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Carlos Roberto Padovani

a c i a m r ê u d t l a u c C A

DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS



niversidade Estadual Paulista

Re tor Julio Cezar Durigan Pró-Reitor de Graduação Laurence Duarte Colvara Pró-Reitor e Pós-Gr Pós-Graa uação E uar o Ko u un Pró-Reitora de Pesquisa Maria José Soares Mendes Giannini Pró-Reitora de Exten Extensão são Universitária Mariângela Spotti Lopes Fujita Pró-Reitor e A ministração Carlos Antonio Gamero Secretária Geral Maria Dalva Silva Pagott Pagottoo C e e e Ga inete inete Ro erval Dai Daito tonn Viei Vieira ra

a c i a m r ê u d t l a u c C A

Carlos Roberto Padovani


São Paulo 2 14

©Pró-Reitoria e Gra uação, Universi a e Esta ual Paulista, ��.

Padovani, Carlos Roberto Delineamento de experimentos / Carlos Roberto Padovani. – São Paulo : Cultura Acadêmica : Universidade Estadual Paulista, Pró-Reitoria de Graduação, 2014 128 p. : tabs.

P124d

Bibliografia ISBN: 978-85-7983-523-0 1. Planejamento Experimental. 2. Bioestatística. I. Título. II. Universidade Estadual Paulista. Pró-Reitoria de Graduação. CDD 378.8161 Ficha catalográfica elaborada pela Coordenadoria Geral de Bibliotecas da Unesp

equipe

Pró-reitor Laurence Duarte Colvara Secretária Joana Gabriela Vasconcelos Deconto Assessoria José Brás Barreto e Oliveira Maria de Lourdes Spazziani Valéria Nobre Leal de Souza Oliva Técnica Bambina Maria Migliori Camila Gomes a Silva Cecília Specian Eduardo Luis Campos Lima Gisleide Alves Anhesim Portes Ivonette e Mattos Maria Emília Araújo Gonçalves Maria Selma Souza Santos Renata Sampaio Alves de Souza Sergio Henrique Carregari

Projeto grá�co e diagramação Andrea Yanaguita

PROGRAMA DE APOIO À PRODUÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO Considerando a importância da produção de material didático-pedagógico dedicado ao ensino de graduação e de pós-graduação, a Reitoria da UNESP, por meio a Pró-Reitoria e Gra uação (PROGRAD) e em parceria com a Fundação Editora UNESP (FEU), mantém o Programa de Apoio à Produção e Materia Di ático e Docentes a UNESP, que contemp a textos e apoio às au as, materia au iovisua , omepages, so wares, materia artístico e outras mídias, sob o selo CULTURA ACADÊMICA da Editora da UNESP, disponibiizan o aos a unos materia i ático e qua i a e com baixo custo e e ita o sob demanda. Assim, é com satisfação que colocamos à disposição da comunidade acadêmica mais esta obra, Delineamento de Experimentos”, de autoria do Prof. Dr. Carlos Roberto Padovani, do Instituto de Biociências do Câmpus de Botucatu, esperando que ela traga contribuição não apenas para estudantes da UNESP, mas para to os aque es interessa os no assunto abor a o.

SUMÁRIO 1.

Delineamento e Experimentos 9 1.1. Intro ução 9 1.2. Delineamento ou Planejamento ou Desenho (“Design”) do Experimento 13 1.3. Delineamentos Experimentais 17 1.4. Exemplos 18

2.

Delineamento Inteiramente Casualiza o (DIC) 20 2.1. Intro ução 20 2.2. Mo elo o Experimento DIC com Da os Balancea os 20 2.3. Proce imento Estatístico: Análise e Variância 22 2.4. In epen ência os Erros 23 2.5. Variância Constante (Homoce astici a e) 25 2.6. Normali a e os Erros 26 2.7. Técnica a Análise e Variância (ANOVA) 29 2.8. Coe�cientes de Determinação e Variação de um Experimento 33 2.9. Comparações Múltiplas 34 2.10. Exercícios (DIC com Da os Balancea os) 36 2.11. Respostas os Exercícios (DIC com Da os Balancea os) 38 2.12. Mo elo o Experimento DIC com Da os Não Balancea os 40 2.13. Exercícios (DIC Não Balancea o) 43 2.14. Respostas os Exercícios (DIC Não Balancea o) 44

3.

Delineamento em Blocos Completos Casualiza os (DBCC) 47 3.1. Intro ução 47 3.2. Mo elo o Experimento (Biológico) 49 3.3. Procedimento Estatístico: Análise de Variância 50 3.4. Comparações Múltiplas 53 3.5. Exercícios (DBCC) 54 3.6. Respostas os Exercícios (DBCC) 55

4.

Esquemas Fatoriais 57 4.1. Intro ução 57 4.2. Esquema Fatorial a*b no DIC 58 4.3. Exemplo e Fatorial a*b no DIC 63 4.4. Esquema Fatorial a*b no DBCC 65 4.5. Exemplo e Fatorial a*b no DBCC 68 4.6. Exercícios (Esquemas Fatoriais: DIC e DBCC) 71 4.7. Respostas os Exercícios (Esquemas Fatoriais : DIC e DBCC) 72

5.

Análise e A erência e Associação 75 5.1. Intro ução 75 5.2. Teste e A erência 75 5.3. Teste e Homogenei a e 78 5.4. Teste de Independência 82

Exercícios (Testes de Aderência e Associação) 84 Respostas os Exercícios (Testes e A erência e Associação) 87

5.5. 5.6.

6.

Correlação Linear Simples 89 6.1. Intro ução 89 6.2. Diagrama e Dispersão 90 6.3. Coe�ciente e Correlação 91 6.4. Teste de Hipótese da Correlação 94 6.5. Exercícios (Correlação Linear Simples) 95 6.6. Respostas os Exercícios (Correlação Linear Simples) 98

7.

Regressão Linear Simples 101 7.1. Intro ução 101 7.2. Mo elo e Regressão Linear Simples 102 7.3. Coe�ciente e Determinação 107 7.4. Teste o Coe�ciente (Angular) e Regressão 108 7.5. Exercícios (Regressão Linear Simples) 109 7.6. Respostas os Exercícios (Regressão Linear Simples) 112

8.

Bibliogra�a 115

9.

Tabelas 117 Ta ela 9.1 Distribuição t

e Stu ent  P (−t0 < t < t0 ) = 1− a

Ta e a 9.2 Distribuição Qui-qua

2 2 ra o  P (χ > χ0 ) = α

Ta ela 9.3 Distribuição F  P (F > F 0 ) = 0, 01  

119

Ta ela 9.4 Distribuição F  P (F > F 0 ) = 0, 05

120

Ta ela 9.5 Distribuição F  P (F > F 0 ) = 0,10

121

117

11

Ta ela 9.6 Distribuição “studentized range” [ q(0,01; ϕ) ] : Tukey (1%) a ela .

Distribuição “studentized range” [ q(0,05; ϕ) ] : Tukey (5%)

Ta ela 9.8 Distribuição “studentized range” [ q(0,10 ; ϕ) ] : Tukey (10%) Ta ela 9.9 Valores críticos

(teste bilateral) 128

1 1 4 126

o coe�ciente e correlação linear e Pearson

1


1.1 INTRODUÇÃO

Sir Ronald Aylmer Fisher (1890-1962) nasceu em Londres no dia 17 de evereiro e 1890 e bac are ou-se em Matemática pe a Universi a e e Cambri ge em 1912. Sua miopia exagera a sa vou a convocação para o serviço mi itar na 1ª Guerra Mundial, defeito que possibilitou desenvolver um treinamento matemático e a ta abstração (visua ização no p ano imaginário) o que eve ter contribuído para sua preferência pela apresentação hipergeométrica, possibilitando assim a exibir soluções singulares independentes de simbolismo algébrico. No início o sécu o XX, em 1919, após traba ar ois anos como estatístico e mais quatro como professor de matemática e física em escolas públicas recebeu o convite para criar e c e ar um aboratório e estatística na Estação Experimenta e Agricu tura e Rot amstea , Ing aterra, on e permaneceu até 1933. Durante este perío o, uni o a outros estatísticos e pe o contato iário com problemas da área agrícola, Fisher desenvolveu os métodos de análise e os delineamentos experimentais, conforme descreve SALSBURG(2009). Caracteriza-se por e ineamento o experimento ou e ineamento experimenta (experimental design, em inglês, diseño experimental, em espanhol) o modo e ispor as parce as no experimento, ou seja, a maneira e esignar os tratamentos às uni a es experimentais ou parce as. A técnica mais s eriana tratase de análise de variância. Juntamente com a análise de covariância, também e sua autoria, constitui-se no instrumenta básico para interpretação os resu ta os os experimentos p aneja os. Deve ser estaca o que esses méto os procedentes do cotidiano agrícola se tornaram universais e aplicáveis em todas

1

| DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS

as áreas de conhecimento: medicina, psicologia, engenharia, odontologia, bioogia, eco ogia, entre outras. Porém, como a formalização dos procedimentos ocorreu em um ambiente agríco a, a origem os termos técnicos a experimentação apresenta conotação bem agronômica. Assim o termo parce a oi cria o para esignar a unidade de área usada no experimento. Essa unidade de área era, originalmente, uma aixa e terra ou um vaso. Hoje, parce a, tem um signi ca o mais gera , pois, dependendo do experimento pode ser um animal, uma pessoa, uma peça anatômica, um corpo de prova, entre várias outras possibilidades que podem ser uti iza as como uni a es experimentais. A termino ogia mais uti iza a, atualmente consiste em designar parcela por unidade experimental, que consiste na uni a e ísica ou bio ógica para con uzir o experimento. De mesma maneira, o termo tratamento também oi intro uzi o pe a área agrícola. Indicava o que estava em comparação: fertilizantes, inseticidas, varie a es, nutrientes. Hoje o termo tratamento tem um signi ca o mais gera . Muitos experimentos são eitos para comparar méto os, grupos, pro utos, máquinas, materiais e, inclusive, combinações destes. Mas o interesse, em experimentação, nem sempre é e comparar tratamentos. Muitas vezes, pretende-se apenas saber se determinado tratamento produz efeito (nesse caso, compara-se um grupo que recebeu tratamento - Grupo Tratado – com um grupo que não recebeu o tratamento – Grupo Contro e ou Testemun a). A respeito do grupo controle duas considerações quanto à sua constituição po em ser eitas: Contro e Negativo e Contro e Positivo. O grupo contro e negativo é composto por uni a es experimentais que não recebem tratamento (“virgem de tratamento”), ou recebem apenas placebo (substância inerte). No entanto, o grupo contro e positivo, constitui-se e uni a es que recebem o tratamento padrão ou convencional. Na prática, a terminologia grupo controle ou testemunha é utilizada como sinônimo de controle negativo.

elineamento de Experimentos |

Embora o uso de grupo controle já esteja consagrado em experimentação, na área mé ica, torna-se un amenta

iscutir a ética e constituir o grupo

controle negativo. Neste sentido, a experimentação com seres humanos exige um apro un amento quanto às questões éticas o uso e p acebo (contro e negativo), inc usive pe o ato e se caracterizar por omissão e tratamento. A exequibilidade do experimento está subordinada ao princípio básico da repetição, segun o o qua in ica que se eve ter repetições o experimento para que seja possível produzir uma medida de variabilidade que permitirá a realização dos testes de hipóteses sobre a presença de efeitos dos tratamentos ou à estimação esses e eitos. O número e uni a es experimentais (parce as ou repetições) para cada tratamento deve ser determinado a partir de informações sobre a variabi i a e as parce as em termos a variáve resposta ( epenente), custo e po er os testes e signi cância. Em experimentação a proposta básica que se formula consiste em comparar grupos, não apenas uni a es. As me i as experimentais o mesmo grupo recebem o nome e repetições. Do ponto e vista estatístico é sempre desejável que os experimentos tenham grande número de repetições por grupo. Na prática, muitas vezes, o número e repetições ca imita o aos recursos (físicos, �nanceiros, materiais,...) disponíveis. Um dado importante que deve ser considerado para o tamanho dos grupos, consiste em: quanto mais omogêneo or o materia - em termos e características que possam interferir nas observações ou medições que serão feitas - menor será o número de repetições necessário para evi enciar o e eito signi cativo e tratamentos. No contexto experimenta , e ne-se ator como uma característica em estudo da qual há interesse em veri�car a inferência sobre uma resposta do experimento, con orme estacam ANDRADE & OGLIARI (2007 . Os níveis o ator constituem os tratamentos do estudo. Um fator é indicado como quantitativo quando seus níveis são referentes a quantidades (doses de uma droga, níveis de

1


adubação, etc). Por outro lado, um fator é referido qualitativo quando seus níveis são re ativos a atributos ( i erentes ietas, varie a es e capim, etc). De�nidos os fatores e seus respectivos níveis que serão designados como os tratamentos o estu o, a uni a e experimenta (parce a) e a variáve epen ente, torna-se necessário estabe ecer qua o esquema e a ocação os tratamentos às unidades experimentais será utilizado, ou seja, como deve ser con uzi o o e ineamento experimenta . Para formar grupos tão iguais quanto possível é fundamental que os tratamentos sejam sorteados às unidades experimentais (casualização). Ou seja, o que importa é enten er que os tratamentos evem ser esigna os às uni a es experimentais por puro e simples sorteio. A casualização teve início em 1920 na área agronômica, porém, na pesquisa mé ica, só começou a ser aceita muito mais tarde. A idéia de sortear” os pacientes que irão receber o tratamento pode levantar questões de ética. Os que fazem objeções ao uso de casualização em experimentos médicos usam o argumento de que não é ético sortear” o tratamento para a guns pacientes e eixar outros sem tratamento. Ora, essa objeção refere-se à condução do experimento e não à técnica de casualizar. Não existem a ternativas vá i as para a casua ização. O pesquisa or que escolhe as unidades por critério próprio por melhores que sejam as intenções, introduz tendenciosamente nos resultados. O princípio a casua ização po e ser consi era o como uma as maiores contribuições dos procedimentos estatísticos à ciência experimental, pois ne e está assegura a a

e igni a e as conc usões. O e eito e proce er a

casua ização constitui-se na garantia que parce as (uni a es experimentais) com características diferentes tenham igual probabilidade de serem designaas para to os os grupos.

Delineamento de Experimentos | 1 .

DELINEAMENTO OU PLANEJAMENTO OU DESENHO (“DESIGN”) DO

EXPERIMENTO

O proce imento gera e comum na pesquisa cientí ca consiste em ormular hipóteses (a�rmativas sob julgamento) e veri�cá-las diretamente ou por suas consequências. Neste senti o, az-se necessário um conjunto e observações e o p anejamento e experimentos é então imprescin íve para in icar o proce imento que será utilizado para veri�car se as hipóteses são verdadeiras ou falsas. As ipóteses são ava ia as por meio e méto os e toma a e ecisão estatística (teoria das probabilidades) cujos procedimentos quantitativos e análises objetivas (teoria estatística) dependem da maneira sob a qual as observações oram obti as. Proce imento bem istinto a matemática no qua para calcular a área de uma �gura plana, por exemplo, de um triângulo, basta mu tip icar sua base por sua a tura e ivi ir por ois que se obtém e maneira exata o va or numérico re ativo à área eseja a. Nas áreas das ciências biológicas a situação é bem mais complexa, surgem inúmeras causas e variação e contro e impossíve ou só parcia mente possível (variações genéticas, erros de medidas inerentes à precisão dos aparelhos, efeitos sazonais, etc). Essas causas de variação, várias e às vezes até desconheci as ou ma con eci as, acumu am variações nos a os observa os que possibilitam alterar em menor ou maior intensidade os resultados das unidades experimentais, cuja precisão deve ser discutida em termos probabilísticos de quão prováveis são os va ores encontra os. Neste contexto, troca-se a exati ão da matemática pela construção probabilística das possibilidades dos resultaos encontra os nos a os (precisão as in ormações estatísticas). O p ane jamento experimenta e a aná ise estatística os resu ta os estão inter iga os e, desta forma, devem ser considerados de maneira sucessiva nas pesquisas cientí�cas de todas as áreas de conhecimento (Sampaio, 2010).


Existe uma semelhança muito expressiva entre o médico e o estatístico ( cuidador da saúde dos números” . O primeiro passo para o médico é o diagnóstico (para o estatístico, o p anejamento); saber on e á necessi a e e cura (qua o mo e o para co eta e a os). A primeira atitu e os mé icos é examinar os sintomas – se você chegar ao médico já pedindo determinado remédio, não será atendido; antes, é preciso saber quais os sintomas aparentes o prob ema, etectan o os sintomas físicos (material e métodos) e emocionais (imparcialidade e não viés de planejamento) – para �nalmente realizar a prescrição. Assim acontece com a estatística, a aná ise os a os (prescrição e remédio) deve acontecer após o conhecimento dos sintomas (características da pesquisa em estu o) para que se ten a o iagnóstico (mo e o o e ineamento experimenta ). Segundo Sir Ronald Aylmer Fisher, o arquiteto da estatística experimental: Chamar o especialista em estatística depois que o experimento foi feito pode ser o mesmo que pe ir para e e azer um exame post-mortem Ta vez e e consiga dizer de que foi que o experimento morreu”. A me or maneira para a visua ização sequencia estes aspectos consiste em considerar a circularidade do método cientí�co, no qual pode-se veri�car a necessidade e a importância do planejamento experimental juntamente com a aná ise estatística e a os.


Observações (2)

(Planejamento) Formulação de hipóteses (1)

Verificação das hipóteses (3)

(Planejamento)

(Análise) Desenvolvimento da Teoria (4)

Uma pesquisa cientí�ca estatisticamente planejada deve seguir a seguinte sequência e passos quanto ao p anejamento e execução: . Enunciado claro do problema e formulação das hipóteses que serão estudaas (as ipóteses cientí ca e estatística evem manter uma correspon ência per eita e o enuncia o apresentar-se e maneira c ara e objetiva). 2.

Indicação dos fatores (variáveis independentes – variáveis controladas e o pesquisa or) o estu o (a esco a os atores e seus respectivos níveis constituirão os tratamentos .

3.

Indicação da unidade experimental (parcela). Deve ser de�nida no sentido e minimizar o erro experimenta .

. Indicação das variáveis (variáveis respostas) que serão medidas na unidade experimental (a distribuição probabilística associada à variável resposta é essencia para a esco a o méto o e aná ise estatística). 5.

Indicação das regras e procedimentos pelos quais os diferentes tratamentos (combinação e níveis e atores) serão atribuí os às uni a es experimentais (processo e casua ização ou a eatorização).

6.

Análise estatística dos dados do experimento (tem como objetivo veri�car as ipóteses estabe eci as no início a pesquisa).

. Descrição dos resultados analíticos com as medidas de precisão das estimativas e o respectivo nível de signi�cância nas interpretações inferenciais.

1


Para melhor entendimento das características e as etapas do planejamento experimental, suponha que o interesse de um pesquisador consista em comparar duas dietas (normocalórica e hipercalórica) quanto ao desempenho pon era na e ratos Wistar-Kyoto submeti os aos tratamentos ( ietas) por um perío o na e 12 semanas. Caracteriza-se que o experimento está planejado quando estão de�nidos: . a uni a e experimenta (anima – rato Wistar); i.

a variável em análise (resposta) e a forma como será medida (variação percentual do ganho de peso, medido pela diferença 100(PF - PI ) % ), sendo PF o peso na e PI o peso inicia ;

PI

. tratamentos em comparação (dieta normocalórica e dieta hipercalórica); v.

orma e esignar os tratamentos às uni a es experimentais (por sorteio) consi eran o que os animais são omogêneos;

. o número de ratos de cada dieta será de 12 unidades. Os itens iv e v ormam os princípios básicos a experimentação: casua ização ( e igni a e) e a repetição (exequibi i a e). As hipóteses de interesse da pesquisa são veri�cadas com a utilização de méto os e aná ise estatística que epen em a maneira sob a qua as observações foram obtidas, ou seja, sob qual modelo de casualização dos tratamentos às unidades experimentais os dados foram coletados. Portanto, planejamento e experimentos e aná ise os a os co eta os sob o mo e o operaciona utilizado não podem ser considerados isolados, pois a ordem dos acontecimentos está em uma sequência entro o esenvo vimento nas pesquisas. O proce imento estatístico exigi o ao ana isar a os experimentais ou observacionais fundamenta-se em gerar modelos que explicitem as estruturas do enômeno bio ógico, as quais continuamente estão mistura as com variações casuais, aleatórias ou acidentais. Quanto mais identi�cada e entendida forem essas estruturas, maior conhecimento do fenômeno, assim como, melhores


serão as informações sobre os possíveis comportamentos do mesmo. Ou seja, tem-se uma aproximação consistente a rea i a e bio ógica expressa num modelo considerado (modelo é uma expressão resumida de algum fenômeno). A percepção bio ógica e a i enti a e estatística com o processo estocástico pon eram a mitir ca a observação composta por uas partes: uma previsíve (controlada) e outra aleatória (não previsível). Ca a observação po e ser representa a pe o mo e o: OBSERVAÇÃO = PREVISÍVEL + ALEATÓRIO , no caso aditivo, ou OBSERVAÇÃO = PREVISÍVEL × ALEATÓRIO , no caso multiplicativo.

A parte previsíve sistematiza o con ecimento que o pesquisa or tem sobre o fenômeno, normalmente expressada por uma função matemática envol vendo parâmetros desconhecidos. parte aleatória, dada sua característica de não previsibi i a e, exige-se que esteja sujeita a a gum mo e o probabi ístico. A partir destas considerações, seguindo o planejamento proposto para a co eta e in ormações ( a os) nas uni a es experimentais, o proce imento estatístico consiste em estabe ecer estimativas para os parâmetros escon ecidos (propostos na parte sistematizada  revisível  segundo as hipóteses e os objetivos o pesquisa or), basean o-se em amostras observa as. 1.3 DELINEAMENTOS EXPERIMENTAIS

No contexto do planejamento de um experimento, torna-se essencial e nir a maneira como os tratamentos serão esigna os às uni a es. O processo e casua ização envo vi o no p anejamento esignan o como os tratamentos serão alocados às unidades experimentais estabelecem o delineamento o experimento. Nesse contexto, serão apresenta os no presente texto, uas situações comuns na área biológica, quais são: unidades homogêneas e unidades heterogêneas, conforme descrito a seguir.

1


. Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) Consiste em a ocar e maneira inteiramente ao acaso os tratamentos às unidades experimentais. Para sua realização, exigem-se unidades experimentais omogêneas (simi ares). . De ineamento em B ocos Comp etos Casua iza os (DBCC) Consiste em considerar grupos similares (blocos) de unidades experimentais, quan o o conjunto é eterogêneo, e a ocar casua mente os tratamentos às unidades experimentais dentro dos blocos. Na área biomédica o termo bloco é, geralmente, substituído por estrato. .

EXEMPLOS

Para me or enten imento e um p anejamento experimenta são apresentados a seguir dois exemplos práticos. .

Planeje um experimento para estudar (comparar) o uso de sobredoses de vi-

tamina B12 na diminuição de aterosclerose, em pacientes com a doença.

Uni a e experimenta : paciente com a oença. ariável resposta: diminuição da aterosclerose (diâmetro do calibre em mm). Tratamentos em comparação: dose padrão, sobredoses baixa, média e alta. Designação os tratamentos: por sorteio. Número de repetições: oito doentes por tratamento. 4.2 Planeje um experimento para comparar quatro métodos de ensino da Linguagem Americana de Sinais em alunos de uma turma homogênea de 120 alunos.

Uni a e experimenta : a uno a turma. ariável resposta: nota de um teste padrão de linguagem (0 a 100 pontos inteiros).

elineamento de Experimentos | 1

Tratamentos em comparação: métodos A, B, C, D. Designação os tratamentos: sorteio o a uno participante. Número de repetições: 15 alunos por método. Sob o aspecto os e ineamentos experimentais mais uti iza os nos exemplos práticos propostos em 1.4.1 e 1.4.2; o primeiro envolve como unidade experimenta o ser umano (paciente com oença) com suas características biológicas heterogêneas, levando a necessidade do DBCC (são construídos grupos de quatro pacientes com características biológicas tão próximas quanto possíve e então, proce e-se o sorteio os tratamentos). No segun o, como se trata de uma turma homogênea, o DIC é mais apropriado.

