DEBER1

Áreas figuras planas rectangulares, polares y paramétricas 1. Hallar el área de la figura comprendida entre la estrodoide asíntota

≥0

.

2. Hallar el área de la figura comprendida por la curva

  = − −

 =   

 =           =               = 2 ∫         = 2 ∫        ==2   2    =  ∫     2  1 2   =   3   / 0

y su

  =  32 [ 2/  ]   = 3  +  = 

3. Hallar el área del astroide

   =         = ∫    =   =3 =0;=0 =;=1       = ∫    3    = ∫    3       = ∫ 1    3      = 3 ∫ 1    

= = =0;=0 =1;=/2 /        = 3 ∫ 1    

/    =3 ∫ /     =3/  ∫   12  ∫ 1+2    =3    2 2   /  222cos 2cos 2   = 38 ∫ 1+22+cos /  3   /= 8 ∫ 1+2cos 2cos 2    = 38 ∫ 1+21+4 21 2 2 =2

=22  / /   3 1 21   = 8 2 ∫ 2+2214 ∫ / 22   4 1 /2      = 38 12 + 22    ∫ 1   0 2 4 2      = 38 4 12 2 3 2 /20    = 38 4= 332 =4332  3   = 8  4. Calcular el área de la figura comprendida entre las parábolas recta

=2

.

   = =  ,

 y la

   2=  =2 2 4=4 =0 2=2 =0      2   =∫ 2 2 ∫     4      =  6  0   3  20   =16 323=44 83 5. Hallar el área de superficie limitada por la curva dada, el eje x y las ordenadas dadas.

 

6. Hallar el área limitada por el caracol de Pascal

=2+

 1   =2 ∫ 2+    = 12∫ 4+2+cos     = 12 ∫ 8+4+1+2   2 22 0   = 14 9+4+   = 14 9 9=294   = 2  =4

7. Hallar el área limitada por la curva

/ 1   =22 ∫ 4  /4 1 1    = 4  =  + 4 0 4 4     = 2

8. Calcular área que tienen en común las curvas;

=3 =1+  y

3=1+

= 12 ; = 3 / / 1 1    = 2 ∫ 1+  + 2 ∫/ 9cos  / / 1 9    = 2 ∫ 1+2+cos  + 4 ∫/ 1+2 / / 1 9   = 4 ∫ 2+4+1+2 + 4 ∫/ 1+2   = 14 3+4+ 22 /30 + 94 + 22 /2/3   =2∗ 14 +2√ 3 + √ 43+2∗ 94 2  3  √ 43   = 2 +√ 3 + √ 83 + 94  96  9√ 83   = 54

.

9. Calcular área que tienen en común las curvas;

 =22 =1  y

1=22 12 =2 6 = / / 1 1   = 2 ∫  + 2 ∫/ 22    = 12  /60 +22 /4/6   = 12 + 12  √ 43 =412 + 12  √ 43   = 3 +2√ 3 =2  =2

10. Calcular área que tienen en común las curvas;

 y

2=2  2 cos 2=1cos cos 2= 12 2=√  2 /2 =/8 / / 1 1   = 2 ∫ 2  + 2 ∫/ 2    = 12  22 /80 + 12 22 /4/8   = 14 1 √ 22+ 14  √ 22 +1= 24√ 2   =224√ 2   =2 √ 22 = =  0≤≤

11. Hallar el área de la figura limitada por la trocoide ; ,  y la tangente a la misma den sus puntos inferiores.

= cos= sin+cos=1        +   =1

=0 =    =∫  ´ ´=    =∫      =∫   2+cos      = 2+ + 2 

2 2 0    =2+ 2   + 2  4 0       = 2+ 2 + 2  4 0     =()+  +   

 =1

12. Hallar el área de la figura limitada por el eje OX y el arco de la cicloide: ; .

  = 1     =∫ 11

=

    = ∫ 1     = ∫ 12+cos       = 2 ∫ 24+1+2     = 2 3+ 22 20     = 2 6   =3 13. Hallar el área contenida en el interior de la astroide

