Compendio de Aritmetica

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LIBRO DE CONSULTA DE ARITMETICA

Material exclusivo de “Mentes Curiosas 727”

ARITMETICA Naturaleza: Conjunto de todo lo que existe.

Cuerpo: Todo lo que ocupa un lugar en el espacio. Ejemplo; seres humanos, animales, plantas, agua, aire, un libro, una silla, los seres del universo

Fenómenos naturales: son cambios de formas de los cuerpos. Ejemplos; el desarrollo de animales y plantas, el fenómeno de la evaporación, el fenómeno de la caída de los cuerpos por efecto de la atracción de la gravedad. El fenómeno de la combustión de un pedazo de madera.

Volumen de los cuerpos. Espacio ocupado por un cuerpo en un momento determinado.

El límite de los cuerpos. Superficie.

Limite donde termina un cuerpo y comienza otro cuerpo. El atributo es del limite que separa unos cuerpos de otros.

Trayecto entre dos puntos. Longitud y distancia.

Longitud: Cualquier dirección de trayecto que puede seguir un objeto móvil de un punto A hasta un punto B.

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Distancia: Entre todas las alternativas de trayectos que se puede recorrer entre dos puntos, o más. al menor trayecto se le llama distancia.

Un punto es una simple posición en el espacio, no tiene volumen.

Recta: es la prolongación infinita de una distancia sobre su misma dirección.

Segmento de recta: Distancia entre A y B donde tiene un inicio o sea A y tiene un fin o sea B.

Semirrecta: Es una distancia que que tiene inicio y se alargará en un solo sentido y de modo infinito.

En resumen:

1. Recta: Sucesion de puntos en linea recta que no tiene principio ni fin.2. Segmento: Tiene principio y fin.3. Semirrecta: Tiene principio pero no fin.-

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Dimensiones de los cuerpos Ejemplo:

Un ladrillo “A y B” es la dimensión de largo “B y C”: es la dimensión ancho “C y D”: es la dimensión profundidad. Cantidad de materia que tiene adentro un cuerpo. Masa material, Peso. Masa material: cantidad de materia que tiene adentro un cuerpo. Ejemplo: Dos barras de hierro A y B, de igual volumen a temperatura ambiente.

Los dos tienen la misma cantidad de masa material porque está formado de la misma sustancia el “hierro”. Si se calienta el “B”va aumentar su volumen, ese fenómeno se le llama “Dilatación de los cuerpos por el calor”. Ahora se tiene dos cuerpos con la misma masa material pero con volumen diferente

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Si se disminuye el cuerpo dilatado hasta que se iguale en volumen con el cuerpo A entonces se va a tener dos cuerpos con el mismo volumen pero con cantidad de masa material distinta. Peso. Es la atracción de la gravedad sobre el cuerpo. Cuando un cuerpo tiene mucha masa material mayor es la atracción de la gravedad sobre ese cuerpo. Pluralidades. Conjunto de cosas materiales o inmateriales. Ejemplo de conjuntos materiales: libros, lápices, computadoras. Ejemplo de conjuntos inmateriales: ideas, gustos papilares. ABSTRACCIÓN. CONCEPTOS ABSTRACTOS Abstracción: Es darse cuenta de los atributos comunes que hay en varios objetos que se están observando. Ejemplo: el volumen (atributo) de varias pelotas (concepto), el peso (atributo) de varias monedas (concepto). “La abstracción es aislar los atributos de un concepto”. Concepto Abstracto: es el resultado de una abstracción. Ejemplo: volumen, superficie, longitud, masa material, peso, pluralidad y número. MAGNITUDES Y CANTIDADES. Magnitud: cualidad de un objeto, que puede aumentar o disminuir. Ejemplo; Temperatura, tiempo, volumen, superficie, longitud, masa la material, fuerza, amplitud angular, pluralidad.

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Magnitudes continuas: Dan idea de totalidad no se puede diferenciar, con los simples sentidos, las partes más elementales que componen la magnitud.se tiene que dividir en partes más pequeñas imaginariamente usando una unidad de medida Ejemplo: peso, calor, longitud..etc

Magnitudes discontinuas: se conoce el elemento más simple que compone una magnitud. Todo conjunto de elementos son magnitudes discontinuas.

Magnitud Escalar: no tienen dirección. Se escribe un número seguido de la magnitud. Una regla de 20 cm, (Longitud), 20 kg mandioca (Peso),1 m³ de tierra (Volumen), 2 h de viaje (Tiempo).

Ejemplo; Longitud, Peso, Volumen, Tiempo. Magnitud Vectorial: Tiene módulo, dirección y sentido al mismo tiempo. Ejemplo;

Cantidad: Valor numérico consecuencia de una medición de una magnitud expresado de esta forma números más la unidad de la magnitud Cantidad = Número/Unidades. Ejemplo: 20 kg: Resultado de medir la magnitud masa. 1 m: Resultado de medir la magnitud longitud. 60 s: Resultado de medir la magnitud tiempo. Cantidad Continua: La que esta formada de unidades que no están separadas unas de las otras. Ejemplo: Longitud de una cinta, el área de una superficie, el volumen de un sólido, la cabida de un vaso. Cantidad Discontinua o Discreta: La que esta formada de unidades separadas unas de las

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otras. Ejemplo: los árboles de un monte, los soldados de un ejército, los granos de una espiga. Cantidad Escalar: No indica la direccion de la magnitud. Ejemplo: 15 m de tela. Cantidad Vectorial: Indica la dirección de la magnitud. Ejemplo: 45 m al S.

Cantidad Homogénea: Tiene objetos de una misma especie o está constituido por una sola sustancia. Ejemplos: Un rebaño de ovejas. El agua contenida en un recipiente. Cardumen (cantidad de pescados). Cantidad heterogénea Tiene objetos de diferentes especies o está constituida por varias sustancias. Ejemplos: Una ensalada de frutas. Una limonada. Ejercicio 1 1. Cita. a) 5 cuerpos animados 1. Plantas 2. Animales 3. Humanos 4. Bacterias 5. Gérmenes b) 5 Cuerpos Inanimados 1. Roca 2. Arena 3. Agua 4. Plástico 5. Virus. c) 5 cuerpos extraterrestres 1.Galaxias. 2. Planetas 3. Meteoros. 4. Agujeros negros 5. Estrellas.

2. Contesta con falso o verdadero,¿cuál es la diferencia?. a) Piedra y una gota de agua son cuerpos. Respuesta: Verdadero. La diferencia consiste en que la piedra es una magnitud continua, mientras que una gota de agua es una magnitud discontinua 3. ¿Existe en la naturaleza un cuerpo que no tenga volumen?

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Respuesta: No existe. 4. ¿Qué diferencia hay entre superficie de un cuerpo sólido y superficie de un cuerpo líquido? Respuesta: La del sólido es más fácil determinar que la del líquido. 5. ¿Que significa que superficie es un concepto general? Respuesta: Significa que no se refiere a ningún cuerpo de la naturaleza indicado con precisión, sino que se refiere a esa cualidad que es común a todos los cuerpos en la naturaleza y es el de tener un límite que los separa de otros cuerpos.

Ciencia matemática: estudia las cantidades de las magnitudes en el espacio-tiempo. Se clasifica en orden de la mejor manera de entender y el grado por el cual obligatoriamente se debe recorrer sin poder saltar los grados, debido a que la ciencia de la matemática depende de las concepciones previas partiendo de lo más elemental hasta llegar a un nivel de interrelacionamiento universal; Respetando los grados se inicia con el primer grado“Aritmética”, segundo grado “Geometría plana y del espacio”, tercer grado “Álgebra” y por último el cuarto grado “Cálculo”. La manera como está formada la ciencia matemática. Lenguaje propio en la ciencia matemática y las técnicas usadas para comprenderla y posteriormente aplicarla. En toda ciencia siempre hay que distinguir el objeto de estudio, las propiedades de ese objeto de estudio sus relaciones con otras ciencias y finalidad de uso. Objeto: es un dato o sistema de datos material o inmaterial que es estudiado en el caso material puede ser una roca, en el caso el inmaterial puede ser el espacio, tiempo. Conocimiento intuitivo: Conocimiento adquirido a través del contacto directo con el objeto sin necesidad de razonamiento ni conocimientos previos. Producto del conocimiento intuitivo son; la materia, la unidad, la pluralidad, la ordenación, la relación. Estos conocimientos son llamados de “Conceptos Primitivos o Intuitivos o Noción Intuitiva”. Son la base de la ciencia matemática.

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DEFINICIONES Es la expresión de una “Noción Compleja” mediante la suma de las nociones más simples que la compone. A medida que se descubria nuevos conocimientos de la naturaleza que no necesariamente eran nociones intuitivas, surgió la necesidad de agruparlos y definirlos ya que no estaban al alcance de todos, y servían para comprender mejor la magnitud. Por eso la “Noción Intuitiva” no es definible porque no existe una noción previa y simple que le componga. Ejemplos: Cantidad es el estado de una magnitud. Triángulo es el polígono de tres lados.

CÁLCULO ARITMÉTICO El que se hace exclusivamente con números y algunos signos convencionales. Regla. Método de hacer una operación. Principios Fundamentales. Reglas de algunos fenómenos naturales entendidos por abstracción, y que son usados en la aritmetica. SIGNO Señal o figura que se usa en los cálculos para indicar, ya la naturaleza de las cantidades, ya las operaciones que se han de ejecutar con ellas. RAZONAMIENTO

Serie de conceptos explicados para probar una proposición.

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NOTACIÓN

Sistema de signos convencionales que se usa para expresar conceptos matemáticos. LITERAL

Conceptos y Magnitudes que se expresan mediante el uso de las letras Enunciación Presentación del conjunto de datos que forman un problema Proposición Presentación de una afirmación probada o que se trata de probar Cuestión Presentación del conjunto de datos que forman un problema para averiguar un resultado. Problema Presentación de un conjunto de datos para intentar descubrir el método de conseguir un resultado. PROPIEDADES. Son características de una operación aritmética que se cumplirá siempre y sólo cuando se presente condiciones matemáticas. determinadas Son reglas que se consiguen a partir de axiomas y deben ser probadas mediante esas reglas. Las propiedades de los conceptos primitivos y conceptos definibles se expresan en forma de proposiciones lógicas, evidente o no. Las propiedades son los postulados y los teoremas.

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AXIOMA Afirmación muy clara que no necesita ser probada POSTULADOS Es una verdad intuitiva que tienen suficiente evidencia para ser aceptada como verdad. Ejemplo. Todo objeto es igual a sí mismo Cualquier número par es divisible por dos TEOREMA. Es una verdad no evidente pero demostrable. Un teorema tiene: 1. Hipótesis: afirmación que se supone que se puede verificar. 2. Tesis: Una conclusión que expresa lo que se demuestra

Ejemplo: Si un número termina en 0 o 5, es divisible entre 5. 10 / 5 = 5 25 / 5 = 5 Sin un número divide a otros varios divide también a su suma. Tanto en el teorema como en el postulado tiene una parte condicional que es la hipótesis y una conclusión que es la tesis que se cumple en caso de que tenga validez la hipótesis. En el postulado este cumplimiento de la hipótesis se acepta sin declaración formal. Mientras que en el teorema es necesario la demostración mediante una serie de razonamientos que se basan en postulados, en otros teoremas ya demostrados o usando ambos.

LEMA

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Es un teorema que debe explicarse previamente antes de otro, para que sea necesario la demostración de este último. COROLARIO Es una verdad que proviene como consecuencia de un teorema

RECÍPROCO Recíproco de un teorema es otro teorema en que su hipótesis es la tesis del primero (llamado teorema directo), y en que su tesis es la hipótesis del directo. Ejemplo: Teorema Directo: Si un número termina en cero o en cinco (hipótesis), será divisible por cinco (tesis). Teorema Recíproco: Si un número es divisible por cinco (hipótesis) tiene que terminar en cero o en cinco (tesis). Escolio: Es una advertencia o comentario sobre alguna cuestión matemática. Incógnita: cantidad desconocida que es necesario determinar en una ecuación o en un problema para soluciónarlo. Problema: Actividad práctica en la que hay que encontrar las incógnitas, por medio de las relaciones con los datos del problema. Ciencia matemática

Conceptos

Propiedades

Captación Espontanea

Conceptos Intuitivos

Postulados

Elaboración Racional

Definiciones

Teoremas

CAPÍTULO 1. NOCIONES SOBRE CONJUNTOS Unidades

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Es la abstracción de un solo ser u objeto. Ejemplo: una persona,1 silla, pizarrón, el libro. Pluralidad. Conjunto y Elemento. Pluralidad: Son las magnitudes discontinuas. Ejemplo: pluralidad de libros (Magnitud discontinua) Conjunto: Son cantidades pertenecientes a esas magnitudes discontinuas. Ejemplo: nlibros de la biblioteca (cantidad). Los objetos que integran un conjunto pueden ser materiales o inmateriales. Ejemplo de conjuntos materiales: los periféricos de un ordenador, los libros de una biblioteca, las ropas de un armario. Ejemplo de conjuntos inmateriales: los archivos y registros de un disco duro, los paquetes de datos en una red informática. Elemento: cada objeto que integra el conjunto. Ejemplo: cada archivo y cada registro de un disco duro, cada periférico del ordenador. Postulado fundamental de la aritmética: A todo conjunto se le puede añadir uno de sus elementos o quitarle uno de sus elementos. Relatividad de los términos conjunto y elemento Lo que es conjunto con relación a unidades inferiores puede ser considerado como unidad con relación a un conjunto superior. Ejemplo: una docena es un conjunto con relación a las 12 cosas que integran un conjunto. Pero relacionando a la gruesa que está formado de 12 docenas la docena viene a ser un elemento dentro del conjunto. Conjuntos homogéneos y heterogéneos. 1. Conjunto homogéneo: tienen elementos de la misma especie 2. Conjunto heterogéneo: Los elementos no son de la misma especie. 3. Conjunto Ordenable: Conjunto en que previamente se ha acordado un criterio de ordenación para permitir indicar exactamente la posición de un elemento con relación a los

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otros. Ejemplo: Los alumnos de una sala de clase puede ser un conjunto ordenable, teniendo en cuenta criterios como la estatura, la edad, su dedicación hacias las matemáticas. 4. Conjunto no ordenable: conjunto en la cual no se puede acordar un criterio debido a un constante movimiento que imposibilita establecer una ordenación entre los elementos. 5. Conjuntos Finitos: son conjuntos ordenables que pueden ser contados uno por uno material o inmaterialmente en un tiempo determinado. Ejemplo: Alumnos de una clase. Se puede indicar a cada uno de esos elementos (alumnos) por su nombre.

