Colecao Concursos Publicos - Nivel Medio - Damares Pavione

COLEÇÃOCONCURSOSPÚBLICOS

& MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO

COLEÇÃOCONCURSOSPÚBLICOS Damares Pavione

& MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Damares Pavione

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D a m

a r e s P a v io n e

Formada em Engenharia Civil pela Universidade Federal de Viçosa (UFV). Mestre em Engenharia Civil pela Universidade Federal de Viçosa. Trabalhou como engenheira civil na Companhia de Saneamento Básico do Estado de São Paulo (SABESP). Engenheira civil do Departamento de Ciência e Tecnologia Aeroespacial (DCTA). Professora da Universidade do Vale do Paraíba (UNIVAP).

Coordenação Lu i z F l á v i o

Go m

e s

Jurista e cientista criminal. Fundador da Rede de Ensino LFG. Diretor-presidente do Instituto de Pesquisa e Cultura Luiz Flávio Gomes. Foi Promotor de Justiça (1980 a 1983), Juiz de Direito (1983 a 1998) e Advogado (1999 a 2001). F a b r íc io

B o lz a n

Mestrando em Direito do Estado pela PUCSP. Palestrante exclusivo de Direito Administrativo e Direito do Consumidor da Rede de Ensino LFG. Consultor jurídico.


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COLEÇÃOCONCURSOSPÚBLICOS

& COLEÇÃOCONCURSOSPÚBLICOS MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO

&

Damares Pavione

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Damares Pavione

Damares Pavione

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ISBN 978-85-02-16941-8 Rua Henrique Schaumann, 270, Cerqueira César — São Paulo — SP CEP 05413-909 PABX: (11) 3613 3000 SACJUR: 0800 055 7688 De 2ª a 6ª, das 8:30 às 19:30 [email protected] Acesse: www.saraivajur.com.br FILIAIS AMAZONAS/RONDÔNIA/RORAIMA/ACRE Rua Costa Azevedo, 56 – Centro Fone: (92) 3633-4227 – Fax: (92) 3633-4782 – Manaus BAHIA/SERGIPE Rua Agripino Dórea, 23 – Brotas Fone: (71) 3381-5854 / 3381-5895 Fax: (71) 3381-0959 – Salvador BAURU (SÃO PAULO) Rua Monsenhor Claro, 2-55/2-57 – Centro Fone: (14) 3234-5643 – Fax: (14) 3234-7401 – Bauru CEARÁ/PIAUÍ/MARANHÃO Av. Filomeno Gomes, 670 – Jacarecanga Fone: (85) 3238-2323 / 3238-1384 Fax: (85) 3238-1331 – Fortaleza

Pavione, Damares Matemática e raciocínio lógico / Damares Pavione. — São Paulo : Saraiva, 2012. — (Coleção concursos públicos : nível médio e superior). 1. Lógica - Concursos públicos 2. Lógica simbólica e matemática - Problemas, exercícios etc. 3. Matemática - Concursos públicos 4. Raciocínio I. Título. II. Série. Editado também como livro impresso em 2012. Índices para catálogo sistemático: 1. 2. 3. 4.

Concursos públicos : Matemática Concursos públicos : Raciocínio lógico Matemática : Concursos públicos Raciocínio lógico : Concursos públicos

510.76 511.076 510.76 511.076

DISTRITO FEDERAL

SIA/SUL Trecho 2 Lote 850 – Setor de Indústria e Abastecimento Fone: (61) 3344-2920 / 3344-2951 Fax: (61) 3344-1709 – Brasília

GOIÁS/TOCANTINS Av. Independência, 5330 – Setor Aeroporto Fone: (62) 3225-2882 / 3212-2806 Fax: (62) 3224-3016 – Goiânia MATO GROSSO DO SUL/MATO GROSSO Rua 14 de Julho, 3148 – Centro Fone: (67) 3382-3682 – Fax: (67) 3382-0112 – Campo Grande MINAS GERAIS Rua Além Paraíba, 449 – Lagoinha Fone: (31) 3429-8300 – Fax: (31) 3429-8310 – Belo Horizonte PARÁ/AMAPÁ Travessa Apinagés, 186 – Batista Campos Fone: (91) 3222-9034 / 3224-9038 Fax: (91) 3241-0499 – Belém PARANÁ/SANTA CATARINA Rua Conselheiro Laurindo, 2895 – Prado Velho Fone/Fax: (41) 3332-4894 – Curitiba PERNAMBUCO/PARAÍBA/R. G. DO NORTE/ALAGOAS Rua Corredor do Bispo, 185 – Boa Vista Fone: (81) 3421-4246 – Fax: (81) 3421-4510 – Recife

Diretor editorial Luiz Roberto Curia Gerente de produção editorial Lígia Alves Editor Roberto Navarro Assistente editorial Thiago Fraga Produtora editorial Clarissa Boraschi Maria Preparação de originais Ana Cristina Garcia Maria Izabel Barreiros Bitencourt Bressan Liana Ganiko Brito Catenacci Arte e diagramação Cristina Aparecida Agudo de Freitas Tavares Produções Gráficas Revisão de provas Rita de Cássia Queiroz Gorgati Regina Machado Serviços editoriais Elaine Cristina da Silva Kelli Priscila Pinto Capa Guilherme P. Pinto Produção gráfica Marli Rampim

RIBEIRÃO PRETO (SÃO PAULO) Av. Francisco Junqueira, 1255 – Centro Fone: (16) 3610-5843 – Fax: (16) 3610-8284 – Ribeirão Preto RIO DE JANEIRO/ESPÍRITO SANTO Rua Visconde de Santa Isabel, 113 a 119 – Vila Isabel Fone: (21) 2577-9494 – Fax: (21) 2577-8867 / 2577-9565 Rio de Janeiro RIO GRANDE DO SUL Av. A. J. Renner, 231 – Farrapos Fone/Fax: (51) 3371-4001 / 3371-1467 / 3371-1567 Porto Alegre SÃO PAULO Av. Antártica, 92 – Barra Funda Fone: PABX (11) 3616-3666 – São Paulo 132.623.001.001


Data de fechamento da edição: 7-3-2012 Dúvidas? Acesse www.saraivajur.com.br Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Saraiva. A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei n. 9.610/98 e punido pelo art. 184 do Código Penal.

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Aos meus pais, pelo apoio incondicional em todas as etapas da minha vida. Ao meu esposo, companheiro carinhoso e amigo. E a Deus, que é capaz de fazer infinitamente mais do que tudo o que pedimos ou pensamos, conforme o Seu poder que atua em nós.

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Sumário

APRESENTAÇÃO DA COLEÇÃO ..............................

13

CAPÍTULO 1 – CONJUNTOS .................................... 1.1. RELAÇÃO ENTRE CONJUNTOS ............................ 1.1.1. Relação de pertinência ........................................ 1.1.2. Relação de inclusão ............................................ 1.2. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS ........................... 1.2.1. União entre conjuntos ........................................ 1.2.2. Interseção entre conjuntos................................... 1.2.3. Diferença entre conjuntos ................................... 1.3. CONJUNTOS NUMÉRICOS ..................................... 1.3.1. Conjunto dos números naturais – .................... 1.3.2. Conjunto dos números inteiros – ..................... 1.3.3. Conjunto dos números racionais – .................. 1.3.4. Conjunto dos números irracionais – .................. 1.3.5. Conjunto dos números reais – ......................... 1.3.6. Conjunto dos números complexos ...................... 1.3.7. Operações com números complexos ................... 1.3.8. Notação de intervalo ...........................................

15 15 16 16 17 17 17 18 20 21 21 21 23 25 25 25 26

CAPÍTULO 2 – MÚLTIPLOS E DIVISORES ............... 2.1. NÚMERO PRIMO ...................................................... 2.2. FATORAÇÃO .............................................................. 2.2.1. Fatoração em números primos............................. 2.2.2. Fator comum em evidência ................................. 2.3. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM - MMC ................... 2.4. MÁXIMO DIVISOR COMUM - MDC ......................

36 36 37 37 38 38 40 7


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Coleção ConCUrsos públiCos – nível Médio e sUperior – MateMátiCa

2.5. CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE ............................ 2.5.1. Divisibilidade por 2 ............................................. 2.5.2. Divisibilidade por 3 ............................................. 2.5.3. Divisibilidade por 4 ............................................. 2.5.4. Divisibilidade por 5 ............................................. 2.5.5. Divisibilidade por 6 ............................................. 2.5.6. Divisibilidade por 8 ............................................. 2.5.7. Divisibilidade por 9 ............................................. 2.5.8. Divisibilidade por 10 ........................................... 2.5.9. Divisibilidade por 12 ........................................... 2.5.10. Divisibilidade por 15 .........................................

41 42 42 42 42 42 43 43 43 43 44

CAPÍTULO 3 – RAZÃO E PROPORÇÃO .................. 3.1. Grandezas diretamente proporcionais .............................. 3.2. Grandezas inversamente proporcionais ............................ 3.3. Regra de três simples...................................................... 3.4. Regra de três composta ..................................................

51 52 52 52 53

CAPÍTULO 4 – PORCENTAGEM E JUROS ................ 4.1. PORCENTAGEM ........................................................ 4.2. JUROS .......................................................................... 4.2.1. Juros simples ....................................................... 4.2.2. Juros compostos ..................................................

61 61 62 62 62

CAPÍTULO 5 – POTÊNCIAS E RAÍZES ...................... 5.1. OPERAÇÕES COM POTÊNCIAS ............................. 5.1.1. Exemplos com expoentes inteiros ........................ 5.1.2. Exemplos com expoentes fracionários ................. 5.2. OPERAÇÕES COM RAÍZES ..................................... 5.2.1. Exemplos de operações com raízes ...................... 5.2.2. Racionalização de denominadores ....................... 5.3. POTÊNCIA DE DEZ – NOTAÇÃO CIENTÍFICA ....

68 68 69 69 69 71 71 71

CAPÍTULO 6 – GEOMETRIA ..................................... 6.1. ÂNGULOS ................................................................... 6.1.1. Ângulos congruentes e suplementares ..................

77 77 78

8


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sUMário

6.2. CIRCUNFERÊNCIA .................................................. 6.2.1. Posições relativas entre retas e circunferências ...... 6.2.2. O número pi () ................................................. 6.2.3. Área e perímetro de circunferências e arcos ......... 6.3. TRIÂNGULO ............................................................... 6.3.1. Condição de existência ....................................... 6.3.2. Classificação dos triângulos.................................. 6.3.3. Soma dos ângulos internos de um triângulo......... 6.3.4. Segmentos notáveis de um triângulo ................... 6.3.5. Congruência de triângulos .................................. 6.3.6. Semelhança de triângulo ..................................... 6.3.7. Triângulo retângulo ............................................. 6.3.8. Teorema de Pitágoras ........................................... 6.3.9. Área do triângulo ................................................ 6.4. TRIGONOMETRIA .................................................... 6.5. POLÍGONOS ............................................................... 6.5.1. Nomes dos polígonos .......................................... 6.5.2. Número de diagonais de um polígono................. 6.5.3. Soma dos ângulos de um polígono ...................... 6.5.4. Apótema de um polígono regular ........................ 6.5.5. Área de um retângulo.......................................... 6.6. GEOMETRIA ESPACIAL ............................................ 6.6.1. Esfera .................................................................. 6.6.2. Cilindro .............................................................. 6.6.3. Prisma ................................................................ 6.6.4. Cone .................................................................. 6.6.5. Pirâmide .............................................................

80 81 83 83 88 88 89 89 90 91 91 92 93 94 96 99 100 100 101 102 102 103 104 104 105 106 106

CAPÍTULO 7 – UNIDADES DE MEDIDA ................... 7.1. UNIDADES DE COMPRIMENTO ............................ 7.1.1. Múltiplos e submúltiplos do metro ...................... 7.2. UNIDADES DE ÁREA ................................................ 7.2.1. Múltiplos e submúltiplos do metro quadrado ....... 7.3. UNIDADES DE VOLUME ........................................... 7.3.1. Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico ........... 7.3.2. Múltiplos e submúltiplos do litro ......................... 7.4. GRAMA .......................................................................

119 119 119 120 120 121 121 121 122 9


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CAPÍTULO 8 – EQUAÇÕES E FUNÇÕES .................. 8.1. FUNÇÕES PAR E ÍMPAR, CRESCENTE E DECRESCENTE ....................................................................... 8.2. EQUAÇÃO DE 1o GRAU ............................................ 8.3. EQUAÇÃO DE 2o GRAU ............................................ 8.3.1. Produtos notáveis ................................................ 8.4. SISTEMAS DE EQUAÇÕES ........................................ 8.5. FUNÇÃO DE 1o GRAU .............................................. 8.6. FUNÇÃO DE 2o GRAU .............................................. 8.7. FUNÇÃO EXPONENCIAL ........................................ 8.8. FUNÇÃO LOGARÍTMICA ........................................ 8.8.1. Propriedades logarítmicas .................................... 8.9. INEQUAÇÃO DE 1o GRAU ....................................... 8.10. INEQUAÇÃO DE 2o GRAU ..................................... 8.11. DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO EM .. 8.12. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ..........................

127

CAPÍTULO 9 – PROGRESSÕES ................................. 9.1. PROGRESSÃO ARITMÉTICA - PA ........................... 9.1.1. Razão de uma PA ............................................... 9.1.2. Termo geral de uma PA ....................................... 9.1.3. Soma de uma PA ................................................ 9.2. PROGRESSÃO GEOMÉTRICA - PG ........................ 9.2.1. Razão de uma PG ............................................... 9.2.2. Termo geral de uma PG ...................................... 9.2.3. Soma de uma PG ................................................

164 164 164 165 165 166 166 167 167

CAPÍTULO 10 – NOÇÕES DE ESTATÍSTICA ............. 10.1. MÉDIA ARITMÉTICA, MEDIANA E MODA .......... 10.1.1. Média aritmética simples ................................... 10.1.2. Média aritmética ponderada .............................. 10.1.3. Mediana ............................................................ 10.1.4. Moda ................................................................ 10.2. DESVIO PADRÃO E DISPERSÃO ........................... 10.2.1. Desvio padrão ................................................... 10.2.2.Variância ............................................................ 10.3. GRÁFICO DE FREQUÊNCIA .................................

173 173 173 174 174 174 175 175 175 176

128 130 131 132 132 134 135 138 141 142 145 146 147 154

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sUMário

CAPÍTULO 11 – MATRIZ E DETERMINANTE .......... 11.1. MATRIZES................................................................. 11.1.1. Matriz nula ....................................................... 11.1.2. Matriz quadrada ................................................ 11.1.3. Matriz identidade .............................................. 11.1.4. Matriz transposta ............................................... 11.1.5. Matriz simétrica ................................................ 11.1.6. Soma de matrizes .............................................. 11.1.7. Propriedades de soma ou subtração de matrizes . 11.1.8. Multiplicação de uma matriz por um escalar ...... 11.1.9. Propriedades da multiplicação de matriz por escalar ...................................................................... 11.1.10. Multiplicação de matrizes ................................ 11.1.11. Propriedades da multiplicação de matrizes ....... 11.1.12. Matriz inversa.................................................. 11.2. DETERMINANTES................................................... 11.2.1. Determinante de uma matriz de segunda ordem (2x2) .................................................................. 11.2.2. Determinante de uma matriz de terceira ordem (3x3) .................................................................. 11.2.3. Propriedades dos determinantes ......................... CAPÍTULO 12 – ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE ....................................................... 12.1. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM.... 12.1.1. Número de possibilidades de ocorrência simultânea de eventos ................................................. 12.1.2. Número de possibilidades de ocorrência não simultânea de eventos ........................................... 12.2. PROBABILIDADE ...................................................... 12.2.1. União de dois eventos ....................................... 12.2.2. Probabilidade de dois eventos ............................ 12.3. COMBINAÇÃO, ARRANJO E PERMUTAÇÃO ..... 12.3.1. Fatorial ............................................................. 12.3.2. Combinação ..................................................... 12.3.3. Arranjo ............................................................. 12.3.4. Permutação .......................................................

185 185 185 186 186 186 187 187 188 188 188 188 189 190 191 191 191 192 199 199 199 199 200 201 202 203 203 203 204 204 11


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CAPÍTULO 13 – RACIOCÍNIO LÓGICO ................... 13.1. PROPOSIÇÕES.......................................................... 13.1.1. Negação............................................................ 13.1.2. Conjunção ........................................................ 13.1.3. Disjunção .......................................................... 13.1.4. Disjunção exclusiva ........................................... 13.1.5. Condicional ...................................................... 13.1.6. Bicondicional .................................................... 13.1.7. Negação de proposições .................................... 13.1.8. Número de linhas da tabela verdade................... 13.1.9. Tautologia e proposições contraditórias .............. 13.2. LÓGICA DA ARGUMENTAÇÃO ............................ 13.2.1. Argumento ........................................................ 13.2.2. Quantificadores ................................................. 13.2.3. Negação de quantificadores ............................... 13.2.4. Diagramas lógicos ............................................. 13.3. QUESTÕES DIVERSAS ............................................

218 218 219 220 221 221 222 228 229 230 231 232 232 233 234 235 242

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Cap.

– Con Untos

Apresentação da Coleção O maior objetivo da Coleção Concursos Públicos – Nível Médio e Superior é dar acesso ao Direito para os candidatos que pretendem ocupar cargos públicos mesmo sem possuir grau superior ou para aqueles que já cursaram uma universidade, mas em áreas completamente distintas da carreira jurídica. Tal finalidade será alcançada certamente em razão da excelência dos autores, que possuem larga experiência em ensinar o Direito para os alunos que almejam aprovação em concursos públicos envolvendo carreiras não jurídicas. Assim, houve efetiva preocupação e comprometimento de cada um dos autores no sentido de evitar o uso excessivo de terminologias técnico-jurídicas, ou, quando necessária a utilização desses termos, ocorreu uma verdadeira tradução do famoso “juridiquês”. É muito difícil compreender uma lei com vários termos jurídicos se o candidato não cursou graduação em Direito. Foi pensando nesse público que esta Coleção foi idealizada há algum tempo e agora concretizada com o propósito de simplificar o Direito. Muitos exemplos da vida cotidiana, esquemas e quadros sinóticos foram utilizados para facilitar ao máximo a compreensão das mais variadas disciplinas jurídicas solicitadas em concursos de nível médio e superior. No entanto, nem só de conhecimento sobre o Direito vive o candidato a ocupar um cargo público. Dessa forma, além das disciplinas jurídicas, o leitor irá se deparar com uma Coleção que terá entre os seus volumes quatro matérias imprescindíveis para a aprovação em qualquer concurso público, quais sejam: Português, Matemática, Raciocínio Lógico e Informática. 13


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Com o propósito de auxiliar os candidatos no ingresso em carreiras: de Analista e Técnico de Tribunais Estaduais e Federais e dos Ministérios Públicos Estaduais e Federal; de Agente e Escrivão das Polícias Civis Estaduais e Federal e das Polícias Rodoviárias Estaduais e Federal; em entidades e órgãos da Administração Pública Municipal, Estadual, Distrital ou Federal como o INSS e a AGU, dentre outras, estamos convictos de que esta é uma Coleção que irá revolucionar a metodologia de aprendizado para o êxito no concurso público. Se você pensa num futuro melhor ocupando uma carreira pública, não perca mais tempo e comece já a sua preparação. Bons estudos e avante! Os Coordenadores Luiz Flávio Gomes e Fabrício Bolzan

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Cap.

1.

CON

– Con Untos

N TOS

Conjunto é uma união de elementos que possuem características em comum. Os conjuntos são normalmente representados fechando-se em chaves os seus elementos, ou através de diagramas.Veja os exemplos. A 3

9

6

15

12 18

• A é o conjunto formado por múltiplos de 3 menores que 20. • B {Salvador,Aracaju, Maceió, Recife, João Pessoa, Natal, Fortaleza, Terezina, São Luís}. B é o conjunto formado pelas capitais nordestinas. 1.1. RELAÇÃO

ENTRE CONJUNTOS

A tabela a seguir mostra os símbolos utilizados quando se trabalha com conjuntos. Em seguida, os exemplos demonstrarão melhor o uso de cada um. ou

Conjunto vazio

Pertence

Não pertence

Está contido 15


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Não está contido

Contém

Não contém

União

Interseção

Diferença

Considere os conjuntos A, B, C e D. Cada um deles está representado de duas formas diferentes. A

B 3

6

9

15 12 18 21

12 24

6 18

C

D 3

6

9

30

• A {3; 6; 9; 12; 15; 18; 21} • B {6; 12; 18; 24; 30} • C , ou C { } • D {3; 6; 9} 1.1.1.

elaçãodepertinência

O elemento 15 pertence ao conjunto A, mas não pertence ao Conjunto B. As notações para estas afirmações são: • 15 A (leia-se: 15 pertence a A). • 15 B (leia-se: 15 não pertence a B). 1.1.2.

elaçãodeinclusão

Todos os elementos do conjunto D também pertencem ao conjunto A. Portanto, o conjunto D está contido em A. Podemos também dizer que D não está contido em B. Neste caso, utilizamos as notações: 16


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Cap.

– Con Untos

A D

3 6

12

9 15 18

21

• D A (leia-se: D está contido em A). • D B (leia-se: D não está contido em B). Outra forma de expressar que D está contido em A é dizendo que A contém D. Semelhantemente, B não contém D. • A D (leia-se: A contém D). • B D (leia-se: B não contém D). Podemos dizer ainda que D é um subconjunto de A. 1.2. OPERAÇÕES

COM CONJUNTOS

1.2.1. Uniãoentreconjuntos

A representação da união de todos os elementos dos conjuntos A e B em um novo conjunto é: AB 3

9 12

6 18

15 24

21 30

A B 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 30 (leia-se: A união com B) 1.2.2. Interseçãoentreconjuntos

A interseção entre dois conjuntos é formada pelos seus elementos comuns. Desta forma, tem-se: 17


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AB A

B

3

6

9

12

15

24

18

21

30

A B 6; 12; 18 (leia-se: A interseção com B) 1.2.3. Diferençaentreconjuntos

A diferença entre os conjuntos A e B é formada pelos elementos pertencentes a A menos aqueles pertencentes a B. Logo, AB 3

24

6

9 15 21

12 18

30

A B 3; 9; 15; 21 (leia-se: A menos B)

✎ APLICAÇÃO EM CONCURSOS CAIPIMES/2007/São Paulo Turismo – A tabela abaixo representa o resultado de uma pesquisa semanal em um restaurante sobre a preferência entre 3 vinhos A, B e C: Considere as afirmativas: VINHO

PREFERÊNCIA

A

160

B

200

C

270

AeB

80

18


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Cap.

BeC

90

AeC

100

A, B e C

60

Nenhum

160

– Con Untos

I. 40 pessoas preferem somente o vinho A II. 280 pessoas preferem o vinho A ou B III. 140 pessoas preferem somente o vinho C IV. 580 pessoas foram consultadas São verdadeiras as alternativas: a) II, III e IV apenas b) I, II, III e IV c) I, III e IV apenas d) I, II e III apenas Solução: Observe que existem quatro diferentes conjuntos; o conjunto das pessoas que gostam do vinho A, das pessoas que gostam do vinho B, das pessoas que gostam do vinho C e daquelas que não gostam de nenhum desses vinhos. Os conjuntos A, B e C possuem elementos em comum. Ou seja, quando a tabela acima diz que pessoas têm preferência pelos vinhos A e B, por exemplo, essas pessoas pertencem tanto ao grupo A quanto ao grupo B. Quando a tabela diz que 160 pessoas preferem o vinho A, quer dizer que a soma de todo o conjunto A tem que ser igual a 160. Cuidado! A tabela não informou aqueles que preferem apenas o vinho A. O conjunto daqueles que não gostam de nenhum dos três vinhos ficará separado, sem nenhum elemento em comum. Sabemos quantas pessoas preferem os três vinhos concomitantemente. Logo, a área de interseção dos três conjuntos deverá conter 60 pessoas. O número de elementos das áreas comuns a dois conjuntos é obtido por simples subtração. 19


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Por exemplo, o número de pessoas comum aos conjuntos A e B é de 80 pessoas. Dessas 80 pessoas há aquelas que também gostam do vinho C, que são 60 pessoas. Assim, o número daqueles que gostam apenas dos vinhos A e B é de 20 pessoas (80 - 60). A

A

B

B 20

80-60 60 90-60

100-60

60

Nenhum

40

Nenhum

30

160

160 C

C

Para encontrar o número de pessoas que gostam apenas do vinho A, por exemplo: 160 (engloba todo o conjunto A) menos 20 (aqueles que gostam dos vinhos A e B), menos 40 (aqueles que gostam dos vinhos A e C), menos 60 (aqueles que gostam dos vinhos A, B e C). Descobrindo-se o número de pessoas de cada área isolada dos conjuntos, para se encontrar o número total de pessoas entrevistadas basta somar cada área isolada (40 20 40 60 30 90 140 160 580). 604 160

20

0 -3

60

40

B 40

0 -6

20

A

20 0-

-20 -

B

20

0

A

60

Nenhum

30

270-40-60-30

30

40 140

160

C

90 Nenhum 160

C

(Resposta: letra b) 1.3. CONJUNTOS

NUM RICOS

Os números podem ser agrupados em diferentes conjuntos, conforme suas características. 20


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Cap.

– Con Untos

– Complexos – Reais

– Racionais – Inteiros – Irracionais – Naturais

1.3.1. Conjuntodosnúmerosnaturais

São todos os números inteiros e positivos, inclusive o zero. 0; 1; 2; 3; 4; ...; 100; 101; 102; ... 1.3.2. Conjuntodosnúmerosinteiros

São todos os números do conjunto N, acrescidos dos números inteiros negativos. ... 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; 4; ... 1.3.3. Conjuntodosnúmerosracionais

São todos os números do conjunto , acrescidos dos números fracionários, inclusive as dízimas periódicas. Exemplos:

0; 0,444; 12 ; 1; 2; 3,333333...; 5,5

Dízimas periódicas Dízima é um número que, quando escrito no sistema decimal, possui infinitos algarismos. Por exemplo: 0,33333... . A quantidade de algarismos 3, depois da vírgula, é infinita. Essas dízimas possuem um PERÍODO. Isso significa que os algarismos após a vírgula, os chamados decimais, se repetem. Veja os exemplos: • 0,44444... período: 4 • 2,184184... período: 184 21


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• 0,53333... período: 3. Neste caso, o 5 é a parte não periódica, pois só aparece uma vez, não se repete. As dízimas periódicas podem ser escritas como uma razão entre dois números inteiros (com denominador diferente de zero). Essa razão chama-se fração geratriz. Fração geratriz Quando temos uma dízima simples, ou seja, sem parte não periódica, coloca-se na fração geratriz um algarismo 9 para cada algarismo da dízima no denominador e o período no numerador. Acompanhe o exemplo a seguir. Iremos determinar a fração geratriz da parte decimal.

2,184 2 0,184184 ...

A dízima é formada por 184 um período de três 0,184 999 algarismos (184).

Coloca-se o período no numerador. Como o período é formado por três algarismos, colocam-se três algarismos 9 no denominador.

Agora basta juntar a parte fracionária à parte inteira. A função 1998 184 184 2182 geratriz do número 2,184184... é 2 999 999 999 Quando há uma parte não periódica, o procedimento para se encontrar a fração geratriz é um pouco diferente. Acompanhe o exemplo. Coloca-se no numerador um número formado pelos algarismos da parte não periódica e da parte periódica: 53

Parte não periódica: 5 Parte periódica: 3 0,5333

53 5 90

Diminui-se pela parte não periódica: 5

No denominador coloca-se um algarismo 9 para cada algarismo da parte periódica e um algarismo zero para cada algarismo da parte não periódica: 90

A fração geratriz da dízima 0,5333... é 6

48 8 53 5 90 6 15 90

Dividimos por 6 para simplificar a fração.

22


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Cap.

– Con Untos

Veja mais um exemplo. 0,90686868...

9068 90 8978 4489 9900 9900 4950

Parte periódica: 68 Parte não periódica: 90 É importante ter em mente algumas características de operações entre elementos do conjunto dos números racionais. Considere dois números, x e y, ambos racionais (pertencentes ao conjunto Q). • (x y) Q A soma de dois números racionais resulta em um número racional • (x y) Q A diferença entre dois números racionais resulta em número racional • (x y) Q O produto de dois números racionais resulta em um número racional x Q, y 0 O quociente de dois números racionais • y resulta em um número racional, desde que o denominador seja diferente de zero. Podemos dizer então que o conjunto dos números racionais é fechado para as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão (exceto por zero).

1.3.4. Conjuntodosnúmerosirracionais

Os números irracionais são aqueles que não podem ser escritos a na forma com a e b inteiros. Ou seja, não existe uma fração que os b represente. São dízimas, mas não periódicas, ou seja, não existe um período que se repete infinitamente. 1 A dízima periódica 0,3333333... pode ser escrita com a fração . 3 Já para o número irracional PI (3,141592...) não existe uma fração de números inteiros que o represente. (Veja número PI em circunferência, geometria plana.) Pela figura anterior, que expressa os conjuntos numéricos existentes, percebemos que não existe um número que seja irracional 23


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(conjuntos I) e racional (conjunto Q) ao mesmo tempo, como ocorre com alguns números em Z e N, por exemplo. NOTA São irracionais todas as raízes de números naturais cujos resultados não são inteiros, isto é, raízes não perfeitas. Exemplos: 4

4

• √16 2 ⇒ √16 é um número racional, pois sua raiz é inteira • √ 3 é um número irracional Agora, vejamos as operações entre dois números irracionais (pertencentes ao conjunto I). • A soma de dois números irracionais nem sempre resulta em um número irracional. Exemplo: √ 2 (√ 2) 0 ⇒ zero não está em . • A diferença entre dois números irracionais nem sempre resulta em número irracional. Exemplo: √ 2 √ 2 0 ⇒ zero não está em . • O produto de dois números irracionais nem sempre resulta em um número irracional. Exemplo: √ 2 √ 2 2 ⇒ 2 não está em . • O quociente de dois números irracionais nem sempre resulta em um número irracional. √2 Exemplo: 1 ⇒ 1 não está em . √2 Podemos dizer então que o conjunto dos números irracionais não é fechado para as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão. Vejamos agora operações entre um número racional (a) e um número irracional (b). • (a b) A soma de um número racional com um número irracional resulta em um número irracional. • (a b) A diferença entre um número racional e um número irracional resulta em um número irracional. • (a b) O produto de um número racional por um número irracional resulta em um número irracional. 24


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Cap.

– Con Untos

a O quociente de um número racional por um número b irracional resulta em um número irracional. •

a

• b Um número irracional elevado a um expoente racional resulta em um número irracional. 1.3.5. Conjuntodosnúmerosreais

São todos os números do conjunto , acrescidos dos números irracionais (conjunto ). A figura que ilustra a relação entre os conjuntos mostra que o conjunto está dentro do conjunto , mas à parte do conjunto . 1.3.6. Conjuntodosnúmeroscomplexos

No conjunto dos números reais, quando elevamos um número ao quadrado, positivo ou negativo, o resultado sempre será positivo. 32 3 3 9 (3)2 (3) (3) 9

Entretanto, o conjunto dos números complexos traz o conceito dos números com parte imaginária (i ), que possuem a propriedade de, quando elevados ao quadrado, resultar em um número negativo. 2

i 1

Um número complexo é escrito na forma z x yi

em que x representa a parte real, enquanto yi representa a parte imaginária. A cada número complexo podemos atribuir um número real equivalente, dado por z. z √ x2 y2 1.3.7. Operaçõescomnúmeroscomplexos

Adição e subtração: • (a bi ) (c di ) (a c) (b d )i Somam-se as partes reais e somam-se as partes imaginárias. • (a bi ) (c di) (a c) (b d )i Subtraem-se as partes reais e subtraem-se as partes imaginárias. 25


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Multiplicação e divisão: • (a bi) (c di ) (ac bd) (ad cb)i Multiplicam-se todos os termos do primeiro parênteses por todos os termos do segundo parênteses. (a bi ) (a bi) (c di) (a c) (b d)i • (c di) (c di) (c di) c 2 (di)2 (a c) (b d)i (Veja produtos notáveis em equações de 2o c 2 d2 grau, equações e funções.) Multiplicam-se os dois termos por um número complexo que permitirá eliminar a parte imaginária do denominador, semelhantemente ao que é feito na racionalização de denominadores. (Veja racionalização de denominadores em potências e raízes.) ai b (a bi) (a bi) i ai bi 2 ai b • i d d di 2 di di 1d Quando o denominador possui apenas a parte imaginária (parte real igual a zero), basta multiplicar o numerador e o denominador por i para eliminar a parte imaginária do denominador. NOTA Quando se deseja representar um conjunto excluindo-se o zero, coloca-se um asterisco (*) acompanhando a notação do conjunto. Quando se deseja representar apenas os valores positivos ou negativos de um conjunto, coloca-se o subscrito ou o subscrito acompanhando a notação do conjunto. • * é o conjunto dos números naturais diferentes de zero. • é o conjunto dos números inteiros positivos (inclui-se o zero). • é o conjunto dos números racionais negativos (inclui-se o zero). • * é o conjunto dos números reais positivos (exclui-se o zero). 1.3.8. Notaçãodeintervalo

Intervalos numéricos são subconjuntos de um determinado conjunto. Na figura abaixo, a reta representa o conjunto dos números reais. A distância entre dois pontos quaisquer na reta real representa o intervalo. 3 2 1

0

1

2

3

26


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Cap.

– Con Untos

A figura mostra uma reta numérica, onde se encontram, em ordem crescente, todos os números do conjunto , inclusive aqueles fracionários e irracionais, apesar de não estarem todos os números indicados. Como foi indicado que a reta numérica representa o conjunto dos números reais, estes números não escritos estão subentendidos. Repare que as setas indicam que o conjunto continua com os números menores que 3 e maiores que 3. Se a reta numérica fosse representante do conjunto dos números naturais, consideraríamos apenas os números inteiros positivos. 0

1

2

3

A linha mais espessa na primeira figura representa um intervalo numérico. No caso, este intervalo compreende todos os números entre o número 1 e o número 1 (Por exemplo: 0,6543; 0,5; 0; 0,3333333; 0,8 etc.). Na notação de intervalo colocamos uma “bolinha cheia” para indicar que o número no qual a bolinha se encontra também pertence ao intervalo (intervalo fechado). A “bolinha vazia” indica que o número não pertence ao intervalo (intervalo aberto). Ou seja, no caso em questão, os números muito próximos de 1 (0,99; 0,9999; 0,9999999) pertencem ao intervalo. Mas o número 1 não pertence. A seguir, são descritas outras formas de notação de intervalo. • Intervalos de todos os números compreendidos entre 2 e 5. Intervalo fechado à direita e à esquerda. Ou seja, os números 2 e 5 pertencem ao intervalo. ✓ [2; 5] ou ✓ {x / 2 x 5}

• Intervalos de todos os números compreendidos entre 2 e 5. Intervalo fechado apenas à direita. Ou seja, o número 5 pertence ao intervalo, mas o número 2, não. ✓ ]2; 5] ou ✓ (2; 5] ou ✓ {x / 2 x 5} 27


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• Intervalos de todos os números compreendidos entre 2 e 5. Intervalo fechado apenas à esquerda. Ou seja, o número 2 pertence ao intervalo, mas o número 5, não. ✓ [2; 5[ ou ✓ [2; 5) ou ✓ {x / 2 x 5}

• Intervalos de todos os números compreendidos entre 2 e 5. Intervalo aberto à direita e à esquerda. Ou seja, os números 2 e 5 não pertencem ao intervalo. ✓ ] 2; 5 [ ou ✓ (2; 5) ou ✓ {x / 2 x 5}

É fácil perceber que, assim como a “bolinha cheia”, o colchete virado para dentro indica intervalo fechado. E o colchete virado para fora, ou o parênteses, indica o intervalo aberto. E ainda, o sinal de (menor que) denota intervalo aberto, enquanto o sinal de (menor ou igual) indica intervalo fechado. NOTA

Leia-se:

{x / 2 x 5} x pertence a R, tal que, 2 é menor que x, que é menor ou igual a 5.

✎ APLICAÇÃO EM CONCURSOS FUNRIO/2008/CBM – Dada a dízima x 0,222... , então o valor 1 x 1 x numérico da expressão é representado por 1 x 1 x 67 67 67 c) e) a) 103 105 104 65 65 b) d) 103 104 28


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Cap.

– Con Untos

Solução: Vamos encontrar a fração geratriz da dízima 0,222... e substituí-la na expressão. 0,222...

2 9

2 1 1 2 9 9 2 1 1 2 9 9

67 4 81 18 2 2 1 18 67 18 67 18 9 9 103 18 103 103 4 81 18 2 9 1 18 18 9 2

(Resposta: letra a) AOCP/2009/Casan – Dados os intervalos [5; 8] e [3; 7], podemos afirmar que [5; 8] (3; 7) equivale a a) (3; 8] c) [5; 7) e) [5; 8] b) (3; 8) d) [5; 7] Solução: Vamos expressar os intervalos sobre retas, para melhor visualização. Lembrando que a interseção entre os intervalos são os elementos pertencentes aos dois intervalos ao mesmo tempo. 3

5

7

8

3

5

7

8

3

5

7

8

O número 7 não pertence ao intervalo (3; 7), pois este intervalo é aberto nas duas extremidades. Logo, no resultado da interseção o 7 deve aparecer como intervalo aberto. O número 5 pertence ao intervalo [5; 8], pois este intervalo é fechado em ambas as extremidades. Logo, no resultado da interseção, o 5 deve aparecer como intervalo fechado. [5; 8] (3; 7) [5; 7)

Outras formas de notação deste intervalo: [5; 7) [5; 7[ {x / 5 x 7}

(Resposta: letra c) 29


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CESPE/2009/Fundação Hospitalar de Saúde – ES – Julgue os itens que se seguem com relação aos números reais. Solução: 1. As raízes da equação x2 4x 1 são números irracionais. (Veja equações e funções.) (4)2 4 1 1 12 x

(4) √ 2 4√ 2 2 1 2

Como √ 2 não é uma raiz perfeita, podemos concluir que é um número irracional. As operações entre um número irracional e um número racional resultam em um número irracional.Assim, concluímos que a soma/subtração e a divisão do número irracional √ 2 pelos números racionais 4 e 2, respectivamente, resultam em um número irracional. (Resposta: item certo) 2. O produto de dois números racionais não inteiros é um número racional não inteiro. Solução: Podemos afirmar que o produto de dois números racionais será um número racional. Mas não podemos afirmar se serão inteiros ou não. Exemplo: 3 4 12 3 4 1 Tanto o número quanto o número são 4 3 12 4 3 racionais não inteiros. Porém o seu produto é igual a 1, que é um número racional inteiro. (Resposta: item falso) 3. Se a soma de dois números reais é um número irracional, então um desses números é, necessariamente, irracional. Solução: Os números reais são formados pelos números racionais e irracionais. A soma entre dois números racionais será necessariamente um número racional. Assim, para que o resultado da soma entre dois números reais seja um número irracional, ou os dois números devem ser 30


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Cap.

– Con Untos

irracionais, ou um dos números deve ser irracional e o outro racional. (Resposta: item certo) CESGRANRIO/2001/Petrobras Distribuidora – Os números complexos z1; z2; z3 formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão i, onde i representa a unidade imaginária. Se z2 2 i, então z1 é igual a a) 2 i c) 1 2i b) 2 i d) 1 2i Solução: z2 i z3

(Veja progressão geométrica em progressões.)

2i 2i i (2 i) i 2i i 2 i 2i (1) z3 i i i i2 1 1 i 1 2i 1 2i 1 z1 i z2 1 2i 1 2i i (1 2i) i i 2i 2 i (1 2) z z1 2 i i i i2 1 1 i i 2 i 2 2 i 1 z2

(Resposta: letra a)

✍ PRATICANDO 1. FUNRIO/2008/CBM-RJ – Na seleção de operários da construção civil, foram entrevistados 80 candidatos e constatou-se que: • 45 desses candidatos sabiam lidar com pintura; • 50 deles sabiam lidar com instalações elétricas; • 50 sabiam lidar com instalações hidráulicas; • 15 tinham habilidades nas três modalidades de serviço. Todos os operários tinham habilidade em pelo menos uma das modalidades acima. Foram contratados todos os que tinham habilidade em exatamente duas modalidades. Nessas condições, o número de candidatos contratados foi: a) 20 c) 35 e) 55 b) 10 d) 60 31


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CESPE/2011/TRE-ES – Em uma pesquisa, 200 entrevistados foram questionados a respeito do meio de transporte que usualmente utilizam para ir ao trabalho. Os 200 entrevistados responderam à indagação e, do conjunto dessas repostas, foram obtidos os seguintes dados: – 35 pessoas afirmaram que usam transporte coletivo e automóvel próprio; – 35 pessoas afirmaram que usam transporte coletivo e bicicleta; – 11 pessoas afirmaram que usam automóvel próprio e bicicleta; – 5 pessoas afirmaram que usam bicicleta e vão a pé; – 105 pessoas afirmaram que usam transporte coletivo; – 30 pessoas afirmaram que só vão a pé; – ninguém afirmou usar transporte coletivo, automóvel e bicicleta; e o número de pessoas que usam bicicleta é igual ao número de pessoas que usam automóvel próprio. Com base nessa situação, julgue os itens subsequentes. 2. O número de pessoas que só usam bicicleta é inferior ao número de pessoas que só usam automóvel próprio. 3. O número de pessoas que usam apenas transporte coletivo para ir ao trabalho é igual a 35. 4. O número de pessoas que usam transporte coletivo é o triplo do número de pessoas que vão a pé. 5. Caso se escolha, ao acaso, uma das pessoas entrevistadas, a probabilidade de essa pessoa ir para o trabalho a pé será inferior a 15%. 6. O número de pessoas que somente usam automóvel próprio é superior ao número de pessoas que só vão ao trabalho a pé. 7. IDESPEM/2008/Prefeitura de Matias Cardoso – MG – Tritão é o maior satélite de Netuno. Sabe-se que a sua superfície é formada por metano e nitrogênio congelados: a temperatura medida pela Voyager é de 235 ºC. Sobre o número citado no enunciado, NÃO é correto afirmar: a) É um número que faz parte do conjunto b) É um número maior 240 ºC c) É um número racional 32


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Cap.

– Con Untos

d) É um número real e) É um número que faz parte do conjunto 8. CESGRANRIO/2011/Petrobras – Conversando com os 45 alunos da primeira série de um colégio, o professor de educação física verificou que 36 alunos jogam futebol, e 14 jogam vôlei, sendo que 4 alunos não jogam nem futebol nem vôlei. O número de alunos que jogam tanto futebol quanto vôlei é a) 5 d) 11 b) 7 e) 13 c) 9 9. NCE/2005/Secretaria da Fazenda – AM – A fração que representa a dízima 3,0121212 é: 3012 2982 a) d) 99 990 3012 2982 b) e) 999 999 3012 c) 9999 10. CESPE/2009/SEDUC-CE – Julgue os itens subsequentes relativos a números reais. √ 2 √ 5 I. e são, ambos, números irracionais. √ √ II. Se u e v são números inteiros e se u2 v2, então u v. III. Se m e n são números inteiros e se m n é um número par, então pelo menos um deles, m ou n, é um número par. IV. Se a e b são números inteiros e se a 0, então ab é um número inteiro. V. A dízima 0,2222... representa um número racional. Estão certos apenas os itens a) I e IV. c) I, II e III. b) III e V. d) II, IV e V. 33


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11. CONESUL/2008/Correios – GO – Na equação

6 9 x2 5

1 , com x 2, o valor de x é 3

a) uma dízima periódica.

d) um número irracional.

b) um número inteiro negativo.

e) um número imaginário.

c) um número natural. 12. CESGRANRIO/2001/Petrobras – Sendo i a unidade imagi(3 i)2 nária e escrevendo o complexo z na forma z a bi 1i tem-se que a b é igual a a) 1

c) 2

b) 1

d) 6

13. CESGRANRIO/2001/Petrobras – Os números complexos z1; z2; z3 formam, nessa ordem, uma progressão aritmética e são tais que z1 z2 z3 6 9i, onde i representa a unidade imaginária. Sendo assim, (z2)2 é igual a a) 5

d) 13 6i

b) 5 6i

e) 13 12i

c) 5 12i 14. FCC/2010/TCE-SP – Sabe-se que se i é unidade imaginária do conjunto dos números complexos, então, para cada número natural n, a potência i n é igual a 1, i, 1 ou i. Usando essa informa50

ção, é correto afirmar que a soma ∑ in é igual a: n1

a) 0

d) 1 i

b) 1 i

e) i 1

c) 1 i 34


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Cap.