= =

 =3acos    /   =4∫/ 3acos   3acos    =4∫  /   =4∫ 3/     =12 ∫   

;

 / 12   =12/ ∫  2  1+2  2   =6 ∫ /122+cos21+2   ∫ 12cos  2+cos 2    =6  / / 1

  =6 2 ∫ 22214 +∫ 212

=2 ; =22 / 1 4 /2    =6 2 2 4  0 +∫ 1 3 2 /20   =6 12 2+ 12 2  3   = 2  VOLÚMENES DE CUERPOS SÓLIDOS

=;>0

1. Hallar el volumen del cuerpo engendrado por rotación alrededor del eje OX de la superficie limitada por el eje OX y la parábola .

 =∫   =∫  2 +                =  +  =  + 

3 2 50 3 2 5

=

  = 30 =0 =

2. Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX, la curva , en el intervalo  hasta .

 =∫     12 =∫ 2      122+cos =∫ 4 2    = 4   ∫ 122+ 1+4   2   = 8 ∫ 242+1+4  

= 8 322+ 44 0 = 8 3  3 = 8

 =4

=

3. Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OY, la parte de la parábola , que se intercepta con la recta

 =4  =4 =2  4 =4 ;= /  =2∫(√   4 )=2∫2  √    =4√  25 0 = 85  / = 85   8 16 =2 5 = 5  =2

= 

4. Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor de la recta la figura limitada por la parábola

 y por la recta

 .

=

,

/ =∫ (+  2)   / =∫ ( +2 2 / +2)  =4 32  / + /20    4 2        = 3  2/ + 4    2  = 3 + 4   11 =

12

= = √ 

5. Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX, la superficie comprendida entre las parábolas  y  .

 = √  ;=1       =∫( √ )    =∫      = 2  5  10 = 310 4 =3

6. Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX, la curva .

=  3 4   3  =∫  4     3 =∫  4    4  =∫ + + 4

=4 ;= =0; =4 =3 ; =     =∫ +  +4 ∫ 41     = 2 + 30 +4ln4 3a0  9 = 2 +3  7 = 2  +4=8 =0

7. Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX, la superficie  y  .

 8 =  +4 =2    8 =2∫  +4   64 =2∫  +4 = 2  ; 2sec =

= √ 2+4 ;  +4 = 4 sec  =0 ; =0 ; =0 =∞ ; =∞ ; = 2 /  64 =2 ∫/4sec 2 sec   =2 ∫ /464sec 2sec   =2∫/ 1664sec 2sec/   =16∫/ sec1  =16∫ cos  2 /2  =16∫ 1+2 = 8 +  2 2 0 =4 =4+62

8. Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor de la recta eje OX, la superficie  .

4=4+62

=4

;

0=8+62 =4 ; =1     =∫−4+4+62   =∫−8+62  =∫−64+36 +4 +9632 24  =∫−64+4 24 +96+4    4 4   =64+ 3 6 +48 + 5  14 =256+ 2563 1536+768+ 40965 +64+ 43 +648+ 45 = 1 2503  9. Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar la catenaria alrededor del eje

=0 =  hasta

.

   −   =   + 

 ;

      −   =∫  +    4         − −     = 4 ∫ +2    +       +2+ −  = 4 ∫     +2+ −  = 4 ∫    −     = 4  2 +2 2  0     −    2  2 = 8  +2    −+2  = 8       − = 8      + 4

= =



10. Empleando las ecuaciones paramétricas de la hipocicloide ; . Hallar el volumen del sólido que se engendra haciendo girar alrededor de OX.

/     =  ; = 

= cos ;= 1/3  = 1 =  1/3 1 2/3 /(/ /) = / =/ / ; / = / /  =  =2       =∫             =∫       2   +  =∫                               =∫    2      +      +2                 +   +2       =∫ 2      +3      =∫ 3         9    9    = 5 + 7   3  0             3    9     9 9    =  5 + 7  3 =  5 + 7 + 3    16   32 =2 105 = 105 