6. Conjuntos infinitos: son conjuntos no ordenables, no se pueden contar uno por uno material o inmaterialmente en el tiempo. Ejemplo: puntos de una recta, las rectas que pueden pasar por un punto. CONJUNTO DE ELEMENTOS NATURALES Y CONJUNTOS DE ELEMENTOS CONVENCIONALES. 1. Conjunto de Elementos Naturales: cantidades discontinuas. Ejemplos: lápices de una caja 2. Conjunto de Elementos Convencionales: cantidad continúa en que su comportamiento es similar al de las cantidades discontinuas. CONJUNTOS IGUALES, DESIGUALES Y PARCIALES. Conjuntos Iguales: Existiendo dos conjuntos, ambos, poseen los mismos atributos y la misma cantidad de elementos. Ejemplo: Todo elemento del conjunto “K” tiene el conjunto “L”.

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Conjuntos Desiguales: El conjunto “K” y el conjunto “L” no tiene ningún elemento en común. Ejemplo:

Conjuntos parciales: El conjunto K y el conjunto L tiene, algunos elementos en común. Ejemplo:

Ejercicio 2: 1. Cita. Cinco ejemplos de conjuntos materiales. a) Periféricos de ordenador b) Equipo de sonido c) Sistema de monitoreomiento d) Sistema acuático e) Sistema terrestre 2. Cita. Cinco ejemplos de conjuntos inmateriales. a) Componentes del logicial b) Sistema operativo c) Argumento d) Teoría e) Espectro 3. Cita. Tres ejemplos de conjuntos iguales. a) Vasos b) Cardumen c) Televisores

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CORRESPONDENCIA ENTRE ELEMENTOS Correspondencia perfecta, biunívoca, de coordinación: es cuando cada elemento de un conjunto pertenece al elemento de otro conjunto de modo que en uno y en el otro no queda ningún elemento sólo. Ejemplo:

Conjunto de la placa madre

Conjunto de componentes de la placa madre

Ranura de memoria RAM

Memoria RAM

Zoquete de CPU

CPU

Ranura de tarjeta de video

Tarjeta de video

Elementos homólogos: son elementos que se corresponde dentro de la correspondencia de coordinación. Ejemplo: Ranura de memoria RAM

Memoria RAM

Conjuntos Coordinables o equivalentes: Dos conjuntos son coordinables cuando entre sus elementos hay una correspondencia biunívoca o perfecta, de modo que a cada elemento del primer conjunto pertenece uno y sólo uno del elemento del segundo conjunto y viceversa. Conjuntos no coordinables: cuando en dos conjuntos no puede existir correspondencia perfecta o de coordinación porque sobran elementos en uno de los conjuntos. Ejemplo: Si en una clase donde hay 20 pupitres para alumnos y se introducen más alumnos de los que pueda soportar, entonces el conjunto de alumnos no es coordinable con el conjunto de los pupitres de la sala de clase. POSTULADOS SOBRE

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COORDINACIÓN DE CONJUNTOS 1. Habiendo dos conjuntos coordinables y en ambos se saca (2º caso) o se agrega (1º caso) un elemento, el resultado va a ser un conjunto coordinable. Ejemplo:

2. Habiendo dos conjuntos finitos, ambos serán conjuntos coordinables o sólo uno de ellos es coordinable con una parte del otro conjunto. Ejemplo:

Sólo una parte del conjunto es coordinable con el otro conjunto.

3. Si dos conjuntos finitos están coordinados de cierta forma, la coordinación siempre será posible de cualquier otra forma de ordenación. Ejemplo:

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Diferentes modos de ordenación de Corolario: Si los conjuntos finitos no son coordinables de un cierto modo, la coordinación nunca será posible, no importa la forma como sea ordenada. Ejemplo: Un conjunto de lápices entregada cada unidad a cada alumno del conjunto de alumnos, si una cierta cantidad de alumnos se queda sin lápiz, entonces no importa el orden en que sea entregado los lápices siempre faltará lápices para una cierta cantidad de alumnos. Ejercicio 3 1. Coordinar todas las formas posibles del conjunto formado por las letras de las palabras “casa” y “mesa”; “rosal” y “plato” Respuesta: Demasiado largo sería…. 2. Explique cuando serán coordinables un conjunto de sombreros y un conjunto de personas; un conjunto de sillas y un conjunto de personas, un conjunto de alumnos y un conjunto de suspendidos. Respuesta: Solamente cuando cada conjunto tiene la misma cantidad de elementos. 3. Explique cuando no son coordinables un conjunto de alumnos y un conjunto de sobresalientes; un conjunto de soldados y un conjunto de rifles, un conjunto de automóviles y un conjunto de choferes. Respuesta: Solamente cuando hay desigualdades de cantidad de elementos. 4. ¿Son coordinables los conjuntos de letras cama y mesa, adán y nada, tabla y bala, toca y tacón? Respuesta: Son coordinables, adán y nada, pero no son coordinables tabla y bala, toca y tacón y cama – mesa.

Caracteristica de la coordinación de conjuntos.

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1. Carácter Identico: Todo conjunto es coordinable con si mismo. Ejemplo: Un conjunto formado por los elementos A, B, C, D es coordinable con A, B, C, D. 2. Carácter recíproco: Si un conjunto es coordinable con otro conjunto, entonces ese conjunto es coordinable con el primer conjunto. 3. Carácter transitivo: Si un conjunto es coordinable con otro conjunto, y ese segundo conjunto es coordinable con un tercer conjunto, entonces el primer conjunto es coordinable con el tercero. SUCESIÓN FUNDAMENTAL DE CONJUNTOS. Sucesión de conjuntos finitos. 1. Conjunto vacío

2. Conjunto de un

3.

A, B

4. A, B, C

solo elemento A

Ampliación del concepto de conjunto

5. A, B, C, D 6. A, B, C, D, E

A (2.) es un conjunto de un solo elemento que tiene un elemento más que el conjunto nulo (1.), por lo tanto A es la sucesión fundamental de los conjuntos finitos. En esta sucesión no existe dos conjuntos que sean coordinables. Por lo tanto todo conjunto finito es coordinable, solamente con uno de los elementos de los varios conjuntos que componen la sucesión fundamental es coordinable. EL NÚMERO NATURAL 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 etc. Son conceptos abstractos

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Número natural: concepto abstracto, que simboliza atributo común a todos los conjuntos coordinables. SERIE DE LOS NÚMEROS NATURALES Serie de los números naturales: es la sucesión infinita de los numeros. Ejemplo;

Escolio ¿Qué es tres? Es una palabra usada para expresar la pluralidad común a toda la serie de conjunto coordinables. ¿Qué el 6? Es un signo con el se representa en la escritura la pluralidad común a toda la serie de conjuntos coordinables. Que es la operación de contar. La operación de contar es la coordinación de conjuntos. Ejemplo: Un administrador de teatro quiere que cada uno de los espectadores, tengan su asiento. De modo que, no quede espectadores de pie ni tampoco asientos vacíos, entonces se tienen dos conjuntos, el conjunto de espectadores y el conjunto de asientos. El administrador tiene que coordinar el conjunto de los espectadores con el conjunto de los asientos. Para conseguir ese objetivo manda hacer una cantidad de entradas, que coincida con la cantidad de los asientos de modo que cada espectador que viene a comprar una entrada, al vender la última

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entrada estará ocupado todos los asientos y de esa manera el conjunto de los espectadores y el conjunto de los asientos estarán coordinados. En este ejemplo lo que ha hecho el administrador del teatro es coordinar el conjunto de los espectadores con el conjunto de las entradas y este es coordinable con el conjunto de asientos del teatro. Al realizar la operación de contado se ha usado como conjunto de referencia tipo de comparación el conjunto de las entradas que es coordinable con el conjunto de espectadores y conjunto de asientos. Escolio Conjunto fijo: es el conjunto de los números naturales. Para contar objetos y, coordinar conjuntos, se usa como conjunto de referencia un conjunto fijo. ¿Que es contar? Es coordinar sus elementos, con una parte de la serie de los números naturales, empezando por el 1. Ejemplo: Para contar las letras de la palabra latino, hay que coordinar el conjunto de letras (latino)con el conjunto de los números naturales (1,2,3,4,5,6).

QUE ES LA OPERACIÓN DE MEDIR Es comparar dos cantidades homogéneas. Ejemplo: se lleva la longitud de la regla al lado de la longitud de la mesa. La longitud de la regla se llama unidad de medida y la otra es la

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cantidad que se mide. NUMEROS ABSTRACTOS Y CONCRETOS Número abstracto: Un número usado sin aplicación a las cosas

Ejemplo: 6, 8, 10, (etc).

Número concreto: Es un número aplicado a las cosas Ejemplo: 5 manzanas y la ½ de un pastel SERIES DE NÚMEROS CONCRETOS. Cuando existe una serie de dos o más números concretos estos números pueden ser homogéneos o heterogéneos. Números homogéneos: números concretos que representan cantidades de la misma magnitud. Ejemplo: 5 metros, 8 metros, 2 lápices, 12 lápices, 17 lápices. Números heterogéneos: números concretos que representan cantidades de diferentes magnitudes. Ejemplo: 25 libros, 8 vacas, 5 metros, 19 kilogramos, 4 litros. Números complejos o denominados: números concretos homogéneos, representados en diferentes unidades de un mismo sistema de medida.

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Ejemplo: 6 metros, 8 decímetros, y 4 centimetros. NÚMERO CARDINAL Cuando se cuenta los elementos de un conjunto, el número que pertenece al último elemento se llama número cardinal del conjunto. Ejemplo: El número cardinal del conjunto MNPQRSTUV es 9 porque es el último número que representa el último elemento del conjunto.

El número cardinal de un conjunto representa la totalidad de elementos del conjunto. CARACTERÍSTICAS DEL NÚMERO CARDINAL 1.

El número cardinal de un conjunto siempre va a ser él mismo, sin importar el orden

en que se cuenten sus elementos. Ejemplo:

2.

Todo los conjuntos coordinables tienen el mismo número cardinal.

Ejemplo:

El número cardinal representa todos los conjuntos coordinables, abstrayendo la naturaleza y

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el orden de sus elementos.

NÚMERO ORDINAL Representa un elemento de un conjunto, teniendo en cuenta el orden de los mismos. Ejemplo:

Cortando de izquierda a derecha, el número ordinal de la letra C es el 1, la letra C es el primer elemento. Y así sucesivamente.

Si se cambia el orden cambia el número ordinal de cada elemento. Ejemplo:

Contando en orden alfabético, se tiene que la letra A es el primer número ordinal, la letra B es el segundo número ordinal, la letras C es el tercer número ordinal, y la letra E sería el cuarto número ordinal porque no hay una letra D siguiendo el orden alfabético y así sucesivamente. Los números ordinales, realmentese representan de esta manera; 1º, 2º, 3º…etc. El número cardinal representa un conjunto y el número ordinal representa un elemento de un conjunto teniendo en cuenta el orden de los elementos que se tome como referencia. Ejercicio 4 1.

¿Cómo coordinaría el conjunto de las habitaciones de un hotel, con un

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conjunto de huéspedes, usando como conjunto de referencia piedrecitas? Respuesta: Representar la llegada con cantidades de piedrecitas, al primero en llegar tomará 1 piedrecita, el segundo en llegar tomará 2 piedrecitas y asi sucesivamente etc. Y asignar un número a cada habitación. 2.

¿Qué quiere decir que en una sala hay 25 personas?

Respuesta: Que el número de personas dentro de la sala es comparable con la pluralidad común a toda la serie de conjuntos coordinables y con el conjunto A, B, C, D, E, F,G , H, I, J, K, L, M, N, Ñ, O, P, Q, R, S, T, U, V, W y X de la sucesión fundamental. 3.

¿Que operación se hace para saber cuando se tiene 8 lápices?

Respuesta: Se realiza la operación de contar, consistente en coordinar el conjunto de lápices con él conjunto de elementos compuestos por números naturales, en este caso esos elementos de números naturales, irían del 1 hasta el 8. 4.

Si un conjunto de personas y un conjunto de mesas son coordinables con el

conjunto A, B, C, D, E de la sucesión fundamental, ¿cuál sería el número cardinal de estos dos conjuntos? Respuesta: sería 5 5.

¿Qué es el 3? ¿ Qué es el 5? ¿ Qué es el 9?

Respuesta: Son símbolos que representan la pluralidad común a toda la serie de conjuntos coordinables y con el conjunto A,B,C ; A,B,C,D,E y A,B,C,D,E,F,G,H,I. CONCEPCIONES PREVIAS ANTES DE ADENTRARNOS EN LA ARITMÉTICA Ampliaciones del concepto de número natural por orden de antigüedad; 1.

Considerar el cero (0) como un número que representaría la única propiedad común

a todos los conjuntos nulos (que no tienen elementos) 2.

Número fraccionario: Representa una parte de un conjunto o cualquier número de

partes iguales. En el lenguaje coloquial todos los días, una fracción indica cuántas partes de un cierto tamaño hay, por ejemplo, un medio, ocho quintos, las tres cuartas partes.

3.

Número Entero: Conjunto de números que tiene como subconjunto a los números

naturales menos el cero (1, 2, 3, etc), y el otro subconjunto los números negativos de los

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números naturales (..., −3, −2, −1) y al cero, 0.

4.

Número Racional: Representan partes de algo que ha sido dividido en partes

iguales. Ejemplo: Si cortamos una tarta en 4 trozos iguales y nos tomamos 3 trozos de la tarta nos hemos comido 3/4 de la tarta. Son números racionales 1/2, 3/4, 11/5, 2535/3, ... También son números racionales los números enteros 2 = 2/1, 5 = 10/2, ... Numero Irracional: Números que no se pueden representar en fracción. El decimal sigue infinitamente una serie de números sin repetirse nunca uno después de otro. Ejemplo: Pi es un número irracional. El valor de Pi es 3,1415926535897932384626433832795 (y más...) Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir ninguna fracción que tenga el valor Pi. Números como

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/7 = 3,1428571428571... se acercan al Pi pero no son exactos.

5.

6.

Número Real: Representa una cantidad a lo largo de una línea continua. En esa

línea incluye todos los números racionales e irracionales.

7.

Número Negativo: número real que es menor a cero.

8.

Número Positivo: número real mayor a cero.

9.

Número Imaginario: número en que multiplicado por si mismo con sus mismos

signos es menor que cero o cero. 10.

Número Complejo: combinación de un número real y un número imaginario.

¿Un número que es una combinación de dos números? Ejemplo: La fracción 8/3 es un número hecho de un 8 (partes comidas de la pizza) y un 3

(de las 3 partes que sobró). Valor absoluto: es la distancia que existe de un número cualquiera hasta el cero.

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ARITMÉTICA Y SU OBJETO Su objeto son los números y las operaciones que se pueden realizar con ellas. Aritmética General: Su objeto son los números naturales y los no naturales. Aritmética Elemental: Su objeto son los números reales positivos.

