DAERAH INTEGRAL
Definisi 1 : Jika a dan b adalah elemen TAK NOL ( selain e 0 ) pada ring R sedemikian hingga a.b = e 0 , maka a dan b dikatakan sebagai pembagi nol. nol.
Example 1 : Misal pada Z12 , elemen 2, 3, 4, 6, 8, 9 merupakan elemen pembagi nol. ( kenapa ??? ) Misal pada M2(Real), elemen
( ) , ( ) adalah elemen pembagi nol ( kenapa ??? )
Teorema 1 : Pada ring Zn , elemen pembagi nol adalah elemen-elemen yang tidak saling prima dengan n. Bukti :
Misalkan m Zn dengan m
0 dan misalkan gcd(fpb) dari m dan n adalah d 1. Berlaku : m( ) = ( ) n
dan (m/d)n menghasilkan 0. Kemudian m(n/d) = 0 pada Z n , dimana m dan (n/d) tidak nol, jadi m adalah pembagi pembagi nol. Sementara disisi lain, Andaikan m
Z
n
relatif prima dengan n. Jika untuk s
Z
n
, ms = 0 ,
maka n membagi pergandaan ms, dengan m dan s adalah elemen pada ring Z. Karena n relatif prima dengan m, maka n membagi habis s, jadi s = 0 pada Z n .
Corollary 1 : Untuk p prima, maka Z p tidak mempunyai pembagi nol. Bukti : ( kenapa ??? )
Teorema 2 : Hukum kanselasi berlaku pada ring R jika dan hanya jika R tidak memuat pembagi nol. Bukti :
Misalkan R ring dengan hukum kanselasi berlaku, dan misalkan ab = e 0 untuk suatu a,b Akan ditunjukkan a atau b adalah nol. Jika a
e , ab = ae
1
0
0
R.
mengakibatkan b = e 0 ( dengan
hukum kanselasi ). Identik untuk b e0 mengakibatkan a = e 0 ( coba tunjukkan !!! ). Jadi tidak ada pembagi nol ketika hukum kanselasi berlaku pada R.
Misalkan R tidak mempunyai pembagi nol dan ab = ac , untuk a e0 .
Akibatnya ab – ac = a(b – c) = e0 . Karena a e0 dan R tidak memuat pembagi nol , jadi haruslah b – c = e0 . Diperoleh b = c
Identik untuk ba = ca , dengan a e0 mengakibatkan b = c . ( coba tunjukkan !!! )
Definisi 2 : Daerah integral D adalah ring komutatif dengan elemen satuan dan tidak memuat pembagi nol.
Example 4 : Z dan Z p adalah daerah integral, untuk p prima. Zn bukan daerah integral, untuk n bilangan bulat selain prima. Kenapa ???
Example 5 : Tunjukkan meskipun Z 2 adalah daerah integral ( kenapa ??? ) , tetapi M 2 (Z2) mempunyai pembagi nol !!! Jawab : Kenapa ????
Teorema 4 : Setiap lapangan adalah daerah integral. Bukti : Misal diketahui lapangan F. Ambil sembarang a,b -1
F dan asumsikan bahwa a e . (kenapa???) 0
-1
Jika ab = e 0, maka a ab = a e0 . Jadi b = e 0 .
Identik untuk b e0, jika ab = e 0 maka a = e 0. Jadi F tidak memuat pembagi nol. Lebih lanjut F adalah adalah daerah integral.
2
Teorema 5 : Setiap daerah integral BERHINGGA adalah lapangan. Bukti : Misalkan e0 , e1 , a1, a2, ..., a n adalah semua elemen pada daerah integral D. Akan ditunjukkan bahwa untuk setiap a
D , dengan ae
0
, terdapat b
D sedemikian hingga ab = e . 1
Bentuk ae1 , aa1 , ... , aa n Klaim bahwa semua elemen-elemen tadi berbeda, karena untuk aa i = aa j mengakibatkan ai=a j. Dan juga, karena D tidak memuat pembagi nol, tidak ada dari elemen-elemen tadi yang nol. Dengan mencacah, perhatikan bahwa ae 1 , aa1 , ... , aa n adalah e 1 , a1 , ... , a n dalam suatu urutan, termasuk ae 1 = e1 , yakni a = e 1 atau aai = e1 , untuk suatu i. Jadi a mempunyai invers terhadap pergandaan.
Corollary 2 : Untuk p prima, maka Z p lapangan. Bukti : ( kenapa ??? )
LATIHAN 3
2
1. Tentukan solusi dari persamaan x – 2x – 3x = 0 pada Z12 2
2. Tentukan solusi dari persamaan x + 2x + 2 = 0 pada Z6 3. Tunjukkan bahwa
* + adalah pembagi nol pada M (Z) 2
4. Selidiki pada soal sebelumnya ( pada soal latihan ring ) , mana yang merupakan daerah integral 2
5. Suatu elemen a pada ring R dikatakan idempoten jika a = a . Tunjukkan bahwa division ring ( ring pembagian ) memuat tepat 2 buah elemen idempoten. 6. Tunjukkan bahwa irisan dari dua buah sub daerah integral D merupakan sub daerah integral D 7. Misalkan untuk setiap elemen tak nol a
R , terdapat dengan tunggal b R , sedemikian
hingga aba = a. a. Tunjukkan bahwa R tidak memuat pembagi nol b. Tunjukkan bahwa bab = b
3
c. Tunjukkan R mempunyai elemen satuan d. Tunjukkan bahwa R adalah division ring.
4
