Pour toutes remarque , merci de me contecter .
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c BOUHER Rashid Correction d'examen d' Algèbre 4 session d'automne https ://www.facebook.com/rachid.bouher.71 Université Ibno Zohr
Année Univirsitaire 2014-2015
Faculté des sciences
Filère : SM3
Département de Mathématique Agadir
Examen d' Algèbre 4 - session d'automne Soit f ∈ LK (E) où Dim(E )= n et f 6= 0 tel que f 2 = f et f 6= IdE Montrer que f est diagonalisable .
Exercice 1
Exercice 2
On considère la matrice
3 1 −1 A= 0 2 0 1 1 1
1. Déterminer le polynôme minimal de A . La matrice A est-elle diagonalisable ? 2. En utilisant le polynôme minimal calculer A−1 puis An , pour n ∈ N Exercice 3
Considérons pour n ≥ 2 les matrices :
0
1
A=
1
0
. . . .. .
1
0 1
.. . . . .
1
... 1
1 0
et In la matrice identité . 1. Calculer (In + A)2 . 2. En déduire l'exestance d'un polynôme M (X) de degré 2 annulant A . M (X) est-il le polynôme minimal de A ? A est-elle diagonalisable ? 3. Calculer A−1 puis An , pour n ∈ N Exercice 4 On considère la matrice
1 −3 4 A = 4 −7 8 6 −7 7
1. 2. 3. 4.
Calculer le polynôme caractéristique de A . Déterminer les sous espaces propres Eλ=−1 et Eλ=3 A est-elle diagonalisable ? Déterminer une matrice P inversible telle que :
3 0 0 P −1 AP = 0 −1 1 = T 0 0 −1
1
c BOUHER Rashid Correction d'examen d' Algèbre 4 session d'automne
Correction Exercice 1 Un endomorphisme idempotent est, par dé nition, un projecteur. Tout projecteur f est diagonalisable car E est somme directe du noyau et de l'image du projecteur, et, dans le noyau, f est nul, et , dans l'image, f est l'application identique, donc f 2 = f ⇒ f est diagonalisable Exercice 2 1. Déterminons d'abord le polynôme caractéristique de A , soit λ une valeure propre de A on a : astuce : on dévellope suivant la troixième colone pour réduire les calcules . 3−λ 1 −1 2−λ 0 χ(λ) = det(A − λI3 ) = |A − λI3 | = 0 1 1 1−λ
=
(2 − λ)[(3 − λ)(1 − λ) + 1] = (2 − λ)(3 − 4λ + λ2 + 1) = (2 − λ)3
conclusion
χ(λ) = (2 − λ)3
Remarque : dans la suite nous prendront λ = X bref c'est juste des notations . Déterminons maintenent le polynôme minimal de A . D'après le théorème de CayleyHamilton, le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique. On a donc trois polynômes possibles pour ΠA : P1 (X) = 2 − X , P2 (X) = (2 − X)2
ou P3 (X) = (2 − X)3
Regardons donc lequel annule A en premier : on a :
1 1 −1 A − 2I3 = 0 0 0 = 6 0M3 (R) 1 1 −1 2 1 1 −1 0 0 0 (A − 2I3 )2 = 0 0 0 = 0 0 0 1 1 −1 0 0 0
Donc le polynôme minimal de A est le polynôme P2 : ΠA (X) = (X − 2)2
le polynôme minimal de A est scindé mais il n'est pas a racines simples ainsi A n'est pas diagonalisable ! 2. Le polynôme minimal de A est un polynôme annulateur de A. On a donc : (A − 2I3 )2 = 0 = A2 − 4A.I3 + 4I3
2
(car A et I3 commutent)
c BOUHER Rashid Correction d'examen d' Algèbre 4 session d'automne D'où : A(4I3 − A) = 4I3
cela résulte que A est inversible , de plus on a :
1 4
1 1 A−1 = (4I3 − A) = I3 − A = 0 4 4 −1 4
−1 4 1 2 −1 4
1 4
0 3 4
