Álgebra y Geometría Analítica Analítica Facultad Regional TucumánTucumán- U.T.N.. U.T.N..
ESTUDIO PARTICULAR DE LAS CONICAS
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Que el alumno sea capaz de: Identificar las distintas cónicas mediante el análisis de su ecuación. Determinar sus sus elementos a partir de la ecuación. Graficar las distintas distintas cónicas a través través de los elementos y la ecuación. Aplicarlas Aplicarlas para resolver situaciones situaciones de la vida real.
1
Álgebra y Geometría Analítica Analítica Facultad Regional TucumánTucumán- U.T.N.. U.T.N.. 1.1.- Introducción ¿Qué es ! "eo#etr$! An!$tic!%
Aunque eisten al!unos antecedentes previos" es #enato Descartes quien al pu$licar en 1%&' su o$ra o$ra ()a ()a Geo Geome metrie trie** pon ponee los cimien cimientos tos de lo que actua actualme lmente nte con conoce ocemo moss como como !eometr+a anal+tica o !eometr+a cartesiana. #esumidamente se puede decir que su propuesta es ,acer la fusión entre la !eometr+a y el ál!e$ra esta$leciendo un método que lleva a traducir las propiedades !eométricas de las fi!uras a un len!ua-e al!e$raico" para poder operar aplicando sus leyes" y una vez o$tenido un resultado" interpretarlo !eométricamente. !eométricamente. ara dar una idea más concreta de lo que es la !eometr+a anal+tica" enunciaremos dos de sus pro$lema fundamentales. fundamentales. •
Dada una !ráfica !ráfica ,allar su su ecuación: ecuación: G/50/#;A
•
<)G/=#A
A partir partir de una ecuación en dos varia$les" di$u-ar di$u-ar su !ráfica: <)G/=#A
G/50/#;A
/s decir que la Geometr+a Anal+tica es la parte de la 0atemática que estudia pro$lemas que" partiendo de conceptos y propiedades puramente !eométricos" lle!a a resultados puramente anal+ticos mediante desarrollos de tipo al!e$raico" teniendo sentido" por e-emplo ,a$lar de la (ecuación* de la recta o de la circunferencia. e estudiarán a continuación al!unos conceptos previos &.- Siste#! Coorden!do Rect!n'u!r
Dado un plano cualquiera" cualquiera" un istema 2oordenado 2oordenado #ectan!ular" está formado por dos rectas rectas diri!idas y perpendiculares perpendiculares entre s+ llamadas llamadas /-es de 2oordenadas. 2oordenadas. 2omo se o$serva el !ráfico !ráfico 34 1 al al e-e ( se le denomina e-e de las a$scisas" a$scisas" al e-e )" e-e de las ordenadas y al punto 5" de intersección de am$as rectas"
Y
ori!en de coordenadas. coordenadas. P(x,y)
&. 1.- U*ic!ción de +untos en e +!no
y
ode odemo moss asoc asocia iarr punt puntos os del del plan planoo a pare paress orde ordena nado doss de n6meros reales. ara ello identificamos cada punto del plano con con un par par orde ordena nado do 7" 7" y8 de n6m n6meros eros real reales es llam llamad ados os
x
X
"r,ico N1: istema 2oordenado
#ect #ectan an ular ular
coordenadas del punto" como se o$serva en el !ráfico 34 1. 9
Álgebra y Geometría Analítica Analítica Facultad Regional TucumánTucumán- U.T.N.. U.T.N.. 1.1.- Introducción ¿Qué es ! "eo#etr$! An!$tic!%
Aunque eisten al!unos antecedentes previos" es #enato Descartes quien al pu$licar en 1%&' su o$ra o$ra ()a ()a Geo Geome metrie trie** pon ponee los cimien cimientos tos de lo que actua actualme lmente nte con conoce ocemo moss como como !eometr+a anal+tica o !eometr+a cartesiana. #esumidamente se puede decir que su propuesta es ,acer la fusión entre la !eometr+a y el ál!e$ra esta$leciendo un método que lleva a traducir las propiedades !eométricas de las fi!uras a un len!ua-e al!e$raico" para poder operar aplicando sus leyes" y una vez o$tenido un resultado" interpretarlo !eométricamente. !eométricamente. ara dar una idea más concreta de lo que es la !eometr+a anal+tica" enunciaremos dos de sus pro$lema fundamentales. fundamentales. •
Dada una !ráfica !ráfica ,allar su su ecuación: ecuación: G/50/#;A
•
<)G/=#A
A partir partir de una ecuación en dos varia$les" di$u-ar di$u-ar su !ráfica: <)G/=#A
G/50/#;A
/s decir que la Geometr+a Anal+tica es la parte de la 0atemática que estudia pro$lemas que" partiendo de conceptos y propiedades puramente !eométricos" lle!a a resultados puramente anal+ticos mediante desarrollos de tipo al!e$raico" teniendo sentido" por e-emplo ,a$lar de la (ecuación* de la recta o de la circunferencia. e estudiarán a continuación al!unos conceptos previos &.- Siste#! Coorden!do Rect!n'u!r
Dado un plano cualquiera" cualquiera" un istema 2oordenado 2oordenado #ectan!ular" está formado por dos rectas rectas diri!idas y perpendiculares perpendiculares entre s+ llamadas llamadas /-es de 2oordenadas. 2oordenadas. 2omo se o$serva el !ráfico !ráfico 34 1 al al e-e ( se le denomina e-e de las a$scisas" a$scisas" al e-e )" e-e de las ordenadas y al punto 5" de intersección de am$as rectas"
Y
ori!en de coordenadas. coordenadas. P(x,y)
&. 1.- U*ic!ción de +untos en e +!no
y
ode odemo moss asoc asocia iarr punt puntos os del del plan planoo a pare paress orde ordena nado doss de n6meros reales. ara ello identificamos cada punto del plano con con un par par orde ordena nado do 7" 7" y8 de n6m n6meros eros real reales es llam llamad ados os
x
X
"r,ico N1: istema 2oordenado
#ect #ectan an ular ular
coordenadas del punto" como se o$serva en el !ráfico 34 1. 9
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iendo : la abscisa la abscisa del del punto y distancia diri!ida desde el e-e ) al punto" e y la ordenada la ordenada del punto y distancia diri!ida desde el e-e ( al punto. &. &.- Tr!s!ción de os E/es Coorden!dos
i se trasladan los e-es coordenados a un nuevo ori!en O0 2 3 4 5 las coordenadas 6 3 7 5 de un punto P cualquiera se transforman transforman en 6 0 3 7 05. Donde: 60 8 6 9 2 : 7 08 7 9 4 . &. ;.-.Lu'!r "eo#étrico
e llama )u!ar )u!ar Geométrico Geométrico al con-unto con-unto de puntos del plano o del espacio espacio que cumplen cumplen determinadas condiciones. odo lu!ar !eométrico del plano es la !ráfica cartesiana de una ecuación en dos varia$les e y de la forma <63 75 8=. in em$ar!o" la ecuación de un lu!ar !eométrico !eométrico del espacio es de la forma <63 73 >5 8 =. #ec+procamente" el con-unto de todos los puntos 7" y8 del plano que satisfacen la ecuación <63 <63 75 8=
representan una curva en el plano. > el con-unto de todos los puntos 7" y"z8 del
espacio que satisfacen la ecuación <63 73 >5 8= representan una superficie. 2a$e aclarar que sólo estudiaremos lu!ares !eométricos cuyas ecuaciones sean polinómicas. eniendo en cuenta que: que : Una ecuación olinómica o algebraica racional entera es una ecuación en la !ue las "ariables están a#ectadas sólo or las oeraciones enteras $suma% resta roducto% otencia&. &
&. ?.-.LA RECTA en
@!ce#os un *ree re+!so de )A #/2A en
9
)a ecuación polinómica de primer !rado en 6 e 7 es de la forma: A 6 B 7 BC 8 =
15
y representa una recta en el plano.
