Universidad de las Fuerzas Armadas.Pilicita Lagla Jimmy Javier. Convolución circular.
CONVOLUCIÓN CIRCULAR Jimmy Javier Pilicita Lagla
[email protected] Electrónica e Instrumentación, Quinto, Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE-Extensión Latacunga, Márquez de Maenza S/N Latacunga, Ecuador.
RESUMEN En el presente paper se muestra de
1.2 DESARROLLO
forma escrita que la convolución es un valor que se extiende a todos los sistemas que son invariantes lineales del tiempo. La idea de convolución discreta es la misma que la de convolución continua. Recordemos que la convolución es un instrumento poderoso al determinar el resultado de un sistema después de saber la una entrada arbitraria y la respuesta al impulso del sistema. Puede ser también útil al ver la convolución gráficamente con nuestros propios ojos y poder manejar el concepto.
Si se tiene la respuesta al impulso discreto de un sistema LID y denotada por h(n), ¿ Cuál es la respuesta y(n) a cualquier excitación x(n)?. Una secuencia x(n) puede expresarse como una suma de impulsos escalados y desplazados, es decir
∞ =−∞∑
ABSTRACT: This paper shows that the convolution writing a value that extends to all systems that are linear time invariant. The idea of discrete convolution is the same as the continuous convolution. Recall that convolution is a powerful tool to determine the outcome of a system after learning the arbitrary input and the impulse response of the system. It may also be useful to see convolution graphically with their eyes and be able to handle the concept a bit.
PALABRAS
CLAVE:
convolución,
La salida del sistema es
∑ ℎ
Como es sistema e LID , entonces
circular,
Asi la salida esta dada por
sistema, secuencia.
1
∞ ∑=−∞ ℎ
CONVOLUCIÓN CIRCULAR.
Conocida como suma de convolucion discreta y cuya representación es:
1.1 INTRODUCCIÓN El teorema de la convolucion ofrece un procedimiento para el cálculo de la salida de un sistema LTI. LTI. La convolucion circular trata una secuencia periódica de longitud a convolucionar con otra secuencia periódica también de longitud , el proceso de convolución exige productos e igual cantidad de sumas. Empleando una operación conocida como FFT (Transformada rápida de Fourier ) para calcular la convolución se logra reducir este número a un múltiplo de
×
∞
∗ℎ
Es el caso de sistemas discretos, h(n) representa el retrato del sistema, ya que es posible obtener la respuesta a cualquier excitación suponiendo que se conoce h(n). Esto es análogo al caso de sistemas continuos con respecto a la respuesta
2.
al impulso h(t). Supóngase que
Si se tiene la respuesta al impulso discreto de un
1 1 ℎ1ℎ1 2 , ℎ2ℎ2 4
sistema LID y denotada por h(n), ¿ Cuál es la respuesta y(n) a cualquier excitación x(n)?. Una secuencia x(n) puede expresarse como una suma de impulsos escalados y desplazados, es decir : 1
Universidad de las Fuerzas Armadas.Pilicita Lagla Jimmy Javier. Convolución circular. Y que x(t)=2 sen[2 (10t)]+3 sen[2 (20)t], si la
sistema
frecuencia de muestreo es de 1000Hz, la señal
causalidad, y permite obtener la respuesta a
x(t) y las salidas y1(t) y y2(t) considerando las
cualquier excitación.
respuestas
a
impulso
h1(n)
y
2
Obsérvese que el sistema discreto identificado por su respuesta al impulso, influye en la forma distorsión
de
a
su
estabilidad,
CARACTERISTICAS.
La convolución circular opera sobre secuencias periódicas.
Ambas secuencias a convolucionar tienen la misma longitud.
La longitud de una secuencia periódica se refiere a la longitud de un periodo.
