UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA – ENERGÍA PROCESOS DE MANUFACTURA I
PROCESO DE PRODUCCION Definición.- Es la secuencia de procedimientos llevadas a cabo en una planta de prod produc uccción ión para para tran transf sfor orma marr la mate materi ria a prim prima a esta establ blec ecid ida a o un prod produc ucto to semielaborado con la finalidad de obtener un producto acabado. MATERIA PRIMA
PRODUCTO ACABADO
TALLER A-B-C-D-E
A: Almacenamiento, acarreo acarreo y manipulación de materiales materiales B: Procedimiento conformado (cambio de forma y dimensión) C: Tratamiento térmico D: Ensambles E: Inspección y control de calidad
Procedimiento Conformado a.- Por moldeo.- Fundición y solidificación b.- Por deformación. Obligar al material a deformarse plásticamente por Laminación, Estampado y trefilado. c.- Por soldadura.- Unión de fracciones para formar piezas o productos. d.- Por arranque de viruta (mecanizado). PROCESO DE MANUFACTURA Definición. Es aquella parte del proceso de producción relacionada directamente con el cambio de forma, naturaleza y dimensiones del material. Etapas fundamentales son: a.- Operación.-Es el cambio elemental de forma y dimensiones cumplidas por el operario sobre su máquina o puesto de trabajo. Si no repite cíclicamente producción unitaria Si no repite cíclicamente producción en serie b.- Ciclo.-Es la operación u operaciones realizadas sobre el material, desde que ésta ingresa hasta que sale de la máquina o puesto de trabajo. • •
0 A
0A
1
0 A
2
3
ciclo en maq. "A"
0B
1
0B
ciclo en maq. "B"
1
PRODUCTO
MATERIAL
MAQ. 1
operador
"A"
promedio
MAQ. "B" 1
operador
promedio
SECUENCIA LOGICA DE OPERACIONES DE UN MECANIZADO. Ejempl Ejemplo.-S o.-Seña eñalar lar la secuen secuencia cia de operac operacion iones es que nos nos permit permita a obtene obtenerr ejes ejes escalonados según la figura adjunta Autor: Ing. Sánchez Valverde. Página 1
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c en tr o 2
centro 1
extremo 2
D2 D1
D3
extremo 1
chaflán2
chaflán 1
cuello 1
cana lc h a v et e r o
cuello2
Secuencia lógica de operaciones.- Significa que el orden de prioridad de una operación con respecto a otra, esta limitado por la sujeción de la obra Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 2
OPERACIONES Refrentado extremo 2 Elaboración del centro 2 Refrentado extremo 1 Elaboración del centro 1 Cilindrado a D2 Cilindrado a D3 Cilindrado a D1 Elaboración del cuello 1 Elaboración del chaflán 1 Elaboración del cuello 2 Elaboración del chaflán 2 Canal chavetero Rectificado extremo 1 Rectificado extremo 2
MÁQUINA Torno Torno Torno Torno Torno Torno Torno Torno Torno Torno Torno Fresadora Rectificadora Rectificadora
Máquinas a utilizar: Torno, fresadora y rectificadora. 3 ciclos en 3 máquinas; 14 operaciones COMPONENTES DEL TIEMPO DE FABRICACIÓN a).- Tiempo de mecanizado (Tm).- Es el tiempo empleado en cambiar la forma y dimensiones al material o pieza que se esta trabajando. b).- Tiempo de manipulación (Th).- Es el tiempo invertido en cargar y descargar la máquina, realizar mediciones, desplazar herramientas y controlar la hora. No se calcula, pero se suma de acuerdo a patrones. c).- Tiempo de ciclo (Tc).- Es el tiempo transcurrido durante el período entre el comienzo y el fin de un proceso de manufactura. Tc = Tm + Th
d).- Tiempo de servicio (Ts).- Es el tiempo requerido para todos los tiempos de servicios y mantenimiento durante la operación: lubricación, remoción de viruta, cambio y afilado de herramientas. Autor: Ing. Sánchez Valverde. Página 2
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Ts = 5 a 6 % de Tc
e).- Tiempo de fatiga (Tf).- Es el tiempo invertido en el descanso y necesidades personales del operador y tolerancia por fatiga. Tf = 2 % del Tc
f).- Tiempo estándar o fabricación (Te).- Es el tiempo utilizado por un operador promedio para producir una pieza en su máquina, en condiciones normales, sin esforzarse y en forma continua. Te = Tc + Ts + Tf Te = Tc + 0,06 Tc + 0,02 Tc Te = 1,08 Tc Te = Tm + Th + Ts + Tf
g). - Tiempo de preparación o de montaje de la máquina (Tp).- Es el tiempo que invierte el operario en actividades que realiza para una sola vez por lote de unidades y comprende: El tiempo indispensable para familiarizarse con el dibujo técnico, preparación del puesto de trabajo, accesorios y herramientas. h).- Tiempo calculado (Tc al).- Es el tiempo indispensable para cumplir una tarea dada en condiciones de producción habituales, aprovechando los medios más económicos de producción. El tiempo calculado es aquel que puede emplearse para presupuestar el costo de una pieza. Tcal
= Te +
Tp n
(min/pieza)
Donde: n = número de unidades a producir por preparación.
