CINEMÁTICA TRIDIMENSIONAL TEMA II Mgr. Mgr. Iván Ruiz Ruiz U. U.
CINEMÁTICA TRIDIMENSIONAL •
•
Estudia el movimiento de una partícula en una tra trayector ctoriia curv curvililíínea, sin sin consi onside derrar las las caus causas as ue la generan. Solo describe el movimiento (Especifica la trayectoria y la posición, velocidad y aceleración aceleración al tiempo t)
CINEMÁTICA TRIDIMENSIONAL •
•
Estudia el movimiento de una partícula en una tra trayector ctoriia curv curvililíínea, sin sin consi onside derrar las las caus causas as ue la generan. Solo describe el movimiento (Especifica la trayectoria y la posición, velocidad y aceleración aceleración al tiempo t)
VECTOR DE POSICIÓN •
•
Es la magnitud magnitud física vectorial que especifica especifica la posición de la partícula (un luga ugar del espacio) respecto de un sistema de referencia referencia a cualquier tiempo t La unidad unidad del del vector vector de posici posición ón en el S. I. es el metro [m. v ! a a matem"tica por medio de la e!presión# r = x(t ) u x + y (t ) u y + z (t ) uz
$onde#
x = x (t )
y = y (t )
z
=
z (t )
Son funciones del tiempo t. Ejemplo:
r
= (10 cos 2t )
u x
+ (10 sen 2t )
uy
+ ( 2t )
uz
&epresenta un movimiento en una trayectoria 'elicoidal (forma de un resorte)
VECTOR DESPLAZAMIENTO •
•
El vector desplaamiento, es la magnitud vectorial que mide el cambio de posición en un intervalo de tiempo. atem"ticamen atem"ticamente, te, se define define como la dif diferen erenci ciaa del del vect ector posi posici ción ón fina finall menos el inicial inicial es decir# decir#
∆r = •
r 2 − r 1
E!presado en forma de componentes# ∆r = ∆x u x + ∆y
•
•
u y + ∆z u z
El vector vector desplaamiento es secante a la trayectoria trayectoria La magnitud del vector vector desplaamie desplaamient nto, o, no es igual a la longitud de la trayectoria
DISTANCIA RECORRIDA •
•
Es una magnitud escalar que mide la longitud de la trayectoria que describe la partícula en un intervalo de tiempo. atem"ticamente, la distancia recorrida esta definida por# ∆s =
t 2
d x
2
d y +
2
2
d z + dt
1
•
•
La distancia recorrida es positiva y no es igual al desplaamiento. *ara ara medi medirr la dis distanci anciaa recor ecorri rida da,, se debe definir un origen + sobre la trayectoria de tal manera que a partir de ella se mide la distancia. distancia.
DEDUCCIÓN DE LA DISTANCIA RECORRIDA •
Se debe observar, la magnitud del vector desplaamiento no es igual a la distancia, para un intervalo de tiempo relativamente grande# ∆r ≠ ∆s
•
*ero, la magnitud del vector diferencial de desplaamiento es igual al diferencial de distancia# dr
=d
s
DEDUCCIÓN DE LA DISTANCIA RECORRIDA •
*or tanto, la distancia recorrida esta dada por# ∆s =
•
∫
t2
t1
ds=
∫
t 2
t 1
dr
La magnitud del vector diferencial de desplaamiento# 2
2
d r = (d x ) + (d y ) + ( d z )
•
a s anc a recorr a es# ∆s =
•
2
∫
t2
t1
dr =
∫
t 2
t 1
2
2
( d x ) + (d y ) + ( d z )
2
ultiplicando y dividiendo por el diferencial de tiempo# ∆s =
∆s =
∫
t 2
t 1
∫
t 2
t 1
2
2
(d x ) + (d y ) + ( d z ) dx 2
dy 2
dz 2
2
( d t ) + ( d t ) + ( d t ) d t
d t d t
EJEMPLO na partícula se mueve seg-n la ley# r
= (10 cos 2t )
u x
+ (10 sen 2t )
*ara el intervalo de tiempo 0 ≤ t ≤ 10
s
a) alcula el vector desplaamiento b) alcula la distancia recorrida
uy
PRACTICA DE CLASE na partícula se mueve seg-n la ley# r = ( 4 t ) u x + ( 2 + 2 t 2 ) u y
*ara el intervalo de tiempo 0≤t ≤2
s
a) alcula el vector desplaamiento b) alcula la distancia recorrida
VELOCIDAD MEDIA Es una magnitud vectorial que mide el cambio de posición de la partícula en la unidad de tiempo, medido en cualquier intervalo de tiempo. atem"ticamente definida por# ∆ r
m
r2 − r 1
m
∆ t
=
t2 − t 1
E!presado en componentes# vm
=
∆ x ∆t
ux
+
∆
y
∆t
uy
+
∆z ∆ t
uz
La unidad en el Sistema Internacional es el [m/s.
