Como Ensenar Matematica en El Jardin

ADRWJA GON GONZÁLEZ - EDITH EDITHWEI WEINNSlt SltllN

¡Cómo enseñar matemátIca jardín! en el jardín! Número - Medida - Espaio

Go$% $%& &le% e%'' Ad Adri ria$a a$a (!)m (!) mo e$se* e$se*ar matem&titia a e$ el Jard+ ard+$ $,  Núme úmer r o - Med Mediida Espaio . A Adri dria a$a Go Go$ $%& %&lle% y Edit dit/ / We Weii$s $sttei$ i$00 - 1iI ed0 23 r eimp mp00 45e$ 45e $os Air es es !oli oli/5 /5e e' 36670 366 p0 8 19x 14 m0 - 9N 9N5 5e:os ami$os e$ ed5a ai)$ i$i i$iia iall; IS4N <=7 <=7--<26 <26--27 271 1-= -=63 63-->

1' Ed5 d5a aii)$ ?r eesol eesolar 0 Es s5 5elas Ma Mater$a ter$alles

1.

Wei$stei ei$ $' Edit/

11.Titituulo 11.T !OO !O O >=303 >=3031 1 !olle !o eii)$ diri@ diri@id ida a por H ebe Ser: Martín de Duprat

Diseeño de tapa " ole Dis ii)$ Ri c cardo a rdo De Deambro ambrosi si

Río Marrón !omposiii)$ " ar mad !ompos mado Edi Ediccion iones es d el Río

1i edii dii) )$ . Sil re reiimpresi)$

I0S I0 S040N0 <=7-< 7-<2 26-27 271 1-=63 =63-->

diio$es !oli/5 !oli/5e e S0R0L0  Edi A:0 D+a% BC A: BCle% 2132 9!1 9! 162 62D D!G !G;; 45 45e e$os A Aiire ress - A Ar r @e$ti @e$ti$a 0 oli/5 e0om0ar eo li/5 eFo li/5 e0o m 0ar He e/ /o el de dep p)s )sitito o #5 #5e e mar a a la le" 11 1100=3> IM?RESO EN L A ARG AR GENT ENTIN IN A - ?R ?RIINTED IN ARGE ARGENTI NTIN N A

!op"r #$teo r$a tal

Go$% $%& &le% e%'' Ad Adri ria$a a$a (!)m (!) mo e$se* e$se*ar matem&titia a e$ el Jard+ ard+$ $,  Núme úmer r o - Med Mediida Espaio . A Adri dria a$a Go Go$ $%& %&lle% y Edit dit/ / We Weii$s $sttei$ i$00 - 1iI ed0 23 r eimp mp00 45e$ 45e $os Air es es !oli oli/5 /5e e' 36670 366 p0 8 19x 14 m0 - 9N 9N5 5e:os ami$os e$ ed5a ai)$ i$i i$iia iall; IS4N <=7 <=7--<26 <26--27 271 1-= -=63 63-->

1' Ed5 d5a aii)$ ?r eesol eesolar 0 Es s5 5elas Ma Mater$a ter$alles

1.

Wei$stei ei$ $' Edit/

11.Titituulo 11.T !OO !O O >=303 >=3031 1 !olle !o eii)$ diri@ diri@id ida a por H ebe Ser: Martín de Duprat

Diseeño de tapa " ole Dis ii)$ Ri c cardo a rdo De Deambro ambrosi si

Río Marrón !omposiii)$ " ar mad !ompos mado Edi Ediccion iones es d el Río

1i edii dii) )$ . Sil re reiimpresi)$

I0S I0 S040N0 <=7-< 7-<2 26-27 271 1-=63 =63-->

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!op"r #$teo r$a tal

A Lui s, s, por ac ompaña mpañar r me en t odos odos mi s pr oy ec ec t to s !"#i #i d d a y M óni c ca A !" por p or est est ar ar siempr siempr e pres prese ent es es AO A ORI AN AN A

a%o, Ma Mar r ina ina y &ndr "s "s A $ust a%o, po p or su a poy o y co comp mpre ren nsi ón c onst ant ant es es 'ac i ia mí , posa osa(rn (rna adr e(e (edu duc c ador ador a om omo o es p EOITH

estr tr os os mae aesstr os y A nues a nuestr os c omp mpañe añer r os os

a#umnos,

d e re) # # e xi ón

!op" !o p"rr $t $ted ed ma mate te ia iall

H

M aestr aestr a ! or tne tne# !a !ac c ion iona# , * r ro)es o )esora de +osm mor a)ía, a)ía, Li cen cenc i ia d a en Soc i i o# o í ía - ./& ./& 0 0  s Met t emétice Me emétice y +os * ro)esor ro)esor a de Did 2c 2c ti ti ca ca de # a M at at em2tica em2tica en e# !i% e# 3 ni ni c ci i a# y en # a +/ en en # a  sc sc ue# a de +a p paci aci t tac a c i i ón +e +e*& *& -+e -+ent nt r ro d e * ed aoías aoías de &nti c cipac i pac i ió r 0 # # itutos d e  orm rmac ac i i ón y en 3 nst itutos Doce ocen nte or or ma ma p pa ar te te de# de#  5uipo 5uipo d e  s p pec ec i ia # i is ta tass d e M at em2 t i ica c a d e # a Di r r ecc ecc ión ión !acio !acion na# de or mac ión, ión, *e *er r )ecc )ecc i i onam ami i en to y &ct ua#i6ación Docen ocent t e d e# *r oram orama ! ac ac i io na# d e $es esti ti ón d e # a +apacitación +apacitación Doce ocen nte d e# Mi ni st er io io d e + u# u# t tura u ra y  duc duc a ción de #a !ació !ación n

Adri A dri ana

G onzá / ez :

*r o)esora o)esora !ac i i ona# de 7 ar d dí í n d e 3 n)ant n)ant es, es, Li cenc cenc i i ada ada en + i i encias d e # a d uc ac i i ón - ./ ./ & 0 0  s *r o) esor a de Did2ct i i ca ca de # a M at em2ti ca ca en e# !i%e !i%e## 3 ni ni c ci i a# en # a  sc sc ue# a d e +a p paci aci t tac a c i ió n +e +e*& *& -+e -+en nt r r o de Peda &nt t i ic c ipac i pac i ió 8 0 # # y daggogías d e &n en 3 nstitutos nstitutos de  or or mac mac i ió n Do Doc c ent ent e e  s ad ad em2s pro) esor esor a d e pr2ct p r2ct i i ca ca y reside residen ncia en in insst i it t uto toss de ) or mac mac i i ón doc ent e fd i ith t h

W ein ins st ein in::

!op"r #5ed material

Prólogo

o"' e$se se* *ar matemática e$ el Ni Ni1 I$i I$iia iall r es5lta es5lta 5$ 5$ @r a$ desa +o0 Kste Ksted d' doe$te del $i:el' posi posileme$te $o /a o o$ $tado' e$ e$ s5 or or mai)$ mai)$ de @r ado' ado' o$ la asi asi@ $at5r a did did& &ttia de la matem&t &tiia0 Sin ema emar r @o @o los a att5ales r$e e$ los 5r r eesid ida a el de 5 do o5 5 r$ r i5 lar es es le pl pla a $ tea $ la $ees $a e$ e$se se* *a$%a i$ i$tte$io$al de la matem&titia a des esd de edades tr-

pranas as.. rn pran El lir o #5 #5e e 5sted titie e$e e$ s5s ma$os e$ e$ tr a s5 mi mirada rada e$ e$ el t ra 1a m i 60 $ t o di d á  titi o del o s o o$ $ te te$ $ ido s m a l e m á l i e o s "5darlo o a e$ e$o o$tr $tr ar e $ el ard ard+$ +$00 N Nos os pr op o $r$ r$o o s a"5darl r esp5 esp5es estta Cl i$ ¿cónl nl o r econocer econocer l o s i$tter r r o@a$tes elel titipo po de ¿có

saberess ele l os sabere os chi chicco s ¿"# "#l l é al can cance ti tieenen l os os cont cont enid os os  ¿c$ ¿c$ál es es  ;1 as acti acti%%id ad es es más este e ni%el  ;1 l as me$im e$iméé$cos en est &ertinent t es' &ertinen es' ¿"$é meteri terieel es es $ sar ¿có ¿cóm mo &l antea tearr l as as act t i%idades ac i%idades ¿cómo sec sec$$encia ciarr l o s co contenid ntenid osi osi ¿c ¿cómo ómo arti rticc$lar l os os contenidos del a, ?(((( r ea ea E$ el pr ime merr a ap+ p+tt5l 5lo o del lir o r ele eleiio$amos aer aer a a del cetnbi cetn bioo de en) o"$ "$ee e$ el &rea rea'' r esi@ esi@$i $i  ia a$d $do o el l5@a 5@arr de la r eso esol $ción d e &rob &robl l emas e$ el apr apr e$di%ae e$di%ae matem&titio0 o0 el se@ se@5 5$d $do' o' ter er o " 5a 5ar r to to a ap+t5l p+t5los os ao ord rda amos los es&acio y tn tnedtd+( edtd+( A$ ees del del &r ea ea n*mero es&aci A$ali%a ali%am mos ta$ ta$to los sa sa er es es C! e los $i * os posee$ posee$' o om mo el tr a tar$ ie$ te; 9I 9IiE"

"

l.op r /ted

AORI AN A GONZÁLEl-

Ea-I H WEINSTEIN

d&tio de los o$te$idos' 5sa$do 5$ e#5ilirio e$ las r e laio$es e$tr e el doe$te' el al5m$o " el saer 0 E$ el #5 i$to ap+t5lo pr opo$emos estr ate@ias did&tias #5e permita$ arti5lar los o$te$idos del &r ea y r elaio$ar la matem&tia to$ la 5$idad did&tia " el pr o"eto0 Nosotras lle@amos /asta a&0 El seto' sCptimo' ota:o ap+t5los esper amos #5e los esria 5sted' ada d+a' e$ s5 sala' o$ s5 @r5po de al5m$os0

#as autoras

16 !op"r #$teo r$a tal

Intr oducción La matemática y el medio

, ((( I a act i%id ad mat emát ica es $na &ec$l iar ) $ sión d e r econocimient o d el ord en  creat i%id ad  e s &ont aneid ad  l iber t ad y bell 0e-a d el $ni so ((( M %er MIGKEL DE GKZM ÁN

0 $ el m5$do o$tempor &$eo $adie d5da de la 5tili d e la dad de la rnatornatica par a r esol$er situaciones :ida otidia$a0 Si$ emar @o a la /or a de pr e@5$tar $os (#5C es la matem&tia, $os r es5lta di +il dar 5$a r esp5es ta0 Es5/ar$os  ra ses omo las si@5ie$tes ,son l os n*mer o s, 

,es d i )í cil , , no e s &ara mí , , I a mat emát ica me hace &en sar , ,son 1  t eoremas, ( Esta di:er sidad de epr esio$es se dee a #5e ada 5$o de $osotr os tie$e s5 pr opia r epr ese$tai)$ de lo #5e es la matem&tia' r epr ese$tai)$ #5e se asa e$ las eperie$ias per so$ales' por lo @e$er al r elaio$adas o$ la :ida esolar 0 Si 5samos e$ el diio$ar io' e$o$tr amos de i$iio$es del tipo matemática es , l e ciencie "$e tr at a d e l a cnntid ed , !op r /t

