! ç? rP-i 2!(p —4)!*"rn
+
m-
(p - 2) sn r^ (r\ - 4s, r, + s\) (p ~ 2)
0l
_ 2A
r
KZb*r*
4-
!
satisfait à toutes les conditions que nous avons énumérées. Ces mêmes considérations nous permettront d'écrire les termes de la série xqn
+p
complète : %n,+p-l
a9n,+p
==
'"m
i
*ii*ni~ffi
r
sn^iurn
^Vj+p-2
gn-i+P A.
c
g
T~
"S
•
•
•
Ï"i+P
r«"i+P-2
_*!_ 9«I+P
~T
si Sm
®(ç-l)nj+p "~S
®(«-l)n,+p-l I
S" SI"
S
S"l+P
^qrij+p
•
•
*(î-2)ni+p-l ^grij+p
4«I+P
^«HSK+P
•
«nj+p
g,(g-2)nI+p
„
+
r
®(3-3)nI+p-l 0"i+P
+ +
(60)
— et dont le dernier terme
+ +
4n
3
*
J
:
p
(p - 2) *„ >f
1)
>
"3
[if
:
"*
-
2
(g - 1 ) s, r?"2
syQ-3l
(g -1)1
2!(g-3)!^ J
(p — 2)! , p_4 r L3 2!(p — 4)1S"^
(g-l)l 3! (2 — 4)1
—
(pour
sera
r?"2'•fi'2 [(g -1 ) », -2rJ +
+
80
ZI
(p —2)1 3!(p —5)!
(g-1)1 3!({-4)!
(g —1)1 ..y-3 2! (g —3)!*^
r«-2_2
1}
,
4
p_5
"
"
f
(g —1)1
«
,-3
L2!(g—3)!11
(g -1)! 4 g-5] 4l(}-5):11 J
^
"
3
formule, les divers facteurs et exposants — 1, q — 2, g — 3, doivent tous être
Dans cette dernière
p
— 2,
— 3,
p
q
...
positifs. En pratique,
nous
...
calculerons souvent la série
qui
les termes sont constants et
tous
^*
tients
fty\
—I— Y)
contient
ne
qn +p,
plus
dont
les quo-
1
—j—!
...
Cette série est
indépendante
de la
manœuvre
«n,+p
de l'obturateur
problème.
âgn
+p
Il
pour
et,
très
est
g
par le
et
p
cette notion de limite
fait,
répète
se
intéressant
très
de
grands.
au cours
pour
chaque
connaître
Nous
la
nouveau
limite
utiliserons
de
souvent
de l'étude des chambres
d'équi¬
(deuxième partie). En outre, la connaissance de cette limite permettra de contrôler à chaque instant les calculs numériques; d'où son importance.
libre
Nous
avons vu
lim
(rni +
que:
snsm + susmrn + susmrn +
démontre, sans difficulté, combinaisons, que: On
lim p=
en
se
...)
servant
=
1
.
du calcul des
(s, sni — 2s, sa slu + s, su sul (su — 2rn)
»
+
slsnsmrll{2sll — 2rll) + ...)
=
0
—
81
—
et que, de même:
lim
{
— 2rt) +
s, ^r, + s1su slu (st
*,«„*„,
+ Il est évident que l'on
additionnant toutes
en
séries,
lim Çf
°°
^(^ — 2^)] +
peut généraliser
ces
=
[ru (s, — 2r,)
on
ces
...
|=0
.
résultats et que,
trouve:
=
1
(61)
•
>
pouvons calculer
En
résumé,
nous
autres, de surfaces de réflexion totale négative. Nous nous servirons, à cet effet, soit de la formule de récurrence (56), soit de la formule explicite (60). Au point de vue physique,
et les deux
la
quantité Y0ajj représente exactement la somme de toutes les ondes passant, au temps i, par le point A, en direction de 0. Il n'est, dès lors, pas étonnant que le développement de ocj obéisse à des lois systématiques et que l'on puisse faire usage du calcul des combinaisons.
6. Loi des
charges
Loi des
charges
a)
au
point
phase
dans
laquelle
Ç-1
et
en
un
point
de discontinuité A.
quelle trouvons, l'équation
que soit le genre de discontinuité
Quel soit la
point de discontinuité A, quelconque de la conduite. au
nous
=
nous
O,. (1 - a,)
en
A. et
que
(18)
toujours valable. Or, nous savons calculer a4 et ${; la sur¬ charge relative Ç* —-1 en un instant quelconque est donc
est
connue.
Dans
en
et
Oj
sont
des valeurs relatives,
fonction de Y0. Il y a intérêt, dans bien des cas, particulier pour les calculs numériques, à exprimer toutes
calculées et
l'équation (18), Ç* en
6
— 82 — les valeurs relatives nissons donc
une
en
H0. Nous défi¬ point A, à l'instant i,
fonction de la hauteur
surcharge
relative
Bt
au
donnée par:
B'
=
VAhT ï£*'(1 ~ *ù =
=
***(1 ~ *ù
(18a)
Le calcul des toute
surcharges au point de discontinuité A prendra importance au cours de l'étude des chambres d'équi-
son
Conduite
Conduit»
Fig. 12.
libre,
que
nous
dans la deuxième
entreprendrons
partie
de
notre travail.
b) Lois aa)
La se
des
charges
en un
point quelconque
Nous considérons d'abord
un
point
de la conduite. a
situé à la distance
de l'extrémité libre C de la conduite I
réfléchissent totalement Soient
en
G,
en
(fig. 12). Les changeant de signe.
ondes
:
^a
=
-
et
Le battement dans la conduite est choisi
comme
Wa
=
-_
II, supposée la plus courte,
unité de temps; d'où: nn
=
1.
— Ecrivons les
83
—
équations générales (2)
et
(4a)
en
les
appliquant
à la conduite I:
ya,i
y9l0 + Fi
=
(* - ty + /. (* + ty
f>(*+ £)—**(* dans
lesquelles
x
=
+
£-Pi
(2)
(4«)
L, — La.
On obtient alors:
F,(«-^)-F,(, ^-^) -,M+F,(,-^)-F,(,-î^_^
^, +
En
+
remarquant
que:
Li — K
S*i
— i*a 2
a
2La — =^a
,
et
a
nous écrivons:
I, t——5—
Définissons Nous
une
écrirons,
valeur relative
S4
F« =
-n"0
décalant les temps de
en
B
"i
A%
'^a
n:
pour la conduite I
— n„
—5—
:
(62)
"-'i-na
2
équation
dans
Va,i ~ya,0
laquelle Ba>
— v
Pour obtenir la fonction Ej, et
(4a)
pour le
point A,
nous
considéré
écrivons les
comme
extrémité de la
duite I. On obtient: 2/i-?/o
=
Fii
+
/ii
=
équations (2)
FI.-FI._rii
con¬
84
_
d'où,
en
valeurs relatives:
ou, résolu par
rapport
3^
à
E^ Au
cours
de la
=
Bp
Surcharges i
{
-h
=
B4 + Et_ni
première phase
Sp
relatives
en
nt
2n,
...
Si En
=
équations
p + nI, p, et
Bf
pratique,
+
on a:
0
(vijrij
des de la conduite.
ces
I,
f(HJ
— Schéma surcharges en
En écrivant
(63)
.
de la conduite
où:
,
Fig. 13.
i— 2ra,,
—
Bi-ni
le calcul
+
en
irij (w)^ (wjr^
Temps
i
graphique point quelconque
du calcul un
successivement pour
additionnant,
Bi_2rii
+
...
+
fait aisément
on
i,
i— nI,
obtient:
Bp+ni
+
Bt
(63a)
reportant graphi¬ quement la courbe des valeurs B4 (voir fig. 13). Par addition, on obtient la courbe des Hj équation (63)). En décalano cette se
en
—
85
—
l'origine, on obtient, par (équation (62)). b b). Nous traitons, de façon analogue, le cas où le point b se trouve sur un élément de conduite OA, la réflexion en A n'étant définissons comme précédemment les valeurs que partielle : nous Lb, \Lb et nb et prenons, de nouveau, comme mesure des temps, les battements de la conduite II. (nu — 1). dernière courbe de na par rapport à différence, les valeurs Ba t cherchées
Au
temps i, /m,
on
a
en
A:
OU
ai-'-Hi:
—
=
Cette onde réfléchie rencontre l'onde montante relative
au
— a,
point
$*l+n qui
arrivera
en
A
temps
au
i + nb. Nous écrivons donc:
(64)
Le calcul des
calculons
au
charges C*k
fournit la fonction
moyen de la relation O
*h
que
nous
connue:
i + afc-l
^*h
®*t
(40a)
®*k-l
écrivons encore, en revenant à nos notations primitives 1 comme unité des (équations 37), c'est-à-dire en prenant nn que
nous
=
temps
et
en
remplaçant r2
l'indice k par i -\- nUI et
1
=
0
*t+nnI
(k — 1)
par i:
— «,*,
soustrayant cette équation de l'équation (64), ce qui est possible, puisque les deux équations sont exprimées en pourcents de H0, on obtient En
B 6
nb i
+
(Ç*i+nm
M
—
**i+nb
**i+r
ou:
(65)
— 86 — équation analogue
l'équation (62), qu'il
à
est aisé de résoudre
par la même méthode.
c) Si nous considérons, enfin, aboutissant à tion
(33)
un
nous
une
bassin infiniment
donne
au
bassin :
conduite de section constante,
grand (cas d'Allievi), l'équa¬ point A, situé à une distance L, du wi-ri!
et
d'après (18):
q-l
=
*i(l-o1)
=
0
soit:
't
"
^i
^i-nj
H.. y
\
*i
(66)
^*i-nI)
Cette
équation se déduit d'ailleurs directement des équations générales (2) et (4) appliquées au point A. Pour calculer la pression en A, on dessinera la courbe $%i, puis on la décalera de «j. La différence entre les ordonnées des deux courbes
la
pression en A en pourcents de H0. Cette méthode connue depuis le premier mémoire d'Allievi. 7. Conclusions du Nous
sommes en mesure
chapitre
que la conduite débouche
donne
est d'ailleurs
I. B.
de calculer la variation des
point quelconque d'une conduite munie à obturateur 0, et présentant une discontinuité A, en un
nous
pressions
sa
base d'un
en
supposant
d'un bassin infiniment
grand. La discontinuité A peut consister, soit en une bifurcation (fig. 5 et 6), soit en une variation de section (fig. 7). Nous avons donc en mains une méthode de calcul qui nous permettra de résoudre un grand nombre de problèmes pratiques. Certains, cependant, nous
échappent
encore.
—
87
—
Chapitre G.
EXTENSION DE LA THÉORIE
Nous
nous
rendons aisément
compte
que, si la méthode
exposée
générale, les formules développant 04 ne le sont pas. En pratique, nous aurons parfois à résoudre des cas plus complexes. L'exemple classique sera celui d'une conduite bifurquant en plusieurs conduites parallèles, munies chacune d'un obturateur indépendant. D'autre part, certains cas spéciaux (conduite fermée à l'une de ses extrémités; conduite à deux ou plusieurs discontinuités; etc.) présentent un intérêt particulier
chapitre
au
I.B est
Il convient d'examiner pour l'étude des chambres d'équilibre. tous ces cas. C'est ce que nous ferons dans la première partie du
présent chapitre.
Pour calculer des
exemples numériques,
indispensable de pouvoir indiquer la valeur de la célérité a dans le cas général. Allievi n'a étudié la propagation des ondes Il convient donc de placer que dans une conduite à parois minces. dans ce chapitre l'étude de la propagation des ondes dans les conduites à parois épaisses et les galeries avec ou sans revêtement
il est
ou
«
cuirasse.
1. Extension de la théorie à d'autres
a)
»
Cas de deux conduites II et
indépendat L'étude du
cas
III,
systèmes
de conduites.
munies à leur base d'obturateurs
ts.
représenté
par la
et III sont toutes deux munies
fig.
14 où les conduites II
d'obturateurs manœuvres de
façon indépendante, mérite d'être
moins
au
esquissée
dans
ses
grandes lignes. Nous
avons
défini pour la conduite III
une
fonction:
(17)
ai==-^-5^Bassin
d'alimentation
rr^^c
A^
s
"
.
Conduite
Conduite
1
n
Fig. 14.
Nous définissons de
façon analogue
Pi
=
—
W.
=
fonction:
une
~
W^.
caractérisant les conditions de réflexion au par
rapport
à la conduite II.
relatives de la conduite Nous
prendrons
II,
Wt
et
^
(17«)
•
point d'intersection A,
sont les
charges
variables
munie d'un obturateur.
unité de temps la durée jjli: de la phase dans la conduite II que nous supposons être la plus petite. En
pratique,
on
comme
aura
vraisemblablement: [iu
Nous numérotons les
l'équation
périodes
de continuité
sous
i0
Les directions sur
le
la
sens
fig.
positives au cours
i, i + 1,
[iin. ....
Ecrivons
la forme :
n0
in0
des vitesses sont alors celles
indiquées sens positif ne coïncide donc plus avec des chapitres précédents. Mais, pour le
14 pour vn, le
choisi
i— 1,
=
qui nous occupe, ce sont bien les seules compatibles avec les équations d'Allievi, que nous donnons plus bas. La condition de continuité des pressions au point A s'écrira, cas
en
valeurs relatives
:
3-1 Première
aa)
0^1-oc,)
=
=
¥.(1-/3,).
(68)
de la conduite I.
phase
équations d'Allievi, pour la première phase de 1. En reprenant l'équation (23), nous écrivons pour la conduite I, pour toute la durée de la première phase: Nous écrivons les
t
pi. =
If>
Pour la conduite
analogie
avec
II,
l
(69)
t-^-i]rI
l(i
munie d'un
obturateur,
nous
aurons
par
l'équation (20) : "m v vn0
Et pour la conduite
v
l "n. -v^-27-^(1 ^Pn vn0
III,
v
lii0
de même
m0
+iS1).
(70)
:
'Pin
Multiplions les équations (69), (70), (20), respectivement — 1 et — 1, et additionnons. En tenant compte de par + 1, l'équation -
de continuité des volumes
^-(ç; zPi
-1) +
^^(î
+
zPn
&)
(67),
nous
+ —«Mi + «i)
l'équation des pressions (68), nous équation de deux façons différentes, soit :
*
_ zPi
0,(1 _ ax) +
^^(l 'Pu
+
&)
+
"Pu
o
•
pouvons écrire
^-O, (1 ivm
ou:
•'Pi
=
zPin
En raison de cette
obtenons:
-
Pin
+
ai)
=
0
90 ou,
en
ordonnant par rapport à ax et
01
x
II + J_\ + \Pi
Wih
Pm/
Pu
(S1 :
oJl—L)
+
Pi/
\Pm
+ ^
=
0
Pu
(71) *lHl\Pi équations qui En
nous
multipliant
et la deuxième
llXl"pi
1Pni
Pu/
livrent ax et
la
par
première
— — ,
Pin/\ Pi
équations (71)
des
obtenons
Pu'
Pu/
par
(
1
:
PiiiJ
L\Pm LPii\Pi
Pin
/3t.
nous
Pu/
Pi/
\Pn
Pu
Pi/\Pi
Pu/
Pu
PiiiJ
Pi/J
\Pu
ou:
*i«i i ?l
_|_
i J. '
Pi
4-
Pu
i — '
Pi
Pm
+ 4>i
Simplifions
par
l/px;
p'i
cette
Pi
Pu
équation
il
Pi
Pu
Pi
nous
Pm
+ Wx—
=
0
Pi Pu
livre ax:
1 II Pli *1
i
Pm
111
Pi
Pu
Piii
ou:
(72)
Cette formule
exprime
de
nouveau
que la loi de
superposition
—
91
—
des ondes trouvera
(venant des obturateurs de même en permutant :
II et III) est valable. On
l3i=rtl-sm^. En
remarquant
que sn
immédiatement que En
effet,
1
=
et sm
— r„ des
l'équation
(72a) =
1
— rm,
pressions (68)
on
vérifie
est satisfaite.
si:
*1(l-«i)
Y1(l-/31),
=
on a:
*id ~ 'm) + Yi*„
=
¥i(l - ru) + QlSm
,
identité
qui est vérifiée quels que soient <&x et Wx. On vérifiera également que pour A¥1 — 0, on retrouve 04 rlu relation connue des chapitres précédents. Supposons maintenant que la surcharge Oj, arrivant en A à un instant V de la lre phase et provenant d'une manœuvre de l'obturateur Om, soit égale à la surcharge Wx, qui arrive en A au même instant, mais qui est engendrée par l'obturateur de la conduite II. Ce cas se présenterait, par exemple, lorsque nous aurions affaire à deux conduites II et III identiques, dont =
les
de fermeture seraient
manœuvres
En
posant (^1
=
Wt,
nous
1/Pt
+
obtiendrons alors:
VP„ — 1/Pm — 2/Pn
1/p,
l/pn
+
=
l/pm
+
_ vpii l/Pi
On trouve de même
synchrones.
+
+
vpin - vpi l/Pii + l/Pm
=
_
:
£1
=
et
— rx
04
=
<3X
d'où:
Ç-l Considérons et soit
Q
=
une
Qo
+
=
conduite
Qo
son
(73)
0,(1+^)
unique
de section S'
débit de
Sn + SnI régime. Supposons que =
—
92
—
la vitesse v' et la célérité a' de cette conduite mêmes que pour les conduites II et
III,
unique
soient les
c'est-à-dire que:
^0
^Qii
^oni
S'
SIT
SIIT
et:
lll
Dans
ce
cas:
-;
P
=
—
=
—.
point de jonction de
Au
Phi
Pu
conduite et de la conduite I, il y a réflexion coefficient de réflexion est donné par:
r'
partielle
1/P: -1/p' 1/Pl
+
•/Yi
'
cette et
le
(26a)
1/P' -Vf
D'où
ç--1 En
=
*(1 — r')
comparant les formules (73)
(74)
(74), on arrive au résultat remarquable que les conditions de pression au point A ne sont pas les mêmes si, au lieu de 2 conduites II et III, le débit s'écoule par une seule conduite, même si les vitesses, les célérités et la loi de fermeture sont par ailleurs identiques. — x¥1 et où les conduites Considérons encore le cas où Oj Il et III étant identiques, sn sIU et
=
=
.
Alors
:
ai
Ce La
produit pression en
cas
=
rm + sm
=
1
et
^ — 1=0.
les mêmes effets A est nulle
au
qu'une réflexion totale en A. cours de la première phase. On
voit par là que des mouvements simultanés de fermeture à l'un des obturateurs, et d'ouverture à l'autre, compenseront, au moins
partiellement, leurs effets (même si
mouvements
d'ouverture et de fermeture s'effectuent
temps identiques, les fonctions
en
des
O et W croîtront différemment.
—
b
cours
Cas
b)
de la
—
développements ne sont première phase de la conduite I.
Il est bien entendu que
qu'au
93
ces
général: phase quelconque
valables
de la conduite I.
équations (70) et (20) pour les conduites générales et valables pour une phase quelconque. Les
II et III sont Nous écrivons
donc:
y1 =^-2-^(1 II
II.
(?0)
+£)
ru
et: 1
écrivons, divisant par 2pt et en
Pour la conduite
formule
(53),
en
*4a
I,
nous
+
(2°)
«i).
comme
au
ordonnant:
^- ^-^[^-1)+2(^-nI-1)+2C2nI-D
+
=
+
2(Cpnt-l)].
opérations équations:
En effectuant les mêmes de
façon analogue,
/
^F^(l+^i) z
les 2
-
sous
<£>
+2^(1 i
+Oi)-^-(l-o1) L
a.a),
obtient,
on
Pi
£ [«i-n, (1 - «i-n,) + **-*,,(* - at-2nt) +•••]= W-
0-
W-
que
...
(53a)
©
Pm
Pu
I.B.5
chapitre
^d+^+^d+^-^d-^) -
- $r-n) £ [^i-nt (1
+
?«,, (1 ~ ^2nt)
+
•
•
•
]
=
0
— 94 — ou,
1
en
ordonnant par
\Pi
Phi/ J
rapport
Pu 9
V,•
à
/3{ :
\Pi
Phi
f
2
~ ai-"i}
P;i+^rw1
**-2»i(1—a*-2»i)
+
~l •
J
•
(75)
*KU +P.J
+
i + Pin
'U
Phi
^[^(1-/3^)
On éliminera la valeur par
*|flJI+ 'VPi + 2
—
•
que
les 2
équations,
En effectuant les mêmes
sous
a.a),
on
obtient de même,
:
1 + ^*71+ Pu Phi/ 1\Pi
(* +1) [°^(1 ~ "^
-
-iS4_2ni)...]
Pu
simplifications
après division par
l
Pu
^_2ni(l
+
multipliant
en
et
—l
Pi
et
/34
il
respectivement
opérations
Pi.
+
!_J_)
_Yr_2_ f 'Pu Pin/
Pu
®*-2b'(1 ~ "^
En remarquant que,
simplifie
l\Pi
•]
Pu
et on
=
^_ni(l
-
&_„,)
etc.,
obtient:
Pin/ +
•
d'après l'équation (68):
*^(1 - o^)
1
'
£ [V^d - &-»,) +3-2^(1 - f3i-2ni) + •] •
on
'
£
\Pi
Pu
Pin/
Pu
[$*-», (* — ai-nr) + *t.2Bl(l — ai-2«r) + •] •
•
95 encore:
ou
<*i
rm
=
—
5n$:
+ Si
1(1 — «i-ri!)-^1
(i —
+
«*-2nI)-ô^J +
•
•
•
J
(76) livre xt par voie de récurrence. On trouve, par raison de symétrie :
équation qui
Pi
rn
^i-în
Wi-n
r
<£• =
1
- sm^ sm^ + Sl (1 - /S^)^-1 + (1 - tf^)-^ + i L
i
•
•
•
J
i
(76a) On
peut, soit utiliser
équations (76)
directement les
et
(76a),
soit les A
ou,
développer. titre d'exemple,
en
simplifiant:
On obtient de
même,
T« V,
T, 11
=
(T>.
Vi~2ni
opérations: î—2lîj
"r
1J,'i-2nI \ ® .-2*1,1
.
®i
$,-
effectuant toutes les
rm "+" 5ism
**.
—
^t-n,
l— Ht i-nT
ai
i'^3re,:
\ O.
,„ i-2n, \
•-«t
en
pour
r l\ —
_
ou,
2nr
calculons a{ pour i <.
nous
sisiiiri
$.
IF*
i
sncF.
V.
V—HT t-nT
~T
*isn <[>.
1—i.llr i-2nT
T"
sisuri
<&.
— La loi de formation de constamment
l'une,
à la
égal
somme
est
...
évidente:
OjOCj est qui représentent, l'autre, la série
de deux séries ,
,
général
oc;
<ï>j, Ot_n Oj_2n.
W^ Wi_n W^^,
Le terme
—
la série
la série des ondes
des ondes
96
...,
après réflexion.
sera:
<ï>.
O-
„
vi-n.
„
i-2n,
M/j
»
"±-j
i-3nT
«fj
(77)
Cette dernière
équation
=
problème.
limite de la série
est intéressant de rechercher la
lim Oi
entièrement le
résout
rm + stsm
+ sIsIII'*I +
•
•
ol=.
~r
On
Il
a:
•
i—x
— su + lim
âj
=
s:sn + v'j,^ +
rm + sIsIU
...
rt + r* -f
(1 +
...)
— «H +*I«Il(1 +ri +»"î + •••)
lim «4
=
rlu +
»I«II
i^L-Sll+T^L=l
La limite de la série a4 tend examinés au chapitre précédent. Le
pratique
vers
1,
comme
le
pour
les
cas
plus intéressant à étudier est certainement celui de la manœuvre synchrone des deux obturateurs. Pour simplifier notre étude, nous supposons les deux conduites II et III symétriques, c'est-à-dire su= sm et rn rm. Par suite du synchronisme des mouvements, on aura de plus : cas
=
^l
T
l
1
—
l'équation (77)
et
«t
=
rm
— «m + 2*i*ni
comparaison (33) ne peut
La
rapportant et sni ou
ne
à
un
seront
—
réduit à:
se
.
tale
97
—g—
(78)
équation
faire que que
problème en général
2sIsIIIri
®»-s»i
entre cette se
+
—r-
sur
l'équation
et
des valeurs
fondamen¬
numériques
se
défini, car les coefficients rm les mêmes, selon qu'il y a une
bien pas
deux conduites.
La démonstration que
deux
conduites
étendue
sans
munies
correctement
l'équation
donc
convenablement
l'équation
au cas
de
de continuité
les
de
des
signes
de continuité
abstenir
nous
d'un
des
donner cette
pour le
n
de
cas
peut être
obturateur
conduites
conduites à réflexion totale.
m
ensuite
entreprise
avons
chacune
difficultés
autres
rateur et de
sant
nous
avec
obtu¬
Il suffit d'écrire
des volumes
vitesses,
et
en
choisis¬
d'appliquer
pressions.
Nous pouvons démonstration: on voit
que les procédé de calcul est général et que résultats seront analogues à ceux que nous venons de trouver. Dans les cas complexes, on aura intérêt à ne pas développer
immédiatement que que le
b)
Cas Cas
ou
Pour étudier et
aux
fermée
la conduite 11 est ce
cas,
nous
développements qui
remarquons
son
extrémité
inférieure.
reportons au chapitre I.B.5 conduit à l'équation (60). Nous
nous
ont
que la réflexion
à
en
D
sur
une
surface fermée est
changer le signe des ondes. Il suffit donc de changer, dans l'équation (60), le signe de tous les termes où le nombre des réflexions en D est impair. On obtient sans
totale,
autre
ai
mais s'effectue
sans
:
'"in
*n sm
a
vi
+
T"
su *m rn
([.
sn sm '"n
*i
(-ir1*IIwir2^1
T
•
•
•
^i
<79)
— $; i
"T"
98
$,
i—,ii
o>-
^—ni—^
o
i
<£
^i Slu '"i
sisn*m
(g—1)'
-"11/
i—2nx—1
s
+...
général:
[r?-' -2(q-l)Sl rj~2
s-r' a—3
+
^—ni—^
\
rr2rfT2 [(? - l)*x - 2rJ
J
(p - 2) sH rfr3
2!
(si — -"i)
le terme
encore
(- I)5"1 slSasja +
sisiisiu\su
0>
i—2n:
©;
Nous écrivons
>
o
/
i
sism—^—+ ^sisnsui—^
~T~
—
(80)
®i—anj—(p—1)
+
(g— 3)!
c) Cas où la conduite possède 2 discontinuités successives. Nous allons traiter le deux
discontinuités
que que
Bassin
cas
où
l'onde,
une
même conduite
venant
d'alimtntation
de
O,
doit
pré&ente franchir
.
Niveau constant
A
_.+._.+
Fig. 15.
— Cas
pratique.
^c
de deux discontinuités successives.
successivement avant de
S.R. Les
S.R.
D
se
réfléchir
sur
la surface de réflexion
15 et 16 représentent deux cas fréquents en Sur la figure 15, l'onde rencontre, sur la conduite
figures
— deux variations
II,
figure 16, riation
de
section,
elle doit franchir
de section
en
99
—
une
D. Dans
A et D. Dans le
en
bifurcation
en
dernier cas,
ce
grand (première phase de I). Nous savons, par ailleurs, que, si
cas
A et
Lt
est
de la
une
va¬
supposé
très
et
les coefficients de réflexion
de transmission sont correctement
caractéristiques l'un et l'autre
p de la
conduite,
définis
le calcul
en
sera
fonction des
le même pour
cas.
Bassin d'alimentation
Fig. 16.
—
Cas d'une bifurcation suivie d'une variation de section.
Nous définissons les coefficients de îéflexion et de transmission suivants :
en
Si
l'onde
dirige
principale,
vers
S.R.,
venant de
.
Coefficient de transmission
revient
en
se
on a:
Coefficient de réflexion
Si l'onde
III,
A
.
.
.
principale, réfléchie vers III, on a :
par S.
rm
ri
Soi
«i
rn
r*
Su
«a
R.,
D
100
— Les coefficients
+
r
et
r
(26), soit
les formules s
s
—
donnés, (26a), et
sont
par
comme
sont liés par la
1.
=
appelons Lx et L2 les longueurs A — S.R. Lx + L2
Nous
L„
=
soit par relation
toujours,
AD et D-S.R.
On
a :
=
2L
Définissons : fxx
périodes
Les
wl7 w2 e* nu
=
nx -\-
=
^
,
|x2
\xx,
—-1
et
n2
=
2L —2
et [in
=
(ix + jx2
exprimées en secondes; représentent les périodes exprimées sont
[xn
fonction du temps relatif. On fera bien de choisir comme unité de temps le battement dans le plus petit des secteurs Lx ou L2.
en
Pour fixer les
dans le
point
cas
A est
Nous
idées,
de la une
nous
fig. 16,
supposerons que nous nous trouvons c'est-à-dire que la discontinuité au
bifurcation.
choisissons
origine
comme
des
de
temps Varrivée
la
première onde Fin Y0O0 au point A. Soit, par exemple, nx la plus petite des phases (nt < n2). Nous la prendrons comme =
unité de temps; c'est-à-dire: nx Considérons
temps i. toujours:
Elle
une se
onde relative
réfléchit
représentant
la discontinuité A
=
la
1.
Oj
y =
'
partiellement,
somme
arrivant
^-
et
nous
avons
des ondes traversant
direction de 0. Tout le
en
en
A
au
0
au
problème
comme
temps
i
consiste
à calculer a.i.
L'onde en ce
Oj bifurque
A. Soit *Fj l'onde relative qui se détache même instant de A vers la conduite II et S4 l'onde relative
qui pénètre sm., telle
en
dans la conduite I. Nous définissons
qu'à chaque
une
fonction
instant:
^i
=
^l
=
sm.^i
.
(81)
— 101 — W{ que
et
$i
Sj
sont
en
W{ arrive,
à l'instant i +
désignons
où elle est
D,
de discontinuité
l'onde réfléchie
calculée
aux
totale,
revient
qui
en
deuxième
point
réfléchie.
Nous
en
YiWi
r1Wi + s1sa'Fi_ni +
(82)
n1. Dans cette fonction analogue à la valeur
A
une
au
s^r;,
introduisant la définition
=
partiellement
temps i -\-
la fonction y4 est donnée par la série
:
en
au
,
Nous pouvons même écrire constatant que, puisque la réflexion en S.R
écrivons
=
-^
chapitres précédents.
directement,
J\*.ni*i
façon
-*¥,,
=
est évidemment
relation, y{
ou,
de même
par:
est
,
.
L'onde relative
•/i
fonction de Y
exprimés
rlSm.<î>i
+
W{__2v2
+
(33),
nous
que
sxs2r\ Y^3«2
+
•
•
(81):
slS2sUH_n®._n2
SiS2r2sul._2n®.^
+
+
...
(83) Les conditions de réflexion moyen de la fonction
au
Oj,
au
point
que nous
fonction slu., définie par la relation Pour nous
exprimer
servirons,
continuité.
D
savons
L'équation
de des
calculer,
0{(1-«0
et d'une
point A,
au
coutume, des deux
pressions
donc
(81).
les conditions de réflexion comme
s'expriment
au
point
=
^-1,
=
Wl-
A
nous
équations nous
de
donne:
ou:
=
Vt + ^
l'équation
7i_ni ¥i_ni
.
de continuité des volumes:
(84)
102
— l'avons fait
—
chapitre I.B.3. Puisque nous nous trouvons, par hypothèse, phase de la conduite I, nous écrivons: comme nous
vi
Vi (,
V. + FH. +
ïo
=
viii
UH
_ A rp
v
an L1
vn„
En éliminant
de la conduite II deviennent:
Y0 (^i - 7i__ni ^_ni)
y0 + /nj
nous
V
{23b)
ri
—f]
iij
W{,
V
=
première
2Pi
équations générales
=
dans la
-0,(1
vi
ïo
Les
au
=
en
2a..
ç
vn0
— ^ an
(W
v
»
~ 4~
(85) V.
y
)
'
'—V
A—ni
tirons:
L A—"î
M—"i
+ ^>i
^J
2Pn
i
ou:
o
_5l
G,-
V„
L'équation
"1
de la conduite III reste
comme
®,
+ (1
toujours
- «i)
(86)
la même, soit:
(20)
iii0
Procédons
2yi_nismi_
in0
nous
'in
l'avons
fait
au
I.B.3
chapitre
et
posons: a>
<*i
Remplaçons
=
'"m + 1i
(27)
*,
a4 dans
(20), (236) et (86) ; multiplions respec¬ tivement ces équations par + 1, —1 et —1 et additionnons; nous obtenons, en tenant compte de (19):
Pi
,
Pu <£
^
"PU
i-7ll
^
'„, + îi
t-ni
$ -'-
=0.
— Nous
tion
en
tirons
sans
103
difficulté,
—
en
(25): 2/Pn ?t
Yi~n,
=
1/P:
+
1/P„
•
+ 1/Pnl/Ml1'
Hi-n-i
°v.
,ni-»i
En introduisant cette valeur de qx dans a,
compte de la rela¬
tenant
(27),
•
sui,_„,
nous
t-ni
sn
•
obtenons pour
la formule de récurrence:
Œ>,
Calculons Les
s„
VT1
V1Io
Vn„
Vi-ni
(85)
nous
2p„
et
en
(87)
(p
[2>V„i^-ni
+
livrent:
C-l] =
On
siiij_nisn
*t—«i
équations (84)
Lïl
~>
'"m
ai
•
£*.
'
[2Yt - ($ - 1)]
_
tire:
2Tt - (Ç - 1)
=
27î_ni ^_ni
+
(Ç - 1)
d'où:
Or,
(Xj est donné par
On obtient donc:
(87).
i-ni
^nij
*iii
"T
î'i-n1*int_n
il ni'11
(88)]
$7
(88) sont générales. Dans le cas où nous aurons plus de deux discontinuités successives, et où il serait presque impossible de développer pour at une formule explicite, nous écrirons pour chaque discontinuité deux équations du type (87) et (88), avec les modifications 1
Les
voulues, formule
équations (87)
et
nous
explicite.
et
calculerons
at
par voie de récurrence,
sans
chercher de
104
— Nous pouvons transformer de (88). Nous obtenons:
j^iu,
=
M
—
l'équation (83)
^ \ $
7i-n1-nisint_ni_n/ii'^~
t-ns
+ ^«a^a I *m + yt-n^nj5!!!,^
2n,ri1
l-ni-2n2 \
t-2n2
$.
*.
^-2n2
ou
compte
*_ «m + vrî-n1°nij_rll'n <ï>
j- S1S2\Sm -j-
tenant
en
+
encore:
ïi snit
Sm rl
~r~
rn rl Vi-ri!
Sml-rll $
+ sl s2 rn 7t-ni-nj sint_ni_na I
-h
_L -)-
Sx S2 ^n 7"2
Cette
sni 51 s2
^ i-nl-2n2
<ï> "T"
2
équation (89) permet
4> "r
$
r2
i
T
^
n
(89)
çjf
t—ni—3wj
*iS2/'iir2yt-n1-3n25iiit_ni_3ni! <î>
"r
i-n-i-rii
/i-n1-2n2siiil_ni_2„2
2
i-n-i
$
•
o
"T
$
de calculer ylslu par
•
récurrence, et,
par le fait an en se servant de la relation (87). A titre d'exemple, nous allons calculer les premiers
pements de a,. Puisque ra1 ment
les valeurs
2n2 + 1,
...
Pour i
1
=
etc.
1,
=
1, 2, 3,
...
nous
donnons à i successive¬
n2, n2 +
1,
Nous obtenons:
:
«i
siu1
*m 5
=
r„
^l^nii
dévelop¬
rlsiu
n2 + 2
...
