coduri de linie

CODURI DE LINIE

CAPITOLUL II

CODURI DE LINIE II.1 Introducere

Pentru transmisie se foloseşte cel mai adesea forma de undă rectangular ă a impulsului  s(t) de amplitudine A şi durată T , durata fiind cunoscută ca interval de bit. Avantajul principal al impulsului rectangular este uşurinţa de generare la viteze ridicate, folosind dispozitive ce lucrează în comutaţie. În telecomunicaţii se specifică puterea livrată de un semnal unui rezistor cu valoarea de 1 ohm prin 2 u , pătratul tensiunii semnalului. Evident, P =U2 / R (2.1) 2 şi pentru R = 1 ohm, rezultă P = U . Energia de bit este definită ca  E b =  A2 ⋅ T  (2.2) Informaţia ce urmează a fi transmisă, denumită pe scurt date se notează cu {ak  }, {ak  } = {…, a-2, a-1, a0, a1, a2, a3, …, ak , …}, ak  ε {0, 1} simbolurile ak  sunt binare şi iau valorile 0 şi 1. În transmisie lor li se asociază fie valorile 0 şi A, variantă denumită simplu curent  sau unipolar ă, fie ă.  Varianta polar ă este cunoscută şi sub valorile -A and +A , variantă denumită dublu curent sau polar ă  ă  deoarece foloseşte valori în opoziţie (+A şi -A sau +1 şi -1). denumirea de antipodal ă 

Figura 2.1 Forme de undă ce ilustrează transmisia binar ă cu codare NRZ-L

Transmisia folosind impulsuri rectangulare de durată T  este cunoscută sub numele de codare NRZ L ( Non-Return   Non-Return to Zero Level ). ). Pe durata bitului semnalul nu prezintă treceri prin zero iar informaţia este asociată cu nivelele semnalului şi transmisă la intervale de durată T , folosind forma de und ă s(t).

23

Capitolul II +∞

 x(t ) = ∑ ak  s(t − kT )

(2.3)

−∞

Procesul de emisie este ilustrat in Fig. 2.1 unde se evidenţiază prezenţa impulsurilor rectangulare emise la momente de timp multiplu de T . Relaţia (2.3) mai poate fi scrisă ca +∞

 x(t ) = s(t ) * ∑ a k δ (t − kT )

(2.4)

−∞

Figura 2.2 Convoluţie ce implică un filtru liniar fix şi un proces aleator 

Primul factor al convoluţiei reprezintă r ăspunsul la impuls al unui filtru liniar fix ilustrat în figura 2.2, iar cel de al doilea poate fi notat ca

W  x ( f )

+∞

 y (t ) = ∑ a k δ (t − kT ) −∞

şi

reprezintă un proces aleator. El constituie factorul ce transportă informaţia. Prin aplicarea transformatei Fourier relaţiei (2.4) şi folosind teorema întârzierii se obţine: +∞

 X ( f ) = S ( f ) * ∑ a k e − jk 2π t 

(2.5)

−∞

Aici S(f) reprezintă factorul de formă al spectrului semnalulului şi este dat de transformata Fourier a  f  / Rb formei de undă  s(t) utilizată pentru semnalizare. Cel de al doilea factor se numeşte factor de discriminare şi Figura 2.3 D.s.p. a codului NRZ depinde de biţii de date ce urmează a fi transmişi. Densitatea spectrală de putere a semnalului NRZ-L în varianta polar ă şi echiprobabilă este dată de

W  x ( f ) =

1 2 S ( f ) T 

(2.6)

şi are forma reprezentată în figura 2.3.

Se observă prezenţa unor componente de curent continuu şi de joasă frecvenţă importante, deşi codul este polar, ceea ce face imposibilă transmisia acestui semnal pe un canal de tipul celui telefonic sau pe o linie metalică ce implică cuplaje prin condensator sau transformator, ce blochează componenta de c.c. Semnalul astfel transmis va prezenta distorsiuni foarte puternice. Se impune deci modificarea spectrului semnalului pentru a-l adapta la canalul de transmisie. În acest scop se poate transla liniar sau neliniar banda semnalulului în jurul unei frecvenţe purtătoare, operaţie cunoscută sub denumirea de modulaţie sau se poate interveni prin modificarea factorului de discriminare sau a factorului de formă, operaţie cunoscută sub denumirea de codare de linie. 24

CODURI DE LINIE  Necesitatea de a putea extrage din spectrul semnalului de date frecvenţa de bit folosită în receptor   pentru detecţia informaţiei a condus de asemenea la înlocuirea pentru transmisie a codului NRZ-L cu alte coduri, denumite coduri de linie sau coduri de modulaţie. Acestea trebuie să satisfacă, par ţial sau în totalitate, următoarele condiţii  Componentă de c.c. nulă, pentru a nu încărca inutil linia şi repetoarele;  Valoare mică a variaţiei sumei digitale (DSV) pentru atenuarea componentelor de joasă frecvenţă;  Să fie de tip RLL (lungime de fugă limitată) pentru o sincronizare f ăr ă probleme;  Să prezinte un număr suficient de tranziţii pe durata simbolurilor de ieşire pentru uşurarea sincronizării de tact;  Să poată fi folosite în reţele tip inel sau de alte tipuri;  Să asigure o propagare limitată a erorilor;  Să permitonitorizarea şi detecţia unor tipuri de erori;  Să prezinte complexitate şi eficienţă rezonabile;  Să poată fi implementat cu circuite simple, fiabile şi la un preţ de cost redus.  Să prezinte nuluri spectrale la anumite frecvenţe Câteva coduri binare, de interes larg, folosite în sistemele moderne de telecomunicaţii sunt  prezentate în continuare şi sunt ilustrate în figura 2.4. II.1.1 Codul RZ

 Return to Zero ) bitul 1 este reprezentat prin HL (nivelul logic H pe prima jumătate a În codarea RZ ( Return intervalului de bit şi nivelul logic L pe cea de a doua jumătate) iar bitul 0 este reprezentat prin nivelul logic  L pe tot intervalul de bit. Această reprezentare dezechilibrată, cu valoarea medie a semnalului diferită de zero pentru o transmisie echiprobabilă conduce la crearea în spectrul semnalului de componente discrete (linii) pe armonicele frecvenţei de bit. În acest caz se poate extrage semnalul de tact necesar la recepţie cu un circuit PLL calat pe frecvenţa de bit. II.1.2 Codurile NRZ-M şi S

  Non Return to Zero - Mark ) bitul 1 este reprezentat alternativ prin nivelele În codarea  NRZ_M  ( Non logice H şi L iar bitul 0 este reprezentat prin nivelul logic utilizat pentru reprezentarea ultimului bit 1, sau cu alte cuvinte bitul 1 este reprezentat printr-o tranziţie la începutul sau mijlocul intervalului de bit iat bitul 0 prin absenţa tranziţiei. Această codare diferenţială sau prin tranziţii rezolvă problema ambiguităţii de fază care poate apare  prin inversarea firelor unei linii de transmisie, ceea ce conduce la obţinerea informaţiei negate, în cazul utilizării codului NRZ-L. Aceeaşi situaţie apare la transmisiile de tip MA cu purtătoare suprimată, inclusiv  PSK , unde sincronizarea se face pe un multiplu al frecvenţei purtătoare. În codarea  NRZ_S   Non Return to Zero - Space), accepţia este inversă, biţii 1 şi 0 schimbându-şi rolurile. ( Non II.1.3 Codurile bifazice

  L - Level ) bitul 1 este reprezentat prin elementele  HL iar bitul 0 este În codarea bifazică (BP) L ( L reprezentat prin elementele LH.

25

Capitolul II

Codarea bifazică M provine din asocirea codării bifazice L cu o precodare NRZ-S. Astfel, bitul 1 este reprezentat prin elementele HL şi LH iar bitul 0 este reprezentat alternativ prin nivelele logice L şi  H . În codarea bifazică S convenţia este inversă. II.1.4 Codul CMI

În codarea CMI (Coded Mark Inversion ) bitul 1 este reprezentat alternativ prin nivelele logice L şi  H  iar bitul 0 este reprezentat prin elementele  LH. Această codare asigur ă  prezenţa unei componente discrete pe frecvenţa de bit în spectrul semnalului, facilitând procesul de sincronizare.

Figura 2.4 Câteva coduri de linie de interes general II.1.5 Codul Miller 

 Delay Modulation) bitul 1 este reprezentat alternativ prin elementele HL În codarea Miller sau DM ( Delay şi  LH  iar bitul 0 este reprezentat ca absenţa unei tranziţii, repetând ultimul nivel logic din reprezentarea bitului 1 anterior, dacă apare ca zero unic, între doi biţi 1. Pentru mai mulţi biţi zero suc-

26

Figura 2.5 Densitatea spectrală de putere a unor coduri binare

CODURI DE LINIE cesivi, toate zerourile, cu excepţia ultimului sunt codate printr-o tranziţie la sfâr şitul intervalului de bit. Codarea Miller provine dintr-un precodor bifazic L urmat de un bistabil tip T care înjumătăţeşte tranziţiile semnalului bifazic. Prezenţa   bistabilului tip T, care în general se foloseşte pentru divizarea cu 2 a frecvenţei, determină o micşorarea a lăţimii spectrului semnalului codat şi deplasarea componentelor spectrale spre frecvenţe joase. În figura 2.4 sunt exemplificate toate aceste tipuri de coduri de linie. În figura 2.5 sunt ilustrate spectrele de putere ale codurilor NRZ-L, RZ, Bifazic L, CMI şi Miller pentru cazul echiprobabil. În figura Figura 2.6 Factori de codare C(f) 2.6 sunt reprezentaţi factorii de codare C(f)  pentru aceste coduri, tot în cazul echiprobabil p =0.5,  p reprezentând aici probabilitatea de apariţie a unui bit 1. II.2 Codarea diferen ţ ial  ial ă

Să consider ăm cazul unei transmisii polare, reprezentată în figura 2.7 şi că linia a fost ruptă, iar  conexiunea a fost restabilită, dar nu în forma originală, conductoarele liniei fiind inversate între ele.

Figura 2.7 Conectarea directă sau inversă a conductoarelor liniei de transmisie

Dacă conexiunea este de tipul  AB şi CD se recepţionează o tensiune U MN  MN  = +E  sau –E , conform  poziţiei manipulatorului telegrafic I sau respectiv II . Dacă se reconectează ca AD şi CB atunci U MN  MN  =  E şi respectiv +E , pentru aceleaşi poziţii I şi II ale manipulatorului telegrafic, adică situaţia opusă.

Figura 2.8 Forme de undă codate diferenţial

27

Capitolul II

În cazul reprezentării informaţiei prin nivele codare NRZ-L situaţia descrisă mai sus conduce la obţinerea informaţiei negate (bitul 0 devine 1 şi invers). O situaţie similar ă apare la transmisiile cu modulare-demodulare cu purtătoare suprimată, denumită problema ambiguităţii de fază. Pentru a rezolva aceste probleme se foloseşte codarea diferenţială (NRZ-M sau S) sau prin tranziţii.   Non-Return-to-Zero Mark ) un bit 1 este reprezentat de o tranziţie În codarea diferenţială NRZ-M ( Non-Return-to-Zero (nivel opus celui transmis în intervalul de bit anterior) iar un bit 0 este codat prin absenţa tranziţiei  Non-Return-to-Zero (acelaşi nivel cu cel transmis în intervalul de bit anterior). În codarea NRZ-S ( Non-Return-to-Zero Space) convenţia este inversă. Formele de undă asociate sunt prezentate în figura 2.8. Se observă existenţa a două forme de undă posibile a şi b (b este forma de undă a negată logic)  pentru semnalele codate NRZ-M sau S. Semnalul codat NRZ-M yk  poate fi scris ca  y k  =  x k  ⊕  y k −1 (2.7) unde xk  reprezintă semnalul codat NRZ-L iar  ⊕ operaţia logică SAU EXCLUSIV (sumare modulo-2). Dacă  x k  = 0 →  y k  =  y k −1 şi nu apare tranziţie, în timp ce pentru

xk = 1, → yk = yk −1

şi

există tranziţie. Coderul diferenţial sau NRZ-M este

reprezentat în figura 2.9a.

Figura 2.9 Circuite de codare şi decodare diferenţială

Pentru decodarea unui semnal codat NRZ-M ec. (2.7) poate fi rescrisă ca  yk  ⊕ y k −1 = xk  ⊕ yk −1 ⊕ yk −1 sau

 x k  =  y k  ⊕  y k −1

ţinând cont că

(2.8)

 yk −1 ⊕ yk −1 = 0 . Decodorul diferenţial este reprezentat în figura 2.9b.

Figura 2.10 Codor NRZ-M

Un codor NRZ-M este prezentat în figura 2.10. În acest caz tranziţia apare pe mijlocul intervalului de bit, adică se produce o întârziere cu T/2 a semnalului codat faţă de situaţia prezentată în figura 2.4,  Non-Return-to-Zero Inverted). iar codul este cunoscut sub denumirea de NRZI ( Non-Return-to-Zero

28

CODURI DE LINIE II.3 Func ţ  ie ţia  ia de autocorelaţ ie

Funcţia de autocorelaţie (AKF) a unui semnal x(t) este definită ca

1 T / 2  R (τ ) = lim ∫  x(t ) x(t + τ )dt  T →∞ T  −T  / 2

(2.9)

Dacă semnalul x(t) este un semnal de energie şi poate lua valori complexe, +∞

 R (τ ) = ∫  x(t ) x ∗ (t − τ )dt  −∞

  prin * înţelegând conjugata complexă. Timpul de întârziere τ  are rolul de parametru de baleiaj iar  timpul fizic t este o variabilă de integrare ce dispare în procesul de integrare. Funcţia AKF e scrisă ca +∞

 R(τ ) = ∫  x(t + τ ) x ∗ (t )dt 

(2.10)

−∞

Ecuaţiile (2.9) şi (2.10) integrează produsul lui  x(t) cu o replică a sa decalată, fie întârziată cu τ şi notată cu x(t - τ  ) sau în avans cu τ şi notată cu  x(t + τ  ) . Dacă semnalul x(t) ia valori complexe, funcţia AKF rezultantă este şi ea cu valori complexe. Pe baza celor două relaţii de mai sus rezultă că funcţia AKF va prezenta simetrie de tipul:  R(τ ) = R ∗ (−τ ) (2.11) τ )  având simetrie par ă iar cea imaginar ă prezentând simetrie impar ă. Funcţia AKF  partea reală a lui R( τ  va avea două componente:  τ )  ce determină o densitate spectrală de putere (d.s.p.) cu un o componentă neperiodică  Rc( τ  caracter continuu;  (τ  τ  )  ce determină o densitate spectrală de putere discretă (spectru o componentă periodică Rd (  de linii). Spectrul de energie al semnalului x(t) se compune dintr-o distribuţie continuă W c(f), +∞

W c ( f ) = ∫  Rc (τ ) cos 2π  f τ  d τ 

(2.12)

−∞

şi un

spectru discret (o serie de linii spectrale) ∞

W d  ( f ) =

a k  cos( 2π  fkt + ϕ k  ) ∑ k 

(2.13)

= −∞

∞

când

 Rd  (τ ) =

ak 2 cos 2π  fkt  ∑ k 

(2.14)

= −∞

τ )  a semnalului Pentru calculul d.s.p. a semnalului codat se pleacă de la funcţia de autocorelaţie  R( τ  codat  x(t) produs de un semnal aleator de date şi se foloseşte teorema Wiener-Hincin, care spune că τ )  şi densitatea spectrală de putere formează o pereche Fourier. funcţia de autocorelaţie R( τ  +∞

 j 2  f  W ( f ) = ∫  R( )e − j2 d 

(2.15)

−∞ +∞

şi reciproc

 R( ) = ∫ W ( f )e  j 2  ft df 

(2.16)

−∞

29

Capitolul II

Teorema este valabilă atât pentru semnale deterministe cât şi aleatoare. II.4 Componenta de curent continuu

Sistemele de comunicaţii necesită semnale care să prezinte nuluri spectrale la frecvenţa zero (absenţa componentei de c.c.) sau frecvenţa Nyquist din motive de eficienţă şi uşurinţa sincronizării. Considerând semnalul codat NRZ-L polar produs de secven ţa de date {ak  } reprezentat în figura 2.11, valoarea sa medie poate fi calculată ca m1 =  p ⋅ (+ A) + (1 −  p) ⋅ (− A) = (2 p − 1) ⋅ A (2.17) unde p este probabilitatea de apariţie a unui bit 1 în secvenţa de date {ak  }.