– Con Untos

CESPE/2008/TRT – 5a Região – No curso de línguas Esperanto, os 180 alunos estudam inglês, espanhol ou grego. Sabe-se que 60 alunos estudam espanhol e que 40 estudam somente inglês e espanhol. Com base nessa situação, julgue os itens que se seguem. 15. Se 40 alunos estudam somente grego, então mais de 90 alunos estudam somente inglês. 16. Se os alunos que estudam grego, estudam também espanhol e nenhuma outra língua mais, então há mais alunos estudando inglês do que espanhol. 17. Se os 60 alunos que estudam grego, estudam também inglês e nenhuma outra língua mais, então há mais alunos estudando somente inglês do que espanhol. CESPE/2010/TRT – 21a Região – Considere que todos os 80 alunos de uma classe foram levados para um piquenique em que foram servidos salada, cachorro-quente e frutas. Entre esses alunos, 42 comeram salada e 50 comeram frutas. Além disso, 27 alunos comeram cachorro-quente e salada, 22 comeram salada e frutas, 38 comeram cachorro-quente e frutas e 15 comeram os três alimentos. Sabendo que cada um dos 80 alunos comeu pelo menos um dos três alimentos, julgue os próximos itens. 18. Dez alunos comeram somente salada. 19. Cinco alunos comeram somente frutas. 20. Sessenta alunos comeram cachorro-quente. 21. Quinze alunos comeram somente cachorro-quente. Gabarito: 1 C 16

2

3

4

5

6

Certo Certo Certo Falso Falso 17

18

19

20

7

8

9

10

11

12

13

14

15

A

C

D

B

A

D

C

E

Falso

21

Certo Falso Falso Certo Certo Falso

35


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2. 2.1. N

M L TI PL OS E DI I S O R E S

MERO PRIMO

Um número será primo quando for divisível por nenhum outro número além de 1 e ele mesmo. Por exemplo, o número 13 só é divisível por 1 e por 13, portanto, é primo. Os primeiros números primos são fáceis de serem identificados, que são 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23 etc. Entretanto, para se identificar um número primo de alto valor pode-se seguir um critério. Há vários métodos para se reconhecer um número primo. Apresentaremos um aqui. Divide-se o número pelos primeiros números primos (2, 3, 5, 7, 11 etc.) até que: • Ou ocorra uma divisão com resto zero. Neste caso o número não é primo. • Ou ocorra uma divisão com quociente menor ou igual ao divisor com o resto diferente de zero. Neste caso o número é primo. Exemplo: verificar se o número 79 é primo. • 79 2 quociente 39, resto 1 • 79 3 quociente 26, resto 1 • 79 4 quociente 19, resto 1 • 79 5 quociente 15, resto 4 • 79 6 quociente 13, resto 1 • 79 7 quociente 11, resto 2 • 79 8 quociente 9, resto 7 • 79 9 quociente 8, resto 7 36


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Cap.

– Múltiplos e divisores

Pronto! Aqui o quociente foi menor que o divisor: 8 9. Portanto, o número 79 é primo. NOTA O número 1 não é número primo, pois tem apenas um divisor, que é ele mesmo. Para ser primo tem que haver 2 divisores. 2.2. FATORAÇÃO

A fatoração é um recurso da matemática que permite alterar a forma de uma expressão para facilitar os cálculos, utilizando a multiplicação. 2.2.1. Fatoraçãoemnúmerosprimos

Todo número não primo pode ser decomposto em números primos. A esta decomposição chamamos fatoração em números primos. Para exemplificar, vamos fatorar o número 630. • Busca-se o menor número, maior que 1, que divida o número 630 e que a divisão não tenha restos. Ou seja, que o quociente (resultado da divisão) seja um número inteiro. Neste caso foi o número 2. Este número encontrado para a divisão será um número primo. • Realizada a divisão do número 630 por 2 (630 2 315), busca-se agora o menor número primo que dividirá o número 315 sem deixar restos. • Repete-se este processo até chegar ao número 1. 630 315 105 35 7 1

2 3 3 5 7

630 2 315

Menor número primo que o número 630 é divisível.

A decomposição do número 630 em números primos será: 630 2 32 5 7. Note que, como o número primo 3 apareceu duas vezes na fatoração, colocamo-lo na forma de potência (3 3 32). (Veja potências e raízes.) 37


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2.2.2. Fatorcomumemevidência

Uma forma de fatorar uma expressão é colocando-se um fator comum em evidência. Para isso, basta identificar o fator comum das partes integrantes da expressão e destacá-lo.Veja os exemplos. 1a

x2 2x parte x x 2a parte 2 x Fator comum x

Agora colocaremos o fator comum x em destaque, fora dos parênteses: x(x 2). Perceba que se multiplicarmos o fator comum x pelos fatores internos aos parênteses, voltaremos à expressão original. x(x 2) x x x 2 x2 2x

• 6x3 9x2 3x 3x(2x2 3x 1)

Fator comum: 3x

(Veja potências e raízes.) • x8 x2 x2(x6 1) Fator comum: x2 • 18x2 6x 12 6(3x2 x 2) Fator comum: 6 • ab2 3a3b ab(b 3a2) Fator comum: ab Em alguns casos, teremos grupos de fatores comuns. No primeiro exemplo a seguir, o grupo (x y) é comum a a e b. ax ay bx by a(x y) b(x y) (a b) (x y) x2 3x ax 3a x(x 3) a(x 3) (x a) + (x 3) 2.3. MÍNIMO

M LTIPLO COMUM

MMC

Observe os conjuntos a seguir. O primeiro conjunto descreve os primeiros múltiplos do número 4. Cada número do conjunto é igual ao anterior mais 4. O segundo conjunto traz os primeiros múltiplos do número 6. {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, ...} {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, ...} 38


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Cap.


Perceba que alguns múltiplos de 4 coincidem com os múltiplos de 6 (12, 24, 36, 48, 60 etc.). O menor múltiplo em comum é o número 12. Este é chamado de MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM. Através do exemplo a seguir apresentaremos uma metodologia para encontrar o menor múltiplo comum entre dois ou mais números. MMC entre os números 15; 20 e 40: • Busca-se o menor número maior que 1 que divida, sem deixar restos, pelo menos um dos três números (com quociente inteiro). Neste caso foi o número 2. 15; 20; 40

2

• Dividem-se os números 40 e 20 por 2 e repete-se o número 15, pois ele não é divisível por 2. 15; 20; 40

2

15; 10; 20

• Novamente o 2 é o menor número que divide pelo menos um dos três números sem deixar restos. Novamente repete-se o número 15. 15; 20; 40

2

15; 10; 20

2

15; 5; 10

• Repete-se este processo até que todos os números cheguem a 1. 15; 20; 40

2

15; 10; 20

2

15; 5; 10

2

15; 5; 5

3

5; 5; 5

5

1; 1; 1

• O MMC será o resultado da multiplicação dos números à direita da barra. 2 2 2 3 5 120 MMC (15; 20; 40) 120 39


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Outra maneira de se encontrar o MMC é: • realizar a fatoração dos números desejados; • reunir os números iguais, colocando-os sob a forma de potências, e, • em cada número fatorado, retirar os números de maior expoente. 15

3

5

5

20 35

1

2

10

2

5

5

22

5

1

40

2

20

2

10

2

5

5

23 5

1

Os números de maior expoente são: 3 23 5 120 MMC (15; 20; 40) 120 Note que quando um número aparece apenas em uma fatoração, como é o caso do número 3 que aparece na fatoração apenas do número 15, este número deve entrar no cálculo do MMC. DICA Os problemas que envolvem MMC, em geral, referem-se a situações cíclicas, ou seja, que ocorrem de tempo em tempo. Por exemplo: certo evento ocorre a cada 10 dias, enquanto outro, a cada 7 dias. Estes eventos irão coincidir de tempo em tempo. E essa coincidência ocorrerá a cada período t. Este período é determinado pelo menor MMC entre 10 e 7 (MMC (10, 7) 70). (Veja o exemplo na Aplicação em concursos.) 2.4. M

IMO DIvISOR COMUM

MDC

Os conjuntos a seguir descrevem todos os divisores de 48 e 36, respectivamente. Dividindo-se 48 por qualquer elemento do primeiro conjunto o resultado será inteiro, pois todos os elementos são divisores de 48. {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

Alguns divisores de 48 coincidem com os divisores de 36 (1, 2, 3, 4, 6 e 12). O maior divisor em comum é o número 12. Este é chamado de MÁXIMO DIVISOR COMUM. 40


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Cap.


Para encontrar o máximo divisor comum (MDC) entre números primeiramente realiza-se a fatoração. Na fatoração dividindo-se pelos menores números possíveis, maiores que 1, de forma que o resultado seja inteiro. O produto dos fatores em comum será o MDC entre eles. MDC entre os números 18; 36 e 90. Fatorando: 18

2*

36

2*

90

2*

18

2*

36

2*

90

2*

9

3**

18

2

45

3**

3

3***

9

3**

15

3***

3

3***

5

1

1

5

1

Fatores em comum: 2; 3 e 3. Note que o fator 3 é comum duas vezes. 2 3 3 18 MDC (18; 36; 90) 18

DICA Os problemas que envolvem MDC, em geral, requerem a divisão de coisas, objetos ou grupos de tamanhos diferentes em tamanhos iguais e do “maior tamanho possível”. Por exemplo: tem-se duas cordas, uma com 12 metros e outra com 8 metros. Deseja-se dividir ambas as cordas em tamanhos iguais, com o maior tamanho possível de maneira que não haja sobras. O tamanho que cada pedaço deverá ter será o MDC entre 12 e 8, que é igual a 4 metros. (Veja o exemplo na Aplicação em concursos.) 2.5. CRIT

RIOS DE DIvISIBILIDADE

Muitas vezes precisamos saber se a divisão de um número por outro tem resto igual a zero. Ou seja, precisamos saber se um determinado número é divisível por outro número. Para tal, é possível estabelecer algumas regras práticas para detectarmos um divisor. Ou pelo menos, a partir de um número muito grande, chega-se a um número menor, do qual é mais fácil perceber a divisibilidade. Apresentaremos algumas destas “regrinhas”. 41


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Conhecer os principais critérios de divisibilidade auxilia, por exemplo, no procedimento de fatoração em números primos. 2.5.1. Divisibilidadepor

Um número é divisível por 2 quando ele é par. Exemplo: 2; 8; 18; 456 2.5.2. Divisibilidadepor

Para ser divisível por 3, a soma dos algarismos que formam um determinado número tem que ser divisível por 3. Exemplos: • 54 → 5 4 9 9 é divisível por 3, então, 54 também é divisível por 3. • 354 → 3 5 4 12 novamente testa-se o número 12 quanto à divisibilidade por 3. • 12 → 1 2 3 3 é divisível por ele mesmo. Assim, 354 é divisível por 3. 2.5.3. Divisibilidadepor

Para detectar um número divisível por 4 é necessário que o número formado pelos dois algarismos da direita do número em questão seja divisível por 4, ou que o número termine em 00. Veja os exemplos. • 2300 → é divisível por 4, pois termina em 00; • 6512 → é divisível por 4, pois termina em 12, que é divisível por 4. 2.5.4. Divisibilidadepor

Para ser divisível por 5 basta o número terminar em 0 ou 5. Exemplo: 5; 90; 650. 2.5.5. Divisibilidadepor

Quando um número é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo, este também é divisível por 6. 42


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Cap.


Confira os exemplos. • 864 → é divisível por 2, pois é par. É divisível por 3, pois 8 4 6 18, e 18 é divisível por 3. Logo, 864 é divisível por 6. • 82 → é divisível por 2, pois é par. Entretanto, não é divisível por 3, pois 8 2 10, e 10 não é divisível por 3. Assim, 82 não é divisível por 6. 2.5.6. Divisibilidadepor

Para um número ser divisível por 8, é necessário que ele termine em 000, ou que o número formado pelos três últimos algarismos seja divisível por 8. Exemplos: • 1000 → é divisível por 8, pois termina em 000. • 54064 → é divisível por 8, pois os três últimos algarismos são 064, e 64 é divisível por 8. 2.5.7. Divisibilidadepor

Semelhantemente ao que ocorre no critério de divisibilidade por 3, para reconhecer um número divisível por 9, basta a soma dos algarismos ser um número divisível por 9. • 891 → 8 9 1 18 18 é divisível por 9, então, 891 é divisível por 9. 2.5.8. Divisibilidadepor

É o critério mais reconhecido. Basta o número terminar em zero que ele será divisível por 10. Exemplo: 70; 110; 2340. 2.5.9. Divisibilidadepor

Semelhantemente ao que ocorre no critério de divisibilidade por 6, para um número ser divisível por 12 ele precisa ser divisível por 4 e 3 ao mesmo tempo. • 876 → é divisível por 3, pois 8 7 6 21 e 21 é divisível por 3. Também 876 é divisível por 4, pois 76 é divisível por 4. Logo, 876 é divisível por 12. 43


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2.5.10. Divisibilidadepor

É necessário que o número em questão seja divisível por 3 e por 5 ao mesmo tempo. • 615 → é divisível por 3, pois 6 1 5 12 e 12 é divisível por 3. Também 615 é divisível por 5, pois termina em 5. Logo, 615 é divisível por 15.

✎ APLICAÇÃO EM CONCURSOS FUNRIO/2008/SUFRAMA – Considere os maiores valores possíveis para os naturais a, b e c de modo que 2 a 3 b 5 c seja divisor de 1800. Dessa forma, a b c vale a) 6 c) 8 e) 10 b) 7 d) 9 Solução: O resultado de 2a 3b 5c deve ser menor ou igual a 1800, pois seu resultado é um divisor de 1800. Como se deseja que os números naturais a, b e c sejam os maiores possíveis, o resultado de 2a 3b 5c será o maior possível, ou seja, 1800, pois o maior divisor de um número é o próprio número. Vamos fatorar o número 1800 para escrevê-lo em forma de números com expoentes. 1800 900 450 225 75 25 5 1

2 2 2 3 3 5 5

1800 = 23 32 52

Logo, os valores de a, b e c são iguais, respectivamente, aos expoentes encontrados na fatoração. Ou seja: 2a 23 ⇒ a 3 3b 32 ⇒ b 2 5c 52 ⇒ c 2 abc7

(Resposta: letra b) 44


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Cap.


FUNRIO/2008/Prefeitura de Goytacazes-RJ – O mínimo múltiplo comum entre os números 240, 800 e N 2k 1 32 é igual a 14400. O valor de k é a) 2 c) 4 e) 6 b) 3 d) 5 Solução: O número N já se encontra fatorado. Iremos agora fatorar os números 240, 800 e o resultado do MMC, 14400. 240 120 60 30 15 5 1

2 2 2 2 3 5

24 3 5

800 400 200 100 50 25 5 1

2 2 2 2 2 5 5

25 52

N 2k 1 32

14400 7200 3600 1800 900 450 225 75 25 5 1

2 2 2 2 2 2 3 3 5 5

26 32 52

Vamos selecionar os números de maiores expoentes. 2k 1 32 52 26 32 52

⇒

k16

⇒

k5

(Resposta: letra d) CESGRANRIO/2009/BNDES – A figura ilustra um bloco de madeira no formato de um paralelepípedo com as medidas, em centímetros, das suas arestas. Esse bloco é dividido em cubos, todos do mesmo tamanho, de modo que a medida das arestas desses cubos seja a maior possível. Sabendo-se que, nos cubos, as arestas têm a mesma medida e que, após a divisão, não há sobra de madeira, a quantidade de cubos obtidos é a) 18 d) 48 18 b) 24 e) 60 12 c) 30 30

45


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Solução: Para que a medida das arestas dos cubos seja a maior possível é necessário encontrar o MDC das medidas do paralelepípedo. MDC (12; 18; 30) 6

Logo, cada aresta do paralelepípedo será dividida de forma que cada cubo tenha arestas de tamanho 6. • 18 6 3 três cubos de tamanho 6 • 30 6 5 cinco cubos de tamanho 6 • 12 6 2 dois cubos de tamanho 6 Serão trinta (3 5 2 30) cubos ao todo. (Resposta: letra c)

✍ PRATICANDO CESPE/2011/STM – Acerca dos conjuntos A {6, 8, 10, 12} e B {4, 6, 10}, julgue os seguintes itens: 1. O mínimo múltiplo comum dos elementos do conjunto A/B {x A; x B} é múltiplo de 5. 2. O máximo divisor comum dos elementos do conjunto A B é um número primo. 3. CESGRANRIO/2008/Caixa Econômica Federal – A taxa efetiva anual de 50%, no sistema de juros compostos, equivale a uma taxa nominal de i % ao semestre, capitalizada bimestralmente. O número de divisores inteiros positivos de i é a) 4 d) 7 b) 5 e) 8 c) 6 4. FUNRIO/2008/Prefeitura de Coronel Fabriciano-MG – A soma dos divisores positivos de 36 é: a) 83 d) 89 b) 85 e) 91 c) 87 46


07/03/12 16:16

Cap.


5. FUNRIO/2008/Prefeitura de Goytacazes-RJ – O máximo divisor comum entre os números 350 e N 27 3k 11 é igual a 24. O valor de k é a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3 6. FUNRIO/2008/Prefeitura de Goytacazes-RJ – Dois números inteiros positivos têm soma igual a 90 e máximo divisor comum igual a 10. Se o produto desses números é o menor possível, este produto é igual a a) 600 d) 750 b) 650 e) 800 c) 700 7. CAIPIMES/2007/São Paulo Turismo – Ao dividir-se 18 por um número natural, obteve-se um quociente 7 unidades menor que o divisor, então esse divisor é: a) 9 c) 2 b) 2 d) 9 8. IPAD/2006/PM – Buíque – Sejam os divisores positivos de 30. Sorteando um deles ao acaso, a probabilidade de sair um múltiplo de 6 é de: a) 60% d) 25% b) 50% e) 15% c) 30% CESPE/2007/PM de Limeira – Com relação a fatoração e divisibilidade, cada um dos itens subsequentes apresenta um conjunto de informações hipotéticas ou não, seguida de uma assertiva a ser julgada. 47


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9. Menor número natural que é um quadrado perfeito e cuja decomposição em fatores primos é da forma 26 5m 7n, em que m e n são números naturais estritamente positivos, é o número 4.900. 10. Na divisão de um número natural D por 12, o resto é o maior possível e a diferença entre D e o quociente Q é igual a 66. Nesse caso, é correto afirmar que a soma D Q é igual a 78. 11. NCE/2007/ANAC – Analise as afirmativas a seguir: I – Se um número N é múltiplo de dois números naturais p e q, então N é múltiplo de p.q. II – Se N é um múltiplo de 3 então a soma de seus algarismos é um múltiplo de 3. III – Se o resto da divisão de um número N por 5 é 3, então o último algarismo de N é 8. IV – Se N é divisor de dois números naturais p e q então N2 é divisor de p.q. Estão corretas as afirmativas: a) I e II, apenas; d) II, III e IV, apenas; b) I, II e III, apenas; e) I, II, III e IV. c) I, II e IV, apenas; 12. CESPE/2008/UEPA – Acerca de números naturais, assinale a opção correta. a) Em determinado país da América Latina as eleições presidenciais acontecem de 8 em 8 anos, as eleições para governadores das províncias, de 6 em 6 anos e para prefeitos dos municípios, de 4 em 4 anos. Neste ano de 2008 acontecerão as eleições para os 3 cargos. Dessa forma, depois desse ano, a próxima vez que novamente as eleições se realizarão em um mesmo ano será em 2024. b) Considere que A e B sejam números naturais e que B seja múltiplo de A. Nesse caso, o MDC entre A e B é o maior deles e o MMC entre A e B é o menor deles. c) Na divisão não exata de dois números naturais D e d, o quociente é q e o resto é r. Se D 1 é divisível por d, então o resto r é o maior possível, isto é, r d 1. 48


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Cap.


d) Na divisão não exata de dois números naturais, a soma do quociente com o divisor é igual a 42, o quociente é o quíntuplo do divisor e o resto é o maior possível. Nesse caso, o dividendo é um número inferior a 250. 13. CESGRANRIO/2008/Caixa Econômica Federal – Quantos números múltiplos de 7 ou de 11 há entre 1 e 1000? a) 90 c) 220 e) 232 b) 142 d) 229 14. FCC/2010/TCE – Sabe-se que N é o menor número inteiro positivo que multiplicado por 7 resulta em um número inteiro cujos algarismos são todos iguais a 2. Nessas condições, é correto afirmar que a) N 30 000 b) N é múltiplo de 11 c) produto dos algarismos que compõem N é 514 d) a soma dos algarismos que compõem N é 20 e) N 40 000 15. FCC/2011/TRT – 14a Região – Seja N um número inteiro e positivo que multiplicado por 7 resulta em número composto apenas por algarismos iguais a 2. Assim sendo, a soma de todos os algarismos que compõem N é igual a a) 12 c) 21 e) 27 b) 15 d) 24 16. FCC/2010/TRT – 12a Região – Sejam x e y números inteiros e x positivos tais que a fração é irredutível, ou seja, o máximo divisor y 0,00125 104 x , então x y é igual a comum de x e y é 1. Se 0,75 108 y a) 53 b) 35

c) 26 d) 17

e) 8

49


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17. FCC/2011/TRT – 24a Região – Sabe-se que Vitor e Valentina trabalham como Auxiliares de Enfermagem em uma empresa e, sistematicamente, seus respectivos plantões ocorrem a cada 8 dias e a cada 6 dias. Assim sendo, se no último dia de Natal – 25/12/2010 – ambos estiveram de plantão, então, mantido o padrão de regularidade, uma nova coincidência de datas de seus plantões em 2011, com certeza, NÃO ocorrerá em a) 18 de janeiro. b) 10 de fevereiro. c) 31 de março. d) 24 de abril. e) 18 de maio. Gabarito: 1

2

3

4

5

6

7

8

Falso Certo A

E

A

E

D

D

16

17

A

B

9

10

Falso Falso

11

12

13

14

15

C

C

C

B

C

50


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Cap.

3.

RA

O E PR O P O R

– ra

ão e

proporção

O

A razão entre dois números é obtida pela simples divisão entre eles. É uma forma de se comparar duas grandezas. Por exemplo, a razão 30 entre os números 30 e 6 é 5, pois 5. 6 Se em uma sala de aula existem 15 meninas e 10 meninos, a razão 15 3 entre meninas e meninos é de , ou seja, simplificando a fração, . 10 2 O que significa dizer que a cada 3 meninas há 2 meninos. NOTA A razão entre duas grandezas de mesma espécie não possui unidade de medida. A razão entre duas grandezas de espécies diferentes possui unidade de medida. Por exemplo, a largura de uma sala é de 6 metros, enquanto a altura é de 3 metros. A razão entre a largura e a altura é 2, sem o uso de unidade, pois trata-se de duas medidas de comprimento. Se uma medida fosse dada em metros e a outra em centímetro, por exemplo, seria necessário converter uma das duas medidas, antes de realizar a divisão para encontrar a razão. (Veja unidades de medida.) Por outro lado, razão entre uma distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-la necessita de uma unidade para defini-la. A velocidade de 100 km/h é a razão entre 100 km (unidade de comprimento) percorridos em 1 hora (unidade de tempo). 51


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Quando duas ou mais grandezas possuem uma razão em comum dizemos que são proporcionais. Por exemplo, a distância percorrida em 2 horas de viagem pode ser proporcional à distância percorrida em 5 horas de viagem. Para que isso ocorra, basta que haja uma razão em comum. Neste caso, a razão é a velocidade. 3.1. GRANDE

AS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Quando duas grandezas são diretamente proporcionais, aumentando-se uma, aumenta-se a outra, diminuindo-se uma, diminui-se a outra. Por exemplo: Um carro consome 10 litros de gasolina por quilômetro rodado. As duas grandezas, quantidade de gasolina e distância percorrida, são diretamente proporcionais, pois, aumentando-se a distância percorrida, aumenta-se a quantidade de gasolina gasta. Diminuindo-se a distância, diminui-se o gasto de gasolina. 3.2. GRANDE

AS INvERSAMENTE PROPORCIONAIS

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando-se uma, diminui-se a outra e vice-versa. Por exemplo: Um carro viaja a 120 km/h e chega a seu destino em 2 horas. As duas grandezas, velocidade e tempo, são inversamente proporcionais, pois, aumentando-se a velocidade, diminui-se o tempo. Diminuindo-se a velocidade, aumenta-se o tempo. Perceba que neste caso a distância é fixa, pois é ela a razão entre a velocidade e o tempo. 3.3. REGRA

DE TR S SIMPLES

Para realizar uma regra de três, primeiramente é preciso agrupar os parâmetros da mesma espécie (tempo, área, comprimento, peças, velocidade etc) em colunas. Nas linhas, ficarão os parâmetros de espécies diferentes em correspondência. Em seguida, é necessário identificar se os parâmetros são diretamente ou inversamente proporcionais. Se forem inversamente proporcionais, basta inverter a fração. Depois disto, basta multiplicar os termos “cruzados”. Veja os exemplos. Certa máquina é capaz de produzir 21 fraldas descartáveis em 3 minutos. Qual seria a produção em 10 minutos? 52


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Cap.

– ra

ão e

proporção

Aumentando-se o tempo, aumenta-se a produção, logo os parâmetros são diretamente proporcionais. Na mesma linha: 3 minutos equivalem a 21 fraldas.

Diretamente proporcional: fração não invertida.

3 21 10 x

Na mesma linha: 10 minutos equivalem a x fraldas.

Coluna de fraldas produzidas Coluna de tempo

NOTA Leia-se: Três minutos estão para 21 fraldas, assim como dez minutos estão para x fraldas. 3x 21 10

→ x

210 3

x 70 fraldas

→

Um carro viaja a 120 km/h e chega a seu destino em 2 horas. Em quanto tempo ele chegaria ao mesmo destino se viajasse a 80 km/h? Diminuindo-se a velocidade, aumenta-se o tempo da viagem, logo os parâmetros são inversamente proporcionais.

Coluna de velocidade

120 x 80 2

80x 120 2 → 3.4. REGRA

Inversamente proporcional: fração invertida.

x

Coluna de tempo 240 80

→

x 3 horas

DE TR S COMPOSTA

Se a regra de três é composta, ou seja, se possui mais de dois parâmetros, a identificação dos parâmetros direta ou inversamente proporcionais é feita em relação ao parâmetro que possui a incógnita x. Os parâmetros da mesma espécie também são mantidos em colunas e o parâmetro com a incógnita x permanece isolado depois da igualdade. Exemplos: Em um plano de saúde empresarial a mensalidade de cada participante individual é diretamente proporcional à sua respectiva idade e inversamente proporcional ao número de participantes do grupo. Em um grupo com 45 participantes a mensalidade de um indivíduo de 53


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35 anos é R$ 140,00. Se esse grupo tivesse 60 participantes, a mensalidade de um indivíduo com 43 anos seria: Quanto maior o número de participantes no grupo, menor será o preço da mensalidade. Logo, o parâmetro número de participantes é inversamente proporcional ao preço da mensalidade. Quanto maior a idade do participante, maior será o preço da mensalidade. Logo, a idade do participante é diretamente proporcional ao preço da mensalidade. No PARTICIPANTES

IDADE

45

35

60

43

Inversamente proporcional

Diretamente proporcional

Parâmetro com fração invertida

60 35 140 45 43 x

60 350 x 45 43 140 ⇒

x

MENSALIDADE 140

Parâmetro com incógnita isolado depois da igualdade

45 43 140 60 35

⇒

x 129 reais

✎ APLICAÇÃO EM CONCURSOS FUNRIO/2008/Prefeitura de Goytacazes – RJ – Em uma fotografia de satélite da f loresta amazônica, uma árvore de 25 metros aparece medindo 5 centímetros, e uma área de queimada aparece com 16 centímetros quadrados. A área real da queimada é a) 360 metros quadrados d) 560 metros quadrados b) 400 metros quadrados e) 600 metros quadrados c) 480 metros quadrados Solução: Uma escala representa a proporção do tamanho de certo desenho em relação ao tamanho do objeto real. Neste caso em questão, a fotografia está em uma escala de 5 cm 5 cm 1 . Ou seja, cada unidade da fotografia repre25 m 2.500 cm 500 senta 500 unidades da floresta amazônica. 54


07/03/12 16:16

Cap.

– ra

ão e

proporção

Agora, imagine uma área de desenho representada por 1 cm2, formado por dois lados de 1 cm (1cm 1 cm 1 cm2). A área de f loresta correspondente será de 500 cm por 500 cm. Ou seja, será uma área de 5002 cm2, que é igual a 250.000 cm2. Por simples regra de três encontra-se a área de f loresta correspondente a 16 cm2 na fotografia. 1 cm2 250.000 cm2 16 cm2 x

⇒ x

16 250.000 2 cm ⇒ 1

x 4.000.000 cm2

4.000.000 cm2 correspondem a 400 m2. (Veja unidades de medidas.) (Resposta: letra b) CESGRANRIO/2009/BNDES – Um automóvel parte para uma 3 viagem com o tanque cheio. Depois de percorrer do percurso des8 sa viagem, seu tanque está com a metade do combustível inicial. Nesse momento, o motorista para em um posto de gasolina e coloca 1 combustível correspondente a da capacidade do tanque. Conside3 rando que o consumo é diretamente proporcional à distância percorrida, ao final da viagem o tanque estará a) vazio 1 da sua capacidade 6 1 c) com da sua capacidade 4 b) com

1 da sua capacidade 3 1 e) com da sua capacidade 2 d) com

Solução: 3 1 8 2 Três oitavos do percurso estão para meio tanque de combustí5 x 8 3 vel, assim como cinco oitavos do percurso restante de viagem 1 8 estão para a quantidade de combustível requerida.

55


07/03/12 16:16


5 1 5 88 5 5 1 5 8 2 16 x 8 3 3 3 16 2 3 6 São necessários 8 8 5 mais do tanque de combustível para terminar a viagem. 6 O enunciado nos diz que em determinado momento o moto1 rista abasteceu o tanque com da capacidade do tanque. O tanque já 3 1 1 1 estava com de sua capacidade, ficando, portanto, com 2 3 2 23 5 do tanque. 6 6 5 Para que o motorista termine sua viagem são necessários do 6 tanque, a mesma quantidade existente. Logo, a viagem terminará com o tanque vazio. (Resposta: letra a)

✍ PRATICANDO 1. FCC/2009/TRT – 15a Região – Três Técnicos Judiciários – Alberico, Benivaldo e Corifeu – devem arquivar 340 processos e, para executar esta tarefa, decidiram dividir o total entre si, em partes diretamente proporcionais às suas respectivas idades. Sabe-se que: • Alberico tem 36 anos; • Benivaldo é o mais velho dos três e sua idade excede a de Corifeu, o mais jovem, em 12 anos; • caberá a Corifeu arquivar 90 processos. Nessas condições, é correto afirmar que a) as idades dos três somam 105 anos b) Benivaldo deverá arquivar 110 processos c) Corifeu tem 28 anos d) Alberico deverá arquivar 120 processos e) Benivaldo tem 35 anos 56


07/03/12 16:16

Cap.

– ra

ão e

proporção

2. ESAF/2008/CGU – As idades de três irmãos encontram-se na razão 4:6:8. Sabendo-se que a soma das idades é igual a 180 anos, então a idade do irmão mais velho, em anos, é igual a: a) 40 d) 70 b) 45 e) 60 c) 80 3. FCC/2008/TRT – 5a Região – Certa noite, dois técnicos em segurança vistoriaram as 130 salas do edifício de uma Unidade de um Tribunal, dividindo essa tarefa em partes inversamente proporcionais às suas respectivas idades: 31 e 34 anos. O número de salas vistoriadas pelo mais jovem foi a) 68 d) 62 b) 66 e) 60 c) 64 4. FCC/2011/TRT – 1a Região – A figura indica uma caixa de fósforos utilizada em uma maquete para representar um galpão. A escala horizontal dessa maquete é 1:1200, e escala vertical 1:250.

2 cm 5 cm

10 cm

As dimensões reais do galpão representado na maquete pela caixa de fósforo são a) 5 m por 24 m por 48 m. b) 5 m por 60 m por 120 m. c) 12,5 m por 60 m por 120 m. d) 50 m por 60 m por 120 m. e) 50 m por 240 m por 480 m. 57


07/03/12 16:16


5. FCC/2011/TRT – 14a Região – Ao serem contabilizados os dias de certo mês, em que três Técnicos Judiciários de uma Unidade do Tribunal Regional do Trabalho prestaram atendimento ao público, constatou-se o seguinte: – a razão entre os números de pessoas atendidas por Jasão e Moisés, 3 nesta ordem, era ; 5 – o número de pessoas atendidas por Tadeu era 120% do número das atendidas por Jasão; – o total de pessoas atendidas pelos três era 348. Nessas condições, é correto afirmar que, nesse mês a) Tadeu atendeu a menor quantidade de pessoas. b) Moisés atendeu 50 pessoas a mais que Jasão. c) Jasão atendeu 8 pessoas a mais que Tadeu. d) Moisés atendeu 40 pessoas a menos que Tadeu. e) Tadeu atendeu menos que 110 pessoas. 6. FCC/2011/TRF – 1a Região – Analisando o número de horas dedicadas à consulta a banco de dados nas quatro semanas de certo mês, um Técnico Judiciário verificou que o número de horas referente 3 – à primeira semana correspondeu a do total de horas das quatro 10 semanas; 4 – à segunda semana correspondeu a do referente à terceira semana; 5 – à quarta semana foi igual a 5. Se a soma das horas dedicadas a essa tarefa na primeira e na terceira semanas foi igual a 11, então o número de horas referente à segunda semana foi igual a a) 3 d) 6 b) 4 e) 7 c) 5 58


07/03/12 16:16

Cap.

– ra

ão e

proporção

7. FCC/2010 – DPE-SP – Com relação ao peso dos objetos A, B e C sabe-se que: – peso de A é o triplo do peso de C; – peso de C é a quarta parte do peso de B. Nas condições dadas, é correto dizer que o peso de B é 1 a) 12 vezes o peso de A d) do peso de A 2 4 b) do peso de A e) 25% do peso de A 3 3 c) do peso de A 4 8. FCC/2011/TRT – 24a Região – Do total de pessoas que visitaram uma Unidade do Tribunal Regional do Trabalho de segunda a 1 sexta-feira de certa semana, sabe-se que: o fez na terça-feira 5 1 e na sexta-feira. Considerando que o número de visitantes da 6 3 segunda-feira correspondia a do de terça-feira e que a quarta4 -feira e a quinta-feira receberam, cada uma, 58 pessoas, então o total de visitantes recebidos nessa Unidade ao longo de tal semana é um número a) menor que 150. d) divisível por 48. b) múltiplo de 7. e) maior que 250. c) quadrado perfeito. 9. FUNRIO/2008/SEDUC-RO – Sejam x, y, z números tais que x é diretamente proporcional a 2, y é diretamente proporcional a 3 e z é inversamente proporcional a 4. Se x y z 210, o valor xy de é z a) 720 d) 960 b) 810 e) 1010 c) 900 59


07/03/12 16:16


10. FCC/2009/TRT – 15a Região – Certo dia, Aléa e Aimar, funcionários de uma unidade do TRT, receberam 50 petições e 20 processos para analisar e, para tal, dividiram entre si todos esses documentos: as petições, em quantidades diretamente proporcionais às suas respectivas idades, e os processos, na razão inversa de seus respectivos tempos de serviço no Tribunal. Se Aléa tem 24 anos de idade e trabalha há 4 anos no Tribunal, enquanto Aimar tem 36 anos de idade e lá trabalha há 12 anos, é correto afirmar que a) Aléa deve analisar 5 documentos a mais do que Aimar b) Aléa e Aimar devem analisar a mesma quantidade de documentos c) Aimar deve analisar 20 petições e 5 processos d) Aléa deve analisar 10 petições e 20 processos e) Aimar deve analisar 30 petições e 15 processos Gabarito: 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

D

C

A

B

E

B

B

D

D

B

60


07/03/12 16:16

Cap.

4.

P O R C ENTA GE M E

– porCentageM e

Uros

RO S

4.1. PORCENTAGEM

Porcentagem é a centésima parte de um inteiro. Assim, assumindo-se 1 como o inteiro, 10% será 0,10. Ou seja, dez centésimos do inteiro 1. Desta forma, quando se quer encontrar, por exemplo, 12% de um número qualquer, basta multiplicar este número por 0,12 (andam-se duas casas para a esquerda com a vírgula). Veja mais alguns exemplos: • 1% → multiplica-se por 0,01; • 5% → multiplica-se por 0,05; • 10% → multiplica-se por 0,10; • 74% → multiplica-se por 0,74; • 85,7% → multiplica-se por 0,857 Agora, quando se deseja saber um determinado valor, acrescido de 57%, basta multiplicar o valor por 1,57. Pois, tem-se o valor original que representa 100%, mais a porcentagem que se queira acrescer, no caso, 57% (1 0,57 1,57). Analogamente ao exemplo anterior tem-se: • 1% → multiplica-se por 1,01; • 5% → multiplica-se por 1,05; • 10% → multiplica-se por 1,10; • 74% → multiplica-se por 1,74; • 85,7% → multiplica-se por 1,857 61


07/03/12 16:16


4.2. JUROS 4.2.1.

urossimples

Os juros simples nada mais são que o acréscimo de um valor percentual sobre um valor fixo a cada período de tempo. Por exemplo, possuo R$ 10.000,00 e aplico-os por 3 meses a uma taxa de juros simples de 1% ao mês. Tem-se: • 1% de 10.000 é igual a 10.000 0,01 100 • A cada mês, será acrescido o valor de R$ 100,00 Ao final dos 3 meses teremos o valor inicial mais os juros rendidos: • R$ 100,00 3 meses R$ 300,00 de juros • R$ 10.000,00 R$ 300,00 R$ 10.300,00 valor inicial mais o valor dos juros. Note que no cálculo dos juros simples os juros são calculados sempre sobre um mesmo valor fixo, no caso R$ 10.000,00. Este valor fixo (R$ 10.000,00) também é chamado de capital (C). O valor resultante, no caso R$ 10.300,00, é chamado de montante (M). E o 1% ou 0,01 representa a taxa de juros (i) aplicada em um determinado tempo (t). Assim, a fórmula utilizada no cálculo de juros simples é: M C (1 i t)

NOTA Cabe lembrar que se a taxa de juros (i) aplicada fosse, por exemplo, diária, semanal ou anual, o tempo (t) passaria a ser dado em dias, semanas ou anos, respectivamente. 4.2.2.

uroscompostos

No cálculo dos juros compostos, o acréscimo do valor percentual não é dado sobre um valor fixo, e sim sobre a última montante. É o famoso “juros sobre juros”. Tomando o mesmo exemplo anterior, teremos a seguinte situação: Possuo R$ 10.000,00 e aplico-os por 3 meses a uma taxa de juros compostos de 1% ao mês. • 1% de R$ 10.000,00 é igual a R$ 10.000 0,01 R$ 100 No primeiro mês são acrescidos 100 reais R$ 10.000,00 R$ 100,00 R$ 10.100,00 62


07/03/12 16:16

Cap.

– porCentageM e

Uros

• 1% de 10.100 é igual a R$ 10.100 0,01 R$ 101 No segundo mês serão acrescidos 101 reais R$ 10.100,00 R$ 101,00 R$ 10.201,00 • 1% de 10.201 é igual a R$ 10.201 0,01 R$ 102,01 No terceiro mês serão acrescidos 102,01 reais R$ 10.201,00 R$ 102,01 R$ 10.303,01 A fórmula direta para determinação do montante nos cálculos de juros compostos é: M C (1 i )t Ao aplicarmos a fórmula direta para o exemplo anterior encontraremos o mesmo resultado: 10.000 (1 0,01)2 10.000 1,30301 R$ 10.303,01

✎ APLICAÇÃO EM CONCURSOS CESGRANRIO/2008/Caixa Econômica Federal – Um empréstimo de R$ 300,00 será pago em 6 prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo, com juros de 4% ao mês sobre o saldo devedor, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da quarta prestação será a) 50,00 c) 54,00 e) 58,00 b) 52,00 d) 56,00 Solução: TEMPO

JUROS (R$)

INÍCIO

–

–

SALDO DEVEDOR (R$) 300,00

1O MÊS

300 0,04 12

300 6 12 50 12 62

300 50 250

2O MÊS

250 0,04 10

250 5 10 50 10 60

250 50 200

3O MÊS

200 0,04 8

200 4 8 50 8 58

200 50 150

4O MÊS

150 0,04 6

150 3 6 50 6 56

150 50 100

5O MÊS

100 0,04 4

100 2 4 50 4 54

100 50 50

6O MÊS

50 0,04 2

50 1 2 50 2 52

50 50 0

PARCELA

JUROS

(R$)

63


07/03/12 16:16


O valor da 4o parcela será de R$ 56,00. No sistema de amortização constante, do saldo devedor é abatido (amortizado) sempre um valor constante. É amortizado o valor da parcela sem os juros. Ou seja, o valor do saldo devedor dividido pelo número de parcelas restantes. (Resposta: letra d) CESPE/2009/MCT – FINEP – Determinada instituição financeira reajusta o capital investido à taxa de juros compostos de 5% ao mês, nos primeiros seis meses, e 10% ao mês, após o sexto mês. Considerando que o capital de R$ 5.000 tenha sido investido nessa instituição, é correto concluir que o valor dos juros resultantes dessa aplicação, ao final do oitavo mês, será a) inferior a R$ 1.500 b) superior a R$ 1.500 e inferior a R$ 3.000 c) superior a R$ 3.000 e inferior a R$ 4.500 d) superior a R$ 4.500 e inferior a R$ 6.000 e) superior a R$ 6.000 Solução: Nos 6 primeiros meses: M C (1 i)t ⇒ M 5.000 1,056

⇒

M 5.000 (1 0,05)6 M 5.000 1,34 ⇒

M 6.700

Nos próximos 2 meses: M 6.700 (1 0,1)2 ⇒ M 6.700 1,21

⇒

M 6.700 1,12

M 8.107

Total de juros: 8.107 5.000 3.107

(Resposta: letra c)

✍ PRATICANDO 1. CESGRANRIO/2008/Caixa Econômica Federal – O gráfico a seguir representa as evoluções no tempo do Montante a Juros Simples e do Montante a Juros Compostos, ambos à mesma taxa de juros. 64


07/03/12 16:16

Cap.

– porCentageM e

Uros

M é dado em unidades monetárias e t, na mesma unidade de tempo a que se refere a taxa de juros utilizada. Analisando-se o gráfico, conclui-se que para o credor é mais vantajoso emprestar a juros a) compostos, sempre b) compostos, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo c) simples, sempre d) simples, se o período do empréstimo for maior do que a unidade de tempo e) simples, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo Montante (M) Composto Simples C0 1

tempo (t)

2. CESPE/2009/MCT – FINEP – Em determinado município, constatou-se que existiam 2.000 crianças em idade escolar, mas apenas 1.850 delas encontravam-se matriculadas na rede de ensino. Sabe-se, ainda, que 85% das crianças desse município em idade escolar estão inscritas no programa bolsa-família do governo federal, das quais 1.600 estão matriculadas em alguma escola da referida rede de ensino. Com relação a essa situação hipotética, é correto afirmar que o número de crianças do referido município em idade escolar que não estão matriculadas na rede de ensino desse município e não estão inscritas no programa bolsa-família do governo federal é igual a a) 50 d) 200 b) 100 e) 250 c) 150 65


07/03/12 16:16


3. CESPE/2009/MCT – FINEP – Considerando que o capital inicial C0 seja aplicado em uma instituição financeira que paga juros compostos à taxa de i% ao ano, que o montante obtido no final de Cn anos seja representado por Cn (n 0; 1; 2; ...) e que 1,34 é um valor aproximado de 1,056, assinale a opção correta. a) Se C0 R$ 5.000 e i 5, então o montante no final de 6 anos, C6 é inferior a R$ 6.500 C C b) Se então 7 1,5; 8 1,5; C5 C6 c) Se C2 2C0, então i 100 d) Se C3 R$ 13.310 e i 10; então C0 era superior a R$ 10.500 e) Se C5 R$ 5.200 e C6 R$ 5.512; então i 12 4. VUNESP/2008/CREAP-SP – Ao fazer uma pesquisa de preços de produtos alimentícios, Rafael observou que a diferença de preço de certo produto chegava a 110% entre os principais fornecedores. Entre os preços pesquisados desse produto, o maior era de R$ 16,80, então o menor foi de a) R$ 7,50 d) R$ 9,00 b) R$ 8,00 e) R$ 9,50 c) R$ 8,50 5. ESAF/2008/CGU – Adaptado – Uma pequena cidade possui 10.000 habitantes, dos quais 40% são produtores rurais e 60% são do sexo masculino. Sabe-se que 40% das mulheres são produtoras rurais. Desse modo, o número de habitantes do sexo masculino e que não são produtores rurais é igual a: a) 1750 d) 6000 b) 2200 e) 4000 c) 3600 6. FCC/2011/TRT – 19a Região – Um ônibus viajava com um número inicial x de passageiros. Ao realizar a primeira parada, 40% desses passageiros desembarcaram. Logo após, entraram no ônibus 20% da quantidade de passageiros que estavam no ônibus após o 66


07/03/12 16:16

Cap.

