Contoh soal dan pembahasan suku banyak dan teorema sisa matematika 11 SMA. Perhatikan contoh-contoh soal suku banyak berikut ini:
Soal No. 3 Diketahui bahwa (x − 1) adalah faktor dari persamaan x3 − 2x2 − 5x + 6 = 0. Tentukan faktor-faktor yang lain!
Soal No. 1 Diberikan suku banyak F(x) = 3x3 + 2x − 10. Dengan cara substitusi, tentukan nilai dari F(2) Pembahasan Masukkan nilai x = 2 untuk F(x).
Pembahasan x − 1 merupakan faktor dari x3 − 2x2 − 5x + 6 = 0, sehingga x = 1 adalah akar dari persamaan tersebut. Untuk mencari faktor lain gunakan horner seperti berikut: Pemfaktoran dengan horner untuk nilai x = 1
3
F(x) = 3x + 2x − 10 F(2) = 3(2)3 + 2(2) − 10 F(2) = 24 + 4 − 10 = 18 Soal No. 2 Diberikan suku banyak F(x) = 3x3 + 2x − 10. Dengan cara Horner, tentukan nilai dari F(2), cocokkan dengan jawaban nomor soal nomor 1 di atas! Pembahasan Cara Horner: Bikin layoutnya dulu seperti di bawah ini, perhatikan asalnya angka 3, 0, 2 dan - 10 nya.
Diperoleh bahwa koefisien x2 adalah 1 koefisien x adalah −1 dan 6 Sehingga faktor yang didapat adalah 1x2 − 1x − 6 = 0 x2 − x − 6 = 0 Faktorkan lagi, lebih mudah karena x dalam pangkat dua, diperoleh x2 − x − 6 = 0 (x + 2)(x − 3) = 0 Jadi selain (x − 1) , faktor-faktor dari x3 − 2x2 − 5x + 6 = 0 adalah (x + 2) dan (x − 3)
Ket: Setelah 3 turun ke bawah, kemudian di kali 2, hasilnya 6. Jumlahkan dengan angka di atasnya, hasilnya kemudian kalikan 2 lagi dst. Hasil akhirnya F(2) = 18, cocok dengan jawaban hasil nomor 1.
Soal No. 4 Diketahui x = 1 adalah akar dari persamaan suku banyak 2x3 − 9x2 + 13x − 6 = 0. Tentukan akar-akar yang lain dari persamaan di atas! Pembahasan 2x3 − 9x2 + 13x − 6 = 0
a) x1 ⋅x2 ⋅ x3 ⋅ x4 = E/A = (12)/2 = 6 b) x1 + x2 + x3 + x4 = − B/A = −(5)/2 =− 5/2
2x2 − 7x + 6 = (2x − 3)(x − 2) 2x − 3 = 0 x = 3/2 x−2=0 x=2 Jadi akar-akar yang lain adalah 3/2 dan 2 Soal No. 5 Diketahui; 2x3 − 9x2 + 13x − 6 = 0 Jika x1, x2 dan x3 adalah akar-akar dari persamaan di atas, tentukan: a) hasil kali akar-akar b) jumlah akar-akar Pembahasan Ax3 + Bx2 + Cx + D = 0 maka berlaku a) x1 ⋅x2 ⋅ x3 = − D/A = − (−6)/2 = 6/2 = 3 b) x1 + x2 + x3 = − B/A = − (−9)/2 = 9/2 Soal No. 6 Diketahui; 2x4 + 5x3 − 11x2 − 20x + 12 = 0 Jika x1, x2 , x3 dan x4 adalahakar-akar dari persamaan di atas, tentukan: a) hasil kali akar-akar b) jumlah akar-akar Pembahasan Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E = 0 maka berlaku