VELOCIDAD MEDIA INTERPRETACIÓN FÍSICA La velocidad media tiene la dirección secante a la trayectoria entre los tiempos inicial y final. La velocidad media se cons era cons an e en o o e intervalo de inicial y final. La velocidad media no es un buen par"metro para describir el movimiento, solo da una estimación promedia del movimiento.
RAPIDEZ MEDIA Es una magnitud escalar que mide la distancia recorrida por partícula en la unidad de tiempo, medido en cualquier intervalo de tiempo. atem"ticamente definida por# vm =
∆s ∆ t
La rapide media se mide en [m/s La rapide media se considera constante en el intervalo de tiempo. La rapide media es un par"metro que especifica me0or el movimiento comparada con la velocidad media.
VELOCIDAD INSTANTÁNEA Ó VELOCIDAD Es una magnitud vectorial que mide el cambio de posición de la partícula en la unidad de tiempo, medido en un intervalo de tiempo e!tremadamente peque1o. atem"ticamente definida por# ∆r
v
=
Lim ∆t → 0
∆t
2plicando la definición de la derivada, la velocidad esta dada por#
v=
d r dt
$esarrollando en componentes#
v=
d dt
[ x(t ) u
x
+ y (t ) u y + z (t ) u z
]
La velocidad en componentes esta dada por#
v=
dx dt
u x +
dy dt
u y +
dz dt
u z
INTERPRETACIÓN FÍSICA DE LA VELOCIDAD onsiderando la definición de la velocidad# ∆r
v = Lim
∆t →0
∆t
∆r
El factor#
∆t
Es un vector cu a dirección es secante a la trayectoria. uando el intervalo de tiempo ∆t, este vector secante se apro!ima a un vector tangente. *or tanto, el vector velocidad es tangente a la trayectoria que sigue la partícula.
RAPIDEZ INSTANTÁNEA Ó RAPIDEZ Es una magnitud escalar que mide la distancia recorrida por la partícula en la unidad de tiempo, medido en un intervalo de tiempo e!tremadamente peque1o. atem"ticamente definida por# v = lim
∆t → 0
∆s
∆t
*or la definición de la derivada la ra ide esta dada or# v=
ds dt
omo, la magnitud del vector diferencial de desplaamiento es igual al diferencial de distancia# dr
=
ds
RAPIDEZ (CONTINUACIÓN ) La rapide se puede escribir en la forma# v=
ds
d r
=
dt
dt
dr
=
dt
*or tanto, la rapide es igual a la magnitud de la velocidad, es decir# d r
v= v
=
VECTOR UNITARIO TANGENTE Se define el vector unitario tangente, como un vector de magnitud igual a la unidad cuya dirección es tangente a la trayectoria de la partícula#
CALCULO DEL VECTOR UNITARIO TANGENTE omo la velocidad es tangente a la trayectoria, el vector unitario tangente se puede calcular por la e!presión# v
uT =
v
La ve oci a se pue e e!presar como el producto de la rapide por el vector unitario tangente# v
=
v uT
EJEMPLO na partícula se mueve con el vector de posición dado por la e!presión# r = ( 2 t − 1) u x + ( 2 t 2 + t − 4 ) u y + ( t 3 + t ) u y
*ara el intervalo de tiempo 0≤t ≤2
s
a) alcula la velocidad media *ara el tiempo t = 2 s b) alcula la velocidad c ) alcula la rapide d) alcula el vector unitario tangente