– porCentageM e

Uros

desembarque. Desse modo, o número final de passageiros no ônibus correspondia a 54. A quantia correspondente ao valor de x é igual a: a) 60

c) 75

b) 72

d) 80

e) 90

7. FCC/2010/DPE-SP – Certa fita adesiva custa R$ 3,20 quando vendida em rolo com 2,4 metros. Um rolo com 3 metros de fita é vendido com desconto de 10% sobre o preço calculado proporcionalmente ao rolo de 2,4 metros. Nas condições dadas, a diferença de preço entre os rolos de 3 e 2,4 metros, nessa ordem, é de a) 20 centavos

c) 40 centavos

b) 30 centavos

d) 50 centavos

e) 60 centavos

8. ESAF/2009/Receita Federal – No sistema de juros compostos um capital PV aplicado durante um ano à taxa de 10% ao ano com capitalização semestral resulta no valor final FV. Por outro lado, o mesmo capital PV, aplicado durante um trimestre à taxa de i t % ao trimestre resultará no mesmo valor final FV, se a taxa de aplicação trimestral for igual a: a) 26,25%

c) 13,12%

b) 40%

d) 10,25%

e) 20%

9. CESGRANRIO/2007/Refap – Petrobras – Um investidor aplicou R$ 100,00 no início do mês e recebeu R$ 2,00 no início de cada um dos cinco meses subsequentes. No começo do sexto mês recebeu R$ 102,00. Qual foi a taxa de juros de sua aplicação? a) 12% a. m

c) 1% a. m

e) 2% ao semestre

b) 2% a. m

d) 12% a. a

Gabarito: 1

2

3

4

5

6

7

8

9

E

A

B

B

C

C

C

D

B 67


07/03/12 16:16


5.

POT N CI A S E RA Í E S

Potência é, simplificadamente, a multiplicação de fatores iguais. No exemplo a seguir o número b é chamado de base e o número 3 é chamado de expoente. b b b b3 123 Três fatores iguais Potência: b ‘elevado’ a 3 5.1. OPERAÇÕES

COM POT NCIAS

• am an am n am • n am n a • (am)n am n • (a b)m am bm a m am • m b b

• am

m

a 1

1m 1 m (a 0) a am

Quando o expoente é negativo,

inverte-se a base e o expoente passa a ser positivo. NOTA

Veja alguns expoentes especiais:

• Todo número elevado a zero é igual a 1

a0 1

• Zero elevado a qualquer número é igual a zero

0m 0

• Um elevado a qualquer número é igual a um

1m 1

• Todo número elevado a 1 é igual a ele mesmo

a1 a

68


07/03/12 16:16

Cap.

– pot

nCias e

raí

es

xemploscomexpoentesinteiros

5.1.1.

• 34 32 34 2 36 3 3 3 3 3 3 729 82 1 1 • 5 82 5 83 3 8 512 8 • (22)4 22 4 28 256 • (4 5)2 42 52 •

5 10

3

103 1000 8 125 53

xemploscomexpoentesfracion rios

5.1.2.

1 4

1

1 1 2

• 3 32 34 1

•

82 8

1 5

1

82

1 1 4

10

1 5

1 3

1 2

4

10 5

1

38

8

52 10

3

810

1

22

•(4 5)

5

1 1 4

• 22

•

1 1 1 1 1 42 52 16 25 400

28 1 2

1 3

1 3

5.2. OPERAÇÕES

5

1 2

1 4

1 2

1 1

52

1

23

COM RAÍ ES

No exemplo a seguir, o número b é chamado de radicando e o número 3 é chamado de índice da raiz. 3

√b b b b 2

• √ 25 5, pois 5 5 25 3

• √ 8 2, pois 2 2 2 8 As raízes também podem ser representadas na forma de potências com expoentes fracionários. Nestes casos, o índice da raiz (i) passa a 1 ser o expoente sob a forma i 69


07/03/12 16:16


m

n

√ an a m

Desta forma, as potências dos exemplos anteriores, ficam: 1

8

• 38 √ 3 3

10

• 8 10 √ 83 1

8

• 28 √ 2 1

•

4

1 2

1

5

1 3

1 2

1 1 2 2 √4 √5

3

• 2 √2

Analogamente às propriedades de potências, temos a seguir as propriedades das raízes. m

m

m

• √a √b √a b m

•

a √a m b √b

m

n

(b 0)

• √ a √ an m

• √√a n m m

• √ an

NOTA

m

nm

√a

mp

√ an p

Veja algumas propriedades de raízes:

• Quando a raiz estiver sem o seu índice, trata-se de raiz quadrada √ a √ a 2

• Raiz de zero é igual a zero √ 0 0 • Se o radicando for um número negativo, o índice da raiz deverá ser ímpar para que a raiz exista no conjunto dos números reais (). (Veja números complexos em conjuntos.) 3

✓ Índice par: √ 125 5, pois, (5) (5) (5) 125 2

✓ Índice ímpar: √ 25 não existe em R, pois (5) (5) 25 70


07/03/12 16:16

Cap.

– pot

nCias e

raí

es

xemplosdeoperaçõescomra es

5.2.1. 3

3

3

3

• √ 3 √ 9 √ 3 9 √ 27 3 4

32 4 √ 32 4 √ 16 2 4 2 √2

•

2

• √ 32 √ 322 √ 1024 4 5

5

5

• √√ 64 √ 64 √ 64 2 2 3 2

23

6

22

2

• √ 43 √ 43 2 5.2.2.

4

⇒ √ 64 √ 46

⇒

4

8 √ 4096

⇒

88

acionali açãodedenominadores

Existem frações cujo denominador é uma raiz não perfeita, ou seja, é um número irracional. (Veja números irracionais em conjuntos.) A racionalização de denominadores consiste em se obter uma fração equivalente com denominador racional. Isto é feito multiplicando-se o denominador por um fator racionalizante de modo a se eliminar o radical do denominador. n

n

• Denominador do tipo: a √ b ⇒ fator racionalizante: √ bn 1 • Denominador do tipo: (a √ b ) ⇒ fator racionalizante: (a √ b ) Exemplos: •

4√ 3 4√ 3 4 4 √3 ⇒ 3 √ 32 √3 √3 √3

•

2 2 √2 2√ 2 2√ 2 2√ 2 √2 ⇒ 2 5 2 10 5 5 √2 5√ 2 5√ 2 √ 2

•

√ 52 3√ 25 3√ 25 3 3 3√ 52 ⇒ 3 3 2 3 21 3 3 3 5 √5 √5 √5 √5 √5

3

•

3

3

3

4 4 5 √ 7 4 5 √ 7 4 5 √ 7 4 5 √ 7 ⇒ 2 2 25 7 18 5 √ 7 5 √7 5 √7 5 √7

(Veja números notáveis em equações de 2o grau, equações e funções.) 5.3. POT

NCIA DE DE

NOTAÇÃO CIENTÍFICA

A notação científica utiliza a potência de base 10 para abreviar números muito grandes ou muito pequenos. Escreve-se na forma (a 10b ). 71


07/03/12 16:16


De maneira prática, podemos dizer que o expoente da potência de 10 indica que iremos aumentar ou diminuir os “zeros” ou movimentar a vírgula para a direita ou a esquerda. Por exemplo, considere a potência a 10b . Se b for positivo iremos aumentar o número a inserindo zeros à direita, ou deslocar a vírgula para a direita. Se b for negativo iremos diminuir o número a, retirando zeros ou deslocando a vírgula para a esquerda.Veja alguns exemplos: OPERAÇÃO

AÇÃO

REALIZADA

67 103 67000

Acrescentamos 3 zeros à direita do 67.

0,0765 104 765

Deslocamos a vírgula 4 casas à direita.

43 103 0,043

Deslocamos a vírgula 3 casas à esquerda. Lembre-se de que a vírgula encontrava-se no final do número (43,0).

0,898 105 0,00000898

Deslocamos a vírgula 5 casas à esquerda.

56000 102 560

Retiramos 2 zeros.

75818 107 0,075818 1013 Deslocamos a vírgula 6 casas à esquerda.

✎ APLICAÇÃO EM CONCURSOS FUNRIO/2008/CBM – O valor de √ 1,936 10 é a) 4,8 d) 4,5 b) 4,7 e) 4,4 c) 4,6 Solução: Precisamos decompor o número para tentar extraí-lo do radical. Essa decomposição é feita por fatoração. Para fatorá-lo iremos adotar um número inteiro, sem parte decimal. Assim, vamos fatorar o número 1936. 1,936 1936 103 vírgula deslocada três casas. √ 1936 103 10 √ 1936 102 72


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Cap.

– pot

nCias e

raí

es

Fatorando o número 1936, teremos: 1936 968 484 242 121 11 1

2 2 2 2 11 11

1936 = 22 22 112 Como o radical é uma raiz quadrada, podemos extrair, do radical, os números com expoente igual a dois.

√ 1936 102 √ 22 22 112 102 2 2 11√ 102 44√ 102

Agora, passando o expoente 2 para fora do radical, teremos: Observe que o índice da raiz virou o denominador da fração e o expoente virou o numerador. 2

44√ 102 44 10 2 44 101 44 0,1 4,4

(Resposta: letra e) FCC/2009/ TRT – 15 Região – Muitas vezes nos deparamos com um número expresso na chamada notação científica, ou seja, representado como produto de um número x, com 1 x 10, por uma potência de 10, como mostram os exemplos: 12.300 1,23 104 e 0,00031 3,1 104. Na notação científica, a representação do 225.000 0,00008 valor da expressão é: 0,0144 c) 1,25 102 e) 1,25 102 a) 1,25 103 b) 1,5 103 d) 2,5 102 Solução: Primeiramente, vamos colocar todos os números expressos na forma de notação científica. • 225.000 2,25 105 Do número expresso por notação científica para o número expresso na forma comum, deslocam-se 5 casas para a direita. • 0,00008 8 105 Do número expresso por notação científica para o número expresso na forma comum, deslocam-se 5 casas para a esquerda. 73


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• 0,0144 1,44 102 2,25 105 8 105 (2,25 8) 105 5 18 100 18 1 1,44 102 1,44 102 1,44 102 1,44 102 18 (102)1 12,5 102 1,25 103 1,44

(Resposta: letra a)

✍ PRATICANDO 1. FCC/2008/TRT – 18a Região – Na notação científica, um número é escrito como um produto de dois números x e y, tais que 1 x 10 e y é uma potência de 10. Assim, por exemplo, a notação científica do número 0,08016 é 8,016 102 . Com base 123 123 x

y

nessa informação, é correto afirmar que a notação científica do 0,00625 2,04 número A é 1,5 d) 7,5 103 a) 8,5 104 b) 7,5 104 e) 8,5 102 c) 8,5 103 2. FCC/2011/Banco do Brasil – Qual das expressões seguintes NÃO é equivalente a 0,0000000625? 5 125 d) 106 109 a) 16 2 5 b) 107 e) 625 1010 8 25 c) 108 4 3. CONESUL/2008/Correios – GO – Calculando o valor de 5 30 6 (7 1) encontra-se 1 23 + 3 13 23 24 a) c) e) 2 2 5 13 17 b) d) 4 2 74


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Cap.

– pot

nCias e

raí

es

4. CONESUL/2008/Correios – GO – A solução de √ 2 √ 9 16 é a) 3 d) 6 b) 4 e) 7 c) 5 5. FCC/2010/TCE-SP – Desenvolvendo (√ 27 √ 3 √ 2)2 obtém-se um número da forma x y √ z, em que x, y e z são racionais. Nessas condições a soma x y z é um número a) Cubo perfeito d) Maior que 70 b) Menor que 50 e) Divisível por 6 c) Primo 6. CESPE/2009/MCT-FINEP – Se s = r √ 2 em que r e s são números racionais, e se s [2; 2], então s é igual a a) 2 d) 1 b) 1 e) 2 c) 0 7. CESPE/2009/CEHAP-PB – Assinale a opção correta acerca dos números reais positivos x e y. a) √ x2 y2 x y b)

4 2 2 xy x y

c) (x y)2 2xy 0 d)

xy

1

1

xy x y

8. FCC/2011/TRT – 24a Região – Indagado sobre o número de processos que havia arquivado certo dia, um Técnico Judiciário, que gostava muito de Matemática, respondeu: “O número de processos que arquivei é igual a 12,25² 10,25²”. Chamando X o total de processos que ele arquivou, então é correto afirmar que: a) X 20 d) 38 X 42 b) 20 X 30 e) X 42 c) 30 X 38 75


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18y 9. FUNRIO/2008/SEDUC-RO – Se 2x 3y 1 então 2 x y é: a) 3 d) 1 b) 1 e) 2 c) 0 Gabarito: 1

2

3

4

5

6

7

8

9

C

A

E

E

A

C

D

E

E

76


07/03/12 16:16

Cap.

6. 6.1.

– geoMetria

G EOM E TR I A

NGULOS

Ângulos são aberturas formadas por dois segmentos de retas e podem ser medidos em graus (º) ou em radianos (rad). NOTA Normalmente, os ângulos são identificados por letras gregas minúsculas (, , , etc.). Enquanto as retas, por letras latinas minúsculas (r, s, t etc.), os pontos, por letras latinas maiúsculas (A, B, C etc.) e os planos, também por letras gregas minúsculas (, , , etc.). Veja algumas nomenclaturas para os ângulos. • Reto: ângulo que mede exatamente 90º.

90º

1 rad 2

• Raso: ângulo que mede exatamente 180º.

180º rad 77


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• Giro ou Completo: ângulo que mede exatamente 360º. 360º 2 rad

• Obtuso: ângulo maior que 90º e menor que 180º.

Ângulo obtuso

• Agudo: ângulo maior que 0º e menor que 90º. Ângulo agudo

A conversão do ângulo em graus em ângulo em radianos ou do ângulo em radianos em ângulo em graus é feita por simples regra de três. (Veja regra de três em razão e proporção.) Por exemplo: qual é o ângulo em radianos equivalente a 240º? Sabe-se que 180º corresponde a um radiano. Assim, quantos radianos equivalem a 240º? 180 rad 240 rad 4 rad ⇒ 180x 240 rad ⇒ x ⇒x 240 x 180 3 6.1.1.

nguloscongruentesesuplementares

Dois segmentos de retas que se cruzam formam quatro ângulos. O ponto de intersecção dos dois segmentos de retas é o vértice dos ângulos. 78


07/03/12 16:16

Cap.

– geoMetria

Quando se tem dois ângulos opostos pelo vértice podemos afirmar que estes dois ângulos têm medidas iguais, ou seja, são congruentes. Na figura a seguir os ângulos e são opostos pelo vértice. E os ângulos e também são opostos pelo vértice.

e

Duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal formam 8 ângulos. A figura a seguir ilustra esta situação. As retas r e s são paralelas entre si, e a reta t é transversal a ambas. t

τ φ ρ

r

s

ν

Sabendo que os ângulos opostos pelo vértice são iguais, podemos inferir que: • • • •

Considere os ângulos que estão na área sombreada da figura anterior, entre as duas retas paralelas. Estes ângulos são chamados de INTERNOS. Os demais são chamados de EXTERNOS. • INTERNOS: , , , • EXTERNOS: , , ,

79


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Há ainda outras relações de congruência. Como as retas r e s são paralelas, temos a formação de ângulos CORRESPONDENTES. São ângulos que estão do mesmo lado da reta transversal t, sendo um ângulo interno e o outro, externo. Assim, podemos inferir que: • • •

• Unindo-se as duas relações de congruência temos: • •

Ângulos que estão em lados diferentes da reta t são chamados de ALTERNOS. Se ambos forem internos serão chamados de ALTERNOS INTERNOS. Analogamente, se ambos forem externos, de ALTERNOS EXTERNOS. Os ângulos alternos também são congruentes. • ALTERNOS INTERNOS: , • ALTERNOS EXTERNOS: , Os ângulos que estão do mesmo lado da reta t, sendo ambos internos, são chamados de COLATERAIS INTERNOS. Se estiverem do mesmo lado da reta t e ambos forem externos, são chamados de COLATERAIS EXTERNOS. Ângulos colaterais não serão congruentes e sim, complementares. Ou seja, a sua soma será igual a 180º. • COLATERAIS INTERNOS: 180º, 180º • COLATERAIS INTERNOS: 180º, 180º 6.2. CIRCUNFER

NCIA

Circunferência é o conjunto de pontos que estão a uma distância r do centro c, em um plano. Da definição acima concluímos que o raio será o segmento que une o centro da circunferência a qualquer ponto dela. O diâmetro, por 80


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Cap.

– geoMetria

sua vez, será o segmento que liga dois pontos da circunferência, passando pelo centro. Desta forma, o diâmetro será sempre o dobro do raio. centro 2R D

raio

diâmetro

6.2.1. Posiçõesrelativasentreretasecircunferências

Uma reta qualquer pode ser tangente, secante ou externa a uma circunferência. As retas tangentes são aquelas que ‘encostam’ um único ponto na circunferência. Um raio que ligar o centro ao ponto de tangência sempre fará 90º com a reta tangente. Ângulo de 90º

io

ra

ponto de tangência

Reta tangente

B

co

rd a

Reta secante é aquela que “corta” a circunferência sem passar pelo centro. O segmento da reta que se encontra dentro da circunferência chamamos de corda. Seja a corda da circunferência o segmento AB. Se um raio que corta esta corda fizer 90º com ele, o raio estará dividindo a corda em duas partes iguais. Ou seja, AC BC.

C Reta secante

A 81


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Uma reta externa a uma circunferência não interceptará a circunferência em qualquer ponto.

Reta externa

Teorema de Pitot: Considere uma figura qualquer de quatro lados (quadrilátero), como mostrado na figura abaixo, à esquerda. Este quadrilátero é formado pelos segmentos AB, BC, CD e AD. Se for possível colocar dentro deste quadrilátero uma circunferência, de modo que os quatro lados do quadrilátero tangencie a circunferência (pontos T1, T2, T3 e T4), então poderemos fazer a seguinte afirmação: A soma das medidas dos lados opostos são iguais. AB CD BC + AD. Este teorema pode ser determinado pelo seguinte fato, descrito abaixo: Pontos de tangência B

T1

C

P

A

T3

T2

D A

T4

B

Observe a figura acima, à direita. Há duas retas tangentes à circunferência. Elas tangenciam a circunferência nos pontos A e B, respectivamente, e se encontram no ponto P. Podemos afirmar que o segmento AP é de mesmo tamanho (congruente) que o segmento BP. 82


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Cap.

– geoMetria

Assim, podemos afirmar, com relação à primeira figura do teorema de Pitot, que os seguintes segmentos têm exatamente os mesmos comprimentos: • AT2 e AT4 • DT3 e DT4 • CT1 e CT3 • BT1 e BT2 6.2.2. Onúmeropi

O número pi (representado pela letra grega ) é uma constante de proporção entre o comprimento de uma circunferência qualquer e o seu diâmetro. Ou seja, dividindo-se o perímetro (a medida do contorno) de uma circunferência pelo seu diâmetro, o resultado será sempre o mesmo, para qualquer circunferência. O número pi é uma dízima infinita. Na maioria das vezes utiliza-se seu valor com apenas duas casas decimais. 3,14 6.2.3.

reaeper metrodecircunferênciasearcos

A área de qualquer circunferência é dada por: Área raio2

ou

Área

diâmetro2 4

Já o perímetro é dado por: Perímetro 2 raio

ou

Perímetro diâmetro

Para se encontrar a área ou o perímetro de um setor de uma circunferência, ou seja, de um arco de circunferência, basta fazer a proporção, utilizando uma regra de três simples. Por exemplo: determinar a área e o perímetro de um arco de 30º. De acordo com o item anterior, podemos verificar que 30º corres1 pondem a rad. 6 83


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Primeiramente vamos encontrar a área compreendida entre o arco e os raios. arco

m 5c o i Ra 30º Raio 5 cm

360º 30º raio2 área procurada (A) ou 1 rad 2 rad 6 2 raio área procurada (A)

Leia-se: 360 graus está para raio2, assim como 30 graus está para a área procurada. Ou, 2 pi radianos está para raio2, assim como 1 pi radianos está para a área procurada. Logo; 6 360º 30º 750 25 ⇒ 25 30 A 360 ⇒ A ⇒ A 52 A 360 12

ou

1 rad 1 2 rad 6 ⇒ 25 rad A 2 rad 2 6 5 A 1 25 rad 25 1 25 6 A ⇒ A 6 2 12 2 rad

Sabendo-se que é aproximadamente 3,14, a área será A

25 3,14 ⇒ A 6,54 cm2 12

Agora, vamos determinar o perímetro do arco. 1 rad 360º 30º 2 rad 6 ou 2 raio perímetro procurado (P ) 2 raio perímetro procurado (P) 360º 30º 360 5 ⇒ 10 30 P 360 ⇒ P ⇒ P 25 P 360 6 5 3,14 P ⇒ P 2,62 cm 6

ou

1 rad 1 2 rad 6 ⇒ 10 rad P 2 rad 6 25 P 1 10 rad 10 rad 5 6 P ⇒ P= 2 6 rad 6 2 rad 5 3,14 P ⇒ P 2,62 cm 6 84


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Cap.

– geoMetria

✎ APLICAÇÃO EM CONCURSOS CESPE/2008/PRF 1 cm

1 cm

1 cm

1 cm

1 cm

1 cm

2 cm

1 cm

1 cm 1 cm 2 cm Figura I

1 cm Figura II

Figura III

2 cm

2 cm Figura IV

2 cm

2 cm Figura V

Considerando, em relação às figuras acima, que, na figura I, as 4 curvas são quartos de círculo; nas figuras II, III e IV, as curvas são 2 semicírculos; na figura V, aparece 1 quarto de círculo e, interno a ele, um semicírculo, nessa situação, as figuras em que as partes sombreadas têm áreas iguais são: a) I e IV d) II e V b) I e V e) III e IV c) II e III Primeiramente, temos que reconhecer em cada figura o valor do raio de cada círculo, ou semicírculo ou quarto de círculo. Figura I: A área sombreada é formada por um quadrado subtraído da área formada por 4 quartos de círculos. Ou seja, se juntarmos os 4 quartos de círculos, a área branca será formada por um círculo inteiro de raio igual a 1 centímetro. área do quadrado 2 2 4 cm2 (Veja área de polígonos em polígonos, geometria plana.) 85


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área do círculo r2 12 cm2 área sombreadafigura I (4 )cm2 1 cm

1 cm

1 cm

1 cm

1 cm

1 cm

2 cm 1 cm R 1 cm 2 cm Figura I

3 de um círculo de raio 4 igual a 1 cm, subtraído de dois semicírculos de diâmetro igual a 1 cm. O raio do círculo maior é o diâmetro do semicírculo menor. Logo, o raio dos semicírculos é igual a 0,5 cm. Juntando-se os dois semicírculos, temos um círculo de raio 0,5 cm.

Figura II: A área sombreada é formada por

área do círculo maior r2 12 cm2 área do círculo menor r2 0,52 0,25 cm2 3 área sombreadafigura II 0,25 cm2 4

área sombreadafigura II (0,75 0,25) 0,5 cm2

D 1 cm

Figura II

Figura III: Novamente temos um círculo maior, de raio igual a 1 cm, e dois semicírculos menores de diâmetro igual a 1 cm. Um destes semicírculos está sombreado e o outro, não. 3 Assim, a área sombreada será do círculo maior, acrescida de 4 um semicírculo menor e subtraída de um semicírculo menor. Conse3 quentemente, a área sombreada será simplesmente do círculo maior. 4 86


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Cap.

área sombreadafigura III

– geoMetria

3 3 r2 12 0,75 cm2 4 4

1 cm D 1 cm

Figura III

Figura IV:Temos aqui um semicírculo sombreado de diâmetro igual a 2 cm, ou seja, raio igual a 1 cm. O restante da área sombreada é formado a partir de um retângulo de lados A e B, com 1 e 2 centímetros de comprimento, respectivamente. Deste retângulo é subtraída a área de um semicírculo de diâmetro igual a 2 cm (raio igual a 1 cm). Se substituirmos o semicírculo branco do retângulo pelo semicírculo sombreado, a área sombreada da figura IV será simplesmente a área do retângulo. área sombreadafigura IV A B 1 2 2 cm2

(Veja área de polígonos em polígonos, geometria plana.)

D 2 cm

D 2 cm

B 2 cm

A 1 cm

2 cm

2 cm Figura IV

1 de círculo sombreado, com 4 raio igual a 2 cm. Deste quarto de círculo, subtraímos um semicírculo branco, de diâmetro igual a 2 cm (raio igual a 1 cm).

Figura V: Finalmente, na figura V temos

r2 22 4 1 cm2 do círculo maior 4 4 4 4 r2 12 1 área do círculo menor 0,5 cm2 1 2 2 área sombreadafigura IV ( 0,5 ) 0,5 cm2 área de

87


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D 2 cm


2 cm

R 2 cm 2 cm Figura V

As figuras que possuem áreas sombreadas iguais são as figuras II e V. (Resposta: letra d). 6.3. TRI

NGULO

É uma figura geométrica formada por três lados e três ângulos. É a figura mais utilizada nas soluções de problemas geométricos, pois outros polígonos podem ser divididos, formando triângulos e viabilizando uma determinada solução. Portanto, é de suma importância o aprendizado de todas as suas propriedades. A

b

a

B

C

c

• Lados do triângulo: segmentos de reta a, b, c • Vértices do triângulo: pontos A, B, C • Ângulos internos do triângulo: 6.3.1. Condiçãodeexistência

Para que um triângulo seja formado é necessário que cada lado do triângulo seja menor que a soma dos outros dois lados. b

9,3

a

5,9 c

5,3

88


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Cap.

– geoMetria

• Lado a Tem que ser menor que a soma de b e c: 5,9 (5,3 9,3) • Lado b Tem que ser menor que a soma de a e c: 9,3 (5,9 5,3) • Lado c Tem que ser menor que a soma de a e b: 5,3 (5,9 9,3) NOTA Se o maior lado (no caso, o lado b 9,3) atender à condição de ser maior que a soma dos outros dois lados (9,3 5,9 5,3), as outras condições serão necessariamente atendidas. 6.3.2. Classificaçãodostriângulos

Existem três tipos de triângulos, a saber: Triângulo equilátero: possui os três lados iguais. Triângulo isósceles: possui apenas dois lados iguais. Triângulo escaleno: possui os três lados diferentes.

equilátero

isósceles

escaleno

Um triângulo equilátero terá sempre três ângulos de 60º (180 3 60). 6.3.3.

omadosângulosinternosdeumtriângulo

A soma dos ângulos internos de um triângulo será sempre 180 graus. Assim, um triângulo equilátero, por exemplo, terá três ângulos de 60º, já que os três ângulos são iguais.

60º 180º 89


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6.3.4.

egmentosnot veisdeumtriângulo

São segmentos que partem de um dos vértices do triângulo até o lado oposto. Mediana: segmento que vai de um vértice até o meio do lado oposto. O encontro das medianas é conhecido por baricentro. Bissetriz: segmento que divide um ângulo interno ao meio e se estende até o lado oposto. O encontro das bissetrizes dos ângulos internos é denominado incentro. Altura: segmento que parte de um vértice e forma um ângulo de 90 graus (reto) com o lado oposto. Cada lado do triângulo terá uma altura correspondente. O encontro das alturas é denominado ortocentro.

a O lado “a” foi dividido ao meio pela mediatriz

O ângulo interno foi O ângulo , formado pela dividido ao meio pela bissetriz altura, possui 90 graus

Baricentro

Incentro

Ortocentro

Veja algumas propriedades dos segmentos notáveis do triângulo: • O baricentro, o incentro e o ortocentro podem estar interna ou externamente ao triângulo. • Em um triângulo equilátero, a altura irá dividir a sua respectiva base em dois lados iguais. Irá também dividir o ângulo ao meio.

90


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Cap.

– geoMetria

• Em um triângulo isósceles a altura dividirá ao meio o lado de tamanho diferente. E o ângulo de medida diferente também será dividido ao meio.

6.3.5. Congruênciadetriângulos

Dois triângulos são congruentes quando apresentam os três ângulos internos e os três lados iguais, ou seja, são exatamente iguais. Para se verificar a congruência entre triângulos, não é necessário verificar a igualdade entre os três lados e os três ângulos. Basta verificar um dos seguintes critérios: • Lado/lado/lado (LLL) – se os três lados dos triângulos estudados possuem as mesmas medidas, necessariamente os três ângulos internos também serão idênticos. • Lado/lado/ângulo (LLA) – se dois lados quaisquer e um ângulo forem iguais, as demais medidas serão coincidentes. • Lado/ângulo/ângulo (LAA) – se dois ângulos e um lado dos triângulos forem iguais, os triângulos serão totalmente iguais. 6.3.6.

emelhançadetriângulo

Se dois triângulos quaisquer possuem os três ângulos iguais, estes triângulos serão semelhantes entre si. Ou seja, os seus lados serão proporcionais.

a

b

c

São proporcionais os lados: • a e a' • b e b' • c e c'

a'

b'

c'

a b c a' b' c'

91


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Teorema de Tales Sempre que houver “feixes” de retas cortadas por retas paralelas formar-se-ão pares de segmentos proporcionais.

a

b

c

d

São proporcionais os seguimentos: •aeb •ced a b a c ou c d b d G E F C

A

D

B

Perceba que na figura acima há três triângulos semelhantes entre si, pois possuem os três ângulos iguais. O Teorema de Tales pode ser determinado pela semelhança entre triângulos. • Triângulo ABG – formado pelos ângulos , , e • Triângulo CDG – formado pelos ângulos , , e • Triângulo EFG – formado pelos ângulos , , e 6.3.7. Triânguloretângulo

Triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo reto, ou seja, de 90 graus. Este triângulo possui várias características peculiares. Atenção especial deve ser dada a ele. 92


07/03/12 16:16

Cap.

– geoMetria

Em um triângulo retângulo o lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa, e os outros dois lados, de catetos. hip

cateto

ote

nu

sa

90º cateto

Um triângulo retângulo equilátero terá os dois catetos de mesmo tamanho.A hipotenusa será sempre o lado de tamanho diferente. Como um dos ângulos do triângulo retângulo é igual a 90º, os outros dois ângulos do triângulo retângulo equilátero serão iguais a 45º cada um (180 90) 2 45. 6.3.8. TeoremadePit

goras

b (cateto)

Este teorema é extremamente utilizado em soluções de problemas geométricos. A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. h(

hip

ote

nu

a2 b2 h2

sa)

a (cateto)

Em um triângulo retângulo inscrito em uma circunferência, ou seja, em que todos os vértices do triângulo pertencem à circunferência, a hipotenusa será sempre o diâmetro da circunferência. hi

po

ten

us

ae

diâ

m

etr

o

93


07/03/12 16:16


6.3.9.

readotriângulo

A área de um triângulo é encontrada pela equação abaixo. base altura 2

Altura 2,4

o

4

Altura

tet

Ca Base

Hipotenusa 5

Altura 3

Para encontrar a área pode-se adotar como base qualquer um dos três lados do triângulo, e atribuir ao lado escolhido a altura correspondente. Perceba que, quando se trata de triângulo retângulo, ao se considerar um dos catetos como base, o outro cateto corresponde à altura. Hi

po

ten

usa

5

Cateto 4

A primeira figura ilustra um triângulo cujo lado escolhido como base possui altura externa ao triângulo. Observe que a segunda e a terceira figuras referem-se ao mesmo triângulo, um triângulo retângulo de hipotenusa igual a 5 e catetos iguais a 3 e 4. No primeiro caso, a hipotenusa foi adotada como base do triân5 2,4 12 6. gulo. Assim, para encontrar a área, basta fazer: 2 2 Encontramos a área do triângulo, que é igual a 6. No segundo caso, um dos catetos foi adotado como base do triângulo.Assim, a altura passou a ser o outro cateto, pois estes catetos formam 12 43 ângulo reto entre si. Aplicando a equação, temos: 6. 2 2 Obviamente, o resultado encontrado foi o mesmo.

✎ APLICAÇÃO EM CONCURSOS FUNRIO/2008/CBM – Pode-se afirmar que não existe triângulo cujos lados meçam: a) 1cm, 2cm e 3cm d) 4cm, 5cm e 6cm b) 2cm, 3cm e 4cm e) 5cm, 6cm e 7cm c) 3cm, 4cm e 5cm 94


07/03/12 16:16

Cap.

– geoMetria

Solução: O maior lado tem que ser menor que a soma dos outros dois lados. • Letra a: 3 (1 2) ⇒ não atende • Letra b: 4 (3 2) ⇒ ok • Letra c: 5 (4 3) ⇒ ok • Letra d: 6 (5 4) ⇒ ok • Letra e: 7 (5 6) ⇒ ok A alternativa a não atende à condição de existência de triângulo, pois (1 2) é igual a 3, e não menor que 3. (Resposta: letra a) FUNRIO/2008/Prefeitura de Niterói – Os triângulos ABC e A'B'C' são semelhantes, retângulos em B, e de áreas S e S', respectivaS mente. Sabendo que a razão 4 e que o lado AB 6, conclui-se S' que o lado A'B' vale: a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3 Solução:

C C'

B

A B' ângulo reto

A'

Se os triângulos são semelhantes, então os seus lados são proporcionais. Podemos dizer que: AB BC AC A'B' B'C' A'C'

A altura do primeiro triângulo, para a base AB, é igual ao lado BC. E do segundo triângulo é igual ao lado B'C'. Assim, as áreas S e S' são dadas, respectivamente, por: S

AB BC 2

e

S'

A'B' B'C' 2 95


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Como

S 4: S'

AB BC 2 AB BC AB BC 2 4 ⇒ 4 4 ⇒ A'B' B'C' 2 A'B' B'C' A'B' B'C' 2

AB BC Sabemos que iremos substituir uma equação na A'B' B'C' outra. AB BC AB AB 6 6 4 ⇒ 4 A'B' B'C' A'B' A'B' A'B' A'B' 4(A'B' )2 = 36 ⇒ (A'B')2 = 9 A'B' = √ 9 ⇒ A'B' = 3

(Veja equação do 2o grau em equações e funções.) (Resposta: letra c) 6.4. TRIGONOMETRIA

sa nu te

seno cateto oposto cosseno adjacente

po

tangente

hi

sa nu te

po Cateto oposto ao ângulo

cateto oposto seno hipotenusa

Cateto oposto ao ângulo

hi

Cateto adjacente ao ângulo

Das relações entre os comprimentos da hipotenusa e dos catetos de um triângulo retângulo, podemos estabelecer o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos.Veja a seguir.

Cateto adjacente ao ângulo

cosseno

cateto adjacente hipotenusa

sen2 cos2 1

Para obtermos o seno, cosseno e tangente do ângulo , a fórmula será a mesma. Entretanto, o cateto que era oposto ao ângulo , agora é adjacente ao ângulo . Semelhantemente, o cateto que era adjacente a , agora é oposto a . 96


07/03/12 16:16

Cap.

– geoMetria

Outras relações normalmente utilizadas são: 1 hipotenusa cosseno cateto adjacente 1 hipotenusa cossecante seno cateto oposto 1 cateto adjacente cotangente tangente cateto oposto

secante

A tabela a seguir mostra o seno, o cosseno e a tangente dos principais ângulos. 0º SENO

0

COSSENO

1

TANGENTE

0

30º

45º

60º

1 2 √3 2 √3 3

√2 2 √2 2

√3 2 1 2

1

√3

90º 1 0 (não existe)

A figura a seguir ilustra o círculo trigonométrico em que podemos visualizar melhor as relações trigonométricas. Neste círculo temos o raio igual a uma unidade. Neste círculo está ilustrado um ângulo de 60 graus. O raio do círculo representa a hipotenusa do triângulo formado dentro do círculo. A hipotenusa é igual a 1, e o valor do seno será a projeção no eixo vertical.

√3 2

1 0,5

√3 1,5

cateto oposto projeção vertical √3 projeção vertical . hipotenusa 1 2

tangente de 60º

0,5

1

1,5

cosseno de 60º

seno 60º

60º 1

0,5

0

seno de 60º

0,5 1 97


07/03/12 16:16


Analogamente, o cosseno é lido com a projeção da hipotenusa no eixo horizontal. cosseno 60º

cateto adjacente projeção horizontal projeção horizontal 0,5 hipotenusa 1

A tangente é determinada prolongando-se o raio do círculo trigonométrico até encontrar uma reta paralela ao eixo vertical e tangente ao círculo trigonométrico. tangente 60º √ 3

✎ APLICAÇÃO EM CONCURSOS VUNESP/2009/CRF-SP – Na figura, as áreas dos quadrados A e B são, respectivamente, 225 cm2 e 289 cm2. Desse modo, o perímetro do triângulo sombreado EFG é igual a a) 24 cm A F E b) 30 cm c) 32 cm d) 36 cm B e) 40 cm G Solução: Se A e B trata-se de quadrados, os seus lados são iguais. Assim, a hipotenusa do triângulo sombreado é igual ao lado do quadrado B. E o lado do quadrado A é um cateto do triângulo. área do quadrado A cateto2 ⇒ cateto √ 225 15 cm área do quadrado B hipotenusa2 ⇒ hipotenusa √ 289 17 cm

Para encontrar o outro cateto do triângulo retângulo, basta aplicar o teorema de Pitágoras. hipotenusa2 cateto2 cateto'2 ⇒ √ 2892 √ 2252 x2 ⇒ x2 289 225 ⇒ x2 64 ⇒ x √ 64 ⇒ x 8

Já que iríamos elevar o cateto e a hipotenusa ao quadrado quando os colocássemos no teorema de Pitágoras, não extraímos suas raízes, facilitando os cálculos. O perímetro é dado pela soma de todos os lados do triângulo. √ 225 √ 289 8 15 17 8 40

(Resposta: letra e) 98


07/03/12 16:16

Cap.

– geoMetria

AOCP/2009/Casan – Uma escada de 5m de comprimento está apoiada em uma parede formando um ângulo de 45º com o chão. A distância entre a parede e o pé da escada é (considere sen 45º = 0,7; cos 45º = 0,7 e tg 45º = 1) a) 5m b) 3,5m escada parede c) 0,5m ângulo d) 5,7m de 45º chão e) 0,7m Pode-se considerar que a parede forma um ângulo de 90º com o chão.Assim, teremos um triângulo retângulo, em que o comprimento da escada é a hipotenusa. Sabe-se que o ângulo entre a escada e o chão é de 45º. Assim, deseja-se saber o comprimento do cateto adjacente a esse ângulo. cateto adjacente ⇒ cateto adjacente hipotenusa cosseno 45 hipotenusa cateto adjacente 5 0,7 3,5

cosseno 45

A distância entre o pé da escada e a parede é de 3,5m. (Resposta: letra b) 6.5. POLÍGONOS

Polígonos são figuras fechadas, formadas por segmentos de retas. Em geral, os polígonos de interesse no estudo da geometria plana são os polígonos convexos. Se for possível ligar dois pontos do interior do polígono, e o segmento formado por esta ligação tiver alguma parte fora do polígono, então este polígono não é convexo. A

A

B

B

Polígono convexo

Polígono não convexo 99


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Observe que na primeira figura o segmento AB sempre ficará inteiramente dentro do polígono, quaisquer que sejam os lugares dos pontos A e B dentro do polígono. Já na segunda figura, verifica-se que uma parte do segmento AB não pertence ao polígono. Logo, este polígono não é convexo. Os polígonos convexos, aqueles em que todos os ângulos e lados são iguais, são chamados de polígonos regulares. O triângulo equilátero é um triângulo regular. Enquanto o quadrado é um quadrilátero regular. 6.5.1. Nomesdospol gonos

Os polígonos são nomeados conforme o número de lados que possuem.Veja a seguir. NÚMERO

DE LADOS

NOME

NÚMERO

DE LADOS

NOME

3

Triângulo

13

Tridecágono

4

Quadrilátero

14

Tetradecágono

5

Pentágono

15

Pentadecágono

6

Hexágono

16

Hexadecágono

7

Heptágono

17

Heptadecágono

8

Octógono

18

Octadecágono

9

Eneágono

19

Eneadecágono

10

Decágono

20

Icoságono

11

Undecágono

30

Triacoságono

12

Dodecágono

40

Tetracoságono

6.5.2. Númerodediagonaisdeumpol gono

Em um polígono convexo, de n lados, o número de diagonais (d ) é dado por: d

n (n 3) 2

100


07/03/12 16:16

Cap.

– geoMetria

Por exemplo, considerando-se um hexágono (seis lados), o número de diagonais será igual a 9. d

6.5.3.

6 (6 3) 2

⇒ d

63 2

⇒ d

18 2

⇒ d9

omadosângulosdeumpol gono

Um polígono possui ângulos interno e externo, como pode ser visto na figura a seguir. Perceba que um determinado ângulo interno e seu correspondente ângulo externo formam 180º. Ângulo externo Ângulo interno

Ângulo externo

Ângulo interno

A soma dos ângulos internos (Si) será dada por: S 180n 360

A soma dos ângulos externos (Se) de um polígono convexo será sempre 360º, qualquer que seja o número de lados. NOTA Os ângulos dos polígonos regulares serão sempre iguais. Assim, em um pentágono, em que a soma dos ângulos internos é 540º (Si 180 5 360), cada ângulo terá 108º (540 5). 101


07/03/12 16:16


6.5.4. Apótemadeumpol gonoregular

Nos polígonos regulares, chamamos de apótema o segmento perpendicular a um dos lados do polígono até o centro geométrico da figura. a

tem

apó

6.5.5.

readeumretângulo

Um retângulo será um quadrilátero quando todos os ângulos são iguais a 90º. O quadrado é um tipo de retângulo que, além de possuir todos os ângulos de 90º, possui todos os lados iguais (quadrilátero regular). A área de um retângulo qualquer será o produto (multiplicação) entre dois lados. a b

Área a b

NOTA Todo quadrilátero cujos lados opostos são paralelos forma um paralelogramo. Consequentemente, os ângulos opostos serão iguais. O retângulo é um paralelogramo em que todos os ângulos são de 90 graus.

✎ APLICAÇÃO EM CONCURSOS 1. FUNRIO/2008/CBM – O polígono ABCDEF é um hexágono regular e AFGH é um quadrado em seu interior, como indica a figura. A medida do ângulo AHB é C D a) 75º b) 76º H G B E c) 77º d) 78º A F e) 79º 102


07/03/12 16:16

Cap.

– geoMetria

Solução: A soma dos ângulos internos deste hexágono será: S 180n 360

⇒

S 180 6 360 720

Como se trata de um hexágono regular, todos os ângulos internos 720 terão a mesma medida. Os ângulos internos são de 120º 120 . 6 O ângulo BAH será de 30º, pois o ângulo HAF é de 90º, por se tratar de um quadrado (120 90 30).

