De Cuantas Maneras

RUBEN 8rJRTMAN bortman.ruben@gmaiLcom

DANiEl AVENBURG avenburg.daniel@gmaiLcom

~OE CUANTAS MANERAS?

(0)

UN ABrJROAJE AL I\HLUIlHI'1i YANALISIS DE CDMPlEJIDAD

AOVl'
INTUITIVO AL RAZONAMIENTO COMBINATORIO Y ANAuSIS DE COMPLEJIDAD

978·987<<2336·3·1

ANTECEDENTES ACADEMICOS DE LOS AUTORES SORTMAN. Ruben Licenciado en Administraci6n, FCE fUEl ProfAsor adjunlo de la II Catedra de To orie de 18 Decision FCE·UBA Profesor Organizacionai edjunto de Teorle de la Decisi6n de 18 Maestria ~n ia Escuela de Guerra Naval. Ex Profesor de 1eoria de Decision en la Profesor de Tearia de 18 Decision en 81 Posgl'ado Financiera la FCE/UBA. Investigador del Cen tro de Estudios Organizacionales. FCE - USA

AVENBURG, Daniel Licenciado en Admillistraci{m, FCE tUBA (1983) . Profcsor titular intcrino y de la II Catedra de Teoria de la Decision FCI::-UBA. Ex de 13 Decision en curso de Doctarado la Universidad N"c:ional de Rosario. Profesor de Racionalidad y Accion Humana en cl MBA de la reCI:: de UBA. Profesor de Tearla de 13 Decision de la Maestrla en la Escucla de Guerra Naval. Ex Prolesor Direceion Decision en 18 Universidad de de Teoria de de leorla de la Decision en MBA del Institulo de Buenos Aires Proresor lilulsr de Teor!a de de rnl11islra,cion Financiera FCEiUBA. dios Organizacionales. FeE - UBA

Equipa de Trabaja Libra "i-De cuantas maneras?" Autores: Bortman Ruben - Avenburg Daniel Digitalizaci6n: Bartman Ruben Diserjador de Tapa e Interior: Esteban Aurucei Colaboradores: Ariel Sorin, Jose Forte.

1 ra. Edicion Ejemplares Fecha de Pubiicacion: Marzo de Queda 110Cho el deposito que marca la ley 11.723

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01

mas de Marzo de 2007. en Malke. A.v. Cordoba 2210. Ciudad de Buenos Aires. Argentina

A Marily, Paula y Laura.

A Veronica, Andrea y Pablo,

AGRADECIMIENTOS

A los orofesores de Teorfa de la Decision FeE-UBA Yen A los orofesores Federico Marco y Ariel Alas

docentes Daniela Marcelo

Romina Tomelleri y Nicolas Vainstein.

INDrCE

Page

i

PROLOGO

11

ANTES QUE NADA.ee

14

"eLA REALlDAD

16

PRESENTACION Y OBJETIVOS

25

PUNTO DE PARTIDA

25

AMPLIANDO EL HORIZONTE

27

INTRODUCCION ALANALlSIS DE COMPLEJIDAD

32

11- LA VARI EDAD MAXIMA

41

III - LA VARIEDAD RESTRINGIDA

59

IV

93

LA VARIEDAD RESTRINGIDA CON EXCEPCIONES

V - LA VARIEDAD BINARIA

102

VI - INCERTIDUMBRE Y ENTROPIA

123

VII

137

RELACION ENTRE VARIEDAD Y ENTROPIA

VIII - RELACION ENTRE VARIEDAD BINARIA Y ENTROPIA

139

IX - RELACION ENTRE VARIEDAD, VARIEDAD BINARIA Y ENTROPIA 141

PROLOGO

La obra que se presenta recoge la larga experiencia de destacados academicos de la disciplina de la decision: Ruben Bartman y Daniel Avenburg.

x - APLICACIONES AL DESA RROLLO

DEL RAZONAMIE.NTO COMBINATORIO Y LA ABSTRACCION Aplicaciones a la determinaci6n de elementos de la decision - Aplicaciones al calculo de probabilidades - Aplicaciones al calculo del numero escenanos - Aplicaciones al calculo del numero de alternativas Aplicaciones a la superaci6n de sesgos cognltivos Apllcaciones en la complejidad de casos reales

145 145

Es fundamental al encarar cualquier decision, analizar el tipo de mundo universo a los que se refiere la decision en cuestion, para determinar los dislintos metod os aplicables y que sean adeeuados para sus propias caracteristicas.

162 168 174 '187

Debemos estructurar ese mundo, con metodologias comunes y sistematizadas. La idea es modelizar y simplificar para comprender mejor. Este ejercicio nos facilitara la comprension del mundo que rodea las distintas situaciones de decision. En ese ejercicio, uno de los primeros elementos a considerar es la complejidad de ese universo. Universo que tendril asociada una incertidumbre relativa, que dara el senti do a la problematica del decidir.

XI- RAZONAMIENTO COMBINATORIO EN EL PROCESO EDUCATIVO 195 XII·· RELACION CON LA HEURISTICA DE LOS SESGOS

COC~NITIVOS

203

XIII - GQUE ES LA TEORIA DE LA DECISION?

221

APENDICE

227

CITAS BIBLIOGRAFICAS

245

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA

247

11

EI analisis de la complejidad es fundamental en el proceso decisorio para determinar los escenarios posibles que puede tomar el universo bajo decision, reconocer sus posibles comportamientos, y asi identificar variables, alternativas, etc. Asi se validaran la metodologia y las herramientas.

It') I

Los autores lograron a traves de esta obra reunir todos los elementos necesarios para que ellector pueda comprender el verdadero significado de esa complejidad, su medicion y 10 que es mas impoliante su aplicacion en ejemplos variados, paradigmaticos, completos, y claramente explicitados. Uno de los valores mas importante de este trabajo es la claridad con la que se desarrollan los distintos temas. Temas que no son de simple abordaje y que seguramente merecieron un trabajo adicional para poder lograr esa sencillez en la exposicion. Y que permitiran el faeil manejo por los lectores, en sus distintos capitulos adem as del apendice incorporado, que sera de mayor utilidad para los que no sean alumnos universitarios.

12

De este texto se desprende un conocimiento y trabajo profunda, as! como una reflexion constante y marcada en cada item desarrollado, dignos de profesionales serios y responsables como 10 son los autores. Nadie discute ya, que la forma de adquirir conocimiento no queda limitada a la raz6n sino que la experiencia de los individuos desencadena procesos internos a traves de la percepcion, las impresiones, las sensaciones, !a intuicion, etcetera, que afectan la valoracion de alternativas y la eleccion de cursos de accion, adem as a los propios mecanismos neuron ales personales de cad a serhumano. Esto ultimo tam bien es tratado par los autores al considerar los distintos sesgos cognitivos, extendiendo eJ modelo "racional de decision" a la situaci6n emocional del decisor. Siento la necesidad de agradecer a los autores el haberme permitido prologar esta obra, ademas de destacar el profunda carino que me une a elias: can Ruben Bartman desde sus inicios como Profesor en la materia de Teorfa de la Decision de nuestra entranable Facultad de Ciencias Economicas, y con DanielAvenburg, quien fuera primero alumna, luego un destacado profesor, para ser ahara un querido colega.

ANTES QUE NADA ""' Suponga usted que se encuentra en una reuni6n junto a otras 39 personas a las que no conoce en absoluto nl se conocen entre si De pronto, una de elias lanza un reto curiosa:

-Apuesto $100 a quien quiera que aquf hay por /0 men os dos personas que cumplen alios el mismo dfaFrente al desafio, es posible que usted adopte una de las siguientes conductas: a) Ignora el asunto por completo pues no Ie interesa en sentido alguno.

No puedo flnalizar sin mencionar a nuestro mentor, "el maestro" de Teoria de la Decision, Pedro Pavesi, quien se enorgulleceria par este excelente trabajo.

b) Siente alguna inclinacion por los juegos de azar y por 10 tanto el asunto Ie provoca inten§s. Ademas su percepcion Ie indica que sus chances de hacerse de $100 son bastantes buenas si apuesta a que no habra tal coincidencia.

Ora. Patricia Bonatti Directora del Departamento deAdministracion FeE-UBA Profesora titular (i) de Teoria de la Decisi6n

c) Desde una mentalidad mas orientada a los negocios, y por 10 tanto acostumbrada a tomar 0 no riesgos, piensa que tal vez no sea mala idea participar. Se pregunta si, como tal, "el negocio" es equitativo en el sentido de que el pago resulta proporcionado can los riesgos que corren las partes intervinientes. Usted se considera una persona racional. Eso no significa que crea que los demas no 10 son, sino que se ve a sl mismo como

SllllF!I;~lII!I"

14

15

ien que, en particular, siempre trata de analizar los problemas en la forma mas objetiva posible, cuando las circunstancias 10 permiten. (Ademas usted es tan objetivo objetivamente, se da cuenta que muchas veces --incluso para usted- no hay forma de escapar a las apreciaciones subjetivas) Por 10 tanto trata analizar el desafio friamente para evaluar si objetivamente Ie conviene 0 no aceptarlo~ A usted no Ie interesa para nada la apuesta como tal, pero, como acertijos y los desafios mentales, se siente atraido por el amante de problema en si y sabe que seguramente existen procedimientos permitirian calcular la probabilidad de que la conjetura lanzada se verifique~

aun, tlene alguna idea de cuales son esas herramientas, pues segura 0 no recuerda como se alguna vez las ha visto pero no aplicaban. 0 recuerda que su aplicacion Ie resultaba complicada.

f) Usted esta estudiando un tema, 0 una materia que tiene algunos de vinculacion con estas cuestiones y necesita alguna forma de abordarlas que Ie facilite un acceso mas intuitivo a su Tambien puede ocurrir que usted se con mas de una de las descripciones b) a e)

total 0 parcialmente

Excepto para quienes se posicionen en a), en el resto de los casas es posible que Ie interese leer este trabajo~ mayoria de las personas se asombran al probabilidad de que al menos haya dos de las anos el mismo dia es de casi i el 90% !. posible que en realidad dentro del grupo haya 3 0 4 que muestren esa aparentemente rara coincidencia.

enterarse que la 40 personas que De hecho, es pares de personas

L6gieamente, en su momenta justiflearemos estas afirmaciones. Y comprobaremos que la cuesti6n no es una azarosa "coincidencia" y menos aun EI "jueguito" no era nada equitativo (par favar ahara no abusar los amigos) y quien lanz6 el desafio tenia cas! el 90% de alzarse can los $100, con un riesgo nada propolcionado (10(1'0) de perder La realidad muchas veces nos presenta situaeiones como la ejemplificada, en la que nuestra apreciacion 5e ve afectada no solo visiones personales subjetivas que difieren del hecho objetivo (simplemente parque no 10 vemos), sino tambien porque estas se encuentran potenciadas por la falta 0 desconocimiento de instrumentos faciliten la lectura e interpretacion. este caso, ademas de los sesgos psicologicos que afectan a un porcentaje significativ~ de las personas en la lectura de probabilidades (sesgos a los que aludiremos durante el desarrollo), esta subyacente una dificultad basica en el lIamado razonamiento combinatorio que sirve de soporte para la medici6n de la aleatoriedad 0 calculo de probabilidades. el ejemplo aludido, esa dificultad Ileva a estimar subjetivamente como muy baja una probabilidad que objetivamente es muy de conacer el dato real no nos garantiza el resultado Sl apostamos, pero nos ayuda mucha a tamar la decisi6n apostar 0 no. De cualquier modo, y a la larga, quien apueste par la coincidencia ganara en 9 de cada 10 veces aue juegue. Desde luego que la realidad es muy compleja y aun porciones muy pequenas de la realidad, como el problema comentado, se nos presenta con formatos que intrincan las pocas variables intervinientes en una trama que presenta disfraces 0 compliea su anal isis.

\

16

A veces pienso que la prueba mas fehaciente de que existe vida inteligente en el universe es __ !1!!~ni!cJie 12a intentacJg(:;()ntactaCr;Q~7i7osoJ.cr:J'LEiIIJ1/atterson (1958=2LAutor de comics.

~,

Nada perece en elUniverso; todo cuanto acontece en 81 no pasa de meras transformaciones Pitag o.~~_~§_Cl.rr~o~@_§'~_6~:~~~Z.f\_g Fi16sofQ.._Lrr1.atem au~ClJl!~ _____________________

!Z

Una nueva cuenta de e-mail nos requiere componer una clave de acceso con un minima de 5 y un maximo de 8 digitos alfanumericos. Tenemos 5 camisas, 3 pantalones y 3 pares de zapatos. Un restaurante nos ofrece elegir 1 de 10 entradas, 1 de 20 platos principales y 1 de 5 postres. Debemos cumplimentar 10 tareas de un proceso productiv~ y disponemos de 4 operarios para ejecutarlas'GDe cuantas maneras distintas podemos componer la clave, elegir c6mo vestirnos, armar nuestro menu 0 asignar los operarios?

resolvemos a operar sobre ella de tal forma que los acontecimientos adopten un estado de cosas cercanos a nuestros objetivos. Esto es 10 que hacemos durante la vida para alcanzar fines mas inmediatos que, a su vez son medios para otros ulteriores, y estos a su vez para otros siguientes cada vez mas pr6ximos a los valores finales que nos animan.

Cuando asi sucede, es una picardia no echar mana a herramientas que existen, no son tan dif.lciles y podrian auxiliarnos.

De todos modos, accedemos a la realidad a traves de l1uestros sentidos y as! la percibimos como "todo 10 que esta afuera de nosotros", es decir como contexto que debemos entender para aprehenderlo y poder operar sobre el.

Este trabajo tiene por objeto examinar algunas de esas herramientas y presentarlas de un modo simple, didactico, desacartonado e intuitiv~, de tal manera que ademas cumplan la finalidad superior de servir en el entrenamiento del razonamiento combinatorio, del anal isis de la complejidad de ciertos fracciones de realidad y de la capacidad de abstracci6n.

Esa necesidad de entender y operar sobre la realidad nos Ileva a comenzar este trabajo con algunas ideas vinculadas con la forma de metodizar su analisis y as! simplificar los procedimientos que permiten abordar su complejidad.

Para adentrarnos en el tema, comencemos por reflexionar sobre la realidad.

... LA REALI DAD Raramente nos ponemos a filosofar -·al menos interna y cotidianamente- sobre 10 complicado que es el mundo. Mas comun es encontrarnos cavilando sobre 10 dificil de una situaci6n, las complejidades y variantes que nos presenta un problema 0 sobre la forma de destrabar un acertijo que no nos deja dormir. Son estos, de todas formas, universos parciales y acotados de la realidad en general que nos circunda como contexto. A decir verdad, nosotros tambien integramos la realidad y en ocasiones nos

'/

La lectura de la realidad -en el sentido de su interpretaci6n- es compleja por diversas razones. Simplificando mucho, aludiremos aqu! a dos de elias por considerarlas impoliantes y porque se vinculan con el desarrollo de este trabajo .

A) La realidad objetiva En primer lugar, la realidad, encerrando en este concepto el todo - el mundo, las situaciones, las cosas, 10 material y 10 inmaterial, la ideas-, es compleja porque desde una perspectiva sistemica resulta de la interacci6n de multiples - Ginfinitas? - variables que evolucionan, se relacionan entre si 0 dejan de hacerlo, y asi presentan comportamientos en el decurso del tiempo. EI conjunto de todos los comportamientos de todas las variables intervinientes en un momenta determinado configura la realidad de ese momenta en particular.

18

Hay dos cosas infinitas el Urilverso V la estupidez humana. Y del Universo no estoy seguro.

Y COil toda Sll hermosura es Ull caos para el hombre sill fe. 19

Independientemente de la discusion filosofica acerca de si el es objetivamente aleatorio e incierto 0 es deterministico Y su incertidumbre puramente subjetiva (Dios no juega a los dados, Einstein para abonar esta liltima concepcion segun la cual universo no es aleatorio y solo debido a los limites de nuestra racionalidad es que no podemos ver su determinismo), 10 cierto es que a nosotros, seres humanos de carne y hueso, en el actual estadio de evolucion de la especie y mas alia de como el universo sea, la realidad y el devenir se nos presentan como inciertos y con esa limitacion debemos vivir y actuar. Si el Universo no es incierto, a todos los efectos y para nosotros, es como si 10 fuese.

Esa porcion de orden tlene dos efectos concretos:

"

/

cornprobar que todavia no Ilegamos al caos total, situaci6n en la que el toda la energia necesaria para sostener el orden se el orden no existe, no hay normas ni restricciones, todas las variables y sus comportamientos posibles adquieren IIbertad total y nada puede diferenciarse nada: la oscuridad total y finaL No asustarse, somos optimistas, creemos que todavra falta un poco para eso.

') 1

la existencia de algun grado de orden permite tambien grado de predictibilidad en cuanto al comportamiento de la 10 cual alguna reducci6n en el arado de aleatoriedad y en la incertidumbre sobre el devenir. No obstante, esa debe ser entendida con un poco mas

precision.

Pavesi*

Para ello, siguiendo las denominaciones podemos describir la realidad en tres dociles, los

esquivos y los mundos rebeldes.

1) Algunos mundos son d6ciles, algo ordenados, relativamente

obedientes y estables. Son mundos mas cerrados en el sentido que sus

comportamientos son poco variados y puede conocerse de antemano

cuantos son.

(1)

No obstante que la realidad a veces nos parezca caotica, 10 cierto es -al menos por ahora- no 10 es totalmente porque a pesar del inconmensurable numero de variables e interacciones posibles entre elias, existen reg las, patrones, rigidez en algunas estructuras, leyes Ie aportan un cierto grado de

maquina produce una pieza determinada a razon de 50 unidades por h~ra. Pueden ser 52 0 49 pero el rango de comportamiento es sumamente acotado. lecturas sobre al gunos

practicos

decidir"

20

Estos mundos d6ciles son en general los mundos operativos. Sus rangos de libertad son reducidos, Sus variables tienden a ser facilmente cuantificables, su comportamiento es matematizable porque exhiben cualidades simllares a las caracterfsticas de distintas algebras. Y por ello es un error no valernos de tal herramienta siendo ello posible. Estos mundos son esencialmente "objetivos". Dan escaso lugar a una brecha de percepcion, se prestan a la experimentaci6n y a la aplicacion del metodo cientffico. particularmente en estos mundos que aplicables los procedimientos del razonamiento combinatorio. 2) Los mundos esquivos, intermedios entre los d6ciles y los· rebeldes, son los mundos mas comunes en los niveles tacticos. Su caracterfstica basica es que no son tan matematizables, esquivan los numeros y son mas verbales. Ya no son tan cerrados como los d6ciles, son semi abiertos. Son mundos con una alta proporci6n de subjetividad, mezclan variables cuantificables con variables que no 10 son. estos mundos verbales existen aun bastantes estructuras capturables por el lenguaje y aparecen zonas parcialmente matematizables que deben aprovecharse debidamente. 3) Los mundos rebeldes son los mundos estrategicos. Son totalmente inciertos porque dependen fundamentalmente del comportamiento de otros (competidores, contrincantes, contrarios, adversarios, enemigos), Son dificilmente predecibles porque les podemos atribuir gran cantidad de comportamientos posibles. Son mundos ablertos en los que siempre pueden aparecer elementos nuevos e insospechados. La incertidumbre es alta, la duda es fuerte.

Para hacer una tarta de manzana primero lienes que crear un universQ, 21

Si se logra reducir la incertidumbre conviniendo 0 imponiendo restricciones y Ifmites, nunca estaremos seguros que los mismos se mantendn.'ln. Pero, quizas, aparece algun aspecto d6dl que nos pennite alguna forma de modelizacion. De alii la respectivamente creciente dificultad de "leer", interpretar, describir y predecir la realidad en cada uno de estos

La realidad subjetiva En segundo lugar, mas alia de la conformacion que objetivamente tenga la realidad, resulta sabido, conocido, todos 10 experimentarnos, la realidad tal como que hay otra realidad de naturaleza subjetiva. cada uno la percibe, desde sus pautas culturales, su escala de valores, sus creencias, sus convicciones, sus conocimientos (y sus defectos de conocimientos), sus prejulcios, sus sesgos psicologicos, su vision del y el contexte normativo-social en que se desenvuelve, y espedalmente, desde los limites de la racionalidad a los que se refiriera Simon*. A partir de reconocer esto, no es dificil pensar --10 vemos habitualmente- que la misma realidad objetiva puede ser "Ieida" de manera distinta por diferentes personas. Es la realidad percibida. Y es la realidad sobre la cual se basan los decisores: hombres y J11ujeres subjetivos, aunque tengan "vocacion de objetividad". Frente a dicha "vocacion de objetividad" debe tenerse presente que: a) existen mundos objetivables.

dociles) que resultan mas directamente

*Herbert Simon. EI comportamiento Administrativo(3)

2J

22

sten mundos (los esquivos) cuya objetivaci6n se ve facilitada si se teenicas 0 modelos apropiados. que los

objetivo de este trabajo, sus ideas y las descripciones a) y b).

esta

a

Sintetizando las dos razones expuestas, concluimos que la realldad es cornpleja porque objetivamente 10 es, porque por ariadidura recibe la percepcion de nuestra subjetividad y ademas se potencia frente a la

de que existe una Desde luego, yes facil de imaginar, que en el caso de los "mundos

y tal como la Lo cierto es que en esa que vivimos. Can ella debemos IIdiar, actuar, modificarla para alcanzar nuestros m6viles y aspiraciones como individuos.

es

tamar conciencia de la existencia de esa brecha, podemos pensar resultarfa adecuado, al menos en una buena medida, encontrar que nos permitan estrecharla y asi evitar los defectos y errores en nuestras acciones originados en lecturas subjetivas de una

Sin embargo, la cuestion no es tan simple, y "mundos , mas cerrados, en los que mtervlenen menos variables (y cada una de elias con menos comportamientos), can mas rigidez estructural y orden, se presentan dificultades. Segun investigaciones del campo de la psicologia pedag6gica a las que aludiremos dUrante el desarrollo del trabajo, ha podido comprobarse la presencia de un problema bastante generalizado que obedece al deficit, 0 la falta, 0 a fallas en la didactica de su las tecnicas y procedimientos inductivas del en las etapas del proceso educativo de las

y las causas slgnlTlcativas de algunas de las de una realidad 0, como diremos a escenario determinado.

o

Este defecto se manifiesta en la imposibilidad practica de poder recontar correctamente el nurnero de cornportamientos que un sistema, aun relativamente poco complejo, puede presentar y consecuentemente se trasunta en inconvenientes para procesar cualquier construcci6n que requiera de dichds datos eficient2mente deterrninados. en la toma de decisiones puede afectar el recuento de las los escenarios factibles y sus respectivas los resultados que para cad a presentar. r otra parte, y debido al combinatorio juega en el calculo de

el razonamiento rlofOf"tl"\ da

Las matematicas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo.

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origen a una parte de los sesgos psicologicos-cognitivos que afectan a un porcentaje muy significativo de personas, segun los resultados de las investigaciones hoy universal mente aceptadas de Daniel Kahneman y Amos Tversky*. En el presente trabajo se ha buscado resenar, a partir de largas experiencias propias realizadas en el ambito docente, algunos mecanismos que faciliten el acceso a los procedimientos necesarios para mejorar la captacion de la complejidad de un sistema desde un abordaje intuitivamente perceptible, con simplicidad de lenguaje y economia de "jerga" tecnica, asi como ejemplos claros, desarrollados y entretenidos. Muchos de esos ejemplos se basan en "cosas" -ahara diremos sistemas- comunes y aparentemente triviales. Algunos se apoyan en casos conocidos para las amantes de las acertijos y los desafios de la mente.

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La otra es que tambien pueda interesar a las personas que, aun sin una base matematica 0 can la que alguna vez se conocio pero no 5e recuerda, aqui puedan encontrar algunas formas entretenidas favorecer y ejercitar el razonamiento combinatorio y la capacidad de abstraccion, conociendo ademas su rol importante para interpretar la realidad. A ellos les sugerimos dirigirse directamente a los puntas de aplicacion practica (II a X). Eventualmente, si es de su gusto e interes, pueden luego complementar can la lectura de la introduccion marco teorico (I), y tambien los puntas que amplian sobre el razonamiento combinatorio en la educacion (XI) y los sesgos cognitivos (XII), mas una slntesis sobre los contenidos de la Teorfa de la Decision

Sobre el final, se agrega un pequeno Apendice can comentarios auxiliares y elementales relacionados con las formulas combinatorias, los logaritmos y el calculo de probabilidades.

PRESENTACION Y OBJETIVO Presentamos este trabajo can dos aspiraciones. de elias es que pueda resultar de utilidad a los estudiantes que cursan materias en las cuales el analisis de complejidad, el calculo combinatorio y de probabilidades, as! como el enfoque de variedad forma parte de los programas. A elias sugerimos una lectura integral como paso previa a su profundizacion con los text os especificos y mas rigurosamente matematicos sabre el tema. *Incidentalmente, dedicaremos a Daniel Kahneman - Premio Nobel Economfa 2002-, Amos Tversky, Paul Siovic, Richard Thaler y sus continuadores un capitulo de este libro, en virtud de la influencia que sus investigaciones descriptivas tienen en la comprension de algunos aspectos relacionados con nuestro tema.

PUNTO PARTIDA Si bien surge como un intento de desalmidonar y bajar a un lenguaje mas coloquial un tema que, las investigaciones 10 comprueban, se muestra esquivo para la generalidad de las personas con formacion media y aun superior, 10 cierto es que el presente trabajo es producto de nuestra experiencia docente en la materia Teoria de la Decision, dictada regularmente y desde hace anos en cursos de grado y posgrado de la Facultad de Ciencias Economicas de la Universidad de Buenos Aires, as! como en otras instituciones educativas. Nuestra formacion espedfica no se relaciona tanto con el objeto de este trabajo sino mas can la Administracion y desde ella con la problematica de los procesos decisorios. De hecho, en nuestros

Seria muy Simpatico que eXisliera DIOS, que hubiese creado el mundo y fuese una benevolente providencia que existieran un orden moral en el univers~ y una vida futura; pero es un hecho muy sorprendente el que tad a esto sea exaciamente 10 que nosotros nos sentimos ablioados a desear

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27

comienzos docentes debimos ahondar en el tema por la sencilla razon de que formaba -y forma- parte del programa de 18 materia a dictar. bien a 1a hora de exponerlo ello puede considerarse una limitante, comparando con el grado de profundidad que Ie pueden irnprirnir al quienes se hayan formado especificamente en el carnpo de las mateIT1aticas - especialmente discretas"', la estadistica y el calculo de probabilidades, resulta al rnismo tiernpo un factor que favorece la posibilidad de desarrollarlo desde una vision rnas externa, menos sujeta al rigor maternatico y desde la perspectiva de quien debe encararlo mas intuitiva que tecnicarnente. Por otra parte, esa forma de abordaje es el proposito principal de esta iniciativa que, sin perjuicio de ello puede, y en el caso de los cursantes vez debe, ser cornplementada con la abundante literatura en la cual el tema esta contenido desde una vision rnas rigurosamente cientffica. l,Cual

EI secreto de mi universo es s610 imaginar a Dios sin ia inrnortalldad del hombre.

la razon que movilizo la idea de generar este trabajo?

A 10 largo de los anos en el ejercicio docente hemos percibido ciertas dificultades en una parte proporcionalmente significativa de los alumnos de cursa regular y algo rnas pronunciadas en las personas en general con formacion media 0 superior, en cuanto a la captacion y posibilidades de aplicacion de las nociones de complejidad, variedad, cornbinatorio y rnecanismos de recuento en general. Este deficit, como veremos rnas adelallte, no es un simple defecto de formaclon sin Illuchas implicancias concretas. La observacion de esta falencia nos lIevo no solo a mayores esfuerzos en el analisis sino a una busqueda -muchas veces por prueba y error- de mecanisrnos mas adecuados en la forma de abordar e impartir estas tecnicas.

En ese proceso investigacion de metodos aptos para conceptos, los resultados fueron mejorando a partir cuatro ideas basicas: a) reforzar las formas de captacion intuitivas, desplegar las tecnicas sobre la base de ejernplos conocidos y cotidianos, que ser redescubiertos desde esta perspectiva, de rnodo tal que el esfuerzo pueda concentrase en el fonda del asunto sin necesidad de entender previamente el rnarco de aplicacion, c) par la rnisma razon "descornplicar" el lenguaje de comunicacion y d) hacer que resulte 10 mas entretenido, ludico y motivador Junto al mejorarniento de los resultados, a partir de esos cuatro principios y del cambio en la modalidad de transrnision, tambien se verificando el interes de otros docentes de la materia para que el tema, en particular, fuese irnpartido en sus respectivos cursos siguiendo este enfoque.

AMPLIANDO

HORIZONTE

Desde luego, el trabajo que nos disponemos a desarrollar es una consecuencia de tal experiencia y se basa en los cuatro lineamientos acabamos de comentar. Algunos de los ejernplos que presentaremos, a los que se refiere b) ya fueron incluidos en anteriores publicaciones orientadas especfficarnente a los cursantes. Esos casos han side replanteados para que, junto a los restantes que integran este trabajo puedan ser abordados por los lectores en general desde una perspectiva distinta y "amigable". Vale la pena aclarar que el tema, en el contexto de la Teoria de la Decision, cumple un rol rnas bien instrumental y auxiliar. Es decir que no integra el conjunto de los conceptos base que conforman y dan autonorno a esa disciplina teorica, formal, normativa, prescriptiva,

'\

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Las Maternaticas pueden ser definidas corno aquel terna en el cual ni sabernos nunca 10 que _________ c!~t:inlCl~nL~)Qqt,I~ ~~.t:iil:lg..s__ ~~ v~rdad_e~Q_~Jl_~ rtra nd R u sse II ill?2 -:J1l1Q2

metodologica y fuertemente orientada a respetar la subjetividad y ia vision del mundo de cada decidor que es la TD. Sin embargo, que el papel de este tema en la materia no sea central sino mas bien el de una herramienta, no quiere decir que sea poco importante. Es una herramienta, si, pero cumple un rol si9nificativo. La Justificacion de nuestra conviccion en tal sentido la exponemos en el Capitulo XIII, con una breve explicacion sobre los contenidos de la Teoria de la Decision, que puede ser de utilidad a los alumnos cursantes 0 a quienes puedan interesarse en ella. En realidad, poco despues de comenzar a percibir la dificultad de los cursantes frente al tema, sin razon aparente, lIamativa en jovenes bien formados -incluso en las disciplinas de naturaleza matematicas posicionados en la etapa final de sus carreras de grado y sin dificultades para el tratamiento del resto de la materia -y de las materias en general-, nuestra apreciacion de la presencia de este problema se extendio hacia las personas en general. Aun a aquellas incluidas dentro de un razonablemente buen nivel de formacion secundaria, terciaria y universitaria. Como consecuencia, al tomar conciencia de esta percepcion, iniciamos alguna recopilacion entre los autores especializados del ambito de la psicologia pedagogico-educativa con investigaciones y conclusiones que fundamentan la necesidad de un replanteo y revalorizacion de esta tematica en los programas educativos. Tales conclusiones son comentadas en el ya mencionado punto XI. Finalmente, en razon de la argumentacion ensayada previamente presentamos este desarrollo con dos finalidades. La primera de elias es que pueda resultar de utilidad para los alumnos que cursan Teoria de

)

Hay dos forrnas de ver la vida. una es no creer en los rnilagros.

La otra es creer aue t~dQ~~~J1agro,-Albert Einst~~n____ _

la Decision u otras materias en las forma parte de sus prograrnas 0 facilitando su abordaje a partir de autores. Para quienes se encuentran recomendable la lectura integral del enfoques mas formales.

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que el Analisis de Complejidad cumple un rol complementario, la experiencia relatada por los en dicha situacion aparece como trabajo, como paso hacia otros

La segunda es que tambien logre interesar a quienes, sin necesidad de cursar nada ni rendir materias, encuentren en el una forma de entretenimiento ligeramente intelectual, favorecedor del entrenamiento en la abstraccion, en la modelizacion, en el razonamiento relacional y en la lectura de ciertas "complejidades" de la realidad en las que frecuentemente no se piensa 0 para las cuales no se tienen a mano herramientas de interpretacion. Entre elias, quizas resulten beneficiados algunos de los aficionados a los acertijos y los lIamados "desaffos de la mente". A quienes se encuentran en este grupo no Ie recomendamos nada. Solo que elijan los capftulos que les apetezcan, expresando nuestro deseo de que les sea util y, si pueden, se diviertan.

EI espirilu goblerna el UIl!Verso. 31

I • INTRODUCCION AL ANALISIS DE COMPLEJIDAD Debido a la diversidad en los enfoques sobre el tratamiento de la resulta necesario aclarar cual es el marco analltico que aplicaremos en este trabajo. Nos basaremos en un enfoque sistemico poder ver nuestro objeto de interes como un sistema. Desde dicho enfoque entenderemos al analisis de complejidad de un sistema como el recuento de los comportamientos que dicho sistema puede

grado de complejidad de un universo (0 un sistema) se determina a partir del numero de comportamientos que dicho sistema puede y depende del numero de variables que 10 integran, del numero de comportamientos que cada una de elias pueda presentar y de la estructura de su interrelaci6n. (4)

a)

complejidad

b) valores, nlveles () grados que puede { c) relaciones entre variables y sus valores

Las variables y las relaciones entre las mismas conforman la estructura de un universo 0 sistema determinado. Los valores 0 niveles 0 grados de las variables, hacen a su comportamiento. Ambos aspectos indudablemente interrelacionados, hacen a la complejidad. Por ejemplo, podemos analizar a un semaforo como sistema. Dicho sistema tiene 3 variables (tres luces) que pueden presentar dos comportamientos 0 estados cada una de elias (encendida 0 apagada).

Un diccionario as un universo en orden alfabetlco.

32

,I De acuerdo a ello, este sistema puede mostrar los siguientes

comportamientos: rajo - verde- amarillo- raj 0 , verde raj 0 ,

amarillo, verde - rojo, amarillo y verde - nina una luz encendida.

Son, en definitiva, las 8 formas que puede presentar este sistema. embargo, en la pn3ctica, algunos de dichos comportamientos estan vedados (p,ej, rajo,verde, ambas luces juntas). Son restricciones. Debido a la presencia de restricciones (en este caso convencionales) dan mayor rigidez a la estructura, algunos de esos comportamientos quedan descartados (restringidos), concepto de complejidad recae sobre dos formas posibles de entender la complejidad: a) La complejidad estructural, que se refiere a los elementos del universe y a sus relaciones. La complejidad estructural es medida por un parametra al que denominamos variedad.

COMPLEJIDAD

ESTRUCTURAL

COMPLEJIDAD

FUNCIONAL

VARIABLES

VARIABLES

+

+

ESTADOS

ESTADOS

+ RESTRICCIONES

-

1

VARIEDAD

+

RESTRICCIONES

+ PROPENSION A SUCEDER

-

-L

ENTROPIA

49

PATENTES

Analicemos un nuevo ejemplo.

