Vibrations § Dynamique des Structures
M. CHERKAOUI Professeur de l’enseignement supérieur FST Errachidia Maroc EIVP Ecole Ingénieurs ville Paris -Ecole des Ponts Paris Tech France Docteur en Sciences de l’ingénieur Université Paris XI Spécialité : Génie civil Et Energétique Professeur de l’enseignement supérieur
• Plan du cours:
• I - Vibrations libres des systèmes mécaniques à un degré de liberté. • II - Réponse forcée des systèmes mécaniques à un degré de liberté. • III - Systèmes à plusieurs degrés de liberté • IV- Vibration des systèmes mécanique continus
• Ce cours est en construction, Merci pour me faire remonter les erreurs afin de l’améliorer.
• Eléments de bibliographie • • • • • • • • •
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[1] L.L. Beranek, I.L.Vér, Noise and vibration control engineering, J. Wiley, 1992. [2] D.A. Bies, C.H. Hansen, Engineering noise control (2nd edition), E. and F. N. Spon, 1995. [3] A.P. Dowling, J.E. Ffowcs-Williams, Sound and sources of sound, Horwood, 1989. [4] Encyclopedia of vibration, (Tomes 1 à 3), (S.G. Braun, D.J. Ewins, S.S. Rao, éd.), Academic Press,2002. [5] Fundamentals of noise and vibration,(F. Fahy, J. Walker, éditeurs), E. and F. N. Spon, 1998. [6] D.J. Inman, Engineering Vibration, Prentice Hall, 1996. [7] M. Lalanne, J. Der Hagopian, P. Berthier, Mécanique des vibrations linéaires, Masson, 1986 [8] C. Potel, M. Bruneau, Acoustique générale, Ellipses, 2006. [9] M.P. Norton, Fundamentals of noise and vibration analysis for engineers, Cambridge University Press, 1989. [10] S.S. Rao, Mechanical Vibrations (3rd ed.), Addison-Wesley, 1995. [11] A.A. Shabana, Theory of vibration (2nd ed.), Springer, 1995.
• Chapitre 1 : Introduction
Introduction • La mécanique vibratoire est l’étude des mouvements répétitifs par apport à une position de référence, généralement la position d’équilibre. • Définition : • Tout mouvement oscillatoire, d'un système mécanique, autour de sa position d'équilibre est appelée mouvement vibratoire. • Les vibrations peuvent être nuisibles et doivent être évitées, comme elles peuvent être utiles, et dans ce cas, souhaitées. • la maîtrise des vibrations indispensable: • comment les analyser; les mesurer et les contrôler est toujours souhaitée. Ce qui est l’objet de ce cours
Exemples d’Oscillateurs • Ils peuvent être de types différents : mécanique, électrique, acoustique: • - structure d'une molécule diatomique. • - la masse accrochée à un ressort, le pendule. • - le circuit électrique RLC. • -balançoire, le balancier d'une horloge. • - tremblement de terre, Sismographe. • - haut-parleur, microphone. • - instruments de musique à vent ou à cordes.
-Amortisseur d’une automobile ou d’un motocycle. -Le mouvement des ailes d’un avion. -Le mouvement des grands immeubles, ponts à cause des vents violents. - etc…
Premier mode de torsion du pont de Tacoma (des films ont été pris par des amateurs dont on peut trouver les vidéo sur le web)
• Modélisation d'un système: • Définition : • La modélisation permet d'analyser des phénomènes réels et de prévoir des résultats à partir de l'application d'une ou plusieurs théories à un niveau d'approximation donné. • La description mathématique d'un problème d'ingénierie est réalisée en appliquant les lois physiques connues. Il est nécessaire d'introduire des hypothèses qui simplifieront le problème pour que ces lois puissent être appliquées. C'est la partie création du modèle physique. L'application des lois physiques donne des descriptions mathématiques, c'est le modèle mathématique.
• Les vibrations sont modélisées mathématiquement, en se basant sur les principes fondamentaux comme les principes d’équilibres dynamiques, et analysées à travers les résultats des équations différentielles (équations de mouvements).
Exemple de modélisation de vibrations Modèle
Modèle réel
physique
Bâtiments
• But de l’étude: • Éviter les vibrations qui sont à part quelques exceptions une nuisance : • Les grandes amplitudes au voisinage des résonances entraînent des contraintes importantes pouvant aller jusqu’à la détérioration du système: -Le pont (Tacoma). • Les petites amplitudes sur une longue durée peuvent par fatigue altérer les matériaux.
•
• •
• •
• Définitions: 1) Vibrations : Petites variations provoquées par une excitation d’une grandeur q autour d’une valeur moyenne q0 . La fonction q(t) décrit la réponse du système à l'excitation appliquée. Quand l’évolution de l’oscillateur peut-être décrite par n variables indépendantes, l’oscillateur possède n degrés de liberté. Le système physique est appelé oscillateur lorsque q(t) varie périodiquement. Un oscillateur est linéaire si son mouvement est décrit par une équation différentielle linéaire.
• L ‘oscillateur élémentaire linéaire possède un seul degré de liberté. • Un oscillateur est libre s’il oscille sans interventions extérieures pendant son retour à l’équilibre. • Un oscillateur est forcé si une action extérieure lui communique de l’énergie. • Un oscillateur dissipe de l’énergie quand il retourne vers son état d’équilibre : il est amorti
• Exemple de réponse d'un oscillateur : • 1-L'oscillation est de forme quelconque et de période T. La fonction de réponse est telle que: q(t) = q(t+T)
• 2) Oscillateur Harmonique: • - La forme des oscillations est sinusoïdale. • -L'excitation appliquée au système est très brève, elle disparaît dès que le système oscille, Les oscillations sont dites libres (système non entretenu). • -L'énergie totale du système se conserve au cours du temps. • 3) Oscillateur Harmonique amorti: • -Le système physique dissipe de l'énergie : l'énergie totale ne se conserve pas dans le temps. Le système est amorti. • 4) L'oscillateur harmonique forcé: • Le système est soumis à une excitation permanente produite par un dispositif extérieur. Les oscillations sont dites forcées.
• 5) L'oscillateur anharmonique: • - Le système évolue suivant une loi périodique de forme quelconque ( non sinusoïdale). • - On montre mathématiquement que toute oscillation périodique se décompose en une somme d'oscillations harmoniques (décomposition de Fourrier).
L'oscillateur anharmonique:
Causes des vibrations Amplitude +
Heavy Spot
0
Time 360 degrees
-
Rotation
1 revolution 3600 rpm
=
3600 cycles per minute
60 Hz
=
60 cycles per second
1 order
=
one times turning speed
Amplitude +
0
Time
1000 rpm
1 revolution
4 blades
=
vibration occurs 4 times per revolution
4 x 1000 rpm
=
vibration occurs at 4000 cycles per minute =
4000 cpm
Amplitude +
12 tooth gear
0
Time
1000 rpm
1 revolution
12 teeth are meshing every revolution of the gear 12 x 1000 rpm
= =
vibration occurs at 12,000 cycles per minute 12,000 cpm = 200 Hz
+ 0
Time
+ 0
Time
+ 0
-
Time
Time Waveform contains all the different frequencies mixed together +
0
-
Time
Amplitude
Amplitude
Amplitude
Amplitude
Frequency
Time
Time
0
Time
-
1x
Frequency
+ 0
Time
+ 0
-
4x
Frequency
Time 12x
Frequency
Principles causes: Disequilibria =imbalance Center of Shaft = Center of Mass
Heavy Spot Center of Mass
Center of Shaft
Rotation
Types of Imbalance
Imbalance can be separated into two components:
Static Imbalance:
(constant across rotor)
Couple Imbalance: o
(opposite across rotor)
What is misalignment?
Deviation from a common centerline during operation.
GRRR!
BEFORE
hmmm!
AFTER
Types of Misalignment Offset
Angular
Both
Bearing Fault Frequencies
Function of the Geometry of the Bearing Outer Race (BPFO)
Inner Race (BPFI)
Ball Spin (BSF) Cage (FTF)
Signal Acquisition & Understanding the Vibration Spectrum Transducer
Amplitude
Overall Energy
Waveform
Time
FFT Spectrum
Amplitude Frequency
How the Vibration Spectrum is Created
Amplitude
FFT (Fast Fourier Transform)
Amplitude
Amplitude
Tim e
Tim e
Partie I Système à un degré de liberté
Chapitre 1 Vibrations linéaires libres non amorties (conservatives)
• Le régime libre décrit le comportement du système après un lâcher initial, sans fourniture ultérieure d’énergie par une force extérieure. Donc à l’instant initial t=0, on déplace la masse à x(0)=Xo (élongation initiale) et le système est abandonné à lui-même avec vitesse initiale Vo . • La façon dont le système est mis en mouvement s’appelle « Conditions Initiales » (CI) :
• 1.1 Modèle de base du système mécanique
• Fig. 1.1 Oscillateur élémentaire conservatif à un degré de liberté non amorti. • Composé par : - la masse ponctuelle (m), • - ressort de raideur ou rigidité (k) et longueur naturelle lo . • (O,X,Y): repère fixe ou supposé Galiléen.
