6. El problema problema de la decisión en ambiente de incertidumbre. 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5
Elementos de un problema de decisión. Tablas Tablas de decisión. Valoración Va loración de los resultados. Clasificación de de los problemas de de decisión. Toma Toma de decisiones en ambiente de incertidumbre. incertidu mbre. 6.5.1 Criterio de Laplace. 6.5.2 Criterio de Wald ma!imin". ma!imin". 6.5.3 Criterio de #ur$ic%. 6.5.4 Criterio de &a'a(e minima!".
6.1 Elementos de un problema problema de decisión. Teoría de la Decisi Decisión ón" abo En esta esta part partee de la asi( asi(na natu tura ra Teoría aborda rdarem remos os la toma toma racion racional al
co)erente" de decisiones. Estudiaremos cómo deber*an tomarse las decisiones en contraste con la forma inco)erente en +ue muc)as 'eces se suelen tomar en la pr,ctica. El primer elemento a tener en cuenta en un problema de toma de decisiones es la persona empresa-" +ue tiene +ue decidir- al +ue se denomina decisor . El decisor tiene unas caracter*sticas- como son sus preferencias- sus creencias / la información de +ue dispone- +ue deben tenerse mu/ en cuenta al estudiar el problema. 0os ocupamos e!clusi'amente e!clusi'amente del problema de decisión unipersonal- en el +ue )a/ un nico decisor. Como caso particular de toma de decisiones est,n a+uellas situaciones en +ue dos indi'iduos )an de decidir en conflicto de intereses- de cu/o estudio se encar(a la Teoría de Juegos.
El segundo elemento de un problema de decisión es el conjunto de posibles acciones o alternativas de +ue dispone el decisor.
En la construcción de un modelo para la toma de decisiones- la primera tarea del decisor- en la +ue )abr, de poner muc)a atención- es la enumeración e!)austi'a de ese conunto de alternati'as. La Teor*a de la ecisión no entra en la elaboración del conunto de alternati'as- es al(o +ue /a 'iene dado. 0osotros suponemos adem,s +ue ese conunto es finito a1 , a2 ,.....,am- / entre ellas )a/ +ue ele(ir sólo una. La elección de alternati'a se )ar, en función de sus consecuencias- consecuencias consecuencias +ue depender,n de cierta cantidad de factores e!ternos +ue est,n fuera del control del decisor. estado de la naturaleza naturaleza o simplemente estado a una descripción completa de &e den denomi omina na estado
cómo son esos factores e!ternos en una determinada situación. &i el decisor conociese el 1
esta estado do de la natu natura rale le%a %a imper imperan ante te-- es deci decirr- si cono conoci cies esee perf perfec ectam tamen ente te cómo cómo 'an 'an a manifestarse los factores e!ternos- podr*a predecir con e!actitud las consecuencias de sus acciones. La segunda tarea en la construcción del modelo para la toma de decisiones consiste en el an,lisis de esos factores e!ternos- u%(ando cu,les son rele'antes / cu,les no- / en la enumeración e!)austi'a e!)austi'a de los estados de la naturale%a. El conjunto de todos los posibles estados de la naturaleza constitu/e el tercer elemento de un prob proble lema ma de deci decisi sión ón.. &upo &upone nemo moss +ue +ue este este con conun unto to es finito- tendre tendremo moss una una lista lista exhaustiva de estados de la naturale%a e1 , e2 , ..., en mutuamente excluyentes.
La conunción de una decisión con un estado de la naturale%a determina perfectamente la consecuencia resultante- notaremos por xij
al resultado de adoptar la alternati'a ai-
cuando el estado de la naturale%a es e j. 6.2 Tablas Tablas de decisión
uc)os procesos de toma de decisiones son tratados por medio de las tablas de decisión tambin llamadas matriz de pagos - en las +ue se representan los elementos caracter*sticos de estos problemas
• Los diferentes estados +ue puede presentar la naturale%a e1 , e2 , ..., en. • Las acciones o alternativas entre las +ue seleccionar, el decisor a1 , a2 ,...,am. • Las
consecuencias
o resultados x ijij de la elección de la alternati'a ai cuando la
naturale%a presenta el estado e j . &e supone- por simplicidad- un número finito de estados / alternati'as. El formato general de una tabla de decisión es el si(uiente Estados de la aturaleza
s a v i t a n r e t l A
e1
...
e j
...
en
a1
x11
...
x1j
...
x1n
...
...
...
...
...
...
ai
xi1
...
xij
...
xin
...
...
...
...
...
...
am
xm1
...
xmj
...
xmn
2
esta estado do de la natu natura rale le%a %a imper imperan ante te-- es deci decirr- si cono conoci cies esee perf perfec ectam tamen ente te cómo cómo 'an 'an a manifestarse los factores e!ternos- podr*a predecir con e!actitud las consecuencias de sus acciones. La segunda tarea en la construcción del modelo para la toma de decisiones consiste en el an,lisis de esos factores e!ternos- u%(ando cu,les son rele'antes / cu,les no- / en la enumeración e!)austi'a e!)austi'a de los estados de la naturale%a. El conjunto de todos los posibles estados de la naturaleza constitu/e el tercer elemento de un prob proble lema ma de deci decisi sión ón.. &upo &upone nemo moss +ue +ue este este con conun unto to es finito- tendre tendremo moss una una lista lista exhaustiva de estados de la naturale%a e1 , e2 , ..., en mutuamente excluyentes.
La conunción de una decisión con un estado de la naturale%a determina perfectamente la consecuencia resultante- notaremos por xij
al resultado de adoptar la alternati'a ai-
cuando el estado de la naturale%a es e j. 6.2 Tablas Tablas de decisión
uc)os procesos de toma de decisiones son tratados por medio de las tablas de decisión tambin llamadas matriz de pagos - en las +ue se representan los elementos caracter*sticos de estos problemas
• Los diferentes estados +ue puede presentar la naturale%a e1 , e2 , ..., en. • Las acciones o alternativas entre las +ue seleccionar, el decisor a1 , a2 ,...,am. • Las
consecuencias
o resultados x ijij de la elección de la alternati'a ai cuando la
naturale%a presenta el estado e j . &e supone- por simplicidad- un número finito de estados / alternati'as. El formato general de una tabla de decisión es el si(uiente Estados de la aturaleza
s a v i t a n r e t l A
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...
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...
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x11
...
x1j
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x1n
...
...
...
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...
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xi1
...
xij
...
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...
...
...
...
...
...
am
xm1
...
xmj
...
xmn
2
6.3 Valoración de los resultados.
7un+ue los resultados xij no son necesariamente nmeros- supondremos +ue el decisor puede 'alorarlos numricamente. En el conte!to económico / empresarial esta 'aloración suele ser monetaria. En lo +ue si(ue identificaremos cada cada resultado con su 'aloración 'aloración numrica. 7s* xij )ar, referencia tanto al propio resultado como al 'alor asi(nado por el decisor. Ejemplo !"1"
En cierta ciudad se 'a a construir un Centro de Con(resos en una de dos
posibles locali%aciones X e Y - +ue ser, decidido el pró!imo a8o. 9na cadena de restaurantes est, interesada interesada en abrir un restaurante restaurante cerca del nue'o nue'o Centro de Con(resosCon(resos- para lo cual cual tiene +ue decidir +u inmueble comprar. La si(uiente tabla muestra el precio de los inmuebles- el beneficio estimado +ue obtendr, el restaurante en cada posible locali%ación- si el Centro de Con(resos se locali%a all*- / el 'alor de 'enta de cada inmueble si finalmente el Centro de Con(resos no se constru/e en ese lu(ar. :Cu,l es la decisión m,s adecuada;
eneficio estimado del restaurante Valor de 'enta del inmueble
en X 126 21? 42
en Y =4 161 2=
Las alternativas posibles de +ue dispone el el decisor son las las si(uientes si(uientes
• Comprar el inmueble en X . • Comprar el inmueble en Y . • Comprar ambos inmuebles. • 0o comprar nin(uno.
• El Centro de Con(resos se constru/e constru/e en X . • El Centro de Con(resos se constru/e constru/e en Y . 7s*- si la cadena de restaurantes compra el terreno en X / el Centro de Con(resos se constru/e all* finalmente- obtendr, como rendimiento final el correspondiente a la e!plotación del restaurante- 21?- menos la in'ersión reali%ada en la compra del inmueble- 126- es decir21?@12 21? @1266 A B1. B1.
3
e manera an,lo(a se determinan los resultados de las restantes alternati'as ante cada uno de los posibles estados de la naturale%a- dando lu(ar a la si(uiente tabla de decisión Alternativas Inmueble comprado en: # $ # e $ Ninguno
Estados de la Naturalea !entro de !ongresos en # en # !entro de !ongresos en $
B1 @ 56 35
@ =4 ?? @?
6." !lasi#icación de los problemas de decisión.
&e clasifican en función del (rado de información +ue sobre los estados de la naturale%a ten(a el decisor
•
$roblemas de decisión en ambiente de certea o certidumbre: El decisor conoce
el
estado de la naturale%a +ue ocurrir, con absoluta certe%a. &olamente )a/ una consecuencia para cada alternati'a / puede predecir con certe%a el resultado de sus acciones. acciones. La tabla de decisión sólo tiene una columna.