COMPONENTES DEL COSTO DE PRODUCION Costos de la economía, cantidad desembolsada para comprar o producir un bien. El cálculo del costo en una compra es inmediato: consiste en el precio del bien más los costos financieros de la compra (cuando se compra a plazos). El cálculo del costo de producción es algo más complejo, porque hay que Tener en cuenta el costo de las materias primas utilizadas, el de la mano de obra empleada y la parte proporcional de los costos de la inversión de capital necesaria para producir el bien o el servicio en cuestión.
Autor: Ing. Sánchez Valverde. Página 3
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Los costos en los que incurre una empresa se pueden clasificar en dos grandes categorías: por un lado están los costos fijos, como el alquiler o la renta que se paga por las instalaciones y que no dependen de la cantidad producida, y por otro, los costos variables, que dependen de la cantidad de materias primas utilizadas y de los salarios pagados que varían en función de lo producido. Cuando las empresas o compañías calculan sus costos, suelen evaluar también los costos marginales y los costos medios. El marginal es el costo de producir una unidad adicional. El costo medio es el gasto total dividido por el número de unidades producidas. El precio tiene que ser igual al costo marginal de la última unidad producida para que la empresa no incurra en pérdidas al producir esta última unidad. Por ejemplo, si el costo de producir 1.000 unidades es de 10.000 dólares (de las cuales el 80% son costos fijos y el 20% restante costos variables), el costo medio de la producción es de 10 dólares. Sin embargo, el costo marginal de producir una unidad adicional será un poco inferior a dos dólares (simplificando, sería el 20% de los costos variables de 10.000 dólares dividido entre 1.001). El costo marginal siempre tiene que ser inferior al costo medio, pero cuantas más unidades se produzcan, más se acercará al costo medio. El concepto de costos se utiliza mucho en contabilidad. La contabilidad de costos es la que utilizan las empresas en sus cálculos internos para controlar los procesos de producción y la evolución de sus costos. El precio histórico es el precio que se pagó por un bien cuando se compró; el precio actual es el precio de mercado de los bienes en el momento presente; el precio de reposición es el precio que habrá que pagar para reemplazar, por ejemplo, una máquina.
Costo.- Es la clasificación, registro y ubicación conveniente de los gastos para determinar lo que cuesta producir. 1. Costo de Material Directo (Cmat).- Es el costo del material que forma el producto. 2. Mano de Obra Directa (L).- Es la mano de obra que se paga a la persona que se encarga de la transformación del material. Autor: Ing. Sánchez Valverde. Página 4
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3. Gastos Directos de Fabricación (CHta).- Son los gastos empleados en insumos: pintura, barniz, herramientas, modelos, plantillas, dispositivos, la amortización de la máquina y la preparación de la misma y su mantenimiento. 4. Gastos Generales de Taller (B).- Son gastos indirectos, pero necesarios para la zona de transformación del material. Ejemplo: personal de limpieza, supervisor, energía eléctrica, depreciación de la máquina y del Taller. 5. Gastos Administrativos.- Ejemplo: gerencia, empleados administrativos, Teléfono. 6. Gastos de Ventas.- Sueldo de vendedores, comisiones, transporte, publicidad. 7. Utilidad.- Es el beneficio o ganancia que se obtiene. Costo Hora Máquina incluyendo Mano de Obra y Costos Generales de Taller.No incluye costo de material, ni los gastos directos de fabricación C C
H
=
0 ( 1 H N
+
ip
+
M ) +L ( 1
+
B)
Donde: C0: Es el costo inicial de la máquina. Puede ser una inversión propia de la planta o de un préstamo. H: Número de horas de trabajo al año. De donde, 1 turno = 2 000 Horas.
