1
C H A P I T R E
Suites numériques
Introduction 1. Programme Contenus Suites Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d’une suite.
Limites et comparaison.
Opérations sur les limites. Comportement à l’infini de la suite ^qnh , q étant un nombre réel.
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
Suite majorée, minorée, bornée.
Capacités attendues
Commentaires
• Savoir mener un raisonnement par récur- Ce type de raisonnement intervient tout au long de l’année et pas seulement dans le rence. cadre de l’étude des suites. Dans le cas d’une limite infinie, étant Pour exprimer que un tend vers , quand n donnés une suite croissante ^unh et un tend vers + 3 , on dit que : « tout intervalle nombre réel A, déterminer à l’aide d’un algo- ouvert contenant , contient toutes les rithme un rang à partir duquel un est supé- valeurs un à partir d’un certain rang ». rieur à A. Pour exprimer que un tend vers + 3 quand n tend vers + 3 , on dit que : « tout intervalle de la forme @ A ; + 3 6 contient toutes les valeurs un à partir d’un certain rang ». Comme en classe de Première, il est important de varier les approches et les outils sur lesquels le raisonnement s’appuie. On présente des exemples de suites qui n’ont pas de limite. Démontrer que si ^unh et ^vnh sont deux On démontre que si une suite est croissante et admet pour limite ,, alors tous les termes suites telles que : – un est inférieur ou égal à vn à partir d’un de la suite sont inférieurs ou égaux à ,. Le théorème dit « des gendarmes » est admis. certain rang ; – un tend vers + 3 quand n tend vers + 3 ; alors vn tend vers + 3 quand n tend vers + 3. • Étudier la limite d’une somme, d’un produit ou d’un quotient de deux suites. Démontrer que la suite ^q nh , avec q 2 1, a On démontre par récurrence que pour a réel strictement positif et tout entier naturel n : pour limite + 3 . ^1 + ahn H 1 + na . • Déterminer la limite éventuelle d’une suite On peut étudier des situations où intervient géométrique. la limite de la somme des premiers termes d’une suite géométrique. • Utiliser le théorème de convergence des Ce théorème est admis. suites croissantes majorées. Il est intéressant de démontrer qu’une suite croissante non majorée a pour limite + 3 . Des exemples de suites récurrentes, en particulier arithmético-géométriques, sont traités en exercice. Des activités algorithmiques sont menées dans ce cadre. AP Approximations de réels (r, e, nombre d’or, etc.).
Plusieurs démonstrations, ayant valeur de modèle, sont repérées par le symbole de type algorithmique sont signalées par le symbole .
. Certaines sont exigibles et correspondent à des capacités attendues. De même, les activités
Livre du professeur - CHAPITRE 1
Suites numériques
1
2. Intentions des auteurs Dans ce premier chapitre sur les suites numériques : • on fait le point sur les connaissances de Première, en particulier : sens de variations d’une suite, suites arithmétiques et géométriques ; • on met en place un nouveau type de raisonnement : le raisonnement par récurrence ; • on fait une étude approfondie de la notion de limite d’une suite : définitions précises, opérations sur les limites, théorèmes de comparaison, cas des suites monotones. Toutes ces notions sont abordées à travers la résolution de problèmes le plus souvent liés à la vie courante ou aux autres disciplines par une modélisation de phénomènes discrets. De nombreux QCM, « Vrai ou faux ? » permettent de faire le point rapidement sur la compréhension du cours et aussi la mise en place de raisonnements par contre-exemple.
Comme a2 H 0 , on a :
Partir d’un bon pied Objectif Réactiver chez l’élève : – les différentes façons de définir une suite ; – les variations d’une suite numérique ; – la lecture d’un algorithme. A
1 b. et c.
2 b. et c.
3 a.
4 a. et c.
B
1 Faux.
2 Vrai.
3 Faux.
4 Vrai.
C
1 Vrai.
2 Faux.
3 Faux.
2 Vrai.
3 Vrai.
D 1 Vrai. 5 Vrai.
Un objectif important est de préparer la notion de limite d’une fonction numérique. Une attention particulière est portée sur le raisonnement : la récurrence bien sûr, mais aussi le raisonnement par condition suffisante. Les algorithmes permettent également d’appréhender les phénomènes discrets décrits par les suites, sans être forcément formalisés, c’est la démarche algorithmique qui importe. Tout au long de ce chapitre se précise l’utilisation de logiciels : calculatrices graphiques, traceurs de courbes, tableurs, logiciels de géométrie dynamique ou de programmation. L’utilisation d’un logiciel de calcul formel doit permettre, en fonction des élèves, de surpasser les difficultés du calcul algébrique.
4 Faux.
Découvrir 1 Vers le raisonnement par récurrence
+ ^1 + ahn 1 H 1 + ^n + 1ha . Donc Pn + 1 est vraie. ◗ La propriété Qn se traduit par 10 n = 9k + 1 , avec k un entier. Donc 10 n + 1 - 1 = 10^9k + 1h - 1 = 90k + 9 = 9^10k + 1h . Donc Qn + 1 est vraie. ◗ On a : A = 61 # 2 + 2 # 3 + f + n^n + 1h@ + ^n + 1h^n + 2h. Donc en utilisant Rn , n # ^n + 1h # ^n + 2h + ^n + 1h^n + 2h A= 3 ^n + 1h^n + 2h = ^n + 3h . 3 Donc Rn + 1 est vraie.
Activité
Objectif : Aborder le raisonnement par récurrence en distinguant les différentes étapes.
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1 ◗ P1 : « 1 + a H 1+ a ». Propriété vraie.
◗ Q1 : « 101 - 1 est divisible par 9 ». Propriété vraie. 1#2#3 ◗ R1 : « 1 # 2 = ». Propriété vraie. 3 n+1 2 a. ◗ Pn + 1 : « ^1 + ah H 1 + ^n + 1ha. » n+1 ◗ Qn + 1 : « 10 1 est divisible par 9 ». ◗ Rn + 1 : « 1 # 2 + 2 # 3 + f + ^n + 1h # ^n + 2h ^n + 1h # ^n + 2h # ^n + 3h = ». 3 n b. ◗ Si Pn est vraie, alors ^1 + ah H 1 + na . Donc en multipliant par 1 + a , on obtient : + ^1 + ahn 1 H 1 + ^n + 1ha + na2 . 2
Livre du professeur - CHAPITRE 1
Activité
2 La balle au rebond
Objectif : Modéliser une situation simple et utiliser la calculatrice ou un tableur. 3 # 1 = 0, 75 et 4 3 # 3 = 0, 5625 . u2 = 4 4 On modélise cette situation par la suite u de terme général n 3 un = d n . 4 u10 . 0,056 ; u1000 = 1,15 # 10-125 . 1 On a u1 =
2 En
utilisant un tableau (voir ci-contre), à partir du 97e rebond, la hauteur de la balle est inférieure à 10-12 m.
Suites numériques
Activité
c. Soit f 2 0 . On a :
3 Un calcul d’aire
Objectif : Résoudre un problème classique qui a joué un rôle historique d’Archimède à Riemann en : – faisant intervenir un raisonnement par récurrence ; – abordant une limite « naturelle ». 1 a. b. Pour tout entier n H 1 , les rectangles ont pour 2
k 1 et pour longueur d n , où k est l’entier désin n gnant le numéro du rectangle (de 0 à n - 1 ). c. On conjecture que la somme des aires de ces 1 rectangles tend vers lorsque n tend vers + 3 . 3 largeur
2 D’après 1 a., Sn =
2
2
2
1 >d 1 n d 2 n n-1 H n + +f+d n n n n
1 n-1 2 /i . n3 i = 1 3 Démontrons par récurrence la propriété Pk : k k^k + 1h^2k + 1h « / i2 = » pour tout entier k H 1 . 6 i=1 ◗ Initialisation : k = 1 . 1 / i2 = 1 et 1^1 + 16h^2 + 1h = 1. Donc P1 est vraie. i=1 =
k+1
k
i=1
i=1
Donc en utilisant l’hypothèse de récurrence, on a : k+1 / i2 = k^k + 1h6^2k + 1h + ^k + 1h2 i=1 ^k + 1h k^2k + 1h ; = + ^k + 1hE 6 6 = ^k + 1h62k2 + 7k + 6 @. k+1 ^k + 1h^k + 2h^2k + 3h Donc / i2 = . 6 i=1
Donc Pk + 1 est vraie. ◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier k H 1 , k / i2 = k^k + 1h6^2k + 1h . i=1 4 On a :
^n - 1h^nh^2n - 1h 1 1 1 n = d1 - nd1 . Sn = 3 3 2 n n 6n 1 tend vers 0 lorsque n tend vers + 3 , on a Comme n 1 lim Sn = . 3 n "+3 ©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
Activité
5 Variations et équations
Objectif Mettre en place un large panel de techniques de base pour étudier une suite récurrente : représentation graphique, conjectures, sens de variations, utilisation d’une suite auxiliaire. 1 La fonction f est affine de coefficient 0,5, donc elle est croissante sur R. On a le tableau ci-dessous.
f ^xh
/ i2 = / i2 + ^k + 1h2 .
Activité
n "+3
x
◗ Hérédité : soit un entier k H 1 tel que Pk est vraie. k+1 ^k + 1h^k + 2h^2k + 3h Montrons que / i2 = . 6 i=1 On a
1 1 1 f + n2 2 . f n2 1 m , alors 0 1 un 1 f . On en déduit que si n H 1 + E c f 1 1 2 Soit f 2 0 . On a 0 1 vn 1 f + 1f + n 2 . f n 1 On en déduit que si n H 1 + E c 2 m , alors 0 1 vn 1 f . f Donc lim vn = 0 . 0 1 un 1 f + 0 1
4 Convergence vers 0
Objectifs – Lire et modifier un algorithme. – Approcher la définition mathématique de la convergence d’une suite vers 0. 1 a. L’algorithme donne la valeur N de n à partir de laquelle un 110-3 . b. Modification : « TantQue u H 10-6 ».
0
2 2
1
Pour tout x d 60 ; 2 @ on a f ^ x h d 61 ; 2 @, donc : f ^ x h d 6 0 ; 2 @. 2 a. u0 = 0 , u1 = 1 , u2 = 1, 5 , u3 = 1, 75 . b. La suite u semble être croissante. c. Pour tout entier naturel n, démontrons la propriété Pn : « un G un + 1 ». ◗ Initialisation : u0 G u1 (voir 2 a.), donc P0 est vraie. ◗ Hérédité : soit un entier naturel n tel que Pn est vraie. Démontrons qu’alors Pn + 1 : « un + 1 G un + 2 » est vraie. D’après l’hypothèse de récurrence un G un + 1 . Comme la fonction f est croissante, f ^unh G f ^un + 1h , donc un G un + 1 . Donc Pn + 1 est vraie. ◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel n, un G un + 1 . Donc la suite u est croissante. 3 a. En
B3, il faut écrire =0,5*B2+1 b. La suite u semble converger vers 2. 4 a. En C2, écrire =B2-2 (voir ci-contre). La suite v semble être une suite géométrique de raison 0,5 et de premier terme - 2 . b. Pour tout entier naturel n, vn + 1 = un + 1 - 2 = 0, 5 # un + 1 - 2 = 0, 5 # ^un - 2h . Donc, pour tout entier naturel n, vn + 1 = 0, 5vn . Donc la suite v est géométrique de raison 0,5 et de premier terme v0 = u0 - 2 =- 2 . c. Pour tout entier naturel n, on a vn =- 2 # ^0, 5hn . Donc un = 2 + vn = 2 - 2 # ^0, 5hn . d. La suite u est donc convergente vers 2, car lim 2 # ^0, 5hn = 0 . n "+3
Livre du professeur - CHAPITRE 1
Suites numériques
3
Exercices d’application Savoir faire Mener
un raisonnement par récurrence 1
Pour tout entier naturel n non nul, on note P^nh la propriété : n^n + 1h^2n + 1h « 12 + 22 + 32 + f + n2 = ». 6 ◗ Initialisation : pour n = 1 , 1 # ^1 + 1h # ^2 # 1 + 1h = 1. on a 12 = 1 et 6 Donc P^1 h est vraie. ◗ Hérédité : on suppose que pour un entier n H 1 , P^nh est vraie, c’est-à-dire que : n^n + 1h^2n + 1h . 12 + 22 + 32 + f + n2 = 6 2 Alors : 12 + 22 + 32 + f + ^n + 1h = 612 + 22 + 32 + f + n2 @ + ^n + 1h2 n^n + 1h^2n + 1h = + ^n + 1h2 6 d’après l’hypothèse de récurrence. 2
Donc 12 + 22 + 32 + f + ^n + 1h
n^2n + 1h + ^n + 1hn 6 2+ 2n 7n + 6 = ^n + 1h # . 6 Or, ^^n + 1h + 1h^2^n + 1h + 1h = ^n + 2h^2n + 3h = 2n2 + 7n + 6 . Donc : ^n + 1h^n + 2h^2n + 3h 2 , 12 + 22 + 32 + f + ^n + 1h = 6 c’est-à-dire que la propriété P^n + 1h est vraie. ◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier n H 1 , P^nh est vraie. Donc, pour tout entier n H 1 , n^n + 1h^2n + 1h . 12 + 22 + 32 + f + n2 = 6 = ^n + 1h # d
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2 Démontrons, pour tout entier naturel n, la proposi-
tion P^nh : « 23n - 1 est un multiple de 7 ». ◗ Initialisation : 20 - 1 = 0 qui est un multiple de 7. ◗ Hérédité : on suppose que pour un entier, P^nh est vraie. Montrons alors P^n + 1h : « 23n + 3 - 1 est un multiple de 7 ». D’après l’hypothèse de récurrence, 23n = 1 + 7k , où k est un entier. En multipliant par 8, on obtient 23n + 3 = 8 + 56k , donc 23n + 3 - 1 = 7^7 - 8k h . C’est-à-dire que la propriété P^n + 1h est vraie. ◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel n, « 23n - 1 est un multiple de 7 ».
◗ Hérédité : on suppose que pour un entier n H 0 , P^nh 2 est vraie, c’est-à-dire que un = ^n + 1h . 2 Alors un + 1 = un + 2n + 3 = ^n + 1h + 2n + 3 d’après l’hypothèse de récurrence. 2 Donc un + 1 = n2 + 4n + 4 = ^n + 2h , c’est-à-dire que la propriété P^n + 1h est vraie. ◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier n H 0 , P^nh est vraie. 2 Donc, pour tout entier n H 0 , un = ^n + 1h . 4 Pour tout entier n H 2 , on note P^nh la propriété :
« le nombre de cordes reliant n points du cercle est n^n - 1h ». 2 ◗ Initialisation : pour n = 2 on a une seule corde 2^2 - 1h = 1 . Donc P^2 h est vraie. possible et 2 ◗ Hérédité : on suppose que pour un entier, P^nh est vraie. Montrons alors P^n + 1h : « le nombre de cordes ^n + 1hn reliant n + 1 points du cercle est ». 2 Pour obtenir n + 1 points du cercle, on ajoute un point aux n déjà existants. Donc on ajoute n cordes au nombre total de cordes. En utilisant l’hypothèse de récurrence, ^n + 1hn n ^n - 1 h + n cordes, soit on a , c’est-à-dire 2 2 que la propriété P^n + 1h est vraie. ◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier n H 2 , P^nh est vraie. Donc pour tout entier n H 2 , le nombre n^n - 1h de cordes reliant n points du cercle est . 2
Savoir faire Déterminer la limite
d’une suite à l’aide de la définition 5 On conjecture :
a. la suite u semble ne pas admettre de limite ; b. la suite v semble converger vers 0,5 ; c. la suite w semble diverger vers + 3 .
6
5 5 - 1. Gf+nH f n+1 5 On en déduit que si n H 1 + E a - 1 k , alors un 1 f . f La suite u converge vers 0. 2 a. À partir de N = 500, on a un G 0, 01 . b. À partir de N = 5 # 1012 , on a un G 10-12 . ◗ Soit f 2 0 , on a un G f +
3 Pour tout entier naturel n, on note P^nh la propriété :
2 « un = ^n + 1h » 2 ◗ Initialisation : pour n = 0 , on a u0 = 1 et ^0 + 1h = 1 . Donc P^0 h est vraie.
4
Livre du professeur - CHAPITRE 1
1 ◗ On conjecture que la suite u converge vers 0.
7
1 a. i. vn 2105 + n2 + n - 105 2 0
- 1 + 1 + 4 # 105 +nH 2 Comme n est un entier naturel, n H 316 .
Suites numériques
ii. vn 21010 + n2 + n - 1010 2 0
Savoir faire Déterminer une limite
- 1 + 1 + 4 # 1010 . +nH 2 Comme n est un entier naturel, n 2 99999 . b. On conjecture que la suite v diverge vers + 3 . 2 Soit A H 0 , on a vn 2 A + n2 + n - A 2 0 -1 +
par comparaison
11 a. Pour tout entier n non nul, - 1 G sin n G 1 ,
donc :
1 1 G un G . n n 1 1 = 0 et lim = 0 , on a Comme lim n n "+3 n n "+3 lim un = 0 d’après le théorème des gendarmes. -
1+4#A
. 2 Comme n est un entier naturel, -1 + 1 + 4 # A n. n H 1 + Ed 2 Donc la suite v diverge vers + 3 . +nH
n "+3
b. Pour tout entier n non nul, - 1 G cos n G 1 , donc : 1 1 G un G 1 + . 1n n 1 1 = 0 et lim = 0 , on a Comme lim n n "+3 n n "+3 lim un = 1 d’après le théorème des gendarmes.
Savoir faire Étudier
le comportement à l’infini d’une suite
n "+3
8 a. lim ^2n + 1h =+ 3 . Donc lim u =+ 3 . n n "+3
Multiplication des limites. b. lim
n "+3
12 1 a. Pour tout entier naturel n,
n "+3
n2 - 3n + 5 -n+6 n+3 n2 - 3n + 5 - n^n + 3h + 6^n + 3h 23 = = . n+3 n+3 Or, n + 3 2 0 , car n est un entier naturel. Donc un - ^n - 6h H 0 , c’est-à-dire que un H n - 6 . b. Comme lim n - 6 =+ 3 , d’après le théorème de un - ^n - 6h =
n =+ 3 . Donc lim ^2 n + 5h =+ 3 . n "+3
Multiplication des limites. Donc lim un = 0 . Division n "+3
des limites.
n "+3
9 a. Pour tout entier naturel n non nul,
1 n . 4 un = 4 # 4 1+ n 1 11 n = 1 (somme et 4 = 0 , lim Comme lim 4 n "+3 n n "+3 + 1 n quotient de limites). Donc lim un = 4 . 1-
n "+3
b. Pour tout entier naturel n non nul, 5 3 + 12 n 2 n2 . un = 2n # 4 1+ n 1 1 = 0 et lim 2 = 0 , on a : Comme lim n "+3 n n "+3 n 5 3 + 12n n2 = 1 (somme et quotient de limites). 2 lim 4 n "+3 1+ n Comme lim 2n =+ 3 , on a : lim un =+ 3 . n "+3
n "+3
10 a. En utilisant l’algorithme ci-dessous, on obtient
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
en entrant A = 10-5 : N = 100 000 . ALGO
Entrer ^ Ah ; N ! 2 ; Tant que ^N2 - 1h ' ^N3 + 1h 2 A Faire N ! N+1 FinTantQue ; Afficher ^N h .
minoration lim un =+ 3 . n "+3
2 Pour tout entier n ! 0 ,
5 5 n-3+ n-3+ n n = un = n 3 3 n a1 + k 1+ n n 5 3 =+ 3 et lim 1 + = 1 . Donc, Or, lim n - 3 + n n n "+3 n "+3 par quotient, lim un =+ 3 . n "+3
13 1 On conjecture que la suite v diverge vers - 3 . 2 Pour tout entier naturel n, - 1 G cos n G 1 , on a vn G - 2n + 1 .
Comme lim ^- 2n + 1h =- 3 , d’après le théorème de n "+3
minoration, on a lim vn =- 3 . n "+3
3 Pour avoir vn 1 - 1000 , il suffit d’avoir : - 2n + 11 - 1000 , soit n 2 500, 5 . Dès que l’entier n est supérieur à 501, on a : vn 1 - 100 .
Savoir faire Déterminer
le comportement à l’infini d’une suite récurrente
14 1 Pour tout entier naturel n, on note P^nh la
propriété : « 4 G vn + 1 G vn ». ◗ Initialisation : on a v0 = 6 , v1 = 4, 5 , donc 4 G v1 G v0 . Donc P^0 h est vraie. ◗ Hérédité : démontrons que si pour un entier n, P^nh est vraie, alors P^n + 1h : « 4 G vn + 2 G vn + 1 » est vraie. Livre du professeur - CHAPITRE 1
Suites numériques
5
x + 3 est une fonction affine La fonction f : x 4 croissante, donc en utilisant l’hypothèse de récurrence 4 G vn + 1 G vn , on a f ^4h G f ^vn + 1h G f ^vnh , soit 4 G vn + 2 G vn + 1 . C’est-à-dire que la propriété P^n + 1h est vraie. ◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier n, P^nh est vraie. Donc, pour tout entier naturel n, 4 G vn + 1 G vn . 2 La suite v est décroissante et minorée, donc elle converge. On note , la limite de v. v , + 3. On a lim vn + 1 = , et lim n + 3 = 4 n "+3 n "+3 4 , + 3 . Donc , = 4 . Par unicité de la limite, , = 4 un 1 3 wn + 1 = vn + 1 - 4 = + 3 - 4 = ^vn - 4h . 4 4 1 Pour tout entier naturel n, wn + 1 = wn . Donc la suite 4 1 et de premier w est une suite géométrique de raison 4 terme w0 = 2 . 1 n Donc pour tout entier naturel n , wn = 2 # a k . On en 4 1 n déduit vn = 4 + 2 # a k . 4 n 1 Comme lim 2 # a k = 0 (suite géométrique de rai4 n "+3 son inférieure à 1 en valeur absolue), on a lim vn = 4 .
7
n "+3
15 a. Comme 3 2 1 ,
n
lim 3 =+ 3 . En multipliant
n "+3
par 0,1 (positif ), on obtient lim un =+ 3 . n "+3
b. Comme - 0, 5 1 1 ,
n lim ^- 0, 5h = 0 . En multi-
n "+3
pliant par 100, on obtient lim un = 0 . n "+3
5 n 5 c. Comme 2 1 , lim a k =+ 3 . En multipliant 2 2 n "+3 5 n par 2 (positif ), on obtient lim 2 a k =+ 3 . 2 n "+3 1 n 1 Comme 11 , lim a k = 0 . En multipliant par 4, 3 n "+3 3 4 on obtient lim n = 0. n "+3 3 Donc, par différence, lim un =+ 3 . n "+3
2 Valider la conjecture formulée 1 Pour tout entier naturel n, on note P^nh la propriété : « OAn Bn est équilatéral ». ◗ Initialisation : OA0 B0 est équilatéral . Donc P^0 h est vraie. ◗ Hérédité : démontrons que si pour un entier n, P^nh est vraie, alors P^n + 1h : « OAn + 1 Bn + 1 est équilatéral » est vraie. D’après l’hypothèse de récurrence, OAn Bn est équilatéral. La droite ^OAn + 1h est la médiatrice du segment 6 An Bn @, donc An + 1 OAn = 30° . Donc, par construction du symétrique Bn + 1 , le triangle OAn + 1 Bn + 1 est équilatéral . C’est-à-dire que la propriété P^n + 1h est vraie. ◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel n, P^nh est vraie. Donc, pour tout entier naturel n, le triangle OAn Bn est équilatéral. 3 2 On a, pour tout entier naturel n : cn+ = c . La 2 n 3 suite c est géométrique de raison et de premier 2 cn terme 4. Comme an = , la suite a est géométrique de 2 3 raison et de premier terme 2. 2 3 , n est la somme des n premiers terme d’une suite 3 géométrique de raison et de premiers termes 2, 2 donc : n 3 m 1-c 2 . ,n = 2 # 3 -1 2 n 3 mm On a donc : , n = 4^2 + 3 hc1 - c . 2 n 3 m 4 Comme lim c = 0 (suite géométrique de 2 n "+3 3 raison inférieure à 1 en valeur absolue), on a 2 lim , n = 4^2 + 3 h (opération sur les limites). n "+3
17 Convergence d’une suite
Objectifs : Construire un algorithme pour étudier une somme. Utiliser le théorème des gendarmes. Partie A 1 Extrait de l’algorithme complété :
ALGO
Pour i allant de n à 1 Faire i u ! u + sin 2 n FinPour ;
Travaux pratiques
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16 Longueur d’une spirale
1 Se faire une idée du résultat B3 1 Faire la construction. 2 a0 = 2 ; a1 . 1, 73 ; A4 O B2 a2 . 1, 5 et a3 . 1, 3 . 1,3 On a : ,2 . 2 + 1, 73 . 3, 73 et A3 1,5 ,3 . 5, 2 . B1 3 La suite a semble A2 1,73 géométrique de raison 2 0,8. A0 A1 B0 6
Livre du professeur - CHAPITRE 1
2 Après avoir programmé cet algorithme, on obtient :
u10 . 0, 549 , u50 . 0, 505 et u100 . 0, 504 . 3 Il semble que la suite u soit décroissante et converge vers 0,5. Partie B 1+2+f+n 1 On a vn = . n2 n^n + 1h 1 1 2 = + . Donc vn = 2 2n n2 1 1 = 0 , on a lim vn = . Comme lim 2 n " + 3 2n n "+3
Suites numériques
i r ! 90 ; C . 2 n2 3 i i i i 1 - a 2 k G sin 2 G 2 , soit, en On a 6 n n2 n n sommant membres à membres ces inégalités pour i 1 613 + 23 + f + n3 @ G un G vn . variant de 1 à n, vn 6n6 Donc, pour tout entier naturel n non nul, 2 1 ^n + 1h G un G vn . vn 24 n4 2 1 ^n + 1h 1 3 lim = lim 2 = 0 et comme n4 n " + 3 24 n " + 3 24n 1 1 (d’après le lim vn = , on en déduit lim un = 2 2 n "+3 n "+3 théorème des gendarmes). 2 Pour tout entier i compris ente 1 et n,
18 Étudier une suite arithmético-géométrique
par deux méthodes Objectif : Mettre en œuvre deux méthodes de base pour démontrer la convergence d’une suite. 1 u1 = 2 , y 8 u2 = , 3 28 . u3 = 9
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2 a. b. Voir
le graphique ci-contre. 1 c. La suite u 0 semble croisx sante et majorée 1 u 0 u 1 u 2 u3 par 4. 3 a. Pour tout entier naturel n, on note P^nh la propriété : « un G un + 1 G 4 ». ◗ Initialisation : u0 = 1 , u2 = 2 . Donc P^0 h est vraie. ◗ Hérédité : démontrons que si, pour un entier n, P^nh est vraie, alors P^n + 1h : « un + 1 G un + 2 G 4 » est vraie. La fonction f est une fonction affine croissante. D’après l’hypothèse de récurrence un G un + 1 G 4 , donc f ^un + 1h G f ^un + 1h G f ^4h et comme f ^4h = 4 , on obtient un + 1 G un + 2 G 4 . C’est-à-dire que la propriété P^n + 1h est vraie. ◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel n, P^nh est vraie. Donc, pour tout entier naturel n, un G un + 1 G 4 . La suite u est croissante et majorée par 4. b. La suite u est croissante et majorée par 4, donc elle converge. Sa limite est une solution de l’équation f ^ x h = x , soit 2x + 4 , soit x = 4 . La suite u converge vers 4. x= 3 4 a. On a : 2un + 4 2 - 4 = ^un - 4h . vn + 1 = un + 1 - 4 = 3 3 2 Donc, pour tout entier naturel n, vn + 1 = vn . La suite 3 2 et de premier terme v est géométrique de raison 3 v0 =- 3 .
2 n b. Pour tout entier naturel n, vn =- 3 # c m . 3 n 2 Donc un = 4 - 3 # c m . 3 n 2 c. On a lim c m = 0 (suite géométrique de raison n "+3 3 strictement inférieure à 1). Donc lim un = 4 . n "+3
19 Étudier le comportement à l’infini d’une
suite Objectif : Conjecturer et prendre des initiatives dans le type de démonstration à utiliser.
1 Pour tout entier naturel n, on note P^nh la propriété : « un ! 0 ». ◗ Initialisation : u0 = a ! 0 , P^0 h est vraie. ◗ Hérédité : démontrons que si, pour un entier n, P^nh est vraie, alors P^n + 1h : « un + 1 ! 0 » est vraie. ^unh2 + 1 1 = , donc un + 1 ! 0 . un + 1 = un + un un C’est-à-dire que la propriété P^n + 1h est vraie. ◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel n, P^nh est vraie. Donc, pour tout entier naturel n, un ! 0 . La suite u est bien définie. 2 a. Pour tout entier naturel n, on note P^nh la propriété : « un 2 0 ». ◗ Initialisation : u0 = a 2 0 , P^0 h est vraie. ◗ Hérédité : démontrons que si, pour un entier n, P^nh
est vraie, alors P^n + 1h : « un + 1 2 0 » est vraie. ^unh2 + 1 1 = un + 1 = un + 2 0 , donc un + 1 2 0 . un un C’est-à-dire que la propriété P^n + 1h est vraie. ◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel n, P^nh est vraie. Donc, pour tout entier naturel n, un 2 0 . 1 un + 1 - un = 2 0 d’après ce qui précède. Donc la un suite u est croissante. Si la suite u est majorée, alors, comme elle est croissante, 1 elle converge vers , solution de l’équation x = x + . x Cette équation n’a pas de solution, donc la suite n’est pas majorée. Et comme elle est croissante, elle diverge vers + 3 . b. Dans le cas a 1 0 , en utilisant les mêmes méthodes, on prouve que la suite u est négative, décroissante et qu’elle tend vers - 3 . 20 Des « 1 » partout !
Objectif : Conjecturer, faire des recherches et bâtir une démonstration. ◗ Par construction, le réel cherché (s’il existe) est la limite de la suite u définie par u0 = 1 et pour tout entier 1 . naturel n, un + 1 = 1 + un ◗ Si la suite u converge, elle converge vers une solution 1 de l’équation x = 1 + + x2 - x - 1 = 0 . x
Livre du professeur - CHAPITRE 1
Suites numériques
7
1+ 5 = { et Cette équation admet deux solutions 2 1 5 1 = , où { est le nombre d’or. 2 { Comme la suite u est simplement minorée par 1, elle ne peut converger que vers { . 1 Comme { = 1 + , on a : { 1 1 -1un + 1 - { = 1 + { un un - { . soit : un + 1 - { = un { Donc, comme pour tout entier naturel n, on a : 1 un + 1 - { G u - { (1). { n Pour tout entier naturel n, on note P^nh la propriété : n 1 « un - { G c m u0 - { ». { 0 1 ◗ Initialisation : u0 - { G c m u0 - { , donc P^0 h { est vraie. ◗ Hérédité : démontrons que si, pour un entier n, P^nh est n+1 1 vraie, alors P^n + 1h : « un + 1 - { G c m u0 - { » { est vraie. 1 D’après l’inégalité (1), un + 1 - { G u - { et en { n utilisant l’hypothèse de récurrence, on obtient : un + 1 - { G
n
1 c1 m # u0 - { . { { n+1
1 m u0 - { . { C’est-à-dire que la propriété P^n + 1h est vraie. ◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel 1 n, P^nh est vraie. Comme 1 1 , la suite géométrique { n 1 de terme général c m u0 - { converge vers 0. { Donc lim un - { = 0 . La suite u converge vers { .
Donc un + 1 - { G c
n "+3
21 Que de racines !
Objectif : Conjecturer, faire des recherches et bâtir une démonstration. Que ce soit à l’aide de Geogébra ou à l’aide d’un tableur, on conjecture que la suite u n’est pas monotone, mais semble converger vers 1. y
n "+3
1 ©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
1 3 ◗ Initialisation : G 2 G , P^0 h est vraie. 2 2 ◗ Hérédité : démontrons que si, pour un entier n, P^nh 1 3 est vraie, alors P^n + 1h : « G un + 1 G » est vraie. 2 2 1 3 D’après l’hypothèse de récurrence, G un G . 2 2 1 3 1 3 Donc . G 2 - un G , soit G 2 - un G 2 2 2 2 3 3 1 3 1 1 et Comme G , on a G un + 1 G . G 2 2 2 2 2 2 C’est-à-dire que la propriété P^n + 1h est vraie. ◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel n, P^nh est vraie. 2 - un - 1 un + 1 - 1 = 2 - un - 1 = 2 - un + 1 1 = ^1 - unh # . 2 - un + 1 1 3 Comme G 2 - un G , on a : 2 2 3 5 G 1 + 2 - un G . 2 2 1 2 Donc : G . 3 2 - un + 1 On en déduit que pour tout entier naturel n : 2 un + 1 - 1 G u -1 . 3 n Pour tout entier naturel n, on note P^nh la propriété : 2 n « un - 1 G c 3 m 2 - 1 ». 2 0 ◗ Initialisation : 2 -1 Gc 3 m 2 - 1 , P^0 h est vraie. ◗ Hérédité : démontrons que si, pour un entier n, P^nh est 2 n+1 vraie, alors P^n + 1h : « un + 1 - 1 G c 3 m 2 - 1 » 2 est vraie. On a vu que un + 1 - 1 G u -1 . 3 n Donc, en utilisant l’hypothèse de récurrence, on obtient 2 c 2 mn # un + 1 - 1 G 2 - 1 , soit : 3 3 2 n+1 2 -1 . un + 1 - 1 G c 3 m C’est-à-dire que la propriété P^n + 1h est vraie. ◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel n, 2 P^nh est vraie. Comme 0 1 1 1 , la suite géométrique 3 2 n de terme général c 3 m 2 - 1 converge vers 0. Donc lim un - 1 = 0 . La suite u converge vers1.
Faire le point 0 0,2
u1 1u2 u0
2
Pour tout entier naturel n, on note P^nh la propriété : 1 3 ». « G un G 2 2 8
Livre du professeur - CHAPITRE 1
25 1 a. et b.
x
5 a. et b.
26 1 a. Faux. 2 Vrai.
Suites numériques
2 c. 6 b. et c.
b. Vrai.
3 Faux.
3 a. et c. 7 b.
c. Faux. 4 Vrai.
d. Faux.
4 c. 8 c.
Exercices d’application 1 Raisonnement par récurrence 27 1 Vrai.
2 Vrai.
3 Vrai.
4 Vrai.
5 Vrai.
28 1 a. Vrai, car si 6 n - 1 = 5k , alors :
6 n + 1 - 1 = 6 # 6 n - 1 = 6 # ^5k + 1h - 1 = 5^6k + 1h . b. Vrai. c. Faux. 2 a. Vrai, car si 6 n + 1 = 5k , alors : 6 n + 1 + 1 = 6 # 6n + 1 = 6 # ^5k - 1h + 1 = 5^6k - 1h . b. Faux. c. Vrai, par exemple n = 1 . Démontrer par récurrence 29 1 Propriété pour tout entier n H 1 :
P ^n h : 1 3 + 2 3 + f + n 3 =
12 ^1 + 1h ; vrai. 4 ◗ Démontrons que si P^nh est vraie, alors P^n + 1h est aussi vraie. 2 n2 ^n + 1h 3 + ^n + 1h3 . 13 + 23 + f + n3 + ^n + 1h = 4 Donc, en factorisant : 2 3 2 n + ^n + 1hE . 13 + 23 + f + ^n + 1h = ^n + 1h ; 4 ^n + 1h2 3 6^n + 2h2 @. Donc 13 + 23 + f + ^n + 1h = 4 La propriété P^n + 1h est vraie. ◗ Conclusion : pour tout entier n H 1 , 2 n2 ^n + 1h . 13 + 23 + f + n3 = 4 2 Propriété P^nh pour tout entier n H 1 : 1 1 1 + +f+ 1#2#3 2#3#4 n # ^n + 1h # ^n + 2h n^n + 3h = . 4^n + 1h^n + 2h ◗ Initialisation : pourn = 1 , 1^1 + 3h 1 1 1 = = . et 6 6 1#2#3 4^1 + 1h^1 + 2h Donc P^1 h est vraie. ◗ Démontrons que si P^nh est vraie, alors P^n + 1h est aussi vraie. 1 1 + +f Soit A = 1#2#3 2#3#4 1 1 + + . ^n + 1h^n + 2h^n + 3h n # ^n + 1h # ^n + 2h n^n + 3h 1 + Donc A = + + + + ^ h ^ h ^ h ^ 4 n 1 n 2 n 1 n 2h^n + 3h soit, en factorisant : n^n + 3h 1 1 H > + A= 4 ^n + 1h^n + 2h ^n + 3h ◗ Initialisation : 13 =
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2
2
n 2 ^n + 1 h . 4
1 n3 + 6n2 + 9n + 4 = H; > ^n + 1h^n + 2h 4^n + 3h donc : ^n + 1h2 ^n + 4h ^n + 1h^n + 4h = = A ; 4^n + 1h^n + 2h^n + 3h 4^n + 2h^n + 3h
la propriété P^n + 1h est vraie. ◗ Conclusion : pour tout entier n H 1 , 1 1 1 + +f+ 1#2#3 2#3#4 n # ^n + 1h # ^n + 2h n^n + 3h = . 4^n + 1h^n + 2h 30 Propriété P^nh pour tout entier n H 0 :
« la fonction f n est dérivable sur R et pour tout réel x, ^ f nhl^ x h = nx n - 1 ». 1. Donc, pour tout réel x, ◗ Initialisation : f 0 : x ^ f 0hl^ x h = 0 , donc P^0 h est vraie. ◗ Démontrons que si P^nh est vraie, alors P^n + 1h est aussi vraie. Soit f n + 1 ^ x h = x n + 1 = x # f n ^ x h , donc ^ f n + 1hl^ x h = f n ^ x h + x # ^ f nhl^ x h soit, en utilisant l’hypothèse de récurrence : ^ f n + 1hl^ x h = x n + x # nx n - 1 = ^n + 1hx n . La propriété P^n + 1h est vraie. ◗ Conclusion : pour tout entier n, ^ f nhl^ x h = nx n - 1 .
7
31 Pour tout entier n H 1 , on note P^nh la propriété :
« n! H 2 n - 1 ». ◗ Initialisation : pour n = 1 , on a 1! = 1 et 21 - 1 = 1 . Donc P^1 h est vraie. ◗ Hérédité : on suppose que pour un entier n H 1 , P^nh est vraie, c’est-à-dire que : n! H 2 n - 1 . On a ^n + 1h! = ^n + 1h # n! . D’après l’hypothèse de récurrence, on a : ^n + 1h! H ^n + 1h # 2 n - 1 . Or, n H 1 . Donc n + 1 H 2 et ^n + 1h # 2 n - 1 H 2 # 2 n - 1 . On en déduit que ^n + 1h! H 2 n , c’est-à-dire que la propriété P^n + 1h est vraie. ◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier n H 1 , P^nh est vraie. Donc pour tout entier n H 1 , n! H 2 n - 1 . 32 Soit P^nh la propriété définie sur N par :
« 4 n + 1 est divisible par 3 ». Ce raisonnement est inexact, car on ne peut pas initialiser la récurrence. 33 Soit la propriété : « 1! + 2! + f + ^n - 1h ! G n! ».
◗ Initialisation : P^2 h : 1! G 2! est vraie. ◗ Démontrons que si P^nh est vraie, alors : 1! + 2! + f + ^n - 1h! + n! G ^n + 1h! On a, en utilisant l’hypothèse de récurrence : 1! + 2! + f + ^n - 1h! + n! G n! + n! Mais 2n! G ^n + 1h! . On a donc : 1! + 2! + f + ^n - 1h! + n! G ^n + 1h! ◗ Conclusion : pour tout entier n H 2 , 1! + 2! + f + ^n - 1h! G n! 34 Pour tout entier n H 2 , on pose :
2 P^nh : « 2 n H ^n + 1h ». 2 1 Supposons que 2 n H ^n + 1h , démontrons que : 2 2 n + 1 H ^n + 2h . 2 D’après l’hypothèse de récurrence 2 # 2 n H 2^n + 1h .
Livre du professeur - CHAPITRE 1
Suites numériques
9
On a :
2
2
y 15
2-
2^n + 1h - ^n + 2h = n 2 H 0 si n H 2 . 2 2 + + Donc 2^n 1h H ^n 2h . On en déduit que P^n + 1h est vraie. 2 P^6 h est vraie, donc pour tout entier n H 6 : 2 2 n H ^n + 1h .
10
D
Étudier des suites 35 1 v = 1 , v = 4 , v = 9 , v = 16 . 1 2 3 4
On conjecture que pour tout entier naturel n, vn = n2 . 2 Propriété P^nh pour tout entier n H 0 : « vn = n2 ». ◗ Initialisation : 02 = 0 = v0 . ◗ Démontrons que si, pour un entier n, vn = n2 , alors 2 vn + 1 = ^n + 1h . On a : 2 vn + 1 = vn + 2n + 1 = n2 + 2n + 1 = ^n + 1h . Donc P^n + 1h est vraie. ◗ En conclusion, pour tout entier naturel n, vn = n2 . 36 1 La droite a pour équation y = 0,5x + 1 ; la
droite D a pour équation y = x . On lit u1 =- 0,5 ; u2 . 0,8 et u3 . 1,4 . 2 Pour tout entier naturel n, on note P^nh la propriété : « un G 2 ». ◗ Initialisation : pour n = 0 , on a : u0 =- 3 G 2 . Donc P^0 h est vraie. ◗ Hérédité : on suppose que pour un entier n H 0 , P^nh est vraie, c’est-à-dire que : un G 2 . On en déduit que : 0,5un + 1 G 0,5 # 2 + 1 , soit 0,5un + 1 G 2 . Ainsi un + 1 G 2 , c’est-à-dire que la propriété P^n + 1h est vraie. ◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier n H 0 , P^nh est vraie. Donc, pour tout entier n H 0 , un G 2 . 3 Pour tout entier n, un + 1 - un = 0,5un + 1 - un = 1 - 0,5un = 0,5^2 - unh . Comme un G 2 , on a : 2 - un H 0 . On en déduit que pour tout entier n, un + 1 - un H 0 . Donc la suite u est croissante.
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37 1 Voir le schéma ci-après.
Livre du professeur - CHAPITRE 1
1 0 1 v0 v 1
5 v2
10 v3
38 On pose, pour tout entier naturel n,
P^nh : un = 4 # 3 n - 1 . ◗ Initialisation : u0 = 4 # 30 - 1 = 3 . P^0 h est vraie. ◗ Démontrons que si P^nh est vraie alors : un + 1 = 4 # 3 n + 1 - 1 . En tenant compte de l’hypothèse de récurrence, un + 1 = 3un + 2 = 3^4 # 3 n - 1h + 2 = 4 # 3 n + 1 - 1 . ◗ Conclusion : pour tout entier n, un = 4 # 3 n - 1 . 39 Démontrons par récurrence la propriété :
P^nh : « 1 G un + 1 G un ». ◗ Initialisation : comme u1 = 8 + 1 = 3 , P^0 h 1 G u1 G u0 est vraie. ◗ Démontrons que si P^nh est vraie, alors : 1 G un + 2 G un + 1 . En tenant compte de l’hypothèse de récurrence et comme f : x x + 1 est une fonction croissante, on a: f ^1 h G f ^un + 1h G f ^unh , donc comme 1 G 2 , on a : 1 G un + 2 G un + 1 . ◗ Conclusion : la suite u est minorée par 1 et décroissante.
7
40 1 Pour tout réel x ! @ - 1 ; + 3 6 ,
6 2 0. ^ x + 1h2 La fonction f est strictement croissante sur @ - 1 ; + 3 6 . 1 Démontrons par récurrence la propriété : P^nh : « un 2 2 ». ◗ Initialisation : P^0 h : u0 = 3 2 2 est vraie. ◗ Démontrons que si P^nh est vraie, alors un + 1 2 2 . En tenant compte de l’hypothèse de récurrence et comme f est une fonction croissante, on a f ^unh 2 f ^2 h, donc comme f ^2 h = 2 , on a un + 1 2 2 . ◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, un 2 2 . 3 Pour tout entier naturel n : -^unh2 + 3un - 2 ^2 - unh^un - 1h = . un + 1 - un = un + 1 un + 1 f l^ x h =
La suite v semble croissante. 2 On pose pour tout entier n, P^nh : « vn H 0 ». ◗ Initialisation : v0 = 0 , donc P^0 h est vraie. ◗ Démontrons que si vn H 0 , alors vn + 1 H 0 . Si vn H 0 , alors 2vn + 1 H 1 , donc vn + 1 H 0 . ◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, vn H 0. 3 vn + 1 - vn H vn + 1 H 0 d’après la question précédente. Donc, pour tout entier naturel n, vn + 1 H vn . La suite v est croissante. 10
5
Suites numériques
Comme un 2 2 , 2 - un 1 0 et un - 1 H 0 , donc un + 1 - un G 0 . Pour tout entier naturel n, un + 1 G un . La suite u est décroissante.
48 a. • La suite u est décroissante.
41 Démontrons par récurrence la propriété :
3n - 1 ». P^nh : « pour tout entier n H 1 , un = 2 ◗ Initialisation : 30 - 1 31 - 1 = 0 et u1 = = 1 , P^0 h et comme u0 = 2 2 P^1 h sont vraies. ◗ Soit un entier n H 1 . Démontrons que si P^nh est vraie, 3n + 1 - 1 alors un + 1 = . 2 En tenant compte de l’hypothèse de récurrence 3n - 1 3n - 1 - 1 4 # 3n - 4 - 3n + 3 -3 = un + 1 = 4 , 2 2 2 n+1 3 1 . soit : un + 1 = 2 3n - 1 . ◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, un = 2 2 Limite finie ou infinie d’une suite 42 a. Faux.
b. Faux.
c. Vrai.
d. Faux.
43 a. Faux.
b. Vrai.
c. Vrai.
d. Faux.
44 1 Faux.
2 Faux.
45 1 a. 0 G u 1 e + 1 1 e + n 2 1 H E c 1 m . n
e e n b. Pour tout réel e strictement positif, il existe un entier 1 p = 1 + E c e m tel que dès que n H p , on a 0 G un 1 e , donc lim un = 0 . 2 On démontre de même que :
lim
n "+3
1 = 0. n
1 2 = 0 et n "+3 n lim
46 1 Comme la suite u converge vers , , pour
,l - , , il existe un entier p tel que si n H p , alors 2 un ! @ , - f ; , + f 6 . 2 Comme la suite u converge vers ,l , pour ,l - , , il existe un entier m tel que si n H m , alors f1 2 un ! @ ,l - f ; , + f 6 . Comme les deux intervalles précédents sont disjoints, dès que n H sup ^ p, mh il y a impossibilité. Donc les limites , et ,l ne peuvent pas être différentes.
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f1
47 Soit e un réel strictement positif.
1 Pour x ! 60 ; + 3 6 ,
1 - 3x est telle que x+2 1 0 . Donc la fonction f est décrois-
49 a. • La fonction f : x
7
-7 ^ x + 2h2 sante sur 60 ; + 3 6 . La suite u est décroissante. • On conjecture que la suite u converge vers - 3. • Pour n H 69 999 , un ! @ - 3 - 10-4 ; - 3 + 10-4 6 . f l^ x h =
7 • Pour tout réel e 2 0 , il existe un entier p = 1 + E c e m tel que si n H p , alors un + 3 1 e . Donc la suite u converge vers - 3. x2 est telle que b. • La fonction f : x 1 + x2 2x H 0 . Donc la fonction f est croisf l^ x h = ^1 + x2h2 sante sur 60 ; + 3 6 . La suite u est croissante. • On conjecture que la suite u converge vers 1. • Pour n H 100 , un ! @ 1 - 10-4 ; 1 + 10-4 6 . • Pour tout réel e 2 0 , il existe un entier p tel que si n H p, 1 alors un - 1 1 e (il suffit que p2 2 - 1 ). e Donc la suite u converge vers 1.
7
Utiliser des définitions
n "+3
• On conjecture que la suite u converge vers 0. • Pour n H 20 000 , un ! @ - 10-4 ; 10-4 6 . 2 • Pour tout réel e 2 0 , il existe un entier p = 1 + E c e m tel que si n H p , alors un 1 e . Donc la suite u converge vers 0. b. • La suite u est décroissante. • On conjecture que la suite u converge vers 0. • Pour n H 99 980 001 , un ! @ - 10-4 ; 10-4 6 . • Pour tout réel e 2 0 , il existe un entier 1 2 p = 1 + E ca1 - k m tel que si n H p alors un 1 e . e Donc la suite u converge vers 0.
3 3-e . 1e + x 2 2e 2x + 1 3-e m 2 a. On pose p = 1 + E c . Pour tout entier 2e n H p, on a 0 G un 1 e . b. On en déduit que la suite u converge vers 0.
50 1 On considère une suite u qui converge vers , .
Pour tout réel e 2 0 , il existe un entier p tel que si n H p, alors un ! @ , - e ; , + e 6 . On pose M le plus grand des réels u0, u1, f, up, , + e . Alors, pour tout entier naturel n, un G M . Donc la suite u est majorée. On démontre de même que la suite u est minorée. 2 Une suite peut être bornée sans pour autant converger, par exemple, la suite géométrique de raison - 1. 51 1 Soit un réel A.
• A 1 0 , pour tout entier naturel un 2 A . • Si A H 0 , alors un 2 A + n 2 A2 . 2 Quel que soit le réel A, dès qu’on a n 2 A2 , on a un 2 A. Donc la suite u diverge vers + 3 . 52 1 On résout :
n2 + 3 2 10 + n2 - 10n + 3 2 0 , car n H 1. n On calcule D = 88 ; x1 = 5 - 22 . 0,3 et x2 = 5 + 22 . 9,7 . Comme n est entier, on a un 210 + n H 10 . un 2 10 +
Livre du professeur - CHAPITRE 1
Suites numériques
11
Ainsi, à partir du rang n0 = 10 , tous les termes de la suite u appartiennent à l’intervalle @ 10 ; + 3 6 . 2 On résout : n2 + 3 un 2 A + 2 A + n2 - A # n + 3 2 0 , car n H 1 . n On calcule D = A2 - 12 . • Si A 1 12 , on a D 1 0 , et, pour tout entier n, n2 - A # n + 3 2 0 . On peut choisir n0 = 0 . A , • Si A = 12 , on a D = 0 , et, pour tout entier n ! 2 2- # + n A n 3 2 0 . On peut choisir n0 = 0 . • Si A 2 12 , on a D 2 0 , et pour tout entier A + A2 - 12 , n2 - A # n + 3 2 0 . n2 2 A + A2 - 12 n + On peut choisir n0 = E d 1. 2 Ainsi, à partir du rang n0 , tous les termes de la suite u appartiennent à l’intervalle @ A ; + 3 6 . 3 Par définition, la suite u diverge vers + 3 . Donc lim un =+ 3 .
1 2 a. un = n2 et vn = . On a lim un =+ 3 n n "+3 lim vn = 0 ; lim un # vn = lim n =+ 3 .
n "+3
2x2 - 3 est croissante sur 60 ; + 3 6 . La suite u est croissante. On conjecture que la suite u diverge vers + 3 . i. Pour n H 224 , alors un H 105 . ii. Pour n H 707 107 , alors un 2 1012 . A+3 • Pour tout réel A 2 0 , il existe un entier p H 2 tel que si n H p , alors un H A . Donc la suite u diverge vers + 3 . 2 • La fonction f : x 2 x + 5 est croissante sur 60 ; + 3 6 . La suite u est croissante. On conjecture que la suite u diverge vers + 3 . i. Pour n H 3 # 109 , alors un 2 105 . ii. Pour n H 3 # 1023 , alors un 2 1012 . A - 5 m2 • Pour tout réel A 2 0 , il existe un entier p H c 2 tel que si n H p , alors un H A . Donc la suite u diverge vers + 3 .
7
7
54 Soit A 2 0 . On a - 2n2 + 3 1 - A + n 2
A+3 . 2
Pour tout réel A 2 0 , il existe un entier A+3 m tel que si n H p , alors vn G - A . p = 1 + Ec 2 La suite v diverge vers - 3 . Utiliser des opérations sur les limites 55 1 a. lim u =+ 3 et lim v =- 3 ; n n n "+3
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
n "+3
lim ^un + vnh = lim 1 - n2 =- 3 .
n "+3
n "+3
c. lim un =+ 3 et lim vn =- 3 ; n "+3
n "+3
lim ^un + vnh = lim 3 = 3 .
n "+3
n "+3
d. lim un =+ 3 et lim vn =- 3 ; n "+3
n
n "+3
un + vn = ^- 1h qui n’a pas de limite. 12
Livre du professeur - CHAPITRE 1
et
1 . On a lim un =+ 3 et n n "+3 lim vn = 0 ; lim un # vn = lim - n =- 3
c. un = n
2
et vn =-
n "+3
n "+3
n "+3
4 d. un = n et vn = . On a lim un =+ 3 n n "+3 lim vn = 0 ; lim un # vn = lim 4 = 4 . n "+3
n "+3
et
n "+3
56 a. lim u = lim - 4n =- 3 . n n "+3
n "+3
b. lim vn = lim n2 =+ 3 . n "+3
n "+3
57 a. lim u =+ 3 . n n "+3
b. lim vn = lim n3 =+ 3 . n "+3
n "+3
3 = 0. 2 n "+3 n "+3 n 2 2 = lim = 0 . Donc lim vn = 5 . b. lim n "+3 n + 1 n "+3 n n "+3 58 a. lim u = lim n
59 a. Pour tout entier n ! 0 ,
5 5 k 3n n = un = . 1 1 n a2 + k 2+ n n 5 1 = 3 et lim 2 + = 2. Or, lim 3 n n n "+3 n "+3 3 Donc, par quotient, lim un = . 2 n "+3 b. Pour tout entier n ! 0 , 2 2 n2 a1 - k n a1 - k n n = . un = 3 3 +1 na + 1k n n 2 3 = 1 et lim + 1 = 1. Or, lim n =+ 3 ; lim 1 n n "+3 n "+3 n "+3 n Donc, par produit et quotient, lim un =+ 3 . n a3 -
n "+3
60 a. La suite u est divergente.
b. On a vn = Comme lim
n "+3
61 a. On a
n "+3
n "+3
lim un =+ 3
n "+3
1 = 0. n "+3 n
n "+3
n "+3
n "+3
b. lim un =+ 3 et lim vn =- 3 ;
n "+3
lim vn = 0 ; lim un # vn = lim
lim ^un + vnh = lim n2 =+ 3 .
n "+3
n "+3
1 b. un = n et vn = 2 . On a n
n "+3
53 1 • La fonction f : x
et
1 . n+1 + n n + 1 + n =+ 3 , on a lim vn = 0 . n "+3
lim n2 =+ 3 et lim
n "+3
n "+3
1 = 0 , donc n+1
lim un =+ 3 .
n "+3
b. On a
lim
n "+3
lim vn =- 3 .
1 = 0 et n2
lim 2 n =+ 3 , donc
n "+3
n "+3
62 a. On a lim 3 = 0 et lim n "+3 n
Donc lim un = 2 . n "+3
Suites numériques
3 2 = 0. n "+3 n
b. On a lim
n "+3
n =+ 3 et lim
donc lim vn =+ 3 .
n "+3
1 = 0, n
3 Limites et comparaison 67 1 a. Vrai.
n "+3
63 a. lim u = lim 3n = lim 3 = 0 . n 2
n n "+3 n 3n b. lim vn = lim 2 = lim 3 = 3 . n "+3 n "+3 n n "+3 n "+3
b. Faux.
c. Vrai.
2 Faux.
68 1 Vrai.
n "+3 2
2 Faux.
3 Vrai.
4 Vrai.
Théorème de majoration, de minoration
2 64 a. lim u = lim - n = lim - 1 =- 1 . n 2 2 n "+3 n " + 3 2n n "+3 2 2 + - -1/n n n 1 . b. vn = 2n2 n2 1 Donc lim vn = lim d 2 n = . 2 n "+3 n " + 3 2n
69 1 C’est la définition de lim v . n n "+3
2 Comme à partir du rang p, vn 1 A et un G vn , on en
déduit que, pour tout entier n H p , un 1 A . On en déduit que la suite u diverge vers - 3 .
En situation
70 a. Pour tout entier naturel n, n2 - n G u G n2 + n. n
Comme lim n2 - n =+ 3 , on en déduit que :
65 1 Il semble que la suite u converge vers 0 :
n "+3
lim un =+ 3 .
n "+3
b. Pour tout entier naturel n, - 3n G un G - n , comme lim - n =- 3 , on en déduit que lim un =- 3 . n "+3
n "+3
71 1 La fonction x
2 Pour tout entier naturel n :
1 + un 1 1 +1 = +1 = + 1 + 1 = vn + 1. un + 1 un un Donc la suite v est arithmétique de raison 1 et de terme 1 + 1 = 2 + 1 = 3. initial v0 = un 3 Pour tout entier n, vn = 3 + 1 # n = 3 + n . 1 1 1 = + 1 . Donc un = . Or, vn = un vn - 1 2+n 1 = 0 , la suite u converge vers 0. Comme lim n "+3 2 + n x+1 66 1 La fonction f : x est telle que : 2x3 + 1 3+ 24x 6x 1 f l^ x h =1 0 sur 61 ; + 3 6 . 2 3 ^2x + 1h Donc la fonction f est décroissante. La suite u est décroissante. n 2 On a lim un = lim 3 = 0. 2 + + n" 3 n" 3 n n+1 3 a. La distance entre un et 0 est égale à . 2n3 + 1 b. On modifie l’algorithme comme ci-dessous. c. i. Pour e = 10-2 on obtient N = 8 . ii. Pour e = 10-5 on obtient N = 225 . vn + 1 =
7
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
ALGO
Variables : N : entier ; e : réel Début : Entrer (e) N ! 0; N+1 TantQue H e faire 2N3 + 1 N ! N + 1 ; FinTantQue Afficher (N) ; Fin.
7
1 est strictement décroisx
sante sur @ 0 ; + 3 6 . Donc pour tout entier k tel que 1 G k G n , 1 1 . H 1H k n 2 Pour tout entier n H 1 : 1 1 1 1 1 ; ; ; … ; H H 1H 2 n 3 n n 1 1 . H n-1 n En ajoutant membre à membre, on obtient : 1 1 1 +f+ un H . n n . Donc un H n # n 1 4444 2 4444 3 n termes
Ainsi, un H 3 Comme
n. lim
n "+3
n =+ 3 , d’après le théorème de
minoration, on a lim un =+ 3 . n "+3
72 1 Il semble que la suite u diverge vers - 3 . 2 a. Pour tout entier naturel n, on note P^nh la
propriété : « vn G 0 ». ◗ Initialisation : pour n = 0 , on a v0 = 0 G 0 . Donc P^0 h est vraie. ◗ Hérédité : on suppose que pour un entier n H 0 , P^nh est vraie, c’est-à-dire que : vn G 0 . On en déduit que 2vn - 3 G - 3 , soit vn + 1 G - 3 . Ainsi, vn + 1 G 0 , c’est-à-dire que la propriété P^n + 1h est vraie. ◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier n H 0 , P^nh est vraie. Donc, pour tout entier n H 0 , vn G 0 . Or, vn + 1 - vn = 2vn - 3 - vn = vn - 3 . Donc : vn + 1 - vn G - 3 . b. Pour tout entier naturel n, vn = ^vn - vn - 1h + ^vn - 1 - vn - 2h + f + ^v1 - v0h .
Livre du professeur - CHAPITRE 1
Suites numériques
13
Et, comme pour tout entier k, vk - vk - 1 G - 3 , on a : vn G ^- 3h + ^- 3h + f + ^- 3h 1 444444 2 444444 3 . n termes
Donc vn G - 3n . c. Comme lim - 3n =- 3 , d’après le théorème de n "+3
majoration, on a lim vn =- 3 . n "+3
Ainsi, la suite v diverge vers - 3 .
n "+3
2 2 73 1 f ^ x h - ^ x + 1h = x - x + 1 = c 1 x - 1 m H 0.
2 4 Donc, pour tout réel x, f ^ x h H x + 1 . 2 D’après 1 , un + 1 - un = f ^unh - un H 1 . La suite u est croissante. 3 un - u0 = ^un - un - 1 h + ^un - 1 - un - 1h + f +^u1 - u0h . Donc d’après 2 , un - u0 H 1 + 1 + f + 1 , soit un H n + 3 . On en déduit que lim un =+ 3 . n "+3
4 Pour que un H 10 6 , il suffit que n + 3 H 103 , soit
n H 103 - 3 ; on prend, par exemple, N = 997 . Théorème des gendarmes
-1 1 G un G . n+1 n+1 -1 1 = 0 et lim = 0 , on Comme lim + + n 1 n 1 n "+3 n "+3 en déduit que lim un = 0 d’après le théorème des n "+3 gendarmes. b. Pour tout entier naturel n non nul, - 1 G cos n G 1, -1 -1 1 on a lim 2 G vn G 2 . Comme 2 = 0 et n n n "+3 n 1 lim 2 = 0 , on en déduit que lim vn = 0 d’après le n "+3 n n "+3 théorème des gendarmes. 74 a. Pour tout entier naturel n,
1 est + n k 1 1 1 . décroissante. Donc G G + n 1 n+ n n+ k On en déduit que : n n . G un G n+1 n+ n n 1 2 lim = lim =1 n "+3 n + n n "+3 + 1 1 n n 1 = lim = 1. et lim n "+3 n + 1 n "+3 + 1 1 n Donc lim un = 1 d’après le théorème des gendarmes. 75 1 La suite de terme général v = k
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
n "+3
76 1 Pour tout entier n H 2 : n
3n + ^- 1h cos ^nh -3 n-1 n n 3n + ^- 1h cos ^nh - 3n + 3 3 + ^- 1h cos ^nh = = . n-1 n-1 2 Pour tout entier n H 2 : - 1 G ^- 1hn cos ^nh G 1 , donc 2 G 3 + ^- 1hn cos ^nh G 4. un - 3 =
14
Livre du professeur - CHAPITRE 1
Comme n - 1 H 1 , on obtient : 2 4 . G un - 3 G n-1 n-1 4 . On en déduit que un - 3 G n-1 4 = 0 , par le théorème des gendarmes, Avec lim n "+3 n - 1 on obtient que lim un - 3 = 0 . On en déduit que lim un = 3 . n "+3
3 Pour que un - 3 G 0,01 , il suffit que
4 G 0,01 , n-1
c’est-à-dire que n H 401 . À partir du rang N = 401 , on est sûr que la distance entre un et 3 est inférieure à 0,01. 77 1 u . 1,9964 et u . 2 . 10 100
La suite u semble converger vers 2. 2 Pour tout entier naturel n, - 3 G - 3 sin n G 3 . On en déduit que, pour tout entier naturel non nul n : 2n2 + 3 2n2 - 3 G un G 2 2+ n 1 n +1 22n 3 2n2 = lim lim 2+ 2 = 2. 1 n "+3 n n "+3 n De même, 2n2 + 3 2n2 = lim lim 2+ 2 = 2. 1 n "+3 n n "+3 n On en déduit que la suite u converge vers 2 en utilisant le théorème des gendarmes. 3 a. D’après 2 , pour tout entier n : -5 1 . G un - 2 G 2 n2 + 1 n +1 5 . b. On a donc un - 2 G 2 n +1 Pour que la distance entre un et 2 soit inférieure à 10-3 , 5 il suffit que 2 G 10-3 , soit n H 71 . n +1 c. Non, u74 . 2,0002 . 4 Convergence de certaines suites 78 1 Vrai.
2 Faux.
3 Vrai.
79 1 Vrai.
2 Vrai.
3 Faux.
4 Vrai.
Cas des suites monotones 80 1 La fonction
7
f : x 1 + x et la fonction x 1 + x ont même sens de variations sur l’intervalle 6- 1 ; + 3 6 . Donc la fonction f est croissante sur 6- 1 ; + 3 6 . 2 Remarque : l’équation f ^ x h = x admet bien une unique solution, car : f ^ x h = x + 1 + x = x + 1 + x = x2 et x H 0 + x2 - x - 1 = 0 et x H 0 + x = 1 +2 5 . 1+ 5 On sait que a = . 1,618 . 2
Suites numériques
7
La fonction f est croissante sur 6- 1 ; + 3 6, donc sur 61 ; a @. Donc, pour tout réel x de 61 ; a @, f ^1 h G f ^ x h G f ^ah . Or, f ^1 h = 2 , et f ^ah = a . Donc 2 G f ^ x h G a .
On en déduit que 1 G f ^ x h G a , c’est-à-dire f ^ x h ! 61 ; a @. 3 Pour tout entier naturel n, on note la propriété : « 1 G un G a et un G un + 1 ». ◗ Initialisation : pour n = 0 , on a u0 = 1 . Donc 1 G u0 G a . Et u1 = 1 + 1 = 2 . Donc u0 G u1 . Donc P^0 h est vraie. ◗ Hérédité : on suppose que pour un entier n H 0 , P^nh est vraie, c’est-à-dire que : 1 G un G a et un G un + 1 . D’après la question 2 , f ^unh ! 61 ; a @. Donc 1 G un + 1 G a . De plus, la fonction f est croissante sur 61 ; a @. Donc f ^unh G f ^un + 1h . On en déduit un + 1 G un + 2 . Ainsi, la propriété P^n + 1h est vraie. ◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier n H 0 , P^nh est vraie. Donc, pour tout entier n H 0 , 1 G un G a et un G un + 1 . 4 D’après la question 3 , la suite u est croissante et majorée (par a). Donc la suite u converge. 81 1
Variables : e, U, L : réels ; N : entier ; Début : Entrer(e) ; N ! 0; U ! 0; 5 + 29 L! ; 2 TantQue L – U H e Faire N ! N + 1 ; 5 U ! 6; U+1 FinTantQue ; Afficher(N) ; Fin. b. i. N = 6 ;
ii. N = 10 .
82 1 Démontrons par récurrence que pour tout entier
y
1 0 u0
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Comme f ^0 h = 1 et f ^ah = a on a bien : 0 G un + 1 G un + 2 G a . ◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, 0 G un G un + 1 G a . 3 La suite u est croissante et majorée. Donc elle converge vers la solution de l’équation f ^ x h = x . Donc sa limite , est égale à a . 4 a. ALGO
1 u1
u2
u3
Il semble que la suite u soit croissante et converge vers un réel compris entre 5 et 6. 2 a. f ^ x h = x + x2 - 5x - 1 = 0 , qui admet pour 5 + 29 solution a = dans 60 ; + 3 6 . 2 b. Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0 G un G un + 1 G a . ◗ Initialisation : u1 = 1 . Donc 0 G u0 G u1 G a . ◗ Hérédité : démontrons que si 0 G un G un + 1 G a est vraie, alors : 0 G un + 1 G un + 2 G a . La fonction f est dérivable sur 60 ; + 3 6 et 5 , donc f est croissante sur 60 ; + 3 6 . f l^ x h = ^ x + 1h2 En utilisant l’hypothèse de récurrence, f ^0 h G f ^unh G f ^un + 1h G f ^ah .
naturel n, un H 0 . ◗ Initialisation : u0 = 0 . ◗ Hérédité : démontrons que si un H 0 , alors un + 1 H 0. D’après l’hypothèse de récurrence, u n2 + 3un + 1 H 0 , donc un + 1 H 0 . ◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, un H 0 : un + 1 - un = u n2 + 2un + 1 H 0 . Donc la suite u est croissante. 2 Si la suite u est majorée, comme elle est croissante, elle converge vers une solution de l’équation 2 x = x2 + 3x + 1 + ^ x + 1h = 0 + x =- 1 . 3 La suite étant positive, elle ne peut pas converger vers - 1. Donc la suite u n’est pas majorée. Comme elle est croissante, elle diverge vers + 3 . 4 a.
ALGO
Variables : A, U : réels ; N : entier ; Début : Entrer(A) ; N ! 0; U ! 0; TantQue U G A Faire N ! N + 1 ; U ! U² + 3U + 1 ; FinTantQue ; Afficher(N) ; Fin. b. i. N = 4 ;
ii. N = 5 .
Livre du professeur - CHAPITRE 1
Suites numériques
15
83 1 Démontrons par récurrence que pour tout entier
naturel n, 0 G wn G 1 . ◗ Initialisation : w0 = 0,6 , donc w0 ! 60 ; 1 @. ◗ Hérédité : démontrons que si 0 G wn G 1 est vraie, alors 0 G wn + 1 G 1 . La fonction f : x 0,7x + 0,1 est croissante sur R. En utilisant l’hypothèse de récurrence, f ^0 h G f ^wnh G f ^1 h. Comme f ^0 h = 0,1 et f ^1 h = 0,8, on a bien 0 G wn + 1 G 1 . ◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, wn + 1 G wn . 2 Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n, wn + 1 G wn . ◗ Initialisation : w1 = 0,56 , donc w1 G w0 . ◗ Hérédité : démontrons que si 0 G wn + 1 G wn est vraie, alors 0 G wn + 2 G wn + 1 . La fonction f est croissante sur R. En utilisant l’hypothèse de récurrence, f ^wn + 1h G f ^wnh . Donc on a bien wn + 2 G wn + 1 . ◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, wn + 1 G wn . La suite w est décroissante. 3 La suite w est décroissante et minorée par 0. Donc elle converge vers une solution de l’équation f ^ x h = x , qui 1 est ici . 3
7
Limite d’une suite géométrique n 84 a. La suite de terme général c 2 m est une suite
3 2 géométrique de raison . Donc elle converge vers 0. 3 Donc lim un =- 1 (opération sur les limites). n "+3
6 n b. vn = 7 n cc 7 m - 1 m . La suite de terme général 6 n c m est une suite géométrique de raison 6 , donc 7 7 elle converge vers 0 ; la suite de terme général 7 n est géométrique de raison 7, donc elle diverge vers + 3 , donc lim vn =- 3 (opération sur les limites). n "+3
85 a. Pour tout entier naturel n,
5 n 5n + 3 = 53 # c m . n 8 8 n 5 5 Or, 1 1 . Donc lim c 8 m = 0 . 8 n "+3 On en déduit que lim un = 0 . un =
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
n "+3
b. On factorise par les termes dominants au numérateur et au dénominateur. Pour tout entier naturel n : 3 n 3 n 4 n # aa k - 1 k 4 n a 4 k -1 4 . vn = n =a 3 k # 2 n n#c + 2 3 1 c mm 1+c m 3 3 3 n 4 n On a : lim c 3 m =+ 3 ; lim c 4 m = 0 n "+3 n "+3 2 n et lim c 3 m = 0 . n "+3 Par produit et quotient, on obtient : lim vn =- 3 . n "+3
16
Livre du professeur - CHAPITRE 1
n
86 a. lim 1 = 0 et la suite de terme général c 1 m
3 n "+3 n 1 est une suite géométrique de raison , donc elle 3 converge vers 0. Donc lim un = 0 (opération sur les n "+3 limites). n 3 b. vn = c 4 m est le terme général d’une suite géomé3 trique de raison , donc convergeant vers 0. 4 Donc lim vn = 0 . n "+3
87 Démontrons par récurrence pour tout entier n H 1
que : pour tout entier non nul k G n , uk = 2 # 3 k - 2 k . ◗ Initialisation : u1 = 2 # 31 - 21 = 4 et u2 = 2 # 32 - 22 = 14 vérifiées. ◗ Hérédité : soit un entier n H 2 . Démontrons que si pour tout entier k, 1 G k G n , on a uk = 2 # 3 k - 2 k , alors un + 1 = 2 # 3 n + 1 - 2 n + 1 . En utilisant l’hypothèse de récurrence, on a : un + 1 = 5^2 # 3 n - 2 nh - 6^2 # 3 n - 1 - 2 n - 1h . Donc : un + 1 = 10 # 3 n - 5 # 2 n - 4 # 3 n + 3 # 2 n . Donc : un + 1 = 6 # 3 n - 2 # 2 n = 2 # 3 n + 1 - 2 n + 1 . ◗ Conclusion : pour tout entier naturel n H 1 , un = 2 # 3 n - 2 n 2 n un = 2 # 3 n c1 - c m m . 3 2 n La suite de terme général c 3 m est une suite géomé2 qui converge vers 0. La suite de trique de raison 3 terme général ^3 hn est une suite géométrique de raison qui diverge vers + 3 . Donc lim un =+ 3 . n "+3
88 Il s’agit de calculer la limite de la suite de terme
2 n rc 2 1 + + f + c 3 m m , c’est-à-dire la 2 3 somme des n premiers termes d’une suite géométrique 2 de raison . 3 2 n+1 1-c 3 m r r r 2 n+1 = 3 -3 c m . Donc : sn = 2 2 2 2 3 13 2 converge vers 0. Toute suite géométrique de raison 3 3r . Le ressort a pour longueur Donc lim sn = 2 n "+3 3r cm. 2 général sn =
89 1 La suite de terme général u = 1 est une suite k k
géométrique de raison n+1
1 = 10 k
1 . Donc : 10
10
1 n+2 1 - c 10 m
1 1 1 -1= c1 - n m . 1 10 90 10 k=2 110 n+1 1 2 vn = 1, 2 + 7 f / k p, donc : 10 k=2
/
7 7 1 . 1 - n m , donc lim vn = 1,2 + 90 90 c 10 n "+3 7 115 = . Soit lim vn = 1,2 + 90 90 n "+3 vn = 1,2 +
Suites numériques
Prépa Bac Exercices guidés 90 1 Vrai. Démontrons par récurrence que pour tout
n . n+1 0 = 0 vraie. ◗ Initialisation : u0 = 1 n , alors ◗ Hérédité : démontrons que si un = n+1 n+1 . un + 1 = n+2 En utilisant l’hypothèse de récurrence, on a : n^n + 2h + 1 n 1 + = un + 1 = n+1 ^n + 1h^n + 2h ^n + 1h^n + 2h ^n + 1h2 = . ^n + 1h^n + 2h n+1 Donc un + 1 = . n+2 ◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel n, n . un = n+1 2 Faux. Pour tout entier naturel n non nul : n^n + 1h 1 1 1 = + . Sn = 2 ^1 + 2 + f + nh = 2 n 2 2 n 2n 1 est décroissante et elle La suite de terme général 2n 1 1 = 0. converge vers , car lim 2 n " + 3 2n n 3 Vrai. Pour tout entier naturel n, 0 G 1 + ^- 1h sin n G 2, 2 donc 0 G vn G G 2 . La suite v est bornée par n+1 0 et 2, et elle converge vers 0 d’après le théorème des gendarmes. entier naturel n , un =
91 1 a. Pour tout réel x de l’intervalle 60 ; 14 @ ,
f l^ x h = 1,4 - 0,1x H 0 . Donc la fonction f est croissante sur 60 ; 14 @. b. Sur 60 ; 14 @, f ^ x h = x + x^0,4 - 0,05x h = 0 + x = 0 ou x = 8 . c. La fonction f est croissante sur 60 ; 14 @. Si 0 G x G 8, alors f ^0 h G f ^ x h G f ^8 h , soit f ^ x h ! 60 ; 8 @. De même, si x appartient à l’intervalle 68 ; 14 @, alors f ^ x h appartient à l’intervalle 68 ; 14 @. 2 a. y
On peut conjecturer que la suite u est croissante et semble converger vers 8. b. Démontrons par récurrence, que pour tout entier naturel n, 0 G un G un + 1 G 8 . ◗ Initialisation : u0 = 6 et u1 = 6,6 , donc 0 G u0 G u1 G 8 . ◗ Hérédité : démontrons que si 0 G un G un + 1 G 8 , alors 0 G un + 1 G un + 2 G 8 . En utilisant l’hypothèse de récurrence, on a 0 G un G un + 1 G 8 et comme f est croissante sur 60 ; 8 @ , on a : f ^0 h G f ^unh G f ^un + 1h G f ^8 h ; donc 0 G un + 1 G un + 2 G 8 . ◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel n, 0 G un G un + 1 G 8 . La suite u est donc croissante et majorée par 8. c. La suite u est croissante et majorée par 8. Donc elle converge vers une solution de l’équation f ^ x h = x , c’est-à-dire 0 ou 8. Or, pour tout entier naturel n, un H u0, soit un H 6 . Donc la suite u converge vers 8. 3 On a f ^8 h = 8 . ◗ Si u0 ! @ 0 ; 8 6 , la suite u est croissante et converge vers 8 comme vu ci-dessus. ◗ Si u0 ! @ 8 ; 14 @, la suite u est décroissante à partir du deuxième terme et converge vers 8. ◗ Si u0 = 8 , la suite u est stationnaire à 8. ◗ Si u0 = 0 , la suite u est stationnaire à 0. 92 1 a. Pour tout entier naturel n,
1 1 1 # vn . = u 5 n 5 5 1 et de Donc la suite v est géométrique de raison 5 terme initial v0 = u0 - 1 = 12 . 1 n b. Pour tout entier naturel n, vn = 12 # c 5 m . Donc : 1 n un = 1 + vn = 1 + 12 # c 5 m . 1 Comme 0 1 1 1 , lim un = 1 . 5 n "+3 2 a. Pour tout entier naturel n, Sn + 1 - Sn = ^u0 + f + un + un + 1 - ^n + 1h - 1h vn + 1 = un + 1 - 1 =
-^u0 + f + un - n - 1h = un + 1 - 1 = 12 # c
1 n+1 m . 5
Donc Sn + 1 - Sn 2 0 . La suite S est croissante.
1 1 S1 - S0 = 12 # c 5 m , 1 n 1 2 S2 - S1 = 12 # c 5 m , … , Sn - Sn - 1 = 12 # c 5 m . En sommant ces égalités, on obtient : ©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
b. D’après la question
5
1 1 2 1 n +a k + f +a k m 5 5 5 n 1 1 -a k 1 1 n 5 # # = 3 a1 - a k k . = 12 5 1 5 15 Comme S0 = u0 - 1 = 12 , on a : 1 n 1 n Sn = S0 + 3 - 3 # a k = 15 - 3 # a k . 5 5 Sn - S0 = 12 # c
1 0 1
2 a.,
5 u0 u1 u2 u3
10
Livre du professeur - CHAPITRE 1
Suites numériques
17
1 1 1 , on a : lim Sn = 15 . 5 n "+3 3 a. L’algorithme donné est erroné. De proche en proche, on calcule la somme des termes un , puis le terme Sn , jusqu’à ce que la distance entre Sn et 15 soit inférieure à 10-3 .
ALGO
c. Comme 0 1
Variables : N : entier ; a ,u réels ; Début : Entrer (a) ; N ! 0;u ! a; TantQue u H 0,01 Faire N ! N + 1 ; u ! u2 + u ; FinTantQue Afficher (N) ; Fin.
ALGO
Variables : N : entier ; U , Somme , S : réels ; Début : N ! 0; U ! 13 ; Somme ! U ; S ! Somme – N – 1 ; TantQue S - 15 2 10-3 Faire N ! N + 1 ; U ! U / 5 + 4/5 ; Somme ! Somme + U ; S ! Somme – N – 1 ; FinTantQue ; Afficher (N) ; Fin. b. Il s’agit de rajouter l’instruction : « Entrer (e) ; » et de modifier la condition dans la boucle TantQue : « TantQue S - 15 2 e Faire ». c. i. N = 4 ; ii. N = 8 .
Exercices d’entraînement 2 93 1 Pour tout entier naturel n, u n + 1 - un = u n H 0 .
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
La suite u est croissante. 2 a. Pour tout x ! R , hl^ x h = 2x + 1 . Doù le tableau de variations : 1 x 0 +3 -3 -1 2 +3 +3 h^ x h 0 0 1 4
On en déduit que, pour tout x appartenant à @ - 1 ; 0 6 , le nombre h^ x h appartient aussi à @ - 1 ; 0 6 . b. Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n, - 11 un 1 0 . ◗ Initialisation : u0 = a et a ! @ - 1 ; 0 6 . ◗ Hérédité : démontrons que si - 1 G un G 0 , alors - 11 un + 1 1 0 . En utilisant l’hypothèse de récurrence, on a un ! @ - 1 ; 0 6 et en utilisant la question 2 a. on a : h^unh ! @ - 1 ; 0 6, donc - 11 un + 1 1 0 . ◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, - 11 un 1 0 . 3 La suite u est croissante et majorée par 0, donc elle converge vers une solution de l’équation h^ x h = x , soit x2 = 0 , c’est-à-dire 0. 4 a. Voir ci-après l’algorithme complété. b. Modifier les lignes : Variables : N : entier ; a, e, u réels ; Entrer(e) ; TantQue u H e . 18
Livre du professeur - CHAPITRE 1
c. i. N = 99 987 . 94
ii. N = 99 985 .
1 10w10 = ^10 + 1h w9 + 1 = 11 # 19 + 1 = 210 ,
donc w10 = 21 . 2 Il semble que la suite w soit une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme 1. Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n, wn = 1 + 2n . ◗ Initialisation : 1 + 2 # 0 = 1 = w0 . ◗ Hérédité : démontrons que si wn = 1 + 2n , alors wn + 1 = 1 + 2^n + 1h . En utilisant l’hypothèse de récurrence, on a : ^n + 1hwn + 1 = ^n + 2h^1 + 2nh + 1 = 2n2 + 5n + 3 et ^n + 1hwn + 1 = ^n + 1h^2n + 3h , soit wn + 1 = 2n + 3. ◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, wn = 1 + 2n . w2012 = 4 025 . 95 Partie A
Comme
lim un =+ 3 , pour tout réel A, il existe un
n "+3
rang N tel que pour tout entier n H N , un ! @ A ; + 3 6 . Comme pour tout entier n, un G vn pour tout réel A, il existe un rang N tel que pour tout entier n H N , vn ! @ A ; + 3 6 , donc lim vn =+ 3 . n "+3
Partie B
5 14 14 ; u2 =; u3 =. 3 9 27 2 a. Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n H 4 , un H 0 . 1 67 ◗ Initialisation : u4 = u3 + 3 - 2 = H 0. 3 81 ◗ Hérédité : démontrons que pour n H 4 , si un H 0 , alors un + 1 H 0 . Comme n H 4 , n - 2 2 0 et en utilisant l’hypothèse de récurrence, on a un + 1 H 0 . ◗ Conclusion : pour tout entier naturel n H 4 , un H 0 . b. Comme n H 5 , un H 0 , donc un + 1 H n - 2 H n - 3 . c. lim n - 3 =+ 3 . Donc, d’après le théorème de 1 u1 =-
n "+3
comparaison, lim un =+ 3 . n "+3
21 , soit : 2 1 21 . vn + 1 =- 2 c 3 un + n - 2 m + 3^n + 1h 2 2 7 vn + 1 =- un + n - . 3 2 1 Donc, pour tout entier naturel n, vn + 1 = vn . 3 3 a. vn + 1 =- 2un + 1 + 3^n + 1h -
Suites numériques
1 La suite v est une suite géométrique de raison et de 3 25 . premier terme v0 =2 b. On en déduit que pour tout n ! N , 25 c 1 mn 2 3 1 3 21 , donc : et comme un =- vn + n 2 2 4 25 c 1 mn 3 21 + n. un = 4 3 2 4 vn =-
97 Partie A
25 c 1 mn est le terme général d’une suite 4 3 1 géométrique de raison elle converge vers 0. 3 3 21 =+ 3 . Donc lim un = lim n4 n "+3 n "+3 2 4 Pour tout entier n H 4 , un H 0 et un H n - 3 . Donc : Sn = u0 + u1 + f + un H u0 + f + u4 + n - 3 . Donc lim Sn =+ 3 en utilisant le théorème de compac. Comme
n "+3
raison.
96 1 a.
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
1 u4 u3 u2 u1
1 1 un + 1 - 1 un - 1 un + 2 1 1 = = . 3 un - 1 3^un - 1h
vn + 1 - vn =
Partie B 1 a. La fonction f définie est dérivable sur 60 ; 20 @ et 1 f l^ x h = ^10 - x h , d’où le tableau de variations : 5 0
10
20
10 0
0
b. D’après le tableau ci-dessus pour tout x ! 60 ; 20 @, f ^ x h ! 60 ; 10 @.
u05
2 • Démontrons par récurrence que pour tout entier
b. Il semble que la suite u soit décroissante et converge vers 1. 2 a. Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n, un H 1 . ◗ Initialisation : u0 = 5 , donc u0 H 1 . ◗ Hérédité : démontrons que si un H 1 , alors un + 1 H 1 . La fonction f est dérivable sur @ - 2 ; + 3 6 et 9 f l^ x h = 2 0 . Donc la fonction f est une fonc^ x + 2h2 tion croissante sur @ - 2 ; + 3 6 . En utilisant l’hypothèse de récurrence, on a un H 1 et comme f est croissante sur @ - 2 ; + 3 6 on a f ^unh H f ^1 h . Comme f ^1 h = 1 , on a un + 1 H 1 . ◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, un H 1 . b. Pour tout entier naturel n : ^un - 1h2 =G0 un + 1 un un + 2 d’après la question précédente. Donc la suite u est décroissante. c. La suite u est décroissante et minorée par 1. Donc la suite u converge vers un réel , , solution de l’équation f ^ x h = x , c’est-à-dire , = 1 . 3 a. Pour tout entier naturel n :
0
f ^xh
1 0
a. La suite u est croissante, donc pour tout entier n H n0, on a un H un0 . b. D’après la définition, l’intervalle ouvert @ , - 1 ; un0 6 contient , , donc il existe un rang N tel que pour tout entier n H N , on a un ! @ , - 1 ; un0 6 . c. D’après b., si n H sup ^N, n0h , un 1 un ce qui contredit la question a.. Donc la suite u est majorée par , .
x
5
1 et de Donc la suite v est arithmétique de raison 3 1 1 = . terme initial v0 = 4 u0 - 1 1 n + . b. Pour tout entier naturel n, vn = 4 3 12 1 = 1+ . Donc un = 1 + vn 3 + 4n 12 = 0 . Donc lim un = 1 . c. On a lim + 3 4n + n" 3 n "+3
naturel n, 0 G un G un + 1 G 10 . ◗ Initialisation : u0 = 1 et u1 = 1,9 , donc : 0 G u0 G u1 G 10. ◗ Hérédité : démontrons que si 0 G un G un + 1 G 10 , alors 0 G un + 1 G un + 2 G 10 . La fonction f est croissante sur 60 ; 10 @. En utilisant l’hypothèse de récurrence, on a : f ^0 h G f ^unh G f ^un + 1h G f ^10h et comme f ^0 h = 0 et f ^10h = 10 , on en déduit que 0 G un + 1 G un + 2 G 10 . ◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, 0 G un G un + 1 G 10 . 3 La suite u est croissante et majorée par 10. Donc elle est convergente vers une solution de l’équation f ^ x h = x . Donc elle converge vers 10. 4 D’après cette modélisation, le nombre de foyers français possédant un téléviseur à écran plat ne dépassera pas 10 millions. 98 Partie A 1 P1 : Faux ; P2 : faux ; P3 : vrai ; P4 : vrai. 2 La propriété P3 est la négation de la proposition P1.
Partie B 1 Soit un entier p H 1 . a. 4^ p + 1h + 1 - 4^4p + 1h = 1 - 12p . b. Si p H 1 , alors 1 - 12p 1 0 . Donc 4^4p + 1h 2 4^ p + 1h + 1 . Livre du professeur - CHAPITRE 1
Suites numériques
19
2 Démontrons par récurrence que pour tout entier
naturel n 2 1 , 4 n 2 4n + 1 . ◗ Initialisation : 42 2 4 # 2 + 1 est vraie. ◗ Hérédité : démontrons que si 4 n 2 4n + 1 , alors 4 n + 1 2 4^n + 1h + 1 ; 4 n + 1 = 4 # 4 n , donc en utilisant l’hypothèse de récurrence, 4 n + 1 2 4 # ^4n + 1h H 4^n + 1h + 1 d’après la question 1 b.. ◗ Conclusion : pour tout entier naturel, n 2 1 , 4 n 2 4n + 1 . 0 • Pour n = 0 : 4 = 1 et 4 # 0 + 1 = 1 . • Pour n = 1 : 41 = 4 et 4 # 1 + 1 = 5 .
f est dérivable sur 60 ; 1 @ et 10 f l^ x h = 2 0 , d’où le tableau des variations de f : ^ x + 4h2
99 1 La fonction
x f l^ x h
0
1 +
1 1 2 2 Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n, un ! I . ◗ Initialisation : u0 = 0 , donc u0 ! I . ◗ Hérédité : démontrons que si un ! I , alors un + 1 ! I . En utilisant l’hypothèse de récurrence, un ! I et le tableau de variations ci-dessus, f ^unh ! I . Donc un + 1 ! I . ◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, un ! I . 3 a. y f ^xh
1
3x + 2 = x + ^1 - x h^ x + 2h = 0 . x+4 Les solutions sont 1 et - 2. La suite u étant positive, elle converge vers 1. 4 a. Pour tout entier naturel n : 3un + 2 -1 2un - 2 u 1 un + 4 = = . vn + 1 = n + 1 5un + 10 un + 1 + 2 3un + 2 +2 un + 4 2 Donc vn + 1 = vn . 5 2 La suite v est une suite géométrique de raison . 5 1 1 c 2 mn b. v0 =- . Donc vn =. 2 2 5 2v + 1 . c. Pour tout entier naturel n, un = n 1 - vn 2 n 1-c 5 m Donc : . un = 1 c 2 mn 1+ 2 5 2 , donc elle d. La suite v est géométrique de raison 5 converge vers 0. La suite u converge donc vers 1 (opérations sur les limites). 100
Partie 1
1 On peut compléter un tableau de suivi des variables :
i Étapes n u S Initialisation 3 1 1 0 Boucle « Tant Que » 2#1+ 1- 0= 3 1+ 3= 4 0+ 1= 1 013 2 # 3 + 1 - 1 = 6 4 + 6 = 10 1 + 1 = 2 113 2 # 6 + 1 - 2 = 11 10 + 11 = 21 2 + 1 = 3 213 Fin de la boucle « Tant Que » Affichage : u = 11 et S = 21. 2
Valeur de n
0
1
2
3
4
5
Affichage de u
1
3
6
11
20
37
Affichage de S
1
4
10
21
41
78
Partie 2 1 Elles représentent les valeurs successives de un et Sn . 2 a. Recopier et compléter le tableau suivant : n
0
1
2
3
4
5
un
1
3
6
11
20
37
un - n
1
2
4
8
16
32
n
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
0
u0
u1
u2 u3 1
x
b. Il semble que la suite u soit croissante et convergente vers 2. c. Pour tout entier naturel n, on a : ^1 - unh^un + 2h . un + 1 - un = un + 4 Comme un ! I , on a 1 - un H 0 et un + 2 H 0 . Donc, pour tout entier n, un + 1 - un H 0 . La suite u est croissante. d. La suite u est croissante et majorée par 1, donc elle converge vers une solution de l’équation f ^ x h = x . 20
Livre du professeur - CHAPITRE 1
On peut conjecturer que un - n = 2 . b. Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel n, un = 2 n + n . ◗ Initialisation : u0 = 20 + 0 = 1 vraie. ◗ Hérédité : démontrons que, si un = 2 n + n , alors un + 1 = 2 n + 1 + n + 1 . un + 1 = 2un + 1 - n . Donc, en utilisant l’hypothèse de récurrence, un + 1 = 2^2 n + nh + 1 - n ; donc un + 1 = 2 n + 1 + 2n + 1 - n , soit un + 1 = 2 n + 1 + n + 1 . ◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, un = 2 n + n . 3 Sn = ^2 0 + 0h + ^21 + 1h + f + ^2 n + nh Sn = ^1 + 21 + f + 2 nh + ^1 + 2 + f + nh .
Suites numériques
Donc : n^n + 1h n^n + 1h 1 - 2n + 1 + = 2n + 1 - 1 + . Sn = 2 2 1 2 5#6 = 78 . Vérification : S5 = 26 - 1 + 2 101
Partie A Soit un réel q. Si q ! @ 0 ; 16 , alors
1 2 1 et q n 1 1 , lim c m =+ 3 . Donc, comme q n = q n "+3 1 n c m q lim q n = 0 en utilisant les opérations sur les limites. n "+3
Partie B 1 a. Pour n = 5 on obtient u = 5 000 # 0,85 = 1638,4 . b. Modification : Pour i allant de 1 à n faire u ! 0, 8u + 1500 ; FinPour c. La suite u semble croissante et converger vers 7 500. 2 a. Pour tout entier naturel n, vn + 1 = un + 1 - 7 500 = 0,8un + 1500 - 7 500 = 0,8^un - 7 500h = 0,8vn . La suite v est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme v0 =- 2 500 . b. Pour tout entier naturel n, vn =- 2 500 # 0,8 n . Donc un = vn + 7 500 = 7 500 - 2 500 # 0,8 n . 3 • un + 1 - un = 2 500 # 0,8 n # 0,2 2 0 . Donc la suite u est croissante. • lim 0,8 n = 0 (suite géométrique de raison qui en n "+3
valeur absolue est strictement inférieure à 1). Donc lim un = 7 500 . n "+3
4 a. On calcule un de proche en proche, jusqu’à ce que
la distance à 7 500 soit inférieure à 0,1. b. Algorithme modifié.
Variables : N : entier ; u ; e réels ; Début : N ! 0 ; u ! 5 000 ; Entrer(e) ; TantQue 7 500 - u H e Faire N ! N + 1 ; u ! 0,8 u + 1 500 ; FinTantQue Afficher (N) ; Fin.
102
1 a. b.
103
Partie A
1 La suite u est non majorée si pour tout réel M, il existe
un entier naturel n tel que un H M . 2 Soit un réel M. a. On suppose qu’il existe un entier n0 tel que un0 H M . Comme la suite u est croissante, pour tout entier n H n0 , un H M . b. On en conclut que la suite u diverge vers l’infini. 3 Si la suite u est croissante et non majorée, alors lim un =+ 3 . n "+3
Partie B 1 Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n, un H 1 . ◗ Initialisation : u0 = 1 H 1 . ◗ Hérédité : démontrons que si un H 1 , alors un + 1 H 1 . 1 Si un H 1 , alors 2 0 . Donc un + 1 H un H 1 . un ◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, un H 1 . 1 2 Pour tout entier naturel n, un + 1 - un = H 0. un La suite u est croissante. 3 a. Si la suite u est majorée, comme elle est croissante, elle converge. b. La limite , de la suite u est solution de l’équation 1 par unicité de la limite d’une suite. x = x+ x 4 Comme l’équation précédente n’a pas de solution, la suite u ne converge pas. Donc la suite u n’est pas majorée et alors lim un =+ 3 .