/isten distintas formas de epresar la ecuación de una recta en el plano. i se conoce:
)a pendiente y ordenada al ori!en:
y ? m @ $
)a pendiente m y un punto 1 71 " y1 8 :
Dos puntos de la recta: 1 71 " y1 8B 9 7 9 " y9 8 :
/cuación /plicita
y y1 ? m 7 1 8 y
y1
y&
y1
x &
x 1
. x
x 1
5tras ecuaciones son: /cuación se!mentaria:
x
y
a
b
1
B a ? A$scisa A$scisa al ori!enB ori!enB $ ?ordenada al ori!en
/cuación General o Impl+cita: A @ =y @ 2 ? C P!r! deter#in!r
&
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5rdenada al ori!en de la recta" se ,ace ( ? C* en la ecuación de la recta. A$scisa al ori!en de la recta" se ,ace (y ? C* en la ecuación de la recta. &. .- Dist!nci! entre dos +untos
Dados dos puntos cualesquiera del plano" A 7 1" y 18 y = 7 9" y 98" su distancia
A=
" está
dada por la epresión: A=
8
> es i!ual a la lon!itud del trazo
7
9
1 8 9
7 y 9 y 1 8 9
+
A= .
/-emplo 34 1: 2alcula la distancia entre los puntos A 7 9 " & 8 y = 7 " 1 8 del plano. Resoución:
A=
?
( 5 – 2 ) 2
+
(1
+
3)2
?
e puede o$servar en el !ráfico 34 9 el se!mento de recta
A= "r,ico N &: e!mento de recta A=
&. F.- Coorden!d!s de +unto #edio
ean A 7 1 " y 1 8 y = 7 9 " y 9 8 " puntos cualesquiera del plano y G punto medio del se!mento
A= " entonces las coordenadas de
G son:
1 +
0
9
9
"
y1
+ 9
y9
/-emplo 349 : Dados los puntos A 7E" %8 y = 7 F" 198" determina las coordenadas del punto medio del se!mento
A= .
Resoución:
ea
0
el punto medio del trazo
coordenadas son:
8
M
– 4 2
,
6
+ 2
12
A= "
entonces sus
? 0 7 9 " 8
/n el !ráfico 34 &" se o$serva el punto medio 0 encontrado. /-emplo 34 &: 2ompletar las si!uientes afirmaciones:
"r,ico N ;: unto medio 0 del se!mento A=
ea el punto 7a " $8" entonces: i8
i aHC y $HC el punto está en el ... cuadrante"
ii8
i aJC y $JC el punto está en el . cuadrante F
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iii8 i a?C y $HC el punto está............ iv8 i aJC y $?C el punto está........
&. H.- Siste#! de Coorden!d!s Rect!n'u!res en e Es+!cio.
Z
&. H. 1.-P!nos coorden!dos
lano K Determinado por las rectas x L x e yL y"
X´
al que denotaremos como el +!no xy. lano M Determinado por las rectas yL y y z L z " al que denotaremos como el +!no yz .
0
Y´
α
Y
lano N Determinado por las rectas x L x y z L z " al que denotaremos como el +!no 6>.
β
X
Z´
"r,ico N ? : lanos 2oordenados" /-es 2oordenados
&. H. &.- E/es Coorden!dos
/-e 'L ' determinado por la intersección de los planos 67 y 6> "lo llamamos e/e 6. /-e yL y determinado por la intersección de los planos y e yz" lo llamamos e/e 7. /-e (L (: determinado por la intersección de los planos z y zy" lo llamamos e/e >. &. H. ;.- Ori'en de Coorden!d!s O = 3 =5
es el punto intersección de los & planos coordenados. )os planos coordenados
dividen el espacio en E su$espacios llamados octantes"
Z
el 14 octante está formado por los tres semie-es
D
E
positivos. F
A
P
Lo #,s usu! es re+resent!r este
0
siste#! +or os ; se#ie/es +ositios " y"z
C
A X
Y B
partir de la fi!ura anterior ,allaremos las coordenadas del punto en el espacio" definidas por la distancia de a cada uno de los planos coordenados" medidas so$re los e-es " y" z. ( distancia del punto al plano yz
se llama abscisa del punto .
) distancia del punto al plano z
se llama ordenada del punto.
distancia del punto al plano y
se llama cota del punto.
&. H. ?.-Situ!ción de +untos en e es+!cio
/-emplo 34 1: ara situar el punto 79"&"8 en el espacio" a partir del ori!en marcamos:
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9 unidades so$re el e-e 6 " & unidades so$re el e-e 7. )ue!o levantamos una perpendicular al plano 67 de unidades paralela al e-e > y de este modo queda situado 79"&"8. Z
P(2,3,5)
"r,ico N F: unto 79 " &" 8 0 Y
/-emplo 34
X
9:
/n cuanto a los si!uientes puntos sa$emos que sus
Z C(0,0,c)
coordenadas están so$re los e-es" como se o$serva en el !ráfico n4 ' :
0
/l punto A7 a"C"C8 es un punto so$re el e-e
A(a,0,0)
/l punto = 7C"$"C8 es un punto so$re el e-e y
X
/l punto 27C"C"c8 es un punto so$re el e-e z.
B(0,b,0) Y
"r,ico N H : P$icación de los puntos A" = y 2.
;.- Ecu!ciones de P!nos
)a ecuación de la forma A 6 @ = 7 @2 > @ D ? C representa un plano. A continuación se mostraran al!unos casos particulares: !5 )as ecuaciones de los
lanos coordenados:
z O=7a,0,c)
• )a ecuación del plano coordenado y es > 8 = 7todos los
puntos u$icados en el plano y tienen cota C8.
C(0,b,c)
• )a ecuación del plano coordenado z es y ? C 7todos los
puntos u$icados en el plano z tienen ordenada C 8. • )a ecuación del plano coordenado yz es ? C 7todos los
puntos u$icados en el plano yz tienen abscisa C8. /s decir" que los puntos que tienen una coordenada cero
y x
O A(a,b,0)
"r,ico N J P$icación de los puntos que
tienen una coordenada cero.
están u$icados so$re un plano coordenado 7ver !ráfico 34 E8: A7a" $" C8 es un punto del plano 67.3 =7a" C" c8 es un punto del plano 6>.3 27C"$ " c8 es un punto del plano 7> *5
A continuación se consideraran las ecuaciones de los planos paralelos a los planos
coordenados: •
)as ecuaciones de los planos paralelos al plano coordenado () son:
> 8 c"
z ? constante. odos los puntos de este plano tienen cota > 8 c .
%
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zc
y x
"r,ico N K: lano paralelo al plano >
•
)a ecuación de un +!no +!r!eo al plano coordenado ( es
7 8 * " con $ constante.
z >?$ y "r,ico N 1= : lano paralelo al plano R
)a ecuación de un +!no +!r!eo al plano coordenado ) es 6 8 ! "
cuya intersección con el e-e es el punto 7a"C"C8. z xa
y x "r,ico N 11: lano paralelo al plano >R
En s$ntesis3 !s ecu!ciones de os tres +!nos o*tenidos son
P!no (8! )8* 8c
P!r!eo ! P!no Coorden!do ) ( ()
?.- L!s Secciones Cónic!s
Pna sección cónic! es la curva de intersección de un plano con un cono de dos mantos 7o dos ,o-as8. /l nom$re de cónic!s con que se desi!na a circunferencias" elipses" ,ipér$olas y pará$olas es de$ido a estas intersecciones. )a importancia fundamental de las cónicas radica en su constante aparición en situaciones reales:
'
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•
)a primera ley de Sepler so$re el movimiento de los planetas dice que éstos si!uen ór$itas el+pticas" en uno de cuyos focos se encuentra el ol.
•
/s muy posi$le que 3eTton no ,u$iese podido descu$rir su famosa ley de la !ravitación universal de no ,a$er conocido ampliamente la !eometr+a de las elipses.
•
)a ór$ita que si!ue un o$-eto dentro de un campo !ravitacional constante es una pará$ola. As+" la l+nea que descri$e cualquier móvil que es lanzado con una cierta velocidad inicial" que no sea vertical" es una pará$ola.
e-e
directr+z
?. 1.- Su+ericie Cónic!
