La corriente eléctrica o intensidad eléctrica es el flujo de carga eléctrica por unidad de tiempo que recorre un material. Se debe al movimiento de las cargas (normalmente electrones) en el …Descripción completa
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Corriente Alterna. TeoríaFull description
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Corriente Alterna
Descripción: Informe laboratorio sobre corriente alterna
Circuito RC: Capacitor y resistencia en serie.Descripción completa
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Corriente Alterna
Ejercicios corriente alterna.Descripción completa
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Descripción: uso de triac para controlar corriente alterna
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Corriente alterna en circuitos.Full description
CORRIENTE ALTERNA ALTERNA
INDICE INTRODUCCIÓN..................... INTRODUCCIÓN......................................... ........................................ ........................................ ....................................... ......................... ...... 3 I. CONCEPTOS GENERALES........... GENERALES............................... ........................................ ........................................ .................................. .............. 4 1. CORRIENTE...................... CORRIENTE.......................................... ....................................... ....................................... .......................................... ......................4 4 2. CORRIENTE CONTINÚA............................. CONTINÚA................................................. ....................................... ................................. ................. ...4 4 3. CORRIENTE ALTERNA.......... ALTERNA.............................. ....................................... ....................................... .......................................4 ...................4 II. GENERADOR GENERADOR DE CORRIENTE ALTERNA:.... ALTERNA:....................... ...................................................... ........................................ .....4 4 III. RELACIÓN RELACIÓN I ↔ V PAR PARA A RESIS RESISTEN TENCIA, CIA, CON- DENSADOR DENSADOR Y BOBINA... BOBINA............. .................7 .......7 1. RESISTENCIA................... RESISTENCIA....................................... ........................................ ......................................................... ......................................... .... 7 2. CONDENSADOR......................... CONDENSADOR............................................ ....................................... ........................................ ................................ ............ 7 3. BOBINA........................... BOBINA............................................... ....................................... ....................................... ........................................... ....................... 8 4. GENERADOR GENERADOR DE E! ALTERNA........... ALTERNA.............................. ....................................... ........................................... ....................... 8 IV. IV. VALORES ALORES EICACES...................... EICACES.......................................... ........................................ ................................... ............................ ............. " V. AN#LISIS ASORIAL DE CIRCUITOS CIRCUITOS DE CA........................................ CA...................................................... ................. ...1$ 1$ %. E&PRESIONES ASORIALES PARA RESITENCIA, RESITENCIA, CONDENSADOR CONDENSADOR Y BOBINA.....11 BOBINA... ..11 VI. ESTUDIO DE UN CIRCULO CIRCULO RLC................................... RLC....................................................... ..................................... ................. 13 1. CIRCUITOS CIRCUITOS RLC SERIE............................... SERIE................................................... ........................................ .................................. ..............14 14 SOLUCION SOLUCION ANALITICA......................... ANALITICA............................................. ........................................ .................................. ....................... ......... 1% SOLUCION SOLUCION !EDIANTE EL E!PLEO DE ASORES.................... ASORES................................................. ............................. 17 2. CIRCUITO CIRCUITO RLC PARELELO.................. ARELELO...................................... ........................................ .......................................... ...................... 1" SOLUCIÓN SOLUCIÓN ANAL'TICA...................... ANAL'TICA.......................................... ....................................... ........................................ ........................... ...... 2$ SOLUCION SOLUCION !EDIANTE EL E!PLEO DE ASORES.......................... ASORES................................................. ....................... 22 VII. I!PEDANCIA................. I!PEDANCIA..................................... ........................................ ....................................... ............................... ....................... ........... 24 VIII. REACTANCIA......... REACTANCIA............................. ........................................ ........................................ .................................................. .............................. 2% I&. AD!ITANCIA.......... AD!ITANCIA.............................. ........................................ ........................................ ........................................... ............................. ...... 