C

D

H

G

B

Ângulos iguais

E 30º

A Lados iguais

F

Sabemos também que um hexágono regular possui todos os lados iguais. Portanto, se AFGH é um quadrado, a medida de AH é igual a AF, que é igual a AB. Logo, temos um triângulo isósceles, consequentemente, com dois ângulos iguais. Como a soma dos ângulos internos do triângulo tem que ser igual a 180, e sabemos o valor de um ângulo, podemos encontrar o valor dos outros dois ângulos. ⇒

2 30 180

2 180 30 ⇒ 2 150 ⇒

75

Tanto o ângulo ABH quanto o ângulo AHB medem 75º. (Resposta: letra a). 6.6. GEOMETRIA

ESPACIAL

Na geometria espacial as questões de concurso, em geral, abordam problemas relacionados ao volume dos principais sólidos, tais como a esfera, o paralelepípedo, o cone, o prisma e o cilindro. A definição e o volume de cada um são dados a seguir. 103


07/03/12 16:16


6.6.1.

sfera

Em uma circunferência temos um raio r e um centro c em um plano. Em uma esfera também teremos um centro c e um raio r, porém, este raio não estará limitado ao plano bidimensional. Ele estará agora no espaço tridimensional, formando assim a esfera. Como na circunferência, o raio de uma esfera é constante. Qualquer ponto da superfície da esfera terá a mesma distância até o centro. Ainda comparando a circunferência com a esfera, a circunferência é delimitada por um perímetro em que podemos medir seu comprimento. Este perímetro delimita uma área da circunferência. Já a esfera é delimitada por uma superfície em que podemos medir a sua área. Essa área superficial delimita um volume.

C

R

Volume da esfera: V

4 r 3 3

Área da esfera: A 4r 2

6.6.2. Cilindro

Observe a figura à esquerda do cilindro na p. 105. Note que o cilindro é formado por uma base circular inferior, uma base circular superior e uma superfície lateral. Essa superfície lateral é formada por retas paralelas entre si. O “corpo” do cilindro (superfície lateral) nem sempre fará um ângulo reto com a base do cilindro. A figura à direita mostra um cilindro, cuja superfície lateral forma um ângulo agudo com a base. Perceba que a altura do cilindro continua a ser o comprimento vertical entre a base inferior e a base superior. O comprimento entre o centro da base inferior e o centro da base superior é o eixo do cilindro. Este eixo pode estar na vertical (cilindro reto) ou inclinado com relação à base (cilindro oblíquo). 104


07/03/12 16:16

Cap.

– geoMetria

Altura h

Altura h

raio r

Retas paralelas r 2

Volume do cilindro: V h (área da base vezes a altura) Área lateral do cilindro: A 2r h (perímetro da base vezes a altura) Área total do cilindro: A 2r h 2 r 2 (área das bases mais a área da superfície) 6.6.3. Prisma

Base triangular

Altura h

Eixo

Eixo

Altura h

Um prisma, semelhantemente ao cilindro, é formado por duas bases, uma inferior e outra superior. Mas, diferentemente do cilindro, sua base não é circular, e sim um polígono convexo. (Veja polígonos convexos em polígonos, geometria plana.) Similarmente ao que ocorre no cilindro, a superfície lateral é delimitada por arestas paralelas entre si.

Base quadrada

Se a base do prisma é um polígono regular (todos os lados iguais), então esse prisma é regular. O prisma pode ser classificado em reto ou oblíquo, conforme a posição do eixo em relação à base. Semelhantemente aos demais sólidos, se a altura coincidir com o eixo, ou seja, se for perpendicular à base, o prisma será reto, se não, oblíquo. A primeira figura mostra um prisma reto. A segunda figura mostra um prisma oblíquo. A fórmula para encontrar a área da base do prisma irá depender do polígono que forma tal base. Volume do prisma: V Ab h (área da base vezes a altura do prisma) Área lateral do prisma: A P h (perímetro da base vezes a altura) Área total do prisma: A 2Ab h P h (área das bases a área lateral) 105


07/03/12 16:16


NOTA Todo prisma cuja base for um paralelogramo (polígono de quatro lados cujos lados opostos são paralelos) será chamado de paralelepípedo. 6.6.4. Cone

O cone terá sempre uma base circular e uma superfície lateral formada por retas (geratriz), não paralelas, que se encontram no topo do cone.

Altura h

Altura h

Ger

atr i zg Eixo

Vértice v

Raio r

Similarmente ao que ocorre com o cilindro, o eixo do cone é o comprimento do centro da base até o vértice do cone. O eixo do cone pode estar perpendicular à base (cone reto), ou inclinado em relação a esta (cone oblíquo). Repare na primeira figura. Em um cone reto (eixo perpendicular à base) o eixo, a geratriz e o raio da base formam um triângulo retângulo, em que a geratriz é a hipotenusa. 1 2 r h (um terço da área da base vezes a altura) 3 Área lateral da pirâmide: A rg Volume do cone: V

Área total da pirâmide: A rg 2r 2 (área das bases área da superfície) 6.6.5. Pirâmide

Em uma pirâmide a base é formada por um polígono convexo. (Veja polígono convexo em polígonos, geometria plana.) E as superfícies laterais são definidas por arestas que se encontram no vértice. Essas superfícies laterais serão triângulos com pontos em comum no vértice. 106


07/03/12 16:16

Cap.

– geoMetria

Altura h

o Base triangular

Eixo

Aresta

Eix

Altura h

Vértice

Base quadrada

Se a pirâmide é formada por um polígono regular (todos os lados iguais) e sua altura coincide com o centro da base, então essa pirâmide é regular. As suas áreas laterais são formadas por triângulos isósceles iguais. Na primeira figura tem-se uma pirâmide em que o eixo não está perpendicular à base (pirâmide oblíqua). A segunda figura mostra uma pirâmide com o eixo perpendicular à base (pirâmide reta). A fórmula para encontrar a área da base da pirâmide irá depender do polígono que forma tal base. A área lateral da pirâmide será a soma das áreas dos triângulos bh . Cabe ressaltar que a altura utilizada para encontrar a área laterais 2 dos triângulos laterais é a altura do próprio triângulo, e não a altura da pirâmide.

Altura do triângulo lateral. (90º entre a altura e a base do triângulo)

1 1 A h da área da base vezes a altura da pirâmide 3 b 3 Área lateral do cone: A área dos triângulos Volume da pirâmide: V

Área total do cone: A área da base área dos triângulos 107


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✎ APLICAÇÃO EM CONCURSOS VUNESP/2007/Câmara de São Paulo – Uma empresa irá fornecer de brindes, pesos para papel, de madeira maciça, na forma de uma pirâmide de base hexagonal regular de altura 4 cm e apótema da base 3 cm, conforme figura. Dado: √ 3 1,7. O volume de madeira de uma dessas pirâmides será, aproximadamente, a) 39 cm3

d) 45 cm3

b) 41 cm3

e) 47 cm3

c) 43 cm3

4 cm

Solução: Vamos, inicialmente, descobrir a área do hexágono da base. O enunciado diz que o hexágono é regular, ou seja, os seis lados são iguais. Um hexágono regular pode ser dividido em seis triângulos isósceles iguais. E a altura de cada triângulo será o apótema do hexágono.

Ângulos = 60º (360/60)

Ângulo = 30º (60/2)

Apótema do hexágono e altura do triângulo

A área do hexágono será, portanto, a área dos seis triângulos isósceles. E, para encontrar a área de um triângulo, precisamos encontrar o comprimento da base dos triângulos. A altura do triângulo divide a sua base em dois lados iguais, por se tratar de um triângulo isósceles. E divide, também, o ângulo de 60º 108


07/03/12 16:16

Cap.

– geoMetria

em dois ângulos de 30º. Assim, temos dois triângulos retângulos de altura igual a 3 cm, um ângulo de 30º. Precisamos encontrar o cateto oposto ao ângulo de 30º. tan 30º

cateto oposto 3

área do triângulo (AT)

⇒

cateto oposto 3

base altura 2

⇒ AT

√3 3

2√ 3 3 3

área do hexágono (AH) 6 AT ⇒ AH 6 3√ 3 AH 30,6 cm2 volume da pirâmide (VP) VP

⇒

cateto oposto √ 3 ⇒ AT 3√ 3

⇒ AH 18 1,7

área do hexágono altura 3

30,6 4 ⇒ VP 40,8 cm3 3

(Resposta: letra b) CESPE/2008/PRF – Considere que um cilindro circular reto seja inscrito em um cone circular reto de raio da base igual a 10 cm e altura igual a 25 cm, de forma que a base do cilindro esteja no mesmo plano da base do cone. Em face dessas informações e, considerando, ainda, que h e r correspondam à altura e ao raio da base do cilindro, respectivamente, assinale a opção correta. a) A função afim que descreve h como função de r é crescente b) O volume do cilindro como uma função de r é uma função quadrática c) Se A(r) é a área lateral do cilindro em função de r, então A(r) r 50r 1 10 d) É possível encontrar um cilindro de raio da base igual a 2 cm e altura igual a 19 cm que esteja inscrito no referido cone e) O cilindro de maior área lateral que pode ser inscrito no referido cone tem raio da base superior a 6 cm Essa é uma questão de maior grau de dificuldade. Nem sempre as provas de concursos de nível médio exigem o grau de dificuldade deste exercício.

109


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Altura do cone 25 cm Altura do cilindro (h) Raio do cone 10 cm

Raio do cilindro (r)

Tomando-se a vista frontal do cilindro inscrito no cone, teremos a figura de um triângulo (cone) e de um quadrado inscrito no triângulo (cilindro). Como o cilindro está inscrito no cone, a sua base superior irá tocar algum lugar do cone. Na figura, o cilindro é representado pelas linhas pontilhadas. Repare que quanto menor o raio do cilindro, mais alto ele será. Quanto mais largo o cilindro (raio maior), mais baixo ele será. A

F G

B DE

C

Na figura acima percebemos que o raio do cone e a sua altura formam o triângulo ABC. Este triângulo é proporcional aos triângulos formados pelas diversas possibilidades de altura e raio do cone (por exemplo, triângulos DCF e EGC). O ângulo do vértice C será constante, logo sua tangente será igual para qualquer triângulo considerado. tan

cateto oposto AB DF EG cateto adjacente BC EC DC

O comprimento AB refere-se à altura do cone (25 cm). O comprimento BC, ao raio do cone (10 cm). Tanto o comprimento DF quanto o comprimento EG referem-se à altura h do cilindro. Já os comprimentos EC e DC referem-se ao raio do cone menos o raio do cilindro (10 r). 110


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Cap.

25 h 10 10 r

– geoMetria

Colocando-se r em função de h, tem-se:

10h 25 (10 r)

⇒ 10h 250 25r

⇒

h

250 25r 10 10

⇒

⇒ h = 25 2,5r

Quanto maior o valor de r, menor é o valor de h. Eliminamos a alternativa a, pois a função é decrescente. (Veja Equações e função.) O volume do cilindro será a área da base (r 2) vezes a altura h. Substituindo-se o valor de h, tem-se: ⇒ Vcilindro 25r2 2,5r 3

Vcilindro (r 2) (25 2,5r)

O volume do cilindro será em função de r 2, ou seja, uma função cúbica, e não quadrática como diz a alternativa b. A área lateral do cilindro é dada pelo perímetro de sua base (2r) vezes a altura h. Alcilindro 2r (25 2,5r)

Alcilindro 50r 1

r 2 10

⇒ Alcilindro 50r 5r 2

A alternativa c está correta. Substituindo-se um raio de valor igual a 2 cm, tem-se h 25 2 , 5 2 ⇒

h 25 5 ⇒

h 20

A alternativa d está incorreta. Pois, se o raio do cilindro for igual a 2 cm, a altura será 20 cm, e não 19. A função que define a área lateral do cilindro é uma função quadrática com parábola voltada para baixo. (Veja equação de 2o grau em equações e funções.) O maior valor da função será o ponto b x . Em que o valor de b desta função é igual a 50 e o valor 2a de a igual a 5. E a variável x representa o valor do raio r. 50 r ⇒ r = 5 cm. O maior valor de área lateral será quan2 (5) do o raio for igual a 5 cm, eliminando-se a alternativa e. (Resposta: letra c) 111


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✍ PRATICANDO 1. IDESPEM/2008/Pref. Matias Cardoso – MG – Para relacionar o número de lados e o número de diagonais de qualquer polígono, n(n 3) usamos a fórmula d , onde d é o número de diagonais 2 e n o número de lados. Quantos lados tem um polígono que possui 44 diagonais? a) 11 c) 10 e) 7 b) 8 d) 6 2. FGV/2009/SAD-PE – Em um polígono convexo, um dos ângulos internos mede 140º, e cada um dos outros é maior que 165º. O menor número de lados que esse polígono pode ter é: a) 22 c) 24 e) 26 b) 23 d) 25 3. CETRO/2008/IMBEL – Na figura, os triângulos MNP e PMQ ˆ é reto e os segmentos de reta MP, são retângulos, o ângulo QPN NP medem, respectivamente, 12cm e 18 cm. Podemos afirmar que a medida do segmento de reta MQ, em cm, é: a) 6 Q M b) 7 c) 8 d) 9 P N e) 10 4. FUNRIO/2008/CBM – Dada a figura abaixo e sabendo-se que ˆ ˆ EBC = 30º, EC B = 110º, e AD AC AE, pode-se afirmar que ˆ ˆ C e BC D vale a soma dos ângulos AD a) 70º E b) 75º A c) 80º D d) 85º B C e) 90º 112


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Cap.

– geoMetria

5. FUNRIO/2008/SEDUC-RO – Na figura abaixo, AB AC e AD AE D

B

A

C

E

ˆ ˆ Se o ângulo BA C é igual a 45º e o ângulo AE B é igual a 25º, o ânguˆ lo DCE é igual a: a) 50º d) 70º b) 60º e) 75º c) 65º

6. FUNRIO/2008/CBM – No triângulo ABC abaixo, o ângulo BAC é reto e AH é a altura relativa ao lado BC. O comprimento do segmento CH vale: A a) 0,5 cm b) 0,6 cm 1,5 cm c) 0,7 cm d) 0,8 cm C H B 1,6 cm e) 0,9 cm 7. FUNRIO/2008/Prefeitura de Niterói – A área da região hachurada da figura apresentada abaixo é igual a a) L2 b) 2L2 L2 2 L2 ( 1) d) 2 L2 ( 1) e) 4 c)

L

L

113


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8. CESGRANRIO/2011/Petrobras – A figura mostra uma peça de metal de espessura constante. Todos os ângulos são retos, e as medidas em centímetros são: AB 12, BC 3 e AF FE 8. Essa peça deverá ser cortada na linha tracejada AP de forma que as duas partes da peça tenham a mesma área. A medida, em centímetros, do segmento EP da figura é a) 1,0 F E b) 1,5 P c) 2,0 C D d) 2,5 A B e) 3,0 9. CESPE/2009/SEDEC-CE – A

G H C

F E B

Na figura acima, considere que: • O círculo menor tem raio igual a 6 cm; • O círculo maior tem raio igual a 10 cm; • Os dois círculos têm seus centros sobre a altura relativa à base do triângulo isósceles ABC, são tangentes externamente, e a base BC do triângulo ABC é tangente ao círculo maior; • Os segmentos AB e AC são tangentes aos círculos nos pontos E, F, G e H. Nesse caso, considerando 3,87 como valor aproximado para √ 15, é correto afirmar que a área do triângulo ABC, em cm2, será a) inferior a 590 c) superior a 650 e inferior a 690 b) superior a 590 e inferior a 650 d) superior a 690 114


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Cap.

– geoMetria

10. CONESUL/2008/Prefeitura de Porto Alegre – Observe a figura a seguir, e se oriente pelos valores numéricos indicados. O valor da área escura da figura é a) 5 3 4 b) 2 3 c) 2 2 5 1 d) 2 0 e) 3 0 1 2 3 4 5 6 7 11. CESGRANRIO/2008/Petrobras – Vinte caixas iguais, em forma de paralelepípedo, estão empilhadas, como mostra a figura. Se a pilha de caixas tem 50 cm de altura, 60 cm de comprimento e 40 cm de largura, quais são, em cm, as dimensões de cada caixa? a) 4, 5 e 6 b) 5, 10 e 20 c) 5, 20 e 30 d) 6, 6 e 10 e) 10, 20 e 30 12. VUNESP/2007/Câmara de São Paulo – Uma sorveteria utiliza potes cilíndricos com 8 cm de raio e 30 cm de altura, cheios de sorvete de massa, e vende esses sorvetes na forma e dimensões indicadas na figura, em que a parte superior é uma semiesfera de raio 3 cm e a parte inferior é um cone de casca muito fina, totalmente preenchido com sorvete. Desprezan3 cm do-se a casca do cone, o número de sorvetes, 3 cm com a forma indicada, que é possível fazer com um pote cilíndrico de massa, é a) 20 10 cm b) 25 c) 30 d) 35 115


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13.VUNESP/2007/Câmara de São Paulo – Uma fábrica de chocolates está fazendo barrinhas na forma de um prisma triangular, cujas dimensões estão indicadas na figura. Sabendo que 1 cm3 de chocolate pesa aproximadamente 1,3 grama, o número máximo de barrinhas desse tipo que é possível fabricar com 1 kg de chocolate é a) 17 3 cm b) 19 c) 21 3 cm d) 23 8 cm e) 25 14. IDESPEM/2008/Prefeitura de Matias Cardoso – Numa avaliação de geometria, Ruth deu a seguinte resposta para um exercício: (1 sen2 x)(tg2 x 1) (1 cos2 x)(1 cotg2 x)

A professora não considerou, pois Ruth não simplificou a expressão. Qual deveria ser a resposta correta dada por Ruth? 1 a) 1 d) 2 b) cotg x c) tg x e) 2 15. FEPESE/2008/CASAN – A figura abaixo representa parte do mapa de um bairro de uma cidade, em que os pontos A, B e C são um posto de gasolina, um cinema e um supermercado, respectivamente. B

A

C

Sabendo-se que AC tem 6 km, que o ângulo entre AC e AB é de 30° e que o triângulo ABC é retângulo em C, então a distância, em quilômetros, do posto de gasolina ao cinema é: 116


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Cap.

Considere: sen 30º a) 3 b) 23 c) 33

– geoMetria

1 √3 √3 ; tg 30º . ; cos 30º 2 2 3 d) 43 e) 12

16. CONESUL/2008/Prefeitura de Eldorado – Assinale a alternativa correspondente a uma função y f(x), que seja par. a) y sen (x) d) y log (x) b) y cos (x) e) y ax 2 c) y x 2x 17. CESGRANRIO/2011/Petrobras – A figura mostra um triângulo com as medidas de seus lados em metros. Uma pirâmide de base quadrada tem sua superfície lateral formada por quatro triângulos iguais aos da figura acima. O volume dessa pirâmide, em metros cúbicos, é, aproximadamente a) 95 b) 102 9 9 c) 108 d) 120 6 e) 144 18. CESPE/2009/CEHAP-PB – Em uma loja, há dois tipos de recipientes para guardar café e açúcar: um, cilíndrico, com volume igual a dm3, e outro, cúbico, com volume igual a 0,5 dm3. Nesse 2 caso, é correto afirmar que a capacidade do recipiente cilíndrico é a) superior a 3 vezes a capacidade do recipiente cúbico. b) inferior a 3 vezes, mas superior a 2 vezes a capacidade do recipiente cúbico. c) inferior a 2 vezes, mas superior à capacidade do recipiente cúbico. d) inferior à capacidade do recipiente cúbico. 117


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19. FCC/2009/TRT – 4a Região – Considere que a peça mostrada na figura abaixo foi obtida secionando-se obliquamente um prisma reto de base quadrada, feito de aço maciço. 0,35 0,25 0,20

Se a unidade das medidas indicadas na figura é o metro e sabendo que a densidade do aço é 7,9 g/cm3, então a massa da peça obtida, em quilogramas, é a) 8,76 c) 87,6 e) 125,6 b) 9,48 d) 94,8 20. FUNRIO/2009/FUNAI – Duas esferas cujos raios medem R cm e r cm estão apoiadas em um mesmo plano horizontal e encostadas uma à outra, conforme figura abaixo.

A distância entre os seus respectivos pontos de apoio nesse plano horizontal é a) 3√ Rr cm c) 2 Rr cm e) √ 3 Rr cm b) 2√ Rr cm d) 3 Rr cm Gabarito: 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

A

B

C

A

D

E

D

B

B

C

E

E

C

A

D

16

17

18

19

20

B

A

A

D

B

118


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Cap. 7 – Unidades de Medida

7.

NI D A D E S DE M E D ID A

Por longo tempo, cada povo teve o seu próprio sistema de medidas, baseado em unidades arbitrárias e imprecisas como, por exemplo, aquelas baseadas no corpo humano: palmo, pé, polegada, braça, côvado. Hoje, o sistema métrico decimal uniformiza as unidades de diversas grandezas a serem medidas. Para medidas de comprimento, área, volume e massa o Sistema Métrico Decimal utiliza, respectivamente, o metro, metro quadrado, metro cúbico, o quilograma e seus múltiplos e submúltiplos. 7.1. UNIDADES

DE COMPRIMENTO

O metro é utilizado para medir comprimento, área e volume. As grandezas de área e volume são chamadas de grandezas derivadas, pois utilizam a unidade base (metro) para defini-las através de uma potência (metros quadrados e metros cúbicos). 7.1.1.

últiplosesubmúltiplosdometro

Observe a tabela a seguir com os múltiplos e submúltiplos do metro. Cada unidade de comprimento é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Assim, se a transformação de unidade “andar” da esquerda para a direita na tabela abaixo, aumenta-se o valor numérico. Se a transformação for da direita para a esquerda, diminui-se o valor numérico. 10

10

10

Quilômetro Hectômetro Decâmetro km hm dam 10

10

10

10 Metro m

10

10

Decímetro Centímetro dm cm 10

10

Milímetro mm

10

119


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Transformar 5 dam em metros: • Transformação da esquerda para a direita – aumenta-se o valor numérico • 1 casa de diferença – multiplica-se por 10 • 5 dam 50 m Transformar 36 cm em hectômetro: • Transformação da direita para a esquerda – diminui-se o valor numérico • 4 casas de diferença – divide-se por 104 10.000 • 36 cm 0,0036 hm 7.2. UNIDADES 7.2.1.

DE REA

últiplosesubmúltiplosdometroquadrado

Ao se utilizar medidas de área em metros quadrados, os múltiplos e submúltiplos deverão ser elevados à segunda potência (102). Desta forma, cada unidade de área é 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. 100

100

100

Quilômetro Hectômetro Decâmetro quadrado quadrado quadrado hm2 km2 dam2 100

100

100

100

Metro quadrado m2

100

100

Decímetro Centímetro Milímetro quadrado quadrado quadrado cm2 mm2 dm2

100

100

100

Transformar 5 dam2 em metros quadrados: • Transformação da esquerda para a direita – aumenta-se o valor numérico • 1 casa de diferença – multiplica-se por 102 100 • 5 dam2 500 m2 Transformar 36 cm2 em hectômetro quadrado: • Transformação da direita para a esquerda – diminui-se o valor numérico 120


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• 4 casas de diferença – divide-se por 104 2 108 100.000.000 • 36 cm2 0,00000036 hm2 7.3. UNIDADES 7.3.1.

DE vOLUME

últiplosesubmúltiplosdometrocúbico

Analogamente às transformações ocorridas nas medidas de área, ao se utilizar medidas de volume em metros cúbicos, os múltiplos e submúltiplos deverão ser elevados à terceira potência (103). Desta forma, cada unidade de volume é 1000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. 1000

1000

1000

Quilômetro Hectômetro Decâmetro cúbico cúbico cúbico dam3 hm3 km3 1000

1000

1000

1000 Metro cúbico m3

1000

1000

Decímetro Centímetro Milímetro cúbico cúbico cúbico mm3 dm3 cm3

1000

1000

1000

Transformar 5 dam3 em metros cúbicos: • Transformação da esquerda para a direita – aumenta-se o valor numérico • 1 casa de diferença – multiplica-se por 103 1000 • 5 dam3 5.000 m3 Transformar 36 cm3 em hectômetro cúbico: • Transformação da direita para a esquerda – diminui-se o valor numérico • 4 casas de diferença – divide-se por 104 3 1012 1.000.000.000.000 • 36 cm3 0,000000000036 hm3 7.3.2.

últiplosesubmúltiplosdolitro

Além do metro cúbico, outra unidade de volume bastante utilizada é o litro. A relação entre o litro e o metro cúbico é dada a seguir. • 1 litro 1 dm3 • 1000 litros 1 m3 121


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Observe que ao se andar uma casa nos múltiplos do metro cúbico, a quantidade de litros foi multiplicada por 103 (1.000). Para o litro, cada múltiplo/submúltiplo é 10 vezes maior que o múltiplo/submúltiplo imediatamente anterior. 10 Quilolitro kl ou kL

10 Hectolitro hl ou hL

10

10 Decalitro dal ou daL

10

10 Litro l ou L

10

10 Decilitro dl ou dL

10

10

Centilitro cl ou cL 10

Mililitro ml ou mL 10

7.4. GRAMA

O grama, com seus múltiplos e submúltiplos, é utilizado como unidade de massa. Semelhantemente ao que ocorre na transformação das unidades de comprimento, cada unidade de massa é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. 10

10

10

Quilograma Hectograma Decagrama kg hg dag 10

10

10

10 Grama g

10

10

Decigrama Centigrama Miligrama dg cg mg 10

10

10

Transformar 7,5 hg em miligrama: • Transformação da esquerda para a direita – aumenta-se o valor numérico • 5 casas de diferença – multiplica-se por 105 100.000 • 7,5 hg 750.000 mg Transformar 600.000 cg em quilograma • Transformação da direita para a esquerda – diminui-se o valor numérico • 5 casas de diferença – divide-se por 105 100.000 • 600.000 cg 6 kg 122


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DICA O único símbolo que se escreve com letra maiúscula é o símbolo do litro. Este pode ser representado pela letra L minúscula ou maiúscula. Os demais símbolos deverão ser escrito somente com letras minúsculas.

✎ APLICAÇÃO EM CONCURSOS CESPE/2009/IBRAM – Um técnico ambiental, especialista que exerce atividades de apoio operacional e técnico em parques e unidades de conservação, foi requisitado por um engenheiro para apoiá-lo em uma vistoria técnica de um parque florestal. Em cada um dos itens a seguir, é apresentado um relato de alguma situação relativa a essa vistoria, seguida de uma assertiva a ser julgada. 1. Coletou-se uma amostra contendo 10 pol³ de água do córrego para análise de poluentes. Nesse caso, sabendo-se que 1 pol 2,52 cm, pode-se afirmar que o volume da amostra coletada é superior a 150 mL. Solução: 1 pol 2,52 cm ⇒ 1 pol 3 2,523 cm3 ⇒ 1 pol 3 16,003008 cm3 1 pol3 16,003008 cm3 ⇒ 10 pol 3 10 16,003008 cm3 160,03008 cm3

(Resposta: item certo) 2. Uma amostra de 10 mL de água foi depositada em um recipiente com capacidade para 1 pol³. Nesse caso, a amostra ocupou mais de 70% desse recipiente. Solução: 1 L 1 dm3 ⇒ 1 L 1000 cm3 ⇒ 1000 mL 1000 cm3 ⇒ 1 mL 1 cm3 1 pol 3 16,003008 cm3

⇒ 1 pol 3 16,003008 mL

Resta-nos saber quanto 10 mL representa, em porcentagem no volume total, que é de 16,003008 mL. (Veja porcentagem e juros.) 10 mL 0,624... ⇒ 62,4% Corresponde a aproximada16,003008 mL mente 62%. (Resposta: item falso) 123


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✍ PRATICANDO 1. CESPE/2009/CEHAP – Assinale a opção correta com respeito ao sistema legal de medidas. a) 46,532 km 46.532 dm c) 1 m2 0,01 cm2 b) 10 L 10 dm3 d) 1 ha 10.000 m 2. CESPE/2009/MCT – FINEP – Se uma fazenda de área igual a 1,04 km2 for vendida por R$ 46.800.000, então o preço de cada metro quadrado dessa fazenda custará, em média, a) R$ 4,50 d) R$ 4.500,00 b) R$ 45,00 e) R$ 45.000,00 c) R$ 450,00 3. CONESUL/2008/Prefeitura de Eldorado – RS – No Sistema Métrico Decimal, uma área de 0,0036 metros quadrados equivale a a) 0,036 dm² d) 360 mm² b) 0,00036 dam² e) 3,6 cm² c) 36 cm² 4. VUNESP/2008/CREA-SP – O metro, o quilômetro quadrado e o litro são unidades de medidas relacionadas, respectivamente, às seguintes grandezas: a) área, capacidade e temperatura. b) massa, área e capacidade. c) área, capacidade e comprimento. d) comprimento, área e capacidade. e) tempo, volume e comprimento. CESPE/2009/SEPLAG-DF – O setor de compras de uma escola adquire sabonete líquido concentrado em recipientes com capacidade para 5 L, que são diluídos em água na proporção de 1:3 e colocados nos banheiros da escola em saboneteiras cujo volume é igual a 0,25 dm3. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. 124


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• Depois de diluir os 5 L do sabonete concentrado que enche um recipiente, é possível encher 80 saboneteiras dos banheiros da escola. • Se cada um dos 4 banheiros da escola tem apenas uma saboneteira que é abastecida apenas uma vez por dia, então 6 recipientes de sabonete concentrado são suficientes para mais de 85 dias de uso do produto diluído. 7. FCC/2009/TRT – 15a Região – Num dado momento, observou-se que o volume de água no interior da caixa d’água de um edifício 1 ocupava de sua capacidade e que, se lá fossem colocados mais 3 2 3 0,24 m de água, o volume de água na caixa passaria a ocupar os 5 de sua capacidade. Considerando que não foi colocada água no interior da caixa, então, no momento da observação, o número de litros de água que seriam necessários para enchê-la era a) 1800

d) 3200

b) 2400

e) 3600

c) 2500 8. CAIPIMES/2007/São Paulo Turismo – Para aterrar um terreno, foram usados 2 caminhões, com o volume máximo de terra que conseguiram transportar. O primeiro com medidas internas: 4 m de comprimento por 2 m de largura por 0,5 m de altura, e o segundo caminhão com medidas internas: 5 m de comprimento por 2,5 m de largura por 0,5 m de altura. Se o primeiro caminhão fez 1 viagem e o segundo 2 viagens, então a quantidade máxima de terra despejada nesse terreno foi de: a) 10,25 m3

c) 13 m3

b) 12,5 m3

d) 16,5 m3 125


07/03/12 16:20


9. FCC/2010/DNOCS – Segundo o Sistema Internacional de Unidades (SI), os nomes dos múltiplos e submúltiplos de uma unidade são formados mediante os seguintes prefixos: FATOR PELO QUAL A UNIDADE É MULTIPLICADA 1 000 000 000 000 1012 1 000 000 000 109 1 000 000 106 1 000 103 100 102 10 101 0,1 101 0,01 102 0,001 103 0,000 001 106 0,000 000 001 109 0,000 000 000 001 1012

PREFIXO

SÍMBOLO

tera giga mega quilo hecto deca deci centi mili micro nano pico

T G M k h da d c m n p

Assim, por exemplo, se a unidade de medida é o metro (m), temos: 30 nm (nanômetros) 30 109 m (metros). Com base nessas informações, se a unidade de medida é o litro (l ), então a expressão (1,12 ml ) (2,5 ml) é equivalente a 1,28 l a) 2,1875 Tl b) 21,875 Ml c) 218,75 Gl d) 2187,5 Ml e) 2187,5 Gl Gabarito: 1

2

3

4

5

6

7

8

9

B

B

C

D

Certo

Certo

B

D

D

126


07/03/12 16:20


8.

E

A

ES E

N

ES

Uma equação estabelece uma igualdade entre duas expressões numéricas. Na equação temos uma incógnita, ou seja, um valor procurado cujo resultado é fixo. Uma equação pode ter duas soluções, por exemplo. Mas, ainda assim, as soluções serão fixas. Exemplo de equação: x 2 4 2x. A única resposta possível, em R, é x 2. Por outro lado, em uma função o resultado não é fixo. O valor da incógnita x pode assumir infinitos valores. E o resultado da equação será em função do valor de x. Por exemplo: f (x) x 1. O resultado da equação x 1 está em função do valor de x. Por isso colocamos o símbolo f(x) (função de x). Muitas vezes uma função é representada na forma: y x 1. Apenas troca-se o f (x) pelo y. Mas y também está em função de x. Se quisermos saber o valor da função associado ao x 3, por exemplo, podemos escrever: f (3) x 1

⇒ f (3) 3 1

⇒

f (3) 4.

Como uma função pode ter infinitos resultados, estes resultados geram gráficos em que, no eixo horizontal, coloca-se o valor da incógnita (x), e no eixo vertical, o resultado da função (f (x) ou y). A figura a seguir ilustra o gráfico da função f (x) x 1. No gráfico é destacado o ponto correspondente ao valor de x igual a 3. 127


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f(3) = 4

4

f(x)

2 0

2 8.1. FUNÇÕES

1

0

1

2

3 x

PAR E ÍMPAR, CRESCENTE E DECRESCENTE

Observe os gráficos a seguir. Note que em todos eles há uma simetria. No gráfico da letra a, por exemplo, o eixo vertical divide o gráfico em duas partes. Um lado é o “espelhado” em relação ao outro lado. Portanto, a simetria é em relação ao eixo vertical. Tomando ainda o gráfico a como exemplo, veja que o valor de f (x) e o valor de f (x) será o mesmo para qualquer valor de x. Podemos dizer então que se trata de uma função par. Em uma função par f (x) f (x). O gráfico da letra b também ilustra uma função par. Já nos gráficos das letras c, d e e, a simetria existente não se dá em relação ao eixo e sim em relação à origem (interseção do eixo x com o eixo y). Nos três últimos gráficos os valores de f(x) e de f(x) são opostos, caracterizando, portanto, funções ímpares. Em uma função ímpar f (x) f (x). a)

b)

y x2 4 20

y x2 8

16

4

4

8

8 12

f(2) = 8

8

f(4) = 16

4

16

f(4) = 16

20

0 4 2

0

4

12 f(2) = 8

0

0

2

4

24

128


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Cap. 8 – eqUações e FUnções

c)

e)

y = 2x f(2) = 4

4

50 20 y= x 15 10

2

1

0

1

f(10) = 5

5 0

0 2

10

4 f(2) = 4

f(10) = 5

5

0

10

10 15 20

d)

y = tan x 2 1 f(45) = 1

0 0

90 45 f(45) 1

45

90

1 2

Uma função é dita crescente quando, aumentando-se os valores do domínio x, aumentam-se os valores da imagem (y). Por outro lado, quando se aumentam os valores de x e os valores de y diminuem-se, esta função é dita decrescente. Uma função pode ser sempre crescente ou decrescente para todo o domínio da função, ou apenas em certo intervalo. • Gráfico a: a função decresce para os valores de x até x 0. De x 0 a x a função é crescente. • Gráfico b: a função cresce para os valores de x até x 0. De x 0 a x a função é decrescente. • Gráfico c: a função cresce em qualquer intervalo do eixo x. • Gráfico d: a função cresce em qualquer intervalo do eixo x. • Gráfico e: a função decresce em qualquer intervalo do eixo x. 129


07/03/12 16:20


8.2. EqUAÇÃO

DE

GRAU

Equações de 1o grau são do tipo: ax b c. •x81 • 2x 100

a 1, a 2,

b 8, b 0,

c1 c 100

Em questões de concursos, é necessário primeiramente reconhecer qual é o valor procurado e “montar” a equação com as informações dadas. Por exemplo, deseja-se saber qual é a idade de uma pessoa se daqui a 8 anos ela terá exatamente o triplo da idade que tinha há 8 anos. Neste caso, a incógnita procurada é a idade atual da pessoa. Logo: Idade atual mais 8 anos

x + 8 = 3x

O triplo da idade atual

A solução é dada pelo simples rearranjo da equação: • x 8 3x Vamos passar tudo que for incógnita para o lado da esquerda da igualdade e o que estiver sem incógnita para o lado direito da igualdade. Lembre-se de mudar o sinal ao “mudar de lado”. • x 3x 8 • 2x 8 Como os dois “lados da equação” são negativos podemos multiplicá-los por 1, passando ambos os lados para positivo, facilitando a solução. 8 x4 • 2x 8 x 2 A idade atual desta pessoa é de 4 anos. Daqui a 8 anos, ela terá 12 anos, que é o triplo de 4. DICA Atente-se para o número que deve acompanhar o valor desconhecido, por exemplo: • O triplo do valor desconhecido 3x x • A metade de um valor desconhecido 2 130


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8.3. EqUAÇÃO

DE

GRAU

Equações de 2o grau são do tipo ax2 + bx + c 0. • x2 x 8 0

a 1,

b 1,

c8

• 2x2 10 0

a 2,

b 0,

c 10

• 3x2 2x 0

a 3,

b 2,

c0 1o

Semelhantemente ao descrito nas equações de grau, é necessário primeiramente reconhecer qual é o valor procurado e “montar” a equação com as informações dadas. As soluções das equações de 2o grau são encontradas com a aplicação da fórmula de Bhaskara, como demonstrado a seguir. 5x2 3x 9 7 5x2 3x 9 7 0 Colocam-se todas as partes da equação para a esquerda da igualdade. 5x2 3x 2 0

∆ b2 4ac

x

a 5;

b 3;

c2

O sinal de (mais ou menos) é em razão de a equação de 2o grau ter duas respostas possíveis (Veja função de 2o grau).

b √∆ 2a

Substituindo-se: 32 x

4 (5) 2

3 √49 2 (5)

9 (40) x

9 40

49

3 7 10

As duas respostas possíveis são: x´

4 2 3 7 10 5 10

x˝

3 7 10 1 10 10

DICA Uma equação de 2o grau poderá ser escrita na forma: (x a) (x b), em que a e b são as raízes da equação. No exemplo acima, a equação poderia ser escrita como:

x 25 (x 1) ⇒ x 5 (x 1). 2

131


07/03/12 16:20


Multiplicando-se todos os termos do primeiro parênteses por todos os termos do segundo parênteses pode-se voltar à equação na forma original.

x 25 (x 1) x

2

x2

x

2 2 2 5 2 x x2 x 5 5 5 5

3 2 x 0 5 5

3 2 A equação x2 x 0 e a equação 5x2 3x 2 0 5 5 são a mesma equação, possuem as mesmas raízes. Para as duas equações apresentarem a mesma forma, basta eliminar os denominadores da primeira, multiplicando por 5.

(5) x2

3 2 15 10 x x 0⇒ (5) 0 ⇒ 5x2 5 5 5 5

⇒ 5x2 3x 2 0 8.3.1. Produtosnot

veis

Produtos notáveis são produtos de expressões algébricas que possuem uma forma geral para sua resolução. A memorização desta forma geral evita a multiplicação termo a termo.Veja os principais. • (a b)2 a2 2ab b2 Exemplo: (x 2)2 ⇒ a x, b 2 ⇒ (x 2)2 x2 4x 4 • (a b)2 a2 2ab b2 Exemplo: (x 3)2 ⇒ a x, b 3 ⇒ (x 3)2 x2 6x 9 • (a b) (a b) a2 b2 Exemplo: (x 4) (x 4) ⇒ a x, b 4 ⇒ ⇒ (x 4) (x 4) x2 16 8.4. SISTEMAS

DE EqUAÇÕES

Quando há duas equações com duas incógnitas diferentes, um sistema de equações pode ser solucionado pelo processo de adição das duas equações, fazendo-se desaparecer uma das variáveis. Acompanhe o exemplo a seguir. 132


07/03/12 16:20


✎ APLICAÇÃO EM CONCURSOS FCC/2009/TRT – 15a Região – Certo dia, no início do expediente de uma unidade do TRT, foram formadas duas filas diante de um balcão, onde dois Técnicos Judiciários – Casimiro e Domitila – prestariam atendimento ao público externo. Para que, naquele momento, as duas filas ficassem com o mesmo número de pessoas, foram adotados os seguintes procedimentos: – primeiramente, da fila de Casimiro para a de Domitila, foram deslocadas tantas pessoas quantas havia na fila de Domitila; – em seguida, da fila de Domitila para a de Casimiro, foram deslocadas tantas pessoas quanto a quantidade das que haviam restado na fila de Casimiro. Se, após esses dois procedimentos, ambas as filas ficaram com 16 pessoas, então, inicialmente, o número de pessoas na fila de a) Casimiro era 18 d) Domitila era 15 b) Domitila era 14 e) Casimiro era 24 c) Casimiro era 20 Solução: Primeiramente vamos montar as equações.Veja que temos duas incógnitas diferentes. Uma é o tamanho inicial da fila de Casimiro (x), e a outra o tamanho inicial da fila de Domitila (y). 1a equação: x y (x y) 16

Inicialmente, foi subtraída da fila do Casimiro (x) uma quantidade de pessoas igual ao número de pessoas que havia na fila da Domitila (y).

Em seguida, foi adicionada à fila de Casimiro a mesma quantidade de pessoas que restaram após a retirada inicial, ou seja, foram adicionadas (x y) pessoas.

Após retirar e colocar pessoas na fila de Casimiro o total passou a ser 16 pessoas.

2 equação: a

x y 16 2

O número total de pessoas foi constante, ou seja, apenas mudaram-se as pessoas de fila, e não surgiram novas pessoas. Desta forma, pode-se afirmar que a soma inicial das duas filas é igual à soma final de ambas, 16 2. 133


07/03/12 16:20


Primeiramente rearranjaremos as equações para que as incógnitas fiquem “juntas” do lado esquerdo da igualdade. • x x y y 16 2x 2y 16 • x y 32 Agora colocaremos as equações uma debaixo da outra. 2x 2y 16 x y 32

Entretanto, objetivamos anular uma das variáveis. Escolhemos anular a variável x, para isso, iremos multiplicar a segunda equação por (2) para que a soma das variáveis x se anule. 2x 2y 16 2x 2y 64 y

4y 48

48 4

y 12

Agora, a partir do valor de y encontramos o valor x por substituição em uma das equações. x y 32

x 12 32

x 32 12

x 20

(Resposta: letra c) 8.5. FUNÇÃO

DE

GRAU

Como dito no início do capítulo, em uma função o valor de y ou de f (x) depende do valor de x. Por exemplo, y 3x 7. O valor de y depende do valor atribuído a x. Se x 3, então y 16. O gráfico de uma função de 1o grau será sempre uma reta. Na função y 3x 7 tomamos os seguintes pares ordenados: x

CÁLCULO

y

3

3 3 7

2

2

2 3 7

1

1

1 3 7

4

0

037

7

1

137

10

Agora, para construir o gráfico da função basta colocar no eixo horizontal (abscissa) os valores de x. E no eixo vertical (ordenada), os de y. 134


07/03/12 16:20


NOTA Como o gráfico de uma função de 1o grau é sempre uma reta, bastam dois pares x, y para construção desta reta. Quando y 0, a reta ‘corta’ o eixo x (abscissa). 7 Neste caso, 3x 7 0, x 3

3

2

1 x 1

10 8

Quando x 0, a reta ‘corta’ o eixo y (ordenada). 6 Neste caso, y 3 0 7, 4 y4 y7 2 0 0 1 2

Considerando uma função de 1o grau como sendo y ax b, onde a e b são números quaisquer; • Se a for positivo, será inclinada para a direita (função crescente); • Se a for negativo, será inclinada para a esquerda (função decrescente). Função com a positivo: y 4x 7

2

1

8.6. FUNÇÃO

DE

8

8

6 4

6

2 0

2 0

2

Função com a negativo: y 4x 7

4

0

1

0

2

1

2

GRAU

O gráfico de uma função de 2o grau será sempre uma parábola. x Na função y x2 1 tomamos os seguintes pares orde2 nados: y4 4 3 2

2

1

1 0 0 1

1

2 x2 135


07/03/12 16:20


CÁLCULO

x 2 1 0 1 2

y

22 1 1 (1) 1 2 0 (0) 1 2 1 (1) 1 2 2 (2) 1 2

2

(2)2 2

0,5

2

1

2

0,5

2

4

Considerando uma função de 2o grau como sendo y ax2 + bx + c 0, onde a e b são números quaisquer; • Se a for positivo, a parábola será aberta para cima; • Se a for negativo, a parábola será aberta para baixo. • Se 0 ( b2 4ac), a parábola irá cortar o eixo x em dois pontos, que serão as raízes da equação. • Se 0, a parábola será abaixo ou acima do eixo x. Tem-se a solução da equação não pertencente ao conjunto dos números reais, e sim pertencente ao conjunto dos números complexos. (Veja números complexos em conjuntos.) • Se 0, a equação terá apenas uma raiz. A parábola irá tangenciar o eixo x na raiz.