PRACTICA DE CLASE na partícula se mueve con el vector de posición dado por la e!presión# r
= [ 4sen(2t ) ]
u x
+ 6 cos(2t )
uy
+(
*ara el intervalo de tiempo 0 ≤ t ≤1 s
a) alcula la velocidad media *ara el tiempo t = 1 s b) alcula la velocidad c ) alcula la rapide d) alcula el vector unitario tangente
2t ) u y
ACELERACIÓN MEDIA Es una magnitud física vectorial que mide el cambio de la velocidad por unidad de tiempo, medido en cualquier intervalo de tiempo. atem"ticamente definida por#
am =
∆v
am
∆t
=
v2
− v1
t 2
− t 1
v1
Es a ve oci a instant nea a tiempo inicia t3
v2
Es la velocidad instant"nea al tiempo final t 5
La unidad en el Sistema Internacional es el [m/s4.# La aceleración media en forma de componentes esta dada por# a=
∆ v x ∆t
u x +
∆ v y ∆t
uy +
∆ vz ∆ t
uz
ACELERACIÓN MEDIA INTERPRETACIÓN FÍSICA onsiderando los vectores velocidad al tiempo inicial t3 y final t5, la diferencia vectorial de sus correspondientes velocidades, apunta 'acia el lado cóncavo. $e gua orma cons eran o e intervalo de tiempo t5 al t6, la diferencia vectorial apunta al lado cóncavo. *o tanto, La aceleración media apunta 'acia el lado cóncavo de la trayectoria.
ACELERACIÓN INSTANTÁNEA Ó ACELERACIÓN Es una magnitud física vectorial que mide el cambio de la velocidad por unidad de tiempo, medido en un intervalo de tiempo e!tremadamente peque1o. atem"ticamente definida por#
a = Lim ∆t → 0
∆v
∆t
2plicando la definición de la derivada, la aceleración es igual a la derivada de la velocidad respecto del tiempo, es decir# dv
a
=
d t
La unidad en el Sistema Internacional es el [m/s4. La aceleración en forma de componentes esta dada por# a=
d v x dt
u x +
d v y dt
uy +
d vz
uz dt
ACELERACIÓN INSTANTÁNEA Ó ACELERACIÓN omo la velocidad esta dada por la e!presión# d r
v
=
d t
Sustituyendo en la formula de la aceleración# d d r
a
=
d t d t
*or tanto, la aceleración es igual a la segunda derivada del vector de posición# 2
a
=
d r
2
d t
E!presando en componentes# a=
d 2x dt2
u x +
d2y dt2
uy +
d2z
uz 2 dt
ACELERACIÓN INTERPRETACIÓN FÍSICA Como la aceleración, es el resultado del límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempo es extremadamente pequeña, por tanto: partícula en el movimiento curvilíneo es un vector cuya dirección esta dirigida hacia el lado cóncavo de la trayectoria. La dirección del vector velocidad y aceleración por lo general cambia en el movimiento curvilíneo.
COMPONENTE TANGENCIAL Y NORMAL DE LA ACELERACIÓN omo la aceleración est" dirigida al lado cóncavo de la trayectoria, el vector aceleración se descompone en dos componentes perpendiculares#
a N
2celeración tangencial, dirigida en la irecci n tangente a a trayectoria. 2celeración normal, dirigida en la dirección normal a la trayectoria.
