Cuadratura Gaussiana

Cuadratura Gaussiana

Diego Diego F. Chávez avez Henao Hen ao [email protected]

20 de enero de 2015

Preliminares Cuadratura Gaussiana Polinomios de Legendre y Cuadratura Gaussiana Programaci´ on y ejemplos on e jemplos del método etod o de cuadratu c uadratura ra Gaussiana Gaus siana Cuadratura Gaussiana en un intervalo arbitrario Bibli Bi bliog ogra raff´ıa

Problemas con los nodos equiespaciados

Contenidos 1 Preliminares Problemas con los nodos equiespaciados 2 Cuadratura Gaussiana ¿Qu´ e hace la Cuadra Cuadratura tura Gaussi Gaussiana? ana? Ejemplo de Cuadratura gaussiana Polinomi linomios os de Legendre y Cuadratura Cuadratura Gaussiana 3 Po Polinomios de Legendre on y ejemplos del m´ on etodo de cuadratura Gaussiana etodo 4 Programaci´ C´ odigo Matlab del m´ odigo eto do m´ etodo eto do de cuadr etodo cuadratura atura Gauss Gaussiana iana Ejemplo de aplicaci´ on del m´ on etodo de cuadratura Gaussiana etodo Cuadratura tura Gaussiana Gaussiana en un intervalo arbitra arbitrario rio 5 Cuadra Traslaci´ on del m´ on etodo de cuadratura Gaussiana etodo Ejemplo de cuadratura Gaussiana en el intervalo [1, 3] Bibl bliiog ogra raff´ıa 6 Bi



Contenidos 1 Preliminares Problemas con los nodos equiespaciados 2 Cuadratura Gaussiana ¿Qu´ e hace la Cuadra Cuadratura tura Gaussi Gaussiana? ana? Ejemplo de Cuadratura gaussiana Polinomi linomios os de Legendre y Cuadratura Cuadratura Gaussiana 3 Po Polinomios de Legendre on y ejemplos del m´ on etodo de cuadratura Gaussiana etodo 4 Programaci´ C´ odigo Matlab del m´ odigo eto do m´ etodo eto do de cuadr etodo cuadratura atura Gauss Gaussiana iana Ejemplo de aplicaci´ on del m´ on etodo de cuadratura Gaussiana etodo Cuadratura tura Gaussiana Gaussiana en un intervalo arbitra arbitrario rio 5 Cuadra Traslaci´ on del m´ on etodo de cuadratura Gaussiana etodo Ejemplo de cuadratura Gaussiana en el intervalo [1, 3] Bibl bliiog ogra raff´ıa 6 Bi




En todas las f´ ormulas de Newton-Cotes previas usan valores de la ormulas funci´ on evaluados en puntos igualmente espaciados. Esta restricción on on es conveniente cuando las f´ ormulas se combinan para formar reglas ormulas compuestas, pero esto puede disminuir significativamente la precisión on de la aproximaci´ on. on. Además, as, recordemo recordemoss que en las f´ ormulas compuestas se requiere el ormulas uso de nodos equidistantes, pero esto no es adecuado cuando se integra una funci´ on en un intervalo que contiene regiones con on variaci´ on funcional grande y peque˜ on na. na.

Preliminares Cuadratura Gaussiana Polinomios de Legendre y Cuadratura Gaussiana Programaci´ on y ejemplos del método de cuadratura Gaussiana Cuadratura Gaussiana en un intervalo arbitrario Bibliograf´ıa



En todas las f´ ormulas de Newton-Cotes previas usan valores de la funci´ on evaluados en puntos igualmente espaciados. Esta restricción es conveniente cuando las f´ ormulas se combinan para formar reglas compuestas, pero esto puede disminuir significativamente la precisión de la aproximaci´ on. Además, recordemos que en las f´ ormulas compuestas se requiere el uso de nodos equidistantes, pero esto no es adecuado cuando se integra una funci´ on en un intervalo que contiene regiones con variaci´ on funcional grande y peque˜ na.



Problemas con los nodos equiespaciados Por ejemplo, considere lo que sucede al aplicar la regla del Trapecio para determinar la integral de las funciones que se muestran en la figura 4. La regla Trapezoidal aproxima la integral de la funci´ o n al integrar la funci´ on lineal que une los extremos de la gr´ afica de la funci´ on.

Figura 1: Ejemplo de una situaci´ on donde la integraci´ on con nodos equidistantes puede ser inapropiada.



