CINEMATICA DE CUERPO RIGIDOS 12-1 INTRODUCCION . TIPOS DE MOVIMIENTO DE CUERPO RIGIDOS . En la sección 9-1 analizamos la correlación entre el sistema resultante de una fuerza y un par no balanceado que actúa sobre un cuerpo y su consiguiente movimiento . Establecimos dos ecuaciones básicas; a saber R = (W/g)a y M = H. Estas fueron derivadas posteriormente en las secciones 10-5 y 10-6 .Además de estas ecuaciones básicas, notamos la necesidad de la correlación entre la aceleración y el movimiento, que es el área conocida como cinemática. Por las mismas razones que empezamos con el estudio de la cinemática de la partícula como un prerrequisito para estudiar su cinética, asi mismo iniciaremos el estudio del movimiento de cuerpos rígidos con la cinemática del movimiento de dichos cuerpos. Los diferentes tipos de movimiento que estudiaremos son : 1. 2. 3. 4. 5.
Traslación Rotación con eje fijo Movimiento plano general Rotación alrededor de un punto fijo Movimiento general en el espacio
Ya se mostró en la sección 11-2 que la traslación (bien sea rectilínea o curvilínea ) tiene la característica de que todas las partículas del cuerpo poseen el mismo movimiento. Esta fue nuestra base para tratar un cuerpo en traslación como una partícula que tiene la masa del cuerpo y el movimiento de cualquier punto de este cuerpo. Concretando, el movimiento de traslación se caracteriza por la ausencia de giro o movimiento angular del cuerpo. Debido a esto, la cinemática del movimiento de partículas fue suficiente para manejar la traslación de un cuerpo rígido, y por tanto incluimos este tipo de movimiento en el Capítulo 11 como una simple aplicación de la cinética de partículas. En la sección siguiente, rotación con eje fijo, analizaremos el concepto por medio del cual la posición de un cuerpo se define únicamente por su coordenada angular y no por su coordenada líneal, que es suficiente para la traslación . En particular, mostraremos una analogía entre el movimiento rectilíneo y el movimiento angular, por lo cual mucho de nuestro conocimiento sobre movimiento rectilíneo puede aplicarse directamente a la cinemática rotacional. Veremos que cada uno de los tipos de movimiento restantes es una combinación del movimiento lineal y del angular, por lo cual nuestro objetivo principal será poner en correlación el movimiento angular con el movimiento líneal del centro de masa. Una vez establecida esta correlación cinemática, estaremos preparados para analizar la cinética de diferentes tipos de movimiento de cuerpos rígidos. 12-2 MOVIMIENTO ANGULAR. ROTACION CON EJE FIJO La rotación con eje fijo se define como el movimiento de un cuerpo rígido en el que todas las partículas se mueven en trayectorias circulares con sus centros en una línea recta fija,
llamada eje de rotación . Los planos de los circulos en que se mueven las partículas son perpendiculares al eje de rotación . Estos conceptos se ilustran en la figura 12-2.1 donde el movimiento de una partícula típica P se determina por el cambio en su vector de posición r trazado de un orígen O cualquiera en el eje fijo de rotación . La condición de que el cuerpo sea rígido exige que la longitud de r y su inclinación sean constantes ; por tanto , P describe una trayectoria circular, perpendicular al eje de rotación , con centro en su proyección B sobre este eje y de radio BP = rsen. Este movimiento, y el de la línea CD en el cuerpo, se describe de una manera más conveniente si proyectamos el cuerpo en rotación sobre un plano perpendicular al eje de rotación tal como se ve en la figura 12-2.2 En ella O representa el eje fijo y CD es la proyección de una línea cualquiera tal como CD en la figura 12-2.1 Vemos que, si dejamos girar el radio de un punto C, un ángulo de radianes , el punto C se mueve en una distancia en arco s1= r1. Como el cuerpo es rígido , el ángulo COD no puede cambiar ; por lo tanto, el radio de cualquier otro punto D también girara un ángulo y el punto D se moverá en una distancia en arco s2 = r2 . de esto se puede concluir que los radios de todas las partículas de un cuerpo en rotación tienen el mismo movimiento angular ( es decir , el mismo ) aun cuando sus movimientos lineales ( s1 y s2 ) son directamente proporcionales a sus distancias radiales al eje de rotación .