ALGO
c. i. N = 36 ;
c. La suite u semble croissante et converger vers 4. 2 Si la suite u converge, les limites possibles sont les 1 solutions de l’équation 2x - x2 = x + x^ x - 4h = 0. 4 Les limites possibles sont 0 et 4. 3 La fonction f est croissante sur 60 ; 4 @ . Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0 G un G 4 . ◗ Initialisation : u0 = 1 , donc u0 ! 60 ; 4 @. ◗ Hérédité : démontrons que si 0 G un G 4 , alors 0 G un + 1 G 4 . D’après l’hypothèse de récurrence, 0 G un G 4 et le fait que f est croissante sur 60 ; 4 @, on a f ^0 h G f ^unh G f ^4h, soit 0 G un + 1 G 4 . ◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, 0 G un G 4 . Pour tout entier naturel n, 1 un + 1 - un = un c1 - 4 un m H 0 d’après la question précédente. La suite u est donc croissante. 4 La suite u est croissante et majorée par 4, donc elle converge vers 4 d’après la question 2 .
ii. N = 46 . y
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
n "+3
Problèmes 104
1 0
1 Pour tout entier naturel n :
1 2 + u - un + 1 ; u 3 n+1 3 n 2 2 soit vn + 1 =- ^un + 1 - unh =- vn . 3 3 vn + 1 = un + 2 - un + 1 =
1 u 0 u1
u2
u3
x
Livre du professeur - CHAPITRE 1
Suites numériques
21
2 La suite v est une suite géométrique de raison et 3 de premier terme v0 = 1 . 2 Pour tout entier naturel n : 2 1 2 2 wn + 1 = un + 2 + un + 1 = un + 1 + un + un + 1 . 3 3 3 3 = wn + 1 wn . La suite w est constante. 3 w0 = 1 . Donc pour tout entier naturel n, wn = 1 . 3 4 Pour tout entier naturel n, un = w - vnh . 5^ n n 2 Comme vn = c- 3 m et wn = 1 , on a : un =
2 n 3c 1 - c- 3 m m . 5
2 n 3 Or, lim c- 3 m = 0 . Donc lim un = . 5 n "+3 n "+3 x est croissante 1+x sur 60 ; + 3 6 et f ^0 h = 0 et lim f ^ x h = 1 . Donc pour x "+3 tout entier n, 0 G vn G 1 . 2 Vrai. Car dans ce cas, 1 + un converge vers un réel non nul. 3 Vrai. Pour tout entier n, un G un + 1 . Comme f est croissante, alors f ^unh G f ^un + 1h , c’est-àdire vn G vn + 1 . vn 4 Faux. Pour tout entier naturel n, un = . 1 - vn Si la suite v converge vers 1, alors la suite u diverge. 105
106
1 Vrai. La fonction f : x
7
1 Si pour tout entier naturel n, un G M , la suite u
est majorée par M. 2 Si P1 et P5 sont vraies, alors la suite u converge. 3 Si P2 et P5 sont vraies, la suite u diverge vers + 3 . 4 Vrai. 107
1 a. On propose :
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
1 Si m H 83 , alors um H 5 . 2 Pour tout entier naturel n non nul,
1 H 0 . Donc la suite u est croissante. n+1 3 Pour tout entier naturel n non nul et tout entier naturel i inférieur à 2 n on a 2 n + i G 2 n + 2 n = 2 n + 1 , 1 1 . donc n + 1 G n 2 +i 2 4 a. La somme Sn comporte 2 n termes, chacun étant 1 supérieur à n + 1 d’après la question 3 . 2 2n 1 Donc Sn H n + 1 , c’est-à-dire Sn H . 2 2 b. Pour n H 1 , un + 1 - un =
1 1 1 k+a + k+ f 2 3 4 1 1 +c n +f+ n m. 2 +1 2 + 2n Donc S0 + S1 + f + Sn = u2n + 2n = u2n+1 . 1 c. On a : S0 + S1 + f + Sn H ^n + 1h # . Donc : 2 n+1 n 1 + . Donc la suite u n’est pas majorée. u2 H 2 n+1 5 Comme lim =+ 3 , on a alors lim un =+ 3. 2 + n" 3 n "+3
Variables : N, i : entiers ; U : réel ; Début ; Entrer(N) ; U ! 1; Pour i allant de 2 à N faire 1 U ! U # c1 - 2 m ; i FinPour ; Afficher(U) ; Fin.
109
1 b. La suite u semble décroissante et converger vers . 2 2 a. Pour tout entier, on a : 1 un + 1 = un c1 m, + ^n 1h2 n^n + 2h donc : un + 1 = un . ^n + 1h2 b. Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel n H 2 : n+1 . un = 2n Livre du professeur - CHAPITRE 1
108
S0 + S1 + f + Sn = a1 +
ALGO
22
2+1 1 3 = = vraie. 4 4 2#2 n+1 ◗ Hérédité : démontrons que si un = , alors 2n ^n + 1h + 1 . un + 1 = 2^n + 1h En utilisant l’hypothèse de récurrence : n^n + 2h n^n + 2h n+1 . un + 1 = 2 un , soit un + 1 = 2 # 2n ^n + 1h ^n + 1h ^n + 2h Donc : . un + 1 = 2^n + 1h ◗ Conclusion : pour tout entier naturel n H 2 , n+1 . un = 2n • On a pour tout entier n H 2 , -1 un + 1 - un = G 0, 2n^n + 1h donc la suite u est décroissante. 1 n = . • lim un = lim 2 n "+3 n " + 3 2n
◗ Initialisation : u2 = 1 -
a. Démontrons par récurrence que pour tout entier kn kk . G n H k, n! k! kk kk vraie. ◗ Initialisation : pour n = k , G k! k! kn kk , alors ◗ Hérédité : démontrons que si G n! k! kn + 1 kk . G k! ^n + 1 h ! kn + 1 kn k # = On a , en utilisant l’hypothèse n ! + n 1 + ^n 1h! kn + 1 kk k kk # , car de récurrence, G G k! k! n+1 ^n + 1h! k G 1. n+1
Suites numériques
kn kk . G n! k!
◗ Conclusion : pour tout entier naturel n H k ,
x n kn xn =c m # d’après la k n! n! x n c x mn k k question précédente, . G k # n! k! n x c. La suite de terme général c k m est géométrique de x inférieure à 1 en valeur absolue. raison k x n Donc lim c k m = 0 . n "+3 x n kk = 0. On en déduit que lim c k m # k! n "+3 xn = 0 d’après le théorème des gendarmes. Donc lim n " + 3 n! b. Pour tout entier n H k :
110
1 u1 = 1 , u2 =
2 24 1 , u = , u5 = , 9 625 2 3
567 . 1562 500 La suite u semble décroissante et convergente vers 0. 2 a. Pour tout entier n H 1 : + ^n + 1hn 1 ^n + 1hn un n! n! = n # = n # n! un + 1 ^n + 1h! n n u10 =
n "+3
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Z ]] an + 1 = 0,9an + 0,1bn + 0,01cn 111 1 a. On a [ bn + 1 = 0,9bn + 0,1an + 0,01cn ]c = 0,98cn \ n+1 b. À l’aide du tableur, on obtient :
n "+3
que lim an = 5 500 et lim bn = 5 500 .
^n + 1hn 1 n = = c1 + m . n n n n Comme ^1 + x h H 1 + nx , on a : un un 1 H 2. H 1 + n # , c’est-à-dire un + 1 n un + 1 b. La suite u est strictement positive. Pour tout entier naturel n, un H 2un + 1 H un + 1 . Donc la suite u est décroissante. u u u un 3 a. En remarquant que n = 1 # 2 # f # u0 u0 u1 un - 1 u 1 et que, pour tout entier naturel n, 0 1 n + 1 G , on a : un 2 1 tout entier naturel n, 0 1 un G n - 1 . 2 1 b. lim n - 1 = 0 , donc d’après le théorème des n "+3 2 gendarmes, lim un = 0 . n "+3
On conjecture que la suite a est croissante à partir d’un certain rang et converge vers 5 500, que la suite b est croissante et converge vers 5 500 et que la suite c est décroissante et converge vers 0. c. Pour tout entier naturel n : dn + 1 = an + 1 - bn + 1 = ^0,9an + 0,1bn + 0,01cnh -^0,9bn + 0,1an + 0,01cnh . Donc dn + 1 = 0,8^an - bnh = 0,8dn . La suite d est géométrique de raison 0,8 et de premier terme 3 000. 1 a. Les suites c et d sont géométriques. Donc pour tout entier naturel n : cn = 4 000 # ^0,98hn et dn = 3 000 # ^0,8hn . b. On a pour tout entier naturel n : an + bn + cn = 11000 et an = bn + dn . 1 Donc bn = 5 500 - ^dn + cnh , soit : 2 bn = 5 500 - 2 000 # 0,98 n - 1500 # 0,8 n 1 et an = 5 500 - ^cn - dnh , soit : 2 an = 5 500 - 2 000 # 0,98 n + 1500 # 0,8 n . c. Comme lim cn = 0 et lim dn = 0 , on en déduit n "+3
n "+3
Cela signifie qu’au bout d’un temps assez long, les populations des zones A et B se stabilisent chacune autour de 5 500 habitants. 112
1 On a naturellement pour tout entier naturel n non nul : 1 mn + 1 = 3mn et an + 1 = an . 4 2 En prenant a = 1 , la suite u semble converge vers 0,5. On peut conjecturer que le triangle sera entièrement recouvert. 3 Pour tout entier naturel n, un + 1 - un est l’aire de la surface recouverte en plus après n + 1 étapes du processus. 3 un + 1 - un = mn + 1 # an + 1 = mn # an . 4 D’après 1 , les suites m et a sont géométriques de 1 , donc mn = 3 n - 1 et raisons respectives 3 et 4 n-1 2 a c1 m . an = 8 4 3n a2 . Donc : un + 1 - un = n + 1 # 2 4 4 En « additionnant » les égalités :
1 3 a2 # # 4 4 2
6 000
u2 = u1 +
5 000
1 c 3 m2 a2 # # u3 = u2 + 4 4 2 …
4 000
a(n)
b(n)
c(n)
3 000
un = un - 1 +
2 000
3 n-1 a2 c 3 c 3 m2 + +f+c m m ; 4 4 8 4 n-1 2 2 3 a 3a c + un = 1 - c 4 m m. 8 8
On obtient un = u1 +
1 000 0
1 c 3 mn - 1 a2 # # . 4 4 2
100
200
300
donc :
Livre du professeur - CHAPITRE 1
Suites numériques
23
3 n-1 m est une suite 4 3 inférieure à 1 en valeur géométrique de raison 4 absolue, donc elle converge vers 0. a2 On en déduit lim un = . Donc le triangle sera entiè2 n "+3 rement recouvert.
Prendre des initiatives
5 La suite de terme général c
113
1 a. Pour tout entier naturel n,
Tn + 1 = donc :
18Tn + 2 # 16 , 20
Tn + 1 = 0,9Tn + 1,6 .
b. On calcule le terme Tn jusqu’à obtenir une valeur inférieure à 40. ALGO
Variables : N : entier ; T : réel ; Début : N ! 0; T ! 80 ; TantQue T H 40 Faire N ! N + 1 ; T ! 0,9 × T + 1,6 ; FinTantQue ; Afficher(N) ; Fin. On obtient N = 10 . 2 Pour tout entier naturel n, on a : Un + 1 = Tn + 1 - 16 = 0,9Tn + 1,6 - 16 , donc : Un + 1 = 0,9^Tn - 16h = 0,9Un . La suite U est une suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme 64. 3 Pour tout entier naturel n, Un = 64 # ^0,9hn . Donc Tn = 16 + 64 # ^0,9hn 3 ln 3 n Tn 1 40 + ^0,9h 1 + n 2 ln 08,9 . 8 3 ln c 8 m Or, . 9,3 et n est un entier. ln ^0,9h La température de 40 °C est atteinte au bout de 10 s.
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
114
1 Si la suite u converge vers 1, tout intervalle ouvert contenant 1 contient tous les termes à partir d’un rang p. 1 3 On choisit l’intervalle E 2 ; 2 ; qui contient 1. Donc à 1 3 partir du rang p, un ! E 2 ; 2 ; . Ainsi, à partir du rang p, la suite u est positive. , 3, 2 Même raisonnement avec l’intervalle E ; ; 2 2 . 115
1 u4 = 0,2357 , u5 = 0,235711 .
2 La suite u est croissante et majorée par 1, donc elle est convergente.
24
Livre du professeur - CHAPITRE 1
116
En utilisant un tableur, on remarque que la suite u n’est pas monotone, mais qu’elle semble converger vers 1. De plus, dès que n H 6 , alors 0 G un G 2 . Pour tout entier naturel n, on note P^nh la propriété : pour n H 6 , alors 0 G un G 2 . ◗ Initialisation : pour n = 6 , on a u6 . 0,4 . Donc P^6 h est vraie. ◗ Hérédité : on suppose que pour un entier n H 6 , P^nh est vraie, c’est-à-dire que : 0 G un G 2 . Démontrons que 0 G un + 1 G 2 est vraie. En utilisant l’hypothèse de récurrence, u 2 + 1 G 2, 0 G n +1 G n n soit 0 G un + 1 G 2 , c’est-à-dire que la propriété P^n + 1h est vraie. ◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier n H 6, alors P^nh est vraie. u Pour tout entier naturel n H 6 , un + 1 - 1 = n . n 2 Donc, d’après ce qui précède, 0 G un + 1 - 1 G . n 2 = 0 , on a lim un - 1 = 0 . Comme lim n "+3 n n "+3 = Donc lim un 1 . n "+3
1 + 3 + f + ^2n + 1h . ^2n + 3h + ^2n + 5h + f + ^4n + 3h ^n + 1h^2n + 2h • 1 + 3 + f + ^2n - 1h = 2 = ^n + 1h^n + 1h . • Soit A = ^2n + 3h + ^2n + 5h + f + ^4n + 3h ^n + 1h^6n + 6h = ^n + 1h^3n + 3h . A= 2 ^n + 1h^n + 1h 1 = . Donc un = 3 ^n + 1h^3n + 3h 1 La suite u est constante égale à . 3 117
118
On aun =
Pour tout entier n H 1 , on pose wn = nun . nun + 4 , on a ^n + 1hun + 1 = nun + 4, Comme un + 1 = n+1 donc wn + 1 = wn + 4 . La suite w est arithmétique de raison 4 et de premier terme w0 = 1 . Donc pour tout entier n H 1 , wn = 1 + 4^n - 1h = 4n - 3 . 4n - 3 . On en déduit que, pour tout entier n H 1 , un = n 4n = 4. On a lim un = lim n "+3 n "+3 n
Suites numériques
7
tion x 4x + 5 (fonction affine de coefficient directeur positif ). En utilisant l’hypothèse de récurrence, on a 5 1 G un G 5 et comme f est croissante sur E - 4 ; + 3 ;, on a f ^1 h G f ^unh G f ^5 h, soit 3 G un + 1 G 5 . Donc
Pistes pour l’accompagnement personnalisé Revoir les outils de base 119
a. Pour tout entier naturel n, un + 1 - un = 7 2 0 . Donc la suite u est croissante. b. Pour tout entier naturel n, un + 1 - un = 2n + 4 H 0 . Donc la suite u est croissante. 1 n+1 c. Pour tout entier naturel n, un + 1 - un =- c 2 m G 0. Donc la suite u est décroissante. d. u0 = 4 , u1 = 3 et donc la suite u n’est pas croissante. 120
a. Faux. u5 = 5 et u6 = 9 . b. Vrai. c. Faux. d. Vrai.
1 G un + 1 G 5 . ◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, 1 G un G 5 . La suite u est bornée. 123
a. On a lim
n "+3
1 n b. On a lim c 3 m = 0 (suite géométrique de raison n "+3 1 = 0. inférieure à 1 en valeur absolue) et lim 3 + n" 3 n Donc lim vn = 0 . - n2 2 =- 1 . n "+3 n
c. On a lim wn = lim
121
Démontrons par récurrence, que pour tout entier 7 naturel n, un = . 11 7 , vrai. ◗ Initialisation : u0 = 11 7 , alors : ◗ Hérédité : démontrons que si un = 11 7 . un + 1 = 11 On a un + 1 = 100un - 63 , donc : 7 700 - 693 7 - 63 = = . un + 1 = 100 # 11 11 11 7 . ◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, un = 11 La suite u est stationnaire. y
1
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1 = 0. n
n "+3
n "+3
0
n "+3
Donc lim un =+ 3 .
n "+3
Les savoir-faire du chapitre
122
n =+ 3 et lim -
6 n d. tn = 6 n - 9 n = 9 n cc 9 m - 1 m . Donc en utilisant le théorème sur la convergence des suites géométriques, 6 n on a lim 9 n =+ 3 et lim c 9 m = 0 . n "+3 n "+3 Donc lim tn =+ 3 . n "+3
124
1 La suite u semble croissante et converger vers 2. 2 Pour tout entier naturel n :
1 ^ u 2 + 12h - 4 4 ^ nh 1 1 = ^unh2 - 1 = vn . 4 4
vn + 1 = ^un + 1h2 - 4 =
1 et de Donc la suite v est géométrique de raison 4 premier terme - 4. 3 La suite v converge vers 0 (sa raison est en valeur absolue inférieure strictement à 1). Comme un = vn + 4 , la suite u converge vers 2 (composée de suites). 125
1 Vrai.
2 Faux.
3 Faux.
4 Vrai.
126
1 Faux.
1 Vrai.
3 Vrai.
4 Faux.
127
Partie A
AB AC x 1 = = , donc , soit : AC BC 1 x-1 x2 - x - 1 = 0 . 1+ 5 2 Cette équation admet deux solutions et 2 1- 5 . 2 1+ 5 Donc le nombre d’or est { = . 2 ^3 + 5 h^1 - 5 h 1 3+ 5 3 1+ = = ^1 + 5 h^1 - 5 h 1+ 5 1+ 5 2 1+ 5 = = {. 2 1 On doit avoir :
1u0
u1
u2 u3
x
Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n, 1 G un G 5 . ◗ Initialisation : u0 = 1 , donc 1 G u0 G 5 . ◗ Hérédité : démontrons que si 1 G un G 5 , alors 1 G un + 1 G 5 . La fonction f : x 4x + 5 est croissante sur 5 E; + 3 ; , car de même sens de variation que la fonc4
7
Livre du professeur - CHAPITRE 1
Suites numériques
25
Partie B 1 Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel n : P^nh : « pour tout entier naturel k G n , ak H 1 ». ◗ Initialisation : a0 = 1 , a1 = 1 ; vrai. ◗ Hérédité : soit un entier n H 1 ; démontrons que si P^nh est vraie, alors P^n + 1h est vraie, c’est-à-dire an + 1 H 1 . On a an + 1 = an + an - 1 . En utilisant l’hypothèse de récurrence, an + 1 H 1 + 1 H 2 H 1 . ◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, an H 1 . a 2 • u0 = 1 = 1 . a0 + an a a an = 1+ . • un + 1 = n + 2 = n + 1 an + 1 an + 1 an + 1 1 . Donc pour tout entier naturel n, un + 1 = 1 + un 3 Si la suite u converge, alors elle converge vers , solu-
1 , soit x2 - x - 1 = 0 . x Comme , doit être positive, , = { .
tion de l’équation x = 1 +
1 1 et { = 1 + . On soustrait un { membre à membre, pour tout entier naturel n : { - un 1 1 = . un + 1 - { = un { {un 4 a. On a un + 1 = 1 +
b. Pour tout entier naturel n : un + 1 - { =
1 un - { . un {
un - { . { c. Démontrons par récurrence que pour tout entier n 1 naturel n, un - { G d n 1 - { . {
Comme un H 1 , on obtient un + 1 - { G
0
1 ◗ Initialisation : d n 1 - { = 1 - { = u0 - { . { ◗ Hérédité : démontrons que si : n 1 un - { G d n 1 - { , alors : { n+1 1 un + 1 - { G d n 1-{ . { un - { . En utilisant l’hypothèse de On a un + 1 - { = { récurrence, on a un + 1 - { G
1 d1 n { {
n+1
1-{ .
1 n 1-{ . { ◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, n 1 un - { G d n 1 - { . { n 1 d. La suite de terme général d n est une suite { 1 strictement inférieure à géométrique de raison { 1 en valeur absolue, donc elle converge vers 0, d’où lim un - { = 0 . Donc un + 1 - { G d
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n+1
n "+3
Donc la suite u converge vers { . 26
Livre du professeur - CHAPITRE 1
128
1 En prenant u0 = 4 :
y
1 0 1
u2
u1
u0
x
La suite u semble être décroissante et converger vers 1,4. 2 Démontrons par récurrence que pour tout entier
2. 1 ,2 + 2 ; ◗ Initialisation : u1 = , 2 2 ^, - 2 h donc u1 - 2 H H 0 . Donc u1 H 2 . 2, ◗ Hérédité : démontrons que si un H 2 , alors un + 1 H 2 . La fonction f est dérivable sur 6 2 ; + 3 6 et ^ x - 2 h^ x + 2 h f l^ x h = H 0. 2x2 Donc la fonction f est une fonction croissante sur 6 2 ; + 3 6. En utilisant l’hypothèse de récurrence, on a un H 2 et f est croissante sur 6 2 ; + 3 6 . Donc on a f ^unh H f ^ 2 h. Comme f ^ 2 h = 2 , on a un + 1 H 2 . ◗ Conclusion : pour tout entier naturel n H 1 , un H 2 .
naturel n H 1 , un H
1
2
3 un + 1 - un = u + 2 c n un
m - un =
2 - ^unh2 . 2un
Comme un H 2 , on a un + 1 - un G 0 . Donc la suite u est décroissante. Or, elle est minorée, donc elle converge vers une solution de l’équation : f ^ x h = x + x2 = 2 . Donc la suite u converge vers 2 . 4 a. Pour tout entier naturel n,
un + 1 - 2 =
2 1 2 1 - 2= u - 2h . u + 2 c n un m 2un ^ n
Comme pour tout entier naturel n H 1 , un H 2 1 _u - 2 i2 1 _u - 2 i2 . un + 1 - 2 G G n 2 n 2 2 b. Démontrons par récurrence que pour tout entier n 1 2 naturel n H 1 , un - 2 G c 2 m ^u0 - 2 h . ◗ Initialisation : 2 1 1 u1 - 2 G ^u0 - 2 h G 4 ^u0 - 2 h. 2 2 ◗ Hérédité : démontrons que si : n 1 2 un - 2 G c 2 m ^u0 - 2 h , n+1 1 2 alors : un + 1 - 2 G c 2 m ^u0 - 2 h .
Suites numériques
2 1 u - 2h . 2^ n En utilisant l’hypothèse de récurrence, on a :
On a un + 1 - 2 G
n
2
1 1 2 ca k u - 2 hm 2 2 ^ 0 n+1 ^u0 - 2 h 1 2 , G a k ^u0 - 2 h # 2 2 n 1 + 1 2 donc un + 1 - 2 G c 2 m ^u0 - 2 h . ◗ Conclusion : pour tout entier naturel n H 1 , n 1 2 un - 2 G c 2 m ^u0 - 2 h . c. Pour que un soit une valeur approchée de 2 à 10-9 près, il suffit que : n 10-9 1 2 1 c m # ^2 - 2 h 1 10-9 + 2 n ln c m 1 ln e o 2 2 2- 2 J N -9 K ln c 10 mO + n 2 ln1^2h ln KK 2 -1 2 OO + n H 5 , K O ln c 2 m L P car n est un entier. 5 a. On généralise la démarche du 4 c. b. i. n = 4 ; ii. n = 4 . c. L’algorithme paraît converger très vite, la valeur initiale de , paraît sans influence sur la vitesse de convergence. un + 1 - 2 G
129
A. 1 • f ^1 h = 3 .
4 • Pour tout réel x de l’intervalle 61 ; + 3 6 , f l^ x h =- 2 ; x donc f l^1 h =- 4 . • T1 a pour équation y =- 4x + 7 . • La droite T1 coupe l’axe des abscisses au point de coor7 données a ; 0 k . 4 7 7 9 64 2 fc m= , f lc 4 m =. La tangente T2 a pour 4 7 49 64 25 équation y =et coupe l’axe des abscisses x+ 49 7 175 au point d’abscisse x2 = . 64 3 a. De même la tangente en An ^ xn ; f ^ xnhh a pour 8 - xn 4 . équation xn + 1 =2 x+ xn ^ xnh
8xn - ^ xnh2 . 4 b. On a pour tout entier naturel n H 1 , xn + 1 = g^ xnh 7 et x1 = , où g est la fonction définie sur R par 4 8x - x2 . g^ x h = 4 1 Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n H 1 , xn G 4 . 7 ◗ Initialisation : x1 = G 4. 4 ◗ Hérédité : démontrons que si xn G 4 , alors xn + 1 G 4 . La fonction g est dérivable sur 60 ; 4 @ et 4-x gl^ x h = H 0, donc g est une fonction crois2 sante sur 60 ; 4 @. En utilisant l’hypothèse de récurrence, on a xn G 4 et comme g est croissante sur 60 ; 4 @ on a g^ xnh G g^4h .
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
Donc xn + 1 =
Comme g^4h = 4 , on a xn + 1 G 4 . ◗ Conclusion : pour tout entier naturel n H 1, xn G 4 . 2 On démontre aussi par récurrence que la suite de terme général xn est croissante. 3 Donc, comme elle est majorée, la suite ^ xnh converge vers une solution de l’équation g^ x h = x , c’est-à-dire la solution de l’équation f ^ x h = 0 , c’est-à-dire 4. B. 1 Soit la fonction f définie sur R par f ^ x h = x2 - 3, de courbe représentative . En toute abscisse a, la tangente à admet pour équation : y = 2ax - a2 - 3 ; elle coupe l’axe des abscisses 3 1 a2 + 3 en c ; 0 m , c’est-à-dire en d ca + a m ; 0 n . 2 2a La méthode de Newton appliquée à l’équation f ^ x h = 0 conduit donc à l’étude de la suite v définie sur N par 1 3 , avec v0 = 3 , par exemple. vn + 1 = cvn + 2 vn m 2 On démontre par récurrence que la suite v est minorée par 3 . 3 Pour tout entier naturel n : 3 - ^vnh2 G 0. vn + 1 - vn = 2vn Donc la suite v est décroissante. 4 Comme la suite v est décroissante et minorée, elle 3 1 converge vers un réel , solution de x = c x + x m , 2 c’est-à-dire vers , = 3 . 5 On calcule : 97 18 817 7 et v4 = . v0 = 3 ; v1 = 2 ; v2 = ; v3 = 56 10 864 4
Approfondissement K^a + 1h K^a + 1h xn et Pn + 1 = xn + 1 a a en transposant dans Pn + 1 - Pn P = a c1 - n m , Pn K on obtient : xn + 1 = ^1 + ahxn ^1 - xnh , soit en posant k = 1 + a : xn + 1 = kxn ^1 - xnh . • Pour tout entier naturel n, 0 G xn G 1 . Car si xn 2 1 , alors xn + 1 1 0 . 2 a. Les seules limites possibles sont les solutions de l’équation f ^ x h = x où la fonction f est définie sur R par f ^ x h = kx^1 - x h ; f ^ x h = x + x^k - 1 - kx h = 0 . Les seules limites possibles de la suite x sont donc 0 et k-1 . k k-1 b. Si k G 1 , alors G 0 . La seule limite possible de k la suite ^ xnh est donc 0. Pour tout entier naturel n : k-1 - xn m G 0 . xn + 1 - xn = kxn c k Donc la suite ^ xnh est décroissante. Or, elle est minorée par 0. Elle est donc convergente. On en déduit que la suite ^ xnh converge vers 0. 130
1 On a Pn =
Livre du professeur - CHAPITRE 1
Suites numériques
27
c. On suppose que 11 k 1 2 . • Le tableau de variations de la fonction f est : x f ^xh
0
0
1 2 k 4
1
0
1 k 1 , on montre par récurrence 4 2 1 que pour tout entier naturel n H 1 , 0 G xn G , puis en 2 1 utilisant le sens de variation de f sur ;0 ; 2 E , on montre par récurrence que la suite ^ xnh est monotone à partir du rang 1. • On en déduit que la suite ^ xnh est convergente. • Si la suite ^ xnh est croissante à partir du rang 1, elle ne peut pas converger vers 0. Donc elle converge vers k-1 . k • Si la suite ^ xnh est décroissante à partir du rang 1, pour tout entier n H 1 , on a : k-1 - xn m G 0 . xn + 1 - xn = kxn c k k-1 k-1 - xn G 0 , soit xn H Donc . k k La suite ^ xnh ne peut pas converger vers 0. Donc elle k-1 . converge vers k
Vers le Supérieur
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
132
Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel n, un H 2 n + 3 . ◗ Initialisation : u0 H 23 ; vrai. ◗ Hérédité : démontrons que si un H 2 n + 3 , alors : un H 2 n + 4 . On a un + 1 = 3un - 5 . En utilisant l’hypothèse de récurrence, on a : un + 1 H 3 # 2 n + 3 - 5 , soit un + 1 H 2 # 2 n + 3 + 2 n + 3 - 5 . Comme pour tout entier naturel n, 2 n + 3 - 5 est positif, on a un + 1 H 2 n + 4 . ◗ Conclusion : pour tout entier naturel n, un H 2 n + 3 . 28
Livre du professeur - CHAPITRE 1
d’après le théorème de comparaison.
lim un =+ 3
n "+3
1 Soit f un réel strictement positif. Comme
1 = 0 , il existe un entier naturel n0 tel que si n f f 1 ! E- 2 ; 2 ;. n H n0 , alors n f f 1 Si m H n0 , alors ! E- 2 ; 2 ;. m Donc, pour tous entiers n et m supérieurs à n0 , 1 1 G f , car la distance entre deux points d’un n m intervalle est inférieure à la longueur de l’intervalle. Donc la suite u est une suite de Cauchy. 2 a. En écrivant que um - un = um - , + , - un , on obtient um - un = um - , + , - un , donc en utilisant l’inégalité triangulaire, pour tous entiers m et n : um - un G um - , + , - un . lim
n "+3
lim un = , . Donc, à partir d’un certain rang n0 , on a f pour tout entier n H n0 : un - , G . 2 b. Si n et m sont deux entiers naturels supérieurs à n0, f f et um - , G ; donc, d’après a., alors un - , G 2 2 um - un G f . La suite u est une suite de Cauchy. n "+3
134
a. Faux.
b. Faux.
c. Faux.
d. Vrai.
e. Faux.
n-1
2 2 a+f+c 3 m a . C’est la 3 somme des n premiers termes d’une suite géométrique 2 et de premier terme a . de raison 3 2 n 1-c 3 m 2 n = 3a ;1 - c m E . Donc : Sn = a # 3 2 13 2 2 lim Sn = 3a , car la suite géométrique de raison 3 n "+3 inférieure à 1 en valeur absolue converge vers 0. Ce procédé limite la profondeur du champ. 1 On a Sn = a +
n "+3
2 strictement supérieure à 1). Donc
133
En utilisant que 0 1
131
On a lim 2 n + 3 =+ 3 ( suite géométrique de raison
135
1 Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel k H 1 , k! H 2k - 1 . ◗ Initialisation : 1! = 1 et 21 - 1 = 1 , donc vrai. ◗ Hérédité : démontrons que si k! H 2 k - 1 , alors : ^k + 1h! H 2k . On a ^k + 1h! = ^k + 1h # k! . En utilisant l’hypothèse de récurrence, on a ^k + 1h! H ^k + 1h # 2 k - 1 et, pour tout entier naturel k H 1 , k + 1 H 2 , donc ^k + 1h! H 2 k . ◗ Conclusion : pour tout entier naturel k H 1 , k! H 2k - 1 . 2 D’après la question précédente, 1 1 un G 1 + 1 + + f + n - 1 . 2 2 Par ailleurs : 1 1- n 1 1 2 , 1 + + f + n-1 = 2 1 2 12 car c’est la somme des n premiers termes d’une suite 1 et de premier terme 1. géométrique de raison 2 1 Donc un G 3 - n - 1 G 3 . 2 Donc la suite u est majorée par 3. 1 3 un + 1 - un = H 0 . Donc pour tout entier ^n + 1h! n H 1 , un + 1 H un . La suite u est croissante et comme elle est majorée, elle converge vers un réel inférieur à 3.
Suites numériques
2
C H A P I T R E
Limites et fonctions continues Introduction 1. Programme Contenus Limites de fonctions
Capacités attendues
Commentaires Le travail réalisé sur les suites est étendu aux fonctions, sans formalisation excessive.
Limite finie ou infinie d’une fonction à l’infini. Limite infinie d’une fonction en un point.
Limite d’une somme, d’un produit, d’un quotient ou d’une composée de deux fonctions. Limites et comparaison. Asymptote parallèle à l’un des axes de coordonnées. Continuité sur un intervalle, théorème des valeurs intermédiaires
L’objectif essentiel est de permettre aux élèves de s’approprier le concept de limite tout en leur donnant les techniques de base pour déterminer des limites dans les exemples rencontrés en Terminale. • Déterminer la limite d’une somme, d’un produit, d’un quotient ou d’une composée de deux fonctions. • Déterminer des limites par minoration, majoration et encadrement. • Interpréter graphiquement les limites obtenues.
La composée de deux fonctions est rencontrée à cette occasion, mais sans théorie générale.
On se limite à une approche intuitive de la continuité et on admet que les fonctions usuelles sont continues par intervalle. On présente quelques exemples de fonctions non continues, en particulier issus de situations concrètes. Le théorème des valeurs intermédiaires est admis. On convient que les flèches obliques d’un tableau de variation traduisent la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l’intervalle considéré. On admet qu’une fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle. • Exploiter le théorème des valeurs intermédiaires dans le cas où la fonction est strictement monotone, pour résoudre un problème donné.
Ce cas particulier est étendu au cas où f est définie sur un intervalle ouvert ou semiouvert, borné ou non, les limites de f aux bornes de l’intervalle étant supposées connues.
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
Des activités algorithmiques sont réalisées dans le cadre de la recherche de solutions de l’équation f ^ x h = k . Plusieurs démonstrations, ayant valeur de modèle, sont repérées par le symbole de type algorithmique sont signalées par le symbole .
. Certaines sont exigibles et correspondent à des capacités attendues. De même, les activités
2. Intentions des auteurs Dans ce deuxième chapitre sur les « limites et fonctions continues » : • on transpose aux fonctions numériques ce qui a été rencontré dans le chapitre 1 pour les suites au voisinage de l’infini ;
• on précise la notion de limite en un point pour introduire la notion de continuité en un point ; • on définit la continuité sur un intervalle pour introduire le théorème des valeurs intermédiaires et déterminer les éventuelles solutions de l’équation f ^ x h = k ;
Livre du professeur - CHAPITRE 2
Limites et fonctions continues
1
• on introduit la notion d’asymptote à une courbe à travers les asymptotes horizontales et verticales. Toutes ces notions sont abordées à travers la résolution de problèmes le plus souvent liés à la vie courante ou aux autres disciplines. De nombreux QCM, Vrai-Faux permettent de faire le point rapidement sur la compréhension du cours et aussi la mise en place de raisonnement par contreexemple.
Comme au chapitre précédent une attention particulière est portée sur le raisonnement, en particulier le raisonnement par condition suffisante. Tout au long de ce chapitre se précise l’utilisation de logiciels : calculatrices graphiques, traceurs de courbes, tableurs, logiciels de géométrie dynamique ou de programmation. L’utilisation d’un logiciel de calcul formel doit permettre, en fonction des élèves, de surpasser les difficultés du calcul algébrique.
Partir d’un bon pied Objectif Réactiver chez l’élève : – la limite d’une suite ; – les lectures graphiques variées : image, antécédents , variations, signe d’une dérivée, inégalités. A
1 b. c. 3 a. c.
B
1 Vrai.
2 c. 4 a.
1 Faux. 3 Vrai.
2 a. On a x1 = 4 , x2 = 14 , x3 = 2
2 Vrai. 4 Vrai.
Découvrir Activité
1 Droites passant par un point
Objectif : Appréhender la notion de limite sur un exemple géométrique en utilisant un logiciel de géométrie. 1 a. b. Lorsque x devient « très grand », le point M s’éloigne de O sur l’axe des abscisses, le point N se rapproche de Q et l’aire du triangle ANQ tend vers 0. c. Lorsque l’abscisse du point M devient très proche de 2, le point N s’éloigne du point O sur l’axe des ordonnées, l’aire du triangle ANQ devient « très grande ». 2 a. En utilisant le théorème de Thalès dans le triangle OM ON = MON on a : , QA NQ f ^xh x = , donc : 2 f ^xh - 1 ©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
Objectif : Définir l’asymptote à une courbe à l’infini par la distance entre un point de la courbe et un point sur la droite qui tend vers 0. 1 Le point M a pour coordonnées ^ x ; f ^ x hh et N a pour coordonnées ^ x ; 1h , donc pour tout réel x, MN = f ^ x h - 1 .
2 Faux , par exemple prendre x 1 0 . 3 Vrai. 4 Faux.
C
2 Notion d’asymptote horizontale Activité
499 . 2 b. Pour tout réel x, f ^ x h - 1 = 2 . x +4 Soit un réel f 2 0 . 2 2 MN 1 f + 2 1 f + x2 2 - 4 . f x +4 2 - 4 , alors MN 1 f . La distance MN Donc si x 2 f peut être rendue aussi petite qu’on le désire dès que x dépasse une certaine valeur. 2 3 Si x 1 - 4 , alors MN 1 f . La distance MN f peut être rendue aussi petite qu’on le désire dès que x est inférieur à une certaine valeur
3 Comportement à l’infini des fonctions de base Activité
Objectif : On sait visualiser le comportement des fonctions de base en + 3 , il s’agit ici de mettre en place une définition plus rigoureuse comme il a été fait avec la convergence des suites numériques. 1 Voir ci dessous.
soit : x f ^ x h - x = 2 f ^ x h , x donc : f ^ x h = . x-2 b. Lorsque x tend vers + 3 , f ^ x h tend vers 1. QA # QN 3 a. On a Aire de ANQ = , donc : 2 ^ f ^ x h - 1h # 2 x 2 = -1 = . g^ x h = 2 x-2 x-2 b. Lorsque x tend vers + 3 , l’aire de ANQ tend vers 0. 2
Livre du professeur - CHAPITRE 2
Limites et fonctions continues
2 a. Si x0 = 107 , alors f ^ x0h H 1014 . Comme la fonc-
tion f est croissante sur 60 ; + 3 6 , si x H x0 , alors f ^ x h H 1014 . b. ◗ Si x0 = 105 , alors g^ x0h H 1014 . Comme la fonction g est croissante sur 60 ; + 3 6 , si x H x0 , alors g^ x h H 1014 . ◗ Si x0 = 1028 , alors h^ x0h H 1014 . Comme la fonction h est croissante sur 60 ; + 3 6 , si x H x0 , alors h^ x h H 1014 . 3 Soit A 2 0 .
a. Si x0 = A , alors f ^ x0h H A . Comme la fonction f est croissante sur 60 ; + 3 6 , si x H x0 , alors f ^ x h H A . b. ◗ Si x0 = 3 A , alors g^ x0h H A . Comme la fonction g est croissante sur 60 ; + 3 6 , si x H x0 , alors g^ x h H A . ◗ Si x0 = A2 , alors h^ x0h H A . Comme la fonction h est croissante sur 60 ; + 3 6 , si x H x0 , alors h^ x h H A .
4 Comportement au voisinage de 0 Activité
Objectif : L’objectif est le même que pour l’activité 3 sauf que le parallèle avec les suites numériques est absent. 1 La courbe 2 représente f et la courbe 1 représente g. 1 2 a. Si a = 10-2 , alors pour 0 1 x 1 a , on a 2 102 . x 1 1 1 Comme sur @0 ; 1 @, 2 H , on a aussi 2 H 102 . x x x 1 1 b. Si - 10-2 1 x 1 0 , alors 1 - 102 et 2 2 10 4 . x x 1 n 3 Pour 0 1 x 1 10-n , on a 2 10 . x 4 On a lim f ^ x h =- 3 , lim g^ x h =+ 3 x "0 x 10
x"0 x 20
Exercices d’application Savoir faire Démontrer en utilisant
les définitions 1
a. Il semble que : lim x =+ 3 et lim x "+3
x "-3
b. Pour tout réel x positif, x = x donc pour tout entier naturel n non nul, si x H 10 n , alors x H 10 n . Donc : lim x =+ 3 . x "+3
On démontre de même que : lim
x =+ 3 .
x "-3
2 On pose f ^ x h =- x2 + 3x .
On a : f ^ x h G - 10 n + - x2 + 3x G - 10 n + x2 - 3x - 10 n H 0. 2
Or ^- 10 nh - 3^- 10 nh - 10 n = 102n + 2 # 10 n 2 0 .
7
Comme la fonction x x2 - 3x - 10 n est décroissante sur @ - 3 ; 1,5 @, pour tout réel x G - 10 n , on a : f ^ x h G - 10 n . On a lim f ^ x h =- 3 . x "-3
3 a. On pose : g^ x h = f ^ x h - ^- 1h =
0 G g^ x h G 10-n +
2 . 1 + x2
2 G 10-n 1 + x2
+ x2 H 2 # 10n - 1 . 2 # 10 n - 1 , on a :
Donc si x H A avec A =
et lim g^ x h =+ 3 .
x =+ 3 .
0 G g^ x h G 10-n . On en déduit que : lim g^ x h = 0 ,
x "0 x 10
x "+3
5 Détermination d’une solution de l’équation f (x) = 0 par balayage Activité
Objectif : Mettre en place un algorithme de base pour la résolution approchée d’une équation du type f ^ x h = 0 .
7
7
x - 1 sont strictex3 et x ment croissantes sur R, donc la fonction f est strictement croissante sur R. 1 Les fonctions x
f est strictement croissante sur R, si f ^ x h 1 0 , c’est-à-dire f ^ x h 1 f ^ah , on a x 1 a . De même si f ^ x h 2 0 , c’est-à-dire f ^ x h 2 f ^ah , on a x 2 a. On a f ^0 h =- 1 et f ^1 h = 1 , donc d’après ce qui précède, 0 1 a 1 1 . ©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
2 Comme
3 a. et b. Comme la fonction f est croissante sur R, tant
que f ^ x h reste négatif, alors x 1 a . Dès que f ^ x h 2 0 , alors on a dépassé a ; d’où un encadrement de a d’amplitude 1/10. c. Il suffit de modifier l’affichage final par : « Afficher^ x - 0,1h ; ». 4 Il suffit d’ajouter « entrer n » , puis de modifier l’ins-
truction « x ! x + 0,1 » par « x ! x + 10 ^ ^- nh ».
soit :
lim
x "+3
f ^ x h =- 1 .
La courbe f admet la droite d’équation y =- 1 comme asymptote en + 3 . On démontre de même que est asymptote à f en -3. b. La fonction f est dérivable sur R et : 4x , f l^ x h =^1 + x2h2 d’où le tableau de variations de f ci-dessous. x f l^ x h f ^xh
0
-3 +
-1
0 1
+3 -
-1
Pour tout réel x, - 1 G f ^ x h G 1 , donc f est bornée sur R. 4 L’intervalle @ 0,5 ; 1,5 6 est ouvert et contient 1.
Comme lim f ^ x h = 1 , il existe un réel a tel que pour x "+3
tout réel x 2 a , f ^ x h ! @ 0,5 ; 1,5 6 . Donc pour tout réel x ! @ a ; + 3 6 , f ^ x h 2 0 .
Livre du professeur - CHAPITRE 2
Limites et fonctions continues
3
Savoir faire Déterminer une limite
en utilisant les opérations
x "+3
x+1 x = lim = 1. x-1 x "+3 x
Donc lim f ^ x h = lim t = 1 .
5 On est en présence d’une forme indéterminée du
3 ». Pour tout réel x non nul, on a : 3 1 1 x3 c1 - 2 m c1 - 2 m x x x3 - x 2 = =x . 2 2 x+2 a1 + k x a1 + k x x 1 c1 - 2 m x = 1, lim x2 =+ 3 et lim x "+3 x " + 3 a1 + 2 k x 1 1 = 0. car lim 2 = 0 et lim x "+3 x x "+3 x x3 - x =+ 3 . Donc lim x "+3 x + 2 type «
6 Pour tout réel x H 0 ,
f ^ x h = x - x = x # x - x = x # ^ x - 1h . Comme lim x =+ 3 et lim x - 1 =+ 3 , par x "+3
◗ lim
x "+3
produit, on a : lim f ^ x h =+ 3 . x "+3
t "1
x "+3
b. ◗ lim f ^ x h =+ 3 , donc la courbe représentative de f x "1
admet la droite d’équation x = 1 comme asymptote. ◗ lim f ^ x h = 1 , donc la courbe représentative de f x "+3
admet la droite d’équation y = 1 comme asymptote.
Savoir faire Étudier la continuité
d’une fonction
11 ◗ On a : lim x = 1 et lim 1 = 1 et f ^1 h = 1 , donc x "1 x 11
x "1 x 21
x
lim f ^ x h = f ^1 h . La fonction f est continue en 1.
x "1
◗ Comme f est continue sur @ - 3 ; 16 et sur @ 1 ; + 3 6 , f est continue sur R. x 1 1 , donc x+1 f ^ x h = 0 . La fonction f est continue sur 60 ; + 3 6 . 12 Pour
tout réel
x H 0,
0G
13 a. Pour tout réel x H 0 , on a : x = x .
Savoir faire Déterminer une limite 7 On est en présence d’une forme indéterminée du
3 ». Pour tout réel x strictement positif, 3 1 1 # . f ^xh = 1 x 1+ x 1 1 = 0 et lim = 0 , en utilisant Comme lim x "+3 x x "+3 x les opérations sur les limites, lim f ^ x h = 0 . type «
x "+3
2 = 0 et lim 3 cos ^ X h = 3 . X "0 x "+3 x 2 Donc par composition, lim 3 cos a k = 3 . x x "+3 8
lim
9 On est en présence d’une forme indéterminée du
type « 3 - 3 ». Pour tout réel x 1 - 2 , 2
x2 - ^ 2x2 - 3 h - x2 + 3 = 2 x - 2x - 3 x - 2x2 - 3 3 3 - x2 c1 - 2 m c1 - 2 m x x = =- x # , 3 3 x- x 2- 2 1+ 2- 2 x x car ici x =- x . 1 3 = 0 et lim 2 = 0 , en utilisant les Comme lim x x "-3 x "-3 x opérations sur les limites, lim f ^ x h =+ 3 .
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
f ^xh =
x "-3
10 a. ◗ lim ^ x + 1h = 2 et lim ^ x - 1h = 0 , x "1
x "1
x+1 =+ 3 , car x ! @ - 1 ; + 3 6 . donc lim x "1 x - 1 Donc lim f ^ x h = lim t =+ 3 . x "1
4
t "+3
Livre du professeur - CHAPITRE 2
3x2 + 2x . x Ainsi pour tout réel x 2 0 , f ^ x h = 3x + 2 . Donc lim f ^ x h = 2 . f ^xh =
Donc :
x"0 x 20
b. Pour tout réel x G 0 , on a : x =- x . 3x2 - 2x = 3x - 2 . Donc pour tout réel x 1 0 , f ^ x h = x =Donc lim f ^ x h 2. x "0 x 10
c. lim f ^ x h ! lim f ^ x h . Il n’est pas possible de trouver x"0 x 20
x"0 x 10
une fonction g continue telle que pour tout réel x ! 0 , f ^ x h = g^ x h .
Savoir faire Dénombrer
les solutions d’une équation f (x) = k 14 a. f l^ x h = 6x2 + 24x + 18 .
D = 144 ; x1 =- 3 et x2 =- 1 . D’où le tableau : x
-3
-3
f l^ x h
+
0
-1 -
0
9
+3 + +3
f ^xh -3
1
◗ Sur l’intervalle @ - 3 ; - 3 @, la fonction f est strictement croissante, continue, et d’intervalle-image @ - 3 ; 9 @ contenant 0.
Limites et fonctions continues
On en déduit que l’équation f ^ x h = 0 admet une unique solution a sur @ - 3 ; - 3 @.
◗ Sur l’intervalle 6- 3 ; + 3 6 , le minimum de f est 1. Donc l’équation f ^ x h = 0 n’admet pas de solution sur cet intervalle.
Travaux pratiques 17 Des limites en géométrie
1 Modéliser la situation et conjecturer
◗ Finalement, l’équation f ^ x h = 0 admet une unique solution a sur R. Par la calculatrice, a . - 4,05 . b. Le tableau de signes de f ^ x h est sur R : x
-3
f l^ x h
-
a 0
+3 +
D’où l’inéquation f ^ x h H 0 admet pour ensemblesolution 6a ; + 3 6 . 15 a. La fonction f est dérivable sur @ 0 ; + 3 6 et
3x - 2 , donc f l^ x h est du signe de 3x - 2 , x d’où le tableau de variations ci-dessous. f l^ x h =
On a m . - 1,17 . x
0
f l^ x h
a
2 3
b
-
0
+
1 f ^xh
+3 1 Faire la construction (On a pris ici R = 3 ). Lorsque P se
+3 0
0 m
2 ◗ Sur l’intervalle ;0 ; ; , la fonction f est strictement 3 décroissante, continue, et d’intervalle-image @ m ; 1 @ contenant 0. On en déduit que l’équation f ^ x h = 0 admet une 2 unique solution a sur ;0 ; ; . 3 2 ◗ Sur l’intervalle ; ; + 3 ; , la fonction f est strictement 3 croissante, continue et d’intervalle-image 6m ; + 3 6 contenant 0. Donc l’équation f ^ x h = 0 admet une unique solution b 2 sur l’intervalle ; ; + 3 ; . 3 ◗ Finalement, l’équation f ^ x h = 0 admet deux solutions sur R.
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
b. 0,06 1 a 1 0,07 et 1,60 1 b 1 1,61 . 16 a. La fonction f n’est pas continue en - 1 , car :
lim f ^ x h = 1 ! f ^- 1h .
x "-1 x 1- 1
b. Pour tout réel k ! 6- 1 ; 2 @, l’équation f ^ x h = k admet au moins une solution. c. On remarque que la condition « f continue sur 6a ; b @ » n’est pas nécessaire pour conclure.
rapproche de A, AP tend vers 0. AP 2 Le rapport tend vers 1. AN 2 Élaborer une démarche 1 La droite ^PT h est tangente au cercle en T, donc le triangle OPT est rectangle en T. Le théorème de Pythagore permet d’écrire : OP2 = OT2 + PT2 , 2 soit : PT2 = OP2 - OT2 = ^ x + Rh - R2 ,
PT2 = x2 + 2xR . % PT 2 Dans le triangle OPT on a cosOPT = et dans le OP % PT PN PN = . . Donc triangle PNT, cosOPT = OP PT PT x2 + 2xR PT2 = . On en déduit que PN = OP x+R xR . On a donc AN = PN - x = x+R R AN = . Donc : AP x+R AN R 3 lim = lim = 1. x " 0 AP x "0 x + R donc :
18 Résolution approchée d’une équation par
dichotomie Objectif : Mettre en place un autre algorithme pour déterminer les valeurs approchées d’une solution de l’équation f ^xh = 0 . 1 a. La fonction f est dérivable sur R et :
f l^ x h = 12x3 - 12x2 - 24x = 12x^ x + 1h^ x - 2h . b. Le signe de f l^ x h donne le tableau de variations ci-après.
Livre du professeur - CHAPITRE 2
Limites et fonctions continues
5
x f l^ x h
0
-1
-3
0
-
0
+
2 0
-
14
+3
+3
f ^xh - 18
2 a. ◗ Sur l’intervalle @ - 3 ; 0 6 , f possède un minimum
égal à 9, donc l’équation f ^ x h = 0 n’y a pas de solution. ◗ Sur l’intervalle 60 ; 2 6 , la fonction f est strictement décroissante, continue, et d’intervalle-image @ - 18 ; 14 @ contenant 0. On en déduit que l’équation f ^ x h = 0 admet une unique solution a sur 60 ; 2 6 . ◗ Sur l’intervalle 62 ; + 3 6 , la fonction f est strictement croissante, continue et d’intervalle-image 6- 18 ; + 3 6 contenant 0. Donc l’équation f ^ x h = 0 admet une unique solution b sur l’intervalle 62 ; + 3 6 . ◗ Finalement, l’équation f ^ x h = 0 admet deux solutions sur R. b. Par la calculatrice, 11 a 1 2 et 2 1 b 1 3 . 3 a. Si le produit f ^a h # f ^mh 1 0 , alors f ^a h et f ^mh sont de signes contraires. Si le produit f ^ah # f ^mh 2 0 , alors f ^ah et f ^mh sont de même signe. b. L’algorithme permet de déterminer des valeurs approchées par défaut ^ah et par excès ^b h de a avec une précision de e, et pour cela, on prend a = 1 et b = 2 . c. On obtient a . 1,042 par excès à 0,001 près. d. On prend a = 2 et b = 3 . On obtient b . 2,605 à 0,001 près. 19 Comme une parabole ou comme une hyper-
bole ? Objectif : Préciser la notion de courbe asymptote à une autre. x3 1 ◗ lim f ^ x h = lim = lim x2 =+ 3 . x "+3 x "+3 x x "+3 =+ De même, lim f ^ x h 3. x "-3
◗ lim ^ x x "1
3- 2+
x
x h = 1 et lim ^ x - 1h = 0 . x "1
Donc en utilisant le signe de x - 1 au voisinage de 1, on obtient : lim f ^ x h =- 3 et lim f ^ x h =+ 3 . x "1 x 11
x "1 x 21
2 Voir le graphique ci-dessous où on a tracé la parabole 1.
y
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0 6
x "1
d’équation y =
2x - 1 convient. x-1
c. Voir ci-dessus. d. Les points d’intersection des courbes 1 et ont 2x - 1 des abscisses qui vérifient x2 + 1 = , soit x-1 x^ x2 - x - 1h = 0 . L’équation x2 - x - 1 = 0 a pour 1+ 5 et discriminant 5, donc elle a deux solutions 2 1- 5 . 2 Donc 1 et ont pour trois points d’intersec1+ 5 5+ 5 m , tion de coordonnées ^0 ; 1h , c ; 2 2 - 5 5-5 5 1 c m. ; 2 2 20 Claudine a-t-elle raison ?
Objectif : Conjecturer et prendre des initiatives dans la mise en œuvre de la démonstration. Pour que Claudine ait raison, au voisinage de + 3 , f ^ x h doit être très proche de x - 2 . Un logiciel de calcul formel donne le résultat ci-dessous qui semble confirmer cette conjecture.
1
En posant g^ x h = f ^ x h - ^ x - 2h , on obtient :
1
ax3 + ^b - ahx2 + ^c - bhx + d - c d = . x-1 x-1 En identifiant, nous obtenons le système suivant : Z = Z = ]a 1 ]a 1 ] b - a =- 1 ]b = 0 . [ + [ ]c - b = 1 ]c = 1 ] - = ] = \d c 0 \d 1 Donc pour tout réel x différent de 1 : 1 . f ^ x h = x2 + 1 + x-1 b. On considère la parabole 1 d’équation y = x2 + 1 . 1 = 0 , la Comme lim ^ f ^ x h - ^ x2 + 1hh = lim x "+3 x "+3 x - 1 parabole 1 est très proche de en + 3 . On obtient le même résultat en - 3 . 4 a. Voir la courbe ci-dessus. 1 2 b. f ^1 + hh = ^1 + hh + 1 + 1+h-1 1 + 2h = h2 + 2h + . h 2x - 1 2 . Donc f ^ x h = ^ x - 1h + 2^ x - 1h + x-1 2x - 1 = ^ x - 1h2 + 2^ x - 1h . Donc f ^ x h x-1 2 Comme lim 6^ x - 1h + 2^ x - 1h@ = 0 , l’hyperbole ax2 + bx + c +
+ +3
9
3 a. En réduisant au même dénominateur :
1
Livre du professeur - CHAPITRE 2
x Limites et fonctions continues
g^ x h =
x
1 . x-2
2+
26 1 Faux.
2 Vrai. 5 Faux.
4 Vrai.
lim ^ x2 + x - 2h =+ 3 . Donc lim g^ x h = 0 . x "+3
x "+3
Donc lorsque l’on remplace f ^ x h par x - 2 , on commet 1 une erreur de l’ordre de 2 , qui est « proche de 0 » x lorsque x est « grand » : Claudine a raison. 21 Prendre des initiatives
Objectif : Initier les élèves à des problèmes de recherche.
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7
x + x2 + f + x n - 1 est dérivable et f ln^ x h = 1 + 2x + f + nx n - 1 2 0 sur l’intervalle 60 ; 1 @. Elle est donc strictement croissante et continue. f n^0 h =- 1 et f n^1 h = n - 1 , donc 0 ! @ f n^0 h ; f n^1 h 6 . D’après le théorème des valeurs intermédiaires l’équation f n^ x h = 0 admet une unique solution an dans l’intervalle 60 ; 1 @. 2 ◗ On a an - 1 + ^an - 1 h2 + f + ^an - 1 hn - 1 = 1 . Donc f n^an - 1h = ^an - 1hn 2 0 . Comme f n est strictement croissante sur 60 ; 1 @ et f n^anh = 0 , on a an - 1 H an . Donc la suite ^anh est décroissante. 1 1 1 2 1 n +a k + f +a k - 1 ◗ On a f na k = 2 2 2 2 1 1 n+1 -a k 1 n 2 - 1 =- a k 1 0 . = 2 1 2 12 1 Donc pour tout entier n H 2 , G an . La suite ^anh est 2 1 minorée par . 2 ◗ La suite ^anh est décroissante et minorée , donc elle 1 converge vers un réel , tel que G , G an . 2 ◗ Comme f n est strictement croissante sur 60 ; 1 @, 1 f n a k G f n^ , h G f n ^anh , 2 1 n - a k G f n^ , h G 0 . soit : 2 Donc la suite de terme général f n^ , h converge vers 0 d’après le théorème des gendarmes. n+1 , - ^, h 2 n - 1, ◗ f n^ , h = , + ^ , h + f + ^ , h - 1 = 1-, , + - 1 , car lim ^ , hn 1 = 0 . qui converge vers 1-, n "+3 , 1 - 1 = 0 , soit , = . Donc on a 2 1-, 1 Pour n H 2 , la fonction f n : x
6 b.
2 c. 7 c.
3 a. et c. 8 c.
Exercices d’application 1 Limite d’une fonction à l’infini 27 1 a. Faux.
b. Vrai.
c. Faux.
2 Faux.
28 1 b.
2 b. et c.
Limites : lecture graphique 29 ◗ lim f ^ x h =+ 3 et lim f ^ x h =+ 3 . 1 1 x "+3
x "-3
◗ lim f 2^ x h = 2 et lim f 2^ x h =- 3 . x "+3
x "-3
◗ lim f 3^ x h =- 3 et lim f 3^ x h =+ 3 . x "+3
x "-3
◗ lim f 4^ x h = 2 et lim f 4^ x h =- 2 . x "+3
x "-3
30 ◗ lim f ^ x h =+ 3 . x "+3
◗ lim g^ x h = 0 . x "+3
◗ lim h^ x h n’existe pas. x "+3
◗ lim k^ x h = 0 . x "+3
Limite finie à l’infini 31 Démonstrations du cours 1 a. Soit un réel f strictement positif.
1 1 1 ou x H . G f + x Gf f x2 b. ◗ Pour tout réel f strictement positif, dès que 1 1 1 , on a 2 G f donc : lim 2 = 0 . xH f x x "+3 x 1 ◗ Pour tout réel f strictement positif, dès que x G , f 1 1 on a 2 G f donc : lim 2 = 0 . x x "-3 x 2 ◗ Soit un réel f strictement positif : 1 1 Gf+xH 2 . f x 1 b. ◗ Pour tout réel f strictement positif, dès que x H 2 , f 1 1 = 0. on a G f donc : lim x x "+3 x 6x . ^1 + x2h2 La fonction f est croissante sur @ - 3 ; 0 @ et décroissante sur 60 ; + 3 6 . 3 2 a. f ^ x h - ^- 1h G 10-4 + G 10-4 . 1 + x2 32 1 Pour tout réel x, f l^ x h =-
Faire le point 25 1 a.
3 Faux. 6 Vrai.
4 b. 9 c.
5 c. 10 b.
Livre du professeur - CHAPITRE 2
Limites et fonctions continues
7
3 G 10-4 + x G - 29 999 ou x H 29 999 . 1 + x2 Donc si x H 174 , alors f ^ x h - ^- 1h G 10-4 . 3 b. Soit f 2 0 , f ^ x h - ^- 1h G f + G f. 1 + x2 3 3 3 - 1 ou x H -1. 2 G f + x Gf f + 1 x 3 - 1 , alors f ^ x h - ^- 1h G f . Donc si x H f Donc lim 6 f ^ x h - ^- 1h@ = 0 , soit lim f ^ x h =- 1 . x "+3
x "+3
c. De même lim f ^ x h =- 1 . x "-3
d. La droite d’équation y =- 1 est asymptote en + 3 et en - 3 à la courbe représentative de f . 3 Le maximum de f sur R est f ^0 h = 2 . Et pour tout réel x, f ^ x h 2 - 1 , car : 3 f ^xh + 1 = 2 0. 1 + x2
3 : 2x - 3 = 3 - 2x . 2 2 3 - 2x 2 3 - 4x = = Donc f ^ x h - 2 G 0. x x x2 x2 2 Donc f ^ x h - 2 G . x 2 2 b. Soit un réel f 2 0 . Pour tout x H , Gf; f x donc f ^ x h - 2 G f . On en déduit lim f ^ x h = 2 . ◗ Si 11 x G
x "+3
c. La droite est asymptote à la courbe f en + 3 . 35 Comme la fonction f est décroissante sur @ 0 ; + 3 6
et
lim f ^ x h = 0 , 0 est un minorant de f , donc pour
x "+3
tout x 2 0 , on a f ^ x h H 0 . 36 1 a.
33 1 Il semble que la limite de f en + 3 est 3.
2 a. Pour tout réel x 2 - 2 ,
f ^xh - 3 =
-2 2 . 1 0 . Donc f ^ x h - 3 = x+2 x+2
b. Pour tout réel f 2 0 , f ^xh - 3 1 f +
2 1f x+2
+x2
2 - 2. f
2 - 2 , on a pour tout réel x 2 A , f f ^xh ! @ 3 - f ; 3 + f 6. Donc la limite de f en + 3 est 3. La courbe représentative de f présente une asymptote d’équation y = 3 en + 3 .
En posant A =
34 1 Pour x ! @ 0 ; + 3 6 , f l^ x h = 6 - 2x qui est du 3
x
signe de 6 - 2x . x
3
0
f l^ x h
+
0
+3 -
7 3
f ^xh y y=2 1
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0
f 1
Livre du professeur - CHAPITRE 2
2 a. On a :
y % % OA 2 OMl = = . et tanOAMl = tanOMA = OM x OA 2 y % % 2 = . Comme OMA = OAMl , on a 2 x 4 La fonction f qui à x associe y est telle que f ^ x h = . x -5 5 # b. Dès que 0 1 x G 4 10 , f ^ x h H 10 . c. Lorsque x H 105 , alors 0 1 f ^ x h 1 4 # 10-5 . Limite infinie à l’infini
x
2 a. Il semble que lim f ^ x h = 2 . x "+3 b. Voir ci-dessus. 2x - 3 3 a. Pour tout x 2 1 , f ^ x h - 2 = . x2 3 ◗ Si x H : 2x - 3 = 2x - 3 . Donc 2x - 3 G 2x , et 2 2 2x f ^ x h - 2 G 2 , soit f ^ x h - 2 G . x x
8
b. ◗ Lorsque l’abscisse x devient « grande » le point Ml se rapproche du point O. ◗ Lorsque l’abscisse x devient « proche de 0 » le point Ml s’éloigne de O. c. Le graphique ci-dessus, obtenu en créant le « lieu » du point N lorsque M varie, confirme les résultats du b.
37 Démonstrations du cours 1 a. Soit A un réel strictement positif. Sur 60 ; + 3 6 , x2 H A + x H A . b. Pour tout réel A 2 0 , on a déterminé un réel B = tel que dès que x H B on a x2 H A ; donc : lim x2 =+ 3 . x "+3
A,
c. Soit A un réel strictement positif. Sur @ - 3 ; 0 @, x2 H A + x G - A . b. Pour tout réel A 2 0 , on a déterminé un réel B =- A , tel que dès que x G B on a x2 H A ; donc : lim x2 =+ 3 .
Limites et fonctions continues
x "-3
2 Soit A un réel strictement positif. Sur 60 ; + 3 6 , x H A + x H A2 . Pour tout réel A 2 0 , on a déterminé un réel B = A2 tel que dès que x H B on a x H A donc : lim x =+ 3 .
Représentations graphiques y
44 a.
x "+3
38 P est la définition de lim f ^ x h =- 3 . 2 x "+3
1
39 ◗ lim f ^ x h =- 3 .
0
x "+3
x
1
◗ lim g^ x h =- 3 . x "+3
◗ lim h^ x h =- 3 . x "+3
y
b.
◗ lim f ^ x h =+ 3 . x "-3
◗ lim g^ x h =+ 3 .
1
◗ lim h^ x h =- 3 .
0
x "-3 x "-3
x
1
40 1 Voir la figure ci-dessous.
lim x2 =+ 3 et lim x2 =+ 3 .
x "+3
x "-3
2 Voir la figure ci-dessous. 3 ◗ lim g^ x h =- 3 et lim g^ x h =- 3 . x "+3
x "-3
◗ lim h^ x h =+ 3 et lim h^ x h =+ 3 . x "+3
x "-3
y 45 ◗ lim f ^ x h = 1 x "-3
◗ lim f ^ x h =+ 3 ;
h
x "-2 x 1- 2
f
◗ lim f ^ x h =- 3 . x "-2 x 2- 2
1 0
◗ lim f ^ x h =- 3 ; x "2 x 12
x
1
◗ lim f ^ x h =+ 3 . x "2 x 22
g
◗ lim f ^ x h = 1 . x "+3
41 1 Pour tout réel x, - 1 G sin x G 1 , donc f ne peut
pas admettre de limite infinie en + 3 .
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r 2 Pour tout entier k, sin kr = 0 et sin a + 2kr k = 1 . 2 3 Si la fonction f a pour limite , en + 3 alors : pour x 2 A , f ^ x h ! @ , - 0,25 ; , + 0,25 6 , ce qui est impossible d’après les résultats du 2 .
46 1 Les asymptotes à sont :
la droite d’équation x = 0 , la droite d’équation y =- 1 en - 3 et la droite d’équation y = 3 en + 3 . 2
y y=3 f
1
2 Limite d’une fonction en un point 42 1 Faux.
2 Vrai.
43 1 b., d.
2 a., b.
3 Faux.
0
1
x y = –1
4 Faux.
Livre du professeur - CHAPITRE 2
Limites et fonctions continues
9
Utiliser les définitions
x
-3
-1
+3
47 Démonstration d’un résultat du cours
0 +3
2 +3
+3 +3
f ^ x h2
1 Soit A un réel strictement positif.
1 2 A +x2
1 1 . 1 x 1 0 ou 0 1 x 1 A A 1 1 2 Pour tout réel A 2 0 , si x ! 0 et 1x1 , A A 1 1 alors 2 2 A . Donc lim 2 =+ 3 . x x"0 x
4 x
-3 0
1 f ^xh
-1
0
2 1
0 -
48 1 Il semble que lim f ^ x h =+ 3 .
1
1 2
+3
0
0
x "1
2 2 Pour tout réel x ! 1 , si x - 1 G a , alors ^ x - 1h G a2,
1 1 H 2 . a ^ x - 1h2 3 a. Définition d’une fonction qui admet une limite égale à + 3 en 1 : « Pour tout réel A, il existe un réel f tel que si x - 1 G f alors f ^ x h H A ». 1 b. D’après la question 2 , en posant f = on A =+ prouve que lim f ^ x h 3. donc :
x "1
4 La courbe représentative de f admet la droite d’équa-
tion x = 1 comme asymptote.
49 1 lim f ^ x h =- 3 et lim f ^ x h =+ 3 , x "0 x 10
x "+3
b. lim ^- x2 ^ x + 2h + 1h =+ 3 . x "-3
54 a. On a lim 1 = 0 , lim x "+3
x
x "+3
4 = 0 , donc : x3
1 4 + 3 mE =+ 3 . lim ; x3 c1 x x x "+3 3 1 = 0 , donc lim a x + k =- 3 et b. On a lim x x "-3 x x "-3 3 donc lim - 3x a x + k =- 3 . x x "-3 55 1 On a :
x"0 x 20
donc la fonction inverse n’admet pas de limite en 0. 2 On a :
53 a. lim x^ x - 3h =+ 3 .
2 r m = sin a + kr k . 2 r + k2r k étant un entier relatif, quand k tend vers + 3 , r sin a + kr k prend alternativement les valeurs 1 et 2 - 1 , donc la fonction f n’admet pas de limite en 0, ni en 0- , ni en 0+ . fc
lim a
x "+3
1 - 4 k =- 4 et lim ^ x2 + 3h =+ 3 , x x "+3
1 donc lim ^ x2 + 3ha - 4 k =- 3 . x + x" 3 2 10 2 Pour tout réel non nul, # ^ x + 5h = 2 + . x x 10 2 # ^ x + 5h = 2 . = 0 , on a lim Comme lim x "+3 x x "+3 x 56 a. f est bien définie sur R (pas de valeur interdite).
Pour tout réel x ! 0 , f ^ x h = x3 c- 1 +
3 Détermination de limites
Comme lim x3 =+ 3
2 4 - 3 m. x x
x "+3
50 1 Faux.
2 Faux.
3 Faux.
4 Faux.
51 1 Faux.
2 Faux.
3 Vrai.
4 Faux.
x
-3
-1
+3
0
2 -1
+3
+3
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- f ^xh 2 x
-3
-3
-3 0
-1
+3
+3
2 +3
2 Livre du professeur - CHAPITRE 2
+3 +3
f ^xh
10
x "+3
De même, lim f ^ x h =+ 3 . x "-3
Utiliser les opérations 52
2 4 - 3 m =- 1 , par produit, on a : et lim c- 1 + x x x "+3 lim f ^ x h =- 3 .
1
b. Pour tout réel x, on a 2 + 3x2 ! 0 . Donc g est définie sur R. Pour tout réel x ! 0 , x 1 = . g^ x h = 2 2 2 x c 2 + 3m xc 2 + 3m x x 2 Comme lim x =+ 3 et lim c 2 + 3 m = 3 , par x "+3 x "+3 x quotient, on a : lim f ^ x h = 0 . x "+3
De même lim f ^ x h = 0 . x "-3
c. Pour x2 - 4x + 5 , D =- 4 . Donc pour tout réel x, x2 - 4x + 5 ! 0 . Donc h est bien définie sur R.
Limites et fonctions continues
Pour tout réel x ! 0 ,
1 1 x c9 + 3 m x c9 + 3 m x x = . h^ x h = 4 5 4 5 2 + 2m + 2 x c1 1x x x x 1 Comme lim x =+ 3 , lim c9 + 3 m = 9 x x "+3 x "+3 4 5 + 2 m = 1 , par quotient, on a : et lim c1 x x x "+3 lim f ^ x h =+ 3 . 3
x "+3
De même lim f ^ x h =- 3 . x "-3
57
-3
+3 0
g
+3 0
h
+3
-3
f+g
+3
0
f-g
+3
0
f
+3
g-h
-3
f /g
+3
+3
0
+3
58 a. On a lim ^4 - x2h = 0+ ; donc lim
x "2 x 12
x =+ 3. 4 - x2
x =- 3 . x2 x "2 4 x 2 =+ 3 . x "-2 4 - x
c. On a lim ^4 - x2h = 0- ; donc lim
x 1- 2 +
0 ; donc lim
x "2 x 12
x "+3
◗ lim f ^ x h = lim ^ x - 2h = 0 . x "2
x "2
x =- 3 . 4 - x2
x 1 = 4 4 - x2 - x c1 - 2 m x 4 comme lim c1 - 2 m = 1 , donc : x x "+3 x 1 lim 2 = lim - x = 0 . x x "+3 x "+3 4
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
59 a. ◗ On a :
1 + 2 k = 2 et lim ^ x2 - 1h =+ 3 , x x "+3 par produit : lim f ^ x h =+ 3 . lim a
x "+3
x "+3
1 ◗ On a lim a + 2 k =+ 3 et lim ^ x2 - 1h =- 1 , x"0 x x "0 x 20
x "+3
1 1 1 =et lim a- k =- 3 , 4 x x-4 x"0
donc par somme : lim f ^ x h =- 3 . x"0 x 20
◗ On a lim
x"4 x14
1 1 1 =- 3 et lim a- k =- , donc par x 4 x-4 x"4
somme lim f ^ x h =- 3 . x"4 x14
b. Sur @ - 3 ; - 2 6 , f ^ x h =
4x + 1 . ^ x + 2h^ x + 3h 1 4x + 1 =- 3 , =- 7 et lim ◗ lim + + 2h 3h x " - 2 ^x x " - 2 ^x x 1- 2
donc par produit : lim f ^ x h =+ 3 . x "-2 x 1- 2
e. Si x est différent de 0,
par produit : lim f ^ x h =- 3 .
x 11
par somme : lim f ^ x h =+ 3 .
x 20
x 22
x "-2 x 2- 2
1 = 0 , par somme : lim f ^ x h =+ 3 . x 1 x "-3 x "-3 1 2 m =+ 3, ◗ On a lim ^8x - 28x + 26h = 6 et lim cx-1 x "1 x "1
x "0
b. On a lim ^4 - x2h = 0- ; donc lim
d. On a lim ^4 - x
x "-3
60 a. ◗ On a lim
foh
2h =
c. ◗ Un logiciel de calcul formel donne pour x différent de 1 : ^3 - 2x h3 1 = 8x2 - 28x + 26 . 1-x x-1 ◗ On a lim ^8x2 - 28x + 26h =+ 3
x "+3
0
x "-2 x 1- 2
x "0 x 10
x2 - 4x + 4 = x - 2. x-2 ◗ lim f ^ x h = lim ^ x - 2h =+ 3 .
0 0
x "2 x 22
x 10
par produit : lim f ^ x h =+ 3 .
d. ◗ On a pour x différent de 2,
f /h g/h
x "2 x 12
x "+3
1 ◗ On a lim a + 2 k =- 3 et lim ^ x2 - 1h =- 1 , x "0 x x "0
x "1 x 11
0
fh
x "-3
et lim -
0
fg
1 + 2 k = 2 et lim ^ x2 - 1h =+ 3 , x x "-3 par produit : lim f ^ x h =+ 3 . b. ◗ On a lim a
◗ lim
4x + 1
x " - 3 ^ x + 2h
= 11 et lim
x "-3 x 2- 3
1 =+ 3 , donc par ^ x + 3h
produit : lim f ^ x h =+ 3 . x "-3 x 2- 3
c. Sur @ 5 ; + 3 6 , f ^ x h =
^ x - 5h^ x + 3h ^ x + 3h =. 2 2^5 - x h
◗ lim f ^ x h =- 3 . x "+3
◗ lim f ^ x h =- 4 . x "5
d. ◗ lim ^2x - 1h =- 3 et lim x " -1
x "-1 x 2- 1
3 =+ 3 , donc ^ x + 1h
par somme lim f ^ x h =+ 3 . x "-1 x 2- 1
Livre du professeur - CHAPITRE 2
Limites et fonctions continues
11
3
◗ lim ^2x - 1h =+ 3 et lim
x " + 3 ^ x + 1h
x "+3
= 0 , donc par
Comme
somme lim f ^ x h =+ 3 . x "+3
x "+3
x"0 x 20 +
quotient lim f ^ x h =+ 3 .
x"0 x 20
x"0 x 20
1 1-3 1 - 3x x . 3 # = ◗ Sur @ 0 ; + 3 6 : f ^ x h = 2 x 1 x +x 1+ x 1 = 0 , par somme et produit : Comme lim x "+3 x lim f ^ x h = 0 . x "+3
◗ La courbe représentative de f admet deux asymptotes d’équations respectives x = 0 et y = 0 . ^3x + 1h^ x - 1h 3x2 - 2x - 1 3 ◗ f l^ x h = = . 2 2 ^x + xh ^ x2 - x h2 b. c. f l^ x h est du signe de x - 1 sur @ 0 ; + 3 6 , d’où le tableau de variations de f : x
0
1
f l^ x h
-
+3
0
c. lim ^ x2 + 1h =+ 3 , donc : x "-3
lim
x "-3
x2 + 1 = lim
t "+3
t =+ 3
3 = 0. x2 + 1 x x = . d. ◗ Pour x 2 0 , 1 x+1 1+ x 1 = 0 , et lim x =+ 3 , on en ◗ Comme lim x "+3 x "+3 x x =+ 3 . déduit : lim x "+3 x + 1
donc par quotient : lim
x "-3
lim ^ x2 + 4h =+ 3 , donc :
x "-3
lim
x2 + 4 = lim
t "+3
t =+ 3 ;
2 En multipliant et en divisant f ^ x h par
x2 + 4 + x .
On obtient pour tout réel x : 4 . f ^xh = x2 + 4 + x lim ^ x2 + 4 + x h =+ 3 , x "+3
donc lim f ^ x h = 0 par quotient de limites. x "+3
c
v"c
v2 = lim t = 0+ , c2 t"0 v "+3 donc d’après le quotient des limites on obtient : lim m =+ 3 . donc lim
x "-3
lim f ^ x h = lim ^- 3x 4h =- 3 . x "+3
1-
v"c
◗ lim f ^ x h = lim ^- 3x 4h =- 3 . x "-3
b. ◗ lim g^ x h = lim 2x3 =+ 3 . x "+3
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
t =+ 3
2 65 ◗ lim c1 - v m = 0 , 2
On démontre de même que : lim f ^ x h = lim an x n .
Théorèmes de comparaisons
x "+3
◗ lim g^ x h = lim 2x3 =- 3 . x "-3
66 Démonstration du cours
1 ROC « lim f ^ x h =+ 3 » signifie que pour tout réel
Composition de fonctions 2 63 a. ◗ Pour x 2 0 , x + 5 = 4x + 1
12
t "+3
lim f ^ x h =+ 3 .
x "+3
x "-3
x + 1 = lim
x "-3
Donc lim f ^ x h = lim an x n .
x "-3
x
lim
x "+3
x "-3
a a a1 + 0 n E. f ^ x h = an x n ;1 + n - 1 + f + an x an x an x n - 1 1 Comme lim k = 0 pour tout entier naturel k non x "+3 x nul, on a : a a a1 + 0n E = 1. lim ;1 + n - 1 + f + an x an x an x n - 1 x "+3
x "-3
x "+3
2+
comme lim ^- x h =+ 3 , on a par somme :
62 1 Pour tout réel x non nul, et a ! 0 : n
x "+3
x2 + 5 = lim t =+ 3 . 4x + 1 x "+3 t "+3 b. On a par somme, lim ^ x2 + x + 1h =+ 3 , donc :
◗ lim
x "-3
-1
2 a. ◗
x2 + 5 =+ 3 . x " + 3 4x + 1
+3
f ^xh
x "+3
x "+3
64 1
+
+3
5 x2 = 1 . 1 4 4+ x
Donc par produit : lim
2 ◗ lim ^1 - 3x h = 1 et lim ^ x2 + x h = 0 , donc par x "0
1 = 0 , on a par somme et quotient : x
1+
lim
61 1 Il semble que lim f ^ x h = 0 et lim f ^ x h =+ 3.
lim
x "+3
x "+3
5 m x2 . 1 4+ x
x c1 +
Livre du professeur - CHAPITRE 2
A, il existe un réel B tel que dès que x 2 B, alors f ^ x h 2 A. 2 Pour tout réel A, il existe un réel B tel que dès que x 2 B , alors f ^ x h 2 A. Mais comme g^ x h H f ^ x h , on a g^ x h 2 A . Donc lim g^ x h =+ 3 .
Limites et fonctions continues
x "+3
67 Pour tout réel x, - 1 G sin x G 1 .
Donc x G f ^ x h G x + 2 . lim x =+ 3 , donc lim f ^ x h =+ 3 d’après le théox "+3
rème de minoration.
x "+3
tout réel x, - 1 G sin x G 1, donc x G f ^ x h G 3x2 , lim x2 =+ 3 , donc lim f ^ x h =+ 3 2
x "+3
x "+3
(Théorème de minoration). b. Pour tout réel x, - 1 G cos x G 1 . 3x 3x 3x =- 3 . , lim Donc G f ^xh G 2 4 x "+3 4 Donc lim f ^ x h =- 3 (Théorème de majoration). x "+3
1 1 = lim = 0, x2 x "+3 x donc lim f ^ x h = 0 (Théorème des gendarmes). 71 1 Comme lim
1 =+ 3 , x"0 x
2 lim
x 20
donc lim f ^ x h =+ 3 (Théorème de minoration). x "0
72 a. ◗ lim u^ x h = x "+3
lim v^ x h = 3 ,
x "+3
x "+3
Donc 1 H - cos ^ x h H - 1 , et 3 H 2 - cos ^ x h H 1 . 1 1 Par passage à l’inverse, G G 1. 3 2 - cos ^ x h x x 2 a. Pour tout réel x H 0 , on a : G G x. 3 2 - cos ^ x h x =+ 3 , par le théorème de minoraComme lim x "+3 3 x =+ 3 . tion, on a : lim x " + 3 2 - cos ^ x h b. Pour tout réel x 1 - 1 , x - 1 G x + cos ^ x h G x + 11 0. Donc pour tout réel x 1 - 1 , on a : x + cos ^ x h x+1 . x-1 G G 3 2 - cos ^ x h x+1 =- 3 , par le théorème de majoComme lim x "-3 3 x + cos ^ x h =- 3 . ration, on a : lim x " - 3 2 - cos ^ x h 70 1 Pour tout réel x H 1 , on pose f ^ x h =
x . x+1
1 2 0 , donc la fonction f est croissante ^ x + 1h2 sur 61 ; + 3 6 . f l^ x h =
1
x "+3
donc lim f ^ x h = 3 (Théorème des gendarmes).
69 1 Pour tout réel x, - 1 G cos ^ x h G 1 .
f l^ x h
x "+3
x "+3
68 a. Pour
x
x = 0 (théorème des gendarmes). x ^ x + 1h
Donc lim
+3
◗ lim u^ x h =+ 3 , x "-3
donc lim f ^ x h =+ 3 (Théorème de minoration). x "-3
b. Par exemple : y
f
u
J O
x
I
v
73 a. Par définition, pour tout réel x,
E^ x h G x G E^ x h + 1 . Donc x - 1 G E^ x h . En conséquence x - 1 G E^ x h G x . E^ x h 1 b. Donc pour x 2 0 , 1 G G 1. x x 1 = 0. Comme lim x "+3 x Donc lim f ^ x h = 1 (Théorème des gendarmes). x "+3
+ 1
f ^xh
4 Continuité
1 x G G 1. 2 x+1 2 ◗ x H 0 . D’après ce qui précède : x x x G G x, 2 x+1 x =+ 3 , on a : donc comme lim x "+3 2 x x =+ 3 (théorème de minoration). lim x "+3 x + 1 1 x 1 , ◗ De même G G 2 x x ^ x + 1h x 1 1 = lim = 0. comme lim x "+3 2 x x "+3 x On a donc
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
1 2
74 1 Vrai.
2 Vrai.
3 Faux.
4 Vrai.
75 1 Vrai.
2 Faux.
3 Vrai.
4 Faux.
76 1 Faux.
2 Vrai.
3 Vrai.
4 Vrai.
5 Faux.
Étudier la continuité 77 1 a. Vrai. 2 a. Vrai. 3 6- 3 ; 16 .
Livre du professeur - CHAPITRE 2
b. Faux. b. Vrai.
c. Faux. c. Vrai.
Limites et fonctions continues
13
78 f ^ x h = *
x pour 0 G x G 2 . 2 + 3^ x - 2h pour 2 1 x 1 5
On a f ^2 h = 2 et : lim f ^ x h = lim 62 + 3^ x - 2h@ = 2 . x "2 x 22
x "2
La fonction f est continue en 2. 79 a.
y
1
2 ◗ lim
x
x "-3 x 1- 3
x La fonction f est continue sur R. Z 2 ]] x - 4 si x ! @ - 3 ; - 2 6 , @ 2 ; + 3 6 80 1 f ^ x h = [- x2 + 4 si x ! @ - 2 ; 2 6 . ] 0 pour x = 2 et pour x =- 2 \ y
1 1
x
2 La fonction f est-continue sur @ - 3 ; - 2 6 , @ - 2 ; 2 6 et @ 2 ; + 3 6 comme fonctions polynômes ; elle est aussi continue en - 2 et 2, donc elle est continue sur R. La fonction f n’est pas dérivable en - 2 et 2 (points anguleux). 2 81 1 ◗ Si x ! - 1 , x - 1 = x - 1
x+1 ◗ lim f ^ x h = lim ^ x - 1h =- 2 , donc pour que f x " -1
soit continue en - 1 , il faut m =- 2 . 2 ◗ Pour x différent de 0, -x 1 - x2 + 1 = f ^xh = x 1 + x2 + 1 en utilisant l’expression conjuguée du numérateur. -x ◗ lim f ^ x h = lim c m = 0 , donc pour que f x "0 x " 0 1 + x2 + 1 soit continue en 0, il faut m = 0 . Calculs de limite 82 1 Il semble que
la fonction f admette - 1 comme limite en 1. 2 Pour x2 - 3x + 2 , on a D = 1 ; x1 = 1 et x2 = 2 . Livre du professeur - CHAPITRE 2
x "-3
Donc lim f ^ x h =+ 3 et lim f ^ x h =- 3 .
0 1
0
^ x - 1h =- 4 et lim ^ x + 3h = 0 .
x "-3
1
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
83 1 Pour x ! R \ "- 3 ; 3 , ,
f ^xh =
La fonction f est continue en 0 et sur R. b. y
14
x "1
^ x - 3h^ x - 1h x2 - 4x + 3 x-1 = = . 2x+3 ^ x - 3h^ x + 3h x 9 x-1 1 = . Donc lim f ^ x h = lim + 3 x 3 x "3 x "3
0 1
x " -1
Donc x2 - 3x + 2 = ^ x - 1h^ x - 2h . Donc pour tout réel x ! 1 , f ^ x h = x - 2 . Donc lim f ^ x h = 1 - 2 =- 1 .
x "-3 x 2- 3
La courbe représentative de f admet la droite d’équation x =- 3 comme asymptote. 1 1x-1 x . = ◗ Pour x ! R \ "- 3 ; 3 ; 0 , , f ^ x h = 3 x+3 1+ x 1 = 0 , on a lim f ^ x h = 1 . Comme lim x "+3 x x "+3 La courbe représentative de f admet la droite d’équation y = 1 comme asymptote. 5 1+ x+5 x . = 1 4x + 1 4+ x 1 = 0 , par somme et quotient de Donc comme lim x "+3 x x+5 1 = . limites, on a : lim 4 + 4 x 1 + x" 3 x+5 1 = lim t = . ◗ lim 2 4x + 1 t " 1/4 x "+3 -1 x = pour x 1 0 . b. ◗ 1 x2 + 1 1+ 2 x 1 Donc comme lim 2 = 0 , par somme et quotient de x "-3 x x =- 1 . limites, on a : lim 2 x "-3 x +1 84 a. ◗
1 = 0, 2x + 1 1 m = lim cos t = cos 0 = 1 . donc lim cos c +1 2 x t"0 x" 3 85 a. On a lim
x "-3
b. Pour x ! 0 , on a :
1 r+ rx + 1 x . = 3 2x + 3 2+ x 1 = 0 , par somme et quotient de Donc comme lim x "+3 x rx + 1 r = ; limites, on a : lim 2 x " - 3 2x + 3 donc lim sin c x "-3
Limites et fonctions continues
rx + 1 m = lim sin t = 1 . 2x + 3 r t"
2
Utiliser un tableau 86 1 Vrai.
◗ Pour tout x ! @ - 3 ; 0 6 , f ^ x h 1 1 , donc l’équation f ^ x h = 1 n’admet pas de solution dans @ - 3 ; 0 6 . ◗ Pour tout x ! @ 2 ; + 3 6 , f ^ x h 1 1 , donc l’équation f ^ x h = 1 n’admet pas de solution dans @ 2 ; + 3 6 . ◗ La fonction f est continue et strictement décroissante sur @ 0 ; 2 6 à images dans @ - 3 ; + 3 6 qui contient 1. Donc l’équation f ^ x h = 1 admet une unique solution dans @ 0 ; 2 6 . 2 Faux. L’équation f ^ x h =- 3 admet deux solutions : 2 et un réel de l’intervalle @ - 1 ; 0 6 . 3 Faux. L’image par f de l’intervalle @ 0 ; 4 @ est l’intervalle 6- 3 ; + 3 6 . 4 Faux. 87 ◗ L’image de 6- 2 ; 1 @ par f est 6- 1 ; 1 @ .
◗ L’image de 6- 2 ; 2 @ par f est 6- 1 ; 1 @. ◗ L’image de 6- 3 ; 1 @ par f est 6- 1 ; 2 @.
7
lim f ^ x h =+ 3, , donc
x "+3
l’ensemble-image est R. L’équation f ^ x h = 1 admet au moins une solution.
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
7
3- 2-
x x 1 est définie et dérivable sur R, f l^ x h = x^3x - 2h , d’où le tableau des variations : 2 x 0 +3 -3 3 f l^ x h 0 0 + + -1
+3
f ^xh -3
+
0
-
0
+3 +
0
+3
+3
g^ x h -1 -1 D’après ce tableau l’équation g^ x h = 0 admet exactement trois solutions sur R : la première dans l’intervalle @ - 3 ; 0 @, la seconde égale à 1, la troisième dans l’intervalle 62 ; + 3 6 .
-3
2
-2
+
0
-
0
6
+ 144
9 - 16 b. L’équation f ^ x h = 30 admet une unique solution a sur l’intervalle 6- 3 ; 6 @. c. D’après le tableau, on a 4 1 a 1 5 . d. En utilisant un balayage, on obtient 4,34 1 a 1 4,35 .
x x + 2 est définie et
continue sur 6- 2 ; 2 @. Or f ^- 2h = 0 et f ^2 h = 4 . Comme 0 1 2 1 4 , l’équation f ^ x h = 2 admet au moins une solution sur 6- 2 ; 2 @. 2 La fonction f : x ^ x3 + 1hx2 est définie et continue
91 La fonction f : x
0
-
2
f ^xh
x5 - 5x + 2 est définie et dérivable sur 60 ; 1 @, f l^ x h = 5^ x 4 - 1h 1 0 , donc strictement décroissante sur 60 ; 1 @, à images dans 6- 2 ; 2 @ qui contient 0. Donc l’équation f ^ x h = 0 admet une unique solution dans 60 ; 1 @.
lim f ^ x h =- 3 et
gl^ x h
1
0
-3
16
7
x "-3
x
f l^ x h
89 1 ◗ f ^0 h = 2 ; f ^1 h =- 2 .
sur R,
x 4 - 4x3 + 4x2 - 1 est définie et dérivable sur R, gl^ x h = 4x^ x - 1h^ x - 2h ; d’où le tableau des variations :
x
Théorème des valeurs intermédiaires
7
7
d’où le tableau des variations de f sur 6- 3 ; 6 @ :
◗ L’image de 60 ; 2 6 par f est @ - 3 ; 2 @. ◗ L’image de @ - 3 ; 2 6 par f est @ - 3 ; 2 @. ◗ L’image de @ 2 ; + 3 6 par f est @ - 3 ; 16 . 2 a. L’équation f ^ x h = 0 admet deux solutions. b. L’équation f ^ x h = 1 admet une solution.
90 1 La fonction f : x
92 La fonction g : x
93 a. Pour tout réel x dans 6- 3 ; 6 @ , f l^ x h = 3^ x2 - 4h ;
88 1 ◗ L’image de @ - 3 ; 0 6 par f est @ 1 ; 2 6 .
2 La fonction f : x
D’après ce tableau l’équation f ^ x h = 0 admet une solution unique notée a . Or f ^1 h =- 1 et f ^2 h = 3 . Donc 11 a 1 2 .
-
31 27
94 1 La fonction f : x
7
x3 - 5x est définie et dérivable sur 6- 1 ; 0 @, f l^ x h = 3x2 - 5 1 0 sur cet intervalle, donc la fonction f est strictement décroissante. f ^- 1h = 4 et f ^0 h = 0 , donc l’intervalle-image est 60 ; 4 @ qui contient 3 ; donc l’équation f ^ x h = 3 admet une unique solution a dans l’intervalle 6- 1 ; 0 @. 2
ALGO
Variables : x, y : réels Début x ! - 1 ; y ! x3 - 5x ; TantQue y 2 3 Faire x ! x + 10-2 y ! x3 - 5x FinTantQue ; Afficher ^ x - 0,01 ; x h Fin.
Livre du professeur - CHAPITRE 2
Limites et fonctions continues
15
3 On a le tableau des variations de f ci-dessous :
x
-3
f l^ x h
b
5 3
0
+
-
15 9
10
f ^xh
a
5 3 0
c
+3
+ +3
3 15 -3 9 = L’équation f ^ x h 3 admet trois solutions : a , mais aussi - 2 1 b 1 - 1 et 2 1 c 1 3 . ◗ Pour obtenir une valeur approchée de b , on peut initialiser « x » à - 2 . Il faut transformer la condition dans la boucle Tant Que par : « y 1 3 ». ◗ Pour obtenir une valeur approchée de c , on peut initialiser « x » à 2. Il faut transformer la condition dans la boucle Tant Que par : « y 1 3 ». 3
3
- 10
95 La fonction f , continue sur R, a pour représenta-
tion graphique la courbe ci-dessous. y 0
x
1 y=k
La droite d’équation y = k est parallèle à l’axe des abscisses, donc : ◗ Si k ! @ - 3 ; - 5 6 , @ - 1 ; + 3 6 , l’équation f ^ x h = k admet une unique solution. ◗ Si k ! @ - 5 ; - 16 , l’équation f ^ x h = k admet trois solutions. ◗ Si k =- 5 ou k =- 1 , l’équation f ^ x h = k admet deux solutions. 96 1 En utilisant la courbe donnée, il semble que
l’équation f ^ x h = 0 admette une solution : 1. 2 La fonction f est dérivable sur R et on a : f l^ x h = 6x2 - 12x + 5,96 . Ce polynôme a un discri6 minant D = 0,96 , donc deux racines x1 = 1 et 30 6 , d’où le tableau des variations : x2 = 1 + 30 x f l^ x h
x2
x1
-3 +
0
-
0
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
M
+3 + +3
f ^xh -3 m Avec m . 0,002 et m . 0,002 . Donc l’équation f ^ x h = 0 admet trois racines sur R. La conjecture n’est pas confirmée. 3 a. En développant f ^ x h = ^ x - 1h^ax2 + bx + c h et en identifiant, on obtient a = 2 , b =- 4 et c = 1,96 , donc f ^ x h = ^ x - 1h^2x2 - 4x + 1,96h . 16
Livre du professeur - CHAPITRE 2
b. f ^ x h = 0 + x = 1 ou 2x2 - 4x + 1,96 = 0 . Le discriminant de 2x2 - 4x + 1,96 est 0,32, donc les 2 2 , b = 1+ . solutions sont a = 1 10 10 L’équation f ^ x h = 0 admet trois solutions a, 1 et b. 97 1 f l^ x h = 4x3 + 9x2 + 2 . 2 a. f ll^ x h = 12x2 + 18x = 6x^2x + 3h .
