+sin 'I+%'+ 'cos 'I+% / (−sin I+ r
−cosI%n+'I+sin'I+'=I
d-oH1
/ −(−sin I= n + 'I+sin 'I UcosI r et enfin 1
/ =(+ n+ 'I+*sin 'I r UcosI :quation qui d$finit implicitement note inconnue, en fonctions de
/ connu. :t qui est r
traduite par la figure M 1
/ B+. la courbe se ;n peut remarquer que dans la 7one la plus couramment utilis$e % r
confond pratiquement. :n exprimant en radians. Avec la droite 1
Ic =I.O / −I.UB. r
%O+
Dar ailleurs. ;n voit sur la figure que mme si
/ est grand, la pente restant r
supercritique, l-angle c reste nettement inf$rieur 0 ) 1 la buse continue 0 fonctionner \0 surface libre[. '. Calculons maintenant la peut critique. #onn$e d-apr/s 8. chapouthier par la formule g$n$rale1
ic=
gs ' (K ' 3 2 (
$tant le rayon hydraulique. ;n a
2= = '
#-oH
ic =
g ' ' (K ' 3 2 (
8ais, lorsque varie de ( 0 F&,%
/ variant alors entre (.OO et . cas le plus r
fr$quent+.le rayon hydraulique varie tr/s peu 1 entre .** r
r. #onc (K varie entre .U' r (K "ous admettrons que (K reste pratiquement constant el $gal 0 .U r (K l-erreur commise sera de moins de 'S. ;n aura donc 1
i
g g n/ 'I ' = I.UB*3 ' r F K B L I.UB*3 'r F K B 'cosIc
pour une huse en b$ton bien liss$, on a k T M, donc 1
(.' n+'Ic . i (IIIr FK B cosIc c=
%M+
Dour (&a on (&, Cos varie entre .MOO donc si l-on prend pour Cos c la valeur moyenne .UM*, on comment une erreur ne d$passant pas ('.*S dans ces conditions, avec une approximation en g$n$ral suffisant. ;n obtient. :n remplaLant c par sa valeur tir$e de %O+1
i=
%U+
( %(.O* / + '+. r (IIIr F K B
. Jne fois connu %par l-$quation O+, si i -st sup$rieur 0 i c 9 peut tre tir$ de l-$quation %F+. 9ui s-$crit aussi, en tenant compte de la relation %*+ 1
g r F K B %n+'Ic +sin 'Ic+ #= (K ' F cos Ic FK '
BK '
Jne calcul num$rique montre que l-on commet une erreur de moins de (.* S en prenant pour 9 l-expression simple 1
# c =I.Ur BK '%n + FIc +
BK '
6orsque (& a on FS, ce qui s-$crit aussi. :n remplaLant c par sa valeur1 BK ' #c=I,Ur BK '%',F / I,(U+ r
on mme, avec une bonne approximation 1 %)+ #c=',Ur / BK ' Yormule qu-on peut rapprocher de la formule donnant le d$bit critique d-un dalot de section droite rectangulaire. F. 2i i est inf$rieur 0 la vitesse 0 f l-int$rieur de la buse. Int$rieur 0 la vitesse critique est donn$e par la formule de strickler 1
u =3 2 ' K Bi(K '
%(+
Dour une buse pas trop lion d-tre remplie. varie peu et reste voisin de .O r. on aura donc, par l-$quation %(+ une asse7 bonne approximation de u en prenant T.O r. :n portant cette valeur de u dans %(+, on en tirera la valeur de y, de la quelle on pourra d$duire donn$ par l-$quation %+, 2, donn$ par l-$quation %'+ et enfin 9T 2u. 6-allure de la courbe 9T f %i+ pour r et ! donn$s reste analogue 0 celle $tudi$e au paragraphe E'. :n particulier elle reste tangente 0 l-origine 0 ; 9 et pour i c, 0 la droite 9T9 c *. 6itre d-exemple $tudions une buse en b$ton de ,U m de diam/tre %r T ,F m+. pour /
I.UIm. on
=
la pente critique est 1
a / ='.
r
M,B ( % ( , O* . ' ' + + = (III (III.I,FF K B
ic= a.
2i la pente naturelle est sup$rieure 0 i c. on a, par la formule %U+ 1 9T ',U. ,F. ,U K' T ,U mKs.
b. 2i la pente est infra critique, par exemple, de
B on a 1 (III
u =3 2 FK Bi F K '=MI.I,'FF K B.% B + (III ' (,FM u =I,O) y = / =I,UI ' g (),O'
sin I=
y − r I,') = = I ,M'* r I ,F
T FO,&
'
= = r %n + 'I +sin 'I +I.OF m ' ' 9 T ,FO. (,FM T .
FK '
(,FMm K s
=