11

ADRI ANA GONZÁLEZ - EOITH WEINSTEIN

per o' (#5C es la a$tidad, < es t odo # o 5ue es ca pa6 de sumen t o y di sminución<  Estas de i$iio$es $o $os a"5da$ a ide$ti  iar #5C es la matem&tia0 ?or #5e a pesar de ser o$sider ada 5$a ie$ia eata' 000 3 a matem2t i ca, 5ue intent a de)i ni r #o tod o con pr ec is ión, no t iene una de)inición prec is a de e## a mi sma 9L5is Sa$tal);0 A/or a' le pr opo$emos' a ma$er a de eer iio me$tal' #5e pie$se e$ las di er e$tes ati:idades #5e 5sted r eali%) a lo lar @o del d+a0 ?or eemplo < oreperer e# a C par a e# desayuno, peno sando en #a propor ci ón adec uada<, < #e er d e# di ar io # os  r 2) i cos 5ue in)or man sobre # as %ari ac iones d e # a t em per at ura< , < re e#i 6ar un c r o5ui s indicando, a un ami  o, e# r ec orrid o par a # #e ar a su casa<  E$ todas estas sit5aio$es 5tili%) dier e$tes o$o imie$tos matem&tios' $oio$es de medida' let5r a de @r &  ios estad+stios' $oio$es espaiales 000 Desde la pr e/istoria' la rnatemática, al i@5al #5e otr as ie$ias' /a a"5dado al Homr e a r esol:er pr olemas pr &ti os0 El e$tor$o' di$&mio " amia$te' 5e pla$tea$do $5e :os pr olemas' " Cstos @e$er ar o$ $5e:as r esp5estas' disti$tas or mas de resol5i)$' dier e$tes /ailidades 000 e$ dei$iti:a' $5e:os o$oimie$tos r es5lta$tes de las ati:idades de o ser :ai)$' eper ime$tai)$ y ompr oai)$0 La matem&tia' omo par te de este pr oeso $o perma$e e est&tia0 Se ar ateri%a por ser 5$a ati:idad /5ma$a' espe+ ia' orie$tada a la r esol5i)$ de pr olemas' #5e le s5r @e$ al Homr e' e$ s5 aio$ar sor e el medio0 El a:a$e de la matem&tia p5ede o$eir se' e$to$es' or$o 5$a perma$e$te ús#5eda de $5e:as r esp5estas a$te los disti$tos prolemas pr o:e$ie$tes de s+ misma' de la r eali dad y de s5 i$terr elai)$ o$ otr as ie$ias0 ?er o' ()mo aede el Homr e a los o$oimie$tos matem&tios, Las $oio$es matemáticas $o se ad#5ier e$ de 5$a :e% " par a siempre si$o #5e implia$ 5$ lar @o pr oeso de o$str5 i)$' 5$ proeso o$ti$5o y per ma$e$te #5e aar a toda la :ida de la perso$a0 La es5ela' i$stit5i)$ #5e se o5pa -e$tr e otr as  5$io..

13

!op"r @G1ted mate lal

%C&'( E NSE)*+ 1*TE'TC* E N E# /*+ 0í N?

$es- e e la selei)$' tr a$smisi)$ " pr od5i)$ de los o$o imie$tos' es la #5e dee posiilitar al $i*o la o$str 5i)$ de saer es' e$tr e ellos el saer matem&tio0 Es por ello #5e la matem&tia' l(2 e$ d+a' se i$l5"e e$ los pla$es ed5ati:os desde el $i:el i$iial0 Al@5$os de los moti:os #5e 5stiia$ esta tempr a$a i$ l5si)$ so$ -Todo i$di:id5o' par a i$te@r ar se ati:ame$te a 5$a soie dad demor &tia " te$ol)@ia' $eesita de i$str5r$e$ tos' /ailidades " o$eptos matem&tios #5e le per mi ta$ i$ter at5ar ' ompr e$der " modi iar el m5$do #5e lo r odea0 H El Homr e'

e$ el m5$do at5al se ma$ea o$ " sor e r epr ese$taio$es0 La apaidad de i$terpr etai)$ " r ea i)$ sim)lia se /ae $eesaria0 La e$se*a$%a de los o$eptos matem&tios o$tr i5"e al desarr ollo de esta apaidad0 H Eiste 5$a +$tima r elai)$ e$tr e la matem&tia " las otr as disipli$as' sea$ estas eatas 9#5+mia' +sia; o soia les 9psiolo@+a' soiolo@+a;0 E$ s+$tesis' s5 i$l5si)$ e$ los pla$es ed5ati:os

a

se dee

s5 =

>a# or 3 nstrumenta# : por#5e le sir :e al Homr e par a r esol :er los pr olemas #5e le pr ese$ ta s5 e$tor$o0

=

> a#or or mat i% o: por #5e o$tri5"e samie$to l)@io0

=

>a#or Soc ia# : por #5e el le$@5ae matem&tio la om5$iai)$ e$tr e los Homr es0

=

>a#or +u#tur a# : 11K ma $idad0

al desarr ollo del pe$ es par te de

por#5e or ma par te del patr imo$io

de la

Ho"' la 5tilidad de los o$oimie$tos matem&tios es i$dis5tile0 Si$ emar @o' r es5lta par ad) io el < ana# )a beti s mo )unciona ; 73, es deir la imposiilidad' de @r a$ par te de los i$di:id5os' de 5sar los saer es matem&tios par a r esol:er los

1>

!op"r <1166 mate ral

AORI ANA GONZÁLEZ - EOITH WEINSTEIN

pr olemas #5e les pla$tea el m5$do at5al0 Al r espeto !arme$ G)me% Gr a$elP sostie$e #5e ,((( / a s más %al o $no de /01

rad

y tieceserio en l as sociedad es mod ernas alt ament e t ecni)icad as ! es  a l a %e-  $no d e l os más inaccesibl e &ar a l a ma yorí a d e l a &obl ación ((( , E$to$es' omo ed5ador es' se $os pla$tea 5$a i$#5ie ta$te o$tr adii)$ e$tr e la 5tilidad de los o$oimie$tos matem&tios e$ la :ida otidia$a " las di i5ltades #5e los i$di:id5os sie$te$  re $te a s5 apr e$di%a e0 A  i$ de s5per ar esta o$tr adii)$ es $eesar io #5e la i$stit5i)$

es5ela r esi@$iJ i#5e

las relaio$es e$tr e el doe$

te' el al5m$o y el saer0 El doe$te deer & Q!o$oer el m5$do eterior y las ei@e$ias #5e pla$tea la soiedad at5al' a  i$ de pr opo$er ' i$te$io$alme$te' sit5aio$es si@$i iati:as' o$tet5ali%adas' o$ se$tido0 H Seleio$ar a#5ellos saer es matem&tios #5e @ar a$ti e$ ta$to la i$ser i)$ soio5lt5r al del al5m$o as+ omo tamiC$ 5$a ed5ai)$ matem&tia e$r ai%ada e$ la 5l t5ra0 ?ar a permitir #5e el al5m$o lo@r e H Desarr ollar /ailidades matem&tias #5e posiilite$' e$  or ma a5t)$oma' la resol5i)$ de pr olemas 0 H !o$ ro $tar las sol5io$es e$o$tr adas' 5sar disti$tos ami$os de r esol5i)$'  orm5lar $5e:os pr olemas' e#5i :oar se' dar r esp5estas simples' i$@e$5as' par iales' es deir ' se@5ir 5$ pr oeso similar al del i$:esti@ador ma' 0 tem&tio0 H !o$str 5ir

saer es matem&tios par a l5e@o poder /aer 5$ 5so i$teli@e$te' ade5ado " s5iie$te de los mismos0

I

1D

345n16. Cranell,

0' "#71Smaternriticas en primer a per sona", en +uedernos e / r

*ede gogía N8 331' 4ar elo$a' 1<<0

%C&'( ENSE )*+ '*TE'TC* E N El /*+0í N?

A lo lar go de este li 9r o lo in$itamos

a :ue nos acompa;e en el desa< ío de encontr ar di< er entes res puestas :ue per mitan super ar la contr adicci=n planteada " así pasar de #i #a mar erná t ica e s di ) í cil ,  , no es &ar a mí ,  a < r ases como , /a

mat emática es d i%er tida, ">a matemática me sir%e, 

'


15


Capítulo

I

Enfoque del ár ea matemática

c$ent o 111ás ay$demos a los niños t ener s$ s ideas brill ant es y a sent ir setisteccioo &or el lo  .

= ==

él

r nás &o sibl e ser á "$e al 2 *n dí a t en 2an ell os al 2$nas "é3 e él nad ie se l es oc$r ri ó jamás(

$

ELE.NOR D5oRTH

El r ol del pr olema e$ el apr e$di%a e matem&tio I Homr e' a lo lar @o de la /istor ia' 5tili%) los o$o imie$tos matem&tios par a r e sol %er dier e$tes pr olemas pla$teados por s5 e$tor$o0 Es as+ #5e los , &r obl eme s, so$ ta$to el or a%)$ de la , metemét ice, omo el motor de SLI e$se*a$%a0 Es i$d5dale #5e las palar as , mete .11 á t i ca y , &r obl ema, siempr e est5:ier o$ +$timame$te li@adas0 Se@5r ame$te' 5sted r eor dar & al@5$as de las lases de ma tem&tia #5e :i:i) omo al5m$o de la es5ela primaria y>o se5$dar ia0 ?asar &$ por s5 me$te im&@e$es #5e se r elaio$a$ ./

1=

!op"r < teo mate

AORIAN A GONZÁlEZ - EOITH WEINSTEIN

17

o$ $úmer os'  )rm5las' si@$os' y los  amosos pr olemas0 la ed5ai)$ matemática $o implia a5m5lar o$oi mie$tos 9 )rm5las' s+molos' @r & ios' et0;' si$o poder 5tili %arlos e$ la r esol5i)$ de sit5aio$es pr olem&tias' tr a$s i r ie$do y r esi@$i ia$do lo apr e$dido0 !ae pr e@5$tar $os' # os pr ob# emas ?si en#pr e ocu par on e# mi smo l $ 2ar e$ la en señan -a d e l a met emétice Es e:ide$te #5e si ie$ los pr olemas siempr e  5er o$ importa$tes' el l5@ar #5e o5par o$ e$ el pr oeso de e$se *a$%a y apr e$di%a e 5e :ar ia$do a lo lar @o de la /istoria0 ?ar a arater i%ar estos amios' a  i$es did&tios' :amos a a$ali%ar tr es @r a$des modelos r e eridos a las r elaio$es e$tr e doe$te' al5m$o " saer 0 la ompleidal del ato peda@)@io /ae #5e $i$@ú$ doe$te se e$tr e el5si:ame$te e$ 5$ modelo' si$o #5e 5tilie eleme$tos de disti$tos modelos0 E$ el modelo más l&sio' t+pio de la es5ela e$tr ada e$ la tr a$smisi)$ de o$te$idos al al5m$o' el pr olema se 5ia al  i$al de la se5e$ia de apr e$di%ae0 El doe$te i$i ialme$te i$tr od5e las $oio$es " pr ese$ta los eer iios0 El al5m$o es5/a' imita y se e er ita' par a poster iorme$te apli ar los o$oimie$tos ad#5ir idos e$ la r esol5i)$ de los pr o ler$as pr ese$tados0 El o$te$ido' es deir el saer ' es el e$tr o de la ati:i iad peda@)@ia0 Se po$e el ae$to e$ la or @a$i% ai)$ l)@ia de las disipli$as0 El pr olema 5mple' par a el al5m$o' la 5$i)$ de 5tili %ai)$ " eer itai)$ de lo apr e$dido' mie$tr as #5e al doe$ te le sir :e omo o$tr ol del apr e$di%ae0 ?or e emplo
%C&'(

ENSE)*+ '*TE,AlTC* E N E# /*+ 0íN?

