EQUIVALENTES
DISCRETOS
INTRODUCCIÓN
En el ámbito de los sistemas en tiempo continuo, existen diversos métodos para diseñar compensadores de manera que permitan mejorar las condiciones de respuesta ya sea en estado estacionario1 o en estado transitorio2.
Para el control de sistemas digitales, se pueden determinar dos alternativas: la primera es modelar el sistema en continuo y basados en los métodos de diseño existentes, diseñar un compensador apropiado para mejorar la respuesta dinámica del sistema y por último transformar la función resultante al dominio de z. La segunda alternativa es encontrar una función discreta que pueda tener aproximadamente las mismas características (en el rango de frecuencias específico) que una función de transferencia H(s) dada.
Figura 1. Ilustración global de la aplicación de los Equivalentes Discretos
H(s)
Equivalente Discreto
H (z)
Tres maneras de abordar la solución a la alternativa mencionada, son presentadas a continuación: Integración numérica3. Asignación de polos y ceros entre los dominios de s y z. Equivalencia de retención.
1
En un sistema físico en estado estacionario (SS- Steady State), las características del mismo no varían con el tiempo. En un sistema físico en estado transitorio, las variables del sistema presentan variaciones con el tiempo. 3 El término “integración numérica” se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales. 2
7
El primer método está basado en la integración numérica de la ecuación diferencial que describe el diseño dado. Existen muchas técnicas de integración numérica pero sólo fórmulas simples basadas en las reglas del rectángulo y del trapecio son presentadas en este escrito. El segundo método está basado en la comparación de los dominios de s y z. Nótese que la respuesta natural de un filtro continuo con un polo ubicado en un punto y período de muestreo T, representa la respuesta de un filtro discreto con un polo en . Esta fórmula puede ser usada para asignar los polos y ceros de un diseño continuo del filtro dado en los polos y ceros de una aproximación del filtro en discreto. El tercer método se basa en la toma de muestras de una señal de entrada, la extrapolación entre muestras para formar una aproximación a dicha señal y el pasar esta aproximación a través de la función de transferencia del filtro dada.
En este trabajo se profundiza sobre los tres métodos existentes para hallar equivalentes discretos comparando la calidad de la aproximación en el dominio de la frecuencia entregada por cada uno, así como la facilidad de cálculo de los diseños; exponiendo ejemplos y simulaciones en MATLAB.
8
1. DISEÑO POR INTEGRACIÓN NUMÉRICA El concepto fundamental para el diseño de equivalentes discretos por integración numérica, es el de representar la función de transferencia del filtro H(s) entregada como una ecuación diferencial y derivar una ecuación en diferencia cuya solución es una aproximación de la ecuación diferencial.
Por ejemplo, el sistema
H ( s)
U (s) a E ( s) s a
[1.1]
es equivalente a la ecuación diferencial
du (t ) a u (t ) a e(t ) dt
[1.2]
Ahora, si escribimos la ecuación (1.2) en su forma integral tenemos
( )
∫,
( ) (
(
)
∫
( )-
)
,
-
(
(
Donde la ∫( intervalo: (
)
,(
)
, )
) -
-
∫(
)
,
∫
,
-
)
-
equivale al área bajo la curva de (
y se denomina como área incremental.
9
[1.3]
) en el
Muchas reglas han sido desarrolladas basadas en cómo se aproxima el término de área incremental.