CAPÍTULO 2 NUMERACIÓN

ESTUDIÓ DEL SISTEMA DECIMAL NUMERACIÓN: parte de la aritmética que enseña a expresar (pronunciar) y a representar (escribir) los números. GENERACIÓN DE LOS NÚMEROS

Los números se forman por añadidura de unidades.

CIFRA CERO El 0 representa conjuntos nulos (conjuntos que no tienen elementos) 0 etimológicamente significa “lugar vacío” Numeral: representación de un número por medio de símbolos. Numeral Capicúa: numeral que leído de derecha a izquierda se lee igual que de izquierda a derecha. Ejemplos:

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44, 373, 4224, 56765, 876678, 1234321. Literalmente se representa así; aa, aba,abba,abcba, abccba, etc. Número significativo: son todos los números menos el cero dentro del sistema decimal los números significativos serían. Ejemplo: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 Número dígito: está formado de un solo número Ejemplo: 2, 3, 7, 8, etc.. Número Polídígito: está formado de dos o más números Ejemplo: 18, 526, etc. SISTEMA DE NUMERACIÓN Conjunto de reglas para expresar y representar números. Base: es el número de unidades de un orden que forman una unidad. al orden que viene posteriormente al orden anterior contiene la misma cantidad de la base pero a partir de la unidad del orden anterior en el sistema de numeración. Ejemplo: En el sistema decimal la base es 10 porque representa el primer orden que forma una unidad y que es llamada de decena, luego viene él segundo orden y que está formado por 10 decenas, y a esa nueva unidad se le llama centena. Y así sucesivamente. En el sistema duodecimal la base es 12 por qué representa el primer orden que forma una

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unidad y es llamada de docena, luego viene el segundo orden y que está formado por 12 docenas, y a esa nueva unidad se le llama gruesa.

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN 1) Principio de Orden 2) Principio de la Base 3) Principio Posicional a. Principio de orden Todo numeral tiene un orden, por convención, el orden se cuenta de derecha a izquierda. Ejemplo:

568 1º Orden 2º Orden 3º Orden

a. Principio de la Base Todo sistema de numeración tiene una base que indica la cantidad en que se deben agrupar las unidades de las ordenes sucesivas.

Ejemplo:

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En el sistema senario (base 6), se debe agrupar las unidades sucesivamente en 6 unidades.

En el sistema Quinario (base 5), se debe agrupar las unidades sucesivamente en 5 unidades.

Ejemplo:

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¿CÓMO ESCRIBIR UN NÚMERO EN OTRA BASE? Se aplica el método “Divisiones Sucesivas” Ejemplo: Escribir 243 en el Sistema Heptal (base 7)

La base de un sistema de numeración indica cuántos números pueden usarse en el sistema. Ejemplo:

a. Principio Posicional

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Un numeral tiene siempre un valor posiciónal Ejemplo:

457 Unidades (1) = 7.1 Decenas (10) = 5.10 Centenas (100) = 4.100 Escolio La suma de valores posicionales, devuelve el número. 7 + 50 + 400 = 457

ESTUDIO DEL SISTEMA DECIMAL Decuplo: que tiene adentro un 10 veces exactamente Sistema Decimal o Decuplo: tiene base 10.

NUMERACIÓN DECIMAL HABLADA BASE DEL SISTEMA DECIMAL La base del sistema decimal es el 10

PRINCIPIO FUNDAMENTAL O CONVENIO DE LA NUMERACIÓN DECIMAL HABLADA.

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10 unidades de un orden forma una unidad pero del orden sucesivo. NOMENCLATURA Está formado de órdenes y subordenes ÓRDENES

Si al uno que es la unidad del primer orden se le añade de manera serial el numeral uno se formará el 2,3 y así sucesivamente hasta llegar a 10 unidades y de esa manera se forma, al llegar al 10, la unidad del 2º orden. Decena: Unidad de 2º orden y conjunto de 10 unidades. A la decena se le añade los números significativos hasta llegar al nueve, posterior al nueve aparece el polidigito expresado como 20, a este polidigito se le dice también dos decenas. Esto se repite de manera sucesiva hasta llegar al 100 unidades que sería el polidigito de 10 decenas, y llegado en este punto se forma el 3º orden. Centena: Unidad de tercer orden que es el conjunto de 10 decenas que es lo mismo que 100 unidades. Luego se suma 10 unidades de 3º orden se repite de manera sucesiva hasta llegar a 1000 unidades que sería el polidigito de 10 centenas, y llegado en este punto se forma el 4º orden. Millar: Unidad del 4º orden que es el de 10 centenas que es lo mismo que 1000 unidades Luego se suma 10 unidades de 4º orden se repite de manera sucesiva hasta llegar a 10000 unidades que sería el polidigito de 10 millares, y llegado en este punto se forma el 5º orden. Decenas de millares: Unidad del 5º orden y conjunto de 10 millares o 10.000 unidades. Luego se suma 10 unidades de 4º orden se repite de manera sucesiva hasta llegar a 100.000 unidades que sería el polidigito de 10 decenas de millar, y llegado en este punto se forma el 6º orden. Centena de millar: Unidad de 6º orden y conjunto de 10 decenas de millar.

Unidad de Millón: Unidad de 7º orden. que está formado de 10 centenas de millar o 1000

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millares. Decena de Millón: Unidad de 8º orden está formado de 10 millones está formado de 10 unidades de millón. Centena de Millón: Unidad de 9º orden. Está formado de 10 decenas de millón

Unidad de Millar de Millón: Unidad de 10º orden. Está formado de 10 centenas de millón. Decena de Millar de Millón: Unidad de 11º orden. Está formado de 10 Unidad de Millar de Millón. Centena de Millar de Millón: Unidad de 12º orden. Está formado de 10 Decenas de Millar de Millón. Billón: Unidad de 13º orden. Y es el conjunto de un millón de millones. Está formado de 10 centenas de millar de millón. Trillón: Unidad de 19º orden. Y es el conjunto de un millón de billones. Cuatrillón: Unidad de 25º orden. Y es el conjunto de un millón de trillones. Quinquillón: Unidad de 31º orden. Y así sucesivamente.

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1= 10 = 10 100 = 10 x 10 1.000 = 10 x 10 x 10 10.000 = 10 x10 x 10 x 10

= 100

La potencia 100 es 1

= 101 = 102 = 103 = 104

100.000 = 10 x10 x 10 x 10 x 10

= 105

1.000.000 = 10 x10 x10 x 10 x 10 x

= 106

10 10.000.000 = 10 x10 x10 x10 x 10 x

= 107

10 x 10

Escolio En Estados Unidos de América, Francia y Alemania, tienen un criterio distinto al de Latinoamérica. Llaman Billón al millar de millones o unidad de 10º orden, al Trillón sería Billón, y al Cuatrillón Millar de billones o Trillón.

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CLASES. CLASE: conjunto de tres órdenes sucesivos, iniciando por la unidad. CLASE DE UNIDADES: Las tres primeras órdenes. Ejemplo: Unidad, Decena y Centena CLASE DE MILLARES: 4º, 5º y 6º orden. Ejemplo: Unidades de Millar, Decenas de Millar y Centenas de Millar. CLASE DE LOS MILLONES: 7º, 8º, y 9º orden. Ejemplo: Unidades de Millón, Decenas de Millón y Centenas de Millón. CLASE DE LOS MILLARES DE MILLÓN: 10º, 11º y 12º orden. Ejemplo: Unidades de Millar de Millón, Decenas de Millar de Millón y Centenas de Millar de Millón. CLASE DE LOS BILLONES: 13º, 14º, 15º orden Ejemplo: Unidades de Billón, Decenas de Billón y Centenas de Billón. CLASE DE LOS MILLARES DE BILLONES: 16º, 17º, 18º orden Ejemplo: Unidades de Millar de Billón, Decenas de Millar de Billón y Centenas de Millar de Billón. CLASE DE LOS TRILLONES: 19º, 20º, 21º orden Ejemplo: Unidades de Trillón, Decenas de Trillón y Centenas de Trillón.

PERÍODOS.

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PERIODO: conjunto de dos clases. Ejemplo: Clase de las unidades más clase de los millares. Periodo de las unidades: Conjunto de clase de las unidades más clase de los millares. Periodo de los Millones: Conjunto de clase de los millones más clase de millares de millón. Periodo de los Billones: Conjunto de clase de los billones más clase de los millares de billón.

SUBORDENES Valor Posicional Sistema Decimal Usando sólo diez símbolos (que se le llaman de números) se puede escribir cualquier número.

Los Diez Números Los números se llaman "Indoárabes" y son: 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Más de Diez. 1 decena y 2 unidades, es igual a 12. Esto también se puede escribir como (1 × 10) + (2 ×

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1).

Ejemplo: "35" significa 3 decenas y 5 unidades, que es lo mismo que (3 × 10) + (5 × 1)

Más de Cien.

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Y cada vez que tenemos un número más grande, sólo hay que poner otra columna a la izquierda y de esa forma sabremos que vale 10 veces más que la columna que está a la derecha.

Conclusión;

Cada columna nueva a la izquierda es 10 veces más grande.

CERO ¿Qué pasa si hay decena pero no hay ninguna unidad? Entonces se indica que no hay unidades poniendo un cero Ejemplo:

Hay que poner un cero o sino se va a pensar que es solo 1! Se hace lo mismo cuando no hay decenas, centenas, etc Ejemplo: "203" significa 2 centenas, ninguna decena y tres unidades.

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Subordenes: Submúltiplos de la unidad. DECIMALES Un número decimal de base 10 tiene adentro un punto decimal.

VALOR POSICIONAL Cuando se escribe números, la posición de cada número es importante. Ejemplo: En el número 327: • • •

el "7" está en la posición de las Unidades, así que vale 7 (1s.) el "2" está en la posición de las Decenas, así que son 2 dieces (o veinte “20”). y el "3" está en la posición de las Centenas, así que vale 3 cientos. (representando sería 300).

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Cuando vamos a la izquierda, cada posición Ejemplo; De unidades, a decenas, a centenas vale ¡10 veces más! O sea se multiplica por 10.

Y Cuando vamos a la derecha, cada posición Ejemplo; De centenas, a decenas, a unidades es ¡10 veces más pequeña! O sea se divide en base 10.

¿Pero qué pasa si seguimos después de las unidades?

¿Qué es 10x más pequeño (x significa veces) que las unidades?

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Significa que se divide 1 en 10 partes iguales y se representa así de está manera ¡1/10 y se lee 1 décimos

Pero hay que poner un punto decimal (o coma decimal), para que se sepa exactamente dónde está la posición de las unidades

Ejemplo:

"Trescientos veintisiete y cuatro décimos"

¡Y esto es un número decimal!

PUNTO DECIMAL Parte más importante de un número decimal. Está a la derecha de la posición unidad. Sin el punto decimal no sabríamos cuál es cada posición de cada número. Ahora podemos seguir con valores más y más pequeños, como décimas, centésimas, y más, como en este ejemplo:

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Con nuestro sistema decimal podemos escribir números tan grandes o pequeños como queramos, usando el punto decimal. Podemos poner cifras a la izquierda o derecha del punto decimal, para indicar valores mayores que uno o menores que uno.

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Décima: Unidad de 1º orden dividida en 10 partes iguales. Viene a ser el 1º sub-orden.

Ejemplo:

Centesima: Cada décima dividida en otras 10 partes iguales. Viene a ser el 2º sub-orden.

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Milesima: Cada centèsima dividida en 10 partes iguales.Viene a ser el 3º sub-orden Diez milesima: Cada milesima dividida en 10 partes iguales. Viene a ser el 4º sub-orden Cien milesimas: Cada diez milesimas dividida en 10 partes iguales. Viene a ser el 5º suborden Millonèsimas: Cada cien milesimas dividida en 10 partes iguales. Viene a ser el 6º suborden; etc. SUBORDENES

UNIDADES

Décima es igual al 1º sub-orden Centésima es igual al 2º sub-orden Milésima es igual al 3º sub-orden Diezmilésima es igual al 4º sub-orden Cienmilésima es igual al 5º sub-orden Millonésima es igual al 6º sub-orden

EJERCICIO 5 1. ¿Qué forman 10 decenas?

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Respuesta: 10 decenas foman 1 centena. Representación: “10 decenas forman 1 centena” está diciendo que sumar todos los elementos de todos los 10 conjuntos que tienen 10 elementos cada conjunto es lo mismo que formar 1 gran conjunto que tiene 100 elementos. 2. ¿Qué forman 10 centenas de millar? Respuesta: 10 centenas de millar son 1 millón. Representación: 10.000 x 10 = 1.000.000 3. ¿ Que forman 10 millones? Respuesta: 10 millones son una decena de millón. Representación: 100.000 x 10 = 10.000.000 4. ¿Qué forman 100 decenas? Respuesta: Cien decenas son 10 centenas que es igual a 1 Unidad de Millar. Representación: 100 x 10 = 1000 5. ¿Qué forman 100 centenas? Respuesta: 100 centenas forman 10 Unidades de millar = 1 Decena de Millar Representación: 100 x 100 = 10.000 6. ¿Qué forman 100 millones? Respuesta: Cien millones forman 10 decenas de millón = 1 centena de Millón Representación: 100 x 1.000.000 = 100.000.000

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7. ¿Qué forman mil unidades? Respuesta:

Mil unidades son 100 decenas = 10 centenas = 1 Unidad de Millar

Representación: 1.000 = 100 x 10 = 10 x 100 = 1.000

8. ¿Qué forman mil decenas Respuesta:

Mil decenas son 100 centenas = 10 Unidad de millar = 1 Decena de Millar

Representación: 1.000 x 10 = 100 x 100 = 1.000 x 10 = 10.000

9. ¿Qué forman mil centenas? Respuesta:

Mil centenas son 100 Unidades de Millar = 10 Decenas de Millar = 1 Centena de Millar

Representación: 1.000 x 100 = 100 x 1.000 = 10 x 10.000 = 1 x 100.000

10. ¿Qué forman mil millares?; Respuesta: Representación:

Mil millares = 100 decenas de millar = 10 centenas de millares = 1 Unidad de Millón 1.000.000 = 100 x 10.000 = 10 x 100.000 = 1.000.000

11. ¿Qué forman diez mil centenas; Respuesta:

Diez mil centenas = 1000 Unidades de Millar = 100 Decenas de Millar = 10 Centena de Millar = 1 Unidad de millón.