II=J!1 l.ril I

EI antiguo sistema de patentes de los autom6viles en Argentina tenia

una base jurisdiccional mediante una letra que identificaba a cada una

de las 24 provincias en las que el vehiculo estaba empadronado (en

realidad 23 provincias mas Capital Federal). A continuaci6n se

ernpleaban 7 digitos numericos del 0 al 9. AI momenta de realizarse el

cambio en el sistema (ano 1994) solo 2 jurisdicciones (Prov. de Buenos

Aires y Cap. Fed.) superaban el mil16n de vehiculos empadronados (en

realidad Buenos Aires superaba los dos millones). As! considerado, el

antiguo sistema tenia una determinada capacidad potencial - variedad

maxima.

EI actual sistema, como sabemos, no es jurisdiccional y se conforma

con tres digitos alfabeticos y tres dfgitos numericos.

Prescindiendo de la utilizaci6n real alcanzada por ambos sistemas

Gcual de los dos tendra una variedad te6rica mayor?

Es curiosa comprobar que, frente a est a pregunta la mayor parte de la

gente cree que el nuevo sistema tiene una mayor variedad. Esta

respuesta -err6nea- puede explicarse en parte debido a la dificultad

general de "leer" la complejidad de los sistemas y en parte debido al

sesgo de representaci6n descripto por Kahneman y Tversky (ver XII).

Calculemos la variedad te6rica maxima del antiguo sistema:

011111111

51

50

N° de variables: 8, una estados cada una.

y

elias con

10 1

w=

240.000,

7 restantes con 10

'k

La variedad real era, por provincia, de 10 1 , pero las iurisdicciones que no 10 necesitaban no eran

Ahora el nuevo sistema:

[IT]

ITO

N° de variables: 6, can 26 (la fi no se utiliza) cad a una de las tres primeras y 10 para cada una de las restantes.

10 3

w Como puede maxima mas un

e!

17.576,000

sistema tenia una variedad teorica que el actual. de

Como se advierte, un8 lectura err6m~a basada en un sesgo de apreci8cion, a 10 eual contribuye la dificultad de procesar datos relativarnente por defecto en 18 capacidad de analisis. Incidentalmente, el parque de la Provincia de Buenos Aires estaba en alrededor de 2 millones 2,xxx.xxx) cuando se carnbio el sistema. Si asumimos que el crecimiento del parque guarda correlacion directa Gon la densidad poblacional (aunque tambien con otras variables, debieramos inferir que la capacidad total del sistema en 18 jurisdiccion (10.000000) tenderia a cuando la poblacion se quintuplicara, cosa que con el crecimiento de la ultirna decada esta rnuy lejos de ocurrir. el cambio de sistema de patentamiento se debio a con mayor sfntesis en el y liberar patentes "vacfas" (autos que ya de procesamiento, lectura y para cobrar un arancel por el tramite de recordacion, cambio, etc. Pero no a la necesidad de mayor capacidad, que de todos modos podia alcanzarse can la incorporacion de una variable como se hizo 31 pasar de 6 a 7 variables numericas. Por otra parte, con el nuevo sistema se perdio el item de informacion sobre la jurisdiccion del vehiculo. De haberse pretendido por ejemplo haciendo que la primera de las tres letras identificara la jurisdiccion (provincia), entonces la variedad hubiese sido:

personas piensa - "siente" - 10 W

Un que las personas necesidad de encontrar crecimiento del sistema responde a esa mas capacidad

revela a la nuevo tener

o

24 1 • 26 2

•

10 3

= 16.224.000

sea que se habrfa perdido una variedad de 1.352.000 en la capacidad de patentamiento pero se habria mantenido la informacion sobre sf Argentina tuviera 26 provincias elltonces el sistema su actual capacidad real, tambien pod ria informar

53

52

esto verdad? Pienselo. Te6ricamente, cada una de las 26 letras usables para el primer digito identificarfa a una provincia, con 10 cualla variedad serra de

. 10 3

Luego la variedad es 11 10 f ::: 10.000.000 Bien podrfamos habernos preguntado en ese momenta cU<31 era la raz6n para este cambio. La medida ten ia por objeto acostumbrarnos a 8 digitos frente a la necesidad de aumentar la capacidad que se estaba produciendo.

=17.576.000 igual a la actual

Pero hay un problema. Cada una de las 26 jurisdicciones tend ria una capacidad de 26 2 . 10:5 676.000

10 cual

podrfa ser suficiente a corto plazo para unas pocas jurisdicciones, tal vez La Rioja, Catamarca, etc., pero absolutamente insuficiente Dara la mayorra.

TELEFONOS Hasta hace no mucho tiempo, los telefonos fijos (ahara hay que aclarar cuando un telefono es fijo) de Capital Federal y Gran Buenos Aires tenian 7 digitos numericos. Los tres primeros constituian la "caracteristica" que identificaba a determinados barrios 0 zonas y no todas las "caracteristicas" posibles (hn 10 3 ::: 1.000) eran empleadas. Para simplificar, prescindamos de ese detalle y asumamos que, con 7 variables de 10 estados posibles para cada una de elias, la variedad del sistema era:

.- 10 7

(3)

Algun tiempo despues se incarpor6 el numero 5 como segundo estado posible para la primera variable y actualmente tambien el 6. 7

Par 10 tanto la variedad actual es . 10 ::: 30.000.000 Desde luego, si volvemos a considerar que no todas las "caracteristicas" posibles se utilizan, ello supone una restricci6n y la variedad total disminuye.

AJEDREZ (4) Prescindiendo de la eficacia estrategica y la ortodoxia de las jugadas, al iniciarse una partida LCual es la variedad de tableros distintos que podrfan observarse una vez que las blancas y las negras hayan completado su orimer movimiento?

2t

AA

10.000.000

Pero un dfa nos informaron que a partir ese momenta todos

debiamos incorparar el numero 4 por delante de cada telefono, con 10

cual cada linea qued6 identificada con 8 digitos.

LOue cambio represent6 eso para la variedad del sistema?

Ninguno, pues la primera de las ocho variables tenia un solo

comportamiento posible.

(4)

Veamos, comenzando por preguntarnos: es el numero de variables?LCual es el numero de estados?

54 .. _-------_.

Parece diffcil responder, par las caracteristicas del caso que nos exige un mayor esfuerzo de abstracci6n_ Probemos al reves, analizando por inspecci6n y luego, sobre 10 encontrado determinernos variables y estados_ Segun las reglas del ajedrez, comienzan las blancas y disponen de dos movimientos posibles par cada uno de sus ocho peones (adelantar un peon uno 0 dos escaqlles).

__.. 55

Es muy dificil resistl! la tentacion de tratar de calcular la variedad para

algunas jugadas rnas adelante. Pero tambien es dificil encontrar

procedirnientos adecuados para lograrlo.

Par 10 tanto seamos rnodestos y conformemonos con imaginar la

dimension de los nlJmeros involucrados y el tremendo arbol secuencial

que se deriva. Para eso, podemos introducir algunos supuestos

simplificadores (en verdad, muy simplificadores):

Tarnbien pllede partir con cualquiera de sus dos caballos (saliendo cada uno de elias hacia la columna de su respectiva torre a Sll respectivo alfil).

Cada vez que a un jugador Ie toca mover dispone de 3 movidas

posibles (en realidad el numero es rnuy superior).

Par 10 tanto, las blancas pueden partir can cualquiera de los veinte movimJentos.

Una partida promedio demanda 30 jugadas (de cada jugador).

Naturalmente, al responder, las negras tambien pueden hacerlo de maneras.

Siendo as!, al cabo de la prirnera jug ada podemos tener tableros

distintos (ya sabemos que en realidad es 20 2 ).

AI cabo de la segunda jugada tendriamos 3 4 tableros distintos.

tableros distintos.

Finalmente, al cabo de la 30° jugada tendremos Supongamos que queremos dibujar cada uno de los tableros en una

hoja A4.

Tendriamos un problema: no hay en la tierra esa cantidad de papel.

Para ser mas claros: cada hoja A4 pesa 4,8 gr. (80gr/m

Luego, tendriamos un peso de 3 60 • 0,0048 kg.

Resolviendo esta cuenta y pasando a toneladas, el peso de esa

cantidad de papel es:

Si sacaramos una foto al tablero una vez que ambas han ejeclltado su movida. LCuantas fotos distintas podriamos obtener? Naturalmente 20 .

:::: 20 2

::::

400

Conclusion: hay 2 variables (blancas y negras) 20 estados posibles cada una de ellos.

w =hn

= 20 2 =400

E;L,f~.t'-{ J -,-j l\.::~:,

3

,:j ci

Ju

pueden adoptar

1'IF~,GFi.J:;

203.477.559.721037 .109 tn

la masa de la tierra es de. 1.67.841.985.286 . 10'" tn

la cantidad de papel necesaria (para dibujar este ajedrez ultrasimplificado y ultraminimizado) pesa 200 veces mas que la tierra!! En verdad, el nLlmero teorico de jugadas del ajedrez ha side calculado en 10 12 0.

56 ---""~

57

-----~

Eso significa que el peso del papel necesario serra 4,5 . 10,,3 veces el peso de la tierra. Segun un tradicional Y Gonocido relato sobre el origen del ajedrez, su creador (digamos All) exigio en pago, al monarca (presuntamente un sultan) que Ie requirio la invendon de un juego excepcional, una modica suma: 2 granos de arroz por la 1a casilla del tablero mas 4 granos por la 2 a mas 8 granos por la 3 a , etc. EI tablero tiene 8x8, 64 escaques. EI monarca, que habfa prometido pagar sin chistar 10 que fuese, si el resultado era genial, se sintio muy complacido por un pedido que Ie parecio moderado y ascetico. Tan solo cuando sus asesores Ie hicieron ver y dimensionar la magnitud del precio, el viejo enfurecio. Concretamente el inventor, pidio:

=

w = h 1 + h 2 + h3 ... + h n 21 + + 2 + . + 2 64 = 18.446.744.073.709.551.616 granos de arroz. No hag a cuentas, Ie hicieron cortar la cabeza por gracioso.

La factura que Ali Ie paso al sultan era muchfsimas veces superior a la

producdon mundial de arroz.

Es el problema de los "grandes numeros", en las palabras del Profesor Paenza: Perdemos la referenda. Esencialmente usamos los numeros para asignandolos de acuerdo a las reg las de construccion que exige cada parametro. Y la medicion es, esencialmente, un mecanismo comparativo y relativo. No podemos afirmar que algo es largo 0 corto, chico 0 grande, frio 0 caliente, antiguo 0 nuevo, etc. si no 10 referenciamos a algun patron que nos resulte conocido e imaginable. *Adrian Paenza, Materm'ltica ... Lestas ahf?

(7)

EI problema de los grandes numeros, (Ia tierra trene 6.000 . 000.000 de habitantes, la distancia desde el sol hasta Alfa-centauro es de 4 anos luz, las combinaciones del ADN, etc.) es que toda forma de Gomparadon se nos hace inasible porque la referenda tambien es mentalmente inasible. Algunos sistemas, como el aparentemente simple ajedrez, nos lIevan a requerir auxilios para entender la variedad de cornportamientos.

5'>

III - LA VARIEDAD RESTRINGIDA LA NOCION DE VARIEDAD LA VA.RIEDAD NATUF\AL LA VARIEDAD CON

ICCIONES

HH"
en m =

F4

Esta expresi6n se lee: la cornbinaci6n de n elementos tornados de a m (par ej ; combillacianes de 10 elementos tomados de a 3) es igual al factorial' de n (0 simplernente n factorial) sobre m factorial por n menos m factorial y resulta aplicable a aquellos casos en que los de comportamientos -variedadestan admitidos necesariamente conforrnados par m elementos seleccionados de un total de n elementos COl110 ya sabemos, n representa al numero de variables y m representa la de restricci6n. Is decir que, a diferenci
[;)c1.01'131

). (n-2) .

1ll1111! '1011

prodllclo el() toriu;; 10;;

IH'111HXOS

))

enteros menores 0

que n.

60

________6.'

Por tal motivo, resulta aplicable para aquellos casos en los que solo interesa el recuento de grupos pero no importa el orden interno de los elementos que integran cada uno de ellos.

Pi0

Es importante advertir que todos los elementos (m) del grupo tienen que estar presentes y nuestra formula solo resuelve las distintas formas de ordenar esos elementos.

F5

::; m!

10!::; 10.9.S.7." .. 2.1 ::; 3.628.800

;,

Esta expresion se lee: la permutacion de m elementos es igual al factorial de m (0 m factorial).

.l

Si 5 de los libros son de historia, 3 matematicas y 2 de arte (todos distintos entre si, aun los de una misma disciplina), las distintas formas de ordenarlos siguen siendo 101.

Dicho de otro modo, los distintos ordenes posibles del total de los elementos que integran un grupo se calculan mediante el factorial del numero de elementos. Por ejemplo, si tenemos un grupo formado por elementos) 10 podemos ordenar de la siguiente las letras A, B Y C manera:

ABC

ACB

BAC

BCA

CAB

a~R

H'j

H';:' •.J

A2

CBA

. ~·l12

r"11::: ~

En este caso no es dificil calcular par inspeccion que pasibles, debido al reducido numero de elementos.

seis ordenes

Por otra parte no hay ninguna objecion sobre la inspeccion empirica como procedimiento de recuento (de hecho en ciertas ocasiones, como veremos, no hay mas remedio que apelar a ella). Sin embargo, frente a un numero de elementos mas significativos, el procedimiento por inspeccion se vuelve tedioso, complicado y largo. Nuestra formula de permutaciones resuelve el P3::; 3!

3.2.1

6

Ejemplo LlBROS GDe cuantas maneras pueden acomodarse 10 estante que tiene exactamente 10 lugares?

RRf --

H5

H:.::

'---' '---' '---'

H

('

--

:=:J

'I

\

Pero si nos piden que los 2 arte deben ubicarse en el sector izquierdo del estante (una de las distribuciones se observa en el gratico anterior), entonces eso supone una restriccion que necesariamente reducira la variedad de distribuciones posibles.

w::; P2 . P8 ::; 2! .8!

SO.640

debe leerse asi: por cada una de las dos formas (P/') de ubicm los IIhros de arte, hay 81 Formas de ubicar los restantes libros. I1n P')SO o!>sc;rvese la drastica reduccion de la variedad debido ;-,1;) r(~Sllicck)IL distintos en un

Si ;) la restriccion anterior se agregase la nec(:sid;)d d(~ lIbic;u los tres 11 os de matematicas en el sector deredlO rid cstanle, la vari(}('iad ~; ( ~ Ii; l'

, 'i

62

63

i\

w = P2 . P5 . P3

21.51. 3!

:=

I

1.440

Supongarnos ahora que la restriccion consiste en que los dos libros de arte puedan ubicarse en cualquier pero ambos deben estar siempre separados, nunca contiguos, uno al lado del otro. como en el gratico 2

::::

4

:S

6

7

o

'-'

9

I,

,i

18 formas pueden estar acompanadas los restantes libros.

Ahora bien, si 125.760 son las distribuciones restringldas y 10J 3.628.800 distribuciones totales teorieas entonces que no estan son:

o

3.628.800

,A. 1

A2

r===l

o

En primer lugar hagamos un recuento de todas las distribuciones no estan permitidas por la restriccion. Los Iibros de arte no pueden ubicarse en las posiciones 1 y 2 , 0 en la 2 y 3, 0 en la 3 y 4, 0 en la 4 y 5, 0 en la 5 y 6, 0 en la 6 y 0 en la 7 y 8, o en la 8 y 9, 0 en la 9 y 10. Es decir que hay un total de 9 posiciones conjuntas posibles de las cuales debe seleccionarse una. Ademas, en cada una de las posiciones conjuntas ambos libros pueden ubicarse de dos maneras distintas (P2).

,

~

725.760

2.903.040 formas

LPodemos vincular las formulas de combinaciones y permutaciones? Si. Como ya dijimos, la formula combinatoria solo determina el nllmero de m elementos seleccionados de un universo de n elementos. Si por cualquier razon necesitamos considerar los distintos ordenes de cada uno de los grupos deterrninados par la combinatoria (veremos casos en que ocurre), entonces podemos vineular ambas mediante el producto de laS mismas, La justificacion acerea de par vincularlas mediante el producto y no mediante la suma se vera en el primer caso de aplicaci6n de este

(

\

Cn,m x Pm

_.JJ_!__ m!

x

Vn,m

rnl

F6

(n-m)J

Simplificando los datos en neg rita, lIamaremos:

una nueva expresi6n

F7

:=

(n-m)!

el total de las distribuciones restringidas surge del siguiente calculo:

8! formas distintas de ubicar

En la cual Vn,m se lee: variaciones de n elementos tornados

C9,1 . P2 . P8 = ._Jt!._. 21 .8! = 725.760

ae a

m.

1! . 8

Analicemos: Cad a una las 9 posiciones 1 = 9) puede incluir a los Iibros de arte de dos maneras distintas (P2 := 2) y cada una de esas

Logicamente, y tal como ha side construida, esta formulacion permite recontar cuantos grupos distintos de m elementos (tomados de un universe n elementos) pueden conformarse, en los que

64

65

consjderamos como distintos a aquelJos que, aun integrados por los mismos elementos, los tiene en distinto orden (el orden importa). si enfrentamos un caso que as! 10 requiere, podemos indistintamente F6 0 F7.

2) Lldem, si el orden de pateadores fuera considerado? A) Razonamos y decimos: el numero de variables es 4 (cad a pais), el numero de estados es 2 (jugar 0 no jugar) y aplicamos la formula de variedad maxima:

(4)

En la primera etapa de nacionales deben todos contra todos, sin revancha). En el Mundial Argentina enfrento en una zona a de y Holanda.

w=hrl=24=16 Hay que tener cuidado con la definicion de variables y estados. este caso, si nos hubiesemos confundido, habriamos definido 2 variables y 4 estados y, al aplicar w=n" Nos habria dado 10

(5)

En relacion a ella nos preguntamos:

=42 =16

pero estaria

De este es el en el que el resultado es el mismo.

de

de exponente y base

LCuantos partidos se juegan en un cuadrangular de fUtbol? (todos contra todos, sin revancha).

LEs posible que se jueguen 16 partidos en un revanchas?

Bueno, pues no 10 es.

Clasificada en esa etapa, a la Argentina, tras ganarle a Mexico en octavos de final Ie taco jugar un partido eliminatorio de cuartos de final contra el eauino local

AI hacer nuestro calculo no hemos tenido en cuenta la restriccion general aplicable al caso' los partidos de futbol se juegan =-=--=== equipos.

el partido y su alargue resulto un empate. Correspondia ejecutarse una serie de 5 por equipo para alganador. Cada director tecnico debra elegir a sus cinco ejecutores entre jugadores que terminaron jugando el partido (no se suplentes, no hubo expulsados).

AI aplicar la f6rmula de variedad maxima estamos incluyendo conformaciones no aceptadas pues no existen los partidos en los que no Juega ningun equipo, a un solo equipo, 0 3 equipos 4 equipos en todas sus variantes y condiciones.

1) L,CUantas listas distintas de ejecutantes pod ria entregar cada tecnico al referi?

sin

una enumeracion (varied ad maxima) de todos los casas un listado de 16, a saber:

6:i

67

5e Jugaran de(aclaracion 01-

x

D Si se jugaran D ) )

x x

Si se jugaran ) (son los)

x

)

Sf se jugaran -

Si

S8

x x

iuaaran)

no juega nadie juega A juegan A y B juegan A. By C juegan A, B, C Y D juegan B, C y D juegan B y D juegan C y D juegan A, C Y D juegan A y D juegan A, B Y D juegan By C juegan A y C juega B juega C juega D

Sumense los aturalmente, de este analisis por inspeeei6n deberiamos apreciarse, la1juntos que no eumplen la restricci6n y reeontar solamente los variedad mioeumplen, que obviamente son los 6 marcados con x. Observe5e nsideramos como un unieo partido AB 0 BA. De paso,

combinacionEl son el mismo partido. EI orden no importa.

expresiones (

De modo que cada uno de nuestros 6 partidos y, en tal caso, se juegan 12 partidos.

dos 6rdenes

Pero volvamos a nuestro cuadrangular original. sin revanchas. Ya sabemos que el numero de partidos es 6. Si, por caso, no se tratara de un cuadrangular sino de un dodeeagonal (doce equipos), francamente se nos hace neeesario algun procedimiento mas eficiente para nuestro reeuento. De no ser asi, deberiamos listar un total de 212 casos (4096) y de ellos tachar por inspeceion los que estElil restringidos (4030) para quedarnos con los 66 reales. EI calculo combinatorio nos auxilia: C12,2 :::

::: 66

2!10! Cuando las restricciones pueden expresarse de un modo general, sin excepciones, como en nuestro ejemplo: "los partidos de futbol se juegan de ados", entonces no necesitamos calcular la variedad maxima sino la variedad restringida aplicando la formula de combinaciones. Combinaciones de n tomadas de am:::

m=

nl_----'.

m!.(n-m)!

ejemplo, el torneo se jugara con revanchas y el orden indicara la de local / visitante, entonces un partido seria y otro serra en nuestro ejemplo: I',)

aci6n de

se recuenta a traves de las permutaciones: C4,2

(; 11,5

Pm=m! ~

I I

I 1

IJ

~

caso: P2:= 2!::: 2

::: 2! 2!

4.3.2.1 ::: 6 casos

2.1 2.1

(n,.,rtirl,.,,,

69

68

Para seleccionar 5

Si los partidos de futbol se jugaran de a 0 equipos, calculariarnos: (aclaracion O! 1)

se

- 1 caso

=4

casos

31

=

4!

-----~~

6 casos

2! 2! Si se jugaran de a tres:

C4,3 :;: ;

_1L_""

4' ::: 1 caso 4! 01

5 resultados y obtendremos 16 casos. Como la sumatoria de las variedades restringidas es igual a la variedad maxima. Sumense

De

observese la propiedad complementaria de las comparando las expresiones (a) y (d) entre sf y las ) y (c) entre sf: C4,O = C4A;

C4,1

C4,3

COPA DAVIS (4)

EI origen ingles tenis se pone de manifiesto en la conservaci6n de

muchas de sus tradiciones.

Uno de los eventos mas arraigados de este deporte es la Copa Davis,

que se juega anualmente, en la cual los jugadores representan a sus

paises.

4 casos (c)

3! 1!

Si se jugaran de a cuatro:

Cada encuentro de la Copa Davis se realiza paises y se juega en dias viernes, sabado y

entre dos

Cada encuentro formado por 5 partidos (cuatro singles y un doble)

y gana el pais que consiga obtener el triunfo en, al menos, 3 de los 5

partidos. Dos de los singles se juegan ej viernes, el cloble se juega el

sabado y los 2 singles restantes se juegan el domingo.

EI capitan del equipo de cada pais debe conformar, previamente al

encuentro, su plantel de 6 jugadores.

Antes de iniciarse los partidos, cada capitan debe

los nombres de los jugadores de su

efectivamente en cada

C10,7c C10,3

En este los dos diferentes).

B)

1)

ordenes posibles de

0141

de a uno:

se

Y los

es que un mismo jugador no puede de un mismo dla (aunque sf de dias

Para selcccionar a los 5 Dateadores de entre 11

1,5

5161

,5. P 5:::

.5 1

5! 6 '

a) GCual es la variedad de conformaciones que, para jugar los partidos, puede presentar cada capitan?

71

70

b) loCual es el el encuentro? (J Y

minimo de jugadores que puede utilizar en todo

el maximo?

d) loy el maximo, si se hubieran convocado 10 jugadores?

a) Para elegir al que jugara el primer partido del viernes dispone de 6 jugadores: C6,1. Para elegir a quien jugara el segundo partido del viernes puede utilizar a cualquiera de los restantes jugadores, 0 sea uno de los 5: 1 Para elegir a los dos jugadores del doble, puede hacerlo de C6,2 maneras. Para elegir al jugador del primer partido del domingo lJuede hacerlo de C6,1 formas y para el segundo: C5,1. En definitiva puede adoptar una variedad de: . C5,1 . C6,2.

1 . C5,1

b) EI numero minimo es 2, ya que jugar los singles del viernes y el sabado

13.500 conformaciones ej., los jugadores A y B pueden y ambos iuntos el doble del

c) EI numero maximo es 6, asignando un jugador distinto a cada uno de los cuatro singles y los dos restantes al doble. d) maximo es igualmente 6. Solo hay cinco partidos y unicamente en uno de ellos se pueden jugar dos jugadores.

DE SEGURIDAD Retomemos, segun prometimos en el capitulo anterior, el caso de la clave de seguridad de las tarjetas bancarias en su versi6n restringida,

en la que no podemos repetir ningun d resoluci6n oriainal obtuvimos w = 5.040

Recordemos que en su

Vamos ahara a enfocarlo desde la 6ptica combinatoria. Tenemos 4 casillas por completar. abc d

I I-I Il

Y tenemos 10 digitos del 0 al 9 para emplear sin repet;r.

Determinemos cuantos grupos distintos de cuatro digitos podemos

seleccionar de entre los 10 posibles.

lo CUEmtos grupos distintos de 4 elementos pueden conformarse

seleccionandolos de entre 10?

= C1O,4= _ _1O! 4' . (10 -4)!

10' .=10.9.8.7.6 ...... .2.1=210 4' . 6! 4.3.2.1. 6. . ... 2. 1

Tenemos 210 grupos integrados por al menos un dfaito distinto cad a

uno de ellos.

Pero cada uno de estos 210grupos puede adoptar distintos ordenes

que configuran claves distintas. No es 10 mismo la clave 1234 aue la

clave 4321. Aqui el orden si importa.

loDe cuantas maneras distintas podemos ordenar 4 elementos?

P4::: 4' = 4.3.2.1 = 24 Luego cada uno de los 0 grupos puede asumir 24 formas distintas. De modo que, intuitivamente sabemos que en total se pueden conformar 210 x 24 = 5040 claves. aqui la justificaci6n a la que aludimos al proponer un producto en el armado F6. Si se advierte que el resultado es igual al obtenido con el primer procedimiento aplicado al caso debemos senalar que el resultado no es

72

73

meramente

sino el

porque en realidad en ambos caso

10 10 procedimiento 10.9.8.7;::: 5.040 2 0 procedimiento x 4.3.2.1 (simplificando) 10.9.8.7 4.3.2.1

Wd= 5040

6 ... ,,2.1

tiene por mostrar la interrelacion entre el variedad maxima y restringida. Por otra parte, surge que el caso se puede en un solo paso aplicando VlOA V10,4

OTRA VEZ LOS TRES DADOS Ya hemos arrojado tres dados sucesivamente, con la conclusion de que, teniendo en cuenta el orden de de los resultados. se obtienen:

5.040 4! .6!

Aprovechamos este caso para comentar un aspecto practico. Las calculadoras cienHficas manuales incluyen el calculo de la factorial. Sin embargo, debido a su capacidad, solo alcanzan a resolver hasta un maximo de 69! (factorial de no ocurre con las calculadoras usuales de los programas de Windows, euyo limite es muy

216 conformaciones

Consideremos ahara que ocurre si los tres dados son arrojados al mismo tiempo, sin importar ningun orden. Se trata de recontar, simplernente, cuantos veces sale cada numero. Obtener dos "2" y un "4" es un resultado posible. Obtener un "3", un y un "6" es Obtener tres "1" es otro. LCuantas conformaciones distintas podemos Hay seis formas de que los tres dados muestren el mismo sea: salen tres "1" 0 tres "2" .,,0 tres "6" Farmalmente C6,1 ;::: 6

80.79.78.77.7§ ....... 1

3177! 3.2.1. 77.76 ......... 1 Lo cLlal nos permite simplificar el sector del cociente senalado en negrita y luego resolver CSO,3;:::

_.J3J2L:::

'"

82.160

a

Formas con dos dados iguales y uno distinto: x 1 ;::: 30 combinaciones de 6 tomadas de a 2 encontramos todas las formas en las que intervienen 2 numeros. Ahora bien, uno de ell os estara repetido (es decir sale 2 veces) y el otro no. Con combinaciones de 2 tomadas de a 1 determinamos dentro de cada conformacion eLlal dos es el repetido. ::: 20

Formas can tres dados Si tenemos que resolver, p. ej.. C80.3 y solo tenemos una calculadora manual, no hay ningun inconveniente ya que:

posibles.

tres grupos distintos de conformaciones: 3 dados iguales, 2 y 1 no, 3 dados distintos. Simplemente sumamos el total de grupo y obtenemos el total de conformaciones posibles: 6 + 30 + 20::: 56

(1)

Por otra parte, si los dados vuelven a arrojarse en no se admiten repeticiones, entonces la variedad sera:

pero

3.2.1

w;::: 6 . 5 .4;::: 120

0

CS.3. P3;::: 120

(2)

74 ______________.__.________._____ .._.

75

Recordemos que si la repeticion se admite, entonces:

w

n":.:: 6 3 =

0,3

=

= 317!

6

comisiones (grupos de tres personas)

distintas

(3)

Comparar con 10 que ocurrio en las dos versiones de la clave de

seguridad.

La estructura del problema es la rnisma.

Ademas, conviene tener presente que 10 que aquf vimos como "no

repeticion", es una forma de restricci6n que en otro tipo ejemplos

aparece expresada como "sin reposicion". Tfpicamente, las "urnas y

bolillas".

URNAS Y BOLILLAS

Veamos.

En una urna hay 6 bolillas de distintos colores.

Se extraen 3 de elias al azar, sucesivamente y sin reponerlas tras cada

extraccion. L Cuantas conformaciones distintas podemos obtener?,

No hace falta calcular, son 12.0, el Droblema es estructuralmente iaual a

(2.)

L Y si las bolillas se reponen tras cada extraccion.

Entonces es igual a (3).

LY si las tres bolillas se extraen al mismo tiempo y no hay un arden?

Entonces es igual (1)

COMIt>IUN

w

(4)

Propongamos el siguiente caso, al cual Ie iremos incorporando

variantes.

De un grupo de diez personas debemos seleccionar tres para integrar

una comision.

trata de un caso de variedad restringida. LPor que? La comision no puede estar integrada por cuatro 0 siete 0 diez, etc. personas. Solo por tres, Luego: LCuantas formas tenemos de seleccionar tres elementos de entre

Digamos ahara que las personas son tres mujeres y siete hombres. Para integrar la comisi6n de tres personas esta debe necesaria y exactarnente, una mujer. 0 sea que la comision debe estar por una mujer y dos hombres. integrada, si 0 La restriccion interpuesta irnpone mayor rigidez (orden) a nuestro sistema e implica que la variedad hora disminuira, pues del total posible de 12.0 no todas cumplen con el requerimiento (algunas de la comisiones formadas por tres hombres 0 mas de una Calculemos la variedad solicitada:. Selecciona la mujer w;::; w=

Selecciona los dos hombres

C3,1

x

3

x

Total

Cl,2

63

comisiones distintas que cumplen la restriccion interpuesta. Justifiquemos intuitivamente el producto senalado can x. Cada una de las tres mujeres seleccionables al A, B a C estar acompaf\ada por cualquiera de las 21 formas de seleccionar dos hombres de entre siete. Introduzcamos una nueva modificaci6n, Ahora nos exigen que la cualquiera sea su conformacion, debe estar integrada al menos por una mujer. TenemQs una diferencia respecto de la situacion anterior. Ahora la comisi6n seleccionable puede estar integrada por 1,20

3 Esto Laumenta 0 disminuye la variedad respecto de la situacion anterior? La aumenta. Claramente la restricci6n es menor ya antes solo se grupos con exactamente una mujer y pueden

76

77

ademas de ellos los que se puedan conformar con dos y con tres La variedad debe ser superior a 63. Este vinculan con la

admite dos formas basicas de resoluci6n que se "al men os"

La primera de reeonocer que eumplen con conformaciones

elias impliea una del problema al existente tres conformaciones que la consigna. Por ello, calcularemos el total de de cada tipo y luego simplemente los sumaremos.

Introducimos ahora una nueva variante, I hombres, 3 mUJeres y se deben elegir autoridades de la comisi6n: 1 presidente, 1 vicepresidente y 1 secreta rio. a) (J:::uantas formas distintas de arrnar la comisi6n hay? b) (,Cuantas formas hay si el ne cesariamente, uno de los cargos.

(, Y 51

1° Tipo: grupos constituidos con, exactarnente, una En realidad, esto ya fue calculado algunos parrafos atras:

si al men os una

2° Tipo: grupos constituidos con, exactamente, dos mujeres: Calculamos cuantas formas distintas hay de seleccionar 2 mujeres de entre 3 C3,2 = 3 formas distintas. Cada una de esas 3 formas debe ser acompanada por un hombre seleccionado de entre I, 0 sea C7,1 7 las tres comisiones que tienen exactamente 2 mujeres pueden de 7 formas distintas. Finalmente es 1 :::: 21 constituidos con, exactamente 3 mujeres. una sola forma de hacerlo: =1 Ahora, repitiendo el procedimiento en el caso anterior, simplemente sumamos la variedad de cada grupo. Total: 63 + 21 +1 ::: 85 La segunda forma de resolver el problema, mas directa, es simplemente calcular el total de las cornbinaciones posibles y restar de elias las que estan restringidas, en este caso todas las formas de armar la comisi6n sin ninguna mujer: C10,3 85. C1O,3 son las conformaciones posibles sin restricciones, C7,3 son todas las forrnas de armar la comisi6n solamente con hombres, que es 10 restringido.

Gonzalez

debe

ocupar,

debe ser el presidente? formas

w = 63

Sr.

debe ocupar uno de los

ser presidente?

f) 3

si los 3 cargos no

g) GCuantas formas hay si el Sr. Gonzalez no cargo?

ser

por las

ocupar

Naturalmente, la situaci6n cambia pues esiamos Introauclenao factor de orden. Hasta aqui, la comisi6n integrada por A,B y representaba un solo caso, aun cuando hubiesemos dicho que comisi6n estaba integrada por C. B YA. Pero ahora, la comisi6n integrada por A Presidente, B Vice y Secretario no es la misma que C Presidente, B Vice y A Secretario.

a)

, C1O,3. P3

0

un C la C

tambien V10.3 segun la relaci6n F6 y F7

. solo hay que seleccionar dos personas mas de entre nueve restantes y luego considerar los distintos 6rdenes posibles de las tres personas: C9,2. P3

78

79

Respuesta: solo hay que seleccionar dos personas mas de entre las nueve restantes y luego considerar los 6rdenes posibles de estas dos personas, ya que Gonzalez es el Presidente:

1° ENFOQUE forma uti! de comenzar a el es enfocarlo desde la apreciacion empirica surgen visualmente para verificar algunas regularidades,

V9,2 := C9,2 . P2

,A

B

d) Respuesta: La pregunta hace referencia a una mUJer y no a una "unica mujer" por 10 que pod ria ser 1, 2 0 3 las mujeres que ocupen los cargos. Por 10 cual al total de formas se Ie restan aquellas que estan restringidas, es decir comisiones con tres hombres: - V7,3

510:= C10,3. P3

L)

L)

B

C7,3. P3

D

o sumando: Una sola m u j e r : 1 C7,2. 3!= 378} Solo dos mujeres: .Cl,1.3!:= 126 Las tres mujeres: 3!:= 6 e) Respuesta:

A

= 510

1. C9,2 . P2

f) Respuesta: C10,3 . P3

P3

Respuesta: C9,3. P3

POLIGONOS (4)

Desde un enfoque sistemico, podemos considerar a cualquier poligono

como un conjunto de elementos interrelacionados en una determin'ada

estructu ra.