• Ressort : • Définition : Système mécanique d’application d’effort proportionnel à « k » et opposé à sa variation de longueur. • Par hypothèse on suppose que la masse du ressort est négligeable par rapport à la masse « m » du système et que les liaisons sont parfaites . • Soit x(t) le paramètre d’état, élongation du ressort par rapport à sa position d’équilibre, l’origine O. • En appliquant le théorème de centre de gravité (théorème de la résultante dynamique) à la • masse « m » en mouvement de translation on a :
•
(1)
• Cette dernière équation est une équation différentielle de second ordre homogène à coefficients constants. Elle régit le comportement vibratoire du système mécanique et elle est souvent écrite sous la forme :
•
pulsation propre du système conservatif, appelée aussi pulsation naturelle ou fondamentale . • La solution de cette équation donnant le déplacement de la masse est cherchée sous différentes formes : • -Combinaison linéaire de deux fonctions harmoniques:
• • • • • • •
• • • •
combinaison linéaire de deux fonctions harmoniques: (5) une seule fonction harmonique: (6) - sous forme complexe: (7) Avec : A, B, X constantes quelconques appelées «amplitudes », ϕ phase initiale ou déphasage. Le déplacement de la masse est un mouvement harmonique: de pulsation propre : ω0 de fréquence propre : (8) de période propre : (9)
• La vitesse est calculée en dérivant x(t): • (10) • L’accélération est calculée en dérivant la vitesse : • (11)
• La vitesse est à +π/2 en avance par rapport au déplacement. On dit qu’ils sont en «quadrature » .L’accélération est à +π en avance par rapport au déplacement. On dit qu’ils sont en «opposition de phase» .
• Trouvons la loi du mouvement (6) en fonction des CI ainsi imposées:
• Dont les solutions sont :
• D’où la loi générale du mouvement en fonction de deux constantes ainsi calculées : •
(12)
Applications • 1.2 Oscillateur harmonique linéaire dans le champ de la pesanteur terrestre: • Considérons cette fois l’oscillateur élémentaire à un degré de liberté de la fig. 1.1 • Dans ce cas l’étude est décomposée en trois phases (cf. fig. 1.3) :
• Phase 1 : • Ressort non chargé. Sa masse étant négligée par rapport à la masse «m» le ressort n’est pas tendu et sa longueur vaut sa longueur naturelle lo . • Phase 2 : • On suspend la masse «m». Le ressort est tracté, il se prolonge d’une flèche appelée « flèche statique » et notée fst . Le système étant en équilibre statique on a : • (14)
• Les caractéristiques du système étant connues, on peut mesurer la flèche statique qui permet d’exprimer la pulsation propre en fonction de «g» et «fst » :
• Phase 3 : • Le système est mis en mouvement par rapport à cette position d’équilibre stable (phase deux) et laissé à lui-même sans apport d’énergie (oscillations libres). Soit x(t) le paramètre d’état ou la variable généralisée du problème. En appliquant le théorème du centre du gravité (cdg) ou le théorème de la résultante dynamique en O on a :
• D’où:
• Finalement: • calculer la pulsation propre revient à calculer ou à mesurer la flèche statique fst :
• On peut résumer que la pesanteur donne ou détermine la position d’équilibre du système, tandis que les caractéristiques propres du système « m » et « k » donnent les vibrations autour de cette position d’équilibre.
• 1.3 Applications 1.3.1 Conception de la suspension de véhicules: • Il est prouvé que le corps humain supporte sans trop de fatigue des oscillations verticales avec une fréquence voisine de 1,5 Hz qui est celle de la marche à pas. Les équations (8, 9 et14) permettent • de calculer : fst =11 cm - f0=1,5 Hz – T=0,67 s et ω0=9,47 s-1. • A l’équilibre, on doit avoir une flèche de la suspension de 11 cm. d’où le choix des ressorts à partir de la masse du véhicule.
• a. Véhicules conçus pour charges moyennes: • C’est le cas de votre voiture familiale. La flèche statique provoquée par le poids du véhicule et la charge nominale à l’équilibre est de 11 cm. Le jour de départ en vacance vous souhaitez prendre pas mal de choses et vous surchargez « sans vouloir » votre voiture. Du coup la flèche statique augmente et elle est forcement plus grande des 11 centimètres confortables. Cette flèche statique provoque une pulsation propre plus petite. Enfin cette dernière provoque une période propre plus • grande. Le mouvement devient plus lent et vous avez « le mal de mer ».
• b. Véhicules conçus pour charges élevées: • C’est le cas de plusieurs véhicules utilitaires, poids lourds, camionnettes, break etc. La flèche statique provoquée par le poids du véhicule et la charge, vous êtes le conducteur «malheureux» de ce véhicule. Après la longue journée de travail vous regagnez enfin le garage véhicule à vide. La flèche statique étant plus petite elle provoque une pulsation propre plus grande. Enfin cette dernière provoque une période propre plus petite. Le mouvement devient plus rapide et vous avez « mal aux reins ». • Vous l’avez sans doute constaté que votre voiture familiale est plus confortable quand elle n’est pas surchargée . En ce qui concerne votre camionnette elle est plus confortable quand elle est à pleine charge
• Systèmes de torsion: Un corps rigide oscille autour d'un axe (vibration de torsion).
Figure 1.4 – Equilibre d'un système de torsion. • L'équilibre dynamique entre le moment dynamique: • • Et le moment de torsion : • permet d'écrire l'équation du déplacement angulaire θ(t)
• J0 moment d'inertie de la masse et kt raideur de torsion [en Nm/rad].
La pulsation naturelle est:
Raideurs en parallèles
Raideurs en série
Raideur en flexion
Masse équivalente
• Remarque:
TD Chapitre I
• Rappel: • Le moment d'inertie est une grandeur physique qui caractérise la géométrie des masses d'un solide, c'est-à-dire la répartition de la matière en son sein. Il quantifie également la résistance à une mise en rotation de ce solide (ou plus généralement à une accélération angulaire), et a pour dimension M·L² (le produit d'une masse et du carré d'une longueur, qui s'exprime en kg·m² dans le S.I.). C'est l'analogue pour un solide de la masse inertielle qui, elle, mesure la résistance d'un corps soumis à une accélération linéaire.
• Dans le cas simple de la rotation d'une masse autour d'un axe fixe, le moment d'inertie par rapport à cet axe est une grandeur scalaire qui apparaît dans les expressions du moment cinétique et de l'énergie cinétique de rotation de ce corps. • En RDM l'appellation de "moment d'inertie" est parfois utilisée pour déterminer la contrainte dans une poutre soumise à flexion. Il s'agit alors d'une notion physique différente, encore appelée moment quadratique, qui a pour grandeur physique L4 (en m4 ).
• En serrant ses bras le long du corps, ce patineur diminue son moment d'inertie, augmentant sa vitesse de rotation, puisque son moment cinétique est conservé. • Données clés: • Symbole usuel I, JΔ Unités SI kg.m2 Dimension M.L2 • Grandeur extensive oui Nature scalaire, tenseur (mécanique du solide) Expressions
• dans un solide considéré comme un ensemble continu de points matériels affectés d'une masse volumique , le moment d'inertie s'écrit :
• Système discret:
• Le calcul de l'énergie cinétique :
• le moment cinétique du système par rapport à un point quelconque O de l'axe s'exprime sous la forme:
Problem from: MIT - Massachusetts Institute of Technology • Pb1: • Model the system shown in Fig.1-15 by a block attached to a single spring of an equivalent stiffness:
• The first step is to replace the parallel combinations by springs of equivalent stiffnesses. The result is used to replace these springs by a spring whose stiffness is calculated as:
• The springs attached to the right of the block are in series and a re replaced by a spring of sti ffness:
• The result is the system:
• =
• Pb2: • A machine of mass m is attached to the mid-span of a simply supported beam of length L , elastic modulus E, and cross-sectional moment of inertia I. The mass of the machine is much greater than the mass of the beam; thus the system can be modeled using 1 degree of freedom. What is the equivalent stiffness of the beam using the midspan deflection as the generalized coordinate?
• Solution: • The deflection of a simply supported beam at its mid-span due to a concentrated load F applied at the mid-span is:
• The equivalent stiffness is the reciprocal of the mid-span deflection due to a mid-span concentrated unit load:
• Pb3: • Derive an expression for the equivalent stiffness of the system of Fig. 1-18 when the deflection of the machine is used as the generalized coordinate.
• Solution: • Consider a concentrated downward load F1 applied to the mid-span of the simply supported • beam leading to a mid-span deflection x. A compressive force kx is developed in the spring. The total downward force acting on the beam at its mid-span is (F1 – kx). As noted in Problem above, the mid-span deflection of a simply supported beam due to a concentrated load at its mid-span is:
• Thus for the beam of Fig. 1-18:
• which leads to: • The equivalent stiffness is obtained by setting F1=1, leading to:
• It is observed that the beam and the spring act as two springs in parallel.
• Pb4: • What is the equivalent stiffness of the system of Fig. 1-19 using the displacement of the block as the generalized coordinate?
• The deflection of a fixed -free beam at its free end due to a unit concentrated load at its end is: Thus the equivalent stiffness of the cantilever beam is:
• The analysis of Problem above suggests that the beam and the upper spring act in parallel. This parallel combination is in series with the spring placed between the beam and the block. This series combination is in parallel with the spring between the block and the fixed surface. Thus using the formulas for parallel and series combinations, the equivalent stiffness is calculated as:
Chapitre II • Systèmes amortis libres • Vibrations linéaires de systèmes mécaniques à 1 ddl, amorties, libres.
• Le système est composé par:
Mise en équation • Soit x(t) le paramètre d’état, élongation du ressort par rapport à sa position d’équilibre, l’origine • En appliquant le théorème de centre de gravité (théorème de la résultante dynamique) à la masse « m » en mouvement de translation on a : • • (3)
En divisant les deux parties de cette équation par la masse « m » non nulle, l’équation (2) peut se mettre sous la forme suivante :
• En mécanique vibratoire on pose η =h/ω0 • La quantité η est appelée « amortissement relatif » (relatif à la pulsation propre ω0 ) ou facteur d’amortissement
• Les solutions de l’équation (3) sont fonction des racines de l’équation caractéristique associée. • Trois cas sont à étudier : 1 > η, 1 = η, 1 < η. • On cherche les solutions de l’équation (3) sous la forme :
• avec : µ et r des constantes quelconques, t étant le paramètre temps.
