GRAVITACIÓN UNIVERSAL
LEY DE LA GRAVITACIÓN GRAVITACIÓN UNIVERSAL Su enunciado es: "La fuerza con que se atraen dos objetos es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa". En la figura se dibuja la fuerza F que la masa M realiza sobre la masa m, situada a una distancia r de M.
Naturalmente, por la le de acci!n reacci!n, sobre M actuar una fuerza igual contraria a F , que no #emos dibujado para simplificar la figura. $ es la constante de gravitaci!n universal vale %,%&'() *(( N m+ -g+. Ejercicio 8: Calcula la fuerza con que se atraen dos esferas de hierro de 6 kg cada una situadas a una distancia de 25 cm. Ejercicio 9: ¿Con qué fuerza se atraen dos cuerpos separados 0,5 m y cuyas masas respectias son 5 y !0 kg" Ejercicio 10: #os masas de 5 y 6 kg se atraen con una fuerza de 6,$%!0 &$ ' ¿( qué distancia se encuentran"
EL PESO DE LOS CUERPOS Y LA GRAVEDAD La f!rmula de Neton es vlida para e/plicar la atracci!n gravitatoria entre dos astros o la que e/iste entre un objeto peque0o, por ejemplo, una manzana la 1ierra. Sabemos que el peso 2 de un cuerpo viene dado por el producto de su masa por la aceleraci!n de la gravedad:
2ero, al mismo tiempo este peso puede calcularse por la le de Neton: donde M es la masa de la tierra r su radio. 3gualando obtenemos: 4 despejando la aceleraci!n de la gravedad nos queda ¿#)nde es mayor la graedad terrestre en la orilla del mar o en la cima de una monta*a"
¿+n qué unidad se mide el peso" ndica si es una magnitud escalar o ectorial, -ustificando la respuesta. Ejercicio 11: a masa del /ol es 2%!0 0 kg y su radio 6,16%!0 m. ¿Cu3l es el alor de g en su superficie" ¿Cu3nto pesar4a all4 un o-eto de 50 kg" Ejercicio 12: ¿Con qué fuerza se atraen el /ol, cuya masa se indica en el e-ercicio anterior y la ierra, de 6%!027 kg de masa, si est3n separados por una distancia de !50 millones de kil)metros" Ejercicio 13: 8na persona pesa en la superficie terrestre 650 '. ¿Cu3nto pesar3 en la luna saiendo que all4 la graedad es !,6 m9s2" Ejercicio 14: +l peso de un o-eto en un determinado planeta es el dole que en la ierra. ¿Cu3l ser3 el alor de la graedad en dicho planeta" Ejercicio 15: +l radio de :;piter es $%!0 $ m y su masa !,1%!0 2$ kg. ¿Cu3nto pesar3 all4 un cami)n de toneladas" Compara el resultado con el peso del cami)n en la ierra.
