TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO TECNOLÓGICO TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE JILOTEPEC
Curso: Análisis de Estructuras de Sección Variable por el Método de Flexibilidades PONENTE: M. EN I. DAVID ORTIZ SOTO
EVENTO: “CICLO DE CONFERENCIAS Y CURSOS DE INGENIERÍA CIVIL”
Sede: Jilotepec, de Molina Enriquez, Estado de México 19-04-2016
ACERCA DEL PONENTE
M. en I. David Ortiz Soto
Ingeniero Civil egresado de la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM), FES Aragón con Maestría en Ingeniería Civil, área de estructuras, efect uada en el Instituto Politécnico Nacional (IPN), ESIA UZ, donde fue representante de la comunidad estudiantil de posgrado. Actualmente se encuentra efectuando el protocolo del doctorado en la Facultad de Ingeniería, UNAM. Docente a nivel licenciatura de la carrera de Ingeniería Civil en la ESIA UZ IPN y en el Tecnológico Nacional de México, ITI III, en las que imparte diversas asignaturas tales como Estática, Estructuras Isostáticas, Mecánica de Materiales, Fundamentos de la Mecánica de Medio Continuo, Análisis Estructural, Análisis Estructural Avanzado y Dinámica Estructural. Catedrático de la Universidad DeLaSalle Bajío a nivel posgrado, donde dicta el curso de Ingeniería de Cimentaciones en la Maestría en Estructuras. Ha participado en calidad de ponente de conferencias, cursos y talleres en diversos Congresos, Simposios y Ciclos de conferencias nacionales e internacionales, en universidades como ITS Lagos de Moreno (Jalisco), UJED (Durango), ITI III y ESIA UZ IPN (Cd. de México), TESJI (Estado de México), UJCM y UPT (Perú), y UTO y UPEA (Bolivia), entre otras. Ha publicado los libros:”Estructuras libros: ”Estructuras Isostáticas en 2D: Problemas Resueltos”, “Resolución “ Resolución de Armaduras en 2D con el Método Matricial de la Rigidez”, “Análisis de Estructuras: Problemas Resueltos”, y “Fuerzas de Fijación Fijación y Momentos de Empotramiento en Vigas”, Vigas” , este último en coautoría con escritores de Perú y Bolivia. Ha presentado sus obras literarias en el programa “Profesionistas por el progreso” progreso ” de la televisora ASTL.TV del Consejo Nacional Naci onal de Egresados Politéc nicos, así como en el programa “Ingenio civil” civil” de Nuestra Voz Radio: La voz del pueblo organizado. Forma parte del equipo de editores editores de la web de Ingeniería civil más destacada de América Latina, civilgeeks.com.
DEDICATORIAS
Dedico el presente curso de manera especial a la comunidad del Instituto Politécnico Nacional que ha manifestado su inconformidad en contra de la circular número 01/03/16 a través de distintas formas como lo han sido marchas, asambleas, mítines, difusión de información mediante de redes sociales y demás, pues dicho acuerdo representa un golpe fuerte a la Institución y a la educación pública. Agradecemos a los integrantes de diversas universidades (UNAM, UAM y muchas más) y al pueblo en general que se han solidarizado con el movimiento estudiantil citado. Ha sido muy triste y conmovedor ver los daños causados por un sismo de 7.8 grados en Ecuador, un país al que estimo bastante, en donde tengo muchas amistades y al que he sido invitado para este año como ponente por parte de David Rosado, representante de la Universidad Politécnica Salesiana. Desde México mi más sentido pésame a todos los hermanos del Ecuador que lamentablemente perdieron familiares o amigos; deseo una pronta recuperación a todos los heridos. Un abrazo reconfortante para el pueblo ecuatoriano, no están solos, somos muchos los países que nos solidarizamos ante esta tragedia. Agradezco al ingeniero Francisco Javier (docente) y al ingeniero Emiliano Vega Becerril (Director académico) por la cordial invitación que me extendieron para impartir el presente curso dentro de las instalaciones del Tecnólogo de Estudios Superiores de Jilotepec. A los alumnos de la carrera de Ingenierí a Civil por su cálido recibim iento. A mis padres Clara y Antonio, a mis hermanos Carlos y Antonio, a mi familia en general, a mis amigos y a toda la gente de México y del extranjero que siempre me apoya y alienta a seguir adelante. A los lectores, esperando sea de su agrado y gran uti lidad está información.
