UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ - UFC CENTRO DE TECNOLOGIA - CT DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA - DEE
LABORATÓRIO DE CONTROLE DE SISTEMAS DINÂMICOS
Relatório da Prática 01
SIMULAÇÃO DE SISTEMAS DINÂMICOS USANDO SIMULINK
Aluno: Breno Bezerra Chaves C haves – 336649 336649
Professor: José Carlos Teles Turma: 01A (Terça-Feira, 14h-16h)
Fortaleza (10/11/2015)
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO TEÓRICA _________________________________________ 3 2. EXEMPLO DE SISTEMA MECÂNICO ______________________________ 5 2.1. EQUACIONAMENTO ___________________________________________ 5 2.2. SIMULAÇÃO ___________________________________________________ 7 3. EXEMPLO DE SISTEMA ELÉTRICO _______________________________ 9 3.1. EQUACIONAMENTO ___________________________________________ 9 3.2. SIMULAÇÃO __________________________________________________ 10 4. CONCLUSÃO ___________________________________________________ 12 5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS _______________________________ 13
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1.
INTRODUÇÃO TEÓRICA A maioria dos sistema físicos reais envolvem relações não lineares entre as
variáveis. Muitos modelos podem ser representados satisfatoriamente por modelos lineares (ou linearizados) dentro de determinadas faixas de operação simplificando a análise para projetos [5]. A modelagem de um sistema físico possui três etapas principais: definir os componentes do sistema, aplicar as Leis físicas que regem o sistema e representar o sistema com equações algébricas e/ou diferenciais ou, ainda, por variáveis de estado. O presente relatório trata da modelagem e simulação de dois tipos de sistema: Sistema Mecânico Translacional e Sistema Elétrico e Eletrônico.
Modelagem de Sistemas Mecânicos Translacionais. Estes sistemas estão associados ao movimento translacional de massas devido a forças externas que atuam sobre esta. As forças externas podem estar associadas a molas ou amortecedores (Figura 1) conectados à massa que pode ou não estar conectada a outras massas. No caso de sistemas mecânicos rotacionais, o sistema estaria associado ao torque. O movimento translacional aqui trabalhado está restrito a um plano. De acordo com as Leis de Newton, para um corpo em movimento acelerado, a resultante das forças que nele atuam é igual ao produto de sua massa pela sua aceleração:
Mola: componente que resiste a aplicação de força se deformando de maneira proporcional, servindo também como acumulador de energia. Tomando-se k como a constante elástica da mola, o componente obedece a Lei de Hooke:
Amortecedor: componente que dissipa energia de um sistema mecânico por atrito entre as peças móveis do sistema e/ou pelo atrito interno entre as moléculas das peças do sistema. Tomando-se b como coeficiente de atrito viscoso:
Figura 1: a) representação de uma mola; b) representação de um amortecedor. a)
b)
Fonte: [5]
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Modelagem de Sistemas Elétricos e Eletrônicos. Estes sistemas são normalmente modelados pelas leis de Kirchhoff para malhas e nós, pela Lei Ohm e pelas leis do eletromagnetismo. Composto de elementos dissipativos, como resistores, e armazenadores de energia, como indutores e capacitores (Figura 2). Aqui serão considerados componentes ideais, desconsiderando-se os efeitos dissipativos presentes nos indutores e capacitores reais. Resistor: resiste a circulação de corrente no circuito elétrico dissipando energia em forma de calor (Efeito Joule). Pela Lei de Ohm, a tensão nos terminais de um resistor de resistência R é:
Indutor: elemento que armazena energia instantaneamente no seu campo magnético a tensão induzida nos terminais de um indutor de indutância L é proporcional a variação de corrente que o atravessa:
Capacitor: elemento que armazena energia no campo magnético. A corrente que atravessa um capacitor de capacitância C é proporcional a variação da tensão aplicada em seus terminais:
A análise de circuitos no domínio da frequência envolve o conceito de impedância que se trata da oposição a circulação de corrente no circuito oferecida por resistores, indutores e capacitores, sendo que os dois últimos são grandezas complexas. A resistência é um caso particular de impedância onde está presente apenas a parte real. Figura 2: Modelo, no domínio da frequência de a) Resistor; b) Indutor; c) Capacitor.
Fonte: adaptado de [5].