*or tanto la aceleración esta dada por#
a = aT + a N En t7rminos de los vectores unitarios tangencial y normal# a = aT uT + aN uN
DEDUCCIÓN DE LAS COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL DE LA ACELERACIÓN $erivando la velocidad# dv
a=
=
dt
d
v uT dt
2plicando las reglas de derivación# dv
duT
T
dt
dt
*or an"lisis grafico#
uT = cosφ u x + senφ u y
u N
= − senφ u x + cos φ u y
$e cuyas relaciones se obtiene#
u N =
d uT d φ
DEDUCCIÓN DE LAS COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL DE LA ACELERACIÓN onsiderando la relación# d uT
dt
d uT dφ
=
d uT dφ
=
dt dφ
=
d φ
u N dt
dφ dt
8bservando el grafico# d φ =
ds
ρ
$ividiendo entre el diferencial de tiempo# s
=
ρ d t
dt
2plicando la definición de rapide# d uT
=
dt
v
u N
9inalmente, la aceleración en forma de componentes esta dada por# dv v2
a=
dt
uT +
ρ
u N
OTRAS RELACIONES PARA LAS COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL DE LA ACELERACIÓN onsiderando las relaciones# v = v uT a = aT uT
+ aN
2plicando el producto escalar#
uN
a ⋅v
= ( aT
uT
+ aN
uN ) ⋅ v uT
2plicando propiedades se tiene# a ⋅v aT = v
2plicando el producto :ectorial# onsiderando que#
a × v = (aT uT + aN uN ) × v uT
u N × uT = n = 1
2plicando propiedades se tiene# a×v a N = v
OTRAS RELACIONES DEL MOVIMIENTO CURVILINEO Igualando las e!presiones de la aceleración ;ormal# 2 a×v v = a N = v ρ El radio de curvatura ser"# 3 v ρ = a×v
$e a e!presi n# a
=
aT uT
+ aN
uN
$espe0ando el vector unitario normal# a − aT uT
u N
=
a N
EJEMPLO na partícula se mueve con el vector de posición dado por la e!presión# r
= [ 4sen(2t ) ]
u x
+ 6 cos(2t )
uy
+(
2t ) u y
*ara el intervalo de tiempo 0 ≤ t ≤1 s
a) alcula la aceleración media *ara el tiempo t = 1 s b) c) d) e)
alcula la aceleración alcula las componentes tangencial y normal alcula el vector unitario tangente y normal El radio de curvatura
PRACTICA DE CLASE na partícula se mueve con el vector de posición dado por la e!presión# r = t 3 − t 2 u x + [2t 2 + 4t ] u y + ( 6t 2 ) u y
*ara el intervalo de tiempo 0≤t ≤2
s
a) alcula la aceleración media *ara el tiempo t = 2 s b) c) d) e)
alcula la aceleración alcula las componentes tangencial y normal alcula el vector unitario tangente y normal El radio de curvatura
MOVIMIENTO PARABÓLICO na partícula describe un movimiento parabólico, si la trayectoria que sigue corresponde a una curva parabólica. ondiciones para el movimiento parabólico# La partícula esta sometida a una ace erac n cons an e. La velocidad inicial deber" 'acer un "ngulo diferente de + y 3<+ respecto de la aceleración. •
•
°
°
*or e0emplo# una partícula que se mueve sobre la superficie terrestre, e!perimenta la aceleración de la gravedad, que se considera constante, y cuya velocidad inicial no esta dirigida en la dirección vertical.