“La clave está en ver a tus alumnos como el futuro para el gran c a m b i o q u e r eq u e ri m o s y n o c o m o t u competencia” By : M. en I. David Or tiz Soto
”
Análisis de Estructuras de Sección Variable por el Método de Flexibilidades ”
Ponente: David Ortiz Soto
El contenido de este curso ha sido impartido de igual manera por el autor en cursos afines en otras universidades tales como la Universidad Pública de El Alto (La Paz, Bolivia), Universidad Privada de Tacna (Tacna, Perú), Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura, UZ, IPN (Cd. de México, México) e Instituto Tecnológico de Tlaxiaco (Oaxaca).
OBJETIVO
Determinar las reacciones en los soportes tant o en vigas cuya altura de su sección transversal varía de forma lineal o parabólica, así como en armaduras compuestas por barras de distinta sección transversal entre sí, empleando los principios de compatibilidad geométrica del desplazamiento.
CONTENIDO
Ejercicio 1: Se deduce matemáticamente el método de flexibildades dentro de la resolución de una viga con peralte de variación lineal.
Ejercicio 2: Se analiza una viga con peralte de variación parábolica.
Ejercicio 3: Se resuelve íntegramente una armadura con hiperestaticidad externa, con elementos de distinto perfil entre sí.
Curso: Análisis de Estructuras de Sección Variable por el Método de Flexibilidades
Ponente: M. en I. David Ortiz Soto
Ejercicio 1 Calcular las reacciones de la viga estáticamente indeterminada de tres apoyos que se ilustra en la figura 1-a usando el método de las fuerzas. La sección transversal de la viga es rectangular y tiene 1.5 pies de ancho; su altura varía linealmente a cada lado del apoyo intermedio. Considere que .
=3000/ 1.5/
2´ 3´
=0
15´
10´
:
10´
15´
Estructura real (a)
Figura 1 SOLUCIÓN Datos
La viga de la figura 1-a es especial por ser de sección variable. En cuanto a las unidades, se ha preferido usar y , así que para manejar una congruencia de ellas, tenemos que el módulo de elasticidad para toda la viga es
12 =3000 =432000 − − 1. ℎ 5 2 = 12 = 12 =1 − −
Debido a que en los tramos inercia tiene un valor fijo de
y
la sección transversal posee un peralte constante, la
Por otra parte, para los tramos y en los que la altura de la sección transversal no es constante, la inercia ya no será un valor fijo. Esta parte se tratará más adelante.
Verificación del grado de indeterminación y elección d e las reacciones redund antes
+⟶=0⟹ =0
Obsérvese que la viga real no soporta cargas en la dirección que la fuerza reactiva horizontal del soporte en es nula.
1
por lo que directamente se infiere
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∑=0 ∑=0
,
Como sólo quedan dos ecuaciones de equilibrio ( y ) y tenemos aún tres incógnitas de reacción , la estructura tiene un grado de hiperestaticidad de uno, por lo que exi ste una fuerza redundante (fuerza en exceso, o que es sobrante o superabundante de las necesarias para poder aplicar inicialmente las ecuaciones de equilibrio) así que debemos elegir a una de las tres reacciones previas, cualquiera de ellas, como redundante precisamente; se opta porque sea la carga correctiva.
Principio de superposición Se formula una estructura primaria, liberándola (eliminando la redundante) de tal modo que resulte isostática y estable, la cual debe so portar las cargas originales. Para ello, en este caso en específico se suprime el apoyo móvil con la finalidad de eliminar la capacidad de la viga para soportar la redundante . Usando el principio de superposición, figura 1-b, la viga real es igual a la suma de la viga liberada sometida a: a) la carga real, y b) a la acción individual de la fuerza redundante cuyo sentido debe proponerse arbitrariamente, .
: = :
Estructura real
Estructura primaria
=251.5/=37.5
ҧ=12.5´ =18.75 15´
:
1.5/
=
10´ =18.10´75
Estructura liberada con fuerza redundante
10´ 2
(b) aplicada
2´ = 3´
10´
2´ 3´
15´
+
15´
⟹
15´
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Planteamiento de la ecuación de compatibil idad geométrica
Como el grado de indeterminación es de uno, en vez de un sistema de ecuaciones se plantea una sola ecuación de flexibilidad. La ecuación de compatibilidad para el desplazamiento vertical de , requiere de
= + 1−1
Puesto que el rodillo en
de la viga real restringe (no permite) la deflexión en ese punto,
=
es
nulo. En tanto, como ya es un nodo libre en la viga primaria, el desplazamiento vertical ahí tiene un valor por ahora desconocido igual a una determinada cantidad de y dado que en la
= viga
1−1 0= + 1−2
el desplazamiento vertical en el punto es equivalente a una cierta cantidad , la ecuación puede escribirse en términos de la incógnita del siguiente
modo:
=
Si a la estructura liberada le aplicamos una unidad de carga vertical en el extremo libre en lugar de someterla a la fuerza , figura 1-c, puede obtenerse directamente al calcular el desplazamiento vertical en tal punto, debido a que .
