Các dạng bài tập chuỗi số và chuỗi lũy thừa – Toán cao cấp HP2
DẠNG BÀI TẬP CHUỖI SỐ - CHUỖI LŨY THỪ A (tham khảo thêm SBT và HDG bài t ập Toán cao c ấp HP2) Dạng 1: Xét sự h hội tụ của chuỗi số: Ví dụ 1: Sử d dụng điều kiện cần để xét sự h hội tụ của các chuỗi số sau: +∞
1.
∑ ( −1)
∑5
2.
2n − 1
n =1
3n
+∞
n +1
n
n
n =1
+5
n
+∞
∑
3.
− 2 ( n + 1)
n + ln
( 2n − 1)
n −1
n=2
Ví dụ 2: Sử d dụng tiêu chuẩn so sánh để xét sự h hội tụ của các chuỗi số sau: 2
+∞
1.
∑n
+∞
n +1 3
− 100n − 1
n =1
1+ n 3. ∑ 2 1 3− n +∞
2.
7.
∑
2
n
+∞
10.
∑
n
+∞
13.
∑
16.
∑ n=1
n+2
∑
∑n
11.
ln
2
+∞
14. 17.
1 12. ∑ n e − 1 1
n
n =1
n
n +1
n=
+∞
∑
15.
20.
3
n +1
∑ tan 3
18.
∑e
−
n
n =1
+∞
π
21.
+n
n=1
3
n +1
+∞
+1
n
n + cos n
n =1
− 2n + 1
+∞
n +1
2
n
∑ n ln n ∑4
n
+∞
1
3n
n +1
n =1
n +1
+∞
4
n − 3n + 3
∑ n − ln
9.
n= 2
n +1
3
1
+∞
)
n + ln n + 1
n =1
n
n =1
n =1
19.
1
(
+∞
6.
ln
n
n =2
n
1+ n n −1
1
∑
3.
3
n +1
+∞
n +1
n
∑
8.
ln 2 ( 2n + 1)
n
ln n
n=2
∑ arcsin n +∞
+∞
5
+∞
n
+∞
n −1
n =1
n
n=1
n
∑ (n + 3)
5.
n −1
n= 2
4
+∞
ln (1 + 2 n )
n =1
∑ n =1
n=
+∞
n +1 −
∑
sin 2 n 3
n +1
n =1
Ví dụ 3: Sử d dụng tiêu chuẩn Cauchy, Dalambe để sự h hội tụ của các chuỗi số sau: +∞
1.
∑ n =1
+∞
4.
∑ n =1
( 3n + 1)! n
2
2n 2
∑
2.
.8n
∑ n=1
+∞
−1
5.
2n
1 2n + 3 7. n n =1 2 2 n + 1 +∞
+∞
∑ n =1
n
2
+∞
8.
Mail:
[email protected]
∑ n =1
3n ( n!)
2
+∞
3.
( 2 n )!
2n − 5 n
n =1
+∞
2n − 7
6.
n
n.3
n n 4n − 1
∑ ∑
5n ( n!)
n =1
n
2
+∞
9.
2
n
tan
2n
+1
2
2n
( n + 1)
∑3
π
2
n +1
n =1
.nn Page 1
Các dạng bài tập chuỗi số và chuỗi lũy thừa – Toán cao cấp HP2
Ví dụ 3: Xét sự hội tụ của các chuỗi số đan dấu, chuỗi có dấu bất kỳ sau: +∞
1.
∑ ( −1) +∞
∑ ( −1) +∞
7.
∑ ( −1)
5.
n
+∞
n
8.
∑ ( −1)
n
6.
n
1.
x
n
∑
n +1
+∞
∑
(
+∞
7.
ln n
n=2
∑
n =1
+∞
13.
∑
n =1
n
n 3 x − 1
n
8.
n
+5
∑4
n =1
n
).
x
4 − n 2x 3n2 + 1 3 x + 1
n
14.
∑
n =1
(
n
n −1
∑ ( −1)
9.
.ln ( n + 1)
n
n
+∞
n
+∞
n
2n 2 − 1
x+2 6. ∑ 2 2 x + 1 2 n 1 + n =1
n
1 11. ∑ . n x n =1 (2n + 1)
n
1
n
2n − 1
+∞
n +1
+∞
sin
ln 2
n =1 n
x
( n + 1)
∑ n3 + 1 ( x − 2 )
3.