D’où le tableau : x
0
- 3/2
-3
f l^ x h
0
+
-
0
+3 +
35,75
+3
f ^xh -3 2 b. ◗ Sur l’intervalle @ - 3 ; - 3/2 @, la fonction f l est strictement croissante, continue, et d’intervalle-image @ - 3 ; 35,75 @ contenant 0. On en déduit que l’équation f l^ x h = 0 admet une unique solution a sur @ - 3 ; - 3/2 @. ◗ Sur l’intervalle 6- 3/2 ; + 3 6 , le minimum de f l est 2. Donc l’équation f l^ x h = 0 n’admet pas de solution sur cet intervalle. ◗ Finalement, l’équation f l^ x h = 0 admet une unique solution a sur R. Par la calculatrice, a . - 2,3 . c. On en déduit le tableau de signes de f l^ x h sur R : x f l^ x h
-3
a
+3
- 0 +
3 D’où le tableau des variations de f sur R :
x
-3
a
+3 f ^xh
+3 +3
f ^ah
98 1 Le volume V de l’eau versée dans le récipient est
le volume du cylindre de rayon 10 et de hauteur 8 moins le volume de la bille de rayon 4. Soit : 4 2 144 # r # 43 = V = r # 102 # 8 r. 3 3 2 On doit avoir R ! @ 0 ; 10 @ . 3 Soit R le rayon de la nouvelle bille. Le volume « eau + bille » est égal au volume du cylindre de base de rayon 10 et de hauteur 2R, soit : r # 102 # 2R = 200rR . Ce volume est aussi égal à V plus le volume de la nouvelle 2 144 4 bille : r + rR 3 . 3 3 Le rayon R de la nouvelle bille est solution du problème si son rayon R vérifie l’équation : (E) : x3 - 150x + 536 = 0 . 4 On pose f ^ x h = x3 - 150x + 536 . La fonction f est dérivable et f l^ x h = 3^ x2 - 50h , d’où le tableau des variations ci-après.
Limites et fonctions continues
x
0
f l^ x h
4
50
a
-
0
+
10
536
36 0
f ^xh
0
m Avec m . - 171 , donc le problème a une solution a entre 9 et 10. Un balayage donne 9,74 1 a 1 9,75 , c’est-à-dire R . 9,7 cm à 0,1 près.
réel x est donné ci-dessous. x -3 -2
5
5
-1
+3
+3
0
-3
Partie A
des variations :
gl^ x h
1 3 0
+
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
g^ x h
0
-
-3
26 27
-
0
x "0 x 10
1 =- 3 , x
x "0 x 10 ^ 2+
◗ lim x x "0
x h = 0 et lim
x"0 x 20
1 =+ 3 , x
x"0 x 20
g^ x h 1 1 , donc 2x + 1 - 2 m = 3c x 3x 2 est du signe de g^ x h . b. x 0 -3 a 2 a. f l^ x h =
f l^ x h
-
-
0
+3
+
+3
+3
f l^ x h
+3
f ^xh f ^ah
-3 3 a. d^ x h = f ^ x h - h^ x h =
1 = 0, 3 x "-3 x
Comme lim
1 . 3x
lim d^ x h = 0 .
x "-3
De même comme lim
1 Pour tout réel x, gl^ x h = 2x^3x + 1h ; d’où le tableau
x
donc lim f ^ x h =+ 3 par somme de limites. x "-3 1 = 0, ◗ lim ^ x2 + x h =+ 3 et lim x "+3 x "+3 x donc lim f ^ x h =+ 3 par somme de limites.
1 = 0 , lim d^ x h = 0 . 3 x "+3 x x "+3
+3
g^ x h -3
1 = 0, x
donc lim f ^ x h =+ 3 par somme de limites.
+3
3
-2
lim
x "-3
donc lim f ^ x h =- 3 par somme de limites.
+ 0 - 0 + f ^xh 2 a. La courbe admet une asymptote horizontale d’équation y = 1 en - 3 . b. ◗ Pour x ! @ - 3 ; 3 6 on a - 11 f ^ x h 1 1 , donc l’équation f ^ x h = 2 n’admet pas de solution sur l’intervalle @- 3 ; 3 6. ◗ Sur l’intervalle 63 ; 10 @, la fonction f est continue et strictement croissante et l’ensemble des images est 6- 1 ; 3 @ qui contient 2. Donc l’équation f ^ x h = 2 admet une unique solution sur 63 ; 10 @. 3 Les fonctions f et g ont des variations contraires, car f l^ x h gl^ x h =2 . Donc on obtient le tableau : f ^xh
100
x "-3
x "0
99 1 Le signe de f ^ x h suivant les valeurs du nombre
1
x "-3
◗ lim ^ x2 + x h = 0 et lim
Exercices guidés
-3
Partie B 1 ◗ lim ^ x2 + x h = lim x2 =+ 3 et
x "+3
Prépa Bac
x
dans cet intervalle ; donc l’équation g^ x h = 0 admet sur R une unique solution. ◗ Comme g^0,65h 1 0 et g^0,66h 2 0 , on a : 0,65 G a G 0,66 . 3 Si x ! @ - 3 ; a 6 , alors g^ x h 1 0 et si x ! @ a ; + 3 6 , alors g^ x h 2 0 .
+3
On peut en déduire que les courbes et sont asymptotes au voisinage de - 3 et de + 3 . b. ◗ Si x 1 0 , alors d^ x h 1 0 ; donc la courbe est sous la courbe . ◗ Si x 2 0, alors d^ x h 2 0 ; donc la courbe est au-dessus de la courbe . 4 y
+ +3
-1 -3 2 ◗ Sur @ - 3 ; 0 @ , g^ x h 1 0 , l’équation g^ x h = 0 n’admet pas de solution dans cet intervalle. ◗ Sur 60 ; + 3 6 la fonction g est continue et strictement croissante à images dans 6- 1 ; + 3 6 qui contient 0, donc l’équation g^ x h = 0 admet une unique solution a Livre du professeur - CHAPITRE 2
1 0
1
x
Limites et fonctions continues
17
101
Partie A 1 L’ensemble de définition de f est R\ "1 , . 2 La courbe admet la droite d’équation y = 1 comme asymptote horizontale en + 3 et en - 3 et la droite 0 d’équation x = 1 comme asymptote verticale. La courbe admet une tangente horizontale en 1 1 A a- ; - k . 2 3 1 1 3 a. lim = 0 et lim 2 = 0. x " + 3 ^ x - 1h x "+3 x - 1 Donc lim f ^ x h = a , donc a = 1 .
Comme la fonction f est décroissante sur 60 ; 1 @, et s’an1 nule en a n ,on a a n G . n 1 4 D’après les questions précédentes, 0 G a n G . n 1 = 0 , le théorème des gendarmes Comme lim n "+3 n permet d’affirmer que la suite ^a nh converge vers 0.
Exercices d’entraînement 103
x "+3
b. ◗ f ^0 h = 0 , donc 1 - b + c = 0 , soit - b + c =- 1 . 1 b c 1 1 + =- , ◗ f a- k =- , donc 1 + 9 3 3 2 3 2 4 2 4 4 - b + c =- . soit : 3 9 3 ◗ Après résolution du système, a = 4 et b = 3 .
1 Faux, car f ^0 h =- 2 . 2 Faux, car - 2 est le minimum de f sur R. 3 Vrai. 4 Faux, car la fonction f est décroissante sur 6 4 ; 9 @ par
exemple. 5 Faux, car les limites de f en - 3 et en + 3 sont infinies. 1 6 Faux, car lim = 0. x " + 3 f ^xh
Partie B
- 2^2x + 1h qui est du signe de ^ x - 1h3 - 2^2x + 1h^ x - 1h , ce qui justifie le tableau des variations donné. 2 ◗ f l^0 h = 2 et f ^0 h = 0 , donc la tangente D à à l’origine a pour équation y = 2x . ^2x - 5hx2 ◗ On a d^ x h = f ^ x h - 2x =. ^ x - 1h2 5 et x ! 1 , alors d^ x h H 0 , donc la courbe – si x 1 2 est au-dessus de la droite D ; 5 alors d^ x h 1 0 , donc la courbe est en – si x 2 2 dessous de la droite D ; 5 alors d^ x h = 0 , donc la courbe coupe la – si x = 2 droite D . y 3 1 f l^ x h =
1 0 1
x
104
1 c.
105
Partie A
2 c.
1 P l^ x h = 6x2 - 6x = 6x^ x - 1h .
Comme lim P^ x h =- 3 et lim P^ x h =+ 3 , on a le x "-3
x "+3
tableau des variations suivant : x P l^ x h P^ x h
^ f nhl^ x h = 3x2 - 2n 1 0, car 0 G x G 1 . La fonction f n est continue et strictement décroissante sur 60 ; 1 @ et l’ensemble des images est 62 - 2n ; 1 @, qui contient 0. Donc l’équation f n ^ x h = 0 admet une unique solution a n dans 60 ; 1 @. 2 Par balayage : 0,254 1 a2 1 0,255 et 0,167 1 a3 1 0,168 . 1 1 - n3 3 On a f a k = . Donc pour tout entier n H 2 , n n3 1 f a k1 0. n 18
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1 Pour tout entier n H 2 ,
Livre du professeur - CHAPITRE 2
1
0
-3
0
+
-
+3
0
+
-1
+3 -2
-3
2 ◗ Sur l’intervalle @ - 3 ; 1 @ , le maximum de P est - 1. Donc l’équation P^ x h = 0 n’a pas de solution sur @ - 3 ; 1 @. ◗ Sur l’intervalle 61 ; + 3 6 , la fonction P est strictement croissante et continue, d’intervalle-image 6- 2 ; + 3 6 contenant 0 . Alors l’équation P^ x h = 0 admet une unique solution sur 61 ; + 3 6 ◗ Conclusion : l’équation P^ x h = 0 admet une unique solution a sur R. Comme P^1,6h =- 0,488 (négatif ) et P^1,7h = 0,156 (positif ) , on a : 1,6 1 a 1 1,7 . 3 D’après le tableau de variations de P, on a :
x 102
3 c.
-3
P^ x h
a
+3
- 0 +
Partie B 1 Pour tout réel x 2 1 : -^1 + x3h - ^1 - x h^3x2h P^ x h = . 2 3 ^1 + x h ^1 + x3h2 Donc f l^ x h est du signe de P^ x h . D’où : f l^ x h =
x
-1
f l^ x h f ^xh
Limites et fonctions continues
-
a 0
+3 +
1 -1 x , on a : 1 + x2 x lim f ^ x h = 0 .
2 Comme pour x ! 0 , f ^ x h =
x "+3
Comme lim ^1 - x h = 2 et lim ^1 + x3h = 0+ , x "-1 x 2- 1
x "-1 x 2- 1
lim f ^ x h =+ 3 .
x "-1 x 2- 1
On en déduit que admet une asymptote horizontale d’équation y = 0 en + 3 , et une asymptote verticale d’équation x =- 1 . 3 ◗ 1 : y = f l^0 h^ x - 0h + f ^0 h . -1 1 =- 1 et f ^0 h = = 1 , une Comme f l^0 h = 1 1 équation de 1 est y =- x + 1 . ◗ Pour tout réel x 2 - 1 , on a : ^ x - 1hx3 , qui est négatif sur f ^ x h - ^- x + 1h = x3 + 1 @ 0 ; 16 , positif sur @ - 1 ; 0 6 et sur @ 1 ; + 3 6 , et nul en 0 et en 1. On en déduit que la courbe est en dessous de la droite 1sur @ 0 ; 16 , et au-dessus de la droite 1 sur @ - 1 ; 0 6 et sur @ 1 ; + 3 6 . 4 a. 2 : y = f l^1 h^ x - 1h + f ^1 h . -2 1 =Comme f l^1 h = et f ^1 h = 0 , une équa4 2 1 tion de 1est y =- ^ x - 1h . 2 b. Pour tout réel x 2 - 1 , on a : 1 1 1 - m f ^ x h - ^1 - x h = ^1 - x hc 2 2 1 + x3 3 ^1 - x h^1 - x h = . 2^1 + x3h Or ^1 - x h^ x2 + x + 1h = 1 - x3 . ^1 - x h2 ^ x2 + x + 1h 1 . Donc f ^ x h - ^1 - x h = 2 2^1 + x3h c. Pour x2 + x + 1 , on a D =- 3 négatif. Donc pour tout réel x, x2 + x + 12 0 . On en déduit que pour tout réel x 2 - 1 , 1 f ^ x h - ^1 - x h H 0 . 2 Ainsi la courbe est au-dessus de la droite 2 sur @- 1 ; + 3 6. y 5
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1 2
1 A B 0
106
x
1
Partie A
1 gl^ x h = 12x2 - 3 = 3^4x2 - 1h .
Comme lim g^ x h =- 3 et lim g^ x h =+ 3 , on a le x "-3
x
-3
-
gl^ x h g^ x h
1 2
1 2
0
+
+3
0
-
+
-7
+3 -9
-3
2 ◗ Sur l’intervalle @ - 3 ; 1/2 @ , le maximum de g est - 7. Donc l’équation g^ x h = 0 n’a pas de solution sur @ - 3 ; 1/2 @. ◗ Sur l’intervalle 61/2 ; + 3 6 , la fonction g est strictement croissante et continue, d’intervalle-image 6- 9 ; + 3 6 contenant 0. Alors l’équation g^ x h = 0 admet une unique solution sur 61/2 ; + 3 6 . ◗ Conclusion : l’équation g^ x h = 0 admet une unique solution a sur R. Comme g^1,45h . - 0,155 (négatif ) et g^1,46h . 0,068 (positif ), on a : 1,45 1 a 1 1,46 . 3 D’après le tableau de variations de g, on a :
x
-3
g^ x h
-
Partie B
a 0
+3 +
1 3 x 1 a. Comme pour x ! 0 , f ^ x h = x , on a : 1 4- 2 x x =+ 3 . lim f ^ x h = lim x "+3 x "+3 4 1+
9 b. Comme lim ^4x2 - 1h = 0+ et lim ^1 + x3h = , 8 x " 1 /2 x " 1 /2 x 2 1 /2
x 2 1 /2
on a :
lim f ^ x h =+ 3 .
x "-1 x 2- 1
On en déduit que la courbe admet une asymptote 1 verticale d’équation x = . 2 1 2 a. Sur C ; + 3 9, 2 x g^ x h x^4x3 - 3x - 8h = , f l^ x h = 2 2 ^4x - 1h ^4x2 - 1h2 donc du signe de g^ x h . b. On a le tableau des variations de f suivant : a +3 1 x 2 0 + f l^ x h +3 +3 f ^xh m 3+ a 1 3a = c. Pour démontrer que , on calcule : 8 4a2 - 1 8^a3 + 1h - 3a^4a2 - 1h = 8a3 + 8 - 12a3 + 3a =- 4a3 + 3a + 8 . Or par définition de a , g^ah = 4a3 - 3a - 8 = 0 . Donc 8^a3 + 1h - 3a^4a2 - 1h = 0 . On en déduit que 8^a3 + 1h = 3a^4a2 - 1h , soit :
x "+3
tableau de variations ci-après :
Livre du professeur - CHAPITRE 2
f ^ah =
a3 + 1 3a = . 28 4a 1
Limites et fonctions continues
19
Partie C 1 a. Il semble que la courbe soit au-dessus de la 1 droite sur C ; + 3 9 . 2 1 b. Pour tout réel x 2 , il semble que la distance MN, 2 lorsque x tend vers + 3 , tende vers 0. x x+4 2 On pose d^ x h = f ^ x h = . 4 4^4x2 - 1h 1 ◗ Pour tout réel x 2 , d^ x h 1 0 . Donc la courbe est 2 1 au-dessus de la droite sur C ; + 3 9 . 2 J N 4 K 1+ x 1O # O= 0. ◗ lim d^ x h = lim K x x "+3 x "+3 K 4 1 - 1 O c m 2 x 4 L P Donc les deux courbes sont asymptotes en + 3 . 107
1 Pour x différent de 2 et de 0, on a :
7 4 + 2m 2x x . f ^xh = 2 1x 1 1 = 0 et lim 2 = 0 , on a : ◗ Comme lim x "+3 x x "+3 x 7 4 c1 - 2x + 2 m x = 1. lim 2 x "+3 1x Donc lim f ^ x h = lim - 2x =- 3 . ◗ On a de même lim f ^ x h =+ 3 . x "-3
2 ◗ lim ^- 2x x "2
7x - 8h =- 2 et lim ^ x - 2h = 0- . x "2 x 12
Donc lim f ^ x h =+ 3 .
x "3
La courbe est asymptote à la droite D en + 3 . 108
1 Pour tout réel x ! 1 , on a :
P^ x h - 2x3 - 3x2 - 1 = 3 . ^ x3 - 1h2 ^ x - 1h2 En posant P^ x h =- 2x3 - 3x2 - 1 . 2 a. Pour tout réel x, f l^ x h =- 6x2 - 6x =- 6x^ x + 1h , qui s’annule en 0 et - 1 . D’où le tableau des variations : 0 x +3 -3 -1 f l^ x h =
P^ x h
x "+3
2+
-2 1 0, x-2 donc la courbe est en dessous de la droite D . -2 = 0, c. Comme lim x x "+3 - 2 lim 6 f ^ x h - ^- 2x + 3h@ = 0 .
P l^ x h
- 2x c1 -
x "+3
◗ Pour tout réel x appartenant à @ 2 ; + 3 6 ,
-2
1
-3
f l^ x h
+3
0
+
3 +
+3
0
+3 -
-5
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
f ^xh -3 -3 3 4 a. Pour tout réel x ! 2 , on a : - 2x2 + 7x - 8 - ^- 2x + 3h f ^ x h - ^- 2x + 3h = x-2 -2 = . x-2 -2 b. ◗ Pour tout réel x appartenant à @ - 3 ; 2 6 , 2 0, x-2 donc la courbe est au-dessus de la droite D . 20
-3
P^ x h
2
Livre du professeur - CHAPITRE 2
-3
b. ◗ P admet un maximum égal à - 1 sur @ - 1 ; + 3 6 , donc l’équation P^ x h = 0 n’admet pas de solution dans cet intervalle. ◗ Sur @ - 3 ; - 16 , P est continue et strictement décroissante à images dans @ - 2 ; + 3 6 qui contient 0 ; donc l’équation P^ x h = 0 admet une unique solution a dans @ - 3 ; - 16 . ◗ Conclusion : L’équation P^ x h = 0 admet une unique solution a dans . ◗ - 1,68 1 a 1 - 1,67 . c. D’après le tableau de variations de P, on a :
◗ De même, lim f ^ x h =- 3 . La courbe admet une asymptote d’équation x = 2 . 3 Pour tout réel x appartenant à @ - 3 ; 2 6 , @ 2 ; + 3 6 , - 2x2 + 8x - 6 qui est du signe de f l^ x h = ^ x - 2h2 - 2x2 + 8x - 6 , qui admet deux racines 1 et 3, d’où le tableau des variations de f :
-
-1
x
x "2 x 22
0
+
+3
x "2 x 12
x
0
-
+3 a + 0 -
3 f l^ x h est du signe de P^ x h , d’où le tableau des varia-
tions : x
-3
f l^ x h
1
a +
0
+3
-
-
f ^ah
+3
f ^xh 0
-3
0
4 a. La droite T a pour équation y =- x - 1 .
x3 ^ x + 1h . ^ x - 1h^ x2 + x + 1h d^ x h est du signe de x^ x + 1h^ x - 1h . ◗ Pour x ! @ - 3 ; 0 6 , @ 0 ; 16 , d^ x h 1 0 . Donc la courbe est sous la droite T. ◗ Pour x ! @ - 1 ; 0 6 , @ 1 ; + 3 6 , d^ x h 2 0 . Donc la courbe est au-dessus de la droite T. 1 5 La droite a pour équation y =- ^ x + 1h . 2 On pose : ^ x + 1h2 ^ x2 - x + 1h 1 . k^ x h = f ^ x h + ^ x + 1h = 2 2^ x - 1h^ x2 + x + 1h b. Soit d^ x h = f ^ x h - ^- x - 1h =
Limites et fonctions continues
k^ x h est du signe ^ x - 1h , donc : ◗ si x 1 1 , alors k^ x h 1 0 et la courbe est en dessous de la courbe ; ◗ si x 2 1 , alors k^ x h 2 0 et la courbe est au-dessus de la courbe . 6 y T 1 0 x 1
109
3 La distance est minimum pour a . 4 a. En utilisant le tableau ci-dessus, les réels cherchés
a et b vérifient : f l^ah 1 0 et f l^b h 2 0 , et b - a G e . b. L’algorithme complété est ci-dessous : ALGO
Variables : e, a, b, m : réels ; Début : Entrer^ e h ; a ! 0 ; b ! 1 ; TantQue b - a 2 e Faire a+b m! 2 l Si f ^mh 1 0 Alors a ! m ; Sinon b ! m ; FinSi ; FinTantQue ; Afficher^a ; bh ; Fin.
1 Pour tout réel x ! 0 ,
1 =- f ^ x h . ^- x h2 Donc la fonction f est impaire et la courbe f admet l’origine O comme centre de symétrie. 2 ◗ Pour tout réel x 2 0 , g^ x h = x2 + 1 , donc : lim g^ x h = 1 . f ^- x h =- x
1+
x "0
1 ◗ lim 2 = 0 , donc lim x "+3 x x "+3
1+
1 = 1. x2
Donc lim g^ x h =+ 3 . x "+3
3 Pour tout réel x de @ 0 ; + 3 6 , gl^ x h =
x
2 0, x 1 donc la fonction g est croissante sur @ 0 ; + 3 6 . 4 Pour tout réel x 2 0 , g^ x h - 1 x2 + 1 - 1 x = = , 2+ + x x 1 1 x g^ x h - 1 = 0. donc lim x x "0 La courbe g au voisinage du point A^0 ; 1h est très proche de la droite d’équation y = 1 . y 5 1
2+
c. On obtient : e a b m 0,01 0 1 Entrée dans la boucle « Tant Que » 0,5 1 0,5 0,5 0,75 0,75 0,5 0,625 0,625 0,5625 0,625 0,5625 0,5625 0,593 75 0,593 75 0,578 125 0,593 75 0,578 125 0,585 937 5 0,593 75 0,585 937 5 Sortie de la boucle « TantQue ». Affichage de a = 0,585 937 5 et b = 0,593 75
f l^mh
- 0,5 1,1875 . 0,23 . - 0,16 . 0,02 . - 0,07 . - 0,02
g
A 0
Problèmes
x
1
111
110
2
2
1 f ^ x h = ^ x - 1h + ^ x2 - 0h .
Donc f ^ x h = x 4 + x2 - 2x + 1 . 2 a. ◗ Pour tout réel x, f l^ x h = 4x3 + 2x - 2 . ◗ Pour tout réel x, f ll^ x h = 12x2 + 2 2 0 . b. ◗ lim f l^ x h =+ 3 et lim f l^ x h - 3 .
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x "+3
x "-3
◗ La fonction f l est continue et strictement croissante sur R, d’intervalle-image R qui contient 0. Donc l’équation f l^ x h = 0 admet une unique solution a dans R. ◗ f l^0 h =- 2 et f l^1 h = 4 , donc 0 1 a 1 1 . c. x -3 a +3 0 + f l^ x h +3 +3 f ^xh f ^ah
a. Vrai, car la fonction f est impaire. x = f ^0 h = 0 . b. Vrai, lim x "0 x + 1 f ^ x h - f ^0 h 1 = lim = 1. c. Vrai, lim x-0 x "0 x "0 x + 1 x = 1. d. Vrai, lim f ^ x h = lim x "+3 x + 1 x "+3 La droite d’équation y = 1 est asymptote à la courbe en + 3 . x =- 1 . e. Vrai, lim f ^ x h = lim +1 x x "-3 x "+3 La droite d’équation y =- 1 est asymptote à la courbe en - 3 . 112
1 ◗
lim f ^ x h = lim
x "+3
x "+3
◗ lim f ^ x h = lim x "-3
Livre du professeur - CHAPITRE 2
x "-3
x4 =+ 3 . x3
x4 =- 3 . x3
Limites et fonctions continues
21
2 a. Par réduction au même dénominateur et identification, on obtient : 1 2 2 . f ^xh = x x x+1 x-1 2 2 1 =+ 3 . m = 0 et lim b. ◗ lim c x x+1 x-1 x"0 x x "0
x "0 x 10
114
La droite d’équation x = 0 est asymptote à la courbe . 2 1 2 =+ 3 . m = 1 et lim ◗ lim c x + x x 1 x 1 x" 1 x" 1 x 2- 1 Donc lim f ^ x h =- 3 . x "-1 x 2- 1
De même lim f ^ x h =+ 3 . x "-1 x 1- 1
La droite d’équation x =- 1 est asymptote à la courbe . 2 1 2 =+ 3 . m =- 1 et lim ◗ lim c x x x+1 x "1 x - 1 x "1 x 21
Donc lim f ^ x h =- 3 . x "1 x 21
De même lim f ^ x h =+ 3 . x "1 x 11
La droite d’équation x = 1 est asymptote à la courbe . 3 Pour tout réel x de D, f l^ x h 2 0 , donc la fonction f est croissante sur chaque intervalle de définition. D’où le tableau des variations : 0 1 x -3 -1 +3 +3 -3
+3
+3
+3
-3 -3 1 2 2 4 a. d^ x h = f ^ x h - x =. x x+1 x-1 1 1 1 = 0 , lim = 0 et lim = 0. lim + x x 1 x 1 x "+3 x "+3 x "+3 Donc lim d^ x h = 0 . x "+3
x "-3
b. Les courbes et sont asymptotes en - 3 et en + 3.
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1 Le polynôme x2 + xa + a2 a un discriminant
égal à - 3a2 , négatif. Donc il ne s’annule pas si a est non nul. Donc l’ensemble de définition de f est : D = @- 3 ; a 6 , @ a ; + 3 6. ^1 - a2hx2 + ax + a2 2 Pour tout réel x de D, f ^ x h = ^ x - ah^ x2 + ax + a2h 1 ◗ Si a = 0 , alors f ^ x h = qui n’admet pas de limite x finie en 0. ◗ Si a ! 0 , lim ^ x - ah^ x2 + ax + a2h = 0 , x "a
lim ^^1 - a2hx2 + ax + a2h = a2 ^3 - a2h .
x "a
2
Il est donc nécessaire que a = 3 , soit a =- 3 ou a= 3. Livre du professeur - CHAPITRE 2
- 2x + 3 . x2 - 3 x + 3
3 . 3
3 , alors f ^ x h =
- 2x - 3 . x 3x+3 2+
3 . 3
1 Pour que la courbe présente une asymptote
verticale, il faut que la limite de f ^ x h lorsque x tend vers b soit infinie. Donc comme lim ^ax2 - 9h = ab2 - 9 , on doit avoir x "b ab2 - 9 ! 0 . Cette condition nécessaire est suffisante. Donc la courbe admet une asymptote verticale en b pour les couples ^a ; bh tels que ab2 - 9 ! 0 . 2 On a lim f ^ x h = lim ax . Cette limite doit être x "+3
x "+3
finie, donc on doit avoir a = 0 , pour que la courbe présente une asymptote horizontale en + 3 ou en - 3 . Cette condition nécessaire est suffisante. Donc la courbe admet une asymptote horizontale en + 3 et en - 3 pour les couples ^0 ; bh . x2 - 9 3 a. f est définie sur R\ "2 , par f ^ x h = . x-2 ◗ lim f ^ x h = lim x =- 3 . x "-3
x "-3
◗ lim ^ x2 - 9h =- 5 et lim ^ x - 2h = 0- , donc : x "2
x "2 x 12
lim f ^ x h =+ 3 .
x "2 x 12
◗ lim ^ x2 - 9h =- 5 et lim ^ x - 2h = 0+ , donc : x "2
x "2 x 22
lim f ^ x h =- 3 .
-3
De même, lim d^ x h = 0 .
22
◗ Si a =
f ^xh =
x" 3
De même, lim f ^ x h =+ 3 .
et :
lim
x "- 3
Donc lim f ^ x h =-
x"0 x 20
113
Donc
x 20
Donc lim f ^ x h =- 3 .
f ^xh
◗ Si a =- 3 , alors f ^ x h =
x "2 x 22
◗ lim f ^ x h = lim x =+ 3 . x "+3
x "+3
b. Pour tout réel x de R\ "2 , , f l^ x h =
x2 - 4x + 9 2 0. ^ x - 2h2
Pour le numérateur, D =- 20 . D’où le tableau : x -3 f l^ x h
2
+3
+
+ +3
+3
f ^xh -3
-3
5 . x-2 ◗ Si x 1 2 alors d^ x h 2 0 , donc la courbe est au-dessus de la droite D . ◗ Si x 2 2 alors d^ x h 1 0 , donc la courbe est en dessous de la droite D . c. On pose d^ x h = f ^ x h - ^ x + 2h =-
115
1 ◗
lim f ^ x h = lim x =- 3 .
x "-3
x "-3
◗ lim f ^ x h = lim 8 x =+ 3 . x "+3
Limites et fonctions continues
x "+3
2 f ^1 h = 1 et lim f ^ x h = lim x = 1 .
119
1 a. Tout polynôme de degré 3 est continu et d’intervalle-image R, car lim x3 =- 3 et lim x3 =+ 3.
x "1
x "1 x 11
Donc la fonction f est continue en 1. ◗ f ^4h = 16 et lim f ^ x h = lim 8 x = 16 .
x "-3
x"4
x"4 x 24
Donc la fonction f est continue en 4. ◗ Comme ailleurs elle est composée de fonctions usuelles, la fonction f est continue sur R. 116
2 ◗ si 0 G x 1 1 , f ^ x h = 0 + ^ x - 0h = x2 ; 2 ◗ si 1 G x 1 2 , f ^ x h = 1 + ^ x - 1h = x2 - 2x + 2 ; 2 ◗ si x = 2 , f ^2 h = 2 + ^2 - 2h = 2 . y
7
x
x "1
120
a. Le dessin suggère que : ◗ pour tout réel x 2 0 , - x G f ^ x h G x ; ◗ pour tout réel x 1 0 , x G f ^ x h G - x . b. Comme lim x = 0 et lim - x = 0 , d’après le théo-
La fonction f est continue en 1. ◗ lim f ^ x h = lim ^ x2 - 2x + 2h = 2 = f ^2 h . x "2
x "2 x 12
x "0
La fonction f est continue en 2. La fonction f est donc continue sur 60 ; 2 @. 117
admettre une solution dans @ 0 ; + 3 6 . 1 2 a. Pour tout x 2 0 , gl^ x h = 1 + 2 2 0 . x x 0 a + + gl^ x h
x "0
+3 +3
0
-3 b. La fonction g est continue et strictement croissante sur @ 0 ; + 3 6 , d’intervalle-image R qui contient 0. Donc l’équation g^ x h = 0 admet une unique solution a . Comme cette équation est équivalente à (E), l’équation (E) admet une unique solution. Par balayage, 2,411 a 1 2,42 . 3 (E) + x2 - 2x - 1 = 0 qui est une équation du second degré de discriminant 8 et qui admet deux solutions 1 + 2 et 1 - 2 . Donc a = 1 + 2 .
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
1 ◗ Sur @ 0 ; + 3 6 , f l^ x h =-
1 - 3x2 1 0 . x2 1 =+ 3 , donc lim f ^ x h =+ 3 . ◗ lim x"0 x x"0 118
x 20
x 20 3
◗ lim - x =- 3 . x "+3
x "0
rème des gendarmes lim f ^ x h = 0 .
1 Au vu du graphique, l’équation (E) semble
g^ x h
x "+3
et f ^- 3h =- 6 , f ^0 h = 3 et f ^2 h =- 1 . D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f ^ x h = 0 admet au moins trois solutions, et donc exactement trois solutions : une dans 6- 3 ; 0 @, une dans 60 ; 2 @, et une dans 62 ; + 3 6 . b. L’équation x3 + 1 = 0 n’admet qu’une seule solution dans R, car la fonction x x3 + 1 est strictement croissante sur R.
2 ◗ lim f ^ x h = lim x2 = 1 = f ^1 h . x "1 x 11
x "+3
x "-3
1 1
x "-3
2 Tout polynôme de degré n pair ne s’annule pas obliga-
toirement au moins une fois sur R : en effet la parabole d’équation y = x2 + 1 ne coupe pas l’axe des abscisses. 3 a. On pose f ^ x h = x3 - 6x + 3 . Comme lim f ^ x h =- 3 et lim f ^ x h =+ 3 ,
1 La fonction f est définie sur 60 ; 2 @ par :
0
x "+3
Donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il s’annule au moins une fois sur R. b. On raisonne de la même façon pour un polynôme de degré n impair, car lim x n =- 3 et lim x n =+ 3 .
La fonction f est continue et strictement décroissante sur @ 0 ; + 3 6 , d’intervalle-image R. Donc l’équation f ^ x h = 1 admet une unique solution. 2 On a 0,724 1 a 1 0,725 .
121
Partie A
1 Un point M^ x ; y h appartient à f si, et seulement si :
x H 0 ; y H 0 et y = 1 - 1 - x2 , soit y - 1 =- 1 - x2 , 2 donc en élevant au carré x2 + ^ y - 1h = 1 . 2 On en déduit que f est un quart de cercle de centre A^0 ; 1h et de rayon 1. 3 L’aire est égale à l’aire du carré de côté 1 cm moins l’aire du quart de cercle défini ci-dessus soit : r = 1 - cm2. 4 Partie B 1 Pour tout réel x de 60 ; 1 @ , l’aire du rectangle OHMP est x # f ^ x h . Donc on doit avoir : r x^1 - 1 - x2 h = 1 - . 4 r Donc : x 1 - x2 = x - 1 + . 4 Et comme les deux membres sont positifs sur 60 ; 1 @, en élevant au carré, on obtient l’équation : r 2 x2 ^1 - x2h = a x - 1 + k sur l’intervalle 60 ; 1 @. 4 r 3 2 a. On a gl^ x h =- 4x + 2 et gll^ x h =- 12x2 1 0. 2 r r ◗ gl^0 h = 2 2 0 et gl^1 h =- 2 10 ; 2 2 ◗ gl est continue et strictement décroissante sur 60 ; 1 @ , r r d’intervalle-image 9- 2 ; 2 - C qui contient 0. 2 2 Donc l’équation gl^ x h = 0 admet une unique solution x0 sur 60 ; 1 @. ◗ 0,4 1 x0 1 0,5 .
Livre du professeur - CHAPITRE 2
Limites et fonctions continues
23
b.
x 0 gl^ x h g^ x h
x0 0 g^ x0h
+
1 -
a
b 2
^r - 4h . 0,05 , 16 r2 - r + 2 . - 0,5 . g^ x0h . 0,2 et b = 16 c. Sur 60 ; x0 @, g^ x h 2 0 . Sur 6 x0 ; 1 @ la fonction g est strictement décroissante et continue, d’intervalle-image 6b ; g^ x0h@ qui contient 0. Donc l’équation g^ x h = 0 admet une unique solution a sur 60 ; 1 @. On a 0,787 1 a 1 0,788 . r 2 3 g^ x h = 0 équivaut à x2 ^1 - x2h = a x - 1 + k. 4 Avec a =
Donc l’aire du rectangle OHMP est égale à l’aire si, et seulement si, x = a . 122
1 a. Sur 60 ; + 3 6 , l’équation f ^ x h = y
+x=
y. Donc la fonction réciproque de f est la fonction définie sur 60 ; + 3 6 par y y. b. La courbe de f et de g sont symétriques par rapport à la droite D d’équation y = x , car : M^ x ; y h ! f + y = x2 + x = y + Ml^ y ; x h ! g. 2 a. La fonction f est représentée graphiquement par la courbe ci-dessous : y
7
3 a. Sur 60 ; 16 , on a :
x3 x x f ^xh x 1 x 1 x = = = . x x x 1-x f ^xh x = lim = 0. Donc : lim 1-x x "0 x x "0 La fonction f est dérivable en 0 et f l^0 h = 0 . b. La fonction f est strictement croissante sur 60 ; 16 , car les fonctions f et g ont même sens de variation. 4 lim g^ x h =+ 3 , donc lim f ^ x h = lim t =+ 3 . x "1
x "1
t "+3
La courbe admet pour asymptote la droite d’équation x = 1. 5 y
1 0
1
x
Partie B 1 Voir la figure ci dessous.
1 0
1
x
La fonction f est continue et strictement croissante sur R, d’intervalle-image @ - 1 ; 16 . Donc pour tout réel y ! @ - 1 ; 16 , l’équation f ^ x h = y admet une unique solution dans R. x =y b. ◗ Si y ! 60 ; 16 , alors x H 0 . L’équation 1+ x y x = y , soit x = équivaut à . 1+x 1-y x =y ◗ Si y ! @ - 1 ; 0 @, alors x G 0 . L’équation 1+ x y x = y , soit x = équivaut à . 1-x 1+y ◗ La fonction réciproque de la fonction f est définie sur y @ - 1 ; 16 par : y . 1 y
7
123
Partie A
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1 Si x ! 60 ; 16 , alors g^ x h H 0 . Donc f est bien définie
sur 60 ; 16 .
x2 ^3 - 2x h 2 0. ^ x - 1h2 D’où le tableau des variations de g : x 0 gl^ x h + 2 Pour x ! 60 ; 16 , gl^ x h =
g^ x h 24
1 +3
0 Livre du professeur - CHAPITRE 2
2 Le cercle C a pour centre le point de coordonnées ^0,5 ; 0h et pour rayon 0,5. Donc son équation est : 1 2 1 a x - k + y2 = , soit x2 + y2 - x = 0 . 2 4 3 a. La droite ^OAh a pour équation y = tx . b. ◗ Les coordonnées de M vérifient les équations du cercle C et de la droite ^OAh . Soit : Z ]] x = 1 2 y = tx + * 2 + [ 1 t t , car x ! 0 . x + y2 - x = 0 ]] y = 1 + t2 \ 1 t Donc M c ; m. 1 + t2 1 + t2
On a AN = MO , donc si N^ xN , yN h on a : Z ]] xN - 1 =- 1 2 1+t . [ ]] yN - t =- t 2 1+t \ t2 t3 m. Donc N c ; 2 1+t 1 + t2
Limites et fonctions continues
4 En reportant les coordonnées de N, on obtient que les coordonnées de N vérifient l’équation : x^ x2 + y2h - y2 = 0 . 5 M^ x ; y h appartient à la cissoïde de Dioclès si, et x3 seulement si, y2 = , soit y = f ^ x h ou y =- f ^ x h. 1-x La courbe est une partie de la cissoïde. L’autre partie est la symétrique de par rapport à l’axe des abscisses. 124
1 ◗
150
y = 130
100
Partie A lim g^ x h = lim x3 =+ 3 .
x "+3
x "+3
◗ Sur 60 ; + 3 6 , gl^ x h = 3x2 - 1200 = 3^ x2 - 400h . D’où le tableau : x
0
gl^ x h
-
20
a
0
+
- 100
a +3 - 0 +
g^ x h
x "0
2
+
et lim x = 0 . x "0
Donc lim f ^ x h =+ 3 (opérations sur les limites). x "0
◗ lim ^ x + 50h =+ 3 , x "+3
1200x + 50 1200 = 0. m = lim 2 x x "+3 x "+3 x Donc lim f ^ x h =+ 3 (opérations sur les limites). lim c
x "+3
2 Pour tout x de @ 0 ; + 3 6 , on a :
g^ x h 1200x + 100 = . 3 x x3 3 f l^ x h est du signe de g^ x h sur @ 0 ; + 3 6 , d’où le tableau des variations de f : f l^ x h = 1 -
x
0
gl^ x h
a -
0
+3
+3 + +3
g^ x h f ^ah
x
5 Graphiquement l’équation f ^ x h = 130 admet 20 et
C^ x h 1200 + 50 = x + 50 + = f ^ x h. x x2 D’après la partie B, pour avoir un coût moyen minimum, il faut produire entre 3 400 et 3 500 objets. 2 Le nombre minimum et le nombre maximum d’objets que l’entreprise doit fabriquer pour être rentable est obtenu en résolvant l’inéquation CM ^ x h G 130 , soit une production comprise entre 2 000 et 6 000 objets. 1 CM ^ x h =
125
Partie B 1 ◗ lim ^ x + 50h = 50 , lim ^1200x + 50h = 0 x "0
50
Partie C
tement croissante sur 620 ; 40 @, d’intervalle-image 6- 16 100 ; 15 900 @ qui contient 0. Donc l’équation g^ x h = 0 admet une solution unique a dans l’intervalle 620 ; 40 @. On a 34 1 a 1 35 à l’aide d’un balayage. 0
10
60 comme solutions.
0
2 g^40h = 15 900 . La fonction g est continue et stric-
x
10 0
- 16 100
3
100
+3
+3
g^ x h
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y
4
1 Pour tout entier n H 2 , pour tout x ! 60 ; 1 @ :
f n ^ x h - f n + 1 ^ x h = x n ^1 - x h + x H 0 . Donc la courbe n est au-dessus de la courbe n + 1 sur 60 ; 1 @ . 2 Pour tout entier n H 2 , pour tout x ! 60 ; 1 @ : ^ f nhl^ x h = n^ x n - 1 - 1h G 0 . La fonction f n est donc décroissante et continue sur 60 ; 1 @, d’intervalle-image 62 - n ; 1 @ qui contient 0. Donc l’équation f n ^ x h = 0 admet une unique solution an dans 60 ; 1 @. 3 D’après la question 1 , f n ^an + 1 h - f n + 1 ^an + 1 h H 0 . Donc f n ^an + 1h H 0 . Or la fonction f n est décroissante sur 60 ; 1 @ et f n ^anh = 0 . On en déduit que an + 1 1 an . La suite de terme général an est décroissante et minorée par 0, donc elle converge. 126
1 a. Pour n H 1 , pour tout x ! 60 ; + 3 6 ,
nx n - 1 G 0 . La fonction f n est décois^ f nhl^ x h =^1 + x nh2 sante sur 60 ; + 3 6 . 1 b. Pour tout n H 1 , f n ^0 h = 1 et f n ^1 h = . 2 1 Les courbes n passent toutes par A^0 ; 1h et B a1 ; k . 2 c. Soient deux entiers n et m non nuls avec n 1 m . x n ^ x m - n - 1h . f n ^xh - f m ^xh = ^1 + x nh^1 + x mh
Livre du professeur - CHAPITRE 2
Limites et fonctions continues
25
◗ si x ! 60 ; 1 @, ^ x m - n - 1h G 0 alors f n ^ x h - f m ^ x h G 0 . Donc la courbe n est sous la courbe msur 60 ; 1 @ ; ◗ si x ! 61 ; + 3 6 , ^ x m - n - 1h H 0 , alors : f n ^ x h - f m ^ x h H 0 , donc la courbe n est au-dessus de la courbe msur 61 ; + 3 6 . 2 a. On conjecture que : ◗ si x ! 60 ; 16 , alors lim f n^ x h = 1 ; n "+3
◗ si x ! @ 1 ; + 3 6 , alors lim f n^ x h = 0 ; n "+3
◗ si x = 1 , f n^1 h est une suite constante égale à 0,5. b. ◗ Si x ! 60 ; 16 , alors la suite géométrique de raison x converge vers 0. Donc : lim x n = 0 , donc n "+3
lim f n^ x h = 1 (opérations sur les limites) ;
n "+3
◗ si x ! @ 1 ; + 3 6 , alors lim x n =+ 3
et lim f n^ x h = 0 ;
n "+3
n "+3
◗ si x = 1 , f n^1 h est une suite constante égale à 0,5. Z ]1 si x ! 60 ; 16 ]1 3 a. f ^ x h = [ si x = 1 . 2 ]] 0 si x ! @ 1 ; + 3 6 \ b. La fonction f n’est pas continue en 1. 127
Sachant que 2 cos a cos b = cos ^a + bh + cos ^a - bh, on a : f n + 1 ^cos x h = cos ^n + 1hx + cos ^n - 1hx - cos ^n - 1hx. Soit f n + 1 ^cos x h = cos ^n + 1hx Conclusion : pour tout entier n, f n ^cos x h = cos ^nx h . b. Comme x ! 6- 1 ; 1 @, on pose x = cos t f n ^ x h = 0 + x = cos t et f n ^cos t h = 0 . r r +k Or fn ^cos t h = 0 + cos nt = 0 + t = où k 2n n est un entier relatif quelconque. r kr + m , où k est un Donc f n ^ x h = 0 + x = cos c 2n n entier relatif. r r + k k , où k est Les solutions sont les n réels cos a 2n n un entier variant de 0 à n - 1 .
1 a. ◗ f 2^ x h = 2x f 1^ x h - f 0^ x h = 2x2 - 1 ;
Prendre des initiatives 128
Les fonctions f doivent vérifier : pour tout réel x, f ^ x h = ^ f ^ x hh2 , soit f ^ x h^1 - f ^ x hh = 0 . Le problème a deux solutions : les fonctions constantes égales à 0 et à 1, car elles doivent être continues sur R. Sinon, on peut en construire d’autres, par exemple : y
◗ f 3^ x h = 2x f 2^ x h - f 1^ x h = 4x3 - 3x ; ◗ f 4^ x h = 2x f 3^ x h - f 2^ x h = 8x
4-
b. f 5^ x h = 2x f 4^ x h - f 3^ x h = 16x
1;
20x
3+
8x
5-
1
2+
2
0
x
On pose g^ x h = f ^ x h - x sur 60 ; 1 @. L’équation f ^ x h = x + g^ x h = 0 . La fonction g est continue sur 60 ; 1 @ avec g^0 h = f ^0 h H 0 et g^1 h = f ^1 h - 1 G 0 , car f prend ses valeurs dans l’intervalle 60 ; 1 @. Donc g^1 h G 0 G g^0 h . L’équation g^ x h = 0 admet au moins une solution dans 60 ; 1 @. Il en est donc de même pour l’équation f ^ x h = x .
2
4 0
1 3
5
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
1
129
1 1
Il semble que l’équation f n^ x h = 0 admette exactement n solutions dans 6- 1 ; 1 @. 3 a. Démontrons pour tout entier n la propriété Pn : « f n ^cos x h = cos ^nx h ». Initialisation : P0 : « f 0 ^cos x h = cos 0 = 1 » : vrai. Hérédité : Démontrons que si Pn est vraie alors Pn + 1 : « f n + 1 ^cos x h = cos ^n + 1hx » est aussi vraie . On a f n + 1 ^cos x h = 2 cos x fn ^cos x h - f n - 1 ^cos x h en tenant compte de l’hypothèse de récurrence : f n + 1 ^cos x h = 2 cos x cos nx - cos ^n - 1hx . 26
0
5x .
Livre du professeur - CHAPITRE 2
130
◗ Pour tout réel x, - 1 G sin x G 1 ; donc : x - 1 G x - sin x G x + 1 . ◗ Pour tout réel x, - 1 G cos x G 1 , donc : 2x - 1 G 2x + cos x G 2x + 1 . Comme x tend vers + 3 , en raisonnant sur @ 1 ; + 3 6 , les réels ci-dessus peuvent être considérés comme strictement positifs. Donc : 1 1 1 . G G 2x + 1 2x + cos x 2x - 1 Et en multipliant membres à membres ces réels strictement positifs : x-1 x - sin x x+1 . G G 2x + 1 2x + cos x 2x - 1 1 x-1 x = lim = ; ◗ lim 2 x " + 3 2x + 1 x " + 3 2x 1 x+1 x = . ◗ lim lim 2 2 x 2 x 1 x "+3 x "+3 1 D’après le théorème des gendarmes, lim f ^ x h = . 2 x "+3
Limites et fonctions continues
Pistes pour l’accompagnement personnalisé
136
1 En multipliant f ^ x h et en divisant f ^ x h par x2 + x + 1 + x , on obtient que pour tout réel x,
x+1 . x2 + x + 1 + x 2 En mettant « x » en facteur au numérateur et au dénominateur, puis en simplifiant on obtient pour tout réel x 2 0 : 1 1+ x . f ^xh = 1 1 + 2 +1 1+ x x f ^xh =
Revoir les outils de base 131
a. La suite u diverge vers + 3 . b. La suite u converge vers 3. c. La suite u n’a pas de limite. d. La suite u converge vers 0 (suite géométrique de raison 0,5 inférieure à 1 en valeur absolue). 132
1 b.
2 c.
1 1 = 0 , lim 2 = 0 . x x "+3 x 1 Donc lim a1 + k = 1 x x "+3 lim
3 c.
x "+3
Les savoir-faire du chapitre 133
1 Les solutions de l’inéquation
3 1 10-4 1 + x2
sont les réels de l’ensemble : @ - 3 ; - 3 # 10 4 - 1 6 , @ 3 # 10 4 - 1 ; + 3 6 . 3 2 a. f ^ x h + 2 = . + 1 x2 D’après la question 1 , pour tout réel x 2 3 # 10 4 - 1 , on a : 0 G f ^ x h + 2 G 10-4 . b. D’une façon générale, pour tout entier naturel n, il existe un réel a tel que x 2 a , on a : 0 G f ^ x h + 2 G 10-n . Donc lim f ^ x h =- 2 . x "+3
c. La droite d’équation y =- 2 est asymptote à la courbe représentative de f en + 3 . 134
1
lim ^2x
x "+3
2-
2
3x h = lim 2x =+ 3 . x "+3
2x 2x 2 lim = lim 2 2 = 0. x "-3 x + 4 x "-3 x x "2 x 12
x "2 x 12
◗ lim x2 = 4 et lim ^ x2 - 4h = 0+ , x "2 x 22
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x "+3
donc lim f ^ x h = lim
t "+3
t =+ 3 .
x 2 lim 2 =+ 3 . x " 1 ^ x - 1h Donc lim f ^ x h = lim t =+ 3 . t "+3
r 3 lim = 0. x" 3 x
138
1 On a : y2 - x2 = 16 + y = x2 + 16 ou y =- x2 + 16 . Donc est la réunion de la courbe représentative de f et de la courbe 0 représentative de - f . 2 ◗ La fonction x x2 + 16 est décroissante sur @ - 3 ; 0 @, donc la fonction f est décroissante sur @ - 3 ; 0 @, car la fonction racine carrée est croissante. ◗ La fonction x x2 + 16 est croissante sur 60 ; + 3 6, donc la fonction f est croissante sur 60 ; + 3 6 , car la fonction racine carrée est croissante. ◗ lim ^ x2 + 16h =+ 3 , donc lim f ^ x h =+ 3 . x "+3
-3
0
+3
+3 +3
f ^xh 4 16 . x2 + 16 + x Comme lim ^ x2 + 16 + x h =+ 3 , on a : 3 On a f ^ x h - x = x "+3
lim ^ f ^ x h - x h = 0 ,
x "+3
Donc lim f ^ x h = lim sin t = 0 . x "-3
Mathématiques au fil du temps
x "-3
lim ^ x2 - 3x h = lim x2 =+ 3 ,
x "1
x "+3
x
x "+3
x "+3
x "-3
d. Vrai. e. Faux. Pour tout x ! @ 3 ; + 3 6 , f ^ x h ! @ 1 ; 4 6 .
◗ De même lim f ^ x h =+ 3 .
x "2 x 22
1
a. Vrai, car l’ensemble des images est R. b. Vrai, car sur @ - 3 ; 16 , f ^ x h 2 0 et sur @ a ; + 3 6 , f ^ x h 2 0 (avec f ^ah = 0 ) et l’intervalle @ 1 ; a 6 a pour ensemble-image @ - 3 ; 0 6 . c. Vrai. Il s’agit des droites d’équations respectives y = 0 ( lim f ^ x h = 0 ) et y = 1 ( lim f ^ x h = 1 ).
x "+3
donc lim f ^ x h =+ 3.
135
137
7
donc lim f ^ x h =- 3 .
x "2
1+
x "+3
7
3 ◗ lim x2 = 4 et lim ^ x2 - 4h = 0- , x "2
1 1 + 2 + 1m = 2 . x x 1 (opération sur les limites). Donc lim f ^ x h = 2 x "+3
et lim c
t"0
la droite D d’équation y = x est asymptote à en + 3 . Livre du professeur - CHAPITRE 2
Limites et fonctions continues
27
4
3 Pour tout x 2 0 , v l^ x h =
x
12 800 2 0. ^ x + 80h2
0
+3
v l^ x h
+ 160
v^ x h
1 0
0
1 140
1 La fonction u est définie sur
u^ ph =
y = –x
p
@ f ; + 3 6 par :
pf f2 ; ul^ ph =1 0. p-f ^ p - f h2 f
+3
ul^ ph
+3
En lien avec les sciences 139
u^ ph f
1 Si on appelle d la distance entre les villes A et
d . B, le temps, en heures, mis pour aller de A à B est 80 d Celui pour aller de B vers A est . Le temps mis pour le x 2d parcours total est . v^ x h d d 2d + = , Donc tout réel x 2 0 : 80 x v^ x h 160x 1 1 2 + = . Donc v^ x h = . soit 80 x x + 80 v^ x h 2 ◗ lim v^ x h = 0 . x "0
◗ lim v^ x h = lim
x "+3
160x = 160 . x
lim u^ ph = f et lim ^ p - f h = 0+ ,
p "+3
28
Livre du professeur - CHAPITRE 2
p" f p2 f
donc lim u^ ph =+ 3 . p" f p2 f
Vers le supérieur 141
a. Faux. b. Vrai. c. Faux. d. Vrai. e. Faux.
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
x "+3
2
Limites et fonctions continues
3
C H A P I T R E
Compléments sur les fonctions numériques Introduction 1. Programme Contenus Calculs de dérivées : compléments
Capacités attendues • Calculer les dérivées des fonctions : x
7
x ^u^ x hhn , n entier relatif non nul ; • Calculer la dérivée d’une fonction x f ^ax + bh où f est une fonction dérivable, a et b deux nombres réels.
7
À partir de ces exemples, on met en évidence une expression unifiée de la dérivée de la fonction x f ^u^ x hh , mais sa connaissance n’est pas une capacité attendue.
7
u^ x h ;
7
Commentaires
Les techniques de calcul sont à travailler mais ne doivent pas être un frein à la résolution de problèmes. On a recours, si besoin à un logiciel de calcul formel.
AP Exemples de fonctions discontinues, ou à dérivées non continues. • Connaître la dérivée des fonctions sinus et On fait le lien entre le nombre dérivé de la cosinus. fonction sinus en 0 et la limite en 0 de sin x . x • Connaître quelques propriétés de ces fonctions, notamment parité et périodicité. En dehors des exemples étudiés, aucun développement n’est attendu sur les notions • Connaître les représentations graphiques de périodicité et de parité. de ces fonctions. On fait le lien entre les résultats obtenus en utilisant le cercle trigonométrique et les représentations graphiques des fonctions x cos x et x sin x .
Fonctions sinus et cosinus
7
7
E [SPC] Ondes progressives sinusoïdales, oscillateur mécanique.
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2. Intentions des auteurs On a regroupé dans un même chapitre ces deux paragraphes du programme qui, traités individuellement, n’auraient pas donnés assez de matière pour les activités de découverte et les travaux pratiques. Ils peuvent aisément être partagés en deux petits chapitres dans les progressions que les professeurs établiront, en traitant de préférence les fonctions trigonométriques avant les compléments sur la dérivation pour disposer des fonctions sin et cos dans l’utilisation des nouvelles formules de dérivation.
• on introduit les notions de périodicité et de parité, sans trop insister comme le demandent les commentaires du programme ; • on donne les formules de dérivation au programme exceptées celles concernant les fonctions exp et ln qui seront vues dans les chapitres 4 et 5. Les exercices ont pour but d’assimiler les nouvelles formules (sans oublier de voir des cas de non dérivabilité) et de réinvestir les notions déjà vues concernant les fonctions (tangentes, limites, études de variations).
Du point de vue mathématique : • on étudie les fonctions sinus et cosinus. La dérivabilité en zéro fait l’objet d’une activité de découverte et la dérivabilité sur R est traitée en exercice ; Livre du professeur - CHAPITRE 3
Compléments sur les fonctions numériques
1
Partir d’un bon pied Objectif Réactiver les connaissances du cours de Première concernant la dérivation et la trigonométrie et revoir la notion de composée de deux fonctions rencontrées dans le chapitre 2. 2 b.
3 b .
A
1 c.
B
1 Vrai ; g^0 h = f ^3 # 0 - 2h = f ^- 2h .
4 a.
5 c.
2
2 Faux ; g^0 h = f ^- 2h = ^- 2h = 4 . 3 Vrai ; voir calcul du 2 . 2
4 Faux ; g^ x h = ^3x - 2h = 9x2 - 12x + 4 . 5 Vrai ; voir calcul du 4 . 6 Vrai ; voir calcul du 4 . 7 Faux ; gl^ x h = 18x - 12 . 8 Faux ; voir calcul du 7 . 9 Vrai ; 6^3x - 2h = 18x - 12 .
C 1 a. Le point A est associé aux réels x + k # 2r avec k entier relatif. b. Le point B est associé au réel - x , C au réel x + r , D au réel r - x . c. cos ^- x h = cos x ; cos ^r + x h =- cos x ; cos ^r - x h =- cos x ; sin ^- x h =- sin x ; sin ^r + x h =- sin x ; sin ^r - x h = sin x . 2 a. Vrai.
e. Faux.
b. Vrai. f. Vrai.
c. Faux. g. Faux.
d. Faux. h. Vrai.
Découvrir 1 Variations des fonctions sinus et cosinus Activité
Objectif Introduire les fonctions sinus et cosinus et utiliser le cercle trigonométrique pour visualiser leurs variations sur l’intervalle 6- r ; r @. 2 Quand M varie de la position K à la position L, C varie
de - 1 à 0 et S de 0 à - 1 . r On en déduit que sur l’intervalle ;- r ; - 2 E la fonction cosinus est croissante et la fonction sinus est décroissante.
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
3 En faisant le même type d’observations sur les trois autres intervalles, on obtient les tableaux de variations des fonctions cosinus et sinus sur 6- r ; r @ suivants :
x
cos x x sin x 2
0 1
-r
r
-1
-1 -r
-
r 2
0
r 2 1
-1 Livre du professeur - CHAPITRE 3
2 Dérivabilité de sinus et cosinus en zéro Activité
r 0
Objectif Étudier la dérivabilité en zéro des fonctions sinus et cosinus. 1 a. On applique le théorème de Thalès :
OC CM = , C étant le projeté orthogonal de M sur ^OI h. OI IT CM # OI sin x # 1 sin x = = Donc IT = . OC cos x cos x b. Aire de OIM G aire du secteur OIM G aire de OIT sin x ; + 0,5 # 1 # sin x G 2x # 12 G 0,5 # 1 # cos x sin x . en multipliant par 2, on obtient : sin x G x G cos x En divisant par x 2 0 l’inéquation sin x G x , on obtient : sin x G 1 ; x sin x cos x , en multipliant par H 0 l’inéquation x G cos x x sin x on obtient : cos x G . x r sin x Finalement, pour tout x de E 0 ; 2 E, cos x G G 1 . (1) x sin ^0 + hh - sin 0 sin h = ; l’encadrement (1) et c. h h sin h = 1. le théorème des gendarmes donnent : lim h"0 h Donc sinus est dérivable en zéro et sinl^0 h = 1 . - sin2 h cos h - 1 cos2 h - 1 2 a. = = h h^cos h + 1h h^cos h + 1h - sin h sin h # = . h cos h + 1 cos ^0 + hh - cos 0 cos h - 1 = ; avec l’égalité précéh h dente et le résultat de 1 c. on obtient : cos h - 1 = 1 # 0 = 0. lim h h"0 Donc, cosinus est dérivable en zéro et cosl^0 h = 0 .
3 Notion de parité pour les fonctions Activité
Objectif Introduire la notion de parité par une approche graphique. 1 a. Le programme a conclu « F EST PAIRE » pour les
fonctions x 3 et x x2 , x x ,x cos x . b. Les quatre courbes sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées. 2 a. Le programme a conclu « F EST IMPAIRE » pour les 1 x, x et x fonctions x sin x . x b. Les trois courbes sont symétriques par rapport à l’origine du repère.
7 7
7
7
7
7
7
4 Vers la dérivée de x 7 f (ax + b) Activité
Objectif Conjecturer la formule de dérivation de x Cas 1 1 g = R .
Compléments sur les fonctions numériques
7
f ^ax + bh .
2 g^ x h = 9x2 - 30x + 25 ; gl^ x h = 18x - 30
(g est dérivable sur R comme somme de fonctions dérivables sur R). 3 f l^ x h = 2x ; - 3f l^- 3x + 5h =- 3 # 2^- 3x + 5h = 18x - 30 : on retrouve gl^ x h . Cas 2 1 1 g = R \ '- 1 . 2
1 2 (g est dérivable sur R\ '- 2 1 ^2x + 1h2 comme inverse de fonction ne s’annulant pas sur 1 R\ '- 2 1 ). 1 3 f ^ x h =- 2 ; x -1 2 : 2f l^2x + 1h = 2 # 2 =^2x + 1h ^2x + 1h2 on retrouve gl^ x h . Pour le cas général, on conjecture que : gl^ x h = a # f l^ax + bh . 2 gl^ x h =-
2
1 f ^ x h = sin x ; f l^ x h = cos x . Tangente en 0 : y = x . 2 f ^ x h = x + cos x ; f l^ x h = 1 - sin x . Tangente en 0 : y = x + 1 . 3 f ^ x h = sin x + cos x ; f l^ x h = cos x - sin x . r r + 1. Tangente en : y =- x + 2 2
3
1 f est dérivable sur R comme sommes de fonctions dérivables sur R. 2 f l^ x h =- sin x - cos x .
x f l^ x h f ^xh
Objectif Utilisation de la quantité conjuguée pour étudier une limite indéterminée avec une expression comportant des racines carrées.
4
1 a. La calculatrice affiche 0.
f ^0 + hh - f ^0 h h2 + 1 - 1 = ; h h quand h tend vers zéro, numérateur et dénominateur tendent vers zéro. h2 + 1 - 1 h2 + 1 - 1 h = = ; c. 2+ + h 2+ + h ^ 1 1 h h 1 1 h quand h tend vers zéro, le numérateur tend vers 0 et le dénominateur vers 2, donc le quotient tend vers 0 : f l^0 h = 0 . f ^1 + hh - f ^1 h h2 + 2h + 2 - 2 2 = h h h^h + 2h h2 + 2h + 2 - 2 = = 2 2 h^ h + 2h + 2 + 2 h h^ h + 2h + 2 + 2 h + h 2 = ; h2 + 2h + 2 + 2 quand h tend vers zéro, le numérateur tend vers 2 et le dénominateur vers 2 2 , donc le quotient tend vers 1 1 : . f l^1 h = 2 2 La calculatrice affiche 0,707 qui est une valeur appro1 . chée de 2 b.
Exercices d’application Savoir faire Étudier une fonction
trigonométrique
3r 4
0
5 Utilisation de la quantité conjuguée Activité
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
f l^ x h = 1 - sin x H 0 , car, pour tout réel x, sin x G 1 ; donc f est croissante sur R. gl^ x h = 1 + cos x H 0 , car, pour tout réel x, cos x H - 1 ; donc g est croissante sur R.
-
0
7r 4 +
0
1
2r -
2 1
- 2
hl^ x h = cos x # cos x + sin x # ^- sin x h = cos2 x - sin2 x = cos ^2x h .
Savoir faire Utiliser les nouvelles
formules de dérivation
1 1 = . 2 x+1 x+1 b. f l^ x h = 2r # ^- sin ^2rx hh =- 2r sin ^2rx h . 5 a. f l^ x h = 2 #
6
f l^ x h = 2 # ^- sin x h # cos x =- 2 sin x cos x et gl^ x h =- 2 cos x sin x . 7 1 La fonction cosinus est dérivable sur R, donc f
est dérivable sur R ; f l^ x h =- 3 sin x cos2 x . 2 5 - x2 est strictement positif sur I, donc f est déri-x . vable sur I ; f l^ x h = 5 - x2 3 La fonction x 0,5x2 - 7 est dérivable sur R, donc f 3 est dérivable sur R ; f l^ x h = 4x^0,5x2 - 7h . 4 La fonction x 2x + 1 est dérivable et ne s’annule - 12 . pas sur I, donc f est dérivable sur I ; f l^ x h = ^2x + 1h4 cos x 8 hl^ x h = , donc hl^0 h = 0,5 . 2 1 + sin x On obtient : y = 0,5x + 1 .
7
7
9
3
1 f l^ x h = 4^2x + 1h^ x2 + x - 1h .
2 f l^ x h =
- sin x . 2 2 + cos x
10 f ^ x h = ^ x2 - x + 1h3 , donc f est dérivable sur R et 2
pour tout réel x : f l^ x h = 3^2x - 1h^ x2 - x + 1h .
1
f et g sont dérivables sur R comme sommes de fonctions dérivables sur R. Livre du professeur - CHAPITRE 3
2
On étudie le signe de la dérivée : ^ x2 - x + 1h est positif, car c’est un carré. Compléments sur les fonctions numériques
3
La dérivée est donc du signe de ^2x - 1h , c’est-à-dire négative pour x G 0,5 et positive pour x H 0,5 . La fonction f est donc décroissante sur @ - 3 ; 0,5 @ et croissante sur 60,5 ; + 3 6 ; elle admet bien un minimum 3 3 27 en x = 0,5 qui vaut f ^0,5h = 0,753 = c 4 m = . 64
Travaux pratiques 11 Le navigateur distrait
f l^ x h =
1 3
Faire le point 2+
x 1 5x - 3 x 1 = 5 x2 + 1 15 x2 + 1
16x2 - 9 = ; 15 x2 + 1 ^5x + 3 x2 + 1 h x H 0 , donc f l^ x h est du signe de 16x2 - 9 . 3 Les racines de 16x2 - 9 sont ! , donc f est décrois4 3 3 sante sur ;0 ; 4 E et croissante sur ; 4 ; 10 E .
Conclusion : Robinson doit rejoindre la côte à 750 m de A. 3 34 , donc il mettra 2 heures et Remarque : f c 4 m = 15 16 minutes pour rejoindre la maison. 12 Étude de la fonction tangente
r + nr avec n ! Z . 2 sin x 2 Si n est pair, tan ^ x + nrh = = tan x , et si n est cos x - sin x sin x = = tan x . impair, ^tan x + nrh = - cos x cos x - sin x =- tan x . tan ^- x h = cos x On en déduit que tan est périodique de période r et impaire. r 3 Sur ;0 ; ; 2 les fonctions sinus et cosinus sont dérivables et la fonction cosinus ne s’annule pas. cos2 x + sin2 x 1 = = 1 + tan2 x H 0 , tanl^ x h = cos2 x cos2 x r donc tan est croissante sur ;0 ; 2 ; . r 4 lim tan x =+ 3 , donc la droite d’équation x = 2 r 1 cos x ! 0
x"
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
x1
+x!
2 r 2
est asymptote à la courbe de la fonction tangente. r 5 Le tracé sur ;0 ; ; 2 permet d’obtenir le tracé sur r E; 0 E par symétrie par rapport à l’origine. Puis on 2 translate par les translations de vecteurs krOI avec k ! Z.
1 f ^ t h = 1,5 cos ^4rt h .
32,5 3,25 s . 10 3 a. g^ t h = 1,5 cos ^4r^t + 3,25hh = 1,5 cos ^4rt + 13rh =- 1,5 cos ^4rt h . 2 r0 =
Livre du professeur - CHAPITRE 3
17 1 b. 5 c.
18 1 Vrai. 5 Faux.
2 c. 6 a.
3 a.
4 c.
2 Faux. 6 Vrai.
3 Vrai.
4 Vrai.
Exercices d’application 1 Fonctions cosinus et sinus 19 1 Vrai.
2 Vrai.
3 Faux.
4 Vrai.
20 1 a.
2 b.
3 a.
4 b.
21 1 b.
2 c.
3 c.
4 a.
5 b.
22 1 f l^ x h =- 1 - 2 sin x . 2
x
1 . 2 x 3 f l^ x h =- 3 sin x - 2 cos x + 1 . 2 f l^ x h = cos x -
23 1 f l^ x h = 2x cos x - x2 sin x .
2 f l^ x h = ^3x2 + 4x h sin x + ^ x3 + 2x2 + 1h cos x . 3 f l^ x h =
1
2 x
x sin x .
cos x -
24 1 f l^ x h = sin x . 2
cos x + x sin x x cos 2 f l^ x h = . cos2 x 4 cos x 3 f l^ x h = . ^2 + sin x h2 25 1 - 1 G sin x G 1 ,
donc x2 + 3x - 1 G f ^ x h G x2 + 3x + 1 . 2 lim f ^ x h =+ 3 , car lim x2 + 3x - 1 =+ 3 ; de x "+3
même en - 3 .
x "+3
26 1 Pour tout x 2 3 , on a :
x2 - 1 G x2 + cos x G x2 + 1 ; 1 x2 + cos x x donc , car x - 3 2 0 . G x-3 x-3 21 x 2 On a lim = lim x =+ 3 . 3 x x "+3 x "+3 Par un théorème de comparaison, on a : x2 + cos x =+ 3 . lim x-3 x "+3 2-
13 Le mouvement du bouchon
4
b. Lorsque cos ^4rt h = 1 , donc lorsque t = 0,5k avec k entier et k H 7 . 4 a. v^ t h = 6r sin ^4rt h . b. v^ t h = 0 + 4rt = kr + t = 0,25k avec k entier et k H 13 .
Compléments sur les fonctions numériques
27 1 cos x H - 1 , donc f ^ x h H x - 1 ;
donc lim f ^ x h =+ 3 .
34 1
lim f ^ x h =- 3 et lim f ^ x h =+ 3 .
r 2 r x 22
x "-3
2 - 1 G sin x G 1 et x 2 0 , donc -
donc lim f ^ x h = 0 .
1 1 G f ^xh G ; x x
x "+3
3 sin x G 1 , donc f ^ x h G 1 -
x
x ;
x x"0 x 2 sin x 2 2 f ^xh = + , donc lim f ^ x h = . 3 3 x 3 x"0 sin x 1 3 f ^xh = # , donc lim f ^ x h = 1 . x cos x x"0
x =- 3 . cos x
3 lim
x "0 x 10
x2 + sin x =- 3 . x sin x
30 1 lim cos x - 1 = lim cos x - cos 0 = cosl^0 h x"0
x
=- sin 0 = 0 . 2 lim
r x" 2
cos x . r x2
r et on obtient : 2 r r cos a + h k - cos 2 2 = cosla r k =- sin r =- 1. lim 2 2 h h"0
On pose h = x -
31 1 lim sin ^3x h = 1 .
3x 1 sin x 2 lim = . 5 x " 0 5x x"0
x "-3
et lim g^ x h =+ 3 . x "+3
+ cos x = 0 + x =- 32r
r r 3r ou x = ou x = . 2 2 2 3r 3 Sur ;- 2r ; E 2 , cos x H 0 , donc g^ x h G f ^ x h . 3r r Sur ;- 2 ; - 2 E , cos x G 0 , donc g^ x h H f ^ x h . r r Sur ;- 2 ; 2 E , cos x H 0 , donc g^ x h G f ^ x h . r 3r Sur ; 2 ; 2 E , cos x G 0 , donc g^ x h H f ^ x h . 3r Sur ; 2 ; 2r E , cos x H 0 , donc g^ x h G f ^ x h . r
36 1 MN f 2 p.
0
2 Tout point de la courbe de la fonction sinus est
l’image d’un point de la courbe de la fonction cosinus r par la translation de vecteur u f 2 p. 0 2 Dérivée de x
7 f (ax + b)
3 lim
sin ^2x h sin ^2x h 2 2 # = lim = . 3x 2x 3 3 x "0
37 1 Faux.
2 Faux.
3 Vrai.
4 Vrai.
4 lim
sin ^3x h sin ^3x h 2x 3 3 # # = lim = . 2 2 3x sin ^2x h sin ^2x h x"0
38 1 Vrai.
2 Faux.
3 Faux.
4 Vrai.
39 1 b.
2 a.
3 b.
4 a.
40 1 c.
2 c.
3 c.
4 a.
41 1 a.
2 a. et c.
3 b.
x"0
x"0
32 1 Vrai, car sin r = 1 .
2 2 2 2 Faux, car f ^ x h = 0 + = kr + x = avec k x kr entier non nul. 3 Vrai, car - x G f ^ x h G x si x H 0 et x G f ^ x h G - x si x G 0. 2 sin X 4 Vrai, en posant X = = 2. , lim f ^ x h = lim 2 x x "+3 X X "0 ©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
+
ou x =-
x 20
x
r 2
35 1 x2 - 1 G g^ x h , donc lim g^ x h =+ 3
2 f ^ x h = g^ x h
29 1 lim x - 1 =+ 3 . x " 0 sin x
x"0
r 2
f ^xh
28 1 f ^ x h = sin x + 1 , donc lim f ^ x h = 2 .
r 2 r x2 2
-
f l^ x h
x "+3
x"
x"
2 f l^ x h = tan2 x H 0 . 3
donc lim f ^ x h =- 3 .
2 lim
r 2 r x1 2
x "-
33 1 f ^- x h =- x - sin x =- f ^ x h . 2 x - 1 G f ^xh G x + 1 ,
lim f ^ x h =- 3 .
donc
lim f ^ x h =+ 3 et
x "+3
x "-3
3 f l^ x h = 1 + cos x . 4 f l^ x h = 0
+ cos x =- 1 + x = r + k # 2r avec
k ! Z. 5 cos x H - 1 , donc f est croissante sur R. Livre du professeur - CHAPITRE 3
5 b.
42 1 On conjecture que f admet un maximum en 2
valant 0,5. 2 Pour x 2 1 : x - x-1 x - 2^ x - 1h 2 x-1 = f l^ x h = 2 x 2x2 x - 1 -x + 2 = 2 ; 2x x - 1 f l^ x h est du signe de - x + 2 , donc f est croissante sur 61 ; 2 @ et décroissante sur 62 ; + 3 6 . Ainsi, f admet un maximum en 2 valant f ^2 h = 0,5 . Compléments sur les fonctions numériques
5
43 1 Pour h 2 0 ,
^1 + hh h f ^1 + hh - f ^1 h 1+h = = tend vers h h h + 3 quand h tend vers 0 : f n’est pas dérivable en 1. 2 Pour h 2 0 , f ^1 + hh - f ^1 h h h = = h tend vers 0 quand h h h tend vers 0 : f est dérivable en 1 et f l^1 h = 0 .
Impossible, car a 2 0 . 3r Donc b = et a = 2 . On obtient finalement : 4 3r k. f ^ x h = sin a 2 x + 4 50
3 2 f l^0 h =- 1 f ^0 h =
sin ^a + hh - sin a sin a cosh + sinhcos a - sin a = h h cosh - 1 sinh = sin a # + cos a # . h h 2 Avec les résultats de l’activité 2 page 92, sin ^a + hh - sin a = sin a # 0 + cos a # 1 = cos a . lim h h"0 3 cos x = sin a x +
r k, 2
donc cosl^ x h = cos a x +
51 1 f ^ x + rh = cos a2x - r + 2r k = cos a2x - r k
3
r k =- sin x . 2
= f ^ x h. 2 a. f l^ x h =- 2 sin a2x -
b. f l^ x h = 0 + 2x -
1 4 2 f est dérivable sur R\ % / et f l^ x h = . 2 ^1 - 2x h3 1 3 f est dérivable sur @ 2 ; + 3 6 et f l^ x h = . x -1 4 2 r 4 f est dérivable sur R et f l^ x h =- 2r sin c2rx + m 4 . 46 1 La fonction f est dérivable sur R\ % 3 / et
12 . ^3 - 4x h4 2 La fonction f est dérivable sur @ 1 ; + 3 6 et -1 1 2 x-1 = . f l^ x h =- 2 # x-1 ^ x - 1h x - 1 3 La fonction f est dérivable sur R et - 2 cos 2x . f l^ x h = ^2 + sin 2x h2 4 La fonction f est dérivable sur R et 4x + 5 k5 4 a 4x + 5 k5 # = 8a . f l^ x h = 6 # 3 3 3 -4
x
4
=
f ^xh
Livre du professeur - CHAPITRE 3
0
+ 1 2
-1
r 3 1 k = 2c cos x - sin x m 6 2 2 = 3 cos x - sin x = f ^ x h . r 3 f l^ x h =- 2 sin a x + k; 6 5r r r si x ! ;0 ; 6 E , x + ! ; 6 ; r E ; donc f l^ x h G 0 ; 6 5r 11r r C, x + si x ! 9 ; ! 6r ; 2r @ ; donc f l^ x h H 0 ; 6 6 6 11r 13r r si x ! ; 6 ; 2r E, x + ! ;2r ; 6 E ; donc f l^ x h G 0 . 6 4
x
f ^xh
3 4 1 r = kr + x = + k avec k ! Z . f l^ x h = 0 + rx 4 4 49 f ^0 h = sin b = 2 , 2 r 3r donc on a b = ou b = ; 4 4 f l^ x h = a cos ^ax + bh , donc f l^0 h = a cos b =- 1 . r 2 Si b = , alors cos b = et a =- 2 . 4 2
1 2
-
2 2 cos a x +
f l^ x h = 0 +
48 f est dérivable sur R et f l^ x h = 2 r sin arx - r k .
0 1
+
r
52 1 f ^ x + 2rh = f ^ x h .
f l^ x h
2 3 r r r x + = + kr + x = + k # 2r 2 3 2 3
2r 3
r 6
-r
f l^ x h
47 f est dérivable sur R et f l^ x h = cos a x + r k .
avec k ! Z .
r r r = kr + x = +k avec 3 6 2
d. 4
f l^ x h =- 3 # ^- 4h # ^3 - 4x h
r k. 3
k ! Z. r 2r Deux solutions sur l’intervalle d’étude : et . 6 3 r 2r c. f l^ x h est positive sur ;0 ; 6 E et ; 3 ; r E et négative r 2r sur ; 6 ; 3 E .
3 45 1 f est dérivable sur R et f l^ x h = 3 c 3 x - 1 m .
6
r 3 = 2 + *b 6 . - a sin b =- 1 a=2
+ *cos b =
3
44 1
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
*
11r 6
5r 6
0
0
3
-2
53 f a r k = g a r k =
+
0 2
2r -
3
r +1 ; 2 2 1 f l^ x h = cos x x + 1 + sin x 2 x+1 1 et gl^ x h = , 2 x+1 r r 1 donc f la k = gla k = . r 2 2 +1 2 2 Les deux courbes ont donc la même tangente au point r d’abscisse . 2 2
Compléments sur les fonctions numériques
54 1 v^ t h = 4r cos c 2r t - r m ,
T T 3 4r 1 # = 4r . donc v^0 h = T 2 r 8r2 2r 2 a^ t h =- 2 sin c t - m, T 3 T 2 8r 3 m =- 16r2 3 . donc a^0 h = 2 # c2 T 2r r r 5 1 3 v^ t h = 0 + = + kr + t = + k t3 2 24 4 T avec k ! N . 3 Dérivée de x 55 1 Faux. 56 1 a. et b.
7
u ^ xh et x 7 (u(x))n
2 Vrai.
3 Vrai.
4 Vrai.
2 a., b. et c.
5 Vrai.
3 b. et c.
3x2 . 2 x3 + 1 1 2 f l^ x h = . 1 2 2x 1x - sin x 3 f l^ x h = . 2 cos x 57 1 f l^ x h =
63 1 f ^ x + 2rh = f ^ x h . 2 f ^- x h =-
ni impaire. 3 a. f l^ x h = cos x sin2 x + cos x sin x = sin x cos x^sin x + 1h . r b. Sur ;0 ; 2 E , sin x H 0 et cos x H 0 , donc f l^ x h H 0 . r Sur ; 2 ; r E , sin x H 0 et cos x G 0 , donc f l^ x h G 0 . 3r Sur ;r ; 2 E , sin x G 0 et cos x G 0 , donc f l^ x h H 0 . 3r Sur ; 2 ; 2r E , sin x G 0 et cos x H 0 , donc f l^ x h G 0 . x
x x 2 2 f l^ x h = 3^cos x - sin x h^sin x + cos x h . 3 1 3 f l^ x h = 4 c + 1 m^ x + x h . 2 x -6 . ^2x + 1h4
2 f l^ x h =
4 sin x . ^cos x h5
3 f l^ x h =
- 2^cos x + sin x h . ^sin x - cos x h3
60 1 f l^ x h = 18x^3x2 - 1h2 ; T : y = 72x - 64 .
2x + 1 ; T : y =- 0,5x + 0,5 . 2 x2 + x + 1 - sin x 3 f l^ x h = ; 2 1 + cos x 2 r 2 3 + . T : y =x+ 4 12 2 2 f l^ x h =
f ^xh
0
Livre du professeur - CHAPITRE 3
+
0 5 6
3r 2
r -
0
+
0
0
2r -
1 6
0
64 1 AM semble minimale lorsque x = 0,5 . M 2
^ x - 1h2 + ^ x - 0h = x2 - x + 1 . 2x - 1 3 a. gl^ x h = est du signe de 2x - 1 , 2 x2 - x + 1 1 1 donc négative sur ;0 ; 2 E et positive sur ; 2 ; + 3 ; . b. 1 x 0 +3 2 0 + gl^ x h 1 1 3 g^ x h 2 3 4 La distance minimale vaut lorsque M^0,5 ; 0,5 h. 2 2 AM =
Prépa Bac Exercices guidés
61 1 Initialisation : ^u1hl = ul et 1ul u0 = ul .
Hérédité : on suppose que, pour un entier naturel n, ^u nhl = nul u n - 1 ; alors : ^u n + 1hl = ^u n # uhl = ^u nhl u + u n ul = nul u n - 1 u + u n ul = ^n + 1hul u n . ^u nhl - nul 1 l nul u n - 1 2 c n m =- 2n == n+1 . 2n u u u u 3 En utilisant les exposants négatifs, le résultat de la question 2 s’écrit : ^u-nhl =- nul u-n - 1 . Donc, pour tout entier relatif n, ^u nhl = nul u n - 1 .
r 2
0
f l^ x h 0
58 1 f l^ x h = 4 c1 - 1 ma x + 1 k . 2
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
1 1 sin3 x + sin2 x , donc f n’est ni paire 3 2
4
3
59 1 f l^ x h =
-x , ^ x2 + 1h x2 + 1 1 2 =donc f l^1 h = ; 4 2 2 1 2 3 2 2 = ; on obtient y =. f ^1 h = x+ 2 4 4 2 62 f l^ x h =
65 1 lim sin x = lim sin x #
x = 1 # 0 = 0, x "0 x x donc f est continue en zéro. f ^0 + hh - f ^0 h sin h 1 2 lim # = lim =+ 3 , h h"0 h"0 h h donc f n’est pas dérivable en zéro. -1 1 3 , donc lim f ^ x h = 0 ; G f ^xh G x x x "+3 donc y = 0 est asymptote à la courbe de f en + 3 . x "0
Compléments sur les fonctions numériques
7
Exercices d’entraînement
66 Partie A 1
lim g^ x h =- 3 ; lim g^ x h =+ 3 .
x "-3
x "+3
x
x2 + 1 +
2 gl^ x h =
x
2
2+
2 0 , donc g est stricte-
1
2 - 3x ; donc f l1^ x h est du signe 2 1-x 2 de 2 - 3x , c’est-à-dire positif sur ;0 ; 3 E et négatif sur 2 ; ; 1; . 3 68 1 a. f l ^ x h = 1
ment croissante sur R. 3 Le théorème des valeurs intermédiaires assure l’existence de a et la stricte monotonie son unicité ; 0,7 1 a 1 0,8 . 4 On en déduit que a est négative sur @ - 3 ; a @ et positive sur 6a ; + 3 6 .
b.
x f l1^ x h
Partie B 1 lim f ^ x h =- 3 ; x "-3
x2 3
pour x 2 0 , f ^ x h = x c
1+
x "+3
x 2+
1 x xg^ x h . x2 + 1
=
3 a. g^a h = 0 , donc
=
x2
a2 + 1 =
x2 + 1 - x x2 + 1
1 ; a
a4 - 1 a3 1 = . donc f ^ah = a 3 3a b. x x
-3 -
g^ x h
-
f l^ x h
+
0 0 0
+
lim
x "+3
lim
x "-1 x 2- 1
0
+
-
0
+
@- 1 ; + 3 6.
x =- 3 , donc lim f ^ x h =- 3 ; x+1 x " -1
3x2 H 0 , donc f est croissante sur ^ x + 1h4
f l^ x h f ^xh
+3 + 1
1 - x + xn
r 2 2 m + sin x # k = 2 ccos x # 4 2 2 = cos x + sin x . b. f l^ x h =- 3 sin x cos2 x - 3 cos x sin2 x r =- 3 sin x cos x cos a x - k avec 2 a.. 4 2 a. 2 cos a x -
3
x sinx cosx
3r r 0 -r - r - r 4 4 2 2 0 - 0 + + + - 0 + + + 0 -
r
cos a x - r k - 0 + + + 0 4 0 + 0 - 0 + 0 - 0 + 0 f l^ x h 1 1 2 2 f ^xh 2 -1 -1 -1 2 y 1
Ta passe par l’origine + - af l^ah + f ^ah = 0 + - 3a3 + a3 ^a + 1h = 0 + a3 ^a - 2h = 0 4 Donc T0 : y = 0 et T2 : y = x sont les deux tangentes 27 passant par l’origine. Livre du professeur - CHAPITRE 3
3 3
0
7
3 Ta : y = f l^a h^ x - ah + f ^a h .
8
2
2 . 3
4
-3
+ a = 0 ou a = 2 .
-
69 1 f ^ x + 2rh = f ^ x h .
+3
-1
0
x "+3
a4 - 1 3a
x
1
-1 2 1-x n-1 n ^1 x h x x n - 1 62n - ^2n + 1hx @ 2nx = f ln^ x h = . 2 1-x 2 1-x b. f ln^ x h est du signe de 2n - ^2n + 1hx , c’est-à-dire 2n E et négatif sur ; 2n ; 1; . positif sur ;0 ; 2n + 1 2n + 1 2n . c. xn = 2n + 1 2 3 a. xn + 1 - xn = 2 0 (on peut aussi ^2n + 3h^2n + 1h 2x ). dériver x 2x + 1 b. lim xn = 2 .
x = 1 ; donc lim f ^ x h = 1 . x+1 x "+3
2 f l^ x h =
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+
-
-3 67 1
+3
a
-1
f ^xh
+
2 a. f ln^ x h = nx n - 1
donc lim f ^ x h =+ 3 . 2 f l^ x h = x2 -
f 1^ x h c. x1 =
1 m, x2
2 3
0
–�
� –– 2
0
� – 2
�
x
5 a. On développe ^a - bh^a2 + ab + b2 h .
b. f ^ x h = 0 + cos x = sin x ou cos2 x + cos x sin x + sin2 x = 0 en utilisant la factorisation de a..
Compléments sur les fonctions numériques
r + kr avec k ! Z . 4 cos2 x + cos x sin x + sin2 x = 0 + 1 + 0,5 sin ^2x h = 0 + sin ^2x h =- 2 : impossible. cos x = sin x + x =
70 1 On conjecture que la fonction est décrois-
r r r sante sur ;0 ; 4 E , puis croissante sur ; 4 ; 2 E . Elle varie de 3,14 à 2,14 qui semble être son minimum, puis de 2,14 à 3,14. 2 a. Le triangle DBM est rectangle en M. On a DM = DB # cos x = 2 cos x et, si on appelle h la hauteur issue de M du triangle DBM, on a : h = DM # sin x = 2 cos x sin x = sin ^2x h . 2 # sin ^2x h = sin ^2x h . L’aire de DBM est f ^ x h = 2 b. Ainsi, ^ x h = r - sin ^2x h . 3 ‘ ^ x h =- 2 cos ^2x h . La dérivée est donc négative sur r r r ;0 ; E et positive sur ; ; E . 4 4 2 On obtient le tableau de variations suivant :
^ x h
r 2
r 4
0 - 0
‘^ x h
+ r
r r-1
4 L’aire de la zone bleue décroît sur ;0 ;
r E 4 , croît sur r r ; ; E et admet un minimum qui vaut r - 1 . 4 2 5 L’aire de la zone bleue sera minimale lorsque l’aire du triangle DBM sera maximale, c’est-à-dire lorsque sa hauteur sera maximale. Cela sera réalisé lorsque le point M sera sur la perpendiculaire à ^DBh passant par A, donc lorsque le triangle DBM sera rectangle et isocèle en M. r L’angle _DB ; DM i aura pour mesure . 4 71 1 Avec la calculatrice, on conjecture une solution
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vérifie f ^ah = 0 + a - cos a = 0 + cos a = a . C’est ce que l’on a conjecturé avec la calculatrice. 72 1 f ^0 h = g^0 h = 1 .
1 1 x - . et gl^ x h = 2 4 2 x+1 1 On a f l^0 h = gl^0 h = . Les courbes représentatives 2 des deux fonctions admettent la même tangente au point d’abscisse 0. x x2 3 a. d^ x h = f ^ x h - g^ x h = x + 1 - 1 + . 2 8 1 1 x - + d l^ x h = 2 4 2 x+1 2 2 x+1 x x+1 = + 4 x+1 4 x+1 4 x+1 2 + ^ x - 2h x + 1 = . 4 x+1 b. h^ x h = 2 + ^ x - 2h x + 1 , 1 donc hl^ x h = x + 1 + ^ x - 2h # 2 x+1 2^ x + 1h + ^ x - 2h 3x = = . 2 x+1 2 x+1 La fonction h est décroissante sur @ - 1 ; 0 @ et croissante sur 60 ; + 3 6 et comme h^0 h = 0 , cette fonction admet un minimum en 0 qui vaut 0, donc la fonction h est positive sur son ensemble de définition. c. Comme 4 x + 1 est un réel positif, on a : pour tout réel x 2 - 1 ; d l^ x h H 0 . 4 a. lim d^ x h =+ 3 , car lim f ^ x h =+ 3 2 f l^ x h =
Problèmes
x
5 On a trouvé en 4 c. un encadrement du réel a qui
de valeur approchée 0,74. 2 On sait que pour tout réel x, on a - 1 G cos x G 1 , donc, si x 2 1 , on ne pourra jamais avoir cos x = x . r 3 Si x ! 9; 0 9 , on a cos x H 0 et x 1 0 , l’équation 2 cos x = x n’a pas de solution. r Si x 1 1 - 1 , l’équation cos x = x n’a pas de solu2 tion, car pour tout réel x , - 1 G cos x . Conclusion : si x 1 0 , l’équation n’a pas de solution. 4 a. f l^ x h = 1 + sin x 2 0 si x ! 60 ; 1 @ , donc f est strictement croissante sur cet intervalle. b. f ^0 h =- 1 ; f ^1 h 2 0 et f est continue et strictement croissante sur 60 ; 1 @, donc l’équation f ^ x h = 0 admet une solution unique a sur cet intervalle. c. Avec la calculatrice, on obtient : 0,739 1 a 1 0,740 . Livre du professeur - CHAPITRE 3
x "+3
x "+3
x2 =+ 3 . et lim - g^ x h = lim x "+3 x "+3 8 b. x -1 +3 d l^ x h d^ x h - 3 8
+ +3
5 La fonction d est négative sur @ - 1 ; 0 @ et positive sur 60 ; + 3 6 , donc la courbe représentative de f est en dessous de celle de g sur @ - 1 ; 0 @ et au-dessus sur 60 ; + 3 6 .
73 1 f ^ x + 2rh = sin ^ x + 2rh + sin ^n^ x + 2rhh n
= sin x + sin ^nx + 2rnh = sin x + sin ^nx h = f n^ x h . La fonction f n est 2r -périodique. 0 2 Pour n = 0 , cos ^nrh = cos 0 = 1 et ^- 1h = 1 . n On suppose que pour un entier n, on a cos ^nrh = ^- 1h n+1 et on démontre que : cos ^^n + 1hrh = ^- 1h n n+1 cos ^nr + rh =- cos ^nrh =-^- 1h = ^- 1h . Par récurrence, on a bien l’égalité pour tout entier n. 3 f n^rh = sin r + sin ^nrh = 0 . La courbe n passe bien par le point A^r ; 0h . 4 f ln^ x h = cos x + n cos ^nx h . L’équation de la tangente en A est : n y = f ln^rh^ x - rh + f n^rh = ^- 1 + n^- 1h h^ x - rh . Compléments sur les fonctions numériques
9
5 a. On prend x = 0 dans l’équation précédente, on n
n
obtient yn =- r^- 1 + n^- 1h h = r^1 - n^- 1h h . n b. Selon la parité de n, la quantité ^- 1h vaut 1 ou - 1 , donc la suite ^ ynh diverge, elle n’a pas de limite. 74 1 ^ AB ; AD h = 2^CB ; CD h = 2x .
2 a. On trace la hauteur 6DH @ issue de D dans le triangle CAD. On a DH = CD # sin x = 2 cos x sin x = sin ^2x h . 1 Ainsi, aire de CAD = sin ^2x h et l’aire du secteur circu2 laire intercepté par l’angle de mesure 2x vaut x. r b. Comme l’aire du demi-disque inférieur est égale à , 2 r 1 + sin ^2x h + x . on a : a^ x h = 2 2 3 a. et b. L’aire balayée est égale à l’aire du demi-disque diminuée des aires du triangle CAD et du secteur circulaire ABD, mais comme x est négatif on obtient : r 1 - a sin ^- 2x h + ^- x hk a^ x h = 2 2 r 1 = + sin ^2x h + x. 2 2 4 a. al^ x h = cos ^2x h + 1 H 0 , car - 1 G cos ^2x h G 1 . r r 9. La fonction a est croissante sur C ; 2 2 b. r r x 2 2 + al^ x h r a^ x h 0 5 Avec la calculatrice on trouve - 0,30 1 x 1 - 0,29 .