El origen de ambas secuencias a convolucionar es forzosamente el primer elemento listado.
de la respuesta a la salida del sistema, en existirá
respecto
h2(n)
respectivamente, se dan en la ilustración 1.
general,
con
amplitud
(ganancia o atenuación) y de fase. En este ejemplo se tiene cierta ganancia y la distorsión en fase no es apreciable.
2.1 SECUENCIA PERIÓDICA.
3
Sea la secuencia periódica con longitud tal como se ilustra a continuación (note que en la ecuación hay un origen definido)
0≤≤1
,,, […, ↑ , ,,…]
Para sistemas causales cuya respuesta h(n) es una secuencia finita (
), los limites
Esta secuencia también puede escribir con índices no periódicos de la forma siguiente
de la sumatoria son 0 y N-1 ó 1 y N. Es posible
[…, ,,, , ,,…] ↑
demostrar que la convolución continúa dada por la ecuación:
∗∫
Ambas formas, la periódica y la no periódica se consideran equivalentes y serán usadas para demostrar la convolución circular.
Puede aproximarse usando la convolucion discreta como
La
≅∗
aproximación
será
mejor
para
2.2 SOBRE EL ORIGEN DE LA SECUENCIA PERODICA.
valores
El origen de una secuencia periódica será el primer elemento listado en la secuencia.
pequeños del periodo de muestreo T. Partiendo de la definición es posible demostrar que la
2.3 DESPLAZAMIENTO HACIA DELANTE DE UNA SECUENCIA PERIODICA
convolución discreta es conmutativa, asociativa y distributiva, ósea:
Un dezplazamiento hacia adelante implica un corrimiento hacia la izquierda de los elementoos de la secuencia. En este caso, el elemento más a la izquierda sale por izquierda e ingresa por la derecha, es decir.
∗ ∗∗ ∗∗ ∗+ ∗+∗
,, + ,,
Concluyendo: La respuesta al impulso h(n) de un sistema discreto, proporciona información del
2
Universidad de las Fuerzas Armadas.Pilicita Lagla Jimmy Javier. Convolución circular.
⊛++
2.4 DESPLAZAMIENTO HACIA ATRÁS DE UNA SECUENCIA PERIODICA Cuando una secuencia periódica se atrasa un paso, el elemento más a la derecha sale por derecha e ingresa por la izquierda, es decir.
2.6 PROPIEDAD DE LONGITUD
∗
Dadas dos secuencias y de longitud , la convolución circular de ambas funciones es otra función de longitud .
,, ,, . ∗ ∗
2.5 DEFINICIÓN
Dadas dos secuencias periódicas y Dada la secuencia periódica de longitud y dada la secuencia también periódica y de longitud . La convolución queda representada como y matemáticamente, la convolución circular se define como:
2
MÉ TODO S CIRCULAR.
2.1 MÉTODO CONCENTRICOS
DE
LA
DE
C ONVO LUC IÓN
LOS
CIRCULOS
0, 1, 2
∞ ∗ =∑(); ∀ ∈ 0 ,1 5
Sea la secuencia el primer operando de una convolución circular. Éste operando puede representarse con puntos equidistantes sobre un círculo. Los puntos se numeran en el sentido de las manecillas del reloj tal como ilustra la figura 1.a.
Para ejemplificar el comportamiento periódico de la fórmula, ésta se desarrollará considerando las secuencias periódicas siguientes:
Preste atención en donde se coloca el primer elemento de la secuencia. Sea la secuencia el segundo operando de una convolución circular. Este operando se representa con puntos equidistantes sobre un círculo inscrito en el círculo del operando . Los puntos se numeran en sentido contrario al de las manecillas del reloj y haciendo coincidir el origen de la secuencia con el origen de la secuencia . La figura 1.b ilustra tal acomodo. Ya dispuestos los círculos, se realiza el siguiente algoritmo:
0, 1, 2
,, ,, ⊛++ ⊛+ + ⊛++
Desarrollando la fórmula de la convolución circular:
Puede notarse que algunos de los índices en las fórmulas de convolución circular son negativos. Se puede aprovechar la periodicidad de las series de tal forma que:
⊛++ ⊛+ +
Entonces las ecuaciones de la convolución circular se escriben como:
3
Se realiza el producto punto de los vectores tal como indican los círculos concéntricos. El círculo interior se gira un paso en sentido de las manecillas del reloj. Se repiten los pasos hasta que el círculo interior ha realizado un vuelta completa.