Figura 2.11 Semnal codat NRZ-L

Densitatea spectrală de putere a unui proces ciclostaţionar presupus ergodic este dată de formula lui Bennett,

m1 2 W  x ( f ) = T 

∞ 1 ⎫ 2⎧ 2 [ (k ) − m1 2 ]cos 2π  fkT ⎬ δ ( f  − k / T ) + S ( f ) ⎨[ R(0) − m1 ] + 2∑  R ∑ T  k = −∞ k =1 ⎩ ⎭ ∞

(2.18)

unde δ (t ) este un impuls Dirac, m1 este valoarea medie a procesului, S ( f ) este transformata Fourier a formei de undă s(t) folosită pentru semnalizare, R (k ) este valoarea funcţiei de autocorelaţie evaluată la momentele kT  iar T este durata bitului. Primul termen reprezintă un spectru discret sau de linii iar al doilea unul continuu. Dacă diferenţa dintre  R(0) şi valoarea medie m1 a procesului este nulă, aceasta determină faptul că nu vor exista componente discrete sau linii la frecvenţa 0 (c.c.). Vom nota ∞

[ (k ) − m12 ]cos 2π  fkT  C ( f ) = [ R(0) − m1 ] + 2∑  R 2

(2.19)

k =1

şi

îl vom denumi factorul de codare (densitatea spectrală de putere pentru impulsuri Dirac aplicate la intrarea circuitului codor). El mai este cunoscut şi ca factor de discriminare.

Factorul

1 2 S ( f ) reprezintă factorul de formă. T 

Pentru codul NRZ polar  şi cazul echiprobabil p = 1 - p = 0.5, valoarea sa medie dată de rel. (2.17) este zero. Această condiţie asigur ă numai inexistenţa unei componente discrete la frecvenţa zero (c.c.) dar nu asigur ă şi un nul la frecvenţa zero pentru partea continuă. Având în vedere posibilitatea apariţiei de secvenţe lungi de biţi 1 sau zero consecutivi, componenta de c.c. nu poate fi zero.   Exemplul I!.1 Fie codul AMI sau bipolar nr.1 definit astfel: bitul 1 este reprezentat alternativ prin nivelele +A  şi –A, iar bitul 0 prin nivelul 0.  ţ ii  ţ ii Valoarea lui R(0) este p întrucât numai bi ţ  ii 1 contribuie la energia semnalulului, bi ţ  ii zero fiind  ă ,  bi ţ   ţ ii reprezenta ţ i prin nivelul zero. Valoarea medie este evident nul ă  ii 1 fiind reprezenta ţ i alternativ prin nivelele +A  şi –A, care se compensează .

Dacă m1 = 0 codul este denumit denumit cunoscut ca echilibrat, dar aceasta nu antrenează după sine şi o componentă de c.c. nulă. 30

CODURI DE LINIE II.5 Suma digital ă curent ă

Componenta de c.c. a semnalului de date codat într-un cod de linie depinde de disparitatea semnalului (acumulările produse de a k  într-un interval de lungime finită) sau suma digitală curentă  RDS ( Running  Running Digital Sum) (acumulările produse de a k  într-un interval de lungime finită oarecare).

Ea determină existenţa componentei de c.c. Vom considera o secvenţă de date polar ă {ak  } = {…, a-2 , a-1 , , a0 , , a1 , , a2 , a3 , …, ak , …}, ak  ε {-1, 1} Suma digitală curentă este definită ca

r i =

i

∑ a k  = r i−1 + a i = RDS(i)

(2.20)

k = −∞

şi este ilustrată în figura 2.12.

În codarea NRZ-L polar ă suma digitală curentă a semnalului creşte odată cu apariţia unei serii de  biţi 1 consecutivi ce produce o componentă de c.c. pozitivă şi scade la apariţia unei serii de biţi 0 consecutivi care vor introduce o componentă de c.c. negativă. Suma digitală curentă a semnalului  poate fi definită pe un interval de timp finit oarecare [IT, JT] ca Δ  J 

r k [ I , J ] = ∑ x k 

(2.21)

k = I 

  Exemplul II.2 S ă  presupunem un semnal ternar având nivelele ±  A  şi 0  şi să  asociem o unitate de ă . Dacă   sarcină  pozitivă  sau negativă  nivelelor  +  A  şi respectiv − A . Nivelul 0 nu are sarcină  asociat ă  ă  şi disparitatea va fi limitat ă  ă . În acest caz disparitatea este definit ă  ă  ca diferen ţ a dintre  RDS este limitat ă  ş ă  în c.a. este  şi numerele celor două  simboluri diferite de zero. Sarcina ce se poate acumula în linia cuplat ă  ă  la aceea şi valoare. ea limitat ă 

Figura 2.12. Suma digitală curentă pentru o codare NRZ-L

Dacă RDS sau sarcina acumulată este mai mică decât o valoare finită, componentă de c.c. este nulă  D.C.iar codul este cunoscut ca un cod f ăra componentă de c.c. sau cu nul spectral la frecven ţa 0 ( D.C. free). Condiţia necesar ă şi suficientă pentru a obţine un nul spectral la frecvenţa 0 este ca suma digitală  Immink, 1989] este curentă (RDS) să fie uniform mărginită pentru toate valorile lui i. Demonstraţia [ Immink, următoarea. Semnalul codat produs de secvenţă de date {a k } este ∞

 x(t ) =

∑ ak  s(t − kT )

(2.22)

k = −∞

31

Capitolul II +∞

iar 

 X ( f ) = S ( f ) ⋅

a k e  jk 2  fT  ∑ k  −

π 

(2.23)

= −∞

Densitatea spectrală de putere W(f) asociată codorului ce produce semnalul de date {a k } are valoarea medie 2 ⎡ 1  N  ⎤ − j 2π  fk /  f  s W ( f ) = lim E ⎢ ∑ a k e (2.24) ⎥  N →∞  N  = k  0 ⎢⎣ ⎥⎦ în care  f  s = 1 / T  este frecvenţa de bit sau simbol iar  E  (expected value) este operatorul  speran ţă 

matematică  şi se aplică mulţimii de secvenţe {ai }, i ≥ 0 generate de căile prin diagrama de tranziţie

cu stări finite G asociată codului, iar limita este interpretată în sensul distribuţiei. Evident, dacă W ( f )  f =0 = 0 , vom avea un nul în c.c. Dac ă RDS este mai mică decât o valoare finită B, atunci d.s.p. tinde la zero pentru f tinzând la zero ( c.c.). Să presupunem  N 

a k  ≤  B, B < ∞ ∑ k  0

(2.25)

=

2

 B 2 1  N  Atunci ∑ a ≤  N   N  k =0 k  ⎡ 1  N  2 ⎤ şi lim E ⎢ ∑ a k  ⎥ = 0 q.e.d. (2.26)  N →∞  N  = ⎢⎣ k  0 ⎥⎦ Codul NRZ-L polar ilustrat în figurile 2.4 şi 2.8 nu are RDS mărginită şi deci prezintă componentă de c.c, deşi valoarea sa medie este zero pentru cazul echiprobabil, rel.(2.17). Aceast ă condiţie asigur ă numai inexistenţa unei componente discrete la frecvenţa zero (c.c.). Gradul de suprimare al componentei de c.c. este indicat de variaţia sumei digitale curente  DSV   Running Digital Sum Variation ) ( Running DSV = RDS max − RDS min (2.27) care reprezintă şi numărul total de valori pe care îl poate lua suma digitală curentă asociată secvenţei codate. Pentru un interval de timp finit oarecare, DSV este definită ca DSV = max r[I, J ] (2.28) I ,J

Variaţia sumei digitale curente DSV a unui cod este diferenţa dintre valorile minime şi maxime ale sarcinii acumulate, presupunând cuplaj în c.a. pentru circuitul de codare, echivalent cu variaţia maxi Running Sum Variation ). mă a integralei curente din semnalul codat, cunoscută sub denumirea RSV ( Running Parametrul  DSV  este determinat de lungimea seriilor de simboluri codate prin acelaşi nivel (run length). O valoare finită a lui DSV se obţine prin impunerea unei constrângeri asupra lungimii seriei de simboluri consecutive 0 sau 1, ceea ce determină o componentă de c.c. nulă. Cu cât valoarea DSV este mai mică, cu atât gradul de suprimare al componentei de c.c. este mai bun. II.6 Un indicator al suprim ării componentei de c.c.

Din formula lui Bennett factorul de codare sau d.s.p normalizată pentru impulsuri Dirac în domeniul de frecvenţă normalizat este dat de 32

CODURI DE LINIE ∞  R(k ) ˆ cos 2 π  kf  W  x ( f ) = 1 + 2∑  R ( 0 ) k =1

(2.29)

unde  R(k ) sunt valorile funcţiei de autocorelaţie (AKF) evaluate la momentele de eşantionare kT . Pentru a investiga comportarea d.s.p. la joasă frecvenţă şi în c.c. (  f  = 0 ), vom dezvolta în serie

ˆ x ( f ) limitându-ne la termenul Mac Laurin W  termenul pătratic ˆ x ( f ) = W  ˆ x (0) + W  ˆ x ' (0) f  + 1 W  ˆ x " (0) f  2 W  2 Pentru un cod echilibrat şi f ăra componentă de c.c. W  x (0) = 0

 R(k ) W  x ( f ) = −4π ∑ k  sin 2 π  kf  ( 0 )  R k =1

(2.32)

W  x ' (0) = 0

(2.33)

∞ 1 ˆ"  R(k ) 2 2 W  x ( f ) = −4π   f  ∑ k 2 cos 2 π  kf  2  R(0) k =1 ∞  R (k ) 1 ˆ" 2 2 W  x (0) = −4π   f  ∑ k 2 2  R(0) k =1 ∞  R(k ) 2 2 ˆ W  x ( f ) = −4π   f  ∑ k 2  R(0) k =1

iar 

şi

(2.31)

∞

'

Rezultă

(2.30)

(2.34)

(2.35)

Deci putem folosi mărimea ∞

Δ

Δ = − ∑ k 2 k =1

 R (k )  R (0)

(2.36)

ca un indicator al suprimării componentei de c.c. sau ca un criteriu de proiectare al codurilor [Dieuliis şi Preparata, 1978].  şi sub denumirea de AMI (Alternate Mark  Exemplul II.3 Fie codul bipolar nr.1 cunoscut  ş Mark Inversion) şi să  ăm   valoarea lui Δ . Valorile func ţ iei calcul ă  iei de autocorela ţ ie ie (AKF) sunt [Alexandru, 1998]:

R (k ) = (−1)k p 2 (2 p − 1)k −1

k ≥1

R (0) = p

(2.37)

∞ (−1) k  p 2 (2 p − 1) k −1 2 k  = p ∑ k 2 (1 − 2 p) k −1  Atunci Δ = −∑  p k =1 k =1 ∞

Ţ inând inând cont că  ∞

k 2 x k  1 = x0 + 4x + 9 x2 + 16 x3 + 25 x4 + 36 x5 +  ∑ k  1 −

=

= x 0 + x + x 2 + x3 + x4 + x5 +  + 3(x + x2 + x3 + x4 + x5 + ) + 5( x 2 + x3 + x 4 + x5 + ) + 7( x 3 + x 4 + x5 + ) + 9( x 4 + x5 + ) + … 33

Capitolul II

x2 x3 x4 k x = +3 +5 +7 +9 +… ∑ x x x x x − − − − − 1 1 1 1 1 k =1 1 (1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + ) + = 1 − x 2 ( x + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x4 + 5 x5 + ) + 1 − x 1 2 x 1+ x = + = 2 3 (1 − x) (1 − x) (1 − x)3 ∞

 şi

2 k −1

x0

x

 x = 1 − 2 p avem ∞

Δ( p) =  p ∑ k 2 (1 − 2 p) k −1 =  p k =1

 Pentru  p = 0.5 avem Δ = 1 / 2 .

1 + 1 − 2 p 1 −  p = (2.38) 3 (1 − 1 + 2 p) 4 p 2

Figura 2.13 Variaţia lui Δ cu p

ă  dependen ţ a lui Δ( p ) în func ţ ie  În figura 2.13 este ilustrat ă  ie de p, pentru p variind în intervalul 0.05 şi 0.95 în cazul codului bipolar nr. 1 sau AMI.

  La valori mici ale lui p sunt mai multe zerouri care sunt reprezentate prin nivelul ternar zero, iar   suprimarea componentei de c.c. este mai puternică . La valori mari ale lui p suprimarea componentei de c.c. este mai slab slabă .