De particular importancia es el hecho de que el angulo entre la línea CD y su posición siguiente C´ D´ tambien es igual a . Podemos probar fácilmente esta afirmación si tenemos en cuenta que los triangulos CEO C´EF son semejantes , pués dos de sus ángulos son iguales .
Así, los ángulos CEO y C´EF son ángulos opuestos iguales y los ángulos ECO y FC´E son el mismo ángulo de vértice en los triangulos congruentes COD y C´OD´. En consecuencia , los ángulos COE y EFC´ son iguales y tienen el mismo valor , lo mismo que él ángulo DFD´, el cual es el ángulo opuesto a EFC´. Nuestra conclusión es que la proyección de todos los segmentos de recta en un cuerpo rígido , tal como CD en la figura 12-2.1 , sobre un plano perpendicular al eje de rotación , girarán el mismo ángulo . Definimos este ángulo como desplazamiento angular del cuerpo rígido en rotación . las unidades del desplazamiento angular pueden ser : radianes, grados o revoluciones, pero la medida en radianes es preferible para establecer una correlación entre el movimiento angular y el lineal. En el caso de rotación con eje fijo se puede definir el desplazamiento angular como un vector situado en la dirección del eje de rotación , y su sentido será determinado por la regla de la mano derecha ; es decir, el vector seguirá la dirección del eje de rotación , como lo indique el pulgar extendido de la mano derecha, cuando los demás dedos se encorven alrededor del eje en el sentido de la rotación . Las derivadas de con respecto al tiempo también son vectores ; esto es, la velocidad angular = d / dt y aceleración angular = d / dt = d2 / dt2
También están situados en la dirección del eje de rotación conforme a la regla de la mano derecha . Sin embargo, como la rotación alrededor de un eje fijo suele especificarse en términos de su proyección sobre un plano perpendicular al eje de rotación , es más conveniente denotar , y como cantidades con sentido de giro de las manecillas del
reloj, o con sentido contrario , haciendo que la dirección inicial de la rotación denote el sentido positivo de , y . Esto concuerda con la convención previamente establecida para el movimiento rectilíneo ; a saber, que la dirección inicial del movimiento determina el sentido positivo de s, v y a.
La correlación entre el desplazamiento lineal y angular se presenta en la figura 12-2.4 donde se muestra una polea que puede girar libremente alrededor de un eje O, bajo la acción de un peso W suspendido de un a cuerda enrollada alrededor de la polea . Conforme el peso desciende s metros, un punto B en el borde de la polea se mueve un arco de igual longitud hasta A. El desplazamiento angular correspondiente , de la polea, obviamente se halla subtendido por los radios a los puntos B y A . Evidentemente, la relación entre el desplazamiento lineal del pe so y el desplazamiento angular ( en radianes ) de la polea esta dada por
S = r
(a)
Como el radio r es constante, derivando la ecuación (a) respecto al tiempoobtenemos ds/ dt = r d/dt
o bien
v = r
(b)
y uma segunda derivada de la ecuación (b) nos da dv/ dt = r d/dt
o sea
a = r
(c)
La expresión dv/dt em la ecuación ( c ) es la aceleración lineal del peso , pero también representa la aceleración tangencial at de un punto en el borde de la polea. Recordando la ecuación ( 9-7.2 ), podemos usar v = r para escribir la correspondiente aceleración normal de cualquier punto sobre el borde de la polea en cualquiera de las siguientes formas : an = v2/r = r2 = v
(d)
Resumiendo este análisis , vemos que las ecuaciones diferenciales cinemáticas para el movimiento rectilíneo y para rotación , son completamente análogas en forma y sólo difieren los símbolos usados; a saber, Movimiento rectilíneo v = ds/dt a = dv/dt = d2s/dt2 a ds = v dv
Rotación = d/dt = d/dt = d2 / dt2 d = d
Se pueden transformar una en otra por las relaciones
