CONTROL VERTICAL TOPOGRÁFICO
El control vertical topográfico para un proyecto de ingeniería está constituido por un conjunto de BMs formando circuitos o redes de nivelación, partiendo de un BM oficial. Entre cada par consecutivo de BMs se efectúa una nivelación diferencial de precisión. El error de cierre tolerable será: E= 0.008K.
ESPECIFICACIONES TECNICAS
Equipo a utilizar: a) Nivel de precisión: ±0.2mm/km (1er orden), ±0.5mm/km (2do orden) de recorrido ida y vuelta. b) Mira Invar: de doble escala, de 3m de longitud. • Utilizar el nivel de mira para poner la mira vertical. • Determinar el factor K(una vez) y el error C del nivel (diario) y corregir la lectura lejana por C&R. • Longitud de visuales será hasta 90m. Las vistas atrás y vistas adelante aproximadamente igualadas ( ±10%), tomadas taquimétricamente. • En cada visual a la mira se toman 3 lecturas: Una con el hilo horizontal principal del retículo y las otras 2 con cada uno de los hilos estadimétricos; tomándose como lectura más probable la media aritmética de las tres (diferencia intervalos ±2u). • La diferencia entre las lecturas del hilo superior e inferior determina la distancia del instrumento a la mira, multiplicado por K.
•
•
•
Los puntos de cambio serán sobre objetos físicos muy rígidos y preferiblemente de cabeza redondeada para que la mira no cambie de posición al darle la vuelta para hacer las lecturas correspondientes a las vistas atrás y adelante (usar Base de nivel o sapo). Utilizar 2 miras y 2 portamiras: finalidad que las dos lecturas, vista atrás y vista adelante se realicen en el menor intervalo de tiempo posible para disminuir los efectos de cualquier cambio en la refracción atmosférica. El nivel debe protegerse de los rayos del sol utilizando una sombrilla, con la finalidad de evitar dilataciones térmicas desiguales.
RECOMENDACIONES •
•
Cuando se ha empleado un control horizontal formado por poligonales, generalmente se obtiene un control vertical suficiente, corriendo nivelaciones geométricas cerradas sobre los hitos que marcan los vértices de las poligonales. Se tiene así, con adecuada precisión las cotas de todos los puntos de estación, y partiendo de ellos se pueden fijar todos los demás puntos que se necesite. Como control vertical adicional puede emplearse la nivelación trigonométrica de precisión para determinar las cotas de los vértices de las triangulaciones.
RED DE NIVELACION
Libreta de campo Datos de la libreta de campo y nomenclatura para su compensación por mínimos cuadrados. CIRCUITO I BCDEB
II DAED III ABEA
TRAMO
N°
Dif de Nivel
DISTANCIA
CORRECCION
B-C C-D D-E E-B E-A D-A D-E A-B E-B E-A
1 2 5 6 7 3 5 4 6 7
+3.282m +6.312 -8.145 -1.569 +5.373 -2.676 -8.145 -6.879 -1.569 +5.373
19km 45 21 27 18 41 21 24 27 18
V1 V2 V5 V6 V7 V3 V5 V4 V6 V7
FORMULA PARA DETERMINAR EL NUMERO DE ECUACIONES CONDICIONALES INDEPENDIENTES (C):
FORMULA PARA DETERMINAR EL NUMERO DE ECUACIONES CONDICIONALES INDEPENDIENTES (C):
1) C= n-S+1;
Siendo: n= número de tramos. S= número de nodos o vértices.
2) Fórmula general: C= L-V+q; Siendo: L=Número de tramos o lados. V=Número total de BMs. q=Número de BMs que tienen cota. Si la red tiene mayor número de condiciones, se toman solo las ecuaciones condicionales que tienen mayores errores.
COMPENSACIÓN POR MINIMOS CUADRADOS ELABORACIÓN DEL CROQUIS DE LA RED 1) Se coloca la flecha a cada tramo de la red, de acuerdo al sentido de la “diferencia de nivel” de sus extremos según la libreta de campo. 2) Se numeran todos los tramos, con números arábigos. 3) En cada tramo de la red se inscribe el valor numérico de la “diferencia de nivel” con su correspondiente signo y además la distancia nivelada entre sus extremos. 4) Se numeran con números romanos todos los circuitos de la red, estableciendo de esta manera el orden para determinar sus respectivas ECUACIONES DE CONDICIÓN.
DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE CONDICION DE CADA CIRCUITO 1) Suponemos un punto que se desplace a lo largo de cada uno de los tramos del circuito en sentido de las agujas del reloj. Si el movimiento en este sentido coincide con el sentido de la flecha del tramo, se coloca un signo positivo (+) delante de la corrección Vi respectiva y la diferencia de nivel se considera con el mismo signo que se indica en el croquis del circuito. Si el desplazamiento del punto en el sentido de las agujas del reloj, es contrario al sentido de la flecha del tramo, se colocará un signo negativo (-) delante de la respectiva corrección Vi y la diferencia de nivel se considerará con signo contrario al que se indica en el croquis del circuito.
DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE CONDICION DE CADA CIRCUITO 2) El término independiente de la ecuación de condición de cada circuito es el error del circuito, el cual se obtiene efectuando la suma algebraica de las diferencias de nivel afectadas del signo que resulte al considerar el desplazamiento del punto en todos los tramos del circuito considerado. 3) Una vez determinadas las ecuaciones condicionales independientes de toda la red, se elaboran los cuadros para obtener en forma simplificada las ecuaciones correlativas y las ecuaciones normales, con las cuales se determinan las correcciones Vi que deberán aplicar a las correspondientes diferencias de nivel para que el error de cierre en cada circuito sea cero y que la diferencia de nivel entre cualquier par de puntos de unión resulte la misma, cualquiera que sea el camino seguido para el cálculo.
EJEMPLO DE UNA RED DE NIVELACION
Se pide: a) Determinar las Ecuaciones Condicionales. b) Determinar las Ecuaciones Correlativas simplificadamente.
SOLUCION:
a) Determinación del número de Ecuaciones Condicionales (C): • C= n – S+1 C= 7 – 5 +1= 3; Son 3 Ecuaciones Condicionales Indpdtes, que las obtenemos de cada circuito:
1) Ecuación Condicional del Circuito I: V1+V2+V5+V6-0.12 = f1 = 0 E1= +3.282+6.312-8.145-1.569 = -0.12
SOLUCION:
2) Ecuación Condicional del Circuito II: V3-V7-V5+0.096 = f2 = 0 E2= -2.676-(+5.373)-(-8.145) = +0.096 3) Ecuación Condicional del Circuito III: V4-V6+V7+0.063 = f3 = 0 E3= -6.879-(-1.569)+5.373 = +0.063
CUADRO RESUMEN DE LAS ECUACIONES CONDICIONALES
1 2 3
S
V1
V2
V3
V4
V5
V6
V7
K
L1= 19 .a1= +1 . 1= 0 b .c1= 0 S1= +1
L2= 45 a2= +1 b2= 0 c2= 0 S2= +1
L3= 41 a3= 0 b3= +1 c3= 0 S3= +1
L4= 24 a4= 0 b4= 0 c4= +1 S4= +1
L5= 21 a5= +1 b5= -1 c5= 0 S5= 0
L6= 27 a6= +1 b6= 0 c6= -1 S6= 0
L7= 18 a7= 0 b7= -1 c7= +1 S7= 0
- 0.12 = 0 +0.096= 0 +0.063= 0 ///////////////
DETERMINACION DE LAS 3 ECUACIONES NORMALES CORRESPONDIENTES A LAS RESPECTIVAS ECUACIONES CONDICIONALES 1
ra
EC. NORMAL:
da
2 EC. NORMAL: 3
ra
EC. NORMAL:
[aa]1 + [ab]2 + [ac]3 + K 1 = 0 [ab]1 + [bb]2 + [bc]3 + K 2 = 0 [ac]1 + [bc]2 + [cc]3 + K 3 = 0
CALCULO DE LOS COEFICIENTES DE LOS TERMINOS DE LAS ECUACIONES NORMALES 1
2
K
3
S
a1a1= 19
a1 b1=
0
a1c1=
0
a1S1= +19
a2a2= 45
a2 b2=
0
a2c2=
0
a2S2= +45
a5a5= 21
a5 b5= -21
a5c5=
0
a5S5=
0
a6a6= 27
a6 b6=
a6c6= -27
a6S6=
0
[aa] = 112
[ab] = -21
[ac] = -27
0
[ab] = -21
[ac] = -27
K 1= -0.12
[aS] =+64
b3 b3= +41
b3c3=
0
b3S3= +41
b5 b5= +21
b5c5=
0
b5S5=
0
b7 b7= +18
b7c7= -18
b7S7=
0
[bb] = +80
[bc] = -18
[bc]= -18
K 2=+0.096
[bS] =+41
c4c4= +24
c4S4= +24
c6c6= +27
c6S6=
0
c7c7= +18
c7S7=
0
[cc] =+69
K 3= +0.063
[cS] = +24
1°EC.NORM
2°EC.NORM
3°EC.NORM
ECUACIONES NORMALES
1) 2) 3)
1121 - 212 - 273 - 0.12 = 0 -211 + 802 - 183 + 0.096 = 0 -271 - 182 + 693 + 0.063 = 0
SOLUCION DEL SISTEMA DE EC.NORMALES:
= 0.000587714 2 = -0.00127421 3 = -0.00101547 1
Estos valores 1, 2, 3 se reemplazan en las EC. CORRELATIVAS para obtener las correcciones V1, V2, V3, V4,..., V8
CUADRO RESUMEN DE LAS ECUACIONES CONDICIONALES
1 2 3
S
V1
V2
V3
V4
V5
