Câu 1: Trình Trình bày khái niệm về CAD/CAM? CAD/CAM? CAD/CAM là lĩnh vực nghiên cứu nhằm tạo ra các hệ thống tự động thiết kế và chế tạo trong đó máy tính điện tử được sử dụng để thực hiện một số chức năng nhất định. CAD/CAM tạo ra mối quan hệ mật thiết giữa hai dạng hoạt động: Thiết kế và Chế tạo. -Tự động hoá thiết kế là dùng các hệ thống và phương tiện tính toán giúp người kỹ sư thiết kế, mô phỏng, phân tích và tối ưu hoá các giải pháp thiết kế. -Tự động hoá chế tạo tạo là dùng máy tính tính điện điện tử để kế kế hoạch hoạch hoá, hoá, điều khiển và kiểm tra các nguyên công gia công. - CAD: (Computer Aided Deisgn ) là công nghệ liên quan đến việc sử dụng hệ thống máy tính để giúp đỡ việc tạo, sửa đổi, phân tích và tối ưu hóa thiết kế. + Vai trò trong thiế kế: - Đối với pha khái niệm hóa thiết thiết kế các công cụ CAD cần có là các các kỹ thuật mô hình hóa hình học, các hỗ trợ đồ họa và các thao tác đồ họa. - Pha mô hình hóa và mô phỏng phỏ ng thiết kế cần các công cụ kể trên, công cụ mô phỏng chuyển động, lắp ráp và một số gói mô hình hóa khác. - Pha phân tích thiết kế cần các gói về phân tích, các gói và các chương trình tùy biến. - Pha thiết kế tối ưu cần các ứng dụng tùy biến và tối ưu hóa kết cấu. - Pha đánh giá thiết kế cần các công cụ về dung sai, kích thước và bảng các vật liệu. - Pha tạo tài liệu và truyền đạt thông tin thiết kế cần công cụ tạo bản vẽ kỹ thuật và công cụ tạo ảnh tô bóng. - CAM: CAM ( Computer Aided Manufacturing ) là công nghệ liên quan với việc sử dụng hệ thống máy tính để lập kế hoạch, quản lý và điều khiển các quá trình chế tạo. Câu 2: Trình Trình bày các chức năng của hệ thống CAD/CAM? CAD/CAM? Khác biệt cơ bản với qui trình thiết kế theo công nghệ truyền thống, CAD cho phép quản lý đối tượng thiết kế k ế dưới dạng mô hình hình học số trong cơ sở dữ liệu trung tâm, do vậy CAD có khảnăng hỗ trợ các chức năng kỹ thuật ngay từ giai đoạn phát triển sản
phẩm cho đến đến giai đoạn cuối cuối của quá trình trình sản xuất, tức tức là hỗ trợđiều trợđiều khiển các thiết bị sản xuất bằng điều khiển số. Hệ thống CAD được đánh giá có đủ khả năng để thực hiện chức năng yêu cầu hay không, phụ thuộc chủ yếu vào chức năng xử lý của các phần mềm thiết kế. Ngày nay những bộ phần mềm CAD/CAM chuyên nghiệp phục vụ thiết kế và gia công khuôn mẫu có khả năng thực hiện được các chức năng cơ bản sau: - Thiết kế mô mô phỏng hình học 3 chiều chiều (3D) những hình hình dạng phức tạp. - Giao tiếp tiếp với các các thiết bị đo, đo, quét toạ toạ độ 3D thực hiện nhanh nhanh chóng các chức năng mô phỏng hình học từ dữ liệu số. - Phân tích tích và liên kết dữ liệu: liệu: tạo mặt phân phân khuôn, tách tách khuôn, quản lý kết cấu lắp ghép... - Tạo bản vẽ và ghi kích thước thước tự động: có khả năng năng liên kết các các bản vẽ 2D với mô hình 3D và ngược lại. - Liên kết với các chương trình tính toán thực hiện các chức năng phân tích kỹ thuật: tính biến dạng khuôn, mô phỏng dòng chảy vật liệu, trường áp suất, trường nhiệt độ, độ co rút vật liệu,... - Nội suy hình học, biên dịch dịch các kiểu đường chạy dao chính xác cho công nghệ gia công điều khiển số. - Giao tiếp dữ liệu liệu theo các định dạng đồ hoạ chuẩn. - Xuất dữ liệu liệu đồ hoạ 3D dưới dưới dạng tập tin tin STL STL để giao giao tiếp tiếp với các thiết bị tạo mẫu nhanh theo công nghệ tạo hình lập thể. Câu 3: Trình bày ứng dụng của hệ thống CAD/CAM? CAD/CAM? - Tạo mẫu nhanh thông qua giao tiếp dữ liệu với thiết bị tạo mẫu nhanh theo công nghệ tạo hình lập thể (đo quét toạ độ). - Giảm đáng kể thời gian mô phỏng hình học bằng cách tạo mô hình hình học theo cấu trúc mặt cong từ dữ liệu số. - Chức năng mô phỏng hình học mạnh, có khả năng mô tả