4
x2 x2 ou y =- 1 . 4 4 x x 2 2 a. f l^ x h = =. x2 x2 2 14 14 4 Cette dérivée est positive sur 6- 2 ; 0 @ et négative sur 60 ; 2 @ . b. Dérivabilité en - 2^h 2 0h : ^- 2 + hh2 1 f ^- 2 + hh - f ^- 2h 4 = lim lim h h h"0 h"0 et y =
lim
h"0
1-
4h - h2 4 = lim h h"0
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
et f n’est pas dérivable en 0. 3 Dans le calcul suivant, h 1 0 : sin ^r + hh f ^r + hh - f ^rh = lim lim = h h h"0 h"0 sin ^- hh - sin h 1 # = lim = lim h -h h"0 h " 0 - -h sin ^- hh 1 # = lim =- 3 . -h -h h"0 La fonction f n’est pas dérivable en r . cos x 4 f l^ x h = . Le signe de f l^ x h est celui de 2 sin x cos x , d’où le tableau de variations suivant : x f l^ x h f ^xh 10
r 2
0 +
r -
1-
0
Livre du professeur - CHAPITRE 3
0
4 -1 h =+ 3. 2
^2 + hh2 4 h
f ^2 + hh - f ^2 h = lim h h"0 2 - 4h - h - 4h - h2 4 = lim = lim h 2h h"0 h"0 4 - -1 h = lim =- 3 . 2 h"0 La fonction f n’est dérivable ni en - 2 ni en 2. c. 0 2 x -2 lim
h"0
f l^ x h f ^xh
+
1
0
0
3
4 La courbe 2 s’obtient à partir de 1 par symétrie par
rapport à l’axe ^Ox h .
5 Soit M un point quelconque de 1. Les coordonnées de
M sont c x ; =
1
4h - h2 = lim 2h h"0
Dérivabilité en 2^h 1 0h :
75 1 Si x ! 60 ; r @ , sin x H 0 ; donc la fonction f est
bien définie. 2 Dans le calcul suivant, h 2 0 : f ^hh - f ^0 h sin h sin h 1 # = lim = lim lim . h h h h"0 h"0 h"0 h sin h = 1 et, de plus, Or, d’après le cours, lim h"0 h f ^hh - f ^0 h 1 =+ 3 . Donc lim =+ 3 lim h h"0 h"0 h
+ x ! 6- 2 ; 2 @
2 76 1 ^E h + y2 = 1 - x
1-
x2 m et MF = 4
3x2 -2 3x+4 = 4
De même, on a MF l =
2 2 ^x - 3 h + 1 - x 4
x 3 +2 . 2
Compléments sur les fonctions numériques
2
c x 3 - 2m = x 3 - 2 . 2 2
Comme x ! 6- 2 ; 2 @ on a :
78 1 Le périmètre est égal à 12, donc 2x + y = 12 et
x 3 x 3 - 2 1 0 et + 220 ; 2 2 x 3 x 3 +2+ + 2 = 4. donc MF + MF l =2 2 Pour des raisons de symétrie par rapport à l’axe ^Ox h , on aura le même résultat si M est un point quelconque de 2. 77 1 La fonction f est définie sur 6- a ; + 3 6 et la
fonction g sur C- 3 ;
3 C. 2 Les courbes représentatives de f et g se coupent si, et 3 3 seulement si, - a G , c’est-à-dire a H - . 2 2 2 Avec le logiciel, on trouve a =- 0,75 . 3 On résout : f ^ x h = g^ x h + x + a = 3 - 2x + 3x = 3 - a + x = 3 -3 a . 2a + 3 3-a 3-a m= +a = On calcule f c . 3 3 3 2a + 3 3-a m. On obtient bien B c ; 3 3 4 Équation de Tf : 3-a mc x - 3 a m + f c 3 a m . y = f lc 3 3 3 1 Or, f l^ x h = , 2 x+a 1 3-a m= donc f lc ; 3 2a + 3 2 3 2a + 3 1 cx - 3 a m + . d’où : y = 3 3 2a + 3 2 3 Équation de Tg :
3-a mc x - 3 a m + g c 3 a m . 3 3 3 -1 -1 3-a m= Or, gl^ x h = , donc glc ; 3 2a + 3 3 - 2x 3 -1 2a + 3 3-a cx m+ . d’où : y = 3 3 2a + 3 3 J N 1 K O 1 5 Un vecteur directeur de Tf est V K O, K 2 2a + 3 O 3 L P 2a + 3 p. donc un vecteur directeur est aussi v f2 3 1 J N 1 K O 1 O Un vecteur directeur de Tg est W K 2a + 3 O, donc un K K O 3 L P 2a + 3 p. vecteur directeur est aussi w f 3 -1 6 Les deux tangentes sont perpendiculaires si, et 2a + 3 m- 1 = 0 seulement si, v : w = 0 + 2 c 3 4a + 3 3 + 3 = 0 + a =- 4 .
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
y = glc
Livre du professeur - CHAPITRE 3
l’inégalité triangulaire donne 2x H y en considérant le triangle aplati comme possibilité. 2 Avec les deux renseignements du 1 on obtient 2x H 12 - 2x + x H 3 . Comme y H 0 , on a aussi : 2x + y H 2x + 12 H 2x + x G 6. Conclusion : 3 G x G 6 . 3 La valeur conjecturée est x = 4 et le triangle semble être équilatéral. 4 On trace la hauteur 6 AH @ issue de A, on a, d’après le théorème de Pythagore : ^12 - 2x h2 y2 48x - 144 = x2 = . AH2 = x2 4 4 4 48x - 144 = 12x - 36 . Donc AH = 2 5 L’aire de ABC est égale à : 1 f ^ x h = ^12 - 2x h 12x - 36 = ^6 - x h 12x - 36 . 2 12 6 a. f l^ x h =- 12x - 36 + ^6 - x h # 2 12x - 36 6^6 - x h - 18x + 72 - 9x + 36 12x - 36 = = = . 12x - 36 12x - 36 2 3x - 9 3x - 9 b. Cette dérivée est positive sur 62 ; 4 @ et négative sur 6 4 ; 6 @, donc la fonction f admet un maximum en 4. 7 Si x = 4 , alors y = 12 - 8 = 4 et le triangle est équilatéral. L’aire maximale est f ^4h = 2 12 = 4 3 .
Pistes pour l’accompagnement personnalisé Revoir les outils de base 79 sin ^ x + rh =- sin x ; cos ^r - x h =- cos x ;
r r k = cos x ; cos a - x k = sin x ; 2 2 cos ^- x h + cos x = 2 cos x ; sin ^- x h - sin x =- 2 sin x .
sin a x +
80 sin x H 1 S = 9 r ; 5r C ;
6 r r cos x 1 0 S = C - r ; - 9 , C ; r C ; 2 2 r 2 3r sin x G S = 9; - C. 2 4 4 2
6
81 a. x =- r + k # 2r (k entier)
2 r + k # 2r (k entier) b. x = 3 -r + k # 2r ( k entier). ou x = 3 r + k # 2r (k entier) c. x = 5 4r + k # 2r (k entier). ou x = 5 r d. cos x =- cos + cos x = cos 34r : 4 3r + k # 2r (k entier) x= 4 3r + k # 2r (k entier). ou x =4 Compléments sur les fonctions numériques
11
82 a. sin a x + r k = sin r
6
2
+ x+
r r = + k # 2r 6 2
r + k # 2r (k entier). 3 r 3r r r = + k # 2r ou 3x = + k # 2r b. 3x 2 4 2 4 + 3x = 54r + k # 2r ou 3x = 34r + k # 2r (k entier). r 2r 5r 2r +k# +k# ou x = (k entier). + x = 12 3 4 3 r r + k # 2r ou 2x =- + k # 2r c. 2x = 4 4 r r + x = 8 + k # r ou x =- 8 + k # r (k entier). r x 5r d. cos a + k = cos + 2x + r3 = 56r + k # 2r 2 3 6 x r 5r + =+ k # 2r ou 2 3 6 + k # 2r + 2x = r2 + k # 2r ou 2x =- 7r 6 + x = r + k # 4r ou x =- 73r + k # 4r (k entier).
+x=
- cos x . On retrouve bien la dérivée négasin2 x r r tive sur C0 ; C et positive sur 9 ; r 9 . 2 2 lim sin x = lim sin x = 0+ ; 3 f l^ x h =
x"0 x 20
x "r x 1r
donc lim f ^ x h = lim f ^ x h =+ 3 . x"0 x 20
x "r x 1r
87 1 Le dénominateur ne s’annule jamais, car
- 1 G cos x G 1 ; donc f est définie sur R . 2 Pour tout réel x, f ^- x h = f ^ x h grâce à la parité de la fonction cosinus ; de plus, f ^ x + 2rh = f ^ x h . - sin x^cos x - 2h + cos x sin x 3 f l^ x h = ^cos x - 2h2 2 sin x = ^cos x - 2h2 qui est du signe de sin x , donc positif sur 60 ; r @. La fonction f est croissante sur cet intervalle. 4 Par parité, cette fonction est décroissante sur 6- r ; 0 @ .
83 f ^0 h =- 1 + c =- 1 ;
f ^- 2h =- 5 + 4a - 2b - 1 =- 5 ; f l^- 2h = 1 (1 est le coefficient directeur de la tangente T) et f l^ x h = 2ax + b , donc - 4a + b = 1 . b=3 4a - 2b =- 4 On a donc le système : ) + *a = 1 . - 4a + b = 1 2 1 2 Donc f ^ x h = x + 3x - 1 . 2
Étudier une fonction trigonométrique
x - 1 + ^ x - 1h #
89 a. f l^ x h = cos ^2x h + x # ^- 2 sin ^2x hh
84 f l^ x h =- 1 sin a x k .
2
2 x x Si x ! 60 ; 2r @, alors ! 60 ; r @ et sin a k H 0 ; donc 2 2 f l^ x h G 0 et f est décroissante sur 60 ; 2r @. 85 gl^ x h = 1 cos a x k .
2
x x Si x ! 60 ; 2r @, alors ! 60 ; r @ et cos a k H 0 sur 2 2 x r r 90 ; C et cos a k G 0 sur 9 ; r C , donc f l^ x h H 0 2 2 2 sur le premier intervalle et f l^ x h G 0 sur le second. La r fonction f est croissante sur 9 ; r C et décroissante sur 2 r 9 ; r C. 2 86 1 ©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
7 f (ax + b)
1 2 x-1 2^ x - 1h + ^ x - 1h 3 x-1 3 # = = = 2 2 2 x 1 x 1 88 f l^ x h = 1
Les savoir-faire du chapitre
2
Étudier une fonction du type x
= cos ^2x h - 2x sin ^2x h . -2 -1 2 2x + 3 = b. f l^ x h = . + 2x 3 ^2x + 3h 2x + 3 r cos a - x k 3 c. f l^ x h = . 2a r - k sin x 3 1 90 1 Si x 2 1 , f l^ x h = 20 2 2x - 1 1 1 et f a k = 0 1 f ^ x h pour tout x de C ; + 3 9 , donc f 2 2 est croissante sur son ensemble de définition. 1 1 f a + hk - f a k 2 2 = lim 2h 2 lim h h"0 h"0 h 2 1 = lim =+ 3 , donc f n’est pas dérivable en . 2 h"0 h 3 lim f ^ x h =+ 3 . x "+3
x 2 La fonction f semble décroissante sur C0 ;
r C ; crois2 r sante sur 9 ; r 9 . Les limites en 0 et en r semblent être 2 égales à + 3 . 12
Livre du professeur - CHAPITRE 3
x-1.
1 2
f l^ x h f ^xh
+3 + +3
0
Compléments sur les fonctions numériques
4 y = f l^5 h^ x - 5h + f ^5 h
2 sin x cos x 2 1 + sin2 x sin ^2x h = . 2 1 + sin2 x r Si x ! 90 ; C , on a 2x ! 60 ; r @ et sin ^2x h H 0 . 2 Donc la dérivée est positive sur cet intervalle. 3 f l^ x h =
+ y = 13 ^ x - 5h + 3 = 13 x + 34 . 91 a. D = C 1 ; + 3 9 ; f l^ x h =
4
b. D = @ - 3 ; 0 6 ; f l^ x h =
2 . 4x - 1
-3 . 2 - 3x
4
2
c. D = R ; f l^ x h = 15^5x + 4h .
x
3
d. D = R ; f l^ x h =- 4^1 - x h . 8 1 . e. D = R \ % / ; f l^ x h = 2 ^- 2x + 1h3 -3 1 . f. D = C ; + 3 9 ; f l^ x h = 2 + ^6x 3h 6x + 3 Étudier une fonction du type
+
2
2 1
lim f ^ x h =+ 3 .
x "+3
^x -
-1 . x2 + 1 h
On obtient lim f ^ x h = 0 . x "-3
93 ◗ Pour toute valeur de a non nulle, f a 1 k = 0 .
a • Si a est positif, 4 lim ^ax - 1h =+ 3 , donc lim ^ax - 1h =+ 3 ; x "+3
4 lim ^ax - 1h =- 3 , donc lim ^ax - 1h =+ 3 . x "-3
• Si a est négatif, 4 lim ^ax - 1h =- 3 , donc lim ^ax - 1h =+ 3 ; x "+3
4 lim ^ax - 1h =+ 3 , donc lim ^ax - 1h =+ 3 .
x "-3
0
-
f ^xh
f ^xh =
3
x "+3
f l^ x h
95 1
d. D = R ; f l^ x h = 4^cos x - sin x h^sin x + cos x h .
x "-3
r 2
0
Approfondissement
u ou un
2x - 1 92 a. D = R ; f l^ x h = . 2 x2 - x + 3 - sin x . b. D = R ; f l^ x h = 2 2 + cos x 2 1 ^1 + 2 x h . c. D = @ 0 ; + 3 6 ; f l^ x h = 3 x
x "+3
r 2
-
x "-3
3
◗ f l^ x h = 4a^ax - 1h . 1 • Si a est positif, f l^ x h H 0 lorsque x H et f l^ x h G 0 a dans l’autre cas, d’où les variations de f conformes au tableau. 1 3 • Si a est négatif, ^ax - 1h H 0 lorsque x G , donc, a comme a est négatif f l^ x h G 0 dans ce cas, et f l^ x h H 0 1 lorsque x H , d’où les variations de f conformes au a tableau.
x2 + 1 . 1 1 x x 3 Si x est positif, la dérivée est clairement strictement positive. Si x est négatif, 1 1 -1 + 1 + 2 x-x 1+ 2 x = x f l^ x h = 1 1 -x 1 + 2 1+ 2 x x 1 . f l^ x h = 1 1 1+ 2 x 1 1 Or, 1 + 2 2 1 , donc 11 ; 1 x 1+ 2 x donc f l^ x h 2 0 . x
2 f l^ x h = 1 +
4
=
2+
x
x+
-3
f l^ x h f ^xh
2+
+3 + +3
0
5
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
94 1 Pour tout réel x,
f ^ x + rh = 1 + sin2 ^ x + rh = = 1 + sin2 x = f ^ x h .
2
1 + ^- sin x h
Donc f admet pour période r . 2 Pour tout réel x, 2 f ^- x h = 1 + sin2 ^- x h = 1 + ^- sin x h = 1 + sin2 x = f ^ x h . Donc f est paire.
On remarque qu’en + 3 la courbe longe la droite d’équation y = 2x . 6 lim ^ f ^ x h - 2x h = lim ^ x2 + 1 - x h x "+3
x "+3
= lim
x "+3
Livre du professeur - CHAPITRE 3
1 = 0. x2 + 1 + x
Compléments sur les fonctions numériques
13
4
C H A P I T R E
Fonction exponentielle Introduction 1. Programme Contenus Fonction exponentielle Fonction x
7 exp ^ x h
Relation fonctionnelle, notation e x .
Capacités attendues démo BAC Démontrer l’unicité d’une fonction dérivable sur R, égale à sa dérivée et qui vaut 1 en 0. démo BAC
Démontrer que
x
lim e = + 3 et
x "+3
lim e x = 0 .
x "-3
• Utiliser la relation fonctionnelle pour transformer une écriture. • Connaître le sens de variation et la représentation graphique de la fonction exponentielle. x
• Connaître et exploiter lim e = + 3 et x "+3 x lim x e x = 0 . x "-3
Commentaires La fonction exponentielle est présentée comme l’unique fonction f dérivable sur R telle que : f l = f et f ^0h = 1. L’existence est admise. On étudie des exemples de fonctions de la forme x exp ^u^ x hh , notamment avec u^ x h = - kx ou u^ x h = - kx2 ^k 2 0h qui sont utilisées dans des domaines variés.
7
On fait le lien entre le nombre dérivé de la fonction exponentielle en 0 et la limite en 0 x de e - 1 . x
E [SPC et SVT] Radioactivité. AP Étude de phénomènes d’évolution.
• Calcul de la dérivée de la fonction x e u^ x h
7
Plusieurs démonstrations, ayant valeur de modèle, sont repérées par le symbole de type algorithmique sont signalées par le symbole .
. Certaines sont exigibles et correspondent à des capacités attendues. De même, les activités
2. Intentions des auteurs
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
Conformément au programme, la fonction exponentielle est présentée comme l’unique fonction dérivable sur R valant 1 en 0 et égale à sa dérivée. Des résultats sur les limites et sens de variations nourrissent des activités et problèmes qui privilégient des approches contextualisées où les outils informatiques et les logiciels de calculs formels ont toute leur place. La résolution de problèmes a été privilégiée.
Livre du professeur - CHAPITRE 4
Fonction exponentielle
1
Partir d’un bon pied Objectif Réactiver les connaissances du cours de Première concernant les calculs sur les puissances et les suites géométriques. Une activité fait travailler sur la dérivation, prévision de l’étude de la dérivée de la fonction x e u^ x h .
7
1 b.
A
2 a.
3 b.
4 a.
B a. f l^ x h = 8x + 12 .
b. f l^ x h =- 4 cos a- 4x +
r k. 3
x 1 c. f l^ x h = glc 2 - 5 m . 2 2 a. et b. C 1 a. et b.
3 Des fonctions « transformant les sommes en produits » Activité
Objectif : Étudier, à partir d’une propriété des suites géométriques, la relation fonctionnelle caractéristique de la fonction exponentielle et les premières propriétés de cette fonction. 1 un = q n ; up = q p , donc :
environ 750 millions ; au bout de 21 heures, il vaut environ 1 500 millions ; au bout de 25 heures, il vaut environ 3 000 millions. 4 Taux d’évolution entre 16 et 17 h : 750 - 640 # 100 . 17 % ; 640 Taux d’évolution entre 20 et 21 h : 1500 - 1280 # 100 c 17 % ; 1280 Taux d’évolution entre 24 et 25h : 3 000 - 2 560 # 100 . 17 % . 2 560 La suite ^unh semble être une suite géométrique de premier terme u0 = 40 et de raison environ 1,17. 5 À l’aide du tableur, on trouve environ 46 h.
un # up = q n + p = un + p . 2 Pour tout réel x, f ^ x h = f ^ x - a + a h = f ^ x - a h # f ^a h = 0 , car f ^ah = 0 . 3 a. f ^ x h = f ^ x + 0h = f ^ x h # f ^0 h ; or, f ^ x h ! 0 , donc f ^0 h = 1 . x x x 2 b. f ^ x h = f a + k = 9 f a kC 2 0 . 2 2 2 c. 1 = f ^0 h = f ^ x + ^- x hh = f ^ x h # f ^- x h , 1 . donc, comme f ^ x h ! 0 , f ^- x h = f ^xh d. On pose un = f ^nh , donc : un + 1 = f ^n + 1h = f ^nh # f ^1 h = f ^1 h # un . On a bien une suite géométrique de raison f ^1 h . 4 Comme les fonctions y y + x et f sont dérivables sur R, la fonction g est dérivable comme composée de deux fonctions dérivables sur R. gl^ y h = 1 # f l^ x + y h et, de plus, comme : f ^ x + y h = f ^ x hf ^ y h, on a aussi : gl^ y h = f ^ x hf l^ y h . ( f l^ x h = 0 , car x est fixé). D’où f l^ x + y h = f ^ x hf l^ y h . En prenant y = 0 , comme x est quelconque, on obtient pour tout réel x : f l^ x h = f l^0 h # f ^ x h . En posant k = f l^0 h on a le résultat attendu. 5 f ^0 h = 1 ; pour tout réel x, f ^ x h 2 0 ; 1 ; la suite ^ f ^nhh est géométrique de f ^- x h = f ^xh raison f ^1 h , f l^ x h = k # f ^ x h , où k est un réel non nul.
2 Loi de refroidissement de Newton, modélisation discrète
4 Fonction f telle que f ’ = f et f (0) = 1
3 a. et c.
Découvrir 1 Croissance d’une population de bactéries Activité
Objectif : Faire le lien entre une suite géométrique et une croissance exponentielle. 1 2 Voir graphique de la question 1 . 3 Au bout de 17 heures, le nombre de bactéries vaut
Activité
Objectif : Approcher à l’aide d’une loi de la physique, le principe d’une décroissance exponentielle.
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
2 c. On a T2 = 60 # ^k + 1h + 20 = 69 , donc k . - 0,1 . Ainsi, Tn . 60 # 0,9 n + 20 . 3 T20 . 60 # 0,920 + 20 . 27,3 °C .
1 La variation de température entre les minutes n et n + 1 est Tn + 1 - Tn et, comme il y a proportionnalité avec la différence entre Tn et 20 °C, on a bien : Tn + 1 - Tn = k^Tn - 20h. 2 a. un + 1 = Tn + 1 - 20 = Tn + k^Tn - 20h - 20 = ^k + 1h^Tn - 20h = ^k + 1hun . La suite ^unh est géométrique de premier terme u0 = 80 - 20 = 60 et de raison ^k + 1h . n n b. un = 60 # ^k + 1h , donc Tn = 60 # ^k + 1h + 20 .
2
Livre du professeur - CHAPITRE 4
7
Activité
Objectif : Construire une représentation graphique approchée d’une fonction vérifiant les propriétés de la fonction exponentielle. 1 a. Le coefficient directeur de la tangente à l’origine
est f l^0 h = f ^0 h = 1 . b. C’est le segment porté par la droite d’équation y = x + 1. c. f ^1 h . 2 . 2 a. f ^0,5h . 1,5 . b. f l^0,5h . 1,5 . On trace le segment porté par la droite d’équation y = 1,5x + 0,75 . c. f ^1 h . 2,25 .
Fonction exponentielle
3 Les tangentes aux points d’abscisses 0,2 ; 0,4 ; 0,6 ; 0,8 ont respectivement pour coefficients directeurs : 1,2 ; 1,44 ; 1,728 ; 2,0736. Les segments consécutifs ont pour points d’origine ceux de coordonnées : ^0 ; 1h ; ^0,2 ; 1,2h ; ^0,4 ; 1,44h ; ^0,6 ; 1,728h ; ^0,8 ; 2,0736h.
Exercices d’application Savoir faire Utiliser les propriétés
algébriques de la fonction exponentielle 1
a. Faux ;
b. vrai ;
c. vrai ;
1 e x ce x + x m e e 2x + 1 = lim c. lim x x "+3 e + 2 x "+3 ex 1 + 2 c m ex 1 ce x + x m e = lim =+ 3 . x "+3 1 + 2 c m ex 1 1 = 0. d. lim e x = 1 , car lim x "+3 x "+3 x 8 a. Si x 1 0 , alors - x 2 0 ; e-x 21 , donc 1 - e-x 1 0.
b. Si x H 0 , alors - x G 0 ; e-x G 1 , donc 1 - e-x H 0 . De plus, comme e-x 2 0 , on a f ^ x h 11 .
d. vrai.
Savoir faire Étudier une fonction
2 a. e2x # e-2x = e2x - 2x = e0 = 1 ; 2x + 1 # 1 - x
2x + 1 + 1 - x
x+2
du type x
=e =e b. e ; e x+2 e +2+x-2 ^ x + 2 h - ^-x + 2 h x =e = e2x ; c. -x + 2 = e e e x ^e2x + 1h e 3x + e x = = ex . d. 2x e +1 e 2x + 1
b. vrai ;
c. vrai ;
2
b. f l^ x h =- xe-x . e x . c. f l^ x h = 2 x d. f l^ x h =- sin ^ x hecos^ x h . 10 f l^ x h = ^3x2 + 2x h e x3 + x2 = x^3x + 2h e x3 + x2 .
x d. faux.
faisant intervenir la fonction exponentielle
exp a
f ^xh
x "+3
f ^ x h = e x + x - 1 , donc f l^ x h = e x + 1 . La tangente au point d’abscisse 1 a pour équation réduite : y = f l^1 h^ x - 1h + f ^1 h avec f l^1 h = e + 1 et f ^1 h = e . On obtient donc y = ^e + 1h^ x - 1h + e = ^e + 1hx - 1 .
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
x "+3
b. lim e x x "-3
+x+1
lim e x a1 -
x "+3
x k =+ 3 . ex
e x ^e x - 1h e 2x - e x = lim = 1. x x x "0 x "0 x 5 c. lim e-x ^ x + 5h = lim c x + x m = 0 . e x "+3 e x "+3 d. lim e1 -
1 x
= e.
1 -1 e x 2 0 pour tout x non nul. x2 c. f l^ x h =- sin xecosx 1 0 sur 60 ; r @.
x "+3
=+ 3 , car lim ^ x2 + x + 1h =+ 3 . x "-3
Travaux pratiques 13 Distance minimale entre un point fixe et
7 a. lim e1 - x = 0 , car lim ^1 - x h =- 3 . 2
1
b. f l^ x h =
1 - x2 1 - x2 x m e =- 3 , car lim c 2 2 m =- 1 . 1+x x "+3 1 + x
x "+3
+
R.
x "+3
x "+3
4 k 27
0
12 a. f l^ x h =- 3e-3x 1 0 , donc f est décroissante sur
1 = 0 , car lim ^e-x h =+ 3 . b. lim e-x x "-3 1 x "-3 e x + e-x =+ 3 , car lim ^e-x h = 0 c. lim 2 x "+3 x "+3 x et lim ^e h =+ 3 . d. lim c
-
+3
x h =- 3 ,
car lim ^e-x h = 0 et lim ^ x h =+ 3 . x "+3
0
b. lim
x "-3
x "+3
0
+
11 a. lim ^e x - x h =
5
2 3
-
-3
f l^ x h
Savoir faire Étudier une fonction
6 a. lim ^e-x -
u(x)
9 a. f l^ x h =- 2e1 - 2x .
1 1- x -x 1 e ex - 1 e 3 1 = x . -x = 1 e +1 1+e 1+ x e xx e 1 e 1 2 = 2x - 2x = e-x - e-2x . e 2x e e 4 a. Vrai ;
7e
une courbe 1 Distance minimale environ 0,78 pour le point d’abscisse environ - 0,4.
Livre du professeur - CHAPITRE 4
Fonction exponentielle
3
x2 + e2x . Pour minimiser OA, il faut minimiser 2 + 2x x e , car la fonction racine carrée est croissante sur 60 ; + 3 6 . f l^ x h = 2e2x + 2x ; f ll^ x h = 4e2x + 2 2 0 . Comme la dérivée seconde de f est positive, la dérivée est strictement croissante sur R. 2 OA =
x
-3
f ll^ x h
+3
t
1 UC ^ t h = 10e- 1,4 .
+3
1
est décroissante sur 60 ; + 3 6 .
7e
–kx
et x
7e
–kx2
, où k 0 1 a. Les fonctions f k sont décroissantes sur R. La limite en - 3 semble être + 3 et la limite en + 3 semble être égale à 0. b. 0,2 est en vert, 0,5 est en rouge, 1 est en bleu, 1,5 est en violet. Si k 1 k l , on conjecture que k est en dessous de k' sur l’intervalle @ - 3 ; 0 @ et au-dessus sur 60 ; + 3 6 . Toutes les courbes k se coupent au point ^0 ; 1h . c. f lk ^ x h =- ke-kx 1 0 , car k est strictement positif, d’où la stricte décroissance des fonctions f k sur R. lim - kx =- 3 , donc lim e-kx = 0 ; x "+3
x "+3
lim - kx =+ 3 , donc lim e-kx =+ 3 .
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
x "-3
x "+3
x "-3
donc lim gk ^ x h = lim gk ^ x h = 0 . x "+3
x "-3
Livre du professeur - CHAPITRE 4
UC ^ t h
0 10
+3 0
lim UC ^ t h = 0
t "+3
3
4 a. L’équation réduite de ^T h : y =-
50 t + 10 . 7
50 70 = 1,4 = x . t = 10 + t = 7 50 5 La tension à l’instant t = 1,4 s est environ égale à 3,7 V. UC ^1,4h = 10e-1 ; or, e-1 . 0,37 , la tension a baissé d’environ 63 %.
b. y = 0 +
Faire le point 19 1 b.
2 c.
3 b.
20 1 b.
2 b.
3 b. et c. 4 b.
5 c.
21 1 Vrai.
2 Faux.
3 Faux.
4 Vrai.
5 Vrai.
3 Faux.
4 Vrai.
5 Vrai.
22 1 Faux. 2 Vrai.
x "-3
Supposons k 1 k l et x H 0 : on a alors kx G k l x , puis - kx H - k l x et enfin e-kx H e-k l x . Si x G 0 , on a alors kx H k l x , puis - kx G - k l x et enfin e-kx G e-k l x . 2 a. Les fonctions gk ont pour limite 0 en + 3 et - 3 . Elles sont croissantes sur @ - 3 ; 0 @ et décroissantes sur 60 ; + 3 6 . Elles vérifient gk ^0 h = 1 . b. C0,1 est en bleu, C0,5 est en violet, C1 est en rouge, C3 est en vert. Si k 1 k l , alors C k est au-dessus de C k l . c. lim - kx2 = lim - kx2 =- 3 ,
4
t
x "+3
Comme f l est continue et strictement croissante sur R et qu’elle prend des valeurs négatives et positives, il existe un réel unique a tel que f l^ah = 0 . On a donc : f l négative sur @ - 3 ; a @ et positive sur 6a ; + 3 6 , donc f admet un minimum en a . Avec la calculatrice, on trouve a . - 0,43 et OA = f ^ah . 0,78 . 4 1. Le coefficient directeur de ^T h est ea . ea . 2. Le coefficient directeur de la droite ^OAh est a 3. Le produit des deux coefficients directeurs vaut a e 2a =- =- 1 , donc les deux droites sont perpena a diculaires. 14 Étude des fonctions x
t
2 U lC ^ t h =# 10e- 1,4 1 0 , donc la fonction UC 1,4
lim f l^ x h =- 3 ; lim f l^ x h =+ 3 .
x "-3
15 En Sciences physiques :
décharge d’un condensateur
+
f l^ x h - 3
2
glk ^ x h =- 2kxe-kx , ce qui est négatif si x est positif et positif si x est négatif. D’où le sens de variations confirmé. Si k 1 k l , on a alors kx2 G k l x2 , puis - kx2 H - k l x2 et 2 2 enfin e-kx H e-k l x , d’où la position relative confirmée.
6 a.
Exercices d’application 1 La fonction exponentielle 23 1 Vrai.
2 Faux.
3 Vrai.
4 Vrai.
24 1 Faux.
2 Faux.
3 Vrai.
4 Faux.
25 1 Faux : pour a = b = 0 , on a e2a = 1 et e2b = 1 ,
on aurait donc 11 1 si l’inégalité était vraie. 2 Vrai :
Fonction exponentielle
e 2a # e 2b =
e 2a # e 2b = e a # e b = e a + b .
3 Vrai : pour a = b = 0 , on a e2a + e2b = 1 + 1 = 2 et
2ea + b = 2 # 1 = 1 . e 2a e 2a 1 4 Vrai : -2a = 2a -2a = . a a 1 + ea e +e e ^e + e h 26 1 Faux.
2 Vrai.
3 Vrai.
4 Vrai.
27 1 b.
2 c.
3 a.
4 a.
2x
-2x +2 e2x + e-2x 28 a. f ^ x h2 - g^ x h2 = e + e 4 4 4 = =1; 4
e2x + e-2x = f ^2x h ; 2
c. 2g^ x h # f ^ x h = 2
e x - e-x e x + e-x # 2 2
e2x - e-2x = g^2x h . 2
=
2 Étude de la fonction exponentielle
x+y x - x+y x e e e 29 1 f l^ x h = e = 0 , donc f est 2x
e constante sur R. 2 On a, par exemple, f ^0 h = e y et comme f est constante, on aura pour tout x réel, f ^ x h = e y . 3 D’après les deux questions précédentes, on a, pour tous réels x et y : ex + y = ey + ex + y = ex # ey . ex 1 4 e-x + x = e-x # e x = e0 = 1 , donc e-x = x ; e 1 ex e x - y = e x # e-y = e x # y = y . e e 30 a. e ;
b. e3 ;
c.
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
e
= ^e
3
2 e3x + 2 = ^e x h # e2 ; -4
e1 - 4x = e # ^e x h
;
; e
= ^e
x h5 # 2
2
+ 2x
33 1 e3x - 2e x = e x ^e2x - 2h
3 Vrai.
4 Faux.
37 1 Faux.
2 Faux.
3 Vrai.
38 a.
2
lim e x =+ 3 , car lim x2 =+ 3 .
x "-3
x "-3
e 2x - 1 =- 1 , car lim e2x = 0 . b. lim 2x x "-3 e + 1 x "-3 1 1 c. lim e x2 = 1 , car lim 2 = 0 et lim e X = 1 . x + + X "0 x" 3 x" 3 1 x d. lim x = 0 , car lim e =+ 3 . x "+3 1 + e x "+3 4
2
3
x
x "+3
x "-3
ex =+ 3 ; x 4
ex de plus, lim x =+ 3 , donc lim 2 =+ 3 . x "-3 x "+3 x e 2x - 1 1 - e-2x = lim b. lim 2x -2x = 1 , x "+3 e + 1 x "+3 1 + e car lim e-2x = 0 . 2
x "+3
lim
x " -+ 3
xc
ex - 1 m =+ 3 . x
ex - 1 1 - e-x = lim d. lim x -x = 1 . x "+3 1 + e x "+3 1 + e 40 1 f l^ x h = 1 - e x . On a f l positive si x est négatif
et f l négative si x est positif.
e2 .
2
e x - 3 = e x # e-3 ; e 3x
2 Vrai.
x "+3
e3 - x = e3 # e-x ;
e
36 1 Faux.
c. lim ^e x - x h =
32 1 L’instruction « expexpand » développe les expo-
5x + 2
4 Faux.
Or, lim x 4 =+ 3 et lim =
2
2
3 Faux.
x
c. h^ x h = ^e x + 1h - e 4x - 1 = e2x + 2e x + 1 - e2x - 1 = 2e x .
x h4 # ^ y h2
2 Vrai.
x x 39 a. e = e # x2 . 2 4
= e2x + e-2x + 2 - ^e2x + e-2x - 2h = 4 ; e-x + e x 1 + e 2x + b. g^ x h = x 1-e 1 - e-x e x ^e-x + e x h 1 + e 2x = =0; x 1-e 1 - ex
nentielles. 2 e2x + 1 = ^e x h # e ;
35 1 Vrai.
4
2 . 1+e
31 a. f ^ x h = ^e x + e-x h2 - ^e x - e-x h2
4x + 2y
d’exponentielles.
e2x + e-2x + 2 4 4 4
b. 2 f ^ x h2 - 1 = 2 =
34 L’instruction « linéariser » simplifie des produits
2
= ^e x h # ^e x h .
x
0
-3
f l^ x h f ^xh Livre du professeur - CHAPITRE 4
+
0 2
+3 -
Fonction exponentielle
5
f ^2 h = 5 - e2 1 0 . La fonction f est continue et strictement décroissante sur 60 ; 2 @ et change de signe sur cet intervalle, donc l’équation f ^ x h = 0 admet une solution unique a sur 60 ; 2 @. 4 On trouve a . 1,51 . 5 a. On peut définir un variable z qui prend la valeur x - a puis qu’on affiche, ensuite on affiche x. b. On obtient successivement 0,5 et 0,6 ; 0,50 et 0,51 ; 0,505 et 0,506. 3 f ^0 h = 2 ;
e 2x + 1 1 = , car lim e2x = 0 ; 2x 4 x "-3 e + 4 x "-3 2x ^ + -2x h 2x + e 1 e e 1 = lim 2x lim 2x -2x h = 1 . x "+3 e + 4 x " + 3 e ^1 + 4e 1 . b. On a bien trouvé 4 c. L’instruction est la même, mais elle se termine par + infinity . e x ^e x + e-x h e 2x + 1 2 lim = lim x -x =+ 3 ; x x " + 3 2e - 3 x " + 3 e ^2 - 3e h 41 1 a. lim
2 On a u0 2 0 par hypothèse. Supposons que pour un
entier n, on a un 2 0 et démontrons que un + 1 2 0 . On a un + 1 = un e-un avec un 2 0 et e-un 2 0 , donc un + 1 2 0 . u 3 Tous les termes sont non nuls : n + 1 = e-un avec un - un 1 0 , donc e-un 11 . Cette suite est (strictement) décroissante. 4 Cette suite et décroissante et minorée par 0, donc elle converge vers une limite , . La fonction x xe-x étant continue, on a : , e- , = , + ,^e- , - 1h = 0 + , = 0 .
7
3 Croissance comparée ex + 1 ex 1 1 m = lim c # + =+ 3 ; x x 2 2 2 x x "+3 x "+3 1 - 4x 1 x = lim c x - 4 # x m = 0 . lim x e e e x "+3 x "+3 46 1
lim
2
e x ^1 + e-x h ex + 1 = lim = 0. 2 x x -x x x " + 3 1 - 5e x " + 3 e ^e - 5e h lim
42 1 On trouve a environ égal à 2,7 et l’abscisse du
point de contact égale à 1. 2 f l^ x h = e x - a . L’équation de la tangente au point d’abscisse k est : y = f l^k h^ x - k h + f ^k h . On obtient y = ^e k - ah^ x - k h + e k - ak . 3 Cette droite est l’axe des abscisses si, et seulement si, ek - a = 0 ek - a = 0 * * . + - k^e k - ah + e k - ak = 0 e k ^1 - k h = 0 On obtient alors k = 1 ; a = e . n2 - n - 1 = 1, n2 n "+3 n2 - n - 1 m = e. donc lim exp c n2 n "+3 1 1 2 lim ar k = r , donc lim cos ar - k =- 1 , n n n "+3 n "+3 43 1
lim
donc lim exp acos ar n "+3
1 kk = e-1 . n
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lim 61 - e-n - 1 @ = 1 ,
x4 e x - x4 = lim c1 - x m = 1 ; x e e x "+3 x "+3
c. lim
-x
d. lim ^3x3 - x2h x "+3
e2 . e-1
x "+3
(d’après l’exercice précédent, on a qui donne aussi lim x n e-x = 0 ).
lim x n e x = 0 , ce
x "-3
x "+3
49 1 b.
on a lim
x "+3
Livre du professeur - CHAPITRE 4
= lim ^3x3 e-x - x2 e-x h = 0
2 c.
3 c.
ex ex # x , donc, = x x ex =+ 3 et lim x =+ 3 , comme lim x "+3 x x "+3
45 1 La suite ^u h semble décroissante et tendre n
6
x "-3
=0;
50 1
n "+3
vers 0.
e x + 3x ex 3 = lim c 3 + 2 m =+ 3 ; 3 x x x "+3 x "+3 x
48 a. lim x "-3
un e 1 de premier terme e et de raison . e 2 Comme 0 1 q 1 1 cette suite converge vers 0. 1 - qn + 1 1 - e-n - 1 3 Sn = u0 # = e# 1-q e-1 e e2 6 = 1 - e-n - 1 @ e-1
n "+3
x est + 3 . n ex e nt 1 c et m 2 . n = n = x nn t ^nt h x 3 Comme t = , t tend vers + 3 lorsque x tend vers n +3. n ex 1 et D’où, lim n = lim n c m =+ 3 . t x "+3 x t "+3 n n n n X 4 x n e x = ^- X h e-X = ^- 1h X . e n n X 5 lim x n e x = lim ^- 1h X = 0. e x "-3 X "+3
b. lim ^ x2 + 4x - 1he x = lim ^ x2 e x + 4xe x - e x h
44 1 un + 1 = 1 , donc cette suite est géométrique
donc lim Sn =
x 47 1 On conjecture que la limite en + 3 de e n
Fonction exponentielle
ex =+ 3 . x
2 Pour tout
x H 1, x H
ex ex G . Comme x x raison on aura lim
x "+3
x , donc
1 1 G x x
et
ex =+ 3 , par compax "+3 x lim
ex =+ 3 . x
n n 1 e^n + 1hx = e nx + x = e nx # e x = ^e x h # e x = ^e x h . Par récurrence sur n, on a bien démontré la propriété pour tout entier naturel n. Si n est négatif, alors - n est un entier naturel, donc, -n d’après ce qui précède, e-nx = ^e x h . -n 1 1 Or, e-nx = nx et ^e x h = x n , d’où l’égalité des e ^e h deux expressions dans ce cas également. +
51 On pose X = 3x .
e 3x eX 3 eX # = = . 2x 2X 2 X 3 Or, lorsque x tend vers + 3 , X également. 1
e 3x eX 3 # = lim =+ 3 . X x " + 3 2x X "+3 2
Donc lim
e 2X eX 1 # = lim =+ 3. X x " + 3 4x X "+3 2
2 On pose X = 2x . lim 3 On pose X = 3x .
X -x 3 = lim - 1 # X = 0 . lim 3x = lim 3 eX x "+3 e x "+3 X X "+3 2 ex eX 4 On pose X = x2 . lim = lim =+ 3 . x "+3 x x "+3 X 2x
52 1
e x 2 c1 - 2x m e 2x - x 2 x e = 1. lim 2x 2 = lim 2x x2 x "+3 e + x x "+3 e c m 1 x2 e 2x
lim ^e3x -
x h = lim
4 Dérivée de x 53 1 Faux.
3 Vrai.
4 Faux.
54 1 Faux ; si u est décroissante, f également ; en
effet f l = ^euhl = ul eu . 2 Vrai, car ul est positive. 3 Vrai, car une exponentielle est toujours strictement positive. 4 Faux, car f l = ^e-uhl =- ul e-u et si ul est négative, - ul sera positive et f sera croissante. 55 1 Première méthode
n n 1 ne nx ^e x h - e nx # ne x ^e x h = 0. ^e x h2n b. La dérivée de f est nulle pour tout réel, donc la fonction f est constante sur R. f ^0 h = 1 , donc pour tout réel x, f ^ x h = 1 . n e nx = 1 + ^e x h = e nx . c. On a ^e x hn 2 Seconde méthode On cherche à démontrer que pour tout réel x et pour n tout entier naturel n, e nx = ^e x h . -
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
a. f l^ x h =
période 2r , la fonction f l’est également. On a donc, pour tout réel x, f ^- x h = f ^ x h et f ^ x + 2rh = f ^ x h . 2 f l^ x h = sin xe- cosx H 0 sur l’intervalle 60 ; r @ (c’est le signe du sinus). x
0
f ^xh
r e
e-1
3
xc
7 exp(u(x))
2 Vrai.
56 1 Comme la fonction cosinus est paire et de
2
e 3x - 1 m =+ 3 . x x "+3 x "+3 ex 1 3 lim ^e x - x2 - x h = lim x2 c 2 - 1 m x x + + x" 3 x" 3 =+ 3 . 2
Pour n = 0 , chacune des deux expressions vaut 1, donc l’égalité est vraie. n Supposons que pour un entier n, on a e nx = ^e x h , n+1 démontrons que e^n + 1hx = ^e x h .
4 Tangente au point d’abscisse
r : 2
r r r ka x - k + f a k . 2 2 2 r r + 1. On obtient y = 1 a x - k + 1 = x 2 2 y = f la
57 On se place sur l’intervalle C - r ; r 9 .
2
2
1 La limite de la fonction tangente en -
r est + 3 . 2 2 a. lim tan x =+ 3 et lim e X =+ 3 ,
limite en
r est - 3 , la 2
X "+3
r 2 r x1 2 x"
donc lim e tan x =+ 3 . r 2 r x1 2 x"
b. lim tan x =- 3 et lim e X = 0 , X "-3
r 2 r x 22 x "-
donc lim e tan x = 0 . r 2 r x 22 x "-
c. f a-
r k= 2
lim f ^ x h = 0 , donc la fonction est r
x "- 2
continue en -
r . 2
Livre du professeur - CHAPITRE 4
Fonction exponentielle
7
b. Comme x ! 60 ; 1 @, ^1 - x h H 0 et, d’après la partie A, e x - x 2 0 et g^ x h H 0 . Ainsi, pour tout x ! 60 ; 1 @, f ^ x h - x H 0 , donc la courbe de f est au-dessus de la droite sur 60 ; 1 @.
3 a.
b. La dérivée est clairement strictement positive, donc f r r 9. est croissante sur C ; 2 2 c. d. r r x 2 2 f l^ x h
Partie C y 1 1
+ +3
f ^xh
0
f 0,2
Prépa Bac
0
58 1 a. f l^ x h = - 4e
x
2x
e + 1h + 4e # 2e ^e2x + 1h2 4e x ^e2x - 1h 4e3x - 4e x = = . ^e2x + 1h2 ^e2x + 1h2 2
b. On a 4e x 2 0 et ^e2x + 1h 2 0 , donc la dérivée est du signe de ^e2x - 1h . Or, e2x - 12 0 + 2x 2 0 + x 2 0 . La fonction f est bien croissante sur l’intervalle 60 ; + 3 6 . 2 On montre que f est paire : 4 x 4e-x e = 1f ^- x h = 1 - -2x 1 + e 2x e +1 e 2x x 4e = 1= f ^ x h, 1 + e 2x d’où la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées. 59 Partie A
1 gl^ x h = e x - 1 , ce qui est positif sur
négatif sur @ - 3 ; 0 @. 2
x
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g^ x h
-3
0
60 ; + 3 6 et
+3
0
Le minimum de g est 0, donc pour tout réel x, g^ x h H 0 . 3 On a d’après ce qui précède : e x - x - 1 H 0 + e x - x H 12 0 . Partie B 1 Pour tout réel x tel que 0 G x G 1 , on a par croissance de f , f ^0 h G f ^ x h G f ^1 h or f ^0 h = 0 et f ^1 h = 1 , donc 0 G f ^ x h G 1 , ce qui signifie f ^ x h ! 60 ; 1 @. x^e x - x h ex - 1 2 a. f ^ x h - x = x e -x ex - x ^1 - x hg^ x h e x - 1 - xe x + x2 = = . xe x ex - x 8
Livre du professeur - CHAPITRE 4
u0 u1 u2 u3
1
x
2 Par récurrence sur n, montrons que pour tout n,
Exercices guidés x ^ 2x
0,2
1 G un G 1 . 2
1 Initialisation : u0 = , donc la propriété est vraie pour 2 n = 0. Supposons que pour un n arbitrairement choisi, 1 1 G un G 1 et démontrons que G un + 1 G 1 . 2 2 Comme f est croissante sur 60 ; 1 @, on a : 1 f a k G f ^unh G f ^1 h , 2 1 1 mais d’après la partie A, G f a k ; donc on obtient 2 2 1 G un + 1 G 1 . Par récurrence, on a montré la propriété 2 pour tout entier n. D’après la partie A, on sait que pour tout x ! 60 ; 1 @ , x G f ^ x h , donc comme un ! 60 ; 1 @ on a un G f ^unh , c'est-à-dire un G un + 1 . Ainsi, on a montré que pour tout entier n, 1 G un G un + 1 G 1 . 2 3 La suite ^unh est croissante et majorée (par 1), donc elle converge vers une limite , et comme f est continue, on a : e, - 1 = , + ^1 - ,h^e , - , - 1h = 0 f ^, h = , + , e -, + ^1 - ,hg^ , h = 0 . D’après la partie A, g^ , h = 0 + , = 0 , c'est impossible, 1 car on doit avoir G , G 1. 2 Conclusion : , = 1 . 60 Partie 1 1
lim g^ x h = lim e x ^1 - x + e-x h =- 3 .
x "+3
x "+3
x
2 gl^ x h = e - ^e x + xe x h =- xe x , donc la dérivée est
positive si x est négatif et négative si x est positif.
Fonction exponentielle
3
x -3 + gl^ x h g^ x h
0 0 2
Exercices d’entraînement
+3 -
61 1 b. e x - 1 = 0 + e x = 1 + x = 0 .
-3
4 a. La fonction g est continue et strictement décroissante sur 60 ; + 3 6 ; de plus, g^0 h = 2 2 0 et lim g^ x h =- 3, donc il existe un réel unique a x "+3
appartenant à 60 ; + 3 6 , tel que g^ah = 0 . b. Avec la calculatrice, on trouve 1,27 G a G 1,28 . c. On a g^ah = 0 , donc ea - aea + 1 = 0 , donc :
1 . a-1 lim g^ x h = 1 et g est croissante sur @ - 3 ; 0 @, donc
x "-3
g est strictement positive sur cet intervalle. Finalement, si x ! @ - 3 ; a @, g^ x h H 0 et si x ! 6a ; + 3 6, g^ x h G 0 . 4g^ x h 4^e x + 1h - 4xe x = x . ^e x + 1h2 ^e + 1h2
ce qui est bien du signe de g^ x h . 2 x 0 a 0 + Al^ x h A^ x h A^ah =
4a = ea + 1
0
2e x ^e x - 1h - 2e x # e x - 2e x = . 2 ^e x - 1h ^e x - 1h2
4 a. gl^ x h =
62 1
lim f ^ x h = 1 et lim f ^ x h =+ 3 .
x "+3
-
4^a - 1h
x "-3
x
-3
f ^xh
+3
0
+3 1
3
-1 x+ 2. 2 2 nx 63 1 On a lim e nx = 1 , donc lim e =+ 3 . x x"0 x"0
4 y = f l^0 h x + f ^0 h =
4x = A^ x h. ex + 1
Cette aire est maximale lorsque A atteint son maximum, c’est-à-dire en a . Cette aire vaut 4^a - 1h . 2 Tangente à la courbe de f en M : y = f l^ah^ x - ah + f ^ah . - 4e x , ^e x + 1h2
x 20
x 20 nx
nx
e e = lim n # . En posant y = nx , on a x nx x "+3 ey =+ 3 . lim nx =+ 3 , donc lim n x "+3 y "+3 y lim
x "+3
e nx =+ 3 . x "+3 x
Conclusion : lim
- 4ea 4 ^ x - ah + a . ^e + 1h ^ea + 1h2 Cette tangente a pour coefficient directeur :
donc y =
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
x 20
4a = 4^a - 1h . a a-1
x # f ^xh =
e nx ^nx - 1h nxe nx - e nx = . Comme e nx x2 x2 et x2 sont positifs, la dérivée est du signe de ^nx - 1h, 1 c’est-à-dire négative pour tout x ! C 0 ; C et positive n 1 pour tout x ! 9 ; + 3 9 . n 1 La fonction f n est donc décroissante sur C 0 ; C et n 1 + 9 9 croissante sur ; 3 . n 3 D’après la question 2 , la fonction f n admet bien un 1 1 qui vaut f n a k = ne . minimum en x = n n 1 et yn = ne . On a donc xn = n 2 f ln^ x h =
4 - 4ea 1 = - 4^a - 1h . a 2 = 2 a a a2 ^e + 1h a k a 1 La droite ^PQh a pour coefficient directeur : - 4^a - 1h f ^ah -4 = = . -a a2 a^ea + 1h Ces deux droites ont le même coefficient directeur, donc elles sont parallèles. m=
2e x =+ 3 (asymptote verticale). X x"0 e - 1
donc lim
+3
Partie 3 1 L’aire du rectangle est égale à :
f l^ x h =
x"0
Donc la courbe de f admet en + 3 une asymptote horizontale d’équation y = 1 . - e-x 2 f l^ x h = 1 0. 2 1 + e-x
Partie 2 1 Al^ x h =
x
x"0 x 20
ea =
5
2e x 2e x = lim x "+3 e - 1 x " +3 ex 1 - 1 c m ex 2 = lim = 2. x "+3 1 - 1 ex + 3 a. lim ^e x - 1h = 0 et lim 2e x = 2 , lim
2 c.
Livre du professeur - CHAPITRE 4
Fonction exponentielle
9
4
lim xn = 0 ; lim yn =+ 3 . La suite ^ xnh converge
n "+3
x
n "+3
vers 0, ^ ynh est divergente.
f l^ x h
64 Partie A
f ^xh
1 gl^ x h = e x - 1 , qui est positive si x est positif et néga-
tive sinon.
-1
1- 2 + 0
1+ 2 0
+3 +
f ^ x1h f ^ x2h
0
3 ^T h : y =- x + 1
x -3 gl^ x h g^ x h
0
+3
4
+ 0
Le minimum de g est 0, donc g est positive sur R. 2 On a e x - x - 1 H 0 , donc e x - x H 12 0 . Partie B x x e x "+3 x "+3 - 1m xc x 1 = lim =0 x x "+3 e -1 x 1 =- 1 . lim = f ^ x h = lim x x "-3 x "-3 e -1 x b. La courbe de f admet deux asymptotes horizontales d’équations y = 0 en + 3 et y =- 1 en - 3 . 1 a.
lim f ^ x h = lim
2 f l^ x h =
1
-3
f l^ x h f ^xh - 1
+
0,1 0
0
b. On étudie le signe de f ^ x h - x . - xg^ x h x^1 - e x + x h x -x = = x . f ^xh - x = x x e -x e -x e -x Or, g^ x h et le dénominateur sont positifs, donc le signe est celui de - x . Conclusion : la courbe de f est au-dessus de ^T h sur @ - 3 ; 0 @ et en dessous sur 60 ; + 3 6 . 4
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
f
+3
0 1 e-1
3 a. ^T h : y = x .
lim f ^ x h = 0 , donc la courbe de f admet
x "+3
l’axe des abscisses comme asymptote horizontale. 2 a. f l^ x h =- 2xe-x - ^1 - x2 h e-x = e-x ^ x2 - 2x - 1h . b. D = 8 , donc les racines sont : 2-2 2 = 1 - 2 et x2 = 1 + 2 . x1 = 2 10
g
^1 - x he x e x - x - x^e x - 1h = ^e x - x h2 ^e x - x h2 x
65 1
66 1 a. b. La suite ^u h semble converger vers 0,2. n y
Livre du professeur - CHAPITRE 4
0,1 u1 u2
0,5
x
2 a. La fonction f est clairement croissante sur 60 ; 0,5 @ ^ f l^ x h = 2e2x - 2 2 0h. ◗ Initialisation : 0 G u0 G 0,5 . Hérédité : supposons que pour un entier n, on a 0 G un G 0,5 , démontrons que 0 G un + 1 G 0,5 . Par croissance de f , on a f ^0 h G f ^unh G f ^0,5h, donc e-2 G un + 1 G e-1 , donc 0 G un + 1 G 0,5 . Conclusion : pour tout entier n, 0 G un G 0,5 . ◗ Initialisation : on a u0 = 0 et f ^u0h = u1 = e-2 , donc u0 G u1 . Hérédité : supposons que pour un entier n, on a un G un + 1 , démontrons que un + 1 G un + 2 . Par croissance de f , on a f ^unh G f ^un + 1h , donc un + 1 G un + 2 . Conclusion : pour tout entier n, 0 G un G un + 1 G 0,5 . b. La suite ^unh est croissante et majorée, donc elle converge vers une limite , . c. , . 0,203 .
1 ex =+ 3 , donc lim x = 0, x "+3 x x "+3 e x x -x = 0. donc lim x = 0 , ce qui équivaut à lim xe x "+3 x "+3 e 1 1 + = 0. b. lim e-x 1 + x = lim e-x # x x x2 x "+3 x "+3 67 1 a. On a lim
Fonction exponentielle
2 f l^ x h =- e-x
1 + x + e-x #
1 2 1+x
Problèmes
- 1 - 2x m. 2 1+x La dérivée est du signe de - 1 - 2x , c’est-à-dire positive 1 1 sur ;- 1 ; - 2 E et négative sur ;- 2 ; + 3 ; . 3 D’après le signe de la dérivée, f est croissante, puis décroissante, donc elle admet un maximum pour 1 x =- . 2 1 1 1 e = . f a- k = e 2 2 2 2 = e-x c
4
x
-1
f l^ x h f ^xh
0
1 2 + 0
+3 -
e 2
0
70 Partie A
1 f l^ x h = ^- 0,25x + 2h e-x . Cette dérivée s’annule
pour x = 8 , est positive pour x ! 6 4 ; 8 @ et négative pour x ! 68 ; 20 @. 2 x 4 8 20 + 0 f l^ x h f ^xh
4e3
0
16
Partie B 1 Bénéfice = f ^ x h . 2 Le prix d’une centrale doit être de 800 € pour réaliser un bénéfice maximal. Ce bénéfice vaut environ 80,34 centaines d’euros, donc 8 034 €, à l’euro près. 71 Partie A
68 1 a. V = 36 000^e-2,4 - e-4,8h . 2 970 cm3.
b. Lorsque v = 0 , V = 0 . Lorsque l’outil n’est pas en mouvement, il n’y a pas de copeaux. 2 a.
eh - 1 eh - e0 = expl^0 h = 1 . = lim h h h"0 h"0
1 lim
Donc lim f ^ x h = 1 . x"0
2
lim f ^ x h = lim
x "+3
x "+3
1 = 0. ex -1 x
Partie B 1 La somme proposée est la somme des termes d’une 1
Le maximum est atteint pour x environ égal à 347 et il vaut 9 000. b. f l^ x h = 36 000^- 0, 002e-0,002x + 0, 004e-0,004x h = 72e-0,002x ^- 1 + 2e-0,002x h . Avec la calculatrice, on a f l^ x h H 0 sur l’intervalle 60 ; 347 @ et f l^ x h G 0 sur 6347 ; 1200 @. c. La fonction f est croissante sur 60 ; 347 @ et décroissante sur 6347 ; 1200 @. Elle admet bien un maximum en x . 347 . 3 Comme la fonction « volume de copeaux » est la fonction f , il y a bien une vitesse de coupe conduisant à un volume de copeaux maximal, c’est environ 347 m $ min-1 .
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
69 1 f ^0 h = 1 , donc c = 1 .
suite géométrique de premier terme 1 de raison e n . Donc : 1 n ae n k 1 2 n-1 1 1-e C 91 + e n + e n + f + e n = = 1 1 . 1-en 1-en 1 1 1-e n 2 un = # 1 = ^1 - e h 1 n 1-en 1-e n 1 = ^e - 1hf a k . n 1 3 lim f a k = 1 , donc lim un = e - 1 . n n "+3 n "+3 72 1 P^ X G 2 000h = 1 - e-1 . 0,63 . 2 P^ X H 10 000h = 1 - ^1 - e-5h = e-5 . 0,0067 . x
73 1 I^ x h = 110e- 28 .
I l^ x h =sante.
f l^ x h = ^2ax + bhe-x - ^ax2 + bx + c he-x = e-x ^- ax2 + ^2a - bhx + b - 1h ; f l^0 h = 2 , donc b - 1 = 2 , c’est-à-dire b = 3 . On a donc f l^ x h = e-x ^- ax2 + ^2a - 3hx + 2h . f ll^ x h =- e-x ^- ax2 + ^2a - 3hx + 2h + e-x ^- 2ax + 2a - 3h = e-x ^ax2 + ^- 4a + 3hx + ^2a - 5hh ; f ll^0 h =- 1 , donc 2a - 5 =- 1 , c’est-à-dire a = 2 . 2 La courbe n° 1, car la fonction vaut 1 en 0 et le coefficient directeur de la tangente en 0 vaut 2.
110 - x e 28 1 0 , donc la fonction I est décrois28 x I ^xh
0 110
100 3,09
2
Livre du professeur - CHAPITRE 4
Fonction exponentielle
11
3 La lumière a perdu la moitié de son intensité à environ 19,4 m de profondeur.
74 1 f l^ x h = e x - 1 . La dérivée est positive si x est
positif, négative si x est négatif. x -3 f l^ x h f ^xh
0 0
+3 +
76 Partie A 1 f l^ x h = e x - 1 . La dérivée est positive lorsque x est
positif.
Donc f est croissante sur 60 ; + 3 6 et l’on a f ^0 h = 1 . 2
0
D’après le tableau de variations, on peut dire que f est positive sur R. Donc e x - ^ x + 1h H 0 , donc 1 + x G e x . 2 1 + y G e y , donc 1 - x G e-x , ce qui équivaut pour
1 1 . H 1 - x , c’est-à-dire e x G 1-x ex 1 1 1 3 a. On pose x = et d’après 1 , 1 + Gen ; n n 1 n donc a1 + k G e . n 1 1 1 b. e n + 1 G (on a bien 11 ), donc on +1 1 n 1n+1 1 n+1 1 n+1 obtient e n + 1 G , donc e G a1 + k . n n 4 a. On a, d’après les questions précédentes, 1 n 1 n+1 a1 + k G e G a1 + k , c’est-à-dire : n n u 1 3 un G e G un a1 + k + 0 G e - un G n G . n n n 3 = 0 , on aura lim ^e - unh = 0 b. Comme lim n "+3 n n "+3 d’après le théorème des gendarmes. Donc la suite ^unh converge vers e. tout x 21 à
lim f ^ x h = lim x c
x "+3
La fonction f est continue et strictement croissante sur 60 ; + 3 6 , grâce à sa valeur en 0 et sa limite en + 3 on peut en déduire que l’équation f ^ x h = n , avec n 2 0 , a une unique solution sur 60 ; + 3 6 . 3 a. f ^ x h = 1
1 k . f ^ xk h + 0,1f ^ xk h 10 donc f ^ xk + 1h . 1,1 # f ^ xk h . b. 1 a. f ^ xk + 1h = f a xk +
+ x = 0.
b. f ^ x h = 2 pour a2 . 1,15 ; f ^ x h = 3 pour a3 . 1,51 . Partie B 1 On a f ^a nh = n et f ^a n + 1h = n + 1 . Si on avait
a n 2 a n + 1 , alors par croissance de f , on aurait f ^a nh 2 f ^a n + 1h , c’est-à-dire n 2 n + 1 , ce qui est faux. Par l’absurde, on a montré que, pour tout entier non nul n, a n G a n + 1 , c’est-à-dire la suite ^a nh est croissante. 2 Supposons la suite ^a nh majorée par A. Alors, pour tout entier non nul n, on aurait a n G A , ce qui entraînerait f ^a nh G f ^ Ah , mais cette inégalité contredit la limite de f en + 3 .
Conclusion : cette suite est croissante et non majorée, elle tend vers + 3 . 3 f ^a nh = n , donc
donc
75 Partie B
x "+3
ex - 1 m =+ 3 . x
f ^a nh n = an ; ean e
ean - a n n = an ean e
+ 1-
an n = an . ean e
Or, comme ^a nh tend vers + 3 quand n tend vers l’infini, a le quotient ann tend vers 0. e ean = 1. Conclusion : lim n "+3 n k 1 10 = 1,2 ; donc c + C = , kd 12 kc + C kd k 5 - c . donc C = 6 kd k 2 lim N^ t h = d . kc t "+3 t t t t k kd e kd c c e kd + C m - e kd ^kc e kd h kd 3 N l^ t h = 2 t k c c e kd + C m kd 77 1 N^0 h =
c. On a uk + 1 . 1,1uk avec u0 = 1 , donc uk . 1,1 k .
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
2 a. f ^ xk + 1h . 1,01 # f ^ xk h .
t
=
b. uk . 1,01 k . 12
Livre du professeur - CHAPITRE 4
Ckd e kd
2 t k c c e kd + C m kd
.
Si la constante C est négative, la fonction N est strictement décroissante sur 60 ; + 3 6 , sinon elle est croissante. Fonction exponentielle
Cas pour C négative :
r = 300 . La population ne peut pas a dépasser 300 millions d’habitants. b. Le modèle donne 263 millions pour 2000 et 272 pour 2010 : il n’est plus satisfaisant. 4 a. La limite est
81 Partie A
2
2
2
1 f l1^ x h = 1 # e-x + x # ^- 2x h e-x = ^1 - 2x2h e-x .
78 1 a. v^ t h = 10 - Ce-t .
b. v^0 h = 1 , donc C = 9 . c. lim v^ t h = 10 . t "+3
La vitesse limite est de 10 mètres par seconde. 2 La distance parcourue sera également de 500 mètres. On trouve que le parachute doit être déclenché au bout de 50 s (au bout de 51 s, il sera en dessous de 500 m). 3 On constate que v l^ t h = Ce-t . D’où v l^ t h + v^ t h = 10 . 79 1 v^0 h = 1 .
D’où : - 10 ^K - 1h = 1 + K + 1 =- 0,2 10 + 0, 2 10 K 2 - 2K + K = -11++00,2,2 1010 . 10 2 lim v^ t h = . La vitesse limite est donc sensi2 t "+3 blement plus faible. - 40Ke 10 t 3 v l^ t h = ^2 - 2Ke 10 t h et v2 ^ t h =
10K2 e
v l^ t h + v2 ^ t h =
10 t
+ 10 + 20Ke 2 ^2 - 2Ke 10 t h
10K2 e
10 t
10 t
Cette dérivée est du signe de 1 - 2x2 , c’est-à-dire posi1 1 tive sur ;0 ; ; + 3 ; ; donc la E et négative sur ; 2 2 1 fonction f 1 est croissante sur ;0 ; E, puis décrois2 1 sante sur ; ; + 3 ;. 2 2 1 2 lim xe-x = lim ue-u # = 0. + + u x" 3 u" 3 La courbe représentative de f 1 est asymptote à l’axe des abscisses en + 3 . 3 1 x 0 +3 2 + 0 f l1^ x h 1 f 1^ x h 2e 2
4 f 1^ x h - x = x^e-x - 1h ;
0 1 e 1 1; donc cette différence est négative. La courbe 1 est en dessous de la droite D . 5
.
+ 10 - 20Ke 2 ^2 - 2Ke 10 t h
10 t
=
10 . 4
80 1 On a :
P^0 h = 5,3 + 0,03y0 = 0,00053y0 + ^5,3r - 0,00053y0h
Partie B 2 2 1 f l3^ x h = 3x2 # e-x + x3 # ^- 2x h e-x 2 = x2 ^3 - 2x2he-x ce qui est du signe de 3 - 2x2 .
+ y0 = 5,3 . 0,159 2 P^ t h = . 0,00053 + 0,02947e-0,03t P est strictement croissante (sa dérivée est strictement positive). 3 On teste le modèle avec un tableur :
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
or, x est positif, donc
-x2
f l3^ x h
+
3 2 0
f 3^ x h
3 2
3 -1,5 e 2
x
0
+3 -
2
2 f 3^ x h - f 1^ x h = x^ x2 - 1h e-x . Comme x est positif,
cette différence est positive si x est supérieur ou égal à 1. La courbe 3 est en dessous de la courbe 1 sur 60 ; 1 @ et au-dessus sur 61 ; + 3 6 . 3
Le modèle est satisfaisant sur cette période. Livre du professeur - CHAPITRE 4
Fonction exponentielle
13
Partie C 2 2 1 f ln^ x h = nx n - 1 # e-x + x n # ^- 2x h e-x
83 1 f ^0 h = 1 = e0 .
2
= x n - 1 ^n - 2x2he-x , ce qui est du signe de n - 2x2 . n E La dérivée est positive sur ;0 ; 2 et négative sur n ; ; + 3 ; , donc la fonction f n est croissante sur 2
;0 ;
n n E ; ; + 3 ;. 2 2 , puis décroissante sur n 2 Si n = 2 , alors = 1 ; or, f n ^1 h = e-1 . Toutes les 2 courbes n passent par le point S2 ^1 ; e-1h .
2 La courbe de la fonction exponentielle semble être
au-dessus de celle de la fonction polynôme. x2 3 gl^ x h = e x - 1 - x ; gll^ x h = e x - 1 - x ; 2 g^3 h ^ x h = e x - 1 . 4 a. b. c. g^3 h ^ x h H 0 pour tout réel x positif et négative
sinon. x
0
-3
^3h
g ^xh
-
gll^ x h
0
+3 +
0
On en déduit que, pour tout réel x, gll^ x h H 0 . 5 a. b. x 0 -3 +3
82 1 La courbe de f semble symétrique par rapport a
à l’axe des ordonnées, cette fonction semble décroissante sur @ - 3 ; 0 @ et croissante sur 60 ; + 3 6 . Elle semble admettre un minimum en 0 qui vaut a. x x 2 lim exp a k =+ 3 et lim exp a- k = 0 , a a x "+3 x "+3 donc lim f a^ x h =+ 3 ;
x "+3
a
-x
x
3 f a^- x h = aexp a k + exp a kk = f a^ x h , a a 2
donc cette fonction est paire. Sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. -x a 1 x 4 f l a^ x h = kk # aexp a k - exp a 2 a a a 1 2x x = exp a- kcexp c m - 1m. 2 a a 2x m H 1 ; donc f la^ x h H 0 , par syméOr, si x H 0 , exp c a trie, la dérivée est négative si x est négatif. 5
x
0
-3
f la^ x h f a^ x h
-
0
0
gl^ x h
-
g^ x h
0
+
0
On déduit de ce tableau de variations que la fonction g est positive pour tout réel x ; donc la courbe de la fonction exponentielle est bien au-dessus de celle de la fonction f . 7 a. Dans la colonne D, on calcule la valeur absolue de la différence des deux expressions, c’est-à-dire la distance entre les deux courbes. b. Toutes les valeurs de ce tableau comprises entre 0 et 0,38 (valeurs incluses).
Pistes pour l’accompagnement personnalisé
84 a. Les limites en - 3 et + 3 sont respectivement
+
0 et + 3 . b. exp ^0 h = 1 ; exp ^1 h = e .
a
6 D’après le tableau de variations, ©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
gl^ x h
Revoir les outils de base
+3 +3
+3
+
On en déduit que, pour tout réel x positif, gl^ x h H 0 et, pour tout réel x négatif, gl^ x h G 0 . 6 a. b. x 0 -3 +3
x "+3
x x lim exp a k = 0 et lim exp a- k =+ 3 , a a x "-3 x "-3 donc lim f a^ x h =+ 3 .
gll^ x h
minimum en 0 qui vaut a. 7
f a admet un
c. y = x + 1 .
Les savoir-faire du chapitre 85 a. e20 ;
b. e-3 ^e2x + e-2x + 2h - 2e x = e2x - 3 + e-2x - 3 + 2e-3 - 2e x ; c. e x + 2 . 86 a. 0 ;
14
Livre du professeur - CHAPITRE 4
Fonction exponentielle
b. 1 ;
c. + 3 ;
d. 1.
Vers le Supérieur
87 1 f l^ x h = ^2x + 2h e x2 + 2x . 2 f l^ x h = ^1 + 2x h e2x . 3 f l^ x h =
91 1 Si f n’est pas la fonction nulle, alors il existe un
x
^ x + 2he . ^1 - 2e x h2
réel u tel que f ^u h ! 0 . On a alors f ^u h = f ^u + 0h = f ^u hf ^0 h et, comme f ^u h ! 0 , alors f ^0 h = 1 . 2 S’il existe un réel a tel que f ^a h = 0 , alors pour tout réel u, on a : f ^u h = f ^u - a + ah = f ^u - ahf ^ah = 0 ; donc f est la fonction nulle. 3 f ^u + t h = f ^u h f ^ t h , donc f l^u + t h = f ^u h f l^ t h . 4 On prend t = 0 et on obtient, pour tout réel u, f l^u h = f ^u hf l^0 h . On a une relation du type f l = kf , où k est une constante ; donc f ^ x h = e kx .
88 1 f l^ x h = e3x + 3xe3x = ^1 + 3x h e3x .
x f l^ x h
1 3 0
-
-3 -
f ^xh
-
2
+3 +
1 3e
2
2
2 f l^ x h = e x + 2x2 e x = ^1 + 2x2h e x 2 0 .
x
-3
f l^ x h
+3 +
92 1
f ^xh 3 f l^ x h =
- 4e2x 1 0. ^1 + e2x h2 x
-3
f l^ x h
+3 -
f ^xh
2 Pour 23 € l’article, la demande est d’environ 20 000 articles, donc le montant de la demande est environ égal à 460 000 €. 3 Le prix unitaire doit être inférieur à 30 €. 4 f l^ x h =- 20e-0,1x 1 0 , donc la fonction f est décroissante. 5 a. Le prix d’équilibre est d’environ 21 €. b. L’entreprise peut espérer vendre 25 000 objets.
Approfondissement 89 1
Années 0
Population 5,30
10
7,15
20
9,66
30
13,04
40
17,60
93 1 La fonction f est définie sur R\ "a , . a
50
23,75
2 Si a H 0 , lim xe x - a =+ 3 ,
60
32,06
1
x "a x 2a
Les valeurs obtenues sont proches de celles du tableau. 2 P l^ t h = 0,03P^ t h . 3 La limite de P^ t h en + 3 est + 3 . Ce modèle ne peut être valable sur une longue période. 4 Évolution d’une population de bactéries, etc.
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90 1
lim M^ t h = C .
x "+3
car lim
x "a x 2a
1
Si a 1 0 , lim xe x - a =- 3 , x "a x 2a
car lim
2 Cette limite peut être représentée par la masse du rongeur à l’âge adulte. 3 Ml^ t h = Cabe-at exp ^- be-at h . La fonction M doit être croissante, donc b doit être strictement positive. 4 a. M^ t h = 750 exp ^- 3,9e-0,04t h . b.
1 =+ 3 et lim eu =+ 3 . x-a u "+3
x "a x 2a
1 =+ 3 et lim eu =+ 3 ; x-a u "+3 1
lim xe x - a = 0 , car lim
x "a x 2a
x "a x 2a
1 =- 3 et lim eu = 0 ; x-a u "-3
1
lim xe x - a =+ 3 ,
x "+3
car lim
x "+3
1 = 0 et lim eu = 1 ; x-a u"0 1
lim xe x - a
x "-3
3 On calcule
95, page 117.
=- 3
, car lim
x "-3
1 = 0 et lim eu = 1 . x-a u"0
1 lim a xe x - a - x - 1 k d’après l’exercice
x "+3
Livre du professeur - CHAPITRE 4
Fonction exponentielle
15
1 ; on obtient : x-a 1 1 lim aa + a k eu - a + a k - 1 k u u"0 u
◗ Cas -
On pose u =
= lim
u"0
1 1a10 : 4
x
1^ u e - 1 h + ae u - a - 1 = 0 , u
eu - 1 = 1. u u"0
car lim
-3
a
f l^ x h f ^xh
+
+
x1 0
x2 0
-
+3 +
0
+3
-3
-3
◗ Cas a = 0 :
Comme la limite est nulle, la droite d’équation y = x + 1 est asymptote à la courbe de f a en + 3 . On pourrait faire le même raisonnement en - 3 , donc cette droite est aussi asymptote à la courbe en - 3 . 1 1 x 4 f la^ x h = e x - a 2 e x-a ^ x - ah 1 x = e x - a c1 m ^ x - ah2 1 x2 - ^2a + 1hx + a2 = e x-a f p. ^ x - ah2
x f l^ x h f ^xh
0
-3
1
+
0
0
+3 + +3
+3 e
-3
◗ Cas a 2 0 : x
-3
f l^ x h f ^xh
+
x1 0
a -
+3
-3
x2 0
+3 + +3
0
La dérivée est du signe de x2 - ^2a + 1hx + a2 . D = 4a + 1 . 1 Si a 1 - , alors D 1 0 et la dérivée est positive, la 4 fonction est strictement croissante sur son ensemble de définition. x
-3
f l^ x h f ^xh
+3
a +
+ 0
-3
+3 -3
1 , alors D = 0 et la dérivée est positive, la 4 fonction est croissante sur son ensemble de définition. On a le même tableau de variations que précédemment. 1 Si a 2 - , alors D 2 0 , les deux racines sont : 4 1 1 x1 = a + 4a + 1 2 2 1 1 et x2 = a + + 4a + 1 . 2 2 On a de façon évidente x2 2 a .
Si a =-
On aura x1 1 a si, seulement si, 1 1 1 2 2
+ 11 4a + 1 + a 2 0
1 1 a 1 0 , on aura x1 2 a . 4
.
1 ul , alors Nl =- 2 . N u L’équation s’écrit : ul^ t h 1 1 - 2 =a - 2 + - ul^ t h =- au^ t h + 1. u^ t h u ^t h u ^t h 1 Les fonctions u sont du type u^ t h = Ce- at + . a 1 1 = 2a, Donc N^ t h = , avec N^0 h = 1 1 - at Ce + C+ a a 1 . ce qui équivaut à C =2a a 2a = . Finalement , N^ t h = 1 - at 2 e- at 1- e 2 On pose u =
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Si -
4a + 1
94 Nl^ t h = aN^ t h - N2 ^ t h .
16
Livre du professeur - CHAPITRE 4
Fonction exponentielle
5
C H A P I T R E
Fonction logarithme népérien Introduction 1. Programme Contenus Fonction logarithme népérien Fonction x
7 ln x .
Relation fonctionnelle, dérivée.
Capacités attendues • Connaître le sens de variation, les limites et la représentation graphique de la fonction logarithme népérien.
Commentaires On peut introduire la fonction logarithme népérien grâce aux propriétés de la fonction exponentielle ou à partir de l’équation fonctionnelle. • Utiliser, pour a réel strictement positif et b On souligne dans les cadres algébrique et réel, l’équivalence ln a = b + a = eb . graphique que les fonctions logarithme • Utiliser la relation fonctionnelle pour népérien et exponentielle sont réciproques transformer une écriture. l’une de l’autre. Tout développement théorique sur les fonctions réciproques est • Connaître et exploiter lim ln x = 0 . exclu. x "+3 x On fait le lien entre le nombre dérivé de la fonction logarithme en 1 et la limite en 0 de ln x . x On évoque la fonction logarithme décimal pour son utilité dans les autres disciplines.
E [SI] Gain lié à une fonction de transfert. E [SPC] Intensité sonore, magnitude d’un
séisme, échelle des pH.
AP Équations fonctionnelles. Calcul de dérivées : compléments
Dérivée de x
7 ln ^u^ x hh
2. Intentions des auteurs – proposer de nombreuses applications ou problèmes issus de situations concrètes qui font intervenir la fonction logarithme népérien (décibel, pH, etc.). Les outils informatiques ou l’utilisation de logiciels de calcul formel ont une place privilégiée dans les résolutions des différents problèmes.
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Ce chapitre fait suite au chapitre 4 consacré à la fonction exponentielle. Conformément au programme, le lien de réciprocité entre les deux fonctions est au cœur des activités d’introduction et des exercices. Les exercices et TP proposés poursuivent un double objectif : – faire acquérir aux élèves une certaine aisance dans les études de fonctions faisant intervenir l’exponentielle et le logarithme népérien ;
Livre du professeur - CHAPITRE 5
Fonction logarithme népérien
1
3 On obtient que ln 8 . 2,08 à 10-2 près. 4 a. On peut donc définir lna, pour tout réel a stricte-
Partir d’un bon pied Objectif Les activités de cette page ont été conçues pour réactiver les connaissances concernant la fonction exponentielle (A) et préparer à l'étude d'une fonction réciproque (B et C). A
1 c.
2 c.
B
1 En + 3 :
3 b.
4 b.
5 a.
lim 2x =+ 3 et lim e y =+ 3 , y "+3
x "+3
donc lim f ^ x h =+ 3 .
1,10 1,79 2,89 -2,30 -4,61 6,21 8,52 c. On peut conjecturer, aux arrondis près, que : ln 2 + ln 3 = ln 6 et 3 # ln 2 = ln 8 . 5 On peut conjecturer que lim ln a =+ 3 x "+3 et lim ln a =- 3 . a"0
x "+3
En - 3 : lim 2x =- 3 et lim e y = 0 , x "-3
x "-3
2 Pour tout x réel : f l^ x h = 2e2x 2 0 . 3 La fonction f est continue strictement croissante
lim f ^ x h =- 4 et
x "-3
2 Une approche graphique du logarithme népérien Activité
y "-3
donc lim f ^ x h =- 4 .
sur R,
ment positif, comme étant l’unique antécédent de a par la fonction exponentielle. b. ln3 ln6 ln18 ln0,1 ln0,01 ln500 ln5 000
lim f ^ x h =+ 3 . Donc,
x "+3
Objectif : On prépare le lien entre les courbes de deux fonctions réciproques. y
d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f ^ x h = 0 admet une unique solution a sur R. Par balayages successifs, on obtient 0,69 1 a 1 0,70 . C 1 Tracé de la courbe à main levée. 2 a. 2. b. - 1 . c. 0. 3 a. f est continue, strictement croissante sur 6- 5 ; 4 @ .
De plus, f ^- 5h =- 6 et f ^4h = 3 . Donc, par le théorème des valeurs intermédiaires, chaque élément de 6- 6 ; 3 @ a bien un unique antécédent par f . b.
x
-6
-5
-4
-3
-2
g^ x h
-5
- 4,5
-4
-3
-2
x
-1
0
1
2
g^ x h
0
0,5
1
2
3 4
Découvrir 1 Une approche numérique du logarithme népérien Activité
Objectif Les activités sont conçues pour amener une découverte progressive de la fonction logarithme népérien et de ses propriétés, en variant les types d'approche (numérique, graphique, fonctionnelle ). On introduit la notation via l'étude de l'équation e x = a . 1 Voir le cours.
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x f ^xh
-3
x
1 2 et 3 On remarque que les deux courbes sont symé-
triques par rapport à la droite d’équation y = x . Activité
3 Images de suites numériques
Objectif : On montre que la fonction exponentielle transforme une progression arithmétique en une progression géométrique, ainsi que le résultat correspondant pour la fonction logarithme népérien. 1 a. un = 3 + 5n . n b. vn = e3 # ^e5h . v est donc une suite géométrique de premier terme e3 et de raison e5 . c. La fonction exponentielle transforme une suite arithmétique de raison r en une suite géométrique de raison e r . 2 a. gn = 2 # 3 n . b.
+3 +3
0
2 a. La fonction exponentielle étant continue, strictement croissante sur R, on justifie l’existence de la soution par le théorème des valeurs intermédiaires. b. Par balayages successifs, on obtient : 0,693 1 ln 2 1 0,694 . On peut donc prendre 0,69 comme valeur approchée.
2
B S 1 0 ln3 J K
1
E G H A C g
Livre du professeur - CHAPITRE 5
La suite est arithmétique de premier terme ln2 et de raison ln3.
Fonction logarithme népérien
c. La fonction logarithme népérien transforme une suite géométrique de raison r en une suite arithmétique de raison lnr.
4 Relation fonctionnelle et fonctions logarithmes Activité
Objectif On met en place les propriétés que l’on peut déduire de l’équation fonctionnelle. 1 f ^1 h = f ^1 h + f ^1 h . D’où f ^1 h = 0 . 1 2 f ^1 h = f a k + f ^ x h . x 1 D’où : f a k =- f ^ x h . x 3 a. On obtient y0 f l^ xy0h = f l^ x h . b. En appliquant la relation à x = 1 , on en déduit que : f l^1 h . f l^ y0h = y0 Activité
4
f ^xh =
ex
; 2 e x ^e2x + 2h - e x # 2e2x donc f l^ x h = ^e2x + 2h2 e x ^2 - e3x h e3x + 2e x - 2e3x = = . 2 ^e2x + 2h ^e2x + 2h2 2 On a e x 2 0 et ^e2x + 2h 2 0 , donc on étudie le signe 2 x de 2 - e . 2 - e2x H 0 + e2x G 2 + 2x G ln 2 + x G 12 ln 2 + x G ln 2 . On obtient le tableau de variations suivant : x +3 -3 - ln 2 e
x2 +
f l^ x h
+
2 4
f ^xh
Savoir faire
Étudier une fonction comportant un logarithme népérien
5 Loi de Kepler
Objectif Grâce au tableur, on met en lumière une loi de Kepler, que l’on vérifie à la dernière question. 3 d. On peut conjecturer une relation affine entre ln T et ln R , du type : ln T = 1,4987 # ln R - 22,31 . -22,31 # e1,4987 # lnR . D’où T = e 4 On utilise la régression linéaire : T . 365,3 jours ; ce qui semble bien valider la loi établie à la question 3 .
5 a. lim ln x =- 3 et lim ln x =+ 3 . x "0
x "+3
D’où : lim f ^ x h = lim f ^ x h =+ 3 . x "0
x "+3
2 ln x . Donc f l^ x h est du signe de ln x . x
b. et c. f l^ x h = On a donc : x
f l^ x h f ^xh
Exercices d’application
0
1
+3
-
+
+3
+3 0
6 a. Par somme, de limites, lim f ^ x h =+ 3 . x "+3
b. lim ln x =- 3 et lim ^1 + ln x h =- 3 .
Savoir faire Utiliser le logarithme
népérien pour résoudre des équations ou des inéquations 1
a. x = ln 5 ; b. x = ln 4 ; d. il n’y a pas de solution.
c. x =- ln 2 ;
c. il n’y a aucune solution ; d. il n’y a aucune solution. ©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
D’où, par produit de limites : lim f ^ x h =+ 3 . x "0
1 2 ln x 1 + 2 ln x + = . c. f l^ x h = x x x f l^ x h est du signe de 1 + 2 ln x .
x x2 -
f est dérivable sur R et on a f l^ x h = 2x^e 2h . x2 2 On a e 2 H 0 + x ln 2 + x ! @ - 3 ; - ln 2 @ , 6 ln 2 ; + 3 6 . On obtient le tableau de variations suivant : x 0 +3 -3 - ln 2 ln 2 + + f l^ x h f ^xh
x "0
f l^ x h H 0 + 1 + 2 ln x H 0 + ln x H - 12 + x H 1e On a donc :
2 a. x = e5 ; b. x = e-4 ;
3
x "0
f l^ x h f ^xh
1 e
0
+3
-
+
+3
+3 1 4
7 a. En 0 lim ln x =- 3 et lim 1 =+ 3 . x "0
x "0
x
D’où lim f ^ x h =- 3 . x "0
Livre du professeur - CHAPITRE 5
Fonction logarithme népérien
3
En + 3 , d’après le cours, lim f ^ x h = 0 . x "+3
1 - ln x . x f l^ x h est du signe de 1 - ln x . On a donc :
b. f l^ x h =
x
0
f l^ x h f ^xh
e
+3
+
1 e
-3
0
8 a. Par différence de limites, lim f ^ x h =+ 3 . x "0
ln x = 0, b. D’après le cours, lim x "+3 x ln x m = 1 . Donc, par produit : d’où lim c1 + x x "+3 lim f ^ x h =+ 3 .
x "+3
c. f l^ x h = 1 -
1 x-1 = . x x
On a donc : x
0
f l^ x h f ^xh
1 -
+3 +
+3
2 a. Il s’agit du coefficient directeur, de la pente de la droite ^ ABh . b. 6,93 ; 1,82 ; 0,95 ; 0,36 ; 0,01. Il semble que le taux de variations décroisse vers 0. c. Par exemple, pour a = 100 000 . ln ^ x + 1h - ln x d. On veut 1 10-n . x+1-x 1 1 D’où ln a1 + k 1 10-n . D’où x 2 10-n . x -1 e On voit donc bien que le taux d’accroissement peut être rendu aussi proche de 0 que l’on veut.
11 Une approximation de ln2
1 1 2 0. 2n + 1 2n + 2 1 1 1 vn + 1 - vn = 2n + 1 2n + 2 2n + 1
1 un + 1 - un =
1 1 0. 2n + 3 2 On a un G ln 2 et vn H ln 2 . Les inégalités sont strictes, car les suites sont strictement monotones. Voici un exemple avec Xcas, et une application avec n = 51 . On obtient un encadrement à 0,1 près, ce qui est vraiment très moyen ! +
+3 1
Travaux pratiques 9 Qui est le plus grand ?
Étape 1 1 a. On a 3 4 2 43 et 89 2 98 . b. On peut conjecturer que 2 0142 015 2 2 0152 014 . 2 b. 2 015 ln 2 014 . 15 330 et 2 014 ln 2 015 . 15 323 . La conjecture semble donc vérifiée. Étape 2 2 On a vu (Savoir Faire, exercice 7) que : x
0
f l^ x h
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
f ^xh
e +
-3
+3 -
1 e
0
La fonction est donc décroissante sur 6e ; + 3 6 . ln n est donc décroissante pour n H 3 . La suite n Pour n = 1 , on constate que 12 1 21 , et pour n = 2, 23 1 32 . Étape 3 n On a pour n H 3, n n + 1 2 ^n + 1h . Et le résultat est inversé pour n = 1 et n = 2 . 10 « Vitesse de croissance » de la fonction ln 1 Alors que les abscisses varient de 1 à 5, les valeurs des
ordonnées varient à peine de 0 à 1,5. 4
Livre du professeur - CHAPITRE 5
12 Logarithme décimal
Partie A 1 log 10 = 1 , log 100 = 2 , log 0,001 =- 3 . 2 On encadre x par deux puissances de 10 consécutives, et on utilise la croissance du logarithme népérien. On obtient : 3 1 log 1789 1 4 4 1 log 25 665 1 5 - 3 1 log 0,00933 1 - 2 . 1 3 La dérivée est égale à . La fonction est donc x ln 10 strictement croissante sur @ 0 ; + 3 6 . Partie B 1 L = 70 dB . L 2 I = I0 e 10 ln 10 = 0,01 W $ m-2 . L 3 I = I0 e 10 ln 10 . 100 W $ m-2
4 a. f ^10-12 h = 0 .
Fonction logarithme népérien
10 x m = ln 10 ^ln x + 12 ln 10h 10-12 = 10 log x + 120 . 10 . c. f l^ x h = x La fonction est donc strictement croissante sur @ 0 ; + 3 6 . 5 C’est vrai, on retrouve une propriété classique du logarithme décimal. b. f ^ x h = 10 log c
70 6 a. I70 = I0 e 10 ln 10 = 10-5 W $ m-2 . 80
I80 = I0 e 10 ln 10 = 10-4 W $ m-2 . L’intensité sonore est donc de 1,1 # 10-4 W $ m-2 , ce qui correspond à un niveau sonore de 80,4 dB. On retrouve quasiment le niveau sonore de la machine la plus bruyante.
25 a. Ensemble de définition : @ 0 ; + 3 6 ;
-1 + 5 . 2 b. Ensemble de définition : @ 0 ; + 3 6 ; pas de solution. c. Ensemble de définition : @ 1 ; 3 6 ; deux solutions : x = 0 et x = 2 . 6 d. Ensemble de définition : C ; + 3 9 ; 5 deux solutions : x = 2 et x = 3 .
une solution : x =
26 a. x = 0 ;
e-1 k ; 2 c. Pas de solution ; d. x = e3 . b. x = ln a
27 a. x = ln 3 - 2 ;
- ln 4 + 1 ; 2 5 c. x = 2 - ln . 12 b. x =
Faire le point 16 1 b.
2 b.
3 c.
17 1 b.
2 c.
3 c.
18 1 Faux.
2 Vrai.
3 Faux.
4 Faux.
19 1 Faux.
2 Vrai.
3 Vrai.
4 Vrai.
4 c.
5 a.
6 a.
28 1 X = 1 ou X = 2 .
2 a. x = e ou x = e2 ;
b. x = 0 ou x = ln 2 . 29 1 X = ! 6 . 2 a. x = e 6 ou x = e- 6 .
b. x = ln 6 . 30 1 Faux.
Exercices d’application
2 Faux.
3 Faux.
4 Faux.
22 a. x = ln 4 ;
b. x = e-3 ;
c. x = e2 ;
d. x = e ou x =
5 Faux.
23 a. x = ln 4 ;
6 b. x = ln ; 5
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
c. x =
ln 2 ; 2
8
1 . e
d. pas de solution.
24 a. Ensemble de définition : @ - 2 ; + 3 6 ;
une solution : x = 0 . 5 b. Ensemble de définition : C ; + 3 9 ; 2 5+e . une solution : x = 2 c. Ensemble de définition : @ - 3 ; 16 ; une solution : x = 1 - e2 . d. Ensemble de définition : @ 0 ; + 3 6 ; pas de solution.
4 Vrai.
b. x ! @ 3 ; + 3 6 ; c. x ! 6e-1,5 ; + 3 6 ; d. x ! 6e2 ; + 3 6 .
21 a = 2 ; b =- 3 ; c = 5 ; d = 1 ; e = 49 ; f = 1 .
3
3 Vrai.
31 a. x ! @ 0 ; e @ ;
1 La fonction logarithme népérien 20 1 Vrai.
2 Faux.
32 a. Ensemble de définition : @ - 1 ; + 3 6 , solution :
x ! @ - 1 ; 0 @. b. Ensemble de définition : @ - 2 ; + 3 6 , pas de solution. c. Ensemble de définition : @ - 3 ; 3 6 , solution : x ! 63 - e ; 3 6 . 33 a. + 3 ;
b. ln 2 ;
c. ln 3 ;
d. + 3 .
34 a. + 3 ;
b. - ln 2 ;
c. - 3 ;
d. + 3 .
2 Propriétés algébriques 35 1 c.
2 a.
3 b.
4 b.
36 1 Faux.
2 Faux.
3 Vrai.
4 Vrai.
37 1 Vrai (propriété fondamentale du logarithme). 2 Faux, car seul 0 vérifie 2x = x et ce n’est pas un
élément de l’ensemble de définition de cette équation. 3 Vrai, par stricte croissance du logarithme, car 2x 2 x pour x 2 0 . Livre du professeur - CHAPITRE 5
Fonction logarithme népérien
5
4 Vrai, par stricte croissance du logarithme népérien. 5 Vrai : x = 0 .
38 1 Vrai.
2 Vrai. 5 Faux.
4 Vrai.
b. On en déduit le tableau de variations suivant : x
0
f l^ x h
3 Faux. 6 Vrai.
f ^xh
39 a = 2 ln 2 + ln 3 ; b = 3 ln 2 ; c = 2 ln 3 ;
2 1 ; f = 2 ln 3 - 1 . d = ln 3 - ln 2 ; e = ln 2 + 2
e +
+3 -
1 4
-3
-3
y
4
1 0
40 a = 2 ln 2 + 2 ln 5 ; b = 2 ln 2 - 2 ln 5 ;
1 ln 5 - ln 2 ; d = 2 + ln 2 + ln 5 ; 2 1 1 - ln 5 ; f = 2 ln 2 + ln 5 - 0,5 . e= 2 2
x
1
c=
5 Pour k ! C - 3 ;
1 : une solution. 4 1 Pour k ! C ; + 3 9 : aucune solution. 4
41 a = 4 ln x ; b = 1 - ln x ; c = 1 ln x - 1 ;
Pour k =
2
d = 1 + ln x ; e =
1 ln x - 0,5 ; f = ln x - 0,5 . 2
42 a = ln 20 ; b = ln 6 ; c = ln
7
d = ln 36 ; e = ln
1 9 : deux solutions. 4
3 c m 2 53 1 p = = 0,01 . 25 c m 2 2 La probabilité considérée est égale à 1 - 0,4 n , si on choisit n ordinateurs. On doit donc résoudre : ln 0,001 . 1 - 0,4 n 2 0,999 + 0,4 n 1 0,001 + n 2 ln 0,4 On doit donc choisir au moins 8 ordinateurs.