1 =1
15´
:
=210´
10´
2´ = 3´ 15´
Estructura liberada con fuerza vertical unitaria aplicada en
⟹
(c)
Hasta este momento se ha deducido la ecuación de flexibilidad para una viga en particular cuyo grado de indeterminación estática es de uno, no obstante, el planteamiento puede extenderse para un sistema con grados de hiperestaticidad; siendo así, el sistema simultáneo de ecuaciones quedaría expresado como:
3
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= + + + +⋯+ +⋯+ = + + + +⋯+ +⋯+ = + + + +⋯+ +⋯+ 1−3 = + + + +⋯+ +⋯+ = + + + +⋯+ +⋯+ donde:
= = = = =
i-ésima fuerza redundante. n-ésima fuerza redundante.
Desplazamiento lineal o angular de la viga original en el punto de aplicación y dirección de la
fuerza redundante
.
Desplazamiento lineal o angular que ocurre en el punto en el que se aplica la f uerza redundante en la dirección de esta, ocasionado por la acción de las cargas reales en la estructura liberada. Puesto que este desplazamiento que se presenta en la viga primaria no se produce en la viga real, se le suele llamar incompatibilidad geométrica.
Coeficiente de flexibilidad que se define como la deformación producida en , por la acción
individual de una unidad d e la fuerza redundante sobre la estructura liberada en .
1−3 ⋯⋯ ⋯⋯ ⋮ = ⋮ + ⋮ ⋮ ⋮ ⋮⋯ ⋮ ⋯⋮ ⋮ ⋮ 1−4 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮⋯ ⋮ ⋯⋮ ⋮ ⋮ () () ( ⋯ ⋯ ) () =+ 1−5 =+ 1−6 =+ 1−7
Al representar las ecuaciones
de forma matricial, se tiene
En una viga con un grado de indeterminación hiperestática de dos, se tiene
Para una viga estáticamente indeterminada de tercer grado, tenemos
En consecuencia, la ecuación matricial generalizada es
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donde:
= = = =
Vector columna que representa los desplazamientos de los puntos de aplicación de las fuerzas redundantes en la dirección de estas, en la viga primaria. Vector columna que designa las incompatibilidades geométricas. Matriz de coeficientes de flexibilidad.
Vector columna que define las fuerzas redundantes.
En una viga en la que se seleccionen como fuerzas redundantes a reacciones de apoyos que no presentan asentamiento alguno y/o en la que estos no están modelados como resorte helicoidal o torsional, el vector de las incompatibilidades geométricas es nulo. Por lo tanto,
0=+ 1−8
Cálculo d e la incomp atibilid ad geométrica y del coeficiente de flexibilidad
1−2
En consecuencia, para poder resolver la ecuación , en las vigas y es necesario determinar el valor del desplazamiento vertical en ya que (fuerza reactiva vertical en el rodillo del punto ) fue suprimida. El orden con el que se calcularán las deflexiones empleando el método del trabajo virtual considerando sólo las deformaciones debidas a la flexión se proporciona enseguida.
=∫ 1−9 =∫ 1−10
donde:
= = =
Funciones de momento flexionante de la viga primaria.
Momentos internos de la viga liberada que soporta a la fuerza redundante unitaria.
Rigidez a la flexión en la que es el módulo de elasticidad del material e es el momento de inercia de la sección transversal de la viga calculado respecto del eje neutro.
=∗
Se analiza la viga
.
ҧ
Con fines del equilibrio estático del cuerpo libre, la fuerza distribuida se reemplaza por una fuerza resultante igual al área bajo la curva aplicada en el ce ntroide de área . Recuérdese que para una carga rectangular, , donde la base viene dada por la longitud sobre la cual actúa la
5
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solicitación y la altura está definida por la intensidad uniforme de la carga, mientras que localiza a la mitad de .
ҧ
se
Al aplicar las ecuaciones de la Estática, las reacciones en los apoyos resultan ser
+=0⇒37. 512.5−25=0⇒∴ =18.75 +↑=0⇒ −37. 5 +18. 7 5=0⟹∴ =18.75 − − Los momentos internos
se deducen a continuación.