Nos interesa conocer el numero de diagonales D de los poligonos

regulares.

l,Que enfoques nos permiten arribar a una formulacion funcional que

determine el numero D de diagonales de cualquier poligono de n

lad os?

• EI polfgono de 4 lados tiene 2 diagonales. EI poligono de 5 lados tiene 5 diagonales. • EI polfgono de 6 lados tiene 9 diagonales. • EI polfgono de 7 lados tiene 14 diagonales. • Desde el vertice A del cuadrado podemos extender todas las • diagonales posibles hacia los vertices, excepto las que 10 unen con S y con C (ya que estos son lados y no diagonales) y con sf mismo. Esto nos deja, de las 4 posibles, una sola • Lo mismo podrfamos decir partiendo de cualquier otro vertice. Como tenemos 4 vertices podrfamos trazar cuatro • Pero como la diagonal DA es la misma diagonal AD y como la CB es la misma diagonal en consecuencia el numero de 4 se reduce a la mitad 2. • Probamos identico razonamiento con el pentagono: Desde el A podemos trazar dos diagonales (hay 3 que no son posibles a saber: AS, AE Y • De las 10 diagonales obtenidas, 5 (Ia mitad) son repetidas. Tras analizar el hexagono (y si queremos el heptagono), vemos que estas regularidades se mantienen.

81

80

Desde este ant11isis empirico lIegamos a la fonnulaci6n funcional de que el numero de vertices n (0 lados, cuyo nurnero es tambien n) icado par el numero de vertices combinables (quo os n-3, ya que se descuentan los adyacentes par ser lados y el propio venice de partida). EI tllJrTlero obtenido debera dividirse por 2 para evilar el doble recuenlo de una rnisma diagc)I1al

Podemos confrontar las 2 soluciones alcanzadas igualandolas para verificar su consistencia. n2

3n

--

Cn,2 - n

2

-·n

= r:L-,-iD.::-~2

N° diagonales ::::; 0

2! .(n-2)1

2 2

2

n2 -3n

!LJn-1} . (n-2) . (n:ill-,-,-,.'- n 2 (n-2) . (n-3) ...

2

2° ENFOQUE Desde Ie perspective sistemica del anal isis de variedad el problerna podria plantearse de la siguiente forma. • cuantas formas posibles podemos unir por pares n puntos no

alineados dibujados en un plano?

No se trata de un caso de variedad maxima ya que la restricci6n es que

los puntos solo pueden unirse de ados.

De acuerdo a esto, 81 analisis combinatorio nos establece que

dlsoonemos de Cn,rn combinaciones.

con el hexagono:

Simplificando

n

'-'-'---'-'-'-~

2

-

-n

2 =

3n

2

2

2

2

== 15

C6,2

=

2

2!.41 no obstante, debernos elllTlinar de estas 15 combinaciones que no son diagonales sino lados. Obviamente son las que quedan en el perimetro del dibuJo (en este caso, siendo 6 puntos, son seis lados).

Luego: 0

Gem

6

=

2

.n.::.-=-3n

2

9

y como m os siem pre 2

l_. ~

««n

]

Conclusiones: A igualdad se verifica y ambos enfoques son correctos. B. El analisis par variedad es mas breve y, especial mente, mas directo que el analisis empirico. No hay obJeciones aue formular

83

82

respecto del conteo y la inspecci6n, pero su procedimiento es largo en los grandes numeros y cuasi-impracticable sin ordenador. C. Como en este ejemplo, muchas veces el problema de base consiste en aplicar una importante cuota de abstracci6n para interpretar su esencia. En este caso, consistirfa en visualizar a un poligono de n lados como un sistema de puntos (elementos) relacionados de alguna forma (de a pares con la restricci6n perimetral). Desde un punto de vista organizacional, estos enfoques pueden auxiliarnos en la resoluci6n aspectos estructurales, redes sociometricas, conformaci6n de equipos, etc.

Cad a uno de estos esquemas tienen siete "Iuces" (variables)que

pueden estar prendidas 0 apagadas y no hay restricciones,

Por 10 tanto, se trata de un caso de variedad maxima.

W :::

Nos hemos acostumbrado aver y reconocer este diseno que,

facilmente, podemos definir como un sistema de mensajes,

En esencia, se trata de un esquema de luces 0 cristales de cuarzo que

pueden estar "on" u "off'.

Prescindiendo de formas y significados, l,Cuantos mensajes distintos

se pueden emitir usanda 2 de estos esquemas?

=27 = 1

mensajes

Para dos esquemas:

27 , rp

= 16.384 mensajes distintos

DOMINO (4)

Cada ficha del juego del domin6 esta compuesta por dos variables,

Gada una de esas variables puede asumir cualquiera de 7 estados

numeros del 0 al 6),

NUMEROS DIGITALES (4) Desde la lIegada de la tecnologia digital, hemos incorporado algunos habitos de comunicaci6n sobre la base de nuevos c6digos y convenciones, EI esquema que se muestra a continuaci6n es un

1 _I

I- I

hn

\

/

G [.]

G

lZJ~[2]

-

[2J(;]~ [~ De acuerdo a

•

"";j!o - . ;j!o

[] ..

padrfamos construir un total de fichas W

= h"

=7

2

= 49

a:

85

84

No obstante, y par ejemplo, la ficha

r··1~·l

oferta produciendo 35 variedades de casatta, todas las cuales se diferencien en, al menos, un sab~r. es tambi';n la ficha

GCuantos sa bores originales distintos son necesarios para produdr tal oferta?

por 10 cual, para evitar el doble recuento, deberiamos dividir el numero obtenido por 2 49 2

24,5 fichas ??? (6)

Sabemos que un juego de domino tiene realmente 28 fichas. (010 podemos comprobar por inspecci6n). (,Entonces, que es 10 que esta errado en nuestro razonamiento? En realidad, de 10 que se trata es de calcular las distintas formas de seleccionar 2 numeros de entre 7 para componer con cada uno de los pares una ficha distinta. w C7,2 = 21 Pero ademas, el domino ad mite 7 fichas particulares en las que cada uno de los n elementos se combina con el mismo.

Las casattas solo pueden elaborarse mediante la combinacion de tres sabores. Sabemos cual es la variedad a obtener: 35 Luego el numero n de sabores originales, combinados de a tres debe ser igual a 35 Cn,3

Por 10 tanto

=

35 3! . (n-3)!

, Asi se conforman las 7 piezas dobles del domino, que sumadas a las restantes 21 completan las necesarias para el juego.

=35

Simplificando:

n.(n 1).(n-2).(n-3L 3! . (n-3) ....

35::; !1.(n-1).(n-2)

6

Considerando la particularidad de las fichas dobies, tambien podriamos calcular haciendo:

Solo debemos determinar cuales son los tres numeros sucesivos cuyo producto dividido 6 da 35.

w::; C8,2 = 28

Obviamente, 7,6 Y 5 cumplen dicha condicion y por 10 tanto n ::; 7 Se necesitan 7 sabores originales para producir una variedad de 35 casattas diferentes.

HELADOS (4) La "casatta tricolor" es un tradicional postre helado argentino elaborado con tres sabores d3Sicos. Cierta heladerfa industrial desea ampliar su

86

-.......

SOMBREROS (4) EI que sigue es un caso muy conocido, que recurrentemente aparece en revistas de de ingenio con variantes en su relato pero identica estructura, para ser resuelto desde la logica y la intentaremos desarrollando. Pasemos al relato:

analizarlo

desde

el

marco

que

venimos

Se dispone de 5 sombreros (de los tipicamente mexicanos), dos blancos y tres verdes. A cada uno de los prisioneros se Ie colocara un sombrero de los cinco y se Ie permitira ver los sombreros de los otros dos prisioneros, pero no el propio. Se salvara de la carcel el prisionero que acierte el color de su propio sombrero y ademas fundamentar racionalmente c6mo lIeg6 a dicha conclusion.

Es decir que inspecci6n:

= hn =

2

3

=8

hay 8 distribuciones posibles

la

NORMAL TUERTO CIEGO

distribuci6n A

Dos de los prisioneros tienen su particularidad, ya que uno de ellos es tuerto y otro es

distribuci6n B

Una vez ubicados los sombreros en las condiciones pregunta primero al prisionero con vision con que fundar una respuesta antes que la muerte.

distribucion C

. se Ie ante la duda y no contestar y

se Ie pregunta al tuerto, quien tampoco responde por las mismas razones. Por ultimo se Ie pregunta al ciego, quien contesta acertada y por 10 cual es deJado libre inmediatamente.

o

l,Cual fue el razonamienlo aplicado par este ultimo para hallar la respuesta correcta?

distribuci6n E

Tal vez no 10 parezca en un primer momento, pero resulta ser un caso de aplicacion de variedad con restricciones.

.... - .

87

Para analizarlo, consideremos !a variedad maxima teorica de distribuciones posibles que hubiesen podido tener los sombreros en las cabezas de los prisioneros (tenemos tres variables, Normal, Tuerto y posibles para cada una de elias; verde 0 Ciego, con dos blanco)

w

la Revolucion Mexicana, un caudillo ofrece a tres campesinos prtsioneros conmutar su pena en la carcel si cumpJen con exito una prueba, en cambio si se equivocan serian fusilados:

-.---~-

distribuci6n F

89

88

---,---.---~,---,---~

~---'-------

distribuci6n G

(7)

distribuci6n H

Sf bien el maximo te6rico de distribuciones es 8, va de suyo que la designada como H esta restringida pues no hay tres sombreros blancos, con 10 cual la variedad real es de 7. Cuando se Ie pregunta al 10 pnslonero, este prefiere no responder porque no tiene ninguna base que Ie permita hacerlo con seguridad. Si por caso la distribuci6n empleada hubiese sido la el habria observado que los otros dos prisioneros tenian un sombrero blanco con 10 cual hubiese sabido de modo inmediato que el mismo tenia uno verde. Luego la distribuci6n E no fue la utilizada.

Lo que si impol1a es el orden con que se formulan las preguntas, pues claramente resulta beneficiado quien responde en ultimo termino ya que recibe informaci6n (orden, estructura, restricciones) sucesiva, que en cada paso va reduciendo la variedad desde 7 hasta 4 distribuciones posibles. Pod ria afirmarse que el resultado no habria sido el mismo si la distribuci6n empleada no hubiese sido A 0 CoD 0 G. Efectivamente, pero siempre habria uno de los prisioneros salvado, excepto que la distribuci6n usada sea la A. La experiencia sirve para apreciar que aun ante una variedad de situaciones, pueden existir comportamientos convergentes que eliminan complejidad e incertidumbre.

CALLES

(4)

AI preguntarsele al pnslonero tuerto, este tampoco responde. Si la distribuci6n usada hubiese sido la F, entonces el habria sabido que, portando los otros los dos sombreros blancos, el tenia necesariamente uno verde. Por otra parte, si la distribuci6n empleada hubiese sido la B, el habria observado un sombrero blanco en la cabeza del ciego y deducir que si el tambien tuviese uno blanco el 1° prisionero habria hablado. Pero no 10 hizo y por 10 tanto el tend ria necesariamente uno verde. Luego la distribuci6n B tampoco fue utilizada. Ahora bien, cuando Ie toca el turno al ciego es perfectamente obvio que solo pueden haberse utilizado las distribuciones A 0 CoD 0 G, en todas las cuales el tiene, de cualquier modo, un sombrero verde. Por 10 tanto habla explicando esta argumentaci6n y consigue su Iibertad. Saquemos algunas conclusiones:

La condici6n visual de los prisioneros no juega ningun papel

significativo y solo adorna el caso para darle un toque mas intrigante.

. .~

r----r---,----~.~

6

A. I) EI diagrama que se muestra representa un sistema cuadriculado de calles. Las Ifneas son las calles y los cuadros blancos son manzanas que no se puede atravesar.

90

91

Debemos partir de la esquina A y esquina B. Los unicos movimientos permitidos son: de a derecha, de abajo hacia arriba sin retrocesos. Un recorrido que responde a estas restricciones es el marcado con trazo grueso. Siguiendo este patron, Lcual es la cual es el numero de recorridos II) LQue ocurriria si nuestra grilla (con las mismas

este

o sea

Par ejernplo, el trayecto marcado can trazo grueso podria describirse como una secuencia a de tipo ADADDAADD. 1

l

\

Ahora bien, cuantas cadenas distintas de este tipo podrfamos disenar.

EI problema 5e resuelve definiendo cuantas formas distintas hay de D en ocho posiciones posibles de la cadena. letras A quedaran jnevitablemente ubicadas en las restantes (0 viceversa Sl comenzaramos por estas).

de este

o

sea que debemos ubicaremos las letras D.

r---r---~--~.r---~--~

de entre 8 en las que

4

B

Por 10 tanto

hallar:

70 formas distintas de 4! 4!

A. de restricciones nos da una primera idea sabre el que: que 8 cuatro de los movimientos son de hacia arriba.

II) Ahora los recorridos posibles movimientos D y 4 rnovimientos A.

Respuesta A: a derecha y cuatro de

~,CUE!I

?

deben

0

tener

necesariamente

Respuesta B: C9,4

5

?

de las dos es la correcta?

Naturalmente ambas 10 son. L.os nl.Jmeros combinatorios son complementarios, de acuerdo a la propiedad comentada en el caso Si identificamos como D a los movimientos de como A a los movimientos de a los trayectos como una secuencia de movimientos D y

415!

9! 5! 4'

::: 126

93

92

EI esquema sirve para

caso de n

y m column as.

IV - VARIEDAD RESTRINGIDA CON EXCEPCIONES A LA REGLA

DE RESTRICCION

LA NOCION DE VARIEDAD LAVARIEDAD NATURAL VARIEDAD RESTRINGIDA CON EXCEPCIONES los casos presentados en el capitulo anterior se verifica que la de comportamientos queda circunscripta a aquellos que inexorablemente con la regia general de restricci6n m.

excepciones a dicha admitidos, De hecho la situaciones de este

en los que aun dentro de una comportamientos que constituyen y a pesar de ello son comportamientos nos ofrece algunos ejemplos de

En algunas ocasiones, son sumarse a los que sl comportamientos que admitidos, por 10 cual se los debe sustraer

que deben otras, son no

Cuando esto ocurre, es habitual que que escapan a la regia deban ser detectados y sumados 0 restados, segun corresponda, mediante el procedimiento de inspeccion. Veamos algunos ejemplos, SEMAFORO Desde nuestro enfoque podemos interpretar a un sematoro convencional como sistema, As! visto, un semaforo es un sistema tiene tres variables (tres luces) can dos comportamientos posibles cada una de elias (prendida/apagada). Es un sistema de tres variables binarias.

94 ---------

95

--------------.. ----.---

._--._- ..--_ ... - -_.

,m

1= _~

=3

1! 2' efecto, hay tres comportamientos reales posibles: 0 se prende la luz raja. 0 la amarilla 0 la verde. Siendo aSI, y aplicando F3, podemos calcular que la variedad maxima de este sistema es:

ws

= 2f1

8

efecto, designando A para apagado, P para prendido y repasando par inspecci6n mediante una estructura de arbol tales comportamientos te6ricas serfan:

Raja

Amarillo

.-. f'

Verde P

.!!..

R A {!..

.8,

,f!.,

.-.

.!!..

P

._- P

p p

P

P P

,f:.,

,'!!,

P

P

F' P

,u, r, ......

F'

,.!1,

P

P

,f!,.

p

p

p

p

A f,

l-'.

/.!..

i,

V ,8,

Pera sucede que en muchos lugares, par ejemplo Buenos Aires y otras ciudades argentinas, admitida un cuarto mensaje comportamiento pasible): el mensaje rajo--amarillo. ambas al mismo tiempa, como senal de "precauci6n", recontar Ahara bien, no hay una que escapa a la regia admitidos hacer ese recuento par general de . ., y sumar 0 en este caso sumar, a los que cumplen can la regia general. Aqui resolve mas C3,1 +1 = 4 aspecto adicional que debemos camentar es el siguiente: EI semMara tiene acho comportamientas te6ricos posibles de los cuales se emplean realmente cuatra. LoPor que disenar un sistema cuya variedad exceda largamente la necesaria?, LoNo seria mas eficiente definir un sistema de dos variables binarias (w = 4) ya que cuatra son los mensajes necesarios? Comentemos primera que a la diferencia te6rica y la realmente empleada se la

decir que un semafora tiene una capacidad te6rica de emitir un total de ocho rnensajes diferentes (ocho estados finales posibles), Sin embargo, todos sabemos que no todos esos mensajes se utilizan en la realidad, Como regia general que el semafora es un sistema que tiene tres variables binarias y una reala de restricci6n: las luces se encienden de a una por vez, como:

en el lenguaje cotidiano, necesariamente ser entendida contexto.

*Ross Ashby, Introducci6n a la Cibernetica.

(8)

~~~------------------------------------------------------

97

96

la redundancia con la que fue disefiado el semaforo a perfeccionar la claridad de lectura los mensajes que emite, particularmente cuando ellos deben ser interpretados por conductores y peatones con total seguridad y en una fraccion de segundo. VENTANAS (5) Imaginemos ahara estar a un lado de un rio muy ancho. Del atro lade del rio, hacia el cual estamos mirando, se percibe el perfil de una casa que tiene, en el lateral que podemos ver, cuatro ventanas segun el siguiente esquema.

:\

Obviamente, se trata de un caso de variedad maXima, can cuatro variables (A,B,C y D) que tienen dOs estados posibles cada una de elias, porque no es necesario que cad a mensaje tenga un numero de luces encendidas. No hay restricciones en mensajes pueden construirse can 1,2,3,4 a ninauna luz, Comparese esto con el desarrollo por inspeccion de los 16 casas teoricos posibles en el caso del cuadrangular de futboL Es 10 mismo, can la diferencia que en aquel caso habia solo 6 que cumplfan can la regia de restricci6n (los partidos de futbol se juegan de ados) y par eso 10 resolvimos mediante combinatoria En este caso no hay restricciones, es variedad maxima y resolvemos de acuerdo a

=24 = 16 mensajes distintos posibles

B

Par inspeccion: Sin luz C4,O = 1 Dentro de la casa hay una persona que debe hacernos lIegar empleando para ello el mecanisme de encender a no luces en las ventanas. .!.,Cuantos mensajes distintos nos pueden enviar?

11uz C4,1 4

=

A B C

o

21uces C4,2

=6

AB AC AD BC BD CD

31uces C4,3 = 4 ABC ABO ACD BCD

41uces C4,4 1 ABCD

Total 16

Vamos ahara al punto que nos lIeva a incluir este caso en el apartado de la variedad restringida con excepciones a la regia de restricci6n, introduciendo una modificaci6n que afecta el marco de referencia del problema.

(8)

Para ella, supongamos que ahara es de noche. Una noche muy cerrada y oscura en la cual perdemos los marcos de referencia del horizonte (nocion alto/bajo), posicionamiento de la casa (noGion derecha/izquierda) y contorno de la casa (nocion de la ubicaci6n de

99 98

cada luz respecto del invisible peri metro visual de la casa). GCual es la variedad de mensajes en esa situacion?,

-Con tres luces encendidas (C4,3 :::: 4). Aqui no tenemos ninguna perdida de variedad. Las ternas ABC, ABO, BCD Y ACO siguen slendo distinguibles entre si.

Estas condiciones imponen una restriccion, puesto que debido a elias algunos de los mensajes posibles en condiciones normales pueden no resultar distinguibles entre sL

-Can cuatro luces encendldas (C4,4 :::: 1). EI unico rnensaje posible en las anteriores condiciones sigue siendo distingulble Y no hay oEmlida de

Sin embargo, est a restricci6n tiene la particularidad de presentar una implicancia fisica que no resulta plausible de representar mediante una regia general de naturaleza matematica.

En conclusion, de los 16 mensajes teoricos (variedad maxima) debemos, en este caso, restar los 5 restringidos debido a la presencia de condiciones fisicas, no representables par una regia de restriccion, que solo permiten su recuento por inspecd6n.

Frente a ello solo nos queda el camino de resolver mediante el procedimiento de la inspeccion. Veamos, analizando por numero de luces encendidas: -Sin ninguna luz encendida (C4,Q ::: 1), Antes teniamos un solo mensaje posible. En la nueva situaci6n el mismo mensaje resulta distinguible como tal y no se pierde variedad. -Can una sola luz encendida (C4,1 :::: 4). Antes teniamos cuatro mensajes posibles: A,B,C y D. Ahora, y debido a la restricci6n, solo podemos percibir que una de las cuatro luees esta eneendida, pero sin poder distinguir cual de elias debido a la perdida de los marcos de referenda consignados. Como conseeuencia, de los cuatro mensajes posibles s610 podemos distinguir uno y perdemos una variedad de tres.

=

-Con dos luces encendidas (C4,2 6). Antes teniamos 6 mensajes posibles. Pero ahora no podemos distinguir el par AB del par CO por la falta de referencia vertical. Tampoeo podemos distinguir el par AC del par BD por la falta de refereneia horizontal. Sin embargo, podemos mantener la distinci6n entre el par AD respecto del par BC pues el marco de referenda no afecta las diagonales. En este caso perdemos una variedad de dos.

variedad.

101

v - LA VARIEDAD BINARIA Hasta aquf hemos hablado de variedad maxima, variedad restringida y variedad restringida con excepciones a la regia de restriccion. En todos los casos, nuestras aplicaciones resolvieron mediante formulas, y eventualmente par inspeccion en los casos de variedad restringida can excepciones, el problema de medir la complejidad de los sistemas consider-ados a traves del recuento del numero real de comportamientos posibles. De alii que consideramos a todas esas formas de entender la varied ad incluidas dentro del concepto de variedad natural En todos los casas se verifica que la cantidad de comportamientos posibles resulta ser un numero entero. Esto es logico ya que en las operaciones realizadas (sumas, restas, productos y cocientes) solo hemos utilizado los inputs n y h (N° de variables, N° de estados) que son, par naturaleza, numeros enteros. En efecto, un dado solo puede tener 6 comportamientos (6 estados). Podrfamos construir tambien una especie de dado de 5 caras que tenga 5 estados posibles. Pero no podemos concebir una pieza que tenga 5, 33 caras! tiene 6 0 7, etc.

Un grupo puede estar constituido por 8 0 9 0 10, etc. personas, pero no

por 7,66 personas!

EI numero de estados es un entero.

Lo mismo podemos decir del numero de variables intervinientes en el

sistema.

En consecuencia, la variedad, en cualquiera de las formas descriptas,

es tambien un entero.

o tiene 5 0

Desde este punto de vista, todas estas formas de medir la complejidad son formas naturales y reales que conforman 10 que Ilamamos Variedad Natural.

\03

102

Sin embargo, existe otra forma de medir la variedad que no es natural

ya que apliea una herramienta matematica clasiea, los logaritmos,

mediante la eual se opera una transformaei6n que

fraecionarias 0 deeimales.

o en

procedimiento para estableeer la varied ad en bits de un sistema es simple, basta can caleular el logaritmo en base 2 de la variedad natural de dicho sistema: wb;:.:: log2

w

F8

GCual es la

de esta es establecer un parametro de comparacion y equivalencia de la complejidad de dos 0 mas sistemas. La idea es tr..:oncformar la medida de complejidad dichos sistemas a una base eomparaci6n y equivalencia. LPor que utilizar logaritmos a tales efectos? Permitiendonos algun rasgo de humor, admitamos que la sola algo repulsiva para de la palabra "Iogaritrno" puede personas y un "intrinqulis" para otras. bajo de las que es y para que apreciacion puede, en algunos casos, extenderse aun a quienes han recibido una formaci6n matematica algo mas especializada destinada a su aplicacion como herramienta apoyo a sus disciplinas principales, pero perdieron contacta con el concepto y usa de esta transformaci6n matematica.

un en termlnos casi Y de paso mostrar util, nada diab611ca y

tal

Para quienes 10 recuerdan 0 ya hayan pasado por el Apendiee, podemos ahara responder a nuestra ultima pregunta: Los logaritmos operan en forma inversa a los exponentes. Son la reciproca de la poteneiaci6n, aunque a difereneia de la supone productos sucesivos un mismo una base determinada.

los

de base 2 y no de cualquier otra

realidad, no hay inconvenientes en utilizar logaritmos de otra base (en tanto sea la misma para tad as los sistemas euya complejidad se pretende comparar) ya que, como se ve en el Apendice, los cambios de base de los logaritmos responden a una constante. los

Pero, convencionalmente se ha preferido razones:

base 2

tres

una real variables -0 nos queda c6modo estructurarlas as i computadoras resuelven los procesos 16gicos matematicos el sistema nurnerico binario c) dos es la minima expresi6n de complejidad de un sistema un sistema que tiene un solo comportamiento posible es tan rigido que no tiene ninguna complejidad. Su variedad natural es 1 porque tiene un solo estado final. Para entender usc, tillalidad y un mimer caso de

la

o en

105 10'"'

~~~~-~-~-~

~~-~-

TRAGAMONEDAS (4)

Los conocidos "tragamonedas" al estilo Las Vegas presentan un visor

con tres pequenas ventanas detras de cada una de las cuales hay un

tambor giratorio en el que estan grabados una serie de simbolos.

Cuando la maquina es accionada, los tambores comienzan a girar

hasta detenerse aleatoriamente (supongamos!) de tal forma que uno de

los simbolos de cad a tambor queda a la vista del apostador a traves de

su respectiva ventana, Queda asi conformada una terna de simbolos

como la que muestra el gn3fico, que determinara segun las distintas

variantes de coincidencia si el apostador recibe algun premio y su

magnitud, 0 si pierde.

Vamos ahora a suponer que se pretende disenar un tragamonedas distinto y de caracteristicas "sui generis" La idea es que cada tambor solo tiene que tener dos simbolos distintos pero que el sistema debe ofrecer una varied ad de comportamientos igual a la original, es dedr 3375, Siendo que la variedad depende del numero de variables y del numero de estados de cada una de elias, y teniendo en cuenta que el numero de estados por variable ha sido fijado en dos, solo alcanzaremos la variedad pretend ida aumentando el nlJmero de variables. Pero, l,CUantas variables binarias habra que definir con el proposito expuesto?

La varied ad binaria nos auxilia a resolver el problema.

Calculamos la varied ad binaria del sistema que pretendemos construir:

wb

= log2 W = log2 3.375 := 11,72

l, Que representa el resultado obtenido 11,72?

Es el nLlmero de variables binarias necesarias para definir un sistema

de variedad = 3,3'75 ya que, segL1I1 F3:

w

= 2n

= 211"12

::

3.375

o

dicho de otra manera, un sistema que tiene 3 variables de 15 estados cada una (sin restricciones) es equivalente, tiene la misma complejidad, que otro sistema de 11,72 variables binarias.

(9)

Asumiendo que cada tambor tiene un total de quince sfmbolos,

podemos preguntarnos cuantas ternas distintas puede presentar el

sistema.

Naturalmente, se trata de un caso de variedad maxima con tres

variables que tienen quince estados cada una de elias.

w

=1

= 3,375 ternas distintas posibles

Como puede apreciarse, la variedad binaria es un instrumento que permite lIevar sistemas de distinta estructura a una base comun binaria que sirve para obtener equivalencia y comparabilidad, Ahora bien, l,es posible definir 11,72 variables? La respuesta es que sf, pero solo en un sentido teorico, del mismo modo que cuando decimos que, p.ej., cierto trabajo requiere la mano de obra de 7,4 hombres. Es solo una expresion referendal, puesto que el numero de hombres es necesariamente entero y discreto.

106

107

En la practica, el necesariamente discreto. entero de variables: 11 0 12.

de variables, como ya se dijo, es 10 tanto solo podernos definir un N°

Si usamos 11 no alcanzarnos la variedad propuesta:

211

=2.048

Y si usamos 12 superamos la variedad necesaria : 4.096

Luego, debemos emplear esta segunda variante que cubre nuestra

necesidad, aunque can ei excedente que denominamos "redundancia",

segun 10 ya explicado sabre ese concepto.

NUMEROS BINARIOS (4) EI nLlmero 200 del sistema decimal se expresa en el sistema binario coma:

l.iJ 1.1 0 10 111 0 10 10

Como vemos, se requiere de un mayor numero digitos (variables)

para expresar el mismo grado de cornplejidad.

Esto es logico, ya que en el sistema binario cada digito (variable) puede

adoptar 2 estados y, frente a esta restriccion solo se puede

mas complejidad aumentando el numero de dfgitos.

De este modo, el numero 255 del sistema decimal es el mayor que puede expresarse can 8 digitos (11111111) del sistema binario. Para representar el numero 256 se requieren 9 digitos (100000000). De paso, observese que la complejidad que puede afrecer un numero del sistema decimal de tres cifras (10 3 == 1000) puede ser medida como variedad en bits mediante el calcula de su logantmo en base 2 (a bien .3,322). L0921000

9,966

Esto debe leerse de este modo: Un sistema de 3 variables, con 10 estados posibles para cada una de elias, es equivalente a otro sistema de 9,966 variables binarias. Quiere decir que para poder representar en terminos binarios los mil numeros 0 al 999 seran necesarias 10 variables (y habra redundancia). La variedad natural del sistema es w 28 256 estados finales posibles. Para visualizar como opera el logaritrno, cal cui em os ahora su variedad en bits wb ::: loa~ w log10 w 3,322::: 8 Observese que en este caso la variedad binaria del sistema es igual al de variables, pues todas las variables ya eran binarias. Tomando como base una cadena binaria

digitos, el sistema decimal puede adoptar:

h

n

10

3

1000 estados

o al 999)

Con 8 digitos, el sistema binario puede adoptar:

hl1 =

a)

::: 256 estados (del 0 al 255)

c) e) f)

g)

ocho dfgitos:

de elias comienzan con 1100 (como por ejemplo el N° 200 del sistema decimal)? ~Cuantas comienzan y terminan con 1? ~ Cuantas tienen el 2° 0 el 4° bit (0 ambos) igual a 1? GCuantas tienen exactamente un 1? GCuantas tienen exactamente dos numeros 1? GCuimtas tienen al menos un 1? ~Cuimtas son pallndromos (capicuas)? ~Cuantas

109

108

tY

si buscamos "capicuas" en una cadena binaria de numero impar de digitos, por ejemplo de 9? h)

Por 10 tanto el resultado es 2 8

1:::; 255

g) Cualquiera sea el estado que necesariamente el octavo sera iguaL

a) Los cuatro prirneros digitos de nuestra cadena quedan fijos. La unieo variable es el contenido de los cuatro ultitnos dfgitos. Luego, del 8 total de 2 := 256 cadenas binarias hay 24:= 16 que comienzan en '1100. Siendo fijos el primero y el ultima digito, hay 2 6

::::

64 cadenas.

c) Existen 27 :::: 128 cadenas que tienen el 2° bit igual a 1 (incluyendo a

algunas que tienen e14° bit igual a 1).

7 Existen 2 128 cadenas que tienen el 4° bit igual a 1 (incluyendo a

algunas que tienen el 2° bit igual a 1).

A. la suma de ambos grupos, debemos restar (para evitar su doble recuento) a aquellas cadenas que cumplen can ambas condiciones. Las cadenas que tienen el 2° y.. el 4° bit igual a 1 son 2 6 :::: 64 Luego 128 + 128 - 64:::: 192

(-:0 ~

d) EI 1 estara en cualquiera de las ocho poslclones y los restantes seran O. Hay 8 cadenas que curnplen la condici6n.

adopte

el

primer

digito,

Otro tanto ocurrira con el segundo respecto del septimo, con el tercero respecto del sexto y can el cuarto respecto del quinta. Por tanto, los cuatro ultimos digitos ser':ln un reflejo simetrico de las primeros cuatro. Y par consiguiente sola pueden construirse tantos "capicuas" (*2) coma expresiones distintas pueden ubicarse en los primeros cuatro dfgitos. La respuesta es, pues:

:::; 16 capicuas.

h) La situaci6n es analoga entre los cuatro primeros dlgitos respecto de los ultimos cuatro. Sin embargo, el digito central, en este caso el quinto, puede adoptar 2 estados. EI resultado es pues 24 . 2 16. 2 :::; 32 0 bien = 32 Experimente que pas a con 10 digitos.

=

Ca.1:::: m! (n-m)

== 8

e)

Analogamente

Ca.2 =

::

2! 6 1 Compare este caso con la expresi6n senalada comG en el punto

f) La (mica cadena excluida es 00000000.

Luego haga 10 mismo con 11 y 12.

1! 7! (*2) Estrictamente, "capicua" es una palabra de origen catalan (cap+ cua: cabeza y cola) yen espanol se designa como "palindromo", que es una palabra, frase 0 expresi6n que puede leerse exactamente iaual en ambos sentidos. Parad6jicamente, las palabras "capiclla caracteristica que designan.

y "palindromo" no tienen la

110

_______________-'11. I

Algunos de los ejemplos mas conocidos y extraordinarios en el espanol son las frases:

que usted haya pensado en las palabras "Neuquen" y al menos una de Si as! ocurri6, tal vez nos asigne cualidades de ciarividencia. Si no, usted debe saber que frente a est a pregunta la mayoria de personas responde de aquella manera. Pruebelo con sus amigos. , 0

"Dabale arroz a la zorra el abad" "La ruta nos aporta otro paso natural".

TambiEm puede pedirles que piensen 10 mas fapida posible un pais que comience con la en 30 segundos) el nombre el nombre de un animal que comience con la letra "i"

"Aroma da la bonita. La podra no dar 0 dar. AI calor aflora Carol)

farola clara, dorado nardo palatino, balada mora".

"La tropa tramara para rapar a Marta Portal".

Primero puede usted probar, si Si ya 10 hizo, ahara dirfjase al

casa y

al reves.

"No, el usara esa para pasear a su leon". suceden estas el foco de esta curiosidad se relaciona con la heurfstica descripta por los ya mencionados Kahnemann y para estos ejemplos, con los conocidos como "efecto disponibilidad" y su similar "efecto representaci6n". Ampliamos sobre este tema en el capitulo XII.

Algunas expresiones matematicas (en los dos ejemplos siguientes, igualdades) tambien cumplen la cansigna:

=,285582 111.111.111 x 111.111.111 =12.345.678.987.654.321 1,234/4.321

netsixe neibmat euq Y .acramaiD ne sanaugi yah on euq somamrofni eL .sotcesni sol Y,sibi sol ,anacinimoD ,acinirnoD ,ituobijD

dos palabras capicuas de letras. Cuando 10 haya

BALANZA Y MONEDAS (4) siguiente casa, basado en variantes las revistas de acertijos e de la variedad binaria al

dirijase a la pagina siguiente.

?•

{

112 -~-.----------

---

~-------

- - - - ------ - -

Il3

1° Pesaje: ud. coloca 9 monedas en un plato de la balanza y 9 en el atro, dejando 9 monedas afuera. AI hacerlo, puede ocurrir que el plato A baje y el B suba. En tal caso, la moneda falsa mas liviana que las demas esta entre las nueve del plato R (10)

Sea un conjunto de 27 monedas, todas iguales en denominacion y

aspecto. Una de elias es falsa y pesa 5mg menos que las genuinas.

Nuestra sensibilidad manual no nos permite determinar cual es la falsa.

No obstante, contamos eon una balanza de laboratorio de fiel y platillos,

muy sensible, aunque sin disponer de las pes as empleadas

regularmente en la medieion.