2% &. GENERADORES GENERADORES DE DE TENSIÓN TENSIÓN O DE DE CORRIENTE CORRIENTE DES DESASADAS............................2( ASADAS............................2( 1. REPRESENTACIÓN REPRESENTACIÓN GR#ICA................. GR#ICA..................................... ........................................ ....................................... ................... 2( 2. C#LCULO C#LCULO DE CIRCUITOS CIRCUITOS CON LAS I!PEDANCIAS.................... I!PEDANCIAS.................................. ....................... .........2( 2( 2.1. L)*)+ ) /0.................. /0...................................... ........................................ ........................................ .......................... ......2( 2( 3. INTERPRETACIÓN INTERPRETACIÓN DE LOS RESULT RESULTADOS.................................. ADOS..........................................................27 ........................27 - E)56+................................... E)56+....................................................... .......................................................... .............................................. ........ 27 Págin a1
CORRIENTE ALTERNA ALTERNA 4. DOS GENERADORES GENERADORES DESASADOS................. DESASADOS..................................... ................................................2" ............................2" C9 9+ 56)909+ 56)909+ 6)) ;<9/+) /)0;95);)............................. /)0;95);)................................31 ...31 &I. ORIGEN ORIGEN DE LAS I!PED I!PEDANCI ANCIAS... AS........ .......... .......... .......... .......... .......... .......... ............... .................... ..................... ............. ..31 31 &II. TEORE!A DE T=EVENIN......................... T=EVENIN............................................. ........................................................ .................................... 33 &III. TEORE!A DE NORTON................ NORTON................................... ...................................................... ................................................ ............. 3% 1. E>UIVALENCIA E>UIVALENCIA ENTRE T=EVENIN Y NOR NORTON.................. TON...................................... ................................ ............ 3( &IV. &IV. POTENCIA EL?CTRICA..................... EL?CTRICA........................................ ....................................... ........................................ ......................... ..... 3( 1. POTENCIA EN CORRIENTE ALTERNA........... ALTERNA............................... ...................................... ................................ .............. 37 2. C#LCULO C#LCULO DE LA POTENCIA DE UNA CARGA ACTIV ACTIVA A @RESISTIV @RESISTIVA....................38 A....................38 EE!PLO............................................................................................................3" 3. C#LCULO C#LCULO DE LA POTENCIA POTENCIA DE CARGAS CARGAS REACTIVAS REACTIVAS @INDUCTIVAS...... @INDUCTIVAS........... .......... .....4$ 4$ EE!PLO............................................................................................................41 4. !ÚLTIPLOS !ÚLTIPLOS Y SUB!ÚL SUB!ÚLTIPLOS TIPLOS DE LA POTENCIA POTENCIA EN A ATT................................ TT................................ 41 - !;6+..................... !;6+........................................ ....................................... ........................................ ........................................ ...................... .. 41 - S5;6+................ S5;6+.................................... ........................................ ......................................................... ....................................... .. 42 - C99 ) F)/<9 @=P 099 ) V96/ @C.V.......................... @C.V.......................................... ................ 42
Págin a2
CORRIENTE ALTERNA
INTRODUCCIÓN La corriente eléctrica con la que se abastece tanto a la industria como a las viviendas es corriente alterna de tipo senoidal. La corriente continua tiene siempre la misma dirección y sentido. En corriente alterna el flujo de electrones cambia de sentido periódicamente con una frecuencia de 50 ó 60 Hz dependiendo de los pases. Haciendo una breve rese!a "istórica sobre el ori#en de la corriente alterna debemos remontarnos a finales del s. $%$. &i'ola (esla )*+56 , *-/ investi#ó y desarrolló los componentes necesarios para la #eneración y el transporte de la corriente alterna. ("e 1estin#"ouse 2orporation compró los derec"os de sus patentes sobre corriente alterna y en *+-/3 durante la E4posición niversal de 2"ica#o se realizó la primera e4"ibición pblica de la corriente alterna. En aquel momento3 Edison "aba desarrollado sus sistemas de iluminación eléctrica en corriente continua y se estableció una #uerra comercial por el control del mercado eléctrico entre 7eneral Electric3 la compa!a de Edison y t"e 1estin#"ouse 2orporation. La principal ventaja de la corriente alterna3 que "izo que se impusiese sobre la corriente continua es la posibilidad de transportarla a lar#as distancias con pérdidas reducidas. Esto se debe a la facilidad de la transformación de la corriente alterna de bajas a altas tensiones con transformadores est8ticos3 de construcción sencilla y #ran rendimiento. 9e esta forma3 se puede elevar el voltaje y bajar la intensidad de corriente reduciendo as las pérdidas de potencia en los conductores en forma de calor )ya que dic"a potencia es :;%<=>. na vez transportada en alta tensión se vuelve a reducir la tensión para su distribución a los consumidores finales.
Págin a3
CORRIENTE ALTERNA
?inalmente &i'ola (esla y t"e 1estin#"ouse 2orporation #anaron la batalla y en *++/ obtuvieron la concesión para la que resultara ser la primera central "idroeléctrica de corriente alterna3 construida en las cataratas del &i8#ara para suministrar electricidad a la ciudad de @falo.
Corriente alterna I.