Representación: 10 x 1.000 x 100 = 1.000 x 1.000 = 100 x 10.000 = 10 x 100.000 = 1.000.000

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12. ¿Qué forman cien mil decenas? Cien mil decenas = 10.000 Centenas = 1.000 Unidades de Millar = 100 Decena de

Respuesta:

Millar = 10 Centena de Millar = 1 Unidad de millón

Representación:

100 x 1.000 x 10 = 10.000 x 100 = 1.000 x 1.000 = 100 x 10.000 = 10 x 100.000 = 1.000.000

13. ¿Qué forman cien decenas de millar? Respuesta: Cien mil Decena de Millar = Diez mil Centena de Millar = Mil Unidades de Millar = 100 Decena de Millar = 10 Centena de Millar = 1 Unidad de millar de millón Representación: 100 x 1.000 x 10.000 = 10 x 1.000 x 100.000 = 1.000.000.000 14. ¿Qué forman mil centenas de millar? Respuesta: Mil Centena de Millar = 100 Unidad de Millar = 10 Decena de Millar = 1 Centena de Millar Representación: 100 x 100.000 = 100 x 1.000 = 10 x 10.000 = 1 x 100.000 15. ¿Qué forman diez mil millones? Respuesta: Diez mil Millones = 1 Decena de Millar de millones. Representación: 10 x 1000 x 1.000.000 = 1 x 10.000.000.000 16. ¿Qué forman un millón de millones? Respuesta: 1 millón de millones = 1 Unidad de billón Representación: 1.000.000.000.000 = 1.000.000.000.000 17. ¿Cuántas unidades tiene una unidad de 3º orden; 4ºorden y 5ºorden? Respuestas: El 3º orden tiene 100 unidades; 4º orden tiene 1.000 unidades ; 5º orden tiene 10.000 unidades. 18. ¿Cuántas decenas tiene 1 unidad de 4º orden; 5º orden y 7º orden? Respuesta: Tiene 100 decenasel 4º orden, el 5º orden tiene 1.000 decenas y el 7º orden

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tiene 100.000 decenas. 19. ¿Cuántos millares tiene un millón? Respuesta: Tiene 1 unidad de millar Representación: 1.000 20. ¿Cuántas decenas de millar tiene 1º decena de millar de millón? Respuesta: Tiene 1 unidad de millón Representación: 1.000.000 21. ¿Cuántos millones tiene un billón? Respuesta: Tiene 1 Millón de Millones Representación: 1.000.000.000.000 22. ¿Cuántas centenas hay en 4 millares; en 6 millones; en 5 centenas de millar? Respuesta: En 10 centenas; en 6 millones hay 60.000; y en 5 centenas de millar hay 5.000 23. ¿Cuántas décimas hay en 1 unidad; en 1 decena; en 1 millar? Respuesta: 10 décimas; 100 décimas ; 1000 décimas Escolio: Esta es la operación para sacar: 10 décimas; 100 décimas ; 1000 décimas 10/10 = 10

décimas

100/10 = 100

décimas

1000/10= 1000

décimas

Representación: 1; 10 ; 100 24. ¿Cuántas centésimas hay en 1 decena; cuantas milésimas en 1 centena; cuantas 10 milésimas en 1 millar? Respuesta: 1.000 centesimas ; 100.000 milèsimas ; 10.000.000 milésimas Representación:10 ;100; 0,01 25. ¿Cuántas décimas hay en 3 unidades; en 2 decenas; en 3 centenas? Respuesta: 30 décimas; 200 décimas; 3.000 décimas Representación: 3; 20; 300

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26. ¿Cuántas centésimas hay en 6 centenas; en 3 millares; en 2 unidades de 4º orden? Respuesta: 60.000 centésimas; 300.000 centésimas; 200.000 centesimas Representación: 600; 3.000; 2.000 27. ¿Cuántas décimas forman 2 centenas; cuántas centésimas 2 decenas; cuántas milésimas en 3 centenas? Respuesta: 2.000 décimas; 2.000 centésimas; 300.000 milésimas Escolio: Esta es la operación para sacar: 2.000 décimas; 2.000 centésimas; 300.000 milésimas 10 x2x100 = 2.000 décimas forman 2 centenas porque 1/10x2.000 = 200 100x2x10 = 2.000 centésimas forman 2 decenas porque 1/100x2.000 = 20 1.000x3x100 = 300.000 milésimas forman 3 centenas porque 1/1.000x300.000 = 300 28. ¿Cuáles son las decenas de decenas; las centenas de las decenas; los millares de centena; los millones de millón? Respuesta y Representación: 100 decenas o 1 unidad de centena; 1.000 decenas o 1 unidad de millar; 100.000 centenas o 1 centena de millar; 1.000.000.000.000 de Millón o 1 unidad de Billón. Escolio: Esta es la operación para sacar: 100 decenas o 1 unidad de centena; 1.000 decenas o 1 unidad de millar; 100.000 centenas o 1 centena de millar; 1.000.000.000.000 de Millón o 1 unidad de Billón.

10 x 10 = 100 decenas o 1 unidad de centena 100 x 10 = 1.000 decenas o 1 unidad de millar 1.000 x 100 = 100.000 centenas o 1 centena de millar 1.000.000 x 1.000.000 = 1.000.000.000.000 de Millón o 1 unidad de Billón.

29. ¿Cuáles son las décimas de centenas; las centésimas de los millares; las millonésimas de los billones? Respuesta: 0.001 décimas o 1 milésima; 0.000.01 centensimas o 1 cienmilesimas; 0.000.000.000.000.000.001 millonésimas o 1 centena de

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trillonésima Representación: 1/10/100 = 0.001 décimas o 1 milésima. 1/100/1.000 = 0.000.01 centensimas o 1 cienmilesimas. 1/1.000.000/1.000.000.000.000 = 0.000.000.000.000.000.001 millonésimas o 1 centena de trillonésima. 30. ¿Cuáles son las décimas de decena; las centésimas de decena; las milésimas de centena; las milésimas de decena? Respuesta: 0.01 décimas o 1 décimas; 0.001 centésimas o 1 centésimas; 0.000.01 milésimas o 1 cienmilésimas. Representación: 1/10/10 = 0.01 décimas o 1 décimas. 1/100/10 = 0.001 centésimas o 1 centésimas. 1/1.000/100 = 0.000.01 milésimas o 1 cienmilésimas. 31. ¿Qué orden representa el primer número de la izquierda de un número de 3 números; de 4; y 6? Respuesta: Representa el 4º orden; 5ºorden; y 6º orden. Representación:

32. ¿Qué orden representa el 1º y 3º número de la izquierda de 4 números, 5 y 6? Respuesta:

El 1º número de la izquierda de 4 números es el 4º orden. El 3º número de la izquierda de 4 números es el 2º orden.

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33. ¿Cuántos números tiene un número en que su número de mayor orden representa decenas de centena; centenas de millar; millares de millón y billones? Respuesta: 4; 6; 10; 15

NUMERACIÓN DECIMAL ESCRITA PRINCIPIO FUNDAMENTAL O CONVENIO DE LA NUMERACIÓN DECIMAL ESCRITA. El acuerdo consiste; 1. Todo número escrito a la izquierda de otro número representa 10 unidades mayor que la anterior. 2. Todo número escrito a la derecha de otro número representa 10 unidades menor que

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la anterior. VALOR ABSOLUTO Y RELATIVO Todo numero tiene 2 valores Valor Absoluto: se toma en cuenta su figura. Ejemplo: En 4344 el valor absoluto de los tres “4” que hay en 4344 es el mismo, por qué en la figura 4 solo hay 4 unidades. Valor relativo: se toma en cuenta el lugar que ocupa el número. Ejemplo: En 4344 el valor relativo considerando de derecha a izquierda el 1º 4 tiene 4 unidades de 1º orden; el 2º 4 tiene un valor relativo de 4 decenas, sería 40 unidades por qué 4 x 10 es igual a 40 unidades; y por último el valor relativo del 3º 4 es de unidades de millares, sería 4000 unidades por qué 4 x 10 x 10 x 10 es igual a 4000 unidades. El valor relativo del 3 es de 3 centenas, sería 300 unidades, por qué 3 x 10 x 10 es igual a 300 unidades. Ejercicio 6

1.

Escriba el valor relativo de cada uno de estos números. α

1. 16 2. 50 3. 105 4. 364 5. 1963 6. 2184 7. 13.000 8. 72.576 9. 890.654 10. 1.432.057 11. 25.437.056 12. 103.470.543 2. Cuántas unidades disminuiría, si cambio en;

β

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3. Cuántas unidades aumentaría, si cambio en; γ

4.

Pon este simbolo si aumentó

y, este si disminuyó

si cambiando en;

δ

REGLA PARA ESCRIBIR UN NÚMERO

Se representa el número conforme al orden comenzando por las órdenes superiores, y separando con un punto decimal las órdenes inferiores llamadas de subórdenes.Se asigna 0 a cualquier orden que no tenga unidades.

Ejemplo:

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Representar el número cinco mil treinta y cuatro unidades y ocho décimas.

5034.8

Donde;

Cada número está posicionado en el orden correspondiente; 5 millares, 0 en el orden de la centenas, 3 decenas, 4 unidades y 8 décimas

EJERCICIO 7

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REGLA PARA ESCRIBIR UN NÚMERO

Se representa el número conforme al orden comenzando por las órdenes superiores, y separando con un punto decimal las órdenes inferiores llamadas de subórdenes.Se asigna 0 a cualquier orden que no tenga unidades.

Ejemplo:

Representar el número cinco mil treinta y cuatro unidades y ocho décimas.

5034.8

Donde;

Cada número está posicionado en el orden correspondiente; 5 millares, 0 en el orden de la centenas, 3 decenas, 4 unidades y 8 décimas

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EJERCICIO 7

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REGLA PARA LEER UN NÚMERO

56784321903423456.245

Para leer el número se divide en grupos de seis números empezando siempre por la derecha, poniendo entre el primer y segundo grupo abajo un número 1, entre el segundo y el tercero abajo el 2, y así sucesivamente. 56,7842321,9031423,456.245 como se puede ver cada grupo de seis números se divide através de una coma y generá dos sub-grupos de tres números. Luego se empieza a leer el número por la izquierda, poniendo la palabra billón donde haya un 2, millón donde haya un 1 y mil donde se encuentre una coma. Si el número tiene parte decimal se lee pronunciando el menor sub-orden.

Ejemplo 2:

Para leer este conjunto de números 56784321903423456.245, hay que aplicar la regla de lectura, aplicando la regla se ordena asi; 56,7842321,9031423,456.245 y se lee: 56 mil 784 billones, 321 mil 903 millones, 423 mil 456 unidades y 245 milésimas.

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Consecuencias 1) Un número no cambia, si se le agrega un cero o varios ceros a su lado izquierdo, por qué su valor absoluto y relativo en cada número permanece invariable. 2) Si del lado de la derecha de un número se le agrega 1, 2, 3, ceros, el número al que se le agregó 1 se hace 10 veces mayor, al que se le agregó 2 se hace 100 veces mayor, y al que se le agregó 3 se hace 1000 veces mayor y así sucesivamente a medida que se le va agregando números del lado derecho. Porque el valor relativo de cada número agregado se hace en este orden 10, 100, 1000, etc. veces mayor siendo el factor de aumento 10. 3) Si al lado de la derecha de un número entero se separa con un punto decimal un número o dos números o tres el número. En ese orden se hará 10, 100, 1000 veces menor por la consideración del valor relativo.

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4) Si en un número decimal se posiciona el punto decimal 1, 2, 3 lugares del lado de la derecha el número se hará en ese orden 10, 100, 1000 veces mayor, por causa de la definición del valor relativo. 5) Exigen un número decimal se posiciona el punto decimal 1,2,3 lugares del lado de la izquierda ese número se hará 10, 100, 1000 veces menor por qué se toma en consideración la definición de valor relativo Ejercicio 9. 1. ¿Cuál de estos números 17,017 y 0017 es el mayor? 2. ¿Hacer que los números 8, 25, 326 sean 10, 100, 1000 veces mayores? 3. ¿Cuántas veces es mayor 5600 comparando con 56; 560? 4. ¿Hacer que el 9, 39, 515 sean 10, 100, 1000 veces menores? 5. ¿Cuántas veces es 34 menor que 340, 3400, 34000? 6. ¿Hacia qué 456,89 sean 10, 100, 1000, 10000 veces mayor y menor? 7. ¿Reducir 9 a décimas; 14 a centésimas; 19 a millares? 8. ¿Reducir 0,9 a decenas; 0,14 a centenas; 0,198 a millares? 9. ¿Qué relación hay entre los números 12345, 1234,5 y 123,25? 10. ¿Qué relación hay entre los números 0,78, 78 y 780?

CAPITULÓ 3. Estudio de otros sistemas de numeración. . El sistema decimal la base es 10. Pero si cambiamos la base van haber otros sistemas de numeración que va a tener los mismos principios, que se tiene en el sistema decimal. Por ejemplo en el sistema de base de 2 se verificará los mismos principios que se verifica en el sistema decimal:

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1) Todo número escrito del lado izquierdo de otro número es dos veces mayor que ese número. 2) Con dos números se puede escribir todos los números. Y de esa manera se cumplirán los mismos principios en cualquier sistema de numeración que tenga como base 3, 4, 5, hasta el infinito. Por lo tanto se puede sacar la conclusión de que los sistemas de numeración se diferencian unas de otras por su "Base". Y justamente por esa conclusión se puede sacar otra conclusión; y es, que si se puede elegir cualquier número como base de un sistema de numeración, el número de sistemas de numeraciónes que se puede formar es ilimitado. Nomenclatura. Base 2 se le llama binario Base 3 se le llama ternario Base 4 se le llama cuaternario Base 5 se le llama quinario Base 6 se le llama senario Base 7 se le llama septenario Base 8 se le llama octonario Base 9 se le llama nonario Base 10 se le llama decimal también se le llama décuplo Base 11 se le llama undecimal Base 12 se le llama duodecimal Base 13 se le llama tridecimal Base 14 se le llama cuatridécimo Base 15 se le llama quintodécimo

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Notación. Para saber el sistema de numeración en que está escrito una serie de números, se escribe abajo del lado de la derecha un número pequeñito que indica la "Base", a ese número pequeñito se le llama subíndice. Ejemplo: 112 "el 2 indica que el 11 está escrito en el sistema de numeración binario" 4325 "el 5 indica que el 432 está escrito en el sistema de numeración quinario" 895612 "el 12 indica que el 8956 está escrito en el sistema de numeración duodecimal" OBSERVACIÓN: Cuando un número no lleva subíndice, está escrito en sistema de numeración decimal, base 10. CANTIDAD DE NUMEROS DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN. En todos los sistemas de numeración lo que indica con precisión la cantidad de números que se va a usar es la Base. Se empieza a usar los números desde el cero en adelante. Ejemplo:

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Sistema de Numeración Binario Bits “Binary digits” Un Número binario por sí solo por ejemplo "0" o "1" se le llama un "bit". Por ejemplo 11010 tiene 5 bits de extensión.

