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COCIENTES NOTABLES Y FACTORIZACIÓN

COCIENTES NOTABLES: Son aquellos que sin efectuar la división, se puede escribir su desarrollo. Se caracterizan por ser cocientes exactos.

FORMA GENERAL: 1.

xn ± yn R =Q(x,y)+ x±y x±y

xn - y n = x n-1 + x n-2 y + x n-3 y 2 + ... + y n-1 , para “n” par o impar el R = 0. x-y x5 - y5 Ejemplo: = x 4 + x 3 y + x 2y 2 + xy 3 + y 4 x-y

2.

xn + yn R = xn-1 + xn-2 y + xn-3 y2 + ... + yn-1 + x-y x-y

para “n” par o impar el R = 2yn.

NO ES UN COCIENTE NOTABLE

3 3 3 x + y 2y 2 2 Ejemplo: = x + xy + y + x-y x-y

3.

xn - y n R n-1 n-2 n-3 2 n-1 = x - x y + x y - ... ± y + x+y x+y

3.1

Si n es “par” Ejemplo:

3.2

R=0

x4 - y4 = x 3 - x 2 y + xy 2 - y 3 x+y

Si n es “impar” 5

5

R = -2yn NO ES COCIENTE NOTABLE

Ejemplo: x - y = x 4 - x 3 y + x 2 y 2 - xy3 + y 4 x+y

-2y   + 5

x+y

xn + yn R n-1 n-2 n-3 2 n-1 4. = x - x y + x y - ... ± y + x+y x+y

4.1 Si n es “par” Ejemplo:

4.2

R = 2yn

NO ES COCIENTE NOTABLE

4 2y   x4 + y4 = x 3 - x 2 y + xy 2 - y 3 + x+y x+y

Si n es “impar”

R=0

x3 + y3 Ejemplo: = x 2 - x y + y2 x+y

PROPIEDADES p q x ± y 1. En general para un C.N , se cumple p = q = n r s xr ± y s

donde

“n”  es

el número de términos  del desarrollo del C.N

2. El término general del lugar  “k”  en el desarrollo del C.N será: n-k

Tk =  xr 

k-1

 ys  , si el divisor es

xr-ys

Tk =  -1k+1  xr n-k  y s k-1, si el divisor es xr+ys Ejemplo:

x 20 - y16 15 10 4 5 8 12 = x x y + x y y x5 + y 4

se comprueba: 20 = 16 = 4 5

4



hay 4 términos en el desarrollo

x 40 - y 24 Ejemplo: Si: 5 3 es un C.N , hallar el T5 . x -y se comprueba

40 5

=

24

=8 =n

3

además: k = 5 entonces: T5 =  x

5 8-5

3 5-1

 y 

= x 15 y12

FACTORIZACIÓN: Convertir una suma algebraica en producto de factores.

MÉTODOS: 1.

FACTOR COMÚN: Extraer el M.C.D. de la expresión total. Ejemplo: 5x10y5 – 10x7y8  – 25x11y9 = 5x7y5(x3  – 2y3  – 5x4y4)

2.

DIFERENCIA DE CUADRADOS: Suma por la diferencia. Ejemplo: a2m  – b2n = (am)2  – (bn)2 = (am + bn) (am  – bn)

3.

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO a2m

2ambn + b2n = (am

bn)2

Ejemplo: x6  – 2x3 + 1 = (x3  – 1) · (x3  – 1) = (x3 - 1)2 x3 x3

-1 = -x3 + -1 = -x3 -2x3

4.

SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS a3m + b3n = (am)3 + (bn)3 = (am + bn) (a2m  – ambn + b2n) a3m  – b3n = (am)3  – (bn)3 = (am  – bn) (a2m + ambn + b2n)

Ejemplo: 8 – p3 = (2)3  – (p)3 = (2 – p) (4 + 2p + p2) 5.

TRINOMIOS DE LA FORMA: ax2 + bx + c Ejemplo: 8m2 + 10m + 3 = (4m + 3) · (2m + 1) 4m 2m

6.

+ 3 = 6m + + 1 = 4m +10m

COMPLETAR CUADRADOS: Añadir y quitar el término necesario para que un trinomio sea cuadrado perfecto.

Ejemplo: x4 + x2 + 1 + x2 – x2 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2  – (x)2 = (x2 + 1 + x) (x2 + 1 – x)