LECTURA PARA MOTIVACIÓN ¿POR QUÉ CAEN LOS CUERPOS Y SE MUEVEN LOS ASTROS? SEGÚN una famosa leyenda, Isaac Ne!on, sen!ado "a#o un man$ano, med%!a"a so"&e la fue&$a 'ue mue(e a los as!&os en el c%elo, cuando (%o cae& una man$ana al suelo) Es!e suceso !an !&%(%al fue *a&a +l la cla(e del *&o"lema 'ue le %n!&%a"a- se d%o cuen!a de 'ue el mo(%m%en!o de los cue&*os celes!es es &e%do *o& la m%sma fue&$a 'ue a!&ae una man$ana al suelo- la fue&$a de la &a(edad) Ne!on descu"&%. 'ue la &a(%!ac%.n es un fen.meno un%(e&sal 'ue no se &es!&%ne a nues!&o *lane!a) Aun s%endo *oco (e&a$, es!a leyenda %lus!&a uno de los acon!ec%m%en!os 'ue se/alan el nac%m%en!o de la c%enc%a mode&na- la un%.n de la f0s%ca celes!e con la f0s%ca !e&&es!&e) An!es de Ne!on, nad%e 1a"0a sos*ec1ado 'ue la &a(%!ac%.n es un fen.meno %n1e&en!e a !odos los cue&*os del Un%(e&so) Muy *o& el con!&a&%o, du&an!e la Edad Med%a y aun 1as!a !%em*os de Ne!on, se ace*!a"a el doma de 'ue los fen.menos !e&&es!&es y los fen.menos celes!es son de na!u&ale$a com*le!amen!e d%s!%n!a) La &a(%!ac%.n se %n!e&*&e!a"a como una !endenc%a de los cue&*os a ocu*a& su 2lua& na!u&al2, 'ue es el cen!&o de la T%e&&a) La T%e&&a e&a el cen!&o del Un%(e&so, al&ededo& del cual %&a"an los cue&*os celes!es, a#enos a las leyes mundanas y mo(%dos s.lo *o& la (olun!ad d%(%na) Se *ensa"a 'ue la .&"%!a de la Luna ma&ca"a la f&on!e&a en!&e la &e%.n !e&&es!&e y el c%elo em*0&eo donde las leyes de la f0s%ca conoc%das *o& el 1om"&e de#a"an de a*l%ca&se) En el s%lo 3VI, Co*+&n%co *&o*uso un s%s!ema 1el%oc+n!&%co del mundo se4n el cual los *lane!as, %ncluyendo la T%e&&a, %&a"an al&ededo& del Sol) El modelo de Co*+&n%co desc&%"0a el mo(%m%en!o de los as!&os con &an *&ec%s%.n, *e&o no of&ec0a n%n4n %nd%c%o del mecan%smo &es*onsa"le de ese mo(%m%en!o) La o"&a de Co*+&n%co fue defend%da y *&omo(%da a*as%onadamen!e *o& Gal%leo Gal%le%) Adem5s de d%(ula& la 1%*.!es%s 1el%oc+n!&%ca, Gal%leo encon!&. nue(as e(%denc%as a su fa(o& &eal%$ando las *&%me&as o"se&(ac%ones as!&on.m%cas con un !elesco*%o6 su descu"&%m%en!o de cua!&o *e'ue/os as!&os 'ue %&an al&ededo& de 74*%!e& lo con(enc%. de 'ue la T%e&&a no es el cen!&o del Un%(e&so) Gal%leo !am"%+n fue uno de los *&%me&os c%en!0f%cos 'ue es!ud%a&on la ca0da de los cue&*os, *e&o es una %&on0a de la 1%s!o&%a el 'ue nunca sos*ec1a&a la &elac%.n en!&e la &a(edad y el mo(%m%en!o de los cue&*os celes!es) Al con!&a&%o, c&e0a 'ue los *lane!as se mo(0an en c0&culos *o& &a$ones m5s es!+!%cas 'ue f0s%cas- el mo(%m%en!o c%&cula& le *a&ec0a *e&fec!o y es!a"le *o& se& %d+n!%co a s0 m%smo en cada *un!o) 8e*le&, con!em*o&5neo de Gal%leo, descu"&%. 'ue los *lane!as no se mue(en en c0&culos s%no en el%*ses y 'ue es!e mo(%m%en!o no es a&"%!&a&%o, ya 'ue e9%s!en c%e&!as &elac%ones en!&e los *e&%odos de &e(oluc%.n de los *lane!as y sus d%s!anc%as al Sol, as0 como sus (eloc%dades) 8e*le& *lasm. es!as &elac%ones en sus famosas !&es leyes) Una &eula&%dad en el mo(%m%en!o de los *lane!as sue&0a fue&!emen!e la e9%s!enc%a de un fen.meno un%(e&sal su"yacen!e) El m%smo 8e*le& sos*ec1. 'ue el Sol es el &es*onsa"le de ese fen.meno6 es*ecul. 'ue