La propuesta es estableeer fehaeientemente, en el menor numero

posible de pesajes y sin depender de la buena fortuna (Murphy

ausente) cw31 es la moneda falsa.

Desde luego, podemos agarrar dos monedas, eoloear una en eada

plato y, si uno de los platos sube, sabremos que la moneda que esta en

el es la falsa y resolvimos en un paso.

Tambien sabremos que hemos side muy afortunados al seleeeionar las

dos monedas.

No se trata de eso. Nada de azar.

Podemos intentarlo empiricamente y probar distintos eaminos, papel y

lapiz mediante, hasta eneontrar aquel resulta el mas efieiente, en el

sentido de eumplir con la eonsigna en el menor numero de pesadas.

Si quiere, puede probar.

Si 10 hizo, habra comprobado que el numero es tres.

Su conclusion se apayo en el siguiente procedimiento:

Si, al reves, el plato A sube y el B baja, entonces la moneda esta entre las nueve del plato A Tambien puede ocurrir que ambos plato mantengan el mismo nivel, en cuyo caso se deduce que la moneda falsa esta entre las 9 que estan fuera de la balanza. En cualquier caso, tras la 1a pesada, ud. habra identificado en el cual de los tres grupos esta la moneda. 2° Pesaje: siguiendo el mismo esquema y repartiendo las 9 monedas en tres grupos de tres, al cabo de la 2a pesada sabra en cual de elias esta la moneda.

3° Pesaje: la euestion se resuelve repartiendo las tres monedas de la manera expuesta y asi en tres pesajes se identifica con seguridad la moneda falsa. No obstante resultaria deseable eontar con algun proeedimiento formal que nos permita determinar el dato neeesario sin tanto esfuerzo empirico. Para analizar el instrumento que eumplira can este proposita, dejemos par un rata la balanza y las monedas para regresar cuando 10 hayamos esta blecida.

115

11-.1

Si el queso es mas grande que la boca del rallador, no nos queda mas remedio que fraccionar el trozo en que puedan ser proeesadas. Esto naturalmente aumenta el nlnnero de procesos.

LA LEY DE VARIEDAD OBLIGADA La variedad binaria 0 en bits cum pie un papel significativ~ en sentido, pues aporia un mecanismo relacional entre sistemas a partir de la formulaci6n de la regia conocida como Ley de Variedad Obligada o Requerida, enunciada por uno de los padres de la Cibernetica', Ross Ashbv. (8) Esta norma funcional que "Para resolver en un solo proceso, la variedad del sistema procesador debe ser igual 0 mayor que la del sistema a procesar". Esto denota la consideraci6n dos sistemas y una forma relaci6n entre ellos en el Gumplimiento de dos papeles: uno de los sistemas debe ser procesado y el atro debe tener la capacidad de procesamiento la relaci6n resulta necesario un parametro necesaria. Y para la misma escala para am 0 sea una base reladonal comun. la Idea a una tenemos que rallar un trozo solo proceso siempre y cuando el trozo de queso pequeno que la boca

proeesado y el rallador es el procesador.

Si

*La cibernetica es una ciencia interdisciplinaria que trata de los sistemas de control y de comunicaci6n. La palabra cibernelica proviene del griego "arte de pilotar un navio", aunque Platon 18 utiliZQ en La de "arte de dirigir a los hombres" 0 "arte de Andre-Marie Ampere y James Clerk Maxwell de la palabra. Pero la cibernetica tal como la entendemos hoy en dia fue formalizada por Norbert Wiener en su obra Cibernetica 0 el control y comunicaci6n en animales y (Cybernetics or control anel communication In the animal and desarrollado en colaboraci6n can Arturo Rosenblueth y William Ross Ashbv. Fuente: Wikipedia(9)

mas posible la capacidad del para 10 eual deberemos cortar el queso en hozos 10 mas grande que la boca del rallador perrnita.

1

{

A tales efectos podemos, par ejemplo, dividir el ancho del trozo de queso por el ancho de la boca del rallador, saber euantas veces supenor es uno que el otm y hacer los cortes en consecuencia. Par son procesos

en mente la idea de este cociente. 8i los lrozos aumentaremos innecesariamente el numero de

Si la capacidad de proeesamiento de nuestra procesador) no es suficiente para determinado programa que tenemos que correr en ella, solo podemos, si tal programa 10 particionarlo para procesarlo par tramos 0 bien simplificar el programa de tal modo que pueda ser contenido por el procesador. aparentemente trivial, no 10 eS tanto. EI destacado en negrita un mecanismo bastante frecuente en la eonduda hurnana y aun en ciertos procedimientos teenicos. Para un cierto escenario 0 un economista busca la forma de de un modelo. Por ejemplo, el los nurneros son herramientas que representar la realidad.

los

de la eeonomia, la rtonQr~("'IA.n y el humanos usamos para

Por cierto, la realidad -ya 10 dijirnos- suele ser compleja y entonces es muy posible que, aclemas de las mencionadas, las herramientas (procesador) que posee el economista para proclucir su modelo, aun

117

sofisticadas y complejas, no sean de complejidad que presenta aquello que se procesar).

para el superior representar (0

(,Significa esto que el modelo es defectuoso? No, signifiea que es una simplificaci6n, una heurfstica un modele que ayuda a analizar pero que no cumple can la Ley de Variedad Obligada pues la herramienta no alcanza a describir la complejidad del fen6meno 1

que en una situaci6n como la descripta no se cumple la Ley de Variedad Obligada. GQue puede hacerse? Apelar a mas de un proceso, 10 eual parece dificil con este tipo de sistema a procesar, 0 bien simplificar la realidad a representar. Esa es la soluci6n mas habitual y entonces el economista propone una simplificaci6n basada en seleecionar las variables que considera mas relevantes. GY el resto? ........ "ceteris paribus". e.,.

No nos ensanemos can el hemos tomado de chivo emisario de un afecta a todos. vez su modele sea, si como para representar ayuda conceotual a la

men os bueno y servir de

Ademas, en muehos analisis te6rieos ocurre alga parecido. Sin ir mas metodologias de nuestra de la Decisi6n sue len ser modelizar en el terreno de 10 operativo (los mundos

1'1

P?

9.9

w .,2 ci:§

uut dp

-.1

'I/'

f'''~'nrhH:-f".:i(·H·,* de f,JO.-,,) Jnn,.} trHJiV1:du.'.1 {bj'l~d~d~~ fHH Uftttf<*4 ttt'!' tlt-:1i;:_pul

Por ejemplo, mediante un grafieo como estudiaron microeconomia, economia de empresas, etc. 10 rOl'r-rI'ir:> se vinculan dos variables, precio de un producto (p) y de su producci6n para deterrninar cual es la cantidad a producir por la ernpresa a partir de la curva de a dicha empresa y la estructura de costos de la misma. GY los facto res que inciden en el tema? ... Ceteris se mantienen en status quo. Sin contar con que no es tan facil la curva de demanda a la empresa y no la propia de costos.

'Se denomina 'heurfstica' a la capacidad de un sistema para realizar de forma inmediata innovaciones positivas para sus fines. La heurfstica es un rasgo camcterfstico de los humanos, desde cuyo punto de vista puede describfrse como eJ arte y la ciencia del descubrimiento y de la invenci6n 0 de resolver problemas mediante la creatividad y el pensamiento lateral 0 pensamiento divergente. La etimologia de heur/stiGB es la misma que la de la palabra eureka, cuya exclamaci6n se atribuye a Arquimedes en un episodio tan famoso como ap6crifo. La palabra heuristica aparece en rnas de una categorfa gramatical. Cuando se usa como sustantivo, identifica el arte 0 la ciencia del descubrimiento, una disciplina susceptible de ser investigada formalmente. Cuando aparece como adjetivo, se refiere a cosas mas concretas, como estrategias heurfsticas, reglas heurfsticas 0 silogismos y conclusiones heurfsticas. Claro esta que estos dos usos estan inlimamenle relacionados ya que la heurfstica usualmente propane heuristicas que gufan el descubrimiento. La popularizaci6n del se debe al matematico George P6lya, can su libra C6mo resolverlo (How to solve Habiendo estudiado tantas pruebas matemalicas desde su saber como los matematicos Ilegan a elias. EI libra cantiene la clase de recetas heurfsticas que trataba de ensenar a sus alumnos de matematicas. Fuente: Wikipedia.

119

118

pero comienzan a ser insuficientes en el campo de 10 tactlco (los y decididamente cumplen un papel pero menos practico a la complejidad y la mundos estrategicos . (2)

La variedad del sistema procesador es 3 (tres mensajes: brazo A mas alto, brazo B mas alto, ambos brazos

en realidad pretendemos senalar con este ejemplo es que frente a las muy habituales situaciones en que la realidad adopta una forma muy compleja como para que la podemos aprehender en su integralidad (no se cLimple la Ley de Variedad Obligada), los humanos apelamos a L1na heuristica (reduccion, simplificacion, atajo, acotamiento, introduccion de restricciones) nos pen'nita en la incertidumbre y as! sobrellevar la cuestion 10 podemos, no siempre tan mal y a veces razonablemente bien.

l.a estructura exponencial la relaci6n ambos parametros por de la radicacion.

problema se presenta cuando tales heurrsticos nos lIevan por sesgados por algunas trampas de la mente, de tal que as! concebido ya no representa ni siquiera medianamente bien, 0 decididamente mal, la realidad. Las investigaciones descriptivas de la psicologia conductista han demostrado que algunos de esos heuristicos son sorprendentemente generalizados, es decir que afectan a porcentaje significativos de las personas y lIevan a errores comunes y predictibles a todas elias. Varios de dichos sesgos psicologicos, ya 10 adelantamos, 5e relacionan con el deficit en el razonamiento combinatorio y el consecuente de dificultades Dara procesar probabilidades

vanedad del

a procesar es 27.

Sin embargo, y debido a la propiedad ya aludida de logaritmos justificaclon en el Apendice), mediante una transformacion de ese podemos relacionando como

la balanza es el procesador y

-':l ,,_,I

3'1

(,Podrfamos haber Sf, bases los constante. Ver Apendice.

logaritmos de base 1

son intercambiables

iante una

(,Y si tuvieramos 28 monedas, una falsa?

".;:LL"'=:::='

3

= 4,807 1

3, 033

Ya serian necesarios 4 procesos y habna una GHasta cuantas monedas podemos resolver con 4

Hasta 81. Haqa las operaciones y pruebe.

Volvamos, ahora sL a nuestra en el las monedas el sistema a procesar.

.~~l-_,___ '

.-

Veamos: Sobre la naturaleza fenomenos tendremos la oporiunidad de comentar sus caracteristicas en el

nos Ileva a no poder procesar un cociente, sino a traves

redundancia.

120

121

CABLE Supongamos que tenemos un cable de 64 metros de extensi6n. En un extremo tiene una ficha de conexi6n a la corriente elf§ctrica y en el otro una bombilla. Conectamos la ficha al tomacorriente y la lampara no se enciende. Verificamos ficha y tomacorriente y funcionan normalmente.

sistema procesador es una en 2 partes.

Verificamos la bombilla y tambien es normal. Conclusi6n: el cable esta mal en algun punta dentro de los 64 metros.

nos Ileva a la Seis es el minima numero de cortes (procesos) soluci6n. efecto, debemos cortar el cable por la mitad y verificar. Con este primer corte sabremos en cual de las dos secciones esta el desperfecto. Determinada cual de elias, la cortamos por la mitad y sabremos en de los dos cuartos esta el problema. Con este segundo corte hemos ubicado un tramo de 16 metros en el . esta el corte. Cortamos este tramo por su mitad y probamos para saber eual de los dos octavos eontiene el desperfecto. Siguiendo esta linea, al cabo de 5 cortes nos quedara un tramo de dos metros, el cual cortaremos por su mitad con el 6° corte para determinar eual de los dos metros debe ser reemplazado.

(11 )

Nos disponemos a ubi car ese punto para subsanar el corte. Suponiendo que haremos nuestra revisi6n metro a metro, podemos nuestro lado comenzar por un extremo e ir probando. Si el azar esta vez solucionemos rapido. Sin embargo, todos conocemos las Leyes Murphy y mas una vez hemos buscado un papel en una pila para comprobar que estaba cerca del final ella. como el famoso "misterio de la empanada": pruebe usted comer una empanada comenzando por alguno de sus dos extremos. Inexorablemente comprobara que la aceituna esta en el Mas alia del humor, ciertamente seria deseable que nuestra busqueda siguiera algun procedimiento racional y eficiente que nos evite terminar cortando el cable en 64 partes y nos asegure que, en el peor de los casos, el mayor numero de cortes a realizar sea 10 mas bajo posible. l Y cual es el menor numero de cortes necesario que nos garantice encontrar el fallo sin depender de la buena Variedad Variedad

del sistema procesado: 64 del sistema procesador: 2

que secciona los objetos de corte

§ =6

Luego: wb2

2

1

Un acertijo bastante conocido, que suele aparecer en las revistas del y tambien es utilizado como ejercicio entre las nuevas tecnicas aplicadas al desarrollo de la creatividad, es el siguiente: En una pared hay un terminal eliactrico con tres lIaves de luz (binarias: on/off), todas posicionadas en "off". Una de elias acciona en otra habitaci6n. Se nos (enciende/apaga) una lamparilla que veces que deseemos, pero accionar todas las lIaves de luz solo podemos ingresar aver la otra habitaci6n una sola vez. Con esa de pender lamparilla? Si

puede

LPodremos determinar fehacientemente, y sin cual de las tres lIaves es la aue acciona la

antes de continuaL

122

123

VI formal desde el analisis de variedad binaria nos lIevaria a decir que la respuesta es que no., ya que la variedad natural sistema a procesar (caja de tres lIaves) es 3, la variedad natural del sistema procesador (Ia bombilla) es 2 (prendida/apagada _. 2 rnensajes), 0 sea la ley de variedad requerida, y solo S8 nos permite un proceso (vlaje a la otra habitacion). embargo, desde el pensamiento lateral fomentado par las modernas tecnicas de creatividad nos sugieren una vision que lIeva a la solucion del Droblema Veamos: Elija usted 2 de las tres /laves, por eJemplo A y Pongalas en cinco minutos. Ahara vuelva a "off" cualquiera de dos, por ejemplo A Luego vaya a la otra habitacion. Si la bombilla no hay ninguna duda de que la Ilave de accionamiento es la la bombilla esta apagada, toquela Si esta caliente no hay duda: C es la lIave 8. Si esta fria: si, Variedad natural a procesar: 3

Variedad natural del procesador: 3 (prendida, apagada caliente y apagada fria 3 rnensajes). cumple la ley de varied ad

=

1 proceso

3 es un mteresante ejernplo de como, en ocasiones, la pasa por encontrar un forma de aurnentar la varied ad (capacidad) del procesador.

ente la variedad a verse en una caso casos con el nombre

sobre el concepto de la relaci6n del procesador X Aplicaciones a ORGANIZACIONAL"

INCERTIDUMBRE Y ENTROPIA

No es prop6sito este trabajo analizar todos los ia consideracion de la decisoria, solo aquellos Basicamente, asociamos la desconocimiento, ignorancia, duda,

a la idea de

de incertidurnbre en En la concepcion de Paves! (10), existe cierto el universe que estarnos considerando cuando no sabernos con eual es, 0 sera el cornportamiento d(~1 convalidando que Ilene mas de un cornportamiento posible. que el conocimiento tiende a reducir la incertldumbre (y la liga al ignorancia 10 contrario), cobra significacion la concepcion conocirniento con la informacion. Si bien es cierto que corno cosa general, la informacion aporta conocimiento y consecuentemente reduce la incertidumbre, tambiEm es necesario advertir que en universos abierios este proceso no es necesariamente asi, pudiEmdose verificar la existencia de en que la informaci6n no reduce la incertidurnbre e incluso, bajo ciertas circunstancias, la aurnenta (ver punto caso Estructura Organizacional). dijirnos, no es nuestro objetivo extendernos en la noci6n de incertidurnbre y solo aportamos ahora algunos aspectos basicos para apoyar el desarrollo del tema sobre el Que trata este relevantes en la consideracion de la la necesidad de encontrar un su Asi como definirnos a la probabilidad como parametro de la propensi6n y a la variedad como medida de la algun

125

124

incertidumbre, particularmente con la grados 0 niveles en distintos sistemas,

de poder comparar sus

En este sentido, la busqueda y la investigaci6n fueron largas, dificultosas y muchas veces infructuosas. Durante a/gun perfodo se ensay6 la posibilidad de emplear alguno de los clasicos operadores estadfsticos (media aritmetica, media ponderada, desvio medio, desvio standard, varianza, etc.) como "sensores" del grado de incertidumbre de un sistema 0 una situacion. Sin embargo, dichos operadores Se revelaron como ineficaces a los efectos buscados, especialmente por quedar excesivamente afectados por los resultados esperables por cada escenario probabilistico y no por tales probabilidades Para un mayor detalle sobre este aspecto puede consultarse "La Incertidumbre del Universo" P. Paves!. 152 Pag. 60A64. La solucion lIeg6 finalmente desde la Teoria de la Informacion y la propuesta de Claude Shannon* (11) que permite medir la incertidumbre a traves de una formula denominada Entropfa (H). Conocemos la perplejidad con que es percibida la formula de Entropfa por quienes la abordan por primera vez, y sus dudas frente a una modelizaci6n que, en principio, no parece tener ninquna relaci6n de justificaci6n con el objeto que pretende modelizar. Por tal motivo, antes de presentar esta formula que funciona como modero de medici6n de la incertidumbre vamos a ensayar una justificacion para legitimar su vigencia y aplicacion. Incluiremos ademas 1I.',a breve referencia al nombre con que se ha designado a este modelo. LQue atributos, que caracteristicas debemos exigirle a un parametro para que resulte una buena medida de la incertidumbre? *Claude Shannon. "The Mathematical Theory of Communication".

Esta claro que la noci6n de lr1c:ertldumbre se nos aparece como un concepto algo abstracto que asociamos mas con las sensaciones y las percepciones que can 10 fisico y 10 tangible. Por tal motivo nos es mas faci/ ligar la idea de incertidumbre al mundo de 10 cualitativo y subjetivo que de 10 cuantitativo y No obstante, podemos tamar algunos de los aspectos objetivos can que venimos analizando la complejidad de los sistemas para encontrar base de apoyo en la creaci6n de nuestro instrumento de medicion. En todo caso, siempre esta la posibilidad de probar empiricamente SI el artificio emite senales que se corresponden con 10 que sentimos 0 percibimos. Es un hecho que la cantidad de comportamientos posibles de un sistema guarda correlaci6n directa Gon el numero de variables que 10 integran y con el numero de estados que cada una de elias puede presentar. Ambos elementos, variables y estados, con mas las restricciones y excepciones a restricciones, resultan determinantes de la variedad de comportamientos de un sistema. Siendo asi, es deseable y necesario que un parametro del grado de incertidumbre sea sensible a esta cuesti6n pues resulta claro que cuanto mayor sea el numero de variables y estados, mayor es la variedad de comportamientos posibles y tambien mayor la incertidumbre respecto de CUt§1 de ellos es el que efectivamente se verificara. Luego la medida de incertidumbre debe exhibir mayor intensidad frente a una mayor variedad. Pero tambien puede ocurrir que la distribucion de las probabilidades cada uno de los estados finales posibles de un sistema adopte distintas conformaciones.

127

126

ejemplo, si un sistema tiene una sola variable can dos estados = 2) nos generara distinto grado de incertidumbre si ambos tienen una probabilidad de producirse 0,5 cada uno que si y el otro 0,3. U otro con y 0,1. Esta claro que es mas incierto que el segundo y este a su vez que el tercero. Y as! es tambien nuestra oerceoci6n. Una buena medida de debe ser sensible a Siguiendo con este ultimo ejemplo, tambien resulta evidente que cualquier otra distribuci6n de probabilidades entre dos estados posibles que sea distinta de 0,5 y 0,5 debe, tener menos incertidumbre. ultimo aspecto nos lIeva a una conclusion significativa. La maxima incertidumbre para un numero dado de estados posibles se verifica cuando todos ellos son equiprobJables. Luego la incertidumbre debe ir disminuyendo cuanto la distribucion de probabilidades mas se aleja de la equiprobabiJidad. Nuestro caracteristicas.

tambien

debe

Como veremos luego, la f6rmula de se basa en la variedad y en la cuya incertidumbre mide.

detectar

y

registrar

estas

es un modele logaritrnico de orobabilidades del

Como eualquier modelo, no es la realidad misma sino una de ella. Y un modelo es buena cuando suficientemente bien el fen6meno real. un ejemplo: GQue mide un terrn6metro't En realidad, 10 que un term6metro mide es como 5e dilata el de un tuba de vidrio de 1 mrn de E.I term6metro es un modele que, a la luz de la suficientemente bien el fen6meno de la temoeratura en de su medici6n.

La mismo podemos decir de la Entropia. I de su estructura matematica es una modelizaci6n que se ha revelado como suficientemente representativa del fen6meno la cumpJiendo can las exigencias que plantearamos en anteriores. La palabra Entropfa nos lIega desde tres vertientes, la Fisica 0 mas precisamente su rama particular conocida como Terrnodlnamica, la Mec2l1lica istica y la Teoria de la Informaci6n. La termodinamica, fija su atenci6n en el interior de los y en los intercambios de energia en forma de calor entre un sistema y otro. La termodinamica basa sus anal isis en algunas

fisicos se Ilevan a

La Primera

La cera Si dos objetos A y B estan por separado en tercer objeto C, entonces los objetos A y B estan en entre si". En consecuencia, dos cuerpos con diferente temperatura uno de otro, y en contacto por un tiempo determinado t, alcanzaran la misma temperatura. De este principio se induce el de temperatura, que es una condicion cad a cuerpo tlene y que el hombre ha aprendido a mediI' mediante arbitrarios y escalas de referencia (escalas termometricas). Ley La Primera de la termodinamica define el de energia interna, trabajo y calor, expresando que si sabre un sistema can una determinada energia interna. 5e realiza un mediante un

128

.. _---------_._--------_ .... _---_._--_._--------_._----------_ .. _-----_._-_ .... _-------------_._-----

proceso, la energfa interna del sistema variara. A la diferencia de la energfa interna del sistema y a la cantidad de trabajo se la denomina calor. EI calor es la energfa transferida al sistema por medios no mecanicos.

129

En terminos mas 0 menos sencillos: "No existe un proceso cuyo unico resultado sea la absorcion de calor de una Fuente y la conversion fntegra de este calor en trabajo". Este principio (Principio de Kelvin Planck) nacio del estudio del rendimiento de maquinas y mejoramiento tecnologico de las mismas.

Ejemplo: si el sistema es un recipiente metalieo con agua; puede elevarse la temperatura del agua por friccion con un objeto giratorio dentro del agua 0 por calentamiento directo sobre una Fuente de calor. En el primer caso, se hace un trabajo sobre el sistema y en el segundo se Ie transmite calor.

Si este principio no fuera cierto, se pod ria hacer funcionar una central termica tomando el calor del medio ambiente; aparentemente no habrfa ninguna contradiccion, pues el medio ambiente contiene una cierta cantidad de energia interna.

Por tal motiv~, la energfa interna de un sistema, el trabajo y el calor no son mas que diferentes manifestaciones de energfa. Como consecuencia la energfa no se crea ni se destruye, sino que, durante un proceso se transforma en sus diversas manifestaciones.

Pero deben senalarse dos cosas: primero, la segunda ley de la termodinamica no es una consecuencia de la primera, sino una ley independiente; segundo, la segunda ley explica las restricciones que existen al utilizar la energfa en diferentes procesos, en este caso, en una central termica. No existe una maquina que utilice energfa interna de una sola fuente de calor.

La Segunda Ley La primera ley establece que la energfa se conserva. Sin embargo, se puede imaginar muchos procesos en que se conserva la energfa, pero que real mente no ocurren en la naturaleza. En la naturaleza hay procesos que suceden, pero cuyos procesos inversos no. Para explicar esta falta de reversibilidad se formul6 la segunda ley de la termodinamica, que tiene dos enunciados equivalentes: Enunciado de Kelvin - Planck : Es imposible construir una maquina termiea que, operando en un cicio, no produzea otro efecto que la absorci6n de energia desde un dep6sito y la realizaci6n de una cantidad igual de trabajo. Enunciado de Clausius: Es imposible construir una maquina cicliea euyo unieo efecto sea la transferencia continua de energia de un objeto a otro de mayor temperatura sin la entrada de energia por trabajo.

Rudolf J. Clausius, ingeniero frances, formulo un princlplo para la Segunda ley: "No es posible proceso alguno cuyo unico resuhado sea la transferencia de calor desde un cuerpo frio a otro mas caliente". Sobre esta base, introdujo --a mediados del siglo XIX el concepto de entropia, entendida como una medicion de la cantidad de restricciones que existen para que un proceso se lIeve a cabo. Pasemos la informacion de estas fuentes a un lenguaje mas asible para quienes, como nosotros, no son especialistas en fisica termodinamica. La primera Ley es la ley "simpatica". Nada se pierde, todo se transforma (la energia no se pierde sino que se transforma). La segunda, no tan optimista, explica que en el proceso de transformacion una parte de la energia transformada se degrada y luego ya no resulta reutilizable. Como la energia total no es infinita, la consecuencia inmediata es que, en el curso del tiempo, la porcion utilizable es cada vez menor y la no

13()

utilizable cada vez mayor. Y la consecuencia ulterior es que se lIega a un momento (repetimos, no angustiarse, falta bastante l ) en que ya no hayenergia Ahora bien, el orden no es producto de la nada, no es gratis Es necesaria una porci6n de energia para sostenerlo. Cuando la energia ya no disponible no habra forma de mantenerlo. tal momento, el desorden y la entropia (como su medida fisica) maximas. el caos!. La entropia, el desorden y el grado de organizaci6n.

Supongamos una caja de tornillos con divisiones para los distintos

configuran un

y tamanos. Los divisores representan restricciones determinado nivel de orden. Si alguno de los divisores es removido,

tornillos contenidos en las secciones contiguas se mezclaran y una

cierta pord6n del orden se habra perdido.

EI desorden, la entropia, aumentara en la medida que se eliminen mas

restricciones, alcanzando su maximo cuando no queden restricciones.

Todas las configuraciones son posibles y la caja es un "caos".

entropia de este sistema ha aumentado al disminuir las restricciones pues inicialmente habia un orden establecido y al final del proceso no existe orden alguno dentro de la caja. La entropia es en este caso una medida del orden (0 desorden) de un sistema 0 de la falta de grados de restricci6n. Los conceptos de informaci6n y entropia estan ampliamente relacionados entre si, aunque se tard6 arias en el desarrollo de la mecanica estadistica y la tearia de la informaci6n para hacer esto

la formulaci6n que hace de ella la Teorla de la informaci6n entropia se llama frecuentemente Entropfa de Shannon, en honor de Claude E. Shannon (11).

131

EI nudo conceptual que se ha tejido en torno a las nodones de informacion y entropfa tras la publicacion de la Teorfa Matematica de fa Comunicaci6n de Claude Shannon, puede tener un origen un tanto anecd6tico: parece ser que Shannon tenia en mente bautizar su funci6n H como "uncertainty", porque mide la incertidumbre de que un deterrninado mensaje sea escogido entre un conjunto de alternativas posibles. Esta incertidumbre se produce antes de la eleccion efectiva. Otra era lIamar a H "information", ya que cuantifica la informacion que se recibe tras la elecci6n de un mensaje dado. No obstante, Von Neumann, tal y como relata Tribus (Tribus, 1963, citado en Denbigh, '1985, pg. 104), terci6 de modo persuasivo en favor de "entropy" can dos poderosos argumentos: lilt is already in use under that name and besides it will give you a edge in because nobody really knows what entropy is anyway". (. .. ya esta slendo usada can ese nombre, y aparte Ie dara a usted gran intervenci6n en los debates porque. de todos modos. nadle sabe realmente que es la entropia.) (1ic)

Von Neumann se referfa a la identidad (formal) entre las funciones utilizadas en mecanica estadistica y la funcion H de Shannon. (1ic) EI basico de entropla en Teoria de la Informaci6n tiene mucho que ver can la incertidumbre que existe en cualquier experimento 0 senal aleatoria. De esta forma, podremos hablar de la cantidad de informaci6n que lIeva una senal. Como ejemplo, consideremos un texto codificado como una cadena de letras, espacios y signos de puntuaci6n (nuestra sefiai sera una cadena de caracteres). Toda vez que, estadfsticamente, algunos caracteres no son muy comunes (par ejemplo, "k") mientras otros si 10 son (como la "a"), la cadena de caracteres no es tan "aleatoria" como pod ria 11egar a ser si toda tuviesen la misma frecuencia de presentacion.

132 -----~-.

133

Obviamente, no podemos predecir con exactitud sera el siguiente can:kter en la cadena y eso la haria aparentemente aleatoria; pero es la entropia la encargada de medir precisamente esa aleatoriedad, y fue presentada por Shannon en su articulo de 1948 "A Mathematical Theory of Communication" Shannon ofrece una definicion de entropfa que satisface las siguientes afirmaciones: 1) La medida de informacion debe ser proporcional (continua). Es decir, el cambio pequeno en una de las probabilidades de aparicion de uno de los elementos de la senal debe cambiar poco la entropfa. la senal son equiprobables a la hora de 2) Si todos los elementos aparecer, entonces, la entropia sera maxima. ENTROPIA Presentamos ahora la construccion de Shannon para su formula de la entropfa:

H=

2

w - P•. 1092 Fl. I

I

i= 1

Analicemos la

* en la cual Entropfa es designada como H.

Se trata de una sumatoria, deb ida a su definicion logarftmica. Como se sabe (ver Apendice logaritmos) los productos en numeros naturales se tratan como adiciones en la funcion logaritmica.

*La formula que utilizamos apliea logaritmos de base 2, por 10 cual queda en bits (conjunci6n de binary digit) como unidad minima de Pero no hay ineollvenientes en emplear logaritmos de base 10 en dits) 0 logaritmos naturales (entropfa en

La sumatoria tendra tantos terminos como la variedad natural del sistema cuya incertidumbre (entropia) buscamos medir (por eso la definimos como sumatoria desde i hasta w, donde w=variedad) .. Par si el sistema que estamos considerando es una moneda (w=2), entonces la sumatoria tendra dos terminos. Si es un dado (w=6) , tendra seis terminos. la entropia particular de cada estado. Para ello, se multiplica la probabilidad de ocurrencia de dicho estado el logaritmo base 2 de esa misma probabilidad. Calculada la entropia de cada estado, se las suma y se obtiene la entropia total del sistema. se aprecia en la formula, cada termino esta precedido por el signo menos. La razon para ello es simple y meramente convencional. Sucede que en todos probabilidades. Ahara cumple que mayor 0 igual que cero

los casos se estaran calculando logaritmos de bien, par definicion de probabilidad Es decir que toda probabi!idad es un y menor 0 igual que 1.

Y resulta que los logaritmos (de cualquier base) de los numeros entre cero y uno son negativos. Por 10 tanto, para neutralizar ese efecto, interponemos convencionalmente el signo menos modo tal que la sumatoria final resulte positiva.

ENTROPIA EN ALGUNOS EJEMPLOS APLICACION DE Calculemos la entropia del sistema "moneda" (1 variable, 2 estados, Recordando la neutralizacion del signo menos, trabajamos todo en positiv~

134

135

Hm = 0,5. log2 0,5 + 0,5. log2 0,5 ::: 0,5. 10910 0,5. 0,322 + 0,5. 10glO. 0,5. 0,322 Resolviendo las operaciones Hm 0,5 + 0,5 1 En este ejemplo, como en cualquier otro en que la distribuci6n de probabilidades sea equiprobable entre tados los estados finales posibles, la sumatoria estara integrada totalmente por tenninos identicos. Por 10 tanto, podemos resolver 10 mismo aplicando una expresi6n menos compleja. Hm = (1/2 log2112) . w donde w = variedad ::: N° de terminos Luego Hm::: ( 1/2 log2 1/2) . 2 Y simplificando los datos sellalados en negrita, nos queda simplemente: Hm ::: log2 1/2 1 La Entropia de un sistema de 2 estados equiprobables es 1. Por otra parte, y por 10 senalado anteriormente, 1 es la maxima Entropia posible para un sistema de variedad ::: 2 Cualquier otra distribuci6n de probabilidades distinta de la equiprobabilidad debe ser menor que 1 y cada vez mas cercana a a a medida que la distribuci6n de probabilidades se aleje de (0,5; 0,5). En un extremo, cuando la probabilidad de ocurrencia de un estado es 0 y la del otro es 1, entonces hay certeza total de que este ultimo estado es el que se va a producir. En tal caso no hay ninguna incertidumbre y 16gicamente la Entrop/a es O. Comprobemos: el sistema G tiene una variable con dos estados y

probabilidades (0,7; 0,3) para cada uno de ellos,

No habiendo equiprobabilidad necesitamos resolver mediante la

expresi6n mas extensa.

:::

log2 0,7 + 0,3 log2

= 0,881309

Nuestra medida de incertidumbre es suficientemente sensible para detectar pequenas diferencias Par eL, calculemos H para el sistema F (0,71; 0,29)

0,71 log2 0,71 + 0,29 log2 0,29:= 0,86873

Aun por poco, la Entropia F es menor que la G ya que sus probabilidades estan alga mas alejadas de la equiprobabilidad, reflejandose una pequena disrninuci6n del grado de Calculemos ahara la incertidurnbre que nos presenta un dado

considerado como sistema, es decir una variable con seis estados

posibles equiprobables.

Podemos resolver mediante la expresi6n simplificada:

Hd

(1/6 log2 1/6) . 6 :::; log2 1/6 ;;: 2,585

Como puede apreciarse la incertidumbre que presenta un dada es signlficativamente mayor. No es 10 mismo el grado de duda/arnbiguedad que "sentimos frente ados escenarios igualmente posibles que frente a seis. ll

Por otra parte, y segun 10 ya establecido, 2,585 es la maxima Entropia para un sistema de seis estados finales posibles y se verifica si hay equiprobabilidad. Cualquier otra distribuci6n distinta Ilevara a una entropia menor, y cada vez menor cuanto mas se aleje la distribuci6n de la equiprobabilidad, pudiendo lIegar a cero en el caso que cinco estados tengan probabilidad cero y un estado tenga probabilidad uno. En tal caso no habra incertidumbre pues tendremos la certeza de tal estado es el que se verificara. Una conclusi6n que podemos ir extrayendo es que la Entropfa siempre tiene un minima que es cero en situaci6n de certeza (cuando alguno de los estados tiene probabilidad uno) y tambieln un maximo.

U6

VII - RELACION ENTRE VARIEDAD-ENTROPIA Pero ese maximo es relativo en funci6n de la variedad. Para eada numero de estados finales posibles el maximo se verifiea euando todos son igualmente posibles 0 sea en equiprobabilidad. En teoria, para un sistema de infinitos estados equiprobables la entropia es infinita.