s = r v = r at = r an = r2 Observemos que at es tangente a la trayectoria en el sentido que gira el radio r, mientras que an es normal a la trayectoria y siempre está dirigida hacia el centro de rotación . Como una extensión de la analogía entre el movimiento rectilíneo y la rotación, observamos que los procedimnientos estudiados previamente en la sección 9-3 para aceleración constante y variable, nos darán resultados similares en rotación que solo difieren en los símbolos usados . Así , las ecuaciones de rotación con aceleración angular constante vienen a ser . Movimiento rectilíneo v = v0 + a t s = v0+ ½ at2 v2 = v02 + 2as
( Relacionado por ) s = r v = r a = r
Rotación = 0 + t = 0 + ½ t2 2 = 02 + 2
12-3 DEFINICION Y ANALISIS DEL MOVIMJIENTO PLANO El movimiento plano es aquel movimiento de un cuerpo rígido en el cual todas las partículas del cuerpo permanecen a una distancia constante respecto de un plano de referencia fijo. En consecuencia , todas las partículas se mueven en planos paralelos y todas las partículas que se hallan sobre la misma lìnea recta perpendicular al plano de referencia, tienen un desplazamiento , una velocidad y una aceleración identicas . Al plano donde se mueve el centro de masa se le define como el plano del movimiento. Ejemplos de cuerpos que tienen un movimiento plano son : las ruedas en rotación , la biela de una máquina reciprocante o las barras que unen partes giratorias de una máquina. En todos estos casos , la característica que identifica a un movimiento plano es : una línea de referencia que une dos puntos cualesquiera en el mismo plano de movimiento, sufre simultáneamente un desplazamiento angular y otro líneal. En realidad , un movimiento plano es una combinación simultánea del movimiento de traslación y el de rotación .El significado físico de esta característica se ampliara enseguida. Analizaremos tres métodos para relacionar el desplazamiento, velocidad y aceleración de dos puntos cualesquiera de un cuerpo cuyo movimiento es plano . estos métodos no
son sino diferentes formas de resolver el mismo problema ; a veces uno de ellos será más fácil de aplicar .
Uno de los métodos incluye el cálculo escalar, el otro, uno vectorial y el tercero es su aplicación geométrica . La comprensión de cada método reafirmara el entendimiento de los otros. El planteamiento más directo es mediante el calculo escalar. En la figura 12-3.1 , representamos un cuerpo rígido con movimiento plano, por su proyección sobre el plano de referencia paralelo fijo XY. Aquí A y B son las proyecciones sobre este plano de dos puntos cualesquiera del cuerpo, r es la distancia constante que los separa, y es la coordenada angular de r medida a partir de la dirección X. Evidentemente las coordenadas de A y de B se relacionan por xB = xA + r cos
yB = yA + r sen
(a)
Suponiendo que estas coordenadas, incluyendo pero no r varían con el tiempo, podemos establecer las relaciones entre las componentes de la velocidad y la aceleración, diferenciando sucesivamente la ecuación (a) . Así, tenemos que Al combinar estas componentes escalares en el orden mostrado en las partes ( a ) y ( b) de la figura 12-3.2 podemos visualizar las relaciones geométricas entre los vectores velocidad y aceleración de B y A . De la parte ( a ) , vemos que v B/A es la diferencia entre vB y vA. Su magnitud es
MOVIMIENTO ESPACIAL ABSOLUTO Este movimiento general equivale a combinar el movimiento de cualquier punto A del cuerpo con una rotación de cuerpo rígido alrededor de dicho punto. Luego la velocidad y la aceleración de cualquier otro punto B del cuerpo se determina con las siguientes ecuaciones-
(12-7.1) (12-7.2) del cuerpo se refieren a un donde la velocidad angular ω y la aceleración angular α = marco de referencia fijo y por tanto se conocen como cantidades absolutas. La aplicación de estas ecuaciones al movimiento plano se simplifico por el hecho de que ω y α = ω eran vectores libres colineales , ambos perpendiculares al plano del movimiento.