!eneratr+z
Pna superficie cónica está !enerada por una recta 7llamada !eneratriz8 que se mueve apoyándose en una curva fi-a
vértice
7llamada directriz8 y que pasa por un punto fi-o 7llamado vértice8 no contenido en el plano de esa curva
"r,ico N 1&
uperficie 2ónica
i la directriz es una circunferencia" la superficie se llama su+ericie cónic! circu!r. ?. &.- O*tención de !s Cónic!s co#o Secciones P!n!s
i el plano no pasa por el vértice del cono las curvas que se o$tienen son cónicas verdaderas. i el plano corta a todas las !eneratrices se o$tiene la ei+se. /n particular si el plano es además perpendicular al e-e se o$tiene la circunerenci!. i el plano es paralelo a dos !eneratrices se o$tiene la 2i+ér*o!. i el plano es paralelo a una !eneratriz se o$tiene la +!r,*o!. /stas situaciones" se o$servan en los !ráficos que se
muestran a continuación.
"r,ico N 1;: 2ircunferencia
"r,ico N 1?: /lipse con e-e focal ,orizontal y vertical
E
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"r,ico N 1:
ará$ola con e-e focal,orizontal y vertical
"r,ico N 1F: Uipér$ola con e-e real ,orizontal y vertical.
i el plano pasa por el vértice del cono" manteniéndose paralelo a su posición primitiva" se o$tienen las llamadas cónic!s de'ener!d!s. /n el caso de la elipse y la circunferencia de!eneran en un +unto. )a ,ipér$ola de!enera en un +!r de rect!s que se cortan. )a pará$ola de!enera en dos se#irrect!s +!r!e!s o coincidentes. /stos casos se muestran en los !ráficos si!uientes.
"r,ico N 1H: la elipse y las circunferencias de!eneran en un
punto
"r,ico N 1J: la pará$ola de!enera en dos semirrectas paralelas o coincidentes
"r,ico N 1K: )a ,ipér$ola de!enera en un par de rectas que se cortan
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L! Ecu!ción "ener! de un! cónic! erd!der! o de'ener!d! es un! ecu!ción +oinó#ic! de se'undo 'r!do en 6 e 7 A6& B 6 7 B C7& B D 6 B E 7 B < 8 = - Si 8=3 resut! A6& B C7& B D 6 B E 7 B < 8 = ue es ! ecu!ción de & 'r!do en dos !ri!*es3 sus coeicientes deter#in!n e ti+o de cur! ue re+resent!
)a curva cuadrática más simple es la circunferencia. ?. &. 1.- Circunerenci! “Se denomina Circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.”
)lamamos r!dio de la circunferencia a la distancia de un punto cualquiera de dic,a circunferencia al centro. ?. &. 1. 1.- Ecu!ción !n!$tic! de ! circunerenci!:
i ,acemos coincidir el centro con el ori!en de coordenadas" las coordenadas de cualquier punto de la circunferencia 7 '" y8 determina un trián!ulo rectán!ulo" y por supuesto que responde al teorema de itá!oras: &
&
&
x B y 8 r 15
Ecu!ción c!nónic! de ! circunerenci! con centro en e ori'en
uesto que la distancia entre el centro 7," V8 y uno cualquiera de los puntos 7 '" y8 de la circunferencia es constante e i!ual al radio r tendremos que: x 9 25& B y 9 45& 8 r&
Ecu!ción C!nónic! de ! circunerenci! con
&5
centro en C2 3 45
9 @ y9 9, 9Vy r 9 ? C.
Desarrollando los cuadrados o$tenemos:
W ? , 9 @ V 9 r 9 tendremos que:
i reemplazamos 9, ? DB 9V ? /B 6& B 7& B D6 B E7 B < 8 =
;5
Ecu!ción "ener! de ! Circunerenci!
/-emplo: i tenemos la ecuación: '9 @ y9 @ % ' E y 11 ? C. /ntonces D ? % ,?&
/?E
E ? 9V
V?F
% ? 9,
27 &" F8.
1C
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Uallemos el radio" W ? 7 &8 9 @ F9 r 9 X 11 ? 7 &89 @ F9 r 9 " r ? % )a ecuación de la circunferencia queda: 7 ' @ &89 @ 7 y F89 ? &% ?. &. 1. &.- Rect!s Sec!ntes3 t!n'entes 7 e6tern! ! un! circunerenci!
Dada la ecuación !eneral de la circunferencia 9 @ y9 @ D @ /y @ W ? C y la ecuación de una recta: y? m @ $ #eemplazando el valor y de la recta en la circunferencia o$tenemos una ecuación de se!undo !rado tal que: i el radicando o discriminante cumple: ∆>C ∆=C ∆
las raices son reales y dist int as 7la recta es sec ante a la circunferencia 8 las raices son reales e i!uales 7la recta es tan !ente a la circunferencia 8 las raices son dos n6meroscom ple-os con-u!ados 7la recta es eterior a la circunferencia 8
?. &. 1. ;.- Ecu!ciones de !s Rect!s T!n'ente 7 Nor#! en un +unto P =.
ara o$tener la ecuación de la recta tan!ente a una cónica" se desdo$la la ecuación de la 9
misma remplazando
= .
B y9
= y.y
y=
B
y+ y 9
B
' =
' + ' 9
lue!o se remplaza una
(* y una (y* por las coordenadas del punto de tan!encia C 7C" yC8 y se o$tiene la ecuación de la recta tan!ente
y − yC
= m : 7 − C 8 .
ara o$tener la ecuación de la recta normal" que es perpendicular a la recta tan!ente" se $usca la pendiente
m 3
=−
1 m:
B y se escri$e la ecuación
y − yC
= m 3 7 − C 8
Dada la Ecu!ción "ener! A9 @ 2y9 @ D @ /y @ W ? C y el punto C7C"yC8" usamos la re'! de desdo*!#iento para o$tener las ecuaciones de las rectas
A . @2 y.y @ D 7
' + '
9
8@/7
y + y
9
tan!ente y normal.
8 @ W ?C
articularizando para 1" nos queda: A . C @ 2 y. y C @ D 7
' + ' C 9
8@/7
y + y C 9
8 @ W ?C"
Desarrollando o$tenemos: !5
/cuación de la rect! t!n'ente 7 8 #t' 6 B *1
*5 /cuación de la rect! nor#!3 teniendo
mn ? Y
1
mtg
y el C 7C"yC 8
7yYy18 ? mn 7 18 → 7 8 #n 6 B *
O*ser!ción /stas ecuaciones son válidas para todas las cónicas
11
Álgebra y Geometría Analítica Facultad Regional Tucumán- U.T.N.. ?. &. 1. ?.- E/ercit!ción
1.Y /scri$e la ecuación canónica y !eneral de la circunferencia dando sus elementos. a8 )a ecuación de la circunferencia con 27C"C8 y radio r tiene ecuación. $8 )a ecuación de la circunferencia con centro so$re el e-e tiene ecuación................... c8 )a ecuación de la circunferencia con centro so$re el e-e > tiene ecuación d8 i 7a"$8 y 7c"d8 son los etremos del diámetro de una circunferencia" cuáles serán las coordenadas de su centroZ[2uál será la medida de su radioZ 98 i la circunferencia es tan!ente al e-e se cumple que. &8 i la circunferencia es tan!ente al e-e y se cumple que . F8 i la circunferencia es tan!ente a am$os e-es se cumple que. 8 i una recta corta a la circunferencia en dos puntos se dice que son. %8i la recta no corta a la circunferencia se dice que son '8 /l centro de un c+rculo circunscrito a un trián!ulo con vértices 7C"F8 79"C8 y 7F"%8 se encuentra en las mediatrices de los lados. Ptilice este ,ec,o para encontrar el centro del c+rculo. E8 /scri$e las ecuaciones de las circunferencias: pasa por la intersección de &@yY 1F?C y YyY9?C y es concéntrica con: 9 @ y9 @% @1Fy @1E?C. 8 #eplantee cada metro de un arco de circunferencia de metros de radio. Grafique. 1C8 /n la estructura que se indica calcule las lon!itudes de todas las $arras. 7Aclaración: Di$u-e en escala e indique ésta.8
?. &. 1. .- E/ercicios Resuetos
1.Y Dadas las circunferencias: a8 ( − 9 ) 9 + y 9 = F c8 ( − &) 9 + ( y − 1) 9 = 1%
) a $8
9
+ ( y − 1) 9 = G
) b
) c
i8 Determinar centro y radio. Graficar.