Las funciones de momento son discontinuas en debido a que en ese punto la carga uniforme distribuida presenta una discontinuidad, además de que ahí actúa la carga puntual . Sin embargo, por los cambio de geometría presentados en los puntos y , pueden distinguirse cuatro regiones distintas; en este caso, cada región ha sido cubierta por una coordenada diferente; en consecuencia, la viga debe seccionarse perpendicularmente a su eje longitudinal en cuatro ocasiones, una por cada segmento. Se han especificado las coordenadas por separado y sus orígenes asociados, figura 1-b. Obsérvese que toma en cuenta le energía de deformación dentro del segmento , tiene su origen en y es positiva hacia la derecha; por su cuenta, que es válida dentro de la región desde hasta , cuyo origen es , es positiva también hacia la derecha. Con ello ha quedado comprendida la región correspondiente a la mitad izquierda de la estructura. Para abarcar la parte restante, se tiene que va de a , su origen está definido en y es positiva hacia la izquierda, mientras que cubre el tramo , su origen se asocia en y es positiva de igual forma hacia la izquierda. Al aplicar el método de secciones en la estructura primaria, figuras 1-d hasta 1-g, se tiene
1.5/ (d)
1.5
2´ /2 =18.75
0≤ ≤15´ +=0 − +18.75−1.52=0 =18.75 −0.75
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15´+
Para los segmentos de viga con longitud y , figuras 1-d y 1-e, la fuerza concentrada equivalente de la carga distribuida y su punto de aplicación se determinan como siempre.
15+ 1. 5 1.5/
0≤ ≤10´ +=0 2´ 15+ 3´ − +18.75 +15−1.515+ 2 =0 15+/2 =−0.75 −3.75 +112.5 =18.75 15´
(e)
0≤ ≤15´ 2´
+=0 =0
(f)
0≤ ≤10´ +=0 =0
2´ 3´
15´ (g)
7
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Se analiza viga la
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.
Con base en las ecuaciones de equilibrio, tenemos
+=0⟹150−25=0⟹∴ =2 +↑=0⇒− +2−1=0⟹∴ =1 0≤ ≤15´ +=0 − −1=0 2´ =− =1
Para calcular los momentos internos , es forzoso utilizar las mismas coordenadas emplearon para . Al aplicar el método de secciones, figuras 1-h hasta 1-k, se obtiene
(h)
0≤ ≤10´ 2´ 3´ =1 15´
(i)
+=0⇒− −1 +15=0⇒ =−15− 8
que se
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0≤ ≤15´ 2´
1
+=0 +1=0⇒ =−
(j)
0≤ ≤10´ 1
2´ 3´
15´ (k)
+=0 +1 +15=0⇒ =−15− − − ℎ
Enseguida se calcula el momento de inercia de la sección transversal respecto del eje neutro para cada segmento de la viga. Como se determinó al i nicio, para las regiones y la propiedad geométrica citada tiene un valor constante de
−
=1
En la figura 1-l se deduce la ecuación en función de con la que la altura de la viga varía linealmente en la región , por consiguiente, la inercia también quedará expresada como una función de .
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2´ 3´
ℎ
10´
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10´3´ = ⇒= 103 ℎ=2´+= 103 +2 3 1. 5 +2 = ℎ12 = 1012 = 18 103 +2
(l)
−
− 13 3 1. 5 +2 ℎ = 12 = 1012 = 8 10 +2 1−9 1−10
De forma análoga a la región es
, la inercia en función de
A continuación se determinan la incompatibilidad geométrica realizar las sustituciones correspondientes en las ecuaciones
del perfil rectangular para la región
y el coeficiente de flexibilidad y , resulta
−15− 5 −0.75− +∫ −0.75−3.751 +112. =∫ 18.754320001 432000[8 103 +2 ] 0−15− 0− +∫ 432000[18 103 +2] +∫ 4320001 =−0.0268555−0.010127+0+0=−0.036983 − +∫ −15− =∫ 4320001 432000[18 103 +2] −15− − +∫ 432000[18 103 +2] +∫ 4320001 =0.002604+0.002107+0.002107+0.02604=0.009423 10
. Al
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Cálculo de la reacción redundante
1−2 −0.036983+0.009423 =0−−−1−11 1−11 = 0.0.0036983 09423 =3.92471⇒∴ =3.92471
Al reemplazar los resultados precedentes en la ecuación
Despejando a la incógnita de la ecuación lineal
, obtenemos
, da
La magnitud positiva obtenida para indicó que tal redundante tiene el mismo sentido que el propuesto para su correspondiente carga unitaria. En caso de un resultado negativo, ello simplemente sería indicativo de que la fuerza actúa en sentido opuesto al observado en la figura 1-c.