•
$roblemas de decisión en ambiente de riesgo:
Dcurre cuando cuando )a/ dos o m,s
estados de la naturale%a / se conoce la probabilidad de +ue se presente cada uno de ellos. Es decir- se conoce una distribución de probabilidad sobre la ocurrencia de los estad estados. os. Cada Cada altern alternati ati'a 'a tiene tiene difere diferente ntess conse consecu cuenc encias ias result resultad ados" os" con con una una probabilidad conocida. conocida.
•
$roblemas de decisión en ambiente de incertidumbre:
En estos problemas tambin
)a/ mltiples mltiples consecuencias consecuencias resultados" para cada cada alternati'aalternati'a- pero no se conoce conoce la probabilidad de ocurrencia de cada una de ellas. El decisor solo conoce cuales son los estados posibles / las consecuencias de sus alternati'as se(n el estado +ue se presente. La decisión final se basa en criterios subeti'os del decisor- u(ando un papel importante su actitud. 6.% Toma Toma de decisiones en ambiente de incertidumbre.
En los procesos de decisión decisión bao incertidumbre- el decisor conoce cu,les son los posibles estados de la naturale%a- aun+ue no dispone de información al(una sobre cu,l de ellos ocurrir,. 0o sólo es incapa% de predecir el estado real +ue se presentar,- sino +ue adem,s no puede cuantificar cuantificar de nin(una forma forma esta incertidumbre. incertidumbre.
4
7 continuación se describen las diferentes reglas de decisión en ambiente de incertidumbre+ue ser,n sucesi'amente aplicadas al eemplo de construcción del Centro de Con(resos
• Criterio de Laplace • Criterio de Wald • Criterio a!ima! • Criterio de #ur$ic% • Criterio de &a'a(e 6.%.1 !riterio de &aplace.
Este criterio- propuesto por Laplace en 1=25- est, basado en el principio de raón insu#iciente.
Como a priori no e!iste nin(una ra%ón para suponer +ue un estado se puede
presentar m,s f,cilmente +ue los dem,s- podemos considerar +ue todos los estados tienen la misma probabilidad de ocurrencia - es decir- la ausencia de conocimiento sobre el estado de
la naturale%a e+ui'ale a afirmar +ue todos los estados son e+uiprobables. 7s*- para un problema de decisión con n posibles estados de la naturale%a- asi(nar*amos probabilidad 1%n a cada uno de ellos. La re(la de Laplace selecciona como alternati'a óptima a+uella +ue proporciona el ma/or resultado esperado n 1 a ij max x n ∑ j =1 i
Ejemplo !"2"
tabla muestra los resultados esperados para cada una de las alternati'as Alternativas Inmueble comprado en: # $ # e $ Ninguno
Estados de la Naturalea !entro de !entro de !ongresos en # !ongresos en $
B1 @ 56 35
@ =4 ?? @?
'esultado esperado
3-5 1-5 1"
En este caso- cada estado de la naturale%a tendr*a probabilidad de ocurrencia i(ual a 12. 3- 5 = =4
1 2
B1 −
1
…
14 =
1 1 35 − ? 2 2
2
El resultado esperado m,!imo se obtiene para la tercera alternati'a- por lo +ue la decisión óptima se(n el criterio de Laplace ser*a comprar ambos inmuebles. 5
La ob(eción +ue se suele )acer al criterio de Laplace es la si(uiente ante una misma realidad) pueden tenerse distintas probabilidades) seg*n los estados de la naturalea +ue se consideren.
en X”, “Centro de Congresos en Y” y “e !os!one la locali"aci#n del Centro de Congresos”,
con lo +ue la probabilidad de cada estado de la naturale%a ser*a 13. esde un punto de 'ista pr,ctico- la dificultad de aplicación de este criterio reside en la necesidad de elaboración de una lista e,-austiva mutuamente e,cluente de todos los posibles estados de la naturalea.
Estados de la Naturalea e1 e2
3 1
@1 =
'esultado esperado 1/
B
Este criterio seleccionar*a la alternati'a a1- +ue puede ser poco con'eniente si la toma de decisiones se reali%a una nica 'e%- /a +ue podr*a conducirnos a una prdida @1". 6.%.2 !riterio de 0ald ma,imin.
Este es el criterio m,s conser'ador- +ue est, basado en lo(rar lo meor en las peores condiciones posibles. &i xij representa (anancias para el decisor- para ai la peor (ananciaindependientemente de lo +ue e j pueda ser- es min { xij } . Este resultado recibe el nombre de e j
nivel de seguridad
al ele(ir ai se (aranti%a al menos un beneficio de min { xij } unidades". e j
Wald su(irió +ue el decisor debe adoptar a+uella alternati'a +ue ten(a el ma/or ni'el de se(uridad- es decir- ele(ir ai asociada a max min { xij } ai
e j
Este criterio recibe el nombre de criterio maximin- / corresponde a un pensamiento pesimista-
alternati'a.
pues se basa en lo peor +ue le puede ocurrir al decisor cuando eli(e una
Ejemplo !"&"
tabla muestra los resultados obtenidos unto con los ni'eles de se(uridad de las diferentes alternati'as Alternativas Inmueble comprado en: # $ # e $ Ninguno
Estados de la Naturalea !entro de !entro de !ongresos en # !ongresos en $
B1 @ 56 35
@ =4 ?? @?
min { xij } e j
@=4 @56 @? /
La alternati'a óptima se(n el criterio de Wald ser*a no comprar nin(n inmueble- pues proporciona el ma/or de los ni'eles de se(uridad. En ocasiones- el criterio de Wald puede conducir a decisiones poco adecuadas.
Estados de la Naturalea e1 e2
3 2
1BB 2
min { xij } e j
1BB 2//
El criterio de Wald seleccionar*a la alternati'a a2- aun+ue lo m,s ra%onable parece ser ele(ir la alternati'a a1- /a +ue en el caso m,s fa'orable proporciona una recompensa muc)o ma/ormientras +ue en el caso m,s desfa'orable la recompensa es similar. Este criterio ser*a adecuado si la naturale%a fuese un contrincante +ue intentase )acernos perder $eor%a de &uegos"- pero no es as* la naturale%a presenta un estado u otro independientemente de los resultados. 6.%.3 !riterio de ur4ic.
Este criterio representa un ran(o de actitudes desde la m,s optimista )asta la m,s pesimista. En las condiciones m,s optimistas se ele(ir*a la acción +ue proporcione el
max max { xi j } ai
e j
criterio maximax". &e supone +ue xij representa (anancia o beneficio. 7 max { xi j } se le e j
denomina nivel o!timista de la acción ai. F(ual de racional es adoptar el criterio pesimista Wald" +ue el optimista. 7 la 'ista de +ue mu/ poca (ente es tan optimista o tan pesimista como estos criterios obli(an a ser- #ur$ic% 1B51" propuso un criterio intermedio el decisor ordenar, sus alternati'as se(n una media
ponderada de los ni'eles optimista / de se(uridad por los pesos respecti'os α / 1@ α"- donde GαG1. &i xij representa beneficio- se selecciona la acción +ue proporcione
{
a
max i
e
1
ij
{ }
e
α max x + j
−
α
{ }} ij
"
min x j
El par,metro α se conoce como índice de optimismo: cuando αA1- el criterio es el m,s optimistaH cuando αA- es el m,s pesimista. 9n 'alor de α entre cero / uno puede ser seleccionado dependiendo de si el decisor tiende )acia el pesimismo o al optimismo. En ausencia de una sensación fuerte de una circunstancia u otra- un 'alor de αA12 parece ser una selección ra%onable 1. Ejemplo !"'"
tabla muestra los resultados unto con la media ponderada de los ni'eles optimista / de se(uridad de las diferentes alternati'as para un *ndice de optimismo I 5 -4 Alternativas Inmueble comprado en: # $ # e $ Ninguno
Estados de la Naturalea !entro de !entro de !ongresos en !ongresos en # $
B1 @ 56 35
@ =4 ?? @?
min { xij }
max { xij }
@=4 @56 @?
B1 ?? 35
e j
e j
edia ponderada IA-4" @14 @2-= )7
−14 = - 4 × B1 − - 6 × … B- = = - 4 × 35 − - 6 × ? =4
La alternati'a óptima se(n el criterio de #ur$ic% ser*a comprar los inmuebles X e Y - pues proporciona la ma/or de las medias ponderadas para el 'alor de I seleccionado. 6.%." !riterio de 8avage minima,.