phẩm cho đến đến giai đoạn cuối cuối của quá trình trình sản xuất, tức tức là hỗ trợđiều trợđiều khiển các thiết bị sản xuất bằng điều khiển số. Hệ thống CAD được đánh giá có đủ khả năng để thực hiện chức năng yêu cầu hay không, phụ thuộc chủ yếu vào chức năng xử lý của các phần mềm thiết kế. Ngày nay những bộ phần mềm CAD/CAM chuyên nghiệp phục vụ thiết kế và gia công khuôn mẫu có khả năng thực hiện được các chức năng cơ bản sau: - Thiết kế mô mô phỏng hình học 3 chiều chiều (3D) những hình hình dạng phức tạp. - Giao tiếp tiếp với các các thiết bị đo, đo, quét toạ toạ độ 3D thực hiện nhanh nhanh chóng các chức năng mô phỏng hình học từ dữ liệu số. - Phân tích tích và liên kết dữ liệu: liệu: tạo mặt phân phân khuôn, tách tách khuôn, quản lý kết cấu lắp ghép... - Tạo bản vẽ và ghi kích thước thước tự động: có khả năng năng liên kết các các bản vẽ 2D với mô hình 3D và ngược lại. - Liên kết với các chương trình tính toán thực hiện các chức năng phân tích kỹ thuật: tính biến dạng khuôn, mô phỏng dòng chảy vật liệu, trường áp suất, trường nhiệt độ, độ co rút vật liệu,... - Nội suy hình học, biên dịch dịch các kiểu đường chạy dao chính xác cho công nghệ gia công điều khiển số. - Giao tiếp dữ liệu liệu theo các định dạng đồ hoạ chuẩn. - Xuất dữ liệu liệu đồ hoạ 3D dưới dưới dạng tập tin tin STL STL để giao giao tiếp tiếp với các thiết bị tạo mẫu nhanh theo công nghệ tạo hình lập thể. Câu 3: Trình bày ứng dụng của hệ thống CAD/CAM? CAD/CAM? - Tạo mẫu nhanh thông qua giao tiếp dữ liệu với thiết bị tạo mẫu nhanh theo công nghệ tạo hình lập thể (đo quét toạ độ). - Giảm đáng kể thời gian mô phỏng hình học bằng cách tạo mô hình hình học theo cấu trúc mặt cong từ dữ liệu số. - Chức năng mô phỏng hình học mạnh, có khả năng mô tả
những hình dáng phức tạp nhất. - Khả năng mô hình hoá cao cho các phương pháp phân tích, cho phép lựa chọn giải pháp kỹ thuật tối ưu. Câu 4: Trình bày quá trình thiết kế và gia công tạo hình theo công nghệ truyền thống? Trong công nghệ truyền thống, các mặt cong 3D phức tạp được gia công trên máy vạn năng theo phương pháp chép hình sử dụng mẫu hoặc dưỡng. Do vậy qui trình thiết kế và gia công bao gồm có 4 giai đoan phân biệt: 1. Tạo mẫu mẫu sản phẩm, 2. Lập bản vẽ kỹ thuật, 3. Tạo mẫu mẫu chép hình, 4. Gia công chép hình.
Qui trình này có những hạn chế: - Khó đạt được độ chính xác gia công, chủ yếu do quá trình trình chép hình,
- Dễ dàng làm sai do nhầm lẫn hay hiểu sai vì phải xử lý một số lớn dữ liệu, - Năng suất thấp do mẫu được thiết kế theo phương pháp thủ công và qui trình được thực hiện tuần tự: tạo mẫu sản phẩm - lập bản vẽ chi tiết - tạo mẫu chép hình - phay chép hình. Câu 5:Trình bày quá trình thiết kế và gia công tạo hình theo công nghệ CAD/CAM? Sự phát triển của phương pháp mô hình hoá hình học cùng với thanh tựu của công nghệ thông tin, công nghệ điện tử, kỹ thuật điều khiển số đã có những ảnh hưởng trực tiếp đến công nghệ thiết kế và gia công tạo hình:
- Bản vẽ kỹ thuật được tạo từ hệ thống vẽ và tạo bản vẽ với sự trợ giúp của máy vi tính. - Tạo mẫu thủ công được thay thế bằng mô hình hoá hình học trực tiếp từ giá trị lấy mẫu 3D. - Mẫu chép hình được thay thế bằng mô hình toán học - mô hình hình học lưu trữ trong bộ nhớ máy vi tính và ánh xạ trên màn hình dưới
dạng mô hình khung lưới. - Gia công chép hình được thay thế bằng gia công điều khiển số (CAM). Về công nghệ, khác biệt cơ bản giữa gia công tạo hình theo công nghệ truyền thống và công nghệ CAD/CAM là thay thế tạo hình theo mẫu bằng mô hình hoá hình học. Kết quả là mẫu chép hình và công nghệ gia công chép hình được thay thế bằng mô hình hình học số (Computational Geometric Model - CGM) và gia công điều khiển số. Mặt khác khả năng kiểm tra kích thước trực tiếp và khả năng lựa chọn chế độ gia công thích hợp (gia công thô, bán tinh và tinh). Theo công nghệ CAD/CAM phần lớn các khó khăn của quá trình thiết kế và gia công tạo hình theo công nghệ truyền thống được khắc phục vì rằng: • Bề mặt gia công đạt được chính xác và tinh xảo hơn. • Khả năng nhầm lẫn do chủ quan bị hạn chế đáng kể. • Giảm được nhiều tổng thời gian thực hiện qui trình thiết kế và gia công tạo hình. Câu 6: Trình bày cấu tạo chung của hệ thống phần cứng của hệ thống CAD/CAM? Một hệ CAD nói chung thường có các thiết bị phần cứng sau đây: 1. Một hoặc một số trạm thiết kế với một đầu cuối đồ hoạ và các thiết bị vào của người thiết kế. 2. Một hoặc một số máy vẽ và các thiết bị ra khác. 3. Một máy tính. 4. Các bộ lưu trữ ngoài (bộ nhớ ngoài).