2n2,
105
i
Pour
2:
=
Pour i
3:
=
— siiirl
73siii3
sinrnr1
i
~T
sinrnri
Etc., etc., trouve
'"m
r
J*nr-2
n2-l
*ii*m''l
sn *m rn ^
"T
<*>
3, n2
•"-
n2
«ï-2
r 'm
=
1
^
«2
o
r«2-!
<;
*m'ii
.
.
.
n2
r«2
—— ©„
'1
+ 1 — nu:
v
2?-
r
U
«
r
«
"""""^ _L
r
— smrl +
•• •
®»2 Sinrnr10
«
t
3
rn2rn2+l
*hi'h'i
®i a> ^n2+l
1
„
^Tliî— 1
+ Vi/^
n2+l
1
„
r"2 _!— '1
2
2
,
_L
r2-1
4-
^n2+l
^n2+l
+1 2X
r
Tin^m'ii'icb
•>nAiii'iff>
7n2+lVn
jV-2
n2
T^
Pour i
»
+ «m ''h ^ -^— + «m ''h rt -j-2—~ + "m ?"i _|_
,."2-1 ®l. "2
*,„
7n2Snina
Kn2+1
na. On
T
»®7*-l
—
<
n2:
=
©.
w
tant que i
:
pour i
an2
séries,
les deux
développer
Il est aisé de
„
~*ni*li>2
$1 .
n2+i
n2+l
+
— Pour i
106
—
n2 -\- 2 :
=
an2+2
'"m + Sn sm rl
=
$n Sm ru
r
m
r
_|_ l^
o
Vn2+2
3*i
r'i2rn2+l
ç
>n*in'ii 'x
_i_
„
„
„
2
,
yn2+2Vna+2 "T"
*m
_n,+l rn2
sinri -+- sm rn rj
®1
pnj+2 ri
i
2
$2
„
3
n2
i
=
•
•
•
_®.i_
„
Vn2+2
etc.
aura
2re2 +
1
I
c
c
*IIiIIl'lI
'i
V2n2+1
*„l2n2+1
a,
r2"2-1 r2n2
^sn'yiiISls2riirl S
~r
2n2+l
•••
O
1
-4-
(t, w2n2+l
\~
snsmrnr!
^
c
et
c
ce
•
•
"*
w2n2+l
+ w2siisiiisls2rnr12
2
r
*IIiJH*l*2 (t)
®2n2
- Wi -t^r^^—
*2n2+l
^2712+1
w2n2+l
etc., etc.
séries,
»h + «2-
=
i
72n2+i
ces
pour:
a2n2+l — rm ~t" snsuirl
"T"
+
i 0„ „ „ „ T" "sm si s2 rn rl fl>
$m sls2 g)
On reconnaît aisément la loi de formation de
l'on
i
Vnrlfl)n+2
Wn2 + 2
%î2+2
Etc.,
| +
5^-~ „
(D wn2+2
n2+l
„
~r
a>
^1
„
AJi*iII;'li2
T^
a>
^na+2
=
(-
-g
vn,+2
,
+
2
•/K
v2n2+l
3®2n2—1
SinrIIr1^—^ W2tiï+1
v2n2+l
-f-
...
107
—
—
Pour éviter de de donner la
i
=
qnt +
trouve
longs développements, nous formule générale permettant de
calculer ai7 pour p étant des nombres entiers quelconques. On
p,qet
:
a«"2 + P "T
rm^qnSi+p
~T
snsni'"l
w")
312+7)
[^gn2+p—1 -gn2+p—2
+ ...rIIr1
+ susuis1s2
|^(l)(9_1)n2+î)_1 [(q — j)nt
"T
ruri(^qni+p—2
2rnr10(ï_1)n!+p_2 +3
+
— 1]!
+ p
|^î)(9_2)n2+p_1
+ SIISIIIS1S2r2
"•"[(S —2)», + snsmsi52r2
<«H-l)n,+p-2
+ "^rnrl ^(g—2)n2+p—2 + 3
—2]|/"/l
+ /»
[(g — 3)n2 5Û — 3)n2 [(g
*IIsni*i*2'T1
+ p ,
.,
+
p
— 1] ! ;^(5-3)n2+p-2 — 2jii 'ii'l _9i
(P-1)|—P-2 (p —2)
(ï)(3_2)n2+p_2
!
+
n'1
f
*1.
iJ
—r(«-2)n2+p-3 [(g_2)B, + p-l]l 2! [(g-2)Bl +P-3]!'"'1
.
...
1
3rIIr10(g_2)ri2+p_3
.
VlJ
[
-f- suslus1s rn
.
1
[^(a-sjns+p—i + 2rIIr10(a_3)n2+p_2 + 3 "T r~
+
.
—
[(g-2)n, + p-1]! —-(«-2)^+^-2
+
contentons
nous
+ 6. i
M
+
108
+
2SnSmWurt "*"
+
[0(„_3)ri2+p_2+ 3rIIr1Ow_3)?,2+p_3
[0>((ï_4)n2+p_2 + 3rHrx 0>(g_4)T,2+p_3
[<*>(î_5)n2+p-2 + 3rlIr1*(tf_5)ni
[(g —5)l>,+p —111
"1_2![(g-5)ii1
(« —1U
(fll2n*ii*iii*i*,!',ii'f ,
-4T
+
+
+ 6.
+ ^_3
—-^a-5)m+p-3
p-31lr"ri
-i
*ij
2[*^-a + 3rI1r10IH_3 + 6rIIr;®I^4
p-3^ —1)! (p d>. — — r r1 2! (p — 3) !" !
+
4rnr1
10
f
[(? — 41«2 + P — 1] ' (9—4)n2+p—4 3![(g —4)n,+p —4]"!'"n',i
K^mW^ +
+ 6
L(g — 3)n2 + p — 1]! -^-^(«-3)n2+p-4 r„r. *i 3I[(g —3)n, + p —4]!'«'i
SSuV^lVii^ +
+
+
snsluslSyn [(Q_3)n2+p_3 +
..
r(g-4)/i2 + p-ii! —(
+ K Wl Vii^
+
+ 6
-, [(g —3)n, + p~l]l —r(ï-3)«2+P-3 2! [(g — 3)n, + p — 31!'»rl VlJ
3sII*m*iVIIr| "T
—
*1.
|0(g_5)na+p_3 + 4rnr1
[(g —5) ra2 + p —1] ! (a-5)n2+p-4 3! [(g— 5)«2 + p — 4j! rnr^ $!
— +
lOs^^sV^ ^
+
2
[o(g_6)„2+p_3 + 4rIIr1
1^-3)1 *« S"' SlS! r" /T~3 K-3 + 4r" rl ^P-4 + io ^>p_5...+j^l ^7r4 «J [^(9~4)"2+P-4 + ^rnrl
[(g—4)n,
"T"
.
.
.
r~r(f'~4)n2+p_5(ï> i
p-in
+
°'"ii''l®(Q|-5)nsî+p-5 +
15
.
.
.
[0(ï_6)ni+I^_4 + 5rIIr1
f(g — 6) w2 M ! [(
L\Un
t
etc.,
+ 15
+ p—5
1 [(g-5)na + p~l]l 7— <8-5)«,+J>-5 VlJ 4![(S —5)n,+p —5JI'"'1
^nWi Vn^ '
+
+
/tSnSIUS1S2rSnr2 [*(
+
—
[(g-6)/t, + p —1]1 —-(5-6)n2+p-4 wi 3![(?-6)»2 + p-4]ir»ri
+ sn sm sl S8 rn
-f
109
^SuSuislS/nr2
+ p
r,
6)
»2
_L+
—l]i =H — 5] p r,
[^(ç—7)n2
+
——l«-6)n2+p-5^ "
!
'
II
'
1
Vl
i
2J—4+5''IIrl^)(g—7)n2+p—5 +
15.
.
•
etc.
On vérifie aisément que la formule (90) satisfait aux deux relations (87) et (89). La série (90) représente, comme toujours,
la
somme
de toutes les ondes
qui,
au
temps i, passent par le
point A, en direction de O ; c'est-à-dire qu'elle garde sa significa¬ tion physique. Cette vérification est, à la vérité, assez compliquée et délicate à
mener.
pratique, on aura le choix, pour la conduite des calculs numériques, entre les formules (87) et (89) d'une part, et la formule explicite (90) d'autre part. On emploiera, dans chaque but. cas particulier, celle qui conduit le plus aisément au En
— Nous
la IIe
aurons
partie
110
l'occasion de revenir
les coefficients constants de
limite
cette
chambres
sur
la formule
(90)
dans
de notre étude.
Etudions enfin la lim. «;, oq
tance
—
représentant la
qui figurent se
de tous
somme
dans la série a.t. L'impor¬ de l'étude des au cours
révélera
d'équilibre.
Nous devons faire
rations d'ordre
précéder
notre étude de
mathématique, qui
nous
quelques
considé¬
familiariseront
les
avec
propriétés de certaines séries. Nous remarquons que les diverses séries figurant dans la formule (90), soit dans les lignes hori¬ zontales, soit dans les colonnes verticales, sont toutes de la forme de l'une des séries du tableau suivant:
I
N°
0
1
x,
1+
a
o3+
a*+
x2
l + 2a+ 3aH- 4a"-i-
5a*+
2
+
3
a24-
4
5
6
as-f
7
am
8a'+... + -——^a"1 !
m
x3
l + 3a +
x4
l + 4a + 10a2 + 20a3+
6a2 +
10a3+ 15a*+
28ci
35a4+ 56a& + 84a8 + 120aî +
.
..
l + 5a+15a2-f
x.
l+
35
im 4- 3) 1 r-«m + Vi !
m
, 1
.
+~~, 4 !
.
r-«m
,
+
xn
•
(« —1)!
+
,
(,-2)!a
!
(» — !)!
'
,
,
+
n
— 2)!
(n — \)\ (m —1)! (m
n+1
+
+
n
to
' '
«m
!
—2)!
V-2)lJlam
'
(n —1)!2! (m
1
(m
,
+
^
!
m
(m 4- 5)
6a+21a2 + 56a3+126a4+...
+
!
(m + 4) !
.
5 !
X„-i
1
^rj—Ta a
X6
-1-2)
(m
21a.s +
m
a'+...+
as4-
6a5+ la*+
m—1
,
4-
— 1) ! -L. (m — 1) !
*— + ni
n
,
(TO + w— 1) (n — l)!m!
, '
,
am-1
,
v
(m
+ n
+ ,
!
n)
m
!
!
! am
— 111 —
Remarquons
(m + n — 2) (re — 2)! m!
_ —
Cette
façon générale:
que d'une
!
(m
+
n
__
— 2)
M_
!
—
— (n (n—
(m + (n — 2)
n
!
relation
1)1)1!
— 2) ! (m — 1)
nous
m
{m(w— 1)1 [m
!
— 1) (m _ — m (n — 1)
(to + !
— 2) —2)1
n
permet
de
— 1) 1 (n — 1) !
+ I
calculer
n
le
1
1
+«=I
J
(92)
coefficient du
degré de la nme ligne, lorsqu'on connaît le coefficient du (m — l)me degré de cette ligne et le coefficient du mme degré de la ligne précédente : le mme coefficient de la nme ligne est la somme du (m — l)me coefficient de cette ligne et du mme coefficient de la ligne précédente. On vérifie immé¬ mme
diatement que les coefficients du tableau (91) satisfont bien à cette loi. Il est donc très facile de les calculer de proche en
proche. Cette remarque va nous permettre, somme de l'une quelconque des séries
en
outre,
de calculer la
(91). Désignons
par
X^1
la série:
X
=
1 +
a
+ a2 + a3 +
Sa valeur limite est connue;
X"
=
...
on a
lim. Xm
+ à"
(pour
l
— am+1 1 — a
autant que
I a I <
X =
1
— a
Calculons la série:
Xm
=
1 + 2a + 3a2 + 4a3 +
...
+
m-i ma
1)
112
—
—
Nous l'écrivons:
Série
X
=
1 +
+
a
Somme
+ a? + a? + «M-
a
(1
+
+
a
+ a2 + as +
a2(l
+
+ a'
a
(1
+ a2 +
+
+
a
..
.
am~2)
...
...
am'3)
+
a
1
«2 1
— a
1
— a
m-2
+
a)
am_1
m-1
^
=
X
=
=
somme
~ [(1—am) + o(l — am~l) + a2(l —am"2) + a3 (1 — am~3) +
Xr
(1 - a)
— a
des valeurs de la colonne de droite, obtenons, quel que soit a:
nous
nous
faisons la
(l_a-2)
? (1-a2) 1 — a
=
1
Si
(1 — a"1"1 )
— a
_
a"1"4)
am~2 (1
+
— am 1 — a
1
om~1
•
.
partielle
...
I^a [1 +
A la limite
on
a
+ am-° (1
— a2) + a"1 (1 — .
+ a2 + a3 + a4 -1-
trouve, pour
lim
Xm 2
m
=
»
I a I <
==
.
1
•
•
2
+ «m~2 + a"1"1 — mam]
:
1
X" (1
a)]
fïl8
113
—
Etudions la troisième série :
X
1 + 3a + 6a2 + 10a3 + 15a4 + 21a5 + 28a6
=
J_ +
qui
se
laisse mettre
X
=
_1_
sous
(m + 2>
"^
•••
!
a„m
2! m!
la forme
'
:
1 + 2a + 3a2 + 4a3 + 5a4 + 6a5 + Va6
+
+
...
+
!H±*ll
am
3a + 6a2 + 10a3 + 15a4 + 21a5
a(l +
(m
,
,
"T"
•
•
•
1"
+
1)
!
(m — 1)
2 !
!
U
m_! '
ou encore :
Xm
=
Passons à la limite. Pour
Xm
^
X-1
3
Xm +
très
m
X"
=
aX"1"1
grand X"
et
I
et
=
a
I
1,
<
on
77-^-t (1 _ a)
2
3
3
.
On obtient:
X"(l—a)
(1 - a)'-
et
xr
=
(1 — a)3
s
Or,
la relation
(92)
— 2) (re — 2)1 ml
(m
qui
+
n
:
!
+
(m
+
n
— 2)
!
(m + _ —
(n —1)1 (m —1)!
est à la base de cette
démonstration,
ra
— 1)
m!(re —1)1 est
générale.
1
a
— 114 — Il s'en suit
qu'on
a, de
Xm
façon générale également:
=
Xm
Passons à la
limite;
on
+
.
'
n—i
n
obtient,
aXm~l. n
|
pour
(i-a)x;
=
a
j
< 1:
x:_t.
Si: X "-1
(l-a)"-1
il s'en suit que:
x„
(l-a)"
(93) allons
Nous
équation lim
^
=
(90)). rm +
pouvoir
calculer la valeur limite
de
(voir
a4
On a, par définition:
s^r^l
...]
+ r,,/-! + rnr + rnr +
+
*ii*in*i*2[l
+
SnS^s^r^l
+
2rIIr1
+
3rnr\
+
4rnr|
+
+
SiiWi^ît1
+
2rnrt
+
3r„r[
+
4rnrJ
+
+
*ii*mWii[l
+
3rnri
+
Qrnr[
+
10r„rJ + ...]
+
S^Sn^iV,,!-,^
+
3rnrx
+
6r„r|
+
10rar[
+
+
S^^n^v,,^!
+
3rHrx +
6rar\
+
10r„r"
+
+
2/Vi
+
3r„rî
+
4rnrJ
+
..
(94)
•] •
•
•]
...]
...] ..
.J
—
etc.,
115
—
+
SiiSmWÎiI1
+
^susluSlslrur2[l
+
4rur!
+
10rnr|
+
20rnrJ
+
...]
+
6*„W/n^D
+
4rnri
+
10v!
+
20^
+
...]
+
*i.*m*i*/n[l
5ruri
rnr|
...]
+
4*11*111*1 Vn^D-
+
10*n*iIi*i*/îi',î[1
+
+
4/Vi
10r„r|
+
+
15r„r|
+ 5',n'"i +
20r„r|
+
+ 35
15rnrJ
+ 5'"ii''i +
+ 35
15rnr'
+
+
+
rnr[
...]
+
35rnrî
•
•
+
•] .
.
.]
etc.
Nous
remarquons
que
respectivement égales
les
quantités
entre
à:
Nous écrivons donc: l
— Mm \
=
a{
=
rm + sIIsulr11
x
00
__
'II' 1
S„$,rrS+$n
r
+
—
11
1;
^¥f4[l+3r2 (1-',n'-1)<
+
6r:+...]
crochets
sont
— i
ou
—
3
-iismV + f1I7-"[i+4r2
+
etc.,
116
io,;+...]
etc.
encore:
lim aj
=
rm +
i~ruri +
+
Or,
+
(l-'„'i)(l-'a)
r2 + s2
lim
- r.) i-,, i-J3 (1
(1 -
5,
+ '
(1 - ru rx) (1 - r.)
+
.(1 —'n^ll—'i)
1- Nous obtenons donc:
=
i-m +
=
}
1
"
1
"^
-
+
— Tjj^
(1 — r,^)2'
s^,
(i — '•n 'i)
Rappelons
que su + '„ S"S"1''1
•+ lima* ~ -t"' , +
1
- 'n'x
4+
sn sm ri =
=
rT,
1
'"m +
,
_ 111
+
+
et
s± + rx
=
1
:
(i-'„'i) (1 - 'il'"!)2 "(1 - 'n'i - *i'n> SuSluSl
^
+
— 'n 'i
siism('i
1
=
"il0!!!0!
(1 ~ 'n 'i) [1 — 'ii (si
si) — siisin'ii'i(gi
+
'i)J
+
'i)
[I-'iiK+^JÏÏT-^ r~) snsm(si 1
lim «,
+
- '„ K
=
+
'i>
K)
rm + -iLJÎL
=
rm + Sm
=
1
(95)
—
117
—
Nous retrouvons ainsi la même valeur limite
précédents, c'est-à-dire
qu'aux chapitres
1.
|
Cette démonstration n'est valable que si la condition est satisfaite pour les diverses séries qui entrent en jeu.
sait
qu'un
— 1
et
coefficient de réflexion
quelconque
r
+1. Les séries: 1 +rnr1 +
rur[
l+2r„r1 +
rnrl
+
3rIIr;
+
+
...
4rn/•;+...
etc., et:
i + r2 + 1 +
!•;
+
/;
+
...
2r2 + 3/ + i/+
...
etc.,
remplissent
imposée.
donc la condition
Reste la série:
Il faut que: «1 .
4
Or, 1
—rnrx est
positif;
''tt'
— <
1
•
—'•ll'l
la condition devient:
*irn<1
—î"nri
»
a
varie
|
<
Or,
1
on
entre
—
118
—
ou:
'"il
Cette dernière
(sl + rl)
inégalité
rn < 1
•
également toujours satisfaite, et général, aucune condition spéciale
est
le théorème démontré est
n'en limitant la
=
portée.
d) Conclusions du chapitre I.C.l. Le but de est
chapitre
ce
générale. Nous
dans le
cas
avons
était de montrer que notre méthode pu calculer, grâce à elle, la série xt,
de deux obturateurs montés
indépendantes
et dans le
cas
où
une
sur
même conduite
deux discontinuités successives. En suivant les que
nous avons
faits,
on se
rend
deux conduites
possède
développements
compte aisément que la
méthode
susceptible d'être étendue à des cas plus complexes encore. Le choix des trois exemples étudiés sous I.C.l.a, b et c, a été dicté par plusieurs considérations. Nos formules permettent, en effet, l'étude des types, de conduites que le technicien ren¬ contrera le plus souvent en pratique. Ces mêmes formules constitueront, en outre, le point de départ de notre étude des est
chambres
Il
d'équilibre.
va sans
forcées
dire que le
heurtera
spécialiste chargé à d'autres
de l'étude de conduites
plus complexes (p. ex. : cas de l'obturateur situé au milieu d'une conduite, et non à sa base, problème de la chambre élastique, etc.). Nous ne pouvons les aborder tous; mais, nous pensons que, là encore, notre se
méthode
se
encore
cas
montrera efficace.
Rappelons
aussi que nous disposons en général de plusieurs formules pour le calcul de ar Les formules explicites ne sont pas nécessairement les plus maniables.
Au
cours
du
chapitre I.C.l,
nous
avons
vérifié la
généralité
des deux théorèmes suivants: aa.
La série
Y0 Oi
réfléchies de A
vers
bb. La série a;
a
ocj
représente la
somme
de toutes les ondes
0 à l'instant i.
pour limite
1,
si i tend
vers
l'infini.
— 119 — Ce second théorème a, lui
aussi,
une
signification physique
précise. On voit immédiatement que, si nous considérons une onde unique Y0O0, qui, venant de 0, passe par A au temps i 0, la valeur Y0 3>0 a4 représente la somme de toutes les ondes secondaires engendrées par Vonde primitive Y0
l'instant i.
proposition,
Pour démontrer cette
il suffît
réflexions successives que subit l'onde Y0 O0
compter les
de
primitive
au cours
vérifie passages à travers les diverses discontinuités: on Si nous passons à la que l'on obtient bien la série Y0O0aj. limite, c'est-à-dire si nous faisons tendre i vers l'infini, la valeur de
ses
ocj tend
vers
réfléchies est dans
lequel
1, c'est-à-dire que la somme égale à l'onde primitive, quel
que soit le
système
les réflexions.
produisent
se
de toutes les cndes
Ce théorème est évidemment tout aussi
que le
général
importance n'est pas moindre. Au point de vue pratique, il permet, en outre, constant des calculs numériques.
précé¬
dent. Son
2. Calcul de la célérité dont les
Si
parois
nous
avons
ne
au
donne la déformation
remplacerons
le terme
^
.
-r
au
début du
seul terme à modifier
Nous
minces,
pas
reportons
nous
donné
sont
des tensions dans le
et
a
par
au
cas
galeries
et de
cours
élastique
du
nous
contrôle
de conduites
sous
calcul de la célérité
chapitre I.A,
un
a
pression. que
nous
voyons que le
développement
est celui
qui
de la conduite.
donc dans la formule
une
valeur nouvelle
qui dépendra exclusive-
— 120 — ment, elle aussi, de la déformation de la conduite. Nous ainsi ramenés à dont les
une
parois
étude
générale
sont pas minces
ne
sommes
de l'élasticité de conduites à
ou
l'élasticité de
galeries
creusées dans la roche.
Le
principe
de
ces
calculs
de
déformations est
un
certain nombre d'auteurs ont étudié de
cas
particulièrement intéressants
connu
façon détaillée
pour les constructeurs
et
des
d'usines.
La difficulté du
problème général n'est nullement de résoudre les équations d'élasticité, mais bien de discuter les résultats et leur application aux cas réels. On conçoit aisément à quelles difficultés on se heurte si l'on veut, par exemple, estimer avec
quelque exactitude
le module d'élasticité d'une roche à l'intérieur
d'un massif.
L'exposé différentes:
de
chapitre pouvait se concevoir pouvait reprendre en détail
ce
on
de deux manières
généraliser la théorie de l'élasticité des conduites et galeries en charge. Un pareil travail devrait aborder de difficiles problèmes de l'élas¬ ticité et de la résistance des matériaux, de la technique des constructions, et de la géologie. On pouvait aussi s'en tenir au strict exposé du calcul des célérités a, sans entrer dans le détail du calcul des tensions, toutes réserves étant faites quant à l'appli¬ cation des formules
théoriques
sortir du cadre que nous la seconde méthode.
Cas d'une conduite à
a)
aux cas
nous sommes
et
réels. Afin de
tracé,
ne
nous avons
point choisi
parois épaisses.
Le
point de départ de nos calculs nous est donné par l'étude des conduites à parois épaisses, parue dans l'ouvrage classique de Fôppl1, auquel nous nous reportons. La méthode que nous
employons l'exposé.
étant
classique,
elle
aussi,
nous
Nous faisons remarquer que les formules
1
Vorlesungen ûber technische Meckanik, Tome (traduction française par Hahn).
Berlin 1919
pouvons
qui suivent
abréger
au cours
III p. 321 et suivantes
—
121
—
l'hypothèse d'un état de solli¬ citation à deux dimensions, où l'on néglige les tensions et les déformations parallèles à l'axe. Cette simplification, qui est d'ailleurs généralement admise dans la pratique (voir aussi de
ce
page
établies dans
chapitre
sont
20),
nécessaire
est
pour éviter
des
formules
trop
peu
maniables.
Fig. 18.
Fig. 17.
Soient b et
conduite;
R
c
un
les deux rayons, intérieur et extérieur, de la rayon quelconque, tel que è
module d'élasticité et
m
l'inverse de la constante de
oT et at les tensions radiales et u l'allongement du rayon R.
A l'intérieur de la conduite
Poisson; tangentielles (voir fig. 17 et 18) et
règne
une
pression — p.
Les défor¬
mations élémentaires sont données par les relations suivantes:
Déformation
tangentielle :
*«
=
Déformation radiale:
£
=
i('«-i*)-
<96>
122
— On
en
—
tire: mB
ra2
u
R
— 1
raE
du\
,
dR
(97)
du
/
au
,
u
m5R+R
Foppl
démontre aisément que l'allongement est donné par l'équation différentielle:
R*È + RÈ-U dont la solution
générale
du rayon R
°
est:
u
B et C étant des
=
u
=
BR +
(98)
R
constantes. Introduisons
(98)
dans
(97),
on
obtient : toE a„
-.
m
ou, pour
=
Les conditions =
è,
on
B'
aux
+ 1 R2
m
B +
mE m
(97a)
C
+ 1 R2
=
c,
R
limites
et
ff(
=
B' + jj-3
R2
nous
livrent aisément B' et C.
=B'
— C T7
a:
Or
Pour R
— 1
C
—
simplifier: <7„
Pour R
B
— 1 roE
m
mE
t-,
=
=
— p
123
— On
—
tire:
en
V
B,
La déformation
U
(98), s'écrira:
P7nW~¥)[(m-VR + ^ +-1)
=
élément
L'augmentation de volume d'un longueur dx et de rayon intérieur R pression —,dt,
variation de
sera
f(W ,»E(C'-6')
271 b
et la formule de la célérité
a
Si l'on
on
cient
m.
exemple,
Dans on en
sur
le
C2J ^ *
(1°0)
dX
•
devient:
a
— [(m-l)P
(c2 — 62)
'
+
(m
le
+
l)c2]
a sera
donné par
(103)
=
plus
ce
cas
écrivant
signifie
que
béton
armé, par
module
d'élasticité
du
le
le coeffi¬
que
les
dans les
cas
où
fcîd
déformations
•-f
sont les mêmes pour les deux
Soient F' et
E" leurs modules et
l'influence d'une
que F' + les sections du fer et du béton, E' et
matériaux.
F)
toE
estimera
tangentielles àt
Z'
{M + 1}
*" +
préférence cette formule, pas homogène (béton armé)
sait
ne
E
de
donnée par:
de
emploiera
et où
=
sous
le coefficient de contraction m,
néglige
le matériel n'est
F"
b,
conduite
(101)
a
moyen
*>
=
de
(99)
=
+
On
=P^
C
donnée par
u
è2c2
„,
et
Ps=TÛ
=
Z"
fer
le
(tels
d'élasticité, tels
les résultantes et
F"
béton,
des de
que
forces
façon
=
n,
agissant que
Z' + Z"
Fig. 19. =
Z.
On
— écrira
124
—
première approximation:
en
Z" t
E'F'
E"F"
EF
d'où:
On
en
F
7J_ _
E'F'
Z"
E"F"
F n
__
'
F"
tire:
=
1 E!pZ"
Z' +
_
F
Z"F''„ _ (nF'
Z"
F
+
F")
F"
F"
„,
F
ou
E
où jx
désigne
Cette
=
+
F"> E'
^
(«.
(t
1)E'
le
pourcentage d'armatures. méthode n'est évidemment qu'une
puisqu'on suppose que àt est le même Cette hypothèse est suffisante pour le mais
+
non
approximation,
pour toute la section. calcul de la célérité a,
pas pour celui des tensions.
b) Cas d'une galerie
pression
sous
sans
Nous
dans
revêtement.
supposons
lequel
que
le
massif,
perforée la galerie, est infiniment grand. Les équa¬ tions fondamentales (97a) et (98) s'écrivent comme précédemment (voir Fig. 20). conditions
Les
livrent
mE ~B
Pour R
=
=
0;
est
limites
:
d'où
B
=
0
b: reE
C
_ ~ m
+ 1 b2
_ P'
d'où
C
=
^iSL±A E
m
nous
—
125
—
Nous obtenons alors:
u
pb-
(m + l)
1
E
m
R
=
'
L'équation exprimant la de galerie de longueur dx,
déformation
et la célérité
a
,
~ dt, devient
pression
b {m + 1
bp ~
—^=,
•
Km
bt
,
dt
=
b,
sous
:
.
.dx
s'écrit:
2
i_
Si l'on
d'un élément
et de rayon intérieur R
l'influence d'une variation de
0 2-ko
élastique
néglige
m
4-
(104)
1
le coefficient m, la célérité
a
devient:
(105)
c)
Cas des pu
en
Soient
b et
galeries
sous
pression
revêtues d'un manchon
en
béton
béton armé.
— p
la
pression régnant
à l'intérieur de la
galerie,
les rayons, intérieur et extérieur, du manchon, Ex son module d'élasticité moyen, E2 le module d'élasticité du rocher, c
mx et m2 les coefficients de contraction (fig. 21). Soit enfin pc la pression inconnue transmise du manchon au rocher, de façon
que la déformation radiale uc soit la même pour le manchon que pour le rocher. On écrit
rocher
comme
séparément,
pour le manchon et pour le (97a) et (98), qui donnent les
précédemment, les
équations
tensions et les déformations. Elles
contiendront
quatre
cons-
— tantes
pour
Bl5 Cx, B2 R b, R
outre
une
C2.
—
On calcule les conditions
aux
limites
c La o>. (béton), R (rocher) et R de déformation élastique pour R c nous donne en équation de liaison. On a donc cinq équations à cinq
=
condition
et
126
=
c
=
=
=
inconnues.
Fig. 21.
Tous calculs de
R
galerie =
b,
avec
effectués, la
déformation
revêtement,
de
soumise à
une
longueur
variation de
élastique d'un
élément
dx et de rayon intérieur
pression
-^
dt, devient :
^E^-^i-1^2-^) + (m1 +
l)e*(l— l)]°-gdt.dx
ou
2b2
P
m2 + 1
m2E2 et
Ex (cJ — b') K- 1) c2 + (?»! + 1) b2 to1E1(c'! -b')
(106)
enfin:
T
7
+
~1J (*2 - Xc2) m^c'— 6»)[K
+
+
!)(!- *) «*]
(107)
— 127 — Si l'on
néglige
a
les coefficients m1 et m2,
on a:
(108)
=
'
e
(p + c2 —
E„(cJ— ¥
2
XV)
ou
2b2
Pc X'=^
d)
Cas d'une
galerie
sous
cJ
— 52
(109)
=
Ei
pression
munie d'une cuirasse.
Nous supposons que la galerie est revêtue d'une cuirasse en tôle d'acier. L'espace compris entre la tôle et le rocher est rempli
de béton, ce
(fig. 22).
béton est
encore
Il y
aura
intact,
ou
deux
cas
à
distinguer,
selon que
fissuré.
La méthode que nous allons développer ici s'applique éga¬ lement au cas d'un manchon en béton armé, avec une armature
unique, située cuirasse.
du côté
intérieur, qui peut
être assimilée à
une
128
—
aa.
Le béton n'est pas
La cuirasse
—
fissuré.
tôle d'acier absorbe
en
pression
une
p—pb. de module E, au
pb est transmise de la cuirasse, manchon de béton, de module E^ et la pression pc, du manchon de béton, au rocher de module E2. Les conditions de défor¬ La
pression
mations
élastiques
nous
permettront
de liaison. Le calcul est
tous
en
donc d'écrire deux
équations
points semblable
au
calcul
précédent. Nous
rapport
supposons à
son
rayon
l'épaisseur b, qui est,
d
la
de
par le
tôle
fait, le
négligeable
par
rayon intérieur du
manchon de béton. On établit successivement les relations suivantes: 2è2 •
x2
=h
E^'-ft») (mt — 1) c2 + (Wi + 1) m1El (c2 — b2)
=
m2 + 1
Pb
m2E2
Z>2
V
;
P_
P±__
X
(ii0)
Ed
P
m
+
n^w-rf^-w'-w + ^ + M-w (111)
L'allongement
ub
sera:
P
**»
La déformation de
longueur dx,
~
Pb
Ed
élastique soumise
b2 "
~~
à
_ _
P
(i - *i) & m
d'un élément de une
variation de
devient :
Ed
et l'on trouve:
galerie
dt
cuirassée
pression — dt,
129
— Si
nous
trouvons
négligeons
sans
—
coefficients
les
contraction
de
difficultés que les relations
(110)
et
(111)
nous
m,
deviennent
1V!
Pc k' 2
K
bb)
=
=
-
t-
Le manchon de béton est
le
rupture,
(114)
fissuré (cas ordinaire).
il faut supposer que le béton
problème se pose comme suit: L'allongement ub du rayon b de
ub
=
P—^-.j
=
<113>
»—-
Si les efforts de traction dans le béton de
H
vrr^Tb*
h
se
la tension
fissure. Dans
ce
cas,
la cuirasse reste:
p(l — },3)^,
Le manchon de béton subit
dépassent
en
posant pb
=
X3p
.
(115)
écrasement moyen
un
Mbc)=p^.^-A qui les
petit pressions sera
et souvent
négligeable.
De
pb et pc, la relation très
Pc
=
Pb^
d'où
plus, nous simple:
x4
=
7
•
Nous calculons que: ¥
Xs
~~
Jl: Ed
c'~
+
—~h*
2cEt
+
i)6 m2E2
K
+
avons
entre
(H6)
—
130
—
et:
/
Nous
-
traiterons pas ici le cas très complexe et souvent discuté où le rocher est fissuré. La méthode de calcul est la même, ne
mais les résultats
On
n'éprouvera
célérités a, rocher.
au
numériques aucune
sont très
difficulté
à
incertains. passer
du
calcul des tensions dans la conduite
calcul ou
des
dans le
—
131
—
Chapitre D.
APPLICATION
CONDUITES
DE
LA
FORCÉES
THÉORIE
AU
DÉBOUCHANT
CALCUL D'UN
DES
BASSIN
INFINIMENT GRAND
s'agit point pour nous de reproduire ici les tableaux détaillés, parfois assez longs, de nos calculs. L'équation fonda¬ mentale (41) est une équation du 2me degré, que l'on résoudra autant de fois qu'il y aura de battements dans la conduite princi¬ pale III aboutissant à l'obturateur 0. On calculera, en général, les valeurs principales en faisant coïncider % avec la fin de la première phase; si l'on veut connaître des points intermé¬ diaires, on recommencera le calcul à partir de la première phase, en choisissant pour v^ une valeur précédant la fin de la première phase. Le calcul des valeurs
ne
rale de calcul.
développée par Allievi permet le calcul rapide d'une conduite forcée à caractéristique unique. Un regard sur l'abaque classificateur (Allievi-Gaden, Tome II, Fig. 24) relatif à la fermeture linéaire totale de l'obturateur permet, non seulement de lire immédiatement la valeur de la charge maxi¬ mum, mais encore de se rendre compte de l'allure générale de la courbe des surcharges devant l'obturateur. On procède de La méthode
même pour l'ouverture totale linéaire. L'étude du
contre-coup
132
— CO
+ .a;
cq
vf
TH
o
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^H
TH
TH
TH
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CM
CM
CM
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TH
TH
—
133
—
d'intérêt que si p* < 1, c'est-à-dire pour les hautes chutes. Ce calcul, pas plus que l'étude des mouvements d'ouverture
en
présente
de
rythmiques Allievi,
ne
effet,
l'obturateur,
effectués
sont
ne
remarque selon laquelle surcharge normale de 10 % à
fait
a
pratique.
en une
une
conduite
30%, corres¬ l'obturateur, peut, sans surcharges parfois plus élevées,
calculée pour une pondant à la fermeture linéaire totale de de
danger
rupture, supporter les
Tableau 1
Calcul des valeurs ak
«ft
=
a2 *3 a4 <*5
a6
a,
«s
a9 aio
=
vh
^h
0.01072°^! +
0.2245
=
0.2245
=
0.2245
=
0.2245
°-95ïïHï
0.2245
0.95^-0.213^-?