CONCEPTOS GENERALES
1. CORRIENTE
Aovimiento de car#as eléctricas a través de un conductor. Bpasar la corrienteC los ampermetros miden la intensidad de corriente eléctricaC descubrió que si pona una a#uja ma#nética cerca de un alambre por el que pasaba una corriente eléctrica3 la a#uja #iraba "asta tomar una dirección perpendicular al alambreB 2. CORRIENTE CONTINÚA
2orriente de intensidad constante en la que el movimiento de las car#as siempre es en el mismo sentido. En la bsqueda de #enerar un flujo de electrones artificial3 los cientficos se dieron que cuenta que un campo ma#nético poda "acer a los electrones fluir a través de un cable met8lico u otro material conductor3 pero en una sola dirección pues los electrones son repelidos por un polo del campo ma#nético y atrados por el otro. Ds nacieron las Blas pilas #eneran corriente continuaB bateras y Págin a4
CORRIENTE ALTERNA
#eneradores de corriente eléctrica continua3 un invento principalmente atribuido a ("omas Edison )el mismo que & inventó la bombilla en el si#lo $%$. 3. CORRIENTE ALTERNA
2orriente eléctrica variable en la que las car#as eléctricas cambian el sentido del movimiento de manera periódica. Bla corriente alterna que se utiliza para usos domésticos e industriales se produce en #randes centrales "idroeléctricas3 térmicas o nucleares3 por medio de #eneradores llamados alternadoresB
II.
GENERADOR DE CORRIENTE ALTERNA:
2asi toda la electricidad fabricada por el "ombre se crea mediante #eneradores eléctricos capaces de transformar ener#a mec8nica en ener#a eléctrica. La ener#a mec8nica que mueve el #enerador puede Fproceder de saltos de a#ua )centrales "idroeléctricas o ser transmitidas por el vapor q mueve las turbinas en el caso de las centrales térmicas o nucleares (odos los #eneradores se basan en la ley de ?araday3 que establece q se puede inducir una fuerza electromotriz )fem en un circuito variando el flujo del campo ma#nético que lo atraviesa. Esto se puede lo#rar3 entre otras3 de las si#uientes formas
- Gariando la superficie del circuito3 esto es deform8ndolo - Gariando el campo ma#nético - Gariando el 8n#ulo que forma el campo ma#nético y la superficie del circuito Este ltimo es el método que #eneralmente es utilizado en un #enerador de corriente alterna para obtener una fuerza electromotriz sinusoidal
El #enerador mas sencillo lo podemos ima#inar como una espira3 o un bobinado con & espiras3 que #ira en el seno de un campo ma#nético uniforme @3 tal como viene representado en la fi#.*. en su #iro3 la Págin a5
CORRIENTE ALTERNA
superficie de la espira enfrentada al campo ma#nético varia con el tiempo y3 por tanto el flujo que la atraviesa3 induciéndose una fuerza electromotriz de valor. )fem inducida € =
−dΦ dt
El flujo ma#nético depende de la orientación de la espira. i n es un vector unitario normal a la superficie de la espira3 en un instante dado formara con el campo @ un 8n#ulo ɵ 3 de forma que el flujo ma#nético vendr8 determinado por la ecuación
; &@cos
ɵ
D"ora bien3 puesto que la orientación cambia con el tiempo el 8n#ulo ser8 una función temporal ɵ ( t ) y con ello la fuerza electromotriz inducida ser8 variable con el tiempo. i el #iro se realiza con velocidad an#ular constante o )pulsación3 lo normal a la espira variara con el tiempo describiendo un movimiento circular uniforme3 de forma que el 8n#ulo ɵ ser8 ɵ
=ωt
y la fuerza electromotriz #enerada es una función sinusoidal ε
€ε
=ε
0
senωt
------------------ (4)
9onde se tomó como ori#en de tiempos el instante en el que el flujo es m84imo. € 0 representa la amplitud de la se!al que vendr8 dada en voltios )G3 y cuyo valor determinado a partir de la ecuación )* y )< es fem inicia e0 Págin a6
CORRIENTE ALTERNA ε 0 = NBsenwt
La ecuación.) es idéntica a la que describe un movimiento oscilatorio armónico simple3 ya que de "ec"o representa una oscilación eléctrica. na corriente que cambia periódicamente de dirección y de intensidad produce en los portadores de car#a un movimiento oscilatorio debido a las variaciones periódicas del campo eléctrico en el conductor n an8lisis de esta ecuación permitir8 determinar el periodo (3 es decir 3 el tiempo que "a de transcurrir para que la fem este e4actamente en las misma condiciones que en el instante inicial ( t )=(t + T ) 0 seno t; 0 seno)tI(
:or lo que t ; < (( y el periodo ser8 1
(;
2
;
2 TT
ω