calculons An pour n ∈ N pour n = 0 resp 1 , A = I3 resp A = A trivial ! soit donc n ≥ 2 sachant que P2 : P2 (X) = (X − 2)2
est annulateur de A , on a le reste de la division euclidienne de X n par P2 est de la forme R(X) = aX + b avec (a, b) ∈ R∗ × R on aura donc :
X n = (X − 2)2 Q(X) + R(X) 0 0 0 (X n ) = 2(X − 2)Q(X) + (X − 2)2 Q (X) + R (X)
ce qui donne : X n = (X − 2)2 Q(X) + aX + b 0 nX n−1 = 2(X − 2)Q(X) + (X − 2)2 Q (X) + a
en remplacant X par 2 on trouve :
a = n2n−1 ⇒ R(X) = n2n−1 X + 2n (1 − n) b = 2n (1 − n)
D'où :
An = n2n−1 A + 2n (1 − n)I3
D'où nalement -sauf erreurs de calcule- : 3n2n−1 + 2(1 − n) n2n−1 −n2n−1 0 n2n−1 + 2n (n − 1) 0 An = n−1 n−1 n−1 n n2 n2 n2 + 2 (1 − n)
véri er le ! en donnant à n des valeures particulières . Exercice 3 1. calculons (In + A)2 , soit n ∈ N, n ≥ 2
1
1
(In +A) =
1
1
2
1
1
... 1
. . . . .. . . 1 1 . . .. . .. . . . 1 1 .. . . . 1 1 .
1
D'où
... 1
1
1
1
1
1
1
n
n
=
n
n
. . . .. .
n
n n
1
(A + In )2 = n(A + In )
3
.. . . . .
n
1
1
= n n n
1
1
. . . .. .
1
1 1
... n
.. . . . .
1
... 1
1 1
c BOUHER Rashid Correction d'examen d' Algèbre 4 session d'automne 2. Par la cummutativité de A et In on trouve : A2 + (2 − n)A + (1 − n)In = 0
d'où le polynôme M (X) tel que : M (X) = X 2 + (2 − n)X + 1 − n = (X + 1)(X − (n − 1))
est annulateur de A . Le polynome minimal de A est le plus petit des polynômes annulateurs de A , M (X) etant scindé à racines simples est annule A donc c'est sont polynôme minimal . et par suite A est diagonalisable . 3. Soit n ∈ N calculons la matrice inversible A−1 de A remarquant que si n = 1 , A n'est pas inversible ! , soit donc n 6= 1 On a d'après la question 2 : A2 + (2 − n)A + (1 − n)In = 0
D'où : A[
1 (A + (2 − n)In )] = In n−1
cela montre que A est inversible et on a : A−1 =
1 (A + (2 − n)In ) n−1
Question ( en tenant compte des résultats de la question 3 ) : a-t-on : toute matrice à coe cients reéls admet un polynôme annulateur (resp minimal ) ? ou encore toute matrice à coe cients reéls admetant un polynôme annulateur (resp minimal) est-elle inversible ? ! les matrices d'ordre 1 sont-elles inversibles ? ! Calculons maintenent An , par le polynôme annulateur de A , on a le reste de la division euclidienne de X par M (X) est de la forme : R(X) = aX + b avec (a, b) ∈ R∗ × R on a donc X n = M (X)Q(X) + R(X)
ce qui donne :
X n = (X + 1)(X + (1 − n))Q(X) + aX + b
en substituant −1 et (n − 1) à X on trouve -sauf erreurs de calculs - : a = n1 ((n − 1)n + (−1)n+1 ) car − (−1)n = −1 × (−1)n = (−1)n+1
b = n1 ((n − 1)n + (−1)n (n − 1))
1 1 ⇒ R(X) = [ ((n − 1)n + (−1)n+1 )]X + ((n − 1)n + (−1)n (n − 1)) n n
et en remarquant que
An = M (A)Q(A) + R(A)
4
c BOUHER Rashid Correction d'examen d' Algèbre 4 session d'automne avec M (A)Q(A) = 0 ; du fait que M (A) = 0 car M (X) annule A . on obtient : 1 1 An = [ ((n − 1)n + (−1)n+1 )]A + [ ((n − 1)n + (−1)n (n − 1))]In n n Remarquant que si n = 0 cette formule n'est plus valable . ! expliciter An et véri er les calculs en substituant des valeures particulières à n , par
exemple ! Exercice 4 1. Calculons le polynôme cactéristique de A .