II.7 Descrierea unui cod 

  Institute of Electric and Electronic Engineers) un cod este definit ca “un plan de Conform IEEE ( Institute reprezentare a unui număr finit de valori sau simboluri sau a unui aranjament particular sau secvenţă de condiţii discrete sau evenimente”. Codul poate fi definit în multe moduri: prin legea de codare, grafuri de fluenţă, matrici, diagrama de tranziţii de stare, diagrama trelis, etc. Un exemplu de lege de codare pentru codul diferenţial NRZ-M este următorul: un bit 1 este reprezentat de o tranziţie (nivel opus celui transmis în intervalul de bit anterior) iar un bit 0 este codat  prin absenţa tranziţiei. Dacă maparea secvenţei de date {ak  }  pe formele de undă analogice de ieşire sau simboluri se face f ăr ă constrângeri referitoare la simbolurile transmise anterior, atunci circuitele de codare şi decodare sunt f ăr ă memorie (memoryless). Figura 2.14 Diagrama de stări de tranziţie a codului NRZ-L Codul mai poate fi definit de un graf de

34

CODURI DE LINIE fluenţă denumit diagramă de tranziţie a stărilor (lanţ Markov). De exemplu, codul NRZ-L este specificat complet de diagrama de tranziţie a stărilor reprezentată în figura 2.14. Aceste diagrame de tranziţie a stărilor sunt de tipul Moore. Într-un automat Moore sau maşină cu stări finite FSM (  finite-state machine) cuvântul codat de ieşire este o funcţie doar de stare şi nu depinde de simbolurile digitale de la intrare sau cuvintele sursă. O altă reprezentare este cea de tip  finite-state sequential machine) ce implică existenţă unor stări interne. Mealy-type FSSM ( finite-state Fiecare cerc din figura 2.14 reprezintă o stare a automatului Moore. Numerele asociate la exterior  etichetează starea, iar cele din interior, la număr ătorul fracţiei reprezintă bitul sau simbolul de intrare. La numitor se reprezintă simbolurile de ieşire emisie în starea respectivă. Tranziţiile dintr-o stare în alta sunt reprezentate prin săgeţi şi sunt etichetate cu probabilităţile de tranziţie din starea curentă în cea de destinaţie. Codul NRZ-M code este descris de diagrama de tranziţii reprezentată in figura 2.15. Numărul stării este înscris într-un cerc. Modelul Moore este mai direct şi mai uşor de construit.

Tabelul II.1 Trecerea de la Moore la Mealy

Stare 1 2 3 4

0

1

Re-etichetare a stărilor 

2/+ 2/+ 4/4/-

3/3/1/+ 1/+

1 2

Figura 2.15 Diagrama FSM a codului NRZ-M

Modelul Mealy este de complexitate mai mică şi mai uşor de tratat. Pentru a-l construi se pleacă de la o ordonare a st ărilor, aşa cum se arată în tabelul II.1. Deoarece stările 1 şi 2 sunt identice vor fi reetichetate ca 1, iar stările 3 şi 4 vor fi notate cu 2. Se ob ţine reprezentarea din tabelul II.2 cu 2 stări, căreia îi corespunde diagrama Mealy din figura 2.16. Prima stare corespunde situaţiei în care un bit 1 sau 0 este reprezentat prin nivelul logic H (+), iar cea de a doua reprezent ării prin nivelul logic L (-). Trecerea dintr-o stare în alta este posibilă doar la apariţia unui bit 1. În multe cazuri modelul Mealy este mai simplu decât modelul Moore. Tabelul II.2

State 0 1 1/+ 2 2/-

Stări 1 2/1/+

Figura 2.16 Model Mealy pentru codul NRZ-M

Aici apare constrângerea că semnalul de ieşire particular  transmis depinde de semnalul transmis anterior, deci codorul este de tip secvenţial sau cu memorie, deoarece trebuie să ţină minte starea anterioar ă. În figura 2.9 memoria este reprezentată de circuitul de întârziere.

Figura 2.17 FSM a codului bifazic

35

Capitolul II ă  consider ă  ăm   codul bifazic L sau Manchester,   Exemplul II.3 S  Manchester, în care bitul 1 este reprezentat reprezentat de o  ţ ie ă  pe mijlocul intervalului de bit iar bitul 0 de o tranzi ţ   ţ ie ă  tranzi ţ  ie negativă  sau descendent ă  ie ascendent ă   Atunci un bit 1 este reprezentat prin nivelul H urmat de L, pe scurt HL iar bitul 0 prin LH. Diagrama de  ţ ie ă  în figura 2.17 (modelul Moore). Acest codor nu are memorie. tranzi ţ  ie este reprzsentat ă 

Un alt mod de descriere face apel la 2 matrici. O primă matrice este cea de tranziţie, notată cu T : t 11

 ......

t 1n

T  = t i1 ... t ij  ...

t in

t n1

 ......

(2.39)

t nn

Elementul t ijij aflat la intersecţia liniei i cu coloana j semnifică probabilitatea de tranziţie din starea i în starea  j. Pentru codul NRZ-L , matricea T este  p 1 −  p T  =  p 1 −  p  ţ ie ă    Exemplul II.4 Fie codul NRZ-M descris de diagrama din figura 2.15. Matricea de tranzi ţ  ie asociat ă  codului NRZ-M este:

T  =

0

1 −  p  p

0

0

1 −  p  p

0

 p

0

0

1 −  p

 p

0

0

1 −  p

(2.40)

Pentru a specifica complet codul se foloseşte o a doua matrice  E , denumită matrice de ieşire. În general,  E  =

E1, E 2,  En

T 

(2.41)

unde Ei este semnalul emis în starea i.  Exemplul II.5 Fie codul bifazic L sau Manchester descris de diagrama din figura 2.17. Matricea de ie şire ă  de este dat ă   E  =

H

L

 L

H 

sau  E  =

1 0 + 1,−1  şi  E  = în cazul polar  ş în cazul unipolar. − 1,+1 0 1

Figura 2.18 Forme de undă codate diferenţial şi bifazic S

Pentru calculele privind densitatea spectrală de putere matricile de ieşire  E  pot   pot fi scrise sub forma mai multor vectori Ai , câte unul pentru fiecare simbol de ieşire.

36

CODURI DE LINIE Un alt mod de specificare a unui cod face apel la diagrame de tip trelis, care ofer ă aceleaşi informaţii despre evoluţia semnalului ca şi diagramele de tranziţii. În plus ele indică şi câteva evoluţii  posibile în timp ale semnalului.

Figura 2.19 Diagrame de tranziţii asociate codului bifazic S

Fie codul bifazic S definit anterior, care reprezintă asocierea unei precodări diferenţiale NRZ-M cu o codare bifazică L. El este ilustrat de formele de undă din figura 2.18 şi diagrama de tranziţii din figura 2.19. Diagrama trelis pentru codul   bifazic S este reprezentată în figura 2.20. Cele două stări interne sunt notate cu S 1 şi S 2, în una din ele  bitul 1 este codat prin  HH  iar   bitul 0 prin  LH , în cealaltă Figura 2.20 Diagrama trelis pentru codul bifazic S  bitul 1 este codat prin  LL, iar  0  prin HL.  HH  cu  LL şi  HL cu  LH ), Din cele 4 forme de undă de ieşire două sunt complementele celorlalte ( HH  ),  bitul 1 este codat prin  s1 (t ) sau − s1 (t ) iar bitul 0 prin s0 (t ) sau − s 0 (t ) . II.8 Calculul d.s.p. a codurilor de linie

Semnalul de date ce urmează a fi transmis nu este cunoscut a priori, şi nu are caracter determinist. Spunem că are un caracter stohastic sau aleator. Ceea ce se cunoaşte a priori este că semnalele transmise apar ţin unei anumite mulţimi sau ansamblu. ă  consider ă  ăm   codul Miller sau DM (Delay   Exemplul II.6 S  Modulation) descris de diagrama de tranzitii din figura 2.21. În   figura 2.22 sunt prezentate formele de und ă  aferente  şi suma ă  curent ă  ă  RDS. digital ă 

  Ansamblul semnalelor binare transmise

ak i este prezentat în

  figura 2.23. Indicele inferior k este un indice de timp iar cel    superior i este un indice de pozi ţ ie ie în cadrul ansamblului de ie şire. Secven ţ ele ele binare de ie şire de la numitorul frac ţ iilor iilor din

Figura 2.21 Diagramă de tranziţii

37

Capitolul II  ţ ii   figura 2.10 sunt cunoscute ca func ţ  ii e şantion sau membri ai unui ansamblu de secven ţ e binare de ă  aici). lungime L (L=2 în situa ţ ia ia considerat ă 

În general, totalitatea semnalelor de ieşire posibile a k i este denumită ansamblu, în acest caz ansamblul este {+ −, − +, − −, + +} . În cel mai simplu caz, cel al semnalului NRZ-L polar,  L = 1 şi ansamblul este {+ 1, − 1} sau pe scurt {+, −}. Analiza spectrală directă a semnalului de date este dificilă. Datele fiind aleatoare, semnalul codat nu este repetitiv şi nu se poate dezvolta într-o serie Fourier. Semnalul are o putere finită dar prezintă componente finite într-un interval de timp infinit, iar integralele Fourier implicate nu sunt convergente.

Figura 2.22 Exemplu de codare Miller 

Densitatea spectrală de energie a semnalului de date W(f) poate fi definită la limită ca puterea medie a semnalului transportată într-o bandă Δ f  , ce devine infinitezimală ( Δ f  → 0 )

E 2 ( f , Δf )   W ( f ) = lim (2.42) Δ f → 0 Δ f   E ( f , Δ f ) este valoarea medie pătratică a tensiunii ce ar  apare la ieşirea unui filtru cu frecvenţa centrală f şi bandă Δ f  .

ak 1 +

θ ),   Densitatea spectrală de putere poate fi exprimată ca W( θ  frecvenţa fiind considerată ca θ ⋅  f  , unde  f  este frecvenţa de

ak 2

+ -

simbol. Ea exprimă atunci puterea conţinută la frecvenţa θ ⋅  f  . m ⎡ 1 − j 2 k  ⎤ W ( ) = lim E ⎢ a e (2.43) ∑ ⎥ k  m →∞ 2 1 + m = − k  m ⎣ ⎦ Aici  E  este operatorul speranţă matematică iar {ak } este ansamblul cuvintelor de cod la ieşirea codorului. Procesul aleator  cu parametri discreţi asociat secvenţei de simboluri codate{ak } are funcţia de autocorelaţie  R(n) = E {a k  ⋅ ak + n }

ak 3

ak 4

-

+

Figura 2.23 Ansamblu de ieşire

(2.44)

 presupusă staţionar ă în sens larg. Ea poate fi considerată ca rezultatul corelaţiei încrucişate pe {xk  } de simboluri codate într-un cod de linie. ansamblul secvenţelor {x +∞

R x (t + τ , t ) =

+∞

R (k − l )s (t + τ  − k )s (t − lT ) ∑ ∑ k l 

 

(2.45)

=−∞ =−∞

ce este o funcţie atât de t  cât şi de τ . Deoarece R x (t + τ , t ) depinde   de t, semnalul codat  x(t) nu este staţionar în sens larg. Bennett a ar ătat în 1958 că R x (t + τ , t )  fiind periodică în t , cu perioada T , semnalul codat este un proces ciclostaţionar cu d.s.p. d.s.p. având distribuţia continuă dată de (2.46), 38

CODURI DE LINIE ∞ ⎫ 1 2⎧ 2 [ (0) − m1 ] + 2∑ [ R(k ) − m12 ]cos 2π  fkT ⎬ W  x ( f ) = S ( f ) ⎨ R T  k =1 ⎩ ⎭

(2.46)

Funcţia de autocorelaţie prezintă simetrie par ă, R (k ) =  R(−k ) şi putem nota simplificat

 R(k ) =  Rk 

(2.47)

Aplicând transformata z relaţiei (2.46) pentru m1 = 0 avem ∞

C ( z ) =  R0 + ∑ Rk  z + k =1

unde Se obţine

k 

−∞

∑ Rk  z −k 

(2.48)

k = −1

 z = e  j 2π  fT  , sau pe scurt θ  ≤ π   z = e  jθ  cu θ  = 2π  fT 

(2.49)

C ( z ) =  R0 +  f ( z ) +  f ( z −1 )

(2.50)

∞

unde

 f ( z ) = ∑ Rk  z k 

(2.51)

k =1

II.9 Calculul func ţ  ie pentru semnale cu structur ă bloc  ţiei  iei de autocorelaţ ie

În cazul general un cod bloc este o mapare a m biţi de intrare în n simboluri de ieşire şi este desemnat ca mI-nO (m Input n Output). În majoritatea cazurilor avem de a face cu semnale digitale compuse din impulsuri rectangulare şi τ )  evaluate la valori întregi multipli ai intervalului suntem interesaţi doar de valorile funcţiei AKF  R( τ   ) . Simbolurile de ieşire pot fi binare, xi ∈ {0,1} sau  xi ∈ {− 1, + 1} , de semnalizare Ts, de tipul  R(kT  s ) ternare – {-1, 0, +1}, cuaternare –  {± 1, ± 3} , etc. Cazul cel mai simplu este definit de m = 1 şi n= 1; codorul mapând un bit de intrare într-un simbol de ieşire. Câteva exemple sunt codurile NRZ-L, NRZ-M şi –S în cazul 1B-1B (1 Binar – 1 Binar), codul bipolar nr. 1 sau AMI ( Alternate Mark Inversion ) şi MLT3 and MLT3-n de tip 1B-1T (1 Binar 1 - Ternar). În aceste cazuri, intervalul de semnalizare şi viteza de simbol la ieşirea coderului sunt egale cu cele de la intrare.Deoarece în acest caz simplu codul de line este f ăr ă redundanţă, semnalul codat va fi staţionar  şi aleatoriu cu digiţi independenţi şi proprietăţi statistice simple. De  p=0.5 R(k) va fi zero dacă n>1. Pentru cazul 1B-1B, T  s = T , unde T este durata bitului. exemplu, dacă p=0.5 R(k) Dacă {x} este un semnal digital aleator   , x1 , x2 , xu , , compus din elemente de durată T  codate conform unui cod de linie, funcţia  R(kT) , pe scurt  R(k), este dată de (2.9) care în varianta discretă devine n 1  R(k ) = lim  x n ⋅ x n+ k  ∑ m →∞ 2 m + 1 = − n m

şi notăm

not 

 R(kT ) =  R(k )

(2.52) (2.53)

Deoarece semnalizarea se face cu impulsuri rectangulare,  x(t ) = ± A , funcţia AKF va prezenta o variaţie liniar ă între două valori succesive discrete, având în vedere că funcţia de autocorelaţie a impulsului rectangular are o formă triunghiular ă. Dacă τ = 0, atunci

39

Capitolul II

1 T / 2  R(0) = lim ∫  x(t ) x(t ) dt  T →∞ T  −T  / 2 ∞

sau

(2.54)

2

 R(0) = ∫  x(t ) dt 

(2.55)