V6
V7
K
L1= 19 .a1= +1 . 1= 0 b .c1= 0 S1= +1
L2= 45 a2= +1 b2= 0 c2= 0 S2= +1
L3= 41 a3= 0 b3= +1 c3= 0 S3= +1
L4= 24 a4= 0 b4= 0 c4= +1 S4= +1
L5= 21 a5= +1 b5= -1 c5= 0 S5= 0
L6= 27 a6= +1 b6= 0 c6= -1 S6= 0
L7= 18 a7= 0 b7= -1 c7= +1 S7= 0
- 0.12 = 0 +0.096= 0 +0.063= 0 ///////////////
ECUACIONES CORRELATIVAS V1 = 191 V2 = 451 V3 = 412 V4 = 243 V5 = 211 -212 V6 = 271 -273 V7 = -182+183
V1 = 19(0.000587714) = +0.011166566 = +0.011” +0.02644713 = +0.026” V2 = 45(0.000587714) = -0.0522461 = -0.052” V3 = 41(-0.00127421) = -0.02437128 = -0.024” V4 = 24(-0.00101547) = V5 = 21(0.000587714) - 21(-0.00127421)= +0.03910040 = +0.039” V6 = 27(0.000587714) - 27(-0.00101547) = +0.04328596 = +0.043” V7 = -18(-0.00127421) +18(-0.00101547) = +0.00465732 = +0.005”
VERIFICACIÓN DE LAS CORRECCIONES
TRAMO
Vi
1 2 3 4 5
+0.011 +0.026 -0.052 -0.024 +0.039 4 +0.043 0.005
6 7
De la ecuación del Circuito
CIRCUITO I CIRCUITO II CIRCUITO III SIGNO VALOR SIGNO VALOR SIGNO VALOR + +
+0.011 +0.026 +
-0.052 +
+ -
+0.039 4 -0.043
-
= +0.119 Ec= -0.120 -0.001
-0.039 -
-
-0.024
-0.005
-0.096 +0.096 0.000
+
4 -0.043 +0.005
-0.062 +0.063 +0.001
Valores Vi Corregidos V1= +0.011 V2= +0.026 V3= -0.052 V4= -0.024 V5= +0.039
V6= +0.044 V7= +0.005
DIFERENCIAS DE NIVEL COMPENSADAS TRAMO
DIF. NIVEL
CORRECCIONES
DIFERENCIAS NIVEL COMPENSADAS
1
+3.282
+3.293
2 3 4 5 6
+6.312 -2.676 -6.879 -8.145 -1.569 +5.373
V1= +0.011 V2= +0.026 V3= -0.052 V4= -0.024 V5= +0.039 V6= +0.044 V7= +0.005
7
+6.338 -2.728 -6.903 -8.106 -1.525
+5.378
CROQUIS CON DESNIVELES CORREGIDOS
CALCULO DE COTAS DE LOS BMs a) COMPROBACIÓN VÉRTICE COTA TRAMO DIF.ALT. BM A +(4) B +(1) C +(2) D +(3) BM A
100.000 -6.903 93.097 +3.293 96.390 +6.338 102.728 -2.728 100.000
b) COMPROBACIÓN
VÉRTICE TRAMO
COTA DIF.ALT.
VÉRTICE TRAMO
COTA DIF.ALT.
D +(5) E +(7) BM A
102.728 -8.106 94.622 +5.378 100.000 OK
B -(6) E +(7) BM A
93.097 +1.525 94.622 +5.378 100.000 OK
DETERMINACIÓN DE LAS CORRECCIONES Vi POR MEDIO DE LAS DERIVADAS PARCIALES DE LA FUNCIÓN U
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
F = 1 V1 + 1 V2 + 1 V3 + 1 V4 + 1 V5 + 1 V6 + 1 V7 19 45 41 24 21 27 18 U = F - 21f 1 - 22f 2 - 23f 3 2
2
2
U = 1 V1 + 1 V2 + 1 V3 + 1 V4 + 1 V5 + 1 V6 + 1 V7 19 45 41 24 21 27 18 -21(V1 +V2 +V5 +V6 - 0.12) - 22(V3 -V7 -V5 +0.096) -23(V4 - V6 + V7 + 0.063) mínimo
DERIVADAS PARCIALES QUE DETERMINAN LAS CORRECCIONES Vi U
= 2V1 -21 = 0 V1 19
2V1 = 21 19
2V1 = 381
V1 = 191
U
= 2V2 -21 = 0 V2 45
2V2 = 21 45
2V2 = 401
V2 = 451
U
= 2V3 -22 = 0 V3 41
2V3 = 22 41
2V3 = 812
V3 = 412
U
2V4 = 23 24
2V4 = 483
V4 = 243
= 2V4 -23 = 0 V4 24 U
= 2V5 -21 +22 = 0 V5 21
2V5 = 21 - 22 2V5 = 421 - 422 21
V5 = 211 - 212
U
= 2V6 -21 +23 = 0 V6 27
2V6 = 21 - 23 2V6 = 541 - 543 27
V6 = 271 - 273
U
2V7 = -22 +23 2V7 = -362 + 363 18
V7 = -182 + 183
= 2V7 +22 -23 = 0 V7 18
PRACTICA DOMICILIARIA • • •
1) Determinar las cotas de los vértices de la siguiente red de nivelación. a) Sin considerar las distancias. b)Teniendo en cuenta las distancias.
2) En la siguiente red de nivelación, determinar las cotas ortométricas de los demás vértices.
