Cap´ıtulo 1 Circ Circui uittos trif trif´ ´ asic asicos os Como ya lo dijimos, dijimos, un uso important important´ısimo del an´ alisis alisis del estado permanente de la ca es su aplicaci´on on a los sistemas siste mas de potencia, la mayor´ mayor´ıa de los cuales son sistemas de corriente alterna. Una de las principales razones de esto estriba en que es econ´ omicamente omicamente factible la transmisi´ transmisi´ on on de potencia a lo largo de grandes distancias s´ olo si los voltajes en juego son muy altos, olo y es mucho m´as a s f´acil acil elevar y bajar el voltaje en los sistemas de ca que en los de cd. El voltaje alterno puede elevarse para la transmisi´ on o n y se puede reducir para la distribuci´on, on, mediante transformadores, como lo veremos en el cap´ cap´ıtulo 16. Los transformadores transformadores no tienen partes en movimien movimiento to y son relativamente f´ aciles aciles de construir, en tanto t anto que con la tecnolog´ tecnolog´ıa del de l presente las m´aquinas aquinas rotatorias en general son indispensables para elevar o reducir el voltaje en sistemas de cd.1 Adem´as, as, por p or razones de econom´ econom´ıa y buen funcionamiento, funcionamiento, casi toda to da la potencia el´ ectrica ectrica se produce en fuentes fuentes polif´ asicas (aquellas que generan voltajes con m´as as de una fase). En un circuito monof´ asico, asico, la potencia instant´ anea entregada a una carga es pulsante, a´ anea un cuando la corriente y el voltaje est´en en en fase. Por otra parte, un u n sistema polif´ asico asico es como un motor de autom´ ovil de varios cilindros en el que la potencia suministrada es m´as ovil as estable. En consecuencia, en la maquinaria rotatoria habr´ a menos vibraci´on. on. lo que a su vez resultar´ a en un funcionamiento m´ as eficiente. Se tiene la venas taja econ´ omica omica de que el peso de los conductores y las componentes asociadas de un sistema polif´asico asico son considerablemente menores que las requeridas en un sistema monof´asico asico que suministre la misma potencia. Casi toda la 1
Hay que notar que este libro es de 1991 y que no considera los avances actuales en la electr´ onica onica de potencia.
1
2
´ CAP ´ITULO 1. CIRCUITOS CIRCUITOS TRIF ASICOS
potencia que se produce en el mundo es potencia polif´asica asica a 50 ´o 60 Hz. Este cap´ cap´ıtulo lo iniciaremos con sistemas monof´ asicos asicos de tres hilos, pero concentraremos la atenci´ on on en los circuitos trif´asicos, a sicos, los que son en gran medida los sistemas polif´asicos asicos m´as as comunes. En este ultimo u ´ ltimo caso las fuentes son generadores trif´ asicos que producen un conjunto de voltajes balanceado , asicos que se configuran con tres voltajes senoidales de igual amplitud y la misma frecuencia, frecuencia, pero desfasados desfasados entre s´ı por 120◦ . As´ As´ı la fuente fuente de tres fases es equivalente a tres fuentes monof´ asicas interconectadas, generando cada una asicas un voltaje con fase diferente. Si las tres corrientes obtenidas de las fuentes tambi´ tambi´en en constituyen constituyen un conjunto conjunto balanceado, balanceado, entonces entonces se tiene un sistema sistema trif´asico asico balanceado. Este caso es el que recibir´a nuestra mayor antenci´ on. on.
1.1.