En 1B51 &a'a(e ar(umenta +ue al utili%ar los 'alores xij para reali%ar la elección- el decisor compara el resultado de una alternati'a bao un estado de la naturale%a con todos los dem,s 1
Para determinar α , se le ofrece al decisor el siguiente problema: e1
1 v a2 Haciendo variar v hasta que ambas alternativas le sean indiferentes. a1
e2
0 v
Para la primera alternativa el nivel de seguridad es cero y el nivel optimista es 1, entonces segn el !ndice de optimismo del decisor, su media ponderada es: I× 1 + 1 − I" × = I . Para la segunda alternativa su media ponderada es I v + 1 − I" v = v . Por lo que en caso de indiferencia se tendr"
I=v.
resultados- independientemente del estado de la naturale%a bao el +ue ocurran. &in embar(oel resultado de una alternati'a sólo deber*a ser comparado con los resultados de las dem,s alternati'as bao el mismo estado de la naturale%a. 9na consecuencia puede ser mu/ pobre en el conte!to de la tabla completa / sin embar(o ser la meor +ue puede ocurrir bao un determinado estado. Con este propósito &a'a(e define el concepto de p9rdida relativa o p9rdida de oportunidad !ij asociada a un resultado xij como la diferencia entre el resultado de la meor alternati'a
dado +ue e j es el 'erdadero estado de la naturale%a / el resultado de la alternati'a ai bao ese mismo estado e j !ij
= max { x'j } − xij a'
7s*- si el 'erdadero estado en +ue se presenta la naturale%a es e j / el decisor eli(e la alternati'a a' +ue proporciona el m,!imo resultado x'j- entonces no )a deado de (anar nada pero si eli(e otra alternati'a cual+uiera ai - entonces obtendr*a como (anancia xij / dear*a de (anar x'j − xij. &a'a(e opina +ue en lu(ar de trabaar con la tabla de beneficios- debe trabaarse con la tabla de prdidas de oportunidad / en ella debe actuarse con una filosof*a pesimista propone seleccionar la alternati'a +ue proporcione la menor de las ma/ores prdidas relati'as- es decirmin max { !ij ai
}
e j
Con'iene destacar +ue- como paso pre'io a la aplicación de este criterio- se debe calcular la matri% de prdidas relati'as- formada por los elementos !ij . Cada columna de esta matri% se obtiene calculando la diferencia entre el 'alor m,!imo de esa columna / cada uno de los 'alores +ue aparecen en ella. Ejemplo !"("
tabla muestra la matri% de prdidas relati'as Alternativas Inmueble comprado en: # $ # e $ Ninguno
Estados de la Naturalea !entro de !entro de !ongresos en !ongresos en # $
max { !ij } e j
B1@B1A ??@@=4"A161 161 B1@@56"A14? ??@??A 14? 7" B1@35A56 ??@@?"A=4 B1@AB1 ??@A?? B1 La decisión óptima se(n el criterio de &a'a(e ser*a comprar ambas parcelas.
El criterio de &a'a(e puede dar lu(ar en ocasiones a decisiones poco ra%onables.
Estados de la Naturalea e1 e2
45 2
a1 a2
1 3
La tabla de p9rdidas relativas correspondiente a esta tabla de resultados es la si(uiente Alternativas
max { !ij }
Estados de la Naturalea e1 e2
25
a1 a2
e j
2
2/
25
La alternati'a óptima es a1. &upon(amos a)ora +ue se a8ade una alternati'a- dando lu(ar a la si(uiente tabla de resultados Alternativas
Estados de la Naturalea e1 e2
45 2 15
a1 a2 a&
1 3 45
La nue'a tabla de prdidas relati'as ser*a Alternativas a1 a2 a&
Estados de la Naturalea e1 e2
25 3
35 15
max { !ij } e j
35 2%
3
El criterio de &a'a(e selecciona a)ora como alternati'a óptima a2- cuando antes seleccionó a1. Este cambio de alternati'a resulta un poco paradóico supon(amos +ue a una persona se le da a ele(ir entre carne o 'erduras- / prefiere carne. &i posteriormente se la da a ele(ir entre carne- 'erduras o pescado- Ja)ora prefiere 'erdurasK Ejemplo !"!"
En este eemplo la matri% de decisión reco(e (astos en lu(ar de beneficios por
lo +ue los anteriores criterios de decisión 'ar*an en su forma de aplicación. 9na cafeter*a debe planificar su ni'el de abastecimiento para satisfacer la demanda de sus clientes en un d*a de fiesta. El nmero e!acto de clientes no se conoce- pero se espera +ue est en una de cuatro cate(or*as 3- 4- 6 / 65 clientes. &e plantean- por lo tanto- cuatro ni'eles de abastecimiento. La des'iación respecto del nmero de clientes esperado resulta en costes adicionales- /a sea por un abastecimiento e!cesi'o sin necesidad o por+ue la demanda no puede satisfacerse. La tabla +ue si(ue reco(e estos costes en cientos de euros
e d l e v i 0 o t n e i m i c e t
e1)*++
e2)-++
e*)++
e-)/+
a1)*++
15
3
54
?5
a2)-++
24
21
24
6B
a*)++
63
54
36
63
a-)/+
B
66
5?
45
etermine cu,l es el ni'el de apro'isionamiento óptimo se(n los diferentes criterios. 8olución:
Como los 'alores de la tabla representan costes- todos los criterios de decisión
estudiados anteriormente donde busc,bamos la alternati'a con ma/or beneficio se transforman en ele(ir la alternati'a con menor coste. Dtra manera sencilla de resol'er los problemas de decisión con costes es cambiar el si(no a los resultados / actuar como en los problemas de decisión con beneficios. !riterio de &aplace:
El principio de Laplace establece +ue e1 , e2 , e* , e- tienen la misma probabilidad de suceder.
e a1)*++ d o l t e n v e i i a2)-++ 0 m i c e t a*)++ s a ( a a-)/+
e1)*++
e2)-++
e*)++
e-)/+
4alor es!erado
15
3
54
?5
43-5
24
21
24
6B
3")%
63
54
36
63
54
B
66
5?
45
64-5
!riterio de 0ald:
e d l e v i 0 o t n e i m i c e t
e1)*++
e2)-++
e*)++
e-)/+
max { xij }
a1)*++
15
3
54
?5
?5
a2)-++
24
21
24
6B
6B
a*)++
63
54
36
63
63
a-)/+
B
66
5?
45
B
e j
Este criterio pesimista basado en suponer +ue se dan las peores condiciones posiblessupondr, +ue para cada alternati'a nos enfrentamos al ma/or coste posible ni'el de se(uridad"- max { xij } , / ele(ir, a+uella alternati'a a* " para la +ue este 'alor es el menor de e j
todos- min max { xij } A63 . ai
e j
!riterio de ur4ic:
&upon(amos IA12- 'alor +ue suele tomarse cuando no se especifica un determinado *ndice de optimismo.
e1)*++
e2)-++
e*)++
e-)/+
0i'el de
0i'el
se(uridad
optimista
5edia
max { xij }
min { xij }
!onderada
e j
e a1)*++ d l e v a2)-++ i 0 o t a*)++ n e i m i a-)/+ c e t
e j
15
3
54
?5
?5
15
"%
24
21
24
6B
6B
21
"%
63
54
36
63
63
36
4B-5
B
66
5?
45
B
45
6?-5
7l tratarse de costes- ele(iremos la alternati'a asociada a la menor media ponderada. La solución óptima est, dada por a1 ó a2.
&i el *ndice de optimismo es IA-?- se multiplicar*a por este 'alor el ni'el optimista de cada alternati'a / por -3A1@I su ni'el de se(uridad- resultando
e1)*++
e2)-++
e*)++
e-)/+
0i'el de
0i'el
se(uridad
optimista
5edia
max { xij }
min { xij }
!onderada
e j
e a1)*++ d l e v a2)-++ i 0 o t a*)++ n e i m i a-)/+ c e t
e j
15
3
54
?5
?5
15
33
24
21
24
6B
6B
21
35-4
63
54
36
63
63
36
44-1
B
66
5?
45
B
45
5=-5
En este caso la solución óptima es a1. !riterio de 8avage:
La matri% de prdidas de oportunidad- al tratarse de costes- se calcular*a como !ij
= xij − min { x'j } a '
e d l e v i 0 o t n e i m i c e t
e1)*++
e2)-++
e*)++
e-)/+
max { !ij }
a1)*++
A15@15
BA3@21
3A54@24
3A?5@45
3
a2)-++
BA24@15
A21@21
A24@24
24A6B@45
2"
a*)++
4=A63@15
33A54@21
12A36@24
1=A63@45
4=
a-)/+
?5AB@15
45A66@21
33A5?@24
A45@45
?5
e j
La solución óptima est, dada por a2.
'elación de E(ercicios. 1.
&e considera la si(uiente tabla de beneficios e1
e2
e*
5 3 2 4 2 4 Eli(e la alternati'a óptima se(n los criterios de Laplace- Wald- #ur$ic% IA12" / &a'a(e. a1 a2
&olución Laplace )a1 , a2 , WaldA)a1 , a2 - #ur$ic%A a1- &a'a(eA a2. 2.
isponemos de la si(uiente tabla de decisión con beneficios" e1
a1 a2
65 6
e2
11 125
e*
? 5
e-
B 15
Tome la decisión óptima utili%ando todos los criterios de decisión en ambiente de incertidumbre
isponemos de la si(uiente tabla de decisión con (astos" e2
e1
e*
e-
11 ? B 65 6 125 5 15 Tome la decisión óptima utili%ando todos los criterios de decisión en ambiente de a1 a2
incertidumbre
9n in'ersor est, ansioso por iniciar un nue'o ne(ocio. 7ctualmente tiene tres posibilidades / el beneficio +ue obtendr, de cada una de ellas depende de su aceptación por los consumidores. Este in'ersor )a considerado para las condiciones del mercado tres posibles estados / el beneficio +ue espera de cada posible alternati'a es e1
e2
e*
15 3B 1= 21 21 6 12 2? :Mu decisión tomar*a utili%ando los criterios de Wald- de #ur$ic% IA23"- de &a'a(e / de a1 a2 a*
Laplace; &olución LaplaceA a2- WaldA a2- #ur$ic%A a2- &a'a(eA a*. %.