Es claro que Sl dos sistemas son equiproblabes, aquel que tenga mayor variedad tendra tambien mayor entropfa.. Ej Moneda - dado. Pero podemos preguntarnos si esta correlaci6n tambien se verifiea si uno de los sistemas (0 ambos) no es equiprobable y si es posible que en tal caso, un sistema A que tiene mayor variedad que otro tenga, a pesar de ello, menos entropia que B. La respuesta es que sf pero no basta con la simple presencia de distribuciones no equiprobables. Analicemos tomando la moneda y el dado como referencias. Si ambos son genuinos, es decir ninguno de ambos son equiprobables.

dos esta "cargado"

En tal caso, la varied ad de la moneda es 2 (wm=2) y su entropia uno (Hm=1); la variedad del dado es seis (wd=6) y su entropia 2,58 (Hd=2,585). Siendo ambos equiprobables, el sistema con mayor variedad tiene tambien mayor entropia. Supongamos ahara que el dado esta "eargado" par 10 eual una de sus caras tiene 90% de probabilidades de ocurrir, repartiendose en forma equiprobable la probabilidad restante del 10% entre las cinco caras restantes(0,02 eada una). La moneda sigue siendo la original, por 10 que sus wm y Hm son las mismas. EI dado "cargado" mantiene la misma variedad (wdc=6) ya que sus seis caras tienen probabilidades de Calculemos ahara la entropia de este dado:

138

139

loa? 0,9 + (0,02 log2 0,02) . 5 Observe hemos para el conjunto los

=0,7011

parcialmente el procedirniento sirnplificado estados equiprobables.

VIII - RELACION ENTRE VARIEDAD BINARIA Y ENTROpiA Calculemos ahora la segun el procedimiento log;> wm

Comprobamos as! que la entropia de este dado cargado es menor que la de la moneda, aun cuando siga teniendo mayor variedad. Esto es 16gieo puesto que si bien el dado tiene seis comportarnientos posibles, hay mucho menDs incertidumbre en cuanto a que uno de elias tiene una fuerte propension a sueeder.

en el loa·) 2

6

wbd

y variedad bmana son es as! Obviamente, y

Desde luego, al asignar la distribuci6n de probabilidades del dado hemos "exagerado" un poco. De alii que la entropia

bajado de 2,585 hasta 0,70'11. Moneda

Puede usted inferir (y tambien practicar con que una distribuci6n menos extrema estrecha la brecha entre las entropias de ambos sistemas, hasta lIegar a alguna en que sean aproximadamente y luego, incluso. volver a ocurrir Que Hdc > Hm.

1

(1 (1 es simple y base):

binaria de ambos

entropia log2 1/2) . 2 = 1092 1/2 = 1 log21/6) 6 = IOg2 1/6 = 2,585

a una propiedad de los logaritmos

ellogaritmo (de Gualquier base) de un numero positivo X es igual al logaritmo (de la misma base) de la inversa de X con signo opuesto. Como la variedad es siempre positiva y la entropia siempre negativa, pero neutralizada convencionalmente, entonces ocurre que:

10922

= -log2 1/2

10926 = -log? 1/6

Sin embargo, esta correlaci6n perfecta entre variedad binaria y entropia solo se verifica si el sistema es equiprobable. Luego, ia variedad binaria de un sistema equiprobable es igual a su entropia.

141

140

IX - RELACION ENTRE VARIEDAD VARIEDAD BINARIA Y

ENTROpiA

j

Este axioma no se cumple si el sistema no es equiprobable ya que la variedad en bits no se modifica pero sl la entroola, Recordemos nuestro dado cargado: Wdc=6

wbdc

log2 6 :::: 2,585

Hdc

0,7011

ahora a analizar la interrelaci6n entre los tres para metros en un ejercicio Se transcriben a continuaci6n los datos conocidos de cuatro sistemas independientes, Ninguno presenta restricciones, Todas las variables intervinientes tienen 2 0 mas estados Se nos propane completar los datos faltantes de cada uno (serialados como ?), justificandolos,

["',]0

,11, ,0-0,

E:

c

2

?

,,J

:::- \/J ?'

q

'} ,?

?,??? ... ?

! I!

'-f,

,

'-J

,

)

" {

?

4 'oJ .-:;

S

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2 :3 '7\/"7 1

1

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"(

13 ,E177 4:::11

"-1

,- I '1 :=1 'I "'

D

<+ ,-, (

Sistema A Si H < Wb el sistema es inequiprobable, Si Wb :::: 3,17 entonces W:::: antil0910 (3,17/3,322) :::: 9 Si W:::: 9 y el N° de variables es 2, y una de elias tiene 3 estados, luego la otra tam bien tiene 3, pues hn :::: W y 32 :::: 9

143

142

Sistema B el sistema es equiprobable y su Wb 5,129:i95, entonces su H = Wb =5,129395 Si su Wb = 5,129394, entonces W:= antilog = 35 W 35 Y el numero de variables y el numero de estados son discretos, entonces hay dos soluciones posibles: N° 1 Y N° de estados 35 0 N° de variables 2 y N° de estados 5 y7 cada una de elias. Sistema C el sistema es equiprobable y su H ::.: 4,906996, entonces tambiE)ll su Wb = 4,906996 su Wb = 4,906997 , entonces su W = antilog 10 (4,906997/3,322) := 30 debe ser Si W = 30 Y el N° de variables es 3, como el N° de necesariamente discreto, y W es igual al producto del numero de estados, entonces solo hay tres lllJmeros enteros cuyo producto da o sea 2, 3 Y 5. Tambien se puede obtener 30 con el producto 1,3,10 pero esta claro que ninguna variable puede tener menos de dos estados (adem as, eso 10 aclara el enunciado)

o Si H< Wb entonces el sistema es Si Wb 6,97"7431 entonces W:::: antilog 10 (6,977431 126 W126 Y el sistema tiene 4 variables y el producto dos de elias da 6, el producto de las otras dos tiene que ser 21 que el producto total sea 126. Luego, solo hay dos numeros enteros cumplen la 3 y 7. Tambien podrian ser 1 y 21 pero" ...ver final. MEDIDA DE

lOAD como medida 0

de la

en tal sentido algunas virtudes: es un procedimiento simple, sensible a la variedad de comportamientos y a variaciones en la distribucion de probabilidades.

Pueden sefialarse tambien algunas de sus limitaciones: no puede aplicarse a situaciones en las que no 5e conoce la distribucion de probabilidades (menos aun si no hay precision -0 desconoClilliento en el IlLJmero de comportamientos) excepto que se haaa una distribucion subjetiva de probabilidades --en la probabilidades 0 se apJique el

decision. al menos en trabajo y este tema, es que ademas la entropia es tambien una medida de la complejidad.

a la entropia can

ser considerada desde la 6ptica estructural, la variedad nos permite saber el numero de posibles los sistemas y desde la perspectiva funcional en la que un sistema estructuralmente muy complejo puede ser funcionalrnente mas simple debido a que alguno/s de su/s comportamientos tiene/n mayor propension a suceder. que a traves

* EI Criteria de Laplace (par Pierre Simon de Laplace) es conocido tambien como "criteria de la raz6n insuficiente", pues propane que si no tenemos ninguna razon legitima a razanable grado de creencia para suponer que algun/os estado/s presenta/n mayor propension a suceder que otro/s, 10 mas logica es asignar la misma probabilidad a todos. Es el criteria de la equiprobabilidad y junto a los de Wald, Hurwicz y Savage integra el de los criterias de decision par la teoria para situacianes de decisi6n can desconocimiento de la distribuci6n de probabilidad (nivel de decision descripto par Pavesi como "incertidumbre orooiamente dicha" en "Incertidumbre del Univers~".

144

145

x -APLICACIONES DEL ANALISIS DE COMPLEJIDAD En y a diferencia de la variedad que mide la complejidad estructural de un sistema .- la entropia toma en cuenta, adem as de la estructura (considerar que su calculo, su f6rmula, incluye la variedad), de la distribuci6n de probabiJidades elemento la oroDiedad de reaistrar y medir la comoleiidad de un modo

EJERCICIOS CON RESULTADOS Aplicaciones a la determinacion de elementos de la decision. ·'aplicaciones al calculo de probabilidades, -aplicaciones al numero escenarios, ,-aplicaciones al calculo del numero de alternativ8s, Aplicaciones a la superacion de sesgos cognitivos, Aplicaciones en la complejidad de casos reales,

CALCULO DE PROBABILlDADES CONTRASENAS I) Utilizando

(4)

A, B, C, D, E y F

a)

GCuimtas contrasefias distintas se

b)

GCual es la probabilidad de que una A, B YC juntas, en cualquier orden?

UUC;UCI

las letras

II) contrasena exigida por cierto sistema de seguridad construida con 8 dlgitos. Cuatro de ellos deben ser, alfabeticos (se pueden usar 27 letras) y pueden ubicarse en cualquiera de ocho lugares, Los demas, obviamente cuatro, pueden ubicarse en cualquiera de las cuatro posiciones restantes y deben ser necesariamente numericos (0 digitos pueden repetirse, de que una contrasefia tenga sus cuatro los cuatro primeros lugares?

I) a)

de 3 elementos:

una nl

hi

146

147

Para que las letms '1,2 y 3 0

By G esten 2,3 y 4 0

es necesario que ocupen 0 4,5 Y 6

3,4 y 5

o sea 4 sectores, Para seleccionar 1 de ellos hacemos C4, 1 : : : 4 En cada uno de esos lugares las 3 letras pueden ubicarse 3! formas ::::: 6 Tenemos C4,1 . P3 :::: 24 formas de ubicar las tres letras Pero cada una de las 24 puede ir acompafiada por 3 las letras restantes, 1 . P3 . P3 ::::: 144 contrasenas que incluyen a A,B Por 10 tanto, hay y G juntas. Finalmente, la probabilidad buscada es:

p::::: N° casos favorable 1 N° casos posibles

= 144/720

0,2

Tambien sabe que digitar una clave Ie insume 5 segundos, Son las g,OO AM Y el propietario regresara a las 7.00 PM, hora en la que, como maximo, debera huir, Como no tiene otra informacion, el ladron asigna a todas claves la misma chance de ser la correcta y de acuerdo a esto calcula eual es su probabilidad de exito en el robo. a) (,Guill es tal probabilidad?, Si han transcurrido 5 horas y todavia no ha tenido exito, su probabilidad ahora es ("mayor 0 menor que al inicio? b) ~Cuantas variables binarias debiera tener la clave para mantener el mismo grado de eomplejidad? c) ~ Que nivel de incertidumbre tiene el ladron al iniciar el si la clave no admitiese

II) Calculamos primero el total de

Seleccionar 4 G8,4

EI nlJmerO total

para ubicar letras 274

X

para ubicar numeros x

10 4

(27 + 10)3 :::: 50653 ::::

EI nLJmero de intentos posibles es: 10 horas :::: 36,000 seg. 36,000 seg 1 5 seg :::: 7200

372.008,700,000 Luego calculamos los casas que cumplen el x 1

La

La

= 5.314.410,000

es 5,314.410000/372.008,700,000

claves posibles (can repeticion) es:

de abrir es 7200/50653

= 0,14214

La probabilidad de no abrir es 1- 0,14214

= 0,0143

0,8578

AI cabo de 5 horas el lad ron ha realizado la mitad de los intentos y fallidos). Le quedan 3600 intentos y un total de 50653 - 3600 ::::

LADRON (4) Un lad ron se dispone a abrir una caja fuerte cuya clave de acceso no conoce. Solo sa be que esta compuesta por tres caracteres que ser alfabeticos (total 27 letras) 0 numericos (0 a 9) en cualquier orden y en cualquier de cada uno de incluyendo la posibilidad de rp

nptir,;6n

combinaciones por

Lueqo, la probabilidad en ese momenta es: :::: 0,076 (mas

que al inicio)

Numero de variables binarias de una clave de complejidad VV:::: Loa? 50853 15,629 eauivalente: INb

---~----------.------------------------------------------------------------------------------

149

14R

Se necesitarian 16 variables binarias (y habria alguna redundancia) c) La incertidumbre del ladr6n es:

H

0,14214

d) Numero

0,14214 + 0,8578 log2 .

Luego 3 13

= 0,5898

::-~1.594.323 resultados

Siendo que solo uno de ellos impliea el acierto completo, entonces la probabilidad de ganar es la inversa, 0 sea 1/1.594.323.

sin

=

37 . 36 . 35 46620

Probabilidad : 7200/46629 = 0,1544

PRODE EI conocido juego del PRODE (Pronosticos Deportivos), es un sistema de vinculado con los resultados del futbol, que tiene sus equivalentes en la mayorfa de los parses donde ese deporte es tan popular. En su

local y original, admite la posibilidad de apostar por el del equipo local, el empate y el triunfo del visitante (no se consideran resultados puntuales) en cada uno de los trece partidos que la jugada semanal. EI premio es un significativo de la recaudacion de cada jugada, que se entre quien obtienen los trece En casa de que nadie gane, el se traslada para la iuqada de la semana procedimiento para jugar es marcar una computable con una cruz en cada uno de los trece partidos, senalando con elias los resultados que se cree van a producirse. Siguiendo esta pauta, t,cuantas tarjetas distintas pueden conformarse 0, 10 mismo, cuantos resultados distintos pueden verificarse?

A

En principio, se trata de una caso de variedad maxima con 13 variables (cada partido) que pueden asumir 3 estados visitante) cada una de elias.

de ello, (,Gual es la probabilidad de ganar?

Sin embargo, este procedimiento para calcular la probabilidad objetiva solo tiene sentido, segun dijimos oportunamente, si todos los Ylt'\r.yt·"HYliantr.c son igualmente posibles. si asf es como realmente oeurre en el PRODE. La

es: depende.

Si quien juega es alguien que no conoce intervinientes, sus diferencias de poderio como instituciones, la actual destreza que presenta cada equipo, su performance en los ultimos tiempos, etc., entonces puede aceptarse que para dicha desde su Vision, cualquier resultado aparece como igualmente probable y el calculo realizado resultaria correcto. Sin embargo, esta equiprobabilidad queda anulada apenas se tome en cuenta factores tales como que las estadisticas historicas demuestran que el porcentaje de triunfos locales es mayor que el de em pates y este a su vez mayor que el de triunfos visitantes, 0 bien las estadisticas que los resultados historicos entre dos equipos en particular no muestran eauiprobilidad, etc. basf'mdose en este probabilidades objetivas,

ya no la aplicacion de

Por otra parte, el fUtbol admite equipo "chico" Ie gana a uno "grande" 0 cuando gana el

cuando un peor

151

150

o cuando quien arbitra el partido comete errores que terminan influyendo en el resultado, etc. Cuando tantos factores terminan par infillir en los resultados y uno esta a punta de declarar al PRODE como un jllego no asaltarnos la duda acerca de si la existencia de tantos no terminara por convertirlo en un paquete de resultados distintos que tienen todos la misma Drobabilidad de ocurrir. Para pensar. De cualquier forma, es evidente que quien dispone de informacion (conocimiento) sabe y cree algunas de las regularidades estadisticas y tam bien que si bien hay alguna probabilidad de que Quilmes Ie gane a Boca, 10 mas probable es que Boca Ie gane a Quilmes, etc. Es conocimiento que reduce incertidumbre, pues hace que no todas las tarjetas que pueden conformarse la misma probabilidad de ganar. La incertidumbre no es la maxima posible. En tal caso, no parece que 1/1.594.323 sea la probabilidad de ganer de todas las

del PRODE de otros oficiales y muy , Quiniela, etc) que sf son totalmente equiprobables. Todos hemos tenido alguna vez la fantasia de ganar alguno de estos juegos y "salvarnos". En la percepcion de la gente, ganar en cualquiera ellos es muy dificil, y ciertamente 10 es, pero no igualmente dificil en todos los casos. La intuicion de las personas, particularmente la de aquellas que son aficionados al tema, es que seguramente son mas diffciles de ganar juegos que tienen mayor 0 tendencia a producir vacantes" no hay entre la gente una exacta dimension del grado de entre los distintos juegos. Calculemos uno de ellos: Quini 6.

6 numeros del 0 al 45. Se extraeran al azar y 6 de las 46 bolillas numeradas y ganaran los que coincidan en los 6 numeros extraidos, sin importar el orden en estan en sus tarjetas ni el orden en que fueron extraidos . Se trata de la probabilidad conjunta de acertar la 1a bolilla y la 2 a y la 3 a y la 4 a y la 5 a y la 6 a .

P

6/46.5/45.4/44.3/43.2/42. 1/41

1/9.3G6.819

Como puede la probabllidad de ganar es casi 6 veces mas baja que en el PRO DE (considerado como ~~, ';~r~h~

No ser

debe tambien porsus

CI En un festival de cine latinoamericano se han pre-nominado las pelfculas que entre las cuales se seleccionara a las que cornpondran la terna que competira por el premio del festival. Entre las pelfculas pre·-nominadas hay 3 argentinas, 4 brasileras, 2 colombianas, 1 uruguaya y 1 chilena. Asumiendo que todas tienen las mismas chances y que la terna final no pllede qlledar integrada con mas de 2 pelfculas de un mismo a) loCuantas ternas distintas podrian conformarse? loClIal es la probabilidad de que 2 DeBculas araentinas aueden en la terna? este integrada . la terna distintos? . a) Aplicaremos el criterio de recontar el total teorico y restarle los comportamiento que esta restringidos: 165 C11,3 total teorico posible -4 4,3 formas de seleccionar 3 peliculas brasileras -1 3,3 formas de seleccionar 3 peliculas argentinas

-c -c

160

152

153

b) Calculemos peliculas C3,2:::: 3 Cada una de estas 3

ternas can 2 argentinas, can una pelicula no

24 formas de armar ternas can 2 peliculas argentinas, De modo que la probabilidad que la terna seleecionada sea una de esas 24 sera: p:::: 24/160 0,15 e) Del total teorfeo posible restaremos las ternas que tienen 3 peHeulas argentinas, 2 pelfculas argentinas, 3 peifculas brasileras, 2 pelieulas brasileras y 2 peliculas colombianas, C11,3-- C3,3

C7,1 - C2,2, C9,1 :::: 85

Luego, la probabilidad de que una de estas 85 ternas sea la sera: P 85/160 0,531

MESA REDONDA mesa redonda tiene los comensales.

10 lugares para ubicar en elias a

1 ~~

Los comensales son 5 mujeres y 5 varones que deben 5er ubicados del ta! manera que un hombre y una mujer no queden en lugares contiguos (uno allado del otro) a) (.,Cuantas formas hay de hacerlo?, b) (.,Cual es la probabilidad de que Juliana quede ubicada en la posicion N° 5?, ' a) Como es logico, los comensales alternada para respetar la se ubican en los lugares viceversa, disponemos de P5 :::: 51 ::::

cada una esa 1 forrnas, a su vez,

formas de ubicar a rnujeres en los lugares

tenemos de la posibilidad de intercarnbiar pares 10 que resulta de hacer P2 = 2! nos queda P5 . P5 . P2 :::: 28,800 Si Juliana esta en la posicion N° 5, entonces necesariamente las 4 mujeres deberan estar ubicadas en los restantes cuatro lugares impares, cosa que puede hacerse de 4! formas, cada una de las cuales puede estar acompanada por las 5! 120 formas de ubicar a los hombres en las posiciones pares, Luego, P4 . P5 = 4! . 5! = 24 ,120 2,880 formas de que Juliana este en la posicion N° 5.

<)

~-)

';'::'

4

10_,1

Finalmente, la probabilidad de

P=

ello ocurra es: 0, con una mesa rectangular y

b

ISS

IS"'

4

,c;

')

~)

i)

·"1

10

r.

'-'

l,Cuantas manos hay que no contengan al4 de copas?

a) Una mana de trueo solo se juega can tres cartas. No puedo recibir 7, ni 18, ni 23 cartas. Por 10 tanto, todas las manos del truco son agrupaciones de 3 elementos tornados entre 40.0 sea: == 9.880 manos distintas

6

s

o

~~I

7

7

f3

TRUCO A punta de iniciar un partido de truco (baraja espariola 40 naipes), se ha repartido la mana y tengo mis tres cartas. Me han tocado el cuatro de copas, el 2 de espadas y el rey de bastos. Esta es una de las distribuciones (manos) que puedo reclblr, pero me pregunto: (,Cuantas distintas (,Y

si

'"\r.rt<:>r<:>

haberme

tr.('<:>rl"

el orden en que las recibi?

(,Cual es la probabilidad de que me toquen caballo, rey)?

e)

L.Cual es la probabilidad de que me

f)

es la envido?

de que me

3 figuras (sota,

una "flor"? mas de 30 para el

manos distintas hay que contengan el as de espadas? h)

a la estructura real del truco porque las en el orden que quiero), analizamos cuantas de las 9.880 manos estElIl formadas por 3 oros. Los naipes de oro son 1 al 7, sota caballo y rey. Luego, hay C1 0,3 = 120 formas de tener una mano de tres oros entre las 9.880 posibles. , la probabilidad de ello ocurra es 120/9.880 = 0,0121, poco mas del

1%.

(,Cual es la probabilidad de que me toquen 3 naipes de oros? d)

EI mismo grupo de 3 cartas, que solo cuenta como uno, pasaria a tener una variedad de 6 ya que ese es el nurllero de tormas distintas que tengo de ordenar :) elementos: F)3 3! =: 6. Par 10 tanto, Sl el orden importa, tengo 9.880 , 6 = 59.280 manos distintas.

l..Cuantas manos hay que contengan exactamente 2 ases?

d) Hay 3 figuras por cada uno de los cuatro palos de la baraja. Por 10 tanto son 12 figuras. Seleccionar 3 de entre elias no muestra todas las combinaciones que cumplen con la restricci6n: C12,3 = 220. La orobabilidad de tener una mana de 3 figuras es 220/9.880 0,0222.

En el truco se conoce como "tlor" a las manos que estan tormadas por 3 cartas de un rnismo palo. tJCuantas formas hay de tener ulla flor de bastos? Hay 1 0 cartas de bastos y C10,3 := 120 formas de armar una mano con 3 bastos. Pero en total hay C4.1 = 4 palos. Por 10 tanto, hay C10,3 . C 4,1 = 480 formas de tener un "flor" y la probabilidad de que ello ocurra es 480/9.880 0,0485. f) EI envido se conforma cuando se tienen, dentro de una misma mano, 2 cartas del mismo palo. La "medida" del envido es un poco

157

156

generis": se suma el valor de dos cartas mas 20. Por ei. Si en la mano estan el 4 y el 7 copas, entonces se Pero si una las dos cartas del mismo palo es una "figura", entonces se suma a 20 el valor la otra carta del mismo palo. Por ej. Si en la mano estan la sota de y el 6 de espadas, entonces se "tlene 26 para el envido". las dos cartas del mismo palo son entonces se 20 para el envido". Ya dijimos aue si las tres cartas son del mismo palo eso no es "envido" sino "flor"

cartas restantes que nos son ases, Finalmente: C4,2 "C 36,1 ;::: 216 manos posibles can 2 ases.

Aclarado el tema, vamos al punto, ~cuantas manos son posibles con mas de 30 ( 0 sea 31 0 mas)? No hay forma de sumar 31 0 mas con dos figuras 0 con una figura y otra carta del mismo palo. Por 10 tanto la restricci6n solo puede cumplirse con 6 y 7 de mismo palo (suman 33 y hay cuatro palos), con 5 y 6 del mismo palo (suman 31 y hay cuatro palos), con 5 y 7 del mismo palo (suman 32 y hay cuatro palos) y con 4 y 7 del mismo palo (suman 31 y hay cuatro palos). Por 10 tanto, hay 4 . 4 = 16 pares de cartas de un mismo palo que suman mas de 30 para el envido. Sin embargo, cada uno de esos 16 pares puede estar acompafiado, completar la mano por cualquiera de las restantes 30 cartas que no son del mismo palo. Resumiendo, nos queda:

TEATRO Paula y Alejandro no se cOl1ocen. Ambos concurren clerta noche a la misma funci6n de teatro y compran sus respectivas entradas al az.ar y sin ninguna forma de selecci611" La sala dispone de 20 Filas (Fn) de 10 asientos separados por un corredor central perpendicular al escenario el esquema

1.

De

1.

480 manos

una de elias sera:

que P

g) Si el as de

cumplen con las restricci6n

480

tiene que si 0 si, entonces solo podemos dos cartas restantes de la mano de entre las 39 cartas hay = 741 manos que contienen el as de

h) Hayen total 4 ases" seleccionar dos de ellos debemos hacer C4,2 6. Ahora bien, cada una de estas 6 formas de seleccionar 2 ases puede estar acompanada, par completar la mano. Por cualquiera de la 36

i) Si el 4 de copas no puede de la mana de entre 39 no tienen el 4 de copas.

solo podemos elegir las tres cartas 0 sea: 9,139 manos que

pares

(R](R](R](R](R]Fl (R](R](R](R](R] (R](R] (R](R]F2(R](R](R](R](R] (R](R](R](R](R] (R](R](R](R](R] (R]1R](R](R]IR]F4(R](R](R](R](R] (R] (R](R]F5(R](R](R](R](R] (R]IR] (R](R]F6(R](R](R](R](R] F7 (R] (R] (R] (R] (R] (R](R] (R] """"'-'~(R]r

fXlrY'

-"(I

a) ~Cual es la probabilidad de que ambos queden ubicados en los asientos pares de una misma fila? b) LCLIal es la probabllidad de que ambos queden en los asientos impares de la fila 5? c) LCual es la probabilidad de que ambos queden sentados juntos (en contiguos el pasillo central quita contiguidad-)?

159

158

a) Hay un total 20 filas y 20 Paula (0 Alejandro si empezamos

que

los 400

la probabilidad pedida es 1/2. 1/2.1/20

"112

Y pm 10 tanto. la sector par es:

de que

1

.1

queden en el

::::

Veamos esto mismo desde otra perspectiva. Tenemos 2 variables y Alejandro), que pueden asumir 2 4 estados equiprobables

cad a una ( par

posibles se cumple que la

0

impar). Variedad' 22

Desde luego, tambiEm es % la probabilidad de que queden ambos en el

sector impar y tambien y,; la probabilidad de queden Paula en los pares

y Alejandro en los impares y tambien Y; la probabilidad de que

Paula en los impares y Alejandro en los pares (Ver

conjuntas en el Anexo).

Ahora falta establecer cual es la probabilidad de que

no solo en el mismo sector, sino tambien en la misma fila:

Dado que a uno de ellos Ie toc6 una fila determinada, la probabilidad

que al otro Ie toaue la misma fila es:

esto tambien el atro enfoque. Tenemos 2 variables (P y que pueden asumir 20 una (F1 ,F2,F3,etc). Variedad . =400 Pero entre esos 400 comportamientos se incluyen aquellos en los que PyA tienen la misma fila, 0 sea cuando P asume F1 y A cuando P asume F2 \I /\ t3rnbien. etc .. o sea 20 casos. Lueao. en 20

1/80

b) EI punto anterior establec:e que la probabilidad de que ambos se ubiquen en la rnisma fila de un rnismo sector es de '1180, pero ahora 5e agrega el requisito de una fila determinada, en este caso la fila 5. Por 10 eual esto implica un nuevo evento conjunto que se debe agregar haciendo: 1/80

1/80 .1120 == 1/1600

De otra forma, podriamos expresar esto de la sigulente manera: p:::: Prob. de Paula en sector impar (1/2) x Prob. de Alejandro en sector (1/2) x Prob. Paula en fila 5 (1/20) x probabilidad de Alejandro en fila 5 (1/20) 1/1600. Hasta aquf tenemos a Paula y Alejandro ubicados en una misma fila de un mismo sector. Dicha fila tiene C5,1 lugares. ("cuantas formas hay de que ambos queden juntos?

5][[][I][[]lI] Ambos pueden quedar juntos en los siguientes pares de asientos: SC,CD,DE

1 1

de Paula es

Y 20/400 =1120.

sentarse de dos formas Pero en cada par de asientos por ej. AS 0 SA Luego, todas las formas de sentarse son C4.1 . P2 = 8 Y el total de ubicaciones la

dentro de la fila es de CS.2

de quedar sentados juntos en la fila es:

P2

20

160

161

8/20 = 4/10 ambos deben estar

Ahara bien, el requisito especifica fila alguna en

decir, 1 menos la probabilidad apendice) pero no

Par 10 tanto, basta con vincular esta ultima probabilidad hallada en conjunta con la establecida en el punta a) Finalrnente la probabilidad conjunta de estos sucesos es: 1/80.4/10

= 1/200

:::: 27

o tambien: Prob. Prob. Prob. Prob. Prob. Prob. Prob.

de un limon en la primera canasta de un limon en la segunda canasta de un limon en la tercera canasta de dos limones en '1:1 y 2 8 de dos limones en 1 a y 3 8 de dos limones en 2 a y 3 a de tres limones (ya calculada)

= 2/9 x 8/12 x 8/11 ::: ==

-

= ==

==

7/9 x4/12 x 8111 7/9 x 8112 x 3/11 2/9 x 4/12 x 8/11 2/9 x 8/12 x 3/11 ::: 7/9 x 4/12 x 3/11 ==

0,1077 0,188 0, 141 0,054 . + 0,0404

0,623

CANASTAS 2 peras y 2 limones, en la canasta B En la canasta A hay 5 hay 7 naranjas 4 limones y 1 manzana, en la canasta C hay 3 limones 2 naranjas y 6manzanas. Si se extrae una fruta al azar de cada canasta, a) GCual es la variedad de resultados posibles? LCual es la probabilidad de que las tres frutas extraidassean limones? c) LCual es la probabilidad de que por 10 menos una de las tres extraidas sea un limon? a) Si el orden importa, la w :::: tipos de fruta distintos.

de ningun limon- ver

pues cada canasta contiene 3 /

Si el orden no importa, el grupo Naranja-Limon Naranja es el que el grupo Limon Naranja Naranja. La (lnica forma de resolver es el recuento par inspeccion (ya que no todas las frutas estan en todas las canastas), descontando de los 27 aquellos que estan integrados por el mismo numero de las mismas frutas. NNL PLL PLM nos quedan: NNN LLM NLM PNN PMM LMM NMM

b) Probabilidad de 3 limones 2/9.4/12.3/11:::: 0,0202 c) Probabilidad de por 10 menos 1 limon := 1 7/9 x 8/12 x 8/11 :::: 0,623

REGALOS

Juan ha regresado de un viaje y ha trafdo 10 regalos (numerados del 1

al 10) para obsequiar a sus 4 novias que, desde luego, no se conocen

entre si.

Juan ha decidido entregarle 4 regalos a Ana, 3 a Maria, 2 a Lucila y 1 a

Florencia.

a) GCuantas formas tiene de hacer dicha distribuciOn?

l.Cual es la probabilidad de que Ana, entre sus cuatro, reciba los regalos N° 1 Y N° 2? l.Cual es la probabilidad de que Florencia reciba el N° 5?

a) w

C10,4 .

. C1, 1

10!l4! 6! . 6! 13!3! . 3! 12!1! . 1 !/1!O!

-

4!. 3!. 2! _ 1! b) N° de combinaciones en las que recibe el N° 1 Y el N° 2

N° de combinaciones distintas que puede recibir C10,4

1/10

-

210:::: 0,13333

::::

162

........ __..__ ._~~_._... _.___...~1.63

APLICACIONES AL CALCULO DEL NUMERO

ESCENARIOS

MONEDAS Se Ie ofrece a ud. un juego en el que hay que pagar $'100 para EI juego consiste en sucesivamente una moneda hasta un maximo de S veces. EJ juego termina cuando sale la primera "seca" 0 cuando se cumoJi6 la quinta EI premio es $ Sn (S elevado ala n), donde n es el numero de "caras" obtenidas. conviene a usted jugar?

La ultima columna muestra el valor esperado promedio de cada que de efectuar la surnatoria los resultados esperables de cada alternativa, ponderados por la respectiva probabilidad de que tal estado S8 produzca. La alternativa de jugar nos muestra un valor esperado promedio de $29,87 y la de no jugar un valor esperado promedio de $ 0

DADO Y TABLERO EI siguiente es un juego que supo ser muy popular en las ferias de algunas ciudades de Europa.

Analizaremos el caso construyendo una matriz de decisi6n en la que

cruzaremos las alternativas a considerar Uugar 0 no jugar) con

distintos escenarios que puede presentar el juego, consignando en

cada cruce el resultado a obtener en cada una de las circunstancias

posibles.

Los distintos escenarios (Ia variedad de escenarios) posibles son:

el juego term ina y

Si la primera moneda sale seca (S), probabilidad usted obtiene SO =1. Usted paga $100 para jugar y su saldo neto

-99. usted no juega su saldo es O.

Si la primera moneda cara y la segunda seca (CS), P (conjunta) =

0,5.0,5 =

0,25, el juego termina y usted obtiene =: 5. Menos 100 que paga,

saldo = 95. Si usted no juega, su saldo es O.

desarrollo completo, hasta un maxirno de 5 caras, se ve en la rnatriz a continuaci6n

S Prob.

0,25

Jugar -99 jugar o

-95

o

CCS 0,125

o

cecs ceees 0,0625

0,03125

25

525

o

o

VE. 25 3025

o

o

Se trata de un tablero con 6 casilleros numeratios del 1 at 6.

Uno debe colocar una suma de dinero sobre una de las casillas

(digamos $10), indicando que apuesta dicha suma al numero contenido

en la casilla.

el dado tres veces seguidas y registrar

A continuaci6n se debe los resultados obtenidos.

Si en una de las tres tiradas sale el nurnero al cual se apost6, el

jugador recibe de la banca una suma igual a la apostada mas la

restituci6n de su apuesta. Si el numero al cual se apost6 sale en dos de

las tres tiradas, entonces el jugador el doble de 10 apostado y la

devoluci6n de su

Si el numero apostado sale las tres veces, el jugador recibe el triple de

10 apostado y el reintegro de su apuesta.

164

165

Naturalmente, SI el numero no sale en pierde 10 apostado.

de las tres tiradas, el

LApostaria usted en este juego? Le6mo 1o ve? LSeran equitativ8s las chances del jugador y de la banca en cuanto a sus respectivos riesgos y resultados esperables (ganancias perdidas)?

°

Para empezar, revisemos el concepto de equidad.

Un juego es equitativo si la expresi6n promedio (ponderado por los

. para

riesgos) de los resultados que las partes pueden obtener es todas elias.

Si apuesto $10 a que la moneda saldra "cara" tendre una probabilidad de 0,5 de ganar $10 y de 0,5 de perder $10. L.a expresi6n promedio ponderado esta situaci6n resulta de hacer: 10.0,5 + (-10) . 0,5 :::

°.

Por 5upuesto, la expresi6n promedio de mi oponente es identica, simetrica, de signos opuestos y con la misma expresi6n promedio que indica aue el juego es equitativo para ambos. Imaginemos ahara que la moneda esta cargada pues sale "cara" el 70% de las veces. Si el valor de la apuesta se mantiene igual para ambas partes, entonces el juego se ha vueIto inequitativo y favorece a apuesta por "cara" ya que su expresi6n promedio es 10.0,7 + y la de

apuesta por

3.0,7 + 7.0,3 +

.0,3:= 0 =0

Esta expresi6n promedio es conocida como el Valor Esperado y resulta efectuar la sumatoria de todos los resultados (rnutuarnente excluyentes) posibles de obtener, ponderados por la respectiva probabilidad de ocurrencia de cad a uno de ellos. De 10 que se trata pues es de examinar nuestro caso para verificar 51 dicha expresi6n promedio, el valor esperado, es igual para el jugador y la banca Uuego equitativo) a bien, si favorece a alguna de las partes. LTiene usted alguna impresi6n previa al respecto? Veamos, asumiendo el supuesto de que el participante apost6 $10 al numero 1. Analizando la complejidad del problema, diriamos que al arrojar tres veces un dado (segCJn ya vimos) podemos tener una variedad de 216 comportamientos posibles. embargo, varios de esos comportamientos conducen a identicos resultados. Par ejemplo, si sale la secuencia 1-4··5 el participante gana un saldo neto de $10, al igual que si sale la secuencia 3··1··6 04-2-1 0 6-6-1, etc. De los 216 comportamientos, aquellos que contengan un solo 1, en cualquier orden, conducen a que el participante gane $10.