importa$ia los i$tereses' las moti:aio$es' las $eesidades del al5m$o0 E$ este modelo el doe$te es5/a al al5m$o' r espo$de a s5s dema$das " lo a"5da a 5tili%ar dier e$tes 5e$tes de i$or mai)$0 El al5m$o 5sa " or@a$i%a i$or mai)$ #5e le per mite r esol:er sit5aio$es li@adas a s5 e$tor$o0 El e$tr o de la sit5ai)$ ed5ati:a se despla%a del saer al al5m$o0 ?asa$ a 5$ se@5$do pla$o las estr 5t5r as propias de las disipli$as0 El doe$te aompa*a "  ailita el apr e$di%a e0 El pr olema r espo$de a las $eesidades e i$ter eses de los al5m$os0 ?or eemplo se pla$tea$ pr olemas r elaio$ados o$ la salida a la @r a$ a' por ser 5$a sit5ai)$ :i$5lada o$ los i$ter eses de los al5m$os' si$ te$er e$ 5e$ta si ellos posee$ los o$oimie$tos $eesarios par a r esol:er todos los pro 9lernas #5e se p5ede$ der i:ar de 5$a situaci=n ta$ omplea0 Ho" $os e$o$tr ar$os  re $te a 5$ modelo apr opiati:o' es deir ' 5$ modelo e$tr ado e$ #5e el al5m$o o$str 5"a los saer es soialme$te :&lidos0 El e$tro del pr oeso de e$se*a$%a " apr e$di%a e "a $o es $i el saer $i el al5m$o0 Se tr ata de lo@r ar 5$ e#5ilir io e$ el 5al i$ter atúe$ di$&miame$te doe$te' al5m$o " saer 0 El doe$te es #5ie$ propo$e a s5s al5m$os prolemas #5e les sea$ si@$i iati:os0 E$ la elei)$ de los mismos tie$e #5e te$er e$ 5e$ta ta$to los saer es de los al5m$os omo los o$te$idos #5e Cl' i$te$io$alme$te' se pr opo$e e$se*ar 0 El al5m$o r es5el:e los pr olemas e$ i$ter ai)$ o$ s5s par es0 La ati:idad de r esol5i)$ de pr olemas or a 5$ l5@ar pr i:ile@iado e$ la sit5ai)$ did&tia0 a $o ser & 5$ mor$e$to de apliai)$ de lo apr e$dido a$terior me$te' si$o #5e i$ter :ie$e desde el omie$%o del apr e$di%ae' o$stit5"C$dose e$ la ,i$eat e  l$ 2ar y crit erio d e l a el abor ación d el saber , ( ?er o ¿"$é entend emo s  d esd e est a &ers &ect i%a  &or , &r o

bl ema,

de los , Co nt enidos 7é sicos l a Ed $cación 8eneral 7ásica, sostie$e El do5me$to

C om$nes &ar a

se entiend e &or &robl eme tod a sit$ación con $n ob¡e9

1<

í3 

-T00'I

10>1 I$a

ral

AORI ANA GONZ ÁLEZ - EOITH WEINSTEIN

ti%o @l l o2 r ar  "$e re"$ier a del s$ jeto $ne serie de accione s 5 o &er aciones &ar a obt ener s$ sol $ción  d e l a "$e no d i s &one en ior t ne inmed iet e  obii 2 ér iooí o a en 2endr ar n$e%o s conoci mientos  modi) icand o ;enr i"$eciendo o r ecbe-end o < lo s "$e hasta el momento &o seía ((( , El pr olema es 5$a sit5ai)$ e$te' al5m$o y saer

e$ la #5e i$ter :ie$e$

do-

H El doe$te

pla$tea el pr olema te$ie$do e$ 5e$ta los saer es de los al5m$os y los o$te$idos a e$se*ar0 H El

al5m$o dee

r eali%ar

aio$es

#5e

le permita$

r e sol:er el ost&5lo o@$iti:o pla$teado' a  i$ de poder o$str5ir ' r elaio$ar y / o r $odi iar s5s o$otr$+e$tos0 H El saer '

es deir ' el o$te$ido a e$se*ar ' es o$str5i do por el al5m$o a partir de las sit5aio$esprolema #5e el doe$ te pla $ tea0 El pr olema

dee ser 5$a sit5ai)$

#5e pla$tee al al5m$o 5$

)ptimo dese#5ilir io0 !esar !ol13 sostie$e

, ((( si el objet o d e conocimiento est á d emesied o al e jad o de l as &osibilid ad es d e com&ren sion d el el$tnno no se &r od $cirá dese"$il ibrio al2$no en l os es"$er nas d e esimií ec io n o bien el dese"$il ibrio &r o%ocado ser á el e $na ma2 nit$d tal "$e el cam bio o$ed er+ blo"$eado( : i  &or el contr ar io el objet o d e + B ; # ( cimiento se ; le ja asimil ar tot al mente &or l os es"$ernas ya d i s &o nibl es no / labr á r a-ón al 2 $na &ara mod i )icar lo s y el a &rendi -a je ser á i 2 $el tn erit e im&o sibl e( E n con sec$encia l a int er %ención &ed a2ó2 ica d ebe concebirse en t ér minos d e di seño d e sit$acio nes "$e &er mit an $n 2 ra do ó &t imo de d e se"$il ibr io  es d ecir  "$e s$&er en él ni%el de com&rensión del al $mno &er o "$e no l o s$ &er en t anto "$e no &$eden ser esimited o s o "$e r e s$lt e im&osibl e r establ ecer el eo$il iorio ((( ,

!op"r @G1ted mate tal

C:

.

!oll' ! 00 *Si co#oía  cn c t ira y Btrpnrli6aic e scoler es Madrid0 Si@lo UUI' 1<<60


(!VMO ENSE)*+ t,,*TEN,TC* E N El /*D (íN?

El s5 eto dee r eali%ar aio$es o$ 5$a  i$alidad' es deir ' aio$es #5e le permita$ e$o$tr ar sol5io$es a los pr o lemas pla$leados0 Es a tr a:Cs de estas aio$es #5e el o$o imie$to matem&tio :a ad#5ir ie$do se$tido par a el $i*o0 El o$oimie$to matem&tio ad#5ier e se$tido' par a el s5 eto' e$ 5$i)$ de los pr olemas #5e le per mite r esol:er 0 ?or lo ta$to' s)lo e$ la medida e$ #5e el $i*o r es5el:a pr olemas #5e i$:ol5r e$ los o$oimie$tos matem&tios podr & r eo$o er el se$tido " la 5tilidad de los mismos0 ?ar a poder e$te$ der 111ás lar ame$te "$é car act er ísticas tienen lo s &r obl cr na s desde est a &er s &ecti%a r eor demos la ompar ai)$ r eali%ada por Ar t/5r 4ar ood"- P+ ( E*S + !T N*+(S 0E EN! NC*0( AE+1F>#G!E S!E EN ENC( NT+ >+SE EN #(S TEHT(S

sscot *+ ES

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H La i$)@$ita

est& espei iada 9; es muy e:ide$te0 H 2W19; se o r ee IJ i$or r$ai)$ espe+ ia $eesar ia para al5lar la r es puesta. HEs e:ide$te 5$ pr oedimie$to orreto par a /allar la sol5i)$0 Hl

l ay 5$a sol5i)$

#., soluci=n e$se@5ida0 I

de9e

C*S(S 0E +ES(!C&l 0E P+(#E,,*S C('!NES E N #* A0* 0E C*0* 0í* "

or reta0 o o co ot r $r s c

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H La i$) @$it$ p5 de $o estar es

p ei iada I

$i

Se dis pone

demasiado

ser e:ide$te0

de demasiada poa; i$ or mai)$0

apliar m5/os pr o edimie$tos par a la sol5i)$' #5e p5ede$ ser e:ide$tes o $o 0 H ?5ede a9er :arias sol5io$es

y /asta p5ede #5e $o /a"a $i$@5$a0 p r o /lo m$s si@$iJ iati:os le$ r esol:er se le$ tame$te0

?er o' ¿c$ál es el

en)o"$e

d e la

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H Se p5ede$

H Los

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'*TE'i,T

o85Q

de &robl ema s den

!omo "a di imos' la r esol5i)$ de pr olemas o5pa 5$ l5@ar e$tr al e$ el pr oeso de e$se*a$%a " apr e$di%a e0 Al r e leio$ar sor e el t+t5lo del ar t+5lo de Rola$i

+BD%r

I

31

4ar ood"' t =(( > . &ensamient o met emé$co de lo s niño s Madrid' Bisor ' 1<770

+BD%r

AORI AN A GONZÁlEZ

- EOITH WEINSTEIN

!/ar $a:'  Apr e$der 9por medio de; la r esol5i)$ de pr ole mas' podemos oser :ar #5e a; Si leemos el t+t5lo ompleto' :emos #5e el a5tor #5ier e epr esar #5e apr e$demos a tr a:Cs de la ati:idad de r e sol5i)$ de pr olemas0 ; Si leemos el t+t5lo si$ el par C$tesis' :emos #5e el a5tor $os #5ier e deir #5e tamiC$ se apr e$de la r esol5i)$ de pr olemas' y la  5$i)$ de la es5ela es e$se*ar esto0 ?or o$si@5ie$te' la r esol5i)$ de pr olemas matemáticos $o s)lo sir :e par a e$se*ar o$te$idos del &r ea' si$o #5e adem&s dee$ ser e$se*adas las estr ate@ias #5e per mita$ r esol:erlos0 Desde la tr ilo@+a doe$te-al5m$o-saer ' podemos deir #5e los prolemas sir :e$ par a ? Enseñar A @RAB : d e l a r esol $ción d e &robl ema s( Los o$oimie$tos matem&tios deer &$ e$se*ar se &ar t iendo del pla$teo de sit5aio$es pr olem&tias #5e le per mita$ al $i*o o$str5ir estos saeres0 =

nseñar *&R& r eso#% er prob# emas

El doe$te dee pla$tear pr olemas e$ dier e$tes o$ tetos' #5e per mita$ al al5m$o0 r esi@$i iar e$ sit5aio $es $5e:as' o$str5io$es a$terior es0 ? E n señar :7RE l a r eso#uc t on de &r obl emas( El doe$te dee e$se*ar estr ate@ias' pr oedimie$tos /e5r+stios' modelos' e$ ta$to o$te$idos pr oedime$ tales #5e le per mita$ al al5m$o o$ept5ali%arlos' @e$e r ali%arlos' es deir ' 5tili%ar los e$ otr as sit5aio$es0 Desde el p5$to de :ista doe$te la resol5i)$ de pr olemas dee ser 5tili%ada' adem&s' par a

-

l o s saber e s de 3 os al$mno s( ? E BA # A R l os a &rend i -ajes de 3 os nii%os( =

D3 &$!BSE 3+ &R

Es deir ' se dee$ 5tili%ar sit5aio$es pr olem&tias

JJ

$o

 !/ar$a"' 0'  Apre$der 9por medio de; la resol5i)$ de prolemas' e$ ?arr a' !0 " Sai%' í., Di d2 c ti ca d e matem2t i ca s, 45e$os Air es' ?aid)s' 1<<0 !op"r #G1td mate lal -

%C&'(

E NSE )*+ '*TE'TC* E N E# /*+0í N?

s)lo e$ la e$se*a$%a de o$te$idos o$ept5ales y pr oed+ me$tales si$o tamiC$ e$ el mome$to de detetar los saer es pr e:ios as+ omo al e:al5ar los apr e$di%aes0 ?er o' el al5m$o' además de r espo$der pr e@5$tas dee poder orm5larlas' dee poder pr e@5$tar se0 Es deir ' pr ete$ demos 5$ al5m$o #5e r es5el:a " orm5le prolemas0 E$ este se$tido' aor damos o$ lo epr esado por L5is

Santal="K . , ((( &ensando en l a cr eati%idad "$e con%iene d e sar ro ll ar  no solament e ha y "$e r esol%er &robl emes  sino "$e es tn$% im&ort ant e &r o&oner &r obl ema s >((( ' El hecho d e &ro&oner &ro bl emas "$e t en2 an sentido es tan im&ort ant e en t nat emát ica como el r esol%er &r obl ema s &l ant eados &or otro s( E s a tr a%és de est á acción alt ernad a ent r e &ro&oner y r esol%er "$e l a ma t emática a%an -a y cr ece ((( ,

La e$se*a$%a " el apr e$di%a e de la matem&tia e$ el Ni:el I$iial El amio de e$ o#5e Retoma$do lo epr esado sore las di:er sas r elaio$es #5e la trilogía

d o ce n te-a lurrmo-s a 9 cr , a d :uir i

=

a lo lar go del tiem

po' r1LS aoar emos' a/or a' a a$ali%ar la i$ide$ia de los modelos desr iptos e$ el Ni:el I$iial' e$ r elai)$ o$ la matem&tia0 El modelo l&sio t5:o esasa i$@er e$ia e$ el $i:el' dado #5e la e$se*a$%a i$te$io$al de o$te$idos disipli$ar es $o er a el e$ tr o de la tar ea doe$te0 Tar ea #5e o$sist+a'  5 $da me$talme$te' e$ la soiali%ai)$ del $i*o0 E$ amio' el ideario de la Es5ela N5e:a t5:o amplia