En consecuencia la velocidad del #iro determinara la frecuencia G de la se!al3 cuya unidad es el Hertz )*HJ;K*. La corriente alterna m8s comnmente utilizada corresponde a una frecuencia de 50 Hz en Europa y 60 Hz en EE.. aveces se "abla de alternancias de la se!al "aciendo referencia al nmero de veces que se "ace nula por unidad de tiempo. En el caso de una función sinusoidal el nmero de alteraciones es el doble del valor de la frecuencia. El #enerador descrito m8s arriba puede utilizarse como una fuente de alimentación de un circuito e4terno y proporciona una tensión alterna con las mismas caractersticas que la fem y con un valor G ab correspondiendo al voltaje instant8neo entre los terminales a y b de la espira en circuito abierto fi#* G;G0sen t 9onde3 si se desprecia la cada de tensión debido a la resistencia interna del #enerador G0;0 . Esta tensión provoca un movimiento en los portadores de car#a del circuito e4terno ori#inando una corriente electrica. 9ado que la tensión aplicada varia periódicamente3 el movimiento de los electrones constituir8 un movimiento oscilatorio forzado con la misma frecuencia y en consecuencia también la intensidad de corriente variara con el tiempo de forma periódica3 con la misma frecuencia que la tensión3 con un valor m84imo %0 y presentado3 en principio3 un desfase respecto a ella que depender8 del circuito en cuestión % ; % sen ) tI Págin a7
CORRIENTE ALTERNA
i el desfase )o 8n#ulo de fase es positivo la corriente precede a la tensión3 es decir alcanza los valores m84imos antes que la tensión3 mientras que ira atrasada con respecto a ella en caso de que el desfase sea ne#ativo fi#ura <
La relación entre la tensión m84ima y la corriente m84ima que pasa por un elemento determinado3 se denomina impedancia )z del elemento en cuestión3 y caracterizara su comportamiento en una corriente alterna a veces es til el uso de admitancia )y3 ma#nitud inversa a la anterior. 7eneralmente3 los circuitos de corriente alterna est8n constituidos adem8s de por #eneradores3 que representaremos mediante el smbolo por resistencias )>3 condensadores )2 y bobinas )o autoinducciones L representados por cada uno de estos elementos tiene un comportamiento caracterstico cuando se le aplica una tensión alterna3 comportamiento que analizaremos a continuación para pasar posteriormente a estudiar circuitos m8s complejos formados por asociaciones de ellos
III.
RELACIÓN I ↔ V PARA RESISTENCIA, CON- DENSADOR Y BOBINA
1. RESISTENCIA.
En corriente continua la relación que e4ista entre la cada de potencial G y la intensidad % en una resistencia caracterizada por > vena dada por la ley de "m3 esto es3 G ; >%. E4perimentalmente puede vericarse que la ley de "m si#ue siendo v8lida para corrientes alternas y3 por tanto3 puede escribirse que
Págin a8
CORRIENTE ALTERNA
I ( t )=
V ( t ) R
2. CONDENSADOR
La capacidad 2 de un condensador es la relación entre la car#a M de las placas y la cada de potencial G entre éstas3 esto es3 C =
Q V
Esta relación se cumple i#ualmente para corrientes alternas3 de donde puede deducirse que la car#a variable en el tiempo3 M)t3 puede escribirse como Q ( t )= CV ( t )
Dl derivar la e4presión anterior respecto al tiempo obtenemos la si#uiente relación entre la intensidad %)t y la cada de potencial entre las placas G )tN I ( t )=
CdV ( t ) dt
Esta relación indica que la derivada temporal de la cada de potencial entre placas est8 relacionada linealmente mediante el par8metro 2 con la intensidad que lle#a al condensador.
las
3. BOBINA.
(al y como se e4presó en ).<3 el efecto de autoinducción elecK troma#nética de una bobina caracterizada por una inductancia L y recorrida una intensidad %)t poda considerarse como una cada de potencial en la bobina3 G )t3 dada por V ( t )=
por
LdI ( t ) dt
La bobina puede considerarse3 por tanto3 como un elemento de cirK cuito que relaciona linealmente3 mediante el par8metro L3 la derivaK da temporal de la intensidad que circula por ella con la cada de potencial en la misma. Págin a9
CORRIENTE ALTERNA
4. GENERADOR DE E! ALTERNA
Dnteriormente se "a se!alado que una de las propiedades m8s destacadas y que "acen m8s tiles el uso de la corriente alterna es su f8cil #eneración. El #enerador de fem alterna basa su funcionamiento en la ley de inducción electroma#nética de ?araday )ver Dpartado .<.<3 transK formando ener#a mec8nica en ener#a electroma#nética )en una forma opuesta a lo que "ace el motor eléctrico3 ver Dpartado /./.<. n esquema b8sico de un #enerador de fem alterna se muestra en la #ura 5.*3 donde podemos observar que el Oujo ma#nético que atraviesa la espira #iratoria
donde se "a supuesto que el campo ma#nético es uniforme en la re#ión donde se mueve la espira. i el movimiento que se le imprime a la espira es un movimiento an#ular uniforme caracterizado por una velocidad an#ular P constante )como por ejemplo el que producira un c"orro de vapor constante diri#ido a unas aspas conectadas con la espira3 dado que Q ; Pt I Q03 el Oujo ma#nético que atraviesa la espira puede e4presarse como
Págin a 10
CORRIENTE ALTERNA
Haciendo uso de la ley de inducción de ?araday la fem E)t inducida en un conjunto de & espiras similares a la de la #ura anterior ser8
esto es3 se "a #enerado una fem alterna que puede e4presarse en #eneral como
donde3 en el presente caso3
IV.