−∞

iar pentru un semnal de energie R(0) este egală cu energia semnalului. Tabelul II.3 Valori dibiţi Pentru un impuls rectangular  x(t ) = ± A , DIBIT x(t).x(t-τ) Probabilitate  R(0) =  x 2 (t ) =  A 2 (2.56) 00 +1 (1-p)2 Semnalul digital de date este de forma forma 01 -1 p(1-p) ∞ 10 -1 p(1-p) ( ) ( )  x t  = ∑ ak  s t − kT  (2.57) 11 +1 p2 −∞

 s(t) fiind un impuls rectangular iar  ak  datele de intrare.Calculul funcţiei AKF R(k) pentru diverse valori întregi ale lui k este exemplificat pentru codul  NRZ-L. Cazul k = 0 este ilustrat în figura 2.24.

xt

1

1

1

0

1

0

0

1

1

0

0

x(t)

0 t t

x2(t) +   p

+

+ p

+ p

+

(1-p) p

+

+ (1-p) (1-p)

+

+ p

+ p

+

+

(1-p) (1-p) (1-p)

Figura 2.24 Ilustrarea calculării funcţiei de autocorelaţie pentru k = 0

Aici p şi 1-p sunt probabilităţile de apariţie a biţilor 1 şi respectiv 0. Pe baza fig. 2.24 putem scrie  R(0) =  p ⋅ A 2 + (1 −  p) ⋅ A 2 =  A 2 (2.58) Pentru cazul transmisiei unipolare,  x(t ) ∈ {0, A} avem

 R(0) =  p ⋅ A 2 + (1 −  p) ⋅ 0 =  p ⋅ A 2

(2.59) Calculul funcţiei de autocorelaţie pentru k =1, R(1) este illustrată în figura 2.25. Vom presupune   A = 1. Se identifică patru contribuţii distincte ce corespund celor patru valori ale dibitului ak  ak-1,  prezentate în tabelul II.3. Valoarea Valoarea lui R(1) rezultă ca  R(1) = + p 2 + (1 −  p) 2 − 2 p(1 −  p) = (1 − 2 p) 2 (2.60) Pentru calculul lui R(2) vom considera toate combinaţiile posibile posibile de doi biţi separate de un bit, de tipul 0X0, 0X1, 1X0, 1X1 unde X este 0 sau 1. Valoarea lui R(2) rezultă din suma a 8 contribuţii R (2) = (1 − p )3 − p(1 − p ) 2 + p (1− p )2 − p 2 (1− p ) − p (1− p )2 + (2.61) p 2 (1 − p ) − p 2 (1 − p ) + p3 = (1 − 2 p )2 Pentru calculul lui R(3) vom considera toate combinaţiile posibile posibile de doi biţi separate de doi biţi, de tipul 0XY0, 0XY1, 1XY0 şi 1XY1, unde  XY  poate lua valorile 00, 01, 10 şi 11 . Valoarea lui  R(3) rezultă din suma a 16 contribuţii. Efectuând calculele se obţine, 40

CODURI DE LINIE

 R(3) = (1 − 2 p ) 2 DATE

1

1

(2.62) 1

0

1

0

0

1

1

0

0

x(t)

0 t

x(t-T) +

+

+

-

-

-

+

-

+

-

+

x(t) . x(t-T) x(t-T)

+ t

-p(1-p) -p(1-p) +(1-p) +(1-p)2 -p(1-p) + p2 -p(1-p) + (1-p)2 + (1-p)2 -p(1-p) +  p2 +p2 -p(1-p) -p(1-p)

Figura 2.25 Ilustrarea calculării funcţiei de autocorelaţie pentru k = 1

II.10 Mecanizarea calcul ării func ţ  i  ei de autocorela ţ ie ie ţiei

Calculele pot fi mecanizate şi scrise într-o formă elegantă folosind matrici. Astfel, putem scrie  R(k) = Tr (d ⋅ Π k  ⋅ Z)

(2.63)

unde d este o matrice diagonală ce conţine probabilităţile staţionare d  = diag { p (1),. p (2), p ( I )}

(2.64)

0 0⎤  ⎡ P 1 ⎢ 0  P 2  0⎥ d  =  P  = ⎢ sau     ⎥ ⎢0 ⎥ 0   P   I  ⎦ ⎣ unde  I  este numărul stărilor în diagrama de Figura 2.26 Diagrama de stări pentru NRZ-L tranziţie a stărilor, este matricea probabilităţilor de tranziţie a stărilor,  Z este o matrice de corelaţie iar  Tr semnifică urma matricii (trace), adică suma elementelor de pe diagonala principală. Dacă simbolurile de ieşire asociate celor  I  stări sunt ai , i = 1,2,  I , atunci elementul zij al matricii Z este dat de aia j.  z ij = ai ⋅ a j (2.65) ăm   codarea NRZ-L, cu diagrama de st ă  ări  ţ ie ă ri   Exemplul II.7 S ă  consider ă  r  i de tranzi ţ  ie având 2 st ă  ri (I=2) ă  în figura.2.26.  prezentat ă 

⎡ p d  = ⎢ ⎣0

0 ⎤

⎥

1 −  p ⎦

⎡ p  Π  = ⎢ ⎣ p

1 −  p ⎤

⎥

1 −  p ⎦

⎡ 1 − 1⎤ ⎥ ⎣− 1 1 ⎦

 Z  = ⎢

 Atunci

⎛ ⎡ p2 p(1 − p) ⎤ ⎡ 1 −1⎤ ⎞ ⋅ R(1) = Tr (d ⋅ Π ⋅ Z) = Tr ⎜⎜ ⎢   ⎥ ⎟⎟ = 2⎥ ⎢ − 1 1 p ( 1 p ) ( 1 p ) − − ⎦⎠ ⎦ ⎣ ⎝⎣ 41

Capitolul II

R(1) = p 2 − p (1 − p) − p(1 − p) + (1 − p)2 = (1 − 2 p)2  Rezultul este identic cu cel dat de rel.(2.60).

Să consider ăm un alt exemplu de cod 1B1T , de tip AMI, bitul 1 este codat alternativ ca +1, -1 în timp ce 0 este reprezentat prin nivelul ternar zero, cu diagrama de tranziţii reprezentată în figura 2.27. ă  determină m matricile d, Π,  Z  ş  şi valorile func ţ iei  Exemplul II.8 S ă  iei AKF R(1) pentru codul AMI . Avem,

⎡ p/2 ⎢0 d  = ⎢0 ⎢⎣ 0

0 (1 −  p)/2 0 0

0 0 ⎤ ⎥ 0 0 ⎥  p/2 0 0 (1 −  p)2 ⎥ ⎦

⎡ 0 1 −  p  p 0 ⎤ ⎢ 0 0  p 1 −  p⎥  Π  = ⎢ p 0 0 1 −  p⎥ ⎢⎣ p 1 −  p 0 0 ⎥⎦ ⎡1 0  Z  = ⎢ ⎢ 1 ⎣⎢ 0

0 0 0 0

 R (1) = Tr (d ⋅

-1 0 1 0

0⎤ 0⎥ 0⎥ 0 ⎦⎥

Figura 2.27 Diagrama codului AMI

⋅ Z ) =

⎡⎡ 0  p(1 -  p)/2 ⎢⎢ ⎢ 0 0 = Tr ⎢ ⎢⎢ 2 0 ⎢ ⎢  p / 2 ⎢ ⎢⎣ p(1 −  p)/2 (1 −  p) 2  /2 ⎣ = − p 2 / 2 −  p 2 / 2 = − p 2

 p

2

/2

 p(1 −  p)/2 0 0

⎤ ⎥⎡ 1 2 (1 −  p)  /2 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢- 1  p(1 −  p)/2 ⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ 0 0

Funcţia  AKF   poate fi calculată plecând de la kernelul d ⋅

k 

şi

⎤

0 0 0 0

-1 0 1 0

0 ⎤⎥ 0 ⎥⎥ = 0 ⎥⎥ 0 ⎥⎦ ⎥

⎥ ⎦

matricea  A a simbolurilor de

ieşire. În cazul codării  NRZ-L, matricea de ieşire  A este un vector coloană  AT  = [1 − 1] , unde indicele superior T semnifică operaţia de transpunere a matricii. Putem înlocui matricea  Z  in ec.(2.63) prin multiplicarea kernelului d ⋅ k  la stânga cu  A*  şi la dreapta cu A, unde A*  reprezintă conjugata transpusă (hermitică).  R(k ) = A∗ ⋅ (d ⋅ Π k ) ⋅ A (2.66) ăm   R(1)  Exemplul II.9 Pentru codul NRZ-L să  calcul ă  R(1) folosind rel.(2.66)

 R (1) =  A ∗ ⋅ d  ⋅  Π  ⋅  A  R ( 2) = [1 −1] ⋅ ⎡ p 0 ⎤ ⎡p (1 − p)⎤ ⎢⎣0 1 − p ⎥⎦ ⋅ ⎢⎣p (1 − p)⎥⎦ ⋅ 1 −1 ⋅ ⎡ p 2 p(1 − p) ⎤ 1 =

[ =

]

⎡ ⎤ [1 −1] ⋅ ⎡ p( − 1 + 2p) ⎤ = (1 − 2 p) 2 ⋅ ⎢ ⎢ − 1 + 3p − 2 p 2 ⎥ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣p(1 − p) (1 − p) ⎦ ⎣−1⎦

rezulat identic cu cel dat de rel.(2.61).

42

⎡1⎤ ⎢⎣ −1⎥⎦ =

(2.67)

CODURI DE LINIE  R(k) ai funcţiei AKF se bazează pe utilizarea vectorilor  O altă abordare de calcul al coeficienţilor  R(k) de intrare e şi plecare d  care sunt I -dimensionali. -dimensionali. În acest caz,

 R(k ) = e ⋅ Π k −1 ⋅ d ' 

(2.68) Componenta i a vectorului de intrare e este suma ponderată a simbolurilor ce pot fi transmise la intrarea în starea i.  I 

ei = ∑ p k  ⋅ t ki ⋅ aki

(2.69)

k =1

unde  pk  este probabilitatea staţionar ă asociată stării k , t kiki este probabilitatea de tranziţie din starea k  în starea i iar aki este simbolul ce se transmite la trecerea din starea k în starea i. Componentele vectorului d  sunt sume ponderate de simboluri ce pot fi transmise la plecarea din starea curentă i. Componenta i a vectorului d este dată de:  I 

d i = ∑ t ik aik 

(2.70)

k =1

ă  consider ă  ăm   codul AMI descris de diagrama de tranzi ţ   ţ ii  şi s ă  calcul ă  ăm    Exemplul II.10 S ă  ii din figura 2.27  ş valorile func ţ iei iei AKF folosind (2.68). Avem e = [ p/2, 0, -p/2, 0 ]

d  = [ − p,

⎡0 ⎢0  Π  = ⎢ p ⎢⎣ p

− p, p, p] 1 −  p  p 0  p 0 0 1 −  p 0

⎤ 1 −  p ⎥ 1 −  p ⎥ 0 ⎥ ⎦ 0

 R(1) = e ⋅ d '  = − p 2  R(2) = e ⋅ Π  ⋅ d '  =  p 2 (−1 + 2 p)  R(3) = e ⋅ Π 2 ⋅ d '  =  p 2 (−1 + 2 p) 2  R(n) = e ⋅ Π n −1 ⋅ d '  =  p 2 (−1 + 2 p ) n −1 II.11 Calculul func ţ  ie pentru semnale cu structur ă bloc 1B2B ţiei  iei de autocorelaţ ie

Vom considera un caz simplu de codare mB-nB (m Binar  n Binar) cu m=1 şi n=2, care mapează un bit de intrare în două simboluri de ieşire. Aceasta conduce la înjumătăţirea intervalului de semnalizare şi dublarea vitezei la ieşire. În Figura 2.28 Evaluarea lui R(k+1/2) consecintă, vom evalua funcţia nu numai pentru valori întregi ale lui T , ci şi la momente de timp multiplu de T/2, kT  + T / 2 sau (k + 1 / 2)T , aşa cum se arată în figura 2.28. Pot apare dou ă situaţii, având în vedere că întârzierea este un multiplu de T/2:

43

Capitolul II

1. Se corelează forme de undă apar ţinând intervalelor de bit n şi n+k  (a doua jumătate a lui  xn+k  notată ca a j2 şi prima jumătate a lui xn denumită ai1); 2. Formele de undă implicate apar ţin intervalelor de bit n şi n+k+1 (prima jumătate a lui  xn+k+1 denumită a p1 şi a doua jumătate a lui xn denumită ai2). Procedând ca mai sus, funcţia de autocorelaţie evaluată la momente de timp multiplu de T este  R(k ) = Tr (d ⋅ k  ⋅ Z ) (2.71) unde,  Z  este o matrice de corelaţie pe intervalul de bit T . Elementul  zij, aflat la intersecţia liniei i cu coloana j este dat de a ⋅a + a ⋅a  z ij = i1  j1 i 2  j 2 (2.72)

2

unde ai1 şi ai2 reprezintă primul şi cel de al doilea simbol de ieşire transmise în starea i. Pentru codul 1B-1B studiat mai sus sau orice cod 1 I-1O (1 Input 1 Output), ai1 = ai 2 = ai and  a j1 = a j 2 = a j

(2.73)

şi  zij

este dat de rel.(2.72). Calculul lui R(k+1/2) decurge într-un mod similar şi avem  R(k + 1 2) = Tr (d ⋅ k  ⋅ X ) + Tr (d ⋅ k +1 ⋅ Y ) =

= Tr (d ⋅

 R(k + 1 2) = Tr (d ⋅

sau

k  ⋅ ( X  +

⋅ X T )

k  ⋅ S )

(2.74) (2.75)

not 

S  =  X  + Π ⋅ X T  unde (2.76) Matricile  X  şi Y  (transpusa lui  X ) sunt matrici de corelaţie pe jumătate de interval de bit. Elementul xij, care se află la intersecţia liniei i şi coloanei j este dat de  xij = ai 2 ⋅ a j1 / 2 ,  y ij = a j 2 ⋅ ai1 / 2 (2.77) Evident,

 y ij =  x ji şi

Y  =  X T 

(2.78)

Figura 2.29 Ilustrarea calculului lui R(1/2) pentru codul Miller  ă  consider ă  ăm   codul DM sau Miller descris de diagrama de tranzi ţ ii  Exemplul II.11 S ă  ii din figura 2.21  şi să  ăm   R(1/2). Acest caz particular implică  corela ţ ii calcul ă  ii între elemente apar  ţ inând inând aceluia şi interval de bit  ă  în figura 2.29. Rezulatele (k = 0) sau la două  intervale succesive de bit (k = 1), a şa cum se arat ă  ă  implicate fiind rectangulare, iar dedesubt este indicat ă  ă  corela ţ iei iei sunt indicate cu +  şi –, formele de und ă 

44

CODURI DE LINIE  ţ ie ă  din suma tuturor contribu ţ iilor    probabilitatea de apari ţ  ie a evenimentului. Valoarea lui R(1/2) rezult ă  iilor  ăţ ile  ţ ie  posibile ponderate cu probabilit ăţ  ile lor de apari ţ  ie 1  R(1 2) = [−  p + (1 −  p ) +  p 2 +  p(1 −  p) +  p(1 −  p) − (1 −  p) 2 ] =  p −  p 2 (2.79) 2