• On obtient l’équation caractéristique de l’équation 3:
• Amortissement sur critique: • C’est le cas pour: η= h /ω > 1 donc h > ω • L’amortissement du système est fort et on dit que ce dernier travaille dans les conditions d’amortissement sur critique. • Les racines de l’équation caractéristique sont les deux réels négatifs:
• Amortissement critique:
• La solution à la forme: • A et B constantes • arbitraires
• Amortissement sous critique: • C’est le cas pour 1 < η , donc h < ω0. L’amortissement du système est faible et on dit que ce dernier travaille dans les conditions d’amortissement sous critique. C’est le cas pratique le plus important. • Les racines de l’équation caractéristique (8) sont complexes:
l’équation montre que le mouvement est sinusoïdal exponentiellement amorti:
• On peut noter que la masse ne s’arrête jamais. Elle oscille avec une amplitude qui tend vers zéro. • La période des oscillations amorties est :
• appelée « pseudo période » du mouvement amorti.
• Remarque: • L’amortissement diminue l’amplitude et augmente la période des oscillations. Il est évident que: • T>To , donc le mouvement amorti est plus lent avec une fréquence plus basse. Souvent dans • certains cas pratiques, le terme η2 est très petit par rapport à 1 et la période amortie T peut être confondue avec T o sans erreur appréciable
• Les trois cas ainsi étudiés sont récapitulés sur la figure suivante :
• Décrément logarithmique: • Dans le cas d’amortissement sous-critique, le mouvement étant sinusoïdal exponentiellement amorti, en pratique, il est souvent utilisé le rapport entre deux amplitudes séparées d’une période T. Ce rapport appelé « décrément du mouvement » et noté δ est défini par :
En pratique on utilise plutôt le logarithme népérien de δ, appelé « décrément logarithmique » et noté λ :
• Le décrément du mouvement est un rapport facilement mesurable. Il permet de calculer • l’amortissement relatif η d’où le coefficient d’amortissement « h » et finalement la constante d’amortissement « c » nécessaire pour la conception de la suspension de véhicules.
• Applications: • Parmi les trois cas étudiés ci-dessous, le cas d’amortissement critique (AC) a trouvé des applications bien particulières dans différents domaines de l’industrie. Tous les systèmes pour lesquels on souhaite un retour rapide et sans oscillations vers la position d’équilibre sont conçus sur le principe d’amortissement critique avec 1 = η (retour le plus vite possible vers x=0). Citons à titre d’exemple : • - la fermeture des portes sans vibrations et bruit, • - conception de la suspension (amortisseurs) des véhicules, • - appareils de mesures électriques (pas d’oscillations de l’aiguille), • - balances automatiques modernes etc. • Tous ces exemples nous montrent l’importance de la prise en compte des effets dynamiques lors de la conception d’un système mécanique.
METHODE ENERGETIQUE DE RAYLEIGH
En faisant l'hypothèse qu'il n'y a pas d'énergie dissipée :
L’énergie totale instantanée du système conservatif en mouvement est proportionnelle à A2 et indépendante du temps t :
• Deux conséquences importantes : • 1) La dérivée de l'énergie totale (potentielle + cinétique) est nulle, d'où la relation R1:
• 2) A deux instants t1 et t2 quelconques:
• • • •
En choisissant t1 et t2 , tels que si U(t1) =Umax alors T( t1) =0 si U(t2) = 0 alors T (t2) = Tmax on obtient la relation R2: Umax=Tmax
• valable pour les systèmes conservatifs soumis à des mouvements harmoniques. Ce • principe de conservation est utilisé : • ·-pour obtenir des équations du mouvement, • ·-pour calculer directement la pulsation naturelle des systèmes.
Application1: Equation du mouvement L’énergie potentielle totale du système est la somme de l’énergie potentielle élastique du ressort et de l’énergie potentielle gravitationnelle. Toutes les deux doivent être exprimées comme un changement à partir d’une position arbitraire. On choisit ici (voir Figure 1.19) la position d’équilibre x0 qui correspond à une énergie élastique stockée dans le ressort:
• L’énergie potentielle U2 à une distance x de la position d’équilibre correspond à une • augmentation de l’énergie élastique qui devient :
• et une diminution de l’énergie potentielle: mgx due au changement de position:
• La différence d’énergie potentielle est:
• et en considérant que kx0 = mg , il reste:
• L’énergie totale (cinétique + potentielle) est
• et sa dérivée par rapport au temps (R1)
• Puisque la vitesse v n’est pas identiquement nulle (quel que soit t ) dans l’expression précédente, on peut en déduire l’équation différentielle du mouvement:
Application2 Pulsation propre • La méthode énergétique peut aussi être utilisée pour obtenir la fréquence propre (naturelle) des systèmes oscillants conservatifs. Il suffit d’appliquer la relation :
Pour un mouvement périodique d’amplitude A et de pulsation propre et vmax = • Donc:
• Application3: • Pendule simple • La masse est supposée quasiment ponctuelle par rapport à la longueur l du bras et la masse du bras est considérée comme négligeable. Dans ces conditions, le moment d’inertie autour de l’axe est:
Le déplacement angulaire est mesuré à partir de la position d’équilibre. L’énergie cinétique du système est:
L’énergie potentielle est:
La dérivée de l’énergie totale s’écrit alors :
La vitesse angulaire tout instant donc:
ne peut être nulle à et après
linéarisation pour les petits mouvements: Cette équation permet de calculer le déplacement angulaire et la pulsation naturelle du pendule:
Remarque:
Application4 • – Ressort pesant • Détermination de la pulsation naturelle d’un système masseressort dont la masse du ressort n’est pas négligeable devant celle de la masse.
• On considère que: • est la masse d’un élément dy du ressort. La vitesse des éléments dy varie linéairement sur la longueur du ressort entre 0 et est :
• l’énergie cinétique de l’élément dy est : L’énergie cinétique du ressort sur la longueur du ressort est :
• La masse effective du ressort correspond à • 1/3 de sa masse totale. • Donc l’énergie cinétique totale du système est: • Les énergies maximales sont:
et la pulsation naturelle du système est:
Chapitre III Systèmes amortis excités • Vibrations linéaires de systèmes mécaniques à 1 ddl, amorties, excitées. Applications
1. Modèle de base du système mécanique • Il est identique à celui vu au chapitre III à cette différence près que le système est excité par une force fonction du temps appliquée sur la masse ponctuelle " m ". Soit le cas particulier d’une force de type: • F(t)=FcosΩt, • F étant l’amplitude maximale de l’effort et Ω pulsation de la force excitatrice, constante connue comme déjà vue au chapitre II.
Modèle physique
• 2. Mise en équation • En appliquant le théorème de centre de gravité à la masse " m " en mouvement de translation on a l’équation différentielle du mouvement : • (1) • En divisant les deux parties de cette dernière par la masse " m " non nulle, l’équation (1) peut se mettre sous la forme suivante :
• • avec :
,
(2) force réduite à l’unité de masse.
• La solution générale (SG) de cette dernière équation est une combinaison linéaire entre une solution générale de l’équation sans second membre (SGESSM) et une solution particulière de l’équation complète (SPEC) que nous présentons sous la même forme symbolique qu’au chapitre II : •
(3)
• Le premier terme de cette dernière équation représente les oscillations libres du régime transitoire du système (voir Chapitre II) et le deuxième les oscillations forcées du régime permanent.
• Au bout d’un certain temps les oscillations libres finissent par s’amortir. Cherchons la solution permanente, donc sans termes transitoires de l’équation : • (4) • Cette solution est cherchée sous la forme : • • avec : X amplitude, • ϕ phase.
(5)
• Donc: •
(6)
•
(7)
• En ramenant (5), (6) et (7) dans (4) on a : •
(8)
• D’où le système à deux équations et à deux inconnues (X et ϕ) suivant : •
(9)
• Donc:
(10)
• Et: •
(11)
• En calculant cosϕ de la première équation de (9) et de (11) on a respectivement : •
(12)
•
(13)
• Donc: •
(14)
• En ramenant (12) dans (14) on a : •
(15)
• A partir de (12) et (15) et en utilisant la relation trigonométrique: sin2+cos2=1, on a:
• D’où l’expression pour l’amplitude X : • •
(16)
• Donc: •
(17)
(18)
(19)
• En tenant compte de (19) et (18) l’amplitude peut être présentée sous la forme : • (20)
•
appelle " coefficient
• d’amplification dynamique " du système amorti
• Et: • • • •
pulsation relative de la force excitatrice . amortissement relatif
• La résonance:
•
(21)
• Cette première dérivée s’annule pour deux valeurs: • et
• Donc: •
(22)
• L’oscillateur est en «résonance d’amplitude» quand X est maximum. La pulsation de résonance est:
•
(23)
• Nous venons d’étudier l’amplitude X. Faisons la même chose avec la phase ϕ. Reprenons l’équation (10) en exprimant ϕ en fonction de η et β.
•
(24)
• En faisant la même étude mathématique comme pour l’amplitude on constate que pour :
• Quelle que soit la valeur de η, la force excitatrice F(t) et le déplacement de la masse x(t) sont : • - en phase (ϕ=0) si la pulsation Ω tend vers zéro, • - en quadrature (ϕ =π/2) si β=1 donc, Ω=ωo, • - en opposition de phase (ϕ= π) si la pulsation tend vers l’infini.