19
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ii8 Averi!uar si los si!uientes puntos pertenecen a las mismas: 1 ( 9"9) B 9 ( C"F ) B .& ( '"−1)
Resoución E/ercicio 15
i8
2( 9"C)
B r = 9 "
2( C"1)
B r = & "
2( &"− 1) B r = F
ii8 i los puntos pertenecen a la circunferencia" de$en verificar su ecuación. ara C a:
( − 9) 9 + y 9 = F
[ 1 ( 9"9 ) ∈ 2 a Z
( 9 − 9) 9 + 9 9 = F B
1
∈ 2a
[ 9 ( C"F) ∈ 2 a Z
( C − 9 ) 9 + F 9 = 9C ≠ F B
9
∉ 2a
[ & ( '"−1) ∈ 2 a Z
( ' − 9 ) 9 + ( − 1) 9 = 9% ≠ F B
&
∉ 2a
1
∉ 2 $
9
∈ 2 $
&
∉ 2 $
ara C b:
9
+ ( y − 1) 9 = G
[ 1 ( 9"9) ∈ 2 $ Z
99
[ 1 ( 9"9 ) ∈ 2 a Z
C + ( F − 1)
[ & ( '"−1) ∈ 2 $ Z
( 9 − 9) 9 + 99 = F B
ara C c:
+ ( 9 − 1) 9 = D ≠ G B 9
= GB
( − &) 9 + ( y − 1) 9 = 1%
[ 1 ( 9"9) ∈ 2 c Z
( 9 − &) 9 + ( 9 + 1) 9 = 1C ≠ 1% B
1
∉ 2c
[ 9 ( C"F) ∈ 2 c Z
( 9 − 9 ) 9 + 99 = F B
9
∉ 2c
1 ( 9"9 ) ∈ 2 a Z
( 9 − 9) 9 + 9 9 = 1% B
&
∈ 2c
C a )
C b )
C c)
x
*
9
&
*
Y1
x
1
x
*
9.Y 2ompletar el si!uiente cuadro:
1&
Álgebra y Geometría Analítica Facultad Regional Tucumán- U.T.N..
Ecu!ción de ! Centro C
Re+resent!ción
R!dio R circunerenci! de centro C 7
'r,ic!
r!dio r
( C"C)
&
( C"C)
F
( C"−9)
D 9 9
+ y9 = G
( + F) 9 + y 9 = 1 Resoución E/ercicio &.-. Centro C
R!dio R
Ecu!ción de ! circunerenci! de centro C 7 r!dio r
Re+resent!ción 'r,ic! &
7C " C8
&
x
&
y
x
Y&
&
K
*
&
Y&
( C"C)
F
x
1
&
y
1
&
x
1
1F
*
1
x
( C"−9)
D 9
x &
y
&
&E
&
* Y9
?
x
Y1
7Y1 " Y98
&
x
1
&
y
&
&
K
* Y9
1F
Álgebra y Geometría Analítica Facultad Regional Tucumán- U.T.N..
7YF " C8
1
x
?
&
y
&
x
YF
1
*
&.Y #epresentar !ráficamente la si!uiente circunferencia. Determinar el centro y el radio. a) 9 + y 9 − F + G y − & = C b) 9 + y 9 + 1C − 9 y − 99 = C
Resoución E/ercicio ;.-
/sta es la ecuación !eneral de la circunferencia:
9
+ y 9 + 1C − 9 y − 99 = C
ara encontrar centro y radio ,ay que completar cuadrados: 9
− F + F − F +
y9
+ Gy + G − G − & = C "
( − 9) 9 − F + ( y + &) 9 − G − & = C
( − 9 ) 9 + ( y + &) 9 = 1%
)ue!o" el centro es 2 ( 9"−&) y el radio es F . [e animas a resolver la ecuación $.Z [iempre estas ecuaciones representan circunferenciasZ[or quéZ. \Investi!a]
?. &. &.- Ei+se Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.
Anal+ticamente:
W′
+ W = 9a
"r,ic! N &= : /lipse de focos W 0 7Yc " C8 y W 7 c " C8
?. &. &. 1.- Ecu!ción !n!$tic! de ! ei+se:
ara simplificar la eplicación u$iquemos a los focos so$re el e-e de las '% situados en los puntos W 7c" C8 y W^ 7 c" C8. omemos un punto cualquiera de la elipse cuyas coordenadas son 7 '" y8. /n el caso de la elipse la suma de las distancias entre W y W^ es i!ual al do$le del radio so$re el e-e '. /ntonces: W @ W^ ? 9a. Aplicando itá!oras tenemos que:
1
Álgebra y Geometría Analítica Facultad Regional Tucumán- U.T.N..
/levamos al cuadrado am$os miem$ros para sacar las ra+ces y desarrollamos los cuadrados queda finalmente: Ecu!ción C!nónic! de ! Ei+se con centro en C =3=5 7 e/e oc! e e/e 6
i la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera 7," V8 la ecuación de$er+a de ser: 7 − ,8 9 9
a
+
7 y − V 8 9 $
9
Ecu!ción C!nónic! de ! Ei+se con centro en C 2 345 7 e/e oc! +!r!eo ! e/e 6
=1
iguiendo el mismo ra(onamiento% busca las ecuaciones de las elises con ee #ocal ee y
y aralelo al ee
y
. Gra#ica.
)ue!o de tu desarrollo o$tendrás los si!uientes resultados: 7 − ,8 9 $ 9
+
7 y − V 8 9 a9
9 $ 9
+
y9 a9
=1
"
= 1 respectivamente.
i desarrollamos los cuadrados o$tendremos que: $9 '9 @ a9 y9 9 '+ $9 9 y, a9 @ ,9 $9 @ V 9a9 a9 $9 ? C" i ,acemos A ? $ 9B = ? a9 B 2 ? 9,$9B D ? 9Va9B / ? ,9 $9 @ V 9a9 a9 $9 endremos la ecuación:
Ecu!ción "ener! de ! Ei+se
A '9 @ = y9 @ 2 ' @ D y @ / ? C /-emplo:
i tenemos la ecuación: F '9 @ y9 @ 9F ' E y @ E1 ? C" entonces: A ? F =? "
? a9 "
F ? $9
$ ? 9B
a?&
)os radios de la elipse son: so$re el e-e ' " a ? &B so$re el e-e y " $ ? 9. Uallemos 27," V8. 2omo 2 ? 9F
9F ? 9,$ 9
, ? &" D ? F
" X F ? 9qa9 "
q?&
/l centro es 27," V8 ? 7 &" &8. ara verificar que se trate de una elipse calculemos / que de$e tener el valor de E1. / ? , 9 $9 @ V 9a9 a9 $9 ? E1 9 9 )a ecuación de la elipse queda: ( + &) + ( y − &) = 1 7#ealice la !ráfica8.
G
F
?. &. &. &.- Ecu!ciones de ! rect! t!n'ente 7 nor#! ! ! cónic! en un +unto P16137153
Dada la ecuación de la elipse con centro en el ori!en y e-e ,orizontal
1%
Álgebra y Geometría Analítica Facultad Regional Tucumán- U.T.N.. ' 9 a
9
+
y 9 b
9
'. '
= 1 " se desdo$la esta ecuación
a9
+
y. y b9
= 1 y lue!o se reemplaza por el punto
1" o$teniendo: '. '1 a
9
+
y. y1 b
=1
9
Despe-ando 7 3 resultan las ecuaciones:
a8 rect! t!n'ente
7 8 #t' 6 B *1
7yYy18 ? mn 7 18 → 7 8 #n 6 B *&
$8 rect! nor#! ?. &. &. ;.- E/ercit!ción
1.Y 2alifique con _/#DAD/#5 o WA)5 cada una de las si!uientes proposiciones -ustificando en cada caso su respuesta: a8 /n la elipse los focos equidistan del 2entro de la elipse $8 )a dist!nci! oc! es menor que la lon!itud del semie-e mayor. c8 )os focos se encuentran en el e-e menor d8 )a elipse es simétrica con respecto de sus e-es y del centro. 9.Y 2omplete: a8 )a ecentricidad 7 e8 está dada por........................ $8 ara la elipse el valor de e M 1 por que................ c8 )a relación entre (a*" ($* y (c* es:....................... &.Y /scri$a las propiedades focales de la elipse F.Y #elacione cada ecuación de elipse con la !ráfica correspondiente a8
7 ' − 98 ' 9
c8
9D
+
"r!ico 1
9
+
y9 E1
y9
F
=1
=1
$8
7 ' − 98 9
d8
G ' 9 1%
+
+
7 y − 18 9
y9 1CC
F
=1
=1 "r!ico &
1'
Álgebra y Geometría Analítica Facultad Regional Tucumán- U.T.N.. "r,ico ;
"r,ico ?