VALORES EICACES
El valor ecaz3 %ef 3 de una corriente alterna3
se dene como la raz cuadrada del valor cuadr8tico medio ( I 2 ( t ) ) de la corriente3 es decir3
donde el valor medio de una función periódica3 f)t3 de periodo ( se dene como
El valor ecaz de la corriente3 al i#ual que otras ma#nitudes circuitales que varen armónicamente3 tiene muc"a importancia pr8ctica dado que el valor que miden los polmetros analó#icos es precisamente el valor ecaz.
por lo que el valor ecaz se relaciona con la amplitud3 %03 de la corriente mediante la si#uiente e4presiónN
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CORRIENTE ALTERNA
I ef =
I 0
√ 2
Dn8lo#amente3 el valor ecaz de cualquier otra ma#nitud que vare armónicamente en el tiempo se dene como la amplitud de dic"a ma#nitud dividida por R<. Es interesante observar que el valor ecaz3 %ef 3 de una corriente alterna3 ωt + δ I ( t )= I 0 cos ¿
3 que recorre una resistencia > es justamente el valor de la intensidad de la corriente
continua que produce el mismo efecto Soule durante un periodo de tiempo (. La ener#a 12D disipada por efecto Soule en una resistencia > por una corriente alterna durante un periodo de tiempo ( puede calcularse como
donde :)t es la potencia instant8nea disipada en la resistencia3 que viene dada por el producto de la intensidad por la tensión3 esto esN
9ado que se#n la cada de potencial en la resistencia es G )t ; >%)t3 la ener#a disipada por la corriente alterna en esta resistencia puede escribirse como
que es precisamente el valor de la ener#a disipada por efecto Soule durante un periodo de tiempo ( en dic"a resistencia > si ésta fuese recorrida por una corriente continua de valor %ef3 esto es3
V.
AN5LISIS ASORIAL DE CIRCUITOS DE CA
Págin a 12
CORRIENTE ALTERNA
9ado que el estudio de la corriente alterna implica el tratamiento de funciones con una dependencia temporal de tipo armónica3 la introducción de los fasores asociados a estas funciones simplicar8 enormemente el c8lculo matem8tico necesario. (al y como se e4plica en el Dpéndice @.<3 a una función armónica %)t ; %0 cos)Pt I T se le "ace corresponder un fasor I ^ N
que viene dado por
de modo que
Las propiedades b8sicas de los fasores se discuten en el Dpéndice @.<3 donde también se muestra que una propiedad muy til para el presente tema es la que relaciona la derivada temporal de una función armónica con su fasor asociado3 esto es3
6. E7PRESIONES ASORIALES PARA RESITENCIA, CONDENSADOR Y BOBINA
Haciendo uso de las relaciones fasoriales apropiadas es posible e4K presar las relaciones fundamentales para resistencias3 condensadores y bobinas en la si#uiente formaN R%"*"%+*'. La relación puede e4presarse en forma fasorial simplemente como
o bien como U
C%"'0. :ara el condensador3 "aciendo uso de la propiedad puede e4presarse como Págin a 13
CORRIENTE ALTERNA
o equivalentemente U
La e4presión anterior suele también escribirse como
donde se denomina reactancia capacitiva y se e4presa en o"mios )V. Esta ma#nitud depende de la frecuencia tendiendo a cero para frecuencias muy altas y a innito para frecuencias muy bajas. Esto se maniesta en el "ec"o de que para frecuencias bajas el condensador se comporta como un elemento que apenas deja Ouir la corriente mientras que a frecuencias altas casi no impide la circulación de la corriente. B*'. La relación para la bobina puede e4presarse en forma fasorial como
i se dene la reactancia inductiva3 $L3 como
La e4presión fasorial puede también escribirse como U
La reactancia inductiva viene dada en o"mios y es un par8metro que depende linealmente con la frecuencia3 de modo que tiende a cero para frecuencias bajas y a innito para frecuencias altas. :odemos armar entonces que la bobina se comporta como un elemento que se opondra al paso de la corriente a medida que la frecuencia de ésta aumenta. Es interesante observar que las relaciones tensiónWintensidad < para el condensador y la bobina fueron e4presadas. Aediante e4presiones diferenciales "an podido ser a"ora reescritas como simples Págin a 14
CORRIENTE ALTERNA
e4presiones al#ebraicas mediante el uso de sus fasores asociados. Es m8s3 se "a encontrado que el fasor ^ V siempre puede relacionarse linealmente con el fasor I mediante un par8metro #enérico J3 ^
que denominaremos impedancia y que3 en #eneral3 es un nmero complejo )notar que no es un fasor que toma los si#uientes valores para el caso de resistencias3 condensadores y bobinasN
&'8
VI.