• Application • 3.1 Bande passante • L’application principale de la bande passante est la détermination expérimentale de l’amortissement relatif η d’un système amorti au moyen d’un essai en régime permanent le système étant excité par une force harmonique.
• -Mesurer l’amplitude du déplacement X(Ω) en fonction de la pulsation d’excitation Ω. • - Tracer une droite horizontale à l’ordonnée Xmax/2 • Cette droite coupe la courbe en deux points notés M’ et M’’ correspondant aux pulsations ω’ et ω’’. • - Etablir la relation approchée
• La largeur de la bande passante étant définie par :
Chapitre VI REPONSE FORCEE DES SYSTEMES MECANIQUES A UN DEGRE DE LIBERTE • 1. REPONSE A UNE EXCITATION HARMONIQUE • 2. REPONSE A UNE EXCITATION QUELCONQUE
• 1 – REPONSE A UNE EXCITATION HARMONIQUE: • On étudie la réponse d’un système amorti à 1 ddl à une excitation harmonique sinusoïdale produite par une force extérieure au système. Ce type d’excitation se rencontre fréquemment dans l’industrie (machines tournantes, ventilateurs, moteurs, pompes …). • Les résultats obtenus avec une excitation sinusoïdale pourront s’étendre à des excitations • harmoniques plus complexes représentées par des séries de Fourier, en appliquant le principe de superposition. On suppose donc qu’il s’agit de systèmes linéaires.
• 1.1 – Excitation d’un système non-amorti: • Dans un premier temps, l’amortissement est considéré comme négligeable ( c = 0 ). • La force d’excitation harmonique est:
• Equation du mouvement en x:
• normalisée par rapport à la masse:
• Cette équation est une équation différentielle linéaire non-homogène et sa solution est la somme de la solution de l’équation homogène ( f = 0 ) et d’une solution particulière. La solution particulière peut souvent être obtenue en supposant qu’elle a même force que la fonction d’excitation: • En l’introduisant dans l’équation du mouvement on obtient: • d’où on tire:
• En ajoutant cette solution particulière de l’équation non-homogène à la solution générale de l’équation homogène, la solution générale du système est:
• Les coefficients A1 et A2 sont déterminés à partir des conditions initiales:
• La réponse forcée est donc:
• 1.2 – Notation complexe:
• Le terme lié à l'amortissement introduit une composante en quadrature (proportionnelle à • la vitesse) qui se traduit par un retard de phase du déplacement par rapport à la force d'excitation. La réponse d'un système amorti (solution particulière) est ainsi une fonction harmonique à la même pulsation que l'excitation mais avec une phase différente :
• la méthode complexe permet d'alléger considérablement les calculs. Si on écrit pour le second membre de l'équation du mouvement:
• la solution particulière peut se mettre sous la forme: • avec l'amplitude complexe : • qui contient l'information de phase (le signe • moins introduit devant la phase met en évidence le retard de phase).
• Vitesse et accélération peuvent donc s’écrire:
• En omettant Re{ }, l'équation du mouvement devient: • ce qui permet d'obtenir facilement la solution particulière complexe:
• Pour écrire xp (t) on calcule le module et la phase de X:
• 1.3 – Excitation harmonique des systèmes amortis: • Sous la forme normalisée par rapport à la masse, l'équation du mouvement en excitation forcée s'écrit:
• En notant comme précédemment la force et la • solution particulière sous la forme: on obtient l’équation différentielle:
• l’amplitude complexe de la solution particulière:
• Donc:
• La solution particulière est:
• La solution générale est la somme de cette solution particulière et de la solution générale du système homogène. • Pour le cas sous-amorti:
• Pour les valeurs importantes de t , le premier terme disparaît et la solution totale correspond à la solution particulière : c’est la réponse stationnaire (le premier terme correspond à la réponse transitoire).
• A et dépendent de x0 et v0 comme pour le système libre mais aussi de F : les coefficients sont donc différents du système libre. • Dans un grand nombre de cas on s’intéresse à la réponse stationnaire du système, sauf dans le cas où le système est soumis à une excitation par choc. • En factorisant par: • le module X s'exprime sous la forme:
• 1.4 – Excitation par la base: • Souvent une structure est excitée par l’intermédiaire des plots de suspension (machine excitée par les supports, automobile excitée par la route par l’intermédiaire des suspensions)
• En sommant les forces qui s’exercent sur la masse m , on obtient l’équation:
• qui peut se mettre sous la forme d'une équation différentielle avec second membre:
• On suppose que le support déplacement harmonique:
possède un
• On cherche une solution particulière de la forme:
• En reportant cette expression dans l’équation différentielle précédente:
• Donc:
• Donc:
• Et: • Soit:
• On a vu que la solution particulière pouvait représenter seule la solution stationnaire. • En utilisant la fréquence réduite: • on appelle transmissibilité en déplacement le • rapport des amplitudes des déplacements:
• Ce rapport décrit comment le mouvement se transmet de la base vers la masse, en fonction • de la fréquence réduite r
• 1.5 – Excitation par déséquilibre dynamique en rotation: • Les machines tournantes constituent des sources de vibrations très courantes. De petites irrégularités dans la distribution des masses des parties en rotation causent des niveaux vibratoires importants. On schématise une machine de masse m comportant une masse m0 en rotation à une distance l de son centre. Un guidage sans friction autorise seulement un mouvement dans la direction x (voir Figure 2.10). En supposant la vitesse de rotation R. constante.
• La force de réaction générée par la rotation de la masse a une composante dans la direction x qui est proportionnelle à m0 et à l'accélération . Cette force agit sur la masse m de la machine (les forces dans la direction y ne sont pas considérées). L’équilibre des forces par rapport au référentiel du support s’écrit (m0 fait partie de la masse m de la machine). • ce qui conduit à l’équation:
• Le terme au second membre est la force qui excite le système: • L’équation peut se mettre: • Avec:
• La méthode d’obtention de la solution particulière est semblable à celle des problèmes précédents en utilisant la notation complexe, pour la force
• Pour la force F(t):
• donc l'amplitude complexe est:
• l'expression de recherchée est:
la
solution
particulière
• ce qui conduit à:
• Et:
• Finalement la solution particulière s'écrit:
• L’amplitude de déplacement en régime stationnaire est une fonction de la vitesse de rotation (Figure 2.11). Quand r >>1, la valeur normalisée du déplacement tend vers 1 indépendamment de . Pour les machines tournantes, la suspension sera calculée pour que • soit en dehors de la gamme de fonctionnement.
• 2 – REPONSE FORCEE A UNE EXCITATION QUELCONQUE: • 2.1 – Réponse impulsionnelle. • La réponse impulsionnelle d’un système à un degré de liberté se définie comme la réponse • à une excitation de la forme: • La réponse aura la forme: • Avec:
• Exemple : réponse impulsionnelle avec conditions initiales nulles: • La fonction (t) définissant une impulsion a pour transformée de Laplace F(p) = 1. • L’équation satisfaite par x(t) est : • La transformation de Laplace donne :
• La réponse s’´ecrit donc :
• La réponse s’écrit:
• On en déduit la forme temporelle de la réponse:
• 2- Réponse à une excitation périodique: • L'équation de mouvement forcé d'un modèle masse-ressort amortisseur autour l'équilibre :
• 2.1- Procédure de résolution: • Développement de la force en série de Fourier :
• Rappel:
• Donc l’E.M.V.T. devient:
• La solution de l'équation de mouvement est :
• xh(t) est choisie suivant le facteur d'amortissement ζ. • xp(t) aura la même forme que F(t):
• Donc:
• 3- Réponse à une excitation quelconque: • Jusqu'à ce point, on a trouvé les solutions de différents mouvements forcés particuliers : excitation harmonique, excitation due au déséquilibre du rotor, excitation par déplacement imposé du support, excitation périodique. On va traiter dans cette partie la réponse d'un système vibratoire due à une excitation quelconque.
• On peut rencontrer des excitations quelconques dans la vie courante : • • Habitations subissant un tremblement de terre. • • Structures soumises à des vents violents. • • Circulation de véhicules sur un terrain rugueux.
• Remarque : • Pour traiter le cas d'excitation quelconque on a besoin de traiter, auparavant, le cas de mouvement forcé du à une impulsion.
3.1- Réponse à une impulsion :
• Etude du cas amortissement sous-critique (ζ<1): • Pour des raisons de simplicité on cherchera la réponse, x(t), due à une impulsion définie à τ=0 et on écrira ensuite la réponse pour τ non nul.
• Remarque: • L'étude du mouvement forcé d'un système vibratoire, initialement au repos, du à une excitation de type impulsion revient à l'étude du mouvement libre de ce même système avec des conditions initiales. Ces dernières sont calculées à partir de l'application de l'impulsion au temps τ.
• Conservation de la quantité de mouvement :
• Donc la variation de quantité de mouvement est alors :
• On est dans le cas d'amortissement souscritique :
• En tenant compte des conditions initiales on aura :
• Pour le cas où l'impulsion est appliquée à τ non nul.
• On peut vérifier que
• En résumé, la réponse d'un système vibratoire (ζ<1) soumis à une excitation de type impulsion est :
• Si on refait ce qui précède pour les autres types d'amortissements, on trouve le résultat suivant :
• Réponse à une excitation quelconque • Pour la recherche de la solution de mouvement, on se basera sur la réponse due à excitation de type impulsion.