Utiliza-se a transformada de Laplace, supondo-se condições iniciais nulas, para se obter a função de transferência (no domínio da frequência) dos sistemas. 4
2. EXEMPLO DE SISTEMA MECÂNICO 2.1. EQUACIONAMENTO Para o sistema mecânico apresentado na Figura 3 são dados: M = 1[kg], k = 1[N.m], b = 1 [N.s/m]. Figura 3 – Exemplo de sistema mecânico
Fonte: [1]
Tomando-se a força f(t) aplicada ao sistema como uma entrada u(t), as equações diferenciais que governam o conjunto são dadas por:
1ª Malha:
2ª Malha:
() = ̈ + + − ̈ = (() − + ) = ̈ + ̇ − + ̈ = ( − − ̇ )
As funções de transferência que relacionam a velocidade do bloco 1 e a velocidade do bloco 2 com a entrada u(t), respectivamente V1(s)/U(s) e V2(s)/U(s), podem ser obtidas das equações das malhas:
() = ̈ + + − = ̈ + ̇ − + () = () + () − () = () + () − () + ()
Supondo-se condições iniciais nulas e levando-se as equações do domínio do tempo para o domínio da frequência, substituindo-se o valor das constantes, obtém-se o sistema:
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A resolução desse sistema pode ser obtida via utilização de matrizes:
(−+ ) ( +−1 + ) [ (())] = 10. ()
Levando-se esses dados para o MatLab e fazendo-se as manipulações algébricas necessárias: syms s %Matriz com coeficientes do vetor X A=[(s^2+2) -1;-1 (s^2+s+1)]; %Valores de X1 e X2 em relação A U XporU = inv(A)*[1; 0]; %Mostrando na tela o valor das funções de transferência disp('X1/U:') pretty(XporU(1)) %Função pretty() exibe resultado mais elegante fprintf('\n') disp('X2/U:') pretty(XporU(2)) fprintf('\n')
Obtém-se como resultado a função de transferência dos deslocamentos dos blocos 1 e 2:
Para obter V1(S)/U(S) e V2(S)/U(S), basta derivar a equação do deslocamento que, no domínio da frequência supondo condições iniciais nulas, equivale a se multiplicar por “s”: %Derivando X1 e X2 no dominio da frequencia para obter V1 e V2 disp('V1/U:') pretty(s.*XporU(1)) fprintf('\n') disp('V2/U:') pretty(s.*XporU(2)) fprintf('\n')
Obtendo-se como resultado do MatLab:
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2.2. SIMULAÇÃO Com as funções de transferência obtidas no tópico 2.1, utilizou-se o SIMULINK para se comparar o comportamento do deslocamento e velocidade de cada bloco dado uma entrada u(t) degrau unitário, com tempo de simulação de 20 s, conforme mostrado na Figura 4:
a)
c)
Figura 4: Blocos no Simulink para funções de transferência de a) X1/U, b) X2/U, c) V1/U e d) V2/U. b)
d)
Fonte: O próprio autor.
Nas Figuras 5 e 6 tem-se os resultados da simulação em gráficos. Observa-se pelos gráficos que o deslocamento do bloco 2 começa depois do deslocamento do bloco 1 pois foi neste último que a força foi aplicada para dar início ao movimento do conjunto. Além disso, percebese que os blocos possuem movimento oscilante no início e conforme o decorrer do tempo tendem a se estabilizar e que o bloco 2 tende a se estabilizar mais rápido que o bloco 1. As observações feitas se confirmam ao repetir-se esta simulação por um tempo superior ao tempo de transitório do sistema para que se possa verificar o sistema estável.
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Figura 5: Comparando-se o deslocamento dos blocas 1 e 2
Fonte: O próprio autor.
Figura 6: Comparando-se as velocidades dos blocos 1 e 2
Fonte: O próprio autor.
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3. EXEMPLO DE SISTEMA ELÉTRICO 3.1. EQUACIONAMENTO Para o sistema elétrico apresentado na Figura 7 são dados: R = 1 [ Ω], L1= 2 [H], L2 = 3 [H] e C = 0,5 [F]. Figura 7: Blocos no Simulink para funções de transferência de Vo/Vi.
Fonte: [1].