=
0.2245
0.95^-0.213^1
=
0.2245
0.95^-0.213^
+
0.2245
ô4ôy[0.95
=
=
=
=
formule:
+
0.04786-^ ^k
...
0.2245
=
=
la
0,95^ - 0.213—-1
0.2245 +
a,
d'après
b.
°-95oH „
nr
=
0.0946
«
1
0-6939
=
0.4336
.
^[0.95
0.675
cc-o-
°-5578
=
°-95Ôl696
0.2245
°-3703
.
—
0.213
0.7486 0.7762
0.04786^
0.7943
0.2696 + 0.04786
.
0.50235 —0.213
=
.
0.3309 + 0.04786
0.0946]
.
.
0.1635]
=
0.8160
=
Etc.
mais ou
exceptionnelles, provenant
contre-coup
de mouvements alternatifs de l'obturateur. Si le calculateur n'a pas les abaques d'AUievi
il suffit et
du
Z,*m
d'appliquer
pour le
temps
les formules de fermeture
d'ouverture
la
main, (13) et (15) qui donnent Çtl 0 choisi. En pratique, le calcul sous
0.8384
— 134 —
complet des séries enchaînées, quoique très facile à effectuer, soit analytiquement, soit graphiquement, n'est exécuté que très rarement.
Quelles nous
les
soient
divergences
fournira la théorie exacte et
d'Allievi, de
que
dont
commencer
nous venons
tout
Fig. 23.
de
Profil
les
en
l'application
long
résultats
que
donnés par les formules
rappeler l'usage,
calcul par
—
ceux
entre
nous
de
conseillons
ces
formules,
de la conduite.
afin de classer la conduite. Les données que nous avons rappelées au chapitre A suffisent amplement à ce travail. Puis, on étudiera
successivement, au moyen de notre théorie générale, le cas de la fermeture linéaire, celui de l'ouverture linéaire et du contre-coup d'ouverture. Mais, l'essentiel du travail portera, à l'encontre de ce que préconise Allievi, sur les mouvements rythmiques de l'obturateur et la répartition réelle des pressions le long de la conduite.
—
—
Mouvements linéaires de Vobturateur.
1.
a)
135
Fermeture linéaire totale.
(fig. 23).
Considérons la conduite OAG
compose d'une section en tôle d'acier OA (III), longue de 508 m. et de 2,10 m. de diamètre, qui est doublée d'une
Elle
se
deuxième section II de 1634 m., est
Des fissures
se
un
tube
béton armé de
en
produisirent
aux
250,80. Voici
points
a
3,00
les
m.
de diamètre.
et d.
12 m3/sec; Q0 principales données
Le débit maximum est la cote
tronçon AC (I), long
à III. Le
identique
=
la
retenue
du
problème:
est à
Tableau 2.
Principales
point
Pression Pression
2142
point .
142.80
»
en
m
en
%
.
.
.
de H0
Célérité
m
1000
m
500
....
régime.
D: S, V, a,
m
250
m
199.0
216.32
224.75
234.40
51.8
34.48
26.05
16.4
9.5
9.5
9.5
152.3
61.3
43.98
35.55
25.9
106.7
42.9
30.8
24.90
18.1
III.
I.
Section Vitesse de
1634
9.5
Conduite
Diamètre
d
9.5
mise
»
m
108.0
hydrostatique y„ atmosphérique ad¬
Pression absolue
b
a
à l'embou¬
chure C Cote du
A
0
Point
Distance du
données.
=
=
=
=
Dni
3,00 m. 7,06 m2 1,70 m./sec.
VIIl0
1150 m./sec.
alu
Sm
=
=
=
=
2,10 m. 3,46 m2 3,47 m/sec. 890
m/sec.
—
136
—
Caractéristiques : en
0,
p„
=
1,10
en
A,
Pl
=
1,923
Pin
Coefficients de réflexion
r,
=
rm
de transrn
— 0,2245
=11,2245
Sl
0,2245
=
3,04
sm
0
=
Périodes d'oscillations:
H,
=
2 ",84
V-m
=
l",14
Périodes relatives:
ra,
=
2.5
nm
=
1
.
aa) Calculs d'après Allievi. Calculons d'abord
à
d'après la caractéristique unique: U.
=
&
+
formule d'Allievi pour conduite
\/(fe)2
+ 1
(15a)
dans
laquelle 0 est variable et où p^ prend les valeurs 1,36 et 1,10. En effet, nous conformant à la proposition arbitraire d'Allievi (voir Allievi-Gaden, pages 10 et 11), nous avons déterminé une valeur moyenne de la caractéristique p^ pour toute la conduite. Cette valeur de pH!m pour les deux
a
été obtenue
L=
amoyen
durée
=
1,36
calculant la célérité moyenne
tronçons de la conduite, d'après l'équation: Ltotal
p#m
en
sera
ST "i
L
+
£ "'iii
=
%ta,
valable pour toutes les
dépassera la phase du coup direct; section adjacente à l'obturateur, si 0 > 1.
(H9)
•
manoeuvres
dont la
c'est-à-dire pour la
—
137
—
plus rapides, nous introduirons dans les calculs, à titre de comparaison, p^ 1.10, valeur de la caractéristique pour la conduite III au point 0. Nous verrons, au cours de cet exemple, que la proposition d'Allievi, quoique assez plausible et universellement admise dans la pratique, n'est pas heureuse, car elle nous amène à des solutions qui s'éloignent plus de la réalité que les résultats obtenus en introduisant pour p^ Pour les
manœuvres
encore
=
la valeur du bas de la conduite. Nous
B„ft
=
façon générale par:
d'une
désignons
(£ft-1)
Bft
et
=
Jï(£-l)
A, exprimées en % de H0. Il existe entre les valeurs limites B Htm et Bm la relation approxi¬ mative (voir démonstration au chapitre II B 2, formule 150):
les
surcharges
aux
Bm
points
^
0 et
—~—B#m
^
0.714
B#m
pressions le long de la conduite sont propor¬ tionnelles, non pas aux longueurs, mais aux temps de parcours. Toutefois, si nous calculons d'après la méthode tracée par Allievi, nous devons admettre une répartition linéaire des sur¬ charges le long de la conduite, et poser la relation: qui exprime
que les
B-
Nous
avons
=
ÏTTT7~B*
=
°-762
B*
(12°)
•
classé dans le tableau 3 les valeurs que
nous avons
trouvées.
Nous que t
<
avons
B^,^
reporté
atteint
[x, + [i,m
=
son
3 ",98.
ces
valeurs
sur
la
(fig. 24)
en nous
rappelant
absolu 2 p.,. =2,2, sitôt que atteint la même valeur si r <^ 2 ",84.
maximum
Bm
réalité, Bs|cmax n'est pas nécessairement toujours égal à B^, le maximum pouvant aussi se produire au cours de la lre, 2me, 3me phase. Nous renonçons à effectuer ce calcul de contrôle, En
.
que
..
nous
fournit la théorie d'Allievi.
La conclusion de cette
étude, faite d'après Allievi,
est que
— 138 —
Tableau 3.
Valeur des
surcharges limites B*m en 0, et Bm en A, pour une caractéristique unique p^ 1,36 et 1,10 en fonction du temps de fermeture variable.
conduite à
=
p*m
Pour
=
5"
x
B*m
/o
1.36
(am
10"
181.0
=
1100
15"
70.5
m./sec.)
20"
25"
30"
50"
43.0
31.0
24.0
19.5
12.5
H0B*m
m
258.50
100.50
61.40
43.25
34.30
27.85
17.85
H„Bm
m
196.20
76.40
46.70
33.55
26.00
21.15
13.60
p*
B*m
/o
=
1.10
(aIU
=
890
m./sec.)
133.5
54.3
33.8
24.3
19.0
15.7
9.1
H0B*m
m
190.70
77.50
48.3
34.70
27.15
22.40
13.00
H0Bm
m
150.00
59.00
36.80
26.40
20.70
17.10
9.90
le
projet de
conduite
de fermeture la solution
bb. Calcul
paraît parfaitement viable pour des temps plus grands que, ou égaux à, 20" à 25". Ce fut
adoptée
d'après
en
réalité.
la théorie générale.
Nous reprenons le calcul précédent Nous nous servirons des formules:
+
y/[pWfc+i +
1
+2P*[°WftÇ*/i
+
d'après
la théorie
générale.
J(i —«*)]— M?»* — i)j (41)
B.
a
B Z<#-Î72
Fig. 24. — Courbes caractéristiijues des surcharges maxima B^max. devant l'obturateur O, et Bm au point d'intersection A en fonction des temps de fermeture. Courbe 1 : Courbe 2
Courbe 3
: :
Courbe 4
:
Courbe 5
:
Courbe 6:
surcharges B*max. surcharges Bmax. surcharges B^max. surcharges Bmax. surcharges B^max. surcharges Bmax
0,762
B*max.'' (
=
0,762 B*max.^
p*
=
1,36
Calculées
d'après la théorie
o
p*
- 1,10 =
Calculées
d'Allievi.
d'après la générale.
théorie
—
(dans laquelle
aft
rm +
=
=
=
*fc-n, si*m~~$
dont la valeur
aft
—
C0, puisqu'il s'agit d'une fermeture totale), et:
c0
de l'ouverture
140
I-
*ft-2nr (~ 5isinri~$
numérique
0.2245 + 0.95
_ 0.01072
2*^-3^
h
si*inrt—$
partir
à
•
•
•
"k
(33)
est:
^ - 0.213 ^p + 0.04786.
°^ + 0.00241 ^ - 0.000541 ^ VA
Q/i
+ 0.000121
^ft
-p —
...
Comme nt 2,5, les valeurs k — «„ k — 3nv etc., ne sont pas des nombres entiers. Il faudrait calculer, non seulement les valeurs O0, 0lf
5,
tournons la
difficulté,
en
supposant qu'entre O0 et 01?
Ox
et
02,
=
relatif à: de
ces
=
20". Nous
reproduisons
tableau 4 les résultats
au
calculs.
Nous
reportons les valeurs B„.max
Bmax sur la fig. 24 et obtenons ainsi les courbes caractéristiques des surcharges maxima devant Vobturateur et au point d'intersection ». Ces courbes donnent les surcharges maxima en fonction du temps de fermeture et et
«
caractérisent la tures
façon dont
une
conduite
se
comporte
ferme¬
linéaires.
On vérifie aisément que la valeur maximum B*max. n'es* atteinte que autant t pour
(< (ij
aux
=
2"84).
Il
en
que est de même du maximum de
2p* =2,2 <
[xm
=
de
1,"14.
Bmax puisque ,
—
141
—
Tableau 4.
surcharges maxima Bs|smax en 0, et Bmax en A, pour conduite à caractéristiques multiples en jonction du temps de fermeture variable t.
Valeurs des une
-
2"
3"
1.755
2.632
2
3
1
«m *max.
5"
4.39
20"
10"
17.55
8.78
4
4
4
Ç*max.
1.671
1.616
1.4712
1.200
1.094
°*max.
1.797
1.6117
1.161
0.440
0.196
"mas.
1.550
1.232
0.7575
0.2782
0.1252
0.863
0.762
0.6525
0.6325
0.639
"mas. £>*max.
Vin < Vi- Sa valeur maximum de la relation:
Bj
=
£(Ç —1) rlo
=
sera:
<ï>*i(l — aj
sIU
=
.
2p^
=
1,706
2Phs(1 -rm)
=
en
raison
slu2P*
.
que le maximum des surcharges est atteint dès le début du mouvement de fermeture, pour A;max ^ 2 à 4, selon les cas. De plus, la loi de répartition linéaire des sur¬ Il ressort du tableau
charges
le
long
4,
de la conduite est mal P
théorique
de
^-
vérifiée, puisque la
valeur
n
^
—
est
0,714.
On
peut expliquer
fait, en remarquant qu'une augmentation de section diminue les surcharges. La fig. 25 reproduit « la loi des surcharges devant Vobturaleur dans le cas d'une fermeture linéaire du temps en fonction
ce
»
en t
=
20". L'allure de cette courbe est tout à fait caractéris-
— tique. On
&max
y reconnaît
un
premier
4. Puis la courbe tend
=
142
—
maximum
vers une
B,„max.
valeur
0,196 pour limite BsKm. Cette =
courbe est à
rapprocher des fig. 2, 3 et 4 pour conduites à carac¬ téristique unique. On reconnaîtra aisément leur similitude. C'est là un fait général que nous pouvons étayer sur un grand nombre
d'exemples.
B
en
% de H. B.
20
max
-19.6<.
y
% s
—
y y s
LEl.. 50
s
10
y
fy fi r=='-
B
—= L.
/
-17.0
/
«m
^
--!
\
y
y'
\
'
1 f>-.j y s s
S
y S
1s
S
y Tem|js relatif
)
i0
-1Hk-
Fig. 25.
-
is
— Loi de surcharges
devant l'obturateur en fonction du Fermeture totale en t 20 sec.
temps.
=
Le
premier
maximum
B^max n'existera pas toujours (de même que dans le cas d'Allievi), par contre, Bm toujours. Dans ce cas, le calcul de Bm, qui devient indispensable, peut être long, faut calculer successivement Bx, B2, puisqu'il Bm, ainsi ...
que al5 a2,
point
.
*m-l' Nous nous sommes
méthode
demandés s'il n'existait
approchée pour déterminer B!|cm. Il en existe une, en effet; cependant cette méthode, que nous avons élaborée en nous appuyant sur des considérations de calculateur, déplaira aux mathématiciens. Elle se justifie cependant par les résultats numériques très exacts qu'elle donne, et par le fait qu'elle sera, en plus d'un cas, indispensable au calculateur. une
k
—
143
—
L'exposé que nous allons faire de cette méthode ne prétend point à la rigueur mathématique, et nous sommes conscients de ce qu'il contient d'intuition. Notre attention a été attirée par le fait que, pour une fermeture linéaire de Vobturateur, la fonction <É>j est assimilable à une droite (voir fig. 25). Cette constatation tout à fait générale nous permet de calculer a priori, avec une approxi¬ mation suffisante, une valeur a.i quelconque, pourvu que i soit assez grand et la fermeture assez lente. (Si la fermeture est rapide, ou i petit, at se laisse calculer directement, sans diffi¬ culté.) Appuyons notre affirmation d'un exemple précis, et comparons les valeurs
priori
ou
pour le
cas t
=
20".
Tableau 5.
Comparaison entre les
valeurs de ak calculées exactement
et celles
calculées
Différence
k
a
(tableau 1)
priori.
aft
k
Différence
exact
approché
8
0.7943
0.8008
+ 0.0065
9
0.8160
0.8239
+ 0.0079
0.0126
10
0.8384
0.8425
+
0.0041
0.0227
12
0.8690
0.8690
±
0.00
+ 0.0056
14
0.8885
0.8880
—
0.0005
0.0056
16
0.8975
0.9028
+ 0.0053
exact
approché
1
0.2245
0.2245
2
0.2245
0.2245
3
0.3703
0.3829
+
4
0.5578
0.5805
+
5
0.6939
0.6995
6
0.7486
0.7430
7
0.7762
0.7741
— —
0.0021
Le calcul de
approchée n'exige
d'ailleurs
développe la série ocj. Nous pouvons calculer par différence, en supposant O linéaire. Dans ce cas, nous aurons d'une façon générale (fig. 26): point
que l'on
A^-p
=
A _ A_m»tP.
=
A_ A p_
a{
— et
nous
pourrons écrire
144
—
l'équation (33)
<ï>
a,
=
—<ï>
1—Vu __
r\ 2ni
Si la fonction ce
calcul
o
©.
— x.x
pour
la nouvelle forme:
sous
nous
le supposons
a
w
,»
»•»
J/
w
y
/
/ Tambs relatifs i_L_u l_ 13
Fig. 26.
Hypothèse N° ('!> linéaire).
2
Nous n'effectuerons
Dans
ce
cas,
nous
ce
calcul
approché
que si i est
assez
grand.
écrirons:
1
Cette formule
Fig. 27. — «Courbe caractéristique normale de réaction » ou « Courbe de réaction de la conduite ».
n, -.
i
-
=
(1
1
l
(121)
approchée
donne a4 en fonction des oscillations dans la conduite I. On peut aussi exprimer
oscillations dans la conduite III,
en se
rappelant
que: i
=
knlu
;
d'où:
knT,
En de
(121a)
reportant graphiquement en fonction de k, les valeurs ocft, calculées a priori pour 0*ft croissant linéairement, nous
—
145
—
caractéristique normale de réaction, ou, en abrégé, courbe de réaction (fig. 27). Cette courbe ne dépend que des éléments géométriques de la conduite. Alors qu'Allievi définissait une conduite par la seule caractéristique p*, nous y joindrons dorénavant la courbe de réaction. Il est évident que l'on peut aussi calculer point par point une courbe de réaction exacte, qui dépendra alors des conditions obtenons la courbe
de fermeture. La concordance des deux séries de valeurs aft du tableau b
est excellente pour les valeurs de k
obtenu
concordance du même ordre
une
Nous pourrons
en
indispensable
à 5. Nous
supérieures
particulier calculer exprimer B^.
a
dans
priori
avons
d'autres
cas.
la valeur a.m_Y,
pour Partons de la formule:
(39)
afc(C*fe — l) + (C*ft+i — lj
=
2p„[akii]ftÇ<,h — 7]ft+1Ç#fe+1+(l— og]
"Q*h, pour k tendant vers {m — 1), — ce mais que nous supposons par analogie avec la théorie d'Allievi, sans pouvoir le démontrer de façon rigoureuse — nous aurons: S'il existe
et
en
une
limite de
dans
remplaçant
(39)
(m — 1), c'est-à-dire
k par
par am_j, 7)ft par rïm_i et vjft+1 par v)m
aft
:
(122)
(am—1 + l)(Ç*m
1)
=
2ph, [Q*m ('V—1 am—1
'""Im) +
*
am—1J A
Faisons y\m
puisque
0
(fermeture complète). Alors :
la courbe de fermeture est
Nous tirons de
Um
=
p*S
+
représentée
(122) :
r\m_l
par
=
— ,
droite, (122a)
une
V/(PjSd)2+(a-i+1)ta-i+1 + 2p*(1--
-
am-l)]
«„-! + 1 10
— équation qui s'identifie,
Um En
Ç*m—
=
^ +V
1,
à
:
(|s)2 +
i
(15«)
nous
=
=
1,1
pour ocm
—
prendrons pour m le plus grand nombre contenu dans 0m. Vérifions notre formule pour z 20", 17,55; m 17; a16 0,9028; nous obtenons:
entier
@ni
pratique,
=
146
=
0,9028/17,55
.
+
=
\/(ÎX 0,9028/17,55)2
+ 1,9028
(1,9028
+ 2,2
.
0,0972)
1,9028 =
1.083
d'où
B«,m Le calcul exact
Ç*17 La
=
nous
1,086; B#17
différence
=
0.174
.
avait donné:
=
0,179; B17
=
entre les deux valeurs
0,1105;
^-
=
0,6175
.
de
£,*m n'est que de 3 %0. En fait, on ne peut parler d'erreur, puisque les dernières valeurs de B*fe oscillent entre 0,171 et 0,179, c'est-à-dire, autour de B*m
=
0,174.
Il faut donc reconnaître que notre formule approchée (122a) donne des résultats très satisfaisants, malgré la façon intuitive de
sa
En
détermination.
reportant graphiquement les valeurs BsKm
fermeture, surcharges limites
temps
de
obtiendra
la courbe
en
fonction des
caractéristique des devant l'obturateur», courbe qui joue un rôle analogue à celle des surcharges maxima, avec laquelle elle se confondra en plus d'un cas (Fig. 24). En résumé, pour juger de quelle façon une conduite réagit aux fermetures totales, nous procéderons de la manière suivante : L'abaque classificateur d'Allievi nous orientera d'une façon générale sur les propriétés de la conduite et, en particulier, sur la position probable de la surcharge maximum. Si celle-ci se présente au début du mouvement de fermeture, on trouvera on
«
147
— difficulté la valeur
sans
exacte
—
de
Ç*max,
Bmax choisies, e^
au
moyen
du calcul direct pour diverses valeurs de t, si possible, aux environs de la valeur envisagée pour l'exécution. On tracera
ainsi,
sans
la
difficulté,
courbe
caractéristique des surcharges l'obturateur qu'au point de discontinuité. «
maxima », tant devant Le problème est alors entièrement résolu.
Si
l'abaque d'Allievi laisse prévoir que les valeurs Ç*max et Ç#m sont pratiquement identiques, on aura avantage à traiter le problème au moyen de la formule approchée (122a) et à tracer la « courbe de réaction et la courbe caractéristique des surcharges limites devant l'obturateur qui est sensée se couvrir avec la courbe des maxima. Il sera toujours utile de vérifier au moins l'un des points de cette courbe par un calcul direct, si possible, aux environs de la valeur qui sera définitivement adoptée. On vérifiera par ce même calcul les valeurs correspon¬ dantes de Bmax et de Bm. Si ©m est assez grand, la formule approchée (149), que nous développerons au chapitre IIB2, »
«
»
t
donne pour Bm des résultats acceptables. En pratique, le diamètre des conduites forcées diminue de l'aval. Si tel est le cas, résultats suivants: l'amont
a)
vers
Les
indiquées b)
surcharges
on
peut
s'attendre
aux
réelles sont sensiblement inférieures à celles
par Allievi.
les valeurs
Bmax
plus petites
seront
sauf pour les valeurs très
que—-^— B.,.max,
petites de 0IU Ces deux conclusions s'expliquent facilement: la discontinuité renvoie des ondes négatives vers l'obturateur, et l'ensemble de la pression dans la conduite diminue. Nous avons donc là une indication précise, selon laquelle la vitesse de fermeture de l'obturateur peut être augmentée par rapport aux valeurs admises en appliquant l'ancienne méthode.
b)
Ouverture linéaire
totale,
.
et
contre-coup d'ouverture.
Un mouvement d'ouverture
conduite forcée
en
raison, soit
peut être dangereux pour une du contre-coup d'ouverture, soit
—
148
—
des
pressions absolues « négatives », c'est-à-dire, — celles-ci étant impossibles — en provoquant la rupture de la colonne liquide et l'évaporation de l'eau dans le vide produit. Nous ne sommes que très mal renseignés sur les conséquences possibles d'une pareille rupture et sur ses répercussions. Cependant, les phénomènes
de cavitation relevés dans les turbines doivent
nous
inciter à la
prudence, et les techniciens feront bien d'éliminer projets tout danger de rupture de la colonne liquide.
de leurs
L'étude des conditions d'ouverture
de deux
points
restreint donc à l'examen
se
bien définis.
aa) D'après Allievi. Allievi
a
montré
que si p*
<
négatif
sans
et
qu'il n'y
1. Dans notre
Etudions la
possibilité de contre-coup positif, 1,1; le contre-coup reste cas, p* a
=
danger. question
de la
rupture de la colonne liquide. Considérons le point A. D'après la fig. 23, la pression absolue y0 est de 61,30m. Pour éviter la rupture, il faudra que la surcharge négative reste supérieure à — 61,30m. Ecrivons
y
=
l'équation fondamentale (2) appliquée Vo +
FA(t)
+
fA(t)
=
2/0 +
au
point
A:
F(t) — F(t - [xr)
Il est évident que le moment
critique sera l'arrivée en A de la première onde réfléchie en C et qui marque la fin de la première phase de la conduite I et, par le fait, le minimum de la pression en A, l'ouverture étant rapide. Il faut qu'à ce moment la colonne d'eau t
=
[i,; d'où:
ne
F(o)
soit pas
=
0,
yi-yo
encore
rompue. Nous ferons donc:
et:
=
F(h)-
=
Y„(Ç-l)
Pour que F
({*,) =Yo(Ç-1)^-61,30
m.
.
149
— au
point A,
surcharge :
il faut que la même F
((*,)
=
—
H0 (£„ — 1)
^
— 61,30
m.
soit auparavant produite en 0, à l'instant t après le début du mouvement de l'obtuiateur.
[x:
=
se
maintenant
qui
ce
sur
se
passe
0.
en
2"84,
Raisonnons les
Reprenons
=
équations
générales :
C*i
qu'Allievi
+
dans t*
=
*
=
Ç*2—-2
=
transforme
Ui +
2p* (?]0Ç*o — \^*\)
Ç*i — 1
en :
Wi
1
£*2
2
=
2c
2p*
[-^
Ç*i
'*
+1
=
t
v
^> *2
(-1
lesquelles 0 < t% < 1. Dans notre cas, ——— 0,714; a. 4- ixriT étant la durée
(10)
Sp*^*! — \Z*i)
nous
faisons:
de l'oscillation
ym
dans OAC.
L'équation - ?P*
devient
:
— 0.429
=
f*
— 2
y
.
61.30
Ç.l 1,1
=
-
ÏÛM
i/l
.
=
~ 0'429
— 0.429
et
nous
en
tirons:
0
=
2,76;
d'où:
-
=
((i, + h„)
©
=3",98
x
2,76
=
11",03
Il faut donc que l'ouverture se fasse en t^ 11",03, pour qu'il n'y ait point rupture de la colonne liquide en A. Nous
— avons
refait
conduite
plus
bb.
I,
calcul pour
ce
entre
150
un
—
point
quelconque,
a
situé
sur
la
A et C, et vérifié que le point A est bien le
menacé.
D'après
la théorie
générale.
Nous allons contrôler
résultats d'après Ja théorie générale. Il nous faut, à cet effet, changer de méthode et effectuer des calculs directs, en calculant point par point la courbe des surcharges devant l'obturateur 0 et au point A. Le calcul est analogue à celui que nous avons donné en exemple au tableau 1. Nous n'en
Après
ces
reproduirons
avoir
donc pas les détails.
calculé, successivement
point par point, des d'ouverture s'effectuant en: 3", 4", 6", 8", nous avons constaté que, si r 6", la surcharge en A est: — 142,80 X 0,419 — 59,9 m., soit, presque égale à la HoBj surcharge de rupture —61,30 m. C'est dire que, si l'ouverture se fait en r ^ 6", il n'y a pas de rupture de la colonne liquide et
mouvements
=
..
.
=
=
=
A.
en
Vérifions, point tel
pour une ouverture en t 6", les pressions en un a, situé sur la conduite I, à ~ 1000 m. de l'embouchure C,
que
nn
=
"
=
— (J-in
=
1,5. Nous utilisons,
Baft
=
à cet
effet, les relations:
Ss-Hft_„a
(62)
et:
Sft où toutes les valeurs
Le calcul direct des
~Ch — 1 qu'il
=
(Cft - 1)
sont
suffit de relever dans
Sft
et
reproduit sur la figure 28. Bk — X?h — 1. La courbe 2
graphique.
En la
(63)
exprimées en pourcentage surcharges en A nous a donné les
d'effectuer le calcul de
tion
3/Mli
+
nos
de
H0.
valeurs
tableaux. Il est commode
Baft graphiquement,
et
nous
l'avons
La courbe 1 est
déplaçant
représente les valeurs celle des ^ft obtenue par addi¬ de
«
,
nous
obtenons la courbe 3
— des
Hft_n
.
Ba
est
151
—
à la différence des ordonnées des courbes
égal
2 et 3. On lit aisément que: B„„,„=— 0,342.
Or, d'après 43,98
de le
142,80
point A;
le tableau
2, Ba
— 0,308. Le
ne
devrait pas descendre au-dessous
point
est donc
a
plus
menacé que
mais la différence est peu sensible.
Btt Si
Fig. 28.
— Calcul graphique
de C. Ouverture totale 1. Courbe des valeurs
2. Courbe des valeurs 3. Courbe des valeurs
en
6
des
sec.
surcharges na
=
Bft; Çft — 1 (Z,h — 1) Sft Eft_n
1,5;
en un
»,
=
point 2,5;
a, situé à 1000 m
nlu
=
1.
=
=
f
2ft_nI;
.
Nous pouvons donc affirmer que si le temps d'ouverture est compris entre 6" et 7", la colonne d'eau se rompra entre A et C sur
la conduite I. Si
:
2ë
6",
la
rupture 0 et A,
se
fait
en
A,
et si
III. sur la conduite 6", la rupture s'effectue entre Ces conclusions sont quelque peu différentes de celles trouvées par application des formules d'Allievi. On vérifie également par le calcul direct que le contre-coup d'ouverture en A est positif (contrairement à ce que dit Allievi) ; %
<
—
152
—
mais que sa valeur absolue est très faible Bmax — + 0,005). Il n'en reste pas moins calculer exactement la valeur du pu, <
1,
c'est-à-dire
lorsqu'on
±0,0 et (B^m^ qu'on fera bien de contre-coup chaque fois que =
à étudier des conduites à haute
a
pression. Nous pouvons conclure
conduite est, dans
brusque
que
ne
son
ensemble,
le laissaient
faut que l'ouverture
se
dans notre
que,
fasse
moins sensible à
prévoir les
en
particulier,
cas
une
la
ouverture
formules d'Allievi.
moins de 6" à 7"
(au
11
lieu de 11"
d'après Allievi)
pour qu'il y ait rupture de la colonne d'eau. La théorie d'Allievi indiquait que la rupture de la colonne
liquide
pouvait
ne
avoir lieu
contre, la théorie générale s'effectuer
sur
la conduite
qu'en A,
montre
ou
que la
O et A. Par
entre
rupture peut
I, c'est-à-dire sur l'élément
aussi
de conduite
qui a, en réalité, le plus souffert. Cependant, une ouverture brusque ne peut avoir lieu que si le régulateur de la turbine lui-même est avarié. Ceci nous conduit à rechercher une cause plus générale de l'accident. Nous la trouverons dans des manœuvres alternatives ryth¬ de l'obturateur, mouvement qu'Allievi avait déjà miques étudié, sans cependant épuiser le sujet. «
»
2. Manœuvres alternatives
a) Généralités Allievi
a
l'obturateur
sur
rythmiques
les mouvements
recherché si certaines ne
pouvaient
de Vobturateur.
rythmiques. manœuvres
pas être
non
linéaires de
plus dangereuses,
conduite,
que les mouvements linéaires. Son sollicitée par les phénomènes de résonance,
pour
une
attention
fut
auxquels
systèmes élastiques Il
A)
a
sensibles1.
donc étudié successivement:
Les
succédant
1
sont
tous les
manœuvres au
de fermeture et d'ouverture
rythme 2jjl.
Il
désigne
Voir Allievi-Gaden; tome I, page 100.
les
partielles se phénomènes hydro-
153
—
dynamiques qui
en
—
la conséquence par: résonances pro¬
sont
voquées par manœuvres alternatives rythmiques. B) Les manœuvres de fermeture ou d'ouverture progressives exécutées par saccades rythmiques. Allievi appelle les phéno¬
qui découlent de ce genre de manœuvres: résonances provoquées par fermeture ou ouverture saccadées rythmiques. Occupons-nous des seules manœuvres alternatives rythmiques. mènes
classe
AlHevi
abaquex
conclut
et
relative limite
dépasser la charge limite des
étude
son
devant l'obturateur
valeur
limite
absolue
en
cas
son
étude
montrant
en
la
que
seul
un
en
charge
peut, en aucun cas, Z2 2,00, c'est-à-dire que la ne dépassera pas 2H0. Il ressort ne
==
0
que la limite Z2 très rares (très hautes
abaque
de cet
de
résultats
les
tous
==
que dans
2 n'est atteinte
chutes),
et
que dans les cas et souvent même
2, Z2 < Ç2* max- Allievi, d'ailleurs, estimait qu'une conduite capable de résister à la surcharge de fermeture linéaire (qui est de 10 à 30% de H0), sans que les tensions admissibles ne soient dépassées, ne pourrait en aucun cas se rompre sous l'effet d'une charge égale à 2 H0, c'est-à-dire d'une surcharge de 100% 2) de H0. En effet, le rapport de la charge exceptionnelle (Z2 limite Z2
pratiques, la
inférieure à
sera
=
à la
à
2 7T
normale
charge =
1,82. Or,
tous les cas, a
(^max
1,1
=
supérieur
à
2,
et Allievi de
depuis quelques années,
coefficient
de
sécurité
pour
on
la
a
de
—
calculs des
charges exceptionnelles."
et à
d'Allievi
une
conclure:
tendance
1,54
=
est,
«...
dans il
n'y
éclater». Le fait à
diminuer le
charge normale, devrait nous précision plus grande dans les
prudence
proposition
sera
qui puissent
inciter à la
La
1,3)
le coefficient habituel de sécurité
que des conduites défectueuses
que,
à
pourrait
se
soutenir pour le
cas
d'une
rectiligne, ainsi que d'une pareille nous le verrons en étudiant les surcharges le long conduite. Dans le cas général, par contre, l'opinion d'Allievi se révélera inexacte, et nous pensons que c'est à l'application trop confiante de ses conclusions que l'on doit attribuer la majorité conduite de section constante et de tracé
1
Allievi-Gaden; flg.
53 du tome II.
154
— des
accidents, parfois
—
très graves,
survenus
à
des conduites
forcées. Nous allons rectifier nant
d'abord
l'opinion émise abaque classificateur
Allievi,
par
en
exami¬
relatif à des conduites de section constante. Voici comment Allievi pose les équations de son abaque: Il
"^0
fait, =
son
dans les
f\i
=
^4
•
équations •
=
•
!•
de
%
son
=
système fondamental (10),
%
f}5
=
=
\2k-l)
=
Les mouvements alternatifs
rythmiques pouvant être amorcés à partir d'une position de'l'obturateur 1 quelconque, l'état tj0 devient dans ce cas un état quelconque, compris entre l'ouver¬ ture et la fermeture complètes. A ce degré d'ouverture de l'orifice d'écoulement fj0 1 ne correspond donc plus une vitesse C0 du régime normal Q0, mais une vitesse initiale c0 ^ C0. =
=
ac
En définissant p* une
valeur définie
"
=
en
Il
la
à la valeur
désigne
une
valeur
complète.
tions
cas
aurons
la
variable, dépendant
de
0, Allievi fait de nouvelles hypothèses:
0, dans le cas d'une fermeture, la durée de partir de l'état initial 7)0 1 jusqu'à fermeture =
de
l'ouverture,
0
désigne
donc
en
nous
basant
sur
le temps nécessaire ces
nouvelles défini¬
(voir figure 29)
suivant que ou
dimensions
d'avoir de
pour doubler la section de l'orifice.
Nous
cesse
par
manœuvre à
Dans le
caractéristique
fonction des seules
conduite, mais elle devient la position de l'obturateur. Quant
la
,
nous
avons
affaire à
une
manœuvre
d'ouverture
de fermeture.