• Découper le temps t à n intervalles de durée Δ𝑡=t/𝑛 Et on suppose qu'à chaque temps ti on applique une impulsion:
• L'effet, Δx, sur la réponse, x(t), due à l'application seule de l'impulsion correspondante à ti donne :
• La réponse au temps tj, x(tj), due à l'application de la succession de toutes les impulsions qui précèdent le temps tj est :
• Pour le temps t, on a :
• Rappel: • Propriété de l'intégrale de convolution : Si on procède au changement de variables suivant :
α et τ sont des variables d'intégrations donc, on peut écrire :
• En final : Pour trouver la réponse d'un système vibratoire forcé due à une excitation quelconque on procède de la manière suivante : • 1. On détermine le type d'amortissement on calcul ζ. • 2. On choisi la fonction g(t) suivant le ζ calculé. • 3. On calcule, enfin, l'intégrale de convolution
• TD N°2 • Systèmes vibratoires excités
• Ex1:
• Réponse:
• Calcul de la réponse pour t
• Calcul de la réponse pour t
• Pour calculer 𝜙1 on procède deux fois par parties :
• Enfin:
• Rappel:
• Remarque: • Cette réponse correspond à l'excitation avant t
• Calcul de la réponse pour t>t1 :
• Comme précédemment on aura :
• Ex2:
• Réponse: • On calcule:
• Calcul de réponse pour t>t2 :
• Donc:
• D’où:
• Exercice 3:
• Exercice4:
• Ex1: From Pennsylvania • The tail rotor section of the helicopter of Fig. 3-18 consists of four blades, each of mass 2.3 kg, and an engine box of mass 28.5 kg. The center of gravity of each blade is 170 mm from the rotational axis. The tail section is connected to the main body of the helicopter by an elastic structure. The natural frequency of the tail section is observed as 135 rad /s. • During flight, the rotor operates at 900 r/min. What is the vibration amplitude of the tail section if one of the blades falls off during flight? Assume a damping ratio of 0.05.
• The total mass of the rotor is: • m = 4(2.3 kg) + 28.5 kg = 37.7 kg • The equivalent stiffness of the tail sect ion is
• If a blade falls off during flight, the rotor is unbalanced and leads to harmonic excitation of the tail section. The magnitude of the rotating unbalance is: • m.e = (2.3 kg)(O.170 m) = 0.391 kg-m • The natural frequency of the rotor after one blade falls off is:
• The frequency ratio is:
The steady-state amplitude is calculated using Eq. (3.17):
• THE UNIVERSITY OF MELBOURNE • Department of Mechanical and Manufacturing Engineering • Forced vibration: The electric motor of mass M (see Fig. 44) is mounted on the massless beam of length l, the second moment of inertia of its cross-section I and Young modulus E. • Shaft of the motor, of mass m, rotates with the constant angular velocity ω and its unbalance (distance between the axis of rotation and the shaft centre of gravity) is μ. The damping properties of the system are modelled by the linear damping of the damping coefficient c. Produce expression for the amplitude of the forced vibration of the motor as well as the interaction forces transmitted to the foundation at the points A and B.
• Application of the Newton’s approach to the system shown in Fig. 45 results in the following differential equations of motion.
• where k stands for the stiffness of the beam EI.
• Its standardized form is:
• Where:
• The particular solution of the equation 1.152
• Where:
• represents the forced vibrations of the system. In the above formula A stands for the amplitude of the forced vibrations of the motor. The interaction force at the point A can be determined from equilibrium of forces acting on the beam at an arbitrarily chosen position x (see Fig 46).
• The force needed to displace the point D by x is equal to kx. Hence, the reaction at the point A is:
• To move the point D (see Fig. 47) with the velocity x˙ the force cx˙ is required. • Hence, from the equilibrium of the damper one can see that the reaction at the point B is:
• 4. Notion de Stabilité d'un système vibratoire. • 4.1 Etude d'un pendule inversé (petites oscillations).
• On applique le principe fondamental de la dynamique (PFD) :
• Méthode Energétique:
• En divisant par ml2 on aura :
• Avec kt est la rigidité de torsion équivalente. • - On aura un système stable si kt est > 0. • - un système instable si kt <0.
• Remarque: • D'une manière générale, un système vibratoire est instable si sa rigidité équivalente (ou sa constante d'amortissement équivalente) est négative
Isolateur de vibration
Partie II SYSTEMES MECANIQUES A PLUSIEURS DEGRES DE LIBERTE
• • • • •
1. SYSTEMES A DEUX DEGRES DE LIBERTE 1.1 - Modèle non dissipatif (non-amorti) 1.2 - Exemple 1.3 - Réponse forcée 2. GENERALISATION AUX SYSTEMES A PLUSIEURS DEGRES DE LIBERTE • 2.1 - Construction du modèle modal • 2.2 - Systèmes avec amortissement visqueux • 2.3 - Réponse forcée
• 1. Introduction aux équations de Lagrange: 1.Systèmes à un degré de liberté: 1.1. Equations de Lagrange: Considérons une particule de masse m se déplaçant sans frottement sur une courbe plane comprise dans le plan (xOy) et dont les coordonnées vérifient les relations : z=0 f(x,y)=0 Cette particule possède 1 degré de liberté On choisit une variable q, appelée coordonnée généralisée, pour repérer sa position.
• Le vecteur position de la particule s’exprime en fonction de q : • Soit la résultante de toutes les forces s’exerçant sur la particule, la relation fondamentale de la dynamique s’écrit : •
est la vitesse de la particule.
• Soit le travail fourni par la force lors d’un déplacement infinitésimal est : • • Le déplacement peut s’écrire en fonction de la variation dq de la coordonnée généralisée : • Dans ce cas le travail peut se mettre sous la forme: On appelle force généralisée conjuguée de q, ou q-composante de la force, la quantité Fq définie par :
• Par conséquent le travail s’écrit aussi : • En tenant compte du PFD cette expression peut s’écrire :
• D’autre part: • Sachant que: • On obtient:
• en écrivant le vecteur vitesse sous la forme :
• On obtient: Sachant que: • Et: • On obtient:
Et:
• L’expression du travail peut alors s’écrire :
• Si on note l’énergie cinétique de la masse m on obtient finalement :
• D’où:
• On en déduit l’équation de Lagrange pour un système à un degré de liberté :
• 1.2. Cas des systèmes conservatifs: • Dans les systèmes conservatifs, la force appliquée au système dérive d’un potentiel et s’écrit :
• L’équation de Lagrange devient alors :
• Généralement l’énergie potentielle ne dépend pas de la vitesse cad que :
• L’équation de Lagrange peut alors s’écrire :
• On introduit la fonction de Lagrange (ou Lagrangien du système) qui est la différence de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle :
• D’où la forme de l’équation de Lagrange dans le cas d’un système conservatif :
• 1.3. Cas des forces de frottement dépendant de la vitesse: • Considérons des forces de frottement visqueux de la forme : • La force généralisée s’écrit :
• Si en plus des forces qui dérivent d’un potentiel il existe des forces de frottement visqueux, l’équation de Lagrange s’écrit :
• D’où:
• Fonction dissipation: • Calculons le travail fourni dWf par la force de frottement pendant un intervalle de temps dt pour un déplacement
• La quantité de chaleur gagnée par le système en interaction avec la particule est telle que :
• la puissance dissipée par les forces de frottement sous forme de chaleur : •
=
• Cette puissance dissipée peut être exprimée en fonction de par :
• Par définition, la fonction dissipation est égale à la demi puissance dissipée :
• La q-composante fq de la force de frottement peut alors s’écrire :
• L’équation de Lagrange s’écrit alors :
•
• 1.4. Force extérieure dépendant du temps La force extérieure dépendant du temps agissant sur un système qui est le siège de forces de frottement qui dérivent d’une fonction dissipation D. Soit Feq la q-composante de la force extérieure. Dans ce cas l’équation de Lagrange peut s’écrire sous l’une des deux formes équivalentes suivantes :
• 2. Système à plusieurs degrés de liberté: • Dans le cas général d’un système à plusieurs degrés de liberté, il y a autant d’équations de Lagrange que de degrés de liberté. Ainsi, si le système possède N degrés de liberté, il est nécessaire d’avoir N coordonnées généralisées qi (i = 1, 2, ....,N) ; nous aurons ainsi N équations de Lagrange :
• La qi − composante de la force généralisée extérieure est définie par :
• W représente le travail des forces extérieures résultant d’une variation • qi de la coordonnée qi telle que les coordonnées qj≠i soient constantes ( qj≠i = 0).
• Application: Exemple 1ddl: • Soit un système mécanique constitue d’une masse relie a un ressort de raideur d . Trouver l’équation différentielle.
• Donc:
• 2 – SYSTEME A DEUX DEGRES DE LIBERTE • 2.1 – Modèle non-dissipatif (non-amorti)
• En sommant les forces qui s'exercent sur chaque masse, on obtient:
• Equations couplées:
différentielles
du
second
ordre
• Ces équations correspondent 4 conditions initiales:
• Pour résoudre ce problème, on utilise une représentation matricielle qui présente l'avantage de pouvoir se généraliser à un nombre quelconque de degrés de liberté.
• Des vecteurs colonnes sont utilisés pour décrire déplacements, vitesses et accélérations:
• La matrice des masses: • permet d'écrire l'équation dynamique:
• La matrice des raideurs permet d'exprimer les forces qui s'appliquent sur les masses
Le système d'équations qui décrit le système à deux degrés de liberté peut donc s'écrire sous forme matricielle:
• Les matrices de masses et des raideurs sont symétriques • MT =M et KT = K • On suppose une solution harmonique complexe de la forme:
• X le vecteur des amplitudes indépendant de t. • L'équation s'écrit :
• Comme
≠0
• D est nommée matrice dynamique. • Une solution triviale correspond à: • D-1DX = 0⇒X = 0 , (D-1 inverse de D), c’est-àdire: x1=x2 =0. • La solution non-triviale correspond au cas où la matrice D est singulière (son déterminant est nul et elle n'a pas d'inverse).