Problemas con los nodos equiespaciados Por ejemplo, considere lo que sucede al aplicar la regla del Trapecio para determinar la integral de las funciones que se muestran en la figura 4. La regla Trapezoidal aproxima la integral de la funci´ o n al integrar la funci´ on lineal que une los extremos de la gr´ afica de la funci´ on.

Figura 1: Ejemplo de una situaci´ on donde la integraci´ on con nodos equidistantes puede ser inapropiada.



Problemas con los nodos equiespaciados Sin duda la l´ınea que une los extremos no es la mejor l´ınea para aproximar la integral. Las l´ıneas que se muestran en la figura 5 seguramente produciran mejores aproximaciones.

Figura 2: Mejoras en la precisi´ on de la integral por usar una l´ınea mejor.



Problemas con los nodos equiespaciados Sin duda la l´ınea que une los extremos no es la mejor l´ınea para aproximar la integral. Las l´ıneas que se muestran en la figura 5 seguramente produciran mejores aproximaciones.

Figura 2: Mejoras en la precisi´ on de la integral por usar una l´ınea mejor.


¿Qué hace la Cuadratura Gaussiana? Ejemplo de Cuadratura gaussiana

Contenidos 1 Preliminares Problemas con los nodos equiespaciados 2 Cuadratura Gaussiana ¿Qu´ e hace la Cuadratura Gaussiana? Ejemplo de Cuadratura gaussiana 3 Polinomios de Legendre y Cuadratura Gaussiana Polinomios de Legendre on y ejemplos del m´ etodo de cuadratura Gaussiana 4 Programaci´ C´ odigo Matlab del m´ etodo m´ etodo de cuadratura Gaussiana Ejemplo de aplicaci´ on del m´ etodo de cuadratura Gaussiana 5 Cuadratura Gaussiana en un intervalo arbitrario Traslaci´ on del m´ etodo de cuadratura Gaussiana Ejemplo de cuadratura Gaussiana en el intervalo [1, 3] 6 Bibliograf´ıa



¿Qu´ e hace la Cuadratura Gaussiana? La cuadratura gaussiana selecciona los puntos de la evaluaci´ on de manera ´ optima y no en una forma igualmente espaciada. Se escogen los nodos x1 , x2 , . . . , xn en el intervalo [a, b] y los coeficientes c1 , c2 , . . . , cn para reducir en lo posible el error esperado que se obtiene al efectuar la aproximaci´ on n

b

 a

f (x) dx

 ≈

ci f (xi ) .

i=1

Tenemos 2n par´ ametros. Si los coeficientes de un polinomio se consideran par´ ametros, la clase de polinomios de grado m´ aximo 2n 1 también contiene 2n parámetros. Usaremos estos polinomios para mejorar la exactitud de la aproximación.

−



¿Qu´ e hace la Cuadratura Gaussiana? La cuadratura gaussiana selecciona los puntos de la evaluaci´ on de manera ´ optima y no en una forma igualmente espaciada. Se escogen los nodos x1 , x2 , . . . , xn en el intervalo [a, b] y los coeficientes c1 , c2 , . . . , cn para reducir en lo posible el error esperado que se obtiene al efectuar la aproximaci´ on n

b

 a

f (x) dx

 ≈

ci f (xi ) .

i=1

Tenemos 2n par´ ametros. Si los coeficientes de un polinomio se consideran par´ ametros, la clase de polinomios de grado m´ aximo 2n 1 también contiene 2n parámetros. Usaremos estos polinomios para mejorar la exactitud de la aproximación.

−



Ejemplo de Cuadratura gaussiana Ejemplo con un polinomio de grado 2. Suponga que queremos determinar c1 , c2 , x1 y x2 de modo que la f´ ormula de integraci´ on 1



−1

f (x) dx

≈ c1 f (x1) + c2 f (x2)

d´ e el resultado exacto siempre que f (x) sea un polinomio de grado 2(2) 1 = 3 o menor, es decir, cuando

−

f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 ,

para alg´ un conjunto de constantes a0 , a1 , a2 y a3 .



Ejemplo de Cuadratura gaussiana

Ejemplo con un polinomio de grado 2. Dado que



(a0 +a1 x+a2 x2 +a3 x3 ) dx = a0



1 dx+a1



x dx+a2



x2 dx+a3



x3 d

esto equivale a demostrar que la fórmula produce resultados exactos cuando f (x) es 1, x, x2 y x3 . Por lo tanto, necesitamos c1 , c2 , x1 y x2 de modo que 1

c1 1 + c2 1 =

·

c1 x21 + c2

·

·



1

1 dx = 2,

c1 x1 + c2 x2 =

·

−1

1

·

2 x22 = x2 dx = , 3 −1



y

·



−1

c1 x31 + c2 x32 =

·

x dx = 0,

·

1



−1

x3 dx = 0.