CPU (Central Processing Unit), thiÕt bÞ nhËp d÷ liÖu, thiÕt bÞ xuÊt d÷ liÖu, thiÕt bÞ nhí d÷ liÖu lµ c¸c phÇn cøng c¬ b¶n trong c¸c hÖ CAD/CAM. Mét m¸y tÝnh c¸ nh©n PC (personal computer) th«ng thêng (nh h×nh 1.2) víi c¸c thiÕt bÞ ngo¹i vi tèi thiÓu bao gåm bµn phÝm chuét, mµn h×nh vµ mét æ ®Üa mÒn ®· cã thÓ ®ñ ®Ó mét sè phÇn mÒn CAD/CAM lµm viÖc, nhng rÊt khã thùc hiÖn ®îc viÖc thiÕt kÕ vµ chÕ t¹o cho c¸c dù ¸n lín, phøc t¹p. §Ó t¨ng n¨ng suÊt vµ chÊt lîng thiÕt kÕ ngêi ta ®· t¹o ra nhiÒu phÇn cøng më réng cho CAD/CAM. VÝ dô nh: ThiÕt bÞ nhËp liÖu phæ biÕn nhÊt lµ con chuét vµ bµn phÝm, nhng c¸c thiÕt bÞ nµy kh«ng ®ñ kh¶ n¨ng ®Ó nhËp th«ng tin cña c¸c ®èi tîng thiÕt kÕ phøc t¹p nh m« h×nh cña mét pho tîng. §Ó nhËp th«ng tin cho c¸c ®èi tîng phøc t¹p nh vËy ph¶i sö dông c¸c thiÕt bÞ kÕt nèi víi m¸y tÝnh nh m¸y ®o to¹ ®é 3D, m¸y quÐt lade ( scanr laser) 4D. §Ó sö dông cho c¸c nhµ thiÕt kÕ chuyªn nghiÖp, ngêi ta ®· chÕ t¹o ra c¸c b¨ng sè ho¸ trªn. §ã lµ toµn bé
c¸c chøc n¨ng cña phÇn mÒn vµ vïng ®å ho¹ ghÐp nèi víi phÇn mÒn CAD/CAM gäi lµ tablet. Còng cÇn lu ý r»ng trong phÇn cøng cña hÖ CAD/CAM kh«ng bao gåm c¸c m¸y c«ng cô. V× kÕt thóc cña giai ®o¹n CAM lµ kÕt suÊt ra c¸c ch¬ng tr×nh gia c«ng NC.
Hệ CAD có loại độc lập trong đó chỉ có một máy tính cá nhân điều khiển, có loại nối mạng cuc bộ với nhiều trạm thiết kế do một máy trung tâm điều khiển. Câu 7: Trình bày đặc điểm của hệ thống trên cơ sở máy tính lớn, máy tính nhỏ,máy vi tính và trạm công tác?
Câu 8: Nêu các nguyên tắc cơ bản cho việc thiết kế phần mềm đồ họa? Các nguyên tắc cơ bản cho việc thiết kế phần mềm đồ hoạ như sau : 1. Tính đơn giản : Phần mềm đồ hoạ phải dễ sử dụng.
2. Tính nhất quán : Goí phần mềm phải đem đến cho người sử dụng một phương pháp vận hành nhất quán và có thể dự đoán được các thao tác tiếp theo. 3. Tính đồng bộ : Không bỏ sót một chức năng nào đáng kể trong bộ chức năng đồ hoạ của phần mềm. 4. Tính bền vững : Chịu đựng được những sai phạm nhỏ trong vận hành của người sử dụng. 5. Tính hiệu quả : Với những hạn chế của phần cứng, phần mềm cần khai thác được đến mức tối đa khả năng của nó. 6. Tính kinh tế : Phần mềm không quá lớn hoặc quá đắt tiền đến mức khách hàng không chấp nhận được.