Ecuaciones de equilibri o Como la reacción sobrante ya ha sido calculada, los valores de las reacciones faltantes pueden deducirse aplicando las ecuaciones de equilibrio a la viga real, figura 1-m.
=251.5/=37.5
ҧ=12.5´ =14.8252915´
1.5/
10´
10´ =26.59942
=3.92471 15´
2´ 3´
+=0⇒1.525252−25+3.9247150=0⇒∴ =26.59942 +↑=0⇒ −1.525+26.59942−3.92471=0⇒ =14.82529 Cabe mencionar que todos los métodos que se aplican a las estructuras isostáticas para determinar los diagramas de las acciones internas (fuerzas cortante y normal, y momento flexionante), los esfuerzos o las deformaciones, se pueden emplear en las estructuras hiperestáticas.
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(n)
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Ejercicio 2
Analice la viga estáticamente indeterminada de la figura 2-a con el método de flexibilidades. La sección transversal de la estructura es rectangular para y cuadrada para de dos pies de ancho; en el extremo izquierdo la altura de la viga tiene una variación en forma de arco parabólico. El módulo de elasticidad corresponde a un cierto valor constante.
4/
6´
16´
á
:
é 8´
2´ = 0
Estructura real (a)
Figura 2
SOLUCIÓN Verificación del grado de indeterminación y elección d e las reacciones redund antes La estructura de la figura 2-a tiene carga axial insignificante por lo que la reacción horizontal del empotramiento es nula con base en la ecuación de equilibrio para fuerzas horizontales. T omando en cuenta que aún se tienen tres incógnitas reactivas ( y ) y dos ecuaciones de la estática ( y ), y dado que no hay condiciones constructivas (articulaciones, alivios de fuerza axial y/o cortante), se concluye que la viga es hiperestática dado que , es decir, . El grado de hiperestaticidad es de uno debido a que , lo cual indica que existe una fuerza redundante. Se elimina la reacción vertical de a modo de obtener una solución para ella una vez aplicado el método de flexibilidades.
∑ = 0 ∑ = 0 3 > 2 +0
, 3 2 = 1
> +
Principio de superposición
Se suprime el soporte de rodillos . Tal como se observa en la figura 2-b, la viga real es igual a la suma de causas y efectos de otras vigas que son isostáticas.
Planteamiento de la ecuación de compatibil idad geométrica
Con referencia al nodo de la figura 2-b, se requiere de
= + 2 1 12
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O bien,
0 = + 2 2 : :
Estructura real
=
Estructura primaria
⟹
4/
6´
16´
á
é
2´ =
8´
+ :
(b)
Estructura liberada con fuerza redundante
aplicada
=
6´
Para el cálculo del coeficiente de flexibilidad 2-c.
16´
á
é 8´
2´
, hacemos unitaria a la reacción redundante, figura
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=
6´
16´
é 8´
á
:
2´ 1
Estructura liberada con fuerza vertical unitaria aplicada en
⟹
(c)
Cálculo d e la incom patibili dad geométrica y del coeficiente de flexibilidad
2 2 1 9 1 10
Para la resolución de la ecuación debe calcularse el desplazamiento vertical en el nodo tanto en la estructura primaria como en la viga liberada que soporta una unidad de la fuerza redundante, con base en las ecuaciones y .
Se analiza la viga
.
Al aplicar las ecuaciones de equilibrio en el diagrama de cuerpo libre que se muestra en la figura 2-d, se tienen las siguientes reacciones en el empotramiento
4/
൬12൰244/ = 48 ൬23൰24´ = 16´
= 384 ∙ 6´
8´ = 0
= 48
á 16´ (d)
14
é 8´
2´
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+↑ = 0 ⇒ 48 = 0 ⟹∴ = 48 + = 0 ⇒ + 488 = 0 ⇒∴ = 384 ∙ Se determinan las expresiones algebraicas de los momentos
.
Si bien la función de momento no es discontinua a lo la rgo de la viga en voladizo debido a que so bre todo su claro sólo se encuentra aplicada una única carga que es la fuerza distribuida con variación lineal, se requiere de seccionar en dos ocasiones al elemento estructural, figuras 2-e y 2-g, debido a que en el punto existe un cambio en la geometría.
Se ha establecido una coordenada para cada región. Los orígenes de y están asociados en y , respectivamente, figura 2-d; ambas coordenadas son positivas hacia la izquierda. La primera cubre al segmento , mientras que la segunda al .
