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TABLE BASCULANTE Le schéma cinématique (Figure 1) modélise une table basculante saisissant une plaque en position horizontale pour po ur l’incliner de 110° 1 10°. Le système de préhension préh ension de la plaque n’est pas étudié. Convention et notation Tous les repères utilisés sont orthonormés directs. La dérivée de la variable x par rapport au temps est notée & Dans une liaison centrée au point P , le torseur cinématique du mouvement du solide i par rapport au
r
solide j solide j est noté, dans un repère (O ( O , x , y , z ) :
Ωi / j = pij . x + qij . y + r ij . z {V i / j }= = uij . x + vij . y + wij . z V P ( P , i / j )
Le torseur d’actions mécaniques exercées exercées par le solide i sur le solide j est noté, dans un
r repère (O (O , x , y , z )
Ri / j = X ij . x + Y ij . y + Z ij . z {T i / j }= M L . x M . y N . z = + + ij ij ij ( P , i / j ) P
r
Le moment d’inertie du solide i au point P par rapport à un axe de vecteur directeur
u
est noté
I ( i ,( P ,u )) r
Description du système
G1
e p m i u Q x u e z i r B e é c y L e t t e l a S M
G3 G2
Figure 1 Schéma cinématique du système de basculement de table
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Au bâti 0 est associé le repère galiléen (O , x0 , y0 , z0 ) r
Le champs de pesanteur est modélisé par g = − g . y0 On pose la constante suivante :
OB = d . x0 − h. y0
Plaque + table : La plaque ainsi que la table sont modélisées par un unique solide 1. On y attache le repère (O , x1 , y1 , z0 ). Le solide 1 est lié au bâti par une liaison pivot parfaite d’axe (O , z0 ). Le point G 1 est son centre d’inertie. Le solide 1 a une masse M = 500kg. Son moment d’inertie en G 1 par rapport à l’axe z0 vaut I
(1,( G1 z , 0 ))
= 670 kg.m2
On pose les constantes suivantes : OA = r . x1 et OG1 = l. x1
On définit : α= ( x0 , x1 )
Le vérin hydraulique actionnant le solide 1 est composé d’un corps 2 et d’une tige 3.
Corps 2 : On associe au corps 2 un repère (B , x2 , y2 , z0 ) . Le corps 2 est lié au bâti 0 par une liaison pivot parfaite d’axe (B , z0 ), et à la tige 3 par une liaison pivot glissant parfaite d’axe (B , x2 ). On pose BG 2 = c. x 2
avec c = 1 m, on note m2 la masse du corps 2 et I
( 2,( G2 , z0 ))
le moment d’inertie
par rapport à l’axe G2 , z0
Tige 3 : La tige 3 est liée au solide 1 par une liaison pivot parfaite d’axe (A, z0 ). On pose AG 3 = t . x 2 avec t = -1 m. On note m3 la masse de la tige 3 et I
( 3,( G3 z , 0 ))
le moment d’inertie par rapport à l’axe
G3 , z 0 On définit : β=( x0 , x2 ) et BA = x. x2
F . x2 0 B
L’action globale du fluide sur le piston du vérin modélisé par le torseur suivant : {T }= fluide →3
− F . x 2 0 B
et l’action globale du fluide sur le corps 2 par {T fluide →2 }=
Le mécanisme est considéré comme plan. On cherche à dimensionner le vérin hydraulique, en calculant l’effort maximal qu’il doit exercer pour basculer la plaque avec une loi en vitesse connue
Cinématique 1-1 En effectuant une fermeture géométrique, calculer & en fonction de α & , α, x , r , d , et h . Dynamique 1-2 Calculer l’énergie cinétique du solide 1 en mouvement par rapport au bâti 0. 1-3 Calculer l’énergie cinétique du vérin [ 2+3] en mouvement par rapport au bâti 0 en fonction de m 2, m , I β & , α & , α, β, r, t, c, , I 3
( 2 , ( G2 , z 0 ))
( 3, ( G3 z , 0 ))
On supposera, dans la suite du sujet, cette énergie cinétique négligeable devant celle calculée à la question 1-2.
1-4 Calculer les puissances des efforts extérieurs appliqués sur le mécanisme en mouvement par rapport au bâti 0. 1-5 Calculer les puissances des efforts intérieurs au mécanisme étudié.
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1-6 On négligera la puissance des actions de la pesanteur sur le vérin 2+3. En appliquant le & , x et des constantes du && , α théorème de l’énergie cinétique, déterminer F en fonction de α & , α, x mécanisme, && , α, x , et des constantes A partir de la relation de la question 1-1, calculer F en fonction de α du mécanisme.
1-7 On souhaite obtenir une courbe de vitesse du solide 1 par rapport au bâti 0 comme la Figure 2 la présente. Le solide 1 doit parcourir 110° en tc = 60s.
&
& max
Temps (s) tc /3
2.tc /3
tc = 60 s
Figure 2 Courbe de vitesse angulaire de la table souhaitée && pour obtenir la courbe en vitesse souhaitée. Calculer α
1-8 En utilisant les résultats des questions précédentes, calculer la valeur de F pour α = 0, α & = 0 && de la question précédente. et α __
- Faire l’application numérique.
1-9 La pression utile dans le vérin, pour α = 0, est de 100 bars. - En déduire le diamètre du piston du vérin
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