Câu 9: Trình bày chức năng của phần mềm hệ thống? Câu 10: Trình bày các chức năng của gói phần mềm đồ họa? 1/ Tạo sinh các yếu tố đồ hoạ Trong đồ họa, thuật ngữ “Entity” dùng để chỉ một yếu tố đồ họa hai chiều như điểm, đoạn thẳng, đường tròn, v.v... Bên cạnh đó còn phải kể đến bộ chữ cái, bộ chữ số cùng các ký hiệu đặc biệt khác, tạo nên bộ yếu tố đồ họa có trong hệ thống. Thường có một bộ phận phần cứng đặc biệt (một chip được cấy thêm vào card màn hình) nhằm tăng tốc độ của quá trình tạo sinh các yếu tố đồ họa và cho phép người sử dụng kiến tạo ra mô hình ứng dụng từ những yếu tố không thuộc vào các yếu tố có sẵn trong hệ thống. Thuật ngữ “Primitive” (nguyên thể) thường được dùng để chỉ một yếu tố đồ hoạ ba chiều như hình cầu, hình trụ hay lập phương. Trong mô hình khung dây ba chiều và mô hình đặc, các nguyên thể được sử dụng với tư cách là những khối cơ sở để xây dựng nên một mô hình ba chiều về đối tượng cụ thể mà người ta sử dụng đang quan tâm. 2/ Các phép chuyển đổi: Các phép chuyển đổi được dùng để thay đổi hình ảnh trên màn hình và để định vị lại các yếu tố trong cơ sở dữ liệu. Đó là công cụ giúp cho người sử dụng xây dựn mô hình ứng dụng theo ý muốn. Các phép chuyển đổi nói ở đây bao gồm phép dịch chuyển (tái định vị), phép quay, phép tỷ lệ (phóng to hoặc thu nhỏ)... 3/ Điều khiển hiển thị và các chức năng cửa sổ
Nhóm chức năng này giúp người sử dụng quan sát hình ảnh từ một góc độ mong muốn và với môt tỷ lệ yêu cầu. Để làm được như vậy, các phép chuyển đổi đã được vận dụng để hiển thị mô hình ứng dụng theo cách mà người sử dụng mong muốn. Công việc này đôi khi được gọi là phép “Window” vì màn hình đồ họa được quan niệm như một khung cửa sổ qua đó người sử dụng nhìn vào mô hình. Chú ý rằng cửa sổ có thể đặt bất cứ đâu để nhìn vào đối tượng đang xét. Bên cạnh đó, khử bỏ nét khuất cũng thuộc nhóm chức năng này. Trong đa số hệ đồ họa, hình ảnh được tạo nên bởi những đường nét thể hiện một đối tượng cụ thể. Khử bỏ nét khuất là một thủ tục mà nhờ đó hình ảnh được chia ra thành những nét thấy được và không thấy được (hay những nét khuất). Ở một số hệ đồ hoạ, người thiết kế phải chỉ ra nét nào (hay phần nào của nét) khôngthấy được để khử bỏ khiến cho hình vẻ dễ hiểu hơn. Ở một số hệ khác, gói phần mềm đủ mạnh để tự động khử bỏ nét khuất. 4/ Chức năng phân đoạn : Các chức năng thuộc nhóm này cho phép người sử dụng thay thế, xoá có lựa chọn hoặc sửa chữa những phần hình ảnh mong muốn. Thuật ngữ “đoạn” dùng để chỉ một phần cụ thể của bản vẽ cần chọn ra để sửa chữa. Phép phân đoạn là phép chia một đối tượng phức tạp thành những bộ phận đơn giản hơn có thể quản lý được. Mỗi bộ phận như thế được gọi là một đoạn. Đoạn có thể là một phần tử đơn như đoạn thẳng, đường tròn, hoặc cũng có thể là một nhóm phần tử đơn nhưng về mặt logic thì vẫn được xem như một phần tử đơn mà ta có thể thao tác trên đó. 5/ Các chức năng Input của người sử dụng: Đây là nhóm cực kỳ quan trọng trong gói phần mềm đồ hoạ vì chúng cho phép người sử dụng đưa lệnh và dữ liệu vào cho hệ thống. Những công việc này được thực hiện nhờ các thiết bị Input. Các chức năng Input tất nhiên phải được viết sao cho phù hợp với các thiết bị vào cụ thể có trong hệ thống, đồng thời phải dễ nhơ, dễ làm quen và tiện lợi cho người sử dụng. Các chức năng Input cần được viết sao cho có thể khai thác đến mức tối đa lợi thế tương tác của hệ ICG. Một bản thiết kế phần mềm tốt vừa có đủ mọi chức năng đáp ứng mọi tình huống vào dữ liệu, lại vừa không có quá nhiều lệnh khiến người sử dụng ngập chìm trong đó. Tuy nhiên điều này rất khó đạt được đối với những gói phần mềm lớn và phức tạp. Một trong những hướng giải quyết chủ yếu là đơn giản hoá sự giao diện người - máy đến mức một người sử dụng không hiểu biết nhiều về máy tính cũng có thể khai thác phần mềm một cách hiệu quả cho mục đích chuyên môn
của mình. Các phần mềm đồ họa chạy trong DOS gần đây và đặc biệt là chạy trong Windows là những ví dụ thành công theo hướng ấy. Câu17: Trình bày cơ sở đại số vectơ trong không gian 3D? Câu 18: Trình bày các biểu diến và tích chất của mô hình hóa hình học đường cong? 1 Biểu diễn đường cong. Về toán học, đường cong có thể dược biểu diễn dưới các dạng: - Phương trình ẩn. - Phương trình tường minh. - Phương trình tham số. Xét đường tròn đơn vị trên mặt phẳng (x - y), có tâm trùng với gốc hệ toạ độ trên hình 2.1. Mối quan hệ giữa các toạ độ x và y được mô tả bởi phương trình: f ( x , y )
=
x 2
+
y2
: Phương trình ẩn
1=0
−
(2.1)
Nếu chỉ xét phần nửa trên của đường tròn, phương trình biểu diễn là: y
= g ( x ) = ( 1 − x )
1
: Phương trình tường minh (2.2)
2
Nếu đặt góc θ giữa đoạn thẳng PO và trục x là tham số của đường tròn, ta có: x
=
x(θ )
=
cos θ
y
=
y (θ )
=
sin θ
: Phương trình tham số (2.3)
Trường hợp đặt góc α tạo bởi PQ và trục x là tham số, thì Kết hợp với phương trình (2.1) ta có:
t = tag α
=
y
( x + 1)
Đây cũng là phương trình tham số của đường tròn và được gọi là phương trìnhtham số đa thức hữu tỷ. Quá trình thiết lập phương trình tham số hữu tỷ của đường cong và mặt cong từ phương trình đa thức ẩn được gọi là tham số hoá. Nên biểu diễn đường cong 3D thích hợp dưới dạng phương trình tham số:
hay dưới dạng vectơ: Theo dạng phương trình tham số, đường cong được định nghĩa một cách dễ dàng bằng cách xác định miền giới hạn của tham số. Không thể xác định đường cong 3D bởi phương trình ẩn hay tường minh, bởi vì phương trình ẩn g(x,y,z)=0 biểu diễn mặt cong, do đó cần hai phương trình để xác định đường cong 3D. Trong trường hợp này, đường cong được định nghĩa như giao tuyến giữa hai mặt cong. 2 Đặc tính của đường cong. Trong phần này để biểu diễn đường cong, ta sử dụng phương trình tham số chuẩn tắc:
Đặc tính cơ bản của đường cong, bao gồm: a. Độ chảy của đường cong. b. Vectơ tiếp tuyến đơn vị. c. Vectơ pháp tuyến chính. d. Độ cong và bán kính cong.