1.1. Regla Rectangular en Adelanto. Esta primera aproximación ,también conocida como la regla de Euler, en donde se aproxima el área teniendo en cuenta el rectángulo visto por delante de (
)
(ver figura 2), el cual tiene ancho T y toma la amplitud
del rectángulo como el valor del integrando en (
(
)
(
)
,(
) -
(
)
* ,(
)
,( ) -
dando como resultado:
) ,(
,( ) -
) -+ [1.4]
La función de transferencia correspondiente a la Regla Rectangular en Adelanto en este caso es: ( )
(
)
( )
[1.5]
Figura 2. Regla rectangular en adelanto
10
1.2. Regla rectangular en atraso. Una segunda regla se desprende de tomar la amplitud del rectángulo de aproximación como el valor visto hacia atrás desde (
hasta
) . La ecuación resultante es: (
)
(
,(
)
,(
) ) -
*
(
(
)
(
)+
)
[1.6]
La función de transferencia para la Regla Rectangular en Atraso es:
( )
(
)
( )
[1.7]
Figura 3. Regla rectangular en atraso
1.3. Regla Trapezoidal. Una última regla para aproximar el área bajo la curva es la Regla Trapezoidal, también llamada método tustin o transformación bilineal. Con esta
11
regla el área bajo la curva es el área del trapecio formado por el promedio de los dos rectángulos vistos en las dos reglas anteriores. La ecuación en diferencia aproximada es: (
)
,(
) *
(
)
(
⁄ )
(
⁄ )
,(
,(
) -
,(
⁄
) -
(
⁄ )
) -
* ,(
(
) -
)
(
(
)+
)+
[1.8]
La función de transferencia correspondiente para la Regla Trapezoidal es:
( )
( )
(
( )
)
. / 0
1
[1.9]
Figura 4. Regla trapezoidal
12
Al comparar
H (s)
a sa
con las tres aproximaciones obtenidas por cada uno de los
métodos, podemos notar que el resultado puede obtenerse al reemplazar
s
como se
muestra en la siguiente tabla:
Método
Aproximación z 1 Regla en adelanto s T z 1 Regla en atraso s Tz 2 z 1 Regla trapezoidal s T z 1 Tabla 1. Reemplazo de s de acuerdo al método utilizado
Cada aproximación puede ser mostrada como un mapeo del plano s al plano z. Un mayor entendimiento de los mapas pueden ser obtenidos considerándolos graficamente, por ejemplo, como el eje
es el límite entre polos de un sistema estable y polos de un
sistema inestable, es interesante saber cómo se mapea el eje
por las tres reglas y dónde
aparece la mitad izquierda (estable) del plano s en el plano z según las reglas.
Para graficar la región z, de las expresiones de la tabla 1 podemos despejar el valor de z. El resultado se muestra en la tabla 2. Tabla 2. Aproximación en términos de z de cada método
Método Aproximación Regla en adelanto z 1 Ts 1 Regla en atraso z 1 Ts 1 Ts 2 Regla trapezoidal z Ts 1 2
13
Figura 5. Representación de la región de estabilidad en el plano z para cada aproximación
2. CORRELACIÓN DE POLOS Y CEROS Un método simple pero efectivo de obtener un equivalente discreto para una función de transferencia continua, se obtiene mediante la extrapolación de la relación entre el plano s y el plano z. Si tenemos la transformada z de las muestras de una señal continua e(t ) , los polos de la transformada discreta E ( z ) están relacionados con los polos de E ( s ) teniendo
z esT . De igual forma podemos ir a través del proceso de transformada z, para localizar los ceros de E ( z ) .
La técnica de correlación de polos y ceros consiste en un grupo de reglas heurísticas para localizar los polos y ceros, y ajustando la ganancia de la transformada z podríamos describir el equivalente discreto de una función de transferencia que se aproxime a la función de transferencia H ( s ) entregada.
14
Las reglas son las siguientes:
2.1. Todos los polos de H(s) se mapean de acuerdo con la siguiente relación:
z esT
[2.0]
Si H(s) tiene un polo en s = - a, entonces H zp ( z ) tiene un polo en:
z e aT
[2.1]
En el caso de que H(s) tenga un polo complejo de la forma –a+bj, en:
z re j Donde
( ) tendrá un polo
[2.2] y
.
2.2. Todos los ceros de carácter finito son mapeados igual que los polos, es decir, se utiliza la ecuación [2.0]. Si H(s) tiene un cero en s = -a, entonces H zp ( z ) tiene un cero en
z e aT . 2.3. En el caso dado que los ceros del sistema se encuentren en el infinito ( s ) , estos serán mapeados en el punto z = -1. La razón para esto es que el mapeo de las frecuencias reales para hasta está dentro del círculo unitario desde hasta .