9n decisor con un *ndice de optimismo de -4 dispone de tres alternati'as entre las +ue ele(ir- / +ue en función de la incertidumbre del entorno- le pueden proporcionar en una situación buena 15- 6? / 123 euros respecti'amente- / en una situación mala- 5?- B3 / ?6 euros respecti'amente- :cu,l de las alternati'as deber*a ele(ir se(n su *ndice de optimismo; &olución a* B4-=N".
6.
9na empresa est, anali%ando tres posibles estrate(ias de futuro- las cuales a su 'e% depender*an de la situación económica del pa*s. Las (anancias estimadas por la empresa para cada estrate(ia son las si(uientes Crecimiento 7uerte 6alenti"aci#n sostenido crecimiento
16 16 15 15 42 =1 Estable%ca la estrate(ia +ue se(uir*a la empresa se(n adoptase 8strategia 1 8strategia 2 8strategia *
Wald- #ur$ic% IA-=" o &a'a(e.
1?3 21 24= los criterios de decisión de
&olución WaldAEstrate(ia 116"- #ur$ic% IA-="A Estrate(ia 3 26-="- &a'a(eA Estrate(ia 2 3=- prdida de oportunidad". .
9na empresa pretende comerciali%ar un nue'o producto. La demanda +ue espera recibir depende del precio de otro producto an,lo(o lan%ado por una empresa competidora. La empresa desea fiar su propio precio para lo +ue efecta una estimación de la demanda +ue conse(uir*a captar en cada supuesto- conforme sean su precio / el de la competencia recio com!etencia n; de unidades o i demandadas ↘ c e r ! 9lto o i ! 5edio o r 1 :ajo
9lto
5edio
:ajo
21 1= B 3? 34 25 45 36 3 &uponiendo +ue el coste unitario del producto es de 2N- / +ue los precios se fian en 7lto 4N
edio3N
>ao 24N
etermine la decisión óptima / los beneficios +ue se podr*an conse(uir utili%ando los distintos mtodos de decisión con incertidumbre IA-6". &olución Laplace !ro!io !recio alto ó medio beneficioA32N" ,
Wald !ro!io !recio
medio beneficioA25N" , < ur$ic%IA-6" !ro!io !recio alto beneficioA324N" , &a'a(e !ro!io !recio medio prdida 7.
de oportunidadA5N".
9na sociedad financiera +uiere reali%ar una in'ersión de medio millón de euros ad+uiriendo 'alores en bolsa para el pró!imo eercicio económico.
u(ida selectiva
6ecesi#n
7uerte su(ida
12 1 =
15 12 2
4 = =
12 12 16
4alor X 4alor Y 4alor =
Estudie la decisión +ue adoptar*a se(n el criterio de #ur$ic%. &olución Valor P si αR-5?142=5?2- 'alor O si -5?142=5?2R αR-666666666 / 'alor Q si -666666666R α .
La decisión de una empresa de lan%ar un nue'o producto )a planteado la necesidad de construir unas nue'as instalaciones +ue pueden ser de 6m 2 o de Bm2. La decisión sobre el tama8o de la nue'a planta depende de cómo 'a/a a reaccionar el mercado al nue'o producto.
La empresa considera +ue se pueden dar tres posibilidades en cuanto a la demanda +ue deri'ar*an en los si(uientes rendimientos 2
lanta con ++m 2 lanta con ?++m
>emanda (aja
>emanda media
>emanda alta
3 1
4 4
4 1
:Mu decisión tomar*a la empresa- si considera como criterio de decisión la prdida de oportunidad +ue asume en su decisión; &olución lanta con ?++m2 prdida de oportunidad 2". 1/. 9na empresa a(r*cola considera la decisión de plantar soa- tri(o o centeno. Los resultados de
la cosec)a depender,n del clima seco- )medo o llu'ioso. &e estima +ue los rendimientos netos en miles de euros para cada culti'o son los si(uientes eco
<úmedo
@luvioso
B6 56 @2 4 6 3 5 4 3 Fndi+ue cu,l ser*a el culti'o m,s adecuado a los intereses de la empresa a(r*cola. oja $rigo Centeno
&olución Laplace soa 44" - Wald tri(o 3" ó centeno 3"- #ur$ic% αA-5" tri(o 45" &a'a(e centeno 46- prdida de oportunidad".
. El problema de la decisión en ambiente de riesgo. ?.1 El criterio del 'alor monetario esperado. ?.1.1 Fncon'enientes del criterio del 'alor monetario esperado. ?.2 El criterio de la prdida de oportunidad esperada. ?.3 Valor monetario esperado con información perfecta. ?.3.1 El 'alor de la información perfecta.
.1 El criterio del valor monetario esperado V;E.
Cada estado de la naturale%a puede considerarse un suceso. Como /a se dio los estados de la naturale%a son sucesos mutuamente e!clu/entes- es imposible +ue se presenten dos estados simult,neamente- / adem,s constitu/en una enumeración e!)austi'a de todos los factores e!ternos +ue pueden presentarse. Cuando un conunto de sucesos cumplen con las anteriores propiedades se dice +ue son una partición de un espacio muestral / sobre ellos se puede definir una probabilidad. En el ambiente de ries(o cada alternati'a lle'a asociado un conunto de consecuencias +ue depender,n del estado de la naturale%a / por tanto cada una de ellas tendr, asociada una probabilidad conocida. Ejemplo )"1"
&upon(a +ue tiene un ne(ocio de 'entas de pinos para 0a'idad / debe decidir
cu,ntos pinos ordenar para la pró!ima 0a'idad. &e debe pa(ar 5N por cada ,rbol- se pueden ordenar solo lotes de 1 / se planea 'enderlos a BN cada uno. &i no se 'enden- no tienen 'alor de recuperación. &e re'isan las 'entas pasadas- lle(ando a las si(uientes estimaciones para la pró!ima 0a'idad 4enta de !inos )e j
2 3 4
ro(a(ilidad
-4 -4 -2
Con estos datos pueden calcularse los beneficios para cada combinación de cantidad ordenada / 'endida.
-4
ro(a(ilidad !)e j
-4
-2
>emanda de Ar(oles
o t e n e d i l m e i v c i e 0 t s a ( a
e1)2++
e2)*++
e*)-++
a1)2++
=
=
=
a2)*++
3
12
12
@2 ? 16 El problema de decisión lo tenemos tabulado- / las di'ersas consecuencias 'aloradas a*)-++
numricamente. 7l desarrollarse en ambiente de ries(o- el decisor no conoce cu,l es el 'erdadero estado de la naturale%a- pero si conoce la probabilidad de +ue lo sea cada uno de los estados considerados- es decir- conoce !)e1 !)e2 ........!)en . considerados e!)austi'os / e!clu/entes )a de 'erificarse +ue
7l ser los estados
n
∑ ! ( e
j
) = 1 . En (eneral-
la
j =1
tabla de decisión en ambiente de ries(o adopta la si(uiente forma ro(a(ilidad !)e j
!)e1
!)e2
...
!)en
8stados de la naturale"a
s a v i t a n r e t l 9
e1
e2
...
en
a1
x11
x12
...
x1n
a2
x21
x22
...
x2n
...
...
...
...
...
am
xm1
xm2
...
xmn
Como puede obser'arse la tabla de decisión es an,lo(a a la de decisión en ambiente de incertidumbre- con la información a8adida sobre las probabilidades de +ue se presente cada estado de la naturale%a. En esta situación es e'idente +ue adoptada la decisión ai- el decisor puede obtener cual+uiera de las recompensas +ue fi(uran en la i@sima fila dependiendo de cu,l sea el 'erdadero estado de la naturale%a el decisor obtendr, la recompensa xi1 con probabilidad !)e1 , la recompensa xi2 con probabilidad !)e2 / as* sucesi'amente.
Cuando tenemos un conunto de cantidades numricas- cada una de ellas con una probabilidad asociada- tomamos como representante de ese conunto al 'alor medio o 'alor esperado. 7
cada alternati'a le asociamos la esperan%a matem,tica de los di'ersos 'alores monetarios a los +ue conduce 4alor 5onetario 8s!erado " 458 ( ai ) = xi1 ! ( e1 ) + xi 2 ! ( e2 )
+
+ xin ! ( en )
&e(n este criterio de decisión- la alternati'a óptima ser, a+uella +ue condu%ca al m<,imo valor monetario esperado.
Ejemplo )"2"
Sesol'amos mediante este criterio el eemplo de los ,rboles de 0a'idad
ro(a(ilidad !)e j
-4
-4
-2
>emanda de Ar(oles
o t e n e d i l m e i v c i e 0 t s a ( a
e1)2++
e2)*++
e*)-++
458 ( ai )
a1)2++
=
=
=
=
a2)*++
3
12
12
7"/
a*)-++
@2
?
16
52
458 ( a1 ) = - 4 × = + - 4 × = + - 2 × = = = 458 ( a2 ) = - 4 × 3 + - 4 × 12 + - 2 ×12 = =4 458 ( a3 ) = - 4 × −2" + - 4 × ? + - 2 ×16 = 52
La alternati'a óptima es la se(unda ordenar *++ !inos . .1.1 Inconvenientes del criterio del valor monetario esperado.
7nalicemos la situación sobre nuestro eemplo. El due8o del ne(ocio de ,rboles de 0a'idad adoptaba la decisión de pedir 3 ,rboles por ser la de ma/or VE =4N"- pero al tomar esa decisión pueden obtenerse bien 3N o bien 12N- se(n cu,l sea el estado de la naturale%a pero nunca =4N. El VE no representa el beneficio de una nica decisión- es un promedio. &i adoptase esa decisión 'arias 'eces- cada una con una demanda posiblemente distinta- el 'endedor de ,rboles obtendr*a un promedio de =4N por cada 'e%. esde esta perspecti'a de decisiones repetitivas el criterio del V;E es adecuado.