Acelaşi rezultat se poate obţine ca

⋅ X T )]

 R (1 2) = Tr [d ⋅ ( X  + unde

⎡ − 1 1 1 − 1⎤ − 1 1 1 − 1⎥  X  = 0.5 ⋅ ⎢ ⎢ 1 −1 −1 1 ⎥ ⎣ 1 −1 −1 1 ⎦

⎡0 ⎢0 =⎢ ⎢p ⎢⎣ p

1- p

p

0 ⎤ 

0

p 1 - p⎥

0

0

1- p 0

⎥ ⎥  ⎥⎦

1- p 0

Figura 2.30 Ilustrarea corelaţiei pentru coduri 1B-2B

0 0 0 ⎡ p/2 ⎤ + 1 + 1 -1 ⎤ ⎡ -1 ⎢ ⎢ 0 (1 −  p)/2 0 ⎥ 0 -1 + 1 + 1 -1 ⎥ d  = ⎢ ⎥ =  Z  ⎢0 ⎥ 0  p/2 0 ⎢+ 1 -1 -1 + 1 ⎥ ⎢⎣ 0 ⎢ ⎥ 0 0 (1 −  p)2 ⎥ ⎦ -1 -1 + 1 ⎦ ⎣+ 1 Dacă scriem două matrici de ieşire  A1 şi  A2 ce conţin primul şi respectiv al doilea simbol de ieşire  I  fiind numărul stărilor din diagrama de tranziţie), putem calcula pe  pentru fiecare stare de la 1 la  I  ( I   R(k+1/2) conform figurii 2.30 şi ca,  R (k  + 1 2) = 0.5 ⋅ A*  ⋅ d ⋅ k  ⋅ A + 0.5 ⋅ A*  ⋅ d ⋅ k +1 ⋅ A (2.80)

1

2

2

1

 R (k ) = 0.5 ⋅ A1*  ⋅ d ⋅ k  ⋅ A1 + 0.5 ⋅ A2*  ⋅ d ⋅ k  ⋅ A2 iar  unde * semnifică conjugata transpusă.. În cazul general al codurilor 1I-2O cu I stări, matricile A şi A  A2 =  [a 12 , a 22 , , a I2 ] T  sunt de forma:  A1 =  [a 11 , a 21 , , a I1 ] T  În mod similar, relaţia (2.68) poate fi generalizată pentru cazul 1I-2O sub formele: 1

 R (k ) = 0.5 ⋅ e1 ⋅ T k −1 ⋅ d 1T  + 0.5 ⋅ e2 ⋅ T k −1 ⋅ d 2 T 

2

(2.81)

Pentru a calcula pe R(k) plecăm de la relaţia (2.66) scrisă pentru cazul 1I-1O şi obţinem,

 R (k + 1 / 2) = 0.5 ⋅ e2 ⋅ T k −1 ⋅ d 1T  + 0.5 ⋅ e1 ⋅ T k  ⋅ d 2 T 

(2.82)

ă  consider ă  ăm   iar codul DM sau Miller  ş  şi să  calcul ă  ăm   R(3/2) folosind ec. (2.80). Avem  Exemplul II.12 S ă 

 R (3 2) = 0.5 ⋅ A1*  ⋅ d ⋅

⋅ A2 + 0.5 ⋅ A* 2 ⋅ d ⋅

⎡+ 1⎤ ⎡− 1⎤ ⎢ - 1⎥ ⎢ - 1⎥ A1 = ⎢ ⎥ A 2 = ⎢ ⎥ ⎢ - 1⎥ ⎢+ 1⎥ ⎢⎣+ 1⎥⎦ ⎢⎣+ 1⎥⎦

⎡ 0 ⎢ 0  Π  = ⎢ d. Π  2 ⎢  p  /2 ⎢ p(1 −  p)/2 ⎣

⎡  p 3 /2 ⎢ 2  p(1 −  p)/2 d  ⋅ Π = ⎢ ⎢ p 2 (1 −  p)/2 ⎢ 0 ⎣

0 3 (1 −  p)  /2  p(1 −  p)/2 2  p(1 −  p)  /2

2

⋅ A1

 p(1 −  p)/2

2  p  /2

0

 p(1 −  p)/2

0

0 2

(1 −  p)  /2

2  p (1 −  p)/2 0 3  p  /2  p(1 −  p)/2

0

⎤ 2 ⎥ (1 −  p)  /2 ⎥  p(1 −  p)/2 ⎥ ⎥ 0 ⎦ 0

 p(1 −  p)/2 ⎤ 2 ⎥  p(1 −  p)  /2 ⎥ 0 3 (1 −  p)  /2

⎥ ⎥ ⎦ 45

Capitolul II  şi în final 

 R(3 2) = −3 p + 5 p 2 − 2 p 3

Pe baza relaţiilor găsite până acum se obţin următoarele valori pentru funcţia de autocorelaţie a codului Miller:  R(0) = 1  R(1) = −1 + 2 p − 2 p 2  R(2) = (1 − 2 p) 2  R(3) = −1 + 6 p − 10 p 2 + 8 p 3 − 4 p 4  R(4) = 1 − 8 p + 20 p 2 − 24 p 3 + 12 p 4

 R(1 2) =  p(1 − p)  R(3 2) = −3 p + 5 p 2 − 2 p 3  R(5 2) = 3 p − 7 p 2 + 6 p 3 − 2 p 4

(2.83)

 R(7 2) = −3 p + 13 p 2 − 22 p 3 + 16 p −4 − 4 p 5  R(9 2) = 3 p − 19 p 2 + 42 p 3 − 42 p 4 + 20 p 5 − 4 p 6

Funcţia de autocorelaţie  R(n) a codului Miller este ilustrată în figura 2.31 pentru p=0.25, p=0.5 şi  p=0.75,  p fiind probabilitatea de apariţie a unui bit 1 la intrarea codorului. Înlocuind (2.84) m = 2n vom considera valorile funcţiei AKF eşantionate pe frecvenţa de simbol de ieşire, caz în care funcţia de autocorelaţie este definită prin eşantioanele R(m). Pentru cazul când n este multiplu de 0.5, putem găsi o relaţie de recurenţă între 3 valori succesive ale funcţiei de Figura 2.31 Funcţia de autocorelaţie a codului Miller  autocorelaţie evaluate pentru multipli consecutivi pari sau impari ai lui T/2, aflate în coloana din stânga sau dreapta din relaţia. (2.83), notate cu R(n+2), R(n+1) şi R(n), de forma:  R(n + 2) = − R(n + 1) − 2 p(1 −  p ) R(n) (2.85) II.12 Deducerea d.s.p. pentru diverse coduri  II.12.1 Codul NRZ-L

Pentru codul NRZ-L avem R(0) = 1, R(k ) = (1 − 2 p )2

46

k ≠ 0,  intreg

CODURI DE LINIE În cazul unei transmisii cu simboluri independente şi echiprobabile , p=0.5 şi avem R (0) = 1, R(k ) = 0 k ≠ 0, intreg Pe baza formulei lui Bennett (2.46) obţinem

C ( f ) = 1 , W ( f ) =

1 2 S ( f ) T 

(2.86)

Densitatea spectrală de putere a codului NRZ-L poate fi de asemenea dedusă plecând de la observaţia că semnalul  s(t) este zero în afara intervalului de semnalizare [−T / 2, T / 2] , iar  transformata sa Fourier poate fi scrisă ca +∞

S ( f ) = ∫  s(t )e

+ T  / 2 − j 2π t  f  t 

dt  =

−∞

 s(t )e ∫  T  / 2

− j 2π t  f  t 

dt 

(2.87)

−

Puterea medie a semnalului în intervalul [−T / 2, T / 2] rezultă aplicând teorema lui Parseval

1 +T / 2 2 1 +∞ 2  P  =  s (t ) dt  = ∫ S  ( f ) df  T  −T ∫ / 2 T  −∞

(2.88)

+∞

Deoarece

 P = ∫ W ( f ) df 

(2.89)

−∞

obţinem

W ( f ) =

1 2 S ( f ) T 

(2.90)

II.12.2 Codul Miller 

Funcţia de autocorelaţie a codului Miller are valorile date de (2.83). În cazul echiprobabil p=0.5 şi relaţia (2.83) devine  R(0) = 1  R(1 2) = 1 / 4  R(1) = −1 / 2  R(3 2) = −1 / 2 (2.91)  R(2) = 0  R(5 2) = 3 / 8  R(3) = 1 / 4  R(7 2) = −1 / 8  R(4) = −1 / 4  R(9 2) = −1 / 16 Bazându-ne pe relaţia (2.85) pentru  p=0.5 şi introducând notaţia  R(k)=R(2n), ob ţinem următoarea relaţie de recurenţă ce leagă valorile funcţiei de autocorelaţie a codului Miller 

1 R (k + 8) = − R(k )   4

(2.92)

Funcţia de autocorelaţie a codului Miller pentru  p=0.5 este reprezentată în figura 2.32. Pe baza ei,  plecând de la formula lui Bennet (2.46), obţinem

⎡ 8 ∞ ⎛  1 ⎞ k  ⎤ S  = ∑ R(k + 1) ⋅ cos(k + 1) x = Re ⎢∑ ∑ ⎜ − ⎟ ⋅ R(l ) ⋅ z 8k +l  ⎥ k = 0 ⎢⎣ l =1 k =0 ⎝  4 ⎠ ⎥⎦ k  k  8 ∞ 8 8 ⎛  1 ⎞ ⎛  1  ⎞ 8 k + l  l  S 1 = ∑ ∑ ⎜ − ⎟ ⋅ R(l ) ⋅ z = ∑ R (l ) ⋅ z ∑ ⎜ − ⋅ z 8 ⎟  ⎠ l =1 k =0 ⎝  4 ⎠ l =1 l =1 ⎝  4 ∞

unde  z = e  j⋅ x . Ultima relaţie mai poate fi scrisă ca

47

Capitolul II 8

1 4 ⎛ 1 1 2 1 3 3 5 1 6 1 7 1 8 ⎞ = ⋅ ⋅ − ⋅ z − ⋅ z + ⋅ z + ⋅ z − ⋅ z − ⋅ z ⎟  z ⎜ 1 8 4 + z 8 ⎝ 4 2 2 8 4 8 4  ⎠ l =1 1 + ⋅ z 4 2  z − 2 ⋅ z − 2 ⋅ z 3 + 1.5 ⋅ z 5 + z 6 − 0.5 ⋅ z 7 − z 8 S 1 =  z 8 + 4

S 1 = ∑ R(l ) ⋅ z l  ⋅

sau

4 + z − 2 ⋅ z 2 − 2 ⋅ z 3 + 1.5 ⋅ z 5 + z 6 − 0.5 ⋅ z 7 S 1 = −1  z 8 + 4

Figura 2.32 Ilustrarea periodicităţii funcţiei AKF a codului Miller 

Cum, n

 z n + ( z ∗ ) = e j n⋅ x + e − jn⋅ x = 2 cos(n ⋅ x )

4 + z − 2 ⋅ z 2 − 2 ⋅ z 3 + 1.5 ⋅ z 5 + z 6 − 0.5 ⋅ z 7 S 1 + S 1 = −2 +  z 8 + 4 *

4 + z −1 − 2 ⋅ z −2 − 2 ⋅ z −3 + 1.5 ⋅ z −5 + z −6 − 0.5 ⋅ z −7 +  z 8 + 4 4 + z −8 ⋅ 4 + z − 2 ⋅ z 2 − 2 ⋅ z 3 + 1.5 ⋅ z 5 + z 6 − 0.5 ⋅ z 7 S 1 + S 1 = −2 + + 16 + z 8 ⋅ z −8 + 4 ⋅ ( z 8 − z −8 ) *

( 4 + z 8 ) ⋅ (4 + z 1 − 2 ⋅ z + −

48

− 2 ⋅ z −3 + 1.5 ⋅ z −5 + z −6 − 0.5 ⋅ z −7 ) 16 + z 8 ⋅ z −8 + 4 ⋅ ( z 8 − z −8 ) −2

(2.93)

CODURI DE LINIE

32 + 4 ⋅ ( z 8 − z −8 ) − ( z 7 − z −7 ) + 2 ⋅ ( z 6 − z −6 ) + 4 ⋅ ( z 5 − z −5 ) − 6.5 ⋅ ( z 3 − z −3 ) S 1 + S 1 = −2 + + −8 8  z  z − ( ) 17 + 8 ⋅ 2 *

− 7 ⋅ ( z 2 − z − 2 ) + 35 ⋅ ( z − z −1 ) +  z 8 − z −8 ) ( 17 + 8 ⋅

2

Din ultima relaţie

32 + 8 cos (8 ⋅ x ) − 2 cos (7 ⋅ x ) + 4 cos(6 ⋅ x ) + 8 cos (5 ⋅ x ) 1 ⎛  + C ( x ) = ⋅ ⎜⎜ − 2 + 2 ⎝  17 + 8 cos(8 ⋅ x ) − 13 cos (4 ⋅ x ) − 14 cos (2 ⋅ x ) + 7 cos x ⎞ ⎟⎟ + 17 + 8 cos(8 ⋅ x )  ⎠ 1 ⎛ − 2 − 8 cos(8 ⋅ x ) − 2 cos(7 ⋅ x ) + 4 cos(6 ⋅ x ) + 8 cos(5 ⋅ x ) + C ( x ) = ⋅ ⎜⎜ 2 ⎝  17 + 8 cos(8 ⋅ x ) − 13 cos(4 ⋅ x ) − 14 cos(2 ⋅ x ) + 7 cos x ⎞ ⎟⎟ + 17 + 8 cos(8 ⋅ x )  ⎠ unde x =  fT 

(2.94)

Factorul de codare al codului DM sau Miller este reprezentat în figura 2.33 împreună cu d.s.p. (semnalizare cu impulsuri rectangulare) pentru cazul echiprobabil p=0.5, în funcţie de frecvenţa normalizată f n  fn =  f  /  f bit  =  f  ⋅ T  II.13 Energia de bit 

Să consider ăm o semnalizare digitală folosind impulsuri rectangulare  s(t) Figura 2.33 D.s.p şi factorul de codare al codului Miller  cum ar fi codul NRZ-L polar. Energia transportată de semnal într-un interval de bit va fi denumită energie de bit şi este dată de T  / 2

 E b = ∫  s 2 (t )dt  = A 2T 

(2.95)

−T  / 2

unde  A este amplitudinea impulsului rectangular iar  T  este durata bitului. Ne reamintim că puterea semnalului este dată de  s 2 (t ) şi se măsoar ă în [V 2 ] . Dacă pentru transmisie se foloseşte o altă formă de undă cu aceeaşi amplitude A, cum ar fi lobul de cosinus reprezentat în figura 2.34 descris de