1−λ −3 4 −7 − λ 8 = χ(λ) = det(A − λI3 ) = |A − λI3 | = 4 6 −7 7−λ 7−λ −3 −3 8 4 4 (1 − λ) − 4 + 6 = λ3 − λ2 − 5λ − 3 −7 7 − λ −7 7 − λ −7 − λ 8
commentaire dans l'enoncé les sous-espaces propres sont indéxés par , λ = −1 et λ = 3 respictivement , ce qui signi e que 1 et 3 sont des valeurs propres de A ce qui facilite la factorisation de χ(λ) . et permet aussi de véri er les calcules . après les calcules on trouve : χ(λ) = λ3 − λ2 − 5λ − 3 = (λ − 3)(λ + 1)2
2. Déterminant les sous espaces propres de A , Par dé nition , on a Eλ=i = {X ∈ Mn,1 (R), AX = iX}
pour λ = −1 soit X1 = (x, y, z) ∈ M3,1 (R) tel que : AX = −X
(∗)
1 −3 4 x x (∗) ⇔ 4 −7 8 y = − y 6 −7 7 z z x − 3y + 4z = −x x=x 4x − 7y + 8z = −y ⇔ y = 2x ⇔ 6x − 7y + 7z = −z z=x
D'où X1 = (x, 2x, x) et Eλ=−1 = vect((1, 2, 1)) Pour λ = 3 ; on montre de la même manière que : Eλ=3 = vect(X2 ) = vect(( 21 , 1, 1)) en eet on a: AX = 3X 1 −3 4 (∗∗) ⇔ 4 −7 8 6 −7 7 x − 3y + 4z = 3x 4x − 7y + 8z = 3y ⇔ 6x − 7y + 7z = 3z
5
(∗∗) x x y = 3 y z z x = 21 y y=y ⇔ z=y
c BOUHER Rashid Correction d'examen d' Algèbre 4 session d'automne 3. on a l'ordre de multiplicité de la valeure propre λ = −1 est 2 en revanche , Dim(Eλ=−1 ) du sous-espace propre assossié a cette valeure propre est égale à 1 car il est engendré par un et un seul vecteur ( le vecteur propre associe à −1 cela résulte que A n'est pas diagonlisable . 4. Remarque : Malgré que la matrice A n'est pas diagonalisable , elle est trigonalisable , en eet sont polynôme caractéristique est scindé , donc elle est semblable à une matrice T triangulaire supérieur ( elle est donné dans lénoncé ) il est à noter que l'implication réciproque de ceci est fausse i.e l'implication trigonalisable ⇒ diagonalisable , chercher un contre exemple simple . cherchons la matrice P ∈ GL3 (R) . on a déjà les 2 premières colones de P il faut trouver la troisième . pour cela cherchons une vecteur X = (x, y, z) ∈ R3 = M3,1 (R) tel que : AX = X1 − X 1 −3 4 x 1 (∗∗∗) ⇔ 4 −7 8 y = 2 − 6 −7 7 z 1
ce qui est équivalent à :
(∗ ∗ ∗) x y , oùX1 est le vecteur propre associé à λ = −1 z
x − 3y + 4z = 1 − x 4x − 7y + 8z = 2 − y 6x − 7y + 7z = 1 − z
on observe que
− 12 0
1 2
convient D'où
à véri er !