.Y /scri$a la ecuación de la elipse que cumple con las si!uientes condiciones: a8 2entrada en ori!en de coordenadas" semie-e menor $ ? E" foco W 1 7&B C8. $8 2entro 271BY18" distancia focal %" e ?
9 &
. Grafique en am$os casos.
'.Y Dada la ecuación de la elipse" determine sus elementos y !rafique. a8 9@Fy9YFYEyY9?C
$8 9@Fy9Y&%?C
E.Y Determine la ecuación de la recta tan!ente y normal a la elipse del apartado a8 del e-ercicio anterior en el punto 7EB8. ?. &. &. ?.- E/ercicios Resuetos
1.Y /ncontrar los elementos de las si!uientes elipses y !raficar: a8
9 9D
+
y9 G
=1"
$8
9 F
+
y9 1%
= 1 " c8
( + D) 9 &%
+
( y − 9) 9
=1
G
Resoución de E/ercicio 1.-
a8
9 9D
+
y9
y
=1
G
&
2entro ( C"C) " el e-e mayor está so$re el e-e x . a = D B
YD
$ = & A1 c
=
W1
A
= ( − D"C) B a9
− $ 9 =
= ( − F"C) B $8
9
2( C"C ) "
.
A9
F
+
= ( D"C) B
9D − G
W9 y9 1%
=
= ( F"C )
=1
= ( C"−&) B c
1%
e=
c a
=9
= ( C"&)
F 0
*
/
A 1
'
D 0
/
y
F
= <1
A
F
D
0
F 0
=1
el e-e mayor está so$re el e-e
0
)
F /
Y&
= ±F
1
)
Y9
y
. a = F
1
/
'
9
1
*
0
" $ = 9
F / YF
A
/
1E
Álgebra y Geometría Analítica Facultad Regional Tucumán- U.T.N.. c
W1 e
a9
=
=
=
− $ 9 =
C"− 19
c a
1% − F
=
A1
19
= ( C"−F ) B
A9
= ( C"F ) B
( + D) 9 &%
a
=9
= ( 9"C)
B W9 = C" 19
+
( y − 9) 9
=1
G
9
9
− $ =
&% − %
=
9'
y
1
2( − D" 9 ) B a = % B $ = & . )a distancia focal es
=
= ( − 9"C) B
19 F
=
c8
c
=1
. ara determinar
A A 1 y
0
YD
)
F /
F 0
( ) A 9 : 2uando y = 9 : + D &% +D=
±
&%
1
( + D) 9 = &%
=1
=1 9 = −11 1
+ D = ±%
A1
0
'
YD
Y11
* 9
A
/
= ( − 11"9 ) B
A9
Y1
/
= (1"9) . ara determinar
=1 y = 9 :
2uando y−9
=1
x
E:
= ±&
= ( − D"−1) B
( y − 9) 9 G
( y − 9) 9 = G
=1
+D=±
&%
=D y 9 = −1 y1
= 9 = ( 9"C )
W1
=
C"− 19
B
W9
= (− D +
9' "9
e
=
c a
=
19 F
9.Y 2ompletar el si!uiente cuadro: C ( C " yC )
!
*
( C"C)
D
F
Re+resent!ción
Ecu!ción
9 &%
+ y9 = 1
( − 9) 9 G
'r,ic!
+
y9 1%
=1
Resoución de E/ercicio &.-
1
Álgebra y Geometría Analítica Facultad Regional Tucumán- U.T.N.. C ( C " yC )
!
Re+resent!ción
Ecu!ción
*
'r,ic! y F
'
D
YD
*
( C"C)
D
F
x &
y &
&E
1F
ó
YF
ó
1
x &
y &
1F
&E
1
y
D
YF
'
F
*
YD
C ( C " yC )
!
Re+resent!ción
Ecu!ción
*
'r,ic! y
( C"C)
%
9
1
&%
1
9
+ y =1
Y%
'
%
*
Y1
y F
( 9"C)
F
( − 9) 9
&
G
+
y9 1%
)
Y1
=1
'
D
*
YF
&.Y )a primera ley de Sepler afirma que: ()as ór$itas de los planetas son elipses que tienen al sol en uno de sus focos*. 2alcular la distancia del sol al centro de la elipse" sa$iendo que la ecentricidad de la ór$ita terrestre es
C"C1' y
Resoución de E/ercicio ;.e = C"C1'
⇒
c a
que a = 1D&.FG&.CCC Sm. )
ol
F /
= C"C1' .
c
F 0
)a distancia del sol al centro de la elipse es la distancia focal c " de modo que: c
= 1D&.FG&.CCC ⋅ C"C1' ∴
c
c
a e
= 9%C.G&E Sm.
9C
Álgebra y Geometría Analítica Facultad Regional Tucumán- U.T.N.. ?. &. ;.- @i+ér*o!: Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias entre dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la ipérbola .
Anal+ticamente:
.W^ Y .W
=
9a
"r,ico N &1 : Uipér$ola de focos W`7Yc " C8 y
W7c " C8
?. &. ;. 1.- Ecu!ción !n!$tic! de ! 2i+ér*o!:
3uevamente u$iquemos los focos so$re el e-e '" W ? 7c"C8 y W^ ? 7 c"C8" y tomemos un punto cualquiera 7 '" y8 de la ,ipér$ola. /n este caso" la diferencia de las distancias entre W y W^ es i!ual al do$le de la distancia que ,ay entre el centro y la intersección de la ,ipér$ola con el e-e '. /ntonces tendremos que:
.W^ Y .W
=
9a
/levando al cuadrado am$os miem$ros y procediendo matemáticamente podemos lle!ar a esta epresión: 7c 9 a98. '9 a9 y9 7c9 a98 a9 ? C 7los cálculos los de-o por tu cuenta pero puedes !uiarte con el desarrollo que ,icimos para la elipse8. 3uevamente a partir del di$u-o y aplicando el eorema de itá!oras podemos o$tener que c 9 ? a9 @ $9 y por lo tanto la ecuación nos queda: $ 9 '9 a9 y9 ? a9 $9. Dividiendo cada término por a 9 $9 o$tenemos: Ecu!ción C!nónic! de ! 2i+ér*o! con C=3=5 7 e/e oc! e e/e 6
i la ,ipér$ola estuviese centrada en un punto cualquiera 7," V8 la ecuación de$er+a de ser: 7 − ,89 a9
−
7 y − V 8 9 $ 9
=1
Ecu!ción C!nónic! de ! 2i+ér*o! con C23453 7 e/e oc! +!r!eo ! e/e 6
i desarrollamos los cuadrados o$tendremos que: $99 a9y9 9,$9 @ 9yVa9 @ ,9 $9 V 9a9 a9 $9 ? C i ,acemos: A ? $ 9 B = ? a9 B 2 ? 9,$ 9B D ? 9Va9B / ? ,9 $9 V 9a9 a9 $9 )a ecuación: A '9 = y9 @ 2 ' @ D y @ / ? C"
Ecu!ción "ener! de ! 2i+ér*o!
iguiendo el mismo ra(onamiento% busca las ecuaciones de las +i2rbolas con ee #ocal ee
y
y aralelo al ee
y
. Gra#ica. 91
Álgebra y Geometría Analítica Facultad Regional Tucumán- U.T.N..
y9
)ue!o de tu desarrollo o$tendrás los si!uientes resultados: 7 y − V 8 9 a
9
−
7 − ,8 9 $
9
a9
−
9 $ 9
=1
"
= 1 respectivamente.