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DELINEAMENTO INTEIRAMENTE CASUALIZADO (DIC)

2.1 INTRODUÇÃO

O primeiro p anejamento experimenta a ser abor a o trata-se o De ineamento Inteiramente Casualizado (DIC), bastante simples quanto ao processo e a ocação os tratamentos às uni a es experimentais. Para me or esen vo vimento i ático será apresenta o, primeiramente com a os ba ancea os (mesmo número de repetições por tratamento) e, na sequência, com dados não ba ancea os (ausência a consi eração e mesmo número e repetições por tratamento). .

MODELO DO EXPERIMENTO DIC COM DADOS BALANCEADOS

Este e ineamento consiste em esignar os tratamentos às uni a es experimentais por puro e simp es sorteio, isto é, sem qua quer tipo e restrição (equiprobabilidade para cada unidade experimental receber qualquer um dos tratamentos). A operaciona ização o proce imento e a ocação os tratamentos ca con iciona a à isponibi i a e e parce as simi ares no experimento (parcelas homogêneas). O entendimento de similaridade ou semelhança não eve ser con un i o com igua a e (igua a e conceito muito matemático e “nada” provável em biologia). Esse plano experimental é tão mais e�ciente quanto maior for o grau de omogenei a e entre as uni a es experimentais em termos a variáve ependente. Se as unidades experimentais são heterogêneas, o número de parcelas necessário para uma boa precisão pode ser muito grande (na prática devese procurar outros planejamentos experimentais, tais como blocos ou utilizar


variáveis auxiliares – covariáveis, pois estes podem reduzir o erro experimenta ). Sob o aspecto dos procedimentos de testes estatísticos é aconselhável o ba anceamento as repetições (to os tratamentos com igua número e repetições), embora nem sempre isso seja possíve (principa mente na pesquisa com seres humanos quando o uso de grupo controle tem restrições de natureza ética . O modelo estocástico que indica a forma da resposta biológica de uma unidade experimental submetida a um dos tratamentos, isto é: Resposta Biológica = Média Tratamento Erro Casual Biológico , é escrito como yij = µi + εij (i = 1,...k e j = 1,...,r)

sen o i o ín ice re erente ao tratamento e j à uni a e experimenta . 2.3 PROCEDIMENTO ESTATÍSTICO: ANÁLISE DE VARIÂNCIA

A aná ise e variância (ANOVA), embora exija o cá cu o e variâncias, na verdade compara as médias dos tratamentos. Constitui-se numa extensão o teste t e Stu ent (que compara apenas uas e só uas mé ias) para um número qualquer de médias. A estatística do teste para a ANOVA é calculada por meio do teste F (Fisher-Snedecor). A ógica e uma aná ise e variância consiste em consi erar a variação total existente nos dados desmembrada em duas partes: uma variação devida aos tratamentos e outra evi a ao acaso (ou resí uo). A i éia é comparar a variação evi a aos tratamentos com a variação evi a ao acaso. Algumas pressuposições básicas precisam estar satisfeitas para o uso da técnica a aná ise e variância, que são: i) os erros são variáveis a eatórias independentes; ii) a variância é constante (homogênea nos tratamentos); iii) a distribuição dos erros é normal ou aproximadamente normal.

Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) | 2.4 INDEPENDÊNCIA DOS ERROS

Uma regra prática consiste em uti izar um grá co e resí uos pa ronizados versus a ordem de coleta dos dados. Se a pressuposição de independência estiver satisfeita, os resíduos devem �car distribuídos casualmente ao redor de zero, sem um pa rão e ni o. Para a construção grá ca evem ser consi eradas as seguintes de�nições: Resíduo ⇒ eij = yij − y i (resíduo relativo à j-ésima observação do i-ésimo •

grupo , i = 1,..., k; j = 1,..., r

eij (resíduo padronizado relativo à jQMRes ésima observação o i-ésimo grupo ), on e QMRes signi ca Qua ra o Mé io

Resíduo padronizado ⇒ z ij =

Resi ua e tem seu va or a o por: QMRes = S

2 pool

 k  = ∑(ni −1)Si2  (n − k )  i=1 

Para o entendimento da regra prática considere um conjunto homogêneo e 20 animais e quatro ietas para a comparação as a terações e pesos, cujos 5 animais de cada dieta foram escolhidos por processo randômico (sorteio). As dietas estudadas foram: A: ieta pa rão; B: dieta padrão suplementada com amendoim; C: ieta pa rão sup ementa a com girasso ; D: ieta pa rão sup ementa a com abóbora. Os gan os e peso(g) ava ia os consi eran o a variação abso uta entre o início e o �nal do experimento, são apresentados na Tabela 2.1.

4 | DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS Ta e a 2.1 Ganhos de peso segundo dieta (g) Dieta A 25 26 20 23 21

Dieta B 31 25 28 27 24

Dieta C 22 26 28 25 29

Dieta D 33 29 31 34 28

A Tabe a 2.2 apresenta o resu ta o a estatística escritiva os a os: Ta e a 2.2 Estatística descritiva das dietas Dieta Média Variância

23,0 6,5

B 7,0 7,5

C 26,0 7,5

D 31,0 6,5

Portanto, 2 = (4×6, 5 + 4×7, 5 + 4×7, 5 + 4×6, 5) (20 − 4 ) = 7 ,0 QMRes = S pool

Os resí uos estão apresenta os na Tabe a 2.3. Ta ela 2.3

Resíduos dos ganhos de peso segundo dieta (g)

A 3 -3 -2

Resíduo ( ij) B C 4 -4 -2 1 -1 -3 3

O grá co bi imensiona

D -2 3 -3

A ,756 1,134 -1,134 ,000 -0,756

Resíduo Padronizado ( ij) C 1,512 -1,512 -0,756 ,000 0,378 ,756 0,000 -0,378 -1,134 1,134

D 0,756 -0,756 0,000 1,134 -1,134

os pares (or em a observação; resí uo pa-

dronizado) está apresentado na Figura 2.1.

Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) | Zij 1,890 1,512 1,134 ,756 ,378 0,000 0 -0,378

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Observação

-0,756 -1,134 -1,512 -1,890

gura .1. Gráfico dos resíduos padronizados zij

A inspeção grá�ca dos resíduos permite indicar que a pressuposição de in epen ência po e ser aceita. Em situações que se eseja um resu ta o mais objetivo, isto é, se á interesse em um estudo mais avançado de delineamento de experimentos, recomenda-se aplicar o teste de Durbin-Watson para avaliar a signi�cância da presença de dependência (autocorrelação) dos erros (Draper & Smith, 1998). .

VARIÂNCIA CONSTANTE (HOMOCEDASTICIDADE)

Uma regra prática in ica a por DEAN & VOSS (1999) sugere pressupor que os resu ta os e uma ANOVA sejam consi era os vá i os es e que a maior variância não exceda em três vezes a menor. BOX (1953) sugere que a maior variância não eva exce er em quatro vezes a menor. No níve ana ítico, no qual exige-se decisão mais objetiva, foram propostos diversos testes para a igualdade de variâncias, destacando-se entre eles: Cochran, Hartley, Bartlett e Levene. Em nosso caso, será uti iza o o teste e Hart ey que consi era a razão


entre a maior e a menor variância, cuja estatística do teste é dada pela distribuição F. Ou seja, H 0 : s12 = s22 = ... = sk2 (Variâncias Homogêneas H 1 : Ex ste si2 ¹ si2’ , para i ¹ i ’ (Variâncias Heterogêneas

A estatística do teste é obtida considerando max(S12 ,...,Sk2 ) F = ~ F (glnum;glden) 2 2 min(S1 ,...,Sk ) Sob a veracidade de H 0 , a estatística F do teste de hipótese da homogenei-

dade de variâncias tem distribuição F (Fisher-Snedecor) com os parâmetros: graus e iber a e o numera or (g num) e graus e iber a e o enominador (glden). A regra e ecisão é a abitua , isto é, F > F ( α; glnum;glden), re e ta-se H 0 ; caso contrário, não á rejeição.

No exemplo: max(S12 ,..., S42 ) 7,5 F = = = 1,15 min(S12 ,..., S42 ) 6,5 α = 0, 05,então glnum = glden = 4 ⇒ F (0,05 ;4 ;4 ) = 6, 39; portanto, não se rejei tta H0 .

2.6

NORMALIDADE DOS ERROS

Um processo prático consiste em fazer um grá�co de probabilidades normais ( NORMAL PROBABILITY PLOT”). O grá�co de probabilidade normal consiste em uma técnica grá�ca que permite avaliar se existe ou não um conjunto e a os que apresenta a erência à istribuição norma e probabi i a es. Os a os são p ota os em um grá co cartesiano para veri car se os pontos formam uma reta aproximada, levando-se em consideração que quanto mais a asta os a reta situarem os pontos, maior uga a norma i a e apresenta a situação. Os resíduos padronizados ( Z ij ) são colocados no eixo das abscissas e os escores da distribuição normal padronizada [valores esperados obtidos

Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) |

e P (Z £ F i ) ] no eixo as or ena as, para i = 1,, n . A ca a i-ésimo resí uo, i 1 associa-se a frequência percentual acumulada empírica F i = 100( − 2 ) , em n

seguida calcula-se P (Z £ F i ) . Na presença a norma i a e, os pontos carão em torno e uma reta que passa pela origem e tem coe�ciente angular 1. De maneira analítica, a hipótese e que a istribuição os erros é norma po e ser co oca a em teste uti izan ose os testes e a erência e: Ko mogorov-Smirnov(KS), S apiro-Wi s(SW) e Qui-quadrado(χ�). Em in as gerais, o pesquisa or não precisa preocupar-se com a nãonormalidade, o teste estatístico F é bastante robusto, ou seja, pequenas transgressões à pressuposição de normalidade não afetam, substancialmente, o resu ta o a aná ise e variância ANOVA, a menos que a istribuição os erros tenha: i) curtose positiva; ii) assimetria. Nesses dois casos, têm-se falsas re jeições (mais i erenças signi cantes o que, na rea i a e, existem). Consi eran o o exemp o os gan os e peso segun o ieta com o tota 20 an ma s, tem-se F i = 100(i − 0, 5) % = 5(i − 0, 5)% . Com os valores dos resíduos pa20

roniza os or ena os em or em crescente e magnitu e constrói-se a Tabe a 2.4.

| DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS Ta e a 2.4 Resíduos padronizados ordenados e escores esperados sob normalidade

(Distribuição Z)

Ordem ( i )

Z ij

ordenado)

F i (%)

Escore Esperado

1

-1,512

2, 5

-1,96

2

-1,134

7, 5

-1,44

3

-1,134

12,5

-1,15

4

-1,134

17,5

-0,93

5

-0,756

2,5

-0,76

6

-0,756

7,5

-0,60

7

-0,756

32,5

-0,45

8

-0,378

37,5

-0,32

9

,0 00

42,5

-0,19

10

, 0 00

47,5

-0,06

11

, 0 00

52,5

0,06

12

, 0 00

57,5

0,19

13

, 3 78

62,5

0,32

14

0,756

67,5

0,45

15

, 7 56

72,5

0,60

16

, 7 56

77,5

0,76

17

1,134

82,5

0,93

18

1,134

87,5

1,15

19

1,134

2,5

1,44

0

1,512

7,5

1,96

Para me or enten imento o processo consi ere o resí uo pa roniza o de menor magnitude (-1,512). A ordem associada ao valor é i = 1 e, logo, escor oree esp esper eraa o sob a ist istrib ribuiç uição ão no norma rma paF 1 (%) = 5(1− 0, 5)% = 2,5% . O esc roniza a é a o por P (Z ≤ 0, 025) = −1, 96 . E assim assim,, proce proce e-s e-see suces sucessiv sivaamente até o escore padronizado de maior magnitude (1,512).


Escore Esperado 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 -2,0

-1,5

-1,0

-0,5

-0,5

,5

1, 0

1, 5

,0 Zij

-1,0 -1,5 -2,0 -2,5

.

TÉCNICA DA ANÁLISE DE VARIÂNCIA (ANOVA)

Quando se tem um experimento completamente ao acaso com um fator xo ( on onte te e var variaç iação ão con contro tro a a em est estuu o), o in inte tere resse sse co consi nsiste ste em ve veriricar a in�uência os

níveis esse ator ( grupos ou

tratamentos) tratamen tos) sobre

uma variável dependente (resposta) biológica Y em estudo. Uma maneira de veri car a existência essa in�uência in�uência o ator consiste em comparar comparar as mé ias populacionais populac ionais da variável Y sob os níveis do fator (tratamento = agente causal). Um teste estatístico para veri�car a igualdade dessas k médias relativ relativas as aos níveis o ator consiste na técnica a aná ise e variância (

a ysis

r-

ance, título em inglês que deriva a sigla ANOVA, utilizada na língua inglesa e,

muita mu itass veze vezess na na íng íngua ua port portugu uguesa esa). ). Em Embo bora ra o pro proce ce ime iment ntoo env envoo va o cá cá cu o e var variân iâncias cias,, seu ob objet jetiv ivoo un am amen enta-s ta-see em com compar parar ar as mé ias os nív níveis eis do fator (tratamento). A ógica a ANOV ANOVA A para o e ineamen ineamento to inteiram inteiramente ente ao acaso é muito simples, ou seja, resume-se em fracionar a variabilidade total dos dados em duas fontes de variação ortogonais entre si, sendo uma devido a variação en-


tre os níveis do fator (variação entre tratamentos) e outra, devido a variação entr en troo os ní nívvei eiss ( en entr troo e tr traata tame mennto tos) s).. Es Esta ta ú ti tima ma te tem m a na i a e es espe pe-cí�ca de estimar a variação atribuída ao acaso; enquanto a primeira, envolve a var variaç iação ão o aca acaso so acu acumu mu a a, evi o aos nív níveis eis e tra tratam tamen ento to.. Fe Feito ito isso isso,, etermina-se a razão a variação entre os níveis e a variação entro os níveis e, se o resultado obtido for “muito grande” a conclusão é estabelecida a favor as i er eren ença çass en entr tree as mé ia iass os ní nívvei eiss o ato torr ( i er eren ença çass en entr tree as mé ia iass dos tratamentos). Deve ser considerado que para a utilização da técnica da ANOVA, embora o en enten ten ime iment ntoo a ógi ógica ca seja mu muito ito áci , a gum gumas as pr press essupo uposiç sições ões ev evem em estar satisfeitas, quais sejam: independência dos erros, normalidade dos dados e om omog ogen enei ei a e e va variâ riânc ncia ias; s; co conn or orme me se será rá mo mostr straa o a se segu guir ir a pa parti rtirr os a os a Tabe a 2.5. Considere um conjunto homogêneo de 20 animais e quatro dietas para a compar com paraçã açãoo as a ter teraçõe açõess e peso pesos, s, cuj cujos os 5 an anima imais is e ca a iet ietaa or oram am esc escoo i os po porr pr proc oces esso so ra rann ômi mico co (s (soort rtei eio) o).. As ie ieta tass es estu tu a as ora ram: m: A: dieta padrão; B: ieta pa rão sup ementa a com amen oim; C: dieta padrão suplementada suplementada com girassol; g irassol; D: dieta padrão suplementada com abóbora. Tabela 2.5

Ganhos de peso segundo dieta

(*) média (desvio padrão)

Dieta A

Dieta B

Dieta C

Dieta D

25

31

22

33

26

25

26

9

20

28

28

31

23

27

25

34

21

24

29

8

23 (2,55) (*)

27 (2,74)

26 (2,74)

31 (2,55)


Cada ganho de peso é uma resposta biológica do modelo geral y ij = µi + εij = µ + τi + εij , com i = 1,..., k (número e tratamentos e j = 1,..., r

(número de repetições por tratamento), onde: µ

é a mé ia gera comum a to as as observações

e ni a como

, sen o µi a média populacional de Y no i-ésimo tratamento;

r i o número de repetições no i-ésimo tratamento (no caso balanceado é o va or comum r para to os tratamentos); t i é o efeito do i-ésimo nível do fator na variável dependente Y e mede o esvio a mé ia µi em re ação a , isto : τi = µi − µ ; eij é o erro casua não observáve (em nosso estu o, variáve a eatória independente e identicamente distribuída como N (0, s 2 ) ). Neste senti o, tem-se: a

E (Y ij ) = µ + τi = µi

b) Var = (Yij ) = s 2 c

Yij ~ N (µi , σ 2 )

Considerando satisfeitas as suposições de independência dos erros, normalidade dos dados e homogeneidade das variâncias de tratamentos, a técnica a ANOVA consiste em comparar a variação evi a aos tratamentos (entre tratamentos) com a variação devida ao acaso (ou resíduo, ou dentro de tratamentos . Para o cá cu o as causas e variação são etermina as: a) Graus de liberdade (GL) Total = n − 1, onde n = kr; Tratamento = k − 1; Resí duo = n − k= k (r − 1)

b) Somas de quadrados (SQ

| DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS k

SQTot = ∑ i =1

k

SQTrat = ∑ i=1

r

( yij − y ∑ j 1

k

2

••

) =∑ i=1

=

r

y ∑ j 1

2 ij −

=

1 k ny•• onde y •• = ∑ n i=1 2

r

y ij ; ∑ j 1 =

k y i2• 2 ( yi• − y•• ) = ∑ −ny •• = ∑ ryi2• -n -ny y ••2 ; onde ∑ j=1 i=1 r i=1 r

k

2

1 r y i• = ∑ y ij ; r j=1 k

SQRes = ∑ i=1

c

r

2

k

( yij − yy i ) = ∑ ∑ j 1 i 1 •

=

=

y i2• y −∑ = SQ SQTo Tott − SQ SQTr Trat at . ∑ r j=1 i=1 r

2 ij

k

Qua ra os Mé ios (QM

QMTrat = SQTrat / (k −1) QMRes = SQRes / (n − k )

F = QMTrat / QMR QMRes

As qu quan anti ti a es ob obti ti as an ante teri rior orme ment ntee sã sãoo is ispos posta tass na Tab abee a 2. 2.6, 6, en enom om-inada tabela de análise de variância. Ta e a 2.6 Tabela geral de ANOVA de um DIC balanceado

Causa de variação

GL

SQ

QM

F

Tratamentos

k -1

SQTrat

QMTrat

QMTrat / QMRes

Resíduo

n -k

SQRes

QMRes

Total

n -1

SQTot

O teste de hipóteses relativo à Tabela 2.6 consiste em: H 0 : Não existe efeito e tratamentos ⇔ H 0 : τ1 = ... = τk = 0 ⇔ H 0 : µ1 = ... = µk = µ H 1 : Existe efeito de tratamentos ⇔ H1 : Existe t i ≠ 0 (i = 1, ..., k)

e F ≥ F (a ;k−1;n−k ) , re e ta ta-s -see

. Ca Caso so co conntr tráári rioo nã nãoo á reje jeiç ição ão..

No exemplo, tem-se: k = 4 (tr (trata atame ment ntos os

e r = 5 (repetições por tratamen tratamento); to);


y•• = 535, logo, y •• = 535 / 20 20 = 26, 75 y1• = 115( y1• = 23); y 2• = 135( y 2• = 27 ); y 3• = 130( y 3• = 26 ); y 4• = 15 5( y 4• = 31) = 14587, 00 −14311,25 = 275,75 SQTot =

SQTrat = = 14475, 00 −14311,25 = 163,75 SQRes = 275, 75 −163, 75 = 112,00

75 / 3 = 54,58 58 QMTrat = 163, 75 0 0 / 16 = 7,00 00 QMRes = 112,00

Ta ela 2.7

ANOVA dos ganhos de peso Causa de variação

GL

SQ

QM

F

Dietas

3

163,75

54,58

7,80 (p < 0,005)

Resíduo

16

112,00

7,00

Total

19

75,75

Concc uiCon ui-se, se, no nív nívee e sig signi ni cân cância cia 5%, qu quee exi existe stem m i er erenç enças as en entre tre as médias das alterações (ganhos) de pesos segundo as dietas estudadas (rejeita 0 ). Ou seja seja,, os resu resu ta os exper experime iment ntais ais (co (com m base base H 0 : t1 = t2 = t3 = t 4 =

no “p-value”) permitem rejeitar a hipótese de que as médias de tratamentos são iguais, ao nível de signi�cância de 5%. 2.8 COEFICIENTES DE DETERMINAÇÃO E VARIAÇÃO DE UM EXPERIMENTO

O coe cien ciente te e eter eterminaç minação ão ( R

2

e um ex expe peri rime ment ntoo é a o pe a ra razã zãoo

entre a SQTrat (variação devida aos tratamentos) e a SQTot (variação total os va ores obse serv rvaa os os)), in ic icaan o a propo porrçã çãoo a va vari riaç ação ão to tota ta exp ic icaa a pe a va varia riaçã çãoo ev evii a ao aoss tr trat atam amen ento toss ( 0 £ R2 £ 1 . O coe�ciente de variação ( CV ) de um experimento é dado pela razão entre o desvio padrão (na ANOVA, consiste na raiz quadrada positiva de QMRes e


a mé ia gera os a os ( y ·· ), in ic icaan o como os a os compo porrta tam m-se ( ispers pe rsão ão)) em re aç ação ão à mé ia ge gera ra . A gr gran an ez ezaa in inve verrsa o CV rem emet etee à i éi éiaa a precisão dos dados experimentais. No exemp exemp o anterior anterior, tem-se R2 = SQ SQTrat Trat / SQ SQTo Tot t = 163, 75 / 275, 75 = 0, 5938

(59,38% da variação total é explicada pela variação de tratamentos); 7 5 = 0,09 0 989 CV = QMRes / y•• = 7, 00 / 26,75

(9,89% estabelece-se como a dispersão relativa dos dados experimentais) 2.9 COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS

A técnica da ANOVA permite ao pesquisador veri�car se existe efeito os trata tratamen mentos, tos, mas não com comoo as mé ias os trat tratame amento ntoss i ere erem m en entre tre si. Portanto, se constatar que existe efeito do fator em estudo, é interessante com co mp em emen enta tarr a an anáá ise a m e oca iz izar ar as i er eren ença çass en entr tree as mé ia iass os tratam tra tamen entos tos.. A re respo sposta sta à co comp mp em emen entaçã taçãoo a AN ANOV OVA A po e ser con concre cretiz tizaa a (principalmente quando os níveis do fator são qualitativos) com um teste de com co mpa para raçõ ções es mú ti tipp as e mé ia ias. s. Nessa linha de busca de uma resposta biológica mais interessante e informativa foram propostos diversos testes que, em geral, levam o nome do seu au auto torr (T (Tu ey ey,, Dunc Duncan, an, Dun Dunnet net,, Bon Bon err erron oni,i, Sc effé effé,, Newm Newmanan-K Keu s ou ou Student-Newman-Keuls (SNK), e outros). Não existe um teste aceito como o melhor” deles; todos apresentam vantagens e desvantagens e situação mais in ica a para seu uso. Os testes de comparações múltiplas permitem testar hipóteses do tipo: H 0 : c1µ1 + ... + ck µk = 0 versus” H 1 : c1µ1 + ... + c k µk ≠ 0, co

c1 + ... + ck = 0 . ssa

combinação linear de médias, que re�ete uma situação de interesse biológico, é denominada contraste de médias.


Na maioria das vezes, o interesse consiste na comparação de todas as diferenças entre mé ias e ois tratamentos. Dentro essa in a e curiosi a e a opção será pelo método de Tukey. O méto o e Tu ey baseia-se na i erença onestamente signi cante (HSD=”Honest y Signi cant Difference”), cujo princípio é encontrar a i erença mínima signi�cante que assegura a todas as comparações um nível comum e signi cância estabe eci o a pr or . Segun o Gomes (2009), o teste po e ser utilizado para comparar todo e qualquer contraste entre pares de médias. No experimento com dados balanceados o teste de Tukey é exato com o seguinte proce imento operaciona : H0 : µi − µi ’ = 0

e

H1 : µi − µi ’ ≠ 0, com i ≠ i’ .