3 ; 5
e ; f = ln 125 e . 2
43 a = ln 72 ; b = ln 1 ; c = ln 5 ;
9 e = ln 15 ; f = ln e 15 .
6 ; c = ln 2 ; 21 e 1 3 ; e = ln 2 ; f = ln ^25e2h . d = ln 2e 2 2 44 a = ln 2e3 ; b = ln 1
54 1 f l^ x h = 1 + ln x .
ln x - 1 . ^ln x h2 2 ln x 3 f l^ x h = . x sin x 4 f l^ x h = + ln x cos x . x 2 f l^ x h =
3 Étude de la fonction logarithme
népérien 45 1 Vrai.
2 Vrai.
3 Faux.
4 Vrai.
46 1 Faux.
2 Vrai.
3 Faux.
4 Faux.
47 1 Vrai.
2 Faux.
3 Faux.
4 Faux.
48 a.Vrai. 49 1 b.
b. Faux.
c. Faux.
d. Vrai.
2 c.
50 1 x = e
1+ 5 2
ou x = e
1- 5 2
5 Vrai.
55 1 lim ln x =- 3 et lim ln x =+ 3 . x "0
D’où : lim f ^ x h = lim f ^ x h =+ 3 . x "0
f l^ x h
2 x = 1. n 51 P H 0,99 + a 5 k G 0,01 + n H ln 0,01 . n
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
5 6 D’où n H 25,26 . On doit lancer au moins 26 fois. ln
52 1 f ^ x h = ln x^1 - ln x h .
D’où lim f ^ x h =- 3 et lim f ^ x h =- 3 . x "0
x "+3
1 2 ln x 1 - 2 ln x 2 f l^ x h = = . x x x 3 a. 1 - 2 ln x H 0 + 0 1 x G e . 6
x "+3
2 ln x 2 f l^ x h = . Donc f l^ x h est du signe de ln x . x On a donc : x 0 1 +3
.
6
x "+3
Livre du professeur - CHAPITRE 5
f ^xh
-
+
+3
+3 0
3 Il s’agit d’une application du théorème des valeurs
intermédiaires sur les intervalles @ 0 ; 16 et @ 1 ; + 3 6 . 4 f ^ x h = k + ln x = ! k + x = e! k .
56 1 La première entrée met en mémoire la fonction,
la deuxième calcule sa dérivée, la troisième permet de résoudre f l^ x h 2 0 et d’en déduire donc les variations de f , les deux dernières de déterminer les limites de f en l’infini.
Fonction logarithme népérien
2 Pour le signe de f l^ x h , celle-ci est du signe de 2x + 1 .
Pour les limites, la composition des limites donne le résultat, car x2 + x + 1 tend vers + 3 en !3 . 3 On retrouve bien les variations. Seules les limites ne sont pas évidentes, du fait de la croissance « lente » du logarithme. 57 1 Au bout de n années, le capital sera de
1000 # 1,03 n ; il aura doublé lorsque : ln 2 . 23,5 . 200 # 1,03 n = 4 000 + n = ln 1,03 Donc, il faudra attendre 24 ans. 2 a. b. On retrouve le même résultat. Il suffit de refaire le calcul du 1 avec un capital de départ de C. 3 Si on appelle t le taux de placement, on a : ln 2 . n= ln ^1 + t h 58 1 f est définie sur @ 0 ; 16 , @ 1 ; + 3 6 .
2 lim f ^ x h = x "0
2 L’équation de la tangente à la courbe en M^ x0 ; y0h
est :
y=
a a x - x0h + a ln x0 = x - a + a ln x0 . x0 ^ x0
D’où le résultat par identification avec l’équation réduite de D. 3 On a, par la deuxième équation, x0 = e , car a = 0
n’est pas solution du système. e Donc a = . 1,36 . 2
e k. 2 Les résultats sont donc bien cohérents. Et les coordonnées de M sont ae ;
61
f ^1 h = 0 n’apporte aucune information ;
f ^3 h = 0 + 3a + b = 0 . On a f l^ x h = a ln x +
lim f ^ x h = 0
La tangente considérée dans l’énoncé a pour équation :
x "+3
lim f ^ x h =- 3 et lim+ f ^ x h =+ 3 .
x " 1-
y = ^a + bh^ x - 1h + 0 .
x "1
1 . x^ln x h On en déduit le tableau de variations suivant : x 0 1 +3 3 f l^ x h =-
f l^ x h f ^xh
-
+
0
+3
59 1 lim ln x =- 3 et lim - 1 =- 3 . x "0
D’où a + b =- 2 . On en déduit donc que a = 1 et b =- 3 .
x
2 ; 2x - 1
62 a. f l^ x h =
b. f l^ x h =
2x + 1 ; x x+1
c. f l^ x h =
- x2 + 1 ; x^ x2 + 1h
2+
0
-3
x "0
ax + b . Donc f l^1 h = a + b . x
d. f l^ x h = ln ^2 - x h -
D’où, par somme : lim g^ x h =- 3 ; x "0
-1 = 0. x "+3 x
lim ln x =+ 3 et lim
x "+3
x "+3
1 2 + 2 2 0. g est dérivable sur @ 0 ; + 3 6 et gl^ x h = x x Par le théorème des valeurs intermédiaires on obtient alors l’existence d’une unique solution x0 à l’équation g^ x h = 0 . L’encadrement est obtenu par balayage. 2 5# 5 ln x0 x0 10 2 f ^ x0h = = = 2 . x0 x0 x0 60
y
b. f l^ x h =
1 ; 2x
c. f l^ x h =
ex ; e +1
d. f l^ x h =
cos x . sin x
x
-x 64 a. f l^ x h = - e -x ;
1+e
b. f l^ x h =- tan x ; c. f l^ x h =
a = 1,36 ©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
1 ; x ln x
63 a. f l^ x h =
D’où lim g^ x h =+ 3 .
x+1 . 2-x
3 . 2x
65 1 un + 1 = 1,2 . Donc comme u est une suite à
un termes positifs, elle est croissante.
1 0
1
x
1 À l’aide du logiciel, on conjecture que a . 1,36 , pour un point de contact de coordonnées ^2,5 ; 1,25h .
2 un H 100
+ 1,2n H 125 + n H
Il faut donc que n dépasse 27. 66 1 Vrai.
Livre du professeur - CHAPITRE 5
2 Faux.
ln 125 . ln 1,2
3 Vrai.
Fonction logarithme népérien
7
1 - 2x 1 - 2x = . On en déduit le tableau x x de variations de f :
67 1
3 f l^ x h =
x
On conjecture que f ^ x h 1 0 sur l’intervalle considéré. 2 Il suffit de remarquer que x 1 x + 1 pour x 2 0 , d’où x 1 1 , d’où le résultat. x+1
1 2
0
f l^ x h
+
f ^xh
-
+3 -
1 3 ln 2 2 2
-3
-3
f admet un maximum strictement négatif, elle est donc bien strictement négative.
4 Croissances comparées
76 1 lim f ^ x h =- 3 et lim f ^ x h =+ 3 .
68 a. Faux.
b. Vrai.
c. Vrai.
69 a. Vrai.
1 2 f l^ x h = + 1 . D’où le tableau : x x 0
b. Vrai.
c. Faux.
70 1 a. 1 ;
b. - 3 ;
c. - 3 ;
2
x "0
d. Vrai.
f l^ x h d. 0 ;
x . La limite est donc 0. 2 x x x+1 x 1 = 2# + . La limite est donc + 3 . b. ln x ln x ln x 1 ln x ln x # . La limite est donc 0. c. 2 = x x x ln ^ x2h ln x =2 . La limite est donc 0. d. x x x ex . 2 = X2 ^ln x h Comme X tend vers + 3 , par croissances comparées, la limite demandée est + 3 . 72
x
Or, pour x H 1 ,
1
x
n-1
1
xn - 1
#
+3
+ +3
f ^xh - 3
e. - 3 .
71 a. ln x = 1 ln
73 1 ln x = n
x "+3
3 On applique le théorème des valeurs intermédiaires à
la fonction strictement croissante continue f . 4 Il suffit de remarquer grâce à la calculatrice que f ^1,557h 1 0 ; f ^1,558h 2 0 . 77 1
lim f ^ x h =+ 3 et lim f ^ x h =+ 3 ,
x " -1
x "+3
ln ^1 + x h x m. + 1+x 1+x 1 x 2 f l^ x h = 1 = . 1+x 1+x D’où le tableau :
car f ^ x h = ^1 + x hc
x
0
-1
f l^ x h
ln x . x
-
raison de limites. ln X 2 x n ln x =- n . X Or, lim X =+ 3 . D’où le résultat par composition des
+ +3
+3
f ^xh
G 1 , d’où le résultat par compa-
+3
0 y
x " 0+
limites, en utilisant le 1 . 3 a. - 3 (en factorisant par x2 ) ; b. - 3 (en factorisant par x3 ) ; c. 0 (en développant). x x 74 a. e = e #
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
ln x x produit de limites.
ex - 1 m . La limite est donc + 3 . b. e x - ln x = ln x c ln x x ln x ln x # x . La limite est donc 0. c. x = x e e 75 1 La limite est - 3 (pas de forme indéterminée).
ln x 1 - x m. x x On retrouve donc le résultat, par produit de limites. 2 f ^xh = xc
8
1
x . La limite est donc + 3 , par ln x
Livre du professeur - CHAPITRE 5
0
1
x
3 0 est le minimum de f , donc f ^ x h 2 0 pour x ! 0 .
1 1 ! 0 , donc f a k 2 0 , d’où le résultat. n n 1 On en déduit n ln a1 + k 1 1 , d’où : n 1 n 1 n ln a1 + k k 1 e. n 1 e + a1 + e n 4 a.
Fonction logarithme népérien
3
78 1 Faux, il suffit de prendre u = 1 . n
n n 2 Vrai, car ln ^u0 q h = ln ^u0h + n ln ^q h . 1 ln a1 + k ln ^n + 1h n 3 Vrai, car -1 = 0, +3 ln n ln ^nh puisque le numérateur tend vers 0 et le dénominateur vers + 3 . 4 Vrai : un =
n
/^ln ^k - 1h - ln k h = ln 1 - ln n .
k=2
Donc u diverge vers - 3 .
x 0 f ^xh
Partie B 1 OM =
a
+3
-
+
2
x2 + 4^lnh . 2f ^ x h 4 # 2 ln x 2 a. hl^ x h = 2x + = . x x Donc hl est du signe de f sur @ 0 ; + 3 6 . Donc : x -1 a + hl^ x h
+3
h^ x h
Prépa Bac Exercices guidés 79 1 a. u = 1 ; u = 2 ; u = 3 . 1 2 3
2 3 4 b. Ce sont les mêmes. c. On montre que un = wn pour tout entier naturel n. Initialisation : la propriété est vraie pour n = 0 . Hérédité : on suppose la propriété vraie pour un entier naturel n ; 1 1 = un + 1 = n 2 - un 2n+1 1 n+1 = wn + 1 . = = 2n + 2 - n n+2 n+1 La propriété est donc vérifiée au rang n + 1 . ◗ La propriété est donc vraie pour tout entier naturel n. 1 2 3 2 a. v1 + v2 + v3 = ln + ln + ln 2 3 4 1#2#3 1 = ln = ln =- ln 4 . 4 2#3#4 1#2#f#n =- ln ^n + 1h . b. Sn = ln 2 # f # ^n + 1h Donc lim Sn =- 3 . n "+3
4 . x Par opérations sur les limites, on a : lim f ^ x h =+ 3 et lim f ^ x h =- 3 . 1 f l^ x h = 2x +
x "0
x "+3
D’où le tableau de variations : x ©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
81 1 d. g est continue et strictement croissante ; de
plus, lim g^ x h =- 3 et lim g^ x h =+ 3 . x "0
x "+3
On peut appliquer le théorème des valeurs intermédiaires, d’où l’existence et l’unicité de a . On obtient l’encadrement par balayages successifs. e. x 0 +3 a + g^ x h 2 f ^ x h = x ln x #
lim f ^ x h = 0 .
1 , ce qui permet de justifier que x+1
x "0
80 Partie A
0
f l^ x h
x # ln x , ce qui permet de justifier que x+1 lim f ^ x h =+ 3 .
f ^xh = x "+3
^1 + ln x h^ x + 1h - x ln x g^ x h = . 2 ^ x + 1h ^ x + 1h2 D’où le résultat. 3 f l^ x h =
+3
Exercices d’entraînement
+
f ^xh - 3
+3
82 1 Faux.
f est continue et strictement croissante ; de plus, lim f ^ x h =- 3 et lim f ^ x h =+ 3 . x "0
b. La fonction h possède un minimum qui n’est atteint que pour x = a . Or, OM = h . Donc la distance OM est minimale pour le point A^a, g^ahh . 2 TA a pour équation : y = gl^ah^ x - a h + g^ah . Le coefficient directeur de cette tangente est donc 2 . gl^ah = a g^ah . Or, le coefficient directeur de ^OAh est a g^ah 2 ln ^ah = . Et a a Le produit des coefficients directeurs est donc égal à 4 ln ^ah =- 1 , car, comme f ^ah = 0 ,on a : a2 4 ln ^ah =- a2 .
x "+3
On peut appliquer le théorème des valeurs intermédiaires, d’où l’existence et l’unicité de a . Par balayages successifs, on obtient a . 0,84 .
2 Vrai. 6 Vrai.
5 Faux.
3 Vrai. 7 Vrai.
4 Faux. 8 Faux.
83 1 a.
x ln x^1 - ln x h
Livre du professeur - CHAPITRE 5
0
1 -
e +
+3 -
Fonction logarithme népérien
9
b. Le tableau donne le signe de f ^ x h - g^ x h . On en déduit que est au-dessus de ′ sur @ 1; e 6 , en dessous sur @ 0 ; 16 , @ e ; + 3 6 et que les deux courbes se coupent aux points A^1 ; 0h et B^e ; 1h . 1 - 2 ln x 2 a. hl^ x h = ; x hl^ x h est du signe de 1 - 2 ln x . 1 hl^ x h H 0 + 1 - 2 ln x H 0 + ln x G +xG e. 2 On a donc : x 0 +3 e hl^ x h
+
-
x "+3
-1 - x2 - x - 1 -1 = . x^ x + 1h x^ x + 1h Or, - x2 - x - 1 a un discriminant strictement négatif, donc - x2 - x - 11 0 sur R. Donc f l^ x h 1 0 sur @ 0 ; + 3 6 . D’où le résultat annoncé. c. La fonction f est continue et strictement décroissante sur @ 0 ; + 3 6 , lim f ^ x h =+ 3 et lim f ^ x h =- 3 . b. f l^ x h =
x "0
1 4
h^ x h
1 = 1 , donc par continuité du logarithme, x 1 lim ln a1 + k = ln 1 = 0 . x x "+3 Donc lim f ^ x h =- 3 . lim 1 +
x "+3
b. Sur cet intervalle, on a, du fait de la position relative des courbes, MN = h^ x h . 1 La distance maximale est donc de et elle est obtenue 4 pour x = e .
x "+3
Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel a appartenant à @ 0 ; + 3 6 tel que f ^ah = 0. Par balayage, on obtient a . 0,806 . 2 a. b. y 1
x 84 1 a. f ^ x h = ln ^1 + e h . x
e
ln ^1 + hh = 0 , avec h = e x . h h"0 b. On a donc lim f ^ x h = 1 . On utilise le fait que lim x "-3
c. f ^ x h = f ^ x h x ln ^e x ^1 + e-x hh . x = x + e-x ln ^1 + e-x h . e x On utilise alors que lim x = 0 et que lim X ln X = 0, X "0 x "+3 e -x avec X = e . D’où lim f ^ x h = 0 .
x "+3
d. Deux asymptotes horizontales y = 0 et y = 1 . -t 1 1 2 a. g^ t h = . 2 - 1+t = + th ^ 1 ^1 + t h D’où g^ t h 1 0 pour t 2 0 . D’où le résultat. b. g^0 h = 0 . Donc g^ t h 1 0 pour t 2 0 par stricte décroissance de g. ex 3 f l^ x h =- e-x ln ^1 + e x h + e-x # 1 + ex -x x = e # g^e h. Or, e x 2 0 . Donc g^e x h 1 0 . Donc f l^ x h 1 0 . D’où le tableau de variations suivant : x
0
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
f ^xh
1
0
x
1
85 1 a. lim 1 + 1 =+ 3 , donc lim ln a1 + 1 k =+ 3.
x Donc lim f ^ x h =+ 3 . x "0
x "0
x "0
10
x
1
c. On utilise la continuité de g pour affirmer que g^unh converge vers g^ , h et le fait que un + 1 converge vers , . D’où le résultat, car un + 1 = g^unh . d. Le résultat est immédiat par le 1 c. 86 1 Vrai, car f ^1 h = ln 2 . n
2 Vrai, car f n^2 h = ln 2 # 2 n .
x
3 Faux, car f l1^ x h = ln ^1 + x h + 1+x
et f l1^0 h = ln 2 ! 0 . 4 Faux, car f n + 1^ x h - f n^ x h = x n ln ^1 + x h^ x - 1h . Donc f n + 1^ x h - f n^ x h 1 0 sur @ 0 ; 16 .
Problèmes b. D est la médiatrice de 6 MN @, d’où le résultat du c. et du d. e. Posons N^a ; bh . a+x b + ex = On a d’après le c. 2 2 x On a ^a - x h + ^b - e h = 0 . x D’où *a - b = e - x . a + b = x + ex D’où N^e x ; x h . f. On a bien ln ^ xN h = yN .
-
0
0,2
2 a. M^ x ; e x h .
y 1
4
0
87 1 Tracé à faire à main levée.
+3
f l^ x h
0,2
Livre du professeur - CHAPITRE 5
x
88 1 a. ln ab = ln a + ln b .
b. ln aa #
1 1 k = ln a + ln a k . a a
Fonction logarithme népérien
1 k = ln 1 = 0 . a
D’où le résultat puisque ln aa # c. ln a
1 a = ln a - ln b . k = ln a + ln b b
3 On veut exp a3 - 3 exp a
t kk 1 0,02 . 20
3 - ln 0,02 m . 16,7 années. 3 Au bout de 17 ans.
D’où t 2 20 ln c
2 a. ln c = ln ^ c # c h = 2 ln ^ c h . D’où le résultat. b. ◗ La propriété est vraie pour n = 0 . ◗ On la suppose vraie pour un entier naturel n ; ln a n + 1 = ln ^a # a nh = ln a + ln a n = n ln a + ln a = ^n + 1h ln a . D’où la propriété au rang n + 1 . ◗ On peut donc en déduire que la propriété est vraie pour tout entier naturel n.
92 1 lim ln x =- 3 et lim 1 =+ 3 , 2 x "0
x "0
x
d’où lim f n^ x h =- 3 ; x "0
lim f n^ x h = 0 par croissances comparées.
x "+3
2 Vérification. 3 f ln^ x h est du signe de n - 2 - 2n ln x .
89 1 150,75 euros.
f ln^ x h 2 0 + n - 2 - 2 ln x 2 0
2
n-2 n-2 + x 1 e 2n . 2n On a donc le tableau de variations suivant :
+ ln x 1
x
0
e
f ln^ x h f n^ x h
n-2 2n
+
+3 0
-3 n-2
-n
m^1 - ^1 + t h h 3 On a C = = 10 000 euros. t 4 n étant un nombre entier de mois, on peut utiliser la calculatrice ou résoudre une équation en utilisant le logarithme. On trouve n = 60 : il faut cinq ans. 90 1 lim f ^ x h =- 3 et lim f ^ x h = 0 . a a x "0
x "+3
1 - ln x - a 2 f l^ x h = . x2 3 f l^ x h est du signe de 1 - ln x - a . En posant xa = e1 - a , on obtient donc le tableau suivant : x 0 +3 xa f la^ x h + f a^ x h
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
Avec ya =
ya -3
1 1-x -1 = . x x On a le tableau de variations suivant : 3 a. f l^ x h =
0
1-a+a 1 = 1-a . 1-a e e
x
1 . Donc A appartient à la courbe de la foncxa tion inverse. 4 ya =
91 1 On a f ^0 h = 1 . Donc e3 + k = 1 .
On a donc an = e 2n . n-2 1+n# 2n = n e - n2-n2 . 4 bn = n-2 2 e 2n 5 On conjecture que A^1 ; 1h appartient à toutes les courbes, que a a une limite finie tandis que b tend vers l’infini. 6 f n^1 h = 1 . Donc A^1 ; 1h appartient à toutes les courbes. n-2 1 converge vers . L’exponentielle étant 2n 2 continue, a converge vers e . n-2 1 , donc b tend vers + 3. Donc e- 2n converge vers e 93 1 u = 1 ; u = 7 ; u = 37 ; u = 533 . 1 2 3 4 2 12 60 840 1 1 1 2 un + 1 - un = + 2n + 2 2n + 1 n+1 1 1 1 = = . 2n + 1 2^n + 1h 2^n + 1h^2n + 1h
D’où k =- 3 . k t 2 f l^ t h = exp a3 + k exp a kk 1 0 , car k 1 0 . 20 2 D’où le résultat.
f l^ x h f ^xh
0
1 +
+3 -
0
D’où f ^ x h G 0 pour x 2 0 . D’où le résultat. 1 1 - 1. b. On a pour tout x 2 0 : ln a k G x x 1 D’où ln x H 1 - . x p+1 . On applique le a. et le b. à x = p
Livre du professeur - CHAPITRE 5
Fonction logarithme népérien
11
4 a. et b.
2n - 1
/
2n - 1 2n - 1 1 1 . G / ln ^ p + 1h - ln p G / p p+1 p=n p=n
1 ; de plus, x a
1 1 D’où : . un G ln 2n - ln n G un + 2n n D’où le résultat. c. On en déduit que : 1 . 0 G ln 2 - un G 2n D’où le résultat par le théorème d’encadrement des limites.
est différent de 0, donc : 1 f = C ; 0 9 , @ 0 ; + 3 6. a ln ^ X + 1h 3 lim f a^ x h = lim a # = a. X x "0 X "0 On doit donner à la fonction f a la valeur a en 0 pour qu’elle soit continue en 0. 4 lim f a^ x h =+ 3 , car lim ln ^ax + 1h =- 3 et
94 1 Comme a est strictement positif, la limite de
x est négatif.
p=n
2+
ax 1 en + 3 ou - 3 est + 3 . De plus, lim ln X =+ 3 , donc on obtient : X "+3
lim ln ^ax2 + 1h =+ 3 et lim ln ^ax2 + 1h =+ 3 . x "-3
x "+3
2
2 f ^- x h = ln ^a^- x h + 1h = ln ^ax2 + 1h = f ^ x h ,
donc f est paire. 2ax 3 f l^ x h = et comme x 2 0 et a 2 0 , on aura ax2 + 1 pour tout réel strictement positif, f l^ x h 2 0 et f est croissante sur @ 0 ; + 3 6 . x
f ^xh
0
-3
f l^ x h
-
+3 + +3
+3
1
1
x "- a
x
lorsque a = 1 .
gla ^ x h
Validation des conjectures 2a 1 a. (A) : y = ^ x - 1h + ln ^a + 1h a+1 - 2a ^ x + 1h + ln ^a + 1h. (B) : y = a+1 - 2a + ln ^a + 1h , ce qui b. Lorsque x = 0 , y = a+1 prouve que les deux tangentes se coupent sur l’axe des
ga ^ x h
ordonnées. c. D’après les calculs précédents, on a bien : - 2a + ln ^a + 1hm . M c0 ; a+1 x-1 2 a. gl^ x h = . ^ x + 1h x gl^ x h g^ x h
1
-3 -
0
+3 +
ln 2 - 1
95 1 Avec le logiciel, il semble que l’image de 0 existe,
pourtant cette fonction n’est pas définie en 0. Son 1 ensemble de définition semble être C ; + 3 9 , la a fonction semble décroissante sur cet ensemble. Livre du professeur - CHAPITRE 5
-
1 a
0 +
+3 -
0
La fonction ga est négative sur son ensemble de définition. On conclut que la fonction f a est décroissante sur son ensemble de définition. 96 1 Elle est égale à 10-7 .
2 On peut dire qu’elle est supérieure à 10-7 .
ln ^3 # 10-2h . 11,5 . ln ^10h ln 6H+ @ 4 C’est vrai, car pH =. ln 10 3 pH =-
Donc si on pose 6H+ @ = x , pHl^ x h =-
1 1 0. x ln 10
97 Partie A
1 2 0. x f est donc strictement croissante sur @ 0 ; + 3 6 . b. On a lim f ^ x h =- 3 et lim f ^ x h =+ 3 . 1 a. f l^ x h = 1 +
b. D’après le tableau de variations de g, l’ordonnée de M admet bien un minimum lorsque x = 1 . c. Cette ordonnée minimale vaut ln 2 - 1 .
12
x "- a
1 ln x + ln aa + k ln ^ax + 1h X = lim lim x x x "+3 x "+3 1 ln aa + k p ln x f X = lim + = 0. x x x "+3 La courbe représentative de f admet deux asymptotes : 1 l’une verticale d’équation x =- , l’autre horizontale a en + 3 , d’équation y = 0 . ax - ln ^ax + 1h +1 ax 5 a. f la^ x h = x2 ax - ^ax + 1h ln ^ax + 1h = . x2 b. gla ^ x h = a - ^a ln ^ax + 1h + ah =- a ln ^ax + 1h .
0
4 Le point M semble avoir une ordonnée minimale
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
2 On résout ax + 12 0 , on obtient x 2 -
x "0
x "+3
La fonction f étant par ailleurs continue et strictement croissante sur @ 0 ; + 3 6 , par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel a appartenant à @ 0 ; + 3 6 tel que f ^ah = 0 . d. f ^1 h = 1 et lim f ^ x h =- 3 . Donc 0 1 a 1 1 . x "0
Partie B a. gl^ x h =
4x - 1 . 5x
Fonction logarithme népérien
On en déduit le tableau de variations suivant : 1 x 0 +3 4 + gl^ x h 1 + 2 ln 2 5 1 b. g est strictement croissante sur 9 ; 1 C . 2 1 1 Donc, si G x G 1 , g a k G g^ x h G g^1 h . 2 2 1 2 + ln 2 1 4 Or, g^1 h = . 0,54 2 . 1 1 et g a k = 2 5 2 5 On a donc bien le résultat annoncé. c. Soit x 2 0 . g^ x h = x + 4x - ln x = 5x + x + ln x = 0 . 1 2 a. ◗ Pour n = 0 : u0 = et u1 ! 60,5 ; 1 @ par le 1 b. 2 ◗ On suppose la propriété vraie au rang n. Comme g est croissante, on en déduit : g^0,5h G g^unh G g^un + 1h G g^1 h . Or, g^0,5h ! 60,5 ; 1 @ et g^1 h ! 60,5 ; 1 @ d’après le 1 b. Par ailleurs, g^unh = un + 1 et g^un + 1h = un + 2 . On obtient donc bien la propriété au rang n + 1 . ◗ Donc la propriété est vraie pour tout entier naturel n. b. La suite u est croissante et majorée par 1 d’après la question précédente. Elle converge donc vers un point fixe de g compris entre 0 et 1 qui est, d’après le 1 c., une solution de f ^ x h = 0 . Donc u converge vers a . 3 u10 . 0,567124 . Donc 0,567 1 a 1 0,568 . g^ x h
98 1 Par définition, on a e-18m = 0,5 .
ln 2 . 18 2 Au bout de 36 jours :
Donc m =
m = m0 e-36m = m0 e-2 ln 2 =
m0 = 0,25 ng . 4
3 On doit résoudre :
e- mt = 0,1 + t =
ln 10 . 59,8 . m
Au bout de 60 jours. 4 y
0
3 On résout f ^ x h = x .
ln ^1 + x h = 0 + ln ^1 + x h = 0 + x = 0 . On obtient 1+x Le point d’intersection de la courbe et de la droite est le point 0. Partie B 1 Si 0 G x G 4 , alors par croissance de f , on aura f ^0 h G f ^ x h G f ^4h , c’est-à-dire : ln 5 0 G f ^xh G 4 G 4. 5 2 Par récurrence : Initialisation : on a bien u0 ! 60 ; 4 @. Hérédité : supposons que pour un entier n, on a un ! 60 ; 4 @, démontrons que un + 1 ! 60 ; 4 @. D’après la question 1 , on a f ^unh ! 60 ; 4 @, donc un + 1 ! 60 ; 4 @. Par récurrence sur n, on a prouvé la propriété. ln ^1 + unh b. un + 1 - un =G 0 , car un H 0 . 1 + un La suite ^unh est décroissante. c. La suite ^unh est décroissante et minorée par 0, donc elle converge vers une limite , . d. On résout f ^ , h = , ; on obtient , = 0 . 101
1 lim f ^ x h =- 3 et
0
5
99 1 b.
2 d. 3 c. 5 ln ^unh + vn = ln ^1 + e-vnh + vn .
f l^ x h
x
1 - ln ^ x + 1h ^ x + 1h2 ^ x + 1h2 - 1 - ln ^1 + x h = . ^ x + 1h2
1 f l^ x h = 1 -
+3
+ +3
f ^xh - 3
4 b.
La fonction logarithme népérien étant strictement croissante, ln ^1 + e-vnh 2 ln ^e-vnh = vn . D’où ln ^unh + vn 2 - vn + vn . Partie A
lim f ^ x h =+ 3
x "+3
par somme de limites. 1 2 f l^ x h = + x 2 0 pour x 2 0 . x x 0
m
0,5
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
f ^xh
x "0
1
100
2x2 + 4x + 3 , or 2x2 + 4x + 3 a un discri^ x + 1h2 minant strictement négatif, donc ce polynôme est toujours strictement positif ; donc la fonction N est strictement croissante sur @ - 1 ; + 3 6 . b. N^0 h = 0 , donc par stricte croissance de N, cette fonction est négative sur @ - 1 ; 0 @ et positive sur 60 ; + 3 6 . c. On en déduit le sens de variations de f puisque f l est du signe de N : 0 x -1 +3 + f l^ x h 2 a. N l^ x h =
3 f est continue, strictement croissante :
lim f ^ x h =- 3 et lim f ^ x h =+ 3 .
x "0
x "+3
Donc, par le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f ^ x h = 0 admet une unique solution sur @ 0 ; + 3 6 . Or, f ^1 h =- 0,5 et f ^2 h = ln 2 + 12 0 . Donc 11 a 1 2 . 4 Cet algorithme applique la méthode de dichotomie pour déterminer une valeur approchée de a à 10-n près.
Livre du professeur - CHAPITRE 5
Fonction logarithme népérien
13
x
0
-2
-3
f l^ x h
+
-
+3 +
f ^xh 2e x 2 0. ^e + 3h2 Donc f est strictement croissante sur R. 2 f l^ x h =
x
Les savoir-faire du chapitre 105
1 a. 3.
1 e. . 3 2 f l^ x h = e x - 3 . x
c.
ln 3
-3
f l^ x h
d. 4 . i. x2 .
+3
-
f ^xh 1 3 1 a. f l^0 h =. f ^0 h63 - ln ^ f ^0 hh@ =20 20 b. f vérifie (E) si, et seulement si, pour tout t ! 60 ; + 3 6 : 1 f l^ t h =f ^ t h63 - ln ^ f ^ t hh@ 20 l^ h 1 3 + ff ^ tt h = 20 ln ^ f ^ t hh 20 1 3 . + gl^ t h = 20 g^ t h 20 2 Pour tout t ! 60 ; + 3 6 : t 1 1 3 . gl^ t h = e 20 = g^ t h 20 20 20
1 ^ln 7 - ln 3h. 2 g. 2x + 3 . h. x2 .
b. - 5 . 1 f. . e
+ 3 - 3 ln 3
102
t
a. f ^ t h = exp ^g^ t hh = exp ^3 + Ce 20 h De plus, f ^0 h = 1 , donc C =- 3 . t
Donc f ^ t h = exp ^3 - 3e 20 h . b. lim 3 - 3e t "+3
t 20
=- 3 . Donc lim f ^ t h = 0 . t "+3
c. On veut exp a3 - 3 exp a
t kk 1 0,02 . 20
3 - ln 0,02 m . 16,7 années. 3 Donc au bout de 17 ans.
D’où t 2 20 ln c
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
Pistes pour l’accompagnement personnalisé Revoir les outils de base 103
104
4e x -2x 2x . 2 ; f l^ x h = 2e - 2e x ^e + 3h
1 f l^ x h = ^ x2 + 2x h e x .
f l^ x h est du signe de x 14
2+
2x .
Livre du professeur - CHAPITRE 5
1 a. x = e 4 .
b. x = ln 4 . d. x = ln 5 - 3 . 2 2 a. Ensemble de définition : E ; + 3 ; ; ensemble 3 solution : "2 , . 2 b. Ensemble de définition : E ; + 3 ; ; ensemble solu3 tion : @ 2 ; + 3 6 . c. Ensemble de définition : @ 1 ; + 3 6 ; ensemble solution : "2 , . d. Ensemble de définition : @ 1 ; + 3 6 ; ensemble solution : Q . c. x = e 4 - 2 .
107
a. + 3 .
108
1 2 ln 3 .
b. - 3 .
c. 1 .
2 ln 3 .
3 ln 3 .
1 2 0 si x 2 0 . x Donc f est strictement croissante sur R. 1 b. f l^ x h = ln x + 1 ; f l^ x h = 0 + x = e 1 f l^ x h 2 0 + x 2 . e 1 x 0 e + f l^ x h 109
d. + 3 .
a. f l^ x h = 2x +
f ^xh
-
+3
1 e
1 - ln x f l^ x h est du signe de 1 - ln x . x2 f l^ x h = 0 + x = e ; f l^ x h 2 0 + x 1 e .
c. f l^ x h =
1 f l^ x h = 2e2x + 3 ; f l^ x h = ^1 - x h e-x .
2 f l^ x h =
106
x
0
f l^ x h f ^xh
Fonction logarithme népérien
e +
-3
+3 -
1 e
0
d. f l^ x h =
2x
2+
est du signe de x, donc f est décrois-
x 2 sante sur @ - 3 ; 0 6 et croissante sur 60 ; + 3 6 .
Approfondissement 110
1 La courbe est quasi rectiligne, ce qui semble indiquer que le logarithme décimal du nombre de séismes est une fonction affine de la magnitude. 2 Pour M = 3 , on a N = 2 # 102 , d’où : log ^N h = log 2 + 2 . 3 Pour M = 6 , on a N = 3 # 10-1 , d’où : log ^N h = log 3 - 1 . On en déduit que *a - 3b = log 2 + 2 . a - 6b = log 3 - 1 D’où b . 0,94 et a . 5,12 . 111
Ceci étant vrai pour tous x et y, des réels strictement positifs, ceci signifie que f est solution de (E), car f est bien continue sur @ 0 ; + 3 6 . D’où f ^ x h = k ln x . D’où g^ x h = kx ln x .
Vers le Supérieur 113
1 a. C^10h c 7,3 milliers d’euros ;
C^20h . 11,1 milliers d’euros. Le coût de fonctionnement n’a pas doublé, il n’y a pas proportionnalité. 40 # 0,1 0,2x - 2 2 a. f l^ x h = 2 = . 0,1x + 1 0,1x + 1 On en déduit donc le tableau suivant : x 0 f l^ x h 17 f ^xh
1 a. et b. On peut utiliser une feuille de tableur :
10 -
60 + 57,2
b. Le coût est minimal pour 10 bateaux, il est égal à 7,3 milliers d’euros, à 100 euros près. 3 a. B^q h = 3q - C^q h = q + 40 ln ^0,1q + 1h - 15 . b. Il faut louer au moins 4 bateaux. 1 si on pose f ^ x h = ln x . x Donc T a pour équation : 1 1 y = ^ x - ah + ln a + x - y - 1 + ln a = 0 . a a 1 b. v a1 ; k est un vecteur directeur. a 114
2 Il s’agit de vérifier que dans les chiffres présents dans la déclaration du contribuable, la répartition suit une loi de Benford, ce qui n’est généralement pas le cas lorsque les chiffres ont été « inventés ». 112
1 k ln ^ x # y h = k^ln x + ln y h = k ln x + k ln y .
g^ x h . x Soient x et y des réels strictement positifs, on a : g^ xy h = xg^ y h + yg^ x h ^ h ^ h ^ h + g xyxy = g yy + g xx 2 On pose f ^ x h =
2 OA et v sont orthogonaux si, et seulement si :
a # 1 + ln a #
1 = 0 + a2 + ln a = 0 . a
1 2 0 si x 2 0 . x b. f est continue strictement croissante sur @ 0 ; + 3 6 . De plus, lim f ^ x h =- 3 et lim f ^ x h =+ 3 . a. f l^ x h = 2x +
x "0
x "+3
D’où le résultat, par application du théorème des valeurs intermédiaires. c. Par balayage, on obtient que l’unique solution de f ^ x h = 0 est a c 0,653 . D’où A^0,653 ; - 0,426h .
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+ f ^ xy h = f ^ x h + f ^ y h.
1 a. f l^ x h =
Livre du professeur - CHAPITRE 5
Fonction logarithme népérien
15
6
C H A P I T R E
Calcul intégral
Introduction 1. Programme Contenus
Capacités attendues
Intégration Définition de l’intégrale d’une fonction continue et positive sur 6a ; b @ comme aire sous la courbe. Notation
#a
b
f ^ x h dx .
Commentaires On s’appuie sur la notion intuitive d’aire rencontrée au collège et sur les propriétés d’additivité et d’invariance par translation et symétrie.
On peut mener un calcul approché d’aire (parabole, hyperbole, etc.) pour illustrer cette définition.
Théorème : si f est une fonction continue et positive sur 6a ; b @ , la fonction F définie x sur 6a ; b @ par F^ x h = # f ^ t h dt est
Il est intéressant de présenter le principe de la démonstration du théorème dans le cas où f est positive et croissante.
a
dérivable sur 6a ; b @ et a pour dérivée f . Primitive d’une fonction continue sur un intervalle.
• Déterminer des primitives des fonctions usuelles par lecture inverse du tableau des dérivées. • Connaître et utiliser les primitives de ul eu, ul un (n entier relatif, différent de - 1) et, l l pour u strictement positive, u , u . u u
Théorème : toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.
Une primitive F de la fonction continue et positive f étant connue, on a : b #a f ^ x hdx = F^bh - F^ah .
Il est intéressant de démontrer ce théorème dans le cas d’un intervalle fermé borné, en admettant que la fonction a un minimum On admet le cas général. On fait observer que certaines fonctions comme x exp ^- x2h n’ont pas de primitive « explicite ».
7
Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque.
• Calculer une intégrale.
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• Utiliser le calcul intégral pour déterminer une aire. Linéarité, positivité, relation de Chasles.
• Encadrer une intégrale.
Valeur moyenne.
Pour une fonction monotone positive, mettre en œuvre un algorithme pour déterminer un encadrement d’une intégrale.
La
formule
b #a f ^ x hdx = F^bh - F^ah,
établie pour une fonction continue et positive, est étendue au cas d’une fonction continue de signe quelconque. L’intégration par parties n’est pas un attendu du programme. La notion de valeur moyenne est illustrée par des exemples issus d’autres disciplines. E [SPC] Mouvement uniformément accéléré. E [SI] Valeur moyenne, valeur efficace dans un transfert énergétique. AP Calcul du volume d’un solide.
Plusieurs démonstrations, ayant valeur de modèle, sont repérées par le symbole de type algorithmique sont signalées par le symbole .
. Certaines sont exigibles et correspondent à des capacités attendues. De même, les activités
Livre du professeur - CHAPITRE 6
Calcul intégral
1
2. Intentions des auteurs Après avoir revu et précisé les notions de suites numériques, limites et continuité d’une fonction numérique, après avoir complété l’herbier des fonctions usuelles avec la fonction exponentielle et logarithme népérien, on introduit dans ce chapitre le concept d’intégrale d’une fonction numérique sur un intervalle fermé. Comme il a été procédé historiquement le moteur de cette notion est le calcul d’aire. Cela justifie l’introduction de la notion d’intégrale par l’intégrale de a à b ^a G bh d’une fonction continue et positive sur l’intervalle 6a ; b @. Le lien avec les primitives permet de généraliser.
Découvrir
Partir d’un bon pied Objectifs Réactiver chez l’élève : – les formules de dérivation et approcher la lecture inverse du tableau des dérivées ; – le calcul d’aire de figures usuelles ou un encadrement de l’aire lorsque les formules n’existent pas ; – la caractérisation d’une surface plane à l’aide des coordonnées des points qui la composent. a 1 a. et c. 2 a. b. et c. 3 b. et c. 4 b. B 1 Faux. 2 Vrai. 3 Faux.
5+2 # 2 = 7 cm2 . 2 ◗ Aire de l’ellipse : l’ellipse est comprise dans un rectangle d’aire 7 # 4 = 28 cm2 , et contient un rectangle d’aire 5 # 2 = 10 cm2 . ◗ Surface sous la parabole : elle est comprise dans un rectangle d’aire 3 # 2,5 = 7,5 cm2 , et contient un rectangle d’aire 1 # 2 = 2 cm2 . 4 1 + a + 1k 20 3 #4 = ◗ Aire du trapèze vert : cm2 . 2 3 D 1 a. et b. y C ◗ Aire du trapèze ABCD :
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
1
0
1
x
2 L’ensemble coloré est l’ensemble des points M^ x ; y h vérifiant : 0 G x G 4 et 0 G y G x et y H x - 2 .
2
Livre du professeur - Chapitre 6
Ce chapitre favorise l’introduction naturelle d’algorithmes permettant de calculer une valeur approchée d’une intégrale inaccessible par le calcul algébrique. Comme le préconise le programme, on a évité une trop grande technicité pour rester le plus proche du sens lié à ces notions. La notion de valeur moyenne très utilisée dans d’autres disciplines est aussi mise en valeur. En accompagnement personnalisé, on aborde la notion de volume d’un solide et on prépare les lois continues en probabilité en abordant la notion d’intégrale généralisée.
Calcul intégral
1 aire sous une hyperbole à l’aide de rectangles Activité
Objectif : Aborder le calcul de l’aire de la surface sous la courbe par la méthode des rectangles en utilisant un algorithme. 1 a. La surface contient les cinq rectangles inférieurs,
et est contenue dans les cinq rectangles supérieurs. 1 Les hauteurs des rectangles inférieurs sont f a1 + k , 5 2 5 f c1 + m , … et f a1 + k ; les hauteurs des rectangles 5 5 1 4 supérieurs sont f ^1 h , f a1 + k , … et f a1 + k . 5 5 1 1 1 5 # f a1 + k + f + # f a1 + k G Donc 5 5 5 5 1 1 4 # f ^1 h + f + # f a1 + k , G 5 5 5 1 d’où les inégalités indiquées en factorisant par . 5 b. En utilisant les résultats du logiciel, on a : 1 1627 1 1879 # # , c’est-à-dire : GG 5 504 5 504 1879 1627 . GG 2 520 2 520 1879 1627 Or . 0,6 (par défaut) et . 0,8 (par excès) . 2 520 2 520 Donc 0,6 G G 0,8 . 2 a. La surface contient les n rectangles inférieurs, et est contenue dans les n rectangles supérieurs, qui sont 1 . de largeur n 1 Les hauteurs des rectangles inférieurs sont f a1 + k , n n 2 + + a k a k , … et f 1 ; les hauteurs des rectangles f 1 n n 1 n-1 k supérieurs sont f ^1 h , f a1 + k , … et f a1 + . n n 1 1 1 n # f a1 + k + g + # f a1 + k G Donc n n n n 1 1 n-1 k # f ^1 h + f + # f a1 + , G n n n 1 . d’où les inégalités indiquées en factorisant par n
b. Comme Sn =
n
/
f c1 +
k m n
, on calcule de proche k f c1 + m n en proche la somme en ajoutant pour un n entier k allant de 1 à n. Pour que l’algorithme affiche Sn et Tn , on propose d’ajouter l’instruction : Afficher(S + (f (1) - f (2))/n) ; c. Pour tout entier n H 1 : 1 9a n - 1 k kC # f ^1 h + f + f a1 + Tn - Sn = n n 1 n 9- a f a1 + k + f + f a1 + kkC n n 1 1 1 1 1 # ^ f ^1 h - f ^2 hh = #a - k = = . n n 1 2 2n d. Pour que Sn et Tn soient des valeurs approchées de 1 à 0,001 près, il suffit que G 0,001 , c’est-à-dire 2n n H 500 . Après programmation, on obtient : 0,693 G G 0,694 . 3 Au 1 b., on a : 0,6 G G 0,8 . Donc 1,82 G e G 2,23 . Au 2 d. on a : 0,693 G G 0,694 . Donc 1,9997 G e G 2,0018 . On peut conjecturer que e = 2 , c’est-à-dire = ln ^2 h . k=1
n
2 aire sous une parabole à l’aide de trapèzes Activité
Objectif : Aborder le calcul de l’aire de la surface sous la courbe par la méthode des trapèzes en utilisant un algorithme, puis une méthode exacte. 1 Pour tout entier k entre 0 et n - 1 :
yM + yN 1 k 2 k + 1 2m 1 m # # cc m + c = 2 n 2n n n 1 2 ^ 2 h k = 3 # k + ^k + 1 h . 2n 2 a. Pour tout entier k entre 0 et n - 1 , la droite ^MN h k k+1 E. est au-dessus de la parabole sur ; ; n n Donc le trapèze ABNM contient la surface située sous la parabole, l’axe des abscisses, et les droites d’équation k k+1 et x = et x = . On en déduit que Sn est une n n valeur approchée par excès de . b. On propose : k =
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ALGO
Variables : n, k : entiers ; S : réel ; Début : Entrer(n) ; S ! 0 ; Pour k allant de 0 à n - 1 Faire 2 k2 + ^k + 1h ; S ! S+ 2n3 FinPour ; Afficher(S) ; Fin.
c. On obtient S10 = 0,335 et S100 = 0,33335 . 1 On conjecture que = . 3 3 a. Pour tout entier n H 1 : n-1 n-1 n 1 ^ 2 k2 k2 2 h + + = / ^ h Sn = / k k 1 3 + / 3 3 k = 0 2n k = 0 2n k = 1 2n Sn =
n-1 0 k2 n2 . 3 +2 / 3 + 2n 2n3 k = 1 2n
Donc : Sn = b. Comme
n-1
/ k2 =
k=1
1 1 + 3 2n n
n-1
/ k2 .
k=1
n^n + 1h^2n + 1h - n2 , on a : 6
1 1 n^n + 1h^2n + 1h 1 1 + 3c - n2 m = + . 2n 6 3 n 6n2 1 c. On en déduit que lim Sn = . 3 n "+3 Sn =
Activité
3 aire et primitives
Objectif : Relier la problématique du calcul d’une aire aux calculs de primitives. 2+3 # 2 = 5 u. a . 2 x 2 + a + 2k x2 2 2 Aire de OMNC = #x = + 2x . 2 4 x 3 a. f ^ x h = + 2 . Donc la fonction F est la dérivée de 2 la fonction f . 22 0 + 2 # 2 m - a + 0k = 5 . b. F^2 h - F^1 h = c 4 4 1 Aire de OABC =
4 Fonction « aire sous la courbe » Activité
Objectif : Démontrer, dans le cas d’une fonction f continue et croissante, que la fonction « aire sous la courbe » entre a et x est la primitive de f qui s’annule en a. 1 ^a h = 0 .
^b h - ^ah est l’aire de S, en unités d’aire. 2 a. La fonction f est croissante sur 6t ; t + h @ . Donc le domaine sous la courbe de f sur 6t ; t + h @ contient le rectangle inférieur de largeur h et de longueur f ^ t h , et est contenu dans le rectangle supérieur de largeur h et de longueur f ^t + hh . Comme ce domaine a pour aire ^t + hh - (t) (car h 2 0 ), on a : h # f ^ t h G ^t + hh - ^ t h G h # f ^t + hh . b. La fonction f est croissante sur 6t + h ; t @. Donc le domaine sous la courbe de f sur 6t + h ; t @ contient le rectangle inférieur de largeur ^- hh et de longueur f ^t + hh , et est contenu dans le rectangle supérieur de largeur ^- hh et de longueur f ^ t h . Comme ce domaine a pour aire ^ t h - ^t + hh (car h 1 0 ), on a : ^- hh # f ^t + hh G ^ t h - ^t + hh G ^- hh # f ^ t h . Livre du professeur - Chapitre 6
Calcul intégral
3
^t + hh -^ t h G f ^t + hh ; h ^ h ^ hh si h 1 0 , f ^t + hh G G f ^ t h, -h ^t hh ^t h G f ^t h. c’est-à-dire : f ^t + hh G h Comme la fonction f est continue en t, lim f ^t + hh = f ^ t h . c. Si h 2 0 , f ^ t h G
Savoir faire Déterminer des primitives 4 a. Une primitive sur R de f est x
7
b. Une primitive sur @ 0 ; + 3 6 de g est : x2 1 + 2x - 2 . x 2 2x c. Une primitive sur @ 0 ; + 3 6 de h est x
3 4 x - x2 + 2x . 4
7
h"0
Par le théorème des gendarmes, la limite du taux d’accroissement de entre t et t + h , lorsque h tend vers 0, est égale à f ^ t h . Donc la fonction est dérivable en t et Al^ t h = f ^ t h . x3 3 Une primitive de la fonction carrée est : x . 3 Donc l’aire sous la parabole sur 60 ; 1 @ est : 1 F^1 h - F^0 h = . 3
7
Exercices d’application
76
x.
5 Les primitives de f sont les fonctions définies sur R
7
par x ln ^1 + e x h + k . Comme la courbe cherchée passe par le point A^0 ; 1h, on a : ln ^1 + e0h + k = 1 , soit k = 1 - ln ^2 h . 1 + ex m + 1. La primitive cherchée est x ln c 2
7
6 a. Une primitive sur R de f est x
72 b. Une primitive sur @ 0 ; + 3 6 de g est x 7
x2 + 1 . 1 ^ln ^ x hh2 . 2
7 a. La dérivée de u u est :
ul 3 = ul u . 2 2 u 2 Donc une primitive de ul u est u u . 3 b. Une primitive sur @ 1 ; + 3 6 de x x x2 - 1 est 1^ 2 x x - 1h x2 - 1 . 3 ul # u + u #
Savoir faire Déterminer une
intégrale à partir de calculs d’aires 1
a.
#-02 f ^ x hdx = #--2 1 f ^ x hdx + #-01 f ^ x hdx
7
par la
relation de Chasles. En utilisant l’aire d’un triangle et d’un carré, on obtient : #-02 f ^ x hdx = 1 #2 1 + 12 = 23 . t b. Pour t ! 60 ; 1 @, on a # f ^ x hdx = 1 # t = t ; 0 Pour t ! 61 ; 2 @, on a : 2 1 #0 t f ^ x hdx = 1 + 1 +2 t # ^t - 1h = t + . 2 2 a. y =
4x - x2
+*
y2 = 4x - x2 yH0
- 2+ 2 = + *^ x 2h y 4 . yH0 On reconnaît l’équation du demi-cercle supérieur de centre ^2 ; 0h et de rayon 2. b. On a : y
1
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
0
Donc
#0 4
3 a.
x
1
4x - x2 dx =
#01 4
#01 ^3x2 + 1hdx = 3 #01 x2 dx + #01 1dx 1 + 1 # 1 = 2. 3 1 2 x dx = 1 - # x 2 dx = . 3 0 Livre du professeur - Chapitre 6
Savoir faire Calculer et utiliser
une intégrale 8 a.
#-33 ^ x - 1h2 dx = 9 13 ^ x - 1h3 C-3 3
1 1 ^3 - 1h3 - ^- 3 - 1h3 = 24 . 3 3 b. La valeur moyenne est : 2 1 ^ x 3 + x 2 - x + 1 h dx # n= 2 ^ 1h 1 =
2
=
1 ; x4 x3 x2 11 + + xE = . 3 4 3 2 4 -1
9 x
7 x2 - 1 s’annule en 1 et en - 1, et est négative
sur 6- 1 ; 1 @. Par la relation de Chasles :
#-22
x 2 - 1 dx =
=;
x3 x3 E x3 - xE + ;x +; - xE = 4. 3 3 -1 3 -2 1
-1
#--2 1 ^ x2 - 1hdx + #-11 ^1 - x2hdx + #1 2 ^ x2 - 1hdx 1
2
10 a. Soit la fonction F définie sur 60 ; 3 @ par :
1 # 22 r = 2r . 2
= 3#
b.
7
Calcul intégral
F^ x h = ^ax + bhe-x . Pour tout réel x de 60 ; 3 @, F l^ x h = ^- ax + a - bhe-x . -a = 1 , c’est-à-dire Donc F est une primitive de f si ) a-b = 0 a =- 1 ) . b =- 1 Ainsi F^ x h = ^- x - 1he-x .
b. En unités d’aire, l’aire du domaine jaune est :
#0
3
-3
f ^ x hdx = F^3 h - F^0 h = 1 - 4e .
Savoir faire Utiliser les propriétés
de l’intégrale
+ 11 Pour tout réel x, cos2 x = 1 cos ^2x h . cos ^2x h - 1 Donc cos x - 1 = . 2
2
2
Donc
#0
r 4
2
^cos x - 1hdx = r
#0
r 4
cos ^2x h - 1 dx 2
sin ^2x h 1 r x 4 - . =; - E = 8 4 2 0 4 12 a. Pour le dénominateur, D =- 3 . Donc pour tout
réel x, x2 - x + 1 ! 0 . 1 - 2x Donc la fonction x est définie et x2 - x + 1 continue sur 60 ; 1 @. 1 1 1 - 2x On a : # 2 dx = 6- ln ^ x2 - x + 1h@ = 0 . 0 x -x+1 0 b. La fonction x tan ^ x h est définie et continue sur r 90 ; C . On a : 4 r r r sin ^ x h 4 #0 tan ^ x hdx = #0 4 cos dx = 6- ln ^cos ^ x hh@04 ^xh 2 m + ln ^1 h = 1 ln ^2 h . =- ln c 2 2
7
7
13 Sur 60 ; 1 @ , on pose d^ x h =
x 1 + x - a1 + k . 2 1 1 1 1 # = - 1 m G 0 , car d l^ x h = 2 2 c 1+x 2 1+x 0 G x G 1. La fonction d est donc décroissante sur 60 ; 1 @. Comme d^0 h = 0 , pour tout réel x de 60 ; 1 @, d^ x h G 0 . On peut aussi remarquer que : - x2 /4 d^ x h = G 0. x 1 + x + a1 + k 2 x Donc 1 + x G 1 + . On en déduit que A G B . 2
Travaux pratiques 14 Étude de la série harmonique
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1 Lire l’énoncé et fixer les notations 1 et 2 On obtient :
Il semble que la différence des deux suites devienne presque constante.
2 Élaborer une démarche 1 Soit un entier n H 1 . Pour tout entier k entre 1 et n - 1, la fonction inverse est décroissante sur l’intervalle 6k ; k + 1 @. Donc pour tout réel x de 6k ; k + 1 @ : 1 1 1 G G . x k k+1 En intégrant chaque membre des inégalités entre k et k+1 1 1 1 k + 1 , on a : dx G . G # x k k k+1 2 Pour tout entier n H 1 , dn + 1 - dn = ^hn + 1 - ln ^n + 1hh - ^hn - ln ^nhh 1 = - ln ^n + 1h + ln ^nh . n+1 Or d’après la question 1 , 1 1 G ln ^n + 1h - ln ^nh G . n n+1 1 1 Soit - G ln ^nh - ln ^n + 1h G . n n+1 1 1 1 1 Donc . G dn + 1 - dn G n n+1 n+1 n+1 On en déduit que dn + 1 - dn G 0 . Donc la suite d est décroissante. 3 Pour tout entier n H 1 , par la relation de Chasles, on a : #1 n 1x dx = #1 2 1x dx + #2 3 1x dx + f + #n n- 1 1x dx . 2 1 1 Or par la question 1 , dx G 1 , G # 2 1 x 3 1 1 1 G # dx G , 3 2 2 x …, n 1 1 1 . G # dx G n n-1 x n-1 En sommant membres à membres ces inégalités, on obtient : n 1 1 1 1 1 1 + +f+ dx G 1 + + f + . G # 2 3 2 n 1 x n-1 Donc : n 1 n 1 1 1 1 1 +# dx G 1 + + + f + G 1+ # dx. n n 2 3 1 x 1 x 1 + 6ln ^ x h@1n G hn G 1 + 6ln ^ x h@1n . Donc : n 1 Donc en soustrayant ln ^nh , on a : G dn G 1 . n 4 La suite d est décroissante, et minorée par 0 (d’après la question 3 ). Donc la suite d converge.
15 Mouvement d’un solide en chute libre 1 ◗ La fonction v est la primitive de a telle que v^0 h = 3 .
Comme v l^ t h =- 10 , v^ t h =- 10 # t + k , où k est un réel. Comme v^0 h = 3 , on a k = 3 . Donc v^ t h =- 10t + 3 . ◗ La fonction z est la primitive de v telle que z^0 h = 1 . t2 + 3t + k , où k Comme z l^ t h = v^ t h , z^ t h =- 10 # 2 est un réel. Comme z^0 h = 1 , on a k = 1 . Donc z^ t h =- 5t2 + 3t + 1 . Livre du professeur - CHAPITRE 6
Calcul intégral
5
2 On résout z^ t h = 0 , avec t H 0 .
3 a. En B4, on entre =(1-EXP(-A3))/A3-B3.
- 3 - 29 3 + 29 = D = 29 ; t1 = . 0,839 10 - 10 3 - 29 et t2 = . - 0,239 . 10 Donc la bille atteint le sol au bout de t0 . 0,839 s.
b. On conjecture que la suite u converge vers 0.
16 Étude d’une suite définie par une intégrale 1 a. En utilisant la relation de Chasles :
b. u1 =
#0
n "+3
1-e c. Par la question 4 a., 0 G un G n
2 m 1 + e-1
2e 2 m = 1 + ln c m. 1+e 1+e 2 1+e k m = ln a Donc u0 = 1 - u1 =- ln c . 2 + 1 e 2 a. Pour tout entier n H 1 , en utilisant la relation de Chasles : 1 e-^n + 1 hx 1 e-nx un + 1 + un = # dx + # dx x 0 1+e 0 1 + e-x 1 e-^n + 1 hx + e-nx 1 e nx ^e x + 1 h = # = # dx d x 0 0 1 + e-x 1 + e-x = ln c
-nx 1
#01 e-nx dx = ; e- n
E = 1 e . n 0 -1 1-e = 1 - e-1 . ◗ On a : u2 + u1 = 1 2 m - e-1 Donc u2 = 1 - e-1 - u1 =- ln c 1+e 1+e k = ln a - e-1 . 2 1 - e-2 ◗ On a : u3 + u2 = . Donc : 2 1 - e-2 e-2 1+e k 1 - u2 = + e-1 - ln a . u3 = 2 2 2 2 b. La valeur initiale affectée dans u n’est pas correcte, et il manque le calcul de u1 . Dans la boucle « Tant Que », il manque le retrait de u, et la variable i doit être remplacée par i - 1 . Ainsi, on propose : =
-n
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FinSi ;
Fin. 6
G
1 . n
1 Pour avoir un G 0,1 , il suffit donc que G 0,1 , c’est-àn dire n H 10 . Donc pour n H 100 , on est sûr que un G 0,1 . 17 Formule de Simpson et calcul approché
d’intégrale 1-0 1 1 a. IS = 9 f ^0 h + 4f a k + f ^1 hC 6 2 1 4 1 47 = + = 1+ . 0,783 . 6> 2H 60 1 2 1 +a k 2
b. Pour tout réel x de 60 ; 1 @, on obtient par un logiciel de calcul formel : f ^xh =
1 ; 1 + x2
g^ x h = f l^ x h =
- 2x ; ^1 + x2h2
h^ x h = f ll^ x h =
2^3x2 - 1h ; ^1 + x2h3
k^ x h = f ^3 h^ x h = m^ x h = f ^4h^ x h = Donc ml^ x h =
ALGO
Variables : n, i : entiers ; u : réel ; Début : Entrer (n) ; 1+e k u ! ln a 2 Si n H 1 alors u ! ln c
lim n =+ 3 . Donc par
n "+3
-n
1 e-x dx = 6- ln ^1 + e-x h@0 1 + e-x
=- ln ^1 + e-1h + ln ^1 + 1h = ln c
lim 1 - e-n = 1 et
n "+3
Donc par le théorème des gendarmes, lim un = 0 .
-x
1 e #01 11 + dx = # 1dx = 1 . 0 + e-x
1
b. On a
1 - e-n = 0. n n "+3
#01 1 +1e-x dx + #01 1 +e e-x dx
=
1 - e-n . Donc par la question 2 a., 0 G un G n
quotient lim
-x
u0 + u1 =
4 a. Pour tout entier n, un + 1 H 0 .
24x^1 - x2h ; ^1 + x2h4 24^5x 4 - 10x2 + 1h . ^1 + x2h5
240x^3 - x2h^3x2 - 1h . ^1 + x2h6
D’où le tableau de variations de la fonction f ^4h , dérivée d’ordre 4 de f : x 2 m + 1; e+1
Pour i allant de 2 à n faire 1 - e-^i - 1h -u u! i-1 FinPour ; Afficher(u) ;
Livre du professeur - Chapitre 6
1 3
0
ml^ x h 0 24 ^4 h f ^xh
-
0
1 + -3
- 10,125
On en déduit que le maximum de f ^4h sur 60 ; 1 @ est 24. Donc M4 = 24 . c. Un majorant de l’erreur commise en approchant I par 1 # M4 1 = . 0,0084 . IS est donc 2 880 120 Calcul intégral
2 a. On obtient :
25 1 Vrai.
2 Vrai.
3 Faux.
4 Faux.
Utiliser la définition 26 1 M^ x ; y h !
+
y = f ^xh
2+ 2
+ x y = 1 et y H 0 . Donc est le demi-cercle supérieur de centre O et de rayon 1.
#01 f ^ x hdx
est l’aire du demi-disque de centre O et 1 r de rayon 1, en u.a. Donc # f ^ x hdx = . 2 0 2
27 En utilisant les formules d’aires de triangles,
Une valeur approchée de I est 0,785 381 63 . b. En utilisant le tableau de variations de f ^4h à la ques1 tion 1 b. et que . 0,57 , on obtient : 3 Majorant Intervalle f ^4h ^ xi h f ^4h ^ xi + 1h de f ^4h 6 xi ; xi + 1@ 24 20,56 24 [0 ; 0,1] 20,564 11,99 20,564 [0,1 ; 0,2] 11,994 2,19 11,994 [0,2 ; 0,3] 2,19 –5,394 5,394 [0,3 ; 0,4] –5,39 –9,339 9,339 [0,4 ; 0,5] –9,339 –10,07 10,125 [0,5 ; 0,6] –10,07 –8,82 10,07 [0,6 ; 0,7] –8,822 –6,78 8,822 [0,7 ; 0,8] –6,782 –4,71 6,782 [0,8 ; 0,9] –4,719 –3 4,719 [0,9 ; 1] L’écart entre I et la valeur obtenue à la question 1 a. est ^ xi + 1 - xih5 # M46 xi ; xi+1 @ , majorée par la somme des 2 880 c’est-à-dire : ^0,1h5 # 24 ^0,1h5 # 20,564 ^0,1h5 # 4,719 + +f+ , 2 880 2 880 2 880 qui est majorée par 4 # 10-7 .
Faire le point 21 1 b. et c. 5 b.
22 1 Faux.
2 a. et b. 6 a. 2 Vrai.
3 b. 7 c.
3 Faux.
4 a. et c. 8 b.
4 Faux.
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
1 intégrale d’une fonction continue
et positive
24 1 Vrai.
2 b. 2 Vrai.
#1 3 f ^ x hdx = 2 # 2 = 4 .
Par la relation de Chasles, # 3 f ^ x hdx = # -1 f ^ x hdx + -4
28 1
-4
#-22 f ^ x hdx = 4 # 2 -
3 c. 3 Faux.
4 Vrai.
5 Vrai.
#-11 f ^ x hdx + #1 3 f ^ x hdx = 16. r # 22 = 8 - 2r . 2
#-33 f ^ x hdx = #--3 2 f ^ x hdx + #-22 f ^ x hdx + #2 3 f ^ x hdx 2 a.
=
5 23 + ^8 - 2rh + 1 = - 2r . 2 2 y g 1 0
b.
x
1
#-33 g^ x hdx = #-33 f ^ x hdx + 6 # 2 =
29 1 On a :
Exercices d’application
23 1 a. et c.
rectangle et trapèze, on a : #--4 1 f ^ x hdx = 3 #2 4 = 6 ; #-11 f ^ x hdx = 2 +2 4 # 2 = 6 ;
47 - 2r . 2
y 1 0 1
x
2 ◗ Sur 60 ; r @ , la fonction f est affine et croissante. Comme f ^0 h = 0 , la fonction f est continue et positive sur 60 ; r @. ◗ De la même façon, la fonction f est continue et positive sur @ r ; 2r 6 . ◗ De plus f ^rh = r et lim f ^ x h =- r + 2r = r . x "r x 2r
Donc la fonction f est continue en r , et donc sur 60 ; 2r 6 . Comme elle est périodique de période 2r , elle est continue sur R. r r#r r2 3 # f ^ x h dx = = ; 2 2 0 2 2 #0 2r f ^ x hdx = r2 + r2 = r2 . Livre du professeur - Chapitre 6
Calcul intégral
7
4 Par 2r -périodicité,
Donc
#-02r f ^ x hdx = #0 2r f ^ x hdx .
#-22rr f ^ x hdx = 2r2 .
De même :
#-34rr f ^ x hdx = #--4r2r f ^ x hdx + #-22rr f ^ x hdx + #2r3r f ^ x hdx = r2 + 2r2 +
r2 7r2 = . 2 2
encadrer une intégrale
le rectangle inférieur de longueur 1 et de largeur 1, et est contenu dans le rectangle supérieur de longueur 2 et de largeur 1. On en déduit la comparaison des aires, en u.a. :
soit :
1G
#01 f ^ x hdx G 1 # 2 ,
3 En observant le calcul de n , on constate que :
1 1 # n1 + 5 # n2h . 6^ Donc n est la moyenne pondérée de n1 et n2 , affectés respectivement des coefficients 1 et 5.
#01 f ^ x hdx G 2 .
n=
2 De même, on obtient :
0G
#--2 1 f ^ x hdx G 3 ;
2G
#-01 f ^ x hdx G 3 ;
0,5 G
#1
2
2 intégration et primitives
f ^ x h dx G 1 ; 34 1 Vrai.
2 Vrai.
3 Faux.
4 Vrai.
3 Par la relation de Chasles,
35 1 Vrai.
2 Vrai.
3 Vrai.
4 Vrai.
#-42 f ^ x hdx = #--2 1 f ^ x hdx + #-01 f ^ x hdx
36 1 b.
2 a.
3 b.
0G
#2 4 f ^ x hdx G 0,5 .
1
+ # f ^ x h dx + 0
#1 2 f ^ x hdx + #2 4 f ^ x hdx .
En sommant membre à membre les inégalités des questions précédentes, on obtient : 3,5 G
4
#-2 f ^ x hdx G 9,5 .
31 En utilisant deux trapèzes de hauteur 5, on a :
1+3 #5 G 2 Donc 10 G
#0 5 f ^ x hdx G
1+4 # 5. 2
#0 5 f ^ x hdx G 12,5 .
32 La fonction f est affine et positive sur 61,5 ; + 3 6 .
◗ La valeur moyenne de f sur 62 ; 5 @ est : 1 # 5 f ^ x h dx . n1 = 5-2 2 En utilisant l’aire d’un trapèze, on a : f ^2 h + f ^5 h 1 # # ^5 - 2h = 4 . n1 = 3 2
◗ La valeur moyenne de f sur 610 ; 20 @ est : 20 1 # n2 = f ^ x h dx . 20 10 10 En utilisant l’aire d’un trapèze, on a : f ^10h + f ^20h 1 # # ^20 - 10h = 27 . n2 = 10 2 8
Livre du professeur - Chapitre 6
Utiliser des représentations graphiques 37 La fonction f est la dérivée de ses primitives.
Comme f est négative sur @ - 3 ; - 1 @ et positive sur 6- 1 ; + 3 6 , ses primitives sont décroissantes sur @ - 3 ; - 1 @ , et croissantes sur 6- 1 ; + 3 6 . Les courbes 1 et 2 ne représentent donc pas des primitives de f . Par élimination, la courbe 3 représente une primitive de f . 38 La fonction f est la dérivée de la fonction F.
Valeur moyenne
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
1 # 4 f ^ x h dx . 4 - ^- 2h -2 1 1+4 1+3 25 #1+ # 5k = = a . 6 2 2 12 La moyenne (arithmétique) de n1 et n2 est : 2,5 + 2 = 2,25 . 2 Donc n n’est pas la moyenne (arithmétique) de n1 et n2 . 2 n=
30 1 Sur 60 ; 1 @ , le domaine sous la courbe contient
1#1 G
-1 1 # f ^ x h dx - 1 - ^- 2h 2 1+4 # 1 = 2,5 ; = 2 4 1 # f ^ x h dx n2 = 4 - ^- 1h -1 1 1+3 # # 5 = 2. = 5 2
33 1 n = 1
Calcul intégral
Par lecture graphique, on obtient le tableau suivant : 0 x 6 -3 +3 f ^ x h = F l^ x h
+
0
+
0
-
F (x) a. Faux.
b. Faux.
c. Vrai.
Utiliser la définition 39 a. Pour tout réel x,
3x2 2x + - 6 = x2 + x - 6 . 3 2 En développant, f ^ x h = x2 + 3x - 2x - 6 = F l^ x h . Donc F est une primitive de f sur R. F l^ x h =
b. Pour tout réel x, F l^ x h = 1e3x + x^3e3x h = ^1 + 3x he3x = f ^ x h . Donc F est une primitive de f sur R. c. Pour tout réel x, 2x - 2x F l^ x h = ^2x h # ln ^ x2 + 1h + ^ x2 + 1h # 2 x +1 = 2x ln ^ x2 + 1h + 2x - 2x = f ^ x h . Donc F est une primitive de f sur R. 40 1 Pour tout réel x 2 0 ,
1 - 1 = ln ^ x h . x 2 La primitive de ln qui prend la valeur 0 en 1 est définie sur @ 0 ; + 3 6 par : F^ x h = x ln ^ x h - x + k avec F^1 h = 0 . Donc : 1 ln ^1 h - 1 + k = 0 , soit k = 1 . Donc : F^ x h = x ln ^ x h - x + 1 . f l^ x h = 1 # ln ^ x h + x #
41 1 La fonction f est définie par :
x si x H 0 f ^xh = ) . - x si x 1 0 Donc f n’est pas dérivable en 0. 2x 2 Pour tout réel x H 0 , F l^ x h = = x = f ^ x h. 2 2x =- x = f ^ x h . Pour tout réel x 1 0 , F l^ x h =2 Donc F est une primitive de f sur R. 3 Les primitives de f sur R sont les fonctions x F^ x h + k , où k est un réel. Comme on cherche celle qui s’annule en 1, k vérifie : 1 1 + k = 0 , soit k =- . F^1 h + k = 0 , c’est-à-dire 2 2 La primitive cherchée est donc la fonction définie sur R 1 par x F^ x h - . 2
7
7
42 1 Pour tout réel x ! 60 ; 2 6 , F l^ x h = f ^ x h .
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
◗ Ainsi pour tout réel x ! 60 ; 16 , F l^ x h = 0 . La fonction F est donc constante sur 60 ; 16 . Comme F^0 h = a , pour tout réel x ! 60 ; 16 , on a : F^ x h = a . ◗ Pour tout réel x ! 61 ; 2 6 , F l^ x h = 1 . Donc il existe une constante k telle que pour tout réel x ! 61 ; 2 6 , F^ x h = x + k . Or la fonction F est continue sur 60 ; 2 6 , car dérivable sur 60 ; 2 6 . Donc F^1 h = a = 1 + k . Ainsi k = a - 1 . Donc pour tout réel x ! 61 ; 2 6 , F^ x h = x + a - 1 . F^ x h - F^1 h a - ^1 + a - 1h 2 ◗ Sur 60 ; 16 , = = 0. x-1 x-1 F^ x h - F^1 h = 0. Donc lim x-1 x "1 x 11
◗ Sur @ 1 ; 2 6 ,
F^ x h - F^1 h x+a-1-a = = 1. x-1 x-1 F^ x h - F^1 h = 1. Donc lim x-1 x "1 x 21
La fonction F n’est donc pas dérivable en 1. Il y a donc contradiction avec le fait que F soit une primitive de f . Donc la fonction f n’admet pas de primitive.
Détermination de primitives 43 1 Une primitive sur R de la fonction donnée est
définie par exemple par : x4 - x2 + 2x . 4 2 Une primitive sur @ - 3 ; 0 6 ou @ 0 ; + 3 6 de la fonction donnée est définie par exemple par : x2 1 + 2x - 2 . F^ x h = 2 2x F^ x h =
44 1 Une primitive sur R de la fonction donnée est
définie par exemple par : 3 2 x - x. 2 2 Une primitive sur @ - 3 ; 0 6 ou @ 0 ; + 3 6 de la fonction donnée est définie par exemple par : 4 F ^ x h = e 3x - x . 3 F^ x h = 3e x +
45 1 Pour tout réel x ! 0 ,
4 2 3x2 + 4x - 2 3 = 2 + 3 - 4 . x4 x x x Une primitive sur @ - 3 ; 0 6 ou sur @ 0 ; + 3 6 est définie par exemple par : 3 4 2 3 2 2 =- - 2 + 3 . F^ x h =- + x x - 2x2 - 3x3 3x x ul 2 On reconnaît une forme 2 , où u ne s’annule pas . u Une primitive sur R est définie par exemple par : -1 . F^ x h = 2 x +2 46 1 On reconnaît la forme 1 ul # u3 .
2 Une primitive sur R est définie par exemple par : 1 1 1 # ^2x + 3h4 = ^2x + 3h4 . F^ x h = 2 4 8 1 2 On reconnaît la forme ul # u2 . 4 Une primitive sur R est définie par exemple par : 3 3 1 1 1 ^ 4 # ^ x 4 - 1h = x - 1h . F^ x h = 4 3 12 47 1 On reconnaît la forme ul .
u Une primitive sur @ 0,5 ; + 3 6 est définie par exemple par : F^ x h = 2 2x - 1 . 1 ul 2 On reconnaît la forme # 2 , où u ne s’annule pas 2 u sur R. Une primitive sur R est définie par exemple par : -1 1 # 2 . F^ x h = 2 x + 2x + 2 48 1 On reconnaît la forme ul , où u est strictement
u positive sur R . Une primitive sur R est définie par exemple par : F^ x h = ln ^ x2 + 2h . Livre du professeur - Chapitre 6
Calcul intégral
9
ul , sur un intervalle où u ne u s’annule pas. r r + kr ; + kr 9 , où k ! Z , est Une primitive sur C 2 2 définie par : F^ x h =- ln cos ^ x h . 2 On reconnaît la forme -
49 1 On reconnait la forme 3 ul # eu .
2 Une primitive sur R est définie par exemple par : 3 2 F^ x h = e x . 2 7 ul 2 On reconnaît la forme . 3 u 1 ◗ Sur C ; + 3 9 , une primitive est définie par exemple 3 7 par : F^ x h = ln ^3x + 1h . 3 -7 7 1 = . Une primitive ◗ Sur C - 3 ; - 9 , - 3x - 1 3 3x + 1 est définie par exemple par : 7 F^ x h = ln ^- 3x - 1h . 3 50 1 On reconnaît la forme ul # u .
Une primitive sur @ 0 ; + 3 6 est par exemple définie par : 1 2 F^ x h = ^ln ^ x hh . 2 ul 2 On reconnaît la forme . u Une primitive sur @ 0 ; 16 ou sur @ 1 ; + 3 6 est définie par exemple par : F^ x h = ln ^ ln ^ x h h . 51 a. On reconnaît la forme 1 # ul . 4
2 u Les primitives sur @ 0 ; + 3 6 de f sont définies par : -1 1 1 1 # # 2 +k = F^ x h = 3 + k, 2+ -3 2 ^ x + 2x h3 ^ 6 x 2x h où k est un réel. 1 ul # . b. On reconnaît la forme 2 u Les primitives sur R de g sont définies par : 1 G^ x h = ln ^ x2 - 1h + k , où k est un réel. 2 52 1 Les primitives de f sur R sont les fonctions
7
54 1 En développant,
f ^ x h = cos ^ x h # ^sin ^ x hh2 + cos ^ x h # sin ^ x h . En utilisant la forme ul # u n , les primitives de f sur R 1 1 sont les fonctions x ^sin ^ x hh3 + 2 ^sin ^ x hh2 + k , 3 où k est un réel. r 1 1 1 + + k = 1 , soit k = . Comme F a k = 1 , on a : 2 3 2 6 1 1 1 Donc : F^ x h = ^sin ^ x hh3 + ^sin ^ x hh2 + . 3 2 6 l u 2 En utilisant la forme , où u ne s’annule pas u sur R, les primitives de f sur R sont les fonctions - x + ln ^2 + cos ^ x hh + k , où k est un réel. x Comme F^0 h = 1 + ln ^3 h , on a : ln ^2 + 1h + k = 1 + ln ^3 h , soit k = 1 . Donc : F^ x h =- x + ln ^2 + cos ^ x hh + 1 .
7
7
55 1 En utilisant la dérivée d’un produit, on obtient :
u ul = ul # c u + m 2 u 2 u 1 3 = ul # a u + u k = ul u . 2 2 l 2 2 Par la question précédente : c u u m = ul u . 3 2 Donc une primitive sur I de ul u est la fonction u u . 3 Donc les primitives sur I de ul u sont les fonctions 2 u u + k , où k est un réel. 3 3 a. f = ul u , où u^ x h = 2x + 3 . Donc les primitives sur I de f sont les fonctions 2 ^2x + 3h 2x + 3 + k, où k est un réel. x 3 1 b. f = ul u , où u^ x h = x2 + 3 . 2 Donc les primitives sur I de f sont les fonctions 1 2 # ^ x2 + 3h x2 + 3 + k x 2 3 1 = ^ x2 + 3h x2 + 3 + k , où k est un réel. 3 c. f = ul u . Donc les primitives sur I de f sont les fonctions 2^ x 1 + e x h 1 + e x + k , où k est un réel. 3
^u u hl = ul # u + u #
7 7
x x2 - 5x + k , où k est un réel. Comme F^0 h = 1 , on a : 02 - 5 # 0 + k = 1 , soit k = 1 . Donc F^ x h = x2 - 5x + 1 . 2 Les primitives de f sur R sont les fonctions x e x + k , où k est un réel. Comme F^2 h = 0 , on a : e2 + k = 0 , soit k =- e2 . Donc : F^ x h = e x - e2 .
avec transformation d’écriture
53 1 Les primitives de f sur R sont les fonctions
56 1 Pour tout réel x ! 1 ,
7
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
3 Comme F^- 1h = 3 , on a : ^- 1h + 2^- 1h + k = 3 , soit k = 6. Donc : F^ x h = x3 + 2x + 6 .
x2 - sin ^ x h + k , où k est un réel. x 8 r2 r - 1 + k = 0, Comme F a k = 0 , on a : 32 2 r2 . soit k = 1 32 r2 x2 - sin ^ x h + 1 . Donc : F^ x h = 8 32 2 Les primitives de f sur R sont les fonctions x x3 + 2x + k , où k est un réel.
7
7
10
Livre du professeur - Chapitre 6
Calcul intégral
7
a^ x - 1h + b ax + ^- a + bh a b = . 2 + 3 = 3 ^ x - 1h ^ x - 1h ^ x - 1h ^ x - 1h3 Par identification des coefficients avec f ^ x h , on a : a = 2 et b = 5 . 2 Une primitive de f sur @ - 3 ; 16 est par exemple définie par : -2 -5 + F^ x h = 2 . x 1 2^ x - 1h
57 1 Pour tout réel x ! 1 , 2 x^ x + 1h - 3 x^ x2 + 2x + 1h - 3 3 = 2 = 2 ^ x + 1h ^ x - 1h ^ x + 1h2 x3 + 2x2 + x - 3 = = f ^ x h. ^ x + 1h2 2 Les primitives de f sur @ - 1 ; + 3 6 sont les fonctions x2 3 + + k , où k est un réel. x 2 x+1 Comme F^0 h =- 1 , on a : 0 + 3 + k =- 1 , soit k =- 4 . x2 3 + - 4. Donc : F^ x h = 2 x+1
x-
7
2 2 et b. Par la question précédente, # dt H # 1dt . 0 t+1 0 Donc f ^2 h H 2 . 0 et 3 f ^0 h = # dt = 0 . Ainsi 0 G 1 G f ^2 h . + 0 t 1 La fonction f est continue (car dérivable), strictement croissante sur 60 ; 2 @, et d’intervalle-image 60 ; f ^2 h@, contenant 1. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f ^ x h = 1 admet une unique solution c dans 60 ; 2 @.
primitives et intégrales 62 a. I =
58 1 Pour tout réel x,
e x - ^1 + e x h -1 ex -1 = = = f ^ x h. x 1+e 1 + ex 1 + ex ul 2 On reconnaît la forme , où u ne s’annule pas sur R . u Les primitives de f sur R sont les fonctions x ln ^1 + e x h - x + k , où k est un réel. Comme F^0 h = 0 , on a : ln ^1 + 1h - 0 + k = 0 , soit k =- ln ^2 h . 1 + ex m - x. Donc : F^ x h = ln ^1 + e x h - x - ln ^2 h = ln c 2
b. I = =
#01 2e x dx = 62e x @10 = 2e1 - 2e0 = 2e - 2 .
#2 5 t^t2 - 4hdt = 9 14 ^t2 - 4h2 C2
5
2 2 1^ 2 1 441 . 5 - 4h - ^22 - 4h = 4 4 4
7
Fonction x
7 #a
x
f ^ t hdt ,
où f est continue positive 59 1 La fonction t
7
1 t2 + 1
est continue sur
7
60 a. La fonction f est dérivable sur 60 ; + 3 6 et pour 2
tout réel x H 0 , f l^ x h = e-x 2 0 . Donc la fonction f est strictement croissante sur 60 ; + 3 6 . b. La fonction f est dérivable sur 6- 4 ; 4 @, et pour tout réel x ! 6- 4 ; 4 @, f l^ x h = 16 - x2 H 0 . Donc la fonction f est croissante sur 6- 4 ; 4 @. ex 2 0 . Donc x+1 la fonction f est strictement croissante sur 60 ; + 3 6 . 2 a. Pour tout réel t H 0 ,on pose d^ t h = et - ^t + 1h . On a : d l^ t h = et - 1 H 0 sur 60 ; + 3 6 . Donc la fonction d est croissante sur 60 ; + 3 6 . Comme d^0 h = 0 , pour tout réel t H 0 , d^ t h H 0 . et - 1 H 0, Alors en divisant par 1 + t 2 0 , on a : t+1 et soit H 1. t+1 61 1 Pour tout réel x H 0 , f l^ x h =
#0 2
2 1 1 4x + 1 C dx = 9 2 0 4x + 1 1 4#2+1 4 # 0 + 1 = 1. 2
1 2 3 3 2 b. I = # dx = 62 ln ^ x + 2h@ -1 x + 2 -1 = 2 ln ^5 h - 2 ln ^1 h = 2 ln ^5 h . =
6- 1; + 3 6 . Donc la fonction f est dérivable sur 6- 1; + 3 6 , et pour 1 tout réel x H - 1 , f l^ x h = 2 . x +1 Plus précisément, f est la primitive sur 6- 1; + 3 6 de la 1 fonction t qui s’annule en - 1 . t2 + 1 2 Pour tout réel x , f l^ x h 2 0 . Donc la fonction f est strictement croissante sur 6- 1; + 3 6 .
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
63 a. I =
64 a. I =
#2 4 x^ x2 - 1hdx = 9 14 ^ x2 - 1h2 C2
4
2 2 1^ 2 1 4 - 1h - ^22 - 1h = 54 . 4 4 5 -2 5 4 E b. I = # dx = ; 2 1 ^2x + 1 h 2x + 1 1 -2 2 16 = + = . 11 3 33
=
65 1 Pour tout réel x ! 60 ; 1 @ ,
^ x - 2h^ x + 2h + 4 4 = + x 2 x+2 2- + x 4 4 x2 = = . x+2 x+2 1 4 2 I = # cx - 2 + m dx 0 x+2
x-2+
=;
1
x2 - 2x + 4 ln ^ x + 2hE 2 0 1 = a - 2 + 4 ln ^3 hk - ^0 - 0 + 4 ln ^2 hh 2 -3 3 = + 4 ln a k . 2 2 66 1 F l = f . Par lecture graphique, la fonction F est
croissante sur 60 ; 2 @, décroissante sur 62 ; 4 @, et croissante sur 6 4 ; + 3 6 . Livre du professeur - Chapitre 6
Calcul intégral
11
Donc la fonction f est positive sur 60 ; 2 @ et 6 4 ; + 3 6 , et négative sur 62 ; 4 @. 2
#0 2 f ^ x hdx = F^2h - F^0h = 5 - 0 = 5 .
3 On a :
#0 2 f ^ x hdx = G^2h - G^0h.
Donc G^2 h - 1 = 5. Donc G^2 h = 6 .
3 1 k dx = 6 x2 + ln ^ x h@1 x = 8 + ln ^3 h . 0 1 ^ 2 1 b. I = 9 ln t - 1 hC- =- ln ^0,75h 0,5 2 2 1 4 = ln a k . 2 3
76 a. I =
#1 3 a2x +
Calculs d’aires 3 intégrale d’une fonction continue de signe quelconque 67 1 Faux.
2 Vrai.
3 Faux.
68 1 Faux.
2 Faux.
3 Vrai.
#a b ^- f ^ x hhdx
est égal à l’aire du domaine sous la
courbe de - f sur 6a ; b @. Or la courbe représentative de - f est la symétrique de par rapport à l’axe des abscisses.
#a b ^- f ^ x hhdx est égal à l’aire du domaine compris
69 a. Vrai.
b. Vrai. c. Vrai. d. Faux, il s’agit d’un minimum local en x = 1 .
Donc
Calculs d’intégrales
Donc I =- # ^- f ^ x hdx h est égal à l’opposé de l’aire du
70 ◗
◗
◗
#2
4
#0
r 2
a
#-31 x^ x2 - 1hdx = 9 14 ^ x2 - 1h2 C-1 3
2 2 1^ 2 1 2 3 - 1h - ^^- 1h - 1h = 16 . 4 4 -1 4 x 1 # = x d E ; 2 2 2 x -1 2 ^ x2 - 1h -1 1 2 = + = . 15 2 # 15 2#3
1 ^sin ^ x hh2 C02 2 1 1 = -0 = . 2 2
8 = . 2 3 -1 1 x2 -1 1 1 25 b. I = 9 e C- = e - e . 5 2 2 2 3
#-81 f ^ x hdx = #-21 f ^ x hdx + #2 5 f ^ x hdx + #5 8 f ^ x hdx =
-1 -1 -1 5 = . E = - -24 4 24 4^ x - 2h -4
sin ^3x h E = 0. 3 0 r
-1
0
Une primitive sur R de f étant définie par x4 + 2x3 + 4x2 , on obtient que : F^ x h =2 19 3 + + 64 = 75 . = 2 2 79 L’aire de la surface colorée, en unité d’aire, est :
2 0 1 1 b. I = 9 ln ^2x + 1hC =- ln ^5 h . 2 2 2 1
=
#-21 ^^2 - x2h - ^- x hhdx = #-21 ^- x2 + x + 2hdx
= ;-
2
x3 x2 + + 2x E 3 2 -1 -1 8 4 1 9 = c- + + 4 m - a+ - 2k = . 3 2 3 2 2
2 74 a. I = 6 x2 + 1 @1=
5 - 2. 3 1 1 1 b. I = 9 e3x + 3 C- = e12 - . 3 3 3 1
80 On trace les courbes
5 75 a. I = 9 1 ^2x + 1h4 C = 1830 . -1 8 3 t b. I = 6ln ^e + 1h@0 = ln ^e3 + 1h - ln ^2 h e3 + 1 m = ln c . 2
Livre du professeur - Chapitre 6
3#2 3#2 3#3 9 + = . 2 2 2 2
-2
1
2 73 a. I = 9 1 ^ln ^ t hh2 C = 1 ^ln ^2 hh2 .
12
c
- 2x3 + 6x2 + 8x =- 2x^ x + 1h^ x - 4h . La fonction f représentée par la courbe est donc positive sur @ - 3 ; - 1 @ , 60 ; 4 @, et négative sur 6- 1 ; 0 @ , 6 4 ; + 3 6 . Donc, en unité d’aire, l’aire de la surface colorée est : 0 4 -1 = # f ^ x h dx - # f ^ x h dx + # f ^ x h d x .
1
2
a
3 Par la relation de Chasles,
78 Pour tout réel x,
3 71 a. I = ; x + 3 x2 + x E
b. I = ;
domaine compris entre la courbe , l’axe des abscisses, et les droites verticales d’équation x = a et x = b . 2 Par la relation de Chasles, b c I = # f ^ x hdx + # f ^ x hdx = 1 - 2.
r
cos ^ x h sin ^ x hdx = 9
72 a. I = ;
entre la courbe , l’axe des abscisses, et les droites verticales d’équation x = a et x = b . b
=
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
77 1 La fonction - f est positive sur 6a ; b @ . Donc
1 et 2 d’équations respectives 1 2x y = 2 et y = x 1 + x2 à la calculatrice : Calcul intégral
Pour tout réel x ! 0 , on pose d^ x h =
1 2x . 1 + x2 x2
^1 - x h^2x2 + x + 1h . D’où le tableau de x2 ^1 + x2h signes de d^ x h sur R) : Alors f ^ x h = x
0
-3
1-x 2x 2 + x + 1
+ +
x2
+
1 + x2 d^ x h
1
+3
+ 0 + + 0
+
+
+
+
+
+
+ 0 -
Donc 1 est en-dessous de 2 sur 61 ; + 3 6 , donc sur 61 ; 2 @. L’aire de la surface délimitée par les courbes 1 et 2, et la droite d’équation x = 2 , en unités d’aire, est donc égale à : 2 #1 2 c 1 +2xx2 - x12 m dx = 9ln ^1 + x2h + 1x C1 = aln ^5 h +
1 5 1 k - ^ln ^2 h + 1h = ln a k - . 2 2 2
81 1 Pour tout réel x 2 0 , on pose d^ x h = f ^ x h - g^ x h .
-4 4 d^ x h = x cx m = 2 1 0 . Donc la courbe f x2 x est en-dessous de la courbe gsur @ 0 ; + 3 6 . 2 Soit t H 1 . On a : t t 4 A^ t h = # ^g^ x h - f ^ x hhdx = # 2 dx 1 1 x 4 t 4 = 9- C = 4 - . x 1 t 4 3 lim A^ t h = lim a 4 k = 4. t t "+3 t "+3 2-
Fonction x 82
2+
7 #a x f ^ t hdt , où f est continue
Démonstration de cours
1 La fonction F est une primitive de f sur I.
Donc pour tout réel x de I,
#a
x
f ^ t h dt = F ^ x h - F ^a h .
Donc : Fa ^ x h = F^ x h - F^ah . 2 La fonction Fa est dérivable sur I et pour tout réel x de I, ^Fahl^ x h = F l^ x h - 0 = f ^ x h . Donc Fa est une primitive de f sur I. a De plus, Fa ^ah = # f ^ t hdt = 0 . a
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
Donc Fa est la primitive de f sur I qui s’annule en a. 83 a. Faux, car f l^ x h =
2 . Donc f l^0 h = 2 . 1 - x2
2 , qui est positif sur @ - 1 ; 16 . 1 - x2 0 2 c. Faux, car f ^0 h = # dt = 0 . 0 1 - t2 d. Vrai. Pour tout réel x ! @ - 1 ; 16 , on pose : 1+x m = ln ^1 + x h - ln ^1 - x h . g^ x h = ln c 1-x b. Vrai, car f l^ x h =
1 k = 0 , et pour tout réel x ! @ - 1 ; 16, 1 -1 1 1-x+x+1 2 = = . gl^ x h = x+1 1-x 1 - x2 1 - x2 Donc g est la primitive de f l sur @ - 1 ; 16 qui s’annule en 0. Donc g = f . On a g^0 h = ln a
84 1 Pour tout réel x,
1 e-3x e-3x = = 3x . e +1 1 + e-3x e-3x ^e3x + 1h ◗ Comme lim e3x = 0 , on a : lim f ^ x h = 1 . f ^xh =
x "-3
x "-3
3x
◗ Comme lim e =+ 3 , on a : lim f ^ x h = 0 . x "+3
x "+3
- 3e3x ◗ Pour tout réel x, f l^ x h = 3x 1 0 . Donc la fonc^e + 1h2 tion f est strictement décroissante sur R. 2 a. La fonction f est positive sur R.
#ab f ^ x hdx H 0 . #0 a f ^ x hdx =- #a0 f ^ x hdx . #a0 f ^ x hdx H 0 .
Donc pour tous a 1 b , ◗ Si a 1 0 , On a :
Donc I^ah G 0 . ◗ Si a H 0 , I^ah H 0 . b. I^ah =
#0 a 1 +e e-3x dx = 9 -31 ln ^1 + e-3x hC -3x
a 0
-1 1 1 2 = ln ^1 + e-3ah + ln ^2 h = ln c m. 3 3 3 1 + e-3a 1 c. lim 1 + e-3a = 1 . Donc lim I^ah = ln ^2 h . 3 + + a" 3 a" 3 85 1 On pose F^ x h = ^ax + bh e x .
Pour tout réel x, F l^ x h = ae x + ^ax + bhe x = ^ax + ^a + bhhe x . La fonction F est une primitive de f + pour tout réel x, F l^ x h = f ^ x h a=1 + ) + = + a = 1 et b =- 1 . a b 0 2
#-11 xe x dx = 6^ x - 1he x @1-1 = 0 + 2e-1 = 2e-1 .
