Física para todos
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Carlos Jiménez Huarang Huarangaa
CINEMÁTICA CONCEPTOS PREVIOS Movimiento.- Se dice dice que que un cuer cuerpo po está está en movimiento movimiento cuando cuando su posición posición varía respecto respecto a un sistema de referencia que se supone fijo. Trayectoria.- Es la figura descrita ita por las dife difere rent ntes es posic osicio ione ness de una una par partícu tícula la en movimiento (móvil). Distancia Distancia reco recorrida rrida (d).- Es la long longit itud ud de la trayectoria. Desplazamiento ( D ).- Es el vector cuyo origen se encuentra en la posición inicial del móvil. Y su extr extrem emo o en al posi posici ción ón fina final. l. Es el cambi cambio o de posición de un móvil.
tra tra ector ctoria ia
d
y
→ → → → D = r - r = Δr Δr
→
tiempo
Ejemplo: Un móvil tarda 12 s en recorrer una distancia de 45 m y tarda 18 s en regresar al punto de partida por el mismo camino, calcular la rapidez promedio.
La distancia que recorre en ir y regresar es: d = 45 + 45 = 90 m El tiempo que tarda en recorrer los 90 m: t = 12 + 18 = 30 s
d t
=
90 m 30 s
→
3 m / s
v p
=
un deter etermi mina nad do ins instant tante. e. El vecto ectorr que la representa es tangente a la trayectoria.
r i ( V M ).-
dis tan cia recorrida =
Velocidad instantánea ( v ).- Es la velocidad en
→
medi me dia a
v p
v p =
r F
Vel eloc ocid idad ad
Rapidez promedio (v P ).- Es una magnitud escalar, que relaciona la distancia recorrida y el tiempo transcurrido.
Es una una
→
magn agnitud itud
vectorial, que relaciona el desplazamiento con el tiempo transcurrido.
V M =
∆r = r F − r i:
D ∆r = t ∆t
Su valor se determina mediante la ecuación
Δt: intervalo de tiempo
r i = ( 2; 5) hasta la posición r F = (8;13) , calcular
dr dt
∆r ∆t
=
(6; 8) 2
→
vM =(3; 4)
La dirección del vector velocidad media es igual a la del vector desplazamiento. y
Si: r = 4t →
4
Si; r = t →
13 vM 5
x 8
n −1
= a n t
Ejemplos: 3
2
dt
Si “r” tiene la forma: r = at n Donde “a” y “n” son constantes.
la velocidad media. ∆r = (8; 13) – (2; 5) = (6; 8)
=
se lee: derivada de “r” respecto del tiempo “t”
Ejemplo: Un móvil tarda 2 s en ir de la posición
vM =
d r
v
cambio de posición
Si: r = 5t →
d ( 4t 3 ) dt d (t 4 ) dt d (5t ) dt
3 −1
= (4)(3) t
3
= 4t
1−1
= 5t
0
= 5t = 5
Si el movimiento es sobre el eje “x”:
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2
=12 t
Física para todos d x
v
2
=
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se expresa en m/s
dt
aM
Ejemplo: Si un móvil se mueve sobre el eje “x” según la ecuación: x = 3t 2 + 5t; donde “x” se expresa en metros y “t” en segundos. Hallar el valor de la velocidad del móvil en el instante que t = 4 s.
v=
dt
=
d (3t 2 ) dt
+
d (5t ) dt
velocidad desde vi = 6 i (m/s) hasta la velocidad de v F = 8 j (m/s), calcular su aceleración media. aM
=
v F − vi t
→ v = 6t + 5
=
8 j − 6 i
=
5 aM
Cuando t = 4 s → v = 6(4) 6(4) + 5 →
2
Ejemplo: Una partícula tarda 5 s en cambiar su
dx
150 m / s
=
8 5
1,2 i
=−
j −
6 5
i
1,6 j
+
v =29 m / s
El módulo de la aceleración es: La rapidez de un móvil es la magnitud o valor de la velocidad Ejemplo: Si una partícula se mueve según: r = (t 3; 4t 2 ) metros Calcular su velocidad en el instante t = 2 s.