Sistema Sistema monof´ monof´ asico asico de tres hilos
Antes de estudiar el caso trif´asico, asico, dirijamos nuestra atenci´ on o n en esta secci´on on para establecer nuestra notaci´ on y expongamos un ejemplo de un sison tema monof´ asico asico que puede p uede encontrarse en algunas instalaciones dom´esticas. esticas. Este ejemplo nos servir´a para familiarizarnos con los sistemas monof´ asicos, asicos, lo que nos servir´a como introducci´ on on de los sistemas trif´asicos asicos que veremos a continuaci´ on. on. En este cap´ cap´ıtulo apreciaremos la gran utilidad utilidad de la notaci´ on del doble sub´ sub´ındice para los voltajes. volta jes. En el caso de los fasores, la notaci´ on on es Vab para el voltaje de un punto a con respecto al punto b. Usaremos la notaci´on on del doble sub´ sub´ındice para pa ra la corriente tomando t omando por ejemplo, Iab como la corriente que fluye en la trayectoria directa del punto a al punto b. Estas cantidades se ilustran en la figura 2.1, 2.1, donde la trayectoria directa de a a b se distingue de la trayectoria alterna de a a b a trav´ tr av´es es de c. Debido a que las expresiones de la potencia media resultan m´ as as simples, usaremos usar emos los valores valor es rms rm s del de l volta je y la corriente co rriente en este e ste cap´ cap´ıtulo. (Son ´estos estos adem´as as los valores que se leen en la mayor´ mayor´ıa de los medidores.) Es decir, si V = V /0◦
| | I = |I|/−θ
V rms A rms
(1.1)
son los fasores asociados con un elemento que tenga una impedancia Z = Z /θ Ω
||
(1.2)
´ 1.1. SISTEMA MONOF ASICO DE TRES HILOS Iab + Vab
a
−
3
b
c Figura 1.1: Ilustraci´on de notaci´ on con doble sub´ındice. la potencia media entregada al elemento es P = V I cos θ = I 2 Re Z W
| |·| | ||
(1.3)
En el dominio del tiempo el voltaje y la corriente son
√ √2|V| cos ωt V i = 2|I| cos(ωt − θ) A
v=
Ejemplo 1.1 El uso del doble sub´ındice hace m´ as f´acil el manejo de los fasores tanto en su expresi´on anal´ıtica como en la geom´etrica. Por ejemplo, en la figura 2.2(a), el voltaje Vab es Vab = Van + Vnb Esto es evidente aunque no se tenga el circuito a la vista puesto que por la LVK el voltaje entre dos puntos a y b es el mismo independientemente de la trayectoria, la cual en este caso es la trayectoria a, n, b. Adem´as, puesto que Vnb = Vbn , tenemos Vab = Van
−V = 100 − 100/ −120 bn
que al simplificarla queda
√
Vab = 100 3/ 30◦
Estos pasos se muestran en la figura 2.2(b).
◦
´ CAP ´ITULO 1. CIRCUITOS TRIF ASICOS
4
a
Van =
100 0◦
Vrms
a
Vnb
Vab
+
− Van − +
n Vbn =
100 120◦
Vrms
b Vbn
(a)
(b)
Figura 1.2: (a) Circuito fasorial; (b) diagrama fasorial correspondiente a V1
+
− n
V1
+
− b
Figura 1.3: Fuente monof´asica de tres hilos Una fuente monof´ asica de tres hilos tiene tres terminales de salida a, b y una terminal neutra n, para la cual los voltajes de las terminales son iguales, como se muestra en la figura 2.3. Esto es Van = Vnb = V1
(1.4)
En los servicios dom´esticos abastecidos con 115 V y 230 V rms, esta es una soluci´on posible, puesto que Van = V1 = 115 V, entonces Vab = 2V1 = 230 V. Consideremos ahora la fuente de la figura 2.3 cargada con dos cargas id´enticas, ambas con una impedancia Z1 , como se muestra en la figura 2.4.
| | | |
| | |
|
´ 1.1. SISTEMA MONOF ASICO DE TRES HILOS a
A
+
−
V1
Z1
n V1
5
N +
−
Z1
B
b
Figura 1.4: Sistema monof´asico de tres hilos con dos cargas id´enticas. Las corrientes en las l´ıneas aA y bB son IaA =
y IbB =
Van V1 = Z1 Z1
Vbn = Z1
− VZ
1
=
1
−I
aA
Por tanto, la corriente en el hilo neutro nN , por la LCK, es InN =
−(I
aA
+ IbB ) = 0
De modo que el hilo neutro se puede remover sin cambiar corriente o voltaje alguno en el sistema. Si las l´ıneas aA y bB no son conductores perfectos pero tienen impedancias iguales Z2 entonces InN sigue siendo cero porque podemos simplemente sumar las impedancias en serie Z1 y Z2 y llegar a la misma situaci´on de la figura 2.4. Adem´as, en el caso m´ as general que se muestra en la figura 2.5, la corriente del neutro InN sigue siendo cero. Esto puede verse al escribir las dos ecuaciones de malla (Z1 + Z2 + Z3)IaA + Z3 IbB Z1 I3 =V1 Z3 IaA + (Z1 + Z2 + Z3 )IbB + Z1 I3 = V1
−
−
y sumando los resultados, se tiene (Z1 + Z2 + Z3 )(IaA + IbB ) + Z3 (IaA + IbB ) = 0
´ CAP ´ITULO 1. CIRCUITOS TRIF ASICOS
6 Z2
a
+
−
V1
A
IaA
Z1
Z3
n
V1
I3
N +
−
IbB
Z4
Z1
Z2
B
b
Figura 1.5: Sistema monof´asico sim´etrico de tres hilos. o bien IaA + IbB = 0
(1.5)
Puesto que el miembro izquierdo de la u´ltima ecuaci´ on es InN por la LCK, la corriente del neutro es cero. Esto es, por supuesto, una consecuencia de la simetr´ıa de la figura 2.5. Si se perdiera la simetr´ıa de la figura 2.5 por tener cargas desiguales en las terminales A-N y N -B o impedancias de l´ıneas desiguales en las l´ıneas aA y bB, entonces abr´ıa una corriente en el neutro.