On voit
donc, par ces quelques remarques, qu'AUievi complètement abandonné les anciennes définitions utilisées établies pour les mouvements de fermeture. Ceci lui
a
a
et
permis
155
—
—
simplifier ses calculs, mais ôte leur valeur aux comparaisons 1 ne correspond plus à l'ouverture qu'il fait, puisque yj0 complète et que p* n'est plus une de
=
caractéristique
constante
la
de
conduite.
se
Ouverture
Les définitions de p* et 0 couvrant plus dans le
ne
cas
d'une fermeture linéaire et d'une
alternative
manœuvre
que,
nous
ne
pensons
rythmi¬ pas
que 53
l'abaque comparatif (fig. d'Allievi) puisse être de quelque utilité. En pratique, il induira
Fig.
29.
Diagramme d'ouverture et de fermeture linéaires.
même à des conclusions erronées.
Etudions
maintenant
un
cas
qu'Allievi
a
traité
en
partant de ses nouvelles définitions et pour lequel il a cependant trouvé une solution exacte pour les valeurs limites des surcharges. Il s'agit des manœuvres d'ouverture et de 0 et fermeture alternées, débutant par l'état initial ï)0 =
c0
=
0.
difficulté aucune que, dans le cas d'une ma¬ ouver¬ nœuvre alternative rythmique s'amorçant à partir d'une ture initiale nulle, les pressions oscillent entre les deux valeurs 2. La proposition est vraie, quelles que 0 et Z2 limites Z2 soient la conduite et sa caractéristique p*, pourvu que la section On montre
sans
=
=
soit
constante.
Le fait
qu'Allievi
soit arrivé
aux
mêmes conclusions que
page 105), est aisé à expliquer. Allievi a d'abord démontré (voir Allievi, page rapport des deux valeurs limites
nous
(voir Allievi,
102)
que le
t\i
indépendant de la caractéristique de la conduite p*. 0, Ensuite, pour le cas qui nous concerne, il a dû poser y^ 0, puisque son ce qui revient à admettre dans notre cas y]0
c'est-à-dire
=
=
mouvement
alternatif débute par
une manœuvre
de fermeturei
156
— tandis
nous
que
alternatif
donc
hypothèses
plutôt qu'elles
coïncider
la fermeture
avec
Nous voyons
nouvelles
faisons
ne
coïncident de
plus
mouvement
les
spécial, les nôtres,
cas
ce
nouveau avec
ou
contradiction.
en
d'Allievi,
du
de l'obturateur.
autre que, dans
sans
sont
l'origine
complète
Nous allons démontrer cette
propres méthodes
—
proposition,
que
nous
en
employant
supposons
les La
connues.
démonstration n'est d'ailleurs point essentielle, mais bien la conclusion que Nous
nous
en
tirons.
la page Gaden. Nous
reportons
nous
à
d'Allievi, traduction paragraphe 17, les définitions nouveau
avec
Çft se
confond
nos
+
) \
=
I,
de
l'ouvrage dans
que,
ce
des valeurs 0 et p* coïncident de
L'équation (10):
2?* (ï)ftÇft — %+iÇft+i)
(10)
les équations (55), page 77 du volume cité.
avec
Ç
—2
tome
constatons
propres définitions.
C+i
Nous écrivons
i
76,
(10)
+
sous
la forme suivante:
Ki+ïhP*)8
=
(Si — t)iP*)2 + (Ç2 + W*)2
=
(Ç2 — ^P*)2 + (Ç3
=
+
^sP*)2
V2*+2 V* + o
\P%
On voit aisément que les équations données £;__( et Çj, un système de
+
\P%
+2
\P%
+ 2
(1^")
(123) représentent,
en coor¬
cercles yx\ y2; y3; y4
...
dont les centres et les rayons sont donnés par le tableau suivant
Cercles
Coordonnées des Centres
Carré du
7i
0
et
—Tjjp*
72
""hP*
et
— tjsjP*
(fil
7s
•"kP*
et
— ïj3p#
(\
Rayon
\P%
+ 2
+
\)?2*
+ 2
+
\)?l
+2
:
— Ces
équations
=
^2
=
'"k
—
applicables à un cas d'ouverture quelconque. dans les équations (123) les valeurs:
sont
Introduisons
r-o
157
=
= •
•
•
0 ;
et
:
^i
=
%
=
*]5
=
On obtient:
c:
+
(c1+^),
=
^ M
2
+ 2
(124) ^*
qui
définissent les cercles suivants:
Carré du
Coordonnées des Centres
Cercles
Il
+2
Rayon
7i
°
«
-*
72
S
et
»
â
+ 2
7s
»
«
-5
â
+ 2
74
£
*
o
â
+ 2
n'y
a
donc que deux
C2(?* et 0)et que,
de rayon R
pour des
cercles, =
manœuvres
1
/c
/
—2
P-* +
de
centres
+ 2 Allievi .
alternatives
2
C1(0et
(=)
montre
(page 101)
rythmiques,
les
et
deux
— 158 — cercles y2 et y2 se coupent en un Z1 et Z2, liées par la relation:
point
Z2 + Z*-2 sont les
limites
=
K dont les coordonnées
0,
(125)
lesquelles tendent les valeurs Ç#i pair impair. D'après la figure 30, on voit immédiatement que K se trouve l'axe sur point pair et que: vers
Z2
=
0
,
Z2
et
et
le
2
=
c'est-à-dire que les valeurs:
Ç2, C3, Kl,
ont comme
limite 0
,
et les valeurs:
C2, £*, Cs,
*
ont comme
Axe impair
De(|
limite + 2
.
de K
Fig. 30.
Cette démonstration est absolument générale et indépendante de p# et de @. Si le mouvement alternatif commence ouverture à
par
partir
de
vjo
=
0 et c0
=
une
0, les limites des pressions
maxima sont les mêmes pour toutes les conduites.
—
159 159
—
L'équation : Z2 + Z2-2 montre que le lieu des
de rayon OK d'une
=
|/2.
ouverture
l'abscisse
Z2
y)
K est
0
un
(125) cercle de centre 0 et
On voit par là que, si le mouvement part mais encore petite, non nulle (yjo ^ 0),
point
du
points
=
K
ne
sera
que peu différente de
J/2,
c'est-à-dire que la limite des valeurs Ç*, 'C, Ç2, sans , atteindre 2, ne sera que que peu inférieure à 2. De pareils mouve¬ ments sont donc presque aussi dangereux que que le mouvement ..
partant
exactement de y]
Cette démonstration
=
0.
complète
donc le travail
prouve que des mouvements alternés ont comme limite 2. Les conduites forcées
.
d'Allievi,
rythmiques partant
et
de 0
général, ni rectilignes, ni de section constante. Souvent, elles présentent des coudes saillants prononcés, qui sont des points très sensibles. Il convient donc de généraliser le problème et d'étudier la répartition des surcharges le long d'une conduite non rectiligne, à caractéris¬ tiques multiples, dans le cas de manœuvres alternatives ryth¬ miques de l'obturateur. sont,
ne
en
La conduite que que nous étudions nous fournit un excellent exemple. Considérons des manœuvres alternatives rythmiques
l'obturateur, c'est-à-dire une ouverture partielle à partir de 0 jusqu'à Yjc, suivie d'une fermeture partielle de t\c à 0; y]o ce mouvement se répétant un certain nombre de fois, au même rythme. Le rythme choisi, pour la durée d'une manœuvre de de
=
sens
devrait être être
constant,
3,5,
de
façon
ni + nm avec elle.
Appelons Appel ons
mique
le
rapport de
totale.
De
n'était
point
==
y]
=
0,
ne
pas pas
entrer
exactement
sa
durée à la
que nous avons montré nécessaire que que le mouvement
nous
=
dangereux,
0.857
placer
nous
dans
un
cas
plus haut, qu'il se
fit à
allons choisir
légèrement différent
ryth¬
de la conduite
période
même
^-=
résonance
en
cadence d'un mouvement alternatif
pour devenir
de cadence
à
celu celui i de la conduite, c'est-à-dire
de
partir
un
rythme
1, ceci afin
qu'on pourrait croire
de
de
excep-
—
160
—
tionnel. Nous supposons, par ailleurs, que que le régulateur de la turbine turbine fonction fonctionne ne normalement, c'est-à-dire à un une e vitesse telle que que l'ouverture totale
s'effectuerait
en
:
=
25".
Nous
avons
alors :
t
=
25"; 0m
Nous
=
calculons
J-
=
point
£4
=
21,95
et
ie
=
^
=
0.1368
.
point, en faisant successivement k les valeurs de B%k et Bft, en appliquant notre 1, 2, 3 méthode générale. Nous ne reproduisons pas ici ces calculs, et par
=
...,
Surcharges en % de H0
Fig. 31. de
C. —
— Calcul graphique
des surcharges en un point a, situé à 1000 Manœuvres alternatives rythmiques de cadence 3 : 3,5.
Donnés: p* 1,1 ; /]„ 1. Courbe des valeurs Bft =
=
2. Courbe des valeurs Eh 3. Courbe des valeurs 4. Courbe des valeurs
0; nt 2,5; na (cal. analytique); =
=
£fc-na; Bah =
=
(îfft — 1) Z/;
—
+
Zs-n
1,5.
îft-n:;
m.
161
— extrayons simplement les
en
des
graphique
charges
Bft indispensables au point a quelconque, situé
valeurs
un
entre A et C. Nous
conduite
I,
(où
remplaçons
nous
en
—
utilisons les 2 relations
les indices i par les indices tr
r2
—
i
calcul
la
sur
connues:
k):
_i_ v
(63)
et: r>
__
—
^
(62)
calcul pour un point a situé à 1000 m. à l'aval de l'embouchure C. La courbe 1 n'est autre qi e le
La
figure
31
reproduit
ce
déplaçant
de na la courbe
analytiquement. En 2 représentant la fonction Eft, nous
obtenons
Sft_n (courbe 3).
La différence entre les ordonnées de
relevé
ces
des valeurs
graphique
deux courbes
nous
Bft,
donne
calculées
Baft (C0Urbe 4).
Nous
avons
répété
calcul pour les points b et d, situés à 500 m. et à 250 m. de C. Il n'est d'ailleurs point nécessaire de pousser les calculs
ce
battement, les valeurs des surcharges négatives atteignent des valeurs excessives,
très loin. Dès le troisième tant
positives
que
ainsi que le prouve le tableau suivant:
Tableau 6.
Surcharges relatives
Distance de C
.
.
2142
m.
1634
1er
maximum
2me minimum
.
.
.
.
.
.
2me maximum.
.
3me minimum
Ce tableau
.
.
b
a
m.
1000
2,5
3,5 1er minimum
pourcents de H0.
A
0
Point
en
— 0,203 — 0,137
Les
m.
250
0,245
0,10
m.
0,375
0,75
1,5
— 0,100 — 0,06
— 0,04 + 0,05
+ 0,311
+ 0,246
— 0,420
— 0,3498 —
— 0,22
— 0,150
0,6725
+ 0,34
+ 0,230
+
0,803
+
+
0,320 + 0,530
— 0,5985 — 0,5315 — 0,635
exige quelques
+
— 0,450 —
0,240
commentaires:
surcharges positives et négatives linéairement le long de la conduite. a)
500
m.
d
ne
diminuent
point H
— b) Les surcharges premiers battements,
en
0
tout
162
—
croissent très en
rapidement
restant inférieures
dès les
aux
valeurs
limites :
Z2 — 1
=
— 1
Z2 — 1
et
=
+ 1
c) Les surcharges croissent plus rapidement
A,
encore aux
points
a, b et d.
d) Nous battement, ment
.
avons
dû
interrompre
les calculs dès le troisième
les valeurs
négatives calculées dépassant déjà large¬ les valeurs limites du tableau 2, à savoir:
Aux Aux En
Fig. 32.
points %
•—
de
0
H,
...
.
—106,7
A
—42,9
Répartition des surcharges le long
de la
a
d
—30,8
—18,1
conduite,
pour des
alternatives rythmiques de cadence 3: 3,5. Les surcharges sont exprimées en pourcents de H0. manœuvres
163
—
—
C'est dire que la colonne d'eau s'est certainement rompue ; la suite du calcul serait fictive.
reporté les valeurs du tableau 6 dans la figure 32, choisissant pour abcisses, non pas les longueurs, mais les
Nous en
avons
temps relatifs
de parcours.
Afin de mieux faire ressortir le
danger des surcharges, tant sur reproduisons au tableau 7, et sur
positives que négatives, nous la figure 33, les charges totales exprimées en pourcents de la pression statique locale yXo. On remarquera qu'il y a rupture de la colonne
liquide,
sitôt que que la
dessous de la valeur
charge
totale s'abaisse
au-
.
»«*
Tableau 7.
Charges
relatives
0
Point
minimum 1er maximum 2me minimum
.
.
.
2me maximum
3me minimum
.
.
.
.
.
.
.
pourcents de y.
A
51,80
142,8 1er
en
+ 1,311 + 0,58
+ 0,623 + 1,679 + 0,036
+ 1,803
+ 2,853
+ 0,797
+
0,402 — 0,466
a
b
d
34,48
22,43
16,4
0,618 + 1,636
+ 0,652 + 1,435
+ 0,586 + 2,014
—
0,324
+ 3,193
+
—
0,447
+ 3,162
—
0,306
+ 3,00
— 1,629 — 1,860 — 1,09
Courbe limite
9,5
— 0,0665 — 0,1835 — 0,276 — 0,424
— 0,58
tableau, la rupture de la conduite 1 paraît inévi¬ table : on l'expliquera, soit par la rupture de la colonne liquide, soit par des surcharges positives excessives. Il n'est point sans intérêt de vérifier quelle aurait été la répartition des surcharges le long d'une conduite de section A étudier
ce
constante. Nous
à
donc refait les calculs pour
caractéristique unique
mons
à
avons
p*
=
1,1, puis
p*
dans les deux tableaux suivants: le
une manœuvre
alternative
synchrone,
=
une
1,36,
premier
conduite
et les résu¬ se
rapporte
cadence e c'est-à-dire de cadenc
164
— 3,5
à
3,5, le
identique
second
à celle du
à
une
— de cadence 3 à
manœuvre
3,5,
calcul général.
Tableau 8.
Surcharges en pourcents de H0, synchrone de cadence 3,5
une
pour à
3,5;
0
p*
alternative
manœuvre
1,1
=
1,36.
et
A
a
Point
P*=il
1er
min.
1er
max.
2me min.
2me
max.
3me min.
p»
=
P.
1.36
=
l.l
P»
=
1.36
P*
=
l.l
P»
=
1.36
— 0,294 — 0,344 — 0,215 — 0,260 — 0,125 — 0,155 + 0,588
—
0,760
+ 0,931
—
0,980
+ 0,690
+
0,425
— 0,856 — 0,550 + 0,650
+ 1,000
—
Charges
0,515
+
0,750
+
— 0,700 — 0,760
0,999
+ 0,250 0,340 + 0,380 — 0,420
— 0,690 —
+ 0,320 0,420 + 0,455
—
— 0,455
en
% dey,. _^,
390
j« +200
maximum
—-"TîT1 max*^*»^
«100
i»-r
0
A
minimum
d
b
a
c Axe xond
\
-100
2'memininîumr de] /\ VI, | rupture deJ Nv 3 minimum,' Limite
j
-
la colonne liquide
^<
/
-200
Fig. 33.
— Répartition des charges le long pourcents de la pression statique locale yx0Courbe limite, / colonne liquide ( ordonnée
llllllllllllll
en
de la
conduite, exprimées
dessous de laquelle il y
9 5" '—
yx0
a
en
rupture de la
—
165
—
Tableau 9.
Surcharges
pourcents de H0, pour une cadence relative 3 à 3,5; p# en
manœuvre
1,1
=
et
alternative de
1,36.
A
0
a
Point
P»
1er
min.
1er
max.
=
P,
l.l
=
1.36
P.
=
1.1
P,
=
1.36
p»
=
|
l.l
P»
=
1.36
— 0,259 —
— 0,221
— 0,275 — 0,135
— 0,188
+ 0,445
+ 0,442
0,545 + 0,270 — 0,658 — 0,320
+ 0,365
— 0,540
+ 0,720
+ 0,540
0,320 + 0,500
2me min.
— 0,600 — 0,703 — 0,490
2me
max.
+ 0,631
3me min.
— 0,677
0,715 + 0,635 — 0,787 — 0,625 +
+
+
— 0,825 —
0,420 0,370
—
0,560
Pour mieux comparer ces divers résultats, nous avons reporté graphiquement, sur la figure 34, les valeurs des « 2mes maxima 8 et 9. Cette compa¬ raison est très instructive: Les courbes 1 et 2 se rapportent aux et 3mes minima », extraits des tableaux
6,
1,36, caractéristique unique p* pour les manœuvres alternatives rythmiques de cadence 3,5 à 3,5 et 3 à 3,5; les courbes 3, à la manœuvre de cadence 3 à 3,5 dans surcharges
dans la conduite à
discontinuité. On voit que les courbes trouvent à l'intérieur d'une enveloppe « 4 », représentée
la conduite
1 et 2
se
=
réelle,
avec une
cette propriété par les droites CD et CD'. Il est très probable que doit subsister si l'on calculait les maxima et minima successifs
pour des mouvements de cadence quelconque. Par contre, les courbes 3 sortent nettement de cette
Le
point
est bien
a, un
points de rupture de point particulièrement sensible. Nous
qui
est l'un des
le déceler que par méthode
générale.
un
calcul direct
Nous
ne
assez
long,
voyons pas d'autre
en
enveloppe. la conduite, n'avons pu utilisant la
méthode, plus
brève, pour arriver à ce résultat. Donc: dans une conduite à caractéristiques multiples, les surcharges maxima et minima sortent hors de la courbe enveloppe des surcharges, calculée pour à caractéristique unique. Elles peuvent se révéler une conduite dangereuses. Il est, par le fait, indispensable d'étudier systéma-
—
166
—
tiquement la répartition des charges appliquant la théorie générale.
le
long
de la
conduite,
en
Fig. 34. — Comparaison des surcharges pour les deuxièmes maxima et troisièmes minima pour les cas suivants: 1. Conduite de section
constante, cadence 3,5 à 3,5; section constante, cadence 3 à 3,5; p*
p*
=
1,36;
2. Conduite de 1,36; 3. Conduite à caractéristiques multiples, cadence 3 à 3,5; 4. Enveloppe approximative des surcharges dans une conduite de tion constante, pour des manœuvres alternatives. =
sec¬
—
167
—
précis qui nous occupe, le profil en long de la conduite est tel que le point a, dont les maxima exprimés en % de H0 sont déjà élevés, deviennent excessifs, si on les calcule en % de la pression statique locale yXo (tableau 7). Nous arrêtons ici les calculs numériques de cet exemple, non sans indiquer qu'il y aurait lieu de reprendre cette question et d'effectuer des recherches systématiques sur des exemples convenablement choisis et assez nombreux. Peut-être, pourraiton mettre en évidence quelques propriétés générales concernant la répartition des pressions le long des conduites à caractéris¬ tiques multiples. Une pareille étude, complément indiqué de nos propres recherches, sort du cadre de notre travail actuel. Dès maintenant, nous pouvons résumer cette étude, en énonçant les propositions suivantes: Dans le
a)
cas
Une
alternative
manœuvre
effectuée à
partir
de e0
long d'une conduite importantes dont la
=
0,
rythmique
à la cadence 1
:
de
l'obturateur,
1,
provoque, le
des
surpressions courbe enveloppe est donnée approxima¬ tivement par deux droites d'ordonnée -f 1,2 et —1,2 au point 0, et passant par le point C (fig. 34). b)
Les
à
caractéristique unique,
croissent
surcharges
rapidement
dès
les
premiers
battements.
c) Sans atteindre en chaque point les valeurs limites men¬ tionnées plus haut, les surcharges restent encore presque aussi élevées, lorsque la cadence du mouvement de l'obturateur est différente de 1 à 1, ou lorsque la manœuvre se fait à partir de 7)0 et c0
petits,
mais différents de 0.
caractéristiques multiples, le phéno¬ mène de résonance est analogue. e) Cependant, la loi de répartition des surcharges le long de la conduite n'est plus la même, les valeurs dépassant sensible¬ ment les courbes limites définies plus haut. d)
Si la conduite est à
/) Certains points sensibles. Il que par
un
de la conduite semblent
pas été calcul direct.
ne nous a
possible
particulièrement
de les déceler autrement
168
—
3. Conclusion du
La à
première partie
de
linéaires
l'ouverture
chapitre
D.
chapitre, relative à l'obturateur, nous
ce
de
la fermeture et a
montré
que
l'analogie entre la méthode d'Allievi et la méthode générale, déjà mise en relief, au cours de la partie théorique, par la forme des équations fondamentales, se retrouve dans les applications
numériques. Les conduites à caractéristiques multiples usuelles sont cependant moins sensibles aux coups de bélier d'ouverture et de fermeture qu'une conduite à caractéristique unique. On peut donc envisager, de ce chef, une réduction des temps de manœuvre
de l'obturateur couramment admis.
L'importance que les manœuvres alternatives rythmiques peuvent prendre, est un fait nouveau. L'exemple numérique que nous avons
toujours
pas
les et
traité le met bien en
présence
désavantages ceux
pellera,
d'un
inhérents de
plus,
aux
que
de
profil
ces
variant de 1 à
manœuvres
de fermeture
ce
les
à coude saillant
seront surtout
due
aux manœuvres
on aura
déterminent
se
rap¬
apparents
linéaire que les conduites à haute 1), l'écart entre la charge normale et la charge
alternatives,
cas, la thèse soutenue par Allievi
manœuvres
prononcé
pression. Pour les conduites à basse 10), relativement plus sensibles aux
sera
avantage à réduire les temps l'obturateur. En effet, les surcharges
cas,
de
long
désavantages
pression (p*
En
en
conduites à section variable. On
pour des conduites à haute
pression (p* < exceptionnelle,
relief.
Certes, on ne se trouvera conduites offrant, simultanément, en
sera
moindre.
exacte. Dans certains
de
manœuvre
normale
limites calculées pour alternatives restent les mêmes. Ce sont elles qui
l'épaisseur des conduites et l'on n'a aucune raison de réduire par trop les surcharges normales, pour autant qu'elles restent inférieures aux surcharges limites. Ces quelques directives pourront être utiles aux spécialistes de l'élaboration d'un projet de conduite forcée. Mais ils chargés ne négligeront point les avis du constructeur des turbines et ceux
de
l'ingénieur-électricien, qui
peuvent mieux se rendre compte de la probabilité des manœuvres alternatives mention-
— nées.
Peut-être
169
proposeront-ils
—
des
dispositifs
de sécurité effi¬
sinon, l'hydraulicien se verra, en certains cas, obligé d'intercaler, sur une conduite, une chambre d'équilibre, à seule fin d'amortir des coups de bélier, qui ne se produiront que
caces;
rarement.
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DEUXIÈME PARTIE
CALCUL DU COUP DE BÉLIER DANS DES CONDUITES
D'ÉQUILIBRE
DE CHAMBRES
MUNIES
Chapitre
A.
REMARQUES ET RÈGLES GÉNÉRALES
POUR LE
CALCUL DU COUP DE BÉLIER d'un coup de bélier est fonction du temps de fermeture relatif et, par le fait, de la longueur de la conduite
L'amplitude
hydrauliciens ont imaginé d'intercaler, conduite jugée trop longue, un bassin d'amortissement, appelé «chambre d'équilibre». On conçoit Les
forcée.
sur
une
aisément que ce bassin, s'il est assez grand, réfléchira vers l'obtu¬ rateur les ondes
ascendantes, pro¬
tégeant
ainsi la section de la
duite
trouvant à l'amont.
se
con¬
que si le bassin d'amortissement est très Le
problème
grand,
car
admettre
point
simple
pourrons alors la pression au
nous
que
— Chambre d'équilibre prismatique à section restreinte
Fig. 35.
où la conduite débouche dans le bassin est
niveau comme
De
n'est
de
l'eau
dans
la
chambre
pouvant
constante, le
être
considéré
invariable.
ce
ment de
fait, la réflexion
signe.
des ondes
en
A
sera
totale
En d'autres termes, les ondes
ne
avec
change¬
monteront que
— 172 —
jusqu'à ment,
la chambre
vers
d'équilibre, où elles seront réfléchies entière¬ l'obturateur, sans pénétrer dans la galerie en charge.
Cette dernière
sera
donc
En
parfaitement protégée.
réalité, aucune chambre n'est assimilable à' un bassin infiniment grand, et toute manœuvre de l'obturateur provoque, en plus du de une coup bélier, oscillation de masse » dans la chambre d'équilibre, soit, un mouvement d'ensemble de la masse «
—r
*.-L, ^5H
-+-li .1
Fig. 36.
Ln
=.
42,70
A
1^1-"
I _
— Chambre d'équilibre m; Pl
=
pn
=
7,13;
:
^
avec
=
P2
col d'entrée
8; ^
=
0".064 sec;
1
d'eau contenue dans la chambre. Pour diminuer l'amplitude de ces mouvements et, par le fait, le volume même de la on
en
chambre, diverses,
vint à construire des chambres de formes très
s'écartant de plus en plus de la conception primitive d'un bassin d'amortissement de grande section. Tels sont les courants de chambres
d'équilibre
types
modernes :x
a) Chambre d'équilibre prismatique
à
section restreinte
(%• 35). 1
Citons: Calame et Gaden: Théorie des chambres
d'équilibre.
Paris 1926.
173
— b) Chambre d'équilibre,
avec
c) Chambre d'équilibre, («g- 37).
d'équilibre,
Chambre
d)
— col d'entrée (fig.
partie
avec
avec
36).
inférieure
tubulaire
étranglement (fig. 38).
que, dans de pareilles chambres, la seconde celle de la réflexion totale des ondes à l'entrée du
Il est évident
hypothèse,
Fig. 36a.
Ln
=
— Chambre d'équilibre 42,70m,>Pl
=
à section \ariable
7(13;^ i;g {; =
=
g u..
bassin, vers
est à
son
=
tour
0,064";
en
u,
défaut
=
:
— u
; n,
=
3.
le coup de bélier
se
transmettra
l'amont.
Coup
de bélier et oscillation de
masse
sont de natures diffé¬
premier est un phénomène élastique, la seconde une oscillation pendulaire du niveau d'eau autour d'une position d'équilibre. On n'en a pas moins prétendu que le niveau d'eau oscillant donnait à chaque instant la pression réelle au point d'intersection A de la chambre sur la conduite, et que le calcul des oscillations de masse, mis au point il y a des années déjà, constituait tout le problème de la chambre d'équilibre.
rentes. Le
174
—
—
D
52-
Y.-L,
A'
4f_4A--*--4Fig. 37.
— Chambre d'équilibre, en
L;I
=
42,70
k
=
h\
?n
m; pj =
=
avec
p„
0",064;
=
£
ru
L.-Y S
Fig. 38.
-
0
—
partie inférieure tubulaire
cul-de-sac
7,13; ?! =
-i;n2 °
=
=
p2
n3
=
=
p3; 7
.
42.70
Chambre
L„
=
d'équilibre avec étranglement 42,70 m. Y0 =
—
175
—
opinion est erronée : nous allons aborder le coup de bélier, dans la chambre d'équilibre et dans la galerie en charge, sous son aspect propre de phénomène élastique, et rattacher le calcul des chambres d'équilibre à la théorie générale des conduites forcées, développée au cours de la première partie de notre travail. Les rapports entre les deux phénomènes, de Nous
verrons
que cette
coup de bélier et d'oscillation de masse, découleront, difficulté aucune, de l'analyse que nous en ferons.
sans
1. Méthode générale pour le calcul du coup de bélier dans les conduites avec chambres d'équilibre.
figures 5 et 6 du chapitre I, B, sur la base desquelles nous avons développé la théorie générale du coup de bélier dans les conduites à caractéristiques multiples. La seule Considérons les
hypothèse
faite est celle de la stabilité du niveau de l'eau
à l'extrémité de la conduite II. Sous réserve de cette
en
D
hypothèse, qui équivaut à la suppression des oscillations de masse, hypothèse que nous maintenons provisoirement, le calcul développé dans la première partie s'applique intégralement à l'ensemble: galerie en charge — chambre d'équilibre — conduite forcée, considéré comme composé de trois conduites concourantes en A, la chambre d'équilibre étant supposée prismatique (fig. 35). Tout ce que nous avons dit sur la propagation des ondes le long de la conduite, leurs réflexions successives, sur le calcul des charges Qk en 0 et Ç* en A, sur le développement de la fonction
.
—
176
—
De
prime abord, il semble que les calculs doivent être intermi¬ nables, les équations étant fonctions du battement, en général très
court, de la chambre elle-même. Quelques remarques
simples faciliteront La mise
les calculs.
point d'une
au
méthode de calcul
suffire. La tâche d'une chambre
nous
complexes.
Sans
rythmiques,
dangereuses,
d'équilibre
ne
saurait
est des
plus
de l'oscillation de masse, une chambre amortir encore les surcharges positives des
d'ouverture de l'obturateur O.
manœuvres
rigoureuse
parler
d'équilibre doit ou négatives provenant et
très
que
nous
manœuvres
Souvent, savons
de
fermeture
elle fera face à des
être
particulièrement
à la fermeture
rapide de vannes de secours. On ne saurait exiger du calculateur qu'il abordât tous ces problêmes par la seule méthode exacte. Supposons également qu'il faille projeter une chambre d'équilibre et choisir, entre divers ou encore
types, la meilleure solution. La marche cherches
d'un
ne
projet
à suivre dans
ces
re¬
pas la même que pour la vérification finale mis au point. Dans le premier cas, on cherchera à sera
caractériser
rapidement et séparément la conduite et les divers types de chambres d'équilibre, afin de se rendre compte des solutions possibles, de leurs avantages respectifs, et d'éliminer les solutions défectueuses. Dans le second cas, on considérera l'ensemble « conduite forcée — chambre d'équilibre — galerie sous
pression
ment. Le
»
comme
un
tout, qu'on examinera systématique¬
choix de la méthode
dépendra des problèmes à résoudre et de l'exactitude requise. De toute façon, il nous paraît indis¬ pensable de rechercher des méthodes de calcul approchées. Avant d'élaborer notre théorie dans le détail, rappelons un certain nombre de remarques faites au cours de la première partie : a) Il
indifférent
que les
coefficients de réflexion r, et de trans¬ mission s, soient dus à une variation de section, ou à une bifur¬ cation de la conduite. Par le fait, le calcul numérique d'une est
conduite de la
avec
chambre
d'équilibre au cours de la première phase identique à celui d'une conduite à section
galerie sera variable, dont nous avons donné un exemple au chapitre I, D, exemple qui nous servira de point de repère dans la suite.
•
—
177
— que, lors de la
fermeture ou les de Vouverture linéaire d'une conduite à caractéristique unique, surcharges tendaient vers une limite bien déterminée, qu'on peut
b) Allievi
connaître
a
sans
démontré
rigueur
passer par le calcul
Fig. 39. pour le N° 1:
cas
point
par
point.
— Représentation graphique des deux
hypothèses Hypothèse
avec
de calcul faites sur la fonction
est
rectiligne
entre les instants de
rythme
entier
k et k + 1.
Hypothèse
N° 2:
est
une
droite
passant
par
l'origine
0.
physique subsiste indiscutablement pour une conduite à caractéristiques multiples. Nous l'avons vérifiée dans donné un grand nombre de cas. L'exemple numérique détaillé, cette loi. Les au chapitre I, D, est une excellente illustration de La même
loi
calculs de chambres
c)
Nous
(41), qui
possible,
avons
la confirmeront.
formule fondamentale fonction de ÏL%k et
montré que le calcul de la
pression K*k+\ en qu'on connaît oih, quelle que
donne la dès
d'équilibre
soit la méthode de calcul 12
— donnant xk. En
d'équilibre
par
les valeurs
Ç*ft+1
particulier,
178
si
— remplaçons
nous
autre, caractérisée par la
une
restent
une
chambre
même série
cck,
inchangées,
d)
Tous les calculs exacts, effectués par nous, ont mis en relief la régularité de l'accroissement de la fonction Oft* au cours d'une manœuvre de fermeture linéaire (voir chapitre I, D, fig. 25). Nous ferons à
plusieurs reprises usage de cette propriété et émettrons, selon les cas, deux hypothèses de calcul », d'exactitude et de portée différentes, mais qui, employées à bon escient, apportent des simplifications remarquables à la marche des calculs. «
Nous dirons faire
appel à Vhypothèse 1, lorsque nous admet¬ trons, à titre de simplification des calculs, que la fonction
cherchons pas à construire une théorie marge de la théorie générale, mais uniquement à
nous
ne
approchée en introduire, dans le cadre de la théorie rigoureusement exacte, certaines simplifications de calcul, dont l'exactitude reste en tout cas
justifiée,
contrôlable. Cette méthode de calcul si
l'exactitude
les
calculs
contrôle prouvent
préliminaire d'une d'équilibre.
A l'heure
actuelle,
conduite
sur
Or, l'amplitude du coup d'une fermeture normale, est
masse.
cours
la base de cette
et
qu'elle
atteint
choix d'une chambre
le choix d'une chambre
dicté que par le seul désir de réduire de
entièrement
requise.
Etude
a)
de
sera
amplitude,
au
d'équilibre
n'est
minimum les oscillations
de bélier à tout aussi
dont
on
peut
l'obturateur, au importante. C'est se
fixer
a
priori
179
—
—
%), que nous effectuerons un premier tri entre solutions possibles et solutions à rejeter. \ Recherchons avec quelles chambres d'équilibre la surcharge une
en
supérieure (entre
limite
10 et 30
O reste admissible. Caractérisons d'abord la conduite. Nous
B, m«'» %
tI.
de
1
190
\ L
v
100
s
\ ««. /
i
X-
18
'
H
V
»»" o.ait
SO X»
H
/
\\
)«
—v
VB
\
n
0 387
1 «»
•
f\^
•
l»^ «-01
F
0.6
*
<ÎL"J£L
U-
-< sr=n
^
=1
*" - —
=
— îoo
Fig. 40. ---
de la
— Comparaison
Conduite A: p* Conduite B: p*
avons
vu,
au
valeur limite
A
.»" 0.07 S
=
=
«
0,725; \>UI 3,680; um
sensibilité =
=
2,895 0,623
»
T^"
Temps absolu
«n
'-»-
t
sec
de deux conduites A et B.
sec
sec
pour
ccm
— 1; 0,9 et 0,8.
chapitre I, D, sur un exemple numérique, que la £*„,, qui ne diffère en général que peu de Ç*max,
est donnée par la formule: /
P* am-l
'*m
+
*
/
V
2
2
P* am-l
«!„
+
(am-l 1
^
4) [am-l
+ 1 +
2P* (1 — am^)]
m-1
(122a)
180
— Nous pouvons faire varier
par la
déterminé
0m
à volonté.
la
de
forme
— à am_l7 il
Quant
chambre
d'équilibre,
sera
encore
inconnue.
Nous donnerons à am_4 les valeurs constantes 1 ; 0,98 ; 0,95 ; 0,90; 0,80; ..., choisies a priori et dessinerons des familles de courbes
définissent la
qui
idée de
«
sensibilité
»
de la conduite et donnent
pourront être les « courbes caractéristiques que nous calculerons plus tard. Nous avons reporté sur la figure 40, en fonction du temps de fermeture t, les valeurs B*,,, Ç*m — 1 qui représentent deux familles de courbes, pour les conduites « A et B »1, caracté¬ une
ce
que
»
=
«
»
risées par: A:
p*
B:
p*
0,725 3,68
=
=
Ces courbes ont
une
[xUI
=
jxm
=
2",895 (haute pression). 0",623 (basse pression).
asymptote horizontale
pour
©m
infini.