Soal No. 7 Salah satu faktor suku banyak P(x) = x4 −15x2 −10x + n adalah (x + 2) . Faktor lainnya adalah... A. x − 4 B. x + 4 C. x + 6 D. x − 6 E. x − 8 (UN 2008) Pembahasan Tentukan lebih dulu nilai n dari suku banyak di soal. Jika x + 2 adalah faktor, maka x = − 2 jika dimasukkan persamaan di atas akan menghasilkan P(x) = 0. P(x) = x4 −15x2 −10x + n 0 = (−2)4 −15(−2)2 −10(−2) + n n = 24 Sehingga P(x) secara lengkap adalah P(x) = x4 −15x2 −10x + 24 Uji pilihan hingga mendapatkan nilai P(x) sama dengan nol seperti ini A. x − 4 → x = 4 → P(x) = (4)4 −15(4)2 −10(4) + 24 = 0 B. x + 4 → x = − 4 → P(x) = (−4)4 −15(−4)2 −10(−4) + 24 = 80 C. x + 6 → x = − 6 → P(x) = (−6)4 −15(−6)2 −10(−6) + 24 = 840 dan seterusnya Terlihat yang menghasilkan P(x) = 0 adalah untuk x = 4, sehingga faktor lainnya adalah (x − 4). Dicoba: Soal No. 8 Suku banyak P(x) = x3 + ax2 - 13x + 10 mempunyai faktor linear (x - 2). Faktor linear yang lain adalah… A. (x - 5) B. (x + 1)
C. (x + 2) D. (x - 1) E. (x - 4) Soal No. 9 Jika f(x) dibagi dengan (x – 2) sisanya 24, sedangkan jika f(x) dibagi dengan (2x – 3) sisanya 20. Jika f(x) dibagi dengan (x – 2) (2x – 3), sisanya adalah.... A. 8x + 8 B. 8x − 8 C. −8x + 8 D. −8x − 8 E. −8x + 6 (UN 2007) Pembahasan Misal sisa pembagian dari f(x) dirumuskan S(x) = ax + b Dibagi dengan (x – 2) sisanya 24 artinya: x–2=0 x=2
B. 10 C. 8 D. 7 E. 6 (UN 2011) Pembahasan Untuk (x − 1) x = 1 → P(x) = 11 2(1)4 + a(1)3 − 3(1)2 + 5(1) + b = 11 2 + a − 3 + 5 + b = 11 a + b = 7 .............(Persamaan 1) Untuk (x + 1) x = − 1 → P(x) = − 1 2(−1)4 + a(−1)3 − 3(−1)2 + 5(1) + b = −1 2−a−3−5+b=−1 − a + b = 5 ..........(Persamaan 2)
S(x) = ax + b 24 = 2a + b ..........(Persamaan 1)
Dari Persamaan 1 dan 2 a+b=7 − a + b= 5 __________ + 2b = 12 b = 12/2 = 6
Dibagi dengan (2x – 3) sisanya 20 artinya: 2x – 3 = 0 x = 3/2
a+b=7 a+6=7 a=1
S(x) = ax + b 20 = 3/2 a + b ..........(Persamaan 2)
Sehingga 2a + b = 2(1) + 6 = 8
Gabungkan persamaan 1 dan 2 24 = 2a + b 20 = 3/2 a + b ______________ − 4 = 1/2 a a=8
Soal No. 11 Suku banyak berderajat 3, jika dibagi (x2 − x − 6) bersisa (5x − 2), jika dibagi (x2 − 2x − 3) bersisa (3x + 4). Suku banyak tersebut adalah…. A. x3 − 2x2 + x + 4 B. x3 − 2x2 − x + 4 C. x3 − 2x2 − x − 4 D. x3 − 2x2 + 4 E. x3 + 2x2 − 4
24 = 2a + b 24 = 2(8) + b 24 = 16 + b b=8
Pembahasan Misalkan suku banyaknya:
S(x) = 8x + 8 Soal No. 10 Diketahui suku banyak P(x) = 2x4 + ax3 − 3x2 + 5x + b. . Jika P(x) dibagi (x − 1) sisa 11, dibagi (x + 1) sisa -1, maka nilai (2a+ b) =... A. 13
Faktorkan dulu:
Dimana 4 sebagai pembagi 5 sebagi hasil bagi 3 sebagai sisa Masukkan nilai x yang telah diperoleh ke f(x):
Substitusikan f(-1) = 1 ini ke suku banyaknya dengan pembagi yang lain:
Terapkan pengertian sederhana ini di soal di atas, misalkan suku banyaknya adalah P(x) = ax3 + bx2 + cx +d. Dari pilihan jawaban yang ada, sudah bisa dipastikan kalau a = 1, sehingga permisalannya menjadi lebih mudah seperti ini saja: P(x) = x3 + bx2 + cx + d Data soalnya: P(x) jika dibagi (x2 + 2x − 3) bersisa (3x − 4), artinya adalah P(x) = (x2 + 2x − 3)⋅ H(x) + (3x − 4) P(x) = (x + 3)(x − 1) ⋅H(x) + (3x − 4)