.0,3 = 4 Lo mismo podemos observar de los comportamientos que contengan dos numeros 1, todos conducen a ganar $20. En cambio, uno solo de los 216 comportamientos lIeva a ganar $30, 0 sea la secuencia 1-1-1

es: 0).0,7+10.0,3

-4

EI equilibrio puede restablecerse, aun con estas probabilidades, si las partes acuerdan un valor diferencial para sus respectivas apuestas. Por ejemplo, quien apuesta a "cara" recibe 3 en casa de ganar y paga 7 en caso de perder. Quien apuesta a "seca" recibe 7 en caso de ganar y paga 3 en caso de perder:

Por otra parte, hay varios de los 216 comportamientos que conducen a perder $10 De 10 expuesto se deduce que hay 4 escenarios basicos que conducen a distintos resultados y necesitamos calcular las probabilidades de cada uno esos escenarios para poder establecer el valor esperado.

167

166

de ganar can un acietio: la probabilldad conjunta de que e! primer dado sea uno y los que el segundo dado mas la probabilidad conJunta otros no, mas la probabilldad conjunta de que los dos no sean uno y el tercero SI.

p

010 que es 10

+ P = 1/6 .

+

3

. 1 6 0,3472

=

P == 5/6 . 5/6 .516 == 125/216 == Con 10 eual vemos que hay 125 de los 216 comportamientos que a perder $10, 0 10 que es 10 mismo, hay 57,87°A, de probabilidades de perder $'10. La otra forma de ealeular la probabilidad de perder es probabilidades de ganar en cualquiera de sus formas:

a 1 las

1 - 0,3472 -0,06944- 0,004629 == 0,5'78'7 Can 10 cual vemos que hay 75 de los 216 a ganar $10, 0 10 que es 10 mismo, hay ganar $10,

probabilidades obtenidas para los 4 escenarios posibles y sus podemos calcular el valor esperado

Probabilidad de ganar con dos aciertos: la probabilidad conjunta de obtener dos numeros 1 en el primer y segundo tiro y otro numero en el tercer tiro. Tambien obteniendo dos numeros 1 en primer y tercer lugar y en segundo y tercer lugar. P=1/6.1/6.5/6.3==1

6.0,06944

15 de 216 comportamientos que 10 cual vemos que es 10 mismo, hay 6,944% de conducen a ganar $20, 0 10 probabilidad de ganar $20. Probabilidad de ganar con tres Ya dijimos que la probabilidad de ganar $30 0,004629

1/6. 1/6 . 1/6

= 1/216 =

GY cual es la probabilidad de perder? Tenemos dos formas de calcularla: es necesario que no salga ningun 1 y la probabilidad de

V.

10

0,3472 + 20.0,06944 + 30 . 0,004629

10.0,5787 =

-0,7876 GQue representa este dato?

Significa que el apostador a veces ganara y a veces

en promedio 10 que puede esperar es una $0,7876 '78,76 centavos cada vez que apueste $10.

a

Finalmente, Ges el juego equitativo?

Para evaluarlo ahora nos posicionamos dellado de la banca.

Cada vez que el apostador gana, entonces la banca pierde. Cada vez

que el apostador pierde entonces la banca gana.

Los cuatro eseenarios son los mismos y sus probabilidades tambien,

pero los resultados tienen signos opuestos. La banca a veces

y a veces perdera, pero en promedio 10 que puede esperar es

que 78,76 centavos por cada $10 que se jueguen en la mesa, 0

ven ese sea una

rendimiento?

168

---..

169 --.-.----.-.------.-"--.----~-

EI juego no es equitativo pues favorece a la banca. Esto pod ria equilibrarse ajustando los premios (subiendo) al apostador. Si su estimacion previa Ie sugeria algo distinto, revise alguno de los sesgos posibles en el punta XI.

OPERARIOS (4)

A) Cierto proceso productiv~ requiere la realizacion de 10 tareas.

Contamos para ello con cuatro operarios A, B, C Y D.

APLICACIONES AL CALCULO DEL NUMERO DE ALTERNATIVAS

Sobre la base de la informacion de que disponemos en cuanto a la

performance promedio y la destreza de cada uno de ellos, hemos

decidido asignarle cuatro tareas al operario A, tres tareas al operario B,

dos tareas al opera rio C y una al opera rio D.

PRODUCCION (4)

Los directivos de una planta fabril se encuentran reunidos para

considerar una racionalizacion de su linea del Producto XX.

No obstante, necesitamos conocer cuantas alternativas tenemos para

determinar cuales de las tareas seran las que efectivamente asignemos

a cada uno.

Actualmente, dicho producto se fabrica en 10 modelos 0 versiones distintas. Sin embargo, se ha podido establecer que el mercado ha modificado su estructura de demanda y que, por ello, no hay razones para una segmentacion tan especifica. Concretamente, se piensa que con 4 model os se puede atender satisfactoriamente la diversidad de gustos actuales.

B) Dos ejemplos adicionales:

Por otra parte, se entiende que esta reformulacion reportaria ahorros significativos en los costos de produccion, ganandose tambien en la calidad de los productos elaborados.

1) Tenemos 12 regalos distintos y queremos entregar 5 a Lucia, 4 a

2 a Gabriela y uno a Guillermo.

GDe cuantas formas podemos hacerlo?

~-::Iorencia,

2) LCuantas palabras distintas puedo escribir? (aunque no tengan

sentido) con las letras que componen la palabra: ELEMENTALMENTE.

A) Una forma posible de efectuar la asignacion seria:

A los efectos de decidir cuales de los 10 modelos seran seleccionados para su continuidad, los directivos se preguntan LQue numero de alternativas existe? EI numero de alternativas es en realidad la cantidad de combinaciones que puedan conformarse con 4 modelos tomados de las 10 existentes, o sea: C10,4=.1QL 416!

= 210

I

~. T T Ititt-' T A T D 1

2

:>

4

B T 5

C'

A

T

T 7

'"'

6

~-m~1 T

T

T

8

910

Nos preguntamos Lcuantas distribuciones de este tipo hay?

Podemos empezar por calcular cuantas formas distintas tenemos de

asignar las cuatro tareas al operario A:

AC10,4

=~ 4! 6!

170

171

Por cada una estas distribuciones, podemos asignar Iuego las que corresponden al opera rio 8, teniendo presente que ya hay cuatro tareas asignadas:

=_ill

BC6.3

2! 1!

Sin embargo, una vez hecho el intercambio, no las reconoceriamos como palabras 10 tanto el procedimiento es al1(310go a los casos comentados

Y con D DCi.1

5!

8) 2) 14 letras y todas las debemos usar.

simplernente rnediante el procedirniento perrnutarlas (1 estariamos incluyendo entre las recontadas a variantes como, por

ejemplo, el intercarnbio de lugares de las dos letras "m" presentes.

3] 3! con C

el

8) 1)

=_.11 1! O!

EI producto

~

cuatro sera el resultado buscado

ejemplos mostrados resultan ilustrativos organizacional de estas tecnicas para la resolucion de asignacion, estructuracion, establecimiento de redes, etc.

._lQL ·_IL

4! 6!

3] 3!

2 1 1]

1! O!

si

una expresion muy

interesante: -@..!-'

4!

6~

3] Jl

2! i-!-

1! Ql

------·-----.'--j f

_10L__-, 4! 31 2! 1!

tenemos el factorial del nurnero total de tareas y en el tenemos el preducto de los del numero de tareas que pensamos asignar a cada operario. caso practico

resulta sumamente como el descripto.

TELEFONOS (4) siguiente caso resulta no solo una aplicacion a la determinacion del numero de alternativas, sino tarnbien al calculo de los resultados Ie encarga a Ud. el estudio de factibilidad ra instalar una empresa preste servicios locales entre los habitantes de un pueblo, por 10 que B (7000) Y C (1392), entre A (3650 familias Una vez elegido el pueblo, la asegurandose el

par Ilamada, cualquiera sea su duracion,

$0, Pueden usarse una de las dos infraestructuras de

costas, incluyendo los aparatos telefonicos e instalacion, son:

173

172 ~~~----~~~~~~

Equipo costa fijo $250.000 y costo por lIamada $0,10

Equipo "Y" costo fijo $800.000 y costo por Ilamada $0,03

X puede abastecer hasta 5.000 clientes e Y hasta 10.000

Sobre la base de experiencias anteriores, se estima que en cualquiera de los pueblos se concretaran s610 el 25% de las lIamadas potencialmente posibles. Un lIamado posible seria, para ejemplo, Cliente 125 a Cliente 840. Para simplificar, asuma que ninguna lIamada 5e repetira, aunque consideramos como distinta a fa lIamada de Cliellte 840 a Cliente 125. GQue estrategia pueblo- equipo aconsejaria para maximizar utilidades?

GCuantas alternativas tenemos?

asumir 3 estados y la variable equipo puede

asumir 2 estados. Por 10 tanto, la variedad el producto del numero

de estados, aplicando F1:

La variable pueblo

(P

3.2

Sin embargo, una de las alternativas esta restringida. En equipo X no puede usarse en A, pues su capacidad es insuficiente. Par 10 tanto, las 5 alternativas son ..

AY . BY 4) CX 5) CY

el numero de lIamadas que se realizara en Gada

Intuitivamente podriamos establecer que Gada familia pod ria lIamar a

todas las eXGepto a si mismas.

Asi, par ej., eillumero de lIamadas potenciales en A serra:

3650.3649 =13.318.850 Segun nuestro esquema formal y teniendo en cuenta que las lIamadas telef6nicas se realizan de a dos. serra:

C3650,2.P2=

.2! 2! . 3648!

13.318.850

ConseCLIentemente, el numero de lIal11adas que efectival11ente se realizar<'m en A sera: .13.318.850 = 3.329.712,5 Del misl110 modo determinal110s las Ilamadas en los otros dos pueblos:

B 12.248.250 C

'1 936.272

el

1) AX

EI problema planteado requiere establecer cualltas alternativas se disponen y a que resultados conducen cada una de elias para tamar la decisi6n. Determinemos

6 alternativas

Calculemos los resultados esperables de la Ingresos por ventas Costo variable Costo fijo neta

3.329.712,5.0,25 = 3.3297'12,5 . 0,10 = 250.000

1)

832.428,125 (332.971,25) (250.000) 249.456,875

Siguiendo el mismo procedimiento se determinan los resultados netos las restantes alternativas y se selecciona la mejor.

174

_______________.________ .._._.......... 175

APUCACIONES A LA SUPERACION DE SESGOS COGNITIVOS RULETA RUSA EI conocido

participante queda en el del tambor. ese momenta la bala indefectiblemente Ie tocara a uno de los

de la ruleta rusa tiene algunas variantes.

L--____

---J

personas se reunen para jugar y apostar. de un revolver de tambor can capacidad para 6 balas en el cual solo colocaran una. Dicho tambor gira 1/6 de vuelta cada vez que el gatillo es oprimido, esta ocupado por una pasando as! al compartimiento contiguo. Si bala, el revolver la dispara. determinaran por sorteo el orden en que cada persona <'.,Cuantos 6rdenes distintos son posibles? Antes de comenzar, se hara girar varias vueltas el tambor hasta que se aleatoriamente. A partir de alii, no se tocara mas el tambor, movera mecc'micamente de acuerdo a la pauta ya

Una vez determinado el orden, a quien Ie toc6 el ultimo turno, se

siente afortunado pues piensa que sus chances de morir son las mas

bajas, ya que primero deben correr 81 las otras cinco personas.

Con un poquito de suerte la cosa termina antes de lIegar mi turno

piensa.

GQue opina usted de tal razonamiento?

Los distintos ordenes posibles son P6 En cuanto al razonamiento: es para todos (equiprobable),

6\

Veamos desde el anallsis de probabilidades Consideremos la probabilidad de quien resulte en tercer lugar del orden. Para que el revolver se dispare en el tercer turno deben producirse algunos conjuntos, a saber: que no se dispare en el 10 tUrTlO que no se dispare en el 20 tumo (4/5) y que 51 se dispare en el tumo (1/4). probabilidad buscada resulta del producto de estos tres eventos 5.4 6 5

1 : ;:;:

1

--

-

4

6

Analizamos ahora la razonamiento:

5 . 4 6 5

el mismo

~·2·1·1 4 3 2

1 6

Naturalmente, en cualquier orden la probabilidad es 1/6.

CUMPLEANOS

720

la probabilidad de morir es ya que la suerte de cada

en cada curso hemos lanzado nuestro como una apuesta:

a till alumnos no presentado

-------------------------------------------------------

176

·-c,G6mo creen ustedes es la probabi/idad de que aquf, entre los presentes, haya por 10 menos un par de personas que cumplen afjos el mismo dfa?, (,Es alta, mediana 0 baia?, Las respuestas, en promedio, se inclinan mayoritariamente (aprox, por la ultima opcion, Un opina que es mediana y el 8% la cree alta, Quienes hayan leldo aquella referencia [nicial ya saben entonces (todavla sin nuestra justificacion) que la apreciacion mayoritaria esta equivocada, Y por mucho, Dichos resultados no dejan de ser Ilamativos, si ademas se tiene en cuenta que los "conejillos de indias" son alum nos que estan cursando estos temas y por 10 tanto estan algo entrenados y advertidos de "trampas ocultas", Frente a este "paquete" invariablemente habitual (el experimento ha sido realizado unas 45 veces -tal el tamano de nuestra muestra, unos 3600 alumnos- agregamos una etapa en la que pedimos mas precision al grupo de quienes estimaron la probabilidad como "baja", A tales efectos, les preguntamos si "baja" quiere decir simplemente "baja" 0 "bastante baja" 0 "muy baja". Las respuestas se concentran mayoritariamente en las dos (dtimas opciones. A continuacion Gompletamos preguntando <-que significa "bastante o "muy baja"? (,,10% 0 0 2%?, Aqui las respuestas son variadas entre las tres opciones con alguna inciinacion a la segunda, aunque siempre hay quienes opinan que la probabilidad es menor que 2%, Observese que en todo el proceso de preguntas ha habido par parte de quien conduce el experimento -que obviamente sabe que la probabilidad es muy alta- una fuerte y deliberada induccion, hasta terminar "anclando" (ver "efecto anclaje en punto XII) al auditorio en porcentajes alejados de los reales y arbitrariamente "Ianzados" como presuntas referencias.

177

EI experimento concluye con un fapido relevamiento que permite comprobar, frente a la perplejidad de buena parte del auditorio, que en un grupo de 70 a 80 personas hay un promedio de 5 a 7 pares que cumplen arios en el mismo dia - y de paso se conocen entre SI-. Naturalmente, este relato nos lIeva ados focos de interes, En primer lugar, encontrar alguna razon que permita explicar la brecha entre estimaciones de probabilidades "bastante 0 mUY para un suceso que en realidad tiene una alHsima propension a suceder. En segundo lugar, desarrollar formalmente el procedimiento de calculo de la probabilidad de coincidencia para completar la necesaria justificacion de nuestras afirmaciones. Respecto de 10 primero, nuestra hipotesis es que el foco del error obedece a la dificultad de procesar y enfocar la complejidad del problema, tal como se 10 plantea. La lectura personal, el 5esgo, !leva a interpretar el problema de una manera distinta a la que fue planteado. Imaginemos el razonamiento de alguien que ha recibido la pregunta y cavila interiorrnente antes de responder:

-Efectivamente, conozco a/gunas personas que cumplen afios el mismo dia que yo Son dos (0 tres 0 a 10 sumo cuatTO). A /0 largo de toda mi vida he conocido a 2 ( 0 tres 0 cuatTO) que tienen esa particu/aridad. ~ Que tan posible es que, justo ahora que me hacen esta pregunta, aparezca otro mas?-. Un posible contraataque de un esceptico a la pregunta siguiente:

es el

bien, te voy a demostrar que estas equivocado, ~A vel', cuanta gente hay aquf? 40 personas. Mi cumpleafios es eJ 2 de Febrero, ~Alguno de ustedes cump/e a/70S tambien ese dia?

178

179

GQue falla en estos razonamientos? EI error de cada uno es interpretar el problema en terminos de su referencia, No se pregunt6 cual era la probabilidad de coincidencia de todos con alguien en particular, sino con todos, Desde luego, la probabilidad de no coincidencia con alguien en particular es muy alta:

(364/365)39

=:

0,8985

Por otra parte, todos los dfas nos cruzamos con much as personas que anos el mismo dla que uno, Simplernente no 10 sabemos, La complejidad es mucho mayor de 10 que se percibe ya que la forma de cOllstatar es chequear entre tad os los pares posibles de personas si en alguno/s de elias se verifica la coincidencia, Para poder realizar este chequeo podernos constituir CSO,2 grupos distintos de dos personas, (Observese que no perrnutamos porque el grupo AB es tambien el grupo BA). Haciendo las operaciones comprobamos que en total tenemos la oportunidad de hacer 3160 chequeos para ver si en alguno/s de elias se verifica la coincidencia, cosa que en este caso y segun verernos luego tiene una probabilidad de suceder del 99,98%, Pasemos ahara al segundo foco de interes, que es el calculo real de la probabilidad buscada. Para debemos tener presente una aspecto significativ~ de la consigna del problema: GClial es la probabilidad de hallar por 10 menos un par de coincidencias?

e5to en nuestro procedimiento resultara mas 5i calculamos la probabilidad de no coincidencia y luego, par diferencia con 1, determinar la probabilidad buscada (1), en la que quedaran englobadas las probabilidades de una coincidencia, dos coincidencias, tres coincidencias, etc, Supongamos que en una habltaci6n hay una persona. es la

de aue cum pia al10s el misma dla que otr8 persona en

la habitaci6n?

probabilidad es

Obviamente, ninguna pues alii no hay nadle mas, cero,

Preguntemos al reves: [Cual es la probabilidad de que esa no

el rnisrno dla que otra persona en la habitaci6n?, Puesto que esta solo, la probabilidad es 1, celieza Podernos escribir dicha probabilidad como 365/365 1 probabilidad de no coincidencia, Luego, 10 dicho en (1) podernos escribir la probabilidad de coincidencia como: 1- 365/365 0 supongarnos que en la habitaci6n hay otra persona. La probabilidad de coincidencia de con la persona anterior es 1/365 y la de no coincidencia es 364/365, Luego, la probabi\idad conjunta que no haya ninguna coincidencia es la probabilidad de no coincidencia con una persona por (producto) la probabi!idad de no coincidencia con dos personas, 0 sea:

365

. 364 365

Y par 10 tanto, la probabilidad de coincidencia es: Ese "par 10 menos" nos Ileva al terreno de las probabilidades disjuntas (ver anexo), Esto significa que el suceso se cumple si se verifica una 0 mas coincidencias y no se cLimple solamente en 81 caso de que no se produzca ninguna,

1365

.364 365

181

180

misma expresi6n, si agregamos una tercera persona,

1- 1 .- ;36q. .

36~.

365

363 365

Teniendo el segundo termino tantas en la habitacion, podernos extender:

como n personas haya

1.. 365 365

365

365

365

Generalizando, la probabilidad de coincidencia en al menos un par de personas es: 'J

....)

1

n

[-'II 1_,

Que aplicada a un grupo de 80 personas da: Para personas P 0,5686

Para 40 personas P =: 0,8912

4

Observese que con 25 personas la probabilidad ya supera largamente

e150%

Naturalrnente, P a acercarse a 1 (certeza) cuando mayor es el

numero de personas.

p ~ Cual es el numero de personas el ?

Obviarnente 366.

probabilidad que todas curnplan en

Can 365, queda una dias diferentes.

1 :::0

.

o (-1 '

que queremos considerar es que a los efectos de partimos del supuesto impticito de que el nacimiento de las personas se produce de una manera regular a 10 largo del tiempo. Can 10 cual asumimos el caso bajo supuestos de equiprobabilidad 0 10 que es 10 mismo asumiendo que la probabilidad de coincidencia entre dos personas es 1/365 y la de no coincidencia 364/365.

En todo casa, podriamos chequear en el Registro de las Personas 0 en las nurserys de los hospitales para comprobar si tal supuesto es verdad o existe alguna estacionalidad como la que, por ejemplo, muestran algunas especies Conocemos algunos casos de picos estadisiicos de nacimientos como el que se produjo en el area de Nueva York y estados vecinos bido al apagon de noviembre 1965, que afect6 2 dras a 20 millones de personas. Seguramente usted encontrara las causas correlativas de que en julio _ agosto de 1966 (nueve meses despues) se produjera una estarnpida en la cifra de nacimientos Esa noche de noviembre '65 no habfa TV, nada en que divertirse.!! parecido ocurri6 en torno del 1(} de enero de 2000 y 2001, pues nueve meses antes muchas parejas intentaron "hacer 10 necesario" para que sus futuros bebes fuesen "el orimer be be del sialo 0 del

En todo caso, podemos reflexionar algo. Desde luega, esta ejemplo, probabilidad de entre 30 en los dos

puede extenderse a casos analogos.

de por 10 mellDS dos personas

digitos de sus documentos identidad:

Si los nacimientos no fuesen equiprobables, es decir si comprobaramos que hay alguna estacionalidad, la probabilidad de coincidencias hallada deberfa ser Gmayor 0 menor?

182

183

Respuesta: mayor. Pienselo. Si un porcentaje significativo de los nacimientos se concentrara en el mes de Julio, las coincidencias en otms meses disrninuirian. Pero aumentar[an de julio!

elias tiene mas chance que las otras. Todas tienen 1/3 de probabilidades de contener el premio. Supongamos, por caso, que el

CARTAS Un conocido juego, desde diversas presentaciones pero todas estructuralmente iguales, ha sido empleado con frecuencia en algunos programas televisivos de entretenirnientos, sin perjuicio de ser tambien habitante estable de algunas revistas y paginas de acertijos. En nuestro caso, nos interesa verlo tambien desde la perspectiva de los sesgos cognitivos. Este juego tiene, necesariamente dos etapas, y sus consignas son conocidas por el conductor, el participante y el pOblico.

e/ige el as de oros.

Luego el conductor, que sabe en eual naipe esta el premio, propane al participante eliminar una de las cartas revelando su reverso. obviamente no mostrara el reverso de la carta que Hene pues si no el juego term ina sin lIegar a la segunda etapa que es obligatoria. Tampoco revelarc'! el reverse del as de oros elegido por las mismas razones. Si el premia esta en la carta elegida, el conductor puede revelar cualquiera de las otras dos. no esta en la carta elegida, el conductor solo puede revelar de las dos no elegidas que no contenga el Supongamos que el conductor muestra que tras el cuatro de copas no hay nada, quedando ahara el siguiente panorama:

(13)

En la primera etapa, el conductor del programa presenta al un panel en el que hay tres cartas. Una de las tres tiene un su reverse (las otras 1a Etapa EI participante debe una de las tres cartas. Salvo preferencias personales, el particlpante no tiene raz6n objetiva para creer que una

(13)

184

Obviamente, el

IS5

esta tras una de las dos cartas.

Ahora supongamos que antes del desenlace del juego proponemos a personas el sigufente argumento

2 a Etapa

10 convenciesemos a usted EI conductor ofrece al participante la oportunidad de modificar su elecci6n original 0 mantenerla, para luego pasar al desenlace del juego mostrando si el participante gano 0 no.

si ganar es de 1/3 y sf ganar es 2/3, L.a(m

Frente ala plantarfa?

respuestas generales son que, sf las probabilidades real mente 0,33 y 0,66 el 90% de las personas que optado por quedarse ahora preferirian cambiar. Pero no 10 hacen pues las ",rlc:>rr:lC' probabilidades son 0,5 y 0,5.

del conductor

haria usted?,

0

se

EI easo es que segun nuestra experiencia basada en un relevamiento de mas de 3500 casos, un 78% de las personas optan POf mantenerse en la carta originalmente elegida. Este es extrano ya que, si la percepci6n de las personas es que ambas cartas tienen la misrna probabilidad de ser la que contiene el premio, ~ y ~ , uno tenderfa a pensar que las decisiones de las personas debieran quedar en una proporci6n similar a dicha distribuci6n. La brecha nos permite pensar que al£~Llna razon hay para una tan mayoritaria elecci6n.

Y

de se

alii el toco del y probabilidades, en este caso

de estirnar

y punto XII

Aunque diffcil de apreciar, la cuesti6n es 51, las verdaderas probabilidades de ganar para cada una de las dos cartas son 0,33 y 0,66. Pasemos a comprobarlo, pero no de una manera rnatematica (se trata de orobabilidades condicionales y aplicacion del Teorema de Bayes) que nos facilite "Iimpiarnos" del 8esgo.

Y efectivamente hay una razon. AI consultar a las personas por las razones de su elecci6n la respuesta promedio puede sintetizarse as!:. - Ambas calias tienen la misma probabilidad. Siendo tanto da Pero yo, par cabala, prefiero quedarme como estaba porque sf me entero que perdi 10 que ya tenia ganado me mato!

Esta

contiene el sesgo cognitivo que "efecto atribuci6n" sobre el eual

Damos a elegir al participante una de nuestras tres cartas y selecciona el as de oros. Le pedimos que, sin ver su reverso, la coloaue sobre una mesa. luego, la probabilidad de que dicha carta tenga el premio en su reverse es 1/3. Nosotros (hacemos veces del conductor) retenemos las otras dos cartas y a continuaci6n anunciamos que vamos a revisar. Si en una de elias esta el premio, entonces, si 0 sf, colocaremos dicha carta sobre la mesa, al del as de oros. Si al revisar las dos cartas no

186

187

encontramos el premio, entonces colocaremos cualquiera de elias al lade del as de oros. Mostramos que la carta retenida no tiene premio. Como dijimos, el as de oros que esta en la mesa tiene 1/3 de probabilidades de contener el premio. LY cllal es la probabilidad de que nosotros, al revisar las dos cartas restantes, encontremos el premio en el reverse de una de elias? Obvio: 2/3.

L Y que es 10 que hacemos si 10 encontramos en una de las dos cartas? Sf 0 sf, la ponemos en la mesa. Luego, c!.,cual es la probabilidad de que dicha carta tenga el premio? Exactamente!: 2/3. Probabilidad de que el premio este tras el as de oras: 1/3 . Probabilidad de que este tras la otra: 2.13. LSe ve?

Siendo asi, Lque Ie conviene hacer al participante? Naturalmente, cambiar su eleccion inicial. No es 10 rnismo 2/3 que 1/3. Cambiar brinda el doble de probabilidades de ganar!. c!.,Supone esto alguna garantfa de ganar?

Como alternativas, y para que usted los piense, planteamos ahora dos marcos (vease efecto marco en punta XII) adicionales para la presentaci6n del mismo caso: a) Tenemos de tres cartas. Una de elias tiene un as de oros en cada lado, otra un as de copas en cada lado y la tercera un as de oras en un lado y un as de copas en el otro. Echamos las tres cartas en un sombrero y extraemos una al azar. Supongamos que en la cara visible tiene un as de oras. Por tanto solamente puede ser la carta que tiene un as de oros en cada lado, 0 la que tiene un as de oros en un lade y un as de copas en el otro. Por tanto la probabilidad de que las dos caras sean iguales es, aparentemente, igual a la de que las dos caras sean diferentes. L,Es as!? b) Ahora disponemos de tres medias nueces y de una bolilla, que escondemos debajo de una de las tres nueces. Pedimos a alguien que adivine debajo de que nuez la hemos puesto. Una vez que la persona elige una de las nueces destapamos una de las otras dos que no esconda la bolilla. LJegado este punto, hay dos nueces boca abajo, una de las cuales esconde la bolilla. Por tanto, de nuevo aparentemente, la probabilidad de que la bolilla este en una de elias es 0,5 y 0,5. LEs as!?

Absolutamente no! Pero la decision incuestionable.

habra

sido

rnetodologica

Y

racionalmente

Y ademas, sf hay garantias en el sentido de que si realizamos la experiencia un numero suficientemente grande de veces, entonces ganaremos aproximadamente el 66% de las veces y perderemos en el 33% restante! Nada mal!

APLICACIONES EN LA COMPLEJIDAD DE CAS OS REALES EI Analisis de la Complejidad de la situaci6n en que se encuentra es de vital importancia para quien necesite entenderla, y muy particularmente si se trata de un decisor que, en primer lugar y previo a todo calculo combinatorio debe dimensionar el universe sobre el que esta operando.

189

188

Planteamos a continuacion tres que describen para clarificar las situaciones reales y resultan de de aplicacion de las ideas que animan a este herramientas que 10 asisten.

ESTRUCTURA ORGANIZACIONAL - Tratabamos, en a/gun momento, (/e presupuestar en tiempo, en recursos necesarios y en casto monetario e/ relevamien/o de /a estrllctura organ/zacional de un organismo publico de gran quizas uno de los mas grandes de /a RepLlblica

Pensabamos en quince Departamentales, cada una cUB/es tenIa diez divisiones. A Sll vez, estas contenian un dos oticinas, Todas estas 7 secciones cada una y ten Ian un jefe al cual el Director ciel organismo queria cie alguna manera /legar a relevar y conversar; a traves de los especialistas en disefio organizacional, para recabar informacion que puciiese ser Mil en el armado de la nueva estructura de /a jurisciiccion.

la no se lIegaba a . estructural y una lIamada repetfax cantidad de veces?

de este sistema, que en el dibujo de ~ en el Boletfn por el sencillo truco de poner una sola con un asterisco indicando que se

La variedad resultaba finalmente 15 x 10 x 1 x 2 jefaturas, 10 cual implicaba la preocupante cifra de 2.'100 entrevistas y relevamientos. DOS MIL elEN jefes que darfan informacion, que transmitirian sus necesidades y sus demandas, pero que al mismo tiempo plantearian una nueva complejidad a un problema que requeria de un tiempo relativamente uraente de solucion.

- Teniamos un grupo cie Organizac/on y Metodos, encargado de efectllar el disefio, por seis personas, i Podriamos imaginar; calculancio una hora (mfnimo) de entrevista y una hora de procesamiento de cual hubiese el necesario

para un diseno organizacional fundada en el tamana (en este caso f'nrnnl",iiri;;,rll Y Gon las directivas requeridas?-, la ley de Variedad tenemos un de no mas de novecientas horas mensuales de trabajo ('150 horas par teniendo en cuenta ausentismo ) y un universo a procesar realidad organizacional) de un tamano de cuatro mil doscientas horas, Es evidente que se demorarian cinco meses tan solo para el relevamiento, que seguramente traeria mas informacion, pero con ello tambien mas incertidumbre, mas dudas, mas cuestiones, mas lemas a analizar que hasta ahora no se tenian presentes.

l. Y es ello bueno? La respuesta a este punto es la pregunta del millOn. que punto es importante entrar a desrnenuzar un sistema de penetrando cada vez mas en las sucesivos subsisternas que 10 integran, que, como las munecas rusas "mamushka" se van unos tras otros? Mas informacion daria seguramente mas confiabilidad, pero con ello mas complejidad y un abanico mas amplio de variables que no siempre se esta en condiciones posteriormente de procesar. _ si el fuera relativamente realizar un

en que hay que hacer la reforma institucional de tal forma que no hubiese posibilidad de

En el caso bajo analisis se trataba de la fusion de dos organismos recaudadares, uno de ellos jaqueado -al menos mediaticamente- por una de inoperancia institucional grave. podra decir que, aumentando el denominador de la relacion de variedad obligada (el elemento procesador, es decir la calltidad de analistas) podremos lIegar a mas profundidad (mas complejidad, mas oIoO',""",.,t",<, a procesar) en igual cantidad de tiempo. Sin embargo, aquf

190

191

empiezan tambien restricciones, que pueden servir tanto para limitar la cantidad de elementos a procesar como la capacidad del procesador. "No hay partidas para contratar mas analistas"; "No hay gente capacitada 0 con la confianza de la dirigencia para hacer este trabajo" y , .. otras tantas.

c-Cual es la variedad desde el punto de vista del organizacional? Esta ya no podremos darla desde Habra que evaluar relaciones de costos-beneficios que no solo los elementos econ6micos sino tambien los politicos, etc.

Si la capacidad del procesador esta restring ida, Y la cantidad de tiempo disponible es limitada , la otra variable que podemos modificar, a traves de la incorporaci6n de restriceiones, que reducen complejidad al sistema bajo analisis, es limitar el universe a procesar.

Luego, aplicar la ley de variedad conocida como de variedad requerida"), redueir sobrevolar la al 0 cuesti6n mediante resolviendo no internarse en muchas veces !-Iucue cuando la mal lIamada "soluei6n todo resulta con las restricciones dadas.

··Ana/icen so/amente hasta los ,Jefes de Seccion-. - Tomemos una muestra a/ azar del 20% de la estructura-. -Hagamos un cuestionario escrito que resulta mas facit procesarfo (menos complejo, menos informacion, menor cantidad de tiempo y recursos)- , en fin, y aSI otras. En este relato se pone de manifiesto la utilidad de un tema como el que estamos tratando ··Ia medici6n de la complejidad y su necesaria y previa comprension conceptual - en un caso de aplicaci6n concreta a diseno organizacional: En el ejemplo, las dependencias a relevar son los distintos niveles de variables que deben "caber" en la cantidad de niveles de variable que, en determinado tiempo puede trabaiar el elemento tanto en un caso corno en otro eliminan variedad al (volviendolo mas simple, menos complejo) 0 al

la que puede manejar tres soluciones 0 aumenta la capacidad de analistas que trabajen), el uso del mismo (trabajando mas rnas meses de con la misrna gente) 0 bien se elirnina al a relevar 0 tiempos de entrevistas.

soluci6n final fue disenar las misiones y funciones oraanizacionales hasta los Jefes de Division, y permitir, pm que estos Jefes de Division, con el consentimiento de sus propios los Directores de Departamento, disenaran las misiones y funciones de las secciones y oficinas que les . Se termino con una cultura de anos de centralizacion en los que, desde una oficina de Organizacion y Metodos lejana en la de los casos a la realidad estas dos rnil clen dependencias, se definia y acotaba uniforrnernente su forma de operar.

DIAGNOSTICO MEDICO nvitarnos al lector a realizar el mismo proceso de aplicacion de los conceptos de complejidad, pensando en una situacion absolutamente distinta pero tanto mas uti! 0 pertinente corno es el diagnostico de una enfermedad. LCuantos son los carninos por los que el medico puede pasar al diagnosticar a un enferrno? LCuantos los tipos de analisis clfnicos? LCuantas las hipotesis de trabajo 0 de enfermedades? Es comunrnente sabido que los medicos que "sobre-prescriben" (sobre la media) analisis son lIamados U observados por los departamentos de

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auditoria de las

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de servicia de medicina costo beneficio de "estar

mlnimamente tantos am'llisis que Quizas no, los los protocolos medicos manuales de organizadon) indican los niveles de en los que la cienda recomienda entrar. De esto trata, precisamente, la posIcion medica contemporanea denominada "Medidna basada en la evidencia".