En effet:
Vi^m-l
„
_
1)[amT+~1
+
+
2M"1
~
gm-l)T
_ (f-)
=
"m-l
oo)
+
et
- r-
r
— \
-
ia-i_+
x)
K-l+ 1
—
2p*.1t valeur
constante, indépendante
Ces deux familles
peut être la
«
de courbes
sensibilité
»
de
a.„
1
+_2p*J1_— «m-i>]_ _
,
.,
""
(126)
xrn-1
0in,
donc de
montrent
t.
combien différente
de diverses conduites. Alors que la
conduite A s'accommodera aisément de la
majeure partie
des
solutions concevables, la conduite B n'admettra que des chambres d'équilibre réagissant bien et promptement. Elle sera parti¬ culièrement sensible Nous pouvons 1
Tous
nos
brusques. également caractériser a priori, aux
fermetures
exemples numériques
les temps de fermeture ont été l'allure générale des courbes.
et
indépen-
rapportent à des cas réels. Par contre, choisis arbitrairement, afin de montrer se
—
181
—
conduite, certains types de chambres d'équilibre, D traçant leur «courbe de réaction,)), définie au chapitre I,
damment de la en
étant la courbe at calculée
comme
en
supposant
que la fonction
<^^h qu'on peut
croisse linéairement. De nombreux calculs confirment l'hypothèse 2 du calcul de
appliquer
en
première approximation
la série at pour le cas de fermeture linéaire. Les
faites
erreurs
compensent
se
partie
en
dans "a série même, et
les
résultats
obtenus
très
proches
restent
des valeurs réelles de courbe
Cette«
a;.
réaction» montre
de
donc,
première approxi¬
en
mation,
comment
réagit
à la
2. Chambre
fermeture
grand
est
0",049; ;Jn 3. Chambre un
p„
meilleur
sera
=
;jn
»
rapprochera de cette
droite,
pn
=
p„
=
pIU ;
=
le
n„
=
prismatique
2,38; VlI
0",278
=
pin ;
11,56;
Pl
=
=
pt
pm
=
3,41;
0",278;
prismatique
p!
=
pn
=
pm ;
;
6. Chambre
=
p:
0",064;
5. Chambre
=
se
=
prismatique
4. Chambre
ca¬
courbe de réaction
=
=
ractérisé par l'horizon¬ 1. Plus la tale oc; «
grand; prismatique pt
1. Bassin infiniment
linéaire. Un bassin in¬ finiment
de réaction:
une
d'équilibre
chambre
— Courbes
Fig. 41.
JOSec
25
20
15
1.0
05
avec
=
8,08;
col ^
d'entrée, =
8 ;
ux
pt =
=
pm
0",006;
7.
fonctionnement de la chambre de
«
figure 41 représente un certain nombre réaction », reportées en fonction du temps ab¬
d'équilibre.
courbes de
La
formes de solu, qui caractérisent très heureusement diverses chambres d'équilibre. Les courbes (2), (3) et (5) sont dressées, des périodes \in toutes trois, pour px pIin mais pour pn mais différentes. Les courbes (4) et (5) ont même période \in, La la chambre caractérisée par (4) est de section plus grande. =
courbe
(6) représente
une
=
chambre
avec
col d'entrée.
et 41), le possession de ces deux diagrammes (fig. 40 calculateur peut faire un premier tri, éliminer les solutions choix sur celle des formes a priori incompatibles et porter son
En
—
182
—
de chambre d'équilibre
qui donnera, pour une valeur t déter¬ minée, une surcharge limite B^ admissible. On voit, par exemple, que si une chambré du type (6) (fig. 41) est parfaitement adaptée à une conduite telle que B, une chambre du type (5) ne lui conviendrait nullement. Le choix de l'hydraulicien sera évidem¬ ment influencé par d'autres considérations, telles que l'amplitude des oscillations de masse, le prix de construction, la constitution géologique à l'emplacement de la chambre, etc., etc. Une fois le type de la chambre admis, on vérifiera par une série de calculs systématiques, s'il satisfait aux diverses exigences du problème. Cette méthode, qui dissocie les propriétés des deux éléments, conduite forcée et chambre d'équilibre, présente quelques diffi¬ cultés
d'application, si la conduite elle-même est à caractéris¬ tiques multiples. On procédera, selon le cas, de l'une des deux manières suivantes: soit
Ot
la discontinuité de la conduite la
plus proche
de 0. Nous pouvons considérer que 0 Ox la conduite et Oj A D la chambre d'équilibre. On
remplacer la conduite réelle caractéristiques p'm, telle que I, D,
b)
1
représente peut aussi
0 A par une conduite fictive de nous l'avons calculée au chapitre
a.
Etude
systématique d'une
conduite
avec
chambre
d'équilibre.
Les diverses considérations
I, D,
sur
à suivre.
chambre
développées au cours du chapitre le calcul des conduites forcées, nous tracent la marche Nous étudierons chaque ensemble conduite forcée d'équilibre — galerie en charge successivement : «
— •
»
pour
une
pour
une
pour des
fermeture linéaire; ouverture
linéaire;
manœuvres
alternatives de l'obturateur.
Très souvent, le
envisagé
sous
problème de la fermeture linéaire devra être plusieurs aspects différents: la fermeture normale
de l'obturateur situé
dentelle
brusque
de
au
ce
bas de la
conduite,
même obturateur
la fermeture acci¬
et, enfin, la fermeture
brusque
des organes de secours situés au haut de la conduite forcée. Pour l'ouverture linéaire, ce seront également les manoe-
vres
brusques qui
Les recherches
nous
intéresseront.
porteront
tant
sur
les
charges
au
point
d'inter-
—
183
—
section A que devant l'obturateur 0. Afin de
ne
pas accumuler les
difficultés, nous supposerons ici que la conduite III soit à carac¬ téristique unique. Tous nos calculs s'effectueront au moyen de l'équation de récurrence fondamentale:
^*fe+i
=
+
\/?*%+l
et
en
avons
(41)
— P*^fe+i 2p*
+ 1 +
développant
[a^Ç.ft
les formules
indiquées, soit,
(33), (56), (60), (79),
surcharge pourcents de Y0,
selon le type de la chambre. La
donnée,
d'intersection est
en
q-1 et,
en
H0,
de
pourcents Bl
Nous remarquons que dans la conduite
III,
qui,
et 200
qui
en
m.).
général, Par le
devrait être
(90), point
par:
(18)
^(^-l).
(18a)
est fonction du battement
alors que la valeur a; est fonction
II,
que
très courte
fait, c'est le
de calculer la formule
=
l'équation (41)
sera
pris
au
nous
par:
battements dans la conduite et
relative
ou
0,(1-^)
=
0#i(l-o1)
=
séries que
moyen de l'une des
au
oq
J (1 - «,)] - aft(C - 1)
+
nous
supposons
battement nu
=
plus petite
entre 10
(pratiquement
1,
des
très
m.
court,
unité de temps, et il y aurait lieu intermédiaires: pour toutes les valeurs
comme
(41)
afin d'obtenir 2, ... i -\- nIU — 1, i -f- nUI nécessaires au calcul de xt. les valeurs Ot, Oi+1, C'est ici qu'interviendront, suivant les cas, des simplifications intéressantes. Nous savons d'une part que les erreurs commises dans le calcul de la fonction 04 se compensent partiellement dans le calcul de a,-. La fonction a.t n'est point, d'ailleurs, une fonc¬ tion à tangente discontinue pour i — 1, i, i -\- 1, comme Ç*ft l'est pour k — 1, k, k + 1. D'autre part, l'expérience acquise forcées (au chapitre I.D) nous a par le calcul des conduites orienté sur l'allure générale de la courbe Oj. Après de nombreux
i,
i +
1,
i +
...,
...
calculs de chambres
règles pratiques
d'équilibre,
nous
pouvons donc énoncer les
suivantes:
Nous admettrons, pour les ainsi que pour les
cas
manœuvres
de fermeture et
d'ouverture,
rythmiques synchrones,
que la
— fonction
Ot
184
—
est linéaire entre deux
points k et k -\- nUI. (hypothèse 1). Tous nos calculs numériques nous ont montré que cette hypothèse est légitime, pour autant que nm est plus grand que nu. Un calcul effectué en utilisant la formule (41), mais en supposant la fonction $>%k rectiligne entre &*k et O*,^, sera réputé un calcul exact. On intercalera éventuellement 1,2,3, points intermédiaires entre k et k + 1, pour le calcul des manœuvres alternatives rythmiques asynchrones. Une façon élégante de systématiser les calculs est d'intercaler entre 0 et A un point A', tel qu'il y ait un rapport entier entre OA et OA' et la cadence du mouvement rythmique. Le battement dans le secteur OA' est alors choisi comme unité des temps. Ainsi, pour une cadence de 2 à 3, on choisira A' au tiers inférieur de la conduite, de sorte que les points k, k + 1, coïncident, d'une part avec la fin des mouve¬ ...
ments
rythmiques,
duite OA. Au
d'autre
point A',
part
su
=
avec
sUI
=
les battements de la 1 et ru
=
rm
=
0;
con¬
il est
donc aisé de calculer oc4 en ce point. Le même artifice est d'ailleurs applicable à tout calcul de contrôle plus précis, que l'on serait appelé à sans
faire,
qu'il
y ait besoin de passer par le calcul de tous les points, i,i-\-l... Les calculs généraux, au moyen desquels on cherche à évaluer
les
qualités de la chambre, en fonction du temps de fermeture, supposé variable, (courbes caractéristiques des surcharges limites en 0 et en A), ainsi que l'étude des fermetures lentes, donneront des résultats suffisamment exacts si l'on admet que O^j est une droite, c'est-à-dire, si l'on a recours à l'hypothèse 2. On sera,
cependant, plus prudent
dans les calculs où nul
est
petit,
voire inférieur à nn, que si nlu est grand. Nous rappelons que la valeur de la charge relative limite de Ç*m est donnée par l'équation (122a) déjà citée, dans
laquelle am_j n'est plus choisi, comme sous II. A.la), mais calculé a priori, en développant a, pour , linéaire. Dans le cas simple, où xi est donné par la série (33) et où m est grand, nous calculons ocm_4
au
moyen de:
relation déjà
développée
au
chapitre I.D.
—
185
—
approché de Bm, nous renvoyons chapitres II.B. à II.D.
Pour le calcul
de détail des
Examinons le
cas
où l'on
ne
se
aux
indications
trouve pas dans la
première
phase de la conduite I. Le calcul point par point s'effectue comme précédemment, mais en développant at pour ce nouveau cas. Par exemple, si la chambre est prismatique, en utilisant les séries (56) ou (60) au lieu de (33). Pour estimer BHtm de façon approchée,
passer par le calcul suit: Le maximum
sans
point, nous procéderons comme n1, de la première peut se produire soit à l'arrivée, au temps i m. Dans le premier onde réfléchie en C, soit au temps 0IH avec une approximation suffisante cas, nous faisons de nouveau,
point
par
=
=
^*rîj
=
Ç>*i + 1
^
*»*{
dans:
ai(Ç*i— i)
+
£*t+i—i
=
2?*Wri&*i— ï)i+iÇ*t+i
+
7^(i—*.)] (39)
mais
sans
Un,
annuler vji+1. On obtient alors:
(128)
=
P*(^nrlanrl^^nI) + l//p*(Y)nrla,1rl--^riI)2+ (a„ri + l)[ani_1 + l+2ps|!(l— a„rl)] 1 + °Vl
d'après (122a), dans laquelle on aura développé am__4, non plus d'après la série (33) mais d'après (60). On choisira la plus grande des deux valeurs, comme étant la plus dangereuse. Nous n'avons point trouvé de méthode générale permettant de calculer Bm dans le cas où l'on n'est plus dans la première fin de la phase de I. On peut cependant calculer Bni, à la On comparera cette valeur à
Ç*m
calculé
première phase, en utilisant les formules que nous donnerons au cours des chapitres suivants. Les règles pratiques énoncées, limitées aux cas cités, sont certes plausibles. Mais nous ne les donnons que pour ce qu'elles des sont: des règles d'application d'une théorie, et non point
— principes théoriques. dans les
cas
Elles
ordinaires et
186
ne
nous
—
failliront
certainement
l'occasion, au cours des des exemples numériques.
aurons
chapitres suivants, de les illustrer par On gardera cependant en mémoire sous quelles les
point
réserves
nous
introduites.
avons
2. Problème du coup de bélier dans les chambres à niveau d'eau oscillant.
Il
convient
d'aborder ici le
niveau d'eau dans la chambre
maintenant, de
masse
si le
problème
d'équilibre.
des
oscillations
Nous avons,
du
jusqu'à
tenu strictement
séparés le calcul des oscillations de bélier, calculant le second comme
et celui du coup
premier n'existait
Cependant,
pas.
les oscillations de
masse
entraînent des oscillations du niveau de l'eau dans la chambre
d'équilibre, et, par le fait, des variations Il est indispensable de rechercher quelle ces
variations et le coup
Nous
ne
pression
au
point
A.
corrélation existe entre
de bélier.
qu'on ait,
croyons pas
de
à
ce
jour, résolu
la
question
du passage des formules du coup de bélier à celles des oscilla¬ tions de masse. On s'est contenté d'introduire la pression prove¬ nant
de l'oscillation
usuelles,
bélier,
et
point principe : au
comme
condition
d'établir A1.
de masse, calculée
d'après
les méthodes
limites d'un calcul du coup de équation de liaison entre les vitesses
une
aux
Nous faisons à cette méthode deux
objections
Le calcul du coup de bélier suppose que l'eau est élastique. Le calcul des oscillations de masse se fait en
la colonne d'eau tanée: toute
de
rigide
équation
et
corps
supposant la transmission des pressions instan¬
de liaison entre des vitesses calculées
façons essentiellement différentes,
L'oscillation de
un
de
est
sujette
à
caution.
phénomène consécutif au coup de bélier, mais secondaire et indépendant, qui peut être supprimé. Nous allons montrer, par l'étude de cas particuliers, que l'oscilmasse
Voir Wasserkraft und Ueber Druckstôsse in 1
est
un
Wassenvirtschaft, 1932, Rohrleitungen.
nos 5
et 6. O, Schnyder:
— lation de
bélier, ainsi qu'on
du coup de
Supposons en
fermeture
une
limites du
problème
croyait. de
instantanée
Ç2*i — 1
=
Au moment de l'arrivée
pression
le
aux
l'obturateur.
La
0 est donnée par:
B^
la
—
donne pas la condition
masse ne
surcharge
187
en A
donnée,
y est
en
=
2P*
O*!
=
(14)
.
de l'onde de fermeture
instantanée,
% de H0 par:
(129)
B^l-aJO^v^p*.
Bx est une surpression considérable ; sm. 2p * sera souvent supérieur à 1, et la pression totale en A dépassera Y0 + H0. Or, à ce même instant, le calcul des oscillations de masse effectué selon les méthodes habituelles
nous
donne
une
surpression
nulle
en
A.
donnée, en ce cas, par la variation du niveau d'eau dans la chambre, variation encore nulle en ce moment. Ce serait donc commettre une erreur grossière de choisir, En
effet, la surcharge
dans
ce
comme
A est
en
surcharge provenant
cas, la
condition
aux
limites
du
de l'oscillation de masse,
calcul
du
coup
de bélier.
également le cas de la fig. 6 de la première partie ,dans laquelle la conduite II débouche d'un bassin infini¬ ment grand. En pratique, cette hypothèse serait applicable d'une chambre d'équilibre présentant un col étroit cas au débouchant dans une chambre très grande, ou mieux, dans Considérons
une
chambre
à
niveau
maintenu
constant
au
moyen
d'un
conditions, le calcul de l'oscillation de masse alors nous dit que la surcharge en A est constamment nulle, à un instant quelconque par: que le coup de bélier s'exprime déversoir. Dans
ces
Bi
=
(1— «,)*«
•
pouvons calculer en toute rigueur le coup de bélier exact, sans tenir compte de l'oscillation de Dans
ces
divers cas,
nous
masse.
de masse pouvons supposer des oscillations dans la chambre d'équilibre, sans qu'il y ait coup de bélier.
Inversement,
nous
—
Supposons,
par
exemple,
des oscillations de
masse
188
—
l'obturateur fermé; dans la conduite
quelconque extérieure, agissant oscillations qui ne provoquent
sur
peut imaginer
on
II,
dues à
le bassin
d'accumulation,
phénomène
aucun
une cause
de coup
de
bélier dans la conduite III. Ces divers
pressions
montrent
dues à l'oscillation de
limites pour
douter,
en
exemples
qu'on
masse
ne
les
peut prendre
comme
conditions
aux
calcul de coup de bélier. Nous aurions pu nous nous souvenant que les deux phénomènes sont
un
en
de nature différente: l'un est dû à des déformations
l'autre à
une
rupture d'équilibre des forces
élastiques, statiques agissant
colonne d'eau que l'on peut supposer rigide. Il est donc indispensable d'étudier le problème directement.
sur une
La naissance de Voscillation de masse, à du coup de bélier.
a)
Reprenons l'équation (53), appliquée (conduite II) (nn 1):
partir des équations
à la chambre
d'équilibre
=
^r
=
«o
v1 -
27-
P«
"o
+
Supposons début çn
=
Les
représentée
par
sur
la
fig.
+
~i) + 2<£-2 - *)
2(Ç—1)]
une
grandeurs (Ç- — 1) une
cependant, qu'elle et 47). De toute façon, vers
soit
manœuvre
sera
de A
2^-i
+2(Ç-1)
tant que l'obturateur n'est pas sera
+
L
...
que la
0.
fc -1
encore
courbe
fermeture linéaire. Au sont toutes
positives,
fermé. La fonction
quelconque
dont
nous
— vu.
savons,
croissante tant que i < 0„ (voir la vitesse vu. sera constamment
fig. 42 dirigée
la surface de réflexion de la chambre d'équilibre (voir 47 un exemple calculé exactement). On voit donc que
le niveau d'eau doit monter dans la chambre
période
(53a)
et l'on
peut
calculer
l'augmentation
résulte. Soit :
m::;
au
de
cours
de cette
pression qui
en
189
—
—
d'eau, entre les temps désignant par Sn la section du
l'augmentation
de la hauteur de la colonne
i — b et i
Nous aurons,
col,
c.
=
et par
en
la section de la chambre:
Sx
~t=bu
St
C'est-à-dire que
On voit i
trouve
[A?/l
par la surface
représenté
sera
rayée
figure 42.
dans la
que
s-1
<
que, tant
clairement
0n,
la
se
au-dessus de
entièrement
l'axe des i et
Ay
surface
qu'il
a
y
accrois¬
sement de volume dans la cham¬
On
vérifie
courbe
des
bre.
la
également vu ne peut
lentement,
croître que
que
dé¬
et que le
niveau continuera à monter dans
la chambre
pendant
un
Fie. 42.
certain
temps. Calculons l'accroissement fACj.l L
dans la conduite
I,
de la vitesse
l-ii-n.
entre les instants i
— n1
L'équation (7)
et i.
s'écrira:
Divisons par At
t
=
[xi; et remarquons que a^
fê']-7 TY-F-! =
—j
[(»i - Y.)
+
+
2Lr
=
II vient:
««,->]
(/,_„, - Y,)]
.
(131)
part, l'équation fondamentale des oscillations de s'obtient en écrivant le théorème des forces vives (voir
D'autre masse
Calame et Gaden, p. 54):
7-£ + &-îO + pw
=
o.
(132)
190
—
Négligeons
les forces de frottement
différentielle (132) àt
sous
la valeur moyenne
y% +
avons
et écrivons
l'équation
finie, pour un temps Nous prendrons pour y
Nous obtenons alors:
.
Equation identique, quant
et i.
— n1
2/i-rij ~
gl¥|il=l] + Nous
Pw
forme de différence
[Xj, entre les instants i
=
—
^o
—2
à
sa
ainsi ramené les
=
°
(132«)
•
forme, à (131). équations du coup
de bélier à
la forme de celles de l'oscillation de masse, dérivant du théorème des forces vives. Cependant, l'identité n'est
effet,
dans
locale
en
(131),
yx est
A; ni l'une, ni l'autre,
conduite I. Dans tout
point parfaite: en la pression élastique en A, et v1 la vitesse
(132a),
ne
sont constantes le
long
de la
contraire, y et c: sont les mêmes le long de la conduite I, la colonne d'eau étant supposée au
rigide. Malgré cette distinction, nous sommes bien en face du même phénomène, étudié, d'une part, dans (131) sous la forme d'une déformation élastique locale, d'autre part, dans (132), comme mouvement d'une masse incompressible. En pratique, on introduit dans (132), non pas la valeur réelle de la pression élastique yl en A, mais la pression statique. Les résultats obtenus moyen de
(132) n'en sont pas moins excellents. On pourrait donc admettre que la pression statique a, en moyenne, le même au
effet
sur
la
d'eau de la
masse
galerie d'amenée,
que toutes les
oscillations de la pression yv II ne faudrait cependant pas conclure, de l'identité de forme des équations (131) et à
(132),
l'identité réelle des deux
charges
ni des vitesses c,
et v1
Nous
avons
(locale)
ainsi établi
des oscillations de
une
masse
yx
(élastique)
et y
(statique),
(moyenne).
méthode
dans
une
rigoureuse pour le calcul chambre d'équilibre, en
partant de l'étude du coup de bélier. Nous ne pensons d'ailleurs point qu'il y ait avantage à adopter cette méthode pour tous les cas, sans distinction, car elle néglige les frottements dans la galerie. Or, ces derniers jouent un rôle important. Mieux vaut donc s'en tenir, pour l'ensemble du calcul de l'oscillation de masse,
aux
formules
usuelles, qui
ont
fait leurs preuves.
— 191 — contre, l'emploi des formules (53a) et (130) donnera certainement des résultats plus exacts, lorsqu'on étudiera le début d'un mouvement d'oscillation. A ce moment, l'influence Par
provenant de la
variation des forces de frottement est
faible, l'élasticité par
encore
de la colonne d'eau dans les conduites I et
II,
de la réalité
en
contre, essentielle. On
sera
donc
plus près
pour le début du mouvement, le phénomène de choc élastique se développant au point A.
considérant,
aspect Comparons l'amplitude
son
bélier,
de
relative de la
à celle due à l'oscillation de
manœuvre
A
la
dans la conduite
II,
de
d'oscillation,
fermeture.
fin
surcharge masse
de
avons
vUi
—
au
coup début d'une au
première phase
la
nous
due
sous
pouf le coup de
bélier: yi
— y0
=
FIIx
et
=
f Fni •
d'où: 2/i
D'autre part,
puisque
en
— Vo =
0,
=
—
\
vni
nous aurons:
i
0
Or,
—
sera
environ
égal
à
100;
y
sera
toujours
très
petit
U à Vioo de seconde); à la fin de la première phase, la surcharge de coup de bélier pourra être quelques centaines de fois plus grande que celle due à l'oscillation de masse. On peut donc, sans crainte d'erreur aucune, négliger cette dernière calculé sous pour toutes les fermetures rapides. (Voir l'exemple II.B.2, fig. 47). (^
b) Relations le
cas
entre
oscillations de
masse
et
coup de
bélier dans
général.
(LA) que la propagation d'une surcharge F, Hq.O*,, le long d'une conduite, est indépendante de la pression statique locale le long de la conduite. Il en sera de même,. Nous =
avons
vu
—
192
—
point de bifurcation A. Les lois de réflexion en ce point sont indépendantes de Y0. Reportons nous au chapitre I.B.3), où nous avons déduit ces lois et considérons une onde H0 O^ arrivant au point A. Supposons que la pression statique en A ne soit plus égale à Y0, mais à Y0 + AY0. Nous pouvons repré¬ senter ce fait de deux façons: soit en posant y0 Y0 + AY0 et incorporant, en fait, AY0 à la nouvelle pression statique y0; soit en écrivant yx Y0 + FHi + AY0 Y0 + FIx + AY0, afin d'incorporer AY0 aux surcharges mobiles Fn et F Dans le premier cas, on écrira: au
.
=
=
.
=
.
Vi et y0
— Vo
=
disparaît
Si
nous
y1
— Y0
comme
2/o(^ — 1) des
posons,
une
Fni
équations au
lieu
comme
Y0(Ç
de
— 1)
,
Y0.
contraire:
+ AY0 variation de
=
au
,
en
supposant
Fn, agit
sur
que
AY0,
la vitesse vu
considéré ,
il suffit
remplacer Fni + AY0 par F^, et F: + AY0 par F^ dans les équations, d'éliminer F[H et FÎ comme on l'a fait de Fn et Fj pour retrouver 04 rui. (Voir chapitre I.B.3a). De quelque façon qu'on s'y prenne, les équations exprimant les conditions de réflexion d'une onde, en un instant quelconque, restent indépendantes, non seulement de Y0 (ce que nous savions du chapitre I.B.3), mais également d'un accroissement AY0 de Y0, survenu entre temps. C'est logique, la réflexion étant un phéno¬ mène instantané. Considérons, en outre, non plus une onde isolée, mais le train d'ondes dont la somme est égale à O^. Cette valeur ne change pas, chaque onde, considérée individuellement, restant inchangée. Les conditions de réflexion en A sont donc indépendantes de la pression statique. La série a, ne carie pas si la pression statique carie avec le temps. On pourrait remarquer que la longueur hu variant, il en sera de même de nn, choisi comme unité de temps. C'est exact; mais, en pratique, ce fait joue un rôle secondaire, et l'on peut toujours choisir pour nn une valeur moyenne. On peut donner une explication physique de notre remarque mathématique: le coup de bélier est toujours dû à une variation du régime des vitesses Cr à l'obturateur. La loi de réflexion au point A est également déterminée uniquement par la répartition de
=
— des vitesses vï. ;
—
et vuï., fonction des valeurs pj, pn et pnI,
;
çn
193
dans les 3 conduites. Considérons l'ensemble chambre
• —
vm.
=
=
conduite forcée
d'équilibre —
0)
et
la
augmentons
pression
en
»
«
galerie
au
A
en
(v1.
repos
(p.
ex.
au
charge =
vlx.
moyen
piston imaginaire, fixé sur la conduite II). Cette augmenta¬ tion de pression se transmet dans les trois conduites, à la célérité a„ an, a,n, comme une simple déformation élastique, telle qu'une force appliquée sur un corps solide. On a, comme avant, 0. Supposons la même manœuvre de piston vm. vu. Cj,
d'un
=
=
effectuée
=
au cours
quelconque,
d'un état
i>1., vn. et cin. n'étant
pression en A ne change point la répartition de ces 3 vitesses, répartition qui est fonction des seules grandeurs pt, p„ et pni, mais non de Y0. Le raisonnement physique rejoint le raisonnement mathé¬ matique. Nous énoncerons, sous une forme généralisée, notre
pas nulles.
L'augmentation
de
observation initiale:
pression statique en A, due aux oscilla¬ tions de masse, est un phénomène secondaire dans le temps, différent du coup de bélier (quoique ayant son origine dans le les conditions de coup de bélier). Elle n'influence nullement réflexion au point A. Les conditions aux limites d'un calcul de
L'augmentation
de la
coup de bélier ne sont pas données par les oscillations de masse, qui font varier la pression statique Y0 seule, mais uniquement par le en
développement
de otj
qui représente
les conditions
élastiques
A.
contre, la pression totale en A sera donnée, de toute évidence, par la somme de la pression statique Y0, plus l'augmen¬ Par
tation AY0. de cette
la
surcharge
absolue
pression,
H0Bj
Pression totale
Qu'en
est-il de la
due
temps
au
en
aux
A
pression
en
AY0
,
=
oscillations de masse, i. On
a
plus
donc:
Y0 + AY0. + H0Bj
0 ? La
surcharge
+ H0B
!
13
194
partant nous
de A
au
=
En
— 1/2, parvient
en
0
au
temps k,
et
aurons:
Pression totale
HT
k
temps
H0 + AY0
posant
0:
en
H0B*fe
+
,
encore, pour
=
H0(B,k + 1) +
H0—^
.
simplifier:
iAVr<*obtient:
on
h,
=
u0(&k
+
aq
.
Cependant, en 0, le régime de la vitesse ck est régi par la pression totale. Nous devons donc remplacer l'équation habituelle, régissant la vitesse d'écoulement ck : "k
1*
^o
.
V'
/H„
_ck
hh
C„
1
(9a)
Ç #ft
par: H„ %
H/^ A\i +
c»y^
Nous introduirons cette nouvelle valeur de
(39)
2P„
et
nous
obtenons
[«kiki/&h
+
+
(133)
A^
jr
dans
l'équation
l'équation générale :
acû-v)fe+1 i/^tTa^;
+
g-d -og] (134)
Sous cette
résoudre.
forme,
cette
équation
est très
incommode à
—
195
—
donc, avec une approximation suffisante lentes, qui seules entrent en considération:
On posera ouvertures
CU-l^B^
pour les
(135)
et:
J/Ô7+ A?*;
=
|/l
+
B„k + A^^
1 +
j(B#fc
+ A^k)
d'où:
2p»[aftY]k(l+iB,fc+iA^fc) -1ft+i(l + ^B„+1 + ^AC«+1) + g;(l - aft)]
=
et:
B*fc+i
(136)
=
«ftB**(p*i|ft
—^Sp^a^l ^ AÇ^J — 7)fe+1 (l +iA?*k+1) g-(l — aft)] +
* +
+
P* ^ft+l
Nous pouvons extraire les valeurs AÇ2*fc d'une courbe des oscillations de masse, calculée en fonction du temps, au moyen
(131), ce qui est possible sans tâtonnements, surcharge AY0. n'arrive en 0 qu'avec un retard
des formules
puisque
la
(53a)
et
dé¬ considérons,
en
Sitôt rjk Y)ft+1 tion (134). On =
calcul de
particulier,
le
cas
d'une fermeture linéaire.
0, AÇ2*ft et AÇ*fe+1 disparaissent de l'équa¬ peut de nouveau séparer rigoureusement le celui de AÇ2*^ qui n'exerce plus aucune influence =
£*& de sur le régime des vitesses. Il suffira à nouveau d'additionner en chaque point A et 0, et à chaque instant, les surcharges provenant de l'oscillation de masses aux surcharges du coup de bélier. L'emploi de la formule (136) sera donc limité au cas où k < ®ul. Or, on vérifiera que, dans ce cas, les valeurs AÇ2*& sont encore modifient que peu l'écoulement de l'eau et la vitesse ch. D'autre part, la loi d'ouverture de l'obturateur, qui
très
petites
et
ne
— 196 — régit la
vitesse ch
même
que la
pression totale, n'est linéaire qu'approximativement. Il n'y aura donc, dans la plupart des cas, que peu d'intérêt à employer la formule (136). On commettra certainement une erreur bien petite en calculant les charges de coup de bélier directement au moyen de la formule (41) et en leur addi¬ tionnant les valeurs A(f*ft pour k < 0m également. Le calcul au moyen de (136) est d'ailleurs toujours possible. en
temps
Nos conclusions sont donc les suivantes:
a)
Les oscillations de
n'influencent
masse
pas les conditions de
A. Il est, par le fait, erroné de considérerles surcharges provenant des oscillations de masse comme conditions aux limites pour le calcul du coup de bélier.
réflexion
b)
en
Les oscillations de
d'écoulement ch formule
(136),
en
0,
masse
k
tant que
si l'on veut calculer
c) Dans la plupart des
pressions totales
en
0 et
additionnant les deux
A,
en
étudié1
obtiendra le
avec
diagrammes
les
0IU. On utilisera Ç„.ft exactement.
alors la
<
on
cas,
de bélier et à Voscillation de la
Allievi
influencent uniquement la vitesse
une
des
diagramme
exactitude
des
suffisante,
surcharges dues
au
en
coup
masse.
lois
du
contre-coup de retour au régime. Après l'arrêt de l'obturateur, la charge dans la conduite oscille indéfiniment entre certaines limites, aisées à calculer dans le
a
cas
général qui au-delà
gues.
Il
de est
d'une conduite nous
occupe, l'instant i
=
évident
que
de diamètre constant. Dans le on
décèle,
0,
l'existence
l'on
en
cas
poussant les calculs d'oscillations
rencontrera
les
cas
analo¬
les
plus
divers, les surcharges pouvant être tour à tour positives ou négatives. En théorie, il faudrait additionner rigoureusement à
chaque
instant les
surcharges provenant
du coup de bélier à
l'oscillation de masse, qui se fait sentir plus ou moins rapide¬ ment, à partir de l'arrivée de la première onde en A. On vérifiera alors la valeur des surcharges totales tant à l'obturateur 0 qu'au
point
d'intersection A. Nous
intéressants.
1
Voir Allievi-Gaden, page 84.
signalerons plus
loin
quelques
cas
—
Cependant,
il est très
197
—
probable qu'en
réalité les
ondes
de
tant en raison coup de bélier s'amortissent assez rapidement, de pertes d'énergie, qu'à cause de l'arrivée des ondes de réflexion
de la conduite I.
Nous
nous
trouvons donc
en
présence
d'un
problème
complexe, auquel nous ne voyons de solution essais systématiques, soit en laboratoire, soit sur ment
extrême¬
que dans des des ouvrages
exécutés.
Cependant, il convient d'attirer l'attention du calculateur sur les dangers d'un excès d'optimisme. Il est des cas (chambres différentielles, chambres avec étranglement) où l'on fera bien d'étudier de près ce problème, sans spéculer sur des pertes d'énergie que nous ne savons pas calculer. phénomènes se superposent, et il serait insuffisant d'estimer la surcharge totale que supportera Vensemble « galerie en charge — chambre d'équilibre — conduite forcée », en ne calculant que Vun des deux phénomènes, fût-ce le De toute
façon,
les deux
négligeant Vautre à priori. Par la suite, nous négligerons cependant l'influence des oscil¬ lations de masse sur le coup de bélier, car les lois générales de des ce dernier nous intéressent plus que l'exactitude numérique mais
plus dangereux,
en
résultats. Conclusions.
hydrodynamique et de la propagation des n'est que la continuation coups de bélier, la chambre d'équilibre de la conduite forcée. Tout ce qui précède le prouve amplement; même l'interférence avec le phénomène des oscillations de masse n'arrive point à modifier le caractère propre du coup de bélier. Dans ces conditions, le calcul d'une chambre d'équilibre se Au
point
de
vue
le modèle de celui d'une conduite forcée comme ce dernier, deux calculs en une certaine
fera exactement et
comprendra,
mesure
sur
distincts: le calcul des
surcharges B%k
et
Bt
en
et le calcul de la série a,. L'identité de la méthode
0 et
se
en
A
retrouve
également dans les simplifications de calcul: nous n'avons fait dont nous avions que reprendre et développer les simplifications montré les avantages au chapitre I. D. Nous tenons d'ailleurs
— 198 — à en
marquer aussi les limites. Ces
simplifications
ne
seront
admissibles que si l'on est certain que l'allure de la fonction , est régulière et compatible avec les hypothèses; condition vérifiée pour le cas de fermeture linéaire et les
rythmiques synchrones. Il
par
ne un
nous
plus qu'à illustrer nombre d'exemples.
reste
certain
pour
manœuvres
cette méthode
générale
—
199
—
Chapitre B.
CHAMBRE
1. Les
D'ÉQUILIBRE PRISMATIQUE
organes de fermeture
Considérons le
cas
se
trouvent
où la chambre
droit des organes de fermeture, et où forcée à l'aval de ceux-ci (fig. 43). Le
cas
que
nous
envisageons
par MM. J. Calame et D. Gaden1.
la
en
au
droit de la chambre.
d'équilibre se trouve au il n'y a point de conduite
simple: il a déjà été traité Nous reproduisons leur théorie,
est
systématisant.
