Universidad Nacional de Colombia Departamento Depart amento de Matem´ aticas aticas ´ 1000003-1 Algebra Lineal - Grupo 1 Parcial n 1 ◦
(i) (6 (6 Puntos) Puntos) ¿Qu´ ¿ Qu´e con c ondi dici ci´ on o´n debe imponerse a a, b y c para que el siguiente sistema, con inc´ ognitas ognitas x, y y z , tenga soluci´ on? on? x + 2y − 3z = a
2x + 6y − 11z = b x − 2y + 7 z = c
Soluci´ on: on: despu´ despu´es es de aplicar aplicar las operaciones operaciones elemental elementales es de fila −2F 1 + F 2 → F 2 , −F 1 + F 3 → F 3 y 2F 2 + F 3 → F 3 a la matriz ampliada del sistema obtenemos en la tercera fila 0 0 0 −5a + 2b + c , as´ as´ı para que el sistema tenga soluci´ on on la condici´ on on que debemos imponer sobre a, b y c es que −5a + 2b + c = 0.
(ii) (6 (6 Puntos) Puntos) El determinate de
Vandermonde andermonde de
A
1 =
a1 a21
orden 3 est´ a dado por D 3 = det(A), donde 1
1
a2 a22
a3 a23
.
Demuestre que det(A) = (a2 − a1 )(a3 − a1 )(a3 − a2 ). Soluci´ on. Tenemos: on. Tenemos: det(A) = det(At
1 ) = det 1
1 = det 0 0
a1 a2 1 a3
a1 a2 − a1 a3 − a1
a − a1 = det 2 a3 − a1
a21 a22 a23
a21 a22 − a21 a23 − a21
1 +
(a2 + a1 )(a2 − a1 ) (a3 + a1 )(a3 − a1 )
= (a2 − a1 )(a3 − a1 )det
a2 a1 1 a3 + a1
= (a2 − a1 )(a3 − a1 )(a3 − a2 ).
(iii) (8 Puntos) Demuestre Puntos) Demuestre que para todo n´ umero umero real θ la matriz A
sen( ) = cos( ) θ θ
0
invertible y encuentre su inversa usando la adjunta.
1
es
cos(θ) 0 − sen(θ) 0 0 1
Soluci´ on. N´otese que el determinante de esta matriz es −1 = 0 (desarroll´ andolo ya sea por la tercera fila o la tercera columna), de modo que la matriz es invertible para cualquier valor de α. Calculando sus respectivos cofactores tenemos: A11 = − sen(θ), A12 = − cos(θ), A13 = 0, A21 = − cos(θ), A22 = sen(θ), A23 = 0, A31 = 0, A32 = 0 y A33 = 1. Por tanto, cof(A) = − sen(θ) − cos(θ) 0 − sen(θ) − cos(θ) 0 1 1 − cos(θ) sen(θ) 0 , as´ı que A = det(A) adj(A) = − adj(A) = − cos(θ) sen(θ) 0 . 0 0 1 0 0 1
−
(iv) (6 Puntos) ¿Para qu´e valores de α
la matriz
−α
α−1 α
1
+1 3 no tiene inversa?
2 2−α α+3 α+7
Soluci´ on. Resolviendo el determinante se concluye que este es cero para cualqueir valor de α. Por lo tanto, la matriz es singular (e.d., no invertible) para todo α ∈ R. (v) (24 Puntos) Diga si la afirmaci´ on es verdadera o falsa. En cada caso justifique plenamente su respuesta:
2 5 1 0 (a) La matriz se puede escribir como una combinaci´ on lineal de las matrices , 3 8 1 0 1 2 4 1 2 5 ,
− −
−
,
. 0 0 3 0 6 1 Soluci´ on. La pregunta se reduce a verificar si existen escalares c1 , c2 , c3 y c4 tales que
2 5 1 0 1 2 4 1 3 −8
= c 1
+ c2
1 0
0 0
+ c3
−
3
+ c4
0
−2 5
6
1
.
Operando tenemos:
2 5 3 −8
=
c1 + c2 + 4 c3 − 2c4 c1 + 3 c3 + 6 c4
2c2 − c3 + 5 c4 c4
.
Igualando entrada por entrada obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones: c1 + c2 + 4 c3 − 2c4 = 2
2c2 − c3 + 5 c4 = 5 c1 + 3 c3 + 6 c4 = 3 c4 = − 8 175 Resolviendo este sistema obtenemos: c1 = 226; c2 = − 20 3 ; c3 = − 3 y c4 = −8; de manera que la afirmaci´ on es VERDADERA.
(b) Sea A una matriz cuadrada de orden n y antisim´etrica. Si n es impar, entonces det(A) = 0. Soluci´ on. Por definici´ on, una matriz cuadrada de orden n A es antisim´etrica si, y s´ olo si, t A = −A . Tomando determinante a ambos miembros de la igualdad tenemos: det(A) = det(−At ) = (−1)n det(At ) = − det(A), puesto que n es impar por hip´ otesis. Luego det(A) = 0, de manera que la afirmaci´ on es VERDADERA. 2
(c) Sean A ∈ M n m y B ∈ M m n , de modo que AB ∈ M n . Si n > m entonces AB es invertible. Soluci´ on. FALSO (este ejercicio lo hicimos en clase¡¡¡) ×
×
(d) Si A es una matriz ortogonal, entonces det(A) = ± 1. Soluci´ on. VERDADERO (otro ejercicio que hicimos en clase¡¡¡) (e) Sea Ax = 0 un sistema homog´eneo. Si la matriz A es invertible, entonces el sistema tiene como u ´nica soluci´ on la trivial. Soluci´ on. VERDADERO (uno m´as que hicimos en clase¡¡¡) (f) Si A, B ∈ M n son matrices con entradas reales y si α ∈ R, entonces tr(αA + B ) = αtr(A)+tr(B ), donde tr denota la traza de una matriz cuadrada, es decir, la suma de los elementos de su diagonal (si A = (aij )n n , entonces tr(A) := ni=1 aii ). Soluci´ on. Sean A = (aij )n n y B = (bij )n n , entonces αA + B = (αaij + b ij )n n y, por tanto, tr(αA + B ) = αa 11 + b11 + αa22 + b22 + · · · + αann + bnn = α (a11 + a22 + · · · + ann) + (b11 + b22 + · · · + bnn) = α tr(A)+ tr(B ). De esta forma, la afirmaci´ on es VERDADERA. ×
×
×
3
×