.2 El criterio de la p9rdida de oportunidad esperada $=E.
Cuando el problema de decisión se desarrolla en ambiente de ries(o o en ambiente de incertidumbre- en lu(ar de decidir en base a una matri% de recompensas o beneficios puede )acerse con una matri% de prdidas de oportunidad- como se 'io en el tema anterior. La prdida de oportunidad es lo +ue podr*a )aberse (anado de m,s si se )ubiera conocido el estado de la naturale%a. iado un estado de la naturale%a- la prdida de oportunidad de cada acción es el beneficio +ue )a deado de obtenerse por no ser esa acción la meor frente al estado fiado.
o p9rdida de oportunidad !ij asociada a un resultado xij se define como la
diferencia entre el resultado de la meor alternati'a dado +ue e j es el 'erdadero estado de la naturale%a / el resultado de la alternati'a ai bao ese mismo estado e j !ij
= max { x'j } − xij a'
7s*- si el 'erdadero estado en +ue se presenta la naturale%a es e j / el decisor eli(e la alternati'a a' +ue proporciona el m,!imo resultado x'j- entonces no )a deado de (anar nada pero si eli(e otra alternati'a cual+uiera ai - entonces obtendr*a como (anancia xij / dear*a de (anar x'j − xij. Ejemplo )"&"
En el eemplo de los pinos de 0a'idad- su matri% de prdidas de oportunidad
ser*a ro(a(ilidad !)e j
-4
-4
-2
>emanda de Ar(oles
o t e n e d i l m e i v c i e 0 t s a ( a
e1)2++
e2)*++
e*)-++
a1)2++
=@=A
12@=A4
16@=A=
a2)*++
=@3A5
12@12A
16@12A4
a*)-++
=@@2"A1
12@?A5
16@16A
&al'o por la interpretación de las cantidades contenidas en la tabla- antes eran beneficios / a)ora son prdidas de oportunidad- la situación es la misma a cada alternati'a le corresponden 'arias cantidades- cada una con una probabilidad asociada. e nue'o- como representante de todas ellas consideramos su media- +ue a)ora representa la prdida de oportunidad esperada. &a alternativa óptima ser< la +ue conduca a la menor p9rdida de oportunidad esperada.
ro(a(ilidad !)e j
-4
-4
-2
>emanda de Ar(oles
o t e n e d i l e i m v c i e 0 t s a ( a
e1)2++
e2)*++
e*)-++
B8 ( ai )
a1)2++
4
=
#$0
a2)*++
5
4
28
a*)-++
1
5
%00
B8 ( a1 ) = - 4 × + - 4 × 4 + - 2 × =
= 32 B8 ( a2 ) = - 4 × 5 + - 4 × + - 2 × 4 = 2= B8 ( a3 ) = - 4 ×1 + - 4 × 5 + - 2 × = 6 La acción óptima se(n este criterio es a2 ordenar *++ !inos . *bs+rvese ,ue la decisión óptima por el criterio de -.E / la decisión óptima por el criterio de 0*E coinciden" Esta coincidencia se dar siempre maximizar el -.E es e,uivalente a minimizar la 0*E"
.3 Valor monetario esperado con in#ormación per#ecta V;EI$.
Como )emos 'isto- el decisor incurre en prdidas de oportunidad por tener +ue adoptar una alternati'a desconociendo el 'erdadero estado de la naturale%a. &i pudiese disponer de esa información :+u beneficios adicionales le proporcionar*a;- o lo +ue es lo mismo- :cu,nto estar*a dispuesto a pa(ar por ella; Concretando sobre el problema de los ,rboles de na'idad si el decisor supiese +ue el 'erdadero estado es e1 2 ,rboles" ele(ir*a a1 2 ,rboles" / obtendr*a una beneficio de =NH si el 'erdadero estado fuese e2 3 ,rboles" ele(ir*a a2 3 ,rboles" / obtendr*a 12N / si fuese e* 4 ,rboles" adoptar*a a* 4 ,rboles" / (anar*a 16N. 7 priori- a la )ora de pa(ar por la información- no se sabe cu,l es el 'erdadero estado de la naturale%a- pero si conoce la probabilidad +ue cada uno tiene de serlo- por tanto el decisor puede calcular el 'alor monetario esperado disponiendo de información perfecta ser, la media ponderada de los m,!imos de las columnas" 458 = - 4 × = + - 4 ×12 + - 2 ×16 =
112
.3.1 El valor de la in#ormación per#ecta VI$.
0o disponiendo de información perfecta el m,!imo 'alor monetario esperado +ue puede lo(rar el decisor es =4 como se 'io en el eemplo ?.2.
E'identemente Esta ser*a la m,!ima cantidad +ue un decisor racional pa(ar*a por disponer de información
a
perfecta. b
Cual+uier otra información no perfecta 'aldr, menos como 'eremos en el pró!imo tema".
El valor esperado de la información perfecta tambi+n podría 3aberse calculado desde la óptica de la p+rdida de oportunidad"
En efecto- con información perfecta nunca se incurre en
prdidas de oportunidad- por lo +ue la
Ejemplo )"'"
El &r. Sam*re% )a )eredado 1N / )a decidido in'ertir su dinero. 9n asesor
de in'ersiones le )a su(erido cinco in'ersiones posibles oro- bonos- ne(ocio en desarrollodepósitos / acciones. El )eredero debe decidir en +u opción in'ertir. La si(uiente tabla representa los beneficios +ue obtendr*a para cada posible comportamiento del mercado. Calcule el 'alor m,!imo +ue deber*a pa(ar por un estudio donde le ase(uren la ocurrencia de un determinado estado de la naturale%a. 0robabilidad
-25 Dran al"a
s a v i t a n r e t l A
Dro >onos 0e(ocio epósitos 7cciones
@2 5
-25
-2
-2
Estados de la naturaleza 4comportamiento del mercado5 eEueFa in eEueFa al"a cam(ios (aja 2 -+++ +++
4
1++++
/+++
12 4
12 3
3 2 12 3
@2 @4 12 @4
-1 Dran (aja
458)a i
@3 @12
2
12++
12 125
@3
21%/ 21%/
... El Valor onetario Esperado ,!imo es 215N.
458 = 1CCCC × C- 25 + 5CCC × C- 25 + 4CCC × C- 2 + 6CCC × C- 2 + 12CC × -1 = 5=?C
ma!imo = 5=? − 215 = 3?2
&i puede obtener información +ue le ase(ure la ocurrencia de un determinado estado de la naturale%a- podr*a pa(ar por ella )asta un m,!imo de 3?2N.
'elación de E(ercicios. 1.
Considere la tabla de decisión con beneficios
e2
e*
e-
3 4 6 2 2 2 4 3 2 1 B 6 6 1 3 donde X es un nmero real. Encuentre +u decisión debe ser tomada en función de X . a1 a2 a* a-
&olución &i X 3- ele(ir*a a1 VEA4 XG3"4". &i X R3- ele(ir*a a- VEA4". &i X A3- ele(ir*a a1 ó a- VEA4". 2.
9na empresa estudia la posibilidad de lan%ar un nue'o producto al mercado. Considera +ue las probabilidades de +ue el producto ten(a !ito o no son del ? / 3- respecti'amente. a" Dbten(a la decisión óptima se(n el VE / el ? @5 Lan%ar ambos 5 @3 0o lan%ar &olución a" Lan%ar >. VEA34-
3.