!op"r < teo mate

H

 Santal=. #., "'atemática par a no matemáticos" en Parra, C. " SaiM, Did2c ti ca mat en# 7#i ca , 45e$os Air es' ?aid)s' 1<<0

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F4

!op"r < teo mate

ADRIANA GONZÁLEZ - EOITH WEINSTEIN



3D

r eper 5si)$ e$ el $i:el0 Los pr i$ipios de ati:idad' liertad' :italidad' oleti:idad e i$di:id5alidad dier o$ ase te)r ia a $5e:as pr op5estas #5e per mitier o$ amiar la laor doe$te0 !o$ 5$tame$te o$ este mo:imie$to peda@)@io' se o$oe$ las i$:esti@aio$es pia@etia$as sor e la ad#5isii)$' por parte del $i*o' de disti$tas $oio$es matem&tias r elaio $adas' e$tr e otr as' !OIl el $úmer o' el espaio' la o$ser :ai)$ de la a$tidad' del :ol5me$' de la lo$@it5d' del peso' et0 La di 5si)$ de estas i$:esti@aio$es /i%o #5e el doe$te se pr eo5par a por o$oer el desarr ollo e:ol5ti:o del $i*o' dia@$ostia$do e$ #5C estadio se e$o$tr aa0 ?or e emplo' al o$sider ar se la $oi)$ de $úmer o omo la s+$tesis de las oper aio$es de lasiiai)$ " ser iai)$' el doe$ te se pr eo5paa por o$oer e$ #5C estadio del desar r ollo de estas $oio$es se e$o$traa ada $i*o' par a aompa*ar lo e$ el pasae de 5$ estadio a otr o' o$ la idea de #5e el desarr ollo de estas oper aio$es l)@ias le permitir +a' poster iorme$te' e$ IT etapa oper ator ia' la ad#5isii)$ de la $oi)$ de $úmer o0 Ksted r eordar &' por eemplo #5e' a$te 5$a ca F a o$ ele me$tos de otill)$' la maestr a pla$teaa la t+pia o$si@$a ,Gené Funto # o 5ue %a F unto< esper a$do #5e los $i*os  or mar a$ @r 5pos o$ dier e$tes eleme$tos o/eitos' 5/aritas' oetos r oos0 Este a@r5pamie$to e$ ase a disti$tos r iter ios omo olor ' or ma' tama*o' permit+a tr aa ar la $oi)$ de lasi iai)$0 TamiC$ se tr aa aa o$ oetos de dier e$tes tama*os - ir aas' o/etes' asitas- pidiC$dole al $i*o #5e los orde$ar a de ma"or a me$or  o de me$or a ma"or 0 De esta  or ma se ap5$taa a traaar la Ilai)$ de seriai)$0 Las sit5aio$es pla$teadas e:ide$iaa$ 5$ e$ o#5e emi$e$teme$te psiol)@io0 E$o#5e #5e par t+a de o$side r ar #5e las $oio$es primer o se de+a$ o$str5ir par a l5e@o ser 5sadas0 El $i*o s)lo pod+a /aer 5so del $úmer o' por e emplo' o$tar ' oper ar ' 5$a :e% #5e o$str5"er a la $oi)$ de $úmer o0 ?ar a esto se o$sider aa $eesar io #5e atr a:e sar a los di er e$tes estadios de la lasi iai)$ " seriai)$0 El doe$te se pr eo5paa por dia@$ostiar e$ #5C esta dio de las oper aio$es l)@ias se e$o$tr aa$ s5s al5m$os0 !op"r @$teX-1mate ral

Y!VMO ENSE)*+ '*TE'TCt, EN

EL /*+(íN?

Esta pr eo5pai)$ lo lle:aa a o$ 5$dir s5 r ol de e$se*a$te o$ el del i$:esti@ador ' tr a$sor ma$do e$ ati:idades &5lias las pr5eas de laor atorio0 E$ ese mome$to se o$sider aa #5e tr aa ar las oper a io$es l)@ias era si$)$imo de e$se*ar matemática. Ho"' podemos air mar ' #5e ese e$ o#5e de aa  5er a del ar d+$ la e$se*a$%a de los o$te$idos propios de la matem& tia0 El lasi iar " el ser iar $o so$ aio$es el5"e$tes del &r ea de r$ater$&tia0 ?or eemplo si :amos de :isita a la pla%a " r eo@emos las /o as a+das' podernos lle@ar a la sala " pedir les a los $i*os #5e las a@r 5pe$ de dier e$tes maner as. Ese a@r 5pamie$to p5ede ser :ir ta$to par a tr aaar o$te$idos matem&tios r ee  menor i 2 $al ! r idos al $úmer o omo "$é 2r$&o tiene mayor cantid ad de hojas as+ omo o$ te$idos r elaio$ados o$ ie$ ias $at5r ales ti &o de borde  de ner%ad$ra  r el acionar el col or con l a est ación del año  et0 E$ el mome$to at5al' poder$os 5iar a la did&tia de la matem&tia e$ el Ni:el I$iial de$tr o del ter er modelo0 Ta$to el al5m$o omo el doe$te tie$e$ 5$ rol ati:o' el pr imer o e$ r ela i)$ o$ la o$str5i)$ de los saer es " el se@5$do e$ la @e$e r ai)$ de estr ate@ias #5e @ar a$tie$ la apr opiai)$ de los mismos' El saer "a $o o$siste e$ ad#5isiio$es e:ol5ti:as #5e impli#5e$ arriar al si@5ie$te estadio' si$o #5e est&  or mado por los o$oimie$tos matem&tios #5e la soiedad o$side r a :&lidos " $eesar ios par a 5$a ade5ada i$ser i)$ soio5lt5r al del al5m$o' omo ser el o$tar ' el 5iar se e$ el espaio' el poder r eali%ar ompar aio$es por lo$@it5d' et0 E$ este mome$to' el desa +o #5e se $os pla$tea es r e5 per ar el r ol e$se*a$te del doe$te si$ de ar de o$sider ar #5e el $i*o o$str 5"e s5 pr opio saer par tiipa$do ati:ame$te e$ las pr op5estas did&tias0 Al r espeto' Isael SolC i Gallart se pr e@5$ta
C9

!op"r #$teo r$a tal

AORIANA GONZÁLEZ - EDITH WEINSTEIN

o$l5si)$ &$ede  y d ebe en señar a con str $ir( y si nad ie &$ed e s$&l ir al al $mno en s$ &roceso d const r$ cción !

===

&er sona, nada &$ede s$st it $ir l a ay$da "$e s$&one l a int er %ención &eda2ó2 ica &ar a "$e esa con str $ccion se realice (((, ?or lo ta$to se pr od5e el , &asaje 9d e l o &sicoló2ico a lo &eda2ó2ico,( Es as+ omo se dier e$ia$ los r oles de e$se*a$te y de i$:esti@ador ' amia$do el oeto " los

m@todos de est5

dio0 El doe$te dee e$se*ar i$te$io$alme$te o$te$idos ma tem&tios te$ie$do e$ 5e$ta los apor tes de la psiolo@+a del desarr ollo " del apre$di%a e0 El a5la "a $o es 5$ laor ator io si$o 5$ espaio par a la e$se*a$%a " el apre$di%ae0 ?ar a #5e este pasae se /a@a r ealidad e$ el a5la ser & $eesar io #5e el doe$te o$o%a' i$da@5e' los saer es ma tem&tios #5e el $i*o tr ae al ar d+$' seleio$e los o$te$idos a e$se*ar " propo$@a sit5aio$es-pr olema #5e pla$tee$ 5$ ost&5lo o@$iti:o 5"a r esol5i)$ permita al $i*o modii ar ' o$str5ir ' relati:i%ar ' ampliar s5s saer es0 ?or lo ta$to' e$ el Ni:el I$iial' el $i*o o$str 5"e o$te $idos matemáticos r esol:ie$do los pr olemas #5e el doe$te o$ i$te$io$alidad' le pla$tea0 De esta or ma ompr e$de el se$tido " la 5tilidad de los saer es matem&tios0 Re@i$e 0ouad$ sostie$e #5e los o$oimie$tos matem& tios dee$ ser o$str 5idos por los al5m$os e$ 5$ proeso dialCtio0 ?r oeso e$ el 5al los o$oimie$tos so$ pr imero i$str 5me$tos' /er ra mie$tas' r e5r sos par a r eso#% er pr olemas' par a l5e@o ser o$siler ados omo oetos de est5dio e$ s+ mismos0 Esta r elai)$ se o$oe o$ el $omr e de dial éctica i ns t r$ m e$ t o9ob¡e too ?or eemplo 5$ $i*o p5ede r eo$oer a$te dos dados el :alor total' a$te Q " > p5ede r espo$der 6. Esto $o si@$iia #5e p5eda o$ept5ali%ar #5e la ai)$ de 5$tar ' r e5$ir ' a@r e@ar ' so$ si@$i iados de la oper ai)$ s5ma0 Se o$sider a #5e el $i*o' pr imer o /ae 5so de los o$o imie$tos par a l5e@o a$ali%ar los omo oeto de est5dio0 3W

6

Do5ad"' R0' Los $úmeros 5$ r e5rso par$ el $i*o' e$  n  d e$+ ((( bee$co$ &

&a ssionnément 

1.

N0 R0 ?0 Re$o$tres P@dagogi:ues". ra$ia' 1<770


%C&'( ENSE)*+ '*TE'TC* EN E# /*+0í N?

La sala " el $5e:o e$o#5e Hemos r eali%ado 5$a r e:e r ese*a del aordae de la matem&tia e$ el Ni:el I$iial' r elaio$a$do el &r ea o$ las di  er e$tes o$epio$es peda@)@ias de ada mome$to /ist)rio0 A o$ti$5ai)$ r e leio$ar emos aer a de )mo :e/i5li%ar este $5e:o e$o#5e #5e implia el < pasaFe d e # o psi co # ói co a 7o oedeoico<, e$ la r ealidad otidia$a de la sala0 ([5C aspetos se deer &$ te$er e$ 5e$ta al or @a$i%ar sit5aio$es did&tias #5e se e$5adr e$ de$tr o de este e$o#5e,

Los aspetos a te$er e$ 5e$ta e$ todo ato peda@)@io so$ múltiples8 $osotr as' a  i$es did&tios' :amos a r e leio $ar sor e al@5$os #5e o$sideramos r ele:a$tes H ?r olema y 5e@o0 H Bariale did&tia0 H Or @a$i%ai)$ @r 5pal0 ?RO4LEMA y JKEGO

Hist)r iame$te' de$tr o del $i:el' el 5e@o o5p) 5$ l5@ar e$tr al por ser o$sider ado la ati:idad $at5r al del $i*o " por posiilitarle domi$ar el m5$do #5e lo r odea' arti5la$do la r ealidad y la  a$tas+a' el o$oimie$to y la emoi)$' el "o y el otr o0 Es 5$a ati:idad espo$t&$ea #5e per mite el o$oimie$ to' la ús#5eda de estrate@ias' la a5 to$om+a' la :i:e$ia de :alor es' la r eati:idad' el 5mplimie$to de $or mas' et0 Se tr ata de 5$a ati:idad #5e i$:ol5r a al $i*o e$ s5 totalidad' e$ los pla$os or por al' aeti:o' o@$iti:o' 5lt5r al' soial0 El i$ter Cs #5e a todo $i *o le despier ta el 5e@o /ae #5e este sea 5tili%ado por el doe$te o$  i$es did&tios0 Noso tr as $os r e erir emos a este tipo de ati:idad lúdia e$ r elai)$ o$ el apr e$di%a e matem&tio' si$ deso$oer el :alor #5e de$tr o del $i:el tie$e el 5e@o espo$t&$eo0 ?er o' ()mo lo@r amos a5$ar lo lúdio o$ la e$se*a$%a 27 de o$te$idos matem&tios, !op"r @G1ted mate tal

