Columnas
BeerF.,etal.,Mecánica de Materiales, Mc Graw Hill, 6ta Edición, 2012.
J. Walt Oler Texas Tech University
M. Ing. Jónatan Pozo Palacios Universidad Politécnica Salesiana
- Esta Estabil bilid idad ad.. - Fórmula Fórmula de Euler a columnas columnas articuladas articuladas.. - Extensión Extensión de la fórmula fórmula de Euler. Euler. - Diseño Diseño de column columnas. as.
Las columnas son elementos prismáticos que soportan cargas axiales de compresión.
Deformación por carga de compresión
Deformación por pandeo (buckling)
Lamborghini Aventador LP 700-4
Ferrari F12 Berlinetta
Honda CRV 2012
2004 Ford F150
•
En el diseño de columnas, la sección transversal de los elementos es seleccionada de manera que: - No se exceda el esfuerzo permisible
P A
all
- La deformación está dentro de un rango especificado
•
PL AE
spec
Después de realizar estos cálculos, se puede descubrir que la columna es inestable bajo la carga aplicada y que súbitamente se curva (pandeo).
•
Considerar el modelo con dos barras y un resorte torsional. Después de una pequeña perturbación,
K 2 momento restaurado r L L P sin P momento desestabilizador
2
•
2
La columna es estable (tiende a regresar a la posición alineada) si: L P K 2 2
P P cr
4 K L
•
Asuma que la carga P es aplicada. Después de la perturbación, el sistema se coloca en una nueva posición de equilibrio con un ángulo de deflexión determinado. L P sin
2 PL
4 K
•
P
P cr
K 2
sin
Notando que sen < , la configuración asumida es possible sólo si P > P cr .
•
Considere una columna cargada axialmente. Después de una perturbación pequeña, el sistema alcanza el equilibrio de manera que d 2 y dx 2 d 2 y dx
•
2
M P y EI EI P
y 0 EI
La solución con la configuración asumida puede ser obtenida sólo si, 2
P P cr
EI
2
P
A
2
L
cr
2
2
E Ar
2
L A
E
L r 2
•
El valor del esfuerzo correspondiente a la carga crítica, 2
EI
P P cr
2
L
P
A
cr
2
2
E Ar
cr
P cr A
2
L A 2
E
L r
•
L r
2
esfuerzo crítico
razón de esbeltez
El análisis anterior es válido únicamente para cargas céntricas.
Una columna articulada de 2.5m de longitud y sección cuadrada debe hacerse de madera. Suponiendo que E= 15 Gpa, el esfuerzo cedencia es de 20 MPa y se desea un factor de seguridad de 2, para calcular la carga crítica de pandeo de Euler. Determine el tamaño de la sección transversal si la columna debe soportar: a) Una carga de 80KN, b) una carga de 170KN.
Determine la dimensión d tal que las barras de acero y aluminio tengan el mismo peso, y calcule la carga crítica para cada barra.
Ejercicio
•
•
Una columna con un eje fijo y un extremo libre, se comportará como la mitad superior de una columna articulada. La carga crítica es calculada con la fórmula de Euler, P cr
2
EI
2
Le
cr
L
e
Le
2 L
2
E
2
r
longitud equivalent e
Una columna de aluminio de longitud L y sección transversal rectangular tiene un extremo fijo en B y soporta una carga céntrica en A. Dos platos fijos lisos y redondeados restringen el movimiento en A, en uno de los planos verticales de simetría pero permite el movimiento en el otro plano. a) Determine la proporción a/b de los dos lados de la sección transversal que corresponden al diseño más eficiente en contra de pandeo.
L = 20 in. E = 10.1 x P = 5 kips FS = 2.5
106 psi
b) Diseñe la sección transversal más eficiente para la columna.