1 − 12 P = 1 2 0 et P −1 AP = T 1 1 12
1 2
Bonus
1. Quelques applications de la réduction ( ici diagonalisation , trigonalisation) des matrice carrés d'ordre p . Diagonaliser une matrice A , consiste à chercher une base dont la matrice diagonale D est semblable à A , ou bien Déterminer de matrices carrés D ∈ Dp (R) i.e diagonal et P ∈ GLp (R) i.e inversible ; de même ordre que A telles que A = P DP −1 . 2. Diagonaliser un endomorphisme u consiste à chercher une base dont la matrice reprisantative de u soit diagonale . 3. Comment diagonaliser ? ! , pour diagonaliser une matrice (resp un endomorphisme ) il faut en générale chercher ces éléments propres tels que : les valeurs propres ( en calculant le polynôme caractéristique ) , les vecteurs , et les sous espaces prorpes ( par la résolution d'un tel système déquations) 6
c BOUHER Rashid Correction d'examen d' Algèbre 4 session d'automne 4. Pourquoi diagonaliser ? ! . grâce à la diagonalisation . on peut facilement : a) calculer les puissance d'une telle matrice par la formule : An = (P DP −1 )n = P Dn P −1 = P diag(λn1 , . . . , λnp )P −1 où A et P sont d'ordre p et P ∈ GLn (R) par conséquant la détirmination du terme générale d'une telle suite numérique .... b) calculer exp(A) par la formule : exp(A) = exp(P DP −1 ) = P exp(D)P −1 = P diag(exp(λ1 ), . . . , exp(λp ))P −1
c) ect ...
5. pour repondre à : Montrer que A (resp u) est diagonalisable , il est toujours utile de penser au critèrs de ladiagonalisation (ou diagonalisabilité) tels que : a) toute matrice (resp endomorphisme ) symétrique reélle est diagonalisable . b) l'ecpace vectoriel E sur lequel se trouve dé nie A (resp u) admet une base formée par des vecteurs propres de A (resp u) . c)E s'écrit comme somme directe des espaces propres Eλ λ ∈ spec(A) (resp u) d) le polynôme minimal est scindé à racines simples . e) toute matrice semblable à une matrice diagonale est diagonalisable f) toute matrice diagonale est évidement diagonalisable , la réciproque est fausse . g) E sécrit comme somme direct des sous espaces propres . h) ect ... 6.
Petit exercice :
1) Quelle est la relation entre le polynôme caractéristique de A et celui de A−1 , t A et exp(A) 2)Si A est diagonalisable ; exp(A) est-elle diagonalisable ? A−1 est-elle diagonalisable ? t A est-elle diagonalisable ? 3 ) quelle est la relation entre tr(A) i.e trace de la matrice A qui est dé nie comme la somme des éléments de sa diagonal . et spec(A) i.e l'ensemble des valeurs propres deA , et celle entre A et det(A) avec A est une matrice diagonalisable . ? ! 4)la somme de deux matrice diagonales est-elle diagonalisable ? 5)la somme de deux matrice diagonalisable est-elle diagonalidable ? 6) la somme d'une matrice diagonale est une matrice diagonalisable est-elle diagonalible ? 7)donner 3 critères de la trigonalisation d'une matrice . 8)quelle est la relation entre diagonalisation et trigonalisation . 9)Quelle est la relation entre polynôme caractéristique , le polynôme minimale , et le polynôme annulateur ? 10) vrai ou faut : - toute matrice à coe cent dans C admet un polynôme caractéristique scindé à racines simples . - toute matrice symétrique à coe cent dans C est diagonalisble . - toute matrice à coe cent dans C est trigonalisable . - une matrice est dite nilpotente si elle commute avec tous les matrices . - une matrice A est dite nilpotente si ∃k ∈ N∗ telle que Ak = 0 et Ak−1 6= 0 - toute matrice diagonalisable + nilpotente est nulle . -toute matrice dont le spectre est inclut dan R∗ est inversible . - soit A ∈ Mn (R) ; 0 ∈ spect(A) ⇔ A ∈ GLn (R) -toute matrice nilpotente est inversible . 7