H

AORI AN A GONZÁLEZ - EOITH WEINSTEIN

A$ter iorme$te /iimos r eer e$ia a la +$tima r elai)$ e$tr e el pr olema " el apr e$di%ae matem&tio0 Los o$te$idos matem&tios se o$str5"e$ " ad#5ier e$ se$tido e$ la medida e$ #5e 11LS per mite$ r esol:er pr olemas0 El doe$te' e$ este $i:el' es #5ie$ dee pr opo$er a los $i*os sit5aio$es o$ ar &ter lúdio #5e impli#5e$ 5$ ost&5lo o@$iti:o a s5per ar' @ara$ti%a$do de esta orma ta$to el i$ter Cs " la moti:ai)$ del $i*o omo la o$str 5i)$ de saer es0 El doe$te dee te$er 5$a lar a i$te$io$alidad peda@) @ia #5e le per mita' partie$do de los saer es " de los i$ter e ses de los $i*os' pla$tear sit5aio$es pr o 9lemáticas #5e i$:ol5r e$ los o$te$idos seleio$ados si $ perder de :ista lo lúdio0 Las pr op5estas did&tias dee$ a5$ar el plaer <. la di:er si)$ del 5e@o o$ el desa+o " el ompr omiso de la si t5ai)$ de apr e$di%a e0 ?or e emplo el $i*o p5ede 5@ar a la r a"5ela ta$to e$ la :ereda de s5 asa omo e$ la es5ela0 Si lo /ae e$ el patio de la es5ela o$ s5s ompa*er os " si$ i$ter :e$i)$ de la doe$te' estamos e$ pr ese$ia de 5$ 5e@o espo$t&$eo sir$i lar al #5e p5ede r eali%ar e$ la :er eda de s5 asa0 E$ amio0 si la r a"5ela es pr op5esta IJar el doe$te o$ la i$te$io$alidad de tr aa ar la ser ie $5mCria' pasa de ser 5$ 5e@o espo$t& $eo a tr a$sor mar se e$ 5$a ati:idad lúdia #5e pla$tea si t5aio$es pr olem&tias0 ?r opo$emos r esatar 5e@os tr adiio$ales' pop5lar es' de la :er eda' did&tios' r e@lados' par a aordar i$te$io$alme$te o$te$idos mater $&tios0 Estas sit5aio$es #5e relaio$a$ lo lúdio o$ el ost&5lo o@$iti:o per mite$' e$ el tr a$s5r so del 5e@o' i$l5ir $5e:os prolemas " r e leio$ar sor e lo r eali%ado0 De$tr o de $5estr a &r ea or a$ espeial i$ter Cs los 5e @os r e@lados0 Reordemos la ara ter i% ai) $ #5e r eali%a$ !o$sta$e amii y R/eta 0e$ries"K H

28

" D arnii, !0 " De:ries' + .. #ue o:G co# ec ti %os en la pr i mer  enseñan6a, 111adrid' Bisor ' !op"r #5ed material

1PR.


%C&'( ENSE)*+ '*TE'TC* EN El /*+0íN?

, G ar a "$e sea ed$csti%ement e *t il  .# 1 j$e2 o col ecti%o d ebeH

Gro &oner al 2 o inter esante y e stim$l ent e &ar a "$e 1 9 ( - #i G1S &ien sen en cómo hacer lo F< G osibil it ar "$e l os &ro&ios niños e%al *en s$ é Iito( 4 < G er mit ir "$e t od o s l os j$ 2ad or e s &ar t ici &en ari:ame$ te d$r ant e t od o el j$e2o(, . <

Las a5tor as $os pla$tea$ te$er e$ 5e$ta múltiples :aria les0 !5a$do sostie$e$ #5e el 5e@o 9Jee i$l5ir ,al 2o int e r e sant e y estim$l ant e, /ae$ r eere$ia a lo lúdio 5$ido al ost&5lo a r esol:er 0 El ost&5lo o@$iti:o dee ser pla$tea do i$te$io$alme$te por el doe$te Cl i$ de lo@r ar #5e el $i*o se apr opie de o$te$idos matem&tios0 Es ir$por ta$te te$er pr ese$te #5e al /alar de  5e@o r e@lado $o estamos pla$tea$do #5e todas las r e@las del 5e @o dea$ ser pr op5estas por el doe$te0 Deemos di er e$ iar ' las r e@las #5e permite$ o$str 5ir los o$te$idos matem& tios a e$se*ar e$ la ati:idad seleio$ada' de a#5ellas #5e s)lo tie$e$ #5e :er o$ la di$&mia del 5e@o0 Estas últimas p5ede$ ser estaleidas por los $i*os a  i$ de tr aa ar ' tam iC$' o$te$idos atit5di$ales' omo ser la a5to$om+a' el r es peto por los a5er dos pla$ teados' la toma de deisio$es' et0 ?or e emplo Mar ela' doe $ te de sala de ' se pr opo$e traa ar o$ los li*os r el aciones d e i 2 $ald ad par a lo 5al sele io$a 5e@os de r eor ri do0 ?r opo$e 5@ar o$ 5$ dado a:a$ %a$do los asiller os #5e el mismo i$dia0 ?ar a #5e el 5e@o sea m&s di:ertido' el r eorr ido i$l5"e ost&5los simoli%ados o$ asiller os pi$tados de dos olor es0 Todas estas deisio$es did&tias dee$ ser tomadas por Mar ela a$tes de pr ese$tar el 5e@o0 Los $i*os p5ede$ deidir #5C /ae$ al lle@ar a ada olor0 Estasdeisio$es #5e p5ede$ ser  a:a$%ar ' r etr oeder ' a$tar 5$a a$i)$' $o modi ia$ los o$te$idos #5e Mar ela se pr o po$e tr aaar i$te$io$alme$te' per o s+ amia$ la di$&mia0 Si ie$ toda pr op5esta matem&tia dee te$er 5$ ar & ter lúdio' $o siempr e ad#5ier e la orma de 5e@o r e@lado0 ?or e emplo ?atriia par a tr aaar la l on 2 it$d les pr opo$e a los /ios #5e ompar e$ s5s estat5r as0 Esta ati:idad'

3<

!op"r @G1ted r$at rtal

%C&'( E NSE)*+ '*TE'TC* EN El*+(íN?

B ARI A4LE DID Á!TI!A

Hasta a#5+ /emos r e leio$ado sor e la estr e/a r elai)$ e$tr e &r obl ema  j$e2o  a&r endi -a je en señan-a  int encionalid ad docent e te$ie$do e$ 5e$ta #5e todos estos eleme$tos i$ter :ie$e$ e$ la sit5ai)$ did&tia0 Si$ emar @o es la consigna #5e or m5la el doe$te' la #5e pla$tea el pr olema al $i*o0 ?er o' (toda o$si@$a pla$tea al $i*o 5$a sit5ai)$-pro lema, !ome$%aremos a r espo$der este i$terro@a$te por medio de 5$ e emplo0 Dos doe$tes de sala de Q les pr opo$e$ a s5s $i*os r eali%ar 5$ 5e@o de emo#5e  ormar 5atr o @r5pos' emo ar pelotas e$ 5$a a a " r e@istr ar lo r eali%ado a  i$ de saer 0 #Kie$ @a$o0 0 ?ar a #5e los al5m$os r ealie$ el r e@istr o ada doe$te  or m5la la si@5ie$te o$si@$a :$ sen+H ,Cad a 2r$&o debe d ib$jar $n r ed ond elit o &or T

T

cada &elot a "$e emboca, ( M er ced esH , C ada 2 r$ &o anot e l as &elot as "$e emboca, ( La o$si@$a or m5lada por S5sa$a $o pla$tea 5$ pr ole ma' p5es les die a los $i *os )mo r eali%ar el r e@istr o' los $i*os s)lo 5mple$ la or de$ dada por la doe$te0 E$ amio' la o$si@$a  or m5lada por Mer edes s+ pla$ tea 5$ pr olema' les i$dia a los $i$os #5e r e@istr e$' si$ deir les c=mo r eali%ar lo0 Ellos te$dr &$ #5e deidir de #5C ma$er a /aer lo' media$te r edo$deles' palitos' $úmer os' et0 A partir de los eemplos pr ese$tados :emos #5e no t od a con si 2 na &l ant ea $n &r obl ema( ?ar a #5e 5 $a o$si@$a se tr a$sorme e$ 5$ pr olema a r esol:er ' es $eesar io #5e i$di #5e a los $i*os lo #5e dee$ r eali%ar si$ s5@erir la  or ma de /aer lo0 Es deir ' el doe$te s)lo dee i$diar la ati:idad a r eali%ar " es el $i*o #5ie$ dee 5sar 5$ ami$o de r esol5 i)$0 ?or lo ta$to el doe$te pla$tea el , o$é, y el $i*o dee e$o$ tr ar el , como, ! ?ero' el doe$te' adem&s de la o$si@$a' toma deisio-

F1

!op"r @G1ted r$at rtal

AORIANA GONZÁLEZ - EOITH WEINSTEIN

#5e i$l5"e 5$ pr olema a r esol:er \ moti:a a los $i*os' des pierta s5 i$ter Cs' los di:ier te' les per mite apr e$der ' per o $o tie$e el mismo pote$ial lúdio #5e el 5e@o a$terior 0 Los eemplos dados /ae$ r e er e$ia a ati:idades espe ialme$te dise*adas par a tr aa ar o$te$idos matem&tios0 Ha" otr as sit5aio$es #5e se r eali%a$ diariame$te e$ el jar d ín ! omo por e emplo el r e@istr o de asiste$ia " el meteo r ol)@io' el r epar to " @5ar dado de mater iales' #5e si ie$ $o so$ 5e@os' r es5lta$ i$ter esa$tes a los $i*os0 Se tr ata de ati:i dades otidia$as o  5$io$ales #5e so$ $eesarias par a el 5$ io$amie$to de la tar ea e$ la sala " #5e r es5lta$  Cr tiles par a el pla$teo de sit5aio$es prolem&tias por par te del doe$te0 ?or e emplo  r e$te a la ati:idad de la iliotea am5 la$te' a$tes de la distri5i)$ de los lir os' la maestr a' p5ele pla$tear a los $i*os si los mismos ala$%a$ par a #5e ada 5$o se lle:e 5$o0 De esta or ma' si$ pla$tear 5$a ati:idad lúdia' la doe$te  orm5la pr olemas de ompar ai)$ de a$tidades0 Si esta ati:idad se r epite de la misma ma$er a todas las sema$as' pasa de ser 5$a sit5ai)$ otidia$a o  5$io$al a ser r 5ti$ar ia\ es deir ' 0pier de s5 :alor de sit5ai)$ pr ole m&tia " "a $o @e$er a apr e$di%a e0 Otr o o$teto rio par a la i$l5si)$ de la e$se*a$%a de la matem&tia lo o$stit5"e$ la 5$idad did&tia " el pr o"e to0 A#5+ la matem&tia se 5tili%a omo 5$a /err amie$ta par a r esol:er pr olemas pr o:e$ie$tes\ ta$to de la i$da@ai)$ de 5$ o$teto 95$idad did&tia; omo de la elaor ai)$ de 5$ pr od5to 9pr o"eto;0 E$ s+$tesis' 5$a sit5ai)$ pr olem&tia p5ede o $o desar r ollar se de$tr o de 5$ o$teto lúdio' per o siempr e dee ser  ? J at $r alH por orr espo$der se

FL

o$ la r ealidad0 I# r% ter esente: par a el desti$atar io0 ? :$ sce &t ibl e de enr io$ecimientoH par a permitir la e:ol5 i)$ de los o$oimie$tos0 E$ 5$a 5e$a sit5ai)$ dee$ o$ l5ir ta$to el o$o+ mie$to #5e el doe$te tie$e de s5s al5m$os omo s5 i$te$io$alidad peda@)@ia0 !op"r #$ted mate ial

AORI ANA GONZÁLEZ - EOITH WEINSTEIN

$es sor e otr os aspetos de la sit5ai)$ did&tia' omo ser r e@las del 5e@o' mater iales a 5tili%ar 0 Retor$a$do el e emplo del 5e@o de emo#5e " e$tr a$ do $5estr o a$&lisis e$ las r e@las del 5e@o' podemos s5po$er #5e

a5 E n $n &rimer momento se l es &ro &$ so a l o s niño s r ea li -ar l a acti%idad arr o jand o cad a $no $na &el ot a( b < E n $n se 2 $nd o momento  se l es d a l a mi sma con si 2 na  &er o se l es &r o &one r eal i -ar l a act i%id ad ar ro jand o cad a $no t re s &elot a s( La pr op5esta < b<, a5$#5e se pla$tee o$ la misma o$si@ $a' implia 5$a :ar iai)$ e$ las r e@las #5e la doe$te pr opo$e' o$ la i$te$i)$ de ampliar el ampo $5mCrio i$:ol5r ado0 Ima@i$a$do #5e ada @r 5po tie$e R i$te@r a$tes' e$ la si t5ai)$ a el m&imo de emo#5es a r e@istr ar " ompar ar so $ R 9i $o;0 !o $ la mod i  i ai) $ pla $ teada e$ b, este $úmer o se ele:a a 12 9#5i$e;0 Si ie$ los $i*os' e$ amos asos' dee$ r eali%ar ompar aio$es a  i$ de determi$ar el @r 5po @a$ador ' $o es lo mismo ompar ar e$ 5$ ampo $5mC r io /asta R, #5e /asta 1R. Otr a de las deisio$es #5e 5$ doe$te dee tomar so$ los materiales a 5tili%ar 0 Si@5ie$do o$ $5estr o e emplo' Mer edes les pr opo$e a los $i*os 5tili%ar pelotas de di er e$tes olor es' te$ie$do e$ 5e$ ta #5e ..