El numero del lado izquierdo al punto decimal se le llama “unidades” Cada numero del lado izquierdo, vale 2 veces más Ejemplo; O sea se multiplica por el número 2.

El primer número del lado derecho del punto decimal se le llama

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“mitades” (1/2) Cada número del lado derecho, se divide 2 veces más. Ejemplo; O sea se divide por el número “2”.

En el Sistema de Numeración Binario se cuenta asi como se muestra abajo en la tabla. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Decimal: 0 1 2 3 Binario: 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

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CONVERSIÓN del SDN DECIMAL al SDN BINARIO. Metodo de suma de valores. Ejemplo: Convertir de decimales al formato binario. 1) 12 2) 25 3) 58 4) 82 Método de Distribucción. Memorizar esta tabla, @ buscar y comparar si el número es menor o igual al número del Sistema de Numeración (SDN) decimal que queremos pasar al SDN Binario, una vez hallado el número en la tabla, asignar el número “1” debajo de ese número y restar ese número con el número del SDN decimal que queremos pasar al SDN Binario, los números que no llevan el número “1” abajo se le asigna “0” ¬¬ luego repetir el procedimiento desde este simbolo @ hasta este otro ¬¬ pero esta vez con el residuo hasta que el residuo resulte cero. Ejemplo de Procedimiento.

8

2 256

Tabla de Unidades del SDN Binaria 2 26 25 24 23 22 21 128 64 32 16 8 4 2 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 7

20 1 0 1 0 0

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1) 12 12 – 8 = 4; 4 – 4 = 0.SDN Decimal 12 = 1100 SDN Binario. 2) 25 25 – 16 = 9; 9 –8 = 1; 1 – 1 = 0.SDN Decimal 25 = 11001 SDN Binario. 3) 58 58 – 32 = 26; 26 – 16 = 10; 10 – 8 = 2; 2 – 2 = 0.SDN Decimal 58 = 111010 SDN Binario. 4 ) 82 82 – 64 = 18; 18 – 16 = 2; 2 – 2 = 0 SDN Decimal 82 = 1010010 SDN Binario. Regla de verificación Sumar todo los valores numéricos en que se ha asignado "1" y resultará el número del SDN decimal. Método de División Sucesiva El cociente se divide entre la base que es 2 luego el cociente se multiplica por la base SDN Binario que es 2 el producto se resta al dividendo su residuo es el 1er numeral del SDN a que se quiere convertir y así sucesivamente hasta llegar a “0”luego de abajo hacia arriba se unen los “Numerales”seguir el orden de los colores para entender Ejemplo:

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Conversión de SDN Decimal fraccionario a SDN Binario. Método de Multiplicación sucesiva por la base del SDN Binaria. Regla de juego: se multiplica por el número de la base del sistema de numeración binario, tantas veces como se desee o, hasta llegar al número “0”, cuando aparece la parte entera con un número que no sea el cero por ejemplo "1" y seguido después del punto decimal por una serie de cualquier número se multiplica, en este caso solamente la parte fraccionaria poniendo como número entero el "0" luego el punto decimal y la parte fraccionaria, y ese número del SDN Decimal se multiplica por la base del SDN Binario que es el "2". Luego para saber el equivalente de ese número perteneciente al SDN Decimal, en el SDN Binario. Se ordena en modo cascada la parte entera para formar el número del SDN Binario

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Conversión de cualquier número fraccionario del SDN Binario a SDN Decimal.

Método sumatorio de valores posicionales del SDN Binario, exceptuando los valores posicionales del Bit "0". Regla de juego: se suman todos los valores posicionales del sistema de numeración Binario que corresponde a los sub-órdenes, menos los valores posicionales del bit "0". Ejemplo: 1) 12,101

0,5 + 0,125 = 0,625

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Cuando la base del sistema es mayor que el número 10, los números que vienen despues del número 10 se representa por medio de letras. Ejemplo: a representa el 10, b 11,c 12, d 13, e 14, f 15 etc. Por eso los números del sistema de numeración decimal son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, y a. El sistema de numeración duodecimal son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a y b. Al sistema de numeración de tridecimal se le añade c y así sucesivamente.

SDN Hexadecimal Base: 16 Luego del 9 se usan letras (“A”,"B","C","D","E","F") 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Decimal SDN Hexadecimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B

4294967296 268435456 16777216 1048576 65536 4096

16

8

16

7

16

6

16

5

16

4

16

3

12 13 14 15 C

256

16

2

D

16

16

1

E

1

160

F

70



Conversión de SDN Decimal a SDN Hexadecimal. Método de División Sucesiva El cociente se divide entre la base que es 16 luego el cociente se multiplica por la base del SDN Hexadecimal que es 16 el producto se resta al dividendo su residuo es el 1er numeral del SDN a que se quiere convertir y así sucesivamente hasta llegar a “0”luego de abajo hacia arriba se unen los “Numerales”seguir el orden de los colores para entender que es de abajo hacia arriba.

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Ejemplo; 1) 546 16 546 Se multiplica 34 x 16 = 544. Luego se resta 546 x 544 = 2 16 34 Se multiplica 16 x 2 = 32. Luego se resta 34 - 32 = 2 16 2 “2 ya daria 0por eso termina aquí el proceso” Numeral del SDN Decimal “546” convertido al SDN Hexadecimal es 222

Números comunes. Los números comunes a todos los sistemas de numeración son el 0 hasta el 1. Ejercicio 10. 1) ¿Cuantos sistemas de numeración existe? Respuesta: Considerando la base existen infinitos. 2) ¿Cuáles son las diferencias los sistemas de numeración? Respuesta: la primera diferencia que existe entre los sistemas de numeración es la base, luego la cantidad de numerales usados y, por último al usar como base dos numerales pasando el 9 se representa con letras. 3) ¿Cómo saber en qué sistema de numeración está escrito una serie de numerales? Respuesta: Mediante el sub-índice 4) ¿En qué sistema numeración no se usa sub-índice? Respuesta: En el sistema de numeración decimal

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5) ¿Que numerales se usa en el sistema de numeración y quinario, nonario, undecimal, duodecimal, tridecimal, quinquadecimal,vigésimal? Respuesta: quinario 5, nonario es igual a base 9, undecimal es igual a base 11, duodecimal es igual a base 12, tridecimal es igual a base 13, quinquadecimal es igual a base 15, vigésimal es igual a base de 20. 6) ¿Por qué no se usa el numeral 5 en el SDN ternario; y en el cuaternario? Respuesta: Porque su base es el 3 y no admite más que estos numerales números 0, 1, 2, en el cuaternario su base es 4 y no admite más que estos numerales números 0, 1, 2, 3. 7) ¿Cómo se representa la base en el SDN quinario; en el SDN octonario; en el quinquadecimo? ¿Cuántos numerales se puede representar en cada uno? Respuesta: La base en el SDN se representa con el numeral 5, en el SDN octonario se representa con el numeral 8, en el quinquadecimo se representa con el numeral 15. Y se puede representar los siguientes numerales 0, 1, 2, 3, 4, en el SDN con base 5; en él SDN con base 8 se puede representar los siguientes numerales 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; en el SDN con base 15 se puede representar los siguientes numerales 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14. Valor relativo en cualquier SDN. 1) Valor relativo de los numerales del número 1234. El numeral "1" representa la unidad del tercer orden, por lo tanto el valor relativo del numeral "1" es de 16, por qué 1 x 4 x 4 = 16

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El numeral "2" representa la unidad de segundo orden, y su valor relativo es "8", porque 2 x 4 = 8 El numeral "3" representa la unidad del primer orden, y su valor relativo es "3", porque 3 x 1 = 3 2) Valor relativo de los numerales 23406 Valor Relativo del numeral "2": 2 x 6 x 6 x 6 = 432 unidades del cuarto orden. Valor Relativo del numeral "3": 3 x 6 x 6 = 108 unidades del tercer orden. Valor Relativo del numeral "4": 4 x 6 = 24 unidades del segundo orden. Valor Relativo del numeral "0": 0 x 1 = 0 unidades del primer orden. Ejercicio 11. 1) Encontrar el valor relativo de cada uno de los numerales. 1) 112 1 x 20 = 1 unidad del 1º orden 1 x 21 = 2 unidad del 2º orden

2) 213 1 x 30 = 1 unidad del 1º orden 2 x 31 = 6 unidad del 2º orden 3) 2234 2 x 42 = 3 x (42 = 16); 2 x 16 = 32 unidad del 3º orden

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2 x 41 = 2 x (41 = 4); 2 x 4 = 8 unidad del 2º orden 3 x 40 = 3 x (40 = 1); 3 x 1 = 3 unidad del 1º orden 4) 23425 2 x 53 = 2 x (53 = 125); 2 x 125= 250 unidad del 4º orden 3 x 52 = 3 x (52 = 25); 3 x 25 = 75 unidad del 3º orden 4 x 51 = 4 x (51 = 5); 4 x 5 = 20 unidad del 2º orden 2 x 50 = 2 x (50 = 1); 2 x 1 = 2 unidad del 1º orden

5) 3125 3 x 52 = 3 x (52 = 25); 3 x 25 = 75 unidad del 3º orden 1 x 51 = 1 x (51 = 5); 1 x 5 = 5 unidad del 2º orden 2 x 50 = 2 x (50 = 1); 2 x 1 = 2 unidad del 1º orden 6) 4367 4 x 72 = 4 x (72 = 49); 4 x 49 = 196 unidad del 3º orden 3 x 71 = 3 x (71 = 7); 3 x 7 = 21 unidad del 2º orden 6 x 70 = 6 x (70 = 1); 6 x 1 = 6 unidad del 1º orden

7) 564

75



5 x 102 = 5 x (102 = 100); 5 x 100 = 500 unidad del 3º orden 6 x 101 = 6 x (101 = 7); 6 x 10 = 60 unidad del 2º orden 4 x 100 = 4 x (100 = 1); 4 x 1 = 4 unidad del 1º orden 8) 7039 7 x 92 = 7 x (92 = 81); 7 x 81 = 567 unidad del 3º orden 0 x 91 = 0 x (91 = 9); 0 x 9 = 0 unidad del 2º orden 3 x 90 = 3 x (90 = 1); 3 x 9 = 27 unidad del 1º orden 9) 87911 8 x 112 = 8 x (112 =121); 8 x 121= 968 unidad del 3º orden 7 x 111 = 7 x (111 = 11); 7 x 11 = 77 unidad del 2º orden 9 x 110 = 9 x (110 = 1); 9 x 1 = 9 unidad del 1º orden 10) ab15 a x 151 = a x (151 = 15); a x 15 = A0 unidad del 2º orden b x 150 = b x (150 = 1); b x 1 = b unidad del 1º orden

11) 724520 7 x 203 = 7 x (203 = 8000); 7 x 8000 = 56000 unidad del 4º orden 2 x 202 = 2 x (202 = 200); 2 x 200 = 400 unidad del 3º orden 4 x 201 = 4 x (201 = 20); 4 x 20 = 80 unidad del 2º orden 5 x 200 = 5 x (200 = 1); 5 x 1 = 5 unidad del 1º orden

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12) 1002330 1 x 30 4 = 1 x (304 = 810000); 1 x 810000 = 810000 unidad del 5º orden 0 x 303 = 0 x (303 = 27000); 0 x 27000 = 0 unidad del 4º orden 0 x 302 = 0 x (302 = 300); 0 x 300 = 0 unidad del 3º orden 2 x 301 = 2 x (301 = 30); 2 x 30 = 60 unidad del 2º orden 3 x 300 = 3 x (300 = 1); 3 x 1 = 3 unidad del 1º orden

CONVERSIONES DE SDN Primer caso; Convertir un numeral del SDN Decimal a otro SDN. Método de División Sucesiva. Ejemplo: 1) Convertir el numeral 85 al SDN ternario

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2) Convertir el numeral 3898 al SDN Duodecimal.

Observación: cuando el SDN es de base superior a 9, los numerales que pasan el 9 se representan con letras.

Ejercicio 12. Convertir: 1) 123 al SDN Binario R: 11110112 2) 871 al SDN Ternario R: 10120213 3) 123 al SDN Quinario R: 1024015 4) 123 al SDN Septenario R: 412607 5) 123 al SDN Octonario R: 17578 6) 123 al SDN Nonario R: 1286839 7) 123 al SDN Duodecimal R: 425b412 8) 123 al SDN Vigesimal R: f01220 9) 123 al SDN Trigesimal R: fqf30 10) 123 al SDN Trigesimalsegundo R: 2kgf32 Segundo Caso; Convertir un numeral de cualquier SDN al SDN Decimal.

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Regla 2; Se multiplica el primer numeral de la izquierda por la base, y el producto se suma por el siguiente numeral, luego el resultado de esa suma se multiplica nuevamente por la base. Hasta llegar al último numeral, el resultado de esa última suma es el equivalente en el SDN Decimal. Ejemplos: 1) Convertir 111012 al SDN Decimal. 1x2=2 3x2=6 7 x 2 = 14 14 x 2 = 28

2+1=3 6+1=7 14 + 0 = 14 28 + 1 = 29

Respuesta: 111012 = 29 2) Convertir 89ab312 al SDN Decimal. 8 x 12 = 96 105 x 12 = 1260 1270 x 12 = 15240 15251 x 12 = 183012 Respuesta: 89ab312 = 183015

96 + 9 = 105 1260 + 10 = 1270 15240 + 11 = 15251 183012 + 3 = 183015

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Ejercicio 13 1) 11012 -----------------------------------------Respuesta: 13 2) 320124 ----------------------------------------Respuesta: 902 3) 54316 -----------------------------------------Respuesta: 1243 4) 763218 ----------------------------------------Respuesta: 31953 5) 200789 ----------------------------------------Respuesta: 13193 6) 7ab512 ----------------------------------------Respuesta: 13673 7) cda 615 ----------------------------------------Respuesta: 43581 8) 8efa18 -----------------------------------------Respuesta: 52472 9) heg3420 ---------------------------------------Respuesta: 2838464 10) abcd30 ---------------------------------------Respuesta: 280273 Tercer Caso; Convertir un numeral que no sea del SDN Decimal a cualquier otro SDN que no sea tambien el Decimal. Regla 3; Primero se aplica la regla 2, luego el “Método de Division Sucesiva” Ejemplos: Convertir el numeral 2211 3 al SDN septenario. Aplicación de las regla 2; Convirtiendo al SDN Decimal 1) 22113 2x3=6+2=8 8 x 3 = 24 + 1 = 25 25 x 3 = 75 + 1 = 76 76 es en SDN Decimal

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Ahora aplicando el "Método de la División Sucesiva", al numeral del SDN Decimal "76" a la convertir al SDN septenario. 7 76

6

7 10

3

7 1

1

136 22113 = 1367

2) Convertir abe15 al SDN Tridecimal. a) Convirtiendo el numeral abe15 del SDN ridecimal al SDN Decimal a x 15 = 150

150 + b = 161

161 x 15 = 2415

2415 + e = 2429 abe15 = 2429

b) Convirtiendo el numeral 2429 del SDN Decimal al SDN Quinquadecimal. 15 2429 d 15 161 b 15 10 a

abe15 = 2429

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Ejercicio 14 1) 10023 al SDN Cuaternario 2) 4327 al SDN Ternario 3) b5612 al SDN Quinario 4) 54cd15 al SDN DuoDecimal 5) c00b18 al SDN VigesimoTercerDecimal 6) 5ab414 al SDN Septenario 7) abcd20 al SDN Nonario 8) ef4c21 al SDN VigésimoDiDecimal 9) hf00c25 al SDN TriDecimal 10) 8a0d24 al SDN QuinquaDecimal

Respuesta: 1314 Respuesta: 220013 Respuesta: 231005 Respuesta: a49412 Respuesta: 5h7623 Respuesta: 641147 Respuesta: 1381089 Respuesta: chg922 Respuesta: 8eiq230 Respuesta: 2472a15

Ejercicio 15 1) ¿Que numeral sería en el SDN Decimal, porque nos han enviado el último numeral para poder acceder a un sistema operativo, el numeral está encriptado mediante SDN Binario, los numerales son estos 1101? Respuesta: 13 2) ¿Cuántos numerales y cuales serían en el SDN Duodecimal, la siguiente contraseña 5678 que está representado en el SDN Decimal y que ha sido enviado a uno de nuestros agentes, que está localizado en México? Respuesta: 335212 3) ¿Como escribiría la factura la empresa que nos envía 18 laptops, si la empresa que comercializa esos productos electrónicos, utilizan el SDN octogésimal? Respuesta: 1018 4) Un administrador de sistemas informáticos solicita a otro administrador la clave de acceso al sistema operativo de red, dicho sistema operativo de red, utiliza el SDN Tridecimal, por motivo de protección de la información de dicha clave, este segundo administrador le envia representando la clave de esta manera 43205.