?. &. ;. &.- Ecu!ciones de !s As$ntot!s de ! @i+ér*o!
on rectas que -amás cortan a la ,ipér$ola" aunque se acercan lo más posi$le a ella. Am$as de$en pasar por el centro 27C"C8 ó 27, " V8. )as ecuaciones de las as+ntotas para c 7C"C8 son: y ? b
b a
e-e ,orizontal
y?b
a b
e-e vertical
)omo eercicio% encuentra las ecuaciones de las asíntotas ara c $+% ,& tanto ara el ee real aralelo al ee ' como al ee y. ?. &. ;. ;.- E/ercit!ción
1.Y 2onsidere un cono circular recto de dos ,o-as. [2ómo de$e (pasar* un plano cortante para que la sección definida por la intersección del cono con el plano sea una ,ipér$olaZ. Grafique. 9.Y
Pna
,ipér$ola
es
el
con-unto
de
puntos
del
plano
que
satisfacen................................................................ &.Y A partir de la definición como lu!ar !eométrico" determine la ecuación de una ,ipér$ola de centro 2 7C"C8 y e-e real . F.Y 2omplete y seleccione el si!no 7@ ó Y 8 de cada término para que la ecuación dada a continuación defina una ,ipér$ola de centro 27,"V8 y e-e real paralelo al e-e y: ±
(x − ....) 2 .........
±
(..... − k)2 ........
=1
.Y )a ecentricidad de una ,ipér$ola es & y la de otra es &9. [2uál de las dos es más cerradaZ %.Y Dadas las ,ipér$olas cuyas ecuaciones se indican" o$ten!a centro B lon!itud del e-e real" coordenadas de los vértices" ecentricidad y !rafique. a8 c8
y9 1CC G
9
−
9 FG
− 1%y
$8
=1 9
+
DF
−
&9y − 'G
=
C
d8
9Dy
9
Fy 9
− G 9 + 1% y = 9G
−
F
9
=
1CC
99
Álgebra y Geometría Analítica Facultad Regional Tucumán- U.T.N..
'.Y /n las ecuaciones de los apartados $8 y c8 del e-ercicio anterior o$ten!a las ecuaciones de las as+ntotas. E.Y 5$ten!a la ecuación de una ,ipér$ola cuyos focos sean los vértices de la elipse ' 9
+ 11y 9 = '' y cuyos vértices son los focos de la elipse dada.
.Y Pn ca$le col!ante su-eto en los etremos por columnas de 9' metros de altura separadas FC metros tiene la forma de arco ,iper$ólico que en su parte mas $a-a dista ' metros del piso. 2alcule cada F metros" la distancia del ca$le al piso. ?. &. ;. ?.- E/ercicios Resuetos
1.Y /ncontrar los elementos de las si!uientes ,ipér$olas:
a8
9
1%
−
y
9
G
y
= 1 " $8
9
−
G
9
c8
=1
1%
( − 1) 9 F
−
( y + 9) 9 9D
=1
Resoución de E/ercicio 1.
a8
9
1%
−
y
9
G
=1
5$servamos de la ecuación que el centro es ( C"C) B que a = F " $ = & y e-e real: x . a
;
B A1 = ( − F"C) B A 9 = ( F"C ) B =1 = ( C"−&) B = 9 = ( C"&) "
c
=
a
9
+ $ 9 =
1% + G
=
9D
c = ±D
W1
= ( − D"C ) B
= ( D"C ) "
W9
e=
$ a
As+ntotas: y = ± ⇒ y =
c a
D
&
= >1 F
& y y F
A
F
0
)
F / Y F
=−&
1
A
*
/
Y&
1
F 0
F
'
0
/
y
$8
y
9
G
−
F 0
9
=1
1%
2( C"C ) B $ = F B
A1 c
=
W1
= ( C"−&) B a
9
+ $ 9 =
= ( C"−D) B
A
A9
= ( C"&) B
G + 1%
W9
=
a $
1
=1
c
e=
As+ntotas: y = ± ⇒ y =
c a
/
1
F /
= ±D
'
F
* A
= ( − F"C) B
9D
= ( C"D) "
)
YF
e-e real: y
0
/
0
=9
= ( F"C ) "
"
=D &
& y y F
=−& F
9&
Álgebra y Geometría Analítica Facultad Regional Tucumán- U.T.N..
3bser"a !ue: 4as +i2rbolas de los aartados a&. y b& tienen las mismas asíntotas% or eso se llaman +i2rbolas conugadas.
c8
( − 1) 9 F
−
( y + 9) 9 9D
2( C"C ) B a = 9 " $ = D B
ara encontrar ( − 1) 9 F
A1
ara encontrar
e-e real al e-e x
A1 y A 9 se ,ace y
= −9 :
( − 1) 9 = F
=1
= ( − 1"−9 ) B
=1
A9
−1 =
=1 y = 9 " se considera x
si!no ne!ativo que precede a: = ±
=
=& " y 9 = −'
W1
a9
+ $ 9 =
= 1−
= ±9 + 1
y
=& 9 = −1 1
⇒
" sin olvidar que estos vértices son ima!inarios"
. 3o consideramos el
( y + 9) 9 9D
1
= 1"
F + 9D
= (1"−' ) B
=9 c
9G
9G "−9
B W9 = 1 + 9G "−9 "
a $
& y y F
As+ntotas: y = ± ⇒ y =
1
0
' F /
=1
=
&
( y + 9) 9 = 9D "
⇒ y = ±D − 9
y1
⇒ c
9D
⇒
F
= ( &"−9 )
es decir la ,ipér$ola no corta al e-e
y+9
±
e
=
c a
=
A
&
* )
/
A
F 0 0
= (1"&) "
=±
9G
"
Y'
1
/
9G 9
=−& F
9.Y Determinar la ecuación de la ,ipér$ola sa$iendo que a = E " $ = & y que: a8 /l centro es el ori!en y los focos están so$re el e-e x . $8 2entro (1"F ) y e-e real al e-e
y
.
c8 Determinar las as+ntotas de la ,ipér$ola del inciso !. d8 )a distancia focal. Resoución de E/ercicio &.-
9F
Álgebra y Geometría Analítica Facultad Regional Tucumán- U.T.N..
a8 2 ( C"C) " a = E " $ = & . 2omo los focos están so$re el e-e x " el e-e real es x " lue!o la
ecuación es $8
9
%F
2(1"F)
−
$ a
a
9
9
G
=1.
" e-e real al e-e
c8 y = ± B d8 c =
y
y
=±
+ $ 9 =
& E
y
" la ecuación es
( y − F) 9 %F
−
( − 1) 9 G
=1
%F + G
=
'&
⇒
c
=±
'&
?. &. ?.- P!r,*o! “Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz “. Q
Anal+ticamente:
.W
=
.Q
/l értice de la pará$ola es el punto medio entre la directriz y el foco. /l vértice y el foco determinan una l+nea perpendicular a la directriz" a ésta l+nea se le conoce como el e/e de ! +!r,*o!.
ara una pará$ola que tiene el vértice en el ori!en la ecuación es 7&8 &+6" donde + es
la
distancia entre la directriz y el foco. ?. &. ?. 1.- Ecu!ción !n!$tic! de ! +!r,*o!:
ara deducir la ecuación tomamos una pará$ola de _7C"C8 y e-e de simetr+a el e-e . upon!amos que el foco esté situado en el punto W 7 directriz D es la recta ?
9
9
" C8 y la
" por lo tanto el vértice está en su
punto medio 7C"C8" si tomamos un punto !enérico 7 ' " y8 de la pará$ola de$e de cumplirse que:
Dist7"D8 ? dist7"W8
"r,ico N && : ará$ola de _7C"C8 y e-e de
simetr+a el e-e
9
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entonces:
6 F
=
calculando las distancias
6 5
+
p 9
=
7
−
p 9 8 9
+ 7 y − C8 9 /levando al
cuadrado resulta: + p 9 = 7 − p 8 9 + y 9 Desarrollando los $inomios 9 9 p 9 + p + F 9
p 9 = − p + F 9
o$tenemos: O*ser!ciónes:
+ y 9 2ancelando y rea!rupando" p @p ?