N: Tiempo de vida de la máquina (años)
Tiempo de depreciación o vida económica de la máquina.
MTC. Máquina de alta precisión (1-5 años) Máquinas ordinarias o convencionales automáticas (10-20 años)
ip: Tasa de interés promedio anual al capital de la inversión. M: Porcentaje promedio anual por mantenimiento y diversos de la máquina L: Costo horario de mano de obra directa. B: Factor de gastos generales. En porcentaje de mano de obra directa. Componentes del Costo Hora de Operación de la Máquina: C0: Cantidad que año a año se debe ir acumulando para amortizar una deuda (Depreciación) D: Depreciación.- Monto bruto que se debe reservar por cada año de la vida económica de la máquina con el fin de integrar un fondo que nos permita reemplazarla. Cs: Costo de salvamento D =
C
0
− C s N
(Depreciación Anual )
Consideraciones: 1.- El tiempo de recuperación del capital es igual al tiempo de depreciación de la máquina. 2.- Es una depreciación lineal donde: Cs = Valor de recuperación = 0 3.- Los años económicos no varían. 4.- No se consideran gastos directos, o sea el tipo de productos a fabricar no incluye gastos de herramientas. 5.- C0. ip = Es el interés que año a año se debe ir acumulando o ganando. Autor: Ing. Sánchez Valverde. Página 5
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Formas de Recuperar un capital: 1.- En partes iguales e intereses al rebatir 2.- (Capital + intereses) en montos uniformes.
I = Tasa de Interés anual al capital o inversión.
n er
1
Año C . i o
2
do
ro
3
4
to
Año : ( Co - C
Año : ( Co - C
o
o
Año : ( Co - C
o
n Año : ( C −( N o
∑ i = Co. i (1) + ( 1 -
1
) + (1 -
2
) + .......... .. + ( 1 -
n -1 ) n
N =1 N N 1 2 3 N - 1 = Co. i n − ( + + + .......... .. + N ) i N N N N N ) i = Co. i n 2 − ( 1 + 2 + 3 + ...........( N - 1 ) + N − N N ) i N + 1 N + 1 = Co. i N 2 - N ( ) + N = Co. i N - ( ) + 1 N 2 C −1 ) o ) i n N ∑ i = Co. i ( N + 1 ) = Suma total de los intereses en n años. 2 N =1
Para un reparto en n pagos iguales se Tendrá: Co
i
2N
Se tiene:
ip =
( N
1)
+
i N +1 ( ) 2 N
Co. M = Costo anual que motiva básicamente el mantenimiento de la máquina M = Porcentaje promedio anual de costos por mantenimiento y diversos. Costo de máquina (C M): Autor: Ing. Sánchez Valverde. Página 6
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C M
=
C M
=
C M
=
C 0 H .u
Co
(
i N
. + ip. + M )
N + Co . i ( N + 1 N ) + Co . M H . u
1 i N + 1 ) + M + ( Hu N 2 N Co
Donde: H = número de horas disponibles por año (2000 horas) u = factor de utilización LB = Gastos generales de taller (S/. /hr) L = Costo horario de la mano de obra directa:
L
=
J 8
(1.6 a
1 : 7)
J = Jornal B = Factor de gastos generales de taller. Se expresa en porcentaje de la mano de obra directa (150 - 300% de MOD.) Siempre mayor que 100% -
Costo horario del operador y gastos generales de taller ( C L) : CL = L (1+B) CH = CM + CL
Costo de manufactura (C manuf )
-
C manuf
=
Co Hu
1 i N + 1 + N + 2 ( N )
M . Tcal + L . Tcal
+ B.L.Tcal + Cmat + Cdispositi vos + Chta.