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¿Como se representaría en el SDN Tridecimal esos numerales? Respuesta: 36013 Notación Literal En matemática cuando se quiere generalizar los razonamientos, las cantidades se representan mediante el uso de las letras. Ejemplo: Cuando se prueba (a+d)2=a2+2ab+b2, la propiedad que se ha probado es "general". Cuándo en cualquier cuestión se le pone un valor a una letra , ese valor va ser constante en esa cuestión.. Para que una misma letra tenga diferentes valores en una cuestión hay que ponerle comillas. Ejemplo: a|, a|| a||| a|||| a||||| Y se lee de la siguiente manera; éste "a|" se le dice a prima , este otro "a||" se le dice a segunda y por último éste "a|||" se le dice a tercera. También se puede leer mediante “Sub-índices”. Ejemplo: Este “a1” se lee a sub-uno Este “a2” se lee a sub-dos Este “a3” se lee a sub-tres

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LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS NATURALES. Los números naturales se representan geométricamente mediante segmentos de recta. Ejemplo: Se elige un segmento de recta el O hasta A que representa el 1; por lo tanto ese segmento representará la "unidad"

Y así sucesivamente el número 2 se representa por un segmento de recta "OB", que tiene una extensión de dos veces el segmento de la "unidad", lo mismo sucede con el tres y así hasta el infinito.

Para representar sobre una semi recta la serie de los números naturales se realiza con este método A partir del origen "O", se van formando serialmente segmentos en partes iguales iguales. Donde; 0 es igual al conjunto nulo; y se representa por un segmento nulo que es la letra O, (O por qué es la primera letra de la palabra de "origen")

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Los siguientes puntos en la semi recta representados por las letras O, A, B, C, D … son los extremos de O

La distancia de cada uno de los puntos empezando por la letra O, hasta A, B y así sucesivamente se le llama "Abcisa" Por lo tanto de O hasta A ese la abscisa del punto A, de O hasta B es la abscisa del punto B. y así sucesivamente. Cada punto de una abscisa se representa mediante un número que pertenece a esas abscisas. Por eso la abscisa del punto A, es el número 1 y así sucesivamente va de aumento en aumento. La escala de una cinta métrica, de una regla, de un termómetro no son nada más que semi rectas que llevan en cada punto de sus abscisas numeros.CAPITULÓ 4 NUMERACIÓN ROMANA La numeración romana no usa el principio de valor relativo, por qué el valor de los símbolos siempre es el mismo sin importar el lugar que ocupan. Símbolos que usa y sus valores I vale 1 V vale 5 X vale 10 L vale 50 C vale 100 D vale 500 M vale 1000

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Una rayita puesta encima de una letra indica 1000 veces mayor respecto a la cantidad de unidades que representa el símbolo. Ejemplo: M Equivale a 1.000.000 porque 1000 x 1000 ( unidad de millar ) = 1.000.000 2 rayitas puesta encima de cualquier símbolo de indica millones de veces mayor a la unidad que tenga ese símbolo. Ejemplo:

XX Equivale a 2.000.000 porque 20 x 1.000.000 ( unidad de millón) = 20.000.000 4 rayitas puesta encima de cualquier símbolo de indica Billones de veces mayor a la unidad que tenga ese símbolo. Ejemplo:

V Equivale a 5.000.000.000.000 porque 5 x 1.000.000.000.000 ( unidad de Billón) = 5.000.000.000.000 6 rayitas puesta encima de cualquier símbolo de indica Trillones de veces mayor a la unidad que tenga ese símbolo. Ejemplo:

V Equivale a 5.000.000.000.000.000 porque 5 x 1.000.000.000.000.000 ( unidad de Trillón) = 5.000.000.000.000.000.000

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Reglas para representación de los números romanos 1) Si del lado de la derecha de un numeral se pone otro igual o menor a ese numeral, el valor del primer numeral es sumado con el segundo Ejemplo: "LV" Equivale a 55 porque L (50) + V (5) = 55 2) Si del lado de la izquierda de un numeral se pone otro menor a ese numeral, el valor de este numeral se resta con el numeral que está del lado de la derecha. Ejemplo: "IV" Equivale a 4 porque I (1) - V (5) = 4 3) No se puede usar más de tres símbolos que sean iguales del lado de la derecha de otro numeral mayor Ejemplo: 40 no se representa asi XXXX, se representa asi XL 4) No se puede usar dos símbolos del lado de la izquierda de otro símbolo de mayor Ejemplo: 70 no se representa asi XXXC, se representa asi LXX

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Números Arábigos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 18 30 40 65 105

Ejemplos Números Números Romanos Arábigos I 224 II 580 III 1000 IV 2000 V 2329 VI 3000 VII 4000 VIII 5609 IX 50.190 X 1.000.000 XIII 2.000.000 XVIII 20.000.000 XXX Billón XL Trillón LXV 4.132.208 CV

Números Romanos CHXXXIV DLXXX M MM MMCCCXLIX MMM IV VDCIX LCXC M MM XX M M IVCXXXIIICCVIII

Ejercicio 16 1 ) Escribir en numeros Arábigos los siguinetes numerales romanos 1) LVIII = 58 50 + 5 + 1 + 1 + 1 = 58 2) CCCXXXIII = 333 100 + 100 + 100 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 333

3) DCIII = 603 500 + 100 + 1 + 1 + 1 = 603

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4) DCCXXXII = 732 500 + 100 + 100 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 = 732 5) CMXLV = 1165 100 + 1000 + 10 + 50 + 5 = 1165

6) MMCCIV = 2206 1000 + 1000 + 100 + 100 + 1 + 5 = 2206

7) VDC = 5600 (5 x 1000) + 500 + 100 = 5600

8) DLX = 550.010

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9) MXIXCXV = 1.019.115

10) VIVCCVI = 5.004.206

11) VIDVIICC = 5.505.199

90



12) MXVI <>

13) XMMXXV

14) MMIICVIII

15) VLIII

16) MXV

91



Ejercicio 17 Escribir en numerales Romanos los siguientes numerales Arábigos. 1) 209 = CIV 2) 343 = CCCXLIII 3) 1937 = MCMXXXVII 4) 4143 = IVCXLIII 5) 81.000 = VIIILXXIII 6) 124.209 = CXXIVCCIX 7) 245.708 = CCXLVDCCVII 8) 300.000 = CCC 9) 300.018 = CCCXVIII 10) 325 108 = CCCXXVCVIII 11) 4.135.506 = IVCXXXVDVI 12) 6.000.000 = VI 13) 20.778.908 = XXDCCLXXVIICMVIII 14) 54.000.008 = 15) 1.324.435.786 = MCMXXXVII 16) 45.789.000.324 = MCMXXXVII 17) 4.000.000.000.000 = MCMXXXVII 18) 14.000.000.000.000.000.000 = MCMXXXVII Ejercicio 18 Escribir con números arábigos los números romanos 1) Cristóbal Colón descubrió América en el año MCDXCII y falleció en el año MDVI Respuesta: Cristóbal Colón descubrió América en el año 1492 y falleció en el año 1506

92



2) Williams Shakespeare nació eL XVIII de julio de MDCCCLXXII Respuesta: Williams Shakespeare nació eL 18 de julio de 1872 3) La inflación empezó el XXII de octubre de MDCCCXCV y terminó el MDCCCXCVI Respuesta: La inflación empezó el 22 de octubre de 1895 y terminó el mismo día del año 1896 4) La República de Venezuela proclamó su independencia el día V del VII mes del año MDCCCXL Respuesta: La República de Venezuela proclamó su independencia el día 5 del 7 mes del año 1840 5) El cuadrante del meridiano terrestre tiene aproximadamente X de metros Respuesta: El cuadrante del meridiano terrestre tiene aproximadamente 10 de metros 6) El día X de octubre del año MDCCCLXVIII nació el conquistador Respuesta: El día 10 de octubre del año 1568 nació el conquistador Capítulo 4 Relaciones de igualdad y desigualdad Igualdad entre números naturales Número cardinal: indica la cantidad de elementos de un conjunto. Ejemplo: a significa conjunto de personas b significa conjunto de asientos

93



Si en un coche, cada persona ocupa un asiento de tal forma que ningún asiento quede vacío ni ninguna persona quede sin asiento. Entonces hay un conjunto coordinado. Por esa razón a y b son iguales en cantidad Su notación es; a=b Se lee de la siguiente manera; a es lo mismo o igual (en este caso la cantidad de elementos) que b La notación a = b es una "Igualdad". Donde; "a" qué esta antepuesta al signo = se le llama "Primer Miembro" "b" qué esta pospuesta al signo = se le llama "Segundo Miembro" Ejemplo; (Primer Miembro) a = b (Segundo Miembro) 2 = 1+1

94



DESIGUALDAD ENTRE NÚMEROS NATURALES Cuando hay un conjunto no coordinable, es decir ambos conjuntos tienen cantidades diferentes de elementos.

Ejemplos: a significa conjunto de personas. b significa conjunto de asientos. Si en un coche, una persona no ocupa un asiento porque ya no hay más asiento de modo que el asiento quedo todo ocupado y quedo una persona sobrando. Entonces hay un conjunto no coordinable. Por esa razón a y b son desiguales en cantidad Su notación es; a≠b Se lee de la siguiente manera; a no es lo mismo o igual (en este caso la cantidad de elementos) que b La notación a ≠ b es una "Desigualdad". Si hay más personas que asientos en el coche, después que cada asiento esté ocupado por una persona, va a sobrar personas. Entonces se concluye que el conjunto de los asientos del coche es coordinable solamente con una parte del conjunto de personas.

95



Por lo tanto; El conjunto "a" es mayor que el conjunto "b" O que el conjunto "b" es menor que el conjunto "a" Su notación es; a>boba Se lee; b es mayor que a Y en el caso que hubiere más personas que asientos, de modo que cuando todo los asientos estuvieren ocupados por las personas, y sigue habiendo personas de pie de tal modo que ya no haya más asientos disponibles para las personas. Entonces se dice que el conjunto de asientos del coche es coordinable con una parte del conjunto de las personas. Su notación sería;

96



b
El 1er miembro de una "Desigualdad" es el número que está atrás de este signo < o de este otro signo > Ejemplo; 5<8 9>8 Y el 2do miembro es el número que está después de estos dos signos Ejemplo; 8>5 2<5 Postulado de relación Si "a" es el número de elementos pertenecientes al conjunto "G" y si "b" es el número de elementos pertenecientes al conjunto "L". Puede pasar dos cosas; 1) El conjunto "G" es coordinable con el conjunto "L" o puede no serlo. Si el conjunto "G" es coordinable con el conjunto "L".

97



Entonces; a = b Si el conjunto "G" no es coordinable con el conjunto "L", es porque el conjunto "G" tiene más elementos que el conjunto "L". Entonces; a>b Si el conjunto "G" no es coordinable con el conjunto "L", es porque el conjunto "G" tiene menos elementos que el conjunto "L". Entonces; a b Ejemplo: Es imposible que la edad de una persona no sea ni 20 años, ni menos de 20 años, ni más de 20 años. Es imposible que un número "a" no sea igual que otro número "b". ni menor que otro número "b", ni mayor que otro número "b". “Tiene que ser una de las posibilidades”

98



Esas tres posibilidades se oponen el uno con el otro

Ejemplo: Si una persona tiene 20 años, no tiene ni más ni menos de 20 años. Si una persona tiene menos de 20 años, no tiene más de 20 años, ni 20 años. Si una persona tiene más de 20 años, no tiene menos de 20 años, ni 20 años. DOBLE SIGNOS EN LA DESIGUALDAD

99



Ejercicio 19 1) Relacionar correctamente los siguientes números 3 y 5; 9 y 7 Respuesta: 3 < 5; 9 > 7 2) ¿Que significa las siguientes expresiones simbólicas m = n; m > n; m < n? Respuesta: Significa que el conjunto m es coordinable con el conjunto n; el conjunto m es coordinable con una parte del conjunto n; el conjunto m es coordinable con una parte del conjunto n. 3) En un colegio hay "x" dormitorios y "g" pupilos. Según la coordinación de los conjuntos ¿Cuando será x = g; g > x; x < g? Respuesta: Cuando el conjunto de dormitorios sea coordinable con el conjunto de pupilos; Cuando el conjunto de pupilos sea coordinable con una parte del conjunto de dormitorios; Cuando el conjunto de dormitorios sea coordinable con una parte del conjunto de pupilos.