7& 8 &+6
y 9 entonces"
Ecu!ción C!nónic! de ! P!r,*o! con = 3 =5 7 e/e de si#etr$! e e/e 6
18 i la pará$ola se a$re ,acia la izquierda a ecuación es: 7& 8 - &+6 7ver
Gráfico 34 9F. 98 i el foco está a la derec,a de la directriz" la pará$ola tiene sus ramas ,acia la derec,a. _er Gráfico 34 9& 98 i el foco está a la izquierda de la directriz" la pará$ola tiene sus ramas ,acia la izquierda. 7_er Grafico 34 9F.8
"r,ico N &;: ará$ola con foco a la derec,a
"r,ico N &?: ará$ola con foco a la
de la directriz
izquierda de la directriz
i la pará$ola no tiene su vértice en _ 7C"C8 si no en 7," V8 entonces la ecuaciones serán 79 45& 8 ± & + 6 -25
Ecu!ción c!nónic! de ! +!r,*o! con 2 3 45 7
& 5
e/e oc! +!r!eo ! e/e
Desarrollando la ecuación tendremos: y 9 9 y V 9 p @ V 9 @ 9 p ,? C i ,acemos / ? 9 VB D ? 9 pB
W ? V 9 @ 9 p ,
5$tendremos: y9 @ D @ / y @ W ? C" /cuación !eneral de la ará$ola con _7, " V8 y e-e focal o de simetr+a paralelo al e-e . i el e-e de simetr+a es el e-e y " el foco es W 7C"
9
8 y la directriz es
y
=−
9
donde p es un
n6mero real y es distinto de cero" entonces la ecuación de la pará$ola es: 6& 8 &+7
Ecu!ción C!nónic! de ! P!r,*o! con = 3 =5 7 e/e de si#etr$! e e/e 7
9%
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5$servación: i 6& 8 - &+7 la pará$ola se a$re ,acia a$a-o. 7ver !ráfico n4 98 Aclaración:
p 9
es la distancia entre el vértice y el foco y entre el vértice y la directriz.
O*ser!ción: e presentan los si!uientes casos:
"r,ico N &: ará$ola con 27C " C8 e-e focal
"r,ico N &? : ará$ola con 27C " C8 e-e focal
el e-e y " p J C
el e-e y " p H C
i la pará$ola tiene su vértice 7," V8 entonces la ecuación ser+a Ecu!ción C!nónic! de !
x 9 25& 8 ± & + y !" 5
P!r,*o! con e/e de si#etr$! +!r!eo ! e/e 7
5$servación: 18 i 7 ' ,89 ? 9 p 7 y -, 8 la pará$ola se a$re ,acia arri$a. 98 i 7 ' ,89 ? Y 9 p 7 y -, 8 la pará$ola se a$re ,acia a$a-o. Desarrollando la ecuación tendremos: '9 9 ' , 9 p y@ , 9 @ 9 p V ? C i ,acemos D ? 9 ,B
W ? , 9 @ 9 p V
/ ? 9 pB
5$tendremos: x & B D x B E y B < 8 =
Ecu!ción 'ener! de ! P!r,*o!
?. &. ?. &.- E/ercicios
1.Y 2omplete as si!uientes proposiciones: a8 Pna pará$ola es el con-unto del plano que satisfacen. $8 A partir de la definición de lu!ar !eométrico" se puede determinar la ecuación de una pará$ola de 27C"C8 y e-e de simetr+a el e-e " considerando c8 )a ecuación de una pará$ola en función de la luz y la flec,a es:.. d8
)a
ecuación
de
una
pará$ola
con
e-e
de
simetr+a
el
e-e
>
es.. e8 /l lado recto de la pará$ola es: f8 /nuncie la propiedad focal de la pará$ola 9'
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!8 )a ecentricidad de la pará$ola es . ,8 /l parámetro p en la pará$ola" representa i8 /n la ecuación !eneral de la cónica" distin!ue cuando se trata de una pará$ola porque 9.Y Determine los elementos de las si!uientes pará$olas y !rafique: a8 9 @ %@ y Y1?C"
$8 y 9 & Y9y @F?C
&8 Determine la ecuación de la pará$ola" los elementos restantes y su !ráfica si: a8 _79"&8 W7 9"8
$8 _7F"98 y directriz de ecuación ? 9
c8 _7&"Y98" directriz al
e-e 5>" y pasa por el punto 79"C8 F.Y Determine las ecuaciones de las rectas t! y normal a la pará$ola y 9 ? 1% en 7F"E8 .Y /n la estructura col!ante que se indica el ca$le para$ólico está suspendido de dos torres de 19 m de altura y su distancia es de FC m. 2alcule las lon!itudes de los ca$les verticales que se indican.
%.Y /n una $óveda de ,ormi!ón de arco para$ólico de 9C m de luz y % m de flec,a" calcule las alturas de las columnas cada 9 metros. '.Y Pn arco en forma para$ólica y e-e vertical tiene 1C m de flec,a y &C m de luz. Ualle la altura de la columna para soporte a & m de un etremo del arco. ?. &. ?. ;.- E/ercicios Resuetos
1.Y /ncontrar los elementos de las si!uientes pará$olas y !raficar: a8
y
9
=
$8
F
9
c8 ( y − F) 9 = F( + 1)
= 1C y
d8 ( − &) 9 = −% ( y − 1) 7 0 8 *
Resoución de E/ercicio 1.-
a8
y
9
=
F
B
9 p = F
⇒
p = 9 .
&
/l parámetro
pará$ola se a$re a la derec,a del e-e
y
p = 9
7 p > C 8" la
9
.
1 Y1
9
1
9
'
F Y1
Y9
d Y&
9E
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/l vértice
_ ( C"C )
p "C = (1"C) . )a 9
. /l foco está so$re el e-e x y tiene coordenadas
directriz tiene ecuación
W
p
= − = −1 . 9
/l e-e de la pará$ola es el e-e x . i = 1 B O*ser!ción: ara sa$er cuánto se
y9
=F ⇒
y
= ±9
a$re la rama de la pará$ola" se reemplaza la coordenada
x o y del foco y se determina la ordenada o a$scisa del mismo.
$8
9
= 1C y
_ ( C"C )
. /l e-e de la pará$ola es el e-e
= 1C
p D ⇒ p = D " W C" = C" . 9 9
9 p
)a directriz tiene ecuación
y
y
.
% D F
= − p = − D . 9
1
i y =
B
9
D
= 1C ⋅ = 9D ⇒
9
Y9
1
9
9
Y&
D 9
F
& 9
Y1
9
&
F
'
Y1
= ±D
Y9
d
c8 ( y − F ) 9 = F ( + 1) %
De la ecuación o$servamos que el vértice es. 9 p
=F ⇒
p
= 9 > C.
9
p /l foco es a,ora: W C + " y C W( − 1 + 1"F) = ( C"F) . 9
)a directriz es:
F
F
9 1
1
9
&
F
p
= C − = −1 − 1 = −9 B = −9 .
Y1
Y9
9
Y9
= C "
2uando
'
Y1
d 9
( y − F ) = F ⇒ y − F = F ⇒ y − F = ±9 ⇒ y = ±9 + F
y
% 9
d8
.
( − & ) 9 = −% ( y − 1)
5$servamos que el vértice es 9 p
= −%
_( &"1)
y
.
" la pará$ola se a$re ,acia la
dirección ne!ativa del e-e
y
d 9
.
9
1
Y&
Y9
Y1
1 Y1
9
&
F
D
%
G
'
F
Y9
9
Álgebra y Geometría Analítica Facultad Regional Tucumán- U.T.N.. & 1 p /l foco tiene coordenadas C " y C + W &"1 − = &"− . 9 9 9 y = y C −
)a directriz tiene ecuación
p 9
&
D
9
9
: y = 1+ =
⇒
y=
D 9
.
9.Y /ncontrar la ecuación de la pará$ola" con vértice ( F"−1) " e-e paralelo al e-e
y
" y que
contiene al ori!en. Resoución de E/ercicio &.-
i el e-e es paralelo al e-e ( − C ) 9 = 9 p ( y − y C )
y
" la ecuación es:
( − F ) 9 = 9 p ( y + 1) .