49

Capitolul II

⎧ A cos(π t / 2T )

 g (t ) = ⎨

0

⎩ energia sa de bit este T /2

Eb = −

t ≤T /2  in rest  rest 

∫T / 2 g

(2.96)

T / 2 2

(t ) dt = −

A ∫  T / 2

2

cos2 (π t / 2T ) dt =A2T / 2 

(2.97)

Pe măsur ă ce forma de undă  g(t) folosită pentru semnalizare se abate de la cea rectangular ă  s(t), comportarea sa în palier nu mai are loc pe tot intervalul de bit. În consecinţă por ţiunile haşurate din figura 2.34 ce reprezintă diferenţa dintre impulsul rectangular  s(t) şi cel de tip lob de cosinus  g(t) nu vor mai contribui la energia semnalului. Energia de bit va descreşte şi pentru a avea aceleaşi performanţe va trebui să utilizăm aceeaşi energie de bit. Aceata face necesar ă introducerea unei constante de Figura 2.34 Impuls rectangular şi lob de cosinus normalizare notată cu k pentru amplitudinea semnalului. Ea este definită ca: T  / 2

k  =

−

 s ∫  T  / 2

2

(t ) dt  (2.98)

T  / 2

 g  (t ) dt  ∫  T  / 2 2

−

Pentru exemplul considerat aici se obţine o valoare a constantei de normalizare

k  = 2 . În general, cu cât este mai mare

Figura 2.35 Comparaţie între impulsuri

diferenţa dintre impulsul  g(t) folosit pentru  s(t), cu atât se ob ţine o valoare mai mare a constantei de normalizare k . semnalizare şi cel rectangular  s(t) ăm   constanta de normalizare a amplitudinii pentru o transmisie digital ă  ă  ce   Exemplul II.13 S ă  calcul ă  utilizează  impulsuri de tip cosinus ridicat definite de

⎧⎪ A (1 + cos 2π t )  g (t ) = ⎨ 2 T  ⎪⎩ 0

k  =

t  ≤

T 2

(2.99)

in rest  rest 

 A T  T  / 2

 

2

2π t   ⎞ ⎛  A + ( 1 cos( ) ⎟ dt  ⎜ ∫  2 T  ⎝   ⎠ − T  / 2

=2

2 3

ă  o cre ştere a amplitudinii de Se observă  că  este necesar ă 

a şa cum se observă  din figura 2.35.

50

8 / 3 ori, k  = 8 / 3 ≈ 1,63 ,

CODURI DE LINIE II.14 Forme de und ă folosite pentru semnalizare

Cea mai utilizată formă de undă utilizată în comunicaţiile digitale este o aproximaţie a impulsului rectangular ideal, având în vedere uşurinţa gener ării sale. În transmisie se foloseşte o variantă filtrată a sa. Transformata Fourier a impulsului rectangular are o viteză de scădere relativ lentă, propor ţională cu 1/f datorită caracterului discontinuu al formei de undă, iar d.s.p. descreşte propor ţional cu  f −2 . Teoremă : dacă forma de undă  s(t) folosită pentru semnalizare este continuă şi egală cu zero la capetele intervalului de definiţie (± T  / 2 ) şi are un număr  k-1 de derivate care sunt continue şi egale cu zero la capetele intervalului, atunci transformata Fourier va avea o viteză de scădere  f  − ( k +1) . În consecinţă, d.s.p. va avea o viteză de scădere a componentelor spectrale cu frevenţa de tipul  f  −2( k +1) . ă  consider ă  ăm   un impuls de tip cosinus ridicat ilustrat  Exemplul II.14 S ă  ilustrat în figura 2.35, descris de rela ţ ia ia

 g (t ) =

{

(1+cos 2π t ) / 2 t ≤T / 2 0 in rest  rest 

(2.100)

 El satisface condi ţ iile iile

iar 

 g (t ) t = ±T  / 2 = 0

(2.101)

 g ' (t ) = −π t sin 2π t t = ±T  / 2 = 0

(2.102)

 g " (t ) t = ±T  / 2 ≠ 0

  Impulsul g(t) are k  − 1 = 1 derivate continui  şi egale cu  zero la capetele intervalului de  ţ ie defini ţ  ie

(± T  / 2 ) .

ă  Rezult ă 

ădea d  ea k  = 2  , iar d.s.p. va scă   propor  ţ ional ional cu  f  −6 , a şa cum ă    se observ comparativ   putere rectangular

în figura 2.36, cu spectrul de al unui impuls ce descre şte cu

 f  −2 . Transformata Fourier a lui ă  de  g(t) este dat ă  1 sin π  fT 

G ( f ) =

2  f π (1 −  f  2 T 2 )

Figura 2.36 D.s.p pentru impuls rectangular şi cosinus ridicat

(2.103)

Există numeroase forme de undă care prezintă viteza de scădere (roll-off rate) mai rapidă a componentelor spectrale cu frecvenţa în comparaţie cu impulsul rectangular, de exemplu impulsul triunghiular, lob de cosinus, impuls exponenţial sau în formă de trapez. Pentru generarea lor se pot folosi tehnici numerice (la viteze mai mici) sau analogice (la viteze ridicate). Impulsul de tip lob de cosinus, de lătime dublă faţă de cel descris de rel. (2.96) este întâlnit în comunicaţiile cu modulaţie digitală tip FSK sau MSK. 51

Capitolul II

II.15 O metod ă simpl ă de calcul a d.s.p.

Metoda a fost introdusă de Bilardi ş.a. [1983] pentru coduri descrise de automate de tip Moore. Factorul de codare C(f) este dat de:

C ( z ) =  R0 +  f ( z ) +  f ( z −1 )

(2.104)

∞

unde

 f ( z ) = ∑ Rk  z k 

(2.105)

 Rk  =  R (k ) =  A ∗ ⋅ (d ⋅ Π ) k  ⋅ A

(2.106)

k =1

iar 

Vom introduce notaţia r (k ) = d ⋅ Π k 

(2.107)

unde este matricea probabilităţilor de tranziţie asociată unui lanţ Markov ergodic. Ea este o matrice stohastică ireductibilă având următoarele proprietăţi:  Toate valorile proprii sunt în modul mai mici sau egale cu unitatea;  Una din valorile proprii este întodeauna simplă şi egală cu 1, λ 0 = 1 ; 

Dacă

are şi alte valori proprii cu modulul egal cu 1, fie acestea λ 1 ,  , λ r −1 , ele sunt

simple şi sunt date de soluţiile ecuaţiei λ r  = 1, λ ≠ 1 , caz în care

este o matrice ciclică

de ordinul r  (r  > 1) . ∞

Dacă r = 1, lanţul Markov este denumit aciclic. Suma

∑ M k  z k  , ţinând cont că k =0

( I  − M  z −1 )(1 + z −1 M  + z −2 M 2 + … + z − n M n + …) = =  I  + z −1 M  + z − 2 M 2 + … + z − n M n + … −1 −2 −n 2 n … − z  M  − z  M  + … − z  M  + … =  I 

(2.108)

unde I este matricea unitate, devine: ∞

 I 

−1

 M k  z k  = = ( I  − M  z 1 ) ∑ 1  I  − M   z k  0 −

−

=

(2.109)

şi ∞

∑ k  1

(

 M k  z k  =  I  − M   z −1

)−1 − I 

(2.110)

=

Având în vedere că matricea are toate valorile proprii în interiorul cercului de rază egală cu 1,  putem exprima factorul de codare ca:

c( z ) = d ⋅ ( I  − z −1 Π ) −1 + ( I  − z Π ' ) −1 ⋅ d  − d 

(2.111) deoarece progresiile geometrice de matrici implicate sunt infinit descrescătoare cu raţie mai mică decât 1 şi au sumă finită, iar matricele inverse există. Factorul de codare c(z) poate fi scris sub forma simetrică: c( z ) = ( z −1 I − Π ' ) −1 ⋅ C ⋅ ( zI − Π) −1 (2.112) iar  (2.113) C  = d  −  Π '  ⋅ d ⋅ Π  unde polii correspunzători valorilor proprii ale lui de modul 1 sunt anulaţi în mod automat. 52

CODURI DE LINIE Densitatea spectrală de putere este dată de: w( z ) =  A* ⋅ c( z ) ⋅ A

(2.114)

ă  calcul ă  ă m d.s.p. a codului NRZ-L folosind aceast ă  ă  abordare. Plecând de la diagrama  Exemplul II.15 S ă   ţ ii de tranzi ţ  ii din figura 2.26 putem scrie:

d  =

⎡1 −  p 0 ⎤ şi Π ⎢⎣ 0  p⎥⎦

C  = d  −

( z −1 I −

( z I −

'  −1

)

) −1

 p(1 -  p) -  p(1 -  p)⎤ = ⎡⎢ ⎣ -  p(1 -  p)  p(1 -  p) ⎥⎦

⋅ d ⋅

' 

⎡1 − p  p⎤ =⎢ ⎥ ⎣1 − p  p⎦

⎡ z (1 −  pz ) (1 −  p) z 2 ⎤ ⎢ ⎥ 1 − z = ⎢ 1 − z2 ⎥ (1 − z +  pz ) z ⎥ ⎢  pz ⎢⎣ 1 − z ⎥⎦ 1 − z

−  p ⎤ ⎡  p − z ⎢ z (1 − z )  z (1 − z ) ⎥ ⎥ =⎢ ⎢  p − 1 1 −  p − z ⎥ ⎢⎣ z (1 − z)  z (1 − z ) ⎥⎦

− c(z) = ( z 1 I −

'  −1

) ⋅ C ⋅ ( z I −

) −1 = ⎡⎢  p(1 -  p) -  p(1 -  p)⎤⎥ ⎣ -  p(1 -  p)  p(1 -  p) ⎦

 şi în final 

w( z ) = 4 p(1 −  p) este factorul de codare al codului NRZ-L.

Principalul dezavantaj al acestei metode simple este dat de dificulatea calculării inverselor  matricilor  ( z I  − Π ) şi ( z −1 I  −  Π ' ) în cazul codurilor descrise de matrici de dimensiuni mari. În plus, lucrând cu automate de tip Moore, numărul de stări implicat va fi mai mare în comparaţie cu cel al automatului Mealy echivalent. ăm   d.s.p. a codului Miller sau DM, care este un cod de tip 1B-2B descris de  Exemplul II.16 S ă  calcul ă   ţ ii diagrama de tranzi ţ  ii din figura 2.21.

⎡ p/2 ⎢0 d  = ⎢0 ⎢⎣ 0

0 ⎤ ⎥ 0 ⎥ 0 (1 −  p)2 ⎥ ⎦

0 0 (1 −  p)/2 0 0  p/2 0 0

⎡0 1 − p ⎢0 0  Π  = ⎢ ⎢ p 0 ⎢⎣ p 1 − p

 p 0 ⎤  p 1 − p ⎥ ⎥ 0 1 − p ⎥ 0 0 ⎥⎦

⎡  p(1 −  p) ⎢ 2 ⎢ ⎢  p(1 −  p) 2 ⎢− 2 C  = ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢  p 2 (1 −  p) ⎢⎣− 2

−

−

 p(1 −  p)

2

2  p(1 −  p) 2  p (1 −  p)

0

−

2

2 0

−

 p 2 (1 −  p) 2  p(1 −  p) 2  p(1 −  p) 2 2

2  p (1 −  p) ⎤

⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 2  p(1 −  p) ⎥ − ⎥ 2 ⎥  p(1 −  p) ⎥ ⎥⎦ 2 −

2

53

Capitolul II iar vectorii de ie şire sunt da ţ i de  A = [1 − z 

− (1 + z)

*  -1  A = [1 − z 

− 1 + z 

1 + z ]

− (1 + z -1  ) − 1 + z -1 1 + z -1 ]

Se ob ţ ine ine w( z ) = 4 pz ( p 2 −  p 3 + z ( 2 p − 4 p 2 + 2 p 3 ) +  z 2 (−1 + 2 p +  p 2 − 4 p 3 + 2 p 4 ) +  z 3 (2 − 4 p + 4 p 2 − 2 p 3 ) + z 4 ( −1 + 2 p +  p 2 − 4 p 3 + 2 p 4 ) +  z 5 ( 2 p − 4 p 2 + 2 p 3 ) +  z 6 ( p 2 −  p 3 ) /(( −2 p + 2 p 2 − z 2 − z 4 )(−1 − z 2 − 2 pz 4 + 2 p 2 z 4 )

 f  +  j sin π  f  în rela ţ ia ă  şşi simplificând ob ţ inem  Înlocuind  z = e  jπ  f  = cos π  ia precedent ă  inem c( f,p ) =

unde

4 (p - 1 ) p (-1 +  p - p 2 + (p - 4 p 2 + 2  p3 ) ⋅ cos x + (-2  p + 2 p 2 ) ⋅ cos 2 x + ( 1 - 2 p + 2 p 2 ) ⋅ cos 3 x 1 + 2 p 2 - 4  p3 + 2 p 4 + ( 1 + 2  p - 2  p 2 ) ⋅ cos 2 z + ( 2 p - 2  p 2 ) ⋅ cos 4 x

 x = π  f T . Pentru cazul echiprobabil, p=0,5, rezultatul este echivalent cu cel dat de (2.94).