QMRes Ca cu a-se HSD(α) = ∆ (α) = q(α ;k ;ϕ)

q(α; k ;ϕ)

r

é o quanti

e or-

dem (1-α/2) da distribuição estatística denominada studentized range” com parâmetros k (número de tratamentos) e

j = n−k

sí uo . Os va ores e , consi eran o a= ,

(graus de liberdade do re-

e a=0,05, estão tabe a os e são

encontra os em iversos ivros e estatística experimenta . A regra de decisão é a habitual, ou seja: e yi• − y i ’• ≥ ∆(a) , re e ta-se H 0 . Caso contrário, não á rejeição. Similarmente, pode-se apresentar o intervalo de con�ança 100(1− a)% para a diferença de médias, cujos limites são dados por: QMRes yi ’ )− q(α;k ;ϕ) r QMRes LS = ( yi − yi ’ ) + q(α; k;ϕ) r LI = ( yi

•

•

−

•

•

No exemplo relativo à Tabela 1, tem-se q(0,05 ;4 ;1 6) = 4, 05 ; ogo, ∆(5%) = HSD (5%) = 4, 05

7, 00 = 4, 79 5

Ou seja, o valor mínimo que expressa a diferença signi�cante entre as médias dos ganhos de peso é da ordem de 4,79 unidades de peso. Neste sentido, as


únicas diferenças encontradas aconteceram entre as dietas A e D (8,00>4,79) e C e D (5,00>4,79 . Uma maneira elegante e redacional (textos cientí�cos e biológicos) de apresentar os resu ta os está isposta na Tabe a 2.8. Ta e a 2.8 Média e desvio padrão do ganho de peso segundo a dieta

Dieta A

B

C

D

23 (2,55)a(1)

27 (2,74)ab

26 (2,74)a

31 (2,55)b

HSD 4,79

(1) duas médias seguidas de pelo menos uma mesma letra não diferem entre si (p>0,05) pelo teste de Tukey

2.10 EXERCÍCIOS (DIC COM DADOS BALANCEADOS)

A seguir são apresenta os a guns exercícios para o enten imento o planejamento experimental envolvido no DIC Balanceado (mesmo número de repetições por tratamento) e também para o treinamento os cá cu os abrangidos na técnica da ANOVA e no teste de comparações múltiplas de Tukey. As respostas dos exercícios são apresentadas no próximo item. 1.

Para testar duas drogas diferentes usando grupo controle, um farmacologista preten e azer um experimento com cobaias. Estão isponíveis 24 cobaias, bastante simi ares. Como você p anejaria o experimento?

2.

Explique com detalhes o procedimento que você faria para designar cinco tratamentos (A, B, C, D, E) para 25 uni a es experimentais (ratos) simi ares.

3.

Num laboratório de biofísica são usados quatro voltímetros diferentes. Para veri car se os quatro vo tímetros estão igua mente ca ibra os, me iuse a mesma força constante de 100 volts cinco vezes cada voltímetro. Os


dados estão na tabela abaixo. Faça uma análise de variância e interprete o resu ta o (consi erar α=0,05).

A 117 120 114 119 115

4.

Voltagem segundo o voltímetro Voltímetro B C 115 118 110 123 116 119 115 122 114 118

D 125 121 123 118 118

Para detectar a presença de insetos daninhos nas plantações, colocam-se ape ões unta os com uma substância pegajosa e examinam-se os insetos capturados. Ao nível de 5% de signi�cância, que cores atraem mais insetos? Os pesquisa ores co ocaram seus pape ões e ca a cor em posições a eatórias em um campo e aveia, e contaram o número e insetos capturados. Cor do papelão Azul Verde Branco Amarelo

16 37 21 45

11 32 12 59

Insetos Capturados 0 1 0 9 14 17 48 46

14 37 13 38

17 32 20 47

Obs.: Como a variável “número de insetos” (contagem) não apresenta distribuição normal (variável discreta), para a análise dos dados considerar os valores observados sob a transformação raiz quadrada.

. Consi ere o seguinte qua ro e ANOVA a PAM: Fonte de variação Entre Grupos Intragrupos Total

Soma Quadrados 800 ? 2000

GL 3 ?

QM ? 33,33

F ? -

. Qua tipo e ANOVA está apresenta o no qua ro? b.

Qual a conclusão no nível de 5% de signi�cância?

. Qua a re ação cientí ca mais a equa a para a conc usão sobre o resu tado do teste estatístico empregado?

| DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS 6.

Considere as seguintes dosimetrias de mercúrio no sangue (ppb) de grupos expostos em garimpos a Amazônia Lega (Ferrari et a ., Revista e Saúde Ocupacional, v.20, n.75, p.54-60, 1992). Grupo Garimpeiros Ribeirinhos Índios Controle

24 16 28 12

19 8 30 6

Dosimetria Hg 25 10 19 8

23 7 23 7

13 15 2

Veri car, consi eran o o níve e signi cância 5%, as i erenças entre as respostas médias dos grupos. .

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS (DIC COM DADOS BALANCEADOS)

. Ca a grupo ( Contro e, Droga 1 e Droga 2 ) será composto e oito cobaias alocadas por processo aleatório simples (casual ou randomizado ). A variável resposta será comparada quanto às médias dos grupos pela técnica a ANOVA comp ementa a com o teste e comparações mú tip as e Tu ey, consi eran o o níve e 5% e signi cância. . Os ratos são enumera os e 1 a 25 e, em uma urna são co oca as 25 etiquetas i ênticas quanto ao taman o, orma e cor sen o cinco marca as com a letra A, cinco com B, cinco com C, cinco com D e, �nalmente cinco com E. Em outra urna, são co oca as outras etiquetas enumera as e 1 a 25, correspondente aos 25 ratos da pesquisa. Procede-se com a realização de sorteios em ambas as urnas, formando 25 pares constituídos pelo tratamento sortea o na primeira urna e o rato correspon ente ao número sorteado na segunda.

Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) | 3. Tabela 1. ANOVA para a força dos voltímetros Causa de variação Voltímetro Resíduo Total

GL 3 16 19

SQ 150,00 108,00 258,00

QM 50,00 6,75

F 7,41 (p<0,005)

Tabela 2. Média (desvio padrão) da força segundo tipo de voltímetro B 117,00 (2,55) ab 114,00 (2,35) a DHS (5%) = 4,71

Ta ela 1.

C 120,00 (2,35) b

D 121,00 (3,08) b

ANOVA para a raiz quadrada do número de insetos capturados Causa variação Cor do papelão Resíduo Total

GL 3 20 23

SQ 33,72 5,16 38,88

QM 11,24 0,26

F 43,57 (p<0,001)

Ta e a 2. Média (desvio padrão) do número de insetos capturados(*) segundo cor Azul 4,04 (0,47) a HS (5%) = 0,82

Verde 5,56 (0,60) b

Branco 4,00 (0,47) a

Amarelo 6,85 (0,49) c

(*) Variável sob a transformação raiz quadrada

. b.

ANOVA para DIC balanceado (10 animais por grupo). F= 266,67/33,33 = 8,00 (p < 0,001); portanto rejeita-se a hipótese de ausência e e eito e tratamentos.

c.

No nível de 5% de signi�cância conclui-se que existe diferença entre as mé ias a PAM nos grupos estu a os.

6 Ta ela 1.

ANOVA para a dosimetria de mercúrio no sangue (ppb) Causa variação Grupo Resíduo otal

GL 3 16 19

SQ 871,20 266,00 1137,20

QM 290,40 16,63

F 17,47 (p<0,001)

4

| DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS Ta e a 2. Média (desvio padrão) da dosimetria de mercúrio no sangue segundo o

grupo Garimpeiros 20,80 (4,92) b DHS (5%) = 7,39

Ribeirinhos 11,20 (4,09) a

Índios 24,40 (4,51) b

Controle 8,40 (2,30) a

2.12 MODELO DO EXPERIMENTO DIC COM DADOS NÃO BALANCEADOS

Em algumas situações, pode acontecer que o número de unidades experimentais isponíve não seja mú tip o o número e tratamentos que se preten e comparar ou, ain a, começar o experimento com a os ba ancea os e algumas unidades, por algum motivo alheio à vontade do pesquisador, tornarem-se per i as para o experimento. Nessas situações, os tratamentos po em �car com números de repetições total ou parcialmente diferentes, ou seja, experimento com número diferente de repetições (dados não balanceados). Talvez a primeira sugestão, com base no que já foi visto, seria descartar utilizando critérios randômicos” unidades experimentais para se ter os dados ba ancea os nos tratamentos. Mesmo sen o, o ponto e vista a Estatística Experimenta , me or que to os os tratamentos apresentem o mesmo número de parcelas (a análise é realizada por procedimento exato), a importância bio ógica as in ormações as uni a es experimentais é mais imperativa que a simplicidade dos cálculos matemáticos do procedimento e, neste sentido, torna-se imprescindível um comportamento mais requintado para a situação. Nessa situação, o camin o mais próximo às características a bio ogia acaba sendo dado pelo procedimento anterior realizado com os dados balanceados, adaptando-se as fórmulas dos cálculos aos experimentos com dados nãoba ancea os. Esta nova maneira az com que o processo exato seja ireciona o à forma aproximada.


Portanto, a teoria desenvolvida no DIC balanceado passa a ser explicitada com pequenas mo i cações nas somas e qua ra os e no proce imento e Tukey. em-se: k

r i

SQTot = ∑ ∑ yij2 − ny••2 , onde r i consiste nas repetições do i-ésimo tratai =1 j=1

r i k 1 men o e y •• = ∑ ∑ y ij n i=1 j=1 k y i2• SQTrat = ∑ − ny ••2 i=1 r i k

r i

k

r i

yi• = ∑ y ij j=1

2

SQRes = ∑ ∑ y − ∑ y r ii = SQTot − SQRes i=1 j=1

2 ij

•

i=1

O qua ro a ANOVA permanece o mesmo o DIC para a os ba anceados. Em re ação ao teste e Tu ey, ca cu a-se k

e

e yi• − y i ’• ≥ ∆ii ’ (a ) , rejeita-se a ipótese e igua a e e mé ias. Caso contrário, não há rejeição. A Tabe a 2.9 mostra os gan os e peso ( g) no na o experimento realizado para comparar três rações comerciais em um lote de animais (suínos) homogêneos (PADOVANI, 2002).

4

| DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS Ta ela 2.9

Ganho de peso (kg) segundo ração Ração A B C

7,12 8,15 6,58

6,91 8,45 7,04

Ganho de Peso 6,30 6,72 8,92 9,15 6,46 7,12

6,68

6,80

7,06

r1 = 6; r2 = 4; r3 = 5; n = 15 y1• = 40, 53 ; y 2• = 34, 67 ; y 3• = 34, 26 ; y•• = 109, 46 ; y •• = 7 ,297 3 SQTot = 810, 3948 −15×7, 2973 2 = 810,3948 −798 ,7588 =11,6360 40, 532 34, 672 34, 262 + + − 798, 7588 = 809, 0319 − 798,7588 = 1 0, 2731 SQTrat = 6 4 5

Tabela 2.10

Quadro da ANOVA do ganho de peso Causa Variação Ração Resíduo Total

GL 2 4

SQ 10,2731 1,3629 11,6360

QM 5,1366 0,1136

F 42,22 (P<0,001)

Coe�ciente de Variação do experimento: CV = 100 0,1136 % = 4, 62% 7, 2973

Coe ciente e Determinação: R2 = Teste e Tu ey

10, 2731 = 0, 8829 (88, 29 %) 11, 6360

a = 0, 05 ; k = 3 (tratamentos); ϕ = 12 (graus de liberdade do resíduo)

∆ii ’ = 3, 77

0,1136  1 1  r + r  +  = 0, 8985 i ’ i 2  ri r i ’  ri r i ’

∆12 = 0, 580

; ∆13 = 0, 544 ; ∆23 = 0, 603

y1• − y2• = 6,755 − 8, 6675 = 1, 9125 > ∆12 ( A ≠ B ) y1• − y3• = 6, 755 − 6, 852 = 0,097 < ∆13 ( A = C ) y 2• − y3• = 8,6675 − 6,852 = 1, 8155 > ∆23 (B ≠ C )

A Tabela 2.11 mostra a média e o desvio padrão do ganho de peso segundo a ração comercia a ministra a.

Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) | 4 Tabela 2.11

Média e desvio padrão do ganho de peso segundo ração Ração A 6,755(0,273)a(1)

Ração B 8,668(0,452)b

Ração C 6,852(0,307)a

(1) duas médias seguidas de uma mesma letra não diferem (P>0,05) pelo teste de Tukey.

2.13 EXERCÍCIOS (DIC NÃO BALANCEADO)

. Para testar uas rogas i erentes usan o grupo contro e, um armacologista pretende fazer um experimento com cobaias. Estão disponíveis 24 cobaias, bastante simi ares. Discuta o uso e grupos com i erentes repet ções. . Consi ere as seguintes osimetrias e mercúrio no sangue (ppb) e grupos expostos em garimpos a Amazônia Lega (Ferrari et a ., Revista e Saúde Ocupacional, v.20, n.75, p.54-60, 1992). Grupo Garimpeiros Ribeirinhos Índios Controle

4 13 8 10

19 10 30 6

Dosimetria Hg 25 12 24 8

23 8 26 9

18 25

Veri car, consi eran o o níve e signi cância 5%, as i erenças entre as respostas mé ias os grupos. 3.

Considerar as seguintes avaliações nasométricas [nasalância(%)=100*(energia acústica nasal) / (energia acústica nasal+energia otoacústica oral)]

do vocábulo “papai” isolado e inserido em frase (Di Ninno et al ., Revista de Atualização Cientí�ca PR -FONO, v.13, n.1, p.71-77, 2001)

| DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS 4. Faixa Etária Criança Adolescente Adulto

10,5 11,5 18,5

11,6 10,2 16,6

Nasalância (%) 12,3 8,9 ,2 13,9 12,0 10,4 0,2 17,8 1,8

9,6 10,0 17,4

10,9 14,1

11,0

Considerando o nível de signi�cância 5%, avaliar as diferenças entre as respostas mé ias as nasa âncias. 2.14 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS (DIC NÃO BALANCEADO)

. Do ponto de vista biológico, o grupo controle (animais que recebem o p acebo, ou seja, soro sio ógico por exemp o) é o re erencia

as com-

parações (pa rão e re erência para testar o e eito as rogas), ogo eve ser o grupo agraciado com mais animais. O restante dos animais pode ser ba ancea o entre as uas rogas. 2 Tabela 1.

Quadro da ANOVA da dosimetria de Hg Causa variação Grupos Resíduo Total

Ta ela 2.

GL 3 14 17

SQ 1030,50 85,50 1116,00

QM 343,50 6,11

F 56,22 (p<0,001)

Média (desvio padrão) da dosimetria segundo grupo Garimpeiro ibeirinho Índio Controle 21,80 (3,11) b 10,75 (2,22) a 26,60 (2,41) c 8,25 (1,71) a DHS (G x R) = 4,82 HS (G x I) = 4,54 DHS (G x C) = 4,82 DHS (R x I) = 4,82 DHS (R x C) = 5,08 DHS (I x C) = 4,82

Ta ela 1. Quadro da ANOVA da nasalância Causa variação Faixas Etárias Resíduo Total

GL 18 0

SQ 256,01 46,28 302,29

QM 128,01 2,57

F 49,81 (p<0,001)

Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) | Tabela 2. Média (desvio padrão) da nasalância segundo faixa etária

Criança 10,50 (1,19) a DHS (Cr x Adol)=2,12

dolescente 11,73 (1,71) a DHS (Cr x Adul)=2,21

Adulto 18,72 (1,94) b DHS (Adol x Adul)=2,28

3

DELINEAMENTO EM BLOCOS COMPLETOS CASUALIZADOS (DBCC)

3.1 INTRODUÇÃO

Quando o conjunto de unidades experimentais for relativamente heterogêneo (pequenos grupos e uni a es simi ares, mas nen um su cientemente gran e para um p anejamento), o p ano experimenta inteiramente casua iza o torna-se pouco preciso, porque o erro experimental torna-se muito grande. A partir as in ormações isponíveis, antes a rea ização o experimento, é possível agrupar as unidades experimentais em subconjuntos de unidades mais homogêneas, denominados blocos. A alocação das unidades experimentais entre os tratamentos obe ece a uma restrição imposta pe os b ocos, ou seja, o proce imento de casualização dos tratamentos às unidades experimentais é realizado dentro de cada bloco. Quando todos os tratamentos aparecerem em todos os b ocos uma única vez, tem-se o De ineamento em B ocos Comp eto. To a vez que os tratamentos tornam-se presentes uma única vez em cada bloco, o número e b ocos coinci e com o número e repetições (Banzatto & Kron a, 2006). Deve ser observa o, inc usive por possíve con usão e nome, que a a eatorização está sendo realizada nos tratamentos dentro dos blocos (restrição na casualização). Na aná ise estatística e um experimento em b ocos casua iza os, ou como normalmente se diz, um experimento em blocos, além dos fatores de interesse, deve-se levar em conta o fator de controle experimental, blocos, diminuindo esta maneira o erro experimenta . Quanto maior or a eterogenei a e entre blocos, maior será a e�ciência deste plano experimental em relação ao completamente a eatoriza o. O e ineamento em b ocos também po e ser p aneja o com repetições os tratamentos entro o b oco e a ém isso, e orma incom-


pleta. A análise estatística do delineamento em blocos completos ao acaso com repetições torna-se re ativamente áci quan o o número e uni a es entro de cada bloco é múltiplo do número de tratamentos em comparação. O termo b oco (sua origem é e ato agronômica, cujo objetivo re eria-se a aixa e terra e mesma erti i a e – erti i a e omogênea) tem um sentido prático interessante na área biológica, ou seja, caracteriza-se como estrato e tem como na i a e, o contro e a omogenei a e os animais quanto às variáveis intervenientes. No presente estudo os blocos são completos quanto aos tratamentos, isto é, um b oco possui to os os tratamentos e interesse o estu o, a oca os por processo aleatório com uma repetição por bloco. A vantagem mais destacada os experimentos em b ocos consiste em permitir o uso e uni a es experimentais eterogêneas. Os b ocos contro am uma causa e variação e estabelecem uma restrição à casualização. Essa restrição à casualização devido à constituição os b ocos in ica para a não rea ização o teste estatístico para a causa e variação b ocos, ou seja, não az senti o, pois se trata e uma onte e variação de controle e não de interesse para a comparação. Se a fonte colocada como b ocos está no interesse o pesquisa or para comparação, o esquema e fatores torna-se o procedimento adequado para a combinação dos níveis dos dois fatores em estudo. Em resumo, po em ser estaca os: a.

A casualização ocorre dentro dos blocos (os blocos são estratos de�nidos quanto à eterogenei a e as uni a es experimentais e, portanto xa os como contro es .

b.

Os blocos são completos quanto aos tratamentos pesquisados (cada bloco eve conter to os os tratamentos o estu o .

. É essencial que os blocos reúnam unidades similares (unidades semelhantes dentro de blocos asseguram aos tratamentos única fonte de variação).

Delineamento em Blocos Completos Casualizados (DBCC) | d.

Quanto maior a heterogeneidade entre blocos maior a e�ciência do delineamento (a per a e eterogenei a e entre b ocos in ica a a ta a necessidade de controle local).

. O tratamento aparece uma única vez entro e ca a b oco (razão e ser enomina o comp eto). f .

Os experimentos em blocos são feitos, essencialmente, para comparar tratamentos (os b ocos não são construí os para teste estatístico, mas como necessidade de controle).

g.

Não deve ser feito o teste estatístico de blocos (blocos são utilizados como onte e contro e a eterogenei a e, sem qua quer interesse e comparação).

h.

Fazer blocos signi�ca impor uma restrição como controle às unidades experimentais (a esignação casua os tratamentos às uni a es experimentais entro e ca a b oco).

i.

Exemplos biológicos de blocos: posição na estufa, ninhada, faixa de idade, aixa e peso, uma parti a e animais ( ote), entre outros.

3.2 MODELO DO EXPERIMENTO (BIOLÓGICO)

O modelo de DBCC com

k

tratamentos e t blocos é dado por:

yij = µi + βj + εij (µi = µ + τi ; i = 1,..., k; j = 1,..., t ) ; onde:

é a mé ia gera comum a to as as observações; t i

é o efeito do i-ésimo nível do fator na variável dependente Y ;

b j

é o e eito o j-ésimo b oco experimenta ;

eij

é o erro casua não observáve (in epen ente e i enticamente istribuí-

do com N (0, s 2 ) ). Neste senti o, para o mo e o e e eitos xos, tem-se: a)

E (Y ij ) = µ + τi + β j ;

b) Var (Y ij ) = s 2 ;


c

Yij ~ N (µi + τi + β j , σ 2 )

3.3 PROCEDIMENTO ESTATÍSTICO: ANÁLISE DE VARIÂNCIA

Todas as considerações realizadas para o DIC são também válidas para o DBCC (in epen ência os erros; variâncias omogêneas e norma i a e os a os . Considere o seguinte conjunto de pesos de carcaças (kg) de coelhos (Tabe a 3.1) no acabamento segun o o tipo e ieta ran omiza a o ereci a aos an ma s. Ta e a 3.1 Peso de carcaças (kg) de coelhos segundo dieta

Dieta Padrão Padrão+Rami Padrão+Alfafa

orfolk 1,28 1,45 1,38

Angorá I 1,08 1,15 1,08

Raça Angorá II Nova Zelândia I 1,06 1,36 1,28 1,50 1,17 1,43

Nova Zelândia II 1,19 1,41 1,26

Padovani, C. R. (2002). Exercícios de Estatística Básica e Experimental. Depto. Bioestatística, IB/UNESP, Botucatu-SP, 40p.

Cada peso de carcaça (kg) é uma resposta biológica do sorteio de três dietas dentro dos conjuntos de três animais tornados homogêneos pelas raças, cujo resu ta o bio ógico respon e ao mo e o: y ij = µ + τi + β j + εij , com i = 1,..., k (tratamentos) e j = 1,..., t (blocos).

Neste modelo, a técnica da ANOVA consiste em fracionar a SQTotal em três ontes e variação: a primeira re erente aos tratamentos ( SQTrat , a segunda relativa aos blocos ( SQBloco ) e, por �m, a expressa nas �utuações casuais ( SQRes . Para a construção da tabela geral de ANOVA segundo as causas de variação são determinados:

Delineamento em Blocos Completos Casualizados (DBCC) |

a) Graus de liberdade (GL) Total = n −1 = kt − 1 , on e n = kt ; Tratamento = k −1 ; Bloco = t −1 ; Resíduo = (t − 1)(k − 1)

b) Somas de quadrados (SQ) k t 1 SQTot = ∑ ∑( yij − y•• ) = ∑ ∑ y ij2 −ny ••2 ; onde y •• = ∑ ∑ y ij ; n i=1 j=1 i =1 j=1 i =1 j=1 k t k 1 t y i2• 2 SQTrat = ∑ ∑( yi• − y•• ) = ∑ − ny •2 ; on e y i• = t ∑ y ij ; j=1 t k

t

k

2

i=1 j=1 k t

t

i =1 t

y •2 j 1 k 2 SQBloc = ∑ ∑ ( y• j − y•• ) = ∑ − ny •• ; onde y • j = ∑ y ij ; k i=1 i=1 j=1 j=1 k 2

SQRes = SQTot − SQTrat − SQBloc

c) Quadrados médios (QM) QMTrat = SQTrat (k −1) QMBloco = SQBloco (t −1) QMRes = SQRes (k −1)(t −1)

Estatística F F = QMTrat QMRes

As quanti a es obti as são ispostas na Tabe a 3.2 a ANOVA. Ta ela 3.2

Tabela geral de ANOVA de um DBCC

Causa de variação Blocos ratamentos esíduo Total

GL

SQ

QM

F

t -1

SQBloc

QMBloc

—

k -1

SQTrat

QMTrat

QMTrat QMRes

(t −1)(k −1)

SQRes

QMRes

SQTot

tk -1


O teste de hipótese relativo à Tabela 3.2 consiste em: : Não existe efeito e tratamento 

0

:t 1=t =...=

1



H 0 :

=...=

1

=

H1 : Existe efeito de tratamento ⇔ H 0 : Existe t i ≠ 0 (i = 1,..., k ) Sob a veraci a e e H 0 , a estat stica F = QMTrat tem istribuição F QMRes (Fis er-Sne ecor) com parâmetros (k -1) (graus e iber a e o numera or)

e (t -1)(k -1) (graus de liberdade do denominador). A regra e ecisão é a abitua , ou seja: Se F ≥ F (a ;k−1;(t−1)(k−1)) , re e ta-se H 0 . Caso contrário, não há rejeição. No exemplo, tem-se: k =3

(tratamentos e t = 5 (b ocos ;

y •• = 19, 08 , logo, y •• = 19, 08 15 = 1, 272 ; SQTot = 24, 5678 − 24, 2698 = 0,2980 y1• = 5, 97 ( y 1• = 1,194 ) ; y2• = 6, 79( y 2• = 1, 358) ; y 3• = 6, 32( y 3• = 1, 264 ) SQTrat = 24, 3375 − 24, 2698 = 0,0677 y •1 = 4,11 ; y •2 = 3, 31 ; y •3 = 3, 51 ; y •4 = 4, 29 ; y •5 = 3, 86 ; SQBloc = 24, 4907 − 24, 2698 = 0,2209 ; SQRes = 0, 2980 − 0 ,2209 −0 ,0677 = 0,0094

A Tabe a 3.3 apresenta o resu ta o a ANOVA. Ta ela 3.3

Tabela ANOVA para o peso das carcaças Causa Variação Blocos Tratamentos Resíduo Total

GL 4 2 8 14

SQ 0,2209 0,0677 0,0094 0,2980

QM ,0552 ,0339 ,0012

F (valor p) 28,25 (p<0,01)

Conc ui-se, no níve e 5% e signi cância, que existem i erenças entre os pesos médios de carcaças dos coelhos segundo as dietas estudadas.