3

Função com a positivo

Função com a negativo

e

0 ( 5)

e

y

x2

y x2 x 5

2

x1 5 4 3 2 1 0 1 1 0 2

1

2

0 ( 21)

5 4 3 2 1 0

2

1 1 0

1

2

3

136


07/03/12 16:20


Função com a positivo e 0 ( 199) y 5x2 x 10

Função com a negativo e 0 ( 23) y 3x2 x 2

70 60 50 40 30 20 3 2 1

10 0

3 2 1

0

1

2

3

Função com a positivo e 0 y x2 2x 1

2

1

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

2

0

1

2

3

0

5 10 15 20 25 30 35

1

Função com a positivo e 0 y x2 2x 1 0 1 1 1 2 3

2

3

4

2 3 4 5 6 7 8 9

4

O ponto mais alto ou mais baixo de uma parábola é chamado de vértice. Se a 0, a parábola terá concavidade voltada para cima, e o vértice será o ponto de mínimo. Por outro lado, se a 0, a parábola terá concavidade voltada para baixo e o vértice será o ponto de máximo. O vértice terá a seguinte coordenada: xvértice

b 2a

e

yvértice

4a

O ponto em que a parábola corta, ou simplesmente tangencia, o eixo x representa as suas raízes em R (conjuntos dos números reais). O ponto em que a parábola corta o eixo y será na coordenada em que x 0. Sendo a equação de 2o grau dada por y ax2 bx c, para x 0, temos: y a 02 b 0 c

⇒

yc 137


07/03/12 16:20


Seja a função: y x2 8x 20 x2 8x 20 0

a 1;

b 8;

b2 4ac

x

c 20 b √ 2a

Substituindo-se: (8)2 4 1 (20) x

(8) √144 21

64 (80)

x

64 80

144

8 12 2

As respostas possíveis são: x´

20 8 12 10 2 2

x˝

8 12 4 2 2 2

Vértice da parábola: xvértice

8 b (8) 144 144 4 ⇒ yvértice 36 2 2a 21 4a 41 4

Raiz da equação 2

40 30 20 10 0

Raiz da equação 10

6 4 2 0 10 20 c 20 30 Para x 0; y c 40

8.7. FUNÇÃO

2

4

6

8

10 12 14

Vértice ponto de mínima x 4; y 36

E PONENCIAL

Uma função exponencial é aquela em que a variável é um expoente. y ax

a 0; a 1

Essas funções têm a característica de crescerem ou decrescerem muito rapidamente. Nestas funções o valor de a não pode ser negativo nem ser igual a 1. Se a 1, o gráfico não passará de uma reta, pois 1 elevado a qualquer valor é igual a 1. (Veja raízes e potências.) 138


07/03/12 16:20


Se a 0, o gráfico irá oscilar entre y positivo e negativo. Pois um número negativo (a negativo) elevado a um número par (x par) é um número positivo (y positivo), enquanto um número negativo (a negativo) elevado a um número ímpar (x ímpar) é negativo (y negativo). Considere a função y 2x.Vejamos o seu gráfico. No gráfico da função exponencial exemplificada a seguir vemos como a curva cresce rapidamente, o valor de y torna-se cada vez mais alto. No gráfico a seguir vemos destacados por linhas pontilhadas dois intervalos de x. Temos uma variação de 0,5 no valor de x em ambos os casos, x variando de 1 a 1,5 e de 4 a 4,5. Note que no segundo intervalo os valores de y variaram muito mais que no primeiro intervalo (de 2 a 2,83 no primeiro e de 16 a 22,63 no segundo). Esta é uma característica das funções exponenciais. Nota-se também que a curva chega cada vez mais próximo do eixo x, mas nunca irá interceptá-lo. Dizemos assim que o eixo x é uma assíntota da curva. 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

3 2 1 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 2,5 1,5 0,5

Considerando uma função exponencial sendo y a bx, onde a é um número qualquer, maior que zero e diferente de 1. Para b 0, temos: • Se a for maior que 1, a curva irá crescer da esquerda para a direita (função crescente); • Se a estiver entre zero e 1, a curva irá crescer da direita para a esquerda (função decrescente). 139


07/03/12 16:20


70 Função com a 1 e b 0 60 y 1,5x 50 40 30 20 10 0 10 5 0

5

10

10

5

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Função com a1eb0 y 0,8x

0

5

10

Entretanto, se houver um número negativo acompanhando o expoente, essa característica se inverte. Para b 0, temos: • Se a estiver entre zero e 1, a curva irá crescer da esquerda para a direita (função decrescente); • Se a for maior que 1, a curva irá crescer da direita para a esquerda (função crescente). 7 6 Função com 5 a1eb0 x 4 y 1,2 3 2

10

5

1 0

0

5

10

9 8 7 Função com a 1 6 y 0,92x 5 4 3 2 1 0 15 10 5 0

5

10

NOTA Perceba que o gráfico exponencial irá interceptar o eixo y sempre no número 1. Ou seja, quando x 0, o valor de y será sempre igual a 1, para qualquer equação do tipo y a bx, pois todo número elevado a zero é igual a 1. Para resolvermos equações exponenciais devemos utilizar as mesmas propriedades aplicadas para potências. a) am an am + n am b) an am n 140


07/03/12 16:20


c) (am)n am n d) (a b )m am bm a m am e) m b b

1 m 1m 1 f ) am m m (a 0) Quando o expoente é nea a a gativo, inverte-se a base e o expoente passa a ser positivo.

g) Se am bn, então podemos afirmar que m n. 8.8. FUNÇÃO

LOGARÍTMICA

Logaritmo é definido pela expressão: loga x b

ab x

a 0; a 1

x0

O logaritmo de x na base a é o expoente ao qual devemos elevar o número a para obter x. Pelas mesmas razões expostas no item de função exponencial, o valor de a não pode ser negativo, nulo, nem ser igual a 1. Também a função logarítmica só será possível para x positivo e não nulo. NOTA Quando a base não estiver escrita no logaritmo subentende-se que a base é igual a 10 (log10 x log x). Outro logaritmo de base fixa é o logaritmo neperiano, cujo valor da base é igual a e e 2,718. O logaritmo neperiano é representado por ln (logex ln x) e suas propriedades são iguais às propriedades de qualquer outro logaritmo. Considere a função y log10 x. Vejamos o seu gráfico. 0,5 0

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0,5 1 1,5 2 141


07/03/12 16:20


Semelhantemente aos gráficos da função exponencial, a função logarítmica cresce ou decresce rapidamente. Para pequenas variações do valor de x o valor de y torna-se cada vez mais baixo. Nota-se que a curva chega cada vez mais próximo ao eixo y, mas nunca irá interceptá-lo. O eixo y é a assíntota da curva definida pelo logaritmo. Considerando uma função exponencial sendo y loga x, onde a é um número qualquer, maior que zero e diferente de 1 e x é positivo; • Se a for maior que 1, a curva irá tender a encostar (mas nunca encostará) no eixo y em sua parte negativa (função crescente); • Se a estiver entre zero e 1, a curva irá tender a encostar (mas nunca encostará) no eixo y em sua parte positiva (função decrescente). 2 1 0 0 0,5 1 2 3 4 5 6

1

1,5

2

Função com a 1 y log2 x

2,5

6 5 3 4 3 2 1 0 1 0 2

Função com a 1 y log0,5 x

0,5

1

1,5

2

2,5

3

NOTA Perceba que o gráfico logarítmico irá interceptar o eixo x sempre no número 1. Para y 0, o valor de x terá que ser igual a 1, para qualquer equação do tipo y loga x, pois o logaritmo de 1, em qualquer base, será sempre igual a zero. 8.8.1. Propriedadeslogar tmicas

a) loga 1 0, pois todo número elevado a zero é igual a 1 (a 0 1). b) loga a 1, pois todo número elevado a 1 é igual a ele mesmo (a 1 a). c) aloga b b d) Se loga b loga c, então podemos afirmar que b c 142


07/03/12 16:20


e) loga (b c) loga b loga c b f ) loga loga b loga c c m g) loga b m loga b logc b h) loga b logc a

AP ICA

ODA P OP I DAD

Encontre o valor de x da expressão: log 2x log 4x log 16x 7. log 2 log x log 4 log x log 16 log x 7 Aplicação da propriedade e. log x log x log x log 2 log 4 log 16 7 log(x x x) log 2 log(2 2) log(2 2 2 2) 7 Aplicação da propriedade e. log(x3) log 2 log (22) + log(24) 7 3 log(x) log 2 2 log(2) 4 log(2) 7 Aplicação da propriedade g. 3 log(x) 7 log 2 7 3 log(x) 7 7 log 2 3 log(x) 7 (1 log 2) Aplicação da propriedade b, (log 10 1), pois a base 3 log(x) 7 (log 10 log 2) do logaritmo é igual a 10 3 log(x) 7 log 10 Aplicação da propriedade f. 2 7 (log 5) log(x) 3 log(x) log 57/3 Aplicação da propriedade g.

x 57/3 Aplicação da propriedade d. 3

3

x √57 ⇒ x √53 53 52 Aplicação de propriedades de expoentes. 3

3

x 5 5√5 ⇒ x 25√5

As propriedades e, d, f e g foram aplicadas porque todos os logaritmos possuíam a mesma base, base igual a 10.

✎ APLICAÇÃO EM CONCURSOS CONSULPLAN/2010/Prefeitura de Santa Maria Madalena – RJ – Simplificando-se log8 (log5 3 log2 16 log9 5) obtém: 1 2 3 a) c) e) 3 3 4 1 2 b) d) 5 5 143


07/03/12 16:20


Solução: log8 (log5 3 log2 16 log9 5)

ln 5

log8 ln 3 log2 24 ln 5 Aplicando-se a propriedade h, dois logaritmos ln 9

de bases diferentes tornam uma fração de logaritmos de bases iguais. Neste caso, escolhemos a base neperiana (loge x ln x), mas poderíamos ter escolhido outra base qualquer.

ln 5 ln 3 ln 5 log ln 3 4 1 Podemos “cortar” os ln 3 e ln 5 dos nume2 ln 3 ln 5

log8 ln 3 4 log2 2 ln 52 8

radores com os ln 3 e ln 5 dos denominadores.

log8 4 log8 2 x

2 8x 2 (23)x 21 1 3x 1 ⇒ x 3

(Resposta: letra a) CONESUL/2008/Correios-GO – Seja a equação exponencial 24x 4 2 22x + 2. Os valores que verificam esta equação são 3 a) 1; 2 d) 1; 1 2 b) 1; 2 e) 2; 1 c) 1 ; 2 2 Solução: 24x + 4 2 3 22x + 2 ⇒ 24x + 4 3 22x + 2 2

Colocaremos o fator comum 22x + 2 em evidência e utilizaremos a propriedade c: 22x + 2 (22 3) 2

(Veja fatoração em múltiplos e divisores.)

22x + 2 (4 3) 2 ⇒ 22x + 2 1 2 (2x + 2)

12

1

1 2

Aplicação da propriedade f.

144


07/03/12 16:20


(2x 2) 1 Aplicação 2x 2 1

⇒

da propriedade g.

2x 1 2

⇒

2x 1 ⇒

x

1 2

1 já teríamos a resposta, que é a letra d, pois é a única 2 1 alternativa que possui o . 2 Entretanto, a letra d também indica o valor de x 1. Vamos verificá-lo. Com x

24x 4 2 3 22x 2 ⇒ 24(1) 4 2 3 22(1) 2 24 4 2 3 22 2 ⇒ 20 2 3 20 ⇒ 1 3 3 1 ⇒ 1 1

Portanto, x 1 também é uma solução da equação. (Resposta: letra d) 8.9. INEqUAÇÃO

DE

GRAU

A inequação ocorre quando, no lugar do sinal de igualdade, há um sinal de desiqualdade. • menor que (o que está à esquerda é menor que o que está à direita do sinal) • maior que (o que está à esquerda é maior que o que está à direita do sinal) • menor ou igual a (o que está à esquerda é menor ou igual ao que está à direita do sinal) • maior ou igual a (o que está à esquerda é maior ou igual ao que está à direita do sinal) O processo de solução de uma inequação de 1o grau é praticamente igual ao de solução de uma equação. A diferença será que, quando a inequação for multiplicada por um fator negativo para alteração de sinal, o sinal de desigualdade também será invertido. Exemplos 1: 5x 7 1 6x Primeiro, iremos “arranjar” a equação, colocando as incógnitas do lado esquerdo, e os números do lado direito. 5x 6x 1 7 ⇒ x 6 ⇒ x 6

A equação foi multiplicada por 1 e o sinal de inequação inverteu-se. Passou de para . 145


07/03/12 16:20


Exemplo 2: 2x 2 0

⇒

2x 2 ⇒

x

2 2

⇒

x 1

Neste caso, percebemos que, na reta y 2x 2, os valores de y são menores que zero quando os valores de x forem menores que 1. 8 6 4 2 0 3

8.10. INEqUAÇÃO

2

1

DE

2 4

0

1

2

3

GRAU

Na solução de uma inequação de segundo grau deve-se igualar a sentença a zero, localizar as raízes e proceder a um estudo da função correspondente.Veja o exemplo. x(x 4) 0 x(x 4) 0 ⇒ x2 4x 0

a 1,

x

(4) √16 21

16 0 x

e

c0

b √ x 2a

b2 4ac (4)2 4 1 0

b 4

16

44 2

As duas respostas possíveis são: x´

44 4 2

x˝

44 0 2

Conhecidas as raízes da equação procede-se ao estudo dos sinais. Este estudo é feito por um esboço do gráfico da função correspondente.

Raiz da equação x0


146


07/03/12 16:20


No exemplo, sabemos que o gráfico terá a parábola com concavidade voltada para cima, pois a 0. Desta forma, faz-se um esboço de uma parábola, com concavidade voltada para cima e passando pelas raízes, no caso, x 0 e x 4. Agora, analisa-se em quais intervalos o valor de y será positivo e em quais será negativo. Neste caso, vê-se que: • Para todo x menor que a primeira raiz (x 0), o valor de y será positivo. • Para todo x maior que a segunda raiz (x 4), o valor de y será positivo. • Para todo x maior que 0 e menor que 4, ou seja, entre as raízes (0 x 4), o valor de y será negativo. Assim, a solução da inequação x(x 4) 0 será o intervalo em que y será negativo. Ou seja, será o intervalo de 0 a 4. Solução: S {x / 0 x 4} NOTA Como a inequação trazia o sinal de (menor que), a solução é um intervalo aberto. (Veja intervalos, em conjuntos.) Se a inequação tivesse o sinal , a solução seria um intervalo fechado. Deste modo: S {x / 0 x 4} 8.11. DOMÍNIO

E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO EM

O domínio de uma função, simplificadamente, é o conjunto formado por todos os valores que x pode assumir, para que y seja satisfeito. DICA Na hora de avaliar os valores que a incógnita x pode assumir, lembre-se das principais restrições: • Não existe divisão por zero. 2 4 • Não existe raiz, com índice par, de número negativo ( √x, √x, 6 √x etc.). • Não existe logaritmo com base negativa, nula ou igual a 1. 147


07/03/12 16:20


• Não existem tangentes de 90º e 270º. (Veja funções trigonométricas em equações e funções.) A imagem de uma função é o conjunto formado por todos os valores que ela pode assumir quando atribuídos os possíveis valores de x. Veja o exemplo. y

√2x2 8 3

√x2 6

Considerações: • 2x2 8 0 Neste caso, por se tratar de numerador da fração, a expressão pode ser igual a zero. Mas, por se tratar de uma raiz quadrada, a expressão não pode ser negativa. • x2 6 0 A expressão pode assumir qualquer valor, pois se trata de uma raiz cúbica. Mas, por se tratar de um denominador, a expressão não pode ser igual a zero. 2x2 8 0 (0)2 4 (2) 8

64

x

(0) √64 2 (2)

x

8 4

x´

8 2 4

x˝

8 2 4

Raiz da equação x 2


O esboço do gráfico indica que a função é maior ou igual a zero para 2 x 2. Ou seja, y é maior ou igual a zero para todo x entre os números 2 e 2, inclusive o 2 e o 2, pois trata-se de um intervalo fechado. 148


07/03/12 16:20


x2 6 0 x2 6

⇒

x √6

Lembre-se de que um número negativo elevado a um expoente par é sempre positivo. Assim, o valor de x deve ser diferente de √6 e de √6. Agora, unindo-se as duas restrições, podemos definir o domínio da função. D {x / 2 x 2 e x √6}

✎ APLICAÇÃO EM CONCURSOS FUNRIO/2008/CBM-RJ – O menor número inteiro que satisfaz a inequação x 12 4x 2(x 1) é: a) 2

d) 4

b) 3

e) 5

c) 1 Solução: x 12 4x 2x 2 5x 10 (o x

10 5

x 4x 2x 2 12

5x 10

sinal de “menor que” passou para o sinal de “maior que”) x 2

O valor de x é qualquer valor que seja maior que 2. Ou seja, o menor número inteiro que satisfaz a inequação é 1. Se o sinal de desigualdade fosse (maior ou igual), a resposta seria o próprio número 2, já que, neste caso, o 2 passaria a fazer parte das possibilidades de x. Um detalhe passível de erro, por falta de atenção, é colocar o número 3 como sendo maior que 2. Por serem negativos, quanto maior o valor absoluto do número, menor ele será. (Resposta: letra c). 149


07/03/12 16:20


CONESUL/2008/Prefeitura de Porto Alegre – RS – Observe o gráfico a seguir. y 4 2 2

0

0

2

4

x

2 4 6

A alternativa que corresponde à função representada por esse gráfico é x2 a) y x2 x 6 d) y 2 x 6 3 2 x e) y 3 x 6 b) y 2x2 x 6 2 2 c) y x 3x 6 Solução: Vemos no gráfico que as duas raízes da equação são 2 e 3. Desta forma, a equação pode ser escrita como (x (2)) (x 3) (x 2) (x 3) Multiplicando-se os termos do primeiro parênteses pelos termos do segundo parênteses, temos: (x 2) (x 3) x2 3x 2x 6 x2 x 6

(Resposta: letra a) CESPE/2010/Ministério da Previdência Social – As quantidades de empregados de três empresas são números positivos distintos que satisfazem, simultaneamente, às inequações x2 5x 4 0 e 2x 16 0. Nesse caso, é correto afirmar que ( Julgue os itens). 1. O produto dos números correspondentes às quantidades de empregados dessas três empresas é igual a 240. 150


07/03/12 16:20


2. As três empresas têm, juntas, 18 empregados. Solução: Se a quantidade de empregados das três empresas satisfaz simultaneamente as duas inequações, podemos afirmar que os três números, relativos à quantidade de empregados, pertencem ao domínio de ambas as inequações. x2 5x 4 0 (5)2 4 4 1 (5) √9 21 8 x´ 4 2

25 16 9 53 2 2 x˝ 1 2

x

x



O esboço do gráfico indica que a função é maior que zero para x 1 e para x 4. Por ser um intervalo aberto (maior que, e não maior ou igual a), os números 1 e 4 não entram no domínio da função. Como a quantidade de empregados não pode ser nula nem negativa, sabemos que as quantidades de empregados de cada empresa têm que ser maiores que 4. 2x 16 0 2x 16 ⇒

x

16 2

⇒

x8

O número de empregados de cada empresa tem que ser menor que 8. Se as três quantidades de empregados são diferentes entre si e devem ser maiores que 4 e menores que 8, estas quantidades serão: 5; 6 e 7. O produto entre as quantidades será: 5 6 7 210. (Resposta: item 1 falso) A soma entre as quantidades será: 5 6 7 18. (Resposta: item 2 certo) 151


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x1 CETRO/2008/IMBEL – O domínio da função f(x) x2 5x 6 é: a) ]6; 1[ ]1; [ d) [1; [ b) ]6; 1[ ]1; [ e) ]6; 1[ ]1; [ c) [6; [ Solução: Considerações: • x2 5x 6 0 Denominador de uma fração tem que ser diferente de zero. x1 • 2 0 Não há raiz quadrada de número negativo x 5x 6 em . Perceba que a expressão total que compõe a fração tem que ser maior ou igual a zero. Mas a expressão só do denominador deve apenas ser diferente de zero. x2 5x 6 0 (5)2 4 1 (6) (5) √49 21 12 x´ 6 2

x

25 24 49

5 7 2 2 x˝ 1 2

x

Raiz da equação x 6


A função é diferente de zero para x diferente de 6 e 1. x 1 x2 5x 6

0

Temos aqui uma fração formada por duas expressões. Para analisar os sinais da fração toda é preciso analisar as duas expressões e conjugá-las. Note que a expressão formada pelas duas expressões juntas pode ser igual a zero, pois existe raiz quadrada de zero (intervalo fechado). 152


07/03/12 16:20


yx1

A função é maior ou igual a zero para x maior ou igual a 1. 1 0 2

Para x 0, y 1

1 0

1 1

2

Para y 0, x 1

2 3

Para realizar o estudo dos sinais das duas expressões conjuntas, vamos utilizar a reta dos números reais, colocando sobre ela os intervalos em que a função é positiva ou negativa. 0

6

1 1

6

0 1

x2 5x 6 x1 x1 x2 5x 6

Unindo-se as duas expressões, temos que: • Para x menor que 6, a primeira expressão é positiva e a segunda, negativa. Assim, a união das duas será negativa (negativo vezes positivo será negativo). • Para x entre 6 e 1, a primeira expressão será negativa e a segunda também. Assim a conjugação das duas será positiva (negativo vezes negativo será positivo). • Para x maior que 1, a primeira expressão será positiva e a segunda também. Assim a conjugação das duas será positiva (positivo vezes positivo será positivo). • Na primeira expressão o intervalo é aberto em 6, e na segunda expressão não há intervalo definido em 6. Assim, mantém-se o intervalo aberto em 6. • Na primeira expressão o intervalo é aberto em 1, e na segunda expressão é fechado. Assim, prevalece o intervalo aberto em 1, pois pela primeira expressão x tem que ser diferente de 1. 153


07/03/12 16:20


O resultado que nos interessa é o intervalo positivo

x1

x 5x6 0. 2

Portanto o domínio da função será: D {x / 6 x 1 e 1 x }

O domínio também pode ser escrito de outra forma, utilizando-se o sinal de união () entre os dois intervalos estabelecidos. O intervalo entre 6 e 1, e o intervalo de 1 a infinito. Note que o número 1 não pertence ao domínio da função. ]6; 1[ ]1; [ (Resposta: letra e) 8.12. FUNÇÕES

TRIGONOM TRICAS

Os valores de seno, cosseno e tangente podem ser lidos por meio de gráficos. Os gráficos a seguir irão ilustrar a função seno, a função cosseno e a função tangente. Nestes gráficos no eixo x encontra-se o valor do ângulo, em graus ou em radianos, e no eixo y, o valor do seno, cosseno ou tangente do ângulo. Veja que o gráfico do seno irá começar em zero (sen (0) 0) e irá oscilar entre 1 e 1. Podemos dizer então que a imagem da função seno é [1, 1]. O domínio é qualquer número do conjunto dos números reais (), pois o eixo horizontal pode assumir qualquer valor em . Repare que o gráfico se repete a cada 360º (ou a cada 2). Este intervalo é chamado de senoide. Dizemos ainda que o PERÍODO da função é 2 1

seno de

0,75 0,5 0,25 0 0,25

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450 480 510 540

ângulo

0,5 0,75 1

senoide 154


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Já o gráfico do cosseno de irá começar em 1 (cos(o) 1) e também irá oscilar entre 1 e 1. Portanto, a imagem da função cosseno também é [1, 1]. A função também se repete a cada 360º (ou a cada 2), que também equivale ao PERÍODO da função. Este intervalo é chamado de cossenoide. 1

cosseno de

0,75 0,5 0,25 0 0,25

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450 480 510 540

ângulo

0,5 0,75 1

cossenoide

O gráfico da tangente de possui características distintas das dos gráficos de seno e cosseno. Este gráfico irá oscilar entre e (menos infinito e mais infinito). Pois quanto mais o ângulo se aproxima de 90º, mais o valor tangente cresce. Este gráfico cresce infinitamente “para cima” e “para baixo”. Assim, a imagem da função tangente é [, ].

sen Entretanto, o ângulo nunca poderá ser igual a 90º, pois tan cos e, como o denominador não pode ser igual a zero, o cosseno do ângulo não pode ser igual a zero. Os ângulos em que o cosseno é igual a zero são: 90 , 2 3 5 270 , 450 etc. Observe, no gráfico da função tangente, que 2 2 nesses ângulos a tangente não existe.

Portanto, o domínio da função tangente são todos os números reais, exceto aqueles em que o cosseno é igual a zero. A função se repete a cada 180º (ou a cada ), que também equivale ao PERÍODO da função. Este intervalo é chamado de tangentoide. 155


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tangente de

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 0 45 90 135 180 225 270 315 360 405 450 485 540 2 ângulo 3 4 5 6 7 8 9 10

tangentoide

O exercício a seguir irá demonstrar mais detalhes sobre gráficos de funções trigonométricas.

✎ APLICAÇÃO EM CONCURSOS CESGRANRIO/2008/Termoçu – Qual o gráfico que melhor re presenta a função de em definida por f (x) 3 sen 2x 3 ? a)

d)

f(x)

f(x)

x

x

b)

f(x)

e)

x

c)

f(x)

x

f(x)

x

156


07/03/12 16:20


Solução: Sabemos que o gráfico do seno de x se repete a cada 360º. Entretanto, para seno de 2x, o gráfico irá se repetir em um intervalo menor, pois o valor de x agora está multiplicado por 2. Assim, o gráfico do seno de 2x irá se repetir a cada 180º.

f(x) sen (2x)

Quando se multiplica o valor do eixo horizontal por um número n qualquer, o período do gráfico é alterado. O período é inversamente proporcional a n. 1 0,5 0 0,5

0

30

60

90

120 150

180 210 240 270

300 330

360

x

1

Cabe lembrar que isso acontece porque o eixo horizontal permaneceu com os valores de x. Se o eixo horizontal passasse a conter os valores totais de interesse, ou seja, 2x, o gráfico permaneceria tal como exposto anteriormente para seno de . Agora, quando é somado um número n aos valores do eixo horizontal, o que se altera é o ponto de início do gráfico. Originalmente, na função do seno de x, para x 0, tem-se sen (0) 0. E ainda, sen (2x) 0. Entretanto, ao somar 2 , para x 0, tem-se sen 2x 2 0 1 1. f(x) sen (2x+/2)

1 0,5 0 0,5

0

30

60

90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

x

1

Lembre-se de que

180o. 2 157


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f(x) 3 sen (2x+/2)

Agora, temos a função seno sendo multiplicada por um número n qualquer. Neste caso, os valores do eixo vertical, ou seja, a imagem, serão multiplicados proporcionalmente pelo número n. 3 2 1 0 0 1 2 3

30

60

90 120

150 180 210 240 270 300

330 360

x

Perceba que a o gráfico oscilava de 1 a 1 e agora passa a oscilar de 3 a 3. (Resposta: letra c)

✍ PRATICANDO 1. VUNESP/2009/CRF – Em uma rodovia, o pedágio custa R$ 2,00 por automóvel e R$ 1,00 por moto. Na segunda-feira, em meia hora, foram arrecadados R$ 1.230,00, tendo sido registrado um total de 650 veículos pagantes, sendo 60 caminhões leves e ônibus que pagaram R$ 4,00 cada um, e os demais, motos e automóveis. O total de motos que passaram pelo posto de pedágio, nessa meia hora, foi a) 150 c) 290 b) 190 d) 2965 2. FUNRIO/2008/CBM-RJ – O gráfico cartesiano de uma função do primeiro grau intercepta o eixo das abscissas em x 5 e o eixo das ordenadas em y 3 e sua equação pode ser expressa por: 3x 15 5 3x 15 b) y 3 c) y 3x 15 a) y

5x 15 3 3x 15 e) y 5

d) y

158


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3. CESGRANRIO/2011/Petrobras – O valor máximo da função de variável real f(x) 4(1 x) (6 x) é a) 44

d) 49

b) 46

e) 50

c) 48 4. CESGRANRIO/2009/BNDES – O conjunto-solução da inequação 9 x2 0 é a) 3 x 3

d) x 3

b) 3 x 3

e) x 3

c) x 3 5. IDESPEM/2008/Prefeitura de Matias Cardoso – MG – Se x é um número real positivo e diferente de 1, a solução da equação log2 x log2 2x 3 é um número: a) Menor que 1.

d) Múltiplo de 8.

b) Divisor de 15.

e) Irracional.

c) Primo. 6. CETRO/2008/IMBEL – Na figura seguinte aparecem os gráficos das funções f e g, sabendo-se que uma delas é uma função exponencial e a outra uma função logarítmica. Com base nesses dados, podemos afirmar que: a) f(x) loga x, g(x) ax, b) f(x) ax,

a1

g(x) loga x, a 1

c) f(x) loga x, g(x) bx,

a 1, 0 b 1

d) f(x) ax,

g(x) logb x, 0 a 1, b 1

e) f(x) ax,

g(x) logb x, 0 a, b 1 159


07/03/12 16:20


g

4

y

3 2

f

1

x 1

2 1

2

3

4

1 2

7. AOCP/2009/CASAN – Seja f(x) 4 3x x2 uma função quadrática. Determine os valores de x para os quais f(x) 0. a) 1 x 4 d) x 1 ou x 4 b) x 4 e) x 3 ou x 4 c) 3 x 4 CESPE/2009/MEC-Unipampa – Considerando, em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais x0y, as funções y f(x) 2x2 8x 10 e y g(x) 2x 2 em que x é um número real, julgue o item que se segue. 8. Os gráficos dessas funções se interceptam em 2 pontos, e, para esses pontos, a soma das abscissas é igual a 10. CESPE/2009/FHS-ES – Considerando, em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais x0y, a função y f(x) 4(x2 5x 4), em que x é um número real, julgue os itens seguintes. 9. O gráfico de f intercepta o eixo Ox nos pontos de coordenadas (1, 0) e (4, 0). 10. O gráfico de f intercepta o eixo Oy no ponto de coordenadas (0, 4). 160


07/03/12 16:20


11. A imagem de f é o conjunto de todos os números reais y tais que y 9. 12. Para os valores de x tais que 0 x 5, tem-se que f (x) 16. 13. Essa função é crescente no intervalo x 2. CESPE/2009/PM-ES – Julgue os itens seguintes a respeito da função polinomial de segundo grau f(x) 2x2 7x 6. 14. Um dos valores de x para os quais se tenha f(x) 0 é x 2. 15. Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais x0y, o gráfico da função y f(x) é uma parábola com a concavidade voltada para cima. 16. Encontrar os valores de x para os quais se tenha f(x) 0 é 7 equivalente a resolver a equação de segundo grau x2 x 3 0. 2 17. Representando, em um mesmo sistema de coordenadas cartesianas 7 ortogonais x0y, os gráficos de y g(x) x2 x 3, os pon2 tos correspondentes aos vértices dessas duas parábolas coincidem. 18. O valor de x que anula a equação de primeiro grau x 2 0 é tal que f(x) 0. 19. IDESPEM/2008/Prefeitura de Matias Cardoso – MG – O 1 x2 0 consiste nos números conjunto solução da inequação 2 x x reais, tais que: a) 1 x 1

d) x 1 ou x 1

b) 0 x 1

e) 1 x 0

c) x 1 ou x 1 161


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20. CETRO/2008/IMBEL – Dada a equação x2 2√3x log n 0, com raízes reais, os valores do natural n são: a) n 103 d) 1 n 103 b) n 103 e) 1 n 103 c) 1 n 103

321

21. CONESUL/2008/Correios – GO – Seja o seguinte sistema x 3y 10 2 Então pode-se afirmar que x 2y é 3x 2y 10 a) 5 d) 20 b) 10

e) 25

c) 15 22. CONESUL/2008/Correios – GO – Se log3 x 2, então a) x 0 d) x 3 b) x 1 e) x 9 c) x 2 23. CONSULPLAN/2008/Prefeitura de Manhumirim – Se log 6b x, então log 36 b3 é igual a: x3 a) d) x 3 2 3x x2 b) e) 3 2 2x c) 3 24. FGV/2004/BESC – Sabendo que log 2 0,30, assinale a melhor aproximação da solução da equação 2x 80. a) 6,1 d) 6,6 b) 6,3 e) 6,7 c) 6,5 162


07/03/12 16:20


25. CESPE/2011/Previc – Com o objetivo de despertar mais interesse de seus alunos para a resolução das expressões algébricas que com frequência ocorrem nos problemas, um professor de matemática propôs uma atividade em forma de desafio. Os estudantes deveriam preencher retângulos dispostos em forma triangular de modo que cada retângulo fosse o resultado da soma das expressões contidas nos dois retângulos imediatamente embaixo dele, exceto para aqueles da base do triângulo. Portanto, na figura a seguir, D A B, E B C e F D E. F

D

A ln

E x√x 2 ln (2)

x

2 x√x

B

C 5x√x ln (2)

Com base nos dados acima, julgue o item que se segue. Os estudantes que preencheram corretamente os retângulos em branco encontraram F ln (4x) 4x√x. Gabarito: 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

B

A

D

B

C

C

A

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

E

D

B

E

B

B

Certo

Falso Certo Falso Certo

12

13

14

Falso Certo Falso Certo Certo Falso Falso

163


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9.

PR OGRE S S E S

9.1. PROGRESSÃO

ARITM TICA – PA

Progressão aritmética é uma sequência de números em que, a partir do segundo número, cada número é formado pelo número imediatamente anterior somado a uma constante. 9.1.1. R

PA

Essa constante é também chamada de razão da PA. E cada número pertencente à sequência é chamado de termo. Exemplos: a) (0; 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; ...) razão 5 b) (12; 15; 18; 21; 24; 27; 30; 33; ...) razão 3 É fácil perceber que a razão da PA é encontrada subtraindo-se um termo pelo termo imediatamente anterior. r an an 1 De acordo com a fórmula apresentada acima, a razão está representada pela letra r e os termos da sequência pela letra a seguida do índice n, que indica a posição do termo na sequência. Por exemplo, o número 25 é o sexto termo da progressão aritmética do exemplo a) acima. Assim: a6 25. Analogamente, an 1 representa o termo imediatamente anterior ao termo an (enésimo termo). 164


07/03/12 16:20

Cap. 9 – progressões

9.1.2. T

PA

Para se encontrar um termo qualquer de uma progressão aritmética, basta seguir a fórmula: an a1 r(n 1)

Tomando a progressão aritmética do exemplo b), qual é o seu 102o termo? PA (12; 15; 18; 21; 24; 27; 30; 33; ...) Sabemos que o primeiro termo da PA é 12 (a1 12). Sabemos que a razão da PA é 3 (r 3). an a1 r(n 1)

a102 12 3(102 1)

a102 12 303

a102 315

9.1.3. S

PA

a102 12 3(101)

Para encontrar a soma dos termos de uma PA, segue-se a fórmula: (a1 + an) Sn n 2 Considere a mesma PA do exemplo b).Vamos encontrar a soma dos 50 primeiros termos desta PA. PA - (12; 15; 18; 21; 24; 27; 30; 33; ...) Primeiramente, precisamos conhecer o 50o termo. a50 a1 r(n 1)

a50 12 3(50 1)

a50 159

Agora conhecemos todos os elementos para utilizar a fórmula da soma dos termos de uma PA. (a1 a50) (12 159) 171 S50 50 S50 50 S50 50 2 2 2 S50 4275 S50 85,5 50 Vamos encontrar agora a soma do 20o ao 30o termo desta PA. Vamos, primeiramente, descobrir quais são o 20o e o 30o termos. a20 12 3(20 1) a20 69 a20 a1 r(n 1) a30 12 3(30 1) a30 99 a30 a1 r(n 1) 165


07/03/12 16:20


Neste caso, o vigésimo termo passará a ser o primeiro termo de interesse, e o trigésimo termo passará a ser o décimo primeiro termo. Cuidado! Há 11 termos entre o 20o e o 30o termo, e não 10 termos. Faremos então, a soma dos onze primeiros termos da PA. S11

(a1 a11) 11 2

S11

(69 99) 11 2

S50

168 11 2

S10 924

S11 84 11

Outra opção de solução é fazer a soma dos 30 primeiros termos da PA menos a soma dos 19 primeiros termos. S20 30 S30 S19 a19 12 3(19 1) S30

a19 66

(12 99) 30 2

S30 1.665

S19 (12 66) 19 2 9.2. PROGRESSÃO

S19 741

S30 S19 1.665 741 924

GEOM TRICA – PG

Progressão geométrica é uma sequência de números em que, a partir do segundo número, cada número é formado pelo número imediatamente anterior multiplicado por uma constante. 9.2.1. R

PG

Novamente, chamamos essa constante de razão. Também, cada número pertencente à sequência é chamado de termo. Exemplos: c) (1; 5; 25; 125; 625; 3125; ...) razão 5 d) (12; 36; 108; 324; 972; 2916; ...) razão 3 A razão da PG é encontrada dividindo-se um termo pelo termo imediatamente anterior. q

an an 1

Na progressão geométrica costuma-se representar a razão pela letra q. Os termos da sequência continuam sendo representados pela letra a seguida do índice n, que indica a posição do termo na sequência. 166


07/03/12 16:20


Por exemplo, o número 25 é o terceiro termo da progressão geométrica do exemplo c) acima. Assim: a3 25. Analogamente, an 1 representa o termo imediatamente anterior ao termo an (enésimo termo). Note que o crescimento dos termos de uma PG é muito mais rápido que o crescimento dos termos de uma PA. 9.2.2. TermogeraldeumaP

Para se encontrar um termo qualquer de uma progressão geométrica basta seguir a fórmula: an a1 qn 1 10o

Tomando a progressão aritmética do exemplo d), qual é o seu termo? PG (12; 36; 108; 324; 972; 2916; ...) Sabemos que o primeiro termo da PG é 12 (a1 12). Sabemos que a razão da PG é 3 (q 3).

an a1 qn 1

a10 12 310 1

a10 12 19683

a10 236196

9.2.3.

a10 12 39

omadeumaP

Para encontrar a soma dos termos de uma PG, segue-se a fórmula: Sn

a1 (qn 1) q1

Considere a mesma PG do exemplo d). Vamos encontrar a soma dos 10 primeiros termos desta PG. PG (12; 36; 108; 324; 972; 2916; ...) Note que para encontrarmos a soma dos dez primeiros termos da PG, não precisamos conhecer o décimo termo, ao contrário do que acontece na soma dos termos de uma PA. Substituindo-se os elementos da fórmula. a1 (q10 1) q1 12 (59048) S10 2

S10

S10

12 (310 1) 31

S10

12 (59049 1) 2

S10 354288 167


07/03/12 16:20


Vamos encontrar agora a soma do 5o ao 10o termo desta PG. Semelhantemente ao exemplo dado na progressão aritmética, poderemos obter essa soma de duas maneiras. Encontrando-se a soma dos 10 primeiros termos e subtrair, deste valor, a soma dos quatro primeiros termos. Ou considerar o quinto termo como o primeiro termo e realizar a soma dos seis primeiros termos. Como já conhecemos a soma dos dez primeiros termos (354288), faremos então a soma dos quatro primeiros termos da PG. S4

12 (34 1) 31

S4

12 (81 1) 2

S4 480

A soma do 5o ao 10o termo da PG. S10 S4 354.288 480

S10 S4 353.808

S5 10 353.808

Pela segunda maneira, temos: a5 12 35 1 12 34 972

Considerando-se o termo 972 como o primeiro termo, iremos fazer a soma dos 6 primeiros termos da PG. S6

12 (36 1) 31

S6

12 (729 1) 2

S6 353.808

✎ APLICAÇÃO EM CONCURSOS CESGRANRIO/2010/Petrobras Distribuidora – A produção de álcool do Estado de São Paulo vem aumentando ano a ano. Enquanto, em 2004, foram produzidos 7.734.000 m³, a produção de 2009 chegou a 16.635.000 m³. Considerando que o aumento anual, de 2004 a 2009, tenha sido linear, formando uma progressão aritmética, qual foi, em m³, a produção de 2005? a) 9.514.200

d) 9.796.200

b) 9.612.400

e) 9.812.600

c) 9.724.400 168


07/03/12 16:20


Solução: Para encontrarmos a razão da PA, basta dividir o aumento de petróleo entre 2004 e 2009 e dividir por 5 (2009-2004). r

8.901.000 16.635.000 7.734.000 1.780.200 5 2009 2004

Produção em 2005 será a produção em 2004 mais a razão da PA. Produção2005 7.734.000 1.780.200 9.514.200

(Resposta: letra a) NCE/2007/SEFAZ-MG – Seja (a, aq, aq2, aq3, ...) uma progressão geométrica. Considere as seguintes configurações: (I) a 0 e 0 q 1; (II) a 0 e q 1; (III) a 0 e q 1 A(s) configuração(ões) acima em que a progressão geométrica é decrescente é (são) somente: a) I d) I e III b) II e) II e III c) I e II Solução: Nota-se que esta progressão geométrica tem razão igual a q, pois cada termo é o termo anterior multiplicado por q. Configurações: (I) a 0 e 0 q 1; Nesta condição, teremos um número positivo não nulo (a 0) multiplicado por um número entre zero e 1. A cada multiplicação o termo irá diminuir em relação ao termo anterior. Exemplo: a 2; q 0,1 ⇒ aq 0,2; aq2 0,02 a função decresce (II) a 0 e q 1; Nesta condição, teremos um número não nulo e negativo (a 0) multiplicado por um número positivo maior que 1. A cada multiplicação o termo irá diminuir em relação ao termo anterior. Exemplo: a 2; q 2 ⇒ aq 4; aq2 8 a função decresce 169


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(III) a 0 e q 1; Nesta condição, teremos um número positivo não nulo (a 0) multiplicado por um número negativo menor que 1. A cada multiplicação o termo será positivo ou negativo, dependendo do expoente da razão q. A sequência irá oscilar entre valores positivos e negativos. Exemplo: a 2; q 2 ⇒ aq 4; aq2 8; aq3 16 a função oscila (Resposta: letra c)

✍ PRATICANDO 1. VUNESP/2007/Câmara de São Paulo – Cada sequência é uma PA distinta. Sequência 1: (3, b 2, a 4, 9, b 4) Sequência 2: (b 1, a, 2b, b 10, 20) A diferença entre a e b é a) 4 d) 7 b) 5 e) 8 c) 6 2. CESGRANRIO/2008/Petrobras Distribuidora – Em 15 partidas que certo time de futebol disputou em um campeonato, houve x empates, y derrotas e z vitórias. Se x, y e z formam, nessa ordem, uma progressão aritmética de razão 2, quantos jogos esse time venceu? a) 5 d) 8 b) 6 e) 9 c) 7 3. CESPE/2010/MPS – Considere que x x0 e y y0 seja a solux 2y 10 ção do sistema de equações lineares 3x y 2 Neste caso, ( Julgue o item). Se x0 e y0 forem os dois primeiros termos de uma progressão geométrica crescente, então o terceiro termo dessa progressão será igual a 8. 170


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4. CESGRANRIO/2009/EPE – Uma sequência de números é tal que seus 4 primeiros termos são: T1 5 T2 13 T3 24 T4 38 Observa-se que: 13 5 8 24 5 8 11 38 5 8 11 14 Conclui-se, então, que o 30o termo (T30) dessa sequência é a) 1.380 d) 1.545 b) 1.455 e) 2.910 c) 1.500 5. CESGRANRIO/2010/BNDES – A sequência numérica (6, 10, 14, ... , 274, 278, 282) tem 70 números, dos quais apenas os três primeiros e os três últimos estão representados. Qualquer número dessa sequência, excetuando-se o primeiro, é igual ao termo que o antecede mais 4. A soma desses 70 números é a) 8.920 d) 17.840 b) 10.080 e) 20.160 c) 13.560 CESPE/2010/MPS – Três números reais estão em progressão aritmética de razão 3 e dois termos dessa progressão são as raízes da equação x2 2x 8 0. Nesse caso, é correto afirmar que ( Julgue os itens). 6. O produto dos termos dessa progressão é um número real positivo. 7. A soma dos termos dessa progressão é superior a 4 e inferior a 8. CESPE/2008/CBM-ES – Com relação a progressões aritméticas (PA) e geométricas (PG), julgue os seguintes itens. 171


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8. Considere que, em uma PA, a soma do primeiro termo com o último termo corresponda a 2% da soma de todos os termos dessa progressão. Nesse caso, a progressão tem mais de 120 termos. 9. Considere que, em uma PA, o 5o termo é igual a 12 e o último termo, o vigésimo, é igual a 32. Nessa situação, a soma dos termos dessa PA é superior a 380. 10. Considere que S 1 4 16 64 256 ... 4N. Nesse 1 1 1 1 1 caso, se T 1 ... N , então 4 16 64 256 4 12 S T . 9S3 11. CONESUL/2008/Prefeitura de Pelotas – RS – Considere a sequência (0,7; 0,07; 0,007;...). Sabendo-se que a soma dos seus termos é igual ao termo médio de uma progressão aritmética de três termos, então a soma dos termos dessa progressão aritmética é igual a 7 a) 0,777 d) 3 2 b) e) 7 7 c) 1 Gabarito: 1

2

3

4

5

6

7

A

C

Certo

B

B

Falso

Falso

8

9

10

Falso Certo Certo

11 D

172


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Cap.