Cmanuf = CM. Tcal + CL. Tcal + Cmat + Cdispositivos + C Hta. Cmanuf. = CH. Tcal + Cmat + Chta + CDispositivos CTotal = CFijo + CVariable
Influencia del Volumen de Producción Selección del Método de Proceso de Manufactura -
-
Costo fijo (Cf): Es el gasto que se considera independiente del número de unidades a producir. Ejemplo: Preparación de máquina, dispositivos, plantillas herramientas especiales. Costo Variable (Cv): Es el gasto que varía influenciado con el número de unidades a producir. Ejemplo: Material, herramienta operaciones de máquina. Costo total (Ct): Es la suma de los costos fijos más variables. CT = CF + CV CF = CH.Tp + Cdisp. CV = CH. Te. n + Cherr . n + Cmat. n
Si denotamos: Costos fijos de los métodos A y B respectivamente ao.bo : a, b : Costos variables de producción por pieza Autor: Ing. Sánchez Valverde. Página 7
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n : CA : CB :
número de piezas o unidades a producir. Costo total del método A. Costo total del método B. C A = ao + a.n CB = bo + b.n
Convendrá usar el método para el cual el costo sea menor. Diagrama de Equilibrio. NE = Punto de equilibrio de los métodos En NE : C A=CB
CA
CHo
(%)
CB
b
bo
ao
ao+ a.n = bo + b.n
a
n 1
NE
n
=
b
o
− ao
a − b
Costo Unitario (Cu): C Cu
=
t
n
a =
o
n
+
a
COMPONENTES Y ANÁLISIS DEL COSTO COSTO DE PRODUCCIÓN Costo económico, es lo cuesta o vale una cosa ejecutada por el proceso de manufactura. Generalmente, al comentar o hablar de costos se hace referencia al costo industrial o de transformación en la producción, o sea la suma del dinero que ha requerido un articulo para su producción en una operación. Empresa es toda unidad económica, autónoma, de producción, cuyo lineamientos son: a. Es una unidad económica por encima de otra calificación. No es una unidad jurídica, en cuyo caso seria una sociedad, ni una unidad técnica, que corresponde a una simple explotación de una tecnología y sin características. b. Es autónoma y por tanto independiente en su organización y en el desarrollo de sus cometidos, debido especialmente a: La división y especialización en el trabajo. El desarrollo de los mercados.
COMPONENTES FUNDAMENTALES DEL COSTO. Autor: Ing. Sánchez Valverde. Página 8
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Cmat. Costo del material directo, es aquel que forma el producto en el proceso. L mano de la obra directa, es la mano de una obra que se paga a la persona que transforma el producto por medio las maquinas requeridas. Chta. Costos directos de fabricación, son los costos empleados en los insumos que se requieren para la formación de un producto, tales como: pintura, barniz, herramientas, modelos, moldes, plantillas, dispositivos, la preparación de los mismos y su mantenimiento requerido. B Costos generales del taller mecánico, son los costos indirectos y necesarios en su transformación del producto, como el personal de la limpieza, supervisión, servicios básicos, depreciación de la maquina y del taller en su funcionamiento. Costos administrativos, son los que se requieren considerar en los costos, para la acreditación económica de la gerencia, empleados, administrativos, profesionales, etc. Costos de venta. Son los costos que se requieren para los sueldos de vendedores, comisiones, transporte, publicidad, entre otros. Utilidad, son los costos de beneficio o ganancia que se obtiene del producto en el mercado.
Precio de Venta Costo total Costo de Manufactura Costo Directo
Material Directo
Mano de Obra Directa
1
Costos Directos de Fabricación
2
3
Costos Generales de taller
4
Costos Administrativos
5
Costos de Venta
6
Utilidad
7
COSTO DEL PROCESO DE MANUFACTURA. El proceso de la manufactura, en sus múltiples funciones es requerido como fundamento de los costos fijos y variables, cuya consideración se fundamentan en los parámetros siguientes: CH: Costo hora Maquina. C H
=
C o
1 ( + i p ) H N
+
C o H
( M )
Donde: Co = es costo inicial de una maquina de producción, en presupuesto de financiamiento. Puede ser una inversión propia de una planta o de un préstamo, que es un patrimonio. H = es el numero de horas de trabajo en una maquina requerida, en el periodo de un año. Y, se toma en consideración como un turno = 2000 horas. Autor: Ing. Sánchez Valverde. Página 9
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N=
periodo del tiempo de vida propuesta a la máquina en años. También denominado, como periodo de su vida económica de la maquina, establecido por la norma ISO 9002, para: Maquina de alta precisión periodo entre 2 y 5 anos, para conjuntos automáticos. Maquina ordinarias o convencionales semiautomáticos, periodos entre 10 a 20 años de acuerdo a lo establecido por las normas ministeriales. interés promedio propuesto por las consideraciones de la forma de trabajo de una maquina que transforma al capital de la inversión.