Figura 12-8.1 Sin embargo, cuando estas ecuaciones se aplican a un movimiento espacial, ω y generalmente no son colineales y sus valores absolutos no son obvios. Por ejemplo, consideremos el modelo de un giróscopo en la figura 12-8.1, cuyo rotor está dando vueltas a una rapidez constante ω2 alrededor de un eje AB que simultáneamente sufre una precesión respecto del eje vertical fijo, a una rapidez constante ω 1. La combinación de estos dos movimientos determina la velocidad angular absoluta resultante del giróscopo, que es ω = ωl + ω2. Aun cuando tanto ω1 como ω2 tienen una magnitud constante, no podemos concluir que la aceleración angular del giróscopo sea nula. En cambio, obsérvese que aunque ω 1 tiene una dirección constante, ω2 está cambiando su dirección debido a la precesión de ω 1. En efecto, ω2 puede considerarse como un vector fijo en un cuerpo que esta cambiando su dirección a una velocidad al. Aplicando el teorema Omega obtenemos
Un ejemplo más complejo es el de la figura 12-8.2, donde la varilla AB está girando a una velocidad angular ω2 alrededor de un eje horizontal fijo en una plataforma que gira a una velocidad angular ω1 alrededor de AC de la varilla doblada ACD. Si la barra A CD también gira a ω3 alrededor del eje DC, la velocidad angular absoluta de AB es (c)
Figura 12-8.2 y su aceleración angular absoluta es
(d) Notemos la aplicación del teorema Omega para determinar cómo ω 3 afecta la rapidez de cambio de dirección ω1, mientras que la de ω2 es causada por la suma de ω3 y ω1. Para ilustrar la aplicación de las ecuaciones, (c) y (d) en el cálculo de la velocidad y la aceleración absolutas de B en la varilla AB, seleccionaríamos A como un punto de referencia y sumaríamos el movimiento de B considerándola en rotación alrededor de A con las rapideces ωAB y AB . El movimiento de A sería el de un punto en la barra ACD que tiene rotación con eje fijo alrededor de DC, y, por lo tanto, obtendríamos
Los detalles específicos para obtener resultados numéricos se explican en los problemas ilustrativos. El procedimiento es directo, exceptuando la determinación cuidadosa de los valores absolutos de ωAB y AB . Ejemplo Un giróscopo consta de una rueda de 0.6 m de radio montada en una horquilla (figura 128.3). La rueda gira alrededor de su eje horizontal a una velocidad constante de 4 rad/seg mientras que la horquilla gira en un eje vertical fijo a una velocidad constante de 5 rad/seg. Determinar la velocidad y la aceleración de los puntos B y E de la rueda en el instante dado. Solución La rueda describe una rotación de cuerpo rígido alrededor del punto fijo A. Para calcular formalmente la velocidad y la aceleración angulares de la rueda debemos seleccionar los ejes xyz (fijos en la rueda y girando con ella) de manera que sus direcciones coincidan instantáneamente con las de los ejes fijos XYZ. Luego los vectores unitarios i, j, k de los ejes xyz instantáneamente tienen la misma dirección de los vectores unitarios I, J, K de los ejes XYZ. Nótese que j tiene una dirección fija pero i, k giran a una velocidad ω 1. La velocidad angular absoluta de la rueda y de los ejes xyz adjuntos es
Figura 12-8.3 Análisis cinemático del giróscopo. y su aceleración angular absoluta es
Nótese el uso del teorema Omega para el cálculo de k . También podemos calcular directamente del teorema Omega si tenemos en cuenta que la 1 es fija pero que la de ω 2 cambia conforme los ejes xyz fijos en la rueda dirección de giran simultáneamente alrededor de CD y OY. Así, tratando a ω 2 como un vector fijo en un cuerpo que gira a la velocidad angular ω1, obtenemos La velocidad y la aceleración de un punto localizado por un vector de posición r en un marco (o cuerpo) en rotación están dadas por . Ahora que conocemos y ω, aplicamos estas ecuaciones como sigue para determinar la velocidad y la aceleración de los puntos B y E. Velocidad y aceleración del punto B: r = 0.6i m
La figura 12-8.4 representa la vista frontal de un mecanismo como el de la figura 12-8.2 con las dimensiones respectivas. En el instante dado, cuando tan
3 , la barra AB de 4
1.5m gira alrededor de un eje en A con ω2 = 2 rad/seg y α2= - 3 rad/seg2. Simultáneamente, 1 la plataforma a la cual está adherido este eje, gira alrededor de AC con ω1 = 3 rad/seg y 2 = 1 rad/seg , mientras la barra ACD que sostiene la plataforma está girando alrededor del 3 = - 2 rad/seg2. Determinar la velocidad y la eje fijo DC con ω 3 = - 4 rad/seg y aceleración del extremo B de la barra AB.