Tomando-se o sistema no domínio da frequência, as impedâncias do modelo são: XL1=2s [Ω], XL2=3s [Ω] R=1 [Ω], XC=2/s [Ω]. Assim, pode-se analisar o circuito com equações algébricas no domínio da frequência aplicando a Lei de Kirchhoff para tensões em malha fechada:
1ª Malha:
2ª Malha:
() = 2. . + ( − ) () = (. + ). − 0 = ( − ) + 3.. + () = − + (. + ). + () = (2). = − + (). () = (. + ). − = − + (.( )+ ). + () = − + .
Uma terceira equação pode ser obtida a partir da corrente que atravessa o capacitor:
Com as equações obtidas que governam o modelo, monta-se um sistema de equações:
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A resolução desse sistema pode ser obtida via utilização de matrizes:
( 2. −1+ 1) (3. −1 + 1) 01(()) = 10. () 0 −1 2 () 0 Levando-se esses dados para o MatLab e fazendo-se as manipulações algébricas necessárias: syms s %Matriz de coeficientes A=[(2*s+1) -1 0;-1 (3*s+1) 1;0 -1 s/2] %Matriz vetor coluna de entradas do sistema Vi=[1 0 0]'; %Obtenção da função de transferência Vo/Vi disp('Vo/Vi:') VoVi=inv(A)*Vi; pretty(VoVi(3))
Obtém-se como resultado a função de transferência do sistema elétrico:
3.2. SIMULAÇÃO Com a função de transferência obtida no tópico anterior, simulou-se a resposta do sistema no SIMULINK de acordo com o esquema apresentado na Figura 8. A função de transferência foi dividida por 2 no numerador e denominador, não alterando assim sua característica. Figura 8: Blocos no Simulink para funções de transferência de Vo/Vi.
Fonte: O próprio autor.
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Na Figura 9 verifica-se o comportamento da tensão de saída dado a função de transferência da planta simulada. Observa-se que o sistema comporta-se como uma função senóide envelopada por uma função exponencial decrescente, tal que apresenta uma grande oscilação no início (regime transitório) devido a troca de energia entre indutância e capacitância, mas tende a se atenuar para um valor de tensão constante no infinito (regime permanente) com a oscilação sendo amortecida devido a presença dos elementos resistivos. Quando o sistema atinge o regime permanente, como a tensão de entrada Vi é constante, o indutor comporta-se como um curto-circuito e o capacitor comporta-se como circuito aberto. Figura 9: Comportamento de Vo dado a função de transferência do sistema
Fonte: O próprio autor.
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4. CONCLUSÃO Os sistemas físicos modelados se comportaram de maneira esperada e estável conforme a literatura sobre técnicas clássicas de modelagem e controle. Observou-se que o sistema incialmente passa por um estado de regime transitório e, depois de um tempo, tende a se acomodar e se estabilizar até atingir o estado de regime permanente. A utilização da transformada de Laplace para trabalhar os sistemas no domínio da frequência aliada ao uso de MatLab proporcionou um maneira de resolver sistemas de equações de maneira mais rápida, consistente e elegante. A utilização do SIMULINK propiciou verificar graficamente o comportamento dos sistemas e permitiu extrair informações qualitativas sobre o tempo de resposta de seus componentes como, por exemplo, qual massa entra em movimento primeiro, no caso do sistema mecânico, e o efeito oscilatório sendo atenuado no circuito RLC, no caso do sistema elétrico.
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5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] CAMPOS, J. C. T.; TORRICO, B. C; NOGUEIRA, F. G. Roteiro de Aulas Práticas Nº 01 - Simulação de Sistemas Dinâmicos Usando SIMULINK .
Fortaleza: DEE-UFC,
2015. [2] OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 4ª ed. São Paulo: Pearson - Prentice Hall Prentice Hall, 2005. [3] DORF, R. C.; BISHOP, R. H. Sistemas de Controle Modernos . 11ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011. [4] INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA – IME/USP. Aula 04 – Elementos de um Sistema Dinâmico. Disponível em:
contents/01Matem%E1tica/01Sistemas%20Din%E2micos
/04_Elem_Sist_Mec.pdf>.
Acessado em 23 de Dezembro de 2015. [5] TORRICO, B.C. Aula 2 – Modelos Matemáticos de Sistemas Dinâmicos. Slides. Fortaleza: UFC, 2015.
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