ESTUDIO DE UN CIRCULO RLC
Gamos e4aminar el comportamiento de un sistema formando por los tres elementos bobina3 condensador y resistencia dispuestos en serie y conectador a un #eneradorde corriente alterna de amplitud G0 y frecuencia an#ulas ω .
Págin a 15
CORRIENTE ALTERNA
9ibujamos el dia#rama de vectores teniendo en cuenta N Mue la intensidad que pasa por todos los elementos es la misma. Mue la suma )vectorial de las diferencias de potencial entre los e4tremos de los elementos nos da la diferencia de potencial en el #enerador de corriente alterna .
El vector resultante de la suma de los tres vectores es V 0
; √ V R +( V L −V C ) = L 2
2
0
√
2
R +( ω L−
1
ω C
)
e denomina impedancia del circuito al términoN J ¿ L
0
√
R
2
+( ω L−
1 ω C
)
La impedancia3 de al#una forma se trata de la combinación de las resistencias debidad a todos los componentes del circuitoN R9 resistencia ó"mica )V R L D%*' ' ' *'9 inductiva o reactancia inductiva ; LX ω
9e modo que se cumpla una relación an8lo#a a la de los circuitos de corriente continua )Ley de "m Págin a 16
CORRIENTE ALTERNA V 0= L0∗Z
1. CIRCUITOS RLC SERIE
En la fi#ura un circuito formado por la combinación en serie de una resistencia3 un condensador3 un indoctos y una fuente de 2.D . en el estudio de este circuito aparecer8n juntos los aspectos estudiados en las secciones anteriores.
Circuito de C.A que contiene Resistencia, inductancia y capacitancia en serie
La f.e.m est8 dada por la ecuación ε =ε m sen ( ω t )
9ado que los cuatro componentes de nuestro circuito est8n conectados en serie3 por todos ellos circula la misma corriente. 2onsiderando los resultados de las secciones anteriores3 podemos esperar que el voltaje oscilante G de la fuente produzca una corriente oscilante i con la misma frecuencia ω 3 pero 2
desfasada respecto a
V 2
3 por lo tantoN
i = Isen ( ω t )
En la cual todava falta determinar los valores de % y Dplicando la re#la de las mallas de Yirc""off3 la suma de los voltajes entre los e4tremos de la resistencia 3 el condensador y el conductor y el inductor 3 es i#ual al voltaje de la fuente 3 es decir N ε
;G> I G2 I GL
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CORRIENTE ALTERNA
En esta ecuación solo aparecen cantidades que varan en forma sinusoidal con el tiempo y sus valores m84imos son 3 respectivamente N
La ecuación es valida en cualquier instante de tiempo 3 por lo tanto se puede usar para calcular i y D partir de la ecuación . si embar#o 3 debido a las diferencias de fase que e4iste entre distintos términos 3 este método no es sencillo 3 como veremos a continuación . SOLUCION ANALITICA
Gamos a obtener la solución del circuito >2L de la fi#ura ri#urosamente. i se aplica una tensión sinusoidal al circuito. La corriente resultante ser8 también sinusoidal .:odemos 3 pues escribir las e4presiones si#uientes para la intensidad y la tensión N
9esearemos obtener la amplitud y el 8n#ulo de fase .El "ec"o de las tensiones instant8neas en cada elemento se suman para dar la tensión aplicada 3 puede e4presarse en la forma N
Hemos "ec"o esta suma teniendo en cuenta el adelanto o retraso de fase de las tensiones empleando la función tri#onométrica apropiada .La solución de esta ecuación nos permite "allar la relación entre ω e i asi como el 8n#ulo de fase entre ellas . 2omo la ecuación es valida en cualquier instante 3 podemos escribir particularizando para ωt ;0 y para
=
ωt
π 2
3 las ecuaciones .