a. Độ chảy Độ lớn của vectơ đạo hàm
.
r ( t ) được gọi là độ chảy của đường cong:
Hãy tưởng tượng đường cong là con đường và tham số t tượng trưng cho thời gian. Như vậy, độ chảy của đường cong tương ứng với tốc độ chạy xe. Đại lượng này được sử dụng trong thuật toán nội suy hình học theo phương pháp quét hình.
Nếu đặt quãng đường đi được là tham số s, phương trình đường cong dạng r(s) trở thành phương trình tham số tự nhiên với độ chảy bằng 1. Độ chảy của đường cong không phải là đặc tính riêng của đường cong, đó là kết quả của phép tham số hoá. b. Vectơ tiếp tuyến đơn vị: Cho s là tham số tự nhiên của đường cong r(t), sao cho:
Vectơ tiếp tuyến đơn vị của đường cong r(t) được định nghĩa như sau: (2.6) hay dưới dạng vi phân:
(2.7)
c. Vectơ pháp tuyến chính Lấy đạo hàm vectơ tiếp tuyến đơn vị T theo t và chuẩn hoá giá trị, chúng ta có vectơ đơn vị N, được gọi là vectơ pháp tuyến chính của đường cong: (2.8) Vì T là vectơ đơn vị (T.T=1), do đó vectơ N vuông góc với vectơ T (Hình 2.2). Mặt phẳng định nghĩa bởi vectơ T và N được gọi là mặt phẳng mật tiếp. Vectơ B vuông góc với vectơ N và T được gọi là vectơ pháp tuyến đôi xác định bởi quan hệ:
B = TxN
d. Độ cong và bán kính cong: Hãy cho s là tham số tự hiên và T là vectơ tiếp tuyến đơn vị của đường cong r(t). Độ cong được định nghĩa như sau: (2.9) hay dưới dạng vi phân:
(2.10) trong đó: .Đối với đường cong 2D dạng phương trình tường minh y = y(x), phương trình trên có dạng:
trong đó: Hãy xét đường tròn trên mặt phẳng mật tiếp (Hình ve), đi qua điểm hiện thời r(t) và độ cong của nó bằng chính độ cong của đường cong tại điểm này. Đường tròn này được gọi là đường tròn mật tiếp, bán kính của đường tròn mật tiếp được gọi là bán kính cong và được xác định bởi: (2.11) e. Độ xoắn của đường cong: Độ xoắn của đường cong 3D được định nghĩa như sau:
trong đó N là vectơ pháp tuyến chính; B là vectơ pháp tuyến đôi. Phương trình cơ bản mô tả đặc tính của đường cong 3D được gọi là phương trình SerretFrenet:
(2.12)
Câu 19: Trình bày các biểu diến và tích chất của mô hình hóa hình học mặt? 1 Phương pháp biểu diễn mặt cong: a. Mô hình mặt cong cong dạng phương trình ẩn. Hãy xét mặt cầu đơn vị với tâm tại gốc toạ độ Đề các. Các điểm phía trong mặt cầu thoả bất đẳng thức:
và phương trình: x
2
y 2
+
+
z 2
1=0
−
(1)
biểu diễn các điểm thuộc mặt cầu. Xét một cách tổng quát, phương trình ẩn g(x,y,z) = 0 biểu diễn mặt cong giới hạn bởi hai nửa không gian g(x,y,z) > 0 và g(x,y,z) < 0. b. Mô hình mặt cong dạng phương trình tham số. Theo hình học vi phân, mặt cong được định nghĩa như là ảnh của phép ánh xạ chính qui tập hợp điểm trong không gian 2D vào không gian 3D và được biểu diễn bởi phương trình: (2) trong đó: u và v là tham số của mặt cong. Đối với hình cầu đơn vị, ta có thể dễ dàng tham số hoá phương trình (1) bằng cách đặt tham số u là vĩ tuyến và tham số v là kinh tuyến của mặt cầu: (3)
Tương tự như đường tròn đơn vị có thể tham số hoá phương trình mặt cầu dưới hình thức khác, bằng cách sử dụng đa thức hữu tỷ. c. Mô hình mặt cong dạng phương trình phi tham số. Khi miền xác định của mặt cong là mặt phẳng x-y của hệ toạ độ Descarte (u ≡x, v≡y ) mô hình tham số (2) trở thành phi tham số: (4)
Nếu chỉ xét bán cầu trên của mặt cầu đơn vị thì phương trình (1) được biểu diễn dưới dạng tường minh: (5)
Hình học mặt cong được minh hoạ trên hình 2.3. Ta thường gọi phần mặt cong trong miền tham số giới hạn là mặt lưới. Các mặt lưới liên kết theo điều kiện kết nối liên tục tạo thành mặt cong phức hợp.