SOLUCIÓN: El diseño más eficiente ocurre cuando la resistencia al pandeo es igual en ambos planos de simetría. Esto ocurre cuando las relaciones de esbeltez son las mismas. Pandeo en el plano XY: •
2 r z
Le, z r z •
I z A
3 1 ba 12 ab
a
2
12
r z
a
12
0.7 L
a
•
El diseño más eficiente:
12
Le, z
Pandeo en el plano XZ:
r z
r y2
Le, y r y
I y A
1 ab3 12
ab
2 L
b / 12
b2
12
r y
b
12
0.7 L
a
12
r y 2 L
a b
Le, y
b / 12 0.7
2
a b
0.35
•
Diseño: Le r y
2 L
12
b
220 in
b
12
138.6
b
P cr FS P 2.55 kips 12.5 kips
cr
P cr A
cr
L = 20 in. E = 10.1 x
12500 lbs
0.35b b
2
E
Le r 2
12500 lbs
106 psi
0.35b b
2
2
10.1
106 psi
138.6 b 2
10.1
106 psi
138.6 b2
P = 5 kips
b 1.620 in.
FS = 2.5
a 0.35b 0.567 in.
a/b = 0.35
•
•
Los análisis previos asumen esfuerzos debajo del límite proporcional y columnas homogéneas que están inicialmente rectas. Los datos experimentales demuestran que: - Para valores grandes de Le /r, cr sigue la formula de Euler y depende de E pero no de Y . - Para valores pequeños de Le /r, cr es determinado por el esfuerzo de cedencia Y y no E. - Para valores intermedios de Le /r, cr depende de Y y E .
Acero estructural
Especificaciones para las construcciones con acero estructural del American Institute of Steel Construction (AISC).
Se debe introducir un factor de seguridad para calcular el esfuerzo permisible según la AISC:
Aluminio
•
Aluminum Association, Inc.
Alloy 6061-T6 Le /r < 66: perm 20.2 139
0.126 Le / r ksi
0.868 Le / r MPa
Le /r > 66: perm
•
Le / r
2
Alloy 2014-T6 Le /r < 55: 30.7 perm 212 Le /r > 55:
perm
3
51000 ksi
Le / r
2
2
0.23 Le / r ksi
3
54000 ksi
Le / r
1.585 Le / r MPa
35110 MPa
372 10 MPa
Le / r
2
La barra AB esta libre en su extremo A y fija en su base B. Determine la carga céntrica permisible, si la aleación de aluminio empleada es una a) 6061-T6 y b) 2014-T6
SOLUCIÓN: •
•
Con el diámetro desconocido, la relación de esbeltez no puede ser evaluada. Se debe asumir una relación de esbeltez. Calcular el diámetro requerido para la relación de esbeltez asumida.
Evaluar la relación de esbeltez y verificar la suposición inicial. Repetir Usando la aleación de aluminio 2014-T6, si es necesario. determine el diámetro más pequeño de la barra que puede usarse para soportar la carga céntrica P = 60 kN, si a) L = 750 mm, b) L = 300 mm. •
•
•
Para L = 750 mm, asumir L/r > 55 Determinar el radio de la barra cilíndrica: all
P A
3
372 10 MPa
L r 2
3
60 10 N c
•
c r
A
4
c
r
4 2
c
2
0.750 m c/2
L
radio de giro c
c
2
18.44 mm
Verificar la suposición de la relación de esbeltez:
radio de la barra cilíndrica
I
2
3
372 10 MPa
750mm
L
c/2
18.44 mm
La suposición es correcta. d
2c
36.9 mm
81.3 55
•
•
Para L = 300 mm, asumir L/r < 55 Determinar el radio de la barra cilíndrica: all
L 212 1.585 MPa A r
P
3
60 10 N c
c
•
2
0.3 m 6 212 1.585 10 Pa c / 2
12.00 mm
Verificar la suposición de la relación de esbeltez: L r
L c/2
300 mm
12.00 mm
La suposición es correcta. d
2c
24.0 mm
50 55