−
Ejemplo 1.2 Consideremos por ejemplo la situaci´ on de la figura 2.6 , donde hay dos cargas operando en aproximadamente 115 V y una en aproximadamente 230 V. Las ecuaciones de mallas son
−40I − 1
43I1 2I2 40I3 = 115 2I1 + 63I2 60I3 = 115 60I2 (110 + j10)I3 = 0
−
−
−
− −
´ 1.2. SISTEMAS TRIF ASICOS Y-Y a
+
−
115 0◦ Vrms
1Ω
7 A
I1
40 Ω
10 Ω
2Ω n
115 0◦ Vrms
I3
N +
−
I2
60 Ω
j10 Ω
1Ω B
b
Figura 1.6: Sistema monof´asico asim´etrico de tres hilos. Resolviendo para las corrientes, tenemos I1 = 16.32/ 33.7◦ A rms I2 I3
− = 15.73/ −35.4 = 14.46/ −39.9
◦
A rms ◦ A rms
Por lo tanto, la corriente del neutro es InN = I2
−I
1
= 0.76/ 184.3◦ A rms
y, por supuesto, es diferente de cero.
1.2.
Sistemas trif´ asicos Y-Y
Examinemos la fuente trif´ asica de la figura 2.2, la cual tiene las terminales de l´ınea a, b y c, y una terminal neutra n. En este caso se dice que la fuente est´a conectada en Y (su conexi´on forma una Y, como se muestra). En la figura 2.2 se muestra una representaci´ on equivalente que resulta m´ as f´acil de dibujar. Los voltajes Van , Vbn y Vcn entre las terminales de linea y la terminal del neutro se llaman voltajes de fase y en la mayor parte de los casos que las
´ CAP ´ITULO 1. CIRCUITOS TRIF ASICOS
8
a b
a
Vbn +
+
−
Van
b
−
n
− +
n Vcn
c Van
c (a)
− +
a
Vbn
b
− +
n Vcn
c
− +
(b)
Figura 1.7: Dos representaciones de una fuente conectada en Y.
´ 1.2. SISTEMAS TRIF ASICOS Y-Y
9
requerimos estar´ an dadas por Van = V p /0◦ Vbn = V p / 120◦
(1.6)
−
Vcn = V p /120◦
o bien Van = V p /0◦ Vbn = V p /120◦
(1.7)
Vcn = V p / 120◦
−
En ambos casos la magnitud rms es la misma V p y las fases est´an desplazadas 120◦ entre s´ı, con un Van seleccionado arbitrariamente como fasor de referencia. Tal conjunto de voltajes se denominan conjuntos balanceados y se caracterizan por (1.8) Van + Vbn + Vcn = 0 como puede verse de (2.6) o (2.7). La secuencia de los voltajes en (2.6) se llama secuencia positiva o secuencia abc, mientras que la de (2.7) se llama secuencia negativa o secuencia acb. En la figura 2.8 se muestran diagramas de fasores de las dos secuencias, donde podemos verificar por inspecci´ on la validez de (2.8). Es evidente que la u´nica diferencia entre la secuencia positiva y la negativa es la elecci´on arbitraria de la identificaci´on de las terminales a, b y c. As´ı que, sin perder generalidad podemos considerar solo la secuencia positiva. Por (2.6), los voltajes en la secuencia abc pueden referirse a Van . Las relaciones cuya utilidad veremos m´ as adelante son Vbn = Van / 120◦
−
(1.9)
Vcn = Van /120◦
Los voltajes de l´ınea a l´ınea o simplemente voltajes de l´ınea , en la figura 2.7 son Vab , Vbc y Vca , los cuales pueden determinarse a partir de los voltajes de fase. Por ejemplo, Vab = Van + Vnb
= V p /0◦ =
√
− V /−120 p
3V p /30◦
◦
´ CAP ´ITULO 1. CIRCUITOS TRIF ASICOS
10
Vcn
Vbn
Van
Van
Vbn
Vcn (a)
(b)
Figura 1.8: Secuencia de fases a) positiva y b) negativa. De igual manera
√ √3V /−90 = 3V /−210
Vbc =
p
Vca
p
◦
◦
Si denotamos la magnitud de los voltajes de l´ınea mediante V L , entonces tenemos V L = 3V p (1.10)
√
y as´ı Vab = V L /30◦ ,
Vbc = V L / 90◦ ,
−
Vca = V L / 210◦
−
(1.11)