Delineamento em Blocos Completos Casualizados (DBCC) | 3.4 COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS

O proce imento e comparações mú tip as e Tu ey para o DBCC cons ste nos segu ntes passos: H 0 : µi − µi ’ = 0 e H 1 : µi − µi ’ ≠ 0 , para i ¹ i ’ .

Calcula-se a Honestly Signi�cante Diference” QMRes , onde t é o número de repetição de HSD (a) = ∆(a) = q(a ;k ;(t−1)(k−1)) t

tratamentos (coinci e com o número e b ocos e q(α;k ;ϕ) é o quanti e or em (1- /2) da distribuição “studentized range” com parâmetros k (número de tratamentos e j = (t −1)(k −1) (graus e iber a e o resí uo). A regra e ecisão o teste e ipóteses é a abitua , ou seja: Se yi• − y i ’• ≥ ∆(a) , rejeita-se H 0 . Caso contrário, não há rejeição. Simi armente, po e-se apresentar o interva o e con ança e Tu ey 100(1- a)% para a diferença de médias, cujos limites são dados por: LI = ( yi

•

LS = ( yi

•

−

QMRes yi ’ )− q(α;k ;ϕ) , t

−

QMRes yi ’ ) + q(α;k ;ϕ) t

•

•

No exemp o re ativo aos a os o peso as carcaças tem-se: q(0,0 5;3;8) = 4, 04 ; logo, ∆(5%) = 4, 04 0, 0012 = 0, 063 . 5

Ou seja, o va or mínimo que expressa a i erença signi cante α=0,05 entre os pesos médios das carcaças é 0,063kg. Os resultados das comparações estão expressos na Tabela 3.4. Tabela 3.4 Média e desvio padrão dos pesos segundo dieta

Dieta Padrão 1,194(0,128)a

Padrão Suplementação Rami 1,358(0,142)c

Padrão Suplementação Alfafa 1,264(0,145)b


Conclui-se, no nível de 5% de signi�cância, que as dietas modi�cam o peso mé io a carcaça os coe os e que entre e as, a ieta sup ementa a com rami produz maior peso médio. 3.5 EXERCÍCIOS (DBCC)

A seguir são apresenta os exercícios sobre o De ineamento em B ocos Completamente Casualizados contendo planejamento, técnica da análise de variância, teste de comparações múltiplas e, em especial, o último para aproun amento as consi erações apresenta as no capítu o. . Planeje um experimento para comparar dois testes de QI, usando dez pares e gêmeos. Consi ere ca a par e gêmeos como um b oco. 2.

Faça a análise de variância dos dados apresentados na tabela a seguir, considerando o nível de 5% de signi�cância: Dados de um experimento em blocos ao acaso Tratamento Bloco A C 74 53 58 I 90 68 78 II 78 54 64 III 98 72 74 IV

. Preten e-se veri car a urabi i a e e três marcas e tintas que tem preços de custo bem diferentes. Para isso, foram selecionados seis muros, em que cada terça parte foi pintada por uma marca sorteada nos terços. Após um erío o e ez meses, oi atribuí a a ca a parte uma nota, resu tante e vários quesitos. Os resultados das notas são apresentados a seguir: Marca A B C

Muro 1 8,5 9,1 7,3

Muro 2 8,9 ,4 7,6

Muro 3 8,8 9,1 7,8

Muro 4 8,2 9,6 7,5

Muro 5 8,6 ,0 6,1

Muro 6 8,9 9,3 7,2

Delineamento em Blocos Completos Casualizados (DBCC) |

Com esses dados, você diria (α=0,05) que uma das marcas é melhor que as outras 4.

QMBloco em um experiQMRes

Supondo que haja interesse em calcular F =

mento, qua a interpretação bio ógica que sugere o resu ta o signi cativo (p<0,05)? E o não signi�cativo (p>0,05)? 3.6 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS (DBCC)

. Consi eran o 10 pares e gêmeos (G1, G2), para ca a par será e etua o o sorteio os ois testes e QI. Neste senti o, constituí os os pares por processo randomizado dos testes de QI os dados coletados nos gêmeos serão submeti os à técnica a aná ise e variância para o mo e o experimenta em blocos completamente casualizados (10 blocos no presente estudo) en volvendo dois tratamentos independentes (dois testes de QI). 2 Ta e a 1. Tabela ANOVA C. Variação Blocos Tratamentos Resíduo Total

Ta ela 2.

GL 3 6 11

SQ 847,58 1144,50 48,17 2040,25

QM 282,53 572,25 8,03

F 71,26 (p<0,001)

Média (desvio padrão) dos tratamentos 85,00 (11,02) b HS (5%)=7,47

B 61,75 (9,67) a

C 68,50 (9,15) a

| DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS 3. Tabela 1.

ANOVA para a durabilidade C. Variação Blocos (Muro) Tratamentos (Marca) Resíduo Total

Tabela 2.

GL 5 2 10 17

SQ 1,04 12,64 1,41 15,09

QM 0,21 6,32 0,14

F 45,14 (p<0,001)

Média (desvio padrão) das marcas 8,65 (0,27) b DHS (5%)=0,59

B 9,25 (0,23) c

C 7,25 (0,60) a

. Se o resu ta o o teste estatístico or signi cativo (p < 0,05) existe comprovação biológica de heterogeneidade entre os blocos, corroborando com a suspeita o pesquisa or no contro e onte e variação b oquea a. Se o resu ta o o teste estatístico or não signi cativo (p > 0,05) existe compro vação biológica de homogeneidade entre os blocos, contradizendo com a suspeita o pesquisa or no contro e onte e variação b oquea a.

4

ESQUEMAS FATORIAIS

.

INTRODUÇÃO

Existem situações práticas na experimentação em que o interesse o pesquisador envolve o estudo de dois ou mais fatores combinados, cujos cruzamentos os níveis os atores são os tratamentos empen a os nas comparações. No presente texto, será apenas en oca o o caso e ois atores, ou seja, A e B. Será admitido que o fator A possui a níveis, e o fator B, b níveis. Nos experimentos on e ca a níve e um ator está combina o com todos os níveis do outro, diz-se que os fatores obedecem a uma classi�cação cruzada (experimentos cruzados). As combinações desses fatores resultam os tratamentos o estu o, cuja con guração recebe o nome e esquema atoria a*b (combinações entre os a níveis do fator A e b níveis do fator B). O esquema de fatores mais simples consiste em considerar dois fatores A e B, com ois níveis ca a um, isto é, o esquema atoria 2*2. No esquema atorial dois por dois, Tabela 4.1, tem-se como resultado das combinações quatro tratamentos, que são combinações e ois níveis o ator A com ois níveis o ator B. Ta ela 4.1

Esquema fatorial 2*2

Fator A

Fator B

A1

B1 A1 B1

B A1 B2

A2

A2 B1

A2

2

Outras combinações os atores po em surgir à me i a que o número e níveis dos fatores tornam-se maiores. Ademais, o número de níveis dos fatores não precisa ter o mesmo valor, ou seja, os níveis a do fator A podem ser nu-


mericamente diferente dos níveis b do fator B. Quando a=b, tem-se um arranjo qua rático e, se a≠b, o arranjo é retangu ar. Uma notação interessante que se utiliza quando o número de níveis é igual para os dois fatores (a=b; arranjo quadrático) e descrita por 2 , 3 , 4 ,... O expoente indica o número de fatores o estu o e a base a potência in ica o número e níveis os atores. Por exemplo, um fatorial 3� tem dois fatores em três níveis. Três ipóteses básicas são ava ia as no esquema atoria a*b, que são: i) a interação (A*B) entre os fatores A e B; ii) o efeito do fator principal A e iii) o efeito do fator principal B. Dependendo do resultado do teste de signi�cância a interação A*B, uas novas ipóteses po em ser ava ia as: i) e eito o ator A dentro de um nível �xo de B e ii) efeito do fator B dentro de um nível �xo de A. Como o esquema atoria é um arranjo os níveis os atores (combinações e níveis) e e po e ser e inea o em vários tipos e experimentos. No enfoque do texto, o esquema fatorial a*b será apresentado no Delineamento Inteiramente Casua iza o (DIC) e no De ineamento em B ocos Comp etos Casua iza os (DBCC . .

ESQUEMA FATORIAL A*B NO DIC

Considere a Tabela 4.2, genérica de observações y ijk de um esquema fatoria a*b em um DIC com r repet ções por tratamento.

Esquemas Fatoriais | Tabela 4.2 Esquema fatorial a*b com r repetições

ator A

B1

Fator B 

y 111 A1

y 1b1 



y 11r 





y a1r



y 1br 

y a11 Aa

Bb



y ab1 



y abr

O e emento y ijk representa a -ésima repetição o i-ésimo níve o ator A e j-ésimo nível do fator B ( i = 1,, a; j = 1,, b; k = 1,, r ). O mo e o e resposta é expresso por: y ijk = µ + θi + γ j + (θγ )ij + εijk ; onde: : e eito mé io comum; qi : e

eito o i-ésimo níve e A;

g j : efeito do j-ésimo nível de B;

(θγ )ij : e eito e interação entre os níveis i e j os atores A e B, respectiva-

mente; eijk : erro casual

independente, com distribuição N (0, s 2 ) .

Consi eran o os atores A e B e e eitos xos, tem-se a Tabe a 4.3 a ANOVA.


Tabela geral de ANOVA para um esquema fatorial a*b no DIC

Causa de variação

GL

SQ

QM

F

ab -1

SQTrat

QMTrat

FTrat

a -1

SQA

QMA

F A

b -1

SQB

QMB

FB

(a −1)(b −1)

SQA´B

QMA´ B

F A´B

ab(r −1)

SQRes

QMRes

Tratamentos

B AxB Resíduo

abr -1

Total

Desmembramento da SQTratamentos

SQTot

Os cálculos das somas de quadrados são estabelecidos por: 1 a b r SQTot = ∑ ∑ ∑ y − ny••• , on e y ••• = ∑ ∑ ∑ y ijk e n = abr ; n i=1 j=1 k=1 i =1 j=1 k=1 r a b y 2 ij• 2 SQTrat = ∑ ∑ − ny ••• , onde yij• = ∑ y ijk ; k =1 i=1 j=1 r a

b

r

2 ijk

2

SQRes = SQTot − SQTrat b r y i2•• 2 SQA = ∑ − ny ••• , on e yi•• = ∑ ∑ y ijk ; br j=1 k=1 i =1 2 a r b y • j• 2 y• j• = ∑ ∑ y ijk ; − ny ••• SQB = ∑ ar i=1 k =1 j=1 a

SQAxB = SQTrat − SQA − SQB

A obtenção dos quadrados médios é realizada pela divisão entre a soma de quadrados e os respectivos graus de liberdade. Em re ação aos testes e ipóteses, que serão apresenta os a seguir, uas situações interessantes para a discussão biológica devem ser consideradas: a primeira consiste no caso on e os e eitos os atores A e B na variáve resposta ( epen ente) serão a itivos e, portanto, to a a in ormação bio ógica po e ser obtida fazendo-se inferências apenas sobre as médias m · e m· (médias marginais); a segunda, onde existe efeito da interação entre os fatores A e B; onde para

Esquemas Fatoriais |

avaliar os efeitos existentes na variável dependente, as inferências devem ser eitas sobre to os os As hipóteses gerais com os respectivos testes estatísticos acompanhados as regras e ecisão são estabe eci as con orme eta es na sequência. H 0 A : Não existe efeito do fator A ⇔ θ1 = θ2 = … = θa = 0 F A =

QMA ~ F (a QMRes

−

H 0 A a estatística do teste é dada por 1,ϕres )

, com a regra e ecisão abitua e

jres = ab(r −1)

H 0B : Não existe efeito do fator B ⇔ g1 = g 2 =  = g b = 0

Sob a veracidade de H 0 a estatística do teste é dada por B

QMB ~ F , com a regra e ecisão abitua . QMRes (b 1,ϕres ) H 0 AxB : Não existe efeito de interação AxB ⇔ (θγ )11 =  = (θγ )ab = 0

F B =

−

Sob a veraci a e F AxB =

QMA×B ~ F ((a QMRes

−

1)(b− 1);ϕres )

e H 0

AxB

a estatística

o teste é

a a por

, com a regra e ecisão abitua .

Toda vez que o resultado de algum teste de hipóteses possibilitar a rejeição a ipótese nu a, para me orar a qua i a e a in ormação bio ógica, torna-se interessante comp ementar a técnica a ANOVA com a gum proce imento e comparações múltiplas para as médias. No caso, como já vem sendo rotina, a continui a e tem si o rea iza a pe o teste e Tu ey para os contrastes entre todos os pares de médias. Neste sentido, duas considerações serão apresentadas; a primeira normalmente utilizada quando o resultado do teste de interação entre os atores A e B mostrou-se não signi cante; a segun a, quan o o resultado foi signi�cante. Teste e Tu ey para o caso F AxB não signi cante ( p AxB > a) H 0 A : µi = µi ’ (i, i ’ = 1,..., a ) ⇔ não existe diferença entre as respostas médias •

•

os níveis i e i’ o ator A.

Calcula-se DMS A (α) =∆A (α) = q(α;a ;ϕ

res )

QMRes e se yi•• − y i ’•• ≥ ∆A (a) , br

rejeita-se a hipótese H 0 . Caso contrário, não há rejeição. A

| DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS H 0B : µ j = µ j ’ •

•

( j, j ’ = 1,..., b) ⇔ não existe diferença entre as respostas médias

dos níveis j e j’ do fator B.

Ca cu a-se DMSB (α ) = ∆ B (α) = q(α ;b;ϕ

res )

QMRes ar

y• j• − y • j ’• ≥ ∆B (a) ,

rejeita-se a hipótese H 0 . Caso contrário, não há rejeição. B

Teste e Tu ey para o caso F AxB signi cante ( p AxB < a) H 0 A/B j : µij = µi ’ j (i, i ’ = 1,..., a e j fixo) ⇔ não existe diferença entre as respos-

tas mé ias os níveis i e i’ o ator A entro o j-ésimo níve o ator B.

Ca cu a-se DMS A/ B (α) = ∆A/ B (α ) = q(α ;a ;µ

res )

rejeita-se H 0

A/B j

QMRes e se yij• − y i ’ j• ≥ ∆A/ B (a ) , r

Caso contrário, não há rejeição.

H 0B/Ai : µij = µij ’ ( j, j ’ = 1,..., b e i fixo) ⇔ não existe i erença entre as respos-

tas médias dos níveis j e j’ do fator B dentro do i-ésimo nível do fator A.

Calcula-se DMSB/ A ( α) = ∆ B/ A (α ) = q(α;b;µ

res )

re e ta-se H 0 4.

B / Ai

QMRes e se yij• − y ij ’• ≥ ∆B/ A (a) , r

Caso contrário, não á rejeição.

EXEMPLO DE FATORIAL A*B NO DIC

Considere o seguinte conjunto de dados de um esquema fatorial 2x2 em um e ineamento inteiramente casua iza o para ava iar o per car iovascu ar de ratos hipertensos submetidos a uma dieta hipercalórica (OLIVEIRA Jr, et al., 2007, Arquivos Brasileiros de Cardiologia, v.89, Supl I, p.927). Os ois atores e interesse o estu o são Dieta e Hipertensão, ten o como variável resposta escolhida para o desenvolvimento do exemplo a Pressão Arterial Sistólica. Fator A(Dieta : A1(Normoca órica e A (Hiperca órica); Fator B(Hipertensão): B1(WKY-Controle) e B (SHR-Hipertenso); Isto :


Dieta Normocalórica(C) Hipercalórica(OB)

WKYC 130 120 110 112 128

A (Dieta) A1 (C) A2 (OB) Total (Fator B)

Hipertensão Ausente(WKY) Presente(SHR) WKYC(A 1B1) SHRC(A1B ) WKYOB(A2B1) SHROB(A B2)

Pressão arterial sistólica (mm Hg) dos ratos WKYOB SHRC SHROB y 11• = 120, 00 ± 9,06 120 160 210 y 12• = 160,00 ± 5,83 130 158 205 125 162 206 y 21• = 130,00 ± 7, 91 140 152 215 y 22• = 210, 00 ± 4, 53 135 168 214

Quadro auxiliar para o cálculo das SQ B(Hipertensão) Total (Fator A) B1 (WKY) B2 (SHR) 600 650

800 1050

1400 1700

1250

1850

3100

a = 2 ; b = 2 ; r = 5 ; n = 20 y ••• = 155, 00

A seguir são ca cu a as as somas e qua ra os para construção a tabe a e ANOVA para o esquma atoria no DIC. SQTot = 1302 + + 214 2 − 20×155, 002 = 505796 ,00 − 480500 ,00 = 25296 ,00 600 2 8002 650 2 10502 SQTrat = + + + − 20×155, 002 = 505000, 00 − 480500, 00 = 24500, 00 5 5 5 5 SQRes = 25296, 00 − 24500,00 = 796 ,00

1400 2 1700 2 SQA = + − 20×155, 002 = 485000,00 − 480500 ,00 = 4500 ,000 2×5 2×5 1250 2 1850 2 SQB = + − 20×155, 00 2 = 498500,00 − 480500 ,00 =18000 , 00 2×5 2×5 SQAxB = SQTrat − SQA − SQB = 2000, 00

A Tabe a 4.4 mostra o resu ta o a ANOVA.

4 | DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS Ta ela 4.4

ANOVA para a PAS (mm Hg) dos ratos Causa de Variação Tratamento A (Dieta) B (Hipertensão) AxB Resíduo Total

GL 3 1 1 1 16 19

SQ 4500,00 4500,00 18000,00 2000,00 796,00 5296,00

QM 8166,67 4500,00 18000,00 2000,00 49,75

F 164,15 (p<0,01) 90,45 (P<0,01) 361,81 (p<0,01) 40,20 (p<0,01)

Como o resultado do teste de interação entre os fatores A e B foi signi�cante (p<0,01), o proce imento e comparações mú tip as será e etua o considerando o estudo do fator A �xado o nível de B e, vice-versa. 49, 75 QMRes DMS A/ B j (1%) = ∆ A/ Bj (1%) = q(1%;2 ;16) = 4,13 = 13, 03 mm Hg 5 5 49, 75 QMRes DMSB/ Ai (1%) = ∆B/ Ai (1%) = q(1%;2 ;16) = 4,13 = 13, 03 mm Hg 5 5

as mé ias e os esvios pa rão a ipertensão segun o ieta com as signi�câncias das comparações múltiplas (Teste de Tukey). Ta ela 4.5

Média e desvio padrão da PAS (mm Hg) segundo dieta e hipertensão

Dieta ormocalórica ipercalórica

ipertensão usente 120,00(9,06) a(1)A(2) 130,00(7,91) a A

Presente 160,00(5,83) a B 210,00(4,53) b B

(1) duas médias seguidas de uma mesma letra minúscula não diferem (p>0,01) quanto às respe ctivas dietas dentro da classe de hipertensão. (2) duas médias seguidas de uma mesma letra maiúscula não diferem (p>0,01) quanto às classes de hipertensão dentro da dieta em consideração.

Esquemas Fatoriais | .

ESQUEMA FATORIAL A*B NO DBCC

Considere a observação y ijk de um esquema com dois fatores A (com a níveis) e B(com b níveis) com os tratamentos casua iza os em t b ocos comp etos (fator �xo de controle). O mo e o e resposta é expresso por: y ijk = µ + θi + γ j + (θγ )ij + βk + εijk ;

onde: : e eito mé io comum; qi : efeito do i-ésimo nível de A ( i = 1,, a ); g j : efeito do j-ésimo nível de B ( j = 1,, b );

(θγ )ij : e eito e interação entre os níveis i e j os atores A e B, respectiva-

mente; b k

: e eito o -ésimo níve e b oco ( k = 1,, t ;

eijk : erro casua

in epen ente, com istribuição N (0, s 2 )

A disposição geral das observações pode ser feita conforme Tabela 4.6 a segu r. Ta ela 4.6

Quadro genérico de um experimento em DBCC

Bloco Bloco 1 Bloco 2

A1B1 Y111 Y112

… … …

A1Bb y1b1 y1b2



Bloco t

Tratamento … A 1 … ya11 … ya12

… … …

A b yab1 yab2

…

yabt



Y11t

…

y1bt

…

ya1t

Como anteriormente (DIC), consi eran o os atores A e B xos tem-se, a seguir, na Tabela 4.7 ANOVA para o esquema fatorial a*b no DBCC.

| DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS Ta e a 4.7 Tabela geral de ANOVA para um esquema fatorial a*b em DBCC

Causa de ariação

GL

SQ

QM

F

t -1

SQBloc

QMBloc

-

ab -1

SQTrat

QMTrat

FTrat

a -1

SQA

QMA

F A

b -1

SQB

QMB

FB

(a −1)(b −1)

SQA´ B

QMA´ B

F A´B

(ab −1)(t −1)

SQRes

QMRes

Blocos ratamentos

B

Resíduo

abt -1

SQTot

Os cálculos das somas de quadrados são estabelecidos por: a

b

t

a

b

t

2 SQTot = ∑ ∑ ∑ yijk2 − ny••• , on e y ••• = 1 ∑ ∑ ∑ y ijk e n = abt ; n i=1 j=1 k=1 i =1 j=1 k=1 t

y ij2• 2 , onde yij • = ∑ y ijk ; SQTrat = ∑ ∑ − ny ••• k =1 i=1 j=1 t a b t y ••2 k 2 y••k = ∑ ∑ y ijk ; − ny ••• SQBloc = ∑ i=1 j=1 k =1 ab a

b

SQRes = SQTot − SQTrat − SQBloc b

t

y i2•• 2 , onde yi•• = ∑ ∑ y ijk ; SQA = ∑ − ny ••• j=1 k=1 i =1 bt a t b y 2 • j• 2 y• j• = ∑ ∑ y ijk ; SQB = ∑ − ny ••• i=1 k =1 j=1 at a

SQAxB = SQTrat − SQA − SQB

A obtenção dos quadrados médios é realizada pela divisão entre as somas e qua ra os e os respectivos graus e iber a e. As ponderações sobre os testes de hipóteses são as mesmas realizadas no DIC, cujas hipóteses gerais são estabelecidas por: H 0 A : Não existe e eito o ator A ⇔ q1 = q2 =  = qa = 0


Sob a veraci a e e H 0 a estatística o teste é a a por A

QMA ~ F , com a regra de decisão habitual (rejeita-se H 0 A quanQMRes (a 1;ϕres ) o F A > F (α ;a 1;ϕres ) e jres = (ab −1)(t −1) F A =

−

−

H 0B : Não existe e eito o ator B ⇔ g1 = g2 =  = g b = 0

Sob a veracidade de H 0 a estatística do teste é dada por B

QMB ~ F , com a regra e ecisão abitua . QMRes (b 1,ϕres ) H 0 AxB : Não existe efeito de interação AxB ⇔ (θγ ) =  = (θγ ) = 0 ab 11

F B =

−

Sob a veracidade de H 0 QMAxB ~ F ((a F AxB = QMRes

−

AxB

1)(b− 1);ϕres )

a estatística do teste é dada por

, com a regra e ecisão abitua .

semelhança do DIC, têm-se os dois casos para o teste de comparações mú tip as e Tu ey.