PROBLEMA DEL MOVIMIENTO PARABÓLICO onsiderando el sistema de referencia del grafico ad0unto# La aceleración# a = − g u z
*osición inicial# r0 = x0 u x + z0 u z
0
$onde# v0 x
=
=
0 x
v0 cos φ 0
0z
x
z
v0 z = v0 sen φ 0
El problema consiste en determinar las relaciones funcionales#
r = x(t ) u x + z (t ) u z
v = v x (t ) u x + vz (t ) u z
CALCULO DE LA VELOCIDAD PARA EL MOVIMIENTO PARABÓLICO Se sustituye la aceleración# a = − g u z
dv
En #
a=
dv
− g u z =
dt
dt
Separando variables e integrando#
t
v
− g u z
dt =
Integrando#
−
g (t − t 0 ) u z = v − (v0 x u x + v0 z u z )
&eordenando t7rminos, la velocidad esta dada por# v = v0 x u x + v0 z − g (t − t0 ) u z
En forma de componentes# v x = v0 x
0 x
0
v z = v0 z − g (t − t0 )
dv
x
0z
z
CALCULO DE LA POSICIÓN PARA EL MOVIMIENTO PARABÓLICO v = v0 x u x + v0 z − g (t − t0 ) u z
Se sustituye la velocidad# dr
En #
v
=
dr
v0 x u x + v0 z − g (t − t0 ) u z
dt
=
dt
Separando variables e integrando# t =t t =t0
r
v u
+ v
−
t − t u dt =
Integrando# 1 v0 x ( t − t0 ) u x + v0 z ( t − t0 ) − g (t − t0 ) 2 u z
2
r = x0 u x + z0 u z
=
r
dr
−
(x
u x + z0 u z ) 0
&eordenando t7rminos, la posición esta dada por# 1 2 r = x0 + v0 x ( t − t0 ) ux + z0 + v0 z ( t − t0 ) − g (t − t0 ) uz 2
En forma de componentes# x = x0 + v0 x ( t − t 0 )
z
=
z0 + v0 z ( t − t0 ) −
1 2
g (t − t 0 )
2
ECUACIÓN DE LA TRAYECTORIA DEL MOVIMIENTO PARABÓLICO onsiderando las ecuaciones # x = x0 + v0 x ( t − t 0 )
z
=
z0 + v0 z ( t − t0 ) −
&ealiando los cambios de variable# X Se obtiene#
X = v0 x T
Z = v0 z T −
g 2
=
2
T
> en termino de ?, esta dada por# Z
omo#
= v0 z
X
−
v0 x
tag φ 0 =
g X
2
2
2 v0 x
v0 z v0 x
La ecuación de la trayectoria del movimiento parabólico esta dada por# z = z0 + tag φ 0 ( x − x0 ) −
g 2
2 v0 x
( x − x0 )
2
1 2
x − x0
g (t − t 0 )
2
Z = z − z0
$espe0ando =#
T T =
= t − t 0 X v0 x
ALTURA MÁXIMA EN EL MOVIMIENTO PARABÓLICO ondición matem"tica# $erivando# v z
v z
=
dz dt
=
0
= v0 z − g ( t − t0 ) = 0
uya solución es#
tmax − t 0 =
v0 z g
La altura m"!ima se determina evaluando en el tiempo m"!imo# = z
max
Es decir# H = z0 + v0 z
v0 z
−
g
2 g v 0 z
2 g
2
La altura m"!ima en el movimiento parabólico esta dada por# H = z0 +
v 02 z 2g
TIEMPO DE VUELO EN EL MOVIMIENTO PARABÓLICO ondición matem"tica#
z = 0 g
Es decir# z = z0 + v0 z T − T
2
2
=
@
0
Su discriminante# 2 v0 z g
D =
2 v0 z
T =
±
g
2
g
2
−2 z0 2 2 v = g g
− 4
v02 z
+ 2g
0 z
+ 2 z0 g
z0
2
onsiderando la solución positiva, el tiempo de vuelo esta dada por# T v
=
v0 z g
2
+
v0 z
+ 2g
g
z0
2
T −
2 v0 z
g
T −
2 z0
g
=0
ALCANCE MÁXIMO EN EL MOVIMIENTO PARABÓLICO ondición matem"tica#
A = x(t v ) Sustituyendo en# x = x0 + v0 x ( t − t 0 ) A = x(tv ) = x0 + v0 x
2 0 z
g
+
0z
g
&educiendo, el alcance esta dada por# v2 + v v2 0 z 0z A = x0 + g
0 z
+ 2g
z0
PRACTICA DE CLASE onsiderando un movimiento con una aceleración# a = −10 u z
m/s
2
Si al tiempo inicial la partícula parte de# r = 30 u z velocidad de# v = 20 u x + 30 uz m/s , encontrar#
con una
a) La función velocidad en t7rminos del tiempo c) Las componentes tangencial y normal de la aceleración al tiempo de 5 s. d) El radio de curvatura al tiempo de 5 s.