0 ≤ ≤ 8´
(e)
൬12൰൬16 ൰ = 121 1 3 1 ′ = 6
+ = 0 + ൬12 1 ൰൬13 ൰ = 0 = 361
2´
En la figura 2-f se proporciona un esquema para determinar por triángulos semejantes el valor en función de de la intensidad de carga .
´
4/
´
24´
15
(f)
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4 = ´ ⇒ ´ = 1 24 6 0 ≤ ≤ 16´ ´´ = ൬16൰ + 8´
(g)
൬12൰ + 8´൬16൰ + 8´ 2´
1൬ ൰ + 8´ 3 á é 8´ + 8´
Empleando conceptos básicos de trigonometría, se calcula el punto de intensidad de carga función de , figura 2-h.
4/
´´
24´
+ 8´
(h)
4 = ´´ ⇒ ´ = 1 + 8 24 + 8 6 + = 0 + 816 + 8 1 + 8 + + 8 = 0 ⇒ = 2 3 36 16
´´
en
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Se analiza viga la
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.
Con idénticas coordenadas a las mostradas en la figura 2-d, se determinan las expresiones algebraicas de los momentos , figuras 2-i y 2-j.
0 ≤ ≤ 8´ (i)
+ = 0 1 = 0 =
2´
1
0 ≤ ≤ 16´ + = 0 1 + 8 = 0 = + 8
á é 1 8´ + 8´ (j)
Se calcula el momento de inercia respecto del centroide para cada segmento con la siguiente ecuación para perfiles rectangulares (para perfiles cuadrados ):
ℎ = 12 2 3 donde:
= ℎ=
Ancho de la viga. Altura (peralte) de la viga.
17
=ℎ
2´
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Con relación al tramo
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, figura 2-k, se tiene
4 22 − = 12 = 3
8´
2´ = ℎ 2´ =
(k) Vistas
y
del segmento
de la viga.
2 2
Con respecto al tramo , figura 2-l, para la altura tenemos que a lo largo de esta región longitudinal existe una porción de que siempre está fija aunada a otra porción que va variando parabólicamente; por consiguiente, el peralte de la viga puede ser expresado como una función de , , igual a la adición de los citados más una función parabólica .
ℎ
ℎ´
6´ 16´,4
4´
0,0
é
á
y
del segmento
La ecuación de la parábola es
ℎ´ = 4 2 4 donde:
18
2´ =
ℎ´
16´ (l) Vistas
ℎ
2´
de la viga.
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= = = ℎ´, =
Ponente: M. en I. David Ortiz Soto
Eje horizontal. Eje vertical. Distancia del foco a la directriz. Coordenadas del vértice.
Dado que en este caso
2 4 = = ℎ´ ℎ´ = 4(ℎ´ ) 2 5 2 5 ℎ´ 0 = 4(ℎ´ 0) ⇒ = 4ℎ´ ℎ´ = 41 2 6 y
, la ecuación
pasa a ser
Como se propuso al vértice de la curva en el origen del sistema coordenado, reemplazar estos valores en la ecuación y despejar , se obtiene
Si
= por tratarse de una cierta constante, resulta ℎ´ =
= 16 ℎ´ = 4
2 7
Despejando de la expresión caso y , tenemos
ℎ´ = = 0
.
Al
2 7
y considerando que se conoce un punto de la curva, en este
= ℎ´ = 164 = 641
En consecuencia,
ℎ´ = 641 2 8 De modo que
ℎ = 2´ + 641 Por lo tanto,
164 1 1 2´2´+ − = 12 = 6 ൬2´ + 64 ൰ 1 9 1 10 + 8൰8 + 361 ൬ 36 = ∫ 4 + ∫ 1 1 6 2´+ 64 3
A partir de las ecuaciones y como el coeficiente de flexibilidad .
, se determinan tanto la incompatibilidad geométrica
19
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= 1 136.533 4990.09 = 5126.623/ 8 + 8 + = ∫ 4 + ∫ 1 1 6 2´+ 64 3 = 1 128 + 804.245 = 932.245/ Cálculo de la reacción redundante
2 2 126.623 ≈ 5.5 5126.623/ + 932.245/ = 0 ⇒ = 5932. 245 ∴ = 5.5
Sustituyendo los valores obtenidos para
y
en la ecuación
y resolviendo, obtenemos
Ecuaciones de equilibri o
Con base en la figura 2-m , se calculan las reacciones del empotramiento .