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Figura 1. : (a) Representación del operando . (b) Acomodo de los dos operandos y para la convolución circular.
las operaciones de reflexión y desplazamiento
2.2 MÉTODO MATRICIAL
modulo N.
(rotación)
se
realizar
de
forma
circular
calculando el índice de una de las secuencias de
Sean las secuencias periódicas siguientes:
2 , 5 , 0 , 4 4 ,1 ,3 ,0 ⊛000+12+21 ⊛101+10+22 ⊛202+11+20 ⊛0 0 2 1 0 1 0 2 1 ⊛1 10 ⊛2 2 1 0 2 ⊛ 0 2 1 0 2 1 12 2 1 0 0 12 13 La fórmula de la convolución circular
Ahora las fórmulas se expresan en forma matricial de la forma siguiente:
Simplificando la fórmula se tiene que: En donde:
Spin h [-m] n pasos para aplicar h[(n-m)mod N] a la izquierda Multiplique punto a punto x [m] rueda y h [ (n − m ) mod N ]rueda. La suma es
igual y[N].
La correlación circular de las secuencias se plantea resolviendo la fórmula 5. Entonces queda el desarrollo planteado en la ecuación 9. Sustituyendo números resulta en:
Obsérvense las columnas de la matriz y nótese que los elementos de la secuencia se acomodan por columnas que se rotan hacia abajo.
3
⊛024+50+03+4112 ⊛121+54+00+4334 ⊛223+51+04+4011 ⊛320+53+01+4431
EJEMPLO. Convolucione circularmente las secuencias periódicas
LA MOD
2,5,0,4 4,1,3,0
4
CONCLUSIONES.
Convolución cíclica trabaja en términos demod N es equivalente al giro de la rueda donde la
La convolución en palabras sencillas no
analogía del cilindro es de gran alcance. La
es más que un operador que transforma
diferencia
dos funciones en una tercera función en
principal
entre
estos
tipos
de
cierto
convolución es que, en la convolución circular, 4
sentido
que
representa
la
Universidad de las Fuerzas Armadas.Pilicita Lagla Jimmy Javier. Convolución circular. magnitud que se superpone entre las dos funciones.
Los tipos de convolución nos permiten analizar distintas características que nos permiten encontrar fácilmente nuestra tercera función con rapidez y eficacia
La convolución circular en el dominio del tiempo es equivalente a la multiplicación de los coeficientes de Fourier en el dominio de frecuencia.
La convolución circular opera sobre secuencias periódicas donde ambas secuencias a convolucionar tienen la misma longitud.
RECOMENDACIONES
Para la resolución de ejercicios es necesario determinar muy bien qué tipo de convolución es con sus diferentes propiedades. La convolución puede resultar un poco
abstracta a la hora de analizarla, pero con sus respectivos ejercicios se puede entender de mejor manera los conceptos básicos que trae la misma.
BIBLIOGRAFÍA.
[1] http://profesores.fib.unam.mx/maixx/Biblioteca/Librero_Telecom/L ibro_ProcDigitSeniales_Ibarra/DSP_Cap_05_Con volucion.pdf [2]http://cnx.org/contents/c6y5uMXx@16/DiscreteTime-Circular-Convolu [3]https://maixx.files.wordpress.com/2012/10/dsp_c ap03_convolucion_11_02_01.pdf [4]https://es.wikipedia.org/wiki/Convoluci%C3%B3n
5