#a &el ot a r o j a %al e F punt os #a &elot a ver de %al e J puntos #a &elot a az ul %al e 1 punt o " les pla$tea !ada nene d ebe ar r o jar $na &el ot a d e cad a col or y anotar

l o s &$nto s obt enidos( 8ana el 2 r$&o "$e obt iene más &$ntos(,

32

La :ariai)$ pr op5esta por Mer edes' e$ los mater iales a 5tili%ar ' or$pleii%a la sit5ai)$' dado #5e $o @a$a el e#5i po #5e emoa ma"or a$tidad de pelotas' si$o a#5el #5e otie$e ma"or p5$tae !op"r #$teo r$a tal

(!VMO E NSE)*+ '*TE'TC* EN E# /*+ (< N?

?or e emplo E#5ipo A emboc a  pe# ot as a6u# es, obti ene  - cu at ro 0 punt os E#5ipo 4 emboc a > pe#otas, una a6 u# , una %er de y ot r a roFa, obti ene  - sei s 0 puntos ?or lo ta$to' @a$a el E#5ipo /, #5e si ie$ emo) menor cant id ad de pe# otas, obt u%o mayor puntaFe Los e emplos a$ali%ados $os permi te$ r e leio$ar aer a de )mo el doe$te a par tir de la o$si@$a' las r e@las " los materiales p5ede modi iar la sit5ai)$ pr olem&tia i$iial e ir omplei%&$dola ( simpli i&$dola a  i$ de pla$tear $5e:os desa +os o@$iti:os 5"a s5per ai)$ impli#5e 5$a $5e:a o$s tr5i)$' es deir ' 5$ a:a$e e$ los o$oimie$tos0 Estas :ariaio$es #5e impliar o$ $5e:os dese#5ilir ios " #5e se pr od5 er o$ e$ di er e$tes eleme$tos de la sit5ai)$ did&tia' es lo #5e se o$oe o$ el $omr e de %ariabl e

did áctica( El ERMEL 9E#5ipo de Did&tia de la Matem&tia;< tie$e #5e

, Ba r iabl e

did áct ica es $na %ar iabl e

sos

d e l a sit$ación

sobre # a

c ua# e# d ocent e pued e ac tu ar y 5ue modi)i ca # as re# ac iones d e 1 a#umnos con # as noc iones en F ueo, pr o%ocand o # a ut i # i6ac ió n d e di stirit ss estr at e ia s de

sot $cion(, ORG ANIZ A!iVN

GRK?AL

El o$oimie$to matem&tio' e$ ta$to saer 5lt5r al " so ial' se o$str5"e e$ i$ter ai)$ o$ otros0 Nadie o$str 5"e s5s saer es e$ or ma aislada' si$ i$ter at5ar o$ 5$ otr o' "a sea$ per so$as' lir os' oetos' et0 La es5ela' &mito pri:ile@iado para la o$str 5i)$ de los  E+ 'E# 4E:uipo de 0idáctica

de la 'atenlática5,

& prendi6 a Fes num"ricos y r eso# u ción d e prob#emas, I$stit5to Naio$al de I$:esti@ai)$ ?eda@)@ia0 ?ar +s' Hatier '

1L.

33

!op"r < teo mats ral


FQ

o$oimie$tos' dee e$ati%ar las r elaio$es al5m$o-al5m$o' doe$te-al5m$o' a  i$ de per mitir la o$str5i)$ soial del saer 0 So$ las sit5aio$es de a5la' el espaio e$ el 5al el $i*o' i$ter at5a$do o$ otr os e$ la s5per ai)$ de ost&5los o@$iti:os' o$str5"e s5 o$oimie$to0 Las  ormas de i$ter at5ar e$ el a5la p5ede$ ad#5irir dis ti$tas modalidades or@a$i%ati:as0 ?odemos ima@i$ar$os a la maestr a ar di$er a se$tada e$ 5$a silla i$ter at5a$do o$ s5s al5m$os 5iados e$ r o$da o a los $i*os distri5idos e$ di  er e$tes setor es de la sala' i$ter at5a$do e$tr e ellos " o$ la doe$te r eor rie$do los disti$tos @r 5pos0 Desde el e$o#5e pr op5esto' se e$ ati%a la se@5$da or @a$i%ai)$ @r 5pal' es deir el tr aa o e$ pe#5e*os @r5pos' " se o$sider a el tr aao o$ todo el @r 5po s)lo omo 5$a i$s ta$ia $eesar ia par a al@5$os mome$tos de la sit5ai)$ de e$se*a$%a " apr e$di%ae0 La or @a$i%ai)$ e$ pe#5e*os @r 5pos' a di er e$ia del tr a ao o$ el @r5po e$ s5 totalidad'  a:or ee la om5$iai)$ l5ida e$tr e todos los i$te@r a$tes del @r5po0 !ada $i*o se r e laio$a o$ 5$ otr o o$ saer es' ideas' pr oedimie$tos' oi$ ide$tes o di er e$tes' #5e @e$er a$ o$ ro $tai)$' olaor a i)$' ús#5eda de a5er dos' par a la elaor ai)$ de sol5io $es0 Las sol5io$es alea $%adas po$e$ e$ e:ide$ia el o$o imie$to lo@r ado por los $i*os0 El doe$te dee e$se*ar esta di$&mia de tr aao e$  or ma se5e$ial a lo lar@o de las disti$tas salas0 Este apr e$ di%a e i$l5"e la apr opiai)$ de o$te$idos atit5di$ales " pr oedime$tales' de @r a$ impor ta$ia' e$tr e los saer es #5e el Ni:el I$iial dee @ar a$ti%ar0 E$ este tipo de or @a$i%ai)$ @r5pal es $eesar io te$er e$ 5e$ta Es o$:e$ie$te #5e la a$ti = # t amaño d e # os  ru pos dad de $i*os por @r5po osile e$tr e  95atr o; y  9seis;0 !5a$to m&s pe#5e*os so$ los $i*os' me$or a$tidad de i$te@r a$tes dee$ te$er los @r 5pos0 TamiC$ esta :ar iale depe$de de la tar ea a r eali%ar 0 !op"r #-iteo mate ial

?+ JMB ENSE)*+ '*TE'TC* EN El /*+ 0íN? '

+on)ormac ió n d e 1 9  rupos Los i$te@r a$tes de los @r5pOS $o deer &$ ser  ios' "a #5e la :ariedad de i$ter aio$es permite 5$ ma"or e$ri#5eimie$to0 Ser &$ útiles ta$to los a@r5pamie$tos de los $i*os a par tir de $i:eles er a$os de o$ept5ali%ai)$' omo de otr os m&s ale ados' e i$l5so' e$ m5/os mome$tos' los a@r5pamie$tos espo$t&$eos0 La /eter o@e$eidad 5 /omo @e$eidad de los @r5pos depe$de del oeti:o a lo@r ar 0 Adem&s de las di$&mias a$ali%adas $o se desarta el tr aao i$di:id5al e$ los mome$tos " sit5aio$es e$ #5e el doe$te lo r ea o$:e$ie$te0 E$ s+$tesis' al or @a$i%ar 5$a sit5ai)$ did&tia se dee r & te$er e$ 5e$ta 5$a se5e$ia de tr aao #5e aar #5e dis ti$tos mome$tos0 Estos mome$tos se arti5la$ e$tr e s+ e$ or ma di$&mia " leile' si$ r i@ide%0 La se5e$ia de tr aao est& o$ or mada por  de # a si tuaci ón &r ob! = * R3M R M BM ! E B : *r esent ac i ón e9 =

' 0 etice m

El maestro' te$ie$do e$ 5e$ta los o$te$idos a e$se *ar ' pr ese$ta la sit5ai)$ a los disti$tos @r5pos0 Dee @ara$ti%ar la ompr e$si)$ del pr olema' por parte de todos los $i*os0

d e # a situac ió n Los $i*os' desde s5s saer es " e$ i$ter ai)$ o$ los or$p a*ero s de s5 @rllpo' pr opo$e$' dis5te$' o$ ro$ ta$' pr e@5$ta$' 5sa$do 5$a sol5i)$ al pr olema pla$ teado0 El maestr o i$ter atúa o$ los disti$tos @r 5pos' r espo$de a pre@5$tas' ailita la ús#5eda de sol5io$es si$ dar la r esp5esta0 G5+a el tr aa o de los $i*os0 de 7os r esu# tad os = E R +  R M BM! EB:*r esent aci ón El maestr o or @a$i%a " oordi$a la p5esta e$ omú$0 !ada @r 5po pr ese$ta s5s sol5io$es' eplia s5s ideas a los dem&s0 Todos a$ali%a$' ompar a$' :alora$' las sol5io $es pr ese$tadas0 =

S+.! DB M B3 K ! E B:Reso#uc i ón

FR


AORI ANA GONZÁlEZ - EOITH WEINSTEIN

=

+ . &RE B M BM!E B:

:ínt esi s

Se r e leio$a sor e lo reali%ado0 El doe$te si$teti%a lo elaor ado por los @r5pos te$ie$do pr ese$te el o$te$i do a e$se*ar 0 = .3! EB M BM ! E B: E%al$ación El doe$te r e leio$a sor e el $i:el de o$oimie$to al a$%ado por los $i*os0 Se pr opo$e $5e:os o$te$idos a e$se*ar ' $5e:os pr olemas a pla$tear 0

'

H

F !op"r#5ed mate lal

Capítulo 11 El número y la serie numérica

Ksos del $úmero

$ $5estr a soiedad' los $úmer os so$ 5tili%ados o$ múltiples pr op)sitos' los 5samos a diario' per o' a$te la pr e@5$ta (#5C es el $úmer o,' $os 5esta r espo$ der ' $os #5edamos si$ palar as0 Saemos de #5C se tr ata' podemos dar miles de eemplos' deir todo lo #5e el $úmer o $o es' si$ emar @o $o podemos deJi$irlo0

Esta dii5ltad par a dei$ir #5C es el $úmer o' r ea irma lo epr esado a$ter ior me$te e$ r elai)$ o$ lo di iil #5e r es5lta de i$ir al@5$os o$eptos matem&tios0 ?er o' el $o poder de i$ir lo $o $os impide 5sar lo0 ?or e emplo M ar ia na, r nir ando su r e# oF di ce: uy8 ya son # as d oce y cuarto me t en o 5ue a pur ar par a ## ear a #a o)ic ina en e# 'orar io de at enc i ón a# pNb#i co +ami na r 2 pi do # as t r es c uadr as 5ue se par an a # a esc ue#a de# caFero autom2ti co de# banco L#ea y se ubi ca en e# cuart o # uar de #a ) i# a   # ti empo pasa mu% r2 pi do , c uando # o r a en(