al4n !%*o de fue&$a emana de es!e as!&o y *&oduce el mo(%m%en!o de los *lane!as, *e&o no lle. a ela"o&a& n%nuna !eo&0a *laus%"le al &es*ec!o) Es #us!o menc%ona& 'ue, an!es de Ne!on, el %n!en!o m5s se&%o 'ue 1u"o *a&a e9*l%ca& el mo(%m%en!o de los *lane!as se de"e al c%en!0f%co %nl+s Ro"e&! :oo;e, con!em*o&5neo de Ne!on) En <=>?, :oo;e ya 1a"0a esc&%!o)))!odos los cue&*os celes!es e#e&cen una a!&acc%.n o *ode& &a(%!ac%onal 1ac%a sus cen!&os, *o& lo 'ue a!&aen, no s.lo, sus *&o*%as *a&!es e(%!ando 'ue se esca*en de ellos, como (emos 'ue lo 1ace la T%e&&a, s%no !am"%+n a!&aen !odos los cue&*os celes!es 'ue se encuen!&an den!&o de sus esfe&as de ac!%(%dad)@ S%n esa a!&acc%.n, *&os%ue :oo;e, los cue&*os celes!es se mo(e&0an en l0nea &ec!a, *e&o ese *ode& &a(%!ac%onal cu&(a sus !&ayec!o&%as y los fue&$a a mo(e&se en c0&culos, el%*ses o aluna o!&a cu&(a) As0, :oo;e %n!uy. la e9%s!enc%a de una &a(%!ac%.n un%(e&sal y su &ele(anc%a al mo(%m%en!o de los as!&os, *e&o su desc&%*c%.n no *as. de se& *u&amen!e cual%!a!%(a) el *lan!eam%en!o *&of+!%co de :oo;e a un s%s!ema del mundo "%en fundamen!ado y ma!em5!%camen!e &%u&oso, 1ay un la&o !&ec1o 'ue s.lo un 1om"&e en a'uella +*oca *od0a &eco&&e&) Tal e&a el *ano&ama de la mec5n%ca celes!e cuando Ne!on, al&ededo& de <=B, dec%d%. a!aca& el *&o"lema del mo(%m%en!o de los *lane!as u!%l%$ando un *ode&os0s%mo fo&mal%smo ma!em5!%co 'ue +l m%smo 1a"0a %n(en!ado en su #u(en!ud Del c5lculo d%fe&enc%al e %n!e&alD lo&. demos!&a& 'ue las !&es leyes de 8e*le& son consecuenc%as de una a!&acc%.n &a(%!ac%onal en!&e el Sol y los *lane!as) Todos los cue&*os en el Un%(e&so se a!&aen en!&e s0 &a(%!ac%onalmen!e) Ne!on descu"&%. 'ue la fue&$a de a!&acc%.n en!&e dos cue&*os es *&o*o&c%onal a sus masas e %n(e&samen!e *&o*o&c%onal al cuad&ado de la d%s!anc%a 'ue los se*a&a) As0, s% M< y M son las masas de dos cue&*os y R la d%s!anc%a en!&e ellos, la fue&$a F con la 'ue se a!&aen es!5 dada *o& la f.&mula-
donde G es la llamada cons!an!e de la &a(%!ac%.n) Ne!on *u"l%c. sus &esul!ados en su famoso l%"&o %n!%!ulado Philosophiae Naturalis Principia Mathematica , cuya *&%me&a ed%c%.n da!a de <=B>6 la f0s%ca !e.&%ca 1a"0a nac%do) La &a(%!ac%.n es el cemen!o del Un%(e&so) G&ac%as a ella, un *lane!a o una es!&ella man!%ene un%das sus *a&!es, los *lane!as %&an al&ededo& del Sol s%n esca*a&se, y el Sol *e&manece den!&o de la V0a L5c!ea) S% llea&a a desa*a&ece& la fue&$a &a(%!ac%onal, la T%e&&a se des*eda$a&0a, el Sol y !odas las es!&ellas se d%lu%&0an en el es*ac%o c.sm%co y s.lo 'ueda&0a ma!e&%a un%fo&memen!e d%s!&%"u%da *o& !odo el Un%(e&so) Afo&!unadamen!e, la &a(edad 1a *e&manec%do %nmu!a"le desde 'ue se fo&m. el Un%(e&so y es una *&o*%edad %n1e&en!e a la ma!e&%a m%sma) 2.- Gravitación universal y síntesis newtoniana