− 2n
+∞
1
(3
2n
n +1 n 5. ∑ ( 2 x − 1) 2n − 1 n =1
x+3
+∞
10.
n
+∞
)
∑ n.2
+∞
x
n
n =1
n
n =1
n
n =1 n + 1 x
∑ ( −1)
9.
2
3
∑5
2.
n .3
n =1
4.
+∞
1
n
+∞
n =1
n
∑ ( −1) n =1
( n!) Dạng 2: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm: Ví d ụ 1: Tìm miề n hội tụ củ a chuỗ i l ũ y thừ a: +∞
n +1
+∞
n
( n + 1)
n −1
n −1
n +1
n =1
n
n =1
2n − 1
n =1
∑ ( −1)
3.
+∞
n
sin
∑n
2
( 3n + 1).3
n =1
+∞
n =1
n
n +1
3 n −1
( −1)
∑ n − ln n
2.
n +1
n =1
4.
+∞
ln n
n
n
nx 2
n =1 n
+∞
12.
n!
∑ 3n − 17 ( 2 x − 3)
n
n =1
x2 + 1 n n 3 n + 1 2 x
n
)
+∞
15.
∑
n
( tan x )
n
n =1
Ví d ụ 2: Tìm miề n hội tụ củ a chuỗ i hàm tổ ng quát: n
+∞
1.
∑ n−
n =1
+∞
4.
n
n =1
2n
3n − 1
∑3
+∞
+2
+1
( x − 3)
n
x +1 2. ∑ 2n − 1)! 2 x − 1 ( n =1
x 2
n +1
n
+∞
5.
Mail:
[email protected]
∑4
n =1
n
.
(
x
2
)
−1
+∞
2n
x 3. ∑ . 3n − 8 1 − x n =1 +∞
ln ( n + 2 ) 7
2 n +1
n −1
6.
∑
n
ln n n + 1
(
) .x3n +1
n =1 n + 1
Page 2
Các dạng bài tập chuỗi số và chuỗi lũy thừa – Toán cao cấp HP2 +∞
7.
x
n +1
+∞
∑ 2 .ln n
8.
n
10.
∑
( x + 1)
n =1
n
2
(
n =1 n + 5
n= 2
+∞
∑
2
4n +1
+∞
n −1
)( ln x ) 2
n
+∞
n 1 11. ∑ 2n + 1 x n =1
.4n
∑
9.
2n +1
( 2 x − 1) 3n.5
n =1
n −1
2n
+∞
12.
∑5
n
n =1
− 2n
2n −1
n
(1 − x )
2n
Ví d ụ 3: Sử d ụ ng đị nh lý Abel và hệ quả: +∞
+∞
∑a
1. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
nx
n
∑a
biết rằng chuỗi số
n
n =1
là chuỗi đan
n =1
dấu và bán hội tụ. +∞
2. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm
∑a
n
n
( x − 2 ) biết rằng
an >
∀n ≥ 1 và
0
tại
x =
0
n =1
chuỗi bán hội tụ. +∞
3. Cho chuỗi lũy thừa
∑a x
n
n
(1) có lim a n →+∞
n =1
= α .
n
CMR
a) Nếu
α ≠
0 thì miền hội tụ của chuỗi (1) là
b) Nếu
α =
0 chuỗi (1) có bán kính hội tụ là R = 1
(
)
T = −1;1
Dạng 3: Tính t ổng (nếu có) của chuỗi số sau: +∞
1.
∑ n.5
n
n =1
+∞
4.
+∞
1
5.
n
∑ n =1
( 2n − 1).( −1)
( −1)
n +1
3.
∑ (2n − 1)2
n
52 n − 2
Mail:
[email protected]
+∞
8.
2n
n
n=2
6.
∑ n =1
−1
∑ ( n − 1) 3
∑ ( n + 2 ) .2
+∞
n −1
1
n
n =1
n
n =1
n =1
7.
+∞
n=
∑ (2n + 1)2 +∞
n
( −1) 2. ∑ 1 ( n + 1) 5 +∞
n+2
+∞
9.
∑ n =1
2n + 1 3n 2n + 1 n.4
n
Page 3