Estos resultados se pueden obtener tambi´ en del diagrama fasorial mostrado en la figura 2.9. Consideremos ahora el sistema de la figura 2.10, el cual es un sistema asico, de cuatro hilos, si las fuentes de voltaje son las Y-Y balanceado , trif´ que se definen en (2.6). El t´ermino Y-Y se aplica porque tanto la fuente como la carga est´ an conectadas en Y. Se dice que el sistema est´ a balanceado puesto que las fuentes de voltaje constituyen un sistema balanceado y la carga est´ a balanceada (cada impedancia de fase es igual, en este caso, a Z p ). El cuarto hilo es la l´ınea neutra n-N , la cual se puede omitir para formar un sistema trif´asico de tres hilos.
´ 1.2. SISTEMAS TRIF ASICOS Y-Y Vbc
11 Vab
Vcn
Van
Vbn
Vca
Figura 1.9: Diagrama fasorial mostrando voltajes de fase y de l´ınea. Es evidente que las corrientes de l´ınea de la figura 2.10 son IaA = IbB
Van Z p
Van / 120◦ Vbn = = = IaA / 120◦ Z p Z p
−
−
(1.12)
Vcn Van /120◦ = = IaA /120◦ IcC = Z p Z p
Los u ´ ltimos dos resultados son consecuencia de (2.9) y muestran que las corrientes de l´ınea tambi´ en forman un conjunto balanceado. Por tanto, su suma es
−I
nN
= IaA + IbB + IcC = 0
As´ı el neutro no conduce corriente en un sistema balanceado Y-Y de cuatro hilos. En el caso de cargas conectadas en Y, las corrientes en las l´ıneas aA, bB, y cC son tambi´en las corrientes de fase (es decir, las corrientes a trav´es de las impedancias de fase). Si las magnitudes de las corrientes de fase y de l´ınea
´ CAP ´ITULO 1. CIRCUITOS TRIF ASICOS
12 Van − +
a
A
b
B
Vbn
n
− +
Vcn − +
c
C
Z p
Z p
N
Z p
Figura 1.10: Sistema Y-Y balanceado. son I p e I L respectivamente, entonces I L = I p y (2.12) se hace IaA = I L / θ = I p / θ IbB IcC
− − = I /−θ − 120 = I /−θ − 120 = I /−θ + 120 = I /−θ + 120 L L
◦
◦
p
p
◦
(1.13)
◦
donde θ es el a´ngulo de Z p . La potencia media P p entregada a cada fase en la figura 2.10 es P p = V p I p cos θ = I p2 Re Z p
(1.14)
y la potencia total entregada a la carga es P = 3P p El a´ngulo θ de la impedancia de fase es el ´angulo del factor de potencia de la carga trif´asica tanto como el de un sola fase. Sup´ongase ahora que se inserta una impedancia ZL en cada una de las l´ıneas aA, bB y cC , y que en la l´ınea nN se inserta una impedancia ZN no necesariamente igual a ZL . En otras palabras, las l´ıneas no son conductores perfectos, sino que contienen impedancias. Es evidente que las impedancias de l´ınea, excepto ZN , est´an en serie con las impedancias de fase, y los dos
´ 1.2. SISTEMAS TRIF ASICOS Y-Y
13
conjuntos de impedancias se pueden combinar para obtener l´ıneas perfectamente conductoras en aA, bB y cC con una impedancia de carga Z p + ZL en cada fase. Por tanto, excepto para ZN en el neutro, el sistema equivalente est´a formado por l´ıneas perfectamente conductoras y una carga balanceada. Si no se tiene la impedancia ZN en el neutro, ´este ser´ıa un conductor perfecto, y el sistema estar´ıa balanceado como en la figura 2.10. En este caso, como hemos visto, los puntos n y N est´an al mismo potencial y no hay corriente de neutro. As´ı no tiene importancia la forma como se tenga al neutro. Este puede estar en corto circuito o circuito abierto, o contener una impedancia tal como ZN , y a´un as´ı no fluir´ıa corriente alguna y ning´ un volta je aparecer´ıa entre nN . Es obvio que la presencia de impedancias de l´ınea iguales en aA, bB y cC , y una impedancia en el neutro no cambia la situaci´on de que las corrientes de l´ınea formen un conjunto balanceado.