2. TÝnh chÊt. a. Độ cong. Ma trận cơ sở thứ hai. Xét đường cong r(t) trên mặt cong r(u,v) đạo hàm bậc hai của r(t) theo t có giá trị như sau: (6) Thực hiện phép nhân vô hướng với vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt cong với chú ý rằng r u .n r v .n 0 , ta có: =
=
(7a) trong đó:
Độ cong pháp tuyến. Từ phương trình (2.12), đạo hàm bậc hai của r(t) được tính như sau:
Thực hiện phép nhân vô hướng một lần nữa với vectơ n và chú ya rằng:T.n = 0: (7b) Giá trị kN.n ở biểu thức trên được gọi là độ cong pháp tuyến kn. Từ các công thức (7) và (3), chú ý rằng thức sau:
.
.
s = r
, độ cong pháp tuyến được xác dịnh bởi công
(8) Ý nghĩa vật lý của độ cong pháp tuyến như sau: Tại điểm hiện thời r(u(t),v(t)) trên mặt cong r(u,v), dựng mặt phẳng π đi qua vectơ tiếp tuyến đơn vị T và vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt cong. Độ cong của đường cong với mặt phẳng π là độ cong pháp tuyến của mặt cong tại điểm r(t) theo phương vectơ q .
Độ cong chính. Độ cong pháp tuyến (8) là hàm của
.
q
:
Do đó có thể tính giá trị cực đại của độ cong pháp tuyến từ biểu thức:
(9)
Giá trị cực đại của độ cong pháp tuyến được gọi là độ cong chính và được xác định từ (8) như sau:
(10) trong đó:
Víi
g 1 , g 2 , h, d 1 , d 2 , e
là các số hạng tương ứng của ma trận cơ sở G và D
Tích giá trị hai độ cong chính được gọi là độ cong Gauss được sử dụng để biểu diễn độ trơn láng của mặt cong. Câu 20: Trình bày các biểu diến và tích chất của mô hình hóa hình khối? Câu 21: Trình bày và phân tích các dạng mô hình toán học đường cong phẳng 2D? Đường cong 2D được sử dụng như các đối tượng hình học cơ sở trên các bản vẽ kỹ thuật truyền thống để mô tả hình thể 3D. 1. Mô hình đường cong dưới dạng phương trình đa thức ẩn. Phương trình ẩn g(x,y) = 0 biểu diễn đường cong trên mặt phẳng x-y, ví dụ như đường tròn và đường thẳng được biểu diễn bởi phương trình:
Mô hình này có ưu điểm: - Dễ dàng xác định vectơ tiếp tuyến và pháp tuyến, - Dễ dàng xác định vị trí tương đối giữa điểm với đường cong. Phương trình đa thức bậc 2 g(x,y) = 0 biểu diễn họ đường cong conic là giao tuyến giữa mặt cắt phẳng và mặt nón trụ. Tuỳ theo vị trí tương đối giữa mặt phẳng cắt và mặt nón, đường cong conic có thể là:
Nhược điểm chính của mô hình đường cong dưới dạng phương trình ẩn là khó thực hiện đồ hình tuần tự, đây là chức năng quan trọng trong đồ hoạ điện toán. Do vậy : trong mô hình hoá hình học, đường cong conic dưới dạng phương trình tham số được sử dụng phổ biến hơn cả. Thực tế mô hình dạng phương trình đa thức ẩn có bậc cao hơn 2 rất ít được sử dụng. 2. Mô hình đường cong dưới dạng phương trình đa thức tường minh. Phương trình tường minh dạng :
mô tả đường cong trên mặt phẳng x-y. Nếu f(x) là đa thức bậc 2, đường cong là Parabol. Đặc tính tiêu biểu của đa thức tường minh là có thể chuyển đổi thành phương trình ẩn hoặc phương trình tham số. Nếu y = f(x), trong đó f(x) là đa thức của x, tức là: (1)
Do vậy phương trình đa thức tường minh có ưu điểm của phương trình ẩn và phương trình tham số, đó là: - Dễ dàng xác định vectơ tiếp tuyến và pháp tuyến. - Dễ dàng xác định vị trí tương quan giữa điểm với đường cong.
- Dễ dàng thực hiện đồ hình tuần tự. Nhược điểm chính của dạng phương trình tường minh là không thể điều khiển đường cong khép kín hoặc đường thẳng đứng. Dạng phương trình (3.1) còn được gọi là dạng phi tham số. Câu 22: Trình bày và phân tích mô hình toán học đường cong đa thức ?