Dengan diketahui m = -1, maka suku banyak itu adalah
Terlihat jika x diisi dengan x = − 3 atau diisi dengan x = 1, maka tinggal P(x) = 3x − 4 saja, karena sebelah kirinya yang warna merah akan menghasikan nol. P(−3) =3⋅ −3 −4 = −13 P(1)=3⋅1 − 4 = −1 Berikutnya P(x) jika dibagi jika dibagi (x2 − x − 2) sisanya 2x + 3 artinya P(x) = (x2 − x − 2)⋅H(x) + (2x + 3) P(x) = (x − 2)(x + 1)⋅H(x) + (2x + 3)
Soal No. 12 Suku banyak berderajat 3, jika dibagi (x2 + 2x − 3) bersisa (3x − 4), jika dibagi (x2 − x − 2) bersisa (2x + 3). Suku banyak tersebut adalah….. A. x3 − x2 − 2x − 1 B. x3 + x2 − 2x − 1 C. x3 + x2 + 2x − 1 D. x3 + 2x2 − x − 1 E. x3 + 2x2 + x + 1 Pembahasan Seperti nomor sebelumnya, yaitu mencari suku banyaknya, akan dibahas dengan cara agak berbeda. Logikanya awalnya masih sama, begini misalkan kita membagi angka 23 dengan 4, maka akan diperoleh hasilnya 5 dan sisanya 3. Bisa ditulis seperti ini: 23 = 4⋅ 5 + 3
Jika x diisi dengan x = 2 atau diisi dengan x = − 1, maka tinggal P(x) = 2x + 3 saja, karena sebelah kirinya yang warna merah akan menghasikan nol. P(2) = 2⋅2 + 3 = 7 P(−1) = 2⋅ − 1 + 3 = 1 Jadi P(−3) = − 13, P(1) = (−1), P(2) = 7 dan P(−1) = 1. Masukkan data ini ke P(x) = x3 + bx2 + cx + d, ambil data-data yang angka kecil saja:
Jika dari persamaan (i) dan (ii) dengan eliminasi ataupun substitusi belum dapat ditemukan nilai b, c dan d, maka silakan lanjut ke data P(−3) = 13 dan
P(2) = 7. Di soal ini nampaknya cukup dari dua persamaan di atas, dibantu dengan melihat pilihanpilihan jawabannya. b + c + d = −2 b-c+d=2 -------------------- − 2c = − 4 c = − 2, hanya pilihan A dan B yang memenuhi, dan dari kedua pilihan itu bisa dipastikan bahwa nilai d sama dengan − 1, sehingga tinggal mencari nilai b saja. Dari persamaan (i) : b + c + d = −2 b − 2 − 1 = −2 b=1 Jadi selengkapnya b = 1, c = − 2 dan d= − 1 atau P(x) = x3 + x2 −2x − 1 Jawaban: B Soal No. 13 Sisa pembagian suku banyak F(x) = 2x3 − 7x2 + 11x − 4 oleh (2x − 1) adalah.... A. −3 B. −2 C. −1 D. 0 E. 1 Pembahasan F(x) = 2x3 − 7x2 + 11x − 4 dibagi (2x − 1) sisanya adalah f(1/2). Sisa = 2(1/2)3 − 7(1/2)2 + 11(1/2) − 4
Soal No. 14 Akar-akar persamaan 2x3 − 3x2 − 11x + p = 0 adalah x1, x2 dan x3. Untuk x1 = −2, nilai x1 x2 x3 =..... A. −6 B. −3 C. 0 D. 3 E. 6 Pembahasan Menentukan nilai p terlebih dahulu, substitusikan x =−2 2x3 − 3x2 − 11x + p = 0 2(− 2)3 − 3(− 2)2 − 11(− 2) + p = 0 −16 − 12 + 22 + p = 0 p = 28 − 22 = 6 Sehingga 2x3 − 3x2 − 11x + 6 = 0 Hasil kali ketiga akar untuk bentuk ax3 + bx2 + cx + d = 0 adalah: x1 x2 x3 = − d/a =−6/2 =−3