4/
൬12൰244/ = 48 ൬23൰24´ = 16´
= 252 ∙ 6´
8´ = 0
= 42.5
á 16´
é 8´
(m)
+ = 0 ⇒ + 488 5.524 = 0 ⇒∴ = 252 ∙ +↑ = 0 ⇒ 48 + 5.5 = 0 ⇒∴ = 42.5 20
2´ = 5.5
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Ejercicio 3 Calcule las reacciones en los apoyos de la armadura al actuar la carga indicada, las cuales han sido identificadas previo a la resolución, figura 3-a. Los elementos de la estructura tienen una distinta sección transversal entre sí, cu ya área se especifica en metros cuadrados con un número cuadriculado adyacente. Utilice el método de flexibili dades que considera el sistema. Suponga p ara . todas las barras un
2 ∙ 1 0 /
5
10
4
2 0 0 . 0
0.001
0.001
5
5
0
: Estructura real (a)
Figura 3
SOLUCIÓN Verificación del grado de indeterminación y elección de la reacción redundante
3 ∑ ; ∑ ; ∑ 0 4 ; ; ; 431 Por otra parte, el número de nodos es 4 ;; ; y la cantidad de barras es 5 ; ; ; ; , así que + 9 y 28. Como + > 2 ya que 9 > 8, la armadura de la figura 3-a es hiperestática; dado que la diferencia es de 9 8 1, la estructura tiene un grado de hiperestaticidad total de uno; si este último es igual
Las ecuaciones de equilibrio en el plano son y en este caso no hay ecuaciones de condición, es decir, . En cada pasador hay dos incógnitas de reacción, una horizontal y una vertical, por lo que . Ello indica que la armadura es estáticamente indeterminada externamente con un grado de .
a la adición de las hiperestaticidades externa e interna, se infiere que la estructura tiene un grado de indeterminación interno nulo, por consiguiente, no será necesario efectuar un corte en ninguna barra para inducir un desplazamiento en la misma. Dado que la indeterminación es externa, la fuerza sobrante puede ser cualquiera de las reacciones en los soportes. Se considerará como redundante, pero el lector bien puede elegir o . En consecuencia, para idealizar la estructura primaria , el apoyo articulado en se reemplaza
21
,
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por un apoyo móvil, puesto que éste último soporte no restringirá en la dirección horizontal ya que se está eliminando la capacidad de la estructura para resistir . Esta estructura resultante es isostática, estable y soporta las mismas cargas que la hiperestática.
Principio de superposición La armadura real, al ser estáticamente indeterminada, puede ser igual a la suma de una serie de armaduras isostáticas conformada por la estructura primaria y otro número de estructuras igual a la cantidad de redundantes , . Entonces, la armadura de este ejemplo es igual a más es decir, , figura 3-b.
+
: Estructura real
: Estructura primaria ⟹ 5
10
4
2 0 0 . 0
0.001
5
0.001
5
(b)
+
: Estructura liberada con fuerza redundante aplicada 4
2 0 0 . 0
0.001
5
22
0.001 5
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Planteamiento de la ecuación de compatibilidad geométrica Para obtener una ecuación adicional que contribuya a la solución del problema hacemos uso del principio de superposición formulado anteriormente y tomamos en cuenta la compatibilidad del desplazamiento horizontal en el soporte de pasador . Por lo tanto,
3 1
+
Como la armadura no experimenta desplazamiento horizontal en el punto debido a que la reacción horizontal del pasador ahí situado lo impide, es nulo. A su vez, la armadura , contrariamente a la armadura real, experimenta un desplazamiento horizontal en el punto igual a una cierta cantidad de . Por otra parte, en la armadura , el desplazamiento horizontal del punto es igual a una cierta cantidad de
∆
∆
.
∆
Realizando las sustituciones correspondientes en la expresión matemática flexibilidades puede ser expresada como
0 +
3 1, la ecuación de
3 2
Si a la estructura liberada le aplicamos una uni dad de carga horizontal en el punto correspondiente a la fuerza redundante, figura 3-c, el coeficiente de flexibilidad puede obtenerse directamente al calcular el desplazamiento horizontal en ese mismo punto, por lo que .
4
2 0 0 . 0
0.001
0.001
1
5
5
: Estructura liberada con fuerza horizontal unitaria aplicada en ⟹ (c)
Cálculo de las incompatibilidades geométricas y de los coeficientes de flexibilidad
3 2
En resumen, para poder darle solución a la ecuación , en las armaduras y es necesario determinar el valor del desplazamiento horizontal en debido a que fue retirada.
Los desplazamientos requeridos pueden obtenerse con cualquiera de los métodos válidos del análisis estructural; aquí se empleará el método del trabajo virtual. Entonces,
23
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donde:
= Fuerzas en las barras de la armadura primaria. Fuerzas en las barras de la armadura liberada que soporta a la fuerza redundante unitaria. Longitud de la barra. Área de la sección transversal de la barra. Módulo de elasticidad del material. Se analiza la armadura estática, figura 3-d.