Por tanto, el punto
representa de un modo real la máxima frecuencia posible en
la función de transferencia discreta, por tanto es apropiado decir que si H(s) es cero a la máxima frecuencia continua, la magnitud de la función discreta será de cero en
,
la cual como se ha dicho es la frecuencia más alta que será capaz de procesar el filtro digital.
15
Si no se desea que exista retraso en la respuesta del sistema todos los ceros en deberán ser mapeados a z = -1
Si se desea un retraso de una muestra para permitir a la computadora el tiempo necesario para computar la salida, entonces solo uno de los ceros en el infinito es mapeado en z = infinito y los otros en z = -1. Con esta elección se está dejando la función discreta con un número finito de ceros uno menos que el número finito de polos.
2.4. La ganancia del filtro digital es seleccionada para concordar con la ganancia de H(s) en el centro de la banda o en cualquier otro punto crítico similar. En la mayoría de las aplicaciones de control, la frecuencia crítica es s = 0 y por tanto típicamente seleccionamos la ganancia de tal modo que:
H (s)s0 H zp ( z ) z 1
[2.3]
3. EQUIVALENTES DE RETENCIÓN 3.1. EQUIVALENTE DE RETENCIÓN DE ORDEN CERO
Con la técnica de aproximación de equivalentes de retención se busca diseñar un sistema discreto que con una entrada compuesta de muestras de e(t ) , tenga una salida que se aproxime a la salida de la función continua
H ( s) cuando su entrada es la función
e(t ) .
El equivalente de retención discreto es construido aproximando
e(t ) a las muestras
e(k ) con un filtro de retención y luego, pasando eh (t ) a través de la función de transferencia
H ( s) entregada.
16
Figura 6. Aproximación a e(t) por medio del equivalente retención
La figura muestra la aproximación a la señal continua e(t ) utilizando la retención eh (t )
(k 1)T . Esta operación es la de las muestras e(k ) , en el intervalo entre kT y retención de orden cero (ZOH).
El equivalente de retención de orden cero para H ( s ) está dada por: ( )
(
)
z2
( )
3
3.2. EQUIVALENTE DE RETENCIÓN DE ORDEN UNO CAUSAL
La figura 6 muestra la salida de un retenedor de orden uno (FOH). Se observa que entre instantes de muestreo, la salida del retenedor (
(
)
(
)
(
)
,(
) -
17
) está dada por:
Figura 7. Salida de un FOH
En su forma más general ( )
( )
( )
( )
[
] ( )
( )
[
] ( )
(
) (
(
) )
(
)
(
)
Suponiendo que ( ) es un escalón unitario: ( ) ( )
[
] ( )
(
)
(
)
(
Transformando… ( )
[
( )
(
]
)
18
)
( )
3.3. EQUIVALENTE DE RETENCIÓN DE ORDEN UNO NO CAUSAL
Este equivalente de retención puede ser construido si suponemos que su respuesta impulsiva es la que se muestra en la figura 8, en donde se extrapola la muestra a fin de conectar muestra a muestra con una línea recta. También es llamado el equivalente de retención triangular para distinguirlo del retenedor de primer orden causal.