86 1 a. On a : f =- ul # eu , où u^ x h = 1 .
x Donc les primitives de f sur @ - 3 ; 0 6 sont les fonctions 1 - exp a k + k , où k est un réel. x x Comme F^- 1h = 0 , on a : - exp ^- 1h + k = 0 , soit k = e-1 . 1 Donc : F^ x h =- exp a k + e-1 . x b. Pour tout réel x 1 0 , F l^ x h = f ^ x h 2 0 . Donc la fonction F est croissante sur @ - 3 ; 0 6 . 1 2 lim =- 3 . x "0 x
7
x 10
Donc par composition : lim exp a x "0 x 10
1 k = 0. x
On en déduit que lim F^ x h = e-1 . x"0 x 10
Livre du professeur - Chapitre 6
Calcul intégral
13
Graphiquement, l’aire du domaine délimité par la courbe de f , l’axe des abscisses, et les droites verticales d’équation x =- 1 et x = 0 est égale à e-1 , en u.a. 1 3 lim = 0. x "-3 x 1 Donc par composition, lim exp a k = 1 . x x "-3 -1 On en déduit que lim F^ x h = e - 1 .
car la courbe représentative de f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. 0 a Donc # f ^ x hdx = # f ^ x hdx .
propriétés de l’intégrale
90 1 I =
x "-3
conservation de l’ordre 1 Pour tout réel x ! 6a ; b @ , g^ x h - f ^ x h H 0 . Donc en utilisant la propriété de positivité,
#ab 6g^ x h - f ^ x h@dx H 0 .
2 Or par linéarité,
#ab 6g^ x h - f ^ x h@dx = #ab g^ x hdx - #ab f ^ x hdx . #ab g^ x hdx - #ab f ^ x hdx H 0 , #ab g^ x hdx H #ab f ^ x hdx .
soit :
3
3 x2 E = 63 , car la ◗ I2 = 2 # ^3x2 + x hdx = 2 ; x3 + 2 0 0 fonction x 3x2 + x est paire.
7
I+J =
#ab f ^ x hdx H 0 . #a
f ^ x h dx G 0 .
Or
#ab f ^ x hdx =- #ab - f ^ x hdx .
#ab - f ^ x hdx H 0 . Donc #ab f ^ x hdx G 0 .
◗ Si a H b , comme
3 ◗ Sur
#ab f ^ x hdx =- #ba f ^ x hdx , on a : #ab f ^ x hdx H 0 .
6- 1 ; 2 @,
1 1 0 . Comme - 11 2 , alors x-3
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
I1 G 0 . 2 ◗ Sur 6- 3 ; 2 @, ^2x + 1h H 0 . Comme 2 2 - 3 , alors I2 G 0 . 1 ◗ Sur 61 - e ; e @, 2 2 0 . Comme e 21 - e , alors x +1 I3 G 0 . 1 1 ◗ Sur 9 ; 1 C , ln ^ x h G 0 . Comme 1 1 , alors I4 G 0 . e e 89 1 a. Par la relation de Chasles,
#-aa f ^ x hdx = #-0a f ^ x hdx + #0 a f ^ x hdx = 0 ,
car la courbe représentative de f est symétrique par rapport à l’origine O. Donc
#0 a f ^ x hdx =- #-0a f ^ x hdx .
b. Par la relation de Chasles, # a f ^ x h dx = # 0 f ^ x h dx + -a
-a
= 2 # f ^ x h dx ,
#0 a f ^ x hdx
a
0
14
Livre du professeur - Chapitre 6
x3 m dx = 1 + x2
#01
x^1 + x2h dx 1 + x2
2 1
#01 x dx = ; x2
=;
4 1 1 ln ^2x - 3h + E 2 2^2x - 3h 2
1 1 1 1 1 2 k - a ln ^1 h + k = ln ^5 h + ln ^5 h - . 2 10 2 2 2 5
92 1 Pour tout réel x H 1 , on a :
◗ x2 + 1 H x2 . Donc x2 + 1 H
2 On suppose que f est négative sur I.
◗ Si a G b , on a
+
1 1 2x - 3 - 1 = = f ^ x h. 2x - 3 ^2x - 3h2 ^2x - 3h2 4 1 1 2 I= # c m dx . 2 2x - 3 ^2x - 3h2
=a
#ab f ^ x hdx =- #ba f ^ x hdx , on a :
#01 c 1 +x x2
1 ln ^2 h . 2
91 1 Pour tout réel x ! 62 ; 4 @ ,
◗ Si a G b , alors par la propriété de positivité :
b
1
E = 1 . 2 0 1 1 1 -I = - ln ^2 h . Donc J = 2 2 2 =
88 1 On suppose que f est positive sur I.
◗ Si a H b , comme
#01 1 +x x2 dx = 9 12 ln ^1 + x2hC0 =
2 Par linéarité,
87 Démonstration de cours :
Donc :
-a
0
2 ◗ I1 = 0 , car la fonction sinus est impaire sur 6- r ; r @ .
Calcul intégral
x2 , c’est-à-dire f ^ x h H x . 1 2 1 1 2 ◗ x2 + 1 G x2 + x G a x + k G ax + k . 2 4 2 2 1 Donc x2 + 1 G a x + k , 2 1 c’est-à-dire f ^ x h G x + . 2 2 En intégrant les inégalités précédentes sur 61 ; 3 @ , on #1 3 x dx G #1 3 f ^ x hdx G #1 3 a x + 12 k dx , obtient : soit : Donc :
3
2 ;x E G 2 1
#1 3 f ^ x hdx G ; x2
4G
2
#1 3 f ^ x hdx G 5 .
3
+
xE . 2 1
93 1 a. Pour tout réel x ! 90 ; 1 C , f ^ x h =
2
1 et 1 + x2
- 2x . ^1 + x2h2 1 16 1 4 et f la k =. Donc f a k = 2 25 2 5 Donc la tangente C à la courbe au point B a pour équation : 1 1 1 16 1 4 ax - k + . y = f la ka x - k + f a k =2 2 2 25 2 5 Donc la droite C admet pour équation : 16 28 . y =x+ 25 25 f l^ x h =
b. Le coefficient directeur de la droite ^ ABh est : 1 f a k - f ^0 h 2 2 =- . 5 1 -0 2 La droite ^ ABh admet pour équation : 2 2 y =- ^ x - xAh + yA =- ^ x - 0h + 1 . 5 5 2 Donc la droite ^ ABh admet pour équation : y =- x + 1. 5 1 2 ◗ Pour tout réel x ! 90 ; C, 2 ^2x - 1h2 ^4x - 3h 16 28 m= G 0. f ^ x h - cx+ 25 25 25^ x2 + 1h Donc la courbe est en dessous de la droite C sur l’in1 tervalle 90 ; C . 2 1 ◗ Pour tout réel x ! 90 ; C , 2 x^ x - 2h^2x - 1h 2 f ^ x h - c- x + 1 m = H 0. 5 5^ x2 + 1h Donc la courbe est au-dessus de la droite ^ ABh sur 1 l’intervalle 90 ; C . 2 1 3 Pour tout réel x ! 90 ; C , on a : 2 2 16 28 - x + 1 G f ^xh G . x+ 5 25 25 Donc :
#0
1 2
2 c- x + 1 m dx G 5 1
#0
2 x2 + xE G Donc : ;5 0
#0
9 G 20
Donc :
1 2
f ^ x h dx G
16 28 cm dx. x+ 25 25 1
1 2
#0
#0
1 2
1 2
8x2 28 E 2 + f ^ x hdx G ;x . 25 25 0 f ^ x h dx G
12 . 25
Valeur moyenne 94 1 Pour tout réel x,
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
f ^ x + 2h = cos ^rx + 2rh = cos ^rx h = f ^ x h . Donc la fonction f est 2-périodique sur R. 2 Une primitive de f sur R est par exemple définie par : 1 F^ x h = sin ^rx h . r 3 La valeur moyenne de f sur 6- 1 ; 1 @ est : 1 1 1 # f ^ x hdx = ^F^1 h - F^- 1hh n= 2 1 1 ^ 1h 1 1 1 = a sin ^rh + sin ^rhk = 0 . 2 r r 95 a. Approximativement, il faut situer le terrain nivelé
à une hauteur de 110 m. 400 1 # b. h = h ^ x h dx 400 0 2
x #0 400 c 1600
96 La valeur moyenne de la capacité pulmonaire est :
70 1 # f ^ x h dx 70 - 20 20 1 m dx # 70 c 110 lnx ^ x h - 220 50 20 x 70 1 6 55^ln ^ x hh2 - 220 ln ^ x h@20 50 1 6^ 55^ln 70h2 - 220 ln 70h - ^55^ln 20h2 - 220 ln 20h@ 50 11 ^ 22 7 ^ln 70h2 - ^ln 20h2h - 5 ln a 2 k . 4,5 . 10
n= = = = =
Prépa Bac exercices guidés 97 1 ◗ Pour tout réel x ! 60 ; 3 @ , f ^ x h H 0 .
Donc
#0 3 f ^ x hdx H 0 , soit I H 0 .
Donc
#--5 2 f ^ x hdx G 0 , soit J G 0 .
◗ Pour tout réel x ! 6- 5 ; - 2 @, f ^ x h G 0 .
◗ La fonction f n’est pas de signe constant sur 6- 1 ; 1 @,
donc on ne connaît pas le signe de K =
2 ◗ Pour tout réel x ! 60 ; 1 @ , 0 G f ^ x h G 2 .
Donc
#01 0 dx G #01 f ^ x hdx G #01 2dx . Donc 0 G A G 2 .
Donc
#1 2 1dx G #1 2 f ^ x hdx G #1 2 2dx . Donc 1 G B G 2 .
◗ Pour tout réel x ! 61 ; 2 @, 1 G f ^ x h G 2 . 98 1 ◗ Pour tout réel x ! 60 ; 2 @ ,
x2 - 2x = x^ x - 2h G 0 . Donc x2 - 2x =- x2 + 2x . 2 2 x-1 ◗ # f ^ x h dx = # dx . 0 0 - x2 + 2x + 1 Pour le dénominateur, D = 8 ; x1 = 2 + 1 . 2,4 et x2 =- 2 + 1 . - 0,4 . Donc pour tout réel x ! 60 ; 2 @, - x2 + 2x + 12 0 . 2 2 1 # ln ^- x2 + 2x + 1hE = 0 . Alors # f ^ x hdx = ; -2 0 0 2 Soit m 2 2 . La valeur moyenne de f sur 60 ; m @ est : 1 m # f ^ x h dx . n= m 0 Par la relation de Chasles,
#0 m f ^ x hdx = #0 2 f ^ x hdx + #2 m f ^ x hdx . Donc
x + 125 m dx 4
1 400
=
1 ; x3 x2 + 125x E 400 4 800 8 0
-
400
=
325 . 108,3 . 3
x-1 dx 2x + 1 x m x-1 1 dx 2 dx = #2 x 1 ^ x - 1h
#0 m f ^ x hdx = 0 + #2 m =
=
#-11 f ^ x hdx .
#2 m
2-
= 6ln ^ x - 1h@2m = ln ^m - 1h . Donc la valeur moyenne de f sur 60 ; m @ est : ln ^m - 1h . n= m Livre du professeur - Chapitre 6
Calcul intégral
15
99 1 Pour tout réel x, on pose :
5 5 x = ^ x2 + 1he-x + 2 - x . 2 2 5 2 On a : d l^ x h =-^ x - 1h e-x + 2 - 1 0 . 2 Donc la fonction d est décroissante sur R. Comme d^2 h = 0 , la fonction d est positive sur @ - 3 ; 2 @ , et négative sur 62 ; + 3 6 . On en déduit que la courbe est au-dessus de la droite D sur @ - 3 ; 2 @ , et en dessous de la droite D sur 62 ; + 3 6 . 2 5 Donc en unités d’aire, = # 9 f ^ x h - x Cdx . 2 0 1 2 # 9 f ^ x h - 25 x Cdx . Donc en cm², = 2 0 2 a. Pour tout réel x, Gl^ x h = ^- 2x - 2he-x + 2 + ^- x2 - 2x - 3h^- e-x + 2h d^ x h = f ^ x h -
= e-x + 2 # ^- 2x - 2 + x2 + 2x + 3h = ^ x2 + 1he-x + 2 Donc Gl^ x h = f ^ x h . Donc la fonction G est une primitive de f sur R. b. Donc : 2 1 5 x2 E 3 = a e2 - 8 k cm2 . 3,08 cm2. = # ;G ^ x h 2 2 2 0 2 100
1 I0 =
#01 e-x dx = 6- e-x @0 = 1 - e-1 = 1 - 1e . 1
2 a. Pour tout entier naturel n,
In + 1 - In = =
#0
1
x n + 1 e-x dx -
#0
1
x n e-x dx
Comme pour tout réel x ! 60 ; 1 @, x n H 0 , x - 1 G 0 et e-x 2 0 . Donc x n ^ x - 1he-x G 0 . Par la relation d’ordre, on en déduit que In + 1 - In G 0 . Donc la suite ^ Inh est décroissante. b. Pour tout réel x ! 60 ; 1 @, x n e-x H 0 . Donc par la relation de positivité, In H 0 . La suite ^ Inh est donc décroissante et minorée par 0. Donc la suite ^ Inh est convergente. 3 a. Pour tout réel x ! 60 ; 1 @ , e-x G 1 . Donc x n e-x G x n .
#01 xn e-x dx G #01 xn dx . 1
b. D’après la question précédente, In G ;
xn + 1 E . n+1 0 1 . Donc pour tout entier naturel n, 0 G In G n+1 1 = 0. Or lim n "+3 n + 1 D’après la théorème des gendarmes, lim In = 0 .
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
1 Pour tout réel x,
0
Ainsi : F^ x h H x 2e 2. Comme e-x H 0 , on a pour tout réel x H 0 , F^ x h H x - 2. c. Comme lim x - 2 =+ 3 , d’après le théorème de x "+3
minoration, lim F^ x h =+ 3 . x "+3
4 Pour tout réel x,
2e-x 2e x = en multipliant 1 e 2x + 1 e-2x + 1 par e2x le numérateur et le dénominateur du quotient. La fonction f est paire, donc : F^- x h =
#0-x f ^ t hdt =- #0 x f ^ t hdt =- F^ x h.
On a donc lim F^ x h =- lim F^ x h =- 3 . x "-3
x "+3
exercices d’entraînement 102
1 Pour tout réel x ! @ - 3 ; 3 6 :
3-x 3+x m =- ln c m =- f ^ x h . 3+x 3-x Donc la fonction f est impaire sur @ - 3 ; 3 6 . Donc la courbe admet l’origine O comme centre de symétrie. 2 lim ^3 + x h = 6 et lim ^3 - x h = 0+ . f ^- x h = ln c
x "3 x 13
x "3 x 13
3+x =+ 3 . 3-x
Donc par composition avec la fonction ln, lim f ^ x h =+ 3 . 2
2
Comme e2x 2 0 , e2x + 12 0 et ^e x - 1h H 0 . Donc pour tout réel x, f ^ x h H 0 . 2 La fonction f est continue sur R. Donc la fonction F est dérivable sur R, et pour tout réel x, F l^ x h = f ^ x h . Livre du professeur - Chapitre 6
Donc : F^ x h H
6t + 2e-t @0x . + -x -
Donc par quotient lim
^e x - 1h 2e x e2x - 2e x + 1 = = 2x . f ^ x h = 1 - 2x 2 x e +1 e +1 e +1
16
0 H-
0
x "3 x 13
n "+3
101
2e-t H - 2e-t . 1 + e-2t En ajoutant 1, on a : 1 H f ^ t h H 1 - 2e-t . b. Soit un réel x H 0 . D’après la question précédente, en utilisant la relation d’ordre, on a : # x f ^ t hdt H # x ^1 - 2e-thdt . d’où :
f ^- x h = 1 -
#01 ^ xn + 1 - xnhe-x dx = #01 xn ^ x - 1he-x dx .
Donc par la relation d’ordre,
Comme f ^ x h H 0 , la fonction F est croissante sur R. 3 a. Pour tout réel t, 2et 2et = 1 - 2t f ^ t h = 1 - 2t e +1 e ^1 + e-2t h -t 2e = 1. 1 + e-2t 1 Comme 1 + e-2t H 1 , on a : 0 G G 1. 1 + e-2t 2e-t Donc : 0G G 2e-t , 1 + e-2t
Calcul intégral
x "3 x 13
Donc la courbe admet une asymptote verticale d’équation x = 3 . Par symétrie par rapport à O, la courbe admet aussi une asymptote verticale d’équation x =- 3 . 3 Pour tout réel x ! 60 ; 3 6 , 0 1 3 - x G 3 + x . 3+x En divisant par 3 - x 2 0 , on a : 1 G . 3-x
Comme la fonction ln est croissante sur @ 0 ; + 3 6 , 3+x m , soit 0 G f ^ x h . ln ^1 h G ln c 3-x Donc la fonction f est positive sur 60 ; 3 6 . 4 a. Pour tout réel x ! @ - 3 ; 3 6 , f ^ x h = ln ^3 + x h - ln ^3 - x h . 3+x 1 1 + m+ x #c m Donc hl^ x h = ln c 3-x 3+x 3-x 3+x 6x = ln c m+ . 3-x 9 - x2 b. Par la question précédente, pour tout réel x ! @ - 3 ; 3 6 , 6x . f l^ x h = hl^ x h 9 - x2 Donc une primitive F de f sur @ - 3 ; 3 6 est par exemple définie par x h^ x h + 3 ln ^9 - x2h . c. En unités d’aire, l’aire de la surface coloriée est : # 2 f ^ x hdx = F^2h - F^0h
7
0
= ^2 ln ^5 h + 3 ln ^5 hh - ^0 + 3 ln ^9 hh = 5 ln ^5 h - 6 ln ^3 h . 1,46 . 103
1 a. Pour tout réel x 2 0, 0 1 x 1 x + 1. Comme la fonction ln est croissante sur @ 0 ; + 3 6 , ln ^ x h 1 ln ^ x + 1h. Donc g^ x h 2 0 . La fonction g est strictement positive sur @ 0 ; + 3 6 . b. ◗ lim ln ^ x h =- 3 et lim ln ^ x + 1h = ln ^1 h = 0 . x "0
x "0
Donc lim g^ x h =+ 3 . x+1 k 1 = ln a1 + k . x x 1 = 1 , par composition on a : Comme lim 1 + x x "+3 ◗ g^ x h = ln a
lim g^ x h = ln ^1 h = 0 .
x "+3
2 a. Pour tout réel x 2 0 , f ^ x h = x + 2 + g^ x h . ◗ lim ^ x + 2h = 2 et lim g^ x h =+ 3 . x "0
Donc par somme lim f ^ x h =+ 3 . x "0
◗ lim ^ x + 2h =+ 3 et lim g^ x h = 0 . x "+3
x "+3
Donc par somme lim f ^ x h =+ 3 .
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
x "+3
b. Pour tout réel x 2 0 , f ^ x h - ^ x + 2h = g^ x h 2 0 . Donc la courbe est au-dessus de la droite sur @ 0 ; + 3 6. 3 a. Pour tout réel x 2 0 , on a : 1 Gl^ x h = 1 # ln ^ x + 1h + ^ x + 1h # x+1 1 - 1 # ln ^ x h - x # x = ln ^ x + 1h - ln ^ x h = g^ x h . Donc la fonction G est une primitive de g sur @ 0 ; + 3 6 . b. En unités d’aire, l’aire de la surface délimitée par la courbe , la droite et les droites verticales d’équations respectives x = 1 et x = 3 est :
#1
3
6 f ^ x h - ^ x + 2h@dx =
Pré-requis Par linéarité, # b f ^ x h dx a
#ab g^ x hdx = #ab ^ f ^ x h - g^ x hhdx .
Or pour tout réel x de 6a ; b @, f ^ x h - g^ x h H 0 .
Par positivité de l’intégrale, On en déduit que dire
#ab ^ f ^ x h - g^ x hhdx H 0 .
#ab f ^ x hdx - #ab g^ x hdx H 0 , c’est-à-
#ab f ^ x hdx H #ab g^ x hdx . #1 x ^2 - t hdt = ;2t -
x
t2 E x2 3 =+ 2x - . 2 1 2 2 2 Pour tout réel t H 1 , on a : ^t - 1h2 1 - ^2 - t h = (positif ). t t 1 Donc H 2 - t. t 3 Par la question 2 , pour tout réel x H 1 : #1 x 1t dt H #1 x ^2 - t hdt .
A. 1
Donc 6ln ^ t h@1x H -
x2 3 + 2x - . 2 2
Ainsi pour tout réel x H 1 , ln ^ x h H B. 1
#1 4 h^ x hdx = ;- x6
3
+ x2 -
x2 3 + 2x - . 2 2 4
3 E x 2 1
43 3 # 4 m c 13 3#1 m + 42 - + 12 = 0. 6 2 6 2 Graphiquement, sur 61 ; 4 @, l’aire algébrique du domaine compris entre la courbe et l’axe des abscisses est nulle. 2 Soit la fonction F définie sur @ 0 ; + 3 6 par F^ x h = x ln ^ x h - x . 1 - 1 = ln ^ x h . F l^ x h = 1 ln ^ x h + x # x Donc la fonction F est une primitive de la fonction ln sur @ 0 ; + 3 6. Par la partie A, la courbe C est au-dessus de sur 61 ; + 3 6 , donc sur 61 ; 4 @. Donc l’aire de , en unités d’aire, est égale à : = c-
x "0
x "0
104
#1
3
g ^ x h dx
= G^3 h - G^1 h = 6 ln ^2 h - 3 ln ^3 h . 0,86 .
#1 4 ln ^ x hdx - #1 4 h^ x hdx = 6 x ln ^ x h - x @14 - 0
= ^4 ln ^4h - 4h - ^1 ln ^1 h - 1h = 4 ln ^4h - 3 . 105
1 a. Soit un entier n H 1 . Pour tout réel x ! 60 ; 1 @, 0 G x n G 1 , donc : 1 G 1 + xn G 2 . Comme la fonction ln est croissante sur @ 0 ; + 3 6 , 0 G f n^ x h G ln ^2 h . En utilisant la relation d’ordre sur les intégrales,
#01 0 dx G In G #01 ln ^2hdx .
Donc 0 G In G ln ^2 h . b. Pour tout entier n H 1 , 1 In + 1 - In = # ln ^1 + x n + 1hdx 0
=
#01 ln ^1 + xnhdx
#01 6ln ^1 + xn + 1h - ln ^1 + xnh@dx .
Or pour tout réel x ! 60 ; 1 @, 0 G x G 1 , donc : 0 G xn + 1 G xn . Livre du professeur - Chapitre 6
Calcul intégral
17
Donc : 1 G 1 + xn + 1 G 1 + xn , d’où : 0 G ln ^1 + x n + 1h G ln ^1 + x nh . Ainsi : ln ^1 + x n + 1h - ln ^1 + x nh G 0 . On en déduit que pour tout entier n H 1 , In + 1 - In G 0 . Donc la suite ^ Inh est décroissante. c. La suite ^ Inh est décroissante et minorée par 0. Donc la suite ^ Inh est convergente. 2 a. Pour tout réel x H 0 , -x 1 -1 = G 0. gl^ x h = 1+x 1+x Donc la fonction g est décroissante sur 60 ; + 3 6 . b. Or g^0 h = ln ^1 h - 0 = 0 . Or pour tout réel x H 0 , g ^ x h G g ^0 h . Donc pour tout réel x H 0 , g^ x h G 0 . c. D’après la question 2 b., pour tout réel t H 0 , ln ^1 + t h G t . Soit un réel x H 0 . En posant t = x n , on a donc : ln ^1 + x nh G x n . 3 En utilisant la relation d’ordre et la question 2 c., on a : 0G Donc 0 G In G ;
#01 ln ^1 + xnhdx G #01 xn dx .
T Sn et n sont des valeurs approchées de I à 10-p n n T S près équivaut à n - I G 10-p et n - I G 10-p . n n T Sn 1 1 n - I G ^Tn - Snh et - I G ^Tn - Snh Or n n n n d’après la question 2 b. Sn e-2 -I G Donc d’après la question 2 c., et n 2n Tn e-2 -I G . n 2n T S Pour que n et n soient des valeurs approchées de I n n e-2 à 10-p près, il suffit donc que G 10-p . 2n 3 a. Le résultat final affiché est Sn . b. On résout : e-2 e-2 # 10 p . G 10-p + 2n H ^e - 2h # 10 p + n H 2n n e-2 # 10 p k + 1. Le plus petit entier n qui convient est E a 2 On propose donc l’algorithme : d.
1
1 xn + 1 E , soit 0 G In G . n+1 n+1 0 1 = 0 , par le théorème des Comme lim + n 1 x "+3 gendarmes, on a : lim In = 0 .
ALGO
Variables : n, k : entiers ; S : réel ; Début : Entrer(p) ; e-2 # 10 p k + 1 ; n ! Ea 2 S ! 0 ; Pour k allant de 0 à n - 1 faire k S ! S + f c m ; n FinPour ; Afficher(S/n) ; Fin.
x "+3
106
1 Pour tout réel x ! 60 ; 1 @ ,
e x ^1 + x h - 1e x xe x = H 0. 2 ^1 + x h ^1 + x h2 Donc la fonction f est croissante sur 60 ; 1 @. 2 a. Soit un entier k entre 0 et n - 1 . k k+1 E, pour La fonction f étant croissante sur ; ; n n + k k 1 E, on a : tout réel x ! ; ; n n k k+1 m. f c m G f ^xh G f c n n Donc en utilisant la relation d’ordre sur les intégrales : f l^ x h =
#k
k+1 n
n
Donc :
k f c m dx G n
#k
k+1 n
f ^ x h dx G
n
1 k fc mG n n
#k
k+1 n
n
#k
k+1 n
f ^ x h dx G
n
fc
k+1 m dx. n
1 k+1 m. fc n n
b. On somme les inégalités précédentes membre à membre, pour k allant de 0 à n - 1 . Donc : n-1
/
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k=0
n-1
1 k fc mG / n n k=0
#k
n
k+1 n
f ^ x h dx G
n-1
/
k=0
1 k+1 m. fc n n
Par la relation de Chasles, on a donc : 1 1 1 S G # f ^ x hdx G Tn . n n n 0 c. Pour tout entier n H 1 , on a : 1 2 1 Tn - Sn = a f a k + f a k + f + f ^1 hk - a f ^0 h + f a kk n n n -1 n a+ f + f a kk n e = f ^1 h - f ^0 h = - 1. 2 18
Livre du professeur - Chapitre 6
Calcul intégral
1 e-2 . T - Snh = n^n 2n
Donc :
e-2 # 103 k + 1 = 360 . c. Pour k = 3 , on a : n = E a 2 S Il suffit de calculer n pour un entier n H 360 . n n 100 500 1 000 5 000 Sn 1,123 6 1,125 026 1,125 2 1,125 34 n Une valeur approchée de I à 0,001 près est 1,125. 107
1 ◗
Partie A lim x =- 3 et lim e1 - x =+ 3 .
x "-3
x "-3
Donc par produit, lim f ^ x h =- 3 . x "-3
◗ lim x =+ 3 et lim e1 - x =+ 3 . 2
x "-3
x "-3
Donc par produit, lim g^ x h =+ 3 . x "-3
x x2 x et g ^ x h = e # x . e e x Par le théorème de croissance comparée, lim x =0 x "+3 e 2 x et lim x = 0. x "+3 e Donc lim f ^ x h = 0 et lim g^ x h = 0 . 2 Pour tout réel x, f ^ x h = e #
x "+3
x "+3
3 Pour tout réel x,
108
f l^ x h = ^1 - x he1 - x et gl^ x h = x^2 - x he1 - x . D’où les tableaux de variations sur R : x 1 -3 +3 f l^ x h f ^xh et : x
0
-3 0
-3
gl^ x h g^ x h
0 1
+
-
2
0
0
+
+3 -
4/e
+3 0
0
Partie B 1 Pour tout réel x, on pose d^ x h = f ^ x h - g^ x h . On a : d^ x h = x^1 - x he1 - x . La fonction d est positive sur 60 ; 1 @, et négative sur @ - 3 ; 0 @ , 61 ; + 3 6 . Donc la courbe est au-dessus de la courbe C sur 60 ; 1 @ , et en dessous de la courbe C sur @ - 3 ; 0 @ , 61 ; + 3 6 . 2 En utilisant les résultats du logiciel :
#01 f ^ x hdx = 6^- x - 1he1 - x @0 = e - 2 1
et
#01 g^ x hdx = 6^- x2 - 2x - 2he1 - x @10 = 2e - 5 .
3 La courbe est au-dessus de la courbe C sur 60 ; 1 @ .
Donc en unités d’aire : =
#01 f ^ x hdx - #01 g^ x hdx = ^e - 2h - ^2e - 5h
= 3 - e. Partie C 1 S ^a h = + 3 - e1 - a # ^a2 + a + 1h = 3 - e + e # e-a ^a2 + a + 1h = e 2 + a +eaa + 1 = 1 + a2 + a + 1 = e a . 2 Question ouverte
◗ La courbe C est au-dessus de la courbe sur 61 ; + 3 6 . Donc la fonction S est, par définition géométrique, strictement croissante sur 61 ; + 3 6 . ◗ En utilisant la définition algébrique, la fonction S est continue sur 61 ; + 3 6 . ◗ S^1 h = 0 . Pour tout réel a H 1 , a2 a 1 a + a + a m. e e e 1 lim a et par le théorème de croissance comparée, a "+3 e a2 a lim a = 0 et lim a = 0 . a "+3 e a "+3 e Donc par produit et somme, lim S^ah = 3 .
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
S ^a h = 3 - e # c
a "+3
◗ Comme 0 G 3 - e 1 3 , d’après le théorème des valeurs intermédiaires dans le cas d’une fonction strictement monotone, l’équation S^ah = admet une unique solution sur 61 ; + 3 6 .
Partie A
1 a. Pour tout réel x ! 61 ; 2 @ , ln ^ x h H 0 et x 2 0 . Donc
1 + x ln ^ x h H 12 0 . Donc la fonction f est positive sur 61 ; 2 @. b. Le point M a pour coordonnées ^1; f ^1 hh , c’est-à-dire ^1 ; 1h . Le point N a pour coordonnées ^2 ; f ^2 hh , c’est-à-dire ^2 ; 1 + 2 ln ^2 hh. Donc le coefficient directeur de la droite ^MN h est : ^1 + 2 ln ^2 hh - 1 = 2 ln ^2 h . 2-1 c. Pour tout réel x ! 61 ; 2 @, le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse x est égal à f l^ x h . 1 = 1 + ln ^ x h . Or f l^ x h = 1 # ln ^ x h + x # x La tangente à la courbe au point d’abscisse x est parallèle à la droite ^MN h si, et seulement si, leurs coefficients directeurs sont égaux, c’est-à-dire : 1 + ln ^ x h = 2 ln ^2 h + ln ^ x h = ln ^4h - 1 = ln ^4h - ln ^e h = ln a e4 k + x = e4 . Le point E est donc l’unique point de la courbe en lequel la tangente à est parallèle à la droite ^MN h . 4 4 4 d. f la k = 2 ln ^2 h et f a k = 1 + ^2 ln ^2 h - 1h . e e e Donc la tangente ^T h admet pour équation : 4 4 y = 2 ln ^2 ha x - k + 1 + ^2 ln ^2 h - 1h , e e 4 c’est-à-dire y = 2 ln ^2 hx + 1 - . e 2 a. Pour tout réel x ! 61 ; 2 @ , on a : gl^ x h = f l^ x h - 2 ln ^2 h = 1 + ln ^ x h - 2 ln ^2 h x = 1 + ln ^ x h - ln ^4h = 1 + ln a k . 4 b. Pour tout réel x ! 61 ; 2 @, x x 4 gl^ x h H 0 + ln a k H - 1 + H e-1 + x H . 4 4 e D’où le tableau de variations de g sur 61 ; 2 @ : x
gl^ x h g^ x h
4 e
1
-
0
2
+ 4 - ln ^4h e
4 - ln ^4h e 0
On en déduit que pour tout réel x ! 61 ; 2 @, g^ x h H 0 . Donc la courbe est au-dessous de la droite ^T h sur 61 ; 2 @. 3 a. ◗ En unités d’aire, l’aire du trapèze MNQP est : f ^1 h + f ^2 h yM + yN # ^ xN - xMh = = 1 + ln ^2 h . 2 2 ◗ En unités d’aire, l’aire du trapèze Ml Nl QP est : yMl + yNl # ^ xNl - xMlh . 2 On a : 4 4 + 1. et yNl = 2 ln ^2 h # 2 yMl = 2 ln ^2 h # 1 e e 4 + 1. Donc l’aire de Ml Nl QP est : 3 ln ^2 h e Livre du professeur - Chapitre 6
Calcul intégral
19
b. D’après les questions précédentes, le domaine sous la courbe contient le trapèze Ml Nl QP , et est contenu dans le trapèze MNQP. 4 + 1 G G 1 + ln ^2 h . Donc : 3 ln ^2 h e 4 + 1 . 1,60 et par excès Or par défaut 3 ln ^2 h e 1 + ln ^2 h . 1,70 . Donc : 1,6 G G 1,7 . Partie B 1 On appelle F la fonction définie sur @ 0 ; + 3 6 par : x2 x2 . F^ x h = ln ^ x h 2 4 La fonction F est dérivable sur @ 0 ; + 3 6 et pour tout réel x 2 0 , x2 x 1 # = x ln ^ x h . F l^ x h = x # ln ^ x h + x 2 2 Donc la fonction F est une primitive de la fonction x x ln ^ x h sur @ 0 ; + 3 6 . 2 En unités d’aire : 2 2 = # f ^ x hdx = # ^1 + x ln ^ x hhdx
7
1
1
6 x + F^ x h@12
1 = = + 2 ln ^2 h . 4 . 1,63 , ce qui confirme l’encadrement de la partie A.
On en déduit que g^ x h H x - 2 . b. lim ^ x - 2h =+ 3 . Donc par le théorème de minox "+3
ration, lim g^ x h =+ 3 . x "+3
4 Pour tout réel x, gl^ x h = f ^ x h .
En utilisant le tableau de variations de f sur R, on obtient le signe de f ^ x h sur R . Donc la fonction g est décroissante sur @ - 3 ; 0 @ et croissante sur 60 ; + 3 6 . Partie B 1 Par définition, la fonction g est la primitive de f sur R qui s’annule en 0. Pour tout réel x, on pose F^ x h = x^1 - e-x h . Pour tout réel x, F l^ x h = 1^1 - e-x h + x^e-x h = ^ x - 1he-x + 1 = f ^ x h . Et F^0 h = 0 . Donc la fonction F est la primitive de f sur R qui s’annule en 0. Donc F = g . Ainsi pour tout réel x, g^ x h = x^1 - e-x h . x 2 Pour tout réel x, g^ x h = x - x . e lim x =+ 3 , et par le théorème de croissance x "+3
x = 0. ex Par différence, lim g^ x h =+ 3 .
comparée, lim
x "+3
109
Partie A
f est dérivable sur R, donc admet une tangente parallèle à l’axe des abscisses au point A^2 ; 1 + e-2h . Une courbe représentative possible est par exemple : y A 1 1 La fonction
0
x "+3
110
Partie A
1 ◗ lim ln ^ x h =- 3 et lim x "0
x"0 x 20
1 =- 3 . x
Donc par somme, lim f ^ x h =- 3 . x"0 x 20
1 = 0. x "+3 x "+3 x Donc par somme, lim f ^ x h =+ 3 .
◗ lim ln ^ x h =+ 3 et lim x
O1
x "+3
2 a. D’après le tableau de variations de f , la fonction f est positive sur 60 ; 2 @. Donc g^2 h est l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par la courbe , l’axe des abscisses, et les droites d’équation x = 0 et x = 2 . b. Pour tout réel x ! 60 ; 2 @, 0 G f ^ x h G 1 + e-2 . Donc par la relation d’ordre, # 2 0 dx G # 2 f ^ x hdx G # 2 ^1 + e-2hdx .
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
0
0
0
Donc 0 G g^2 h G 2 + 2e-2 . Or 2 + 2e-2 . 2,27 . Donc 0 G g^2 h G 2,5 . 3 a. ◗ D’après le tableau de variations de f , pour tout réel t ! 62 ; x @, 1 G f ^ t h . Donc par la relation d’ordre,
Donc
#2 x f ^ t hdt H x - 2 .
#2 x 1dt G #2 x f ^ t hdt .
◗ Or par la relation de Chasles, 2 x g ^ x h = # f ^ t h dt = # f ^ t h dt + 0
= g^2 h + Or g^2 h H 0 et 20
1 1 + 2 2 0 . Donc la x x fonction f est strictement croissante sur @ 0 ; + 3 6 . Comme f ^1 h = 0 , on en déduit le tableau de signes de f ^ x h sur @ 0 ; + 3 6 : 2 Pour tout réel x 2 0 , f l^ x h =
0
#2 x f ^ t hdt . #2 x f ^ t hdt H x - 2 .
#2 x f ^ t hdt
Livre du professeur - Chapitre 6
Calcul intégral
x
0
f ^xh
1
+3
- 0 +
3 La fonction f est continue sur @ 0 ; + 3 6 .
#1 f ^ t hdt est la primitive Donc la fonction x de f sur @ 0 ; + 3 6 , qui s’annule en 1. Pour tout réel x 2 0 , on pose G^ x h = ^ x - 1h ln ^ x h . On a : 1 Gl^ x h = 1 # ln ^ x h + ^ x - 1h # x 1 = ln ^ x h + 1 = f ^ x h. x De plus G^1 h = 0 . Donc la fonction G est la primitive F de f sur @ 0 ; + 3 6 qui s’annule en 1. 4 a. Pour tout réel x 2 0 , F l^ x h = f ^ x h . D’après la question 2 , pour tout réel x 2 1 , F l^ x h 2 0 et F l^1 h = 0 .
7
x
Donc la fonction F est strictement croissante sur 61 ; + 3 6 . b. On a : lim ^ x - 1h =+ 3 et lim ln ^ x h =+ 3 . x "+3
x "+3
Donc par produit, lim F^ x h =+ 3 . x "+3
1 On a : 1 . 0,632 . e La fonction F est donc continue et strictement croissante sur 61 ; + 3 6 , d’intervalle-image 60 ; + 3 6 . 1 Donc l’équation F^ x h = 1 admet une unique solue tion a sur 61 ; + 3 6 . Par balayage à la calculatrice, on obtient : 1, 9 1 a 1 2 .
Partie B 1 On résout : 1 h^ x h = 0 + ln ^ x h =- 1 + x = e-1 = . e 1 Donc le point A a pour coordonnées a ; 0 k . e 2 On résout : 1 = ln ^ x h + 1 + f ^ x h = 0 + x = 1 g^ x h = h^ x h + x d’après la question A. 2 . Comme g^1 h = 1 , les coordonnées du point P sont ^1 ; 1h . 1 3 a. Sur l’intervalle 9 ; 1 C , la fonction f est négative, e donc g^ x h H h^ x h . Donc la courbe est au-dessus de la courbe C sur 1 9 ; 1 C. e On en déduit que : 1 1 1 1 = #1 g^ x hdx - #1 h^ x hdx = #1 a - ln ^ x h - 1 k dx x e
1 1 e
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
=- # f ^ x hdx .
e
e
b. Par la question A. 3 , on a : 1 1 =- aF^1 h - F a kk =- F^1 h + F a k . e e Donc : 1 1 1 =- 0 + a - 1 k ln a k = a - 1 k # ^- 1h e e e 1 = 1- . e 4 a. D’après la question A. 2 , la courbe C est au-dessus de la courbe sur 61 ; + 3 6 . Donc : t t ^ t h = # h ^ x h dx - # g ^ x h dx 1
=
#1
1
t
9ln ^ x h + 1 -
1 C dx = x
#1 t f ^ x hdx
= F^ t h - F^1 h . Donc : = F^ t h = ^t - 1h ln ^ t h = t ln ^ t h - ln ^ t h . b. Pour tout réel t H 1 , ^ t h = F^ t h .
1 D’après la question A. 4 b., l’équation ^ t h = 1 e admet une unique solution a sur 61 ; + 3 6 . Donc l’équation ^ t h = admet une unique solution a sur 61 ; + 3 6 . 1 a. Pour tout réel x ! 60 ; 1 @ ,
111
- e-x ^2 - x h - e-x ^- 1h ^ x - 1he-x = . ^2 - x h2 ^2 - x h2 Pour tout réel x ! 60 ; 1 @ , f l^ x h G 0 . Donc la fonction f est décroissante sur 60 ; 1 @. b. Par la question précédente, pour tout réel x ! 60 ; 1 @, f ^0 h H f ^ x h H f ^1 h . 1 1 Or f ^0 h = et f ^1 h = e-1 = . 2 e 1 1 Donc pour tout réel x ! 60 ; 1 @, G f ^xh G . e 2 2 a. Soit F la fonction définie sur R par : F^ x h = ^- x - 3he-x . La fonction F est dérivable sur R, et pour tout réel x, F l^ x h =- e-x - ^- x - 3he-x = ^ x + 2he-x . Donc la fonction F est une primitive sur R de la fonction ^ x + 2he-x . x On en déduit que : 1 4 J = 6^- x - 3he-x @0 =- 4e-1 + 3 = 3 - . e 1 1 b. Pour tout réel x ! 60 ; 1 @, G f ^xh G . e 2 2 2 x x . Donc : G x2 f ^ x h G e 2 1 x2 1 x2 Par la relation d’ordre, # dx G K G # dx . 0 e 0 2 1 1 1 1 x3 E x3 E , d’où : Donc : ; GKG; GKG . 3e 6 3e 0 6 0 f l^ x h =
7
c. J + K =
#01 ^2 + x he-x dx + #01
x2 e-x dx 2-x
#01 ;^2 + x he-x +
x2 e-x E dx . 2-x 1 1 4e-x 22 - x2 + x2 = # e-x # dx = # dx . 0 0 2-x 2 x Donc J + K = 4I . 4 1 1 d. Comme J = 3 et G K G , on a : e 3e 6 4 1 4 1 + + , 3G J+K G 3e 3e e 6 11 19 4 - . soit : G 4I G 36 e 3e 3 11 19 1 - . On en déduit que : GIG 4 24 e 12e 3 11 Or par défaut . 0,41 et par excès 4 12e 19 1 . 0,43 . 24 e Donc une valeur approchée de I à 10-2 près est 0,42 . =
112
Partie A
1 a. Pour tout réel x H 0 , on pose t = x2 .
Alors x = Donc :
t. f ^xh =
t # e-t =
Livre du professeur - Chapitre 6
t t 1 = t # . et e t Calcul intégral
21
On a : lim t =+ 3 , lim x "+3
x "+3
t = 0 (croissances compaet
1 = 0. t Donc par composition et produit, lim f ^ x h = 0 . x "+3 b. Pour tout réel x H 0 , 2 2 2 f l^ x h = 1 # e-x + x # ^- 2xe-x h = ^1 - 2x2h e-x 1 2 = . qui s’annule en 2 2 D’où le tableau de variations de f sur 60 ; + 3 6 :
Problèmes
rées) et lim
t "+3
x
0
f l^ x h f ^xh
+
2 2 0
+3 -
2 2 e
0
113
0
2 m 2 1 2 1 # exp a- k = # = 2 2 2 2 e 2 = . 2 e 2 a. Pour tout réel a H 0 , 2 2 a a a 1 F^ah = # f ^ x hdx = # xe-x dx = 9- e-x C 2 0 0 0 1 1 -a2 = - e . 2 2 1 -a2 b. lim e = 0 . Donc lim F^ah = . 2 a "+3 a "+3 Car f c
Partie B 1 Pour tout entier n H 1 , la fonction f est décroissante sur 6n ; n + 1 @. Donc pour tout réel x ! 6n ; n + 1 @, f ^ n h H f ^ x h H f ^n + 1 h . Donc par la relation d’ordre,
#n n + 1 f ^nhdx H #n n + 1 f ^ x hdx H #n n + 1 f ^n + 1hdx . Ainsi f ^nh H un H f ^n + 1h . 2 ◗ Pour tout entier n H 1 , en utilisant les inégalités précédentes pour n et n + 1 , un H f ^n + 1h et f ^n + 1h H un + 1 . Donc un H un + 1 . ◗ De plus, u0 = u1 =
#01 f ^ x hdx = F^1 h =
1 1 . 0,32 et 2 2e
#1 2 f ^ x hdx = #0 2 f ^ x hdx - #01 f ^ x hdx
= F^2 h - F^1 h = c
1 1 1 1 m - a 2 - 2e k 2 2e 4
1 1 . 0,17 . 2e 2e 4 Donc u0 H u1 . ◗ On en déduit que la suite u est décroissante. 3 ◗ Par définition, la suite u est positive. Ainsi la suite u est décroissante, et minorée. Donc la suite u est convergente. ◗ On sait que pour tout entier n H 1 , f ^n + 1h G un G f ^nh . De plus, lim f ^nh = lim f ^n + 1h = 0 .
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
=
n "+3
n "+3
Donc d’après le théorème des gendarmes, lim un = 0 . n "+3
22
Livre du professeur - Chapitre 6
Calcul intégral
1 La réciproque est fausse. Par exemple, la fonction f définie sur 60 ; r @ par f ^ x h = cos ^ x h . r r On a : # f ^ x hdx = 0 , mais pour tout réel x ! , 2 0 f ^xh ! 0 . 2 La réciproque est fausse. Par exemple, les fonctions f et g définies sur 60 ; 1 @ par 1 f ^ x h = x2 et g^ x h = . 2 3 1 1 1 x E = 1 et # g^ x hdx = 1 . On a : # f ^ x hdx = ; 3 0 3 2 0 0
#01 f ^ x hdx G #01 g^ x hdx .
Donc :
Mais pour tout réel x, x ! ;
1 ; 1 E, f ^ x h H g^ x h. 2
Soit une fonction f continue sur 6a ; b @, où a 1 b . ◗ Pour tout réel x ! 6a ; b @, f ^ x h G f ^ x h . 114
#ab f ^ x hdx G #ab
Donc :
f ^ x h dx .
◗ De même , pour tout réel x ! 6a ; b @, - f ^ x h G f ^ x h . f ^ x h dx ,
c’est-à-dire :
#ab - f ^ x hdx G #ab b b - # f ^ x h dx G # a a
ou encore :
#ab f ^ x hdx H - #ab
f ^ x h dx .
Donc :
◗ On en déduit que : b - # f ^ x h dx G a
115
#ab f ^ x hdx G #ab
#ab f ^ x hdx
Donc :
f ^ x h dx ,
G
#ab
f ^ x h dx .
f ^ x h dx .
1 a. Pour tout réel x, f ^ x h = e x ^e x - 4h + 3 .
Comme
lim e x =+ 3 et
x "+3
produit lim f ^ x h =+ 3 .
lim ^e x - 4h =+ 3 , par
x "+3
x "+3
b. Comme
lim e2x = 0 et
x "-3
lim f ^ x h = 3 .
lim e x = 0 , par somme
x "-3
x "-3
Donc la courbe admet la droite D d’équation y = 3 comme asymptote au voisinage de - 3 . 2 a. Pour tout réel x, f l^ x h = 2e2x - 4e x = 2e x ^e x - 2h . b. D’après la question précédente, on a : x -3 +3 ln ^2 h f l^ x h f ^xh
-
0
3
+ +3
-1
Car f ^ln ^2 hh = e2 ln^2 h - 4eln^2 h + 3 = eln^4h - 4 # 2 + 3 = 4 - 8 + 3 =- 1 . 3 On résout : f ^ x h = 3 + e2x - 4e x + 3 = 3 + ^e x h2 - 4e x = 0 + e x ^e x - 4h = 0 + e x = 4 + x = ln ^4h. Le point E a donc pour coordonnées ^ln ^4h ; 3h .
4 a. J =
#0
ln^4 h
6- e2x + 4e x @dx = 9- 1 e2x + 4e x C 0 2
ln^4 h
1 2 ln^4h 1 + 4eln^4hk - a- + 4 k e 2 2 1 1 9 2 =- # 4 + 4 # 4 + - 4 = . 2 2 2 b. Pour tout réel x ! 60 ; ln ^4h@, f ^ x h - 3 = e x ^e x - 4h G 0 . Donc la courbe est en dessous de la droite D sur 60 ; ln ^4h@. On en déduit que J est l’aire de la surface S, délimitée par la courbe , la droite D , et les droites verticales d’équation x = 0 et x = ln ^4h . = a-
116
1 a. La fonction f est positive sur R. Donc pour tout entier n H 1 , un est l’aire, en unités d’aire, du domaine compris entre la courbe , l’axe des abscisses, et les droites verticales d’équation x = ln ^nh et x = ln ^n + 1h . b. Pour tout entier n H 1 , ln^n + 1 h 4et ln^n + 1 h un = # dt = 6 4 ln ^et + 1h@ln^nh ln^nh et + 1 = 4 ln ^eln^n + 1h + 1h - 4 ln ^eln^nh + 1h
= 4 ln ^n + 2h - 4 ln ^n + 1h = 4 ln c
n+2 m. n+1
ln^2 h
#ln^1 h
f ^ t h dt +
ln^n + 1 h
#ln^1 h
f ^ t h dt =
= 6 4 ln ^et + 1h@0
ln^n + 1 h
#0
ln^n + 1 h
= 4 ln c
+#
ln^n + 1 h
ln^nh
f ^ t h dt .
f ^ t h dt eln^n + 1h + 1 m 1+1
n+2 k . 2 La valeur Sn est égale à l’aire, en unités d’aire, du domaine compris entre la courbe , l’axe des abscisses, et les droites verticales d’équation x = 0 et x = ln ^n + 1h . 3 a. Pour tout réel x, f ^ x h G 4 . Donc la courbe est en dessous de la droite horizontale d’équation y = 4 . = 4 ln a
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
Donc =
#0
ln^n + 1 h
6 4 - f ^ t h@dt = 4 ln ^n + 1h - Sn
= 4 ln ^n + 1h - 4 ln ^n + 2h + 4 ln ^2 h . n+1 m + 4 ln ^2 h . Donc = 4 ln c n+2 J 1 N K 1+ n O b. Pour tout entier n H 1 , n = 4 ln K O + 4 ln ^2 h . K 1+ 2 O n P L 1 1+ n = 1. On sait que lim n "+3 1 + 2 n Donc par composition, lim n = 4 ln ^1 h + 4 ln ^2 h = 4 ln ^2 h . n "+3
lim ln ^ x h =- 3 et lim -
x "0
x"0 x 20
somme lim g^ x h =- 3 .
1 =- 3 , par x
x "0
◗ Comme
lim ln ^ x h =+ 3 et
x "+3
lim -
x "+3
1 = 0 , par x
somme lim g^ x h =+ 3 . x "+3
On en déduit le tableau de variations de g sur @ 0 ; + 3 6 . ◗ g^2,3h . - 0,04 et g^2,4h . 0,04 . Donc la fonction g s’annule en x0 sur 62,3 ; 2,4 @. 2 2 a. On sait que g^ x0h = 0 . Donc ln ^ x0h = 0 , ou x0 2 encore ln ^ x0h = . x0 2 5# 5 ln ^ x0h x0 10 = = 2 . Donc f ^ x0h = x0 x0 x0 b. Soit a 2 1 . On a : a #1 a f ^ t hdt = #1 a 5 lnt^ t h dt = 9 25 ^ln ^ x hh2 C1 5 = ^ln ^ahh2 . 2
#1 x
f ^ t h dt + f
En utilisant la relation de Chasles, Sn =
◗ Comme
0
ln^3 h
#ln^2h
1 ◗ Pour tout réel x 2 0 , gl^ x h =
3 ◗ En unités d’aire, le domaine 1 a pour aire :
2 Pour tout entier n H 1 ,
Sn =
1 2 + 2 2 0. x x Donc la fonction g est strictement croissante sur @ 0 ; + 3 6 . 117
f ^ t h dt =
5 5 2 2 10 = d’après ln ^ x0hh2 = c ^ 2 2 x0 m ^ x0h2
la question 2 . ◗ En unités d’aire, le domaine 2 a pour aire : 10 . OH0 # OI = f ^ x0h = ^ x0h2 Donc les domaines 1 et 2 ont la même aire. ◗ De plus, comme 2,3 1 x0 1 2,4 , on a : 2,32 1 x02 1 2,42 . 10 10 10 Donc . 2 2 2,32 2,42 ^ x0h2 10 10 Comme . 1,90 (par excès) et . 1,7 (par 2,42 2,32 défaut), l’aire des deux domaines est donc comprise entre 1,7 et 1,9. 118
1 Soit la fonction F définie sur R par :
sin ^ x h cos ^ x h m. 2 2 sin ^ x h cos ^ x h m Pour tout réel x, F l^ x h =- e-x c2 2 sin ^ x h cos ^ x h m. + e-x c 2 2 Donc : cos ^ x h sin ^ x h sin ^ x h cos ^ x h m + + F l^ x h = e-x c 2 2 2 2 = e-x # sin ^ x h = f ^ x h . Donc la fonction F est une primitive de f sur R. 2 On en déduit que : r cos ^ x h sin ^ x h r mE I = # f ^ x hdx = ;e-x c2 2 0 0 1 + e- r = . 2 F^ x h = e-x c-
Livre du professeur - Chapitre 6
Calcul intégral
23
D’où le graphique :
3 Pour tout entier naturel n :
un =
^2n + 1 hr
#2nr
2n 1 r cos ^ x h sin ^ x h mE = ;e 2 2 2nr + ^ ^ h h cos n r sin ^^2n + 1hrh 2 1 m = e-^2n + 1hr c2 2 cos ^2nrh sin ^2nrh m. - e-2nr c2 2 Donc : e-^2n + 1hr e-2nr 1 + e- r m + = e-2nr c . un = 2 2 2
^
-x c -
1 + e- r m ^ -2rhn # e . 2 Ainsi la suite u est géométrique de raison e-2r et de 1 + e- r . terme initial u0 = 2 un = c
1 Pour tout entier n H 1 , pour tout réel x ! 90 ; C , n m G f ^xh G M . Donc, comme l’intégrale conserve l’ordre, 119
1
1
#0 n m dx G #0 n
1
f ^ x h dx G
#0 n M dx .
m M . G un G n n M m = 0 et lim = 0. Or lim n "+3 n n "+3 n
Partie A : Étude de la chaînette
1 Comme b 2 0 ,
lim ebx =+ 3 et
lim e- bx = 0 .
x "+3
Donc lim f b^ x h =+ 3 . x "+3
De même lim f b^ x h =+ 3 . x "-3
De plus, pour tout réel x, bebx - be- bx ebx - e- bx = ^ f bhl^ x h = 2 2b =
e- bx ^ 2bx # e - 1h . 2
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
Or e2bx - 1 H 0 + e2bx H 1 + 2bx H 0 + x H 0 , car b 2 0. D’où le tableau de signes : 0 x -3 +3
^ f bhl^ x h fb ^xh
+3
0
+
1 b
+3
-1
2 ◗ L’équation (E) est équivalente à :
4=
2
1 +;
#-11
ebx - e- bx E dx 2 e2bx - 2 + e-2bx 1+ dx 4 e2bx + 2 + e-2bx dx 4
+ 4 = #-11
+ 4 = #-11 +4=; e
^ebx + e- bx h2 dx 4 ebx + e- bx dx 2 1
+ e- bx E 2b -1 b b bh ^ h ^ -b + 4 = e + e 2-b e - e -b b + 4 = e -b e + eb - e- b - 4b = 0 , car b 2 0 . ◗ Soit la fonction g définie sur 60 ; + 3 6 par : g^ x h = e x - e-x - 4x . La fonction g est dérivable sur 60 ; + 3 6 , et pour tout réel x H 0 : gl^ x h = e x + e-x - 4 et gll^ x h = e x - e-x = e-x ^e2x - 1h . Donc gll^ x h 2 0 pour tout réel x 2 0 et gll^0 h = 0 . Donc la fonction gl est strictement croissante sur 60 ; + 3 6 . Or gl^0 h =- 2 et lim gl^ x h =+ 3 . bx
x "+3
Comme la fonction gl est continue sur 60 ; + 3 6 , il existe un unique réel a tel que gl^ah = 0 . Et on a le tableau de signes suivant : 0 x +3 a -
0
0
e x + e-x e2x + e-2x ; f 2^ x h = 2 4 3x + -3x e e . et f 3^ x h = 6 Livre du professeur - Chapitre 6
x
1
Partie B : Recherche de la flèche 1 On a le schéma ci-contre : Comme une équation de L = 4m la chaînette est y = f b^ x h, et comme la longueur de –1 0 1 la chaînette est L = 4 m, 2m on a : 1 2 l 4 = # 1 + 6^ f bh ^ x h@ dx .
gl^ x h g^ x h
2 f 1^ x h =
24
2
0
+ 4 = #-11
Donc d’après le théorème des gendarmes, la suite u converge vers 0.
3
1
+ 4 = #-11
Ainsi
x "+3
1
+ h
Donc :
120
y
f ^ x h dx
Car g^ x h = e x c1 - e-2x Calcul intégral
+ +3
g^ah 4x m. ex
x x = 0 (théorème de x "+3 x "+3 e croissance comparée), on a lim g^ x h =+ 3 . Comme lim e x =+ 3 et lim
2 I=
Ainsi 2,17 1 b0 1 2,18 . Donc par défaut, à 10-2 près, b0 . 2,17 . 4 D’après la question A. 1 , le minimum de la fonction
1 , soit environ 0,46. b0 m La flèche du fil est donc : eb0 + e- b0 1 f b0 ^1 h - f b0 ^0 h = b0 2b0 f b0 est c
= 121
eb0 + e- b0 - 2 . 1,58 m. 2b0
1 Pour tout réel t H 0 , i^ t h =- 2,4 sin ^400t h .
Donc la fonction i est périodique de période 400 r
#0
r 400
Partie 2 1 a. Si le prix de vente est de 40 € la boîte, la quantité achetée est f ^4h = 1 centaine de boîtes, soit 100 boîtes. b. Le prix d’équilibre x vérifie f ^ x h = g^ x h , soit : x = 3 dizaines d’euros. Donc le prix d’équilibre est de 30 €. Le nombre de boîtes correspondant est : g^3 h = 1,5 centaines de boîtes, soit 150 boîtes. 2 a. Le surplus des producteurs, en milliers d’euros, est : 3 # g ^3 h = 2,25 . 2 Donc le surplus des producteurs est de 2 250 €. b. Le surplus des consommateurs, en milliers d’euros, 9 5 est : # f ^ x hdx = 10 ln a k - 6 . 3,163 . 2 3 Donc le surplus des consommateurs est d’environ 3 163 €. 123
1 a. Pour tout réel x ! 60 ; 1 @ , 1 G 1 + x G 2 , donc :
0 G In G
Donc :
#01 xn dx .
c’est-à-dire : r . 200
5,76^sin ^400t hh2 dt r
400 1 - cos ^800t h 400 # 5, 76 # = dt r 2 0 r
sin ^800t h 400 2 304 ; t E = . r 2 1600 0 Donc ^ Ieh2 =
r 2 304 72 - sin ^2rhk = a . r 800 25
Ainsi Ie =
6 2 72 = . 25 5
xn + 1 E , n+1 0 1 . 0 G In G n+1
1 = 0 . Donc par le théorème des + n 1 n "+3 gendarmes, la suite ^ Inh converge vers 0 . 2 Pour tout entier n H 0 , on a : 1 1 xn + 1 xn In + In + 1 = # dx + # dx 0 1+x 0 1+x n 1 xn + xn + 1 1 x ^1 + x h = # dx = # dx 0 0 1+x 1+x Or
lim
=
n+1 1
#01 xn dx = ; nx + 1 E0 =
1 . n+1
3 a. Pour tout entier n H 0 , Sn = ^ I0 + I1h - ^ I1 + I2h + ^ I2 + I3h + f
+^- 1hn ^ In + In + 1h .
Donc à 10-3 près, Ie c 1,697 A. ©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
1
0 G In G ;
=- 2,4 sin ^400t h = i^ t h .
^ Ieh =
5 k - 6. 2
b. Par la question précédente, pour tout entier n H 0 ,
r r k =- 2,4 sin a400 at + kk i at + 200 200 =- 2,4 sin ^400t + 2rh
2
= 10 ln a
1 1 G G 1. 2 1+x xn xn Donc pour tout réel x ! 60 ; 1 @, 0 G G G xn . 2 1+x L’intégrale conserve l’ordre, 1 xn #01 0 dx G #01 1 + dx G # x n dx . 0 x
2 Pour tout réel t H 0 ,
3
- 1 E dx
= 610 ln ^1 + x h - x @93 = 10 ln ^10h - 9 - 10 ln ^4h + 3
x "+3
◗ D’après le tableau de variations de la fonction g et le théorème des valeurs intermédiaires dans le cas d’une fonction strictement monotone, l’équation g^ x h = 0 admet une unique solution b0 sur @ 0 ; + 3 6 . On en déduit que l’équation (E) admet une unique solution b0 sur @ 0 ; + 3 6 . 3 À la calculatrice, on entre la fonction g en Y1. Puis par balayage, on obtient un encadrement de b0 :
#3 9 f ^ x hdx = #3 9 ; 1 10 +x
n
Donc en simplifiant, Sn = I0 + ^- 1h In + 1 .
122
Partie 1 1 On résout :
- x2 - 3x + 18 =0 2^ x + 1h
10 x -1 = + 2 1+x + x = 3 ou x =- 6 . Comme les fonctions f et g sont définies sur 60 ; 9 @, la solution est x = 3 . f ^ x h = g^ x h +
b. Par la question 2 , 1 1 1 1 n m. Sn = a k - a k + a k + f + ^- 1h c 1 2 3 n+1 Donc : 1 1 1 n = I0 + ^- 1hn In + 1 . 1 - + + f + ^- 1h 2 3 n+1 Livre du professeur - Chapitre 6
Calcul intégral
25
Donc pour tout entier n H 1 , 1 1 n-1 1 = I0 + ^- 1hn 1 In . 1 - + + f + ^- 1h 2 3 n Comme lim In = 0 , par somme, n "+3
lim a1 -
n "+3 1
1 1 - 1 + + f + ^- 1hn 1 k = I0 . 2 3 n
1 1 dx = 6ln ^1 + x h@0 = ln ^2 h . 1+x 1 1 n-1 1 k = ln ^2 h . Donc lim a1 - + + f + ^- 1h 2 3 n n "+3
Or I0 =
124
#0
1 a. Pour tout réel x ! 60 ; 1 @ , on pose :
g^ x h = x + 1 + x2 . 2x x = 1+ On a : gl^ x h = 1 + 2 + + 2 1 x 1 x2 x + 1 + x2 = . 1 + x2 x + 1 + x2 gl^ x h 1 1 + x2 = = . Donc f l^ x h = 2 g^ x h x+ 1+x 1 + x2 On en déduit que : 1 1 u0 = # dx = 6 f ^ x h@10 = ln ^1 + 2 h . 2 0 1+x 1 1 x b. u1 = # dx = 6 1 + x2 @0 = 2 - 1 . 2 0 + 1 x 2 a. ◗ Pour tout entier n H 0 , on a : 1 1 xn + 1 xn # un + 1 - un = # d dx x 0 0 1 + x2 1 + x2 n 1 x ^ x - 1h = # dx . 0 1 + x2 x n ^ x - 1h Or pour tout réel x ! 60 ; 1 @, G 0. 1 + x2 Donc par la relation d’ordre, un + 1 - un G 0 . Ainsi la suite u est décroissante. ◗ Or la suite u est positive en utilisant la propriété de positivité. Donc la suite u est convergente. b. ◗ Pour tout réel x ! 60 ; 1 @, 1 G 1 + x2 G 2 . Donc 1 G 1 + x2 G 2 , soit 1 G 1 + x2 G 2 . 1 1 ◗ Donc pour tout réel x ! 60 ; 1 @, 1 H . H 2 1 + x2 xn xn Donc : G G xn . 2 1 + x2 Alors par la relation d’ordre, n n #01 x2 dx G #01 x 2 dx G #01 xn dx . 1+x >
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
Donc :
1
1
xn + 1 xn + 1 E H G un G ; . n+1 0 2 ^n + 1 h 0
1 1 . Ainsi : G un G + n 1 2 ^n + 1 h 1 1 = lim = 0. Or lim + n 1 + ^ h 1 n "+3 2 n n "+3 Donc par le théorème des gendarmes, lim un = 0 . n "+3
125
1 h^ t h H 0
+ 0 1 t G e. 26
+ 1 - ln ^ t h H 0 + ln ^ t h G 1
Livre du professeur - Chapitre 6
Calcul intégral
D’où le tableau de signes de h^ x h sur @ 0 ; + 3 6 : x 0 e +3 h^ x h
+
0
-
2 a. Pour tout réel t 2 0 ,
-1 =- ln ^ t h . t b. D’après la question précédente, h^ t h = 1 - ln ^ t h = 1 + gl^ t h . Donc les primitives de la fonction h sur @ 0 ; + 3 6 sont les fonctions t t + g^ t h + k = 2t - t ln ^ t h + k , où k est un réel. Alors la primitive H de h sur @ 0 ; + 3 6 qui s’annule en e2 est la fonction t 2t - t ln ^ t h + k , où le réel k vérifie : 2e2 - e2 ln ^e2h + k = 0 , soit k = 0 . Donc la fonction H est définie sur @ 0 ; + 3 6 par : H^ t h = 2t - t ln ^ t h = t^2 - ln ^ t hh . gl^ t h = 1 - ln ^ t h + t #
7
7
3 a. Pour tout entier n H 0 , l’intervalle 6e-^n + 1h ; e-n @
est inclus dans l’intervalle 60 ; e @. Donc d’après la question 1 , la fonction h est positive sur l’intervalle 6e-^n + 1h ; e-n @. En utilisant la positivité de l’intégrale, on a : vn H 0 . 2 b. , pour tout entier n H 0 : b. D’après la question e-n vn = 6H^ t h@e- n+1 ^
h
= e-n ^2 - ln ^e-nhh - e-^n + 1h ^2 - ln ^e-^n + 1hhh
= e-n ^2 + nh - e-^n + 1h ^3 + nh . c. Pour tout entier n H 0 : n n . vn = 2e-n + n - 3e-n # e-1 - n e #e e n Or lim e-n = 0 et lim n = 0 (théorème de croise + + n" 3 n" 3 sante comparée). Donc lim vn = 0 . n "+3
4 a. Pour tout entier n H 0 , par la relation de Chasles,
on a : 1 Sn = #-1 h^ t hdt + e
=
#e
1
-^n + 1h
-1
#e e
-2
h ^ t h dt + f +
#e
e-n
-^n + 1h
h ^ t h dt
h^ t hdt = H^1 h - H^e-^n + 1hh .
Donc Sn = 2 - e-^n + 1h ^3 + nh . b. Pour tout entier n H 0 , on a : 3 n . Sn = 2 - n + 1 - n e #e e 1 n Or lim n + 1 = 0 et lim = n (théorème de croise n "+3 e n "+3 sante comparée). Donc lim Sn = 2 . n "+3
126
1 Pour tout réel x, 6 - x - x2 = ^2 - x h^ x + 3h .
Donc pour tout réel x ! 6- 3 ; 2 @, 6 - x - x2 H 0 . L’aire sous l’arche de parabole d’équation y = 6 - x - x2, en unités d’aire, est donc : 2 3 2 #-23 ^6 - x - x2hdx = ;6x - x2 - x3 E-3 = 125 . 6 25 1 2 - ax + k , 4 2 on obtient la hauteur h de l’arche de la parabole : 25 = 6,25 . h= 4 2 Par la forme canonique 6 - x - x2 =
2 25 125 # ^2 - ^- 3hh # = . On obtient le même 3 4 6 résultat qu’à la question 1 . 3
127
1 a. 0 est l’aire du rectangle construit sur l’in-
1 tervalle 6a0 ; a1 @, et de hauteur , car la fonction ^a0h2 1 x est décroissante sur @ 0 ; + 3 6 . x2 a0 ^1 + ah - a0 a 1 = . Donc 0 = ^a1 - a0h # 2 = 2 a a a 0 ^ 0h ^ 0h
7
b. Pour tout entier k entre 0 et n - 1 , k est l’aire du rectangle construit sur l’intervalle 6ak ; ak + 1 @, et de 1 . Donc : hauteur ^ak h2 1 k = ^ak + 1 - ak h # ^ak h2 k+1
=
=
a0 ^1 + ah
- a0 ^1 + ahk 2
aa0 ^1 + ahk k
k a0 ^1 + ah # ^1 + a - 1h k 2
aa0 ^1 + ah k
=
a k . a0 ^1 + ah
c. On somme les k, pour k allant de 0 à n - 1 en utilisant la question 1 b. . Donc : n-1
/ k =
a a a + + 2 +f a0 a0 ^1 + ah ^ a0 1 + ah a + n-1 . a0 ^1 + ah a Donc en factorisant par , on obtient : a0 n-1 / k = aa ;1 + ^1 +1 ah + 1 2 + f E 0 ^1 + ah k=0 1 >+ - H ^1 + ahn 1 k=0
d. En utilisant la somme des termes consécutifs de la suite géométrique de premier terme 1, et de raison 1 , on obtient : 1+a 1 1 11n n n-1 + + ^ h ^ a ah 1 1 a # = / k = aa # a a0 1 0 k=0 11+a 1+a 1+a 1 = 1E. a0 ; ^1 + ahn 1 e. Or 1 G 1. ^1 + ahn Donc pour tout entier n H 1 , n-1
/ k G
k=0
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
Comme lim
n-1
/
n " + 3k = 0
1+a . a0
k = S , on en déduit que S G
1+a . a0
2 a. ◗ Pour tout entier n H 1 , on construit les n
rectangles « inférieurs » sur la subdivision a0, a1, 1 1 = … , an , et de hauteurs 2 , ^a1h2 ^a0h2 ^1 + ah 1 1 1 1 2 = 4 , … et 2 = 2n . 2 2 a a ^ 2h ^ nh ^a0h ^1 + ah ^a0h ^1 + ah
La somme des aires de ces n rectangles « inférieurs » est : a1 - a0 a2 - a1 an - an - 1 2 +f+ 2 + ^a1h ^a2h ^anh2 2
=
a0 ^1 + ah - a0 a0 ^1 + ah - a0 ^1 + ah +f 2 + 4 2 ^a0h ^1 + ah ^a0h2 ^1 + ah
+
n n a0 ^1 + ah - a0 ^1 + ah 2n ^a0h2 ^1 + ah
=
^1 + aha ^1 + ahn 1 a a + + + f 2 4 2n a0 ^1 + ah a0 ^1 + ah a0 ^1 + ah
=
a a a 2 + 3 +f+ n+1 a0 ^1 + ah a0 ^1 + ah a0 ^1 + ah
-1
-
a 1 1 1 2 >1 + 1 + a + 2 +f+ - H + + ^1 ah a0 ^1 ah ^1 + ahn 1 1 1^1 + ahn a 1 1 # = = E. ;1 2 1 + h ^ a a 1 ^1 + ahn a0 ^1 + ah 0 11+a 1 ◗ L’aire Sn sous la courbe d’équation y = 2 sur l’interx valle 6a0 ; an @ vérifie donc : 1 1 E G Sn . ;1 a0 ^1 + ah ^1 + ahn Par passage à la limite (l’existence est admise), on a : 1 G S. a0 ^1 + ah 1 1+a . ◗ Donc avec la question 1 e., GSG a0 a0 ^1 + ah 1 1 1+a 1 = = et lim . Donc par b. lim a0 a0 a " 0 a0 a " 0 a0 ^1 + a h 1 . le théorème des gendarmes, S = a0 t 1 1 1 1 t 3 Pour tout réel t H a0 , # - . dx = 9- C = 2 x a0 a0 t a0 x =
Comme lim
t "+3
1 1 1 - = , on a : a0 t a0 lim
t "+3
#a t 0
1 1 . dx = a0 x2
128
◗ Une droite D passant par l’origine admet pour équation y = ax , où a est un réel. La droite D et la parabole se coupent aux points d’abscisses x + x - x2 = ax + x^1 - a - x h = 0 + x = 0 ou x = 1 - a . Pour qu’il y ait donc deux points d’intersection sur 60 ; 1 @ , il faut que 0 1 a 1 1 . ◗ On se place dans le cas où 0 1 a 1 1 . On résout donc : # 1 - a 6 x - x2 - ax @dx = # 1 ^ x - x2hdx - # 1 - a 6 x - x2 - ax @dx 0
+ 2 # #0
1-a
6x - x
+ 2 # ;^1 - ah x2
2
3
+ - a6
3
+ - a6
0
2-
ax @dx = 1-a
-
0
x3 E 3 0
#0
=;
+
a2 a 1 1 - + = 2 2 6 12
+
a2 a 1 - + = 0. 2 2 12
Livre du professeur - Chapitre 6
1
2h
^ x - x dx 1
x2 x3 E 1 = 2 3 0 6
Calcul intégral
27
Pistes pour l’accompagnement personnalisé revoir les outils de base
On a donc : 1
a =-a 129
131
◗ En unités d’aire, l’aire du triangle BOJ est : 3 OB # OJ = . 2 2 ◗ En unités d’aire, l’aire du trapèze ABJC est : AB + CJ 1+2 9 # OB = #3 = . 2 2 2 ◗ En unités d’aire, l’aire du demi-disque de diamètre 2 1 CK 2 1 5r 6CK @ est : 2 r c 2 m = 8 r^ 5 h = 8 .
1 3 k + 1 . 0,206 . 2
Pour tout entier n H 0 :
un =
#n n + 1 e-x dx = 6- e-x @nn + 1 = e-n - e-^n + 1h
n = e-n ^1 - e-1h = ^1 - e-1h^e-1h . Donc la suite u est géométrique de raison e-1 . On a : 0 1 e-1 1 1 . Donc la suite u converge vers 0 .
132
130
Soit un polynôme f de degré inférieur ou égal à 3. Soient alors quatre réels m, n, p et q tels que pour tout réel t : f ^ t h = mt3 + nt2 + pt + q ◗ Alors : =
#ab f ^ t hdt = ; mt4
4
b
+
pt2 nt3 + + qt E 3 2 a
p m^ 4 n b - a 4h + ^b3 - a3h + ^b2 - a2h + q^b - ah. 4 3 2
Or b 4 - a 4 = ^b - ah^a3 + a2 b + ab2 + b3h ; b3 - a3 = ^b - ah^a2 + ab + b2h ;
133
b2 - a2 = ^b - ah^a + bh . Donc :
Donc :
#ab f ^ t hdt = ^b - ah9 m4 ^a3 + a2 b + ab2 + b3hC #ab
p 9+ n ^a2 + ab + b2h + ^a + bh + q C . 3 2 b - a 3m ^ 3 9 f ^ t h dt = a + a2 b + ab2 + b3hC 6 2
;
+ 2n^a2 + ab + b2h + 3p^a + bh + 6q E .
◗ De plus, f ^ah = ma3 + na2 + pa + q ; f ^b h = mb3 + nb2 + pb + q ; + 3 + 2 + a+b m = m c a b m + n c a b m + p c a b m + q. 2 2 2 2 a+b m + f ^b h Donc : f ^ah + 4f c 2 + 2 a+b 3 m + b 3 m + n ca2 + 4 c a b m + b2 m = m ca3 + 4 c 2 2 + a b m + b m + q^1 + 4 + 1h . + p ca + 4 c 2
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
3 3 3 2 3 3 a + a b + ab2 + b3 k 2 2 2 2 + n^2a2 + 2ab + 2b2h + p^3a + 3bh + 6q .
◗ On en déduit que : #ab f ^ t hdt = b -6 a ; f ^ah + 4f c a +2 b m + f ^bhE. 28
Livre du professeur - Chapitre 6
◗ La parabole et la droite se coupent au point d’abscisse x + - x2 + x + 2 =- 0,5x + 1 + - x2 + 1,5x + 1 = 0 ; D = 6,25 + x =- 0,5 ou x = 2 ◗ La surface jaune est le domaine compris entre la parabole , la droite , et les droites verticales d’équation x =- 0,5 et x = 2 , c’est-à-dire l’ensemble des points de coordonnées ^ x ; y h tels que : - 0,5 G x G 2 et - 0,5x + 1 G y G - x2 + x + 2 .
Les savoir-faire du chapitre
fc
= ma
a. Pour tout réel x, e x ^1 + e x h - e x # e x ex = . f l^ x h = 2 ^1 + e x h ^1 + e x h2 b. Pour tout réel x ! @ - 1 ; 16 , g^ x h = ln ^ x + 1h - ln ^1 - x h . -1 1 2 = Donc gl^ x h = . x+1 1-x 1 - x2 2x x = . c. Pour tout réel x, hl^ x h = 2 x2 + 4 x2 + 4 d. Pour tout réel x, k l^ x h =- 2 sin ^2x h # e x + cos ^2x h # e x = e x # ^cos ^2x h - 2 sin ^2x hh .
Calcul intégral
Calculer ou encadrer une intégrale en utilisant des calculs d’aires 134
1 I=
=
#01 ^ x2 + 2x + 2hdx #01 x2 dx + 2 #01 x dx + 2 #01 1dx .
Donc I = C + 2B + 2A . 2 A est l’aire du carré de côté 1 et B est l’aire du triangle isocèle rectangle de côté 1. 1 1 10 +2# +2#1 = Donc I = . 3 2 3 135
a. Pour tout réel x, E^ x h est l’unique entier tel que E^ x h G x 1 E^ x h + 1 .
Alors E^ x h + 1 G x + 11 E^ x h + 2 . Donc E^ x + 1h = E^ x h + 1 . On en déduit que : f ^ x + 1h = ^ x + 1h - E^ x + 1h = x + 1 - E^ x h - 1 = x - E^ x h = f ^ x h. Donc la fonction f est périodique de période 1. b. ◗ Pour tout réel x ! 60 ; 16 , E^ x h = 0 . Donc f ^ x h = x . 1 1 1#1 1 = , en utiliAlors I = # f ^ x hdx = # xdx = 2 2 0 0 sant l’aire du triangle isocèle rectangle de côté 1. ◗ La fonction f étant 1-périodique, on a la représentation graphique suivante : y 1 0
Donc J = 5 # I =
x
1
Pour tout réel x ! 6- 2 ; 3 @, F l^ x h = f ^ x h . En utilisant la représentation graphique de f , on a le tableau suivant : f ^xh
-
-1 0
2 -
0
3 +
b. Faux.
c. Vrai.
d. Vrai.
137
a. Les primitives de f sur R sont les fonctions x5 3 5 - x 4 + x3 + k , où k est un réel. x 5 4 3 b. Les primitives de f sur @ 0 ; + 3 6 sont les fonctions 1 - + 4 x + k , où k est un réel. x x c. Les primitives de f sur R sont les fonctions 1 - ^cos ^ x hh4 + k , où k est un réel. x 4 d. Les primitives de f sur @ 2 ; + 3 6 sont les fonctions 1 ^ 2 x ln x - 2x h + k , où k est un réel. 2
7 7 7 7
138
x
a. Les primitives de f sur R sont les fonctions - cos ^ x h + k , où k est un réel.
7
Donc :
3r 2 k + k = 0 + k =. 4 2
Donc la fonction F est définie sur R par : 2 . F^ x h =- cos ^ x h 2 b. Les primitives de f sur R sont les fonctions x e x - e-x + k , où k est un réel. On résout : e0 - e-0 + k = 3 + k = 3 . Donc la fonction F est définie sur R par : F^ x h = e x - e-x + 3 .
7
#01 e-1 dx G #01 e-x dx G #011dx , 2
e-1 G F^1 h G 1 .
3
3 1 1 E ;x 2 m dx = 3 + x 1 x 3 3 3 1 1 1 =c + m-c + m = 8. 3 3 3 1 1 1 t b. # dt = 6 t 2 + 1 @ = 2 - 1 . 2 0 t +1 0 140
a.
#1 3 c x2 -
c. Pour tout réel x, x2 + x + 12 0 . Donc : 3 #0 3 x22+x +x +1 1 dx = 6ln ^ x2 + x + 1h@0 = ln ^13h - ln ^1 h = ln ^13h . r r d. Sur l’intervalle 9 ; C la fonction cosinus est stric6 4 tement positive,
#r
r 4
6
tan ^ t hdt =
#r 6
r 4
r sin ^ t h dt = 6- ln ^cos ^ t hh@ r4 cos ^ t h 6
=- ln c
7
On résout : - cos a ©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
La fonction F est dérivable sur R, et pour tout réel x, 2 F l^ x h = e-x 2 0 . Donc la fonction F est strictement croissante sur R. 1 Faux. 2 Faux. 2 3 Vrai. La fonction f : x e-x est décroissante sur 60 ; 1 @. Pour tout réel x ! 60 ; 1 @, f ^1 h G f ^ x h G f ^0 h, 2 soit e-1 G e-x G 1 . soit :
F^ x h a. Faux.
7
139
136
-2
7
Calculer et utiliser une intégrale
5 . 2
Déterminer des primitives
x
c. Les primitives de f sur @ - 3 ; - 2,5 6 sont les fonc-1 tions x 3 + k , où k est un réel. 6^2x + 5h -1 1 On résout : 3 + k = 6 + k = 0. 6^2^- 3h + 5h Donc la fonction F est définie sur @ - 3 ; - 2,5 6 par : -1 F^ x h = 3 . 6^2x + 5h d. Les primitives de f sur @ - 1 ; + 3 6 sont les fonctions 1 ^ 3 x ln x + 1h + k , où k est un réel. 3 1 ^ 3 On résout : ln 0 + 1h + k = 1 + k = 1 . 3 Donc la fonction F est définie sur @ - 1 ; + 3 6 par : 1 F^ x h = ln ^ x3 + 1h + 1 . 3
141
2 m 3 m 1 3 + ln c = ln a k . 2 2 2 2
1 Pour tout réel x 2 1 ,
^a + bhx + ^a - bh a b + = . x-1 x+1 x2 - 1 En identifiant les coefficients, a+b = 5 a=2 ) ) . + a - b =- 1 b=3 Donc pour tout réel x 2 1 , 2 3 + . f ^xh = x-1 x+1 Livre du professeur - Chapitre 6
Calcul intégral
29
#2 3 f ^ x hdx = #2 3 ; x -2 1
3 E dx x+1 = 62 ln ^ x - 1h + 3 ln ^ x + 1h@23
2
◗ Pour t ! 60 ; 30 @, x^ t h =
+
= ^2 ln ^2 h + 3 ln ^4hh - 2^2 ln ^1 h + 3 ln ^3 hh 256 = ln ^4h + ln ^64h - ln ^27h = ln a k. 27
x^ t h =
1 t2 - ^1 - t h = H 0. 1+t 1+t 1 Donc : H 1 - t. 1+t
= 750 +
1 t3 - ^1 - t + t2h =◗ G 0. 1+t 1+t 1 Donc : G 1 - t + t2 . 1+t 1 ◗ Donc : 1-t G G 1 - t + t2 . 1+t 2 Soit un réel x H 1 . Comme l’intégration conserve l’ordre , on a : x 1 #0 x ^1 - t hdt G #0 x 1 + dt G # ^1 - t + t2hdt . 0 t x x t2 t3 E t2 E x + . Donc ;t G 6ln ^1 + t h@0 G ;t 2 0 2 3 0 Donc pour tout réel x H 0 , x2 x3 x2 + . xG ln ^1 + x h G x 2 2 3 Par le logiciel de calcul formel Xcas , on a :
D’où le tableau de signes de f ^ x h sur 6- 2 ; 3 @ : 1 2 0 - 0
3
+
Donc en unités d’aire, l’aire de la surface jaune est : -#
-1
-2
=- ;
f ^ x h dx +
#--1 1 f ^ x hdx - #1 2 f ^ x hdx + #2 3 f ^ x hdx -1
1
x x x x x x + xE + ; + xE 8 3 4 8 3 4 -2 -1 4
-;
3
2
4
2
3
2
3
x x x x x x + xE + ; + xE 8 3 4 8 3 4 1 2 4
3
2
4
3
2
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
59 4 5 37 133 = + + + = . 24 3 24 24 24
30
#40t - u +3 130 du
= 750 + ;-
t
u2 130u E + 6 3 40
t2 130t 2 150 + . 6 3 3 2 La vitesse moyenne est : x^50h 62 = m/s . 20,67 m/s . 50 3 =-
145
1 On résout :
f ^ t h H g^ t h + 1,1t - ln ^ t h - ln ^t + 1h H 1,1t +
1 t
+ 0 H ln ^ t h + ln ^t + 1h + 1t .
1 2 0. t 1 Donc pour tout réel t H 1 , ln ^ t h + ln ^1 + t h + 2 0 . t Donc l’inéquation f ^ t h H g^ t h n’admet pas de solution sur 61 ; + 3 6 . Donc la demande n’est jamais satisfaite. 2 a. Pour tout réel t H 1 : t+1 t + ln ^ t h + k l^ t h = ln ^t + 1h + t t+1 = ln ^ t h + ln ^t + 1h + 2 . b. Pour tout réel t H 1 , 1 g^ t h - f ^ t h = ln ^ t h + ln ^t + 1h + . t 1 Soit g^ t h - f ^ t h = k l^ t h - 2 + . t Donc une primitive de la fonction g - f est par exemple définie par : t k^ t h - 2t + ln ^ t h . Ainsi : # 5 6g^ t h - f ^ t h@dt = 6^t + 1h ln ^t + 1h + t ln ^ t h - 2t + ln ^ t h@15 Or t H 1 . Donc ln ^ t h H 0 ; ln ^1 + t h H 0 et
7
1
=- 2 ln ^2 h + 6 ln ^5 h + 6 ln ^6 h - 8 ,
soit
#1
146
5
6 g^ t h - f ^ t h@dt . 11,021 .
1 La fonction x est la primitive de v sur 60 ; 50 @ qui
#0 t v^uhdu .
Livre du professeur - Chapitre 6
Calcul intégral
1 Pour tout réel t,
2r m 2r mm = 10 cos c~ ct + = 10 cos ^~t + 2rh ~ ~ = 10 cos ^~t h = i^ t h . 2r Donc la fonction i est périodique de période T = . ~ 2 Le maximum de la fonction cosinus est 1, obtenu pour t = k2r , donc Imax = 10 A . i ct +
en lien avec les sciences
s’annule en 0. Donc pour tout réel t ! 60 ; 50 @, x^ t h =
#40t 9- 13 ^u - 40h + 30 Cdu
Ainsi le nombre total d’objets manquants est d’environ 11 021, à un objet près.
approfondissement
144
#0 40 v^uhdu + #40t v^uhdu
= x^40h +
◗
x -2 -1 0 + f ^xh
#0 30 v^uhdu + #30t v^uhdu = x^30h + #30t 30du
= 450 + 630u @t30 = 450 + 30t - 302 = 30t - 450 .
x^ t h =
1 Pour tout réel t H 0 :
143
2 E = t ; 2 0
◗ Pour t ! 6 40 ; 50 @,
Utiliser les propriétés de l’intégrale 142
◗ Pour t ! 630 ; 40 @,
2 t
#0 t udu = ; u2
3 W=
Calcul de volumes
#0 T R^10 cos ^~t hh2 dt
= 100 R #
0
T
T sin ^2~t h cos ^2~t h + 1 + tE , dt = 50 R ; 2 2~ 0
2r . avec T = ~ 100rR . Donc W = 50R # T = ~ 4 Le courant continu Ic qui dégage la même quantité de chaleur vérifie : R^ Ic h2 2r T . W = # R^ Ic h2 dt = R^ Ic h2 # T = ~ 0 R^ Ic h2 2r 100rR = , soit ^ Ic h2 = 50 , ou encore Donc ~ ~ Ic = 5 2 . 147
1 a. f ^0 h = 0 et f ^1 h = 1 .
Dans le pays F, 0 % des exploitations les plus petites représente 0 % de la superficie des exploitations totales, et 100 % des exploitations représentent 100 % de la superficie des exploitations totales. b. Pour tout réel x ! 60 ; 1 @, 3 1 3x2 + 6x + 1 = . f l^ x h = 2 2 2 ^1 + x h 2^1 + x h Avec pour le numérateur D = 24 ; -3 + 6 -3 - 6 . - 0,18 et x2 = . - 1,82 . x1 = 2 3 Donc pour tout réel x ! 60 ; 1 @, f l^ x h 2 0 . Donc la fonction f est strictement croissante sur 60 ; 1 @. 2 a. g^0 h = 0 et g^1 h = 1 . b. Pour tout réel x ! 60 ; 1 @, gl^ x h = e x - e + 2 . x
x
e - e + 2 2 0 + e 2 e - 2 + x 2 ln ^e - 2h . Or ln ^e - 2h . - 0,33 . Donc pour tout réel x ! 60 ; 1 @, gl^ x h 2 0 . Donc la fonction g est strictement croissante sur 60 ; 1 @.
3 a. Plus l’indice de Gini est petit, plus l’aire du domaine
compris entre la courbe de Lorenz et la droite D (représentant une répartition égalitaire des exploitations) est petite, c’est-à-dire plus cette courbe de Lorenz est proche de la droite D , et donc plus la répartition des surfaces des exploitations est proche d’une répartition égalitaire. b. ◗ D’après le graphique, la courbe est plus proche de la droite D , que ne l’est la courbe C . Donc le pays correspondant à une répartition la plus égalitaire est le pays F.
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
◗ cF = = 2;
#01 6 x - f ^ x h@dx 1 2
= 2 # 6 x - f ^ x h@dx 1
0
1
x2 3 3 - x2 - ln ^ x + 1h + x E = - 2 ln ^2 h . 0,11. 2 4 2 0
cG = 2 # 6 x - g^ x h@dx = 2 ; 1
0
1 ^e - 2hx2 x2 - ex + + xE 2 2 0
= 3 - e . 0,28 . Donc cF 1 cG . On retrouve le résultat obtenu en utilisant le graphique.
148
1 Volume d’une boule
a. Par le théorème de Pythagore dans le triangle OPH, le rayon r du disque ^Dh vérifie : x2 + r2 = R2 . 2 = 2- 2 Donc r R x . L’aire du disque ^Dh est donc : rr2 = r^R2 - x2h . b. La boule est la réunion de deux demi-boules. Donc son volume, en unités de volume, est : V = 2 # 6r^R2 - x2h@dx = 2 ;r cR2 x R
0
= 2r cR2 # R -
4 R3 m = rR 3 . 3 3
R
x 3 mE 3 0
2 Volume d’un cône de révolution O On reprend les notations de la question 1 : Par le théorème de Thalès, le x rayon r du disque intersection h r x R = , soit r = x . vérifie : r (D) R h h Donc l’aire du disque ^Dh interR R 2 section est : r c m x2 . h Donc, en unités de volume, le volume du cône de révolution est : h h 1 R 2 R 2 x3 E = rR 2 h . V = # r c m x 2 dx = ; r c m h h 3 0 3 0
149
Partie 1 Pour tout réel y ! 60 ; 2 @, la hauteur z est égale à y2 , et varie dans 60 ; 4 @. Pour tout réel z ! 60 ; 4 @, le rayon du disque intersection est y = z . Donc, en unité de volume, le volume du solide engendré est : V=
#0 4 r^
Partie 2 1 On a :
2
z h dz =
y2 1 0
1y
2 4
#0 4rzdz = ;r z2
1
E = 8r . 0
0
1
2 Pour tout réel x, ^sin ^ x hh2 =
1 - cos ^2x h . 2
1 - cos ^2x h 2 m 2 2 1 - 2 cos ^2x h + ^cos ^2x hh = 4 1 + cos ^4x h cos ^2x h 1 1 # = + 4 2 4 2 cos ^4x h cos ^2x h 3 = + . 8 2 8
^sin ^ x hh4 = c
Livre du professeur - Chapitre 6
Calcul intégral
31
3
#0 r ^sin ^ t hh4 dt = #0 r ; 38 =;
4 On a :
-
cos ^2t h cos ^4t h E dt + 2 8
r sin ^2t h sin ^4t h 3t E = 3r . + 8 4 32 8 0
Par la formule d’intégration par parties : x 1 x # t dt = x ln ^ x h - 0 F^ x h = 6t ln ^ t h@1 - # 1 t = x ln ^ x h - 6 t @1x = x ln ^ x h - x + 1 . 151
1
r(x)
#0
0
1
x
Pour tout réel x ! 60 ; r @, le disque d’intersection du solide S avec le plan vertical a pour rayon r^ x h = f ^ x h . Donc en unités de volume, le volume du solide S est : r r V = # r^ f ^ x hh2 dx = r # ^sin ^ x hh4 dx 0
0
2
3r 3r = . 8 8 Comme l’unité de volume est 2 # 2 # 2 = 8 cm3 , le 3r2 # 8 = 3r2 . 29,6 cm3 . volume du solide S est 8 = r#
r 3
1 Pour tout entier n H 0 :
150
^uv hl^ x h = ul^ x h : v^ x h + u^ x h : v l^ x h. Donc en intégrant sur 6a ; b @, on a :
#a b ^uv hl^ x hdx = #a b 6ul^ x h : v^ x h + u^ x h : v l^ x h@dx =
Donc :
6u^ x h v^ x h@ba
=
Donc :
#a
#a
b
b
ul^ x h : v^ x hdx +
ul^ x h : v^ x hdx +
#a
#a
b
b
u^ x h : v l^ x hdx .
u^ x h : v l^ x hdx .
#ab u^ x h : v l^ x hdx = 6u^ x h : v^ x h@ba - #ab ul^ x h : v^ x hdx .
u^ x h = x ul^ x h = 1 * et * . x v l^ x h = e v^ x h = e x Par la formule d’intégration par parties : 2 a. ◗ On pose
I = 6 x # e x @0 1
#01 1e x dx = e - 6e x @10 = 1 .