ip =
i p =
N +1 ( ) 2 N i
i es el interés anualizado por el sistema. M = porcentaje promedio anualizado por el concepto de mantenimiento diversificado de la maquina. Costo hora maquina, incluyéndose la mano de obra y costos generales de taller. Los mismos no incluye el costo del material, y ni los costos directos de fabricación. C H
=
C o
1 ( + i p H N
+ M ) + L (1 + B)
CH = CM + CL L=
costo horario de mano de obra directa. L =
J
8
(1,6
1,7)
−
J= B=
Jornal de trabajo. factor de los costos generales, cuyo porcentaje es de la mano de obra directa y los componentes del costo horario y de operación de la maquina. Se expresa en porcentaje de la mano de obra directa entre 150 a 300%, siempre > del 100%. CL = L (1 + B), costo horario del operador y costos generales por diversos tiempos. C 0 N
= Cantidad que año a año se debe ir acumulando para la amortización de una
deuda contraída, denominado como depreciación. Dep. = Depreciación, es la perdida del valor de un activo físico (edificios, maquinarias, etc.), como consecuencia de su uso. Para prevenir la necesidad del reemplazo de un determinado activo al final de su vida útil, cada año se traslada una parte de la utilidad de una empresa a un fondo denominado, fondo de depreciación, monto que se debe preservar por cada año o periodo de la vida económica de la maquina con el fin de integrar un fondo que permita su reemplazo en periodo establecido por interés anualizado. Dep
=
C 0
−
C s
N
Donde: Co = costo inicial o total del conjunto o maquina. Cs = costo o valor de salvamento. N = periodo anualizado de la vida de la maquina.
Autor: Ing. Sánchez Valverde. Página 10
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Co.M =costo anual del mantenimiento, basado en la operatividad del equipo empleado en su conservación y buen trabajo. M, porcentaje promedio anual de costos por mantenimiento y diversos fundamentos operativos. COSTO HORA MAQUINA. Periodo de la actividad de la maquina incluyendo la actividad funcional del equipo para su proceso de la manufactura establecida en un determinado periodo. C M
=
C 0 Hu
(
1 N
+ i p + M )
Donde: H = numero de horas disponibles al año trabajado. 1turno = 2000 horas. u = factor de utilización periódico de la maquina. 80% COSTO DE MANUFACTURA. Es el proceso realizado en todas las funciones fundamentales del proceso de manufactura: C 0
C Manuf
=
1 ( Hu N
+ i p + M ).T Cal +
C Manuf
=
C H .T Cal
+
C L
+
C Materiales
L.T Cal
+
C Disp
+ B. L.T Cal + C Material +
C Disp
+ C Hta
C Hta
+
CManuf = CFijo + CVarible.
RENTABILIDAD INDUSTRIAL La empresa, es toda unidad económica, autónoma de producción. Es una unidad económica. Es autónoma e independiente en su organización, por: La división y especialización en el trabajo. El desarrollo de los mercados, que independiza de las funciones de la empresa y sus productos. Desarrollo de los sistemas monetarios, que facilitan la independización de funciones de la empresa. Es una unidad económica, donde cualquier actividad que comunique o aumente “utilidad” a un bien. Prototipo, en hacer previsiones para un costo variable V, cuya evolución la determina: P.- Magnitud del Valor Presente. P y a.- Magnitud del valor Presente o actual Variable y la tendencia. a P/a/C.- Magnitud del valor Presente o actual la tendencia y su evolución del Valor Futuro o ciclo.
Actividades Funcionales de la Empresa. Selección y proyecto del producto. Adquisición o contratación de los factores de producción (maquinaria, instalación, etc).
P
F
Autor: Ing. Sánchez Valverde. Página 11
Tiempo
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Ejecución de la actividad productiva. Suministro del producto al sector consumidor.