• Rappel:
• La condition de singularité est appliquée à la matrice dynamique pour obtenir une solution • indépendante de X :
• permet de déterminer l'inconnue 2 :
• C'est une équation du second degré en 2 qui fournit quatre solutions: +-1 , -+2 • En reportant cette solution dans l'équation matricielle, il est possible de déterminer deux vecteurs (vecteurs propres) X
• Donc:
• Les vecteurs X1 et X2 ne sont connus qu'à un facteur multiplicateur près. La solution de x(t) est une combinaison linéaire des termes:
• où les coefficients B1 à B4 dépendent des conditions initiales: et La solution peut aussi s'écrire sous la forme:
où les amplitudes et les phases dépendent des conditions initiales.
• Chaque masse oscille aux deux fréquences 1 et 2 appelées fréquences naturelles du système. Si les conditions initiales sont choisies telles que A1=0 , alors les deux masses oscillent uniquement à 1 et leurs positions relatives dépendent du vecteur X1 appelé déformée du premier mode. • Réciproquement si les conditions initiales sont choisies pour que A2 =0. • NB : les fréquences naturelles du système couplé à deux degrés de liberté ne correspondent pas à celle des systèmes isolés ou bloqués.
• Exemple: • Soit le système précédent avec m1=9, m2=1, k1=24, k2=3. • L'équation caractéristique:
• On trouve:
• Donc:
• D’où: • X1=
• Et:
• Solution pour le mouvement des deux masses:
• Solution correspondant à des vitesses initiales nulles :
• D’où:
et
• En prenant en compte les valeurs du déplacement initial, il est alors possible d'obtenir A1 et A2 :
• Soit:
• Avec: • l'équation du particulier est:
mouvement
dans
ce
cas
• Remarque : • Si on veut mettre en évidence seulement le premier mode à , il faut que A2 = 0 (c'est à dire x10 x12 = x20 x11 ), donc que les déplacements initiaux vérifient la relation:
• Il en sera de même pour le deuxième mode à 2=2. • pour lequel A2 =0 conduit à: • Donc pour obtenir un mouvement correspondant à un mode unique, il faut que le déplacement initial soit proportionnel à la déformée modale du mode si les vitesses initiales sont nulles.
• 2.2 Réponse forcée • Des forces d'excitation F1(t) et F2(t) sont appliquées aux deux masses. L'équilibre des forces conduit au système d'équations:
• Le second membre est le vecteur des forces: • Pour des excitations complexes:
•
:nombres complexes dont les phases représentent celles de l'excitation
• Au vecteur complexe • correspondra une réponse également complexe: • Le système d'équations peut alors s'écrire:
• avec la matrice dynamique (réelle dans le cas d'un système non-amorti):
• La solution particulière s'écrit:
où D-1 est l'inverse de la matrice dynamique D:
• en dehors des fréquences naturelles 1 et 2 où det(D) = 0 les réponses complexes sont définies par:
3 - SYSTEMES A n ddl modèles physique
• 3 - SYSTEMES A PLUSIEURS DEGRES DE LIBERTE • Pour un système à n degrés de liberté, le vecteur déplacement devient un vecteur colonne nx1 et les matrices de masse et de raideur sont des matrices carrées nxn. En considérant une masse j, l'équation d'équilibre s'écrit :
• En généralisant au système complet :
• avec x0 =0 kn+1 =0. L'ensemble de ces équations peut se mettre sous la forme d'un système linéaire:
• avec x0 =0= kn+1 =0. L'ensemble de ces équations peut se mettre sous la forme d'un système linéaire:
• où M = diag(mj ) matrice diagonale nxn pour un système à n masses. • K matrice symétrique nxn des raideurs • MT =M et KT = K (symétrie) • Remarque: • Dans le cas où la dernière masse est connectée par une raideur kn+1 à une partie fixe, le dernier élément sur la diagonale de la matrice de raideur devient Knn =kn + kn+1 .
• 3.1 – Méthode de la base modale : réponse libre • L'objectif est de ramener l'étude à celle d'un système à 1 DDL. • • En normalisant l'équation du mouvement par rapport à la masse. • • En réalisant une transformation de coordonnées pour se placer dans la "base modale" où les équations du mouvement sont découplées.
• Soit le système à plusieurs degrés de liberté défini par:
• dont on veut déterminer la réponse libre pour les conditions initiales: • x(0) vecteur des déplacements initiaux à t = 0 , • x(0) vecteur des vitesses initiales à t = 0 .
• Première étape : Normalisation par rapport à la masse: • La matrice des masses peut s'écrire : • M = M1/2 M1/2 où:
• Il est possible d'exprimer:
• remplacer x par (premier changement de variable):
Le système d'équation du mouvement devient:
• et en multipliant à gauche par M-1/2 : •
• On remarque que: • • • ce qui conduit normalisée:
Matrice unitaire. Matrice symétrique normalisée de la raideur à l'équation dynamique
• Deuxième étape : calcul des valeurs propres et vecteurs propres. • En cherchant une solution de la forme: l'équation du mouvement devient:
• Après rejet de la solution triviale v = 0 et en posant: =2 , on est ramené à un problème typique de recherche de valeurs propres:
• Pour normer le vecteur v , on recherche le scalaire a tel que u =a.v ait une norme unitaire, donc:
D’où:
et peuvent définir une matrice orthogonale (les vecteurs ui sont dits orthonormaux)
• Tel que:
• Par conséquent:
• Troisième étape : projection dans la base modale: • La matrice orthogonale P est utilisée pour effectuer un nouveau changement de variable : • on pose: • et on multiplie à gauche par PT :
• Puisque i = i2 , cette transformation conduit à:
• qui représente un système de n équations indépendantes (découplées) :
• En exprimant les conditions initiales dans la base modale:
• la solution pour ri (t) est celle du système à un degré de liberté:
•
sont les éléments des vecteurs r(0) et r(0)
• Quatrième étape : calcul des déplacements des masses (transformation inverse): • En utilisant les équations précédentes, il est possible de calculer le vecteur des déplacements x à partir des solutions dans la base modale r . Puisque x(t ) = M-1/2 q(t ) et q(t) = P.r(t ):
• La matrice ci-dessous, est donc constituée de vecteurs colonnes :
• Tel que:
• Φ est le vecteur de la déformée modale du mode i, c'est à dire le vecteur des déplacements unitaires (Φi)j de chaque masse j . • Les déplacements peuvent s'écrire:
• soit pour une masse j:
Résumé de la démarche • Première étape : Normalisation par rapport à la masse et premier changement de variable : x q • Deuxième étape : recherche des valeurs propres i = i2 et des vecteurs propres vi . • Les vecteurs normalisés ui obtenus à partir des vecteurs vi permettent de construire une matrice orthogonale P
• Troisième étape : projection dans la base modale: • La matrice P est utilisée pour effectuer un changement de base qui conduit au deuxième changement de variable : q r Le système d'équations obtenu correspond à n équations différentielles indépendantes de systèmes à un degré de liberté dont les solutions ri(t) peuvent être facilement calculées en employant les conditions initiales:
• Quatrième étape : calcul des déplacements dans la base physique (transformation inverse): • Pour cela le changement de variable inverse est effectué : r x • Le déplacement xj(t) de chaque masse est une combinaison linéaire des solutions ri(t) de la base modale :
• 3.2 Systèmes avec amortissement visqueux: • La façon la plus simple pour introduire l'amortissement et de le faire dans la base modale. • Souvent, le modèle d'amortissement visqueux est utilisé pour des raisons de simplicité. • Le taux d'amortissement modal est ajouté dans les équations découplées de la base modale:
• La solution est (voir système à 1 ddl):
• Le taux d'amortissement modal: • est souvent estimé expérimentalement pour chaque mode.
• 3.3 - Réponses forcées: • L'équation se met sous la forme:
• F(t) est le vecteur des forces appliquées à chaque masse:
• L'équation modale découplée est de la forme:
• Les éléments f(t)i sont des combinaisons linéaires des forces F(t )j et forment le vecteur • f(t ) des forces modales (généralisées), c'est à dire les forces résultantes qui s'appliquent à • chacun des modes. Ce vecteur s'obtient en décomposant:
• La solution complète est celle du système à 1 ddl de déplacement ri (t):
• La solution complète est celle du système à 1 ddl de déplacement ri (t):
• Les coefficients Ai et Φi de la solution générale sont déterminés en utilisant les conditions initiales
• En régime stationnaire (harmonique permanent), la solution particulière pour: • est dans la base modale
• Avec:
est le vecteur des forces modales généralisées complexes dont chaque élément est: Il est calculé à partir du vecteur: • des forces complexes appliquées à chaque noeud (masse) du système et dont chaque élément s'écrit:
• L'utilisation d'un vecteur complexe est nécessaire pour représenter les déphasages ϕj différents pour chaque force. • Le vecteur déplacement s'écrit comme précédemment par:
• ABSORBEUR DYNAMIQUE (système à 2 DDL) • C'est un système employé pour réduire les vibrations d'un premier système assimilable en basse fréquence à un système à un ddl (une machine montée sur une suspension élastique, par exemple). Le problème vibratoire se pose en général à la pulsation de résonance du premier système:
• (au cours d'une montée en vitesse). Pour réduire l'amplitude des vibrations, une masse m2 est suspendue élastiquement par une raideur k2 au premier système (la machine) constituant ainsi un système à deux ddl.