Ejemplo de Cuadratura gaussiana Ejemplo con un polinomio de grado 2. Con un poco de ´ algebra se puede demostrar que este sistema de ecuaciones tiene soluci´ on u ńica c1 = 1,

c 2 = 1,

x1 =

−

√ 3 3

x2 =

y

√ 3 3

,

con lo que se obtiene la f´ ormula de aproximaci´ on 1



−1

f (x) dx

−

≈ f

√ 3  3

√  3

+ f

3

.

Esta f´ ormula tiene un grado de precisi´ on tres, esto es, produce el resultado exacto con cada polinomio de grado tres o menor.


Polinomios de Legendre





1

Con la t´ ecnica del ejemplo podr´ıamos determinar los nodos y coeficientes de las f´ ormulas que proporcionan resultados exactos con los polinomios de grado superior, pero tambi´ en podemos aplicar un m´ etodo alterno para obtenerlos m´ as f´ acilmente.

2

El conjunto P 0 (x), P 1 (x), . . . , Pn (x), . . . es un conjunto de polinomios ortogonales es tal que sus ra´ıces se encuentran en ( 1, 1) y son tales que los nodos x1 , x2 , . . . , xn necesarios para porducir una f´ ormula de la aproximaci´ on a la integral, que proporcione resultados exactos para cualquier polinomio de un grado a lo sumo 2n 1 son las ra´ıces del polinomio de Legendre de grado n.

{

}

−

−




1

Con la t´ ecnica del ejemplo podr´ıamos determinar los nodos y coeficientes de las f´ ormulas que proporcionan resultados exactos con los polinomios de grado superior, pero tambi´ en podemos aplicar un m´ etodo alterno para obtenerlos m´ as f´ acilmente.

2

El conjunto P 0 (x), P 1 (x), . . . , Pn (x), . . . es un conjunto de polinomios ortogonales es tal que sus ra´ıces se encuentran en ( 1, 1) y son tales que los nodos x1 , x2 , . . . , xn necesarios para porducir una f´ ormula de la aproximaci´ on a la integral, que proporcione resultados exactos para cualquier polinomio de un grado a lo sumo 2n 1 son las ra´ıces del polinomio de Legendre de grado n.

{

}

−

−




Figura 3: Valores tabulados de los nodos x1 (ra´ıces de los polinomios de Legendre) y de los coeficientes ci .


C´ odigo Matlab del m´ etodo m´ etodo de cuadratura Gaussiana Ejemplo de aplicaci´ on del m´ etodo de cuadratura Gaussiana




C´ odigo Matlab (basado en el libro de Mathews y Fink [MF])







Figura 4 Subprograma definido para hacer la cuadratura Gaussiana.



Enunciado 1

Aproxime la integral −1 ex cos(x) dx usando cuadratura Gaussiana con N = 3. La integraci´ on por partes puede ser usada para mostrar que el valor real de la integral es 1.9334214. Compare este valor con el obtenido.





C´ odigo Matlab usado para correr la función gauss.m

Figura 5: C´ odigo Matlab usado en la cuadratura Gaussiana.



Consola de Matlab con resultados

Figura 6: Salidas de Matlab mostradas en consonla.


Traslaci´ on del m´ etodo de cuadratura Gaussiana Ejemplo de cuadratura Gaussiana en el intervalo [1, 3]




Traslaci´ on del m´ etodo de cuadratura Gaussiana

1

Para aplicar la cuadratura Gaussiana en un intervalo [a, b], se puede usar el cambio de variable t =

2x

−a−b ⇔ b−a

x=

(b

− a)t + (b + a) , 2

con lo que tenemos 1

b

 a

f (x) dx =

  ( − f

−1

b

a)t + ( b + a

2

 )

b

− a dt . 2



Traslaci´ on del m´ etodo de cuadratura Gaussiana

Figura 7: Traslaci´ on del m´ etodo de cuadratura Gaussiana.



Enunciado 3

Aproxime la integral 1 x6 x2 sin(2x) dx = 317,3442466 usando cuadratura Gaussiana con N = 3.



−



C´ odigo Matlab usado para correr la función gauss.m

Figura 8: C´ odigo Matlab usado en la cuadratura Gaussiana en [1, 3].



Consola de Matlab con resultados

Figura 9: Salidas de Matlab mostradas en consonla.



Cuadratura Gaussiana

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