La si(uiente tabla representa las prdidas de una operación de ad+uisición / posterior 'enta de cuatro automó'iles
23
-? -2 -1 ercado baa ercado se mantiene ercado aumenta 2 1 5 =5 ? 5 15 1 15 15 15 es la decisión óptima se(n el VE / el
'alores; b" :Cu,nto estar*a dispuesto a pa(ar por conocer el 'erdadero estado de la naturale%a; c" :Cu,l es la prdida de oportunidad esperada si conoce el 'erdadero estado de la naturale%a; &olución a" 7utomó'il 4. VEA15-
9na empresa est, confeccionando su plan estrat(ico para la pró!ima dcada / dispone de cuatro posibles estrate(ias de desarrollo comercial autónomo- fran+uicias- red de a(entes o apertura de sucursales. Los beneficios pre'istos de estas cuatro estrate(ias en millones de euros dependen de cuatro posibles situaciones económicas / son los si(uientes e1
e2
7utónomo ? ? ran+uicias 35 35 Sed de a(entes 14 7pertura de sucursales 35 15 &i las probabilidades de +ue se d cada una de las
e3
e4
35 35 35 situaciones económicas son
respecti'amente -3- -15- -35 / -2 a" etermine cu,l ser*a la estrate(ia adecuada para la empresa / el beneficio esperado. b" Fndi+ue si resultar*a con'eniente para la empresa tratar de meorar su información sobre la incertidumbre (enerada por el entorno- supuesto +ue el coste del e+uipo +ue )ar*a la in'esti(ación de mercado durante seis meses fuera de 'einte millones de euros. &olución a" 7utónomo- VEA3=-5. b" &i- VF
9na distribuidora europea de un fabricante c)ino tiene +ue firmar un contrato de suministro sobre la base de +ue el producto ad+uirido debe ser pa(ado a 13N la unidad- se 'enda o no por la distribuidora- / la distribuidora lo 'ende a 225N la unidad. La demanda pude ser de 56 o ? unidades diarias esas mismas cantidades son las +ue podr*an aparecer en el contrato de suministro diario". En los ltimos 5 d*as la distribuidora )a tenido las si(uientes 'entas +ue considera fiables para la decisión a tomar 24
0mero de unidades 'endidas 5 6 ? 0mero de d*as 15 3 5 a" 7 la 'ista de esta información- :+u decisión debe tomar la empresa respecto del nmero de unidades diarias a ad+uirir en la reno'ación del contrato con el fabricante c)ino; :cu,l ser*a el 'alor monetario esperado; b" :Cu,l ser, el l*mite del coste correspondiente a la información adicional +ue )ipotticamente facilitara el nmero e!acto de unidades diarias +ue demandar*a la clientela a la distribuidora europea; &olución a" 6 unidadesd*a- VEA525. b" VF
9n ue(o consiste en lan%ar dos monedas simult,neamente / apostar sobre el resultado. La apuesta se reali%a sobre la suma de cruces resultante del lan%amiento de ambas monedas. &i el resultado del lan%amiento coincide con la apuesta del sueto- este (ana 1N. &i el nmero de cruces del lan%amiento supera al nmero de cruces de la apuesta- (ana 5N. En cual+uier otro caso- pierde 1N. a" :Mu apuesta aconsear*a al u(ador; :cu,l ser*a el 'alor monetario esperado; b" &i el u(ador tu'iera dudas acerca de +ue las monedas estn car(adas- se(n el criterio de &a'a(e- :cómo deber*a apostar; c" &i el camarero del casino donde se est, apostando le filtra al u(ador la información de +ue las monedas est,n trucadas para +ue sal(a cru% en un ?5 de las ocasiones- :+u apuesta deber*a )acer; :cu,l ser*a el 'alor monetario esperado; &olución a" cruces- VEA6-25. b" cruces. c" 1 cru%- VEA5-B3?5.
.
9n a(ricultor compra semillas en pa+uetes por un 'alor de 5N. Cada pa+uete sir'e para plantar una )ect,rea +ue produce 5Y( de )ortali%as. Cada Yilo de )ortali%as puede ser 'endido a =5 cntimos de euro en el mercado ma/orista. El a(ricultor tiene arrendadas 2 )ect,reas por un total de 1N. Los salarios +ue tiene +ue abonar a temporeros para la plantación / reco(ida son de 165N por )ect,rea culti'ada. El a(ricultor tiene +ue decidir cu,ntas )ect,reas plantar- debido a +ue no tiene claro +ue el mercado 'a/a a asumir toda su producción. Las alternati'as +ue se plantea son plantar de 15 a 2 )ect,reas. En el mercado ma/orista le pueden )acer pedidos de ?- = - B o 1 toneladas. a" :Cu,ntas )ect,reas deber*a plantar- si el a(ricultor es una persona pesimista; :+u beneficios obtendr*a como m*nimo; b" :Cu,ntas )ect,reas deber*a plantar- si el a(ricultor es una persona optimista; :+u beneficios obtendr*a como m,!imo;
25
c" espus de recapacitar sobre los resultados anteriores- el a(ricultor piensa +ue el 'alor m,s probable de demanda del mercado ser, de =Y(- e!istiendo sólo un 2 de posibilidades de +ue alcance cada uno de los otros 'alores. :Cu,ntas )ect,reas entonces deber*a plantar; :cu,l ser, el 'alor monetario esperado; d" :Cu,nto podr*a (anar el a(ricultor si- manteniendo la anterior distribución de probabilidad- tu'iera información +ue le permitiera conocer lo +ue le 'a a demandar el mercado; &olución a" 15)a- 24N. b" 2)a- 41N. c" 16)a- 1?)a ó 1=)a- 2B1. d" VF
26
7. >ecisión baesiana. =.1 =.2 =.3 =.4
a/es. Fnterpretaciones del concepto de probabilidad. odificación de las creencias del decisor. Valor monetario esperado con información imperfecta. Valor de la información imperfecta.
7.1 $robabilidad condicionada. $robabilidad total. Teorema de ?aes.
&ean 9 / : dos sucesos / se sabe se(uro +ue )a ocurrido 9- :cómo afecta esto a la probabilidad de :; 0otamos por ( :
9
) a la probabilidad de : condicionada a 9- es decir a la probabilidad de
:
una 'e% +ue sabemos se(uro +ue )a ocurrido 9. &e define la probabilidad de 6 condicionada a A como A
:
(
9 )
( 9
- siendo ( 9) > C .
: )
( 9 )
Dbsr'ese +ue a partir de esta definición ( 9 : ) = ( 9 ) ( : ) 9
9
) = ( : ) .
En este caso se dice +ue los sucesos 9 / :
son independientes- / se tiene +ue ( 9 : ) = ( 9 ) ( : ) Teorema de la $robabilidad Total.
&ea 91- 92- ... 9n
una partición del espacio muestral 9i 9 j = ∅
n
9i
= Ω -
entonces i =1
para cual+uier suceso : se tiene +ue : A : ( )
( )( 91
1
9 : (
) +
2
9 : (
) 92
) + ... +
( 9 ) = ∑
( 9i )
:
n 9
n n
i =1
9 i
Teorema de ?aes
2?
&ea 91- 92- ... 9n una partición del espacio muestral / sea : una suceso cual+uiera con probabilidad estrictamente ma/or +ue cero. Entonces : 9
( 9' : ( 9' ) ) 9 ' 9' ' : = n = :" : 9 ( ∑=1 9 ) i i i
2=
En nuestro caso- la partición estar, constituida por el conunto de estados de la naturale%ae1 - e2 -...en
/ : representar, la información +ue tenemos acerca de ellos.
7.2 Interpretaciones del concepto de probabilidad.
&obre el si(nificado +ue tiene la probabilidad de un suceso )a/ una fuerte contro'ersia. El primer concepto de probabilidad sur(e en el conte!to de los ue(os de a%ar- donde se considera +ue todos los resultados posibles son e+uiprobables. Laplace
definió la
probabilidad de un suceso como el cociente entre el nmero de resultados fa'orables a dic)o suceso- / el nmero total de resultados posibles. Este concepto clsico de la probabilidad es escasamente aplicable- pues en la ma/or*a de las circunstancias inciertas es imposible clasificar los posibles resultados en clases i(ualmente probables. Es f,cil aplicarlo al lan%amiento de un dado- pero /a no lo es tanto para determinar la probabilidad de +ue ma8ana suba el *ndice de la bolsa. Fncluso no es aplicable cuando el dado est, trucado. Dtra interpretación es la frecuentista se(n la cual la probabilidad sólo tiene sentido en el marco de un e!perimento infinitamente repetible. La probabilidad de un
suceso ser, la
frecuencia relati'a de ocurrencia del suceso en infinidad de pruebas repetidas de ese e!perimento. &e(n esta interpretación- obsr'ese +ue la probabilidad sólo podr, definirse sobre sucesos +ue estn li(ados a los resultados de un e!perimento repetible.
dispondr, de unas creencias sobre los mismos creencias +ue estar,n basadas en unas informaciones". 2.@ Como cada uno tiene sus propias creencias- dos obser'adores distintos pueden asi(nar probabilidades distintas al mismo suceso.
• La m,s amplia aplicabilidad de la probabilidad con l obtenida. Con la interpretación frecuentista no podr*an asi(narse probabilidades a los estados de la naturale%a de la ma/or*a de los problemas de decisión económica / empresarial- pues suelen ser sucesos no enmarcables dentro de un e!perimento infinitamente repetible en las mismas circunstancias.
• La construcción de una probabilidad subeti'a es un procedimiento +ue permite al decisor racionali%ar sus creencias / actuar de forma co)erente con ellas. Securdese +ue m,s +ue el acierto o el desacierto de las decisiones- es de nuestro inters la co)erencia de las mismas". 7.3 ;odi#icación de las creencias del decisor.
Las creencias del decisor no son inmutables- sino +ue cambian constantemente se(n su poseedor asimila nue'os )ec)os / acumula e'idencia. :Cómo debe re'isar sus creencias un decisor racional a la lu% de una nue'a información; La información e!tra- a+uella de la +ue no dispon*a / a)ora se incorpora- es la ocurrencia de un suceso :. 7ntes el decisor ten*a unas creencias / despus de disponer de esta información tendr, otras- nuestro obeti'o consiste en obtener estas a partir de a+uellas.
es la probabilidad a ei :
es la probabilidad a priori antes de saber +ue : )a ocurrido" / posteriori despus de saber +ue )a
ocurrido :".
El teorema de >a/es proporciona la )erramienta para obtener las probabilidades a posteriori &upon(a +ue el decisor est, considerando una tabla de decisión en la +ue aparecen los estados e1- e2 ,...,en. &us creencias a priori
est,n refleadas en las probabilidades )e1 , )e2 ,...,)en , /
si tu'iese +ue tomar una decisión- con ellas calcular*a los 'alores monetarios esperados +ue le indicar*an la acción a tomar. a/es- se(n e i : =
( : ei ) ei " n
∑ ( :
j =1
e j ) e j "
i = 1- ...- n
Dbsr'ese +ue para aplicar este teorema )ace falta calcular o conocer" pre'iamente- las probabilidades ):3e i , i 1, 2, H, n - es decir la probabilidad de ocurrencia del suceso : bao cada uno de los estados posibles de la naturale%a. 7 estas probabilidades se les llama verosimilitudes. 0ormalmente son conocidas o f,ciles de
obtener.