Quizas 5e pueda estar algo menos informado con un costo menor, sin costos economicos y de

UNO EN UN MILLON Otro caso mas trivial y reciente viene a ser aplicado en este punto. Un sujeto, empleado de una empresa de television por cable, forma del equipo de cualro personas que, en esa empresa, realizan la misma y (mica tarea de retirar en Capital Federal equipoS' decodificadores de senal de aquellos usuarios que han dejado de serlo. En una reunion de familiares y amigos en una casa-quinta de la zona norte del Gran Buenos a la que concurre por la sujeto ve, participando de la reunion, al hijo menor del grupo familiar cinco integrantes que se domicilia en una casa a la que 191 fue enviado esa misma manana Dara un retiro de eauioo decodificador.

Sin que las realizados en el caso Para

la primera reaccion, de . "Es como sacarse la grande". es asombrosa, no creemos esa magnitud (recordar los calculos

analizar la complejidad de este problema hay un que no ningun tratado de analisis combinatorio, sino la claridad conceptual que dan el entrenamiento y la abstraccion: Ubicarse en la situacion, hacer un buen diagnostico.

l,Cuales son realmente los casos favorables sobre los casas, en este ejemplo, igualmente posibJes? l,OUe datos dados en el problema son relevantes y cuales no?, l,Oue datos faltan? l,Los podemos preguntar? l,Los podemos suponer, incluso dentro de ciertos parametros? Veamos. l,lmporta la cantidad de personas que viven en la zona de este senor? No, definitivamente no es un dato que tanto hubiese sido sorprendente que se encuentre aJ al menor 0 a cualquier otro inteqrante de la familia.

de ya que

la cantidad de personas 0 familias que usan decodificadores? EI hecho de que uno trabaje en la empresa de la cual el otro recibio servicios ya esta incluido dentro de las de encontrarse. l,lmporta que hay cuatro empleados que realizan esa tarea puntual? No, como tampoco importa que haya cinco integrantes en la familia. Lo que verdaderamente importa, para el analisis de la situacion es cuantas viviendas hay en la zona de trabajo del empleado, la Federal, y cuantas por dia visita. Si es razonable suponer que hay un millon de domicilios en la Capital', y el sujeto visita veinte antes terminar su jornada, en realidad tiene 20 en un mill6n de de visitar cualquier domicilio de la Capital Federal, cable. Si hubiesemos sabido previamente que la familia visitada tenia cable, las probabilidades bajan muchisimo, ya que el denominador son todos los domicilios que estan abonados a una empresa de cable, que podemos suponer en cincuenta mil, de esta forma, seria de 201 50000.

un

si hubiesemos sabido que esta familia fue usuaria y tiene codificador que debe devolver, ya estariamos en 20/2000,

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XI suponiendo que dos codificadores de la empresa.

ex usuarios

de

EL RAZONAMIENTO COMBINATOR.IO EN EL PROCESO

EDUCATIVO

Pero como nada de todo eso sablamos, sigue siendo una posibilidad de 20/1.000000, que es equivalente a uno en cincuenta mil y baja, pero no tanto. Todos los demas datos existentes en el problema no son relevantes, y he aquf una muy importante S610 en los examenes de la escuela secunda ria, (yen algunos) aparecen los datos todo. En la realidad, la mayoria de los aue estan a flor de no son relevantes, y los que los son nivel de seguridad 10 mas relaci6n costa beneficia. Y este es el pie de dos temas basicos que trata la Teoria de la Decisi6n, la aplicaci6n de decisiones ante informaci6n parcial y las de compra de informacion adicional utilizando la estadistica

Como complemento 0 perla del caso reciEm podra indicar que la resolucion es pertinente en tanto y en cuanto el distrito de trabajo y el distrito del domicilio sean el mismo y conocido. Ciertamente, Dejamos para el lector el desafio de calcular la probabjlidad en caso de que el integrante de la familia (y la familia misma) que el empleado via esa pudiese vivir en cualquier lugar de la Republica Argentina. Si qUlsleramos ser mas agudos condimento que, habiendo estado evento no es igualmente probable.

podriamos agregar el 16gico la noche en donde estaba, el

(14)

Jean Piaget UN DE HISTOR EI origen y evolucion de la combinatoria ha side de otras lamas de las matematicas, tales como el los nllmeros, y el calculo de probabilidad.

ai desarrollo la teoria de

17

,"'l

.:-~)

4 10 11 1812512

9 (15)

*Fuente: Instituto de Matematicas de la UNAM. Gerardo Alfaro Melero. IES Jose Manuel Blecua (12)

196

Desde los primeros tiempos se plantearon problemas de cornbinatoria que lIamaron la atencion de los matematicos. Par ejernplo, "cuadrados magicos" que son arreglos de numeros con la propiedad de la suma de los elementos de cualquier columna, renglon 0 diagonal da la misma cifra, aparecen en un viejo libro chino fechado 2200 a. c. EI famoso I - Ching ("Libro de las transforrnaciones") aporta, con sus combinaciones de trigramas misticos, algunos los ejemplos mas antiguos. Algunos fil6sofos griegos plantean relaciones sabre problemas que hoy se resolverfan con el calculo combinatorio, no habiendo certeza de elaboraran 0 se basaran en una teor[a sobre el tema. el siglo XI, Bhaskara propone algunas reglas para calcular variaciones (con y sin repeticion) y combinaciones, sugiriendo formas de aplicacion. Los euadrados maglcos de orden 3 fueron estudiados con fines mistjcos. Los coeficientes binomiales fueron conocidos en el siglo XII. EI triangulo de Pascal que es un arreglo triangular de los coeficientes binomiales fue desarrollado en el 5iglo XIII. En 1321, Levi Ben Gerson aporta una version muy avanzada del tema, con reglas para el calculo de variaciones, permutaciones y combinaciones, En los siglos XV y XVI, los razonamientos combinatorios aparecieron en algunas publicaciones. Por caso, hay indicios de que Tartaglia (1500-1557) los aplic6 al estudio del juego de dados y en el calculo de la potencia de un binomio.

197

Ya en el siglo XVII, la materia adquirio consistencia te6riea y practica. Por ejemplo, la f6rmula general de Cn,m aparece en un libro de Herigone en 1634. Se puede considerar que en Occidente la combinatoria se inicia en el siglo XVII con los trabajos de Blaise Pascal y de Pierre Fermat sobre la teoria de juegos de azar. Estas elaboraciones, que dieron fundamento a la teorfa de la probabilidad, contenian los principios para determinar el ntJmero de combinaciones de elementos de un conjunto finito. De tal modo se establecio la tradicional eonexion entre combinatoria y probabilidad. EI actual termino "combinatoria" fue introducido por Wilhem Leibniz en su Dissertatio de Arte Combinatoria. Gran importancia para la eonsolidacion de la combinatoria tuvo el articulo de Ars Conjectandi (el arte de conjeturar) por J. Bernoulli. Este trabajo signifie6 el establecimiento de las nociones basicas de probabilidad. En tal sentido, fue necesario introducir tambien un buen numero de nociones basicas de combinatoria pues se usa ron fuertemente como sustento del calculo de probabilidades" Pod ria decirse que a partir de dichos desarrollos comienza el establecimiento de la combinatoria como una rama nueva e independiente de las matematicas" EI matematico suizo Leonard Euler desarroll6 a principlos del siglo XVIII una verdadera escuela de matematica combinatoria. Tambien se Ie considera el padre de la teo ria de grafos por el planteamiento y soluci6n del archifamoso problema de los "Puentes de Konigsberg". En Inglaterra a finales de siglo XIX Arthur Cayley (motivado por el problema de calcular el numero de isomeros de hidrocarburos saturados) hizo importantes contribuciones a la teoria de enurneracion de grafos.

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En esa epoca, el matematico Boole emple6 metodos de combmatoria en conexi6n can el desarrollo de la 16gica yean las ideas y metodos que Henri Poincare desarrol16 en relaci6n con problemas de topologia.

De acuerdo con Inhelder y Piaget (1955), el razonamiento hipotetico deductivo opera can las posibilidades existentes en una situaci6n problematica, las cuales son descubiertas y evaluadas par el sujeto por medio de operaciones combinatorias.

de los factares mas importantes que han contribuido al gran de desarrollo que ha tenido la combinatoria desde 1920 es la grafos La importancia de esta rama radica en el hecho de que los sirven como base abstracta de modelizaci6n de la variedad relaciones entre objetos de un

Esta capacidad puede relacionarse con los estadios descriptos en la teorfa de Piaget: del periodo de las operaciones forrnales, el adolescente descubre procedimientos sistematicos de construcci6n combinatoria, aunque para las permutaciones es necesario esperar hasta la edad de15 anos.

Sus aplicaciones abarcan campos tan diversos como la investigaci6n de operaciones, quimica, mecanica estadistica, fisica te6rica y problemas socio-econ6micos.

k

Para estos autores, la combinacion supone la coordinaci6n de la seriaclon y la correspondencia, la permutaci6n implica una reordenacion respecto a un sistema de referencia movil y reversible; por tanto, las operaciones combinatorias son operaciones operaciones, caracteristicas del nivel del pensamiento formal.

EL RAZONAMIENTO COMBINATORIO Como ya hemos comentado, se detecta un problema de base formativa que, ejemplificando con nuestros alumnos, los lIeva a tener algunas dificultades en la caotacion de la complejidad.

Sin embargo, los resultados de Fischbein (1975) muestran que la capacidad de resolver problemas combinatorios, no siempre se alcanza en el nivel de las operaciones formales, si no hay una ensenanza especifica.

nuestros relevamientos, el rendimiento promedio (puntaJe) en examenes de los alumnos en el tema que nos ocupa, es entre 40 y mas bajo en los que componen el resto del programa.

He aqui, 10 que segun creemos, es el origen de la problematica observada no solo entre nuestros alumnos sino tambien en general, a 10 eual se suma la descripcion realiz.ada per Kahneman y Tversky en la de los sesgos cognitivos.

Ademas de su importancia en el desarrollo de la idea de Probabilidad la capaeidad eombinatoria es un componente fundamental del pensamiento formal. EI razonamiento combinatorio representa algo mas que una simple parcela de las Matematicas, siendo un esquema tan general como la proporcionalidad y la correlaci6n, que emergen simultaneamente a partir de la edad de 12 0 13 arias. *Fuente: Rafael Roa, Carmen Batanero, Juan D. Godino y M. Jesus

Canizares. BIBLiOGRAFIA (Epsilon, 36,433-446). V Navarro-Pelayo, C.

Bataner y J. D. Godino.Razonamiento combinatorio en alumnos de secundaria

Educaci6n Matematica. 8(1), 26-39. (13)

Fischbein y Grossman analizan la interacci6n entre la intuici6n y los esquemas subyacentes en estimaciones intuitivas del valor de las operaciones combinatorias can diversos tipos de sujetos, entre los que

201

200

se cuentan adultos en las estimaciones relacionados con las elementos que se trata de

Observaron que tadtos y el numero

estos calculos se reducian a operaciones multiplicativas de realiz.ar el conjunto requerido de operaciones, 10 que los esquemas combinatorios sufren un proceso de , reduciendose a una estructura minima, para apoyar las intuiciones erroneas de los sujetos. Algunos autores como Marchand (1994) indican que la edad media de acceso al estadio formal es substancialmente diferente de la indicada en las investigaciones de Piaget e Inhelder (1951) y que un numero importante de sujetos no lIega nunca a alcanzar esta etapa. Piaget (1972) reformul6 su primera concepcion sobre el pensamiento formal y admite que la edad donde se alcanza debe ser hacia los 15-20 anos, indicando ademas el papel crucial del las capacidades del sujeto y la especializaci6n profesional en la construcci6n de la estructura de las operaciones formales. Tomando como base referendal las experiencias empiricas realizadas por investigadores a las que podemos agregar mas acotadamente surgen de nuestras propias observaciones, las conclusiones que formularse son las Fischbein (1975) como probabiHsticos y el uso de las estructuras can es can un escaso exito. Tal vez el ser reforzado en la ensefianza, pues como modelo figurativo que permite (extensi6n de un cierto procedimiento y la generalizaci6n constrl.lctiva

(adaptacion a nuevos problemas derivados que es caracteristica del razonamiento recursiv~). Es justa mente en estos dos puntos don de se han observado muchos de los fallos de los estudiantes en la resoluci6n de los problemas propuestos. Las estrategias generales en la resolucion de problemas: reducir el tamano del problema, traducir a otro mas sencillo, descomponer el problema en soluciones, se han mostrado tambien como elementos que separan a los buenos resolutores de aquellos que oresentan dificultades. Estas estrategias, bien aplicadas se han mostrado fundamentales a la hora de resolver los problemas de un modo adecuado, especial mente can la enumeracion sistematica. lado, la Combinatoria es un campo donde pueden con facilidad y estas estrategias. En consecuencia, creemos que los problemas combinatorios pueden jugar un papel fundamental en el aprendizaje de tecnicas generales de resolucion de problemas y en el entrenamiento de las capacidades de abstracci6n y modelizacion. Por

otro

EI modelo combinatorio implfcito, ha mostrado sus fuertes efectos en ia dificultad del problema y en los tipos de error, ya que los estudiantes no siempre han side capaces de traducir el problema de un modele de particion 0 colocacion al modelo de selecci6n y ello ha dificultado la identificaci6n directa de la operaci6n combinatoria. Estas variables deben tenerse en cuenta para evaluar el razonamiento combinatorio de los alumnos. Tambien deben ser tenidas en cuenta hacer hincapie para organizar la ensenanza, la cual en el razonamiento recursivo, en los procedimientos sistematicos de enumeracion y captacion intuitiva, en luaar de meramente

202 203

centrarse en aspectos algorftmicos y en las definiciones de las operaciones combinatorias. EI lector puede encontrar en Batanero, C;odino y Navarro-Pelayo (1994) Y la bibliografia citada una propuesta de desarrollo del curricula de Combinatoria para el rango de edades de 10 a 18 arias.

XII -" RELACION CON LA HEURisTICA DE LOS SESGOS

COGNITIVOS

No es nuestro prop6sito extendernos en un completo de las investigaciones de la psicologia decisoria que, apoyadas en los trabajos de Daniel Kahneman y .Amos Tversky (15), dieran origen a la cognitivos. Theory y la heuristica de los

(17)

6)

Prof. Daniel Kahneman

Prof. .Amos Tversky

Un tratamiento de tal envergadura debe concentrarse en el tema y ello escapa a los prop6sitos de este trabaJo.

a 10 entre la lectura de la

205

20-l

Por tal motivo, solo esbozaremos una apretada sintesis de la orientacion de tales investigaciones, como marco de los aspectos que forrnando parte de elias se vinculan puntualrnente con los objetivos de este trabajo. Richard Thaler inicia uno de sus trabajos relacionados con este terna haciendo una analogia sumarnente interesante*. Su propuesta hace referenda a ciertas presentaciones "engaf\osas" de la realidad que todos conocernos con el nombre de "ilusiones 6pticas". Seguramente, transitando por una ruta en un dia claro y de calor, mas de una vez hemos "visto" una especie de pequeno lago 0 superficie de agua con cierta reverberancia en la zona donde nuestra ruta se junta con el horizonte. Todos sabernos que esa visi6n es un "espejismo", que no es real, que es un efecto de las condiciones clirnaticas y fisicas irnperantes.

18)

Muchos grandes pintores han sido verdaderos maestros en el arte de cornponer imagenes con lecturas dobles 0 de percepci6n ambigua.

Un aspecto interesante de este fen6rneno es que es generalizado tad as 10 "vemos"·- y mas aun, no podemos evitar verla. Thaler recuerda, como ejemplo, 10 que considera como la ilusi6n 6ptica mas grande del mundo, el Jefferson Memorial de Saint Louis, cuya altura aparece visualmente como mucho mas larga que la distancia entre sus cuando en realidad ambos parametros han sido construidos exactamente iguales.

*Richard Thaler en Psicologia de la Decision , Recopilacion de P Pavesi. CECE. (14)

M.e. Escher

(19)

Giuseppe Archimboldo

(20)

206

207

afirma que, asi como ilusiones 6pticas afectan del mismo modo a la generalidad de las personas, existen otros aspectos de la que "disfraces" que nos generan 10 que el denomina "ilusiones cognitivas", que nos lIevan a erradas no de un concepto. de un problema. de una ya una imagen etc.. particularidad de estas "ilusiones cognitivas", y de alii establecida por el citado autor, es que al igual que las resultan generalizadas y adoptan permiten algunas fOrlllas de categorizaci6n sobre trabajado las investigaciones descriptivas basadas en de Daniel Kahneman y Amos Tversky

Salvador Dali

(21)

En algunos disenos solo podemos reconocer una Imagen, que supuestamente esconde otra nos cuesta descubrir y luego, una 10 conseguimos, solo podemos "ver" la segunda y perdernos la primera. Alga similar ocurre con los estereogramas .

Amenazado por una fuerza enemiga superior, el general se encontr6 ante un dilema. Sus oficiales de Inteligencia afirmaban que los soldados serian vfctimas una emboscada en la que a menos que el los condujera a lugar 600 de por una de dos rutas posibles. Si elegia la primera, se salvarian 200 soldados. Si optaba par la segunda, habria un tercio de posibilidades de se salva ran los 600 soldados y dos tercios de posibilidades de que no se salvara nadie. ;Que ruta debia de la tropa inst6 al general a elegir la primera argumentando que es mejor salvar las vldas que puedan ser salvadas que jugar con el de tener pero Gque en esta situaci6n?

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Nuevamente, el general debe elegir entre dos vias escape. Pero esta vez sus ayudantes Ie informan que si elige la primera 400 soldados. Si va par la segunda, en cambio, hay un de posibilidades de que no muera ningun sold ado, y tercios de posibilidades de que perezcan los 600. (,Que debe tamar?

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Frente a esta alternativa, la mayoria de la tropa prefiere la segunda ruta. La primera, despues de todo, significa la muerte de 400 soldados. Con la segunda opci6n hay un tercio posibilidades de que' no muera nadie. E incluso, si el general pierde en juego, sus perdidas s610 el 50 % mas Se trata este ae un CI8SICO elemDIO Dlanteaao Dor Kanneman y , es deeir, la opuesta se tiene de una misma situaci6n debido al marco con que 5e la presenta. EI hecho de que la mayorfa de la gente lIegue a conclusiones opuestas en estos problemas es bastante sorprendente, porque como revela una investigaci6n superficial, en rea!idad son identicos. La diferencia en que, en el primer problema, la cuesti6n se plantea en terminos vidas salvadas y en el segundo, en terminos vidas Cuando se enfrenta con un problema tipo, la gente se nifi"'"f.... '"'~ de tres a uno en favor de la primera eleccion, cuatro a uno por la segunda elecci6n, cuando el en terminos de vidas perdjdas. Y aunque I!eguen a reconocer la contradicci6n, algunas personas seguiran dando respuestas conflictivas. Esta paradoja es una de las muchas que surgen la colaboraci6n de estos dos cientificos israelies-estadounidenses cuyos resultados cuestionan la confiabilidad basica la raz6n humana. EI inauietante descubrimiento de Daniel Kahneman y Amos Tversky no es algo que todos en realidad de que, aun cuando tratamos de ser damos respuestas radicalmente diferentes al mismo problema, cuando esta planteado en terminos ligeramente ntos.

Kahneman y Tversky proponen que estas desviaciones de la racionalidad son consistentes y predictibles y resultan de los atajos por los que transcurre la mente cuando debe sopesar posibilidades

ALGUNOS EJEMPLOS DE SESGOS ASOCIADOS A LA LECTURA DE PROBABILIDADES Una ciudad cuenta con dos hospitales. En el mayor de ellos nacen a rededor de 45 bebes cada dia, cifra que en el menor se reduce a 15. Aunque a la larga la proporci6n de varones es del 50 por ciento, la proporci6n rea! en cada uno de ser un dia concreto, mayor 0 menor que el 50 por ciento. AI final del ano, de los dos hospitales tendra el mayor numero de dias en los que mas del 60 par dento de los nacimientos haya sido de varones? a. el hospital mayor b. el hospital menor c. ninguno, el numero de dias sera aproximadamente el mismo (con una posible diferencia del 5 por ciento). Imaginemos una urna lIena de bolillas blancas y negras. Sabemos que dos terceras partes de las bolillas son de un color y una tercera del otro, pero no sabemos cual de los dos colores es el que predomina. Una persona con los vend ados saca de la urna 3 bolillas negras y 1 blanca. Otra introduce las dos manos en la urna y saca 14 bolas negras y 10 blancas. Ambos casos suponer que las bolas negras son mas numerosas, pero Gque muestra es la que proporciona la evidencia mas convincente? . Muchas personas encuentran mas precisa la primera muestra. Despues de todo, tiene una mayoria negra en una proporci6n de 3 a 1, mientras que la segunda muestra cuenta con s610 un poco mas de la mitad de bolillas negras.

210

211

Sin embargo, la Teoria de la Probabllidad dice que la segunda muestra es la que indica cual es el color mayoritario con una probabilidad de acertar de 16 ai, en tanto que solo 10 es de 4 a 1 en la primera.

EI segundo paso es sacar la bolilla de la urna designada por la moneda. Nuevamente, si la bolilla es roja usted gana $100, sf es negra no gana nada [Que sorteo prefiere?

La explicacion reside en el hecho de que la primera muestra es menor y las muestras pequenas son menos confiables. Recordemos que es comun que se tire una moneda cuatro veces y que tres, salga cara. No obstante, si la moneda es arrojada1. 000 veces, nos aproximaremos considerablemente a la proporcion estadfstica de 50-50.

Una simple multiplicacion confirmara que las posibilidades de ganar cualquiera de los dos sorteos es el 50%. AlJn asi la mayorfa de las personas eligen la loter-fa A. [F)ot que?

Aunque, de un modo abstracto la gente sabe esto, a menudo no 10 tiene en cuenta. Los jugadores de squash creen que no hay diferencia entre jugar un partido a nueve 0 a quince puntos; en realidad, el juego mas corto da al jugador mas debil mayores posibilidades de ganar, simplemente porque no tiene que ganar esos pocos puntos mas. Del mismo modo, solo una persona de cada cinco advierte que en el problema del hospital que hemos planteado mas arriba, la institucion con menor cantidad de nacimientos por dfa tendra muchos mas dfas en que el porcentaje de varones supere el 60 por ciento (el hospital menor tendra 55 dfas al ano con esa proporcion, en promedio, en tanto que el mayor solo tendra 27 dias), EI proximo ejemplo, creado por Daniel Elisberg, consiste en un sorteo imaginario:

Dos caracterfsticas del sorteo BC 10 hacen poco atractivo. Primero, el sorteo A es mas simple. La complejidad resulta repulsiva por si sola. Segundo, la posibilidad de ganar el sorteo BC es mas ambigua: segun el resultado de la moneda, puede variar de un 80% a un 20%. Esta ambigDedad tambien resulta antipatica, La moraleja es que la mayorfa de las personas, si son forzadas a apostar, prefieren un riesgo simple, bien definido, y no uno complieado, ambiguo (Ellsberg, '1961 ). Ana tiene 32 anos Es soltera, extrovertida y muy brillante. Se especializo en Filosofia en la Llniversidad. Como estudiante Ie preocuparon mucho la discriminacion y otros ternas sociales, y participo en demostraciones antinucleares. [Cual de estas definiciones tiene mas probabilidad de ser cierta? a. Ana es cajera de un Banco b. Ana es cajera de un Banco y activa militante del movimiento feminista

A usted Ie rnuestran tres urnas, cada una con 100 bolillas en su

interior, La urna A tiene 50 bolillas rojas y 50 negras, la urna B

tiene 80 rojas y 20 negras y la urna C tiene 20 rojas y 80 negras.

Le dan a elegir de entre dos formas de sortear.

Puede elegir el sorteo A, en la cual se sacara al azar una bolilla

de la urna A. Si la bolilla es roja, usted ganara $100; si no 10 es,

no ganara nada,

Por otro lado puede elegir el sorteo BC, En este caso, la loterfa

tiene dos etapas. La primera es echar una moneda a cara 0 ceca.

Si es cara, elige una bolilla de la urna B, Si es ceca, de la urna C.

La gente piensa que es mas probable que sea cajera de banco y feminista, ya que el feminismo parece mas representativo de Ana que ser cajera de Banco, Pero un principio estadistico, sostiene que la probabilidad de que dos acontecimientos sucedan junta mente (ver probabilidad conjunta en el Apendice), es siempre menor que la probabilidad de que se verifique uno solo de ellos (la posibilidad de sacar dos veces seguidas cara en una moneda arrojada al aire es menor que la de sacarla una sola vez en igual numero de

2\3

212

lanzamientos). De modo que la probabilidad de que Ana sea cajera y feminista sera menor que la de que sea solo cajera, sin entrar en consideraciones acerca de que esa carrera sea 0 no adecuada para ella .. Un viajero freeuente estaba preoeupado por la hubiera una bomba en alguno de los aviones en que viajaba. Le infarmaron que la probabilidad de que ocurriera esto era pero no 10 era tanto como hubiera deseado. Desde entonces viaja siempre con una bomba en su maleta. Piensa que la probabilidad de que haya dos bombas a bordo debe ser ahora despreeiable. Independientemente de que es un ejemplo ficticio, con algun rasgo de humor incluido, razonamientos como el descripto son comunes. Este hecho hace que a veces sea sorprendente el resultado real de algunos razonamienios sobre probabilidades. Un jugador se acerea a la mesa de ruleta con intendon de Decide esperar primero y ver que ocurre en las jugadas. Las tres veces sale el "17". EI ahora su participacion. es 10 que hara? Cua/quier cos a menos al 17. Es casi que un salga cuatro veces a fa ruleta l otro jugador exactamente 10 mismo, observo las tres jugadas en que salio el 17 y ahora se apresta a jugar. es 10 que haril? ~Por

supuesto, jugar af 17 porque esta en racha!"

(,Cual de los dos tiene razon? Obviamente ninguno. La probabilidad de que la proxima bolilla salga el 17 es 1/37. i No hay una ley natural que obligue a ajustar inmediatamente los desvios aleatarios circunstancialesL iNi tampoco otra que !leve a sostenerlos! persona ha sido dado a la fuaa. Dos

par un taxi y el conductor se ha de taxis estan a cargo del servicio

en la eiudad: la Verde, que tiene el 85 por dento de los coches, Y la Azul, que tiene el restante 15 par ciento. Un testi90 identifiea al taxi como perteneciente a la compania Azul. Cuando la Justicia la fiabilidad del testi90 bajo cireunstancias similares a las de la noche del aecidente, este identifiea correctamente el color del coche un 80 par ciento de las veces y se equivoca el otro 20 par ciento. t,Cual es la probabilidad de que el coche involucrado en el accidente pertenezca a la compania Azul tal como 10 afirma el testigo? La mayoria de la gente suele caer en un error elemental: ignorar los lIamados «datos de apreciacion» 0 «de base», contra los cuales debe confronfarse la probabilidad de un hecho. EI problema del taxi es un ejemplo de este principio. La mayor parte de la lIega a la conclusion de que, si el testi90 ha estado aeertado en el 80 por ciento de las Druebas, hay el 80 por ciento de probabilidades de que eJ taxi a la compania Azul, como 10 habia afirmado desde el Sin embargo hay mas probabilidades de que el taxi a la compania Verde. Para descubrir por que es esto posible imaginemos que el testigo ve

100 accidentes en que es atropellada una persona y el conductor Por ley de probabilidades, alrededor de 85 de estos accidentes habran sido causados por la compania Verde, y el 15 por ciento restante por la compania Azul. Del 85 por ciento de taxis verdes, el se equivocara al identificar el 20 por ciento de ellos (de acuerdo con la prueba a la que fue anteriormente sometido), 0 sea 17 coches, como azules. Y de los 15 coches azules identificara correctamente solo el 80 por dento de ellos, 0 sea, 12 coches. Por 10 tanto, de las 29 veces que el dice que ve un coche azul, se equivoca 17 veces. iUn de error de casi el 60 por ciento! Los «datos de base» -Ia preponderancia de los coches verdes- hacen que la probabilidad de que se haya equivocado sea de 60 a 40 al identificar un coche verde en vez de identificar correctamente un coche azul. Este problema puede ser entendido por la gente en teorla, tal como 10 hicimos en el caso TRES CARTAS, pero obstinadamente se rehusa a

214

aplicarlo a su propia vida. Los capitalistas prosperos se embarcan en nuevas empresas, a pesar de la deprimente proporcion de fracasos en los nuevos negocios; los recien casados est;3n seguros de que su matrimonio es para siempre, a pesar de la inmensa cantidad de divorcios; cualquier pillo·y no hablemos de los fumadores- esta seguro de que el podra burlar las probabilidades.

«La gente considera su caso personal como si fuera unico-aclara Tversky- no como parte de una gran loterfa. Se suele escuchar el tonto argumento de que el promedio no se me ap/ica. (.Por que oios, la casualidad 0 quien este a cargo de esta loterfa darfa a alguien un tralamiento especial?» Estos pocos casos son apenas una rnuy pequena muestra del modo como la mente suprime la incertidumbre y del estilo de investigacion desarrollado desde el enfoque empirico·descriptivo de la psicologia conductista. Daniel Kahneman (un psicolgo!) obtuvo el Premio Nobel de Economia en 2002 (Amos Tversky ya habia fallecido entonces) por haber integrado los avances de la investigacion psicologica en la ciencia economica. A traves de multiples experimentos, realizados con otros colaboradores e investigadores, Tversky, Thaler, Rabin, etc., se pudo identificar y ordenar un conjunto de comportamientos incompatibles con la vision maximizadora de la racionalidad. Nos importan los cambios. no solarnente los niveles *.

"Sobre-reaccionamos a los cambios, particularmente a las perdidas. La gente exagera la duraci6n de las sensaciones de ganancias y perdidas, aelva de manera autocentrada, pero no siempre. La relevancia de los * De Pablo, J.e. (2005). Despues de Kahneman y Tversky; GQue queda de la Teorfa Econ6mica? Revista de EstacJistica y Economia, Vol., XLIII. (16)

215

sesgos en las preferencias es obvia en cuanto nos quitamos el sombrero de economista y pensamos como seres humanos. Entre los experimentalistas, el debate sobre si existen desvios sistematicos y cuantitativamente significativos, de la hip6tesis de interes centrado en sf mismo, esta terminado. "(Rabin, 2001). Una de las contribuciones de la "Prospect Theory"* de Kahneman y Tversky, es que los seres humanos distan de decidir utilizando procesos racionales, sino que muchas veces 10 hacen mediante "reducciones heurfsticas". Estos son "atajos cognitivos" ("biases" en ingles c." sesgos, diagonales) que posibilitan a los individuos realizar evaluaciones sobre la base de una 0 varias reglas 0 estructuras basicas evitando asf los costos relativos a la exploracion exhaustiva de un conjunto amplio y complejo de posibilidades y, al mismo tiempo, adaptandose a las circunstancias que el ambiente les plantea. Es el procedimiento humano, alejado de la racionalidad ilimitada, para reducir complejidad e incertidumbre. La informacion necesaria para tomar una opcion u otra no est a siempre a nuestra disposicion, sino que debe ser encontrada y, por 10 tanto, se trata de un ejemplo de restriccion que ofrece el contexto. Esta busqueda de informacion es costosa, y por ello resulta una tarea de principal irnportancia para comprender como tomarernos una decision. Asi, los procesos de busqueda de informacion, cese de busqueda y eleccion se convertiran en las tres principales estructuras de decision dentro de esta teoda. Por esta razon, y sobre la base de la nocion de racionalidad limitada introducida por H. Sirnon en 1955 (3), a estas tres estructuras se las denominara el ABC de los heurfsticos. *En una teleconferencia en 2003, D. Kahneman "confes6" a los autores de este libro que dicho nombre solo habfa sido elegido porque tiene "gancho".

216

Segun Simon, los individuos no siempre buscan la solucion perfecta,

sino que muchas veces se quedan conformes con la primera alternativa

satisfactoria, en lugar de extenderse al maximo 0 buscar hasta

encontrar la mejor solucion posible.

En general los heuristicos resultan muV utiles, pero algunas veces

generan errores severos V sistematicos. Repasamos brevemente los

tres principales, con los cuales se explica la mavoria de los sesgos

sistematicos en las decisiones bajo incertidumbre*.

HEURisTICA DE LA DISPONIBILIDAD

Las personas estiman la frecuencia, la probabilidad, 0 las causas

probables de un evento, segun el grado por el cual las ocurrencias 0

circunstancias de ese evento estan "disponibles" en su memoria. Un

evento que evoca emociones y es vivido, facilmente imaginado, estara

mas disponible en la memoria que otro que es no emocional en

naturaleza, borroso, dificilmente imaginable, 0 vago. (ver caso Numeros

Binarios: Neuquen, Menem, Dinamarca e Iguanas)

a) Facilidad para recordar:

Se juzgan los eventos que son mas facilmente recordados, 0 que

fueron recientemente vividos, como mas numerosos que los de igual

frecuencia cuyos acontecimientos son menos faciles de recordar.

b) Recuperabilidad:

Los individuos estan sesgados en su evaluacion de la frecuencia de los

eventos, segun como sus estructuras de memoria afectan el proceso

de busqueda.

*Sintesis parcial extrafda de una ponencia presentada par los autores en las Jornadas de Epistemologfa 2006 de la FCEUBA. (17)

217

c) Asociaciones presuntas:

Los individuos tienden a sobreestimar la probabilidad de dos eventos

concurrentes segun el numero de asociaciones similares que son

facilmente recordadas, va sea por experiencia, 0 por influencia social.

HEURfsTICA DE LA REPRESENTATIVIDAD

Se estima la verosimilitud de la ocurrencia de un evento por su similitud

con los estereotipos (ver mas arriba: Ana Cajera) Los gerentes usan

esta heuristica cuando predicen el exito de un nuevo producto,

basados en su similitud con tipos de productos exitosos, 0 no, en el

pasado.

d) Insensibilidad a las tasas de base:

Tambien lIamada Ley de los pequefios numeros, se tiende a ignorar las

tasas de base al evaluar la probabilidad de los eventos cuando

cualquier otra informacion descriptiva es provista, aun cuando esta sea

irrelevante. Por ejemplo, cuando se describe una persona, y luego se

pregunta si es ingeniero 0 portero, la gente ignora que en la comunidad

a la que pertenece hay 10 ingenieros y 1.000 porteros, y por

consiguiente es mucho mas probable que independientemente de su

apariencia, de su descripcion, la persona sea portero. (ver mas arriba:

TAXIS).

e) Insensibilidad al tamano de la muestra:

Frecuentemente, se falla al apreciar la importancia del tamafio de la

muestra, al evaluar la confiabilidad de la informacion de la misma.

Segun Rabin, esto describe la tendencia humana a lIegar rapidamente

a conclusiones, a partir de muestras pequefias. (ver mas arriba:

Hospitales V caso Ajedrez - "grandes numeros")

f) Mal concepto de la aleatoriedad:

Los individuos esperan que una secuencia de datos generados por un

proceso aleatorio se vera "aleatoria", aun cuando la secuencia sea

demasiado corta para ser valida estadfsticamente.