D
0
_^._-zzj
3fc
Fig. 43. — Chambre prismatique ; chambre. organes de fermeture au droit de la
Supposons d'abord que nous nous trouvions dans la première phase de la galerie sous pression. Ecrivons l'équation d'Allievi pour la chambre d'équilibre II, en employant nos notations habituelles:
$ 1
+
q+1 -
2
=
2Pn
«t+i
V
Voir Jules Calame et Daniel Gaden, p. 23 et
V
ss.
(8)
— Au
cours
l'équation
de la
première phase
— de la
écrivons
nous
désigne
un
0
instant
quelconque
de la
conduite I. Par contre, il
faut
nous
une
vitesse d'écoulement cni.
la
galerie,
connue:
0
où i
200
=
^-
première phase
nouvelle relation pour c{. Nous aurons:
=
^-
exprimer
(137)
.
m
de la
0
Il
n'y a, évidemment, (19), qui nous donne:
rien à
^ ^-
II
0
En
(8),
portant
III
I
0
obtenons:
Si
Ch — 2
=
à
l'équation de continuité
i.C«-£+2y(S-i). I„ 0
0
cette valeur
nous
+
=
changer
(138)
dans
(138)
ri
l'équation fondamentale
2p„ (^ Zi — -rti+i Çi+i) + r1 (^ — £i+i)
ou encore:
«;-i)(i-^) Ci-i)(i+^) +
=
2PlI(^i->Ji+1çi+1). (139)
Cette
équation régit la loi des surcharges et permet le calcul point par point. Nous examinerons deux cas: a) Fermeture brusque (première phase de la conduite I). Faisons :
C0
=
1 ;
^o
=
l
et
/)!
=
0
=
yj2
=
t]3
= ...
—
L'équation (139)
201
—
devient:
(Ç_l)(l+?H) =2PlIpour Pi
\
^
2
/
V
.
=
0
Pi
(C2-1)(i-^) (î;:-1)(i+^)=0 +
pour,
=
2
d'où nous tirons:
y2
2PlPlI
2PlI
,
(140)
Pi + Pu
Pji
1
Pi v2
^-1
r-
.>Pi— Pu
,y2
, =
-(^-1)p7^; iy1
/i
/i\Pi
Pu
^~i=-^-l)^T^
y2
Ç.
/yJ
/i
-
1
_ -
-
Les valeurs
( Vi
^
+
,
,
(pTt^p(P"-^ wPi Pu
i
+
Pn _ - 1)4\Pj " p^T-
{X,[ — 1)
2PiPii
, =
(fc
i
+
diminuent donc
/
+-Jn>A9"2PiPn
rp^-piTt en
/.
(Pu
\2
Pl)
.
-
\(t-l)
Pi)(
valeur absolue. Dans
d'équilibre prismatique d'une section supérieure à celle de la conduite (SIt > SI; pn < p:), les valeurs (Ç* — 1) changent alternativement de signe. On peut donc avoir, à la suite d'une fermeture brusque, des surcharges le
cas
ordinaire d'une chambre
négatives, d'équilibre
à
un
est
moment où le niveau d'eau dans la chambre
encore
bas.
(chambre différentielle) et que — 1) restent toutes positives, après la pn > pD les valeurs ifc\ fermeture brusque et peuvent être relativement élevées. Elles s'additionnent alors à la surcharge de l'oscillation de masse, qui croît très rapidement dans une chambre différentielle. Si l'on
a une
chambre étroite
— Nous que
nous
202
—
intéressons particulièrement
première valeur,
écrivons:
nous
ç- -1
2P,T — Pu
1
— Pu *n
2Pr =
=
1
Pi
Dans
à la
conduite
+
Pi
Pi *i-
(141)
^
de
caractéristique pn, sans chambre d'équilibre, le coup de bélier est égal à 2pn. Ici, Ç* — 1 < 2pn. On voit de même que Ç* — 1 < 2p,. C'est dire que le coup direct est plus petit que celui qui se produirait dans celle des deux conduites de plus grande caractéristique, si elle était seule. une
b) Fermeture
lente.
Pour le calcul d'une
tion
nous nous
servirons de
(139).
Posons dans 7i0
fermeture,
=
1
C
,
=
(139) 1
et
i
=
0,
tii,.
en nous
= .
„
rappelant 7ii
=
1
l'équa¬
que:
— l-~~—
=
1
— <=>„
Il vient:
k;-d(i+^)=2Pii
1
—(1
w.
Si
Ordonnons :
^(Pi +Pn)
+
2PiPn 1 — ït: ) Kl — (Pi +
Pu
+
2plPlI)
=
Q
d'où:
Ci
(142)
=
PiPn(l — ^j + VPiPii (l — J~) + (Pi + Pu) (Pi +
—
Pi + Pu On montre1 que
1
Z,i
>
X,m,
si pr
Voir Calame et Gaden, page 32.
<
— — 1 Pu
Pu
+
2p,pn)
— 203 — Pour le
£t
—
£i+i
=
Çm
Çm,
de
calcul
(139);
dans
ferons,
nous nous
de
comme
coutume,
obtenons:
V) II
d'où:
^=+^+y4+1'
(143)
l'équation (15a). La charge limite est, la chambre, supposée par le fait, identique à la charge limite de seule, quelle que soit la caractéristique p, de la galerie et le
équation identique
Pu
.
rapport —
.
de la chambre
L'efficacité substitue
sa
Dans
que
^
ce
nous
=
T"
o
d'équilibre
est donc
grande, puisqu'elle
propre limite à celle de la conduite I.
Cas où Von
c)
à
trouve dans
se
nous
cas,
une
phase quelconque
de la conduite I.
remplaçons l'équation (23a)
par
(53a)
écrivons:
~
- 4) S 1^ (S
PU - 1) + «Un, - 1)
+
•
•
•
|
o
devient:
L'équation (138)
VJ!±
—
+
^i_.^i —
v,
r
—^LM — ir2 — ])
i[(^I_l) + (£_2B1-l) + ...]
Portons cette valeur dans
l'équation
fondamentale
(8),
nous
aurons :
+
Cj+1
—2
+
=
2pII(7)lî:i--7)i+1ci+i) +T-1 &] — k]+i) ri
T5[(Ch-l) ri
L
+
(C2nI-D
+
...
-(çuI+i-i)-{^»i+*-1)_ •••]
— 204 — ou
encore:
-(CnI+i -
1)-
(C2»I+i
-!)-•••]
(144)
équation générale, dont l'application sera évidemment laborieuse. On peut, cependant, se rendre compte de ce qui se passe à la fin de la fermeture linéaire, en supposant que celle-ci ne tombe pas dans la première phase. Faisons: Çt Ç!+1 Çm. Nous obtenons, en désignant par A la valeur entre crochets, pour j + 1 =
=
=
m:
i~
— 1
—
— r
4-
il
Nous observons que A sera, en
valeur
en
absolue, puisqu'elle
termes successifs:
identiques.
Kl-pn+i
ri
général,
Çj_r,n
Elle sera, d'autre
part,
etc-
»
en
leur:
:
=
une
quantité
assez
petite
obtenue par différences des
est
et
— a
— +1 /-^î-
+
•••
>
sont
général négative.
presque
La
va¬
i+?ïa
donc
plus petite que celle donnée par la formule (143) (première phase de I), chaque fois que A sera négatif. Le calcul exact au moyen de (144) est en général sans intérêt. En effet, si la fermeture est brusque, on reste dans la première phase de I. Si elle est lente, Z,m est tellement petit, qu'il est inutile de faire des calculs précis. La vérification exacte reste toujours possible. Elle se fait sans difficultés pour la deuxième phase de la conduite I. Calculons, en effet, point par point les valeurs de Çj, jusqu'à i 0 — n1 + 1. Dans ce cas, A — Ç„ ^, +1 ; or, ces deux valeurs sont sera
=
=
_n
contenues
point.
dans le tableau
_n
ayant servi
au
calcul
point
par
205
—
d)
Manœuvres alternatives
rythmiques.
synchronisées
Des oscillations
—
de la chambre
période
la
avec
général, très courte, les oscillations devraient être très rapides, et elles ne deviendraient dangereuses que si elles se répétaient en très grand 2 (Voir nombre. Si la chambre était seule, leur limite serait Z2 sont-elles
? Cette dernière
dangereuses
étant,
en
=
Pour reconnaître si la
chapitre I.D). abaisse cette
indispensable
il est
limite,
de la conduite
présence d'avoir
recours au
I
calcul
direct. soit souvent d'impor¬ pensons pas que cette question tance pratique, l'obturateur ne se prêtant pas à des manœuvres 2 Dans la plupart des cas, une surcharge Z2 aussi Nous
ne
rapides.
peut
=
tolérée.
exceptionnellement
être
e) Exemple numérique: (cas «A»)1. Nous allons examiner le
Lr
=
10250 m.;
L„
cas
42,70
=
ai — an
D:
=
Dn Pl
|i,i
=
Dans le
_ ~~
Pn
15",36
cas
2,80
=
_ ~~
m.
Vl0
;
[xn
de la
=
en
=
charge
très
longue :
m3/sec;
27,5
m/sec.
=
1335
ctY°_ — —
Q0
m.;
133b
=
VIlQ x
=
4,47 m/sec.
4,47
„
;
,o
__ ~~ '
19.62 X 42,70
2gY„
;
galerie
d'une
0",064
fermeture
;
nn
=
1 ;
n,
instantanée,
=
240
nous
.
trouvons
:
surcharge relative B1
=
Ç|-l=-^l
=
+^
PlI
=
7,18
Pi
surcharge absolue
YoBi Cette
=
42,70
X
7,13
=
304,50
surcharge serait inadmissible; mais,
m.
en
fait,
aucune
fermeture n'est instantanée. Calculons donc la courbe caracté-
206
—
ristique
des
pressions limites,
l'équation (143)
en
— faisant varier
@„
=
— dans ni
et
reportons
les résultats
au
tableau que voici:
Surcharges limitespour la fermeture linéaire (fig. 44, courbe 1). T
sec.
0.5"
1"
2"'
4"
5"
10"
/o
1.42
0.573
0.256
0.120
0.073
0.047
m.
60.6
24.2
10.92
5.13
3.12
2.00
Bm Y 0Bm
2. Les organes de Nous
fermeture se
trouvent
bas de la conduite
calculons toute chambre d'équilibre
appliquant la théorie générale, telle chapitre I.B et II.A, c'est-à-dire en un
au
que
nous
forcée.
prismatique
l'avons
exposée
considérant la chambre
en
aux
comme
élément de conduite.
Les
équations (41)
et
(18),
citées, nous donnent Ç*ft et Bj, au moyen d'un calcul point par point. Ainsi que nous l'avons exposé au chapitre II.A, nous admettrons, pour le souvent
calcul de ai} que la fonction
0!|cft est linéaire entre les points A; et k + 1, hypothèse toujours suffisante, exception faite de certaines manœuvres alternatives rythmiques non synchrones. Nous ne calculons donc que les périodes k — et non les 1, k, k + 1, périodes i — 1, i, i -f 1, Dans ces le calcul ...
conditions, sa chambre d'équilibre ne sera guère la même conduite, débouchant d'un ...
d'une conduite forcée et de
plus long
que le calcul de
bassin infiniment grand. La valeur oq est donnée par la série (33), tant que nous nous trouvons dans la première phase de la conduite I, et par les séries (56) ou (60) pour les phases suivantes. Le calcul de B^ pour les phases successives de la conduite I n'est en rien modifié, les formules (41) et (18) gardant leur valeur dans
ce cas
également.
La recherche des lois des surcharges aux donc possible dans tous les cas et en toute que le calcul exact
serait-ce qu'à
points
rigueur.
s'impose
O et A est
Nous estimons
pour toute chambre d'équilibre, ne titre de contrôle d'un des points de la courbe
207
—
—
caractéristique des surcharges limites. Il est également indispen¬ sable d'employer la méthode générale pour le calcul des manoeuvres alternatives rythmiques de l'obturateur. N'ayant plus rien à ajouter à l'exposé de la méthode exacte, méthode de calcul attacherons à compléter la nous nous «
'] imen %d >Y, Sn
-
0 07
£
J
150
~® '
6„-
100
0.10
ti
50
,
6a-
_
0.15
D-^ s
S)
© "
X
Fig. 44. — Courbes caractéristiques des charges limites dans le cas d'une fermeture linéaire.
Organes u.n 1. Chambre
2. Chambre
Pt
=
Pu
=
de fermeture =
0,064 sec; jx,
'.13; Pi
15,36
sec;
Y„
=
42,70
m.
=
=
p2
=
p3; n2
=
n3
=
4. Chambre
avec
col d'entrée
(fig. 36) (chap. II,
étranglement (fig. 38) chapitre II, 0,15. 0,10; c)
C 1),
7.
prismatique (fig. 36a) (chapitre II, Cl)
non
=
=
=
3. Chambre
d'équilibre:
droit de la chambre
7,13. prismatique (chapitre II, B 1) p, pn avec partie inférieure tabulaire (fig. 37), (chapitre II,
5. Chambre à
b)
au
C
1)
D
p
pt
=
1) : a)
=
7,13; p,
pn
=
=
7.13;
V, y-2" "°
=
'
8
£i
=
8.
Pa
=
°>0' !
—
approché
développée,
208
—
partie déjà,
chapitres I.D. et II.A.1.6. Nous y avions établi deux formules capitales per¬ dans le cas de la fermeture linéaire lente, l'une, le calcul mettant, de am_d, limite de ai; (formules (121) et (127)), l'autre, le calcul de <£,*m et de B„.m, limites de Ç#ft et B+ft (formule (122a)). Beste encore à étudier la surcharge au point d'intersection A. Supposons — et des vérifications effectuées point par point montrent qu'il en est bien ainsi — qu'il existe une limite Bm de Bi7 lorsque i tend vers 0H. Reprenons les équations initiales du chapitre I.B.3.è: »
Ç
en
$+1 _ 2
+
w
=
w
0
cette
2pH
=
I,
fe - ^±i)
i (S - *>
-
(21)
(23è)
>
ri
0
dernière, valable uniquement
conduite
aux
pour la
première période de la
et:
0
~In
0
Introduisons les deux dernières
équations
dans
(21), en tenant continuité (19), d'autre
compte, d'une part, de l'équation de 0 au début du mouvement de fermeture part, de ce que cIIo =
Il vient alors :
3
+
q+1
-2
=
^ pur
U+1 (1 L
+
«.+1) - 0,(1
+ «,)
_£|Ç+1_1_(Ç_1)' Kl
1
J
d'où:
(S-i)(i-^) (Ç+1-i)(i £I) +
+
I I
— Par
analogie,
209
écrivons cette
nous
—
équation
pour l'instant
(i— 1),
(Ci-D^-^+tCÎ-D^+l1) =
^[0,(1
+ ^)
-«nd
+
(146)
u]
Pin
équation rigoureuse,
la
pendant
valable
de
première période
la conduite I.
4> 0
>'
-n,
T«m|M relatif
m
"g-
r
-i
Fig. 45.
Faisons tendre i
vers m
et écrivons selon notre coutume
^i
^m
~~
:
^i—1
il vient:
C-
1
=
^T [*m(l
aussi exacte que
possible,
Plaçons-nous
réservons le calcul
nIH
>
- <ï\n-l (1 +
«m-l)]
(1^7)
•
"Hin
Il faut trouver, pour la
connaissons.
+ «J
quantité en
entre
crochets,
une
grandeurs que ordinaire auquel
fonction de
dans le
approximatif:
cas
valeur
fermeture linéaire
lente,
nous nous
et
soit
nn. 14
— Nous
grand
que, si
savons
et am_4 ^ am. De
thèse 1
0 ^m
—
conditions sont
ces
plus,
nous
avons,
remplies,
en
m
vertu de
sera
l'hypo¬
(fig. 45): ©m —
qu'il
210
<&m-nm
$m-l —
0"m
est facile de transformer pour obtenir:
— d> m-1
,
D'où,
la
=
— (O — O V
w
m
)
m-nIni
£i»_E ((fi y
=
Lo
*
n
<&„
*m
"m
surcharge relative:
r2 _ 1
f1!
~
^
Pm
1 +
_!!e
ï0
p..
in
*m
Il est souvent
1 + «.m
n„
gm
z
exprimée en pourcents de Y0. d'écrire, en pourcents de H0 :
1
** ^
* m-nm J
plus commode
r
formule
approchée. D'autre part, nous
avons,
en
^*m
"*m
toute
rigueur:
(40a)
am—rijjj ^*m-nul
et:
Bm Eliminons $#m et
<ï>*m(l — ocm)
=
'l'^m-n
!
(18a)
trouve:
on
1 =
"nm
am-nm
r
|_1
B
— am
_B
1
*mJ
et:
B
^
p"
">
^**m-nITI/
,»°i1
B„
+ '» 1
—
B„ am
(1 — am)
B*r a
+ £
211
—
—
d'où:
I+V2 Dans
faisant donc
formule
cette
conduite
'
I)
à
donné
—
première phase priori ocm,
Bm des
valeurs
point
par
Pm
et
de ,
la en
également connu. Bm est formule approximative. Cette
d'une
moyen
formule donnerait pour des
am
pour la calculer a
l'hypothèse 2; B*m
au
introduisait
i
(valable
savons
nous
appel
'
"ni
Pin
est
valeurs très
ocm_n
,
et
exactes, si l'on extraites
B!km,
y
d'un
point. Lorsqu'on fait, au contraire, usage de valeurs calculées a priori — ce qui sera toujours le cas en pratique, le calcul point par point s'effectuant au moyen de la formule (18) et non de (149) — l'exactitude de la formule (149) s'avère moindre que celle de la formule (122a) donnant Ç„.m et B#m. Cependant, nous avons montré incidemment, au cours du chapitre I.D, que, pour des valeurs de m comprises entre 10 et 20, la formule (149), appliquée au cas d'une conduite présentant une discontinuité, donnait déjà des valeurs d'une exactitude suffisante pour la pratique. En fait, m sera toujours bien plus grand. N'oublions pas qu'il n'est point nécessaire de connaître la pression en A avec la même rigueur que la pression en 0. Adaptons la formule (149) au cas d'une conduite sans chambre d'équilibre et à caractéristique unique.
tableau de calcul
On
a :
Pu
=
am
=
«"'-«m
=
1
!
et:
,
formule que
quoique
nous
sans
,
"il
avions
n\I
+
déjà appliquée,
la démontrer.
WIH
dans la
première partie,
— On vérifiera d'ailleurs
212
sans
—
peine
que toutes
formules
nos
la forme des formules d'Allievi, si l'on 1, qui expriment y introduit les conditions pn pin et « que la conduite est à caractéristique unique.
approchées reprennent
=
=
Exemples numériques. Nous examinerons trois chambres
d'équilibre prismatiques.
premier exemple (cas C ») est celui d'une chambre très longue, réagissant à la fermeture rapide des organes de secours Le
«
x
S-
1«
«00.00
m*
— Coupe schématique d'une chambre d'équilibre de grande 185,90 m.; Lln longueur (conduite C). — Données: L„ 139,80 m.; 32 m3/sec. 64,80 m.; Y0 61,10 m.; Q 3538,40 m. ^ ». H0 Lj Fig. 46.
=
=
=
=
situés à
proximité. Il illustre assez bien solutions analogues pourraient présenter, deux autres courtes.
cas
Nous
approchée : La figure
46
y
se
rapportent
verrons
=
=
la
à
la
les le
cas
fermeture
justification
de
échéant. de
notre
représente la chambre d'équilibre que
étudier. Les organes de secours dans le bâtiment de commande.
se
que des
dangers
Les
chambres
méthode
nous
trouvent à la cote
allons
835,20,
— 213 —
principales
Les données
H0
Lj
3538,40 139,80
=
Lm
am
=
0,417
=
+
Supposons
Q0
32
=
délai. Si
Lr
co)
=
m.
Ln
;
=
185,90
=
;
pt
0,4865
+
=
pm
EnA:B1
+
=
0",286
2,190 m/sec.
=
3,41
=
\iu
;
;
pu
0,0133
+
=
2,38
0,0022
+
0,0004
m3/sec.
2p*
=
(1
=
;
débit accident des deux conduites forcées. Le court doit être interrompu dans le plus
sec. nous
B*t
m.
14,6 m2
=
Vc
;
0,0804
0",214
=
10,2 m2; Sn
3,14 m/sec.
=
un
fini
;
l'interruption était instantanée, c'est-à-dire plus
que 0.286 EnO:
Sin
3,22
=
P* «.
=
V0
=
m/sec.
^300
=
Sj V0
admettons
61,10
=
m.
=
ai — an
64,80m.; Y0
=
(nous
m.
sont:
aurions:
=
6,44H0
—r^.B^j HoBi
Oscillation de
courte
=
0,00
masse:
0,583
64,8
=
H^
;
X
au
64,8
=
6,44
X
3,755
temps i
=
=
=
6,44
X
=
417
m.
3,755 (375,5 %).
243.2
m.
0.
le système puisse supporter peu probable que calculs pour une fermeture fermeture instantanée. Reprenons les les formules (41) et (18), en choisissant
Il
1". Nous utilisons
en
nm
(33)
«j
une
est
=
1,
ce
s'écrit
=
qui
=
1,33.
Par le
fait,
la formule
0,4865^H 0,0804^ 0,0133^
avons
calculées
donne nu
exceptionnellement:
0,417 +
Nous
nous
point
+
+
reporté, par
sur
point
la
en
figure 47, % de H0.
les valeurs
B*fe
+
et
...
Bu
La courbe des valeurs
214 B,
Y.
=
rr(C
1
H0
vn., pour
1
— 1)
(va
2Pn
=
nous
donne,
difficulté,
sans
les
vitesses
0):
[(Ç - 1)
+
2«Un - 1)
+
2(C2nii _!)
+
...].
(53a)
Fig. 47.
— Représentation graphique, en fonction du temps, de la loi des surcharges B%k devant l'obturateur O, et B; au point d'intersection A, de la variation de la vitesse cn. dans la chambre d'équilibre et des oscilla¬ it tions de
Y„;
masse
Chambre
Nous
H. du type
avons
estimé
posant trapèzes à la relation : en
de la
et
fig. 46; fermeture de l'obturateur
l'intégrale
de cette
courbe
en
en
1".
la décom¬
obtenons l'oscillation du niveau d'eau grâce
V-
A Y
— .
V'
'
""
-f-
V' ,,
— 215 — En
reportant
la courbe
-^
figure 47,
la même
sur
surcharges provenant des oscillations négligeables par rapport à celles dues au coup d'ailleurs, les résultats essentiels de ces calculs: Surcharges maxima:
que les
EnO:
B«max.
charge
Braax.
En A:
H0B,max.
2,086;
=
=
1,053
charge
totale
H0Bmax.
;
totale
Au moment où les valeurs la valeur de
AY0 n'est que
de
comparaison,
une
A titre de nous
aurait
Surcharge
donné,
en
132,95
Voici,
;
et
m.
;
m.
Bmax
sont
atteintes,
environ.
chambre
d'équilibre
2^+V/l (^)2 +
=
=
très
grande
(d'après Allievi)
:
^-1
=
=
M02;
0,964.
A:
C En
68,15
dans les mêmes conditions
1*^
en
m.
sont
m.
=
B+max_ 0,30 m.
masse
0:
^m
Surcharge
=
vérifie
de bélier.
135,20
-
200
=
de
on
juxtaposant
ces
de la différence
=
chiffres
qu'il peut
i;
Bm
aux
=
o.
précédents,
on se
rend
compte
réactions y avoir entre les
d'une
chambre étroite et celles d'une chambre infiniment grande. Cet exemple de fermeture rapide d'un système où nn > nIU, doit être calculé
l'application
aucune
de la méthode de calcul
faite. Afin de l'erreur
directement,
nous
commise,
rendre
nous
compte
des conditions
approchée
de l'ordre de
n'en voulons pas moins
extrême, les formules approximatives,
en
requises
n'étant satis¬
grandeur
utiliser,
mettant
à
en
de
en ce cas
regard
de
—
chaque résultat,
=
am
=
a3
correspondant extrait de nos tableaux trouvons, par la méthode approchée:
0,704 (au
=
a4 —
C*m
lieu de
0)7735 (au lieu
0,485 +
y
—
le chiffre
de calculs exacts. Nous aml
216
1/0,236
0,6287)
de
0,6936)
1,704.(1,704
+
0,296)
x
.
jjiït
B*m
Cm — 1
=
2
R
am
=
2,116 (au lieu
=
3,41
1,7735 0,704
1
J_ 2JÏ8 1^3 '
2
3,41
1,7735 '
l
0,2265
'
qui
rassurant, le
2Z'iiD 116-0 - U>3/97
X
0^2%
(au lieu de 1,053)
0,704
L'erreur commise est donc de résultat
2,086)
de
_ 1 +
_„„
1,7b6
(au lieu de 1,758)
I M? 1^
Bm,
+ 6,44
—
1,5%
B^
pour
et de
8%
pour paraît encore suffisant et, pour le moins prêtant mal à l'application de la méthode
nous
cas
se
approchée. Cet
exemple numérique confirme bien les points suivants: Les valeurs B*max et Bmax calculées d'après la théorie géné¬ ralisée peuvent, le cas échéant, différer beaucoup des valeurs correspondantes que l'on obtiendrait en supposant la chambre infinie. Les oscillations de pour
des
masse
de
manœuvres
n'entrent pas
fermeture
ligne
de
compte Relevons, enfin,
en
rapide.
le montrerons mieux encore, que la méthode approxi¬ mative donne des résultats très satisfaisants, l'erreur commise restant dans les limites de l'exactitude requise. et nous
Passons chambre et
placée
l'étude
à
ftn
=
=
au
m.
0",623
;
Pi
1
exemple.
Il
s'agit
caractérisée par la relation pj haut de la conduite B (fig. 40)1.
109,47
ri
deuxième
prismatique,
Voici les données
Ho
du
=
rn
«m ==
Pu
=
pn
y.n
=
=
pm,
principales:
y0
;
=
d'une
=
12,72
==
=
rm
35,48
=
pm
=
Voir pages 179 et 180.
=
m.
;
VIo
;
11,36
0,333;
Lm =
;
=
VIIo p*
sx — su
408 =
=
=
m.
VIIIo 3,68
slu
=
; =
0",049
6,03 m/sec.
;
0,666
— £.
=
217
—
0,3333 + 0,4445 + 0,1482 + 0,0494 + 0,0165 + 0,0055 + 0,0018 + 0,0006 + 0,0002
longueur L: est supposée infinie ; nous jours dans la première phase de la galerie. La
Voici le résumé de
calculs relatifs à
nos
une
.
restons donc tou¬
fermeture linéaire
de l'obturateur:
Tableau,
récapitulatif : fermeture Surcharges B„.ft
Données p*
04
(calcul de rification)
3,68;
[xIn
et
B,
0",623;
=
2"
5"
10"
0,9644
0,9888
0,9948
Temps de fermeture
04 formule appro¬ chée
=
fig. 48).
linéaire (voir
nm
=
12,72 30"
40"
0,9975
0,9983
0,9988
0,122
0,085
0,064
9,30
7,00
20"
vé¬ .
0,9921
0,9466
.
B*m formule ap¬
prochée
.
.
H0B*m (en m.) (vérifi¬ B*max.
cation) Différence
2,15
.
.
.
.
.
.
.
235,50 m.
prochée
.
ap¬ .
H0Bm (en m.).
0,0432
0,148
.
16,20
m.
m.
m.
1,4 %
4%
Bm formule
13.40
0,284 0,004
2,24 0,09
En%
Bmax.
0,280 0,595 m. 30,60 m. 65,10
m.
4,75
m.
0,0204 0,00886 0,00618 0,00465 2,25 m. 0,97 m. 0,68 m. 0,51m.
(vérifica¬
tion)
....
Différence
En%
.
.
.
....
0,0218 0,0014
0,1668 0,0188
n
11,3 %
'
0/ /o
plus d'un point de vue. Il permet caractéristiques des pressions limites en O
Ce tableau est instructif à
de tracer les et
en
A »
«
courbes
(fig. 48),
et de
façon dont l'ensemble réagit au cours d'une
«
se
rendre très exactement compte de la
conduite forcée
fermeture
— chambre d'équilibre »
quelconque.
—
218
—
Nous relevons la très belle concordance entre les
limites t
=
et les
B!)cm
valeurs
B.,.max calculées
2" et 10". La concordance entre
surcharges
exactement pour
les valeurs
Bm
et
Bmax
semble moins bonne. En
fait, Bm coïncide très bien avec la valeur limite moyenne, vers laquelle tend Bj. La valeur Bmax provient d'un écart de la courbe des surcharges Bj, ainsi qu'on le voit ]3„-B4 «
n%deH •
v.£ I
I
t
I
I II
M
10
Temps Fig. 48.
1.
pi
=
Courbes
«•
absolu tn
caractéristiques
sic
des
surcharges limites : Devant l'obturateur O, pour une chambre prismatique niu 12,72; pu 11,36, ou pour une chambre analogue avec chambre infé¬ Pin
—
=
=
=
rieure ; 2. Devant l'obturateur pour une chambre infiniment grande; 3. Au point d'intersection A de la chambre pt pn pnl Données générales: p* 3,68; ^m 0",623. =
=
la
sur
fig. 49,
laquelle
sur
=
=
11,36.
=
nous
avons
reporté,
en
fonction du
temps relatif k, les lois des surcharges B%k devant l'obturateur, et Bj au point A, pour la chambre définie par p: pn pm, =
ainsi que la loi des
grande,
(«j
Passons par: 1
H0
=
=
au
1;
surcharges B^ B4 O).
une
chambre infiniment
=
dernier
667,10
pour
=
m.;
exemple, soit une conduite « A »1 définie Y0 83,0 m.; Lm 1896,40 m. L, ^ oo ;
Voir pages 180 et 205.
=
=
— y.m
P*
=
=
2
219
—
",895; [xn 0",064; nlu 0,725, que nous munissons
=
=
27,5 m3/sec; chambre d'équilibre
45,2; Q0
d'une
définie par pt 45,2. pm et nlu pn Le calcul approché de la fermeture linéaire =
=
=
dresser le tableau
récapitulatif
Fermeture linéaire:
Données: p*
Temps de fermeture.
.
.
(approchée)
B*m (approchée) B*m pour
une
infinie a;
Ce que
la
c'est
=
....
suivant:
à l'obturateur.
Surcharges
=
permet de
nous
0,725
;
\l1u
=
2",895
40"
5"
10"
20"
30"
0,9956
0,9978
0,999
1
0,533
0,235
0,112
0,0725
0,054
0,533
0,235
0,112
0,0725
0,054
1
chambre
1
....
voulions faire ressortir dans
nous
=
bonne
concordance
entre
calculée pour une chambre étroite 1. Nous avions déjà infinie a.t
la
ce
courbe
dernier
tableau, caractéristique
(ç1 pin) et une chambre pn relevé, au chapitre II. A.l.b., la conduite A1 (conduite longue, et haute chute) était très « sensible », fait que nous retrouvons ici, de façon très nette. =
=
=
que
peu
Il est
Cet
à la
dû,
fois,
à
exemple s'oppose
(Conduite
«
C
»)2,
ce
que p* < 1 et à la valeur élevée de nm.
très nettement
où p*
=
3,22
au
premier exemple
traité
et nlu < 1.
Allievi avait réussi à décrire les
propriétés
d'une conduite
quelconque, au moyen d'abaques classificateurs. Cela nous est impossible, dans le cas général, en raison du trop grand nombre de variables (p*, pn pn, pm, nm, (»)...) auxquelles nous avons affaire. Cependant, les trois exemples traités ci-dessus nous don¬ nent
une
idée de la diversité des
cas
que
nous
pouvons
rencontrer,
la conduite peu sensible (Conduite « A »), jusqu'à la solu¬ tion très sensible (fermeture rapide de l'organe de secours de
depuis
1 2
Voir page 180. Voir page 212,
fig.
46.
— la conduite théorie
C », où
Si,
»).
générale
obtenues «
C
«
dans le
—
premier
cas, l'application de la ramène à des valeurs très proches de celles
nous
faisant at
1, il n'en les surcharges B^m et Bm en
à la théorie
grâce
220
=
que
nous
est ne
venons
plus
de même dans le
peuvent être connues d'élaborer. Dans un
cas
que cas
B.K«tl\
30
7, de
en
H.
Bm-0.28H Bm -0.2591
(£> 20
~*®
I I
i
i
/ /
i
\
/
10
/ / 1
/
K na*"
?
! /
— Loi
fonction du 1. ni
3.
temps.
surcharges B^
Fermeture
Surcharges B#k =
2.
des
en
O,
218
H,
B„
-
0.0204
*
40
Fig. 49.
0
en
pour
-
=
une
11
12
13
14
15
K
devant l'obturateur O et 10 sec,
chambre
(h)r
17
Bt
en
A,
en
16,05:
prismatique
px
=
pn
=
pHI;
12,72;
1 (bassin infiniment grand); Surcharges B^ en O, pour at Surcharges BJ en A, pour la chambre prismatique. =
où l'on
pareil, pour la
est bien
surcharge,
il
ne
près
des limites extrêmes admissibles
serait pas
prudent
d'éluder le calcul
exact.
Les
trois
souplesse fermeture
exemples
traités
prouvent, enfin, l'utilité
de la méthode de calcul
linéaire,
la
et
la
approché, pour l'étude de la fermeture brusque exceptée. L'exactitude
—
221
—
qu'on peut exiger en pratique. Nous pourrons, en outre, et sans effort exagéré, sou¬ et mettre une chambre d'équilibre à une étude systématique l'on vérifier, entre autres, comment varient les pressions, si modifie l'un quelconque des éléments de l'ensemble: p%; pt; Pin Phi! Y0; t etc. Il est évident que le calcul des lois de surcharges pour'le cas de fermeture linéaire n'épuisera point le champ d'investigations les cas du technicien, qui portera également son attention sur d'ouvertures brusques et de manœuvres alternatives rythmiques. Cet examen se fait par application directe de la méthode générale.
obtenue reste
Pour toute
largement
manœuvre
dans les limites
linéaire
synchrone, on calculera les phase de la conduite, ^^k étant ou
points k— 1, k, k + 1 de la manœuvre pratiquement une droite entre ces points. Pour toute la rythmique non synchrone, on prendra comme durée de la cadence de la phase le plus grand commun diviseur entre la fonction O^ étant de manœuvre et la période de la conduite, ainsi qu'on le vérifie nouveau presque linéaire entre ces points, Il est donc toujours possible de sans difficulté (voir fig. 31). calculer
sans
les passer par le calcul de tous
—
222
—
Chapitre C.