100



4) "A" es un número de varones, y "B" es un número de mujeres. ¿Qué relación sería si al formar parejas sobrarán varones; sobrarán mujeres; si no sobran varones ni mujeres? Respuesta: A > B; A < B; A = B. 5) ¿Cuándo una cantidad lápices es igual a la cantidad de naranjas qué tipo de relación es? Respuesta: es una relación de igualdad porque ambos conjuntos son coordinables 6) ¿Cuándo una cantidad lápices es menor a la cantidad de naranjas qué tipo de relación es? Respuesta: es una relación de desigualdad porque el conjunto de lápices es coordinable solamente con una parte del conjunto de naranjas. 7) ¿Cuándo una cantidad lápices es mayor a la cantidad de naranjas qué tipo de relación es? Respuesta: es una relación de desigualdad porque una parte del conjunto de lápices es coordinable con el conjunto de naranjas. 8) Si se comparte "x" documentos con "k" ordenadores de una LAN, entregando a cada ordenador un documento, sobrando algunos ordenadores sin documentos. ¿Cómo podría representarse esa relación? Respuesta: (1er caso) k > x (2do caso) x < k 9) En un pendrive se puede almacenar 32 bits información, se introdujo x informaciones, sobrando información por ingresar en el pendrive. ¿Que relación se puede representar? Respuesta: (1er caso) x 32 "se lee una parte del conjunto x es coordinable con el conjunto de 32 bits del pendrive, y al mismo tiempo x es mayor que 32 bits de capacidad del pendrive"

101



(2do caso) 32 x "se lee el conjunto 32 bits de capacidad del pendrive es coordinable con una parte del conjunto x, y al mismo tiempo 32 bits de capacidad del pendrive, es menor al conjunto x" 10) Si se distribuye m lápices entre 18 alumnos y sobran lápices ¿cómo se puede representar esa relación? Respuesta: m > 18 11) Un bus tiene 20 asientos entran x personas y no permanecen personas de pie ¿cómo se puede representar esa relación? Respuesta: 20 > x; x < 20; x = 20 12) Se mantiene la velocidad de conexión x de una workstation y no puede pasar los 140 kbps. ¿cómo se puede representar esa relación? Respuesta: x = 140; x < 140

13) Si la velocidad x de conexión de una workstation no puede bajar de 8 kbps ¿cómo se puede representar esa relación? Respuesta: x = 8 ; 8 < x; x > 8 14) La velocidad de conexión de los servidores no es 34 kbps. Si la velocidad de conexión de los servidores es un número incógnito representado por la letra x ¿cómo se puede representar esa relación? Respuesta: x < 34; 34 > x 15) Para acceder a un servidor es necesario una velocidad mínima de conexión de 14 kbps, sí una workstation tiene la velocidad de conexión b ¿cómo se puede representar esa relación? Respuesta: b < 14; 14 > b; b = 14 (se lee una parte del conjunto b es coordinable con el conjunto 14) 16) Si a es la velocidad de conexión de una workstation, y el servidor soporta x de velocidad.¿cómo se puede representar esa relación?

102



Respuesta: a < x ; x > a; a = x Representación gráfica de la igualdad y la desigualdad Dos números iguales se representarán por dos segmentos que tienen igual número de veces al segmento unidad Ejemplo: 4=4 Se representaría en segmentos de esta manera;

Un número mayor que otro se representaria por un segmento mayor al segmento unidad Ejemplo: 7>4 Se representaría en segmentos de esta manera;

Un número menor que otro se representaria por un segmento mayor al segmento unidad Ejemplo: 5<6 Se representaría en segmentos de esta manera;

103



En síntesis: Segmentos Iguales representan Números Iguales Y Segmentos Desiguales representan Números Desiguales. Ejercicio 20

Leyes y características pertenecientes a las Igualdades 1) Carácter Idéntico: todo número es igual a sí mismo Ejemplo: a=a 1= 1 2) Carácter de Recíproco: Si un número es igual a otro número, este último número es igual al primer numero Ejemplo: Si la velocidad de conexión de la workstation A es igual a la workstation B, entonces la workstation B es igual a la workstation A A = B, B = A

104



Corolario: El carácter recíproco de las igualdades permite invertir los dos miembros de una igualdad sin que la igualdad cambie 3) Caracter Transitivo: si un número es igual a otro número y este segundo número es igual a un tercer número, el primer número es igual al tercer número Ejemplo: Si la velocidad de conexión de la workstation A es igual a la workstation B y la velocidad de conexión de la workstation B es igual a la de la workstation C, entonces la velocidad de conexión de la workstation C es igual a la velocidad de conexión de la workstation A. A = B y B = C por ende A = C 1 + 1 = 2 y 2 = 1 + 1 por ende 1 + 1 = 1 + 1 Corolario El Carácter Transitivo de las igualdades permite unir el primer miembro con él tercer miembro, por lo tanto dos cosas iguales a una tercera cosa son iguales entre ellas, otra forma de considerar es que si dos igualdades tiene un miembro común comparando con otros dos miembros se puede formar una igualdad.

105



Leyes y características de las Desigualdades 1) No hay carácter idéntico, porque es imposible que un número se ha mayor que el mismo o menor que el mismo. Ejemplo: m > m o que m < m 1 > 1 o que 1 < 1 2) No hay carácter recíproco, porque si un número es mayor que un segundo número este segundo número no puede ser mayor que el primer número sino que va a ser menor que el primer número. Ejemplo: Si a > b no se verifica que b > a, sino que lo que se verifica es que b 6 no se verifica que 6 > 7, sino que lo que se verifica es que 6 <7 Corolario Si se invierten los miembros de una desigualdad el signo de la desigualdad cambia. Ejemplo: Para invertir los miembros de la desigualdad 5 < 7 hay que escribir 7 >5 La desigualdad de sólo tienen carácter transitivo Carácter transitivo de las relaciones mayor y menor

106



1) Si un primer número es mayor que un segundo número y este segundo número es mayor que un tercer número, por lo tanto el primer número es mayor que el tercer número. Ejemplo: a > b y b > c por lo tanto a > c 7 > 6 y 6 > 5 por lo tanto 7 > 5 Si la workstation A tiene mayor velocidad de conexión que la workstation B y la workstation B tiene mayor velocidad de conexión que la workstation C, por lo tanto la workstation A tiene mayor velocidad de conexión que la workstation C. Teorema 1 de la Desigualdad Si hay dos desigualdades, con los signos en el mismo sentido y que el segundo miembro de la primera desigualdad es igual al primer miembro de la segunda desigualdad, va a dar como resultado otra desigualdad con el signo en el mismo sentido. en que su primer miembro es idéntico al primer miembro de la primera desigualdad y su segundo miembro es idéntico al segundo miembro de la segunda desigualdad.

7 > 6 y 6 > 5 por lo tanto 7 > 5 Tabla de relación del Teorema 1 de la Desigualdad

Si

7>5 3<8 9>7 7<8

Y Y Y Y

5>3 8 < 11 11 > 9 4<7

Entonces Entonces Entonces Entonces

7>3 3 < 11 11 > 7 4<8

107



2) Si un primer número es menor que un segundo número y este segundo número es menor que un tercer número, por lo tanto el primer número es menor que el tercer número. Ejemplo: a < b y b < c por lo tanto a < c 6 < 7 y 7 < 8 por lo tanto 6 < 8 Si Pedro pesa más que mis años y Enrique tiene más primos que el peso de Pedro, mis años son menos que los primos de Enrique Representando la relación sería; 1) Peso de Pedro > mis años 80 > 26 2) Primos de Enrique > pesos de Pedro 120 > 80 3) mis años < primos de Enrique 26 < 120 Teorema 2 de la Desigualdad 1) Si hay dos desigualdades, con los signos en sentidos opuestos y si el el primer miembro de la primera desigualdad es igual al segundo miembro de la segunda desigualdad. Entonces resultara una tercera desigualdad en que su primer miembro será identico al primer miembro de la primera desigualdad y su segundo miembro será identico al segundo miembro de la segunda desigualdad.

Si

7>4

Y

4<7

Entonces

7=7

108



2 ) Si hay dos desigualdades, con los signos en sentidos opuestos y si el primer miembro de la primera desigualdad es menor que el segundo miembro de la segunda desigualdad entonces resultara una tercera desigualdad en que su primer miembro será identico al primer miembro de la primera desigualdad y por lo tanto mayor y su segundo miembro será identico al segundo miembro de la segunda desigualdad y por lo tanto menor. Si

3<5

Y

5>2

Entonces

3>2

3 ) Si hay dos desigualdades, con los signos en sentidos opuestos si el primer miembro de la primera desigualdad es mayor que el segundo miembro de la segunda desigualdad. Entonces resultará una tercera desigualdad en que su primer miembro será identico al segundo miembro de la segunda desigualdad y por lo tanto menor y su segundo miembro será identico al primer miembro de la primera desigualdad y por lo tanto mayor. Si

10 > 8

Y

8<9

Entonces

Ejercicio 21 1) Aplicar la ley recíproca de las igualdades a los siguientes enunciados: 1) x = y 2) a + b = c 3) p = q + r Respuesta: 1) y = x 2) c = a + b 3) q + r = p

9 < 10

109



2) Si mi edad x es igual a los f hermanos de Enrique. ¿Qué relación existe según la ley recíproca de las igualdades? Respuesta: f = x 2) Aplicar la ley Transitivo de las igualdades a los siguientes enunciados. a) m = n y n = p m=p b) a + b = c y x = a + b a+b=a+b 4) La sala de clase tiene tantos alumnos como mi edad, y Jade tiene tantos primos como alumnos tienen la sala de clase ¿qué leyes se podrá aplicar a esa relación? Respuesta: Transitivo; Porque; 1) Alumnos = Mi edad 2) Alumnos = Primos de Jade 3) Por ende Alumnos = Primos de Jade 5) m = n + p

y

n+p=c+d

6) Si m > n entonces n ? m Respuesta: n < m 7) Siendo x < y entonces y ? x Respuesta: y > x

por ende m = c + d

110



8) ¿Qué relación existe en las siguientes desigualdades según la ley transitiva? a) 7 > 5 y 5 > 2 Respuesta: 7 > 2 b) 9 > 3 y 3 > 2 Respuesta: 9 > 2 c) a < b y b < m Respuesta: a < m d) m < n y n < p Respuesta: m < p 9) Deducir los siguientes enunciados. a) Si 6 > 3 y 2 < 3 entonces …? Respuesta: 6 > 2 b) Si 9 < 11 y 9 > 7 entonces …? Respuesta: 7 < 11 c) Si 20 > 6 y 3 < 6 entonces …? Respuesta: 20 > 3 10) Aplicar la ley transitiva usando la relación mayor, con los siguientes numeros 8, 3 y 7 Respuesta: a) 8 > 7 y 7 > 3 por ende 8 > 3

111



11) Aplicar la ley transitiva usando la relación menor, con los siguientes numeros 11, 9 y 7 Respuesta: a) 7 < 9 y 9 < 11 por ende 7 < 11 COMBINACION DE IGUALDADES Y DESIGUALDADES Hay 3 casos 1er caso: Combinacion de igualdades y desigualdades que tengan todos el signo > Ejemplo; Combinando Modo General; Combinando Modo Numérico; Se tiene como resultado Modo General; Se tiene como resultado Modo Numérico;

Combinando Modo General; Combinando Modo Numérico; Se tiene como resultado Modo General; Se tiene como resultado Modo Numérico;

a = b, b > c, c > d y d > e. 2 + 2 = 4, 4 > 3, 3 > 2 y 2 > 1. a=b>c>d >e

Entonces

a > e.

2+2=4>3>2 >1

Entonces

2 + 2 > 1.

m > n, p > r, q = m y n = p. 10 > 3 + 3, 9 > 4, 5 + 5 = 10 y 3 + 3 = 9. q=m>n=p>r

Entonces

q > r.

9 = 3 + 3 > 5 = 10 > 8

Entonces

9 > 8.

Se verifica que cuando todos los signos de desigualdad es > la relación de mayor entre el primer miembro con el último miembro se genera.

112



2do caso: Combinacion de igualdades con desigualdades que tengan todos el signo <.



a = b, b < c, c < d y d < e. 2 = 1 + 1, 1 + 1 < 3, 3 < 4 y 4 < 5. a=b
Entonces

a < e.

2 =1+1<3<4 <5

Entonces

2 < 5.

p < q, r < s, r = q, s = m y n > m 5 < 8, 4 + 4 < 3 + 3, 4 + 4 = 8, 3 + 3 = 9 y 10 > 9 p
Entonces

p < n.

5<8=4+4<3+3 = 9 < 10

Entonces

5 < 10.

Se verifica que cuando todos los signos de desigualdad es < la relación de menor entre el primer miembro con el último miembro se genera. 3er caso: Combinación de igualdad y desigualdades con diferentes sentidos de los signos Ejemplo: Combinando Modo General; Combinando Modo Numérico;

a = b, b > c, c > m y m < p. 1+1 = 2, 2 > 1, 1 > 0 y 0 < 3.

113



CAPÍTULO 6 Operaciones Aritméticas: " Suma" Las operaciones aritméticas son siete; suma o adición, resta o sustracción, multiplicación, división, potenciación, radicación y logaritmación. Clasificación 1) Operación de composición o directas: suma, multiplicación y potenciación, son operaciones directas porque conociendo algunos datos se encuentra el resultado 2) Operación de descomposición o inversas: resta, división, radicación y logaritmación. Son operación en inversas porque conociendo el resultado de la operación directa y uno de sus datos, se encuentra el otro dato. La resta es la inversa de la suma; división es la inversa de la multiplicación, radicación y logaritmación son inversas de la potenciación. SUMA Suma de Conjuntos Sumar dos o más conjuntos (sumandos), que no tienen elementos comunes, es contar en un solo conjunto (suma) todos los elementos que integran los conjuntos Ejemplo: 1) Sumar los conjuntos

114



Es formar el conjunto que tiene adentro todo los elementos de los conjuntos enunciados 2) Sumar los conjuntos,

Es formar el conjunto Conclusión El conjunto "suma", es la sumatoria de diferentes conjuntos, cada uno de esos conjuntos se le llama "sumandos", son diferentes esos conjuntos porque no tienen adentro elementos comunes. Ejemplo;

115



SUMA DE NÚMEROS NATURALES Es el número cardinal del conjunto suma, que contiene los números cardinales de los conjuntos sumandos. Ejemplo:

Se logra el número cardinal del conjunto "Suma" contando los elementos de los conjuntos "Sumandos" Por esta razón; 2+3+4=9 Representación gráfica de la suma. Ejemplo 1:.

116



Representar gráficamente la suma de 2 + 4 = 6

Leyes de la Suma 1) Ley de Uniformidad 2) Ley Conmutativa 3) Ley Asociativa 4) Ley Disociativa 5) Ley de Monotonía 1. Ley de Uniformidad. Se enuncia de 2 formas. 1) La suma de varios números cualquiera que sea la naturaleza de los conjuntos “Sumandos” que representen, siempre dará como resultado un valor único y jamás distinto, porque la naturaleza de los conjuntos no altera el conjunto “Suma” Ejemplo: 3 CPU + 4 CPU = 7 CPU 3 Mainframe + 4 Mainframe = 7 Mainframe 3 computer + 4 computer = 7 computer

117



2) Suma de igualdades: teniendo distintas igualdades, si se agrupan todos los primeros miembros en un nuevo primer miembro y se hace lo mismo con todos los segundos miembros. Resultará en una nueva igualdad.