F6

!op"r #$teo r$a tal

AORIAN A GONZÁLEZ - EDITH WEINSTEIN

tr ar al ca jero son la s =32 hs( Entra ! &asa s$ t arjet a  di 2 it a s$ códi 2 o d e id enti)icación y el im&ort e d el dinero a e t raer ( #ee el com &robant e &ar a %er i )icar l a o&er ación( Sa más tran"$il a camina cinco mir l as %id rier as b$scando $n r e 2 alo( :or &r endid a :e "$e $n &$ló%er  omo el "$e e staba b$ scando  c$est a ]>30 Entr a y al %er el conj$nt o d e &$l ó%er y b$) and a d ecide "$e &or ]13 más se ll e%a $n r e 2 al o más com &l eto( Gien sa "$e si le dier on KL0 &ar a 2ast ar  l a di )erencia es mínima( Gid e "$e l e m$e str en el t all e  y  O se decid e &or el más 2 r and e( :ale d el ne2ocio y se diri2 e a l a &ar ad a del col ecti%o F4  saca $n bol et o de ] 0  0 N se sienta en el ter cer a siento( y enc$entr a al /  00 Al le1 2 ar d e l a a%enid a se baja ret ro cede $na l a dir ección "$e b$ scaba ! t oma el a scen sor y mar ca &i so "$ince( Se@5r ame$te el r elato le+do le r es5ltar & amiliar ' p5es a diario 5stel r eali%a aio$es similar es a las de Mar ia$a0 E$ estas aio$es /aer$os 5so del $úmer o e$ di er e$tes o$tetos0 !5a$do o$tamos las 5adras #5e ami$amos0 estamos 5sa$do el $úmero e$ s5 aspeto ar di$al' al 5iar $os e$ el ter er asie$to del oleti:o /aemos 5so del $úme r o e$ s5 aspeto ordi$al0 !5a$do di@itamos la la:e de ide$ ti iai)$ e$ el a er o a5tom&tio' estamos 5sa$do el $úmer o omo 5$ )di@o0 Al ele@ir el talle del p5l):er /aer$os r ee r e$ia al $úmer o omo medida0 TamiC$ 5samos los $úmeros para oper ar ' por e emplo al al5lar el :alor de la ompr a0 E$ s+$tesis' podemos deir #5e al@5$os de los 5sos del $5mero so$ ? G ar a conocer l a cantid ad de el emento s d e $n conj$nt o ?or eemplo a$te 5$a olsa de aramelos' desp5Cs de o$tarlos deimos #5e /a" JR 9:ei$tii$o;0 Este 5so del $úmero /ae r e er e$ia al aspeto cardinal ( ? G ar a di )er enciar

de $na serie

el l$ 2 ar #5e oc$&a $n objeto  d entro

?or eemplo a$te 5$a pila de lir os' podemos pedir el #5i$to lir o0 Este 5so /ae reer e$ia al aspeto

or di nal ( !op"r #5ed material

F

I Gara di)er enciar

$n ob jet o d e otr o


%C&'( ENSE)*+ '*TE'TC* E N El /*+0íN?

?or e emplo el $úmer o de do5me$to de ide$tidad' el $úmer o de telC o$o0 E$ este aso se 5sa$ los $úr$er os par a id enti ) ic ar per so $as' o etos' et0' so$ )di@os #5e p5ede$ r eempla%ar se por otr os 0 = * ar a med ir ?or eemplo al pedir 326 @ de #5eso0 E$ este aso los $úmer os epr esa$ # a medid a d e una ma ni t ud , es deir el peso' la apaidad' el tiempo' la lo$@it5d' et0 = *ar a o per ar ?or eemplo al al5lar si el s5eldo $os ala$%a par a pa@ar los @astos del mes0 E$ este aso los $úmer os se combi nan entr e sí da$do l5@ar a $5e:os $úmer os0 !ae pr e@5$tar$os' los $i*os' (tamiC$ 5sa$ los $úmer os, Ksted oi$idir & o$ $osotr os e$ #5e sí #os usan Las sit5aio$es e$ #5e los $i*os /ae$ 5so de los $úme r os so$ múltiples' por e emplo' 5a$do die$
F"

!op"r $ted mate ial

AORIANA GONZÁLEZ - EOITH WEINSTEIN

aer a de la i$terpr etai)$ #5e $i*os e$tr e  "  a*os r eali %a$ de los $5mer ales esr itos0 Les pr ese$tar o$ die% l&mi$as e$ las 5ales apar e+a$ oetos y $5mer ales r elaio$ados' e$ di ere$tes o$tetos0 A$te ada l&mi$a se les ped+a #5e epliar a$ #5C :e a$ y #5C si@$i iaa' par a ellos' el $úmer o #5e apar e+a e$ la misma0 Al@5$as de las l&mi$as pr ese$tadas  5er o$

. n co# ec t i%o c on e# nNmer o C C = .na t ort a c on una %e#i ta c on e# numer a# 1( r a de t res casas, id enti)i ca d as con d i ) erentes = . na 'i #e ' numer as ? $n tic Pet de a# mac"n con e# pr ecio d e %ari os ar t íc u# os y e# tot a#  Las r esp5estas dadas por los $i*os se p5ede$ a@r 5par e$ tr es @r a$des ate@or+as a; Descri&ción d el n$meral E$ esta ate@or +a se 5ia$ las resp5estas e$ las 5ales los $i*os ide$ti ia$ el $5mer al o r eo$oe$ #5e /a" 5$ ' 0 $5mer o es$to0 c o<, ! e# nNme ?or e emplo < dos d e# mi smo< ,
, el 2 $ien

c ump# e c inco años< , < dónd e est2 t$ cese, < cu 2nt o pa


QL

ast e < 


%C&'(

ENSE)*+ '*TE'TC* EN E# /*+ (íN?

Los r es5ltados de la i$:esti@ai)$ $os m5estr a$ #5e si ie$ los $i*os 5sa$ los $úmer os desde m5" pe#5e*os lo /ae$ de di er e$tes  ormas0 A medida #5e r ee$' las r esp5estas :a$ pasa$do de la mer a desripi)$ del $5mer al a la ide$ti ia i)$ de la  5$i)$ espe+ia0 Los $i*os se :a$ da$do 5e$ta de #5e los $úmer os tr a$s mite$ dier e$te i$ormai)$ de a5er do al o$teto e$ #5e se e$5e$tr a$0 Es as+ omo r eo$oe$ #5e el cinco e$ la torta tie$e 5$ si@$i iado di er e$te al ci nco e$ el oleti:o' e$ el i$e' e$ el ase$sor' e$ la p5er ta de 5$a asa0 ?or lo ta$to :a$ lo@r a$do' e$  orma pr o@r esi:a' desi ra r la i$ ormai)$ 0 ' #5e 5$ $5mer o tr a$srr5te0

5$io$es del $úmer o Los $i*os desde tempr a$a edad 5sa$ los $úmer os si$ $ee sitar pr e@5$tar se #5C es el $úmer o' lle@a$ al ar d+$ o$ :ariados o$oimie$tos $5mCrios0 Es  5$i)$ de la es5ela or @a$i%ar ' omple i%ar ' sistemati%ar los saer es #5e tr ae$ los $i*os a  i$ de @ar a$ti%ar la o$str 5i)$ de $5e:os apr e$di%a es0 Al r espeto es impor ta$te te$er e$ 5e$ta lo epr esado por el .N.+ .P."K , ((( e s necesario t ener en c$ent a $na d obl e eIi 2encieH t ie ? G ar ti r d e l o "$e saben lo s niiio sH ¿"$é conocimiento s nen sobr e l o s n*mer os ()mo l os $til i -an ¿con "$é e) icien cia ¿"$é di)ic$lt ad e s &r ácticas enc$entran E l &r o yect o es a &o yar se sobr e l a s P com &et encia s iniciel esP d e l o s niños y t omar en c$enta l o s ob st ác$l o s &ot encial es "$e no s r e%el en s$ s &r ácticas( a%or ecer l as sit$aciones "$e P d an si 2 ni) icadoP a l o s ..Q ? O mer os a"$ell as en l as c$al es el al $mno &$ed e mo%iíi - srt o s

1. N0 R0 ?09I$stit5to Naio$al de I$:esti@ai)$ ?eda@)@ia;' K$' de5 000 ea5o5p' passio$$Cr $e$rM' e$ Renc ont res * "daoi5ues, N^ 31' ra$ia' 1<7Jt /

Q1

!op"r $ted mate ial


omo r ec$rsos e) icaces &ara r esol %er &r obl emas "$e l o s cono

cimient os n$méricos sean  &r imer o el abor ados &or el ei$rtmo omo r c$r nt$al ment e s entr e ot ros r ec$r so s &ero a a men$d o más e ) ica "$e ar a ant e s d e ser est$diad os &or ell o s mi smo s ((( , El e#5ipo de i$:esti@ai)$ me$io$ado pr opo$e ar ti5 lar la eperie$ia otidia$a y etr aesolar del $i*o o$ las si t5aio$es &5lias' por lo ta$to el doe$te dee pr opo$er pr o lemas #5e le per mita$' al $i*o' :i:e$iar esta arti5lai)$' y, al r esol:erlos o$str5ir ' modi iar ' ampliar s5s o$oimie$tos0 TamiC$ pla$tea #5e los pr olemas dee$ posiilitar al $i*o 5sar los o$oimie$tos $5mCr ios omo r ec$rso omo in st r $mento par a l5e@o' posteriorme$te' ser tomados omo

ob jet o d e est$d io(

Los o$oimie$tos $5mCrios so$ o$str5idos e i$te@r a dos por los $i*os e$ 5$ proeso dialCtio do$de i$ter :ie$e$ omo , rec$r sos, , in st r $met$os, útiles par a r esol:er determi $ados pr olemas y omo , objet o s, #5e p5ede$ ser est5dia dos e$ s+ mismos0 ?or eemplo - A$te 5$a olei)$ de 13 olitas se le pr e@5$ta al $i*o ,¿c$ánt as bol it a s t ené s, Si r espo$de 13' l5e@o de o$ so  tar las' est& /aie$do 5so del $úmer o omo r ec$r in st r$mento Es deir ' est& 5sa$do el $úmero par a r esol :er el pr olema pla$teado0 _ ?er o' si adem&s de r espo$der .. 13 bol itas, es apa% de deir ' 13 está )ormado &or 6 d ecena y 3 $nid ad e s, est& dier e$ia$do e$ Cl 5$idades de di er e$te or de$0 Es deir ' e to de est5dio0 est& o$sider a$do el $úmer o omo obj De estos dos 5sos del $úmer o al ar d+$ le ompete  5$ so  dame$talme$te el r elaio$ado o$ el $úmer o omo r ec$r omo in st r$ment o( Ser & tar ea de los $i:eles posterior es lo@rar #5e el $i*o i$te@r e estos saer es e$ el pr oeso dialCtio de

in st r $mento9ob jeto( D3

?ar a #5e los $i*os del ar d+$ p5eda$ /aer 5so del $úme r o C(U61L r ec$r so  omo in st r $ment o  es $eesar io #5e el doop"r #5ee material

(!VMO ENSE )*+ '*TE'TC* E N El*+(íN?

e$te pla$tee sit5aio$es-pr olema' e$ o$tetos :ar iados' #5e permita$ o$str5ir las disti$tas  5$io$es del $5mer o0 Las 5$io$es del $úmer o so$ ? E l n*mero omo memorie de l a cant idad ( ? El n*mero omo memoria de la &osición( T

? E l n*mer o

El

&ara antici&ar r e s$lt ados  &ara calc$l ar (

N`Y:1ERO!OMO MEMORI A DE L A ! ANTID AD

El $úmer o omo memoria d e l a cantidad /ae r eer e$ia a la posiilidad #5e da$ los $úmeros de e:oar 5$a a$tidad 0 SI$ #5e esta este pr ese$te0 ?or e emplo la maestr a le pide a 5$ $i*o #5e tr ai@a de la a$de a' e$ 5$ solo :iae' los :asos $eesarios par a los i$ te@r a$tes de s5 mesa0 El $i*o leer & o$tar a s5s ompa*er os' r eordar la a$tidad' diri@ir se a la a$de a' e:oar la a$tidad " tomar s)lo los :asos $eesar ios0 Es as+ omo el $i*o 5e$ta a s5s ompa*er os' @5arda e$ s5 memoria la a$tidad y la e:oa' posterior me$te' par a tr aer los :asos $eesarios0 Ksted se pre@5$tar& por #5C e$ la a$s+ @$a la maestr a pla$tea r eali%ar la ati:idad ,en $n sol o %ia je, ( A$aliemos las si@5ie$tes posiilidades a; S5po$@amos #5e saamos de la o$si@$a la i$dia i)$ ,en $n sol o %ieje,( El $i*o p5ede r esol:er la sit5a i)$ "e$do " :i$ie$do de la mesa a la a$de a ta$tas :ees omo ompa*er os /a" e$ s5 mesa0 E$ este aso el $i*o $o /ae 5so del $úmer o' r eali%a 5$a orr espo$de$ia 5$o a 5$o 9$i*o-:aso; #5e le per mite r esol:er la sit5ai)$ pla$teada0 ; S5po$@amos #5e i$l5ir$os e$ la o$si@$a la i$diai)$ , en $n solo %iaje, ( El $i*o par a poder r esol:er la sit5ai)$ $o p5ede /aer or re spo$de$ia' dee /aer T