• A partir des relations précédemment établies pour le système à 2 ddl, avec F2 =0 , les amplitudes des deux masses sont
• Et:
• On posant: (pulsations naturelles des systèmes 1ddl isolé)
•
• Cette équation montre que quand correspond à la fréquence naturelle de l'absorbeur seul • l'amplitude des vibrations de la masse1 s'annule : x1 =0 . On accorde donc 2 sur la fréquence dont on veut réduire l'amplitude. • Souvent, la pulsation initiale à réduire est:
• l'absorbeur est accordé sur cette valeur:
• Exemples d'utilisations pratiques d'absorbeurs dynamiques
• La tour Taipei 101 (509 m) est protégée par un amortisseur de vibrations. • La boule énorme de 680 t, suspendue par des câbles et placée en haut du gratte-ciel, sert à contrebalancer les excitations.
Application Analyse modale expérimentale SYSTEMES MECANIQUES A PLUSIEURS DEGRES DE LIBERTE
Problèmes réels
Partie III VIBRATIONS DES SYSTEMES MECANIQUES CONTINUS:
• VIBRATIONS DES SYSTEMES MECANIQUES CONTINUS: • 1. VIBRATIONS TRANSVERSALES DES CORDES • 2. VIBRATIONS LONGITUDINALES DANS LES BARRES • 3. VIBRATIONS DE TORSION DANS LES BARRES • 4. VIBRATIONS DE FLEXION DANS LES POUTRES
• 1 – VIBRATIONS TRANSVERSALES DES CORDES • 1.1 - Equation des cordes • Une corde de masse linéique m (en kg/m) est tendue avec une tension entre deux points d'attache. L'équilibre des forces d'un petit élément x de la corde est observé.
• La résultante des forces agissant sur l'élément x doit être égal à la force d'inertie dans la direction z.
Les angles 1 et 2 sont petits, si bien que l'équilibre des forces dans la direction x conduit à:
• Donc:
• Si on considère pour une quantité scalaire s(x), le développement en série de Taylor tronqué au second ordre autour de x0 , le point central de l'élément x:
• Donc: L'équation d'équilibre devient donc:
• Si f(x,t)=0 on l’équation de la corde vibrante:
•
la vitesse de propagation de l'onde transversale.
• 1.2 - Description des conditions aux limites • Si l'extrémité de la corde n'est pas maintenue fixe, la résultante dans la direction z des forces à cette extrémité doit être nulle:
• Par exemple pour l'extrémité x = l :
• 1.3 - Technique de séparation des variables:
• L'équation des cordes s'écrit alors:
• Donc:
• Dont les solutions sont: • 1.3.1 – Utilisation des conditions aux limites : exemple fixe – fixe • Les conditions aux limites sont employées pour déterminer σ et :
• CL en x = 0: • donc le déplacement se réduit à: • CL en x = l: • Soit:
X(l)=0.
• Il y a donc un nombre infini de solutions qui correspondent aux modes de la corde
• •
(pour n =1, 2,L) pour lesquelles :
• n est une constante arbitraire. Il y a donc aussi un nombre infini d'équations différentielles de la fonction de la variable t qui s'écrivent:
• les solutions sont:
• Les solutions du déplacement et de la vitesse de la corde s’expriment par:
•
σn.c sont les pulsations propres de chaque mode
• 1.3.2 – Utilisation des conditions initiales pour déterminer A et B. • Les fonctions sin(σn.x) représentent la distribution spatiale du déplacement sur toute la longueur de la corde pour chaque mode n et se nomment les déformées modales. Ce sont des fonctions orthogonales qui satisfont la relation d'orthogonalité.
• La condition initiale ( t = 0 ) sur le déplacement s'écrit:
• En multipliant à droite par sin(σn.x) et en intégrant par rapport à x sur [0 l], la relation • d'orthogonalité permet d'obtenir:
• Donc:
• De la même manière, l'utilisation de la vitesse initiale permet d'écrire:
• en utilisant la relation d'orthogonalité:
• 1.3.3 – Interprétation • Pour une corde de longueur l , le déplacement libre s'écrit donc:
• n (x t ), représente la contribution de chaque mode, pour lequel n est la pulsation propre et Φn(x) la déformée modale. • Par exemple, pour une corde tendue entre deux points fixes, nous avons obtenu : • les pulsations propres:
• les déformées modales:
• 1.4 - Exercice : Corde • On considère ici une corde montée fixe à une extrémité et sur un support de raideur k à l'autre extrémité.
• Solution générale:
• Les conditions aux limites:
• Donc:
• ce qui conduit à l'Equation caractéristique:
• les intersections de la courbe tan(σl) et de la droite de pente -/kl sont les solutions σnl cherchées.
• Figure 1.6 – Représentation des solutions de l'équation caractéristique
• 2 – VIBRATIONS LONGITUDINALES DANS LES BARRES • 2.1 - Equation des ondes longitudinales • Les ondes longitudinales sont des ondes de traction-compression dans la direction x .
• L'équation d'équilibre de l'élément dx s'écrit:
• avec w(x, t ) le déplacement longitudinal, A(x) la section et ρ la masse volumique. Le tenseur de la contrainte est:
• Le tenseur des déformations s'obtient par la loi de Hooke ( E : module de Young, ν : coefficient de Poisson)
• Puisque: devient:
L’équation d’équilibre
• Pour une section constante:
•
: vitesse de propagation des ondes longitudinales
• La loi de Hooke montre qu'il existe aussi une déformation dans la direction z (et y )
• où on a considéré que σzz=0 car il s'agit d'une surface libre, donc:
• La propagation des ondes de traction-compression dans les barres s'accompagne d'une déformation en z . On parle alors d'onde quasi-longitudinale:
• 2.2 – Fréquences naturelles et déformées modales • C'est une démarche identique à celles des cordes qui est suivie ici : le déplacement longitudinal est représenté par des fonctions indépendantes: • Donc:
• Fréquences naturelles et déformées modales vont dépendre des conditions aux limites.
• Exercice: Barre cantilever:
• Les conditions aux limites: • en x = 0 , le déplacement est nul: • en x = l , la contrainte est nulle:
• Soit: D’où l’équation du déplacement: Donc:
Soit:
Les solutions sont:
• Les déformées modales sont:
• et vérifient la relation d'orthogonalité:
Avec: Pulsations naturelles sont:
• Les solutions du déplacement et de la vitesse peuvent s'écrire:
• Les conditions initiales (pour t = 0 ) et la relation d'orthogonalité (voir les cordes) sont employées pour déterminer les coefficients An et Bn
• le déplacement initial:
Donc: La vitesse initiale est :
Donc:
• Soit:
• Le déplacement libre de la barre est complètement défini par ses conditions aux limites et ses conditions initiales
• Avec:
• 3 – VIBRATIONS DE TORSION DANS LES BARRES • 3.1 - Equation des ondes de torsion • Une barre peut vibrer en torsion : la vibration est caractérisée par un déplacement angulaire • (mouvement de rotation) autour de l'axe longitudinal de la barre.
• On considère l'équilibre des moments d'un petit élément dx d'une barre de section circulaire uniforme. • Soit Mt le moment de torsion en x.
•
: le moment de torsion en x + dx .
• Le moment de torsion s'écrit: • G I est la raideur à la torsion. • : le module de cisaillement. •
: moment d'inertie de rotation de la section.
• L'équilibre des moments est:
• Soit:
• L'équation de propagation des ondes de torsion:
•
la vitesse de propagation des ondes de torsion
• 4 – VIBRATIONS DE FLEXION DES POUTRES • 4.1 - Equation des poutres
• Le déplacement transversal w(x,t) est l'amplitude du mouvement de flexion. L'équilibre de l'efforts tranchants et des moments sur un élément de poutre dx est décrit par le shémas ci-dessous
• Q est la force de cisaillement ou effort tranchant.
• Le moment de flexion s'écrit:
• L'équation d'équilibre des forces
• l'équilibre des moments par rapport au point P:
• Donc:
• Puisque dx est petit, (dx)2 peut être négligé et finalement:
• Cette dernière expression permet de remplacer Q par M dans l'équation d'équilibre des forces:
• Soit:
• Dans le cas où la densité des forces extérieures est nulle:
• 4.2 – Conditions aux limites • Elles sont définies en considérant les 4 grandeurs qui caractérisent le mouvement de • flexion
• 4-Introduction à la méthode de Rayleigh-Ritz • Le principe de Rayleigh valable pour les systèmes conservatifs (énergie potentielle maximale = énergie cinétique maximale) peut être employée pour trouver la première fréquence propre de la plaque.
• Umax : l'énergie potentielle maximale (énergie de déformation) • Tmax :l'énergie cinétique maximale. • La pulsation propre approchée du premier mode s'obtient par:
• Initiation aux calculs des vibrations par méthode d’éléments finis: • INTRODUCTION • La méthode des éléments finis permet de résoudre un problème dont la solution analytique ne peut éventuellement pas être déterminée. Elle fournit une solution approchée de la solution exacte. Le milieu étudié est discrétisé en plusieurs éléments reliés entre eux par des noeuds.
• ÉTAPES DE LA RÉSOLUTION D’UN PROBLÈME • 1. Définition de la géométrie de la structure étudiée • 2.Maillage de la structure (discrétisation en éléments) - Génération de la table de connectivité entre les éléments • 3. Définition du modèle associé à la structure • 4. Choix des paramètres du modèle (deux pour un matériau élastique isotrope). • 5. Construction de la matrice de raideur globale par assemblage des matrices de raideur locales des éléments en fonction de la table de connectivité
• 6. Construction du vecteur effort global par assemblage des vecteurs d’effort locaux suivant la table de connectivité • 7. Prise en compte des conditions aux limites • 8. Prise en compte du chargement • 9. Résolution du système pour obtenir les déplacements nodaux des éléments • 10. Traitement du résultat (calcul des déformations, calcul des contraintes)
éléments
nœuds
• Discrétisation d’une structure en nœuds et éléments (dent d’une roue dentée)
• Exemple: Barre en traction • • Modèle mécanique • – On demande de faire un maillage de la structure et de résoudre ce problème (déplacements, déformations et contraintes dans la structure) par la méthode des éléments finis.