Ejemplo 1.3 Por ejemplo, determinemos las corrientes de l´ınea en la figura 2.11. Podemos combinar la impedancia de l´ınea de 1 Ω con la impedancia de fase de (3+ j3) Ω para obtener Z p = 4 + j3 = 5/ 36.9◦ Ω como carga de fase efectiva. Puesto que en este caso no se tiene corriente de neutro, tenemos 100/ 0◦ = 20/ 36.9◦ A rms IaA = ◦ 5/ 36.9
−
Las corrientes forman un conjunto balanceado de secuencia positiva, de modo que tambi´en tenemos IbB = 20/ 156.9◦ A rms,
−
IcC = 20/ 276.9◦ A rms
−
Este ejemplo se resolvi´o sobre una base por fase . Puesto que la impedancia en el neutro es inexistente en un sistema balanceado Y-Y, podemos suponer que la l´ınea del neutro est´ a en corto circuito. Podemos hacerlo as´ı si ´esta contiene una impedancia o incluso si el hilo del neutro no existe (en un sistema de tres hilos). Podemos entonces ver el sistema como de una sola fase, digamos la fase A , consistente en la fuente Van en serie con ZL y Z p , como se muestra en la figura 2.12. (La l´ınea nN ha sido reemplazada por un corto circuito.) La corriente de l´ınea IaA , el voltaje de fase IaAZ p y la ca´ıda ( (
( (
) )
) )
´ CAP ´ITULO 1. CIRCUITOS TRIF ASICOS 3 + j3 Ω 1Ω A
14 100 0◦ Vrms − +
100 n
a
◦
− 120 Vrms − +
1Ω
b
B
3 + j3 Ω N
3Ω 100 120◦ Vrms − +
1Ω
c
C
3 + j3 Ω
Figura 1.11: Sistema balanceado con impedancias de l´ınea. de voltaje en la l´ınea IaA ZL pueden determinarse mediante este an´ alisis monof´asico. Los otros voltajes y corrientes en el sistema pueden encontrarse en forma semejante o a partir de los resultados anteriores, puesto que el sistema est´a balanceado.
Ejemplo 1.4 En otro ejemplo, sup´ ongase que tenemos una fuente balanceada conectada
a
Van
ZL
A
+
−
Z p
n
N
Figura 1.12: Una fase para an´alisis por fase.
´ DELTA 1.3. LA CONEXI ON
15
en Y, con un voltaje de l´ınea V L = 200 V rms, la cual alimenta una carga balanceada conectada en Y con P = 900 W a un factor de potencia de 0.9 en atraso. Determinemos la corriente de l´ınea I L y la impedancia de fase Z p . Puesto que la potencia suministrada a la carga es 900 W, la potencia entregada a cada fase es P p = 900 = 300 W, y por 3 P p = V p I p cos θ tenemos 300 =
200 √3
I p (0.9)
Por tanto, puesto que en una carga conectada en Y la corriente de fase es tambi´en la corriente de l´ınea, tenemos
√
3 3 I L = I p = = 2.89 A rms 2(0.9) La magnitud de Z p est´a dada por
√
V p 200/ 3 = = 40 Ω Z p = I p 3 3/(2)(0.9)
| |
√
y dado que θ = cos−1 0.9 = 2584◦ es el ´angulo de Z p , tenemos Z p = 40/ 25.84◦ Ω
Si la carga est´ a desbalanceada pero hay in hilo neutro que es un conductor perfecto, entonces todav´ıa se puede usar el m´etodo por fase para la soluci´ on de cada una de las fases. Sin embargo, si no fuera ´este el caso, el m´etodo abreviado no se aplicar´ıa. Hay un m´etodo muy util ´ que emplea las llamadas componentes sim´etricas el cual se aplica a los sistemas desbalanceados y que el lector puede encontrar en un curso sobre sistemas de potencia. Es importante se˜ nalar que, en cualquier caso, un circuito trif´ asico sigue siendo un circuito y, balanceado o desbalanceado, siempre se podr´ a resolver mediante los procedimientos de an´ alisis generales.