10.

NO

– noções de estatístiCa

E S DE E S T A T ÍS T IC A

Quando se tem um conjunto de valores é comum desejar reproduzir todo o conjunto por meio de alguns valores representativos. As ferramentas da estatística têm este intuito, o de resumir e analisar o comportamento de um conjunto de dados. 10.1. M

DIA ARITM TICA, MEDIANA E MODA

Média aritmética é a medida mais utilizada no cotidiano para representar o valor intermediário de um conjunto de dados.Tomemos como exemplo o seguinte conjunto formado por dez números: 5; 8; 15; 6; 4; 10; 4; 7; 10; 10 10.1.1.

diaaritm ticasimples

A média aritmética (X) é obtida pela simples soma de todos os elementos do grupo (∑ x) dividido pelo número total de elementos (n). X

∑x n

A média aritmética simples dos dados do exemplo será: 5 8 15 6 4 10 4 7 10 10 10 79 X 7,9 X 10 X

173


07/03/12 16:20


diaaritm ticaponderada

10.1.2.

A média aritmética ponderada é utilizada quando se deseja atribuir diferentes pesos para os diferentes elementos do grupo. Neste caso, basta multiplicar cada elemento do grupo (x) pelo respectivo peso (p) atribuído e dividir pela soma dos pesos (∑ p). X

∑ (px) ∑p

Supondo que este conjunto de dados do exemplo trata-se de notas de dez provas realizadas por um aluno. Suponha ainda que as 5 últimas provas têm o dobro do peso das 5 primeiras provas. A média ponderada será: Provas com peso 1

Provas com peso 2 1

2

3

1

2

3

X (5 8 15 6 4) (10 2 4 2 7 2 10 2 10 2) 5152 120 38 82 X X 8 X 15 15 10.1.3.

ediana

A mediana representa o valor central dos dados quando estes estão agrupados em ordem crescente. Quando o número de dados for par, a mediana será a média simples entre os dois valores centrais. Agrupando os dados do exemplo em ordem crescente, teremos: 4; 4; 5; 6;123 7; 8; 10; 10; 10; 15 78 A mediana será a média entre 7 e 8, ou seja, 2 7,5. Quando o número de dados for ímpar não é necessário realizar a média. A mediana será o valor central. A mediana entre os números {2, 5, 7, 9, 11} é o número 7. 10.1.4.

oda

A moda nada mais é que o valor que mais se repete no conjunto. Se nenhum valor é repetido, não há moda. Um conjunto de dados pode apresentar mais de uma moda, caso mais de um dado tenha a mesma quantidade de repetições. No exemplo acima, o valor que mais se repete é o número 10. 174


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Cap.

10.2. DESvIO


PADRÃO E DISPERSÃO

Estas duas medidas servem para caracterizar o grau de variação que existe em um conjunto de valores. 10.2.1. Desviopadrão

O desvio padrão () será calculado utilizando a diferença entre os dados e a média aritmética simples do conjunto. O desvio padrão pode ser amostral ou populacional. Chamamos de população o conjunto de onde a amostra foi retirada. (desvio padrão populacional ) (desvio padrão amostral)

∑ (x X )2 n

∑ (x X )2 n1

Ainda com o exemplo anterior, o cálculo do desvio padrão populacional será:

(4 7,9)2 (4 7,9)2 (5 7,9)2 (6 7,9)2 (7 7,9)2 (8 7,9)2 (10 7,9)2 (10 7,9)2 (10 7,9)2 (15 7,9)2 10

(3,9)2 (3,9)2 (2,9)2 (1,9)2 (0,9)2 (0,1)2 (2,1)2 (2,1)2 (2,1)2 (7,1)2 10

15,21 15,21 8,41 3,61 0,81 0,01 4,41 4,41 4,41 50,41 10

106,9 10

√ 10,69 3,27

10.2.2. v

Variância (v) é apenas o quadrado do desvio padrão. A variância também pode ser populacional ou amostral. v (variância populacional ) v (variância amostral)

∑ (x X )2 n ∑ (x X )2 n1

2

⇒ v = ∑ (x n X )

2

2

⇒ v = ∑ (xn 1X )

2

No nosso exemplo, a variância populacional será: √3,27 10,69. 175


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10.3. GR

FICO DE FREqU NCIA

Gráficos de frequência são ferramentas estatísticas muito utilizadas para expressar a distribuição dos dados. São frequentemente encontrados nas questões de concursos que exigem conhecimentos de estatística. Cada retângulo do gráfico representa o número de vezes, ou seja, a frequência com que um determinado valor ocorreu. Considere o seguinte grupo de valores: {10; 20; 20; 20; 30; 30; 30; 30; 40; 40; 40; 40; 40; 40; 50; 50; 50; 60; 60; 70}

Este grupo é formado da seguinte maneira: • O número 10, que ocorre 1 vez; • O número 20, que ocorre 3 vezes; • O número 30, que ocorre 4 vezes; • O número 40, que ocorre 6 vezes; • O número 50, que ocorre 3 vezes; • O número 60 que ocorre 2 vezes; • O número 70 que ocorre 1 vez. A figura à esquerda ilustra um gráfico de frequência relativo a este grupo. Cada coluna representa a frequência com que certo valor ocorreu. Por exemplo, o número 40 aparece 6 vezes neste grupo, logo, a altura da coluna será igual a 6. E assim atribui-se uma coluna para cada valor, de acordo com a sua frequência no grupo. Já a figura à direita ilustra o gráfico de frequência acumulada relativo ao mesmo grupo de valores. A diferença entre o gráfico à esquerda e o gráfico à direita é que no gráfico à direita os valores de frequências são acumulados a cada coluna. A última coluna, por exemplo, refere-se à ocorrência de frequência de todos os valores iguais ou abaixo de 70. A penúltima coluna refere-se à ocorrência de frequência de todos os valores menores ou iguais a 60. 8 6 4 2 0

Gráfico de frequência

10 20 30 40 50 60 70

Gráfico de frequência acumulada 25 20 15 10 5 0 10 20 30 40 50 60 70

176


07/03/12 16:20

Cap.


✎ APLICAÇÃO EM CONCURSOS CESGRANRIO/2008/BNDS – Um grupo é formado por 10 pessoas, cujas idades são: 17; 19; 19; 20; 20; 20; 20; 21; 22; 22. Seja a média aritmética das idades e seu desvio padrão . O número de pessoas desse grupo cujas idades pertencem ao intervalo , é (Considere √2 1,4) a) 9

d) 6

b) 8

e) 5

c) 7 Solução: média aritmética ⇒ 17 19 19 20 20 20 20 21 22 22 10 200 20 10 desvio padrão ⇒

(17 20)2 2 (19 20)2 4 (20 20)2 (21 20)2 2 (22 20)2 10

(3)2 2 (1)2 4 02 12 2 (2)2 10

9 2 1 4 0 1 2 4 10

9 2 0 1 8 10

20 √2 10

Intervalo: [ , ]: [20 √2, 20 √2] [20 1,4, 20 + 1,4] [18,6; 21,4] (Veja intervalos, em conjuntos.) O número de pessoas com idade entre 18,6 e 21,4 é igual a 7. São aquelas com idade de 19; 20 e 21 anos. (Resposta: letra c) 177


07/03/12 16:20


veículos (%)

CESPE/2009/CEHAP-PB – O gráfico mostra a distribuição percentual de veículos de acordo com suas velocidades aproximadas, registradas por meio de um radar instalado em uma avenida. A velocidade média aproximada, em km/h, dos veículos que foram registrados pelo radar foi 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

10

20

30

40

a) inferior a 40 b) superior a 40 e inferior a 43

50

60

70 80 90 100 velocidade (km/h)

c) superior a 43 e inferior a 46 d) superior a 46

Solução: Pelo gráfico sabemos o número aproximado de veículos que passaram com certa velocidade. No eixo horizontal lemos a velocidade com que certa quantidade de veículos passou. A quantidade em forma de porcentagem é lida no eixo vertical. Assim: • 5% dos veículos passaram com velocidade igual a 20 km/h; • 15% dos veículos passaram com velocidade igual a 30 km/h; • 30% dos veículos passaram com velocidade igual a 40 km/h; • 40% dos veículos passaram com velocidade igual a 50 km/h; • Aproximadamente 7% dos veículos passaram com velocidade igual a 60 km/h; • Aproximadamente 2% dos veículos passaram com velocidade igual a 70 km/h; • Aproximadamente 1% dos veículos passou com velocidade igual a 80 km/h. 178


07/03/12 16:20

Cap.


Podemos agora encontrar a média ponderada da velocidade dos veículos. A porcentagem de cada grupo será o peso correspondente.

(5 20) (15 30) (30 40) (40 50) (7 60) (2 70) (1 80) (5 15 30 40 7 2 1)

100 450 1200 2000 420 140 80 4 390 43,90 km/h 100 100

(Resposta: letra c) CESGRANRIO/2008/Caixa Econômica Federal – Para responder à questão, utilize os dados da tabela abaixo, que apresenta as frequências acumuladas das idades de 20 jovens entre 14 e 20 anos IDADE (ANOS)

FREQUÊNCIA ACUMULADA

14

2

15

4

16

9

17

12

18

15

19

18

20

20

Uma das medidas de dispersão é a variância populacional, que é caln 2 culada por ∑ 1 (xi m) .

n

Sabendo-se que m é a média aritmética dessas idades, qual a variância das idades na população formada pelos 20 jovens? a) 0,15

d) 3,20

b) 0,20

e) 3,35

c) 1,78 179


07/03/12 16:20


Solução: Para saber os valores pertencentes a esse grupo, temos de encontrar, a partir da frequência acumulada, a frequência relativa a cada idade. IDADE (ANOS)

FREQUÊNCIA

RELATIVA

14

2

15

422

16

945

17

12 9 3

18

15 12 3

19

18 15 3

20

20 18 2

Para se assegurar dos valores encontrados basta somar as frequências relativas e verificar se a soma é igual ao último valor da frequência acumulada. 2 2 5 3 3 3 2 20 ok Agora vamos encontrar a média (m) e a variância (v). Semelhantemente ao exercício anterior, a frequência de cada idade será o peso na média ponderada. m = (2 14) (2 15) (5 16) (3 17) (3 18) (3 19) (2 20) = 2253332 28 30 80 51 54 57 40 = 340 = 17 anos = 20 20 v= v= =

2 (14 17)2 2 (15 17)2 5 (16 17)2 3 (17 17)2 3 (18 17)2 3 (19 17)2 2 (20 17)2 = 2253332 2 ( 3)2 2 (2)2 5 ( 1)2 3 (0)2 3 (1)2 3 (2)2 2 (3)2 = 20

(2 9) (2 4) (5 1) (3 0) (3 1) (3 4) (2 9) 20

v=

64 18 8 5 0 3 12 18 = = 3,2 20 20

(Resposta: letra d) 180


07/03/12 16:20

Cap.


✍ PRATICANDO 1. CESPE/2009/MCT – FINEP – Um levantamento efetuado entre os 100 jovens inscritos em um projeto de inclusão social desenvolvido por uma instituição mostra a seguinte distribuição etária. IDADE (X, EM ANOS)

FREQUÊNCIA

16

40

17

30

18

20

19

10

Com base nessas informações, assinale a opção incorreta. a) A mediana da distribuição etária é igual a 17,5 anos b) A variável X apresentada na tabela de frequências é uma variável discreta c) A média das idades dos jovens observados no levantamento é igual a 17 anos d) A moda da distribuição etária é igual a 16 anos e) Dos jovens inscritos no referido projeto de inclusão social, 30% possuem idades maiores ou iguais a 18 anos. 2. CESGRANRIO/2010/BNDES – Em uma pesquisa de preços de determinado produto, foram obtidos os valores, em reais, de uma amostra aleatória colhida em 6 estabelecimentos que o comercializam. ESTABELECIMENTO

PREÇO

P

5,00

Q

8,00

R

6,00

S

6,00

T

4,00

U

7,00 181


07/03/12 16:20


A variância dessa amostra é a) 1,50 b) 1,75 c) 2,00

d) 2,25 e) 2,50

CESPE/2009/PM – ES – Em um concurso público, os candidatos foram submetidos às provas objetivas A, B e C compostas, cada uma delas, de 50 questões, em que cada questão vale 2 pontos. A prova A tem peso 2; a prova B, peso 3, e a prova C, peso 5. Será imediatamente eliminado o candidato que obtiver média aritmética ponderada inferior a 75 pontos. Candidato com média aritmética ponderada igual ou superior a 80 pontos será imediatamente selecionado. Os outros candidatos serão submetidos a entrevistas para posterior seleção. Os candidatos X, Y e Z obtiveram, nas provas A, B e C, as pontuações apresentadas na tabela a seguir, antes da ponderação. A

B

C

X

60

70

96

Y

62

98

72

Z

94

72

66

Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. 3. Ordenando as médias aritméticas ponderadas dos candidatos X, Y e Z tem-se: média de Y média de Z média de X. 4. Se o candidato Z tivesse acertado mais duas questões da prova C, então ele não teria sido eliminado. 5. Se o candidato Y tivesse acertado mais uma questão da prova A e mais uma questão da prova C, então ele teria sido imediatamente selecionado. 182


07/03/12 16:20

Cap.


Ainda com base no texto anterior se houvesse alteração nos critérios de avaliação de forma que as provas A, B e C passassem a ter o mesmo peso, então, nesse caso, julgue itens. 6. A ordenação dos candidatos X, Y e Z pela média seria: média de X média de Y média de Z. 7. Nenhum dos 3 candidatos citados seria eliminado. 8. Y e Z seriam imediatamente selecionados. 9. CESGRANRIO/2010/BNDES – Dez mulheres adultas foram submetidas a uma pesquisa. A cada uma delas perguntou-se: “Quantos filhos você tem?”. O entrevistador foi anotando cada uma das respostas na ordem em que foram obtidas. No entanto, devido à pressa, esqueceu-se de registrar uma das respostas. A listagem abaixo reproduz as respostas dadas, na ordem em que foram registradas. 203110141 A partir das informações acima, analise as afirmativas a seguir. I – A moda das quantidades de filhos dessas dez mulheres independe da resposta não registrada. II – A mediana das quantidades de filhos dessas dez mulheres depende da resposta não registrada. III – A média das quantidades de filhos dessas dez mulheres independe da resposta não registrada. Está correto APENAS o que se afirma em a) I.

d) I e II.

b) II.

e) II e III.

c) III. 183


07/03/12 16:20


10. FUNIVERSA/2008/Polícia Civil – DF – Dão-se, a seguir, os tempos, em minutos, para se atender a um determinado chamado de emergência: 12, 10, 9, 6, 11, 14, 7 e 9. Assinale a alternativa que indica os valores de média, moda, mediana, variância e desvio padrão dessa amostra, respectivamente. a) 9,75 – 9,00 – 9,50 – 4,80 – 2,60 b) 9,00 – 9,75 – 10,50 – 4,13 – 2,03 c) 10,20 – 9,75 – 9,00 – 4,13 – 2,03 d) 4,13 – 9,75 – 9,00 – 10,50 – 2,03 e) 2,60 – 9,75 – 9,00 – 10,50 – 4,13 Gabarito: 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

A

C

Falsa

Certa

Falsa

Certa

Certa

Falsa

A

A

184


07/03/12 16:20

Cap.

11. 11.1. MATRI

M A TR I

– Matri

e

deterMinante

E D E T E R M IN A N T E

ES

Uma matriz é representada através de tabela contendo m n números. Em que m representa o número de linhas e n, o número de colunas. A cada par ordenado (i; j) é associado um número. Veja o exemplo. a(1; 1) A a(2; 1) a(3; 1)

a(1; 2) a(2; 2) a(3; 2)

⇒

1 2 A 9 5 3 4

A matriz do exemplo acima (matriz A) é uma matriz com 3 linhas (m 3) e 2 colunas (n 3). Dizemos que A é uma matriz de ordem 3 2. A posição de cada elemento da matriz é identificada pelo par ordenado i; j (linha; coluna). Por exemplo, o número 9 da matriz A ocupa a posição a2; 1. Ou seja, ocupa o encontro da segunda linha com a primeira coluna (a2; 1 9). As letras m e n indicam a quantidade total de linhas e colunas da matriz. As letras i e j indicam um elemento específico. 11.1.1.

atri nula

Uma matriz será nula quando todos seus elementos forem iguais a zero. 0 0 0 N 0 0 0 0 0 0

185


07/03/12 16:22


11.1.2.

atri quadrada

Quando uma matriz apresenta o mesmo número de linhas e colunas, está é chamada de matriz quadrada. Na matriz quadrada podemos estabelecer uma diagonal principal e uma diagonal secundária. O número de linhas, que será igual ao número de colunas, é chamado de ordem da matriz.

Ordem

1 7 4 Q3 5 0 8 0 2 3

Diagonal principal

Diagonal secundária 11.1.3.

atri identidade

Matriz identidade é uma matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos iguais a zero. A matriz identidade é representada pela letra I maiúscula com o subíndice n, em que n indica a ordem da matriz (In). 1 0 0 I3 0 1 0 0 0 1 11.1.4.

atri transposta

A transposta de uma matriz é dada “invertendo-se” as posições das linhas pelas colunas. Considere a matriz M. Sua respectiva matriz transposta é representada por Mt. 2 4 2 M 1 3 0 4 1 5

2 ⇒ M t 4 2

1 3 3

4 1 5

• O elemento na posição 3 1 (elemento 4 – linha 3 e coluna 1) passa a ser, na matriz transposta, o elemento 1 3 (elemento 4 – linha 1, coluna 3). 186


07/03/12 16:22

Cap.

– Matri

e

deterMinante

• O elemento na posição 3 2 (elemento – 1 – linha 3 e coluna 2) passa a ser, na matriz transposta, o elemento 2 3 (elemento – 1 – linha 2, coluna 3). • O elemento na posição 3 3 (elemento 5 – linha 3 e coluna 3) permanece, na matriz transposta, como elemento 3 3 (elemento 5 – linha 3, coluna 3). NOTA A transposta de uma matriz transposta voltará a matriz original. (M t )t M 11.1.5.

atri sim trica

Quando uma matriz é igual a sua transposta dizemos que essa matriz é simétrica. 2 1 4 M 1 3 3 4 3 5

⇒

2 1 4 M t 1 3 3 4 3 5

Na matriz simétrica as linhas são iguais às colunas. A primeira linha é igual à primeira coluna, a segunda linha é igual à segunda coluna, e assim por diante. a1 2 a2 1 11.1.6.

a1 3 a3 1

...

omadematri es

Pode-se obter a soma ou subtração de duas matrizes quando elas possuem a mesma ordem. Ou seja, o mesmo número de linhas e colunas. A matriz resultante da soma ou subtração será também de mesma ordem. Para somar ou subtrair duas matrizes de mesma ordem basta fazer a operação dos elementos que ocupam as mesmas posições em ambas as matrizes. 2 1 3 A 3 9 18 , 7 5 10 2 3 1 10 A B 3 2 9 12 77 54

B

3 10 2 12 7 4

6 12 5

5 11 3 3 6 18 12 5 21 30 0 9 5 10 5 187


07/03/12 16:22


Os números em destaque representam a soma dos elementos que ocupam a terceira linha e a terceira coluna (a3; 3 b3,2 10 5). As demais posições são somadas de maneira semelhante. 11.1.7. Propriedadesdesomaousubtraçãodematri

es

• Associativa: A (B C) (A B) C • Comutativa: A B B A • Elemento neutro: A 0 A • Elemento oposto: A (A) 0 11.1.8.

ultiplicaçãodeumamatri porumescalar

Quando se deseja multiplicar uma matriz de ordem qualquer (A) por um número qualquer (denominado escalar, k), basta multiplicar cada elemento da matriz pelo escalar em questão. A matriz é representada por letra maiúscula, enquanto o escalar é representado por letra minúscula. A matriz resultante da multiplicação será de mesma ordem da matriz multiplicada. 2 1 3 2 1 3 A 3 9 18 , k 7, A k 7 A 7 3 9 18 7 5 10 7 5 10 (7) 2 (7) 1 7 (7) 3 (7) 9 (7) 7 (7) 5

(7) (3) 14 7 21 (7) 18 21 63 126 (7) (10) 49 35 70

11.1.9. Propriedadesdamultiplicaçãodematri

porescalar

• Escalar igual a 1: A 1 0 • Escalar igual a zero: A 0 0 • Distributividade das matrizes: k (A B) k A k B • Distributividade dos escalares: A (q r) A q A r 11.1.10.

ultiplicaçãodematri es

Para se obter o produto de duas matrizes é necessário que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz. 188


07/03/12 16:22

Cap.

– Matri

e

deterMinante

A matriz resultante da multiplicação terá o número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda. A2 3 B3 4 C123 2 4

Condição para a multiplicação: número de colunas de A igual ao número de linhas de B. Matriz resultante com número de linhas da primeira matriz e com número de colunas da segunda matriz.

A

12

2 1 3 2 , B 4 1 1 3 5 3

2 6 2

1 2 3

A BC

Para encontrar o elemento da primeira linha e da primeira coluna da matriz C é necessário multiplicar cada elemento da primeira linha da matriz A por cada elemento da primeira coluna da matriz B e somar os resultados. C1 ; 1 1 2 3 4 (2) 5 2 12 10 4

Os demais elementos da matriz C são encontrados de forma análoga. C1;2 1 (1) 3 1 (2) 3 1 3 6 4 (1a linha de A com 2a coluna de B) C1;3 1 2 3 6 (2) (2) 2 18 4 2

(1a linha de A com 3a coluna de B)

C1;4 1 1 3 2 (2) (3) 1 6 6 1


C2;1 2 2 1 4 (3) 5 4 4 15 7


C2;2 2 (1) 1 1 (3) 3 2 1 9 10 (2a linha de A com 2a coluna de B) C2;3 2 2 1 6 (3) (2) 4 6 6 16


C2;4 2 1 1 2 (3) (3) 2 2 9 13


C

74

4 24 1 10 16 13

11.1.11. Propriedadesdamultiplicaçãodematri

es

• Nem sempre há Comutatividade: A B B A • Distributividade: A (B C) A B A C • Associatividade: A (B C) (A B) C 189


07/03/12 16:22


atri inversa

11.1.12.

Uma matriz quadrada terá uma respectiva matriz inversa quando o produto entre elas for uma matriz identidade. A matriz inversa é representada por um índice 1 acima na letra que representa a matriz original (A1).

A

3 1

1 4 1 4

3 4 1 1 1 4 1

1 , A1 1 1

A

A1

A

A1

A A1 I 1 1 4 4 1 3 1 A A , 1 1 1 3 4 4 1 1 3 3 1 4 4 4 1 1 3 1 1 4 4 4

3 1 4 4 1 1 4 4

3 3 4 4 1 3 4 4

1 4 3 4

10 01 I

NOTA Veja algumas características da matriz inversa. • Nem toda matriz possui uma inversa. Isso significa dizer que nem toda matriz é inversível. • Uma matriz inversível possui uma única inversa. • A inversa de uma matriz inversa será igual à matriz original. (A1)1 A • A inversa de uma matriz transposta é a transposta de uma matriz inversa. (At)1 (A1)t • A inversa de uma matriz multiplicada por um número diferente de zero é igual à matriz inversa multiplicada pelo inverso do número. 1

(n A)1 n A1 • A inversa de uma matriz identidade será igual à própria matriz identidade. I 1 I

pois

III

• Uma matriz inversível possui determinante diferente de zero. 190


07/03/12 16:22

Cap.

– Matri

e

deterMinante

11.2. DETERMINANTES

Em toda matriz quadrada há um número associado denominado determinante. A matriz é apresentada entre parênteses, enquanto o determinante é apresentado entre duas barras verticais. 11.2.1. Determinantedeumamatri

desegundaordem

Seja a matriz M de segunda ordem (duas linhas e duas colunas): M

24 35

O determinante da matriz M será encontrado subtraindo-se o produto das duas diagonais. det M

24 35 2 5 3 4 10 12 123

123

det M 2

Produtos das diagonais 11.2.2. Determinantedeumamatri

deterceiraordem

Seja a matriz N de terceira ordem (três linhas e três colunas): 2 1 4 N 3 3 2 4 2 1

O determinante da matriz N será encontrado aplicando-se uma regra prática, conforme demonstrado a seguir. 2 1 4 det N 3 3 2 4 2 1

Primeiro, repetimos as duas primeiras colunas ao lado na matriz. 2 1 4 3 3 2 4 2 1

2 1 3 3 4 2 191


07/03/12 16:22


Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal. 2 1 4 3 3 2 4 2 1

2 1 3 3 (2 3 1) (1 2 4) (4 3 2) 6 8 24 38 4 2

Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal. 2 1 4 3 3 2 4 2 1

2 1 3 3 (4 3 4) (2 2 2) (1 3 1) 48 8 3 59 4 2

Subtraímos o primeiro resultado pelo segundo resultado. 2 1 4 det N 3 3 2 38 59 11 4 2 1 11.2.3. Propriedadesdosdeterminantes

• Quando todos os elementos de uma linha ou de uma coluna são nulos o determinante dessa matriz é nulo. 2 7 3 A 0 0 0 1 3 5

2 7 3 det A 0 0 0 1 3 5

2 7 0 0 1 3

det A (2 0 5) (7 0 1) (3 0 3) (3 0 1) (2 0 3) (7 0 5) 0

• Se duas linhas ou duas colunas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo. 2 7 3 A 1 3 5 1 3 5

2 7 3 det A 1 3 5 1 3 5

2 7 1 3 1 3

As 2a e a 3a linhas da matriz A são iguais. det A (2 3 5) (7 5 1) (3 1 3) (3 3 1) (2 5 3) (7 1 5) det A 30 35 9 9 30 35 0 192


07/03/12 16:22

Cap.

– Matri

e

deterMinante

• Se duas linhas ou duas colunas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo. 2 7 A 4 14 1 3

3 6 5

2 7 det A 4 14 1 3

3 2 7 6 4 14 5 1 3

A 2a linha é igual ao dobro da 1a, portanto são proporcionais. det A (2 14 5) (7 6 1) (3 4 3) (3 14 1) (2 6 3) (7 4 5) det A 140 42 36 42 36 140 0

• O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais. det (M t) det M

• Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número.

34 12 (2) 3 A' 4 A

(2) 1 2

det A

3 4

1 321464 2

det A'

6 4

2 6 2 2 4 12 8 2

det A 2 det A' 4

A primeira linha da matriz A foi multiplicada por um número k, (k 2). Como resultado o determinante ficou multiplicado por k. det A' k det A

det A' 2 det A

• Multiplicando-se todos os elementos de uma matriz por um número real qualquer, o determinante desta matriz ficará multiplicado por esse número elevado à ordem da matriz.

34 12 (3) 3 A' (3) 4

A

(3) 1 (3) 2

det A

3 4

1 321464 2

det A'

9 3 6 9 12 3 54 36 det A' 18 12 6

det A 2

Todos os elementos da matriz A foram multiplicados por um número k, (k 3). Como resultado o determinante ficou multiplicado por k elevado a 2, pois trata-se de uma matriz de ordem 2. det A' kn det A

det A' 32 det A

det A' 9 det A 193


07/03/12 16:22


• Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal. A

34 12

det A

3 4

1 321464 2

det A 2

A'

43 21

det A'

4 3

2 412346 1

det A' 2

• Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n: det (AB) det A det B.

✎ APLICAÇÃO EM CONCURSOS ESAF/2004/MPU – Sejam as matrizes 1 4 A 2 6 3 3

eB

11

3 2

4 3

5 4

e seja xij o elemento genérico de uma matriz X tal que X (AB)t, isto é, a matriz X é a matriz transposta do produto entre as matrizes A e B. Assim, a razão entre x31 e x12 é igual a a) 2 1 b) 2

c) 3 1 d) 3

e) 1

Solução: 1 AB 2 3

4 1 6 1 3

5 AB 8 6

11 18 15

3 2

16 26 21

21 34 27

5 11 X (A B)t 16 21

8 18 26 34

4 3

6 15 21 27

(1 4) (3 8) (4 12) (5 16) 5 (2 6) (6 12) (8 18) (10 24) 4 (3 3) (9 6) (12 9) (15 12)

X31 16; x12 8

16 2 8

(Resposta: letra a) 194


07/03/12 16:22

Cap.

– Matri

e

deterMinante

CESGRANRIO/2009/Termoçu – Seja M uma matriz 2 2 tal que sen x cos x M , com x . Seja ainda n . O determinante cos x sen x da matriz correspondente a M 2n 1 vale a) 1 d) sen (nx) b) sen x e) – 1 c) 0

Solução: Encontraremos primeiramente o determinante de M. Veja em trigonometria a propriedade sen2 x cos2 x 1. det (M)

sen x cos x

cos x sen x sen x cos x cos x (sen2 x cos2 x) 1 sen x

Nas propriedades dos determinantes vemos que: det(AB) = det A det B. Sabemos que M 2n 1 é igual a M multiplicado por ele mesmo 2n 1 vezes. Assim, det(M 2n 1) será igual ao determinante de M vezes 2n 1. Veja o exemplo para det(M 2). det (M 2) det(M M) det M det M 2 det M.

Por analogia temos que: det (M 2n 1) (2n 1) det M (2n 1) (1).

Quando multiplicamos 1 por um número par o resultado é igual a 1. Quando multiplicamos por um número ímpar o resultado é igual a 1. Se n é um número natural, então 2n é um número par, e 2n 1 é um número ímpar. Portanto, (2n 1). (1) é igual a 1. (Resposta: letra e)

✍ PRATICANDO 1. ESAF/2008/CGU – Genericamente, qualquer elemento de uma matriz Z pode ser representado por Zij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz A (aij), de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes X = (xij) e 195


07/03/12 16:22


1

Y = (yij). Sabendo-se que (xij) i 2 e que (xij) (i j)2, então a potência dada por (a22)a12 e o determinante da matriz X são, respectivamente, iguais a: a) 2 e 2

d) 2 e 0

b) 2 e 0

e) 2 e 0

c) 2 e 1 2. ESAF/2004/MPU – Considere as matrizes onde os elementos a, b e c são números naturais diferentes de zero. a 2 3 Y 2 b 6 5 3 c

1 2 3 X 2 4 6 ; 5 3 7

Então, o determinante do produto das matrizes X e Y é igual a a) 0

d) a b

b) a

e) a c

c) a b c 3. ESAF/2004/MPU – A matriz S sij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A aij e B bij. Sabendo-se que (aij) i 2 j 2 e que bij ij, então a razão entre os elementos s22 e s12 determinante da matriz S é igual a a) 1

d) 2

b) 3

e) 6

c) 4 4. CESGRANRIO/2006/Petrobras – Uma rede distribuidora é composta de 4 lojas instaladas numa mesma cidade. Na matriz M47 abaixo, cada elemento mij representa a quantidade de latas de certo tipo de lubrificante vendida na loja i no dia j da semana de 12 a 18 de março. Assim, por exemplo, o elemento m13 corresponde às vendas da loja 1 no dia 14 (terceiro dia da semana) e o e elemento m47, às vendas da loja 4 no dia 18 (sétimo dia da semana). De acordo 196


07/03/12 16:22

Cap.

– Matri

e

deterMinante

com as informações acima, qual a quantidade total de latas de lubrificante que esta rede distribuidora vendeu no dia 15/03? 75 128 M47 103 169

83 114 98 168

a) 459 b) 463 c) 477

79 123 121 154

91 109 111 148

84 114 119 162

79 123 112 171

113 142 136 186

d) 479 e) 485

5. ESAF/2004/MPU – Sejam as matrizes 1 A 2 3

4 1 6 eB 1 3

3 2

4 3

5 4

e seja xij o elemento genérico de uma matriz X tal que X (A B)t, isto é, a matriz X é a matriz transposta do produto entre as matrizes A e B. Assim, a razão entre x31 e x12 é igual a 1 a) 2 d) 3 1 b) e) 1 2 c) 3 6. IPAD/2008/Secretaria de Saúde do Estado Geral – Sejam A e B matrizes reais quadradas de ordem 3 e k um número real. Assinale a alternativa falsa. a) Se o determinante de A é diferente de zero a matriz A é inversível. b) Se A e B são matrizes simétricas, então A B é uma matriz simétrica. c) Se det(X) é o determinante da matriz X, então det(A B) det(A) det(B). d) det(k A) k det(A) e. e) Se det(B) 0, a matriz B não admite inversa. 197


07/03/12 16:22


1 1 7. FGV/2009/SAD-PE – Considere a matriz A e seja n 0 1 2n um número natural maior que 1. Na matriz A , o elemento que ocupa a 1a linha e 2a coluna é: a) –1 d) n b) 0 e) 2n c) 1 8. CESGRANRIO/2008/Petrobras Distribuidora – Seja 1 2 A . A soma algébrica dos elementos da diagonal principal 3 4 de A1 é a) 2,5 d) 1,5 b) 1,5 e) 2,5 c) 0,5

9. CESGRANRIO/2007/Refap – Petrobras – O produto das três matrizes [1

0 3] 1 2

2

3 4 5

30 10 é igual a:

a) 8

d) 4

b) [248]

e) 8 4

12

4

8

c) [112] Gabarito: 1

2

3

4

5

6

7

8

9

B

A

D

A

A

D

B

E

B

198


07/03/12 16:22

Cap.

12. 12.1. PRINCÍPIO

– análise CoMbinat

ria e

probabilidade

A NÁL I S E COMB IN A T Ó R IA E PROBA BI L I DAD E

FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

Pelo princípio fundamental da contagem podemos responder de quantas maneiras diferentes um evento pode ocorrer. 12.1.1. Número de possibilidades de ocorrência simultânea de

eventos

Quando se deseja saber as possibilidades de ocorrência simultânea de dois eventos, o número de possibilidades é o produto do número de possibilidades individuais. Nesses casos, as possibilidades estarão ligadas pelo conectivo “e”. Exemplo: Possuo 3 calças, 2 blusas e 2 sapatos. De quantas maneiras diferentes poderei me vestir utilizando estas peças? Embora o enunciado do exemplo não tenha o conectivo “e”, está implícito que o vestuário será composto por uma calça “e” uma blusa “e” um sapato. Assim, o número de maneiras diferentes de me vestir será 3 2 2 12. 12.1.2. Númerodepossibilidadesdeocorrêncianãosimultânea

deeventos

Se a ocorrência dos eventos for não simultânea, ou seja, ocorrer um evento ou o outro evento, então o número de possibilidades será 199


07/03/12 16:22


a soma das possibilidades individuais. Nesses casos, as possibilidades estarão ligadas pelo conectivo “ou”. Exemplo: Quantos pratos diferentes podem ser solicitados por um cliente de restaurante tendo disponível 2 tipos de arroz, 2 de feijão, 3 de salada, 2 tipos de vinho e 3 tipos de refrigerante, sendo que o cliente não pode pedir vinho e refrigerante ao mesmo tempo, e que ele obrigatoriamente tenha de escolher uma opção de cada alimento? O pedido será uma porção de arroz “e” uma de feijão “e” uma de salada “e” um vinho “ou” um refrigerante.

2 2 3 3) 2 2 3 (2 3) 60 Podem ser feitos 60 pedidos diferentes.

(2

12.2. PROBABILIDADE

A probabilidade exprime a chance de ocorrência de um evento. Usamos probabilidades em situações em que dois ou mais resultados diferentes podem ocorrer e não é possível prever qual deles realmente vai ocorrer em cada situação. Seguem algumas definições. Experimento aleatório: são experimentos que, quando repetidos em condições iguais, podem fornecer resultados diferentes. Por exemplo, o lançamento de um dado é um experimento aleatório, pois, cada vez que o dado é jogado pode-se obter um número diferente, que antes do lançamento, é desconhecido. Espaço amostral: é o conjunto de todos os resultados possíveis de ocorrer em um experimento aleatório. Por exemplo, o espaço amostral de um dado é o conjunto {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Neste conjunto estão todas as possibilidades de resultado de um lançamento. Evento: é o resultado desejado. É um subconjunto do espaço amostral. Por exemplo, o evento “ocorrência de uma face par em um lançamento” é o subconjunto {2; 4; 6}. 200


07/03/12 16:22

Cap.


ria e

probabilidade

A probabilidade de ocorrer certo evento é dada por: P(A)

evento espaço amostral

NOTA Observe o significado de algumas probabilidades. • P(A) 0 evento impossível de ocorrer • P(A) 1 evento certo, 100% de probabilidade de ocorrer • A probabilidade de um evento ocorrer varia de 0 a 1. Exemplo: Qual é a probabilidade de se obter um número par no lançamento de um dado? • Espaço amostral {1; 2; 3; 4; 5; 6} – seis elementos • Evento {2; 4; 6} – três elementos 3 • Probabilidade 0,5 50% de chance 6 12.2.1. Uniãodedoiseventos

A probabilidade de ocorrer um evento A OU um evento B é a probabilidade de ocorrer um elemento de A, mais a probabilidade de ocorrer um elemento de B, menos a probabilidade de ocorrer um elemento comum a A e B. P (A B) P (A) P (B) P (A B)

Dois eventos são mutuamente exclusivos se não possuírem elementos em comum. A união dos eventos se reduz a: P (A B) P (A) P (B)

Exemplo: Retirando-se uma carta de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de a carta retirada ser ou um ÁS ou uma carta de COPAS? • Espaço amostral: 52 cartas do baralho • Evento A: 4 cartas ÁS do baralho • Evento B: 13 cartas COPAS do baralho • A B uma carta é, ao mesmo tempo, ÁS e COPAS • Probabilidade: 4 P (A B) 52

13

1

16

52 52 52 0,308 30,8% 201


07/03/12 16:22


Exemplo: Retirando-se uma carta de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de a carta retirada ser ou de PAUS ou uma carta de COPAS? • Espaço amostral: 52 cartas do baralho • Evento A: 13 cartas de PAUS do baralho • Evento B: 13 cartas de COPAS do baralho • A B Ø – nenhuma carta é, ao mesmo tempo, PAUS e COPAS 13 13 26 0,5 50% • Probabilidade: P(A B) 52 52 52 12.2.2. Probabilidadededoiseventos

A probabilidade de ocorrer um evento A E um evento B é: P(A/B) P(A) P(B)

Exemplo: Em uma urna há 5 bolas verdes, 3 bolas amarelas e 2 bolas vermelhas. Qual a probabilidade de se retirar uma bola verde na primeira tentativa e uma bola amarela na segunda tentativa, sem que haja reposição das bolas? • Espaço amostral: 5 3 2 10 bolas • Evento A: 5 bolas verdes • Evento B: 3 bolas amarelas • Probabilidade: P(A/B)

15 5 3 15 15 1 0,167 16,7% 10 9 90 90 6 15

NOTA REPOSIÇÃO E NÃO REPOSIÇÃO DE ELEMENTOS Na primeira retirada de bola o espaço amostral era de 10 bolas. Entretanto, na segunda retirada o espaço amostral passou a ser de 9 bolas, pois não houve reposição da primeira bola. Se a primeira bola tivesse sido colocada de volta à urna (com reposição), a probabilidade 5 3 15 3 seria 15% 10 10 100 20 202


07/03/12 16:22

Cap.

12.3. COMBINAÇÃO,


ria e

probabilidade

ARRANJO E PERMUTAÇÃO

12.3.1. Fatorial

Fatorial de n é o produto dos números positivos e inteiros (naturais) começando em n e decrescendo até 1, representado por n!. • 6! (lê-se: seis fatorial) 6 5 4 3 2 1 720

NOTA

Observe alguns valores de fatoriais.

• 0! 1 • 1! 1

Simplificação de expressões com fatorial Para obter o resultado do fatorial é preciso desenvolvê-lo até o número 1. Entretanto, se quisermos parar antes do número 1 é necessário acrescentar o fatorial (!) ao último número. Isso permite que simplifiquemos algumas expressões fracionárias. A ideia é ter um fatorial no numerador igual a um fatorial do denominador, permitindo a eliminação destes. 10! 3! (10 9 8 7 6!) 3! (105 9 84 7) 2 9 2 7 252 6! 5! 6! (5 4 3!) (55 44) 12.3.2. Combinação

Combinação de p elementos, n a n, é o número de conjuntos de n elementos que se pode fazer com os p elementos, não importando a ordem desses elementos. Por exemplo, se temos 3 elementos A, B e C (p 3), e queremos combiná-los 2 a 2 (n 2), temos as três seguintes possibilidades: • AB ou BA • AC ou CA • BC ou CB Cp; n

p! n! (p n)!

NOTA Na combinação AB é igual a BA, pois não importa a ordem dos elementos A e B. 203


07/03/12 16:22


12.3.3. Arranjo

Arranjo de p elementos, n a n, é o número de conjuntos de n elementos que se pode fazer com os p elementos, importando a ordem desses elementos. Por exemplo, se temos 3 elementos (p 3) A, B e C, e queremos combiná-los 2 a 2 (n 2), temos as seis seguintes possibilidades: • AB • BA • AC • CA • BC • CB Ap; n

p! (p n)!

NOTA No arranjo acima AB é diferente de BA, pois a ordem dos elementos A e B é importante. 12.3.4. Permutação

Permutação de p elementos é o número de arranjos que se pode fazer com esses p elementos, trocando-se a ordem deles. Por exemplo: para os elementos A, B e C, podemos ter as seis seguintes possibilidades: • ABC • ACB • BAC • BCA • CAB • CBA Pp p!

NOTA Na permutação cada conjunto formado deve envolver todos os elementos disponíveis. Na aplicação em concurso a seguir é possível ver um tipo de permutação chamado de permutação circular. 204


07/03/12 16:22

Cap.


ria e

probabilidade

✎ APLICAÇÃO EM CONCURSOS CESPE/2010/TRE-BA – O jogo de dominó tradicional é jogado com 28 peças, igualmente divididas entre 4 jogadores sentados face a face em torno de uma mesa retangular. As peças são retangulares e possuem uma marcação que as divide em duas metades iguais; em cada metade: ou não há nada gravado, ou está gravado um determinado número de buracos que representam números.As metades representam 7 números: 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 0, sendo este último representado por uma metade sem marcação. Cada número ocorre em 7 peças distintas. Em 7 peças, denominadas buchas, o número aparece nas duas metades. Existe também uma variação de dominó conhecida como double nine, em que as metades representam os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, em um total de 55 peças. A partir dessas informações, julgue os itens subsequentes. 1. Uma variação de dominó cujas metades representem os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12 terá um total de 82 peças. Solução: Existem 13 opções para cada metade (de 0 a 12). Assim, faremos uma combinação de 13 números tomados de 2 em 2. Note que a peça com as metades 3 e 5 é a mesma peça com as metades 5 e 3, por exemplo. Portanto, devemos fazer uma combinação, e não um arranjo. C13; 2

13! 13! 13 12 11! 13 12 78 2! (13 2)! 2! 11! 2! 11! 21

Entretanto, é preciso lembrar que existem aquelas peças cujas metades trazem números repetidos. Estas peças não estão incluídas na combinação realizada, pois não é possível realizar uma combinação de um número com ele mesmo. Portanto, iremos somar ao resultado da combinação a quantidade de peças com as duas metades iguais. Teremos 13 peças com metades iguais (uma peça para cada número). Npeças 78 13 91 peças

(Resposta: item falso) 205


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2. No dominó tradicional, os 4 jogadores podem se sentar à mesa de 6 maneiras distintas. Solução: Temos aqui uma permutação, pois se trata da quantidade de maneiras diferentes que se pode ter para os 4 jogadores, trocando apenas a ordem deles. Entretanto, neste caso, o que importa é a disposição dos jogadores, um em relação ao outro, e não o local em que cada um vai se sentar. Esse tipo de permutação chama-se PERMUTAÇÃO CIRCULAR. Na figura a seguir vemos que o jogador A, por exemplo, tem à direita o jogador B, à esquerda o jogador D e à frente o jogador C nas duas figuras. A disposição de um jogador em relação ao outro não se alterou. A

B

D

B A

C

C

D

Assim, imagina-se que se tem um jogador fixo, e que iremos permutar os demais. P (4 1)! ⇒ P! 3! A D

A B C

C

⇒ P! 3 2 1 ⇒

A D D

B

A C B

B

A C C

D

P! 6 A B B

D

D C

(Resposta: item certo) 3. Considere que cada jogador, na sua vez, retire as 7 peças ao mesmo tempo. Nesse caso, as peças de um dominó tradicional poderão ser 28! divididas entre os 4 jogadores de maneiras distintas. (7!)4 Solução: Temos aqui 4 combinações associadas com o princípio fundamental da contagem. Para o primeiro jogador a pegar as peças teremos uma combinação de 28 peças tomadas de 7 em 7. E, em seguida, para o se206


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Cap.


ria e

probabilidade

gundo jogador, teremos uma combinação de 21 peças (28 7 21, pois não há reposição) tomadas de 7 em 7. E assim sucessivamente. C28; 7 C21; 7 C14; 7 C7; 7

28! 21! 14! 7! 7! 21! 7! 14! 7! 7! 0! 7!