T

QF

!op"r < teo mats

AORI ANA GONZÁLEZ

- EOITH WEINSTEIN

5so del $úmer o par a o$tar a s5s ompa*er os y a los :asos0 E$ este aso s)lo se p5ede r esol:er la sit5ai)$ apela$ do al 5so del $úmer o0 La  5$i)$ del $úmer o omo memor ia de la a$tidad se r elaio$a o$ el a s &ect o car d inal d el n*mero #5e per mite o$oer el ardi$al de 5$ o$ 5$to0 Si@5ie$do o$ el e em plo' el $i*o deer & r eor dar el ardi$al del o$ 5$to ompa *er os par a tr aer los :asos $eesar ios0 De$tr o de esta 5$i)$ e$o$tr amos' tamiC$' sit5aio $es de ompar ai)$ e$tr e el ar di$al de dos o m&s o$ 5$tos0 Al ompar ar podemos ote$er r elaio$es de i@5aldad o de desi@5aldad ?or e emplo la maestr a les pr ese$ta a los $i*os dos o$ 5$tos' 5$o de 2 l&pies :er des y otr o de = a%5les0 Les pr e@5$ ta I/¿hay i 2$al cantidad d e l á &ices %er d es "$e a -$l es,( Los $i*os p5ede$ r espo$der de las si@5ie$tes  or mas a5 "'e sobr an l á &ice s a -$l es, o más l á&ices aS #3 l es,  desp5Cs de /aer r eali%ado 5$a orr espo$de$ia 5$o a 5$o 9:er de-a%5l;0 E$ este aso el $i*o $o /i%o 5so del $úmer o par a r esol :er la sit5ai)$' si ie$ las r esp5estas dadas so$ or re  tas0 ; , T ay 3 a-$l es mé s,  , hay r nás a -$l e s &or "$e = es más

"$e R", , no  l os a-$l es son más,  , lo s %er des son me nos, desp5Cs de /aer o$tado los eleme$tos de ada o$ 5$to0 E$ este aso el $i*o /i%o 5so del $úmer o par a r esol:er la sit5ai)$0 E$ todos los asos compar = las a$tidades de amos o$ 5$tos ote$ie$do 5$a r elai)$ de desi@5aldad0 La  5$i)$ del $úmer o omo memoria de l a cant idad es la primer a  5$i)$ de la 5al el $i*o se apr opia' por lo ta$to el ar d+$ deer & o$tr i5ir ' i$te$io$alme$te' a esta o$str5i)$0

QQ !op"r #$ted mate ial

%C&'( ENSE)*+ '*TE'TC* E N El /*+ (
E# NV'E+( C('( 'E'(+* 0E #* P(SCi&N

El $úmer o omo memor ia d e l a &o sición es la  5$i)$ #5e per mite r eor dar el l5@ar o5pado por 5$ o eto e$ 5$a lista or de$ada' si$ te$er #5e memori%ar la lista0 ?or eemplo la maestr a oloa sor e la mesa 5$a pila de lir os orr ados de dier e$tes olor es y les pr opo$e a los $i*os #5e eli a$ 5$o0 Meli$a die , o$ier o el a-$l , Dami&$ die < yo me ll e%o el t er cer l ibr o, J5lieta die , "$ier o el c$arto "$e es amaril l o, A$ali%a$do las r esp5estas dadas por los $i*os oser :a mos #5e todos ellos lo@r a$ resol:er la sit5ai)$' per o

- 0arnián y J5lieta /ae$ 5so del $úmer o omo memoria de la &osición dado #5e i$dia$ el liro ele@ido media$'

te 5$ $5mer o0 H Meli$a' e$ amio' $o 5tili%a esta 5$i)$ del $úmer o p5es par a desi@$ar el lir o ele@ido r e5r re al olor 0 La  5$i)$ del $úmer o omo memoria d e l a &osición se r elaio$a o$ el as &ecto or dinal del n*mer o #5e i$dia el l5@ar #5e o5pa 5$ $úmer o e$ la ser ie0 Dami&$ y J5lieta /ae$ reer e$ia al >^ y Q8 l5@ar r espeti:ame$te0 E# NV'E+( P*+* *NTCP*+ +ES!#T*0(S, P*+* C*#C!#*+

La  5$i)$ del $úmer o par a antici &ar res$l ta dos  tamiC$ llamada &ar a cal c$lar es la posiilidad #5e da$ los $úmer os de a$tiipar r es5ltados e$ sit5aio$es $o :isiles' $o pr ese$ tes' aú$ $o r eali%adas' per o sor e las 5ales se posee ier ta i$ or mai)$0 Esta 5$i)$ implia ompr e$der #5e 5$a a$tidad p5e de r es5ltar de la omposii)$ de :ar ias a$tidades y #5e se p5ede oper ar sor e $úmer os par a pr e:er el r es5ltado de 5$a tr a$sor mai)$ de la ar di$alidad0

QR

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AORIANA GONZ ÁlEZ - EOITH WEINSTEIN

?or eemplo Sil:ia' maestr a de sala de 2' les 5e$ta a los $i*os #5e tie$e e$ el ar mar io  aas de l&pies de olor es " #5e /o" la mam& de G5sta:o tr ao 3 aas m&s0 Les pla$tea

, Ahora ¿c$ántas cajas de lá &ices tenemo s, La doe$te esta pla$tea$do 5$a sit5ai)$ #5e implia el tr aa o i$te$io$al de esta  5$i)$ del $úmer o' p5es /a" 5$ o$ 5$to i$iial de aas de l&pies #5e tie$e el $úmer o  omo ar di$al' al 5al se le a@r e@a otr o o$ 5$to 5"o ar di$al es J. Se pr od5e 5$a tr a$sor mai)$ de la ar di$alidad pr o d5to de r e5$ir los ardi$ales de amos o$ 5$tos8  " 3 se tr a$sorma$ e$ ' el ar di$al  r es5lta de la omposii)$ de los ar di$ales Q y J. Q o$ 3 estamos a$tiipa$do Al 5$tar me$talme$te el r es5ltado ' es deir ' estar$os oper a$do' estamos al5la$do0 ?or lo ta$to' la tr a$s or mai)$ del ar di$al de 5$ o$ 5$to se pr od5e al oper ar sore el mismo0 Es deir ' al 5$tar ' al r e5$ir ' al a@r e@ar ' al #5itar ' al saar ' ar di$ales de disti$tos o$ 5$tos' Hasta a/or a /emos a$ali%ado las 5$io$es del $úmer o' #5e el doe$te dee tr aaar i$te$io$alme$te e$ el ar d+$ por medio de sit5aio$es pr olem&tias0 Los $i*os r es5el:e$ las sit5aio$es #5e el doe$te pla$ tea de dier e$tes or mas0 !ae pr e@5$tar$os (5&les so$ las disti$tas or mas de r esol5i)$ #5e emplea$ los $i*os, r e$te a los disti$tos pr olemas #5e el doe$te pla$tea' los $i*os po$e$ e$ 5e@o disti$tos tipos de pr oedimie$tos0 ?odemos deir #5e

4Q

I &nt e &r obl emas "$e im &li"$en determinar la cantidad d e $na colección los $i*os p5ede$ 5tili%ar dos tipos de pr o bal y cont eo( edimie$tos &er ce&ción 2 lo G erce &ción 2 lo bal H implia deter mi$ar el ardi$al de 5$a olei)$ si$ r e5rrir al o$teo0 ?or lo @e$er al se 5tili%a o$ oleio$es de poa a$tidad de eleme$tos0 ?or eemplo al mir ar las  r5 tas #5e /a" sor e la mesa 5$ $i*o die ,hay > bananas,( Res5el:e la sit5ai)$ por medio del a : i st a' si$ o$ ta r 0 C onteoH implia asi@$ar a ada oeto 5$a palar a-$úme!op"r @G1ted mate tal

(!VMO ENSE)*+ '*TE'TC* E N E# /*+ (
r o si@5ie$do la ser ie $5mCr ia0 Es deir ' r eali%ar 5$a o rr espo$de$ia tCr mi$o a tCr mi$o e$tr e ada o eto y ada palar a-$úmer o0 ?or eemplo la maestr a pr ese$ta a los $i*os 5$a ole i)$ de 6 olitas y les pr e@5$ta ¿c$ánta s bol it a s hay, Los $i*os r espo$de$ de las si@5ie$tes  or mas H ar i$a se*ala$do ada olita o$ el dedo die , hay 1, J, F, Q, R, , 6". H A$dr Cs se*ala$do ada olita o$ el dedo die' des p5Cs de o$tar ' , hay R < Ta$to ar i$a omo A$dr Cs /a$ 5tili%ado el o$teo par a r esol:er la sit5ai)$ pla$teada' per o s5s saer es so$ dier e$ tes0 ar i$a $o p5ede aú$ car di na / i -ar  es deir ' r eo$oer #5e la última palar a-$úmer o pr o$5$iada e$@loa a las r esta$tes e i$dia el ardi$al del o$ 5$to0 E$ amio' A$dr Cs al deir , hay 6", desp5Cs de o$tar ' esta i$dia$do el ardi$al del o$ 5$to de olitas0 Adem&s' $o se dee o$ 5$dir el cont eo o$ el r ecitado d e n*mer o s( Los $i*os r ecit an n*mer o s m5/o a$tes de poder o$tar ' lo /ae$ e$  orma or al " si$ te$er dela$te $i$@5$a olei)$0 ?or e emplo 5a$do :a$ por la alle ami$a$do " diir i e$ $no ! d os  tr es, c$atr o ((((< do *nte &r obl emas "$e im&li"$en com &ar ar col ecciones los $i*os p5ede$ 5tili%ar dos tipos de pr oedimie$tos corr es &on dencia y cont eo( Cor r es &ond enciaH implia estaleer 5$a r elai)$ 5$o a 5$o e$tr e los eleme$tos de dos o m&s oleio$es i$di a$do 5&l tie$e m&s o me$os eleme$tos0 La or re spo$de$ia es 5$ pr oedimie$to #5e no $til i-a el numero ?or e emplo la maestr a pr ese$ta a los $i*os 5$a ole i)$ de  o/es y otr a de 7 a:io$es y les pr e@5$ta MD ?5L7 " hay /.

11

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?alo e$ re $ta a ada o/e o$ 5$ a:i)$ y die' al :er #5e sor a$ a:io$es' , ha y más a%iones, ( Res5el:e or re tame$ !op"r @G1ted mate lal

te la sit5ai)$ media$te la or re spo$de$ia0

47


índice

*ró# oo

3

9

INTRODK!!iVN #a matemática y el medio

3

11

!A?+TlJLO I En
.

16

1I

El nmer o " la ser ie num@r ica > F6 Ksos del $úmer o 3 F6 5$io$es del $úmero 3 41 Sistemas de $5mer ai)$ 3 49 Re@istr o de a$tidades . R ?r op5estas par a tr aaar e$ la sala . L !A?+TKLO 11I El es pacio >  Espaio y @eometr +a 3 VU !o$str5i)$ de $oio$es espaiales " @eomCtrias e$ el $i*o 3 UF Est5dio de las r elaio$es espaiales  5$dame$tales Est5dio de la o@$ii)$ amie$tal 3 161

. <

!op"$@/ted mate$al

Como Ensenar Matematica en El Jardin

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