. Se calculan las reacciones en los apoyos al aplicar las ecuaciones de la 5
10
4
2 0 0 . 0
10 1.5
0.001
5
0.001 5
6.5
(d)
+→0⇒10 0 ⇒ ∴ 10 +0⇒104 + 55 10 0 ⇒ ∴ 6.5 +↑0⇒ 5+6.50⇒∴ 1.5 24
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Enseguida se hace uso del método de los nodos para determinar las fuerzas en las barras. Por trigonometría, de la figura 3-d se observa que la longitud de las barras inclinadas es
− − 4 + 5 √ 41 Por consiguiente,
sin √ 441
cos √ 541
Nodo , figura 3-e. El análisis puede comenzarse con este nodo, debido a que, como se observa en el diagrama de cargas, sólo se tienen dos incógnitas que corresponden a las fuerzas ejercidas por las barras y , las cuales han sido propuestas actuando a tensión (hacia fuera del nodo).
∙sin
∙cos
10
(e)
1.5
+↑0⇒1.5+( √ 441)0 1.54 2.4012⇒∴2.4012 ó √ 41 +→0⇒10++( √ 541)0
10 (√ 541)2.4012 8.125 ⇒∴ 8.125 ó
Nodo , figura 3-f. Con base en las ecuaciones de equilibrio para fuerzas, se llega a la conclusión de que es un elemento de fuerza nula y que la fuerza actúa a tensión.
+↑0⇒∴0 +→ 0 ⇒ 8.125 + 0 ⇒∴ 8.125 ó
8.125
(f)
Nodo , figura 3-g. Al equilibrar el cuerpo libre de esta junta, se deduce que la fuerza , por haber resultado de una magnitud negativa, e stá actuando a compresión, es decir, hacia d entro del nodo.
25
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∙sin
+↑0⇒6.5+( √ 441)0 6.54 10.4051⇒∴10.4051 ó √ 41
∙cos
(g)
8.125
6.5
Los resultados obtenidos para la armadura
se muestran en la figura 3-h. 5
10
4
0
10
8.125
8.125
5
1.5
5
(h)
6.5
Enseguida se analiza la armadura . Por inspección se han obtenido las fuerzas reactivas en los soportes y la fuerza de cada elemento, figura 3-i .
4
0
1 0
1
5
1 5
26
1 0
(i)
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Todos los datos obtenidos se colocan en la tabla 3-1. En las columnas y los números positivos indican fuerzas de tensión (jalan al nodo) y los números negativos indican fuerzas de compresión (empujan al nodo).
Barra
N(ton)
n
L (m)
A (m2)
E(ton/m2)
A-B
8.1250
-1.0000
5.0000
0.001
2*10^7
-0.002031
0.00025
A-D
2.4012
0.0000
41^(1/2)
0.0015
2*10^7
0.0000
0.0000
B-D
0.0000
0.0000
4.0000
0.002
2*10^7
0.0000
0.0000
B-C
8.1250
-1.0000
5.000
0.001
2*10^7
-0.002031
0.00025
C-D
-10.4051
0.0000
41^(1/2)
0.0015
2*10^7
0.0000
0.0000
-0.004062
0.0005
Tabla 3-1
Con base en la tabla citada, la incompatibilidad geométrica es
∆ 0.004062 y el coeficiente de flexibilidad es
0.0005 ∆ Cálculo de la reacción redundante Para corregir la incompatibilidad geométrica, debe determinarse la fuerza correctiva, es decir, se calcula la fuerza redundante.
y en la expresión 3 2, tenemos 0.004062+0.0005 0 3
Al reemplazar los resultados precedentes para
Si se despeja la incógnita, resulta
= 0.004062 0.0005 8.125 El signo positivo resultante indica que la reacción redundante tiene un sentido idéntico al propuesto para su carga unitaria correspondiente.
∴ 8.125 27
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Ecuaciones de equilibrio Se puede dibujar un diagrama de cuerpo libre colocando el valor de la reacción redundante que ha sido calculada y obtener las fuerzas reactivas faltantes al aplicar las ecuaciones de la estática. Una vez determinadas todas las reacciones en los soportes, es posible inferir el valor de las fuerzas internas con algún método del análisis estructural como lo es el de los nodos, por ejemplo. Los resultados finales para la estructura hiperestática se muestran en la figura 3-j.
5
10
4
0
1.875 1.5
0
0
5
5 (j)
28
8.125
6.5