#e a+u* la importancia del teorema de >a/es describe cómo debemos ir aprendiendo de la experiencia7
cómo
deben
modificarse
nuestras
creencias7
expresadas
mediante
probabilidades7 al incorporar nueva información"
7." Valor monetario esperado con in#ormación imper#ecta. Valor de la in#ormación imper#ecta.
La información adicional +ue se incorpora no siempre es perfecta- muc)as 'eces los estudios adicionales +ue se encar(an tienen cierto mar(en de error. La información adicional imperfecta" meora el conocimiento sobre la probabilidad de ocurrencia de los estados de la naturale%a / a/uda a tomar meor las decisiones. Ejemplo 8"1"
9na comunidad de 'ecinos desea incorporar una red local de internet en su
edificio. Secibe los presupuestos de dos empresas instaladoras el de la empresa 7 por 1N / el de la empresa > por ?5N. 0o obstante- la e!istencia de antenas colecti'as en la inmediaciones puede pro'ocar interferencias- en el caso de +ue se produ%can ser*a necesario a8adir un nue'o aparato +ue (enerar*a unos costes adicionales de 4N de los cuales la
empresa 7 sólo incluir*a el 2 de los mismos en el presupuesto- mientras +ue la empresa > los incluir*a en su totalidad. espus de tratar de recabar información sobre las posibilidades de +ue )a/a interferencias- el presidente de la comunidad no lo(ra obtenerla- por lo +ue considera +ue ambas situaciones son e+uiprobables. :Cu,l es la meor alternati'a para la comunidad de 'ecinos; La tabla de decisión (astos" con los Valores onetarios Esperados VE" es
-5
-5
&in interferencias
Con interferencias
VE
Empresa 7
1
1=
14
Empresa >
?5
115
B5
Estados
&
7lternati'as '
14 = (1CCCC × C- 5 ) + (1C=CC × C5)
B5 = ( ?5CC × C- 5 ) + (115CC × C- 5 )
La empresa esco(ida ser*a la > / el (asto medio asociado ser*a de B5 euros. &upon(amos a)ora +ue el presidente de la comunidad puede contratar un e!perto- +uien por 1 euros reali%ar*a unas mediciones. La probabilidad de +ue el e!perto acierte cuando no )a/ interferencias es de -B / de +ue no acierte cuando )a/ interferencias es de -2 obsr'ese +ue la información +ue se pa(ar*a no es perfecta en cuanto a total se(uridad en las afirmaciones del e!perto". :Cu,l ser*a entonces la decisión a adoptar por la comunidad de 'ecinos; La primera decisión +ue debe tomar el presidente es si contratar o no un e!perto. Pa sabemos +ue sin e!perto la decisión ser*a contratar a la empresa > con un (asto medio asociado de B5 euros.
Con interferencias
0o )a/ interferencias
-B
-2
&i )a/ interferencias
-1
-=
Estados
&
Fnforme del e!perto '
Con esta información podemos actuali%ar / modificar las probabilidades de los estados de la naturale%a sin interferencias- con interferencias".
0otaremos
e1
= in interferencias
/
e2
= Con interferencias
c1 = nforma no hay interferencias
/
c2 = nforma si hay interferencias
La anterior tabla reco(e las si(uientes probabilidades condicionadas 'erosimilitudes" Estados
-erosimilitudes e1
&
&in interferencias
e2
Con interferencias
Fnforme del e!perto ' c1
0o )a/ interferencias c2
&i )a/ interferencias
( c e ) = - B
( e)
1
1
c2
1
= -1
( c e ) = - 2 1
2
( e ) = - = c2
2
7 partir de las verosimilitudes / de las probabilidades a priori - ( e ) = C- 5 ( e ) = C- 5 / 1
con la a/uda del teorema de >a/es obtenemos las probabilidades a posteriori
e1 c1
( )
( c e1 ) e1 " - B × - 5 =2 =- B × - 5 + - 2 × - 5 = - =1=1= ) ( ) ∑ ( c1 e j ) e j ( 1
j =1
"
e2
( c) 1
( - 2 × - 5 =2 =- B × - 5 + - 2 × - 5 = -1=1=2 ) ( ) ∑ ( c1 e j ) e j ( c1 e2 ) e2 "
j =1
"
e1 c2
(
c2 e1 ) e1 "
( ) =∑ ( c 2
2
j =1
e j ) e j
- 1× - 5 = = -11111 ( -1× - 5) + ( - = × - 5)
"
e2
( c) 2
(
c2 e2 ) e2 "
=2 ∑ ( c2 j =1
e j ) e j
- = × - 5 =-1× - 5 + - = × - 5 = - ====B ( ) ( )
" 9na forma cómoda de ordenar los anteriores c,lculos mediante una tabla es Fnforme del e!perto 0o )a/ interferencias c1 "
2
(
(
ei
ei "
c1 ei )
c1 ei ) ei "
e1 &in interferencias
-5 -5 1
-B -2
-45 -1 -55
e2 Con
interferencias &97
ei c1
-=1=1= -1=1=2 1
Fnforme del e!perto &i )a/ interferencias c2 "
(
ei "
c2 ei )
c2 ei ) ei "
e1 &in interferencias
-5 -5 1
-1 -=
-5 -4 -45
e2 Con
interferencias &97
ei c2
(
ei
-11111 -====B 1
Las anteriores probabilidades a posteriori se reco(en en la si(uiente tabla Estados
&
0robabilidades a posteriori e1
&in interferencias
e2
Con interferencias
Fnforme del e!perto ' c1
0o )a/ interferencias c2
&i )a/ interferencias
(e c ) = 1
1
( e c ) = -1=1=2 2
1
( e c ) = -11111 ( e c ) = -====B 1
2
2
2
Con estas probabilidades se actuali%an las probabilidades sobre los estados de la naturale%a / tabla de decisión Fnforme del e!perto 0o )a/ interferencias c1 "
-=1=1=
-1=1=2
&in interferencias
Con interferencias
VE
Empresa 7
1
1=
1145-456
Empresa >
?5
115
=22?-2=
Estados
&
7lternati'as '
1C145-
456 = (1CCCC × C- =1=1=) + (1C=CC × C-1=1=2 )
=22?- 2= = ( ?5CC × C- =1=1= )
+ (115CC × C-1=1=2 )
&i el informe del e!perto es +ue no )a/ interferencias- la empresa esco(ida ser*a la > / el (asto medio asociado ser*a de =22?-2= euros.
Fnforme del e!perto &i )a/ interferencias c2 "
-11111
-====B
&in interferencias
Con interferencias
VE
Empresa 7
1
1=
1?11-11
Empresa >
?5
115
1155-56
Estados
&
7lternati'as '
1?11-112 = (1CCCC × C-11111) + (1C=CC × C- ====B ) 11C55- 56 = ( ?5CC × C-11111)
+ (115CC × C- ====B )
&i el informe del e!perto es +ue s* )a/ interferencias- la empresa esco(ida ser*a la 7 / el (asto medio asociado ser*a de 1?11-11 euros. El (asto esperado medio con la información adicional del e!perto depende de cu,l sea esta. El e!perto dir, +ue no )a/ interferencias c1 " con una probabilidad ( c1 )
(c
1
2
= ∑
e j ) e j " = ( - B × - 5)
+ ( - 2 × - 5) = - 55
j =1
El e!perto dir, +ue si )a/ interferencias c2 " con una probabilidad ( c2
(c
2
2
) = ∑
e j ) e j " = ( -1× - 5)
+ ( - = × - 5) = - 45
j =1
2
E'identemente- ∑ ( c j ) = 1 . j =1
El (asto esperado medio con la información adicional del e!perto es en (eneral llamado valor monetario esperado con información imperfecta "
( =22?-2= × ( c ) ) + (1C?11-11 × ( c )) = ( =22?-2= × C- 55 ) + (1C?11-11× C- 45 ) = 1
2
B345
P sin ella es B5- lue(o estar*amos dispuestos a pa(ar B5@B345A155 euros Cantidad +ue denominamos valor de la información imperfecta7 -99 .
información imperfecta se calcular, restando al 'alor monetario esperado con información imperfecta +ue ser, ma/or" el 'alor monetario esperado sin dic)a información +ue ser, menor".
'elación de E(ercicios. 1.
9n a)orrador )a de decidir en +u tipo de fondo de in'ersión 'a a depositar su dinero.
E'olución buena -? E'olución re(ular -2 E'olución mala -1 :Cu,l es el 'alor m,!imo de esta información;
-2 -= -3
-1 -6
&olución a" VF
9na empresa desea lan%ar un nue'o producto. Seali%a estudios de mercado- obteniendo los si(uientes datos ro!orci#n de !ersonas dis!uestas a adEuirir el nuevo !roducto e1I 3 e2I 2 e*I 1 e-I 5
ro(a(ilidad
6esultados es!erados en millones de euros
-1 15 -4 3-5 -3 @2-5 -2 @15 a" &e(n los anteriores datos- :decidir*a la empresa lan%ar el producto;
Seali%ar un estudio de mercado con un coste de medio millón de euros- cu/os posibles resultados ser*an
c1 la proporción de clientes estar, comprendida entre el 2 / el
35.
c2 la proporción de clientes estar, comprendida entre el 1 / el
2.
c* la proporción de clientes ser, inferior al 1.