2omo
9 1
1
contiene al ori!en" éste verifica la ecuación: Y9
( C − F ) = 9 p ( C + 1) " 9
1%
= 9 p ⇒
p
Y1
9
&
F
D
%
E
'
Y1
=E
Y9
)a ecuación es: ( − F ) 9 = 1% ( y + 1) y = C : ( − F) 9
= 1% ⇒
−F
= ±F ⇒
= ±F + F ⇒
x
E C
&.Y )a trayectoria que descri$e un proyectil lanzado ,orizontalmente" con una velocidad 7mse!8 desde un punto situado 9
y
#
7metros8 so$re el suelo" es una pará$ola de ecuación:
9
= − 9 v ⋅ y " donde x es la distancia ,orizontal desde el lu!ar de lanzamiento y !
!
≈
G"E1
7mse!98. /l ori!en se considera como el punto de salida del proyectil del arma. 2on estas condiciones podemos resolver el si!uiente e-ercicio: e lanza ,orizontalmente una piedra desde la cima de una torre de velocidad de
1E
m de altura" con una
ms. Uallar la distancia del punto de ca+da al pie de la torre 7se supone el
suelo ,orizontal8. a8 _értice en (1"&) y directriz y
1JE
= C $8
_értice ( − &"D) y directriz
=1
Resoución de E/ercicio ;.9
9
9
= − 9v ⋅ y = − 9 ⋅ 1D ⋅ ( − 1ED ) ≈ E.FGD !
G"E
≈
G9"1% m.
&C
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23I2A: I3/I D/ )A P3IDAD $efinici%n&
Pna sección cónica es ! cur! de intersección de un plano con un cono de dos mantos 7o dos ,o-as8.
2+rcunferencia
/lipse 7,8
ará$ola 7,8
Uipér$ola 7,8
/lipse 7v8
ará$ola 7v8
Uipér$ola 7v8
2am$iando el án!ulo y el lu!ar de la intersección" podemos crear un c+rculo" una elipse" una pará$ola o una ,ipér$olaB o en el caso especial cuando el plano se pone en contacto con el vértice: un punto" una l+nea o 9 l+neas intersectadas.
unto
)+nea
)+nea Do$le
&1
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L! Ecu!ción "ener! de un! sección cónic!
A9 @ =y @ 2y9 @ D @ /y @ W ? C Y i =?C" nos queda : A9 @ 2y9 @ D @ /y @ W ? C Y /n la si!uiente ta$la" consideremos las curvas que representa esta ecuación:
Circunerenci!
Ei+se
@i+ér*o!
P!r,*o!
! dierenci! entre sus dist!nci!s ! dos +untos i/os os ocos5 es un! const!nte &!. !u$ 3dierenci! se to#! co#o ! distancia #!7or #enos ! #enor5
Definición: /s el con-unto de todos los puntos del plano tales que
/pemplos i
2lasificación se!6n: A9@2y9@D@/y@W?C 7/cepto de!enerados8 /-e ,orizontal c 7C"C8
A?2 9
9
A.2 H C 9
@ y ? r
' 9 a
9
+
y 9 b
9
A.2 ?CB A?C ó 2?C pero no am$as
A.2 JC
=1
'
9
a
9
−
y
9
b
9
c
=1
y9 ? 9 p
Gráfica con e-e focal y e-e de simetr+a ,orizontal
/cuaciones de las as+ntotas: /-e ,orizontal c 7,"V8 /-e vertical c 7C"C8
y?b
b a
7Y,89 @ 7yYV89 ? r 9 9
9
9
@ y ? r
y 9 a
9
+
' 9 b
9
=1
9? 9 p y
&9
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Gráfica con e-e focal y e-e de simetr+a vertical
y ? r 9 − ' 9 Ecu!ciones E6+icit!s semicircunferencia 7@8 /cuaciones de las as+ntotas: /-e vertical c 7,"V8
y
=
− F # 9
l
' 9
+ # "dada
la luz y la flec,a. 5tra: y ? a 9 @ $ @ c y?b
a b
7Y,89 @ 7yYV89 ? r 9 ! radio mayor
r ? el radio de la
arámetros
circunferencia
#elación entre parámetros E6centric.: e =
c a
Pro+ied!des
lon!itud del e-e mayor *: radio menor lon!itud del e-e menor c: distancia del centro al foco
p ? la distancia desde el foco a la directriz
c?C
a9? $9 @ c9
c9 ? a9@ $9
e ? C
C J e J1
e H1
p ? p e ? 1
Pn rayo lum+nico o sonoro que sale de uno de los focos" c,oca contra la elipse y se refle-ará en el otro foco.
Pro+ied!des
Ecu!ciones de ! rect! Dada la Ecu!ción "ener! A9 @ 2y9 @ D @ /y @ W ? C y t!n'ente 7 nor#! a el punto 171"y1 8" usamos la re'! de desdo*!#iento para
una cónica en un punto o$tener las ecuaciones de las rectas tan!ente y normal. ' + ' y + y 1 A . @2 y.y @ D 7 8@/7 8 @ W ?C 9
9
articularizando para 1" nos queda: A . 1 @ 2 y. y 1 @ D 7
' + '1
9
8@/7
y + y1
9
8 @ W ?C" &&
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Desarrollando o$tenemos: !5 /cuación de la rect! t!n'ente
7 8 #t' 6 B *1
*5 /cuación de la rect! nor#!3 teniendo
mn ? Y
1
mtg
y
el 1 71"y1 8
7yYy18 ? mn 7 18 → 7 8 #n 6 B *& Dada la ecuación de la ei+se con centro en el ori!en ' 9
y 9
'. ' Ecu!ciones de ! rect! 9 + 9 = 1 " se desdo$la esta ecuación a9 a b t!n'ente 7 nor#! ! ! por el punto 1" o$teniendo: cónic! en un punto '. '1 y. y1 171"y18" dada su + 9 = 1 → despe-ando 7 3 resultan 9
ecuación conn 2 7C"C8 y _7C"C8.
e/e 2ori>ont!5
a
b
a8 rect! t!n'ente $8 rect! nor#!
+
y. y b9
= 1 y lue!o se reemplaza
las ecuaciones:
7 8 #t' 6 B *1
7yYy18 ? mn 7 18 → 7 8 #n 6 B *&
Dada la ecuación de la +!r,*o! 9? 9 p y" cuyo e-e de si#etr$! es el e-e 7 /cuaciones de la recta y + y tan!ente y normal a la #ealizamos el desdo$lamiento : . ? 9 p 7 9 8 " lue!o cónica reemplazamos por el punto 1 " o$tenemos: /n un punto y + y1 171"y18" dada su .1 ? 9 p 7 8 → despe-ando y " 9 ecuación en resultan las ecuaciones: c 7C"C8 y _7C"C8. a8 rect! t!n'ente 7 8 #t' 6 B *1 e/e ertic!5 $8 rect! nor#! 7yYy18 ? mn 7 18 → 7 8 #n 6 Dada la ecuación de la +!r,*o! 7yYV89? 9 p 7Y,8" cuyo e-e de si#etr$! es paralelo al e-e 6 Ecu!ciones de ! rect! ' + ' − +8 " lue!o t!n'ente 7 nor#! ! ! #ealizamos el desdo$lamiento : 7yYV8. 7yYV8 ? 9 p 7 9 cónic! en un punto reemplazamos por el punto 1 " o$tenemos: 171"y18 dada su ' + '1 − + 8 → despe-ando 7 3 ecuación con 7yYV8. 7y1YV8 ? 9 p 7 9 2 7,"V8 y _7,"V8. resultan las ecuaciones: e/e 2ori>ont!8 a8 rect! t!n'ente 7 8 #t' 6 B *1 $8 rect! nor#! 7yYy18 ? mn 7 18 → 7 8 #n 6 Ecu!ciones de ! rect! Dada la ecuación canónica de la @i+ér*o! con centro 7,"V8" t!n'ente 7 nor#! ! ! 7 y − , 89 7 ' − +89 − =1 cónic! en un punto "aplicamos la re!la del desdo$lamiento a9 b9
171"y18" dada su ecuación con 2 7,"V8 y _7,"V8. e/e ertic!8
o$tenemos:
7 y − , 8.7 y − , 8 a9
−
7 ' − +8.7 ' − +8 b9
= 1 " particularizamos para el punto 1"
&F