En (%%5 3saac Neton 6(%7+*(&+&8 tras terminar su doctorado la 9niversidad de ambridge en Londres, decidi! trasladarse a vivir en una finca con su madre. ;onde se le ocurri! una gran idea< la de relacionar la caida de un objeto, la manzana, en las pro/imidades de la 1ierra con la ca=da de la Luna sobre la 1ierra. Su teror=a dice que la velocidad de ca=da de la manzana la de la Luna debe ser directamente proporcional a la fuerza de la gravedad terrestre, a su vez, inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre dic#os objetos el centro de la 1ierra. Neton no qued! satisfec#o porque alg>n resultado no era mu fiable a que la distancia que #ab=a entre la 1ierra la Luna se med=a en radios terrestres. En (%?7, gracias a las lees de @epler pudo calcular la fuerza gravitatoria entre la 1ierra la Luna. F=GMm R2 En la ecuaci!n, M m son las masas de la 1ierra de la Luna< A es el radio $ es la constante de gravitaci!n B %.%&. ()*(( N m+ -g+.
2.1.- Generalización de la ley de Newton.
Neton utiliz! su f!rmula para todos los cuerpos del 9niverso. 1ambiCn tuvo la conclusi!n de que la distancia que interviene en la le #a que medirla entre el centro de la masa. 2or la le de gravitaci!n universal es la siguiente: ;os cuerpos se atraen con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas en inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. 2.2.- La síntesis newtoniana.
on la formidable intuici!n que tuvo Neton de #acer e/tensibles todos los cuerpos celestes, los tres principios de la mecnica la le de gravitaci!n universal, a todos estos descubrimientos se les da a conocer como la síntesis newtoniana. La importancia de la e/istencia de la fuerza gravitoria sirve para sostener a los planetas para que produzcan !rbitas no se desperdiguen por el 9niverso. ;esde la e/istencia de la s=ntesis netoniana no #a dos mundos como e/presaba Drist!teles. El primero, inmutable, perfecto arm!nico situado en las esferas celestes, el otro cambiante e imperfecto, el terrestre. on las ideas de Neton podemos e/plicar la interacci!n del Sol con otros planetas descartamos fuerza magnCtica de $ilbert. Unidades astrn!mi"as de #n$it%d& 9nidad Dstron!mica 69D8: es la distancia media entre el Sol la 1ierra: (5). ()% -m B (,5. ()(( m D0o Luz 6a.l.8: distancia recorrida por la luz durante un a0o: ( a.l. B 6. ()?. %5,+5. +7. %))8 m ( a.l. B F,7%&. ()(5 m 3.- Gravitación terrestre. Peso
El peso de un cuerpo es la fuerza ejercida por la 1ierra sobre Cl. Gsta idea est e/presada en la siguiente f!rmula: P=GMm R2 3.1.- Gravedad terrestre.
uando los cuerpos caen #acia la 1ierra e/perimentan un movimiento rectil=neo uniformemente acelerado. La aceleraci!n que provoca este movimiento se llama gravedad viene dado por el peso ejercido sobre la unidad de masa: P=m$ ;e la c>al, al igualar los segundos miembros obtenemos: $=GM R2 La $ra'edad es in'ersamente (r(r"ina# a# "%adrad de #a distan"ia entre e# "%er( ) e# "entr de #a Tierra* La gravedad es maor en los polos a que estn ms cerca de el centro de gravedad, por tanto el ecuador est sometido a menor fuerza de gravedad. Este valor fue obtenido en un lugar en el cul la latitud era de 75H al nivel del mar. g B F,?)%5 msg+ 3.2.- Peso de los cuerpos.