Khảo sát việc thiết lập đường cong với điều kiện biên cho trước bao gồm toạ độ và tiếp tuyến tại 2 điểm đầu và cuối: P0, P1, t0, t1. Vì rằng đường cong được định nghĩa bởi 2 vectơ vị trí và 2 vectơ tiếp tuyến có thể biểu diễn chúng dưới dạng phương trình đa thức vectơ bậc 3. Đa thức bậc 3 được sử dụng rất phổ biến, bởi vì đó là bậc tối thiểu, đủ để dựng các loại đường cong trong không gian 3D. 1. Mô hình đường cong dưới dạng phương trình đa thức chuẩn tắc. Đặc tính của mô hình đa thức chuẩn tắc là dễ dàng xác định. Xét phương trình đa thức vectơ bậc 3:
Có thể biểu diễn phương trình đa thức này dưới dạng ma trận theo vectơ cơ sở U và vectơ hệ số A như sau:
(1)
Phương trình đa thức bậc 3 (1) không thể hiện được ý nghĩa hình học, nhưngcó thể được sử dụng để thiết lập đường cong trơn láng đi qua 4 điểm dữ liệu { Pi: i =1,...,4} theo phương pháp sau: Đặt di là chiều dài cát tuyến giữa điểm Pi và
P i
+ 1
:
Từ đó giá trị tham số ui tại các điểm Pi được xác định như sau:
Đường cong bậc 3 (1) đi qua các điểm dữ liệu phải thoả điều kiện:
Tổng quát, đường cong đa thức bậc n đi qua (n+1) điểm dữ liệu được biểu diễn bởi phương trình đa thức:
2. Đường cong Ferguson.
Ferguson giới thiệu một phương pháp khác sử dụng phương trình (3.2). Theo đó đường cong được thiết lập bởi (Hình 3.1): a. Hai điểm đầu cuối P0 và P1. b. Tiếp tuyến đầu cuối t0 và t1. Đường cong bậc 3 (1) thoả điều kiện biên P0, P1, t0, t1 chúng phải đảm bảo:
(2) Sau các phép biến đổi, hệ số PT đa thức được xác định theo biểu thức:
(3)
Kết hợp biểu thức (1) và (3), đường cong Ferguson r(u) theo điều kiện biên như trên được biểu diễn bởi ma trận hệ số Ferguson C và vectơ điều kiện biên Ferguson S như sau: (4) Thực tế dễ dàng xác định được độ lớn của vectơ tiếp tuyến, do đó độ lớn của vectơ được chọn bằng chiều dài cát tuyến thoả yêu cầu về hình dáng.
t 0
=
t 1
=
P 1
−
P 0
. Sự lựa chọn này
Phương trình (1) và (4) đều được biểu diễn dưới dạng ma trận cơ sở. Có thể biểu diễn (4) dưới dạng khác:
(5) Trong đó:
Dễ dàng xác nhận rằng phương trình (5) thoả điều kiện biên (2). Phương trình (5) là định nghĩa chuẩn về đường cong kết nối Hermite. 3. Đường cong Bezier
Đường cong Bezier được định nghĩa bằng nhiều phương pháp. Hãy xét phương pháp xây dựng đường cong Bezier bậc 3 từ phương trình đường cong Ferguson (4).
Bốn đỉnh điều khiển Bezier V0, V1, V2, V3 (hình 3.2a) thoả điều kiện: V0 là điểm đầu của đường cong, V1 là vị trí 1/3 chiều dài trên vectơ tiếp tuyến đầu, V2 là vị trí 2/3 chiều dài trên vectơ tiếp tuyến cuối, V3 là điểm cuối của đường cong.
Cuối cùng ta thay thế kết quả (3.7) vào phương trình đường cong Ferguson
(4) để đạt được phương trình đường cong Bezier bậc 3 biểu diễn bởi ma trận hệ số Bezier M và vectơ đỉnh điều khiển R:
(8) trong đó:
Đặc tính tiêu biểu của đường cong Bezier là hình dáng của đường cong phụ thuộc vào đa tuyến lồi giới hạn bởi các đỉnh điều khiển ( Hình 3.2) . Tương tự như đường cong Ferguson có thể biểu diễn đường cong Bezier (3.8) dưới dạng phương trình đa thức:
(9) trong đó:
Đa thức Bernstein bậc n có dạng :
(10a) Đa thức Bernstein được gọi là hàm cơ sở Bezier sử dụng để định nghĩa đường cong Bezier bậc n bằng cách kết nối (n+1) đỉnh điều khiển:
(10b) Đường cong Bezier bậc n thoả điều kiện biên sau:
(11)
Định nghĩa chuẩn về đường cong Bezier theo hàm cơ sở Bezier (3.10b) thể hiện tính chất hình học của đường cong tốt hơn so với biểu diễn dưới dạng ma trận (3.8), ví dụ như có thể chia nhỏ hoặc tăng bậc cho đường cong. Ngược mại dạng ma trận có ưu điểm là dễ dàng xử lý dữ liệu. 4. Đường cong B-spline đều
Mô hình toán học của đường cong B-spline là phương trình đại số. Ta sẽ nghiên cứu phép dựng hình để hiểu rõ tính chất hình học của dạng mô hình này. Xét 4 đỉnh điều khiển V0,...,V3 và các điểm M0, M1, P0, P1 với tính chất như sau: (Hình 3.3).
Như vậy ta có thể biểu diễn điểm biên P0, P1 và tiếp tuyến t0, t1 theo đỉnh điều khiển như sau:
hay dưới dạng ma trận:
Thay kết quả trên vào phương trình đường cong Ferguson (3.5) để đạt được phương trình đường cong B-spline đều bậc 3 biểu diễn bởi ma trận hệ số Bspline đều N và vectơ đỉnh điều khiển R:
Câu 23: Trình bày và phân tích mô hình toán học đường cong hữu tỉ ?