1.3.
La conexi´ on delta
Otro m´etodo de conexi´ on de una carga trif´asica a una l´ınea es la conexi´on delta , o conexi´ on ∆. Una carga balanceada conectada en ∆ (con impedancias
´ CAP ´ITULO 1. CIRCUITOS TRIF ASICOS
16
de fase iguales) se muestra en la figura 2.3 en una forma que parece una ∆, y en la figura 2.3 se ve una forma equivalente. Si la fuente est´a conectada en Y o en ∆, entonces el sistema es Y-∆ o ∆-∆. La carga conectada en ∆ ofrece una ventaja sobre la carga conectada en Y, consistente en que en el primer caso las cargas pueden conectarse o retirarse con mayor facilidad en un sika fase de k ∆, puesto que las cargas se conectan directamente entre las l´ıneas. Esto no es posible en la conexi´ on enY puesto que el neutro puede no estar accesible. Adem´as, para una potencia suministrada a la carga las corrientes de fase en una ∆ son menores que las correspondientes de una Y. Por otra parte, los voltajes de fase de la ∆ son m´as elevados que los de la conexi´o n en Y. Las fuentes casi siempre se conectan en ∆, porque si los voltajes no est´ an perfectamente balanceados , habr´ a un voltaje neto resultante y en consecuencia circular´ a una corriente alrededor de la delta. Esto, por supuesto, causa calentamientos indeseables en las m´aquinas generadoras. M´ a s a´ un, los voltajes de fase son menores en el generador conectado en Y, y por lo tanto se requiere menos aislamiento. Es Obvio que los sistemas con cargas conectadas en ∆ son sistemas de tres hilos, puesto que no hay conexi´on al neutro. En la figura 2.13 vemos que en el caso de una carga conectada en ∆ los voltajes de l´ınea son los mismos que los voltajes de fase. Por tanto, si los voltajes de l´ınea son los dados en (2.11) como antes, entonces los voltajes de fase son VAB = V L /30◦ ,
VBC = V L / 90◦ ,
−
VCA = V L / 210◦
−
(1.15)
donde V L = V p
(1.16)
Si Z p = Z p /θ, entonces las corrientes de fase son
| |
VAB = I p /30◦ θ Z p VBC = = I p / 90◦ θ Z p VCA = = I p / 210◦ θ Z p
IAB = IBC ICA
−
− −
−
donde I P =
V L
|Z | p
(1.17)
−
(1.18)
´ DELTA 1.3. LA CONEXI ON
17
a Z p
A
B
b Z p
Z p
c
C (a)
a
A
Z p
b
B
Z p
Z p
c
C (b)
Figura 1.13: Dos versiones de un carga conectada en ∆.
´ CAP ´ITULO 1. CIRCUITOS TRIF ASICOS
18
La corriente en la l´ınea de aA es IaA = IAB
que al simplificar queda IaA =
−I
CA
√
3I p / θ
−
Las otras corrientes de l´ınea, obtenidas de modo semejante, son
√ / √3I /−120 − θ = 3I −240 − θ
IbB =
p
IcC
p
◦ ◦
Es evidente que la relaci´ on entre las magnitudes de las corrientes de l´ınea y de fase en el caso de la ∆ es I L =
√
3I p
(1.19)
y as´ı las corrientes de l´ınea son IaA = I L / θ ,
−
IbB = I L / 120◦
−
−θ,
IcC = I L / 240◦
−
−θ
(1.20)
Luego entonces las corrientes y voltajes son conjuntos balanceados, tal como se esperaba. Las relaciones entre las corrientes de l´ınea y de fase en las cargas conectadas en ∆ componen el diagrama fasorial de la figura 2.14.