aM = (1,2) 2
+ (1,6)
vectorial. Indica la aceleración en un determinado instante. d v
d r
=
d
dt dt
→ aM = 2 m/s2
Aceleración instantánea ( a ).- Es una magnitud
a
v=
2
=
Se expresa en m/s 2
dt
(t 3 ; 4t 2 ) = (3t 2 ; 8t ) → v = (3t 2 ; 8t ) v
2
Cuando: t = 2 s → v = (3·2 ; 8·2)
v = (12;16)
a
El valor de la velocidad (módulo o rapidez) es:
v = 12 2
+ 16
2
→
v =20 m / s
una magni agnitu tud d Acel Ac eler erac ació ión n me medi diaa ( a ).- Es una vectorial; y expresa la variación que experimenta la velocidad en un intervalo de tiempo.
Ejemplo: Un móvil se desplaza sobre una recta, según la ecuación: x = 4t 3 + 5t2 – t Calcular: a) su velo veloci cida dad d cua cuand ndo o t= 2s b) b) su ace acele lera raci ción ón cua cuand ndo ot=2s
→
v
d x
a) v =
dt
→
vF v
a M =
∆v ∆t
=
v F − vi t
se expresa en m/s 2
Ejemplo: Una pelota se dirige hacia una pared con una velocidad de 8 m/s, choca y rebota con una rapidez de 7 m/s. Si el choque duró 0,1 s, calcular su aceleración media.
8 m/s
aM =
v F − vi t
=
7 m/s
(+7) − (−8) 0,1
=
=
d
→ v=
dt
( 4t 3 + 5t 2 − t )
12 t 2 + 10t −1
Cuando t = 2 s → v = 12·2 12·2 2 + 10·2 -1 v = 48 + 20 -1 → v = 67 m/s d v
b) a
=
a
dt
=
d
→ a
=
dt
(12t 2 + 10t − 1)
24t + 10
Cuando t = 2 s: a = 24·2 + 10 → a = 58 m/s 2
15 0,1
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PROBLEMAS PROPUESTOS
aT
v
01. Indicar qué proposiciones son correctas: I. La dis distanc tancia ia recor ecorrrida ida siem iempre pre es una una cantidad positiva II. El desplazamie desplazamiento nto puede ser negativo negativo III. III. La distanci distanciaa recorr recorrida ida es el módulo módulo del desplazamiento A) I B) II C) III D) I y II E) Todas
a N aT: aceleración tangencial a N : aceleración normal a : aceleración a= a
Donde:
a N
2 N +
a
v =
2
02. Entre una ciudad y otra: I. Exis Existe ten n muc mucha hass tray trayect ector oria iass II. Un solo solo despla desplazami zamient ento o III. Una sola sola distancia distancia recorrida recorrida Indique las afirmaciones correctas: A) I B) II C) III D) I y II E) I y III
T
2
R
R: radio de curvatura Ejemplo: En un deter eterm minad inado o inst instan ante te la velocidad de un móvil de 4 m/s y su aceleración de 5 m/s2 , forman 37º entre sí. Calcular: a) el radi radio o de de cur curva vatu tura ra.. b) Su acel aceler erac ació ión n tange tangenc ncia ial l
v=4 m/s
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37º
a = 3 m/s2
Reemplazamos datos: 3 =
v2
R
b) aT = a cos37º → aT = 5 ×
4 5
A) π cm/s B) π/2 cm/s D) π/4 cm/s
C) 2π cm/s E) 4π cm/s
05. 05. Una Una part partíc ícul ulaa se desp despla laza za de acue acuerd rdo o a la 2 ecuación: x = 4t + 3t -2, donde “x” se expresa en metros y “t” en segundos. Determine el módulo de la velocidad media ( m/s) en el intervalo de t = 2 s a t = 5 s. A) 13 B) 23 C) 31 D) 36 E) 93
R
42
A
04. La ecuación del movimiento de una partícula viene dado por: x=t 2-1, donde “x” se expresa en metro etross y “t” “t” en segun egundo doss. Hall Hallar ar el desplazamiento en el tercer segundo: A) 5 m B) 3 m C) 8 m D) 9 m E) 4 m