C28; 7 C21; 7 C14; 7 C7; 7

28! 28! 28! 0! 7! 7! 7! 7! 1 (7!)4 (7!)4

(Resposta: item certo) 4. Entre todas as possíveis divisões das peças de um dominó tradicional entre os 4 jogadores, em mais de 100 milhões delas, algum deles começará o jogo com todas as 7 buchas. Solução: O número de possibilidades de se ter algum jogador com as 7 buchas será o número de possibilidades de se ter 3 jogadores com nenhuma bucha. Como um jogador irá ficar com as 7 buchas, sobraram 21 possibilidades para os outros três jogadores. C21; 7 C14; 7 C7; 7

21! 14! 7! 21! 14! 7! 7!(21 7)! 7!(14 7)! 7!(7 7)! 7! 14! 7! 7! 7! 0!

C21; 7 C14; 7 C7; 7

21! 399.072.960 100.000.000 (7!)3

(Resposta: item certo) CESPE/2009/MCT-FINEP – Considerando que, de uma urna que contém 3 bolas amarelas, 5 bolas brancas e 4 bolas vermelhas, 6 bolas sejam escolhidas aleatoriamente, sem reposição, assinale a opção correta. a) A probabilidade de que a escolha contenha duas bolas de cada cor é maior que 20% b) A probabilidade de que a escolha não contenha bolas brancas é maior que 1% 207


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c) Número esperado de bolas vermelhas na escolha é igual a 4 d) A probabilidade de que o número de bolas vermelhas na escolha 5 seja igual ao número de bolas brancas é de 21 e) A probabilidade de que a escolha contenha todas as 5 bolas brancas é maior que 1% Solução: Sabemos que a probabilidade de um evento ocorrer é o número de eventos dividido pelo espaço amostral. Neste caso, o espaço amostral é o número total de combinações possíveis de retirada de 6 bolinhas aleatoriamente, sem reposição. Espaço amostral: 12 11 10 9 8 7 6! 12! 12! 6! (6 5 4 3 2 1) 6!(12 6)! 6! 6! 12 11 10 9 8 7 924 654321

C12; 6

Existem 924 diferentes possibilidades de se retirar as bolinhas das urnas. O número de eventos em que se retiram da urna 2 bolas amarelas, 2 vermelhas e 2 brancas será a combinação de 2 a 2 em cada grupo de cor. C2; 2 C4; 2 C5; 2

3! 4! 5! 4! 5! 4 3 2 1 5 4 3 2 1 180 2! 1! 2! 2! 2! 3! (2!)4 21212121

Logo, a probabilidade de se retirar duas bolinhas de cada cor será: 180 0,1948 19,48% 924

A alternativa a está incorreta. O número de possibilidades de não se ter bolas brancas entre as 6 retiradas será uma combinação das 7 bolas vermelhas e amarelas, tomadas de 6 em 6. C7; 6

7 6! 7! 7 6! 6! 1!

Logo, a probabilidade de se retirar 6 bolinhas e nenhuma delas ser branca é: 7 0,0075 0,75% 924

208


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Cap.


ria e

probabilidade

Outra forma de encontrar essa mesma probabilidade é multiplicando as probabilidades individuais dos eventos: 7 6 5 4 3 2 0,75% 12 11 10 9 8 7

A alternativa b está incorreta. A alternativa c) está incorreta, pois em um evento aleatório não se pode esperar um número de eventos. Pode-se, sim, verificar a probabilidade de ocorrência dele. Para que o número de bolas vermelhas seja igual ao número de bolas brancas, deve haver 3 ou 2 bolas de cada cor.Veja o quadro com as possíveis distribuições de cores, com o número de vermelhas igual ao número de brancas. VERMELHAS

BRANCAS

AMARELAS

1

1

4

Não é possível. Há apenas 3 bolas amarelas.

2

2

2

Possível

3

3

0

Possível

A probabilidade de se ter duas bolas de cada cor já é conhecida

180 924 .

Agora, precisamos conhecer a probabilidade de se ter 3 bolas vermelhas e três bolas brancas, e somar (2B, 2V ou 3V, 2B) as probabilidades. C4; 3 C5; 3

4! 5! 432154321 40 3! 1! 3! 2! 32132121

Portanto, a probabilidade de se retirar a mesma quantidade de bolas brancas e vermelhas é: 180 40 220 5 924 924 21

A alternativa d está correta. 209


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A probabilidade de se retirar 5 bolas brancas em 12 bolas é: Probabilidade

1 1 1 55 4 33 2 4 2 11 9 8 792 12(4)(3) 11 10(5)(2) 9 8

Entretanto, esta probabilidade

1 792 é de se retirar 5 bolas bran-

cas consecutivamente. Mas cabe lembrar que serão retiradas 6 bolas. Assim, é possível retirar uma bola de outra cor antes, entre ou depois das bolas brancas. Outra/branca/branca/branca/branca/branca Branca/outra/branca/branca/branca/branca Branca/branca/outra/branca/branca/branca Branca/branca/branca/outra/branca/branca Branca/branca/branca/branca/outra/branca Branca/branca/branca/branca/branca/outra

ou ou ou ou ou

6

Probabilidade de se retirar 5 bolas brancas entre as 6 retiradas será: 1 1 1 1 1 1 1 1 6 792 792 792 792 792 792 792 134

A probabilidade é menor que 1%. A alternativa e) está errada. Note 1 que para a probabilidade ser igual a 1% a fração seria . Como 100 1 1 , a probabilidade é menor que 1%. 134 100 (Resposta: letra d) ESAF/2008/CGU – Uma turma de 20 formandos é formada por 10 rapazes e 10 moças. A turma reúne-se para formar uma comissão de formatura composta por 5 formandos. O número de diferentes comissões que podem ser formadas, de modo que em cada comissão deve haver 3 rapazes e 2 moças, é igual a: a) 2500 d) 5000 b) 5400 e) 5440 c) 5200 210


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Cap.


ria e

probabilidade

Solução: Temos aqui uma combinação associada ao princípio fundamental da contagem. É necessária uma combinação de 10 rapazes tomados de 3 em 3 e uma combinação de 10 moças tomadas de 2 em 2. Iremos, portanto, multiplicar os valores das duas combinações. C10; 3 C10; 21

10! 10! 10! 10! 3! (10 3)! 2! (10 2)! 3! 7! 2! 8!

10 9 8 7! 10 9 8! 10 93 82 102 9 3! 7! 2! 8! 22 1 33 22 1

10 3 4 5 9 5.400 1

(Resposta: letra b)

✍ PRATICANDO 1. CONESUL/2008/BANESTES – Uma lanchonete permite que se monte o próprio sanduíche, oferecendo três tipos de pão, quatro tipos de queijo fatiado e cinco tipos de embutidos (salame, mortadela etc.), também fatiados. Quantos tipos de sanduíches diferentes pode-se fazer, utilizando apenas um tipo de pão, um tipo de queijo e um tipo de embutido? a) 20 d) 90 b) 60 e) 80 c) 30 2. CESGRANRIO/2009/BNDES – Em um dado com seis faces numeradas de 1 a 6, a probabilidade de que cada um dos resultados ocorra é a mesma. Esse dado será lançado até que se obtenha o resultado 6. A probabilidade de que isso aconteça em, no máximo, 2 lançamentos é 1 7 a) d) 36 36 5 11 e) b) 36 36 6 c) 36 211


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3. CESPE/2009/MEC-FUB – Acerca de contagem, julgue o item a seguir. Considere que um departamento da UnB pretenda comprar novos equipamentos para seu laboratório de informática e que existam no mercado 8 modelos de computadores, 3 modelos de monitores e 4 modelos de teclados. Desse modo, o número de possíveis configurações – computador, monitor e teclado – que podem ser formadas com esses equipamentos é superior a 100. 4. CESGRANRIO/2009/EPE – Um grupo é formado por 7 pessoas, dentre as quais estão Lúcio e Pedro. De quantas maneiras diferentes é possível escolher 4 pessoas desse grupo de forma que Lúcio e Pedro não façam parte, simultaneamente, dos quatro selecionados? a) 5 d) 20 b) 10 e) 25 c) 15 5. VUNESP/2008/CREA-SP – Um número natural n é ímpar, composto apenas por algarismos ímpares e, ao ser dividido por 3 resulta em um outro número natural, também ímpar. Há diversas possibilidades para n, entre elas: a) n 317 d) n 779 b) n 533 e) n 951 c) n 713 6. CESGRANRIO/2008/BNDES – Um grupo é formado por 10 pessoas, cujas idades são: 17 19 19 20 20 20 20 21 22 22 Escolhendo-se, aleatoriamente, uma pessoa do grupo, qual a probabilidade de que sua idade seja maior do que a moda? a) 30% d) 15% b) 25% e) 10% c) 20% 212


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Cap.


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probabilidade

7. CESGRANRIO/2007/EPE – Uma urna contém 2 bolas brancas e 3 bolas amarelas distinguíveis apenas pela cor.Aleatoriamente, duas bolas serão escolhidas, sucessivamente e sem reposição, e colocadas em uma segunda urna, na qual há apenas uma bola preta também distinta das demais apenas pela cor. Após a transferência das duas bolas para a segunda urna, escolher-se-á, aleatoriamente, uma única bola dessa urna. Qual a probabilidade de que, nesse último sorteio, a bola escolhida seja amarela? a) 0,12 d) 0,65 b) 0,30 e) 0,90 c) 0,40 CESPE/2007/Petrobras – Em um torneio de futebol, 5 equipes, sendo 2 do Rio de Janeiro e 3 de São Paulo, se classificaram para disputar o título, devendo jogar uma contra a outra em turno e returno. A tabela dessa disputa será feita por sorteio e todas as equipes têm iguais condições de ser sorteadas. As duas equipes primeiramente sorteadas farão o primeiro jogo. Com relação a essa situação, julgue os itens subsequentes. 8. No primeiro sorteio, quando os nomes das 5 equipes encontram-se em uma urna, a probabilidade de que uma equipe do Rio de Janeiro seja sorteada é igual a 70% da probabilidade de que uma equipe de São Paulo seja sorteada. 9. Considere que o campeão será conhecido após um jogo final entre o campeão do primeiro turno com o campeão do segundo turno e que, em cada turno, haverá um campeão diferente. Nessa situação, a quantidade de jogos para ser conhecido o campeão do torneio é superior a 20. CESPE/2011/TJ-ES – Alberto, Bruno, Sérgio, Janete e Regina assistirão a uma peça de teatro sentados em uma mesma fila, lado a lado. Nessa situação, julgue os itens subsequentes. 213


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10. Caso Janete e Regina sentem-se nas extremidades da fila, então a quantidade de maneiras distintas de como essas 5 pessoas poderão ocupar os assentos é igual a 24. 11. A quantidade de maneiras distintas de como essas 5 pessoas poderão ocupar os assentos é igual a 120. 12. Considere que Sérgio e Janete sentem um ao lado do outro. Nesse caso, a quantidade de maneiras distintas de como as 5 pessoas poderão ocupar os assentos é igual a 48. CESPE/2011/TRE-ES – De acordo com o primeiro lema de Kaplansky, a quantidade de subconjuntos de {1, 2, 3,..., n} com p elementos, em que não há números consecutivos, é dada pela fórmula abaixo. (n p 1)! p!(n 2p 1)!

Uma das aplicações desse lema é a contagem do número de maneiras de se sentar 4 meninas e 6 meninos em uma fila de 10 cadeiras, de modo que 2 meninas não fiquem em posições adjacentes. A estratégia para se realizar essa contagem compreende quatro passos. Em primeiro lugar, deve-se contar o número de maneiras de se escolher 4 cadeiras sem que haja cadeiras consecutivas; esse procedimento deve ser feito utilizando-se o lema de Kaplansky. Em seguida, deve-se contar o número de maneiras de organizar as meninas nessas cadeiras. O próximo passo consiste em contar o número de maneiras de se distribuir os meninos nas cadeiras restantes. Por fim, deve-se usar o princípio multiplicativo. Com base nessas informações, julgue os itens subsecutivos. 13. Diante dos dados acima, é correto afirmar que o número de maneiras de se sentar 4 meninas e 6 meninos em uma fila de 10 cadeiras, de modo que não fiquem 2 meninas em posições adjacentes, é superior a 600.000. 214


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Cap.


ria e

probabilidade

14. Em face dos dados apresentados, é correto afirmar que o número de maneiras de se escolher as 4 cadeiras entre as 10 disponíveis sem que haja cadeiras consecutivas é superior a 40. 15. A partir dos dados acima, é correto concluir que o número de maneiras de se organizar as 4 meninas nas 4 cadeiras escolhidas é igual a 16. CESPE/2010/TRT – 21a Região – Considere o texto abaixo, a respeito de dez alunos, em que cada um recebeu uma camiseta, e cada camiseta tinha uma única cor. – Cinco meninos; três cores. – Cinco meninas; quatro cores. – Equipes formadas, – Expectativas geradas, – De glória ou dores. Com base nas informações acima, julgue os itens que se seguem. 16. Considerando que as camisetas sejam de apenas cinco cores diferentes, então, a probabilidade de três alunos terem camisetas da mesma cor será igual a 1. 17. Considere que três alunos tenham camisetas azuis, três tenham camisetas brancas, dois tenham camisetas vermelhas, um tenha camiseta verde e um tenha camiseta preta. Nessas condições, existem 72 × 5! maneiras diferentes de se colocarem os dez alunos em fila, de tal forma que alunos com camisetas de mesma cor fiquem sempre juntos. 18. Se três meninos trocarem de camisetas com três meninas, então, após a troca, as chances de dois meninos terem camisetas de cores iguais serão de 100%. 215


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CESPE/2010/DETRAN-ES – Acerca dos princípios e das técnicas de contagem, julgue os itens subsequentes. 19. Considere que uma unidade do DETRAN disponha de 10 servidores para atendimento ao público, dos quais exatamente 7 devem estar disponíveis, de fato, por dia e os outros três devem permanecer de prontidão para eventualidades. Nessas condições, o número de dias em que podem ser escalados grupos diferentes de servidores para o atendimento será inferior a 100. 20. Considerando-se que, no estado do Espírito Santo, as placas dos automóveis variem de MOX 0001 a MTZ 9999, é correto concluir que o número total de automóveis que podem ser licenciados nesse estado é igual a 162.000. 21. FUNIVERSA/2010/CEB – Uma cidade é abastecida por duas redes de transmissão de energia elétrica. A rede Alfa, por ser mais antiga, tem uma probabilidade de 5% de apresentar defeito, enquanto a rede Beta, por ser mais nova, tem a probabilidade de apenas 2% de apresentar defeito. A probabilidade de as duas redes funcionarem sem apresentar defeito é de a) 0,890 d) 0,980 b) 0,895 e) 0,999 c) 0,931 22. ESAF/2010/MTE – O departamento de vendas de uma empresa possui 10 funcionários, sendo 4 homens e 6 mulheres. Quantas opções possíveis existem para se formar uma equipe de vendas de 3 funcionários, havendo na equipe pelo menos um homem e pelo menos uma mulher? a) 192 d) 48 b) 36 e) 60 c) 96 216


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Cap.


ria e

probabilidade

23. FGV/2009/SAD-PE – O departamento de vendas de uma empresa possui 10 funcionários, sendo 4 homens e 6 mulheres. Quantas opções possíveis existem para se formar uma equipe de vendas de 3 funcionários, havendo na equipe pelo menos um homem e pelo menos uma mulher? a) 5% d) 20% b) 10% e) 25% c) 15% Gabarito: 1

2

3

4

5

6

7

B

E

Falso

E

E

A

C

13

14

15

16

17

18

19

8

9

10

11

12

Falso Certo Falso Certo Certo 20

Certo Falso Falso Certo Certo Falso Falso Falso

21

22

23

C

C

D

217


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13.

R A CI OCÍ NI O L Ó G IC O

13.1. PROPOSIÇÕES

Proposições são declarações às quais pode ser atribuído ou valor verdadeiro ou valor falso. Por exemplo: • A árvore é vermelha. Pode-se dizer que essa afirmação ou é falsa ou é verdadeira. Portanto, trata-se de uma proposição. • Bom dia! Trata-se de uma saudação. Não podemos dizer que a frase é falsa, nem mesmo que é verdadeira. Portanto, a frase não é uma proposição. Devem-se aplicar dois princípios às proposições. São eles: • Princípio da não contradição:“Uma proposição não pode ser, ao mesmo tempo, falsa e verdadeira.” • Princípio do terceiro excluído: “Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa. Nunca ocorrendo uma terceira opção.” Assim, as informações das proposições possuem valor lógico totalmente verdadeiro ou totalmente falso. Nunca uma proposição será verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Para descrever as proposições é comum estabelecer-se simbologias. A tabela a seguir descreve proposições com as respectivas simbologias. 218


07/03/12 16:22

Cap.

PROPOSIÇÃO

SIMBOLOGIA

Negação

¬A ou ~A

– raCioCínio l

giCo

EXEMPLO Ana não gosta de comer frutas.

Disjunção

A

B

Júlio irá comer a pera ou a maçã.

Disjunção exclusiva

A

B

Cecília comprará ou o vestido azul ou o vestido preto.

Conjunção

A

B

Estudarei matemática e português.

Condicional

A

B

Se o pássaro cantar, então ele está vivo.

Bicondicional

A

B

A água será inodora se, e somente se, não tiver cheiro.

Uma maneira bem prática de representar as proposições é por meio de tabela verdade. As respectivas tabelas verdade estão demonstradas conforme simbologias. 13.1.1. Negação

Proposição: Ana não gosta de comer frutas. Vamos representar a proposição pela letra A. A: Ana gosta de comer frutas. A negação desta proposição é representada por: ¬A: Ana não gosta de comer frutas. A tabela verdade para essa negação é representada da seguinte forma. A (ANA

GOSTA DE COMER FRUTAS )

¬A (ANA

NÃO GOSTA DE COMER FRUTAS )

1

Verdadeiro

Falso

2

Falso

Verdadeiro

Assim, se A é verdadeiro, ou seja, se é verdade que Ana gosta de comer frutas, então ¬A é falso. Em outras palavras, é falso afirmar que Ana não gosta de comer frutas. 219


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Com o mesmo raciocínio percebemos que se afirmarmos que A é falso, ¬A será obrigatoriamente verdadeiro. Ou seja, se afirmarmos que é falso que ela gosta de comer frutas, estamos afirmando que é verdadeiro que ela não gosta de comer frutas. Percebemos aqui o princípio da não contradição exposto acima. Ana não pode gostar e não gostar de comer frutas ao mesmo tempo. A proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. NOTA Se a proposição Ana não gosta de comer frutas for representada por A, a negação ¬A será representante da proposição Ana gosta de comer frutas. Atente-se sempre para qual é a proposição que foi representada sem o símbolo ¬. Essa proposição não precisa, necessariamente, ser a frase que contém a palavra não. A proposição representada por ¬A será sempre o “inverso” da proposição representada pelo símbolo ¬. NOTA Apesar de, na fala cotidiana, ser comum o uso de dupla negação, no Raciocínio Lógico a negação de uma negação equivale a uma afirmação. Por exemplo: não tinha ninguém em casa equivale a tinha alguém em casa, pois tanto a palavra não como a palavra ninguém expressam negação. 13.1.2. Conjunção

Proposição: Estudarei matemática e português. Consideremos aqui uma proposição composta, formada por duas proposições simples, A e B. A: Estudarei matemática. B: Estudarei português. A conjunção entre as duas proposições é representada por A B. Veja sua tabela verdade. A (ESTUDAREI

MATEMÁTICA )

B (ESTUDAREI

PORTUGUÊS )

A

B

1

Verdadeiro

Verdadeiro

Verdadeiro

2

Verdadeiro

Falso

Falso

3

Falso

Verdadeiro

Falso

4

Falso

Falso

Falso

220


07/03/12 16:22

Cap.

– raCioCínio l

giCo

Uma conjunção só será verdadeira quando ambas as proposições simples forem verdadeiras (linha 1). Não é possível que a conjunção tenha lógica verdadeira se eu estudar apenas matemática (A verdadeiro e B falso, linha 2). Nem é possível que eu estude apenas português (B verdadeiro e A falso, linha 3). Também não é verdadeiro se eu estudar nenhuma das duas disciplinas (A e B falsas, linha 4). 13.1.3. Disjunção

Proposição: Júlio irá comer a pera ou a maçã. Novamente temos uma proposição composta formada por duas proposições simples. A: Júlio irá comer a pera. B: Júlio irá comer a maçã. A ( JÚLIO

COMERÁ A PERA )

B ( JÚLIO

COMERÁ A MAÇÃ )

A

B

1

Verdadeiro

Verdadeiro

Verdadeiro

2

Verdadeiro

Falso

Verdadeiro

3

Falso

Verdadeiro

Verdadeiro

4

Falso

Falso

Falso

Uma disjunção será falsa quando as duas partes que a compõem forem falsas (linha 4). Note que na disjunção, uma opção não exclui a outra. A proposição terá lógica verdadeira se Júlio comer somente a pera (A verdadeiro e B falso, linha 2), somente a maçã (B verdadeiro e A falso, linha 3), ou comer tanto a maçã quanto a pera (A e B verdadeiros, linha 1). A única opção que a disjunção não permite como verdadeira é o caso de Júlio comer nenhuma das duas frutas (linha 4). 13.1.4. Disjunçãoexclusiva

Proposição: Cecília comprará ou o vestido azul ou o vestido preto. Novamente, vamos separar a proposição composta em duas proposições simples. 221


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A: Cecília comprará o vestido azul. B: Cecília comprará o vestido preto. A (CECÍLIA

COMPRARÁ

O VESTIDO AZUL )

B (CECÍLIA

COMPRARÁ

O VESTIDO PRETO )

A

B

1

Verdadeiro

Verdadeiro

Falso

2

Verdadeiro

Falso

Verdadeiro

3

Falso

Verdadeiro

Verdadeiro

4

Falso

Falso

Falso

Já na disjunção exclusiva não é possível que as duas opções sejam verdadeiras. A proposição terá lógica verdadeira se Cecília comprar somente um dos dois vestidos (A verdadeiro e B falso, linha 2), (B verdadeiro e A falso, linha 3). 13.1.5. Condicional

Proposição: Se o pássaro cantar, então ele está vivo. A proposição condicional pode ser dividida em hipótese e tese. A hipótese é a formulação de uma ideia, é uma suposição. Enquanto a tese será a conclusão da hipótese levantada. No exemplo dado a ideia formulada é a possibilidade de o pássaro cantar. E a tese é a conclusão tirada, caso o pássaro realmente cante. No caso, se ele cantar, conclui-se que está vivo. Hipótese (A): O pássaro cantar Tese (B): O pássaro estar vivo Podemos dizer que a hipótese é a condição SUFICIENTE para que ocorra a tese. Basta o pássaro cantar para eu ter certeza de que ele está vivo. Entretanto, a tese é condição NECESSÁRIA para que ocorra a hipótese. Ou seja, para o pássaro cantar é necessário que ele esteja vivo. Assim, se o pássaro estiver vivo, ele poderá cantar ou não. Em outras palavras, se ele estiver vivo, não é certo que ele cante. 222


07/03/12 16:22

Cap.

– raCioCínio l

giCo

Observe a tabela verdade e veja o seu detalhamento a seguir. A (PÁSSARO

CANTAR )

B (PÁSSARO

VIVO )

A

B

1

Verdadeiro

Verdadeiro

Verdadeiro

2

Verdadeiro

Falso

Falso

3

Falso

Verdadeiro

Verdadeiro

4

Falso

Falso

Verdadeiro

• LINHA 1: Pássaro canta e está vivo – proposição com lógica verdadeira. • LINHA 2: Pássaro canta e não está vivo – proposição com lógica falsa. • LINHA 3: Pássaro não canta e está vivo – proposição com lógica verdadeira. • LINHA 4: Pássaro não canta e não está vivo – proposição com lógica verdadeira. O exemplo dado, por se tratar de um fato real, é de fácil entendimento. Mas nem sempre as proposições condicionais são tão óbvias. NOTA Lembre-se: estamos interessados em verificar o valor lógico das proposições, independentemente da veracidade das informações. Veja outro exemplo. Proposição: Se o gato é preto, então ele é um cachorro. Esta proposição, que possui uma afirmação absurda, na lógica formal tem as seguintes possibilidades: • O gato ser preto e ser um cachorro – proposição com lógica verdadeira. • O gato ser preto e não ser um cachorro – proposição com lógica falsa. • O gato não ser preto e ser um cachorro – proposição com lógica verdadeira. 223


07/03/12 16:22


• O gato não ser preto e não ser um cachorro – proposição com lógica verdadeira. Neste caso, o fato de o gato ser preto é condição suficiente para ele ser um cachorro. E o gato ser um cachorro é condição necessária para o gato ser preto. NOTA Se estiver na dúvida, lembre-se de um exemplo real e de fácil conclusão e compare com a questão em dúvida. O “gato ser preto” equivale a o “pássaro cantar”. O “gato ser um cachorro” equivale a o “pássaro estar vivo”. Se é possível o pássaro não cantar e estar vivo, então é possível o gato não ser preto e ser um cachorro. Proposições recíproca e inversa das proposições condicionais A recíproca ou o inverso de uma proposição condicional não tem o mesmo valor lógico da proposição original. Tomando a proposição “Se o pássaro cantar, então está vivo”, vejamos suas proposições recíproca e inversa. Recíproca: Se o pássaro está vivo, então ele canta. A hipótese da proposição original passa a ser a tese na recíproca. E a tese da proposição original passa a ser a hipótese na recíproca. Inversa: Se o pássaro não canta, então não está vivo. A hipótese da proposição inversa é a negação da hipótese da proposição original. Assim como a tese da proposição inversa é a negação da tese da proposição original. De acordo com a proposição original, se o pássaro estiver vivo, ele poderá cantar ou não (linhas 1 e 3 da tabela verdade anterior). Porém, de acordo com a sua recíproca, se o pássaro estiver vivo, ele irá, com certeza, cantar (linha 1 da tabela verdade da recíproca). E ainda, de acordo com a proposição inversa, se o pássaro não canta, é certo que ele não está vivo (linha 1 da tabela verdade da inversa). Mas, de acordo com a proposição original, se o pássaro não canta, ele pode estar vivo, ou não (linhas 3 e 4 da tabela verdade da proposição original). 224


07/03/12 16:22

Cap.

– raCioCínio l

giCo

Ter o mesmo valor lógico significa, na prática, ter tabelas verdade idênticas. RECÍPROCA: SE

O PÁSSARO ESTÁ VIVO , ENTÃO ELE CANTA .

B (pássaro vivo)

A (pássaro canta)

1

Verdadeiro

Verdadeiro

Verdadeiro

2

Verdadeiro

Falso

Falso

3

Falso

Verdadeiro

Verdadeiro

4

Falso

Falso

Verdadeiro

INVERSA: SE

B

A

O PÁSSARO NÃO CANTA , ELE NÃO ESTÁ VIVO .

¬A (pássaro não canta)

¬B (pássaro não está vivo)

1

Verdadeiro

Verdadeiro

Verdadeiro

2

Verdadeiro

Falso

Falso

3

Falso

Verdadeiro

Verdadeiro

4

Falso

Falso

Verdadeiro

(¬A)

(¬B)

Comparando as tabelas verdade das proposições vemos que: • Quando A é falso e B é verdadeiro na proposição original (linha 3), a proposição tem valor lógico verdadeiro. Na tabela verdade da recíproca, para A falso e B verdadeiro (linha 2), a proposição recíproca tem valor lógico falso. Logo, a proposição original não corresponde à sua recíproca. • Quando A é falso e B é verdadeiro na proposição original (linha 3), a proposição tem valor lógico verdadeiro. Na tabela verdade da inversa, para A ser falso, a sua negação tem que ser verdadeira (¬A) e para B ser verdadeiro, ¬B tem que ser falso. Assim, a linha que representa A falso e B verdadeiro é a linha 2 (¬A verdadeiro e ¬B falso), cujo valor lógico é falso. Portanto, a proposição original não corresponde à sua inversa. Proposição contrapositiva e implicação material das proposições condicionais 225


07/03/12 16:22


As proposições condicionais possuem duas proposições equivalentes, ou seja, com o mesmo valor lógico. São elas a proposição contrapositiva e a implicação material. Tomaremos a mesma proposição como referências: “Se o pássaro cantar, então está vivo”. Contrapositiva: Se o pássaro não está vivo, então o pássaro não canta. A hipótese da contrapositiva é a negação da tese da proposição original. E a tese da contrapositiva é a negação da hipótese da proposição original. Implicação material: O pássaro não está vivo ou o pássaro canta. Para formar a implicação material, nega-se a tese da proposição original e transforma-se a proposição condicional em uma disjunção. As três proposições, a original, sua contrapositiva e sua implicação material, possuem o mesmo valor lógico, consequentemente, a mesma tabela verdade. CONTRAPOSITIVA: SE O PÁSSARO NÃO ESTÁ VIVO, ENTÃO O PÁSSARO NÃO CANTA. ¬B (pássaro não está vivo) ¬A (pássaro não canta) (¬B)

(¬A)

1

Falso

Falso

Verdadeiro

2

Verdadeiro

Falso

Falso

3

Falso

Verdadeiro

Verdadeiro

4

Verdadeiro

Verdadeiro

Verdadeiro

IMPLICAÇÃO MATERIAL: O PÁSSARO NÃO CANTA OU ESTÁ VIVO. ¬A (pássaro não canta)

B (pássaro está vivo)

(¬A)

B

1

Falso

Verdadeiro

Verdadeiro

2

Falso

Falso

Falso

3

Verdadeiro

Verdadeiro

Verdadeiro

4

Verdadeiro

Falso

Verdadeiro

226


07/03/12 16:22

Cap.

– raCioCínio l

giCo

Quando uma negação é falsa (¬A falso, por exemplo), isso equivale a uma afirmação verdadeira (A verdadeiro) e vice-versa (¬A verdadeiro equivale a A falso). Assim, compare a tabela verdade da proposição original com as tabelas verdade da proposição contrapositiva e implicação material e veja se são equivalentes. ORIGINAL: SE CANTA , ENTÃO A

CONTRAPOSITIVA: SE

O PÁSSARO ESTÁ VIVO .

B

A

NÃO CANTA .

B

¬B

¬A

Falso

Falso

Verdadeiro

Verdadeiro

Falso

Falso

Falso

Verdadeiro

Verdadeiro

Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro

Verdadeiro

1 Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro 2 Verdadeiro 3

Falso

4

Falso

Falso

Falso

Verdadeiro Verdadeiro Falso

O PÁSSARO

NÃO ESTÁ VIVO , ENTÃO O PÁSSARO

(¬B)

(¬A)

Note que a coluna (A) é equivalente à coluna (¬A). Quando (A) é verdadeiro a sua negação (¬A) é falsa e vice-versa. O mesmo ocorre com as colunas (B) e (¬B). Como as proposições têm valores lógicos idênticos, as colunas (A B) e ((¬B) (¬A)) são exatamente iguais. Veja agora a comparação das tabelas verdade para a implicação material: ORIGINAL: SE

O PÁSSARO CANTA ,

ENTÃO ESTÁ VIVO .

A

B

A

B

IMPLICAÇÃO

MATERIAL :

O

PÁSSARO

NÃO CANTA OU ESTÁ VIVO .

¬A

B

(¬A)

B

1

Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro

Falso

Verdadeiro

Verdadeiro

2

Verdadeiro

Falso

Falso

Falso

3

Falso

4

Falso

Falso

Falso

Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro Falso

Verdadeiro Verdadeiro

Falso

Verdadeiro Verdadeiro

227


07/03/12 16:22


13.1.6. Bicondicional

Proposição: A água será inodora se, e somente se, não tiver cheiro. Quando uma proposição condicional tiver o mesmo valor lógico da sua recíproca, trata-se de uma proposição bicondicional. Isso significa que: • Se a água for inodora, é certo que não terá cheiro. • Se a água não tem cheiro, é certo que é inodora. Proposição condicional: Se a água não tem cheiro, então, é inodora. Proposição condicional recíproca: Se a água é inodora, então, não tem cheiro. A união da proposição condicional com sua recíproca formará a bicondicional. A (hipótese): Água ser inodora B (tese): Água não ter cheiro A (ÁGUA

INODORA )

B (ÁGUA

SEM CHEIRO )

A

B

1

Verdadeiro

Verdadeiro

Verdadeiro

2

Verdadeiro

Falso

Falso

3

Falso

Verdadeiro

Falso

4

Falso

Falso

Verdadeiro

Na proposição bicondicional, a hipótese é a condição SUFICIENTE para que ocorra a tese, e a tese também é condição SUFICIENTE para que ocorra a hipótese. Ou seja, se a água é inodora, é certo que não tem cheiro. E se a água não tem cheiro, é certo que é inodora. NOTA Fique atento à proposição. Neste caso, assumimos que “não ter cheiro” representa B verdadeiro, e “ter cheiro” representa B falso. 228


07/03/12 16:22

Cap.

– raCioCínio l

giCo

Detalhando melhor a tabela verdade temos: • LINHA 1: Água ser inodora e sem cheiro – proposição com lógica verdadeira. • LINHA 2: Água ser inodora e ter cheiro – proposição com lógica falsa. • LINHA 3: Água não ser inodora e não ter cheiro – proposição com lógica falsa. • LINHA 4: Água não ser inodora e ter cheiro – proposição com lógica verdadeira. 13.1.7. Negaçãodeproposições

Os exemplos a seguir mostram a negação de uma proposição sob a ótica da lógica formal. PROPOSIÇÃO

NEGAÇÃO

EQUIVALENTE

À NEGAÇÃO

p

q

(p

q)

p

q

p

q

(p

q)

p

q

p

q

(p

q)

p

q

p

q

(p

q)

q)

(q

(p

p)

Proposição conjuntiva: Talita gosta de cantar e dançar (p q). • Não é verdade que Talita gosta de cantar e dançar (p q). • Talita não gosta de cantar ou não gosta de dançar p q. Proposição disjuntiva: Laís viajará para Paris ou para Berlim (p

q).

• Não é verdade que Laís viajará para Paris ou para Berlim (p q). • Laís não viajará para Paris e não viajará para Berlim p q. Proposição condicional: Se Pedro ganhar na loteria, então, ficará rico (p q). • Não é verdade que se Pedro ganhar na loteria, então ficará rico (p q). • Pedro ganhará na loteria e não ficará rico p q. 229


07/03/12 16:22


Proposição bicondicional: Ana fará faculdade se, e somente se, passar no vestibular (p q). • Não é verdade que Ana fará faculdade se, e somente se, passar no vestibular (p q). • Ana fará faculdade e não passará no vestibular, ou Ana passará no vestibular e não fará faculdade (p q) (q q). 13.1.8. Númerodelinhasdatabelaverdade

Para uma proposição composta de n proposições, a tabela verdade será formada por 2n linhas. Veja um exemplo de um caso com 3 proposições. A tabela verdade será formada por 8 linhas. Ou o dia será ensolarado e quente ou não iremos à praia. p o dia ser ensolarado q o dia ser quente r ir à praia r não ir à praia (p q) Dia será ensolarado e quente. (p q) (r) Ou o dia será ensolarado e quente ou não iremos à praia. q

1

Verdadeiro

Verdadeiro

Verdadeiro

Verdadeiro

Falso

2

Verdadeiro

Verdadeiro

Verdadeiro

Falso

Verdadeiro

3

Verdadeiro

Falso

Falso

Verdadeiro

Verdadeiro

4

Falso

Verdadeiro

Falso

Verdadeiro

Verdadeiro

5

Verdadeiro

Falso

Falso

Falso

Falso

6

Falso

Verdadeiro

Falso

Falso

Falso

7

Falso

Falso

Falso

Verdadeiro

Verdadeiro

8

Falso

Falso

Falso

Falso

Falso

Conjunção

p

q

r

p

(p

q)

(r)

Disjunção exclusiva

230


07/03/12 16:22

Cap.

– raCioCínio l

giCo

13.1.9. Tautologiaeproposiçõescontraditórias

Observe a proposição composta a seguir. Proposição: Amanhã choverá, ou não choverá. A proposição composta apresentada é formada por uma proposição simples e a negação desta mesma proposição. p amanhã choverá p amanhão não choverá A proposição composta, “amanhã choverá, ou não choverá”, é sempre verdadeira. Observe a tabela verdade. p AMANHÃ

CHOVERÁ

p AMANHÃ

NÃO CHOVERÁ

p

p

Verdadeiro

Falso

Verdadeiro

Falso

Verdadeiro

Verdadeiro

Veja que na tabela verdade não existe a possibilidade de p e p serem ambas verdadeiras ou ambas falsas. Pois uma proposição é negação da outra, e a negação de uma proposição verdadeira é falsa e vice-versa. Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Quando uma proposição composta for verdadeira, independentemente das proposições simples que a compõem, esta proposição será uma TAUTOLOGIA. Agora observe a proposição composta a seguir. Proposição: Antônia é médica e não é médica. p Antônia é médica. p Antônia não é médica. A proposição composta, “Antônia é médica e Antônia não é médica”, é sempre falsa. Observe a tabela verdade. p ANTÔNIA

É MÉDICA

p ANTÔNIA

NÃO É MÉDICA

p

p

Verdadeiro

Falso

Falso

Falso

Verdadeiro

Falso 231


07/03/12 16:22


Novamente, na tabela verdade não existe a possibilidade de p e p serem ambas verdadeiras ou ambas falsas. E quando se usa o conectivo “e” é possível se ter uma proposição composta verdadeira apenas quando as proposições simples são todas verdadeiras ou todas falsas. Quando uma proposição composta for falsa independentemente das proposições simples que a compõem, esta proposição será uma CONTRADIÇÃO. As proposições que não são tautologia nem contradição são chamadas de CONTINGÊNCIA. 13.2. LÓGICA

DA ARGUMENTAÇÃO

13.2.1. Argumento

No estudo da lógica não se avalia o conteúdo em si, mas a forma, ou seja, se a construção do raciocínio é válida ou não. Um argumento é construído através de proposições denominadas premissas, que permitem chegar à outra proposição denominada conclusão. Quando a conclusão não é uma consequência da premissa, o argumento é inválido. Não se intenciona avaliar se as premissas são verdadeiras ou falsas, apenas se o argumento é válido ou inválido, ou seja, se a conclusão é consequência das premissas. Acompanhe o exemplo: Premissa 1: Todo brasileiro é otimista. Premissa 2: Pedro é brasileiro. Conclusão: Pedro é otimista. Otimistas Brasileiros • Pedro

232


07/03/12 16:22

Cap.

– raCioCínio l

giCo

Através das premissas podemos construir o diagrama para melhor visualização do argumento. (Veja conjuntos.) O conjunto maior é o conjunto de todos os otimistas. Dentro deste conjunto está o conjunto de todos os brasileiros, pois, segundo a premissa, todos os brasileiros são otimistas. Dentro do conjunto dos brasileiros um elemento é Pedro. Se Pedro pertence ao conjunto dos brasileiros, necessariamente pertence ao conjunto dos otimistas. A conclusão é válida. De acordo com o diagrama poderíamos afirmar que podem existir otimistas que não são brasileiros, mas não poderíamos afirmar que existem brasileiros que não são otimistas. 13.2.2. Quantificadores

Os quantificadores ampliam a lógica utilizada nas proposições. As proposições utilizam as palavras “e”, “ou”, “não”, “se ... então”, “se e somente se”. Os quantificadores utilizam as palavras “alguns”,“nenhum”, “todo” na formação de argumentos. Quantificador de existência: utilizam palavras como “alguém”, “alguns” e “existem”. Nestas premissas, estas palavras podem ser substituídas pela expressão “existe pelo menos um(a)”. • Alguém foi atingido pelo raio. Existe pelo menos uma pessoa que foi atingida pelo raio. • Existem homens que são otimistas. Existe pelo menos um homem que é otimista. • Algumas frutas são vermelhas. Existe pelo menos uma fruta que é vermelha. Homens

Otimistas

Quantificador universal: utilizam palavras como “qualquer que seja”, “todo”, “nenhum” e “ninguém”. As premissas com o quantificador universal indicam que as propriedades do conjunto são válidas para todos os elementos. 233


07/03/12 16:22


• Todo homem é mortal O conjunto dos homens está inserido no conjunto dos mortais. • Nenhum homem é imortal. O conjunto dos homens está totalmente fora do conjunto dos imortais. Mortais

Imortais

Homens

Homens

13.2.3. Negaçãodequantificadores

Veja nos exemplos a seguir a negação das premissas de acordo com os quantificadores. • Toda árvore é verde. Negação: Alguma árvore não é verde. Verdes

Verdes

Árvores

Árvores

• Algum animal é mamífero. Animal

Negação: Nenhum animal é mamífero. Animal

Mamíferos

• Nenhum pássaro voa. Pássaros

Mamíferos

Negação: Algum pássaro voa. Pássaros

Voar

Voar

234


07/03/12 16:22

Cap.

QUANTIFICADOR

NEGAÇÃO

Todo/Tudo

Algum não/Alguém não

Algum/Alguém

Nenhum/Ninguém

Nenhum/Ninguém

Algum/Alguém

– raCioCínio l

giCo

DICA A negação de um quantificador de existência é um quantificador universal. E a negação de um quantificador universal é um quantificador de existência. 13.2.4. Diagramaslógicos

Veremos a seguir exemplos de argumentos expostos em diagramas. Exemplo 1 Premissa 1: Todo paraense é brasileiro. Premissa 2: Maria é paraense. Conclusão: Maria é brasileira. Brasileiros Paraenses • Maria

Este argumento é VÁLIDO, pois percebemos que Maria é elemento pertencente ao conjunto de todos os paraenses. E, como o estado do Pará pertence ao Brasil, o conjunto de todos os paraenses está contido no conjunto de todos os brasileiros. Exemplo 2 Premissa 1: Todo brasileiro é europeu. Premissa 2: Pedro é brasileiro. Conclusão: Pedro é europeu. Europeus Brasileiros • Pedro

235


07/03/12 16:22


Este argumento é válido, pois, segundo as premissas, o conjunto de todos os brasileiros está contido no conjunto de todos os europeus. E, se Pedro é um brasileiro, é válida a conclusão de que ele é um europeu. Entretanto, sabemos que o Brasil não pertence à Europa. Assim, temos um argumento VÁLIDO, mas seu conteúdo É FALSO. Exemplo 3 Premissa 1: Todo carioca é brasileiro. Premissa 2: Existem brasileiros que gostam de carnaval. Conclusão: Existem cariocas que gostam de carnaval. Brasileiros

Gostam de carnaval

Carioca

Brasileiros

Gostam de carnaval

Carioca

Este argumento não é válido. Baseando-se apenas nas premissas não podemos afirmar que existem cariocas que gostam de carnaval. O diagrama pode ser representado das duas formas apresentadas. Assim, podem existir cariocas que gostam de carnaval, ou não. A conclusão se torna INVÁLIDA. Entretanto, sabemos que existem cariocas que gostam de carnaval. Temos agora um argumento INVÁLIDO, mas seu conteúdo É VERDADEIRO. Exemplo 4 Premissa 1: Todo alemão é europeu. Premissa 2: Manuel é europeu. Conclusão: Manuel é alemão. Europeus

Europeus

Alemão

Alemão • Manuel

• Manuel

236


07/03/12 16:22

Cap.