Figura 12-8.4 Solución Aquí ilustramos los detalles numéricos de la combinación de varios movimientos. El movimiento de cualquier punto en la barra AB se debe a su rotación absoluta alrededor de A más el movimiento de dicho punto. Seleccionemos los ejes xyz unidos a la barra AB cuyo origen esté en A y sean instantáneamente paralelos a los ejes fijos XYZ. Alrededor de estos ejes las velocidades de rotación dadas serán
La velocidad angular absoluta y la aceleración angular absoluta de AB y de los ejes xyz son
Ahora que conocemos ωAB y AB , podemos combinar el movimiento de B como un punto de AB girando alrededor de A con el movimiento de ese punto. Nótese que el movimiento de A se determina por la rotación con eje fijo de ACD. En el instante dado, el vector de posición absoluto de B es rB (rDA 0.9i 0.6 j ) rAB 1.2 0.9 j y la correspondiente velocidad de B es igual a v B (v a 3 rDA ) (v B / A AB rAB )
Evalúe separadamente cada producto vectorial como sigue:
Usando los valores previamente obtenidos de vA, vB/A y AB , evaluamos cada producto vectorial así:
de donde, al agrupar los coeficientes de los vectores unitarios, obtenemos finalmente a B (12.9i 60 j 12.6k )m / seg 2
MOVIMIENTO ESPACIAL RELATIVO. MARCOS DE REFERENCIA EN ROTACIÓN Existen situaciones en las que un cuerpo se mueve dentro de otro. Si bien la situación puede solucionarse con un análisis de movimiento absoluto, es mucho más fácil hacerlo mediante un procedimiento más general conocido como análisis de movimiento relativo, el cual utiliza un marco de referencia que gira y se traslada. El análisis de movimiento relativo es un método completamente general, aplicable no sólo al análisis cinemático sino también para calcular la derivada respecto al tiempo de cualquier vector que cambia tanto en dirección como en magnitud. Consideramos la situación de la figura 12-9.1, donde la partícula B se mueve a lo largo de una trayectoria curva fija en un cuerpo a medida que el cuerpo gira con una velocidad angular ω. Denótese el vector de posición de B por p a partir del origen de A de un marco de referencia fijo en el cuerpo rígido y girando con él. Con respecto a este marco
Los primeros tres términos de la derecha representan la velocidad de B si el marco no estuviera girando, o lo que vería un observador que girara con el marco de referencia. Designamos esto como velocidad relativa al marco (o, más brevemente, como velocidad del marco) y la denotamos por donde el subíndice r significa relativa al marco. El símbolo δ se usa para indicar diferenciación respecto al tiempo, tal como lo vería un observador que girara con el marco. Los tres últimos términos de la derecha en la ecuación (a) existen, pues los vectores unitarios del marco cambian sus direcciones a medida que el marco gira con el cuerpo rígido.
Figura 12-9.1 Teniendo en cuenta el teorema Omega, iˆ iˆ , y , en forma análoga, se obtienen expresiones para j y k. Su suma es
Así, encontramos que la velocidad total de B, que se mueve sobre una trayectoria en un cuerpo en rotación, es
La velocidad absoluta de B se encontraría sumando a este resultado la velocidad absoluta de A. La ecuación (12-9.1) puede interpretarse físicamente como la suma de dos efectos separados que ocurren simultáneamente: (1) el movimiento de B con respecto al marco calculado, como si el marco no girara, y (2) el movimiento de B debido a la rotación del marco. En la figura 12-9.2 se representan gráficamente estos diferentes movimientos simultáneos. Suponiendo primero que ρ tiene una longitud constante y se halla fijo en el cuerpo,en un tiempo diferencial dt,la rotación del marco causa el desplazamiento (ω dt) ρ
mientras que el movimiento relativo de ρ debido a su giro y variación en el marco mis mo durante un tiempo igual δt es δρr. El desplazamiento total de B es entonces
de donde, dividiendo entre el tiempo transcurrido dt = δt,
La ecuación (12-9.1) puede interpretarse como la forma especial de una ecuación más general que expresa la derivada absoluta en relación con el tiempo de cualquier vector A en términos de su rapidez de cambio con respecto a un sistema coordenado en rotación, a saber, (12-9.2) Ahora podemos, con la ayuda de la ecuación (12-9.2), desarrollar el análisis cinemático del movimiento relativo. Este procedimiento será muy útil en situaciones donde exista un movimiento relativo dentro de un cuerpo en movimiento, o cuando dos cuerpos en movimiento se encuentren conectados por un eslabón que se desliza. También se simplificarán los análisis que incluyan varios movimientos angulares relativos entre cuerpos conectados. Hagamos un análisis para calcular la velocidad y la aceleración de una