Con datos de productos an,lo(os se )an 'alorado las correspondientes 'erosimilitudes
c1 ei
Estados e1I 3 e2I 2 e*I 1 e-I 5
FF.
Estudio de mercado c 2 ei
c3 ei
-? -3 -45 -45 -5 -1 9tili%ar un panel de consumidores- con coste 2?5N- +ue ofrece
-1 .5 -B los si(uientes
resultados Z
c1 la proporción de clientes ser,
superior al 3.
Z
comprendida entre el 2 / el 3.
Z
comprendida entre el 1 / el 2.
c2 la proporción de clientes estar, c3 la proporción de clientes estar, Z
c4 la proporción de clientes ser, inferior al 1. 0anel de consumidores Z
Estados e1I 3 e2I 2 e*I 1 e-I 5
c 1 ei
cZ 2 i e
-5 -2 -1 b" &i lo lan%ara- :cómo lo )ar*a-
Z c3 ei
-4 -5 -2 -1 con un estudio de
cZ 4 i e
-1 -2 -1 -45 -25 -25 -65 mercado o con el panel de
consumidores; :cu,l ser*a el beneficio esperado; &olución a" 0o lan%ar*a el nue'o producto. b" Con un estudio de mercado- 15=5N. 3.
9na empresa de consultor*a desea incorporar un nue'o consultor a su departamento de in(enier*a. espus de reali%ar los primeros filtros- lle(a a la selección final de dos candidatos- los cuales tienen diferente perfil. &e(n se desarrollen uno de los tres pro/ectos industriales cu/a aprobación est, pendiente en estos momentos- pueden ser m,s o menos necesarios. El coste para la empresa de consultor*a depender, de si se concretan o no estos pro/ectos / de lo +ue tendr*a +ue pa(arles para retenerles / +ue no se fueran a otra empresa de la competencia. Los costes en euros ser*an
0ro/ecto :
0ro/ecto T
0ro/ecto ;
16 225 = ? 25 1? a" &i el irector de Secursos #umanos tu'iese un (rado de optimismo del = en
relación al desarrollo de los pro/ectos- :cu,l ser*a el candidato m,s adecuado / el coste asociado; b" :Cu,l ser*a el candidato adecuado si se utili%a el criterio de &a'a(e / la prdida de oportunidad; c" &upon(a +ue el irector de Secursos #umanos estima +ue las probabilidades de +ue se den cada uno de los pro/ectos anteriores , $ o J " son respecti'amente -25- -6 / -15. :Cu,l ser*a en este caso el candidato idóneo / el coste monetario esperado; d" El irector inanciero puede aportar un informe económico en relación a la situación económica +ue 'a a 'i'ir el pa*s. &e sabe +ue si se aprobara la reali%ación del pro/ecto - la situación del pa*s ser*a buena con una probabilidad del =5H si se aprobara el pro/ecto $ - la situación del pa*s ser*a buena con una probabilidad de 65 / si se aprobara el pro/ecto J - la situación del pa*s ser*a mala con una probabilidad del =. &e(n el informe económico +ue presente el irector inanciero- :cu,l ser*a el candidato +ue se deber*a contratar / el coste monetario esperado en cada caso; e" :Mu 'alor- como m,!imo- se le puede otor(ar a la información contenida en el informe económico; &olución a" Y - 16N. b" X o Y - BN. c" X, 1=?N. d" &i se pre' una situación económica buena Y, 1=5?31-23N. &i se pre' una situación económica mala X, 1?12-41N. d" VFFA66?5N. ".
9n empresario est, plante,ndose el futuro de su ne(ocio- / )a considerado la posibilidad de ampliarlo- acometer un reforma modesta- dearlo como est, o 'enderlo. La e'olución de la demanda del sector podr*a ser alta- media o baa. En función de la e'olución de la demandalas (anancias +ue piensa +ue puede obtener con cada una de las alternati'as descritas son las si(uientes 7mpliar ne(ocio Seformar ne(ocio 0o modificarlo Venderlo emanda alta 21 14 15 14 emanda media =4 154 126 14 emanda baa 35 ? 16= 14 La probabilidad estimada de +ue la demanda sea alta- media o baa es- respecti'amente- -2-3 / -5. a" :Cu,nto estar*a dispuesto a pa(ar el empresario- como m,!imo- por conocer la e'olución de la demanda;
b" &upon(amos +ue el empresario puede recurrir a un estudio de mercado +ue le informe acerca de la e'olución futura de la demanda. La probabilidad de +ue si la demanda 'a a ser alta o media- este )ec)o )a/a sido pronosticado por el estudio de mercado - es de -=- repartindose por i(ual la probabilidad de error en las otras dos posibilidades. &i la demanda 'a a ser baa- es se(uro +ue lo )abr, pronosticado as*. :Cu,l ser, - como m,!imo- el 'alor de la anterior información; :+u acción tomar*a el empresario en función del informe; &olución a" VF
7ntes de +ue se inicie la final de la C)ampions Lea(ue- Seal adrid@>arcelona C- un (rupo de )inc)as del Seal adrid +ue est,n en un bar tienen +ue decidir si participan o no en una apuesta or(ani%ada por el due8o del local. El ue(o propuesto consiste en una apuesta de 5Ncon un premio de 15N si aciertan +uin (anar,. Los e!pertos est,n di'ididos / piensan +ue los dos e+uipos tienen las mismas posibilidades de (anar. a" :Les interesar*a apostar a su e+uipo en el ue(o +ue les propone el due8o del bar; 7ntes de tomar la decisión- deciden consultar a unos mu/ buenos aficionados al futbol+uienes a cambio de ser in'itados a una ronda de cer'e%a 1N" estar*an dispuestos a decirles su opinión sobre el resultado del partido. Dtro cliente del bar les a'isa +ue los citados aficionados son mu/ procli'es a +ue (anar, el Seal adrid / +ue cuando (ana el >arcelona C sólo aciertan en un ? de las ocasiones- mientras +ue cuando (ana el Seal adrid suelen acertar en un B de las 'eces. b" :Les interesar*a pa(ar la ronda de cer'e%a para conocer la opinión de los aficionados; &olución a" &*. VEA25NN. b" &*. VFFA12-5N1N.
6.
9na empresa de ser'icios de una %ona monta8osa est, considerando la posibilidad de in'ertir en una m,+uina +uitanie'es para el pró!imo in'ierno. La empresa )a anali%ado la situación cuidadosamente / cree +ue si nie'a muc)o el pró!imo in'ierno se tratar*a de una in'ersión rentable- considera +ue podr*a obtener una pe+ue8a rentabilidad si la nie'e es moderada- pero perder*a dinero si las ne'adas son dbiles. Concretamente- la empresa pre' un beneficio de 42N si las ne'adas son fuertes- 12N si son moderadas / una prdida de 5N si las ne'adas son dbiles. &e(n el pronóstico del instituto de meteorolo(*a- las probabilidades de +ue se produ%can ne'adas fuertes- moderadas o dbiles son -5- -3 / -2- respecti'amente.
a" :Cu,l es la meor decisión +ue podr*a adoptar la empresa; :cu,les ser*an los beneficios esperados; b" &upon(amos +ue la empresa decide esperar para poder conocer las temperaturas 'i'idas a mediados de diciembre- antes de tomar la decisión final. La probabilidad de +ue el mes de diciembre sea fr*o cuando 'an a )aber fuertes ne'adas es de -=mientras +ue cuando las ne'adas 'an a ser moderadas es de -5 / cuando ser,n dbiles es de -4. &i la empresa se encuentra con +ue diciembre no es fr*o- :cu,l ser*a la decisión recomendada; :+u beneficios esperar*a; &olución a" Comprar el +uitanie'es- VEA146. b" Fndiferente comprar o no el +uitanie'es. VEA. .
El a/untamiento de una ciudad est, considerando la posibilidad de reempla%ar la flota de autobuses municipales por una red de tran'*as. El conceal +ue defiende la idea- indica +ue la ciudad se a)orrar, ? millones de euros anuales en (asóleo- contra un (asto de un millón en electricidad. 0o obstante- si la idea se pone en marc)a / los ciudadanos no usan suficientemente los tran'*as- )abr*a +ue 'ol'er a usar los autobuses con un coste por las obras de seis millones de euros. &e(n e!periencias ocurridas en otras ciudades )a/ una probabilidad -5 de +ue los ciudadanos sigan usando los tranv@as igual +ue usaban los autobuses- una probabilidad -3 de +ue disminua en un 2/ la utiliación del nuevo transporte- en cu/o caso el a)orro de ener(*a es i(ual a la prdida en la recaudación por 'iaeros / una probabilidad -2 de +ue disminua mas,ndose en la e!periencia de otras ciudades +ue )an reali%ado pro(ramas piloto similares- se )a efectuado una estimación emp*rica del resultado de dic)o pro(rama =esultados seg>n el programa piloto
=esultados reales ,ue se obtendrían con los nuevos tranvías
gual utili"aci#n
>isminuye un 2+K la utili"aci#n
>isminuye mAs del 2+K la utili"aci#n
gual utili"aci#n
-65
-25
-1
>isminuye un 2+K la utili"aci#n >isminuye mAs del 2+K la utili"aci#n
-35
-35
-3
-15
-45
-4