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CORRIENTE ALTERNA
Elevando al cuadrado ambas e4presiones y sumando 3 resultaN
9espejando % obtenemosN
:or lo tanto podemos escribir % ¿
ε m Z
ε
La cual recuerda la relación % ¿ Z para redes resistivas de una sola malla actuadas por una f.e.m. estacionaria La ma#nitud 2
2
Z = R +( X L − X C )
e denomina impedancia aun circuito >2L en seria .(ambién podemos escribir. εm
;% J
o
J ¿
ε m I
:ara obtener el 8n#ulo de fase dividimos miembro de las ecuaciones
Págin a 19
CORRIENTE ALTERNA
La aplicación de este procedimiento a circuitos mas complejos3 puede resultar complicado3 en consecuencia3 se recurre al dia#rama de fasores. SOLUCION !EDIANTE EL E!PLEO DE ASORES
En la fi#ura a se "an dibujado los tres dia#ramas de las fi#uras3 modificadas en dos aspectos .e "an cambiado la escala de modo que la amplitud de la intensidad sea la misma en todos o seaN %> ; %2; %L; % Ds mismo3 los dia#ramas se "an rotado unos respecto a otros "asta conse#uir que los fasores #eneratrices de la intensidad sean paralelas .Estas dos modificaciones son las apropiadas para el circuito serie3 en el que la intensidad en todos los punto circuito es la misma.
´ de modo :or lo ultimo 3 conviene aclarar que 3 para simplificar el dia#rama 3 se "a trazado e3 fasor I que coincida con el eje "orizontal3 lo cual tiene la si#uiente justificaciónN
La orientación del fasor I´ , se determina por su fase inicial esta depende del instante en que comienza la lectura del tiempo3 por lo tanto es arbitraria en la mayora de los casos3 aprovec"ando la posibilidad de ele#ir arbitrariamente la fase inicial3 al analizar los circuitos de 2.D 3 conviene diri#ir por el eje "orizontal un vector conocido cualquiera .9e este modo se considera i#ual a cero su fase inicial. 9espués de esto3 todos los dem8s fasores se orientan con relación al fasor conocido. ∝
´ representa la corriente en todos los elemento del circuito3 y su :or lo tanto3 un nico fasor I componente vertical corresponde a la ecuación •
•
V ´ R
´ es paralelo a I 3 pues es un componente resistivo3 el voltaje esta en fase con la corriente. π V ´ C es paralelo a I´ , como ocurre para un componente capacitivo. 2 rad3 respecto a Págin a 20
CORRIENTE ALTERNA
•
V ´ L
es paralelo a
π 2
´ 3 como sucede para un componente inductivo. rad3 respecto a I
Habiendo conse#uido que la amplitud y fase de la intensidad sean las mismas en todos los elementos3 ´ ´ los vectores #eneratrices de la tensión correspondientes a N G> 3 G2 y GL es decir V 3 V C y V ´ L 3 respectivamente 3 nos dan a"ora las amplitudes y fases relativas de las tensiones sinusoidal )instant8neas entre e4tremos de los elementos . R
El valor instant8neo de la tensión del #enerador es i#ual a la suma de las tensiones instant8neas entre e4tremos en cada elemento de acuerdo con la ecuación . Ddem8s3 como la suma de tensiones sinusoidales de la misma frecuencia es siempre otra tensión resultante 3 entre e4tremos de todos los elementos 3 es precisamente i#ual a la suma vectorial de los fasores #eneratrices individuales 3 es decir V ´ R
´ I V C
+ V ´ L
; ´ε
En la fi#ura b se "a representado esta relación entre fasores. ´ 2omo V C
y V ´ L
en un nico fasor
est8n siempre en la misma recta y con sentidos opuestos3 "an sido combinados
V ´ L
¿
−V ´C ¿ cuyo modulo es )GL KG2 y dado que entonces
´ V
; ε´ viene dado por la "ipotenusa del trian#ulo rect8n#ulo de catetos −V ´C ¿ 3 aplicando el teorema de :it8#oras se obtieneN
V ´ R
ustituyendo los valores de G> 3 G2 y GL dado por las ecuaciones tendremos .
´ lle#amos a la ecuación 3 deducida anteriormente por el método analtico . 9espejando I
Págin a 21
y )
V ´ L
CORRIENTE ALTERNA
9e este modo 3 se "a resuelto problema propuesta 3 es decir determinar % en términos de los cinco par8metros que caracterizan circulo ; >.2.L . ε m y ω . ´ entre los &ótese que siempre que los términos de reactancia contribuyan a J 3 el fasor tensión V ´ . e4tremos del circulo esta fuera de fase con el fasor de intensidad I
bservando la fi#ura 3 la ma#nitud del 8n#ulo de fase se puede determinar a partir de N
Las ecuaciones muestran que el voltaje a través de cada elemento depende directamente de la resistencia. 2omo consecuencia de esto 3 es posible construir un dia#rama de fase alternativo considerando > 3$L y $2 3 como cantidades vectoriales . n dia#rama de este tipo se puede utilizar para el calculo de la impedancia como se aprecia en la fi#ura
El 8n#ulo de fase a través del dia#rama de impedancia se determina como
:or supuesto 3 este 8n#ulo es el mismo que el que se obtiene mediante la ecuación Págin a 22
CORRIENTE ALTERNA
bsérvese a partir del dia#rama de impedancias 3 que un valor de $L Z $2 y resulta un 8n#ulo de fase ne#ativo 3 lo cual indica que el voltaje esta atrasado respecto ala corriente. :or lo tanto el se#undo problema propuesto "a quedado resuelto 3 se "a e4presado 2. CIRCUITO RLC PARELELO
La fi#ura muestra un circuito formado por la combinación en p8relo de una resistencia 3 un inductor y una fuente 2.D.