Figura 8. Extrapolación de un impulso hacia
y
La transformada de Laplace del filtro de extrapolación que sigue al muestre del impulso es:
eTs 2 eTs Ts 2
[2.5]
Por lo tanto, el equivalente discreto correspondiente es: ( )
(
)
z2
( )
3
[2.6]
19
2. EJEMPLO
Siendo: ( )
Hallar el equivalente discreto utilizando: a) Método de Integración numérica Rectangular en Adelanto. b) Método de Integración numérica Rectangular en Atraso. c) Método de Integración numérica Tustin d) Equivalente polos y ceros e) Equivalente retención orden cero f) Equivalente retención primer orden no causal
a) Método de Integración numérica Rectangular en Adelanto. ( ) Siendo
, el equivalente discreto del método rectangular en avance, tenemos
que: ( )
( )
( )
b) Método de Integración Numérica Rectangular en Avance. ( )
20
Siendo
, el equivalente discreto del método rectangular en avance, tenemos
que: ( )
( )
( )
c) Método de Integración Numérica Trapezoidal. ( ) Siendo
(
)
(
)
, el equivalente discreto del método integración trapezoidal tenemos
que: ( )
( (
) )
( ) ( ( ) ( )
(
)
(
)
(
) (
)
)
d) Equivalente polos y ceros ( ) Analizando la función de transferencia tenemos que: -
El G(s), tiene un polo en s= -5. El polo en G(z) se mapeará en
21
-
Puesto que G(s), no posee un cero, para mapear se debe añadir un cero en el infinito.
-
Puesto que al agregar un cero en el infinito, supone la frecuencia mas alta en continua, se debe tener en cuenta que en dominio discreto, la frecuencia más alta está limitada por el teorema de muestreo ws/2. Es decir que el punto G(jws/2), corresponde al punto (-1,0), en el plano z. Por lo tanto G(jws/2), correponde a factor z=
, que correspon de al cero en el infinito del
.
De manera que
(
( )
)
(
( )
) (
)(
)
(
)
Si se quiere que el sistema tenga un retardo, no se mapea el cero en el infinito como z=-1, quedando: ( )
( (
) )
e) Equivalente retención orden cero
Por la definición del equivalente de retención de orden cero (ecuación 2.4) tenemos:
H ( s) H ho ( z ) (1 z 1 ) s Reemplazando H(s):
5 H ho ( z ) (1 z 1 ) s 5 s
22
5 H ho ( z ) (1 z 1 ) s( s 5)
a (1 e aT ) z 1 Según la tabla, la transformada de es , entonces H(z) a(s a) (1 z 1 )(1 e aT z 1 ) quedaría:
(1 e5T ) z 1 H ( z ) (1 z ) (1 z 1 )(1 e5T z 1 ) 1
(1 e5T ) z 1 H ( z) (1 e5T z 1 ) f) Equivalente retención primer orden no causal
Por la definición de equivalente de retención de orden uno no causal tenemos:
( z 1)2 H tri ( z ) Tz
H (s) 2 s
( ) (
( ) (
( ) ( ) ( )
(
)
4
4
)
(
{
( )
{
} } 5
)
( (
)
) )
23
( (
) )
5
3. CONCLUSIONES
Al estudiar los distintos métodos y técnicas para hallar equivalentes discretos de funciones de transferencia continuas, se puede concluir en definitiva, que el equivalente discreto constituye una herramienta indispensable y muy valiosa para el análisis y la manipulación de funciones de transferencia continuas que se necesiten trabajar con sistemas discretos.
La aproximación que ofrece cada método o técnica, depende en gran medida, de la frecuencia de muestreo. En especial cuando se tratan del equivalentes discretos por retención.
24
4. ANEXOS
Anexo 1. Funciones en Matlab para computar funciones de transferencia con el comando c2d
Anexo 2. Gráficas de la función de transferencia con los diferentes métodos y técnicas Programa en Matlab:
Gráfica ZOH
25
Step Response 1
0.9
0.8
0.7
Amplitude
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
4
5
6
Time (sec)
Gráfica FOH
Step Response 1
0.9
0.8
0.7
Amplitude
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3 Time (sec)
Gráfica Tustin
26
Step Response 1
0.9
0.8
0.7
Amplitude
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
4
5
6
Time (sec)
Gráfica Matched
Step Response 1
0.9
0.8
0.7
Amplitude
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3 Time (sec)
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BIBLIOGRAFÍA
FRANKLIN, POWELL, Gene F., J. David. Digital Control of Dynamic Systems. Stanford University, Third Edition. 1998.
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