ANÁLISIS DE LOS FACTORES DE LA PRODUCCIÓN ECONÓMICA. La producción se lleva a cabo por medio de los factores de la producción. En la practica conviene desglosar los factores que se considere de acuerdo con la finalidad del análisis. Análisis productivo en función del Valor Presente: P = F (f 1, f 2. …fn.) Factores de producción Valor Futuro Valor presente
La Producción y Gestión Económica de la Empresa. La expresión lineal, denominada como, ISOCOSTO, se propone en: Costo Total = Costo Fijo + Costo variable. C = bo + b.n Numero de unidades Producción ejecutada Coste Fijo Coste Total
VALORACIÓN DE LA ECONOMIA EN LA EMPRESA. El interés se mide en tanto por ciento o menor de uno, aplicando al importe de dinero o valor presente, en obtener al cabo de un periodo de tiempo habitualmente un año. Es lo que se conoce como tipo de interés. De hecho, el interés es, pues, el precio que se paga por el dinero, como cualquier mercadería. TIPO DE INTERÉS. El interés compuesto, universalmente utilizado en las operaciones en que interviene un tipo de interés. INTERÉS SIMPLE. El que se utiliza para cálculos excepcionales: I = i. P. Donde: P = valor presente (importe de dinero o capital actual). i.= interés en porcentaje. n. = numero de periodos de tiempo, en años, trimestres, semestres, meses, días. I = interés total a percibir en un periodo. VALOR FUTURO: Primer periodo: F = P + I = P + P.i = P(1 + i). Segundo periodo: F = P (I .i) + P.i = P(1 + 2.i). Autor: Ing. Sánchez Valverde. Página 12
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Varios periodos: F = P(1 + n.i). Valor actual correspondiente a un Valor Futuro: P =
F
(1 + n.i )
INTERÉS COMPUESTO. Es considerar que el capital inicial de un año se convierta al final de este periodo en su valor mas los interés, y que este valor debe considerarse como inicial para los cálculos del año siguiente. a) Valor Futuro, al final del primer año: F = P(1 + i). b) Valor Futuro, segundo año: F = P (1 + i) + P(1 +i.).i = P(1 + i)². c) Valor futuro, en n periodos: F = P(1 + i)n. d) Valor actual o presente de un determinado valor futuro: P = F(1 + i)n e) Interés compuesto, quien es directamente aplicable sobre el capital inicial: P.(1 + i)n = P(1 + e.n) Donde:
e=
(1 + i ) n −1(interés compuesto “equivale” a un interés aplicado sobre el capital
inicial)
n
INTERÉS COMPUESTO. En periodos inferiores del año, estos provienen de dividir un año en m periodos sometidos en intereses de 1/m (interés anual). Interés anual pagadero en fracción de año. I1 = P. i./m Valor final después del primer periodo: F1 = P + P.i.1/m = P(1 + 1/m) Segundo periodo: I2 = P. (1 + i./m). i. 1/m Valor final de F2 F2 = P(1 + 1/m) + P(1 + 1/m).i.1/m F2 = P(1 + 1/m) .(1 + 1/m). = P(1 + 1/m)2 Al final del año, transcurrido m periodos, es: Fm = P(1 + 1/m)n Valor futuro al cabo de t periodos: F = P.(1 + i./m)t Al cabo de un año : F = P.(1 + i./m) m Al cabo de n años: F = P.(1 + i./m) m.n
3%
ANUALIDADES. Autor: Ing. Sánchez Valverde. Página 13
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La Anualidad es la serie de pagos iguales efectuados a intervalos iguales de tiempo, estos en: acciones, pagos semestrales de interés, pagos de rentas mensuales, dividendos trimestrales, primas anuales, etc. El tiempo transcurrido entre cada pago sucesivo de la anualidad se le denomina como intervalo de pago. Es la cantidad fija que percibida o pagada con periocidad equivale al pago del valor futuro correspondiente a un capital inicial dado. 1. Si a es la anualidad, y F el valor futuro, a debe ser la suma de sus aportes en cada periodo, mas los intereses que generen al final del importe de F. a. (1 + i) n-1 + a. (1 + i) n-2 + … + a. (1 + i) + a = F 1.1. (1 +)+1 multiplicar a: a. (1 + i) + a. (1 + i) n-1 + … + a (1 + .i) = F(1 + .i). 1.2. Diferenciando ambas expresiones: F(1 + .i).- F = F.i = a.(1 + i.) – a Simplificando es: F =
a.[(1 + i)
n
]
−1
i
Anualidad en función del valor futuro: a
2.
=
F .i
[(1 + i)
n
]
−1
si a es la anualidad, y P el valor presente: P = a.(1 + i) -1 + a. (1 + i) -2 + … + a. (1 + i)-n Multiplicándose por (1 + i): P(1 + i) = a. + a.(1 + i) -1 + … + a. (1 + i)-n+1 Restando ambas expresiones, se obtiene: P(1 + i) - P = P. i. = a - a. (1 + i)-n Simplificando: P =
a.[1 − (1 + i )
−n
]
i
multiplicando por (1 + i)n P =
a. (1 + i ) n
−1
[i (1 + i) ]. n
la anualidad será: a
=
P .i.
[1 − (1 + i)
n
]
n
]
−
también es: a=
P .[i (1 + i)
[ (1 + i)
n
Autor: Ing. Sánchez Valverde. Página 14
−
]
−1 .
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