Circuito de C.A que contiene resistencia , Inductancia y Capacitancia en Paralelo .
Los circuitos paralelo son usados en los sistemas eléctricos mas frecuentemente que los circuitos serie .En equipos electrónicos se usan circuitos serie 3 paralelo y combinación de estos . D causa de que todas las bobinas y condensadores tiene al#una resistencia 3 no es posible "acer un circuito conteniendo reactancias puras conectadas en paralelo . in embar#o 3 en al#unas bobinas y condensadores3 especialmente en estos3 la resistencia es tan baja en comparación con la reactancia que se supone 3 la resistencia nula. En estas condiciones un circuito puede ser considerado como si solo contuviera una combinación de resistencias y reactancia puras conectadas en paralelo. La f.e.m. esta dada por la ecuación ε
=ε
m
(
sen ωt
)
9ado que los cuatro componentes de nuestro circuito est8n conectados en paralelo 3 la diferencia de potencial entre sus e4tremos es la misma. 2onsiderando los resultados de las secciones anteriores 3 podemos esperar que el voltaje oscilante v de la fuente produzca una corriente oscilante i con la misma frecuencia ω 3 pero desfasada respecto a v 3 por lo tanto N %; % sen (ωi + ∅ )
Págin a 23
CORRIENTE ALTERNA
Dplicando la re#la de nodos 3 la intensidad de lnea es la suma de las intensidades de cada rama 3 es decir N %r ;i> I i2 I iL En esta ecuación solo aparecen cantidades que varian en forma sinusoidal con el tiempo 3 y sus valores m84imos son 3 respectivamente N
La Ec. es v8lida en cualquier instante de tiempo3 por lo tanto puede usarse para calcular i y f a partir de la Ecuacion . Los elementos conectados en paralelo a través de un #enerador de C.A. se estudian por los mismos procedimientos se#uidos para los elementos conectados en serie. SOLUCIÓN ANALTICA
Gamos a obtener la solución del circuito RCL del la fi#ura ri#urosamente. i se aplica una tensión sinusoidal al circuito3 la corriente resultante ser8 también sinusoidal. :odemos3 pues escribir las e4presiones si#uientes para la tensión y la intensidadN
9eseamos obtener la amplitud y el 8n#ulo de fase. El "ec"o de que las corrientes instant8neas en cada elemento se suman para dar la corriente total3 Ecuacion puede e4presarse en la formaN
Págin a 24
CORRIENTE ALTERNA
Hemos "ec"o esta suma teniendo en cuenta el adelanto o retraso de fase de las corrientes empleando la función tri#onométrica apropiada. La solución de esta ecuación nos permite "allar la relación entre i y e as como el 8n#ulo de fase entre ellas. 2omo la Ecuacion es v8lida en cualquier instante3 podemos escribir particularizando para ω t ; 0 y
para w t ;
π 2
3 las ecuacionesN
Elevando al cuadrado ambas e4presiones y sumando resulta N
9espejando em obtenemos N
:or lo tanto podemos escribir N εm
%; Z la cual recuerda la relación %;
ε Z
para redes resistivas de una sola malla actuadas por una f.e.m.
estacionaria. La ma#nitudN
Págin a 25
CORRIENTE ALTERNA
e denomina impedancia del circuito >2L paralelo. (ambien podemos escribir N
:ara obtener el Dn#ulo de fase dividimos miembro a mienbro las ecuaciones
SOLUCION !EDIANTE EL E!PLEO DE ASORES
El dia#rama de fasores para el circuito de la Figura . .
a
9ia#rama de fasores para el circuito >2L :aralelo de la ?i#
b
>elación entre los fasores 3 para el mismo circuito.
En este caso la diferencia de potencial instant8nea a través de cada elemento es la misma en amplitud y fase y solo un fasor ´ε representa el voltaje entre los bornes3 ya queN
Págin a 26
CORRIENTE ALTERNA
La solución de los circuitos con dos o m8s receptores en paralelo3 requiere la determinación de las intensidades de las corrientes en cada rama del circuito3 para combinarlas lue#o vectorialmente y "allar la corriente resultante. El faso