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
Z ] ul^ x h = 1 u^ x h = ln ^ x h ] x et [ ◗ On pose * 3 . 2 v l^ x h = x ]] v^ x h = x 3 \ Par la formule d’intégration par parties : e e 1 x3 x3 # ln ^ x hE - # # J=; dx 3 3 1 x 1 e
x2 e3 ; x3 E 1 2e3 = + . dx = 3 3 9 1 9 9 b. La primitive F de la fonction ln sur @ 0 ; + 3 6 qui s’annule en 1 est définie par : x x F^ x h = # ln ^ t hdt = # 1 # ln ^ t hdt . =
e3 3
#1 e
1
1
1 u^ t h = ln ^ t h ul^ t h = t . et * On pose * v l^ t h = 1 v^ t h = t 32
+
In + 2 - In =
#0
r 3
^sin ^ x hhn cos ^ x h
r
^sin ^ x hhn 2 - ^sin ^ x hhn dx cos ^ x h
+2
dx -
Livre du professeur - Chapitre 6
Calcul intégral
#0
r 3
#0 3
=
^ x hh #0 3 ^sin ^ x hhn # ^sincos ^xh
r
=
#0
r 3
=- #
^sin ^ x hhn dx cos ^ x h
+
=
2
n
^sin ^ x hh # r 3
-1
dx
-^cos ^ x hh2 dx cos ^ x h
^cos ^ x hh # ^sin ^ x hhn dx . n+1
-1 3 m #c . 2 n+1 r 2 ◗ La fonction cosinus est positive sur 90 ; C. 3 r r 3 sin ^ x h Donc I1 = # dx = 6- ln ^cos ^ x hh@03 0 cos ^ x h 1 =- ln a k + ln ^1 h = ln ^2 h . 2 Donc In + 2 - In =
1 Pour tout réel x ! I ,
r
^sin ^ x hhn 1 E 3 cos ^ x h # ^sin ^ x hh dx = ; 0 n+1 n+1 1 3 m #c = . 2 n+1 n
0
Vers le supérieur
#1 x 1dt
◗ Alors I3 = I1 -
2
1 c 3 m 3 # = ln ^2 h - . 2 2 8 4
1 c 3 m 3 9 # = ln ^2 h - 4 2 8 64 33 = ln ^2 h . 64 r 3 a. Soit g la fonction définie sur 90 ; C par : 3 x r sin a + k x r 2 4 . g^ x h = tan a + k = 2 4 x r cos a + k 2 4 On a : 1 x r 2 1 x r 2 acos a + kk + asin a + kk 2 2 4 2 2 4 gl^ x h = x r 2 acos a + kk 2 4 1 = . r 2 x 2 acos a + kk 2 4 r Donc pour tout réel x ! 90 ; C , on a donc : 3 1 1 # f l^ x h = x r 2 x r 2 acos a + kk tan a + k 2 4 2 4 1 1 # = r 2 r x x 2 acos a + kk sin a + k 2 4 2 4 r x cos a + k 2 4 1 = . x r x r 2 sin a + k cos a + k 2 4 2 4
◗ Et I5 = I3 -
r r r x x x + k cos a + k = sin a2 a + kk 2 4 2 4 2 4 r = sin a x + k = cos ^ x h . 2 1 . Donc f l^ x h = cos ^ x h
Or 2 sin a
r
r 1 dx = 6 f ^ x h@03 cos ^ x h r r r = ln atan a + kk - ln atan a kk 6 4 4 = ln ^2 + 3 h - ln ^1 h = ln ^2 + 3 h. 3 3 = ln ^2 + 3 h ◗ I2 = I0 . 2 2 3 1 3 m 3 3 = ln ^2 + 3 h ◗ I4 = I2 - # c 3 2 2 8
b. ◗ I0 =
#0 3
5 3 . 8
= ln ^2 + 3 h 152
1 I0 ^a h =
#0 a f 0^ x hdx = #0 a e-x dx
= 6- e-x @0 = 1 - e-a . a
Or, I0 ^ah = 1 - e-a .
k=0
f n^ x h H 0 .
1
D’après la positivité, # f n^ x hdx H 0 . 0 Donc un H 0 . Graphiquement, un est l’aire, en unité d’aire, du domaine compris entre la courbe n, l’axe des abscisses, et les droites verticales d’équation x = 0 et x = 1 . xn b. Pour tout réel x H 0 , e-x G 1 et H 0. n! x n -x xn Donc pour tout réel x ! 60 ; 1 @, 0 G . e G n! n! Soit pour tout réel x ! 60 ; 1 @, 0 G f n^ x h G
xn . n! c. ◗ En utilisant la question 4 b. et la relation d’ordre, on a : n #01 0 dx G #01 f n^ x hdx G #01 xn! dx ,
◗ f k ^0 h =
Ainsi :
xn + 1 H . n! # ^n + 1h 0 1 . 0 G un G ^n + 1h!
k
x -x e . k!
Donc ^ f k hl^ x h = =
kx k!
# e-x +
n " + 3 ^n + 1 h !
k
x # ^- e-x h k!
xk - 1 x k -x e-x e = f k - 1^ x h - f k ^ x h . k! ^k - 1h!
◗ On a : Ik ^ah - Ik - 1 ^ah = =
1
◗ Or, lim k-1
#0 a f k^ x hdx - #0 a f k - 1^ x hdx
n 1 - un 1 = e - un # e . f / k! p = e-1 k=0
Or, lim un # e = 0 .
D’après l’égalité obtenue précédemment, on a alors : a Ik ^ah - Ik - 1 ^ah = # -^ f k hl^ x hdx
n "+3
n 1 lim f / p = e. k + n" 3 k=0 !
Donc :
0
= 6- f k ^ x h@0a =-
a k -a e . k!
153
1 a. Pour tout réel t 2 0 ,
#t 1
3 D’après la question 2 , on a : -a
I1 ^ah - I0 ^ah =- ae ;
a3 -a e ; … 3!
a n -a e . n! En sommant les égalités précédentes, on a alors : a2 -a a3 -a In ^ah - I0 ^ah =- ae-a e e -f 2 3!
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=- ca +
n
n
k
a a m -a a +f+ e =- f / pe-a . 2 n! k ! = k 1 n
Donc : In ^ah = I0 ^ah - f /
k=1
1 1 1 dx dx = 2 . Donc l’intégrale # 0 x x 1 1 est convergente, et # dx = 2 . 0 x 1 1 1 b. Pour tout réel t 2 0 , # dx = 6ln ^ x h@t =- ln ^ t h . x t 1 1 Donc lim # dx =+ 3 . t "0 t x 1 1 Donc l’intégrale # dx n’est pas convergente. 0 x c. Pour tout réel t 2 0 , 1 # t "0 t
In ^ah - In - 1 ^ah =-
2
1 1 dx = 62 x @t = 2 - 2 t . x
Donc lim
a2 -a I2 ^ah - I1 ^ah =e ; 2! I3 ^ah - I2 ^ah =-
= 0.
Donc d’après le théorème des gendarmes, lim un = 0 . n "+3 d. On sait que : n 1 -1 un = 1 - f / e . k !p k=0 Donc :
#0 a 6 f k^ x h - f k - 1 ^ x h@dx .
1
0 G un G >
2 Soit un entier k H 1 et un réel x H 0 .
◗ f k^ x h =
a k -a e . k! p
4 a. Pour tout entier n H 1 , pour tout réel x H 0 ,
soit :
0k 0 e = 0 ; k!
n
Donc on obtient : In ^ah = 1 - f /
a k -a e . k! p
a n -a e n!
#t 1 ln ^ x hdx = 6 x ln ^ x h - x @1t =- 1 - t ln ^ t h + t .
Or, lim t ln ^ t h = 0 (théorème de croissance comparée), t "0
1 # ln ^ x hdx =- 1 . t t "0
donc lim
Livre du professeur - Chapitre 6
Calcul intégral
33
Donc l’intégrale
#0
1
ln ^ x hdx =- 1 .
#01 ln ^ x hdx
est convergente, et
Donc l’intégrale
#e+ 3
2 a. Pour tout réel t 2 1 ,
1 1 t 1 2 dx = 9- x C1 = 1 - t . x t 1 Donc lim # 2 dx = 1 . t "+3 1 x +3 1 Donc l’intégrale # dx est convergente, et 1 x2 +3 1 #1 x2 dx = 1 .
#1 t
b. Pour tout réel t 2 e , 1 1 t 1 . E = 12 dx = ;ln ^ x h e ln ^ t h x^ln ^ x hh t 1 Donc lim # 2 dx = 1 . t " + 3 e x ^ln ^ x hh
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#e t
34
Livre du professeur - Chapitre 6
Calcul intégral
#e+ 3
1 2 dx est convergente, et x^ln ^ x hh
1 2 dx = 1 . x^ln ^ x hh
c. Pour tout réel t 2 0 , #0 t ^ + x h1^ + -x h dx = 1 e 1 e
#0 t
=
#0 t
= ;-
1 dx ^e x + 1h x ^1 + e h ex x e dx ^1 + e x h2 t 1 1 1 . E = 2 x 1+e 0 1 + et
1 1 = . x h^ + -x h dx 2 ^ + t "+3 1 e 1 e +3 1 Donc l’intégrale # dx est conver0 ^1 + e x h^1 + e-x h +3 1 1 gente, et # dx = . 2 0 ^1 + e x h^1 + e-x h
Donc lim
#0 t
7
C H A P I T R E
Les nombres complexes Introduction
Les nombres complexes
1. Programme En classe Terminale, les nombres complexes sont vus essentiellement comme constituant un nouvel ensemble de nombres avec ses opérations propres. Cette introduction s’inscrit dans la perspective d’un approfondissement lors d’une poursuite d’études. Contenus Forme algébrique, conjugué. Somme, produit, quotient. Équation du second degré à coefficients réels. Représentation géométrique Affixe d’un point, d’un vecteur Forme trigonométrique : – module et argument, interprétation géométrique dans un repère orthonormé direct ; – notation exponentielle.
Capacités attendues • Effectuer des calculs algébriques avec des nombres complexes.
Commentaires On introduit dans ce chapitre des éléments lui donnant une dimension historique.
• Résoudre dans C une équation du second degré à coefficients réels. • Représenter un nombre complexe par un Le plan est muni d’un repère orthonormé point ou un vecteur. ^O, u , v h . • Déterminer l’affixe d’un point ou d’un vecteur. La notation exponentielle est introduite • Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique et inversement. après avoir montré que la fonction cos i + i sin i i 2 • Connaître et utiliser la relation zz = z . vérifie la même relation fonctionnelle que la fonction exponentielle.
7
• Effectuer des opérations sur les nombres complexes écrits sous différentes formes.
Les nombres complexes permettent de mémoriser les formules trigonométriques d’addition et de duplication vues en Première.
E [SI] Analyse fréquentielle d’un système.
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2. Intentions des auteurs Le programme insiste sur l’aspect algébrique de l’ensemble des nombres complexes, laissant aux applications géométriques un domaine plus réduit que dans les programmes antérieurs. Nous avons donc fait le choix d’introduire rapidement les outils permettant de calculer dans C au moyen de la forme algébrique : conjugué, règles opératoires, inverse, et de résoudre l’équation du second degré. La représentation géométrique se trouve donc formalisée un peu plus tard ; elle peut toutefois être présentée de manière rapide et non formelle dès les premières activités : elle est aussi porteuse de sens, et permet « d’asseoir l’existence » de nombres qui, possédant la propriété d’avoir un carré négatif, peuvent de prime abord sembler suspects aux élèves. L’aspect historique des nombres complexes est aussi abordé, à travers une activité de culture générale au début, puis autour des travaux des algébristes italiens,
sous forme de problèmes en fin de chapitre : ils peuvent faire l’objet d’une recherche ou d’un devoir à la maison. L’aspect géométrique des nombres complexes est dominé par les écritures trigonométrique et exponentielle. Les élèves doivent savoir passer d’une forme à l’autre, ce qui est l’occasion de réactiver leurs connaissances de trigonométrie. C’est la forme exponentielle qui rend les calculs agréables et permet de déterminer rapidement modules et arguments d’un produit ou d’un quotient : il importe donc de la présenter conjointement à la forme trigonométrique, aucune des règles sur l’argument d’un produit ou d’un quotient n’ayant été formalisé contrairement à l’ancien programme. Dans les problèmes qui peuvent donner lieu à des applications géométriques, et pour les calculs d’angles, il conviendra de réactiver la relation de Chasles sur les angles orientés ^OA , OB h = ^ u , OB h - ^ u , OA h en
Livre du professeur - CHAPITRE 7
Les nombres complexes
1
faisant le lien avec la différence des arguments de ZB et ZA . Même avec l’insistance soulignée dans le nouveau programme sur l’aspect algébrique de l’ensemble C, il n’en demeure pas moins que cet ensemble est à la
1 a. = "- 2i ; 2i , ; 2 a. D =- 16 1 0 .
Partir d’un bon pied Objectif En algèbre, revoir le second degré (discriminant, forme canonique, racines et factorisation) et en géométrie réactiver le cours de Seconde sur les coordonnées cartésiennes et celui de Première sur les angles orientés. 1 b.
A
2 a.
3 c.
4 c.
1 AB c
^- 4h2 + 32 = 25 = 5 . 4 F^- 3 ; 8h . 5 E l^4 ; - 3h . 6 Al^1 ; - 3h . 1 4 7 BI c m et EJ c m - 2 , donc : 2 BI : EJ = 1 # 4 + 2 # ^- 2h = 0 ; donc ^BI h et ^EJ h sont perpendiculaires. 1 Vrai. 5 Faux.
2 Faux. 6 Vrai.
3 Faux.
4 Vrai.
Découvrir
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Activité
1 Des nouveaux nombres
Objectif Découvrir le nombre « i » à l’aide de la calculatrice, faire « naturellement » quelques calculs avec ce nouveau nombre et définir les parties réelles et imaginaires. 1 i2 =- 1 ; pour tout x ! R , x2 H 0 donc i g R . 2 a. a + b =- 1 - 3i et a # b = 4 + 19i . b. a2 = 5 - 12i . 3 a. La calculatrice donne - 3 pour la partie réelle de a et 2 pour sa partie imaginaire, et pour b, 2 comme partie réelle et - 5 comme partie imaginaire. b. On conjecture que z a pour partie réelle x, pour partie imaginaire y et pour conjugué x - iy . Activité
3 Un peu d’histoire : recherche documentaire Activité
Objectif Approche historique de la notion et découverte de l’interprétation géométrique. 1 Les nombres ayant un carré négatif ont été introduits au XVIe siècle pour résoudre les équations du troisième degré. 2 Léonhard Euler, en 1777. 3 Carl Friedrich Gauss, en 1831. 4 L’ensemble des nombres complexes est dit « algébriquement clos », car tout polynôme à coefficients complexes admet au moins une racine dans cet ensemble. R n’est pas algébriquement clos : par exemple, le polynôme à coefficients réels x2 + 1 n’a pas de racine dans R. 5 Au point de coordonnées ^ x ; y h on associe le nombre complexe x + yi .
4 Un autre repérage pour les points du plan Activité
Objectif : Découvrir les coordonnées polaires et faire le lien avec les coordonnées cartésiennes. 1 y C
2 Le second degré dans C
Objectif Utiliser la forme canonique pour résoudre dans C des équations du second degré ayant un discriminant négatif. 2
2
b. x2 - 2x + 5 = ^ x - 1h + 4 , 2 donc x2 - 2x + 5 = 0 + ^ x - 1h =- 4 . 2 2 c. - 4 = ^2ih , donc ^ x - 1h =- 4 + x - 1 =- 2i ou x - 1 = 2i + x = 1 - 2i ou x = 1 + 2i . 3 D =- 36 1 0 ; 2 z2 + 4z + 13 = 0 + ^ z + 2h + 9 = 0
= "- 2 - 3i ; - 2 + 3i , .
3 OE =
C
b. "- - k i ; - k i , .
+ ^ z + 2h2 =- 9 = ^3ih2 + z + 2 =- 3i ou z + 2 = 3i ;
-1 m -5 . 2 C^- 2 ; 0,5h . B
croisée des domaines algébriques et géométriques et constitue pour l’élève un champ d’application lui permettant de choisir des outils adaptés aux situations et d’utiliser l’ensemble des connaissances acquises dans son cursus scolaire.
Livre du professeur - CHAPITRE 7
J
A
O
I
x B
2 Pour I : r = 1 et a = 0
^2rh. r Pour J : r = 1 et a = ^2rh. 2
Les nombres complexes
3 a. Les coordonnées polaires de m sont 1 et a .
b. m^cos a ; sin ah . c. ^Om ; OM h = ^Om ; OI h + ^OI ; OM h = 0 ^2rh , donc OM et Om sont colinéaires et de même sens. d. D’après la question 3 c. il existe un réel positif k tel que OM = kOm ; or, OM = r et Om = 1 , donc k = r . e. L’égalité vectorielle précédente traduite sur les coordonnées donne x = r cos a et y = r sin a .
1
z2 z3 z4
-3
z5
- 24
- 10
2
Conjugué 5 + 2i 15 - 3i - 3 - 2i - 24 + 10i
9 a. z2 =- 16 = ^4ih2 , donc = "- 4i ; 4i , ;
b. z2 = 5 , donc = "- 5 ; 5 , ; c. z2 = 9 ou z2 =- 9 et - 9 = ^3ih2 = ^3ih donc = "- 3 ; 3 ; - 3i ; 3i , ! 2
d. z2 + 2iz - 1 = z2 + 2iz + i2 = ^ z + ih , donc = "- i ,. 10 1 D = 1 ; "2 ; 3 , .
z1 = 5 + 6i ; z2 = 11 - 20i ; z3 =- 43 + i ;
z4 =- 24 - 10i ; z5 = 6 - 8i ; z6 = i .
5 - 51 5 + 51 1 . ; 2 2 1 1 3 D =- 256 = ^16ih2 ; = % - 2i ; + 2i / . 2 2 4 D =- 16 = ^4ih2 ; = "1 - i ; 1 + i , . 2 D = 51 ; = '
3 Si z = x + iy avec x et y réels, alors z + z = 2x ! R ;
z - z = 2iy ! iR et z = x - iy = x - ^- iy h = x + iy = z. 4 a. = % 3 + 1 i / ;
2 2 b. = "2 + 4i , ; 2+
11 a. z - i = z - i
2
c. z 2iz - 1 = 0 + ^ z + ih = 0 , donc = "- i , ; d. soit z = x + iy avec x et y réels ; z + i = 2 z + 1 + x + i^ y + 1h = 2x + 1 - 2yi x =- 1 x = 2x + 1 + * + =- + * y =- 1 ; = %- 1 - 13 i / . y 1 2y 3
z+i + z ! - i et z - i = ^ z - ih^ z + ih + z ! i et ^ z - ih^ z + i - 1h = 0 ; = "i ; 1 - i , . z+2 z =b. + ^ z + 2h2 =- z2 z z+2
+ 2z2 + 4z + 4 = 0 + z2 + 2z + 2 = 0 ; D =- 4 = ^2ih2 ; = "- 1 - i ; - 1 + i , .
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5 a. Re ^5z - ih = 5x et Im ^5z - ih = 5y - 1 ;
b. Re ^^3 - 2ihz h = 3x + 2y et Im ^^3 - 2ihz h = 3y - 2x ; c. Re ^ z2h = x2 - y2 et Im ^ z2h = 2xy ; d. Re ^3 z - 5z h =- 2x et Im ^3 z - 5z h =- 8y ; e. Re ^2 + ih^2i - z h =- 2x - y - 2 et Im ^^2 + ih^2i - z hh =- x + 2y + 4 ; f. Re ^^ z - 1h^ z - ihh = x2 + y2 - x + y et Im ^^ z - 1h^ z - ihh =- x + y + 1 .
Savoir faire Nombres complexes
et géométrie
y
12
A D C
Savoir faire Résoudre une équation
B
1 =- i ; z1 1 1 - 2i = = z3 4+1
1 2+i 2 1 = + i; = z2 5 5 4+1 1 2 - i. 5 5
v O u
dans C 6
x +y
b. z2 =
algébrique
z1
2 2 2 8 a. z = z , donc Re ^ z h = x - y 1 1 2 2
- 2xy iz2 , donc Re ^ z2h = 2 zz x + y2 x2 - y2 . et Im ^ z2h = 2 x + y2
Savoir faire Utiliser la forme
Partie imaginaire -2 0 3 2
b. ^2 + ihz = 3z - i + ^- 1 + ihz =- i - ^- - h + z = i 1 +1 1 i = i -2 1 , 1 1 = %- + i / . 2 2 zz - 2xy et Im ^ z1h = 2 ; x + y2
Exercices d’application
Partie réelle 5 15 0
7 a. = "0 , ;
x
13 a. OC = AB , donc z = z - z = 1 - 3i . C B A
b. 6OB @ et 6CA @ ont le même milieu, donc zB = zA + zC et on retrouve zC = 1 - 3i . Livre du professeur - CHAPITRE 7
Les nombres complexes
3
y
14
19
Mc v
Mb
Ma
O u Md
x
z 4 -3
Module 4 3
2i
2
- 1,5i
1,5
2i
2
- 3i
3
5 -7
5 7
17 z = 1
3 + i ; z2 =
18 ◗ z = 2 3 c1
z1 est
5r . 6
◗ z2 = 2 2 c-
u
Un argument r 2 r 2 0 r
-
3 3 i ; z3 =- 3 + i . 2 2
3 1 + i m , donc un argument de 2 2
2 2 m i , donc un argument de z2 2 2
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3r est . 4 ◗ Avec la notation exponentielle, 5r k 6 3r eia- 4 k
2 3 e ia
3 ic 5r - a- 3r km 4 : e 6 2 2 2 5r 3r 19r - ak= . un argument de z3 est 6 4 12 3 1 - i m , donc un argument de z4 est ◗ z4 = 5 c2 2 5r . 6 ◗ z5 = 1 - ^- 1h = 2 , donc un argument de z5 est 0. z3 =
4
1,5
zC
1
=
Livre du professeur - CHAPITRE 7
3r 4
-
r 6
+ z = 12 a z + 1z k + 2z2 = z2 + 1 + z2 = 1 + z =- 1 ou z = 1 .
formes
Module
zB
1 M = Ml
Savoir faire Utiliser différentes z
2
20 Étude d’un lieu de points
L’origine est à exclure de chaque ensemble de solutions.
16
zA
Un argument r 3
Travaux pratiques
r r 2 r 2
v O
Module
Un argument 0
15
M
z
2 D’après la question 1 , les points I l^- 1h et I^1 h ont pour image eux-mêmes. 1a 1 1 ^2 i+ k= i + 1h = 0 2 i 2i 1 1 1 c- i + m =- ^i2 + 1h = 0 , donc les points et 2 -i 2i A^ i h et B^- ih ont pour image l’origine. r 1 ^ ir 1 1 3 1 3 m + -i = 1, e 3 + e-i 3 h = c + i 2 2 2 2 2 2 r donc C^ei 3 h a pour image I.
Conjecture : l’image du cercle C semble être le segment 6 I I l@ . 1 = z, Preuve : si M^ z h ! C , z 1 donc z l = ^ z + z h = Re ^ z h ! 6- 1 ; 1 @, 2 donc Ml ! 6 I I l@. Réciproquement, si Ml^ z lh avec z l ! 6- 1 ; 1 @, le calcul précédent nous conduit à considérer le point M d’affixe z = z l + i 1 - z l2 : z = 1 , donc M ! C ; donc 1 1 1 = z et a z + k = Re ^ z h = z l . Ainsi, Ml est bien 2 z z l’image d’un point de C . 21 Résolution d’équations polynomiales
et applications Partie A 1 a. D =- 100 = ^10ih2 ; = "1 - 5i ; 1 + 5i , . b. D =- 16 = ^4ih2 ; 3 2 3 2 + = 'i ;i1. 13 13 13 13
1 2 c. 4z2 + 4z + 1 = 0 + ^2z + 1h = 0 ; = %- / . 2 2 P^ z h = ^ z - ^1 - 5ihh^ z - ^1 + 5ihh = ^ z - 1 + 5ih^ z - 1 - 5ih ; Q^ z h = ^ z - i 7 h^ z + i 7 h^ z - 7 h^ z + 7 h ; 3 2 3 2 + R^ z h = 13 c z - ci mmc z - ci mm 13 13 13 13 1 = ^13z + 3 + 2ih^13z + 3 - 2ih . 13 Partie B 1 Soit y ! R ; f ^iy h = y 4 + 6y3 i - 14y2 - 24yi + 40 = y 4 - 14y2 + 40 + i^6y3 - 24y h .
Les nombres complexes
y 4 - 14y2 + 40 = 0 ; 6y3 - 24y = 0 6y3 - 24y = 0 + 6y^ y2 - 4h = 0 + y = 0 ou y =- 2 ou y = 2 . Seuls - 2 et 2 sont solutions de la première équation du système, donc l’équation f ^ z h = 0 admet deux solutions imaginaires pures qui sont - 2i et 2i . 2 ^ z2 + az + bh^ z2 + 4h = z 4 + az3 + ^4 + bh z2 + 4az + 4b ; par identification, on obtient a =- 6 et b = 10 . 3 f ^ z h = 0 + z2 - 6z + 10 = 0 ou z2 + 4 = 0 ; Pour z2 - 6z + 10 = 0 , D =- 4 = ^2ih2 finalement, = "- 2i ; 2i ; 3 - i ; 3 + i , . 4 a. B D v O u C A Donc f ^iy h = 0 + *
b. La figure permet de conjecturer que les points A, B, C, D sont sur un même cercle de centre I^1 ; 0h . Pour le prouver, on calcule : IA = - 2i - 1 = 5 ; IB = 2i - 1 = 5 ; IC = 2 - i = 5 et ID = 2 + i = 5 . 22 Racines n-ièmes de l’unité 1 a. 1 est une solution évidente ;
^ z - 1h^ z2 + z + 1h = 0 + z3 - 1 = 0 + z3 = 1 . 2 b. Pour z2 + z + 1 = 0 , D =- 3 = ^ 3 ih ; 1 3 1 3 1 = '1 ; - i ;- + i 2 2 2 2 = %e0i ; ei
-2r 3
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4r
2r 3 /. -2r ei 3 , donc
; ei
c. j2 = ei 3 = les points A, B, C ont pour affixes les solutions de l’équation z3 = 1 ; ces points sont sur le cercle trigonométrique, car 1, j et j2 ont pour module 1. ^OA ; OB h = ^ u ; OB h = arg ^ j h = 2r ^2rh 3 2r ^ et ^OC ; OA h =-^ u ; OC h =- arg j2h = ^2rh , 3 2r donc ^OB ; OC h = ^2rh et le triangle ABC est équi3 latéral direct. r4 = 1 2 a. z 4 = 1 + r 4 e 4ai = 1 + * . 4a = 0 ^2rh b. r 4 = 1 + r = 1 car r 2 0 ; r 4a = 0 ^2rh + 4a = k # 2r + a = k # , 2 avec k entier. r 3r D’où = %1 ; ei 2 ; eir ; ei 2 / = "1 ; i ; i2 ; i3 , . 3 zn = 1
+ rn enai = 1 + *r
r n = 1 + r = 1 , car r 2 0 ;
n
=1 na = 0 ^2rh
na = 0 ^2rh + na = k # 2r + a = k # avec k entier.
2r , n
D’où %1 ; ei
2r n
; ei
4r n
; f ; ei
^2n - 2 hr n
/.
23 Programmer la résolution d’une équation du second degré 1 • Si le discriminant est strictement positif, l’équation a deux solutions réelles distinctes ; • si le discriminant est nul, l’équation a une seule solution réelle ; • si le discriminant est strictement négatif, l’équation a deux solutions complexes conjuguées. 2 L’algorithme présenté ne convient que pour la résolution dans l’ensemble R. ALGO
Variables : a, b, c, D, u, v : réels ; Début Entrer(a, b, c) ; D ! b2 - 4 * a * c ; Si D 2 0 Alors -b - D -b + D ;v! ; u! 2a 2a Afficher(u, v, « deux solutions réelles ») Sinon Si D = 0 Alors b ; u !2a Afficher (u, « une seule solution réelle ») Sinon -b - i -D -b + i -D ;v! ; u! 2a 2a Afficher (u, v, « deux solutions complexes conjuguées ») FinSi FinSi Fin 3 a. Avec une calculatrice :
Avec Scilab : a=input(“a=”); b=input(“b=”); c=input(“c=”); d=b^2-4*a*c if d>0 then z1=(-b+sqrt(d))/(2*a) ; z2=(-b-sqrt(d))/(2*a) ; disp(«l’équation a deux solutions réelles») disp(z1,z2) else
Livre du professeur - CHAPITRE 7
Les nombres complexes
5
if d==0 then z0= - b/(2*a) disp(«l’équation a une seule solution réelle») disp(z0) else z1=(-b+ %i*sqrt(-d))/(2*a) ; z2=(-b-%i*sqrt(-d))/(2*a) ; disp(«l’équation a deux solutions complexes conjuguées») disp(z1,z2) end end b. 1 2 a = - 2 ; b = 1 ; a = 1 ; b = -2 ; c = 1 c = 26 l’équation a deux l’équation a solutions réelles deux solutions 1. complexes - 0.5 conjuguées 1 - 5.i 1 + 5.i 3
4
a = 13 ; b = 6 ; c = 1 l’équation a deux solutions complexes conjuguées
a = 4 ; b = 4 ; c = 1 l’équation a une seule solution réelle - 0.5
-0.2307692 - 0.1538462i -0.2304692 + 0.1538462i
2 b.
28 1 c. ; 29 1 Vrai.
3 c.
4 a.
2 a., b. et c. ; 2 Vrai.
Question
Re ^ z h -y x + x2 - y2 3x + 2y
1 2 3 5
3 b. et c. ;
3 Vrai.
7 a et c.
2
2
37 1 Vrai.
2 Vrai.
3 Faux.
38 1 b. et c.
2 a. et b.
3 a., b. et c.
40
5
Question
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
31 1 c. 32 1 Faux. 33
2 a., b. et c.
3 Faux.
Question
Re ^ z h 8 -5 - 13
2 3
4 Vrai.
3 a. et b.
2 Vrai.
1
6
3 Vrai.
Im ^ z h -6 5 18
Livre du professeur - CHAPITRE 7
Im ^ z lh -x -x - y x2 + y2
x2 + y2 + x - y x2 + y2 - y + 1 - 2xy - 2x x2 + y2
x-y+1 x2 + y2 - y + 1
4
1 7 i. 10 10
2
1 3 + i. 2 2
x2 - y2 - 2y x2 + y2 3 -
1 1 - i. 2 2
42 1 a. z = x - iy = x + iy = z . 4 b. et c.
4 Vrai.
1 3 - i/ . 2 2
Re ^ z lh y x-y x2 + y2
2
41 1
2 =%
4 Faux.
15 3 + i1. 13 13
1
Exercices d’application
2 Faux.
2
2 Calculs avec le conjugué
3
30 1 Vrai.
2
tifie les parties réelles et imaginaires. 1 On obtient le système *2x = x + 1 ; après calculs, 2y + 1 =- y 1 = %1 - i / . 3 2 2 2 On obtient le système * x - y = x ; la seconde 2xy =- y 1 équation équivaut à y = 0 ou x =- ; en remplaçant 2 successivement dans la première, on obtient : 1 3 1 3 1 = '0 ; 1; - + i ;- i . 2 2 2 2
5 Faux.
1 L’ensemble C
x+y+1
36 On écrit z = x + iy avec x et y réels, puis on iden-
4 c.
4 Faux.
0
3 = "- i ; i , .
3 =' 6 b et c.
y + 2xy 2x - 3y
35 1 = % 3 + 5 i / . 2 = % 1 - 5 i / .
5
5 a.
Im ^ z h x
4x2 x2 + y2 + x + y
4
39 1 = ' 2 - 1 i 1 .
Faire le point 27 1 b.
34
5 Faux
b. z + z l = ^ x + x lh + i^ y + y lh = ^ x + x lh - ^ y + y lhi = ^ x - iy h + ^ x l - iy lh = z + z l . c. zz l = ^ xx l - yy lh + i^ xy l + yx lh = ^ xx l - yy lh - i^ xy l + yx lh ; par ailleurs : z z l = ^ x - iy h^ x l - iy lh = xx l - yy l - i^ xy l + x l y h , d’où zz l = z z l .
Les nombres complexes
2 a. D’après 1 c., 1 = z l #
1 donc a l k = z z b. a l k = z # z
1 1 = zl # a k, zl zl
1 . zl 1 1 1 z = = z#a k= z# . zl zl zl zl 3 a. Initialisation : pour n = 0 , z0 = 1 = 1 et 0 ^ z h = 1 ; et on convient de poser ici si z = 0 , z0 = 1 . Hérédité : on suppose que, pour un entier n, z n = z n . zn + 1 = zn # z = zn # z = z n # z = z n + 1 . b. Si n 1 0 , n =- p avec p 2 0 . ^ znh = c 1p m = 1p = 1p = z n avec 2 a. et 3 a. z z z 43 1 0 # z = 0 # x + ^0 # y h i = 0 + 0i = 0 . 2 a. z # Z = 0 , donc Z =
1 1 #z#Z = #0 = 0 z z
d’après a. b. Le produit de deux nombres complexes est nul si, et seulement si, l’un des deux est nul. 3 = "- 2 ; 2 ; - 2i ; 2i , .
en identifiant avec les coefficients de P^ z h , on obtient le Z ]a + 1 + i = i système [ a + b + ai =- i , ] b^1 + ih = 1 + i \ ce qui équivaut à : a =- 1 et b = 1 . 3 P^ z h = 0 + z =- 1 - i ou z2 - z + 1 = 0 ; 1 3 1 3 1 + = '- 1 - i ; i; i . 2 2 2 2 52 1 a = 13 + 6i . 2 a =- 6 ; b = 13 . 3 = "i ; 3 + 2i ; 3 - 2i , .
4 Représentation géométrique 53 1 Vrai.
2 Faux.
3 Faux.
54 1 c.
2 a.
3 c.
55
3 Équations du second degré
C
B
à coefficients réels
v O u
44 1 a.
2 b.
3 c.
4 b.
45 1 Faux.
2 Vrai.
3 Vrai.
4 Vrai.
46 1 Faux.
2 Faux.
3 Faux.
56
47 1 D =- 4 = ^2ih ; = %- 3 - 1 i ; - 3 + 1 i / . 2 2 2 2 2 D =- 16 = ^4ih2 ; = "3 + 2i ; 3 - 2i , .
A
z2 + z + 1 = 0 ;
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49 1 = "^1 + 4i ; 1 - 4ih ; ^1 - 4i ; 1 + 4ih, .
5 1 5 1 5 1 5 1 - i; + ik ; a + i ; - i k/ . 2 2 2 2 2 2 2 2
50 1 D = 0 ; = % 3 / .
2 2 D = 64 ; = "- 1 ; 7 , . 51 1 P^- 1 - ih = 0 . 2
^ z + 1 + ih^ z2 + az + bh = z3 + ^a + 1 + ihz2 +^a + b + aihz + b^1 + ih ;
D v O u
48 1 Pour z ! - 1 , l’équation est équivalente à
1 3 1 3 1 i ;- i . D =- 3 , donc = '- + 2 2 2 2 2 2 2 z = 4 ou z =- 4 ; = "- 2 ; 2 ; - 2i ; 2i , . z - 3i 3 Pour z ! - 2 , on pose Z = et on résout z+2 2+ Z 6Z + 13 = 0 ; D =- 16 , donc Z =- 3 ! 2i . On résout alors : z - 3i z - 3i =- 3 - 2i , puis =- 3 + 2i ; z+2 z+2 après calculs, = "- 1,3 + 0,4i ; - 1,9 + 0,8i , .
A
D
2
2 = %a
4 Vrai.
B
C y
57
1 O
1
x
58 1 AB f xB - xA p,
yB - yA
donc zAB = xB - xA + i^ yB - yAh = xB + iyB - ^ xA + iyAh = zB - zA . x + xB yA + yB m, 2 Ic A ; 2 2 y + yB x + xB +i A donc zI = A 2 2 + + + x iyA xB iyB z + zB = A = A . 2 2
Livre du professeur - CHAPITRE 7
Les nombres complexes
7
2 2 z + zB - zC m CI + zG - zC = c A 3 3 2 + + + zG = zA z3B zC .
y
69
3 CG =
C
v
5 Module et arguments d’un nombre
complexe
O B
59 1 c.
2 b. et c.
3 b. et c.
60 1 a. et c.
2 a. et b.
3 c.
61 1 Vrai.
2 Faux.
3 Vrai .
4 a.
2
2 Vrai. 3 Faux, car M appartient à 6OMh , mais pas forcément à
6OM @.
4 Vrai .
z zA
Module 3
zB
2
zC
1
zD
2 2
3
+
u x
D
1+ 3 i. 2
2 z2 =- 1 - i . 4 Faux.
62 1 Vrai.
63
70 1 z = 1 + 1
A
Un argument r r 2 r 2 r 4
3 z3 =
3 - i. Algébrique
Exponentielle
z1
1-i 3
2e-i 3
z2
3 2 3 2 + i 2 2
3ei 4
z3
3 +i
2ei 6
71
r
r
r
Trigonométrique r r 2 acos a- k + i sin a- kk 3 3 r r 3 acos + i sin k 4 4 r r 2 acos + i sin k 6 6
z1 z2 z3
64
Algébrique
Exponentielle
z1
1-i
2 e-i 4
z2
- 3 -i
2ei
z3
3 3 + 3i
6ei 6
72
M
v O
u
L’origine est à exclure de chaque ensemble de solutions. 65 1 On écrit z = x + iy avec x et y réels. 2
-z =
2
^- x h + ^- y h = 2+
2
x
y = z ;
2+ 2
z = x ^- y h = x y = z . 2 a. Ml est le symétrique de M par rapport à l’axe des abscisses, donc arg ^ z h =- arg ^ z h ^2rh . b. M1 est le symétrique de M par rapport à l’origine, donc arg ^- z h = arg ^ z h + r ^2rh . c. arg ^- z h = arg ^ z h + r =- arg ^ z h + r ^2rh .
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6 Forme trigonométrique
z2 z3
2+ 6 2- 6 +i . 4 4 r 2 a. z1 = 2 2 ; arg ^ z1h = ^2rh ; 3 r ^2rh . z2 = 2 2 ; arg ^ z2h =4 r
z1 = 2 2 ei 3 ; z2 = 2 2 e-i 4 . r
66 1 Vrai.
2 Faux.
3 Faux.
67 1 a. et c.
2 b. et c.
3 a., b. et c.
68 1 b.
2 a.
3 a.
8
r
73 1 Z =
r
et notation exponentielle
Livre du professeur - CHAPITRE 7
4 Vrai.
4 c.
r
b. Z = eia 3 + 4 k donc Z = 1 ; 7r ^2rh. arg ^ Z h = 12 2- 6 7r = c. cos ; 12 4 2+ 6 7r = . sin 12 4
Les nombres complexes
7r 6
Trigonométrique r r 2 acos a- k + i sin a- kk 4 4 7r 7r + i sin k 2 acos 6 6 r r 6 acos + i sin k 6 6
z1
2+ 2
r
y
3
c. OA = a = 2 = b = OB et AB = b - a = 2i = 2, donc OAB est équilatéral. r r r r 1 3 3 b. d = e-i 2 c = e-i 2 # e i 6 = e-i 3 = i. 2 2 Comme, par définition du parallélogramme, DE = AB , on a : 4- 3 1 + f - d = b - a = 2i et f = d + 2i = i. 2 2 2 1 c 4- 3 m + = 5-2 3 . c. OE = f = 4 2
A v
210° C
60° O u
x
B 5r 1 4 Z2012 = e i 3 = -i
2
3 . 2
2
BE = f - b = =
r
74 z . 5e-2,5i ; z = 4e- 6 i ; 1 2
77 Partie A
Exercices guidés 75 1 La proposition 1 est fausse :
100r 4r = 32r + , 3 3 4r donc arg z = ^2rh et comme un argument d’un 3 réel non nul est 0 ou r , z ne peut être un réel. 2 La proposition 2 est fausse : z = 1 - z + OM = AM , où A^1 h . () est la médiatrice du segment 6OA @, perpendiculaire à l’axe des réels. 3 La proposition 3 est vraie : M ! ^Gh + z - 1 =- 2eia avec a ! 60 ; r @ & z - 1 = 2 & M appartient au cercle de centre A^1 h et de rayon 2. 4 La proposition 4 est fausse : ; or,
r
et e-i 7 , toutes deux de module 1. 76 1 D = 12 - 16 = ^2ih2 ; S = " 3 + i ;
3 -i = r b = ei 6 . et c = 2 b.
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r 2e-i 6
,b=a=
r 2ei 6
y
E
B C
v u
O D
Z2 + a = 0 + Z2 - ^- ah = 0 + Z2 - ^i a h2 = 0 + ^ Z - i a h^ Z + i a h = 0 + Z - i a = 0 ou Z + i a = 0 + Z = i a ou Z =- i a . L’équation a deux solutions : i a et - i a . Partie B 1 1 1 a. z l ==- ia =- e-ia = ei^r - ah . z e b. Ml1 est le symétrique du point M1 par rapport à l’axe ^O, v h, puisque son affixe a même module que z et un argument égal à r - arg z . N1 est ensuite le milieu du segment 6 M1 Ml1 @. (–� + �) M’1
J
x A
3 - i,.
M1 (�)
v N1 u
3r
r
1 + 2i = 1 - 2^- ih = 1 - 2eia- 2 k = 1 - 2eia 2 k ; - i n’a pas d’argument dans l’intervalle 60 ; r @. 5 La proposition 5 est vraie : r r r 2 - 4 =- 4 sin2 = a2i sin k ; D = 4 cos2 7 7 7 r l’équation a deux solutions complexes conjuguées, ei 7
2 a. a =
5-2 3 .
est la médiatrice du segment 6BO @ et, comme de plus OC = BC , puisque C est le milieu du segment 6BO @, C est un point de la droite ^ AE h .
Prépa Bac
100r 3
2 2- 3 m 1 - 3k +c 2 2
4 On a vu que OA = BA , OE = BE . Ainsi, la droite ^ AE h
z3 . 4,8e-1,8i ; z4 . 3e2,3i .
z100 = r100 ei
a
O
J’
(–�)
1 ^ ia 1 e - e-iah = ^2i sin ah = i sin a . 2 2 Lorsque a décrit R, sin a décrit l’intervalle 6- 1 ; 1 @, donc N décrit le segment 6 J l J @. On pourra faire remarquer que l’expression « sin a décrit 6- 1 ; 1 @ » signifie aussi que toute valeur de l’intervalle 6- 1 ; 1 @ est l’image d’au moins un réel a résultat obtenu via le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à la fonction sinus. 1 1 1 2 a. M = N + z = a z - k + 2z = z 2 z z 1 2 + z + z = 0 + z + 1 = 0 + z = i ou z =- i . Les points du plan confondus avec leur image sont J et J l. 2 b. ^ z - 2ih + 3 = z2 - 4iz - 1 . 1 1 1 Par suite, 2i = a z - k + 4i = z 2 z z z!0 + z2 - 4iz - 1 = 0 + ^ z - 2ih2 + 3 = 0 . + z - 2i = i 3 ou z - 2i =- i 3 . c. zN =
Livre du professeur - CHAPITRE 7
Les nombres complexes
9
Les points M cherchés sont les points d’affixe : ^2 + 3 hi et ^2 - 3 hi . y 1 x 1 3 a. zN = mi x- 2 m + 2 cy + 2 2c x + y2 x + y2 x^ x2 + y2 - 1h y^ x2 + y2 + 1h = + i. 2^ x2 + y2h 2^ x2 + y2h Comme les nombres apparaissant dans les parenthèses sont des réels puisque x et y le sont aussi, et, d’après l’unicité de l’écriture algébrique d’un nombre complexe, on obtient : x^ x2 + y2 - 1h y^ x2 + y2 + 1h = et . Re ^ zN h = Im z ^ h N 2^ x2 + y2h 2^ x2 + y2h b. M ! + zN est réel ^ 2+ 2+ h + y 2x^ x2 +y y2h1 = 0 + y = 0 et x2 + y2 ! 0 . est l’axe des réels, privé du point O. x^ x2 + y2 - 1h =0 c. M ! + zN ! iR + 2^ x2 + y2h
+ ^ x = 0 ou x2 + y2 = 1h et ^ x2 + y2 ! 0h. est la réunion du cercle C et de l’axe des imaginaires purs, privé du point O.
Exercices d’entraînement 78 1 a. P^- 1h =- 1 - 3 - 3 + 7 = 0 .
b. P^ z h = ^ z + 1h^ z2 - 4z + 7h . c. P^ z h = 0 + z + 1 = 0 et z2 - 4z + 7 = 0 . L’équation z2 - 4z + 7 = 0 a pour discriminant 2 D =- 12 = ^2 3 ih , donc deux solutions complexes conjuguées 2 + 3 i et 2 - 3 i . S = "- 1; 2 + 3 i ; 2 - 3 i , . 2 a. y B A v u O
80 On pose z = iy avec y réel. iy est solution de ^E h
équivaut à y 4 + 8iy3 - 26y2 - 72^iy h + 153 = 0
y 4 - 26y2 + 153 = 0 8iy^ y2 - 9h = 0 y=0 y =- 3 y=3 + ) = ou ) - + = ou ) = 153 0 81 234 153 0 0 0 + y =- 3 ou y = 3 . L’équation a deux solutions imaginaires pures 3i et - 3i . En factorisant, on obtient l’équation équivalente : ^ z2 + 9h^ z2 - 8z + 17h = 0 . L’équation équivaut à z =- 3i ou z = 3i ou z2 - 8z + 17 = 0 . Or, l’équation z2 - 8z + 17 = 0 a pour discriminant D = 64 - 68 = ^2ih2 , donc deux solutions complexes conjuguées 4 + i et 4 - i . S = "- 3i ; 3i ; 4 + i ; 4 - i , . Soient A^- 3ih , B^3ih , C^4 - ih et D^4 + ih . La figure permet de conjecturer que l’affixe du centre K est 1. Comme K appartient à la médiatrice des segments 6 AB @ et 6CD @, il ne reste plus qu’à calculer KA et KC qui valent tous les deux 10 . Les quatre points appartiennent au cercle de centre K^1 h et de rayon 10 .
+*
r
81 1 1 + i =
2 ei 4 , 6
6r 4
r
= 8e-i 2 =- 8i .
6^1 + ih3 @2 =- 8i , donc ^1 + ih3 est solution de (E). 3 3 b. ^1 + ih et son opposé -^1 + ih ont le même carré et
x
2 a.
b. AB = 2 + 3 i + 1 = 3 3 =2 3, BC = - 2 3 i = 2 3 et AC = 3 - i 3 = 2 3 . ABC est donc équilatéral. c. CA ^- 3 + i 3 h , CD ^1 + i 3 h . -3 1 CA : CD = c m : c 3 m =- 3 + 3 = 0 . 3 Les vecteurs CA et CD sont orthogonaux et, par suite, le triangle ADC est rectangle en C. 79 1 On pose z = iy avec y réel. iy est solution de ^E h
équivaut à - iy3 + ^- 8 + ih^- y2h + ^17 - 8ih^iy h + 17i = 0 8y2 + 8y = 0 +* 3 2 - y - y + 17y + 17 = 0 y =- 1 y=0 + ) = ou ) = + y =- 1 . 0 0 17 0 L’unique solution imaginaire pure de (E) est - i . Livre du professeur - CHAPITRE 7
2 ei
2 On peut aussi écrire : ^1 + ih = 2i et ^2ih3 = 8i3 =- 8i .
D C
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^ z + ih^ z2 - 8z + 17h : a =- 8 et b = 17 . 3 ^E h + z =- i ou z2 - 8z + 17 = 0 . L’équation z2 - 8z + 17 = 0 a pour discriminant D = 64 - 68 = ^2ih2 , donc deux solutions complexes conjuguées 4 + i et 4 - i . S^E h = "- i ; 4 + i ; 4 - i , .
6 d’où ^1 + ih =
2+
10
2 En factorisant en ligne, on trouve aisément :
sont donc solution de (E). 3 Comme ^1 + ih = 2i^1 + ih =- 2 + 2i , l’ensemble des solutions de (E) est "- 2 + 2i ; 2 - 2i , . 2 3 a. On a t = ^1 + ih = 2i solution de ^Elh . b. ^ jt h3 = j3 t3 = eic
2r m# 3 3 3 t
= 1 # ^- 8ih =- 8i ,
3
de même ^ j2 t h = j6 t3 = t3 =- 8i . 7r 11r r 4 a. A `2e i 2 j , B a2e ia 6 kk et C a2e ia 6 kk .
b. AB = jt - t = 2 3 ; AC = j2 t - t = 2 3 ; BC = j2 t - jt = 2 3 , donc ABC est équilatéral. On peut aussi faire remarquer que l’on passe de A à B, de 2r et B à C, puis de C à A en « tournant d’un angle » de 3 = = que de ce fait AB BC CA . 82 1 a.
2 zAl = ^1 - ih - 4^1 - ih = 1 - 2i - 1 - 4 + 4i =- 4 + 2i 2 et zBl = ^3 + ih - 4^3 + ih =- 4 + 2i .
Les nombres complexes
b. Soient M1 ^ z1h et M2 ^ z2h deux points ayant la même image par f . Alors Ml1 = Ml2 + z12 - 4z1 = z22 - 4z2 + z12 - z22 - 4^ z1 - z2h = 0 + ^ z1 - z2h^ z1 + z2h - 4^ z1 - z2h = 0 + ^ z1 - z2h^ z1 + z2 - 4h = 0 Ml1 = Ml2 + z1 - z2 = 0 1 ou z1 + z2 - 4 = 0 + z1 - z2 = 0 ou ^ z1 + z2h = 2 2 + M1 = M2 ou le segment 6M1 M2 @ a pour milieu le point K d’affixe 2. Ainsi, M1 et M2 sont : – soit confondus, – soit symétriques l’un de l’autre dans la symétrie de centre K^2 h . On peut constater que les points A et B qui ont la même image d’affixe ^- 4 + 2ih sont bien symétriques par rapport à K. 2 a. OMIMl est un parallélogramme + OM = Ml I + z =- 3 - z2 + 4z + z2 - 3z + 3 = 0 . b. L’équation z2 - 3z + 3 = 0 a pour discriminant 2 d =- 3 = ^ 3 ih et donc deux solutions complexes 3 3 3 3 +i -i conjuguées : et . 2 2 2 2 2 3 a. z l + 4 = z2 - 4z + 4 = ^ z - 2h . 2 b. z l + 4 = ^reiah = r2 e2ia , comme r2 est un réel positif (puisque r est réel), cette écriture est une forme exponentielle de z l + 4 et on en déduit que : arg ^ z l + 4h = 2a ^2rh et z l + 4 = r2 . r 4 a. Soit E^- 4 + 3ih . On a zE + 4 = 3i = 3e i 2 . D’après le b. E est l’image du point M d’affixe z si, et seuler ment si : z - 2 = reia avec r2 = 3 et 2a = ^2rh. 2 Ce qui équivaut à : z = 2 + reia avec r = 3 (car r 2 0) r ^rh. et a = 4 r On trouve ainsi les points F1 ^2 + 3 ei 4 h et 5r F2 a2 + 3 ei 4 k .
b. Pour obtenir la forme algébrique, on passe par la forme trigonométrique : r r z1 = 2 + 3 9cos + i sin C 4 4 5r 5r + i sin C, ou z2 = 2 + 3 9cos 4 4 et enfin : 6 6 6 6 +i -i et z2 = 2 . z1 = 2 + 2 2 2 2 On obtient bien deux points F1 et F2 ayant pour image E, symétriques par rapport au point K^2 h (voir 1 b.).
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
83 1 Faux. Un contre exemple : avec z = i on a
2 Im ^ z2h = Im ^- 1h = 0 et -^Im ^ i hh =- 1 . Plus généralement, en posant z = x + iy avec x et y réels, on a z2 = x2 - y2 + 2xyi , donc Im ^ z2h = 2xy , alors que - 6Im ^ z h@2 =- y2 . 1 1 1 2 Vrai. # z , donc ON = = OM ; z z#z z#z 1 comme ! R , les vecteurs OM et ON sont z#z colinéaires, donc O, M et N sont alignés. 3 Vrai. 2 + iz = 2i - z + i^- 2i + z h = - 2i - z en ayant remplacé le module de 2i - z par celui de son conjugué.
Comme i = 1 et deux opposés ont même module, 2 + iz = 2i - z + z - 2i = z + 2i + le point M d’affixe z appartient à la médiatrice du segment 6 AB @, où A^2ih et B^- 2ih ; or, cette médiatrice est l’axe des réels. L’affixe z est réelle, sa partie imaginaire est nulle. Remarque : on peut aussi utiliser la forme algébrique ; en posant z = x + iy avec x et y réels, on a : 2 + iz = 2i - z + 2 - y + xi = - x + i^2 + y h + ^2 - y h2 + x2 = ^- x h2 + ^2 + y h2 + 8y = 0 + y = 0. 4 Faux. Contre exemple : avec z = 2 on a 1 + 2i = 5 et 1 - i # 2 = 1 - 2i = 5 les deux complexes ont le même module et pourtant la partie réelle de z n’est pas nulle. Remarque : comme 1 - i z = 1 + iz et deux conjugués ont même module, l’égalité 1 + iz = 1 - i z équivaut à 1 + iz = 1 + iz …ce qui est vrai pour tout z. 5 Faux. Le complexe z de module 1 s’écrit e ii et l’égalité sur les arguments s’écrit : 2i =- i ^2rh , soit : 2r m. 3i = 0 ^2rh + i = 0 c 3 on trouve trois solutions : 2r 4r 1 3 1 3 i. e0 = 1 ; eic 3 m =- + i ; eia 3 k =- 2 2 2 2 84 1 a. P^2 h = 0 .
b. P^ z h = ^ z - 2h^ z2 + 2 2 z + 4h , donc a = 2 2 , b = 4. 2 P^ z h = 0 + z = 2 ou z =- 2 + 2 i = z1 ou z =- 2 - 2 i = z2 . Donc S = "2 ; - 2 + 2 i ; - 2 - 2 i , et on a bien z1 + z2 = 2 Re ^ z1h =- 2 2 . z1 = 2 = z2 ; 3r 3r ^2rh ; arg z2 =- 4 ^2rh. arg z1 = 4 3 a. y B v
I
� = 67,5° A
O u
x
C
b. OA = z1 = 2 = OB et ^OA , OB h = ^ u , OB h = arg z1 =
3r ^2rh, 4
donc OAB est isocèle direct. ^ u , OI h = 3r ^rh et comme 6OI h est la bissec8 % r % trice de l’angle AOB et AOI 1 , on obtient 2 ^ u , OI h = 3r ^2rh. 8 1 2- 2 2 + c. zI = ^ zA + zBh = i; 2 2 2 2 2 2- 2 m c 2 m + = 2- 2 . zI = c 2 2 3r 3r 3r + i sin m. d. zI = zI ei 8 = zI ccos 8 8 Re zI 2- 2 3r 2- 2 = = = Par suite, cos 8 2 zI 2 2- 2 Im zI 2+ 2 3r 2 = = = . et sin 8 2 zI 2 2- 2
Livre du professeur - CHAPITRE 7
Les nombres complexes
11
par suite, c = 3 2 eia
Problèmes 85 Partie A 1 Soit z = x + iy et z l = x l + iy l , alors :
zz l = ^ x + iy h^ x l - iy lh = ^ xx l + yy lh + i^ x l y - xy lh . zz l ! iR + Re ^ zz l h = 0 + xx l + yy l = 0 + t : tl = 0 + t et tl sont orthogonaux. 2 z # iz = z # ^- ih z =- i^ x2 + y2 h et comme x2 + y2 ! R , z # iz ! iR et, d’après le 1 , les vecteurs ON et ONl sont orthogonaux, c’est-à-dire que le triangle ONNl est rectangle en O. Comme de plus ONl = iz = z = ON le triangle ONNl est isocèle rectangle. Partie B 1 a. a =
1
1 + 3i = 2 + i. 1+i
M
C
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
A
u x � = 90° K
D
Comme b =- 1 + 2i = i^2 + ih = ia , d’après le A., le triangle OAB est isocèle rectangle direct en O. 2 d = ic = i^- 3 + 2ih =- 2 - 3i . b+c 3 zM = =- 2 + 2i et par suite l’affixe de OM est 2 - 2 + 2i , celle de DA est a - d = 4 + 4i . OM : DA =- 8 + 8 = 0 ; OM = - 2 + 2i = 2 2 et DA = 4 + 4i = 4 2 = 2OM . 5 1 1 3 4 a. J a- i k , K^- ih , L a + i k , M^- 2 + 2ih, 2 2 2 2 5 1 5 1 donc JK a - i k et ML a - i k : JKLM est un 2 2 2 2 parallélogramme. 1 5 b. De plus, JM a + i k , c’est-à-dire z JM = iz JK ; par 2 2 suite, d’après le A., KJM est un triangle isocèle rectangle direct en J et donc JKLM est un carré direct.
z5 =c.
1 1 1 - i ; z6 =- i . 8 8 8 v A2
3r 4
-i
;3 2e 3r
b. b =-^3 - 3ih =- 3 + 3i = 3 2 ei 4 ; ^ u , OC h = ^ u , OB h + r et OC = OB ; 2 Livre du professeur - CHAPITRE 7
3r 4
/.
A1
A3 A8
A4
O A5
86 1 D = 36 - 72 =- 36 = ^6ih2
S = "- 3 + 3i ; - 3 - 3i , = %3 2 ei 2 a. Voir la figure au 3 c.
2 ir e 4. 2 1 r 1 1 1 + i ; z2 = a2 = ei 2 = i ; b. z1 = a = 2 2 2 2 3r 1 1 1 1 ; z3 = ei 4 =- + i ; z4 =4 4 4 2 2 87 1 a. a =
D
12
x
O
C
A
O
J
=- 3 - 3i .
B
K L
3r 4
()
B y
v
= 3 2 e-i
c. ABCD parallélogramme + AD = BC + d - a = c - b + d = a + c - b + d = 3 - 9i . 3 a. DA + DB + DC = 2DB , car DA + DC = DB , donc DA + DB + DC = 2DB et D ! . b. ZMA + MB + MC = a + b + c - 3z =- 3 - 3i - 3z =- 3^1 + i + z h . M ! () + - 3^1 + i + z h = 2 d - b + z + 1 + i = 23 6 - 12i + z + 1 + i = 4 5 . c. () est le cercle de centre le point K d’affixe ^- 1 - ih et de rayon 4 5 . On remarque que K est le centre de gravité du triangle ABC. y
2 b. ia2 = i^2 + ih = i^3 + 4ih =- 4 + 3i . 2 a. ^ z - ah^ z - ia h = z2 - az^1 + ih + ia2 = z2 - ^1 + 3ihz - 4 + 3i = f ^ z h . b. S f ^ z h = 0 = "a ; ia , .
Partie C
r 3r + k 4 2
A7 A6
A0 u
1 1 + i, 2 2 1 1 2 . donc r0 = - + i = 2 2 2 Pour tout entier n H 1 , on a : zn + 1 - zn = azn - azn - 1 = a^ zn - zn - 1h . 2 a. z1 - z0 = r0 e ia =-
Les nombres complexes
b. zn + 1 - zn = a # zn - zn - 1 , 2 r . 2 n-1
c’est-à-dire rn = a rn - 1 =
2 La suite ^rnh est donc géométrique de raison et de 2 2 , donc pour tout entier n on a : premier terme r0 = 2 n
n+1
2 m 2 m =c . 2 2 c. rn est la longueur du segment 6 An An + 1 @. rn = r0 c
n+1
n
d. Ln = / rk = 0
=
2 2- 2
2 # 2
f1 - c
2 m 2 2 12
1-c
n+1
2 m 2
p = ^1 + 2 hf1 - c
n+1
2 m 2
p.
D’où lim Ln = 1 + 2 , n "+3
n+1
puisque lim c n "+3
avec
2 m 2
=0
2 ! @ - 1 ; 16 . 2
3 a. L’algorithme calcule la longueur de la ligne polygonale A0, A1, A2, f, An telle que la longueur du segment terminal An - 1 An est supérieure au pas h choisi, mais celle du segment suivant An An + 1 , elle, est inférieure ou égale à h.
ALGO
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
Variables : n, p : entiers h, r, L, t : réels Début Entrer(p) h ! 10 ^ ^- ph ; 2 ; r! 2 L!0; n!0; TantQue r n + 1 2 h Faire L ! L + rn + 1 ; n ! n+1 ; FinTantQue ; t ! partie entière(n/8) ; Afficher( la longueur parcourue jusqu’au point An est L) Afficher( on a fait t tours autour du point O) Fin
n=n+1; end t=floor(n/8); disp(L,«la longueur parcourue est»,n,«jusqu au point A») disp(«tours autour de O»,t,«on a fait») b. Lorsque l’algorithme s’arrête, on n’est pas sûr qu’il reste moins de h cm à parcourir sur la ligne polygonale, car la somme des longueurs de plusieurs segments peut encore dépasser h. Exemple : avec une précision de h = 10-1 = 0,1 on obtient : choisir p pour une précision à 1/10^p:1 jusqu’au point A 6. la longueur parcourue est 2.1124369 on a fait 0. tours autour de O Et on constate que la longueur restant à parcourir sur la ligne polygonale est de 1 + 2 - 2,1124369 . 0,30 . c. On modifie l’algorithme pour que, lorsqu’il s’arrête, la longueur parcourue soit proche à moins de h de la longueur totale : p=input(«choisir p pour une précision à 1/10^p:») h=10^(-p) r=sqrt(2)/2; s=1+2*r;//il s’agit de la valeur de la limite de longueur Ln trouvée à la question 2.d// L=0; n=0; while (s-L)>h L=(1+L)*r;// on se persuadera de la véracité de cette relation, mais on peut aussi mettre L+r^(n+1)// n=n+1; end t=floor(n/8); disp(L,«la longueur parcourue est»,n,«jusqu au point A») disp(«tours autour de O»,t,«on a fait») disp(s-L,«le reste de la ligne polygonale mesure») d. On lance le programme dans la console en rentrant « 6 » pour p, on obtient :
Et avec Scilab : p=input(«choisir p pour une précision à 1/10^p:») h=10^(-p) r=sqrt(2)/2 L=0; n=0; while r^(n+1)>h L=L+r^(n+1);
choisir p pour une précision à 1/10^p:6 jusqu’au point A 43. la longueur parcourue est 2.4142127 on a fait 5. tours autour de O le reste de la ligne polygonale mesure 0.0000008
Il est donc nécessaire de faire 5 tours et d’aller jusqu’au point A43 pour avoir une précision h = 10-6 sur la longueur de la ligne.
Livre du professeur - CHAPITRE 7
Les nombres complexes
13
On voit bien que cela change par rapport au 1er algorithme : en lui demandant d’arrêter dès qu’un premier segment a une longueur inférieure à 10-6 , on obtenait :
le triangle GCE est isocèle rectangle en G. 5 Oui, sous Geogebra il suffit de faire varier le curseur r et le curseur b pour voir que la propriété demeure.
choisir p pour une précision à 1/10 ^ p: 6 jusqu’au point A 39. la longueur parcourue est 2.4142103 on a fait 4. tours autour de O Soit une longueur de la ligne qui était à 3 # 10-6 cm environ de la longueur totale.
v B E
O
D C
2 a. i z - 1 = i^ z + ih = i # z + i = z + i
- im
G
.
+ arg ^1 - i 3 hn = 0 ^2rh et n ! N . + n ! N et na- r3 k = 2k l r , k l ! Z + n = 6k , k ! N 5 c. z - 1 = z + i + z - 1 = z - i + AM = BM . 6 c. z - ^1 - ih = 5 - 2i + z - ^1 - ih = 3 + il existe un réel a tel que : z - ^1 - ih = 3eia + z = 1 - i + 3eia , a ! R .
Il s’agit du cercle de centre K^1 - ih et de rayon 3. r 7 b. ^ u , OB h = ^ u , OA h 2 r r 5r =- =^2rh 3 2 6 5r
et OB = OA , d’où b = 2 e-i 6 . 8 c. L’équation équivaut à : z ! 3 et z2 - 4z + 8 = 0 dont le discriminant est D =- 16 = ^4ih2 . Elle a pour solutions 2 + 2i et 2 - 2i . 89 1 a. et c.
2 a.
3 a. et c.
90 1 D^- ih , car OD = OA
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
et arg zD ^ u , OD h = ^OA , OD h =-
r ^2rh 2
OC = OD + OA , donc C^1 - ih . 2 a. OF = OB r r = b+ et arg zF = ^ u , OF h = ^ u , OB h + ^2rh, 2 2 r donc f = eiab + 2 k . ir b. f = eib # e 2 = bi . c. f = f + b = ^1 + ihb . 3 OG = OF + OD , donc g = ib - i = i^b - 1h . 4 a. b = cos b + i sin b . b. ZGE = f - g = b + i ; ZGC = c - g = 1 - ib = 1 + sin b - i cos b . cos b 1 + sin b p. m et GC f GE c + - cos b 1 sin b 2 c. GE : GC = 0 et GE2 = cos2 b + ^1 + sin bh = GC2 : 14
Livre du professeur - CHAPITRE 7
A
F
88 1 c. 2^ 3 + ih + 3 + i = 6 - 2i + 3 + i = 9 - i .
= z-i . 2r 2r -1 + i 3 1 2 3 b. = 2eic 3 m # e-ii = eic 3 z r r n 4 c. ^1 - i 3 h ! @ 0 ; + 3 6 et n H 0
u
Les calculs à conduire, semblables à ceux des questions précédentes, montrent que : r cos b 1 + r sin b p, où r = b . m et GC f GE c + - r cos b 1 r sin b 91 Partie A 1 a=
3 3 + i= 2 2
3c r
1 3 m + i = 2 2 2r
r
3 ei 3 , r
b =- a = eir # 3 e-i 3 = 3 ei 3 et c = 3i = 3ei 2 . 2 Voir la figure complète au B. 3 . 3 AB = b - a = - a - a = a + a = 3 , 3 3 + i = 3 2 2 3 3 + i = 3. et BC = c - b = c + a = 2 2 Par suite, AB = AC = BC = 3 : le triangle ABC est équilatéral. AC = c - a = -
Partie B 2r 2r 1 2 1 1 a. al = # 3 # ei 3 = ei 3 a = 3 3 4r 4r 1 1 # 3ei 3 = ei 3 et cl = # 9eir = 3eir . bl = 3 3 r b. ^ u ; OA h = arg a = ^2rh 3 4r et ^ u ; OBl h = arg bl = ^2rh , donc par différence, 3 ^OA ; OBl h = 4r - r = r ^2rh : les trois points O, A 3 3 et Bl sont donc alignés. ^ u ; OBl h = arg b = 2r ^2rh 3 2r et ^ u ; OAl h = arg al = ^2rh, donc par différence, 3 ^OB ; OAl h = 2r - 2r = 0 ^2rh : les trois points O, Al 3 3 et B sont donc alignés. 3 a+b 2 a. K a pour affixe = i et K l a pour affixe 2 2 1 3 2 3 a i k =- . 3 2 4 b. Les points de l’axe ^O, v h ont pour affixe iy , où y est un réel quelconque. Leurs images ont donc pour affixe 1 - y2 : l’ensemble des images est la demi-droite repré3 sentant les réels négatifs, soit 6OK lh .
Les nombres complexes
3 a. Les deux méthodes suggérées sont réalisées, l’une avec M, l’autre avec N ^Nl = 1/3 * N2h : y N’ C
M’
G
M B
1 v K’
A
K
Le triangle OLA, rectangle en L, d’hypoténuse 6 AO @ a pour cercle circonscrit le cercle de diamètre 6 AO @ : L appartient donc à ce cercle. L est le point d’intersection du cercle et de la parallèle à l’axe réel, passant par D, autre que celui situé sur 6 AB @. 93 1 z ! iR + z = ti avec t réel
N
+ OM = tv + M = 0 ou ^ v
m � = 33,11° O u 1
; OM h = 0 ^rh r comme ^ u , v h = 2 + M = 0 ou ^ u ; OM h = r2 ^rh + z = 0 ou arg z = r2 + kr , k ! Z .
x
B’
b. L’ensemble () semble être une demi-parabole d’axe ^O, u h et de sommet K l . c. L’affixe z l du point Ml vérifie : 1 3 2 1 9 z l = a x + i k = a x2 - k + xi = x l + iy l ; 3 2 3 4 par suite, les coordonnées de Ml vérifient : 1 9 1 3 x l = a x2 - k x l = y l2 3 4 3 2 ; +* * yl = x x=y le point Ml est donc bien un point de la courbe d’équa1 3 tion : x l = y l2 - . 3 2 Comme M décrit la demi droite 6KAh , on a x H 0 ; par suite, y l H 0 ; () est donc la demi-parabole d’équation : 1 3 x l = y l2 3 2 . * yl H 0
3
ir r 2 a. ae- 6 k = e-i 2 =- i ! iR , donc A appartient à .
3 1 5r - i m =^2rh, 2 2 6 r r 5r =- = ^rh, donc B ! . donc arg ^b3h =2 2 2 b. arg b = arg c-
puisque z ! 0
c. z3 ! iR
+
3a =
r + kr , k ! Z 2
kr r + , k ! Z. 6 3 r r 5r 7r d. Cela donne six valeurs pour a : , , , , 6 2 6 6 3r 11r , soit six demi-droites faisant un angle a avec , 2 6 u , et en les associant par deux, on trouve les trois droites.
+a=
v
92 1 a. z3 + 8 = ^ z + 2h^ z2 - 2z + 4h .
u
b. S = "- 2 ; 1 + i 3 ; 1 - i 3 , . r
O
r
c. S = %2e-ir ; 2ei 3 ; 2e-i 3 / .
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
r 2r 2 ^OA ; OB h = arg zB - arg zA =-r = ^2rh 3 3 ^OB ; OC h = ^ u ; OC h - ^ u ; OB h 2r = arg zC - arg zB = ^2rh. 3 On peut calculer AB, BC et CA au moyen des modules, mais on peut aussi faire remarquer que l’on passe de A à 2r B, de B à C, puis de C à A en « tournant d’un angle » de 3 et que de ce fait AB = BC = CA , et ABC est équilatéral. 3 3 3 a. AL = OD , donc , = d + a =i. 2 2 J N J 1 N K -3 O K O 2 O 2 O K K et AL , AL : OL = 0 . b. Comme OL K- 3 O K 3 O K K O O 2 2 L P L P c. C
B
3 a. On pose z = re ia avec r 2 0 ,
alors () + z6 =- 64 & r 6 = 64 & r = 2 . b. z6 =- 64 + r6 e6ia = 64eir r=2 r6 = 64 +* + *a = r + kr , k ! Z . 6a = r + 2kr, k ! Z 6 3 Les solutions sont représentées par les points communs au cercle de centre O et de rayon 2 et à l’ensemble de la question 2 . On trouve six points d’affixes : r
r
2ei 6 ; 2ei 2 ; 2ei
5r 6
; 2ei
7r 6
; 2ei
3r 2
; 2ei
11r 6
.
94 1 z l = ^ x - 2h + ^ y + 1h i
x + ^ y + 1hi
v A
A
u
=
D
=
O L B
23 x^ x - 2h + ^ y + 1h + i 6 x^ y + 1h - ^ x - 2h^ y + 1h@ 2 x2 + ^ y + 1h
2^ y + 1hi x2 + y2 - 2x + 2y + 1 + 2 . 2 2+ x + ^ y + 1h x ^ y + 1h 2^ y + 1h x2 + y2 - 2x + 2y + 1 ; Im z l = 2 Re z l = 2 2 . 2+ x + ^ y + 1h x ^ y + 1h
Livre du professeur - CHAPITRE 7
Les nombres complexes
15
2 a. M !
+ zl ! R + Im2zl = 0 2+
+ y + 1 = 0 et x ^ y + 1h ! 0 + y =- 1 et ^ x ; y h ! ^0 ; - 1h.
L’ensemble est la droite d’équation y =- 1 , privée du point B^0 ; - 1h . b. M ! + z l ! iR + Re z l = 0 + x2 + y2 - 2x + 2y + 1 = 0 et x2 + ^ y + 1h2 ! 0
+ ^ x - 1h2 + ^ y + 1h2 = 1 et ^ x ; y h ! ^0 ; - 1h.
L’ensemble est le cercle de centre K^1 - ih , de rayon 1, privé du point B^0 ; - 1h . c. ’
v O
y = –1 (E)
B
A
u
2 1 H ( = — – — i) 5 5 K (F)
3 L’équation équivaut à : z - 2 + i = 2i^ z + ih + z^1 - 2ih =- i + z =- 1 +i 2i + z = 25 - 15 i . 2 1 - i est tel que al = 2i , qui Le point d’affixe a = 5 5 est imaginaire pur, donc ce point appartient à . 4 a. z =- i + 2e ii , i ! 60 ; 2r @ + z + i = 2e ii , i ! 60 ; 2r @ + z + i = 2 + z - b = 2 . + M est un point du cercle C de centre B^- ih de rayon 2. 2 2 =- ii =- e-ii = ei^r - ih . b. z l - 1 =z+i 2e c. z l - 1 = 1 . d. M ! C + z =- 1 + 2eii & z l - 1 = 1 & z l - a = 1 & Ml ! Cl où Cl est le cercle de centre A et de rayon 1.
95 Partie A
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
1 a. En posant x = u + v l’équation (1) devient :
u3 + v3 + ^u + v h^3uv - 3h = 14 . b. Il suffit de prendre uv = 1 pour que l’équation s’écrive u3 + v3 = 14 , et par suite, u3 v3 = 1 . 2 a. U et V sont les solutions de l’équation ^ X - U h^ X - V h = 0 , soit X2 - ^U + V hX + UV = 0 , soit encore X2 - 14X + 1 = 0 . b. On obtient D = 192 et S = "7 + 4 3 ; 7 - 4 3 , . 3 a. En prenant U = 7 + 4 3 et V = 7 - 4 3 , on obtient u = 3 7 + 4 3 et v = 3 7 - 4 3 . Et on a bien uv = 1 , par suite : u+v = 3 7+4 3 +3 7-4 3 est solution de l’équation (1). b. La dérivée, x 3x2 - 3 s’annule en - 1 et 1, en changeant de signe, ce qui donne deux extremums relatifs : - 12 et - 16 . Par suite, pour tout réel x ! @ - 3 ; 1 @ , x3 - 3x - 14 G - 12 1 0 et sur l’intervalle @ 1 ; + 3 6 la fonction est strictement croissante et ne peut donc s’annuler qu’une fois.
7
16
Livre du professeur - CHAPITRE 7
Partie B 1 « Des choses » renvoie au nombre « 3 » , coefficient de x pour dire « 3 fois un nombre inconnu ». La chose principale désigne « le nombre inconnu », celui que nous notons « x ». Le tiers cubé des choses est le nombre 3 3 que nous avons noté ^uv h3 et qui vaut ici c m = 1 . 3 2 On a alors trouvé (voir 2 ) deux nombres U et V dont la somme était le nombre donné : 14 et dont le produit valait le tiers cubé des choses, c’est-à-dire 1. La solution est ensuite obtenue comme la sonne des racines cubiques des deux nombres U et V. 3 En posant x = u + v l’équation devient : u3 + v3 + ^u + v h^3uv + 3h = 36 . Il suffit de prendre uv =- 1 , pour que l’équation s’écrive u3 + v3 = 36 et par suite, u3 v3 =- 1 . U et V sont les solutions de l’équation ^ X - U h^ X - V h = 0, soit X2 - ^U + V hX + UV = 0 , soit encore X2 - 36X - 1 = 0 . On obtient D = 1300 et S = "18 + 5 13 ; 18 - 5 13 , . En prenant U = 18 + 5 13 et V = 18 - 5 13 , on obtient : u = 3 18 + 5 13 et v = 3 18 - 5 13 . Et on a bien uv =- 1 , par suite : u + v = 3 18 + 5 13 + 3 18 - 5 13 est solution de l’équation. Ce nombre est en fait égal à 3 : on vérifie en effet que 33 + 3 # 3 = 27 + 9 = 36 . 96 1 u3 + v3 + ^u + v h^3uv - 15h = 4 .
Il suffit de prendre uv = 5 pour obtenir u3 + v3 = 4 . Alors u3 v3 = 125 . 2 a. U et V s’ils existent sont solutions de l’équation X2 - 4X + 125 = 0 qui s’écrit encore : ^ X - 2h2 + 121 = 0. b. Cette équation n’a pas de solution dans R. c. 43 - 64 et 15 # 4 + 4 = 64 , donc 4 est solution de (3) qui peut se factoriser en : ^ x - 4h^ x2 + 4x + 1h = 0 . Les solutions de (3) sont 4, - 2 + 3 , - 2 - 3 . 2 2 3 a. ^ X - 2h + 121 = 0 + ^ X - 2h - ^11ih2 = 0 + ^ X - 2 - 11ih^ X - 2 + 11ih = 0 d’où U = 2 + 11i et V = 2 - 11i par exemple. b. ^2 + ih^2 - ih = 4 - i2 = 4 + 1 = 5 ; ^2 + ih3 = 2 + 11i et ^2 - ih3 = 2 - 11i . On peut donc prendre u = 2 + i et v = 2 - i , on a bien uv = 5 et par suite u + v est solution de (3), et u + v = 2 + i + 2 - i = 4.
Pistes pour l’accompagnement personnalisé Revoir les outils de base 97 1 P^ x h = ^ x + 1 - 4h^ x + 1 + 4h
Les nombres complexes
= ^ x - 3h^ x + 5h .
2 P^ x h = ^ x - 7h^ x + 2h ; D = 81 . 3 P^ x h = 2x2 + x + 1 ; D =- 7 . 4 P^ x h =- x^2x2 - 9x + 9h =- x^2x - 3h^ x - 3h .
98 1 OA =
3 + 1 = 2 . A est le point d’ordonnée 1 et d’abscisse positive sur le cercle de centre O et de rayon 2. 2 OB = 1 , de plus OB et OA sont colinéaires et de mêmes sens, donc OB = k OA , avec k 2 0 et OB 1 3 1m = . Ainsi, B c . k= ; OA 2 2 2 r 3 ^OI ; OA h = ^OI ; OB h = ^2rh. 6
Les savoir-faire du chapitre
Approfondissement
99 a. z = 8 + 6i ; 1
b. z2 = ^2 - 3ih^8 - 6ih =- 2 - 36i ; c. z3 = i^- 2 - 36ih - ^8 + 6ih = 28 - 8i ; 63 23 + d. z4 = i. 26 26
104
100
a. S = "- 11i ; 11i , . b. D =- 196 = ^14ih2 , S = "2 - 7i ; 2 + 7i , . 5 23 5 23 1 + i; i . 6 6 6 6 d. z2 =- 9 ou z2 = 4 , S = "- 2 ; 2 ; - 3i ; 3i , .
c. S = '
101
a. C’est le cercle de centre le point K^ i h et de rayon 3. b. z - ^1 + 2ih = z - ^- 2 + ih + AM = BM avec A^1 + 2ih et B^- 2 + ih ; l’ensemble cherché est la médiatrice du segment 6 AB @. r r c. arg z = ^2rh + ^ u ; OM h = 3 ^2rh ; l’ensemble 3 cherché est la demi-droite ouverte d’origine O qui fait r avec le vecteur u . un angle de 3 r ^rh + ^ u ; OM h =- r ^rh ; d. arg z =4 4 l’ensemble cherché est la droite d’équation y =- x , privée du point O. 102
zL =
1 zI =
a+b b+c c+d , ZJ = , zK = , 2 2 2
d+a . 2
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
2 a. Z IJ = z J - z I =
3 Du fait de l’unicité de la forme algébrique d’un complexe, on obtient, en identifiant les parties réelle et b-a 3 2 a+b 3 2 == et , imaginaire : 2 2 2 2 a+b 3 = 2 soit * . b - a 3 =- 2 En multipliant la 1re équation par 3 et en l’ajoutant à 6- 2 . la 2e, on obtient : 4b = 6 - 2 , d’où b = 4 En multipliant la 2e équation par - 3 et en l’ajoutant à 6+ 2 . la 1re, on obtient : 4a = 6 + 2 , d’où a = 4 r 6+ 2 r 6- 2 = = et sin . cos 12 4 12 4
c-a c-a et ZLK = zK - zL = ; 2 2
par suite : IJ = LK . z + zK a+b+c+d = b. L’affixe du milieu de 6 IK @ est I 2 4 zJ + zL b+c+d+a = et celle du milieu de 6 JL @ est ; 2 4 les deux milieux ayant même affixe, ils sont donc confondus et IJKL est un parallélogramme. r r r z 2 2 1 1 = e ia 12 - 3 k = e ia- 4 k = i. z2 2 2 z a + ib 1 3 m 2 1 = = ^a + ibhc i 2 2 z2 1 i 3 + 2 2 a+b 3 b-a 3 = +i . 2 2
1 X = x2 - y2 et x2 + y2 = 1 puisque le complexe
est de module 1. Par substitution, on obtient : 1+X 1-X et y2 = . x2 = 2 2 r 2 r 2 2 2 ^e i 8 h = e i 4 = + i; 2 2 2 1+ r 2+ 2 2 2 = = d’après le 1 on a donc cos 8 2 4 2 r = 2- 2 et sin . 8 4 r r r r et sin sont positifs et Comme ! 90 ; C , cos 8 8 8 2 r r 2+ 2 2- 2 = = on a : cos et sin . 8 2 8 2 105
1 On pose z1 = r1 e ia1 , z2 = r2 e ia2 et z3 = r3 e ia3 ,
avec r1 , r2 , r3 réels strictement positifs, a1, a2, a3 réels ; alors z1 z2 z3 = r1 r2 r3 ei^a1 + a2 + a3h . Et comme le produit des modules est strictement positif, on obtient : arg ^ z1 z2 z3h = a1 + a2 + a3 ^2rh . 2 b. zA = 8 + i , zB = 5 + i , zC = 2 + i . c. zA zB zC = ^8 + ih^5 + ih^2 + ih = ^39 + 13ih^2 + ih = 65^1 + ih . d. D’après le 1 , on a : arg ^ zA zB zC h = arg zA + arg zB + arg zC = a + b + c ^2rh r et par ailleurs arg 65^1 + ih = arg ^1 + ih = ^2rh. 4 r Doù l’égalité : a + b + c = ^2rh. 4 106
1 a. S = " 3 - i ;
b. a =
3 + i = 2e
i
r 6
3 + i,. r
et b = a = 2e-i 6 . A’
B’
103
Livre du professeur - CHAPITRE 7
C
A
v u O
B
Les nombres complexes
17
2 a. OAl = OA et ^ u ; OAl h = ^ u ; OA h + ^OA ; OAl h r r r r + = , donc al = 2ei 2 = 2i . 6 3 2 5r r 3 3 3 3 + i. b. bl =- b =- 3e-i 6 = 3ei 6 =2 2 2 2 3 a. cc = c = OC2 = R2 ;
=
On peut visualiser la courbe de la fonction f sous Geogebra, avec ses deux minima et son maximum : y B
2
^c - 2ih^ c + 2ih = ^c - 2ih^ c - 2ih = c - 2i = CAl2 = R2 cc + 3 3 - 3 i mc c + 3 3 + 3 i m = c - bl 2 2 2 2 2 = CBl2 = R2 . 2 b. ^c - 2ih^ c + 2ih = R & cc + 2i^c - c h + 4 = cc 4 & c - c =& c - c = 2i . 2i c c + 3 3 - 3 i mc c + 3 3 + 3 i m = R 2 2 2 2 2 2 3 3 3 ^c + c h + i^c - c h + bl = 0 & 2 2 3 3 ^c + c h - 3 + 9 = 0 & 2 12 4 3 =. & c + c =3 3 3 c. En additionnant les deux relations on obtient : 4 2 3 21 + i et R = c = +1 = . c =3 3 3 r r r + i sin k = 2 ei 4 , 4 4 1 1 2 3r 3r 2 i 3r + i sin acos k= zB =- + i = e 4 . 2 2 2 4 4 2 2 a. On pose a = re ia et b = se ib , avec r 2 0 et s 2 0 , a et b réels, alors ab = rsei^a + bh et comme s 2 0 , on a : ab = rs = a # b . 2 ia - = ia ^ ia - -ia h = ia ^ b. e 1 e e e e 2i Im ^eiahh i a = e ^2i sin ah . c. f ^Mh = MA # MB = zA - eia # zB - eia = ^ zA - eiah^ zB - eiah = zA zB - eia ^ zA + zBh + e2ia 1 3 = - 1 - eia a + i k + e2ia . 2 2 1 3 f ^Mh = eia ^2i sin ah - eia a + i k 2 2 1 3 = eia # - + a- + 2 sin a k i 2 2 2 1 3 + a- + 2 sin a k . f ^M h = 4 2 3 3 a. f ^Mh est minimal lorsque + 2 sin a = 0, c’est2 3 à-dire sin a = . Or, il existe deux réels a de 60 ; 2r @, 4 3 tels que sin a = : 4 3 3 a1 = sin-1 a k . 0,85 et a2 = r - sin-1 a k . 2,29 . 4 4 Les deux points cherchés sont M1 d’affixe eia1 et M2 d’affixe eia2 . b. Il existe un seul point pour lequel f ^Mh est maximal, 3r obtenu pour a = , c’est le point d’affixe - i . 2
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
107
18
1 zA = 1 + i =
1
C
O
D x
1
On peut aussi utiliser une figure dynamique pour faire conjecturer les résultats : y � = 241° A D’ C’ B O
a
I
b
x
M
J’
3,287 = MA�MB
2 acos
Livre du professeur - CHAPITRE 7
Vers le Supérieur 108
1 On pose z1 = r1 e ia1 , z2 = r2 e ia2 avec r1, r2 réels
strictement positifs, a1, a2 réels ; alors z1 z2 = r1 r2 ei^a1 + a2h et comme r1 r2 2 0 , r1 r2 est le module du produit z1 z2 . Ainsi, z1 z2 = z1 # z2 . 2 a. Soit z = n + im et z l = nl + ml i deux entiers de Gauss, avec n, m, nl , ml entiers relatifs. z + z l = ^n + nlh + i^m + mlh ; or, n + nl et m + ml sont des entiers, donc z + z l est aussi un entier de Gauss. b. zz l = ^nm - mmlh + i^nml + mnlh ; or, nm - mml et nml + mnl sont des entiers relatifs, donc zz l est un entier de Gauss. c. Prenons z = 1 et z l = 1 + i tous deux éléments de z 1 1 1 = - i qui n’est pas un entier de Z 6 i @, l = z 2 2 1+i Gauss (unicité de l’écriture algébrique d’un complexe). 3 a. Si z est inversible dans Z 6 i @ , alors il existe z l = al + bl i tel que zz l = 1 ; donc z # z l = 1 et en élévant au carré : ^a2 + b2h^al2 + bl2h = 1 , d’où 1 = al2 + bl2 ; or, al2 + bl2 ! Z . a2 + b2 b. Mais comme a2 + b2 est aussi un entier positif et que son inverse est entier, il ne peut être égal qu’à 1. c. L’équation a2 + b2 = 1 dans Z donne a2 = 0 et b2 = 1 ou a2 = 1 et b2 = 0 , d’où quatre éléments possibles, dont on vérifie qu’ils ont bien un inverse dans Z6 i @ : i ; - i ; 1 ; - 1 . i a pour inverse - i et réciproquement ; 1 et - 1 , eux sont leurs propres inverses.
Les nombres complexes
8
C H A P I T R E
Droites et plans de l’espace – Vecteurs Introduction 1. Programme Contenus Droites et plans
Capacités attendues
Positions relatives de droites et de plans : intersection et parallélisme. Géométrie vectorielle Caractérisation d’un plan par un point et deux vecteurs non colinéaires.
Vecteurs coplanaires. Décomposition d’un vecteur en fonction de trois vecteurs non coplanaires. Repérage.
Commentaires
• Étudier les positions relatives de droites et Le cube est une figure de référence pour de plans. la représentation des positions relatives de droites et de plans. On étend à l’espace la notion de vecteur et les opérations associées. On fait observer que des plans dirigés par le même couple de vecteurs non colinéaires sont parallèles. Il est intéressant de présenter la démonstration du théorème dit « du toit ». • Choisir une décomposition pertinente dans le cadre de la résolution de problèmes d’alignement ou de coplanarité. • Utiliser les coordonnées pour : – traduire la colinéarité ;
On fait percevoir les notions de liberté et de dépendance. On ne se limite pas à des repères orthogonaux.
– caractériser l’alignement ; – déterminer une décomposition de vecteurs. Représentation paramétrique d’une droite.
La caractérisation d’un plan par un point et deux vecteurs non colinéaires conduit à une représentation paramétrique de ce plan.
E [SI] Cinématique et statique d’un système en mécanique. Plusieurs démonstrations, ayant valeur de modèle, sont repérées par le symbole de type algorithmique sont signalées par le symbole .
. Certaines sont exigibles et correspondent à des capacités attendues. De même, les activités
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
2. Intentions des auteurs Dans ce chapitre, on commence par une synthèse sur les positions relatives des droites et des plans de l’espace : ces notions ont été vues en Seconde et entretenues sur des exercices en Première. L’objectif essentiel de ces rappels est de permettre aux élèves de construire des sections d’objets de l’espace par des plans, en s’aidant éventuellement d’un logiciel adapté. On ne parle pas de la notion d’orthogonalité qui sera étudiée au chapitre 9 avec le produit scalaire. On étend ensuite la notion de vecteur, connue par les élèves dans le plan, à l’espace : il faut rapidement arriver aux outils fondamentaux de ce chapitre qui sont les caractérisations vectorielles des droites et des plans de l’espace et la notion de coplanarité pour des vecteurs.
Enfin, l’usage d’un repère de l’espace permet d’accéder à un formulaire pratique et à la représentation paramétrique d’une droite. Celle d’un plan n’est suggérée, conformément au programme, qu’en exercices. Les problèmes proposés sont essentiellement des questions d’alignement, de coplanarité, d’intersection ou la recherche de lieux dans l’espace. On entraîne les élèves, dans les problèmes de recherche d’intersection, à interpréter géométriquement la résolution d’un système d’équations linéaires, obtenue au moyen d’un logiciel de calcul formel.
Livre du professeur - CHAPITRE 8
Droites et plans de l’espace – Vecteurs
1
Partir d’un bon pied Objectif Les activités de cette page ont été conçues pour réactiver les connaissances concernant la vision de droites et de plans dans le cube, les sommes vectorielles dans le plan, les formules élémentaires dans les repères, ainsi que la signification géométrique et l’expression analytique de la colinéarité dans le plan . 1 a. et c.
A
2 c.
3 a.
4 c.
5 b.
B Vrai : 1 , 4 et 6 . Faux : 2 , 3 , 5 , 7 ^GZ h , 8 ^FT h , 9 ^SB h . C
1 ABCD est un parallélogramme :
2 AB = DC c3 m ;
m^ A, C h = m^B, Dh de coordonnées ^- 1 ; - 2h . 4 2 2 BD c m c m - 6 et EC - 3 sont colinéaires puisque : 4 # ^- 3h =- 6 # 2 . Les droites ^BDh et ^EC h sont parallèles. -2 6 3 AD c m c m - 3 et AF 1 , donc AD =- 3AF et les points A, D et F sont alignés. 3 4 AEBF est un trapèze, car AE = FB . 2
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Activité
1 Positions relatives de droites
Objectif Le but de cette activité est d’éviter les pièges de la représentation plane d’une figure de l’espace, lorsque l’on se pose des problèmes d’intersection de droites. L’élève doit identifier les plans dans lesquels se trouvent les droites considérées. L’activité conduit à la construction d’une section d’un tétraèdre par un plan. 1 ^MN h n’est pas sécante à ^ ADh (droites non coplanaires), ni à ^BDh . ^MN h est sécante à ^ ABh : ce sont deux droites non parallèles du plan ^ ABC h . 2 ^ JL h et ^ ADh sont deux droites non parallèles du plan ^ ABDh. 3 Les droites ^MP h , ^NL h et ^CDh sont concourantes. En effet : ^NLh et ^CDh sont sécantes dans le plan ^BCDh en V ; ^MP h et ^CDh sont sécantes dans le plan ^ ACDh en W. V et W sont donc deux points du plan ^MNP h et de la droite ^CDh , qui est sécante à ^MNP h . Par suite, V = W . 4 MNLP est la trace du plan ^MNP h sur les faces du tétraèdre. 1 5 Si BL = BD , on a ^NLh strictement parallèle à ^CDh. 3 Si ^MP h et ^CDh sont sécantes en V, alors V est un point de la trace du plan ^MNP h sur le plan ^BCDh , c’est-à-dire un point de la droite ^NLh : c’est absurde puisque ^NLh et 2
Livre du professeur - CHAPITRE 8
^CDh sont disjointes. Par suite, les droites ^MP h et ^CDh, situées dans le plan ^ ACDh , sont disjointes, donc parallèles…. à ^NLh .
2 Construire des sommes vectorielles Activité
Objectif Il s’agit de représenter la somme vectorielle de vecteurs de l’espace en se ramenant à celle dans un plan. 1 BC = FG , car BCGF est un carré. u + v = EG , et AC = EG , car ACGE est un parallélogramme ^ AE = CG h . 2 u + w = EB , u - w = AH ; v + w - u= EA . 3 HM = 2OB avec M = B ; 1 OM =- v avec M = I ; 2 1 1 JM = w - v avec M = B . 2 2 Activité
3 Décomposer un vecteur
Objectif Il s’agit de pratiquer la recherche de décompositions d’un vecteur dans l’espace. On se pose la question de l’unicité de cette décomposition dans un cas particulier. 1 a. AB = HG , donc ABGH est un parallélogramme. b. AG = AB + AH . 3 1 c. HAl = 2AB - AH , OAl = AB - AH . 2 2 1 1 1 2 a. IJ = HB = AB - AH . 2 2 2 b. IJ est un vecteur du plan ^ ABGH h égal à OB . 3 a. Non, car E g ^ ABGh . b. AC = AB + AH - AE . c. Supposons l’existence d’une autre décomposition, donc de trois réels x l , y l et z l tels que : x l AB + y l AH + z l AE = AB + AH - AE . Alors : ^ z l + 1hAE = ^1 - x lhAB + ^1 - y lhAH .
^1 - x h ^1 - y lh AB + AH , ce zl + 1 zl + 1 qui, d’après le 3 a., est imposible. Donc z l =- 1 et ^1 - x lhAB + ^1 - y lhAH = 0 , ce qui implique x = 1 = y et l’unicité de la décomposition trouvée au b. Si z l ! - 1 , alors AE =
Activité
4 Lire des coordonnées
Objectif On affine la pratique de la décomposition d’un vecteur dans l’espace selon trois vecteurs non coplanaires, en faisant ressortir les ambiguïtés d’une représentation plane et donc la nécessité pour l’élève de se fabriquer une image spatiale mentale. 1 A^0 ; 0 ; 0h ; B^3 ; 0 ; 0h ; C^3 ; 4 ; 0h ; D^0 ; 4 ; 0h ; E^0 ; 0 ; 2h ; F^3 ; 0 ; 2h ; G^3 ; 4 ; 2h ; H^0 ; 4 ; 2h . 3 3 2 M : a. ^1 ; 2 ; 2h ; b. a0 ; ; k. 2 2
Droites et plans de l’espace – Vecteurs
3 N : a. ^3 ; 2 ; 1h ;
b. ^1 ; 1 ; 0h .
J- N J- N K 1O K 3O 4 a. ^0 ; 4 ; 1h ; b. ^- 2 ; 3 ; 0h on a IJ K 1 O et IP K 3 O. K 0 O K 0 O L P L P 5
H
E M F
S
k i I A
P
R G j
Par suite, les droites ^TU h et ^UV h sont parallèles à deux droites sécantes ^ AC h et ^BDh du plan ^ ABCDh : les plans ^TUV h et ^ ABC h sont donc parallèles. On obtient la section du tétraèdre par le plan ^TUV h en traçant sur chaque face les parallèles à : ^ ABh passant par T, ^BC h passant par U, ^CDh passant par V, et ^ ADh passant par le centre de gravité W du triangle SAD. 4
J
1 Voir la figure ci-dessous.
A
D N
B
F Activité
5 Un problème de section
Objectif On étudie un classique problème de section du cube et on entraîne les élèves à la manipulation d’un logiciel de géométrie dans l’espace. 1 Figure. 2 Non, on peut obtenir : – un pentagone avec, par exemple, M = B , et N et P milieux respectifs des segments 6EH @ et 6GH @ ; – un quadrilatère (parallélogramme) avec M = A , N = H et P = G . Un triangle : non. 3 Les côtés de l’hexagone ont des supports parallèles. En effet, ces droites sont coplanaires et ne peuvent être sécantes puisqu’elles sont incluses dans des plans parallèles (ceux des faces opposées) : elles sont donc parallèles et disjointes.