• 1er principe : discrétisation. • Modèle éléments finis:
• • • •
Notions : - d’élément fini - de maillage - de noeud - de degré de liberté
• 2nd principe : approximation • Soit un des éléments finis :
• Le déplacement d’un point M(x) suivant l’axe x est noté u(x) • On suppose u(x) = ax + b
• 2nd principe : approximation • Les coefficients a et b sont déterminés de sorte que l’approximation • u(x) = ax + b vérifie les conditions aux limites, soit : • – En x = 0 u(x) = u1 donc b = u1 • – En x = L u(x) = u2 donc aL + u1 = u2 • • On a donc l’expression suivante : • • Que l’on peut aussi écrire :
• On peut alors exprimer contrainte déformation dans l’élément de barre :
et
• 3ème principe : équilibre • L’équilibre de la barre s’écrit : f1 + f2 = 0 • Equilibre de l’extrémité gauche:
• Donc: • Equilibre de l’extrémité droite: •
Donc:
• Remarque : le système obtenu l’équilibre d’un seul élément:
traduit
• La MEF considère l’équilibre global de la structure • => on résout un système obtenu par assemblage des systèmes relatifs à chaque élément fini.
• • • • •
Assemblage: • Elément 1 Noeuds 1 et 2 Longueur L Matériau E
• • • •
• Elément 2 Noeuds 2 et 3 Longueur L Matériau E
• Résolution • • Si on résout le système précédent on obtient une infinité de solutions => il faut « bloquer » la structure, c’est-à-dire introduire les conditions aux limites en déplacements • • Ici : u1 = 0 • • On obtient un système à 3 équations et 3 inconnues : • F01, u2 et u3
• Résolution
• • La première équation permet de trouver la réaction d’appui • • Les 2 autres équations permettent de trouver les déplacements u2 et u3
• Déformations et Contraintes
TD : Vibration à plusieurs degrés de libertés:
• Problème1: • On représente le système mécanique comme suit :
• 1 Quel est le nombre de degré de liberté ? • 2 Déterminer le Lagrangien du système • 3 Etablir les équations différentielles mouvement. • 4 En déduire les modes fondamentales
du
• On pose les paramètres suivants : k1=k2=k et m1=m2=m, et on lance le système sans vitesses initiales avec les conditions initiales suivantes: x1(t)=C, x2 (t)= 0. • 5 Etablir les nouvelles équations différentielles du mouvement. • 6 En déduire les pulsations propres • 7 Donner les solutions générales. • 8 Quelle est la nature du phénomène étudié ?
• On impose une force sinusoïdale extérieure: • f ( t ) =f0 cos( t ) au premier sous système. • 9- Déterminer les nouvelles équations du mouvement. • 10- En déduire le module des amplitudes. • 11- Quelles est la nature du phénomène étudié ?
• Solution: • Partie1 : 1-Le nombre de degré de liberté du système est de 2 2-Le Lagrangien du système est :
3-Le système différentiel s’écrit :
• 4-Les pulsations propres : • - On considère les solutions du système de type sinusoïdal :
• En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un système linéaire suivant :
• Le système admet des solutions non nulles si seulement si :
• K est appelée le coefficient du couplage • Les deux pulsations propres sont :
• Partie 2 : 5-Les nouvelles équations du mouvement s’écrivent comme suit :
6-Les pulsations propres : Les solutions du système sont de types sinusoïdaux :
• En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un système linéaire symétrique suivant :
• Le système admet des solutions non nulles si seulement si :
• Les deux pulsations propres sont : • 7-Les solutions générales :
• En appliquant les conditions initiales, on trouve :
• Le phénomène étudié est le battement ou modulation d’amplitude.
• Partie 3 : 8-Les équations du mouvement s’écrivent comme suit :
• Les solutions particulières sont :
9-En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un système linéaire forcé suivant :
10-Les modules des amplitudes sont :
• Les phénomènes étudiés sont : • - la résonance
• Problème 3: • On a un système mécanique constitué par trois masses couplés par deux ressorts identiques de constante de raideur k représenté dans la figure comme suit:
• 1-Etablir le Lagrangien du système. • 2-Déterminer les équations différentielles du mouvement. • 3-En déduire les pulsations propres ainsi la nature du mouvement.
• Solutions : • 1-Le Lagrangien du système :
• 2-L’équation différentielle :
• 3-Les pulsations propres : • On considère les solutions du système de type sinusoïdal :
• En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un système linéaire suivant :
• Le système admet des solutions non nulles si seulement si :
• Les pulsations propres sont :
•
• Problème3: • On considère trois pendules simples identiques, de masses m, de longueur l, figure ci-dessous. Les masses sont reliées entre elles par l’intermédiaire de deux ressorts identiques, de raideur k. A l’équilibre, les pendules sont verticaux, les trois masses sont équidistantes sur une même, et les ressorts ont leur longueur naturelle. Le système en mouvement est défini, à l’instant t, par les élongations angulaires 1,2, 3 des pendules avec la verticale descendante. On posera
• 1- Déterminer le Lagrangien du système • 2- Etablir les équations différentielles du second ordre vérifiées par les élongations angulaires 1(t), 2(t), et 3(t) pour les petites oscillations du système. • 3 Déterminer les pulsations propres du système. • 4 Application numérique : m=1kg, k=10N/m ; l=1m, g=10m s-2. • Déterminer le rapport des amplitudes angulaires • B/A et C/A pour chacun des modes propres de ce système.
• Problème 4: • Soit un pendule de masse m et de longueur l pivote autour de M qui glisse sans frottement sur le plan horizontal, comme le montre la figure suivante :
• Partie A : • 1- Déterminer le Lagrangien du système ? • 2- En déduire les équations différentielles de mouvements. • 3- Déterminer les pulsations propres du système. • 4- Trouver le rapport d’amplitude dans les modes normaux. • 5- Donner les solutions générales lorsque : M tend vers l’infini et l tend vers 0. Discuter. • Partie B : • On impose au point s un mouvement sinusoïdal de type: xs (t)=a sin(t). • 6- En déduire les nouvelles équations du mouvement. • 7- Donner le module des amplitudes. • 8- Quelle est la nature du mouvement.
• Solutions • Partie A : • 1-Le Lagrangien du système :
• En calculant les vitesses par rapport au repère fixe :
• Après le calcul, le Lagrangien sera égale à :
2- Le système différentiel est donné comme suit :
3- Les pulsations propres: • On considère les solutions du système de type sinusoïdal :
• En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un système linéaire symétrique suivant :
• Le système admet des solutions non nulles si seulement si :
• Donc:
• existe donc deux pulsations propres:
• 4-Les rapports d’amplitudes sont :
• 5-Les solutions générales :
• Les solutions générales lorsque : – M tend vers l’infini :
• Le système devient un pendule simple comme suit :
– l tend vers 0 :
• Le système devient un simple oscillateur harmonique comme suit :
• Partie B : • 6-Les nouvelles équations du mouvement sont :
• Les solutions particulières en régime permanant sont : • En remplaçant dans le système différentiel:
• 7-Les modules des amplitudes sont :
• 8-Les phénomènes étudiés sont :
• La figure ci-dessous représente les phénomènes étudiés:
Phénomène de résonnance à 2 ddl
• Exercice matrice de raideur équivalente: • Déterminer la matrice de raideur équivalente du système dynamique suivant.
• REGLE • CONSTRUCTION DE LA MATRICE DE RIGIDITE • La définition de la matrice de rigidité montre que le terme kij de la matrice est égal à la force qu'il faut appliquer au degré de liberté i pour maintenir son déplacement nul sous l'effet d'un déplacement unitaire appliqué au seul degré de liberté j; en particulier le terme kii est égal à la force qu'il faut appliquer au degré de liberté i pour lui imposer un déplacement unitaire tout en maintenant nuls les autres degrés de liberté.
• L'exemple ci-dessus, constitué de deux masses reliées par des ressorts de raideur k1 et k2.
• Système masse-ressort à deux degrés de liberté
• Un déplacement unitaire (u1=1) appliqué à la masse m1, en maintenant le déplacement u2 de la masse m2 nul, nécessite d'appliquer une force k1, à la masse m1 et -k1 à la masse m2 • Un déplacement unitaire u2 appliqué à la masse m2, tout en maintenant une valeur nulle pour u1, nécessite l'application d'une force -k1 à la masse m1 et (k1+k2) à la masse m2. • Il en résulte la structure de la matrice. IK:
MASSACHUSETTS INSTITUTE OF TECHNOLOGY Dynamics and Vibration Exams
• 1-Use Lagrange's equations to derive the differential equations governing the motion of the system of figure below using x1, x2 and x3 as generalized coordinates. Write the differential equations in matrix form. • 2-Determine the natural frequencies of the system • 3-Determine the mod e shape vectors for the system
• The kinetic energy of the system at an arbitrary instant is:
• The potential energy of the system at an arbitrary instant is:
• The lagrangian is:
• Application of Lagrange's equations lead to:
• Rearranging and writing in matrix form leads to:
• The natural frequencies are the square roots of the eigenvalues of M-1K.
The eigenvalues are calculated from:
• The roots of the cubic equations are 0.129, 1,3.870. Thus the natural frequencies are:
• Let be the mode shape vector corresponding to i. The equations from which the mode shape vectors are determined are:
• Since the previous equations are dependent, only two must be used in determining the mode shapes. To this end, arbitrarily choose X12= I. Then
• Thus:
• Substituting calculated values of I