PRACTICA DE CLASE onsiderando el movimiento parabólico sobre la superficie terrestre para una partícula que inicia su movimiento desde una altura de 6+ m con una rapide de 5+ m/s y un "ngulo de 6+A respecto de la 'oriontal , encontrar# a) La ecuación de la trayectoria . c) El tiempo de vuelo. d) El alcance m"!imo. e) El tiempo que tarda en llegar a una altura de 3+ m sobre la superficie terrestre. f) *ara el tiempo calculado en el inciso anterior, determinar la velocidad.
MOVIMIENTO CIRCULAR na partícula realia un movimiento circular, si# La trayectoria que describe la partícula es una curva circular de radio &. El vector velocidad es perpendicular al radio de la trayectoria en todo momento. El movimiento circular es un movimiento bidimensional en el plano ?B#
MOVIMIENTO CIRCULAR En un sistema de coordenadas cartesianas (!,y), el vector posición tiene dos componentes que dependen del tiempo. r = x(t ) u x + y (t ) u y
r = R cos φ (t ) u x + R sin φ (t ) u y
onsiderando el sistema de coordenadas polares# ( r , φ ) La coordenada r=R se mantiene constante y solo el "ngulo φ cambia con el tiempo, por tanto el movimiento circular se considera unidimensional en el Sistema *olar. En t7rminos del vector unitario en dirección radial ur = r / r el vector de posición es unidimensional dado por#
r = R ur
PARÁMETROS CINEMÁTICOS DEL MOVIMIENTO CIRCULAR VECTOR POSICIÓN ANGULAR Es la magnitud vectorial cuya magnitud esta definida como el "ngulo que forma el e0e ? con el vector posición, y tiene dirección perpendicular al plano de la trayectoria circular y cumple con la regla de la mano derec'a.
φ
= φ ( t ) u z
La osición an ular se mide en radianes. omo este vector es unidimensional (na sola componente), se escribe en la forma# φ
= φ ( t )
La posición angular se mide en radianes. El "ngulo es positivo si se genera en dirección anti 'oraria, y sentido negativo si es generada en dirección 'oraria.
PARÁMETROS CINEMÁTICOS DEL MOVIMIENTO CIRCULAR VECTOR VELOCIDAD ANGULAR Es la magnitud física vectorial que mide el cambio de posición angular en la unidad de tiempo, medido en un intervalo de tiempo e!tremadamente peque1o. ∆φ
ω = Lim
∆t
∆t → 0
uz
2plicando la definición de la derivada#
ω =
d φ dt
u z
omo es un vector es unidimensional, se escribe en la forma# ω =
d φ dt
La velocidad angular se mide en rad/s o simplemente 3/s
PARÁMETROS CINEMÁTICOS DEL MOVIMIENTO CIRCULAR VECTOR ACELERACIÓN ANGULAR Es la magnitud física vectorial que mide el cambio de velocidad angular en la unidad de tiempo, medido en un intervalo de tiempo e!tremadamente peque1o.
α = Lim ∆t → 0
∆ω ∆ t
uz
2plicando la definición de la derivada# dω d 2φ u z = uz α = 2 dt dt omo es un vector es unidimensional, se escribe en la forma# 2 d ω d φ α = = dt d t 2
La aceleración angular se mide en rad/s 2 o simplemente 1/s 2
PARÁMETROS CINEMÁTICOS DEL MOVIMIENTO CIRCULAR PERIODO Y FRECUENCIA Si la partícula describe un movimiento circular con velocidad angular constante, se define el *eriodo, como el tiempo que demora la partícula en completar una vuelta. umple la relación# ω =
2π
T
La unidad en el sistema internacional del período es el segundo. La frecuencia f se define como el n-mero de revoluciones que completa la partícula en la unidad de tiempo, es decir es la magnitud inversa del periodo, dada por la e!presión# f
=
1
T
La unidad de la frecuencia en el sistema internacional es el Cert (C). =ambi7n se utilia como unidad de frecuencia el n-mero de revoluciones por minuto (rpm), que es igual al n-mero de revoluciones que da la partícula en un minuto.