Exercices d’application Savoir faire Construire une
section plane d’une figure de l’espace 1
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1 EG = GB = BE = 2 AB . 2 Soit P le plan passant par M et parallèle au plan
^EBGh ; il coupe les plans ^FBCGh, ^FBEAh et ^FGHE h suivant des droites ^Bl Glh , ^Bl E lh et ^E l Glh respectivement parallèles aux droites ^BGh , ^BE h et ^EGh . Le théorème de Thalès donne alors : FBl FGl FE l Bl G l Gl E l E l Bl = = = = = FB FG FE BG GE EB l l l l l l = = et par suite : B G GE EB. 3 En appelant I et J les milieux respectifs de 6 AB @ et
6BC @, on a dans le triangle SIJ :
2 1 IJ = AC . 3 3 En appelant K le milieu de 6CD @, on a dans le triangle SJK : 2 1 UV = JK = BD . 3 3 TU =
D
B
C
C
G
E 3 3 2 EF = EC + CA + AF = CA + AB 2 2 3 3 = ^CA + AB h = CB . 2 2 Les vecteurs EF et CB étant colinéaires, les droites ^EF h et ^CBh sont parallèles. 3 a. Les plans ^BCDh et ^EFGh sont parallèles, car deux vecteurs directeurs de ^BCDh , CD et CB sont colinéaires à deux vecteurs directeurs de ^EFGh , EG et EF . 3 3 b. AG = AE + EG = AC + CD 2 2 3 3 = ^ AC + CD h = AD , 2 2 donc les points A, D et G sont alignés. c. Le plan ^ ABDh qui est aussi le plan ^ AFGh coupe les deux plans parallèles ^BCDh et ^EFGh suivant deux droites qui sont parallèles ; or il s’agit des droites ^BDh et ^FGh : elles sont donc parallèles. 5
1 I = F ; J = C ; K = T ; L = O ; M = R ; N = S .
Savoir faire Démontrer que des
vecteurs sont coplanaires et choisir une décomposition adaptée 6
u = AB + AD = AE , v = AC + AD = AF Et w = EF = BC . Or AE + EF = AF , donc u + w = v et, par suite, les trois vecteurs sont coplanaires. 7 Voir la figure ci-contre.
1 AB , DF et AK sont non E coplanaires + AB , AC et AK sont non coplanaires + K !Y ^ ABC h ; or, cela est vrai, B donc AB , DF et AK sont non coplanaires.
L
D F
K A
C
1 1 FD =- AC , 2 2 1 ainsi AL = AK - AC et les trois vecteurs AL , AK et 2 AC sont coplanaires. 2 AL - AK = KL =
Livre du professeur - CHAPITRE 8
Droites et plans de l’espace – Vecteurs
3
8
1 Le point E n’appartient pas au plan ^ ABCDh ; on
ne peut donc pas exprimer ce vecteur en fonction des vecteurs AB et AD . 1 2 HI = HE + EA + AI = AB - AD - AE 2 1 1 1 1 JO = JG + GO = AB - AD - AE = HI . 4 2 2 2 Les droites ^ IH h et ^ JOh sont donc parallèles.
Savoir faire Utiliser un repère pour
prouver des alignements J 1 K- 3 K 9 GE K 1 K 6 KK- 1 L 3
N O O O, d’où : O OO P Z ] x =- 1 t 3 ] ] 1 1 + t, t ! R . M ! ^GE h + [ y = 2 6 ] ]] z =- 1 t 3 \ En prenant t =- 3 on obtient le point de coordonnées ^1 ; 0 ; 1h, c’est-à-dire K ; donc K ! ^GE h. Pour F, on cherche un réel t tel que : Z2 ] =- 1 t 3 ]3 ] 2 1 1 [ 0 = 2 + 6 t , ce qui implique : 3 = 0 . ] ]] 0 =- 1 t 3 \ C’est absurde, donc F g ^GE h . J1 N
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10 1 AB K 2 O. Une représentation paramétrique de la KK OO
-3 L P droite ^ ABh est donc : x = 1+t * y = 2 + 2t ; t ! R . z =- 1 - 3t 2 a. Une représentation paramétrique de l’axe ^O ; k h Z = est : ]x 0 [y = 0 ; s ! R . ] = \z 0 Les coordonnéses d’un point commun aux deux droites vérifient le système : Z = + ]0 1 t t =- 1 [ 0 = 2 + 2t + ) s = 2. ] =- 1 3t \s Les deux droites sont donc sécantes au point K^0 ; 0 ; 2h, repéré par le paramètre t =- 1 sur ^ ABh et s = 2 sur l’axe ^O ; k h . b. M ! 6 AB @ + AM = tAB , t ! 60 ; 1 @ Z = + ]x 1 t + [ y = 2 + 2t , t ! 60 ; 1 @. ] =- 1 3t \z 4
Livre du professeur - CHAPITRE 8
M ! 6BK h + BM = tBK , t ! 60 ; + 3 6 . Z = ] x 2 2s + [ y = 4 - 4s , t ! 60 ; + 3 6 . ] =- + 4 6s \z
J1 N J1 N H G K O K O 11 EB 0 ; AK K 1 O ; KK OO K2O -1 L P L0 P J1 N E F K O AG K 1 O ; l’égalité : D K1 O C L P Z + = ]a b 1 K ]1 = + = aEB bAK AG + [ 2 b 1 B A ]] -a = 1 \ a =- 1 +* = . b 2 Par suite - EB + 2AK = AG : les trois vecteurs sont coplanaires. 12 On considère le repère ^ A, AB , AC , AD h . Alors
1 1 1 1 1 1 ; 0 ; 0 k , J a0 ; ; k et K a ; ; k. 2 2 2 3 3 3 1 1 1 Soit M le milieu de 6 IJ @, on a M a ; ; k et on 4 4 4 3 constate que AK = AM , ce qui prouve l’alignement 4 des points A, M et K. Par suite 6 AK @ et 6 IJ @ se coupent en M. Ia
Travaux pratiques 13 Déterminer un lieu géométrique
Objectifs : Utiliser un logiciel de géométrie pour conjecturer un lieu. Caractériser un ensemble de points par une représentation paramétrique et le reconnaître.
1 1 Voir la figure du manuel élève. 2 G semble décrire la droite passant par le centre de gravité G0 du triangle ABC et dirigée par le vecteur u . 2 1 est la droite passant par C^1 ; 1 ; 1h et dirigée par J- N K 1O u K 2 O. K 3 O L P Donc M ! + il existe un réel k tel que CM = ku Z = ]x 1 k + il existe un réel k tel que : [ y = 1 + 2k . ] = + \ z 1 3k 2 a. L’abscisse, l’ordonnée et la cote de G sont les moyennes respectives des abscisses, ordonnées et cotes de A, B et M, donc : 1 1 2 + k. xG = 1 - k , yG = 1 + k , zG = 3 3 3 b. On reconnaît la représentation paramétrique d’une 1 droite passant par le point de coordonnées a1 ; 1 ; k et 3 J- N 1 / 3 K O dirigée par le vecteur v K 2/3 O. K 1 O L P
Droites et plans de l’espace – Vecteurs
1 u et le centre de gravité du triangle ABC, G0 , 3 1 a pour coordonnées a1 ; 1 ; k . G décrit donc la parallèle 3 à la droite passant par le point G0 .
Or, v =
14 Utiliser une décomposition
Objectif : Utiliser une décomposition, un repère adapté pour identifier des ensembles de points grâce à leurs équations. 1^ 1 1 JK = JM + JP h = ^ JH + HM + JC + CP h 2 2 1 1 = HE + CA . 6 6 1^ 1 IJ = IH + IC h = ^ IE + EH + IA + AC h 2 2 1 1 =- HE - CA . 2 2 On a donc IJ =- 3JK et I, J, K sont alignés. 2 On peut considérer le repère ^ A, AB , AD , AE h . 3 a. N décrit le segment 6HE @ et Q le segment 6 AC @ . b. N^0 ; 1 - t ; 1h , Q^1 - t ; 1 - t ; 0h , leur milieu L a pour 1 1 1 coordonnées a - t ; 1 - t ; k . L’ensemble () est 2 2 2 1 1 donc un segment passant par J a ; 1 ; k et dirigé par 2 2 J- N K 1/2 O 1 u K - 1 O. Pour t = 1 , on obtient I a0 ; 0 ; k : 2 K 0 O L P () est donc le segment 6 IJ @. 2 1 2 2 4 a. G^1 ; 1 ; 1h , d’où S c - t ; 1 - t ; m. 3 3 3 3 Z 2 1 ]x = - t 3 3 ] ] 2 b. S ! (′) + [ y = 1 - 3 t , t ! 60 ; 1 @. ] ]] z = 2 3 \ c. () et (′) sont dirigés par des vecteurs colinéaires à J- N K 1O w K- 2 O : ils ont des supports parallèles. K 0 O L P
Z + = + ]1 t 1 k 3 M ! + + [1 + 2t + s =- k . ]- + = + \ 2 s 2 2k b. Le système a une solution unique qui est le point repéré par k =- 1 sur et par le couple ^- 1 ; 2h dans : il s’agit du point C de coordonnées ^0 ; 1 ; 0h . 4 a. D passe par B^1 ; 0 ; 2h et est dirigée par le vecteur J1 N K O w K 1 O. w et d n’étant pas colinéaires, les droites et K- 1 O L P D ne sont pas parallèles, mais sont sécantes au point B. b. On a : w +v = u , donc les trois vecteurs sont coplanaires. c. D est parallèle à , donc le plan ′ qui contient D coupe suivant une droite Dl parallèle à D . Par ailleurs, comme le point C appartient à ′ et à , la droite Dl est la parallèle à D passant par C. Z = ]x m M ! Dl + [ y = 1 + m , m ! R . ] =m \z La résolution du système permettant de déterminer les points communs à ′ et , nous dit que ce sont les points correspondant aux paramètres t et s =- t + 1 dans le plan , ce qui donne la représentation paramétrique d’une droite : Z = + ]x 1 t [y = 2 + t , t ! R. ] =- 1 t \z Il suffit de poser m = 1 + t pour retrouver la représentation donnée plus haut pour Dl .
Faire le point 19 A. 1 a. et c.
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1 M ! ()
3 b.
4 b. 6 a. et c. (KJGH est un parallélogramme.)
15 Étude de positions relatives
Objectifs Donner un exemple de représentation paramétrique d’un plan. Utiliser ce résultat pour étudier des positions relatives d’une droite et d’un plan, de deux plans. Faire le lien entre ces relations d’incidence et la résolution algébrique de systèmes obtenue au moyen d’un logiciel de calcul formel.
2 c. 5 c.
B. 1 a., b. et c. 3 b. et c.
2 a. et b. 4 b. et c.
20 1 Vrai.
2 Vrai. 4 Faux.
3 Faux.
+ il existe deux réels t et s tels que :
AM = tu + sv ce qui donne encore : M ! () + il existe deux réels t et s tels que : Z - = ]x 1 t [ y - 1 = 2t + s ; d’où le résultat. ] + = \ zZ 2 s ]x = 1 + k 2 M ! + [ y =- k , k ! R. ] = + \ z 2 2k
Exercices d’application 1 Positions relatives de droites et plans 21 1 Faux. 4 Faux.
22 1 c.
Livre du professeur - CHAPITRE 8
2 Vrai. 5 Vrai.
3 Faux.
2 b.
3 c.
Droites et plans de l’espace – Vecteurs
5
Positions relatives dans l’espace 23 a. Les droites ^DGh et ^EAh ne sont pas coplanaires.
b. Les droites ^ JK h et ^FC h sont coplanaires et parallèles. c. Le plan ^EFC h et la droite ^ JK h sont parallèles. d. Les plans ^EKGh et ^ AIC h sont parallèles. e. Le plan ^BCK h et la droite ^EI h sont parallèles. f. Les plans ^GHK h et ^ AIC h sont sécants selon une droite passant par le point C. g. Le plan ^ AIC h et la droite ^FGh sont sécants en un point. h. Les droites ^FK h et ^BDh sont coplanaires et sécantes. 24 a. Les droites ^ IJ h et ^ ABh ne sont pas coplanaires.
b. Les droites ^ IK h et ^ ABh ne sont pas coplanaires. c. Le plan ^BIJ h et la droite ^ AK h sont sécants en un point. d. Les plans ^BIJ h et ^ AKDh sont sécants selon une droite passant par le point J. e. Le plan ^BIK h et la droite ^CDh sont sécants au point D. f. Les plans ^BIJ h et ^ AKC h sont sécants selon une droite passant par le point I . 25 1 Dans le triangle EFG, la droite des milieux ^ IJ h
est parallèle à la droite ^EGh , donc à la droite ^ AC h . 2 Les plans ^BIJ h et ^ ABC h sont sécants selon une droite passant par le point B, commun aux deux plans. Les plans ^EFGh et ^ ABC h sont parallèles et sont coupés par le plan ^BIJ h selon deux droites qui sont parallèles entre elles. Or, ^EFGh et ^BIJ h sont sécants selon la droite ^ IJ h. On en déduit que les plans ^ ABC h et ^BIJ h sont sécants selon la parallèle à la droite ^ IJ h passant le point B.
On en déduit que le plan ^ AGDh et la droite ^BC h sont sécants au milieu L du segment 6BC @. 2 Les points L et D sont communs aux plans ^ AGDh et ^BCDh . Donc les plans ^ AGDh et ^BCDh sont sécants selon la droite ^DLh . 3 Dans le triangle ALD, le point G se trouve aux 2/3 sur le segment 6 AL @ en partant du sommet A, et le point K se trouve aux 2/3 sur le segment 6 AD @ en partant du sommet A. D’après le théorème de Thalès, les droites ^GK h et ^DLh sont parallèles. Or, la droite ^DLh est incluse dans le plan ^BCDh . On en déduit que la droite ^GK h et le plan ^BCDh sont parallèles. 28 1 Les plans ^EDGh et ^ ABC h sont sécants selon une
droite passant par le point D, commun aux deux plans. Les plans ^EFGh et ^ ABC h sont parallèles et sont coupés par le plan ^EDGh selon deux droites qui sont parallèles entre elles. Or, ^EFGh et ^EDGh sont sécants selon la droite ^EGh . On en déduit que les plans ^ ABC h et ^EDGh sont sécants selon la parallèle D à la droite ^EGh passant le point D. 2 On a le graphique suivant : F
E G
H
D
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27 1 Dans le triangle ABC, les médianes ^CI h et ^BJ h
sont sécantes au point G, qui est donc le centre de gravité du triangle ABC. Donc la droite ^ AGh coupe le segment 6BC @ en son milieu. 6
Livre du professeur - CHAPITRE 8
C
26 1 Le point K est le centre de gravité du triangle
ABC et le point I est le milieu du segment 6 AB @. Donc K appartient à la médiane ^ IC h . De la même façon, en raisonnant dans le triangle ABD, le point J appartient à la droite ^ IDh . Donc les points K et J appartiennent au plan ^ ICDh . Donc les points C, D, I, J et K sont coplanaires. 2 Dans le triangle ICD, le point K se trouve à 1/3 sur le segment 6 IC @ en partant du sommet I, et le point J se trouve à 1/3 sur le segment 6 ID @ en partant du sommet I. Par le théorème de Thalès, les droites ^KJ h et ^CDh sont parallèles. Donc le quadrilatère CKJD est un trapèze. 3 Les droites ^CJ h et ^DK h sont coplanaires d’après la question 1 . Et d’après la question 2 , les droites ^CJ h et ^DK h sont sécantes.
B
A
Les droites D et ^BC h sont incluses dans le plan ^ ABC h et ne sont pas parallèles (car D // ^EGh et donc D // ^ AC h ). Elles sont donc sécantes au point d’intersection de la droite ^BC h et du plan ^EDGh . Constructions de sections 29 1 ◗ Les points I et J sont communs aux plans ^EFGh
et ^ IJK h . Donc les plans ^EFGh et ^ IJK h sont sécants selon la droite ^ IJ h . ◗ Les points J et K sont communs aux plans ^ AEDh et ^ IJK h . Donc les plans ^ AEDh et ^ IJK h sont sécants selon la droite ^ JK h . 2 Le point L appartient à la droite ^ AE h et donc au plan ^ AEBh. De même, le point L appartient à la droite ^ JK h et donc au plan ^ IJK h . Le point L est donc commun aux plans ^ AEBh et ^ IJK h . Or, le point I est aussi commun aux plans ^ AEBh et ^ IJK h . Donc, les plans ^ AEBh et ^ IJK h sont sécants selon la droite ^ ILh .
Droites et plans de l’espace – Vecteurs
^ IJK h et ^CDGh sont sécants selon une droite passant par le point K, commun aux deux plans. Les plans ^ ABE h et ^CDGh sont parallèles, et sont coupés par le plan ^ IJK h selon deux droites qui sont parallèles entre elles. Or, ^ IJK h et ^ ABE h sont sécants selon la droite ^ ILh . On en déduit que les plans ^ IJK h et ^CDGh sont sécants selon la parallèle à la droite ^ ILh passant le point K. 4 On en déduit la section IJKONM suivante : 3 Les plans
b. De la même façon, on construit les segments 6 IJ @ et 6 JK @. Puis le segment 6KL @, parallèle au segment 6 IJ @. Puis le segment 6LM @, parallèle au segment 6 JK @. Et le segment 6 MI @ pour finir. H
M
E
G
L
L
H
A I
E
J
G
K D
C
O
N
B
30 2 a. Les droites ^EF h et ^CDh sont coplanaires, car
appartenant au plan ^ ACDh . AE 3 AF 1 = = . De plus, d’après le quadrillage, et AD 4 AC 2 Donc les droites ^EF h et ^CDh ne sont pas parallèles. Ces droites sont donc sécantes en un point I . b. Les points I et G sont communs aux plans ^EFGh et ^BCDh . Donc ces plans se coupent selon la droite ^IGh. 3 Le point J et F sont communs aux plans ^EFGh et ^ ABC h . Donc ces plans se coupent selon la droite ^ JF h. 4 On en déduit que la section du tétraèdre par le plan ^EFGh est le quadrilatère EFJG.
Comme les plans ^ ABE h et ^CDH h sont parallèles, le plan ^ IJK h les coupe selon deux droites qui sont parallèles, donc parallèles à la droite ^ JK h . On en déduit la construction du segment 6 IL @. Les droites ^ ILh et ^FBh sont sécantes en un point X. En utilisant la droite ^ XK h , on obtient les segments 6 MK @ et 6 MI @. On finit la construction en traçant les segments parallèles 6LN @ et 6NJ @ respectivement aux segments 6 MK @ et 6 MI @. X
E I H
D
E
I D
G C
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31 a. Les traces sur les faces ABFE et BCGF sont les
E
C
J
E
M H
F L G
I A D J
C
K
B
F
I G
H
B
N
b. La trace sur la face CDHG est le segment 6 IJ @, celle sur la face ABCD est le segment 6 JK @. Les droites ^ IJ h et (CG) sont sécantes en un point X. En utilisant la droite ^ XK h , on trace le segment 6KL @. On termine la construction en utilisant des propriétés de parallélisme.
segments 6 IJ @ et 6KJ @. Comme les plans ^ ABE h et ^CDH h sont parallèles, le plan ^ IJK h les coupe selon deux droites qui sont parallèles, donc parallèles à la droite ^ IJ h . On en déduit la construction du segment 6KL @ et pour finir le segment 6 IL @.
X
L K
J B
A D
M K
A
F J
F G
L
A
B
C
32 a. La trace sur la face CDHG est le segment 6 JK @ .
M
A
B
K
D
F
F J
I
C
33 2 Les droites ^ ABh et ^EF h sont coplanaires et
sécantes en un point I. De même, les droites ^BDh et Livre du professeur - CHAPITRE 8
Droites et plans de l’espace – Vecteurs
7
^FGh sont coplanaires et sécantes en un point J . Les points I et J sont communs aux plans ^ ABC h et ^EFGh, donc les plans ^ ABC h et ^EFGh sont sécants selon la droite ^ IJ h . 3 La droite ^ IJ h , coplanaire avec les droites ^CDh et ^ AC h, coupe les segments 6CD @ et 6 AC @ respectivement aux points H et K. On en déduit que la section de la pyramide SABDC par le plan ^EFGh est le polygone EFGHK. S G
F E
C
J D
H
K B
A
I
34 La droite des milieux ^EF h est parallèle à la droite
^ ABh et donc à la droite ^CDh. Les plans ^EFGh et ^SCDh contiennent donc respectivement les droites ^EF h et ^CDh , parallèles entre elles. D’après le théorème du toit, ces plans sont sécants selon une droite parallèle aux droites ^EF h et ^CDh . On en déduit la construction du segment 6GH @, puis la section EFGH de la pyramide par le plan ^EFGh . S H
E C
G F
A
D
B
2 Dans le triangle ADE, les droites ^BI h et ^DE h sont
AB 1 = , d’après la réciproque du AD 3 AI 1 1 = . Donc AI = AE . théorème de Thalès, AE 3 3 3 Les points I et J sont communs aux plans ^ AEE lh et ^BGBlh, donc les plans ^ AEE lh et ^BGBlh sont sécants selon la droite ^ IJ h . De même, les plans ^ AEE lh et ^DEDlh sont sécants selon la droite ^EE lh . Or, les plans ^BGBlh et ^DEDlh sont parallèles. Ils sont coupés par le plan ^ AEE lh par deux droites parallèles entre elles. Donc les droites ^ IJ h et ^EE lh sont parallèles. AI 1 = . Donc, d’après la Or, dans le triangle AEE l , AE 3 AJ 1 = . réciproque du théorème de Thalès, AE l 3 1 Donc AJ = AE l . 3 parallèles. Comme
38 1 On a :
E
A I D
B C
F 1 1 2 a. CI = CA + CD par la règle du parallélo2 2 gramme, car le point I est le milieu du segment 6 AD @. b. EF = ED + DC + CF par la relation de Chasles. Donc EF = AB + DC + BC en utilisant les définitions de ED et de CF . Et comme AB + BC = AC , on a : EF = AC + DC . 3 D’après les questions 2 a. et 2 b., EF =- 2CI . Ainsi, les vecteurs EF et CI sont colinéaires. Donc les droites ^EF h et ^CI h sont parallèles. 39 1 Le point I est le point H ; le point J est le point B ;
2 Vecteurs de l’espace et
le point K est le point C. 2 On a :
caractérisations vectorielles 35 1 Vrai.
2 Faux.
3 Vrai.
4 Vrai.
36 1 Vrai.
2 Vrai.
3 Vrai.
4 Vrai.
H
G F
E M w
Vecteurs de l’espace
N
D
C
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
v 37 1 AG + FE = AG + GF = AF ;
A
AGl + C l D = AGl + Gl F = AF ; 2BC + CH = AC + CH = AH ; - 3FG + DF l = AD + DF l = AF l ; 1 CA - BBl = CB + Bl B = C l Bl + Bl B = C l B . 2 8
Livre du professeur - CHAPITRE 8
B
1 u + v + w k + xu 2 1 = a- + x ku + v + w . 2 1 1 De plus, BM =-u + v + w . 2 2 Or, les vecteurs u , v et w sont non coplanaires. 3 CP = CN + xu = a-
BHl + F l E = BHl + Hl G = BG ;
u
Droites et plans de l’espace – Vecteurs
Alors, les vecteurs CP et BM sont colinéaires si, et seule1 1 1 ment si, les coordonnées a- + x ; 1 ; 1 k et a- 1 ; ; k 2 2 2 1 + x = ^- 1h # 2 , ou encore sont proportionnelles, soit 2 3 x =- . 2 40 1 Le point M est le point O ; le point N est le point
Ol ; le point P est le point B. 2 On a : H E
I O’
A
D
G
F J O
K
C
B
3 ◗ Les vecteurs AB , AD et AE sont non coplanaires.
On exprime les vecteurs CK et CI en fonction de ces vecteurs. ◗ CK = CF + FK par la relation de Chasles. Or, 1 1 FK = FD = ^FB + BA + AD h . 3 3 -1 1 1 = AE - AB + AD . 3 3 3 Et CF = CB + BF =- AD + AE . -1 1 1 Donc CK = ^- AD + AE h + a AE - AB + AD k 3 3 3 1 2 2 =- AB - AD + AE . 3 3 3 = + ◗ CI CF FI par la relation de Chasles. 1 1 Donc CI = ^- AD + AE h - AB =- AB - AD + AE . 2 2 3 ◗ On en déduit que CI = CK . Donc les points C, K et 2 I sont alignés. A
41 1
I D
B C
J
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
2 Par la relation de Chasles, on a :
AJ = AB + BC + CJ = AB + 3BC 1 et IC = IB + BC = AB + BC . 3 Donc AJ = 3IC . Donc les droites ^ AJ h et ^ IC h sont parallèles. 42 1 Le point Dl étant le centre de gravité du triangle
1 AI . 3 1 De même, on a : Bl K = AK . 3 Or, par la relation de Chasles, Bl Dl = Bl K + KI + IDl . ABC, on a : Dl I =
1 1 1 AK + KI + IA = ^ IA + AK h + KI 3 3 3 1 = IK + KI . 3 2 Donc Bl Dl = KI . 3 On en déduit que les droites ^Bl Dlh et ^KI h sont parallèles. Or, la droite des milieux ^KI h est parallèle à la droite ^BDh. Donc les droites ^BDh et ^Bl Dlh sont parallèles. 2 En utilisant les centres de gravité Bl et C l , on a : 1 1 C l J = AJ et Bl K = AK . 3 3 Or, par la relation de Chasles, Bl C l = Bl K + KJ + JC l . 1 1 2 Donc Bl C l = AK + KJ + JA = KJ . 3 3 3 Donc les droites ^Bl C lh et ^KJ h sont parallèles. Or, la droite des milieux ^KJ h est parallèle à la droite ^BC h . Donc les droites ^BC h et ^Bl C lh sont parallèles. 3 Les plans ^BCDh et ^Bl C l Dlh contiennent deux couples de droites parallèles entre elles. On en déduit que les plans ^BCDh et ^Bl C l Dlh sont parallèles. Donc Bl Dl =
43 1 Les points A, G et F sont alignés. Donc les vecteurs
AF et AG sont colinéaires. Il existe donc un réel k tel que AF = kAG . Or, le point G est le centre de gravité du triangle ECD. 1 Donc AG = ^ AE + AC + AD h . 3 Alors, par définition du point E et la relation de Chasles : k AF = ^ AE + AC + AD h 3 k 1 = a AB + ^ AB + BC h + ^ AB + BD hk . 3 2 k 5 Donc AF = a AB + BC + BD k . 3 2 On en déduit que : 5k k k - 1 m AB + BC + BD . BF = BA + AF = c 3 3 6 Or, les vecteurs AB , BC et BD ne sont pas coplanaires et le point F appartient au plan ^BCDh . 5k 6 - 1 = 0 , soit k = . Donc 6 5 2 2 On en déduit que BF = BC + BD . 5 5 2 2 Donc le point F a pour coordonnées c ; m dans le 5 5 repère ^B ; BC ; BD h du plan ^BCDh . 2 Le point J étant le milieu du segment 6CD @ , on a : 1 1 BJ = BC + BD . 2 2 4 Donc BF = BJ . Donc les points B, F et J sont alignés. 5 44 1 Les points A , K et L sont alignés. Donc il existe un
réel k tel que AL = kAK . Or, K est le milieu du segment 6 IJ @. Donc : 1 1 1 AK = ^ AI + AJ h = AB + AJ . 2 6 2 Comme J est le milieu du segment 6CD @ : 1 AJ = ^ AC + AD h . 2
Livre du professeur - CHAPITRE 8
Droites et plans de l’espace – Vecteurs
9
1 1 1 AB + AC + AD . 6 4 4 En utilisant que AC = AB + BC et AD = AB + BD , on 2 1 1 obtient : AK = AB + BC + BD . 3 4 4 On en déduit que : BL = BA + AL = BA + kAK 2 1 1 = BA + k c AB + BC + BD m 3 4 4 2k k k = c1 m BA + BC + BD . 4 4 3 Comme les vecteurs BA , BC et BD sont non coplanaires et que BL est un vecteur du plan ^BCDh , on a : 2k 3 = 0 , c’est-à-dire k = . 13 2 3 3 3 3 2 2 Alors, BL = BC + BD = BC + BD . 4 4 8 8 3 3 Le point L a pour coordonnées c ; m dans le repère 8 8 du plan ^BCDh . 2 Comme J est le milieu du segment 6CD @ , 1 1 BJ = BC + BD . 2 2 3 Donc BL = BJ . Les points B , L et J sont alignés. 4 Donc AK =
b. Le plan ^ IFBh est dirigé par les vecteurs IF et IB , mais aussi par les vecteurs BK et BF . c. Le plan ^ IJK h est dirigé par les vecteurs IJ et IK , mais aussi par les vecteurs HF et KJ . d. Le plan ^EIAh est dirigé par les vecteurs EI et EA , mais aussi par les vecteurs CG et AI . e. Le plan ^ AGH h est dirigé par les vecteurs AH et AG , mais aussi par les vecteurs AB et BG . f. Le plan ^DLI h est dirigé par les vecteurs ID et IL , mais aussi par les vecteurs FL et FK . 48 a. La droite d’intersection des plans ^EFH h et ^ ABGh
est dirigée par le vecteur GH . b. La droite d’intersection des plans ^BLK h et ^CFGh est dirigée par le vecteur BC . c. La droite d’intersection des plans ^EHLh et ^FGK h est dirigée par le vecteur KL . d. La droite d’intersection des plans ^EFH h et ^ ABGh est dirigée par le vecteur AE . 49 On a le dessin suivant : S
J
45 a. La droite passant par A et dirigée par le vecteur
EG est la droite ^ AC h . b. La droite passant par H et dirigée par EF + GC est la droite ^HC h . c. Le plan passant B et dirigé par les vecteurs DC et AD est le plan ^ ABC h . d. Le plan passant D et dirigé par les vecteurs DC et CF est le plan ^CDE h . e. Le plan passant E et dirigé par les vecteurs AC et BF est le plan ^ ACE h . 46 1 On a :
1
A
K C
D B
A
où J et K sont les milieux respectifs des segments 6 SC @ et 6 SB @. Par la règle du parallélogramme, la droite passant par D et de vecteur directeur DC + DS est la droite ^DJ h , et la droite passant par A et de vecteur directeur AB + AS est la droite ^ AK h . Or, la droite des milieux ^KJ h est parallèle à la droite ^BC h et donc à la droite ^ ADh . Donc les points A, K, J et D sont coplanaires, et les droites ^ AK h et ^DJ h sont coplanaires et sécantes. 50 a. est la droite passant par le point A et de 1
I
B
D 2
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
C
2 Soit I le milieu du segment 6CD @ . Par la règle du parallélogramme, AC + AD = 2AI . Donc la droite 1 est la droite ^ AI h . De même, BC + BD = 2BI . Donc la droite 2 est la droite ^BI h . Le point I est donc commun aux droites 1 et 2 , qui sont donc sécantes en I.
47 a. Le plan ^ ABC h est dirigé par les vecteurs AB et
10
Livre du professeur - CHAPITRE 8
Vecteurs coplanaires 51 a. Les vecteurs AB , BD et JK sont coplanaires, car :
JK =
Caractérisations vectorielles
AC , mais aussi par les vecteurs LC et BK .
vecteur directeur IJ . Donc 1 est la droite ^ ABh . b. 2 est la droite passant par le point J et de vecteur directeur SD . Donc 2 est la droite ^ JK h . c. 3 est la droite passant par le point B et de vecteur directeur SA . Donc 3 est la parallèle à ^SAh passant par le point B. d. 4 est le plan passant par le point O et dirigé par les vecteurs SB et SC . Donc 4 est le plan ^SBC h .
1 1 1 AD = AB + BD . 2 2 2
b. Les vecteurs AK , AC et BC sont non coplanaires, car les vecteurs AC et BC dirigent le plan ^ ABC h , qui ne contient pas le vecteur AK .
Droites et plans de l’espace – Vecteurs
c. Les vecteurs BC , IJ et CK sont coplanaires, car :
56 On a le dessin suivant :
CK = CB + BK =- BC - IJ . d. Les vecteurs CI , CJ et BD sont coplanaires, car : BD = 2JI = 2^ JC + CI h =- 2CJ + 2CI . 52 1 On a le dessin suivant : A
B
C
K
D
Par la relation de Chasles, 1 1 AB + BC . 2 4
1 1 AB + AD . 2 4 De plus, comme K est le milieu de 6CD @, on a : 1 1 IK = IC + ID . 2 2 De même, IL =-
Or, I est le milieu de 6 AB @. 1 1 1 1 Donc IC = BC + AC et ID = BD + AD . 2 2 2 2 1 1 1 1 Donc IK = BC + AC + BD + AD . 4 4 4 4 Ainsi : 1 1 1 1 IK = BC + ^ AB + BC h + ^BA + AD h + AD 4 4 4 4 1 1 = BC + AD . 2 2 On en déduit que IK = 2^ IJ + IL h . Donc les points I, J, K et L sont coplanaires. 2 Le point K appartient donc au plan ^ IJK h . On en déduit que la section du tétraèdre ABCD par le plan ^ IJK h est le quadrilatère IJKL. 53 a. IL = HA =- AD - AE . Donc les vecteurs AD ,
AE et IL sont coplanaires. b. Les vecteurs AB et AC dirigent le plan ^ ABC h qui ne contient pas le vecteur IL . Donc les vecteurs AB , AC et IL ne sont pas coplanaires. 54 a. Les vecteurs EF et D dirigent le plan ^ ABC h qui
ne contient pas le vecteur AH . Donc les vecteurs AH , EF et BD ne sont pas coplanaires. 1 1 1 1 b. IJ = HF = ^HD + DF h =- DH - FD . 2 2 2 2 ©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
D
E
J
IJ = IB + BJ =
J C
I B
I
F
L
A
On a : 1 1 FJ = FA + AJ = ED + AC = ^EC + CD h + AC 2 2 1 1 = CB + CD + AC . 2 2 1 De plus, IJ = BC 2 1 1 1 1 et JD = AD + CD = ^ AC + CD h + CD 2 2 2 2 1 = AC + CD . 2 On en déduit que : FJ =- IJ + JD . Donc les vecteurs FJ , IJ et JD sont coplanaires. Donc les points D, I, J et F sont coplanaires. 3 Repérage 57 1 Faux.
2 Faux.
58 1 Vrai.
2 Vrai. 5 Faux.
3 Vrai, car I = 2IJ - 3IK .
4 Faux.
3 Faux.
Repères de l’espace 59 1 Les vecteurs AD , AB et AE ne sont pas copla-
naires, donc ^ A, AD , AB , AE h est un repère de l’espace. 2 Les vecteurs AC , AB et AD sont coplanaires, donc ^ A, AC , AB , AD h n’est pas un repère de l’espace. 3 Les vecteurs BD , BA et BH ne sont pas coplanaires, donc ^B, BD , BA , BH h est un repère de l’espace. 4 Les vecteurs ED , EB et EC ne sont pas coplanaires, donc ^E, ED , EB , EC h est un repère de l’espace. 60 1 On a :
A w
Donc les vecteurs IJ , FD et DH sont coplanaires.
u
55 a. AI = AD + DI = BC - FL . Donc les vecteurs BC ,
AI et FL sont coplanaires.
z
v
y
O
x
b. Les vecteurs AC et HF dirigent le plan ^ ABC h qui ne contient pas le vecteur BG .
B
Donc les vecteurs AC , HF et BG ne sont pas coplanaires. Livre du professeur - CHAPITRE 8
C Droites et plans de l’espace – Vecteurs
11
J- N J 0,5 N K 1O K O 2 AB K 2 O et BC K 2 O. K- 3 O K- 1 O L P L P 3 Les vecteurs AB et BC ne sont pas colinéaires, donc les points A, B et C ne sont pas alignés. 61 a. Dans le repère : A(0 ; 0 ; 0), B(0 ; 1 ; 0), C(1 ; 1 ; 0),
D(1 ; 0 ; 0), E(0 ; 0 ; 1), F(0 ; 1 ; 1), G(1 ; 1 ; 1), H(1 ; 0 ; 1) et O(0,5 ; 0,5 ; 0,5). b. Dans le repère : A(0 ; 0 ; 0), B(- 1 ; 1 ; 0), C(0 ; 1 ; 0), D(1 ; 0 ; 0), E(0 ; 0 ; 1), F(- 1 ; 1 ; 1), G(0 ; 1 ; 1), H(1 ; 0 ; 1) et O(0 ; 0,5 ; 0,5). c. Dans le repère : A(- 0,5 ; - 0,5 ; - 0,5), B(- 1 ; 0 ; 0), C(0 ; 1 ; 0), D(0,5 ; 0,5 ; - 0,5), E(0 ; - 1 ; 0), F(- 0,5 ; - 0,5 ; 0,5), G(0,5 ; 0,5 ; 0,5), H(1 ; 0 ; 0) et O(0 ; 0 ; 0). 62 1 On a le dessin suivant : A
I B x
L
D
C
z
y
I(0,5 ; 0 ; 0), J(0 ; 0,5 ; 0) et K(0 ; 0 ; 0,5). 2 On a le dessin suivant : A I B
K
J
y
L z
C
D
x
A(0 ; 1 ; - 1), B(0 ; - 1 ; 1), C(2 ; - 1 ; 1) et D(0 ; 1 ; 1).
Calculs sur les coordonnées J
N
J
N
-2 4 63 1 AB K 1 O et CD K- 2 O. K O K O
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
K- 5 O K 10 O L P L P 2 CD =- 2AB . Donc ABCD est un trapèze. J- N J- N J- N 2 1 7 64 MN K 7 O, NP K- 1 O, 2MN + 3NP K 11 O KK OO KK OO KK OO -5 -7 4 L P L P L P J 10 N K O et - 3MP + 4PN K- 17 O. K 8 O L P J- N 3
J- N 3
65 AB K 1 O et CD K 1 O. Donc AB = CD . KK OO KK OO
2 2 L P L P Donc ABDC est un parallélogramme. 12
^1 ; 3 ; 1h. 2 ◗ ABCD est un parallélogramme + AB = DC Z = J- N J- 1 - x N ] xD 1 D K 2O K O + KK- 1OO = K 4 - yD O + [ yD = 5 . K O ]z = 1 2 L P L 3 - zD P \ D ◗ ABCD est un parallélogramme + les diagonales 6 AC @ Z + ] 1 xD = 1 Z ] 2 ]] xD = 1 ] 1+y D et 6BD @ ont même milieu + [ = 3 + [ yD = 5. ] 2 ]z = 1 ] 1 + zD \ D =1 ] 2 \ Donc le point D a pour coordonnées ^1 ; 5 ; 1h . 3 ABDE est un parallélogramme + AB = ED Z J- N J1 - x N ]] xE = 3 2 E K O K O + KK- 1OO = K 5 - yE O + [ yE = 6 . K O ] z =- 1 2 L P L1 - zE P \ D 67 1 Le point I a pour coordonnées ^- 1,5 ; 2,5 ; 3h .
K
J
66 1 Le milieu du segment 6 AC @ a pour coordonnées
Livre du professeur - CHAPITRE 8
Le point J a pour coordonnées ^2,5 ; - 0,5 ; 0h . Le point G a pour coordonnées : - + - + + + c 2 1 3 ; 5 2 4 ; 1 4 1 m, 3 3 3 4 1 4 soit a ; ; k. 3 3 3 Les coordonnées du point K vérifient : J 10 N J K 3 O K 5 ON J x + 2N K K O 3 KK 8 OO K 2 O y 3 KK D O = 4 K- 3 O = K - 2 O. 1 zD - 2 O KK- 2 OO K- 2 O L P L P L 3P 1 3 Donc le point K a pour coordonnées a ; 1 ; k . 2 2 J 2 N J 4 N K 3O K O 1 2 IK K- O et IJ K- 3 O. Donc IK = IJ . 2 2 K O K O -3 3 L P K- O L 2P Donc le point K appartient au segment 6 IJ @. Plus précisément, K est le milieu du segment 6 IJ @. Montrer la colinéarité de deux vecteurs
68 a. Les coordonnées des vecteurs u et v ne sont
pas proportionnelles, donc les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires. b. u = ^1 + 2 h #v . Donc les vecteurs u et v sont colinéaires. J- N J- N 2O 6 K 69 a. AB 4 et AC K 12 O. Donc AC = 3AB . Donc les KK OO KK OO 1 3 L P L P points A, B et C sont alignés. J- N J 114 N K 38 O K O b. AB K 39 O et AC K- 13 O. Donc AB =- 3AC . Donc les K 25 O K- 75 O L P L P points A, B et C sont alignés. Droites et plans de l’espace – Vecteurs
70 On a : I^- 1 ; - 1 ; 0h , G c- 5 ; - 2 ; - 1 m et
3
3
K^5 ; - 4 ; 3h . J 4 N K 3 O J8 N K 2O K O K O et BK K- 4 O. Ainsi, BK = 6BG . Donc BG 3 K 4 O K O KK 2 OO L P L 3 P Donc les points B, G et K sont alignés. J6 N
3
J- N 3
71 a. AB K 2 O et CD K- 1 O. Donc AB =- 2CD . KK OO KK OO
-6 3 L P L P Donc les droites ^ ABh et ^CDh sont parallèles. J- N J- N K 6O K 2O b. AB K- 3 O et CD K 3 O. Donc les vecteurs AB et CD ne K 2 O K 1 O L P L P sont pas colinéaires. Donc les droites ^ ABh et ^CDh ne sont pas parallèles. 72 On se place dans le repère ^ A, AB , AD , AE h de l’es-
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
pace. 1 1 1 1 On a : I a0 ; 0 ; k , J a ; 1 ; k , P a0 ; ; 1k , 2 2 2 3 1 1 1 1 1 ; k. Qa ; ; 0 k et K a ; 6 3 2 3 3 J1 N J1 N K6O K2O K O 1O K et IJ KK 1 OO. Donc IJ = 3IK . Donc IK K3O L0 P L0 P Donc les points I, J et K sont alignés. Montrer la coplanarité de vecteurs ou de points J- N J- N J- N 3O 4O 11 K K 73 1 AB 1 , AC - 4 et AD K 1 O. KK OO KK OO KK O -2 2 5 O L P L P L P 2 Les points A , B , C et D sont coplanaires si, et seulement si, les vecteurs AB , AC et AD sont coplanaires, c’est-àdire qu’il existe des réels a et b tels que AD = aAB + bAC ou encore il existe des réels a et b tels que : Z- ] 3a 4b =- 11 . [ a - 4b = 1 ] = \ 2a 2b 5 3 On soustraie les deux premières lignes du système précédent : Z = Z- Z- =]a 3 =3 a 4 b 11 4 a 12 ] ] ] 1 + [ a - 4b = 1 + [b = 2 . [ a - 4b = 1 ] ] ] 1 = = ]b = \ 2a 2b 5 \ 2a 2b 5 2 \ 1 Donc AD = 3AB + AC . Donc les points A, B, C et D 2 sont coplanaires. 74 1 Les vecteurs u , v et w sont coplanaires, si, et seule-
ment si, il existe deux réels a et b tels que w = au + bv , c’est-à-dire il existe deux réels a et b tels que : Z + = ] 4a b 5 . [ 2a - 3b = 13 ]- + =- 18 a b 3 4 \
2 Le logiciel a résolu le système et a obtenu comme solution a = 2 et b =- 3 . Donc w = 2u - 3v . Les vecteurs u , v et w sont donc coplanaires.
J
N
J
N
J
N
-4 4 3 75 a. AB K 2 O, AC K- 2 O et AD K 5 O. K KK OO KK OO K 1 OO -6 -2
L P L P L P Soient a et b deux réels. Z + 1 ] 4a 3b =- 4 a= 2 . AD = aAB + bAC + [ 2a - 2b = 5 + * ]- =b 2 = \ 6a 2b 1 1 Donc AD = AB - 2AC . Donc les points A, B, C et D 2 sont coplanaires. J 4 N J- N J- N K 1 O K 7O K 5O b. AB K 1 O, AC K 0 O et AD K O. K- 1 O K 3 O K 2 O L P L P L- 5 P Soient a et b deux réels.Z Z ]- 7a - 5b = 4 ]] a = 1 ] 2 1 . AD = aAB + bAC + [ a = 2 +[ ] b =- 3 ]] 2 - + =- 5 \ \ a 3b 1 3 Donc AD = AB - AC . Donc les points A, B, C et D 2 2 sont coplanaires. J2 N
J 4 N
76 1 Les vecteurs AB K 4 O et AC K- 4 O ne sont pas KK OO KK OO
-2 -4 L P L P colinéaires. Donc les points A, B et C définissent un plan. J- N K 1O 2 OA K 0 O. Soient a et b deux réels. K 1 O Z Z + L P ]] a =- 1 ] 2a 4b =- 1 6 . OA = aAB + bAC + [ 4a - 4b = 0 + [ 1 ]- ] =b = 6 \ 2a 4b 1 \ 1 1 Donc OA =- AB - AC . Donc les points O, A, B et 6 6 C sont coplanaires, soit le point O appartient au plan ^ ABC h . J3N
77 AB K 6 O. Soient a et b deux réels. KK OO
17 L P AB = au + bv
Z - = ] 3a b 3 a=2 + [2b = 6 +) = . b 3 ] + = \ 4a 3b 17 Donc AB = 2u + 3v . Donc les vecteurs AB , u et v sont coplanaires. Donc le point B appartient au plan . 78 Dans le repère ^B, BC , BD , BA h , on a : A(0 ; 0 ; 1),
B(0 ; 0 ; 0), C(1 ; 0 ; 0), D(0 ; 1 ; 0), I a0 ; 0 ;
1 k, 2
3 3 2 2 1 ; 0m. ; m, K a ; 0 ; 0 k et L c ; 4 5 5 3 3 J 3 N J 3 N K 5 O J 0 N K 4 O K 2 O K 2 O K O O. O, IK K 0 O et IL K Donc IJ K K 5 O K 3 O 1 K- O K- 1 O KK- 1 OO L 2P 6 L 2P L P J c0 ;
Livre du professeur - CHAPITRE 8
Droites et plans de l’espace – Vecteurs
13
Soient a et b deux réels. Z3 ] b= 3 Z 5 ]4 ]] a = ]2 2 +[ IL = aIJ + bIK + [ 3 a = 5 ] ]b = ]]- 1 a - 1 b =- 1 \ 2 2 \ 6 3 4 Donc IL = IJ + IK . Donc les vecteurs IJ , 5 5 IL sont coplanaires. Donc les points I, J, K et L sont coplanaires.
3 5 . 4 5
Z = ]x 3 t b. [ y = 2 + 2t , t ! R . ] = + \ z 1 4t
J1 N K O données K 0 O et passe par les points de coordonnées K 3O L P ^1 ; 2 ; 0h et ^2 ; 2 ; 3h. b. La droite 2 est dirigée par le vecteur de coordonnées J2 N K O KK- 1 OO et passe par les points de coordonnées ^- 1 ; 1 ; 4h 3 L P et ^1 ; 0 ; 7h .
©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S
81 1 Le point A appartient à la droite (correspond
au paramètre t = 1 ). Le point B appartient à la droite (correspond au paramètre t =- 0,5 ). Le point C n’appartient pas à la droite . 2 La parallèle à passant par le point D admet comme représentation paramétrique : Z = + ] x 3 2t [y = 1 + t , t ! R. ] =- + 1 3t \z J1 N J3 N 82 1 a. Les vecteurs AB K 0 O et AC K- 1 O ne sont pas KK OO KK OO 3 0 L P L P colinéaires. Donc les points A, B et C définissent un plan. b. Un point M^ x ; y ; z h appartient au plan ^ ABC h + les vecteurs AM , AB et AC sont coplanaires + il existe deux réels t et u tels que AM = tAB + uAC + il existe deux réels t et u tels que : J1 N J3 N J x - 2N K O K O K O KK y - 1 OO = t KK 0 OO + u KK- 1 OO 3 0 z L P LZP L P ] x = 2 + t + 3u + il existe deux réels t et u tels que [ y = 1 - u . ] = \ z 3t 2 D ! ^ ABC h avec t = 2 et u =- 1 ; E ! ^ ABC h avec t = 2 et u = 1 ; F ! ^ ABC h ; G ! ^ ABC h avec t = 1 et u = 1 . Livre du professeur - CHAPITRE 8
D
G C K
^ A, AB , AC , AD h, le point G a pour 1 1 1 coordonnées a ; ; k et le point E a pour coor3 3 3 1 données a0 ; ; 0 k . Donc le vecteur GE a pour coor2 J 1N K- 3 O K 1 O O. données K K 6 O KK- 1 OO L 3P Donc la droite ^GE h admet comme représentation paramétrique : Z ]x = 1 - t 3 3 ] ] t 1 [y = 3 + 6 , t ! R. ] ]] z = 1 - t 3 3 \ Le point K a pour coordonnées ^1 ; 0 ; 1h . Z1 ] - t =1 3 ]3 ]1 t Or, [ 3 + 6 = 0 + t =- 2 . ] ]] 1 - t = 1 3 \3 Donc K ! ^GE h (correspond au paramètre t =- 2 ). Z ]1 - t = 2 3 3 ]3 ]1 t 2 Le système [ + = 0 n’admet pas de solution. 3 6 ] ]] 1 - t = 0 3 \3 Donc F g ^GE h . 1 Dans le repère
80 a. La droite est dirigée par le vecteur de coor1
14
E
B
IK et
Représentations paramétriques Z = + ] x 4 2t 79 a. [ y =- 1 + 3t , t ! R . ] = \z t
83 On a le dessin suivant : A
Positions relatives J2 N
84 1 La droite est dirigée par le vecteur K- 1 O et la K O 1
K 4 O J- N L P K 1O droite 2 est dirigée par le vecteur K 2 O. K- 1 O L P Ces deux vecteurs n’étant pas colinéaires, les droites 1 et 2 ne sont pas parallèles. 2 a. En utilisant le résultat du logiciel, les droites 1 et 2 sont sécantes, au point de paramètre t = 1 sur 1, et u = 2 sur 2, c’est-à-dire au point de coordonnées ^1 ; 0 ; 7h .
Droites et plans de l’espace – Vecteurs
Z- + = Z- + = ] 1 2t 3 u L1 ] 1 2t 3 u b. [1 - t =- 4 + 2u L2 + [ 2 - 2t =- 8 + 4u ] + = ] + = L3 \ 3 4t 9 Zu \ 4 2t 6 = + ] 1 2t 3 - u L1 L2 ! 2L2 + [1 =- 5 + 3u ] = L3 ! L3 - L1 \t 1 Z L1 ]- 1 + 2t = 3 - u t=1 L2 ! L2 + L1 + [ u = 2 +) = u 2. ] = L3 \t 1 Les droites 1 et 2 sont donc coplanaires et sécantes au point de coordonnées ^1 ; 0 ; 7h . J2 N 85 La droite est dirigée par le vecteur u K- 1 O et la KK OO 1 J- N L P K 3O droite ^ ABh par AB K 2 O. Les deux vecteurs n’étant pas K- 3 O L P colinéaires, ces droites ne sont donc pas parallèles. De plus, ^ ABh admet comme représentation paraméZ = trique : ] x 2 3t , t ! R. [ y = 2t ] = \ z 3 3t On résout : Z - = + ] 2 3t 4 2u t=4 [ 2t = 1 - u + ) =- . u 7 ] - =- + 2 u \ 3 2t Z = - # =10 ]x 2 3 4 . On obtient : [ y = 2 # 4 = 8 ] = - # =9 \z 3 3 4
3 Les droites et ^d h sont dirigées respectivement par
J N J2 N K O K- 1 O les vecteurs K- 1 O et K 2 O. Elles sont donc non paralK 1 O K 2 O lèles. L P ZL P ]- 1 + 2t = 3 - u De plus, le système [ 4 - t = 1 + 2u n’admet pas de ] + = + \ 3 t 5 2u solution. Donc les droites et ^d h ne sont pas sécantes. On en déduit que les droite et ^d h sont non coplanaires. J- N J1 N 2 87 1 Les vecteurs AB K 3 O et AC K 2 O ne sont pas K KK OO K- 4 OO -4 L P L P colinéaires. Donc, les points A, B et C ne sont pas alignés et définissent bien un plan. J5 N K O 2 DE K 3 O. K- 2 O L P La droite ^DE h est parallèle au plan ^ ABC h si, et seulement si, les vecteurs DE , AB et AC sont coplanaires. On résout donc : Z a=2 ] a 2b = 5 DE = aAB + bAC + [ 3a + 2b = 3 + *b =- 3 . ]- 2 =- 2 \ 4a 4b 3 Donc DE = 2AB - AC . Donc la droite ^DE h est paral2 lèle au plan ^ ABC h .
Prépa Bac Exercices guidés
Les droites ^ ABh et sont donc sécantes au point de coordonnées ^- 10 ; 8 ; - 9h . 86 1 Les droites et ^d h sont dirigées respective-
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J1 N K O ment par les vecteurs K- 1 O et K 1 O parallèles. L P On résout : Z + = + ] 5 t 3 2u [1 - t = 2 + u ]- + =- + 6 5u \ 3 t
J2 N K O KK 1 OO. Elles sont donc non 5 L P Z ]]t =- 4 + [ 13 . ]u = 3 \ Les droites et ^d h sont donc sécantes au point de 4 1 paramètre t =sur et u = sur ^d h , c’est-à-dire 3 3 11 7 13 m. au point de coordonnées c ; ;3 3 3 2 Les droites et ^d h sont dirigées respectivement J- N J N K 1O K 2 O par les vecteurs K 3 O et K- 6 O. Ces vecteurs étant coliK 1 O K- 2 O L P L P néaires, les droites et ^d h sont donc parallèles et coplanaires. De plus, le point de coordonnées ^0 ; 5 ; 1h , appartenant à ^d h , appartient aussi à (correspondant à t = 1 ). On en déduit que les droites et ^d h sont confondues.
88 1 Faux.
Z = Z + = ]t 4 1 t 5 ] ] =5 . On résout [- 2 - t = 3 + [t ] + =]]t =- 5 1 2 \ 4 2t \ J1 N Le système n’admet pas de solution. K O 2 Faux. La droite est dirigée par le vecteur u K- 1 O, K 2 O qui n’est pas colinéaire au vecteur v . L P J- N J1 N K 1O K O 3 Vrai. Les vecteurs AB K 1 O et u K- 1 O ne sont pas coliK- 3 O K 2 O L P L P néaires, donc les droites ^ ABh et ne sont pas parallèles. La droite ^ ABh admet pour représentation paramétrique : Z = ]x 1 u [ y =- 1 + u , u ! R . ] = z 2 3u Z \+ = 1 t 1 u ] Or, le système [- 2 - t =- 1 + u n’admet pas de solu] + = \ 4 2t 2 3u tion. Donc les droites ^ ABh et ne sont pas sécantes. On en déduit que les droites ^ ABh et sont non coplanaires.
Livre du professeur - CHAPITRE 8
Droites et plans de l’espace – Vecteurs
15
J- N J 4 N J1 N K 1O K O K O 4 Vrai. AB K 1 O, AC K 4 O et u K- 1 O sont coplanaires K- 3 O K- 3 O K 2 O L P L P L P + il existe deux réels a et b tels que u = aAB + bAC . Z- + ] a 4b = 1 Or, u = aAB + bAC + [ a + 4b =- 1 . ]- = \ 3a 3b 2 Ce système n’admet pas de solution. Donc la droite n’est pas parallèle au plan ^ ABC h , donc elle est sécante au plan ^ ABC h en un point. 89 A. a. ◗ Par définition, DQ = 1 DF . 4 Donc en utilisant la relation de Chasles : 1 1 1 DQ = ^DA + AF h = DA + AF . 4 4 4 ◗ En utilisant la relation de Chasles : DA = DC + CP + PA . 2 1 Donc DA =- CD + CD + PA =- CD + PA . 3 3 ◗ Alors, par la relation de Chasles : 1 1 1 PQ = PD + DQ = CD + a DA + AF k 3 4 4 1 1 1 1 = CD + a- CD + PA k + AF . 3 4 3 4 1 1 1 Donc PQ = CD + PA + AF . 4 4 4 b. Comme CD = FE , on a :
1 1 1 1 CD + AF = FE + AF . 4 4 4 4 Donc, par la relation de Chasles,
1 1 1 CD + AF = AE . 4 4 4
1 1 CD + AF sont colinéaires. 4 4 c. En utilisant les questions a. et b., et la relation de Chasles, on obtient : 1 1 1 PQ = PA + AE = PE . 4 4 4
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Donc les vecteurs AE et
Donc les vecteurs PQ et PE sont colinéaires et les points P, Q et E sont alignés. d. Le point Q appartient donc à la droite ^PE h et donc au plan ^ APE h . Donc les points A, E , P et Q sont coplanaires. B. a. D^0 ; 1 ; 0h et F^1 ; 0 ; 1h . Z ] xQ = 1 4 ] ] 1 1 Comme DQ = DF , on a : [ yQ - 1 =- 4 . 4 ] ]] z = 1 q \ J N4 1 K4O K3O 1 3 1 Donc Q a ; ; k et AQ = K O. 4 4 4 K4O KK 1 OO L4P J1 N J N K3O K 0O De même, AP KK 1 OO et AE K 0 O. K1 O L0 P L P 16
Livre du professeur - CHAPITRE 8
b. On résout :
Z1 ] a= 1 Z 4 ]3 ]] a = 3 ] 3 + [ 14 . AQ = aAP + bAE + [ a = 4 ] ]b = 4 ]]b = 1 \ 4 \ 3 1 c. D’après la question b., AQ = AP + AE . Donc les 4 4 vecteurs AQ , AP et AE sont coplanaires. Donc les points A, E, P et Q sont coplanaires. 90 1 ◗ Par définition, BI = 2 BA et BI l = 1 BA .
3 3 1 2 Donc I c0 ; 0 ; m et I la0 ; 0 ; k . 3 3 2 1 ◗ De même, CJ = CA et CJ l = CA , avec A^0 ; 0 ; 1h 3 3 1 2 2 1 et C^1 ; 0 ; 0h . Donc J c ; 0 ; m et J lc ; 0 ; m . 3 3 3 3 1 2 ◗ De même, DK = DA et DK l = DA , avec 3 3 A^0 ; 0 ; 1h et D^0 ; 1 ; 0h . 1 2 2 1 Donc K c0 ; ; m et K lc0 ; ; m. 3 3 3 3 2 a. ◗ La droite ^CI h passe par le point C^1 ; 0 ; 0h et est
J- N K 1O dirigée par le vecteur CI K 0 O. Elle admet donc comme K 2 O K 3 O L P représentation paramétrique : Z = ]x 1 t ] = , t ! R. [y 0 ]] z = 2t 3 \ ◗ La droite ^BJ lh passe par le point B^0 ; 0 ; 0h et est J2N K3O K O dirigée par le vecteur BJ l K 0 O. Elle admet donc comme K1O L3 P représentation paramétrique : Z ] x = 2u 3 ] [y = 0 , u ! R. ] ]z = u 3 Z \ 2u Z ]1 - t = 3 ]]t = 3 ] b. On résout : [ 0 = 0 + [ 76 . ] 2t ]u = u 7 = ] \ 3 \ 3
Donc le point E a pour coordonnées : 4 2 3 2 3 # m, soit a ; 0 ; k . c1 ;0; 7 7 7 3 7 3 La droite ^BK h admet comme représentation paraméZ = ]x 0 ] t y= 3 , t ! R. trique : [ ] 2t ]z = 3 \
Droites et plans de l’espace – Vecteurs
La droite ^DI lh admet comme représentation paraméZ = ]x 0 ] = trique : [ y 1 u , u ! R . ]] z = u \ Z3 Z ]0 = 0 ]]t = 3 ] t = 1-u On résout : [ 3 + [ 76 . ] 2t ]u = u 7 = ] \ 3 \ 3 Donc le point G a pour coordonnées : 1 3 2 3 1 2 # m , soit a0 ; c0 ; # ; ; k. 3 7 3 7 7 7 J1 N J0 N K O K O 4 On a : BC K 0 O et BD K 1 O. K 0O K 0O L P L P J 4 N K 7 O K O 4 1 1 Or, GE K- O. Donc GE = BC - BD . La droite ^EGh 7 7 K 7O L 0 P est donc parallèle au plan ^BCDh . 1 3 De même, GF = BC + BD . La droite ^GF h est donc 7 7 parallèle au plan ^BCDh . On en déduit que le plan ^EFGh est parallèle au plan ^BCDh .
Exercices d’entraînement 91 1 Faux. Contre-exemple : prendre les plans et 1
3 strictement parallèles. 2 Vrai. Voir la Propriété d’incidence, page 260 du manuel. 3 Vrai. On raisonne par l’absurde en faisant l’hypothèse que et 2 ne sont pas sécants, c’est-à-dire en supposant que et 2 sont parallèles. Alors, tout vecteur dirigeant est un vecteur du plan 2 (voir Conséquence 3, page 262 du manuel) et donc du plan 1, puisque les plans 1 et 2 sont parallèles. Alors la droite est parallèle au plan 1. Impossible ! On en déduit que et 2 sont sécants.
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92 1 a. ◗ I est le milieu du segment 6 AB @ . Donc
1 I a0 ; 0 ; k . 2 1 1 ◗ J est le milieu du segment 6CD @. Donc J a ; ; 0k . 2 2 Z - = x 1 0 ] E ]y = 0 1 . Donc E a1 ; 0 ; - k . ◗ CE = AI . Donc [ E 2 ]] z =- 1 E 2 \Z = x 0 ] F ]y - 1 = 0 1 . Donc F a0 ; 1 ; k . ◗ DF = BI . Donc [ F 2 ]] z = 1 F 2 \ b. Le milieu du segment 6EF @ a pour coordonnées 1 1 - + f1+0 0+1 2 2 p, soit a 1 ; 1 ; 0 k . C’est ; ; 2 2 2 2 2 donc le point J. Ainsi, J est le milieu du segment 6EF @.
2 a. En utilisant la relation de Chasles :
1 1 1 EJ = EC + CJ = IA + CD = BA + CD . 2 2 2 1 1 1 = = + = + Et JF JD DF CD BI CD + AB . 2 2 2 Ainsi, EJ = JF . b. On en déduit que le point J est le milieu du segment 6EF @. 93 1 La droite ^MN h et le plan ^CEF h sont :
– soit parallèles, dans le cas où les vecteurs MN , CF et EF sont coplanaires ; – soit sécants en un point, dans le cas contraire. La position relative de la droite ^MN h et le plan ^CEF h revient donc à étudier la coplanarité éventuelle des vecteurs MN , CF et EF . 2 Comme HM = tHE , on a : M^1 - t ; 0 ; 1h . Comme GN = tGC , on a : N^1 ; 1 ; 1 - t h . J- N Jt N J0 N K 1O K O K O Ainsi, MN K 1 O, CF K 0 O et EF K 1 O. K 1 O K- t O K 0O L P L P L P 3 On résout : MN = aCF + bEF Z- = ] a t a =- t + [b = 1 + ) = . b 1 ] =t \a Donc MN =- tCF + EF . On en déduit que les vecteurs MN , CF et EF sont coplanaires. 4 D’après la question 3 , le droite ^MN h est parallèle au plan ^CEF h . 94 On a le dessin suivant : A
I L B
J G
K D
C 1 ABCD étant un tétraèdre, les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires. Donc ^ A, AB , AC , AD h est un repère de l’espace. 1 2 1 2 On obtient : I a ; 0 ; 0 k , J a0 ; ; 0 k , K c0 ; 0 ; m et 4 3 2 1 1 1 Ga ; ; k. 3 3 3 J 1N J 1N K- 4 O K- 4 O K O 1 O K O K et IK K 0 O. Donc IJ K 2 O K 2 O L 0 P L 3 P Comme AL = kAG , on a : Jk 1N K3 - 4O K O k k k k O. Lc ; ; m et IL K 3 3 3 3 O K k KK OO L 3 P
Livre du professeur - CHAPITRE 8
Droites et plans de l’espace – Vecteurs
17
^ IJK h , les vecteurs IL , IJ et IK sont coplanaires, c’est-à-dire qu’il existe deux réels a et b tels que : IL = aIJ + bIK . Z a ]- - b = k - 1 3 4 4 ] 4 ]a k . Alors, [ 2 = 3 ] ]] 2b = k 3 \ 3 Z 2 k ]a = 3 ] ] k Donc [ b = 2 . ] ]]- k - k = k - 1 8 3 4 \ 6 4 1 2 et b = . On en déduit que k = , a = 15 5 5 2 4 En utilisant la question 3 , AL = AG . 5 e Le point L se trouve aux 2/5 du segment 6 AG @ en partant du point A. 3 Comme le point L appartient au plan
95 1 Les trois vecteurs AB , AC et AD ne sont pas
coplanaires, puisque par définition d’un tétraèdre, les quatre points A, B, C et D ne sont pas coplanaires. Ainsi ^ A, AB , AC , AD h est un repère de l’espace.
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2 A^0 ; 0 ; 0h , B^1 ; 0 ; 0h , C^0 ; 1 ; 0h , D^0 ; 0 ; 1h . La formule des milieux donne : 1 1 1 1 1 1 ; k et K a ; 0 ; k . Ia ; ; 0 k , J a0 ; 2 2 2 2 2 2
ADl = 2AI , donc Dl^1 ; 1 ; 0h et de même Bl^0 ; 1 ; 1h et C l^1 ; 0 ; 1h . J- N K 1O 3 a. Un vecteur directeur de la droite ^BBlh est BBl K 1 O K 1 O L P et cette droite passe par B^1 ; 0 ; 0h , d’où une représentation paramétrique : Z = ]x 1 t , t ! R. [y = t ] = \z t Z = ]x u b. ^CC lh : [ y = 1 - u , u ! R ] = \Zz u ]x = s , s ! R. et ^DDlh : [ y = s ] = \z 1 s 4 a. Le résultat présenté montre que les droites ^BBlh et 1 ^CC lh ont en commun le point de paramètre 2 pour chacune des deux représentations, c’est-à-dire le point 1 1 1 de coordonnées a ; ; k. 2 2 2 1 1 1 b. Appelons G le point de coordonnées a ; ; k. 2 2 2 On vient de voir qu’il est commun aux droites ^BBlh et 1 ^CC lh. Or, il est obtenu pour la valeur s = 2 dans la représentation de ^DDlh . G est donc le point de concours des trois droites. 18
Livre du professeur - CHAPITRE 8
96 1 Soient deux droites et dans l’espace. 1 2
◗ On suppose que les droites 1 et 2 sont parallèles. Il existe donc un plan qui les contient et, dans ce plan, les droites 1 et 2 sont parallèles. Or, dans un plan, deux droites sont parallèles si, et seulement si, elles ont même vecteur directeur. Ce vecteur du plan est aussi un vecteur de l’espace. Les droites 1 et 2 ont donc même vecteur directeur. ◗ On suppose que les droites 1 et 2 ont même vecteur directeur u . Soient un point A de 1 et un point B de 2. Soit le point C de 1 tel que AC = u . Il existe au moins un plan contenant les points A, B et C. Comme AC = u , le vecteur est un vecteur du plan . Or, la droite 1 est la droite passant par le point A (appartenant à ) et dirigée par le vecteur u , et la droite 2 est la droite passant par le point B (appartenant à ) et dirigée par le vecteur u . On en déduit que les droites 1 et 2 sont contenues dans le plan et ont même vecteur directeur dans ce plan. Les droites 1 et 2 sont donc parallèles. 2 La droite et le plan sont parallèles + il existe une droite ’ de telle que et ’ sont parallèles + il existe une droite ’ de telle que et ’ ont même vecteur directeur (d’après la question 1 ). Donc : ◗ si la droite et le plan sont parallèles, alors un vecteur directeur de dirige une droite de , donc un vecteur directeur de est un vecteur de ; ◗ si un vecteur directeur u de est un vecteur du plan , alors pour tout point A de , la droite passant par A et de vecteur directeur u est incluse dans et a même vecteur directeur que , elle est donc parallèle à . La droite et le plan sont donc parallèles. 3 a. Soient une droite et un plan n’ayant aucun point commun. Soit un point A du plan . Alors le point A n’appartient pas à . On considère le plan P défini par la droite et le point A. Les plans et P ont en commun le point A et ne sont pas confondus (car et n’ont pas de point en commun). Les plans et P sont donc sécants selon une droite D . Les droites et D sont coplanaires, car incluses dans P . Elles sont donc soit parallèles, soit sécantes. Elles ne peuvent être sécantes, car sinon et auraient un point commun. On en déduit que les droites et D sont parallèles. Il existe donc une droite de qui soit parallèle à . La droite et le plan sont donc parallèles. b. Soient deux plans et P . On suppose que et P sont parallèles. ◗ Si et P sont confondus, la propriété est évidente. ◗ Sinon, et P sont strictement parallèles et n’ont pas de point en commun.
Droites et plans de l’espace – Vecteurs
Soient u et v non colinéaires dirigeant le plan . Soit un point A du plan et un point B du plan P . Alors A ! P et B ! . Le vecteur AB n’est donc pas un vecteur du plan et n’est donc colinéaire ni avec u , ni avec v . Le plan passant par B et dirigé par les vecteurs u et AB est donc bien défini.
A
u
v AB
B
Les plans P et ne sont pas confondus (car AB ne dirige pas P ) et contiennent le point B. Ils sont donc sécants selon une droite D . La droite D , incluse dans P , n’a pas de point commun avec le plan . Elle n’a donc pas de point commun avec la droite passant par A et dirigée par u . Comme ces deux droites sont coplanaires, elles sont parallèles et ont même vecteur directeur. Donc la droite D est dirigée par u . On en déduit que u est un vecteur du plan P . De la même façon, on montre que v est un vecteur du plan P . Or, les vecteurs u et v sont non colinéaires. Le plan P est donc dirigé par les vecteurs u et v . 97 1 A(1 ; 0 ; 1), B(1 ; 0 ; 0), C(1 ; 1 ; 0), D(1 ; 1 ; 1),
1 1 1 ; ; k. 2 2 2 2 Le milieu du segment 6 AG @ a pour coordonnées 1 1 1 a ; ; k , c’est le point G. 2 2 2 De la même façon, le point G est le milieu des segments 6BH @, 6CE @ et 6DF @.
E(0 ; 0 ; 1), F(0 ; 0 ; 0), G(0 ; 1 ; 0), H(0 ; 1 ; 1) et 0 a
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3 Soit I le centre de la face ABFE. Comme ABFE est un parallélogramme, I est le milieu de la diagonale 6 AF @ et 1 1 a donc pour coordonnées a ; 0 ; k . 2 2 Soit J le centre de la face CDHG. De la même façon, J a 1 1 pour coordonnées a ; 1 ; k . 2 2
Le milieu du segment 6 IJ @ a pour coordonnées 1 1 1 a ; ; k , c’est le point G. 2 2 2 98 1 a. Les coordonnées de u et v ne sont pas
proportionnelles. Donc les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires. b. Par définition, les vecteurs u , v et w sont coplanaires si, et seulement si, il existe deux réels x et y tels que w = xu + yv .
Ja N K O 2 a. D’après les résultats du logiciel, le vecteur w K b O est KcO L P coplanaire avec les vecteurs u et v , si, et seulement si, 5a + 3b , c’est-à-dire 5a + 3b - 7c = 0 . c= 7 a + 2b et b. D’après les résultats du logiciel, x = 7 - 3a + b . y= 7 Donc, dans le cas où les vecteurs u , v et w sont coplanaires, on a : - 3a + b a + 2b w= u+ v. 7 7 3 ◗ Pour le vecteur w1 , 5a + 3b - 7c = 5 # 8 + 3 # 3 - 7 # 7 = 0 . Donc les vecteurs u , v et w1 sont coplanaires, et -3 # 8 + 3 8+2#3 w1 = u+ v = 2u - 3v . 7 7 ◗ Pour le vecteur w2 , 5a + 3b - 7c = 5 # ^- 5h + 3 # 13 - 7 # 2 = 0 . Donc les vecteurs u , v et w2 sont coplanaires, et - 3 # ^- 5h + 13 - 5 + 2 # 13 w2 = u+ v = 3u + 4v . 7 7 ◗ Pour le vecteur w3 , 5a + 3b - 7c = 5 # 4 + 3 # 5 - 7 # ^- 2h = 49 ! 0 . Donc les vecteurs u , v et w3 ne sont pas coplanaires . 99 1 B^0 ; 0 ; 0h , E^0 ; 1 ; 1h et C^1 ; 0 ; 0h . Donc par la
1 1 1 ; ; k. 3 3 3 2 a. Comme I appartient à la droite ^ ABh , les vecteurs BI et BA sont colinéaires. Donc il existe un réel t tel que BI = tBA . De même, il existe un réel u tel que CJ = uCG . b. I^0 ; 0 ; t h et J^1 ; u ; 0h . En utilisant la formule des coordonnées du centre de gravité, le point M a pour coordonnées : + + + + + + c 0 0 1 ; 1 0 u ; 1 t 0 m, 3 3 3 + + 1 1 u 1 tk . soit a ; ; 3 3 3 J 1 1 NO K J0N 3 O K 3 KuO 1+u 1O K K O. On en déduit . Donc c. M0 M K M M 0 3 3O K3O K 1+t 1 O K t O K 3 - 3 O L3 P L P u t que M0 M = BF + BA . 3 3
formule du centre de gravité, M0 a
d. Les vecteurs M0 M , BF et BA sont coplanaires d’après la question 2 c. Le point M appartient donc au plan passant par M0 et dirigé par les vecteurs BF et BA . 3 Soit un point N du plan . Les vecteurs M0 N , BF et BA sont alors coplanaires. Il existe donc des réels a et b tels que : M0 N = aBF + bBA . En posant I^0 ; 0 ; 3bh et J^1 ; 3a ; 0h , on vérifie que N est le centre de gravité du triangle EIJ.
Livre du professeur - CHAPITRE 8
Droites et plans de l’espace – Vecteurs
19
Le point I appartenant à la droite ^ ABh et le point J appartenant à la droite ^CGh , le point N appartient à l’ensemble . 1 1 ; ; 1k . 2 2 1 1 E(0 ; 0 ; 0) et G(1 ; 1 ; 0). Donc O2 a ; ; 0k . 2 2 1 1 2 B(0 ; 1 ; 1), D(1 ; 0 ; 1) et E(0 ; 0 ; 0). Donc G1 c ; ; m. 3 3 3 2 2 1 C(1 ; 1 ; 1), H(1 ; 0 ; 0) et F(0 ; 1 ; 0). Donc G2 c ; ; m. 3 3 3 J 1 N J 2 N K 3 O K 3 O J1 N K 1 O K 2 O K O O, AG2 K O et AG K 1 O sont 2 Les vecteurs AG1 K K- 1 O K 3 O K 3 O KK- 1 OO KK- 2 OO L P L 3P L 3P colinéaires. Donc les points A, G1 , G2 et G sont alignés. 1 2 3 Comme AG1 = AG et AG2 = AG , les points 3 3 G1 et G2 sont respectivement placés à 1/3 et 2/3 du segment 6 AG @ en partant du point A. 100
1 A(0 ; 0 ; 1) et C(1 ; 1 ; 1). Donc O1 a
Problèmes 1 Le point I appartient au segment 6HF @ et donc au plan ^CFH h . Le point I appartient au segment 6EG @ et donc au plan ^ AEGh . Ainsi, le point I est commun aux plans ^CFH h et ^ AEGh . De même, le point C est commun aux plans ^CFH h et ^ AEGh . Donc les plans ^CFH h et ^ AEGh sont sécants selon la droite ^CI h . 2 La droite ^ AE h est contenue dans le plan ^ AEGh , donc le point J aussi. Le point J appartient donc aux plans ^ AEGh et ^CFH h . Il appartient donc à leur intersection ^CI h . On en déduit que les points C, I et J sont alignés. 3 Dans le triangle AJC, les droites ^EI h et ^ AC h sont parallèles. JE EI 1 = = . D’après le théorème de Thalès, JA AC 2 1 = Donc JE JA . 2 On en déduit que le point E est le milieu du segment 6 AJ @ . 101
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102
On se place dans le repère ^ A, AB , AD , AS h de l’espace. 1 1 1 S(0 ; 0 ; 1), B(1 ; 0 ; 0) et D(0 ; 1 ; 0). Donc G a ; ; k. 3 3 3 1 1 1 Comme S(0 ; 0 ; 1) et C(1 ; 1 ; 0), on a : E a ; ; k. 2 2 2 2 Donc AG = AE . Ainsi, les points A, G et E sont alignés. 3 103
1 a. E1 admet comme représentation paramé-
Z = ]x t trique : [ y = 1 - t , t ! R . ] = \ z 2t 20
Livre du professeur - CHAPITRE 8
Donc E1 est la droite passant par le point ^0 ; 1 ; 0h et J1 N K O dirigée par le vecteur K- 1 O. K 2 O L P b. E2 admet comme représentation paramétrique : Z = ]x t , t ! R et u ! R . [y = u ] = + \ z 1 2t u Donc E2 est le plan passant par le point ^0 ; 0 ; 1h et J1 N J 0 N K O K O dirigé par les vecteurs K 0 O et K 1 O. K 2 O K- 1 O J1 N L P L P K O c. Le vecteur K- 1 O seul suffit pour exprimer tous les K 2 O L P vecteurs « joignant » deux points de E1. J1 N J0 N K O K O Les deux vecteurs K 0 O et K 1 O sont nécessaires pour K 2O K- 1 O L P L P exprimer tous les vecteurs « joignant » deux points de E2. d. L’espace est un ensemble présentant trois degrés de liberté. 2 ◗ M^ x ; y ; z h ! E3 + il existe deux réels t et u tels Z = ]x 1 t que [ y = 2 + t - 2u . ] = + \z u 3 E3 a deux degrés de liberté, E3 est le plan passant par le J- N J N K 1O K 0 O point ^1 ; 2 ; 3h et dirigé par les vecteurs K 1 O et K- 2 O. K 0 O K 1 O L P L P Z x =- 3 + 7y + = x y 3z 0 ]] * ◗ M^ x ; y ; z h ! E 4 + + [y = y 2y + z - 1 = 0 ] z = 1 - 2y \ E4 a un degré de liberté, E4 est la droite passant par le J7 N K O point ^- 3 ; 0 ; 1h et dirigée par le vecteur K 1 O. K- 2 O L P Z ]] x - y + 3z = 0 ◗ M^ x ; y ; z h ! E5 + [ 2y + z - 1 = 0 ] x + y + 4z - 1 = 0 \ Z ]] x =- 3 + 7y . + [y = y ] z = 1 - 2y \ E5 a un degré de liberté, E5 est la droite passant par le J7 N K O point ^- 3 ; 0 ; 1h et dirigée par le vecteur K 1 O. K- 2 O L P Z - + = Z = 3 0 x y z ] ]x 6 ]x = 1 - t ] y =- 3 . ◗ M^ x ; y ; z h ! E6 + [ + [ ]y = 2 + t ] z =- 3 ] =] =3 5 \z \t E6 a 0 degré de liberté, E6 est le point de coordonnées ^6 ; - 3 ; - 3h . 3 Il semble que le nombre de degré de liberté soit toujours inférieur au nombre d’équations.
Droites et plans de l’espace – Vecteurs
104
◗ Soit un point M de la droite et un point Ml de la droite ’. On pose : M^2 + t ; 3 - 2t ; 5 - t h et Ml^4 - 3t l ; 5 - 8t l ; 7 - t lh . Le milieu I du segment 6 MMl@ a pour coordonnées : t tl t 3t l c3 + ; 4 - t - 4t l ; 6 - - m . 2 2 2 2 Il appartient donc au plan de représentation paraméZ ] x = 3 + t - 3t l 2 2 ] l = , t ! R et t l ! R . trique [ y 4 t 4t ] t tl ]z = 6 - 2 2 \ ◗ Réciproquement, soit un point I du plan , associés aux paramètres t et t l . En posant : M^3 + t ; 3 - 2t ; 5 - t h et Ml^4 - 3t l ; 5 - 8t l ; 7 - t lh , le point I est alors le milieu du segment 6 MMl@. Et par construction, M ! et Ml ! ’. ◗ Conclusion : le lieu du milieu des segments 6 MMl@ lorsque M décrit et Ml décrit ’ est le plan de représentation paramétrique : Z ] x = 3 + t - 3t l 2 2 ] [ y = 4 - t - 4t l , t ! R et t l ! R . ] t tl ]z = 6 - 2 2 \ C’est le plan qui passe par le point ^3 ; 4 ; 6h et qui est J 1 N J 3N K 2 O K- 2 O K O K O dirigé par les vecteurs K - 1 O et K - 4 O. K- 1 O K- 1 O L 2P L 2P 105
Les points A, B et C n’étant pas alignés, ils définissent bien le plan ^ ABC h . Ce plan n’est pas parallèle au plan , car le point Al est commun aux deux plans. Et ^ ABC h et ne sont pas confondus, car le point A appartient à ^ ABC h et n’appartient pas à . Donc les plans ^ ABC h et sont sécants selon une droite . Par définition, Al , Bl et C l sont communs aux deux plans ^ ABC h et . Ils appartiennent donc à la droite . Donc les points Al , Bl et C l sont alignés. 106
1 1 ; 1 k , J a1 ; 0 ; k et 2 2
1 1 3 ; ; k. 2 2 4 J 1N K- 2 O J- 1 N J0 N K O K 1 O K O 2 BI K O, BG K 1 O et BM K 1 O. Soient deux réels a et b. K1 O K 2 O K 2 O 1 KK 3 OO L P L P L 4 P Z ]- a =- 1 2 Z ] 1 ]a ]a = 1 2 . BM = aBI + bBG + [ 2 + b = 2 + [ ] ]b = 1 ]] a + b = 3 4 \ 4 \ Ma
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1 B^1 ; 0 ; 0h , G^1 ; 1 ; 1h , I a0 ;
1 1 BI + BG . Donc les vecteurs BM , BI et 2 4 BG sont coplanaires. Donc le point M appartient au plan ^BGI h . 3 La droite ^HJ h n’est pas contenue dans le plan ^BGI h , car J n’appartient pas au plan ^BGI h . De plus, le point M appartient au segment ^HJ h et donc à la droite ^HJ h . Il appartient aussi au plan ^BGI h . Donc la droite ^HJ h et le plan ^BGI h sont sécants au point M.
Donc BM =
107
1 Le plan ^HIMh coupe les plans parallèles ^EFGh et
^ ABC h selon les droites ^HN h et ^DMh . Donc les droites ^HN h et ^DMh sont parallèles. Et, par le théorème de Thalès, comme par définition le point H est le milieu de 6DI @, le point N est le milieu du segment 6 IM @. 1 1 1 De plus, OI = OH + HI = BD + DI = BI . 2 2 2 Donc le point O est le milieu du segment 6BI @. La droite des milieux ^NOh est donc parallèle à la droite ^MBh et donc ^BC h (sous réserve d’existence). 2 Soit la droite parallèle à la droite ^BC h passant par le point O. ◗ D’après la question 1 , pour tout point M de la droite ^BC h, le point N appartient à la droite . ◗ Réciproquement : soit un point N de la droite . Le point N appartient alors au plan ^EFGh . On définit le point M comme intersection de la droite ^ INh avec le plan ^ ABC h . De la même façon qu’à la question 1 , on montre que la droite (BM) est parallèle à la droite et donc à la droite ^BC h (sous réserve d’existence). Le point M appartient donc à la droite ^BC h . ◗ Conclusion : l’ensemble des points N lorsque M décrit la droite ^BC h est la droite , parallèle à la droite ^BC h passant par le point O. 108
1 a. En utilisant la relation de Chasles :
1 1 Al A + AB + BBl , 2 2 1 1 et LK = LD + DC + CK = Dl D + DC + CC l . 2 2 Or, Al A + BBl = ^ Al Dl + Dl D + DA h + ^BC + CC l + C l Bl h = ^ Al Dl + C l Bl h + ^DA + BC h + Dl D + CC l . IJ = IA + AB + BJ =
Donc Al A + BBl = Dl D + CC l , car Al Dl + C l Bl = 0 et DA + BC = 0 . Et comme AB = DC , on obtient que : IJ = LK . On en déduit que le quadrilatère IJKL est un parallélogramme. b. Les droites ^ IJ h et ^LK h sont donc parallèles. On en déduit que les points I, J, K et L sont coplanaires. 2 Les points O, Ol et Oll sont les milieux respectifs des segments 6 AC @, 6 Al C l@ et 6 IK @. En utilisant la relation de Chasles : 1 1 1 OOll = OA + AI + IOll = CA + AAl + IK 2 2 2 1 1 = CAl + IK , et 2 2
Livre du professeur - CHAPITRE 8
Droites et plans de l’espace – Vecteurs
21
Oll Ol = Oll K + KC l + C l Ol =
1 1 1 IK + CC l + C l Al 2 2 2
1 1 IK + CA . 2 2 Donc OOll = Oll O . On en déduit que le point Oll est le milieu du segment 6OOl@. =
109
1 a. et b. On obtient :
A
P
C
B M D
N
Donc la droite ^ II lh admet pour représentation paraméZ = + trique : ] x 1 7t [ y = 1 + 2t , t ! R . ] = \ z 8 7t Et la droite ^ JJ lh admet pour représentation paramétrique : Z = ]x 4 [ y = 4 - 4u , u ! R . ] = z 8 7u Z +\ = ]1 7t 4 Le système : [1 + 2t = 4 - 4u n’admet pas de solution. ] - = \ 8 7t 8 7u Donc les droites ^ II lh et ^ JJ lh ne sont pas sécantes. Donc les aiguilles ne se touchent pas.
F
Pistes pour l’accompagnement personnalisé
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E
On conjecture que le lieu du point P lorsque M décrit la droite ^BDh est la droite ^ AC h . J- N K 3O 2 a. BD K 0 O. Comme BM = aBD , on a : K- 3 O L P M^3 - 3a ; 0 ; 3 - 3ah . J3 N K O FB K- 4 O. Comme FN = aFB , on a : N^3a ; 4 - 4a ; 3ah . K 3 O L P b. Comme NP = EM , on a : J N J N K xP - 3a O K 3 - 3a - 3 O 0 K yp - 4 + 4a O = K O. K z - 3a O K 3 - 3a O P L p P L Donc P^0 ; 4 - 4a ; 3h . J 0 N K O 3 D’après la question 2 b., AP K 4 - 4a O. K 0 O L P Donc AP = ^1 - ahAC . L’ensemble des points P lorsque a décrit R tels que AP ^1 - ahAC est la droite ^ AP h . Donc le lieu du point P lorsque M décrit la droite ^BC h est la droite ^ AC h . 4 Par définition, le quadrilatère ENPM est un parallélogramme. Donc le milieu I du segment 6 MN @ est le milieu du segment 6EP @. On note I0 le milieu du segment 6 AE @. Par le théorème de la droite des milieux, lorsque P décrit la droite ^ AC h , le point I décrit la droite passant par I0 et parallèle à la droite ^ AC h . Cette droite est contenue dans le plan ^ AEC h . Donc lorsque M décrit la droite ^BDh , P décrit la droite ^ AC h et le milieu du segment 6 MN @ décrit une droite du plan ^ AEC h .
Prendre des initiatives 110
On se place dans le repère ^ A, AB , AD , AE h de l’espace. Alors, I^1 ; 1 ; 8h , J^4 ; 4 ; 8h , I l^8 ; 3 ; 1h et J l^4 ; 0 ; 1h . 22
Livre du professeur - CHAPITRE 8
Revoir les outils de base 111
Partie A
1 a. dans le triangle BEG, I et J sont les milieux des
segments 6BE @ et 6BG @, d’où EG = 2IJ ; 1 b. dans BGD et BED : KJ = DB = LI ; 2 1 c. dans AHF : AF = 2LM et ML =- AF ; 2 d. on considère le parallélogramme ABGH : AB = HG = LJ ; e. dans le triangle AHF, avec L, M et I, les milieux des cotés, on dispose du parallélogramme ALMI (situation classique) et donc ML + MI = MA . 2 avec KJ = LI on a déjà IJKL parallélogramme. 1 2 1 2 Comme KJ = DB = AB et IJ = EG = AB, 2 2 2 2 on obtient IJKL losange. Enfin, avec AB = LJ et IK = BC , on a LJ = IK et IJKL est donc aussi un rectangle : c’est un carré. Partie B a. strictement parallèles ; b. sécantes au centre du cube ; c. non coplanaires ; d. parallèles disjoints ; e. sécants selon ^EGh ; f. parallèles disjoints ; g. sécants en A ; h. parallèles, ^MN h est incluse dans ^DHF h . 112
1 a. Droite ^BC h ;
b. "K , ; c. la parallèle à la droite ^BC h passant par A ; d. la parallèle à la droite ^BK h passant par A, car BD + BC = 2BK . 2 a. ^BC h 1 ^BCDh ; b. inclus dans ^BCDh ; c. strictement parallèle à ^BCDh ; d. strictement parallèle à ^BCDh .
Droites et plans de l’espace – Vecteurs
Les savoir-faire du chapitre 113
1
A E F B
D
G J C
2
A E F B
D G
F
1 b. 2 b. c. et d. 3 b. et c. 4 c. (Sécantes en K^5 ; 12 ; - 5h .)
116
C
2 2 2 BA et BG = BJ , on a : GE = JA 3 3 3 et les droites ^GE h et ^ AJ h sont parallèles. La droite ^FH h est l’intersection du plan ^EFGh avec le plan ^ ACDh ; or les plans ^EFGh et ^ ACDh contiennent respectivement les droites ^EGh et (AJ) qui sont parallèles : le théorème du toit permet de conclure que leur intersection ^FH h est parallèle à ces deux droites. 3 Comme BE =
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115
Approfondissement
J
114
J 3 N K 4 O K 3 O O, ce qui conduit au b. On fait de même avec AK K 4 O K système : KK- 3 OO L 4P Z3 Z ] =n ]n = 3 Z 4 ]4 ] ]] n = 3 ] ]3 4 1 1 3 [ 4 = 3 m+ 3 n + [m = 2 + [ ] ]m = 3 ] 2 ]] 3 = 3 ]]- 3 =- 2 m + 1 n \ 4 3 3 4 4 \ \ Les quatre points A, J, I et K sont coplanaires. Remarque : on pouvait aussi considérer le milieu Al de 6BG @ et le milieu Hl de 6DE @ ; il est facile de voir que AAl = Hl H , et par suite le plan ^ AJI h , est aussi le plan ^ AAl Hl H h qui contient O, H et leur milieu K.
1 On se place dans le repère ^B ; BC ; BG ; BA h . I est le centre de gravité de DEH et J celui de BAG, d’où 2 2 1 1 I c1 ; ; m et J a0 ; ; k ; enfin O est le centre du 3 3 3 3 1 1 1 cube, donc O a ; ; k. 2 2 2 J1 N K2O J1 N K1O K1O On obtient : OI K O et JI K O, donc K6O K3O KK 1 OO K1O 6 L P L3 P JI = 2OI ce qui prouve l’alignement des points O, I et J. J 1 N K 2 O K 1O 2 a. On cherche à exprimer OC K- O, en fonction de K 2O J 0 N J1 N KK- 1 OO K 1 O K1O O. JI K O et AJ K L 2P K 3 O K3O K- 2 O K1O 3 L 3P L P Cela conduit au système d’inconnues t et s : Z1 Z ] = 0t + s ]s = 1 2 ] 2 ] ] 1 1 1 [- 2 = 3 t + 3 s + [t = 0 ] ] 3 ] s =]]- 1 =- 2 t + 1 s 2 \ 3 3 \ 2 ce qui est impossible : A, J, O et C ne sont pas coplanaires.
1 I est obtenu pour R = A et S = D , J est obtenu pour R = B et S = C . G est aussi le milieu du segment joignant les milieux K et L de 6 AB @ et 6CD @, car IKJL est un parallélogramme, donc G appartient à . 2 R^a ; 0 ; 0h , pour S on peut écrire : DA + AS = bDA + bAC ; d’où : AS = bAC + ^1 - bhAD et S^0 ; b ; 1 - bh . J a N K 2 O K b O 1 a b 1 b O; - m , I a0 ; 0 ; k avec IM K Mc ; ; 2 2 2 2 2 K 2 O KK- b OO 2P J1/2 N J 0 N L K O K O IM = au + bv , avec u K 0 O et v K 1/2 O. K 0 O K- 1/2 O L P L P a et b varient dans l’intervalle 60 ; 1 @. L’ensemble est donc porté par le plan passant par I, dirigé par les 1 1 vecteurs u = AB et v = DC . Il s’agit de l’intérieur, 2 2 bords compris, du parallélogramme IMJN, où M et N sont les milieux respectifs des segments 6 AC @ et 6BD @. A I K M D N B L J C 117
Les rayons du Soleil sont parallèles, les arêtes verticales du cube sont parallèles au bâton qui indique l’ombre : les plans ^ ABBlh et ^STSlh sont donc parallèles, coupés par le plan du sol en deux droites parallèles : ^ ABlh et ^TSlh sont donc parallèles (ombres des arêtes verticales).
Livre du professeur - CHAPITRE 8
Droites et plans de l’espace – Vecteurs
23
B 4 A 2 H
B’
3
R N
S O T
Q M
P S’ M’
118
N’
Z =- + Z = 2t s ]2 ]t 1 119 1 [0 = t - s + [t = s & 2 =- 1 . ] =- + ] = 2 1 \2 \ 3 3t Les trois vecteurs forment une famille libre (ils sont non coplanaires). 2 On remarque que 2v - u = w les trois vecteurs forment une famille liée. 3 a. Ce sont trois vecteurs coplanaires. b. Soit on a pu trouver parmi les quatre vecteurs, trois vecteurs non coplanaires, qui forment alors un repère de l’espace et le quatrième vecteur se décompose sur les trois non coplanaires, soit on ne réussit pas à en trouver trois non coplanaires, ce qui signifie que trois d’entre eux forment une famille liée. On peut alors écrire : a = ab + bc et donc aussi a = ab + bc + 0d . Ce qui montre que la famille "a , b , c , d , est aussi liée.
1
H
2
F G
A
K D
4
6
B C
J
5
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3
E I
24
Livre du professeur - CHAPITRE 8
Droites et plans de l’espace – Vecteurs