II.16 Conversia Mealy-Moore

În cele mai multe cazuri codul este definit de un automat de tip Mealy, având în vedere simplitatea acestuia (număr mai mic de stări). Unele metode de calcul a densităţii spectrale de putere fac apel la descrierea codului ca automat Moore. Pentru codurile descrise de matrici de tranziţie de dimensiuni  I = 2 sau 4) trecerea este destul de directă, operaţia putându-se efectua manual. În cazul codurilor  mici ( I   I  >10), operaţia este mai complicată şi complexe, descrise de matrici de tranziţie de dimensiuni mari ( I  se prefer ă a se efectua mecanizat. Vom descrie conversia automatului de tip Mealy într-un automat Moore echivalent pe baza unui exemplu. Să consider ăm codul bipolar bipolar nr.2 descris de diagrama diagrama de tranziţie de tip Mealy reprezentată în figura 2.37. Acest cod este un cod f ăr ă componentă de c.c. fiind descris ca o codare cu r ăspuns  par ţial descrisă de polinomul 1 − D 2 şi precodare de tip diferenţial de ordinul 2. Acesta poate fi considerat ca fiind obţinut din intercalarea a două coduri de tip bipolar nr. 1 sau AMI. Inexistenţa componentei de c.c. este confirmată de faptul că suma simbolurilor emise este nulă pe orice contur  închis (buclă) din diagrama de tranziţie, ceea ce face ca suma digitală curentă să fie mărginită. Matricea de tranziţie asociată codului rezultă din figura 2.37 ca ⎡ q  p 0 0 ⎤ ⎢ 0 0  p q ⎥ ⎥ T  = ⎢ ⎢ 0 0 q  p ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ p q 0 0 ⎦ Având în vedere că transmisia se face binar, utilizând alfabetul de intrare binar compus din 2 simboluri ( 0 şi 1), vom deduce din matricea T  două matrici, notate cu  E 1 şi  E 2, asociate celor două simboluri de informaţie prezente la intrare (0 şi 1) care conţin numai elementele 0 şi 1, în modul următor: prezenţa lui 1 marchează existenţa unei tranziţii iar cu 0 se marchează absenţa tranziţiei. În consecinţă, Figura 2.37 Cod bipolar nr.2

54

CODURI DE LINIE

⎡1 0 0 0⎤ ⎡0 1 0 0 ⎤ ⎢0 0 0 1⎥ ⎢0 0 1 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥  E 1 = E 2 = ⎢ ⎢0 0 1 0⎥ ⎢0 0 0 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 1 0 0 1 0 0 0 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Avem astfel pentru bitul 0 tranziţii din stările 2 în 4 şi invers precum şi din 1 în 1 şi din 3 în 3. Bitul 1 prezent la intrarea circuitului de codare bipolar ă nr.1 determină tranziţii din starea 1 în 2, din 2 în 3, din 3 în 4 şi din 4 în 1. Vom construi apoi matricea de tranziţie asociată automatului Moore sub forma: ⎡ p1 E 1  p 2 E 1 ⎤ ⎥ ⎣ p1 E 2  p 2 E 2 ⎦ unde p1 şi p2 reprezintă probabilităţile de apariţie ale celor două simboluri de date (0 şi 1).  p1 =  p  p 2 = 1 −  p  Π  = ⎢

⎡ p E1

 Π  = ⎢

⎣ p E2

(1 − p ) E1 ⎤   (1 − p ) E2 ⎥⎦  

şi detaliat

0 0 0   p 0 0 ⎡1 −  p ⎢ 0 0 0 1 −  p  0 0 0 ⎢ ⎢ 0 0 1 −  p 0  0 0  p ⎢ 0 0  0  p 0 ⎢ 0 1 −  p  Π  = ⎢         ⎢ 0 0  0  p 0 ⎢ 0 1 −  p ⎢ 0 0 1 −  p 0  0 0  p ⎢ 0 0 1 −  p  0 0 0 ⎢ 0 ⎢1 −  p 0 0 0   p 0 0 ⎣ Automatul Moore echivalent descris de matricea de tranziţie figura 2.38. S-a notat q = 1 −  p pentru concizia exprimării.

0⎤  p ⎥⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥

⎥

⎥

0⎥ 0⎥ ⎥  p ⎥ 0 ⎥⎦ de mai sus este cel reprezentat în

Figura 2.38 Automat Moore echivalent

55

Capitolul II

Pentru asignarea simbolurilor de ieşire trebuie să mai luăm în consideraţie şi legea de codare. Întrucât codul provine din intercalarea a 2 coduri bipolare nr.1, în care bitul 1 este reprezentat alternativ prin simbolurile +1 şi –1, rezultă că două stări asociate biţilor 1 ce sunt separate de un număr  impar de stări asociate biţilor 0, trebuie să producă simboluri de ieşire de semn contrar, de exemplu stările 5 şi 8, care sunt separate prin secvenţe de zerouri de lungime impar ă (5-2-8, 5-2-4-2-8, etc.). II.17 Coduri utilizate în re ţ elele elele de calculatoare

O dată cu apariţia ISDN-ului (  Integrated Services Digital Network ) au apărut coduri pentru comunicaţii digitale full-duplex între centrala digitală şi abonat, folosind în acest scop perechile torsadate din cablul simetric.   Fiber Distributed Data Interface) se pot realiza viteze de 100 Mbit/s. Folosind tehnologia FDDI ( Fiber Codul de linie utilizat trebuie să aibă următoarele proprietăţi:  să aibe componenta de c.c. nulă;  spectrul său sa fie limitat astfel ca radiaţia la frecvenţe înalte şi interferenţa în canalele alăturate (perechile torsadate din imediata proximitate) să fie reduse ca intensitate; componentele spectrale peste 30 MHz trebuie să fie sub un anumit nivel impus în SUA de  Federal Communications Comission ) FCC ( Federal  să fie adecvat caracteristicilor canalului pentru a minimiza interferenţele intersimbol. Primele tipuri de reţele LAN (Ethernet LAN) au fost gândite pentru comunicaţii de date şi foloseau un cod bifazic L (Manchester). O dată cu apariţia aplicaţiilor multi-media, s-au introdus două noi variante ce lucrează la 100 Mbps,  Fast Ethernet , reglementat de standardul IEEE 802.3u şi 100VG-AnyLAN definit de IEEE 802.12. VG-AnyLAN nu mai utilizează protocolul CSMA/CD ci un protocol nou ( Demand Priority media access method ), ), utilizând aceeaşi interfaţă de servicu pentru MAC (Medium Access Control ). ). II.17.1 Codul MLT-3

Unul din primele coduri adoptate este ternar  şi poartă denumirea de MLT3 (Minimum Logical  Threshold). El este descris de diagrama de tranziţii din figura 2.39. Un exemplu de codare este  prezentat în figura 2.40.

Figura 2.39 DT pentru MLT-3

Figura 2.40 Un exemplu de codare MLT3

Ţinând cont de relaţia de inversă propor ţionalite între timpul de creştere şi

bandă, tranziţiile au fost îndulcite, iar panta cea mai abruptă şi frecvenţa fundamentală maximă corespunde unei secvenţe codate de tipul +0-0+0- . Această valoare e de două ori mai mică decât frecvenţa maximă întâlnită în codarea NRZ, ce corespunde unei secvenţe repetitive de tip 0101… Ca urmare, pentru semnalizarea cu impulsuri rectangulare, majoritatea energiei spectrale a semnalului este transferată în domeniul

56

CODURI DE LINIE frecvenţelor joase, sub 0,3 din frecvenţa de bit. Astfel, 84 % din energia spectrală se află într-o  bandă mai mică decât 0.3 f  bit, 90 % sub 0.5 f  bit  bit, şi 99 % sub 4.8 f  bit,. Codul MLT –3 a fost standardizat de ANSI (  American National Standards Institute) pentru transmisiile cu viteza de 125 Mbit/s în reţelele LAN (  Local Area Network  ) pe perechi torsadate în interiorul clădirilor.. Din păcate MLT-3 nu are componenta de c.c. nulă, aşa cum se poate observa din figura 2.41.

Figura 2.41 Factorul de codare MLT-3 (p=0.5)

II.17.2 Codul 5B6B

Standardul 100VL-AnyLAN foloseşte ca mediu de transmise fibra optică sau perechi torsadate, categoria 3 sau 4 (4 perechi sau 2   perechi). Reducerea emisiunilor  electromagnetice de înaltă frecvenţă şi satisfacerea reglementărilor FCC   privind nivelul radiaţiilor electromagnetice la frecvenţe peste 30 MHz este realizată de standardul 100VG AnyNet ) prin tehnica AnyLAN ( AnyNet  Figura 2.42 Factorul de codare 5B/6B Quartet Signalling , ce foloseşte 4 fluxuri de 25 Mbps transmise pe 4 perechi torsadate şi o codare 5B6B, definită în tabelul II.4. Tabelul II.4 Reguli de codare 5B6B Input data 00000 00001 00010 00011 00100 00101 00110 00111 01000 01001 01010 01011 01100 01101 01110 01111

Output data Mode 1 0 or –2 disparity 001100 101100 100010 001101 001010 010101 001110 001011 000111 100011 100110 000110 101000 011010 100100 101001

Mode 2 0 or +2 disparity 110011 101100 011101 001101 110101 010101 001110 001011 000111 100011 100110 111001 010111 011010 011011 101001

Input data 10000 10001 10010 10011 10100 10101 10110 10111 11000 11001 11010 11011 11100 11101 11110 11111

Output data Mode 1 0 or –2disparity 000101 100101 001001 010110 111000 011000 011001 100001 110001 101010 010100 110100 011100 010011 010010 110010

Mode 2 0 or +2 disparity 111010 100101 110110 010110 111000 100111 011001 011110 110001 101010 101011 110100 011100 010011 101101 110010

57

Capitolul II

Prin aceasta, viteza de transmisie a datelor pe fiecare pereche creşte de la 25 la 30 Mbps. Ca avantaje se pot menţiona suprimarea componentei de c.c. şi radiaţia redusă la frecvenţe înalte. Codul 5B6B are 20 de cuvinte cu disparitate zero şi 12 cu disparitate ± 2 , (doi de 0 and patru biţi 1 sau viceversa). Factorul de codare este reprezentat în figura.2.42 pentru 3 valori ale probabilităţii p. II.17.3 Codul 4B5B

Tabelul II.5 Reguli de codare 4B5B

4-bit 5-bit 4-bit 5-bit În standardul 100 BASE FX  se utilizează două fibre input code input code optice pentru emisie şi respectiv recepţie. Transmisia 0000 11110 1000 10010 face apel la codarea 4B5B, cu o eficienţă de 80%, 0001 01001 1001 10011 întâlnită şi în FDDI (  Fiber Distributed Data Interface). 0010 10100 1010 10110 Ea este descrisă de regulile din tabelul II.5. Simbolurile 0011 10101 1011 10111 de ieşire sunt de 5 biţi, şi sunt codate apoi  NRZI. 0100 01010 1100 11010 Cuvintele de ieşire sunt alese pentru a asigura maximum 0101 01011 1101 11011 3 zerouri consecutive. Secvenţa ‘11111’  este folosită 0110 01110 1110 11100  IDLE ).  pentru a semnaliza inactivitatea transmisiei ( IDLE  ). 0111 01111 1111 11101 În standardul 100BASE-TX se recurge la aleatorizarea cuvintelor de cod 4B5B şi codarea lor MLT3, aşa cum se arată în figura 2.43, ceea ce conduce la reducerea la jumătate a benzii necesare.

Figura 2.43 Sistem de transmisie cu codare 4B5B II.17.4 Codul 8B6T

În standardul 100BASE-T4 pentru transmisii cu 100 Mbps se folosesc 4 perechi torsadate categoria categoria 3 şi o frecvenţă de clock maximă corespunzătoare lui 30 Mbps. Codul utilizat este cunoscut ca 8B6T . Cuvintele de cod sunt echilibrate şi au cel puţin 2 tranziţii pentru o sincronizare uşoar ă . Transmisia are loc la o viteză de 25 MHz, prin demultiplexarea pe 3 căi a semnalului codat, aşa cum se arată în figura 2.43 şi conform relaţiei de mai jos.

61 = 25 MHz 83 Din cele 36 = 729 cuvinte de cod posibile au fost selecţionate 267 ce prezintă disparitate zero sau 100

1. Anularea componentei de c.c. se realizează prin inversarea alternativă a cuvintelor cu disparitate 1. Cele 256 de cuvinte corespunzatoare octeţilor de intrare au rezultat prin eliminarea a 5 cuvinte din cele 267 care prezentau mai puţin de 2 tranziţii şi a 6 cuvinte ce începeau sau se terminau cu 4 zerouri, evident pentru a nu avea probleme cu sincronizarea. Codul 8B6T este descris de tabelul II.6. Tabelul II.6  Reguli de codare pentru 8B6T 00 01 02 58

–+00–+ 0–+–+0 0–+0–+

30 31 32

+–00–+ 0+––+0 0+–0–+

60 61 62

0++0–0 +0+–00 +0+0–0

90 91 92

+––+–+ –+––++ –+–+–+

CODURI DE LINIE 03 04 05 06 07 08 09 0A 0B 0C 0D 0E 0F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 2A 2B 2C 2D 2E 2F C0 C1 C2 C3 C4 C5

0–++0– –+0+0– +0––+0 +0–0–+ +0–+0– –+00+– 0–++–0 0–+0+– 0–+–0+ –+0–0+ +0–+–0 +0–0+– +0––0+ 0––+0+ –0–0++ –0–+0+ –0–++0 0––++0 ––00++ ––0+0+ ––0++0 –+0–+0 +–0–+0 –++–+0 +00–+0 +00+–0 –+++–0 +–0+–0 –+0+–0 –++–00 +00+–– –+0–++ +–0–++ +–0+00 –+0+00 +00–00 –+++–– 0++–0– +0+0–– +0+–0– +0+––0 0++––0 ++00–– ++0–0– +–0–0– –+0+–+ 0–+–++ 0–++–+ 0–+++– –+0++– +0––++

33 34 35 36 37 38 39 3A 3B 3C 3D 3E 3F 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 4A 4B 4C 4D 4E 4F 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 5A 5B 5C 5D 5E 5F D0 D1 D2 D3 D4 D5

0+–+0– +–0+0–  – 0 + − + 0  – 0 + 0 − + –0++0– +–00+– 0+–+–0 0+–+–0 0+––0+ +–0–0+ –0++–0 –0+0+– –0+–0+ –00+0+ 0–00++ 0–0+0+ 0–0++0 –00++0 00–0++ 00–+0+ 00–++0 00+000 ++–000 +–+000 –++000 0+–000 +0–000 0–+000 –0+000 +––+0+ –+–0++ –+–+0+ –+–++0 +––++0 ––+0++ ––++0+ ––+++0 ––0+++ –0–+++ 0––+++ 0––0++ +––0++ –000++ 0+++–– 0++–00 +–0+–+ 0+––++ 0+–+–+ 0+–++– +–0++– –0+–++

63 64 65 66 67 68 69 6A 6B 6C 6D 6E 6F 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 7A 7B 7C 7D 7E 7F 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 8A 8B 8C 8D 8E 8F E0 E1 E2 E3 E4 E5

+0+00– 0++00– ++0–00 ++00–0 ++000– 0++–+– +0++–– +0+–+– +0+––+ 0++––+ ++0+–– ++0–+– ++0––+ 000++– 000+–+ 000–++ 000+00 000+0– 000+–0 000–0+ 000–+0 +++––0 +++–0– +++0–– 0++0–– –00–++ –00+00 +–––++ +––+00 –00+–+ 0–0–++ 0–0+–+ 0–0++– –00++– 00––++ 00–+–+ 00–++– –000+0 0–0+00 0–00+0 0–000+ –0000+ 00–+00 00–00+ 00–00+ –++0–+ +–+–+0 +–+0–+ +–++0– –+++0– ++––+0

93 94 95 96 97 98 99 9A 9B 9C 9D 9E 9F A0 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 AA AB AC AD AE AF B0 B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 BA BB BC BD BE BF F0 F1 F2 F3 F4 F5

– + – + + –  + – – + + –  ––+–++ ––++–+ – – + + + –  +––0+0 –+–+00 –+–0+0 –+–00+ +––00+ ––++00 ––+0+0 ––+00+ –++0–0 +–+–00 +–+0–0 + – + 0 0 –  – + + 0 0 –  ++––00 ++–0–0 + + – 0 0 –  – + + – + –  + – + + – –  + – + – + –  +–+––+ –++––+ + + – + – –  + + – – + –  ++–––+ +000–0 0+0–00 0+00–0 0 + 0 0 0 –  + 0 0 0 0 –  00+–00 00+0–0 0 0 + 0 0 –  + 0 0 – + –  0 + 0 + – –  0 + 0 – + –  0+0––+ +00––+ 0 0 + + – –  0 0 + – + –  00+––+ +000–+ 0+0–+0 0+00–+ 0 + 0 + 0 –  + 0 0 + 0 –  00+–+0 59

Capitolul II

C6 C7 C8 C9 CA CB CC CD CE CF

+0–+–+ +0–++– –+00+0 0–++00 0–+0+0 0–+00+ –+000+ +0–+00 +0–0+0 +0–00+

D6 D7 D8 D9 DA DB DC DD DE DF

–0++–+ –0+++– +–00+0 0+–+00 0+–0+0 0+–00+ +–000+ –0++00 –0+0+0 –0+00+

E6 E7 E8 E9 EA EB EC ED EE EF

++–0–+ ++–+0– –++0+– +–++–0 +–+0+– +–+–0+ –++–0+ ++–+–0 ++–0+– ++––0+

Codul 8B6T este descris de diagrama de tranziţii din figura 2.44, cuvintele de cod cu disparitate diferită de zero determinând tranziţii dintr-o stare în alta pentru a limita suma digitală curentă şi a anula componenta de c.c. În figura 2.45 se prezint ă factorul de codare al codului 8B6T  pentru 3 valori ale probabilităţii p.