Ejemplo 1.5 Como ejemplo de un circuito trif´ asico con una carga conectada en ∆, determinemos la corriente de l´ınea I L en la figura 2.13 si el voltaje de l´ınea es de 250 V rms y la carga toma 1.5 kW con un factor de potencia en atraso de 0.8. Para una fase, P p = 1500 = 500 W, y as´ı 3 500 = 250I p (0.8) o bien I p = 2.5 A rms Por tanto, tenemos I L =
√
3I p = 4.33 A rms
´ DELTA 1.3. LA CONEXI ON
19
IcC
VAB
VCA ICA
θ
IAB
30◦
−θ
θ IaA
IBC IbB
VBC
Figura 1.14: Diagrama fasorial de una carga conectada en ∆.
´ CAP ´ITULO 1. CIRCUITOS TRIF ASICOS
20
Finalmente en esta secci´on, obtengamos una f´ ormula para la potencia suministrada a una carga trif´asica balanceada con un a´ngulo de factor de potencia θ. Ya sea que la carga est´e conectada en Y o conectada en ∆, tenemos P = 3P p = 3V p I p cos θ
√
En el caso de la conexi´ o n en Y, V p = V L / 3 e I p = I L , en el caso de la conexi´o n en ∆, V p = V L e I p = I L / 3. En cualquier caso, por tanto,
√
P = 3 o bien P =
√
V L I L cos θ 3
√
3V L I L cos θ
(1.21)
Como verificaci´ on en el ejemplo anterior, (2.12) da 1500 =
√
3(250)I L (0.8)
o como antes I L = 4.33 A rms
1.4.
Trasformaciones Y-∆
En las aplicaciones de muchos sistemas de potencia es importante poder convertir una carga conectada en Y a una carga conectada en ∆ y viceversa. Por ejemplo, sup´ ongase que tenemos una carga conectada en Y en paralelo con una carga conectada en ∆, como se muestra en la figura 2.15, y deseamos reemplazar la combinaci´ on por una carga trif´ asica equivalente. Si ambas cargas estuvieran conectadas en ∆, eso podr´ıa ser relativamente f´ acil puesto que las impedancias de fase correspondientes estar´ıan en paralelo. Tambi´ en, como se ve en el ejercicio 13.2.3, si ambas cargas estuvieran conectadas en en pueden combinarse Y y fueran balanceadas, las impedancias de fase tambi´ como impedancias en paralelo. Para obtener las f´ ormulas de conversi´on de Ya ∆ o de ∆ a Y, veamos las conexiones Y y ∆ de la figura 2.16. Para efectuar la transformaci´ on Y-∆ necesitamos expresiones de Yab , Ybc y Ycs de los t´erminos de la ∆ de Ya , on en ∆ sea equivalente a la conexi´ on Yb y Yc de la Y de modo que la conexi´ en Y en las terminales A, B y C . Es decir, si la Y se reemplaza por la ∆,
1.4. TRASFORMACIONES Y-∆
21
Figura 1.15: Cargas conectadas en Y y conectadas en ∆ en paralelo. deben aparecer los mismos voltajes de nodo Va , Vb y Vc , y deben fluir las mismas corrientes I1 e I2. En forma rec´ıproca, una transformaci´ o n ∆-Y es una expresi´ o n de los par´ametros de la Y en t´erminos de los par´ ametros de la ∆. Comencemos por escribir las ecuaciones de nodo de ambos circuitos. Si se toma el nodo C como referencia, en el caso de la red en Y tenemos = I1 Yb VB b D = I2 Yb VB + (Ya + Yb + Yc )VD = 0 Ya VA
−Y V − a
A
−Y V −Y V a
D
Resolviendo para VD en la tercera ecuaci´ on y sustituyendo su valor en las dos primeras ecuaciones, tenemos, despu´es de simplificar
−
Ya Yb + Ya Yc Ya + Yb + Yc Ya Yb Ya + Yb + Yc
VA
−
VA +
Ya Yb Ya + Yb + Yc Ya Yb + Yb Yc Ya + Yb + Yc
VB = I1
(1.22) VB = I2
Las ecuaciones de nodo del circuito en ∆ son (Yab + Yca )VA Yab VB = I1 Yab VA + ( Yab + Ybc )VB = I2
−
−
Igualando los coeficientes de los t´erminos correspondientes en estas ecuaciones y en (2.22) y resolviendo para las admitancias del circuito ∆, tenemos la
´ CAP ´ITULO 1. CIRCUITOS TRIF ASICOS
22
I1 A
B I2 D
Ya
Yab
I1 A
B I2
Yb Yca
Yc
C
Ybc
C I1 + I2
I1 + I2
(a)
(b)
Yab
A
B Ya
Yb
Yca
Ybc Yc
C (c)
Figura 1.16: Conexi´ on (a) en Y, (b) en ∆ y (c) las dos sobrepuestas.