La 1ierra atrae a los cuerpos con una fuerza llamada peso. El peso se ejerce desde las infinitas part=culas que posee el cuerpo, pero se dice que el peso es la resultante de los pesos de todas esas part=culas se aplica en el centro de masa o centro de gravedad del cuerpo 6c.g.8 3.3.- Masa y peso de los cuerpos.
La masa es constante no var=a aunque el cuerpo cambie de situaci!n, de forma o estado. Gsta se determina en la balanza tradicional o electr!nica, se mide en -g.
El *eso es una fue&$a y (a&0a de un lua& a o!&o, se de!e&m%na med%an!e el %ns!&umen!o 'ue m%de las fue&$as, el d%nam.me!&o) Fs!e se/ala el *eso a*&o9%mado de*end%endo de la &a(edad6 +s!e se e9*&esa en ne!on NH)
Ley de Newton. Ley de Gravitación Universal Un momento culminante en la historia de la Física fue el descubrimiento realizado por Isaac Newton de la Ley de la Gravitación Universal: todos los obetos se atraen unos a otros con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia! "l someter a una sola ley matem#tica los fenómenos físicos m#s importantes del universo observable$ Newton demostró %ue la física terrestre y la física celeste son una misma cosa! &l concepto de 'ravitación lo'raba de un solo 'olpe: •
(evelar el si'nificado físico de las tres leyes de )epler sobre el movimiento planetario!
•
(esolver el intrincado problema del ori'en de las mareas
•
*ar cuenta de la curiosa e ine+plicable observación de Galileo Galilei de %ue el movimiento de un obeto en caída libre es independiente de su peso!
La idea de Newton es la si'uiente: Un planeta 'irando en su órbita no se mueve en línea recta$ por lo %ue debe estar sometido a una aceleración neta! *ado %ue la órbita es casi circunferencial la aceleración debe ser centrípeta ,a c-$ así %ue se tiene %ue la se'unda ley de Newton %ueda ΣF
. m/a . m/ac $$ y como ac . v0 1r! 2i sustituímos ac en esta ecuación! Resulta que F = m·v2/r
&l 3m3 de esta ecuación proviene de la se'unda ley de Newton$ por lo %ue representa la masa de %ui4n siente la fuerza$ es decir$ es la masa del planeta! Lo %ue 3sostiene3 a un planeta en su órbita es la atracción 'ravitacional del 2ol$ %ue llamaremos F g ,de 3fuerza 'ravitacional3-! *ado %ue ella es una sola fuerza$ la suma de las fuerzas se reduce a sólo F g! 2upon'amos %ue llamamos T al tiempo de la revolución de un planeta en torno al 2ol ,su 3a5o3-! 6omo la trayectoria es circunferencial$ la distancia %ue recorre el planeta en el tiempo T es 0πr$ por lo %ue$ aplicando la ecuación del movimiento uniforme v . s1t$ se tiene %ue: v . 0πr17 y por tanto v0 . 8π0r0 170 Introduciendo esta e+presión de v 0 en la se'unda ley de Newton$ simplificando y usando F g se lle'a a