Teste de Tukey para o caso F AxB não signi�cante ( p AxB > a) H 0 A : µi = µi ’ (i , i ’ = 1,..., a) ⇔ não existe i erença entre as respostas mé ias •

•

dos níveis i e i’ do fator A. Ca cu a-se DMS A (α) = ∆A (α) = q(α;a ;ϕ

res )

QMRes bt

yi•• − y i ’•• ≥ ∆A (a) ,

rejeita-se a ipótese H 0 . Caso contrário, não á rejeição. A

H 0B : µ j = µ j’ ( j, j ’ = 1,..., b) ⇔ não existe diferença entre as respostas médias •

•

os níveis j e j’ o ator B.

QMRes e se y• j• − y • j ’• ≥ ∆B (a) , at

Calcula-se DMSB (α) = ∆B (α) = q(α ;b;ϕ

res )

rejeita-se H 0 . Caso contrário, não há rejeição. B

Teste de Tukey para o caso F AxB signi�cante ( p AxB < a) H 0 A/B j : µij = µi ’ j (i , i ’ = 1,..., a e j fixo) ⇔ não existe diferença entre as respos-

tas médias dos níveis i e i’ do fator A dentro do j-ésimo nível do fator B.

Calcula-se DMS A/B (α ) = ∆ A/ B (α) = q(α;a;ϕ

res )

QMRes e se yij• − y i ’ j• ≥ ∆A/ B (a) , t

re e ta-se H 0 . Caso contrário, não á rejeição. A/B j


H 0B/Ai : µij = µij ’ ( j, j ’ = 1,..., b e i fixo) ⇔ não existe diferença entre as respos-

tas mé ias os níveis j e j’ o ator B entro o i-ésimo níve o ator A.

Ca cu a-se DM S B /A(α ) = ∆ B /A(α ) = q(α ;b;ϕ

res )

QMRes e se yij• − y ij ’• ≥ ∆B/ A (a) , t

rejeita-se H 0 . Caso contrário, não há rejeição. B / Ai

.

EXEMPLO DE FATORIAL A*B NO DBCC

Consi ere o seguinte conjunto e a os e um esquema atoria 2x2 em um delineamento em blocos completos casualizados para avaliar o efeito da inibição pro onga a e enzima e conversão a angiotensina sobre o iâmetro iastó ico o ventrícu o esquer o (DDVE), ava ia o em mm, em ratos com sobrecarga pressórica persistente (Bregagnollo et al.,2005, Arquivos Brasileiros e Car io ogia, v.84, n.3, p.225-232). Os atores A e B são roga (Lisinopri ) e momento de sacrifício, respectivamente: Fator A (Droga): A1(bandagem aórtica (EA 0)-não tratados) e A (bandagem aórtica (EA0 -trata os com isinopri ); Fator B (Momento Sacrifício): B (6ª semana) e B (21ª semana). Foram estabelecidos seis blocos correspondentes às faixas de peso do animal: Bloco1(70‒|75g), Bloco2(75‒|80g), Bloco3(80‒|85g), Bloco4(85‒|90g), Bloco5(90‒|95g) e Bloco6(95‒|100g). O esquema de fatores pode ser apresentado como a seguir: roga Ausente (Não tratado) (A ) Presente (Lisinopril) (A2)

Momento Sacrifício 6ª Semana (B ) 21ª Semana (B2) A1B1 A1B2 A2B1 A2B2

Esquemas Fatoriais | Diâmetro Diastólico do Ventrículo Esquerdo (mm) Tratamento Faixa de peso A1B1 A1B2 A2 1 7,8 9,8 8,0 70 –| 75g 7,2 10,0 7,6 75 –| 80g 8,4 9,9 8,3 80 –| 85g 7,8 10,8 7,5 85 –| 90g 8,0 9,6 8,6 90 –| 95g 7,6 8,7 8,0 95 –| 100g 7,8(0,40) 9,80(0,68) 8,00(0,42) Média (DP)

A (Droga)

Quadro auxiliar para o cálculo das SQ Total B (Sacrifício) (Fator A) B 1

1

46,8

58,8

105,6

2

48,0

51,0

99,0

94,8

109,8

204,6

Total (Fator B)

B 8,6 8,8 8,5 8,4 8,9 7,8 8,50(0,39) 2 2

a = 2 ; b = 2 ; r = 6 ; n = 24 y ••• = 8, 525

Na sequência são obtidos as somas de quadrados para a construção da ANOVA para o esquema fatorial no DBCC. SQTot = 7, 82 ++ 7, 82 − 24×8, 5252 = 1763,5 −1744 ,215 = 19 ,285

46, 8 2 58, 82 48, 0 2 51, 02 SQTrat = + + + − 24×8,5252 = 1758,78 −1744 ,2215 = 14, 565 6 6 6 6 105, 6 2 99, 0 2 SQA = + − 24×8,5252 = 1746,03 −1744 ,215 = 1, 815 2×6 2×6 94, 8 2 109, 8 2 SQB = + − 24×8,5252 = 1753,59 −1744 ,215 = 9 ,375 2×6 2×6 SQAxB = 14,565 −1, 815 − 9,375 = 3,375

y ••1 = 7, 8 + 9, 8 + 8, 0 + 8, 6 = 34, 2 y ••2 = 7, 2 + 10, 0 + 7, 6 + 8, 8 = 33, 6 y ••3 = 8, 4 + 9, 9 + 8, 3 + 8, 5 = 35,1 y ••4 = 7, 8 + 10, 8 + 7, 5 + 8, 4 = 34, 5


y ••5 = 8, 0 + 9, 6 + 8, 6 + 8, 9 = 35,1 y ••6 = 7, 6 + 8, 7 + 8, 0 + 7, 8 = 32,1 34, 2 2 33, 6 2 32,12 SQBloc = + ++ − 24×8,5252 = 1745,82 −1744 , 215 = 1, 605 2×2 2×2 2×2 SQRes = 19, 285 −1, 605 −14, 565 = 3,115 Ta e a 4.5 ANOVA para o DDVE

Causa de Variação Blocos Tratamentos A (Droga) B (Sacrifício) AxB Resíduo Total

GL 5 3 1 1 1 15 23

SQ 1,605 14,565 1,815 9,375 3,375 3,115 19,285

QM ,321 4,855 1,815 ,375 3,375 ,208

F 23,34 (p<0,01) 8,73 (P<0,01) 45,07 (p<0,01) 16,23 (p<0,01)

O resu ta o o teste e interação entre os atores A e B mostrou-se signi cante (p<0,01), logo, o teste de Tukey deve ser feito no desmembramento da interação. Consi ere α=0,05, então tem-se: 0, 208 QMRes DMS A/ B j (5%) = ∆A/ Bj (5%) = q(5%;2 ;15) = 3, 01 = 0, 56 mm 6 6 0, 208 QMRes DMSB/ Ai (5%) = ∆B/ Ai (5%) = q(5%;2 ;15) = 3, 01 = 0, 56 mm 6 6 Tabela 5.6

Média e desvio padrão do DDVE (mm) segundo droga e momento de

sacrifício

Droga (Grupo) Ausente (Controle) Presente (Lisinopril)

Momento de Sacrifício 6ª Semana 21ª Semana 7,80(0,40) a(1) (2) 9,80(0,68) b B 8,00(0,42) a A 8,50(0,39) a A

(1) duas médias seguidas de uma mesma letra minúscula não diferem (p>0,05) quanto aos respectivos grupos, �xada a semana de sacrifício. (2) duas médias seguidas de uma mesma letra maiúscula não diferem (p>0,05) quanto aos respectivos momentos de sacriício, dentro do grupo.

Esquemas Fatoriais | 4.6 EXERCÍCIOS (ESQUEMAS FATORIAIS: DIC E DBCC)

. O consumo iário e ração em g/ ia, no perío o e crescimento-acabamento de suínos foi observado em um esquema envolvendo tipos de ração e formas de arraçoamento em um delineamento em blocos completos ao acaso. Consi eran o α=0,05 estu ar o consumo mé io iário em função dos dois fatores. Ração

rraçoamento

A

B

Bloco C

D

E

Farelada

Livre (Vontade)

2,63

2,68

,74

2,84

2,76

Farelada

Controlada

2,45

2,36

,44

2,50

2,40

Livre (Vontade) Controlada

2,32 2,44

2,25 2,50

,16 ,42

2,24 2,55

2,38 2,54

Granulada Granulada

. Um experimento visan o veri car o e eito o insetici a e o meio e cu tura em organismos biológicos foi planejado utilizando-se drosó�las e observando a longevidade (dias de sobrevida) destas moscas. Os tratamentos uti iza os oram os seguintes: : atrazine e carência de glicose; B : atrazine e carência de hidrato de carbono; : a apon e carência e g icose; : dalapon e carência de hidrato de carbono. ratamento B 1 1 B 1 2 B 2 1 B 2 2

49 36 38 34

Repetição 50 51 37 35 31 35 30 8

54 32 37 5

Considerando o nível de signi�cância 5% e os dados sob a transformação raiz qua ra a, ava iar a sobrevi a mé ia as moscas segun o os tipos e insetici a e meios e cu tura.


Organize os tratamentos de um esquema fatorial para estudar a interação e uma roga a ministra a em três con utas i erentes (man ã, tar e, noite) com bebida alcoólica.

. Veri car se existe interação signi cante (p<0,05) entre os atores A e B estudados em um delineamento em blocos completos casualizados cujos dados são apresentados a seguir.

.

ator A

Fator B

A1 A1 A2 A2

B1 B B1 B

Bloco I 16 24 22 33

II 7 3 1 35

III 19 27 23 35

IV 12 2 2 32

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS (ESQUEMAS FATORIAIS : DIC E DBCC)

Tabela 1.

Ta ela 2.

ANOVA para o consumo de ração C. Variação

GL

SQ

QM

F

Blocos

4

0,030

,008

-

Tratamentos

3

0,546

,182

45,50 (p<0,001)

Ração ( R )

1

0,200

,200

50,00 (p<0,001)

Arraçoamento ( A )

1

0,008

,008

2,00 (p>0,05)

R´ A

1

0,338

,338

84,50 (p<0,001)

Resíduo

12

0,048

,004

Total

19

0,624

Média (desvio padrão) do consumo de ração segundo ração e arraçoa-

mento

Ração

Arraçoamento

Livre Controlada 2,730 (0,080) b B 2,430 (0,053) a A Farelada 2,270 (0,084) a A 2,490 (0,058) a B Granulada DHS (Ração/Arraçoamento) = 0,087 (letras minúsculas) DHS (Arraçoamento/Ração) = 0,087 (letras maiúsculas)

Esquemas Fatoriais | Ta e a 1. ANOVA para os dias de sobrevida C. Variação Tratamento

GL 3

(*)

Inseticida ( I )

SQ 6,539 2,967

QM 2,180 2,967

F 35,21 (p<0,001) 47,86 (p<0,001)

Meio ( M )

3,089

3,089

49,82 (p<0,001)

I ´ M

0,483

0,483

7,79 (p<0,05)

0,743 7,282

0,062

12 15

Resíduo Total

(*) Variável sob a transformação raiz quadrada

Ta e a 2. Média (desvio padrão) da raiz quadrada da sobrevida segundo inseticida e

meio de cultura Meio de cultura (carência) Glicose Hidrato de Carbono trazine 7,140 (0,150) b B 5,914 (0,184) b A Dalapon 5,933 (0,264) a B 5,400 (0,348) a A DHS (Inseticida/Meio) = 0,384 (letras minúsculas) DHS (Meio/Inseticida) = 0,384 (letras maiúsculas) Inseticida

2.

Fator A (Bebida Alcoólica): A1 (Ausente) e A2(Presente) Fator B (Perío o e A ministração): B1(Man ã), B2(Tar e) e B3(Noite) Tratamentos: A1B1(Bebida Ausente e Período Manhã) A1B2(Bebi a Ausente e Perío o Tar e A1B3(Bebi a Ausente e Perío o Noite A2B1(Bebida Presente e Período Manhã) A2B2(Bebi a Presente e Perío o Tar e A2B3(Bebida Presente e Período Noite)

3. Ta e a 1. ANOVA para a variável estudada C. Variação Blocos ratamento

GL 3 3

SQ 32,19 652,19

QM 10,73 217,40

F 118,15 (p<0,001)

A

1

48,07

248,07

134,82 (p<0,001)

B

1

390,07

390,07

212,00 (p<0,001)

A´ B

1

14,05

14,05

7,64 (p<0,05)

esíduo Total

9 15

16,56 700,94

1,84


FINT = 7, 64( p < 0, 05) ; ou seja, o resultado do teste da interação dos fatores A e B é signi cante, in ican o que á necessi a e e estu o conjunto

dos fatores para a discussão dos resultados.

5

ANÁLISE DE ADERÊNCIA E ASSOCIAÇÃO

INTRODUÇÃO

.

Consi ere o estu o e variáveis a eatórias (que po em ser qua itativas ou quantitativas) cujos elementos da amostra podem ser classi�cados em categorias, ou interva os, ou ain a atributos. Em particu ar, o estu o será apro una o em tabe as e up a entra a em que se apresenta a situação gera , em que duas variáveis aleatórias qualitativas X e Y foram classi�cadas em c categor as para

e categor as para Y.

5.2 TESTE DE ADERÊNCIA

Considere que se tem uma população π e que o objetivo proposto consiste em veri car se e a segue uma istribuição especi ca a π0, ou se a, testar a ipótese H 0 : p = p0 Nesta situação, o teste estatístico comparará o número e casos ocorridos (frequências observadas) em categorias especi�cadas, com o número espera o ( requências espera as) e casos sob a veraci a e a ipótese nu a H 0 O procedimento consiste em considerar classes, segundo as quais a variáve X, característica em estu o a popu ação, po e ser c assi ca a (a variáve X pode ser qualitativa ou quantitativa). A situação geral com c categorias pode ser apresentada conforme Tabela 5.1.


Distribuição do número de casos segundo classe de X Classe de X

Número de casos

Classe 1

n1 ( o1 )

Classe 2

n2 ( o2 )

Classe c

nc ( oc )

Total

n( oi)

Lembrar que:

n1 + n2 + ... + nc = n , ou seja, o1 + o2 + ... + oc = o i (total e casos). O número e casos (ocorrências) a classe de frequência observada na classe e indicado por oi , com i = 1,..., c .

esigna o por ni , será nomin o

As hipóteses são apresentadas como: H 0 : p1 = p01 ; p2 = p02 ;pc = p0 c ; H1 : Existe pi ¹ p0i para algum i

s frequências esperadas e ) do modelo multinomial ( c classes) são obtidas sob a veracidade de H , especi�cadas na expressão: ei = np0 ; onde i

o número tota e casos e

p0i

é

a proporção teórica a c asse expressa em H 0

A estatística2 do teste, sob veracidade de H 0 , é dada por c ( o − ei ) 2 c =∑ i ~ c(2c−1) , com a regra e ecisão abitua (isto é, χ2 ≥ χ(2α ;c−1), rei=1

ei

e ta-se H 0 Caso contrário, não á rejeição). Deve ser consi era o a uni ateralidade direita do teste, pois quanto maiores os afastamentos entre as frequências observa as e espera as mais expressiva torna-se a a ta e a erência os dados ao modelo proposto e, em consequência, mais provável a veracidade de H 1 em favor da rejeição de H 0 .

O emprego apropria o o teste recomen a sua uti ização somente quan o não existir mais de 20% das caselas com frequências esperadas menores que 5. A prática biológica permite a junção de classes adjacentes para contornar essa situação sempre que possíve . Na sequência serão apresentados dois exemplos para o estudo da aderência.

Análise de Aderência e Associação | Exemplos 1.

Um modelo genético especi�ca que animais de certa população devem estar c assi ca os em quatro categorias, nas proporções 8:1:1:2. Numa amostra de 180 animais da população encontra-se 116, 15, 20 e 29 animais de cada categoria, respectivamente. Veri�car, no nível de signi�cância 5%, se os a os estão e acor o com o mo e o genético especi ca o. Categoria C1 C2 C3 C4 Total

Frequência Observada 116 15 20 29 180

H 0 : Modelo Especificado 8:1:1:2 8 1 1 2 p01 = ; p02 = ; p03 = ; p 04 = 12 12 12 12 H 1 : Existe pi ¹ p0i , para pelo menos um i(i = 1, 2, 3, 4)

Frequências Espera as 8 12 1 ategoria 2 → e2 = 180× = 15 animais , 12 1 Categoria 3 → e3 = 180× = 15 animais , 12 2 ategoria 4 → e4 = 180× = 30 animais 12

Categoria 1 → ei = 180× = 120 animais ,

ogo, tem-se 2

2

c =

(116 −120) 120

2

+

(15 −15) 15

2

+

(20 −15) 15

2

+

(29 − 30) 30

= 0,133 + 0,0000 +1, 667 + 0,033 = 1, 833

 α = 0, 05 

c=4

2 2  χ(0,0 5;3) = 7, 81 ∴ χ = 1, 833( p > 0,05) 

Não há rejeição de H 0 no nível de 5% de signi�cância. Ou seja, a amostra e animais está em acor o com mo e o genético especi ca o. 2.

Considerando-se uma amostra de 100 descendentes de uma população, veri car (níve

e 5% e signi cância) a a equabi i a e os a os ao

modelo genético – Equilíbrio Hardy-Weinberg.

| DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS H : Equilíbrio Hardy-Weinberg (Eq HW)

Aa

Aa

AA

Aa

aa

¼

½

¼

π01 = 1

Genótipo A a aa Total

Frequência Observada 26 35 39 100

1 1 1 ; π02 = ; π03 = 4 2 4

: Não há Eq HW na descendência

Frequência Esperada Gen tipo AA → e1 = 100× 1 = 25 4 1 e2 = 100× = 50 2 1 e3 = 100× = 25 4

Genótipo Aa → Gen tipo aa → Logo, tem-se 2

c2 =

(26 − 25) 25

2

+

(35 − 50) 50

2

+

(39 − 25) 25

= 0, 04 + 4, 50 + 7, 84 = 12, 38

α = 0, 05 

c =3

2 2  χ(0,0 5;2) = 5, 99 ∴ χ = 12, 38( p < 0, 05) 

Para α=0,05, há rejeição de H 0, ou seja, a população não segue o equilíbrio Har y-Weinberg. .

TESTE DE HOMOGENEIDADE

Considere m populações π , π ,..., πm distribuídas em c categorias mutuamente exc usivas. Objetiva-se veri car se as

opu ações

(π1,...,π ) podem ser representadas por uma distribuição comum a todas (H 0 : p1 = p2 =  = pm ) contra a alternativa em que pelo menos duas são dis-

t ntas (H1 : Existe pi ≠ pi ’ para i ≠ i ’; i,i ’ = 1,, m) Contemplando as m populações em c categorias, as frequências obser vadas podem ser apresentadas na tabela de dupla entrada m c (Tabela de x

ontingência m c x

Análise de Aderência e Associação | Ta e a 5.2 Resultados da categoria segundo população

População

Categoria

Total

C 1

C 2

...

C c

P 1

o11

o12

...

o1 c

o1i

P 2

o21

o22

...

o2 c

o2 i











P m

om1

om2

...

omc

omi

Total

oi1

oi2

...

oi c

oii

A hipótese de nulidade a ser testada é estabelecida como: p11 = p21 =  p12 = p22 = H 0 :      p1c = p2c =

 

= pm1 = pm2

, ou equivalentemente, π = π =...=πm; contra

 

= pmc

a alternativa H 1 : pe o menos uma as igua a es não é veri ca a.

As frequências esperadas, considerando-se a hipótese H 0 verdade são obti as como: eij = oi• ×p j =

oi• × o• j , para i = 1,..., m e j = 1,..., c o••

Sob a veraci a e

e H0, a estatística

o teste é

a a por:

2

( oij − eij ) 2 2 c = ∑∑ ~ c(m−1)(c−1) , com a regra de decisão habitual. Ou seja, e i=1 j=1 ij m

c

χ2 ≥ χ(2α ;( m−1)(c−1))

re e ta-se

; caso contrário, não á rejeição.

Exemplos

. Duas novas rogas vão ser testa as em 200 pessoas porta oras e rinite alérgica. Metade das pessoas recebe a droga A e a outra metade recebe a roga B. Consi eran o os a os apresenta os a seguir, teste a ipótese e


que as duas drogas são igualmente e�cazes para tratar a doença (adotar =0,05 . Droga

Eficaz

Total

Não

Sim

A

5

75

100

B

32

68

100

otal

57

143

00

H 0 :Droga A = Droga B p11 = p21  p12 = p22 H 1 :Droga A ≠ Droga B

Frequências Esperadas 57×100 = 28, 5 200 143×100 e12 = = 71, 5 200 57×100 e21 = = 28, 5 200 e11 =

e22 =

143×100 = 71, 5 200 2

2

c =

(25 − 28, 5) 28, 5

2

+

(32 − 28, 5) 28, 5

2

+

(75 − 71, 5) 71, 5

2

+

(68 − 71, 5) 71, 5

= 0, 43 + 0, 43 + 0, 17 + 0, 17 = 1, 20

 α = 0, 05

m=2 c=2

 2 2  χ(0,0 5;1) = 3, 84 ∴ χ = 1, 20( p > 0, 05)  

No níve e 5% e signi cância, não á rejeição e H 0 . Isto é, as uas rogas são igualmente e�cazes, no nível de 5% de signi�cância. 2.

Foram consi era as as istribuições o tipo sanguíneo o sistema MN em três populações (grupos) de indivíduos, conforme dados apresentados abaixo:

Análise de Aderência e Associação | Grupo Controle Gastrite Úlcera Total

Tipo Sanguíneo MM MN NN 50 40 50 15 15 5 5 22 8 0 77 83

Total 140 55 55 250

Veri car, no níve e 5% e signi cância, se á i erença entre os grupos quanto a distribuição do tipo sanguíneo (isto é, se a patologia está associada ao sistema sanguíneo). H 0 : Controle = Gastrite = lcera H 1 : Existe pelo menos uma diferença entre os grupos

A seguinte tabe a e requências espera as po e ser e abora a: Grupo Controle Gastrite lcera otal

2

c2 =

(50 − 50, 40) 50, 40

MM 50,40 19,80 19,80 90

Tipo Sanguíneo MN NN 43,12 46,48 16,94 18,26 16,94 18,26 77 83

2

+

(40 − 43,12) 43,12

Total 140 55 55 50

2

+ +

(8 −18, 26) 18, 26

c2 = 0,0032 + 0, 2258 + 0, 2666 + 1, 1636 + 0, 2222 + 2, 4878 + 1, 3657 + 1, 5114 + 5, 7649

c2 = 13, 01

 α = 0, 05

m=3 c =3

 2 2  χ(0,0 5;4) = 9, 49 ∴ χ = 13, 01( p < 0, 05)  

Há rejeição de H , ou seja, no nível de 5% de signi�cância os grupos diferem quanto a istribuição o tipo sanguíneo (a pato ogia está associa a ao sistema sanguíneo).


TESTE DE INDEPENDÊNCIA

.