1.4. TRASFORMACIONES Y-∆
23
transformaci´on Y-∆ Ya Yb Ya + Yb + Yc Yb Yc = Ya + Yb + Yc Yc Ya = Ya + Yb + Yc
Yab = Ybc Yca
(1.23)
Si imaginamos a los circuitos en Y y en ∆ sobrepuestos en un solo diagrama como en la figura 2.4, entonces Ya y Yb son adyacentes a Yab , Yb y Yc son adyacentes a Ybc , etc. As´ı podemos enunciar (2.23) en palabras, como sigue: La admitancia de una rama de la ∆ es igual al producto de las admitancias de las ramas adyacentes de la Y divididas entre la suma de las admitancias de la Y Para obtener la transformaci´ o n ∆-Y podemos resolver (2.23) para las admitancias de la Y, lo que no es tarea f´acil, o podemos escribir dos conjuntos de ecuaciones de lazo para los ciecuitos en Y y en ∆. En el ´ultimo caso seguiremos el procedimiento dual de aquel que condujo a (2.23). En cualquier caso se le pide al lector mostrar en el problema 13.28 que la transformaci´on ∆-Y es Zab Zca Zab + Zbc + Zca Zbc Zab Zb = Zab + Zbc + Zca Zca Zbc Zc = Zab + Zbc + Zca
Za =
(1.24)
donde las Z son los rec´ıprocos de las Y de la figura 2.16. La regla es como sigue: La impedancia de una rama de la Y es igual al producto de las impedancias de las ramas adyacentes de la ∆ divididas entre la suma de las impedancias de la ∆. (Por adyacente queremos decir en cada lado de y terminado en el mismo nodo que . Por ejemplo, en el dibujo de la Y y la ∆ sobrepuestas, Za se halla entre Zab y Zca y las tres tienen una terminal com´ un A. As´ı Zab y Zca son ramas adyacentes de Za.) ( (
) )
´ CAP ´ITULO 1. CIRCUITOS TRIF ASICOS
24 5Ω
5Ω
a
a Zab
6Ω
36 Ω
3Ω
b
Z
2Ω
36 Ω Zca
Z
b
24 Ω
24 Ω Zbc
c
c
(a)
(b)
Figura 1.17: Dos circuitos equivalentes.
Ejemplo 1.6 Por ejemplo, determinemos la impedancia de entrada Z en la figura 2.6. Este problema podr´ıa haber requerido en el pasado que escribi´eramos ecuaciones de lazo o de nodo, porque no hubi´eramos podido simplificar el circuito combinando impedancias en serie y/o paralelo. Reemplazando los resistores de 6, 3 y 2 Ω, los cuales constituyen una Y, por su ∆ equvalente, como se muestra en la figura 2.6 , sin embargo, podemos resolver el problema con facilidad. Al comparar las figuras 2.6 y 2.4, vemos que Ya = 16 , Yb = 13 , y Yc = 12 S. Por tanto, por (2.23), tenemos 1
Yab =
1
+ + + + 6
1 6
3
1 3
1
Ybc =
6
Yca =
1 6
=
1 18
=
1 6
=
1 12
2
1
3
1
1
2
1 3
1
1
2
6
+ 13 +
1 2
1 2
Por tanto, en la figura 2.6 tenemos Zab = 18 Ω
Zbc = 6 Ω
Zca = 12 Ω
1.4. TRASFORMACIONES Y-∆
25
As´ı la figura 2.6 puede simplificarse combinando resistores en serie y en paralelo para obtener Z = 12 Ω
Ejemplo 1.7 En otro ejemplo, supongamos que tenemos una carga balanceada conectada en Y con impedancia de fase Zy y deseamos convertirla en una carga conectada en ∆. Por (2.23), puesto que Ya , Yb y Yc son todas iguales a Yy (el rec´ıproco de Zy ), entonces la carga equivalente conectada en ∆ tambi´en est´a balanceada porque Yab = Ybc = Yca =
Yy2
3Yy
=
Yy
3
De modo que si Zd es la impedancia de fase de la carga balanceada equivalente conectada en ∆, entonces (1.25) Zd = 3Zy la cual puede usarse para convertir de Y a ∆ y viceversa.