J ?KπKmK& &)T 'ue 'ueda, al s%m*l%f%ca&- Fg = 4 2mr/T2 La tercera 3ley3 de )epler establece %ue el cuadrado de T es proporcional al cubo del radio de la órbita9 es decir: 70 . )r9 donde ) es la constante de proporcionalidad %ue depende de la forma de la órbita! ;or tanto$ podemos escribir: F'. 8 π0mr1)r 2i a'rupamos las constantes y llamamos ) < . 8π0 1)$ nos %ueda: Fg = m ! / r2 &sta es la fuerza %ue eerce el 2ol sobre el planeta , m es la masa del planeta-
*el mismo modo el planeta eercer# una fuerza sobre el 2ol %ue se'=n el principio de acción y reacción debe tener el mismo valor: "!#
Fg = $ 2 / r2$ donde $ es la masa solar
;or tanto m)< . >)0! 2i hacemos esta transposición de t4rminos$ pasando ) 0 al se'undo miembro y )< al primer miembro$ nos %ueda )0 1m . )< 1> y a esta relación la resumimos como G G = 2/m &sta e+presión %ue es constante la damos un nuevo nombre: la constante G! *e a%uí sale la famo sa G! *e la e+presión anterior se deduce %ue: ) 0 . G/m 2i sustituimos$ en la fórmula indicada con ,<-$ 2 por G m% en la e+presión ,<-$ obtenemos la ecuación: $·m F = G &&&&&&&&&&&&& r2
LE E GRAVITACION UNIVERSAL
Ley de Gravitación Universal , un%(e&sal *o&'ue Ne!"# la *&o*uso como la ley 'ue desc&%"%ese el com*o&!am%en!o de !odo el Universo, e %ncluso la su*uso (5l%da *a&a el m%c&ocosmos, en cuya desc&%*c%.n fall. !o!almen!e) A *a&!%& de la !eo&0a de Ne!"#, la as!&onom0a !u(o una se&%e de +9%!os es*ec!acula&es en cuan!o al c5lculo de .&"%!as, *&ed%cc%.n de ecl%*ses, ec!)6 los %ns!&umen!os de o"se&(ac%.n se *e&fecc%ona&on !an!o 'ue com*le!a&on la %maen de nues!&o s%s!ema sola& con la *&ed%cc%.n de la e9%s!enc%a de *lane!as, es!ud%ando s.lo las al!e&ac%ones 'ue +s!e *&oduc0a en las .&"%!as de los *lane!as conoc%dos) La !eo&0a de Ne!"# fall., s%n em"a&o, al desc&%"%& el com*o&!am%en!o del *lane!a Mer$%r&" , lo 'ue mo!%(. una &e(%s%.n de la mec5n%ca celes!e, dando o&%en a la !eo&0a ene&al de la &a(%!ac%.n de A'(er! E&#)!e&#) Pa&a !ene& una %dea de la *&ec%s%.n de los c5lculos as!&on.m%cos "as!a cons%de&a& 'ue la !eo&0a de Ne!"# da"a un e&&o& en la *os%c%.n de Mer$%r&" de ? seundos de a&co cada < a/os) e la !eo&0a de Ne!"# *odemos deduc%& las .&"%!as 'ue los *lane!as desc&%"en en !o&no al Sol, o es!a"lece& e(en!ualmen!e las cond%c%ones 'ue de"en cum*l%& los sa!+l%!es a&!%f%c%ales *a&a desc&%"%& de!e&m%nadas !&ayec!o&%as en !o&no a la T%e&&a) En es!o nos es*e&a una so&*&esa- se *uede de!e&m%na& 'ue las .&"%!as no de*endan de la masa de los *lane!as, s%no solamen!e de su (eloc%dad, y se4n sea +s!a, un *lane!a %&a&5 en !o&no al Sol desc&%"%endo una el%*se, una *a&5"ola o una 1%*+&"ola) Cuando la (eloc%dad 'ue ad'u%e&e un *lane!a es !an &ande 'ue se esca*a del cam*o de a!&acc%.n !e&&es!&e, se d%ce 'ue 1a alcan$ado su 2 velocidad de escape 2)Todo cue&*o cuya (eloc%dad sea mayo& 'ue la de esca*e, no *e&manece&5 en .&"%!a y se ale#a&5 s%n &e&esa&)