– raCioCínio l

giCo

Este argumento não é válido. Baseando-se apenas nas premissas não podemos afirmar que Manuel é europeu. Ele pode ser português, por exemplo. O diagrama pode ser representado das duas formas apresentadas. Manuel pode ser alemão ou não. Logo, a conclusão é INVÁLIDA. Quanto ao conteúdo, também não podemos afirmar que é verdadeiro. Temos aqui um argumento INVÁLIDO e seu conteúdo pode ser FALSO.

✎ APLICAÇÃO EM CONCURSOS CESPE/2011/PREVIC – Um argumento é uma sequência finita de proposições, que são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F). Um argumento é válido quando contém proposições assumidas como verdadeiras – nesse caso, denominadas premissas – e as demais proposições são inseridas na sequência que constitui esse argumento porque são verdadeiras em consequência da veracidade das premissas e de proposições anteriores. A última proposição de um argumento é chamada conclusão. Perceber a forma de um argumento é o aspecto primordial para se decidir sua validade. Duas proposições são logicamente equivalentes quando têm as mesmas valorações V ou F. Se uma proposição for verdadeira, então a sua negação será falsa, e vice-versa. Com base nessas informações, julgue os itens. 1. Suponha que um argumento tenha como premissas as seguintes proposições. Alguns participantes da PREVIC são servidores da União. Alguns professores universitários são servidores da União. Nesse caso, se a conclusão for “Alguns participantes da PREVIC são professores universitários”, então essas três proposições constituirão um argumento válido. Solução: De acordo com a segunda premissa, alguns professores universitários são servidores da União, mas nada se diz sobre serem ou não participantes da PREVIC. Logo, o diagrama poderá ser representado 237


07/03/12 16:22


das duas formas a seguir. Não temos meios de afirmar que existem professores universitários participantes da PREVIC. Portanto, a última proposição é uma conclusão de um argumento inválido. Participantes da PREVIC

Servidores da União

Professores Universitários

Participantes da PREVIC

Servidores da União

Professores Universitários

(Resposta: item falso) 2. Considere o diagrama abaixo. ágeis dançarinos

analista administrativo

Solução: Esse diagrama é uma prova de que o argumento a seguir é válido, ou seja, as proposições I e II são premissas e a proposição III é uma conclusão, pois é verdadeira por consequência das premissas. I. Nenhum analista administrativo é dançarino. II. Todos os dançarinos são ágeis. III. Logo, nenhum analista administrativo é ágil. Analisando o argumento formado pelas proposições I e II, não podemos concluir que nenhum analista administrativo é ágil. O diagrama apresentado pelo exercício não é a única opção. Há a possibilidade de o diagrama ser representado da forma ao lado. Segundo o diagrama a seguir, pode haver um analista administrati238


07/03/12 16:22

Cap.

– raCioCínio l

giCo

vo (*) que pertence ao grupo dos ágeis e não pertence ao grupo dos dançarinos. Ágeis Analista

Dançarinos

* administrativo

(Resposta: item falso) 3. A negação da proposição “Se um trabalhador tinha qualidade de segurado da previdência social ao falecer, então seus dependentes têm direito a pensão” é logicamente equivalente à proposição “Um trabalhador tinha qualidade de segurado da previdência social ao falecer, mas seus dependentes não têm direito a pensão”. Solução: p trabalhador segurado q dependente com direito a pensão q dependente sem direito a pensão p q Se um trabalhador tinha a qualidade de segurado, então, seus dependentes têm direito a pensão. Um trabalhador tinha a qualidade de segurado (p verdadeiro), mas seus dependentes não têm direito a pensão (q falso). p

q

( p

p

q

1

Verdadeiro

Verdadeiro

Verdadeiro

Falso

2

Verdadeiro

Falso

Falso

Verdadeiro

3

Falso

Verdadeiro

Verdadeiro

Falso

4

Falso

Falso

Verdadeiro

Falso

q)

Na linha 2 da tabela verdade vemos p verdadeiro e q falso, assim como a proposição anunciada. (Um trabalhador tinha a qualidade de segurado (p verdadeiro), mas seus dependentes não têm direito a pensão (q falso)). Nesta linha a negação da proposição é verdadeira. (Resposta: item certo) 239


07/03/12 16:22


CESPE/2010/TRT – 21a Região – Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras – V – ou falsas – F –, de forma que um julgamento exclui o outro, e são simbolizadas por letras maiúsculas, como P, Q, R etc. Novas proposições podem ser construídas usando-se símbolos especiais e parênteses. Uma expressão da forma P Q é uma proposição cuja leitura é “se P então Q” e tem valor lógico F quando P é V e Q é F; caso contrário, é V. Uma expressão da forma P Q é uma proposição que se lê: “P ou Q”, e é F quando P e Q são F; caso contrário, é V. Uma expressão da forma P Q, que se lê “P e Q”, é V quando P e Q são V; caso contrário, é F. A forma ¬P simboliza a negação da proposição P e tem valores lógicos contrários a P. Um argumento lógico válido é uma sequência de proposições em que algumas são chamadas premissas e são verdadeiras por hipótese, e as demais são chamadas conclusões e são verdadeiras por consequência das premissas. Considerando que R e T são proposições lógicas simples, julgue os itens a seguir, acerca da construção de tabelas-verdade. T)

1. Se a expressão lógica envolvendo R e T for (R la-verdade correspondente será a seguinte.

R, a tabe-

Solução: (R

R

T

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

F

(R

T)

T)

R

(R

R

T

1

V

V

2

V

F

F

F

3

F

V

V

F

4

F

F

V

V

V

T)

R

V

Condicional Bicondicional

(Resposta: item falso) 240


07/03/12 16:22

Cap.

– raCioCínio l

T)

2. Se a expressão lógica envolvendo R e T for (R tabela-verdade correspondente será a seguinte.

giCo

(R), a

Solução: R

T

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

(R

(R

T)

R

(R)

(R

T)

R

T

1

V

V

V

F

V

2

V

F

F

F

F

3

F

V

F

V

V

4

F

F

F

V

V

Conjunção

T)

(R)

Disjunção

(Resposta: item correto) FUNIVERSA/2010/CEB – Considerando que “Todo eletricista é bombeiro”, “Algum bombeiro não é marceneiro” e “Nenhum encanador é marceneiro”, é correto concluir logicamente que a) existe encanador eletricista. Encanador b) existe eletricista marceneiro. Bombeiro c) nem todo marceneiro é bombeiro. Eletricista d) nenhum bombeiro é encanador. * e) algum bombeiro é eletricista.

Marceneiro

241


07/03/12 16:22


Solução: a) Existe encanador eletricista: Não é possível afirmar, com base nas premissas dadas, que existe encanador eletricista. O conjunto dos encanadores pode abranger parte do conjunto dos eletricistas, ou não. b) Existe eletricista marceneiro: Idem letra a). c) Nem todo marceneiro é bombeiro: idem letras a) e b). d) Nenhum bombeiro é encanador: idem letras a), b) e c). e) Algum bombeiro é eletricista: Se existem eletricistas, eles, necessariamente, são bombeiros, pois todo bombeiro é eletricista. (Resposta: letra e) 13.3. qUESTÕES

DIvERSAS

Vimos até aqui, neste capítulo de raciocínio lógico, questões que possuem um conhecimento específico e sistematizado de uma área, ou que podem ser equacionadas e/ou tabeladas, por exemplo. Entretanto, as provas de raciocínio lógico de muitos concursos trazem questões que não exigem grandes conhecimentos matemáticos, mas apenas raciocínio, interpretação, malícia e criatividade. O candidato tem que ser capaz de analisar o caso específico e estabelecer relações lógicas. A habilidade em resolver estes exercícios está relacionada também à prática do candidato. A solução de vários exercícios deste tipo favorece e melhora o raciocínio lógico, reduzindo o tempo médio gasto na solução das questões. Apresentaremos a seguir a solução de alguns exercícios desta natureza. Alguns destes exercícios se repetem com relação ao tipo de raciocínio utilizado, outros não. De qualquer modo, é necessário analisar caso a caso.

✎ APLICAÇÃO EM CONCURSOS FCC/2011/TRT – 19a Região – Ricardo, Mateus e Lucas são três amigos que cursam faculdades de medicina, engenharia e direito. Cada um dos três usa um meio diferente de transporte para chegar à faculdade: ônibus, automóvel e bicicleta. Para descobrir o que cada um cursa e o meio de transporte que utilizam, temos o seguinte: 242


07/03/12 16:22

Cap.

– raCioCínio l

giCo

– Mateus anda de bicicleta; – Quem anda de ônibus não faz medicina; – Ricardo não cursa engenharia e Lucas estuda direito. Considerando as conclusões: I. Lucas vai de ônibus para a faculdade de direito. II. Mateus estuda medicina. III. Ricardo vai de automóvel para a faculdade. Está correto o que consta em a) I, apenas. b) III, apenas. c) II e III, apenas.

d) I e III, apenas. e) I, II e III.

Solução: Mateus anda de bicicleta. Circulamos a opção de transporte bicicleta e eliminamos as opções ônibus e carro para Mateus. Para Ricardo e Lucas, eliminamos a opção bicicleta, pois já foi atribuída a Mateus. TRANSPORTE

CURSO Ricardo

Medicina

Engenharia Direito

Bicicleta

Ônibus

Carro

Lucas

Medicina

Engenharia Direito

Bicicleta

Ônibus

Carro

Mateus

Medicina

Engenharia Direito

Bicicleta

Ônibus

Carro

Lucas estuda direito. Circulamos a opção direito para Lucas, e consequentemente eliminamos as opções engenharia e medicina para ele. Eliminamos também a opção direito para Ricardo e Mateus. CURSO

TRANSPORTE

Ricardo

Medicina

Engenharia

Direito

Bicicleta

Ônibus

Carro

Lucas

Medicina

Engenharia

Direito

Bicicleta

Ônibus

Carro

Mateus

Medicina

Engenharia

Direito

Bicicleta

Ônibus

Carro 243


07/03/12 16:22


Ricardo não cursa engenharia. Eliminamos a opção engenharia para Ricardo. Como só restou uma opção de curso para Ricardo, circulamos a opção restante, que foi medicina. Como concluímos que Ricardo é o estudante de medicina, eliminamos esta opção para Mateus. A única opção restante para ele é a engenharia. CURSO

TRANSPORTE

Ricardo

Medicina

Engenharia

Direito

Bicicleta

Ônibus

Carro

Lucas

Medicina

Engenharia

Direito

Bicicleta

Ônibus

Carro

Mateus

Medicina

Engenharia

Direito

Bicicleta

Ônibus

Carro

Quem anda de ônibus não faz medicina. Como já sabemos que é Ricardo quem faz medicina, podemos eliminar a opção ônibus para ele. Restará apenas a opção carro para Ricardo. Eliminando a opção carro para Lucas, pois sabemos que é Ricardo quem anda de carro, restará a opção ônibus para ele, finalizando o problema. CURSO

TRANSPORTE

Ricardo

Medicina

Engenharia

Direito

Bicicleta

Ônibus

Carro

Lucas

Medicina

Engenharia

Direito

Bicicleta

Ônibus

Carro

Mateus

Medicina

Engenharia

Direito

Bicicleta

Ônibus

Carro

Conferindo as conclusões dadas no enunciado da questão: I. Lucas vai de ônibus para a faculdade de direito. (Verdadeiro) II. Mateus estuda medicina. (Falso) III. Ricardo vai de automóvel para a faculdade. (Verdadeiro) (Resposta: letra d) 244


07/03/12 16:22

Cap.

– raCioCínio l

giCo

FCC/2010/TRT – 21a Região – No esquema abaixo, considere a relação existente entre o primeiro e o segundo grupos de letras, a contar da esquerda. A mesma relação deve existir entre o terceiro grupo e o quarto, que está faltando. A C E B : DFHE :: LNPM : ?

O grupo de letras que substitui corretamente o ponto de interrogação é a) N P R O d) O R T P b) N Q S R e) P R T Q c) O Q S P Solução: Ao encontrarmos relações sequenciais de letras é interessante atribuir às letras valores numéricos, para que a sequência estabelecida entre as letras se torne mais nítida. A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V X Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Sequência: 1

3 2

2

5

2 3

: 2

4 2

6 2

8

5

::

11

3

13 2

15 2

12 3

: 2

?

? 2

? 2

? 3

Com a sequência em forma de números é fácil perceber a relação de soma e subtração de um número para o outro. Assim, o último conjunto será formado pelos números: • 12 2 14 • 14 2 16 • 16 2 18 • 18 3 15 Atribuindo as letras aos números encontraremos: 14

16

18

15

O

Q

S

P

(Resposta: letra c) 245


07/03/12 16:22


FCC/2011/TRT – 24a Região – São dados cinco conjuntos, cada qual com quatro palavras, três das quais têm uma relação entre si e uma única que nada tem a ver com as outras: X {cão, gato, galo, cavalo} Y {Argentina, Bolívia, Brasil, Canadá} Z {abacaxi, limão, chocolate, morango} T {violino, flauta, harpa, guitarra} U {Aline, Maria, Alfredo, Denise} Solução: Em X,Y, Z, T e U, as palavras que nada têm a ver com as demais são, respectivamente: a) galo, Canadá, chocolate, flauta e Alfredo. b) galo, Bolívia, abacaxi, guitarra e Alfredo. c) cão, Canadá, morango, flauta e Denise. d) cavalo, Argentina, chocolate, harpa e Aline. e) gato, Canadá, limão, guitarra e Maria. GRUPO X: percebemos que é um grupo formado apenas por animais. Entretanto, o galo é a única ave e os outros três animais são mamíferos. GRUPO Y: temos três países da América latina. Neste conjunto o Canadá se destoa por não pertencer à América latina. GRUPO Z: é, particularmente, o grupo mais fácil de identificar o elemento destoante. O único elemento que não é uma fruta é o chocolate. GRUPO T: encontram-se três instrumentos de corda e a flauta, único instrumento de sopro. Por fim, no grupo U, o único elemento que representa um nome masculino é Alfredo. Os demais representam nomes femininos. (Resposta: letra a) 246


07/03/12 16:22

Cap.

– raCioCínio l

giCo

Um fator de dificuldade deste exercício é o fato de que em todos os grupos os quatro elementos também possuem características em comum. X {cão, gato, galo, cavalo} ANIMAIS Y {Argentina, Bolívia, Brasil, Canadá} PAÍSES Z {abacaxi, limão, chocolate, morango} ALIMENTOS T {violino, flauta, harpa, guitarra} INSTRUMENTOS U {Aline, Maria, Alfredo, Denise} NOMES Entretanto, como o enunciado diz que um elemento de cada grupo não pertence ao grupo, devemos tentar identificar subcaracterísticas em cada grupo. X {cão, gato, galo, cavalo} ANIMAIS MAMÍFEROS Y {Argentina, Bolívia, Brasil, Canadá} PAÍSES LATINOS Z {abacaxi, limão, chocolate, morango} ALIMENTOS – FRUTAS T {violino, flauta, harpa, guitarra} INSTRUMENTOS DE CORDA U {Aline, Maria, Alfredo, Denise} NOMES FEMININOS

✍ PRATICANDO CESPE/2011/TRE-ES – Argumento é a afirmação de que uma sequência de proposições, denominadas premissas, acarreta outra proposição, denominada conclusão. Um argumento é válido quando a conclusão é verdadeira sempre que as premissas são todas verdadeiras. – Vou cortar o cabelo hoje, disse Joelson. – Não é preciso, pois seu cabelo está curto, retrucou Rute. – É que hoje vou a uma festa, vou procurar uma namorada, explicou Joelson. – Meu marido está com o cabelo enorme, mas não quer cortá-lo, disse Rute. – Ele já é casado, não precisa cortar o cabelo, concluiu Joelson. 247


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Com base no fragmento de texto e no diálogo acima apresentados, julgue os itens que se seguem. 1. A partir das premissas “Se Joelson irá a uma festa e procurará uma namorada, então Joelson precisa cortar o cabelo”, “Se Joelson é casado, então, não precisa cortar o cabelo” e “Se Joelson é casado, então, não procurará uma namorada”, pode-se concluir corretamente que Joelson não é casado. 2. O argumento cujas premissas são “Quem é casado não precisa cortar o cabelo” e “Quem vai procurar uma namorada precisa cortar o cabelo” e cuja conclusão é “Quem é casado não vai procurar uma namorada” é válido. 3. A proposição “Não é preciso cortar seu cabelo, pois ele está curto” pode ser corretamente representada por P Q. CESPE/2010/TRT – 21a Região – Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras – V – ou falsas – F –, de forma que um julgamento exclui o outro, e são simbolizadas por letras maiúsculas, como P, Q, R etc. Novas proposições podem ser construídas usando-se símbolos especiais e parênteses. Uma expressão da forma P Q é uma proposição cuja leitura é “se P então Q” e tem valor lógico F quando P é V e Q é F; caso contrário, é V. Uma expressão da forma P Q é uma proposição que se lê: “P ou Q”, e é F quando P e Q são F; caso contrário, é V. Uma expressão da forma P Q, que se lê “P e Q”, é V quando P e Q são V; caso contrário, é F. A forma ¬P simboliza a negação da proposição P e tem valores lógicos contrários a P. Um argumento lógico válido é uma sequência de proposições em que algumas são chamadas premissas e são verdadeiras por hipótese, e as demais são chamadas conclusões e são verdadeiras por consequência das premissas. Considerando que cada proposição lógica simples seja representada por uma letra maiúscula e utilizando os símbolos usuais para os conectivos lógicos, julgue os itens seguintes. 248


07/03/12 16:22

Cap.

– raCioCínio l

giCo

4. A sentença “Homens e mulheres, ou melhor, todos da raça humana, são imprevisíveis” é representada corretamente pela expressão simbólica (P Q) R. 5. A sentença “Trabalhar no TRT é o sonho de muitas pessoas e, quanto mais elas estudam, mais chances elas têm de alcançar esse objetivo” é representada corretamente pela expressão simbólica (S T). 6. A sentença “Maria é mais bonita que Sílvia, pois Maria é Miss Universo e Sílvia é Miss Brasil” é representada corretamente pela expressão simbólica (P Q) R. 7. A sentença “Mais seis meses e logo virá o verão” é representada corretamente pela expressão simbólica P Q. CESPE/2010/DETRAN-ES – No ambiente de trabalho, é comum se ouvir o seguinte dito popular: “Quem trabalha pouco erra pouco. Quem não trabalha não erra. Quem não erra é promovido. Logo, quem não trabalha é promovido.” Com relação ao argumento desse dito popular, julgue os itens que se seguem. 8. Do ponto de vista lógico, o argumento apresentado no dito popular é válido. 9. Admitindo-se que a negação da sentença “aquela pessoa trabalha pouco” possa ser expressa por “aquela pessoa trabalha muito”, das premissas do argumento do referido dito popular é correto concluir que “quem trabalha muito erra muito”. 10. FCC/2009/TJ-SE – Considere as seguintes premissas: p : Trabalhar é saudável. q : O cigarro mata. 249


07/03/12 16:22


A afirmação “Trabalhar não é saudável” ou “o cigarro mata” é FALSA se a) p é falsa e ~q é falsa.

d) p é verdadeira e q é falsa.

b) p é falsa e q é falsa.

e) ~p é verdadeira e q é falsa.

c) p e q são verdadeiras. 11. FCC/2007/TCE-MG – Considere como verdadeiras as seguintes premissas: – Se Alfeu não arquivar os processos, então Benito fará a expedição de documentos. – Se Alfeu arquivar os processos, então Carminha não atenderá o público. – Carminha atenderá o público. Logo, é correto concluir que a) Alfeu arquivará os processos. b) Alfeu arquivará os processos ou Carminha não atenderá o público. c) Benito fará a expedição de documentos. d) Alfeu arquivará os processos e Carminha atenderá o público. e) Alfeu não arquivará os processos e Benito não fará a expedição de documentos. 12. CESGRANRIO/2009/FUNASA – Denomina-se contradição a proposição composta que é SEMPRE FALSA, independendo do valor lógico de cada uma das proposições simples que compõem a tal proposição composta. Sejam ~p e ~q duas proposições simples e e, respectivamente, suas negações. Assinale a alternativa que apresenta uma contradição. a) p

q

d) ~p

q

b) q

~q

e) ~p

p

c) p

~q

250


07/03/12 16:22

Cap.

– raCioCínio l

giCo

13. CESPE/2009/TRE-MG – Proposições são sentenças que podem ser julgadas somente como verdadeiras ou falsas. A esse respeito, considere que p represente a proposição simples “É dever do servidor promover o atendimento cordial a clientes internos e externos”, que q represente a proposição simples “O servidor deverá instruir procedimentos administrativos de suporte gerencial” e que r represente a proposição simples “É tarefa do servidor propor alternativas e promover ações para o alcance dos objetivos da organização”. Acerca dessas proposições p, q e r e das regras inerentes ao raciocínio lógico, assinale a opção correta. a) (p q r) é equivalente a (p q r) b) p q é equivalente a (p q) c) p (q r) é equivalente a p q r d) ((r)) r e) A tabela-verdade completa das proposições simples p, q e r tem 24 linhas. 14. FCC/2007/TRF – 3a Região – Considerando “todo livro é instrutivo” uma proposição verdadeira, é correto inferir que a) “nenhum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira. b) “algum livro não é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa. c) “algum livro é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa. d) “algum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira. e) “algum livro não é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira. 15. FCC/2011/TRT – 1a Região – Admita que todo A é B, algum B é C, e algum C não é A. Caio, Ana e Léo fizeram as seguintes afirmações: Caio: se houver C que é A, então ele não será B. Ana: se B for A, então não será C. Léo: pode haver A que seja B e C. 251


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Está inequivocamente correto APENAS o que é afirmado por a) Caio d) Caio e Ana b) Ana e) Caio e Léo c) Léo 16. FCC/2011/TRT – 1a Região – Três das seis portas indicadas na figura têm um prêmio quando abertas, e três não têm. 1

2

3

4

5

6

Sabe-se que: – se todos os prêmios estão em portas de cor branca, não há portas adjacentes com prêmio; – se uma das portas cinza contém prêmio, todos os prêmios encontram-se em portas adjacentes; – mais do que uma porta de número par tem prêmio. É correto afirmar que a) a porta 5 não tem um prêmio. b) a porta 4 tem um prêmio. c) a porta 1 tem um prêmio. d) as únicas portas de número par que têm prêmio são 2 e 4. e) as três portas de número par têm prêmio. CESPE/2011/TRE-ES – Diz-se que as proposições P e Q são logicamente equivalentes quando possuem tabelas-verdade idênticas, de modo que tais proposições assumem os mesmos valores lógicos em função de suas proposições representa uma forma de expressar uma mesma afirmação de diferentes maneiras. Considerando essas informações, julgue os próximos itens. 17. A negação da proposição P proposição P Q.

Q é logicamente equivalente à

252


07/03/12 16:22

Cap.

– raCioCínio l

giCo

18. A negação da proposição “Marcos gosta de estudar, mas não gosta de fazer provas” é logicamente equivalente à proposição “Marcos não gosta de estudar e gosta de fazer provas”. 19. A proposição “Como gosta de estudar e é compenetrado, João se tornará cientista” pode ser expressa por “Se João gosta de estudar e é compenetrado, então, se tornará cientista”. 20. A proposição “Se Lucas vai a sua cidade natal, então Lucas brinca com seus amigos” pode ser expressa por “quando vai a sua cidade natal, Lucas brinca com seus amigos”. 21. As proposições P te equivalentes.

Q

R e (P

R)

(Q

R) são logicamen-

CESPE/2010/DETRAN – Considerando a sentença “sempre que um motorista passar em excesso de velocidade por um radar, se o radar não estiver danificado ou desligado, o motorista levará uma multa”, julgue os itens subsecutivos. 22. Se forem falsas as afirmações “o radar estava desligado” e “o motorista levou uma multa”, então a sentença “se um motorista passou em excesso de velocidade por um radar e este não estava danificado ou desligado, então o motorista levou uma multa” será verdadeira, independentemente dos valores lógicos das outras proposições simples que a compõem. 23. A sentença “o radar não está danificado ou desligado” é logicamente equivalente à sentença “o radar não está danificado e também não está desligado”. 24. A afirmação do enunciado é logicamente equivalente à sentença “se um motorista passar em excesso de velocidade por um radar e este não estiver danificado ou desligado, então o motorista levará uma multa”. 253


07/03/12 16:22


25. Se forem verdadeiras a afirmação do enunciado e a sentença “um motorista levou uma multa”, então, do ponto de vista lógico, é correto concluir que tal motorista passou em excesso de velocidade por um radar, que o radar não está danificado e também que o radar não está desligado. 26. FCC/2010/TRT – 8a Região – Em certo planeta, todos os Aleves são Bleves, todos os Cleves são Bleves, todos os Dleves são Aleves, e todos os Cleves são Dleves. Sobre os habitantes desse planeta, é correto afirmar que a) Todos os Dleves são Bleves e são Cleves. b) Todos os Bleves são Cleves e são Dleves. c) Todos os Aleves são Cleves e são Dleves. d) Todos os Cleves são Aleves e são Bleves. e) Todos os Aleves são Dleves e alguns Aleves podem não ser Cleves. 27. FUNIVERSA/2010/CEB – Assinale a alternativa que é uma proposição. a) 2 3 8. b) O Rei Zugzug é nordestino. c) A mula sem cabeça foi domesticada. d) Zero não é um número. e) Vá em paz! 28. FUNIVERSA/2010/CEB – Se “Todo atleta é magro”, “Algum magro é cardíaco” e “Nenhum cardíaco é eletricista”, pode-se concluir logicamente que a) Nenhum atleta é cardíaco. b) Todo eletricista é gordo. c) Nenhum eletricista é magro. d) Se existe eletricista magro, então ele é atleta. e) Se existe atleta cardíaco, então ele não é eletricista. 254


07/03/12 16:22

Cap.

– raCioCínio l

giCo

29. FUNIVERSA/2010/CEB – Considerando as seguintes afirmações: p : Chove e não chove; q : x é par, para x número inteiro; r : x 1 é ímpar, para x número inteiro; s : Se 5 3, então 3 5. Então, é correto afirmar que a) p é uma tautologia e s é uma contradição. b) q e r são proposições e s é uma contradição c) q e r são proposições, uma a negação da outra. d) q e r são sentenças abertas, p é uma contradição e s é uma tautologia. e) q e r são sentenças abertas, p é uma tautologia e s é uma contradição. 30. VUNESP/2007/Banco Nossa Caixa – Assinale a alternativa que apresenta contradição lógica. a) Todo homem é mortal e algum mortal não é homem. b) Algum homem é mortal e algum homem é imortal. c) Quem é imortal é homem e algum homem é mortal. d) Nenhum imortal é homem e algum mortal não é homem. e) Quem não é homem é imortal e algum mortal não é homem. 31. CESGRANRIO/2010/Petrobras – A figura ilustra um sistema de 5 polias que giram interligadas por uma correia que se mantém esticada. As polias não deslizam na correia. Com respeito às polias, analise as afirmativas abaixo. I – A polia A gira mais rápido do que a polia E. II – A polia B gira no mesmo sentido da polia D. A B III – A polia C gira no sentido horário. Está(ão) correta(s) APENAS a(s) afirmativa(s) E C a) I. d) I e II. b) II. e) II e III. D c) III. 255


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32. FCC/2009/TJ-SE – Dez placas quadradas, cada qual tendo ambas as faces marcadas com uma mesma letra, foram dispostas na forma triangular, conforme é mostrado na figura abaixo. A B D G

C E

H

F I

J

Movendo apenas três dessas placas, a forma triangular que elas apresentam pode ter sua posição invertida. Para que isso ocorra, as placas que devem ser movidas são as marcadas com as letras: a) A, G e J. d) B, C e E. b) A, H e I. e) E, G e J. c) A, B e C. 33. FCC/2009/TRE-PI – Uma pessoa fez quatro cortes paralelos igualmente espaçados em uma laranja esférica, dividindo-a nas cinco partes indicadas na figura. Em relação a essa divisão, é correto afirmar que d

I II III IV V

d d d d

a) todas as partes obtidas têm o mesmo volume. b) a parte III é a de maior volume. c) o volume da parte I é maior do que o volume da parte II. d) não foram obtidas duas partes com o mesmo volume. e) a soma dos volumes das partes IV e V é menor do que a soma dos volumes das partes I e II. 256


07/03/12 16:22

Cap.

– raCioCínio l

giCo

34. CESGRANRIO/2009/Funasa – Em uma urna, há 3 bolas pretas e 2 bolas brancas. As bolas pretas estão numeradas de 1 a 3. Entre as bolas brancas, uma tem o número 2 e a outra, o número 4, como ilustrado na figura abaixo.

2 1

3 2

4

É correto afirmar que, retirando-se da urna uma única bola, a) a quantidade de bolas pretas ficará igual à de bolas brancas. b) se essa bola for branca, a quantidade de bolas pretas ficará igual à de bolas brancas. c) se essa bola for preta, a quantidade de bolas com número par ficará igual à de bolas com número ímpar. d) se essa bola tiver um número ímpar, a quantidade de bolas pretas ficará igual à de bolas brancas. e) se essa bola tiver um número par, a quantidade de bolas pretas ficará igual à de bolas brancas. 35. CESGRANRIO/2009/Funasa – A figura ilustra a planificação de um dado comum de 6 faces.

Montando-se o dado, o número da face oposta à face que contém o1é a) 6 d) 3 b) 5 e) 2 c) 4 257


07/03/12 16:23


36. FCC/2009/PM-BA – As letras que aparecem no quadriculado abaixo devem ser substituídas por números a fim de que, em cada uma das linhas, colunas e diagonais, a soma dos três números seja a mesma. X 7

2

Y 5 W 8 Z 4

Se X, Y, W e Z satisfazem as condições do problema, então X Y W Z é igual a a) 19 d) 16 b) 18 e) 15 c) 17 37. FCC/2007/TRF – 2a Região – Considere que a sucessão de figuras abaixo obedece a uma lei de formação.

... O número de circunferências que compõem a 100a figura dessa sucessão é a) 5151 d) 3725 b) 5050 e) 100 c) 4950 38. CESGRANRIO/2007/TCE-RO – Em um torneio de futebol, havia exatamente 4 equipes e cada uma delas jogou uma única vez com todas as outras. Na tabela abaixo, cada célula representa o número de gols que o time da linha marcou no time da coluna. Por exemplo, a equipe A marcou 2 gols sobre a equipe B. A B C D A B

2 3

C 1

1

D 1

2

1

0

0

1 4

3

258


07/03/12 16:23

Cap.

– raCioCínio l

giCo

Chama-se saldo de gols à diferença entre o número de gols marcados e o de gols sofridos. Ao fim do torneio, a soma dos saldos de gols de todas as equipes era: a) 2 c) 0 e) 2 b) 1 d) 1 39. CESGRANRIO/2007/TCE-RO – O mostrador de um relógio digital apresenta quatro dígitos. Cada dígito é formado por sete lâmpadas retangulares. Esse relógio não atrasa e nem adianta. No entanto, o 3o dígito (da esquerda para a direita do mostrador está com um certo defeito: algumas das lâmpadas que o formam não estão acendendo. Em um certo momento, o tempo que faltava para dar 16h era menor do que o tempo transcorrido desde as 15h. A figura ilustra a aparência do mostrador do relógio nesse momento.

No momento citado, se não houvesse defeito, o 3o dígito mostraria o algarismo: a) 0 c) 3 e) 5 b) 2 d) 4 40. FCC/2007/TRE-MS – Observe que os números no interior da malha quadriculada abaixo foram colocados segundo determinado critério. 12 42 36 54 ?

6

24 18 48

Segundo tal critério, o número que substitui corretamente o ponto de interrogação está compreendido entre a) 5 e 10. c) 15 e 25. e) 35 e 45. b) 10 e 15. d) 25 e 35. 259


07/03/12 16:23


41. FCC/2006/TRE – 1a Região – Qual dos cinco desenhos representa a comparação adequada? está para

assim como

a)

d)

b)

e)

está para...

c)

42. FCC/2011/TRT – 1a Região – João escreveu uma mensagem para seu amigo Pedro com a sequência N C S C O B U G E A, que foi decifrada corretamente por ele como a palavra MATEMÁTICA. Em resposta à mensagem de João, e usando os mesmos símbolos e a mesma lógica do amigo, Pedro escreveu a palavra DECIFREI. Uma sequência que Pedro pode ter usado na escrita correta dessa palavra é d) B D D J F T G G a) F G D G E R D J b) F G D G E R D J e) B E D G J F E F c) C D G V D E G I 43. FCC/2011/TRT – 14a Região – Ao receber um pagamento, Samuel contou: x moedas de 50 centavos, y moedas de 25 centavos, z moedas de 10 centavos e t moedas de 5 centavos. Logo depois, ele percebeu que havia se enganado, pois contara 8 das moedas de 10 centavos como moedas de 5 centavos e 8 das moedas de 25 centavos como de 50 centavos. Assim sendo, a diferença entre a quantia que Samuel contou de forma errada e a quantia correta é de a) R$ 1,50 d) R$ 2,20 b) R$ 1,60 e) R$ 2,50 c) R$ 1,80 260


07/03/12 16:23

Cap.

– raCioCínio l

giCo

44. FCC/2011/TRT – 14a Região – Sabe-se que, em outubro de 2007, os dias x e 3x ocorreram em um domingo. Lembrando que anos bissextos são números múltiplos de 4, então o próximo ano que os dias x e 3x de outubro ocorrerão novamente em um domingo será: a) 2012 d) 2015 b) 2013 e) 2016 c) 2014 45. FCC/2011/TRF – 1a Região – Um anagrama de uma palavra é obtido trocando-se a ordem de suas letras, não importando se o resultado tem ou não significado em nosso idioma. Colocando em ordem alfabética todos os anagramas da palavra PROVA, a posição ocupada pela palavra PROVA é a d) 65a a) 62a b) 63a e) 66a c) 64a 46. IADES/2011/PGE-DF – O juiz responsável por uma Vara no Fórum da Cidade ficou no cargo por exatos 7 anos e 1 mês, começando numa segunda-feira, dia 8 de novembro de 1999. Se o ano de 1996 foi bissexto, é correto afirmar que ele deixou o cargo em uma a) Segunda-feira. d) Quinta-feira. b) Terça-feira. e) Sexta-feira. c) Quarta-feira. 47. FCC/2011/TRT – 24a Região – Sabe-se que Vitor e Valentina trabalham como Auxiliares de Enfermagem em uma empresa e, sistematicamente, seus respectivos plantões ocorrem a cada 8 dias e a cada 6 dias.Assim sendo, se no último dia de Natal – 25/12/2010 – ambos estiveram de plantão, então, mantido o padrão de regularidade, uma nova coincidência de datas de seus plantões em 2011, com certeza, NÃO ocorrerá em 261


07/03/12 16:23


a) 18 de janeiro.

d) 24 de abril.

b) 10 de fevereiro.

e) 18 de maio.

c) 31 de março. 48. FCC/2011/TRT – 24a Região/Nível – Na sequência de operações seguinte, os produtos obtidos obedecem a determinado padrão. 111 11 11 121 111 111 12 321 1 111 1 111 1 234 321 11 111 11 111 123 454 321

Assim sendo, é correto afirmar que, ao se efetuar 111.111.111 111.111.111, obtém-se um número cuja soma dos algarismos está compreendida entre: a) 85 e 100.

d) 40 e 55.

b) 70 e 85.

e) 25 e 40.

c) 55 e 70. 49. FCC/2011/TRT – 24a Região/Nível – O esquema abaixo apresenta o algoritmo da subtração de dois números naturais, em que alguns algarismos foram substituídos pelas letras A, B, C, D e E. A9 0B2 7 8C9D 2 E 1 7 8

Os correspondentes algarismos representados por A, B, C, D e E, que tornam a diferença correta, devem ser tais que (A B C D E)² é igual a a) 9

d) 36

b) 16

e) 49

c) 25 262


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Cap.

– raCioCínio l

giCo

50. FCC/2011/TRF – 1a Região – Em 2010, três Técnicos Judiciários, Alfredo, Benício e Carlos, viajaram em suas férias, cada um para um local diferente. Sabe-se que: – seus destinos foram: uma praia, uma região montanhosa e uma cidade do interior do Estado; – as acomodações por ele utilizadas foram: uma pousada, um pequeno hotel e uma casa alugada; – o técnico que foi à praia alojou-se em uma pousada; – Carlos foi a uma cidade do interior; – Alfredo não foi à praia; – quem hospedou-se em um hotel não foi Carlos. Nessas condições, é verdade que a) Alfredo alugou uma casa. b) Benício foi às montanhas. c) Carlos hospedou-se em uma pousada. d) aquele que foi à cidade hospedou-se em uma pousada. e) aquele que foi às montanhas hospedou-se em um hotel. 51. FCC/2011/TRT – 24a Região – Parte do material de limpeza usado em certa Unidade do Tribunal Regional do Trabalho é armazenada em uma estante que tem cinco prateleiras, sucessivamente numeradas de 1 a 5, no sentido de cima para baixo. Sabe-se que: – cada prateleira destina-se a um único tipo dos seguintes produtos: álcool, detergente, sabão, cera e removedor; – o sabão fica em uma prateleira acima da do removedor e imediatamente abaixo da prateleira onde é guardada a cera; – o detergente fica em uma prateleira acima da do álcool, mas não naquela colada à dele; – o álcool fica na prateleira imediatamente abaixo da do sabão. Com base nas informações dadas, é correto afirmar que a) detergente é guardado na prateleira 1. b) a cera é guardada na prateleira 5. 263


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c) álcool é guardado na prateleira 3. d) removedor é guardado na prateleira 4. e) sabão é guardado na prateleira 2. CESPE/2010/DETRAN-ES – Os servidores de uma unidade de atendimento do DETRAN participaram de um treinamento que foi realizado em duas salas, A e B. Quando da entrada nas salas, 57 servidores entraram na sala A e apenas 31, na B. Considerando essa situação hipotética, julgue os itens a seguir. 52. Supondo-se que o instrutor da sala B tenha planejado 237 atividades para distribuir entre os 31 servidores que estraram naquela sala, é correto afirmar que o número mínimo de atividades a mais que o instrutor precisará elaborar para que todos os servidores recebam a mesma quantidade de tarefas, sem sobrar nenhuma, é igual a 25. 53. número de servidores que deveriam passar da sala A para a sala B para que a mesma quantidade de servidores assistisse ao treinamento nas duas salas é igual a 13. 54. FCC/2010/TRT – 22a Região – Considere a seguinte sucessão de igualdades: (1) 4² 16 (2) 34² 1156 (3) 334² 111556 (4) 3334² 11115556 Considerando que, em cada igualdade, os algarismos que compõem os números dados obedecem a determinado padrão, é correto afirmar que a soma dos algarismos do número que apareceria no segundo membro da linha (15) é um número: a) quadrado perfeito. d) par. b) maior que 100. e) múltiplo de 7. c) divisível por 6. 264


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Cap.

– raCioCínio l

giCo

55. FCC/2010/TRT – 22a Região – Na superfície de uma caixa cúbica de aresta 10 cm foram marcados três quadrados com vértices nos pontos médios das arestas do cubo, conforme indica a figura. Duas formigas (F e G) estão localizadas em vértices da caixa, conforme indica a figura, e iniciam deslocamento simultaneamente com a mesma velocidade. Sabe-se ainda que os deslocamentos ocorrem apenas sobre as arestas do cubo ou sobre os lados dos três quadrados marcados, e que as formigas não passam duas vezes pelo mesmo lugar. Após iniciado movimento, as formigas F e G se deslocam, respectivamente, 30 cm e 40 cm. Com relação à posição final das formigas é correto afirmar que a) necessariamente será em um vértice do cubo. b) pode ser idêntica à posição inicial de cada uma. c) pode se dar em um mesmo ponto para as duas formigas. d) não pode se dar em um ponto de intersecção dos quadrados marcados no cubo. e) pode se dar em pontos que não os vértices do cubo nem os pontos de intersecção dos quadrados marcados no cubo. 56. FCC/2010/TRT – 12a Região – Considere os seguintes grupos de letras: A B C A – J K L J – D E F D – N O Q N – T UV T Desses grupos, o único que NÃO tem a mesma característica dos demais é: a) A B C A

d) N O Q N

b) J K L J

e) T U V T

c) D E F D 57. FCC/2010/TRT – 12a Região – Observe que em cada um dos dois primeiros pares de palavras abaixo, a palavra da direita foi formada a partir da palavra da esquerda, utilizando-se um determinado critério. 265


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ASSOLAR – SALA REMAVAM – ERVA LAMENTAM – ? Com base nesse critério, a palavra que substitui corretamente o ponto de interrogação é: a) ALMA d) MALA b) LATA e) TALA c) ALTA 58. FCC/2010/TRT – 12a Região – Em um dado momento, apenas cinco pessoas – Alceste, Benjamim, Casimiro, Dora e Elza – se encontram em uma fila formada no balcão de atendimento ao público de uma Unidade do Tribunal Regional do Trabalho. Sabe-se que: – Alceste ocupa o primeiro lugar na fila; – Casimiro está na posição intermediária entre Alceste e Benjamim; – Dora encontra-se à frente de Benjamim, enquanto Elza está imediatamente atrás de Casimiro. Nessas condições, é correto afirmar que, nesse momento, a) Casimiro ocupa o segundo lugar na fila. b) Dora é a segunda pessoa na fila. c) Dora ocupa o penúltimo lugar na fila. d) Elza se encontra no segundo lugar da fila. e) Elza está na posição intermediária da fila. 59. FGV/2010/BADESC – Um quadrado em que foi feito um furo e outras 4 figuras planas estão ilustrados a seguir.

1

2

3

4

266


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Cap.

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giCo

Assinale a alternativa que indique as figuras cuja união preenche completamente o buraco feito no quadrado. a) 1 e 3 d) 2 e 4 b) 1 e 4 e) 3 e 4 c) 2 e 3 60. FGV/2010/BADESC – Considere a sequência numérica (3, 5, 4, 6, 5, 7, 6, 8, 7, 9, 8,...). Nessa sequência, o próximo termo é: a) 11 d) 8 b) 10 e) 7 c) 9 61. FGV/2010/BADESC – Observe a sequência de figuras formadas por pontos.

1

2

3

4

5

6

7

De acordo com a lógica sequencial estabelecida, assinale a alternativa que apresente corretamente a figura 8. a)

d)

b)

e)

c)

62. FGV/2010/BADESC – Assinale a alternativa que destoa das demais quanto à relação existente entre as duas palavras apresentadas. a) avião – céu d) trem – trilho b) barco – rio e) ônibus – rodoviária c) carro – estrada 267


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63. ESAF/2002/MRE – No final de semana, Chiquita não foi ao parque. Ora, sabe-se que sempre que Didi estuda, Didi é aprovado. Sabe-se, também, que, nos finais de semana, ou Dadá vai à missa ou vai visitar tia Célia. Sempre que Dadá vai visitar tia Célia, Chiquita vai ao parque, e sempre que Dadá vai à missa, Didi estuda. Então, no final de semana, a) Dadá foi à missa e Didi foi aprovado. b) Didi não foi aprovado e Dadá não foi visitar tia Célia. c) Didi não estudou e Didi foi aprovado. d) Didi estudou e Chiquita foi ao parque. e) Dadá não foi à missa e Didi não foi aprovado. Gabarito: 1

10

11

12

13

14

15

Falso Falso Certo Falso Falso Certo Falso Certo Falso D

C

E

A

D

C

26

27

28

29

30

Falso Falso Certo Certo Certo Falso Certo Certo Falso D

D

E

D

E

16 B

2

17

3

18

4

19

5

20

6

21

7

22

8

23

9

24

25

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

B

A

B

D

A

A

B

C

C

D

E

D

B

A

C

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

E

B

B

D

E

A

Falso Certo E

C

D

C

B

D

B

61

62

63

B

E

A

268


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Colecao Concursos Publicos - Nivel Medio - Damares Pavione

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