partícula B que se mueve a lo largo de una trayectoria fija en el cuerpo rígido de la figura 12-9.3. Seleccionemos un punto A del cuerpo cuyo movimiento se conozca (o pueda encontrarse fácilmente), como origen de los ejes xyz fijos en el cuerpo rígido, los cuales giran con el cuerpo según los valores absolutos ω y α respecto a los ejes fijos XYZ (también llamado marco inercial o newtoniano). En el movimiento espacial general, los vectores libres ω y α pueden tener cualquier dirección y no son colineales excepto cuando la dirección de ω permanece inalterable. Sea ρ el vector de posición de B con respecto a A, de longitud variable, y sean r B y rA los vectores de posición absolutos de B y de A. Así, tenemos y, al derivar la expresión anterior con respecto al tiempo, obtenemos la siguiente relación de velocidad:
Como hemos movimiento de ρ con referencia xyz en absoluta con respecto determina a partir de su equivalente (12-9.1). Usando esta
considerado el respecto a un marco de rotación, la derivada al tiempo, , se la ecuación (12-9.2) o especial, la ecuación última, obtenemos (12-9.3)
Figura 12-9.3 Si derivamos esta relación de velocidad con respecto al tiempo obtenemos la siguiente ecuación de aceleración:
Puesto que ρ y son vectores de longitud variable llevados por el marco de referencia en rotación, debemos usar el resultado general enunciado en la ecuación (12-9.2) para calcular sus derivadas absolutas con respecto al tiempo. Así, obtenemos
Las
ecuaciones (12-9.3) y (12-9.4) son difíciles de recordar, pero se pueden reinterpretar de una manera física sencilla si imaginamos un punto M fijo en el cuerpo rígido que coincide con B instantáneamente. Conforme esta idea, el movimiento de M es el de una partícula en un cuerpo rígido que gira alrededor de A, lo cual se ha explicado ampliamente en las secciones anteriores. Para esta rotación de cuerpo rígido de M (donde AM es un vector de longitud constante), la velocidad de M respecto de A es v M / A (e) Y la aceleración de Mcon respecto a A es a M / A ( )
(f)
Al comparar las ecuaciones (e) y (f) con sus términos equivalentes en las ecuaciones (129.3) y (12-9.4), estas últimas pueden interpretarse como sigue:
En resumen, el movimiento de cualquier punto B es igual a la suma vectorial del movimiento traslacional de cualquier punto base A, más la rotación con respecto al punto A de un punto M que coincide instantáneamente con B, más el movimiento relativo de B con respecto a una trayectoria fija en el cuerpo. Además, siempre que B se esté moviendo en relación con una trayectoria en el cuerpo, la ecuación de la aceleración debe incluir la componente de Coriolis de la aceleración indicada por aC en la ecuación (12-9.6). Notemos que, como la trayectoria a lo largo de la cual se mueve B está fija en el marco xyz, la velocidad y la aceleración relativas de B pueden determinarse por cualquier método para determinar el movimiento de una partícula en un marco inercial; es decir, en términos de las componentes rectangulares relativas a los ejes que se desplazan y giran xyz; o en términos de las componentes tangencial y normal a su trayectoria en el cuerpo, o bien, en términos de las coordenadas cilindricas descritas por ρ con respecto a los ejes xyz. Recuérdese que las componentes cilindricas son equivalentes a las componentes radial y transversal en un plano —digamos el plano xy— y una componente axial perpendicular a este plano — digamos el eje z. Como una guía general, cuando hay incluidos varios movimientos angulares, debemos hacer que uno de ellos represente el movimiento relativo ω r de la trayectoria con respecto al marco de referencia y combine los otros para formar el movimiento absoluto ω del marco. Todas las aceleraciones posibles consideradas hasta ahora pueden deducirse simplemente cambiando algunas de las condiciones bajo las cuales se dedujo la ecuación general de la aceleración [ecuación (12-9.4)]. A continuación vemos algunas de las posibles variaciones: 1. Traslación de un cuerpo rígido. Aquí el cuerpo rígido se mueve de tal manera que la línea de unión entre dos puntos cualesquiera A y B, permanece fija en longitud y dirección. r = 0. Luego la ecuación (12-9.4) viene a ser Esto equivale a tener ω = α = 0 y r = aB = aA lo cual significa que todos los puntos de un cuerpo rígido en traslación tienen la misma aceleración. La aceleración del cuerpo es causada por la variación de r A y puede calcularse en términos de componentes normal y tangencial, o bien de componentes cilíndricas. A menudo el movimiento es paralelo al plano XY , de manera que las componentes cilíndricas se reducen al caso de componentes radial y transversal.
2. Rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo. Esto equivale a fijar el punto A en el espacio y mantener el vector de posición , de A a cualquier otro punto B, fijo en longitud y con una inclinación constante respecto al eje de rotación . Entonces B describe un circulo con centro en el eje de rotación , cuyo radio es r = sen, como vemos en la figura 12-9.4. Aquí aA=0 y ´r= ¨r =0 y la ecuación ( 12-9.4) se reduce a aB/A = x + x ( x ) O bien aB/A = r + r2
(g)
3. Movimiento plano de un cuerpo rígido que se mueve paralelamente al plano XY. Aquí el punto A se mueve mientras el punto B describe un circulo de radio r con centro en un eje Z que pasa por A. Sin embargo, tiene una magnitud constante , de manera que r = r = 0 y la ecuación (12-9.4) viene a ser aB = aA + x + x ( x ) o bien
Observemos que la otra forma de notación vectorial usada en las ecuaciones (g) y (h) solamente indica las magnitudes de las cantidades que se van a combinar. Sus direcciones dependen del significado físico de estas cantidades; por ejemplo, la componente normal rω2 siempre está dirigida hacia el centro de rotación de la trayectoria, mientras que la componente tangencial rα es tangente a la trayectoria en el sentido determinado por α.
4. Aceleración de Coriolis. Para aclarar la aplicación de la aceleración de Coriolis (a C), consideremos una partícula que se mueve a lo largo de un meridiano de la Tierra como se ve en la figura 12-9.5. Como la Tierra gira alrededor de su eje, tenemos aquí el caso de una partícula que se mueve a lo largo de una trayectoria en rotación. En efecto estamos remitiendo el movimiento de la partícula a un origen inercial en el centro de la Tierra. De acuerdo con la ecuación (12-9.6), la aceleración de Coriolis está dada por a C = 2ω vr. Según la definición de producto vectorial, su magnitud es aC = 2ωvr sen Φ y está dirigida perpendicularmente al plano de ω y vr en la dirección en que avanzaría un tornillo de rosca derecha conforme ω gira hacia vr. Mirando ahora la parte (b) de la figura 12-9.5, vemos que a la latitud Φ la velocidad vr tiene las componentes vr sen Φ y vr cos Φ. La componente vr sen Φ es perpendicular a ω y da .origen a aC = 2ωvr sen Φ, mientras la otra componente vr cos Φ es paralela a ω y su dirección no es cambiada por ω. En otras palabras, la aceleración de Coriolis es causada sólo por la componente de v r que es perpendicular a ω y su valor es el doble de la rapidez con que ω hace girar al extremo de esa componente de la velocidad. Su dirección se determina por el sentido de ω mostrado en la figura 12-9.5(b).
Ejemplo La manivela OA de 15 cm de un mecanismo de retroceso rápido está girando, en sentido contrario al de las manecillas del reloj, a una rapidez constante de 10 rad/seg. Cuando el mecanismo está en la posición indicada en la figura 12-9.6, determinar la aceleración angular de BD. Solución Usando un marco de referencia xyz en rotación unido a BD en B. Entonces A tiene un movimiento rectilíneo en este marco. Simultáneamente, A puede considerarse como parte de la manivela OA que tiene una rotación pura alrededor de O, la cual da lugar a los valores absolutos de vA y aA que se ven en la parte (c). De la geometría preliminar indicada en la parte (b) se determinan θ = 18° y BA = 42.12 cm. Expresando v A y aA en términos de los vectores unitarios ex y ey del marco xyz en rotación, tenemos (a) (b)
Cuando consideramos el movimiento de A en el marco xyz, donde BA = |ρ| = 42.12 cm y M es un punto en BD instantáneamente coincidente con A, las ecuaciones (12-9.5) y (12-9.6)
dan lugar a
Estos valores de vr y ω se usan ahora al igualar los coeficientes de los vectores unitarios en las ecuaciones (b) y (d) para aA y así obtener [términos en ex] [términos en ex]
-1500cos42° = -42.12(2.64)2 + ar -1500sen42° = -42.12α + 2(2.64)(-100.3)
de donde obtenemos ar = -821.2 cm/seg2 y α = -11.2 = 11.2 rad/seg2