CHAMBRES NON
PRISMATIQUES,
OU AVEC PARTIE
Peu de chambres On
AVEC COL D'ENTRÉE
INFÉRIEURE TUBULAIRE
d'équilibre
modernes
sont
prismatiques.
des raisons très bonnes de s'écarter de cette forme et l'un des trois types suivants: chambre avec d'adopter a
chambre
col;
partie inférieure tubulaire et chambre Chacun de ces systèmes a ses
avec
avec
étran¬
glement. avantages, qui le feront préférer suivant les cas. Or, si nous avions quelques raisons a priori de croire et
au
bon fonctionnement des chambres
prismatiques —
qu'il est des cas où pareille affirmation est cependant téméraire, voire controuvée, — nous n'en avons, nous
avons
pratiquement,
vu
aucune
d'avoir
sans
autre confiance
en
l'une
ou
l'autre des trois formes citées plus haut. On se représente, au aisément contraire, qu'une chambre inférieure en forme de cul de sac réfléchit les ondes sans changer leur signe, à l'inverse de la surface libre du puits vertical:
qu'advient-il après interférence qui s'annulent en partie ? Et les chambres à col d'entrée, et plus encore celles à étranglement: quelle garantie avons-nous, qu'elles réfléchissent convenablement les ondes ? Les raisonnements qu'on a faits pour le prouver sont par trop primitifs pour que nous nous y arrêtions. Une étude sérieuse ne saurait plus être évitée. Nous allons la tenter. de deux trains d'ondes
Nous aborderons
ce
chapitre délicat,
à col d'entrée et à chambre
par le calcul des chambres
inférieure tubulaire. Nous nous atta¬ cherons particulièrement au calcul des surcharges aux points 0 et A, pour le cas d'une fermeture linéaire. Nous saurons calculer point par point la surcharge B*ft en 0, dès que nous saurons développer la valeur ocft relative aux deux formes de chambres
d'équilibre. Nous connaîtrons, de même, Bî),m par la formule (122a) et pourrons, par le fait, construire la courbe caractéris¬ tique des surcharges limites, dès que nous pourrons estimer
— Tout le
a^j.
fait,
le
—
du calcul des
problème
surcharges
en
0
est, par
calcul des valeurs
ramené
Supposons,
au
faut, en effet, point le calcul des surcharges en A,
valeurs (Voir la fin de
auparavant
223
au
ce
chapitre).
Il
nous
ces
mettre ce
qui
quelques explications complémentaires. Nous ne pouvons plus appliquer l'équation (8) à la chambre d'équilibre, puisque celle-ci n'est plus prismatique. Ne pouvant plus écrire — Fn nous définirons d'une façon tout à fait géné¬ fn. demande
=
,
rale
une
fonction
à%_^
telle que:
unité de temps le battement dans le col, 1 (Voir fig. 36 et 37). Par le fait, très court, de la chambre : nx l'équation fondamentale de la conduite II sera, de façon ana¬
prenant
en
comme
=
logue
à
*i&
de la conduite III:
l'équation (37a)
+ yi+l
- y„(i
+
o\)
=
?
[*.„„. - ça.+i +
,IIo(i -
ty]] ty
(152) ou,
en
valeurs relatives:
*.(£_!)+ Ç+1_l
=
2PlI
1
Vn0
Vn0
Vn0
(153) Passons à l'étude des sans
conduite forcée et dans le
sous
pression — chambre 1.
(Les
organes de
en A
surcharges
Chambre
fermeture
non
!!i Ift
=
conduite
trouvent au
forcée. droit de la
!î._J_(Ç —1)
V.
!()
de la chambre
général de l'ensemble : galerie prismatique — conduite forcée.
Nous supposerons nous trouver dans la la conduite I. Dans ce cas nous avons:
V,
cas
cas ca s
sans
se
dans le
2PlV ri
'
chambre.)
première phase
(23a)
de
_
224
—
et:
=
V„
d'où,
chapitre
comme au
^i
(137)
;
II.B.l:
Vl0
NO
Introduisons cette valeur dans
at(Ç_i)
(154)
i
(153),
il vient:
ç+1_i
+
2 Pu '
+
0r:
^r V *
T-
+ '
^ V *
=
«o/
lo
h
^[o\(C-D-(Ci-d] ?
ir V *
TT. II„
n s'en suit <ïue:
1
III„
J(C-l)(l-^)+(C+l-l)(l+^ 2 Pu
h^--nl+itl+l
équation qui nous livre Çt+1, point par point:
Pn^l+l
—
^t+1
Pu\+l +
"o.
—
V
en
+
(1-fy^L
fonction de
1 +
-2pn
(155)
£,,
8,{<-l) W.
+
pour le calcul
Pli 1-S
-
1 +
Pi
Tr-fi-*,)
— i
On mode.
ne
+
^
fera que que rarement usage de cette
(156)
équation,
bien incom¬
225
— Calculons le v)0
=
1
et
cas
7jx
=
—
de la fermeture instantanée 0.
Comme,
en
faisons
:
général, cIIIo
=
1; il vient
Ç0
VIIIo,
=
(155):
de
1^
=
1^
=
^-1=-^ 1 +
Pn'
Pi
identique à celle trouvée pour la chambre prismatique, ce à quoi il fallait s'attendre. (Voir équation 141.) Sans nous occuper du calcul point par point, recherchons la valeur limite Çm àm^. L'équation (155) Çi? pour
valeur
~
=
=
devient :
(C-i)
-1
— 2pn(^m-iv){ —TQi+j)^, Nous
en
+ 1 +
^(1-*^)
—2PlI1p-(l —d^)
(157)
tirons:
8m-i+1
-I7!* —yli+l)2 +
PuVm-lVi — ^i+l)
+
+
ri(1-8-«) ri
V v^ +
r
0.
=
Hli-s,m-V
\
+
2Pn
'
"fn
.
HIq
y
i"o
/
=.
'm
(158) Nous obtiendrons la limite
en
faisant y\i+l
=
0. Nous utili¬
également cette équation pour trouver approximativement la valeur de Ç4 à la fin de la première phase de la conduite I, que la valeur nv Nous savons en effet, par expérience, que pour i serons
=
Çm
est atteinte
assez
tôt.
(Voir,
p. réfléchies en C
négatives diminuer Bi, sitôt i> nl. On simplifie beaucoup les H0, ment, puisque Y0 des ondes
ex.
aura
calculs
et que le retour
fig. 25),
en
pour effet ordinaire de
posant approximative¬
=
C
=
1 +
B„
1 +
|Bm)\
c'est-à-dire
relation valable pour autant que
Çm
est
Z,m
=
1 +
^m
petit. 15
»
226
—
—
L'équation (157) devient: B„
— Pu (*m-l
— »Ji+l) Bm — 2
1i
En faisant 7ji+1 2
B
Pu
0;
=
Pn
+ 1 +
m~i
v)j
1i
um-l
£«-»-.>]
*m-l*Ji ~
ty+1 +
1/0
eni
=
et
y"5"
+
— *li+l
Âp"
i1 ~ °\n-l)
Vni
=
,
on en
=
tire:
(1 — 8m-l
=
r2
+ 4 +
i-l
(1 — Sm-l) — Pu
(Sm-1
^i
~
li + 1'
ri
(159) + !
6m-l
+ — f1 - °m-l) ~
Pu
~@-
© est la fermeture relative par rapport au battement dans le col de la chambre. Le problème est donc résolu, dès qu'on sait calculer &
ou
Exemples numériques. Nous
allons
calculer
:
Fig.36i: (xn
=
Pl
0",064
Fig.36a*: [An
Fig.
=
=
;
Pl
0",064
373:
l2
;
Pl
l3
=
2
3
Voir page 172. Voir page 173. Voir page 174.
=
(i2
PlI
(Xj =
7/8 L„ .
=
;
^3
=
; =
7,13 .
PlI
1/4
=
p„
==
1/8
=
7,13
=
^•2 1
courbes
caractéristiques des trois chambres d'équilibre reproduites 37. Elles sont définies par les grandeurs
charges pour les figures 36, 36a et vantes
les
|xn ;
°
fin ;
7,13 [.„
jx2
^
=
.
=
^
;
;
;
(x2
Pl
=
0",064
7/8^ii
;
=
=
^
8
7/8
.
p2 ;
3/4 =
^
=
7
1/8
=
P2 =
n2
y.u ;
.
fxn ;
re2
=
p3 =
1/8
.
jxn ;
3
sur¬
aux
sui¬
0
227
_
—
Sm^ est exposé à la fin de ce chapitre, Sm_l au moyen de la série (33), (formule
Le détail du calcul de
§ 3. Nous calculons 163), pour les figures 36 et 36a. Pour la figure 37, nous développe¬ série e (79). (Voir la fin de ce chapitre, formule (165)). rons la séri au
(0X
=
numériques dm_i
valeurs
Voici les
battement [xx dans
Fig.
36:
j
=1
m~l
Fig.
Sj
fe»i—1
3
Fig.
0,2222;
=
sx
m~l
37:
*1
sa
; s2
=
i
JSa
*3
=
=
7,13
;
Wx—1
!_
,
0.2222
0,667;raa nos
=
7; *„,_,
calculs (voir
.
8
0",008
p„
=
=
1
-
^
fig. 44):
Fig. =
8
«!—1
36
p-j.
1 #
0,2222
1-7778
(-Jj—1
\__
1.7778
.
Fig. =
0.2222 .
0i—1
Le tableau suivant résume
pn
1
s2
=i
=
1,7778
=
i
=
1,7778
=
pour unité le
prenant
en
figures:
3
aux
lt).
*_.fi
36a:
relatif
de fermeture
temps
relatives
0,8915
36a
;
jij
=
0",016
1"
2"
5"
10"
1"
2"
5"
10"
0i
125
250
625
1250
62,5
125
313
625
Sm-1
0,9989
0,99 0,9995 95
0,99 0,9998 98
0,99 0,9999 99
0,86 0,8689 89
0,93 0,9355 55
0,9744 0,98718
0,063
0,0316
0,01 0,0128 28
0,00 0,0064 64
0,1363
0,0658
0,0258 0,0129
T
x>m
Fig. 37
pn
=
7.13;
n,.
=
0",008;
n„
=
7
T
1"
2"
5"
10"
®I
125
250
625
1250
5m-l »m
0,9435 0,9435 0,9718 0,97185 5 0,9888
0,9944
0,2312
0,0457
0,4685
0,0918
— relevé
228
—
Bm dans la figure 44. On observera que les chambres des figures 36 et 36a réagissent très bien, alors que la chambre avec partie infé¬ rieure tubulaire ne fonctionne guère mieux qu'une chambre prismatique de même section. Il y a donc, d'un cas à l'autre, des différences notables entre les surcharges Bm : dans notre tableau, elles vont de 0,0064 à 0,4685. Nous compléterons encore ces données, en calculant le cas d'une chambre avec étranglement. (Chapitre II.D). Nous
avons
graphiquement
2. Calcul de l'ensemble
«
chambre
conduite
Supposons 0
une
les valeurs
d'équilibre
forcée
conduite forcée
prismatique
non
— -
».
ayant à
sa
base
un
obturateur
sommet, une chambre d'équilibre non prismatique, soit avec col d'entrée, soit avec chambre inférieure tubulaire. Dans les deux cas, le calcul de £*, et de £* se fait comme à à
et,
son
,
l'ordinaire savoir
au
moyen des
développer
la fonction ai7
reviendrons à la fin de
Calcul de la Si
nous
formules
ce
surcharge Bi;
calculons
Ç*
(122a). Il suffit de le calcul de laquelle nous
(41)
sur
et
chapitre. au
point d'intersection
point
par
point,
nous
A. aurons,
quelque
soit t, la relation:
*i(l-«i) Si
nous
comme
employons
=
la méthode
^-l
(18)
approchée,
nous
procéderons
suit:
Supposons
que de la conduite I.
Voici les
nous nous
trouvions dans la
équations
fondamentales que Pour la conduite II:
^_l)
+
^+1_l
=2 Pu
iv .
nous
utilisons:
'
V
«0
première période
"0
* V "0
(153)
—
229
Pour la conduite I:
io
puisque
nous
nous
(23a)
— — — (F — l) V \
=
—
trouvons dans la
première phase.
Pour la conduite III: l"0
"'i
(20)
_ ~~
V
Le
temps relatif i
est mesuré
le col de la chambre (re2 trouvons
Combinons
1).
=
fonction du battement dans
en
ces
équations,
nous
:
v
l±
=
'v:
"
VIIIn
VHn
zplll
ui0
!^L__!li
'
VIo
VIII0
VIn
±
+
1) -
_ J_o.(l + a) 2Pl]
et:
*,£ -1) +
^rOi+1(l Pinl
En tenant
+
Ci
+
-1
=
at+1)-^0I(l
compte de
ce
que
+
^[
J
~ -j-
r~
Ho
I0
il vient
=
^~
et,
io
en
v
in0/
n0
ordonnant,
IHo
:
îi(Ç_i)(i_£) Pu
[*,+ l(l
+
(ç;+1-i)(i+5ï
+ «, + !)
(160) — *,*,(! +
«j]
est très peu maniable. Nous recherchons donc la valeur limite Çm Ç4. Nous obtenons: Çî+1
Cette
équation
~
=
C-l)
_t
+ 1 +
fîî(l _ -J^,)
^ [<î>î+1 (1
(161) +
al+,)- <*„,_! ^ (!
+
«*)]
—
230
—
Cherchons comment
exprimer le membre de droite de cette formule (161), en fonction de grandeurs connues. Nous procéde¬ rons comme au chapitre II.B.2 et poserons af 2^ oci+1
T (*
Bm
+
am)
[**i+l — *m-l *>*ù
=
+ 1
m-l
+-(!-5m-l) ri
=
Or, et
nous
en
avons
0:
=
« #m-n
Et
en
^*i+l
O*,
=
=
0#i + i
0*„
am_„niO*m_niii
+
11i
^*m O
en
Bm
B*m
,
(18a)
— a„ d'où:
(40a)
B *m
N°
1,
on a:
^*m-l " ^
^
*m_niiiJ
*m
'
0Uou:
*m-l
1
On
1
ot„
l'hypothèse
vertu de
^*i
A:
en
<&*„,
K[0»i+1—^G.J
—
B *m
a„
(l - am)
'
"in
tire :
=
K
1
— a„
"m
+
am-nm V1
BmC...-1)]!
(i-^^n.Jj
'
"V
am
.
'
et: m-l
K
"ni
B.
am-nm
m-l
1 —K 1
—
am
rem
- am) am-nm (!
B *m
8m-l ("ni - 1) (* ~ am)
"m _
—
h1
+
Pu
+ * +
[8m-l
231
—
^
f (1
-
8m-l)]
ri
p-(4+«m)
1-
1 g
+
TO_1
'
i ~ +
Pu lîi
g
nm am-n ni
.,
j.
..
(1 —am) M—8
\
On vérifie que, pour
V
m;
v
,\
8„ -1/
1
/
"Hiin
m-\)
dm_l
=
1,
on
retrouve la formule
(149).
3. Calcul des valeurs a.k, àv u.m et àm lorsque la fonction linéaire. (Hypothèse N° 2.)
04
est
d'entrée, nous calculerons au moyen de la formule (90) et èt au moyen ah en toute rigueur de la formule (33). Ce calcul pourra paraître long. Aussi, Dans le
cas
de la chambre
chercherons-nous
limite am ;
$m
une
avec
formule
col
simple exprimant
est, par ailleurs, donné
a«,
=
valeur
par la formule :
1-^-rm
la
s
(163)
(121), n2 représentant la période relative de la chambre de longueur l2. Dans le cas de la chambre avec partie inférieure tubulaire, la formule (79) nous donne $t, le temps relatif i se rapportant à la plus courte des longueurs Z2 ou h- Nous chercherons vers linéaire. quelle limite tend ôm lorsque m est grand et Oj que
nous
déduisons de
Nous n'avons pas recherché de formule exacte pour ah dans le cas où la deuxième discontinuité est une bifurcation. La formule extrême. Nous tournerons cette serait d'une
complication difficulté en supposant que les conduites I, III, 2 et 3 se coupent toutes quatre au même point A. Cette hypothèse est d'autant est très court. plus légitime qu'en pratique le col (conduite II) Nous trouverons, également, comment exprimer la valeur limite de am, lorsque m est grand et <ï>*fe linéaire. Avant d'aborder ces calculs, nous développerons au préa¬ lable un théorème mathématique indispensable. Nous ren-
232
—
—
controns, dans le développement de ocm et
(90)),
des séries de la forme:
0
Xx X2
=
X3
=
X4
=
12
1 +
=
et
a2 +
+
a
3
<îm (formules (79)
4
a3 +
a4 +
1 + 2a +
3a2 +
1 + 3a +
6a2 + 10a3 + 15a4 +
4a3 +
..
—L-
=
1
— a 1
5a4 +
..
(1 — a)2 1
..
(1 - a)« 1
1 + 4a + 10a2 + 20a3 + 35a4 +
..
etc., etc.
Considérons la progression
arithmétique
de raison + 1
1 +2+3 + 4 + 5 +
Multiplions chaque
terme des séries
...
X1; X2, X3,
correspondant de la progression arithmétique somme
La
par le terme et calculons la ...
de la nouvelle série.
première série Xx devient:
X;
=
1 + 2a + 3a2 + 4a3 + 5a4 +
La deuxième
X[
:
=
=
=
=
^-^
.
X2:
l + 4a + 9a2 + 16a3 + 25a4 +
1 + 3a + 6a2 + 10a3 + 15a4 + a
...
+ 3a2 +
6a3 + 10a4 +
1 + 3a + 6a2 + 10a3 + 15a4 +
+ *
— ~ (1 — a}»
...
...
...
3a + 6a2 + 10a3 +
l
,
+ U
(1 +
a
...
1 +
a
_ ~~
(i
— a)»
(1 — a)s
*
...)
— La troisième série
X,
X3
233
—
donne :
1 + 6a + 18a2 + 40a3 + 75a4 +
=
1 +ia + 10a2 + 20a3 + 35a* +
=
8a2 + 20a3 + 40a4 +
+ 2a +
1 + 4a + 10a2 + 20a3 + 35a4 +
=
+ 2a (1 + 4a + 10a2 + 20a3 + l
+
[1 ~ a)'
La
X,
quatrième
série
X4
)
2«
1 + 2a
(1 — aV
(1 - a)*
devient
:
1 + 8a + 30a2 + 80a3 + 175a4 +
=
70a4 +
1 + 5a + 15a2 + 35a3 +
=
.
•
+ 3a + 15a2 + 45a3 + 105a4 + =
70a4 +
1 + 5a + 15a2 + 35a3 +
+ 3a
(1 +
5a + 15a2 + 35a3 +
v
et
i
(1 — a)6
+ 3a
à
fait
(1 — a)5
[l — af
générale: considérons,
+ l)ème terme de la série le par (m +
1).
effet, le
en
dont la valeur est —
X„
'
multiplions
)
_ ~
La loi est tout (m
.
1
3a
,
.
<1
3/r
41
— ~~
.
n+1,,
-f ,
n)l ,
m\n\
On
a
bien pour
ce
terme la
relation :
(m (n
+
+
1)! l)lm!
n
+
1 n {n + m) ! \n (n + m) ! n\m\ [ n+i +ïrri-m\ {n + \)\ (m — 1)! (m + n)\ (m + 1) (n + 1) n + m)\ {m + 1) ni ml n\ m\ (n + 1) \n
'
=
qui indique
comment
on
forme les coefficients
(m + 1)
-—j—p-
on peut de la nouvelle série. Ceci étant vrai pour chaque terme, et l'on voit que la série Xn+1 deviendra, après faire leur
somme,
234
—
multiplication raison + 1
par les termes de la
progression arithmétique
de
:
Xn+l
-^-n+2
—
Passons maintenant
a)
—
au
+
1
na^-n+ï
+
na
—
a)
calcul des limites
n+2
am et
Cas de deux discontinuités successives.
Considérons la série
(90) qui donne a4 pour le cas de successives. Supposons que 04 soit linéaire,
discontinuités
deux
c'est-
à-dire que:
«V-i
m
1>~vm-ï
-1
*m-3
m
_ m_
$ $
m
m-n2 __
3>
Remarquons qu'un
terme de la forme çp
et cette
donc,
5TT Si-,* 7*i
somme
somme a
au
a>
1
A —A-S-.
*„
D'autre part, oq est égal à la Nous écrirons
:
—
A,
,
,
'
m
(]>
tants tels que
— n2
de tous les termes
comme
lieu de la série
®,
m-\
^n^ni^ii ''i
G>
limite 1.
(90): $
®m
?
cons¬
*
m-2
—
r2 r3
ce
°m ~ ®m~S
siiiiii'il'l'
S m
<ï>
SIiSmSlS2
m
— $
$
,
m-n2-l
_j_
o
_
_
m
— $
m-n2-2
1> m
m
$ •
_
m-ns-3
+
...
$,
m-2n2-l
sllsms1s2rz
+
2rn/y
+
*...]
n
~<ï>
— $
— $. m-3n2-l
<ï>
m-2n2-2
1>
+3
235
— ([> ^m '
— CD
r,n
wm-2n2-2
sn sm si s2 ru
o„
i
r
4>
CD
m
„
>:>riiri
2siisins1s2rnr2
6rnr[
CD— cD
m-3na-2
+
$1
m
^i
'3siisins1s2riir2
— CD m
,
CD
„
^m-4n2-2
q „ „ ~r -J^n^i t
3>
m
ç|>
2
m
— CD
et
o
o
o
o
m-3n2-3
m-37i2~3
+ 4'",i'i
—
-
$„
+
3
...]
m
»»
CD
o
CD
+ m
cl
m-2n2-3
-
•
6r,^—]
— CD
m
/
o
m~3n2-4
+ 107,
*•••]
q
3
2
m
— d>
c'snsiiiSiSarn''2
CD
o
,
m-4n2-3
_i_ / r
1>
*
_
»,
rn
'
•—
m
,
,
m-4n2-4
"
i
•
a>
+ 10 r„r;
CD
Remplaçons poser
m*m
O; =
les valeurs
m
— CD
n
ffl—î2-5
par
—,
ce
qui
revient à sup¬
linéaire. Nous obtenons alors:
m
— sllsulr1 — 2sIIsIIIrI1rJ — 3sHsmr>° — — «„*„,*! ss
[(«a + 1)
...
+ (n2 + 2). 2^^ + (ra2 +
3). 3r^? +
.
—sIIsmSiS2/,2[(2re2 + 1) + (2n2 + 2).2rIIr1 + (2re2 +
3).3^7+
•
•]
236
-susmr?ru[(2n2 + 2) +
etc.,
— + (2w2 + 3)
.3^^
(2n2 + 4). 6v? + (2b8 + 5).
10^
...]
+
etc.
Nous pouvons dédoubler chacune des exemple pour la dernière:
lignes
écrire,
et
par
-*nVWn[(2rc2 + 1) + (2n2 + 1)3.^ + (2n2 + 1)6^F + (2rc2 + l)107^73 + ...] -*n W/.iO 1 + 2.3rIIr1 + 3.6^ + 4.10^ + .] .
.
ou encore :
l)susluWu\l + 3rnri + 67^/ + ÎO^3 + ...] -*n*„iWn[l + 2.3/^+ 3.6^ + 4.10^+...] - (2na +
—2 /0 ,,, ==—(An» + l)s,,s,,.s s rTT>7-
Nous pouvons procéder de
*n Vi
i
r1
—2
—s,.s,„s
même pour
s
r.,
rr
chaque ligne
1
(l — rnri.
zw2sIIsnis1s2''2 2
àn2 su sm «! s2
(2w2 +
2rnri î
SnSinSlS2
'
(l-'-n'-i)2
+/„/-!
(l-'-n'-i)1
5II SIII Sl S2 r2
1
ra (1 _ ^ rJ1
—
2
1 + ^n7"!
(1 - >•„ 'i)1 1
+ rurx
^-^^
l)sllSlll5^rii^—_L_^ 11111
i
»
•
et écrire:
[jiZZ r^ji\
W2^IISIIIS152
o
+
-,
"(1 — rjjTi)*
— (3ns +
237
—
l)2.sIIsIII*1s'1r1Ir8^-—^ry: 1 +
7-*
9
/siisnisis2''nr2
2rn?-i
(1 — r rx)4
1
(4rc2 +
l)3.sIIsIIIsis2rIIr2^zr7-:7-
(3«2 + 2)sIIsIIIslssrIi (j _
r
2^7-,
_3
1 +
3r„
1 +
3^^
a
rt
2)3sIIsmV2rnr2-|r=7II7^ O
—3
2
dSIISIIISlS2riir2
-
1 +
ri)4
^_ (4»2 +
S2
2
O
(5n2 + 2).
6 s„ stII
"M
r
r
)6
s^J r", r*. ^—^ 3
2
— 6s„s„,ssr„r. it0ili"i"a
* +
_a
"
*
2
(1 —
3rnri r
rjs
(4b2 + 3). s„sin V/n (}-=7^r)ï •
4
1 +
S
_ siismSiS2rn-
(i _ ^r,)6
etc., etc. Nous pouvons grouper
ces
termes
comme
suit :
l
ma„
=
m
—s,,sr„r
'n'ra'l
(1 - '1, n
snsmslsl
j^~^ t1
+ 2r2 +
3r|
+
^n'i
...]
—
238 1
*nVWn- (î7=-~ji
[(2«2 + 1)
suSm^3/11.jrzirr^i[{3n2 + 2) +
STTIjOIIIo1i2 otït5i 5.
1 + i-ur, •
/.
(l-'-n'-i)1
2
3
— *n*iii _ mccm —
1
2
Wn
[l+ra
+
2rnr1
+
3'"n',l
^jSjjjTj
+ (4«2 +
(5n2
+
2)6rl+
r|
+
...]
+
r-.
-
2
-
[1 + 3r2 + 6r2
,
+
r
<^TT n^m^l^a *TTT ^1 S<>.
"
•
/a
(1—i-nrj»-
^TT
h
«„ ' TT "m *. "i "a'h•
(! _ ,.^^3
(1 —rj»
1
3n,
2
sI1s11Is1sirn.
(l-'-n'-i)
1 +
siisiiiSiS2rn
•
i/\ !
—32
à oTTûITT 11 m i
m
O
s
f
II-
(1—r,)*
'
(1—r,; 2
,
+ '
(1—r,]
rurx
1 + '
(1—r,)" ïn.
^ttt
3
=
...]
1 m
'
mam
l)3r;+
2^^
!
3/-J,/-!
!
,
+
(1 — ^r^' (1 — t-2)3 1
— snsm/i
jj _7n-rj
re2snsmsi
(1 — r,,!-,)'^ — r,)
2)3r2
...]
2
(î^T^rji
•
l)2ra
(4»8 +
+
—
+ (3w2 +
2»2snsins r„ (1 — /•IIr1)3(1 _ rj 3
2'
^"a^II^III5/!!
-1
...]
—
239
—
*ii8inVii _ 2«ii*mVn _ 3*ngiii*trii (i —'•n'-i)5 (i — 'n'-i)4 (i — ^i)3 1 +
(1 — Vi)
»i'n
+
1—
'
rurx
-H
(1 —rjjT-j)'
•
3sirn
2*1rII '
1—'•n'-i
U —rii''i
1
mam
=
m
—s,^,,^ re2SIISIHSl 1
(1—'•„',i)ii(l —'"a!
3s '
—'•„'-i o
2
r„
+
(1 —'•h' 2
••
2
3s rT.
2s ±r
(l-'-n'-i)
2
n
2Slr:l
+ (1 — ruriY
'
-'nri
siisiii*i
(1—rnrj3
[\ — rnrx] !—
!—
rTi''i_ 0ii°iii^i
m
mu.„
(1 — run)
1
— '"ii (si
+
'"il
X
1
(1
'"ii'-i.
'ii'il
(1 - Vi)
aiiaiii3i "
1 —r2
mxm
=
m
'
1
— Vl
(l~rnrJ3
[l-^iiK+Si)]
— rui
(1— rnrxy
°inai
(1 — /•„/•!)
-(î—^rj
sn
tirons :
Nous
en
a
1 -' "il
Simplifions écrire
l
sm*i
— — n9 siusi sns2
=
'
la
'
(1—rnr,)2
"s
quantité
entre
'
»„(!—i^rj
crochets
(1—r,,^
[...], qui
se
laisse
:
snsniri + W^ii— suisirn ri + siisiiisi
*n(l~—Vi)' *m
[f1
- ri) + (1 — V2 ri - t1
sn
[(1 — rr
(1 — 2rnrx + ri
~ 2rnrx
+
(i-V.
+
r]^ +
~_^.ri rîi]
r^) — r]^ +
'î.'î)
r,rr']
^
s^
—
240
—
d'où, enfin:
(164)
formule
remarquable par sa simplicité et qui laisse entrevoir qu'elle est susceptible de généralisation, pour tous les cas où fl> est linéaire. Nous
pouvons vérifier cette formule dans divers cas. le second élément de conduite est de section infinie, on a: s1
0
=
et
rx
Si
1 ;
=
d'où: a
1
=
(121)
— •
1
valeur
déjà connue. Si, au contraire, sx continuité disparaît, et
=
1 et r1 il vient: s2
=
=
=
w2
1
+ l
r2
=
«
Si
nous
=
1
=
2
1
m
S2
et
ru
=
rm
=
0,
1
s.
"n
la seconde dis¬
Sm
également connue. 1 Supposons, au contraire: sn sm la première discontinuité s'efface. On trouve : =
0,
-
supposons que, dans
ce
m
cas, les deux discontinuités
se
n
rapprochent, et
La
am m
=
2 —
garde
m
1
— .
présence sI
,
valeur
m
s
du
terme
=
sm
valeur
une
finie,
mais — tend
vers
0
connue.
'
=
1,
\ —
est
très
il vient a„
compréhensible. Faisons: n2 + 1 .
On retrouve
— cette valeur
tale
faisant sin
en
Passons
s2
la formule fondamen¬
dans
inférieure tubulaire.
au
cas
est donnée
crivons
de la
vertical et
puits
en
d'équilibre avec partie infé¬ la valeur de ^ au point d'intersection
d'une chambre
rieure tubulaire et calculons du
=
—
(121).
Cas d'une chambre
b)
241
chambre inférieure.
par la formule (79), que nous trans¬ les notations de la fig. 37, où l'indice 1 représente
rigueur
toute
d'après
l'onde venant de la
galerie,
2 celle de la
d'équilibre, et 3 celle venant Prenons, en outre, pour simplifier, n3
chambre
de
==
•s
_
r
v
®rn-n3
v
$m-2n3
,
dm-ri-siss-^-tW3-^-
+
Cette valeur
partie verticale de la la partie horizontale.
1. Nous
avons:
m-3n3 3®m-in3 s1s3r3 9m -\-slssr3 ^ ,
.
'i'.^ + 2W«?5S* + W.(*.-2r,)5*£^
+ *! Ws(2s3
2
+ SlS2r2 On
- 2r3)
SlS2S3(S2
$m
démontre,
duisons pas
^f^ + Slstsar\ (3ss-2r3) ®"^ +... 2ra)
de
ce
Jm^ +
façon générale, que calcul un peu long.
Recherchons la valeur limite de
lim
•
•
•
1. Nous
ne
repro¬
la fonction
Œ^
supposée linéaire. Ecrivons <îm sous forme d'une différence en tenant compte de ce que O* est linéaire et en procédant comme nous l'avons déjà fait:
est
— ^SlHrZ + 3slS3r3 — islS3rl + — n2s1si — 2(n2 + l)s1s2s3 — (n2 + 2)s1s2ss(s3 — 2r3) + {n2 + 3)s1s2s3r3{2s3 — 2r3) — (n2 + it)s1s2s3rl(3s3 — 2r3) + — 2n2s1s2r2 + (2n2 + i)s1s2s3{s2 — 2r2) mK
=
m
+ S1SS
••
2)s1sas3[r3(s2 —2r2) + s3(r2 — 2s2)] + (2n2 + 3)^*8 [rj(sa — 2r2) + 2s3r3(r2 — 2sa) + sas*]
...
— {2n2 +
Sn^s^l + (3n2 — {3n2
+
+ l)s1s2s3r2{2s2
—...
— 2r2)
2)s1s2ss[rar8(2s2 —2ra) + s3{r] — is2r2 + s*)] +
...
16
— Transformons cette devient
m
242
—
expression ligne
par
ligne. La première ligne
:
+
Slss(l - 2r3
La deuxième
+
3^-4r|
+...)
=
m
+
^j2
.
ligne :
— n^s^z — 2(n2 + 1) s^s
3i-;-4r;+
(«2+1)^(1 -2r3+
s3(i — 4ra + 9r] - 16r*
+
...)
+
...)
r] — r\+
...)
S1S2^3
— 2(na + l)ra(i—ra + — 2r,(l -2r3 + —
^2^1^2
3r\
2(»a + l)Sl*2*8 + M>*8
'
„
_ 3
La troisième
ligne
["2 L(l
nous
+ 1 +
-a)2
MU"
+ ...)
1
r3)*\
(
1—2r,+
+ 1 —4rs +
+
sa*;[(2na
+ 2)( 1 -
2n2s1s2r2 + s1s2ss l (s2
2r2)
+
+
,u
'"a)2
^
(1 +
r,)»J
^
2n, +
9i-|—...] 6r| —
3r3 +
+ 1— 6r3 +
L(l
3r|— ...J
—*s(ra —2*8)[(2»a + l)(l—2r, + 3i-;...)
+ SlS2S3
21 —2ga)L',.
(1+r,)'
2r2)[2na(l — rs+ !;—...) +
— frfa
+
donne :
(s2-
An2s1s2f2
4^
2r8[^±^
1— >.
,
—
...)
lSr\— ...]
+
r3)
'
(1
+
2[2n2 + 2 + *"*" L(1 + #-,)
r.
1 '
(1
— 2r3 +
rzY
—
quatrième ligne
La
243
—
devient :
ra(2st — 2ra)[3na(l—ra +
i-2ra +
+
3r\-...]
+ S1S2S3
+
sl(2s2r2 — 2s\) [(3n2
l-4r3 +
9r:-...] 6r| —
+ 2) (1 — 3rs +
- Syl(3n2 + 3) (1 - 4r3 +
10r; —
30r|-
...]/
r2(2S2-2r2)[^ + w^ + 1
on2s^s2r
(1
sis2s:
j -+- s3^s2r2 3
s. s 3
etc.,
2
^j
\3n,
2L(1
+
+ 3 '
r3)*
2(n2 + ^s&Ss +
mi
^)3
+
1
— 3r3
(1
+ r3
1 —r,
''a)2 +
MU-
(1
rt)
+ ^4
etc.
Additionnons et ordonnons. En
nous
^
+
S!S2s3-
remarquant que : 2(n2
1 + ra
+
l)s!S2s3
1 + r3
obtenons:
=
m
+
(1
+
^
2SlS2[l+2r2 ^
+
3r:
(ai2 ~f"
+ 1
4r^+ ...]
) 5i5253
1 + r.
+ ~r
in2/{3s2 — 2r2)
|
ZSj 5253r3
(i + /-s:
+
...]
+
...]
*is2s3
+
jTT^F ' •
[(Sa ~ 2ra)
+
)
)
...
1—8r, +
+
...
18r;—...]
+ 1— 6rs +
T
'
-ss(rl-is2r2 + sl)[(3n2 + l)(l-2r3 + 3rl-...)
— 3^25^2^ "T
\
r\ — ...)
ra(2s2 — 2r^
+r|(3*a—2ra)
- 244
(TTl^Wh + 1) + (3/î8 +
s»(l — r,) (1 + r,)»
[l
+ (2», +
+
s2a)
(ri — 4s2r2
+(r2 — 2s2) +
(r? — 6s2r"
+
3/r2)
+ s;
+
...
(TT7Ja[(2re2 + 2)s2 + (3ra, + 2)(2s2r2-2S; + (4«2 + 2) (3s, ri -
H- SiS2s3
l)(ra —2sa)
l)(r; — 4s2r2
+
+
—
6sV2
+
#+...
(3s2/ — 6sV2
+
s*)
+
3)(3s2r2-2s2:)
+
\
+
...
(1 + '"a)4
+
(1
+
(1
etc.,
+ r*
[<+••]
etc.
Remarquons 1 +
r.)
+
s!(l — 4r3; -7
(4n2 +
que:
(r2 — 2s2) +
l+r, + r; +
(rj — 4s2r2
+
s2)
+
(rl — Qs2rl + 3s/2)
+
= ...
2s2 (1 + 2ra + 3r\ +...)+ s\(i + 3r2 +
...
)
2
2s2
(i
S
+
,.