2. Ley Conmutativa. El orden de los sumandos no altera la suma Ejemplo: a) 2 computer + 3 computer + 4 computer = 9 computer

118



Alterando los sumandos 1. 2. 3. 4. 5.

3 computer + 2 computer + 4 computer = 9 computer 3 computer + 4 computer + 2 computer = 9 computer 4 computer + 3 computer + 2 computer = 9 computer 4 computer + 2 computer + 3 computer = 9 computer 2 computer + 4 computer + 3 computer = 9 computer

3. Ley Asociativa La suma entre minimo 3 y maximo infinito de sumandos no cambia jamás, si se cambia los sumandos que genera esa suma por la suma de minimo un par de sumandos maximo agrupamiento al azar. Ejemplo 1: (5 computer + 6 computer) + 8 computer = 19 computer

11 computer + 8 computer = 19 computer Ejemplo 2:

Paréntesis Es un signo de agrupación y tiene cuatro aspectos. ( ) Paréntesis ordinarios [ ] Paréntesis angulares o corchetes

119



{ } Llaves vínculo o barra Utilidad. Sirve para asociar o agrupar números indicando una operación. Cuando una operación está dentro de un paréntesis primero tiene que hacerse esa operación y el resultado de esa operación será el nuevo valor numérico usado para seguir procesando la operación

4. LEY DISOCIATIVA Si se descompone algunos de los sumandos en otros sub-sumandos. la agrupación de esos sub-sumandos no altera el conjunto suma

120



Suma de desigualdades y desigualdades 5. Ley de Monotonía 1) Habiendo una desigualdad con un sentido determinado y una igualdad, Si se suma su primer miembro con el primer miembro de esa igualdad y luego se suma el segundo miembro de la desigualdad con el segundo miembro de la igualdad, va dar como resultado una desigualdad con un sentido del signo identico a la Desigualdad usada. Ejemplo 1: 8 > 3 Desigualdad usada. 5 = 5 Igualdad 8+5>3+5

121



Ejemplo 2:

3) Habiendo dos o más desigualdades con todos los signos en el mismo sentido, Si se suma el primer miembro con el primer miembro de cualquiera de la desigualdaes y luego se suma el segundo miembro de la desigualdad con las demas dara un resultado de signo identico comparando con todas las Desigualdades usadas.

122



Ejemplo 2:

ESCOLIO Si se suman dos o más desigualdades de sentido contrario el resultado puede ser una desigualdad o una desigualdad. Ejemplos:

123



EJERCICIO 22 1. Sumar las siguientes igualdades a)

Respuesta: b)

Respuesta: c)

Respuesta: d)

Respuesta:

124



2) Aplicar Ley de Uniformidad a las igualdades a)

Respuesta: b)

Respuesta: c)

Respuesta: 3)

4)

125



5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

126



13)

14)

15)

16)

17)

Hacer las siguientes operaciones

127



Verificaciones Existe tres formas 1) Mediante la ley conmutativa; Se suman los sumandos de abajo hacia arriba y el resultado tiene que ser igual, al que se logró

2) Mediante la ley Asociativa; Se suman los sumandos de abajo hacia arriba y el resultado tiene que ser igual, al que se logró Ejemplo:

3) Mediante la Prueba del 9: Se suman cada numeral que forman un sumando, luego el resultado de esta suma, se sigue repitiendo la operación hasta reducirlo a un numeral en la tabla de valor de posición de unidad, entonces una vez logrado eso se suma el resultado de cada sumando, hasta llegar a un resultado es el resultado se reduce a un numeral en la tabla de posicionamiento de unidad y se resta con el número 9. El resultado de esa resta tiene que coincidir aplicando esta regla al resultado obtenido de la suma original

128



Ejemplo:

Cambio en el valor numérico de los sumandos. 1) Sí cualquier valor numérico de un sumando aumenta la suma también aumenta ese mismo valor numérico, lo mismo sucede si disminuye, la suma también disminuye

129



2) Si cualquier valor numérico de los sumandos aumenta y otro disminuye ese mismo valor numérico la suma no varia. Ejemplo:

Ejercicio 23

1) ¿Cuanto valía el motherboard que se vendió por 300 $, y que dejó una pérdida de 50 $? 2) ¿Por cuanto hay que vender un CPU que costaba 150 $ para tener una ganancia de 250 $? 3) Una empresa que desarrolla software en el 2020 tuvo una ganancia de 32.184 $; en el 2021 14.159 $ más que el año anterior; en el 2022 la suma de los dos años anteriores; en el 2023 la suma de los tres años anteriores y en él 2024 12.136 $ más de lo que ganó en el 2023 y 2021 ¿Cuánto ganó en los cinco años? Resta o substracción Resta. Operación inversa de la suma Partes de la resta 1. Minuendo: cantidad de la que se va a restar 2. Substraendo: cantidad que se restó del minuendo

130



3. Resto, residuo, exceso o diferencia: cantidad que sobró del minuendo Signo de la resta Es éste - que se pone entre el minuendo y el substraendo Notación: a-b=c Donde; a es el minuendo b es el substraendo c es el resto Ejemplo: 5–4=1 Verificación.

1) La suma del resto con el substraendo tiene que dar siempre el minuendo. Ejemplo: 5 es el minuendo 4 es el substraendo 1 es el resto 5–4=1 1+4=5 2) Restando el minuendo con el resto, tiene que dar como resultado el substraendo

131



3) Mediante la Prueba del 9: Primero el Substraendo, luego el Resto menos 9 y tiene que dar el Minuendo

132



Leyes de la Resta a) Ley de Uniformidad b) Ley de Monotonía 1) Ley de Uniformidad a) La resta de dos números tiene siempre un valor único Ejemplo: 7-2=5 b) Restando miembro a miembro dos igualdades, resulta otra igualdad.

Ejemplo:

2) Ley de Monotonía a) Si a una desigualdad que va a ser el minuendo se le resta una igualdad que será el substraendo, resultará en una desigualdad con el mismo sentido del signo de la desigualdad del minuendo

133



Ejemplo:

b) Si a una igualdad que va a ser el minuendo se le resta una

desigualdad que será el substraendo, resultará en una desigualdad con el sentido opuesto al signo de la desigualdad del substraendo Ejemplo:

c) Si a una desigualdad se le resta otra desigualdad de sentido

contrario, resultará en una desigualdad del mismo sentido al signo de la desigualdad del minuendo Ejemplo:

134



Escolio Si se resta miembro a miembro dos desigualdades del mismo sentido, el resultado puede ser una igualdad del mismo sentido, sentido contrario o una igualdad. Ejemplo:

Cambios en el minuendo y en el substraendo 1) Si en el minuendo aumenta o disminuye cualquier número y el substraendo se mantiene constante la diferencia será aumentada o disminuida en el mismo número Ejemplo:

2) Si en el substraendo aumenta o disminuye cualquier número y el minuendo permanece constante, la resta de disminuida en el primer caso y en el segundo caso aumentara en el mismo número Ejemplo:

135



3) Si en el minuendo y en el substraendo aumenta o disminuye al mismo tiempo un mismo número de el resto no cambiara Ejemplo:

Capitulo 8 Operaciones indicadas de suma y resta Operación indicadas de suma y resta sin signos de agrupación Regla: se hacen en el orden en que aparecen

Ejemplo: 1) 5 + 4 - 3 + 2 5+4=9 9+3=6 6+2=8

5+4-3+2=8

136



b) 8 - 3 + 4 - 1 + 9 - 7 8-3=5 5+4=9 9-1=8

8 - 3 + 4 - 1 + 9 – 7 = 10

8 + 9 = 17 17 -7 = 10

Ejercicio 24

OPERACIONES INDICADAS CON SIGNOS DE AGRUPACIÓN Regla: Primero realizar la operación encerrada dentro de los paréntesis, hasta que sea un solo número entonces hacer las operaciones indicadas.

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Ejemplo: a) (7 - 2) + (5 + 4) - (3 - 2)

b)

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Ejercicio 25

Las operaciones se realizan en este orden de prioridad; primero el paréntesis ordinario, luego el paréntesis angular y por último las llaves. Ejemplo: c)

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d)

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Ejercicio 26

Teoria de las operaciones indicadas de la Suma y de la Resta. Es necesario conocer el método en el caso que la cantidades estén representadas por letras porque si es así no se podrán hacer las operaciones encerradas dentro de los paréntesis. SUMA 1. Suma de un número y una suma indicada Para sumar un número con una suma indicada se suma el número con un sumando cualquiera de la suma.

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Ejemplo: a) (2 + 3 + 4) + 5. (2 + 3 + 4) + 5 =14 2 + (3 + 5) + 4 = 14 Por lo tanto; (2 + 3 + 4) + 5 = 2 + (3 + 5) + 4 Al sumar el sumando 3 con el numero 5,quedo asi de esta forma (3 + 5) y la suma (2 + 3 +4) quedo aumentada en 5 unidades, porque se reemplazo (2 + 3) por el 5. Por ende, si un sumando (en este caso el número 3) se aumenta en (en este caso en el número 5)cualquier valor numerico la suma queda aumentada en ese valor numerico(en este caso el número 5). Se presentaría en forma general asi; (a + b + c) + d = a + (b + d) + c 2. Suma de dos sumas indicadas Para sumar dos sumas indicadas se suman todos los sumandos que la forman. Ejemplo: a) (5 + 6) + (7 + 8). 5 + 6 + 7 + 8 = 26

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En general;

3. Suma de una resta indicada y un número. Se suma el minuendo con el número y de esa suma se resta con el substraendo. Ejemplo: a) (7 - 5) + 4. (7 + 4) - 5 = 11 - 5 = 6 En general;

4. Suma de restas indicadas. Para sumar dos o más restas indicadas, se suman los minuendos y de esa suma se resta con la suma de lo substraendos. Ejemplo: a) (8 - 5) + (6 - 4). (8 + 6) - (5 + 4) = 14 - 9 = 5

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En general:

Suma de una suma y una resta indicada. Para sumar una suma con una resta indicada, se suma el minuendo con uno de los sumandos de la suma y de esa suma se resta, con el substraendo. Ejemplo: (4 + 5) + (8 - 6). (4 + 5 + 8) - 6 = 17 - 6 = 11. En general:

RESTA 1. Resta de un número y de una suma indicada. Se resta del número uno a uno de todos los sumandos de la suma Ejemplo: a) 25 - (2 + 3 + 4) 25 - 2 - 3 - 4 = 16

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Si el número 25 se le resta primero 2, después en 3 y por último en 4, el número 25 quedará disminuido en 9 unidades que es la suma de 2 + 3 + 4. En general: a - (b + c + d) = a - b - c - d. 2. Resta de una suma indicada y un número. Se resta el número el número de cualquier sumando de la suma. Ejemplo: a) (4 + 5 + 6) - 3. (4 - 3) + 5 + 6 = 12 Al restar el 3 con uno de los sumandos de la suma, esa suma queda disminuido en 3 unidades En general:

(a + b + c) - d = (a - d) + b + c. 3. Resta de un número y una diferencia indicada. Se suma el substraendo con el número y de esa suma se resta el minuendo

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Ejemplo: 50 - (8 - 5). (50 + 5) - 8 = 47 Si al 8 se le resta 5 y se le suma 5, quedará 8 En general: a - (b - c) = (a + c) - b 4. Resta de una resta indicada y un número. Se resta del minuendo la suma de substraendo con el número, y esa suma se resta al minuendo. Ejemplo: a) (15 - 7) - 6. 15 - (7 + 6) 15 - 13 = 2 En general: (a - b) - c = a - (b + c). 5. Resta de dos sumas indicadas Se restan de la primera suma uno a uno todos los sumandos de la segunda suma Ejemplo:

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a) (4 + 5) - (2 + 3). 4 + 5 - 2 - 3 = 4. Si en la suma (4 + 5) se resta primero 2 y después 3 esa suma quedará disminuida en 5 unidades que es la suma de 2 + 3 En general: (a + b) - (c + d) = a + b - c - d. 6. Restas de dos Restas indicadas Se suma el minuendo de la primera resta con el substraendo de la segunda resta y de esa suma se resta la suma del substraendo de la primera resta con el minuendo de la segunda resta. Ejemplo: a) (8 - 1) - (5 - 3) (8 + 3) - (5 + 1) 11 - 6 = 5 Al suma el substraendo 3 con el minuendo 8 de la resta (8 - 1) queda disminuido en 5 unidades; después si (8 - 1) aumenta 3 y disminuye 5, por lo tanto disminuyó en 2, que es el resto de 5 - 3 En general: (a - b) - (c - d) = (a + d) - (b + c).

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7. Resta de una suma y una resta indicada. Se suma el substraendo con la suma indicada y de esa suma se resta el minuendo. Ejemplo: a) (8 + 4) - (3 - 2). (8 + 4 + 2) - 3 14 - 3 = 11. Al sumar el substraendo 2 con la suma (8 + 4) esta suma que aumentará en dos unidades, sin embargo al restar el minuendo 3 disminuye en 3 unidades, luego si aumentan 2 y disminuye 3, disminuye 1unidad que es el resto (3 - 2) En general: (a + b) - (c - d) = (a + b + d) - c.

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Ejercicio 27

CASOS PARTICULARES 8. LA SUMA DE LOS NÚMEROS MÁS SU RESTA ES IGUAL AL DUPLO DEL MAYOR. Ejemplo: a) 8 y 5 (8 + 5) + (8 - 5) = 2 × 8 = 16 Para sumar una suma con una resta, se suma el minuendo de la resta con uno de los sumandos de la suma y de esa suma se resta el substraendo. (8 + 5) + (8 - 5) = 8 + 5 + 8 - 5 = 8 + 8 + 5 - 5 = 8 + 8 = 2 x 8

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En general: (a + b) + (a - b) = 2a 9. LA SUMA DE DOS NÚMEROS MENOS SU RESTA ES IGUAL AL DUPLO DEL MENOR. Ejemplo: a) 8 y 5 (8 + 5) - (8 - 5) = 2 × 5 = 10 Para restar de una suma una resta, se suma el substraebdo con la suma y de esa suma se resta el minuendo. (8 + 5) - (8 - 5) = 8 + 5 + 5 - 8 = 5 + 5 + 8 - 8 = 5 + 5 = 2 x 5. En general: 1. (a + b) - (a - b) = 2b

Ejercicio 28.

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Compendio de Aritmetica

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