a=5 m/s2
a) Usamos la ecuación: a N =
03. Una hormiga describe la trayectoria circular de radi radio o 10 cm en 10 s. Hall Hallar ar la rapid rapidez ez promedio. (A: Posición inicial)
→ R =
16 3
m
→ aT = 4 m / s
2
06. El vector posición de un móvil varía según la ecuación: r = (3t2+2; +2; 2t), t), dond onde “r” “r” se expr expres esaa en metro etross y “t” “t” en segun egundo dos. s. Determine la velocidad media (en m/s) en el intervalo de t = 3 s a t = 6 s A) (27; 2) B) (81; 6) C) 81; 2) D) (27; 6) E) (18; 2) 07. Un móvil va de un punto A hasta un punto B que distan 6 km, en 2 h y regresa al punto de partida por el mismo camino en 3 h, calcular su rapidez promedio. A) 0,6 B) 1,2 C) 1,8 D) 2,4 E) 3,6
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08. Un auto auto recorre recorre rectilíneam rectilíneamente ente la primera primera mitad del camino con una velocidad de 60 km/h km/h y la segund segundaa mitad mitad en una direcci dirección ón perpendicular a la primera con una velocidad de 120 120 km/h km/h.. Hall Hallar ar la velo veloci cida dad d medi mediaa y promedio en km/h A) 40 2 , 80 B) 20 2 , 40 C) 60, 60 D) 50, 80
E) 10
2 , 20
Carlos Jiménez Huarang Huarangaa Determi Determinar nar su aceler aceleraci ación ón media media (en m/s2) entre t=1 s y t=2 s B) -2 i
D) -2 j
E) 2 i + 2 j
14. Si el tiempo que emplea una hormiga en ir de "A" hasta "B" es de 2 s, hallar la magnitud de la velocidad velocidad media de la la hormiga hormiga (en cm/s). cm/s). Las velocidades en A y en B son ortogonales.
09. Un móvil se dirige de "A" hacia "B" con una velo veloci cida dad d cons consta tant ntee "V", "V", regr regres esaa con con una una velocidad "2V" y vuelve a ir con una velocidad "3V". Hallar su velocidad media y promedio A) 6V/1 6V/11; 1; 18V/1 18V/11 1 B) 2V/3; 2V/3; 3V/2 3V/2 C) 5V/3; 6V/5 D) 0; 0 E) 2V/5; 6V/11 10.U 10.Un n móvi móvill inic inicia ia un movim movimie ient nto o a 60 km/h km/h manten mantenien iendo do ésta ésta veloci velocidad dad durant durantee 8 h y luego regresa a 120 km/h. Hallar la velocidad media y promedio en km/h A) 0; 80 B) 0; 40 C) 180; 80 D) 10; 20 E) 50; 50 11. Una Una pelo pelota ta de ten tenis que que viaja iaja con con una una veloci velocidad dad horizo horizonta ntall de 10 m/s, m/s, recibe recibe un golpe golpe de raqueta raqueta que lo devuel devuelve ve con una una veloci velocidad dad horizo horizonta ntall de 15 m/s en senti sentido do opuesto a su velocidad inicial. Si el golpe de la raqueta duró 0,5 s. ¿Cuál es el valor de la aceleración media que experimenta la pelota durante el golpe? A) 10 m/s 2 B) 5 m/s2 C) 15 m/s 2 D) 25 m/s 2 E) 50 m/s2 12. En el diagrama para que el móvil vaya de "A" hacia "B" emplea 5 segundos, observándose que en "A" su rapide rapidezz es 3 m/s y que en "B" es 5 m/s. Calcular su aceleración media (en m/s2) tendrá en este trayecto. 60º