Uma situação muito interessante na área bio ógica consiste em consi erar duas características (variáveis biológicas) avaliadas numa amostra de indi víduos e, veri�car se a probabilidade de um indivíduo qualquer ser classi�cado nas categor as i (i = 1,..., m) e j ( j = 1,..., c ) simu taneamente, po e ser obti a pe o produto das probabilidades marginais. Ou seja, veri�car se as duas características são independentes. Consi eran o a tabe a e up a entra a com m in as e c co unas, objeti va-se testar as hipóteses: H 0 : pij = pi• ×p• j para to o par ( i, j



as características estu a as são

in epen entes; H 1 : pij ≠ pi• ×p• j para algum par ( i, j )



as características estudadas são

epen entes. As frequências esperadas, considerando-se H verdade, são dadas por oi• o• j . Resultado idêntico ao utilizado no teste de homogeneidade. eij = o••

Sob a veraci a 2 e

2

c =

m

c

( oij − eij )

=

=

eij

∑ ∑ i 1 j 1

e H0, a estatística

o teste é expressa como

~ c(2m−1)(c−1) , com a regra de decisão habitual.

Exemplos 1.

A tabela a seguir relaciona resultados de uma pesquisa obtidos de uma amostra a eatória e vítimas e i erentes crimes. Uti izan o a=0,05, veri car se o tipo de crime é independente do fato do criminoso ser um estranho. Criminoso Estranho Conhecido Total

Homicídio 15 45 60

Crime oubo 400 100 500

ssalto 230 10 440

Total 645 355 1000

Análise de Aderência e Associação |

para todo    ⇔ Independência entre criminoso ser estranho e tipo de crime; H 0 : pij = pi• ×p• j  i = 1,2;j = 1,2,3 para algum   ⇔ Dependência entre criminoso ser estranho e tipo de crime. H 1 : pij ≠ pi• ×p• j  i = 1,2;j = 1,2,3

Frequências Esperadas 60×645 = 38, 7 ; e12 = 500×645 = 322, 5 ; e13 = 440×645 = 283, 8 1000 1000 1000 60×355 e21 = = 21, 3 ; e22 = 500×355 = 177, 5 ; e23 = 440×355 = 156, 2 1000 1000 1000 2 2 2 15 38 , 7 400 322 , 5 210 156 , 2 − − − ( ) ( ) ( ) c2 = + + + = 38, 7 322, 5 156, 2 e11 =

c2 = 14, 51 +18, 62 +10, 20 + 26 ,37 + 33, 84 +18 ,53 = 122 ,07

 α = 0, 05

m=2 c =3

 2 2  χ(0,0 5;2) = 5, 99 ∴ χ = 122, 07 ( p < 0, 001)  

No níve e 5% e signi cância existe epen ência entre o tipo e crime cometi o e o ato o criminoso ser um estran o. . Os resu ta os a c assi cação e 100 pessoas segun o a cor os o os e o cabelo foram os seguintes: Cor do Cabelo Claro Escuro Total

Cor dos Olhos Castanhos Azuis 13 18 24 24 37 42

Cinza 9 12 21

Total 40 60 100

No nível de 5% de signi�cância a cor dos olhos está relacionada com a cor o cabe o? H 0 : Há independência entre a cor dos olhos e a cor do cabelo (pij = pi• ×p• j ) H 1 : Há dependência entre a cor dos olhos e a cor do cabelo (pij ≠ pi• ×p• j )

Frequências Espera as


40×37 40×21 = 14, 8 ; e12 = 40×42 = 16, 8 ; e13 = = 8, 4 100 100 100 60×37 = 22, 2 ; e22 = 60×42 = 25, 2 ; e23 = 60×21 = 12, 6 e21 = 100 100 100 2 2 2 (13 −14, 8) (18 −16, 8) (12 −12, 6) 2 c = + + + 14, 8 16, 8 12, 6 c2 = 0, 22 + 0, 09 + 0, 04 + 0,15 +0 ,06 +0 ,03 = 0 ,59 e11 =

 α = 0, 05

m=2 c =3

 2 2  χ(0,0 5;2) = 5, 99 ∴ χ = 0, 59( p > 0, 05)  

No níve

e 5% e signi cância não se rejeita H , ou seja, existe in e-

en ência entre a cor os o os e a cor o cabe o. .

1.

EXERCÍCIOS (TESTES DE ADERÊNCIA E ASSOCIAÇÃO)

Suponha que um teste de aptidão verbal tenha sido aplicado a um grupo e 120 a o escentes o gênero mascu ino e 100 o gênero eminino. Os resultados estão a seguir. Qual a conclusão a respeito da associação entre gênero e apti ão verba no níve e 5% e signi cância? Gênero Feminino Masculino Total

Nível de Aptidão Superior Médio Inferior 25 55 0 20 80 20 45 135 40

Total 100 120 220

. Desejan o-se co ocar à prova a ipótese e que a i a e a mãe tem certa in�uência sobre o nascimento de criança prematura, um pesquisador veri cou que, entre 90 casos e prematuri a e, 40 envo viam mães com i a e in erior a 18 anos; 15 envo viam mães e 18 a 35 anos e 35 mães com idade acima de 35 anos. No nível de 5% de signi�cância, isto leva o pesquisador a manter sua hipótese?

Análise de Aderência e Associação | 3.

Em um teste quiquadrado, quanto maior a diferença entre frequências espera as e observa as, maior c ance temos e: a) aceitar (não rejeitar) H 0 ou b) rejeitar H0? Explicar a resposta.

. Consi ere o seguinte resu ta o quanto ao tabagismo os pais e Pais Tabagistas Não Tabagistas

os

Filhos Tabagistas Não Tabagistas 49 16 106 79

Veri�car no nível de 5% de signi�cância a associação entre pais e �lhos quanto ao tabagismo 5.

Conforme a herança mendeliana, a descendência de certo cruzamento de veria ser verme a, preta ou branca na seguinte proporção: 9:3:4. Se um experimento mostrou 74, 32 e 38 escen entes nessas categorias, a teoria está con�rmada, sendo α=0,05?

6.

A seguir são apresenta os a os sobre a presença (ou não) e anoma ia em recém-nascidos vivos segundo o sexo. Sexo Masculino Feminino

Anomalia usente Presente 586 14 674 26

Veri que, no níve e signi cância 5%, se a proporção e recém-nasci os vivos portadores de anomalia é a mesma nos dois sexos. . Com base nos a os apresenta os a seguir, veri car se a con ição e vivo ou natimorto é homogênea nos dois sexos, considerando-se a= , 1. Sexo Masculino Feminino

Condição ivo Natimorto 825 25 960 40


Considere a distribuição de ervilhas do cruzamento de plantas de sementes isas e a bume amare o com p antas e sementes rugosas e a bume ver e. Sementes marelo-lisas marelo-rugosas Verde-lisas Verde-rugosas

Frequência 380 100 130 30

No nível de signi�cância de 5%, os resultados estão de acordo com a teoria ostulada por Mendel (9:3:3:1, para as classes de sementes). 9.

Consi ere uma amostra o mês e nascimento e 200 po íticos brasi eiros. Veri�car (α=0,05) a hipótese de que o mês de nascimento tem uma distribuição uni orme nos po íticos brasi eiros. Mês Frequência

10.

Jan 16

Fev 18

Mar 13

Abr 15

Maio 16

Jun 12

Jul 0

Ago 20

Set 18

Out 14

Nov 18

Dez 20

Numa Universi a e, os estu antes e ois programas e pós-gra uação diferentes são submetidos ao mesmo exame de conhecimentos de redação cientí ca. Os conceitos obti os oram os seguintes: Programa de PG XY WZ

Fraco 16 18

Conceito Regular Bom 8 0 12 6

Excelente 2

No nível de signi�cância 5%, a distribuição dos conceitos é homogênea nos dois programas? . Numa pesquisa 120 pares de gêmeos foram classi�cados segundo o sexo e a ordem que ocorreu o nascimento.

Análise de Aderência e Associação |

Primeiro a nascer Masculino Feminino

Segundo a nascer Masculino Feminino 38 2 26 34

No níve e signi cância 5% veri car se o sexo e a or em e nascimento são independentes. . Foram amostra os 120 pares e gêmeos c assi ca os e acor o com o sexo com o seguinte resultado: Situação Frequência

Dois meninos 34

Duas meninas 38

Um menino e Uma menina 48

eri�car, no nível de signi�cância 5%, se a classi�cação do sexo está em acor o com o mo e o binomia B (2; 1 2 ) 5.6 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS (TESTES DE ADERÊNCIA E ASSOCIAÇÃO)

c2 = 3, 40( p > 0, 05) 2.

c2 = 11, 67( p < 0, 01)

3.

Quanto mais os va ores observa os se a astam os espera os, têm-se maiores desvios (sendo o numerador do cálculo elevado ao quadrado) e, ortanto, aumenta a c ance e rejeitar a ipótese e nu i a e (H . c2 = 6, 68( p < 0, 01)

5.

c2 = 1, 64( p > 0, 05) c2 = 2, 07( p > 0, 05) c2 = 1, 52( p > 0, 05)

8.

c2 = 7, 78( p > 0, 05) c2 = 5, 08( p > 0, 05)

2 10 c = 2, 47( p > 0, 05)

| DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS 2 11 c = 4, 82( p < 0, 05)

1

c2 = 5, 07( p > 0, 05)

6

CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES

6.1 INTRODUÇÃO

Nas áreas biológicas, em algumas situações, o pesquisador está interessado em estu ar a maneira como uas variáveis X e Y estão associa as e, mais ain a, me ir o seu grau e associação. A guns exemp os que po em esc arecer essa situação são bastante comuns em nosso cotidiano, quais são: a�rmar que a pressão arteria aumenta quan o a i a e avança; a a tura e uma árvore está relacionada ao perímetro do tronco; o desempenho de um atleta melhora com o treinamento, e assim por diante. Em to as as situações estão sen o consi era os, simu taneamente, os valores de duas variáveis aleatórias mensuradas num mesmo indivíduo, isto é, observações parea as. Como já escrito anteriormente, busca-se veri car qua o senti o e a intensi a e a associação entre as variáveis, mas jamais uti izar essa busca como uma relação de causa e efeito. Ou seja, a observação de que uas gran ezas po em variar simu taneamente no mesmo senti o ou em sentidos contrários, não implica a presença de um relacionamento causal entre elas. No presente texto será consi era o que a associação entre as variáveis pode ser estudada por meio de uma relação linear, ou seja, os pares de pontos istribuí os na vizin ança e uma reta. Para me orar o enten imento entre corre ação e causa i a e, supon a, por exemplo, uma associação positiva entre o consumo de líquido de uma cia e e o número e internações por esi ratação. A a ácia a causa i a e po eria evar a iminuição e ingestão e íqui o para iminuir o número de internações por desidratação. Lógico, que neste caso, uma terceira ou mais


variáveis (temperatura, umidade relativa do ar,...) podem estar causando a corre ação entre consumo e íqui o e número e internações. Essas variáveis são denominadas de variáveis intercorrentes (não conhecidas) e a falsa correlação que e as ornecem é c ama a e corre ação espúria. 6.2 DIAGRAMA DE DISPERSÃO

O diagrama de dispersão consiste de um grá�co bidimensional (sistema de eixos cartesianos (X,Y)) onde são alocados os

pares de observações das

variáveis a eatórias X e Y. O objetivo do diagrama de dispersão é possibilitar a visualização da relação existente entre as variáveis X e Y. Se os pontos estiverem oca iza os na vizin ança e uma reta á in icação e corre ação, se X e Y crescem no mesmo sentido, a indicação é no sentido de correlação positiva, caso a variação aconteça no senti o oposto (contrário), existe corre ação negativa entre as variáveis. A Tabe a 6.1 apresenta o esempen o ísico e psico ógico e mu eres obesas submetidas aos testes relativos à qualidade de vida das participantes. Desempenho físico e psicológico de mulheres obesas submetidas ao “Deep water running and quality of life in obese women (Arquivos Médicos do ABC, v.32, p.5-10, 2007 ” Tabela 6.1

Mulher M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8

D. Físico (%) 30 40 75 50 35 60 70 55

D. Psicológico (%) 35 50 70 50 30 65 55 55

Correlação Linear Simples | D. Psicológico 80 70 60 50 40 30 20

0

30

40

50

60

70

80

0 D. Físico

gura .1 Diagrama de Dispersão dos Domínios Físico (%) e Psicológico (%)

A inspeção visua , mostra e maneira subjetiva, a ten ência inear nas observações no sentido positivo, ou seja, as mulheres mostraram associação ireta nas respostas os omínios ísico e psico ógico. A intensi a e essa associação po e ser mensura a, objetivamente, pe o coe ciente e corre ação linear de Pearson, sendo que a intensidade será tanto maior quanto menor for a ispersão os pontos em re ação à ten ência inear. 6.3 COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO

A medida do grau (intensidade) de associação linear entre duas variáveis aleatórias quantitativas (numéricas) pode ser estabelecida pelo coe�ciente de corre ação e Pearson, representa o por r e expresso para n pares (x , y uma amostra aleatória das variáveis X e Y como: r =

Sxy , on e Sxx S yy n

n

i =1

i=1

Sxy = SP ( X ,Y ) = ∑( x i − x )( y i − y ) = ∑ x i y i − nxy ; n

2

n

Sxx = SQ ( X ) = ∑( xi − x ) = ∑ xi2 − nx 2 ; i=1 n

i=1 n

S yy = SQ (Y ) = ∑( yi − y ) = ∑ yi2 − ny 2 . i=1

2

i=1

e


Algumas considerações interessantes podem ser feitas a respeito do valor e r a)

−1 ≤ r ≤ 1 ;

b

r = +1 , corre ação per eita positiva (to os os pontos estão sobre uma

in a reta crescente ; c)

r = −1 , correlação perfeita negativa (todos os pontos estão sobre uma

in a reta ecrescente ; d)

r = 0 ; correlação nula (ausência de associação linear entre as variáveis

X e Y); e

r é a imensiona .

A seguir serão apresentados dois exemplos para o cálculo da correlação inear simp es. Exemplos 1.

Considerando os dados da Tabela 6.1, tem-se: 8

x i = 30 ++ 55 = 415 , portanto, x = 51, 875 ; ∑ i 1 =

8

x 2i = 302 ++ 552 = 23375 ; ∑ i 1 =

Sxx = SQ ( X ) = 23375 − 8×51, 8752 = 1846 ,875 ; 8

y i = 35 +  + 55 = 410 , portanto, y = 51, 25 ; ∑ i 1 =

8

y i2 = 352 ++ 552 = 22300 ; ∑ i 1 =

S yy = SQ (Y ) = 22300 − 8×51, 252 = 1287 ,5 ; 8

xi y i = 30×35 + 40×50 + + 55×55 = 1050 + 2000 + + 3025 = 22625 ; ∑ i 1 =

Sxy = SP ( X ,Y ) = 22625 − 8×51, 875×51,25 = 1356 ,25 ;

ogo r =

1356, 25 1356, 25 = = 0,8795 ≈ 0,88 1542 , 0284 1846, 875×1287 ,5

Correlação Linear Simples |

A magnitude da associação linear entre as variáveis é da ordem de 0,88, mostrando que as mulheres que tiveram maiores porcentagens no domínio físico são também as de maiores valores percentuais no domínio psicológico. . Consi ere as seguintes notas em Bioestatística e Bio ísica e 11 a unos e Ciências Biológicas selecionados aleatoriamente entre todos os matriculados, conforme Tabela 6.2 Notas de 11 alunos em Bioestatística e Biofísica

Tabela 6.2

Aluno Bioestatística (X) Biofísica (Y)

B 8,1 6,5

6,7 ,2

11

x i = 66, 0 , logo ∑ i 1

x = 6, 0 ;

2

D 4,2 7,5

E 5,3 8,5

F 4,0 7,8

11

y i = 88, 0 , logo ∑ i 1

G 7,1 7,7

H 6,4 7,9

I 6,0 8,1

J 6,8 8,2

K 4,9 8,5

y = 8, 0 ;

=

=

11

C 6,5 8,1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

∑(xi − x ) = (0, 7) +(2,1) +(0, 5) +(−1,8) +(−0, 7 ) +(−2,0 ) +(1,1) + (0, 4) i=1

2

2

2

+(0, 0) + (0, 8) + (−1,1) = 16,1 ; 11

2

( yi − y ) ∑ i 1

2

2

2

2

2

= (1, 2) + (−1, 5) + (0,1) + (−0, 5) + (0, 5) + (−0, 2 ) + (−0, 3)

=

2

2

2

2

+(−0,1) + (0,1) + (0, 2) + (0, 5) = 4, 64 ; 11

( xi − x )( yi − y ) = (0, 7)(1, 2) + (2,1)( −1,5) + (0, 5)(0,1) + + (0,8 )(0, 2) + (−1,1)(0, 5 ) = −2,07 ; ∑ i 1 =

r =

−2, 07 −2, 07 = = −0, 24 8 , 64 16,1×4,64

O coe ciente e corre ação negativo (-0,24) mostra que os a unos com maiores notas em Bioestatística estão com menores notas em Biofísica, e vice versa. Porém, deve ser observado que o valor r = −0, 24 expressa uma fraca corre ação inear negativa entre as variáveis.

| DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS 6.4 TESTE DE HIPÓTESE DA CORRELAÇÃO

Consi eran o as variáveis a eatórias X ~ N (µx , σx 2 )

Y ~ N (µy , σ 2y ) , as

hipóteses a respeito da ausência ou presença de associação linear entre as variáveis X e Y podem ser estabelecidas como: H 0 : rxy = 0 (ausência e associação inear entre as variáveis X e Y H 1 : rxy ¹ 0 (presença de associação linear entre as variáveis X e Y). r n −2 ~ t (n−2) , Sob a veracidade de H 0 a estatística do teste é dada por: t = 2 1− r t t ≥ com a regra e ecisão abitua ( ou seja, se (a ,n−2) , rejeita-se a ipótese 2

; caso contrário, não há rejeição). A ternativamente, o va or o resu ta o o coe ciente e corre ação inear e Pearson ( r ) po e ser compara o com os va ores críticos a Tabe a 9.9, com a seguinte regra de decisão: e r > r (

a

2 ;n )

, re e ta-se H 0 ao níve a (0,05 ou 0,01) e signi cância estabe-

lecido. Caso contrário, não há rejeição da hipótese nula (ausência de associação linear entre X e Y). Exemplos

. Consi eran o os a os a Tabe a 6.1 e a= , 5, tem-se H 0 : rxy = 0 (ausência e associação inear H 1 : rxy ¹ 0 (presença de associação linear)

0, 88 6 2,156 = = 4, 54( p < 0, 01) 2 0 , 475 1− 0, 88 α = 0, 05 t = 2, 45; t > 2, 45 , portanto, rejeita-se H . ϕ = 8 − 2 = 6 (0,025 ;6) t=

}

No níve

e signi cância 5% existe associação inear entre os omínios

físico e psicológico.

Correlação Linear Simples | 2.

Considerando os dados das notas de Bioestatística e Biofísica da Tabela 6.2, tem-se: H 0 : rxy = 0 (ausência de associação linear) H 1 : rxy ¹ 0 (presença e associação inear t=

−0, 24 9 2

1−(−0, 24)

}t

α = 0, 05 ϕ=9

(0 ,025 ;9)

−0, 72 = = −0, 74 ( p > 0, 05)

0, 97

= 2, 26; t < 2, 26 , não se re e ta

No níve e signi cância 5%, não oi possíve mostrar associação inear entre as notas de Bioestatística e Biofísica nos alunos de Ciências Biológicas. 6.5 EXERCÍCIOS (CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES)

. Um antropó ogo me iu a argura e o comprimento e 30 crânios amostrados de uma população, obtendo um coe�ciente de correlação r =0,75. Suon o α=0,05, veri car se existe associação entre as variáveis. 2.

Os valores das variáveis X e Y devem ser medidos na mesma unidade para que se possa ca cu ar o coe ciente e corre ação inear?

3.

Considere a idade gestacional (semanas) e o peso ao nascer (kg), de uma amostra casua e 10 recém-nasci os no HC/UNESP-Botucatu(SP). Recém-nascido Idade Gestacional Peso ao Nascer

RN1 34 1,60

RN2 35 1,70

RN3 37 2,00

RN4 32 1,55

RN5 42 4,30

RN6 40 3,00

RN7 41 3,40

RN8 39 3,30

RN9 28 1,25

RN10 38 ,35

No níve e signi cância 5%, veri car se existe associação inear entre a i a e gestaciona e o peso ao nascer.


Em um experimento com carneiros foram determinados os seguintes resu ta os no p asma os animais: Carneiro Conc. Albumina (g%) Horm. Crescimento (mμg/ml)

1 2,3 41,4

3,5 48,6

3 4,8 56,4

4 1,9 40,3

5 ,7 45,3

6 5,8 61,4

7 4,6 52,0

8 5,4 54,0

9 3,9 42,8

Veri�car se existe associação linear ( a=0,05) entre a concentração de albumina e o ormônio e crescimento no p asma e carneiros. 5.

Apresenta-se a seguir uma matriz de correlação para instrução (X), salário (Y e i a e (Z e uma amostra e 50 in iví uos. Variável Variável

Instrução

Salário

Idade

Instrução

1,00

0,60

-0,40

1,00

,50

Salário Idade

1,00

Quais são signi�cantes no nível 0,05? . A corre ação entre apti ão matemática e ínguas estrangeiras, basea a em testes para medir aptidões, está por volta de 0,40. Qual deve ser o tamanho de uma amostra de estudantes para estarmos certos (nível de signi�cância 5%) e que o va or o r obti o re utaria a ipótese H 0 : r = 0 7.

Como deve ser afetado o valor do coe�ciente de correlação r se trocarmos as vari veis X por Y e Y por X

8.

Dê um exemplo de duas variáveis que, sem dúvida, estão altamente relaciona as mas para as quais o va or e seria pequeno pe o ato e a re ação não ser linear.

. Consi ere os seguintes a os re ativos a a tura e peso e 10 estu antes e uma sa a e au a e veri que, no níve e signi cância 5%, se as variáveis estão associadas linearmente.

Correlação Linear Simples | Estudante

E

E2

E

E4

E

E6

E7

E8

E9

E10

Altura

124

161

126

184

172

140

158

135

180

174

Peso

65

76

64

95

86

68

70

68

92

87

10. Indique o erro na conclusão

Fato: Há uma associação inear signi cante (p<0,05) entre a ren a pessoa e o número de anos de escolaridade. Conc usão: Mais instrução tem como resu ta o maior ren a pessoa . . Como é afetado o valor do coe�ciente de correlação linear quando se adiciona a mesma constante a cada valor da variável X? 12. Com base em uma amostra de 38 pares de valores foi obtido o coe�ciente

de correlação r =0,45. Teste (α=0,05) a hipótese de que o coe�ciente de corre ação as variáveis é zero. 13. Veri�car se existe associação signi�cativa (α=0,05) entre horas de estudo e

nota a prova, segun o os a os abaixo: luno Horas de estudo Nota da prova

A 5

B 1 2

C 3 4

D 5 7

E 8

F 3 5

G 6 7

H 7 10

I 7 8

K 6 6

L 2 3

M 3

. Um coe ciente e corre ação inear e Pearson, basea o em uma amostra de tamanho 18, foi calculado como 0,45. Pode-se concluir, no nível de 5% de signi�cância, que há associação entre as variáveis X e Y? . Para uma amostra de tamanho 11, determinar o valor mínimo do coe�ciente de correlação r , de modo que a hipótese de ausência de associação inear entre X e Y( H 0 ) seja rejeita a ao níve e con ança 99% (isto é, sempre que r > r (0,0111 ; ) ). 1

. Nas questões seguintes aprofunde a discussão no erro de conclusão. . Fato: Há uma correlação linear signi�cativa entre a renda pessoal e o


número de anos de escolaridade. Conclusão: mais instrução tem como resu ta o maior ren a pessoa . b.

Fato: Indivíduos fazem um teste de habilidade verbal e um teste

e

estreza manua ; os pares

um coe ciente

e observação acusam

e corre ação inear muito próximo

e zero.

Conclusão: Não há qualquer relacionamento entre os escores dos dois es es. 17.