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME M.C.U na partícula realia un movimiento circular uniforme si# La trayectoria que sigue es circular. La aceleración angular es nula. 2plicando la ecuación# α = 0 = d ω dt
2plicando la t7cnica de separación de variables e integrando# t
=
t = t0
w w0
ω
0
2plicando la ecuación#
ω =
d φ dt
2plicando la t7cnica de separación de variables e integrando#
∫
t
t =t 0
ω dt =
∫
φ
φ =φ 0
d
φ
= φ0 + ω ( t − t 0 )
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO M.C.U.A. na partícula realia un movimiento circular uniformemente acelerado si# La trayectoria que sigue es circular. La aceleración angular es constante. d ω 2plicando la ecuación# α = dt
2plicando la t7cnica de separación de variables e integrando# t t = t0
=
α
w w0
ω
2plicando la ecuación#
=
−
0
ω = ω0 + α ( t − t 0 ) =
0
d φ d t
2plicando la t7cnica de separación de variables e integrando#
∫
t
t =t 0
φ
ω0 + α ( t − t0 ) d t =
= φ0 + ω0 ( t − t0 ) +
1 2
∫
φ
φ =φ 0
dφ 2
α (t − t0 )
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO M.C.U.A. onsiderando las relaciones# dφ dt
=ω
α =
d ω dt
ultiplicando miembro a miembro y simplificando# d dt
α
=ω
d ω
α
dt
Integrando#
∫
φ
φ =φ 0
=ω
α dφ
=
ω
∫
w
w0
ω d ω
9inalmente se obtiene#
ω2
2
= ω 0 + 2α (φ − φ0 )
MOVIMIENTO CIRCULAR RELACIÓN ENTRE VARIABLES LINEALES Y ANGULARES Las magnitudes físicas# vector de posición , velocidad y aceleración se llaman variables lineales. Las magnitudes# vector posición angular , velocidad angular y aceleración angular se llaman variables angulares. *or an"lisis grafico y aplicando la definición de "ngulo en radianes, se obtiene# φ =
s R
s = R φ
$erivando respecto del tiempo# ds
=
dt
d
( R φ ) dt
v = R ω
$erivando respecto del tiempo# dv dt
=
d
( R ω ) dt
aT = R α
MOVIMIENTO CIRCULAR RELACIÓN ENTRE VARIABLES LINEALES Y ANGULARES onsiderando. r = R ur
dr
v=
$erivando#
=
dt
d dt
d ur
( R ur ) = R
d
dt
d ur dφ
ur = R
dφ dt
omo#
uφ =
uT = uφ 9inalmente#
2dem"s
d φ
v=
ω uT
*or simple inspección grafica# R = r sen θ El vector velocidad respecto del sistema de referencias 8, se puede escribir como#
v = ω r sen θ uT 2plicando la definición de producto vectorial#
v = ω × r
MOVIMIENTO CIRCULAR RELACIÓN ENTRE VARIABLES LINEALES Y ANGULARES $erivando la ecuación v = R ω uT respecto del tiempo#
d ω d uT d uT = = + = + a= R u R u R R u R ω ω α ω ( T ) T T dt dt dt dt dt dv
d
d uT d φ
a = Rα uT + Rω
d uT
=
dφ d t
Rα uT + Rω 2
=
dφ
Rα uT + Rω 2 uN
9inalmente# 2
a = Rα uT + Rω u N
omponentes tangencial y normal de la aceleración# aN = Rω 2
aT = Rα
Se utilia las relaciones# d uT = u N d φ
ur = − uN