Hàm hữu tỷ được định nghĩa như là tỷ số của 2 hàm đa thức. Đường cong hữu tỷ có độ linh hoạt về hình dáng cao hơn so với các dạng đường cong đa thức chuẩn tắc khác. Đường cong hữu tỷ sẽ có dạng đa thức chuẩn tắc nếu như được biểu diễn theo hệ toạ độ đồng nhất. Ta sẽ khảo sát dạng hữu tỷ của mô hình đường cong Bezier. 1. Toạ độ đồng nhất. Ta đã biết phương trình tham số của đường tròn đơn vị như sau:
Vì mỗi tyhành phần của vectơ 3D trên có cùng mẫu số, nên ta có thể chuyển chúng thành vectơ đồng nhất 4 thành phần R(u) với 3 thành phần đầu tiên ứng với tử số và thành phần thứ 4 ứng với mẫu số chung:
Vectơ R(u) được gọi là vectơ đồng nhất và thành phần của chúng trở thành toạ độ đồng nhất của điểm 3D (r(u)). Ta có thể chuyển đổi (X, Y, Z, h) thành (X/h, Y/h, Z/h, 1) tức là thành (x, y, z, 1). Sự chuyển đổi này gọi là sự chuẩn hoá. Ý nghĩa hình học của sự chuẩn hoá là vectơ 4D được chiếu lên mặt phẳng h = 1 trong không gian 4 chiều. Như vậy vectơ đồng nhất (x, y, z, 1) và (hx. hy, hz, h) biểu diễn cùng một điểm 3D (x, y, z) nếu h≠ 0. Theo mô hình hữu tỷ mõi dỉnh điều khiển Vi(xi, yi, zi) được định nghĩa như đỉnh điều khiển đồng nhất:
trọng số Wi làm tăng tính linh hoạt về hình dáng. Biểu diễn toạ độ Đề các dưới dạng đồng nhất được sử dụng rộng rãi trong các phép biến đổi tạo độ ứng dụng trong đồ hoạ cũng như Robot học. 2. Đường cong hữu tỷ bậc 2. Nếu vectơ đỉnh điều khiển Bezier chuẩn tắc được thay thế bởi vectơ đồng nhất tưong ứng ta sẽ đạt được đường cong Bezier hữu tỷ. Đường cong Bezier bậc 2 có dạng:
Ta chuyển đổi đường cong Bezier bậc 2 này thành dạng hữu tỷ. Sử dụng Hi để biểu diển đỉnh điều khiển đồng nhất của Vi, sao cho:
Toạ độ Đề các của đỉnh điều khiển đồng nhất Hi trên biểu thức (3.25) tương đương với đỉnh điều khiển Vi, không phụ thuộc vào trọng số wi. Do vậy đường cong Bezier hữu tỷ bậc 2 được biểu diễn dưới dạng:
Ta sẽ khảo sát hình dánh đường cong đồng nhất này. Điều kiện biên của đường cong hữu tỷ được xác định bằng cách tính biểu thức (3.26) và đạo hàm của chúng tại u = 0 và u = 1.
Lấy đạo hàm phương trình trên theo u ta có:
Cụ thể đối với đường cong Bezier bậc 2 ta có:
Kết quả trên chứng tỏ rằng tiếp tuyến của đường cong Bezier đồng nhất (3.26) và đường cong Bezier chuẩn tắc (3.24) tại các điểm biên có cùng phương với nhau nhưng độ lớn của chúng thay đổi theo tỷ lệ w1/w0 và w1/w2 (Hình 3.6).
Phương trình Bezier đồng nhất (3.26) được biểu diễn dưới dạng thành phần đồng nhất như sau:
Và phương trình Bezier được biểu diễn ngắn gọn hơn dưới dạng hữu tỷ:
trong đó: Vi = (Xi, Yi, Zi) : đỉnh điều khiển Bezier, Wi : trọng số. Như vậy ta đã chỉ ra rằng có thể biểu diễn đường cong Bezier hữu tỷ hoặc dưới dạng đồng nhất (3.26) hoặc dưới dạng hữu tỷ (3.30) và đường cong Bezier hữu tỷ bậc 2 được chuyển đổi thành đường cong chuẩn tắc khi Wi = 1 với mọi i. Mô hình đường cong hữu tỷ bậc 2 được sử dụng rất phổ biến trong phép tham số hoá đường cong mặt cắt cônic.
3. Đường cong hữu tỷ bậc 3.
Ta có thể dễ dàng xác định mô hình hữu tỷ cho đường cong Bezier và B-spline bậc cao hơn. Đường cong Bezier bậc 3 hữu tỷ có dạng đồng nhất tương tự như đường cong Bezier chuẩn tắc (3.7):
Mô hình đường cong hữu tỷ có bậc tự do cao hơn dùng để định nghĩa hình dáng. Sử dụng các giá trị trọng số khác nhau có thể điều khiển hình dáng đường cong hữu tỷ trong miền giới hạn bởi đa tuyến đặc tính. Nhưng quá nhiều bậc tự do thường không phải là tốt, thực tế rất ít khi sử dụng bậc cao hơn 2. Câu 24: Trình bày và phân tích mô hình toán học khố rắn và mặt Câu 25: Trình bày và phân tích các giải thuật cơ bản trong thiết kế và gia công? Câu 26: Trình bày khái niệm và nguyên tắc và phương pháp trình biên dịch chương trình gia công. Câu 27: Trình bày và ứng dụng phương pháp tính toán quỹ đạo dụng cụ một số trường hợp cơ bản? Câu 28: Phân tích công nghệ gia công điển hình ? Câu 29: phân tích công nghệ gia công nhóm?Ý nghĩa công nghệ nhóm trong gia công CAD/CAM? Câu 30: Phân tích công nghệ gia công linh hoạt?