Explique o que está errado na seguinte a�rmação: “Determinou-se uma associação inear orte, expressa pe o va or =1,16, entre a ava iação o ensino ministra o pe a universi a e in ica a pe os estu antes e outra eito or membros externos à instituição”.

6.6 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS (CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES)

t = 6, 00( p < 0, 001) 2.

Não. Basta que sejam variáveis quantitativas

3.

r = 0, 900 ; t = 5, 84( p < 0, 001) r = 0, 914 ; t = 5, 96( p < 0, 001) t(INST×SAL) = 5, 20( p < 0, 001) t(INST×IDADE ) = −3, 02( p < 0, 01) t(SAL×IDADE) = 4, 00( p < 0, 001)

6.

No mínimo composta por 25 estudantes

. O va or permanece ina tera o 8.

Quanti a e e a ubação no so o e pro ução

9.

r = 0, 949 ; t = 8, 52( p < 0, 001)

1

. A conc usão está azen o uma re ação e causa e e eito, quan o na rea idade existe apenas uma associação linear

Correlação Linear Simples | 11.

O valor permanece inalterado

12 t = 2, 70( p < 0, 05) 13 r = 0, 921 ; t = 7, 48( p < 0, 01)

t = 2, 02( p > 0, 05) r ³ 0, 7348 ; por an o r = 0, 7348 (va or mínimo 16. a.

Relação de causa e efeito para um indicativo apenas de associação.

. b) Não á associação inear, ato que não exc ui a possibi i a e e outro tipo de relação. 17. O valor de r não pode ser

maior que a unidade.

7

REGRESSÃO LINEAR SIMPLES

.

INTRODUÇÃO

Os enômenos bio ógicos, quase que na p enitu e as situações, po em ser explicados por meio de modelos matemáticos e estocásticos (modelos matemáticos que incorporam e ementos probabi ísticos). Um mo e o comum e e áci enten imento bio ógico que tem si o uti iza o para estu ar a re ação funcional entre duas variáveis consiste na função linear simples (Y = a +bX ) . Neste mo e o, a i éia consiste em estu ar a variação a variáve a eatória contínua Y (variável dependente, variável resposta ou variável exógena) em função de uma variável �xa X, isto é, determinística (variável independente, variáve exp anatória ou variáve en ógena). Por exemp o, veri car as que as na quantidade de açúcar no sangue de coelhos submetidos a doses diferentes e insu ina ( oses contro a as . Para me or enten imento, consi ere o seguinte experimento rea iza o na área de Bioquímica. Um bioquímico colocou plasma humano em cinco tubos e ensaio e epois a icionou procaína (quanti a e xa em ca a tubo). Essa substância é um anestésico oca que se ecompõe por i ró ise. Para estu ar a velocidade da hidrólise, o pesquisador observou, em tempos de�nidos e diferentes (4 min., 8 min., 12 min., 16 min. e 20 min.), a quanti a e (mo es/ itro) de procaína hidrolisada em cada tubo de ensaio. Esquematicamente:

1


41 33 23 16 6

4 min

8 min

2 min

16 min

20 min

Considerando o tempo com variável independente (X) e a quantidade de procaína i ro isa a, como a variáve

epen ente (Y), como estabe ecer o

mo e o a resposta inear e Y em unção e X?

7.2 MODELO DE REGRESSÃO LINEAR SIMPLES

A origem do termo regressão deve-se a Sir Francis Galton ( 1822-1911 ), inglês de classe alta que estudou medicina em Cambridge e explorou a África antes e se e icar ao estu o a ere itarie a e. A ata o pioneirismo o uso aconteceu por volta de 1885, quando estava investigando relações antropométricas e sucessivas gerações, em resposta a seguinte interrogativa que fazia: Se as alturas das pessoas estão distribuídas normalmente em cada geração, e se a altura é hereditária, qual é a relação entre as gerações?”. Uma das constatações veri ca a por Ga ton apontava que ca a particu ari a e e um omem é transmiti a aos seus escen entes, mas, em mé ia, numa intensidade menor. Ou seja, embora pais com baixa estatura tendam a ter �lhos também com baixa estatura, os

os têm a tura mé ia maior que seus pais. Fato

semelhante, em sentido reverso, ocorre com pais com estatura alta. Isto é, os �lhos apresentam estatura alta, mas, em média, menor que seus pais. Galton chamou esse fenômeno de regressão para a mediocridade”.

Regressão Linear Simples | 1

Em sua análise, Galton denominou esse fenômeno de a altura mover-se em ireção à a tura os pais e regressão, e às vezes e reversão, expressa o num artigo de 1885, publicado no Journal of the Anthropological Institute (Bussab & Morettin, 2003 . No contexto matemático, que não oi o caso e Ga ton, o ajuste e uma linha reta a quaisquer dados de duas variáveis quantitativas pode ser feito pelo méto o os mínimos qua ra os cria o pe o matemático rancês Legen re, por volta de 1805, cujo procedimento de obtenção dos parâmetros envolvidos no modelo linear será objeto de estudo no presente texto. Em re ação ao experimento a procaína, inicia mente, como aná ise exploratória, torna-se interessante representar os pares de pontos ( xi , y i ) em um grá co no sistema cartesiano para veri car se á uma ten ência inear nos a os. Caso exista a ten ência, o passo seguinte consiste em estabe ecer o modelo de resposta linear Y = a +bX . Se não for veri�cada a tendência, a alternativa seria procurar outros mo e os (não- ineares), cujo en oque não será abor a o neste texto. Para o grá�co considere a Tabela 7.1 de valores do tempo e da quantidade e procaína i ro isa a.

1 4 | DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS Ta e a 7.1 Valores observados nos tubos de ensaio

Tempo (X) Quantidade hidrolisada (Y)

4 6

8 16

12 23

16 33

0 1

Quantidade Hidrolisada (moles/litro) 45 40 35 30 5 0 15 10 5 0 0

4

8

gura 7.1

12

16

20

Tempo (min)

iagrama de dispersão dos dados

Como pode ser visualizado existe uma tendência linear nos valores observa os no experimento. Então, in aga-se: como procurar a equação a reta que “melhor” descreve a hidrólise da procaína em função do tempo que foi adicionado no plasma? Ou seja, como proceder ao ajuste de uma regressão inear simp es (RLS) ao conjunto e a os? Ajustar uma RLS aos dados signi�ca encontrar a equação da reta que melhor descreve o fenômeno biológico. Um procedimento matemático que permite encontrar esse mo e o e resposta enomina-se Méto o e Mínimos Quadrados (MQ), cujo objetivo consiste em minimizar a soma dos quadrados os erros (ou esvios). Para o ajuste a RLS e, posteriormente, para os testes e ipóteses as seguintes pressuposições são básicas: . A relação entre as duas variáveis é linear. . Os valores de X são �xos, isto é, X é variável determinística. ii .

A variabilidade de Y, para qualquer valor dado de X, é sempre a mesma.

Regressão Linear Simples | 1 iv.

O erro de uma observação não está correlacionado com o erro de outra observação (erros não corre aciona os).

. Para qualquer dado valor de X, Y tem distribuição condicional normal ( E ( y x ) = α + β x ; Var ( y x ) = σ 2 .

Como escrito anteriormente, encontrar os estima ores e mínimos quadrados para os parâmetros ( a, b) do modelo, consiste em considerar uma amostra a eatória e

pares ( xi , yi ), i = 1,, n ; e minimizar a quanti a e e

informação perdida pelo modelo, ou seja, a soma dos quadrados dos erros dada por: n

n

2 SQ (α, β ) = ∑ e = ∑ ( yi −(α + β xi )) , com ei sen o o i-ésimo erro entre o 2 i

i=1

i=1

valor observado y i e o proposto pelo modelo E ( y xi ) = α + β xi Derivan o SQ (α, β ) em re ação a a b e igua an o a zero, tem-se que as so uções αˆ (ou a e β ˆ (ou b evem satis azer: n

n

ˆ ∑ x = ∑ y ; nαˆ + β i i i=1

i=1

n

n

n

i =1

i=1

i=1

ˆ x2 = x y ; αˆ ∑ xi + β ∑ i ∑ i i

as quais pro uzem as so uções: ˆx ; αˆ = a = y − β n n 2 S xy ˆ = b = ; on e Sxx = ∑ ( xi − x ) = ∑ xi2 − nx 2 β i=1 i=1 Sxx n

n

i =1

i=1

Sxy = ∑ ( xi − x )( yi − y ) = ∑ x i yi − nxy

Portanto, o mo e o e regressão ajusta o é a o como: ˆ x = a + bx = y + b (x − x ) . yˆ i = αˆ + β i i i

No experimento bioquímico, tem-se n = 5 ; X : tempo(min); Y : quantidade hidrolisada (moles/L);

1

| DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS 5

x i = 4 + 8 + 12 +16 + 20 = 60 , ogo x = 12 ; ∑ i 1 =

5

∑ x i2 = 42 + 82 +122 +162 + 202 = 880

;

i =1

Sxx = 880 − 5×122 = 880 − 720 = 160 ; 5

y i = 6 +16 + 23 + 33 + 41 = 119 ∑ i

y = 23, 8 ;

=1

5

xi y i = 4×6 + 8×16 +12×23 +16×33 + 20×41 = 1776 ; ∑ i 1 =

Sxy = 1776 − 5×12, 0×23, 8 = 348 ; b=

Sxy 348 = = 2,175 ; Sxx 160

a = y −bx = 23, 8 − 2,175×12 = −2, 3

ˆ = − 2, 3 + 2,175tempo ogo, yî = − 2, 3 + 2,175x i , isto é, QtHid

O modelo yî = − 2, 3 + 2,175x i , constitui-se num preditor da quantidade de procaína i ro isa a para qua quer tempo consi era o no interva o e 4min a 20min. Além disso, o valor 2,175 (denominado coe�ciente angular da regressão) in ica a variação a variáve Y por uni a e e variação em X, ou seja, para ca a minuto ecorri o a quanti a e e procaína i ro isa a tem um acréscimo de 2,175 moles/litro. O mo e o estima o po e ser representa o no sistema cartesiano por meio de uma reta correspondente à relação linear encontrada entre as variáveis. Então, considerando yî = − 2, 3 + 2,175x i , tem-se: î = − 2, 3 + 2,175(4 ) = 6, 4 ; xi = 4 → y î = − 2, 3 + 2,175(20 ) = 41,2 xi = 20 → y

Regressão Linear Simples | 1 Quantidade Hidrolisada 40 30 0

yî = − 2, 3 + 2,175x i

10

Tempo

7.3 COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO

O coe�ciente de determinação (R ) indica a proporção da variação de Y que é exp ica a pe a reta e regressão, ou seja, uma me i a e precisão o modelo. Portanto, sendo uma proporção seu valor varia entre zero e um, inclus ve (0 ≤ R2 ≤ 1) Fica mais prático interpretar quan o seu va or é expresso em porcentagem, sendo 0% o caso extremo de imprecisão do modelo e, opostamente, 100% a retenção de toda informação do fenômeno biológico explicada pe o mo e o ajusta o. Va ores entre essas porcentagens imites são tão pouco ou mais representativos quanto aos próximos dos extremos que se alinharem. O cálculo do coe�ciente de determinação (R ) envolve a relação entre a soma e qua ra os evi a à regressão e a soma tota e qua ra os expressa na se2 Sxy SQRegressão guinte fórmula: R = . Se não existisse qualquer variação = SQTotal Sxx S yy 2

em torno a reta e regressão (to os os pontos observa os estivessem sobre a reta estimada), não haveria resíduos (erros) e, portanto, a soma de quadrados devida à regressão coincidiria com a soma total de quadrados, resultando R2 = 1,0 (100%) Di ci mente essa con ição acontece em bio ogia, uma vez que

existe sempre uma componente aleatória nas respostas biológicas. No experimento bioquímico, tem-se: 5

5

=

=

x i = 60 , com x = 12 ; ∑ y i = 119 , com ∑ i 1 i 1

y = 23, 8 ;

1

| DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS 5

5

5

x = 880 ; ∑ y = 3591 ; ∑ xi y i = 1776 ; resu tan o, ∑ i 1 i 1 i 2 i

2 i

=1

=

=

Sxx = 160 ; S yy = 758, 8 ; Sxy = 348

3482 = 0, 9975(99, 75%) , mostran o que o mo e o ajustaogo, R = 160×758, 8 2

do explica 99,75% da variação da quantidade de procaína hidrolisada em função o tempo. .

TESTE DO COEFICIENTE (ANGULAR) DE REGRESSÃO

H 0 : b = 0 (não existe RLS de Y em X) H 1 : b ¹ 0 (existe RLS e Y em X).

Sob a veracidade de H , a estatística do teste é dada por t =

(n − 2)R 2 1− R 2

~ t (n−2) ,

com a regra de decisão habitual (rejeita-se H 0, quando t ≥ t (a 2;n−2) ). Alternati vamente o va or a estatística po e ser obti o como: 2  Sxy 1  b Sxx 2 S yy −  , onde Se = t = Sxx  (n − 2) Se

No experimento bioquímico, tem-se

H 0 : b = 0 (ausência e RLS a quanti a e e procaína i ro isa a sobre

o tempo) H 1 : b ¹ 0 (presença e RLS a quanti a e e procaína i ro isa a sobre

o tempo . n = 5 e R2 = 0, 9975 , então t = a = 0, 05

(5 − 2)0, 9975

= 34, 6( p < 0, 001) ;

1− 0,9975 n − 2 = 3 , tem-se t (0,025 ;3) = 3,18 , ogo ( t > t (0,025;3) rejeita-se H

Alternativamente: Sxx = 160 ; S yy = 758, 8 ; Sxy = 348 e b = 2,175 1  3482  2 Se = 0, 7958  = 0, 6333 Se = 758, 8 − 5 − 2  160 

Regressão Linear Simples | 1

t=

2,175 160 = 34, 6( p < 0, 001) 0, 7958

Nesse sentido, conclui-se que existe regressão linear signi�cativa (p<0,001) a quanti a e e procaína i ro isa a em unção o tempo. 7.5 EXERCÍCIOS (REGRESSÃO LINEAR SIMPLES)

1.

Um laboratório está interessado em medir o efeito da temperatura sobre a potência e um antibiótico. Oito amostras e 50 gramas oram armazenaas a i erentes temperaturas, e após uma semana me iu-se a potência. Os resultados estão descritos a seguir. Temperatura (ºC) Potência

30 45

38 41

46 39

54 32

62 28

70 23

78 10

86 17

. Faça a representação grá ca os a os. . Ajuste a regressão linear simples da potência como função da temperatura. . A que temperatura a potência seria nu a? 2.

Sejam X (duração da viagem, em dias) e Y(despesa, em US$, com viagem). Para uma amostra e 102 viagens, obteve-se:

∑ x = 510 ; ∑ y = 7140 ;

∑ x 2 = 4150 ; ∑ y 2 = 740200 e ∑ xy = 54900 a.

Qual a reta de regressão de Y em função de X?

. Uma viagem irá urar sete ias. Qua a estimativa e espesa para a viagem? . Para construir um mo e o inear re acionan o a quanti a e e erros atilográ�cos (Y) e o tempo de experiência (X) em meses, constituiu-se uma amostra casual de 10 funcionários, obtendo-se os seguintes resultados num ricos:

11


n = 10 ; x = 6, 0 ; y = 17, 0 ; Sxx = 100 ; S yy = 644 e r = −0, 993

. Determine o mo e o e regressão inear e Y em X. . No nível de signi�cância 5%, faça o teste de hipótese da regressão. c. 4.

Encontre o valor do coe�ciente de determinação.

Os dados a seguir referem-se a precipitação anual (cm) e a produção de a go ão ( g/ a) e uma amostra e sete pro utores e uma a a região o estado. Precipitação Produção

160 620

140 510

130 450

100 280

70 140

50 80

40 30

No nível de signi�cância de 5%, veri�car se existe RLS da produção de algodão em função de precipitação anual. . Se os

os ossem exatamente 3 cm mais a tos o que seus pais, como

�caria a reta de regressão que daria a altura dos �lhos em função da altura os pais? . Consi ere os a os a i a e (em ias) e o peso (em gramas) e ratos machos da raça Wistar. Idade Peso

25 62

28 61

30 66

32 69

34 74

35 75

38 80

40 82

42 88

43 89

45 91

46 5

47 5

48 7

9 9

50 9

Considerando o modelo RLS para o peso em função da idade, quanto deve ser o peso estima o e um rato com 33 ias e i a e? . Supon a que, com base em 16 pares e observações, obteve-se as seguintes informações:

∑ x = 896 ; ∑ y = 655 ; ∑ x 2 = 52300 ; ∑ y 2 = 29652 ;

∑ xy = 38368 . Qua é a proporção a variabi i a e tota os a os que pode ser explicada pela regressão de Y em X?

Regressão Linear Simples | 8.

Considere os valores de X e Y obtidos em uma amostra com cinco obser vaç es. X Y

1 16

2 12

Mostre com os dados que b = r

3 8

4 7

5 5

S yy Sxx

. Numa aná ise e RLS oram obti os a partir e uma amostra e 6 pares e valores X e Y, os seguintes resultados: 16 ; sx = 3 (desvio padrão de X); s y = 5 (desvio padrão de Y); x = 3 e 25 y = 10 R2 =

a.

Qual a equação de RLS de Y em X?

. No níve e signi cância 5%, teste as ipóteses H 0 : b = 0×H 1 : b ≠ 0 10.

Para os pares (1,6);(2,5);(3,3);(4,3);(6,1), determine a equação de RLS de Y em X. Qual a variação de Y por unidade de variação de X?

. Um laboratório está interessado em medir a in�uência da temperatura sobre a potência de um antibiótico. Dez amostras de 50g cada foram guardaas a i erentes temperaturas, e após 15 ias me iu-se a potência (qua ro a seguir). . Faça a representação grá ca os a os. . Ajuste a reta a potência como unção a temperatura. c.

A que temperatura a potência seria nula? Temperatura (ºC) 30 50 70 90

12.

Potência 38 32 19 14

6 7

43 33 3 1

Qual o indicador estatístico que fornece o acréscimo ou decréscimo de Y esperado para cada variação unitária de X, numa relação linear entre Y e X?

11

| DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS 13. Considere os seguintes pesos de pais e Família Peso do Pai Peso do Filho

a.

1

65 68

F2 63 66

F3 67 68

F4 64 65

�lhos, em kg. F5 68 69

F 62 66

F7 70 68

F8 66 65

68 71

F10 67 67

Construir o diagrama de dispersão.

. Estabe ecer a regressão o peso o

o em unção o peso o pai.

Veri�car a signi�cância considerando a= , 5. . Supon a que, com base em 16 pares e observações, obteve-se as seguintes in ormações: ∑ x = 896; ∑ y = 655; ∑ x 2 = 52330; ∑ y 2 = 29652; ∑ xy = 38368

Uti izan o essas in ormações, respon a as questões a seguir: . Determine a regressão linear de Y em X. b.

Qual é a proporção da variabilidade total dos Y que pode ser explicada pe a regressão e Y em X?

. Considere os seguintes resultados de uma pesquisa envolvendo registro de armas automáticas e taxa e crimina i a e em oito esta os. Armas automáticas Taxa de criminalidade(%)

11800 18,1

8300 16,8

3600 9,4

1800 6,4

6900 14,6

2600 8,8

4200 10,6

5960 11,8

Qual a predição linear para a taxa de criminalidade (%) em um estado com 10000 armas automáticas registra as? 7.6 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS (REGRESSÃO LINEAR SIMPLES)

.

POTÊNCIA = 64,158 − 0, 600 TEMPERATURA; 30 £ TEMP £ 86

c. TEMPERATURA = 106, 93˚C 2

. Yˆ (DESPESA) = 10 +12 X (DURAÇÃO) b Yˆ ( DESPESA7 DIAS) = U $94, 00

Regressão Linear Simples | 11 3. a. Yˆ = 32,12 − 2,52 X

t = 23, 74( p < 0, 001) R 2 = 0, 986

ˆ = − 181,528 + 4, 900 PRECIP t = 27, 01( p < 0, 001) PROD ALTˆ FILHO = 3 + ALT PAI 6.

ˆ = 17, 011+ 1, 661IDADE , 25 £ IDADE £ 50 . PESO ˆ (33DIAS) = 71, 824 gramas PESO R2 = 0, 676 (67,6% da variabilidade total dos dados é explicada pelo mod-

elo).

9

S XX = 10 ; SYY = 77, 2 ; S XY = −27 SYY r r = −0, 9718 ; b = −2, 7 ; S = −2, 7 XX Ou seja, ca mostra o que b = r SYY S XX . Yˆ = 6, 01 + 1, 33 X , 1 £ X £ 6 b

1

t = 2, 67( p > 0, 05)

Yˆ = 6, 757 − 0, 986 X ; ou seja, para ca a uni a e e X á uma ecréscimo

e 0,986 uni a es em Y ˆ = 50, 457 − 0, 381TEMP , 30 £ TEMP £ 90 11. b. POT TEMP = 132, 43˚C 12.

Coe�ciente de regressão linear ( b )

ˆ 13. b. PFILHO = 35, 479 + 0, 482 PPAI ; 62 £ PPAI £ 70 ; t = 2, 34 ( p < 0, 05) . Yˆ = − 2, 8856 + 0, 7826 X b R 2 = 0, 4654 = 46, 54%

ˆ ˆ TAXACRIM = 5, 304 + 0, 0012 ARMAS AUT ; TAXACRIM (10000) = 17, 304%

8

BIBLIOGRAFIA ANDRADE, D.F.; OGLIARI, P.J. Estatística para as ciências agrárias e biológicas com noções de experimentação . 2.e , Florianópolis: E itora UFSC, 2007. BANZATTO, D.A. & KRONKA, S.N. Experimentação agrícola, 3ªe . São Paulo: FUNEP, 2006. BOX, G. E. P. Non-normality and tests on variances . Biometrika, v.20, p.318-335, 1953. BUSSAB, W.O. Análise de variância e regressão. São Paulo: Atual, 1986. BUSSAB, W.O.; MORETTIN, P.A. Estatística básica. 5. e . São Paulo: Saraiva, 2003. DEAN, A. M.; VOSS D. T. Design and analysis o experiments . New York: Springererlag, 1999. DRAPER, N. R.; SMITH, H. Applied regression analysis. 3. e . New York: John Willey, 1998. GOMES, F. P. urso de estatística experimental 15ª e ., São Paulo :FEALQ, 2009. MLODINOW, L. O andar do bêbado. Como o acaso determina nossas vidas . Rio e Janeiro: Zahar, 2009. MONTGOMERY, D.C. Design and analysis o experiment , 6. e . New York: John Wiley, 2005. MOORE,D. A estatística básica e sua prática . Rio e Janeiro: LTC E itora,1995. NORMAN, G.R.; STREINER, D.L. Biostatistics: the bare essentials . 3. e . St. Louis: Mosby, 2008. PADOVANI, C.R. Exercícios de estatística básica e experimental . Botucatu: Depto e Bioestatística, 2002. PADOVANI, C.R. Planejamento de experimentos . Botucatu: Depto e Bioestatística, 2009. PERES, C.A.; SALDIVA, C.D. Planejamento de experimentos . São Paulo: 5. SINAPE, 1 . SAMPAIO, I. B. M. Estatística aplicada a experimentação animal , 3ªe . Minas Gerais: FEPMVZ, 2010.

11


SALSBURG, D. Uma senhora toma chá … como a estatística revolucionou a ciência no éculo XX . Rio e Janeiro: Zahar, 2009. VIEIRA, S. Estatística experimental. 2. e . São Paulo: Atlas, 1999. VIEIRA, S. Análise de variância (ANOVA). São Paulo: Atlas, 2006. ZAR, J.H. Boestatistical analysis , 5. e . New Jersey: Prentice-Hall, 2009.