F6 F7 F8 F9 FA FB FC FD FE FF

Figura 2.44 FSTD pentru 8B6T

Figura 2.45 Factori de codare ai codului 8B6T

II.18 Probleme

II.1 Fie forma de impuls parabolic reprezentată în figura 2.46, definită de ⎧ A[1 − (2 ( 2t / T )2 ] t ≤ T / 2   g (t ) = ⎨ in rest  rest  ⎩ 0 Calculaţi constanta de normalizare a amplitudinii k . II.2 Se consider ă forma de impuls reprezentată în figura 2.47. ⎧ − at 2 + b 2 t ≤ T / 2  .  g (t ) = ⎨ in rest  rest  ⎩0 a. Determinaţi valorile lui a şi b.  b. Calculaţi constanta de normalizare a amplitudinii k . 60

00+0–+ 0 0 + + 0 –  + 0 0 0 + –  0+0+–0 0 + 0 0 + –  0+0–0+ +00–0+ 00++–0 0 0 + 0 + –  00+–0+

CODURI DE LINIE

Figura 2.46 Impuls parabolic

Figura 2.47 Alt impuls parabolic

Figura 2.48 Alt impuls

II.3 Fie forma de impuls reprezentată în figura 2.48. 2

 g (t ) = t e −α t 

α  > 0

a. Determinaţi valoarea lui α astfel încât  g (T / 2) = 0.001 ⋅ A  b. Calculaţi constanta de normalizare a amplitudinii k în acest caz. II.4 Se dă forma de impuls definită de

⎧ ⎡ 2π t ⎤ 2 ⎪ t  ≤ T / 2  g (t ) = ⎨ A⎢⎣sin T  ⎥⎦ ⎪0 in rest  ⎩ Calculaţi constanta de normalizare a amplitudinii k . II.5 Fie forma de impuls definit ă de t  ⎧ ⎛ T 2 − 2 ⎞ T  ⎪ ⎜⎜ − t  ⎟⎟ ⋅ e t  ≤ T / 2  g (t ) = ⎨ ⎝  4  ⎠ ⎪0 in rest  ⎩ şi reprezentată în figura 2.49. Determinaţi constanta de normalizare a amplitudinii k .

Figura 2.49 Alt impuls

II.6 Fie impulsul triunghiular definit de

⎧ A(1 − 2 t  / T )  g (t ) = ⎨ ⎩0

t  ≤ T / 2 in rest 

şi

reprezentat în figura 2.50. Determinaţi constanta de normalizare a amplitudinii k . II.7 Fie impulsul triunghiular generalizat definit de

Figura 2.50 Impuls triunghiular 

⎧ 4π  t  ⎪ A(1 − 2 t  / T ) + a ⋅ sin t  ≤ T / 2  g (t ) = ⎨ T  ⎪⎩0 in rest  a. Determinaţi constanta a astfel încât forma de undă g(t) să prezinte un număr de derivate cât mai mare continui şi egale cu zero la capetele intervalului de definiţie  b. Determinaţi constanta de normalizare a amplitudinii k  pentru  pentru a = 0.25. 61

Capitolul II

II.8 Fie forma de impuls definită de π t  π t  ⎧⎪  A a t  ≤ T / 2 ⋅ + ⋅ cos( sin )  g (t ) = ⎨ T  T  ⎪⎩0 in rest  a. Determinaţi constanta a astfel încât forma de undă g(t) să prezinte un număr de derivate cât mai mare continui şi egale cu zero la capetele intervalului de definiţie.  b. Determinaţi constanta de normalizare a amplitudinii k  pentru  pentru a = - 0.25.

II.9 Fie forma de impuls definită de

2π t  π t  π t  ⎧⎪ cos( sin sin )  A a b t  ≤ T / 2 ⋅ + ⋅ + ⋅  g (t ) = ⎨ T  T  T  ⎪⎩0 in rest  a. Determinaţi constantele a şi b astfel încât forma de undă g(t) să prezinte un număr cât mai mare de derivate continui şi egale cu zero la capetele intervalului de definiţie.   b. Ce relaţie satisfac a şi b pentru a obţine o viteză de scădere a componentelor spectrale cu frecvenţa de tip f - - 4. c. Care este numărul maxim de derivate continui şi egale cu zero la capetele intervalului de definiţie şi care va fi viteza de scădere a componentelor spectrale cu frecvenţa pentru d.s.p.? d. Determinaţi constanta de normalizare a amplitudinii k  pentru  pentru valorile determinate la punctul a. II.10 Fie semnalele g(t) de tip lob de cosinus şi h(t) de tip impuls rectangular, definite mai jos. π t  T  T  ⎧⎪ ⎧⎪ cos  A t   A t  ≤ ≤  g (t ) = ⎨ h(t ) = ⎨ 2T  2 2 ⎪⎩ ⎪ 0 in rest  ⎩ 0 in rest  a. Determinaţi şi reprezentaţi semnalul  s (t ) =  g (t ) * h(t ) , unde * reprezintă operaţia de convoluţie a celor două semnale.  b. Care este transformata Fourier a semnalului s(t)? c. Ce formă de undă cunoscută reprezintă semnalul s(t)? d. Determinaţi şi reprezentaţi d.s.p. a semnalizării antipodale echiprobabile cu impulsuri de tip s(t).  Indica ţ ie: ie: dualitatea timp-frecven ţă  conduce la înlocuirea produsului de convolu ţ ie ie dintr-un ălalt domeniu cu produsul transformatelor Fourier în cel ă  l  alt domeniu. II.11 Fie forma de undă  s(t) rezultată din convoluţia a două impulsuri  g(t) de tip cosinus ridicat cu durata T, definite de rel.(2.99). a. Care este durata impulsului  s (t ) =  g (t ) * g (t )   b. Care este numărul maxim de derivate continui şi egale cu zero la capetele intervalului de definiţie şi care va fi viteza de scădere a componentelor spectrale cu frecvenţa pentru d.s.p. a semnalizării antipodale echiprobabile cu impulsuri de tip s(t). c. Determinaţi expresia analitică a semnalului  s(t), transformata sa Fourier  S(f) şi constanta de normalizare a amplitudinii k. II.12 Scrieţi matricea de tranziţie  E  a codurilor RZ şi PPM definite de diagramele de tranziţie din figura 2.51 recurgând la transformata z . 62

CODURI DE LINIE

a. Codul RZ

b. Codul PPM

Figura 2.51 Diagramele de tranziţie pentru codurile RZ şi PPM

II.13 Calculaţi constanta de normalizare pentru impulsul triunghiular generalizat descris de ⎧(1 + t / T )m t ∈ [ −T , 0] m ⎪ g m ( t ) = ⎨(1 − t / T ) t ∈ [ 0, T ]   ⎪0 in rest  rest  ⎩  pentru m =1 şi m =2. II.14 Fie impulsul cu simetrie par ă care este egal cu zero în afara intervalului de definiţie, descris de ⎧ ⎛ 2 ⎛  t  ⎞ 2 1 ⎛  t  ⎞ 3 ⎞ ⎪T ⎜ − ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎟ t ∈ [0 ; T ] 2 ⎝ T  ⎠ ⎟ ⎪ ⎜ 3 ⎝ T  ⎠  ⎠  g (t ) = ⎨ ⎝  3 ⎪ T  ⎛  t  ⎞ t ∈ [T ;2T ] ⎪ ⎜2 − ⎟ 6 T   ⎠ ⎩ ⎝  a. Scrieţi expresiile lui g(t) pe intervalele [-T, 0} şi {-2T, T];  b. Verificaţi continuitatea la momentele t = T şi t = 2T pentru semnalul g(t) şi derivatele sale; c. Determinaţi numărul de derivate care sunt continue şi egale cu zero la capetele intervalului de definiţie; d. Determinaţi viteza de scădere a componentelor spectrale pentru transformata Fourier a lui g(t) şi d.s.p a semnalizării binare polare echiprobabile antipodale folosind forma de undă g(t). e. Redefiniţi forma de undă astfel încât ea să fie definită pe intervalul [− T / 2, T / 2] . II.15 Fie forma de und ă s(t) definită pe [-T, T], π  ⋅ t   s (t ) =  g (t ) + a ⋅ cos

T 

unde

⎧(1 + t / T ) t ∈ [−T , 0]  ⎪ g (t ) = ⎨(1 − t / T ) t ∈ [0, T ]   ⎪0 in rest  rest  ⎩ Determinaţi valoarea constantei a astfel ca semnalul s(t) să aibă o transformată Fourier care descreşte  propor ţional cu  f –3. Este posibil acest lucru? II.16 Scrieţi matricea de tranziţie  E  a codului NRZ-M definit de diagrama de tranziţie din figura 2.15 f ăcând apel la transformata z . II.17 Reprezentaţi grafic forma de undă  g(t) definită anterior în problema IV.14 şi calculaţi constanta sa de normalizare a amplitudinii. 63

Capitolul II

II.18 Fie forma de und ă g(t) definită de

⎧A t ≤T /2   ⎪ g (t ) = ⎨ A sin(π t / T ) T / 2 ≤ t ≤ T   ⎪0 in rest  rest  ⎩ a. Reprezentaţi grafic forma de undă şi determinaţi energia sa sa de bit.  b. Calculaţi constanta de normalizare a amplitudinii k . c. Determinaţi continuitatea lui g(t) şi a primei sale derivate în T/2 şi T . Care este viteza maximă de scădere spectrală ce poate fi realizată folosind acest tip de impuls ? II.19 Fie circuitul din figura 2.52. a. Daca la intrare se aplică secvenţa {ak } = .....1 1 1 0. 0 0 1 0. 1 0 1 0.1 0 0 0...... reprezentaţi secvenţele {mk },{bk }şi { yk };   b. Reprezentaţi diagrama de tranziţii pentru codorul având intrarea {ak } şi ieşirea { yk }; c.Calculaţi covarianţele R(0), R(1), R(2) pentru secvenţa codată { yk }( notăm p = p(1)). Figura 2.52 Coder de linie II.20 Fie semnalul cu r ăspuns par ţial descris de  polinomul:  F(D) = A0 + A1 D + A2 D2 + A3 D3 a. Determinaţi coeficienţii  A0 , A1 , A2 , A3 astfel incât  F(D) să aibă un zerou dublu la frecvenţa 1/T şi unul simplu la frecvenţa 1/2T (T - perioada de bit);  b. Desenaţi circuitul;  |F(f)| în banda [-1/T, 1/T ]. c. Reprezentaţi grafic  F(f) ].

II.21 Fie codul descris de schema din figura 2.53. a. Dacă ak  = {1110100110100110 ...}, reprezentaţi formele de undă bk , ck , yk .   b. Desenaţi diagrama de tranziţie pentru codul definit de intrarea ak şi ieşirea yk ; Figura 2.53 Alt circuit de codare c. Determinaţi valorile funcţiei de autocorelaţie R(0), R(1) şi R(2), pentru p(1) = p. II.22 Fie codul ternar descris de diagrama de tranziţie din figura 2.54. a. Scrieţi matricile probabilităţilor stationare şi de tranziţie;  b. Determinaţi matricea de ieşire A; c. Determinaţi valorile funcţiei de autocorelaţie R(0), R(1) şi R(2); d. Calculaţi d.sp. a codului cu formula (2.114). Figura 2.54 Cod ternar 

64

Surse de semnal

Figura 2.55 Alt circuit de codare

II.23 Se dă circuitul codor reprezentat în figura 2.55, unde {ak  } este o secvenţă de date codată NRZ-L,  probabilitatea de apariţie a bitului 1 în secvenţa de date de intrare fiind p. Sa se deducă sau calculeze: a. Valoarea medie m1 a semnalului codat {bk };  b. Covarianţele R(0), R(1) şi R(2); c. Factorul de codificare C(f) dacă  R (n) = m12 , n ≥ 2 ; d. Ce secvenţe particulare de date poate pune în evidenţă acest cod ? II.24 Fie circuitul codor reprezentat în figura 2.56. a. Dacă ak  = {11101011001000110 ...}, reprezentaţi formele de undă bk şi yk .   b. Desenaţi diagrama de tranziţie pentru codul Figura 2.56 Un coder de linie particular  definit de intrarea ak şi ieşirea yk ; c. Determinaţi valorile funcţiei de autocorelaţie R(0), R(1) şi R(2); II.25 Fie circuitul codor reprezentat în figura 2.57. a. Dacă ak  = {11101011001000110 ...}, reprezentaţi formele de undă bk  şi  y k  .   b. Desenaţi diagrama de tranziţie pentru codul definit de intrarea a k  şi ieşirea  y k  ;

Figura 2.57 Alt coder de linie

c. Determinaţi valorile funcţiei de autocorelaţie R(0), R(1) şi R(2); II.26 Fie codul binar de tip 1B-4B reprezentat în figura 2.58. a. Determinaţi matricea de tranziţie asociată automatului de tip Moore.  b. Reprezentaţi grafic diagrama de tranziţie. c. Determinaţi d.s.p. a codului şi reprezentaţi-o grafic.

Figura 2.58 Un cod binar 

65