VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS DEFINICIÓN.- Si el rango RX de una variable aleatoria X es un intervalo sobre la recta de los números reales.
Ejemplo: Se considera los estudiantes de una Universidad “A” y a cada alumno se le considera como un suceso, y este suceso se considera como la estatura que posee. Así se podría tener que: X(Juan) = 1.78 m,
X(Marco) = 1.89 m,
X(Antonio) = 1.65 m.
Según esto se puede concluir que RX debe estar contenido en
* +
Es decir la estatura de los estudiantes puede tomar cualquier valor positivo dentro de los reales.
FUNCION DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD Sea X
una variable aleatoria continua
con rango RX. La función de densidad de
probabilidad asociada a la variable aleatoria, es una función f(x) integrable que satisface las siguientes condiciones: 1. f(x) 0, para todo 2.
∫
La gráfica mostrada indica que la función de densidad es una curva que está definida en los números reales con rango RX y que está sobre la línea horizontal según la condición 1, y la condición 2 indica que si integráramos la función f(x) entre los límites que tiene su rango esta debe darnos un valor de 1.
PROBABILIDAD PARA CUALQUIER INTERVALO DEFINIDO EN EL RANGO R X De las condiciones 1 y 2 expuestas anteriormente también se puede extender al análisis y decir que la probabilidad de la variable aleatoria X es 1 si la función de densidad se integra entre los límites máximos, y que también se puede calcular la probabilidad para cualquier otro rango que esté dentro de RX. Suponiendo que se requiera calcular la probabilidad de una variable aleatoria continua X entre los valores a y b definidos en el rango RX de la siguiente forma calcular la
La
,-
,-
.
,-
. Es decir
pedida se considera como el área rayada en la gráfica anterior que está
limitada por las rectas x = a, x = b, y el eje X. Por lo tanto la probabilidad del evento pedido es.
, -
Corolarios 1. Es importante resaltar que f(x) no representa la probabilidad de algo y que solamente cuando la función se integra entre dos puntos produce una probabilidad. 2. Para cualquier valor específico de X, digamos xo, P[X = xo] = 0. Debido a que
∫ , - , - , - ,P[X = xo] = P[xo < X ≤ xo] =
3.
.
cuando X sea una variable aleatoria continua.
Siempre
y
Ejemplo 1. Sea X una variable aleatoria continua definida por la función de densidad
f(x) =
Calcular: a) Qué valor tiene el coeficiente “a” b) Construir la gráfica de la función de densidad de probabilidad. c) Calcular la probabilidad de que la variable aleatoria X se encuentre en el intervalo de 1 a 2 incluidos. d) La probabilidad de que x se encuentre de -1 a 3/2 en un intervalo abierto
La función de densidad de la variable aleatoria X solo está definida en un intervalo cerrado [0, 3] para otros valores toma un valor de 0, por lo cual el rango de dicha variable es:
RX = [0, 3] Si se integra la función de densidad en dicho intervalo se tendrá el valor de 1. Así:
∫ ∫ 0 1 . / Por lo tanto
Para obtener la gráfica de la función de densidad se debe graficar la curva: fuera de ese intervalo la función de densidad toma el valor de 0.
Para encontrar la probabilidad pedida se debe integrar en el intervalo [1, 2]
, - ( ) [ ]
FUNCION DE DISTRIBUCION (F (X)) Es una probabilidad acumulativa. Ley fundamental
,
Función de densidad= derivada de la función de distribución.
Si quiere encontrar F(1) se reemplaza 2
3
F(1)= (1) /3-2/27(1) Ejemplo
Defina una función de distribución de la siguiente forma
a) determine el valor de k
Se selecciona al azar un punto del interior del triangulo equilátero cuyo lado mide 6cm sea x la VAC quedefine la distancia de dicho punto a la base del triangulo encuentre F(x) y f(x)