A
A) 0,7 B) 1,4 D) 3,5 E) 7
B
C) 2,5
13. La posición de una partícula está dada por x=2(t-1)+t2, y=t+1, donde "t" es el tiempo.
C) 2 j
A) 2 i
A
2 cm/s
B 2 cm/s A) 1 D)
B) 2
2 /2
C)
2
E) 2 2
15. Una partícula se mueve a lo largo del eje x de acuerdo acuerdo a la siguiente siguiente ley: ley: x = -2 + 3t + 5t 2; donde x se expresa en metros y t en segundos. Determine el módulo de su velocidad media (en m/s) en el intervalo de t = 1 s hasta t = 3 s. A) 28 B) 14 C) 23 D) 15,3 E) 21 16. Un móvil que desplaza sobre el eje x, según la ley: x = 2t3 - 5t 2 – 4; donde “x” se expresa en metros y “t” en segundos. Determine, en m/s, su velocidad en el instante t = 5 s. A) 25 B) 50 C) 75 D) 100 E) 150 17. El movimi movimient ento o de una partícul partículaa sobre sobre una línea recta se realiza de acuerdo a la siguiente ecuación de movimiento: x = t 4 + t2 – 5t – 3; dond dondee “x” “x” se expr expres esaa en metr metros os y “t” “t” en segundos. Determinar su aceleración (en m/s 2) en el instante t = 2 s. A) 24 B) 25 C) 48 D) 50 E) 52 18. El movimiento de una partícula sobre el eje de las abscisas cumple con la siguiente ecuación: x = 3t - 12 (x en metros, t en segundos). Hall Hallar ar la velo veloci cida dad d y la posi posici ción ón para para un tiempo t = 7 s. A) v = 21 m/s; x = -3 m B) v = 3 m/s; x = 9 m C) v = 21 m/s; x = 3 m D) v = 7 m/s; x = 33 m E) v = 3 m/s; x = 7 m
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19. 19. La ecua ecuaci ción ón que que gobi gobier erna na el movim movimie ient nto o rectilíneo de una partícula es: x = 3t 2 - 12t - 15, donde "t" está en segundos y "x" en metros Determine la alternativa incorrecta: A) La veloci velocidad dad de la la partíc partícula ula es cero cero en el el instante t = 2 s B) La velo veloci cida dad d de la part partíc ícul ulaa en el instante t = 0, es -12 m/s C) La aceleraci aceleración ón de la partícula partícula es 3 m/s m/s 2 D) La partícula partícula pasa pasa por por el origen origen en en t = 5 s E) La partíc partícula ula inic inicia ia su movimi movimien ento to en la posición: x= -15 m 20. Indicar la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones: ** El desplazamiento nunca puede ser cero. ** La distancia recorrida siempre es mayor que el módulo del desplazamiento. ** La rapidez es el módulo de la velocidad. A) VVV D) FVV
B) FFF E) VFV
Carlos Jiménez Huarang Huarangaa 22. ¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son correctas? ** Trayec rayecto tori riaa es lo mismo mismo que que dist distan anci ciaa recorrida. ** La rapidez promedio, a veces tiene igual valo valorr que que el módu módulo lo de la velo veloci cida dad d media. ** La velocidad instantánea es tangente a la trayectoria. ** La acel aceler erac ació ión n inst instan antá táne neaa siem siempr pree es paralela a la velocidad instantánea. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 23. 23. Cuand uando o un móvil óvil se des desplaz plazaa por por una una trayectoria curvilínea, podemos afirmar que: A) Su rapidez es constante. constante. B) Su velocidad debe ser constante C) Su acel aceler erac ació ión n nece necesa sari riam amen ente te será será constante. D) Si su velocidad varía, entonces su rapidez tendrá que variar.
C) FFV E) El móvil tendrá necesariamente aceleración normal.
21. Con respecto a la velocidad media podemos afirmar correctamente que: A) Es una magnitud escalar. escalar. B) Es una una magnitud fundamental C) Su ecua ecuaci ción ón dimen dimensi sion onal al es igua iguall a la ecua ecuaci ción ón dimen dimensi sion onal al de la velo veloci cida dad d lineal. D) Es un vector vector que está dirigido dirigido de manera manera perpendicular al movimiento. E) Se expresa expresa en las mismas mismas unidades unidades de de la aceleración media.
24. Si una partícula se mueve a lo largo de un eje de coordenadas, según la ecuación: x = 3t - 24; donde “x” se expresa en metros y “t” en segundos, ¿qué valor tiene su velocidad cuando pase por el origen de coordenadas? A) 8 m/s B) 4 m/s C) 3 m/s D) 1 m/s E) 0 25. Si un móvil se mueve según la ecuación: x = t2 – 6t + 10; donde “x” se expresa en kilómetros y “t” en horas. ¿A qué distancia del origen su velocidad es nula? A) 10 m B) 100 m C) 1 km D) 10 km E) 2 km
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