9

TABELAS Tabela 9.1 Distribuição t de Student  P (−t 0 < t < t 0 ) = 1− a  Nível de significância para o teste bilateral (a)

Número de graus de liberdade

0,01

0,05

0,10

1

63,657

12,706

6,314

2

9,925

4,303

2,920

3

5,841

3,182

2,353

4

4,604

2,776

2,132

5

4,032

2,571

2,015

6

3,707

2,447

1,943

7

3,499

2,365

1,895

8

3,355

2,306

1,860

9

3,250

2,262

1,833

10

3,169

2,228

1,812

11

3,106

2,201

1,796

12

3,055

2,179

1,782

13

3,012

2,160

1,771

14

2,977

2,145

1,761

15

2,947

2,131

1,753

16

2,921

2,120

1,746

17

2,898

2,110

1,740

18

2,878

2,101

1,734

19

2,861

2,093

1,729

20

2,845

2,086

1,725

21

2,831

2,080

1,721

22

2,819

2,074

1,717

23

2,807

2,069

1,714

24

2,797

2,064

1,711

25

2,787

2,060

1,708

26

2,779

2,056

1,706

27

2,771

2,052

1,703

28

2,763

2,048

1,701

29

2,756

2,045

1,699

30

2,750

2,042

1,697

40

2,704

2,021

1,684

60

2,660

2,000

1,671

120

2,617

1,980

1,658

∞

2,576

1,960

1,645

Interpolações devem ser feitas com base nos recíprocos dos graus de liberdade (interpolação harmônica)

11


Ta ela 9.2

Distribuição Qui-quadrado  P (χ2 > χ02 ) = α   Graus de liberdade

10%

5%

1%

1

,71

3,84

6,64

2

4,60

5,99

,21

3

6,25

7,82

11,34

4

7,78

,49

13,28

,24

11,07

15,09

10,64

12,59

16,81

12,02

14,07

18,48

8

13,36

15,51

20,09

9

14,68

16,92

21,67

10

15,99

18,31

23,21

11

17,28

19,68

24,72

12

18,55

1,03

26,22

13

19,81

2,36

27,69

14

1,06

3,68

29,14

15

2,31

5,00

30,58

16

3,54

6,30

32,00

17

4,77

7,59

33,41

18

5,99

8,87

34,80

19

7,20

30,14

36,19

20

8,41

31,41

37,57

21

29,62

32,67

38,93

22

30,81

33,92

40,29

23

32,01

35,17

41,64

24

33,20

36,42

42,98

25

34,38

37,65

44,31

26

35,56

38,88

45,64

27

36,74

40,11

46,96

28

37,92

41,34

48,28

29

39,09

42,56

49,59

30

40,26

43,77

50,89

6

a

Tabelas | 11

Ta ela 9.3

Distribuição F  P (F > F 0 ) = 0, 01

Nº de graus de liberdade do denominador

1

2

3

4

1

4052

5000

5403

5625

2

8,50

99,00

99,20

3

34,10

30,80

4

1,20

5

Nº de graus de liberdade do numerador 6

7

8

9

5764

5859

5928

5982

6022

9,20

99,30

99,30

9,40

99,40

99,40

29,50

8,70

28,20

27,90

7,70

27,50

27,30

18,00

16,70

16,00

15,50

15,20

15,00

14,80

14,70

16,30

13,30

12,10

11,40

11,00

10,70

10,50

10,30

10,20

6

13,70

10,90

,78

9,15

8,75

8,47

8,26

8,10

7,98

7

12,20

,55

8,45

7,85

7,46

7,19

6,99

6,84

6,72

8

11,30

8,65

7,59

7,01

6,63

6,37

6,18

6,03

5,91

9

10,60

8,02

6,99

6,42

6,06

5,80

5,61

5,47

5,35

10

10,00

7,56

6,55

5,99

5,64

5,39

5,20

5,06

4,94

11

9,65

7,21

6,22

5,67

5,32

5,07

4,89

4,74

4,63

12

9,33

6,93

5,95

5,41

5,06

4,82

4,64

4,50

4,39

13

9,07

6,70

5,74

5,21

4,86

4,62

4,44

4,30

4,19

14

8,86

6,51

5,56

5,04

4,69

4,46

4,28

4,14

4,03

15

8,68

6,36

5,42

4,89

4,56

4,32

4,14

4,00

3,89

16

8,53

6,23

5,29

4,77

4,44

4,20

4,03

3,89

3,78

17

8,40

6,11

5,18

4,67

4,34

4,10

3,93

3,79

3,68

18

8,29

6,01

5,09

4,58

4,25

4,01

3,84

3,71

3,60

19

8,18

5,93

5,01

4,50

4,17

3,94

3,77

3,63

3,52

20

8,10

5,85

4,94

4,43

4,10

3,87

3,70

3,56

3,46

21

8,02

5,78

4,87

4,37

4,04

3,81

3,64

3,51

3,40

22

7,95

5,72

4,82

4,31

3,99

3,76

3,59

3,45

3,35

23

7,88

5,66

4,76

4,26

3,94

3,71

3,54

3,41

3,30

24

7,82

5,61

4,72

4,22

3,90

3,67

3,50

3,36

3,26

25

7,77

5,57

4,68

4,18

3,85

3,63

3,46

3,32

3,22

26

7,72

5,53

4,64

4,14

3,82

3,59

3,42

3,29

3,18

27

7,68

5,49

4,60

4,11

3,78

3,56

3,39

3,26

3,15

28

7,64

5,45

,57

4,07

3,75

3,53

3,36

3,23

3,12

29

7,60

5,42

,54

4,04

3,73

3,50

3,33

3,20

3,09

30

7,56

5,39

,51

4,02

3,70

3,47

3,30

3,17

3,07

40

7,31

5,18

4,31

3,83

3,51

3,29

3,12

2,99

,89

60

7,08

4,98

4,13

3,65

3,34

3,12

2,95

2,82

,72

120

6,85

4,79

3,95

3,48

3,17

,96

2,79

2,66

,56

∞

6,63

4,61

3,78

3,32

3,02

2,80

2,64

2,51

2,41

1


Ta e a 9.4 Distribuição F  P (F > F 0 ) = 0, 05 Nº de graus de liberdade do denominador

Nº de graus de liberdade do numerador 1

2

3

4

5

6

8

9

1

161

00

216

22 5

30

234

237

39

241

2

18,50

19,00

19,20

19,20

19,30

19,30

19,40

19,40

19,40

3

10,10

,5 5

,28

9,12

,01

8,94

8 ,8 9

8 ,8 5

8, 81

4

7 ,71

6 ,9 4

6,59

6,39

6,26

6,16

6, 09

6, 04

6 ,0 0

5

6 ,61

5 ,7 9

5,41

5,19

5,05

4,95

4, 88

4, 82

4 ,7 7

6

5 ,99

5 ,1 4

4,76

4,53

4,39

4,28

4, 21

4, 15

4 ,1 0

7

5 ,59

4 ,7 4

4,35

4,12

3,97

3,87

3, 79

3, 73

3 ,6 8

8

5 ,32

4 ,4 6

4,07

3,84

3,69

3,58

3, 50

3, 44

3 ,3 9

9

5 ,12

4 ,2 6

3,86

3,63

3,48

3,37

3, 29

3, 23

3 ,1 8

10

4 ,96

4 ,1 0

3,71

3,48

3,33

3,22

3, 14

3, 07

3 ,0 2

11

4 ,84

3 ,9 8

3,59

3,36

3,20

3,09

3, 01

2, 95

2 ,9 0

12

4 ,75

3 ,8 9

3,49

3,26

3,11

3,00

2, 91

,8 5

2 , 80

13

4 ,67

3 ,8 1

3,41

3,18

3,03

2,92

2, 83

,7 7

2 , 71

14

4 ,60

3 ,7 4

3,34

3,11

,96

2,85

2, 76

,7 0

2, 65

15

4 ,54

3 ,6 8

3,29

3,06

,90

2,79

2, 71

,6 4

2, 59

16

4 ,49

3 ,6 3

3,24

3,01

,85

2,74

2, 66

,5 9

2, 54

17

4 ,45

3 ,5 9

3,20

2,96

,81

2,70

2, 61

,5 5

2, 49

18

4 ,41

3 ,5 5

3,16

2,93

,77

2,66

2, 58

,5 1

2, 46

19

4 ,38

3 ,5 2

3,13

2,90

,74

2,63

2, 54

,4 8

2, 42

20

4 ,35

3 ,4 9

3,10

2,87

,71

2,60

2, 51

,4 5

2, 39

21

4 ,32

3 ,4 7

3,07

2,84

,68

2,57

2, 49

,4 2

2, 37

22

4 ,30

3 ,4 4

3,05

2,82

,66

2,55

2, 46

,4 0

2, 34

23

4 ,28

3 ,4 2

3,03

2,80

,64

2,53

2, 44

,3 7

2, 32

24

4 ,26

3 ,4 0

3,01

2,78

,62

2,51

2, 42

,3 6

2, 30

25

4 ,24

3 ,3 9

,99

2,76

,60

2,49

2 ,4 0

, 34

2, 28

26

4 ,23

3 ,3 7

,98

2,74

,59

2,47

2 ,3 9

, 32

2, 27

27

4 ,21

3 ,3 5

,96

2,73

,57

2,46

2 ,3 7

, 31

2, 25

28

4 ,20

3 ,3 4

,95

2,71

,56

2,45

2 ,3 6

, 29

2, 24

29

4 ,18

3 ,3 3

2,93

2,70

2,55

2,43

2, 35

2, 28

2 ,2 2

30

4 ,17

3 ,3 2

2,92

2,69

2,53

2,42

2, 33

2, 27

2 ,2 1

40

4 ,08

3 ,2 3

,84

2,61

,45

2,34

2 ,2 5

, 18

2, 12

60

4 ,00

3 ,1 5

2,76

2,53

2,37

2,25

2, 17

2, 10

2 ,0 4

120

3 ,92

3 ,0 7

,68

2,45

,29

2,17

2 ,0 9

, 02

1, 96

∞

3 ,84

3 ,0 0

,60

2,37

,21

2,10

2 ,0 1

1 ,9 4

1, 88

Tabelas | 1 1

Ta ela 9.5 Nº de graus de liberdade do denominador

Distribuição F  P (F > F 0 ) = 0,10 Nº de graus de liberdade do numerador 1

3

4

6

8

9

1

39,9

49,5

53,6

55,8

57,2

58,2

58,9

59,4

59,9

2

8,53

9 ,0 0

9, 16

, 24

,29

9,33

9,35

9,37

,38

3

5,54

5 ,4 6

5, 39

5 , 34

5,31

5,28

5,27

5,25

5,24

4

,54

4 , 32

4 ,1 9

4, 11

4,05

4,01

3,98

3,95

3,94

5

4,06

3 ,7 8

3, 62

3 , 52

3,45

3,40

3,37

3,34

3,32

6

3,78

3 ,4 6

3, 29

3 , 18

3,11

3,05

3,01

2,98

,96

7

3,59

3 ,2 6

3, 07

, 96

,88

2,83

2,78

2,75

,72

8

3,46

3 ,1 1

2, 92

, 81

,73

2,67

2,62

2,59

,56

9

3,36

3 ,0 1

2, 81

, 69

,61

2,55

2,51

2,47

,44

10

3,29

2 ,9 2

2, 73

, 61

,52

2,46

2,41

2,38

,35

11

3,23

2 ,8 6

2, 66

, 54

,45

2,39

2,34

2,30

,27

12

3,18

2 ,8 1

2, 61

, 48

,39

2,33

2,28

2,24

,21

13

3,14

2 ,7 6

2, 56

, 43

,35

2,28

2,23

2,20

,16

14

3,10

2 ,7 3

2, 52

, 39

,31

2,24

2,19

2,15

,12

15

3,07

2 ,7 0

2, 49

, 36

,27

2,21

2,16

2,12

,09

16

3,05

2 ,6 7

2, 46

, 33

,24

2,18

2,13

2,09

,06

17

3,03

2 ,6 4

2, 44

, 31

,22

2,15

2,10

2,06

,03

18

3,01

2 ,6 2

2, 42

, 29

,20

2,13

2,08

2,04

,00

19

,99

2 , 61

2 ,4 0

,27

,18

2,11

2,06

2,02

1,98

20

,97

2 , 59

2 ,3 8

,25

,16

2,09

2,04

2,00

1,96

21

,96

2 , 57

2 ,3 6

,23

,14

2,08

2,02

1,98

1,95

22

,95

2 , 56

2 ,3 5

,22

,13

2,06

2,01

1,97

1,93

23

,94

2 , 55

2 ,3 4

,21

,11

2,05

1,99

1,95

1,92

24

,93

2 , 54

2 ,3 3

,19

,10

2,04

1,98

1,94

1,91

25

,92

2 , 53

2 ,3 2

,18

,09

2,02

1,97

1,93

1,89

26

,91

2 , 52

2 ,3 1

,17

,08

2,01

1,96

1,92

1,88

27

,90

2 , 51

2 ,3 0

,17

,07

2,00

1,95

1,91

1,87

28

,89

2 , 50

2 ,2 9

,16

,06

2,00

1,94

1,90

1,87

29

,89

2 , 50

2 ,2 8

,15

,06

1,99

1,93

1,89

1,86

30

,88

2 , 49

2 ,2 8

,14

,05

1,98

1,93

1,88

1,85

40

,84

2 , 44

2 ,2 3

,09

,00

1,93

1,87

1,83

1,79

60

2,79

2 ,3 9

2, 18

2 , 04

1,95

1,87

1,82

1,77

1,74

120

2,75

2 ,3 5

2, 13

1 , 99

1,90

1,82

1,77

1,72

1,68

∞

2,71

2 ,3 0

2, 08

1 , 94

1,85

1,77

1,72

1,67

1,63

1


0 0 0 5 4 9 5 8 6 8 3 0 9 0 1 4 5 , 5 , 2 9 4 , 8 , 4 , 5 7 9 4 , 9 , 4 , 1 , 8 , 6 , 4 , 3 , 2 , 0 , 0 , 9 , 8 , 1 9 1 0 9 2 3 1 8 8 8 7 7 7 7 7 7 7 6 6 1 1 1 0 0 0 6 5 1 7 1 9 2 7 4 3 4 5 8 0 , 3 , 1 8 0 , 7 , 3 , 4 9 7 9 , 8 , 4 , 0 , 8 , 5 , 4 , 2 , 1 , 0 , 9 , 8 , 7 , 1 2 1 0 9 3 1 4 8 8 8 7 7 7 7 7 7 6 6 6 1 1 1 0 0 0 5 6 5 9 3 4 0 7 7 7 9 , 1 , 9 7 6 , 6 , 2 , 3 6 9 3 , 7 , 3 , 9 , 7 , 5 , 3 , 2 , 0 , 9 , 8 , 7 , 7 , 1 8 1 0 9 2 3 1 8 8 7 7 7 7 7 7 6 6 6 6 1 1 1 0 0 0 4 6 3 1 5 4 7 2 0 0 0 2 5 0 , 8 , 7 6 8 , 4 , 1 , 2 , 6 , 2 , 9 , 6 , 4 , 2 , 1 , 0 , 9 , 8 , 7 , 6 , 1 2 6 8 3 1 0 3 1 1 1 1 9 8 8 7 7 7 7 7 7 6 6 6 6 0 0 5 2 5 3 1 6 6 9 5 3 2 3 5 8 4 , 5 , 5 5 7 , 2 , 9 5 8 3 , 1 , 5 , 1 , 8 , 5 , 3 , 1 , 0 , 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 1 7 1 2 3 1 1 1 9 9 8 8 7 7 7 7 7 6 6 6 6 6 0 0 1 0 4 3 1 6 6 0 6 4 4 6 8 1 8 , , 3 4 7 , 1 , 8 , 0 , 4 , 0 , 7 , 4 , 2 , 1 , 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 5 , 1 2 4 8 3 1 3 1 1 1 9 9 8 8 7 7 7 7 6 6 6 6 6 6 0 0 5 6 1 1 0 6 7 1 7 6 6 7 0 3 1 , 9 , 1 3 6 , 9 , 6 6 4 7 , 8 , 3 , 9 , 6 , 3 , 1 , 0 , 8 , 7 , 6 , 5 , 5 , 4 , 1 2 3 3 1 1 0 1 8 8 8 7 7 7 7 7 6 6 6 6 6 6

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1


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)

% 0 1 (

y e k u T :

]

)


0 0 3 8 7 4 6 3 3 5 8 7 3 9 6 3 0 3 5 , 5 , 8 , 7 , 2 , 8 , 6 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 , 0 , 9 , 9 , 8 , 8 , 8 , 8 , 1 6 0 2 1 7 6 6 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 0 0 7 5 0 6 3 6 3 3 5 9 3 8 4 1 7 5 2 2 9 , 3 , 6 , 6 , 1 , 7 , 5 , 3 , 2 , 1 , 0 , 9 , 9 , 8 , 8 , 8 , 7 , 7 , 7 , 1 5 0 2 1 7 6 6 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 0 0 9 9 7 4 1 5 3 3 5 9 3 9 5 1 8 5 3 1 2 , 0 , 4 , 4 , 9 , 6 , 4 , 2 , 1 , 0 , 9 , 8 , 8 , 7 , 7 , 7 , 6 , 6 , 6 , 1 5 0 2 1 7 6 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 0 2 9 3 2 0 8 3 1 1 4 8 2 8 4 1 8 5 3 0 5 , 7 , 2 , 3 , 8 , 5 , 2 , 1 , 0 , 9 , 8 , 7 , 7 , 6 , 6 , 6 , 5 , 5 , 5 , 1 4 2

9 7

6

5 5

5

5 5

4

4 4

4

4 4

4

4 4

4

9

0 6 , 3 2

1 6 4 , 0 , 9 7

4 1 , 6

4 6 , 3 , 5 5

4 1 , 5

9 7 9 , 8 , 4 4

8 7 , 4

1 7 , 6 , 4 4

0 6 , 4

6 5 , 5 , 4 4

9 4 , 4

6 4 4 , 4 , 4 4

4 , 4

8

0 6 , 2 2

5 1 0 , 8 , 9 6

3 9 , 5

6 7 4 , 1 , 5 5

7 9 , 4

3 8 , 7 , 4 4

4 6 , 4

7 1 5 , 5 , 4 4

6 4 , 4

9 4 , 3 , 4 4

6 3 , 4

3 1 3 , 3 , 4 4

9 2 , 4

7

0 5 , 1 2

3 1 6 , 5 , 8 6

8 6 , 5

4 7 2 , 9 , 5 4

8 7 , 4

5 4 6 , 5 , 4 4

7 4 , 4

0 5 4 , 3 , 4 4

0 3 , 4

7 3 2 , 2 , 4 4

1 2 , 4

8 6 1 , 1 , 4 4

4 1 , 4

6

0 2 , 0 2

4 6 1 , 1 , 8 6

9 3 , 5

8 3 9 , 7 , 4 4

5 5 , 4

3 4 4 , 3 , 4 4

6 2 , 4

0 6 2 , 1 , 4 4

2 1 , 4

8 5 0 , 0 , 4 4

3 0 , 4

0 8 0 , 9 , 4 3

7 9 , 3

5

0 5 , 8 1

4 4 5 , 7 , 7 5

3 0 , 5

6 4 6 , 4 , 4 4

8 2 , 4

7 8 1 , 0 , 4 4

2 0 , 4

6 2 9 , 9 , 3 3

8 8 , 3

5 3 8 , 8 , 3 3

0 8 , 3

8 7 7 , 7 , 3 3

5 7 , 3

4

0 4 , 6 1

7 0 7 , 2 , 6 5

9 5 , 4

6 7 2 , 0 , 4 4

3 9 , 3

3 6 8 , 7 , 3 3

0 7 , 3

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9 5 , 3

6 4 5 , 5 , 3 3

2 5 , 3

0 9 5 , 4 , 3 3

7 4 , 3

3

0 4 , 3 1

3 7 7 , 4 , 5 4

8 9 , 3

2 6 7 , 5 , 3 3

5 4 , 3

7 2 3 , 3 , 3 3

7 2 , 3

3 0 2 , 2 , 3 3

8 1 , 3

6 4 1 , 1 , 3 3

2 1 , 3

1 0 1 , 1 , 3 3

9 0 , 3

3 9 , 8

3 3 1 , 3 , 4 3

1 0 , 3

5 5 8 , 7 , 2 2

8 6 , 2

3 9 6 , 5 , 2 2

6 5 , 2

4 2 5 , 5 , 2 2

0 5 , 2

9 8 4 , 4 , 2 2

7 4 , 2

6 5 4 , 4 , 2 2

5 4 , 2

ϕ ; 0 1 , 0

(

q

[

” e g n a r d e z i t n e d u t s “ o ã ç i u b i r t s i D 8 . 9 a e a T

s e o u d u a a r d d g r í e s e e b i d l r º e o N d d

1

1 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Tabelas | 1

0 2 , 1 , 5 5

3 0 , 5

5 6 9 , 8 , 4 4

8 7 , 4

9 6 , 4

6 7 1 , 0 , 5 5

9 9 , 4

0 9 , 8 , 4 4

4 7 , 4

5 6 , 4

0 2 1 , 0 , 5 5

4 9 , 4

6 8 8 , 7 , 4 4

9 6 , 4

1 6 , 4

5 7 0 , 9 , 5 4

9 8 , 4

1 3 8 , 7 , 4 4

5 6 , 4

7 5 , 4

9 1 9 , 9 , 4 4

3 8 , 4

5 7 7 , 6 , 4 4

0 6 , 4

2 5 , 4

5 9 , 8 , 4 4

7 7 , 4

9 6 , 6 , 4 4

4 5 , 4

7 4 , 4

5 8 8 , 7 , 4 4

1 7 , 4

3 6 6 , 5 , 4 4

8 4 , 4

1 4 , 4

8 1 7 , 7 , 4 4

4 6 , 4

6 9 5 , 4 , 4 4

4 , 4

5 3 , 4

0 3 7 , 6 , 4 4

6 5 , 4

9 2 4 , 4 , 4 4

5 3 , 4

8 2 , 4

1 4 6 , 5 , 4 4

7 4 , 4

1 4 4 , 3 , 4 4

8 2 , 4

1 2 , 4

1 4 5 , 4 , 4 4

8 3 , 4

2 5 3 , 2 , 4 4

9 1 , 4

3 1 , 4

0 4 4 , 3 , 4 4

8 2 , 4

1 6 2 , 1 , 4 4

0 1 , 4

4 0 , 4

7 1 2 , 2 , 4 4

6 1 , 4

0 4 1 , 0 , 4 4

9 9 , 3

3 9 , 3

7 1 , 0 , 4 4

0 , 4

6 1 9 , 9 , 3 3

6 8 , 3

1 8 , 3

5 0 9 , 9 , 3 3

5 8 , 3

0 5 8 , 7 , 3 3

1 7 , 3

6 6 , 3

4 9 7 , 6 , 3 3

5 6 , 3

0 6 6 , 5 , 3 3

2 5 , 3

8 4 , 3

6 2 4 , 4 , 3 3

9 3 , 3

5 1 3 , 3 , 3 3

8 2 , 3

4 2 , 3

8 5 0 , 0 , 3 3

2 0 , 3

9 6 9 , 9 , 2 2

3 9 , 2

0 9 , 2

4 2 4 , 4 , 2 2

0 4 , 2

8 6 3 , 3 , 2 2

4 3 , 2

3 3 , 2

0 4 0 0 0 0 2 2 3 4 6 2 1

∞

1

| DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS Ta e a 9.9 Valores críticos do coeficiente de correlação linear de Pearson (teste bilateral) n

=0,05

a

a

=0,01

4

,95

,99

5

,878

,959

6

,811

,917

7

,754

,874

8

,707

,834

9

,666

,798

10

,632

,765

11

,602

,735

12

,576

,708

13

,553

,684

14

,532

,661

15

,514

,641

16

,497

,623

17

,482

,606

18

,468

,59

19

,456

,575

20

,444

,561

21

,433

,549

22

,423

,537

23

,413

,526

24

,404

,515

25

,396

,505

26

,388

,496

27

,381

,487

28

,374

,478

29

,367

,47

30

,361

,463

35

,335

,43

40

,312

,402

45

,294

,378

50

,279

,361

60

,254

,33

70

0,236

0,305

80

,22

,286

90

,207

,269

100

,196

,256

Delineamento experimentos p Liv Virtual.pdf

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