218

219

Esto tambien se ve reflejado por la "falacia del jugador", creencia equivocada de pensar que, si en una ruleta varias veces seguidas salio rojo, ello aumenta la probabilidad de que 113 proxima vez salga negro. (Camerer y Thaler, 2003). (ver mas arriba: Jugadores y caso Ruleta Rusa) Regresion a la media: Se tiende a ignorar el hecho de que eventos extremos regresar a la media en

a

h) La falacia de la conjunci6n: Los individuos falsamente juzgan que los eventos eventos Goncurrentes) son mas probables que un de ocurrencias del eual la conjuncion es un

HEUF~isTICA DELANCLAJE Y DEL AJUSTE

Las personas hacen estimaciones comenzando por un valor inicial y para a una decisi6n final. EI valor inicial, 0 punto de haber side sugerido por hist6ricos, por la forma en que el se presenta, par informaci6n aleatoria, etc. En situaciones impacto en la decision si se utiliza como se efectuan los posteriores. cuenta de 10 irracional del Handa", pero a(m as! el a menudo, irracionalmente cerca de ella. i) Insuficiente ajuste del anclaje: Se efectClan estirnaciones de valores basados en un valor inicial (derivado de Ilechos pasados, de una asignacion aleatoria, 0 de disponible) y definiendo, desde ese valor al determinar el valor final.

j) Sesgos de eventos conjuntos y disjuntos Los individuos exhiben un sesgo hacia la sobreestimaci6n de la de eventos conjuntos, y a 113 subestimaci6n de la probabilidad de eventos k) Sobreconfianza:

Los individuos tienden a ser sobreconfiados en la infalibilidad de sus

juicios cuando responden preguntas moderada a extremadamentf:l

diHeiles.

I) La trampa de la confirmaci6n: Los individuos tienden a buscar informacion confirmatoria de 10 que que es e ignoran evidencia no confirmatoria. Percepci6n retrospectiva y la confiabilidad del conocimiento de averiguar si un evento ocurrio, 0 no, los individuos tienden a sobreestimar el grado de confiabilidad can el cual ellos hubieran predicho el resultado correcto. Mas fallan al ianorar la informaci6n que poseen y que otros no tienen, cuando de otros. n) Efecto encuadre 0 Marco: Los objetos sujetos a eJeccion son representaciones mentales, no estados objetivos del mundo. Este sesgo revela una limitacion de la mente hurnana. La misma "realidad", la porcion de la de la forma "IB", es identificada como "[3", cuando aparece "N y "C", Y como "13" cuando aparece entre "12" y "14". La del marco de referencia y la evaluaci6n intuitiva de los resultados tambien. Los encuadre no son una curiosidad de laboratorio, sino una realidad (Kahneman,2003) n) Efecto reflexi6n: Aparece cuando el decisor enfrenta, no s610 ganancias, sino tambien perdidas. EI efecto implica que la aversi6n al riesgo, frente a alternativas con ganancias, implica tambien la preferencia por el frente a alternativas can perdidas (ejemplo: el ser humane perder $ 4.000, con probabilidad 0,8, a perder $3.000 con seguridad).

22~O:~~ ___ ~__ . . _..........

221

XIII -lQUE ES LA TEORIA DE LA DECISION? Cambiando los signos de todos los resultados de un par de juegos, casi siempre cambia la preferencia, de aversi6n al riesgo, a busqueda de riesgos . La respuesta a las perdidas, es consistentemente mucho mas intensa que la respuesta a la correspondiente ganancia, con un de la funci6n de valor en el punta de referencia Esto explica tanto el status quo. ALGUNAS CONCLUSIONES Reconocernos incurriendo en sesgos puede resultar inquietante, pero no tanto como advertir que se trata de fen6menos cognitivos que los re~levamientos estadisticos muestran como ampliamente generalizados y afectan a la mayoria de las personas. Desde luego, ser conscientes de ello puede resultar en 51 mismo un mecanismo superador, si se 10 aplica con los recaudos que supone el uso prescriptivo de 10 descriptiv~. Las herramientas desarrolladas durant~ el presente trabajo pueden resultar un auxilio significativ~ en tal sentido.

conjunto de conocimientos, conceptos y metodologfas propios que integran la Teorla de la Decisi6n, como disciplina autonoma, reconoce diversas vertientes de apoyo tanto en las denominadas ciencias formales como en las humanistico - A 10 largo del curso de Teorfa de la Decisi6n puede advertirse las rnatematicas y la estadlstica (en particular el calculo de probabilidades y el calculo combinatorio), los aportes de la filosoffa, la psicologia, aun de la fisica y las mas modern as cibernetica e informaCion, la propia administracion claro, entre otras, forman parte de los elementos de base en esta construccion. Y tambien que esta conjuncion eclectica se fusiona en el hecho central de una actividad inherente a la propia naturaleza hombre: Sin embargo, ese perfil autonomo solo comenzo de manera ineipiente en algunas elaboraciones aisladas en anos cuarenta, para tomar cuervo a partir de la decada del 50 y consolidarse en los 60. La partieularidad de que los primeros autores e investigadores provinieran del campo de la economfa y de la entonces muy joven e incipiente Ciencia de la Administracion, y sus inevitables referencias a esos campos del conoeimiento, hieieron que la naciente Teorfa de la aferrarla basicamente al Decisi6n adquiriera un estereotipo que terreno economico-empresario-organizacional. su apreciaeion se via aun mas consolidada por el hecho de incorporacion como materia a planes de estudio, tanto de grado como de posgrado, se fue produeiendo inicialmente en las diversas carreras de las denominadas Ciencias Economicas. Por ello, en nuestro curso muy tempranamente se aclara que la Teoria de la Decision es esencialmente una teoria decididor. Y . decididores somos tados, cualquiera sea nuestro principal campo de

222

actividad y aCm en los campos en los que actuamos e intervenimos social e individual mente. No es diffcil, si nos detenemos un instante a pensar en ello, comprobar que ocupamos una pOl"cion significativa de nuestros tiempos personales en tamar decisiones de cualquier indole. Algunas de elias pueden resultar triviales, otras mas trascendentes y hasta puede suceder que nuestro trabajo profesional, de cualquier esfera, por el cual nos pagan, consista basicamente en tomar decisiones 0 asesorar a quienes deben tomarlas. Las situaciones de decision, de cualquier naturaleza y grado de significatividad, son el sustrato y el decididor que las enfrenta es el epicentro de la Teoria de la Decision. Y ello es as! porque nuestra disciplina no se refiere a contenidos sino a formas. De 10 que se trata, pues, es de reflexionar acerca de la forma como las decisiones son tomadas y, principalmente, de como debieran 5e!" tomadas independientemente del objeto sobre el cual se debe decidir. Siendo asi, nuestra materia adopta un caracter formal y teorico cuya orientacion es esencialmente normativa y metodologica. EI hecho de que su desarrollo y exposicion Ileve a un permanente planteo de ejemplos y casos de aplicacion, no la convierte en una mera tecnica de caracter practico. Mas aun, tales ejemplos y casos -aqu! solo hemos tratado los que son inherentes a la tematica que nos ocupa- , refieren a contenidos que bien pueden ser seleccionados en funcion de una orientacion profesional 0 una esfera de actividad particular. Pero siempre, dichos contenidos pueden ser de cualquier indole pues no es sobre ellos que la materia norma.

223

La esencia de la Teoria de la Decision, su aporte trascendente, es la elaboracion de un modele general que asista al hombre en cuanto decisor. La Teor-fa de la Decision no pretende indicarle al decisor glli;_ es 10 que debe decidir, sino COI"D_9_ debe hacerlo, auxilic:mdolo con sus instrumentos. Par ello, tarn poco busca imponer una estructura de preferencias, ni una escala de valores y ni siquiera una racionalidad (mica e inviolable, que, por otra palie, no existe al alcance de los humanos, al menos en su actual estadio de evolucion. Las preferencias seran las que el decididar establezca de acuerdo a su particular vision del mundo y a la escala de valores que haya heredado del contexto sociocultural que 10 forma. En consecuencia, la racionalidad aplicable sera la que surja de su propio esquema de preferencias y tan limitada como sus posibilidades de percepcion del universo que 10 rodea. A 10 sumo, y circunscripto a esas restricciones, la Teoria de la Decision Ie entregara un esquema metodologico adecuado y consistente, mas un cuerpo axiomatico que, como luces amarillas y no dogmaticamente, advierta al decididor dentro de una construccion fundada y 10 resguarde de cometer violaciones a la logica de sus propias preferencias y racionalidad. Desde esta vision, las decisiones no pueden ser evaluadas ni etica ni moralmente, y, especial mente, tampoco por la bond ad de los resultados obtenidos, sino por la forma en que fueron tomadas. Ejemplifiquemos: LComo juzgarfa usted la decision de alguien que, frente a la posibilidad de un premio unico cuya obtencion depende de acertar el color de bolilla que extraera de una urna en la cual hay 30 bolillas blancas y 70 negras, resuelve apostar al color blanco? LDirfa Ud. que el decididor es racional? L Y si gana, pensaria 10 rnismo? L Y si tal decididor fuese un empleado de su empresa que recurrente y

-----------------------------------------------------------------~--~-----

225

224 -------------.~.--.----

rutinariamente debe tomar esa decisi6n y siempre aplica el mismo criterio? si el decididor Ie explicara a usted que, mas alia de las probabilidades objetivas aplicables al caso el tiene la intima convicci6n, la creencia, la intuici6n, que va a extraer una bolilla blanca? (,Si asi es como cree, es racional apostar a 10 contrario? GY es racional tener tales creencias 0 convicciones? L Y si el premio a obtener fuese diferencial, por ejemplo, mucho mayor en el caso de obtener una bolilla blanca? Muchas preguntas. Las respuestas no son Decisi6n trata sobre ello.

y buena parte de la leoria de la

Entonces, parece claro que el distingo entre la forma como las decisiones se toman y la forma como deberian ser tomadas no es ocioso. Esta dlstinci6n entre el "ser" y el "deber ser" ha dado lugar a una presunta fractura en los enfoques y en los abordajes con que esta disciplina se ha desarrollado (decimos presunta pues al tratar el tema se aprecia que tales enfoques pueden entenderse complernentaria mente). Explicar como los hombres deciden es una forma descriptiva de analizar el problema. como los hombres deberian decidir, si pretenden ser coherentes con su propia subjetividad y con su propia racionalidad, es una forma prescriptiva de entenderlo.

Podemos preguntarnos Lque es 10 que ha hecho necesario el tener una disciplina especffica para apoyar al hombre como decididor?

o dicho de otra forma, desde que el hombre es hombre, a 10 largo de la historia, se las ha ingeniado para tomar sus decisiones. LSera entonces necesaria, ahora, una Teoria de la Decisi6n? una parte, si bien es cierto que hasta hace 60 atlaS no habra, como tal, una Teoria de la Decisi6n, eso no quiere decir que de haberla habido las decisiones no se hubiesen tomado, de una forma. Pero, en realidad, desde que el hombre vive en grupos sociales siempre hubo pautas acerca de c6mo decidir. Desde luego, esa normativa adoptaba otras formas distintas a las de una concepci6n academica te6rica y mucho mas ligada a las pautas culturales, religiosas imperantes en cada epoca, lugar y sociedad. De cualquier modo, la fortaleza conceptual de la modelizaci6n con la la TD norma para el tratamiento de los procesos decisorios tiene, a pesar de todo, una debilidad pues queda finalmente dependiendo de la validez de los datos que tales modelos puedan recibir como input. aqui la raz6n de la importancia que el razonamiento combinatorio y el analisis de complejidad tienen para el modele general de decisi6n.

La Teoria de la Decisi6n constituye una escuela de pensamiento que suscribe este ultimo enfoque de naturaleza prescriptiva, normativa y formal.

Parece bastante obvio que par muy buena que sean la computadora y sus prograrnas, dificilmente produciran resultados validos y correctos sl los datos ingresados no son los pertinentes 0, simplemente, estan equivocados.

enfoques, como la denominada Teoria de la Elecci6n Racional de H. Simon y continuada, entre otros, por los ya citados Kahneman y Tversky, abordan el terna desde una perspectiva socio psicologica de la organizacion y con metodologias descriptivas, 0 sea por relevarniento empirico y descripcion de los procesos decisorios de las personas,

el decisor, en realidad Desde luego, siendo la TD una teoria del y es una teoria del decisor, los datos que ingresan al modele de procesamiento decisorio son aquellos que el propio decisor incorpora.

227

226

APENDICE Ahora bien, ~que sucede si los datos a ingresar se ven afectados limitaciones teenicas del decisor 0 por la impranta subjetiva que este les pueda imprimir 0 por la presencia de sesgos cognitivos generalizados tales como los descriptos por Kahneman y Tversky? La respuesta es obvia. EI caso es que el conjunto de las teenicas asociadas al an<3lisis de complejidad, provenientes desde las matematicas discretas, el calculo combinatorio, la variedad y los procedimientos de conteo, se revelan .. de varias maneras- como un preventivo sumamente efectivo en cuanto a evitar los inconvenientes planteados en nuestra pregunta del parrafo anterior. De alii la importancia que, aun desde su adjudicamos.

ral instrumental,

Ie

A) FORMULAS COMBINATORIAS Camencemos por Pm

=n!

Tenemos que acomodar

F5 letras A, B, C Y 0 en cuatro casilleras.

Todas, los 4 elementos tienen que estar. Pera hay distintos 6rdenes

posibles. Hay distintas formas ordenar los elementos. L Cuantos

6rdenes son?

Analizemos:

Podemos ubicar una de las letras, p/ej. B, en cualquier de los 4 lugares.

Hay 4 formas de ubicar la B.

Luego seguimos con otra letra, p/ej. D. Ahora solo nos quedan 3

lugares para eleglr.

Cada una de las 4 formas de ubicar la primera letra puede estar

acompanada por 3 formas de ubicar la segunda.

Hasta aquf, tenemos 4.3 = 12 formas de ubicar las 2 primeras letras.

Para ubicar la tercera nos quedan 2 lugares y ya son 24 las formas de

ubicar las 3 primeras letras .. 4 . 3 . 2.

Para la ultima solo queda un luaar: 4 . 3 . 2 . 1 := 4! Pm

=

Sigamos can Vn,m F7

Supongamos que para celebrar el Dia (A,B,C, ...... H) deciden que cada uno de demas. ~Cuantos regalos se entregaran?

Amigo ocho amigos

Ie hara un regalo a los

Para poder cumplir can la promesa cada uno los amigos debera

comprar siete regalos. Luego Lcuc~mto regalos compran entre todos?

228

229

Es obvio: 8 7 = 56

Para expresar esto formalmente diriamos: Vn

=n .

) (1)

Tambien es obvio que el regalo que, por ej., A Ie hace a B es uno de

los 56. Como tambien 10 es el que B Ie hace a A.

De modo que el regalo AB no es el mismo regalo que SA.

Como se aprecia, la combinacion AS es distinta que BA.

Volvamos ahora a la expresion (1)

AI escribir n. (n-1) me siento inclinado a aprovechar la funcion factorial

y reemplazar n. (n··1) por n!

Pero ambas cosas no son 10 mismo: 8. 7 no es igual a 8.7.6 .... 2.1.

Sin embargo, puedo emplear un artificio: divido 8.7.6 .... 2.1 sobre 6 .... 21. Y asi nos queda: Vn,m = (n--m)

Pasemos ahora a FA : Cn,m

= m' . (n-m)!

Partamos de la FT

Ya sabemos que dicha formula recuenta todas las formas de

seleccionar m elementos de un grupo de n elementos, incluyendo el

recuento de los distintos ordenes que cada grupo pueda tener

internamente.

Pero ahora supongamos que dicho orden no nos interesa.

P/ej., tenemos que seleccionar 2 personas de entre 5.

Si aplicamos F7 obtendrernos el numero de grupos distintos de 2

personas que podemos conformar, incluyendo el hecho de considerar

como distintos a los grupos compuestos por la mismas personas pero

con distinto orden interno.

Pero dijimos que tal orden ahora no nos interesa puesto que, a los efectos de nuestro problema, el grupo AS es tambien el grupo BA. En tal caso debemos "despermutar" nuestra formula resultado por Pm= m

n!

. _ _In.:rnlL m!

=

n! (n-m)1

_1__. :::; m!

dividiendo el

_---'-''--__ :::; Cn, m m! . (n-m)I

F4

B) LOGARITMOS Aun con el perjuicio de perder algun rigor academico, ya que nuestra intencion es una explicacion simple e intuitivamente perceptible de esta herramienta, comencemos por definir que es un logaritmo: Dado un numero positivo (no existen ··rIO estan definidos- los logaritmos de numeros negativos) al que lIamaremos A y otro numero positivo B al que lIamaremos "base" se define como logaritmo base B de A al exponente al cual hay que elevar B para obtener A. Ejemplifiquemos: si A:::: 1.000 y B :::; 10 entonces EI logaritmo base 10 de 1 000 es el exponente al cual hay aue elevar 3 10 para obtener 1. 000 0 sea 3, ya que 10 1.000 EI antilogaritmo base 10 de 3 es -I. 000, 0 sea la operacion inversa. A partir de esta definicion podriamos decir que cualquier numero (entero 0 no, pero positivo) puede operar como base de logaritmos. Sin embargo, los mas utilizados son los logaritmos base 10 Y logaritmos naturales 0 neperianos (In) que utilizan como base el numero e = 2,71828

231

2.10

Pero nosotros, para su aplicacion al calculo de variedad utilizamos logaritmos base 2 debido a las justificaciones expuestas en el punto V. Esto podria aparecer como un problema, ya que la mayoria de las calculadoras cientlficas de mano solo incluyen funciones para el calculo de logaritmos de base 10 Y neperianos.

~ es de una base a otra

se supera facilmente ya que una propiedad "\",rtYlitnn reconvertir sus pasando seglJn

Por ejemplo: para convertir un logaritmo de base 10 en uno de base 2 solo tenemos que multiplicarlo por 3,322. As!, log2 1 . 000::: 109101.000 . 3,322 ::: 9,966 Desde luego, para convertir un logaritmo de base 2 en uno de base 10 hay que dividirlo par la constante 3,322

que tenemos el siguiente producto: 5 x 6 = 30 otra via: 5 + IOg1O 6::: 0,6989 + 0,7781 1,4770 Calculamos ahara el antilog 1o 1 ::: 30 Como puede apreciarse, 10 que resolvimos como numeros naturales 10 podemos obtener igualmente como ...,rli,...iA .... via de logaritmos. Esta propiedad es muy apropiada y utilizada en el tratamiento de grandes numeros. Analogamente, la potenciaci6n y la radicaci6n de los numeros naturales se resuelven como producto y cociente en el campo de los logaritmos:

3

c;

'::1 ._'

\J 27

En el siguiente grafico se detallan las principales relaciones de conversion

(ver caso BALANZA Y

Cor··HHANTES DE

C) PROBABILIDADES

2

~ ~~

En este apartado intentaremos exponer una breve recopilaci6n de los aSIOelGto,s basicos relacionados con el calculo de probabilidades desde una

><

Como se recardara, segt:1t1 dijimos en el conceptuales de abordar la noci6n de

%

x ~

Cornentamos ahora una propiedad de los logaritmos

los efectos de la definicion de la formula de Entropia

.....7

10

III existen tres

EI mas abierto de ellos es el enfoque keynesiano 0 subjetivo, el cual la probabilidad de ocurrencia de un suceso, su propensi6n a suceder, resulta de lIna estimaci6n propia y subjetiva de qllien la formula, basad a en conocimientos, experiencia 0 lin "razonable grado de creencia".

232

2.B

Si bien esta concepcion resulta de aplicacion, por parte de la Teoria de la Decision, a situaciones decisorias en un ambito de incertidumbre, no 10 es espedficamente en los temas abordados en el desarrollo de este trabajo.

tipo de probabilidades son sumamente aplicadas y aplicables pero quedan limitadas a la medicion probabilistica de eventos repetitivos y sujetas a la bond ad tecnica de los procedimientos empleados en el relevamiento empirico.

Un segundo enfoque es el que propone la noci6n frecuencialista de la probabilidad, apoyado en los mecanismos de relevamiento estadisticos y muestrales.

Justamente, un defecto frecuente se observa en las estimaciones de probabilidades basadas en errores procesales y, especialmente, en tamafios de muestras inapropiados, que lIevan a conclusiones incorrectas.

Ejemplifiquemos para mayor claridad. Supongase que a 10 largo de un ano se efectu6 el recuento del numero de ninos que mueren en una determinada localidad 0 region antes de cumplir el ana de vida. Por ejemplo, digamos tres casos. AI mismo tiempo, se relevo el numero de casos de ninos que alcanzan el ano de vida en dicha region, por ejemplo, mil. Luego, vinculando ambas variables establecemos que el porcentaje de muertes antes del ana de vida fue del 0,3 % 10 que es 10 mismo, la mortalidad infantil en tal region y tal perfodo fue del 3/1000.

°

Lo mismo porcion de

hacerse sin recontar a toda la poblaci6n sino a una que opere como muestra.

EI destacado en negrita tiene por objeto remarcar la idea de que los datos consignados se refieren a sucesos ocurridos y relevados empiricamente. La aplicacion de probabilidades frecuenciales se basa, precisamente, en extrapolar una frecuencia relativa empfrica como la obtenida para su aplicaci6n prospectiva a la medicion de la propension a suceder de un determinado evento. Entonces, decimos la probabilidad de que un nino muera antes ario de vida en dicha no cambian las condiciones generales, sanitarias, es 0,003.

AI respecto, puede verse 10 comentado en el capitulo XII sobre el sesgo cognitiv~ conocido como la "insensibilidad a los tamarios muestrales". sin embargo el clasico enfoque laplaceano el que concentrara nuestra mayor atencion aqui, Dara referirnos a las denominadas probabilidades objetivas. EI concepto de probabilidad exige considerar la naturaleza matematica del fen6meno cuya propension a suceder se pretende mensurar. La probabilidad de ocurrencia de un determinado suceso podria definirse como la proporci6n de ocurrencia de un suceso determinado (casos favorables) entre todos los posibles. Por definicion, entonces, la probabilidad se mide por un numero entre cero y uno: si un suceso no ocurre nunca, su probabilidad asociada es cero, mientras que si ocurriese siempre su probabilidad seria igual a uno. Asi, las probabilidades suelen ser expresadas como fracciones 0 porcentajes. La probabilidad de obtener cara al arrojar una moneda recuenta solo uno de los comportamientos posibles cumple el requisito favorable) en el numerador y que dos son el total de comportamientos posibles en el denominador. Luego P

1/2

=0,5

235

B4 Esta expresi6n encierra una idea basica: los dos comportamientos posibles son igualmente posibles 0 equiprobables. Si la moneda estuviese cargada, entonces uno de los dos comportamientos tendria mayor propension a suceder que el otro y la expresi6n anterior perderfa consistencia. l,Que sucesos

ud. para conocer las probabilidades de en una moneda cargada?

uno de los

Efectivamente, podemos apelar a los mecanismos de las probabilidades frecuenciales comentados mas arriba., es decir la moneda un numero significativamente impoliante de veces (tener en cuenta 10 dicho sobre tamano de la muestra) y verificar entre ellos que porcentaje relativo tuvo cada uno de los dos sucesos posibles. Dichos porce}1tajes pueden luego aplicarse como estimaciones probabilisticas.

Esto demuestra que a medida que aumenta et nLlmero de experiencias los resultados tiene cada vez menos propensi6n a alejarse de la media, o 10 que es 10 mismo, la distribuci6n empirica tiende a acercarse a la probabilidad aprioristica. Par tal motivo, cLianto mayor es el numero de experiencias (cuanto mas extendida es la rnayores garantias tendremos en la validez del procedimiento de estimacion. Volvamos a nuestra moneda normal. Observemos que la probabilidad de los dos sucesos posibles deben sumar 1 (0,5 + 0,5), 10 cual es pero tambien bueno de tener presente cuando la cuesti6n sea mas compleja, ya que establece un axioma basieo del calculo de probabilidades cuando dos 0 mas sucesos son mutuamente excluyentes (0 sale cara 0 sale seea pero no pueden superponerse), entonces la suma de sus respectivas probabilidades debe ser igual a 1. Esto tambien es valido en sucesos no equiprobables. Ej. La probabilidad de muerte infantil es 0,003 y la de no muerte infantil es

l,Porque eXlgimos que el numero sea grande? SI arrojamas una moneda normal 10 veees no serfa tan extrano que saliera, por ejemplo, 7 caras y 3 secas. Hay una determinada probabilidad de que ello ocurra (Iuego la calcularemos). Si acurre, la estimaci6n te6rica a confrontada can una frecuencia empfrica

P 5 Y 5 casos se 7 y 3 casos.

bien, l,Sera esto igual en el caso de que arrojemos la 100 veces? Puede ocurrir que salgan 70 caras y 30 secas. Hay una determinada prababilidad de que asi suceda (Iuega la calcularemos). esta probabilidad igual a la anterior. La respuesta es no. Luego comprobaremos que esta segunda distribuci6n ernpfrica es altisimamente mas improbable que la <=Intor;..,

Veamos ahara que sucede si arrojamos dos monedas. Tenemos dos formas de considerar el caso (ver TRES J?\UU0 en sus dos versiones).

a) las monedas se arrojan juntas.

b) las manedas se arrojan sucesivamente (0 bien la misma dos

veces seguidas).

En el primer casa, podemos obtener tres resultados diferentes a saber:

Dos caras, dos secas y una seca y una cara. Los tres sucesos son

mutuamente excluyentes y sus probabilidades respectivas suman 1.

Podriamos pensar entonees que cada uno de los tres sucesos tiene 1/3

de probabilidades ocurrir

237

236

Ocurre que no es as!, porque para que se verifique el primer suceso (2 caras) hay una sola forma posible: que la moneda A salga cara y la moneda B salga cara, para que se verifique el segundo suceso (2 secas) es necesario que A salga seca y B salga seca. En cambio, para que se verifique el tercer suceso (una seca, una cara) hay dos conformaciones que 10 pueden producir: A cara y B seca 0 A seca y B cara.

Supongamos que nos preguntan cual es la probabilidad de que al hacer esto obtengamos por 10 menos una cara. Pienselo, luego volvemos sobre esto.

En realidad, como resultado del experimento podemos obtener las siguientes configuraciones: 1a Moneda cara cara seca seca

Siendo asi, diriamos que el fenomeno no es equiprobable y el tercer suceso tiene una probabilidad mayor de ocurrir. Para comprender como calcular estas probabilidades debemos entrar en el terreno de las probabilidades conjuntas.

2 a Moneda cara seca cara seca

~Dirjamos ahora que las cuatro conformaciones son igualmente

posibles?

La respuesta es: sf. Son cuatro sucesos conjuntos mutuamente

excluyentes e igualmente probables.

PROBABILIDAD CONJUNTA Luego la probabilidad de Gualqlliera de ellos es 1/4 La probabilidad conjunta de dos sucesos es la probabilidad de que ambos se verifiquen simultaneamente. Va de suyo que no estamos hablando de sucesos mutllamente excluyentes ya que estos no pueden, por definicion, ocurrir simultaneamente, sino de sucesos independientes.

PCC 0,25

PCS 0,25

PSC 0,25

0,25

PSS 0,25

Si embargo, tenemos otra forma de lIegar a la misma conclusion. Si dichos sucesos son independientes, entonces la probabilidad conjunta de ambos se calcula como el producto de sus respectivas probabilidades individuales: P IAnB)

= PA

. PB

LCual es la probabilidad de que la 1a moneda sea cara? Obviamente: 0,5 cual es la probabilidad de que la 2 a moneda sea cara? TambiEm 0,5

LQue significa que dos sucesos son independientes'?

Que la ocurrencia 0 verificacion de uno de ellos no afecta, ni

condiciona, ni influye, ni esta correlacionada COil la ocurrencia del otro.

~Son estos dos sucesos independientes? Absolutamente si. Lo que ocurra con la 1a moneda no influye ni condiciona 10 que ocurra con la

Para ejemplificar, pasemos a nuestro segundo experimento arrojando

las dos monedas en forma sucesiva.

Siendo as!, la probabilidad conjunta de esto dos sucesos es:

2a .

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

238

239

p(PCn2 8 C)= P1 a C. P2 a C=

0,5

=

Esto se lee: La probabilidad conjunta de que la primera moneda sea cara y la segunda sea cara es igual a la probabilidad de 1° cara par 2 8 cara (de paso, relacione la y yel por senalados en neg rita). Desde luego la operaci6n es idemtica para las cuatro canformaciones.

CCSCSCCCCS de

GCual es la

esta secuencia en

se

Pues: Pc . Pc . Ps . Pc .

. Pc . Pc . Pc . Ps :::

0,5.0,5 . 0,5 . 0,5 . 0,5 . 0,5 . 0,5 ::: 0,5 10 de dos caras es a) Si arrojamos las monedas juntas la de una cara 0,25: la probabilidad de dos secas es 0,25 y la y una seca es 0,25 + 0,25 ::: 0,5 porque reune formas que cumplen con el requisito de mostrar una cara y una seca. b) LFrente a este ultimo experimento, cUEd es la probabilidad de obtener par 10 menos una cara? Basta can notar que hay tres conformaciones que cumplen con el requisito (hay tres' casos favorables). PCC + PCS + PSC = 0,25 + 0,25 +0

0,75

En realidad, para calcular esto mismo, apelar a un mecanisme mas practico que consiste en restar de 1 la probabilidad del suceso que no cumple con el requisito (caso desfavorable):

LY la probabilidad de que salga esta distribuci6n? SCCCCCCCSS

10 adivin6: tambiEm el problema se reduce a hay can 7 caras y 3 secas:

distintas

Pues, Ci0,? (0 tambien C10,3), las siete posiciones de entre diez en

que solo se trata de seleccionar que ubicaremos una letra C

Hay C10,7 = 120 cadenas, todas las cuales tienen una probabilidad de ocurrir de 0,0009765.

10 tanto, la probabilidad de obtener 7 caras al arrojar 10 veces una moneda es de:

1 PSS::: 1 - 0,25 = Este procedimiento es conocido como el calculo de la probabilidad disjunta y tiene amplia aplicacion practica, como se ve en el Capitulo X para el calculo de las probabilidades de coincidencia de cumpleanos. c) Ahora podemos calcular la probabilidad de arrojar 10 veces una moneda y sacar 7 caras y 3 secas. Una de las conformaciones que sucesivo:

::: 0,0009765

120.

0,1172 (1)

Por economia de palabras ud. calcular si mismo procedimiento), Ie informamos que la caras y 30 secas arrojando 100 veces sucesivas una rnr.n.cf"i

el requisito es, en orden C100,70.0,5 100

0,00002317

(2)

240

241

Par favor compare (1) Y (2) Y recuerde el comentario que hicimos mas arriba sobre el tema.

PROBABILlDADES CONDICIONALES probabilidades condicionales resultan de aplicacion al h~f~~ sucesos que no son independientes, es decir, sucesos alguna forma de mutua tal que la la el tema nos de un ejemplo: el grafico siguiente datos (ficticios) un relevamiento realizado entre los que desarrollan sus cursos en el sector rodeado por las Viamonte, Junin, M. T. de Alvear y Azcuenaga de la Caprtal Como se sabe, alii funcionan las Facultades de Ciencias Economicas, Medicine (y Odontologia, Bioquimica, etc. ) y Ciencias Sociales.

E

T I O,E>

tv1

0,2

L-"

...,:::1

T

0,:3

La interpretaci6n de los datos es la siguiente:

Del total de alumnos (100% 1), el 60% ::: 0,6 son varones y el L].r IU/,., :::::

0,4 son mujeres. 2 Del total de alumnos (1), el 50% 0,5 estudia economicas, el estudia medicina y el 30% ::: estudia sociales. Los datos del interior de la en el sector de trazos fin~s, representan los porcentuales combinados de las dos variables

consideradas y suman, tanto horizontal como verticalmente. los porcentajes consignado en los totales P/ej., el de los alumnos estudian economicas y son varones. EI 1 los alumnos estudian economicas y son mujeres. EI 15 % de estudian medicina y son varones. EI 20% de los alumnos estudian sociales y son mujeres. Etc. tPorque senalamos las "y" en negrita? Con ello queremos resaltar el hecho de que el porcentaje se refiere a la reunion en forma conjunta de dos atributos. Por favor, retengase este dato Ahora vamos a hacernos algunas preguntas para el cuadro. loSi seleccionamos un alumno al azar, cual es la probabilidad de que sea varon? Obviamente loSi seleccionamos un alumno al azar, cuill es la probabilidad de que sea estudiante de medicina? Obviamente 0,2. seleccionamos un alumno al azar, cuill es la probabilidad de que sea varon y estudiante de medicina. Obviamente 0,15, ya que el 15% de los alumnos son varones y estudian medicina. Este 15% empirico, que asumimos como probabilidad frecuencial,es una probabilidad conjunta. (prob de var6n y estud. de medicina). Sin embargo, debemos observar un detalle significativo: La probabilidad conjunta de estos dos sucesos, a) ser varon y estudiar medicina, no es el producto de las probabilidades de cada uno de los sucesos par separado. (0,6 x 0,2 no es igual a 0,15) es la raz6n? estos dos sucesos no son independientes y la ocurrencia uno de ellos afecta la probabilidad de presentarse del otro. Ejemplifiquemos mirando nuestro cuadro y deduciendo: Sabemos que la probabilidad de seleccionar al azar un var6n es de Ahora bien supongamos que seleccionamos un alumno al azar y este resulta ser estudiante de economicas, Leual es la probabilidad de que tambien sea varon? 0 dicho de otra manera. si se un

242

24J

y se cUmple la condici6n de ser estudiante de economicas, es la probabilidad de que sea varon? Veamos: 5i el alum no seleccionado es estudiante de economicas, entonces forma parte del 50% del total sigue dicha carrera. Y si de cada 50 que estudian econ6micas son varones, entonces el = 0,7. porcentaje de varones en econ6micas es de Luego la probabilidad de 5eleccionar una var6n es de 0,6, pero 5i se el estudiante es de econ6micas entonces la cumple la condid6n de probabilidad es de Formalizando la relaci6n establecida:

= PE

0,35 0,50

=0,7

Que se lee de esta manera: la probabilidad de V, si se cum pie la condici6n E (representada por I III I Ital quell) es igual a la probabilidad conjunta de E y V sobre la probabilidad total de E A la inversa, la probabilidad de que un alumno medicina es de 0,5. Pero si 5e cumple la condici6n de que el seleccionado es entonces la probabilidad de que estudie medicina es de 35/60 0,5833 ya que de cada 60 varones 35 estudian Que formal mente es:

PV

0,35 = 0,6

Ambas formulaciones reciprocas son la expresi6n del conocido ; Teorema de Bayes cuya extremadamente importante en el am3lisis correlacional ampliamente utilizado en campos como la medicina (correlaci6n sfntomas/patologias, etc.) la informatica (programas anti-spam, etc. ) e infinitos mas.

Su desconocimiento es fuente del sesgo descripto por Kahnernan y rver-sky como de "insensibilidad a las tasas de base". Aplicando la f6rmula bayesiana al caso de los TAXIS relatado en el X vernos que la probabilidad de que el taxi responsable del accidente sea un taxi azul, tal como 10 afirma el testigo (80% confiable) resulta ser de:

245

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