Cinética de Partículas

Cinética de Partículas. Segunda Ley de Movimiento de Newton Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula no es cero, la partícula tendrá una aceleración proporcional a la magnitud de la resultante y en la dirección de esta fuerza resultante.

∑ F =m a= ddt v = dt d  ( m v )∗¿ m v  se denomina como la cantidad de movimiento lineal, lineal , o

Donde el vector

simplement simplemente e cantidad de movimiento de la partícula y se denomina con la letra L. *La resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula es igual a la razón de cambio de la cantidad de movimiento lineal de la partícula.  L=m v respecto al tiempo ( t ) ∑ F = L´ , donde L ´ es su derivada con respectoal

Principio de conservación de la cantidad de movimiento lineal  Si

∑ F =0

, la cantidad de movimiento lineal sobre una partícula permanece

constante tanto en magnitud como en dirección.

Ecuaciones de movimiento De

∑ F =m a

se obtiene:

*Componentes rectangulares rectangulares

∑ F  = m a ∑ F  = m a  x

 x

 x

∑ F  = m a

 x

 x

*Componentes tangencial y normal

∑  F t = m a t 

∑

 d v  F t = m dt 

∑  F n=m an

∑

2

 v  F t = m  ρ

 x

Equilibrio dinámico Si se escribe  – m a

∑ F −m a= 0

en la que se expresa que si se suma el vector

a las fuerzas que actúan sobre la partcula, se obtiene un sistema de −ma ,

vectores equivalente a cero. !l vector

de magnitud

ma

y de

dirección opuesta a la de la aceleraci"n , se denomina vector de inercia.

Cantidad de movimiento angular de una artícula  H O= r × m v H O  =rmv ( senφ ) , donder esel vector de posicionde la particula y φ esel angulo entre r y mv

!l sentido de

 H O

puede determinarse a partir del sentido de

mv

aplicando la regla de la mano derec#a. $l descomponer los vectores

r

y

mv

en componentes y #acer el

determinante, se escribe:

|

i  H O=  x m v x

j y m v y

|

k  z mv z

$l expandir el determinante se obtienen las componentes de

 H O

, las cuales

representan tambi%n los momentos de la cantidad de movimiento lineal

mv

alrededor de los ees de coordenadas.  H  x = m ( y v z− z v y )  H  y =m ( z v x − x v z )  H  z =m ( x v  y − y v x )

!n el caso de una partcula que se mueve en el plano  z = vz =0  y las componentes

 H  x

 y

 H  y

 xy , se tiene

 se reducen a cero. &or lo tanto la

cantidad de movimiento angular es perpendicular al plano

 xy  y en ese caso

se de'ne por completo mediante el escalar:  H O= H  z= m ( x v y − y v x )

!ste ser( positivo o negativo de acuerdo con el sentido en el cual se observa que la partcula se mueve desde ).

$l recurrir a coordenadas polares, se descompone la cantidad de movimiento lineal de la partcula en las componentes radial y transver sal y se escribe:  H O= rmv ( senφ )=rm v θ

  recordando que

v θ =r θ´ , se obtiene:

2  H O= mr θ´

Derivando respecto al tiempo la cantidad de movimiento angular partcula ! que se mueve en el espacio. d d  ´ O =´r × m v + r ×m v´ =v × m v + r × m a  H O )=  ( r × m v )= H   ( dt  dt 

 H O

de la

&uesto que los vectores

v

y

m v  son colineales, el primer termino de la

expresi"n que se obtiene es cero+ y, mediante la segunda ley de neton, es igual a la suma representa la suma

∑ F 

de las fuerzas que actúan sobre !. Si

∑   O

r×

ma

∑  F 

de los momentos alrededor de ) de estas

fuerzas, se escribe:

∑   = H ´ O

O

!sta expresi"n obtenida directamente de la segunda ley de neton expresa:

La suma de los momentos en O de las fuerzas que actúan sobre la  partícula es igual a la razón de cambio del momento de la cantidad de movimiento, o cantidad de movimiento angular, de la partícula alrededor de O a través del tiempo.