(l
\_
,„
=
0
—
245
—
et que, de même:
[s2 + (2s2r2 - 2$D ->r (3s2/ - 6sV2 + s[) +...] [s] + (3^r8 — 2s)) +...] 0 etc., etc.
=
0
=
On a, de même
n2[l+ 2(r2~2s2) + 3 (r2-4s2r2 + s2) + 4 (r)—6ssr) + 3sV2) +...] -B8[l+2r2 + 3i^ + 4r; + ...—4s2(l + 3ra + 6r; + 10r;+...) + 3S;(l + 4r2 +
10^ + ...)]
=
Kl
4s,
«2[jré1r )2
o
(1_r2)3-r(i.
que :
ainsi
/z2[2s2 -!- 3(2s2r2 — 2s2)
+
etc.,
4(3s2r2 — 6sV2
+
/)
5(4^-12sV
+
4/r2)+
+
...]
=0
etc.
d'où:
(n2 + l) + (2n8 + l)(r2—2s2) + (3raa + l)(r;—4s8r8 + s^ + ...=0
(2n2
+
2)s2 + (3n8 + 2)(2s2r2 — 2s)) + (4re2 +
3)/
(3n2
-!-
etc.,
etc.
Il reste
m-î
—
w
mim-m
m-
=
m-
+ (in2 +
donc,
'W?2
(1_,a)2 n2s1
1—rs
Bj^
I
+
3)(3s)r2
toutes
- 2s") +
simplifications
sis3
2(n2+l)s1s2s3
(1+;,3)2
, '
l + r3
2(rc2 + l)s1s2. 1+r.
2)(3s2r2 — 6s]rt
2n2s1s2s3 1
l+r3
^ r2 +2re2—2ra8—21
.
'
+
#+...=
0
=0
...
effectuées: 2s1s2s,r.
(1 + 7j2 5j53
(l + r3;
+
1
*iVs[-ïqpir +
+1— 2r2
(i+r,)»s,
'(l+'a)2
246
—
—
d'où, enfin:
*..,
1
«s
h.
m
«2
(Voir formule 163.) Cette valeur est très forme que la formule
remarquable.
(121)
et
Elle
indique
est,
que le
en
effet,
de même
système de deux
conduites (1) et (2), dont la seconde est en cul de sac, équivaut, à la limite, à une conduite unique dont la discontinuité est caractérisée par les deux coefficients s2 et sv II est, par ailleurs, bien entendu que les formules (164) et (165) ne sont valables que pour chambres est
m
et nx
grands,
qui
le
pour toutes les lors de la fermeture lente. Si la fermeture ce
sera
cas
d'équilibre brusque, on pourra
effectuer le calcul de du calcul direct des formules (79) et (90). Par le fait que 1 et
2,
dm, calculé
a
ou
â
au
moyen
l'intersection des deux conduites à la valeur Sm d'une conduite fictive à à
identique section variable, caractérisée par s2 et s1; il suffira, pour le calcul de am au point A d'une chambre avec partie inférieure tubulaire,
de
ne
est
considérer
d'appliquer
également
la formule
que cette seule conduite fictive et
(164), ceci
à condition que — soit suffi¬
grand. Pour les cas de fermeture brusque, il faudrait développer une formule spéciale pour acj (cas de deux disconti¬ nuités successives, les deux étant des bifurcations). Cette formule samment
serait très
compliquée.
On admettra dans
ce
cas, pour autant
qu'une précision absolue n'est pas indispensable, et puisque, en général, l'intersection des conduites 1 et 2 est très proche de A, que les
quatre conduites 1, III, 1
et 2
se
coupent
en un
même
point, pour lequel la formule (79) est valable (L1 étant supposé très grand). Dans ce cas de quatre conduites concourantes, on
définira:
*i
=
2/Pi ï
1
i
ï
~ + 7T + T + 7T Pi Phi P2 Pi
etc., etc.
—
à la
située
fig. 36,
d'entrée, analogue
à col
d'équilibre
chambre
une
—
Exemple numérique.
4.
Considérons
247
haut de la conduite B1 et définie par les
au
constantes suivantes:
Y0 t^i
=
°=
=
^
Si
=
=
$
sm
Pm
=
fi1
=
Zx/Ln
m;
Pn
!
1/8;
=
Pi su
35,48
=
=
s2
s,
i
A =
'
__
fc>! — 1
m
m
!i
7;
=
=
8,°8; wm
rn
7^
0",048;
=
=
0,835 ;
=
=
rm
sn
=
0",623;
=
3>68;
=
8x12,72
=
0,4175 ;
r2
=
101,7
r,
4
I
i
_ '
<-»! — 1
1.7778
'
Wj — 1 \
s2
0,165
=
— 0,7778.
=
°-2222 '
Wt — 1
m
[xnI
P*
=
0,7778;
=
_ _J
i
Sj
sn
m
Pi
na
1,7778;
=
\in
i1»56;
0",006;
0,5825 ;
0,2222;
1/8;
=
8
/
15/8
,
Wx - 1
=
«m-nm Nous calculons
laquelle
nous
est donnée
Quant
à
Nous
en
Bm,
Pour
au
faisons cf.m_x
-
S^
•
15/8
•
moyen de la formule =
am-nm, puisque
(122a),
cette
dans
formule
fonction des battements k dans la conduite III. nous
avons
B*m
1
le calculons
reporté -.
=
=
au
la courbe am
0",1;
0",2;
moyen de la formule sur
la
0",5;
fig.
(162).
41. On y lit:
1";
2"
0,880; 0,943; 0,9772; 0,9887; 0,9944
fonc¬ Cette courbe de réaction est excellente, et la chambre le voit tionnera comme une chambre de grandes dimensions. On 1
Voir pages 180 et 216.
— d'ailleurs résume
en
nos
examinant les
248
—
valeurs du tableau suivant
qui
calculs:
T
2"
5"
10"
20"
30"
«1
333,3
833
1666
3333
5000
«m
3,22
8,03
16,06
32,15
48,2
8m
0,99963
0,99985
0,99992
0,99996
0,99998
%
0,9944
0,99775
0,9989
0,9994
0,9996
<*-m-nlu
0,9919
0,9974
0,9988
0,9994
0,9996
2,00
0,584
0,264
0,122
0,085
0,0107
—
1,99
0,575
B*m
Bm B*m
—
— — 0,26
0,120
0,085
at= 1
En
comparant les valeurs B^m de ce tableau à celles du chapitre II.A pour a.t 1, on voit que les courbes sont presque =
identiques,
c'est-à-dire que la chambre est pratiquement assi¬ milable à une chambre infinie. On trouve la confirmation de ce fait dans la valeur Bm 0,0107, pour t 2", alors nous =
avions trouvé
=
que
0,148 (~ 2") au chapitre II.B pour chambre prismatique étroite, définie par Pj pu pm. Le système étudié ici est représenté par la même courbe de la figure 48, qui représente une chambre infinie. Bm
=
=
=
une
=
«ô»
249
—
—
Chapitre D.
CHAMBRE
D'ÉQUILIBRE
AVEC
ÉTRANGLEMENT
d'équilibre avec étranglement, lorsque le col de la chambre d'équilibre est très resserré. Il n'y les deux types a pas de distinction théorique bien nette, entre de chambres caractérisées par les figures 36 et 38. En pratique, la chambre avec col n'est qu'une chambre cylindrique, assez large, précédée d'un col, ayant en général une section de l'ordre de grandeur de celle de la galerie, ou des conduites forcées. Le but de ce col est de diminuer l'amplitude des oscillations Nous
parlerons
de chambre
v"
de masse,
en
l'introduction de la
permettant
le calcul des oscillations 1. Par contre,
une
grandeur
chambre à
— dans
étrangle¬
la vitesse à l'entrée de l'eau dans pour but de freiner la chambre; son étranglement sera de l'ordre du dixième de la ment
a
galerie. Par ce fait, les deux types de chambre sont, en pratique, bien distincts. Dans le cas d'une chambre à étranglement, les variations de
section de la
section sont très
fortes;
on
peut
se
demander si les
ondes
se
propagent encore selon les lois admises jusqu'ici. S'il en était ainsi, le problème serait résolu par ce que nous avons dit au chapitre U.C. Mais, ce n'est pas probable. Nous pouvons émettre l'hypothèse très simple que la vitesse chambre est celle d'un écoulement vn. de l'eau pénétrant dans la c'est-à-dire que, si S'u sous l'eau. Soit SH la section effective; est la section réelle et
1
Voir Calame et Gaden:
munies de chambres 1927.
«
hydrauliques schiveizerische Bauzeitung, 30 juillet
De la stabilité des installations
d'équilibre
».
Die
—
250
—
Nous écrirons que:
vu.
-[/2g(£YQ~^h^h2) -l/2g(%Y0-Y0j (166) -[/2^y^l
=
=
=
équation fondamentale de l'écoulement sous l'eau, qui donne viv en fonction de Y0 et de la surcharge relative Ç* — 1 au temps i. Le sens positif des vitesses est choisi dirigé vers le bas; hx et h2 sont inscrits dans la figure 38. 1. Les organes de
fermeture
se
droit de la chambre
trouvent au
d'équilibre. Considérons ment
un
— galerie
ensemble
sous
chambre
«
pression
»,
sans
est
d'équilibre avec étrangle¬ conduites forcées, tel qu'il
représenté par la figure 38. Supposons que la chambre soit assez large pour qu'on puisse négliger les battements qui s'y produisent et admettre, pour la vitesse cu., la relation (166). Ecrivons
l'équation (8)
pour la conduite I ; i le battement dans cette dernière:
cas
Ç
+
Ç+1_2
=
représentant
H+i
2Pl U!--^i
en
ce
(8)
.
io
En
nous
rappelant
que: p„
ItSi écrivons:
nous
V io
V
ni„
^ *
=
TT.
^+^•1^=1 *
'ii„
TT-
'h0
et:
Ç
+
£m-2
=
2Pl
équation
\& ~ rii+iKi+1
(167) +
^(|/^ -
fondamentale de la loi des
1
surcharges
tion des battements de la conduite I.
-|/Ç+1 en
A,
-
en
l)'
fonc¬
251
— a) La fermeture
est
achevée
—
cours
au
de la
première phase
de la
conduite I.
Supposons rapide,
car,
Lj pouvant Posons,
t
<
On
(xt.
de
peut plus parler
ne
fermeture
dans certains cas, ? sera tout de même être de l'ordre de grandeur du kilomètre.
de
nouveau
Partons de l'ouverture
Bj
=
'Q\ — 1
totale,
d'abord la valeur finale de la
Bx
=
*]„
:
V„
=
=
Vb,
carré:
2pi:^IS.j/B~1;
=
1 -l-
^
1 ; et calculons 0. Il vient : pour %
1;
=
V2*Y,
au
2pI-B1
;
surcharge,
2Pl
Ordonnons et élevons
b; - 4Pl
où
grand,
„
2gY°
Bi
+
4P*
=
0
.
"o
Nous
Bi
en
=
tirons:
2Pl
I
ri
vA>;
yno
1 + Pl
2gY0
-4pî
«o
v:
— ^Pl +
^3—
Pi
v: "o
-\/l+^ ffYoPi_
In? L
II()
Si
nous
définissons
l'étranglement: '..
nous
pouvons
2gY„
simplifier
-
ï
et écrire:
(168)
—
252
-
On voit par là que, tant que t < (j.n la surcharge maximum Bj est indépendante du temps de fermeture. C'est une consé¬ quence du fait que nous négligeons les battements éventuels dans la chambre, supposée très large. Nous avons reporté dans
la
figure
50 la
On vérifie
surcharge B1
que
outre, complété
pour an la figure 44
=
en
fonction de
0, Blmax en
l'étranglement
an.
2 pr Nous avons, en y reportant les mêmes valeurs =
Bten%deY0 800
I
'
t,t.
-o
ojm
Fig. 50. Ht x
2 ",84.
=
<
p.j
;
t
5" et
Bx (constantes d'établir
à
Surcharges
=
Degré
0.05
— Chambre
une
t
=
7-34
étranglement,
au
15",
0.10
d
étranglement
aïs
conduite forcée. px = 3,67 ; droit de la chambre pour des fermetures en en fonction de l'étranglement aiv sans
(x,) pour an 0,07, 0,10 et 0,15, afin comparaison avec d'autres chambres d'équilibre. pour
t
<
=
Il est de toute évidence que, comparée aux autres solutions de chambres d'équilibre, la chambre à étranglement placée immédiatement en amont des organes de fermeture fonctionne très mal. Dans bien des cas, cette solution sera à rejeter comme
insuffisante, Si
voire
dangereuse.
voulons connaître la loi des surcharges en A, il suffit de faire varier 7)t entre 1 et 0 dans l'équation (167). nous
que l'on obtient serait
L'équation
pénible
à résoudre. Comme cette recherche
n'a d'autre valeur que de mieux figurer la croissance de la surcharge, dont on connaît par ailleurs la valeur maximum
(grâce
à
l'équation (168)),
nous
poserons
Çj
~
1 + —
B1?
253
Bx
n'est admissible que si
simplification qui
reste
On
petit.
aurait alors successivement:
Bx
Bi(l
+i/2B1)-^,yB1
2Pl i-ii(i
=
— 2Pl (1 — tjx)
+ TQiPi)
=
v
B|(l +ïliPI)2-4Pl (1— 1)l)(l
+
,
>hPl) +Pj
/b, 2gY0
,
B,
et:
2
(i —>1i)(i
Pi
ï1iPi)+p,
+
2gY0" v.
B,=
-|/4P;[...]»-4P;(i-yi1)»(i
(i
+
+
w
w2
(169)
équation pour le
Résolvons cette
Y0
=
On
83,0
m.
trouve
;
Pl
=
3,67
V„,
;
cas
=
suivant :
44,7 m/sec.
;
au
=
0,10
pour:
y)!
Bi
=
0,75
0,50
0,25
0
=
0,0596
0,2115
0,48
0,93
figure 51. 0,975 pour Nous extrayons de la figure 50 la valeur Bx 0, calculée d'après la formule (168), ce qui est 0,10 et rtl au valeurs
reportées
sur
la
=
=
=
une
bonne vérification.
Phases successives de la conduite I.
b)
L'étude un
des
phases
intérêt réel dans le
notre
avis,
où
>
t
[i,u
aussi mal.
ce
n'est
successives de la conduite cas
guère
de chambres à
que dans le
que l'on pourra
adopter
cas
I
présente
étranglement,
de
manœuvres
des chambres
car, à
lentes,
réagissant
254
Posons:
—
V2irY„
X
=
"
et
-vs *
Bt
bv l'équation (167)
=
TT
devient
d'où:
K+itt +Pi1.+i) +2pM+1
+
bl(l—pIr}l)—2pini
— 2p,(v),— fli+i)
=
o
et:
-
*i+i
PlX
=
+
l/pJX' +
(1 +
P1i)1+1)[tf(pIi], - 1) 1
+
+
2p,X&t
+
2Pi(t),-
i,t+1)J
Pi^+l
(170) Nous
reproduit, sur la figure 52, la loi des charges devant l'obturateur pour le système suivant:
Y0
avons
=
83,00
m.
;
Pl
B, en %
de
=
3,67
;
ji,
=
2 ",84 ;
r
=
15"
Y.
100
50
\-À-
Degré 0 25
Fig. 51.
Loi des
0
50
— Chambre à étranglement, surcharges au droit de la chambre
d'ouverture 0 75
V 10
sans
conduite forcée
pour
une
fermeture
en
t
=
=
0,10. 2 sec.
—
255
—
(pas de chambre d'équilibre). Il convient de remarquer ici, que les contre-coups de fermeture d'une chambre avec étranglement peuvent être
et
a
=
0,15; 0,10
alternativement
et
0,05,
positifs avec
et
cas
négatifs,
d'équilibre
d'eau dans la chambre
bien de vérifier
ainsi que le
à
est
=
moment où le niveau
un
encore
soin la valeur de la
0
bas. On fera donc
somme
des
surcharges
de coups de bélier et des oscillations de masse, afin de s'assurer qu'il ne se produira pas de pressions négatives dans la galerie
charge
en
et que les
surcharges positives
ne
dépassent
pas la
limite admissible.
Fig. 52. [i
=
—
Chambre à
2",84. Fermeture
d'étranglement
t
en t
=
sans
conduite forcée. p:
surcharges en 0,15; 0,10; 0,05
15". Loi des
successivement égal à
A pour
=
3,67;
un
degré
et 0.
ailleurs, compléter la figure 50 en traçant, celles pour plus de la courbe des surcharges B± pour t < fi.,, 1,76 et 5,28). Ces deux fi¬ 5" et 15" (fc 2",84; 0,
Nous en
an
étranglement,
avons
pu, par
gures donnent
étranglement rateur.
=
=
=
une
qu'une chambre à surcharges devant l'obtu¬
bonne idée de l'influence
exerce
sur
la loi des
256
2. Les organes de
fermeture
se
—
trouvent
bas de la conduite
au
Soient k les battements de la conduite
forcée.
III, supposée plus
courte que I.
Nous
avons:
iii0
et du fait que vn
—
in,.
0;
K"ft
V2gY0 V,
"o
Tant que
nous
(20a)
rin
nous
V"^
(166)
trouvons dans la
première phase
de
I,
nous aurons :
^-4(^~1) En tenant
=
1"2p"Ift(1_aft)-
^^
compte de l'équation de continuité (19)
nous
pouvons écrire: nh __
V
— ii0
_n^t V
lk_ V
iii0
(19)
io
^/£=ï =£**(!-«,)d'où
nous
tirons
:
2gY, 4
V: h„
équation qui nous livre a.h phase de la conduite I. Ordonnons ; il vient
en
L
pi
Pin
fonction de
J
la
première
:
<^)!-M^ri)-f:J 1 4
\Pi
\2
2^Y0 =
Pin
V
"o
0
— Nous
en
—
tirons:
gY0]
HP:"
257
V
V2 "oJ
rin'
16
2V^Io VPi
?J
^
Pin/
afe —
('M
X
+
VPii.)8 (171)
oV,. Dans le
où p,
cas
pm
=
^-^-
=
cette relation
,
se
simplifie
et
devient :
K0
+
v
4
__h
+
v;l0K0+ %
Pl
4: '
„2
4
Si ffn
Sn =
k-
=
Vi tt-^ et
I
H0<ï>*ft
Y0Ofe;
=
on
trouve:
"o
'4*"Ho**ft
\
^II
a2c
+
a2
.
.^«o®**/
2^Ho®*ft
a2<4 aft
(172)
-i
=
^H,,*^
pouvons, malheureusement, pas dresser de « courbe de réaction » pour une chambre d'équilibre avec étranglement. Nous
En
ne
effet,
il
faudrait,
de la fonction
peut prendre a.k
en
®*k
ock
pareil
Pour
nous
nous
avons
cas, connaître la valeur absolue
faire
tracé,
une
sur
la
idée des valeurs que
figure 53,
fonction de aa pour pt pm (formule 0)1; 1 et 10. Comme O^ augmente au =
=
linéaire, a.k diminuera. Cependant,
meture
finale
0*^.
en
ce
les courbes
(172))
et pour
cours
d'une fer¬
sera
la valeur
17
— 258 — Les de la
surcharges B*fe formule (122a),
se
à
$*& indispensable
"i
calculent, comme toujours, au moyen laquelle nous ajoutons la relation
—
B*fe +
pour le calcul de
afe-i
3>*ft
®*k-i
(40a)
et de
M e*K
1.0
N
I
-
0.
•
(C
«K
) «K
0
/
as
/ 7 I
Degré d'étranglem
[
i
Fig. 53.
valeurs
a.k
— Chambre en
à
étranglement
avec
Pendant la
au
v„
=
de la conduite
~
si
*.„fe
point d'intersection
première phase
Vr
d'où,
conduite forcée. Courbes des
fonction de an, calculées pour:
Surcharges
Vi
2Pi
int
0,1; 1,0 et
10.
A.
I,
&-D;
nous
avons:
(23a)
— 0:
S-l=2Pl
VT
Vi0/ =
2Pl
\
i0
ni„
Vn„,
^cMl+a^-^^T-T «0
—
X?h — 1
Posons : Nous
en
=
259
—
b\ exprimé
% de Y0
en
et X
vg
=
".
"°
tirons:
fin
et
K=~ P.X Il sera,
+
% (1
r
Pin
V
+
général, plus simple d'employer
en
B„
=
«*)
(173)
•
la formule
(18a)
*,fc(l-afc).
pour les successives de la conduite I. Par contre, le calcul de aft
développer
Nous pouvons
phases
\/?>2
+
n'irait pas
analogues
des formules
certaines difficultés.
sans
Exemple numérique. le
Reprenons H0
=
109,47
térisée par
Si
=
valeur crn et par p, 2". -.
en
=
=
=
=
c'est,
=
au
0",623. 3,68 et [xin à étranglement, carac¬ 11,56 et fermons pm
=
1, prenons
nous
traité
une
une
l'obturateur
35,48 m; p* chambre d'équilibre
Y0
m;
Considérons
de la conduite «B »x caractérisée par:
cas
près, l'exemple col d'entrée). Nous
à peu de chose
(Chambre
avec
cette nouvelle méthode:
trouvons, par B+m
Bm
=
2,00
comme
=
0,03
au
précédemment,
lieu de
0,0107
en
et:
% de H0.
La concordance semble donc rassurante.
0,10, valeur admissible avec étranglement proprement dit. 2": On trouve, toujours pour z Prenons
ou
=
pour
une
%
H0.
chambre
=
B*
=
La chambre à son
action n'est
prismatique, 1
ou
2,755
et
Bm
=
1,062
en
de
étranglement protège mal la conduite forcée; celle d'une chambre que de loin comparable à d'une chambre
Voir pages 180 et 216.
avec
cql d'entrée.
—
260
—
Relevons, en passant, que l'idée communément répandue, que la surcharge Y0 Bfe ne peut dépasser la pression statique AY nécessaire pour chasser le débit total à travers l'étranglement, n'est en rien fondée. Examinons, par exemple, le cas d'une fermeture instantanée de l'obturateur de la conduite définie plus haut. On a, d'une part:
Vno
^VIo
=
très élevée
D'autre trouve
part,
en
raison de
en
tenant
=
VIo
=
8
.
9,81
.
109,47
.
=
=
2P!|C
6,03 m/sec). de
l'eau,
on
2,70
.
13102.0,102
0,6305
et
7,36
=
16.9,81.109g 8i6g_1-|
3,68 lv =
$*! (1 — aft)
=
[./
.
=
19.62
compte de l'élasticité
B*!
13102 (TÏÔ2
Bj
d'où:
:
®*k «b
^2^AY;
\0.10/
2g
0ji
(valeur
=
H0 Bx
I
; =
2,70.109,47
On obtient d'ailleurs la même valeur
en
=
296
calculant b2
m
(en%
de
Y0) au moyen de la formule (173). Il n'y a donc nullement concordance entre la pression élas¬ tique H0 Bk Y0 b\ et la charge statique A Y qui sert de point de départ ordinaire au calcul des oscillations de masse dans les =
chambres
d'équilibre. Nous retrouvons donc ici une propriété déjà démontrée, de façon plus générale, au chapitre II.A.2.
261
—
—
E.
Chapitre
EXTENSION DE LA THÉORIE
donné, au cours de notre exposé, assez d'exemples soit démontré qu'elle est de la souplesse de la méthode, pour qu'il toute rigueur, les cas les générale et susceptible de résoudre, en entreprise plus compliqués. Nous ne nions point que pareille et réelles difficultés. L'essentiel puisse présenter de très grosses Nous
avons
la symétrie des d'ordonner les calculs de telle manière que en séries formules devienne apparente et le développement
sera
possible. Il est
un cas
l'importance
dont
capitale
est
en
raison de
sa
de fermeture lente d'une conduite à
portée pratique. C'est le cas chambre d'équilibre caractéristiques multiples débouchant d'une d'une solution simple. quelconque. Il est susceptible Considérons,
composée
par
...,
galeries
chambre
figure
54. La conduite III est
les coefficients + 1 éléments caractérisés par A est le sont 1, ral5 n2 dont les
de p
périodes
et (sas2), (s2s3) point de bifurcation: q
la
exemple,
forcées
nous
I, I'
qu'en
admettrons
ce
point
d'équilibre quelconque.
sera
et
droite;
tout
au
en
Ox.
de section
appliquerons
D'autre
0#ft
s'écartera peu
limite
assez
l'hypothèse conditions, nous prétendons
donné,
que am est
en
Ol5
par
la formule: '"
m~~
m
s2
s2s3
m
m
^j_ _®l^S_J_*J_Sp-l_SJII ïtl
5gS3
la
peu pour que nous puissions 2 est valable pour le calcul de am. Dans
moins,
admettre que ces
sera
OOx
une
B*m en 0 part, puisqu'il
pression
d'une fermeture lente, la fonction
s'agit d'une
que la
savons
dès que
connue
concourent
supposons très longues, Nous considérons comme unité
inférieur des temps le battement de l'élément nous constante. C'est à cet élément OOx que formule (122a). Nous
.
nous
que
...
...
.
.
.
SpSjj
JJ^^
m
\ S1S2 }ïl
S3 S3
•
•
,
•
.
J^^ ...7~p
Sp-lSIIISï .
SpSjjS^
(\1L\
— justifions
Nous
262
cette formule
—
rappelant, d'abord, qu'il est indifférent pour l'écriture de xm que le point de discontinuité soit une simple variation de section, ou une bifurcation, pour autant que la nouvelle conduite soit, ou très longue (conduites I, I'. ...) ou, au contraire, courte et en cul de sac (conduite II'). en
!D
"»
Chambre
d'e'quuibre
U
„JAv_
*i ».
"îl,
r.L.._&_:
Q
Fig. 54.
multiples
—
avec
'
Schéma du chambre
cas
général
d'équilibre
non
d'une conduite à
caractéristiques
prismatique.
D'autre part, la formule (174) est la seule forme généralisée de la formule (164), l'on que puisse toujours ramener à la forme
(164),
en
y faisant dans tous les groupes de
Vi *p; ceci> queIs choisis. =
que
coefficients, sauf deux,
soient les deux &rouPes restants
Il suffit donc de calculer les formules connaître la surcharge relative B*m en 0
(122a)
pour
et
un cas
(174)
pour
de fermeture
linéaire lente quelconque, c'est-à-dire pour donner immédiate-
263
—
plus importante
des
— ment
doit
réponse
se
Un
à la
questions
que le technicien
poser.
point qui
spécialistes graphique appropriées;
mérite de retenir l'attention des
la recherche des méthodes de calcul
est on
partir, soit des méthodes d'Allievi, soit encore des méthodes développées par Kreitner, Loewy, Bergeron, et Schnyder. La méthode Bergeron est susceptible de générali¬ sation, mais elle ne dispense malheureusement pas du calcul des valeurs a. La difficulté essentielle du problème n'est donc pas levée. Quant aux développements de M. Schnyder, nous signa¬ lons qu'ils ne sont point conformes aux résultats de notre théorie. 11 est possible que des méthodes graphiques se révèlent plus simples à manier, dans les cas complexes, et permettent, formule (174). par exemple, de vérifier notre Une autre méthode de calcul, que l'on abordera éventuelle¬ ment avec fruit, est celle qui consisterait à substituer une chambre d'équilibre prismatique à une chambre de forme complexe, les deux étant caractérisées par la même courbe de réaction, ou, tout au moins, par des courbes analogues. Ce sont probablement là les deux moyens les plus efficaces qui s'offrent à nous pour développer la théorie et résoudre certains problèmes pratiques complexes, sans avoir à passer par le calcul rigoureux.
pourra
CONCLUSIONS Il n'était pas sans intérêt de résoudre le
problème général du coup
remarquable façon par Lorenzo Allievi. — Nous pouvons prétendre que notre théorie est tout à fait générale, et qu'un calculateur habile et patient est susceptible de résoudre grâce à elle, en toute rigueur, les problèmes les plus complexes. de
bélier, posé
Nous
côté pas attachés de façon excessive au du problème. On nous reprochera, peut-être, de
ne nous sommes
mathématique n'avoir
de si
point
suivi de
plus près
théoriques propriétés mathématiques des
les belles recherches
de n'avoir pas étudié les diverses courbes Ç*ft ou O^, et d'avoir abandonné le classement
d'Allievi;
abaques, qui fait l'originalité du travail d'Allievi. Peut-être qu'une pareille étude se heurterait à de grosses difficultés. Mais
par
— notre but était autre
pratique, applicable moins générale que
et,
à des
du
des limites
existence que
nous
démontrée. Il
en
nous
de
d'une méthode de calcul
concrets,
c'est à
sommes
qu'il serait
problème,
mathématique
—
Vurgence
cas
nous
reconnaissons pas moins
l'analyse
vu
264
attachés.
très intéressant de
prouver, par
Z,*m
une
pour le
cas
recherche
Nous n'en
poursuivre
exemple, l'existence de fermeture
linéaire,
vérifiée dans tous les cas, mais non est de même de l'allure presque linéaire de la avons
fonction
®*ft, propriété dont il serait intéressant de démontrer la généralité pour le cas de fermeture linéaire. Cependant, le nombre de problèmes pratiques qu'il reste encore
à résoudre est
porter
sur
parmi
les
tel,
que
nous
estimons tout aussi utile de
ceux-ci l'effort de recherches ultérieures. Nous
citons,
principaux: l'étude systématique des manœuvres d'ouverture brusque et des manœuvres rythmiques alternatives, et la recherche d'une courbe enveloppe éventuelle des surcharges me¬ surées le
long de l'axe de la conduite ; l'étude des manœuvres syn¬ chrones ou asynchrones d'obturateurs indépendants dans le cas de plusieurs conduites forcées III, III', III",... concourantes. Comme cas spécial, on étudiera la répartition des surcharges dans une con¬ duite fermée à son extrémité. L'importance de ce problème pro¬ vient de l'impossibilité où nous étions, à ce jour,de calculer exac¬ tement les pressions dans les chambres inférieures tubulaires en cul de sac, très souvent exécutées
amortir les oscillations d'un
lorsque
la chambre
d'équilibre
doit
système dont le bassin de retenue
est
niveau variable. Une question pleine d'intérêt est le cas d'un obturateur situé, non à l'extrémité inférieure, mais au milieu, à
sommet
d'une conduite forcée. Ce
problème pourrait, à son tour, être le point de départ d'une étude du coup de bélier, dans le cas des basses chutes avec turbines Francis ou Kaplan. Cette simple énumération montre l'ampleur du domaine ouvert ou
aux
au
recherches ultérieures. Nous
avons
bien conscience de n'avoir
fait
qu'amorcer le problème. Cependant, il nous semble que nous pouvons, dès maintenant, énoncer quelques résultats pratiques acquis. Nous avons dit notre regret de ne pouvoir fournir d'abaques classificateurs des conduites forcées, analogues aux abaques d'Allievi. Remarquons, cependant, que les abaques d'Allievi sont surtout intéressants du
point
de
vue
théorique
—
265
—
général, puisqu'ils classent toutes les conduites à caractéristique diamètre de la unique. En pratique, cependant, le tracé et le conduite sont des données ne pouvant guère varier. Les variables sont: le
temps de
de l'obturateur et la forme de la
C'est pour cette raison que notre courbe de sensibilité d'une conduite » pour le cas de fermeture linéaire
chambre «
manœuvre
d'équilibre.
une impor¬ (flg. 40) nous semble destinée à prendre, en pratique, de l'ouvrage tance analogue à celle de l'abaque corrrespondant
d'Allievi. Cette courbe
comme
a
contre-partie
les
«
courbes de
(fig. 41) caractérisant toute chambre d'équilibre, à l'exception des chambres à étranglement. Ces courbes générales permettent un classement a priori des solutions bonnes, moyennes des et mauvaises, classement que nous pouvons reviser en traçant où nous graphiques plus précis, analogues aux figures 44 et 48, réelles en 0 et en A pour diverses avons donné les surcharges limites chambres d'équilibre. Il se dégage de ces graphiques 40 à 48 l'im¬ allant de la pression très nette qu'il y a des classes de conduites, de conduite très sensible, à celle qui ne l'est point, et des classes chambres d'équilibre. Celles qui réagissent le mieux semblent être celles à col d'entrée et large chambre d'oscillation, et celles qui réagissent le moins bien seraient les chambres à étranglement, des chambres prismatiques ou non. en passant par toute la gamme sont On vérifie également que certaines chambres très longues réaction»
paresseuses,
et que les
conduites courtes, de même que la solution
une prévoyant un obturateur au droit de la chambre, requièrent chute chambre réagissant bien alors qu'une conduite à haute semble moins exigeante. En l'absence d'abaques généraux, ces seront quelques indications, qu'illustrent nos calculs numériques, une utiles au spécialiste. Il sera indiqué de faire, dans les calculs,
distinction entre la fermeture des compense la fermeture
d'orifices de
trop brusque
compensation,
au
avons
branchées un
peu
laissé
sur une
spécial
ou
d'équilibre centrifuge. Ce problème
l'étude des chambres
cependant plein les
moyen de déviateurs
beaucoup plus rapides.
conduite de pompe
est
technicien connaît
côté
de
on
et la fermeture des vannes de secours,
dont les mouvements sont d'ordinaire Nous
ordinaires,
dont
vannes
d'intérêt.
En effet
tout
difficultés nombreuses que présente le
service des pompes et les
dangers
d'un arrêt
brusque du
courant.
266
— Le constructeur n'est
l'arrêt
en
—
effet pas
brusque
d'une pompe comme turbine. Les accidents dûs
d'une
tionnellement
assez
toujours
de régler il ralentit à volonté l'arrêt à
ce
maître
fait
sont
propor¬
fréquents.
Quant à la concordance entre résultats numériques et pressions réelles, elle ne sera certaine qu'après vérification expérimentale.
Rappelons cependant d'Allievi
d'ailleurs,
se
que la théorie
déduit
générale,
directement,
et
ainsi que celle sans
hypothèse
intermédiaire aucune, de la théorie de l'élasticité des corps. On peut donc lui faire tout aussi confiance qu'aux calculs de résis¬ tance des
cul
matériaux. En
approchée », qui
ce
qui
concerne
notre
donne immédiatement les
«
méthode de cal¬
surcharges
limites
de manœuvre de fermeture
lente, nous ne pensons pas que l'hypothèse faite soit plus loin de la réalité, par exemple, que celle, usuelle en statique, par laquelle on admet des nœuds mobiles dans les systèmes à treillis, négligeant, en première approximation, en cas
les tensions secondaires dues
leurs,
nous
le
au
moment
d'encastrement. D'ail¬
répétons ici, les résultats de la méthode
appro¬
chée
peuvent, et doivent, être contrôlés par des calculs exacts. Quant à l'utilité pratique de notre méthode, nous rappellerons
que la tendance moderne de
rationalisation et d'économie décide
le constructeur à augmenter le débit maximum et la vitesse de l'écoulement de l'eau d'une part, d'autre part le pousse à concevoir des chambres d'équilibre de formes souvent
quées.
Ces diverses
compli¬
décisions concourent toutes à augmenter l'amplitude des coups de bélier. Les galeries en charge, autrefois protégées par des chambres larges, sont de plus en plus sollicitées par des
pressions croissantes, que les chambres d'équilibre prismatiques n'interceptent qu'en partie.
non
Quelque prudence s'impose donc et, en tous les cas, la vérifi¬ cation rigoureuse des surcharges en divers points du système, sans oublier que des manœuvres alternatives, des variations de section de la conduite, des angles saillants dans le tracé, sont autant de facteurs susceptibles de compliquer la tâche d'une chambre d'équilibre. Le domaine d'application de notre théorie se révèle, par le
fait, très
vaste.
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